Filosofia da matemática

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Resumo: Neste artigo analisamos as críticas apresentadas por George Berkeley, em The analyst (1734), ao método das fluxões e à inconsistência intrínseca à noção de infinitésimo do cálculo diferencial e integral, introduzido por Isaac Newton. Procuramos mostrar que as críticas de Berkeley não eram de todo infundadas, uma vez que foram necessários quase duzentos anos para que viesse a ser introduzida por Karl Weierstrass a definição rigorosa de limite, que propiciou uma solução para o problema dos infinitésimos. São mencionadas ainda duas outras teorias contemporâneas, com abordagens distintas para a solução da questão do infinitésimo: a análise não-standard de Abraham Robinson e o cálculo diferencial paraconsistente proposto por Newton da Costa. Apesar de serem citados alguns autores importantes para o desenvolvimento do cálculo, este artigo não se propõe a analisar suas obras e não pretende apresentar uma história do cálculo diferencial e integral. Palavras-chave: George Berkeley, método das fluxões, infinitésimo, cálculo diferencial paraconsistente.

Este é um livro de importância maior contendo ideias originais sobre uma grande área de tópicos, formando um sistema coerente, que sendo ou não, como reivindica o autor, a solução final, em essencial, para todos os problemas tratados, é de extraordinário interesse e merece a atenção de todos os filósofos. E mesmo que o sistema seja completamente incorreto, o livro contém um grande número de profundas obter dicta e críticas a outras teorias. É, entretanto, muito difícil de entender, apesar do fato de ser impresso com o texto alemão e a tradução inglesa em páginas opostas. O Sr. Wittgenstein não escreve prosa consecutiva, mas 1

I. LAKATOS 6 7. The Problem of Content Revisited. (a) The naivet6 of the naive conjecture. (b) Induction as the basis of the method of proofs and refutations. (c) Deductive guessing versus naive guessing. (d) Increasing content by deductive guessing. (e) Logical versus heuristic counterexamples. g 8. Concept-formation. (a) Refutation by concept-stretching. A reappraisal of monsterbarring-and of the concepts of error and refutation. (b) Proof-generated versus naive concepts. Theoretical versus naive classification. (c) Logical and heuristic refutations revisited. (d) Theoretical versus naive concept-stretching. Continuous versus critical growth. ? 9. How Criticism may turn Mathematical Truth into Logical Truth. (a) Unlimited concept-stretching destroys meaning and truth. (b) Mitigated concept-stretching may turn mathematical truth into logical truth.

Mathematics, according to most people, is an exact science - but what it means to be exact? Or, if it is accurate, as are their objects? Exactly? Or rather, what is a mathematical object? How to differentiate a mathematical object to another? What characteristics / properties are necessary for an object to be mathematical? Be accurate means to be intelligible? These questions, which are not the subject of discussions in this work were the triggering of this study. The proposal is to discuss the Cartesian refusal of the Greek criterion of demarcation between the two types of curves and try to understand the establishment of new criteria adopted by Descartes. Thus, looking along the dissertation seek to understand the reasons that led the philosopher to discuss and reclassify the curves. To understand the Cartesian distinction between geometric curves and mechanical curves we must first present the context in which these curves appear. In this aspect, it is initially held a historical retrospect of the main curves studied and investigated by the Greeks, as well as its main geometers representatives. In this context, it is reviewed and discussed the key role of the classic problems, which influenced the appearance and desevolvimento of such curves. Are they triggered new investigations and the appearance of new curves. Following a discussion of the Geometry test is carried out, containing an overview of the work, a characterization and demarcation of curves in this area. Next is discussed the understanding of Descartes to distinguish between geometrical and mechanical curves. Finally, conclusions are drawn about the view expressed here. According to Bos (2001), the argument adopted by Descartes to classify the curves was the "philosophical analysis of gemétrica intuition", namely the construction and representation of curves served to create objects known. Behind any choice of procedures for the construction was the intuition of "known-unknown", or, in general, the certainty of intuition in geometry. The overview that fincava her stakes was that the geometry has been shaped by a philosophical concern based on the certainty of geometrical operations, particularly buildings, ie the Cartesian mathematics was (and still is) the mathematics of a philosopher, in this context, that mathematics can not posit no arguments. In this respect, it is understood that Descartes had an idea of rationality based on continuity. Continuing this presupposes that a continuous movement of insights that can be reduced in a whole or in several movements, since continuous and intelligible. For example, in a spider's web, there is a main wire which is touched, it moves all other wires. So is the intuitive continuous movement presupposed by Descartes to the understanding of a geometric curve. The continuity of the generation of a geometric object corresponds to the continuity of mathematical thinking and therefore of understanding of the object continuously.

satisfy induction and the Peano axioms, including recursive axioms for addition and multiplication. In fact G0del has shown that whatever additional axioms we impose, axioms for subtraction or exponentiation, or what you will, then (provided the axioms are consistent) it is always possible to find a model of the axioms, that is, an interpretation, which is different from the intended interpretation. Frege's standpoint is essentially summed up in his observation that you cannot create the number zero simply by laying down axioms for operations with an oval drawn on paper with a pen. For him, the number zero is a concept, a logical entity, as much a real object as anything apprehended by the senses is real, an object which mathematicians recognise but do not create. Accepting for the moment Frege's criticism of the formal axiomatic method, let us see what he offered in its place. Like the formalists he criticised, Frege himself built up an axiomatic system-one of the most carefully constructed and subtly discriminating systems that had yet been devised, but in Frege's system predicate, not number, is the fundamental concept and number is defined in terms of one-to-one related classes (a class being the extension of a predicate). In this way Frege sought to wed his formal concept of number to the real world, since he could prove for instance that a class like (a, b, c) contains three numbers. But unless ' class' is taken to have a fixed significance over and above that which the formalism gives to it, Frege's system is as much subject to GOdel's theorem as any other formalism, and Frege's object is not achieved. The classes of an axiomatic system are no more real objects, in the ordinary sense of the word, than are the numbers of an axiomatic system. Frege's definition of number in terms of classes is a purely technical device, of value and importance in constructing arithmetic in a particular type of axiom system, but no more than that. It is perhaps interesting to observe that the notion of one-to-one correspondence, a notion that has been introduced into mathematics only comparatively

Resumo: Uma parte central da Crítica da Razão Pura do filósofo Immanuel Kant (1724-1804) contém a apresentação e discussão de quatro conflitos filosóficos (“antinomias”): pares de afirmações mutuamente contraditórias que podem ser ambas defendidas com argumentos igualmente convincentes. No primeiro deles, Kant expõe a tese de que o mundo tem um início no tempo e tem limites no espaço; e a antítese de que o mundo não tem início nem limites no espaço, mas é infinito em relação ao tempo e ao espaço. Ele apresenta então tanto a prova da tese quanto da antítese. Ao provar a tese, demonstra que a antítese está errada; e ao provar a antítese, demonstra que a tese está errada. Evidentemente, as duas afirmações mutuamente contraditórias não podem ser ambas verdadeiras. Kant acaba concluindo que ambas são falsas: o mundo não é finito nem infinito, no tempo e no espaço. A solução apresentada por Kant faz sentido dentro de sua visão filosófica geral (o idealismo crítico), que nega a própria existência do mundo como uma coisa em si mesma. Este capítulo apresenta a argumentação de Kant sobre essa primeira antinomia, dando atenção especialmente aos conceitos de infinito que utiliza e ao modo como essa conceituação conduz ao paradoxo apresentado por ele.

Pretendo neste trabalho abordar: (i) a ideia de teoria dos conjuntos como fundamento da matemática e (ii) a questão da justificação dos axiomas padrões de ZFC. No que diz respeito a (i) examino os benefícios destacados por filósofos da matemática em tal fundamentação; de forma particular destaco a posição de Penelope Maddy; no que toca a (ii) investigo os termos de justificação dos axiomas padrões de ZFC. Para tanto, discutirei um ou dois axiomas. 2 hah

O que eu gostaria de fazer hoje é tentar esclarecer um pouco o que significa a expressão " as matemáticas são a ontologia " , apresentada por Alain Badiou pela primeira vez na introdução do seu livro Ser e Evento. Para fazer isso, vou contrapor minha leitura não só às principais críticas levantadas contra seu projeto, mas também à apresentação feita pelo próprio Badiou, que, na minha opinião, também incorre em alguns problemas e é parcialmente responsável por essa recepção crítica. Em todo caso, a ideia não é disputar exegeses e defender Badiou, mas esclarecer o que é efetivamente singular em sua proposta, para que as críticas subsequentes possam ser inclusive mais produtivas.

Este Comentário Número 9 à Teoria da Objetividade tem como objetivo demonstrar a quantidade de lados que compõem o ponto esférico que ocorria antes do surgimento do Universo e confirmar que não é possível a construção de uma esfera mínima, perfeita e lógica sem que ela seja composta na sua circunferência máxima por menos que sessenta e quatro lados retos. Em sequência, são demonstrados os desdobramentos da construção lógica dos elementos geométricos derivados da esfera perfeita, aferindo uma realidade espacial que supera as três dimensões convencionais da matemática humana, comprovando a existência de uma quarta dimensão espacial e uma quinta dimensão lógica para todo elemento geométrico. A Teoria da Objetividade é também denominada de “A Terceira Via” ou “A Terceira Teoria”, como referência de ser uma terceira explicação alternativa do surgimento do universo, diferente da Teoria do Big Bang e do Criacionismo.

in which a complete proof is given of a non-standard analysis version of Cauchy's "the6rem". I am indebted to Cleave for sharing with me his photocopy of Lakatos' manuscript, at a time when it was not readily available to the general public. Readers interested in Lakatos' work should also look at the recent collection, "Essays in Memory of Imre Lakatos, "Vol. 39 of the Boston Studies in Philosophy of Science, edited by R.S. Cohen et al., D. Reidel Publishers. The essays by Worrall, Berkson, and Marchi are of particular interest. In relation to the article below (history of calculus in the light of non-standard analysis) the main reference is, of course, 151 the last chapter of Robinson's famous treatise;there are also Cleave's article, an article by H.J.M. Bos, "Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian Calculus," Archives for History of Exact Sciences, Vol. 14, 1974-75, and a forthcoming article in Historia Mathematica, "Cauchy and the infinitely small," by Gordon M. Fisher. Of related interest is the article by H. Mehrtens, "T.S. Kuhn's theories and mathematics," Historia Mathematica, 3 (1976) 297-320.

Resumo: A linguagem matemática e as demonstrações são algumas das maiores dificuldades que os professores têm ao ensinar Matemática. Muitas pesquisas têm mostrado estas dificuldades, mas muito poucas têm se atentado para o fato de que o próprio surgimento da Matemática Pura no início do século XIX trouxe como suas principais transformações a linguagem abstrata e a colocação das demonstrações no centro da atividade matemática. Este artigo pretende mostrar que as transformações ocorridas na matemática no início do século XIX foram parte de um processo de transformações muito mais amplo em toda a cultura da época. Para mostrar os ideais por trás das transformações na Matemática, apresentaremos a obra de Bernard Bolzano, filósofo e matemático que compreendeu antes de qualquer outro a natureza das transformações pelas quais a matemática precisava passar, e dedicou sua vida a realizála, como parte de um projeto muito mais amplo que ele tinha de reorganização de todo o conhecimento com vistas à melhoria da sociedade.

O presente trabalho Arquimedes. O procedimento adotado é o da análise traduções, em primeira mão, de ambos aqueles autores ajudam a colocá-los em perspectiva os primórdios da atividade escrita na Grécia antiga, bem como o surgimento dos primeiros manuais Conjectura-se que o formato catalogar da obra euclidiana pode emergente ciência médica. Por parte de Arquimedes, com prefácios epistolares remonta aos primórdios da própria ati finais são apresentadas reflexões sobre as relações da matemática com outras manifestações no interior da mesma cultura, e também sobre o desenvolvimento da comunidade matemática a partir da expansão das funções da escrita.

Palavras-chave: História da Matemática. Heurística. Método. Proêmio.

The term “geometric method” is used in philosophy, especially by Spinoza’s commentators, to refer to the Euclidean deductive method. The commentators of Spinoza’s philosophy, in treating this method in their investigations and theses, only briefly mention it, making a few brief comments and clarifications about it, so that they make only a concise and generic presentation and discussion of it. In this sense, we propose here to make a study and a discussion of the geometric method in a broader and more detailed way, from its ancient Greek origins until its full consolidation with Euclid. To this end, we hope to make a contribution to the philosophical studies of the Sixteenth, especially to studies referring to Spinoza philosophy.

O presente texto é um ensaio sobre as possíveis (des)aproximações que podem existir entre o processo de Modelagem Matemática e o método filosófico cartesiano de constituição do conhecimento. Trata-se de uma pesquisa cuja abordagem metodológica foi de cunho histórico-bibliográfico. Para que as discussões possam ser frutíferas são apresentadas algumas perspectivas de Modelagem Matemática, dando ênfase ao processo de modelagem (que é o foco do texto), em seguida, o método de Descartes é apresentado, sendo ele delineado pelo filósofo principalmente em suas obras o Discurso do Método e As Regras para Direção do Espírito. Na sequência as possíveis relações e aproximações são apresentadas e discutidas. Por fim, nas conclusões é possível verificar que muito do que Descartes apresenta enquanto método filosófico para constituir o conhecimento é realizado no processo de Modelagem Matemática, o que evidencia a importância desse processo enquanto método de ensino de matemática.

Nesta monografia, pretendo demonstrar que o conceito de “construção lógica” ou “ficção lógica” apresentada no livro “Introdução à Filosofia Matemática” (RUSSELL, 1918) indica que o autor desistiu do Realismo dos objetos matemáticos, abandonando, assim, a essência do projeto logicista e qualquer tentativa de estabelecer as fundações da matemática.

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RESUMO O estudo do papel heurístico da matemática se insere em um contexto mais amplo e que se refere à aplicabilidade da matemática à física. (GRANDE, 2011) Neste trabalho analisaremos o porquê de ser possível fazer descobertas científicas via cálculos matemáticos efetuados no seio de uma determinada teoria da física. Para isso, é importante analisar como se dá a relação entre o mundo dos objetos matemáticos e a nossa realidade empírica (precisamente, a estrutura dessa realidade). Para nós, diferentemente do que sustentariam filósofos defensores de algum tipo de realismo matemático (e.g., STEINER, 1998), números – e os objetos matemáticos, em geral-existem apenas como o suporte das operações matemáticas elaboradas em uma estrutura formal específica, aos quais nos referiremos por objetos formais. (DA SILVA p. 229, 2010) E tais operações podem sugerir aos físicos e matemáticos interpretar tais objetos formais de modo a elaborarem hipóteses físicas passiveis de verificação empírica. É sabido que o físico Paul Adrien Maurice Dirac (DIRAC, 1928) desenvolveu uma equação relativística para o elétron que teve várias consequências importantes para o desenvolvimento da mecânica quântica relativística. Dentre elas, destacamos a previsão da existência de antipartículas. O estudo da criação da equação de Dirac será propedêutico à compreensão do papel heurístico da matemática. A nossa discussão filosófica se baseará em algumas das ideias de da Silva (IDEM, 2010) a respeito da natureza da matemática. Abstract The heuristic role of mathematics belongs to a wider research area which

O livro do professor de matemática e filosofia, Jairo da Silva, publicado em 2007 pela editora UNESP, vem expor (e defender) a perenidade dos problemas filosóficos concernentes à multifacetada matemática ao longo da história do pensamento. A aprioricidade, a universalidade, a necessidade, a indispensabilidade, a aplicabilidade irrestrita, qualidades filosoficamente convidativas da matemática, são analisadas nesta obra pioneira em português. O livro é publicado em bom momento para suprir esta lacuna editorial e para marcar os esforços de consolidação da pesquisa em filosofia da matemática e da lógica matemática no Brasil. Esta pesquisa é representada em boa medida, como Jairo da Silva destaca, pelos Encontros Brasileiros de Lógica e pelos Colóquios Conesul de Filosofia das Ciências Formais, anuais, em Santa Maria, RS.

I. LAKATOS 5 Criticism of the Proof-analysis by Counterexamples which are Global but not Local. The Problem of Rigour. (a) Monsterbarring in defence of the theorem GAMMA: I have just discovered that my Counterexample 5, the cylinder, refutes not only the naive conjecture but also the theorem. Although it satisfies both lemmas, it is not Eulerian. ALPHA: Dear Gamma, do not become a crank. The cylinder was a joke, not a counterexample. No serious mathematician will take the cylinder for a polyhedron. GAMMA: Why didn't you protest against my Counterexample 3, the urchin? Was that less 'crankish' than my cylinder? 1 Then of course you were criticising the naive conjecture and welcomed refutations. Now you are defending the theorem and abhor refutations! Then, when a counterexample emerged, your question was: what is wrong with the conjecture? Now your question is: what is wrong with the counterexample? DELTA: Alpha, you have turned into a monsterbarrer! Aren't you embarrassed? 2 (b) Hidden lemmas ALPHA: I am. I may have been a bit rash. Let me think. There are three possible types of counterexamples. We have already discussed * Part I and Part II appeared in the preceding numbers. The table of contents given with Part I has been slightly altered. 1 The urchin and the cylinder were discussed previously in Part I, pp. I8 and 24. 2 Monsterbarring in defence of the theorem is an important pattern in informal mathematics: 'What is wrong with the examples in which Euler's formula fails? Which geometrical conditions, rendering more precise the meaning of F, V, and E, would ensure the validity of Euler's formula?' (P61lya [1954], I, Exercise 29.) The cylinder is given in Exercise 24. The answer is: ' ... an edge. . should terminate in corners. . .' (p. 225). P61lya formulates this generally: 'The situation, not infrequent in mathematical research is this: A theorem has been already formulated but we have to give a more precise meaning to the terms in which it is formulated in order to render it strictly correct' (p. 55).

Palavras-chave: FILOSOFIA DA MATEMÁTICA. ESTÉTICA TRANSCENDENTAL. IMMANUEL KANT. Na fundamentação da Estética Transcendental, colocam-se questões sobre a natureza do espaço e tempo, e sobre a possibilidade do conhecimento matemático. O tempo e espaço para Kant são intuições a priori. Ele concebe a matemática como uma ciência baseada no tempo e espaço. Ao examinar alguns trechos específicos da Crítica da Razão Pura, buscamos entender a justificativa Kantiana sobre a ciência matemática, e a partir de uma pesquisa bibliográfica sobre o tema no filósofo em questão, utilizando fontes primárias e comentadores, elaborando este texto. As perguntas formuladas foram respondidas através de um estudo dos termos e uma reconstrução dos argumentos utilizados por Kant.

ARTÍCULOS

M. NARVÁEZ
Uno intuitu videmus: La naturaleza del conocimiento intuitivo en Spinoza a la luz de Descartes _ 159

P. RATEAU
La tesis leibniziana del mejor de los mundos posibles: Significado y consideraciones _ 183

E. N. GIOVANNINI
El reto de Hilbert en la teoría de las magnitudes poligonales: Un capítulo en la axiomatización sintética de la geometría euclidiana _ 207


DOSSIER ARISTÓTELES

D. TABAKIAN
El conocimiento y la verdad como relativos en el pensamiento aristotélico _ 237

D. S. NASCIMENTO
On the Normative Consequences of Virtue and Utility Friendships in Aristotle _ 263


ESTUDIOS CRÍTICOS

H. SPECTOR
Normatividad subjetiva y objetiva en Hobbes _ 285


CRÓNICAS

L. MADANES
Rafael Braun (1935-2017) _ 303


COMENTARIOS BIBLIOGRÁFICOS

E. LYTHGOE y L. A. ROSSI
Ser y Tiempo, Singularización y Comunidad (M. Gómez) _ 307

V. WAKSMAN
El laberinto de la libertad. Política, educación y filosofía en la obra de Rousseau (A. Ratto) _ 311

G. BOTTERI y R. CASAZZA
El sistema astronómico de Aristóteles: Una interpretación (A. Pasquale) _ 313

R. RAMOS DOS REIS
Aspectos da Modalidade. A Noção de Possibilidade na Fenomenologia Hermenêutica (M. P. Viglione) _ 316

F. NAISHTAT , E. G. GALLEGOS, Z. YÉBENES ESCARDÓ (eds .)
Ráfagas de dirección múltiple. Abordajes de Walter Benjamin (Goldín) _ 318

Pretende-se mostrar, neste trabalho, que a Exposição Metafísica não depende da Exposição Transcendental nem da geometria euclidiana. Sendo assim, as críticas feitas a Kant e sua relação com a geometria euclidiana, que tinham como principal argumento o surgimento das geometrias não-euclidianas, são descartadas.

Alguns problemas que dizem respeito à interpretação geométrica da matemática inquietaram Husserl ao ponto de se tornarem um dos maiores motivos para o filósofo lançar sua filosofia. Se aliada a um complemento técnico, como o formalismo de Hilbert, a fenomenologia é capaz de apresentar uma proposta de fundamentação da geometria. Mas, essa proposta não apresenta os mesmos problemas das demais? Certas observações de Wittgenstein indicam que sim e impõe sérios desafios para tal proposta fenomenológica.

Official abstracts of the communications of the International Colloquium "Concepts and Devices of Creation in Performing Arts" where it is included the abstract of this communication.
Resumos oficiais das comunicações do Colóquio Internacional "Conceitos e Dispositivos de Criação em Artes Performativas" onde se inclui o resumo desta comunicação.

Resumo: Neste artigo extremamente sintético delimito possíveis investigações a se fazerem a respeito da matemática e suas possíveis atribuições metafísicas através da explanação do que é o conjunto vazio, levando-nos a uma das possíveis hermenêuticas epistemológicas, a ontologia do ser humano que é o pensar e o

Este artigo problematiza a concepção de mathesis universalis na filosofia de Edmund Husserl a partir
de uma discussão sobre a noção de Mannigfaltigkeitslehre. Inicialmente, retoma-se a questão dos
números “imaginários” e depois é repassado o contexto matemático que influenciou o
desenvolvimento filosófico husserliano. Finalmente, a concepção de mathesis universalis é
enquadrada nas referências históricas de Descartes e Leibniz para, finalmente, mostrar as implicações
fenomenológicas próprias do pensamento de Husserl.

O objetivo do presente trabalho é elucidar a relação entre lógica e matemática no Tractatus Logico-Philosophicus. A partir disso, se esclarecerá como Wittgenstein trata o problema dos paradoxos lógicos e semânticos ao descartar tais construções como casos de uma pretensa metalógica. A rejeição dessa última deve-se, no que será defendido, à noção de que a multiplicidade matemática de um sistema de sinais não permite a representação, nele mesmo, de aspectos formais do próprio sistema. Nesse contexto, será questionada a hipótese de considerar a matemática como um tipo de metalógica a qual pretensamente ‘enunciaria’, por meio de equações, regras da sintaxe lógica na substituição de sinais uns pelos outros. Com esse objetivo, será mostrada a possibilidade de se antecipar certo construtivismo matemático já no Tractatus, onde o cálculo, em se tratando da aplicação de regras de substituição entre sinais quaisquer, possui autonomia em relação à eventual projeção simbólica desses sinais ao mundo – sendo propriamente tal autonomia o que nos permite distinguir matemática e lógica; e a qual servirá de argumento para a defesa de uma posição contrária ao logicismo usualmente atribuído ao Tractatus. Assim, não se poderia falar em metalógica quando da apresentação de uma equação matemática, como se estivéssemos a enunciar uma regra de substituição. Uma equação não enuncia uma regra, mas antes é ela mesma a aplicação de uma regra, de maneira ao cálculo – seja ele escrito, falado, pensado, etc. – nada mais fazer que apresentar, em seus próprios sinais, uma seqüência de instâncias da regra em questão: à medida que os escrevemos, falamos, pensamos, etc. Regras da sintaxe lógica não teriam, com isso, qualquer existência abstrata ou platônica para além dos sinais mesmos com que as exemplificamos in concreto.

Resumen En este ensayo, constituido por dos partes, se examinan las dos graves equivocaciones en que incurrieron, en las postrimerías del Siglo XIX, Georg Cantor y Richard Dedekind. El primero con respecto a su concepción de infinito actual en conjunción con su respectiva manipulación, como si de un ente matemático finito se tratara; y el segundo, con su tratamiento de la discontinuidad numérica, bajo la falsa premisa de que la misma se podía tratar y resolver de forma análoga a la discontinuidad física o material, esto es, agregando más elementos al conjunto discontinuo, con la finalidad de llenar los huecos existentes. En esta primera parte, se discute el error incurrido por Cantor. Palabras clave: Georg Cantor, Richard Dedekind, equivocaciones, continuidad, infinito actual. Abstract In this abstract, consisting of two parts, are examined the two serious mistakes made by Georg Cantor and Richard Dedekind at the end of the 19th century. The first regarding his conception of current infinity in conjunction with its respective manipulation, as if it were a finite mathematical entity; and the second, with his treatment of numerical discontinuity, under the false premise that it could be treated and resolved analogously to physical or material discontinuity, that is, by adding more elements to the discontinuous

What is mathematics about? Do numbers and other mathematical entities exist independently of human cognition? What is the nature of mathematical knowledge? Is mathematics somehow true of our world, or is it merely a useful fiction? How can mathematics be useful at all in dealing with the concrete physical world? Questions such as these define the scope of the philosophy of mathematics, but they also show that there is a lot of philosophy *in* mathematics. The aim of this issue is to take a closer look at this claim by considering some philosophical questions that underlie the practice of mathematics, as opposed to its abstract conceptions. Contributors: P. Cantù, V. Giardino, G. Lolli, E. Moriconi, M. Panza and D. Molinini, M. Plebani, G. Rosolini, A. Sereni. Appendix: a 1912 essay by F. Enriques on mathemathics and the theory of knowledge.

Alexandre Grothendieck (1922-2014) foi um dos maiores matemáticos do século 20 e um dos mais atípicos. Nascido na Alemanha a um pai anarquista de origem russa, sua infância foi marcada pela militância política dos seus pais, assim passando por revoluções, guerras e sobrevivência. Descoberto por sua precocidade matemática por Henri Cartan, Grothendieck fez seu doutorado sob orientação de Laurent Schwartz e Jean Dieudonné. As principais contribuições dele são na área da topologia e na geometria algébrica, assim como na teoria das categorias. No final dos anos de 1960, ele se dedicou à militância política e ecológica, organizando a revista Survivre durante três anos. Em 1986, publicou um manuscrito autobiográfico de 1000 páginas, Récoltes et semailles, em que ele descreve sua experiência e sua prática da matemática, assim suas contribuições à comunidade matemática francesa. Pouco comentado na filosofia, as implicações dos seus descobrimentos fora mais recentemente discutidas por Alain ...

Quando os matemáticos falam a respeito de números, funções, conjuntos, etc., eles estão falando de coisas que existem de fato? Na filosofia contemporânea o chamado "argumento da indispensabilidade" é uma das mais influentes tentativas de justificar um "sim" à questão da existência das entidades ou objetos matemáticos. Esse argumento, associado principalmente aos filósofos W. V. O. Quine e a Hilary Putnam, afirma basicamente que temos que aceitar a existência de objetos matemáticos porque eles são necessários para a prática da ciência. Levando em consideração a reconstrução que Mark Colyvan faz do argumento da indispensabilidade, este artigo apresentará algumas críticas comumente feitas contra o argumento na literatura sobre o assunto a fim de colocar em questão sua solidez.

Este texto introduz a tradução do discurso de intitulado "Sobre os números transfinitos" ("Über transfinite Zahlen"), proferido por Henri Poincaré em 27 de abril de 1909, na Universidade de Göttingen. Após uma breve apresentação do pensamento do autor acerca dos fundamentos da aritmética, procura-se citar os aspectos mais relevantes da chamada crise dos fundamentos da matemática, para então introduzir a reformulação do conceito de predicatividade aventada no referido discurso sobre números transfinitos, contribuição compreendida como um recurso teórico necessário para a superação dos paradoxos relativos à teoria dos conjuntos. Com isso, pretende-se evidenciar o papel central do texto publicado nesta edição para o desenvolvimento da concepção matemática de Henri Poincaré. * * * 1 Ao contrário de um posicionamento de cunho realista (identificado com o platonismo matemático e defendido, por exemplo, por Russell e Cantor por meio de propostas diferentes), Poincaré rejeita qualquer possibilidade de atribuir realidade aos entes matemáticos que vá além de uma concepção mental ou linguística/discursiva. É essa característica que temos em mente ao atribuir ao autor a alcunha de antirrealista. Contudo, é preciso deixar claro que essa nomenclatura não encontra guarida na obra do matemático francês. Em "A lógica do infinito" ("La logique

Da metade do século passado em diante, a filosofia da matemática passou por uma importante inflexão que conduziu gradativamente suas linhas de pensamento para o centro das práticas matemáticas. Genericamente, este movimento ficou conhecido na literatura especializada como o giro prático, do qual resultaram diversas expressões de filosofias da matemática prático-orientadas. Dentre estas, consta a de José Ferreirós, que conforme apresentada em The Mathematical Knowledge and the Interplay of Practices (2016), tem como eixo reflexivo e analítico o duplo esquema composto pelos agentes que performam ou fazem matemática e os frameworks em que tais práticas configuram-se. O objetivo central deste trabalho é apresentar em linhas gerais a filosofia da matemática prático-orientada e agente-centrada de Ferreirós. Mais especificamente, com esta apresentação também é visada uma aproximação algo surpreendente com conceitos centrais da analítica da existência de Ser e Tempo (1927), especialmente com o conceito de ser-no-mundo e com o conceito existencial de ciência. A hipótese interpretativa adotada neste trabalho é a de as perspectivas de Heidegger e Ferreirós não são inconsistentes, e que a articulação de uma filosofia da matemática prático-orientada e agente-centrada com o conceito existencial de ciência pode ser mutuamente elucidativa.

Nosso objetivo, no presente trabalho, está circunscrito à Seção IV da Parte II do Livro I do Tratado da natureza humana, em que Hume examina a teoria do contínuo e da infinita divisibilidade das partes do extenso. Mais particularmente, desejamos nos ater à afirmação de Hume, à primeira vista um tanto enigmática em relação à geometria, em que assim descreve o que considera que lhe incumbe: “Minha tarefa neste momento deve ser, por isso, defender as definições e refutar as demonstrações” (T I, II, IV, 8). Essa afirmação de Hume é forte, programática, feita em um parágrafo de pouco mais de cinco linhas. Nada o prepara, e Hume não explica em pormenor suas intenções na sequência imediata desse texto. Por isso, tomamos essa questão como foco da análise. Inicialmente examinaremos esse problema em Bayle, destacando passagens que possam lançar luz às críticas feitas por Hume e tornar compreensíveis as discussões que empreendeu. A seguir, a partir de duas respostas dadas por Hume a esse problema, colhido dentro do Tratado, procuraremos explicitar o que Hume entende por definições, o que designa por demonstrações, e por qual modo julga que isso lhe permitiria tratar os fundamentos da geometria de modo mais consequente do que aquele pelo qual estes tinham sido compreendidos no interior de uma longa tradição.

Neste artigo, será discutida a noção de “infinitude cardinal” – a qual seria predicada de um “conjunto” – e a noção de “infinitude ordinal” – a qual seria predicada de um “processo”. A partir dessa distinção conceitual, será abordado o principal problema desse artigo, i.e., o problema da possibilidade teórica de uma infinitude de estrelas tratado por Dummett em sua obra Elements of Intuitionism. O filósofo inglês sugere que, mesmo diante dessa possibilidade teórica, deveria ser possível predicar apenas infinitude ordinal. A questão principal surge do fato de que parece ser problemático predicar ordinalmente infinitude de “estrelas”. Mesmo diante dessa possibilidade, Dummett sugere que o intuicionista poderia apenas reinterpretar infinitude cardinal como sendo infinitude ordinal. Ora, iremos mostrar que, se Dummett não fornece razões extras que sustentem essa posição, então será difícil interpretar um caso empírico infinitário como sendo também um caso ordinal ou potencial de infinitude. Para resolver esse problema de Dummett, em Brouwer se encontram alguns pressupostos idealistas necessários para argumentar em favor da ideia de que, mesmo em um contexto empírico, como o de uma infinitude de estrelas, poderíamos predicar infinitude ordinal. Então, depois de discutir as duas noções de “infinitude” e apresentar o problema de Dummett, será apresentada a abordagem idealista de Brouwer – a qual pelo menos explicaria de modo mais plausível as razões que poderiam motivar um intuicionista a predicar infinitude ordinal até mesmo de um caso empírico e espacial.

RESUMO: O presente artigo visa investigar a estrutura e o papel da matemática e de seus objetos aos olhos de Aristóteles, valendo-se de seus escritos sobre a matemática – mais especificamente dos livros M e N da Metafísica –, bem como dos diálogos decorrentes das discussões filosóficas com o seu mestre, Platão. Uma etapa importante e preliminar em vista disso consiste em analisar conceitos indispensáveis à matemática, tais como o conceito de substância (οὐσία), de objetos sensíveis e não sensíveis, e os problemas que deles surgem ao tentarmos situar os objetos matemáticos em algum domínio.

Alexandre Grothendieck (1922-2014) foi um dos maiores matemáticos do século 20 e um dos mais atípicos. Nascido na Alemanha a um pai anarquista de origem russa, sua infância foi marcada pela militância política dos seus pais, assim passando por revoluções, guerras e sobrevivência. Descoberto por sua precocidade matemática por Henri Cartan, Grothendieck fez seu doutorado sob orientação de Laurent Schwartz e Jean Dieudonné. As principais contribuições dele são na área da topologia e na geometria algébrica, assim como na teoria das categorias. No final dos anos de 1960, ele se dedicou à militância política e ecológica, organizando a revista Survivre durante três anos. Em 1986, publicou um manuscrito autobiográfico de 1000 páginas, Récoltes et semailles, em que ele descreve sua experiência e sua prática da matemática, assim suas contribuições à comunidade matemática francesa. Pouco comentado na filosofia, as implicações dos seus descobrimentos fora mais recentemente discutidas por Alain ...