Кардіоїда

Побудова кардіоїди

Кардіоїда
Названо на честь	серце
Формула	$r=a(1-\cos \varphi )$ і $(x^{2}+y^{2}+2ax)^{2}-4a^{2}(x^{2}+y^{2})\,=\,0$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Кардіоїда у Вікісховищі

Кардіоїда (грец. καρδία — серце, грец. εἶδος — вид) — пласка лінія, яка описується фіксованою точкою кола, що котиться без ковзання по нерухомому колу такого ж радіуса.

Отримала свою назву за схожість своїх обрисів зі стилізованим зображенням серця.

Рухоме коло називається твірним, нерухоме коло — напрямним. ^{:стор.806}

Кардіоїда є окремим випадком равлика Паскаля, епіциклоїди і синусоїдальної спіралі.

Кардіоїда є інверсією (оберненою кривою) параболи з центром інверсії в її фокусі, відносно кола з цим же центром.

Кардіоїду можна окреслити як множину точок відбиття фіксованої точки деякого фіксованого кола відносно всіх дотичних до цього кола. ^{: стор.141}

Рівняння

Кардіоїда в декартовій системі координат

Нехай $a$ — радіус двох твірних кіл з центрами в точках $(-a,0),(a,0)$, $\varphi$ — кут повороту рухомого кола, а початок координат — початкова точка (також вона є точкою звороту (каспом) кардіоїди) (див. рисунок).

Тоді кардіоїда має наступні рівняння:

• У декартових прямокутних координатах в неявному виді:

  $$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4ax\left(x^{2}+y^{2}\right)-4a^{2}y^{2}\,=\,0.$$

або $$(x^{2}+y^{2}+2ax)^{2}=4a^{2}(x^{2}+y^{2})$$

• У прямокутних координатах (параметричний запис):

  $$\left\{{\begin{aligned}x(\varphi )&=2a\cdot (1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi \ ,\\y(\varphi )&=2a\cdot (1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi \end{aligned}}\right.$$

також: $$\left\{{\begin{aligned}x(\varphi )&=a\cdot (2\cos \varphi -\cos(2\varphi )-1)\ ,\\y(\varphi )&=a\cdot (2\sin \varphi -\sin(2\varphi ))\ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi \end{aligned}}\right.$$

• Параметричні рівняння в раціональному виді:

  $$\left\{{\begin{aligned}x(t)&=4a\cdot {\frac {t^{2}-1}{(t^{2}+1)^{2}}}\ ,\\y(t)&=8a\cdot {\frac {t}{(t^{2}+1)^{2}}}\ ,\qquad -\infty <t<+\infty \,;\quad \left(t=\tan {\frac {\varphi }{2}}\right)\end{aligned}}\right.$$

• У полярних координатах:

  $r=2a\cdot (1-\cos \varphi )=4a\sin ^{2}\left({\frac {\varphi }{2}}\right)\ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi$

• Параметризація в комплексній площині:

$$z(\varphi )=a\,\left(-e^{2i\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right)$$

Кардіоїди у різних положеннях

4 кардіоїди в полярних координатах і їх положення в системі координат

При зміні положення кардіоїди в системі координат, змінюється також її рівняння. на рисунку показано деякі положення кардіоїди і відповідні їм рівняння в полярній системі координат.

Властивості

• Кардіоїда — алгебрична крива четвертого порядку.
• Кардіоїда має один простий касп, тобто особливу точку звороту 1-го роду (вістря).
• Має вісь симетрії, що проходить через касп і вершину (діаметрально протилежну точку).
• Нормаль в довільній точці $M$ кардіоїди проходить через точку $E$ дотику напрямного (нерухомого) та твірного (рухомого) кіл;

Дотична в точці $M$ проходить через точку $E'$ напрямного кола, діаметрально протилежну до $E$. ^{: стор.817 ; : стор.122}

• Кут μ між дотичною до кардіоїди та радіус-вектором точки дотику дорівнює половині кута між цим радіус-вектором та полярною віссю: $\mu ={\frac {\varphi }{2}}$.
  

Кут між дотичною до кардіоїди та віссю $Ox$ дорівнює ${\frac {3\varphi }{2}}$.
Дотичні до кардіоїди, що проведені на кінцях хорди, яка проходить через касп (вістря) кардіоїди, взаємно перпендикулярні. ^{: стор.122}

• При повороті на кут, кратний $2\pi$, кардіоїда суміщується сама з собою. ^{: стор.817}
• Двоїсте утворення кардіоїди.

Кардіоїда з параметрами $R;r=R$, може бути також утворена як гіпоциклоїда (точніше перициклоїда) з параметрами $R;r=2R$. ^{: стор.816 ; : стор.38}

Метричні характеристики

Для кардіоїди, що описана будь-яким рівнянням, представленим вище, справедливі наступні формули: ^{: стор.123-124}

• Довжина дуги повного витка кардіоїди дорівнює:

$\ell ={16a}$.

Тобто довжина кардіоїди у 8 разів перевищує діаметр твірного кола.

• Довжина дуги кардіоїди від початкової точки (каспа) до довільної точки $M$, що відповідає куту $\varphi$:

$\ell =16a\cdot \sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}$.

• Площа, обмежена кардіоїдою дорівнює:

$S=6\pi a^{2}$.

Тобто площа кардіоїди в 6 разів перевищує площу твірного круга.

• Радіус кривини в точці, що відповідає полярному куту $\varphi$:

$\rho (\varphi )={\frac {8}{3}}a\cdot \sin \left({\frac {\varphi }{2}}\right).$

• Об'єм тіла, що утворене при обертанні кардіоїди навколо її осі симетрії:

$V={\frac {64}{3}}\cdot \pi a^{3}$

• Площа поверхні цього тіла обертання:

$S_{\text{пов.}}={\frac {128}{5}}\cdot \pi a^{2}$

Хорди, що проходять через касп

Хорди кардіоїди

C1

Хорди , що проходять через вістря кардіоїди мають однакову довжину $4a$.

C2

Центри хорд, що проходять через вістря кардіоїди, лежать на нерухомому твірному колі (див. рисунок).

Доведення С1  

Точки $P:p(\varphi ),\;Q:p(\varphi +\pi )$ лежать на хорді, що проходить через вістря (=початок координат). Отже, $${\begin{aligned}|PQ|&=r(\varphi )+r(\varphi +\pi )\\&=2a(1-\cos \varphi )+2a(1-\cos(\varphi +\pi ))=\cdots =4a\end{aligned}}.$$

Доведення С2  

Для доведення використовується представлення рівняння кардіоїди на комплексній площині. Для точок $$P:\ p(\varphi )=a\,\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right)$$ та $$Q:\ p(\varphi +\pi )=a\,\left(-e^{i2(\varphi +\pi )}+2e^{i(\varphi +\pi )}-1\right)=a\,\left(-e^{i2\varphi }-2e^{i\varphi }-1\right),$$

серединою хорди $PQ$ є точка $$M:\ {\tfrac {1}{2}}(p(\varphi )+p(\varphi +\pi ))=\cdots =-a-ae^{i2\varphi }$$, яка лежить на колі з центром $(-a;0)$ та радіусом $a$ (див. рисунок).

Кардіоїда як інверсія параболи

Утворення кардіоїди шляхом інверсії параболи відносно одиничного кола (пунктирна лінія)

Кардіоїда є інверсією (оберненою кривою) параболи з центром інверсії в її фокусі, відносно кола з цим же центром (див. рисунок).

Для прикладу, показаного на рисунку, твірне коло має радіус ${\textstyle a={\frac {1}{2}}}$. Отже, кардіоїда має рівняння в полярних координатах: $$r(\varphi )=1-\cos \varphi$$ а її обернена крива (крива інверсії): $$r(\varphi )={\frac {1}{1-\cos \varphi }},$$ що є рівнянням параболи; в декартовій системі координат це рівняння має вигляд: ${\textstyle x={\tfrac {1}{2}}\left(y^{2}-1\right)}$.

Заувага: Не кожна обернена крива параболи є кардіоїдою. Наприклад, якщо інверсія параболи відбудеться відносно кола, центр якого знаходиться у вершині параболи, то результатом буде цисоїда Діокла.

Кардіоїда, як обвідна для пучка кіл

Кардіоїда є обвідною пучка кіл

Виконаємо інверсію дотичних до параболи з центром інверсії в її фокусі відносно кола з центром в цій же точці (див. попередній розділ); отримаємо пучок кіл, що проходять через центр інверсії (початок координат). При цьому центри утворених кіл лежать на нерухомому твірному колі кардіоїди. (Це коло є оберненою кривою до директриси параболи).

Ця властивість дає змогу утворити кардіоїду наступним простим методом:

1. Беремо коло $c$ та фіксовану точку $O$ на ньому,
2. проводимо низку кіл, що містять точку $O$ і центри яких лежать на колі $c$;
3. обвідною цих кіл буде кардіоїда.

Доведення  

Обвідна пучка неявно заданих кривих $$F(x,y,t)=0$$ з параметром $t$ складається з точок $(x,y)$, що є розв'язками нелінійної системи $$\left\{{\begin{aligned}F(x,y,t)&=0\ ,\\F_{t}(x,y,t)&=0\quad ,\end{aligned}}\right.$$ що є умовою існування обвідної. Зауважте, що $F_{t}$ означає частинну похідну за параметром $t$.

Нехай $c$ — коло з центром $(-1,0)$ та радіусом $1$. Тоді $c$ має представлення в параметричному виді: $(-1+\cos t,\sin t)$. Пучок кіл з центрами на $c$, що містять точку $O=(0,0)$ можна представити в неявному виді: $$F(x,y,t)=(x+1-\cos t)^{2}+(y-\sin t)^{2}-(2-2\cos t)=0,$$ що рівнозначно $$F(x,y,t)=x^{2}+y^{2}+2x\;(1-\cos t)-2y\;\sin t=0\;.$$ Другою умовою існування обвідної є $$F_{t}(x,y,t)=2x\;\sin t-2y\;\cos t=0.$$ Легко перевірити, що точки кардіоїди з параметричним представленням $$x(t)=2(1-\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1-\cos t)\sin t$$ задовольняють наведену вище нелінійну систему. Параметр $t$ ідентичний кутовому параметру кута.

Кардіоїда, як обвідна пучка прямих відрізків

Кардіоїда як огинаюча пучка прямих

Схожий та простий метод утворення кардіоїди полягає у використанні пучка прямих ліній. Метод був знайдений Л. Кремоною:

1. Проведемо коло і розділимо його на рівні частини $2N$ точками (див. рисунок); послідовно їх пронумеруємо.
2. Проведемо хорди через точки: $(1,2),(2,4),\dots ,(n,2n),\dots ,(N,2N),(N+1,2),(N+2,4),\dots$. Тобто друга точка рухається в два рази швидше за першу.
3. Обвідною цих хорд буде кардіоїда.

Утворення кардіоїди методом Кремони

Доведення  

Для спрощення обчислень, доведення наведено для кардіоїди з полярним представленням $r=2(1\mathbin {\color {red}+} \cos \varphi )$ (§ Кардіоїди у різних положеннях).

Рівняння дотичних до кардіоїди, рівняння якої у полярних координатах $r=2(1+\cos \varphi )$

Для параметричного представлення кардіоїди $${\begin{aligned}x(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\cos \varphi ,\\y(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\sin \varphi \end{aligned}}$$ вектор нормалі має координати: ${\vec {n}}=\left({\dot {y}},-{\dot {x}}\right)^{\mathsf {T}}$. Рівняння дотичної: ${\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0$
для кардіоїди: $$(\cos 2\varphi +\cos \varphi )\cdot x+(\sin 2\varphi +\sin \varphi )\cdot y=2(1+\cos \varphi )^{2}\,.$$

Застосувавши тригонометричні формули та спростивши, отримаємо наступне рівняння дотичної: $$\cos({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\quad 0<\varphi <2\pi ,\ \varphi \neq \pi .$$

Рівняння хорд кола з центром $(1,0)$ та радіусом 3

Для рівняння січної, що проходить через дві точки $(1+3\cos \theta ,3\sin \theta ),\ (1+3\cos {\color {red}2}\theta ,3\sin {\color {red}2}\theta ))$ отримаємо: $$(\sin \theta -\sin 2\theta )x+(\cos 2\theta -\sin \theta )y=-2\cos \theta -\sin(2\theta )\,.$$

Застосувавши тригонометричні формули та спростивши, отримаємо наступне рівняння січної: $$\cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{3}\quad 0<\theta <2\pi$$.

Висновок

Незважаючи на те, що два кути $\varphi ,\theta$ мають різні значення (див. рисунок), для $\varphi =\theta$ отримуємо одну і ту ж пряму. Отже, будь-яка січна кола, визначена вище, також є дотичною до кардіоїди:

Кардіоїда є обвідною хорд кола.

Заувага:
Доведення можна виконати за допомогою «умов існування обвідної» (див. попередній розділ) пучка неявно заданих кривих: $$F(x,y,t)=\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y-4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}t\right)^{3}=0$$

є пучком січних кола (див. вище) і $$F_{t}(x,y,t)=-{\tfrac {3}{2}}\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+{\tfrac {3}{2}}\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y+3\cos \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\sin t=0\,.$$

Для фіксованого параметра t обидва рівняння є рівняннями прямих. Точкою їх перетину є $$x(t)=2(1+\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1+\cos t)\sin t,$$

яка є точкою кардіоїди з полярним рівняням $r=2(1+\cos t).$

Кардіоїда як каустика кола

Кардіоїда як каустика: джерело світла $Z$, промінь світла ${\vec {s}}$, відбитий промінь світла ${\vec {r}}$

Кардіоїда як каустика кола з джерелом світла (праворуч) на його периметрі.

Міркування, зроблені у попередньому розділі, дають доказ того, що каустика кола з джерелом світла на його периметрі є кардіоїдою.

Якщо на площині є джерело світла в точці $Z$ на периметрі кола, яке відбиває будь-який промінь, то відбиті промені всередині кола є дотичними до кардіоїди.

Доведення  

Як і у попередньому розділі, розглянемо коло з центром $(1,0)$ і радіусом $3$. Його параметричне представлення має вигляд: $$c(\varphi )=(1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )\ .$$ Дотична до точки кола $C:\ k(\varphi )$ має нормальний вектор ${\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{\mathsf {T}}$. Отже, відбитий промінь має нормальний вектор ${\vec {n}}_{r}=\left(\cos {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi ,\sin {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi \right)^{\mathsf {T}}$ (див. рисунок) і містить точку $C:\ (1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )$. Відбитий промінь є частиною лінії з рівнянням (див. попередній розділ) $$\cos \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\,,$$ яка є дотичною до кардіоїди з полярним рівнянням $$r=2(1+\cos \varphi ).$$

Заувага: В подібних міркуваннях зазвичай нехтують багатократним відбиттям променя світла від дзеркальної лінії кола.

Кардіоїда як подера кола

Точка кардіоїди є основою опущеного перпендикуляра на дотичну до кола

Утворення кардіоїди методом Л. Кремони не слід плутати з наступним методом утворення кардіоїди:

Нехай дано коло $k$ та точку $O$ на ньому. Справедливо наступне твердження:

Основи перпендикулярів, що проведені з точки $O$ на дотичні до кола $k$ є точками кардіоїди.

Отже, кардіоїда є подерою кола.

Утворення кардіоїди як подери кола

Доведення  

В декартовій системі координат коло $k$ має центр $(2a,0)$ та радіус $2a$. Дотична до точки $(2a+2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )$ кола має рівняння $$(x-2a)\cdot \cos \varphi +y\cdot \sin \varphi =2a\,.$$ Основою перпендикулярна, проведеного з $O$ на дотичну є точка $(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )$, відстань від якої до початку координат $O$ дорівнює деякому числу $r$. Підставляємо координати точки в рівняння дотичної: $$(r\cos \varphi -2a)\cos \varphi +r\sin ^{2}\varphi =2a\quad \rightarrow \quad r=2a(1+\cos \varphi ),$$ що є полярним рівнянням кардіоїди.

Заувага: Якщо точка $O$ не лежить на колі $k$, отримаємо равлик Паскаля.

Еволюта кардіоїди

   Кардіоїда

   Еволюта кардіоїди

   Деяка точка P; її центр кривини M.

Еволютою кривої є геометричне місце центрів кривини.
Детальніше: для кривої ${\vec {x}}(s)={\vec {c}}(s)$ з радіусом кривини $\rho (s)$ еволюта має представлення $${\vec {X}}(s)={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).$$ де ${\vec {n}}(s)$ — відповідним чином орієнтована одинична нормаль.

Для кардіоїди маємо:

Еволюта кардіоїди — це інша кардіоїда, на третину менша за розміром і орієнтована у протилежний бік (див. рисунок). ^{: стор.123} Еволюта має той же центр, що і початкова кардіоїда. вершина еволюти збігається з каспом початкової кривої. ^{: стор.818}

Доведення  

Для кардіоїди з параметричним представленням $$x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cos \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi \,,$$ $$y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\sin \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi$$ вектор одиничної нормалі має координати: $${\vec {n}}(\varphi )=(-\sin {\tfrac {3}{2}}\varphi ,\cos {\tfrac {3}{2}}\varphi )$$ а радіус кривини: $$\rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.$$ Отже, параметричне рівняння еволюти буде: $$X(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {4}{3}}a\,,$$ $$Y(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi +{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \,.$$ Ці рівняння описують кардіоїду втричі більшого розміру, повернуту на 180 градусів і зміщену вздовж осі х на $-{\tfrac {4}{3}}a$.

Ортогональні траекторії

Ортогональні кардіоїди

Ортогональними траекторіями пучка кривих є криві, що перетинають криві даного пучка під прямим кутом. Для кардіоїд справедливо наступне твердження:

Ортогональми траекторіями пучка кардіоїд з рівняннями $$r=2a(1-\cos \varphi )\ ,\;a>0\ ,\$$ є кардіоїди з рівняннями $$r=2b(1+\cos \varphi )\ ,\;b>0\ .$$

(Другий пучок є відображенням першого відносно координатної осі Oy. Див. рисунок.)

Історія

Кардіоїда вперше зустрічається в працях французького вченого Луї Карре (Louis Carrè, 1705). Назву кривій дав Джованні Сальвеміні ді Кастіллоне (Giovanni Salvemini di Castiglione, згадується також як Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon) 1741 року.

«Випрямлення», тобто обчислення довжини кривої, виконав Ла Ір (Philippe de La Hire), який відкрив криву незалежно 1708 року. Окрім того, незалежно описав кардіоїду голландський математик Й. Коерсма (J . Koersma, 1741). Надалі до кривої виявляли цікавість багато видатних математиків XVIII—XIX століть.

Просторова кардіоїда

Просторова кардіоїда, представлена в Технологічному інституті Джоржжії

Просторова кардіоїда — крива в тривимірному просторі, що має схожість з кардіоїдою. Має параметричні рівняння: $$X(t)=((1-\cos(t))\cos(t),(1-\cos(t))\sin(t),\sin(t))\,$$

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Gutenmacher Victor; Vasilyev N. B. (1980). Straight Lines and Curves. Moskou: Mir Publishers. с. 240.
• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение (справочное руководство). — москва : изд. физико-математической литературы, 1960.

• Robert C. Yates (1947). A Handbook on Curves and their Properties. digital reprint by www.CircuitousRoot.com. с. 198.

• Lockwood E. H. (Edward Harrington) (1961). A Book of Curves. Cambridge, Eng. : University Press. с. 198. ISBN 9780511569340.

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Cardioid, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. Cardioid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Epicycloid--1-Cusped(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Cardioid в архіві MacTutor (англ.)
• Robert FERRÉOL, Cardioid, 2017
• Hearty Munching on Cardioids at cut-the-knot
• Xah Lee, Cardioid (1998) (На цьому сайті представлено кілька альтернативних конструкцій).
• Jan Wassenaar, Cardioid, (2005)