Кардиоида

В геометрията кардиоида е равнинна алгебрична крива от четвърта степен, вид епициклоида с единствена рогова точка.

Кардиоидата е крива, която се получава като геометричното място на фиксирана точка от окръжност с радиус a, която се търкаля по външната страна на друга окръжност със същия радиус. Кардиоидата също така е специален вид охлюв на Паскал – с една рогова точка, която се получава, когато съотношението на радиусите на двете окръжности е 1. По трети начин тази крива може да се дефинира и като обратна трансформация на парабола.

Името на кардиоидата идва от гръцки: καρδια „сърце“ + ειδος „форма“. Откриването на кривата се приписва на холандския математик Кьорсма в края на XVII век, а названието е въведено от италианеца Джовани Франческо Кастилион през 1741 г. в статията му „De curva cardioïde“.

Кардиоидата е позната и от фракталните изображения. Първият и най-голям елемент в множеството на Манделброт e тъкмо кардиоида.

Уравнения

Уравнение в декартови координати:

(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=4a^{2}(x^{2}+y^{2})

Уравнение в полярни координати:

r(\varphi )=2a(1+cos\varphi )

Параметрични уравнения:

{\begin{cases}x(\varphi )=a\cos \varphi (1-\cos \varphi )\\y(\varphi )=a\sin \varphi (1-\cos \varphi )\end{cases}}

Дължина на кардиоидата:

L=16a

Лице на повърхнината на заградената от кардиоидата област:

S={3 \over 2}\pi a^{2}

.

Източници

„The Penguin Dictionary of Mathematics“, John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
„Лексикон Математика“, Георги Симидчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х
„Математически термини“, Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
„Физико-математическа и техническа енциклопедия“, Издателство на БАН, София, 1990
„Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983

Външни препратки

Страница, посветена на кардиоидата на сайта на Система Mathematica
Hearty Munching on Cardioids at cut-the-knot.org]
Xah Lee, Cardioid (1998) (Сайтът представя множество алтернативни конструкции).
Jan Wassenaar, Cardioid, (2005) в „862 двумерни математически криви“.