UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Asignatura: Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático (DPLM) Área: Ciencias Básicas y Tecnológicas (ACBYT) PRÁCTICA N° 03 1. Mediante la tabla de valores determine la corrección de los siguientes razonamientos: a) Si Carlos fue a la playa, o bien se dedicó a pescar o bien pasó la mañana remando. Carlos no se dedicó a pescar. En consecuencia, si Carlos fue a la playa, pasó la mañana remando. b) Si Luis estaciona su auto en la Avenida España, se lo llevará la grúa y tendrá que pagar una multa. La grúa no se lleva el auto. Luego, no lo estaciona en la Avenida España. c) Si Alberto no ingresa a la universidad, entonces, o se dedica a la mecánica o se hará o se hará comerciante. Alberto no se hará comerciante. Luego, si Alberto ingresó a la universidad, no se dedicará a la mecánica. d) O el satélite entra en órbita, o, si falla el mecanismo impulsor, caerá al mar. El satélite no cae al mar. Por ello, o el satélite entra en órbita o no falla el mecanismo impulsor. 2. Use el método abreviado para determinar la validez de los siguientes enunciados. ! → # → ! → $ → [! → (# → $)] a) b) {! ∧ [(# ∧ !) → ~$]} → ($ → ~#) c) {[! → (# ∨ ~$)] ∧ $} → (~! ∨ ~#) d) {[! ∨ # → ~$ ] ∧ $} → (! ∨ ~#) e) {[(! → #) ∧ ($ → .)] ∧ (~# ∨ ~.)} → (~! ∨ ~$) f) ! ∧ # → [(~! ↔ $) ∨ (~# ↔ ~$)] g) [ ~$ ↔ # ∧ ~(! ↔ #)] → (! → #) ! → ~$ → $ → . → ~[(. ↔ #) ∧ ~!] h) ! ∨ # → ~$ ∧ ~$ → . → [(! ∨ #) → .] i) j) ! → # ∨ $ → [(. ↔ #) ∨ (~. ↔ $)] 3. Use el método abreviado para determinar la validez de los siguientes razonamientos. a) Si Ricardo admite el compromiso, entonces, o va a la fiesta, o atiende su negocio. Pero Ricardo va a la fiesta. Luego, si Ricardo admite el compromiso, entonces no atiende su negocio. b) Si Luis gana la primera partida, entonces si quiere aumentar sus ganancias, continuará jugando. Es así que Luis continúa jugando. Luego, si Luis gana su primera partida, entonces quiere aumentar sus ganancias. c) Si hay lluvias en la sierra, entonces los agricultores recibirán buenas ganancias y mejorarán su forma de vida. Si mejoran su forma de vida, la vida progresa. Por consiguiente, si hay lluvias en la sierra, entonces, o los agricultores obtienen buenas ganancias o la sierra no progresa. d) Si Sócrates se empeña en censurar los vicios políticos, entonces aumentará el odio de sus adversarios y será acusado ante el tribunal ateniense. Si aumenta el odio de sus adversarios o es acusado ante el tribunal ateniense, será condenado a muerte. Por consiguiente, si Sócrates se empeña en censurar los vicios políticos, será condenado a muerte. e) La adhesión a una doctrina debe ser racional. Ahora bien, si comienzas prestando fe a una doctrina y la adhesión a una doctrina debe ser racional, entonces tu actitud es dogmática. Pero tu actitud no es dogmática. Luego, no puedes comenzar prestando fe a una doctrina. 4. Determinar los esquemas más simples equivalentes a las proposiciones: ! ∧ # ∨ ! ∧ ~# ∨ (~! ∧ ~#) a) b) ! ∧ ~$ ∨ [~# → ~(! ∧ $)] c) ~# → ~! → ~! → ~# ∧ ~(! ∧ #) d) ~{[ ~p ∧ ~q ∨ (p ∧ (~p ∨ q))] → ~(p ∨ q)} e) ~{~[~ ~p ∧ q ∨ ~q ] → [~(p ∨ ~q)]} 5. Demostrar que la proposición 3 = ~ ! → # ∧ (# → ~$) es equivalente a las proposiciones: 5 = ! ∧ ! ∨ ~$ ∧ ~#, 6 = ! ∧ ~# ∧ ~(# ∧ $) y 7 = ! ∧ ~# ∨ [ ! ∧ ~$ ∧ ~#]. 6. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son equivalentes? 5 = ~(# → ~!) ↔ (# ∨ !), 6 = ~! ∧ ~# ∨ ~# ↔ ~[ ! ∨ # ∧ #], 7 = ~ ! ↔ ~# ↔ ! ↔ # , 8 = ~ ! → # ↔ [ ! ∨ # ∧ ~#] 7. Simplificar la siguiente proposición: ~! ∧ ~# ∨ ! ∨ # ∧ ! ∧ # ∨ ~! ∧ ~# ∨ ! ∧ ~# 8. Usando equivalencias lógicas, simplificar las siguientes proposiciones: a) ~ ~! → ~# ↔ ~ ! ∨ # ∨ [! → (~! ∧ # ∧ $)] ! ∧ # ∧ ! ∨ # ∨ $ ∧ ~$ ∨ # ∧ ! ∧ {[ ~! ∨ # ∨ ~# ∨ ~(! ∨ #)] → [$ ∧ ! ∧ (~$ ∨ #)]} b) c) ~ ! ∨ # ↔ ~ ~! → ~# ∆ { ! ∧ ~# ∨ ~[ ! ∧ ~# ∨ (# → !)]} 9. Dado el conectivo lógico * , definido por la siguiente tabla de verdad: ! ; ; = = # ; = ; = !∗# ; = ; = Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: a) # ≡ ; es condición necesaria o suficiente para que (! ∗ #) ≡ ; b) ~! ∗ ! ∧ # ∗ $ ∧ . ≡ $ ∧ . c) Es falso que (! → #) ≡ = sea condición necesaria y suficiente para ! ∗ # ≡ = 10. Si ! ∧ # ∧ $ ≡ =, demuestre que la proposición más simplificada de: 3 = [ ~! ∨ # ∧ (~# ∨ $)] → ($ ∧ ~!) es la proposición ! ∨ # ∨ $. 11. Pruebe la validez de los siguientes razonamientos utilizando el método de las derivaciones: a) Si el chofer es abstemio, entonces la ebriedad no fue la causa del accidente. Pero la causa del accidente fue o bien la ebriedad o bien una falla mecánica. El chofer es abstemio. Luego, la causa del accidente debe haber sido una falla mecánica. b) Si la policía actúa rápidamente o se vale de perros amaestrados, entonces los ladrones serán aprehendidos y se recuperará la mercadería. Si los ladrones son aprehendidos o se recupera la mercadería, entonces el comerciante podrá evitar la quiebra de su negocio. La policía actúa rápidamente. Luego, el comerciante podrá evitar la ruina de su negocio. c) El mar está tranquilo y la lancha patrullera está en perfectas condiciones. Si el mar está tranquilo o la lancha patrullera está en perfectas condiciones, entonces el personal de resguardo alcanzará a la nave en cinco horas. Si el personal de resguardo alcanza a la nave en cinco horas, el equipo de emergencia podrá actuar eficazmente. Luego, el equipo de emergencia podrá actuar eficazmente. d) Si Alberto se dedica a la música, será un destacado compositor, y si se dedica al comercio, logrará ser un acaudalado comerciante. Si llega a ser un destacado compositor y un acaudalado comerciante, habrá aprovechado óptimamente su tiempo. Pero Alberto no sabrá aprovechar el tiempo. Luego, o no se dedica a la música o no se dedica al comercio. 12. Utilizando la demostración por el absurdo pruebe la validez de las siguientes inferencias: a) (1) ~(! ∧ #) (2) ~$ → # (3) ~! → $ / ∴ $ b) (1) $ → @ (2) . → # (3) (@ ∨ #) → ! (4) $ ∨ . / ∴ ! c) (1) $ → ~A (2) (@ ∨ .) → $ (3) A ∨ ~. (4) ~@ / ∴ ~(@ ∨ .) d) (1) ~! ∨ ~. (2) ~. → $ (3) ~ @ ∨ $ / ∴ ~! 13. Dar una demostración usando el método directo de cada una de las siguientes inferencias: a) Demostrar: B ≠ 3 ∨ B > 2 (1) B + 2 ≠ 5 ∨ 2B = 6 (2) B + 2 ≠ 5 → B ≠ 3 (3) 2B − 2 = 8 → 2B ≠ 6 (4) B + 3 = 8 & 2B − 2 = 8 b) Demostrar: @MN30° = 0,577 ∨ ST.60° = 0,5 (1) .UN30° = 0,5 → S.S30° = 2,0 (2) .UN30° = 0,5 (3) S.S30° = 2,0 → @MN30° = 0,577 c) Demostrar: 2 + 2 + 2 = 6 → 3 + 3 = 6 (1) 2 + 2 + 2 = 6 → 3×2 = 6 (2) 3×2 = 6 → 3 + 3 = 6 d) Demostrar: W + A = 8 (1) A = 5 → ( W = 3 → W + A = 8 & A > W) (2) BW + A = 11 → B = 2 → (W = 3 & A = 5) (3) BW = 6 → B = 2 (4) BW + A = 11 → BW = 6 14. Dar una demostración usando el método indirecto de cada una de las siguientes inferencias: a) Demostrar: W = 1 (1) 2B + W = 7 → 2B = 4 (2) 2B + W = 5 → W = 1 (3) 2B + W = 7 ∨ 2B + W = 5 (4) 2B ≠ 4 b) Demostrar: ~ B ≮ A ∨ ~(A ≠ 6) (1) B > 5 ∨ W ≮ 6 (2) W ≮ 6 → B < A (3) B > 5 → W < A (4) W ≮ A & A = 6 c) Demostrar: B \ = 4 ∨ B \ = 9 (1) 2B \ − 10B + 12 = 0 & B < 4 (2) B \ − 5B + 6 = 0 → B = 2 ∨ B = 3 (3) B = 2 → B \ = 4 (4) B = 3 → B \ = 9 (5) 2B \ − 10B + 12 = 0 → B \ − 5B + 6 = 0 d) Demostrar: W = A ∨ B ≠ 5 (1) B = W → B < A (2) B = 5 → B ≮ A (3) B = 3 → B < A (4) B ≮ A → B = W (5) B = 3 ∨ B ≮ W 15. Utilizar una demostración condicional para deducir la conclusión en cada una de las siguientes inferencias. a) Demostrar: $ → # (1) ! ∨ # → ~$ (2) . → ! (3) @ → # (4) . ∨ @ b) Demostrar: @ → ~(! ∨ #) (1) . → ~! (2) ~# ∨ ~$ (3) @ → (. ∧ $) c) Demostrar: B = 0 ∨ B = 1 → B ^ − 3B \ + 2B = 0 (1) B = 0 → B \ − B = 0 (2) B = 1 → B \ − B = 0 (3) B = 2 ∨ B \ − B = 0 → B ^ − 3B \ + 2B = 0 d) Demostrar: B = 1 → B ≠ 2 & W ≠ 1 (1) B = 1 → BW = 2 (2) B + W ≠ 3 → B ≠ 1 (3) W = 1 ∨ B = 2 → ~(B + W = 3 & BW = 2)