Proofs of the Quadratic Reciprocity Law

Author Year Method Reference
1. Legendre 1788 Quadratic forms; incomplete Recherches d'analyse indetermin�e See also Weintraub, On Legendre's Work on the Law of Quadratic Reciprocity
2. Gau� 1 1801 Induction; April 8, 1796 Disquisitiones Arithmeticae; German translation (GDV) Spanish translation
3. Gau� 2 1801 Quadratic forms; June 27, 1796 Disquisitiones Arithmeticae
4. Gau� 3 1808 Gau�'s Lemma; May 6, 1807 Theorematis arithmetici demonstratio nova, Werke II (1863), p. 1-8
5. Gau� 4 1811 Cyclotomy; May 1801 Summatio serierum quarundam singularium, Werke II (1863), p. 9-45
6. Gau� 5 1818 Gau�'s Lemma; 1807/08 Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae, Werke II (1863), 47-64
7. Gau� 6 1818 Gau� sums; 1807/08 Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae, Werke II (1863), 47-64
8. Lebesgue 1829 Gau� 3 Extrait d'un m�moire in�dit sur les congruences d'un degr� quelconque et a une seule inconnue, Bulletin du Nord 2 (1829), 19-33
9. Cauchy 1 1829 Gau� 6 Sur la th�orie des nombres, Œuvres (II) 2, 88-107
10. Jacobi 1830 Gau� 6 Legendre, Th�orie des nombres, 3rd ed. 1830, 391-393
11.Dirichlet 1 1835 Gau� 4 �ber eine neue Anwendung bestimmter Integrale auf die Summation endlicher oder unendlicher Reihen, Werke I, 237-256
12. Lebesgue 2 1838 N(x12 + ... + xq2 = 1 mod p) Recherches sur les nombres, J. math. pures appl. 3 (1838), 113-144
13. Lebesgue 3 1838 Gau� 3 loc. cit.
14. Sch�nemann 1839 quadratic period equation Theorie der symmetrischen Functionen der Wurzeln einer Gleichung. Allgemeine S�tze �ber Congruenzen nebst einigen Anwendungen derselben, J. Reine Angew. Math. 19 (1839), 289-308
15. Cauchy 2 1840 Gau� 4 M�thode simple et nouvelle pour la d�termination complete de sommes altern�es, form�es avec les racines primitives des equations bin�mes, Œuvres (I) 5 (1885), 152-166
16. Eisenstein 1 1844 generalized Jacobi sums Neuer und elementarer Beweis des Legendre'schen Reciprocit�ts-Gesetzes, J. Reine Angew. Math. 27 (1844), 322-329; Math. Werke I, 100-107
17. Eisenstein 2 1844 Gau� 6 La loi de r�ciprocit� tir�e des formules de Mr. Gauss, sans avoir d�termin�e pr�alablement la signe du radical, J. Reine Angew. Math. 28 (1844), 41-43; Math. Werke I, 114-116
18. Eisenstein 3 1844 Gau�'s Lemma Geometrischer Beweis des Fundamentaltheorems f�r die quadratischen Reste, J. Reine Angew. Math. 28 (1844), 246-248; Math. Werke I, 164-166
19. Eisenstein 4 1845 sine function Applications de l'alg�bre � l'arithm�tique transcendante, J. Reine Angew. Math. 29 (1845), 177-184; Math. Werke I, 291-298
20. Eisenstein 5 1845 tangent function Lemmermeyer 2020
21. Kummer 1 1846 period equation �ber die Divisoren gewisser Formen der Zahlen, welche aus der Theorie der Kreistheilung entstehen, J. Reine Angew. Math. 30 (1846), 107-116; Coll. Papers I, 103-116
22. Liouville 1847 Cyclotomy Sur la loi de r�ciprocit� dans la th�orie des r�sidus quadratiques, J. math. pure appl. (I) 12 (1847), 95-96
23. Eisenstein 6 1847 infinite products Beitr�ge zur Theorie der elliptischen Funktionen VI. Genaue Untersuchung der unendlichen Doppelprodukte, aus welchen die elliptischen Functionen als Quotienten zusammengesetzt sind, J. Reine Angew. Math. 35 (1847), 153--184; Math. Werke I, 457-478
24. Lebesgue 4 1847 Eisenstein 2 D�monstration nouvelle �l�mentaire de la loi de r�ciprocit� de Legendre, par. M. Eisenstein, pr�c�d�e et suivie de remarques sur d'autres d�monstrations, que peuvent �tre tir�es du m�me principe, J. math. pures appl. 12 (1847), 457-473
25. Lebesgue 5 1847 Liouville loc. cit.
26. Lebesgue 6 1847 Eisenstein 1 loc. cit.
27. Lebesgue 7 1847 Lebesgue 2 loc. cit.
28. Schaar 1 1847 Gau�'s Lemma Nouvelle d�monstration de la loi de r�ciprocit� pour les residus quadratiques, Bulletin de l'Academie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique 14 (1847), 79-83
29. Schaar 2 1850 Gau� 4 M�moire sur la th�orie des residus quadratiques, Mem. Acad. Roy. Sci. Lettres Beaux Arts Belgique 24 (1850), 14 pp
30. Schaar 3 1850 Gau� 4 Recherches sur la th�orie des residus quadratiques, Mem. Acad. Roy. Sci. Lettres Beaux Arts Belgique 25 (1850), 20 pp
31. Plana 1 1851 Gau� sums M�moire sur une nouvelle solution alg�brique de l'�quation a deux termes xn-1=0; n etant premier, Mem. dell Acad. Sci. Torino (2) 11 (1851), 413-468
32. Genocchi 1 1852 Gau� 4 Note sur la th�orie des residus quadratiques, M�m. cour. et m�m. des savants �trangers Acad. Roy Sci. Lettres Belgique 25 (1851/53), 54 pp
33. Genocchi 2 1852 Liouville loc. cit.
34. Genocchi 3 1852 Eisenstein sine loc. cit.
35. Genocchi 4 1852 Gauss 4 Sulla formula sommatoria di Eulero e sulla teorica dei residui quadratici, Annali di Scienze Matematiche e fisiche 3, 406-436
36. Dirichlet 2 1854 Gau� 1 �ber den ersten der von Gauss gegebenen Beweise des Reciprocit�tsgesetzes in der Theorie der quadratischen Reste, Werke II, 121-138
37. Genocchi 5 1854 Liouville Note sur les nombres complexes, J. Math. Pures Appl. 19 (1854), 281-288
38. Lebesgue 8 1860 Gau� 7, 8 Note sur les congruences, C. R. Acad. Sci. Paris 51 (1860), 9-13
39. Skrivan 1860 Gau� 3 Die ersten Grundlehren der Zahlen-Theorie, Zweiter Jahresbericht der �ffentlichen Ober-Realschule auf dem Bauernmarkte (in der innern Stadt) zu Wien 1860, 5-72
40. Sylvester 1862 Eisenstein lattice points Sur la fonction E(x), Mathematical Papers vol. II, art.~30, 179-180.
41. Kummer 2 1862 Quadratic forms, incomplete Zwei neue Beweise der allgemeinen Reziprozit�tsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, J. Reine Angew. Math. 100 (1887), 10-50; Coll. Papers I, 842-882
42. Kummer 3 1862 Quadratic forms, incomplete loc. cit.
43. Dedekind 1 1863 Quadratic forms Vorlesungen �ber Zahlentheorie, Suppl. X; Braunschweig 1863
44. Gau� 7 1863 quadratic periods; Sept. 1796 Analysis residuorum, Werke II (1863), p. 233
45. Gau� 8 1863 quadratic periods; Sept. 1796 Analysis residuorum, Werke II (1863), p. 234
46. Jenkins 1867 Gau� 4 Proof of an Arithmetical Theorem leading, by means of Gauss' fourth demonstration of Legendre's law of reciprocity, to the extension of that law, Proc. London Math. Soc. 2 (1867), 29-32
47. Mathieu 1867 Cyclotomy M�moire sur la th�orie des r�sidus biquadratiques, J. de Math. Pures Appl. (2) 12 (1867), 377-438
48. von Staudt 1867 Cyclotomy Ueber die Functionen Y und Z, welche der Gleichung 4(x^p-1)/(x-1) = Y2 ∓ pZ2 Gen�ge leisten, wo p eine Primzahl der Form 4k± 1 ist, J. Reine Angew. Math. 67 (1867), 205-217
49. Heime 1869 Gau�'s Lemma Untersuchungen, besonders in Bezug auf relative Primzahlen, primitive und sekund�re Wurzeln, quadratische Reste und Nichtreste; nebst Berechnung von primitiven Wurzeln von allen Primzahlen zwischen 1 und 1000, Schulprogramm, Berlin 1868
50. Bouniakowski 1869 Gau�'s Lemma Sur un th�or�me relatif � la th�orie des r�sidus et son application � la d�monstration de la loi de r�ciprocit� de deux nombres premiers, Bull. Acad. St. P�tersbourg 14 (1869), 432-447
51. Stern 1870 Gau�'s Lemma �ber einen einfachen Beweis des quadratischen Reciprocit�tsgesetzes und einige damit zusammenh�ngende S�tze, G�tt. Nachr (1870), 237-253
52. Zeller 1872 Gau�'s Lemma Beweis des Reciprocit�tsgesetzes f�r die quadratischen Reste, Berl. Monatsber. (1872), 846-847
53. Zolotarev 1872 Permutations Nouvelle d�monstration de la loi de r�ciprocit� de Legendre, Nouv. Ann. Math (2) 11 (1872), 354-362
54. Schering 1 1876 Gau� 3 Verallgemeinerung des Gauss'schen Criteriums f�r den quadratischen Restcharakter einer Zahl in Bezug auf eine andere, Berl. Ber. (1876), 330-331; Werke I, 285-286
55. Kronecker 1 1876 Gau�'s Lemma �ber das Reciprocit�tsgesetz, Werke II, 11-23 Sur la loi de r�ciprocit�, Werke II, 25-36
56. Mansion 1 1876 Gau�'s Lemma On the law of reciprocity of quadratic residues, Mess. Math. (2) 5 (1876), 140-143
57. Dedekind 2 1877 Gau� 6 Sur la th�orie des nombres entiers alg�briques, Bull. Sci. Math. Astr. 11 (1877)
58. Dedekind 3 1877 Dedekind Sums Schreiben an Herrn Borchardt �ber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Ges. Werke I, 174-201
59. Pellet 1 1878 Stickelberger-Voronoi Sur la d�composition d'une fonction enti�re en facteurs irr�ducibles suivant un module permier, Comptes Rendus Paris 86 (1878), 1071-1072
60. P�pin 1 1878 Cyclotomy M�moire sur les lois de r�ciprocit� relatives aux r�sidus des puissances, Atti della Accademia Pontificia dei Nuovi Lincei Roma 31 (1878), 40-149
61. Sochocki 1878 Theta functions Determination of the constant factors in the transformation formulas of theta functions. Gauss sums and the reciprocity law for Legendre symbols (Polish), Towarzystwo Nauk Scislych (Paryz) czasopisma 10 (1878), 1-37
62. Zeller 2 1879 Gau� 5 Neuer Bestimmung des quadratischen Restcharakters durch Kettenbruchdivision. Versuch einer Erg�nzung zum dritten und f�nften Beweise des Gauss'schen Fundamentaltheorems., G�tt. Nachr. (1879), 197-216
63. Schering 2 1879 Gau�'s Lemma Neuer Beweis des Reciprocit�ts-Satzes f�r die quadratischen Reste, G�tt. Nachr. (1879), 217-224; Werke I, 331-336;
64. Petersen 1879 Zeller A new proof of the theorem of reciprocity, Amer. J. Math. pure and appl. 2 (1879), 285-286
65.Genocchi 6 1880 Gau�'s Lemma Sur la loi de r�ciprocit� de Legendre �tendue aux nombres non premiers, C. R. Acad. Sci. Paris 90 (1880), 300-302
66. Genocchi 7 1880 Liouville Sur quelques th�or�mes qui peuvent conduire � la loi de r�ciprocit� de Legendre, Bull. bibliogr. storia sci. mat. fis. 18 (1885), 238-243
67. Kronecker 2 1880 Gau� 4 Ueber den vierten Gauss'schen Beweis des Reciprocit�tsgesetzes f�r die quadratischen Reste, Werke IV, 275-294
68. Kronecker 3 1880 quadratic period �ber die Potenzreste gewisser complexer Zahlen, Werke II, 95-101
69. Voigt 1881 Gau�'s Lemma Abk�rzung des dritten Gauss'schen Reciprocit�tsbeweises, Z. Math. Phys. 26 (1881), 134
70. Pellet 2 1882 Mathieu 1867 Sur les r�sidus cubiques et biquadratiques suivant un module premier, Bull. Soc. Math. France 10 (1882), 157-162
71. Busche 1 1883 Gau�'s Lemma �ber eine Beweismethode in der Zahlentheorie und einige Anwendungen derselben, insbesondere auf das Reziprozit�tsgesetz in der Theorie der quadratischen Reste, Diss. G�ttingen 1883
72. Gegenbauer 1 1884 Gau�'s Lemma �ber das quadratische Reciprocit�tsgesetz, Wiener Ber. 90 (1884), 1026-1035
73. Gegenbauer 2 1884 Kronecker 4 loc. cit.
74. Gegenbauer 3 1884 Schering 2 loc. cit.
75. Kronecker 5 1884 Gau�'s Lemma Beweis des Reciprocit�tsgesetzes f�r die quadratischen Reste, Werke II, 498-522
76. Bork 1885 lattice points Untersuchungen �ber das Verhalten zweier Primzahlen in Bezug auf ihren quadratischen Restcharakter, Diss. Halle, Beilage zum Jahresbericht des Askanischen Gymnasiums zu Berlin, Ostern 1885, 21 pp.
77. Genocchi 8 1885 Gau� 3 Remarques sur une demonstration de la loi de r�ciprocit�, C. R. Acad. Sci. Paris 101 (1885), 425-427
78. Schering 3 1885 Gau� 3 Zum dritten Gauss'schen Beweis des Reciprocit�tssatzes f�r die quadratischen Reste, Berl. Ber. (1885), 113-117; Werke II, 103-106
79. Schering 4 1885 Gau� 3 loc. cit.
80. Kronecker 6 1885 Gau� 3 Der dritte Gauss'sche Beweis des Reciprocit�tsgesetzes f�r die quadratischen Reste, in vereinfachter Darstellung, Werke II, 533-53
81. Kronecker 7 1885 Gau� 3 Zum dritten Gauss'schen Beweis des Reciprocit�tsgesetzes f�r die quadratischen Reste (Bemerkungen zu Herrn Ernst Schering's Mitteilung), Werke II, 537-540
82. Kronecker 8 1885 Gau� 3 loc. cit.
83. Kronecker 9 1885 Zeller loc. cit.
84. Bock 1886 Gau�'s Lemma �ber eine neue zahlentheoretische Funktion, Hamb. Mitt. 6 (1886), 187-194
85. Eichenberg 1 1886 Schering 1 �ber das quadratische Reciprocit�tsgesetz und einige quadratische Zerf�llungen der Primzahlen, Diss. G�ttingen 1886
86. Eichenberg 2 1886 Zeller loc. cit.
87. Eichenberg 3 1886 Zeller loc. cit.
88. Hermes 1887 Induction Beweis des quadratischen Reciprocit�tsgesetzes durch Umkehrung, Arch. Math. Phys. (2) 5 (1887), 190-198
89. Lerch 1 1887 Gau� 3 Modification de la troisi�me d�monstration donn�e par Gauss de la loi de reciprocit� de Legendre, J. Sciencias Matem. Astron. 8 (1887), 137-146
90. Busche 2 1888 Gauss's Lemma �ber gr��te Ganze, J. Reine Angew. Math. 103 (1888), 118-125
91. Hacks 1889 Schering Schering's Beweis des Reciprocit�ts-Satzes f�r die quadratischen Reste dargestellt mit H�lfe des Zeichens [x], Acta Math. 12 (1889), 109-111
92. Kronecker 10 1889 Gau�'s Lemma Beweis des Reciprocit�tsgesetzes f�r die quadratischen Reste, Werke III, 137-144
93. Tafelmacher 1 1889 Stern Zu dem dritten Gauss'schen Beweise des Reciprocit�ts-Satzes f�r die quadratischen Reste geh�rende Untersuchungen, Diss. G�ttingen 1889, Pr. Gymn. Osnabr�ck 1890, 1-24
94. Tafelmacher 2 1889 Stern/Schering loc. cit.
95. Tafelmacher 3 1889 Schering loc. cit.
96. Busche 3 1890 Gau�'s Lemma �ber die Function Σx=1(q-1)/2 [px/q], J. Reine Angew. Math. 106 (1890), 65-80
97. Franklin 1890 Gau�'s Lemma A proof of the theorem of reciprocity for quadratic residues, Mess. Math. (2) 19 (1890), 176-177
98. Kronecker 11 1890 Gau� 4 �ber die Dirichlet'sche Methode der Wertbestimmung der Gau�schen Reihen, Werke IV, 301-308
99. Lucas 1890 Gau�'s Lemma Nouvelle d�monstration de la loi de r�ciprocit�, Assoc. Franç. Limoges 19 (1890), 147
100. P�pin 2 1890 Gau� 2 Nouvelle d�monstration de la loi de r�ciprocit� de Legendre, Rom. Acc. Pont. d. Nuovi Lincei 43 (1890), 192-198
101. Fields 1891 Gau�'s Lemma A simple statement of proof of reciprocal theorem, American J. Math. 13 (1891), 189-190
102. Gegenbauer 4 1891 Gau�'s Lemma Note �ber das Legendre-Jacobi'sche Symbol, Wiener Ber. 100 100 (1891), 855-864
103. Gegenbauer 5 1893 Zeller Beweis des quadratischen Reciprocit�tsgesetzes, Monatsh. f. Math. 4 (1893), 190-192
104. Gegenbauer 6 1893 Petersen loc. cit.
105. Gegenbauer 7 1893 Gau�'s Lemma loc. cit.
106. Gegenbauer 8 1893 Zeller Arithmetische Untersuchungen
107. Gegenbauer 9 1893 Petersen loc. cit.
108. Gegenbauer 10 1893 Gau� 3 loc. cit.
109. Gegenbauer 11 1893 Genocchi 1852 loc. cit.
110. Gegenbauer 12 1893 Kronecker sign loc. cit.
111. Heinitz 1893 Gau�'s Lemma Eine neue Bestimmung des quadratischen Restcharakters, Wiss. Beil. z. Pr. Realsch. Seesen a. Harz 694, G�ttingen 1893, 45 pp
112. Schmidt 1 1893 Gau�'s Lemma Drei neue Beweise des Reciprocit�tssatzes in der Theorie der quadratischen Reste, J. Reine Angew. Math. 111 (1893), 107-120
113. Schmidt 2 1893 Gau�'s Lemma loc. cit.
114. Schmidt 3 1893 Induction loc. cit.
115. Gegenbauer 13 1894 Gau�'s Lemma Einige Bemerkungen zum quadratischen Reciprocit�tsgesetz, Wiener Ber. 103 (1894), 285-294
116. Hasen�hrl 1894 Gau�'s Lemma �ber das quadratische Reziprozit�tsgesetz, Seminararbeit 1894; cf. Anzeiger K. Akad. Wien 31 (1894), 74-76
117. Bang 1894 Induction Nyt Bevis for Reciprocitetsaetninger, Nyt. Tidss. for Math. V B (1894), 92-96
118. Mertens 1 1894 Gau�'s Lemma �ber den quadratischen Reciprocit�tssatz und die Summen von Gauss, Wiener Ber. 103 (1894), 1005-1022
119. Mertens 2 1894 Gau� sums loc. cit.
120. Busche 4 1896 Gau�'s Lemma Beweis des quadratischen Reciprocit�tsgesetzes, Hamburger Mitt. 3 (1896), 233-234
121. Busche 5 1896 Gau�'s Lemma �ber eine allgemeine Anzahlbeziehung und einige Anwendungen davon auf die Zahlentheorie, Hamburger Mitt. 3 (1896), 333-346
122. Lange 1 1896 Gau�'s Lemma Ein elementarer Beweis des Reciprocit�tsgesetzes, Ber. Verh. S�chs. Akad. Wiss. Leipzig 48 (1896), 629-633
123. de la Vall�e Poussin 1896 Gau� 2 Recherches arithm�tiques sur la composition des formes binaires quadratiques, M�m. Acad. Belgique 53 (1895/86). no. 3, 59 pp.
124. Kronecker 13 1895 Kronecker 5 Die absolut kleinsten Reste reeller Gr��en, Sitzungsberichte Berlin 18950
125. Kronecker 14 1895 Gauss 5 loc. cit
126. Kronecker 15 1895 Zeller loc. cit
127. Kronecker 16 1895 Petersen loc. cit
128. Kronecker 17 1895 Genocchi 1 loc. cit
129. Kronecker 18 1895 Gauss 3 loc. cit
130. Kronecker 19 1895 Eisenstein sine loc. cit
131. Lange 2 1897 Gau�'s Lemma Ein elementarer Beweis des Reciprocit�tsgesetzes, Ber. Verh. S�chs. Akad. Wiss. Leipzig Math.-Nat. Kl. 49 (1897), 607-610
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133. Hilbert 1897 Cyclotomy loc. cit.
134. Alexejevsky 1898 Schering �ber das Reciprocit�tsgesetz der Primzahlen (Russ.), Samml. Mitt. Math. Ges. Charkov (2) 6 (1898), 200-202
135. P�pin 3 1898 Legendre Dissertation sur deux d�monstrations du th�or�me de r�ciprocit� de Legendre, Rom. Acc. Pont. d. Nuovi Lincei 51 (1898), 123-144
136. P�pin 4 1898 Gau� 5 loc. cit.
137. K�nig 1899 Gau� 1; incorrect Das Reciprocit�tsgesetz in der Theorie der quadratischen Reste, Acta Math. 22 (1899), 181-192
138. Lerch 2 1899 Gau� 4 On Gauss sums (Czech), Casopis 28 (1899), 1-24
139. Scheibner 1 1899 Zeller Zur Theorie des Legendre-Jacobi'schen Symbols (n/m), Leipz. Abh. 24 (1899), 369-410
140. Scheibner 2 1899 Gau� 3 loc. cit.
141. Scheibner 3 1899 Gau� 3 loc. cit.
142. Scheibner 4 1899 Gau� 3 loc. cit.
143. Scheibner 5 1899 Eisenstein sine loc. cit.
144. Scheibner 6 1899 lattice points loc. cit.
145. Scheibner 7 1899 Gau� 4 loc. cit.
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150. Lerch 4 1903 Gau� 5 �ber den f�nften Gau�schen Beweis des Reziprozit�tsgesetzes f�r die quadratischen Reste, Sep.-Abdr. Sitzungsber. Kgl. B�hm. Ges. d. Wiss. 1903, Prag, 12 pp
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154. Busche 5 1909 Zeller Eine geometrische Veranschaulichung des quadratischen Restcharakters, Hamb. Mitt. 4 (1909), 403-409
155. Busche 6 1909 Gau� 3 Zur Theorie der Funktion [x], J. Reine Angew. Math. 136 (1909), 39-57
156. Busche 7 1909 Eisenstein loc. cit.
157. Aubry 1 1910 = Eisenstein 3 Exposition �l�mentaire de la loi de r�ciprocit� dans la th�orie des nombres, Ens. Math. 12 (1910), 457-475
158. Aubry 2 1910 = Voigt loc. cit.
159. Aubry 3 1910 = Kronecker loc. cit.
160. P�pin 5 1911 Gau� 2 Th�orie des Nombres; Suite et fin, Memorie della Accademia Pontificia dei Nuovi Lincei Roma 29 (1911), 319-339
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