2016DeGruyter"Satz von Löwenheim-Skolem"

Satz von Löwenheim-Skolem : Wörterbücher zur Sprach- und Kommunikationswissenschaft (WSK) Online 04/02/18 18(42 Wörterbücher zur Sprach- und Kommunikationswissenschaft (WSK) Online Editor-in-Chief: Schierholz, Stefan J. / Wiegand, Herbert Ernst Ed. by Demmerling, Christoph / Fellbaum, Christiane / Gansel, Christina / Girnth, Heiko / Grzybek, Peter / Habermann, Mechthild / Helmbrecht, Johannes / Juchem-Grundmann, Constanze / Jung, Dagmar / Kilian, Jörg / Köhler, Reinhard / Kortmann, Bernd / Müller, Peter O. / Naumann, Sven / Neef, Martin / Niemeier, Susanne / Olsen, Susan / Pompino-Marschall, Bernd / Rosenberg, Peter / Rymarczyk, Jutta / Sahel, Said / Schierholz, Stefan J. / Schmidt-Brücken, Daniel / Schoenefeld, Doris / Spieß, Constanze / Stekeler-Weithofer, Pirmin / Uzonyi, Pal / Warnke, Ingo H. / Weingarten, Rüdiger / Wischer, Ilse Sprachphilosophie Editor(s): Pirmin Stekeler-Weithofer, Christoph Demmerling 2016 10.1515/wsk.15.0.satzvonlowenheimskolem Published Online 19.12.2016 Marcos Silva , Francicleber Ferreira Satz von Löwenheim-Skolem Theorem, das besagt, dass jeder erfüllbare Satz der Logik erster Stufe ein Modell endlicher oder abzählbar unendlicher Kardinalität besitzt. Löwenheim-Skolem theorem theorem that states that each satisfiable sentence of first-order logic has a model of finite or countably infinite cardinality. http://content.degruyter.com/view/WSK/wsk_id_wsk_artikel_artikel_3…bq_0=Marcos+silva&dbf_0=wsk-fulltext&dbt_0=fulltext&o_0=AND&print Page 1 of 4 Satz von Löwenheim-Skolem : Wörterbücher zur Sprach- und Kommunikationswissenschaft (WSK) Online 04/02/18 18(42 Der Satz von Löwenheim-Skolem geht auf LÖWENHEIM (1915) zurück, aber der Beweis hatte einige Lücken und blieb auf einzelne Formeln beschränkt. 1922 präsentierte SKOLEM einen korrekten und vollständigen Beweis mit einer Methode, die heute als Skolemisierung bekannt ist. Die Semantik der Logik erster Stufe wird durch die Modellbeziehung zwischen Interpretationen und Formeln definiert. Interpretationen bestehen aus mathematischen Strukturen und Belegungen von Variablen. Eine mathematische Struktur gibt der Sprache eine Semantik, indem ein Universum bestimmt wird. Das Universum definiert die Elemente, auf die sich die Terme und Quantoren beziehen. Ein Modell ordnet die Relationen, Funktionen und Konstanten im Universum den Symbolen zu, welche die Grundbegriffe der Sprache darstellen. Eine Belegung der Variablen ordnet jeder Variable ein Element in der Domäne einer bestimmten Struktur zu. Die Kardinalität eines Modells ist die Größe seines Universums. Der Satz von LÖWENHEIM-SKOLEM zeigt, dass jede Formel der Logik erster Stufe, die durch ein Modell mit überabzählbar unendlichen Universum erfüllt ist, auch von einem Modell erfüllt wird, dessen Domäne höchstens unendlich abzählbar ist. Zum Beispiel wird jede erfüllbare Formel erster Stufe der Sprache der reellen Zahlen oder jede Formel der erststufigen Mengenlehre von abzählbaren Modellen erfüllt. Man kann zeigen, dass der Satz für abzählbare Mengen von Formeln oder Theorien verallgemeinert werden kann. Falls also die ZERMELO-FRAENKEL-Axiome der Mengenlehre konsistent bzw. erfüllbar sind, haben sie ein abzählbares Modell. Auch die Theorie der reellen Zahlen, das heißt, die Menge der Formeln, die durch die reellen Zahlen erfüllt wird, hat ein abzählbares Modell, obwohl der Bereich der reellen Zahlen eine überabzählbar Struktur ist. Der Satz von LÖWENHEIM-SKOLEM kann auf verschiedene Weisen verallgemeinert werden, etwa so, dass jede Menge von Formeln unendlicher Kardinalität K entweder unerfüllbar ist oder ein Modell der Kardinalität K hat. Der Satz besagt auch, dass jede Menge von Formeln der Kardinalität K Modelle jeder Kardinalität größer oder gleich K hat. In gewisser Weise zeigt sich hier ein Mangel der Ausdrucksstärke der Logik Erster Stufe. Denn die Größe der Grundmengen mathematischer Strukturen lässt sich nicht im axiomatischen System ausdrücken. Zusammen mit der Kompaktheit ist der LÖWENHEIM-SKOLEM-Satz eine der Haupteigenschaften der Logik erster Stufe. LINDSTRÖM zeigte, dass diese die ausdrucksstärkste Logik ist, für die neben anderen wünschenswerten Eigenschaften sowohl Kompaktheit als auch der Satz von LÖWENHEIM-SKOLEM gelten. Literatur EBBINGHAUS, H.-D./ FLUM, J./ THOMAS, T. [1996] Einführung in die mathematische Logik. Heidelberg [etc.] ! Google Scholar LEWIS, D. [1984] Putnam's Paradox. In: Australasian Journal of Philosophy 62: 221-236 ! Google Scholar LINDSTRÖM, P. [1966] First-order Predicate Logic with Generalized Quantifiers. In: Theoria 32: 186-195 ! Google Scholar LINDSTRÖM, P. [1969] On Extensions of Elementary Logic. In: Theoria 35: 1-11 ! Google Scholar LÖWENHEIM, L. [1915/1967] On Possibilities in the Calculus of Relatives. In: HEIJENOORT, J. VAN [ed. 1967] From Frege to Gödel. Cambridge: 228-251 ! Google Scholar PUTNAM, H. [1983] Realism and Reason. 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Copyright © 2011–2018 by Walter de Gruyter GmbH Powered by Safari Etracker Debug Info: et_pagename = "W\u00F6rterb\u00FCcher zur Sprach- und Kommunikationswissenschaft (WSK) Online|wsk|C|[EN]" et_areas = "\/Home\/\/databases,\/Home\/databases\/,\/Home\/DEG\/\/databases"; ET_Event.eventStart('Cite_Export','Cite|wsk','Click') ET_Event.eventStart('Alerts','STACNEA|wsk','Click') ET_Event.eventStart('Supplementary_Information','\/staticfiles\/content\/dbsup\/WSK_01_Vorwort.p df|pdf|wsk','Download') ET_Event.eventStart('Supplementary_Information','\/staticfiles\/content\/dbsup\/WSK_02_Abkuerzun gsverzeichnis.pdf|pdf|wsk','Download') ET_Event.eventStart('Supplementary_Information','\/staticfiles\/content\/dbsup\/WSK_03_Siglen.pd f|pdf|wsk','Download') ET_Event.eventStart('Supplementary_Information','\/staticfiles\/content\/dbsup\/WSK_04_Verzeichn is_Woerterbuchmarken.pdf|pdf|wsk','Download') http://content.degruyter.com/view/WSK/wsk_id_wsk_artikel_artikel_3…bq_0=Marcos+silva&dbf_0=wsk-fulltext&dbt_0=fulltext&o_0=AND&print Page 3 of 4 Satz von Löwenheim-Skolem : Wörterbücher zur Sprach- und Kommunikationswissenschaft (WSK) Online 04/02/18 18(42 ET_Event.eventStart('Supplementary_Information','\/staticfiles\/content\/dbsup\/WSK_05_UserGuide _English.pdf|pdf|wsk','Download') ET_Event.eventStart('Supplementary_Information','\/staticfiles\/content\/dbsup\/WSK_06_UserGuide _Deutsch.pdf|pdf|wsk','Download') Usage Logging Request Attributes: ACCOUNT_IDS = 98291 CONTENT_SET_IDS = 'no_auth',ifp:current-version,wsk CONTENT_ID = wsk SUBSCRIPTION_IDS = null AUTH_ACCOUNT_IDS = 0 TITLE_ID = wsk TITLE_SOURCE_NAME = Wörterbücher zur Sprach- und Kommunikationswissenschaft (WSK) Online TITLE_NAME = Satz von Löwenheim-Skolem REQUEST_TYPE = FULLTEXT_HTML MOBILE_DEVICE = false PUBLICATION_YEAR = 2016 RESULT_CLICK_SEARCH_TYPE = SEARCH_WITHIN DOC_TOPIC_IDS = null VIEW_COUNT = 1 LICENSE_TYPE = null PERCENT_OF_SOURCE = - http://content.degruyter.com/view/WSK/wsk_id_wsk_artikel_artikel_3…bq_0=Marcos+silva&dbf_0=wsk-fulltext&dbt_0=fulltext&o_0=AND&print Page 4 of 4