基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/08/13 22:16 UTC 版)
フェルマー数は次の漸化式を満たす: Fn = (Fn−1 − 1)2 + 1 Fn = Fn−1 + 22n−1F0 ⋯ Fn−2 Fn = Fn−12 − 2(Fn−2 − 1)2 Fn = F0 ⋯ Fn−1 + 2 フェルマー数は全て奇数であるから、4番目の式から、どの2つのフェルマー数も互いに素であると分かる。 フェルマー数は、例えば次の合同式を満たす。 n ≥ 2 ならば、Fn ≡ 17 or 41 (mod 72) n ≥ 2 ならば、Fn ≡ 17, 37, 57 or 97 (mod 100) 2m + 1 (m ≥ 2) の形の素数はフェルマー数である。一般に、am + 1 (a ≥ 2) が素数ならば、a は偶数で m は 2 の累乗となる。実際、am + 1 は奇数だから am すなわち a は偶数である。また、m が 1 より大きい奇数 k で割れるならば am/k + 1 で割れる。 このことから、2m + 1 (m ≥ 2) が素数ならば、m = 2n を満たす自然数 n が存在する。つまり 2m + 1 = Fn である。
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/09/10 00:51 UTC 版)
n > 1 とする。群 An は対称群 Sn の指数 2 の交換子群であり、n!/2 個の元を持つ。これは、符号準同型 sgn: Sn → {1, −1} の核である(置換の符号については置換 (数学)の項を参照)。群 An が可換群となるのは、n ≤ 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n ≥ 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり、最小の非可解群である。 群 A4 はクラインの4元群 V を真の正規部分群として持つ。V は {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} であり、列 V → A4 → A3 (= C3) は完全である。ガロア理論によればこの写像、あるいはこれに対応する S4 → S3 に、四次方程式のフェラリの解法における(三次の)ラグランジュ分解方程式(分解方程式の根によって四次方程式を解くことができる)が対応している。
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/11/27 15:50 UTC 版)
再帰性1または2次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3次元以上のランダムウォークは非再帰的である。 Donsker の定理の系Xn (n = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、 S t = S n if t = n , linear if n < t < n + 1 {\displaystyle S_{t}=S_{n}\quad {\mbox{ if }}t=n,\quad {\mbox{ linear }}{\mbox{ if }}n<t<n+1} で定義すると、各 t ≧ 0 に対して次が成立する。 P ( | S n t n − B t | < ε ) → 0 for all ε > 0 {\displaystyle P\left(\left|{\frac {S_{nt}}{\sqrt {n}}}-B_{t}\right|<\varepsilon \right)\rightarrow 0\quad {\mbox{ for all }}\varepsilon >0}
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/19 04:30 UTC 版)
アーベル圏では Ab と同様に完全系列や射影的分解が定義される。
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/18 08:52 UTC 版)
フィッシャー情報量は 0 ≤ I ( θ ) < ∞ {\displaystyle 0\leq {\mathcal {I}}(\theta )<\infty \,} を満たす。 また X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} が独立な確率変数であれば、 I X , Y ( θ ) = I X ( θ ) + I Y ( θ ) {\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}(\theta )={\mathcal {I}}_{X}(\theta )+{\mathcal {I}}_{Y}(\theta )} (フィッシャー情報量の加算性) が成立する。すなわち、「 ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)} が θ {\displaystyle \theta } に関して持つ情報の量」は「 X {\displaystyle X} が θ {\displaystyle \theta } に関して持つ情報の量」と「 Y {\displaystyle Y} が θ {\displaystyle \theta } に関して持つ情報の量」の和である。 よって特に、無作為に取られたn個の標本が持つフィッシャー情報量は、1つの標本が持つフィッシャー情報量のn倍である(観察が独立である場合)。
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/07/07 10:00 UTC 版)
第二チェビシェフ関数は第一チェビシェフ関数を使って ψ ( x ) = ∑ 1 ≤ n ≤ ln 2 x ϑ ( x 1 / n ) . {\displaystyle \psi (x)=\sum _{1\leq n\leq \ln _{2}x}\vartheta \left(x^{1/n}\right).} と表される。したがって | ψ ( x ) − ϑ ( x ) | = x + ( 1 + o ( 1 ) ) x 3 {\displaystyle |\psi (x)-\vartheta (x)|={\sqrt {x}}+(1+o(1)){\sqrt[{3}]{x}}} により、 第一チェビシェフ関数と第二チェビシェフ関数の差は比較的小さいことが示される。チェビシェフ関数と素数計数関数 π(x) との間には、 π ( x ) = ∑ p ≤ x ln p ∫ p x d t t ln 2 t + 1 ln x ∑ p ≤ x ln p = ∫ 2 x ϑ ( t ) d t t ln 2 t + ϑ ( x ) ln x . {\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}\ln p\int _{p}^{x}{\frac {dt}{t\ln ^{2}t}}+{\frac {1}{\ln x}}\sum _{p\leq x}\ln p=\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)\,dt}{t\ln ^{2}t}}+{\frac {\vartheta (x)}{\ln x}}.} という関係が成り立つ。 また、第二チェビシェフ関数は 1 から n までのすべての整数の最小公倍数の対数に等しい: lcm ( 1 , 2 , … , n ) = e ψ ( n ) . {\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/23 18:27 UTC 版)
ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示 1 Γ ( z ) = lim n → ∞ z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) n z n ! {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {z(z+1)\cdots (z+n)}{n^{z}n!}}} を対数微分することで、ディガンマ関数における ψ ( z ) = lim n → ∞ { ln n − 1 z − ∑ k = 1 n 1 z + k } {\displaystyle \psi (z)=\lim _{n\to \infty }\left\{\ln {n}-{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z+k}}\right\}} という表示を得る。特に z = 1 {\displaystyle z=1} とすれば、次の特殊値 ψ ( 1 ) = lim n → ∞ { ln n − ∑ k = 1 n 1 k } = − γ {\displaystyle \psi (1)=\lim _{n\to \infty }\left\{\ln {n}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right\}=-\gamma } を得る。但し、 γ = 0.5772 … {\displaystyle \gamma =0.5772\ldots } はオイラーの定数である。 また、ディガンマ関数は次の漸化式を満たす。 ψ ( z + 1 ) = ψ ( z ) + 1 z {\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}} この関係式から、一般に ψ ( z + n ) = ψ ( z ) + ∑ k = 1 n 1 z + k − 1 {\displaystyle \psi (z+n)=\psi (z)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z+k-1}}} であり、特に z = 1 {\displaystyle z=1} とすれば、特殊値 ψ ( n + 1 ) = − γ + ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle \psi (n+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} が得られる。
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/07/21 21:26 UTC 版)
リーマンゼータ函数がそうであるように、S の元 F はガンマ要素 γ(s) の極から発生する自明なゼロ点を持つ。他のゼロ点は F の非自明なゼロ点と呼ばれる。これらは全て、ある帯状領域 1 − A ≤ Re(s) ≤ A に位置する。F の非自明なゼロ点で 0 ≤ Im(s) ≤ T にあるものの数を NF(T) で表すとする。セルバーグは N F ( T ) = d F T log ( T + C ) 2 π + O ( log T ) . {\displaystyle N_{F}(T)=d_{F}{\frac {T\log(T+C)}{2\pi }}+O(\log T).} であることを示した。ここに dF は F の次数(あるいは次元)と呼ばれる。これは、 d F = 2 ∑ i = 1 k ω i {\displaystyle d_{F}=2\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}} によりあたえられる。F = 1 は、その次数が 1 より小さな 唯一のS の函数である。 F と G がセルバーグクラスであれば、それらの積はセルバーグクラスであり d F G = d F + d G . {\displaystyle d_{FG}=d_{F}+d_{G}.} が成り立つ。S の函数 F ≠ 1 は、Fi が S に属すような F = F1F2 と記述できるならいつでも F = F1 もしくは、F = F2 であるとき、函数が原始的'であるという。dF = 1 ならば、F は原始的である。すべての S の函数 F ≠ 1 は原始的な函数で記述できるである。次に示すセルバーグの予想は、原始函数への分解が一意的であることを意味する。 原始的函数の例として、リーマンゼータ函数や原始的なディリクレ指標を持つディリクレのL-函数がある。下記の予想 1 と 2 を前提とすると、ラマヌジャン予想を満たす既約なカスプ的な保型表現のL-函数は、原始的である。
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/05/09 14:57 UTC 版)
pHは11.3(1%水溶液)。水溶液中では以下の 1. のように電離するが、 2. の平衡は著しく左に偏っているため、CO2−3 イオンが水から H+ イオンを奪う能力が強く 3. のように反応してOH−イオンを生じる。(加水分解) Na 2 CO 3 ⟶ 2 Na + + CO 3 2 − {\displaystyle {\ce {Na2CO3 -> {2Na+}+ CO3^{2-}}}} HCO 3 − ⟷ H + + CO 3 2 − {\displaystyle {\ce {HCO3^- <-> {H+}+ CO3^{2-}}}} CO 3 2 − + H 2 O ⟶ HCO 3 − + OH − {\displaystyle {\ce {{CO3^{2-}}+H2O->{HCO3^{-}}+OH^{-}}}} そのために、水溶液は塩基性を示し、味は苦い。菓子を作る際加えるベーキングパウダーは炭酸水素ナトリウムが主成分であり、熱分解して炭酸ナトリウムが生じるとアルカリ性となり苦味を呈するため、中和剤として酒石酸も加えてある。
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/09/01 08:02 UTC 版)
定義より、 ( γ 0 ) 2 = 1 , ( γ j ) 2 = − 1 {\displaystyle (\gamma ^{0})^{2}=1,~(\gamma ^{j})^{2}=-1} γ μ γ ν = − γ ν γ μ ( μ ≠ ν ) {\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\quad (\mu \neq \nu )} が成り立つ。 また、ガンマ行列同士の積から生成される項は、上記の性質から 1 , γ μ , γ μ 1 γ μ 2 , γ μ 1 γ μ 2 γ μ 3 , … , γ μ 1 γ μ 2 ⋯ γ μ d ( μ 1 ≠ μ 2 ≠ ⋯ ≠ μ d ) {\displaystyle 1,\gamma ^{\mu },\gamma ^{\mu _{1}}\gamma ^{\mu _{2}},\gamma ^{\mu _{1}}\gamma ^{\mu _{2}}\gamma ^{\mu _{3}},\ldots ,\gamma ^{\mu _{1}}\gamma ^{\mu _{2}}\cdots \gamma ^{\mu _{d}}\quad (\mu _{1}\neq \mu _{2}\neq \cdots \neq \mu _{d})} のいずれかの形に帰着される。この中で互いに異なる項は2d個となる。
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/09/01 08:02 UTC 版)
4次元時空では { γ μ } μ = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}_{\mu =0,1,2,3}} 同士の積から生成される 24 = 16 個の元 1 , {\displaystyle \mathbf {1} ,} γ 0 , i γ 1 , i γ 2 , i γ 3 , {\displaystyle \gamma ^{0},i\gamma ^{1},i\gamma ^{2},i\gamma ^{3},} γ 0 γ 1 , γ 0 γ 2 , γ 0 γ 3 , i γ 2 γ 3 , i γ 3 γ 1 , i γ 1 γ 2 , {\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1},\gamma ^{0}\gamma ^{2},\gamma ^{0}\gamma ^{3},i\gamma ^{2}\gamma ^{3},i\gamma ^{3}\gamma ^{1},i\gamma ^{1}\gamma ^{2},} γ 1 γ 2 γ 3 , i γ 0 γ 2 γ 3 , i γ 0 γ 1 γ 3 , i γ 0 γ 1 γ 2 , {\displaystyle \gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3},i\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3},i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3},i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2},} γ 5 = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 {\displaystyle \gamma _{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}} が一次独立となる。これらを { Γ A } A = 1 , ⋯ , 16 {\displaystyle \{\Gamma _{A}\}_{A=1,\cdots ,16}} と表したとき、各 Γ A {\displaystyle \Gamma _{A}} は Γ A 2 = 1 {\displaystyle \Gamma _{A}^{\,2}=\mathbf {1} } 及び Tr Γ A = 0 {\displaystyle \operatorname {Tr} \Gamma _{A}=0} を満たす。 16個の Γ A {\displaystyle \Gamma _{A}} が一次独立であることから、 { γ μ } {\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}} を行列表現するには、少なくとも16個の成分を持つ4×4行列が必要となる。特に4×4行列による表現は既約表現であり、 { γ μ } {\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}} と { γ ′ μ } {\displaystyle \{\gamma '^{\mu }\}} を異なる4×4行列による表現の組とすると、正則行列 S {\displaystyle S} が存在し、 γ ′ μ = S γ μ S − 1 {\displaystyle \gamma '^{\mu }=S\gamma ^{\mu }S^{-1}} の関係が成り立つ。 また、 { γ μ } {\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}} を4×4行列で表現した場合、任意の4×4行列 X {\displaystyle X} は、 X = ∑ A x A Γ A {\displaystyle X=\sum _{A}x_{A}\Gamma _{A}} と、 { Γ A } {\displaystyle \{\Gamma _{A}\}} の一次結合で表すことができる。ここで、展開係数は x A = Tr ( X Γ A ) / 4 {\displaystyle x_{A}=\operatorname {Tr} (X\Gamma _{A})/4} で与えられる。
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/14 11:04 UTC 版)
0 と負の整数を除く任意の複素数 z に対して Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,} が成り立つ。また、 Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} であるため、自然数 n について Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!} が成り立つ。その意味でガンマ関数は階乗の定義域を複素平面に拡張したものとなっている。 Re(z) > 0 で上記の性質が成り立つことは、オイラー積分による定義から直接得られる。一般項について、 Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ t z ( − e − t ) ′ d t = [ − t z e − t ] 0 ∞ + z ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t = z Γ ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }{t^{z}(-e^{-t})'}\,dt\\&=\left[-t^{z}e^{-t}\right]_{0}^{\infty }+z\int _{0}^{\infty }{t^{z-1}e^{-t}}\,dt\\&=z\Gamma (z)\end{aligned}}} となる。また、 Γ ( 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t d t = [ − e − t ] 0 ∞ = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }{e^{-t}}\,dt=\left[-e^{-t}\right]_{0}^{\infty }\\&=1\end{aligned}}} である。これらの結果は自然数 n に対するガンマ関数の値を含むため、 Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!} が成り立つことを確かめられた。 歴史的には、ガンマ関数は「階乗の複素数への拡張となるもの」(複素階乗)の実例として、オイラーにより考案された。階乗の複素数への拡張となる関数は無数に存在するが、正の実軸上で対数凸である解析関数という条件を付ければ、それは一意に定まりガンマ関数に他ならない(ボーア・モレルップの定理)。 右半平面においてオイラー積分で定義されたガンマ関数は全平面に有理型に解析接続する。 ガンマ関数は零点を持たず、原点と負の整数に一位の極を持つ。その留数は、 Res ( Γ , − n ) = ( − 1 ) n n ! {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}} である。 また、1/2 に対するガンマ関数の値は、ガウス積分の結果に一致する。 Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}} これより、自然数 n について Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}} が成立することがわかる。ここで !! は二重階乗を表す。この性質を利用して高次元の球の体積と表面積を求めることができる。また、 Γ ( 1 2 − n ) = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}}
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/21 01:58 UTC 版)
直進光は均質な媒質の内部では直進する(エウクレイデスの「光の直進の法則」)。厳密には、重力場では光の経路も彎曲する。 反射・屈折光は異なる媒質の境界面で反射あるいは屈折する。屈折率も参照。 凸凹の無い平面鏡に当たった光は、鏡に当たったときと同じ角度で反射する(エウクレイデスの「光の反射の法則」)。 光の屈折の際は、スネルの法則が成立する。 透過・吸収光が透明な媒質の境界面に当たったとき、その一部は境界面で反射するが、残りは媒質の内部を通過する現象を透過という。 光が透明な媒質の内部を通過するとき、その内部へ吸収変換される現象を吸収という。 干渉・回折二つの光波(位相差が時間とともに変化しない同一周波数のコヒーレントな二つの光)が重なり合うことで光が強くなったり弱くなったりする現象を干渉という。 光が伝搬するときに障害物の後方に回り込む現象を回折という。 自然光と偏光 詳細は「偏光」を参照 光速(光の速度)は、光源の運動状態にかかわらず、不変である(光速度不変の原理)。また、光は媒質を必要とせず、真空中を伝播することができる。
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2015/01/17 09:17 UTC 版)
よく菌糸体が発達したカビで、多核の菌糸体を作る。隔壁はほとんど無いが、胞子のうの少し下に作るものが多い。腐生菌で、通常の培地でよく成長する。よく気中菌糸を出して、シャーレの中一杯に育つ事もよくある。 大きな胞子嚢のみを形成し、小胞子嚢などは作らない。厚膜胞子は形成するものもある。胞子のうの特徴については前段を参照。 有性生殖は、接合胞子嚢を形成することによる。自家和合性の種と、自家不和合性の種があり、前者の場合には単独株でも有性生殖が行われる。接合胞子のう柄の形はいわゆるH字型の、ケカビなどと似たものである。ただし、接合胞子のうの表面は比較的滑らかなものが多い。また、それを支える柄には、若干の大きさの差が見られる場合が多い。 特徴的なのは、接合胞子嚢柄から棒状の突起が出て、接合胞子嚢を包むように伸びることである。包むといっても、数が少なくごくまばらなものなので、内側の接合胞子嚢ははっきり見える。また、片方の柄からのみ突起が出るものが多い。その場合、突起が出る側の柄が若干大きい。なお、このような付属突起を持たないものもある。これについては以下の分類の項も参照のこと。
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/03/11 14:53 UTC 版)
積 * の結合性は、局所ポテンシャル Φ の次の二階偏微分方程式と同値である。 Φ , a b e g e f Φ , c d f = Φ , a d e g e f Φ , b c f {\displaystyle \Phi _{,abe}g^{ef}\Phi _{,cdf}=\Phi _{,ade}g^{ef}\Phi _{,bcf}\,} ここにアインシュタインの記法は、Φ,a が函数 Φ の偏微分をすべて平坦であるとする座標ベクトル場 ∂/∂xa により表した。gef は計量の逆の係数である。 従って、方程式は結合方程式、あるいは、ウィッテン・ダイグラーフ・ヴァーリンデ・ヴァーリンデ方程式(Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde (WDVV) equation)と呼ばれる。
※この「基本的性質」の解説は、「フロベニウス多様体」の解説の一部です。
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基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/03/27 20:23 UTC 版)
建物の任意のアパート A はコクセター複体である。実は、平行または (n – 1)-次元単体で交わる任意の二つの n-次元単体に対して、A の鏡映 (reflection) と呼ばれる周期 2 の単体的自己同型で、二つの n-単体の共有点を動かさず、一方を他方の上に移すようなものが一意的に存在する。このような鏡映は A のワイル群と呼ばれるコクセター群 W を生成し、単体的複体 A は W の標準幾何的実現に対応する。このコクセター群の標準生成系は A のある固定された小部屋の壁(境界となる (n − 1)-次元の単体)に関する鏡映によって与えられる。アパート A は同型を除いて建物によって決定されるから、同じことは共通のアパート A に属する X の任意の二つの単体に対しても正しい。W が有限型のとき、建物は球面的であると言い、アフィンワイル群となるとき建物はアフィンあるいはユークリッド型であるという。 小部屋系は小部屋の全体の成す隣接グラフによって与えられ、さらに隣接する小部屋の各対に対してコクセター群の標準生成元によるラベル付けを行ったものである。 任意の建物は、頂点をヒルベルト空間の正規直交基底と同一視することによって得られる幾何的実現から受け継がれる標準長さ函数(英語版)を持つ。アフィン型建物に対して、標準長さはアレクサンドロフ(英語版)の比較不等式CAT(0)(英語版)を満足する。この設定は測地三角形に対するブリュア-ティッツの非正値曲率条件として知られる。つまり、頂点から対辺の中点までの距離は、辺長が同じであるような対応するユークリッド的三角形での距離よりも大きくはならない。
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