Anel cociente

Na teoría de aneis, unha rama da álxebra abstracta, un anel cociente, tamén coñecido como anel de factorización ou anel de clase de residuos, é unha construción bastante similar ao grupo cociente na teoría de grupos e ao espazo cociente na álxebra linear. É un exemplo específico de cociente, visto desde o escenario xeral da álxebra universal. Comezando cun anel $R$ e un ideal bilateral $I$ en $R$, constrúese un novo anel, o anel cociente $R/I$, cuxos elementos son as coclases de $I$ en $R$ suxeito a operacións específicas $+$ e $\cdot$ (A notación de anel cociente sempre usa unha barra de fracción "/".)

Os aneis cocientes son distintos do chamado "corpo cociente", ou corpo de fraccións, dun dominio de integridade, así como dos "aneis de cocientes" que son máis xerais e obtéñense por localización.

Construción formal do anel cociente

Dado un anel $R$ e un ideal bilateral $I$ en $R$, podemos definir unha relación de equivalencia $\sim$ en $R$ do seguinte xeito:

$a\sim b$ se e só se $a-b$ está en $I$.

Usando as propiedades do ideal, non é difícil comprobar que $\sim$ é unha relación de congruencia. No caso $a\sim b$, dicimos que $a$ e $b$ son congruentes módulo $I$ (por exemplo, $1$ e $3$ son congruentes módulos $2$ xa que a súa diferenza é un elemento do ideal $2\mathbb {Z}$, os enteiros pares). A clase de equivalencia do elemento $a$ en $R$ vén dada por: $$\left[a\right]=a+I:=\left\lbrace a+r:r\in I\right\rbrace$$

Esta clase de equivalencia tamén se escribe ás veces como $a{\bmod {I}}$ e chámase a "clase de residuos de $a$ módulo $I$ ".

O conxunto de todas esas clases de equivalencia desígnase por $R/I$; convértese nun anel, o anel de factorización ou anel cociente de $R$ módulo $I$, se definimos as súas operacións específicas

• $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$ ;
• $(a+I)(b+I)=(ab)+I$ .

O mapa $p$ dende $R$ a $R/I$ definido por $p(a)=a+I$ é un homomorfismo de aneis sobrexectivo, ás veces chamado mapa cociente natural ou homomorfismo canónico.

Exemplos

• Considere o anel de enteiros $\mathbb {Z}$ e o ideal dos números pares, denotado por $2\mathbb {Z}$. Daquela o anel cociente $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ten só dous elementos, a clase $0+2\mathbb {Z}$ composto polos números pares e a clase $1+2\mathbb {Z}$ consistente en números impares; aplicando a definición, $\left[z\right]=z+2\mathbb {Z} =\left\lbrace z+2y:2y\in 2\mathbb {Z} \right\rbrace$, onde $2\mathbb {Z}$ é o ideal dos números pares. É naturalmente isomorfo ao corpo finito con dous elementos, $F_{2}$. Intuitivamente: se pensamos en todos os números pares como $0$, entón cada número enteiro é calquera $0$ (se é par) ou $1$ (se é impar e, polo tanto, difire dun número par por $1$). A aritmética modular é esencialmente aritmética no anel cociente $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ (que ten $n$ elementos).

• Agora consideremos o anel de polinomios na variábel $X$ con coeficientes reais, $\mathbb {R} [X]$, e o ideal $I=\left(X^{2}+1\right)$ consistente en todos os múltiplos do polinomio $X^{2}+1$. O anel cociente $\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$ é naturalmente isomorfo ao corpo de números complexos $\mathbb {C}$, coa clase $[X]$ desempeñando o papel da unidade imaxinaria $i$. A razón é que "forzamos" $X^{2}+1=0$, é dicir, $X^{2}=-1$, que é a propiedade definidora de $i$. Posto que calquera expoñente enteiro de $i$ debe ser $\pm i$ ou $\pm 1$, iso significa que todos os posíbeis polinomios simplifican esencialmente na forma $a+bi$. (Para aclarar, o anel cociente $\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$ é naturalmente isomorfo ao corpo de todos os polinomios lineares $aX+b;a,b\in \mathbb {R}$, onde se realizan as operacións módulo $X^{2}+1$. A cambio, temos $X^{2}=-1$, e isto é como facer coincider $X$ coa unidade imaxinaria no corpo isomorfo dos números complexos.)

• Xeneralizando o exemplo anterior, os aneis cocientes adoitan usarse para construír extensións dun corpo. Supoñamos que $K$ é algún corpo e $f$ é un polinomio irredutíbel en $K[X]$. Entón $L=K[X]/(f)$ é un corpo cuxo polinomio mínimo sobre $K$ é $f$, que contén $K$ como e tamén un elemento $x=X+(f)$.

• Os aneis de variedades afines (tamén chamadas variedades de coordenadas) das variedades alxébricas son exemplos importantes de aneis cocientes na xeometría alxébrica. Como caso sinxelo, considere a variedade real $V=\left\lbrace (x,y)|x^{2}=y^{3}\right\rbrace$ como un subconxunto do plano real $\mathbb {R} ^{2}$. O anel de funcións polinómicas de valores reais definido en $V$ pódese identificar co anel cociente $\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}-Y^{3})$, e este é o anel da variedade afín de $V$. Agora podemos investigar a variedade $V$ estudando o seu anel de coordenadas.

• Supoñamos $M$ é unha variedade $\mathbb {C} ^{\infty }$, e $p$ é un punto de $M$. Considere o anel $R=\mathbb {C} ^{\infty }(M)$ de todos as funcións $\mathbb {C} ^{\infty }$ definidas en $M$ e sexa $I$ o ideal en $R$ composto por esas funcións $f$ que son idénticamente nulas nalgúnha veciñanza $U$ de $p$ (onde $U$ pode depender de $f$). Daquela o anel cociente $R/I$ é o anel dos xermes de funcións $\mathbb {C} ^{\infty }$ en $M$ en $p$.

Variacións de planos complexos

Os cocientes $\mathbb {R} [X]/(X)$, $\mathbb {R} [X]/(X+1)$, e $\mathbb {R} [X]/(X-1)$ son todos isomorfos a $\mathbb {R}$ e teñen pouco interese en principio. Mais consideremos $\mathbb {R} [X]/(X^{2})$, chamado plano numérico dual en álxebra xeométrica. Consta só de binomios lineares como "restos" despois de reducir un elemento de $\mathbb {R} [X]$ por $X^{2}$. Esta variación dun plano complexo xorde como unha subálxebra sempre que a álxebra contén unha liña real e un nilpotente.

A maiores, o cociente do anel $\mathbb {R} [X]/(X^{2}-1)$ divídese (split) en $\mathbb {R} [X]/(X+1)$ e $\mathbb {R} [X]/(X-1)$, polo que este anel adoita considerarse como a suma directa $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$. Con todo, unha variación dos números complexos $z=x+yj$ é o que suxite $j$ como raíz de $X^{2}-1=0$, en comparación con $i$ como raíz de $X^{2}+1=0$. Este plano de números complexos separados normaliza a suma directa $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ proporcionando unha base $\left\lbrace 1,j\right\rbrace$ para 2 espazos onde a identidade da álxebra é a unha unidade de distancia do cero. Con esta base pódese comparar unha hipérbola unitaria co circunfetencia unitario do plano complexo ordinario.

Propiedades

Claramente, se $R$ é un anel conmutativo, entón tamén o é $R/I$; o contrario, porén, en xeral non é certo.

O mapa do cociente natural $p$ ten $I$ como o seu kernel; xa que o kernel de cada homomorfismo de aneis é un ideal bilateral, podemos afirmar que os ideais bilaterais son precisamente os kernels dos homomorfismos de aneis.

A íntima relación entre os homomorfismos de aneis, kernels e aneis cocientes pódese resumir do seguinte xeito: os homomorfismos de aneis definidos en $R/I$ son esencialmente os mesmos que os homomorfismos de aneis definidos en $R$ que desaparecen (é dicir, son cero) en $I$. Máis precisamente, dado un ideal bilateral $I$ en $R$ e un homomorfismo de aneis $f:R\to S$ cuxo kernel contén $I$, existe precisamente un homomorfismo de anel $g:R/I\to S$ con $gp=f$ (onde $p$ é o mapa do cociente natural). O mapa $g$ aquí vén dado pola regra ben definida $g([a])=f(a)$ para todos os $a$ en $R$. De feito, esta propiedade universal pódese usar para definir aneis cocientes e os seus mapas cocientes naturais.

Como consecuencia do anterior, obtense a afirmación fundamental: todo homomorfismo de aneis $f:R\to S$ induce un isomorfismo de aneis entre o anel cociente $R/\ker(f)$ e a imaxe $\mathrm {im} (f)$. (Ver tamén: Teorema fundamental sobre homomorfismos.)

Os seguintes feitos resultan útiles en álxebra conmutativa e xeometría alxébrica: para $R\neq \lbrace 0\rbrace$ conmutativo, $R/I$ é un corpo se e só se $I$ é un ideal máximal, mentres que $R/I$ é un dominio de integridade se e só se $I$ é un ideal primo. Unha serie de afirmacións similares relacionan propiedades do ideal $I$ ás propiedades do anel cociente $R/I$.

O teorema chinés do resto afirma que, se o ideal $I$ é a intersección (ou equivalentemente, o produto) dos ideais coprimos por parellas $I_{1},\ldots ,I_{k}$, entón o anel cociente $R/I$ é isomorfo ao produto dos aneis cocientes $R/I_{n},\;n=1,\ldots ,k$ .

Para álxebras sobre un anel

Unha álxebra asociativa $A$ sobre un anel conmutativo $R$ é un anel en si. Se $I$ é un ideal en $A$ (pechado baixo multiplicación en $R$), entón $A/I$ herda a estrutura dunha álxebra en $R$ sendo a álxebra cociente.

Véxase tamén

Bibliografía

• F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, translated by DAR Wallace (1982) Modules and Rings, Academic Press, page 33.
• Neal H. McCoy (1948) Rings and Ideals, §13 Residue class rings, page 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America.
• Joseph Rotman (1998). Galois Theory (2nd ed.). Springer. pp. 21–23. ISBN 0-387-98541-7. 
• B.L. van der Waerden (1970) Algebra. ver capítulo 3.5, "Ideals. Residue Class Rings", pp. 47–51.

Outros artigos

• Corpo de residuos
• Módulo cociente

Ligazóns externas

• "Quotient ring". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Ideals and factor rings from John Beachy's Abstract Algebra Online