ESTÁTICA ESTÁTICA

INGENIERÍA MECÁNICA ESTÁTICA DECIMOSEGUNDA EDICIÓN R. C. HIBBELER 12/1/09 6:13:41 PM C00 EST_HEBBELER Prel.indd ii 11/19/09 2:44:47 AM Prefijos SI Múltiplo Forma exponencial 9 1 000 000 000 1 000 000 1 000 10 106 103 Prefijo Símbolo SI giga mega kilo G M k mili micro nano m Submúltiplo 0.001 0.000 001 0.000 000 001 10 10 10 3 6 9 n Factores de conversión (FPS) a (SI) Cantidad Unidad de medición (FPS) Fuerza Masa Longitud lb slug pie Es igual a Unidades de medición (SI) 4.4482 N 14.5938 kg 0.3048 m Factores de conversión (FPS) 1 pie 1 mi (milla) 1 kip (kilolibra) 1 ton C00 EST_HEBBELER Prel.indd i 12 pulgadas 5280 pies 1000 lb 2000 lb 11/19/09 2:44:46 AM C00 EST_HEBBELER Prel.indd ii 11/19/09 2:44:47 AM INGENIERÍA MECÁNICA ESTÁTICA DECIMOSEGUNDA EDICIÓN RUSSELL C. HIBBELER TRADUCCIÓN Jesús Elmer Murrieta Murrieta Maestro en investigación de operaciones Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Morelos REVISIÓN TÉCNICA Felipe de Jesús Hidalgo Cavazos Departamento de Ingeniería Mecánica Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Monterrey Prentice Hall México • Argentina • Brasil • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador España • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela C00 EST_HEBBELER Prel.indd iii 11/19/09 2:44:47 AM HIBBELER, R. C. Ingeniería mecánica - Estática Decimosegunda edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2010 ISBN: 978-607-442-561-1 Área: Ingeniería Formato: 20  25.5 cm Páginas: 672 Authorized translation from the English language edition, entitled Engineering mechanics: Statics, 12th edition, by Russell C. Hibbeler, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2010. All rights reserved. ISBN 978013607790-9 Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Engineering mechanics: Statics, 12a edición, por Russell C. Hibbeler, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2010. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor: Luis Miguel Cruz Castillo e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Bernardino Gutiérrez Hernández Supervisor de producción: Enrique Trejo Hernández DECIMOSEGUNDA EDICIÓN, 2010 D.R. © 2010 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-442-561-1 ISBN E-BOOK: 978-607-442-661-8 PRIMERA IMPRESIÓN Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 13 12 11 10 Prentice Hall es una marca de www.pearsoneducacion.com C00 EST_HEBBELER Prel.indd iv ISBN: 978-607-442-561-1 11/19/09 2:44:47 AM Al estudiante Con la esperanza de que este trabajo estimule un interés en la ingeniería mecánica y proporcione una guía aceptable para su comprensión. C00 EST_HEBBELER Prel.indd v 11/19/09 2:44:47 AM PREFACIO El propósito principal de este libro es proporcionar al estudiante una presentación clara y completa de la teoría y las aplicaciones de la ingeniería mecánica. Para alcanzar dicho objetivo, la obra se ha enriquecido con los comentarios y las sugerencias de cientos de revisores que se dedican a la enseñanza, así como muchos de los alumnos del autor. Esta decimosegunda edición ha sido mejorada significativamente en relación con la anterior, por lo que se espera que tanto el profesor como el estudiante se beneficien en gran medida de estas mejoras. Características nuevas Problemas fundamentales. Se localizan justo después de los problemas de ejemplo. Ofrecen a los estudiantes aplicaciones simples de los conceptos y, por ende, la oportunidad de desarrollar sus habilidades para resolver ciertas dificultades antes de intentar solucionar algunos de los problemas estándar que siguen. Estos problemas pueden considerarse como ejemplos extendidos puesto que todos tienen soluciones parciales y respuestas en la parte final del libro. De manera adicional, los problemas fundamentales ofrecen a los estudiantes un excelente medio para repasar antes de los exámenes; y pueden usarse también como una preparación para el examen de certificación en ingeniería, en Estados Unidos. Modificaciones al contenido. Cada sección del texto se revisó con cuidado y, en muchas áreas, el material se desarrolló de nuevo a fin de explicar de mejor manera los conceptos. Esto ha incluido agregar o cambiar varios de los ejemplos para dar más énfasis a las aplicaciones de los conceptos importantes. Problemas conceptuales. A lo largo del texto, por lo general al final de cada capítulo, se incluye una serie de problemas que involucran situaciones conceptuales relacionadas con la aplicación de los principios de mecánica vistos en el capítulo. Estos problemas de análisis y diseño están planteados para que los estudiantes razonen sobre una situación de la vida real, en donde una fotografía ejemplifica el escenario. Los problemas pueden asignarse después de que los estudiantes hayan desarrollado cierta experiencia en el tema. Fotografías adicionales. La relevancia de conocer el tema estudiado se refleja mediante las aplicaciones en el mundo real que se ilustran en más de 60 fotografías nuevas y actualizadas a lo largo del libro. Estas fotografías se usan generalmente para explicar cómo se aplican los principios de mecánica en situaciones reales. En algunas secciones, las fotografías se utilizan para mostrar que los ingenieros deben crear primero un modelo idealizado para su análisis, y después proceder a dibujar un diagrama de cuerpo libre a partir de él con el fin de aplicar la teoría. Problemas nuevos. En esta edición se han agregado aproximadamente 800 problemas nuevos, 50% del total, incluyendo aplicaciones en biomecánica e ingeniería aeroespacial y petrolera. Asimismo, esta nueva edición contiene alrededor de 17% más problemas que la edición anterior. C00 EST_HEBBELER Prel.indd vi 11/19/09 2:44:48 AM PREFACIO vii Características particulares Además de las características nuevas que se acaban de mencionar, hay otras que destacan el contenido del texto, entre ellas las siguientes. Organización y enfoque. Cada capítulo está organizado en secciones bien definidas que contienen una explicación de temas específicos, problemas de ejemplo ilustrativos y conjuntos de problemas de tarea. Los temas dentro de cada sección se colocan en subgrupos definidos por títulos en letras negritas. El propósito de esto es presentar un método estructurado para introducir cada nueva definición o concepto y convertir al libro en una útil y práctica referencia en repasos posteriores. Contenido del capítulo. Cada capítulo comienza con una ilustración que muestra una aplicación del tema a tratar, y una lista con viñetas de los objetivos del capítulo para proporcionar una visión general del material que se cubrirá. Énfasis en los diagramas de cuerpo libre. Al resolver problemas, es particularmente importante dibujar un diagrama de cuerpo libre, y por esa razón este paso se enfatiza a lo largo del libro. En particular, se dedican secciones y ejemplos especiales para mostrar cómo dibujar diagramas de cuerpo libre. También se han agregado problemas de tarea específicos para desarrollar esta práctica. Procedimientos para el análisis. Al final del primer capítulo, se presenta un procedimiento general para analizar cualquier problema mecánico. Después, este procedimiento se adapta para resolver problemas específicos a lo largo del libro. Esta característica única proporciona al estudiante un método lógico y ordenado que puede seguir al aplicar la teoría. Los problemas de ejemplo se resuelven utilizando este método esquemático a fin de clarificar su aplicación numérica. Sin embargo, una vez que se tiene dominio de los principios relevantes y se ha obtenido confianza y juicio en el método, el estudiante puede desarrollar sus propios procedimientos para la resolución de problemas. Puntos importantes. Esta característica proporciona un repaso o resumen de los conceptos más importantes en cada sección y resalta los puntos que deben observarse al aplicar la teoría para la resolución de problemas. Comprensión conceptual. Mediante el uso de las fotografías que se incluyen a lo largo del libro, se aplica la teoría de una manera simplificada, a fin de ilustrar algunas de sus características conceptuales más importantes e infundir el significado físico de muchos de los términos que se usan en las ecuaciones. Estas aplicaciones simplificadas aumentan el interés en el tema estudiado y preparan de mejor manera al estudiante para entender los ejemplos y resolver los problemas. Problemas de tarea. Además de los problemas fundamentales y conceptuales que se mencionaron, el libro incluye problemas de otro tipo, como los que se describen a continuación: • Problemas de diagrama de cuerpo libre. Algunas secciones del libro contienen problemas introductorios que sólo requieren dibujar el diagrama de cuerpo libre para una situación específica. Estas asignaciones harán que el estudiante conozca la importancia de dominar esta habilidad como un requisito para obtener una solución completa de cualquier problema de equilibrio. C00 EST_HEBBELER Prel.indd vii 11/19/09 2:44:48 AM viii PREFACIO • Problemas generales de análisis y diseño. La mayoría de los problemas presentan situaciones reales en la práctica de la ingeniería. Algunos provienen de productos reales usados en la industria. Se espera que este realismo estimule el interés del estudiante en la ingeniería mecánica y ayude a desarrollar la habilidad de reducir cualquier problema de este tipo desde su descripción física hasta un modelo o representación simbólica a la que se le puedan aplicar los principios de la mecánica. A lo largo del libro existe un balance aproximado de problemas que utilizan unidades SI o FPS. Además, en todas las series se ha hecho un esfuerzo por ordenar los problemas de acuerdo con una dificultad creciente, excepto para los problemas de repaso al final de cada capítulo, los cuales se presentan en orden aleatorio. • Problemas de computadora. Se ha hecho un esfuerzo por incluir algunos problemas que pueden resolverse usando un procedimiento numérico ejecutado en una computadora de escritorio o bien en una calculadora de bolsillo. La intención es ampliar la capacidad del estudiante para que utilice otras formas de análisis matemático sin sacrificar el tiempo, para enfocarse en la aplicación de los principios de la mecánica. Los problemas de este tipo, que pueden o deben resolverse con procedimientos numéricos, se identifican mediante un símbolo “cuadrado” (.) antes del número del problema. Al existir tantos problemas de tarea en esta nueva edición, se han clasificado en tres categorías diferentes. Los problemas que se indican simplemente mediante un número tienen una respuesta al final del libro. Si el número del problema está precedido por una viñeta (•), además de la respuesta se proporciona una sugerencia, una ecuación clave o un resultado numérico adicional. Por último, un asterisco (*) antes de cada número de problema indica que éste no tiene respuesta. Exactitud. Al igual que con las ediciones anteriores, la exactitud del texto y de las soluciones a los problemas ha sido verificada con profundidad por el autor y otros cuatro colaboradores: Scott Hendricks, Virginia Polytechnic Institute and State University; Karim Nohra, University of South Florida, Kurt Norlin, Laurel Tech Integrated Publishing Services; y Kai Beng, un ingeniero practicante, quien además de revisar la exactitud proporcionó sugerencias para el desarrollo del contenido. Contenido El libro está dividido en 11 capítulos, en los que los principios se aplican primero en situaciones simples y después en contextos más complicados. En un sentido general, cada principio se aplica primero a una partícula, después a un cuerpo rígido sujeto a un sistema de fuerzas coplanares, y por último a un sistema de fuerzas tridimensional que actúa sobre un cuerpo rígido. El capítulo 1 comienza con una introducción a la mecánica y un análisis de las unidades. En el capítulo 2 introduce las propiedades vectoriales de un sistema de fuerzas concurrentes. Después, esta teoría se aplica al equilibrio de una partícula en el capítulo 3. El capítulo 4 contiene un estudio general de los sistemas de fuerzas concentradas y distribuidas así como de los métodos usados para simplificarlos. En el capítulo 5 se desarrollan los principios del equilibrio de cuerpos rígidos y después, en el capítulo 6, se aplican a problemas específicos que involucran el equilibrio de armaduras, bastidores y máquinas; luego, en el capítulo 7, estos principios se aplican al análisis de fuerzas internas en vigas y cables. En el capítulo 8 se analizan las aplicaciones a problemas que involucran fuerzas de fricción, y en el capítulo 9 se estudian temas relacionados con el centro de gravedad y el centroide. Si el tiempo lo permite, C00 EST_HEBBELER Prel.indd viii 11/19/09 2:44:48 AM PREFACIO ix también deben cubrirse las secciones que implican temas más avanzados, los cuales se indican mediante estrellas (+). La mayoría de estos temas están incluidos en el capítulo 10 (momentos de inercia) y en capítulo 11 (trabajo virtual y energía potencial). Observe que este material también proporciona una referencia adecuada para los principios básicos cuando éstos se estudian en cursos más avanzados. Por último, el apéndice A proporciona un repaso y una lista de fórmulas matemáticas necesarias para resolver los problemas del libro. Cobertura alternativa. A discreción del profesor, algunas partes del material pueden presentarse en una secuencia diferente sin perder continuidad. Por ejemplo, es posible introducir el concepto de fuerza y todos los métodos necesarios del análisis vectorial al cubrir primero el capítulo 2 y la sección 4.2 (producto cruz). Asimismo, después de cubrir el resto del capítulo 4 (sistemas de fuerza y momento), se pueden estudiar los métodos de equilibrio de los capítulos 3 y 5. Reconocimientos El autor se ha empeñado en escribir este libro de manera que resulte atractivo tanto para el estudiante como para el profesor. A través de los años, muchas personas han ayudado en su desarrollo y siempre estaré agradecido por sus valiosos comentarios y sugerencias. En especial, deseo agradecer a las siguientes personas sus comentarios relativos a la preparación de esta decimosegunda edición. Yesh P. Singh, University of Texas-San Antonio Manoj Chopra, University of Central Florida Kathryn McWilliams, University of Saskatchewan Daniel Linzell, Penn State University Larry Banta, West Virginia University Manohar L. Arora, Colorado School of Mines Robert Rennaker, University of Oklahoma Ahmad M. Itani, University of Nevada Siento que hay unas pocas personas que merecen un reconocimiento particular. Vince O’Brien, director del equipo de administración del proyecto, y Rose Kernan, mi editora de producción durante muchos años, me dieron su impulso y apoyo. Francamente, sin su ayuda, esta edición totalmente modificada y mejorada no hubiera sido posible. Además, mi amigo y socio por largo tiempo, Kai Beng Yap, me fue de gran ayuda al revisar todo el manuscrito y preparar las soluciones para los problemas. A este respecto, también ofrezco un agradecimiento especial a Kurt Norlin de Laurel Tech Integrated Publishing Services. Agradezco la ayuda de mi esposa, Conny, y de mi hija, Mary Ann, quienes durante el proceso de producción ayudaron con la lectura de pruebas y la escritura necesaria para preparar el manuscrito antes de su publicación. Por último, extiendo mi agradecimiento a todos mis alumnos y a los miembros del profesorado que se han tomado el tiempo de enviarme sus sugerencias y comentarios por correo electrónico. Como esta lista es demasiado larga, espero que aquellos que han proporcionado su ayuda de esta manera acepten este reconocimiento anónimo. Estaré muy agradecido con ustedes si me envían algún comentario o sugerencia, o si me hacen saber la existencia de problemas de cualquier tipo en relación con esta edición. Russell Charles Hibbeler [email protected] C00 EST_HEBBELER Prel.indd ix 11/19/09 2:44:49 AM x RECURSOS EN LÍNEA PARA LOS PROFESORES Recursos en línea para los profesores (en inglés) • Manual de soluciones para el profesor. Este suplemento proporciona soluciones completas apoyadas por instrucciones y figuras de los problemas. El manual de esta decimosegunda edición se modificó para mejorar su legibilidad y su exactitud se verificó tres veces. • Recursos para el profesor. Los recursos visuales para acompañar el texto se localizan en el sitio Web: www.pearsoneducacion.net/hibbeler. Es necesario contar con un código de acceso y una contraseña para acceder a este sitio; contacte a su representante local de Pearson. Los recursos visuales incluyen todas las ilustraciones del texto, disponibles en diapositivas de PowerPoint y en formato JPEG. • Soluciones en video. Las soluciones en video, desarrolladas por el profesor Edward Berger de la University of Virginia, se localizan en el sitio Web de este texto y ofrecen guías de soluciones paso a paso para los problemas de tarea más representativos de cada sección del texto. Haga un uso eficiente de las horas de clase y oficina mostrando a sus estudiantes los métodos completos y concisos para resolver problemas, a los que pueden tener acceso en cualquier momento para estudiarlos a su propio ritmo. Los videos están diseñados como un recurso flexible que puede usarse cada vez que el profesor y el estudiante lo decidan. Los videos también son un valioso recurso para la autoevaluación del estudiante puesto que puede detenerlos o repetirlos hasta verificar su comprensión, y trabajar a lo largo del material. Puede encontrar estos videos en www.pearsoneducacion.net/hibbeler siguiendo los vínculos hasta Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition text. C00 EST_HEBBELER Prel.indd x 11/19/09 2:44:49 AM CONTENIDO 3 1 Principios generales 3 Equilibrio de una partícula 85 Objetivos del capítulo 85 Objetivos del capítulo 3 1.1 Mecánica 3 1.2 Conceptos fundamentales 4 1.3 Unidades de medición 7 1.4 El Sistema Internacional de Unidades 9 1.5 Cálculos numéricos 10 1.6 Procedimiento general para el análisis 12 3.1 Condiciones para el equilibrio de una partícula 85 3.2 Diagrama de cuerpo libre 86 3.3 Sistemas de fuerzas coplanares 89 3.4 Sistemas de fuerzas tridimensionales 103 4 2 Vectores fuerza 17 Resultantes de sistemas de fuerzas 117 Objetivos del capítulo 117 Objetivos del capítulo 17 2.1 Escalares y vectores 17 2.2 Operaciones vectoriales 18 2.3 Suma vectorial de fuerzas 20 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares 32 2.5 Vectores cartesianos 43 2.6 Suma de vectores cartesianos 46 2.7 Vectores de posición 56 2.8 Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea 59 2.9 Producto punto 69 4.1 Momento de una fuerza, formulación escalar 117 4.2 Producto cruz 121 4.3 Momento de una fuerza, formulación vectorial 124 4.4 Principio de momentos 128 4.5 Momento de una fuerza con respecto a un eje específico 139 4.6 Momento de un par 148 4.7 Simplificación de un sistema de fuerza y par 160 4.8 Simplificación adicional de un sistema de fuerza y par 170 4.9 Reducción de una carga simple distribuida 183 xi C00 EST_HEBBELER Prel.indd i 11/19/09 2:44:49 AM xii CONTENIDO 5 7 Equilibrio de un cuerpo rígido 199 Fuerzas internas 329 Objetivos del capítulo 329 Objetivos del capítulo 199 5.1 Condiciones para el equilibrio de un cuerpo rígido 199 7.1 Fuerzas internas desarrolladas en elementos estructurales 329 5.2 Diagramas de cuerpo libre 201 7.2 5.3 Ecuaciones de equilibrio 214 Ecuaciones y diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante 345 5.4 Elementos de dos y tres fuerzas 224 7.3 Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flexionante 354 5.5 Diagramas de cuerpo libre 237 7.4 Cables 365 5.6 Ecuaciones de equilibrio 242 5.7 Restricciones y determinación estática 243 6 8 Análisis estructural 263 Fricción Objetivos del capítulo 263 387 Objetivos del capítulo 387 6.1 Armaduras simples 263 8.1 Características de la fricción seca 387 6.2 Método de nodos 266 8.2 Problemas que implican fricción seca 392 6.3 Elementos de fuerza cero 272 8.3 Cuñas 412 6.4 Método de secciones 280 8.4 Fuerzas de fricción sobre tornillos 414 6.5 Armaduras espaciales 290 8.5 Fuerzas de fricción sobre bandas planas 421 6.6 Bastidores y máquinas 294 8.6 Fuerzas de fricción en chumaceras de collarín, chumaceras de pivote y discos 429 8.7 Fuerzas de fricción en chumaceras lisas 432 8.8 Resistencia al rodamiento 434 C00 EST_HEBBELER Prel.indd ii 11/19/09 2:44: 0 AM xiii CONTENIDO 9 11 Centro de gravedad y centroide 447 Trabajo virtual Objetivos del capítulo 447 9.1 Centro de gravedad, centro de masa y el centroide de un cuerpo 447 9.2 Cuerpos compuestos 470 9.3 Teoremas de Pappus y Guldinus 484 9.4 Resultante de una carga general distribuida 493 9.5 Presión de un fluido 494 563 Objetivos del capítulo 563 11.1 Definición de trabajo 563 11.2 Principio del trabajo virtual 565 11.3 Principio del trabajo virtual para un sistema de cuerpos rígidos conectados 567 11.4 Fuerzas conservadoras 579 11.5 Energía potencial 580 11.6 Criterio de la energía potencial para el equilibrio 582 11.7 Estabilidad de la configuración del equilibrio 583 Apéndice A. 10 Momentos de inercia Repaso y expresiones matemáticas 598 511 Objetivos del capítulo 511 10.1 Definición de momentos de inercia para áreas 511 10.2 Teorema de los ejes paralelos para un área 512 Problemas fundamentales Soluciones parciales y respuestas 603 10.3 Radio de giro de un área 513 Respuestas a problemas seleccionados 620 10.4 Momentos de inercia para áreas compuestas 522 Índice 10.5 Producto de inercia para un área 530 10.6 Momentos de inercia para un área con respecto a ejes inclinados 534 10.7 Círculo de Mohr para momentos de inercia 537 10.8 Momento de inercia de masa 545 C00 EST_HEBBELER Prel.indd iii 650 11/19/09 2:44: 1 AM C00 EST_HEBBELER Prel.indd i 11/19/09 2:44: 1 AM Créditos Capítulo 1, El transbordador espacial Discovery despega de la plataforma de lanzamiento 39-1 en el Centro Espacial Kennedy, 31 de mayo de 2008 en Cabo Cañaveral, Florida. El transbordador lleva consigo la unidad principal del laboratorio científico japonés Kibo hacia la Estación Espacial Internacional. Getty Images. Capítulo 1 texto, Astronauta flotando en el espacio. Alamy Images sin derechos de autor. Capítulo 2, Puente colgante Erasmus, Rotterdam, Holanda. Alamy Images. Capítulo 3, Sección prefabricada de un edificio que está siendo colocada en su lugar mediante una gran grúa. Alamy Images. Capítulo 4, Ingeniero que gira tornillos con una llave, acercamiento de las manos. Getty Images/Digital Vision. Capítulo 5, Lancha salvavidas que está siendo elevada mediante una grúa hidráulica móvil, Grimsby, Humberside, North Lincolnshire, Inglaterra, Reino Unido. Alamy Images. Capítulo 6, Niebla elevándose sobre el agua, que pasa bajo un puente de armaduras Pratt de acero, en el Río St. John River, New Brunswick, Canadá en Perth Andover. Alamy Images. Capítulo 7, Varillas de refuerzo encofradas en concreto. Russ C. Hibbeler. Capítulo 8, Freno calibrador en una bicicleta. Alamy Images. Capítulo 9, Torre de agua, Harmony, Condado Bluff, Minnesota. Alamy Images. Capítulo 10, Estructura de acero en un sitio de construcción. Corbis Royalty Free. Capítulo 11, Brazo de una grúa. Getty Images Inc.–Stone Allstock. Portada 1, Vigas metálicas de construcción empernadas. Getty Images Inc.–Image Bank. Portada 2, Puente George Washington. Getty Images Inc. Tetra Images. Las imágenes restantes fueron proporcionadas por el autor. xv C00 EST_HEBBELER Prel.indd 11/19/09 2:44: 2 AM C00 EST_HEBBELER Prel.indd i 11/19/09 2:44: 2 AM INGENIERÍA MECÁNICA ESTÁTICA DECIMOSEGUNDA EDICIÓN C01 EST_HEBBELER.indd 1 11/19/09 2:45:15 AM El diseño de este cohete y su torre de lanzamiento requieren un conocimiento básico tanto de estática como de dinámica, las cuales son el objeto de estudio de la ingeniería mecánica. C01 EST_HEBBELER.indd 2 11/19/09 2:45:15 AM Principios generales 1 OBJETIVOS DEL CAPÍTULO • Proporcionar una introducción a las cantidades básicas e idealizaciones de la mecánica. • Dar un enunciado de las leyes de Newton del movimiento y la gravitación. • Revisar los principios para aplicar el sistema internacional de unidades (SI). • Examinar los procedimientos estándar para realizar cálculos numéricos. • Presentar una guía general para resolver problemas. 1.1 Mecánica La mecánica es una rama de las ciencias físicas que estudia el estado de reposo o movimiento de los cuerpos que están sometidos a la acción de fuerzas. En general, esta materia puede dividirse a su vez en tres ramas: mecánica de cuerpos rígidos, mecánica de cuerpos deformables y mecánica de fluidos. En este libro estudiaremos la mecánica de cuerpos rígidos puesto que es un requisito básico para el estudio de la mecánica de cuerpos deformables y la mecánica de fluidos. Además, la mecánica de cuerpos rígidos es esencial para el diseño y el análisis de muchos tipos de elementos estructurales, componentes mecánicos, o dispositivos electrónicos que pueden encontrarse en la práctica de la ingeniería. La mecánica de cuerpos rígidos se divide en dos áreas: estática y dinámica. La estática estudia el equilibrio de los cuerpos, es decir, de aquellos que están en reposo o se mueven a una velocidad constante; por su parte, la dinámica estudia el movimiento acelerado de los cuerpos. Podemos considerar la estática como un caso especial de la dinámica, en el que la aceleración es cero; sin embargo, la estática merece un tratamiento aparte en la enseñanza de la ingeniería porque muchos objetos se diseñan con la intención de que permanezcan en equilibrio. C01 EST_HEBBELER.indd 11/19/09 2:45:1 AM 4 1 CAPÍTULO 1 PRINCIPIOS GENERALES Desarrollo histórico. La materia de estática se desarrolló desde los primeros tiempos de la historia porque sus principios pueden formularse con facilidad a partir de mediciones de geometría y fuerza. Por ejemplo, los escritos de Arquímedes (287-212 a. C.) tratan del principio de la palanca. También se tiene registro de estudios sobre la polea, el plano inclinado y la llave de torsión en escritos antiguos —en tiempos en que las necesidades de ingeniería se limitaban primordialmente a la construcción de edificios. Los principios de la dinámica dependen de una medición exacta del tiempo, por tal razón esta materia se desarrolló mucho después. Galileo Galilei (1564-1642) fue uno de los primeros contribuyentes importantes a este campo. Su trabajo consistió en experimentos donde empleaba péndulos y cuerpos en caída. Sin embargo, fue Isaac Newton (16421727) quien realizó las contribuciones más significativas en dinámica, entre las cuales está la formulación de las tres leyes fundamentales del movimiento y la ley de la atracción gravitacional universal. Poco después de que estas leyes se postularon, notables científicos como Euler, D’Alembert, Lagrange y otros desarrollaron técnicas importantes para su aplicación. 1.2 Conceptos fundamentales Antes de comenzar nuestro estudio de la ingeniería mecánica, es importante comprender el significado de ciertos conceptos y principios fundamentales. Cantidades básicas. Las siguientes cuatro cantidades se utilizan en el estudio de la mecánica. Longitud. La longitud se usa para localizar la posición de un punto en el espacio y por lo tanto describe el tamaño de un sistema físico. Una vez que se ha definido una unidad estándar de longitud, ésta puede usarse para definir distancias y propiedades geométricas de un cuerpo como múltiplos de esta unidad. Tiempo. El tiempo se concibe como una secuencia de eventos. Aunque los principios de la estática son independientes del tiempo, esta cantidad tiene un papel importante en el estudio de la dinámica. Masa. La masa es una medición de una cantidad de materia que se usa para comparar la acción de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atracción gravitacional entre dos cuerpos y proporciona una medida de la resistencia de la materia a un cambio en su velocidad. Fuerza. En general, la fuerza se considera como un “empujón” o un “jalón” ejercido por un cuerpo sobre otro. Esta interacción puede ocurrir cuando hay un contacto directo entre los cuerpos, como cuando una persona empuja una pared, o bien puede ocurrir a través de una distancia cuando los cuerpos están separados físicamente. Entre los ejemplos del último tipo están las fuerzas gravitacionales, eléctricas y magnéticas. En cualquier caso, una fuerza se caracteriza por completo por su magnitud, dirección y punto de aplicación. C01 EST_HEBBELER.indd 4 11/19/09 2:45:1 AM 1.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Idealizaciones. Los modelos o idealizaciones se utilizan en mecánica a fin de simplificar la aplicación de la teoría. Aquí se considerarán tres idealizaciones importantes. 5 1 Partícula. Una partícula tiene masa, pero posee un tamaño que puede pasarse por alto. Por ejemplo, el tamaño de la Tierra es insignificante en comparación con el tamaño de su órbita; por lo tanto, la Tierra puede modelarse como una partícula cuando se estudia su movimiento orbital. Cuando un cuerpo se idealiza como una partícula, los principios de la mecánica se reducen a una forma bastante simplificada, puesto que la geometría del cuerpo no estará incluida en el análisis del problema. Cuerpo rígido. Un cuerpo rígido puede considerarse como una combinación de un gran número de partículas donde todas éstas permanecen a una distancia fija entre sí, tanto antes como después de la aplicación de una carga. Este modelo es importante porque las propiedades del material de todo cuerpo que se supone rígido, no tendrán que tomarse en cuenta al estudiar los efectos de las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo. En la mayoría de los casos, las deformaciones reales que ocurren en estructuras, máquinas, mecanismos, etcétera, son relativamente pequeñas, y el supuesto de cuerpo rígido resulta adecuado para el análisis. Fuerza concentrada. Una fuerza concentrada representa el efecto de una carga que se supone actúa en cierto punto de un cuerpo. Una carga puede representarse mediante una fuerza concentrada, siempre que el área sobre la que se aplique la carga sea muy pequeña en comparación con el tamaño total del cuerpo. Un ejemplo sería la fuerza de contacto entre una rueda y el suelo. A Tres fuerzas actúan sobre el gancho en A. Como todas estas fuerzas se encuentran en un solo punto, para cualquier análisis de fuerzas se puede suponer que el gancho se representa como una partícula. C01 EST_HEBBELER.indd 5 El acero es un material común en ingeniería que no se deforma mucho bajo carga. Por lo tanto, esta rueda de ferrocarril puede considerarse como un cuerpo rígido sobre el que actúa la fuerza concentrada del riel. 11/19/09 2:45:17 AM 6 1 CAPÍTULO 1 PRINCIPIOS GENERALES Las tres leyes del movimiento de Newton. La ingeniería mecánica está formulada con base en las tres leyes del movimiento de Newton, cuya validez se finca en la observación experimental. Estas leyes se aplican al movimiento de una partícula cuando se mide a partir de un marco de referencia sin aceleración. Las leyes se pueden establecer brevemente de la siguiente manera. Primera ley. Una partícula originalmente en reposo, o que se mueve en línea recta con velocidad constante, tiende a permanecer en este estado siempre que la partícula no se someta a una fuerza no balanceada, figura 1-1a. F1 F2 v F3 Equilibrio (a) Segunda ley. Una partícula sobre la que actúa una fuerza no balanceada F experimenta una aceleración a que tiene la misma dirección que la fuerza y una magnitud directamente proporcional a la fuerza, figura 1-1b.* Si se aplica F a una partícula de masa m, esta ley puede expresarse de manera matemática como F  ma (1-1) a F Movimiento acelerado (b) Tercera ley. Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son iguales, opuestas y colineales, figura 1-1c. fuerza de A sobre B F F A B fuerza de B sobre A Acción-reacción (c) Fig. 1-1 *Expresado de otra manera, la fuerza no balanceada que actúa sobre la partícula es proporcional a la razón de cambio de la cantidad del momento lineal de dicha partícula. C01 EST_HEBBELER.indd 11/19/09 2:45:17 AM 7 1.3 UNIDADES DE MEDICIÓN Ley de la atracción gravitacional de Newton. Poco después de formular sus tres leyes del movimiento, Newton postuló una ley que gobierna la atracción gravitacional entre dos partículas cualesquiera. En forma matemática, &  ' MM R 1 (1-2) donde F  fuerza de gravitación entre las dos partículas G  constante universal de gravitación; de acuerdo con la evidencia experimental, G  66.73(1012) m3>(kg # s2) m1, m2  masa de cada una de las dos partículas r  distancia entre las dos partículas Peso. De acuerdo con la ecuación 1-2, dos partículas cualesquiera o cuerpos tienen una fuerza de atracción (gravitacional) que actúa entre ellos. Sin embargo, en el caso de una partícula localizada en la superficie de la Tierra, o cerca de ella, la única fuerza gravitacional que tiene alguna magnitud significativa es la que existe entre la Tierra y la partícula. En consecuencia, esta fuerza, conocida como peso, será la única fuerza gravitacional que se considere en nuestro estudio de la mecánica. A partir de la ecuación 1-2, es posible desarrollar una expresión aproximada para encontrar el peso W de una partícula que tiene una masa m1  m. Si se supone que la Tierra es una esfera que no gira, tiene densidad constante y una masa m2  MT , entonces si r es la distancia entre el centro de la Tierra y la partícula, tenemos W  G mM T Para todo propósito práctico, el astronauta no tiene peso porque se encuentra muy lejos del campo gravitacional de la Tierra. r2 Sea g  GMT >r 2, entonces W  mg (1-3) Por comparación con F  ma, podemos ver que g es la aceleración debida a la gravedad. El peso de un cuerpo depende de r, por tal razón no es una cantidad absoluta. En vez de esto, su magnitud se determina con base en el lugar donde se hizo la medición. Sin embargo, para la mayoría de los cálculos de ingeniería, g se determina al nivel del mar y a una latitud de 45°, la cual se considera como la “ubicación estándar”. 1.3 Unidades de medición Las cuatro cantidades básicas —longitud, tiempo, masa y fuerza— no son independientes entre sí; de hecho, están relacionadas por la segunda ley del movimiento de Newton, F  ma. Por esta razón, las unidades utilizadas para medir las cantidades básicas no pueden seleccionarse todas de manera arbitraria. La igualdad F  ma se mantiene sólo si tres de las cuatro unidades, llamadas unidades base, están definidas y la cuarta unidad se deriva de la ecuación. C01 EST_HEBBELER.indd 7 11/19/09 2:45:18 AM 8 CAPÍTULO 1 PRINCIPIOS GENERALES 1 1 kg 9.81 N (a) Unidades SI. El Sistema Internacional de Unidades, que se abrevia SI por el francés “Système International d’Unités”, es una versión moderna del sistema métrico que ha recibido reconocimiento en todo el mundo. Como se muestra en la tabla 1-1, el sistema SI define la longitud en metros (m), el tiempo en segundos (s) y la masa en kilogramos (kg). La unidad de fuerza, llamada newton (N), se deriva de F  ma. Así, 1 newton es igual a la fuerza requerida para dar a 1 kilogramo de masa una aceleración de 1 m>s2 (N  kg # m>s2). Si el peso de un cuerpo localizado en la “ubicación estándar” se debe determinar en newtons, entonces debe aplicarse la ecuación 1-3. Aquí las mediciones dan g  9.806 65 m>s2; sin embargo, para los cálculos, se usará el valor g  9.81 m>s2. Entonces, W  mg 1 slug (g  9.81 m>s2) (1-4) Por tanto, un cuerpo de 1 kg de masa tiene un peso de 9.81 N, un cuerpo de 2 kg pesa 19.62 N, etcétera, según la figura 1-2a. Uso común en Estados Unidos. En el sistema de unidades 32.2 lb (b) Fig. 1-2 de uso común en Estados Unidos (FPS) la longitud se mide en pies (ft), el tiempo en segundos (s) y la fuerza en libras (lb), tabla 1-1. La unidad de masa, llamada slug, se deriva de F  ma. De esta manera, 1 slug es igual a la cantidad de materia acelerada a 1 pie>s2 cuando se somete a una fuerza de 1 lb (slug  lb # s2>pie). Por lo tanto, si las mediciones se hacen en la “ubicación estándar”, donde g  32.2 pies>s2, entonces a partir de la ecuación 1-3, M  7 G (G  32.2 piess2) (1-5) Así, un cuerpo que pesa 32.2 lb tiene una masa de 1 slug, un cuerpo de 64.4 lb tiene una masa de 2 slugs, etcétera, como en la figura 1-2b. TABLA 1-1 Sistemas de unidades Nombre Longitud Tiempo Masa Fuerza Sistema Internacional de Unidades SI metro segundo kilogramo newton* m s kg . KG  M Uso común en Estados Unidos FPS pie 2 pie segundo s 2 PIE 3 libra slug* LB  S S 3 lb *Unidad derivada. C01 EST_HEBBELER.indd 8 11/19/09 2:45:19 AM 1.4 EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES Unidades de conversión. En la tabla 1-2 se proporciona un conjunto de factores de conversión directa entre unidades FPS y unidades SI para las cantidades básicas. También, en el sistema FPS, recuerde que 1 pie  12 pulg, 5280 pies  1 mi (milla), 1000 lb  1 kip (kilo-libra) y 2000 lb  1 tonelada. TABLA 1-2 9 1 Factores de conversión Cantidad Unidad de medida (FPS) Fuerza Masa Longitud lb slug pie Unidad de medida (SI) Es igual a 4.448 N 14.59 kg 0.304 8 m 1.4 El Sistema Internacional de Unidades El sistema SI de unidades se usa de manera extensa en este libro puesto que está destinado a convertirse en el estándar mundial para realizar mediciones. Por lo tanto, a continuación presentaremos algunas de las reglas para su uso, así como parte de su terminología relevante para la ingeniería mecánica. Prefijos. Cuando una cantidad numérica es muy grande o muy pequeña, las unidades usadas para definir su tamaño pueden modificarse mediante el uso de un prefijo. En la tabla 1-3 se muestran algunos de los prefijos usados en el sistema SI. Cada uno representa un múltiplo o submúltiplo de una unidad que, si se aplica de manera sucesiva, mueve el punto decimal de una cantidad numérica hacia cada tercera posición.* Por ejemplo, 4 000 000 N  4 000 kN (kilo-newton)  4 MN (mega-newton), o 0.005 m  5 mm (mili-metro). Observe que el sistema SI no incluye el múltiplo deca (10) o el submúltiplo centi (0.01), que forma parte del sistema métrico. Excepto para algunas medidas de volumen y área, el uso de estos prefijos debe evitarse en ciencia e ingeniería. TABLA 1-3 Múltiplo 1 000 000 000 1 000 000 1 000 Submúltiplo 0.001 0.000 001 0.000 000 001 Prefijos Forma exponencial Prefijo Símbolo SI 109 106 103 giga mega kilo G M k 10–3 10–6 10–9 mili micro nano m  n *El kilogramo es la única unidad base que se define con un prefijo. C01 EST_HEBBELER.indd 9 11/19/09 2:45:20 AM 10 CAPÍTULO 1 PRINCIPIOS GENERALES Reglas para su uso. A continuación se presentan algunas reglas 1 importantes que describen el uso apropiado de los diferentes símbolos SI: • Las cantidades definidas por varias unidades que son múltiplos de otras se separan mediante un punto para evitar la confusión con la notación de prefijos, como se observa en N  kg # m>s2  kg # m # s2. Asimismo, m # s significa metro-segundo (metro por segundo) en tanto que ms representa mili-segundo. • La potencia exponencial de una unidad que tiene un prefijo se refie- re tanto a la unidad como a su prefijo. Por ejemplo, N2  (N)2  N# N. De igual manera, mm2 representa (mm)2  mm # mm. • Con excepción de la unidad base kilogramo, por lo general evite el uso de prefijos en el denominador de las unidades compuestas. Por ejemplo, no escriba N>mm, sino kN>m; asimismo, m>mg debe escribirse como Mm>kg. • Cuando realice cálculos, represente los números en términos de sus unidades base o derivadas mediante la conversión de todos los prefijos a potencias de 10. De esta manera, el resultado final podrá expresarse con un solo prefijo. Incluso, después del cálculo es preferible mantener valores numéricos entre 0.1 y 1000; de otra forma, debe elegirse un prefijo adecuado. Por ejemplo,  K.  NM  ; .=;  M=    .  M    .  M   M.  M 1.5 Cálculos numéricos A menudo, el trabajo numérico en la práctica de la ingeniería se realiza mediante el uso de calculadoras portátiles y computadoras. Sin embargo, es importante que las respuestas a cualquier problema se expresen con una exactitud justificable y una cantidad apropiada de cifras significativas. En esta sección analizaremos estos temas, junto con algunos otros aspectos importantes relacionados con los cálculos en ingeniería. Homogeneidad dimensional. Los términos de cualquier En ingeniería suelen emplearse computadoras para realizar diseños y análisis avanzados. C01 EST_HEBBELER.indd 10 ecuación usada para describir un proceso físico deben ser dimensionalmente homogéneos; es decir, cada término debe expresarse en las mismas unidades. Siempre que éste sea el caso, todos los términos de una ecuación pueden combinarse si las variables se sustituyen por valores numéricos. Por ejemplo, considere la ecuación s  vt   at2, donde, en unidades SI, s es la posición en metros, m; t es el tiempo en segundos, s; v es la velocidad en m>s, y a es la aceleración en m>s2. Sin importar la forma en que se evalúe esta ecuación, su homogeneidad dimensional se mantendrá. En la forma establecida, cada uno de los tres términos se expresa en metros ;M MS S MS S=, o al despejar a, a  2s>t2  2v>t, cada uno de los términos se expresa en unidades de m>s2 [m>s2, m>s2, (m>s)>s]. 11/19/09 2:45:21 AM 1.5 CÁLCULOS NUMÉRICOS Tenga en mente que los problemas de mecánica siempre implican la solución de ecuaciones dimensionalmente homogéneas; por lo tanto, este hecho se puede usar como una verificación parcial de las manipulaciones algebraicas de una ecuación. 11 1 Cifras significativas. El número de cifras significativas contenidas en cualquier número determina la exactitud de éste. Por ejemplo, el número 4981 contiene cuatro cifras significativas. Sin embargo, si hay ceros al final de un número entero, puede ser poco claro cuántas cifras significativas representa el número. Por ejemplo, 23 400 podría tener tres (234), cuatro (2340) o cinco (23 400) cifras significativas. Para evitar estas ambigüedades usaremos la notación de ingeniería para expresar un resultado. Lo anterior requiere que los números se redondeen al número apropiado de dígitos significativos y después se expresen en múltiplos de (103), como (103), (106) o (109). Por ejemplo, si 23 400 tiene cinco cifras significativas se escribe como 23.400(103), pero si sólo tiene tres cifras significativas se escribe como 23.4(103). Si hay ceros al inicio de un número que es menor que uno, entonces los ceros no son significativos. Por ejemplo 0.00821 tiene tres cifras significativas. Con la notación de ingeniería, este número se expresa como 8.21(103). De igual forma, 0.000582 puede expresarse como 0.582(103) o 582(106). Redondeo de números. El redondeo de un número es necesario para que la exactitud del resultado sea la misma que la de los datos del problema. Como regla general, cualquier cifra numérica que termine en cinco o más se redondea hacia arriba, y un número menor que cinco se redondea hacia abajo. Las reglas para redondear números se ilustran de mejor manera con ejemplos. Suponga que el número 3.5587 debe redondearse a tres cifras significativas. Como el cuarto dígito (8) es mayor que 5, el tercer número se redondea hacia arriba a 3.56. De la misma manera, 0.5896 se convierte en 0.590 y 9.3866 en 9.39. Si redondeamos 1.341 a tres cifras significativas, como el cuarto dígito (1) es menor que 5, entonces obtenemos 1.34. Asimismo 0.3762 se convierte en 0.376 y 9.871 en 9.87. Hay un caso especial para cualquier número que tiene un 5 con ceros que lo siguen. Como regla general, si el dígito que precede al 5 es un número par, dicho dígito no se redondea hacia arriba. Si el dígito que precede al 5 es un número impar, éste se redondea hacia arriba. Por ejemplo 75.25 redondeado a tres cifras significativas se convierte en 75.2, 0.1275 se convierte en 0.128 y 0.2555 en 0.256. Cálculos. Cuando se realiza una sucesión de cálculos, se recomienda almacenar los resultados intermedios en la calculadora. En otras palabras, no redondee los cálculos hasta expresar el resultado final. Este procedimiento mantiene la precisión a través de la serie de pasos realizados hasta la solución final. Por lo general, en este texto redondearemos las respuestas a tres cifras significativas puesto que la mayoría de los datos en ingeniería mecánica, como medidas geométricas y cargas, puede medirse de manera confiable con esta exactitud. C01 EST_HEBBELER.indd 11 11/19/09 2:45:22 AM 12 CAPÍTULO 1 PRINCIPIOS GENERALES 1.6 Procedimiento general para el análisis 1 La forma más efectiva de aprender los principios de la ingeniería mecánica es resolver problemas. Para tener éxito en ello, es importante siempre presentar el trabajo de una manera lógica y ordenada, como indica la siguiente serie de pasos: • Lea el problema con cuidado y trate de correlacionar la situación física real con la teoría estudiada. • Tabule los datos del problema y dibuje cualquier diagrama que sea necesario. • Al resolver problemas, realice el trabajo de la manera más limpia posible. La limpieza estimulará el pensamiento claro y ordenado, y viceversa. Aplique los principios relevantes, por lo general en una forma matemática. Cuando escriba ecuaciones, asegúrese de que sean dimensionalmente homogéneas. • Resuelva las ecuaciones necesarias y exprese la respuesta con no más de tres cifras significativas. • Estudie la respuesta con juicio técnico y sentido común para determinar si parece razonable o no. Puntos importantes • La estática es el estudio de los cuerpos que están en reposo o que se mueven con velocidad constante. • Una partícula tiene masa pero posee un tamaño que se puede pasar por alto. • Un cuerpo rígido no se deforma bajo carga. • Se supone que las cargas concentradas actúan en un punto sobre un cuerpo. • Las tres leyes del movimiento de Newton deben memorizarse. • La masa es una medida de cantidad de materia que no cambia de una ubicación a otra. • El peso se refiere a la atracción gravitacional de la Tierra sobre un cuerpo o una cantidad de masa. Su magnitud depende de la elevación a la que se encuentra la masa. • En el sistema SI, la unidad de fuerza, el newton, es una unidad derivada. El metro, el segundo y el kilogramo son unidades base. • Los prefijos G, M, k, m,  y n se usan para representar cantidades numéricas grandes y pequeñas. Es necesario conocer su tamaño exponencial junto con las reglas para usar las unidades SI. • Realice los cálculos numéricos con varias cifras significativas, y después exprese la respuesta final con tres cifras significativas. • Las manipulaciones algebraicas de una ecuación se pueden revisar en parte al verificar que la ecuación permanece dimensionalmente homogénea. • Es necesario conocer las reglas para redondear números. C01 EST_HEBBELER.indd 12 11/19/09 2:4 :22 AM 1.6 PROCEDIMIENTO GENERAL PARA EL ANÁLISIS EJEMPLO 1.1 13 1 Convierta 2 km>h a m>s, ¿cuánto es esto en pies>s? SOLUCIÓN Como 1 km  1000 m y 1 h  3600 s, los factores de conversión se ordenan de la siguiente manera, para que pueda aplicarse una cancelación de unidades: H  KM  M 3 2 32 H KM  S  M    MS  S  KMH  Resp. De la tabla 1-2, 1 pie  0.3048 m. Entonces,  MS  2  M  PIE 32 3 S  M   PIESS NOTA: Resp. recuerde redondear la respuesta final a tres cifras significa- tivas. EJEMPLO 1.2 Convierta las cantidades 300 lb # s y 52 slug>pie3 a las unidades SI adecuadas. SOLUCIÓN Con la tabla 1-2, 1 lb  4.448 2 N.  LB  S   LB  S 2  . 3  LB   .  S   K.  S Resp. Como 1 slug  14.593 8 kg y 1 pie  0.304 8 m, entonces  SLUGPIE    SLUG  KG  PIE 2 3 2 3  SLUG   M PIE   KGM   -GM C01 EST_HEBBELER.indd 1 Resp. 11/19/09 2:4 :2 AM 14 1 CAPÍTULO 1 PRINCIPIOS GENERALES EJEMPLO 1.3 Evalúe cada una de las siguientes operaciones y exprese la respuesta en unidades SI con un prefijo adecuado: (a) (50 mN)(6 GN), (b) (400 mm)(0.6 MN)2, (c) 45 MN3>900 Gg. SOLUCIÓN Primero convierta cada número a unidades base, realice las operaciones indicadas y después elija un prefijo adecuado. Inciso (a)  M.  '.  ;  .=; .=   .   . 2  K.  K. 32  3   .  .   K. NOTA: 2ESP tenga en mente la convención kN2  (kN)2  106 N2. Inciso (b)  MM  -.   ;  M=; .=  ;  M=; .=   M  .   'M  . 2ESP También podemos escribir  M  .    M  .  2  -.  -. 32  3  .  .   M  -.  2ESP Inciso (c)  .   -.    'G  KG   . KG   .  2   K. KG C01 EST_HEBBELER.indd 14  K.   3  . KG 2ESP 11/19/09 2:4 :24 AM PROBLEMAS 15 PROBLEMAS 1-1. Redondee los siguientes números a tres cifras significativas: (a) 4.65735 m, (b) 55.578 s, (c) 4555 N y (d) 2768 kg. 1-2. Represente cada una de las siguientes combinaciones de unidades en la forma correcta del SI con un prefijo adecuado: (a) MN, (b) N>m, (c) MN>ks2 y (d) kN>ms. 1-3. Represente cada una de las siguientes cantidades en la forma correcta del SI con un prefijo adecuado: (a) 0.000431 kg, (b) 35.3(103) N y (c) 0.00532 km. *1-4. Represente cada una de las siguientes combinaciones de unidades en la forma correcta del SI: (a) Mg>ms, (b) N>mm y (c) mN>(kg # s). 1-5. Represente cada una de las siguientes combinaciones de unidades en la forma correcta del SI con un prefijo adecuado: (a) kN>s, (b) Mg>mN, (c) MN>(kg # ms). 1-6. Represente cada una de las siguientes expresiones con tres cifras significativas y escriba cada respuesta en unidades SI con un prefijo adecuado: (a) 45 320 kN, (b) 568(105) mm y (c) 0.005 63 mg. 1-7. Un cohete tiene una masa de 250(103) slugs en la Tierra. Especifique (a) su masa en unidades SI y (b) su peso en unidades SI. Si el cohete está en la Luna, donde la aceleración debida a la gravedad es gL  5.30 pies>s2, utilice tres cifras significativas para determinar (c) su peso en unidades SI y (d) su masa en unidades SI. *1-8. Si un automóvil viaja a 55 mi>h, determine su velocidad en kilómetros por hora y metros por segundo. 1-9. El pascal (Pa) es en realidad una unidad muy pequeña de presión. Para demostrar esto, convierta 1 Pa  1 N>m2 a lb>pie2. La presión atmosférica al nivel del mar es de 14.7 lb>pulg2. ¿A cuántos pascales equivale esto? 1-10. ¿Cuál es el peso en newtons de un objeto que tiene una masa de: (a) 10 kg, (b) 0.5 g y (c) 4.50 Mg? Exprese el resultado con tres cifras significativas. Utilice un prefijo adecuado. 1-11. Realice cada una de las siguientes operaciones y exprese la respuesta con tres cifras significativas, utilice el sistema de unidades SI con un prefijo adecuado: (a) 354 mg(45 km)>(0.0356 kN), (b) (0.004 53 Mg)(201 ms) y (c) 435 MN>23.2 mm. C01 EST_HEBBELER.indd 1 1 *1-12. El peso específico (peso>volumen) del latón es de 520 lb>pie3. Determine su densidad (masa>volumen) en unidades SI. Utilice un prefijo adecuado. 1-13. Realice cada una de la siguientes conversiones con tres cifras significativas: (a) 20 lb # pie a N # m, (b) 450 lb>pie3 a kN>m3 y (c) 15 pies>h a mm>s. 1-14. La densidad (masa>volumen) del aluminio es de 5.26 slug>pie3. Determine su densidad en unidades SI. Emplee un prefijo adecuado. 1-15. El agua tiene una densidad de 1.94 slug>pie3. ¿Cuál es su densidad expresada en unidades SI? Exprese la respuesta con tres cifras significativas. *1-16. Dos partículas tienen una masa de 8 kg y 12 kg, respectivamente. Si están separadas por una distancia de 800 mm, determine la fuerza de gravedad que actúa entre ellas. Compare este resultado con el peso de cada partícula. 1-17. Determine la masa en kilogramos de un objeto que tiene un peso de (a) 20 mN, (b) 150 kN y (c) 60 MN. Exprese la respuesta con tres cifras significativas. 1-18. Evalúe cada una de las siguientes operaciones y exprese la respuesta en unidades SI con tres cifras significativas; utilice el prefijo adecuado: (a) (200 kN)2, (b) (0.005 mm)2 y (c) (400 m)3. 1-19. Utilice las unidades base del sistema SI para mostrar que la ecuación 1-2 es dimensionalmente homogénea y que da el valor de F en newtons. Determine con tres cifras significativas la fuerza gravitacional que actúa entre dos esferas que se tocan una a la otra. La masa de cada esfera es de 200 kg y su radio es de 300 mm. *1-20. Realice cada una de las siguientes operaciones y exprese la respuesta con tres cifras significativas, en unidades SI y emplee un prefijo adecuado: (a) (0.631 Mm)>(8.60 kg)2 y (b) (35 mm)2(48 kg)3. 1-21. Calcule (204 mm)(0.00457 kg)>(34.6 N) con tres cifras significativas y exprese la respuesta en unidades SI con un prefijo apropiado. 11/19/09 2:4 :2 AM Esta torre de un puente se estabiliza mediante cables que ejercen fuerzas en los puntos de conexión. En el presente capítulo mostraremos cómo expresar estas fuerzas en la forma de vectores cartesianos y cómo determinar la fuerza resultante. C02 EST_H BBELER.indd 1 11/19/09 2:45:5 AM Vectores fuerza 2 2 OBJETIVOS DEL CAPÍTULO • Mostrar cómo se suman las fuerzas y cómo se obtienen sus componentes con la ley del paralelogramo. • Expresar una fuerza y su posición en forma de un vector cartesiano y explicar cómo se determina la magnitud y la dirección del vector. • Presentar el producto punto a fin de determinar el ángulo entre dos vectores o la proyección de un vector sobre otro. 2.1 Escalares y vectores Todas las cantidades físicas en ingeniería mecánica pueden medirse mediante escalares o vectores. Escalar. Un escalar es cualquier cantidad física positiva o negativa que se puede especificar por completo mediante su magnitud. La longitud, la masa y el volumen son ejemplos de cantidades escalares. Vector. Un vector es cualquier cantidad física que requiere tanto de magnitud como de dirección para su descripción completa. En estática, algunas cantidades vectoriales encontradas con frecuencia son fuerza, posición y momento. Un vector se representa gráficamente mediante una flecha. La longitud de la flecha representa la magnitud del vector y el ángulo  entre el vector y un eje fijo define la dirección de su línea de acción. La cabeza o punta de la flecha indica el sentido de dirección del vector, como se ve en la figura 2-1. En trabajos impresos, las cantidades vectoriales se representan mediante caracteres en negritas como A, mientras que la magnitud del vector se escribe con letras itálicas, A. Para trabajos manuscritos, casi siempre es conveniente denotar una cantidad vectorial con sólo dibujar una flecha sobre el carácter, : A. C02 EST_H BBELER.indd 17 Sentido Magnitud A u Dirección Fig. 2-1 11/19/09 2:45:54 AM 18 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA 2.2 Operaciones vectoriales Multiplicación y división de un vector por un escalar. Si 2A 2 A A  0.5 A Multiplicación y división escalar Fig. 2-2 un vector se multiplica por un escalar positivo, su magnitud se incrementa en esa cantidad. Cuando se multiplica por un escalar negativo también cambiará el sentido de la dirección del vector. En la figura 2-2 se muestran ejemplos gráficos de estas operaciones. Suma de vectores. Todas las cantidades vectoriales obedecen la ley del paralelogramo para la suma. A manera de ilustración, los dos vectores “componentes” A y B de la figura 2-3a se suman para formar un vector “resultante” R  A  B mediante el siguiente procedimiento: • Primero, una las colas de los componentes en un punto de manera que se hagan concurrentes, figura 2-3b. • Desde la cabeza de B, dibuje una línea paralela a A. Dibuje otra línea desde la cabeza de A que sea paralela a B. Estas dos líneas se intersecan en el punto P para formar los lados adyacentes de un paralelogramo. • La diagonal de este paralelogramo que se extiende hasta P forma R, la cual representa al vector resultante R  A  B, figura 2-3c. A A A R P B B B RAB (a) Ley del paralelogramo (c) (b) Fig. 2-3 También podemos sumar B a A, figura 2-4a, mediante la regla del triángulo, que es un caso especial de la ley del paralelogramo, donde el vector B se suma al vector A en una forma de “cabeza a cola”, es decir, se conecta la cabeza de A a la cola de B, figura 2-4b. La resultante R se extiende desde la cola de A hasta la cabeza de B. De la misma manera, R también se puede obtener al sumar A y B, figura 2-4c. Por comparación, se ve que la suma vectorial es conmutativa; en otras palabras, los vectores pueden sumarse en cualquier orden, es decir, R  A  B  B  A. C02 EST_H BBELER.indd 18 11/19/09 2:45:55 AM 2.2 OPERACIONES VECTORIALES A 19 B A R R B A B 2 RAB RBA Regla del triángulo Regla del triángulo (b) (c) (a) Fig. 2-4 Como un caso especial, si los dos vectores A y B son colineales, es decir, ambos tienen la misma línea de acción, la ley del paralelogramo se reduce a una suma algebraica o suma escalar R  A  B, como se muestra en la figura 2-5. R A B RAB Suma de vectores colineales Fig. 2-5 Resta de vectores. La diferencia resultante entre dos vectores A y B del mismo tipo puede expresarse como R¿  A  B  A  (B) Esta suma de vectores se muestra de manera gráfica en la figura 2-6. Puesto que la resta se define como un caso especial de la suma, las reglas de la suma de vectores también se aplican a la resta vectorial. B A R¿ B A o R¿ A B Ley del paralelogramo Construcción triangular Resta vectorial Fig. 2-6 C02 EST_H BBELER.indd 19 11/19/09 2:45:5 AM 20 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA 2.3 La evidencia experimental ha mostrado que una fuerza es una cantidad vectorial ya que tiene una magnitud específica, dirección y sentido, y que se suma de acuerdo con la ley del paralelogramo. Dos problemas comunes en estática implican encontrar la fuerza resultante, conocer sus componentes, o descomponer una fuerza conocida en dos componentes. A continuación describiremos cómo se resuelve cada uno de estos problemas mediante la aplicación de la ley del paralelogramo. 2 F2 F1 Suma vectorial de fuerzas Determinación de una fuerza resultante. Las dos fuerzas FR componentes F1 y F2 que actúan sobre el pasador de la figura 2-7a se pueden sumar para formar la fuerza resultante FR  F1  F2, como se muestra en la figura 2-7b. A partir de esta construcción, o mediante el uso de la regla del triángulo, figura 2-7c, podemos aplicar la ley de los cosenos o la ley de los senos al triángulo, a fin de obtener la magnitud de la fuerza resultante y su dirección. La ley del paralelogramo debe usarse para determinar la resultante de las dos fuerzas que actúan sobre el gancho. F1 F1 F1 FR F2 F2 FR v F2 FR  F1  F2 (a) (b) (c) Fig. 2-7 Determinación de las componentes de una fuerza. En F Fu Fv v u Mediante el uso de la ley del paralelogramo, la fuerza F causada por el elemento vertical puede separarse en componentes que actúan a lo largo de los cables de suspensión a y b. C02 EST_H BBELER.indd 20 ocasiones es necesario separar una fuerza en dos componentes a fin de estudiar su efecto de jalón o de empuje en dos direcciones específicas. Por ejemplo, en la figura 2-8a, F debe separarse en dos componentes a lo largo de los dos elementos, definidos por los ejes u y v. Para determinar la magnitud de cada componente, primero se construye un paralelogramo, con líneas que inician desde la punta de F, una línea paralela a u, y otra línea paralela a v. Después, estas líneas se intersecan con los ejes v y u para formar un paralelogramo. Las componentes de fuerza Fu y Fv se establecen simplemente al unir la cola de F con los puntos de intersección en los ejes u y v, como aparece en la figura 2-8b. Después, este paralelogramo puede reducirse a una figura geométrica que representa la regla del triángulo, figura 2-8c. Con base en esto, se puede aplicar la ley de los senos para determinar las magnitudes desconocidas de las componentes. 11/19/09 2:45:5 AM 21 2.3 SUMA VECTORIAL DE FUERZAS v v F F Fv F Fv u u (a) 2 Fu Fu (b) (c) Fig. 2-8 Suma de varias fuerzas. Si deben sumarse más de dos fuerzas, pueden llevarse a cabo aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo para obtener la fuerza resultante. Por ejemplo, si tres fuerzas F1, F2, F3 actúan en un punto O, figura 2-9, se calcula la resultante de dos cualesquiera de las fuerzas, digamos F1  F2, y luego esta resultante se suma a la tercera fuerza, dando la resultante de las tres fuerzas; es decir. FR  (F1  F2)F3. La aplicación de la ley del paralelogramo para sumar más de dos fuerzas, como se muestra aquí, a menudo requiere de extensos cálculos geométricos y trigonométricos para determinar los valores numéricos de la magnitud y la dirección de la resultante. En vez de ello, los problemas de este tipo pueden resolverse con facilidad mediante el “método de las componentes rectangulares”, el cual se explica en la sección 2.4. F1  F2 FR F2 F1 F3 O Fig. 2-9 FR F1  F2 ¿Checar bien esta figura? F2 F1 F3 La fuerza resultante FR sobre el gancho requiere la suma de F1  F2; después, esta resultante se suma a F3. C02 EST_H BBELER.indd 21 11/19/09 2:45:57 AM 22 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA Procedimiento para el análisis Los problemas que implican la suma de dos fuerzas pueden resolverse como sigue: F1 FR 2 Ley del paralelogramo. F2 • Las dos fuerzas “componentes” F1 y F2 de la figura 2-10a se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo, lo que produce una fuerza resultante FR que forma la diagonal del paralelogramo. (a) v • Si una fuerza F debe separarse en componentes a lo largo de F u Fv Fu • Marque todas las magnitudes de fuerzas conocidas y desco- (b) A c b nocidas y los ángulos sobre el croquis; asimismo, identifique las dos incógnitas como la magnitud y la dirección de FR, o las magnitudes de sus componentes. B a C Ley de los cosenos: C  A2  B2  2AB cos c Ley de los senos: A  B  C sen a sen b sen c (c) dos ejes u y v, figura 2-10b, entonces comience en la cabeza de la fuerza F y construya líneas paralelas a los ejes, para formar de esta manera el paralelogramo. Los lados del paralelogramo representan las componentes, Fu y Fv. Trigonometría. • Dibuje de nuevo la mitad del paralelogramo para ilustrar la suma triangular de cabeza a cola de las componentes. • A partir de este triángulo, la magnitud de la fuerza resultante puede determinarse con la ley de los cosenos, y su dirección mediante la ley de los senos. Las magnitudes de las dos componentes de fuerza se determinan a partir de la ley de los senos. Las fórmulas se dan en la figura 2-10c. Fig. 2-10 Puntos importantes • Un escalar es un número positivo o negativo. • Un vector es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido. • La multiplicación o la división de un vector por, o entre, un escalar cambiará la magnitud del vector. El sentido del vector cambiará si el escalar es negativo. • Como un caso especial, si los vectores son colineales, la resultante se forma mediante una suma algebraica o escalar. C02 EST_H BBELER.indd 22 11/19/09 2:45:57 AM 23 2.3 SUMA VECTORIAL DE FUERZAS EJEMPLO 2.1 La armella roscada de la figura 2-11a está sometida a dos fuerzas, F1 y F2. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. 10 A F2  150 N 2 150 N 65 115 F1  100 N 10 FR 360  2(65) 15 2  115 100 N u 15 90  25  65 (b) (a) SOLUCIÓN Ley del paralelogramo. El paralelogramo se forma al dibujar una línea desde la cabeza de F1 que sea paralela a F2, y otra línea desde la cabeza de F2 que sea paralela a F1. La fuerza resultante FR se extiende hacia el lugar donde estas líneas se intersecan en el punto A, figura 2-11b. Las dos incógnitas son la magnitud de FR y el ángulo u (teta). FR Trigonometría. A partir del paralelogramo, se construye el triángulo vectorial, figura 2-11c. Mediante la ley de los cosenos &2  (100 N)2  10 000 (150 N)2 22 500 115 u f 2(100 N)(150 N) cos 115° 15 100 N (c) 30 000( 0.4226)  212.6 N  213 N 150 N Resp. Fig. 2-11 El ángulo u se determina al aplicar la ley de los senos, 150 N 212.6 N  sen . sen 115° sen .  150 N (sen 115º) 212.6 N .  39.8° Así, la dirección f (fi) de FR, medida desde la horizontal, es f  39.8°  15.0°  54.8° Resp. NOTA: los resultados parecen razonables, puesto que la figura 2-11b muestra que FR tiene una magnitud más grande que sus componentes y una dirección que se encuentra entre éstas. C02 EST_H BBELER.indd 2 11/19/09 2:45:58 AM 24 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA EJEMPLO 2.2 Descomponga la fuerza horizontal de 600 lb que se muestra en la figura 2-12a en componentes que actúan a lo largo de los ejes u y v, y determine las magnitudes de estas componentes. 2 u u B Fu 30 30 30 A 600 lb Fv 120 30 600 lb 120 Fu 30 30 120 30 Fv 600 lb (c) C v (a) v (b) Fig. 2-12 SOLUCIÓN El paralelogramo se construye al extender una línea paralela al eje v, desde la cabeza de la fuerza de 600 lb hasta que interseca el eje u en el punto B, figura 2-12b. La flecha desde A hasta B representa Fu. Del mismo modo, la línea que se extiende desde la cabeza de la fuerza de 600 lb dibujada en forma paralela al eje u interseca el eje v en el punto C, de donde se obtiene Fv. En la figura 2-12c se muestra la suma vectorial cuando se usa la regla del triángulo. Las dos incógnitas son las magnitudes de Fu y Fv. Al aplicar la ley de los senos, &U 600 lb  sen 120° sen 30° &U  1039 lb Resp. &V 600 lb  sen 30° sen 30° &V  600 lb Resp. NOTA: el resultado para Fu muestra que en ocasiones una componente puede tener una mayor magnitud que la resultante. C02 EST_H BBELER.indd 24 11/19/09 2:45:59 AM 2.3 SUMA VECTORIAL DE FUERZAS 25 EJEMPLO 2.3 Determine la magnitud de la fuerza componente F en la figura 2-13a y la magnitud de la fuerza resultante FR si FR está dirigida a lo largo del eje positivo y. 2 y y 45 F FR 200 lb 45 F 30 45 75 45 60 30 200 lb 30 60 200 lb (c) (b) (a) F 45 FR Fig. 2-13 SOLUCIÓN En la figura 2-13b se muestra la ley del paralelogramo para la suma, y en la figura 2-13c la regla del triángulo. Las magnitudes de FR y F son las dos incógnitas. Éstas pueden determinarse mediante la aplicación de la ley de los senos. 200 lb &  sen 60° sen 45° &  245 lb Resp. &2 200 lb  sen 75° sen 45° &2  273 lb C02 EST_H BBELER.indd 25 Resp. 11/19/09 2:4 :00 AM 26 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA EJEMPLO 2.4 Se requiere que la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada de la figura 2-14a esté dirigida a lo largo del eje positivo x y que F2 tenga una magnitud mínima. Determine esta magnitud, el ángulo u y la fuerza resultante correspondiente. 2 F1  800 N F1  800 N F2 60 60 F1  800 N F2 u 60 x x x FR FR u u  90 F2 (a) (b) (c) Fig. 2-14 SOLUCIÓN En la figura 2-14b se muestra la regla del triángulo para FR  F1  F2. Como las magnitudes (longitudes) de FR y F2 no están especificadas, entonces F2 puede ser en realidad cualquier vector cuya cabeza toque la línea de acción de FR, figura 2-14c. Sin embargo, como se muestra en la figura, la magnitud de F2 es un mínimo o tiene la longitud más corta cuando su línea de acción es perpendicular a la línea de acción de FR, es decir, cuando u  90° Resp. Como la suma vectorial ahora forma un triángulo rectángulo, las dos magnitudes desconocidas se pueden obtener por trigonometría. C02 EST_H BBELER.indd 2 FR  (800 N)cos 60°  400 N Resp. F2  (800 N)sen 60°  693 N Resp. 11/19/09 2:4 :01 AM 27 2.3 SUMA VECTORIAL DE FUERZAS PROBLEMAS FUNDAMENTALES* F2-1. Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x. F2-4. Descomponga la fuerza de 30 lb en componentes a lo largo de los ejes u y v; además, determine la magnitud de cada una de estas componentes. 2 v 30 lb 15 x 30 45 60 u 2 kN 6 kN F2-1 F2-4 F2-2. Dos fuerzas actúan sobre el gancho. Determine la magnitud de la fuerza resultante. F2-5. La fuerza F  450 lb actúa sobre la estructura. Descomponga esta fuerza en componentes que actúan a lo largo de los elementos AB y AC; además, determine la magnitud de cada componente. 30 A C 45 30 450 lb 200 N 40 500 N F2-2 B F2-5 F2-3. Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. y F2-6. Si la fuerza F debe tener una componente a lo largo del eje u con magnitud Fu  6 kN, determine la magnitud de F y la magnitud de su componente Fv a lo largo del eje v. u 800 N F 45 105 x 30 v 600 N F2-3 F2-6 * Al final del libro se proporcionan soluciones parciales y respuestas a todos los problemas fundamentales. C02 EST_H BBELER.indd 27 11/19/09 2:4 :01 AM 28 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA PROBLEMAS •2-1. Si u  30° y T  6 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada y su 2 dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. 2-2. Si u  60° y T  5 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje positivo x. 2-7. Si FB  2 kN y la fuerza resultante actúa a lo largo del eje u positivo, determine la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo u. *2-8. Si se requiere que la fuerza resultante actúe a lo largo del eje u positivo y que tenga una magnitud de 5 kN, determine la magnitud requerida de FB y su dirección u. y 2-3. Si la magnitud de la fuerza resultante debe ser de 9 kN dirigida a lo largo del eje x positivo, determine la magnitud de la fuerza T que actúa sobre la armella roscada y su ángulo u. FA  3 kN x A u 30 y T u B u FB x 45 Probs. 2-7/8 8 kN Probs. 2-1/2/3 *2-4. Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula y su dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje u positivo. •2-5. Resuelva la fuerza F1 en componentes a lo largo de los ejes u y v; además, determine las magnitudes de estas componentes. 2-6. Resuelva la fuerza F2 en componentes a lo largo de los ejes u y v; además, determine las magnitudes de estas componentes. •2-9. La placa está sometida a las dos fuerzas A y B, como se muestra en la figura. Si u  60°, determine la magnitud de la resultante de esas dos fuerzas y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde la horizontal. 2-10. Determine el ángulo de u para conectar el elemento A a la placa, de manera que la fuerza resultante de FA y FB esté dirigida horizontalmente hacia la derecha. Incluso, ¿cuál es la magnitud de la fuerza resultante? FA  8 kN u A F2  150 lb v 30 u 30 45 F1  200 lb Probs. 2-4/5/6 C02 EST_H BBELER.indd 28 40 B FB  6 kN Probs. 2-9/10 11/19/09 2:4 :02 AM 29 2.3 SUMA VECTORIAL DE FUERZAS 2-11. Si la tensión en el cable es de 400 N, determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante que actúa sobre la polea. Este ángulo es el mismo ángulo u que forma la línea AB sobre el bloque de escalera. 2-15. Determine el ángulo de diseño f (0° … f … 90°) entre las barras AB y AC, de manera que la fuerza horizontal de 400 lb tenga una componente de 600 lb que actúa hacia arriba y a la izquierda, en la misma dirección que de B hacia A. Considere que u  30°. y 400 N 2-14. Determine el ángulo de diseño u (0° … u … 90°) para la barra AB de manera que la fuerza horizontal de 400 lb tenga una componente de 500 lb dirigida de A hacia C. ¿Cuál es la componente de fuerza que actúa a lo largo del elemento AB? Considere f  40°. 30 2 u 400 lb A x B u 400 N A B f C Prob. 2-11 Probs. 2-14/15 *2-12. El dispositivo se usa para sustituir en forma quirúrgica la rótula de la rodilla. Si la fuerza que actúa a lo largo de la pierna es de 360 N, determine sus componentes a lo largo de los ejes x y y¿. •2-13. El dispositivo se usa para sustituir en forma quirúrgica la rótula de la rodilla. Si la fuerza que actúa a lo largo de la pierna es de 360 N, determine sus componentes a lo largo de los ejes x¿ y y. y¿ *2-16. Descomponga F1 en sus componentes a lo largo de los ejes u y v, y determine las magnitudes de estas componentes. •2-17. Descomponga F2 en sus componentes a lo largo de los ejes u y v, y determine las magnitudes de estas componentes. y v 10 F1  250 N x¿ x 60 F2  150 N 30 u 30 105 360 N Probs. 2-12/13 C02 EST_H BBELER.indd 29 Probs. 2-16/17 11/19/09 2:4 :0 AM 30 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA 2-18. El camión se va a remolcar con dos cuerdas. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actúan en cada cuerda para desarrollar una fuerza resultante de 950 N dirigida a lo largo del eje x positivo. Considere que u  50°. 2-23. Si u  30° y F2  6 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la placa y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. 2-19. El camión se va a remolcar con dos cuerdas. Si la fuerza resultante debe ser de 950 N, dirigida a lo largo del 2 eje x positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actúan en cada cuerda y el ángulo u de FB de manera que la magnitud de FB sea un mínimo. FA actúa a 20° medidos desde el eje x, como se muestra en la figura. *2-24. Si la fuerza resultante FR está dirigida a lo largo de una línea a 75° del eje x positivo, medidos en el sentido de las manecillas del reloj, y se sabe que la magnitud de F2 debe ser mínima, determine las magnitudes de FR y F2 y del ángulo u … 90°. y y F3  5 kN F2 A B FA 20° x u u F1  4 kN FB x Probs. 2-18/19 *2-20. Si f  45°, F1  5 kN, y la fuerza resultante es 6 kN dirigida a lo largo del eje y positivo, determine la magnitud requerida de F2 y su dirección u. •2-21. Si f  30° y la fuerza resultante debe ser de 6 kN y estar dirigida a lo largo del eje y positivo, determine las magnitudes de F1 y F2 y el ángulo u si se requiere que F2 sea mínima. 2-22. Si f  30°, F1  5 kN y la fuerza resultante debe estar dirigida a lo largo del eje y positivo, determine la magnitud de la fuerza resultante si F2 debe ser mínima. Incluso, ¿qué son F2 y el ángulo u? Probs. 2-23/24 •2-25. Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre la armella roscada. Si sus líneas de acción están separadas por un ángulo u y la magnitud de cada fuerza es F1  F2  F, determine la magnitud de la fuerza resultante FR y el ángulo entre FR y F1. F1 F1 x y f u u F2 60 Probs. 2-20/21/22 C02 EST_H BBELER.indd 0 F2 Prob. 2-25 11/19/09 2:4 :0 AM 31 2.3 SUMA VECTORIAL DE FUERZAS 2-26. El tronco de un árbol es remolcado por dos tractores A y B. Determine la magnitud de las dos fuerzas de remolque FA y FB si se requiere que la fuerza resultante tenga una magnitud FR  10 kN y esté dirigida a lo largo del eje x. Considere que u  15°. 2-27. Si la resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco debe estar dirigida a lo largo del eje x positivo y tener una magnitud de 10 kN, determine el ángulo u del cable unido a B de modo que la fuerza FB en este cable sea mínima. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación? 2-30. Tres cadenas actúan sobre la ménsula de forma que generan una fuerza resultante con una magnitud de 500 lb. Si dos de las cadenas están sometidas a fuerzas conocidas, como se muestra en la figura, determine el ángulo u de la tercera cadena, medido en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de manera que la magnitud de la fuerza F en esta cadena sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y. ¿Cuál es la magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas. La fuerza F actúa en esta dirección. 2 y y 300 lb FA 30 A 30 x u x FB u F B Probs. 2-26/27 *2-28. Se va a levantar una viga mediante dos cadenas. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actúan sobre cada cadena para que desarrollen una fuerza resultante de 600 N dirigida a lo largo del eje y positivo. Considere que u  45°. •2-29. La viga se va a levantar con dos cadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600 N dirigida a lo largo del eje y positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB sobre cada cadena y el ángulo u de FB de manera que la magnitud de FB sea mínima. FA actúa a 30° desde el eje y, como se muestra en la figura. y 200 lb Prob. 2-30 2-31. Tres cables jalan un tubo de forma que generan una fuerza resultante con magnitud de 900 lb. Si dos de los cables están sometidos a fuerzas conocidas, como se muestra en la figura, determine el ángulo u del tercer cable de modo que la magnitud de la fuerza F en este cable sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y. ¿Cuál es la magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas. y FB FA u 600 lb 30 45 F x u x 30 Probs. 2-28/29 C02 EST_H BBELER.indd 1 400 lb Prob. 2-31 11/19/09 2:4 :04 AM 32 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares Cuando una fuerza se descompone en dos componentes a lo largo de los ejes x y y, dichas componentes suelen denominarse componentes rectangulares. Para el trabajo analítico, podemos representar estos componentes en una de dos formas, mediante notación escalar, o por notación vectorial cartesiana. 2 Notación escalar. Las componentes rectangulares de la fuerza F que se muestran en la figura 2-15a se encuentran al utilizar la ley del paralelogramo, de manera que F  Fx  Fy. Como estas componentes forman un triángulo rectángulo, sus magnitudes se pueden determinar a partir de y F Fx  F cos u Fy  sen u y u Sin embargo, en vez de usar el ángulo u, la dirección de F también se puede definir mediante un pequeño triángulo de “pendiente”, como el que se muestra en la figura 2-15b. Como este triángulo y el triángulo sombreado más grande son semejantes, la longitud proporcional de los lados da x Fx (a) &X A  C & y o bien Fx Fy b x a &x  F 2 3 c c a ya F &Y (b) o &  B C Fig. 2-15 &Y  B &2 3 C Aquí, la componente y es un escalar negativo puesto que Fy está dirigida a lo largo del eje y negativo. Es importante tener en mente que esta notación escalar positiva y negativa se usa sólo para propósitos de cálculo, no para representaciones gráficas en las figuras. A lo largo de este libro, la cabeza de un vector representado por una flecha en cualquier figura indica el sentido del vector gráficamente; los signos algebraicos no se usan para este fin. Así, los vectores en las figuras 2-15a y 2-15b se designan mediante el uso de notación (vectorial) en negritas*. Siempre que se escriban símbolos cursivos cerca de flechas vectoriales en las figuras, éstos indicarán la magnitud del vector, la cual siempre es una cantidad positiva. *Los signos negativos se usan en figuras con notación en negritas sólo cuando se muestran pares de vectores iguales pero opuestos, como en la figura 2-2. C02 EST_H BBELER.indd 2 11/19/09 2:4 :05 AM 33 2.4 SUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES Notación vectorial cartesiana. También es posible representar las componentes x y y de una fuerza en términos de vectores unitarios cartesianos i y j. Cada uno de estos vectores unitarios tiene una magnitud adimensional de uno, y por lo tanto pueden usarse para designar las direcciones de los ejes x y y, respectivamente, figura 2-16.* Como la magnitud de cada componente de F es siempre una cantidad positiva, la cual está representada por los escalares (positivos) Fx y Fy, entonces podemos expresar F como un vector cartesiano. y j F 2 Fy x Fx F  F xi  Fy j i Fig. 2-16 Resultantes de fuerzas coplanares. Podemos utilizar cualquiera de los dos métodos para determinar la resultante de varias fuerzas coplanares. Para hacer esto, cada fuerza se divide primero en sus componentes x y y, y luego las componentes respectivas se suman con álgebra escalar puesto que son colineales. La fuerza resultante se forma entonces al sumar las componentes resultantes mediante la ley del paralelogramo. Por ejemplo, considere las tres fuerzas concurrentes de la figura 2-17a, que tienen las componentes x y y mostradas en la figura 2-17b. Al usar notación vectorial cartesiana, cada fuerza se representa primero como un vector cartesiano, es decir, y F2 F1  &1X i &1Y j F2  &2X i &2Y j F3  &3X i &3Y j F1 x Por lo tanto, la resultante vectorial es F2  F1 F2 F3 (a) F3 &2X i &2Y j &3X i &3Y j  (&1X &2X &3X) i  (&2X)i (&2Y)j (&1Y &2Y  &1Xi &1Y j F2y Si se utiliza notación escalar, entonces tenemos () ( C) &2X  &1X &2Y  &1Y y &3Y) j &2X &3X &2Y &3Y Estos resultados son iguales a los de las componentes i y j de FR que se determinaron anteriormente. F1y F2x F1x F3x x F3y (b) Fig. 2-17 *Por lo general, en trabajos manuscritos los vectores unitarios se indican con un acento circunflejo, por ejemplo, î y ĵ. Estos vectores tienen una magnitud adimensional de una unidad, y su sentido (o la cabeza de su flecha) se describirá analíticamente mediante un signo de más o menos, dependiendo de si apuntan a lo largo del eje x o y positivo o negativo. C02 EST_H BBELER.indd 11/19/09 2:4 :0 AM 34 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA Podemos representar en forma simbólica las componentes de la fuerza resultante de cualquier número de fuerzas coplanares mediante la suma algebraica de las componentes x y y de todas las fuerzas, esto es, y &2X  i&X &2Y  i&Y 2 FRy (2-1) FR u x FRx (c) Una vez que se determinen estas componentes, pueden bosquejarse a lo largo de los ejes x y y con un sentido de dirección adecuado, y la fuerza resultante puede determinarse con base en una suma vectorial, como se muestra en la figura 2-17. Después, a partir de este bosquejo, se encuentra la magnitud de FR por medio del teorema de Pitágoras; es decir, Fig. 2-17 &2  &22X &22Y Asimismo, el ángulo u, que especifica la dirección de la fuerza resultante, se determina por trigonometría: .  tan 1  &2Y &2X  Los conceptos anteriores se ilustran de forma numérica en los siguientes ejemplos. Puntos importantes y • La resultante de varias fuerzas coplanares puede determinarse fácilmente si se establece un sistema coordenado x, y y las fuerzas se descomponen a lo largo de los ejes. F4 • La dirección de cada fuerza está especificada por el ángulo que F3 forma su línea de acción con uno de los ejes, o por medio de un triángulo de pendiente. F2 F1 x La fuerza resultante de las fuerzas de los cuatro cables que actúan sobre la ménsula de apoyo puede determinarse al sumar algebraicamente y por separado las componentes x y y de la fuerza de cada cable. Esta resultante FR produce el mismo efecto de jalón sobre la ménsula que los cuatro cables. C02 EST_H BBELER.indd 4 • La orientación de los ejes x y y es arbitraria, y sus direcciones positivas pueden especificarse mediante los vectores unitarios cartesianos i y j. • Las componentes x y y de la fuerza resultante son simplemente la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas coplanares. • La magnitud de la fuerza resultante se determina mediante el teorema de Pitágoras, y cuando las componentes se bosquejan sobre los ejes x y y, la dirección puede determinarse por trigonometría. 11/19/09 2:4 :08 AM 35 2.4 SUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES EJEMPLO 2.5 Determine las componentes x y y de F1 y F2 que actúan sobre la barra mostrada en la figura 2-18a. Exprese cada fuerza como un vector cartesiano. y F1  200 N 2 30 SOLUCIÓN Notación escalar. Por la ley del paralelogramo, F1 se descompone en sus componentes x y y, figura 2-18b. Como F1x actúa en la dirección x y F1y actúa en la dirección y, tenemos F1x  200 sen 30° N  100 N  100 N d Resp. F1y  200 cos 30° N  173 N  173 N c Resp. x 13 5 12 F2  260 N (a) y La fuerza F2 se divide en sus componentes x y y como se muestra en la figura 2-18c. Aquí se indica la pendiente de la línea de acción para la fuerza. A partir de este “triángulo de pendiente” podríamos 5 obtener el ángulo u, por ejemplo, .  tan 1(12 ) y luego proceder a determinar las magnitudes de las componentes de la misma manera que para F1. Sin embargo, un método más fácil consiste en usar partes proporcionales de triángulos semejantes, es decir, &2X 12  260 N 13 &2X  260 N2 F1  200 N F1y  200 cos 30 N 30 x F1x  200 sen 30 N (b) 12 3  240 N 13 y Del mismo modo, &2Y  260 N2 5 3  100 N 13 Observe que la magnitud de la componente horizontal, F2x, se obtuvo al multiplicar la magnitud de la fuerza por la razón del cateto horizontal del triángulo de pendiente dividido entre la hipotenusa; mientras que la magnitud de la componente vertical, F2y, se obtuvo al multiplicar la magnitud de la fuerza por la razón del cateto vertical dividido entre la hipotenusa. Por lo tanto, F2x  240 N  240 N S Resp. F2y  100 N  100 N T Resp. F2x  260 12 — N 13 ( ( x 13 5 12 5 N F2y  260 — 13 ( ( F2  260 N (c) Fig. 2-18 Notación vectorial cartesiana. Una vez determinadas las magnitudes y direcciones de las componentes de cada fuerza, podemos expresar cada fuerza como un vector cartesiano. C02 EST_H BBELER.indd 5 F1  {100i  173j} N Resp. F2  {240i  100j} N Resp. 11/19/09 2:4 :10 AM 36 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA EJEMPLO 2.6 y 2 F1  600 N F2  400 N La armella que se muestra en la figura 2-19a está sometida a las dos fuerzas F1 y F2. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. 45 SOLUCIÓN I 30 x (a) Notación escalar. Primero resolvemos cada fuerza en sus componentes x y y, figura 2-19b, luego sumamos estas componentes algebraicamente.  &2X  i&X; y &2X  600 cos 30° N 400 sen 45° N  236.8 N  F1  600 N F2  400 N 45 C &2Y  i&Y; &2Y  600 sen 30° N 400 cos 45° N  582.8 N C 30 x La fuerza resultante, que se muestra en la figura 2-19c, tiene una magnitud de (b) &2  (236.8 N)2 (582.8 N)2  629 N y A partir de la suma vectorial, FR 582.8 N Resp. .  tan 1 2 582.8 N 3  67.9° 236.8 N Resp. u x 236.8 N SOLUCIÓN II (c) Notación vectorial cartesiana. A partir de la figura 2-19b, cada fuerza se expresa primero como un vector cartesiano. Fig. 2-19 F1  600 cos 30°i F2   400 sen 45°i 600 sen 30°j N 400 cos 45°j N Entonces, F2  F1 F2  (600 cos 30° N 400 sen 45° N)i (600 sen 30° N  236.8i 400 cos 45° N)j 582.8j N La magnitud y la dirección de FR se determinan de la misma manera que antes. al comparar los dos métodos de solución, observe que el uso de la notación escalar es más eficiente puesto que las componentes pueden encontrarse directamente, sin tener que expresar primero cada fuerza como un vector cartesiano antes de sumar las componentes. Sin embargo, después mostraremos que el análisis con vectores cartesianos es muy conveniente para la resolución de problemas tridimensionales. NOTA: C02 EST_H BBELER.indd 11/22/09 10:01:08 AM 37 2.4 SUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES EJEMPLO 2.7 El extremo de la barra O mostrada en la figura 2-20a está sometido a tres fuerzas coplanares concurrentes. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. 2 y F3  200 N F2  250 N 45 5 3 4  x F1  400 N (a) SOLUCIÓN Cada fuerza se divide en sus componentes x y y, como se muestra en la figura 2-20b. Al sumar las componentes x, tenemos  &2X  i&X; &2X   400 N 250 sen 45° N 200  45  N 383.2 N  383.2 N  El signo negativo indica que FRx actúa hacia la izquierda, es decir, en la dirección x negativa, como lo indica la flecha pequeña. Obviamente, esto ocurre porque F1 y F3 en la figura 2-20b contribuyen con un mayor jalón a la izquierda que el jalón de F2 hacia la derecha. Al sumar las componentes y se obtiene C &2Y  i&Y; &2Y  250 cos 45° N y 250 N 200 N 200  35  N 45 3 5 4   296.8 N C La fuerza resultante, como se muestra en la figura 2-20c, tiene una magnitud de &2  ( 383.2 N)2 (b) (296.8 N)2  485 N y Resp. FR 296.8 N A partir de la suma vectorial mostrada en la figura 2-20c, el ángulo director u es .  tan 1 2 296.8 3  37.8° 383.2 Resp. NOTA: la aplicación de este método es más conveniente que el uso de las dos aplicaciones de la ley del paralelogramo, donde primero se suma F1 y F2 para después sumar F3 a su resultante. C02 EST_H BBELER.indd 7 x 400 N u  383.2 N x (c) Fig. 2-20 11/19/09 2:4 :15 AM 38 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA PROBLEMAS FUNDAMENTALES F2-7. Descomponga cada fuerza que actúa sobre el pilote en sus componentes x y y. 2 F2-10. Si la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 750 N y estar dirigida a lo largo del eje x positivo, determine la magnitud de F y su dirección u. y F1  300 N F2  450 N y F3  600 N 5 325 N 13 4 12 F 5 3 45 x u x 45 F2-7 600 N F2-8. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. y 250 N 5 3 F2-11. Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 80 lb y estar dirigida a lo largo del eje u, determine la magnitud de F y su dirección u. 400 N 4 F2-10 30 y x F 300 N u x 50 lb 45 5 90 lb F2-8 F2-9. Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la repisa, así como su dirección u medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x. 4 u 3 F2-11 F2-12. Determine la magnitud de la fuerza resultante, así como su dirección u medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. y y F3  600 lb 4 F2  400 lb 5 3 F1  15 kN F1  700 lb 5 3 30 F2  20 kN 5 4 3 F3  15 kN 4 x x F2-9 C02 EST_H BBELER.indd 8 F2-12 11/19/09 2:4 :18 AM 39 2.4 SUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES PROBLEMAS *2-32. Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el pasador, así como su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. y F1  30 lb 2-35. El punto de contacto entre el fémur y la tibia de la pierna se encuentra en A. Si se aplica una fuerza vertical de 175 lb en este punto, determine las componentes a lo largo de los ejes x y y. Observe que la componente y representa la fuerza normal sobre la región que soporta carga en los huesos. Tanto la componente x como la componente y ocasionan que el líquido sinovial se exprima y salga del espacio de soporte. 2 y 45 x 15 175 lb F2  40 lb 15 F3  25 lb A 12 Prob. 2-32 13 5 x Prob. 2-35 •2-33. Si F1  600 N y f  30°, determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. *2-36. Si f  30° y F2  3 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la placa y su dirección u medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. 2-34. Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella es de 600 N y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo es u  30°, determine la magnitud de F1 y del ángulo f. •2-37. Si la magnitud para la fuerza resultante que actúa sobre la placa debe ser de 6 kN y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo es u  30°, determine la magnitud de F2 y su dirección f. 2-38. Si f  30° y la fuerza resultante que actúa sobre la placa de refuerzo está dirigida a lo largo del eje x positivo, determine las magnitudes de F2 y la fuerza resultante. y y F1  4 kN F1 30 F2 f x f 60 5 x 4 3 F3  450 N F2  500 N 5 3 4 Probs. 2-33/34 C02 EST_H BBELER.indd 9 F3  5 kN Probs. 2-36/37/38 11/19/09 2:4 :18 AM 40 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA 2-39. Determine la magnitud de F1 y su dirección u de manera que la fuerza resultante esté dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 800 N. *2-40. Determine la magnitud y la dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de la fuerza resultante de las tres fuerzas que actúan 2 sobre el anillo A. Considere F1  500 N y u  20°. F1 u 3 *2-44. Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula es de 400 lb y está dirigida a lo largo del eje x positivo, determine la magnitud de F1 y su dirección f. •2-45. Si la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe estar dirigida a lo largo del eje x positivo y se requiere que la magnitud de F1 sea mínima, determine las magnitudes de la fuerza resultante y F1. y 600 N 2-43. Si f  30° y F1  250 lb, determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. 400 N 5 4 30 y x F1 A f x 3 5 4 13 12 F2  300 lb 5 Probs. 2-39/40 F3  260 lb •2-41. Determine la magnitud y la dirección u de FB de manera que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje y positivo y tenga una magnitud de 1500 N. Probs. 2-43/44/45 2-42 Determine la magnitud y el ángulo medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje y positivo, de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula, si FB  600 N y u  20°. 2-46. Las tres fuerzas concurrentes que actúan sobre la armella producen una fuerza resultante FR  0. Si F2  23 F1 y F1 debe estar a 90° de F2 como se muestra en la figura, determine la magnitud requerida de F3, expresada en términos de F1 y del ángulo u. y y F1 FB FA  700 N 30 A B u 60 x x 30 F2 u F3 Probs. 2-41/42 C02 EST_H BBELER.indd 40 Prob. 2-46 11/19/09 2:4 :19 AM 41 2.4 SUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES 2-47. Determine la magnitud de FA y su dirección u de manera que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje x positivo y tenga una magnitud de 1250 N. 2-50. Se aplican tres fuerzas a la ménsula. Determine el rango de valores de la magnitud de la fuerza P para los cuales la resultante de las tres fuerzas no excede 2400 N. *2-48. Determine la magnitud y la dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de la fuerza resultante que actúa sobre el anillo en O, si FA  750 N y u  45°. 2 800 N 3000 N 90 60 P y FA A u x O 30 Prob. 2-50 B FB  800 N 2-51. Si F1  150 N y f  30°, determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. Probs. 2-47/48 •2-49. Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. *2-52. Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 450 N y está dirigida a lo largo del eje u positivo, determine la magnitud de F1 y su dirección f. •2-53. Si se requiere que la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula sea mínima, determine las magnitudes de F1 y de la fuerza resultante. Considere que f  30°. y F1 = 60 lb y F1 2 1 1 u f x 30 x F2  200 N 60 45 F2  70 lb 13 12 5 F3  50 lb Prob. 2-49 C02 EST_H BBELER.indd 41 F3  260 N Probs. 2-51/52/53 11/19/09 2:4 :20 AM 42 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA 2-54. Tres fuerzas actúan sobre el soporte. Determine la magnitud y la dirección u de F2 tales que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje u positivo y tenga una magnitud de 50 lb. 2-57. Determine la magnitud de la fuerza F tal que la fuerza resultante de las tres fuerzas sea lo más pequeña posible. ¿Cuál es la magnitud de esta fuerza resultante mínima? 2-55. Si F2  150 lb y u  55°, determine la magnitud y la dirección, medida en el sentido de las manecillas del reloj 2 desde el eje x positivo de la fuerza resultante de las tres fuerzas que actúan sobre el soporte. F 14 kN y F3  52 lb 45 30 8 kN 13 12 5 F1  80 lb x Prob. 2-57 25 u u F2 Probs. 2-54/55 *2-56. Las tres fuerzas concurrentes que actúan sobre el poste producen una fuerza resultante FR  0. Si F2  12 F1 y F1 está a 90° de F2 como se muestra en la figura, determine la magnitud F3 que se requiere expresada en términos de F1 y del ángulo u. 2-58. Exprese cada una de las tres fuerzas que actúan sobre el soporte en forma vectorial cartesiana con respecto a los ejes x y y. Determine la magnitud y la dirección u de F1 de manera que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje x¿ positivo y tenga una magnitud FR  600 N. y y F2 F1 u F3 x¿ u x 30 x F2  350 N F3  100 N F1 30 Prob. 2-56 C02 EST_H BBELER.indd 42 Prob. 2-58 11/19/09 2:4 :20 AM 43 2.5 VECTORES CARTESIANOS z 2.5 Vectores cartesianos Las operaciones del álgebra vectorial, cuando se aplican a la resolución de problemas en tres dimensiones, se simplifican considerablemente si primero se representan los vectores en forma vectorial cartesiana. En esta sección presentaremos un método general para hacer esto; luego, en la sección siguiente aplicaremos este método para encontrar la fuerza resultante de un sistema de fuerzas concurrentes. 2 x y Sistema coordenado derecho. Usaremos un sistema coordenado derecho para desarrollar la teoría del álgebra vectorial que se presenta a continuación. Se dice que un sistema coordenado rectangular es derecho si el pulgar de la mano derecha señala en la dirección del eje z positivo, cuando los dedos de la mano derecha se curvan alrededor de este eje y están dirigidos del eje x positivo hacia el eje y positivo, figura 2-21. Fig. 2-21 z Componentes rectangulares de un vector. Un vector A puede tener una, dos o tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes coordenados x, y, z, dependiendo de cómo esté orientado con respecto a los ejes. En general, cuando A está dirigido dentro de un octante del marco x, y, z, figura 2-22, entonces, mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo, podemos dividir el vector en componentes como A  A¿  Az y luego A¿  Ax  Ay. Al combinar estas ecuaciones, para eliminar A¿, A se representa mediante la suma vectorial de sus tres componentes rectangulares. A  Ax  Ay  Az Az A Ay (2-2) y Ax Vectores unitarios cartesianos. En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos i, j, k, se usa para designar las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente. Como se indicó en la sección 2.4, el sentido (o cabeza de la flecha) de estos vectores se representará analíticamente mediante un signo de más o menos, dependiendo de si están dirigidos a lo largo de los ejes x, y o z positivos o negativos. En la figura 2-23 se muestran los vectores unitarios cartesianos positivos. A¿ x Fig. 2-22 z k y i j x Fig. 2-23 C02 EST_H BBELER.indd 4 11/19/09 2:4 :21 AM 44 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA z Representación de un vector cartesiano. Como las tres componentes de A en la ecuación 2-2 actúan en las direcciones positivas i, j y k, figura 2-24, podemos escribir A en forma de vector cartesiano como Az k A 2 A  ! Xi k Ax i j Ay j y i !Y j ! Zk (2-3) Hay una clara ventaja al escribir los vectores de esta manera. Al separar la magnitud y la dirección de cada vector componente se simplificarán las operaciones de álgebra vectorial, particularmente en tres dimensiones. x Fig. 2-24 Magnitud de un vector cartesiano. Siempre es posible z obtener la magnitud de A si está expresado en forma de vector cartesiano. Como se muestra en la figura 2-25, a partir del triángulo rectángulo azul, !  !€ 2 !2Z y del triángulo rectángulo sombreado, !€  !2X !2Y . Al combinar estas ecuaciones para eliminar A¿ se obtiene Azk A Az A !  !2X Ayj Axi x A¿ Ay Ax !2Y !2Z (2-4) y Por consiguiente, la magnitud de A es igual a la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de sus componentes. Fig. 2-25 Dirección de un vector cartesiano. La dirección de A se definirá mediante los ángulos directores coordenados a (alfa), b (beta) y g (gamma), medidos entre la cola de A y los ejes x, y, z positivos, dado que se localizan en la cola de A, figura 2-26. Observe que independientemente de hacia dónde esté dirigido A, cada uno de esos ángulos estará entre 0° y 180°. Para determinar a, b y g, considere la proyección de A sobre los ejes x, y, z, figura 2-27. Con referencia a los triángulos rectángulos azules mostrados en cada figura, tenemos cos   !X ! cos   !Y ! cos  !Z ! (2-5) Estos números se conocen como cosenos directores de A. Una vez obtenidos, los ángulos directores coordenados a, b y g, pueden determinarse a partir de los cosenos inversos. C02 EST_H BBELER.indd 44 11/19/09 2:4 :21 AM 45 2.5 VECTORES CARTESIANOS z z A zk 2 A uA g A b a a Ayj 90 y y Ax Axi z x x Fig. 2-26 Una manera fácil de obtener estos cosenos directores es formar un vector unitario uA en la dirección de A, figura 2-26. Si A está expresado en forma de vector cartesiano, A  Ax i  Ay j  Azk, entonces uA tendrá una magnitud de uno y será adimensional dado que A está dividido entre su magnitud, es decir, A b u! !X A  i  ! ! !Y j ! !Z k ! (2-6) donde !  !2X !2Y !2Z. Por comparación con la ecuación 2-7, se observa que las componentes i, j, k de uA representan los cosenos directores de A, esto es, uA  cos  i  cos  j  cos  k Ay cos2  cos2  1 y x z (2-7) Como la magnitud de un vector es igual a la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes, y uA tiene una magnitud de uno, a partir de la ecuación anterior puede formularse una importante relación entre los cosenos directores como cos2  90 90 (2-8) Az g A Aquí puede observarse que si sólo se conocen dos de los ángulos coordenados, el tercer ángulo puede encontrarse con esta ecuación. Finalmente, si se conocen la magnitud y los ángulos directores coordenados, A puede expresarse en forma de vector cartesiano como A  !u!  ! cos  i ! cos  j  ! Xi ! Y j ! Zk C02 EST_H BBELER.indd 45 y x ! cos k (2-9) Fig 2-27 11/19/09 2:4 :24 AM 46 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA z Algunas veces, la dirección de A puede especificarse mediante dos ángulos, u y f (fi), como se muestra en la figura 2-28. Entonces, las componentes de A pueden determinarse al aplicar primero trigonometría al triángulo rectángulo azul, de donde se obtiene Az 2 Az  A cos f A f y Ax O A¿  A sen f Ay u y Ahora, al aplicar trigonometría al otro triángulo rectángulo sombreado, x A¿ Ax  A¿ cos u  A sen f cos u Fig. 2-28 Ay  A¿ sen u  A sen f sen u Por lo tanto, A escrito en forma de vector cartesiano se convierte en A  A sen f cos u i  A sen f sen u j  A cos f k No debe memorizar esta ecuación; en vez de ello, es importante que entienda la forma en que las componentes se determinaron mediante trigonometría. 2.6 Suma de vectores cartesianos La suma (o resta) de dos o más vectores se simplifican considerablemente si los vectores se expresan en términos de sus componentes cartesianas. Por ejemplo, si A  Ax i  Ay j  Azk y B  Bxi  By j  Bzk, figura 2-29, entonces el vector resultante, R, tiene componentes que representan las sumas escalares de las componentes i, j, k de A y B, es decir, z R  A (Az  Bz)k B A "X)i (!Y "Y)j (!Z "Z)k Si esto se generaliza y se aplica a un sistema de varias fuerzas concurrentes, entonces la fuerza resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas presentes en el sistema y puede escribirse como R (Ay  By)j B  (!X y F2  iF  i&Xi i&Y j i&Zk (2-10) (Ax  Bx)i x Fig. 2-29 C02 EST_H BBELER.indd 4 Aquí, ©Fx, ©Fy y ©Fz representan las sumas algebraicas de las respectivas componentes x, y, z o bien i, j, k de cada fuerza presente en el sistema. 11/19/09 2:4 :27 AM 2.6 SUMA DE VECTORES CARTESIANOS 47 Puntos importantes • El análisis vectorial cartesiano se usa a menudo para resolver problemas en tres dimensiones. • Las direcciones positivas de los ejes x, y, z se definen mediante 2 los vectores unitarios cartesianos i, j, k, respectivamente. • La magnitud de un vector cartesiano es !  !2X !2Y !2Z . • La dirección de un vector cartesiano se especifica usando ángulos directores coordenados a, b, g que la cola del vector forma con los ejes positivos x, y, z, respectivamente. Las componentes del vector unitario uA  A>A representan los cosenos directores de a, b, g. Sólo dos de los ángulos a, b, g tienen que ser especificados. El tercer ángulo se determina a partir de la relación cos2 a  cos2 b  cos2 g  1. • En ocasiones la dirección de un vector se define usando los dos ángulos u y f como en la figura 2-28. En este caso las componentes vectoriales se obtienen mediante descomposición vectorial por medio de trigonometría. La fuerza resultante que actúa sobre el amarre del barco puede determinarse representando primero cada fuerza en la cuerda como un vector cartesiano para después sumar las componentes i, j y k. • Para encontrar la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes, exprese cada fuerza como un vector cartesiano y sume las componentes i, j, k de todas las fuerzas del sistema. EJEMPLO 2.8 Exprese la fuerza F mostrada en la figura 2-30 como un vector cartesiano. z SOLUCIÓN Como sólo se dan dos ángulos directores coordenados, el tercer ángulo  puede ser determinado con la ecuación 2-8; es decir, F  200 N cos2  1 cos2  cos2  cos2  cos2 60° cos2 45°  1 cos   1 (0.5)2 (0.707)2   0.5 45 a 60 y Por consiguiente, existen dos posibilidades, a saber, x 1   cos (0.5)  60° o bien 1    cos ( 0.5)  120° Por inspección, es necesario que   60°, puesto que Fx debe estar en la dirección x. Mediante la ecuación 2-9, con F  200 N, tenemos F  & cos i & cos j & cos k  (200 cos 60° N)i (200 cos 60° N)j  100.0i 100.0j 141.4k N Fig. 2-30 (200 cos 45° N)k Resp. Se muestra que efectivamente la magnitud de F  200 N. C02 EST_H BBELER.indd 47 11/19/09 2:4 :28 AM 48 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA EJEMPLO 2.9 Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa sobre el anillo en la figura 2-31a. z 2 z FR  {50i  40j  180k} lb g  19.6 F1  {60j  80k} lb F2  {50i  100j  100k} lb F1 F2 b  102 a  74.8 y x y x (a) (b) Fig. 2-31 SOLUCIÓN Como cada fuerza está representada en forma de vector cartesiano, la fuerza resultante, que se muestra en la figura 2-31b, es F2  iF  F1 F2  60j  50i 80k lb 40j 50i 100j 100k lb 180k lb La magnitud de FR es &2  (50 lb)2 ( 40 lb)2 (180 lb)2  191.0 lb  191 lb Resp. Los ángulos directores coordenados , ,  se determinan a partir de las componentes del vector unitario que actúa en la dirección de FR. u&2  F2 50  i &2 191.0  0.2617i 40 j 191.0 0.2094 j 180 k 191.0 0.9422 k de manera que cos   0.2617   74.8° Resp. cos   0.2094   102° Resp. cos   0.9422   19.6° Resp. Estos ángulos se muestran en la figura 2-31b. NOTA: en particular, observe que   90° puesto que la componente j de uF es negativa. Esto parece razonable considerando la suma de F1 R y F2 de acuerdo con la ley del paralelogramo. C02 EST_H BBELER.indd 48 11/19/09 2:4 : 1 AM 49 2.6 SUMA DE VECTORES CARTESIANOS EJEMPLO 2.10 z Exprese la fuerza F que se muestra en la figura 2-32a como un vector cartesiano. F  100 lb 2 SOLUCIÓN Los ángulos de 60° y 45° que definen la dirección de F no son ángulos directores coordenados. Se requieren dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo para resolver F en sus componentes x, y, z. Primero F  F¿  Fz, luego F¿  Fx  Fy, figura 2-32b. Por trigonometría, las magnitudes de las componentes son 60 y 45 x &Z  100 sen 60° lb  86.6 lb (a) &€  100 cos 60° lb  50 lb z &X  F€ cos 45°  50 cos 45° lb  35.4 lb Fz &Y  F€ sen 45°  50 sen 45° lb  35.4 lb F  100 lb Dado que Fy, tiene una dirección definida por j, tenemos F  {35.4i  35.4j  86.6k} lb Para mostrar que la magnitud de este vector es efectivamente de 100 lb, se aplica la ecuación 2-4, &  &2X &2Y  (35.4)2  35.4 i 100  0.354i y Fx x ( 35.4)2 &X F  i & & 60 45 F¿ &2Z &Y & 35.4 j 100 0.354j z (86.6)2  100 lb Si es necesario, los ángulos directores coordenados de F pueden determinarse a partir de las componentes del vector unitario que actúa en la dirección de F. Por tanto, u  Fy Resp. j &Z & F  100 lb 30.0 111 86.6 k 100 0.866k y 69.3 k x (c) Fig. 2-32 de manera que   cos 1(0.354)  69.3°   cos 1( 0.354)  111°  cos 1(0.866)  30.0° Estos resultados se muestran en la figura 2-32c. C02 EST_H BBELER.indd 49 11/19/09 2:4 : 2 AM 50 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA EJEMPLO 2.11 z Dos fuerzas actúan sobre el gancho que se muestra en la figura 2-32a. Especifique la magnitud de F2 y sus ángulos directores coordenados, de modo que la fuerza resultante FR actúe a lo largo del eje y positivo y tenga una magnitud de 800 N. F2 120 2 y 60 Para resolver este problema, la fuerza resultante FR y sus dos componentes, F1 y F2, se expresarán cada una en forma de vector cartesiano. Entonces, como se muestra en la figura 2-33a, es necesario que FR  F1  F2. Al aplicar la ecuación 2-9, 45 F1  300 N x SOLUCIÓN (a) F1    F2  &1 cos 1i &1 cos  1 j &1 cos 300 cos 45° i 300 cos 60° j 212.1i 150j 150k N &2Xi &2Y j &2Zk 1k 300 cos 120° k Como FR tiene una magnitud de 800 N y actúa en la dirección j, z FR  (800 N)(j)  {800j} N g2  77.6 F2  700 N b2  21.8 a2  108 F1  300 N x (b) Fig. 2-33 Requerimos que FR  800 N y F2  F1 F2 800j  212.1i 150j 800j  (212.1 &2X)i &2X i &2Y)j 150k (150 &2Y j &2Z k ( 150 &2Z)k Para satisfacer esta ecuación, las componentes i, j, k de FR deben ser iguales a las componentes i, j, k correspondientes de (F1  F2). Por consiguiente, 0  212.1 &2X 800  150 &2Y 0  150 &2Z &2X  212.1 N &2Y  650 N &2Z  150 N Entonces, la magnitud de F2 es &2  ( 212.1 N)2 (650 N)2 (150 N)2  700 N Resp. Podemos usar la ecuación 2-9 para determinar 2, 2, 2. cos 2  212.1 ; 700 cos  2  650 ; 700  150 ; 700 cos 2 2  108° Resp.  2  21.8° Resp.  77.6° Resp. 2 Estos resultados se muestran en la figura 2-33b. C02 EST_H BBELER.indd 50 11/19/09 2:4 : 5 AM 51 2.6 SUMA DE VECTORES CARTESIANOS PROBLEMAS FUNDAMENTALES F2-13. Determine los ángulos directores coordenados de la fuerza. Exprese la fuerza como un vector cartesiano. F2-16. 2 z F  50 lb z 45 5 4 3 x y y 45 F2-16 30 x F2-17. Exprese la fuerza como un vector cartesiano. F  75 lb z F2-13 F  750 N Exprese la fuerza como un vector cartesiano. F2-14. z F  500 N 45 60 60 y 60 x F2-17 x y F2-18. Determine la fuerza resultante que actúa sobre el gancho. z F2-14 F2-15. F1  500 lb Exprese la fuerza como un vector cartesiano. 5 4 3 z x 45 60 F  500 N y 45 y F2  800 lb x F2-15 C02 EST_H BBELER.indd 51 30 F2-18 11/19/09 2:4 : 8 AM 52 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA PROBLEMAS 2-59. Determine el ángulo coordenado  para F2 y después exprese cada fuerza que actúa sobre la ménsula como 2 un vector cartesiano. 2-63. La fuerza F actúa sobre la ménsula dentro del octante mostrado. Si F  400 N,   60° y   45°, determine las componentes x, y, z de F. *2-60. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula. *2-64. La fuerza F actúa sobre la ménsula dentro del octante mostrado. Si las magnitudes de las componentes x y z de F son Fx  300 N y Fz  600 N, respectivamente y   60°, determine la magnitud de F y su componente y. Asimismo, encuentre los ángulos directores coordenados  y . z F1  450 N z 45 g 30 45 F y 60 x b a F2  600 N x Probs. 2-59/60 y Probs. 2-63/64 •2-61. Exprese cada fuerza que actúa sobre el ensamble de tubos en forma vectorial cartesiana. 2-62. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante que actúa sobre el ensamble de tubos. •2-65. Las dos fuerzas F1 y F2 que actúan en A tienen una fuerza resultante FR  {100k} lb. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de F2. 2-66. Determine los ángulos directores coordenados de la fuerza F1 e indíquelos sobre la figura. z z B F1  600 lb 5 3 120 30 4 y y 60 A 50 x x F2  400 lb Probs. 2-61/62 C02 EST_H BBELER.indd 52 F2 F1  60 lb Probs. 2-65/66 11/19/09 2:4 : 9 AM 53 2.6 SUMA DE VECTORES CARTESIANOS 2-67. El engrane recto está sometido a las dos fuerzas causadas por el contacto con otros engranes. Exprese cada fuerza como un vector cartesiano. 2-71. Si   120°,  < 90°,   60° y F  400 lb, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa sobre el gancho. 2-68. El engrane recto está sometido a las dos fuerzas causadas por el contacto con otros engranes. Determine la resultante de las dos fuerzas y exprese el resultado como un vector cartesiano. *2-72. Si la fuerza resultante que actúa sobre el gancho es FR  {200i  800j  150k} lb, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de F. z F2  180 lb 2 z 60 F g a 135 60 b y x 30 x 25 y F1  600 lb 24 7 4 F1  50 lb 5 Probs. 2-67/68 3 Probs. 2-71/72 •2-69. Si la fuerza resultante que actúa sobre el soporte es FR  {300i  650j  250k} N, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de F. 2-70. Si la fuerza resultante que actúa sobre el soporte debe ser FR  {800j} N, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de F. •2-73. El eje S ejerce tres componentes de fuerza sobre el dado D. Encuentre la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. La fuerza F2 actúa dentro del octante mostrado. z z g F F3  200 N a g2  60 F2  300 N b 5 3 4 x 30 y 45 D F1  400 N F1  750 N Probs. 2-69/70 C02 EST_H BBELER.indd 5 S a2  60 y x Prob. 2-73 11/19/09 2:4 : 9 AM 54 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA 2-74. El mástil está sometido a las tres fuerzas mostradas. Determine los ángulos directores coordenados 1, 1, 1 de F1 de manera que la fuerza resultante que actúa sobre el mástil sea FR  {350i} N. 2-78. Si la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula está dirigida a lo largo del eje y positivo, determine la magnitud de la fuerza resultante y los ángulos directores coordenados de F de modo que  90°. 2-75. El mástil está sometido a las tres fuerzas mostradas. Determine los ángulos directores coordenados 1, 2 1, 1 de F1 de manera que la fuerza resultante que actúa sobre el mástil sea cero. z z g F  500 N F1 g1 a1 b b1 a F3  300 N y 30 F2  200 N x y x 30 F1  600 N Probs. 2-74/75 Prob. 2-78 *2-76. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de F2 de manera que la resultante de las dos fuerzas actúe a lo largo del eje x positivo y tenga una magnitud de 500 N. •2-77. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de F2 de manera que la resultante de las dos fuerzas sea cero. 2-79. Especifique la magnitud de F3 y sus ángulos directores coordenados 3, 3, 3 de manera que la fuerza resultante FR  {9j} kN. z z F2  10 kN F3 F2 g2 g3 b2 5 13 b3 12 a3 a2 y y 30 60 F1  12 kN 15 x x F1  180 N Probs. 2-76/77 C02 EST_H BBELER.indd 54 Prob. 2-79 11/22/09 10:01: 0 AM 55 2.6 SUMA DE VECTORES CARTESIANOS *2-80. Si F3  9 kN, u  30° y f  45°, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa sobre la junta de rótula. 2-83. Tres fuerzas actúan sobre el anillo. Si la fuerza resultante FR tiene la magnitud y la dirección que se muestran en la figura, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza F3. *2-84. Determine los ángulos directores coordenados de F1 y FR. z F2  8 kN F1  10 kN 5 4 2 z 3 F3 60 F3 f 30 FR  120 N F2  110 N u x y F1  80 N 45 5 3 4 30 Prob. 2-80 •2-81. El poste está sometido a la fuerza F, la cual posee componentes que actúan a lo largo de los ejes x, y, z, como se muestra en la figura. Si la magnitud de F es de 3 kN,   30° y   75°, determine las magnitudes de sus tres componentes. 2-82. El poste está sometido a la fuerza F, la cual tiene componentes Fx  1.5 kN y Fz  1.25 kN. Si   75°, determine las magnitudes de F y Fy. y x Probs. 2-83/84 •2.85. Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre el perno. Si la fuerza resultante FR tiene una magnitud de 50 lb y ángulos directores coordenados   110° y   80°, como se muestra en la figura, determine la magnitud de F2 y sus ángulos directores coordenados. z Fz z F g b Fy y a g y Fx 80 110 x x F2 F1  20 lb FR  50 lb Probs. 2-81/82 C02 EST_H BBELER.indd 55 Prob. 2-85 11/19/09 2:4 :40 AM 56 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA z 2.7 B 2m O 2 Vectores de posición En esta sección presentaremos el concepto de vector de posición. Se mostrará que este vector es importante al formular un vector de fuerza cartesiano dirigido entre dos puntos cualesquiera en el espacio. y 4m 4m Coordenadas x, y, z. A lo largo de este libro usaremos un siste- 2m ma coordenado derecho para hacer referencia a la localización de puntos en el espacio. También usaremos la convención seguida en muchos libros técnicos, la cual exige que el eje z positivo esté dirigido hacia arriba (dirección cenital) de forma que mida la altura de un objeto o la altitud de un punto. Por tanto, los ejes x, y se encuentran en el plano horizontal, figura 2-34. Los puntos en el espacio se localizan con relación al origen de coordenadas, O, por mediciones sucesivas a lo largo de los ejes x, y, z. Por ejemplo, las coordenadas del punto A se obtienen comenzando en O y midiendo xA  4 m a lo largo del eje x, luego yA  2 m a lo largo del eje y, y finalmente zA  6 m a lo largo del eje z. Así, A(4 m, 2 m, 6 m). De la misma manera, mediciones a lo largo de los ejes x, y, z desde O hasta B generan las coordenadas de B, es decir, B(6 m, 1 m, 4 m). 6m 1m x A Fig. 2-34 Vector de posición. Un vector de posición r se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio en relación con otro punto. Por ejemplo, si r se extiende desde el origen de coordenadas, O, hasta el punto P(x, y, z), figura 2-35a, entonces r se puede expresar en forma de vector cartesiano como r  xi  yj  zk Observe cómo la suma vectorial de cabeza a cola de las tres componentes genera el vector r, figura 2-35b. A partir del origen O, se “recorre” x en la dirección i, luego y en la dirección j y finalmente z en la dirección k para llegar al punto P(x, y, z). z z zk P(x, y, z) r r yj O y xi xi x x (a) P(x, y, z) zk O y yj (b) Fig. 2-35 C02 EST_H BBELER.indd 5 11/19/09 2:4 :41 AM 57 2.7 VECTORES DE POSICIÓN En el caso más general, el vector de posición puede estar dirigido desde el punto A hasta el punto B en el espacio, figura 2-36a. Este vector también está designado por el símbolo r. A manera de convención, algunas veces nos referiremos a este vector con dos subíndices para indicar desde dónde y hasta qué punto está dirigido. Así, r también puede designarse como rAB. Además observe que rA y rB, en la figura 2-36a están referenciados con sólo un subíndice puesto que se extienden desde el origen de coordenadas. A partir de la figura 2-36a, por la suma vectorial de cabeza a cola y con la regla del triángulo, se requiere que rA  r  rB z 2 B(xB, yB, zB) r rB A(xA, yA, zA) rA Al despejar r y expresar rA y rB en forma vectorial cartesiana se obtiene r  r" r!  (X"i Y" j Z"k) (X!i Y! j y x (a) Z!k) o bien r  (X" X!)i (Y" Y!)j (Z" Z!)k (2-11) Así, las componentes i, j, k del vector de posición r pueden formarse al tomar las coordenadas de la cola del vector A(xA, yA, zA) para después restarlas de las coordenadas correspondientes de la cabeza. B(xB, yB, zB). También podemos formar estas componentes directamente, figura 2-36b, al comenzar en A y recorrer una distancia de (xB  xA) a lo largo del eje x positivo (i), después (yB  yA) a lo largo del eje y positivo (j) y finalmente (zB  zA) a lo largo del eje z positivo (k) para obtener B. z B r (xB  xA)i A (yB  yA)j A u r (zB  zA)k y x (b) Fig. 2-36 B Si se establece un sistema de coordenadas x, y, z, entonces se pueden determinar las coordenadas de los puntos A y B. A partir de esta posición se puede formular el vector r que actúa a lo largo del cable. Su magnitud representa la longitud del cable, y su vector unitario, u  r>r, proporciona la dirección definida por , , . C02 EST_H BBELER.indd 57 11/19/09 2:4 :41 AM 58 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA EJEMPLO 2.12 Una banda elástica de caucho está unida a los puntos A y B como se muestra en la figura 2-37a. Determine su longitud y su dirección medida de A hacia B. 2 z B 2m SOLUCIÓN 3m 2m x y Primero establecemos un vector de posición desde A hasta B, figura 2-37b. De acuerdo con la ecuación 2-11, las coordenadas de la cola A(1 m, 0, 3 m) se restan de las coordenadas de la cabeza B(2 m, 2 m, 3 m), de donde se obtiene 3m r  [ 2m A1m (a) z   3i B {6 k} y r x 1 m]i 2j [2 m 0] j [3 m ( 3 m)]k 6k m Estas componentes de r también se pueden determinar directamente si se observa que representan la dirección y la distancia que debe recorrerse a lo largo de cada eje a fin de llegar desde A hasta B, es decir, a lo largo del eje x {3i} m, a lo largo del eje y {2j} m y finalmente a lo largo del eje z {6k} m. Por lo tanto, la longitud de la banda de caucho es {2 j} m {3 i} m R  ( 3 m)2 A (2 m)2 (6 m)2  7 m Resp. (b) Al formular un vector unitario en la dirección de r, obtenemos B u  z¿ r  R 3 i 7 2 j 7 6 k 7 r7m g  31.0 Las componentes de este vector unitario dan los ángulos directores coordenados b  73.4 a  115 y¿ A x¿ 3 3  115° 7 Resp. 2   cos 1 2 3  73.4° 7 Resp. 6  cos 1 2 3  31.0° 7 Resp.   cos 1 2 (c) Fig. 2-37 estos ángulos se miden desde los ejes positivos de un sistema de coordenadas localizado en la cola de r, como se muestra en la figura 2-37c. NOTA: C02 EST_H BBELER.indd 58 11/19/09 2:4 :4 AM 59 2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA z 2.8 Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea F r Con mucha frecuencia, en problemas tridimensionales de estática, la dirección de una fuerza se especifica por dos puntos a través de los cuales pasa su línea de acción. Tal situación se muestra en la figura 2-38, donde la fuerza F está dirigida a lo largo de la cuerda AB. Podemos formular F como un vector cartesiano al observar que esta fuerza tiene la misma dirección y sentido que el vector de posición r dirigido desde el punto A hasta el punto B sobre la cuerda. Esta dirección común se especifica mediante el vector unitario u  r>r. Por lo tanto, (X" X!)i (Y" Y!)j (Z" Z!)k r F  &u  & 2 3  & 2 3 R (X" X!)2 (Y" Y!)2 (Z" Z!)2 B 2 u A y x Fig. 2-38 Aunque hemos representado F simbólicamente en la figura 2-38, observe que tiene unidades de fuerza, a diferencia de r, que tiene unidades de longitud. u r F La fuerza F que actúa a lo largo de la cadena puede ser representada como un vector cartesiano si se establecen primero los ejes x, y, z y se forma un vector de posición r a lo largo de la longitud de la cadena. Después se puede determinar el vector unitario correspondiente u  r>r que define la dirección tanto de la cadena como de la fuerza. Finalmente, la magnitud de la fuerza se combina con su dirección. F  Fu. Puntos importantes • Un vector de posición localiza un punto en el espacio con respecto a otro punto. • La manera más fácil de formular las componentes de un vector de posición consiste en determinar la distancia y la dirección que debe recorrerse a lo largo de las direcciones x, y, z, desde la cola hasta la cabeza del vector. • Una fuerza F que actúa en la dirección de un vector de posición r puede ser representada en forma cartesiana si se determina el vector unitario u del vector de posición y éste se multiplica por la magnitud de la fuerza, es decir, F  Fu  F(r>r). C02 EST_H BBELER.indd 59 11/19/09 2:4 :4 AM 60 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA EJEMPLO 2.13 z 2 El hombre que se muestra en la figura 2-39a jala la cuerda con una fuerza de 70 lb. Representa esta fuerza al actuar sobre el soporte A como un vector cartesiano y determine su dirección. A SOLUCIÓN En la figura 2-39b se muestra la fuerza F. La dirección de este vector, u, está determinada a partir del vector de posición r, el cual se extiende desde A hasta B. En vez de usar estas coordenadas de los extremos de la cuerda, r también puede obtenerse directamente al observar en la figura 2-39a que se debe recorrer desde A{24k} pies, luego {8j} pies y finalmente {12i} pies para llegar a B. Así, 30 pies 8 pies 6 pies B y r  {12i  8j  24k} pies 12 pies La magnitud de r, que representa la longitud de la cuerda AB, es x R  (12 pies) 2 (a) A y¿ u  b F  70 lb a x¿ ( 24 pies) 2  28 pies Para formar el vector unitario que define la dirección y el sentido de r y F tenemos z¿ g ( 8 pies) 2 r 12  i R 28 8 j 28 24 k 28 Como F tiene una magnitud de 70 lb y una dirección especificada por u, entonces u r F  &u  70 lb2 12 i 28 8 j 28 24 k3 28 B  30i (b) Fig. 2-39 20j 60k lb Resp. Los ángulos directores coordenados están medidos entre r (o F) y los ejes positivos de un sistema coordenado con origen en A, figura 2-39b. A partir de las componentes del vector unitario:   cos 1 2 12 3  64.6° 28 Resp.   cos 1 2 8 3  107° 28 Resp. 24 3  149° 28 Resp.  cos 1 2 estos resultados tienen sentido si se les compara con los ángulos identificados en la figura 2-39b. NOTA: C02 EST_H BBELER.indd 0 11/19/09 2:4 :47 AM 61 2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA EJEMPLO 2.14 La fuerza que se muestra en la figura 2-40a actúa sobre el gancho. Exprésela como un vector cartesiano. z z FB  750 N 2m B 5 ( 3 )(5 m) 5 5m 2m uB B(–2 m, 3.464 m, 3 m) rB 3 4 A 2 30° A(2 m, 0 , 2 m) FB ( 4 )(5 m) 5 x y y x (b) (a) Fig. 2-40 SOLUCIÓN Como se muestra en la figura 2-40b, las coordenadas para los puntos A y B son A(2 m, 0, 2 m) y 4 4 3 "4 2 3 5 sen 30° m, 2 3 5 cos 30° m, 2 3 5 m 5 5 5 5 o bien B(2 m, 3.464 m, 3 m) Por lo tanto, para ir desde A hasta B, deben recorrerse {4i} m, después {3.464j} m y finalmente {1k} m. Así, u"  2  4i r" 3  R" ( 4 m)2  0.7428i 3.464j 1k m (3.464 m)2 0.6433j (1 m)2 0.1857k La fuerza FB expresada como un vector cartesiano se convierte en F"  FB u"  (750 N)( 0.74281i   557i C02 EST_H BBELER.indd 1 482j 0.6433j 139k N 0.1857k) Resp. 11/19/09 2:4 :50 AM 62 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA EJEMPLO 2.15 El techo está sostenido por cables como se muestra en la fotografía. Si los cables ejercen fuerzas FAB  100 N y FAC  120 N sobre el gancho de pared en A como se muestra en la figura 2-41a, determine la fuerza resultante que actúa en A. Exprese el resultado como un vector cartesiano. 2 SOLUCIÓN En la figura 2-41b se muestra gráficamente la fuerza resultante FR. Podemos expresar esta fuerza como un vector cartesiano si formulamos FAB y FAC como vectores cartesianos y sumamos luego sus componentes. Las direcciones de FAB y FAC se especifican al formar vectores unitarios uAB y uAC a lo largo de los cables. Esos vectores unitarios se obtienen a partir de los vectores de posición asociados rAB y rAC. Con referencia a la figura 2-41a, para ir desde A hasta B debemos recorrer {4k} m, y después {4i} m. Por consiguiente, z A FAB  100 N r!"  4i FAC  120 N 4m 4k m R!"  (4 m)2 y r!" 4 3  (100 N) 2 i R!" 5.66 F!"  F!" 2 4m B F!"  70.7i C ( 4 m)2  5.66 m 4 k3 5.66 70.7k N 2m x Para ir desde A hasta C, debemos recorrer {4k} m, luego {2j} m y finalmente {4j}. Por lo tanto, (a) z r!#  4i A FAB FAC 2j 4k m R!#  (4 m)2 (2 m)2 F!#  F!# 2 rAC rAB  80i ( 4 m)2  6 m r!# 4 3  (120 N) 2 i R!# 6 40j 2 j 6 4 k3 6 80k N y FR Por lo tanto, la fuerza resultante es B C F2  F!" F!#  70.7i 70.7k N 80i 40j 80k N x (b)  151i 40j 151k N Resp. Fig. 2-41 C02 EST_H BBELER.indd 2 11/19/09 2:4 :52 AM 63 2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA PROBLEMAS FUNDAMENTALES F2-19. Exprese el vector de posición rAB en forma de vector cartesiano, después determine su magnitud y sus ángulos directores coordenados. F2-22. Exprese la fuerza como un vector cartesiano. 2 z z B A F  900 N 3m rAB 2m 4m 3m 2m y 3m B y 7m 4m x A 2m F2-22 x F2-19 F2-20. Determine la longitud de la varilla y el vector de posición dirigido desde A hasta B. ¿Cuál es el ángulo u? F2-23. Determine la magnitud de la fuerza resultante en A. z z A FB  840 N 2 pies 6m B FC  420 N 3m 4 pies u B 2m O y 2m C A x 3m x 4 pies y F2-23 F2-20 F2-21. Exprese la fuerza como un vector cartesiano. F2-24. Determine la fuerza resultante en A. z z 2m 2 pies A A 2m FC  490 lb C FB  600 lb 4 pies 6 pies x 4m 3m F  630 N 4m y 3 pies B x 4 pies 2 pies B y F2-21 C02 EST_H BBELER.indd 4 pies F2-24 11/19/09 2:4 :54 AM 64 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA PROBLEMAS 2 2-86. Determine el vector de posición r dirigido desde el punto A hasta el punto B y la longitud de la cuerda AB. Considere z  4 m. •2-89. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa en A. 2-87. Si la cuerda AB tiene 7.5 m de longitud, determine la posición coordenada z del punto B. z z 4 pies A 6m 3m B 3 pies B z FB  600 lb FC  750 lb 2.5 pies A y 3 pies 4 pies 2m C x x 2 pies y Prob. 2-89 Probs. 2-86/87 *2-88. Determine la distancia entre los puntos extremos A y B sobre el alambre, pero antes formule un vector de posición desde A hasta B para luego determinar su magnitud. 2-90. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. z z 2m A 3 pulg 1 pulg A 30 y 600 N 500 N 4m 60 8 pulg B y 4m 2 pulg x B Prob. 2-88 C02 EST_H BBELER.indd 4 C 8m x Prob. 2-90 11/19/09 2:4 :55 AM 65 2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA 2-91. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa en A. •2-93. El candelabro está sostenido por tres cadenas que son concurrentes en el punto O. Si la fuerza en cada cadena tiene una magnitud de 60 lb, exprese cada fuerza como un vector cartesiano y determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. 2-94. El candelabro está sostenido por tres cadenas que son concurrentes en el punto O. Si la fuerza resultante en O tiene una magnitud de 130 lb y está dirigida a lo largo del eje negativo z, determine la fuerza en cada cadena. z FB  900 N A 2 z FC  600 N C O 6m FB 3m 45 4.5 m B FC FA 6 pies y 6m B 120 x A 120 4 pies C y 120 Prob. 2-91 x Probs. 2-93/94 *2-92. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. 2-95. Exprese la fuerza F como un vector cartesiano; después determine sus ángulos directores coordenados. z z F  135 lb A 10 pies C F2  81 lb 70 F1  100 lb 3 pies 4 pies 5 pies B 7 pies y x x Prob. 2-92 5 A 40 7 pies C02 EST_H BBELER.indd y 4 pies B 30 Prob. 2-95 11/19/09 2:4 :5 AM 66 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA *2-96. La torre se mantiene en su posición mediante tres cables. Si la fuerza de cada cable que actúa sobre la torre es como se muestra en la figura, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados , ,  de la fuerza resultante. Considere x  20 m, y  15 m. 2-98. Los cables de retén se utilizan para dar soporte al poste telefónico. Represente la fuerza en cada cable en forma de vector cartesiano. Pase por alto el diámetro del poste. 2 z z D 600 N 800 N 400 N B 1.5 m A FB  175 N 24 m FA  250 N 4m 2m 4m D C 16 m O C B 6m 18 m x y 3m 4m y 1m y x Prob. 2-98 A x Prob. 2-96 •2-97. La puerta se mantiene abierta por medio de dos cadenas. Si las tensiones en AB y CD son FA  300 N y FC  250 N, respectivamente, exprese cada una de estas fuerzas en forma vectorial cartesiana. z C 2-99. Se utilizan dos cables para asegurar la barra saliente en su posición y soportar la carga de 1500 N. Si la fuerza resultante está dirigida a lo largo de la barra desde el punto A hacia O, determine las magnitudes de la fuerza resultante y de las fuerzas FB y FC. Considere x  3 m y z  2 m. *2-100. Se utilizan dos cables para asegurar la barra saliente en su posición y para soportar la carga de 1500 N. Si la fuerza resultante está dirigida a lo largo de la barra desde el punto A hacia O, determine los valores de x y z para las coordenadas del punto C y la magnitud de la fuerza resultante. Considere FB  1610 N y FC  2400 N. 1.5 m 2.5 m z FC  250 N 2m B x A FA  300 N 3m C z D 30 0.5 m 1m FB O x B 6 m FC y y 1500 N x Prob. 2-97 C02 EST_H BBELER.indd A Probs. 2-99/100 11/22/09 10:01:51 AM 67 2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA •2-101. El cable AO ejerce una fuerza sobre la parte superior del poste de F  {120i  90j  80k} lb. Si el cable tiene una longitud de 34 pies, determine la altura z del poste y la ubicación (x, y) de su base. *2-104. La torre de antena se sostiene mediante tres cables. Si las fuerzas de estos cables que actúan sobre la antena son FB  520 N, FC  680 N y FD  560 N, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa en A. 2 z A z F A FB z FD FC 24 m O 8m y x B D 10 m y 12 m O y 16 m x x 18 m C Prob. 2-101 Prob. 2-104 2-102. Si la fuerza en cada cadena tiene una magnitud de 450 lb, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. 2-103. Si la resultante de las tres fuerzas es FR  {900k} lb, determine la magnitud de la fuerza en cada cadena. •2-105. Si la fuerza en cada cable atado al cofre es de 70 lb, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. 2-106. Si la resultante de las cuatro fuerzas es FR  {360k} lb, determine la tensión desarrollada en cada cable. Debido a la simetría, la tensión en los cuatro cables es la misma. z z D FC FB FA 7 pies E B FB 120 120 C FC FA 120 D 3 pies A A y x 6 pies FD 2 pies x 2 pies C B 3 pies y 3 pies Probs. 2-102/103 C02 EST_H BBELER.indd 7 Probs. 2-105/106 11/19/09 2:4 :57 AM 68 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA 2-107. El tubo está soportado en su extremo mediante una cuerda AB. Si la cuerda ejerce una fuerza F  12 lb sobre el tubo en A, exprese esta fuerza como un vector cartesiano. •2-109. La placa cilíndrica está sometida a las fuerzas de tres cables que concurren en el punto D. Exprese cada fuerza ejercida por los cables sobre la placa como un vector cartesiano, y determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. 2 z z D B 6 pies FC  5 kN 3m FB  8 kN F  12 lb x C 5 pies B 45 y 30 y 3 pies A 20 A 0.75 m FA  6 kN x Prob. 2-107 Prob. 2-109 *2-108. La carga en A genera una fuerza de 200 N en el cable AB. Exprese esta fuerza como un vector cartesiano, que actúa en A y está dirigido hacia B. 2-110. El cable unido al brazo de la grúa ejerce una fuerza de F  350 lb. Exprese esta fuerza como un vector cartesiano. z z A 120 y 30 1m B 120 35 pies 2m F  350 lb x F  200 N 30 50 pies A x y B Prob. 2-108 C02 EST_H BBELER.indd 8 Prob. 2-110 11/19/09 2:4 :57 AM 69 2.9 PRODUCTO PUNTO 2.9 Producto punto Algunas veces, en estática debemos localizar el ángulo entre dos líneas o las componentes de una fuerza paralela y perpendicular a una línea. En dos dimensiones, esos problemas pueden resolverse por trigonometría puesto que las relaciones geométricas son fáciles de visualizar. Sin embargo, en tres dimensiones esto suele ser difícil, y en consecuencia deben emplearse métodos vectoriales para encontrar la solución. El producto punto define un método particular para “multiplicar” dos vectores y se usa para resolver los problemas antes mencionados. El producto punto de los vectores A y B, que se escribe A # B, y se lee “A punto B”, se define como el producto de las magnitudes de A y B y el coseno del ángulo u entre sus colas, figura 2-42. Expresado en forma de ecuación, A  B  !" cos . (2-12) 2 A u B Fig. 2-42 donde 0° … u … 180°. Con frecuencia, se hace referencia al producto punto como producto escalar de vectores puesto que el resultado es un escalar y no un vector. Leyes de operación. 1. Ley conmutativa: A # B  B # A 2. Multiplicación por un escalar: a(A # B)  (aA) # B  A # (aB) 3. Ley distributiva: A # (B  D)  (A # B)  (A # D) Es fácil demostrar la primera y segunda leyes por medio de la ecuación 2-12. La demostración de la ley distributiva se deja como un ejercicio (vea el problema 2-111). Formulación vectorial cartesiana. La ecuación 2-12 debe usarse para hallar el producto punto de cada uno de los dos vectores unitarios cartesianos. Por ejemplo, i # i  (1)(1) cos 0°  1 e i # j  (1)(1) cos 90°  0. Si queremos encontrar el producto punto de dos vectores A y B que se expresan en forma vectorial cartesiana, tenemos A  B  (! Xi ! Zk)  ("Xi !Y j "Y j "Zk)  !X"X(i  i) !X"Y(i  j) !X"Z(i  k) ! Y"X( j  i) ! Y"Y( j  j) ! Y"Z( j  k) !Z"X(k  i) !Z"Y(k  j) !Z"Z(k  k) Al realizar las operaciones del producto punto, el resultado final se convierte en A  B  ! X"X ! Y"Y ! Z"Z (2-13) Por tanto, para determinar el producto punto de dos vectores cartesianos, multiplique sus componentes correspondientes x, y, z, y sume sus productos algebraicamente. Observe que el resultado será un escalar positivo o negativo. C02 EST_H BBELER.indd 9 11/19/09 2:4 :58 AM 70 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA Aplicaciones. En mecánica, el producto punto tiene dos importantes aplicaciones. uA A • . 2 El ángulo formado entre dos vectores o líneas que se intersecan. El ángulo u entre las colas de los vectores A y B que se muestran en la figura 2-42 pueden determinarse mediante la ecuación 2-12 y escribirse como ur .  cos 1 2 AB 3 !" 0° ‰ . ‰ 180° Aquí A # B se calcula con la ecuación 2-13. En particular, observe que si A # B  0, u  cos1 0  90°, por lo que A será perpendicular a B. El ángulo u entre la cuerda y la viga de conexión puede determinarse formulando los vectores unitarios a lo largo de la viga para después usar el producto punto ub # ur  (1)(1) cos u. • Las componentes de un vector paralelo y perpendicular a una línea. La componente de un vector A paralelo a, o colineal con, la línea aa¿ en la figura 2-43 se define por Aa, donde Aa  A cos u. En ocasiones, a esta componente se le llama la proyección de A sobre la línea, puesto que se forma un ángulo recto en la construcción. Si la dirección de la línea está especificada por el vector unitario ua, entonces como ua  1, podemos determinar Aa directamente con el producto punto (ecuación 2-12); esto es, Aa  A cos u  A # ua Por consiguiente, la proyección escalar de A a lo largo de una línea se determina con el producto punto de A y el vector unitario ua que define la dirección de la línea. Observe que si este resultado es positivo, entonces Aa tiene un sentido direccional que es igual al de ua, mientras que si Aa es un escalar negativo, entonces Aa tiene el sentido opuesto de dirección al de ua. Por lo tanto, la componente Aa representada como un vector es Aa  Aa ua ub Fb También se puede obtener la componente de A que es perpendicular a la línea aa, figura 2-43. Como A  Aa  A⬜, entonces A⬜  A  Aa. Hay dos maneras posibles de obtener A⬜. Una es determinar u con el producto punto, u  cos1(A # uA>A), entonces A⬜  A sen u. De manera alternativa, si Aa es conocida, entonces por el teorema de Pitágoras también podemos escribir !  !2 F !A 2. A⬜ La proyección de la fuerza F del cable a lo largo de la viga puede ser determinada al determinar primero el vector unitario ub que define esta dirección. Después se aplica el producto punto, Fb  F # ub. C02 EST_H BBELER.indd 70 A u a Aa  A cos u ua a ua Fig. 2-43 11/19/09 2:47:00 AM 2.9 PRODUCTO PUNTO 71 Puntos importantes • El producto punto se usa para determinar el ángulo entre dos vectores o la proyección de un vector en una dirección específica. • Si los vectores A y B se expresan en forma de vector cartesia- 2 no, el producto punto se determina por medio de la multiplicación de las respectivas componentes escalares x, y, z y la suma algebraica de los resultados, es decir, A # B  AxBx  AyBy  AzBz. • A partir de la definición del producto punto, el ángulo formado entre las colas de los vectores A y B es u  cos1(A # B>AB). • La magnitud de la proyección del vector A a lo largo de una línea aa cuya dirección está especificada por ua se determina a partir del producto punto Aa  A # ua. EJEMPLO 2.16 Determine las magnitudes de la proyección de la fuerza F en la figura 2-44 sobre los ejes u y v. v F  100 N (Fv )proy 15 45 u (Fu)proy Fig. 2-44 SOLUCIÓN Proyecciones de fuerza. En la figura 2-44 se muestra la representación gráfica de las proyecciones. A partir de esta figura, las magnitudes de las proyecciones de F sobre los ejes u y v pueden obtenerse por trigonometría: (Fu)proy  (100 N)cos 45°  70.7 N Resp. (Fv)proy  (100 N)cos 15°  96.6 N Resp. NOTA: estas proyecciones no son iguales a las magnitudes de las componentes de la fuerza F a lo largo de los ejes u y v que se encontraron con la ley del paralelogramo. Sólo serán iguales si los ejes u y v son perpendiculares entre sí. C02 EST_H BBELER.indd 71 11/19/09 2:47:02 AM 72 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA EJEMPLO 2.17 La estructura que se muestra en la figura 2-45a está sometida a una fuerza horizontal F  {300j}. Determine la magnitud de las componentes de esta fuerza paralela y perpendicular al elemento AB. 2 z z FAB B F  {300 j} N 3m A B uB F A y F y 2m 6m x x (b) (a) Fig 2-45 SOLUCIÓN La magnitud de la componente de F a lo largo de AB es igual al producto punto de F y el vector unitario uB, el cual define la dirección de AB, figura 2-45b. Como u"  r" 2i  R" (2)2 6j 3k (6)2 (3)2  0.286 i 0.857 j 0.429 k entonces &!"  & cos .  F  u"  (300j)  (0.286i 0.857j  (0)(0.286) (300)(0.857) (0)(0.429)  257.1 N 0.429k) Resp. Como el resultado es un escalar positivo, FAB tiene el mismo sentido de dirección que uB, figura 2-45b. Si se expresa FAB en forma de vector cartesiano, tenemos F!"  &!"u"  (257.1 N)(0.286i  73.5i 220j 0.857j 0.429k) Resp. 110kN Por lo tanto, la componente perpendicular, figura 2-45b, es F  F F!"  300j   73.5i 80j (73.5i 220j 110k) 110k N Su magnitud puede determinarse a partir de este vector o con el teorema de Pitágoras, figura 2-45b: &  &2  155 N C02 EST_HIBBELER.indd 72 &2!"  (300 N)2 (257.1 N)2 Resp. 12/1/09 2:39:44 AM 73 2.9 PRODUCTO PUNTO EJEMPLO 2.18 El tubo en la figura 2-46a está sometido a la fuerza F  80 lb. Determine el ángulo u entre F y el segmento de tubo BA, así como la proyección de F a lo largo de este segmento. 2 z 1 pie 2 pies y A 2 pies x C u F  80 lb 1 pie B (a) SOLUCIÓN Ángulo u. Primero estableceremos vectores de posición de B a A y de B a C; figura 2-46b. Luego determinaremos el ángulo u entre las colas de estos dos vectores. r"!   2i 2j r"#   3j 1k pies, R"#  10 pies z x Así, cos .  r"!  r"# r"!r"#  ( 2)(0) ( 2)( 3) (1)(1) 310 y A 1k pies, R"!  3 pies rBA C u rBC B  0.7379 (b) .  42.5° Resp. Componentes de F. En la figura 2-46b, se muestra la componente de F a lo largo de BA. Debemos formular primero el vector unitario a lo largo de BA y la fuerza F como vectores cartesianos. u"!  r"! ( 2i  R"! F  80 lb2 2j 3 1k)  2 i 3 r"# 3j 1k 3  802 3  R"# 10 2 j 3 1 k 3 75.89j z A 25.30k y Entonces, &"!  F  u"!  ( 75.89j  02 2 3 3  59.0 lb 25.30k)  2 ( 75.89)2 2 i 3 2 3 3 2 j 3 1 k3 3 1 (25.30) 2 3 3 x F  80 lb u FBA B F (c) Resp. como se conoce u, entonces también, FBA  F cos u  80 lb cos 42.5°  59.0 lb. NOTA: C02 EST_H BBELER.indd 7 Fig. 2-46 11/19/09 2:47:0 AM 74 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA PROBLEMAS FUNDAMENTALES Determine el ángulo u entre la fuerza y la línea AO. F2-25. F2-29. Encuentre la magnitud de la componente de la fuerza proyectada a lo largo del tubo. 2 z F  {6 i  9 j  3 k} kN z u A 4m 2m O 1m y A 2m x F  400 N O 6m F2-25 Determine el ángulo u entre la fuerza y la línea AB. F2-26. 5m x B 4m z y F2-29 B 4m F2-30. Determine las componentes de la fuerza que actúan en forma paralela y perpendicular al eje del poste. 3m u 4m x F  600 N C A y F2-26 F2-27. z F  600 lb Determine el ángulo u entre la fuerza y la línea OA. F2-28. Determine la componente de proyección de la fuerza a lo largo de la línea OA. A O 30 y F  650 N 60 2 pies x A u 13 4 pies 4 pies 5 12 x O F2-27/28 C02 EST_H BBELER.indd 74 y F2-30 11/22/09 10:02:10 AM 75 2.9 PRODUCTO PUNTO PROBLEMAS 2-111. Dados los tres vectores A, B y D, muestre que A # (B  D)  (A # B)  (A # D). *2-112. Determine la componente proyectada de la fuerza FAB  560 N que actúa a lo largo del cable AC. Exprese el resultado como un vector cartesiano. 2-114. Determine la longitud del lado BC de la placa triangular. Resuelva el problema mediante la determinación de la magnitud de rBC; después verifique el resultado primero con la determinación de u, rAB y rAC y luego por la ley de los cosenos. 2 z z 3m 1.5 m 1.5 m C B B 1m 4m A FAB  560 N 3m y 1m A y x u 1m 3m C 5m 3m x Prob. 2-114 Prob. 2-112 •2-113. Determine las magnitudes de las componentes de la fuerza F  56 N que actúan a lo largo de la línea AO y en forma perpendicular a ésta. 2-115. Para el ensamble de tubos que se muestra en la figura, determine las magnitudes de las componentes de la fuerza F  600 N que actúan a lo largo del segmento DE y en forma perpendicular a éste. z z A 2m B D 2m F  56 N 1m x C 1m O x A B 3m C02 EST_H BBELER.indd 75 2m C F  600 N D 1.5 m y Prob. 2-113 y 2m 3m E Prob. 2-115 11/19/09 2:47:09 AM 76 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA *2-116. Determine el ángulo u entre las dos fuerzas que actúan sobre el gancho. Asimismo, ¿cuáles son las proyecciones de F1 y F2 a lo largo del eje y? 2 •2-117. Para las dos fuerzas que actúan sobre el gancho, determine la magnitud de la proyección de F2 a lo largo de F1. 2-119. La abrazadera se usa sobre una plantilla. Si la fuerza vertical que actúa sobre el perno es F  {500k} N, determine las magnitudes de sus componentes F1 y F2 que actúan a lo largo del eje OA y en forma perpendicular a éste. z z A 40 mm O F1  600 N y 20 mm 40 mm x 45 F  {500 k} N 60 Prob. 2-119 120 u y F2  {120i + 90j – 80k}N x Probs. 2-116/117 *2-120. Determine la magnitud de la componente proyectada de la fuerza FAB que actúa a lo largo del eje z. •2-121. Determine la magnitud de la componente proyectada de la fuerza FAC que actúa a lo largo del eje z. 2-118. Determine la proyección de la fuerza F  80 N a lo largo de la línea BC. Exprese el resultado como un vector cartesiano. z z FAC  600 lb A A 36 pies FAB  700 lb F  80 N D E D 18 pies 1.5 m x O C B F 2m 2m y 12 pies 12 pies C 30 y x Prob. 2-118 C02 EST_H BBELER.indd 7 1.5 m 2m 2m 12 pies B Probs. 2-120/121 11/19/09 2:47:10 AM 77 2.9 PRODUCTO PUNTO 2-122. Determine la proyección de la fuerza F  400 N que actúa a lo largo de la línea AC del ensamble de tubos. Exprese el resultado como un vector cartesiano. 2-126. Cada uno de los cables ejerce una fuerza de 400 N sobre el poste. Determine la magnitud de la componente de F1 proyectada a lo largo de la línea de acción de F2. 2-123. Determine las magnitudes de las componentes de la fuerza F  400 N que actúan en forma paralela y perpendicular al segmento BC del ensamble de tubos. 2-127. Determine el ángulo u entre los dos cables unidos al poste. 2 z F1  400 N z F  400 N B 35 45 C 120 30 A 3m u 45 20 y 60 4m x y x F2  400 N Probs. 2-122/123 Probs. 2-126/127 *2-124. El cable OA se usa para dar soporte a la columna OB. Determine el ángulo u que forma el cable con la viga OC. •2-125. El cable OA se usa para dar soporte a la columna OB. Determine el ángulo f que forma el cable con la viga OD. *2-128. Una fuerza de F  80 N se aplica al mango de una llave de torsión. Determine el ángulo u entre la cola de la fuerza y el mango AB. z z F  80 N D 30 O f C 30 u B y 4m u 8m 45 A x 8m B A Probs. 2-124/125 C02 EST_H BBELER.indd 77 300 mm x 500 mm y Prob. 2-128 11/19/09 2:47:11 AM 78 •2-129. CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA Determine el ángulo u entre los cables AB y AC. 2-130. Si F tiene una magnitud de 55 lb, determine la magnitud de su componente proyectada que actúa a lo largo del eje x y a lo largo del cable AC. 2-132. Determine la magnitud de la componente proyectada de la fuerza F  300 N que actúa a lo largo de la línea OA. 2 30 z 8 pies F  300 N z A 30 3 pies 300 mm C B O 300 mm 12 pies 8 pies 300 mm x y y Prob. 2-132 F u 15 pies A x •2-133. Dos cables ejercen fuerzas sobre el tubo. Determine la magnitud de la componente de F1 proyectada a lo largo de la línea de acción de F2. Probs. 2-129/130 2-134. Determine el ángulo u entre los dos cables unidos al tubo. 2-131. Determine las magnitudes de las componentes proyectadas de la fuerza F  300 N que actúan a lo largo de los ejes x y y. Z F2  25 lb 60 30 z F  300 N A . 30 60 x 300 mm O 300 mm x 300 mm y Prob. 2-131 C02 EST_H BBELER.indd 78 30 30 y F1  30 lb Probs. 2-133/134 11/19/09 2:47:11 AM 79 REPASO DEL CAPÍTULO REPASO DEL CAPÍTULO Un escalar es un número positivo o negativo; por ejemplo, masa y temperatura. 2 A Un vector tiene magnitud y dirección, y la punta de la flecha indica el sentido del vector. La multiplicación o la división de un vector por, o entre, un escalar sólo cambiará la magnitud del vector. Si el escalar es negativo, el sentido del vector cambiará de manera que actúe en el sentido opuesto. 2A 1.5 A A 0.5 A Si los vectores son colineales, la resultante es simplemente la suma algebraica o escalar. R RAB A B Ley del paralelogramo a Dos fuerzas se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Las componentes forman los lados del paralelogramo y la resultante es la diagonal. Resultante FR F1 b F2 Componentes Para encontrar las componentes de una fuerza a lo largo de cualesquiera de los dos ejes, extienda líneas desde la cabeza de la fuerza, paralelas a los ejes, a fin de formar las componentes. Para obtener las componentes de la resultante, muestre la forma en que se suman las fuerzas de punta a cola usando la regla del triángulo; después utilice la ley de los cosenos y la ley de los senos para calcular sus valores. C02 EST_HIBBELER.indd 79 &2  &1 2 &1 sen . 1  &2 2 &2 sen . 2 2 &1&2 cos .2  &2 sen . 2 FR F1 u2 u1 uR F2 12/1/09 2:39:32 AM 80 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA y Componentes rectangulares: dos dimensiones Los vectores Fx y Fy son componentes rectangulares de F. F 2 Fy x La fuerza resultante se determina a partir de la suma algebraica de sus componentes. Fx y &2X  i&X F2y &2Y  i&Y &2  (&2X)2 .  tan 1  &2Y &2X y F1y F2x (&2Y)2 FR FRy F1x x  F3x FRx x F3y  Vectores cartesianos El vector unitario u tiene una longitud de uno, sin unidades, y apunta en la dirección del vector F. u  F & F F u 1 Una fuerza puede descomponerse en sus componentes cartesianos a lo largo de los ejes x, y, z de manera que F  Fx i  Fy j  Fz k. z La magnitud de F se determina a partir de la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de sus componentes. &  &2X &2Y Fz k &2Z F u g Los ángulos directores coordenados , ,  se determinan al formular un vector unitario en la dirección de F. Las componentes x, y, z de u representan cos , cos , cos . &Y Fx F  i j & F & u  cos  i cos  j u  &Z a k & cos k b Fy j y Fx i x C02 EST_H BBELER.indd 80 11/19/09 2:47:1 AM 81 REPASO DEL CAPÍTULO Los ángulos directores coordenados están relacionados de manera que sólo dos de los tres ángulos son independientes entre sí. cos2  cos2  cos2  1 2 Para encontrar la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes, exprese cada fuerza como un vector cartesiano y sume las componentes i, j, k de todas las fuerzas en el sistema. F2  iF  iFXi i&Y j i&Zk z (zB  zA)k Vectores de posición y fuerza Un vector de posición ubica un punto en el espacio con relación a otro. La forma más fácil de formular las componentes de un vector de posición es determinar la distancia y dirección que debe recorrerse a lo largo de las direcciones x, y y z —desde la cola hasta la cabeza del vector. B r  (X" X!)i (Y" Y!)j A (Z" Z!)k (xB  xA)i r y (yB  yA)j x z Si la línea de acción de una fuerza pasa a través de los puntos A y B, entonces la fuerza actúa en la misma dirección que el vector de posición r, que se define mediante el vector unitario u. De esta manera, la fuerza puede expresarse como un vector cartesiano. F r r F  &u  & 2 3 R B u A y x Producto punto El producto punto entre dos vectores A y B genera un escalar. Si A y B se expresan en forma vectorial cartesiana, entonces el producto punto es la suma de los productos de sus componentes x, y y z. El producto punto puede usarse para determinar el ángulo entre A y B. El producto punto también se utiliza para determinar la componente proyectada de un vector A sobre un eje aa que se define por medio de su vector unitario ua. C02 EST_H BBELER.indd 81 A A  B  !" cos .  ! X"X ! Y"Y .  cos 1 2 u ! Z"Z B AB 3 !" A a  ! cos . ua  (A  ua)ua A a A u Aa  A cos u ua u a 11/19/09 2:47:1 AM 82 CAPÍTULO 2 VECTORES FUERZA PROBLEMAS DE REPASO 2-135. Determine las componentes x y y de la fuerza de 700 lb. 2 2-138. Determine la magnitud y dirección de la resultante FR  F1  F2  F3 de las tres fuerzas, para lo cual encuentre primero la resultante F ¿  F1  F3 y después forme FR  F ¿  F2. Especifique su dirección medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. y 700 lb y F2  75 N F1  80 N F3  50 N 60 30 30 45 30 x x Prob. 2-135 Prob. 2-138 *2-136. Determine la magnitud de la componente proyectada de la fuerza de 100 lb que actúa a lo largo del eje BC del tubo. •2-137. Determine el ángulo u entre los segmentos de tubo BA y BC. 2-139. Determine el ángulo de diseño u (u 90°) entre las dos barras de modo que la fuerza horizontal de 500 lb tenga una componente de 600 lb dirigida de A hacia C. ¿Cuál es la componente de la fuerza que actúa a lo largo del elemento BA? B z A B u 3 pies C 8 pies x 2 pies 500 lb C F  100 lb Probs. 2-136/137 C02 EST_H BBELER.indd 82 u 6 pies 4 pies 20 D y A Prob. 2-139 11/19/09 2:47:20 AM 83 PROBLEMAS DE REPASO *2-140. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza F3 mínima tal que la fuerza resultante de las tres fuerzas tenga una magnitud de 20 lb. 2-142. El cable AB ejerce una fuerza de 80 N sobre el extremo de la barra OA de 3 m de largo. Determine la magnitud de la proyección de esta fuerza a lo largo de la barra. 2 z B F2  10 lb 5 4 4m F3 3 O u F1  5 lb y 60 80 N 3m A x Prob. 2-140 Prob. 2-142 •2-141. Descomponga la fuerza de 250 N en componentes que actúen a lo largo de los ejes u y v; además, determine las magnitudes de estas componentes. 2-143. Los tres cables de soporte ejercen las fuerzas mostradas sobre el señalamiento. Represente cada fuerza como un vector cartesiano. z C 2m E 2m B FE  350 N FC  400 N u D 20 A 250 N 40 3m FB  400 N 2m y 3m x v Prob. 2-141 C02 EST_H BBELER.indd 8 Prob. 2-143 11/19/09 2:47:20 AM Siempre que se usen cables para levantar cargas, deben seleccionarse de manera que no fallen cuando se les coloque en sus puntos de unión. En este capítulo mostraremos cómo calcular las cargas en los cables para tales casos. C0 EST_H BBELER.indd 84 11/19/09 2:49:05 AM Equilibrio de una partícula 3 OBJETIVOS DEL CAPÍTULO • Presentar el concepto de diagrama de cuerpo libre para una partícula. • Mostrar cómo se resuelven los problemas de equilibrio de una partícula, mediante las ecuaciones de equilibrio. 3.1 Condiciones para el equilibrio de una partícula Se dice que una partícula está en equilibrio si permanece en reposo y en un principio estaba en reposo, o si tiene una velocidad constante y originalmente estaba en movimiento. Sin embargo, más a menudo, el término “equilibrio” o, de manera más específica, “equilibrio estático” se usa para describir un objeto en reposo. Para mantener el equilibrio, es necesario satisfacer la primera ley del movimiento de Newton, la cual requiere que la fuerza resultante que actúa sobre una partícula sea igual a cero. Esta condición puede ser establecida matemáticamente como ©F  0 (3-1) donde ©F es el vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. La ecuación 3-1 no sólo es una condición necesaria para el equilibrio, también es una condición suficiente. Esto es una consecuencia de la segunda ley del movimiento de Newton, la cual puede escribirse como ©F  ma. Como el sistema de fuerzas satisface la ecuación 3-1, entonces ma  0, y por lo tanto la aceleración de la partícula a  0. En consecuencia, la partícula se mueve con velocidad constante o permanece en reposo. C0 EST_H BBELER.indd 85 11/19/09 2:49:05 AM 86 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA 3.2 Diagrama de cuerpo libre Para aplicar la ecuación de equilibrio debemos tomar en cuenta todas las fuerzas conocidas y desconocidas (©F) que actúan sobre la partícula. La mejor manera de hacer esto es pensar en la partícula como aislada y “libre” de su entorno. Un dibujo que muestra la partícula junto con todas las fuerzas que actúan sobre ella se denomina diagrama de cuerpo libre (DCL). Antes de presentar un procedimiento formal de cómo trazar un diagrama de cuerpo libre, primero consideraremos dos tipos de conexiones que se encuentran con frecuencia en problemas de equilibrio de partículas. 3 Resortes. Si un resorte elástico lineal (o cuerda) de longitud no deformada lo se usa como soporte de una partícula, su longitud cambiará en proporción directa a la fuerza F que actúe sobre él, figura 3-1. Una característica que define la “elasticidad” de un resorte es la constante de resorte o rigidez, k. La magnitud de la fuerza ejercida en un resorte elástico lineal que tiene una rigidez k y está deformado (alargado o acortado) una distancia s  l  lo, medida desde su posición sin carga, es o F  ks s F Fig. 3-1 (3-2) Si s es positiva, lo que causa un alargamiento, entonces F debe jalar el resorte; mientras que si s es negativa, lo que causa un acortamiento, entonces F debe empujar el resorte. Por ejemplo, si el resorte de la figura 3-1 tiene una longitud no deformada de 0.8 m y una rigidez k  500 N>m y se estira hasta una longitud de 1 m, de manera que s  l  lo  1 m  0.8 m  0.2 m, entonces se requiere una fuerza F  ks  500 N>m(0.2 m)  100 N. Cables y poleas. A menos que se establezca lo contrario, en todo este libro, excepto en la sección 7.4, supondremos que todos los cables (o cuerdas) tienen un peso insignificante y que no se pueden deformar. Además, un cable puede soportar sólo una tensión o fuerza de “jalón” que actúa en la dirección del cable. En el capítulo 5 se mostrará que la fuerza de tensión desarrollada en un cable continuo que pasa sobre una polea sin fricción, debe tener una magnitud constante para mantener al cable en equilibrio. Por consiguiente, para cualquier ángulo , como el que se muestra en la figura 3-2, el cable se somete a una tensión T en toda su longitud. u T T El cable está en tensión Fig. 3-2 C0 EST_H BBELER.indd 8 11/19/09 2:49:0 AM 87 3.2 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Procedimiento para trazar un diagrama de cuerpo libre Para aplicar las ecuaciones de equilibrio, debemos tomar en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, por tal motivo no se debe exagerar en enfatizar la importancia de trazar primero un diagrama de cuerpo libre. Para construir un diagrama de cuerpo libre, se requiere llevar a cabo los tres pasos siguientes. Trace un perfil delineado. Imagine que la partícula está aislada o “liberada” de su entorno al trazar su perfil delineado. Muestre todas las fuerzas. Indique sobre este bosquejo todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Éstas pueden ser fuerzas activas, que tienden a poner la partícula en movimiento, o fuerzas reactivas, que son el resultado de las restricciones o soportes que tienden a evitar el movimiento. Para tomar en cuenta todas esas fuerzas, puede resultar útil trazar los límites de la partícula, y señalar con cuidado cada fuerza que actúa sobre ella. Identifique cada una de las fuerzas. Las fuerzas que son conocidas deben ser marcadas con sus propias magnitudes y direcciones. Para representar las magnitudes y direcciones de las fuerzas desconocidas se usan letras. T W 3 La cubeta se mantiene en equilibrio mediante el cable, e instintivamente sabemos que la fuerza en el cable debe ser igual al peso de la cubeta. Al trazar un diagrama de cuerpo libre de la cubeta podemos entender por qué esto es así. Este diagrama muestra que sólo hay dos fuerzas que actúan sobre la cubeta, a saber, su peso W y la fuerza T del cable. Para obtener el equilibrio, la resultante de estas fuerzas debe ser igual a cero y por consiguiente T  W. D W A A B TB TC C El carrete tiene un peso W y está suspendido del pescante de la grúa. Si queremos obtener las fuerzas en los cables AB y AC, podemos considerar el diagrama de cuerpo libre del anillo en A. Aquí, los cables AD ejercen una fuerza resultante W sobre el anillo y la condición de equilibrio se usa para obtener TB y TC. C0 EST_H BBELER.indd 87 11/19/09 2:49:07 AM 88 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EJEMPLO 3.1 La esfera que aparece en la figura 3-3a tiene una masa de 6 kg y está soportada como se muestra. Trace un diagrama de cuerpo libre de la esfera, de la cuerda CE, y del nudo en C. B 3 FCE (Fuerza de la cuerda CE que actúa sobre la esfera) k 60 D C 45 E A (a) 58.9 N (Peso o gravedad que actúa sobre la esfera) (b) FEC (Fuerza del nudo que actúa sobre la cuerda CE) FCE (Fuerza de la esfera que actúa sobre la cuerda CE) (c) SOLUCIÓN Esfera. Por inspección, hay sólo dos fuerzas que actúan sobre la esfera, las cuales son, su peso: 6 kg (9.81 m>s2)  58.9 N, y la fuerza en la cuerda CE. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3-3b. Cuerda CE. Cuando la cuerda CE se aísla de su entorno, su diagrama de cuerpo libre muestra sólo dos fuerzas que actúan sobre ella, a saber, la fuerza de la esfera y la fuerza del nudo, figura 3-3c. Observe que la FCE mostrada aquí es igual pero opuesta a la mostrada en la figura 3-3b, una consecuencia de la tercera ley de Newton de acción y reacción. Además, FCE y FEC jalan la cuerda y la mantienen en tensión de manera que no colapse. Para lograr el equilibrio, FCE  FEC. Nudo. El nudo en C está sometido a tres fuerzas, figura 3-3d. Éstas son causadas por las cuerdas CBA y CE y el resorte CD. Como se requiere, el diagrama de cuerpo libre muestra todas esas fuerzas marcadas con sus magnitudes y direcciones. Es importante darse cuenta que el peso de la esfera no actúa directamente sobre el nudo, sino que la cuerda CE somete el nudo a esta fuerza. FCBA (Fuerza de la cuerda CBA que actúa sobre el nudo) 60 C FCD (Fuerza del resorte que actúa sobre el nudo) FCE (Fuerza de la cuerda CE que actúa sobre el nudo) (d) Fig. 3-3 C0 EST_H BBELER.indd 88 11/19/09 2:49:07 AM 89 3.3 SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES 3.3 Sistemas de fuerzas coplanares Si una partícula está sometida a un sistema de fuerzas coplanares que se encuentran en el plano x-y como en la figura 3-4, entonces cada fuerza puede descomponerse en sus componentes i y j. Para lograr el equilibrio, estas fuerzas deben sumarse para producir una fuerza resultante cero, es decir, y F1 F2 x iF  0 i&Xi 3 i&Y j  0 F3 F4 Fig. 3-4 Para que se satisfaga esta ecuación vectorial, ambas componentes x y y deben ser iguales a cero. Por lo tanto, i&X  0 i&Y  0 (3-3) Estas dos ecuaciones pueden resolverse cuando mucho para dos incógnitas, representadas generalmente como ángulos y magnitudes de fuerzas mostradas sobre el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Cuando se aplica cada una de las dos ecuaciones de equilibrio, debemos tomar en cuenta el sentido de cada componente con un signo algebraico que corresponde a la dirección de la cabeza de flecha de la componente a lo largo de los ejes x o y. Es importante observar que si una fuerza tiene una magnitud desconocida, entonces el sentido de la cabeza de la flecha de la fuerza en el diagrama de cuerpo libre puede suponerse. De esta forma, si la solución genera un escalar negativo, el sentido de la fuerza es opuesto al sentido que se supuso. Por ejemplo, considere el diagrama de cuerpo libre de la partícula sometida a las dos fuerzas que se muestran en la figura 3-5. Aquí se supone que la fuerza desconocida F actúa hacia la derecha para mantener el equilibrio. Al aplicar la ecuación de equilibrio a lo largo del eje x, tenemos  i&X  0; & 10 N  0 Ambos términos son “positivos” puesto que las dos fuerzas actúan en la dirección x positiva. Cuando se resuelve esta ecuación, F  10 N. Aquí, el signo negativo indica que F debe actuar hacia la izquierda para sostener la partícula en equilibrio, figura 3-5. Observe que si el eje x de la figura 3-5 estuviese dirigido hacia la izquierda, en la ecuación anterior ambos términos serían negativos pero, de nuevo, después de resolver F  10 N, lo que indica que F estaría dirigida hacia la izquierda. C0 EST_H BBELER.indd 89 x F 10 N Fig. 3-5 11/19/09 2:49:08 AM 90 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA Procedimiento para el análisis Los problemas de equilibrio de fuerzas coplanares para una partícula pueden resolverse por el siguiente procedimiento. Diagrama de cuerpo libre. • Establezca los ejes x, y en cualquier orientación adecuada. 3 • Marque en el diagrama todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas conocidas y desconocidas. • Puede suponer el sentido de una fuerza con una magnitud desconocida. Ecuaciones de equilibrio. • Aplique las ecuaciones de equilibrio ©Fx  0 y ©Fy  0. • Las componentes son positivas si están dirigidas a lo largo de un eje positivo, y negativas si están dirigidas a lo largo de un eje negativo. • Si hay más de dos incógnitas y el problema implica un resor- te, aplique F  ks para relacionar la fuerza del resorte con la deformación s del mismo. • Como la magnitud de una fuerza siempre es una cantidad positiva, si la solución produce un resultado negativo, esto indica que el sentido de la fuerza es el inverso del mostrado sobre el diagrama de cuerpo libre. y TD D A A TB B C C0 EST_H BBELER.indd 90 x TC Estas cadenas ejercen tres fuerzas sobre el anillo localizado en A, como se muestra en su diagrama de cuerpo libre. El anillo no se moverá, o se moverá con velocidad constante, siempre que la suma de esas fuerzas a lo largo de los ejes x y y en el diagrama de cuerpo libre sea igual a cero. Si se conoce una de las tres fuerzas, las magnitudes de las otras dos pueden obtenerse a partir de las dos ecuaciones de equilibrio. 11/19/09 2:49:09 AM 91 3.3 SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES EJEMPLO 3.2 Determine la tensión necesaria en los cables BA y BC para sostener el cilindro de 60 kg que se muestra la figura 3-6a. C A 3 TBD  60 (9.81) N 5 4 3 45 B 60 (9.81) N D (b) (a) SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. Debido al equilibrio, el peso del cilindro ocasiona que la tensión en el cable BD sea TBD  60(9.81) N, figura 3-6b. Las fuerzas en los cables BA y BC pueden determinarse al investigar el equilibrio del anillo B. Su diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3-6c. Las magnitudes de TA y TC se desconocen, pero sus direcciones son conocidas. Ecuaciones de equilibrio. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio a lo largo de los ejes x y y, tenemos  i&X  0; 4# cos 45° C i&Y  0; 4# sen 45°  45  4!  0  35  4A 60(9.81) N  0 y (1) (2) TC TA 3 La ecuación (1) puede escribirse como TA  0.8839TC. Al sustituir esto en la ecuación (2) resulta 4# sen 45°  35  (0.88394#) 5 45 4 B x TBD  60 (9.81) N 60(9.81) N  0 De forma que (c) TC  475.66 N  476 N Resp. Fig. 3-6 Al sustituir este resultado en la ecuación (1) o la ecuación (2), obtenemos TA  420 N Resp. NOTA: por supuesto, la exactitud de esos resultados depende de la exactitud de los datos, es decir, de las medidas geométricas y de las cargas. Para la mayor parte de los trabajos de ingeniería que implican un problema como éste, los datos medidos con tres cifras significativas serían suficientes. C0 EST_H BBELER.indd 91 11/22/09 10:0 :14 AM 92 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EJEMPLO 3.3 La caja de 200 kg que se muestra en la figura 3-7a está suspendida por las cuerdas AB y AC. Cada cuerda puede soportar una fuerza máxima de 10 kN antes de que se rompa. Si AB siempre permanece horizontal, determine el ángulo mínimo  al que se puede suspender la caja antes de que una de las cuerdas se rompa. y 3 C FC u FB A u A x B D FD  1962 N (b) Fig. 3-7 (a) SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. Estudiaremos el equilibrio del anillo A. Hay tres fuerzas que actúan sobre él, figura 3-7b. La magnitud de FD es igual al peso de la caja, es decir, FD  200 (9.81) N  1962 N 6 10 kN. Ecuaciones de equilibrio. a lo largo de los ejes x y y,  i&X  0; C i&Y  0; Al aplicar las ecuaciones de equilibrio &# cos . &"  0; &#  &# sen . &" cos . 1962 N  0 (1) (2) A partir de la ecuación (1), FC siempre es mayor que FB puesto que cos  … 1. Por lo tanto, la cuerda AC alcanzará la fuerza de tensión máxima de 10 kN antes que la cuerda AB. Al sustituir FC  10 kN en la ecuación (2), obtenemos [10(103) N] sen . 1962 N  0 .  sen 1(0.1962)  11.31°  11.3° Resp. La fuerza desarrollada en la cuerda AB puede obtenerse al sustituir los valores de  y FC en la ecuación (1). &" cos 11.31° &"  9.81 kN 10(103) N  C0 EST_H BBELER.indd 92 11/19/09 2:49:11 AM 93 3.3 SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES EJEMPLO 3.4 Determine la longitud requerida para el cable de corriente alterna de la figura 3-8a, de manera que la lámpara de 8 kg esté suspendida en la posición que se muestra. La longitud no deformada del resorte AB es l ¿AB  0.4 m, y el resorte tiene una rigidez de kAB  300 N>m. y 2m C TAC 3 kAB  300 N/m 30 30 A B x A TAB W  78.5 N (b) (a) Fig. 3-8 SOLUCIÓN Si se conoce la fuerza presente en el resorte AB, el alargamiento del resorte se puede encontrar mediante F  ks. A partir de la geometría del problema, es posible calcular la longitud requerida de AC. Diagrama de cuerpo libre. La lámpara tiene un peso W  8(9.81)  78.5 N y entonces el diagrama de cuerpo libre del anillo en A se muestra en la figura 3-8b. Ecuaciones de equilibrio.  i&X  0; C i&Y  0; Si utilizamos los ejes x, y, 4!" 4!# cos 30°  0 4!# sen 30° 78.5 N  0 Al resolver estas ecuaciones obtenemos 4!#  157.0 N 4!"  135.9 N Entonces, el estiramiento del resorte AB es 4!"  K!"S!"; 135.9 N  300 NmS!" S!"  0.453 m y la longitud alargada es, por tanto L!"  L€!" L!"  0.4 m S!" 0.453 m  0.853 m La distancia horizontal de C a B, figura 3-8a, requiere que 2 m  L!# cos 30° L!#  1.32 m C0 EST_H BBELER.indd 9 0.853 m Resp. 11/19/09 2:49:1 AM 94 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA PROBLEMAS FUNDAMENTALES Todas las soluciones a los problemas deben incluir un DCL. F3-1. La caja tiene un peso de 550 lb. Determine la fuerza en cada cable de soporte. 0.3 m C B 3 F3-4. El bloque tiene una masa de 5 kg y descansa sobre un plano inclinado liso. Determine la longitud sin estirar del resorte. 5 3 4 30 k  200 N/m A 0.4 m D 45 F3-1 F3-4 F3-2. La viga tiene un peso de 700 lb. Determine el cable ABC más corto que puede usarse para levantarla, si la fuerza máxima que puede soportar el cable es de 1500 lb. F3-5. Si la masa del cilindro C es de 40 kg, determine la masa del cilindro A a fin de sostener el ensamble en la posición mostrada. B B u 30 D u A E C C 10 pies 40 kg A F3-2 F3-3. Si el bloque de 5 kg se suspende de la polea B y la flecha de la cuerda es d  0.15 m, determine la fuerza en la cuerda ABC. No tome en cuenta el tamaño de la polea. F3-5 F3-6. Determine la tensión necesaria en los cables AB, BC y CD para sostener los semáforos de 10 kg y 15 kg en B y C, respectivamente. Además, determine el ángulo . 0.4 m D A C A d  0.15m 15 B C u B D F3-3 C0 EST_H BBELER.indd 94 F3-6 11/22/09 10:04:07 AM 95 3.3 SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES PROBLEMAS Todas las soluciones a los problemas deben incluir un DCL. •3-1. Determine la fuerza en cada cuerda para mantener el equilibrio de la caja de 200 kg. La cuerda BC permanece horizontal debido al rodillo en C, y AB tiene una longitud de 1.5 m. Considere y  0.75 m. 3-2. Si la cuerda AB de 1.5 m de largo puede soportar una fuerza máxima de 3500 N, determine la fuerza en la cuerda BC y la distancia y de modo que se pueda sostener la caja de 200 kg. •3-5. Los elementos de una armadura están conectados a la placa de refuerzo. Si las fuerzas son concurrentes en el punto O, determine las magnitudes F y T para lograr el equilibrio. Considere   30°. 3-6. La placa de refuerzo está sometida a las fuerzas de cuatro elementos. Determine la fuerza en el elemento B y su orientación  adecuada para lograr el equilibrio. Las fuerzas son concurrentes en el punto O. Considere F  12 kN. 3 2m A O 8 kN A u y 45 D B B C T 5 kN C F Probs. 3-1/2 Probs. 3-5/6 3-3. Si la masa de la viga es de 3 Mg y su centro de masa se ubica en el punto G, determine la tensión desarrollada en los cables AB, BC y BD para lograr el equilibrio. 3-7. El suspensor de remolque AB está sometido a la fuerza de 50 kN ejercida por un remolcador. Determine la fuerza en cada una de las retenidas BC y BD, si el barco se mueve hacia delante con velocidad constante. *3-4. Si los cables BD y BC pueden soportar una fuerza de tensión máxima de 20 kN, determine la viga con la masa máxima que puede colgarse del cable AB de forma que ninguno de los cables falle. El centro de masa de la viga se localiza en el punto G. D C 30 FAB 20 A 45 B 30 D C A 50 kN G Probs. 3-3/4 C0 EST_H BBELER.indd 95 B Prob. 3-7 11/19/09 2:49:1 AM 96 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA *3-8. Los elementos AC y AB sostienen la caja de 300 lb. Determine la fuerza de tensión desarrollada en cada elemento. *3-12. Si el bloque B pesa 200 lb y el bloque C pesa 100 lb, determine el peso requerido del bloque D y el ángulo  para lograr el equilibrio. •3-9. Si los elementos AC y AB pueden soportar una tensión máxima de 300 lb y 250 lb, respectivamente, determine el peso máximo de la caja que pueden sostener con seguridad. •3-13. Si el bloque D pesa 300 lb y el bloque B pesa 275 lb, determine el peso requerido del bloque C y el ángulo  para lograr el equilibrio. 3 pies 3 4 pies B C u 4 pies 30 A B C D A Probs. 3-8/9 Probs. 3-12/13 3-10. Los elementos de una armadura están conectados a la placa de refuerzo. Si las fuerzas son concurrentes en el punto O, determine las magnitudes F y T para lograr el equilibrio. Considere   90°. 3-14. Determine el alargamiento en los resortes AC y AB cuando el bloque de 2 kg está en equilibrio. Los resortes se muestran en la posición de equilibrio. 3-11. La placa de refuerzo está sometida a las fuerzas de tres elementos. Determine la fuerza de tensión en el elemento C y su ángulo  adecuado para el equilibrio. Las fuerzas son concurrentes en el punto O. Considere F  8 kN. 3-15. La longitud no alargada del resorte AB es de 3 m. Si el bloque se mantiene en la posición de equilibrio mostrada, determine la masa del bloque en D. 3m y 4m C 9 kN 3m B kAC  20 N/m kAB  30 N/m F A 5 3 B 4 O A u x D C T Probs. 3-10/11 C0 EST_H BBELER.indd 9 Probs. 3-14/15 11/19/09 2:49:17 AM 97 3.3 SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES *3-16. Determine la tensión desarrollada en los cables CA y CB que se requiere para lograr el equilibrio del cilindro de 10 kg. Considere   40°. •3-17. Si el cable CB está sometido a una tensión que es dos veces mayor que la del cable CA, determine el ángulo  necesario para lograr el equilibrio del cilindro de 10 kg. Además, ¿cuáles son las tensiones en los cables CA y CB? *3-20. Determine la tensión desarrollada en cada cable usado para sostener el candelabro de 50 kg. •3-21. Si la tensión desarrollada en cada uno de los cuatro cables no debe exceder 600 N, determine la masa máxima del candelabro que se puede sostener. A 30 B A B 30 45 u 30° 3 C C D Probs. 3-16/17 Probs. 3-20/21 3-18. Determine las fuerzas necesarias en los cables AC y AB para mantener en equilibrio la bola D de 20 kg. Considere F  300 N y d  1 m. 쐍3-22. Una fuerza vertical P  10 lb se aplica a los extremos de la cuerda AB de 2 pies y del resorte AC. Si el resorte tiene una longitud no alargada de 2 pies, determine el ángulo  necesario para el equilibrio. Considere k  15 lb>pie. 3-19. La bola D tiene masa de 20 kg. Si se aplica una fuerza F  100 N de manera horizontal en el anillo localizado en A, determine la dimensión d necesaria para que la fuerza en el cable AC sea igual a cero. 3-23. Determine la longitud no alargada del resorte AC si una fuerza P  80 lb genera el ángulo   60° para la posición de equilibrio. La cuerda AB tiene 2 pies de longitud. Considere k  50 lb>pie. B 2 pies 2 pies 1.5 m B C u C k d A F A 2m D P Probs. 3-18/19 C0 EST_H BBELER.indd 97 Probs. 3-22/23 11/19/09 2:49:17 AM 98 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA *3-24. Si la cubeta pesa 50 lb, determine la tensión desarrollada en cada uno de los cables. •3-25. Determine el peso máximo de la cubeta que puede sostener el sistema de cables, de forma que ninguno de los cables desarrolle una tensión superior a 100 lb. *3-28. Dos esferas A y B tienen igual masa y están cargadas electrostáticamente de manera que la fuerza repulsiva que actúa entre ellas tiene una magnitud de 20 mN y está dirigida a lo largo de la línea AB. Determine el ángulo , la tensión en las cuerdas AC y BC y la masa m de cada esfera. C C 3 30 B u 30 A 5 4 B D 3 30 E 20 mN A 20 mN 30 Probs. 3-24/25 Prob. 3-28 3-26. Determine las tensiones desarrolladas en los cables CD, CB y BA y el ángulo  requerido para lograr el equilibrio del cilindro E de 30 lb y el cilindro F de 60 lb. 3-27. Si el cilindro E pesa 30 lb y   15°, determine el peso del cilindro F. •3-29. Cada una de las cuerdas BCA y CD puede soportar una carga máxima de 100 lb. Determine el peso máximo de la caja que puede ser levantado a velocidad constante, y el ángulo  necesario para mantener el equilibrio. No tome en cuenta el tamaño de la pequeña polea en C. D D A 30 C u C 45 u B 13 E 12 5 F A B Probs. 3-26/27 C0 EST_H BBELER.indd 98 Prob. 3-29 11/19/09 2:49:18 AM 99 3.3 SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES •3-30. Los resortes en el ensamble de cuerdas están originalmente sin estirar cuando   0°. Determine la tensión en cada cuerda cuando F  90 lb. No tome en cuenta el tamaño de las poleas localizadas en B y D. 3-31. Los resortes en el ensamble de cuerdas están originalmente estirados 1 pie cuando   0°. Determine la fuerza vertical F que debe aplicarse para que   30°. •3-33. El alambre forma un lazo y pasa sobre las pequeñas poleas en A, B, C y D. Si su extremo está sujeto a una fuerza P  50 N, determine la fuerza en el alambre y la magnitud de la fuerza resultante que ejerce el alambre sobre cada una de las poleas. 3-34. El cable forma un lazo y pasa sobre las pequeñas poleas en A, B, C y D. Si la fuerza resultante máxima que puede ejercer el cable sobre cada polea es de 120 N, determine la máxima fuerza P que puede aplicarse al cable según se muestra en la figura. 3 2 pies 2 pies B D B A k  30 lb/pie C A k  30 lb/pie 30 D 30 F E C P Probs. 3-30/31 Probs. 3-33/34 *3-32. Determine la magnitud y la dirección  de la fuerza de equilibrio FAB ejercida a lo largo del eslabón AB mediante el aparato de tracción que se muestra en la figura. La masa suspendida pesa 10 kg. No tome en cuenta el tamaño de la polea ubicada en A. 3-35. El cuadro pesa 10 lb y se le va a colgar del pasador liso B. Si una cuerda se une al marco en los puntos A y C, y la fuerza máxima que la cuerda puede soportar es de 15 lb, determine la cuerda más corta que puede usarse con seguridad. 75 B A C A 45 u B FAB Prob. 3-32 C0 EST_H BBELER.indd 99 9 pulg 9 pulg Prob. 3-35 11/22/09 10:04:2 AM 100 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA *3-36. El tanque de dimensiones uniformes y 200 lb de peso está suspendido por medio de un cable de 6 pies de longitud, el cual está unido a dos lados del tanque y pasa sobre la pequeña polea localizada en O. Si el cable puede unirse a los puntos A y B o C y D, determine cuál unión produce la menor tensión en el cable. ¿Cuál es el valor de esta tensión? •3-39. Se construye una “balanza” con una cuerda de 4 pies de longitud y el bloque D de 10 lb. La cuerda está fija a un pasador situado en A y pasa sobre dos pequeñas poleas en B y C. Determine el peso del bloque suspendido B si el sistema está en equilibrio. 1 pie F 3 A C O B 1 pie 1.5 pies C 2 pies D A D 2 pies B 2 pies Prob. 3-39 Prob. 3-36 •3-37. El peso de 10 lb se sostiene mediante la cuerda AC y el rodillo, así como por medio del resorte que tiene una rigidez k  10 lb>pulg y una longitud sin estirar de 12 pulg. Determine la distancia d a la que se ubica el peso cuando éste se encuentra en equilibrio. •*3-40. El resorte tiene una rigidez k  800 N>m y una longitud no alargada de 200 mm. Determine la fuerza en los cables BC y BD cuando el resorte se mantiene en la posición mostrada. 3-38. El peso de 10 lb se sostiene mediante la cuerda AC y el rodillo, así como por medio de un resorte. Si el resorte tiene una longitud sin estirar de 8 pulg y el peso está en equilibrio cuando d  4 pulg, determine la rigidez k del resorte. C 400 mm 12 pulg u B A k  800 N/m B 300 mm d k D 500 mm C A Probs. 3-37/38 C0 EST_H BBELER.indd 100 400 mm Prob. 3-40 11/19/09 2:49:19 AM 101 3.3 SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES •3-41. Un cable continuo con longitud total de 4 m se enrolla alrededor de las pequeñas poleas en A, B, C y D. Si cada resorte se estira 300 mm, determine la masa m de cada bloque. No tome en cuenta el peso de las poleas y las cuerdas. Los resortes están sin estirar cuando d  2 m. •3-43. La cubeta y su contenido tienen una masa de 60 kg. Si el cable BAC tiene 15 m de longitud, determine la distancia y de la polea ubicada en A necesaria para lograr el equilibrio. No tome en cuenta el tamaño de la polea. C k  500 N/m 2m 3 B y C B D A d A 10 m k  500 N/m Prob. 3-43 Prob. 3-41 3-42. Determine la masa de cada uno de los dos cilindros si éstos ocasionan una comba de s  0.5 m cuando se cuelgan de los anillos en A y B. Observe que cuando los cilindros se retiran, s  0. 2m 1m •*3-44. Una balanza se construye con la masa de 10 kg, el platillo P de 2 kg, y el arreglo de polea y cuerda. La cuerda BCA tiene 2 m de longitud. Si s  0.75 m, determine la masa D en el platillo. No tome en cuenta el tamaño de la polea. 2m 1.5 m D C A C 0 1.5 m 1.5 s k  100 N/m s m k  100 N/m A B B D P Prob. 3-42 C0 EST_H BBELER.indd 101 Prob. 3-44 11/22/09 10:04: 9 AM 102 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA PROBLEMAS CONCEPTUALES P3-1. El panel de concreto para pared se coloca en posición mediante los dos cables AB y AC de igual longitud. Establezca las dimensiones adecuadas y utilice un análisis de equilibrio para mostrar que cuanto más largos sean los cables, menor será la fuerza en cada cable. P3-3. El dispositivo DB se usa para jalar la cadena ABC a fin de mantener cerrada la puerta del contenedor. Si el ángulo entre AB y el segmento horizontal BC es de 30°, determine el ángulo entre DB y la horizontal de manera que se mantenga el equilibrio. 3 A B C D A B C P3-2. La armadura se eleva con el cable ABC que pasa a través de una polea muy pequeña en B. Si la armadura se coloca en una posición inclinada, demuestre que ésta siempre regresará a la posición horizontal para mantener el equilibrio. P3-4. Las cadenas AB y AC tienen la misma longitud y están sometidas a la fuerza vertical F. Si a AB la reemplaza una cadena más corta, muestre que esta cadena tendría que soportar una fuerza de tensión más grande que AB para poder mantener el equilibrio. B F A A C B C0 EST_H BBELER.indd 102 B¿ C 11/19/09 2:49:20 AM 103 3.4 SISTEMAS DE FUERZAS TRIDIMENSIONALES 3.4 Sistemas de fuerzas tridimensionales En la sección 3.1 establecimos que la condición necesaria y suficiente para el equilibrio de una partícula es ©F  0 (3-4) z En el caso de un sistema de fuerza tridimensional, como el de la figura 3-9, podemos descomponer las fuerzas en sus respectivas componentes i, j, k, de manera que ©Fx i  ©Fy j  ©Fzk  0. Para satisfacer esta ecuación requerimos i&X  0 i&Y  0 i&Z  0 F3 F2 (3-5) 3 y x F1 Estas tres ecuaciones establecen que la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula a lo largo de cada uno de los ejes coordenados debe ser igual a cero. Si las utilizamos, podremos resolver un máximo de tres incógnitas que por lo común se representan como ángulos o magnitudes de fuerzas los cuales se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Fig. 3-9 Procedimiento para el análisis Los problemas de equilibrio de fuerzas tridimensionales para una partícula pueden resolverse por el siguiente procedimiento. Diagrama de cuerpo libre. W • Establezca los ejes x, y, z en cualquier orientación adecuada. • Marque todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas conocidas y desconocidas sobre el diagrama. A • El sentido de una fuerza que tenga magnitud desconocida puede suponerse. Ecuaciones de equilibrio. • Use las ecuaciones escalares de equilibrio, ©Fx  0, ©Fy  0, ©Fz  0, en los casos en que sea fácil descomponer cada fuerza en sus componentes x, y, z. • Si la geometría tridimensional le parece difícil, entonces exprese primero cada fuerza como un vector cartesiano en el diagrama de cuerpo libre, sustituya esos vectores en ©F  0, y después iguale a cero las componentes i, j, k. • Si la solución para una fuerza da un resultado negativo, esto indica que el sentido de la fuerza es el inverso del mostrado en el diagrama de cuerpo libre. C0 EST_H BBELER.indd 10 FB FD FC C B D El anillo en A está sometido a la fuerza del gancho, así como a las fuerzas de cada una de las tres cadenas. Si el electroimán y su carga tienen un peso W, entonces la fuerza del gancho será W y las tres ecuaciones escalares de equilibrio pueden aplicarse al diagrama de cuerpo libre del anillo, a fin de determinar las fuerzas en las cadenas, FB, FC y FD. 11/19/09 2:49:21 AM 104 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EJEMPLO 3.5 Una carga de 90 lb está suspendida del gancho que se muestra en la figura 3-10a. Si la carga se sostiene mediante dos cables y un resorte con rigidez k  500 lb>pie, determine la fuerza presente en los cables y el alargamiento del resorte para lograr la posición de equilibrio. El cable AD se encuentra en el plano x-y y el cable AC está en plano x-z. Z C 5 3 4 k = 500 lbpie 30 y A B SOLUCIÓN 3 D El alargamiento del resorte se puede determinar una vez que se haya calculado la fuerza que hay en él. 90 lb x Diagrama de cuerpo libre. Se selecciona la conexión en A para el análisis del equilibrio puesto que las fuerzas presentes en los cables son concurrentes en este punto. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3-10b. (a) Ecuaciones de equilibrio. Por inspección, cada fuerza se puede separar fácilmente en sus componentes x, y, z y, por lo tanto, es posible aplicar directamente las tres ecuaciones escalares de equilibrio. Si consideramos las componentes dirigidas a lo largo de los ejes positivos como “positivas”, tenemos z FC 3 5 i&X  0; 4 30 A FD x 90 lb (b) Fig. 3-10 y FB i&Y  0; i&Z  0; &$ sen 30°  45  &#  0 (1) &"  0 (2) 90 lb  0 (3) &$ cos 30° 3 5   &# Al despejar FC de la ecuación (3), luego FD de la ecuación (1) y finalmente FB de la ecuación (2), se obtiene FC  150 lb Resp. FD  240 lb Resp. FB  207.8 lb Resp. Entonces, el alargamiento del resorte es &"  KS!" 207.8 lb  (500 lbpie)S!" S!"  0.416 pie Resp. NOTA: como los resultados para todas las fuerzas en los cables son positivos, cada uno de los cables se encuentra en tensión; es decir, jala desde el punto A como era de esperarse, figura 3-10b. C0 EST_H BBELER.indd 104 11/19/09 2:49:21 AM 105 3.4 SISTEMAS DE FUERZAS TRIDIMENSIONALES EJEMPLO 3.6 La lámpara de 10 kg que se muestra en la figura 3-11a está suspendida de tres cuerdas que tienen la misma longitud. Determine su mínima distancia vertical s medida desde el techo, si la fuerza desarrollada en cualquier cuerda no puede ser mayor que 50 N. z z 3 B B 600 mm A D 120 600 mm D A 120 C C T g T T s s x x y 10(9.81) N (a) y (b) Fig. 3-11 SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. Debido a la simetría, figura 3-11b, la distancia DA  DB  DC  600 mm. A partir de ©Fx  0 y ©Fy  0 se deduce que la tensión T en cada cuerda será la misma. Asimismo, el ángulo entre cada cuerda y el eje z es . Ecuación de equilibrio. Si aplicamos la ecuación de equilibrio a lo largo del eje z, con T  50 N, tenemos A&Z  0; 10(9.81) N  0 3[(50 N) cos ]  cos 1 98.1  49.16° 150 A partir del triángulo sombreado de la figura 3-11b, 600 mm S S  519 mm tan 49.16°  C0 EST_H BBELER.indd 105 Resp. 11/19/09 2:49:2 AM 106 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EJEMPLO 3.7 Determine la fuerza en cada cable que se ha usado para sostener la caja de 40 lb que se muestra en la figura 3-12a. z SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 3-12b, se considera el diagrama de cuerpo libre del punto A para “exponer” las tres fuerzas desconocidas en los cables. 4 pies B 4 pies 3 C 8 pies 3 pies D Ecuaciones de equilibrio. Primero expresaremos cada fuerza en su forma de vector cartesiano. Como las coordenadas de los puntos B y C son B(3 pies, 4 pies, 8 pies) y C(3 pies, 4 pies, 8 pies), tenemos A x F"  &" 4  y (a) 4j  32 0.318&" i F#  &# 4  3i 8k  42 82 0.424&" j 3i 4j 2  3 4 0.318&# i 0.848&" k 8k 2 5 82 0.424&# j 5 0.848&# k F$  &$i W   40k lb z El equilibrio requiere que iF  0; FB 0.318&" i FC 0.318&# i FD i&X  0; W  40 lb (b) Fig. 3-12 C0 EST_H BBELER.indd 10 F$ W  0 0.424&" j 0.424&# j 0.848&" k 0.848&#k &$i 40k  0 Al igualar a cero las respectivas componentes i, j, k resulta A x F# F" y i&Y  0; i&Z  0; 0.318&" 0.424&" 0.848&" &$  0 (1) 0.424&#  0 (2) 40  0 (3) 0.318&# 0.848&# La ecuación (2) establece que FB  FC. Entonces, al despejar FB y FC de la ecuación (3) y sustituir el resultado en la ecuación (1) para obtener FD, tenemos FB  FC  23.6 lb Resp. FD  15.0 lb Resp. 11/19/09 2:49:24 AM 107 3.4 SISTEMAS DE FUERZAS TRIDIMENSIONALES EJEMPLO 3.8 Determine la tensión en cada una de las cuerdas usadas para sostener el cajón de 100 kg que se muestra en la figura 3-13a. z D C SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. La fuerza en cada una de las cuerdas se puede determinar si investigamos el equilibrio del punto A. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3-13b. El peso de la caja es W  100(9.81)  981 N. 2m 60 135 2m 120 1m y A B x k  1.5 kN/m Ecuaciones de equilibrio. Cada fuerza incluida en el diagrama de cuerpo libre se expresa primero en forma vectorial cartesiana. Con la ecuación 2-9 para FC y el punto D(1 m, 2 m, 2 m) para FD, tenemos 3 (a) FB  &B i F#  &# cos 120°i  0.5&# i F$  &$ 4  &# cos 135°j 0.707&# j 1i 2k 2  1 0.333&$ i 0.5&# k 2j 2 &# cos 60°k 22 2 0.667&$ j z 5 FC 0.667&$ k FD W   981k N A Para el equilibrio se requiere que iF  0; F# F" &" i 0.5&# i 0.333&$ i y FB W  0 F$ 0.707&# j 0.667&$ j x 0.5&# k 0.667&$ k W  981 N (b) 981k  0 Fig. 3-13 Al igualar a cero las respectivas componentes i, j, k resulta i&X  0; i&Y  0; i&Z  0; 0.5&# 0.333&$  0 (1) 0.707&# 0.667&$  0 (2) 981  0 (3) &" 0.5&# 0.667&$ Al despejar FD de la ecuación (2) en términos de FC, y sustituir el resultado en la ecuación (3), se obtiene FC. Luego, se determina FD a partir de la ecuación (2). Por último, al sustituir los resultados en la ecuación (1) se obtiene FB. Por consiguiente, C0 EST_H BBELER.indd 107 FC  813 N Resp. FD  862 N Resp. FB  694 N Resp. 11/19/09 2:49:2 AM 108 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA PROBLEMAS FUNDAMENTALES Todas las soluciones a los problemas deben incluir un DCL. F3-10. Determine la tensión desarrollada en los cables AB, AC y AD. F3-7. Determine la magnitud de las fuerzas F1, F2, F3, de manera que la partícula se mantenga en equilibrio. z F3 3 z F2 5 4 D 3 5 3 5 4 45 F1 60º 60 4 3 600 N 120 x C y 30 B y 900 N A x 300 lb F3-7 F3-10 F3-8. Determine la tensión desarrollada en los cables AB, AC y AD. z D F3-11. La caja de 150 lb se sostiene mediante los cables AB, AC y AD. Determine la tensión en estos cables. 5 4 C 3 5 3 4 A y B x 900 lb C F3-8 2 pies 3 pies 3 pies B F3-9. Determine la tensión desarrollada en los cables AB, AC y AD. 2 pies 6 pies z D A C D 2m 1m A 2m x y 30 E B 600 N F3-9 C0 EST_H BBELER.indd 108 F3-11 11/19/09 2:49:28 AM 109 3.4 SISTEMAS DE FUERZAS TRIDIMENSIONALES PROBLEMAS Todas las soluciones a los problemas deben incluir un DCL. •3-45. Determine la tensión que hay en los cables para poder mantener la caja de 100 kg en la posición de equilibrio que se muestra en la figura. 3-46. Determine la masa máxima que puede tener la caja si la tensión desarrollada en cada cable no debe exceder 3 kN. *3-48. Determine la tensión desarrollada en los cables AB, AC y AD que se requiere para lograr el equilibrio de la caja de 300 lb. •3-49. Determine el peso máximo de la caja si la tensión desarrollada en cualquiera de los cables no debe exceder 450 lb. 3 z C z 1 pie 2m D C 2 pies B 2 pies 2 pies y A 3 pies 2m 2m 1 pie 2 pies 1m A 2.5 m B D y x x Probs. 3-48/49 Probs. 3-45/46 3-47. La grúa de brazos de corte se utiliza para llevar la red de pescado de 200 kg hacia el muelle. Determine la fuerza de compresión a lo largo de cada uno de los brazos AB y CB, y la tensión en el cable DB del cabestrante. Suponga que la fuerza presente en cada brazo actúa a lo largo de su eje. 3-50. Determine la fuerza necesaria en cada cable para sostener la plataforma de 3500 lb. Considere d  2 pies. 3-51. Determine la fuerza necesaria en cada cable para sostener la plataforma de 3500 lb. Considere d  4 pies. z z 3500 lb 5.6 m 4m A B 10 pies D 4m C A x 2m 2m D y 2 pies B 4 pies 3 pies x Prob. 3-47 C0 EST_H BBELER.indd 109 C 3 pies d 4 pies y Probs. 3-50/51 11/22/09 10:05:00 AM 110 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA *3-52. Determine la fuerza necesaria en cada uno de los tres cables para elevar el tractor cuya masa es de 8 Mg. 3-54. Si la masa de la maceta es de 50 kg, determine la tensión desarrollada en cada alambre para lograr el equilibrio. Considere x  1.5 m y z  2 m. 3-55. Si la masa de la maceta es de 50 kg, determine la tensión desarrollada en cada cable para lograr el equilibrio. Considere x  2 m y z  1.5 m. z z 3 C A 2m x D 3m z 3m D x A 6m B B y 1.25 m 1m C y 2m 1.25 m x Probs. 3-54/55 Prob. 3-52 *3-56. Los extremos de los tres cables están unidos a un anillo localizado en A, al borde de una placa uniforme de 150 kg. Determine la tensión necesaria en cada uno de los tres cables para lograr el equilibrio. •3-53. Determine la fuerza que actúa a lo largo del eje x de cada uno de los tres puntales necesarios para sostener el bloque de 500 kg. •3-57. Los extremos de los tres cables están unidos a un anillo localizado en A, al borde de una placa uniforme. Determine la masa máxima que puede tener la placa si cada uno de los cables puede soportar una tensión máxima de 15 kN. z z A D A C B 2m 10 m 2.5 m 2m x C D 1.25 m 3m 12 m 2m 4m y 0.75 m y B 6m 2m 6m 6m x Prob. 3-53 C0 EST_H BBELER.indd 110 Probs. 3-56/57 11/19/09 2:49:29 AM 111 3.4 SISTEMAS DE FUERZAS TRIDIMENSIONALES 3-58. Determine la tensión desarrollada en los cables AB, AC y AD que es necesaria para lograr el equilibrio del cilindro de 75 kg. 3-59. Si cada uno de los cables puede soportar una tensión máxima de 1000 N, determine la masa máxima del cilindro para que se pueda mantener el equilibrio. z 3-62. Una fuerza de F  100 lb mantiene en equilibrio a la caja de 400 lb. Determine las coordenadas (0, y, z) del punto A si la tensión en cada una de las cuerdas AC y AB es de 700 lb. 3-63. Si la tensión máxima permitida en los cables AB y AC es de 500 lb, determine la altura máxima z a la cual se puede elevar la caja de 200 lb. ¿Cuál es la fuerza horizontal F que debe aplicarse? Considere y  8 pies. B z 5 pies C 3m 2m 3 B 5 pies C 2m 1m 1m y 4 pies A 3m A D 4m x 1.5 m F z y x y Probs. 3-58/59 *3-60. La maceta de 50 kg está soportada en A por los tres cables que se muestran. Determine la fuerza que actúa en cada cable para lograr el equilibrio. Considere d  2.5 m. •3-61. Determine la altura d del cable AB de manera que la fuerza en los cables AD y AC tenga la mitad del valor de la fuerza del cable AB. ¿Cuál es la fuerza de cada cable para este caso? La maceta tiene una masa de 50 kg. z 2m 2m C Probs. 3-62/63 *3-64. El anillo delgado se puede ajustar verticalmente entre tres cables que tienen la misma longitud, de éstos se suspende un candelabro de 100 kg. Si el anillo permanece en el plano horizontal y z  600 mm, determine la tensión en cada uno de los cables. •3-65. El anillo delgado se puede ajustar verticalmente entre tres cables que tienen la misma longitud, de éstos se suspende un candelabro de 100 kg. Si el anillo permanece en el plano horizontal y la tensión en cada uno de los cables no debe exceder 1 kN, determine la distancia z mínima permisible que se requiere para lograr el equilibrio. z D 3m 0.5 m C 6m A B 120 D y 120 120 B y x 6m d z A x Probs. 3-60/61 C0 EST_H BBELER.indd 111 Probs. 3-64/65 11/19/09 2:49: 0 AM 112 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA 3-66. El cazo tiene un peso de 80 lb y se eleva mediante el uso de tres resortes, cada uno de los cuales tiene una longitud no alargada de lo  1.5 pies y una rigidez k  50 lb>pie. Determine la distancia vertical d desde el aro hasta el punto A necesaria para lograr el equilibrio. *3-68. Cada uno de los tres bloques exteriores tiene una masa de 2 kg, y el bloque central E tiene una masa de 3 kg. Determine la flecha s necesaria para el equilibrio del sistema. 80 lb B 1m 30 60 30 1m A 3 C A s d D 120 C 1.5 pies 120 120 B D E Prob. 3-68 Prob. 3-66 3-67. Se utilizan tres cables para sostener un anillo de 900 lb. Determine la tensión que se necesita en cada cable para lograr la posición de equilibrio. z •3-69. Determine el ángulo  requerido para que se desarrolle una fuerza igual en los brazos OB y OC. ¿Cuál es la fuerza en cada brazo si ésta se dirige a lo largo del eje del brazo? La fuerza F se encuentra en el plano x-y. Los soportes en A, B y C pueden ejercer fuerzas en cualquier dirección a lo largo de los brazos unidos. z F A O u x 4 pies y F = 100 lb B 120 3 pies D 120 120 120 y B 10 pies 120 5 pies 120 C A C x Prob. 3-67 C0 EST_H BBELER.indd 112 Prob. 3-69 11/19/09 2:49: 1 AM 113 REPASO DEL CAPÍTULO REPASO DEL CAPÍTULO Partícula en equilibrio Cuando una partícula está en reposo o se mueve con velocidad constante, se dice que está en equilibrio. Esto requiere que todas las fuerzas que actúan sobre la partícula formen una fuerza resultante que sea igual a cero. F2 F1 F2  iF  0 F4 F3 3 Para tomar en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, es necesario trazar su diagrama de cuerpo libre. Este diagrama es un perfil delineado de la partícula que muestra todas las fuerzas enlistadas con sus magnitudes y direcciones conocidas o desconocidas. Dos dimensiones Las dos ecuaciones escalares de equilibrio de fuerzas pueden aplicarse con referencia a un sistema coordenado x, y establecido. i&X  0 i&Y  0 u La fuerza de tensión desarrollada en un cable continuo que pasa sobre una polea sin fricción debe tener una magnitud constante a lo largo del cable para poder mantenerlo en equilibrio. Si el problema implica un resorte elástico lineal, entonces el alargamiento o la compresión s del resorte puede relacionarse con la fuerza aplicada a éste. T T El cable está en tensión &  KS z Tres dimensiones Si la geometría tridimensional es difícil de visualizar, la ecuación de equilibrio debe aplicarse con un análisis de vector cartesiano. Esto requiere expresar primero cada fuerza incluida en el diagrama de cuerpo libre como un vector cartesiano. Cuando las fuerzas se suman y se igualan a cero, las componentes i, j y k también son iguales a cero. iF  0 F3 F2 i&X  0 i&Y  0 i&Z  0 y x F1 C0 EST_H BBELER.indd 11 11/19/09 2:49: 1 AM 114 CAPÍTULO 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA PROBLEMAS DE REPASO 3-70. La caja de 500 lb se eleva usando las cuerdas AB y AC. Cada cuerda puede resistir una tensión máxima de 2500 lb antes de romperse. Si AB siempre permanece horizontal, determine el ángulo  mínimo con el que se puede levantar la caja. •3-73. Dos bolas cargadas eléctricamente, cada una con una masa de 0.15 g, están suspendidas de cuerdas delgadas de igual longitud. Determine la magnitud de la fuerza repulsiva horizontal F, que actúa sobre cada bola si la distancia medida entre ellas es r  200 mm. 3 C u 50 mm A F B 150 mm 150 mm –F A Prob. 3-70 F B r  200 mm Prob. 3-73 3-71. Los elementos de una armadura están articulados en la junta O. Determine la magnitud de F1 y su ángulo  necesarios para el equilibrio. Considere F2  6 kN. *3-72. Los elementos de una armadura están articulados en la junta O. Determine las magnitudes de F1 y F2 necesarias para el equilibrio. Considere  60°. 3-74. La lámpara tiene una masa de 15 kg y está sostenida mediante un poste AO y por medio de los cables AB y AC. Si la fuerza en el poste actúa a lo largo de su eje, determine las fuerzas requeridas en AO, AB y AC para mantener el equilibrio. z y A B 5 kN F2 4m 70 6m 30 O x O 2m u y C 1.5 m 1.5 m 5 3 4 7 kN F1 Probs. 3-71/72 C0 EST_H BBELER.indd 114 x Prob. 3-74 11/19/09 2:49: AM 115 PROBLEMAS DE REPASO 3-75. Determine la magnitud de P y los ángulos directores coordenados de F3 requeridos para el equilibrio de la partícula. Observe que F3 actúa en el octante mostrado. 3-78. Determine la fuerza necesaria en cada cable para sostener la carga de 500 lb. z D (1 pie, 7 pies, 4 pies) z F1  360 lb 8 pies P F2  120 lb 3 y 20 y 6 pies B C 6 pies 2 pies F4  300 lb F3  200 lb 2 pies A x x Prob. 3-75 *3-76. El anillo de tamaño insignificante está sometido a una fuerza vertical de 200 lb. Determine la máxima longitud l de la cuerda AC de manera que la tensión que actúa en AC sea de 160 lb. Además, ¿cuál es la fuerza que actúa en la cuerda AB? Sugerencia: use la condición de equilibrio para determinar el ángulo  requerido para la unión, luego determine l usando trigonometría aplicada a ¢ABC. u C B 40 l A Prob. 3-78 3-79. La junta de un marco espacial está sometido a cuatro fuerzas en los elementos. El elemento OA se encuentra en el plano x-y y el elemento OB en el plano y-z. Determine las fuerzas que actúan en cada elemento y que se requieren para obtener el equilibrio de la junta. 2 pies 200 lb Prob. 3-76 z •3-77. Determine las magnitudes necesarias de F1, F2 y F3 para que la partícula esté en equilibrio. F1 A z F3 F1 O 45 y B 40 60 F3 5 60 4 P F2 x C0 EST_H BBELER.indd 115 F2 800 lb 135 x 3 y 200 lb 200 lb Prob. 3-77 Prob. 3-79 11/19/09 2:49: AM La aplicación de fuerzas sobre los manerales de estas llaves de torsión producirá una tendencia a que cada llave gire en torno a su extremo. Es importante saber cómo calcular este efecto y, en algunos casos, ser capaz de simplificar el sistema para sus resultantes. C04 EST_H BBELER .indd 11 11/19/09 2:50:42 AM Resultantes de sistemas de fuerzas 4 OBJETIVOS DEL CAPÍTULO • Analizar el concepto del momento de una fuerza y mostrar cómo calcularla en dos y tres dimensiones. • Proporcionar un método para encontrar el momento de una fuerza con respecto a un eje específico. z • Definir el momento de un par. • Presentar métodos para determinar las resultantes de sistemas de fuerzas no concurrentes. O • Indicar cómo reducir una carga simple distribuida a una fuerza d resultante con una ubicación específica. F z 4.1 Momento de una fuerza, formulación escalar Cuando una fuerza se aplica a un cuerpo, ésta producirá una tendencia a que el cuerpo gire alrededor de un punto que no está en la línea de acción de la fuerza. Esta tendencia a girar se conoce en ocasiones como par de torsión, pero con mayor frecuencia se denomina el momento de una fuerza o simplemente el momento. Por ejemplo, considere una llave de torsión que se usa para desenroscar el perno de la figura 4-1a. Si se aplica una fuerza al maneral de la llave ésta tenderá a girar el perno alrededor del punto O (o el eje z). La magnitud del momento es directamente proporcional a la magnitud de F y a la distancia perpendicular o brazo de momento d. Cuanto más grande sea la fuerza o más grande sea el brazo de momento, mayor será el momento o el efecto de giro. Observe que si se aplica la fuerza F a un ángulo  Z 90°, figura 4-1b, entonces será más difícil girar el perno puesto que el brazo de momento d¿  d sen  será menor que d. Si se aplica F a lo largo de la llave, figura 4-1c, su brazo de momento será igual a cero puesto que la línea de acción de F intersecará el punto O (el eje z). En consecuencia, el momento de F respecto de O también es cero y no puede ocurrir el giro. C04 EST_H BBELER .indd 117 (a) O d d¿  d sen u u F (b) z O F (c) Fig. 4-1 11/22/09 10:05:57 AM 118 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS Ahora podemos generalizar el análisis anterior y considerar la fuerza F y el punto O que se encuentran en un plano sombreado como se muestra en la figura 4-2a. El momento MO con respecto al punto O, o con respecto a un eje que pase por O y sea perpendicular al plano, es una cantidad vectorial puesto que tiene magnitud y dirección específicas. Eje de momento MO F d Magnitud. La magnitud de MO es O d 4 (4-1) donde d es el brazo de momento o distancia perpendicular desde el eje en el punto O hasta la línea de acción de la fuerza. Las unidades de la magnitud del momento son el producto de la fuerza multiplicada por la distancia, es decir, N # m o lb # pie. MO F -/  &D Sentido de rotación (a) O Dirección. La dirección de MO está definida por su eje de momento, el cual es perpendicular al plano que contiene la fuerza F, y por su brazo de momento d. Para establecer el sentido de dirección de MO se utiliza la regla de la mano derecha. De acuerdo con esta regla, el curveo natural de los dedos de la mano derecha cuando éstos se doblan sobre la palma representa la tendencia para la rotación causada por el momento. Cuando se realiza esta acción, el pulgar de la mano derecha dará el sentido de la dirección de MO, figura 4-2a. Observe que, en tres dimensiones, el vector de momento se ilustra mediante una flecha curva alrededor de una flecha. En dos dimensiones, este vector se representa sólo con la flecha curva como en la figura 4-2b. Como en este caso el momento tenderá a causar una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el vector de momento se dirige en realidad hacia fuera de la página. (b) Fig. 4-2 y F2 F1 M2 d2 M1 O d3 M 3 F3 Fig. 4-3 C04 EST_H BBELER .indd 118 d1 x Momento resultante. Para problemas bidimensionales, donde todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y, figura 4-3, el momento resultante (MR)o con respecto al punto O (el eje z) puede determinarse al encontrar la suma algebraica de los momentos causados por todas las fuerzas en el sistema. Como convención consideraremos de manera general los momentos positivos como en sentido contrario al de las manecillas del reloj por estar dirigidos a lo largo del eje positivo z (fuera de la página). Los momentos en el sentido de las manecillas del reloj serán negativos. Al hacer esto, el sentido de dirección de cada momento puede representarse mediante un signo de más o de menos. Por lo tanto, si se utiliza esta convención de signos, el momento resultante en la figura 4-3 es a (-2)/  i&D; (-2)/  &1D1 &2D2 &3D3 Si el resultado numérico de esta suma es un escalar positivo, (MR)o será un momento en sentido contrario al de las manecillas del reloj (fuera de la página); y si el resultado es negativo, (MR)o será un momento en el sentido de las manecillas del reloj (dentro de la página). 11/19/09 2:50:4 AM 4.1 MOMENTO DE UNA FUERZA, FORMULACIÓN ESCALAR 119 EJEMPLO 4.1 Para cada caso ilustrado en la figura 4-4, determine el momento de la fuerza con respecto al punto O. SOLUCIÓN (ANÁLISIS ESCALAR) La línea de acción de cada fuerza está extendida como una línea discontinua para establecer el brazo de momento d. También se ilustra la tendencia de rotación del elemento causada por la fuerza. Además, la órbita de la fuerza respecto de O se muestra con una flecha curva de color azul. Entonces, Fig. 4-4a MO  (100 N)(2 m)  200 N # mb Resp. Fig. 4-4b MO  (50 N)(0.75 m)  37.5 N # mb Resp. Fig. 4-4c MO  (40 lb)(4 pies  2 cos 30° pie)  229 lb # pieb Resp. Fig. 4-4d MO  (60 lb)(1 sen 45° pie)  42.4 lb # pied Resp. Fig. 4-4e MO  (7 kN)(4 m  1 m)  21.0 kN # md Resp. 100 N 4 O 2m (a) 2 pies 2m 30 40 lb O O 0.75 m 4 pies 2 cos 30 pie 50 N (b) (c) 2m 1m 7 kN 3 pies 4m O 1 pie 45 1 sen 45 pie 60 lb O (d) (e) Fig. 4-4 C04 EST_H BBELER .indd 119 11/19/09 2:50:44 AM 120 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS EJEMPLO 4.2 Determine el momento resultante de las cuatro fuerzas que actúan sobre la barra de la figura 4-5 con respecto al punto O. SOLUCIÓN Si se supone que los momentos positivos actúan en la dirección k, es decir, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, tenemos y 50 N 2m 2m 60 N a -2/  i&D; x 30 O -2/  20 N 3m 40 N4 m -2/  4 40 N Fig. 4-5 50 N2 m 60 N0 20 N3 sen 30° m 3 cos 30° m 334 N  m  334 N  m b Resp. Para este cálculo, observe cómo se establecen las distancias de brazo de momento para las fuerzas de 20 N y 40 N desde las líneas de acción extendidas (línea discontinua) de cada una de estas fuerzas. FH F MA  FdA A dA B O FN Como se ilustra en los problemas de ejemplo, el momento de una fuerza no siempre ocasiona rotación. Por ejemplo, la fuerza F tiende a girar la viga en el sentido de las manecillas del reloj en torno a su soporte en A con un momento MA  FdA. Si se quitara el soporte en B se daría la rotación real. C04 EST_H BBELER .indd 120 Para poder sacar el clavo se requerirá que el momento de FH con respecto al punto O sea más grande que el momento de la fuerza FN con respecto a O que se necesita para sacar el clavo. 11/19/09 2:50:45 AM 4.2 PRODUCTO CRUZ 121 4.2 Producto cruz El momento de una fuerza se formulará mediante vectores cartesianos en la siguiente sección. Sin embargo, antes de hacerlo, es necesario ampliar nuestro conocimiento del álgebra vectorial e introducir el método del producto cruz de la multiplicación vectorial. El producto cruz de dos vectores A y B da como resultado el vector C, el cual se escribe CAB (4-2) y se lee “C es igual a A cruz B”. Magnitud. La magnitud de C se define como el producto de las magnitudes de A y B y el seno del ángulo  entre sus colas (0° …  … 180°). Así, C  AB sen . 4 Dirección. El vector C tiene una dirección perpendicular al plano que contiene a A y B de tal manera que C se especifica mediante la regla de la mano derecha; es decir, al cerrar los dedos de la mano derecha desde el vector A (cruz) hacia el vector B, el pulgar señala entonces la dirección de C, como se muestra en la figura 4-6. Dado que se conoce la magnitud y la dirección de C, podemos escribir C  A  B  (AB sen )uC (4-3) donde el escalar AB sen  define la magnitud de C y el vector unitario uC define la dirección de C. Los términos de la ecuación 4-3 se ilustran de manera gráfica en la figura 4-6. CAB uC A u B Fig. 4-6 C04 EST_H BBELER .indd 121 11/19/09 2:50:4 AM 122 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS CAB Leyes de operación • La ley conmutativa no es válida, es decir A  B Z B  A. En vez de eso, B A  B  B  A A Esto se muestra en la figura 4-7 por la regla de la mano derecha. El producto cruz B  A produce un vector que tiene la misma magnitud pero actúa en dirección opuesta a C; esto es, B  A  C. B A • Si el producto cruz se multiplica por un escalar a, obedece la ley asociativa: a(A  B)  (aA)  B  A  (aB)  (A  B)a CBA 4 Esta propiedad es fácil de demostrar puesto que la magnitud del vector resultante ( | a | AB sen ) y su dirección son las mismas en cada caso. Fig. 4-7 • El producto cruz de vectores también obedece la ley distributiva de la suma, A  (B  D)  (A  B)  (A  D) z • La demostración de esta identidad se deja como ejercicio (vea el problema 4-1). Es importante observar que debe mantenerse el orden adecuado de los productos cruz, dado que no son conmutativos. kij j y i Formulación vectorial cartesiana. La ecuación 4-3 puede usarse para encontrar el producto cruz de cualquier par de vectores unitarios cartesianos. Por ejemplo, para determinar i  j, la magnitud del vector resultante es (i )( j)(sen 90°)  (1)(1)(1)  1, y su dirección se determina por la regla de la mano derecha. Como se muestra en la figura 4-8, el vector resultante señala en la dirección k. Así, i  j  (1)k. Del mismo modo, x Fig. 4-8 i j k i  j  Fig. 4-9 C04 EST_H BBELER .indd 122 k j  k k i i  j i j k k i  j  j k i i j k i  0 j  0 k 0 Estos resultados no deben memorizarse; antes bien, entender de manera clara cómo se obtiene cada uno cuando se emplean la regla de la mano derecha y la definición del producto cruz. El esquema sencillo que se muestra en la figura 4-9 ayuda a obtener los mismos resultados cuando se requiere. Si el círculo se construye como se muestra, entonces, al “cruzar” dos vectores unitarios en sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor del círculo, se obtiene el tercer vector unitario positivo; por ejemplo, k  i  j. Al “cruzar” en el sentido de las manecillas del reloj, se obtiene un vector unitario negativo; por ejemplo, i  k  j. 11/19/09 2:50:47 AM 4.2 PRODUCTO CRUZ 123 Considere ahora el producto cruz de dos vectores generales A y B los cuales se expresan en forma vectorial cartesiana. Tenemos A B  ! X i !Y j ! Z k "X i "Y j "Z k  ! X"Xi i ! X"Yi j ! X"Zi k ! Y"Xj i ! Y"Yj j ! Y"Zj k ! Z"Xk i ! Z"Yk j ! Z"Zk k Al realizar las operaciones de productos cruz y combinar términos resulta A B  !Y"Z !Z"Yi !X"Z !Z"Xj !X"Y !Y"Xk (4-4) Esta ecuación también puede escribirse en una forma de determinante más compacta como A i B  !X "X j !Y "Y k !Z "Z 4 (4-5) Así, para determinar el producto cruz de dos vectores cartesianos A y B cualesquiera, es necesario desarrollar un determinante cuya primera fila de elementos conste de los vectores unitarios i, j y k y cuyas segunda y tercera filas representen las componentes x, y, z de los dos vectores A y B, respectivamente.* *Un determinante con tres filas y tres columnas se puede desarrollar si se usan tres menores, cada uno de los cuales se multiplica por uno de los tres términos en la primera fila. Hay cuatro elementos en cada menor, por ejemplo, A11 A21 A12 A22 Por definición, esta notación determinante representa los términos (A11A22  A12A21), lo cual es simplemente el producto de los dos elementos de la flecha inclinada hacia abajo y a la derecha (A11A22) menos el producto de los dos elementos de la flecha inclinada hacia abajo y hacia la izquierda (A12A21). Para un determinante de 3  3, como el de la ecuación 4-5, los tres menores se pueden generar de acuerdo con el siguiente esquema: i Ax Bx j Ay By k AZ BZ Para el elemento j: i Ax Bx j Ay By k AZ BZ Para el elemento k: i Ax Bx j Ay By k AZ BZ Para el elemento i: Recuerde el signo negativo Al sumar los resultados y tomar nota de que el elemento j debe incluir el signo menos se obtiene la forma desarrollada de A  B dada en la ecuación 4-4. C04 EST_H BBELER .indd 12 11/19/09 2:50:48 AM 124 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS Eje de momento MO Momento de una fuerza, formulación vectorial El momento de una fuerza F con respecto al punto O, o realmente con respecto al eje del momento que pasa por O y es perpendicular al plano que contiene a O y a F, figura 4-10a, puede expresarse por el producto cruz vectorial, a saber, O r A 4.3 F MO  r  F (4-6) Aquí r representa un vector de posición trazado desde O hasta cualquier punto que se encuentre sobre la línea de acción de F. Ahora mostraremos que en realidad el momento MO, al ser determinado por este producto cruz, tiene la magnitud y la dirección adecuadas. 4 Eje de momento Magnitud. La magnitud del producto cruz se define con la ecuaMO d u r u O r A ción 4-3 como MO  rF sen , donde el ángulo  se mide entre las colas de r y F. Para establecer este ángulo, se debe tratar a r como un vector deslizante, de manera que  se pueda construir correctamente; figura 4-10b. Como el brazo de momento d  r sen , entonces MO  rF sen   F(r sen )  Fd F lo que concuerda con la ecuación 4-1. (b) Dirección. La dirección y el sentido de MO en la ecuación 4-6 están determinados mediante la regla de la mano derecha, tal como se aplica ésta al producto cruz. Así, al deslizar r a la posición de la línea discontinua y cerrar los dedos de la mano derecha de r hacia F, “r cruz F”, el pulgar está dirigido hacia arriba o perpendicularmente al plano que contiene a r y a F, esto es, en la misma dirección que MO, el momento de la fuerza respecto al punto O, figura 4-10b. Observe que el “curveo” de los dedos como el curveo alrededor del vector momento, indica el sentido de rotación causado por la fuerza. Como el producto cruz no obedece la ley conmutativa, es importante conservar el orden de r  F para producir el sentido correcto de la dirección para MO. Fig. 4-10 MO  r1  F  r2  F  r3  F O r3 r2 r1 Línea de acción Fig. 4-11 C0 EST_HIBBELER .indd 12 F Principio de transmisibilidad. A menudo, la operación del producto cruz se usa en tres dimensiones porque no se requiere la distancia perpendicular o el brazo de momento desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza. En otras palabras, podemos usar cualquier vector de posición r medido desde el punto O hasta cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza F, figura 4-11. Así, MO  r1  F  r2  F  r3  F Como F se puede aplicar en cualquier punto a lo largo de su línea de acción y aún así crear el mismo momento con respecto al punto O, entonces F puede considerarse un vector deslizante. Esta propiedad se llama principio de transmisibilidad de una fuerza. 12/1/09 2: 1: AM 125 4.3 MOMENTO DE UNA FUERZA, FORMULACIÓN VECTORIAL Formulación vectorial cartesiana. Si establecemos ejes Eje de momento coordenados x, y, z, el vector posición r y la fuerza F pueden expresarse como vectores cartesianos, figura 4-12a. Al aplicar la ecuación 4-5, tenemos M/  r i F  RX &X j RY &Y z F MO r k RZ &Z y O (4-7) x (a) donde rx, ry, rz z representan las componentes x, y, z del vector de posición trazado desde el punto O hasta cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza Fz 4 F Fx, Fy, Fz representan las componentes x, y, z del vector fuerza rz B Fy r rx Si se desarrolla el determinante, como en la ecuación 4-4 tenemos O ry A M/  RY&Z RZ&Yi RX&Z RZ&Xj RX&Y RY&Xk (4-8) y Fx C x (b) Fig. 4-12 El significado físico de esas tres componentes de momento resulta evidente al estudiar la figura 4-12b. Por ejemplo, la componente i de MO puede determinarse a partir de los momentos de Fx, Fy y Fz con respecto al eje x. La componente Fx no genera un momento o tendencia a girar con respecto al eje x puesto que esta fuerza es paralela al eje x. La línea de acción de Fy pasa por el punto B y entonces la magnitud del momento de Fy con respecto al punto A sobre el eje x es rzFy. Por la regla de la mano derecha, esta componente actúa en la dirección i negativa. De igual forma, Fz pasa por el punto C y por lo tanto aporta una componente de momento de ryFzi con respecto al eje. Así, (MO)x  (ryFz  rzFy) como se muestra en la ecuación 4-8. Como ejercicio, establezca las componentes j y k de MO de esta manera y demuestre que en realidad la forma desarrollada del determinante, ecuación 4-8, representa el momento de la fuerza respecto del punto O. Una vez determinada MO observe que siempre será perpendicular al plano sombreado en azul que contiene los vectores r y F, figura 4-12a. z F3 F1 r3 r1 MRO F2 r2 Momento resultante de un sistema de fuerzas. Si un O sistema de fuerzas actúa sobre un cuerpo, figura 4-13, el momento resultante de las fuerzas respecto al punto O puede ser determinado mediante la adición del momento de cada fuerza. Esta resultante se puede escribir simbólicamente como y x M2/  ir C04 EST_H BBELER .indd 125 F (4-9) Fig. 4-13 11/19/09 2:50:50 AM 126 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS EJEMPLO 4.3 Determine el momento producido por la fuerza F que se muestra en la figura 4-14a, respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano. z SOLUCIÓN A Como se muestra en la figura 4-14a, puede usarse rA o bien rB para determinar el momento respecto al punto O. Estos vectores de posición son 12 m F  2 kN uAB rA  {12k} m O x 4 12 m y rB  {4i  12j} m La fuerza F expresada como un vector cartesiano es B 4m y F  &u!"  2 kN4 (a)  0.4588i 4i 4 m2 1.376j 12j 12k m 12 m2  12 m2 5 1.376k kN Por lo tanto M /  r! i F  0 0.4588  [0( 1.376) j 0 1.376 12(1.376)]i [0(1.376)   16.5i k 12 1.376 [0( 1.376) 12(0.4588)] j 0(0.4588)]k Resp. 5.51j kN„m z o bien M /  r" F  A rA x MO   16.5i rB B (b) Fig. 4-14 C04 EST_H BBELER .indd 12  [12( 1.376) F O i 4 0.4588 j 12 1.376 k 0 1.376 0(1.376)]i [4( 1.376) [4(1.376) 12(0.4588)]k 5.51j kN„m 0(0.4588)] j Resp. y NOTA: como se muestra en la figura 4-14b, MO actúa perpendicular al plano que contiene a F, rA y rB. Después de trabajar con este problema a partir de MO  Fd, observe la dificultad que puede surgir al obtener el brazo de momento d. 11/19/09 2:50:5 AM 127 4.3 MOMENTO DE UNA FUERZA, FORMULACIÓN VECTORIAL EJEMPLO 4.4 Dos fuerzas actúan sobre la barra en la figura 4-15a. Determine el momento resultante que generan con respecto al soporte en O. Exprese el resultado como un vector cartesiano. z z F1  {60i  40j  20k} lb y rB x 4 pies 4 B B 5 pies A y 2 pies x rA O A O F1 F2 F2  {80i  40j  30k} lb (b) (a) SOLUCIÓN Los vectores de posición están dirigidos desde el punto O hacia cada fuerza, como se muestra en la figura 4-15b. Esos vectores son z MRO = {30i - 40j + 60k} lb · pie g 39.8 rA  {5j} pie rB  {4i  5j  2k} pie a67.4 Por lo tanto, el momento resultante con respecto a O es M2/  ir  r!  Fig. 4-15 F1 r" j 5 40  [520 F3 k 0 20 040]i [5 30  30i y x (c) F i 0 60 b 121 O 40j i 4 80 j 5 40 [0]j  240]i k 2 30 [040 (5) 60]k [4 30 ( 2)80]j [440 60k lb  pie 580]k Resp. NOTA: este resultado se presenta en la figura 4-15c. Los ángulos directores coordenados se determinaron a partir del vector unitario para MRo. Tenga en cuenta que las dos fuerzas tienden a ocasionar que la barra gire con respecto al eje de momento en la manera que muestra la flecha curva sobre el vector de momento. C04 EST_H BBELER .indd 127 11/19/09 2:50:55 AM 128 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS F1 F 4.4 Un concepto que se usa a menudo en mecánica es el principio de momentos, al cual también se le llama a veces teorema de Varignon puesto que originalmente lo desarrolló el matemático francés Varignon (1654-1722). El principio establece que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto al punto. Este teorema puede probarse fácilmente por el producto cruz, puesto que dicho producto obedece la ley distributiva. Por ejemplo, considere los momentos de la fuerza F y dos de sus componentes respecto del punto O, figura 4-16. Como F  F1  F2, tenemos F2 r O Fig 4-16 Fy 4 Principio de momentos F MO  r  F  r  1F1  F22  r  F1  r  F2 x Fx y d MO Para problemas en dos dimensiones, figura 4-17, podemos usar el principio de momentos para descomponer la fuerza en sus componentes rectangulares y después determinar el momento con un análisis escalar. Así, MO  Fxy  Fyx O Por lo general, este método es más sencillo que determinar el mismo momento con MO  Fd. Fig. 4-17 Puntos importantes • El momento de una fuerza crea la tendencia de un cuerpo a girar con respecto a un eje que pasa por un punto específico O. • Mediante la regla de la mano derecha, el sentido de rotación está indicado por la flexión de los dedos y el pulgar se dirige a lo largo del eje de momento, o línea de acción del momento. FFyy F Fx d O • La magnitud del momento se determina mediante MO  Fd, donde d se denomina brazo de momento y representa la distancia perpendicular más corta desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza. • En tres dimensiones, se usa el producto cruz para determinar el momento, es decir, MO  r  F. Recuerde que r está dirigido desde el punto O hacia cualquier punto sobre la línea de acción de F. • El principio de momentos establece que el momento de una El momento de la fuerza aplicada F con respecto al punto O es fácil de determinar si utilizamos el principio de momentos. Éste es simplemente MO  Fxd. C04 EST_H BBELER .indd 128 fuerza con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto al punto. Éste es un método muy conveniente para usarlo en dos dimensiones. 11/19/09 2:50:5 AM 129 4.4 PRINCIPIO DE MOMENTOS EJEMPLO 4.5 Determine el momento de la fuerza que se muestra en la figura 4-18a respecto del punto O. y 75 d dx  3 cos 30 m 45 30 F  5 kN 3m Fx  (5 kN) cos 45 45 dy  3 sen 30 m Fy  (5 kN) sen 45 30 O x (a) O 4 (b) SOLUCIÓN I El brazo de momento d en la figura 4-18a puede encontrarse por trigonometría. d  (3 m) sen 75°  2.898 m Así, MO  Fd  (5 kN)(2.898 m)  14.5 kN # mb Resp. Como la fuerza tiende a rotar u orbitar en el sentido de las manecillas del reloj respecto del punto O, el momento está dirigido hacia dentro de la página. SOLUCIÓN II En la figura 4-18b se indican las componentes x y y de la fuerza. Si consideramos los momentos en sentido contrario al de las manecillas del reloj como positivos, y aplicamos el principio de momentos, tenemos a -/  &XDY &YDX  5 cos 45° kN3 sen 30° m 5 sen 45° kN3 cos 30° m  14.5 kN  m  14.5 kN  mb Resp. Fx  (5 kN) sen 75 y SOLUCIÓN III x Los ejes x y y pueden establecerse paralelos y perpendiculares al eje de la varilla como se muestra en la figura 4-18c. Aquí Fx no produce momento con respecto al punto O puesto que su línea de acción pasa a través de este punto. Por lo tanto, 3m 45 30 a C04 EST_H BBELER .indd 129 -/  &Y DX  (5 sen 75° kN)(3 m)  14.5 kN  m  14.5 kN  mb 30 Fy  (5 kN) sen 75 O (c) Resp. Fig. 4-18 11/19/09 2:50:57 AM 130 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS EJEMPLO 4.6 La fuerza F actúa en el extremo de la ménsula de la figura 4-19a. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O. SOLUCIÓN I (ANÁLISIS ESCALAR) La fuerza se descompone en sus componentes x y y como se muestra en la figura 4-19b, entonces O a -/  400 sen 30° N0.2 m 0.2 m 400 cos 30° N0.4 m 98.6 N  m  98.6 N  m b  0.4 m 4 30 F = 400 N (a) o bien MO  {98.6k} N # m y O Resp. SOLUCIÓN II (ANÁLISIS VECTORIAL) x Si aplicamos un método vectorial cartesiano, los vectores de fuerza y posición mostrados en la figura 4-19c son 0.2 m 400 sen 30 N r  0.4i 0.4 m 400 cos 30 N 0.2j m F  400 sen 30°i (b)  200.0i 400 cos 30°j N 346.4j N Por lo tanto, el momento es y O M/  r x r 0.2 m  0i 30 (c) Fig. 4-19 0j i 0.4 200.0 j 0.2 346.4 [0.4 346.4   98.6k N  m 0.4 m C04 EST_H BBELER .indd 1 0 F  k 0 0  0.2200.0]k Resp. F observe que el análisis escalar (solución I) proporciona un método más conveniente que la solución II, puesto que la dirección del momento y el brazo de momento para cada componente de fuerza son fáciles de establecer. Por consiguiente, suele recomendarse el uso de este método para resolver problemas bidimensionales, en tanto que el análisis vectorial cartesiano se recomienda sólo para resolver problemas tridimensionales. NOTA: 11/19/09 2:50:59 AM 131 4.4 PRINCIPIO DE MOMENTOS PROBLEMAS FUNDAMENTALES F4-1. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O. F4-4. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O. 600 lb 20 4 pies 0.5 pie 3 pies O 45 5 pies 30 4 1pie O 600 lb F4-4 F4-1 F4-2. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O. F4-5. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O. No tome en cuenta el grosor del elemento. 100 N 3 50 N 5 100 mm 4 60 2m O 45 200 mm O 5m F4-2 100 mm F4-5 F4-3. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O. F4-6. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O. F  300 N 500 N 30 45 O 3m 0.3 m 45 0.4 m O F4-3 C04 EST_H BBELER .indd 1 1 F4-6 11/19/09 2:51:01 AM 132 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS F4-7. Determine el momento resultante producido por las fuerzas con respecto al punto O. F4-10. Determine el momento de la fuerza F con respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano. 500 N z 300 N O A F  500 N 45 2.5 m O B 3m x 1m 4 y 4m 2m 600 N F4-7 F4-10 F4-8. Determine el momento resultante producido por las fuerzas con respecto al punto O. F4-11. Determine el momento de la fuerza F con respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano. F1  500 N 0.125 m z 5 3 4 0.3 m F  120 lb A 1 pie 60 B O 4 pies 0.25 m 2 pies C y x F2  600 N A 4 pies O F4-8 F4-11 F4-9. Determine el momento resultante producido por las fuerzas con respecto al punto O. F4-12. Si F1  {100i  120j  75k} lb y F2  {200i  250j  100k} lb, determine el momento resultante producido por estas fuerzas con respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano. z 6 pies F2  200 lb 4 pies 6 pies 30 F1  300 lb 0 F1 O 3 pies O F2 5 pies A y x F4-9 C04 EST_H BBELER .indd 1 2 F4-12 11/22/09 10:0 :12 AM 133 4.4 PRINCIPIO DE MOMENTOS PROBLEMAS •4-1. Si A, B y D son vectores dados, demuestre la ley distributiva para el producto cruz, es decir, que A  (B  D)  (A  B)  (A  D). *4-8. El mango del martillo está sometido a la fuerza de F  20 lb. Determine el momento de esta fuerza respecto del punto A. 4-2. Demuestre la identidad del triple producto escalar. A # B  C  A  B # C. •4-9. Para poder sacar el clavo en B, la fuerza F ejercida sobre el mango del martillo debe producir un momento en el sentido de las manecillas del reloj de 500 lb # pulg respecto del punto A. Determine la magnitud requerida de la fuerza F. 4-3. Dados los tres vectores no nulos A, B y C, demuestre que si A # (B  C)  0, los tres vectores deben encontrarse en el mismo plano. *4-4. Dos hombres ejercen fuerzas de F  80 lb y P  50 lb sobre las cuerdas. Determine el momento de cada fuerza respecto de A. ¿De qué forma girará el poste, en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario? •4-5. Si el hombre en B ejerce una fuerza de P  30 lb sobre su cuerda, determine la magnitud de la fuerza F que el hombre en C debe ejercer para evitar que el poste gire, es decir, de manera que el momento resultante de ambas fuerzas con respecto a A sea cero. F 30 4 5 pulg 18 pulg A B 6 pies P Probs. 4-8/9 F 45 5 3 12 pies B 4 C A 4-10. El cubo de la rueda se puede unir al eje con excentricidad negativa (izquierda) o positiva (derecha). Si la llanta está sometida a cargas normal y radial como las que se muestran en la figura, determine en ambos casos el momento resultante de esas cargas con respecto al punto O localizado sobre el eje. Probs. 4-4/5 4-6. Si   45°, determine el momento producido por la fuerza de 4 kN respecto del punto A. 4-7. Si el momento producido por la fuerza de 4 kN respecto al punto A es de 10 kN # m en el sentido de las manecillas del reloj, determine el ángulo , donde 0° …  … 90°. 0.05 m O 0.05 m O 0.4 m 0.4 m 3m A 0.45 m 800 N u 4 kN Probs. 4-6/7 C04 EST_H BBELER .indd 1 800 N 4 kN 4 kN Caso 1 Caso 2 Prob. 4-10 11/19/09 2:51:02 AM 134 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS 4-11. El elemento está sometido a una fuerza de F  6 kN. Si   45°, determine el momento producido por F respecto al punto A. *4-12. Determine el ángulo  (0° …  … 180°) de la fuerza F de manera que produzca un momento máximo y un momento mínimo respecto al punto A. Además encuentre cuáles son las magnitudes de estos momentos máximo y mínimo. •4-13. Determine el momento producido por la fuerza F respecto al punto A en términos del ángulo . Trace la gráfica de MA contra , donde 0° …  … 180°. 4-15. La fuerza del tendón de Aquiles de Ft  650 N se activa cuando el hombre trata de pararse sobre los dedos de sus pies. Cuando hace esto, cada uno de sus pies está sometido a una fuerza reactiva de Nf  400 N. Determine el momento resultante de Ft y Nf con respecto a la unión del tobillo A. *4-16. La fuerza del tendón de Aquiles Ft se activa cuando el hombre trata de pararse sobre los dedos de sus pies. Cuando hace esto, cada uno de sus pies está sometido a una fuerza reactiva de Nt  400 N. Si el momento resultante producido por las fuerzas Ft y Nt con respecto a la unión del tobillo A debe ser cero, determine la magnitud de Ft. Ft 1.5 m 4 5 u A F  6 kN 200 mm 6m A 65 mm Probs. 4-11/12/13 Nf  400 N 100 mm Probs. 4-15/16 4-14. Cuando un jugador de fútbol americano recibe un golpe en la protección facial de su casco, como se muestra en la figura, puede sufrir lesiones graves de cuello al activarse un mecanismo de guillotina. Determine el momento de la fuerza de la rodilla P  50 lb respecto del punto A. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza F del cuello, de manera que hubiera un momento con respecto a A que equilibrara las fuerzas? •4-17. Los dos muchachos empujan la reja con fuerzas de FA  30 lb y FB  50 lb como se muestra en la figura. Determine el momento de cada fuerza con respecto a C. ¿En qué forma girará la reja, en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario? No considere el espesor de la reja. 4-18. Dos muchachos empujan la reja como se muestra en la figura. Si el muchacho situado en B ejerce una fuerza de FB  30 lb, determine la magnitud de la fuerza FA que el ubicado en A debe ejercer para impedir que la reja gire. No considere el espesor de la reja. 2 pulg 60 6 pies 3 pies 4 A P  50 lb A C 4 pulg B FA 3 5 60 F 6 pulg 30 Prob. 4-14 C04 EST_H BBELER .indd 1 4 FB Probs. 4-17/18 11/19/09 2:51:0 AM 4.4 PRINCIPIO DE MOMENTOS 4-19. Las tenazas se usan para apretar los extremos del tubo de perforación P. Determine el par de torsión (momento) MP que la fuerza aplicada F  150 lb ejerce sobre el tubo con respecto al punto P como una función de . Grafique este momento MP contra  para 0 …  … 90°. *4-20. Las tenazas se usan para apretar los extremos del tubo de perforación P. Si se requiere un par de torsión (momento) con MP  800 lb # pie en P para hacer girar el tubo, determine la fuerza F del cable que debe aplicarse a las tenazas. Establezca que   30º. 135 *4-24. Para levantar el poste de alumbrado desde la posición mostrada, se aplica la fuerza F al cable. Si F  200 lb, determine el momento producido por F con respecto al punto A. •4-25. Para levantar el poste de alumbrado desde la posición mostrada, la fuerza F sobre el cable debe crear un momento con sentido contrario al de las manecillas del reloj de 1500 lb # pie con respecto al punto A. Determine la magnitud de F que debe aplicarse al cable. F B u 4 F 6 pulg P 20 pies C MP 75 A 43 pulg 10 pies Probs. 4-19/20 Probs. 4-24/25 •4-21. Determine la dirección  para 0° …  … 180° de la fuerza F, de manera que produzca el momento máximo respecto al punto A. Calcule este momento. 4-26. El segmento de pie está sometido al jalón de dos músculos flectores. Determine el momento de cada fuerza con respecto al punto de contacto A sobre el suelo. 4.22. Determine el momento de la fuerza F con respecto al punto A como una función de . Grafique los resultados de M (ordenada) contra  (abscisa) para 0° …  … 180°. 4-23. Determine el momento mínimo producido por la fuerza F respecto al punto A. Especifique el ángulo  (0° …  … 180°). F2  30 lb F1  20 lb 30 F  400 N 70 u 60 4 pulg 2m A 3m Probs. 4-21/22/23 C04 EST_H BBELER .indd 1 5 A 1 pulg 3.5 pulg Prob. 4-26 11/19/09 2:51:0 AM 136 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS 4-27. La fuerza de 70 N actúa sobre el extremo del tubo en B. Determine (a) el momento de esta fuerza con respecto al punto A y (b) la magnitud y la dirección de una fuerza horizontal aplicada en C, que produce el mismo momento. Considere que   60°. 4-31. La varilla del mecanismo de control de potencia para un avión ejecutivo, está sometida a una fuerza de 80 N. Determine el momento de esta fuerza con respecto al cojinete en A. *4-28. La fuerza de 70 N actúa sobre el extremo del tubo en B. Determine los ángulos  (0° …  … 180°) de la fuerza que producirá los momentos máximo y mínimo respecto al punto A. ¿Cuáles son las magnitudes de estos momentos? 20 A 60 80 N 4 150 mm A 0.9 m 70 N u B C 0.3 m 0.7 m Probs. 4-27/28 Prob. 4-31 •4-29. Determine el momento de cada fuerza con respecto al perno localizado en A. Considere FB  40 lb, FC  50 lb. 4-30. Si FB  30 lb y FC  45 lb, determine el momento resultante con respecto al perno localizado en A. *4-32. El cable de remolque ejerce una fuerza de P  4 kN en el extremo del aguilón de 20 m de longitud de la grúa mostrada. Si   30°, determine la posición x del gancho en A de modo que esta fuerza produzca un momento máximo con respecto al punto O. ¿Qué valor tiene este momento? •4-33. El cable de remolque ejerce una fuerza de P  4 kN en el extremo del aguilón de 20 m de longitud de la grúa mostrada. Si x  25 m, determine la posición  del aguilón de modo que se produzca un momento máximo con respecto al punto O. ¿Qué valor tiene este momento? 0.75 pies A 2.5 pies B 20 25 C B 30 FC P  4 kN FB 20 m O u 1.5 m A x Probs. 4-29/30 C04 EST_H BBELER .indd 1 Probs. 4-32/33 11/19/09 2:51:04 AM 137 4.4 PRINCIPIO DE MOMENTOS 4-34. Con el propósito de sostener la carretilla en la posición mostrada, la fuerza F debe producir un momento con sentido inverso al de las manecillas del reloj de 200 N # m con respecto al eje A. Determine la magnitud requerida de la fuerza F. 4-35. La carretilla y su contenido tienen una masa de 50 kg y un centro de masa en G. Si el momento resultante producido por la fuerza F y el peso con respecto al punto A debe ser igual a cero, determine la magnitud requerida de la fuerza F. *4-40. Determine el momento producido por la fuerza FB respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano. •4-41. Determine el momento producido por FC respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano. 4-42. Determine el momento resultante producido por las fuerzas FB y FC respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano. *4-36. La carretilla y su contenido tienen una masa de 50 kg y un centro de masa en G. Si F  100 N y el momento resultante producido por la fuerza F y el peso con respecto al eje en A es igual a cero, determine la masa de la carretilla y su contenido. z 4 A 6m FC  420 N B FB  780 N 30 F 0.65 m 2m G 0.5 m 2.5 m C A O 3m y x 1.2 m 0.3 m Probs. 4-34/35/36 Probs. 4-40/41/42 •4-37. Determine el momento producido por F1 respecto del punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano. 4-38. Determine el momento producido por F2 respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano. 4-43. Determine el momento producido por cada fuerza respecto del punto O localizado sobre la punta del taladro. Exprese los resultados como vectores cartesianos. z 600 mm 4-39. Determine el momento resultante producido por las dos fuerzas respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano. 300 mm 150 mm O z O 1 pie y F1  {20i  10j  30k} lb x 2 pies F2  {10i  30j  50k} lb A Probs. 4-37/38/39 C04 EST_H BBELER .indd 1 7 A B 150 mm 2 pies 3 pies FA  {40i  100j  60k} N y x FB  {50i  120j  60k} N Prob. 4-43 *4-44. Una fuerza de F  {6i  2j  1k} kN produce un momento de MO  {4i  5j  14k} kN # m respecto al origen de coordenadas, el punto O. Si la fuerza actúa en un punto que tiene una coordenada x de x  1 m, determine las coordenadas y y z. 11/22/09 10:0 :4 AM 138 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS •4-45. El ensamble de tubos está sometido a la fuerza de 80 N. Determine el momento de esta fuerza con respecto al punto A. 4-46. El ensamble de tubos está sometido a la fuerza de 80 N. Determine el momento de esta fuerza con respecto al punto B. *4-48. La fuerza F actúa en forma perpendicular al plano inclinado. Determine el momento producido por F con respecto al punto A. Exprese el resultado como un vector cartesiano. •4-49. La fuerza F actúa en forma perpendicular al plano inclinado. Determine el momento producido por F con respecto al punto B. Exprese el resultado como un vector cartesiano. z A z 400 mm 4 A B x 3m y 300 mm 3m 200 mm C F  400 N B x 250 mm C 4m y 40 Probs. 4-48/49 30 F  80 N Probs. 4-45/46 4-47. La fuerza F  {6i  8j  10k} N produce un momento con respecto al punto O de MO  {14i  8j  2k} N # m. Si esta fuerza pasa por un punto que tiene una coordenada x de 1 m, determine las coordenadas y y z del punto. Además, teniendo en cuenta que MO  Fd, determine la distancia perpendicular d desde el punto O hasta la línea de acción de F. 4-50. Al maneral de la llave de torsión se aplica una fuerza horizontal de 20 N en forma perpendicular. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados del momento producido por esta fuerza con respecto al punto O. z z F P 200 mm MO 75 mm z d A 20 N y O O 1m 15 y y x x Prob. 4-47 C04 EST_H BBELER .indd 1 8 Prob. 4-50 11/19/09 2:51:0 AM 139 4.5 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE ESPECÍFICO z 4.5 Momento de una fuerza con respecto a un eje específico F En ocasiones debe determinarse el momento producido por una fuerza con respecto a un eje específico. Por ejemplo, suponga que hay que aflojar la tuerca del punto O de la llanta de automóvil que se muestra en la figura 4-20a. La fuerza aplicada a la llave producirá una tendencia a que ésta y la tuerca giren en torno al eje de momento que pasa por O; sin embargo, la tuerca sólo puede girar alrededor del eje y. Por lo x tanto, para determinar el efecto de giro, sólo se necesita la componente y del momento, y el momento total producido no es importante. Para determinar esta componente, podemos usar un análisis escalar o vectorial. u O d dy My MO y Eje de momento (a) Fig. 4-20 4 Análisis escalar. Para usar un análisis escalar en el caso de la tuerca de la figura 4-20a, el brazo de momento o distancia perpendicular desde el eje hasta la línea de acción de la fuerza es dy  d cos . Así, el momento de F respecto al eje y es My  F dy  F(d cos ). De acuerdo con la regla de la mano derecha, My está dirigido a lo largo del eje y positivo como se muestra en la figura. En general, para cualquier eje a, el momento es -A  &DA (4-10) F A C04 EST_H BBELER .indd 1 9 B Si tiene un largo suficiente, la fuerza del cable F sobre el aguilón de esta grúa puede hacer que la grúa se voltee. Para investigar esto, el momento de la fuerza debe calcularse con respecto a un eje que pasa por la base de las piernas en A y B. 11/19/09 2:51:0 AM 140 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS z F u r O My u j x M0  r  F (b) y Análisis vectorial. Para encontrar el momento de la fuerza F en la figura 4-20b con respecto al eje y por medio de un análisis vectorial, primero debemos determinar el momento de la fuerza con respecto a cualquier punto O sobre el eje y, y aplicar la ecuación 4-7, MO  r  F. La componente My a lo largo del eje y es la proyección de MO sobre el eje y. Ésta puede encontrarse usando el producto punto analizado en el capítulo 2, de manera que My  j # MO  j # (r  F), donde j es el vector unitario para el eje y. Este método puede generalizarse considerando que ua es el vector unitario que especifica la dirección del eje a mostrada en la figura 4-21. Después, el momento de F con respecto al eje es Ma  ua # (r  F). Esta combinación se denomina triple producto escalar. Si los vectores se escriben en su forma cartesiana, tenemos Fig. 4-20 4 -A  [UAXi UAY j  UAX(RY&Z i UAZk]  RX &X RZ&Y) j RY &Y UAY(RX&Z k RZ &Z RZ&X) UAZ(RX&Y RY&X) Este resultado también se puede escribir en la forma de un determinante, con lo que es más fácil memorizarlo.* -A  uA  r F  UAX RX &X UAY RY &Y UAZ RZ &Z (4-11) donde a uax, uay, uaz representan las componentes x, y, z del vector unitario que define la dirección del eje a Ma rx, ry, rz representan las componentes x, y, z del vector de posición trazado desde cualquier punto O sobre el eje a hacia cualquier punto A sobre la línea de acción de la fuerza Fx, Fy, Fz representan las componentes x, y, z del vector fuerza MO  r  F O r ua A F Eje de proyección Fig. 4-21 Cuando Ma sea evaluado con la ecuación 4-11, generará un escalar positivo o negativo. El signo de este escalar indica el sentido de dirección de Ma a lo largo del eje a. Si es positivo, entonces Ma tendrá el mismo sentido que ua, mientras que si es negativo Ma actuará en sentido opuesto a ua. Una vez determinado Ma, podemos expresar Ma como un vector cartesiano, a saber, Ma  Maua (4-12) Los ejemplos siguientes ilustran aplicaciones numéricas de los conceptos descritos en esta sección. *Tome un momento para desarrollar esta determinante, a fin de demostrar que producirá el resultado presentado. C04 EST_H BBELER .indd 140 11/19/09 2:51:07 AM 4.5 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE ESPECÍFICO 141 Puntos importantes • El momento de una fuerza con respecto a un eje específico puede determinarse siempre que la distancia perpendicular da desde la línea de acción de la fuerza hasta el eje pueda ser determinada. Ma  Fda. • Si se usa el análisis vectorial, Ma  ua # (r  F), donde ua define la dirección del eje y r está dirigido desde cualquier punto sobre el eje hasta cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza. • Si Ma se calcula como un escalar negativo, entonces el sentido de dirección de Ma es opuesto a ua. 4 • El momento Ma expresado como un vector cartesiano se determina a partir de Ma  Maua. EJEMPLO 4.7 Determine el momento resultante de las tres fuerzas que se muestran en la figura 4-22 con respecto al eje x, al eje y y al eje z. z F2  50 lb SOLUCIÓN Una fuerza que es paralela a un eje coordenado o tiene una línea de acción que pasa por el eje no produce ningún momento o tendencia a girar alrededor de ese eje. Por lo tanto, al definir la dirección posi- F3  40 lb tiva del momento de una fuerza de acuerdo con la regla de la mano C derecha, como se muestra en la figura, tenemos 2 pies -X  (60 lb)(2 pies) (50 lb)(2 pies) 0  220 lb  pie Resp. B A O 2 pies F1  60 lb 2 pies 3 pies x y -Y  0 (50 lb)(3 pies) -Z  0 0 (40 lb)(2 pies)  (40 lb)(2 pies)  80 lb  pie 230 lb  pie Resp. Fig. 4-22 Resp. Los signos negativos indican que My y Mz actúan en las direcciones y y z, respectivamente. C04 EST_H BBELER .indd 141 11/19/09 2:51:08 AM 142 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS EJEMPLO 4.8 z 0.6 m Determine el momento MAB producido por la fuerza F que se muestra en la figura 4-23a, la cual tiende a girar la barra con respecto al eje AB. SOLUCIÓN 0.3 m A y C 0.4 m F = 300 N B 0.2 m (a) x 4 Para encontrar la solución, se considerará un análisis vectorial si usamos MAB  uB # (r  F) en vez de encontrar el brazo de momento o la distancia perpendicular desde la línea de acción de F hasta el eje AB. Ahora se identificará cada uno de los términos presentes en la ecuación. El vector unitario uB define la dirección del eje AB de la barra, figura 4-23b, donde u"  r" {0.4i 0.2j} m  r"  0.4 m2 0.2 m2  0.8944i 0.4472j El vector r está dirigido desde cualquier punto sobre el eje AB hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza. Por ejemplo, los vectores de posición rC y rD son los adecuados, figura 4-23b. (Aunque no se muestran en la figura, también se pueden usar rBC o rBD.) Por simplicidad, seleccionamos rD, donde z rD  {0.6i} m La fuerza es F  {300k} N A rC C MAB Al sustituir estos vectores en la forma de determinante, y desarrollarlos tenemos uB rD F y F  0.8944 0.6 0  0.8944[0 300 00] -!"  u"  r$ B D x 0.4472 0 0 0 0 300 (b) 0.4472[0.6 300 00] 0[0.60 00] Fig. 4-23  80.50 N  m Este resultado positivo indica que el sentido de MAB es en la misma dirección que uB. Al expresar MAB como un vector cartesiano resulta, M !"  -!"u"  80.50 N  m0.8944i  72.0i 36.0j N  m 0.4472j Resp. El resultado se muestra en la figura 4-23b. si el eje AB se define con un vector unitario dirigido desde B hacia A, entonces en la formulación anterior tendría que haberse usado uB. Esto conduciría a MAB  80.50 N # m. En consecuencia, MAB  MAB(uB), y se obtendría el mismo resultado. NOTA: C04 EST_H BBELER .indd 142 11/19/09 2:51:09 AM 143 4.5 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE ESPECÍFICO EJEMPLO 4.9 z Determine la magnitud del momento de la fuerza F con respecto al segmento OA del ensamble de tubos que se muestra en la figura 4-24a. 0.5 m D SOLUCIÓN El momento de F con respecto al eje OA se determina a partir de MOA  uOA # (r  F), donde r es un vector de posición que se extiende desde cualquier punto sobre el eje OA hasta cualquier punto 0.5 m sobre la línea de acción de F. Como se indica en la figura 4-24b, es posible usar rOD, rOC, rAD o rAC; sin embargo, aquí se considerará rOD porque esto simplificará los cálculos. x El vector unitario uOA, que especifica la dirección del eje OA, es u/!  0.3i 0.4j m r/!   0.6i R/! 0.3 m2 0.4 m2 F  300 N C B O 0.3 m 0.4 m 0.2 m 0.1 m y 4 A (a) 0.8j z y el vector de posición rOD es rOD  {0.5i  0.5k} m D F rOC rOD La fuerza F expresada como un vector cartesiano es rAD C O uOA r#$ F  &2 3 R#$  (300 N)   {200i rAC y x 0.4i 0.4j (0.4 m)2 200j A 0.2k m ( 0.4 m)2 (0.2 m)2 (b) 100k} N Fig. 4-24 Por lo tanto, -/!  u/!  r/$  0.6 0.8 0 0.5 0 0.5 200 200 100  0.6[0100  100 N  m C04 EST_H BBELER .indd 14 F ( 0.5 ) 200] 0.8[0.5100 ( 0.5 )200] 0 Resp. 11/22/09 10:07:05 AM 144 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS PROBLEMAS FUNDAMENTALES F4-13. Determine la magnitud del momento de la fuerza F  {300i  200j  150k} N con respecto al eje x. Exprese el resultado como un vector cartesiano. F4-16. Determine la magnitud del momento de la fuerza con respecto al eje y. F  {30i  20j  50k} N F4-14. Determine la magnitud del momento de la fuerza F  {300i  200j  150k} N con respecto al eje OA. Exprese el resultado como un vector cartesiano. z A 2m 3m z 4 y 4m x 0.3 m F4-16 O x y A 0.4 m F4-17. Determine el momento de la fuerza F  {50i  40j  20k} lb con respecto al eje AB. Exprese el resultado como un vector cartesiano. 0.2 m F z B F4-13/14 F C B 2 pies F4-15. Determine la magnitud del momento de la fuerza de 200 N con respecto al eje x. x A 3 pies y 4 pies F4-17 F4-18. Determine el momento de la fuerza F con respecto a los ejes x, y y z. Utilice un análisis escalar. z z F  200 N 0.3 m F  500 N 5 45 A 4 5 120 4 3 3 60 A 3m O 0.25 m O 2m x x y F4-15 C04 EST_H BBELER .indd 144 2m y F4-18 11/19/09 2:51:14 AM 145 4.5 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE ESPECÍFICO PROBLEMAS 4-51. Determine el momento producido por la fuerza F con respecto a la diagonal AF del bloque rectangular. Exprese el resultado como un vector cartesiano. *4-52. Determine el momento producido por la fuerza F con respecto a la diagonal OD del bloque rectangular. Exprese el resultado como un vector cartesiano. 4-55. Determine el momento de la fuerza F con respecto a un eje que pasa por A y C. Exprese el resultado como un vector cartesiano. z F  {6i  3j  10k} N z A B A 1.5 m G D C O x 4-54. Determine la magnitud de los momentos de la fuerza F con respecto a los ejes x, y, z. Resuelva el problema (a) mediante un método vectorial cartesiano, y (b) con un método escalar. 4 4 pies y 3m y F 3m x Probs. 4-51/52 3 pies C 2 pies B F  {4i  12j  3k} lb Probs. 4-54/55 •4-53. La herramienta se utiliza para cerrar las válvulas de gas con acceso difícil. Si se aplica la fuerza F a la manija, determine la componente del momento creado con respecto al eje z de la válvula. *4-56. Determine el momento producido por la fuerza F con respecto al segmento AB del ensamble de tubos AB. Exprese el resultado como un vector cartesiano. z 0.25 m F  {60i  20j  15k} N z F  {20i  10j  15k} N C 0.4 m 30 x y y 3m x Prob. 4-53 C04 EST_H BBELER .indd 145 4m A 4m B Prob. 4-56 11/19/09 2:51:15 AM 146 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS •4-57. Determine la magnitud del momento que ejerce la fuerza F con respecto al eje y de la flecha. Resuelva el problema con un método vectorial cartesiano y después con un método escalar. z *4-60. Determine la magnitud del momento producido por la fuerza de F  200 N con respecto al eje que contiene las bisagras de la puerta (el eje x). z y 0.5 m A B 250 mm O F  200 N x 2m 15 45 4 200 mm 2.5 m A B 50 mm y 1m 30 x Prob. 4-60 F  16 N Prob. 4-57 4-58. Si F  450 N, determine la magnitud del momento producido por esta fuerza con respecto al eje x. 4-59. La fricción en el manguito A puede proporcionar un momento de resistencia máximo de 125 N # m con respecto al eje x. Determine la magnitud máxima de la fuerza F que puede aplicarse de manera que el soporte no gire. •4-61. Si la tensión en el cable es F  140 lb, determine la magnitud del momento producido por esta fuerza con respecto al eje articulado CD, del panel 4-62. Determine la magnitud de la fuerza F en el cable AB a fin de producir un momento de 500 lb # pie con respecto al eje articulado CD, lo cual es necesario para mantener al panel en la posición mostrada. z z 4 pies F 45 A B B 60 100 mm x 150 mm 300 mm 6 pies D F C 6 pies 6 pies A y Probs. 4-58/59 C04 EST_H BBELER .indd 14 4 pies 60 y x Probs. 4-61/62 11/19/09 2:51:15 AM 4.5 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE ESPECÍFICO *4-68. El ensamble de tubos está asegurado a la pared mediante dos soportes. Si la maceta tiene un peso de 50 lb, determine la magnitud del momento producido por el peso con respecto al eje OA. 4-63. Se levanta el marco en forma de A a una posición perpendicular mediante la fuerza vertical de F  80 lb. Determine el momento de esta fuerza con respecto al eje y¿ que pasa por los puntos A y B cuando el marco está en la posición mostrada. •4-69. El ensamble de tubos está asegurado a la pared mediante dos soportes. Si la fuerza de fricción de ambos soportes puede resistir un momento máximo de 150 lb # pie, determine el máximo peso de la maceta que puede ser sostenido por el ensamble sin ocasionar que éste gire alrededor del eje OA. *4-64. Se levanta el marco en forma de A a una posición perpendicular mediante la fuerza vertical de F  80 lb. Determine el momento de esta fuerza con respecto al eje x cuando el marco está en la posición que se muestra. •4-65. Se levanta el marco en forma de A a una posición perpendicular mediante la fuerza vertical de F  80 lb. Determine el momento de esta fuerza con respecto al eje y cuando el marco está en la posición que se muestra. z 4 pies z A O 60 F A 3 pies 4 pies x 30 B y 15 6 pies 30 y Probs. 4-68/69 B 3 pies x¿ 4 3 pies C 3 pies 147 x y¿ Probs. 4-63/64/65 4-66. La llave de cabeza flexible está sometida a una fuerza P  16 lb, aplicada perpendicularmente a su maneral como se muestra en la figura. Determine el momento o el par de torsión aplicado a lo largo del eje vertical del perno ubicado en A. 4-67. Si se requiere un par de torsión o momento de 80 lb # pulg para aflojar el perno localizado en A, determine la fuerza P que debe aplicarse perpendicularmente al maneral de la llave de cabeza flexible. 4-70. Una fuerza vertical de F  60 N se aplica al maneral de la llave para tubos. Determine el momento que ejerce esta fuerza a lo largo del eje AB (eje x) del ensamble de tubos. Tanto la llave como el ensamble de tubos ABC. se encuentran en el plano x-y. Sugerencia: use un análisis escalar. 4-71. Determine la magnitud de la fuerza vertical F que actúa sobre el maneral de la llave si produce una componente de momento a lo largo del eje AB (eje x) de la tubería de (MA)x  {5i} N # m. Tanto la llave como el ensamble de tubos ABC, se encuentran en el plano x-y. Sugerencia: use un análisis escalar. z P A y 60 500 mm 10 pulg F 150 mm B A 0.75 pulg x Probs. 4-66/67 C04 EST_H BBELER .indd 147 45 200 mm C Probs. 4-70/71 11/19/09 2:51:1 AM 148 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS 4.6 F d F Fig. 4-25 4 B r A F F Momento de un par Un par se define como dos fuerzas paralelas que tienen la misma magnitud, con direcciones opuestas, y están separadas por una distancia perpendicular d, figura 4-25. Como la fuerza resultante es cero, el único efecto de un par es producir una rotación o tendencia a rotar en una dirección específica. Por ejemplo, imagine que usted conduce un automóvil con ambas manos en el volante y está haciendo un giro. Una mano empujará el volante mientras que la otra lo jalará, con esto el volante girará. El momento producido por un par se denomina momento de par. Podemos determinar su valor encontrando la suma de los momentos de ambas fuerzas del par con respecto a cualquier punto arbitrario. Por ejemplo, en la figura 4-26, los vectores de posición rA y rB están dirigidos desde el punto O hasta los puntos A y B que se encuentran sobre la línea de acción de F y F. Por lo tanto, el momento del par calculado con respecto a O es M  r" rA rB O Fig. 4-26 M F r! F  (r" r!) F Sin embargo, rB  rA  r o bien r  rB  rA, de forma que MrF (4-13) Este resultado indica que un momento de par es un vector libre, es decir, puede actuar en cualquier punto ya que M depende sólo del vector de posición r dirigido entre las fuerzas y no de los vectores de posición rA y rB, dirigidos desde el punto arbitrario O hacia las fuerzas. Por lo tanto, este concepto es diferente al momento de una fuerza, que requiere un punto definido (o eje) con respecto al cual se determinan los momentos. Formulación escalar. El momento de un par, M, figura 4-27, se define con una magnitud de -  &D F d F Fig. 4-27 (4-14) donde F es la magnitud de una de las fuerzas y d la distancia perpendicular o brazo de momento entre las fuerzas. La dirección y el sentido del momento de par se determinan mediante la regla de la mano derecha, donde el pulgar indica la dirección cuando los dedos se cierran con el sentido de rotación causado por las dos fuerzas. En todos los casos, M actúa perpendicularmente al plano que contiene estas fuerzas. Formulación vectorial. El momento de un par puede expresarse también por el vector producto cruz con la ecuación 4-13, es decir, M  r F (4-15) La aplicación de esta ecuación se recuerda fácilmente si se piensa en tomar los momentos de ambas fuerzas con respecto a un punto que se encuentre sobre la línea de acción de una de las fuerzas. Por ejemplo, si los momentos se toman con respecto al punto A en la figura 4-26, el momento de F es cero con respecto a este punto, y el momento de F se define a partir de la ecuación 4-15. Por lo tanto, en la formulación, r se multiplica vectorialmente por la fuerza F a la cual está dirigida. C04 EST_H BBELER .indd 148 11/19/09 2:51:1 AM 4.6 MOMENTO DE UN PAR 149 30 N 40 N 0.4 m 0.3 m 40 N 30 N Fig. 4-28 4 Pares equivalentes. Se dice que dos pares son equivalentes si producen un momento con la misma magnitud y dirección. Por ejemplo, los dos pares mostrados en la figura 4-28 son equivalentes porque cada momento de par tiene una magnitud de M  30 N(0.4 m)  40 N(0.3 m)  12 N # m, y cada uno de ellos está dirigido hacia el plano de la página. Observe que en el segundo caso se requieren fuerzas más grandes para crear el mismo efecto de giro, debido a que las manos están colocadas más cerca una de la otra. Además, si la rueda estuviera conectada al eje en un punto distinto de su centro, ésta giraría de igual forma al aplicar cada uno de los pares porque el par de 12 N # m es un vector libre. Momento de par resultante. Como los momentos de par son vectores libres, sus resultantes pueden determinarse mediante la suma de vectores. Por ejemplo, considere los momentos de par M1 y M2 que actúan sobre el tubo de la figura 4-29a. Como cada momento de par es un vector libre, podemos unir sus colas en cualquier punto arbitrario y encontrar el momento de par resultante, MR  M1  M2, como se muestra en la figura 4-29b. Si sobre el cuerpo actúan más de dos momentos de par, podemos generalizar este concepto y escribir el vector resultante como MR  ©(r  F) (4-16) Estos conceptos se ilustran numéricamente en los ejemplos que siguen. En general, los problemas proyectados en dos dimensiones deben resolverse con un análisis escalar puesto que los brazos de momento y las componentes son fáciles de determinar. C04 EST_H BBELER .indd 149 M2 M1 (a) M2 M1 MR (b) Fig. 4-29 11/19/09 2:51:18 AM 150 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS Puntos importantes • Un momento de par lo producen dos fuerzas no colineales que F son iguales en magnitud pero opuestas en dirección. Su efecto es producir una rotación pura, o una tendencia a girar en una dirección especificada. F • Un momento de par es un vector libre y, como resultado, causa el mismo efecto de rotación sobre un cuerpo independientemente de dónde se aplique al cuerpo. 4 Los volantes de los vehículos actuales se fabrican más pequeños que en los automóviles antiguos, debido a que de esta forma no se requiere que el conductor aplique un momento de par grande al rin de la rueda. • El momento de las dos fuerzas de par se puede determinar con respecto a cualquier punto. Por conveniencia, a menudo ese punto se selecciona sobre la línea de acción de una de las fuerzas para eliminar el momento de esta fuerza con respecto al punto. • En tres dimensiones, el momento de par a menudo se determina por la formulación vectorial, M  r  F, donde r está dirigido desde cualquier punto sobre la línea de acción de una de las fuerzas a cualquier punto sobre la línea de acción de otra fuerza F. • Un momento de par resultante es simplemente la suma vectorial de todos los momentos de par del sistema. EJEMPLO 4.10 Determine el momento de par resultante de los tres pares que actúan sobre la placa de la figura 4-30. F1  200 lb F3  300 lb d1  4 pies SOLUCIÓN F2  450 lb A d3  5 pies d2  3 pies F2  450 lb B F1  200 lb F3  300 lb Como se muestra en la figura, las distancias perpendiculares entre cada par de fuerzas son d1  4 pies, d2  3 pies y d3  5 pies. Si se considera que los momentos de par con sentido contrario al de las manecillas del reloj son positivos, tenemos a -2  i-; -2  &1D1 &2D2  ( 200 lb)(4 pies) &3D3 (450 lb)(3 pies) Fig. 4-30 (300 lb)(5 pies)  950 lb  pie  950 lb  pieb Resp. El signo negativo indica que MR tiene un sentido rotacional en el sentido de las manecillas del reloj. C04 EST_H BBELER .indd 150 11/19/09 2:51:18 AM 4.6 MOMENTO DE UN PAR 151 EJEMPLO 4.11 Determine la magnitud y la dirección del momento de par que actúa sobre el engrane de la figura 4-31a. 600 sen 30 N F  600 N 30 O F  600 N 30 O A 600 cos 30 N 0.2 m 0.2 m 600 cos 30 N 30 4 30 F  600 N F  600 N (a) 600 sen 30 N (b) SOLUCIÓN La solución más fácil requiere descomponer cada fuerza en sus componentes como se muestra en la figura 4-31b. El momento de par puede determinarse al sumar los momentos de estas componentes de fuerza con respecto a cualquier punto, por ejemplo, el centro O del engrane o el punto A. Si consideramos que los momentos con sentido contrario al de las manecillas del reloj son positivos, tenemos a -  i-/; -  (600 cos 30° N)(0.2 m)  43.9 N  m d (600 sen 30° N)(0.2 m) Resp. o bien a -  i-!; -  (600 cos 30° N)(0.2 m)  43.9 N  m d (600 sen 30° N)(0.2 m) F  600 N Resp. 30 O Este resultado positivo indica que M tiene un sentido de rotación inverso al de las manecillas del reloj, de manera que está dirigido hacia fuera, perpendicular a la página. NOTA: también se puede obtener el mismo resultado con M  Fd, donde d es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las fuerzas, figura 4-31c. Sin embargo, el cálculo para d es más complicado. Observe que el momento de par es un vector libre, por lo que puede actuar en cualquier punto del engrane y produce el mismo efecto de giro con respecto al punto O. C04 EST_H BBELER .indd 151 d 30 F  600 N (c) Fig. 4-31 11/19/09 2:51:19 AM 152 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS EJEMPLO 4.12 Determine el momento de par que actúa sobre el tubo de la figura 4-32a. El segmento AB está dirigido 30° por debajo del plano x-y. z • O O rA 25 lb 25 lb x A rB 8 pulg x A y y 30 25 lb 25 lb 6 pulg 4 B B (b) (a) z SOLUCIÓN I (ANÁLISIS VECTORIAL) El momento de las dos fuerzas de par puede encontrarse con respecto a cualquier punto. Si se considera el punto O, figura 4-32b, tenemos O 25 lb M  r! x A y 25 lb rAB  8j  25k r"  25k 25k 6 cos 30°i 8j 6 sen 30°k  200i 129.9j 200i   130j lb  pulg 25k Resp. Es más fácil tomar momentos de las fuerzas de par con respecto a un punto que esté sobre la línea de acción de una de las fuerzas, por ejemplo, el punto A, figura 4-32c. En este caso, el momento de la fuerza en A es cero, por lo que B (c) M  r!" 25k  6 cos 30°i 6 sen 30°k   130j lb  pulg z 25k Resp. SOLUCIÓN II (ANÁLISIS ESCALAR) O 25 lb x A 25 lb 6 pulg 30 d B (d) Fig. 4-32 C04 EST_H BBELER .indd 152 Aunque este problema se muestra en tres dimensiones, la geometría es suficientemente simple como para usar la ecuación escalar M  Fd. La distancia perpendicular entre las líneas de acción de las fuerzas es d  6 cos 30°  5.196 pulg, figura 4-32d. Por lo tanto, y tomando momentos de las fuerzas con respecto a cualquier punto A o B resulta M  Fd  25 lb(5.196 pulg)  129.9 lb # pulg Al aplicar la regla de la mano derecha, M actúa en la dirección j. Entonces, M  {130j} lb # pulg Resp. 11/19/09 2:51:21 AM 4.6 MOMENTO DE UN PAR 153 EJEMPLO 4.13 Reemplace los dos pares que actúan sobre la columna tubular en la figura 4-33a por un momento de par resultante. z 125 N 5 5 4 M2  37.5 N m 3 MR D C 125 N 150 N 5 3 M2 M1 0.3 m x A 4 3 y 4 B 0.4 m 4 M1  60 N m 150 N (a) (c) (b) Fig. 4-33 SOLUCIÓN (ANÁLISIS VECTORIAL) El momento de par M1, desarrollado por las fuerzas presentes en A y B, pueden determinarse con facilidad a partir de una formulación escalar. M1  Fd  150 N(0.4 m)  60 N # m Por la regla de la mano derecha, M1 actúa en la dirección i, figura 4-33b. Por consiguiente, M1  {60i} N # m Se usará el análisis vectorial para determinar M2, causado por las fuerzas en C y D. Si los momentos se calculan con respecto al punto D, figura 4-33a, M2  rDC  FC, entonces M2  r$#  0.3i  22.5j F#  0.3i  125  45  j [100j 75k]  30i 30k N  m 125  35  k  j 22.5i k Como M1 y M2 son vectores libres, pueden desplazarse hacia algún punto arbitrario y sumarse en forma vectorial, figura 4-33c. El momento de par resultante se convierte en M2  M1 C04 EST_H BBELER .indd 15 M2  60i 22.5j 30k N  m Resp. 11/19/09 2:51:22 AM 154 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS PROBLEMAS FUNDAMENTALES F4-19. Determine el momento de par resultante que actúa sobre la viga. F4-22. Determine el momento de par resultante que actúa sobre la viga. 10 kN 5 400 N 400 N 4m A 4 3 200 N 1m A B 0.2 m 1m 200 N 3m 4 3 2m 4 300 N 10 kN 300 N F4-19 F4-22 F4-20. Determine el momento de par resultante que actúa sobre la placa triangular. 200 lb 5 F4-23. Determine el momento de par resultante que actúa sobre el ensamble de tubos. z (Mc)1  450 lb pie 150 lb (Mc)3  300 lb pie 4 pies 3.5 pies 2 pies 1.5 pies 4 pies 2 pies 2 pies 200 lb 150 lb y x (Mc)2  250 lb pie F4-23 4 pies 300 lb 300 lb F4-20 F4-24. Determine el momento de par que actúa sobre el ensamble de tubos y exprese el resultado como un vector cartesiano. FA  450 N F4-21. Determine la magnitud de F de modo que el momento de par resultante que actúa sobre la viga sea de 1.5 kN # m en el sentido de las manecillas del reloj. 3 A 0.4 m 0.9 m B F F4-21 0.3 m B 2 kN 3 5 4 0.3 m C04 EST_H BBELER .indd 154 5 4 F A z 2 kN O FB  450 N y x C F4-24 11/19/09 2:51:24 AM 155 4.6 MOMENTO DE UN PAR PROBLEMAS *4-72. Los efectos de fricción del aire sobre las aspas del ventilador de pedestal crean un momento de par de MO  6 N # m sobre las aspas. Determine la magnitud de las fuerzas de par en la base del ventilador de manera que el momento de par resultante sobre el ventilador sea igual a cero. 4-74. La rueda movible está sometida a los dos pares mostrados. Determine las fuerzas F que ejercen los cojinetes sobre el árbol de manera que el momento de par resultante sobre la rueda sea cero. 500 N F A 40 mm MO B 4 F 100 mm 45 mm F 0.15 m F 50 mm 0.15 m 500 N Prob. 4-72 Prob. 4-74 •4-73. Determine la magnitud requerida de los momentos de par M2 y M3 de forma que el momento de par resultante sea igual a cero. 4-75. Si F  200 lb, determine el momento de par resultante. *4-76. Determine la magnitud requerida de la fuerza F si el momento de par resultante sobre el marco es de 200 lb # pie, en el sentido de las manecillas del reloj. M2 2 pies F 45 2 pies 5 4 3 B 30 2 pies 150 lb 150 lb M3 2 pies 30 5 4 3 F 2 pies A M1  300 N m Prob. 4-73 C04 EST_H BBELER .indd 155 Probs. 4-75/76 11/19/09 2:51:24 AM 156 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS •4-77. El piso ocasiona un momento de par de MA  40 N # m y MB  30 N # m sobre las brochas de la máquina pulidora. Determine la magnitud de las fuerzas de par que debe desarrollar el operador sobre los manubrios, de manera que el momento de par resultante sobre la pulidora sea igual a cero. ¿Cuál es la magnitud de estas fuerzas si la brocha en B se detiene repentinamente de modo que MB  0? *4-80. Dos pares actúan sobre la viga. Determine la magnitud de F de modo que el momento del par resultante sea de 450 lb # pie en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿En qué punto de la viga actúa el momento del par resultante? F 200 lb F F 30 A 4 MA 1.5 pies 1.25 pies 30 0.3 m 200 lb 2 pies MB B F Prob. 4-80 Prob. 4-77 4-78. Si   30°, determine la magnitud de la fuerza F de modo que el momento de par resultante sea de 100 N # m en el sentido de las manecillas del reloj. 4-79. Si F  200 N, determine el ángulo  requerido para que el momento de par resultante sea igual a cero. •4-81. La cuerda que pasa sobre las dos pequeñas clavijas A y B en el tablero cuadrado, está sometida a una tensión de 100 N. Determine la tensión requerida P que actúa sobre la cuerda que pasa sobre las clavijas C y D, si el par resultante producido por los dos pares es de 15 N # m en el sentido de las manecillas del reloj. Considere que   15°. 4-82. La cuerda que pasa sobre dos pequeñas clavijas A y B en el tablero cuadrado, está sometida a una tensión de 100 N. Determine la tensión mínima P y la orientación de  de la cuerda que pasa sobre las clavijas C y D, si el momento del par resultante producido por los dos pares es de 20 N # m en el sentido de las manecillas del reloj. 300 mm 300 mm C 300 N B u 30 P u 100 N 15 F 30 300 mm F 30 15 100 N u 300 N Probs. 4-78/79 C04 EST_H BBELER .indd 15 P 45 30 A u D Probs. 4-81/82 11/22/09 10:07:25 AM 157 4.6 MOMENTO DE UN PAR 4-83. Un dispositivo llamado rolamita se usa de varias maneras para reemplazar el movimiento deslizante por movimiento rodante. Si la banda, que está enrollada entre los rodillos, se encuentra sometida a una tensión de 15 N, determine las fuerzas reactivas N de las placas superior e inferior sobre los rodillos, de modo que el par resultante que actúa sobre los rodillos sea igual a cero. •4-85. Determine el momento del par resultante que actúa sobre la viga. Resuelva el problema de dos maneras: (a) sume los momentos con respecto al punto O; y (b) sume los momentos con respecto al punto A. N T  15 N 45 A 1.8 m 1.5 m 2 kN 8 kN 30 4 25 mm O B 0.3 m A 25 mm 30 T  15 N B 30 45 8 kN 2 kN Prob. 4-85 N Prob. 4-83 *4-84. Dos pares actúan sobre la viga como se muestra en la figura. Determine la magnitud de F de modo que el momento del par resultante sea de 300 lb # pie en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿En qué punto de la viga actúa el momento del par resultante? 5 4-86. Dos pares actúan sobre la viga en voladizo. Si F  6 kN, determine el momento del par resultante. 4-87. Determine la magnitud requerida de la fuerza F, si el momento del par resultante sobre la viga debe ser igual a cero. F 3m 3 4 200 lb 3m 5 kN F 5 4 1.5 pies 3 B 30 0.5 m 200 lb 5 F 3 4 4 pies Prob. 4-84 C04 EST_H BBELER .indd 157 A 30 0.5 m 5 4 F 3 5 kN Probs. 4-86/87 11/19/09 2:51:2 AM 158 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS *4-88. Dos pares actúan sobre la estructura. Si el momento del par resultante debe ser igual a cero, determine la distancia d entre las fuerzas del par de 40 lb. •4.93. Si F  80 N, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados del momento de par. El ensamble de tubos se encuentra en el plano x-y. •4-89. Dos pares actúan sobre el bastidor. Si d  4 pies, determine el momento de par resultante. Para que calcule el resultado descomponga cada fuerza en componentes x y y. Además obtenga el resultado (a) al determinar el momento de cada par (ecuación 4-13) y (b) al sumar los momentos de todas las componentes de fuerza con respecto al punto A. 4-94. Si la magnitud del momento de par que actúa sobre el ensamble de tubos es de 50 N # m, determine la magnitud de las fuerzas de par aplicadas en cada llave. El ensamble de tubos se encuentra en el plano x-y. 4-90. Dos pares actúan sobre el bastidor. Si d  4 pies, determine el momento de par resultante. Para que calcule el resultado descomponga cada fuerza en componentes x y y. Además obtenga el resultado (a) al determinar el momento de cada par (ecuación 4-13) y (b) al sumar los momentos de todas las componentes de fuerza con respecto al punto B. 4 y z 3 pies 60 lb B F 5 4 40 lb 4 pies 30 1 pie 300 mm 3 300 mm F x 5 4 200 mm 3 60 lb 300 mm 200 mm d y Probs. 4-93/94 30 A 2 pies 40 lb x Probs. 4-88/89/90 4-91. Si M1  500 N # m, M2  600 N # m y M3  450 N # m, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados del momento de par resultante. *4-92. Determine la magnitud requerida de los momentos de par M1, M2 y M3 para que el momento de par resultante sea MR  {300i  450j  600k} N # m. 4-95. A partir de los cálculos de carga, se ha determinado que el ala está sometida a momentos de par Mx  17 kip # pie y My  25 kip # pie. Determine los momentos de par resultantes producidos con respecto a los ejes x¿ y y¿. Todos los ejes se encuentran en el mismo plano horizontal. z y My M3 y¿ Mx M2 x 25 30 M1 x C04 EST_H BBELER .indd 158 x¿ y Probs. 4-91/92 Prob. 4-95 11/22/09 10:08:1 AM 159 4.6 MOMENTO DE UN PAR *4-96. Exprese el momento del par que actúa sobre el bastidor en forma de vector cartesiano. Las fuerzas se aplican de manera perpendicular al bastidor. ¿Cuál es la magnitud del momento de par? Considere que F  50 N. •4-97. Para voltear el bastidor, se aplica un momento de par como el que se muestra en la figura. Si la componente de este momento de par a lo largo del eje x es Mx  {20i} N # m, determine la magnitud F de las fuerzas de par. *4-100. Si M1  180 lb # pie, M2  90 lb # pie y M3  120 lb # pie, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados del momento de par resultante. •4-101. Determine las magnitudes de los momentos de par M1, M2 y M3 de modo que el momento de par resultante sea igual a cero. z z 150 lb pie M3 O y F 1 pie 2 pies 3m 4 45 45 2 pies x 2 pies y 3 pies M2 30 1.5 m x M1 F Probs. 4-100/101 Probs. 4-96/97 4-98. Determine el momento de par resultante de los dos pares que actúan sobre el ensamble de tubos. La distancia desde A hasta B es d  400 mm. Exprese el resultado como un vector cartesiano. 4-99. Determine la distancia d entre A y B de modo que el momento de par resultante tenga una magnitud MR  20 N # m. 4-102. Si F1  100 lb y F2  200 lb, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados del momento de par resultante. 4-103. Determine la magnitud de las fuerzas de par F1 y F2 de modo que el momento de par resultante que actúa sobre el bloque sea igual a cero. z {35k} N z 3 pies B 4 pies 250 mm d {50i} N C 30 250 lb 350 mm y F1 x A {50i} N F1 Probs. 4-98/99 Probs. 4-102/103 x C04 EST_H BBELER .indd 159 250 lb 2 pies {35k} N F2 F2 y 11/19/09 2:52:4 AM 160 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS 4.7 Simplificación de un sistema de fuerza y par En ocasiones es conveniente reducir un sistema de fuerzas y momentos de par que actúan sobre un cuerpo a una forma más sencilla, lo cual se puede hacer si se reemplaza con un sistema equivalente, que conste de una sola fuerza resultante la cual actúe en un punto específico y un momento de par resultante. Un sistema es equivalente si los efectos externos que produce sobre un cuerpo son los mismos que los causados por el sistema original de fuerza y momento de par. En este contexto, los efectos externos de un sistema se refieren al movimiento de traslación y rotación del cuerpo si éste es libre de moverse, o se refiere a las fuerzas reactivas en los apoyos si el cuerpo se mantiene fijo. Por ejemplo, considere que se sujeta la varilla de la figura 4-34a, la cual está sometida a la fuerza F en el punto A. Si añadimos un par de fuerzas iguales pero opuestas F y F en el punto B, que se encuentra sobre la línea de acción de F, figura 4-34b, observamos que F en B y F en A se cancelarán entre sí, y queda sólo F en B, figura 4-34c. Ahora, la fuerza F se ha movido desde A hasta B sin modificar sus efectos externos sobre la varilla; es decir, la reacción en el agarre permanece igual. Lo anterior demuestra el principio de transmisibilidad, el cual establece que una fuerza que actúa sobre un cuerpo (varilla) es un vector deslizante puesto que puede aplicarse sobre cualquier punto a lo largo de su línea de acción. También podemos usar el procedimiento anterior para mover una fuerza hasta un punto que no está sobre la línea de acción de la fuerza. Si F se aplica en forma perpendicular a la varilla, como en la figura 4-35a, podemos añadir un par de fuerzas iguales pero opuestas F y F a B, figura 4-35b. Ahora la fuerza F se aplica en B, y las otras dos fuerzas, F en A y F en B, forman un par que produce el momento de par M  Fd, figura 4-35c. Por lo tanto, la fuerza F puede moverse desde A hasta B siempre que se añada un momento de par M para mantener un sistema equivalente. Este momento de par se determina al tomar el momento de F con respecto a B. Como M es en realidad un 4 F F F B A B F A (a) F (b) (c) Fig. 4-34 F F d A (a) F F M  Fd F (b) (c) Fig. 4-35 C04 EST_H BBELER .indd 1 0 11/19/09 2:52:4 AM 161 4.7 SIMPLIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZA Y PAR vector libre, puede actuar en cualquier punto de la varilla. En ambos casos los sistemas son equivalentes, lo que produce una fuerza descendente F y un momento de par M  Fd en el sentido de las manecillas del reloj, que se siente en el punto de sujeción. F1 F2 Sistema de fuerzas y momentos de par. Por el método F2  iF (M 2)/  iM / iM r2  M M2  r2  F2 F2 M F1 (b) 4 O M1  r1  F1  anterior, es posible reducir un sistema de varias fuerzas y momentos de par que actúan sobre un cuerpo a una sola fuerza resultante que actúa en el punto O y un momento de par resultante. Por ejemplo, en la figura 4-36a, O no está en la línea de acción de F1, por lo que la fuerza puede moverse al punto O siempre que se añada al cuerpo un momento de par M1  r1  F. Del mismo modo, el momento de par M2  r2  F2 debe agregarse al cuerpo cuando movemos F2 al punto O. Por último, como el momento de par M es un vector libre, se puede mover justo al punto O. Al hacer esto obtenemos el sistema equivalente que se muestra en la figura 4-36b, lo cual produce los mismos efectos externos (reacciones en los apoyos) sobre el cuerpo que el sistema de fuerza y par de la figura 4-36a. Si sumamos las fuerzas y los momentos de par, obtenemos la fuerza resultante FR  F1  F2 y el momento de par resultante (MR)O  M  M1  M2, figura 4-36c. Observe que FR es independiente de la ubicación del punto O; sin embargo, (MR)O depende de esta ubicación ya que los momentos M1 y M2 se determinan con los vectores de posición r1 y r2. Observe también que (MR)O es un vector libre y puede actuar en cualquier punto sobre el cuerpo, aunque por lo general el punto O se selecciona en su punto de aplicación. El método anterior, para simplificar un sistema de fuerza y par a una fuerza resultante FR que actúe en el punto O y un momento de par resultante (MR)O, puede generalizarse mediante la aplicación de las dos ecuaciones siguientes. r1 O (a) FR u M RO (c) O (4-17) Fig. 4-36 La primera ecuación establece que la fuerza resultante del sistema es equivalente a la suma de todas las fuerzas; y la segunda ecuación establece que el momento de par resultante del sistema es equivalente a la suma de todos los momentos de par ©M más los momentos con respecto al punto O de todas las fuerzas ©MO. Si el sistema de fuerzas se encuentra en el plano x-y y cualesquier momentos de par son perpendiculares a este plano, entonces las ecuaciones anteriores se reducen a las siguientes tres ecuaciones escalares. (&2)X  i&X (&2)Y  i&Y (-2)/  i-/ (4-18) i- Aquí, la fuerza resultante se determina a partir de la suma vectorial de sus dos componentes (FR)x y (FR)y. C04 EST_H BBELER .indd 1 1 11/19/09 2:52:44 AM 162 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS d1 (MR)O d2 O W1 O W2 WR Los pesos de estos semáforos pueden reemplazarse por su fuerza resultante equivalente WR  W1  W2 y un momento de par (MR)O  W1d1  W2d2 en el apoyo O. En ambos casos el apoyo debe proporcionar la misma resistencia a la traslación y a la rotación a fin de mantener el elemento en la posición horizontal. 4 Procedimiento para el análisis Los siguientes puntos deberán tenerse presentes al simplificar un sistema de fuerza y momento de par a un sistema equivalente de fuerza resultante y par. • Establezca los ejes coordenados con el origen localizado en el punto O donde los ejes tienen una orientación seleccionada. Suma de fuerzas. • Si el sistema de fuerzas es coplanar, descomponga cada fuerza en sus componentes x y y. Si una componente está dirigida a lo largo de los ejes x o y positivos, representa un escalar positivo; mientras que si está dirigida a lo largo de los ejes x o y negativos, es un escalar negativo. • En tres dimensiones, represente cada fuerza como un vector cartesiano antes de sumar las fuerzas. Suma de momentos. • Por lo general, al determinar los momentos de un sistema de fuerzas coplanares con respecto al punto O, es conveniente aplicar el principio de momentos, es decir, determinar los momentos de las componentes de cada fuerza en vez del momento de la fuerza en sí. • En tres dimensiones, use el producto cruz vectorial para determinar el momento de cada fuerza con respecto al punto O. Aquí los vectores de posición se extienden desde el punto O hasta cualquier punto sobre la línea de acción de cada fuerza. C04 EST_H BBELER .indd 1 2 11/19/09 2:52:45 AM 4.7 SIMPLIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZA Y PAR 163 EJEMPLO 4.14 Reemplace el sistema de fuerza y par que se muestra en la figura 4-37a por una fuerza resultante equivalente y un momento de par que actúen en el punto O. y (3 kN)sen 30 3 kN 30 (3 kN)cos 30 0.1 m 0.1 m O 0.1 m O x 3 (5 kN) 5 0.1 m 0.2 m 0.3 m 0.2 m 4 0.3 m 5 3 5 kN 4 (5 kN) 5 4 kN 4 kN (a) 4 (b) Fig. 4-37 SOLUCIÓN Suma de fuerzas. Las fuerzas de 3 kN y 5 kN se descomponen en sus componentes x y y como se muestra en la figura 4-37b. Tenemos  (&2)X  i&X; (&2)X  (3 kN)cos 30° C (&2)Y  i&Y; (&2)Y  (3 kN)sen 30°  35  (5 kN)  5.598 kN   45  (5 kN) 4 kN  6.50 kN  6.50 kN4 Con base en el teorema de Pitágoras, figura 4-37c, la magnitud de FR es &2  &2X2 &2Y2  5.598 kN2 6.50 kN2  8.58 kN Resp. Su dirección  es .  tan 1 2 (&2)Y (&2)X 3  tan 1 2 6.50 kN 3  49.3° 5.598 kN Resp. Suma de momentos. Los momentos de 3 kN y 5 kN con respecto al punto O se determinarán mediante el uso de sus componentes x y y. Con referencia a la figura 4-37b, tenemos a (-2)/  i-/; (-2)/  (3 kN)sen 30°(0.2 m) (3 kN)cos 30°(0.1 m) 4 5  35  (5 kN)(0.1 m)   (5 kN) (0.5 m)  2.46 kN  m  2.46 kN  m b (4 kN)(0.2 m) Resp. Este momento en el sentido de las manecillas del reloj se muestra en la figura 4-37c. observe que la fuerza y el momento de par resultantes en la figura 4.37c producirán los mismos efectos externos o reacciones en los apoyos que los producidos por el sistema de fuerzas, figura 4-37a. NOTA: C04 EST_H BBELER .indd 1 (MR)O  2.46 kN m (FR)x  5.598 kN O u FR (FR)y  6.50 kN (c) 11/19/09 2:52:4 AM 164 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS EJEMPLO 4.15 Reemplace el sistema de fuerza y par que actúa sobre el elemento de la figura 4-38a por una fuerza y un momento de par equivalentes que actúen en el punto O. y 500 N 750 N 5 4 (MR)O  37.5 N m 3 200 N 1m O O x 1m 1.25 m u (FR)x  300 N 1.25 m 200 N (FR)y  350 N (a) FR (b) 4 Fig. 4-38 SOLUCIÓN Suma de fuerzas. Como las fuerzas del par son de 200 N e iguales pero opuestas, producen una fuerza resultante nula, por lo tanto no es necesario considerarlas en la sumatoria de fuerzas. La fuerza de 500 N se descompone en sus componentes x y y, por tanto,  (&2)X  i&X; (&2)X   35  (500 N)  300 N  C (&2)Y  i&Y; (&2)Y  (500 N)  45  750 N  350 N  350 N4 A partir de la figura 4-15b, la magnitud de FR es &2  (&2X2 (&2Y2  (300 N)2 (350 N)2  461 N Resp. Y el ángulo  es .  tan 1 2 (&2)Y (&2)X 3  tan 1 2 350 N 3  49.4° 300 N Resp. Suma de momentos. Como el momento de par es un vector libre, puede actuar en cualquier punto del elemento. Con referencia a la figura 4-38a, tenemos a (-2)/  i-/ i-C; (MR)O  (500 N)  45  (2.5 m) (750 N)(1.25 m)  (500 N)  35  (1 m) 200 N  m 37.5 N  m  37.5 N  m b Resp. Este momento en el sentido de las manecillas del reloj se muestra en la figura 4-38b. C04 EST_H BBELER .indd 1 4 11/19/09 2:52:49 AM 165 4.7 SIMPLIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZA Y PAR EJEMPLO 4.16 El elemento estructural está sometido al momento de un par M y a las fuerzas F1 y F2 como se muestra en la figura 4-39a. Reemplace este sistema por una fuerza resultante equivalente y el momento de un par que actúen en su base, es decir el punto O. M  500 N m 3 5 z F1  800 N 0.1 m 4 SOLUCIÓN (ANÁLISIS VECTORIAL) C Los aspectos tridimensionales del problema pueden simplificarse mediante un análisis vectorial cartesiano. Al expresar las fuerzas y el momento de par como vectores cartesianos tenemos F2  300 N B 0.15 m rC rB 1m 4 F1   800k N O F2  300 Nu#" x y r#" 3  300 N2 R#"  300 N4 { 0.15i 0.1j} m 2 0.1 m2  0.15 m 500  45  j M  (a) 500  35  k   400j 5   249.6i 166.4j N z 300k N  m Suma de fuerzas. MR O F2  iF; F2  F1 F2    250i 800k 166j 249.6i 166.4j 800k N Resp. O x Suma de momentos. M 2/  iM M 2/  M M 2/   400j F1 300k   400j 300k   166i 650j y (b) iM / r# FR Fig. 4-39 r" F2 1k 0  800k  166.4i 300k N  m i 0.15 249.6 j 0.1 166.4 k 1 0 249.6j Resp. Los resultados se muestran en la figura 4-39b. C04 EST_H BBELER .indd 1 5 11/19/09 2:52:51 AM 166 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS PROBLEMAS FUNDAMENTALES F4-25. Reemplace el sistema de cargas por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes que actúen en el punto A. F4-28. Reemplace el sistema de cargas por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes que actúen en el punto A. 5 100 lb 3 100 lb 4 1 pie A 50 lb 3 pies 4 pies 4 3 pies 3 5 4 150 lb A F4-28 200 lb 3 pies F4-29. Reemplace el sistema de cargas por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes que actúen en el punto O. 3 pies 150 lb z F4-25 F4-26. Reemplace el sistema de cargas por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes que actúen en el punto A. F1  {300i  150j  200k} N 2m 1m 1.5 m B O 40N x 30N F2  {450k} N m 200N A A B 3m F4-29 5 3 4 3m y 50N F4-26 F4-30. Reemplace el sistema de cargas por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes que actúen en el punto O. z F4-27. Reemplace el sistema de cargas por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes que actúen en el punto A. F1  100 N Mc  75 N m 0.3 m 900 N 30 F2  200 N 300 N O 300 N m A x 0.75 m 0.75 m 0.75 m F4-27 C04 EST_H BBELER .indd 1 0.4 m 0.5 m y 0.75 m F4-30 11/19/09 2:52:54 AM 167 4.7 SIMPLIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZA Y PAR PROBLEMAS *4-104. Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre la armadura por una fuerza resultante y un momento de par en el punto C. 4-107. Reemplace las dos fuerzas por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes en el punto O. Considere que F  20 lb. *4-108. Reemplace las dos fuerzas por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes en el punto O. Considere que F  15 lb. 200 lb 2 pies A 150 lb 2 pies y 20 lb 100 lb 2 pies 30 F 2 pies 5 3 4 B 5 3 6 pulg 4 1.5 pulg 500 lb 6 pies 4 40 O x 2pulg C Probs. 4-107/108 Prob. 4-104 •4-105. Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre la viga por una fuerza y un momento de par equivalentes en el punto A. •4-109. Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre el poste por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes en el punto A. 4-106. Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre la viga por una fuerza y un momento de par equivalentes en el punto B. 0.5 m B 500 N 3 kN 0.2 m 250 N 3 1m 4 B A 2m 5 4 30 2.5 kN 1.5 kN 30 5 3 1m 4m 2m 300 N 1m A Probs. 4-105/106 C04 EST_H BBELER .indd 1 7 Prob. 4-109 11/19/09 2:52:54 AM 168 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS 4-110. Reemplace el sistema de fuerza y momento de par que actúa sobre la viga con voladizo por una fuerza resultante y un momento de par en el punto A. 30 kN *4-112. Reemplace las dos fuerzas que actúan sobre la esmeriladora por una fuerza resultante y un momento de par en el punto O. Exprese los resultados en forma vectorial cartesiana. z 26 kN F1  {10i  15j  40k} N 30 13 12 0.3 m A 5 45 kN m y 250 mm 0.3 m A B 2m 4 1m 1m F2  {15i  20j  30k} N 2m 100 mm B O Prob. 4-110 40 mm 150 mm 25 mm x Prob. 4-112 4-111. Reemplace el sistema de fuerzas por una fuerza resultante y un momento de par en el punto O. •4-113. Reemplace las dos fuerzas que actúan sobre el poste por una fuerza resultante y un momento de par en el punto O. Exprese los resultados en forma vectorial cartesiana. z 500 N 5 A 4 3 C 200 N 750 N FB  5 kN FD  7 kN 1m O 6m 200 N 1.25 m 1.25 m x Prob. 4-111 C04 EST_H BBELER .indd 1 8 8m 2m D 3m O 6m B y Prob. 4-113 11/19/09 2:52:55 AM 169 4.7 SIMPLIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZA Y PAR 4-114. Las tres fuerzas actúan sobre el ensamble de tubos. Si F1  50 N y F2  80 N, reemplace este sistema de fuerzas por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes que actúen en el punto O. Exprese los resultados en forma vectorial cartesiana. *4-116. Remplace el sistema de fuerzas que actúa sobre el ensamble de tubos por una fuerza resultante y un momento de par en el punto O. Exprese los resultados en forma vectorial cartesiana. z z F2  {10i  25j  20k} lb 180 N F1  {20i 10j  25k}lb O 1.25 m y 2 pies O x F2 x 4 1.5 pies 2 pies 0.5 m F1 2 pies x 0.75 m Prob. 4-116 Prob. 4-114 4-115. Las fuerzas F1 y F2 de las manijas se aplican al taladro eléctrico. Reemplace este sistema de fuerzas por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes que actúen en el punto O. Exprese los resultados en forma vectorial cartesiana. •4-117. Se tiene que levantar la losa con las tres eslingas que se muestran. Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre las eslingas por una fuerza y un momento de par equivalentes en el punto O. La fuerza F1 es vertical. F2  {2j  4k} N z z F1  {6i  3j  10k} N 0.15 m F3  4 kN F2  5 kN 0.25 m 45 60 60 F1  6 kN O 45 30 0.3 m O 2m y 2m 6m y x Prob. 4-115 C04 EST_H BBELER .indd 1 9 x Prob. 4-117 11/22/09 10:08: 8 AM 170 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS 4.8 Simplificación adicional de un sistema de fuerza y par En la sección anterior desarrollamos una forma de reducir un sistema de fuerza y momento de par que actúa sobre un cuerpo rígido a una fuerza resultante FR equivalente que actúa en un punto específico O y un momento de par resultante (MR)O. El sistema de fuerzas puede reducirse aún más a una sola fuerza resultante equivalente, siempre que las líneas de acción de FR y (MR)O sean perpendiculares entre sí. Debido a esta condición, solamente los sistemas de fuerzas concurrentes, coplanares y paralelos se pueden simplificar aún más. Sistema de fuerzas concurrentes. Como un sistema de fuer4 zas concurrentes es aquel en el que las líneas de acción de todas las fuerzas se intersecan en un punto común O, figura 4-40a; entonces, el sistema de fuerzas no produce ningún momento con respecto a este punto. En consecuencia, el sistema equivalente puede representarse mediante una sola fuerza resultante FR  ©F que actúa en O, figura 4-40b. F4 F3  O FR O F2 F2 (a) (b) Fig. 4-40 Sistema de fuerzas coplanares. En el caso de un sistema de fuerzas coplanares, las líneas de acción de todas las fuerzas pertenecen al mismo plano, figura 4-41a, y por ende la fuerza resultante FR  ©F de este sistema también se encuentra en el mismo plano. Aún más, el momento de cada una de las fuerzas con respecto a cualquier punto O se dirige en forma perpendicular a este plano. Así, el momento resultante (MR)O y la fuerza resultante FR serán mutuamente perpendiculares, figura 4-41b. El momento resultante se puede remplazar al mover la fuerza resultante FR a un brazo de momento o distancia perpendicular d del punto O, de tal forma que FR produzca el mismo momento (MR)O con respecto al punto O, figura 4-41c. Esta distancia d se puede determinar a partir de la ecuación escalar (MR)O  FRd  ©MO o bien d  (MR)O>FR. C04 EST_H BBELER .indd 170 11/19/09 2:52:5 AM 4.8 SIMPLIFICACIÓN ADICIONAL DE UN SISTEMA DE FUERZA Y PAR 171 F2 F3 FR   O FR O d (MR)O F1 F4 (a) (b) (c) Fig. 4-41 4 Sistema de fuerzas paralelas. El sistema de fuerzas paralelas que se muestra en la figura 4-42a consta de fuerzas que son paralelas al eje z. Así, la fuerza resultante FR  ©F en el punto O también debe ser paralela a este eje, figura 4-42b. El momento producido por cada fuerza se encuentra en el plano de la placa, por lo que el momento del par resultante, (MR)O, también estará en este plano, a lo largo del eje de momento a puesto que FR y (MR)O son mutuamente perpendiculares. En consecuencia, el sistema de fuerzas se puede reducir aún más a una sola fuerza resultante equivalente FR, la cual actúa a través del punto P localizado sobre el eje perpendicular b, figura 4-42c. Para encontrar la distancia d a lo largo de este eje desde el punto O, se emplea (MR)O  FRd  ©MO o bien d  ©MO>FR. z F1 z z FR  F F2 FR  F F3 O   O a (MR)O a O d P b b (a) (b) (c) Fig. 4-42 C04 EST_H BBELER .indd 171 11/22/09 10:08:54 AM 172 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS O FR 4 Las cuatro fuerzas de los cables son concurrentes en el punto O que se encuentra en la torre de este puente. En consecuencia, no producen un momento resultante ahí, sólo una fuerza resultante FR. Observe que los diseñadores han colocado los cables de manera que FR esté dirigida a lo largo de la torre del puente y directamente hacia el apoyo, de modo que no cause ninguna flexión de la torre. Procedimiento para el análisis La técnica para reducir un sistema de fuerzas coplanares o paralelas a una sola fuerza resultante sigue un procedimiento similar al descrito en la sección anterior. • Establezca los ejes x, y, z y localice la fuerza resultante FR a una distancia arbitraria del origen de coordenadas. Suma de fuerzas. • La fuerza resultante es igual a la suma de todas las fuerzas en el sistema. • Para un sistema de fuerzas coplanares, descomponga cada fuerza en sus componentes x y y. Las componentes positivas están dirigidas a lo largo de los ejes x y y positivos, y las componentes negativas están dirigidas a lo largo de los ejes x y y negativos. Suma de momentos. • El momento de la fuerza resultante con respecto al punto O es igual a la suma de todos los momentos de par en el sistema, más los momentos con respecto al punto O de todas las fuerzas del sistema. • Esta condición de momento se usa para encontrar la ubicación de la fuerza resultante desde el punto O. C04 EST_H BBELER .indd 172 11/19/09 2:52:57 AM 4.8 SIMPLIFICACIÓN ADICIONAL DE UN SISTEMA DE FUERZA Y PAR d1 d d2 O W1 173 O WR W2 Aquí, los pesos de los semáforos se reemplazan por su fuerza resultante WR  W1  W2 que actúa a una distancia d  (W1d1  W2d2)>WR desde O. Ambos sistemas son equivalentes. 4 Reducción a una llave. En general, un sistema tridimensional de fuerzas y momentos de par tendrá una fuerza resultante equivalente FR que actuará en el punto O y un momento de par resultante (MR)O que no son perpendiculares entre sí, como se muestra en la figura 4-43a. Aunque un sistema de fuerzas como éste no se puede reducir aún más a una sola fuerza resultante equivalente, el momento de par resultante (MR)O se puede descomponer en sus componentes paralela y perpendicular a la línea de acción de FR, figura 4-43a. La componente perpendicular M⬜ se puede reemplazar si movemos FR al punto P, a una distancia d desde el punto O a lo largo del eje b, figura 4-43b. Como se ha visto, este eje es perpendicular tanto al eje a como a la línea de acción de FR. La ubicación de P puede determinarse a partir de d  M⬜>FR. Por último, debido a que M|| es un vector libre, puede moverse hasta el punto P, figura 4-43c. Esta combinación de una fuerza resultante FR y un momento de par colineal M|| tenderá a rotar y trasladar el cuerpo con respecto a su eje, lo cual se denomina llave o tornillo. Una llave es el sistema más simple que puede usarse para representar cualquier sistema general de fuerza y momento de par que actúa sobre un cuerpo. z z z FR FR M M (MR)O  O a FR a M d M O a P b (a)  O P b b (b) (c) Fig. 4-43 C04 EST_H BBELER .indd 17 11/22/09 10:09:10 AM 174 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS EJEMPLO 4.17 Reemplace el sistema de fuerza y momento de par que actúa sobre la viga de la figura 4-44a por una fuerza resultante equivalente y encuentre la distancia, medida desde el punto O, en la que su línea de acción interseca con la viga. 8 kN y 5 4 kN 15 kN m O 1.5 m d 4 3 1.5 m 1.5 m FR (FR)y  2.40 kN 0.5 m u O x (FR)x  4.80 kN 1.5 m 4 (a) (b) Fig. 4-44 SOLUCIÓN Suma de fuerzas. Si sumamos las componentes de fuerza, (&2)X  8 kN  35   4.80 kN   (&2)X  i&X; C (&2)Y  i&Y; (&2)Y  4 kN 8 kN  45   2.40 kN C Con base en la figura 4-44b, la magnitud de FR es &2  4.80 kN2 2.40 kN2  5.37 kN Resp. El ángulo  es .  tan 1 2 2.40 kN 3  26.6° 4.80 kN Resp. Suma de momentos. Debemos igualar el momento de FR respecto al punto O de la figura 4-44b con la suma de los momentos del sistema de fuerza y momento de par respecto al punto O que se muestra en la figura 4-44a. Como la línea de acción de (FR)x actúa a través del punto O, sólo (FR)y produce un momento con respecto a este punto. Por lo tanto, a (-2)/  i-/; 2.40 kN(D)  [8 kN  35  ] (0.5 m) (4 kN)(1.5 m) [8 kN  45  ](4.5 m) D  2.25 m C04 EST_H BBELER .indd 174 15 kN  m Resp. 11/19/09 2:52:59 AM 175 4.8 SIMPLIFICACIÓN ADICIONAL DE UN SISTEMA DE FUERZA Y PAR EJEMPLO 4.18 y La grúa fija que se muestra en la figura 4-45a está sometida a tres fuerzas coplanares. Reemplace esta carga por una fuerza resultante equivalente y especifique en qué punto la línea de acción de la resultante interseca a la columna AB y a la pluma BC. 3 pies 5 pies C 5 4 3 6 pies Suma de fuerzas. Al descomponer la fuerza de 250 lb en sus componentes x y y y al sumar las componentes de fuerza se obtiene 250 lb 60 lb 175 lb SOLUCIÓN 3 pies B 5 pies x A  &2X  i&X; &2X  250 lb  35  175 lb  C &2Y  i&Y; &2Y  250 lb  45  60 lb  (a) 325 lb  325 lb  4 260 lb  260 lb4 y x Como se muestra en la figura 4-45b, mediante la suma vectorial, B &2  (325 lb)2 .  tan 1 2 (260 lb)2  416 lb 260 lb 3  38.7° . 325 lb C 325 lb Resp. 260 lb FR Resp. 325 lb Suma de momentos. Los momentos se sumarán con respecto al punto A. Suponiendo que la línea de acción de FR interseca AB a una distancia y desde A, figura 4-45b, tenemos FR u 260 lb y x A (b) Fig. 4-45 a -2!  i-!; 325 lb Y  175 lb 5 pies 60 lb 3 pies 260 lb 0 250 lb  35  11 pies Y  2.29 pies 250 lb  45  8 pies Resp. Por el principio de transmisibilidad, FR puede colocarse a una distancia x donde interseca a BC, figura 4-45b. En este caso tenemos a -2!  i-!;  175 lb 5 pies 325 lb 11 pies 60 lb 3 pies 260 lb X 250 lb  35  11 pies X  10.9 pies C04 EST_H BBELER .indd 175 250 lb  45  8 pies Resp. 11/19/09 2:5 :01 AM 176 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS EJEMPLO 4.19 La losa que se muestra en la figura 4-46a está sometida a cuatro fuerzas paralelas. Determine la magnitud y la dirección de una fuerza resultante equivalente al sistema de fuerzas dado y localice su punto de aplicación sobre la losa. z 600 N z FR 400 N 500 N 100 N 5m 5m C O B  y 8m 2m  y x P(x, y)  4 x  O y (a) x (b) Fig. 4-46 SOLUCIÓN (ANÁLISIS ESCALAR) Suma de fuerzas. C &2  i&; A partir de la figura 4-46a, la fuerza resultante es &2   600 N 100 N 400 N 1400 N  1400 N4 500 N Resp. Suma de momentos. Requerimos que el momento con respecto al eje x de la fuerza resultante, figura 4-46b, sea igual a la suma de los momentos con respecto al eje x de todas las fuerzas presentes en el sistema, figura 4-46a. Los brazos de momento se determinan a partir de las coordenadas y, dado que esas coordenadas representan las distancias perpendiculares desde el eje x hasta las líneas de acción de las fuerzas. Si usamos la regla de la mano derecha, tenemos (-2)X  i-X; 1400 NY  600 N0 100 N5 m 400 N10 m 1400Y  3500 Y  2.50 m 500 N0 Resp. Del mismo modo, una ecuación de momentos se puede escribir con respecto al eje y mediante brazos de momento definidos por las coordenadas x de cada fuerza. (-2)Y  i-Y; 1400 NX  600 N8 m 100 N6 m 1400X  4200 X  3m 400 N0 500 N0 Resp. por lo tanto, una fuerza de FR  1400 N colocada en el punto P(3.00 m, 2.50 m) sobre la losa, figura 4-46b, es equivalente al sistema de fuerzas paralelas que actúa sobre la losa en la figura 4-46a. NOTA: C04 EST_H BBELER .indd 17 11/19/09 2:5 :05 AM 177 4.8 SIMPLIFICACIÓN ADICIONAL DE UN SISTEMA DE FUERZA Y PAR EJEMPLO 4.20 z Reemplace el sistema de fuerzas que se muestra en la figura 4-47a FA  300 lb por una fuerza resultante equivalente y especifique su punto de aplicación sobre el pedestal. FC  100 lb C FB  500 lb 2 pulg rC SOLUCIÓN Suma de fuerzas. A continuación mostraremos un análisis vec- 4 pulg torial. Al sumar fuerzas, A rA rB O 4 pulg 4 pulg x F2  iF; F2  F! F"   300k lb B y F#  500k lb 100k lb   700k lb Resp. 4 (a) Ubicación. Los momentos se sumarán con respecto al punto O. Se supone que la fuerza resultante FR actúa a través del punto P(x, y, 0), figura 4-47b. Así, z (M2)/  iM/; F2  (r! F!) (r" F") (r# F#) Yj  700k  [4i  300k] [ 4i 2j  500k] [( 4j) (100k)] 700X(i k) 700Y(j k)  1200(i k) 2000(i k) 1000( j k) 400( j k) 700Xj 700Yi  1200j 2000j 1000i 400i r0 FR  {700k} lb Xi O y rP P x x y Al igualar las componentes de i y j, (b) 700y  1400 (1) y  2 pulg Resp. 700y  800 x  1.14 pulg Fig. 4-47 (2) Resp. El signo negativo indica que la coordenada x del punto P es negativa. NOTA: también es posible establecer directamente las ecuaciones 1 y 2 al sumar los momentos con respecto a los ejes x y y. Con la regla de la mano derecha, tenemos (-2)X  i-X; 700Y  (-2)Y  i-Y; 700X  300 lb(4 pulg) C04 EST_H BBELER .indd 177 100 lb(4 pulg) 500 lb(2 pulg) 500 lb(4 pulg) 11/22/09 10:09:27 AM 178 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS PROBLEMAS FUNDAMENTALES F4-31. Reemplace el sistema de cargas por una fuerza resultante equivalente y especifique el punto, medido desde O, donde la línea de acción de la resultante interseca a la viga. F4-34. Reemplace el sistema de cargas por una fuerza resultante equivalente y especifique el punto, medido desde A, donde la línea de acción de la resultante interseca al elemento AB. y 0.5 m y 1.5 m 500 lb 500 lb 250 lb 0.5 m 0.5 m 4 x O B 4 8 kN 6 kN 3 pies 3 pies 3 pies 3m F4-32. Reemplace el sistema de cargas por una fuerza resultante equivalente y especifique el punto, medido desde A, donde la línea de acción de la resultante interseca al elemento. 200 lb 3 pies 5 kN 3 pies F4-31 3 pies 5 3 3 pies A x F4-34 F4-35. Reemplace las cargas mostradas por una sola fuerza resultante equivalente y especifique las coordenadas x y y de su línea de acción. z 50 lb 30 A 400 N 100 N 5 4 3 3m 4m y 500 N 4m 100 lb F4-32 F4-35 x F4-33. Reemplace el sistema de cargas por una fuerza resultante equivalente y especifique el punto, medido desde A, donde la línea de acción de la resultante interseca al elemento. F4-36. Reemplace las cargas mostradas por una sola fuerza resultante equivalente y especifique las coordenadas x y y de su línea de acción. z 200 N 5 3 15 kN 2m 1m 3m 4 20 kN 100 N 2m 2m 2m 2m 3m 3 m 200 N 100 N 2m 1m y A B F4-33 C04 EST_H BBELER .indd 178 x F4-36 11/19/09 2:5 :09 AM 4.8 SIMPLIFICACIÓN ADICIONAL DE UN SISTEMA DE FUERZA Y PAR 179 PROBLEMAS 4-118. Se muestran los pesos de los diferentes componentes del camión. Reemplace este sistema de fuerzas por una fuerza resultante equivalente y especifique su ubicación medida desde B. •4-121. El sistema de cuatro fuerzas actúa sobre la armadura para techo. Determine la fuerza resultante equivalente y especifique su ubicación a lo largo de AB y medida desde el punto A. 4-119. Se muestran los pesos de los diferentes componentes del camión. Reemplace este sistema de fuerzas por una fuerza resultante equivalente y especifique su ubicación medida desde el punto A. 200 lb 30 275 lb 4 pies B 300 lb 4 pies 150 lb 4 pies 4 A 30 3500 lb B A 5500 lb 14 pies 1750 lb Prob. 4-121 6 pies 3 pies 2 pies Probs. 4-118/119 4-122. Reemplace el sistema de fuerza y par que actúa sobre el bastidor por una fuerza resultante equivalente y especifique el punto, medido desde A, donde la línea de acción de la resultante interseca al elemento AB. *4-120. El sistema de fuerzas paralelas actúa sobre la parte superior de la armadura Warren. Determine la fuerza resultante equivalente del sistema y especifique su ubicación medida desde el punto A. 4-123. Reemplace el sistema de fuerza y par que actúa sobre el bastidor por una fuerza resultante equivalente y especifique el punto, medido desde B, donde la línea de acción de la resultante interseca al elemento BC. A 2 pies 2 kN 5 1 kN 500 N 500 N 1m 3 4 1m 150 lb 500 N 1m A 4 pies 1m 500 lb pie B C 3 pies 30 50 lb Prob. 4-120 C04 EST_H BBELER .indd 179 Probs. 4-122/123 11/19/09 2:5 :09 AM 180 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS *4-124. Reemplace el sistema de fuerza y momento de par que actúa sobre la viga con voladizo por una fuerza resultante, además especifique su ubicación medida desde el punto A a lo largo de AB. 4-127. Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre el poste por una fuerza resultante y especifique el punto, medido desde el punto A, donde su línea de acción interseca al poste AB. *4-128. Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre el poste por una fuerza resultante y especifique el punto, medido desde el punto B, donde su línea de acción interseca al poste AB. 30 kN 30 A B 13 12 0.3 m 0.5 m 26 kN 5 45 kN m 1m 0.3 m 500 N 4 250 N 30 B 4 5 3 0.2 m 1m 2m 1m 1m 2m 300 N Prob. 4-124 1m A Probs. 4-127/128 •4-125. Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre el bastidor por una fuerza resultante equivalente y especifique el punto, medido desde el punto A, donde la línea de acción de la resultante interseca al elemento AB. •4-129. La losa de un edificio está sometida a cuatro cargas de columnas paralelas. Determine la fuerza resultante equivalente y especifique su ubicación (x, y) sobre la losa. Considere que F1  30 kN y F2  40 kN. 4-126. Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre el bastidor por una fuerza resultante equivalente y especifique el punto, medido desde el punto B, donde la línea de acción de la resultante interseca al elemento BC. 4-130. La losa de un edificio está sometida a cuatro cargas de columnas paralelas. Determine la fuerza resultante equivalente y especifique su ubicación (x, y) sobre la losa. Considere que F1  20 kN y F2  50 kN. 35 lb 30 z 20 lb 4 pies A B 20 kN F1 50 kN 2 pies 3 pies F2 25 lb 2 pies C Probs. 4-125/126 C04 EST_H BBELER .indd 180 x 4m 3m 8m y 6m 2m Probs. 4-129/130 11/19/09 2:5 :10 AM 181 4.8 SIMPLIFICACIÓN ADICIONAL DE UN SISTEMA DE FUERZA Y PAR 4.131. El ducto soporta las cuatro fuerzas paralelas. Determine las magnitudes de las fuerzas FC y FD que actúan en C y D de manera que la fuerza resultante equivalente al sistema de fuerzas actúe a través del punto medio O del ducto. FD 4-134. Si FA  40 kN y FB  35 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante y especifique la ubicación de su punto de aplicación (x, y) sobre la losa. 4-135. Si se requiere que la fuerza resultante actúe en el centro de la losa, determine la magnitud de las cargas de columna FA y FB así como la magnitud de la fuerza resultante. z z 30 kN 600 N D A 400 mm C 400 mm x 20 kN 2.5 m 0.75 m 500 N O 90 kN 0.75 m FB 2.5 m FC 0.75 m 200 mm 200 mm y z B 4 FA x y 3m 3m 0.75 m Probs. 4-134/135 Prob. 4-131 *4-132. Tres fuerzas paralelas de atornillado actúan sobre la placa circular. Determine la fuerza resultante y especifique su ubicación (x, y) sobre la placa. FA  200 lb, FB  100 lb y FC  400 lb. *4-136. Reemplace el sistema de fuerzas paralelas que actúa sobre la placa por una fuerza resultante y especifique su ubicación sobre el plano x-z. •4-133. Las tres fuerzas paralelas de atornillado actúan sobre la placa circular. Si la fuerza en A tiene una magnitud de FA  200 lb, determine las magnitudes de FB y FC de manera que la fuerza resultante FR del sistema tenga una línea de acción que coincida con el eje y. Sugerencia: se requiere que ©Mx  0 y ©Mz  0. z 0.5 m 1m z 2 kN C FC 5 kN 1.5 pies 1m 45 x 30 B A FB FA 1m y y 3 kN 0.5 m x Probs. 4-132/133 C04 EST_H BBELER .indd 181 Prob. 4-136 11/19/09 2:5 :10 AM 182 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS •4-137. Si FA  7 kN y FB  5 kN, represente el sistema de fuerzas que actúa sobre los voladizos mediante una fuerza resultante y especifique su ubicación sobre el plano x-y. *4-140. Reemplace las tres fuerzas que actúan sobre la placa por una llave. Especifique la magnitud de la fuerza y del momento de par para la llave, así como el punto P(y, z) donde su línea de acción interseca la placa. 4-138. Determine las magnitudes de FA y FB de modo que la fuerza resultante pase a través del punto O de la columna. z z FB 150 mm 6 kN 750 mm 100 mm FA 4 B 700 mm O 650 mm x 12 pies 8kN y 100 mm 600 mm 150 mm FB  {60j} lb P y C FC  {40i} lb x FA  {80k}lb Probs. 4-137/138 12 pies z A y Prob. 4-140 4-139. Reemplace el sistema de fuerza y momento de par que actúa sobre el bloque rectangular por una llave. Especifique la magnitud de la fuerza y del momento de par de la llave, así como el punto donde su línea de acción interseca el plano x-y. •4-141. Reemplace las tres fuerzas que actúan sobre la placa por una llave. Especifique la magnitud de la fuerza y del momento de par para la llave, así como el punto P(x, y) donde su línea de acción interseca la placa. z z FB  {800k} N FA  {500i} N A 4 pies 600 lb pie B 450 lb 600 lb y P x 2 pies y y x x 6m 4m 3 pies C FC  {300j} N 300 lb Prob. 4-139 C04 EST_H BBELER .indd 182 Prob. 4-141 11/19/09 2:5 :11 AM 183 4.9 REDUCCIÓN DE UNA CARGA SIMPLE DISTRIBUIDA p 4.9 Reducción de una carga simple x distribuida FR En ocasiones, un cuerpo puede estar sometido a una carga que se encuentra distribuida por toda su superficie. Por ejemplo, la presión del viento sobre la superficie de un señalamiento, la presión del agua dentro de un tanque, o el peso de la arena sobre el piso de un contenedor de almacenaje, son todas cargas distribuidas. La presión ejercida sobre cada punto de la superficie indica la intensidad de la carga. Ésta se mide por pascales Pa (o N>m2) en unidades SI o lb>pie2 en el sistema de uso común en Estados Unidos. b p  p(x) C L x (a) Carga uniforme a lo largo de un solo eje. El tipo más común de carga distribuida que se encuentra en la práctica de la ingeniería es una carga uniforme a lo largo de un solo eje*. Por ejemplo, considere la viga (o placa) de la figura 4-48a que tiene un ancho constante y está sometida a una carga de presión que varía sólo a lo largo del eje x. Esta carga se puede describir mediante la función p  p(x) N>m2. Contiene sólo una variable x, y por esa razón también podemos representarla como una carga distribuida coplanar. Para esto, multiplicamos la función de carga por el ancho b m de la viga, de modo que w(x)  p(x)b N>m, figura 4-48b. Con los métodos de la sección 4.8, podemos reemplazar este sistema de fuerzas paralelas coplanares por una sola fuerza resultante equivalente FR que actúa en una ubicación específica sobre la viga, figura 4-48c. w 4 &2  i&; &2  ', wX DX  '! D!  ! x dx O x L (b) w FR Magnitud de la fuerza resultante. A partir de la ecuación 4-17 (FR  ©F), la magnitud de FR es equivalente a la suma de todas las fuerzas en el sistema. En este caso, debemos usar integración puesto que hay un número infinito de fuerzas paralelas dF que actúan sobre la viga, figura 4-48b. Como dF actúa sobre un elemento de longitud dx, y w(x) es una fuerza por unidad de longitud, entonces dF  w(x) dx  dA. En otras palabras, la magnitud de dF se determina a partir del área diferencial sombreada dA bajo la curva de carga. Para toda la longitud L. 4 dF  dA w  w(x) C O A x x L (c) Fig. 4-48 (4-19) Por consiguiente, la magnitud de la fuerza resultante es igual al área total A bajo el diagrama de carga, figura 4-48c. *El caso más general de una superficie con carga no uniforme que actúa sobre un cuerpo está considerado en la sección 9.5. C04 EST_H BBELER .indd 18 11/19/09 2:5 :11 AM 184 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS Ubicación de la fuerza resultante. Aplicando la ecuación p 4-17 (MRo  ©MO), la ubicación x de la línea de acción de FR puede determinarse igualando los momentos de la fuerza resultante y de la distribución de fuerzas con respecto al punto O (el eje y). Como dF produce un momento de x dF  xw(x) dx con respecto a O, figura 4-48b, entonces, para toda la longitud, figura 4-48c. x FR b p  p(x) C a L (-2)/  i-/; X&2  x ', XwX DX Al despejar x de la ecuación 4-19, tenemos (a) w dF  dA w  w(x) 4 X  ', XwX DX ', x L (b) w FR C O A x x L (c) X D! '! (4-20) D! Esta coordenada x, ubica el centro geométrico o centroide del área bajo el diagrama de carga distribuida. En otras palabras, la fuerza resultante tiene una línea de acción que pasa por el centroide C (centro geométrico) del área bajo el diagrama de carga, figura 4-48c. En el capítulo 9 se proporciona un tratamiento detallado de las técnicas de integración para encontrar la ubicación de centroides de áreas. Sin embargo, en muchos casos el diagrama de carga distribuida tiene la forma de un rectángulo, de un triángulo, o algún otro cuerpo geométrico simple. La ubicación de los centroides para formas tan comunes no tiene que determinarse con la ecuación anterior sino que pueden obtenerse directamente de las tablas que aparecen en el forro interior de la contraportada de este libro. Una vez determinada x, por simetría, FR pasa a través del punto ( x, 0) sobre la superficie de la viga, figura 4-48a. Por lo tanto, en este caso, la fuerza resultante tiene una magnitud igual al volumen bajo la curva de carga p  p(x) y una línea de acción que pasa por el centroide (centro geométrico) de este volumen. Puntos importantes b 2 a wX DX '! x dx O  FR w0 b • Las cargas distribuidas coplanares se definen con una función de carga w  w(x) que indica la intensidad de la carga a lo largo de la longitud del elemento. Esta intensidad se mide en N>m o lb>pie. • Los efectos externos causados por una carga distribuida coplaLa viga que soporta esta pila de madera está sometida a una carga uniforme de w0. Por lo tanto, la fuerza resultante es igual al área bajo el diagrama de carga FR  w0b. Esta fuerza actúa a través del centroide o centro geométrico del área, a una distancia b>2 desde el soporte. C04 EST_H BBELER .indd 184 nar que actúa sobre un cuerpo pueden representarse por medio de una sola fuerza resultante. • Esta fuerza resultante es equivalente al área bajo el diagrama de carga, y tiene una línea de acción que pasa por el centroide o centro geométrico de esta área. 11/19/09 2:5 :12 AM 4.9 REDUCCIÓN DE UNA CARGA SIMPLE DISTRIBUIDA 185 EJEMPLO 4.21 Determine la magnitud y la ubicación de la fuerza resultante equivalente que actúa sobre la flecha de la figura 4-49a. w w w  (60 x )N/m 240 N/m 2 FR  160 N dA  w dx C x x O O x dx x  1.5 m 2m (a) 4 (b) Fig. 4-49 SOLUCIÓN Como w  w(x) está dada, este problema se resolverá por integración. El elemento diferencial tiene un área dA  w dx  60x2 dx. Si se aplica la ecuación 4-19, 4 &2  i&; 2m &2  '! D!  '0 60X2 DX  60 @ X3 2 m 23  60 @ H1 3 0 3 03 H 3  160 N Resp. La ubicación x de FR medida desde O, figura 4-49b, se determina con la ecuación 4-20. 2m X D! '! X  '! D!  1.5 m 60 @ 2  '0 X60X  DX 160 N  X4 2 m H1 4 0 160 N 60 @  24 4 04 H 4 160 N Resp. NOTA: estos resultados pueden verificarse mediante la tabla que se proporciona en el forro interior de la contraportada de este libro, donde se muestra que para un área exparabólica de longitud a, altura b, y el perfil que se muestra en la figura 4-49a, tenemos !  2 m240 Nm 3 AB 3   160 N y X  A  2 m  1.5 m 3 3 4 4 C04 EST_H BBELER .indd 185 11/19/09 2:5 :14 AM 186 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS EJEMPLO 4.22 Una carga distribuida de p  (800x) Pa actúa sobre la superficie superior de la viga que se muestra en la figura 4-50a. Determine la magnitud y la ubicación de la fuerza resultante equivalente. 7200 P 800x P x x 9 0.2 4 SOLUCIÓN w 1440 N/m w  160x N/m Como la intensidad de la carga es uniforme a lo largo del ancho de la viga (el eje y), la viga puede verse en dos dimensiones, como se muestra en la figura 4-50b. Aquí x w  800X Nm20.2 m x  160X Nm 9m Observe que w  1440 N>m en x  9 m. Aunque podemos aplicar de nuevo las ecuaciones 4-19 y 4-20 como en el ejemplo anterior, es más sencillo utilizar la tabla que aparece en el forro interior al final del libro. La magnitud de la fuerza resultante es equivalente al área bajo el triángulo. (b) FR  6.48 kN x6m 3m &2  129 m1440 Nm  6480 N  6.48 kN Resp. La línea de acción de FR pasa por el centroide C de este triángulo. Por consiguiente C X  9m 1 3 9 m  6 m Resp. Estos resultados se muestran en la figura 4-50c. (c) Fig. 4-50 NOTA: también podemos considerar que la resultante FR actúa a través del centroide del volumen del diagrama de carga p  p(x) en la figura 4-50a. Por lo tanto FR corta el plano x-y en el punto (6 m, 0). Además, la magnitud de FR es igual al volumen bajo el diagrama de carga; es decir, &2  6  127200 Nm29 m0.2 m  6.48 kN C04 EST_H BBELER .indd 18 Resp. 11/19/09 2:5 :17 AM 4.9 REDUCCIÓN DE UNA CARGA SIMPLE DISTRIBUIDA 187 EJEMPLO 4.23 El material granular ejerce una carga distribuida sobre la viga como se muestra en la figura 4-51a. Determine la magnitud y la ubicación de la resultante equivalente de esta carga. 100 lb/pie SOLUCIÓN A El área del diagrama de carga es un trapecio y, por ello, la solución puede obtenerse directamente con las fórmulas de áreas y centroides para un trapecio enlistadas en el forro interior al final del libro. Como estas fórmulas no son fáciles de recordar, resolveremos este problema con las áreas “compuestas”. Para esto dividiremos la carga del trapecio en una carga rectangular y en una carga triangular como se muestra en la figura 4-51b. La magnitud de la fuerza representada por cada una de esas cargas es igual a su área asociada, 50 lb/pie B 9 pies (a) F1 F2 50 lb/pie 50 lb/pie 4 A B &1  129 pies50 lbpie  225 lb x1 x2 &2  9 pies50 lbpie  450 lb 9 pies (b) Las líneas de acción de estas fuerzas paralelas actúan a través del centroide de sus áreas asociadas y, por lo tanto, intersecan la viga en FR X1  139 pies  3 pies x X2  129 pies  4.5 pies A B Las dos fuerzas paralelas F1 y F2 pueden reducirse a una sola fuerza resultante FR. La magnitud de FR es 4 &2  i&; &2  225 450  675 lb (c) Resp. Con referencia al punto A, figuras 4-51b y 4-51c, podemos encontrar la ubicación de FR. Requerimos que x3 F3 F4 100 lb/pie c -2!  i-!; X675  3225 X  4 pies 50 lb/pie A 4.5450 Resp. NOTA: el área trapecial que se indica en la figura 4-51a también puede ser dividida en dos áreas triangulares, como se muestra en la figura 4-51d. En este caso x4 9 pies (d) Fig. 4-51 &3  129 pies100 lbpie  450 lb &4  129 pies50 lbpie  225 lb y X3  139 pies  3 pies X4  9 pies 1 3 9 pies  6 pies con estos resultados, muestre que de nuevo FR  675 lb y x  4 pies. NOTA: C04 EST_H BBELER .indd 187 11/19/09 2:5 :19 AM 188 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS PROBLEMAS FUNDAMENTALES F4-37. Determine la fuerza resultante y especifique el punto, medido desde A, donde dicha fuerza actúa sobre la viga. F4-40. Determine la fuerza resultante y especifique el punto, medido desde A, donde dicha fuerza actúa sobre la viga. 9 kN/m 6 kN/m A 1.5 m 4 200 lb/pie 3 kN/m B 3m 500 lb 150 lb/pie B A 6 pies 1.5 m 3 pies 3 pies F4-40 F4-37 F4-38. Determine la fuerza resultante y especifique el punto, medido desde A, donde dicha fuerza actúa sobre la viga. F4-41. Determine la fuerza resultante y especifique el punto, medido desde A, donde dicha fuerza actúa sobre la viga. 6 kN/m 150 lb/pie 3 kN/m B A A B 6 pies 4.5 m 8 pies 1.5 m F4-41 F4-38 F4-39. Determine la fuerza resultante y especifique el punto, medido desde A, donde dicha fuerza actúa sobre la viga. F4-42. Determine la fuerza resultante y especifique el punto, medido desde A, donde dicha fuerza actúa sobre la viga. w 6 kN/m 160 N/m w  2.5x3 B A 3m 6m F4-39 C04 EST_H BBELER .indd 188 A x 4m F4-42 11/19/09 2:5 :21 AM 189 4.9 REDUCCIÓN DE UNA CARGA SIMPLE DISTRIBUIDA PROBLEMAS 4-142. Reemplace la carga distribuida por una fuerza resultante equivalente y especifique su ubicación sobre la viga, medida desde el punto A. •4-145. Reemplace la carga distribuida por una fuerza resultante equivalente y especifique su ubicación sobre la viga, medida desde el punto A. 15 kN/m w0 w0 10 kN/m A B A L –– 2 B 3m 3m 3m L –– 2 4 Prob. 4-145 Prob. 4-142 4-143. Reemplace la carga distribuida por una fuerza resultante equivalente y especifique su ubicación sobre la viga, medida desde el punto A. 8 kN/m 4-146. En la figura se muestra la distribución de carga del suelo sobre la base de una losa de un edificio. Reemplace esta carga por una fuerza resultante equivalente y especifique su ubicación, medida desde el punto O. O 4 kN/m 50 lb/pie A 100 lb/pie B 3m 300 lb/pie 9 pies 12 pies 3m Prob. 4-143 Prob. 4-146 *4-144. Reemplace la carga distribuida por una fuerza resultante equivalente y especifique su ubicación medida desde el punto A. 4-147. Determine las intensidades w1 y w2 de la carga distribuida que actúa sobre la parte inferior de la losa, de modo que esta carga tenga una fuerza resultante equivalente que sea igual pero opuesta a la resultante de la carga distribuida que actúa en la parte superior de la losa. 800 N/m 3 pies 6 pies 1.5 pies 200 N/m 300 lb/pie A B 2m 3m A B w1 w2 Prob. 4-144 C04 EST_H BBELER .indd 189 Prob. 4-147 11/19/09 2:5 :22 AM 190 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS *4-148. Los ladrillos sobre la parte superior de la viga y los soportes en la parte inferior producen la carga distribuida que se muestra en la segunda figura. Determine la intensidad requerida w y la dimensión d del soporte derecho para que la fuerza y el momento de par resultantes con respecto al punto A del sistema sean ambos iguales a cero. 4-150. La viga está sometida a la carga distribuida que se muestra. Determine la longitud b de la carga uniforme y su posición a sobre la viga, de manera que la fuerza y el momento de par resultantes que actúan sobre la viga sean iguales a cero. b 40 lb/pie a 0.5 m d 200 N/m 3m 60 lb/pie 4 10 pies A 75 N/m 6 pies Prob. 4-150 w 0.5 m d 3m Prob. 4-148 •4-149. La presión del viento que actúa sobre un señalamiento triangular es uniforme. Reemplace esta carga por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes en el punto O. 4-151. En la actualidad, 85 por ciento de todas las lesiones de cuello son causadas por colisiones en la parte trasera de un automóvil. Para mitigar este problema se ha desarrollado un respaldo para los asientos de automóvil, el cual proporciona una presión adicional de contacto con el cráneo. Durante las pruebas dinámicas se ha graficado y demostrado que la distribución de carga sobre el cráneo es parabólica. Determine la fuerza resultante equivalente y su ubicación medida desde el punto A. z 1.2 m 0.1 m 150 Pa A 12 lb/pie 0.5 pie 1.2 m w w  12(1  2x2) lb/pie B 1m 18 lb/pie O x Prob. 4-149 C04 EST_H BBELER .indd 190 y x Prob. 4-151 11/19/09 2:5 :2 AM 191 4.9 REDUCCIÓN DE UNA CARGA SIMPLE DISTRIBUIDA *4-152. El viento ha depositado arena sobre una plataforma de manera que la intensidad de la carga se puede aproximar mediante la función w  (0.5x3) N>m. Simplifique esta carga distribuida a una fuerza resultante equivalente y especifique su magnitud y ubicación medida desde A. 4-154. Reemplace la carga distribuida por una fuerza resultante equivalente y especifique su ubicación, medida desde el punto A y sobre la viga. w w 500 N/m 8 kN/m w  (0.5x3) N/m 1 (4  x)2 w  –– 2 A x B 4 x A 4m Prob. 4-154 10 m Prob. 4-152 •4-153. El concreto húmedo ejerce una presión distribuida a lo largo de la pared de la cimbra. Determine la fuerza resultante de esta distribución, y especifique la altura h en que debe colocarse el puntal de soporte de modo que esté posicionado sobre la línea de acción de la fuerza resultante. La pared tiene una anchura de 5 m. 4-155. Reemplace la carga por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes en el punto A. *4-156. Reemplace la carga por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes en el punto B. p 50 l / ie 50 l / ie 1 / p  (4 z 2) kPa 4m 4 ie ie h 8 kPa 100 l / ie 0 z Prob. 4-153 C04 EST_H BBELER .indd 191 A Probs. 4-155/156 11/19/09 2:5 :2 AM 192 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS •4-157. La fuerza de sustentación a lo largo del ala de un avión de propulsión a chorro consta de una distribución uniforme a lo largo de AB, y una distribución semiparabólica a lo largo de BC con origen en B. Reemplace esta carga por una sola fuerza resultante y especifique su ubicación medida desde el punto A. *4-160. La carga distribuida actúa sobre la viga como se muestra en la figura. Determine la magnitud de la fuerza resultante equivalente y especifique su ubicación, medida desde el punto A. w w 2 x2  17 x  4) lb/pie w  (15 15 w  (2880  5x2) lb/pie 2880 lb/pie 4 lb/pie 2 lb/pie B A 4 x C 12 pies B A x 10 pies 24 pies Prob. 4-157 Prob. 4-160 4-158. La carga distribuida actúa sobre la viga como se muestra en la figura. Determine la magnitud de la fuerza resultante equivalente y especifique el punto donde actúa, medido desde el punto A. •4-161. Si la distribución de la reacción del suelo por unidad de longitud sobre el tubo puede aproximarse como se muestra en la figura, determine la magnitud de la fuerza resultante producida por esta carga. 4-159. La carga distribuida actúa sobre la viga como se muestra en la figura. Determine la intensidad máxima wmáx. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante equivalente? Especifique el punto donde actúa, medido desde el punto B. 25 lb/pie 2.5 pies w w  (2x2  4x  16) lb/pie u w  25 (1  cos u) lb/pie 50 lb/pie A B x 4 pies Probs. 4-158/159 C04 EST_H BBELER .indd 192 Prob. 4-161 11/19/09 2:5 :24 AM 193 REPASO DEL CAPÍTULO REPASO DEL CAPÍTULO Momento de fuerza-Definición escalar Eje de momento Una fuerza produce un efecto rotatorio o momento con respecto a un punto O que no se encuentra sobre su línea de acción. En forma escalar, la magnitud del momento es el producto de la fuerza y el brazo de momento o la distancia perpendicular desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza. -/  &D MO d F O 4 La dirección del momento se define con la regla de la mano derecha. MO siempre actúa a lo largo de un eje perpendicular al plano que contiene a F y d, y pasa por el punto O. y En lugar de calcular d, normalmente es más fácil descomponer la fuerza en sus componentes x y y, determinar el momento de cada componente con respecto al punto, y luego sumar los resultados. Esto se llama el principio de momentos. -/  &D  &XY F Fy x &YX Fx y d x O Momento de una fuerza-Definición vectorial Como por lo general la geometría tridimensional es más difícil de visualizar, puede usarse el producto cruz para determinar el momento. MO  r  F, donde r es un vector de posición que se extiende desde el punto O hasta cualquier punto sobre la línea de acción de F. M/  r! F  r" F  r# z F C rC M/  r F  i RX &X j RY &Y k RZ &Z A rA O C04 EST_H BBELER .indd 19 F rB MO Si el vector de posición r y la fuerza F se expresan como vectores cartesianos, entonces el producto cruz se obtiene del desarrollo de un determinante. B y x 11/19/09 2:5 :24 AM 194 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS Momento con respecto a un eje Si el momento de una fuerza F se va a determinar con respecto a un eje arbitrario a, entonces debe obtenerse la proyección del momento sobre el eje. Teniendo en cuenta que la distancia da que es perpendicular tanto a la línea de acción de la fuerza como al eje, entonces el momento de la fuerza con respecto al eje puede determinarse a partir de una ecuación escalar. 4 a da a Observe que cuando la línea de acción de F interseca el eje, el momento de F con respecto al eje es igual a cero. Además, cuando la línea de acción de F es paralela al eje, el momento de F con respecto al eje es igual a cero. En tres dimensiones, debe usarse el triple producto vectorial. Aquí, ua es el vector unitario que especifica la dirección del eje y r es un vector de posición que está dirigido desde cualquier punto sobre el eje hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza. Si Ma se calcula como un escalar negativo, entonces el sentido de dirección de Ma es opuesto a ua. F Ma r Ma  Fda Ma r ua -A  uA  r UAX F  RX &X UAY RY &Y UZ RZ &Z F Eje de proyección a¿ Momento de par Un par consta de dos fuerzas iguales pero opuestas que actúan separadas por una distancia perpendicular d. Los pares tienden a producir una rotación sin traslación. M  Fd C0 EST_HIBBELER .indd 19 d F La magnitud del momento de par es M  Fd, y su dirección se establece por medio de la regla de la mano derecha. Si se usa el producto cruz vectorial para determinar el momento del par, entonces r se extiende desde cualquier punto sobre la línea de acción de una de las fuerzas hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la otra fuerza F que se emplea en el producto cruz. F B F r A F MrF 12/1/09 2: :27 AM 195 REPASO DEL CAPÍTULO Simplificación de un sistema de fuerza y par FR Cualquier sistema de fuerzas y pares puede reducirse a una sola fuerza resultante y a un momento de par resultante que actúan en un punto. La fuerza resultante es la suma de todas las fuerzas presentes en el sistema, FR  ©F, y el momento de par resultante es igual a la suma de todos los momentos de las fuerzas con respecto al punto y todos los momentos de par. MRo  ©MO  ©M. Si la fuerza y el momento del par resultantes no son perpendiculares entre sí, entonces este sistema se puede reducir a una llave, la cual consta de la fuerza resultante y un momento de par colineal. O r2 MR  r1 u O O M FR FR 4 a b  MRO O b a a b d MRO FR P O M RO FR M兩兩 u b O b a FR  Una simplificación adicional a una sola fuerza resultante es posible siempre que el sistema de fuerzas sea concurrente, coplanar o paralelo. Para encontrar la ubicación de la fuerza resultante desde un punto, es necesario igualar el momento de la fuerza resultante con respecto al punto al momento de las fuerzas y pares presentes en el sistema con respecto al mismo punto. F1 F2 O a P d b a Carga distribuida coplanar Una carga simple distribuida puede representarse mediante una fuerza resultante, la cual es equivalente al área bajo la curva de carga. Esta resultante tiene una línea de acción que pasa por el centroide o centro geométrico del área o el volumen bajo el diagrama de carga. C04 EST_H BBELER .indd 195 w FR w  w(x) A C x O L O x L 11/19/09 2:5 :27 AM 196 CAPÍTULO 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS PROBLEMAS DE REPASO 4-162. La viga está sometida a la carga parabólica. Determine un sistema de fuerza y par equivalente en el punto A. *4-164. Determine los ángulos directores coordenados , ,  de F, que se aplica en el extremo del ensamble de tubos, de manera que el momento de F con respecto a O sea igual a cero. •4-165. Determine el momento de la fuerza F con respecto al punto O. La fuerza tiene ángulos directores coordenados de   60°,   120°,   45°. Exprese el resultado como un vector cartesiano. w F  20 lb 400 lb/pie 4 z w  (25 x2)lb/pie A O y O 10 pulg x 6 pulg 4 pies 8 pulg Prob. 4-162 6 pulg x Probs. 4-164/165 4-163. Dos pares actúan sobre el bastidor. Si el momento de par resultante debe ser igual a cero, determine la distancia d entre las fuerzas de par de 100 lb. 4-166. El brazo telescópico se extiende hasta la posición mostrada. Si el trabajador pesa 160 lb, determine el momento de esta fuerza con respecto a la conexión en A. 100 lb 30° 150 lb d 3 pies 5 3 pies B 3 4 2 pies 25 pies A 4 pies 50 30° A 100 lb 5 150 lb 3 4 Prob. 4-163 C04 EST_H BBELER .indd 19 Prob. 4-166 11/19/09 2:5 :28 AM 197 PROBLEMAS DE REPASO 4-167. Determine el momento de la fuerza FC con respecto a la bisagra en el punto A de la puerta. Exprese el resultado como un vector cartesiano. *4-168. Determine la magnitud del momento de la fuerza FC, con respecto al eje articulado aa de la puerta. 4-171. Reemplace la fuerza que actúa en A por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes en el punto P. Exprese los resultados en forma vectorial cartesiana. z z C 1.5 m 2.5 m FC  250 N P a 4 pies 10 pies F  120 lb 6 pies y 8 pies 4 30 6 pies A A 8 pies x B a 1m Prob. 4-171 0.5 m y x Probs. 4-167/168 •4-169. Exprese el momento del par que actúa sobre el ensamble de tubos en forma vectorial cartesiana. Resuelva el problema (a) con la ecuación 4-13 y (b) sume el momento de cada fuerza con respecto al punto O. Considere que F  {25k} N. 4-170. Si el momento de par que actúa sobre el tubo tiene una magnitud de 400 N # m, determine la magnitud F de la fuerza vertical aplicada a cada llave. *4-172. La fuerza horizontal de 30 N actúa sobre el maneral de la llave. Determine el momento de esta fuerza con respecto al punto O. Especifique los ángulos directores coordenados , ,  del eje de momento. •4-173. La fuerza horizontal de 30 N actúa sobre el maneral de la llave. ¿Cuál es la magnitud del momento de esta fuerza con respecto al eje z? z O 300 mm z 200 mm y F 150 mm 200 mm B B 10 mm 50 mm x O –F 400 mm y 200 mm A Probs. 4-169/170 C04 EST_H BBELER .indd 197 30 N 45 45 x Probs. 4-172/173 11/19/09 2:5 :28 AM La grúa está sometida a su peso y a la carga que soporta. Para calcular las reacciones en los apoyos de la grúa es necesario aplicar los principios del equilibrio. C05 EST_H BBELER.indd 198 11/19/09 2:55:48 AM Equilibrio de un cuerpo rígido 5 OBJETIVOS DEL CAPÍTULO • Desarrollar las ecuaciones de equilibrio para un cuerpo rígido. • Presentar el concepto de diagrama de cuerpo libre para un cuerpo rígido. • Mostrar cómo resolver problemas de equilibrio de cuerpos rígidos mediante las ecuaciones de equilibrio. 5.1 Condiciones para el equilibrio de un cuerpo rígido En esta sección desarrollaremos las condiciones necesarias y suficientes para lograr el equilibrio del cuerpo rígido que se muestra en la figura 5-1a. Este cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas externas y momentos de par que es el resultado de los efectos de fuerzas gravitatorias, eléctricas, magnéticas o de contacto causadas por cuerpos adyacentes. Las fuerzas internas causadas por interacciones entre partículas dentro del cuerpo no se muestran en la figura porque estas fuerzas ocurren en pares colineales iguales pero opuestos y por consiguiente se cancelarán, lo cual es una consecuencia de la tercera ley de Newton. F1 F4 O M2 F3 F2 M1 (a) Fig. 5-1 C05 EST_H BBELER.indd 199 11/19/09 2:55:48 AM 200 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO F1 F4 O M2 Si utilizamos los métodos del capítulo anterior, el sistema de fuerzas y momentos de par que actúan sobre un cuerpo puede reducirse a una fuerza resultante y un momento de par equivalentes en cualquier punto arbitrario O sobre el cuerpo o fuera de él, figura 5-1b. Si tanto la fuerza como el momento de par resultantes son iguales a cero, entonces se dice que el cuerpo está en equilibrio. En forma matemática, el equilibrio de un cuerpo se expresa como F3 F2 FR  iF = 0 (a) M1 (M R)O  iM O  0 (5-1) (MR)O  0 La primera de estas ecuaciones establece que la suma de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a cero. La segunda ecuación establece que la suma de los momentos de todas las fuerzas en el sistema con respecto al punto O, añadida a todos los momentos de par es igual a cero. Estas dos ecuaciones no sólo son necesarias para el equilibrio, también son suficientes. Para mostrar esto, considere la sumatoria de los momentos con respecto a algún otro punto, como el punto A de la figura 5-1c. Necesitamos FR  0 O 5 (b) iM A  r (MR)O  0 FR (M R)O  0 Como r Z 0, esta ecuación se cumple sólo si se satisfacen las ecuaciones 5-1, a saber FR  0 y (MR)O  0. Cuando se apliquen las ecuaciones de equilibrio, supondremos que el cuerpo permanece rígido. Sin embargo, en realidad todos los cuerpos se deforman cuando están sometidos a cargas. Aunque éste sea el caso, la mayoría de los materiales de ingeniería como el acero y el concreto son muy rígidos por lo que su deformación suele ser muy pequeña. Por lo tanto, al aplicar las ecuaciones de equilibrio, podemos suponer de manera general que el cuerpo permanecerá rígido y no se deformará bajo la carga aplicada sin introducir ningún error significativo. De esta forma, la dirección de las fuerzas aplicadas y sus brazos de momento con respecto a una referencia fija, permanecen sin cambio antes y después de cargar el cuerpo. FR  0 O r A (c) Fig. 5-1 EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES W G 2T Fig. 5-2 C05 EST_H BBELER.indd 200 R En la primera parte del capítulo, consideraremos el caso donde el sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido se encuentra en, o puede ser proyectado sobre un solo plano y, además, cualesquier momentos de par que actúen sobre el cuerpo se dirigen de manera perpendicular a dicho plano. Este tipo de sistema de fuerzas y momentos de par suele denominarse sistema de fuerzas coplanares o bidimensionales. Por ejemplo, el avión de la figura 5-2 tiene un plano de simetría a través de su eje central, y por lo tanto las cargas que actúan sobre el avión son simétricas con respecto a ese plano. Así, cada una de las dos llantas de las alas soportará la misma carga T, lo cual se representa en la vista lateral (bidimensional) del avión como 2T. 11/19/09 2:55:49 AM 201 5.2 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE 5.2 Diagramas de cuerpo libre La aplicación exitosa de las ecuaciones de equilibrio requiere de una especificación completa de todas las fuerzas externas conocidas y desconocidas que actúan sobre un cuerpo. La mejor manera de tomar en cuenta esas fuerzas es trazar el diagrama de cuerpo libre del cuerpo, el cual lo representa aislado o “libre” de su entorno, esto es, un “cuerpo libre”. Sobre este bosquejo es necesario mostrar todas las fuerzas y los momentos de par que ejerce el entorno sobre el cuerpo, de manera que cuando se apliquen las ecuaciones de equilibrio se puedan tener en cuenta estos efectos. Para resolver problemas en mecánica, es de primordial importancia tener un entendimiento total de cómo trazar un diagrama de cuerpo libre. Reacciones en soportes. Antes de presentar un procedimiento formal sobre cómo trazar un diagrama de cuerpo libre, primero consideraremos los diversos tipos de reacciones que ocurren en soportes y puntos de contacto entre cuerpos sometidos a sistemas coplanares de fuerza. Como regla general, • 5 Si un soporte evita la traslación de un cuerpo en una dirección dada, entonces se desarrolla una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección. • Si se evita una rotación, se ejerce un momento de par sobre el cuerpo. Por ejemplo, consideremos tres maneras en que un elemento horizontal, como una viga, está soportado en su extremo. Un método es por medio de un rodillo o cilindro, figura 5-3a. Como este soporte sólo evita que la viga se traslade en dirección vertical, el rodillo puede ejercer una fuerza sobre la viga únicamente en esta dirección, figura 5-3b. La viga puede ser soportada de una forma más restrictiva con un pasador, como se muestra en la figura 5-3c. El pasador liso atraviesa un orificio localizado en la viga y en dos placas que están fijas al suelo. Aquí, el pasador puede evitar la traslación de la viga en cualquier dirección , figura 5-3d, por lo que debe ejercer una fuerza F sobre la viga en esta dirección. Por lo general, para fines de análisis es más fácil representar esta fuerza resultante F por medio de sus dos componentes rectangulares Fx y Fy, figura 5-3e. Si se conocen Fx y Fy, entonces se pueden calcular F y . La manera más restrictiva de soportar la viga sería con un soporte fijo como se muestra en la figura 5-3f. Este soporte impedirá la traslación y la rotación de la viga. Para ello deben desarrollarse una fuerza y un momento de par sobre la viga en su punto de conexión, figura 5-3g. Como en el caso del pasador, la fuerza se suele representar mediante sus componentes rectangulares Fx y Fy. En la tabla 5-1 se presentan otros tipos comunes de soportes para cuerpos sometidos a sistemas coplanares de fuerzas. (En todos los casos se supone que se conoce el ángulo ). Estudie cuidadosamente cada uno de los símbolos usados para representar esos soportes y los tipos de reacciones que éstos ejercen sobre sus elementos en contacto. C05 EST_H BBELER.indd 201 rodillo F (a) (b) pasador (c) F f o bien Fx Fy (d) (e) M Fx soporte fijo (f) Fy (g) Fig. 5-3 11/19/09 2:55:50 AM 202 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO TABLA 5-1 Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas bidimensionales Tipos de conexión Reacción Número de incógnitas (1) u Una incógnita. La reacción es una fuerza de tensión que actúa alejándose del elemento en la dirección del cable. u F cable (2) u u o bien u F Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa a lo largo del eje del eslabón. F eslabón sin peso (3) Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto. 5 u u F rodillo (4) u F o bien F u Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la ranura. u rodillo o pasador confinado en una ranura lisa (5) Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto. u u F soporte mecedora (6) Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto. u u superficie de contacto lisa F (7) o bien u u u Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la barra. F elemento conectado mediante un pasador a un collar sobre una barra lisa continúa C05 EST_H BBELER.indd 202 11/19/09 2:55:50 AM 5.2 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE TABLA 5-1 203 Continuación Tipos de conexión Reacción (8) Número de incógnitas F Fy o bien u Dos incógnitas. Las reacciones son dos componentes de fuerza, o la magnitud y la dirección  de la fuerza resultante. Observe que  y  no son necesariamente iguales [no suelen serlo, a menos que la barra mostrada sea un eslabón como en (2)]. f Fx pasador liso o articulación lisa (9) F Dos incógnitas. Las reacciones son el momento de par y la fuerza que actúa perpendicularmente a la barra. M elemento con conexión fija a un collar sobre una barra lisa (10) 5 Fy F Fx M f o bien M Tres incógnitas. Las reacciones son el momento de par y las dos componentes de fuerza, o el momento de par y la magnitud y la dirección  de la fuerza resultante. soporte fijo En la siguiente serie de fotografías se presentan ejemplos típicos de soportes reales. Los números indican los tipos de conexión a que se hace referencia en la tabla 5-1. Esta trabe de concreto descansa sobre el borde que supuestamente actúa como una superficie de contacto lisa. (6) El cable ejerce una fuerza sobre la ménsula, o soporte, en la dirección del cable. (1) El soporte de mecedora para esta trabe de puente permite el movimiento horizontal de manera que el puente pueda dilatarse y contraerse por cambios en la temperatura. (5) Esta instalación de edificio está soportada por un pasador en la parte superior de la columna. (8) C05 EST_H BBELER.indd 20 Las vigas del piso de este edificio se sueldan entre sí para formar conexiones fijas. (10) 11/19/09 2:55:52 AM 204 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO Fuerzas internas. Como mencionamos en la sección 5.1, las fuerzas internas que actúan entre partículas adyacentes en un cuerpo siempre se presentan en parejas colineales que tienen la misma magnitud pero que actúan en direcciones opuestas (tercera ley de Newton). Como estas fuerzas se cancelan entre sí, no crearán un efecto externo sobre el cuerpo. Por esta razón, las fuerzas internas no deben incluirse en el diagrama de cuerpo libre si se toma en cuenta todo el cuerpo. Por ejemplo, el motor que se muestra en la figura 5-4a tiene un diagrama de cuerpo libre que aparece en la figura 5-4b. Las fuerzas internas entre todas sus partes conectadas, a saber tornillos y tuercas, se cancelarán porque forman parejas colineales y opuestas. En el diagrama de cuerpo libre sólo se muestran las fuerzas externas T1 y T2, que ejercen las cadenas y el peso W del motor. T2 T1 5 G (a) W (b) Fig. 5-4 Peso y centro de gravedad. Cuando un cuerpo está sometido a un campo gravitatorio, cada una de sus partículas tiene un peso específico. En la sección 4.8 se mostró que dicho sistema se puede reducir a una sola fuerza resultante que actúa a través de un punto específico. Nos referimos a esta fuerza resultante como al peso W del cuerpo, y a la posición de su punto de aplicación como al centro de gravedad. Los métodos usados para su determinación se desarrollarán en el capítulo 9. En los ejemplos y problemas que siguen, si el peso del cuerpo es importante para el análisis, esta fuerza resultante se indicará en el enunciado del problema. También, cuando el cuerpo sea uniforme, o esté hecho de material homogéneo, el centro de gravedad se localizará en el centro geométrico o centroide del cuerpo; sin embargo, si el cuerpo no es homogéneo o tiene una forma poco común, entonces se dará la ubicación de su centro de gravedad G. Modelos idealizados. Cuando un ingeniero realiza un análisis de fuerzas de cualquier objeto, debe considerar un modelo analítico correspondiente o modelo idealizado que dé resultados que se aproximen lo más posible a la situación real. Para ello, tiene que hacerse una selección cuidadosa de manera que el tipo de soportes, el comportamiento del material y las dimensiones del objeto queden justificados. De esta manera es posible confiar en que cualquier diseño o análisis dará C05 EST_H BBELER.indd 204 11/19/09 2:55:5 AM 205 5.2 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE resultados seguros. En casos complejos, este proceso puede requerir el desarrollo de varios modelos diferentes del objeto que debe analizarse. En cualquier caso, este proceso de selección requiere tanto habilidad como experiencia. Los siguientes dos casos ilustran lo que se requiere para desarrollar un modelo apropiado. Como se ve en la figura 5-5a, se va a utilizar la viga de acero para soportar los largueros del techo de un edificio. En un análisis de fuerza, es razonable suponer que el material (acero) es rígido puesto que sólo ocurrirán muy pequeñas deflexiones cuando se cargue la viga. Una conexión con pernos en A permitirá cualquier rotación que ocurra cuando se aplique la carga, por lo que para el soporte puede considerarse un pasador liso. En B puede considerarse un rodillo, puesto que ahí el soporte no ofrece resistencia al movimiento horizontal. Para especificar la carga de techo A se usa el código de construcción a fin de poder calcular las cargas F de los largueros. Estas fuerzas serán mayores que cualquier carga real sobre la viga ya que toman en cuenta los casos extremos de carga para efectos dinámicos o de vibración. Finalmente, el peso de la viga por lo general se pasa por alto cuando es pequeño comparado con la carga que soporta la viga. Por consiguiente, el modelo idealizado de la viga se muestra con dimensiones promedio a, b, c y d en la figura 5-5b. Como un segundo caso, considere la pluma de ascenso de la figura 5-6a, la cual está soportada por un pasador colocado en A y por el cilindro hidráulico BC, que puede aproximarse como un eslabón sin peso. Podemos suponer que el material es rígido, y con su densidad conocida, se determinan el peso de la pluma y la ubicación de su centro de gravedad G. Cuando se especifica una carga de diseño P, el modelo idealizado que se muestra en la figura 5-6b puede usarse para un análisis de fuerza. Para especificar la ubicación de las cargas y soportes, se usan dimensiones promedio (no se muestran aquí). En algunos de los ejemplos presentados en el texto se darán modelos idealizados de objetos específicos. Sin embargo, es necesario tener en mente que cada caso representa la reducción de una situación práctica mediante supuestos simplificados como los que se ilustran aquí. B A (a) F F F A B a b c d (b) Fig. 5-5 5 P G C A C B B A (a) (b) Fig. 5-6 C05 EST_H BBELER.indd 205 11/19/09 2:55:5 AM 206 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO Procedimiento para el análisis Para construir el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo rígido o cualquier grupo de cuerpos considerados como un solo sistema, deben darse los siguientes pasos: Trace el contorno. Imagine el cuerpo aislado o recortado “libre” de sus restricciones y conexiones, y delinee (en un bosquejo) su contorno. Muestre todas las fuerzas y momentos de par. Identifique todas las fuerzas externas conocidas y desconocidas y los momentos de par que actúan sobre el cuerpo. Las que por lo general se encuentran se deben a (1) cargas aplicadas, (2) reacciones que ocurren en los soportes o en puntos de contacto con otros cuerpos (vea la tabla 5-1), y (3) el peso del cuerpo. Para tomar en cuenta todos estos efectos, puede servir hacer trazos sobre los límites, y señalar cuidadosamente cada fuerza o momento de par que actúa en el cuerpo. 5 Identifique cada carga y las dimensiones dadas. Las fuerzas y los momentos de par que se conocen deben marcarse con sus propias magnitudes y direcciones. Se usan letras para representar las magnitudes y los ángulos de dirección de fuerzas y momentos de par que sean desconocidos. Establezca un sistema coordenado x, y de manera que se puedan identificar estas incógnitas, Ax, Ay, etcétera. Indique las dimensiones del cuerpo necesarias para calcular los momentos de las fuerzas. Puntos importantes • Ningún problema de equilibrio debe resolverse sin trazar pri- • • • • • • C05 EST_H BBELER.indd 20 mero el diagrama de cuerpo libre, de manera que se tomen en cuenta todas las fuerzas y los momentos de par que actúan sobre el cuerpo. Si un soporte evita la traslación de un cuerpo en una dirección particular, entonces el soporte ejerce una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección. Si se evita la rotación, entonces el soporte ejerce un momento de par sobre el cuerpo. Estudie la tabla 5-1. Las fuerzas internas nunca se muestran en el diagrama de cuerpo libre puesto que se presentan en parejas colineales iguales pero opuestas, y por consiguiente, se cancelan. El peso de un cuerpo es una fuerza externa, y su efecto se representa mediante una sola fuerza resultante que actúa a través del centro de gravedad G del cuerpo. Los momentos de par pueden colocarse en cualquier parte del diagrama de cuerpo libre puesto que son vectores libres. Las fuerzas pueden actuar en cualquier punto a lo largo de sus líneas de acción ya que son vectores deslizantes. 11/19/09 2:55:54 AM 5.2 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE 207 EJEMPLO 5.1 Trace el diagrama de cuerpo libre de la viga uniforme que se muestra en la figura 5-7a. La viga tiene una masa de 100 kg. (a) 5 SOLUCIÓN El diagrama de cuerpo libre de la viga se muestra en la figura 5-7b. Como el soporte en A es fijo, la pared ejerce tres reacciones que actúan sobre la viga, identificadas como Ax, Ay y MA. Las magnitudes de estas reacciones son desconocidas, y sus sentidos son supuestos. El peso de la viga, W  100(9.81) N  981 N, actúa a través del centro de gravedad G de la viga, que está a 3 m de A puesto que la viga es uniforme. y 1200 N 2m x Efecto del soporte fijo que actúa sobre la viga Ay Efecto de la fuerza aplicada sobre la viga G Ax A MA 3m 981 N Efecto de la gravedad (peso) que actúa sobre la viga (b) Fig. 5-7 C05 EST_H BBELER.indd 207 11/19/09 2:55:54 AM 208 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO EJEMPLO 5.2 Trace el diagrama de cuerpo libre del pedal que se muestra en la figura 5-8a. El operador aplica una fuerza vertical al pedal de manera que el resorte se estira 1.5 pulg y la fuerza en el eslabón corto en B es de 20 lb. F B 1.5 pulg 1 pulg A B A k  20 lb/pulg 5 pulg (b) F 5 20 lb B (a) 30 lb 1.5 pulg 1 pulg Fig. 5-8 A Ax 5 pulg Ay (c) SOLUCIÓN Como podemos ver por la fotografía, la palanca está unida holgadamente al bastidor del camión en A por medio de un perno. La barra en B está articulada en sus extremos y actúa como un “eslabón corto”. Después de realizar las mediciones apropiadas, el modelo idealizado de la palanca se muestra en la figura 5-8b. A partir de esto, se muestra el diagrama de cuerpo libre en la figura 5-8c. El soporte de pasador en A ejerce las componentes de fuerza Ax y Ay sobre la palanca. El eslabón en B ejerce una fuerza de 20 lb, y actúa en la dirección del eslabón. Además, el resorte ejerce también una fuerza horizontal sobre la palanca. Si se mide la rigidez y se encuentra que es k  20 lb>pulg, entonces, como el alargamiento s  1.5 pulg, con la ecuación 3-2, Fs  ks  20 lb>pulg (1.5 pulg)  30 lb. Finalmente, el zapato del operador aplica una fuerza vertical F sobre el pedal. Las dimensiones de la palanca se muestran también sobre el diagrama de cuerpo libre, ya que esta información será útil cuando se calculen los momentos de las fuerzas. Como es usual, se han dado por descontados los sentidos de las fuerzas desconocidas en A. Los sentidos correctos serán evidentes después de resolver las ecuaciones de equilibrio. C05 EST_H BBELER.indd 208 11/19/09 2:55:5 AM 209 5.2 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE EJEMPLO 5.3 Dos tubos lisos, cada uno con masa de 300 kg, están soportados por la horquilla del tractor en la figura 5-9a. Dibuje los diagramas de cuerpo libre para cada tubo y para los dos tubos juntos. Efecto de B que actúa sobre A R 30 B 0.35 m A Efecto de la placa inclinada que actúa sobre A 0.35 m A 30 30 30 T 2943 N Efecto de la gravedad (peso) que actúa sobre A (c) (b) B F Efecto de la horquilla inclinada que actúa sobre A 30 (a) 30 R 5 2943 N P (d) SOLUCIÓN El modelo idealizado a partir del cual debemos dibujar los diagramas de cuerpo libre se muestra en la figura 5-9b. Aquí los tubos están identificados, se han agregado las dimensiones, y la situación física se redujo a su forma más simple. En la figura 5-9c se muestra el diagrama de cuerpo libre para el tubo A. Su peso es W  300(9.81)  2943 N. Suponiendo que todas las superficies de contacto son lisas, las fuerzas reactivas T, F, R actúan en una dirección normal a la tangente en sus superficies de contacto. El diagrama de cuerpo libre del tubo B se muestra en la figura 5-9d. ¿Puede identificar cada una de las tres fuerzas que actúan sobre este tubo? En particular, observe que R, que representa la fuerza de A sobre B, figura 5-9d, es igual y opuesta a R que representa la fuerza de B sobre A, figura 5-9c. Esto es una consecuencia de la tercera ley del movimiento de Newton. El diagrama de cuerpo libre de ambos tubos combinados (“sistema”) se muestra en la figura 5-9e. Aquí, la fuerza de contacto R, que actúa entre A y B, está considerada como una fuerza interna y por ello no se muestra en el diagrama de cuerpo libre. Es decir, representa un par de fuerzas colineales iguales pero opuestas que se cancelan entre sí. C0 EST_HIBBELER.indd 209 B 30 A 30 2943 N 30 T P 2943 N F (e) Fig. 5-9 12/1/09 2: : 9 AM 210 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO EJEMPLO 5.4 Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la plataforma sin carga que está suspendida del borde de la torre petrolera, figura 5-10a. La plataforma tiene una masa de 200 kg. 70 G A 5 B 1.40 m 1m 0.8 m (b) Fig. 5-10 T SOLUCIÓN 70 El modelo idealizado de la plataforma se considerará en dos dimensiones ya que, por observación, la carga y las dimensiones son simétricas con respecto a un plano vertical que pasa por su centro, figura 5-10b. Se considera que la conexión en A es un pasador y que el cable soporta la plataforma en B. La dirección del cable y las dimensiones promedio de la plataforma están indicadas, y se determinó el centro de gravedad G. A partir de este modelo hemos dibujado el diagrama de cuerpo libre que se muestra en la figura 5-10c. El peso de la plataforma es de 200(9.81)  1962 N. Las componentes de fuerza Ax y Ay junto con la fuerza del cable T representan las reacciones que ambos pasadores y ambos cables ejercen sobre la plataforma, figura 5-10a. En consecuencia, y de acuerdo con la solución para estas reacciones, la mitad de la magnitud de esas reacciones se desarrolla en A y la mitad se desarrolla en B. G Ax A Ay 1.40 m 0.8 m 1962 N (c) C05 EST_H BBELER.indd 210 1m 11/19/09 2:55:57 AM 211 5.2 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE PROBLEMAS •5-1. Trace el diagrama de cuerpo libre del cilindro de papel de 50 kg que tiene su centro de masa en G y descansa sobre la horquilla lisa del transportador de papel. Explique la importancia de cada fuerza que actúa sobre el diagrama. (Vea la figura 5-7b). *5.4. Trace el diagrama de cuerpo libre de la viga que soporta la carga de 80 kg y que está apoyada mediante un pasador en A y por medio de un cable que pasa alrededor de la polea en D. Explique la importancia de cada fuerza en el diagrama. (Vea la figura 5-7b). 35 mm D G B 5 4 A 3 30 A Prob. 5-1 B E C 5-2. Trace el diagrama de cuerpo libre del elemento AB, que se apoya mediante un rodillo en A y un pasador en B. Explique la importancia de cada fuerza en el diagrama. (Vea la figura 5-7b). 2m 2m 5 1.5 m 390 lb 13 12 800 lb pie Prob. 5-4 5 A 8 pies 4 pies 30 3 pies B Prob. 5-2 •5-5. Trace el diagrama de cuerpo libre de la armadura que está soportada por el cable AB y el pasador C. Explique la importancia de cada fuerza que actúa en el diagrama. (Vea la figura 5-7b). 5-3. Trace el diagrama de cuerpo libre de la caja de volteo D del camión, la cual tiene un peso de 5000 lb y centro de gravedad en G. La caja está soportada por un pasador en A y un cilindro hidráulico BC (eslabón corto) conectado mediante un pasador. Explique la importancia de cada fuerza en el diagrama. (Vea la figura 5-7b). B 30 1.5 m G D A 2m 1m B 3m 20 30 C C 3 kN 2m Prob. 5-3 C05 EST_H BBELER.indd 211 A 2m 4 kN 2m Prob. 5-5 11/19/09 2:55:58 AM 212 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO 5-6. Trace el diagrama de cuerpo libre de la pluma AB de la grúa, la cual tiene un peso de 650 lb y centro de gravedad en G. La pluma está soportada por un pasador en A y un cable BC. La carga de 1250 lb está suspendida de un cable unido en B. Explique la importancia de cada fuerza que actúa en el diagrama. (Vea la figura 5-7b). •5-9. Trace el diagrama de cuerpo libre de la barra, cuyo grosor no se toma en cuenta, y puntos de contacto lisos en A, B y C. Explique la importancia de cada fuerza en el diagrama. (Vea la figura 5-7b). 3 pulg 12 pies 30 5 pulg B 18 pies C 13 A 5 12 C A B G 8 pulg 30 10 lb 30 Prob. 5-6 5 5-7. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la “llave de horquilla” que está sometida a la fuerza de 20 lb. El soporte en A puede considerarse un pasador, y la superficie de contacto en B es lisa. Explique la importancia de cada fuerza que actúa en el diagrama. (Vea la figura 5-7b). 5-10. Trace el diagrama de cuerpo libre del malacate, el cual consiste en un tambor de 4 pulg de radio. Está conectado mediante un pasador en su centro C, y en su aro exterior hay un engrane de cremallera con un radio medio de 6 pulg. El trinquete AB sirve como un elemento de dos fuerzas (eslabón corto) y evita que el tambor gire. Explique la importancia de cada fuerza en el diagrama. (Vea la figura 5-7b). 20 lb A 1 pulg Prob. 5-9 B 6 pulg Prob. 5-7 *5-8. Trace el diagrama de cuerpo libre del elemento ABC que está soportado por un collar liso en A, un rodillo en B, y un eslabón corto CD. Explique la importancia de cada fuerza que actúa en el diagrama. (Vea la figura 5-7b). B 3pulg A 2 pulg 6 pulg C C 2.5 kN 3m 60 A 4 kN m B 45 4m 4 pulg 500 lb 6m Prob. 5-8 C05 EST_H BBELER.indd 212 D Prob. 5-10 11/19/09 2:55:58 AM 213 5.2 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE PROBLEMAS CONCEPTUALES P5-1. Trace el diagrama de cuerpo libre del bote de basura uniforme que tiene un peso significativo. Está apoyado mediante un pasador en A y descansa contra el elemento horizontal liso en B. Muestre su resultado en la vista lateral. Marque cualquier dimensión que sea necesaria. P5-3. Trace el diagrama de cuerpo libre de un ala del avión de pasajeros. Los pesos del motor y el ala son significativos. Las llantas en B ruedan libremente. A A 5 B B P5-3 P5-1 P5-2. Trace el diagrama de cuerpo libre del elemento ABC que se utiliza para soportar una retroexcavadora. El pasador superior B está conectado al cilindro hidráulico, el cual puede considerarse como un pasador corto (elemento de dos fuerzas), la zapata de apoyo en A es lisa y el elemento ABC está conectado al bastidor mediante un pasador en C. *P5-4. Trace el diagrama de cuerpo libre de la rueda y el elemento ABC usados como parte del tren de aterrizaje de un avión a propulsión. El cilindro hidráulico AD actúa como un elemento de dos fuerzas, y hay una conexión de pasador en B. D B C A B C A P5-2 C05 EST_H BBELER.indd 21 P5-4 11/19/09 2:55:59 AM 214 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO 5.3 Ecuaciones de equilibrio En la sección 5.1 desarrollamos las dos ecuaciones que se requieren y bastan para obtener el equilibrio de un cuerpo rígido, esto es, ©F  0 y ©MO  0. Cuando el cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas, las cuales se encuentran en el plano x-y, las fuerzas se pueden descomponer en sus componentes x y y. En consecuencia, las condiciones de equilibrio en dos dimensiones son F3 A i&X  0 i&Y  0 i-/  0 y F4 x (5-2) F2 Aquí, ©Fx y ©Fy representan, respectivamente, las sumas algebraicas de las componentes x y y de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, y ©MO representa la suma algebraica de los momentos de par y los momentos de todas las componentes de fuerza con respecto al eje z, el cual es perpendicular al plano x-y y que pasa por el punto arbitrario O. C B F1 5 (a) MRA A y x Conjuntos alternativos de ecuaciones de equilibrio. C B (b) FR Aunque las ecuaciones 5-2 se usan con mayor frecuencia para resolver problemas de equilibrio coplanar, pueden usarse también dos conjuntos alternativos de tres ecuaciones de equilibrio independientes. Uno de estos conjuntos es i&X  0 i-!  0 i-"  0 (5-3) A y x C B (c) Fig. 5-11 C05 EST_H BBELER.indd 214 FR Al usar estas ecuaciones se requiere que una línea que pase por los puntos A y B no sea paralela al eje y. Para probar que las ecuaciones 5-3 proporcionan las condiciones de equilibrio, considere el diagrama de cuerpo libre de la placa que se muestra en la figura 5-11a. Con los métodos de la sección 4.8, todas las fuerzas sobre el diagrama de cuerpo libre pueden reemplazarse por una fuerza resultante equivalente FR  ©F, que actúan en el punto A, y un momento de par resultante MRA  ©MA, figura 5-11b. Si se satisface ©MA  0, es necesario que MRA  0. Además, para que FR satisfaga a ©Fx  0, no debe tener componentes a lo largo del eje x, y por lo tanto, FR debe ser paralela al eje y, figura 5-11c. Finalmente, se requiere que ©MB  0, donde B no se encuentra sobre la línea de acción de FR, entonces FR  0. Como las ecuaciones 5-3 muestran que ambas resultantes son iguales a cero, ciertamente el cuerpo que aparece en la figura 5-11a debe estar en equilibrio. 11/19/09 2:5 :00 AM 5.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO 215 Un segundo conjunto alternativo de ecuaciones de equilibrio es i-!  0 i-"  0 i-#  0 (5-4) Aquí es necesario que los puntos A, B y C no se encuentren en la misma línea. Para probar que al satisfacer esas ecuaciones se garantiza el equilibrio, considere de nuevo el diagrama de cuerpo libre de la figura 5-11b. Si ©MA  0 debe ser satisfecha, entonces MRA  0. ©MC  0 se satisface si la línea de acción de FR pasa por el punto C como se muestra en la figura 5-11c. Por último, si requerimos que ©MB  0, es necesario que FR  0, y entonces la placa de la figura 5-11a debe estar en equilibrio. Procedimiento para el análisis Los problemas de equilibrio de fuerzas coplanares para un cuerpo rígido pueden resolverse por el siguiente procedimiento. 5 Diagrama de cuerpo libre. • Establezca los ejes coordenados x, y en cualquier orientación adecuada. • Trace un contorno del cuerpo. • Muestre todas las fuerzas y los momentos de par que actúan sobre el cuerpo. • Marque todas las cargas y especifique sus direcciones relativas a los ejes x o y. El sentido de una fuerza o momento de par que tiene una magnitud desconocida, pero línea de acción conocida, puede suponerse. • Indique las dimensiones del cuerpo necesarias para calcular los momentos de las fuerzas. Ecuaciones de equilibrio. • Aplique la ecuación de equilibrio de momentos, ©MO  0, con respecto a un punto (O) que se encuentre en la intersección de las líneas de acción de dos fuerzas desconocidas. De este modo, los momentos de esas incógnitas son cero con respecto a O, y se puede determinar una solución directa para la tercera incógnita. • Al aplicar las ecuaciones de equilibrio mediante fuerzas, ©Fx  0 y ©Fy  0, oriente los ejes x y y a lo largo de líneas que proporcionen la descomposición más simple de las fuerzas en sus componentes x y y. • Si la solución de las ecuaciones de equilibrio da como resultado un escalar negativo para una magnitud de fuerza o de momento de par, esto indica que el sentido es contrario al que se supuso en el diagrama de cuerpo libre. C05 EST_H BBELER.indd 215 11/19/09 2:5 :01 AM 216 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO EJEMPLO 5.5 Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en la viga, causada por el pasador en B y el soporte de mecedora en A, como se muestra en la figura 5-12a. No tome en cuenta el peso de la viga. y 200 N 600 N 45 600 sen 45 N 200 N 0.2 m 0.2 m 600 cos 45 N A Bx A B D 2m 2m 3m 3m 2m 2m Ay By 100 N 100 N (b) (a) 5 x B D Fig. 5-12 SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. Identifique cada una de las fuerzas que se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la viga, figura 5-12b. (Vea el ejemplo 5.1). Por sencillez, la fuerza de 600 N se representa mediante sus componentes x y y como se muestra en la figura 5-12b. Ecuaciones de equilibrio. Al sumar las fuerzas en la dirección x se obtiene  i&X  0; 600 cos 45° N "X  0 "X  424 N Resp. Una solución directa para Ay se puede obtener mediante la ecuación de momentos ©MB  0 con respecto al punto B. a i-"  0; 100 N2 m 600 sen 45° N5 m 600 cos 45° N0.2 m ! Y7 m  0 !Y  319 N Resp. Al sumar fuerzas en la dirección y, y usar este resultado, obtenemos C i&Y  0; 319 N 600 sen 45° N 100 N 200 N "Y  405 N "Y  0 Resp. podemos verificar este resultado al sumar momentos con respecto al punto A. NOTA: a i-!  0; 600 sen 45° N2 m 100 N5 m 200 N7 m "Y  405 N C05 EST_H BBELER.indd 21 600 cos 45° N0.2 m "Y7 m  0 Resp. 11/19/09 2:5 :02 AM 217 5.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO EJEMPLO 5.6 La cuerda de la figura 5-13a soporta una fuerza de 100 lb y se enrolla sobre la polea sin fricción. Determine la tensión en la cuerda en C y las componentes horizontal y vertical de reacción en el pasador A. 0.5 pie A u  30 C 100 lb (a) Fig. 5-13 SOLUCIÓN 5 Diagramas de cuerpo libre. Los diagramas de cuerpo libre de la cuerda y la polea se muestran en la figura 5-13b. Tenga presente que el principio de acción igual pero reacción opuesta se debe observar con gran cuidado al trazar cada uno de esos diagramas: la cuerda ejerce una distribución de carga desconocida p sobre la polea en la superficie de contacto, mientras que la polea ejerce un efecto igual pero opuesto sobre la cuerda. Sin embargo, para encontrar la solución es más sencillo combinar los diagramas de cuerpo libre de la polea y esta porción de la cuerda, de manera que la carga distribuida se vuelva interna al “sistema” y, por lo tanto, pueda eliminarse del análisis, figura 5-13c. Ecuaciones de equilibrio. Al sumar momentos con respecto al punto A para eliminar Ax y Ay, figura 5-13c, tenemos a i-!  0; 100 lb 0.5 pie p p A 30 Ay 100 lb T (b) y 0.5 pie 40.5 pie  0 4  100 lb Ax x A Ax Resp. Ay Con el resultado u  30  i&X  0; !X 100 sen 30° lb  0 !X  50.0 lb C i&Y  0; !Y 100 lb 100 lb Resp. T (c) 100 cos 30° lb  0 !Y  187 lb Resp. NOTA: se observa que la tensión permanece constante al pasar la cuerda sobre la polea. (Por supuesto, esto es cierto para cualquier ángulo  en el que esté dirigida la cuerda y para cualquier radio r de la polea). C05 EST_H BBELER.indd 217 11/22/09 10:10:2 AM 218 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO EJEMPLO 5.7 El elemento que se muestra en la figura 5-14a está articulado en A y descansa contra un soporte liso ubicado en B. Determine las componentes horizontal y vertical de reacción en el pasador A. B A 30° 0.75 m 90 N m 1m 0.5 m 60 N (a) NB 30 5 A 30 Ax 90 N m 0.75 m y 1m x 60 N Ay (b) Fig. 5-14 SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 5-14b, la reacción NB es perpendicular al eslabón en B. También, las componentes horizontal y vertical de reacción están representadas en A. Ecuaciones de equilibrio. Al sumar momentos con respecto a A, obtenemos una solución directa para NB, a i-!  0; 90 N  m 60 N1 m ."0.75 m  0 ."  200 N Con este resultado,  i&X  0; !X 200 sen 30° N  0 !X  100 N C i&Y  0; !Y 200 cos 30° N !Y  233 N C05 EST_H BBELER.indd 218 Resp. 60 N  0 Resp. 11/19/09 2:5 :0 AM 219 5.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO EJEMPLO 5.8 La llave de cubo que se muestra en la figura 5-15a se usa para apretar el perno en A. Si la llave no gira cuando se aplica la carga al maneral, determine el par de torsión o el momento aplicado al perno y la fuerza de la llave sobre el perno. SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre para la llave se muestra en la figura 5-15b. Dado que el perno actúa como un “soporte fijo”, ejerce las componentes de fuerza Ax y Ay y un momento MA sobre la llave en A. 300 mm  i&X  0; !X 400 mm B Ecuaciones de equilibrio. A 5 52  13 N 60 5 30 cos 60° N  0 52 N Resp. !X  5.00 N C 13 12 30 N (a) 5 C i&Y  0; !Y 52  12 13  N 30 sen 60° N  0 Resp. !Y  74.0 N a i-!  0; -!  52  12 13  N  0.3 m 30 sen 60° N0.7 m  0 -!  32.6 N  m Resp. Ay Ax Observe que en esta sumatoria de momentos debe incluirse MA. Este momento de par es un vector libre y representa la resistencia del perno a girar sobre la llave. Por la tercera ley de Newton, la llave ejerce un momento o par de torsión igual pero opuesto sobre el perno. Además, la fuerza resultante sobre la llave es &!  5.002 74.02  74.1 N MA 0.3 m 0.4 m 13 12 5 C y 52 N x 60 30 N (b) Fig. 5-15 Resp. NOTA: aunque sólo pueden escribirse tres ecuaciones independientes de equilibrio para un cuerpo rígido, es un buen hábito revisar los cálculos mediante una cuarta ecuación de equilibrio. Por ejemplo, los cálculos anteriores se pueden verificar en parte al sumar momentos con respecto al punto C: a i-#  0;  52  12 13  N  0.4 m 19.2 N  m C05 EST_H BBELER.indd 219 32.6 N  m 32.6 N  m 74.0 N0.7 m  0 51.8 N  m  0 11/19/09 2:5 :08 AM 220 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO EJEMPLO 5.9 Determine las componentes horizontal y vertical de reacción sobre el elemento en el pasador A, y la reacción normal en el rodillo B de la figura 5-16a. SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. En la figura 5.16b se muestra el diagrama de cuerpo libre. El pasador en A ejerce dos componentes de reacción sobre el elemento, Ax y Ay. 750 lb 750 lb 3 pies 3 pies 3 pies A 3 pies Ax A 2 pies 5 Ay B y 2 pies B x 30 (a) 30 (b) NB Fig. 5-16 Ecuaciones de equilibrio. La reacción NB puede obtenerse directamente al sumar momentos con respecto al punto A puesto que Ax y Ay no producen momentos con respecto a A. a iMA  0; [NB sen 30°](2 pies) 750 lb(3 pies)  0 NB  536.2 lb  536 lb Resp. [NB cos 30°](6 pies) Con este resultado  i Fx  0; Ax (536.2 lb ) sen 30°  0 Ax  268 lb C iFy  0; Ay (536.2 lb) cos 30° Ay  286 lb C05 EST_H BBELER.indd 220 Resp. 750 lb  0 Resp. 11/19/09 2:5 :11 AM 221 5.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO EJEMPLO 5.10 La barra uniforme lisa que se muestra en la figura 5-17a está sometida a una fuerza y a un momento de par. Si la barra está soportada en A por una pared lisa, y en B y C por rodillos colocados en la parte superior o inferior, determine las reacciones en esos soportes. No tome en cuenta el peso de la barra. y 2m y¿ 4m 2m C 4000 N m 4m B 30 300 N 2m 30 4000 N m 300 N 30 A 30 (a) Diagrama de cuerpo libre. Como se ve en la figura 5-17b, todas las reacciones de soporte actúan en forma normal a las superficies de contacto ya que dichas superficies son lisas. Se muestra que las reacciones en B y C actúan en la dirección y¿ positiva. Esto hace suponer que los rodillos ubicados al fondo de la barra sólo se usan para soporte. x¿ 2m Ax Cy¿ SOLUCIÓN x 30 2m 30 By¿ (b) 5 Fig. 5-17 Ecuaciones de equilibrio. Si utilizamos el sistema coordenado x, y que se muestra en la figura 5-17b, tenemos  i&X  0; C i&Y  0; a i-!  0; #Y€ sen 30° "Y€ sen 30° #Y€ cos 30° 300 N "Y€2 m 4000 N  m !X  0 "Y€ cos 30°  0 (1) (2) #Y€6 m 300 cos 30° N8 m  0 (3) Al escribir la ecuación de momentos, debe observarse que la línea de acción de la componente de fuerza 300 sen 30° N pasa por el punto A y, por lo tanto, esta fuerza no está incluida en la ecuación de momentos. Al resolver simultáneamente las ecuaciones 2 y 3 obtenemos By¿  1000.0 N  1 kN Resp. Cy¿  1346.4 N  1.35 kN Resp. Como By¿ es un escalar negativo, el sentido de By¿ es opuesto al del diagrama de cuerpo libre de la figura 5-17b. Por consiguiente, el rodillo superior ubicado en B sirve como soporte en vez del inferior. Se retiene el signo negativo para By¿ (¿por qué?) y al sustituir los resultados en la ecuación 1, obtenemos 1346.4 sen 30° N ( 1000.0 sen 30° N) ! X  173 N C05 EST_H BBELER.indd 221 !X  0 Resp. 11/19/09 2:5 :12 AM 222 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO EJEMPLO 5.11 La rampa uniforme del camión que se muestra en la figura 5-18a pesa 400 lb y está articulada al bastidor del camión en cada lado; asimismo, se mantiene en la posición mostrada mediante los dos cables laterales. Determine la tensión en los cables. SOLUCIÓN En la figura 5-18b se muestra el modelo idealizado de la rampa, que indica todas las dimensiones y soportes necesarios. Aquí el centro de gravedad está localizado en el punto medio ya que la rampa es aproximadamente uniforme. (a) Diagrama de cuerpo libre. A partir del modelo idealizado, el diagrama de cuerpo libre de la rampa se muestra en la figura 5-18c. Ecuaciones de equilibrio. Al sumar momentos con respecto al punto A se tendrá una solución directa para la tensión en el cable. Si se usa el principio de momentos, hay varias maneras de determinar el momento de T con respecto a A. Si usamos las componentes x y y, con T aplicada en B, tenemos 5 B 2 piesG 20 5 pies 30 a i-!  0; A 4 cos 20°7 sen 30° pie 4 sen 20°7 cos 30° pie 400 lb 5 cos 30° pie  0 (b) 4  1425 lb La manera más simple de calcular el momento de T con respecto a A es descomponerla en componentes a lo largo y de manera perpendicular a la rampa en B. Entonces, el momento de la componente a lo largo de la rampa es cero con respecto a A, por lo que a i-!  0; y 4 sen 10°7 pies B 20 4  1425 lb x T 2 pies 400 lb 5 cos 30° pie  0 G Dado que dos cables soportan la rampa, 10 400 lb 5 pies 30 A Ax 4€  4  712 lb 2 Resp. Ay (c) Fig. 5-18 C05 EST_H BBELER.indd 222 NOTA: como ejercicio, demuestre que Ax  1339 lb y Ay  887.4 lb. 11/19/09 2:5 :1 AM 223 5.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO EJEMPLO 5.12 Determine las reacciones del soporte sobre el elemento que se muestra en la figura 5-19a. El collar en A está fijo al elemento y puede deslizarse verticalmente a lo largo del eje vertical. 900 N 900 N 1.5 m 1.5 m 1.5 m A 1m Ax 1m MA 45 500 N m 1.5 m A y 500 N m B 45 B x (a) NB (b) Fig. 5-19 SOLUCIÓN 5 Diagrama de cuerpo libre. En la figura 5-19b se muestra el diagrama de cuerpo libre del elemento. El collar ejerce una fuerza horizontal Ax y un momento MA sobre el elemento. La reacción NB del rodillo sobre el elemento es vertical. Ecuaciones de equilibrio. Las fuerzas Ax y NB pueden calcularse directamente a partir de las ecuaciones de equilibrio de fuerza.  i Fx  0; Ax  0 C iFy  0; Resp. NB 900 N  0 NB 900 N Resp. El momento MA puede determinarse al sumar los momentos con respecto al punto A o bien con respecto al punto B. a iMA  0; -! 900 N(1.5 m) MA  500 N  m 900 N [3 m (1 m) cos 45°]  0 1486 N  m  1.49 kN  mb Resp. o bien a iMB  0; MA MA  (1 m) cos 45°] 500 N  m  0 1486 N  m  1.49 kN  mb Resp. 900 N [1.5 m El signo negativo indica que MA tiene el sentido de rotación opuesto al del diagrama de cuerpo libre. C05 EST_H BBELER.indd 22 11/19/09 2:5 :15 AM 224 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO 5.4 Elementos de dos y tres fuerzas Las soluciones de algunos problemas de equilibrio pueden simplificarse al identificar los elementos que están sometidos a sólo dos o tres fuerzas. B A El eslabón AB del cucharón de la retroexcavadora es un ejemplo típico de un elemento de dos fuerzas, ya que está conectado mediante pasadores en sus extremos y, si no se toma en cuenta su peso, ninguna otra fuerza actúa sobre este elemento. Elementos de dos fuerzas Como lo indica su nombre, un elemento de dos fuerzas tiene fuerzas aplicadas en sólo dos puntos sobre el elemento. Un ejemplo se muestra en la figura 5-20a. Para satisfacer el equilibrio de fuerzas, FA y FB deben tener la misma magnitud, FA  FB  F, pero dirección opuesta (©F  0), figura 5-20b. Además, el equilibrio de momentos requiere que FA y FB compartan la misma línea de acción, lo cual sólo puede ocurrir si están dirigidas a lo largo de la línea que une a los puntos A y B (©MA  0 o bien ©MB  0), figura 5-20c. Por lo tanto, para que cualquier elemento de dos fuerzas esté en equilibrio, las dos fuerzas que actúan sobre él deben tener la misma magnitud, actuar en direcciones opuestas y tener la misma línea de acción, dirigida a lo largo de la línea que une los puntos donde actúan estas fuerzas. A 5 FA FB A B FA  F B FB  F FB  F (b) (a) El eslabón que se usa para frenar este vagón de ferrocarril es un elemento de tres fuerzas. Como la fuerza FB en la barra B y FC desde el eslabón en C son paralelas, para lograr el equilibrio la fuerza resultante FA en el pasador A también debe ser paralela a estas dos fuerzas. O W A A B FB FA FA  F C FC FA A B (c) Elemento de dos fuerzas Fig. 5-20 Elementos de tres fuerzas Si un elemento está sometido a sólo tres fuerzas, se denomina elemento de tres fuerzas. El equilibrio de momento se puede satisfacer sólo si las tres fuerzas forman un sistema de fuerzas concurrentes o paralelas. Para ilustrar esto, considere el elemento sometido a las tres fuerzas F1, F2 y F3, que se muestra en la figura 5-21a. Si las líneas de acción de F1 y F2 se intersecan en el punto O, entonces la línea de acción de F3 también debe pasar por el punto O, de modo que las fuerzas satisfagan ©MO  0. Como caso especial, si las tres fuerzas son paralelas, figura 5-21b, la ubicación del punto de intersección, O, se aproximará al infinito. FB O F2 F2 La pluma de este elevador es un elemento de tres fuerzas, sin tomar en cuenta su peso. Aquí, las líneas de acción del peso del trabajador, W, y la fuerza del elemento de dos fuerzas (cilindro hidráulico) en B, FB, se intersecan en O. Para el equilibrio de momento, la fuerza resultante en el pasador A, FA, también debe estar dirigida hacia O. C05 EST_H BBELER.indd 224 F1 F3 F1 (a) (b) F3 Elemento de tres fuerzas Fig. 5-21 11/19/09 2:5 :1 AM 225 5.4 ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS EJEMPLO 5.13 La palanca ABC está articulada en A y conectada a un eslabón corto BD, como se muestra en la figura 5-22a. Si el peso del elemento es insignificante, determine la fuerza del pasador sobre la palanca en A. C 400 N 0.5 m SOLUCIÓN 0.2 m Diagramas de cuerpo libre. Como se ve en la figura 5-22b, el eslabón corto BD es un elemento de dos fuerzas, por lo que las fuerzas resultantes en los pasadores D y B deben ser iguales, opuestas y colineales. Aunque la magnitud de la fuerza es una incógnita, la línea de acción es conocida ya que pasa por B y D. La palanca ABC es un elemento de tres fuerzas, por lo tanto, para satisfacer el equilibrio de momento, las tres fuerzas no paralelas que actúan sobre la palanca deben ser concurrentes en O, figura 5-22c. En particular, observe que la fuerza F sobre la palanca en B es igual pero opuesta a la fuerza F que actúa en B sobre el eslabón. ¿Por qué? La distancia CO debe ser de 0.5 m ya que las líneas de acción de F y la fuerza de 400 N son conocidas. B 0.2 m A D 0.1 m (a) F 5 B 45 Ecuaciones de equilibrio. Como se requiere que el sistema de fuerzas sea concurrente en O, y ya que ©MO  0, el ángulo  que define la línea de acción de FA puede determinarse por trigonometría, F D (b) 0.5 m .  tan 1 2 0.7 3  60.3° 0.4 400 N C O 45 Con los ejes x, y y la aplicación de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, 0.5 m 45  i&X  0; &! cos 60.3° & cos 45° 400 N  0 0.2 m 45 B u F C i&Y  0; &! sen 60.3° A & sen 45°  0 0.4 m Al despejar, obtenemos FA &!  1.07 kN Resp. &  1.32 kN 0.1 m (c) Fig. 5-22 NOTA: también podemos resolver este problema por la representación de la fuerza en A mediante sus dos componentes Ax y Ay y la aplicación de ©MA  0, ©Fx  0, ©Fy  0 a la palanca. Una vez determinadas Ax y Ay, podemos obtener FA y . C05 EST_H BBELER.indd 225 11/19/09 2:5 :17 AM 226 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO PROBLEMAS FUNDAMENTALES Todas las soluciones a los problemas deben incluir un DCL. F5-4. Determine las componentes de reacción en el soporte fijo ubicado en A. El grosor de la viga no cuenta. F5-1. Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en los soportes. Desprecie el grosor de la viga. 200 N 200 N 200 N 500 lb 5 4 30 600 lb pie 3 1m 1m 1m 400 N 3m A B 5 pies 5 pies 5 pies 60 A F5-1 F5-4 F5-2. Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A y la reacción sobre la viga en C. F5-5. La barra de 25 kg tiene un centro de masa en G. Si la barra se sostiene mediante una clavija lisa en C, un rodillo en A y una cuerda AB, determine las reacciones en estos soportes. 5 4 kN 1.5 m 1.5 m 0.3 m B 0.2 m C A 0.5 m 1.5 m 30 A 15 D F5-2 F5-5 F5-3. La armadura se sostiene mediante un pasador en A y un rodillo en B. Determine las reacciones de soporte. F5-6. Determine las reacciones en los puntos de contacto lisos A, B y C de la barra. 10 kN 2m 5 kN 4m 250 N 2m B A 30 0 4m 0.15 m 0.4 m A 45 0.2 m F5-3 C05 EST_H BBELER.indd 22 F5-6 11/19/09 2:5 :19 AM 227 5.4 ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS PROBLEMAS Todas las soluciones a los problemas deben incluir un DCL. 5.11. Determine las reacciones normales en A y B en el problema 5-1. *5.12. Determine la tensión en la cuerda y las componentes horizontal y vertical de la reacción en el soporte A de la viga en el problema 5-4. *5-20. El vagón de ferrocarril tiene un peso de 24 000 lb y un centro de gravedad en G. Está suspendido de la vía en sus partes delantera y trasera mediante seis llantas ubicadas en A, B y C. Determine las reacciones normales sobre estas llantas si se supone que la vía es una superficie lisa y que, tanto en las llantas delanteras como en las traseras, se sostiene una porción equivalente de la carga. •5-13. Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en C y la tensión en el cable AB para la armadura del problema 5-5. 5-14. Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en A y la tensión en el cable BC sobre la pluma del problema 5-6. G 5-15. Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en A y la reacción normal en B sobre la llave de horquilla del problema 5-7. *5-16. Determine las reacciones normales en A y B y la fuerza en el eslabón CD que actúa sobre el elemento del problema 5-8. C 6 pies 4 pies •5-17. Determine las reacciones normales en los puntos de contacto en A, B y C de la barra que se muestra en el problema 5-9. B A 5 pies 5-18. Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador C y la fuerza en el trinquete del malacate que se muestra en el problema 5-10. 5-19. Compare la fuerza ejercida sobre la punta del pie y el talón de una mujer de 120 lb cuando calza zapatos normales y cuando lleva zapatos de tacón. Suponga que todo su peso recae sobre uno de sus pies y que las reacciones ocurren en los puntos A y B que se muestran en la figura. 5 Prob. 5-20 •5-21. Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A y la tensión desarrollada en el cable BC que se usa para sostener el bastidor de acero. 120 lb 120 lb 60 kN 1m 1m 1m B 30 kN m 3m 5 A 5.75 pulg 1.25 pulg B A 0.75 pulg Prob. 5-19 C05 EST_H BBELER.indd 227 B 3.75 pulg 4 3 C A Prob. 5-21 11/19/09 2:5 :20 AM 228 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO 5-22. La pluma articulada de la grúa tiene un peso de 125 lb y centro de gravedad en G. Si sostiene una carga de 600 lb, determine la fuerza que actúa en el pasador A y la fuerza en el cilindro hidráulico BC cuando la pluma está en la posición mostrada. •5-25. El transformador eléctrico de 300 lb con centro de gravedad en G se sostiene mediante un pasador en A y una plataforma lisa en B. Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A y la reacción de la plataforma B sobre el transformador. 1.5 pies 4 pies A 1 pie G A B 3 pies 8 pies 40 G 1 pie B C Prob. 5-22 5 Prob. 5-25 5-23. El actuador neumático en D se usa para aplicar una fuerza de F  200 N sobre el elemento en B. Determine los componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A y la fuerza del eje liso ubicado en C sobre el elemento. *5-24. El actuador neumático en D se usa para aplicar una F sobre el elemento en B. La reacción normal en el eje liso ubicado en C sobre el elemento es de 300 N. Determine la magnitud de F y las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A. 5-26. En la parte superior de la siguiente figura se muestra un diagrama esquelético de una mano sosteniendo una carga. Si la carga y el antebrazo tienen masas de 2 kg y 1.2 kg, respectivamente, y sus centros de masa se localizan en G1 y G2, determine la fuerza desarrollada en el bíceps CD y las componentes horizontal y vertical de la reacción en el codo B. El antebrazo que sostiene al sistema puede modelarse como el sistema estructural que se muestra en la parte inferior de la figura. D G1 C C B 15 A G2 600 mm D B A 60 D G1 C 75 B 200 mm 600 mm Probs. 5-23/24 C05 EST_H BBELER.indd 228 F A 100 mm G2 135 mm 65 mm Prob. 5-26 11/19/09 2:5 :20 AM 5.4 ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS 5-27. Cuando se aplican los frenos de un avión, la rueda frontal ejerce dos fuerzas sobre el extremo del tren de aterrizaje como se muestra en la figura. Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador C y la fuerza en el tirante AB. 229 •5-29. La masa de 700 kg se suspende de un trole cargador que se mueve a lo largo del riel desde d  1.7 m hasta d  3.5 m. Determine la fuerza a lo largo del tirante articulado BC (eslabón corto) y la magnitud de la fuerza en el pasador A como una función de la posición d. Grafique los resultados de FBC y FA (eje vertical) contra d (eje horizontal). d C A B 30 400 mm C 20 2m A 600 mm B 1.5 m 2 kN 5 Prob. 5-29 6 kN 5-30. Si la fuerza de F  100 lb se aplica a la manija del doblador de barras, determine las componentes vertical y horizontal de la reacción en el pasador A y la reacción del rodillo B sobre la barra lisa. Prob. 5-27 *5-28. El tubo de desagüe de 1.4 Mg se sostiene en las barras del montacargas. Determine las fuerzas normales en A y B como funciones del ángulo de inclinación  y grafique los resultados de las fuerzas (eje vertical) contra  (eje horizontal) para 0 …  … 90°. 5-31. Si se requiere que la fuerza del rodillo liso en B sobre el doblador de barras sea de 1.5 kip, determine las componentes vertical y horizontal de la reacción en el pasador A y la magnitud de la fuerza F que se aplica a la manija. C 40 pulg F 60 0.4 m A B u B A 5 pulg Prob. 5-28 C05 EST_H BBELER.indd 229 Probs. 5-30/31 11/19/09 2:5 :21 AM 230 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO *5-32. El brazo de la grúa se sostiene mediante un pasador en C y la varilla AB. Si la carga tiene una masa de 2 Mg con su centro de masa localizado en G, determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador C y la fuerza desarrollada en la varilla AB sobre la grúa cuando x  5 m. 5-35. El armazón se sostiene mediante el elemento AB que descansa sobre el piso liso. Cuando el armazón está cargado, la distribución de presión sobre AB es lineal como se muestra en la figura. Determine la longitud d del elemento AB y la intensidad w para este caso. •5-33. El brazo de la grúa se sostiene mediante un pasador en C y la varilla AB. La varilla puede soportar una tensión máxima de 40 kN. Si la carga tiene una masa de 2 Mg con su centro de masa localizado en G, determine la máxima distancia x permisible y las componentes horizontal y vertical correspondientes de la reacción en C. 4 pies 7 pies 4m 800 lb A A B 3.2 m 5 0.2 m C w B d Prob. 5-35 D G x Probs. 5-32/33 5-34. Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A y la fuerza normal en la clavija lisa B sobre el elemento. *5-36. Los elementos A y B se utilizan para estabilizar la grúa y evitar que se vuelque al levantar cargas muy grandes. Si se va a levantar una carga de 3 Mg, determine el máximo ángulo  de la pluma de modo que la grúa no se vuelque. La grúa tiene una masa de 5 Mg y centro de masa en GC, mientras que la pluma tiene una masa de 0.6 Mg y centro de masa en GB. 4.5 GB 0.4 m 5 GC C u 30 0.4 m B A F  600 N 2.8 A 0 0.7 2. Prob. 5-34 C05 EST_H BBELER.indd 2 0 Prob. 5-36 11/19/09 2:5 :21 AM 231 5.4 ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS •5-37. El tablón de madera que descansa entre dos edificios se flexiona ligeramente cuando sostiene a una persona de 50 kg. Esta flexión causa una distribución triangular de carga en sus extremos, con intensidades máximas de wA y wB. Calcule wA y wB, cada una medida en N>m, cuando la persona está parada a 3 m de uno de los extremos como se muestra en la figura. Pase por alto la masa de la plancha. A *5-40. El ensamble de la plataforma tiene un peso de 250 lb y su centro de gravedad está en G1. Si se quiere soportar una carga máxima de 400 lb colocada en el punto G2, determine el contrapeso W mínimo que debe ubicarse en B para evitar una volcadura de la plataforma. B G2 wB wA 3m 2 pies 6m 0.45 m 6 pies 0.3 m G1 5 Prob. 5-37 8 pies B C 5-38. El resorte CD permanece en la posición horizontal en todo momento debido al rodillo en D. Si el resorte no se estira cuando   0° y la ménsula logra su posición de equilibrio cuando   30°, determine la rigidez k del resorte y las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A. 5-39. El resorte CD permanece en la posición horizontal en todo momento debido al rodillo en D. Si el resorte no se estira cuando   0° y la rigidez del resorte es k  1.5 kN>m, determine el mínimo ángulo  requerido para el equilibrio y las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A. D k C D 6 pies 1 pie 1 pie Prob. 5-40 •5-41. Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A y la reacción del collar liso B sobre la barra. C 0.45 m 300 lb 450 lb B 0.6 m B u 30 A 4 pies F  300 N 1 pie A Probs. 5-38/39 C05 EST_H BBELER.indd 2 1 D 2 pies 1 pie Prob. 5-41 11/19/09 2:5 :22 AM 232 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO 5-42. Determine las reacciones de soporte del rodillo A y el collar liso B sobre la barra. El collar está fijo a la barra AB, pero puede deslizarse a lo largo de la barra CD. *5-44. Determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza en el pasador A y la reacción en el soporte de mecedora B de la viga curva. 500 N A 200 N 900 N 1m 1m C 10 15 45 2m B 2m 600 N m D A 45 B Prob. 5-42 Prob. 5-44 5-43. La barra uniforme AB tiene un peso de 15 lb. Determine la fuerza en el cable cuando la barra está en la posición mostrada. •5-45. La grúa de piso y el conductor tienen un peso total de 2500 lb con un centro de gravedad en G. Si se requiere que la grúa levante un barril de 500 lb, determine la reacción normal sobre ambas ruedas en A y ambas ruedas en B cuando la pluma está en la posición mostrada. 5 5-46. La grúa de piso y el conductor tienen un peso total de 2500 lb con un centro de gravedad en G. Determine el peso máximo del barril que puede levantar la grúa sin que esto cause una volcadura cuando la pluma está en la posición mostrada. B F 12 pies 5 pies 3 pies 30 D C A 10 C 30 6 pies G T E A B 8.4 pies 2.2 pies Prob. 5-43 C05 EST_H BBELER.indd 2 2 1.4 pies Probs. 5-45/46 11/19/09 2:5 :2 AM 233 5.4 ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS 5-47. El motor tiene un peso de 850 lb. Determine la fuerza que ejerce cada una de las cadenas sobre los ganchos de soporte en A, B y C. Pase por alto el tamaño de los ganchos y el grosor de la viga. 850 lb 0.5 pie 1 pie 1.5 pies A C B 10 5-50. El cable de sujeción de una camioneta remolcadora está sometido a una fuerza de T  6 kN cuando el cable tiene una dirección   60°. Determine las magnitudes de la fuerza total F de frenado por fricción para el par de ruedas traseras B y de las fuerzas normales totales en las dos ruedas delanteras A y las dos ruedas traseras B para lograr el equilibrio. La camioneta tiene una masa total de 4 Mg y centro de masa en G. 5-51. Determine la fuerza mínima T en el cable y el ángulo crítico  que hará que la camioneta comience a volcarse, es decir, para que la reacción normal en A sea igual a cero. Suponga que la camioneta está frenada y no patinará en B. La camioneta tiene una masa total de 4 Mg y centro de masa en G. 10 30 u G 1.25 m A B 2m Prob. 5-47 2.5 m F 3m 5 T 1.5 m Probs. 5-50/51 *5-48. Determine la fuerza P necesaria para jalar el rodillo de 50 kg sobre el escalón liso. Considere que   60°. •5-49. Determine la magnitud y la dirección  de la fuerza mínima P necesaria para jalar el rodillo de 50 kg sobre el escalón liso. *5-52. Tres libros iguales, cada uno con peso W y longitud a, están colocados como se muestra. Determine la distancia d máxima que el libro superior puede sobresalir con respecto al de la base sin que se caiga. P u 0.1 m 0.6 m B a d A 20 Probs. 5-48/49 C05 EST_H BBELER.indd 2 Prob. 5-52 11/19/09 2:5 :2 AM 234 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO •5-53. Determine el ángulo  con el que el eslabón ABC se mantiene en equilibrio si el elemento BD se mueve 2 pulg a la derecha. Los resortes están originalmente sin estirar cuando   0°. Cada resorte tiene la rigidez que se muestra. Los resortes permanecen horizontales porque están unidos a guías de rodillo. kCF  100 lb/pie 5-55. La viga horizontal está soportada por resortes en sus extremos. Cada resorte tiene una rigidez de k  5 kN>m y originalmente no está estirado cuando la viga se encuentra en posición horizontal. Determine el ángulo de inclinación de la viga si se aplica una carga de 800 N en el punto C como se muestra. *5-56. La viga horizontal está soportada por resortes en sus extremos. Si la rigidez del resorte localizado en A es kA  5 kN>m, determine la rigidez requerida en el resorte ubicado en B de manera que si la viga se carga con 800 N permanezca en posición horizontal. Los resortes están construidos originalmente de modo que la viga mantenga la posición horizontal cuando está descargada. C F u 6 pulg D 800 N F B C 6 pulg 5 A B E kAE  500 lb/pie A 1m 3m Prob. 5-53 Probs. 5-55/56 5-54. La barra uniforme AB tiene un peso de 15 lb y el resorte no se estira cuando   0°. Si   30°, determine la rigidez k del resorte. •5-57. Los discos lisos D y E tienen un peso de 200 lb y 100 lb, respectivamente. Si una fuerza horizontal de P  200 lb se aplica al centro del disco E, determine las reacciones normales en los puntos de contacto con el suelo en A, B y C. 5-58. Los discos lisos D y E tienen un peso de 200 lb y 100 lb, respectivamente. Determine la fuerza horizontal P máxima que puede aplicarse al centro del disco E sin ocasionar que el disco D se mueva hacia arriba por el plano inclinado. 6 pies A u 3 pies k B 1.5 pies 5 4 1 pie 3 P D E A B Prob. 5-54 C05 EST_H BBELER.indd 2 4 C Probs. 5-57/58 11/19/09 2:5 :24 AM 235 5.4 ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS 5-59. Un joven está de pie en el extremo de un trampolín, el cual se sostiene por medio de los resortes ubicados en A y B, cada resorte tiene rigidez k  15 kN>m. En la posición mostrada el trampolín está horizontal. Si el joven tiene una masa de 40 kg, determine el ángulo de inclinación que forma el trampolín con la horizontal después de que salta al agua. Ignore el peso del trampolín y suponga que es rígido. •5-61. Si el resorte BC no se estira con   0° y la palanca angular logra su posición de equilibrio cuando   15°, determine la fuerza F aplicada en forma perpendicular al segmento AD y las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A. El resorte BC permanece en la posición horizontal en todo momento debido al rodillo en C. C k  2 kN/m B F 150 1m u 300 mm 3m A D B A 400 mm 5 Prob. 5-61 Prob. 5-59 *5-60. La barra uniforme tiene una longitud l y un peso W. Está soportada en un extremo A por una pared lisa y en el otro extremo por una cuerda de longitud s, la cual está unida a la pared como se muestra en la figura. Demuestre que para lograr el equilibrio se requiere que h  [(s2  l 2)>3]1>2. 5-62. La varilla delgada de longitud l está soportada por el tubo liso. Determine la distancia a necesaria para el equilibrio si la carga aplicada es P. a C A 2r h B s l A P l B Prob. 5-60 C05 EST_H BBELER.indd 2 5 Prob. 5-62 11/19/09 2:5 :24 AM 236 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO PROBLEMAS CONCEPTUALES P5-5. La barra de sujeción se usa para sostener el volado a la entrada de un edificio. Si está conectado mediante pasadores a la pared del edificio en A y al centro del volado B, determine si la fuerza en la barra se incrementará, disminuirá o permanecerá igual si (a) el soporte en A se mueve a una posición D más baja, y (b) el soporte en B se mueve a una posición C más cercana a la orilla. Explique su respuesta con un análisis de equilibrio, usando dimensiones y cargas. Suponga que el volado está sostenido mediante pasadores en la pared del edificio. P5-7. Como cualquier avión, este jet descansa sobre tres ruedas. ¿Por qué no usar una rueda adicional en la cola para tener un mejor soporte? (Piense en alguna razón para no incluir esta rueda). Si hubiera una cuarta rueda en la cola, trace un diagrama de cuerpo libre del jet desde una vista lateral (2 D), y muestre por qué no es posible determinar las reacciones en todas las ruedas con las ecuaciones de equilibrio. A D 5 C B P5-7 P5-5 P5-6. El hombre trata de jalar la cuatrimoto hacia arriba por el plano inclinado y sobre la plataforma de la camioneta. Desde la posición que se muestra, ¿será más efectivo mantener la cuerda atada en A, o sería mejor atarla al eje de las ruedas delanteras en B? Trace un diagrama de cuerpo libre y haga un análisis de equilibrio para explicar su respuesta. *P5-8. ¿Cuál es el mejor sitio para acomodar la mayoría de los troncos en la carretilla, de modo que se minimice el tamaño de la fuerza que actúa sobre la columna vertebral de la persona que transporta la carga? Haga un análisis de equilibrio para explicar su respuesta. A B P5-6 C05 EST_H BBELER.indd 2 P5-8 11/19/09 2:5 :25 AM 5.5 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE 237 EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES 5.5 Diagramas de cuerpo libre El primer paso para resolver problemas tridimensionales de equilibrio, como en el caso de los bidimensionales, es trazar un diagrama de cuerpo libre. Sin embargo, antes de mostrar esto, es necesario analizar los tipos de reacción que pueden presentarse en los soportes. Reacciones de soporte. En la tabla 5-2, se muestran las fuerzas y los momentos de par reactivos que actúan en varios tipos de soportes y conexiones, cuando los elementos se ven en tres dimensiones. Es importante reconocer los símbolos usados para representar cada uno de esos soportes y entender claramente cómo se desarrollan las fuerzas y los momentos de par. Igual que en el caso bidimensional: • Una fuerza se desarrolla mediante un soporte que restringe la traslación de su elemento conectado. 5 • Un momento de par se desarrolla cuando se evita la rotación del elemento conectado. Por ejemplo, en la tabla 5-2, la junta (4) de rótula esférica impide cualquier traslación del elemento conectado; por lo tanto, una fuerza debe actuar en el elemento en el punto de conexión. Esta fuerza tiene tres componentes con magnitudes desconocidas Fx, Fy, Fz. Si esas componentes son conocidas, se puede obtener la magnitud de la fuerza &  & 2X & 2Y & 2Z , y la orientación de la fuerza está definida por los ángulos directores coordenados , , , ecuaciones 2-7*. Dado que el elemento conectado puede girar libremente con respecto a cualquier eje, ninguna junta de rótula esférica resiste momento alguno de par. Debe observarse que en los soportes de chumacera (5) y (7), se muestra que cada pasador (8) y la articulación única (9) deben resistir componentes tanto de fuerza como de momento de par. Sin embargo, si esos soportes se usan junto con otras chumaceras, pasadores, o articulaciones para mantener un cuerpo rígido en equilibrio y los soportes están alineados adecuadamente cuando se conectan al cuerpo, entonces las reacciones de fuerza en esos soportes pueden por sí solas ser adecuadas para soportar el cuerpo. En otras palabras, los momentos de par resultan redundantes y no se muestran en el diagrama de cuerpo libre. La razón de esto se aclara después de estudiar los ejemplos que siguen. *Las tres incógnitas también se pueden representar como una magnitud de fuerza desconocida F y dos ángulos directores coordenados. El tercer ángulo director se obtiene con la identidad cos2   cos2   cos2   1, ecuación 2-8. C05 EST_H BBELER.indd 2 7 11/19/09 2:5 :2 AM 238 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO TABLA 5-2 Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales Tipos de conexión Reacción (1) Número de incógnitas F Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa alejándose del elemento en la dirección conocida del cable. cable (2) Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto. 5 F Soporte superficial liso (3) Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto. F rodillo (4) Fz Fy Fx Tres incógnitas. Las reacciones son tres componentes rectangulares de fuerza. rótula esférica (5) Mz Fz Mx chumacera simple Fx Cuatro incógnitas. Las reacciones son dos fuerzas y dos componentes de momento de par que actúan perpendicularmente al eje. Nota: por lo general, los momentos de par no se aplican si el cuerpo está soportado en cualquier otro punto. Vea los ejemplos. continúa C05 EST_H BBELER.indd 2 8 11/19/09 2:5 :27 AM 5.5 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE TABLA 5-2 239 Continuación Tipos de conexión Reacción (6) Número de incógnitas Mz Fz My Mx Fx chumacera simple con flecha cuadrada (7) Mz Fy Mx Cinco incógnitas. Las reacciones son dos fuerzas y tres componentes de momento de par. Nota: por lo general, los momentos de par no se aplican si el cuerpo está soportado en cualquier otro punto. Vea los ejemplos. Cinco incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y dos componentes de momento de par. Nota: en general, los momentos de par no se aplican si el cuerpo está soportado en cualquier otro punto. Vea los ejemplos. Fz Fx chumacera de empuje simple 5 Mz (8) Fz Fx Fy My Cinco incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y dos componentes de momento de par. Nota: por lo general, los momentos de par no se aplican si el cuerpo está soportado en cualquier otro punto. Vea los ejemplos. pasador liso simple Mz (9) Fz Fy Fx Cinco incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y dos componentes de momento de par. Nota: por lo general, los momentos de par no se aplican si el cuerpo está soportado en cualquier otro punto. Vea los ejemplos. Mx bisagra simple (10) Mz Fz Fx Mx Fy My Seis incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y tres componentes de momento de par. soporte fijo C05 EST_H BBELER.indd 2 9 11/19/09 2:5 :28 AM 240 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO En la siguiente serie de fotografías se muestran ejemplos típicos de soportes reales, cuyas referencias están en la tabla 5-2. 5 Esta junta de rótula esférica proporciona una conexión para la caja de una máquina niveladora de tierra con su bastidor. (4) Esta chumacera simple soporta el extremo de la flecha. (5) Esta chumacera de empuje se usa para soportar la flecha impulsora de una máquina. (7) Este pasador se usa para soportar el extremo de un tirante usado en un tractor. Diagramas de cuerpo libre. El procedimiento general para establecer el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo rígido se bosquejó en la sección 5.2. En esencia, se requiere primero “aislar” el cuerpo por medio del delineado de su contorno. A esto sigue una cuidadosa rotulación de todas las fuerzas y momentos de par con referencia a un sistema coordenado x, y, z establecido. Se sugiere mostrar las componentes de reacción con magnitud desconocida en cuanto actúan en el diagrama de cuerpo libre en sentido positivo. De este modo, si se obtienen valores negativos, esto indicará que las componentes actúan en las direcciones coordenadas negativas. C05 EST_H BBELER.indd 240 11/19/09 2:5 :28 AM 241 5.5 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE EJEMPLO 5.14 Considere las dos barras y la placa, junto con sus diagramas de cuerpo libre asociados que se muestran en la figura 5-23. Los ejes x, y, z se establecen en el diagrama y las componentes de reacción desconocidas están indicadas con sentido positivo. El peso de los objetos no se considera. z Bz C 45 N m SOLUCIÓN Cx 45 N m B Cy A Bx y Ay x Az 500 N 500 N Las reacciones de fuerza desarrolladas mediante las chumaceras son suficientes para obtener el equilibrio ya que impiden que la flecha gire con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Chumaceras en A, B, C, alineadas apropiadamente. z 5 MAz Az A MAx Ax C Ay y 200 lb # pie 200 lb pie x 300 lb T 300 lb B B Mediante el pasador colocado sobre la barra, se desarrollan componentes de momento para impedir rotaciones con respecto a los ejes x y z. Pasador en A y cable en BC. z 400 lb 400 lb Cz Az C Cx A Ax Cy x y Bz B Chumacera alineada apropiadamente en A y bisagra en C. Rodillo en B. Mediante la chumacera y la visagra colocada sobre la placa, se desarrollan sólo reacciones de fuerza para impedir rotaciones con respecto a cada eje coordenado. En la bisagra no se desarrolla ningún momento. Fig. 5-23 C05 EST_H BBELER.indd 241 11/19/09 2:5 :29 AM 242 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO 5.6 Ecuaciones de equilibrio Como se estableció en la sección 5.1, las condiciones para lograr el equilibrio de un cuerpo rígido sometido a un sistema tridimensional de fuerzas requieren que la fuerza resultante y el momento de par resultante que actúan sobre el cuerpo sean iguales a cero. Ecuaciones vectoriales de equilibrio. Las dos condiciones para lograr el equilibrio de un cuerpo rígido pueden expresarse matemáticamente en forma vectorial como iF  0 iM /  0 5 (5-5) donde ©F es la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo y ©MO es la suma de los momentos de par y los momentos de todas las fuerzas con respecto a cualquier punto O localizado en el cuerpo o fuera de él. Ecuaciones escalares de equilibrio. Si todas las fuerzas externas y los momentos de par aplicados se expresan en forma vectorial cartesiana y se sustituyen en las ecuaciones 5-5, tenemos i&Y j iF  i&Xi iM /  i-Xi i-Y j i&Zk  0 i-Zk  0 Como las componentes i, j y k son independientes entre sí, las ecuaciones anteriores se satisfacen siempre que i&X  0 i&Y  0 i&Z  0 (5-6a) i-X  0 i-Y  0 i-Z  0 (5-6b) y Estas seis ecuaciones escalares de equilibrio pueden usarse para resolver cuando mucho seis incógnitas mostradas en el diagrama de cuerpo libre. Las ecuaciones 5-6a exigen que la suma de las componentes externas de fuerza que actúan en las direcciones x, y y z sea igual a cero; asimismo, las ecuaciones 5-6b requieren que la suma de las componentes de momento con respecto a los ejes x, y y z, sea igual a cero. C05 EST_H BBELER.indd 242 11/19/09 2:5 : 0 AM 243 5.7 RESTRICCIONES Y DETERMINACIÓN ESTÁTICA 5.7 Restricciones y determinación estática Para asegurar el equilibrio de un cuerpo rígido, no sólo es necesario satisfacer las ecuaciones de equilibrio, sino que el cuerpo también debe estar sostenido o restringido propiamente por sus soportes. Algunos cuerpos pueden tener más soportes que los necesarios para el equilibrio, mientras que otros pueden no tener suficientes o estar colocados de tal manera que ocasionen el movimiento del cuerpo. A continuación se analiza cada uno de esos casos. Restricciones redundantes. Cuando un cuerpo tiene soportes redundantes, es decir, más de los necesarios para mantenerlo en equilibrio, se vuelve estáticamente indeterminado. Estáticamente indeterminado significa que habrá más cargas desconocidas sobre el cuerpo que ecuaciones de equilibrio disponibles para su solución. Por ejemplo, la viga de la figura 5-24a, y el ensamble de tubos de la figura 5-24b, que se muestran junto con sus diagramas de cuerpo libre, son estáticamente indeterminados debido a las reacciones adicionales (o redundantes) en los soportes. Para la viga hay cinco incógnitas, MA, Ax, Ay, By y Cy, para las cuales sólo se pueden escribir tres ecuaciones de equilibrio (©Fx  0, ©Fy  0 y ©MO  0, ecuaciones 5-2). El ensamble de tubos tiene ocho incógnitas, para las cuales sólo se pueden escribir seis ecuaciones de equilibrio, ecuaciones 5-6. Las ecuaciones adicionales necesarias para resolver problemas estáticamente indeterminados del tipo que se muestra en la figura 5-24 se obtienen generalmente a partir de las condiciones de deformación presentes en los puntos de soporte. Estas ecuaciones implican las propiedades físicas del cuerpo que se estudian en temas relacionados con la mecánica elástica, como la “mecánica de materiales”*. 500 N 2 kN m A B C 5 y Ay x 500 N 2 kN m Ax MA By Cy (a) Fig. 5-24 z Bz B Bx Mx By My Mz 400 N 400 N Az 200 N 200 N y x A Ay (b) *Vea R.C. Hibbeler, Mecánica de materiales, 7a. ed., Pearson Education>Prentice Hall, Inc. C05 EST_H BBELER.indd 24 11/19/09 2:5 : 2 AM 244 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO Restricciones impropias. Cuando se tienen tantas fuerzas reactivas desconocidas como ecuaciones de equilibrio, no siempre se garantiza que un cuerpo se encuentre estable cuando está sometido a una carga particular. Por ejemplo, el soporte de pasador en A y el soporte de rodillo en B para la viga de la figura 5-25a, están colocados de tal modo que las líneas de acción de las fuerzas de reacción son concurrentes en un punto A. En consecuencia, la carga P aplicada ocasionará que la viga gire un poco con respecto a A, por lo que la viga está impropiamente restringida, ©MA Z 0. En tres dimensiones, un cuerpo estará impropiamente restringido si las líneas de acción de todas las fuerzas reactivas intersecan un eje común. Por ejemplo, las fuerzas reactivas en los soportes de rótula esférica, ubicados en los puntos A y B de la figura 5-25b, intersecan el eje que pasa por A y B. Como los momentos de estas fuerzas con respecto a A y B son todos iguales a cero, entonces la carga P hará que el elemento gire con respecto al eje AB, ©MAB Z 0. 5 P P FB Ax A A B Ay (a) z z A Ax Ay A P Bx B P B x x y Az By Bz y (b) Fig. 5-25 C05 EST_H BBELER.indd 244 11/19/09 2:5 : AM 245 5.7 RESTRICCIONES Y DETERMINACIÓN ESTÁTICA P P A B A FA FB y x (a) z FB FC B FA C A 100 N 5 y 100 N x (b) Fig. 5-26 Otra manera en que una restricción impropia conduce a la inestabilidad ocurre cuando todas las fuerzas de reacción son paralelas. En la figura 5-26 se muestran ejemplos bidimensionales y tridimensionales de esto. En ambos casos, la suma de fuerzas a lo largo del eje x no será igual a cero. En algunos casos, un cuerpo puede tener menos fuerzas de reacción que ecuaciones de equilibrio que deben ser satisfechas. Entonces, el cuerpo está sólo parcialmente restringido. Por ejemplo, considere el elemento AB de la figura 5-27a con su correspondiente diagrama de cuerpo libre en la figura 5-27b. Aquí, ©Fy  0 no será satisfecha para las condiciones de carga, y por lo tanto no se mantendrá el equilibrio. Para resumir estos puntos, un cuerpo se considera impropiamente restringido si todas las fuerzas de reacción se intersecan en un punto común o pasan por un eje común, o si todas las fuerzas de reacción son paralelas. En la práctica de la ingeniería, estas situaciones deben evitarse en todo momento ya que pueden causar una condición inestable. C05 EST_H BBELER.indd 245 100 N A B B (a) 100 N FA FB (b) Fig. 5-27 11/19/09 2:5 : AM 246 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO Puntos importantes • Al resolver cualquier problema de equilibrio, siempre trace primero el diagrama de cuerpo libre. • Si un soporte evita la traslación de un cuerpo en una dirección específica, entonces el soporte ejerce una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección. • Si un soporte evita la rotación con respecto a un eje, entonces el soporte ejerce un momento de par sobre el cuerpo con respecto al eje. • Si un cuerpo está sometido a más reacciones desconocidas que ecuaciones de equilibrio disponibles, entonces el problema es estáticamente indeterminado. • Un cuerpo estable requiere que las líneas de acción de las fuerzas reactivas no intersequen un eje común y no sean paralelas entre sí. Procedimiento para el análisis 5 Los problemas de equilibrio tridimensional para un cuerpo rígido pueden resolverse por el siguiente procedimiento. Diagrama de cuerpo libre. • Trace el contorno del cuerpo. • Muestre todas las fuerzas y los momentos de par que actúan sobre el cuerpo. • Establezca el origen de los ejes x, y, z en un punto conveniente y oriente los ejes de manera que sean paralelos a las fuerzas y momentos externos tanto como sea posible. • Rotule todas las cargas y especifique sus direcciones relativas a los ejes x, y, z. En general, muestre todas las componentes desconocidas con un sentido positivo a lo largo de los ejes x, y, z. • Indique las dimensiones del cuerpo necesarias para calcular los momentos de las fuerzas. Ecuaciones de equilibrio. • Si las componentes x, y, z de fuerza y momento parecen fáciles de determinar, entonces aplique las seis ecuaciones escalares de equilibrio; de otra manera, use las ecuaciones vectoriales. • No es necesario que el conjunto de ejes seleccionados para la sumatoria de fuerzas coincida con el conjunto de ejes elegidos para la sumatoria de momentos. En realidad, para realizar la suma de fuerzas y momentos puede elegirse un eje en cualquier dirección arbitraria. • Elija la dirección de un eje para la suma de momentos de manera que interseque la línea de acción de las fuerzas desconocidas tanto como sea posible. Tenga en cuenta que los momentos de las fuerzas que pasan por los puntos sobre este eje y las fuerzas que son paralelas al eje serán iguales a cero. • Si la solución de las ecuaciones de equilibrio da como resultado un escalar negativo para una magnitud de fuerza o de momento de par, esto indica que el sentido es contrario al supuesto en el diagrama de cuerpo libre. C05 EST_H BBELER.indd 24 11/19/09 2:5 : 4 AM 247 5.7 RESTRICCIONES Y DETERMINACIÓN ESTÁTICA EJEMPLO 5.15 La placa homogénea que se muestra en la figura 5-28a tiene una masa de 100 kg y está sometida a una fuerza y un momento de par a lo largo de sus bordes. Si está soportada en el plano horizontal por medio de un rodillo en A, una rótula esférica en B y una cuerda en C, determine las componentes de reacción en estos soportes. 300 N 200 N m 1.5 m B Diagrama de cuerpo libre. Hay cinco reacciones desconocidas que actúan sobre la placa, como se muestra en la figura 5-28b. Se supone que cada una de esas reacciones actúa en una dirección coordenada positiva. Ecuaciones de equilibrio. Como la geometría tridimensional es bastante sencilla, un análisis escalar proporciona una solución directa a este problema. Una suma de fuerzas a lo largo de cada eje resulta en i&X  0; "X  0 Resp. i&Y  0; "Y  0 Resp. i&Z  0; !Z 4# 300 N 981 N  0 (1) Recuerde que el momento de una fuerza con respecto a un eje es igual al producto de la magnitud de la fuerza y la distancia perpendicular (brazo de momento) desde la línea de acción de la fuerza hasta el eje. Asimismo, las fuerzas que son paralelas a un eje o pasan por él no generan momento con respecto al eje. Por consiguiente, al sumar momentos con respecto a los ejes x y y positivos, tenemos i-X  0; i-Y  0; 300 N1.5 m 4#2 m 981 N1.5 m 3m 2m SOLUCIÓN (ANÁLISIS ESCALAR) "Z C A "Z2 m  0 981 N1 m "Z3 m !Z 3 m (a) z 300 N 200 N m 981 N TC 1m x Az x¿ z¿ 1m 1.5 m y 1.5 m Bx By Bz (b) y¿ 5 Fig. 5-28 (2) 200 N  m  0 (3) Las componentes de la fuerza en B se pueden eliminar si los momentos se suman con respecto a los ejes x¿y y¿. Obtenemos i-X€  0; 981 N1 m 300 N2 m i-Y€  0; 300 N1.5 m 981 N1.5 m 200 N  m ! Z2 m  0 (4) 4#3 m  0 (5) Resolver las ecuaciones 1 a 3, o las más convenientes 1, 4 y 5, da como resultado Resp. "Z  217 N 4#  707 N ! Z  790 N El signo negativo indica que Bz actúa hacia abajo. NOTA: la solución de este problema no requiere el uso de una sumatoria de momentos con respecto al eje z. La placa está parcialmente restringida, ya que los soportes no pueden impedir que gire respecto del eje z si se aplica una fuerza en el plano x-y. C05 EST_H BBELER.indd 247 11/19/09 2:5 : 4 AM 248 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO EJEMPLO 5.16 Determine las componentes de reacción que ejercen la junta de rótula esférica ubicada en A, la chumacera lisa en B y el soporte de rodillo en C, sobre el ensamble de barras que se muestra en la figura 5-29a. z z 900 N 900 N Ax D A 0.4 m x 0.4 m 0.4 m B 0.4 m C Ay 0.6 m A x 0.4 m 0.4 m y 0.4 m Az Bx FC Bz 0.4 m (a) 0.6 m y (b) Fig. 5-29 5 SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 5-29b, las fuerzas de reacción de los soportes evitarán que el ensamble gire con respecto a cada eje coordenado, de esta manera la chumacera en B sólo ejerce fuerzas de reacción sobre el elemento. Ecuaciones de equilibrio. Podemos obtener una solución directa para Ay si sumamos fuerzas a lo largo del eje y. iFy  0; Ay  0 Resp. La fuerza FC puede determinarse directamente al sumar momentos con respecto al eje y. iMy  0; FC(0.6 m) 900 N(0.4 m)  0 FC  600 N Resp. Con este resultado, Bz puede determinarse al sumar momentos con respecto al eje x. iMx  0; Bz(0.8 m) 600 N(1.2 m) Bz  450 N 900 N(0.4 m)  0 Resp. El signo negativo indica que Bz actúa hacia abajo. La fuerza Bx puede encontrarse al sumar momentos con el respecto al eje z. iMz  0; Resp. Bx(0.8 m)  0 Bx  0 Así, iFx  0; Ax 0  0 Resp. Ax  0 Por último, con los resultados de Bz y FC. iFz  0; C05 EST_H BBELER.indd 248 Az ( 450 N) Az  750 N 600 N 900 N  0 Resp. 11/19/09 2:5 : AM 249 5.7 RESTRICCIONES Y DETERMINACIÓN ESTÁTICA EJEMPLO 5.17 z El pescante se usa para sostener la maceta de 75 lb que se muestra en la figura 5-30a. Determine la tensión desarrollada en los cables AB y AC. C 2 pies 2 pies SOLUCIÓN B Diagrama de cuerpo libre. En la figura 5-30b, se muestra el diagrama de cuerpo libre del pescante. Ecuaciones de equilibrio. 3 pies Usaremos un análisis vectorial. O A x FAB  FAB 2 y 2i 6j 3k pies rAB 3  FAB 2 3 rAB (2 pies) 2 ( 6 pies) 2 (3 pies) 2 6 pies  FAC 2 7 6 7 &ABi 3 7 &!" j &!"k (a) Fig. 5-30  2i 6j 3k pies rAC  FAC 2 3  FAC 2 3 rAC ( 2 pies) 2 ( 6 pies) 2 (3 pies) 2  2 7 6 7 &!#i 3 7 &!# j 5 &!#k Podemos eliminar la reacción de la fuerza en O al escribir la ecuación de equilibrio del momento con respecto al punto O. iM /  0; (6j) 4 2 27 &!"i 2 18 7 &!" i-X  0; r! 6 7 &!" j (F!" 3 7 18 7 &!# &!"k3 4503 i 18 !" 7 & 2 2 7 2 12 7 &!" 18 !# 7 & i-Y  0; i-Z  0; W)  0 F!# &!#i 6 7 &!# j 12 7 &!# 3k 450  0 3 !#k3 7 & ( 75k) 5  0  0 z (1) 2 pies C 0  0 12 7 &!" 12 7 &!# 2 pies  0 B (2) Oy 3 pies x FAB  FAC  87.5 lb Ox FAB FAC O Al resolver simultáneamente las ecuaciones (1) y (2), Resp. rA Oz A y W  75 lb 6 pies (b) C05 EST_H BBELER.indd 249 11/19/09 2:5 : 8 AM 250 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO EJEMPLO 5.18 La barra AB que se muestra en la figura 5-31a está sometida a la fuerza de 200 N. Determine las reacciones en la junta de rótula esférica A y la tensión en los cables BD y BE. A SOLUCIÓN (ANÁLISIS VECTORIAL) 1.5 m Diagrama de cuerpo libre. Ecuaciones de equilibrio. Al representar cada fuerza del diagrama de cuerpo libre en forma vectorial cartesiana tenemos C 2m 1.5 m F!  !Xi 1m 200 N E !Y j !Zk T%  4%i T$  4$ j F   200k N D B 2m Al aplicar la ecuación de equilibrio de fuerzas: (a) iF  0; 5 Az A Ay y Ax 4%i ! Z 200k  0 !X 4%  0 (1) i&Y  0; !Y 4$  0 (2) i&Z  0; !Z 200  0 (3) Como r#  C 0.5i rB F r# 1 2 r", 1j T% r" T$  0 entonces 1k  200k 1i 2j 2k 4%i 4$ j  0 Al desarrollar y reordenar términos se obtiene 200 N TD Fig. 5-31 4$j F  0 i&X  0; iM!  0; (b) ! Y T$ Al sumar momentos con respecto al punto A resulta rC TE T% F! ! X z x Figura 5-31b. B 24$ 200i  24% 100j 4$ 24%k  0 i-X  0; 24$ i-Y  0; 24% 100  0 4$ 24%  0 i-Z  0; 200  0 (4) (5) (6) Si resolvemos las ecuaciones de la 1 a la 5 obtenemos 4$  100 N Resp. 4%  50 N !X  50 N Resp. . Resp. Resp. Resp. !Y  100 N !Z  200 N el signo negativo indica que Ax y Ay tienen un sentido que es opuesto al que se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figura 5-31b. NOTA: C05 EST_H BBELER.indd 250 11/19/09 2:5 :40 AM 251 5.7 RESTRICCIONES Y DETERMINACIÓN ESTÁTICA EJEMPLO 5.19 La barra doblada que se muestra en la figura 5-32a está soportada en A por una chumacera, en D por una junta de rótula esférica, y en B por medio del cable BC. Con sólo una ecuación de equilibrio, obtenga una solución directa para la tensión en el cable BC. La chumacera en A es capaz de ejercer componentes de fuerza sólo en las direcciones z y y puesto que está apropiadamente alineada sobre el eje. C A 1m z B SOLUCIÓN (ANÁLISIS VECTORIAL) u  r$!  R$! 1 1 i 2 2 0.7071i 0.7071j  E 0.5 m Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 5-32b, hay seis incógnitas. Ecuaciones de equilibrio. La tensión TB en el cable puede obtenerse directamente al sumar momentos con respecto a un eje que pase por los puntos D y A. ¿Por qué? La dirección del eje está definida por el vector unitario u, donde 0.5 m x 100 kg (a) j 5 Az Por lo tanto, la suma de los momentos con respecto a este eje será cero siempre que A ©MDA  u # ©(r  F)  0 TB Aquí r representa un vector de posición trazado desde cualquier punto sobre el eje DA hasta cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza F (vea la ecuación 4-11). Con referencia a la figura 5-32b, podemos escribir u  r"  0.7071i T" r% 0.7071 j  [ 4" 0.7071 4" 0 4"  490.5 N rB 45 0.5 m W  981 N rE D Dx x Dz Dy y (b)  981k   0 Fig. 5-32 490.5i]  0 490.5 B Ay z TBk  0.5j  0.7071 i u 0.5 m W  0 0.7071j    1j y D 0  0 Resp. Como los brazos de momento desde el eje hasta TB y W son fáciles de obtener, también podemos determinar este resultado con un análisis escalar. Como se muestra en la figura 5-32b, i-$!  0; T" (1 m sen 45°) 981 N(0.5 m sen 45°)  0 4"  490.5 N C05 EST_H BBELER.indd 251 Resp. 11/19/09 2:5 :45 AM 252 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO PROBLEMAS FUNDAMENTALES Todas las soluciones a los problemas deben incluir un DCL. F5-7. La placa uniforme tiene un peso de 500 lb. Determine la tensión en cada uno de los cables de soporte. F5-10. Determine las reacciones de soporte en las chumaceras lisas A, B y C del ensamble de tubos. z z A 0.6 m A 0.4 m B 450 N C y B 200 lb x 0.6 m y 0.6 m 2 pies C F5-10 2 pies 3 pies x F5-11. Determine la fuerza desarrollada en las cuerdas BD, CE y CF y las reacciones de la junta de rótula A sobre el bloque. F5-7 5 F5-8. Para la placa que se muestra en la figura, determine las reacciones en el soporte de rodillo A, la junta de rótula esférica D y la tensión en el cable BC. z z D E B C C 900 N 0.2 m x 1.5 m 600 N y B 0.5 m 0.4 m 0.4 m A F A 0.3 m D 4m 3m x 9 kN 6 kN 0.1 m F5-11 F5-8 F5-9. La barra se sostiene mediante chumaceras lisas en A, B y C y está sometida a las dos fuerzas mostradas. Determine las reacciones en los soportes. F5-12. Determine las componentes de reacción que ejercen la chumacera de empuje A y el cable BC sobre la barra. z z C A x 0.6 m A B 0.6 m 600N D 0.6 m 400N y F  80 lb B x D 6 pies 1.5 pies 1.5 pies 0.4 m C F5-9 C05 EST_H BBELER.indd 252 y F5-12 11/19/09 2:5 :47 AM 253 5.7 RESTRICCIONES Y DETERMINACIÓN ESTÁTICA PROBLEMAS Todas las soluciones a los problemas deben incluir un DCL. 5-63. El carro de carga soporta una caja uniforme que tiene una masa de 85 kg. Determine las reacciones verticales sobre las tres ruedas en A, B y C. La rueda en B no se muestra. No tome en cuenta la masa de la carretilla. B 5-66. Determine la ubicación x y y del punto de aplicación de la fuerza P de modo que la tensión desarrollada en los cables AB, CD y EF sea la misma. Pase por alto el peso de la placa. z 0.1 m A 0.2 m •5-65. Si P  6 kN, x  0.75 m y y  1 m, determine la tensión desarrollada en los cables AB, CD y EF. Haga caso omiso del peso de la placa. 0.4 m 0.2 m 0.5 m B C 0.6 m 0.35 m 0.35 m F P Prob. 5-63 D A x 5 y E x C *5-64. El poste para una línea de potencia está sometido a las dos fuerzas del cable de 60 lb, cada fuerza se encuentra en un plano paralelo al plano x-y. Si la tensión en la retenida AB es de 80 lb, determine las componentes de reacción x, y, z en la base O del poste. 2m 2m y Probs. 5-65/66 5-67. Debido a una distribución desigual del combustible en los tanques de las alas, los centros de gravedad para el fuselaje del avión A y las alas B y C se localizan como se muestra en la figura. Si estos componentes tienen pesos WA  45 000 lb, WB  8000 lb y WC  6000 lb, determine las reacciones normales de las ruedas D, E y F sobre el suelo. z 60 lb A 45 1 pie z 45 4 pies 60 lb 80 lb D B A C 10 pies E B 3 pies O y x x Prob. 5-64 C05 EST_H BBELER.indd 25 8 pies 6 pies F 4 pies 20 pies 3 pies 8 pies 6 pies y Prob. 5-67 11/19/09 2:5 :48 AM 254 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO *5-68. Determine la magnitud de la fuerza F que debe ejercerse sobre la manivela en C para sostener la caja de 75 kg en la posición mostrada. También, determine las componentes de reacción en la chumacera de empuje A y en la chumacera lisa B. 5-70. Determine la tensión en los cables BD y CD y las componentes de reacción x, y, z en la junta de rótula esférica ubicada en A. z z D 3m A 0.1 m 300 N B B 0.6 m x 0.5 m A 1.5 m y 0.2 m C x 0.1 m 0.5 m F 5 C 1m Prob. 5-68 y Prob. 5-70 •5-69. La flecha está soportado por tres chumaceras lisas en A, B y C. Determine las componentes de reacción en estos soportes. 5-71. El ensamble de barras se usa para sostener el cilindro de 250 lb. Determine las componentes de reacción en la junta de rótula esférica A, en la chumacera lisa E y la fuerza desarrollada a lo largo de la barra CD. Las conexiones en C y D son juntas de rótula esférica. z z 900 N D 600 N 450 N C 0.6 m A C 0.9 m 0.6 m x 0.9 m 500 N 0.9 m B 0.9 m 1 pie A 0.9 m y x 1 pie F 1 pie E 1.5 pies y 1 pie Prob. 5-69 C05 EST_H BBELER.indd 254 Prob. 5-71 11/19/09 2:5 :49 AM 255 5.7 RESTRICCIONES Y DETERMINACIÓN ESTÁTICA 5-74. Si la carga tiene un peso de 200 lb, determine las componentes x, y, z de la reacción en la junta de rótula esférica A y la tensión en cada uno de los cables. *5-72. Determine las componentes de reacción que actúan en las chumaceras lisas A, B y C. z z 450 N C 2 pies 4 pies 0.6 m 2 pies 300 N m 45 A 0.4 m B 0.8 m x D y F 0.4 m 3 pies A Prob. 5-72 B x G E 2 pies y 5 2 pies 2 pies C Prob. 5-74 •5-73. Determine las componentes de fuerza que actúan sobre la rótula esférica en A, la reacción en el rodillo B y la tensión en la cuerda CD necesarias para el equilibrio de la placa con forma de cuadrante circular. 5-75. Si el cable puede estar sometido a una tensión máxima de 300 lb, determine la fuerza F máxima que puede aplicarse a la placa. Calcule las componentes x, y, z de la reacción en la bisagra A para esta carga. z z C D 350 N 2 pies 3 pies A 3 pies 200 N 2m 1m C 200 N 60 A Prob. 5-73 C05 EST_H BBELER.indd 255 3m B y y x x 1 pie F B 9 pies Prob. 5-75 11/19/09 2:5 :50 AM 256 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO *5-76. El elemento se sostiene mediante un pasador en A y un cable BC. Si la carga en D es de 300 lb, determine las componentes x, y, z de la reacción en el pasador A y la tensión en el cable BC. 5-79. El pescante está soportado por una junta de rótula esférica en A y una retenida en B. Si las cargas de 5 kN se encuentran en un plano que es paralelo al plano x-y, determine las componentes de reacción x, y, z en A y la tensión existente en el cable en B. z z 1 pie C 5 kN 30 A 2 pies B 2 pies 5 kN 30 3m 2 pies x 2 pies 6 pies y 2m D 5 B A y 1.5 m x Prob. 5-76 Prob. 5-79 •5-77. La placa tiene un peso de W con centro de gravedad en G. Determine la distancia d a lo largo de la línea GH donde la fuerza vertical P  0.75W hará que la tensión en el cable CD sea cero. 5-78. La placa tiene un peso de W con centro de gravedad en G. Determine la tensión desarrollada en los alambres AB, CD y EF si la fuerza P  0.75W se aplica en d  L>2. *5-80. La puerta circular tiene un peso de 55 lb y un centro de gravedad en G. Determine las componentes x, y, z de la reacción en la bisagra A y la fuerza que actúa a lo largo del bastón CB necesarias para mantener la puerta en equilibrio. Considere que   45°. •5-81. La puerta circular tiene un peso de 55 lb y un centro de gravedad en G. Determine las componentes x, y, z de la reacción en la bisagra A y la fuerza que actúa a lo largo del bastón CB necesarias para sostener la puerta en equilibrio. Considere que   90°. z z B L –– 2 P L –– 2 G L –– 2 x F 3 pies A H x u y G d L –– 2 A D E B C y 3 pies C Probs. 5-77/78 C05 EST_H BBELER.indd 25 Probs. 5-80/81 11/19/09 2:5 :50 AM 257 5.7 RESTRICCIONES Y DETERMINACIÓN ESTÁTICA 5-82. El elemento AB está soportado en B mediante un cable y en A por medio de una barra cuadrada fija que entra holgadamente por el orificio cuadrado del collar. Si F  {20i  40j  75k} lb, determine las componentes x, y, z de la reacción en A y la tensión en el cable. 5-83. El elemento AB está soportado en B mediante un cable y en A por medio de una barra cuadrada fija que entra holgadamente en el orificio cuadrado del collar. Determine la tensión en el cable BC si la fuerza F  {45k} lb. •5-85. La placa circular tiene un peso W y centro de gravedad en su centro. Está sostenida por tres cuerdas verticales atadas a su borde; determine la distancia d máxima desde el centro hasta el punto donde se puede aplicar cualquier fuerza vertical P de manera que, en ninguno de los cables, la fuerza se vuelva cero. 5-86. Resuelva el problema 5-85 si se pasa por alto el peso W de la placa. z 8 pies C 6 pies y B A 5 P 120 120 r 12 pies 120 C d A B Probs. 5-85/86 4 pies F x Probs. 5-82/83 *5-84. Determine el máximo peso del barril de petróleo que puede soportar la grúa de piso sin caerse. Incluso, cuáles son las reacciones verticales en las ruedas lisas A, B y C para este caso. La grúa de piso tiene un peso de 300 lb, con su centro de gravedad ubicado en G. 5-87. Una mesa cuadrada uniforme que tiene un peso W y lados de magnitud a se sostiene mediante tres patas verticales. Determine la mínima fuerza vertical P que puede aplicarse a su parte superior para ocasionar la volcadura de la mesa. z a/2 10 pies a/2 30 3 pies a 1.5pies G C A 2 pies 2.5 pies 4 pies 2.5 pies 1 pie y B x Prob. 5-84 C05 EST_H BBELER.indd 257 Prob. 5-87 11/19/09 2:5 :51 AM 258 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO REPASO DEL CAPÍTULO z Equilibrio Un cuerpo en equilibrio no gira pero puede trasladarse con velocidad constante, o no se mueve. F2 F1 iF  0 iM  0 F4 F3 O y x Dos dimensiones 5 Antes de analizar el equilibrio de un cuerpo, es necesario trazar primero un diagrama de cuerpo libre. Este diagrama es una forma delineada que muestra todas las fuerzas y los momentos de par que actúan sobre el cuerpo. Los momentos de par pueden colocarse en cualquier punto en un diagrama de cuerpo libre puesto que son vectores libres. Las fuerzas pueden actuar en cualquier punto a lo largo de su línea de acción ya que son vectores deslizantes. 2m 500 N m C A 1m B 2m 30 500 N m Ax T 1m y Ay Los ángulos usados para descomponer fuerzas, y las dimensiones empleadas para tomar los momentos de las fuerzas, también deben mostrarse en el diagrama de cuerpo libre. 30 x A continuación se presentan en dos dimensiones algunos tipos comunes de soportes y sus reacciones. Recuerde que un soporte ejercerá una fuerza sobre el cuerpo en una dirección particular si evita la traslación del cuerpo en esa dirección, y ejercerá un momento de par sobre el cuerpo si evita una rotación. Fy Fy Fx u u u Fx M F rodillo Las tres ecuaciones escalares de equilibrio pueden aplicarse al resolver problemas en dos dimensiones, ya que la geometría es fácil de visualizar. C05 EST_H BBELER.indd 258 pasador o bisagra lisa soporte fijo i&X  0 i&Y  0 i-/  0 11/19/09 2:5 :52 AM 259 REPASO DEL CAPÍTULO P1 Para la solución más directa, trate de sumar fuerzas a lo largo de un eje que elimine tantas fuerzas desconocidas como sea posible. Sume momentos con respecto a un punto A que pase por la línea de acción de tantas fuerzas desconocidas como sea posible. i&X  0; !X 02  0 i-!  0; 02D2 "YD" "Y  01D1 !X  02 P2 d2 d1 Ax A 01D1  0 dB Ay 02D2 By D" Tres dimensiones A continuación se muestran aquí en tres dimensiones algunos tipos comunes de soporte y sus reacciones. Mz Fz Fz F rodillo Fx rótula esférica En tres dimensiones, a menudo es conveniente usar un análisis vectorial cartesiano al aplicar las ecuaciones de equilibrio. Para hacer esto, exprese primero, en forma vectorial cartesiana, cada fuerza y cada momento de par conocidos y desconocidos mostrados en el diagrama de cuerpo libre. Luego iguale a cero la suma de fuerzas. Tome momentos con respecto a un punto O que se encuentre sobre la línea de acción de tantas componentes desconocidas de fuerza como sea posible. Desde el punto O dirija vectores de posición hacia cada fuerza, y luego use el producto cruz para determinar el momento de cada fuerza. Fx Fy Mx Fy My 5 soporte fijo iF  0 iM /  0 i&X  0 i&Y  0 i&Z  0 i-X  0 i-Y  0 i-Z  0 Las seis ecuaciones escalares de equilibrio se establecen haciendo las respectivas componentes i, j y k de esas sumas de fuerzas y de momentos iguales a cero. Determinación y estabilidad Si un cuerpo está soportado por un número mínimo de restricciones para asegurar el equilibrio, entonces es estáticamente determinado. Si tiene más restricciones que las requeridas, entonces es estáticamente indeterminado. Para restringir apropiadamente el cuerpo, las reacciones no deben ser todas concurrentes o paralelas entre sí. C05 EST_H BBELER.indd 259 600 N 500 N 200 N 45 2 kN m Estáticamente indeterminadas, cinco reacciones, tres ecuaciones de equilibrio 100 N Restricción apropiada, estáticamente determinada 11/19/09 2:5 :55 AM 260 CAPÍTULO 5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO PROBLEMAS DE REPASO *5-88. Determine las componentes vertical y horizontal de la reacción en el pasador A y la fuerza en el cable BC. Pase por alto el grosor de los elementos. 5-91. Determine la reacción normal en el rodillo A y las componentes horizontal y vertical en el pasador B, para lograr el equilibrio del elemento. 10 kN C B 30 0.6 m 0.6 m A 200 N/m 3m 6 kN 0.8 m 100 N 4m 60 5 B 0.4 m A Prob. 5-91 4.5 m Prob. 5-88 •5-89. Determine las componentes de reacción horizontal y vertical en el pasador A y la reacción en el rodillo B requeridas para soportar la armadura. Considere que F  600 N. 5-90. Si el rodillo localizado en B puede soportar una carga máxima de 3 kN, determine la máxima magnitud de cada una de las tres fuerzas F que puede ser soportada por la armadura. *5-92. La flecha ensamblada está soportada por dos chumaceras lisas A y B y un eslabón corto DC. Si se aplica un momento de par a la flecha como se muestra, determine las componentes de fuerza de reacción en las chumaceras y la fuerza presente en el eslabón. El eslabón se encuentra en un plano paralelo al plano y-z y las chumaceras están adecuadamente alineadas con la flecha. z D 30 20 A 120 mm 2m 45 2m 2m B 250 mm 2m A x F F 250 N m 400 mm F Probs. 5-89/90 C05 EST_H BBELER.indd 2 0 B C 300 mm y Prob. 5-92 11/19/09 2:5 :58 AM 261 PROBLEMAS DE REPASO •5-93. Determine las reacciones en los soportes A y B del bastidor. 10 kip 7 kip 5 kip 2 kip 8 pies 6 pies 6 pies 5-95. Una fuerza vertical de 80 lb actúa sobre el cigüeñal. Determine la fuerza horizontal P de equilibrio que debe aplicarse a la manivela y las componentes x, y, z de reacción en la chumacera lisa A y en la chumacera de empuje B. Estos cojinetes están alineados correctamente y ejercen sólo fuerzas de reacción sobre la flecha. A z 80 lb 10 pulg y B 8 pies 14 pulg 0.5 kip A 6 pies 14 pulg 6 pulg B x 8 pulg Prob. 5-93 5-94. En la parte inferior de la figura se muestra un diagrama esquelético de la pierna. Aquí se puede observar que esta parte de la pierna se levanta por la acción del músculo cuádriceps unido a la cadera en A y a la rótula en B. Este hueso se desliza libremente sobre el cartílago y la junta de la rodilla. El cuádriceps se extiende posteriormente para unirse a la tibia en C. Con el sistema mecánico que se muestra en la parte superior de la figura para modelar la pierna, determine la tensión en el cuádriceps en C y la magnitud de la fuerza resultante en el fémur (pasador), D, a fin de mantener la pierna en la posición mostrada. La pierna tiene una masa de 3.2 kg y un centro de masa en G1; el pie tiene una masa de 1.6 kg y un centro de masa en G2. 5 4 pulg P Prob. 5-95 *5-96. La repisa simétrica está sometida a una carga uniforme de 4 kPa. El soporte está proporcionado por un perno (o pasador) localizado en cada extremo A y A¿ y por las ménsulas simétricas que se apoyan contra la pared lisa en ambos lados B y B¿. Determine la fuerza resistida por cada perno en la pared y la fuerza normal B necesarias para lograr el equilibrio. 75 mm 25 mm 350 mm B C A 300 mm D A¿ 4 kPa 75 G1 G2 B¿ A B C A D 0.15 m B Prob. 5-94 C05 EST_H BBELER.indd 2 1 1.5 m 0.2 m Prob. 5-96 11/19/09 2:5 :58 AM Para diseñar apropiadamente los elementos, es necesario determinar las fuerzas internas de los elementos de cada puente de armadura. C06 EST_HIBBELER.indd 262 11/19/09 2:57:56 AM Análisis estructural 6 OBJETIVOS DEL CAPÍTULO • Mostrar cómo se determinan las fuerzas en los elementos de una armadura, por medio del método de nodos y del método de secciones. • Analizar las fuerzas que actúan sobre los elementos de bastidores y máquinas, compuestos por elementos conectados mediante pasadores. 6.1 Armaduras simples Una armadura es una estructura compuesta de elementos esbeltos unidos entre sí en sus puntos extremos. Los elementos usados comúnmente en construcción consisten en puntales de madera o barras metálicas. En particular, las armaduras planas se sitúan en un solo plano y con frecuencia se usan para soportar techos y puentes. La armadura que se muestra en la figura 6-1a es un ejemplo de una armadura típica para soportar techos. En esta figura, la carga del techo se transmite a la armadura en los nodos por medio de una serie de largueros. Como esta carga actúa en el mismo plano que la armadura, figura 6-1b, el análisis de las fuerzas desarrolladas en los elementos de la armadura será bidimensional. Larguero A Armadura de techo (b) (a) Fig. 6-1 C06 EST_HIBBELER.indd 263 11/19/09 2:57:56 AM 264 CAPÍTULO 6 ANÁLISIS ESTRUCTURAL A Larguero Plataforma Viga de piso (a) Armadura de puente (b) Fig. 6-2 En el caso de un puente, como el mostrado en la figura 6-2a, la carga sobre la cubierta se transmite primero a los largueros, luego a las vigas de piso, y finalmente a los nodos de las dos armaduras laterales de soporte. Igual que en la armadura de techo, la carga en una armadura de puente es coplanar, figura 6-2b. Cuando las armaduras de puente o de techo se extienden sobre grandes distancias, comúnmente se usa un soporte o rodillo para soportar un extremo, por ejemplo, el nodo A en las figuras 6-1a y 6-2a. Este tipo de soporte permite la expansión o la contracción de los elementos debidas a los cambios de temperatura o a la aplicación de cargas. 6 Supuestos para el diseño. Para diseñar los elementos y las conexiones de una armadura, es necesario determinar primero la fuerza desarrollada en cada elemento cuando la armadura está sometida a una carga dada. Para esto, haremos dos supuestos importantes: • Todas las cargas se aplican en los nodos. En la mayoría de las (a) situaciones, como en armaduras de puentes y de techos, este supuesto se cumple. A menudo se pasa por alto el peso de los elementos, ya que la fuerza soportada por cada elemento suele ser mucho más grande que su peso. Sin embargo, si el peso debe ser incluido en el análisis, por lo general es satisfactorio aplicarlo como una fuerza vertical con la mitad de su magnitud aplicada a cada extremo del elemento. • Los elementos están unidos entre sí mediante pasadores lisos. Por (b) Fig. 6-3 C0 EST_H BBELER.indd 2 4 lo general, las conexiones de los nodos se forman empernando o soldando los extremos de los elementos a una placa común, llamada placa de unión, como se muestra en la figura 6-3a, o simplemente pasando un perno o pasador largo a través de cada uno de los elementos, figura 6-3b. Podemos suponer que estas conexiones actúan como pasadores siempre que las líneas centrales de los elementos unidos sean concurrentes, como en la figura 6-3. 11/19/09 2:57:57 AM 6.1 ARMADURAS SIMPLES T C T C Tensión (a) 265 Compresión (b) Fig. 6-4 Debido a estos dos supuestos, cada elemento de la armadura actuará como un elemento de dos fuerzas, y por lo tanto, la fuerza que actúe en cada extremo del elemento debe estar dirigida a lo largo del eje del elemento. Si la fuerza tiende a alargar el elemento, es una fuerza de tensión (T), figura 6-4a; mientras que si tiende a acortar el elemento, es una fuerza de compresión (C), figura 6-4b. En el diseño real de una armadura es importante establecer si la naturaleza de la fuerza es de tensión o de compresión. A menudo, los elementos a compresión deben ser más gruesos que los elementos a tensión debido al efecto de pandeo o de columna que ocurre cuando un elemento está en compresión. Armadura simple. Si tres elementos se conectan entre sí mediante pasadores en sus extremos, forman una armadura triangular que será rígida, figura 6-5. Al unir dos elementos más y conectar estos elementos a una nueva junta D se forma una armadura más grande, figura 6-6. Este procedimiento puede repetirse todas las veces que se desee para formar una armadura aún más grande. Si una armadura se puede construir expandiendo de este modo la armadura triangular básica, se denomina una armadura simple. 6 En la construcción de estas armaduras Warren, es evidente el uso de placas de unión metálicas. P P D C A B Fig. 6-5 C0 EST_H BBELER.indd 2 5 C B A Fig. 6-6 11/19/09 2:57:58 AM 266 CAPÍTULO 6 ANÁLISIS ESTRUCTURAL 6.2 Método de nodos Para analizar o diseñar una armadura, es necesario determinar la fuerza en cada uno de sus elementos. Una forma de hacer esto consiste en emplear el método de nodos. Este método se basa en el hecho de que toda la armadura está en equilibrio, entonces cada uno de sus nodos también está en equilibrio. Por lo tanto, si se traza el diagrama de cuerpo libre de cada nodo, se pueden usar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para obtener las fuerzas de los elementos que actúan sobre cada nodo. Como los elementos de una armadura plana son elementos rectos de dos fuerzas que se encuentran en el mismo plano, cada nodo está sometido a un sistema de fuerzas que es coplanar y concurrente. En consecuencia, sólo es necesario satisfacer ©Fx  0 y ©Fy  0 para garantizar el equilibrio. Por ejemplo, considere el pasador situado en el nodo B de la armadura que aparece en la figura 6-7a. Sobre el pasador actúan tres fuerzas, a saber, la fuerza de 500 N y las fuerzas ejercidas por los elementos BA y BC. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 6-7b. Aquí, FBA está “jalando” el pasador, lo que significa que el elemento BA está en tensión; mientras que FBC está “empujando” el pasador, y en consecuencia, el miembro BC está en compresión. Estos efectos se demuestran claramente al aislar el nodo con pequeños segmentos del elemento conectado al pasador, figura 6-7c. El jalón o el empujón sobre esos pequeños segmentos indican el efecto del elemento que está en compresión o en tensión. Cuando se usa el método de los nodos, siempre se debe comenzar en un nodo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando mucho dos fuerzas desconocidas, como en la figura 6-7b. De esta manera, la aplicación de ©Fx  0 y ©Fy  0 resulta en dos ecuaciones algebraicas de las cuales se pueden despejar las dos incógnitas. Al aplicar esas ec