Teoria de segundo orden

Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Capítulo 2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO 2.1. Comportamiento de soportes esbeltos de hormigón armado 2.1.1. Linealidad y no linealidad Veamos la incidencia de las diferentes condiciones en el análisis de las estructuras de barras. - Equilibrio: Dada una estructura, si se supone que la geometría de la misma no varía, por la Estática es sabido que las condiciones de equilibrio son lineales en términos de todos los entes mecánicos (fuerzas, momentos, etc.). En particular los sistemas de esfuerzos equilibrados en una estructura hiperestática de grado n forman un espacio afín lineal en función de n incógnitas hiperestáticas. Todo ello implica la existencia de linealidad mecánica. La linealidad se pierde en segundo orden, ya que las condiciones de equilibrio dependen de la geometría deformada. - Compatibilidad: Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 3 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO - Autor: Jesús Villar Juan Deformaciones planas (en la sección) Deformaciones pequeñas Æc ≈ y’’ (en realidad c = y ' ' /(1 + y ' ) ). Ello lleva a la linealidad siempre, si las condiciones de borde son lineales. 3 2 No solamente los sistemas de deformadas compatibles en una estructura (en estas condiciones) forman espacio vectorial, de dimensión infinita, sino los de curvaturas y’’(x), con las condiciones de borde dadas. Todo ello implica que existe linealidad geométrica. Debe advertirse que la literatura suele llamar no linealidad geométrica a la propia del análisis de segundo orden. Pero ya se ha visto que ésta es en realidad una no linealidad mecánica, dado que afecta a las condiciones de equilibrio; en todo caso, como es debida a la consideración en éstas de variables geométricas, a lo sumo podría llamarse no linealidad mecánico-geométrica. Por otra parte, aunque ello no induzca normalmente a error, ya que la linealidad geométrica (según el sentido estricto aquí expuesto) se supone casi siempre en el análisis, pueden darse, por ejemplo, situaciones de grandes deformaciones en que tal linealidad desaparece; si, además, existen esfuerzos axiales, si hay lugar a confusión con la no linealidad adicional de los efectos de segundo orden. Material: A nivel de estructura, las condiciones que incorporan las del material son las relaciones tenso-deformacionales de las secciones. Si el material es de comportamiento elástico lineal, estas condiciones son también lineales: - M = E·I·c (curvatura) - N = E·A· (deformación axial o elongación) - V = G·A·K· (deformación de cortante o distorsión) Todo ello implica que hay linealidad por el material. Las relaciones anteriores están desacopladas (M-c, N- , etc.). Si el material no es lineal (o lo es de manera “imperfecta” porque rompe y la sección se fisura y cambia de configuración), se pierde esta linealidad y las condiciones se acoplan, en general: M = f(c,N), etc. 2.1.2. Pandeo elástico de barras La carga crítica para una barra comprimida puede ser obtenida considerando el comportamiento de una columna ideal, la cual asumimos que es inicialmente recta y comprimida por una carga centrada. Se considera primero el caso de una columna ideal esbelta empotrada en la base, libre en el extremo superior y sometida a una carga axial P (este caso fue resuelto inicialmente por Leonhard Euler). Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 4 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Figura 2.1. Columna ideal esbelta empotrada en la base Se asume que la columna es perfectamente elástica y los esfuerzos no exceden el límite de proporcionalidad. Si la carga P es menor que el valor crítico, la barra permanecerá recta y se desarrollará solo compresión axial. Esta forma recta de equilibrio elástico es estable, lo que significa que si se aplica una fuerza lateral y se produce una pequeña deformación lateral, la deformación desaparece cuando se retira la fuerza lateral, retornando la barra a su forma recta. Si se incrementa gradualmente P, se alcanza una punto en el que la forma recta se vuelve inestable y una pequeña fuerza lateral produce una deformada que no desaparece cuando se retira la fuerza. Entonces, se define la carga crítica (o carga de Euler) a la fuerza axial que es capaz de dar a la barra una ligera forma flectada. La carga crítica puede ser calculada usando la ecuación diferencial de la deformada. Cuando los ejes de coordenadas se toman como en la figura 2.2 y se supone que la columna está en una posición ligeramente deformada, el momento flector en la sección mn es: M = − P(δ − y ) (1) y la ecuación diferencial queda EI d2y = P(δ − y ) dx 2 (2) Como el extremo superior de la columna no está coaccionado, es esperable que el pandeo de la barra se de en el plano de mínima rigidez a flexión, el cual se asume que es un plano de simetría. Este mínimo valor de EI se usa en la ecuación anterior. Por simplicidad llamaremos: k2 = P EI (3) y ahora podemos escribir la ecuación (2) como d2y + k 2 y = k 2δ 2 dx Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular (4) 5 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan La solución general de esta ecuación es y = A ⋅ cos kx + B ⋅ sin kx + δ (5) donde A y B son las constantes de integración. Estas constantes se determinan a partir de las siguientes condiciones en el extremo empotrado de la barra: y= Estas dos condiciones se cumplen si y entonces dy =0 dx en x=0 A = −δ , B = 0 y = δ ⋅ (1 − cos kx ) (6) La condición de extremo libre superior de la barra requiere que y = δ en x=l que se satisface si δ ⋅ cos kl = 0 (7) La ecuación (7) requiere que =0 o coskl=0. Si =0, no hay deformada en la barra y por tanto no se da pandeo (Figura 2.1). Si coskl=0, se debe cumplir kl = (2n − 1) π 2 (8) donde n = 1, 2, 3, …. Esta ecuación da valores de k para los que el puede existir una forma pandeada. La deformación permanece indeterminada y, para este caso ideal, podemos obtener algún valor en el ámbito de la teoría de pequeñas deformaciones. El menor valor de kl que satisface la ecuación (8) se obtiene para n=1. Su correspondiente valor de P será la menor carga crítica, y tendremos: kl = l P π = 2 EI (9) de donde Pcr = π 2 EI 4l 2 Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular (10) 6 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Esta es la carga crítica menor para la barra de la figura 2.1, es decir, es el menor axil que puede mantener la barra en una forma ligeramente flectada. El valor de kx en la ecuación (6) varía en este caso de 0 a π/2, y la forma de la curva deformada se muestra en la figura 2.2. Sustituyendo n = 2, 3, … en la ecuación (8), obtenemos los correspondientes valores de la carga crítica: Pcr = 9π 2 EI 4l 2 Pcr = 25π 2 EI ... 4l 2 (11) Figura 2.2. Deformada de la columna ideal esbelta empotrada en la base para kx variando de 0 a π/2 El valor de kx de la ecuación (6) varía en estos casos de 0 a 3π/2, de 0 a 5π/2,…, y las correspondientes deformadas se muestran en las figuras 2.3.a y 2.3.b. Para la forma que muestra la figura 2.3.a se requiere una fuerza nueve veces mayor que la de la mínima carga crítica, y para la forma de la figura 2.3.b se requiere una fuerza 25 veces mayor que la carga crítica. Estas formas de pandeo se pueden producir usando barras muy esbeltas y aplicando restricciones externas en los puntos de inflexión para evitar deformación lateral en las mismos. Por otro lado, estas formas de pandeo son inestables y tienen poco sentido en la práctica ya que la estructura desarrolla grandes deformaciones cuando la carga alcanza el valor dado por la ecuación (11). Figuras 2.3.a y2.3.b. Deformada de la columna ideal esbelta empotrada en la base para kx variando de 0 a 3π/2 y de 0 a 5π/2 respectivamente Las cargas críticas para columnas con otras condiciones de vinculación en los extremos pueden ser obtenidas de la solución del caso anterior. Por ejemplo, en el caso de una Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 7 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan barra con articulaciones en sus extremos (figura 2.4) es evidente por simetría que cada mitad de la barra tiene las mismas condiciones que la barra entera de la figura 2.2. Entonces, la carga crítica pasa este caso se obtiene sustituyendo l/2 por l en la ecuación (10), lo que nos da: Pcr = π 2 EI l2 (12) Figura 2.4. Deformada de la columna ideal esbelta articulada en sus extremos (caso fundamental de pandeo) El caso de una barra con sus extremos articulados, que es probablemente el más asumido en la práctica; se llama caso fundamental de pandeo para una barra prismática. Si la barra tiene ambos extremos empotrados (figura 2.5), en ellos aparecerán dos momentos actuando como reacciones que impiden su giro durante el pandeo. Figura 2.5. Deformada de la columna ideal esbelta empotrada en sus extremos Estos momentos extremos y las fuerzas de compresión axial son equivalentes a dos fuerzas P aplicadas excéntricamente. Los puntos de inflexión estarán localizados donde la línea de acción de P intersecte la deformada, ya que en estos puntos el momento flector será nulo. Los puntos de inflexión y el de centro de barra dividen la misma en cuatro regiones iguales, cada una de las cuales está en las mismas condiciones que la Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 8 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan barra de la figura 2.2. Por tanto, la carga crítica para una columna con extremos empotrados se encuentra sustituyendo l/4 por l en la ecuación (10), y se obtiene Pcr = 4π 2 EI l2 (13) Como ejemplo final, consideremos la columna que muestra la figura 2.6.a. Esta barra tiene el desplazamiento lateral libre en su extremo superior pero está guiado de manera que no permite el giro. En el extremo inferior la columna está empotrada. Como tenemos un punto de inflexión en el centro de la barra (figura 2.6.b), la carga crítica se encuentra sustituyendo l/2 por l en la ecuación (10), y se obtiene lo mismo que en la ecuación (12). Figura 2.6.a y 2.6.b. Barra con posible desplazamiento lateral y giro impedido en su extremo superior y empotrada en su extremo inferior, y deformada de la misma En cada uno de los casos anteriores se ha asumido que la columna no presentaba restricciones al pandeo en ninguna de sus direcciones, y que EI representaba la menor de sus rigideces a flexión. Si una columna está restringida de manera que el pandeo solo es posible en un plano principal, entonces EI debe representar la rigidez a flexión en este plano. Se ha asumido también que la barra era muy esbelta, con lo que las máximas tensiones de compresión que ocurren durante el pandeo permanecen dentro del límite elástico del material. Solo bajo estas condiciones son válidas las ecuaciones obtenidas para las cargas críticas de pandeo. Para establecer el límite de aplicabilidad de estas fórmulas, vamos a considerar el caso fundamental (figura 2.4). Dividiendo la carga crítica de la ecuación (12) por el área de la sección transversal de la barra y considerando: r= I A (14) donde r representa el radio de giro, el valor de la tensión crítica es: σ cr = Pcr π 2E = A (l / r )2 Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular (15) 9 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Esta tensión depende solo del módulo de elasticidad del material y de la esbeltez l/r. La expresión será válida hasta que la tensión σcr permanezca dentro del límite elástico del material. Cuando el límite elástico y el módulo E del material son conocidos, el valor límite de la esbeltez l/r puede ser hallado directamente de la ecuación (15). La ecuación (15) puede ser representada gráficamente por la curva ABC en la figura 2.7, donde la tensión crítica se representa en función de l/r. La curva se aproxima asintóticamente al eje de abcisas, por lo que vemos que la tensión crítica se aproxima a cero a medida que la esbeltez l/r aumenta. La curva también se aproxima asintóticamente al eje de ordenadas pero en esta región solo es aplicable mientras la tensión σcr sea menor al límite elástico (punto C) del material (tramo BC). Figura 2.7. Relación entre la tensión crítica y la esbeltez para una valor de E dado Teniendo en cuenta ahora los casos representados en las figuras 2.2 y 2.5 y procediendo como en el caso de la barra con extremos articulados, se encuentran las siguientes expresiones para las tensiones críticas: σ cr = π 2E (2l / r )2 σ cr = π 2E (l / 2r )2 (16) y (17) 2.1.3. Estado Límite último de pandeo en soportes de hormigón armado 2.1.3.1. Introducción: efectos de segundo orden El aumento de resistencia de los materiales de construcción ha permitido reducir las dimensiones transversales de las piezas, dando lugar a elementos esbeltos que, sometidos a fuertes compresiones, pueden sufrir problemas de inestabilidad o, al menos una disminución apreciable en su capacidad portante. En efecto, considérese una columna esbelta empotrada en su base y libre en su extremo superior, solicitada por una compresión excéntrica (Fig 2.8). Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 10 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Figura 2.8. Columna esbelta empotrada en su base y libre en su extremo y momentos producidos por un axil excéntrico Si la columna es muy esbelta (y por tanto muy flexible), la deformación de la misma no es despreciable, y menos aún el momento producido por la carga de compresión N al desplazarse su punto de aplicación por la flecha producida. Se generará así un esfuerzo adicional MII=N·ea, conocido como momento de segundo orden, que a su vez provoca un incremento en las deformaciones y(x), aumentándose de nuevo el efecto de segundo orden, y así sucesivamente. Este proceso incremento de esfuerzo – incremento de deformación generado puede conducir a una situación de equilibrio estable en la pieza deformada si la respuesta interna (momento interno correspondiente a la curvatura de cada sección) es capaz de equilibrar el momento exterior total, es decir si M i ( x) = N ⋅ e0 + N ⋅ [ y (l ) − y ( x)] (18) Se dice entonces que se ha llegado a una situación de equilibrio en segundo orden. Sin embargo es posible que los momentos exteriores provoquen esfuerzos cada vez mayores que no puedan ser equilibrados por la respuesta interna, desencadenándose un proceso que conduce bien al agotamiento de la sección crítica, bien a la inestabilidad estructural, como queda reflejado en la figura 2.9. Figura 2.9. Posibles caminos de carga en el agotamiento de una sección esbelta solicitada por un axil excéntrico Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 11 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan La recta OA representa la relación carga axial – momento flector en la sección crítica cuando los efectos de segundo orden son despreciables. El colapso se produce cuando la sección crítica agota, esto es, cuando la trayectoria (Md, Nd) corta al diagrama de interacción de dicha sección. La curva OB, la más frecuente en soportes de hormigón medianamente esbeltos, representa el colapso también por agotamiento de la sección más solicitada, pero la carga última es menor que en el caso anterior, ya que los esfuerzos de segundo orden no son despreciables. La curva OCD representa la misma relación en una pieza muy esbelta. En este caso existe un máximo en dicha curva, a partir del cual la estructura pierde su rigidez (punto C o de inestabilidad). Posteriormente la sección crítica agota (punto D) pero de hecho la estructura queda fuera de servicio en el momento de la inestabilidad, antes de haber llegado a la rotura de la sección crítica. En la actual filosofía de cálculo de estructuras de hormigón se establece el estado límite de inestabilidad o pandeo separado del de agotamiento por flexocompresión debido fundamentalmente a que para su estudio se requiere un análisis a nivel estructura, y no solo a nivel sección. No obstante, como se ha descrito anteriormente, en piezas esbeltas no siempre se produce la inestabilidad, abordándose también en este estado límite el estudio de piezas comprimidas moderadamente esbeltas en las que los efectos de segundo orden no son despreciables. 2.1.3.2. Planteamiento general de análisis en segundo orden de estructuras de hormigón El primer estudio teórico conocido sobre inestabilidad se debe a Leonhard Euler, quien lo realizó para una pieza biarticulada perfectamente rectilínea, de material elástico, cargada axialmente, tal como se describe en un apartado anterior de este trabajo. En tal estudio se planteó el equilibrio entre los esfuerzos internos y externos, conduciendo a la siguiente ecuación lineal N ⋅ y + EI ⋅ y ,, = 0 (19) donde N·y es el momento exterior provocado por un axil de compresión sobre la estructura deformada, EI·y’’ es el momento interno correspondiente a la curvatura y’’ de una sección de rigidez elástica EI. Dicha ecuación implica a la vez el cumplimiento de la hipótesis de pequeñas deformaciones (y’≈0) y la compatibilidad de deformaciones, a nivel pieza, al igualar la curvatura de la sección a la derivada segunda de la deformada, en dicha sección. La solución de esta ecuación lleva a la existencia de una serie de valores del axil N para los que es posible el equilibrio de la pieza para cualquier y (la solución no es única, ver Fig 2.10). El más bajo de estos valores, conocido como carga crítica es: N crit = π 2 ⋅ EI l2 Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular (20) 12 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Para el caso de compresión excéntrica la ecuación planteada es: N ( y + e0 ) + EI ⋅ y ,, = 0 (21) Figura 2.10. Soluciones de las ecuaciones (19) y (21) en función de N cuya solución no es posible para N>Ncrit. Para valores de axil inferiores al crítico existe una solución única para la deformada cuyo valor tiende a infinito conforme N se aproxima a Ncrit, (solución asintótica). Por tanto, en este caso teórico estudiado, estamos ante la posibilidad de que una estructura no tenga solución en desplazamientos o bien de que la posible solución requiera unas deformaciones muy grandes, lo que contradice una de las hipótesis de partida. Ahora bien, en todo lo anterior se ha supuesto un material elástico lineal, con una rigidez constante EI, independiente del nivel de cargas. El hormigón no cumple estas condiciones ya que su relación tensión-deformación no es lineal (E varía con el nivel de tensiones), su resistencia a tracción es prácticamente nula (existencia de fisuración y consecuente disminución de la rigidez con la misma), tanto hormigón como acero plastifican para niveles altos de la tensión y, además, existen deformaciones diferidas (retracción, fluencia) que pueden ser de consideración, entre otros fenómenos que se conocen en conjunto como no linealidad del material (ya expuesta en un apartado anterior). Consecuencia de ello es una variación importante de la rigidez con el nivel de la solicitación y, por tanto de las deformaciones de la pieza, lo que influye decisivamente en el nivel de esfuerzos de segundo orden y en la capacidad portante del elemento. Así pues un análisis “general” o riguroso de estructuras esbeltas deberá tener en cuenta, en la medida de lo posible, todos estos fenómenos, para lo cual deben satisfacerse tres tipos de condiciones: 1.- Condiciones de equilibrio a nivel estructura (entre esfuerzos externos e internos, entre cargas y reacciones) en la configuración deformada de la estructura, y a nivel sección, (entre esfuerzos y tensiones). Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 13 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan 2.- Condiciones de compatibilidad a nivel estructura (identificación de la curvatura con la derivada segunda de la deformada, condiciones de contorno) y a nivel sección (deformación plana de las secciones, adherencia entre hormigón y acero). 3.- Condiciones del material (ecuaciones constitutivas del hormigón y del acero), teniendo en cuenta los fenómenos no lineales antes mencionados. Para abordar el problema, dada su complejidad, se requiere la utilización de métodos numéricos, discretizando la estructura y tratando de satisfacer las condiciones anteriores en cada uno de los tramos o secciones de discretización. Mediante este método general, la solución de la ecuación diferencial planteada requiere un proceso iterativo como el que se describe a continuación. Consideremos una pieza simple de hormigón armado de sección constante, cargada con un axil excéntrico, cuyas características geométricas y mecánicas se indican cualitativamente en la Fig 2.11. Figura 2.11. Pieza simple de hormigón armado de sección constante, cargada con un axil excéntrico Se desea obtener, para un valor determinado de N y e0 la deformada de la pieza en equilibrio. Discretizada ésta en una serie de tramos, a cada uno de ellos le corresponderá una flecha yi, y un momento exterior N(e0+yi). Para cada sección (representativa de las características medias de su tramo) se conoce la relación entre esfuerzos y deformaciones seccionales, lo que en la práctica viene expresado por el diagrama momento-curvatura para un axil dado (M-ф-N), o por cualquier algoritmo que permita, para cada sección i, dados un momento Mi y un axil Ni, conocer la curvatura фi de la sección. Tenemos entonces, en cada sección, la ecuación: M ext = N ⋅ (e0 + y i ) = (EI )i ⋅ y i,, (22) en la cual la rigidez (EI)i no se conoce a priori por ser función del nivel de esfuerzos. El proceso iterativo a seguir es: Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 14 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan 1.- Se parte entonces de una solución inicial yi=yi0(x) arbitraria (no nula) como puede ser la circular o parabólica o la calculada en primer orden, con lo que se conoce en cada sección el momento exterior. El planteamiento del equilibro en segundo orden se expresará así: [ M i = N e0 + y ( x) ] (23) 2.- Se obtiene la curvatura de cada sección que corresponde al momento que la solicita, a través del diagrama momento-curvatura para el axil exterior, ф=f(Mi,Ni). Ello implica la satisfacción, a nivel sección, del equilibrio, de la compatibilidad y del comportamiento tenso-deformacional de los materiales. 3.-Se hace yi’’=ci, lo que implica la satisfacción de la compatibilidad de deformaciones a nivel estructura. 4.- Se obtiene la flecha a partir de la doble integración de las curvaturas, mediante diferencias finitas o cualquier otro método numérico, imponiendo las condiciones de contorno correspondientes. 5.- Se obtienen los nuevos momentos totales Mi=N(e0+yi), lo que implica la satisfacción del equilibrio de segundo orden. 6.- Se verifica la convergencia mediante comparaciones de los momentos actuales con los de la iteración anterior. 7.- En caso de no quedar satisfecho el criterio de convergencia se repiten de nuevo los pasos 2 a 6. Cuando el proceso converge la solución obtenida proporciona la ley de esfuerzos totales y flechas en teoría de segundo orden para el nivel de carga axial establecido, satisfaciendo todas las condiciones del análisis. Para este planteamiento general es esencial conocer el comportamiento seccional adecuadamente, incluyendo las propiedades no lineales de los materiales. Si se quiere trazar la respuesta estructural hasta alcanzar el estado límite último, se procede a incrementar la carga exterior (o bien la excentricidad). El proceso incremental prosigue hasta que, bien se produce el agotamiento de la sección crítica, bien se produce la inestabilidad, lo que se detecta por la divergencia del proceso iterativo. Todo lo anterior ha sido desarrollado para una pieza isostática, biarticulada de sección constante. En el caso más general de estructuras hiperestáticas, los efectos de la no linealidad de los materiales y los efectos de segundo orden dan lugar, además, a redistribuciones de esfuerzos a lo largo de la estructura. En tal caso debe plantearse un análisis similar al expuesto, extendiéndolo a toda la estructura, mediante métodos matriciales, elementos finitos u otros métodos numéricos que permitan reflejar tanto el comportamiento global como el del soporte aislado. Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 15 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan 2.1.3.3. Parámetros que influyen en el comportamiento de soportes esbeltos El comportamiento de soportes esbeltos (según Murcia, J., Aguado, A., Marí, A) de hormigón depende de una serie de parámetros geométricos y mecánicos entre los que destacaremos los siguientes. 1.- Valor del axil y signo de las excentricidades extremas. El esfuerzo axil influye doblemente: por una parte, interviene de manera directa en el esfuerzo de segundo orden (N·y), y por otra, afecta al comportamiento seccional a través del diagrama momento curvatura. Las excentricidades extremas de la carga afectan a la deformación de la pieza y, por tanto, a los esfuerzos de segundo orden. El caso más desfavorable es aquél en que el momento de primer orden es constante, ya que el máximo de los momentos de primer y segundo orden coinciden en la misma sección (ver Fig 2.12). En caso de momentos de diferente valor o el mismo signo, los máximos momentos de primer orden se producen en los extremos de la pieza, y no así los de segundo orden. Figura 2.12. Momentos de primer y segundo orden en función del signo de las excentricidades extremas 2.- Coacción al desplazamiento transversal de los nudos extremos. En estructuras traslacionales, el momento de segundo orden suele ser mucho más importante que si son intraslacionales, sumándose los efectos de la deformación de la pieza y los debidos a los desplazamientos de los nudos. 3.- Cuantía de armaduras y propiedades mecánicas de los materiales. Influyen, de una manera directa, en las características deformacionales y resistentes de la sección, como se manifiesta en el diagrama M- ф-N. 4.- Coacción al giro de nudos extremos. En piezas pertenecientes a entramados, la relación de rigideces entre vigas y columnas que confluyen en los nudos extremos del elemento de estudio, es una medida de la coacción al giro y, por tanto de la flexibilidad de la pieza. 5.- Duración de la carga. La fluencia producida por cargas de larga duración puede incrementar sensiblemente los desplazamientos de la estructura, llegando incluso a provocar el colapso por inestabilidad diferida. Para su consideración de forma simplificada puede introducirse una excentricidad adicional a la excentricidad real de la carga, o bien utilizar un diagrama tensión-deformación del hormigón con un módulo de deformación en el origen menor que el inicial. Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 16 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan 6.- Existencia de pretensado. El pretensado, si se aplica a soportes esbeltos, produce un doble efecto: Por una parte anula o retrasa considerablemente la fisuración, por lo que rigidiza el elemento. Por otra introduce un axil que se sumará al axil exterior, aumentando las tensiones de compresión en el hormigón. En caso de ser un pretensado interno, adherente o no, él solo no puede provocar la inestabilidad. No obstante, su utilización en soportes esbeltos solo está justificada cuando se prevé la aparición de fuertes cargas laterales (viento, sismo, etc.). 7.- Geometría longitudinal y transversal de la pieza. La esbeltez de una pieza es el parámetro más significativo en el comportamiento frente a fuertes cargas de compresión, ya que indica la flexibilidad de la misma y la posible generación de esfuerzos adicionales. La esbeltez mecánica se define como el cociente entre la longitud de pandeo y el radio de giro de la sección transversal. λm = le , i i= I A (24) La longitud de pandeo, lo, es la distancia entre puntos de momento nulo en el momento de la inestabilidad. Este concepto es propio del cálculo elástico pero por su utilidad se emplea también en estructuras de hormigón. La longitud de pandeo depende de la traslacionalidad o instraslacionalidad de la pieza, de las restricciones al giro y desplazamiento de los nudos extremos y de la propia longitud del elemento a estudiar. Normalmente se expresa como el producto de una constante k por la longitud real de la pieza, l0=k·l , donde el factor k aglutina todas las condiciones de borde. Para el cálculo de k suele haber expresiones analíticas, tablas y monogramas. En la figura 2.13 se muestran algunos de los casos más simples. La influencia de la esbeltez es decisiva en el comportamiento de soportes comprimidos, de forma que a mayor esbeltez menos capacidad portante (podría decirse que el momento de segundo orden es prácticamente proporcional al cuadrado de la esbeltez). Los efectos de segundo orden empiezan a ser notables para esbelteces superiores a 30, aunque el objetivo de este trabajo es precisamente obtener unas expresiones analíticas que fijen de una manera más formal este límite. Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 17 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Figura 2.13. Factor k para las condiciones de borde más comunes 2.1.3.4. Comprobación de soportes aislados El fenómeno de la inestabilidad puede darse tanto a nivel global de la estructura como en alguno de los soportes aisladamente. El primer caso no es muy frecuente en estructuras de hormigón, ya que no se suele dar una esbeltez general de la estructura suficiente. Sin embargo sí es frecuente la existencia de soportes de cierta esbeltez en los que puede presentarse pandeo local y que, por tanto, hay que dimensionar o verificar frente al estado límite último de inestabilidad. El estudio de estos elementos se realiza aislándolos del resto de la estructura. Las condiciones de borde se introducen mediante el concepto de longitud de pandeo, ya explicado anteriormente, por lo que de hecho se estudia una pieza simple biarticulada de longitud igual a le. Por ello, la pieza biarticulada ha sido estudiada exhaustivamente, tanto por el método general como por métodos simplificados. 2.1.3.5. Métodos simplificados: excentricidad adicional La gran dificultad inherente al análisis de soportes esbeltos es la necesidad de calcular las flechas en piezas de hormigón. Por ello, los métodos simplificados existentes proporcionan, en base a resultados experimentales o a través de consideraciones teóricas, un valor de la flecha máxima o de la ley de curvaturas de la pieza. Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 18 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Conocida la flecha máxima de la pieza, bien calculada por doble integración de las curvaturas, bien supuesta, como se dijo antes, puede efectuarse la comprobación y el dimensionamiento de una pieza esbelta como si no lo fuese, reduciendo así el problema de inestabilidad a uno de agotamiento por flexocompresión. 1.- Comprobación: Se conoce el momento último de agotamiento de la sección Mu y la flecha máxima ymax. El axil último, con la excentricidad de primer orden e0, sera: Nu = Mu y max + e0 (25) 2.- Dimensionamiento: Conocido el axil de cálculo que solicita la sección Nd con su excentricidad e0, y la flecha máxima obtenida ymax, se dimensiona para un momento M d = N d (e0 + y max ) (26) De hecho, este traspaso del estado límite último de inestabilidad al estado límite último de rotura no siempre es correcto, ya que hay casos en los que no se llega a producir el agotamiento de los materiales (inestabilidad real). 2.1.4. Tratamiento del pandeo por la EHE 2.1.4.1. Definiciones. Longitud de pandeo y esbelteces Una estructura se llama intraslacional si sus nudos, bajo solicitaciones de cálculo, presentan desplazamientos transversales cuyos efectos pueden ser despreciados desde el punto de vista de la estabilidad del conjunto; y intraslacional en caso contrario. Un soporte se considera aislado si tiene una sustentación isostática. Los soportes pertenecientes a estructuras aporticadas se asimilan a soportes aislados si puede suponerse que la posición de los puntos en los que se anula su momento no varía con la carga. La longitud de pandeo l0 de un soporte se define como la longitud del soporte biarticulado equivalente al mismo a efectos de pandeo, y es igual a la distancia entre los puntos de momento nulo del mismo. La longitud de pandeo de soportes pertenecientes a pórticos depende de la relación de rigideces de los soportes a las vigas en cada uno de sus extremos, y puede obtenerse de los nomogramas de la figura 2.14, siendo para ello preciso decidir previamente si el pórtico puede considerarse intraslacional o debe considerarse trasnacional. Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 19 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Figura 2.14. Monogramas de la EHE para obtener las longitudes de pandeo de soportes pertenecientes a pórticos Se llama esbeltez geométrica de una pieza de sección constante a la relación λg = le/h entre la longitud de pandeo y la dimensión h de la sección en el plano de pandeo, y esbeltez mecánica a la relación λ = le/ic entre la longitud de pandeo y el radio de giro ic de la sección en el plano de pandeo. 2.1.4.2. Criterios de intraslacionalidad de pórticos La instrucción española indica que la definición de estructuras trasnacionales e intraslacionales no pretende establecer una clasificación rígida, sino ofrecer dos términos de referencia, correspondiendo al proyectista decidir la forma de comprobar su estructura. En el comentario a su artículo 43.3, especifica que pueden considerarse claramente intraslacionales las estructuras aporticadas provistas de muros o núcleos de contraviento, dispuestos de forma que aseguren la rigidez torsional de la estructura, que cumplan la condición: N ≤ 0.6 H⋅ si n ≥ 4 (27) ∑ EI Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 20 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO H⋅ Autor: Jesús Villar Juan N ≤ 0.2 + 0.1n ∑ EI si n < 4 (28) siendo: H = altura total de la estructura, desde la cara superior de cimientos N = suma de reacciones en cimientos, con la estructura totalmente cargada en estado de servicio ∑EI = suma de rigideces a flexión de los elementos de contraviento en la dirección considerada, tomando para el cálculo de I la sección bruta n = número de plantas de la estructura Este criterio de intraslacionalidad resulta muy riguroso en la práctica: sólo se cumple en estructuras arriostradas frente a acciones horizontales por núcleos o pantallas de dimensiones importantes, que naturalmente deben llegar a la cimentación. 2.1.4.3. Valores límite para la esbeltez a) Para esbelteces mecánicas λ < 35 (equivalentes, en secciones rectangulares, a esbelteces geométricas λg < 10), la pieza puede considerarse corta, despreciándose los efectos de segundo orden y no siendo necesario efectuar ninguna comprobación de pandeo. b) Para esbelteces mecánicas 35 ≤ λ < 100 (geométricas 10 ≤ λg < 29), puede aplicarse el método aproximado de la Instrucción. c) Para esbelteces mecánicas 100 ≤ λ < 200 (geométricas 29 ≤ λg <58), debe aplicarse el método general. d) No es recomendable proyectar piezas comprimidas de hormigón armado con esbelteces mecánicas λ > 200 (geométricas λg > 58). 2.1.4.4. Método aproximado La sección deberá dimensionarse para una excentricidad total igual a: etot = ee + ea ≥ e2 con ea = (1 + 0.12β )(ε y + ε ) h + 20ee l e2 ⋅ h + 10ee 50ic (29) (30) con los siguientes significados: ee = excentricidad de cálculo de primer orden equivalente: ee = 0.6e2 + 0.4e1 para soportes intraslacionales ee = e 2 para soportes traslacionales ea = excentricidad ficticia equivalente a los efectos de segundo orden Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 21 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan e2 = excentricidad de cálculo máxima de primer orden, tomada con signo positivo e1 = excentricidad de cálculo mínima de primer orden, tomada con el signo que le corresponda. Normalmente e2 y e1 son las excentricidades en los extremos. le = longitud de pandeo del soporte ic = radio de giro de la sección bruta de hormigón en la sección considerada y = fyd/Ey = deformación del acero para su resistencia de cálculo fyd = parámetro auxiliar para tener en cuenta los efectos de la fluencia: = 0.003 cuando el axil cuasipermanente no supera el 70% del axil total = 0.004 cuando el axil cuasipermanente el mayor al 70% del axil total = factor de armado: = 1.0 para armaduras en las caras frontales (máxima eficacia frente a pandeo) = 3.0 para armaduras en las caras laterales (mínima eficacia frente a pandeo) = 1.5 para armaduras en las cuatro caras (caso intermedio) h = canto total medido paralelamente al plano de pandeo En el caso de sección rectangular el radio de giro vale ic = h/3.464 y la expresión anterior se reduce a la siguiente: ea = (1 + 0.12β )(ε y + ε ) h + 20ee l e2 ⋅ h + 10ee 14.434h (31) con los mismos significados anteriores. 2.1.4.5. Método general En el caso de piezas de sección variable, o de gran esbeltez, o bien para estructuras especialmente sensibles a los efectos de segundo orden (por ejemplo, pórticos muy altos o muy flexibles frente a las acciones horizontales), puede ser necesario recurrir al método general de comprobación, en el que, al plantear las condiciones de equilibrio y compatibilidad de la estructura, se consideran los efectos de segundo orden provocados por las deformaciones. Estas deformaciones son evaluadas teniendo en cuenta la fisuración, la influencia de las armaduras sobre la rigidez y la fluencia. El planteamiento del método general se describe en el apartado 2.1.3.2 y, como se comprende fácilmente, su aplicación requiere el uso de ordenadores y programas especiales, siendo, además, un método de comprobación y no de dimensionamiento. Por ello sólo es recomendable en casos extraordinarios. 2.1.4.6. Método aproximado de la columna modelo Este método, preconizado por el Eurocódigo de Hormigón EC-2 y admitido por la Instrucción española, es aplicable a piezas de sección y armadura constantes. Para el cálculo de las deformaciones de segundo orden se utilizan los diagramas momentocurvatura de la sección. La única simplificación que se introduce es asimilar la deformada de la pieza a una función conocida (por ejemplo, de tipo senoidal), con lo que se obtienen resultados muy próximos a la realidad. En la práctica, sin embargo, la aplicación de este método resulta muy laboriosa. Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 22 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Puede simplificarse la labor preparando diagramas de interacción en los que se entra con el axil adimensional y el momento de primer orden adimensional, y se obtiene directamente la cuantía mecánica necesaria teniendo en cuenta los efectos de segundo orden. Cada diagrama debe estar preparado para una esbeltez determinada, para una ley de variación de excentricidad eo a lo largo de la pieza, y para un determinado valor del coeficiente φ de fluencia, por lo que una colección de diagramas de este tipo consta de un gran número de ellos. 2.1.5. Diagramas de interacción 2.1.5.1 Concepto y obtención Los dominios de deformación corresponden a todas las solicitaciones normales de una manera continua, desde la tracción simple hasta la compresión simple, al variar la profundidad del eje neutro desde -∞ a +∞, ver Fig 15. Puede decirse que cada plano contenido en un dominio de deformación está asociado a un par de esfuerzos (Nu,Mu) que agotan la sección. Veamos como se relacionan entre sí. Figura 2.15. Dominios de deformación Considérese una sección con armaduras de tracción y compresión y recubrimientos nulos (lo cual es una abstracción teórica para dar más claridad a la exposición). Si representamos en unos ejes las deformaciones externas de la sección (εc=εs2, εs1) para cada plano de rotura se obtiene el siguiente diagrama continuo y cerrado. Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 23 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Figura 2.16. Deformaciones correspondientes a cada dominio Cualquier punto interior al diagrama de interacción representa un plano en el que no agota ningún material y, por tanto, corresponde a una solicitación resistida. Para pasar de una deformación interior a una exterior o post-límite es preciso, necesariamente, cortar el diagrama, es decir, pasar por una situación límite. Un par (εc, εs1) fija unívocamente la posición de la fibra neutra y el plano de deformaciones (esto es, el valor de la deformación de todas las fibras de la sección). La ley de deformaciones, mediante los diagramas σ – del hormigón en rotura y del acero define unívocamente una ley de tensiones (ver Fig 17). La resultante y el momento resultante de las tensiones normales constituyen los esfuerzos últimos (Nu,Mu) o solicitación resistida y se obtienen planteando las ecuaciones de equilibrio seccional. Figura 2.17. Relación entre tensiones y deformaciones en el acero y el hormigón N u = ∫ σ c ( z )b( z )dz + As ⋅ σ s1 + As' ⋅ σ s 2 x (32) 0 Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 24 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan M u = ∫ σ c ( z )b( z )( z s − z )dz + As ⋅ σ s1 ⋅ z1 + As' ⋅ σ s 2 ⋅ z 2 x (33) 0 Es decir, el proceso es: Plano (εs1, εs2) Æ Ecuación de compatibilidad ε(x) Æ Diagrama Tensión-Deformación σ (x) Æ Ecuaciones de equilibrio (Nu, Mu) Se obtiene así, un diagrama (Nu, Mu) correspondiente a las solicitaciones límite, llamado Diagrama de Interacción. Cualquier solicitación de flexocompresión corresponde a un punto A (Nd, Md) en unos ejes (N, M), que puede ser interior, exterior o estar sobre el diagrama. El primer caso constituirá una solicitación resistida por la sección y en los otros agotará la sección. 2.1.5.2. Diagramas de interacción para soportes esbeltos Como resultado del análisis mediante el método general u otros métodos refinados se ha obtenido una serie de diagramas de interacción axil último-momento último para soportes esbeltos que pueden ser utilizados directamente para la comprobación o dimensionamiento de elementos rectangulares de hormigón armado con sección y armadura constante. Cada punto del diagrama de interacción Nu - Mu representa una situación de colapso del elemento, bien por inestabilidad, bien por agotamiento de la sección crítica, detectado mediante un análisis incremental de la carga en teoría de segundo orden. Como se observa, las variables consideradas son, además de las necesarias para el cálculo a nivel sección, la esbeltez geométrica λg=le/h de la pieza, la relación de excentricidades extremas de la carga e01/e02 y el coeficiente de fluencia ф=β·φ siendo β la relación carga permanente/carga total. Los diagramas así obtenidos son tanto más restrictivos a medida que λg es mayor, que β tiende a 1 y para el caso e01=e02. Figura 2.18. Diagrama de interacción axil-momento para soportes esbeltos. (Fuente: Estructuras de Concreto Reforzado, Park, R y Paulay, 1980) Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 25 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan 2.2. Concepto de límite inferior de esbeltez 2.2.1. Definición La esbeltez límite inferior puede definirse (según Marí, A. y Hellesland, J. (2003). When can second order effects in columns be neglected) como aquélla para la cual se produce una cierta reducción (normalmente el 10%) de la capacidad portante del soporte, respecto de la misma sin considerar los efectos de segundo orden. Todos los parámetros que influyen en los efectos de segundo orden y en la resistencia de la columna, afectarán por tanto al límite de esbeltez. Los más importantes de estos parámetros son: - Esfuerzo axil y momentos de primer orden que actúan sobre la columna Geometría longitudinal y transversal de la columna y condiciones de apoyo de la misma Cuantía y distribución de armaduras en la sección y a lo largo de la columna Propiedades de los materiales (resistencia y comportamiento tenso-deformacional del hormigón y de las armaduras) Fluencia bajo cargas mantenidas Imperfecciones geométricas Redistribución de esfuerzos debido a la no linealidad geométrica y de los materiales Además, el camino de carga puede también afectar a las tensiones y deformaciones de la columna debido al comportamiento no lineal del hormigón estructural. En este artículo se consideran tres caminos de carga teóricos, que tratan de representar tres casos extremos de carga en columnas: - Excentricidad constante: cuando el axil y el momento de primer orden se incrementan de igual manera. Este es el caso de una pila de puente sometida a una carga excéntrica o de una columna de un edificio de una sola planta (figura 2.19). Figura 2.19. Caso de excentricidad constante - Momento constante: cuando el axil se va incrementando y el momento permanece constante. Una situación como esta puede darse en soportes de edificios situados dos o mas pisos por debajo de la planta de actuación de las cargas aplicadas (figura 2.20). Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 26 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Figura 2.20. Caso de momento constante - Axil constante: cuando el momento flector de primer orden aumenta mientras el axil permanece constante. Esta situación se da, de forma aproximada, en columnas de edificios o pilas de puentes, cuando están sometidas a cargas viento lateral que no modifican la carga axial de la columna pero incrementan los momentos flectores sobre la misma (figura 2.21). Figura 2.21. Caso de axil constante La reducción de la capacidad resistente es un concepto general que debe ser tomado como una pérdida de la capacidad de carga axil, como una pérdida de capacidad de resistir momento o ambas a la vez, dependiendo del camino de carga considerado. Para ilustrar eso, consideremos el diagrama de interacción adimensional de momento flector- axil (M-N), figura 2.22, de la sección crítica de una columna. La figura 2.22 representa el caso de excentricidad constante, en el cual OD es la rama de carga, considerando solo efectos de primer orden, hasta el agotamiento de la sección, representado por su resistencia (punto D). Los efectos de segundo orden son representados mediante un incremento del momento flector en el agotamiento de la sección (rama OE), produciendo el fallo de la columna en el punto E. La pérdida de capacidad de carga axil viene dada por el segmento DF, mientras que la pérdida de capacidad de carga con momento viene dada por el segmento GF, ya que el máximo momento de primer orden que puede ser aplicado a la columna viene dado por el punto Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 27 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan G. Por lo tanto, para este caso, la pérdida de capacidad de carga incluye simultáneamente una pérdida de carga de axil y de momento que están directamente relacionados mediante la excentricidad de primer orden e=M/N. Figura 2.22. Relación axil-momento para el caso de excentricidad constante En el caso de momento constante, la pérdida de capacidad de carga es sinónimo de disminución del axil último, que viene dada por el segmento GD de la figura 2.23. Finalmente, en el caso de carga axil constante, la pérdida de capacidad resistente es sinónimo de disminución del momento de agotamiento, que viene dado por el momento de segundo orden GD, figura 2.24. Figura 2.23. Relación axil-momento para el caso de momento constante Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 28 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Figura 2.24. Relación axil-momento para el caso de axil constante Ya que el límite inferior de esbeltez está asociado a una pérdida de capacidad de carga, el aspecto clave para derivar una ecuación analítica para el límite inferior de esbeltez, es obtener expresiones analíticas para la capacidad seccional y para los efectos de segundo orden. 2.2.2. Revisión de la normativa vigente en diferentes países La esbeltez de una columna se define, generalmente, mediante la relación λm=le/i, entre la longitud de pandeo “le” y el radio de giro de la sección bruta de la columna en el plano de la flexión, “i” (=0,29h para una sección rectangular). En ocasiones, en lugar de utilizar la esbeltez mecánica antes definida, se utiliza la esbeltez geométrica λg=le/h, es decir la relación entre la longitud de pandeo y el canto de la sección. La longitud de pandeo tiene en cuenta las condiciones de vinculación del elemento, esto es, las coacciones al giro y al desplazamiento de los extremos de la columna. Los límites inferiores de esbeltez varían considerablemente de unos códigos a otros. A continuación se presenta una revisión de algunos códigos considerados representativos en este campo, que tratan el tema del límite de esbeltez desde formas muy simples hasta otras más sofisticadas. En las expresiones en las que interviene la esbeltez geométrica λg, se expresará como λ (el subíndice “g” se ha eliminado por simplicidad). Algunos códigos consideran constante el límite inferior de esbeltez, independientemente de otros parámetros asociados a la rigidez y resistencia de la columna o a las cargas actuantes. Así, la instrucción española EHE [1] considera que una columna es esbelta a partir de una esbeltez mecánica de λm=35. Por su parte la norma británica British Standard BS 8110, Parte 1 [2], utiliza la esbeltez geométrica y considera como esbeltez límite inferior λg=10 para soportes en entramados traslacionales y λg=15 en intraslacionales. El código modelo CEB-FIP 1990 [3], (MC90), proporciona los siguientes límites de esbeltez: Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 29 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Para elementos en pórticos traslacionales: λm = 7.5 νd si ν d ≤ 0.39 y λ m = 12 si ν d > 0.39 (34) Para soportes en pórticos intraslacionales: λm = 7.5 (2 − e01 / e02 ) νd y λ m = 12·(2 − e01 / e02 ) si ν d > 0.39 si ν d ≤ 0.39 (35) donde e01 e02 νd = Nd/(Ac·fcd) Nd Ac fcd es el menor valor de la excentricidad de primer orden del esfuerzo axil en un extremo del soporte es el mayor valor de la excentricidad, tomada como positiva. es el axil de cálculo relativo o adimensional. es el axil de cálculo en el soporte es el área de la sección bruta de hormigón es la resistencia del hormigón. En el MC90, la resistencia a compresión (o máxima tensión de compresión en el diagrama tensión-deformación) se define como αfcd, donde α=0,85 es un factor que supuestamente tiene en cuenta el cansancio del hormigón bajo cargas de larga duración. En el resto de códigos revisados a continuación el factor α está incluido en la definición de fcd, criterio que también ha sido adoptado en este trabajo. La norma noruega NS 3473 [4] adoptó el concepto de esbeltez normalizada, dependiente del axil y de la armadura, definida por: λ N = λm donde ω = As·fyd / (Ac·fcd) kt νd 1 + k tω (36) es la cuantía mecánica de armadura es un factor que tiene en cuanta la forma de la sección y la distribución de la armadura kt = 4 para secciones rectangulares con armaduras de esquina o equivalente kt = 8/3 para otros casos, a menos que se haga un estudio detallado. En general, el límite inferior de esbeltez viene dado por: λN = 10 Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular (37) 30 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Para columnas intraslacionales sin carga transversal aplicada este límite puede aumentarse hasta: λN ≤ (18 − 8 e01 / e02 ) (38) suponiendo que la columna se proyecta para resistir en toda su longitud el máximo momento. Cuando la excentricidad máxima de primer orden es menor que un valor mínimo, la relación de excentricidades se toma igual a la unidad. El borrador final del Eurocódigo 2 (EC-2) [5] establece que los efectos de segundo orden pueden ser ignorados si son menores que un 10% de los efectos de primer orden y propone valores simplificados de la esbeltez límite inferior para elementos aislados y para estructuras. En el primer caso son: λm = 20· νd A·B·C (39) donde A = 1/(1+0,2ϕef) (Si ϕef no es conocido puede adoptarse A=0,7 ) B = 1 + 2ω (Si ω no es conocido puede utilizarse B=1,1) C = 1,7 – e01/e02 (Si e01/e02 no es conocido, puede utilizarse C=0,7) ϕef = Coeficiente de fluencia efectivo = ϕ(∞, t0)·M0Eqp / M0Ed ϕ(∞, t0) = Coeficiente final de fluencia M0Eqp = Momento de primer orden bajo la combinación cuasi-permanente de cargas M0Ed = Momento de primer orden bajo la combinación de proyecto El efecto de la fluencia puede ignorarse si ϕ(∞, t0) ≤ 2, si λ ≤ 75 o si e02 ≥ h, donde h es el canto total de la sección en el plano de flexión considerado. Además, la relación de excentricidades debe tomarse igual a la unidad para elementos intraslacionales en los que los momentos de primer orden sean predominantemente generados por imperfecciones geométricas o debidos a cargas transversales aplicadas, así como para columnas traslacionales en general. El Código Norteamericano ACI 318-02 Building Code [6] proporciona los siguientes valores límite de esbeltez: Para elementos comprimidos intraslacionales: λm = 34 − 12·e01 / e02 Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular (40) 31 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan Para elementos comprimidos traslacionales, λlm = 22 (41) Aunque no está muy claramente especificado en los diversos códigos, se considera que la esbeltez límite está planteada tácitamente para columnas de sección, armadura y esfuerzo axil constantes en toda su altura, es decir para la mayoría de columnas en edificios y pilas de puente no muy altas. Para otros casos los códigos deben utilizarse con precaución. 2.3. Conclusiones La mayoría de las expresiones para el límite inferior de esbeltez que aparecen en las distintas normativas fueron obtenidas considerando una cierta pérdida de capacidad portante de las columnas (normalmente capacidad de resistir momento) debida a los momentos de segundo orden. A pesar de este principio general, e incluso teniendo en cuenta que los factores más importantes que gobiernan el comportamiento de columnas esbeltas están claramente identificados a través de consideraciones teóricas, análisis no lineales y resultados experimentales, se observa una falta de uniformidad en el tratamiento del límite inferior de esbeltez en los diferentes códigos. Por una parte, no todos los códigos usan los mismos parámetros es sus expresiones del limite de esbeltez. Por otra, el peso de un mismo parámetro es diferente en las diversas normativas, fruto, posiblemente, de que no todos los códigos asocian el límite inferior de esbeltez al mismo porcentaje de pérdida de capacidad portante. De hecho, la norma noruega y el ACI asocian el límite inferior de esbeltez al 5% de pérdida y el resto de los códigos revisados al 10%. La introducción de parámetros es normalmente debida a elecciones, más o menos justificadas, hechas por los respectivos comités de cada código. Para el usuario de una normativa, el efecto de parámetros que no aparecen explícitamente, debe ser considerado en las constantes de las formulaciones. De todos los parámetros que influyen, solo el gradiente de momento de primer orden es tenido en cuenta de forma explícita en el límite inferior del ACI. El MC90, además tiene en cuenta de forma explícita el axil reducido. El MC90, en vez de tener en cuenta el efecto de la cuantía de armadura en la rigidez de la sección fisurada, dice que el límite inferior ha sido obtenido para la cuantía mínima de armadura. En NS 3473, al contrario, se incluye explícitamente la contribución del armado a la rigidez en la formulación del límite de esbeltez. En el borrador del 2002 de EC2 se incluye, además de parámetros similares a los de NS 3473, un parámetro que hace referencia al efecto de la fluencia. Otra diferencia entre la propuesta de EC2 y las otras normativas revisadas, es que la relación de excentricidades de primer orden debe ser basada un valores que tengan en cuenta excentricidades accidentales (imperfecciones) en EC2, mientras que el los otros códigos deben ser usados valores nominales. En NS 3473 se incorpora un efecto reducido del gradiente de excentricidades de forma que permita tener en cuenta indirectamente excentricidades accidentales. Ante esta situación, no es sorprendente que se obtengan grandes diferencias cuando se aplican las expresiones de los diversos códigos. Ello queda ilustrado en las figuras 2.25.a y 2.25.b, en las que se representa el límite inferior de esbeltez en función del Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 32 Capítulo 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO Autor: Jesús Villar Juan esfuerzo axil relativo para casos de columnas intraslacionales poco armadas (ω=0,2), sometidas a momentos de igual y distinto signo en ambos extremos (e01/e02= 1 y -0.5, respectivamente). Las mayores diferencias se encuentran en los casos con pequeños esfuerzos axiles relativos (ν<0,4), aunque para axiles mayores, las diferencias también son significativas. Figuras 2.25.a y 2.25.b Además de estas diferencias, pueden plantearse diversas cuestiones relativas al tratamiento de este tema en los códigos y a la precisión de las diversas propuestas, tales como: ¿Afecta el valor absoluto de la excentricidad de primer orden e02 al límite inferior de esbeltez? De hecho, a pesar de que la cuestión ha sido estudiada, ninguno de los códigos comparados anteriormente tiene en cuenta explicitamente este parámetro, el cual afecta al grado de fisuración (a mayor momento para el mismo esfuerzo axil, mayor grado de fisuración) y, por tanto, a la rigidez de la columna y a los efectos de segundo orden. ¿Qué importancia tienen otros parámetros en la esbeltez límite, como la forma de la sección, la distribución de las armaduras, la fluencia bajo cargas permanentes o la forma de aplicación de las cargas?. La mayoría de los códigos no tienen explícitamente en cuenta estos parámetros o no especifican si se han tenido en cuenta. En este trabajo se abordan, entre otras, estas cuestiones, tratando de contestar razonadamente a la ¿Cuándo puede considerarse esbelta una columna de hormigón?. A partir exclusivamente de los principios generales de la mecánica del hormigón estructural y del comportamiento observado en piezas esbeltas, se deducen una serie de expresiones que aportan información cualitativa sobre la importancia de los parámetros que intervienen en el comportamiento de columnas esbeltas. Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 33