Elsőrendű logika. Egyetemi jegyzet

2 Tartalom 1. ELSPREND^ NYELVEK ÉS SZEMANTIKÁJUK ............................................................ 4 I. A KLASSZIKUS ELSPREND^ NYELVEK GRAMMATIKÁJA........................................................ 4 II. AZ ELSPREND^ NYELVEK SZEMANTIKÁJA ........................................................................... 6 A. ............................................................................................................................................ 6 A./a. Interpretáció ............................................................................................................ 6 A./b. Értékelés................................................................................................................... 7 B. ............................................................................................................................................ 8 B./a. A terminusok és a formulák faktuális értékei....................................................... 8 B./b. L1 további elemeinek faktuális értékei ................................................................ 11 III. CENTRÁLIS SZEMANTIKAI FOGALMAK ............................................................................. 11 2. MIT ÉRTÜNK LOGIKAI KALKULUSON? ..................................................................... 13 I. A SZEMANTIKUS ÉS A SZINTAKTIKAI RENDSZEREK VISZONYA ........................................... 13 II. A SZINTAKTIKAI KÖVETKEZMÉNYRELÁCIÓ DEFINÍCIÓJA ................................................. 14 3. A QC FÖLÉPÍTÉSE.............................................................................................................. 16 I. A QC FÖLÉPÍTÉSE ................................................................................................................ 16 II. A KL ÉS A QC VISZONYA (A QC HELYESSÉGE) ................................................................ 18 III. A QC TÖREDÉKE: A PC .................................................................................................... 20 4. LEVEZETÉSEK QC-BEN.................................................................................................... 21 I. LEVEZETÉSEK A PC-BEN...................................................................................................... 21 II. LEVEZETÉSEK A QC-BEN ................................................................................................... 35 4. A QC TELJESSÉGE A KL-RE NÉZVE ............................................................................. 39 I. A FELADAT KIJELÖLÉSE ....................................................................................................... 39 II. A (B) LÉPÉS BIZONYÍTÁSA ................................................................................................... 40 Előzetes megállapítások ....................................................................................................... 40 1. Tétel.................................................................................................................................. 40 2. Tétel.................................................................................................................................. 44 3. Tétel.................................................................................................................................. 44 5. A PEANO ARITMETIKA .................................................................................................... 46 I. BEVEZETÉS ........................................................................................................................... 46 A. Alapfogalmak ................................................................................................................... 46 B. Az elméletek konzisztenciájának kérdése......................................................................... 47 II. A PEANO ARITMETIKA ........................................................................................................ 48 III. A PEANO ARITMETIKA NEM NEGÁCIÓTELJES (FELTÉVE, HOGY KONZISZTENS) ............. 49 A. Egy nevezetes formula ..................................................................................................... 49 A./a. Gödel számok......................................................................................................... 49 A./b. A szintaxis aritmetizálása..................................................................................... 51 A./c. Diagonalizálás ........................................................................................................ 52 A./d. Az eldönthetetlen formula (amelyet se bizonyítani, se cáfolni nem lehet) ....... 54 3 B. Levezethető-e P -ből (2) (feltéve, hogy P konzisztens)? ............................................... 56 IV. A PEAONO ARITMETIKA MENTHETETLENÜL INKOMPLETT .............................................. 57 V. KONZISZTENS-E A PEANO ARITMETIKA? .......................................................................... 58 A. Ontológiai megközelítés................................................................................................... 58 B. Logikai megközelítés........................................................................................................58 VI. GÖDEL NEMTELJESSÉGI TÉTELEI ..................................................................................... 59 6. HALMAZELMÉLET: OSZTÁLYOK ÉS HALMAZOK ................................................. 61 I. BEVEZETÉS ........................................................................................................................... 61 A. Osztály, halmaz, halmazelmélet....................................................................................... 61 B. A halmazelmélet egy lehetséges kiépítése a matematikában ........................................... 62 C. A halmazelmélet kiépítésének jelen tárgyalásban követendő alapelvei .......................... 62 II. ELSP POSZTULÁTUMAINK .................................................................................................. 64 III. OSZTÁLYABSZTRAKCIÓK ÉS OSZTÁLYVÁLTOZÓK ........................................................... 66 A. Új jeleink.......................................................................................................................... 66 B. Kiküszöbölési szabályok .................................................................................................. 67 C. További jelölések ............................................................................................................. 70 D. A halmazok mint osztályok .............................................................................................. 72 IV. VALÓDI OSZTÁLYOK.......................................................................................................... 75 A. Fogalom-meghatározás és példák ................................................................................... 75 B. A Ru valódi osztály .......................................................................................................... 76 C. A valódi osztályok ontológiai státusza............................................................................. 78 V. PÁROK ÉS EGYESÍTÉS .......................................................................................................... 79 A. Két újabb posztulátum ..................................................................................................... 79 B. További tételek................................................................................................................. 81 VI. ZERMELO POSZTULÁTUMA ............................................................................................... 84 A. A kiolvasás nehézségei..................................................................................................... 84 B. Levezetett tételek .............................................................................................................. 84 VII. HATVÁNYOSZTÁLY .......................................................................................................... 89 A Tankönyv három nehéz mondata ...................................................................................... 91 VIII. REGULARITÁS ................................................................................................................. 93 IX. POSZTULÁTUMOK, DEFINÍCIÓK ÉS A LEGFONTOSABB TÉTELEK ...................................... 96 7. AJÁNLOTT IRODALOM .................................................................................................... 97