A Mixture Approach to Bayesian Goodness of Fit

INSTITUT NATIONAL DE LA STATISTIQUE ET DES ETUDES ECONOMIQUES Série des Documents de Travail du CREST (Centre de Recherche en Economie et Statistique) n° 2002-12 A Mixture Approach to Bayesian Goodness of Fit C. P. ROBERT1 J. ROUSSEAU2 Les documents de travail ne reflètent pas la position de l'INSEE et n'engagent que leurs auteurs. Working papers do not reflect the position of INSEE but only the views of the authors. 1 CREST-INSEE and CEREMADE, Université Paris Dauphine, 75775 Paris Cédex 16. Email : [email protected] 2 CREST-INSEE and Université Paris 5, 75232 Paris Cédex 05. Email : [email protected] A Mixture Approach to Bayesian Goodness of Fit Christian P. ✁✄✂✆☎✞✝✠✟☛✡ CREST, INSEE, and CEREMADE, Université Paris Dauphine, 75775 Paris cedex 16 Judith ✁✄✂✆☞✆✌✍✌✎✝✑✏✒☞ CREST, INSEE, and Université Paris 5, 75232 Paris cedex 05 Summary. We consider a Bayesian approach to goodness of fit, that is, to the problem of testing whether or not a given parametric model is compatible with the data at hand. We thus consider a parametric family where denotes a cumulative distribution function for an unknown , that is, there exists with parameter . The null hypothesis is such that . If does not hold, is a random variable on which is not distributed as . The alternative nonparametric hypothesis can thus be interpreted as being distributed from a general cdf on , where is infinite dimensional. as Instead of using a functional basis as in Verdinelli and Wasserman (1998), we represent the (infinite) mixture of Beta distributions, Estimation within both parametric and nonparametric structures are implemented using MCMC algorithms that estimate the number of components in the mixture. Since we are concerned with a goodness of fit problem, it is more of interest to consider a functional distance to the tested model as the basis of our test, rather than the corresponding Bayes factor, since the later puts more emphasis on the parameters. We therefore propose a new test procedure based on , with both an asymptotic justification and a finite sampler implementation. ✓✕✔✗✖✙✘✛✚✢✜✤✣✦✥★✧✪✩✆✜ ✘✞✚ ✣ ✫✄✬✮✭✰✯✲✱✳✘✞✚ ✣ ✣ ✘✞✚✢✴✵✯★✶✷✱✹✸✺✴✼✻✽✜✿✾✙✶ ✫✮✬ ✘✞✚✢✴✵✯★✶ ✴✼✻✽✜✿✾✙✶ ✸✺✴✼✻✽✜❀✾✙✶ ✘✞✚✢✴✵✯★✶ ❁✪❂ ✴✼✻✽✜❀✾✙✶ ❃ ❁✪❂ ❄✠✬❅✸✺✴✼✻✽✜✿✾✙✶❇❆❈✴❉✾❋❊●❄✑✬✿✶☛❍❏■✙❑✞▲✍❄ ■✙▼❖◆ ✴✵P ■ ❉✜ ◗ ■ ✶❙❘ ❚ ✼✴ ✘✷✜❉✓✄✶ ❯✪❱✠❲ ❚ ✴❨❳☛✜❉✓✄✶❀❩ ✯❭❬❫❪ AMS 1991 classification. Primary 62C05. Secondary 60J05, 62F15, 65D30, 65C60. ❴✹❛❫❵ ❜✿❝✒❞ ❛✑❵ ❡ Nous considérons une nouvelle approche bayésienne des problèmes d’adéquation de loi, à savoir la compatibilité d’un modèle paramétrique avec un échantillon. Si la famille où est une fonction de répartition paramétrée par paramétrée s’écrit , l’hypothèse nulle est avec inconnu. Donc il existe tel que . Si n’est pas vrai, est une variable aléatoire sur qui n’est pas distribuée comme quelque soit . L’alternative non-paramétrique peut donc s’interpréter comme distribuée suivant une loi générale sur , où est de dimension infinie. Au lieu de faire appel à une base fonctionnelle comme dans Verdinelli et Wassercomme un mélange (infini) de lois béta man (1998), nous représentons L’estimation des modèles paramétrique et non-paramétrique se fait via des algorithmes MCMC qui évaluent le nombre de composantes dans le mélange. Pour évaluer l’adéquation à la loi, il nous semble plus intéressant de considérer une distance fonctionnelle au modèle testé, , plutôt que le facteur de Bayes, dépendant plus directement , des paramètres. Nous proposons une nouvelle procédure de test fondée sur en fournissant une justification asymptotique et une mise en œuvre à taille déchantillon finie. ✓❢✔❣✖✙✘✞✚❤✜✐✣❥✥❦✧✪✩✆✜ ✞✘ ✚ ✫✮✬❧✭❭✯♠✱✲✘✞✚ ✣ ✮✫ ✬ ✘✞✚✢✴✵✯★✶ ✸✺✴✼✻✽✜✿✾✙✶ ✣ ✘✞✚✢✴✵✯★✶ ❁♥❂ ❄✑✬✿✶☛❍❏■✙❑✞▲✍❄ ■✙▼❖◆ ✴✵P ■ ✜❉◗ ■ ✶❙❘ ✣ ✺✸ ✴✼✻✽✜✿✾✙✶ ❚ ✴✼✘✷✜❉✓✄✶ ❁♥❂ ✴✼✻✽✜❀✾✙✶ ✣ ✴✼✻✽✜✿✾✙✶ ❃ ✘✞✚✢✴✵✯★✶❭✱ ❄✑✬❅✸✺✴✼✻✽✜✿✾✙✶✒❆✗✴❉✾♦❊ ❯✪❱✠❲ ❚ ✴❨❳☛✜❉✓✄✶❀❩ ✯❭❬✽❪ Mots-clés: Inférence bayésienne, mélanges de lois béta, processus de vie et mort, consistence, algorithmes MCMC, estimation non-paramétrique, modèle à dimension variable Keywords: Bayesian inference, Beta mixture distribution, birth-and-death process, consistency, MCMC algorithms, nonparametric estimation, variable dimension model ♣✐qsr✎t✤✉✇✈❙①✙t❅②✤③ ①✎④ ④ ⑤❥⑥❅⑦☛✈☛✈✑r✎t❅②✤⑧✿⑨❶⑩✢⑤❥❷❹❸❻❺❋❼●❽❻❾☛⑧❿②➁➀✷r✎t✤✉s❷❹❽♦➂❹➃✽➄❹❼●❽✰➅❋➃❫➆✷❺➈➇✍➉✿➃ ✻✍✻ ➇❤➊✇r✍❾➌➋ ➍✆➎✎➏♦➐❙➑✽➒❨➓✎➒✵➔✼➎✎→✑➓✍➣ ➓✎→✑↔✄↕☛➒❨➓✎➒✵➔➛➙✤➒✵➔✼➜✤➓✍➣✠➝❶➞✐➒➛➟❫➎✿↔✎➙❖➠❀➎✎➡➢➒➛➟☛➞➢➤❋→✑➓✍➣ ➥✎➙✤➔➛➙✪➎❉➠♥↕✍➐❫➓✎➒✵➔✼➓✍➣✑➦✪➓✎➒❨➓✞➧ ➨ Bayesian Goodness of Fit 1 1. Introduction ✂✁☎✄✝✆✟✞✡✠☛✁✌☞✍✠☛✎✏☞✑✄ ✒✓☞✍✄ ✔✕✁✌✖✘✗✌✖✙✆✚✁✜✛☛✔✣✢✤✠☛✎✥✆✚✁✌✗✌✠✓✔✑✒✦✢✧✄ ★✦✩✫✪✑✬ ✁✚✭✮✁✌✠✮✩✫✠✓✯✰✖✱✪✑✲✍✳✴✄ ✁✌☞✵✛✶✆✌✛✷✁✌✄✝✆✚✎✸✛✓✩✹✁✌✠✓✗✌✭✮✔✑✠☛✁✌✄ ✠✓✔✺✠☛✎ ✛✰✻✼✛✽✭✓✖✙✆✾✄✝✛☛✔✶✁✌✖✙✆✚✁✴✎✿✠✓✗✴✒✓✠❀✠✧✢✧✔✑✖✙✆✌✆✼✠☛✎❂❁✑✁✴✁✌✠✦✛✰✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✺✠✓✗❃✁✌✠✦✛❄✎✸✛☛✯✰✄ ✬ ✭✮✠☛✎❅✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✣✆ ❆❈❇❊❉✽❋❅●✷❍✏■✰❏✵❑✱▲▼❍ ✳✴☞✑✖✘✗✌✖✱❋❅●✱✢✧✖✘✔✑✠☛✁✌✖✙✆☎✛✶✩✫✪✑✯❄✪✑✬✝✛✷✁✌✄ ◆✓✖❄✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✺✎✿✪✑✔✣✩✹✁✌✄ ✠✓✔✍✳✴✄ ✁✌☞❖✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✖✘✗✟■✑◗✑✎✿✠✓✗✜✛✰✒✓✄ ◆✓✖✘✔❖✆✌✛☛✯✰✲✑✬ ✖ ❘✵❙❚❇❱❯✿❲❨❳✷❍✘❩✘❩✘❩✫❍✾❲ ❙✣❬✹❭❫❪ ✄ ✔✣✆✾✄✝✆✚✁✴✠✓✔✤✁✌☞✑✖❞✢✧✄ ★✦✩✫✪✑✬ ✁✚✭ ☞✑✖✮✄ ✔✕✁✌✖✘✗✌✖✙✆✚✁❴✠☛✎✴✁✌☞✑✖✮✲✑✗✌✠✓✞✑✬ ✖✘✯✶✛✷✁✌✄✝✩✦✞✡✖✘✄ ✔✑✒❫✆✾✖✘✬ ✎❛❵✂✖✫❜✧✲✑✬✝✛☛✔✣✛✷✁✌✠✓✗✌✭✓◗❝✬ ✖✫✁❴✪✣✆❄✗P✛✷✁✌☞✑✖✘✗ ❭ ❡✔✮✗✌✖✘✒✓✪✑✬✝✛☛✗▼✁✌✖✙✆✚✁✌✄ ✔✑✒❴✲✑✗✌✠✓✞✑✬ ✖✘✯✶✆✘◗✕✁✌☞✑✖❢✻✼✛✽✭✓✖✙✆✾✄✝✛☛✔✦✆✾✠✓✬ ✪✧✁✌✄ ✠✓✔❣◗✧✛✓✆✼✢✧✖✙✆✌✩✫✗✌✄ ✞✡✖✙✢✦✄ ✔✮✯✰✠✕✆✚✁❃✁✌✖✫❜❀✁✌✞✡✠❀✠✓❤✧✆❢❯✸✆✾✖✘✖✓◗ ✖ ✒ ◗✡✐✴✠✓✞✡✖✘✗✾✁✙◗❦❥☛❧✓❧✑♠ ◗✑✄✝✆✴✁✌✠✦✞✑✪✑✄ ✬✝✢✍✛✶✲✑✗✌✄ ✠✓✗☎✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✍✠✓✔✍✖✙✛✓✩P☞✺✯✰✠✧✢✧✖✘✬❝✛☛✔✣✢✤✁✌✠✮✢✧✖✘✗✌✄ ◆✓✖❢✁✌☞✑✖✶♥☎♦✷♣✓q✹r ❭ ❭ ❬ s ♦✓t✫✉❡✈✷✇✹◗✡✗P✛✷✁✌✄ 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✖✘✗✴✁✌☞✑✖❴✆✌✛☛✯✰✲✑✬ ✖✱✄✝✆✘◗✑✁✌☞✑✖❄✯✰✠✓✗✌✖✱✗✌✖✘✬ ✖✘◆✷✛☛✔✕✁✴✁✌☞✑✖ ❭ ✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✗✌✄✝✩☎✯✰✠✧✢✧✖✘✬❣✯✰✄ ✒✓☞✕✁✴✒✓✖✫✁ ❭ ☞✑✖❢➠✕✪✣✛☛✔✕✁✌✄ ✁✚✭✰✠☛✎❂✄ ✔✕✁✌✖✘✗✌✖✙✆✚✁❃✄✝✆▼✁✌☞✑✖✘✔✦✁✌☞✑✖❢✢✧✄✝✆✚✁P✛☛✔✣✩✫✖☎✞✡✖✫✁✚✳❃✖✘✖✘✔✦✁✌☞✑✖☎✁✌✗✌✪✑✖✜✢✧✖✘✔✣✆✾✄ ✁✚✭✦✛☛✔✣✢✰✁✌☞✑✖❢✲✑✗✌✠✓✲✡✠✕✆✾✖✙✢ ❪ ✯✰✠✧✢✧✖✘✬➞◗ ➓ ❯✄✂✡❍✾❆ ⑦❫✖✼✛☛✲✑✲✑✗✌✠✽❜✧✄ ✯✶✛✷✁✌✖❅✁✌☞✑✄✝✆❅➠✕✪✣✛☛✔✕✁✌✄ ✁✚✭✜✪✣✆✾✄ ✔✑✆ ✒ ☎✞✝❨❷ ➓ ❯✄✂✡❍✾❆ ❘ ❙ ❹ ✠✟✁✌✖✙✆✚✁❂✁✌☞✑✖❃✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✗✌✄✝✩ ❬✹❭ ❬✠✟ ❭❝❪ ✯✰✠✧✢✧✖✘✬➞◗✏✳❃✖✮✯❄✪✣✆✚✁❄✁✌☞✑✖✘✗✌✖✫✎✿✠✓✗✌✖✮✩✫✠✓✯✰✲✣✛☛✗✌✖✶✁✌☞✑✖✤✛☛✞✡✠✷◆✓✖✦✲✡✠✕✆✚✁✌✖✘✗✌✄ ✠✓✗✱✖✫❜✧✲✡✖✙✩✹✁P✛✷✁✌✄ ✠✓✔❚✳✴✄ ✁✌☞➑✛✵➠✕✪✣✛☛✔✕✁✌✄ ✁✚✭✵✁✌☞✣✛✷✁ ✎✸✛☛✗❢✎✿✗✌✠✓✯ ✳❃✠✓✪✑✬✝✢✱✩P☞✣✛☛✗P✛✓✩✹✁✌✖✘✗✌✄ ✡✘✖✏✄ ✁P✆❂✞✡✖✘☞✣✛✽◆❀✄ ✠✓✪✑✗❂✪✑✔✣✢✧✖✘✗❝✁✌☞✑✖▼✔❀✪✑✬ ✬❀☞❀✭❀✲✡✠☛✁✌☞✑✖✙✆✾✄✝✆ ✠☛☛ ✎ ☎✞✝❨❷ ➓ ❯✄✂✡❍✾❆ ❬✠✟ ☞ ❙ ❹✂◗✑✳✴☞✑✖✘✔ ☞ ✄✝✆✴✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✖✙✢✍✛✓✩✘✩✫✠✓✗P✢✧✄ ✔✑✒✱✁✌✠ ❙ ❼✕❯✎✍ ❙ ✌ ✟ ❘ ❙ ❬ ❇➅➔✑✏✒✂☛●☛❯ ❙ ☞ ➓✔✓ ❼❀❯✿■ ❬ ✟ ❙ ❘ ✳✴☞✑✄✝✩P☞❴✄✝✆✏✄ ✁P✆✖❦ ✕ ✇✌✘ q ✗✚✙✸t✫✄✉ ✙✜✛✷q▼✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔❴✪✑✔✣✢✧✖✘✗✏✁✌☞✑✖✴✔❀✪✑✬ ✬✧☞❀✭❀✲✡✠☛✁✌☞✑✖✙✆✾✄✝✆ ✢➜❷✄☎ ✝ ❷ ➓ ❯✄✂✡❍✾❆ ❬✠✟ ✍ ❙ ❹✤✣✥☎ ✝ ❷ ➓ ❯✄✂✡❍✾❆ ❬✠✟ ✠✜✢✧✠✜✆✾✠✣◗✽✳❃✖▼✪✣✆✾✖▼✁✌☞✑✖❃✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔ ❭❝❪ ❘ ❍ ❬ ☞✑✖✼✁✌✖✙✆✚✁▼✩✫✠✓✔✣✆✾✄✝✆✚✁P✆❝✄ ✔✰✖✘◆✷✛☛✬ ✪✣✛✷✁✌✄ ✔✑✒ ❭❅❪ ❙ ❹ ✟ ❙ ❹✕❍ ❘ ✌ ❼✕❯✎✍ ❙ ✟ ❘ ❙ ❬✹❭ ⑦❫✖❄✲✑✗✌✠✷◆✓✖✓◗✣✄ ✔❖✆✾✖✙✩✹✁✌✄ ✠✓✧ ✔ ✦❴✁✌☞✣✛✷✁❢✆✾✪✣✩P☞❖✛✰✁✌✖✙✆✚✁✜✄✝✆☎✩✫✠✓✔✣✆✾✄✝✆✚✁✌✖✘✔✕✁✙◗✡✄ ✔✺✁✌☞✑✖❴✆✾✖✘✔✣✆✾✖❞✁✌☞✣✛✷✁☎✁✌☞✑✖❴✛☛✞✡✠✷◆✓✖❞✲✑✗✌✠✓✞✧❵ ✳✴☞✑✖✘✗✌✖✜✁✌☞✑✖❞✲✑✗✌✠✓✞✣✛☛✞✑✄ ✬ ✄ ✁✚✭✶✄✝✆✟✩✘✛☛✬✝✩✫✪✑✬✝✛✷✁✌✖✙✢✮✪✑✔✣✢✧✖✘✗ ✛☛✞✑✄ ✬ ✄ ✁✚✭✮✒✓✠❀✖✙✆✼✁✌✠★✘ ✡ ✖✘✗✌✠✦✛✓✪ ✆ ⑧ ✩ ✒✓✠❀✖✙✆✼✁✌✠✶✄ ✔✧❁✣✔✑✄ ✁✚✭✺✪✑✔✣✢✧✖✘✗✟✁✌☞✑✖❄✛☛✬ ✁✌✖✘✗✌✔✣✛✷✁✌✄ ◆✓✖✱✛☛✔✣✢✤✁✌☞✣✛✷✁✟✁✌☞✑✖❄✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✍✠☛✎ ☎✞❨ ✝ ❷ ➓ ❯✄✂✡❍✾❆ ❬✠✟ ✲✡✠☛✁✌☞✑✖✙✆✾✄✝✆✘◗✑✆✾✖✘✖ ✍ ❙ ❹✥✄✝✆✜✖✙➠✕✪✑✄ ◆✷✛☛✬ ✖✘✔✕✁✜✁✌✠✮✁✌☞✑✖❴✁✌✗✌✪✑✖✰✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔❫✠☛✫ ✎ ☎✞✝❨❷ ➓ ❯✄✂✡❍✾❆ ❘ ❙ ❹✥✪✑✔✣✢✧✖✘✗✜✁✌☞✑✖✰✔❀✪✑✬ ✬❅☞❀✭✕❵ ❬✠✟ ☞✑✄✝✆❃✁✌✖✙✆✚✁✟✲✑✗✌✠✧✩✫✖✙✢✧✪✑✗✌✖❢✄✝✆❃✁✌☞✑✖✘✗✌✖✫✎✿✠✓✗✌✖❞✛☛✬✝✆✾✠✰✆✌✛✷✁✌✄✝✆✚✎✿✭❀✄ ✔✑✒❴✎✿✗✌✠✓✯➆✛❴✎✿✗✌✖✙➠✕✪✑✖✘✔✕✁✌✄✝✆✚✁ ☞✑✖✘✠✓✗✌✖✘✭ ✯ ✬ ❪ ❭✥❪ ✲✡✠✓✄ ✔✕✁✴✠☛✎❅◆❀✄ ✖✘✳❞◗✑✆✾✄ ✔✣✩✫✖❞✄ ✁✟✄✝✆✼✖✙➠✕✪✑✄ ◆✷✛☛✬ ✖✘✔✕✁✴✁✌✠✰✪✣✆✾✄ ✔✑✒✶✛ ☞✑✖▼✲✣✛☛✲✡✖✘✗❂✄✝✆❣✠✓✗✌✒✕✛☛✔✑✄✝✆✾✖✙✢✜✛✓✆❨✎✿✠✓✬ ✬ ✠✷✳✟✆✘①❨✄ ✔ ➇ ❵✂◆✷✛☛✬ ✪✑✖ ❭ ⑤ ✖✙✩✹✁✌✄ ✠✓✔❄❥✧◗✽✳❃✖▼✢✧✖✫❁✣✔✑✖✏✁✌☞✑✖▼✲✑✗✌✄ ✠✓✗❂✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔❄✛✓✆✌✆✾✠✧✩✫✄✝✛✷✁✌✖✙✢ ❪ ✳✴✄ ✁✌☞✦✁✌☞✑✖❢✆✾✲✡✖✙✩✫✄ ❁✡✩✟✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖✜✠☛✎❂✻❃✖✫✁P✛❄✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✣✆✜❯✚♠ ➟✧✄ ✔ ⑤ ✖✙✩✹✁✌✄ ✠✓✯ ✔ ✑ ✮ ◗❀✳❃✖✜✆✾☞✑✠✷✳➑✁✌☞✣✛✷✁❃✁✌☞✑✖✜✲✡✠✕✆✚✁✌✖✘✗✌✄ ✠✓✗ ❬ ✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✦✠☛✎❣✁✌☞✑✖☎✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✖✘✗P✆✥✠☛✎❝✛✱✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖☎✠☛✎❂✻❃✖✫✁P✛❄✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✣✆❃✄✝✆❃✩✫✠✓✔✣✆✾✄✝✆✚✁✌✖✘✔✕✁✙➟❀✄ ✔ ⑤ ✖✙✩✹✁✌✄ ✠✓✯ ✔ ✣ ✬ ◗ ✳❃✖❞✖✫❜✧✲✑✬✝✛☛✄ ✔✤✁✌☞✑✖✱✖✙✆✚✁✌✄ ✯✶✛✷✁✌✄ ✠✓✔✺✲✑✗✌✠✧✩✫✖✙✢✧✪✑✗✌✖✱✛✓✆✌✆✾✠✧✩✫✄✝✛✷✁✌✖✙✢✮✳✴✄ ✁✌☞✺✁✌☞✑✄✝✆✟✲✡✠✕✆✚✁✌✖✘✗✌✄ ✠✓✗✟✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔❣➟✡✄ ✔ ⑤ ✖✙✩✹✁✌✄ ✠✓✔ ✦✧◗✽✳❃✖✼✢✧✖✫✁P✛☛✄ ✬✕✁✌☞✑✖▼✁✌✖✙✆✚✁❅✠☛✎✣✒✓✠❀✠✧✢✧✔✑✖✙✆✌✆❣✠☛✎✑❁✑✁✙➟ ⑤ ✖✙✩✹✁✌✄ ✠✓✔❴➦☎✩✫✠✓✔✣✩✫✬ ✪✣✢✧✖✙✆❂✳✴✄ ✁✌☞❴✛☎✄ ✬ ✬ ✪✣✆✚✁✌✗P✛✷✁✌✄ ✠✓✔✱✠☛✎✑✁✌☞✑✖✼➒✟✖✘✬ ✬ ✄ ✔✑✒✓✖✘✗ ✢✧✄✝✆✚✁P✛☛✔✣✩✫✖✙✆❃✎✿✠✓✗✟✆✾✠✓✯✰✖❞✆✾✄ ✯❄✪✑✬✝✛✷✁✌✖✙✢✤✆✌✛☛✯✰✲✑✬ ✖✙✆ ❭ 2. Mixtures of Beta distributions 2.1. Representation ✰ ✄ ◆✓✖✘✔❚✁✌☞✣✛✷✁✦✛☛✔❀✭❿✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔➑✠✓✔➅❷ ❧✑❍✘♠✫❹✟✩✘✛☛✔❿✞✡✖❖✛☛✲✑✲✑✗✌✠✽❜✧✄ ✯✶✛✷✁✌✖✙✢❚✛✓✆✰✛❫✄ ✔✧❁✣✔✑✄ ✁✌✖✺✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖✺✠☛✎❢✻❃✖✫✁P✛ ✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✣✆✘◗ ➇ ➋✽➍ ➊ ❳ ➋✙➌ ❯✲✱ ➋ ✳❃✖❞✢✧✖✫❁✣✔✑✖❢✁✌☞✑✖❞✒✓✖✘✔✑✖✘✗P✛☛✬❨✛☛✬ ✁✌✖✘✗✌✔✣✛✷✁✌✄ ◆✓✖☎✁✌✠✶❘③②❿➀✰❯✾❷ ❧✑❍✘♠✫❹ ❘③② ➇ ➋✽➍ ➊ ❳ ➋✙➌ ❍✴✳ ➋ ❬ ❍ ✁✌✠✶✞✡✖ ❬ ❯✲✱ ➋ ❍✴✳ ➋ ❬ ➇ ➋ ➊ ❳ ➋✙➌ ❇➁♠✥❩ ⑦❫✖✍✛☛✗✌✖✮✁✌☞❀✪✣✆❴✎✸✛✓✩✫✄ ✔✑✒❶✛✵✗P✛✷✁✌☞✑✖✘✗✶✆✚✁P✛☛✔✣✢✑✛☛✗P✢❚✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖✺✖✙✆✚✁✌✄ ✯✶✛✷✁✌✄ ✠✓✔➑✲✑✗✌✠✓✞✑✬ ✖✘✯ ✰ ✩✫✠✓✯✰✲✡✠✓✔✑✖✘✔✕✁P✆✶✄✝✆✶✪✑✔✑❤❀✔✑✠✷✳✴✔❣◗✼✛✓✆✶✄ ✔④✐✴✄✝✩P☞✣✛☛✗P✢✑✆✾✠✓✔➜✛☛✔✣✢ ✛☛✲✑✲✑✗✌✠✕✛✓✩P☞❫✳❃✖✰✎✿✠✓✬ ✬ ✠✷✳ ✄✝✆ ⑤ ✁✌✖✘✲✑☞✑✖✘✔✷✶ ✆✤❯➞❥☛❧✓❧✓❧ ✗✌✖✘✖✘✔➁❯✚♠✙⑨✓✑ ⑨ ✵ ◗❝✛✓✆✱✢✧✖✫✁P✛☛✄ ✬ ✖✙✢❫✞✡✖✘✬ ✠✷✳ ❬ ❭ ❬❽➤ ✁✌✖✙✆✚✁✌✄ ✔✑✒✰✲✑✗✌✠✓✞✑✬ ✖✘✯✺◗✧✳❃✖❞✗✌✖✘✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✖✘✗✌✄✝✆✾✖✟✁✌☞✑✖❞✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖❞✛✓✆❃✎✿✠✓✬ ✬ ✠✷✳✟✆✘① ➇ ❼P➀✰❯✸❧✑❍✘♠ ❬❣➈ ❯✚♠✴➉ ✸ ➇ ❼ ❬ ➊ ➇ ➋✽➍ ❳ ➋✺✹ ❯✲✱ ➋✼✻✹➋ ❍✽✱ ➋ ❯✚♠✴➉ ✻✹➋ ❬✾❬ ❬ ✠✓✗ ✳✴☞✑✖✘✗✌✖✮✁✌☞✑✖✍✔❀✪✑✯❄✞✡✖✘✗✰✠☛✎ ⑤ ✁✌✖✘✲✑☞✑✖✘✔✣✆✵❯➞❥☛❧✓❧✓❧ ❯ ☞✑✖ ❬✹❭ ❪ ✪✑✖✶✁✌✠✍✁✌☞✑✖✮✆✾✲✡✖✙✩✫✄ ❁✡✩✫✄ ✁✚✭✵✠☛✎✼✁✌☞✑✖ ➇ ➋ ➊ ❳ ➋✙➌ ❇➁♠✥❍ ❯➞❥ ❬ Bayesian Goodness of Fit 3 ✌✁ ✠✟✆✾✄ ✒✓✔✑✄ ✎✿✭✟✁✌☞✣✛✷✁❣✁✌☞✑✖✥✔❀✪✑✬ ✬✓☞❀✭❀✲✡✠☛✁✌☞✑✖✙✆✾✄✝✆❣✩✫✠✓✗✌✗✌✖✙✆✾✲✡✠✓✔✣✢✑✆✡✁✌✠ ➇ ❼❢❇❊♠✥✛☛✔✣✢✜✁✌☞✣✛✷✁❣✁✌☞✑✖▼✛☛✬ ✁✌✖✘✗✌✔✣✛✷✁✌✄ ◆✓✖✏✩✫✠✓✗✌✗✌✖✙✆✾✲✡✠✓✔✣✢✑✆ ✁✌✠ ➇ ❼✁❇ ♠✓◗✣✪✑✔✣✢✧✖✘✗✴✁✌☞✑✖✱✄✝✢✧✖✘✔✕✁✌✄ ❁✡✛☛✞✑✄ ✬ ✄ ✁✚✭✺✩✫✠✓✔✣✆✚✁✌✗P✛☛✄ ✔✕✁✼✁✌☞✣✛✷✁☎✔✑✠✓✔✑✖✱✠☛✎❝✁✌☞✑✖✱✠☛✁✌☞✑✖✘✗☎✩✫✠✓✯✰✲✡✠✓✔✑✖✘✔✕✁P✆ ➍ ❯✸➏ ➋ ❍P➐ ➋ ❬ ✄✝✆✼✖✙➠✕✪✣✛☛✬❦✁✌✠❄➀✰❯✸❧✑❍✘♠ ❬✹❭ ✰ ✄ ◆✓✖✘✔❄✁✌☞✑✖✟✢✧✄ ★✦✩✫✪✑✬ ✁✥✄✝✢✧✖✘✔✕✁✌✄ ❁✡✛☛✞✑✄ ✬ ✄ ✁✚✭✱✄✝✆✌✆✾✪✑✖✙✆✏✩✫✠✓✔✑✔✑✖✙✩✹✁✌✖✙✢❄✳✴✄ ✁✌☞✰✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖✙✆✴❯✸✆✾✖✘✖✄▼ ✂ ✖✘✬ ✖✘✪✧❜✍q✫✉❅✆♦ ☎ ✝ ◗✧❥☛❧✓❧✓❧ ✛☛✔✣✢✜✁✌☞✑✄✝✆❝✗✌✖✘✲✑✗✌✖✙✆✾✖✘✔✕✁P✛✷✁✌✄ ✠✓✔❢✠☛✎✣❻❴❼✓◗✷✳❃✖❃✩✫✄ ✗P✩✫✪✑✯❄◆✓✖✘✔✕✁❣✁✌☞✑✄✝✆❝✢✧✄ ★✦✩✫✪✑✬ ✁✚✭❞✞❀✭✶❯✸✛ ❬ ✗✌✖✙✆✾✠✓✗✾✁✌✄ ✔✑✒✼✁✌✠✟✁✌☞✑✖❃✖✙✆✚✁✌✄ ✯✶✛✷✁✌✄ ✠✓✔ ❬ ✠☛✎❃✁✌☞✑✖✤✢✧✄✝✆✚✁P✛☛✔✣✩✫✖✶✞✡✖✫✁✚✳❃✖✘✖✘✔④❯➞❥ ❬ ✛☛✔✣✢❖➀✰❯✸❧✑❍✘♠ ❬ ◗❝✞❀✭❀✲✣✛✓✆✌✆✾✄ ✔✑✒✍✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✖✘✗✌✄✝✆✌✛✷✁✌✄ ✠✤✲✑✗✌✠✓✞✑✬ ✖✘✯✶✆✘◗❅✛☛✔✣✢⑧✞❀✭➑❯✿✞ ❬ ✆✾✖✘✬ ✖✙✩✹✁✌✄ ✔✑✒✶✛☛✔✺✛☛✲✑✲✑✗✌✠✓✲✑✗✌✄✝✛✷✁✌✖✜✲✑✗✌✄ ✠✓✗✴✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔ ❭ ➥✑✠✓✗❢✆✾✄ ✯❄✪✑✬✝✛✷✁✌✄ ✠✓✔❖✗✌✖✙✛✓✆✾✠✓✔✣✆☎✢✧✄✝✆✌✩✫✪✣✆✌✆✾✖✙✢✍✄ ✞ ✔ ❃✂ ✛☛✲✑✲✠✖✤✟ q✫✉☎✆♦ ☎ ✝✮❯➞❥☛❧✓❧✑♠ ◗✡✳❃✖❴✛☛✬✝✆✾✠✮✩P☞✑✠❀✠✕✆✾✖✱✁✌✠✮✗✌✖✘✲✑✬✝✛✓✩✫✖✱✁✌☞✑✖ ✳❃✖✘✄ ✒✓☞✕✁P✆ ➇ ➋ ✳✴✄ ✁✌☞✺✁✌☞✑✖✘✄ ✗✴✪✑✔✣✆✌✩✘✛☛✬ ✖✙✢✮◆✓✖✘✗P✆✾✄ ✠✓✔❣◗☛✡ ➋ ◗✑✔✣✛☛✯✰✖✘✬ ✭✵✌❯ ☞✶❇➁♠✓❍✘❬❩✘❩✘❩✫❍✎✍ ❬ ✡ ✓❧ ✒✔✡ ➋ ✒❽♠✥❩ ➇➋ ❇ ✏ ✸ ➋ ✡ ❍ ✑✹ ❳ ✑ ✕✟✠☛✁✌✖✜✛✷✁▼✬✝✛✓✆✚✁▼✁✌☞✣✛✷✁▼✁✌☞✑✖✜✗✌✖✘✲✑✗✌✖✙✆✾✖✘✔✕✁P✛✷✁✌✄ ✠✓✔✰✠☛✎❂✛❄✻❃✖✫✁P✛✱✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✮✛✓✆ ➍✼➎ ✲❯ ✱ ➋✼✻✹➋ ✽❍ ✱ ➋ ❯✚♠✏➉ ✻✹➋ ❬✾❬ ✄✝✆❃✩P☞✑✠✕✆✾✖✘✔ ✁✌✠✶✢✧✄✝✆✚✁✌✄ ✔✑✒✓✪✑✄✝✆✾☞✺✞✡✖✫✁✚✳❃✖✘✖✘✔✮✁✌☞✑✖✱✆✌✩✘✛☛✬ ✖ ✱ ✗ ❧ ✘ ✻✹➋ ✘➅♠ ❭ ➋ ✖ ❧✰✛☛✔✣✢✦✁✌☞✑✖❞✲✡✠✕✆✾✄ ✁✌✄ ✠✓✔✍✙ ✚ ✬ ✁✌☞✑✠✓✪✑✒✓☞➜✛✵✗✌✖✘✒✓✪✑✬✝✛☛✗✶✩✫✠✓✔✷➢✚✪✑✒✕✛✷✁✌✖✤✲✑✗✌✄ ✠✓✗✶✩✫✠✓✪✑✬✝✢❿✞✡✖✺✪✣✆✾✖✙✢❿✄ ✔➑✁✌☞✑✄✝✆✶✆✾✖✫✁✾✁✌✄ ✔✑✒✤➢✚✪✣✆✚✁✮✛✓✆❴✄ ✔ ➤ ✄ ✖✘✞✡✠✓✬ ✁✦✛☛✔✣✢ ✐✴✠✓✞✡✖✘✗✾✁❴❯✚♠✙⑨✓⑨✓❧ ✠✓✗✜✐✴✄✝✩P☞✣✛☛✗P✢✑✆✾✠✓✔❖✛☛✔✣✢ ✗✌✖✘✖✘✔❚❯✚♠✙⑨✓⑨ ◗✡✳❃✖✱✔✑✠✷✳➁✞✑✪✑✄ ✬✝✢❖✛✮✆✾✲✡✖✙✩✫✄ ❁✡✩✱✲✑✗✌✄ ✠✓✗✜✧✢ ✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔ ✄ ✔❖✠✓✗P✢✧✖✘✗✴✁✌✠✮✠✓✲✑❬ ✲✡✠✕✆✾✖✱✁✌☞✑✖❄✪✑✔✑✄ ✎✿✠✓✗✌✯ ✩✫✠✓✯✰✲✡✠✓✔✑✖✘✔✕✁✜✠☛✎✏✁✌❬ ☞✑✖❄✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖✤❯➞❥ ❬ ✳✴✄ ✁✌☞❖✁✌☞✑✖❄✠☛✁✌☞✑✖✘✗❢✩✫✠✓✯✰✲✡✠✓✔✑✖✘✔✕✁P✆ ❭ ⑤ ✠✮✳❃✖❴✩P☞✑✠❀✠✕✆✾✖❴✛✦✪✑✔✑✄ ✎✿✠✓✗✌✯❱❉✕♠✓❍✘❩✘❩✘❩✹✎❍ ✍✜✛✣✢✥✕✤ ▲✶✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔❖✠✓✔❖✁✌☞✑✖❴✔❀✪✑✯❄✞✡✖✘✗✜✠☛✎❃✩✫✠✓✯✰✲✡✠✓✔✑✖✘✔✕✁P✆✘◗✦✍❚◗✡✁✌☞✑✖ ✲✑✗✌✄ ✠✓✗ ➇ ❼✜②★✧ ➎ ❯✸❧✑❩ ⑩✑❍✘♠✓❩ ❥ ❬ ❍ ❾ ✧ ➎ ❯✸❧✑❩ ⑩✑❍✘♠✓❩ ❥ ❬ ✑✰ ♦✽r✟♦✷❾ ❛❾✵✴✥❾ ❛✉❡q ✠✓✔ ➇ ❼✪✩ ❛❾✤✈✷✇ ✓q✫✇✼✉❡✈ s ♦ ✷✈ ✇❃r✬✫✶♦✆☎✭☎ ✷♦✆☎ q✹r✟✈ s ➇ ❼✯❨✮ r ❛❾❦tPq✼✉✱✑✰ q ✝r✹✉➞✇ ✳✲ ✉ ✸✈✷✗ ✫ ✈ ✓q❴♦✷✉❅❧✷✕✶ ◗❀✁✌☞✑✖❞✲✑✗✌✄ ✠✓✗ ✶ ✡ ➋ ②✸✧ ➎ ❯✚♠✓❍✹☞ ❬ ❍ ✶☞ ❇➁♠✓❍✘❩✘❩✘❩✫❍✎✍❖❍ ✠✓✔✍✁✌☞✑✗ ✖ ✡ ➋ ✆☎✎✿✠✓✗✜✲✣✛☛✗P✆✾✄ ✯✰✠✓✔❀✭✤✗✌✖✙✛✓✆✾✠✓✔✣✄✆ ✸✩ r✘✈✤✱✉ ✑✰ ♦✷✠✉ ✰ ✺✻✰✑q✫✇✦✈✷✇ ✓q✫✇✶tP✆✈ ✫ ✣✈✷❾❦q✫❾✣✉✸r✶♦✷✇✌q✙☎ q✹rPr✙☎ ✓✼ ✽q ☎ ♣✾✕✶ ◗❂✛☛✔✣✢✵✛ 2.2. Testing priors for Beta mixtures ✰ ✄✙ ✽✗ ✚✛ ✁ ✛ ✁ ✑✵ ✺✙ ✗✚✙ ✺✙ ✁ ✄✙ ✒✙ ✙ ✗ ✶ ✑✙ ✲✑✗✌✄ ✠✓✗✼✠☛✎❂✁✌☞✑✖❢✎✿✠✓✗✌✯ ❯✲✱ ➋ ❍ ✻✹➋ ❬ ② ✽✗ ✪✕ ✙ ❉✕♠✴➉❫✖✫❜✧✲❞❷ ➉❫❉✠❨✳ ❳✷✲❯ ✱ ➋ ➉❶❥ ❬✥✿❁▼❀ ➈ ✳ ❯ ✻✹➋ ➉➑❩ ✦ ❬✥✿✌❂ ▲✘❹➞▲ ➙ ✖✫❜✧❄ ✲ ❃❛✪➉ ❅✫✼❼ ✱ ✗ ❯✲✮ ❬ ✿❁➋ ❆ ❇ ❥✜➉❈❅✽❳ ❇ ❉✼✱ ➙➋ ✿✾❉ ✻ ➋✿✾❉ ❯✚♠✴➉ ✻✹➋ ❬✥✿✾❉ ▲✷❴❊ ❍ ✠✓✔✦✁✌☞✑✖✶✲❯ ✱ ➋ ❍ ✻✹➋ ✶ ✆✘◗✧✳✴☞✑✖✘✗✌✖●❋✹❼✓❍✘❩✘❩✘❩✘❍✎❋✬❍✓✥❍ ✫❅ ❼✕❍✥✽❅ ❳✽❍✴❨✳ ❳✽❍✴✳ ✛☛✗✌✖☎☞❀✭❀✲✡✖✘✗✌✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✖✘✗P✆ ☞✑✄✝✆✼✩P☞✑✠✓✄✝✩✫✖✜✄✝✆❃✲✑✪✑✗✌✲✡✠✕✆✚❵ ✖✙✢✧✬ ✭✍✢✧✖✙✆✾✄ ✒✓✔✑✖✙✢✺❬ ✁✌✠✤✛✽◆✓✠✓✄✝✢✤✁✌☞✑✖✺❯✲▼✱ ❍ ✻ ❬ ❇ ❯➞❥✧❍✘♠ ❇ ❥ ❬ ✗✌➙ ✖✘✒✓✄ ✠✓✔✺✎✿✠✓✗☎✁✌☞✑✖❄✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✖✘❭❅✗P❪✆✟✠☛✎✏✁✌☞✑✖❴✠☛✁✌☞✑✖✘✗❢✩✫✠✓✯✰✲✡✠☛❵ ✔✑✖✘✔✕✁P✆ ☞✑✖✘✗✌✖✱✠✓✞❀◆❀✄ ✠✓✪✣✆✾✬ ✭✦✄✝✆☎✛❴✎✸✛☛✄ ✗✜✛☛✯✰✠✓✪✑✔✕✁✟✠☛✎✥✛☛✗✌✞✑✄ ✁✌✗P✛☛✗✌✄ ✔✑✖✙✆✌✆✼✄ ✔✺✁✌☞✑✖❄✩P☞✑✠✓✄✝✩✫✖❞✠☛✎❅✁✌☞✣✛✷✁✜✆✾✲✡✖✙✩✫✄ ❁✡✩❞✲✑✗✌✄ ✠✓✗ ✠✓✔❫✁✌☞✑❭✼✖❫❪ ✲❯ ✱ ➋ ❍ ✻✹➋ ❬ ✶ ✆✘◗❝✞✑✪✧✁❴✄ ✁❄❁✑✁P✆✱✠✓✪✑✗✱✲✑✪✑✗✌✲✡✠✕✆✾✖✶✁✌☞✣✛✷✁✤❯✸✛ ❬ ✁✌☞✑✖✦✖✫❜❀✁✌✗P✛✷❵❡✩✫✠✓✯✰✲✡✠✓✔✑✖✘✔✕✁P✆❞✆✾☞✑✠✓✪✑✬✝✢❶✛✽◆✓✠✓✄✝✢✵✁✌☞✑✖ ✪✑✔✑✄ ✎✿✠✓✗✌✯ ✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✰✛✓✆❅✯❄✪✣✩P☞❴✛✓✆❝✁✌☞✑✖✘✭❄✩✘✛☛✔❴✛☛✔✣✢✤❯✿✞ ❬ ✁✌☞✣✛✷✁✥✆✾✯✶✛☛✬ ✬❀◆✷✛☛✬ ✪✑✖✙✆❅✠☛✎ ✱ ✻ ✛☛✔✣✢ ✱❃❯✚♠❦➉ ✻ ❬ ✆✾☞✑✠✓✪✑✬✝✢ ✛☛✬✝✆✾✠❴✞✡✖❞✖✫❜✑✩✫✬ ✪✣✢✧✖✙✢ ❭ ❡✔✤✁✌☞✑✖❢✎✿✠✓✬ ✬ ✠✷✳✴✄ ✔✑✒✰✆✾✄ ✯❄✪✑✬✝✛✷✁✌✄ ✠✓✔✣✆✘◗✧✳❃✖✜✁✌✠❀✠✓❤✦✁✌☞✑✖✱✆✾✲✡✖✙✩✫✄ ❁✡✩☎✎✿✠✓✗✌✯ ✲❯ ✱ ② ✑■ ♠✴➉❫✖✫❜✧❄ ✲ ❃❛✪➉ ❑▲✣■ ✲❯ ✱ ➋ ➉❶❥ ❬ ➙ ➈ ❯ ✻✹➋ ➉➑❩ ✦ ❬ ➙☛▼ ❊ ▼ ✖✫❜✧❄ ➉ ❖ ✱ ➙➋ ❇ ✻❥ ❊③✎❯ ✬ ❬ ✲ ❃✿✄➉ ◆ ❇ ✼❉ ✱ ➙➋ ✻✹➋ ❯✚♠✴➉ ✻✹➋ ❬ ▲✟✞ ➋ ❍ ✻✹➋ ❬ ❏ ✄ ✬ ✬ ✪✣✆✚✁✌✗P✛✷✁✌✖✙✢✶✞❀✭✶➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖❄♠✟✎✿✠✓✗✼✛❄✆✾✖✘✗✌✄ ✖✙✆✥✠☛✎❂◆✷✛☛✬ ✪✑✖✙✆▼✠☛✎▼❯✱✧❑ ❍✹◆✧❍✹❖ ✪✑✗❃✆✾✲✡✖✙✩✫✄ ❁✡✩✜✩P☞✑✠✓✄✝✩✫✖☎✄ ✔✶✁✌☞✑✖☎✎✿✠✓✬ ✬ ✠✷✳✴✄ ✔✑✒✣◗ ✪✑✔✑✬ ✖✙✆✌✆✼✠☛✁✌☞✑✖✘✗✌✳✴✄✝✆✾✖❞✆✾✲✡✖✙✩✫✄ ❁✣✖✙✢❨◗✧✄✝✆✱✱❯ ✧❑ ✹❍ ◆✧✹❍ ❖ ❬ ❇➁✄❯ ✦✧❍✘❩ ❧✑♠✓❍✘❩ ❧✑♠ ❬ ◗❀✳✴❬✹☞✑✠❭ ✄✝✩PP ☞✍✩✫✠✓✗✌✗✌✖✙✆✾✲✡✠✓✔✣✢✑✆✥✁✌✠✦➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖✱❥ ❭ ✚ ✆✤✄ ✔④✯✶✛☛✔❀✭❸✻✼✛✽✭✓✖✙✆✾✄✝✛☛✔❸✔✑✠✓✔✑✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✗✌✄✝✩❖✛☛✔✣✛☛✬ ✭✧✆✾✖✙✆✘◗✴✳❃✖✵✔✑✠✷✳ ✲✑✗✌✠✷◆✓✖✍✁✌☞✑✖⑧✩✫✠✓✔✣✆✾✄✝✆✚✁✌✖✘✔✣✩✫✭➑✠☛✎✱✁✌☞✑✖ ✲✡✠✕✆✚✁✌✖✘✗✌✄ ✠✓✗✙◗☛✳✴☞✑✄✝✩P☞✦◆✷✛☛✬ ✄✝✢✑✛✷✁✌✖✙✆✏✁✌☞✑✖✜✩P☞✑✠✓✄✝✩✫✖✟✠☛✎❨✁✌☞✑✖☎✲✑✗✌✄ ✠✓✗ ❭❝❪ ☞✑✖✙✆✾✖✜✩✫✠✓✔✣✆✾✄✝✆✚✁✌✖✘✔✣✩✫✭❄✗✌✖✙✆✾✪✑✬ ✁P✆❃✛☛✗✌✖✟✛☛✬✝✆✾✠✱✪✣✆✾✖✙✢❴✁✌✠ ✲✑✗✌✠✷◆✓✖✟✁✌☞✑✖✱✩✫✠✓✔✣✆✾✄✝✆✚✁✌✖✘✔✣✩✫✭✦✠☛✎❝✁✌☞✑✖❢✁✌✖✙✆✚✁✟✲✑✗✌✠✧✩✫✖✙✢✧✪✑✗✌✖✓◗❀✄ ✔ ⑤ ✖✙✩✹✁✌✄ ✠✓✔ ✮ ❭ ❥ ❭ 4 Robert and Rousseau 0 2 4 6 8 0.6 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 xi = 5 , zeta= 0.05 , kappa= 0.05 0.8 xi = 5 , zeta= 0.1 , kappa= 0.1 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 xi = 10 , zeta= 0.01 , kappa= 0.01 0 2 4 6 8 2 4 6 8 6 8 8 0 2 4 6 8 0.8 xi = 0.5 , zeta= 0.5 , kappa= 0.01 0.2 0.4 0.6 0.8 0.4 6 8 0.8 4 0.2 4 6 0.4 2 xi = 0.5 , zeta= 0.1 , kappa= 0.1 0.6 0.8 0.6 0.4 0.2 2 4 0.2 0 xi = 1 , zeta= 0.05 , kappa= 0.05 0 2 xi = 3 , zeta= 0.01 , kappa= 0.05 0.6 0.8 0.6 0.2 0.4 0.6 0.4 0.2 0 0 xi = 3 , zeta= 0.05 , kappa= 0.05 0.8 xi = 3 , zeta= 0.1 , kappa= 0.1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 Fig. 1. R’s ✂✁☎✄✆✄☎✝☎✞✠✟☛✡☎☞✍✌✏✎✑☞✍✒✏✓ representation of the prior distribution (3) for various values of ✕✴ ✔❫☛✜ ✖❫✘✜ ✑ ✗ ✶ Bayesian Goodness of Fit 5 xi= 5 , zeta= 0.01 , kappa= 0.01 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0.0 2 4 6 8 ➊ Fig. 2. R’s ✂✁☎✄✆✄☎✝☎✞✠✟☛✡☎☞✍✌✏✎✑☞✍✒✏✓ representation of the prior distribution (3) for ✕✴ ✔❫✜ ✖❫✜ ✗✑✶✆✔❦✴ ✜✤✻✽❘ ✻✽✾✍✜❿✻✽❘ ✻✽✾✙✶ 3. Convergence of the posterior distributions for Beta mixtures ✚ ✆☎✄ ✔✵⑥✏✖✘✗P✢✧✄ ✔✑✖✘✬ ✬ ✄❅✛☛✔✣✢✍⑦⑧✛✓✆✌✆✾✖✘✗✌✯✶✛☛✔❚❯✚♠✙⑨✓⑨✓⑩ ✩✱✑ ✰ q✫✇✌qP♦ s ✉❡q✫✇ ●✶P◗❦✳❃✖❄✗✌✖✘✳✴✗✌✄ ✁✌✖❞✁✌☞✑✖❴✲✑✗✌✠✓✞✑✬ ✖✘✯ ✂✁☎✄ ❬ ✁✌☞✑✖❞✛☛✲✑✲✑✗✌✠✓✲✑✗✌✄✝✛✷✁✌✖✘✔✑✖✙✆✌✆❃✠☛✎❅✛❴✎✸✛☛✯✰✄ ✬ ✭✦✠☛✎✏✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✣✆ ✠☛✎✏✁✌✖✙✆✚✁✌✄ ✔✑✒ ❆❈❇➅❉✽❋❅●☛❍✼■✶❏❖❑✱▲▼❍ ✳✴☞✑✖✘✗✌✖❄❋❅●✱✄✝✆✜✛✦✩✘✢❀✎▼✄ ✔✣✢✧✖✫❜✧✖✙✢✍✞❀✭✺✛✦✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✖✘✗✟■✺❏❶❑❄◗✣✎✿✠✓✗❢✛✶✒✓✄ ◆✓✖✘✔❖✆✌✛☛✯✰✲✑✬ ✖❄❲❨❳✽❍✘❍✘❩✘❩✘❩✘❍✾❲ ◗❨✛✓✆☎✛✶✁✌✖✙✆✚✁ ❙ ✈ ✇✬✫ ✙❛✉➞♣✶✎✿✠✓✗❄✁✌☞✑✖✦✁✌✗P✛☛✔✣✆✚✎✿✠✓✗✌✯✶✆ ❣❳✮❇ ❋❅●✓❯✿❲❨❳ ❍✘❩✘❩✘❩✘❍ ❇ ❋❅●✓❯✿❲ ◗❅✎✿✠✓✗❴✛✵✩✫✖✘✗✾✁P✛☛✄ ✔❶◆✷✛☛✬ ✪✑✖✮✠☛✎✟■ ✁ ❾ ✙s ✷ ❬ ❙ ❙✣❬ ❭ q ☎ ◗✑✄✝✆▼✁✌☞✣✛✷✁✼✁✌☞✑✖✱✆✌✛☛✯✰✲✑✬ ✖ ❣❳✽❍✘❩✘❩✘❩✘❍ ☞✑✖❢✛☛✬ ✁✌✘ ✖ ✗✌✔✣✛✷✁✌✄ ◆✓✖☎✁✌✠❴✁✌☞✑✄✝✆✼✔❀✪✑✬ ✬❨☞❀✭❀✲✡✠☛✁✌☞✑✖✙✆✾✄✝✆✘◗✑✛☛✬✝✆✾✠❴✩✘✛☛✬ ✬ ✖✙✢ s ✁ ☎✭☎ ✫✶✈ ✗✓✽ ❙ ❪ ✄✝✆✮✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✖✙✢➜✎✿✗✌✠✓✯➛✛☛✔④✛☛✗✌✞✑✄ ✁✌✗P✛☛✗✌✭❿✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔❸✠✓✔ ❷ ❧✑❍✘♠✫❹✂◗✴✗✌✖✘✲✑✗✌✖✙✆✾✖✘✔✕✁✌✖✙✢➜✛✓✆✮✛❶✲✡✠✕✆✌✆✾✄ ✞✑✬ ✭❿✄ ✔✧❁✣✔✑✄ ✁✌✖ ✝✆ ✠☛✎ ✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖✜✠☛✎❝✻❃✖✫✁P✛❴✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✣✆✪✩ ☛✄ ✌☞✎✍✑✏✒✏✓✍✕✾✔ ✶ ✍♦✽rPr✘q✫✬ ✇ ✫✶♦✷❾ ♦✷❾ ✗ ❪ ✲ ✖ ✗✒✘ ❇❊❉✚✂✤❇ ✂☛●✓❯✿❲ ✗✒✘ ✜✆ ✗✢ ✣ ❧ ✖ ❯✸✛ ❬ ❬ ✙ ❯✿■ ➙ ✍ ✴q✫✉➞✇✌✈✷❾❦q ❃▲▼❍ ❯✄✦ ✢ ✗ ✢ ✜✆ ✸ ❬ ❇ ➇ ❼ ❯✚♠✴➉ ➈ ➇ ❼ ❬ ➊ ✢ ✹ ❯ ➇ ❳ ❍ ❯✸➦ ❬ ✢ ✢ ❯✸➏ ❍P➐ ◗ ❱ ✍ ❏✤ ✕❄◗ ➇ ❼❞❏⑧❷ ❧✑❍✘♠✫❹✂◗ ➇ ➍✼➎ ❬ ☞✑✖❢✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✖✘✗P✆▼✎✿✠✓✗✼✁✌☞✑✄✝✆✴✒✓✖✘✔✑✖✘✗P✛☛✬❨✯✰✠✧✢✧✖✘✬❣✛☛✗✌✖✜✁✌☞✑✖✘✔ ❭✥❪ ✓ ✡✠ ✙❛❾ ✞✙ ✛✚ ❍✾■✶❏✵❑❄❍ ➜❏ ✢ ✢ ✢ ✎✤ ❯✳❖ ✍ ❍ ➇ ❼✓❍✫❉✷✡ ❍✌➏ ❍ ❴❇➁♠✓❍✘❩✘❩✘❩✥❶ ✍ ▲ ❍P➐ ✛☛✔✣✢ ❬ ② ✟ ✙ ❬ ◗✣✳✴☞✑✖✘✗✌✖ ✢✶✳❯ ✍ ❬✹❭ ✢ ❇ ✡ ❬ ⑦❫✖✱✛✓✆✌✆✾✪✑✯✰✖✜✁✌☞✣✛✷✁ ✦✥★✧ ✢✶❯✳✍ ✪✩✑✫ ❧✑◗ ✖ ✬✧ ✣ ✩ ❇ ✖ ✬ ✠✓✒ ✩ ✢❇ ✏ ✣ ✸ ✹ ❬ ✣ ✡ ❳ ◗ ■✰❏✵❑❄❩ ⑤ ✖✙✩✹✁✌✄ ✠✓✔✍❥ ❥✧◗✧✳❃✖❢✩✫✠✓✔✣✆✾✄✝✢✧✖✘✗✴✲✑✗✌✄ ✠✓✗P✆▼✠☛✎❂✁✌☞✑✖❢✎✿✠✓✗✌✯ ❭ ✓ ❳☎✄✝✆✟✛✓✆✌✆✾✪✑✯✰✖✙✢✦✁✌✠✶✆✌✛✷✁✌✄✝✆✚✎✿✭✶✁✌☞✑✖❢✎✿✠✓✬ ✬ ✠✷✳✴✄ ✔✑✒✶✩✫✠✓✔✣✢✧✄ ✁✌✄ ✠✓✔✣✆✘① ❡✔✺✛❴✯✰✠✓✗✌✖✜✒✓✖✘✔✑✖✘✗P✛☛✬✡✎✿✗P✛☛✯✰✖✘✳❃✠✓✗✌❤❴✁✌☞✣✛☛✔ ✓ ❳✷❯ ✕✣♦✷✇✌♦✆✫✶q✫✉❡q✫✇Pr✱♦✽r ✄✝✆✼✁✌☞❀✪✣✆✼✒✓✄ ◆✓✖✘✔❣◗✧✄ ✔✤✁✌✖✘✗✌✯✶✆✼✠☛✎✏✢✧✖✘✔✣✆✾✄ ✁✌✄ ✖✙✆✘◗✣✛✓✆ ❙ ❬✾❬ ✁✌☞✑✖✴✢✧✖✘✔✣✆✾✄ ✁✚✭✱✠☛✎✣✁✌☞✑✖✴✻❃✖✫✁P✛✜✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔ ➑❇ ✜✙ ❯✸❋❅●✕❯✿❲ ✛✷♦✆☎ ✁ q✘✗ ✞✆ ✄✝✆✼✁✌☞✑✖❞✢✧✖✘✔✣✆✾✄ ✁✚✭✮✠☛✎❅✛✰✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖❢✠☛✎✏✻❃✖✫✁P✛✰✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✣✆✘◗ ❯ ✳✴✄ ✁✌☞ ✎✗✒✘ ❬ ✟✆ ✙❛❾✣✉❡❁ q ✺✕q✫✇ q ✗✰✉❡✈ ✁ ✉▼❾❦✈✷✉✥✇✌q✹r✹✉➞✇✺✙✸t✫✉❡✘ ❭ ☞✑✖❢✎✿✪✑✬ ✬❣✯✰✠✧✢✧✖✘✬❣✠✓✔✮✁✌☞✑✖❞✠✓✞✣✆✾✖✘✗✌◆✷✛✷✁✌✄ ✠✓✔✣✆❃❲❨❳✷❍✘❍✘❩✘❩✘❩✫❍✾❲ ✳✴☞✑✖✘✗✌✖ ✡ ✞✆ ✜✙ ✓ ❯ ☎❍✾■ ❇ ❬ ❧✶✆✾✪✣✩P☞✮✁✌☞✣✛✷✁ ❬ ✒ ✒✭★✮ ➎ ❙ ❍ ❯ ✵ ❬ 6 ❯✿✞ ❬ ❯✸✩ ❬ ❯✸✢ ❬ Robert and Rousseau ✛ ✩ ✳✴✗✾✁ ❣✖✘✞✡✖✙✆✾✒✓✪✑✖❞✛☛✔✣✢✤✳✴✄ ✁✌☞✍✆✾✪✑✲✑✲✡✠✓✗✾✁✴✄✝✆✱❷ ❧✑❍✘♠✫❹ ➇ ❼✜② ✓ ❯ ➇ ❼ ✁ ✂▼✠✓✔✣✢✧✄ ✁✌✄ ✠✓✔✣❬ ✛☛✬☛✠✓❭ ✔✄❭ ✰ ✂ ◗✫✳❃✖✥✢✧✖✘✔✑✠☛✁✌✖✆❂☎ ✭❯ ✡✥❳✷❍✘❩ ❩ ❩ ❍✾✡ ✸ ❬ ✁✌☞✑✖✥✲✑✗✌✄ ✠✓✗❣✢✧✖✘✔✣✆✾✄❭ ✁✚✭☎✠✓✔✶❯✭✡✥❳✽❍✘❩ ❩ ❩ ❍✾✡ ✸ ❬ ✳✴✗✾✝✁ ❣✖✘✞✡✖✙✆✾✒✓✪✑✖ ⑦❫✖✱✛✓✆✌✆✾✪✑✯✰✖✜✁✌☞✣✛✷✁✞☎✤✄✝✆✟✩✫✠✓✔✕✁✌✄ ✔❀✪✑✠✓✪✣✆ ✯✰✖✙✛✓✆✾✪✑✗✌✖❢✠✓✔⑧❷ ❧✑❍✘♠✫❹ ✸ ✂ ✠✓✔✣✢✧✄ ✁✌✄ ✠✓✔✣✛☛✬✕✠✓✔✙✍❚◗✷❭✳❃✖❃✢✧✖✘✔✑✠☛✁✌✖ ➇ ✸ ❯✸➏✑❳✷❍P➐✘❳✽❍✘❩ ❩ ❩ ❍✌➏ ✸ ❍P➐ ✸ ❬ ✁✌☞✑❭ ✖❃✲✑✗✌✄ ✠✓✗❅✢✧✖✘✔✣✆✾✄ ✁✚✭❞✠✓✔❞✁✌☞✑✖❃✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✖✘✗P✆ ▼ ✠☛✎❝✁✌☞✑✖✱✻❃✖✫✁P✛✰✢✧✖✘✔✣✆✾✄ ✁✌✄ ✖✙✆ ⑦❫✖❞✄ ✯✰✲✡✠✕✆✾✖✜✁✌☞✑✖❢✎✿✠✓✬ ✬ ✠✷✳✴✄ ✔✑✒❴✎✿✠✓✗✌✯ ❭ ➇ ✳✴☞✑✖✘✗✌✖✴➏ ✎✿✗✌✠✓✯ P ❯✲✮ ✢ ❇ ✱ ✢ ✻ ✢ ✱ ✢ ◗❀➐✴❇ ❯✸➏✑❳✽❍P➐✘❳✽❍✘❩ ❩ ❩ ❍✌➏ ✸ ❯✚♠❨➉ ✻ ✢ ◗✓✳✴✄ ✁✌☞✒✱ ❬ ❬✹❭ ✸ ✓✍ ✸ ✖ ✢ ✞❀◆❀✄ ✠✓✪✣✆✾✬ ✭❫✳❃✖✮✔✑✖✘✖✙✢❶✔✑✠☛✁✰✛✓✆✌✆✾✪✑✯✰✖✦✁✌☞✣✛✷✁ ❍P➐ ❬ ✛☛✔✣✢ ✆✾✪✣✩P☞✺✛❴✲✑✗✌✄ ✠✓✗✟✛✓✆❃✁✌☞✑✖❞✞✣✛✓✆✾✄✝✆✼✠☛✎❂✁✌☞✑✖❢✎✿✠✓✬ ✬ ✠✷✳✴✄ ✔✑✒✰✗✌✖✙✆✾✪✑✬ ✁P✆ ✲✣✛☛✗✾✁✌✄✝✩✫✪✑✬✝✛☛✗✼✞❀✭✶✁✌☞✑✖✱➝❅✠✓✄✝✆✌✆✾✠✓✔✤✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔ ➇ ❯✸➏ ✢ ❍P➐ ✢ ❬ ✢ ✹ ❳ ❧❢✛☛✔✣✢ ① ✸ ➇ ✸ ✟ ❇ ✠✓✔ ❏⑧❯✸❧✑❍✘♠ ✻ ✢ ◗✓✛☛✔✣✢✤❯✲✱ ❬ ✢ ❍ ✻ ✢ ❬ ✄✝✆✏✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✖✙✢ ❼ ✛☛✗✌✖✦✄ ✔✣✢✧✖✘✲✡✖✘✔✣✢✧✖✘✔✕✁✙➟❃☞✑✠✷✳❃✖✘◆✓✖✘✗✱✳❃✖✮✩✫✠✓✔✣✆✾✄✝✢✧✖✘✗ ➇ ✤ ✟✠☛✁✌✖❢✁✌☞✣✛✷✁✴✁✌☞✑✖✱✩✫✠✓✔✣✢✧✄ ✁✌✄ ✠✓✔❶❯ ✵ ✄✝✆✟✆✌✛✷✁✌✄✝✆✚❁✣✖✙✢✮✄ ✔ ❭ ❬ ✕ ❭ ⑦❫✖✵❁✣✗P✆✚✁✺✩✫✠✓✔✣✆✾✄✝✢✧✖✘✗✦✁✌☞✑✖❫✩✫✠✓✔✣✆✾✄✝✆✚✁✌✖✘✔✣✩✫✭➑✠☛✎❞✁✌☞✑✖❫✲✑✬✝✛☛✄ ✔④✯✰✠✧✢✧✖✘✬➞◗✟✄ ✖ ❭ ❭ ✛✓✢✑✢✧✄ ✁✌✄ ✠✓✔✣✛☛✬❨✬ ✖✘◆✓✖✘✬❨✠☛✎❝✖✙✆✚✁✌✄ ✯✶✛✷✁✌✄ ✔✑✒✰✁✌☞✑✖❞✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✖✘✗✼■ ❭ ❉ ✗✒✘ ❍✞✙ ✞✠▼❳✽❍✘❩ ❩ ❩ ❍✡✠ ✞✡✖ ✩✵✄ ✄✝✢✤✠✓✞✣✆✾✖✘✗✌◆✷✛✷✁✌✄ ✠✓✔✣✆▼✎✿✗✌✠✓✯➆✛✰✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔ ✗ ❼❞✠✓✔⑧❷ ❧✑❍✘♠✫❹ ❭ ☞☛✁✓✌ ❯ ✗ ❼ ❬ ❇ ❙ ❉ ✗ ① ➓ ❯ ✗ ❼✓❍ ✗✑❬ ✒✎✍❀▲✦✛☛✔✣✢✑✏☞✰ ✌ ❇ ❉ ✗ ①✓✒✟❯ ✗ ❼✓❍ ✗✑❬ ✔ ✒ ✍❀▲✕◗❣✳✴☞✑✖✘✗✌✖ ✢✧✄✝✆✚✁P✛☛✔✣✩✫✖❞✛☛✔✣✕ ✢ ✒➑✄✝✆✼✁✌☞✑☞ ✖ ❢ ✂ ✪✑✬ ✬ ✞✣✛✓✩P❤✦✢✧✄ ◆✓✖✘✗✌✒✓✖✘✔✣✩✫✖✓◗ ✚❃▲✕◗✟✳✴✄ ✁✌☞✑✠✓✪✧✁✮✁✌☞✑✖ ❏ 3.1. Mixtures of Beta distributions ❣✖✫✁✼✁✌☞❀✪✣✆ ❣✖✫✁ ❳ ✒✟❯ ✗ ❼✕❍ ❇➅➔ ✗✑❬ ❼ ✗ ✗✖ ❼ ✗ ❼❣✬ ✠✓✒ ✙✘ ❯✜✆ ✗ ➓ ✄✝✆✜✁✌☞✑✖✶➒✟✖✘✬ ✬ ✄ ✔✑✒✓✖✘✗ ➓ ✆❄❩ ❬ ➥❝✄ ✗P✆✚✁✙◗✟✳❃✖✵✲✑✗✌✠✷◆✓✖✺✁✌☞✣✛✷✁✤✁✌☞✑✖❫✆✾✖✫✁✤✠☛✎❄✢✧✖✘✔✣✆✾✄ ✁✌✄ ✖✙✆✦✁✌☞✣✛✷✁✍✩✘✛☛✔❸✞✡✖⑧✛☛✲✑✲✑✗✌✠✽❜✧✄ ✯✶✛✷✁✌✖✙✢❨◗✼✄ ✔④✁✌☞✑✖❫✆✾✖✘✔✣✆✾✖❖✠☛✎ ✁✌☞✑✖ ✚✂❢✪✑✬ ✬ ✞✣✛✓✩P❤✕✛❵ ❣✖✘✄ ✞✑✬ ✖✘✗❞✢✧✄ ◆✓✖✘✗✌✒✓✖✘✔✣✩✫✖✓◗❦✞❀✭✵✛✤✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖✰✠☛✎✼✻❃✖✫✁P✛✺✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✣✆❞✩✫✠✓✔✕✁P✛☛✄ ✔✣✆☎✁✌☞✑✖✦✆✾✖✫✢ ✁ ➁ ✜ ✠☛✎ ✢✧✖✘✔✣✆✾✄ ✁✌✄ ✖✙✆❃✁✌☞✣✛✷✁✟☞✣✛✽◆✓✖❞✛✷✁✴✯✰✠✕✆✚✁✟✛✶✩✫✠✓✪✑✔✕✁P✛☛✞✑✬ ✖❞✆✾✖✫✁✴✠☛✎✏✢✧✄✝✆✌✩✫✠✓✔✕✁✌✄ ✔❀✪✑✄ ✁✌✄ ✖✙✆✴✛☛✔✣✢✦✁✌☞✣✛✷✁☎✆✌✛✷✁✌✄✝✆✚✎✿✭✮✆ ❳ ➔ ❯✿❲ ✗ ❼ ✬ ✠✓✒ ❬✠✟ ✗ ❯✿❲ ✘✤✣ ➓ ❲ ❬✠✟ ❩ ✂✁❅✄✝✆❝✄ ✔❄✎✸✛✓✩✹✁❅✳❃✖✘✬ ✬ ❵✂❤❀✔✑✠✷✳✴✔✮❯✸➝❅✖✫✁✌✗✌✠✓✔✑✖❃✛☛✔✣✢✱⑦⑧✛✓✆✌✆✾✖✘✗✌✯✶✛☛✔❣◗✓❥☛❧✓❧✕❥ ✁✌☞✣✛✷✁✥✛☛✔❀✭❞✩✫✠✓✔✕✁✌✄ ✔❀✪✑✠✓✪✣✆❝✢✧✖✘✔✣✆✾✄ ✁✚✭❞✠✓✔✤❷ ❧✑❍✘♠✫❹ ❬ ✩✘✛☛✔❞✞✡✖✼✛☛✲✑✲✑✗✌✠✽❜✧✄ ✯✶✛✷✁✌✖✙✢❢✞❀✭❞✻❃✖✘✗✌✔✣✆✚✁✌✖✘✄ ✔❞✲✡✠✓✬ ✭❀✔✑✠✓✯✰✄✝✛☛✬✝✆✘◗✽✳✴☞✑✄✝✩P☞❄✩✫✠✓✔✣✆✚✁✌✄ ✁✌✪✧✁✌✖✼✛☎✆✾✪✑✞✣✆✾✖✫✁❝✠☛✎ ✞❀◆❀✄ ✠✓✪✣✆✾✬ ✭✓◗✷✛ ❭ ✒✓✖✘✔✑✖✘✗P✛☛✬✕✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖✼✠☛✎❦✻❃✖✫✁P✛✜✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✣✆✏✩✘✛☛✔❣◗☛✛✷✁✏✬ 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Rousseau ✱✜ ❡✔✤✁✌☞✑✖✱✩✫✪✑✞✡✖✦❷ ❥✧❍ ❬ ❹ ❙ ❷ ❥✧❍ ✧ ✱✜ ❹✂◗✧✁✌☞✑✖❞✔❀✪✑✯❄✞✡✖✘✗✴✠☛✎❅✪✑✲✑✲✡✖✘✗✴✞✡✠✓✪✑✔✣✢✑✆✴✄✝✆✴✞✡✠✓✪✑✔✣✢✧✖✙✢✤✞❀✭❦① ❙ ✏ ✜ ✄ ✻ ✒ ✖ ✮ ✚ ✰ ✆✾✄ ✔✑✒ ✁✌☞✑✖❞✖✘✬ ✖✘✯✰✖✘✔✕✁P✆✼✠☛✎❅❆ ❙ ✬ ❇ ✲✑✗✌✠✷◆✓✖✙✢ ❙ ❇ ✩ ✣ ◗❦✳✴✄ ✁✌☞ ❥✑✌❯ ☞ ✬ ❇ ✣✜ ✖ ✛✜ ✥✫ ✤ ✣ ❥✑✜❯ ✧ ✩ ♠ ✧ ♠ ❙✱➈ ❬ ➙ ✻ ➙ ✬ ✠✓✒ ✩ ❇ ➋ ★ ➋ ★ ➋ ♠ ➈ ❍ ❙ ➙ ✧ ✆✾✄ ✔✣✩✫✖ ✧✦✩★ ❇④❥ ➎✒✭ ❙ ❩ ✬✔ ❯✲✮ ❬ ★ ✧ ❬ ➙ ✗ ❙✂✁☎✄ ✆✞✝✑❙ ✜ ✖ ✗ ✂❙ ✁✟✄ ✆✞✝✑❙ ❍ ✧✴❇ ❋✹❼❴✛☛✔✣✢✺✞❀✭✍✩P☞✑✠❀✠✕✆✾✄ ✔✑✒ ❇ ❩ ❙ ➙ ◗❂✳❃✖✦✠✓✞✧✁P✛☛✄ ✔❫✁✌☞✣✛✷✁✱✁✌☞✑✖✮✔❀✪✑✯❄✞✡✖✘✗✱✠☛✎✴✪✑✲✑✲✡✖✘✗❄✞✡✠✓✪✑✔✣✢✑✆❞✎✿✠✓✗ ❬ ✩✘✛☛✔✤✞✡✖❞✞✡✠✓✪✑✔✣✢✧✖✙✢✤✞❀✭ ❙ ⑦❸☞✑✖✘✔ ✜ ✄ ✬ ✠✓✒ ❙➙ ➙ ✖✘✔✑✠✷◆✓✖✙✆✾✖✦✛☛✔✣✢❫⑦⑧✛✓✆✌✆✾✖✘✗✌✯✶✛☛✔❸❯➞❥☛❧✓❧✓❧ ❇ ✛✜ ✬ ✠✓✒ ❙➙ ➙ ➥ ✄ ✔✣✛☛✬ ✬ ✭✓◗❀✁✌☞✑✖❢✁✌✠☛✁P✛☛✬❣✔❀✪✑✯❄✞✡✖✘✗✴✠☛✎✏✩✫✪✑✞✡✖✙✆✼✄✝✆✴✞✡✠✓✪✑✔✣✢✧✖✙✢✤✞❀✭ ❝ ❋ ✤ ✛✜ ✬ ✠✓✒ ➙ ✠ ✗ ❙✂✁☎✄ ✆✞✝✑❙ ➙☛✡ ➦ ✚◗✣✳❃✖❄✠✓✞✧✁P✛☛✄ ✔❖✬ ✠✓✒ ❇ ❩ ✒ ❙ ✩ ❋✱✛☛✔✣✢❶❯✸⑨ ❬ ❭ ✁ ✄✝✆ 3.2. General goodness of fit model ⑦❫✖❞✔✑✠✷✳➅✩✫✠✓✔✣✆✾✄✝✢✧✖✘✗❃✁✌☞✑✖❞✒✓✖✘✔✑✖✘✗P✛☛✬❦✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✗✌✄✝✩✜✯✰✠✧✢✧✖✘✬ ✖ ✳✴☞✑✖✘✗✌✖ ❇➅❉✚✂❅❯✿❲ ❇ ❬ ✂☛●☛❯✿❲ ❯✸❋❅●✓❯✿❲ ❬✎✗✒✘ ❍✾■✦❏❖❑❄✞ ❍ ❸ ✙ ❏ ❬✾❬ ✄✝✆✜✢✧✖✫❁✣✔✑✖✙✢✵✛✓✆☎✄ ✔❖✁✌☞✑✖❴✲✑✗✌✖✘◆❀✄ ✠✓✪✣✆☎✆✾✖✙✩✹✁✌✄ ✠✓✔ ✚❃▲ ❯✚♠✓♠ ❬ ⑦❫✖❄✖✙✆✚✁P✛☛✞✑✬ ✄✝✆✾☞❖✁✌☞✑✖✰✆✚✁✌✗✌✠✓✔✑✒✮✩✫✠✓✔✣✆✾✄✝✆✚✁✌✖✘✔✣✩✫✭✺✠☛✎✏✁✌☞✑✖ ✗✒✘ ❭ ✲✡✠✕✆✚✁✌✖✘✗✌✄ ✠✓✗✴✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔❣◗✑✪✑✔✣✢✧✖✘✗✟✆✾✠✓✯✰✖❢✗✌✖✘✒✓✪✑✬✝✛☛✗✌✄ ✁✚✭✦✩✫✠✓✔✣✢✧✄ ✁✌✄ ✠✓✔✣✆✼✠✓✔ ❣✖✫✁✏❘✮❳✽❍✘❩ ❩ ❩ ❍✾❘ ✯✰✖✙✛✓✆✾✪✑✗✌✖ ✓ ❯✿■ ❙ ❣✖✫✁❞❆③❇ ✞✡✖ ✂☛● ❭ ✛❢✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔❄✳✴✄ ✁✌☞✰✢✧✖✘✔✣✆✾✄ ✁✚✭ ✩✦✄ ✄✝✢❄✠✓✞✣✆✾✖✘✗✌◆✷✛✷✁✌✄ ✠✓✔✣✆❣✎✿✗✌✠✓✯ ✩✫✠✓✯✰✲✣✛✓✩✹✁ ❭❄➤ ✖✘✔✑✠☛✁✌✖ ❬ ❭ ⑦❫✖✱✩✫✠✓✔✣✆✾✄✝✢✧✖✘✗✼✁✌☞✑✖❢✎✿✠✓✬ ✬ ✠✷✳✴✄ ✔✑✒✰✛✓✆✌✆✾✪✑✯✰✲✧✁✌✄ ✠✓✔✣✆✘① ✍✕❽ ✔ ➥✑✠✓✗✟✛☛✬ ✬❨■✰❏✵❑❄◗ ❬ ❇✒✺ ✑ ◗✑✄ ✔✣✢✧✖✘✲✡✖✘✔✣✢✧✖✘✔✕✁✟✠☛✎❅■✶✛☛✔✣✢✤✆✾✪✑✲✑✲❂❯✄✂✽❼ ✻▲✖ ❧✑◗ ✩ ✙❸❏ ✒ ✍✗✖ ❯✸❋❅● ✗✒✘ ✒ ✓ ❯❡❉✙■✑❍ ✟✄❯ ✂✽❼✕✘ ❍ ✂☛● ✒ ❬✾❬ ❳ ✂ ● ✭ ➔✛✚✢✜ ✚ ✆✌✆✾✪✑✯✰✖✟✁✌☞✣✛✷✁ ✥❦■✰❏❖❑❄◗ ✩ ➓ ❼✓✥ ❍ ✽ ❅ ❳✷❍ ✜❍✴✳ ✤✣ ➜▲ ✘ ❬ ✛☛✔✣✢ ❳ ✂☛●☛❯✿❲ ❳ ❬ ✌ ✍ ✂ ● ❯✿❲ ✒ ✸✆✷ ➙ ➔✧✦ ✭ ❬ ✒ ✂☛●☛❯✿❲ ✦ ✷ ❯✿❲ ❆ ❬ ❇➁♠✓❩ ❬ 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Estimation of Beta mixtures 4.1. Estimating the number of components ✚ ✬ ✁✌☞✑✠✓✪✑✒✓☞❖✳❃✖✰✛☛✗✌✖✱✔✑✠☛✁❞✛✽✳✼✛☛✗✌✖✱✠☛✎✥✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖✙✆✜✠☛✎▼✻❃✖✫✁P✛✤✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✣✆☎✞✡✖✘✄ ✔✑✒✤✖✙✆✚✁✌✄ ✯✶✛✷✁✌✖✙✢❖✄ ✔❖✁✌☞✑✖❴✲✣✛✓✆✚✁✙◗ ✁✌☞✑✖✘✗✌✖❢✄✝✆✴✔✑✠☛✁✌☞✑✄ ✔✑✒✰✄ ✔✑☞✑✖✘✗✌✖✘✔✕✁✌✬ ✭✮✩✫✠✓✯✰✲✑✬ ✄✝✩✘✛✷✁✌✖✙✢✤✄ ✔✮✁✌☞✑✖❞✖✙✆✚✁✌✄ ✯✶✛✷✁✌✄ ✠✓✔✺✠☛✎❅✛❴✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖❞✯✰✠✧✢✧✖✘✬ ✸ ❯✲✱ ➇ ➋✽➍ ➊ ➋ ✹ ❳ ✺ ✍ ❍✴✳ ➋ ❍ ➋ ❬ ➥✑✠✓✗❝✄ ✔✣✆✚✁P✛☛✔✣✩✫✖✓◗✷✛ ✰ ✄ ✞✑✞✣✆❝✆✌✛☛✯✰✲✑✬ ✄ ✔✑✒☎✆✚✁✌✗P✛✷✁✌✖✘✒✓✭❢✛✓✆❣✄ ✔ ✄ ✖✘✞✡✠✓✬ ✁ ❭ ➤ ✩✘✛☛✔❶✞✡✖✮✄ ✯✰✲✑✬ ✖✘✯✰✖✘✔✕✁✌✖✙✢❨◗✏✞✣✛✓✆✾✖✙✢⑧✠✓✔❚✛❖✩✫✠✓✯✰✲✑✬ ✖✫✁✌✄ ✠✓✔❶✠☛✎✴✁✌☞✑✖✮✆✌✛☛✯✰✲✑✬ ✖✮❲❨❳✽❍✘❩✘❩✘❩✘❍✾❲ ❬ ❙ ✄ ✔✕✁✌✠✍❯✿❲❨❳✷✁ ❍ ☛❳ ❍✘❩✘❩✘❩✘❍✙❯✿❲ ❍ ✁ ✳✴☞✑✖✘✗✌✖✜✁✌☞✑✖✂ ✍ ✶ ✆✟✛☛✗✌✖✜✁✌☞✑✖✱✩✫✠✓✯✰✲✡✠✓✔✑✖✘✔✕✁✴✄ ✔✣✢✧✄✝✩✘✛✷✁✌✠✓✗P✆✘◗ ❬ ❙ ❙✑❬ ✳✴✄ ✁✌☞❄✛✴❁✑❜✧✖✙✢❞✔❀✪✑✯❄✞✡✖✘✗❝✠☛✎✣✩✫✠✓✯✰✲✡✠✓✔✑✖✘✔✕✁P✆ ✛☛✔✣✢❶✐✴✠✓✞✡✖✘✗✾✁✤❯✚♠✙⑨✓⑨✓❧ ✍ ❪ ②☎✄ ❯ ➇ ❳✽❍✘❩✘❩✘❩✘❍ ➇ ✸ ❬ ❍ ☞✑✖❄✆✾✄ ✯❄✪✑✬✝✛✷✁✌✄ ✠✓✔✍✠☛✎❅✁✌☞✑✖❄✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✖✘✗P✆❞❯✲▼ ✱ ❍ ✛✓✢✑✛☛✲✧✁✌✖✙✢✦✁✌✠❴✁✌☞✑✖✱✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔ ■✑♠✴➉❫✖✫❜✧✲❄❃❛➉✪❑▲✣■ ✲❯ ❖ ✱ ➉❶❥ ✼ ✞✣✛✓✆✾✖✙✢⑧✠✓✔❿✛ ✩ ❯✲✱ ✻ ❬ ✩ ❬ ➙ ❯✸❧✑❍✘♠✙❧ ❬ ✲❯ ❃ ✱ ❯✚♠✟➉ ✻ ❬✾❬ ➀✰❯✾❷ ❧✑❍✘♠✫❹ ❬✵✧ ❬ ➒☎✛✓✆✚✁✌✄ ✔✑✒✕✆✟✲✑✗✌✠✓✲✡✠✕✆✌✛☛✬❂✠✓✔❿❯✿✬ ✠✓✒ ✱▼❍✾✬ ✠✓✒ ✾ ✍ ✟ ☞✰② ❇ ❯✲✱ ➍ ❍✽✱ ➋✼✻✹➋ ❯✚♠✴➉ ➋ ❩ ✻✹➋ ❬✾❬ ✄✝✆✴✁✌☞✑✖✘✔❖✞✣✛✓✆✾✖✙✢✺✠✓✔✍✖✘✄ ✁✌☞✑✖✘✗✜✛☛✔❖✛✓✩✘✩✫✖✘✲✧✁✾❵✂✗✌✖✚➢✚✖✙✩✹✁✜✛☛✬ ✒✓✠✓✗✌✄ ✁✌☞✑✯ ✻ ❬ ➉➜❯ ❙✝✆ ❯✲✱ ✩ ✍ ❲ ☛▼ ❊ ▼ ➉➑❩ ✦ ✻ ✛ ❲ ✟ ✞ ❬ ➙ ✑ ✹❂➋ ✪ ✍ ✢ ❃✿✄➉ ◆ ❇ ✖✫❜✧✲ ❉✼✱ ❯✚♠✴➉ ➙ ✻ ✪✤✭ ✒ ✛ ✟ ✞ ✑ ✹❂➋ ❯✚♠✟➉❫❲ ✍ ❳ ❀✮ ✱ ➙ ❇ ✻❥ ❊ ✒ ✭ ❬ ❍ ✢ ✲✑✗✌✠✓✲✡✠✕✆✌✛☛✬➞◗❝✠✓✗❄✯✰✠✓✗✌✖✮✆✾✄ ✯✰✲✑✬ ✭⑧✠✓✔❿✛❖✗P✛☛✔✣✢✧✠✓✯ ✚ ✞❖ ▲✟➉ ✻ ❬ ✳✼✛☛✬ ❤ ✂▼✖✘✬ ✖✘✪✧❜❿q✫✉☎✆♦ ☎ ✝✥❯➞❥☛❧✓❧✓❧ ✖✫✁✌✗✌✠✓✲✡✠✓✬ ✄✝✆ ➡ ◗✑✁✌☞✑✖❴✲✡✠✕✆✚✁✌✖✘✗✌✄ ✠✓✗ ❇ ✄✝✆❃✛✽◆✷✛☛✻ ✄ ❬✾✬✝❬✹✛☛❭ ✞✑✬ ✖✴✄ ✔✮✩✫✬ ✠✕✆✾✖✴✎✿✠✓✗✌✯✺◗✕✖✫❜✑✩✫✖✘✲✧✁▼✎✿✠✓✗✥✁✌☞✑✖✜✔✑✠✓❬ ✗✌✯✶✛☛✬ ✄ ✡✘✄ ✔✑✒✱✩✫✠✓✔✧❵ ✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✦✠☛✎❣✛✱✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖☎✲✑✗✌✠✓✞✑✬ ✖✘✯ ✆✚✁P✛☛✔✕✁✙◗❦✛☛✔✣✢❨◗✡✁✌☞✑✖✘✗✌✖✫✎✿✠✓✗✌✖✓◗❦✢✧✄ ✗✌✖✙✩✹✁✰❷ ✯✰✖✙✛☛✔✑✄ ✔✑✒✣◗ ✙❛✉✱✑ ✰ ✈ ✁ ✉☎tP✆✈ ✪✫ ✕ ☎ q✫✄✉ ✙✸✈✷❾✣❹ ➡ ✖✫✁✌✗✌✠✓✲✡✠✓✬ ✄✝✆ ➒☎✛✓✆✚✁✌✄ ✔✑✒✕✆☎✛☛✬ ✒✓✠✓✗✌✄ ✁✌☞✑✯ ✻ ❯✚♠✟➉ ✆☎✔✑✠☛✁✌✖✙✢❖✄ ✔ ✂ ✳ ✂ ✩✘✛☛✔✤✞✡✖❞✄ ✯✰✲✑✬ ✖✘✯✰✖✘✔✕✁✌✖✙✢ ✍ ❭ ☞✑✖❃✢✧✄ ★✦✩✫✪✑✬ ✁✚✭✜✳✴✄ ✌ ✁ 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Performances of the sampler ☞✑✖❄✲✑✪✑✗✌✲✡✠✕✆✾✖❄✠☛✎✏✁✌☞✑✄✝✆✜✲✣✛☛✲✡✖✘✗✜✞✡✖✘✄ ✔✑✒✦✎✸✛☛✗☎✎✿✗✌✠✓✯ ✆✚✁✌✪✣✢✧✭❀✄ ✔✑✒✦✁✌☞✑✖❴✲✡✖✘✗✾✎✿✠✓✗✌✯✶✛☛✔✣✩✫✖✙✆✟✠☛✎▼✛✦✞✑✄ ✗✾✁✌☞❫✛☛✔✣✢❖✢✧✖✙✛✷✁✌☞ ❪ ➢✚✪✑✯✰✲✤✲✑✗✌✠✧✩✫✖✙✆✌✆▼✁✌✠❴✖✘◆✷✛☛✬ ✪✣✛✷✁✌✖✜✁✌☞✑✖❢✔❀✪✑✯❄✞✡✖✘✗✼✠☛✎❅✩✫✠✓✯✰✲✡✠✓✔✑✖✘✔✕✁P✆❃✄ ✔✺✛❄✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖❢✠☛✎❅✻❃✖✫✁P✛❴✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✣✆✘◗✧✳❃✖ ✂ ✆✾✄ ✯✰✲✑✬ ✭❖✗✌✖✘✲✡✠✓✗✾✁❞☞✑✖✘✗✌✖✶✆✾✠✓✯✰✖✰✞✣✛✓✆✾✄✝✩❄✎✸✛✓✩✹✁P✆✜✁✌☞✣✛✷✁✱✖✘✔✣✆✾✪✑✗✌✖❴✁✌☞✣✛✷✁❢✁✌☞✑✖ ✎✿✠✓✗❃✠✓✪✑✗❃✲✑✪✑✗✌✲✡✠✕✆✾✖ ✂ ✆✌✛☛✯✰✲✑✬ ✖✘✗❢✄✝✆❞✳❃✠✓✗✌❤❀✄ ✔✑✒✤✳❃✖✘✬ ✬ ✮❄✆✾✄ ✯❄✪✑✬✝✛✷✁✌➡ ✖✙✢✮➡✢✑✛✷✁P✛❴✆✾✖✫✁P✆✘◗✕✁✌☞✑✖✜❁✣✗P✆✚✁❃✠✓✔✑✖✜✞✡✖✘✄ ✔✑✒ ☞✑✖✜✄ ✬ ✬ ✪✣✆✚✁✌✗P✛✷✁✌✄ ✠✓✔✮✄✝✆▼✁✌☞❀✪✣✆❃✞✣✛✓✆✾✖✙✢✦✠✓✔ ❭✏❪ ✛☛✗✾✁✌✄ ❁✡✩✫✄✝✛☛✬ ✬ ✭✤✯✶✛✓✢✧✖❄✠☛✎✟♠✙❧✓❧✓❧✶✖✙➠✕✪✑✄✝✢✧✄✝✆✚✁P✛☛✔✕✁✜◆✷✛☛✬ ✪✑✖✙✆☎✠✓✔❿❷ ❧✑❍✘♠✫❹❝✳✴☞✑✄✝✩P☞❫✩✫✠✓✗✌✗✌✖✙✆✾✲✡✠✓✔✣✢✮✁✌✠✤✛ ✁✌☞✑✖✶✆✾✖✙✩✫✠✓✔✣✢✵✠✓✔✑✖✶✞✡✖✘✄ ✔✑✒✺✯✶✛✓✢✧✖✶✠☛✎❃✗P✛☛✔✣✢✧✠✓✯③✄ ✄✝✢❫✠✓✞✣✆✾✖✘✗✌◆✷✛✷✁✌✄ ✠✓✔✣✆☎✎✿✗✌✠✓✯ ✁✌☞✑✄ ✗P✢✦✠✓✔✑✖✜✞✡✖✘✄ ✔✑✒✰✯✶✛✓✢✧✖✜✠☛✎❂✗P✛☛✔✣✢✧✠✓✯ ❡✔❶✁✌☞✑✖✶❁✣✗P✆✚✁❴✩✘✛✓✆✾✖✵❯✸➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖✙✆ ✄ ✄✝✢✦✠✓✞✣✆✾✖✘✗✌◆✷✛✷✁✌✄ ✠✓✔✣✆✥✎✿✗✌✠✓✯ ✞❖ ✮ ✛☛✔✣✢ ✬ ✍ ✡✛✷✁❢☞✑✄✝✆✚✁✌✠✓✒✓✗P✛☛✯✺◗ ✛❄✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖✜✠☛✎❂✁✚✳❃✠❴✻❃✖✫✁P✛❴✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✣✆ ◗❝✁✌☞✑✖✤✛☛✬ ✒✓✠✓✗✌✄ ✁✌☞✑✯ ❬ ✠☛✎✴✁✌☞✑✖✍✆✌✛☛✯✰✲✑✬ ✖✤✛☛✔✣✢❚✄ ✁✶✲✑✗✌✠✧✢✧✪✣✩✫✖✙✆❴✛☛✔❿✖✙✆✚✁✌✄ ✶ ✯ ✛✷✁✌✖✮✠☛✎ ✞✝ ✛✺✻❃✖✫✁P✛✺✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔❣◗❝✛☛✔✣✢✵✁✌☞✑✖ ✢✧✠❀✖✙✆❄✩✘✛☛✲✧✁✌✪✑✗✌✖✶✁✌☞✑✖✮✪✑✔✑✄ ✎✿✠✓✗✌✯❱✆✚✁✌✗✌✪✣✩✹✁✌✪✑✗✌✖ ✖✙➠✕✪✣✛☛✬▼✁✌✠⑧❧✑◗▼✛✓✆❴✆✾☞✑✠✷✳✴✔❚✞❀✭⑧✁✌☞✑✖✤✪✑✲✑✲✡✖✘✗✶✬ ✖✫✎❛✁ ✛☛✔✣✢✵✪✑✲✑✲✡✖✘✗❄✩✫✖✘✔✕✁✌✗P✛☛✬✥✒✓✗P✛☛✲✑☞✣✆✜✄ ✔❫✁✌☞✑✖✦✯✰✠✓✔✑✄ ✁✌✠✓✗✌✄ ✔✑✒✺✲✑✬ ✠☛✁P✆ ☞✑✖✶✠☛✁✌☞✑✖✘✗❞✒✓✗P✛☛✲✑☞✣✆❞✛☛✗✌✖✰✔✑✠☛✁✱✲✣✛☛✗✾✁✌✄✝✩✫✪✑✬✝✛☛✗✌✬ ✭ ❭✮❪ ❇➁❧✑◗❦✆✾✄ ✔✣✩✫✖✱✁✌☞✑✖✘✭✺✳❃✖✘✗✌✖❄✢✧✖✙✆✾✄ ✒✓✔✑✖✙✢✤✎✿✠✓✗☎✁✌☞✑✖❄✔✑✠✓✔✧❵✂✪✑✔✑✄ ✎✿✠✓✗✌✯ ✩✘✛✓✆✾✙ ✖ ✍ ✔✑✖❴✩✘✛☛✔ ✖ ❧ ● ❭ P ✆✚✁✌✄ ✬ ✬❨✔✑✠☛✁✌✄✝✩✫✖❢✁✌☞✣✛✷✁✴✁✌☞✑✖❞✲✡✠✕✆✚✁✌✖✘✗✌✄ ✠✓✗✴✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✺✠✓✔⑧❯ ➋ ❍ ✹➋ ❯✿✬ ✠✷✳❃✖✘✗✼✬ ✖✫✎❛✁☎✛☛✔✣✢✤✬ ✠✷✳❃✖✘✗✴✩✫✖✘✔✕✁✌✖✘✗✴✒✓✗P✛☛✲✑☞ ✄✝✆ ❬ ❬ ➠✕✪✑✄ ✁✌✖☎✆✾✄ ✯✰✄ ✬✝✛☛✗✏✁✌✠❞✁✌☞✑✖✟✲✑✗✌✄ ✠✓✗▼✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔❖❯✸✆✾✖✘✖☎➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖☎❥ ✛☛✔✣✢✶✛☛✬✝✆✾✠❢✁✌☞✣✛✷✁✥✁✌☞✑✖☎✲✡✠✕✆✚✁✌✖✘✗✌✄ ✠✓✗✥✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔ ❬ ✠✓✔✮✁✌☞✑✖ ➇ ❼ ✆✼✳✴☞✑✖✘✔ ✍ ✖ ❧✺❯✸✩✫✖✘✔✕✁✌✗P✛☛✬❨✬ ✖✫✎❛✁ ❬ ✄✝✆✴➠✕✪✑✄ ✁✌✖✱✩✫✠✓✔✣✩✫✖✘✔✕✁✌✗P✛✷✁✌✖✙✢✤✛✷✁❞♠ ❭ ❡✔✺✁✌☞✑✖❄✆✾✖✙✩✫✠✓✔✣✢✍✩✘✛✓✆✾✖✦❯✸➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖✙✆ ✶✛☛✔✣✢✍➦ ◗✑✁✌☞✑✖✱✪✑✔✑✄ ✯✰✠✧✢✑✛☛✬ ✄ ✁✚✭✤✠☛✎❅✁✌☞✑✖❄✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✍✄✝✆☎✛☛✒✕✛☛✄ ✔✺✳❃✖✘✬ ✬ ❵ ❬ ✩✘✛☛✲✧✁✌✪✑✗✌✖✙✢❴✞❀✭❄✁✌☞✑✖✜✛☛✬ ✒✓✠✓✗✌✄ ✁✌☞✑✯ ✆✾✄ ✔✣✩✫✖✴✁✌☞✑✖✟✖✙✆✚✁✌✄ ✯✶✛✷✁✌✖✟✠☛✎ ✍ ✄✝✆✟♠❄❯✿✪✑✲✑✲✡✖✘✗▼✬ ✖✫✎❛✁✼✛☛✔✣✢✰✪✑✲✑✲✡✖✘✗❃✩✫✖✘✔✕✁✌✗P✛☛✬✣✒✓✗P✛☛✲✑☞✣✆ ✗✌✖✘✬ ✖✘◆✷✛☛✔✕✁☎✳✴☞✑✖✘✔ ✍ ✲✱ ✔✶ ✻ ✦ ✦ ✠☛✎❂➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖ ❡✔✤✛✓✢✑✢✧✄ ✁✌✄ ✠✓✔❣◗✕✁✌☞✑✖✜✪✑✔✑✄ ✎✿✠✓✗✌✯ ✲✣✛☛✗✾✁❃✠☛✎❣✁✌☞✑✖✜✯✰✄ ❜❀✁✌✪✑✗✌✖✜✄✝✆▼✖✙✆✚✁✌✄ ✯✶✛✷✁✌✖✙✢✮✛✓✆▼✔✑✖✘✒✓✬ ✄ ✒✓✄ ✞✑✬ ✖✰❯✸✩✫✖✘✔✕✁✌✖✘✗ ❬✹❭ ✬ ✖✫✎❛✁❃✒✓✗P✛☛✲✑☞✶✠☛✎❂➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖ ✛☛✔✣✢✰✁✌☞✑✖☎✲✡✠✕✆✾✄ ✁✌✄ ✠✓✔✦✲✣✛☛✗P✛☛✯✰✖✫✁✌✖✘✗ ❳✼✄✝✆▼✳❃✖✘✬ ✬✡✩✫✠✓✔✣✩✫✖✘✔✕✁✌✗P✛✷✁✌✖✙✢✶✛☛✗✌✠✓✪✑✔✣✢✶❧✑❩ ✣◗✕✳✴☞✑✄ ✬ ✖ ❬ ✏❳❃☞✣✛✓✆✥✛❞✳✴✄✝✢✧✖✘✗▼◆✷✛☛✗✌✄✝✛✷✁✌✄ ✠✓✔✶✢✧✪✑✖✴✁✌✠❞✁✌☞✑✖✟☞✑✖✙✛✽◆❀✭✱✁P✛☛✄ ✬✝✆✥✠☛✎❦✁✌☞✑✖✟☞✑✄✝✆✚✁✌✠✓✒✓✗P✛☛✯ ❯✳✟ ✕ ✠☛✁✌✖✟✠✓✔✦➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖ ✶❯✸✩✫✖✘✔✕✁✌✗P✛☛✬ ❭ ✬ ✖✫✎❛✁✟✛☛✔✣✢✤✩✫✖✘✔✕✁✌✖✘✗ ✁✌☞✑✖✱✛☛✗✾✁✌✄ ✎✸✛✓✩✹✁✼✄ ✔✣✢✧✪✣✩✫✖✙✢✤✞❀✭✶✁✌☞✑✖✜✎✸✛✓✩✹✁✼✁✌☞✣✛✷✁✙◗✑✳✴☞✑✖✘✔❄✍ ❇❊♠✓◗ ✡✥❳✟✄✝✆❃✁P✛☛❤✓✖✘✔✤✖✙➠✕✪✣✛☛✬✡✁✌✠✺♠ ❬ ❭❬ ☞✑✖✜❁✑✁✟✞❀✭✦✁✌☞✑✖ ✾✲✑✬ ✪✑✒✓✒☛❵✂✄ ✔ ✱✖✙✆✚✁✌✄ ✯✶✛✷✁✌✖ ❪ ✆✦ ✱ ✟ ☎ ✝ ❷➇ ❼ ✟❘ ✻ ✬ ✦ ✎✡ ❙ ❹ ➀✰❯✾❷ ❧✑❍✘♠✫❹ ❬❂➈ ☎ ✝ ❷ ❯✚♠✴➉ ✠✟ ➇ ❼ ❬ ❘ ❙ ❹ ➍ ✲☎ ✝ ❷ ✏✱ ❳ ✻ ❳ ✟ ❘ ❯ ❙ ❹✂❍ ✽☎ ✝ ❷ ✏✱ ❳☛❯✚♠✴➉ ✻ ❳ ❬✠✟ ❘ ❙ ❹ ❬ ✄✝✆✏➠✕✪✑✄ ✁✌✖✟✆✌✛✷✁✌✄✝✆✚✎✸✛✓✩✹✁✌✠✓✗✌✭✓◗✓✛✓✆✏✆✾☞✑✠✷✳✴✔❴✄ ✔✶➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖✴➦ ✂✁▼✢✧✠❀✖✙✆✏✔✑✠☛✁✏✖✫❜✧☞✑✄ ✞✑✄ ✁✥✁✌☞✑✖✴✲✡✠❀✠✓✗❅✁P✛☛✄ ✬✧❁✑✁✥✠☛✎✡✁✌☞✑✖✟✛✽◆✓✖✘✗P✛☛✒✓✖ ❭ ✁✌☞✣✛✷✁✟✛☛✗✌✖ ✠☛✎❂✁✌☞✑✖❞✢✧✖✘✔✣✆✾✄ ✁✌✄ ✖✙✆✘◗✑✳✴☞✑✄✝✩P☞✤✄✝✆✴✢✧✪✑✖✜✁✌✠✰✁✌☞✑✖✜✎✸✛✓✩✹✁✴✁✌☞✣✛✷✁✼✁✌☞✑✖❞◆✷✛☛✬ ✪✑✖✙✆✼✠☛✎ ✛☛✔✣✢✮✠☛✎ ❯✚♠✼➉ ➋ ✹➋ ➋ ✹➋ ❬ ✬ ✖✙✆✌✆❃✁✌☞✣✛☛✔❫♠❞✲✑✪✑✬ ✬❨✁✌☞✑✖❢✁P✛☛✄ ✬✝✆✼✪✑✲ ❭ ❡✔✵✁✌☞✑✖❴✁✌☞✑✄ ✗P✢❫✩✘✛✓✆✾✖✺❯✸➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖✙✆ ✮✛☛✔✣✢✵⑩ ◗❨✁✌☞✑✖❴✁✚✳❃✠✺✩✫✠✓✯✰✲✡✠✓✔✑✖✘✔✕✁P✆❞✛☛✗✌✖❴✛☛✒✕✛☛✄ ✔✵✳❃✖✘✬ ✬❅✄✝✢✧✖✘✔✕✁✌✄ ❁✣✖✙✢❨◗❣✁✌☞✑✖ ❬ ✛☛✬ ✒✓✠✓✗✌✄ ✁✌☞✑✯❊✛☛✬ ✬ ✠✧✩✘✛✷✁✌✄ ✔✑✒✜✛☛✲✑✲✑✗✌✠✽❜✧✄ ✯✶✛✷✁✌✖✘✬ ✭☎✁✌☞✑✖✼✆✌✛☛✯✰✖❃✲✡✠✕✆✚✁✌✖✘✗✌✄ ✠✓✗❂✳❃✖✘✄ ✒✓☞✕✁❂✁✌✠☎✁✌☞✑✖✼✩✘✛✓✆✾✖✙✆ ✍ ❇④❥☎✛☛✔✣✗ ✢ ③ ✍ ❇ ☛✱ ✚✻ ☛✱ ✻ ✞✵ ✵ ❯✿✪✑✲✑✲✡✖✘✗❝✬ ✖✫✎❛✁❅✒✓✗P✛☛✲✑☞✱✠☛✎✣➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖ ✩✫✖✘✔✕✁✌✗P✛☛✬✡✒✓✗P✛☛✲✑☞✮✠☛✎❝➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖ ✮ ✞✑✪✧✁✏✩✫✬ ✖✙✛☛✗✌✬ ✭✜✖✫❜✧☞✑✄ ✞✑✄ ✁✌✄ ✔✑✒☎✁✌☞✑✖❃✞✑✄ ✯✰✠✧✢✑✛☛✬ ✄ ✁✚✭❢✠☛✎✧✁✌☞✑✖✼✢✧✄✝✆✚✁✌✗✌✄ ✞✑✪✧✁✌✄ ✠✓✔✤❯✿✬ ✠✷✳❃✖✘✗ ✵✱✛☛✔✣❬ ✢✮➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖❢⑩ ☞✑✖❞✆✌✛☛✯✰✖✜✲✡✠❀✠✓✗❃❁✑✁✴✄ ✔✮✁✌☞✑✖✜✁P✛☛✄ ✬❨✠☛✎❣✁✌☞✑✖❞✛✽◆✓✖✘✗P✛☛✒✓✖✟✠☛✎❂✁✌☞✑✖ ❬✹❭✥❪ ✢✧✖✘✔✣✆✾✄ ✁✌✄ ✖✙✆▼✩✘✛☛✔✶✞✡✖☎✠✓✞✣✆✾✖✘✗✌◆✓✖✙✢❴✄ ✔✦➥❝✄ ✒✓✪✑✗✌✖☎⑩✑◗❀✛✓✆✥✳❃✖✘✬ ✬✡✛✓✆✏✁✌☞✑✖☎◆✓✖✘✗✌✭❄✒✓✠❀✠✧✢✰✲✡✖✘✗✾✎