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RISORSE DIDATTICHE. 【 ResearchGate Project】By … 0000-0001-5086-7401 & lnkd.in/erZ48tm . . . . . . . . . . . . . ESEMPI SVOLTI DI EQUAZIONI DI VARIO GENERE Non ci soffermeremo a studiare singolarmente tutti i tipi di “intralci” che incontreremo nella risoluzione di una equazione. Per quel che riguarda i raccoglimenti o i prodotti notevoli si rimanda alle dispense specifiche. Nelle pagine seguenti riportiamo una serie di esercizi svolti in cui in ognuno di essi c’è sempre qualcuna delle tipologie di “intralcio” esaminate nella dispensa sulle equazioni. Naturalmente “dichiareremo” sempre quale tecnica stiamo adottando. 1 ESEMPIO 1 Qui non c’era nessun “intralcio” iniziale. Siamo andati dritti alla meta. 2 ESEMPIO 2 Anche questa era molto facile. Ed in più alla fine c’era pure la verifica. 3 ESEMPIO 3 Qui la “difficoltà” stava solo nel fatto di dover manipolare dei coefficienti frazionari e non interi. Con il m.c.m. questo inconveniente viene eliminato. 4 ESEMPIO 4 Qui avevamo un “misto” tra coefficienti frazionari ed interi. Anche qui con un semplice m.c.m. ce ne usciamo. 5 Andiamo un po’ più al sodo: ESEMPIO 5 Qui l’unico “intralcio era quello di svolgere le moltiplicazioni iniziali per eliminare le parentesi. Troppo facile vero? 6 ESEMPIO 6 Anche qui nulla di difficile. Due moltiplicazioni e niente più. 7 ESEMPIO 7 Qui le moltiplicazioni inizialmente da svolgere erano 3. Niente di che. 8 ESEMPIO 8 Qual era la difficoltà aggiuntiva in questo esempio? Le parentesi quadre. Ma alle scuole medie avete imparato a svolgere prima il contenuto delle parentesi tonde e poi quello delle quadre. Un passaggio in più, insomma, ma nulla di più. 9 ESEMPIO 9 Un altro esempio con le parentesi quadre. 10 ESEMPIO 10 Qui c’erano pure le parentesi graffe. Un altro passaggio in più, ma niente di che. 11 ESEMPIO 11 Un altro esempio con le parentesi graffe. 12 ESEMPIO 12 Caso un po’ più articolato di equazione a coefficienti fratti. In questo caso dopo aver svolto il m.c.m. abbiamo “ritrovato” una semplice equazione di primo grado con le parentesi tonde, che abbiamo imparato a trattare. 13 ESEMPIO 13 14 Cosa abbiamo incontrato in questo esercizio? Intanto abbiamo: a) Svolto il quadrato di binomio e sviluppato in b) Svolta la somma per differenza e sviluppata in c) Eseguiti gli altri prodotti presenti per togliere le restanti parentesi d) Constatato che comparivano dei termini in x2 e) Pensato che era il caso di preoccuparsi in quanto non siamo ancora in grado di risolvere un’equazione di 2° grado (in cui compare la x2 f) Tirato un sospiro di sollievo quando ci siamo accorti che i termini +4x2 e - 4x2 si annullavano a vicenda, così come i termini -9x2 e +9x2. Alla fine abbiamo dovuto risolvere una semplice equazione di 1° grado “camuffata” inizialmente da equazione di 2° grado. 15 ESEMPIO 14 16 Altro esempio di equazione di 1° grado “camuffata” inizialmente da equazione di 2° grado, con qualche prodotto notevole da svolgere. 17 ESEMPIO 15 18 19 Niente di nuovo, ma abbastanza articolato. 20 ESEMPIO 16 21 Caso di equazione con frazioni di frazioni come coefficienti 22 ESEMPIO 17 (raccoglimento totale) 4x4 - 9x2 = 0 In questo caso abbiamo delle x4 e x2 che, naturalmente non si possono eliminare a vicenda come nei casi precedenti (4x4 e - 9x2 dovrebbero essere monomi opposti. Ma non lo sono). E allora? Come procediamo? Osserviamo l’equazione partendo da un atto di fede nei confronti del vostro prof. Che vi vuole bene e che quindi non si sognerebbe mai di darvi un’equazione di 4° grado quando finora avete trattato solo quelle di 1° grado. Dunque osserviamo l’equazione99 Essa è costituita da due monomi, appunto 4x4 e -9x2, in cui in entrambi compare la x. Diciamo che sono “imparentati”. Non sono “fratelli” (cioè simili da poterli sommare algebricamente e neanche opposti da poterli eliminare). Diciamo che sono “cugini” “grazie” alla alla x. Nel primo monomio questa compare elevata a 4. Nel secondo elevata a 2. Diciamo che x2 è divisore per x4 e che quindi esso si può “raccogliere” come fattore comune tra i due monomi. Riscriviamo l’equazione in maniera “smembrata”: 4x4 - 9x2 = 2 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x – 9 ⋅ x ⋅ x E vi chiedo: tra i due riquadri, rosso e verde, quali “fattori” comuni intravedete? Evidenziamoli: 4x4 - 9x2 = 2 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x – 9 ⋅ x ⋅ x e quali non comuni? Evidenziamo anche questi: 4x4 - 9x2 = 2 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x – 9 ⋅ x ⋅ x 23 In questo caso allora, “raccogliendo a fattor comune” si avrà: 4x4 - 9x2 = x ⋅ x ( 2 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ x – 9) = x2 (4x2 – 9) Dunque abbiamo “spezzato” l’equazione iniziale nel prodotto fra il monomio x2 ed il binomio (4x2 – 9). Ma chi è il binomio (4x2 – 9)? Sembra proprio (anzi lo è) una differenza fra due quadrati. Si, proprio quella che avevamo incontrato nello studio dei prodotti notevoli. Non ricordate? (a + b)(a - b) = a2 - b2 E, nel nostro caso: (2x + 3) (2x - 3) = 4x2 - 9 Per risolvere l’equazione, in questo caso ci viene richiesta una piccola abilità aggiuntiva: non più svolgere il prodotto somma per differenza ricavando la differenza fra i due quadrati, ma “tornare indietro”, ricavando il prodotto somma per differenza a partire dalla differenza fra i due quadrati. Vi siete incartati? La pratica degli esercizi vi risolverà il problema. Alla fine potremo scrivere: 4x4 - 9x2 = x2 (4x2 – 9) = x2 (2x + 3) (2x - 3) E notiamo come i tre fattori ricavati x2 (2x + 3) (2x - 3) non sono ulteriormente riducibili (al massimo potremmo scrivere che x 2 = x ⋅ x, ma non sarebbe una cosa molto intelligente). Allora l’equazione iniziale può essere così scritta: x2 (2x + 3) (2x - 3) = 0 24 Abbiamo dunque spezzato l’equazione di 4° grado iniziale nel prodotto fra più fattori di grado minore. È come se avessimo scomposto un numero non primo in un prodotto fra fattori primi (es. 60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5). Quindi? Ricordate quando abbiamo parlato di “Legge di annullamento del prodotto”? “se il prodotto fra due, tre, quattro, .,cento fattori dà come risultato zero, allora una cosa è certa: almeno uno di questi numeri deve essere zero". Cioè nel nostro caso, affinché l’equazione x2 (2x + 3) (2x - 3) = 0 sia soddisfatta (cioè il suo risultato dia veramente zero), dovrà accadere che: x2 = 0 oppure (2x + 3) = 0 oppure (2x - 3) = 0 a questo punto basterà risolvere separatamente le tre equazioni sopra scritte: x2 = 0 ⇒ x = 0 2x + 3 = 0 ⇒ 2x = - 3 ⇒ x = − 2x - 3 = 0 ⇒ 2x = + 3 ⇒ x = + Dunque le soluzioni possibili per l'equazione iniziale sono queste tre. Cosa abbiamo fatto in questo esercizio? Abbiamo constatato di avere a che fare con una equazione di 4° grado ma non ci siamo scoraggiati. Doveva esserci per forza il "trucchetto"; 25 Raccogliendo a fattor comune (totale) la x2 e riconoscendo un prodotto notevole (somma per differenza), abbiamo scomposto l'equazione di 4° grado iniziale in un prodotto di più fattori irriducibili di grado inferiore; Applicando la legge di annullamento del prodotto, abbiamo risolto tre equazioni semplici. 26 ESEMPIO 18 (raccoglimento totale) 4x3 - 4x2 - x + 1 = 0 Qui non riusciamo ad individuare una "parentela" comune per tutti i quattro termini dell'equazione data. Però, osservate bene. Se li consideriamo a due a due, qualcosa esce fuori. Ad es., cosa notate di "comune" fra i primi due? 4x3 - 4x2 - x + 1 = 0 come visto nell'esercizio precedente, si potrebbe "raccogliere", fra i due monomi nel riquadro rosso, il monomio comune col minore esponente, 4x2 (che poi altro non è che il MCD fra i due monomi). Cosa rimarrebbe? Eseguiamo in maniera più spedita rispetto a quanto visto prima: 4x3 - 4x2 = 4x2 (x -1) e riscriviamo l'equazione in questa maniera 4x2 (x -1) - x + 1 = 0 Ancora non vi dice niente? Riscriviamo l'equazione in maniera più "tattica": 4x2 (x -1) - (x -1) = 0 Abbiamo in pratica, con il 3° e 4° termine, "raccolto" il "-" e creato la parentesi. D'altra parte della regolarità del passaggio ve ne accorgete subito se osservate che: 27 - (x -1) = - x + 1 è un passaggio che conosciamo bene (quando abbiamo un "-" davanti ad una parentesi con all'interno una somma algebrica, basterà eliminare le parentesi cambiando di segno tutto il loro contenuto). Dunque dobbiamo avere a che fare con l'equazione (quella iniziale scordiamocela pure): 4x2 (x -1) - (x -1) = 0 Notate ulteriori "parentele"? Beh, direi che il termine (x-1) compare troppe volte per non "indurci al sospetto". Effettivamente un fattore comune si può individuare, ed è proprio (x-1): 4x2 (x -1) - (x -1) = 0 e raccogliendo nuovamente si avrà: (x -1) (4x2 - 1) = 0 In cui notiamo come il secondo fattore può ulteriormente essere scomposto in quanto si tratta nuovamente di una differenza di quadrati tramutabile in una somma per una differenza: (x -1) (2x + 1) (2x - 1) = 0 Abbiamo di nuovo trasformato l'equazione iniziale (antipatica alla vista) in una molto più "simpatica" che possiamo risolvere ancora con la legge di annullamento del prodotto: “se il prodotto fra due, tre, quattro, .,cento fattori dà come risultato zero, allora una cosa è certa: almeno uno di questi numeri deve essere zero". 28 Si dovrà avere allora: (x -1) = 0 ⇒ x = +1 oppure (2x + 1) = 0 ⇒ 2x = -1 ⇒ x = − oppure (2x - 1) = 0 ⇒ 2x = +1 ⇒ x = + Dunque le soluzioni possibili per l'equazione iniziale sono queste tre: x = +1, x = − , x = + Provate a sostituire ad uno ad uno questi tre valori alla x nell’equazione iniziale 4x3 - 4x2 - x + 1 = 0 e vedrete che “tutto torna” Cosa abbiamo fatto in questo esercizio? Abbiamo constatato di avere a che fare con una equazione di 3° grado ma non ci siamo scoraggiati. Doveva esserci per forza il "trucchetto"; 2 Raccogliendo 4x a fattor comune (parziale) fra i primi due termini, raccogliendo nuovamente a fattor comune (stavolta totale) il binomio (x1) e riconoscendo un prodotto notevole (somma per differenza), abbiamo scomposto l'equazione di 3° grado iniziale in un prodotto di più fattori irriducibili di grado inferiore; Applicando la legge di annullamento del prodotto, abbiamo risolto tre equazioni semplici. N.B.: abbiamo parlato sia di raccoglimento totale che parziale. Ma che differenza c’è? Volete approfondire questi concetti. Vi invito a consultare la dispensa sui raccoglimenti. 29 Risolvi le seguenti equazioni di primo grado in una incognita ed esegui la verifica di Andrea Simoncelli E. 1 x + 9 = 15 x = 15 − 9 x=6 Verifica Primo membro 6+9 = = 15 Secondo membro: 15 E. 2 2 x + 8 = 12 2 x = 12 − 8 2x = 4 4 x= =2 2 Verifica Primo membro 2⋅2 +8 = = 4+8 = = 12 Secondo membro: 12 E. 3 7x − 9 = 2x + 1 7x − 2x = 1 + 9 5 x = 10 10 =2 5 Verifica Primo membro: 7⋅2−9 = = 14 − 9 = =5 x= Secondo membro: 2 ⋅ 2 +1 = = 4 +1 = =5 E. 4 − 2x + 3 = x − 6 − 2 x − x = −6 − 3 − 3 x = −9 3x = 9 9 =3 3 Verifica Primo membro: − 2⋅3+ 3 = = −6 + 3 = = −3 x= Secondo membro: 3−6 = = −3 E. 5 3( x + 2 ) − 2( x − 3) = 4 − x 3x + 6 − 2 x + 6 = 4 − x x + 12 = 4 − x x + x = 4 − 12 2 x = −8 8 = −4 2 Verifica Primo membro: 3 ⋅ (− 4 + 2) − 2 ⋅ (− 4 − 3) = x=− = 3 ⋅ (− 2 ) − 2 ⋅ (− 7 ) = = −6 + 14 = =8 E. 6 3( x + 1) − 5 x = x − 15 3 x + 3 − 5 x = x − 15 − 2 x + 3 = x − 15 − 2 x − x = −15 − 3 − 3 x = −18 3 x = 18 18 x= =6 3 Verifica Primo membro: 3 ⋅ (6 + 1) − 5 ⋅ 6 = = 3 ⋅ 7 − 30 = = 21 − 30 = = −9 Secondo membro: 4 − (− 4 ) = = 4+4 = =8 Secondo membro: 6 − 15 = = −9 E. 7 6( x + 2 ) − 9( x − 1) = −2( 3 x + 3) + 3 6 x + 12 − 9 x + 9 = −6 x − 6 + 3 − 3 x + 21 = −6 x − 3 − 3 x + 6 x = −3 − 21 3 x = −24 24 = −8 x=− 3 Verifica Primo membro: Secondo membro: − 2 ⋅ [3 ⋅ (− 8) + 3] + 3 = 6 ⋅ ( −8 + 2 ) − 9 ⋅ ( −8 − 1) = = −2 ⋅ [− 24 + 3] + 3 = = 6 ⋅ ( −6 ) − 9 ⋅ ( −9 ) = = −2 ⋅ [− 21] + 3 = = −36 + 81 = = 42 + 3 = = 45 = 45 E. 8 5( x + 1) = 2( x + 7 ) 5 x + 5 = 2 x + 14 5 x − 2 x = 14 − 5 3x = 9 9 x= =3 3 Verifica Primo membro: 5 ⋅ (3 + 1) = = 5⋅4 = = 20 Secondo membro: 2 ⋅ (3 + 7 ) = = 2 ⋅ 10 = = 20 E. 9 10( x + 1) = 4( x + 7 ) + 6 10 x + 10 = 4 x + 28 + 6 10 x + 10 = 4 x + 34 10 x − 4 x = 34 − 10 6 x = 24 24 =4 x= 6 Verifica Primo membro: 10 ⋅ ( 4 + 1) = = 10 ⋅ 5 = = 50 Secondo membro: 4 ⋅ (4 + 7 ) + 6 = = 4 ⋅ 11 + 6 = = 44 + 6 = = 50 E. 10 4( x + 2 ) = 2 x + 20 4 x + 8 = 2 x + 20 4 x − 2 x = 20 − 8 2 x = 12 12 =6 x= 2 Verifica Primo membro: 4 ⋅ (6 + 2) = = 4 ⋅8 = = 32 Secondo membro: 2 ⋅ 6 + 20 = = 12 + 20 = = 32 E. 11 3(4 x − 5) − 5(2 x − 1) = 5 x − 16 12 x − 15 − 10 x + 5 = 5 x − 16 2 x − 10 = 5 x − 16 2 x − 5 x = −16 + 10 − 3 x = −6 3x = 6 6 x= =2 3 Verifica Primo membro: 3 ⋅ (4 ⋅ 2 − 5) − 5 ⋅ (2 ⋅ 2 − 1) = = 3 ⋅ (8 − 5) − 5 ⋅ (4 − 1) = = 3⋅3 − 5⋅3 = = 9 − 15 = = −6 Secondo membro: 5 ⋅ 2 − 16 = = 10 − 16 = = −6 E. 12 11x − 8 = 7( x − 1) + x 11x − 8 = 7 x − 7 + x 11x − 8 = 8 x − 7 11x − 8 x = −7 + 8 3x = 1 1 x= 3 Verifica Primo membro: 1 11 ⋅ − 8 3 11 −8 3 11 − 24 3 13 − 3 Secondo membro: ⎛1 ⎞ 1 7 ⋅ ⎜ − 1⎟ + = ⎝3 ⎠ 3 ⎛1− 3 ⎞ 1 = 7⋅⎜ ⎟+ = ⎝ 3 ⎠ 3 ⎛ 2⎞ 1 = 7 ⋅⎜− ⎟ + = ⎝ 3⎠ 3 14 1 =− + = 3 3 13 =− 3 E. 13 5( x + 3) = 9 − 7 x 5 x + 15 = 9 − 7 x 5 x + 7 x = 9 − 15 12 x = −6 6 1 x=− =− 12 2 Verifica Primo membro: ⎞ ⎛ 1 5 ⋅ ⎜ − + 3⎟ = ⎠ ⎝ 2 ⎛ −1+ 6 ⎞ 5⋅⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ 5 = 5⋅ = 2 25 = 2 Secondo membro: ⎛ 1⎞ 9 − 7 ⋅⎜− ⎟ = ⎝ 2⎠ 7 =9+ = 2 18 + 7 = = 2 25 = 2 E. 14 12( x − 2 ) + 4( x − 3) = 2 x − 8 12 x − 24 + 4 x − 12 = 2 x − 8 16 x − 36 = 2 x − 8 16 x − 2 x = −8 + 36 14 x = 28 28 x= =2 14 Verifica Primo membro: 12 ⋅ (2 − 2 ) + 4 ⋅ (2 − 3) = = 12 ⋅ 0 + 4 ⋅ (− 1) = = 0−4 = = −4 Secondo membro: 2⋅2 −8 = = 4−8 = = −4 E. 15 4( x − 6 ) − 2( x − 5) = 4 x + 3(2 + 6 x ) 4 x − 24 − 2 x + 10 = 4 x + 6 + 18 x 2 x − 14 = 22 x + 6 2 x − 22 x = 6 + 14 − 20 x = 20 20 x = −20 20 = −1 x=− 20 Verifica Primo membro: 4 ⋅ (− 1 − 6 ) − 2 ⋅ (− 1 − 5) = = 4 ⋅ (− 7 ) − 2 ⋅ (− 6 ) = = −28 + 12 = = −16 Secondo membro: 4 ⋅ (− 1) + 3 ⋅ [2 + 6 ⋅ (− 1)] = = −4 + 3 ⋅ [2 − 6] = = −4 + 3 ⋅ [− 4] = = −4 − 12 = = −16 E. 16 4 x − {2 x − 1 − [6 + 2 x − (3 x − 1)]} = 0 4 x − {2 x − 1 − [6 + 2 x − 3 x + 1]} = 0 4 x − {2 x − 1 − [7 − x ]} = 0 4 x − {2 x − 1 − 7 + x} = 0 4 x − {3 x − 8} = 0 4 x − 3x + 8 = 0 x+8 = 0 x = −8 Verifica Primo membro: 4 ⋅ (− 8) − {2 ⋅ (− 8) − 1 − [6 + 2 ⋅ (− 8) − (3 ⋅ (− 8) − 1)]} = = −32 − {− 16 − 1 − [6 − 16 − (− 24 − 1)]} = = −32 − {− 16 − 1 − [6 − 16 − (− 25)]} = = −32 − {− 16 − 1 − [6 − 16 + 25]} = = −32 − {− 16 − 1 − [− 10 + 25]} = = −32 − {− 16 − 1 − 15} = = −32 − {− 17 − 15} = = −32 − {− 32} = = −32 + 32 = =0 Secondo membro: 0 E. 17 x + 6 ( x − 2) (4 − x ) 5 x − 4 − − = + 8 12 24 12 4 3( x + 6 ) − 2(x − 2) − (4 − x ) 10 + 6( x − 4) = ⋅ 24 24 ⋅ 24 24 3x + 18 − 2 x + 4 − 4 + x = 10 + 6 x − 24 2 x + 18 = 6 x − 14 2 x − 6 x = −14 − 18 − 4 x = −32 4 x = 32 32 =8 x= 4 Verifica Primo membro: 8+6 8−2 4−8 − − = 8 12 24 14 6 4 = − + = 8 12 24 7 1 1 = − + = 4 2 6 21 − 6 + 2 = = 12 17 = 12 Secondo membro: 5 8−4 = + 12 4 5 4 = + = 12 4 5 = +1 = 12 5 + 12 = = 12 17 = 12 E. 18 3 2 x+2= x− 4 3 8 x + 24 12 x − 9 = ⋅ 12 12 ⋅ 12 12 8 x + 24 = 12 x − 9 8 x − 12 x = −9 − 24 − 4 x = −33 4 x = 33 33 x= 4 Verifica Primo membro: 2 33 ⋅ +2= 3 4 11 = +2= 2 11 + 4 = = 2 15 = 2 E. 19 1 4 3x + = 2 7 42 x + 7 8 = ⋅ 14 14 ⋅ 14 14 42 x + 7 = 8 42 x = 8 − 7 42 x = 1 1 x= 42 Verifica Primo membro 1 1 3⋅ + = 42 2 1 1 = + = 14 2 1+ 7 = = 14 8 = = 14 4 = 7 Secondo membro: 33 3 − = 4 4 33 − 3 = = 4 30 = = 4 15 = 2 Secondo membro: 4 7 E. 20 x x 1 −1 = − 3 6 2 2x − 6 x − 3 = ⋅6 6⋅ 6 6 2x − 6 = x − 3 2 x − x = −3 + 6 x=3 Verifica Primo membro: 3 −1 = 3 = 1−1 = =0 Secondo membro: 3 1 − = 6 2 1 1 = − = 2 2 =0 E. 21 x + 3 2x − 2 1 + = 4 3 12 3( x + 3) + 4(2 x − 2 ) 1 = ⋅ 12 12 ⋅ 12 12 3x + 9 + 8 x − 8 = 1 11x + 1 = 1 11x = 1 − 1 11x = 0 0 x= =0 11 Verifica Primo membro: 3 2 − = 4 3 9−8 = = 12 1 = 12 Secondo membro: 1 12 E. 22 x x 4 1− = − x + 2 3 3 6 − 3x 2 x − 6 x + 8 = ⋅6 6⋅ 6 6 6 − 3x = 2 x − 6 x + 8 6 − 3 x = −4 x + 8 − 3x + 4 x = 8 − 6 x=2 Verifica Primo membro: 2 = 2 = 1−1 = 1− =0 Secondo membro 2 4 −2+ = 3 3 2−6+4 = = 3 =0 E. 23 3 5 x + 5 = 3x − x − 5 2 2 5 x + 10 6 x − 3 x − 10 2⋅ = ⋅2 2 2 5 x + 10 = 6 x − 3 x − 10 5 x + 10 = 3 x − 10 5 x − 3 x = −10 − 10 2 x = −20 20 = −10 x=− 2 Verifica Primo membro 5 ⋅ (− 10 ) + 5 = 2 = −25 + 5 = = −20 Secondo membro 3 3 ⋅ (− 10) − ⋅ (− 10) − 5 = 2 = −30 + 15 − 5 = = −15 − 5 = = −20 E. 24 5 8 2x − 5 3 + x− = 4 3 3 4 15 x − 32 4(2 x − 5) + 9 = ⋅ 12 12 ⋅ 12 12 15 x − 32 = 8 x − 20 + 9 15 x − 32 = 8 x − 11 15 x − 8 x = −11 + 32 7 x = 21 x= 21 7 Verifica Primo membro 8 5 ⋅3− = 3 4 15 8 = − = 4 3 45 − 32 = = 12 13 = 12 Secondo membro (2 ⋅ 3 − 5) + 3 = 3 4 (6 − 5) + 3 = = 3 4 1 3 = + = 3 4 4+9 = = 12 13 = 12 E. 25 7 x + 14 2(2 x − 24 ) +1+ = −(2 x − 2 ) 5 3 7 x + 14 4 x − 48 +1+ = 2 − 2x 5 3 5(4 x − 48) + 15 + 3(7 x + 14 ) 15(2 − 2 x ) 15 ⋅ = ⋅ 15 15 15 20 x − 240 + 15 + 21x + 42 = 30 − 30 x 41x − 183 = 30 − 30 x 41x + 30 x = 30 + 183 71x = 213 213 =3 x= 71 Verifica Primo membro 7 ⋅ (3 + 2 ) 2 ⋅ (2 ⋅ 3 − 24) +1+ = 5 3 2 ⋅ (6 − 24) 7⋅5 = +1+ = 3 5 2 ⋅ (− 18) = +1+ 7 = 3 = −12 + 8 = = −4 Secondo membro − (2 ⋅ 3 − 2 ) = = −(6 − 2 ) = = −4 Stabilisci quali equazioni sono indeterminate e quali sono impossibili E. 26 3( x + 1) − 2 x = x − 1 3x + 3 − 2 x = x − 1 x + 3 = x −1 x − x = −1 − 3 0 x = −4 E. 27 5 x + 4 = 3( x − 2 ) + 2 x 5 x + 4 = 3x − 6 + 2 x 5x + 4 = 5x − 6 5 x − 5 x = −6 − 4 0 x = −10 E. 28 2( x − 3) − 5 = 2 x − 11 2 x − 6 − 5 = 2 x − 11 2 x − 11 = 2 x − 11 2 x − 2 x = −11 + 11 0x = 0 E. 29 2( x − 4) + 3x − 9 = 5 x − 17 2 x − 8 + 3x − 9 = 5 x − 17 5 x − 17 = 5 x − 17 5 x − 5 x = −17 + 17 0x = 0 E. 30 12( x − 3) + 8 x = 10(2 x + 5) 12 x − 36 + 8 x = 20 x + 50 20 x − 36 = 20 x + 50 Equazione impossibile Equazione impossibile Equazione indeterminata Equazione indeterminata Equazione impossibile 20 x − 20 x = 50 + 36 0 x = 86 E. 31 5(2 x + 3) = 10 + 5(2 x + 1) 10 x + 15 = 10 + 10 x + 5 10 x + 15 = 15 + 10 x 10 x − 10 x = 15 − 15 0x = 0 Equazione indeterminata E. 32 − 7( x + 1) = 2 − 3 x − 4 x − 7x − 7 = 2 − 7x − 7x + 7x = 2 + 7 0x = 9 E. 33 5( x + 2) = 2 x + 3( x + 1) 5 x + 10 = 2 x + 3x + 3 5 x + 10 = 5 x + 3 5 x − 5 x = 3 − 10 0 x = −7 Equazione impossibile Equazione impossibile E. 34 7 x + 2( x + 1) − 4 x = 3x + 2 x + 2 7 x + 2 x + 2 − 4 x = 5x + 2 5x + 2 = 5x + 2 5x − 5x = 2 − 2 0x = 0 E. 35 10 x − 10 + 5 x = −20 + 15 x 15 x − 10 = −20 + 15 x 15 x − 15 x = −20 + 10 0 x = −10 E. 36 1 ⎞ ⎛ 2⎜ 2 x + x ⎟ + 3 = 3 + 5 x 2 ⎠ ⎝ 4 x + x + 3 = 3 + 5x 5x + 3 = 3 + 5x 5x − 5x = 3 − 3 0x = 0 E. 37 2( x + 3) − 6( x + 2) = 5(3 + x ) − 9 x 2 x + 6 − 6 x − 12 = 15 + 5 x − 9 x − 4 x − 6 = −4 x + 15 − 4 x + 4 x = 15 + 6 0 x = 21 Equazione indeterminata Equazione impossibile Equazione indeterminata Equazione impossibile E. 38 3( x + 9) + 2(3 − x ) = x − 7 3x + 27 + 6 − 2 x = x − 7 x + 33 = x − 7 x − x = −7 − 33 0 x = −40 E. 39 9 x − 2( x + 3) − 2 = 5 x + 2 x − 8 9x − 2x − 6 − 2 = 7 x − 8 7x − 8 = 7x − 8 7 x − 7 x = −8 + 8 0x = 0 Equazione impossibile Equazione indeterminata E. 40 3(2 x − 3) − 7 x = 3(2 + x ) − 2(2 x − 10) 6 x − 9 − 7 x = 6 + 3x − 4 x + 20 − x − 9 = − x + 26 − x + x = 26 + 9 0 x = 35 Equazione impossibile Risolvi i seguenti problemi dopo aver impostato un’equazione di primo grado in una incognita E. 41 Se da un numero si sottrae 9 si ottiene 12. Determina il numero. x − 9 = 12 x = 12 + 9 x = 21 E. 42 Un numero è tale che il suo doppio aumentato di 2 è uguale al suo triplo diminuito di 3. Determina il numero. 2 x + 2 = 3x − 3 2 x − 3 x = −3 − 2 − x = −5 x=5 E. 43 Un numero è tale che, addizionato alla sua metà e alla sua terza parte, dà come risultato 33. Determina il numero. x x x + + = 33 2 3 6 x + 3x + 2 x 198 6⋅ = ⋅6 6 6 11x = 198 198 x= = 18 11 E. 44 Un numero è tale che la sua metà aumentata della sua terza parte è uguale al numero stesso diminuito di 3. Determina il numero. x x + = x−3 2 3 3x + 2 x 6 x − 18 6⋅ = ⋅6 6 6 5 x = 6 x − 18 5 x − 6 x = −18 − x = −18 x = 18 E. 45 Un numero è tale che la somma della sua metà e della sua terza parte è uguale a 20. Determina il numero. x x + = 20 2 3 3x + 2 x 120 6⋅ = ⋅6 6 6 5 x = 120 120 x= = 24 5 E. 46 Il triplo di un numero diminuito di 8 è uguale al numero stesso. Determina il numero. 3x − 8 = x 3x − x = 8 2x = 8 8 x= =4 2 E. 47 Addizionando a un numero la sua metà, la sua terza parte la sua quarta parte si ottiene 25. Qual è questo numero? x x x x + + + = 25 2 3 4 12 x + 6 x + 4 x + 3x 300 12 ⋅ = ⋅ 12 12 12 25 x = 300 300 x= = 12 25 E. 48 Trova il numero naturale che addizionato al suo successivo dia 563. x + x + 1 = 563 2 x = 563 − 1 2 x = 562 562 = 281 x= 2 E. 49 Un numero è tale che il suo triplo diminuito di 6 è uguale alla sua terza parte aumentata di 2. Determina il numero. 1 x+2 3 3(3x − 6) x + 6 3⋅ = ⋅3 3 3 9 x − 18 = x + 6 9 x − x = 6 + 18 8 x = 24 24 =3 x= 8 3x − 6 = E. 50 La somma dei 3 5 di un numero i suoi è 31. Calcola quel numero. 2 7 3 5 x + x = 31 2 7 21x + 10 x 434 14 ⋅ = ⋅ 14 14 14 31x = 434 434 x= = 14 31 E. 51 La differenza tra un numero e la metà del suo consecutivo è 13. Calcola quel numero. 1 x − ( x + 1) = 13 2 1 1 x − x − = 13 2 2 1 1 x − = 13 2 2 x − 1 26 2⋅ = ⋅2 2 2 x − 1 = 26 x = 26 + 1 x = 27 E. 52 Trova due numeri sapendo che la loro somma è 15 e che uno è i 2 dell’altro. 3 2 x = 15 3 3x + 2 x 45 3⋅ = ⋅3 3 3 5 x = 45 45 =9 x= 5 L’altro numero è: 15 − 9 = 6 x+ E. 53 Trova due numeri sapendo che la loro differenza è 6 e che uno è i 7 dell’altro. 5 7 x−x =6 5 7 x − 5 x 30 5⋅ = ⋅5 5 5 2 x = 30 30 x= = 15 2 L’altro numero è: 15 + 6 = 21 E. 54 La somma di due numeri è 24 e uno è i 5 dell’altro. Calcola i due numeri. 3 5 x = 24 3 3x + 5 x 72 3⋅ = ⋅3 3 3 8 x = 72 72 =9 x= 8 L’altro numero è: 24 − 9 = 15 x+ E. 55 La differenza tra due numeri è 12 e uno è i 3 x − x = 12 2 3x − 2 x 24 2⋅ = ⋅2 2 2 x = 24 L’altro numero è: 24 + 12 = 36 3 dell’altro. Calcola i due numeri. 2 1. EQUAZIONI DI PRIMO GRADO (LINEARI) IN UN’ INCOGNITA Si chiama equazione un’uguaglianza fra due espressioni letterali , per la quale si cercano i valori da attribuire alle lettere, dette incognite, per renderla vera. Esempio: l’equazione 7x – 4 = 3 I membro (1) II membro è verificata per x = 1 infatti, se nella (1) sostituiamo ad x il numero 1, otteniamo che l’uguaglianza è verificata: 7∙ 1- 4 =3 3=3 - Le espressioni che compaiono a sinistra e a destra dell’uguale vengono chiamate rispettivamente primo membro e secondo membro dell’equazione. - I valori (numeri) che sostituiti alle lettere verificano l’uguaglianza chiamati soluzioni o radici dell’equazione. vengono - Si dice grado di un’equazione l’esponente massimo con cui compare l’incognita x. -Le equazioni di primo grado vengono dette equazioni lineari. Soluzioni di un’equazione: Un’equazione si dice: - determinata se ha un numero finito di soluzioni (nel caso di un’equazione di primo grado è una sola); -indeterminata se ha infinite soluzioni; - impossibile se non ammette soluzioni. Tipi di equazioni: le equazioni possono essere: Numeriche: oltre l’incognita, contengono solo numeri; Letterali: oltre l’incognita, contengono altre lettere; Intere: l’incognita è presente solo al numeratore; Fratte: l’incognita è presente anche al denominatore; Esempi: numerica intera Numerica fratta 1 x3 x 2 5 1  2x x Letterale intera 1 ax  2 Letterale Fratta a b x Letterale fratta a b x 2. PRINCIPI DI EQUIVALENZA: Due equazioni contenenti la stessa incognita sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Esempio: x + 5 = 9 e x - 4 = 0 sono equivalenti perchè entrambe hanno come unica soluzione 4. Come risolvere le equazioni: •Non esiste un metodo unico per la risoluzione di tutti i tipi di equazioni. Vi sono però due principi di equivalenza che hanno validità di carattere generale. Primo principio di equivalenza delle equazioni: “Data un'equazione, se si aggiunge (o si toglie) ai due membri uno stesso numero o una stessa espressione, si ottiene un'equazione equivalente”. Esempio: 3x + 2 = 7 3x + 2 − 2 = 7 − 2 è equivalente a (tolgo 2 ad ambo i membri) Dal primo principio discendono due regole: - Regola del trasporto. È possibile spostare un termine da un membro all'altro, purché lo si cambi di segno, ottenendo un'equazione equivalente. Esempio: data l'equazione membro il numero 5 ed ottengo: 2x − 5 + 5 = x + 6 + 5 2x – 5 ovvero = x + 2x = 6 posso aggiungere al I e II x+6 + 5 passando dal I membro al II membro ha cambiato il segno. , quindi il − 5 - Regola di cancellazione. E’ possibile eliminare due termini uguali che compaiono uno nel primo membro e l’altro nel secondo. Esempio: 2x – 4 + 2 = x + 2 Secondo principio di equivalenza delle equazioni: “Data un’equazione, se si moltiplicano o si dividono i due membri per uno stesso numero o espressione diversi da 0, si ottiene un'equazione equivalente”. Esempio: 3x = 5 è equivalente a 3x 5  3 3 x  5 3 Dal secondo principio discendono due regole. - Regola della divisione per un fattore comune. Se tutti i termini di un’equazione hanno un fattor comune, si possono dividere tutti i termini per tale fattore, ottenendo un’equazione equivalente. Esempio: 6x – 10 = 12 posso divedere tutti i termini per 2 6 x 10 12   2 2 2 3x − 5 = 6 - Regola del cambiamento del segno: Moltiplicando entrambi i membri di un'equazione per − 1 è possibile cambiare segno a tutti i termini, ottenendo un'equazione equivalente. • ESEMPIO − 3x + 2 = + 5 + 3x − 2 = − 5 3. LE EQUAZIONI NUMERICHE INTERE Sono equazioni di I grado tutte quelle che si possono ricondurre alla forma ax = b. - se a ≠ 0 l'equazione ammette soluzione x = b/a - se a = 0 e b = 0 l'equazione è indeterminata, ovvero ogni numero è soluzione. - se a = 0 e b ≠ 0 l'equazione è impossibile cioè non ammette soluzione. Risoluzione di un’equazione numerica a coefficienti interi: Esempio 1. Risolviamo l’equazione 3x + 2 = x − 1 Trasportiamo tutti i termini contenenti l’incognita al primo membro e i termini noti al secondo membro: 3x − x = − 2 −1 2x = − 3 2x  3  2 2 3 x . 2 addizioniamo i termini simili: dividiamo tutte e due i membri per 2 otteniamo come soluzione: L’equazione ha una sola soluzione, cioè – 3/2 ed è determinata. Esempio 2. Risolviamo l’equazione 3x – 2 – 2x + 3 = x + 1 Trasportiamo tutti i termini contenenti l’incognita al primo membro e i termini noti al secondo membro: 3x – 2x – x = 2 – 3 + 1 addizioniamo i termini simili 0.x = 0. Poiché qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0, l’equazione ha infinite soluzioni. In tal caso diciamo che l’equazione è indeterminata. Esempio 3. Risolviamo l’equazione: 3x – 1 = 3(x – 1) Eseguiamo la moltiplicazione al II membro: 3x – 1 = 3x – 3 Trasportiamo tutti i termini contenenti l’incognita al primo membro e i termini noti al secondo membro: 3x – 3x = 1 – 3 addizioniamo i termini simili 0x = − 2 , ovvero, poiché nessun numero moltiplicato per zero dà – 2 , l’equazione non ha soluzione e diciamo che è impossibile. (0x = - 2 → 0 = ─ 2 uguaglianza falsa → equazione impossibile) 4. Risoluzione di equazioni numeriche a coefficienti fratti. Risolviamo l’ equazione: 5 2x  1 2   2x  6 2 3 Calcoliamo il m.c.m. dei denominatori, nel nostro caso m.c.m(2,3,6)=6 e scriviamo tutti i termini dell’equazione con denominatore 6: . Otteniamo: . 6.(2 x) 5 3(2 x  1) 2.(2) ossia:  .  6 6 6 6 6 x  3 4 12 x 5  .  6 6 6 6 E moltiplicando tutto per 6 (applico il secondo principio), i denominatori possono essere tolti e rimane da risolvere l’equazione intera: 6x + 3 – 4 = 12x + 5 Trasportiamo tutti i termini contenenti l’incognita al primo membro e i termini noti al secondo membro: 6x – 12x = 5 – 3 + 4 − 6x = 6 addiziono i termini simili divido per – 6 tutte e due i membri: 6  6x  ed otteniamo: 6 6 x = − 1. L’equazione è determinata. Esercizi A: Risolvi le seguenti equazioni Esercizio B: Risolvi le seguenti equazioni, Trasportando tutti i termini contenenti l’incognita al dove bisogna sviluppare quadrati di primo membro e i termini noti al secondo membro, binomio, ricordando la regola: tenendo presente che quando spostiamo un termine da un (a  b)  a 2  2ab  b 2 membro all’altro bisogna cambiare il suo segno. 1) 5x – 11 – 4x = − 10 [1] 2) 4x – 3 = 3x – 1 [2] 3) 16x + 5 = 15x – 10 [− 15] 4) 4x + 4 = 1 + x [−1] 5) 3x + 3 = 3x + 5 [ impossibile] 6) 4x + 3 = 3x + x + 3 [ indeterminata] 5) x + 2 – (11 – x ) + 4 = 3 – (x – 8) + 2(x – 8) [0] 6) 3 – (2+x) – 3 + 5x = x + 2x – 7 [−5] 7) 5(x – 3) – 2(3x – 1) = 3(1 – 4x) [16/11] 1) (x + 5)2 = (x+5) (x – 5) [-5] 2) (x+2)2 = (x – 1)2 + 2x – 1 [ - 1] 3) (x+1)2 + 2x + 3 = (x + 2)(x – 2) [ - 2] Per la n. 1 e la n. 2 verifica la soluzione Esercizio C) Risolvi le seguenti equazioni riconducendo tutti i termini allo stesso denominatore: x  1 4  5x  0 [ - 2/3] 1) 6 12 2x  5 x  1 1   2) [impossibile] 12 6 3 x  12 2 x  5 x  10   x 3) [- 4/5] 3 2 4 DAL PROBLEMA ALLE EQUAZIONI - Tradurre le informazioni fornite dal problema in equazioni Problemi numerici: Esempio 1: Determina quel numero che sommato alla sua terza parte è uguale al triplo del numero aumentato di 1. Il numero che non conosciamo lo indichiamo con la lettera x (detta appunto incognita) Dati del problema: la terza parte di un numero si ottiene dividendolo per il numero 3 → x ; 3 il triplo di un numero si ottiene moltiplicando per il numero 3 → 3x x = 3x + 1 che è un'equazione 3 3x  x 9 x  3 → 3x + x - 9x = 3 →  3 3 Traducendo il problema in equazione si ottiene: a coefficienti fratti e risolvendola si ottiene: x+ − 5x = 3 → x = - 3/5 Esempio 2. Due numeri naturali sono tali che il secondo supera il primo di 2 e la somma tra il quadruplo del primo e il secondo è 27. Troviamo i due numeri. Indichiamo con x il primo numero, l'equazione risolvente il problema sarà: 4x + ( x + 2 ) = 27 → 5x + 2 = 27 → 5x = 25 quadruplo del primo numero x = 25/5 = 5 secondo numero Esempio 3. Determina quel numero x che sommato al suo successivo dà come risultato 15. x + ( x + 1) = 15 numero → 2x = 15 − 1 → 2x = 14 → x = 14/2 = 7 successivo del numero x Problemi di tipo geometrico: Esempio 1) Determina le dimensioni di un campo rettangolare, sapendo che la base è il doppio dell'altezza aumentata di 2 cm e il perimetro è 28 cm. x Indicando con l'incognita x l'altezza, la base sarà 2x + 2 e calcolando il perimetro noto l'equazione risolvente il problema sarà: 2∙ base + 2∙ altezza = perimetro 2x + 2 2 ∙ (2x + 2) + 2∙ x = 28 ovvero risolvendo l'equazione: 4x + 4 + 2x = 28 → 4x + 2x = 28 - 4 → 6x = 24 → x = 24/6= 4 Quindi l'altezza è 4 e la base è 10. Esermpio 2. Dividi un segmento lungo 56 cm in due parti delle quali una è i 4/3 dell'altra. Quali sono le lunghezze dei segmenti che si ottengono? [ 24 cm, 32 cm] Indichiamo con x e y le lunghezze dei due segmenti. Un segmento è i 4/3 dell'altro e supponiamo che sia quindi y = 4 x. 3 La somma dei due segmenti sarà uguale a 56 cm: x + y = 56 e potendo porre al posto 4 4 di y → x l'equazione diventa : x + x = 56. Risolvendo l'equazione, si 3 3 moltiplica tutto per 3 : 3x + 4x = 56 ∙ 3 → 7x = 168 → x = 168/7 = 24. Il segmento y = 56 − x = 56 − 24 = 32 ( oppure y = 4 4 x = . 24 = 32). 3 3 Problemi dalla realtà: Esempio 2. Un televisore, dopo che è stato praticato uno sconto del 12% sul prezzo originario, è stato pagato 308 euro. Qual era il prezzo originario del televisore? Indichiamo con x il prezzo originario del televisore; sconto subito dal prezzo del televisore = 12% = 12/100 prezzo scontato = 308 euro Quindi prezzo originario meno x − il 12% del prezzo originario = prezzo scontato 12 x = 308 100 essendo 12 3 = e l'equazione risolvente 100 25 diventa: x − 3 x = 308 25 e risolvendo l'equazione moltiplicando tutti i termini per 25: 25 x − 3x = 308 ∙ 25 → 22 x = 308 ∙ 25 → x= 308  25  350 22 Esempio 3. Carla e Anna sono due sorelle nate rispettivamente nel 1989 e nel 1997. In che anno Carla avrà il doppio dell'età di Anna? Indichiamo con X l' età di Carla e con Y l'età di Anna. Tra loro ci sono 8 anni di differenza (1997 - 1989 = 8) e possiamo scrivere che: età di Carla = età di Anna + 8 → X= Y+8 (1) Cosa accade quando X = 2Y ? Quanti anni avrà Anna? Basta sostituire nell'equazione (1) al posto di X → 2Y e si ottiene: 2Y = Y +8 che ci consente di determinare l'età di Anna quando Carla avrà il doppio dell'età di Anna: 2Y − Y = 8 → Y = 8. Siamo nell'anno 1997 + 8 = 2005. (da Flaccavento-Romano, Obiettivi e metodi, Algebra, Fabbri) 3( x − 1) 2 x + 1 4( 2 x + 3) − =1− 3 3 6 risoluzione 6( x − 1) − 2( 2 x + 1) 6 − 4( 2 x + 3) = 6 6 6 x − 6 − 4 x − 2 = 6 − 8 x − 12 6 x − 4 x + 8 x = 6 − 12 + 6 + 2 10 x = 2 2 1 x= = 10 5 verifica 1° membro 1  3 − 1 2 ⋅ 1 + 1 5  − 5 = 3 3  1 − 5 2 + 5 3   5  − 5 = = 3 3  4 3 −  7  5 5 − = = 3 3 12 1 7 1 =− ⋅ − ⋅ = 5 3 5 3 19 12 7 =− − =− 15 15 15 2° membro  2 + 15  1  4 2 ⋅ + 3 4   5   5  = =1− 1− 6 6 17 68 4⋅ 5 = 1 − 5 = 1 − 68 ⋅ 1 = 1− 6 6 5 6 19 34 15 − 34 = =− 1− 15 15 15 (da Flaccavento-Romano, Obiettivi e metodi, Algebra) x + 1 2( 2 x − 15) x − 11 2( 7 x − 32) − − = 10 15 3 15 risoluzione 3( x + 1) − 4( 2 x − 15) − 10( x − 11) 4( 7 x − 32) = 30 30 3x + 3 − 8 x + 60 − 10 x + 110 = 28 x − 128 3x − 8 x − 10 x − 28 x = −128 − 3 − 60 − 110 −43x = −301 x= −301 = +7 −43 verifica 1° membro 7 + 1 2( 2 ⋅ 7 − 15) 7 − 11 − − = 10 15 3 8 2(14 − 15) −4 = − − = 10 15 3 4 2( −1) 4 = − + = 5 15 3 4 2 4 12 + 2 + 20 34 = + + = = 5 15 3 15 15 2° membro 2( 7 ⋅ 7 − 32) = 15 2( 49 − 32) = 15 2 ⋅ 17 34 = 15 15 (Da Linardi-Galbusera, Percorsi di Algebra, Mursia) 2x − 1 2 − x x + 1 2 − = + 3 2 5 5 risoluzione 10( 2 x − 1) − 15( 2 − x ) 6( x + 1) + 12 = 30 30 20 x − 10 − 30 + 15x = 6 x + 6 + 12 20 x + 15x − 6 x = 6 + 12 + 10 + 30 29 x = 58 58 x= =2 29 verifica 1° membro 2° membro 2⋅2 −1 2 − 2 − = 3 2 3 4 −1 − 0= =1 3 3 2 +1 2 + = 5 5 3 2 5 + = =1 5 5 5 (da Flaccavento-Romano, Obiettivi e metodi, Algebra, Fabbri) 3(1 − x ) 2 x + 1 5 − 2 x 7 x − 1 − = − 4 3 3 8 risoluzione 18(1 − x ) − 8( 2 x + 1) 8( 5 − 2 x ) − 3( 7 x − 1) = 24 24 18 − 18 x − 16 x − 8 = 40 − 16 x − 21x + 3 −18 x − 16 x + 16 x + 21x = 40 + 3 − 18 + 8 3x = 33 33 x= = 11 3 Verifica 1° membro 3(1 − 11) 2 ⋅ 11 + 1 − = 4 3 3( −10) 23 30 23 = − =− − = 4 3 4 3 15 23 −45 − 46 −91 =− − = = 2 3 6 6 2° membro 5 − 2 ⋅ 11 7 ⋅ 11 − 1 − = 3 8 5 − 22 77 − 1 = − = 3 8 17 76 17 19 =− − =− − = 3 8 3 2 91 −34 − 57 = =− 6 6 3x − 1 1 2( 2 x + 3) x + 3 − = − 4 2 5 2 risoluzione 5(3x − 1) − 10 8(2 x + 3) − 10( x + 3) = 20 20 15x − 5 − 10 = 16 x + 24 − 10 x − 30 15x − 16 x + 10 x = 24 − 30 + 5 + 10 9x = 9 9 x = =1 9 verifica 3⋅1 − 1 1 − = 4 2 2 1 1 1 = − = − =0 4 2 2 2 2 x + 3 3( x + 2) 1 2 − x − = − 2 4 3 3 2( 2 ⋅ 1 + 3) 1 + 3 − = 5 2 2( 2 + 3) 4 − = 5 2 2 ⋅ 5 2 10 − = −2=2−2=0 5 1 5 risoluzione 6( 2 x + 3) − 9( x + 2) 4 − 4( 2 − x) = 12 12 12 x + 18 − 9 x − 18 = 4 − 8 + 4 x 12 x − 9 x − 4 x = 4 − 8 − x = −4 x=4 verifica 2 ⋅ 4 + 3 3( 4 + 2) − = 2 4 8 + 3 3 ⋅ 6 11 18 11 9 2 − = − = − = =1 2 4 2 4 2 2 2 1 2−4 − = 3 3 1 −2 1 2 3 = − = + = =1 3 3 3 3 3 2( x + 3) 2 x + 1 x − 2 = − 15 3 5 Risoluzione 2( x + 3) 5( 2 x + 1) − 3( x − 2) = 15 15 2 x + 6 = 10x + 5 − 3x + 6 2 x − 10x + 3x = 5 + 6 − 6 −5x = 5 5 = −1 x= −5 Verifica 2( −1 + 3) 2 ⋅ 2 4 = = 15 15 15 2( −1) + 1 −1 − 2 − = 3 5 −2 + 1 −3 1 3 − =− + = 3 5 3 5 −5 + 9 4 = 15 15 Risolvi le seguenti equazioni di primo grado in una incognita ed esegui la verifica di Andrea Simoncelli E. 1 x + 9 = 15 x = 15 − 9 x=6 Verifica Primo membro 6+9 = = 15 Secondo membro: 15 E. 2 2 x + 8 = 12 2 x = 12 − 8 2x = 4 4 x= =2 2 Verifica Primo membro 2⋅2 +8 = = 4+8 = = 12 Secondo membro: 12 E. 3 7x − 9 = 2x + 1 7x − 2x = 1 + 9 5 x = 10 10 =2 5 Verifica Primo membro: 7⋅2−9 = = 14 − 9 = =5 x= Secondo membro: 2 ⋅ 2 +1 = = 4 +1 = =5 E. 4 − 2x + 3 = x − 6 − 2 x − x = −6 − 3 − 3 x = −9 3x = 9 9 =3 3 Verifica Primo membro: − 2⋅3+ 3 = = −6 + 3 = = −3 x= Secondo membro: 3−6 = = −3 E. 5 3( x + 2 ) − 2( x − 3) = 4 − x 3x + 6 − 2 x + 6 = 4 − x x + 12 = 4 − x x + x = 4 − 12 2 x = −8 8 = −4 2 Verifica Primo membro: 3 ⋅ (− 4 + 2) − 2 ⋅ (− 4 − 3) = x=− = 3 ⋅ (− 2 ) − 2 ⋅ (− 7 ) = = −6 + 14 = =8 E. 6 3( x + 1) − 5 x = x − 15 3 x + 3 − 5 x = x − 15 − 2 x + 3 = x − 15 − 2 x − x = −15 − 3 − 3 x = −18 3 x = 18 18 x= =6 3 Verifica Primo membro: 3 ⋅ (6 + 1) − 5 ⋅ 6 = = 3 ⋅ 7 − 30 = = 21 − 30 = = −9 Secondo membro: 4 − (− 4 ) = = 4+4 = =8 Secondo membro: 6 − 15 = = −9 E. 7 6( x + 2 ) − 9( x − 1) = −2( 3 x + 3) + 3 6 x + 12 − 9 x + 9 = −6 x − 6 + 3 − 3 x + 21 = −6 x − 3 − 3 x + 6 x = −3 − 21 3 x = −24 24 = −8 x=− 3 Verifica Primo membro: Secondo membro: − 2 ⋅ [3 ⋅ (− 8) + 3] + 3 = 6 ⋅ ( −8 + 2 ) − 9 ⋅ ( −8 − 1) = = −2 ⋅ [− 24 + 3] + 3 = = 6 ⋅ ( −6 ) − 9 ⋅ ( −9 ) = = −2 ⋅ [− 21] + 3 = = −36 + 81 = = 42 + 3 = = 45 = 45 E. 8 5( x + 1) = 2( x + 7 ) 5 x + 5 = 2 x + 14 5 x − 2 x = 14 − 5 3x = 9 9 x= =3 3 Verifica Primo membro: 5 ⋅ (3 + 1) = = 5⋅4 = = 20 Secondo membro: 2 ⋅ (3 + 7 ) = = 2 ⋅ 10 = = 20 E. 9 10( x + 1) = 4( x + 7 ) + 6 10 x + 10 = 4 x + 28 + 6 10 x + 10 = 4 x + 34 10 x − 4 x = 34 − 10 6 x = 24 24 =4 x= 6 Verifica Primo membro: 10 ⋅ ( 4 + 1) = = 10 ⋅ 5 = = 50 Secondo membro: 4 ⋅ (4 + 7 ) + 6 = = 4 ⋅ 11 + 6 = = 44 + 6 = = 50 E. 10 4( x + 2 ) = 2 x + 20 4 x + 8 = 2 x + 20 4 x − 2 x = 20 − 8 2 x = 12 12 =6 x= 2 Verifica Primo membro: 4 ⋅ (6 + 2) = = 4 ⋅8 = = 32 Secondo membro: 2 ⋅ 6 + 20 = = 12 + 20 = = 32 E. 11 3(4 x − 5) − 5(2 x − 1) = 5 x − 16 12 x − 15 − 10 x + 5 = 5 x − 16 2 x − 10 = 5 x − 16 2 x − 5 x = −16 + 10 − 3 x = −6 3x = 6 6 x= =2 3 Verifica Primo membro: 3 ⋅ (4 ⋅ 2 − 5) − 5 ⋅ (2 ⋅ 2 − 1) = = 3 ⋅ (8 − 5) − 5 ⋅ (4 − 1) = = 3⋅3 − 5⋅3 = = 9 − 15 = = −6 Secondo membro: 5 ⋅ 2 − 16 = = 10 − 16 = = −6 E. 12 11x − 8 = 7( x − 1) + x 11x − 8 = 7 x − 7 + x 11x − 8 = 8 x − 7 11x − 8 x = −7 + 8 3x = 1 1 x= 3 Verifica Primo membro: 1 11 ⋅ − 8 3 11 −8 3 11 − 24 3 13 − 3 Secondo membro: ⎛1 ⎞ 1 7 ⋅ ⎜ − 1⎟ + = ⎝3 ⎠ 3 ⎛1− 3 ⎞ 1 = 7⋅⎜ ⎟+ = ⎝ 3 ⎠ 3 ⎛ 2⎞ 1 = 7 ⋅⎜− ⎟ + = ⎝ 3⎠ 3 14 1 =− + = 3 3 13 =− 3 E. 13 5( x + 3) = 9 − 7 x 5 x + 15 = 9 − 7 x 5 x + 7 x = 9 − 15 12 x = −6 6 1 x=− =− 12 2 Verifica Primo membro: ⎞ ⎛ 1 5 ⋅ ⎜ − + 3⎟ = ⎠ ⎝ 2 ⎛ −1+ 6 ⎞ 5⋅⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ 5 = 5⋅ = 2 25 = 2 Secondo membro: ⎛ 1⎞ 9 − 7 ⋅⎜− ⎟ = ⎝ 2⎠ 7 =9+ = 2 18 + 7 = = 2 25 = 2 E. 14 12( x − 2 ) + 4( x − 3) = 2 x − 8 12 x − 24 + 4 x − 12 = 2 x − 8 16 x − 36 = 2 x − 8 16 x − 2 x = −8 + 36 14 x = 28 28 x= =2 14 Verifica Primo membro: 12 ⋅ (2 − 2 ) + 4 ⋅ (2 − 3) = = 12 ⋅ 0 + 4 ⋅ (− 1) = = 0−4 = = −4 Secondo membro: 2⋅2 −8 = = 4−8 = = −4 E. 15 4( x − 6 ) − 2( x − 5) = 4 x + 3(2 + 6 x ) 4 x − 24 − 2 x + 10 = 4 x + 6 + 18 x 2 x − 14 = 22 x + 6 2 x − 22 x = 6 + 14 − 20 x = 20 20 x = −20 20 = −1 x=− 20 Verifica Primo membro: 4 ⋅ (− 1 − 6 ) − 2 ⋅ (− 1 − 5) = = 4 ⋅ (− 7 ) − 2 ⋅ (− 6 ) = = −28 + 12 = = −16 Secondo membro: 4 ⋅ (− 1) + 3 ⋅ [2 + 6 ⋅ (− 1)] = = −4 + 3 ⋅ [2 − 6] = = −4 + 3 ⋅ [− 4] = = −4 − 12 = = −16 E. 16 4 x − {2 x − 1 − [6 + 2 x − (3 x − 1)]} = 0 4 x − {2 x − 1 − [6 + 2 x − 3 x + 1]} = 0 4 x − {2 x − 1 − [7 − x ]} = 0 4 x − {2 x − 1 − 7 + x} = 0 4 x − {3 x − 8} = 0 4 x − 3x + 8 = 0 x+8 = 0 x = −8 Verifica Primo membro: 4 ⋅ (− 8) − {2 ⋅ (− 8) − 1 − [6 + 2 ⋅ (− 8) − (3 ⋅ (− 8) − 1)]} = = −32 − {− 16 − 1 − [6 − 16 − (− 24 − 1)]} = = −32 − {− 16 − 1 − [6 − 16 − (− 25)]} = = −32 − {− 16 − 1 − [6 − 16 + 25]} = = −32 − {− 16 − 1 − [− 10 + 25]} = = −32 − {− 16 − 1 − 15} = = −32 − {− 17 − 15} = = −32 − {− 32} = = −32 + 32 = =0 Secondo membro: 0 E. 17 x + 6 ( x − 2) (4 − x ) 5 x − 4 − − = + 8 12 24 12 4 3( x + 6 ) − 2(x − 2) − (4 − x ) 10 + 6( x − 4) = ⋅ 24 24 ⋅ 24 24 3x + 18 − 2 x + 4 − 4 + x = 10 + 6 x − 24 2 x + 18 = 6 x − 14 2 x − 6 x = −14 − 18 − 4 x = −32 4 x = 32 32 =8 x= 4 Verifica Primo membro: 8+6 8−2 4−8 − − = 8 12 24 14 6 4 = − + = 8 12 24 7 1 1 = − + = 4 2 6 21 − 6 + 2 = = 12 17 = 12 Secondo membro: 5 8−4 = + 12 4 5 4 = + = 12 4 5 = +1 = 12 5 + 12 = = 12 17 = 12 E. 18 3 2 x+2= x− 4 3 8 x + 24 12 x − 9 = ⋅ 12 12 ⋅ 12 12 8 x + 24 = 12 x − 9 8 x − 12 x = −9 − 24 − 4 x = −33 4 x = 33 33 x= 4 Verifica Primo membro: 2 33 ⋅ +2= 3 4 11 = +2= 2 11 + 4 = = 2 15 = 2 E. 19 1 4 3x + = 2 7 42 x + 7 8 = ⋅ 14 14 ⋅ 14 14 42 x + 7 = 8 42 x = 8 − 7 42 x = 1 1 x= 42 Verifica Primo membro 1 1 3⋅ + = 42 2 1 1 = + = 14 2 1+ 7 = = 14 8 = = 14 4 = 7 Secondo membro: 33 3 − = 4 4 33 − 3 = = 4 30 = = 4 15 = 2 Secondo membro: 4 7 E. 20 x x 1 −1 = − 3 6 2 2x − 6 x − 3 = ⋅6 6⋅ 6 6 2x − 6 = x − 3 2 x − x = −3 + 6 x=3 Verifica Primo membro: 3 −1 = 3 = 1−1 = =0 Secondo membro: 3 1 − = 6 2 1 1 = − = 2 2 =0 E. 21 x + 3 2x − 2 1 + = 4 3 12 3( x + 3) + 4(2 x − 2 ) 1 = ⋅ 12 12 ⋅ 12 12 3x + 9 + 8 x − 8 = 1 11x + 1 = 1 11x = 1 − 1 11x = 0 0 x= =0 11 Verifica Primo membro: 3 2 − = 4 3 9−8 = = 12 1 = 12 Secondo membro: 1 12 E. 22 x x 4 1− = − x + 2 3 3 6 − 3x 2 x − 6 x + 8 = ⋅6 6⋅ 6 6 6 − 3x = 2 x − 6 x + 8 6 − 3 x = −4 x + 8 − 3x + 4 x = 8 − 6 x=2 Verifica Primo membro: 2 = 2 = 1−1 = 1− =0 Secondo membro 2 4 −2+ = 3 3 2−6+4 = = 3 =0 E. 23 3 5 x + 5 = 3x − x − 5 2 2 5 x + 10 6 x − 3 x − 10 2⋅ = ⋅2 2 2 5 x + 10 = 6 x − 3 x − 10 5 x + 10 = 3 x − 10 5 x − 3 x = −10 − 10 2 x = −20 20 = −10 x=− 2 Verifica Primo membro 5 ⋅ (− 10 ) + 5 = 2 = −25 + 5 = = −20 Secondo membro 3 3 ⋅ (− 10) − ⋅ (− 10) − 5 = 2 = −30 + 15 − 5 = = −15 − 5 = = −20 E. 24 5 8 2x − 5 3 + x− = 4 3 3 4 15 x − 32 4(2 x − 5) + 9 = ⋅ 12 12 ⋅ 12 12 15 x − 32 = 8 x − 20 + 9 15 x − 32 = 8 x − 11 15 x − 8 x = −11 + 32 7 x = 21 x= 21 7 Verifica Primo membro 8 5 ⋅3− = 3 4 15 8 = − = 4 3 45 − 32 = = 12 13 = 12 Secondo membro (2 ⋅ 3 − 5) + 3 = 3 4 (6 − 5) + 3 = = 3 4 1 3 = + = 3 4 4+9 = = 12 13 = 12 E. 25 7 x + 14 2(2 x − 24 ) +1+ = −(2 x − 2 ) 5 3 7 x + 14 4 x − 48 +1+ = 2 − 2x 5 3 5(4 x − 48) + 15 + 3(7 x + 14 ) 15(2 − 2 x ) 15 ⋅ = ⋅ 15 15 15 20 x − 240 + 15 + 21x + 42 = 30 − 30 x 41x − 183 = 30 − 30 x 41x + 30 x = 30 + 183 71x = 213 213 =3 x= 71 Verifica Primo membro 7 ⋅ (3 + 2 ) 2 ⋅ (2 ⋅ 3 − 24) +1+ = 5 3 2 ⋅ (6 − 24) 7⋅5 = +1+ = 3 5 2 ⋅ (− 18) = +1+ 7 = 3 = −12 + 8 = = −4 Secondo membro − (2 ⋅ 3 − 2 ) = = −(6 − 2 ) = = −4 Stabilisci quali equazioni sono indeterminate e quali sono impossibili E. 26 3( x + 1) − 2 x = x − 1 3x + 3 − 2 x = x − 1 x + 3 = x −1 x − x = −1 − 3 0 x = −4 E. 27 5 x + 4 = 3( x − 2 ) + 2 x 5 x + 4 = 3x − 6 + 2 x 5x + 4 = 5x − 6 5 x − 5 x = −6 − 4 0 x = −10 E. 28 2( x − 3) − 5 = 2 x − 11 2 x − 6 − 5 = 2 x − 11 2 x − 11 = 2 x − 11 2 x − 2 x = −11 + 11 0x = 0 E. 29 2( x − 4) + 3x − 9 = 5 x − 17 2 x − 8 + 3x − 9 = 5 x − 17 5 x − 17 = 5 x − 17 5 x − 5 x = −17 + 17 0x = 0 E. 30 12( x − 3) + 8 x = 10(2 x + 5) 12 x − 36 + 8 x = 20 x + 50 20 x − 36 = 20 x + 50 Equazione impossibile Equazione impossibile Equazione indeterminata Equazione indeterminata Equazione impossibile 20 x − 20 x = 50 + 36 0 x = 86 E. 31 5(2 x + 3) = 10 + 5(2 x + 1) 10 x + 15 = 10 + 10 x + 5 10 x + 15 = 15 + 10 x 10 x − 10 x = 15 − 15 0x = 0 Equazione indeterminata E. 32 − 7( x + 1) = 2 − 3 x − 4 x − 7x − 7 = 2 − 7x − 7x + 7x = 2 + 7 0x = 9 E. 33 5( x + 2) = 2 x + 3( x + 1) 5 x + 10 = 2 x + 3x + 3 5 x + 10 = 5 x + 3 5 x − 5 x = 3 − 10 0 x = −7 Equazione impossibile Equazione impossibile E. 34 7 x + 2( x + 1) − 4 x = 3x + 2 x + 2 7 x + 2 x + 2 − 4 x = 5x + 2 5x + 2 = 5x + 2 5x − 5x = 2 − 2 0x = 0 E. 35 10 x − 10 + 5 x = −20 + 15 x 15 x − 10 = −20 + 15 x 15 x − 15 x = −20 + 10 0 x = −10 E. 36 1 ⎞ ⎛ 2⎜ 2 x + x ⎟ + 3 = 3 + 5 x 2 ⎠ ⎝ 4 x + x + 3 = 3 + 5x 5x + 3 = 3 + 5x 5x − 5x = 3 − 3 0x = 0 E. 37 2( x + 3) − 6( x + 2) = 5(3 + x ) − 9 x 2 x + 6 − 6 x − 12 = 15 + 5 x − 9 x − 4 x − 6 = −4 x + 15 − 4 x + 4 x = 15 + 6 0 x = 21 Equazione indeterminata Equazione impossibile Equazione indeterminata Equazione impossibile E. 38 3( x + 9) + 2(3 − x ) = x − 7 3x + 27 + 6 − 2 x = x − 7 x + 33 = x − 7 x − x = −7 − 33 0 x = −40 E. 39 9 x − 2( x + 3) − 2 = 5 x + 2 x − 8 9x − 2x − 6 − 2 = 7 x − 8 7x − 8 = 7x − 8 7 x − 7 x = −8 + 8 0x = 0 Equazione impossibile Equazione indeterminata E. 40 3(2 x − 3) − 7 x = 3(2 + x ) − 2(2 x − 10) 6 x − 9 − 7 x = 6 + 3x − 4 x + 20 − x − 9 = − x + 26 − x + x = 26 + 9 0 x = 35 Equazione impossibile Risolvi i seguenti problemi dopo aver impostato un’equazione di primo grado in una incognita E. 41 Se da un numero si sottrae 9 si ottiene 12. Determina il numero. x − 9 = 12 x = 12 + 9 x = 21 E. 42 Un numero è tale che il suo doppio aumentato di 2 è uguale al suo triplo diminuito di 3. Determina il numero. 2 x + 2 = 3x − 3 2 x − 3 x = −3 − 2 − x = −5 x=5 E. 43 Un numero è tale che, addizionato alla sua metà e alla sua terza parte, dà come risultato 33. Determina il numero. x x x + + = 33 2 3 6 x + 3x + 2 x 198 6⋅ = ⋅6 6 6 11x = 198 198 x= = 18 11 E. 44 Un numero è tale che la sua metà aumentata della sua terza parte è uguale al numero stesso diminuito di 3. Determina il numero. x x + = x−3 2 3 3x + 2 x 6 x − 18 6⋅ = ⋅6 6 6 5 x = 6 x − 18 5 x − 6 x = −18 − x = −18 x = 18 E. 45 Un numero è tale che la somma della sua metà e della sua terza parte è uguale a 20. Determina il numero. x x + = 20 2 3 3x + 2 x 120 6⋅ = ⋅6 6 6 5 x = 120 120 x= = 24 5 E. 46 Il triplo di un numero diminuito di 8 è uguale al numero stesso. Determina il numero. 3x − 8 = x 3x − x = 8 2x = 8 8 x= =4 2 E. 47 Addizionando a un numero la sua metà, la sua terza parte la sua quarta parte si ottiene 25. Qual è questo numero? x x x x + + + = 25 2 3 4 12 x + 6 x + 4 x + 3x 300 12 ⋅ = ⋅ 12 12 12 25 x = 300 300 x= = 12 25 E. 48 Trova il numero naturale che addizionato al suo successivo dia 563. x + x + 1 = 563 2 x = 563 − 1 2 x = 562 562 = 281 x= 2 E. 49 Un numero è tale che il suo triplo diminuito di 6 è uguale alla sua terza parte aumentata di 2. Determina il numero. 1 x+2 3 3(3x − 6) x + 6 3⋅ = ⋅3 3 3 9 x − 18 = x + 6 9 x − x = 6 + 18 8 x = 24 24 =3 x= 8 3x − 6 = E. 50 La somma dei 3 5 di un numero i suoi è 31. Calcola quel numero. 2 7 3 5 x + x = 31 2 7 21x + 10 x 434 14 ⋅ = ⋅ 14 14 14 31x = 434 434 x= = 14 31 E. 51 La differenza tra un numero e la metà del suo consecutivo è 13. Calcola quel numero. 1 x − ( x + 1) = 13 2 1 1 x − x − = 13 2 2 1 1 x − = 13 2 2 x − 1 26 2⋅ = ⋅2 2 2 x − 1 = 26 x = 26 + 1 x = 27 E. 52 Trova due numeri sapendo che la loro somma è 15 e che uno è i 2 dell’altro. 3 2 x = 15 3 3x + 2 x 45 3⋅ = ⋅3 3 3 5 x = 45 45 =9 x= 5 L’altro numero è: 15 − 9 = 6 x+ E. 53 Trova due numeri sapendo che la loro differenza è 6 e che uno è i 7 dell’altro. 5 7 x−x =6 5 7 x − 5 x 30 5⋅ = ⋅5 5 5 2 x = 30 30 x= = 15 2 L’altro numero è: 15 + 6 = 21 E. 54 La somma di due numeri è 24 e uno è i 5 dell’altro. Calcola i due numeri. 3 5 x = 24 3 3x + 5 x 72 3⋅ = ⋅3 3 3 8 x = 72 72 =9 x= 8 L’altro numero è: 24 − 9 = 15 x+ E. 55 La differenza tra due numeri è 12 e uno è i 3 x − x = 12 2 3x − 2 x 24 2⋅ = ⋅2 2 2 x = 24 L’altro numero è: 24 + 12 = 36 3 dell’altro. Calcola i due numeri. 2