Complementario (conxuntos)

Se A é a área coloreada en vermello nesta imaxe…

… daquela o complementario de A é todo o resto.

Na teoría de conxuntos, o complementario ou complemento dun conxunto A, denotado usualamente por $A^{\complement }$ (ou A′), é o conxunto de elementos que non están en A.

Cando todos os elementos do universo, é dicir, todos os elementos en consideración, considéranse membros dun conxunto dado U, o complemento absoluto de A é o conxunto de elementos en U que non están en A.

O complemento relativo de A en relación a un conxunto B, tamén denominado diferenza de conxuntos de B e A, escrito $B\setminus A,$ é o conxunto de elementos en B que non están en A.

O complemento absoluto do disco branco é a zona vermella

Complemento absoluto

Se A é un conxunto, entón o complemento absoluto de A (ou simplemente o complemento de A) é o conxunto de elementos que non están en A (dentro dun conxunto maior que está implicitamente definido): $$A^{\complement }=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.$$Adoita denotarse por $A^{\complement }$. Outras notacións son ${\overline {A}},A',$ $\complement _{U}A,{\text{ and }}\complement A.$

Exemplos

• Supoña que o universo é o conxunto de números enteiros. Se A é o conxunto de números impares, entón o complemento de A é o conxunto de números pares. Se B é o conxunto de múltiplos de 3, entón o complemento de B é o conxunto de números congruentes con 1 ou 2 módulo 3 (ou, en termos máis sinxelos, os enteiros que non son múltiplos de 3).
• Supoña que o universo é a baralla de tute de 40 cartas. Se o conxunto A é o pau dos ouros, entón o complemento de A é a unión dos paus de espadas, bastos e copas.
• Cando o universo é o universo de conxuntos descrito na teoría de conxuntos, o complemento absoluto dun conxunto xeralmente non é un conxunto, senón unha clase propia. Para obter máis información, consulte conxunto universal.

Propiedades

Sexan A e B dous conxuntos nun universo U. As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos absolutos:

Leis de De Morgan:

• $\left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.$
• $\left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

Leis do complementario:

• $A\cup A^{\complement }=U.$
• $A\cap A^{\complement }=\emptyset .$
• $\emptyset ^{\complement }=U.$
• $U^{\complement }=\emptyset .$
• ${\text{Se }}A\subseteq B{\text{, entón }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }.$

  (isto despréndese da equivalencia dun condicional co seu contrapositivo).

Lei da involución ou do dobre complemento:

• $\left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.$

Relacións entre complementos relativos e absolutos:

• $A\setminus B=A\cap B^{\complement }.$
• $(A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).$

Relación coa diferenza:

• $A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.$

As dúas primeiras leis do complementario anteriores mostran que se A é un subconxunto propio non baleiro de U, entón {A, A^∁} é unha partición de U.

Complemento relativo

O complemento relativo de A en B: $B\cap A^{\complement }=B\setminus A$

Definición

Se A e B son conxuntos, entón o complemento relativo de A en B (expresado $B\setminus A$ ), tamén denominado diferenza de conxuntos de B e A (por iso ás veces tamén se expresa como $B-A,$), é o conxunto de elementos que están en B pero non están en A.

Formalmente:$$B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.$$

Exemplos

• $\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.$
• $\{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.$
• Se $\mathbb {R}$ é o conxunto dos números reais e $\mathbb {Q}$ é o conxunto de números racionais, entón $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ é o conxunto de números irracionais.

Propiedades

Sexan A, B e C tres conxuntos. As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos relativos:

• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).$
• $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).$
• $C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),$

  co caso especial importante $C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)$ demostrando que a intersección pode expresarse usando só a operación do complemento relativo.

• $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).$
• $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).$
• $A\setminus A=\emptyset .$
• $\emptyset \setminus A=\emptyset .$
• $A\setminus \emptyset =A.$
• $A\setminus U=\emptyset .$
• Se $A\subset B$, entón $C\setminus A\supset C\setminus B$ .
• $A\supseteq B\setminus C$ é equivalente a $C\supseteq B\setminus A$ .

Relación complementaria

Unha relación binaria $R$ defínese como un subconxunto dun produto de conxuntos $X\times Y.$ A relación complementaria ${\bar {R}}$ é o complemento do conxunto de $R$ en $X\times Y.$ O complemento de relación $R$ pódese escribir$${\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.$$Xunto coa composición de relacións e as relacións inversas, as relacións complementarias e a álxebra de conxuntos son as operacións elementais do cálculo de relacións.

Véxase tamén

Bibliografía

• Bourbaki, N. (1970). Théorie des ensembles (en francés). Paris: Hermann. ISBN 978-3-540-34034-8. 
• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003. 
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory (en inglés). Princeton (NJ), Nova York, Londres, Toronto: D. Van Nostrand Company. ISBN 9780442030643. Zbl 0087.04403. 

Outros artigos

• Unión.
• Intersección .
• Álxebra de conxuntos.

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Complement". MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. "Complement Set". MathWorld.