Ideal primo

Un diagrama de Hasse dunha parte da retícula de ideais dos números enteiros $\mathbb {Z} .$ Os nodos rubios indican ideais primos. Os nodos rubios e verdes son ideais semiprimos, e os nodos rubios e azuis son ideais primarios.

En álxebra, un ideal primo é un subconxunto dun anel que comparte moitas propiedades importantes dun número primo do anel de enteiros.^[1]^[2] Os ideais primos para os enteiros son os conxuntos que conteñen todos os múltiplos dun número primo dado, xunto co ideal cero.

Os ideais primitivos son primos e os ideais primos son tanto primarios como semiprimos.

Ideais primos para aneis conmutativos

Definición

Un ideal $P$ dun anel conmutativo $R$ é primo se ten as dúas propiedades seguintes:

Se $a$ e $b$ son dous elementos de $R$ tal que o seu produto $ab$ é un elemento de $P$ , entón $a$ está en $P$ ou $b$ está en $P$ ,
$P$ non é todo o anel $R$ .

Isto xeneraliza a seguinte propiedade dos números primos, coñecida como lema de Euclides: se $p$ é un número primo e se $p$ divide un produto $ab$ de dous enteiros, entón $p$ divide $a$ ou $p$ divide $b$ . Por iso podemos dicir

Un enteiro positivo

n

é un número primo se e só se

n\mathbb {Z}

é un ideal primo en

\mathbb {Z} .

Exemplos

Un exemplo sinxelo: No anel $R=\mathbb {Z} ,$ o subconxunto dos números pares son un ideal primo.
Dado un dominio de integridade $R$ , calquera elemento primo $p\in R$ xera un ideal primo principal $(p)$ . Por exemplo, tomemos un polinomio irredutíbel $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ nun anel polinómico $\mathbb {F} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ sobre algún corpo $\mathbb {F}$ . O criterio de Eisenstein para dominios de integridade (de aí UFD) pode ser eficaz para determinar se un elemento nun anel polinómico é irredutíbel.
Se $R$ denota o anel $\mathbb {C} [X,Y]$ de polinomios en dúas variables con coeficientes complexos, entón o ideal xerado polo polinomio $Y 2 - X 3 - X - 1$ é un ideal primo (ver curva elíptica).
No anel $\mathbb {Z} [X]$ de todos os polinomios con coeficientes enteiros, o ideal xerado por $2$ e $X$ é un ideal primo. O ideal consiste en todos os polinomios construídos tomando $2$ veces un elemento de $\mathbb {Z} [X]$ e engadilo a outro polinomio $X$ veces en $\mathbb {Z} [X]$ (que converte o coeficiente constante no último polinomio nun coeficiente linear). Polo tanto, o ideal resultante consiste en todos aqueles polinomios cuxo coeficiente constante é par.
En calquera anel $R$ , un ideal maximal é un ideal $M$ que é maximal no conxunto de todos os ideais propios de $R$ , é dicir, $M$ está contido en dous ideais de $R$ , a saber $M$ mesmo e todo o anel $R$ .Todos os ideais maximais son primos. En un dominio de ideais principais cada ideal primo diferente de cero é maximal, pero isto non é certo en xeral. Para o UFD (dominio de factorización única) $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ , teorema nullstellensatz de Hilbert afirma que cada ideal maximal é da forma $(x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n}).$
Se $M$ é un variedade suave, $R$ é o anel de funcións reais suaves en $M$ e, $x$ é un punto en $M$ , entón o conxunto de todas as funciónssuaves $f$ con $f (x) = 0$ forma un ideal primo (mesmo un ideal maximal) en $R$ .

Non exemplos

Considere a composición dos dous cocientes seguintes

\mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}

Aínda que os dous primeiros aneis son dominios de integridade (de feito o primeiro é un UFD) o último non é un dominio de integridade xa que é isomorfo a

{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [y]}{(y^{2}-1)}}\cong \mathbb {C} \times \mathbb {C}

posto que

(y^{2}-1)

factoriza en

(y-1)(y+1)

, o que implica a existencia de divisores de cero no anel cociente, evitando que sexa isomorfo a

\mathbb {C}

e en cambio ao dominio non de integridade

\mathbb {C} \times \mathbb {C}

(polo teorema chinés do resto ).

Isto demostra que o ideal

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

non é primo. (Consulte a primeira propiedade que aparece a continuación).

Outro non exemplo é o ideal $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$ xa que temos

x^{2}+5-2\cdot 3=(x-1)(x+1)\in (2,x^{2}+5)

mais ningún de

x-1

e

x+1

son elementos do ideal.

Propiedades

Un ideal $I$ no anel $R$ (con unidade) é primo se e só se o anel cociente $R / I$ é un dominio de integridade. En particular, un anel conmutativo (con unidade) é un dominio de integridade se e só se $(0)$ é un ideal primo. (Note que o anel cero non ten ideais primos, porque o ideal (0) é todo o anel).
Un ideal $I$ é primo se e só se o seu conxunto complemento é multiplicativamente pechado.^[3]
Cada anel diferente de cero contén polo menos un ideal primo (de feito contén polo menos un ideal maximal), que é unha consecuencia directa do Teorema de Krull.
Máis en xeral, se $S$ é calquera conxunto multiplicativamente pechado en $R$ , entón un lema esencialmente debido a Krull mostra que existe un ideal de $R$ maximal respecto ao ser disxunto de $S$ , e a maiores o ideal debe ser primo. Isto pode ser xeneralizado a aneis non comutativos. No caso ${S} = {1},$ temos o Teorema de Krull, e isto cubre os ideais maximais de $R$ . Outro m-sistema prototipo é o conxunto, ${x, x 2, x 3, x 4, ...},$ de todos as potencias positivas dun elemento non-nilpotente.
A preimaxe dun ideal primo baixo un homomorfismo de aneis é un ideal primo. O feito análogo non sempre é certo para ideais maximais, que é unha das razóns polas que os xeómetras alxébricos definen o espectro dun anel como o seu conxunto de ideais primos en vez de maximais; preténdese que un homomorfismo de aneis dea un mapa entre os seus espectros.
O conxunto de todos os ideais primos (chamado o espectro dun anel) contén elementos minimais (chamados ideais primos minimais). Xeometricamente, estes corresponden a compoñentes irreductíbeis do espectro.
A suma de dous ideais primos non é necesariamente primo. Por exemplo, considere o anel $\mathbb {C} [x,y]$ con ideais primos $P = (x 2 + y 2 - 1)$ e $Q = (x)$ (os ideais xerados por $x 2 + y 2 - 1$ e $x$ respectivamente). A súa suma $P + Q = (x 2 + y 2 - 1, x) = (y 2 - 1, x)$ , porén, non é primo: $y 2 - 1 = (y - 1)(y + 1) \in P + Q$ pero os seus dous factores non o son. Alternativamente, o anel cociente ten divisores de cero así que non é un dominio de integridade e, polo tanto, $P + Q$ non pode ser primo.
Non todos os ideais que non poden ser factorizados en dous ideais son un ideal primo; por exemplo, $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$ non se pode factorizar, mais non é primo.
Nun anel conmutativo $R$ con polo menos dous elementos, se cada ideal propio é primo, entón o anel é un corpo. (Se o ideal $(0)$ é primo, entón o anel $R$ é un dominio de integridade. Se $q$ é calquera elemento non cero de $R$ e o ideal $(q 2)$ é primo, entón contén $q$ e por tanto $q$ é invertíbel).
Un ideal principal diferente de cero é primo se e só se é xerado por un elemento primo. Nun UFD, cada ideal primo diferente de cero contén un elemento primo.