இதயவளை

உருளுகின்ற வட்டம் உருவாக்கும் இதயவளை.

ஒரு தரப்பட்ட வட்டத்தின் மேல் அமையும் புள்ளிகளை மையங்களாக கொண்டனவாகவும், அவ்வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி வழியாகச் செல்வனவாகவும் உள்ள வட்டங்களின் புறஉறை போல் அமையும் இதயவளை.

நெஞ்சுவளை அல்லது இதயவளை (cardioid) என்பது யூக்ளிடிய தளத்தில் வரையப்படும் ஒரு வளைவரை. இப்பெயர், இதயம் ("heart") எனப் பொருள்தரும் καρδία என்ற கிரேக்கச் சொல்லிருந்து பிறந்தது. சம ஆரங்கள் உடைய இரு வட்டங்களில் ஒன்று நிலையாகவும் மற்றொன்று முதல் வட்டத்தைத் தொட்டவாறு அதனைச் சுற்றி உருளும்போது உருளும் வட்டத்தின் மேல் அமைந்த ஏதேனும் ஒரு புள்ளியின் பாதை இதயவளைவரை ஆகும். இதனை ஓர் கூர்ப்புள்ளி கொண்ட புறவுருள் வட்டவளையுருவாக (epicycloid) வரையறுக்கலாம். இவ்வளைவரையை ஒருவகை நெடுக்கைவடிவச் சுருள்வரையாகவும் (sinusoidal spiral) மற்றும் பரவளைவின் நேர்மாறு வளைவரையாகவும் வரையறுக்கலாம். இந்த நேர்மாறு உருமாற்றத்தின் மையம் பரவளைவின் குவியமாக இருக்கும்

1741 இல் கணிதவியலாளர் டி காஸ்டியோனால் (de Castillon) இப்பெயரிடப்பட்டாலும், இவ்வளைவரை குறித்த ஆய்வுகள் அதற்கு முந்தைய பத்தாண்டுகளாகவே தொடங்கியிருந்தன. இதயம் போன்ற வடிவத்தினால் இப்பெயர் பெற்றிருந்தாலும் இவ்வளைவரை அதிகமாக, வட்ட ஆப்பிளின் வெட்டுமுகத்தின் வெளிக்கோட்டுருவத்தினைப் (காம்பு நீங்கலாக) போன்று அமைந்துள்ளது.

சமன்பாடுகள்

ஒரு வட்டத்தின் மேல் இன்னொரு வட்டம் உருளும் போது கிடைக்கும் வளைவரையாக இதயவளைரைக் கொள்வதன் அடிப்படையில் அதன் சமன்பாட்டினை அமைக்கலாம்.

நிலையான வட்டத்தின் மையத்தை ஆதிப்புள்ளியிலும் இரு வட்டங்களின் சம ஆரம் a எனவும் எடுத்துக் கொண்டால் இதயவளையின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்:

$x=a(2\cos t-\cos 2t),\,$

$y=a(2\sin t-\sin 2t).\,$

சிக்கலெண் தளத்தில் இச்சமன்பாடு:

$z=a(2e^{it}-e^{2it}).\,$

• a -வட்டங்களின் ஆரம்;
• (0,0) நிலைத்த வட்டத்தின் மையம்;
• இதயவளையை உருவாக்கும் புள்ளி நிலைத்த வட்டத்தை (a, 0) புள்ளியில் தொடும்- இப்புள்ளி இதயவளையின் கூர்ப்புள்ளி.

துணையலகு t நீக்கப்படக் கிடைக்கும் சமன்பாடு:

$(z{\bar {z}}-a^{2})^{2}-4a^{2}(z-a)({\bar {z}}-a)=0$

அல்லது கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில்:

$(x^{2}+y^{2}-a^{2})^{2}-4a^{2}((x-a)^{2}+y^{2})=0.\,$

• நிலைத்த வட்டத்தை a அலகு தூரம் வலப்புறமாக நகர்த்தியும், உருளும் வட்டத்தின் மேலுள்ள குறிப்பிட்ட புள்ளியை ஆதிப்புள்ளியாக எடுத்துக் கொண்டும் இதயவளையின் சமன்பாட்டை மேலும் எளிமையான வடிவில் பெறலாம். இதனால் வளைவரையின் திசைப்போக்கு மாறி, அதன் கூர்ப்புள்ளி இடதுபுறத்தில் அமையும்.

இடதுபக்கம் கூர்ப்புள்ளிகொண்ட இதயவளை

இந்த இதயவளையின் துணையலகு சமன்பாடுகள்:

$x=a(1+2\cos t+\cos 2t),\,$

$y=a(2\sin t+\sin 2t),\,$

சிக்கலெண் தளத்தில்:

$z=a(1+2e^{it}+e^{2it})=a(1+e^{it})^{2}.\,$

u = tan t/2 எனப் பிரதியிட:

$e^{it}={\frac {1+iu}{1-iu}},$

$z={\frac {4a}{(1-iu)^{2}}},$

அல்லது

$x={\frac {4a(1-u^{2})}{(1+u^{2})^{2}}},$

$y={\frac {8au}{(1+u^{2})^{2}}}.$

$z=e^{it}2a(1+\cos t),\,$ எனவும் கொள்ளலாம்.

இந்த இதயவளைவரையின் சமன்பாடு போலார் ஆயமுறைமையின்படி:

$r=2a(1+\cos \theta )\,$

இங்கு t இன் மாற்றாக θ துணையலகாக உள்ளது. இச்சமன்பாட்டை,

$r=4a\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\,$ என எழுதலாம்

சமன்பாட்டின் இவ்வடிவம் இதயவளையானது நெடுக்கைவடிவச் சுருள்வளை குடும்பத்தைச் சேர்ந்த்தது என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது.

இந்த இதயவளையின் சமன்பாட்டின் கார்ட்டீசிய ஆள்கூற்று முறைமை வடிவம்:

$\left(x^{2}+y^{2}-2ax\right)^{2}=4a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).\,$

அளவுசார் பண்புகள்

ஒரு இதயவளையினால் அடைபெறும் பரப்பினை வளைவரையின் போலார் சமன்பாட்டிலிருந்து காணலாம்:

$A=6\pi a^{2}\,$

அதாவது இதயவளையை உருவாக்கும் வட்டத்தின் பரப்பளவைப் போல 6 மடங்காகும்.

இதயவளையின் மொத்த வில்லின் நீளம்:

$L=16a.\,$.

நேர்மாறு வளைவரை

பரவளைவை (சிவப்பு) புள்ளியிடப்பட்ட வட்டத்தின் மறுபுறம் நேர்மாறு உருமாற்றம் காண இதயவளை (பச்சை) கிடைக்கிறது.

பரவளைவை நேர்மாறு உருமாற்றம் காணக் கிடைக்கக்கூடிய வளைவரைகளில் ஒன்று இதயவளை. பரவளையத்தின் குவியத்தை மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தில் பரவளைவின் நேர்மாறு உருமாற்றத்தின் விளைவு இதயவளை. இதயவளையின் கூர்புள்ளியானது அந்த வட்டத்தின் மையமாக, அதாவது பரவளைவின் குவியத்தில் அமையும்.

பரவளைவின் எல்லா நேர்மாறு உருமாற்ற வளைவரைகளும் இத்யவளைகளாக அமையாது. பரவளைவின் உச்சியை மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தில் பரவளைவின் நேர்மாறு உருமாற்றம் டையோக்ளசின் சிசாய்ட் (cissoid of Diocles) ஆகும்.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள பரவளையத்தின்

• போலார் ஆள்கூற்று முறைமைச் சமன்பாடு:

$\rho (\theta )\,=\,{\frac {1}{1-\cos \theta }}.\,$

• கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமைச் சமன்பாடு:

$y^{2}=2x+1$.

இந்த பரவளைவை அதன் குவியத்தை மையமாகக் கொண்ட அலகுவட்டத்தில் நேர் உருமாற்றம் காணக் கிடைக்கும் இதயவளையின் சமன்பாடு:

$\rho (\theta )\,=\,1-\cos \theta .\,$

மாண்டல்பிரெட் கணத்தின் நடு குமிழ்விளக்கின் வெளி விளிம்பு இதயவளை வடிவில் உள்ளது.

காப்பிக் குவளையின் மேற்பரப்பில் காணப்படும் எரிநிலைமேற்பரப்பு (caustic) இதயவளை வடிவில் தோற்றமளிக்கிறது.

மேற்கோள்கள்

• Weisstein, Eric W., "Cardioid", MathWorld.
• R.C. Yates (1952). "Cardioid". A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. pp. 4 ff.

மேலும் படிக்க

• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 24–25. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-14-011813-6.

வெளி இணைப்புகள்

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,
Cardioids
என்பதில் ஊடகங்கள் உள்ளன.

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Cardioid", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம்.
• Hearty Munching on Cardioids at cut-the-knot
• Weisstein, Eric W., "Epicycloid--1-Cusped", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Heart Curve", MathWorld.
• "Cardioid" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• Xah Lee, Cardioid (1998) (This site provides a number of alternative constructions).
• Jan Wassenaar, Cardioid, (2005)