BUKU DARAS FISIKA KOMPUTASI AKAR-AKAR KARAKTERISTIK POLYNOMIAL

Visualisasi Data Dua Dimensi (2D) BAB V AKAR-AKAR KARAKTERISTIK POLYNOMIAL A. Pendahuluan Dalam Al-Qur’an dijelaskan bahwa: TerjemahNya: “Yang kepunyaan-Nya-lah kerajaan langit dan bumi, dan Dia tidak mempunyai anak, dan tidak ada sekutu bagi-Nya dalam kekuasaan (Nya), dan Dia telah menciptakan segala sesuatu, dan Dia menetapkan ukuran-ukurannya dengan serapirapinya.” Ayat tersebut menjelaskan bahwa dalam alam (fisik) ciptaan Allah ini telah ditentukan “qadarnya”, takarannya atau ukurannya oleh Allah, sehingga dapat ditelaah secara matematis. Dengan demikian kata faqaddarahu taqdiyraa bersifat measurable (dapat diukur), calculable (dapat dihitung) sehingga dapat dieksperimentasi (eksperimentable). Allah yang maha esa, maka ciptan-Nya pun pada mulanya adalah satu. Kemudian dari yang satu itu terpecah satu sama lain menjadi banyak tetapi diikat oleh satu kesatuan sistem. Dalam AlQur’an dijelaskan bahwa pada mulanya alam semesta ini satu, Metode Komputasi Fisika113 Visualisasi Data Dua Dimensi (2D) kemudian dalam prosesnya ia terpecah menjadi banyak yang dikenal dengan teori big bang (salah satu teori terbentuknya alam semesta). Fenomena alam ciptaan Allah yang mengimplikasikan perlunya perhitungan matematis, misalnya dengan menggunakan kata hisab dan ‘adada misalnya dalam Al-Qur’an dijelaskan: TerjemahNya: “Dia-lah yang menjadikan matahari bersinar dan bulan bercahaya dan ditetapkan-Nya manzilah-manzilah (tempattempat) bagi perjalanan bulan itu, supaya kamu mengetahui bilangan tahun dan perhitungan (waktu). Allah tidak menciptakan yang demikian itu melainkan dengan hak. Dia menjelaskan tanda-tanda (kebesaran-Nya) kepada orang-orang yang mengetahui.” Materi kuliah ini merupakan sebuah akar persamaan yang saling menyatu dalam bentuk polinomial. Sistemnya menjadi satu kesatuan, hanya dalam teorinya akan diselesaikan bagaimana bentuk akar-akar persamaannya jika diberikan suatu kasus persamaan polynomial. 1. Gambaran Singkat Mengenai Materi Kuliah Materi kuliah ini membahas tentang akar-akar karakteristik polynomial. Beberapa fungsi yang dikenal dalam istilah polynomial sekaligus sebagai sintak yaitu: fungsi roots dan fungsi poly. Kedua fungsi tersebut sangat dasar untuk menentukan nilai akar-akar persamaan dalam bentuk polynomial. Selanjutnya akan dijelaskan secara singkat melalui statemen operasi dasar polynomial dengan beberapa fungsi yaitu fungsi conv, deconv dan polyadd. Dalam penerapannya bentuk akar-akar persamaan dapat pula diterapkan 114BUKU DARAS Visualisasi Data Dua Dimensi (2D) dalam turunan polynomial, pengurangan orde polynomial dan evaluasi poynomial. 2. Pedoman Mempelajari Materi Dalam mempelajari materi kuliah ini, maka terlebih dahulu harus memahami bentuk akar-akar persamaan kaudrat, selanjutnya mengupas materi dasar matematika tentang cara menentukan nilai akar-akar persamaan kuadrat dan sistem persamaan linier biasa. Disini akan dijelaskan cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat menggunakan rumus dasar. Dalam pengembangan materi akan lebih ditekankan pada bentuk akar-akar persamaan polynomial dengan orde pangkat tinggi. Beberapa fungsi polynomial yang akan dijadikan sebagai statemen untuk menentukan akar-akar persamaan polynomial dan operasi dasarnya serta penerapannya. 3. Tujuan Pembelajaran Pada pembahasan pendahuluan ini diharapkan dapat: a. Memahami sintak dasar penentuan akar-akar persamaan polynomial dan bentuk persamaannya. b. Memahami sintak dasar beberapa operasi perhitungan polynomial. c. Melakukan operasi program diferensial (turunan). d. Membuat program curva fitting polynomial. e. Memahami evaluasi polynomial program. B. Kegiatan Belajar 5.1 Akar-akar Polinomial Menentukan akar suatu polynomial merupakan suatu masalah tersendiri muncul dalam berbagai bidang ilmu. Matlab menyediakan suatu fungsi yang disebut fungsi roots untuk menentukan akar polynomial, sedangkan akar-akar polynomial yang diperoleh dapat dikonversi kedalam persamaan awal kembali dengan fungsi poly. Sebagai kasus pertama, bagaimana cara menentukan akar-akar persamaan polynomial x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0ini? Kalau kita tulis akar-akar polynomial itu adalah p, q, r, dan s, maka menurut teorema vieta berlaku: Metode Komputasi Fisika115 Visualisasi Data Dua Dimensi (2D) x4–(p+q+r+s)x3+(pq+pr+ps+qr+qs+rs)x2(pqr+pqs+prs+qrs)x+(pqrs)=0. ini artinya bahwa: p + q + r + s = 4, pq + pr + ps + qr + qs + rs = – 1, pqr + pqs + prs + qrs = – 16, dan pqrs = – 12. Nah, yang akan kita lihat adalah pada pqrs nya atau pada koefisien berderajat paling kecil, lebih mudahnya adalah biasanya yang paling belakang dari polynomial itu. Pada persamaan itu nilai yang akan menjadi patokan adalah –12. Karena 12 itu adalah hasil kali dari akar-akarnya, maka ada kemungkinan akar-akar polynomialnya adalah faktor dari 12. Sekarang kita sebutkan faktorfaktor dari 12, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, dan 12, itu juga berlaku untuk bilangan negatifnya. Sekarang kita punya bentuk menarik dari polynomial yang tadi menjadi seperti: x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = (x – 1)(x – 2)(x2– x – 6). Pastinya dengan sangat mudah kita dapat memfaktorkan bentuk h(x) terakhir itu menjadi seperti ini: x2– x – 6 = (x – 3)(x + 2) Sehingga secara lengkap persamaan polynomial tadi dapat kita ubah menjadi: x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0 (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x + 2) = 0 Jadi akar-akar persamaan polynomial itu adalah x1 = – 2, x2 = 1, x3 = 2, dan x4 = 3. Contoh 5.1: Perhatikan kasus bentuk persamaan polynomial berikut: p = s6 9s5  31.25s 4  61.25s 3  67.75s 2  14.75s  15 Perlu dipahami bahwa derajat polynomial adalah 7 dengan orde tertinggi sama dengan 6. Untuk menyelesaikan masalah persamaan di atas maka penyelesaiannya sangat sederhana. Akar-akar polynomialnya dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi roots sebagai berikut: 116BUKU DARAS Visualisasi Data Dua Dimensi (2D) Latihan 5.1: Pemrograman di command window » p=[1 9 31.25 61.25 67.75 14.75 15] p = 1.0000 9.0000 31.2500 61.2500 67.7500 14.7500 15.0000 » r=roots(p) r = -4.0000 -3.0000 -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i 0.0000 + 0.5000i -0.5000i Akar-akar polynomial tersebut dapat dikonversi ke koefisien polynomial dengan fungsi poly(r): Latihan 5.2: Pemrograman di command window »poly(r) ans = 1.0000 9.0000 31.2500 61.2500 67.7500 14.7500 15.0000 Contoh 5.2: Penentuan akar polynomial dalam bentuk bilangan kompleks: Latihan 5.3: Pemrograman di command window » r=[-1 -2 -3+4i -3-4i] r = -1.0000 -2.0000 -3.0000 + 4.0000i -3.0000 - 4.0000i » poly(r) ans = 1 9 45 87 50 berarti persamaan polynomialnya adalah: s4  9s3  45s2  87s  50  0 Metode Komputasi Fisika117 Visualisasi Data Dua Dimensi (2D) Matlab juga juga dapat mencari akar karakteristik persamaan polynomial dalam bentuk matriks :  0 A=   6    6  1  11 6    11 5  1 Karakteristik persamaan dari matriks tersebut dapat diperoleh fungsi poly dan akar-akar persamaan diperoleh dengan fungsi roots. Contoh 5.3: Latihan 5.4: Pemrograman di command window » A=[0 1 -1;-6 -11 6;-6 -11 5]; » p=poly(A) p = 1.0000 6.0000 11.0000 6.0000 » r=roots(p) r = -3.0000 -2.0000 -1.0000 » eig(A) ans = -1.0000 -2.0000 -3.0000 akar-akar dari karakteristik persamaan tersebut sama dengan eigen value dari matriks A atau r=eig(A). 5.2 Perkalian, Pembagian dan Penjumlahan Polynomial Beberapa operasi perhitungan polynomial yang berlaku adalah: a. Operasi perkalian polynomial dilakukan dengan fungsi conv (melakukan convulotion dari array), b. Operasi pembagian dilakukan dengan fungsi deconv c. Operasi penjumlahan dilakukan dengan seperti penjumlahan array biasa tetapi derajat polynomial harus sama, jika polynomial mempunyai derajat yang berbeda maka derajat yang lebih 118BUKU DARAS Visualisasi Data Dua Dimensi (2D) rendah ditambahkan dengan koefisien-koefisien nol atau menggunakan fungsi yang disediakan oleh matlab yaitu polyadd. Contoh 5.4: 1. A  s2  7s  12 dan B  s2  9 , carilah C=A.B , D=C+B dan E=C-B 2. Z  s4  9s3  37s 2  81s  52 dan Y  s2  4s  13 carilah X  Contoh ini dapat diselesaikan dengan matlab: Z Y Latihan 5.5: Pemrograman di command window >>A=[1 7 12];B=[1 0 9]; >>Z=[1 9 37 81 52]; Y=[1 4 13]; >>C=conv(A,B) C = 1 7 21 63 108 >>D=A+B D = 2 7 21 >>E=A-B E = 0 7 3 >>X=deconv(Z,Y) X = 1 5 4 5.3 Diferensial (Turunan) Turunan polynomial dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi polyder.Salah satu bentuk persamaan polynomialnya adalah: A  s4  9s3  37s 2  81s  52 turunan dari polynomial A adalah: Latihan 5.6: Pemrograman di command window » A=[1 9 37 81 52]; » polyder(A) ans = 4 27 74 81 Metode Komputasi Fisika119 Visualisasi Data Dua Dimensi (2D) atau dalam bentuk persamaan dituliskan sebagai berikut: A '  4s3  27s2  74s  81 5.4 Polynomial Curve Fitting Persamaan dibawah ini mempunyai koefisien n=d+1, dengan derajat d. Maka fungsi pengurangan orde polynomial adalah polyfit (x,y,d). p(x)  c1x d  c 2 x d  1  ....  c n Contoh 5.5: X= 0 Y= 1 1 2 7 23 4 6 10 109 307 1231 Carilah sebuah polynomial derajat ketiga dari data di atas? Bentuk pemrogramannya adalah: Latihan 5.7: Pemrograman di command window » x=[0 1 2 4 6 10]; » y=[1 7 23 109 307 1231]; » c=polyfit(x,y,3) c = 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 5.5 Evaluasi Polynomial Evaluasi polyval(c,x). polynomial dapat dilakukan dengan fungsi Contoh 5.6: Kita ingin mengevaluasi polynomial c pada titik x= 0,1,2,3 dan 4 . Bentuk pemrogramannya adalah: Latihan 5.8: Pemrograman di command window » plot(t,x) » c=[1 2 3 1]; » x=0:1:4; » y=polyval(c,x) y = 120BUKU DARAS Visualisasi Data Dua Dimensi (2D) 1 7 23 55 109 » plot(x,y),title('x^3+2x^2+3x+1') Grafiknya adalah: C. Rangkuman Kesimpulan materi pembahasan ini adalah 1. Untuk menyelesaikan suatu akar persamaan polynomial dalam pemrogramannya menggunakan fungsi roots. 2. Fungsi poly adalah suatu sintak untuk mengembalikan nilai akar-akar polynomial ke dalam bentuk persamaan ploynomial semula. 3. Selain menggunakan fungsi roots, akar-akar dari karakteristik persamaan polynomial dalam bentuk matriks sama dengan eigen value dari matriks A atau r=eig(A). 4. Beberapa fungsi operasi dasar polynomial yaitu a. Operasi perkalian dengan fungsi conv b. Operasi pembagian dengan fungsi deconv c. Operasi penjumlaha dengan fungsi polyadd 5. Turunan polynomial dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi polyder 6. Fungsi pengurangan orde polynomial adalah polyfit (x,y,d). 7. Evaluasi polynomial dapat dilakukan dengan fungsi polyval (c,x). D. Tugas (Latihan Pemrograman) Kerjakanlah soal pemrograman berikut: Metode Komputasi Fisika121 Visualisasi Data Dua Dimensi (2D) 1. Carilah akar persamaan kuadrat berikut ini (gunakan pemrograman matlab), kemudian bandingkan dengan hasil perhitungan biasa. a. x2 – 5x + 6 = 0 b. x2 + 7x + 9 = 0 c. 3x2 – 6x + 5 = 0 2. Carilah akar-akar dari polynomial berikut: a. x3 + 4x2 – 6x + 2 = 0 b. x5 + 2x3 + x2 – 10x - 72 = 0 3. Sebuah partikel bergerak secara harmonik. Persamaan simpangannya dinyatakan dengan Y= 4 sin 0.1t; dengan Y dalam cm dan t dalam sekon, tentukan dengan metode polyder (turunan) untuk menghitung point b dan c: a. Amplitudo, periode dan frekuensi gerak. b. Persamaan kecepatan dari percepatannya. c. Simpangan kecepatan dan percepatan pada saat t = 5 sekon. 4. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan oleh fungsi y(t) = 0,1 t3, dengan y dalam meter dan t dalam detik. Hitunglah: a. Kecepatan rata-rata dalam selang waktu = 3 s sampai t = 4 s. b. Kecepatan pada saat t = 3 s. c. Percepatan rata-rata dalam selang waktu t = 3 s sampai t = 4 s. d. Percepatan pada saat t = 5 s. 5. Diketahui B = 2s4 + 7s3 + 4s2 + 12 dan C = s + 9. Carilah nilai D=B.C , E=D+C dan G=D-C 6. Diketahui M=12k5+10k2+30k+2 dan N=10k2+3k+1. Carilah nilai L M ! N 7. Diketahui sebuah fungsi x2  1 x . x3 Carilah turunan diferensialnya dan gambarlah kurvanya pada selang interval 1 sampai 100! 8. Carilah akar-akar persamaan x4 – 8x2 + 15 = 0. Diketahui sebuah fungsi + x = 2. Carilah akar-akar persamaannya! 9. Diketahui fungsi Z =p p  10p  p  10s  9s  100 . Gunakan fungsi roots untuk mencari akar polynomial persamaan di atas kemudian gunakan kembali fungsi poly untuk kembali ke bentuk persamaan Z. 100 10 11  10. Diketahui matrik C=  26 1 60    0 50   16 6 122BUKU DARAS 5 4 3 2 Visualisasi Data Dua Dimensi (2D) Carilah poly(A), roots(A) dan eigen(A) 11. Tentukan akar-akar persamaan polynomial dengan fungsi roots kemudian gunakan fungsi poly untuk kembali ke bentuk persamaan awal polynomial berikut ini: a. x⁴ – 2x³ + 3x² + 4x – 10 = 0 b. x⁴ – 2x³ + 6x – 9 = 0 c. x⁴ – 3x³ – x² + 15x – 20 = 0 d. x⁴ – x³ – 3x² + 6x – 18 = 0 e. x⁴ – 4x³ – x² + 28x – 42 = 0 Selamat Bekerja Metode Komputasi Fisika123 Visualisasi Data Dua Dimensi (2D) 124BUKU DARAS