Dominio de integridade

En matemáticas, un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que o produto de dous elementos distintos de cero é distinto de cero. Os dominios de integridade son xeneralizacións do anel de enteiros e proporcionan un escenario natural para estudar a divisibilidade. Nun dominio de integridade, todo elemento distinto de cero a ten a propiedade de cancelación, é dicir, se a ≠ 0, unha igualdade ab = ac implica b = c.

Algúns tipos específicos de dominios de integridade danse coa seguinte cadea de inclusións de clases:

Definición

Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que o produto de dous elementos calquera é distinto de cero. De forma equivalente:

• Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero sen divisores de cero distintos de cero.
• Un dominio de integridade é un anel conmutativo no que o ideal cero {0} é un ideal primo.
• Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero para o cal cada elemento distinto de cero é cancelable baixo a multiplicación.
• Un dominio de integridade é un anel para o cal o conxunto de elementos distintos de cero é un monoide conmutativo baixo a multiplicación (porque un monoide debe estar pechado baixo a multiplicación).
• Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que para cada elemento distinto de cero r, a función que mapea cada elemento x do anel co produto xr é inxectiva. Os elementos r con esta propiedade chámanse regulares, polo que é equivalente a esixir que todos os elementos do anel non nulos sexan regulares.
• Un dominio de integridade é un anel isomorfo a un subanel dun corpo. (Dado un dominio de integridade, pódese mergullar no seu corpo de fraccións.)

Exemplos

• O exemplo arquetípico é o anel $\mathbb {Z}$ de tódolos enteiros.
• Todo corpo é un dominio de integridade. Por exemplo, o corpo $\mathbb {R}$ de todos os números reais é un dominio de integridade. Por outra banda, cada dominio de integridade de Artin é un corpo. En particular, todos os dominios de integridade finitos son corpos finitos (en xeral, polo pequeno teorema de Wedderburn, dominios finitos son corpos finitos). O anel de números enteiros $\mathbb {Z}$ proporciona un exemplo dun dominio de integridade infinito non artiniano que non é un corpo, posuíndo secuencias infinitas descendentes de ideais como:

  $\mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots$

• Os aneis de polinomios son dominios de integridade se os coeficientes veñen dun dominio de integridade. Por exemplo, o anel $\mathbb {Z} [x]$ de todos os polinomios nunha variábel con coeficientes enteiros é un dominio de integridade; así é o anel $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ de todos os polinomios en n-variables con coeficientescomplexos.
• O anel $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ é un dominio de integridade para calquera número enteiro non cadrado $n$. Se $n>0$, entón este anel é sempre un subanel de $\mathbb {R}$, se non, é un subanel de $\mathbb {C} .$
• O anel de enteiros p-ádicos $\mathbb {Z} _{p}$ é un dominio de integridade.
• O anel de serie de potencias formais de un dominio de integridade é un dominio de integridade.
• Se $U$ é un subconxunto aberto conexo do plano complexo $\mathbb {C}$, entón o anel ${\mathcal {H}}(U)$ consistente en tódalas funcións holomorfas é un dominio de integridade. O mesmo é certo para os aneis de funcións analíticas sobre subconxuntos abertos de variedades analíticas conexas.
• A anel local regular é un dominio de integridade. De feito, un anel local regular é un dominio de factorización única (UFD).

Non exemplos

Os seguintes aneis non son dominios de integridade.

• O anel cero (nese anel $0=1$).
• O anel cociente $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ cando m é un número composto. De feito, se escollemos unha factorización adecuada $m=xy$ (onde $x$ e $y$ non son iguais a $1$ ou $m$). Temos $x\not \equiv 0{\bmod {m}}$ e $y\not \equiv 0{\bmod {m}}$ pero $xy\equiv 0{\bmod {m}}$.
• O produto de dous aneis conmutativos diferentes de cero. Nun produto como este $R\times S$, temos $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$.
• O anel cociente $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})$ para calquera $n\in \mathbb {Z}$. As imaxes de $x+n$ e $x-n$ son diferentes de cero, mentres que o seu produto é 0 neste anel.
• O anel de matrices n × n sobre calquera anel non cero cando n ≥ 2. Se $M$ e $N$ son matrices tal que a imaxe de $N$ está contida no kernel de $M$, entón $MN=0$. Por exemplo, isto ocorre para $M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})$.
• O anel cociente $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)$ para calquera corpo $k$ e calquera polinomio non constante $f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. As imaxes de f e g neste anel cociente son elementos diferentes de cero cuxo produto é 0. Este argumento mostra, de forma equivalente, que $(fg)$ non é un ideal primo. A interpretación xeométrica deste resultado é que os ceros de fg forman un conxunto alxébrico afín que non é irredutíbel (é dicir, non é un variedade alxébrica) en xeral. O único caso no que este conxunto alxébrico pode ser irredutíbel é cando fg é a potencia dun polinomio irredutíbel, que define o mesmo conxunto alxébrico.
• O anel de funcións continuas sobre o intervalo unitario. Considere as funcións

  $f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}$

Nigunha de $f$ e $g$ é cero en todas as partes, pero $fg$ si que o é.

Divisibilidade, elementos primos e elementos irredutíbeis

Nesta sección, R é un dominio de integridade.

Dados os elementos a e b de R, dise que a divide a b, ou que a é un divisor de b, ou que b é un múltiplo de a, se existe un elemento x en R tal que ax = b .

As unidades de R son os elementos que dividen a 1; que son precisamente os elementos invertíbeis en R. As unidades dividen todos os demais elementos.

Se a divide a b e b divide a a, entón a e b son elementos asociados. De forma equivalente, a e b son asociados se a = ub para algunha unidade u.

Un elemento irreducíbel é unha non unidade distinta de cero que non se pode escribir como produto de dúas non unidades.

Un p non unitario distinto de cero é un elemento primo se, sempre que p divide un produto ab, entón p divide a ou p divide b. De forma equivalente, un elemento p é primo se e só se o ideal principal (p) é un ideal primo distinto de cero.

Tanto as nocións de elementos irredutíbeis como de elementos primos xeneralizan a definición ordinaria de números primos no anel $\mathbb {Z} ,$ se se consideran primos os primos negativos.

Todo elemento primo é irredutíbel. En xeral a inversa non é verdade: por exemplo, no anel de enteiros cadráticos $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ o elemento 3 é irredutíbel (se factorizase de forma non trivial, cada un dos factores debería ter a norma 3, mais non hai elementos de norma 3 xa que $a^{2}+5b^{2}=3$ non ten solucións enteiras), mais non é primo (xa que 3 divide $\left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)$ sen dividir ningún dos factores). Nun dominio de factorización única (UFD) un elemento irredutíbel é un elemento primo.

Aínda que a factorización única non se cumpre en $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$, si que hai unha factorización única dos ideais. Vexa o teorema de Lasker–Noether.

Propiedades

• Un anel conmutativo R é un dominio de integridade se e só se o ideal (0) de R é un ideal primo.
• Se R é un anel conmutativo e P é un ideal en R, entón o anel cociente R/P é un dominio de integridade se e só se P é un ideal primo.
• Sexa R un dominio de integridade. Entón os aneis polinómicos sobre R (en calquera número de indeterminados) son dominios de integridade. Este é o caso en particular se R é un corpo.
• A propiedade de cancelación cúmprese en calquera dominio de integridade: para calquera a, b e c nun dominio de integridade, se a ≠ 0 e ab = ac entón b = c. Outra forma de afirmalo é que a función x ↦ ax é inxectiva para calquera a distinto de cero no dominio.
• A propiedade de cancelación cúmprese para os ideais en calquera dominio de integridade: se xI = xJ, entón x é cero ou I = J.
• Un dominio de integridade é igual á intersección das súas localizacións nos ideais máximos.
• Un límite indutivo de dominios de integridade é un dominio de integridade.
• Se A, B son dominios de integridade sobre un corpo alxebraicamente pechado k, entón A ⊗_k B é un dominio de integridade. Esta é unha consecuencia do nullstellensatz de Hilbert (teorema dos ceros de Hilbert), e en xeometría alxébrica, implica a afirmación de que o anel de coordenadas do produto de dúas variedades alxébricas afines sobre un corpo alxebricamente pechado é tamén un dominio de integridade.

Corpo de fraccións

O corpo das fraccións K dun dominio de integridade R é o conxunto de fraccións a/b con a e b en R e b ≠ 0 módulo unha relación de equivalencia adecuada, equipada coas operacións habituais de suma e multiplicación.

Xeometría alxébrica

En xeometría alxébrica, un anel de coordenadas dun conxunto alxébrico afín é un dominio de integridade se e só se o conxunto alxébrico é unha variedade alxébrica.

De forma máis xeral, un anel conmutativo é un dominio de integradade se e só se o seu espectro é un esquema afín de integridade.

Característica e homomorfismos

A característica dun dominio de integridade é 0 ou un número primo.

Se R é un dominio integridade da característica prima p, entón o endomorfismo de Frobenius x ↦ x^p é inxectivo.

Véxase tamén

Bibliografía

• Adamson, Iain T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3. 
• Bourbaki, Nicolas (1998). Algebra, Chapters 1–3. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64243-5. 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. 
• Durbin, John R. (1993). Modern Algebra: An Introduction (3rd ed.). John Wiley and Sons. ISBN 0-471-51001-7. 
• Herstein, I.N. (1964). Topics in Algebra. Londres: Blaisdell Publishing Company. 
• Hungerford, Thomas W. (2013). Abstract Algebra: An Introduction (3rd ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-111-56962-4. 

• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 211. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556. 
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967). Algebra. New York: The Macmillan Co. ISBN 1-56881-068-7. MR 0214415. 
• McConnell, J.C.; Robson, J.C. Noncommutative Noetherian Rings. Graduate Studies in Mathematics 30. AMS. 
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). An introduction to group rings. Springer. ISBN 1-4020-0238-6. 
• Lanski, Charles (2005). Concepts in abstract algebra. AMS Bookstore. ISBN 0-534-42323-X. 
• Rowen, Louis Halle (1994). Algebra: groups, rings, and fields. A K Peters. ISBN 1-56881-028-8. 
• Sharpe, David (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33718-6. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1966). Algebra 1. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 

Outros artigos

• Norma de Dedekind–Hasse norm, a estrutura adicional necesaria para que un dominio de integridade sexa principal
• Propiedade do produto cero

Ligazóns externas

• "where does the term "integral domain" come from?".