Mecànica de Fluids

Universitat de Lleida Escola Politècnica Superior Curs 2020/21 Mecànica de Fluids Per al 2n curs del tronc comú de les enginyeries industrials. Grau en Enginyeria de l'Energia i Sostenibilitat Grau en Enginyeria Electrònica Industrial i Automàtica Grau en Enginyeria Mecànica Versió 3.1 Setembre de 2020 Dr. Josep Illa i Alibés Estanislau Fons i Solé Versió revisada V03.1 de la teoria del curs corresponent a l'assignatura Mecànica de Fluids. © Els autors ÍNDEX Pàg. TEMA 1: Estàtica de fluids .............................................................. 1 1.Definició general dels fluids .................................................................... 1 2.Pressió ....................................................................................................... 3 2.1.Definició i unitats ................................................................................... 3 2.2.Propietats de la pressió ........................................................................... 4 2.3.Principi d’Arquimedes.............................................................................5 2.4.Pressió absoluta i relativa ....................................................................... 5 3.Propietats dels fluids ............................................................................... 6 3.1.Densitat ................................................................................................... 6 3.2.Densitat relativa .......................................................................................6 3.3.Pes específic ............................................................................................6 3.4.Volum específic .......................................................................................6 3.5.Compressibilitat .......................................................................................8 3.6.Dilatació ..................................................................................................8 3.7.Viscositat dinàmica ..................................................................................9 3.8.Viscositat cinemàtica .............................................................................11 3.9.Tensió de vapor .....................................................................................12 4.Equació general de la hidrostàtica ....................................................... 14 4.1.Principis ................................................................................................ 14 4.2.Exemples d'aplicació ............................................................................ 16 5.Forces sobre superfícies submergides .................................................. 18 5.1.Plantejament ......................................................................................... 18 5.2.Alguns casos ......................................................................................... 19 6.Aparells de mesura de la pressió .......................................................... 22 6.1.Baròmetres ............................................................................................ 22 6.2.Manòmetres .......................................................................................... 23 TEMA 2: Hidrodinàmica ................................................................ 27 1.Conceptes previs .................................................................................... 27 1.1.Camp de velocitats ............................................................................... 27 1.2.Corrent uniforme i no uniforme ........................................................... 28 1.3.Règim laminar i règim turbulent .......................................................... 28 1.4.Trajectòria d'una partícula i línia de corrent ......................................... 29 1.5.Tub de corrent i fil de corrent ............................................................... 30 1.6.Cabal ..................................................................................................... 30 1.7.Velocitat mitjana ................................................................................... 31 1.8.Distribució de pressions a la secció transversal d'un tub ...................... 31 2.Balanços de propietat ............................................................................ 34 2.1.Plantejament general ............................................................................ 34 2.2.Formalització del cas general ............................................................... 36 2.3.Exemples d'aplicació ............................................................................ 39 3.Equació de continuïtat .......................................................................... 40 4.Equació de l'energia o de Bernoulli ..................................................... 42 4.1.Plantejament general ............................................................................ 42 4.2.Equació del balanç d'energia o de Bernoulli ........................................ 43 4.3.Aplicacions de l'equació de l'energia .................................................... 47 4.4.Factor de correcció de l'energia cinètica .............................................. 52 5.Equació de la quantitat de moviment .................................................. 56 5.1.Aspectes preliminars ............................................................................ 56 5.2.Forces sobre un corrent de fluid ........................................................... 57 5.3.Correcció de l'equació de la quantitat de moviment ............................. 58 5.4.Aplicacions de l'equació de la quantitat de moviment ......................... 59 6.Equació del moment cinètic .................................................................. 63 6.1.Conceptes previs ................................................................................... 63 6.2.Equació del moment cinètic ................................................................. 64 TEMA 3: Pèrdues de càrrega ........................................................ 65 1.Règim laminar i turbulent en canonades plenes ................................. 65 1.1.Número de Reynolds ............................................................................ 65 1.2.Desenvolupament del flux .................................................................... 65 2.Equació general de les pèrdues de càrrega (Darcy-Weisbach) ......... 67 2.1.Pèrdues lineals ...................................................................................... 67 2.2.Pèrdues singulars .................................................................................. 67 2.3.Pèrdues de càrrega totals ...................................................................... 68 3.Pèrdues de càrrega en règim laminar. Llei de Poiseuille ................... 69 3.1.Plantejament ......................................................................................... 69 3.2.Determinació del perfil de velocitats .................................................... 69 3.3.Determinació de la velocitat mitjana .................................................... 71 3.4.Factor de fricció f en règim laminar ..................................................... 71 4.Pèrdues de càrrega en règim turbulent ............................................... 73 4.1.L'experiment de Nikuradse ................................................................... 73 4.2.Fórmules empriques per al factor de fricció en règim turbulent .......... 73 5.Pèrdues de càrrega singulars ................................................................ 76 5.1.Eixamplament brusc d'una secció ......................................................... 76 5.2.Contracció brusca d'una secció ............................................................. 77 6.Flux estacionari en canals oberts ......................................................... 78 6.1.Canals oberts..........................................................................................78 6.2.Velocitat i cabal en canals oberts amb flux uniforme.............................79 TEMA 4: Bombes centrífugues .................................................... 81 1.Classificació dels diferents tipus de bombes ....................................... 81 1.1.Tipus de bombes ................................................................................... 81 1.2.Classificació de les màquines hidràuliques .......................................... 82 2.Bombes centrífugues: pèrdues, potències i rendiments ..................... 86 2.1.Pèrdues de potència d'una bomba centrífuga ....................................... 87 2.2.Rendiments en una bomba centrífuga .................................................. 88 3.Corbes característiques i punt de funcionament ................................ 89 3.1.Plantejament ......................................................................................... 89 3.2.Corbes característiques d'una bomba centrífuga .................................. 90 3.3.Punt de funcionament ........................................................................... 91 3.4.Banc d'assaigs per a bombes ................................................................ 92 4.Cavitació. Concepte de NPSH .............................................................. 94 4.1.Cavitació ............................................................................................... 94 4.2.Concepte de NPSH ............................................................................... 95 Bibliografia ........................................................................................... 97 Notació: Per a la notació numèrica, la coma decimal s'expressarà com un punt, mentre que les separacions de milers, milions, etc., es farà mitjançant un espai. És la forma habitual en la literatura anglosaxona i molts dels llenguatges de programació, tot i que cal assenyalar que en català s'utilitza una coma baixa per a la separació decimal. Per exemple: quinze mil tres-cents vint-i-cinc coma dotze es denotarà 15 325.12 TEMA 1. ESTÀTICA DE FLUIDS 1. Definició general dels fluids La matèria està formada per àtoms i molècules, amb o sense càrrega elèctrica neta 1. Els estats de la matèria2 es caracteritzen, entre altres coses, pel grau de cohesió que tenen degut a les forces atòmiques i moleculars. L'estat sòlid es caracteritza per una atracció gran entre molècules, que els permet mantenir la forma. Si sobre un sòlid s'hi apliquen forces, es produirà una deformació, que podrà ser permanent o desaparèixer quan cessi la força; en aquest darrer cas es parla de sòlids elàstics. Els fluids són substàncies en què les molècules que els formen estan subjectes a forces d'atracció menors, i per aquest motiu una de les seves característiques fonamentals és que no conserven la forma, és a dir, l'adapten a la forma del recipient que els conté. El grau divers d'adaptació als recipients depèn de la intensitat de l'atracció entre les seves partícules. D'aquesta manera, els fluids poden estar en dos estats: -Líquid, quan les forces d'atracció són menors que les del sòlid i no poden mantenir la forma, però resulten suficients com per fer que una massa determinada ocupi una part constant 3 del volum del recipient; és a dir, s'adapten a la forma però mantenen el volum. Els líquids són, per això, poc compressibles, és a dir, varien poc de volum quan es comprimeixen. Per a la major part de les aplicacions quotidianes, es poden considerar incompressibles. Tot i això, caldrà tenir en compte que en condicions allunyades de les habituals la compressibilitat i els seus efectes poden no ser negligibles 4. -Gasós, quan les forces d'atracció són massa febles com per mantenir el volum, i si no es confinen s'acaben expandint indefinidament. Per aquest motiu, els gasos ocupen tot el volum del recipient, i només confinats en aquest es mantenen en equilibri. Això és cert a nivell local; a escales més grans, l'atracció gravitatòria pot mantenir també confinats els gasos, però les condicions al llarg de tot el seu volum no seran homogènies. Moltes substàncies passen d'un estat a l'altre quan varia l'energia mitjana de les seves molècules, en condicions determinades de pressió i temperatura. Com a exemple, l'aigua, que és un dels fluids habituals de treball, es troba en condicions habituals en els tres estats: sòlid, líquid i gasós. V V Figura 1. L'estat líquid conserva la massa i el volum, però no la forma M M Figura 2. L'estat gasós conserva la massa, però no la forma ni el volum Els canvis entre estats s'utilitzen, entre altres coses, per transportar energia tèrmica. Quan un fluid es troba en estat gasós, però en condicions properes a les d'equilibri amb el líquid, s'anomena vapor. 1 2 3 4 Si tenen càrrega elèctrica neta s'anomenen ions. Sòlid, líquid, gasós i plasma són els habituals al nostre entorn físic, si bé a l'Univers s'hi troben altres estats, com condensats de BoseEinstein, condensats fermiònics i estrelles de neutrons. Només es farà referència als tres primers, en el text. A temperatura constant Per exemple, si hi ha una variació de densitat en direcció vertical per la compressió del líquid, el volum no necessàriament es conservaria en canviar la posició del recipient. Amb l'aigua, els olis i la majoria de líquids en les condicions habituals de treball en enginyeria de fluids, aquest efecte es pot negligir. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 1 de 97 Quan els gasos canvien poc de pressió en els seus moviments a través d'equips d'impulsió o al llarg del seu transport en conductes, el seu comportament mecànic es podrà analitzar suposant-los no compressibles. L'objecte d'aquest curs és l'anàlisi dels fluids des d'aquest punt de vista, és a dir, la mecànica dels fluids incompressibles. Ja s'ha dit anteriorment que la baixa compressibilitat no significa incompressibilitat total. De fet, hi ha fenòmens associats a la compressió que s'han de tenir en compte per tal de dissenyar correctament les instal·lacions i evitarhi danys mecànics. Entre ells, cal esmentar el cop d'ariet, produït quan, en un fluid en moviment, aquest s'interromp de forma sobtada. L'energia mecànica del fluid en moviment (potencial + cinètica) genera una compressió que en alliberar-se, crea per efecte molla una ona de pressió a l'interior del conducte, que pot deformar o trencar les canonades, vàlvules o altres accessoris que hi estiguin en contacte. v P Figura 3. Perfil de pressió en un instant t, degut a l'efecte de la compressibilitat de l'aigua en el cop d'ariet quan es tanca la vàlvula. Segons una altra definició, els fluids són les substàncies que es deformen contínuament quan se les sotmet a un esforç tangencial. Així, a diferència dels sòlids, que sota un esforç tangencial constant adopten una deformació fixa, els fluids es desplacen de forma contínua en capes paral·leles a la direcció del flux. La resistència al flux es deu a la viscositat del fluid. F Placa mòbil u B B' v a u B'' B''' A Placa fixa Figura 4. Deformació d'un sòlid J.Illa-E.Fons Figura 5. Deformació contínua d'un fluid Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 2 de 97 2.Pressió 2.1.DEFINICIÓ I UNITATS Consideri's una superfície plana en contacte amb un fluid en repòs. Les molècules del fluid estan en moviment i xoquen amb la superfície. Cada xoc és una força puntual que actua uns breus instants. A nivell macroscòpic, el fluid exerceix una distribució de forces sobre la superfície. Es defineix la pressió (P) com la resultant de les forces normals F exercides pel fluid sobre una superfície plana S. F S En el S.I., la unitat és el Pascal: Figura 6. La pressió és la resultant de la força normal aplicada per unitat de superfície. Superfície lliure Tradicionalment s'han utilitzat altres unitats de pressió: P = P0 = 0 z = 0 2)Metre de columna d'aigua (mca): en hidrostàtica és també habitual expressar la pressió d'aigua en una canonada, dipòsit o, en general, qualsevol recipient, a partir de l'alçària del nivell de l'aigua per damunt del punt mesurat. Així, hi ha com a unitat de pressió el metre de columna d'aigua (mca o m.c.a.), i també el cm.c.a. i el mm.c.a., utilitzats en aplicacions on la variació de pressió tolerada sigui petita, com les pèrdues de càrrega en canonades o les mesures d'estanquitat en recintes (pex, cambres frigorífiques d'atmosfera controlada). El seu valor 5, com és immediat de determinar, és: 1 mca = 9 810 Pa. La pressió atmosfèrica estàndard (1 atm) equival a 10.33 mca, valor que té un interès especial en disseny de sistemes d'impulsió d'aigua, ja que representa la cota superior de la profunditat des de la qual es pot extreure aigua per succió, a nivell del mar. M=rV=rSz 1)Atmosfera (atm): és la pressió exercida per una columna de 760 mm de mercuri. z=h z S Figura 7. Expressió de P com a alçària d'una columna de fluid. *L'expressió de la pressió com a altura d'una columna de fluid es justifica pel raonament següent (Figura 21): 3)Bar: el Pascal és una unitat de pressió molt petita, i per això sovint s'usa el bar, que n'és un múltiple exacte. 1 bar = 105 Pa 4)kg de pressió, definit com el pes d' 1 kg (1 quilogram-força, kgf, o quilopond, kp) aplicat sobre una superfície d'1 cm2. 5)En meteorologia, s'usa l'hectopascal (1 hPa = 100 Pa) que és equivalent a 1 mil·libar (mbar). 5 Atès que l'acceleració de la gravetat estàndard és de 9.80665 m/s2, 1 mca = 9806.65 Pa J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 3 de 97 6)En el sistema anglosaxó s'utilitza la psi, definida com 1 lliura-força per polzada quadrada (Pound per Square Inch) , i equivalent a 6 895 Pa. 2.2.PROPIETATS DE LA PRESSIÓ La pressió és una propietat que només es defineix amb exactitud si es mesura en un volum infinitesimal dV . És una magnitud escalar que pren un valor únic a cada punt del fluid, valors que formen un camp escalar continu en tot el seu volum. Propietat 1 Al si d'un fluid, la pressió en un punt és igual en totes les direccions de l'espai. PA = constant S2 A X X S1 A Figura 8. La pressió en un punt té un únic valor. Propietat 2 En dos punts situats a la mateixa profunditat dintre del mateix fluid en repòs, i connectats per un volum cilíndric horitzontal del mateix fluid, hi ha la mateixa pressió. Atès que el pes del fluid és perpendicular a l'eix AB (eix x), no participa en l'equilibri de forces en aquest eix. Com que el volum acotat pel cilindre entre A i B està en equilibri estàtic, no actua cap força neta en l'eix x : y PB dSB x B PA dSA A Figura 9. Forces de pressió en un eix horitzontal. i com que De la propietat 2 se'n pot deduir el principi dels vasos comunicants: Dos punts situats a la mateixa profunditat i connectats pel mateix líquid es troben a la mateixa pressió. Hem demostrat que: A' X h1 XB' h2 A Llavors: B Per tant: Figura 10. Principi dels vasos comunicants. El principi dels vasos comunicants fonamenta el Principi de Pascal de la premsa hidràulica, que permet aplicar forces de gran magnitud a partir de forces petites exercides sobre pistons hidràulics de menor superfície. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 4 de 97 FB FA X X A B SA SB Llavors: Figura 11. Principi de Pascal de la premsa hidràulica. 2.3.PRINCIPI D’ARQUIMEDES Tot cos submergit en un fluid està sotmès a una força de flotació vertical i cap amunt igual al pes del volum de fluid desplaçat. Consideri’s una superfície S que delimita el volum V de fluid. Sobre el fluid contingut a V hi actuen dos sistemes de forces que estan en equilibri estàtic: : sistema de forces del pes : sistema de forces de pressió sobre la superfície S A l’eix OZ es verifica: ⇒ Figura 12. Principi d’Arquimedes 2.4.PRESSIÓ ABSOLUTA I RELATIVA S'anomena pressió absoluta a la que exerceix un fluid en relació al buit absolut, és a dir, a l'absència de fluids en contacte amb la superfície afectada. La pressió absoluta és sempre positiva. Es coneix com a pressió relativa la diferència entre la pressió absoluta i la pressió atmosfèrica (P0). La pressió relativa pot ser negativa quan correspon a un buit absolut o parcial respecte a l'atmosfera normal. Atès que els aparells de mesura de la pressió (manòmetres) sovint són dispositius físics on la pressió del punt que es mesura ve parcialment o totalment contrarestada per la pressió atmosfèrica, la pressió relativa també se sol anomenar pressió manomètrica. PABS PR PR>0 P0= 1 atm PABS=PR+P0 0 PR<0 0 Buit complet Figura 13. Relació entre la pressió absoluta i la pressió relativa. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 5 de 97 3. Propietats dels fluids 3.1.Densitat La densitat (r) és el quocient entre la massa d'un fluid i el volum que ocupa. Alguns valors de densitat en fluids: Fluid Densitat (kg·m-3) Observacions Aigua 1 000 A 4 ºC Aire 1.293 A 0 ºC, 0% HR i P atmosfèrica Aire 1.204 A 20 ºC, 0% HR i P atmosfèrica Gasoli Oli d'oliva 832 Varia segons composició 800-920 Varia segons composició 3.2.Densitat relativa La densitat relativa (rr ) és el quocient entre la densitat d'un fluid i la densitat d'un altre líquid de referència. Habitualment es pren l'aigua a 4 ºC com a líquid de referència. Adimensional 3.3.Pes específic El pes específic ( ) és el pes de la unitat de volum de fluid. 3.4.Volum específic El volum específic (v) és el volum ocupat per una unitat de massa del fluid. És l'invers de la densitat. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 6 de 97 Determinació de la densitat: el densímetre Determinant el volum d'un flascó, el densímetre, que se submergeix en un líquid de densitat desconeguda, en relació a la mateixa mesura en un líquid de densitat coneguda, es pot determinar la del primer. 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 Secció S (m2) 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 h V0 V0 Nivell oli h Nivell aigua r1 r0 Oli Aigua Figura 14. Densímetre En el punt d'equilibri, la massa m del densímetre serà igual a la del fluid desplaçat. Si V0 és el volum desplaçat en la mesura de l'aigua, s'obté: Aigua: i oli: D'aquí: Aquesta darrera expressió ens permet construir una recta de calibratge: 1/rr rr=f(h) 1 h Figura 15. Recta de calibratge d'un densímetre J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 7 de 97 3.5.Compressibilitat La compressibilitat és la reducció de volum d'un cos quan se sotmet a una pressió determinada, tot mantenint constants els altres paràmetres. La constant de proporcionalitat entre l'increment de pressió aplicada i la variació de volum s'anomena Mòdul de compressibilitat volumètrica (E). DP o bé E s'expressa en unitats de pressió; normalment en [bar]. DV Si la compressió és isoterma, o bé V0 amb Per a l'aigua, E = 22 000 bar Figura 16. Compressió isoterma d'un fluid 3.6.Dilatació Quan s'augmenta la temperatura d'un fluid, aquest augmenta de volum i en disminueix la densitat. Aquest fenomen es coneix com a dilatació. La constant que relaciona la variació de volum amb l'increment de temperatura s'anomena Coeficient de dilatació cúbic isòbar (b ), i, com el seu nom indica, es determina en condicions de pressió constant. M DV o bé V0 DT s'expressa en [K-1] o bé en [ºC-1]. Figura 17. Dilatació isòbara d'un fluid Variació simultània de P i T Les equacions d'estat dels fluids expressen la relació entre P, V i T com a: De manera que es poden expressar funcions que relacionin cada variable amb les altres dues: Quan s'incrementen simultàniament P i T: J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 8 de 97 3.7.Viscositat dinàmica La viscositat dinàmica (m) indica la resistència que un fluid oposa a la deformació i al moviment entre les partícules que el componen. Quan un fluid està en moviment a velocitats baixes, es pot considerar que les molècules del fluid s'estructuren en capes paral·leles que llisquen unes damunt de les altres. La fricció entre els capes s'oposa al moviment i limita la velocitat que adquireixen. La resistència per unitat de superfície que apareix entre dues làmines consecutives s'anomena esforç tallant (t). La distribució de velocitats perpendicular a aquestes capes segueix la Llei de Newton de la viscositat en els anomenats fluids newtonians, entre els quals hi ha l'aigua, alcohol, la majoria dels olis lubricants, etc. En aquests, qualsevol petit esforç sobre el fluid fa que comenci a deformar-se, i la deformació és proporcional a la tensió resistent del fluid. La Llei de Newton s'expressa: on y és la direcció perpendicular a la velocitat del flux. y y Placa mòbil F u u v t dy Placa fixa v+dv v dv t Placa fixa Figura 18. Flux newtonià en capes de poc gruix (A) i en conductes gruixuts (B) La velocitat d'un fluid al punt de contacte amb una superfície sòlida és sempre la d'aquesta superfície. Quan s'analitza una capa prima de fluid (per exemple, amb els lubricants) es pot considerar que la relació és lineal, i que Quan s'analitza el flux en conductes més grans, aquesta simplificació no es pot fer. Dimensionalment, en ser l'esforç tallant una tensió per unitat de superfície, I d'aquí, i Una altra unitat per a la viscositat dinàmica és el Poise, equivalent a 0.1 Pa·s. m Alguns valors de m: gas -3 Aigua: m = 1.002 10 Pa·s Aire: m = 18.19 10-6 Pa·s líquid En els líquids, la viscositat dinàmica disminueix en augmentar la temperatura, mentre que en els gasos, m creix quan augmenta T. T Figura 19. Relació entre la viscositat dinàmica i la temperatura J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 9 de 97 Fluids no newtonians No tots els fluids tenen un comportament newtonià. Molts derivats aquosos que contenen macromolècules (molts líquids alimentaris) no mantenen una relació lineal entre l'esforç tallant i el gradient de velocitats o deformació. Aquestes característiques s'han de tenir en compte per al disseny correcte de la maquinària de processat, com els equips de barreja i d'impulsió. Entre els fluids no newtonians es pot esmentar aquells en què la viscositat no depèn del temps, i aquells en què l'aplicació durant un temps de l'esforç tallant fa variar la seva viscositat aparent fins que s'estabilitza. *Independents del temps -Dilatants o d'espessiment per cisallament: quan creix la velocitat de deformació augmenta més que linealment la resistència de l'esforç tallant. S'han de manipular a baixes velocitats si es vol evitar potències grans dels equips. Mantega de cacauet homogeneïtzada, suspensions de midó de panís al 60%. -Pseudoplàstics, o d'aprimament per cisallament: al revés que els anteriors, l'esforç resistent decreix quan s'augmenta la velocitat. Llet condensada, maioneses, purés de fruita, mostassa, etc. -Plàstics de Bingham: requereixen un esforç inicial determinat per començar a fluir; un cop flueixen, tenen un comportament similar als newtonians. Pasta de dents, plastilina. -Plàstics: requereixen un esforç inicial per començar a fluir, i quan ho fan l'augment de velocitat de deformació produeix un augment de resistència menys que proporcional. *Dependents del temps -Tixotròpics: sotmesos a velocitat constant de deformació (p.ex, amb unes pales de barreja), van reduint la seva viscositat amb el temps. -Reopèctics: augmenten la viscositat al llarg del temps i poden arribar a solidificar. Poc comuns. Plàstics t Plàstics de Bingham Pseudoplàstics (o d'aprimament per cisallament) s ian ton w Ne Dilatants (o d'espessiment per cisallament) dv/dy Figura 20. Fluids newtonians i no newtonians independents del temps J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 10 de 97 3.8.Viscositat cinemàtica La viscositat cinemàtica ( n ) és el quocient entre la viscositat dinàmica i la densitat. Malgrat que té escàs significat físic6, s'utilitza en algunes fórmules de càlcul i com a referència empírica pràctica per a comparar la viscositat entre algunes substàncies, com els olis lubricants. Alguns valors: Altres unitats: Aigua a 20 ºc: n = 1.006 10-6 m2/s Aire a 20 ºC: n = 15.1 10-6 m2/s en sistema CGS: Stoke 1 Stoke = 1 cm2/s Unitats no coherents Per a la comparació pràctica de les viscositats cinemàtiques d'algunes substàncies, com els olis lubricants, s'utilitzen també unitats no coherents (al marge dels sistemes d'unitats basats en propietats físiques bàsiques), resultat d'assaigs empírics. SAE: es basa en mesurar el temps de caiguda d'una bola metàl·lica dintre d'un recipient ple amb el fluid, en condicions normalitzades. GRAUS ENGLER (ºE): es basa en mesurar el temps de buidat de 200 cm3 de líquid d'un recipient normalitzat, per un orifici inferior, en comparació al temps requerit per al buidat d'aigua a 20ºC en les mateixes condicions. Figura 21. Aparell per a la determinació viscositat SAE La relació de ºE amb n és: Vàlvula La relació entre SAE i ºE és la següent: SAE 10 20 30 ºE 3-5 5-7 7-9 40 50 Camisa termostatada 60 9-12 12-19 19-27 Figura 22. Aparell per a la determinació de ºE 6 En dividir-se la viscositat dinàmica per la densitat, la viscositat cinemàtica compensa el fet que, en flux sota l'acció de la gravetat, els líquids més densos són atrets amb més força. Així, la viscositat cinemàtica explica millor que dos líquids d'igual viscositat dinàmica però diferent densitat flueixin a velocitats diferents. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 11 de 97 3.9.Tensió de vapor La tensió de vapor és la pressió que exerceixen les molècules d'un fluid condensable quan estan en estat de vapor. Quan aquest vapor està en contacte amb el líquid pur a la mateixa temperatura, es diu que està en equilibri de saturació, i la pressió que fa s'anomena tensió de vapor en saturació. A la interfície de contacte entre el líquid i el vapor es produeix un intercanvi constant de molècules que s'evaporen i condensen. A l'equilibri, els dos fluxos són iguals, i en aquestes condicions es diu que tant el líquid com el gas estan saturats. A cada temperatura, l'equilibri se situa en una proporció diferent de molècules que estan en estat líquid o de vapor. Per tant, la tensió de vapor de saturació depèn de la temperatura. manòmetre vapor interfície de contacte La presència de soluts fa també que el número de molècules en estat gasós sigui menor, degut que disminueix el número de molècules susceptibles d'evaporar-se a la interfície, i apareixen forces atractives a la solució que redueixen també el número de molècules que s'evaporen. Aquest efecte és una de les anomenades propietats col·ligatives de les dissolucions, que depenen només de la concentració molal dels soluts no volàtils, i no de la seva naturalesa. Segons la Llei de Raoult de l'ascens ebullioscòpic, l'increment de la temperatura d'ebullició (elevació ebullioscòpica) en relació a la concentració de soluts val: líquid Figura 23. Mesura de la tensió de vapor en un fluid en equilibri de saturació. On kb és la constant d'ascens ebullioscòpic del dissolvent i m és la molalitat de la solució (mol de solut/kg de dissolvent) Per a l'aigua, la constant d'ascens ebullioscòpica és de 0.52 ºC·kg/mol. La Llei de Raoult també proporciona el càlcul de la pressió de vapor PV que fa una solució si es coneix la fracció molar xsolvent del solvent i la pressió de vapor del solvent pur (PVS): El desplaçament de l'equilibri cap al líquid que suposa la presència de sals a la solució es pot demostrar posant en un mateix ambient aigua pura i una solució aquosa de sal. La diferència entre les tensions de vapor d'un i altre líquid farà que, amb el temps, tota l'aigua del recipient A s'acabi acumulant al B, que conté la solució salina (Figura 17) Concentracions de sal P (bar) 0% c1 2 c2 1 A Aigua pura B Aigua amb sal 100 Figura 24. Efecte de la tensió de vapor diferencial entre dues solucions aquoses. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids ~120 T (ºC) Figura 25. Efecte de la concentració de sal en la tensió de vapor de l'aigua. EPS-UdL Pàg. 12 de 97 P atm Si en un líquid s'augmenta la temperatura fins que la tensió de vapor iguali la pressió local al si del líquid, aquest començarà a evaporarse, formant inicialment bombolles de vapor (punt de bombolla) que a continuació es desprenen de forma massiva a través de la interfície líquid-gas, en el que es coneix com a ebullició. Q Si Pbombolla > Patm Ebullició Figura 26. Ebullició d'un líquid quan la seva tensió de vapor iguala la pressió local Finalment, existeixen fórmules empíriques que permeten calcular la pressió o tensió de vapor en saturació a diferents temperatures per a alguns solvents. Per a diversos líquids s'han proposat l'equació d'Antoine, i per a aigua la de Joseph Bertrand, que donen valors suficientment acurats per a la majoria d'aplicacions en enginyeria. *Equació d'Antoine: Pressió en mmHg i T en ºC. És d'aplicació dintre dels rangs de T expressats a la taula següent, que conté també els paràmetres A, B i C. A B C Tmín Tmàx Aigua 8.07131 1 730.63 233.426 1 100 Aigua 8.14019 1 810.94 244.485 99 374 Etanol 8.20417 1 642.89 230.300 -57 80 Etanol 7.68117 1 332.04 199.200 77 243 *Equació de Joseph Bertrand per a l'aigua: Pressió en bar i T en K. És d'aplicació dintre dels rangs 0 ºC < T < 200 ºC J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 13 de 97 4. Equació general de la hidrostàtica 4.1.PRINCIPIS Per comprendre el comportament estàtic dels fluids, s'acotarà un volum de control, i es farà el balanç de les forces que l'afecten. Aquestes forces són de dos tipus: -Les que rep el fluid a través de les superfícies externes que el limiten, degudes a la pressió del fluid que envolta el volum de control. -Les que rep la massa de fluid dintre del volum de control pel fet que aquest està sotmès a camps de forces (del pes, inercials, o d'altres tipus). Aquestes darreres s'anomenen forces volumètriques, es denoten com a B (de l'anglès body force), i s'expressen com a força per unitat de volum (N m -3) y fluid P= P(x,y) y+Dy y By Bx x x+Dx x Figura 27. Volum de control per a l'anàlisi estàtica d'un fluid. y P(y+Dy) b y+Dy P(x) P(x+Dx) By Dy Bx y P(y) Dx 0 x x+Dx x Figura 28. Forces sobre un volum de control al si d'un fluid en repòs. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 14 de 97 Per estar el líquid en equilibri, la resultant de totes aquestes forces haurà de ser nul·la. Equació general de l'estàtica De l'anàlisi bidimensional (fàcilment extrapolable a la tercera dimensió, z), s'obté: Eix OX On: i D'aquí: i, per tant, Dividint per : Quan el volum tendeix a zero, l'expressió tendeix a ser exacta: Eix OY: s'obté una expressió anàloga. Per tant, I d'aquí, atès que la variació de la pressió s'expressa 7: S'obté la formulació de l'Equació general de la hidrostàtica: 7 Per la demostració, vegeu l'annex J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 15 de 97 4.2.EXEMPLES D'APLICACIÓ DE L'EQUACIÓ GENERAL DE LA HIDROSTÀTICA Distribució de pressions en un dipòsit P0 P x z PR P0 En aquest cas, l'única força que actua és la gravetat, i sobre el volum unitari de líquid la força actuant és el seu pes: De l'equació general de la hidrostàtica: Pes PABS= PR+P0 Ja que P és constant al llarg de x. En dependre només de z, la derivada parcial esdevé derivada total: z Figura 29. Distribució de pressions en un dipòsit de líquid. Distribució de pressions en una mànega d'aigua que gira entorn d'un extrem Si es negligeix la força de la gravetat, el gir de la mànega provocarà una distribució de pressions en direcció radial, degut a la força centrífuga: w P0 r R1 L Per tant, i per dependre només de r, PR ja que P0 r w v=wr ma=mv2/r=mw2r D'aquí: r Figura 30. Distribució de pressions en una mànega giratòria. J.Illa-E.Fons i, per tant: Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 16 de 97 Distribució de pressions en un dipòsit en rotació entorn d'un eix vertical w En un dipòsit en rotació, sobre un element de volum hi actuaran tant la força centrífuga, de direcció radial, com el pes, que tindrà direcció vertical. z R Per tant, r Una informació d'interès en aquest cas és quina forma tindran les superfícies isòbares al dipòsit. D'entre aquestes superfícies, la corresponent a P0 serà la superfície lliure del líquid, que permetrà respondre qüestions com determinar si el líquid vessa del dipòsit, o si part del fons del dipòsit s'asseca. z Figura 31. Superfície isòbara en un dipòsit en rotació. En una superfície isòbara la variació de la pressió és zero. Per tant: Integrant: La superfície lliure del líquid (i qualsevol altra superfície isòbara en aquest líquid) és un paraboloide de revolució creat girant la paràbola entorn de l'eix de rotació del dipòsit. La determinació de la constant es fa utilitzant les condicions de contorn. En aquest cas, mentre el líquid no vessi s'ha de complir que el volum de líquid sota la superfície lliure ha de ser el mateix que tenia el dipòsit en repòs. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 17 de 97 5.Forces sobre superfícies submergides 5.1.PLANTEJAMENT Una superfície submergida en un fluid suportarà la força que el fluid en contacte amb cada cara submergida exerceix en ella. Les superfícies poden ser reals, d'un material diferent al propi fluid, o virtuals, és a dir, les superfícies que afiten un volum de control totalment o parcialment submergit al si del fluid. L'anàlisi en ambdós casos és idèntica. La pressió que exerceix un fluid, actuant sobre un element de superfície proporcional a la seva àrea i que té la seva mateixa direcció. , produeix una força que és força elemental La pressió és una magnitud escalar, i com a tal no té direcció en l'espai. És la superfície sobre la qual actua la que determina la direcció de la força produïda. Aquesta força sempre tindrà el sentit de sortida des del si del fluid a través de la superfície, i perpendicular a aquesta, per ser paral·lela al vector superfície. dS Fluid S P Figura 32.Relació entre elements de superfície i forces causades per la pressió P S Figura 33.Perfil de forces causades per la pressió sobre la paret d'un recipient La força total que rebrà la superfície serà: On caldrà buscar la forma de relacionar P i a través de les variables que permetin resoldre la integral. Com a norma general, s'haurà de determinar un diferencial de superfície en el qual la pressió sigui constant. En un fluid sotmès solament a la força de la gravetat, seran superfícies de gruix infinitesimal en la direcció vertical. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 18 de 97 5.2.ALGUNS CASOS Força i moment sobre una paret plana vertical En el cas d'una paret plana, les forces constitueixen un sistema de vectors paral·lels, i per tant: -La seva resultant tindrà la mateixa direcció que cadascuna de les forces. -El mòdul de la força serà la suma dels mòduls de totes elles. b x z H P A z El moment respecte a A serà: Figura 34. Perfil de forces i el moment d'aquestes causats per la pressió sobre una paret plana submergida Força sobre les parets d'un conducte de secció circular a pressió En el cas d'un conducte de secció circular a pressió, on es pugui negligir l'efecte de les variacions de pressió per diferència de cota (rgz), la força total serà la pressió per la superfície interior del tub. Per saber l'efecte de la pressió sobre la tracció que s'exerceix en el material de construcció del tub, i assumint que aquest té una paret prou prima com per obviar els efectes tridimensionals, ens pot interessar saber quina és la força total FV en una de les direccions radials, que serà compensada per la força FR resistent del material de construcció del tub. P R P R a P da P FV y R dFx x dFy dF=PdS dS=Rda y a x dF dFx=dF cos a dFy=dF sin a b 2R P FV Figura 35. Força exercida per un fluid en una canonada Si fem l'anàlisi per una longitud b de canonada: La resultant horitzontal és nul·la. On 2R b és la secció longitudinal del tub al diàmetre (2R). És a dir, equival a la força que faria la pressió P sobre aquesta secció. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 19 de 97 Generalització de la força sobre comportes planes submergides Sigui una comporta plana, situada sobre un pla P inclinat un angle a respecte al pla horitzontal, i de la qual se'n pot determinar el centre de masses G. Se situen els eixos cartesians OX i OY seguint el pla P, de forma que l'eix OX sigui horitzontal i l'eix OY segueixi el màxim pendent del pla, i amb origen al centre de masses de la comporta. y dS G S z y z0 Les coordenades del centre de masses es calculen: dy y sina x La comporta està completament submergida, i la fondària de G respecte a la superfície lliure del líquid és z0. a Figura 36. Cas generalitzat de superfície plana submergida En ser la comporta una superfície plana, totes les forces degudes a la pressió seran perpendiculars a ella, i, per tant, també ho serà la seva resultant. El mòdul de la resultant serà la suma dels mòduls de totes les forces: Per tractar-se de líquid en repòs, la pressió serà constant quan dS sigui una franja horitzontal de gruix dy, com s'indica a la figura. Alhora, coneguts z0 i a, la pressió tindrà l'expressió: D'aquí: I com que: i S'obté: La resultant de les forces causades per la pressió sobre una comporta plana submergida en un fluid en repòs és igual a la pressió al seu centre de masses per la superfície total de la comporta. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 20 de 97 Força sobre comportes planes submergides: generalització del moment respecte a un eix situat al pla de la comporta Sigui la comporta plana de superfície S de l'apartat anterior, i una recta amb un vector director situada sobre y el mateix pla, a una distància d de G, i que forma un angle b amb l'eix OX. D'acord amb el teorema de Steiner, el moment que fan les forces de pressió respecte a aquesta recta valdrà: b d x G S On és el vector director d'una recta paral·lela a l'anterior, i que passa per G. y El problema, doncs, es redueix a determinar quin és el moment de les forces de pressió respecte a la recta que passa pel centre de masses. dS=dx dy dx dy b G x y S dF dS · Figura 37. Cas generalitzat de superfície plana submergida: moment respecte a un eix paral·lel a la superfície El moment total serà la integral al llarg de el vector director de la recta és de l b G x , amb . Si el vector de posició de és , la distància des de a la recta es defineix com: ,i D'aquí, I el moment total: En aquesta expressió, el primer i el tercer terme valen zero, ja que: i Pel que fa als altres dos termes: Producte d'inèrcia de la superfície S Moment d'inèrcia de la superfície respecte a l'eix 0X I de tot l'anterior: J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 21 de 97 6. Aparells de mesura de la pressió Existeixen molts dispositius per a mesurar la pressió dels fluids. La pressió atmosfèrica es mesura amb els baròmetres, mentre que els aparells destinats a mesurar la pressió en recipients, canonades, i altres equipaments que en continguin s'anomenen manòmetres. Habitualment, els manòmetres mesuren la pressió relativa, tot i que n'existeixen alguns que estan dissenyats per a mesurar la pressió absoluta. 6.1.BARÒMETRES Baròmetre de mercuri buit Hg M=rV=rSh h=760mm El baròmetre de mercuri és el que es va utilitzar per a determinar per primer cop el valor de la pressió atmosfèrica, amb l'experiment de Torricelli. Atès que la pressió a la superfície lliure del mercuri en contacte amb l'aire és la mateixa que a la base de la columna de mercuri, i la pressió en aquesta es deu al pes de la columna que té al damunt8, Aire Aquest experiment va servir també per establir altres unitats de pressió, com el Torr, o mil·límetre de mercuri (mmHg), equivalent a 1/760 atm, i també el cmHg. Hg S Figura 38. Experiment de Torricelli: el baròmetre de mercuri Baròmetre aneroide Consta d'un diafragma que es deforma elàsticament per la pressió atmosfèrica contra un cilindre on s'hi ha fet el buit. El moviment del diafragma es trasllada mitjançant un mecanisme articulat a una busca que es desplaça sobre una escala graduada, que proporciona la lectura. BUIT Figura 39. Mecanisme del baròmetre aneroide 8 Cal tenir present que el buit superior no és perfecte; el mercuri és volàtil i el seu vapor exerceix una certa pressió que, tanmateix, és negligible davant de l'atmosfèrica [A 315 K, PV Hg=1 Pa; a 273 K, PV Hg=0.6 Pa; a 234 K PV Hg=0.0002 Pa] J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 22 de 97 6.2 MANÒMETRES Piezòmetre Consta d'una columna transparent connectada per un extrem al recipient en el qual es troba el líquid, mentre l'altre extrem està obert a l'atmosfera. S'empra per a mesurar pressions moderades en líquids. Patm NIVELL PIEZOMÈTRIC P1 B xA h x Pressió absoluta h1 Pressió relativa Figura 40. Piezòmetre Manòmetre en U S'empra habitualment per a mesurar pressions moderades en gasos. Consta d'un tub transparent amb forma de U connectat per un extrem al recipient en el qual es troba el fluid, mentre l'altre extrem està obert a l'atmosfera. Aquest tub conté un segon fluid, que es tria segons la seva densitat: per a pressions de l'ordre de 0.1-1 bar, és adequat el mercuri. Per a pressions reduïdes, de l'ordre de cm.c.a., se sol utilitzar l'aigua. Patm P1 h A x B x Si el tub està tancat i amb l'extrem al buit: Pressió absoluta Figura 41. Manòmetre en U Manòmetre diferencial S'empra per a mesurar diferències de pressió entre dos gasos. Consta d'un tub transparent amb forma de U connectat a dos recipients o conductes, un per cada extrem, on es troben els fluids dels quals es vol comparar la pressió. Igual que en el cas anterior, el tub conté un segon fluid, que es tria segons l'ordre de magnitud de la diferència de pressions que es vol mesurar. B x h P1 A x P2 A' x (P1 >P2) Figura 42. Manòmetre diferencial J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 23 de 97 Manòmetre de Bourdon Consta d'un tub corbat construït amb un material elàstic, de secció el·líptica, que quan varia la pressió al seu interior canvia la curvatura. D P Es pot utilitzar tant per mesurar pressions relatives positives com negatives (buit). P Figura 43. Manòmetre de Bourdon Manòmetre diferencial tòric S'empra per a mesurar diferències de pressió entre dos gasos. Consta d'un tub de forma tòrica, parcialment ple d'un líquid (aigua, o altres), que pot girar lliurement entorn de l'eix del torus. El moment de la força causada per la pressió sobre el septe de separació de superfície S s'equilibra amb el que fa el pes d'una massa adherida a la part baixa del torus (quan el diferencial de pressions és nul), que es desplaçarà en girar el torus. SEPTE rS rm M on P1 és constant, F=S(P1-P2) P2 i, per tant: a M Mg sina a Mg Figura 44. Manòmetre diferencial tòric J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 24 de 97 Manòmetre de membrana Una membrana elàstica es connecta amb el fluid, i el seu desplaçament mou un dispositiu de cremallera que desplaça una busca sobre una escala graduada. Mecanisme fràgil per avaries freqüents de la cremallera. De vegades es combina amb galgues o dispositius piezomètrics. P Figura 45. Manòmetre de membrana Transductor de pressió Una galga extensomètrica s'adhereix a un sistema elàstic que es deforma quan varia la pressió. El canvi en la resistència de la galga, degut a l'increment de la seva longitud i la reducció de la seva secció per la tracció causada per la pressió, es relaciona funcionalment amb el valor d'aquesta. P e R=R(e) Figura 46. Transductor de pressió Sistema piezoelèctric CRISTALL P Utilitza un cristall en què la freqüència de vibració varia segons la pressió que se li aplica. Un sistema de generació de senyal elèctric d'alta freqüència permet determinar la freqüència de vibració i relacionar-la amb la pressió. ~ Figura 47. Sistema piezoelèctric J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 25 de 97 ANNEX VARIACIÓ D'UNA PROPIETAT AL LLARG D'UNA SUPERFÍCIE Sigui una propietat P que es distribueix en l'espai creant un camp escalar P. Si es recorre una superfície contínua i derivable i s'observa quina és la variació DP de la propietat en recórrer una part de la superfície DS=Dx Dy, és a dir, després de variar simultàniament Dx i Dy, es troba que aquella, excepte que existeixi una relació lineal entre x, y i P, no serà exacta. S'obté una variació exacta de P quan i agafem variacions infinitesimals dx i dy, ja que en aquest cas, a nivell infinitesimal, el tros de superfície DS esdevé un pla dS (segona figura). P DP(x,y) ,y) x ( f P= Llavors, dP = P4-P1 y I, en ser dS un pla, i tenint que Dy dP = (P2-P1) + (P4-P2) x Dx P la variació de P en la direcció x, és a dir, entre 1 i 2, és igual a l'increment de x pel pendent del pla en aquesta direcció, és a dir, per la derivada parcial de P en la direcció x: dP(x,y) 4 3 g 1 a 2 Per tant, la variació de P entre 1 i 4, quan s'incrementen simultàniament x en dx, i y en dy, serà: y dy dx Igualment, en la direcció de l'eix y: x Figura 48. Gradients de propietat amb dues variables J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 26 de 97 TEMA 2. HIDRODINÀMICA 1. Conceptes previs La hidrodinàmica és l'estudi del moviment dels fluids i les seves causes. L'estudi de les propietats dels fluids en moviment es pot abordar prenent un volum d'aquest i analitzant com evolucionen algunes propietats al llarg de l'espai que ocupa i del temps. Les propietats més rellevants són les extensives, és a dir, aquelles que la seva quantificació està vinculada a la massa (al flux de massa) del fluid. La pròpia massa, l'energia en les seves diverses formes, la quantitat de moviment i el moment cinètic seran objecte d'anàlisi al llarg d'aquest tema. Prèviament a aquesta anàlisi es presenten alguns conceptes. 1.1.CAMP DE VELOCITATS Si en cada punt de l'espai es pot definir un únic vector velocitat , aquest espai té definit un camp de velocitats. z On els components parcials del vector són alhora funció de la posició: y x Figura 49: Camp de velocitats a l'espai Un camp de velocitats es troba en règim estacionari quan cada vector velocitat depèn de la posició però és constant al llarg del temps. Quan la velocitat depèn, a més a més, del temps, és un règim transitori. t0 t1 t2 Règim transitori t3 t4 t5 t6 temps Règim estacionari Figura 50: Camps de velocitats transitori i estacionari en una secció d'un conducte El règim transitori es troba freqüentment en els períodes d'arrencada i parada dels sistemes que funcionen en continu, i en tots aquells que funcionen de manera discontínua. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 27 de 97 1.2.CORRENT UNIFORME I NO UNIFORME Quan el camp de velocitat es manté constant al llarg de la geometria de la conducció (és a dir, en dues seccions diferents s'hi troba el mateix perfil de velocitats), el corrent s'anomena uniforme. En cas que la distribució de velocitats variï al llarg del conducte, es tracta d'un corrent no uniforme. S1 S2 Sn Longitud tub S1 S2 Longitud tub Corrent no uniforme Corrent uniforme Figura 51: Corrent uniforme i no uniforme en conductes 1.3.RÈGIM LAMINAR I RÈGIM TURBULENT Quan el fluid es mou a baixes velocitats, aquest moviment es pot assimilar a una estructuració del fluid en capes paral·leles superposades, que es desplacen cadascuna en relació a les dues adjacents. Aquest flux per capes o làmines s'anomena flux laminar, i es caracteritza per no barrejar el fluid d'una capa amb les que hi estan en contacte9. En règim estacionari, la velocitat en un punt és constant quan el règim és laminar. v v(x) t Figura 52: Caracterització del règim laminar El règim turbulent es caracteritza per la turbulència, és a dir, el comportament localment caòtic de les partícules del fluid. En aquest cas, la velocitat característica en un punt, fins i tot en règim estacionari, serà la velocitat mitjana, ja que la instantània oscil·la al voltant del valor mitjà. v x vt1 vt2 v(x) vt3 v (x) vt4 m vtn vm (x) t Figura 53: Caracterització del règim turbulent 9 Es pot demostrar experimentalment, amb fluids d'alta viscositat i moviment lent, que el desplaçament entre capes és reversible quan el flux és veritablement laminar. Cercant reversible laminar flow a internet es poden trobar vídeos d'aquest experiment. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 28 de 97 Experiment de Reynolds La dependència del caràcter laminar o turbulent de la velocitat del fluid va ser demostrada per Osborne Reynolds (1842-1912) mitjançant l'experiment que es coneix amb el seu nom. Un dipòsit d'aigua es buidava per una canonada cilíndrica recta de petit diàmetre en relació al del dipòsit, amb un cabal que es podia regular mitjançant una vàlvula a la sortida del dipòsit. A una certa distància, i amb un tub de diàmetre capil·lar que interferís el mínim possible amb el flux d'aigua, s'injectaven gotes de tinta a l'eix de la canonada. A baixos cabals (i, per tant, velocitats) la tinta es mantenia durant un trajecte llarg sense dispersar-se pel tub 10, fent un fil de color a l'eix de la canonada. Augmentant la velocitat, s'observava que, a partir d'un cert valor d'aquesta, la tinta es dispersava ràpidament, fet atribuïble a la destrucció de la laminaritat per aparició de turbulències en aquell punt. Va anomenar a la primera situació règim laminar i a la segona règim turbulent. L'interval de velocitats en què ocorria el canvi el va anomenar zona de transició. D TINTA TINTA D Velocitat baixa Velocitat alta d«D d«D d d Figura 54: Experiment de Reynolds 1.4.TRAJECTÒRIA D'UNA PARTÍCULA I LÍNIA DE CORRENT La trajectòria d'una partícula és la línia que formen les successives posicions de la partícula a l'espai, al llarg dels successius instants del temps. Una línia de corrent la formen el conjunt de punts de l'espai tals que el vector velocitat en cadascun d'aquests punts és tangent a aquesta línia. Quan un fluid flueix en règim estacionari cada línia de corrent coincideix amb una trajectòria. En règim no estacionari això no ha de ser necessàriament cert, ja que la línia de corrent en un instant donat pot canviar, per canvis en els vectors velocitat associats als seus punts, de manera que la trajectòria d'una partícula que es mogui dintre d'aquest camp no té per què coincidir amb cap línia de corrent concreta existent en un moment determinat. El camp de velocitats implica que el vector velocitat és únic a cada punt en cada instant, ja que una partícula no pot tenir alhora dues velocitats diferents. Per això, tant en règim estacionari com transitori dues línies de corrent no es tallen mai, ja que això implicaria dues velocitats simultànies diferents al mateix punt. trajectòria línia de corrent z y x Figura 55: Trajectòria d'una partícula i línia de corrent dins d'un camp de velocitats estacionari 10 Únicament per difusió de les partícules de tinta a l'aigua, no per dispersió turbulenta. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 29 de 97 1.5.TUB DE CORRENT I FIL DE CORRENT Sigui una secció plana S1 dintre d'un camp de velocitats. Si s'agafen les línies de corrent que limiten el perímetre de S1, la continuïtat en l'espai i la unicitat d'aquestes línies de corrent permet afitar un sector de l'espai entre S 1 i qualsevol altra secció S2 que estigui perimetralment delimitada per les mateixes línies de corrent que S 1. A aquest sector de l'espai se l'anomena tub de corrent. Assumint que el moviment de les partícules va de S 1 a S2, totes les que es mouen dintre d'un tub de corrent hi hauran entrat per S1 i només podran sortir-ne per S2, ja que entrar-hi o sortir-ne pel lateral significaria seguir una línia de corrent que tallaria una de les línies perimetrals de S i, cosa que no és possible11. Si les seccions que limiten un tub de corrent als seus extrems són diferencials, dS 1 i dS2, llavors aquest tub s'anomena fil de corrent. z S2 S1 y x Figura 56: Tub de corrent entre dues seccions S1 i S2 1.6.CABAL S'anomena cabal al flux del vector velocitat a través d'una superfície. Donat un diferencial de superfície cabal volumètric és el volum de fluid que el travessa per unitat de temps. , el z dS Si la velocitat és perpendicular a dS: S y i x Figura 57: Cabal de fluid a través d'una secció del tub de corrent Per altra banda, el cabal màssic és la massa que travessa per unitat de temps, i val: 11 Una altra cosa és que en règim transitori la geometria dels tubs de corrent canviï, per canvis en el camp de velocitats, i el que en un instant t1 s'identificava com a tub de corrent no ocupi el mateix espai en un instant posterior t2. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 30 de 97 El cabal volumètric que travessarà la secció S es calcula integrant dS al llarg de la secció: Així mateix, la impossibilitat del creuament de dues línies de corrent fa que el cabal que passa per un tub de corrent és sempre constant. I, per tant, quan s'ajunten les línies de corrent que delimiten la secció del tub, és a dir, quan es redueix aquesta secció, la velocitat augmenta. y S2 S1 x Figura 58: Variació de velocitat quan canvia la secció d'un tub de corrent 1.7.VELOCITAT MITJANA S'anomena velocitat mitjana o a aquella tal que, si a tots els punts de la secció hi hagués una velocitat uniforme d'aquest valor, s'obtindria el mateix cabal volumètric que amb el camp de velocitats existent en aquesta secció. S S Figura 59: Velocitat mitjana 1.8.DISTRIBUCIÓ DE PRESSIONS a la secció transversal d'un tub amb flux rectilini i uniforme Proposició: A la secció plana d'un tub recte, per on circula un fluid en règim estacionari, i on la velocitat és perpendicular en cada punt al pla de la secció, s'hi verifica la llei de les pressions hidrostàtiques. Figura 60: secció plana perpendicular a flux estacionari rectilini J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 31 de 97 Demostració: Per tractar-se de flux en règim estacionari en una secció recta, les partícules del fluid es mouen amb un moviment rectilini i uniforme, sense acceleració. L'única força volumètrica que afecta el fluid és el seu pes. Per equilibri a l'eix 0X, es té: On b és el gruix de l'element de volum, perpendicular als eixos x i y. Per equilibri a l'eix 0Y, es té: Prenent una direcció vertical z es verifica: Figura 61: forces volumètriques en un dV a una secció plana perpendicular a flux estacionari rectilini i també: i Si es calcula la variació de pressió al llarg del pla de la secció: Prenent dos punts qualssevol 1 i 2 sobre el pla de la secció es pot trobar, integrant, la relació entre la variació de pressió i l'altura z: → → J.Illa-E.Fons q.e.d. Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 32 de 97 Com a conseqüència, el nivell de l'aigua en un tub piezomètric connectat a la canonada no depèn del punt de la secció on es connecti. Figura 62: altures piezomètriques a diferents punts d'una secció plana perpendicular a un flux estacionari rectilini Finalment, cal assenyalar que en canonades curvilínies aquesta condició no es complirà, pèrquè a la força del pes s'hi afegeix la força centrípeta com a força volumètrica. Figura 63: forces volumètriques en un flux curvilini J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 33 de 97 2.Balanços de propietat 2.1.PLANTEJAMENT GENERAL La dinàmica d'un sistema de partícules es pot estudiar bàsicament, segons l'objectiu, des de dos punts de vista. En un conjunt de partícules, es pot analitzar la seva evolució en el temps i veure com varien les seves propietats. Així, a la Figura 64 es pot veure un estol d'uns pocs ocells que evoluciona conjuntament. Es podria determinar, per exemple, la seva quantitat de moviment, mesurant la massa i la velocitat individuals de cada ocell en diversos instants, i seguir així l'evolució del seu valor al llarg del temps. Així, es pot saber la quantitat de moviment total del sistema (els 7 ocells encerclats, a l'exemple de la figura) sumant les de totes les partícules del sistema: X referència X referència mj mj Vj,1 Vj,2 Temps: t1 Temps: t2 X referència Vj,4 mj Vj,3 X referència mj Temps: t3 Temps: t4 Figura 64: Evolució de les propietats d'un sistema de partícules en moviment En dinàmica de fluids, tanmateix, el nombre de partícules a estudiar és molt gran, i el fet que flueixin al llarg de conductes físics o virtuals (tub de corrent) fa més convenient analitzar què ocorre en un volum determinat de l'espai, que serà el sistema objecte d'estudi i que s'anomena volum de control. Com a exemple, la Figura 65 mostra un estol nombrós d'estornells que evoluciona a l'aire, on s'ha afitat un volum fix. Aquest segon mètode d'anàlisi facilita el coneixement de les propietats en aquesta part de l'espai, en la quan es poden elaborar els balanços de propietat que permetran saber quina quantitat de cada propietat hi ha en cada moment dintre del volum de control, com evoluciona amb el temps, i, eventualment, calcular com afecten aquestes propietats al sistema i el seu entorn, o com es veuen afectades per ells. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 34 de 97 Volum de control Temps: t3 Volum de control Temps: t1 Temps: t2 Volum de control Volum de control Temps: t4 Figura 65: Flux de partícules a través d'un volum de control Donat un volum de control, per a cada propietat es podrà avaluar la quantitat de propietat que entra des de l'exterior a través de la superfície externa que el limita, la quantitat que en surt, la quantitat que se'n genera i la quantitat que s'hi acumula. El resultat d'aquesta anàlisi és el balanç de la propietat que s'estudia, i s'expressa de forma general a través de la fórmula: ENTRADA + GENERACIÓ = SORTIDA + ACUMULACIÓ E+G=S+A Les propietats, que han de dependre de la massa existent a l'interior del volum de control en cada moment, poden ser molt variades, des de la massa total, la massa parcial (d'algun dels components), l'energia en alguna de les seves formes (cinètica, potencial, interna...), la quantitat de moviment, el moment cinètic, la càrrega elèctrica, etc. L'entrada i la sortida s'avaluaran a partir del flux de massa a través de la superfície exterior. La generació podrà ser positiva12, si a l'interior del volum de control es crea propietat, o negativa, en el cas que es destrueixi. Un exemple en seria un tanc (reactor) on hi tinguin lloc reaccions químiques, que transformin A en B. En un balanç parcial, la desaparició d'A (o, de manera semblant, generació de B), s'expressarà a partir de la massa d'A, mA , mitjançant una relació del tipus: que pot tenir, per exemple, la forma 12 Convencionalment s'aplica en els balanços el criteri egoista, és a dir, que els canvis que incrementen la quantitat de propietat al volum de control es consideren positius, mentre que els que la redueixen es consideren negatius. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 35 de 97 Com es veurà, hi ha diversos fenòmens que generen propietat. Com a exemples, es pot afirmar que les forces externes que s'apliquen sobre el volum de control generen quantitat de moviment en aquest, i que els moments externs hi generen moment cinètic. El terme d'acumulació quantifica com creix (o decreix) la propietat dins del volum de control. Aquest terme es pot exemplificar en l'augment (o disminució) del volum d'aigua en un dipòsit que s'està emplenant (o buidant), i que, d'acord amb l'equació general, i ja que G=0 (no es crea massa d'aigua; només n'entra i en surt), es verifica que A=0 sempre que E=S, o bé, de forma més general: E-S=A 2.2.FORMALITZACIÓ DEL CAS GENERAL Sigui un sistema de partícules afitat, a un temps t=t, en un volum de control limitat per la perifèria d'un tub de corrent i dues seccions 1 i 2, transversals a aquest tub, i que es desplaça en sentit 1→2 (Figura 66). Cada partícula dintre del sistema tindrà una massa i una velocitat . En aquestes condicions, es pot identificar una sèrie de funcions específiques (per unitat de massa), que es denotaran de forma genèrica per a cada partícula com , tals que les propietats extensives, és a dir, dependents de la massa que hi hagi en cada moment, es puguin expressar com . La funció pot tenir caràcter escalar o vectorial. Si s'anomena a la quantitat total de la propietat associada a i continguda al sistema, llavors: 2' 2 fi mi Figura 66: Evolució d'una propietat extensiva d'un fluid dins d'un volum de control 1' 1 Quina és la variació de al llarg del temps dintre del volum de control? Si al cap d'un temps (quan ) les partícules del volum 1-2 s'han desplaçat per ocupar el nou volum 1'-2', algunes partícules hauran entrat a 1-2 a través de la secció 1, mentre que altres l'hauran abandonat a través de la secció 2 (Figura 66). J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 36 de 97 S'ha definit, per a cada partícula, la propietat ; llavors, en un flux de partícules que es pot considerar de 13 mida i massa infinitesimal , es té que, en el volum de control V (entre les seccions 1 i 2), la variació de al llarg d'aquest , quan l'interval de temps estudiat tendeix a zero, val: Si s'anomena V1 al volum desplaçat entre 1 i 1', V2 al volum desplaçat entre 2 i 2', i V0 al volum restant comprès entre 1' i 2 (Figura 67), el volum ocupat per les partícules al moment t és i al moment serà . Llavors, l'expressió anterior es pot escriure com: mi V2 mi mi 2' V0 2 Figura 67: Volums implicats en l'anàlisi del flux del fluid. V1 1' 1 13 La mecànica de fluids forma part del que es coneix com a mecànica dels medis continus. Aquesta considera la matèria com a uniforme i distribuïda de manera contínua omplint totes les parts de l'espai que ocupa. Els fluids es consideren continus en el sentit que es podrien subdividir en un nombre infinit d'elements, cadascun dels quals tindria les mateixes propietats que el material en conjunt. S'obvien, per tant, els efectes de les discontinuïtats a nivell molecular i submolecular, cosa que marca un dels límits d'aplicació d'aquesta disciplina. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 37 de 97 I, tenint en compte que: -quan llavors -en un el recorregut de les partícules (Figura 68) que travessen un serà un , tal que , tenim que (ja que es mesura el volum desplaçat en un temps , és a dir, és el cabal volumètric), on és la velocitat de les partícules en aquell fil de corrent quan travessen la superfície . -la massa de fluid en un val i el cabal màssic a través de dS: l'expressió anterior queda: nst) o c v= d ció c e S S ci ó Sec t, ren r o e c dx = v dt il ddS f ( S v dV = dx dS = = v dt dS (tub t) rren o c de Figura 68: Interpretació del flux volumètric a través d'un dS És fàcil veure la correspondència dels termes de l'equació amb els del balanç expressat anteriorment: terme d'acumulació (A) de la propietat al volum de control V terme de sortida (S) de la propietat del volum de control a través de S2 terme d'entrada (E) de la propietat al volum de control a través de S1 Per tant, es demostra que la propietat generada al volum de control, G, serà la resultant del balanç general: al llarg d'aquest J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 38 de 97 2.3.EXEMPLES D'APLICACIÓ A continuació es mostren algunes propietats 14 dels corrents de fluids que es poden considerar: Propietat F= m f Funció f Unitats de f Massa 1 Energia E (energia específica) Quantitat de moviment Exemples d'aplicacions Equació de continuïtat (balanç de massa o matèria) (velocitat) Moment cinètic Balanç de l'energia (equació de Bernoulli) Balanç de quantitat de moviment, càlculs d'esforços en canonades Càlculs cinètics en canonades en rotació o moviment curvilini. Entalpia h (entalpia específica) Balanços entàlpics (bescanvis tèrmics en fluids) Entropia s (entropia específica) Càlculs termodinàmics 14 Altres propietats que s'ajusten a aquest esquema són, per exemple, la càrrega magnètica en un corrent d'aire deguda a la presència de l'oxigen (l'O2 és una molècula paramagnètica), que es pot mesurar per l'alteració que produeix en un camp magnètic constant, o l'absorció a determinades l de l'infraroig que produeix la presència de CO 2 en un corrent de gas. S'utilitzen, respectivament, en la construcció de sensors per determinar les concentracions d'aquests dos gasos. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 39 de 97 3. Equació de continuïtat Suposem una canonada de secció variable per on hi circula un fluid en règim estacionari, és a dir, amb una distribució de velocitats invariable en el temps (Figura 69). v1 v2 S1 S2 Figura 69: Flux estacionari en un tub de corrent de secció variable En tractar-se de règim estacionari, el terme d'acumulació és nul (A=0), i tota la massa de fluid que entra per la primera secció surt per la segona. Llavors, el balanç de massa entre les seccions S1 i S2 queda: E=S Com que es tracta de massa circulant a través de les seccions, la magnitud de referència és el flux o cabal màssic . En igualar-se el que travessa la secció S1 amb el que travessa S2: on, per a cada secció, D'aquí, considerant a cada secció el cabal volumètric Q: s'obté: on és la velocitat mitjana a la secció S. Pel fet que a cada secció el fluid tindrà la densitat balanç màssic pot expressar-se: corresponent15, el O també: Si els fluids són (o, a la pràctica, es poden considerar) incompressibles 16, es compleix que , de manera que l'equació de balanç o conservació de la massa o equació de continuïtat queda reduïda a la continuïtat de cabals 15 Aquestes condicions es compleixen estrictament per a un fil de corrent, és a dir, per a un diferencial de superfície dS, de manera que és freqüent que aquesta anàlisi s'hagi de fer integrant els valors de v dS al llarg de cada secció. Una altra forma d'abordar-ho és utilitzar la velocitat mitjana a cada secció, definida com: 16 Que són el principal objecte d'estudi d'aquesta assignatura. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 40 de 97 volumètrics: i es complirà que, entre dues seccions qualssevol d'un conducte o tub de corrent, que sovint, a la pràctica, degut que la velocitat amb què es treballa habitualment 17 és la mitjana al tub de corrent, es denota també com a: D'aquesta manera, en els conductes on hi hagi variacions de secció al llarg del recorregut, els fluids, especialment els (que es poden considerar) incompressibles com l'aigua o els olis, augmentaran la seva velocitat als trams de menor secció, i la reduiran als de seccions més grans. Aquest efecte té interessants repercussions en l'estat energètic del fluid, com es veurà a l'apartat següent. 17 Tanmateix, cal identificar correctament cada cas per evitar errors. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 41 de 97 4. Equació de l'energia o de Bernoulli 4.1.PLANTEJAMENT GENERAL El flux d'un fluid en un tub de corrent transporta energia en diverses formes, que es van transformant, al llarg del recorregut, unes en altres. Una part d'elles són formes d'energia de les quals, amb les màquines adequades (turbines o altres), se'n pot extreure energia mecànica que podrà utilitzar-se amb altres finalitats (per exemple, moure la roda d'un molí o accionar un alternador que produeix energia elèctrica). També, utilitzant a altres fonts d'energia externes, podem incrementar l'energia del fluid mitjançant equips impulsors (bombes, bufadors, ventiladors, compressors). En el decurs d'aquestes transformacions la densitat del fluid es pot mantenir constant 18 (fluids incompressibles, com els líquids, que s'impulsen amb bombes), variar poc (gasos impulsats per ventiladors i bufadors, que produeixen increments de pressió petits) o sofrir canvis en la seva densitat que no es poden negligir en els càlculs (compressors). En aquest curs es tracten els dos primers casos. Tal com es va assenyalar en plantejar els balanços de propietat en un tub de corrent, l'energia total, i cada tipus d'energia en particular, variaran (s'acumularan positivament o negativa) en el tub de corrent a partir de la que entri per la secció d'entrada S1, la que surti per la secció de sortida S2, i la que es generi a l'interior del tub (fàcil de visualitzar si el balanç es fa sobre una de les formes d'energia: energia potencial que es transforma en cinètica, o energia cinètica que es transforma, per fricció, en energia interna, per exemple), juntament amb altres aportacions externes (entrades); per exemple, l'escalfament o refredament del fluid en bescanviadors de calor, la impulsió mitjançant bombes o l'extracció d'energia mitjançant turbines. Les energies objecte d'anàlisi seran: -Energia potencial o de posició: la deguda a la posició de la massa de fluid en relació al camp gravitatori (per alçària o cota). -Energia cinètica o de velocitat: deguda a la velocitat que té la massa de fluid. -Energia de desplaçament o de pressió: deguda al treball que fa el fluid per desplaçar-se contra la pressió existent a la secció que travessa. -Energia interna: la que té el fluid pel seu estat energètic a nivell molecular, lligada, a la pràctica, a la seva temperatura. Les tres primeres constitueixen l'energia útil que transporta el fluid, potencialment extraïble com a energia mecànica, i la seva suma s'anomena energia hidràulica. A un tub de corrent, com s'ha assenyalat, s'hi pot aportar o extreure'n energia mitjançant bescanvi de calor (energia tèrmica) o equips d'impulsió i turbines hidràuliques (energia mecànica). Així mateix, l'energia dissipada per fricció deixa de ser hidràulicament útil i incrementa la seva energia interna. 18 En realitat, quasi constant, ja que tots els fluids són poc o molt compressibles. A la pràctica, l'aigua, l'oli i altres líquids es comporten com a incompressibles a efectes dels càlculs d'equips i instal·lacions, excepte en casos de pressions molt elevades. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 42 de 97 4.2.EQUACIÓ DEL BALANÇ D'ENERGIA O DE BERNOULLI Sigui un conducte de les dimensions d'un fil de corrent, en el qual s'afita un volum limitat per una secció d'entrada i una de sortida . En un temps , la massa que inicialment ocupava el volum es desplaçarà, de manera que el volum que deixi lliure al costat de serà ocupat per la massa de fluid que travessa aquesta secció. Així mateix, a través de la secció abandonarà el volum inicial una altra massa de fluid, que ocuparà un volum . En règim estacionari, per continuïtat del flux, es complirà que . Com que cada dt travessarà la secció una massa cabal màssic: , es pot expressar el flux de cada tipus d'energia a partir del On: i també Alhora, al fil de corrent s'hi pot aportar un flux tèrmic [W], i potència mecànica [W] mitjançant una màquina impulsora ( ) o una turbina ( ). Tots els fluxos energètics es mesuren en unitats de potència (W). Figura 70 Plantejament del balanç energètic en un fil de corrent 4.2.1.Entrades d'energia a)Flux energètic que aporta travessant : -Energia potencial o de posició: -Energia de desplaçament o pressió: -Energia cinètica o de velocitat: Figura 71: Energia de desplaçament L'energia de desplaçament és el treball realitzat en desplaçar la massa de fluid contra la pressió. -Energia interna: J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 43 de 97 b)Entrades d'energia tèrmica i mecànica: -Flux de calor: -Flux d'energia mecànica (potència): 4.2.2.Sortides d'energia a)Flux energètic que se'n va amb travessant : -Energia potencial o de posició: -Energia de desplaçament o pressió: -Energia cinètica o de velocitat: -Energia interna19: 4.2.3.Balanç energètic: ENTRADA=SORTIDA Considerant un flux sense bescanvis tèrmics amb l'exterior, i sense impulsions mecàniques (ni bombes ni turbines), es té que i . Llavors, Que sol expressar-se de la forma següent, que es coneix com l'Equació de l'energia o Equació de Bernoulli per a fluids reals: On és el pes específic del fluid, i correspon a l'increment d'energia interna entre les seccions 1 i 2, provocada per la dissipació d'energia hidràulica causada per la fricció al si del fluid i amb les parets i elements singulars del conducte. Afegint a l'equació l'entrada i/o sortida d'energia mecànica deguda a la inclusió a la conducció de màquines impulsores (bombes, bufadors, ventiladors) que aporten una alçària hidràulica , o convertidores d'energia hidràulica en mecànica (turbines hidràuliques) que n'extreuen , s'obté l' Equació de Bernoulli generalitzada: 19 U1 i U2 són expressions de l'energia interna específica, és a dir, per unitat de massa. Les seves unitats són J/kg. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 44 de 97 Finalment, reprenent el balanç des de l'equació: i tenint en compte que , on és el volum específic (per unitat de massa de fluid), que l'entalpia és una funció d'estat que expressa la suma , i generalitzant a un tub de corrent, aquesta equació es pot expressar també com l'Equació general de l'energia en conduccions: L'anàlisi dimensional de l'equació de Bernoulli mostra que tots els termes tenen una dimensió de Longitud (m), i per aquest motiu hom s'hi refereix comunament com a alçàries (de cota, de pressió, de velocitat, alçària hidràulica o manomètrica de la bomba). El seu significat és més precís si s'atribueix aquesta dimensió a , és a dir, que el que expressa cada terme són els Joules d'energia de cada tipus que conté (o rep o cedeix) el fluid per cada Newton del seu pes. Per altra banda, la suma dels termes dóna l'alçària a què arribaria el fluid si a la canonada s'hi connectés un tub obert a l'atmosfera, un piezòmetre. Per això, la línia que marca aquesta suma es coneix com a línia piezomètrica. Aquesta, sumada al terme d'energia cinètica, proporciona la línia d'energia hidràulica al llarg de la conducció. Les Figures 72, 73 i 74 mostren el perfil de les diverses línies d'energia al llarg d'una conducció, en tres supòsits. Pla de càrrega inicial x Línia d'e nergia hidràu lica Línia piezom ètrica x x x x Línia g eomèt rica x Pla de referència Figura 72: Línies d'energia en una canonada de buidat d'un dipòsit Punt 1: A la superfície del dipòsit tota l'energia és deguda a la cota o posició. Per ser de gran secció, v1≈0 i es negligeix el terme d'energia cinètica. Punt 2: L'aigua entra a la canonada a v2, i apareix el terme d'energia cinètica que es mantindrà constant fins a 4, ja que el tub és de secció constant (Diàmetre constant), i per continuïtat del flux, v=constant. La diferència de cota z1-z2 transforma part de l'energia potencial en energia de pressió. Punts 3 i 5: La suma d'energia potencial i de pressió fa que el nivell de l'aigua en un piezòmetre (tub obert a l'atmosfera) marqui l'alçària piezomètrica de cada punt. Punt 4: El canvi de secció fa que a partir de 4 la velocitat augmenti. El terme d'energia cinètica s'incrementa. Les pèrdues hij són constants per m lineal mentre les condicions de la canonada (tram recte, secció constant) i del flux (cabal volumètric, J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 45 de 97 densitat) no varien. Amb el canvi de secció, les pèrdues de càrrega per m lineal augmenten. Pla de càrrega sortida bomba Línia d'energia hidràulica x x Pla de càrrega inicial Pla de càrrega entrada bomba Línia piezomètrica Bomba x x Línia geomètrica x Figura 73: Línies d'energia en una instal·lació amb bomba d'impulsió Turbina x Pla de càrrega inicial Pla de càrrega entrada turbina x Pla de càrrega sortida turbina Línia d'e x x nergi a hidr àulica Línia piezo mètri ca Línia g eomèt rica x Figura 74: Línies d'energia en una instal·lació amb turbina hidràulica J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 46 de 97 4.3.APLICACIONS DE L'EQUACIÓ DE L'ENERGIA L'equació de l'energia serveix per avaluar l'energia hidràulica disponible per a extreure'n energia mecànica, o la que cal aportar per bombatge per tal que el fluid flueixi per conductes i assoleixi determinades velocitats, cotes i/ o pressions. Els temes 3 i 4 del curs estan dedicats a desenvolupar aquestes aplicacions. Altres aplicacions de l'equació de l'energia es troben en la mesura de velocitats del fluid en relació als objectes que hi estan en contacte. Així, existeixen dispositius basats en l'equació de l'energia que permeten mesurar la velocitat de líquids o gasos en conduccions o en làmina lliure, o la de vehicles que es desplacen per fluids, com les aeronaus o els vaixells. I, també, per fer càlculs en relació al temps de buidat d'un dipòsit a través d'un orifici de paret prima. 4.3.1.Tub de Pitot Tub en angle recte on una de les terminacions té una obertura A, enfrontada al corrent, i l'altra es col·loca vertical i oberta a l'atmosfera per la part superior. A l'obertura A es produeix una situació d'estancament, en què la velocitat és zero, de manera que l'energia cinètica val també zero. Piezòmetre Tub de Pitot S'utilitza combinat amb un piezòmetre o algun altre instrument que proporcioni la pressió estàtica del tub al punt de mesura. x x amb ,i per ser el punt d'estancament, queda: Figura 75: Tub de Pitot i Els tres termes reben el nom de -Pressió dinàmica a 1: -Pressió estàtica a 1 (piezòmetre): x Figura 76: Punt d'estancament -Pressió total o d'estancament, a 2 (Pitot): 4.3.2.Tub de Prandtl Combina el tub de Pitot i el piezòmetre al flux del fluid de densitat , connectant-los mitjançant un tub en U que conté un segon fluid, de densitat , de manera que la diferència de pressions entre 1 i 2 es mesura mitjançant aquest element20 Com en el cas anterior, ,i . i 20 Es poden utilitzar també altres manòmetres diferencials per determinar P 2-P1 J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 47 de 97 Per ser Figura 77: Tub de Prandtl i, finalment, Per al disseny de l'instrument cal aplicar un factor corrector de velocitat, , que val entre 1.01-1.03. 4.3.3.Tub de Venturi El tub de Venturi és un dispositiu que s'instal·la en línia a la canonada, i que presenta una contracció gradual de pas on es produeix un increment de la velocitat, de manera que aplicant l'equació de continuïtat i la de l'energia es pot determinar la velocitat. Amb ; llavors: Figura 78: Tub de Venturi Per altra banda, per l'equació de continuïtat, → J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 48 de 97 Per haver negligit els factors correctors de l'energia cinètica 21, la velocitat real requereix un coeficient corrector de velocitat , que val 0.980 en Venturi vells, i 0.985 en nous, tot i que en general és funció del numero de Reynolds. Figura 79: Coeficient de velocitat en un tub Venturi El cabal que passa per la canonada es pot calcular: degut que, en alguns casos, C ve donada com a característica de l'instrument: La diferència de pressions es pot calcular com en el cas del tub de Prandtl, però tenint en compte que : 4.3.4.Mesurador de diafragma o orifici Consisteix en un septe amb un orifici circular central, que s'interposa al pas del líquid en una canonada, provocant una contracció de pas i, per tant, un augment de la velocitat. El pas del líquid requereix una contracció de la vena, que, degut a l'aproximació dels fils de corrent en sentit radial, segueix més enllà del diàmetre físic del dispositiu, fins ocupar una secció real de diàmetre . Per tant, a l'anàlisi feta per al tub Venturi hi cal afegir, en aquest dispositiu, un coeficient de contracció de la vena: L'equació de l'energia es pot formular: amb 21 Vegi's l'apartat 4 d'aquest tema. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 49 de 97 Per altra banda, per l'equació de continuïtat, Per la contracció de la vena: Figura 80: Mesurador de diafragma I, per tant, la velocitat val: Figura 81: Efecte del flux radial en la contracció de la vena líquida I el cabal és: Amb C característica de l'instrument i del flux, que val: Figura 82: Coeficient característic d'un mesurador de diafragma 4.3.5.Mesurador de tovera Dispositiu similar al mesurador d'orifici, però amb una forma que segueix la contracció de la vena, de manera que el diàmetre físic de sortida de l'instrument coincideix amb el de la vena líquida, i no s'aplica el coeficient de contracció. Els càlculs són els mateixos que amb el tub Venturi. Amb: Figura 83: Tovera J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 50 de 97 4.3.6.Sortida de líquids a través d'un orifici de paret prima El buidat de dipòsits a través d'un orifici de paret prima, on no hi hagi fricció per efecte canonada a l'orifici de la paret, es pot calcular mitjançant la combinació de les equacions de continuïtat i de l'energia. La velocitat real de sortida, degut a les pèrdues de càrrega a l'orifici, serà menor que la teòrica, i la relació entre ambdues és el coeficient de velocitat . Aquest coeficient es pot calcular si es coneix la velocitat real del fluid, que al seu torn es pot saber a partir de l'abast del raig, que sortirà de l'orifici en tir parabòlic. Aquesta velocitat real, en sortir per l'orifici, donarà el cabal de buidat. La secció de sortida, tanmateix, no coincideix amb la secció real de l'orifici perquè, com en el cas del mesurador de diafragma, també es produeix una contracció de la vena. El cabal real de buidat es pot calcular a partir de la velocitat de baixada el nivell del líquid, coneguda la secció del dipòsit. Per continuïtat del flux, la velocitat real de sortida, multiplicada per la secció de la vena contreta, proporciona també aquest cabal real, i d'aquesta manera es pot calcular , el coeficient de contracció de la vena líquida a la sortida del dipòsit. Aplicant l'equació de l'energia entre la superfície i l'orifici: Amb i , La velocitat real es troba aplicant el coeficient Figura 84: Buidat d'un dipòsit per un orifici de paret prima : I el cabal de buidat: El valor dels dos coeficients es determina experimentalment, si bé els seus valors aproximats són: : 0.95-0.99 : 0.57-0.70 (sovint s'agafa 0.62) Al producte dels dos coeficients se l'anomena coeficient de descàrrega : Figura 85: Raig des d'un orifici en paret inclinada La determinació de la velocitat real Amb l'origen de coordenades J.Illa-E.Fons o velocitat en vena contreta es pot fer pel mètode de la trajectòria: , i la paret del dipòsit fent un angle Curs de mecànica de fluids amb la vertical. EPS-UdL Pàg. 51 de 97 Si la paret del dipòsit és vertical ( l'orifici, ) i el raig abasta una distància quan cau una alçària per sota de 4.4.FACTOR DE CORRECCIÓ DE L'ENERGIA CINÈTICA L'aplicació de l'equació de Bernoulli és exacta per a un fil de corrent, en el qual la velocitat del fluid a través de és única. Quan es generalitza a un tub de corrent, el perfil de velocitats al llarg de la secció no és uniforme, de manera que el flux d'energia cinètica variarà d'un a un altre. El càlcul del flux d'energia cinètica serà exacte si es fa integrant: però sovint es calcula a partir de la velocitat mitjana, , aplicada a tota la secció. En fer-ho així es comet un error, que es pot corregir aplicant el factor de correcció de l'energia cinètica, . En un fil de corrent es verifica: on: i z La seva integració a tots els fils de corrent que constitueixen un tub proporciona: x Figura 86: Fil de corrent Es pot descompondre la integral del primer membre en , on: Distribució de velocitats si: Figura 87: Distribució de velocitats radials i velocitat mitjana Per ser una secció recta amb flux perpendicular a ella, és constant en tots els punts de la secció. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 52 de 97 I, per tant, que és el flux d'energia potencial i de pressió a través de . L'altre terme, Figura 88: Flux d'energia cinètica a través d'un dS és el flux d'energia cinètica a través de Si tots els punts de la secció tinguessin la mateixa velocitat mitjana . , el flux d'energia cinètica seria: D'aquesta manera, l'energia cinètica real pot expressar-se en funció de la velocitat mitjana com: On ,i és el factor corrector de l'energia cinètica a la secció Així, l'expressió de l'energia que flueix a través de les seccions la manera següent: Per a un fluid incompressible, amb ,i i . es pot expressar de forma generalitzada de , es redueix22 a: -1 0 -8 -6 -4 -2 0 0,1 0 ,2 0,3 0 ,4 0 ,5 0,6 0 ,7 0,8 0,9 1 0 Casos: aplicació del factor de correcció de l'energia cinètica al flux en conduccions cilíndriques en règim laminar i en règim turbulent desenvolupat. 2 4 6 8 a)En règim laminar, la distribució radial de velocitats en un tub de radi interior R és: on 1 0 Figura 89: Perfil de velocitats en un tub amb flux laminar és la velocitat a l'eix del tub (és la velocitat màxima) 22 S'afegeix aquí el terme de pèrdues de càrrega h12, que existirà sempre que el fluid tingui viscositat (fluid real). J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 53 de 97 La velocitat mitjana val23: I el factor de correcció de l'energia cinètica: Figura 90: element de secció dS on v=const b)En règim turbulent, la distribució radial de velocitats en un tub de radi interior R és la distribució de Prandtl: On és la velocitat a l'eix del tub (és la velocitat màxima). La velocitat mitjana val: -1 0 -8 S'han tingut en consideració les equivalències i canvis de variable següents: -6 -4 -2 0 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ,7 0 ,8 0 ,9 1 0 2 4 Amb el règim turbulent completament desenvolupat, n=7. Llavors, 6 8 1 0 Figura 91: Perfil de velocitats en un tub amb flux turbulent El factor de correcció de l'energia cinètica es pot calcular integrant l'equació que el defineix: 23 S'agafa com a dS un element de superfície en què la velocitat sigui constant. Estrictament, la secció estudiada és la corona, és a dir, el cercle p(r+dr)2 menys el cercle pr2 . Si es desenvolupa el càlcul: dS=p(r+dr)2 - pr2 = p(r2 + 2rdr + d2r - r2 ) ≈ 2prdr , ja que d2r es pot negligir per tractar-se d'un infinitèsim de 2n ordre. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 54 de 97 Per a , s'obté Tot i que cal valorar cada cas, en canonades cilíndriques sovint es fan els càlculs sense aplicar el factor de correcció, atès que: a)El règim laminar es produeix a velocitats prou baixes com perquè el terme d'energia cinètica es pugui negligir davant dels termes de cota o de pressió. b)Quan el règim és turbulent, i les velocitats són prou altes com per considerar el terme d'energia cinètica, el factor de correcció val aproximadament 1. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 55 de 97 5. Equació de la quantitat de moviment 5.1.ASPECTES PRELIMINARS Dinàmica del punt Per a una partícula de massa sotmesa a una força complirà la 2a llei de Newton: es Essent la massa constant, es pot escriure: On: Figura 92: Dinàmica d'una partícula : resultant de totes les forces que actuen sobre m : velocitat de la partícula : quantitat de moviment de la partícula Dinàmica del sistema de partícules Si tenim un sistema compost per diverses partícules, cadascuna d'elles rebrà forces procedents d'interaccions amb la resta de partícules del propi sistema, o forces internes al sistema, que tindran una resultant , i forces procedents de l'exterior, o forces externes, que tindran una resultant . Per a una partícula i, es verifica: Forces internes entre partícules del sistema I per al conjunt de partícules i del sistema, Figura 93: Dinàmica d'un sistema partícules Pel principi d'acció i reacció, per a cada força interna de la partícula i a la j, n'hi haurà una d'igual i de sentit contrari, , de manera que , i les úniques forces que causen canvis en la quantitat de moviment del sistema són les externes: Hom té, a més a més, que amb el centre de massa del sistema definit com: Resulta: i d'aquí: J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 56 de 97 És a dir, l'acció de les forces externes sobre el sistema equival a la massa total del sistema per l'acceleració del seu centre de masses. 5.2.FORCES SOBRE UN CORRENT DE FLUID En un corrent de fluid, que macroscòpicament es pot interpretar com un flux continu d'infinites partícules al llarg d'un tub de corrent, el comportament dinàmic del sistema és difícil d'analitzar com en el cas anterior, en què es tractava d'un sistema amb un número finit de partícules. L'anàlisi és més abordable si es considera una regió de l'espai, un volum de control, i s'analitzen les forces que hi actuen i el seu efecte sobre el flux de quantitat de moviment dins d'aquest volum. 2' 2 1' 1 Figura 94: Volum de control per a l'anàlisi de la quantitat de moviment D'acord amb l'equació general de la quantitat de moviment i la demostració general dels balanços de propietat entre dues seccions d'un fil de corrent: Que, en un fil de corrent, o en un tub de corrent, entre dues seccions perpendicular, es pot expressar: J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids i , quan a cada secció hi és EPS-UdL Pàg. 57 de 97 On són els vectors unitaris en la direcció de les velocitats a cada secció. Si s'utilitza la velocitat mitjana de la secció: Quan el règim és estacionari, el primer terme integral val zero, i l'equació de la quantitat de moviment s'expressa: I si es té en compte que, per continuïtat del flux, els cabals a les dues seccions són iguals: On és la resultant de les forces externes que actuen sobre el volum de control. Cal remarcar el caràcter vectorial d'aquesta expressió, i la possibilitat de desglossar-la en els seus components: Si s'analitza un volum de control que té j corrents d'entrada i k corrents de sortida, l'expressió anterior es generalitza a: Figura 95: Volum de control amb diverses entrades i sortides 5.3.CORRECCIÓ DE L'EQUACIÓ DE LA QUANTITAT DE MOVIMENT L'equació de la quantitat de moviment, , s'ha expressat per a un fil de corrent, i per al cas d'un volum de control en què a les seccions d'entrada i sortida la velocitat és uniforme en cada una d'elles. Els fluids reals, per efecte de la fricció, no compleixen aquest darrer requisit en els tubs de corrent, sinó que a cada secció hi ha una determinada distribució de velocitats. Per a calcular el valor exacte de cal, en aquests casos, aplicar el factor de correcció de la quantitat de moviment. Tenint en compte que: Figura 96: Flux de massa en una secció amb distribució no uniforme de velocitat Si totes les partícules es moguessin a la mateixa velocitat a la secció, el mateix cabal volumètric s'obtindria amb aquesta velocitat mitjana: J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 58 de 97 Amb la qual la quantitat de moviment calculada valdria: Al quocient entre la quantitat de moviment real i la calculada amb la velocitat mitjana se l'anomena factor de correcció de la quantitat de moviment ( ), propi de cada secció: d'on: Les equacions anteriors es poden calcular utilitzant les velocitats mitjanes aplicant el factor : 5.4.APLICACIONS DE L'EQUACIÓ DE LA QUANTITAT DE MOVIMENT 5.4.1.Força sobre una colzada Una colzada és un tram del tub de corrent on la velocitat canvia de direcció (i, si hi ha canvis de secció, també de mòdul). Si el flux és en règim estacionari, com s'ha vist, es complirà: S2 Les forces externes que hi actuen seran: S1 -Les forces de pressió a les seccions d'entrada i sortida -La força que el tub exerceix sobre el fluid, que manté aquest dintre del conducte ( ) -El pes del fluid ( ) Figura 97: Colzada S2 Per tant, l'equació general es converteix en: En tractar-se d'una equació vectorial, es pot descompondre en els seus components a cadascun dels eixos del sistema de referència. S1 Figura 98: Forces externes sobre el fluid contingut en una colzada J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 59 de 97 5.4.2.Força sobre un àlep en repòs Un àlep o pala és una superfície sòlida que rep un raig de fluid, el qual, en contacte amb l'àlep, varia la seva quantitat de moviment, i està sotmès a una força externa procedent del propi àlep, complint l'equació de la quantitat de moviment. Al seu torn, per reacció, l'àlep rebrà una força de la mateixa intensitat per part del raig. En general, el flux sobre àleps (en repòs o en moviment) s'analitza tenint en compte les hipòtesis següents: àlep -El raig flueix sobre l'àlep en direcció tangencial, sense xoc. -Es negligeix la fricció entre l'àlep i el raig. -Se suposa velocitat uniforme en tot el raig. -El raig resta obert a l'aire: se suposa la mateixa pressió en tot el trajecte del raig. -Es negligeix la diferència d'elevació entre els extrems del raig. Figura 99: Flux d'un fluid sobre un àlep en repòs 5.4.3. Força sobre un àlep en moviment Un àlep en moviment rep un raig de fluid que l'impulsa en equips com les turbines hidràuliques, mogudes per raigs d'aigua en centrals hidroelèctriques o per aire a les pales dels aerogeneradors d'electricitat. El raig incident tangencialment sobre l'àlep s'analitza sota les hipòtesis anteriors, a més de verificar-se la continuïtat del flux, pel qual el cabal que surt de la tovera (secció ) és el mateix que travessa la secció conseqüència, es verifica: → . En → L'àlep es desplaça amb una velocitat u, empès pel raig. Al sistema relatiu 0'X'Y' l'equació de la quantitat de moviment s'expressa: Amb els components, a l'eix 0'X': i a l'eix 0'Y': Figura 100: Flux d'un fluid sobre un àlep en moviment La potència mecànica que el raig lliura a l'àlep val: Figura 101: Composició de velocitats en un àlep en moviment J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 60 de 97 Per altra banda, la potència hidràulica del raig, que correspon a la seva energia cinètica, val: A l'entrada: A la sortida: La diferència entre la potència hidràulica del raig a l'entrada i a la sortida queda: És a dir, es verifica: La potència mecànica transmesa a l'àlep és la diferència entre les potències cinètiques del raig que incideix sobre l'àlep i del raig que en surt. En una turbina amb successius àleps al rotor, el raig incident es fragmenta per alimentar successivament els àleps que s'hi encaren, de manera que la potència hidràulica que rep la turbina és la suma de les potències individuals rebudes per cada àlep, i es pot calcular com la potència cinètica del raig incident menys la potència cinètica residual del cabal de l'aigua a la descàrrega de la turbina. 5.4.4 Impulsió de coets Instant t Instant t+Dt Consideri's un objecte de massa que es desplaça sense fregament sobre el pla horitzontal. Aquest objecte duu adherida una petita massa . En un instant les dues masses es mouen conjuntament amb una velocitat . Llavors es produeix de sobte el desacoblament, de manera que la massa surt llançada cap enrere a la velocitat relativa (respecte a la massa m) . La força que ha llençat cap enrere també ha donat un impuls a cap endavant. A l'instant les dues masses ja s'han separat i es mouen a les velocitats diferents i (amb la direcció OX positiva, serà negativa si és superior a ). Atès que sobre el conjunt de les dues masses no hi ha actuat cap força exterior, la quantitat de moviment conjunta abans i després de l'expulsió de ha de ser la mateixa. Figura 102: Conservació de la quantitat de moviment en un mòbil que desprèn massa J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 61 de 97 Si la massa expulsada és infinitesimal, i prové d'un fragment de la massa de l'objecte, serà anterior pot escriure's: , i l'equació Aquesta expressió es pot integrar i proporciona la velocitat de l'objecte (coet) en funció de la massa que li queda, si ha expulsat gradualment la resta de la seva massa a la velocitat i no hi intervenen forces de fricció ni de pes: → Atès que: l'impuls originat pel despreniment d'un velocitat relativa valdrà: a la (signe – ja que ) Si hi ha un despreniment continu de massa Figura 103: Impulsió de coets la força impulsora F serà: Que pot posar-se en forma vectorial tenint present que la velocitat contrari a l'impuls exercit sobre el coet: J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids relativa de sortida dels gasos té sentit EPS-UdL Pàg. 62 de 97 6. Equació del moment cinètic 6.1.CONCEPTES PREVIS S'anomena sistema de vectors al conjunt de vectors , cadascun dels quals està aplicat a un punt de l'espai definit pel seu vector de posició . Un sistema de vectors es caracteritza per la seva resultant i pel moment resultant en un punt de l'espai: -Resultant: -Moment resultant en un punt P: Figura 104: Sistema de vectors sobre un punt Definició: Dos sistemes de vectors mateix moment en un punt. i es diuen equivalents si tenen la mateixa resultant i generen el Proposició: Dos sistemes de vectors equivalents generen el mateix camp de moments. Demostració: Per ser equivalents, es verifica que i, en un punt P determinat, Si Q és un punt qualsevol de l'espai: Figura 105: Equivalència de dos sistemes de vectors i Per tant, J.Illa-E.Fons , i, per a tots els punts de l'espai Curs de mecànica de fluids q.e.d. EPS-UdL Pàg. 63 de 97 6.2.EQUACIÓ DEL MOMENT CINÈTIC Atès que, per la 2a llei de Newton, els sistemes de vectors El moment cinètic i són equivalents i generaran el mateix camp de moments. d'un sistema es calcula: I la variació del moment cinètic al llarg del temps s'expressa: El primer sumand val zero en ser i , i queda: Per altra banda, el camp de moments generat per les forces externes, , serà el generat per la quantitat de moviment, per tractar-se de sistemes de vectors equivalents. En un punt: I en un sistema, el moment total de les forces externes val: És a dir, la variació en el temps del moment cinètic d'un sistema de partícules està causada pels moments de les forces externes que actuen sobre el sistema. La variació del moment cinètic, d'acord amb l'equació general dels balanços, s'expressa: I, per tant, l'efecte dels moments de les forces externes sobre el moment cinètic en un volum de control de fluid serà: J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 64 de 97 TEMA 3. PÈRDUES DE CÀRREGA 1. Règim laminar i turbulent 1.1.NÚMERO DE REYNOLDS L'experiment de Reynolds (vegi's el Tema 2, secció 1.3) va demostrar que la laminaritat i la turbulència del flux d'un fluid estan lligades a la velocitat d'aquest, a igualtat d'altres condicions. El Número de Reynolds és un número adimensional24 que reflecteix, d'alguna manera, la relació entre les forces d'inèrcia, representades per la intensitat del flux màssic en una conducció, i les forces de fricció, la intensitat de les quals es vincula a la viscositat del fluid. La seva formulació és: On és la velocitat mitjana del fluid, una longitud característica de la conducció, fluid, la seva densitat, i la seva viscositat dinàmica. la viscositat cinemàtica del En conduccions cilíndriques (canonades) s'utilitza com a longitud característica el diàmetre intern : El valor d'aquest número en conduccions cilíndriques plenes de fluid (és a dir, sense làmina lliure), delimita el règim laminar, el règim turbulent, que es caracteritza alhora pel flux i les característiques del tub, i la zona de transició entre els dos, on la forma en què s'ha assolit l'estat estacionari i l'estabilitat de la canonada (sotmesa o no a vibracions, per exemple) poden fer que el règim de flux sigui un o l'altre a un mateix valor de Re. Malgrat que els valors límit de Re per a cada tipus de flux varien segons els autors 25, es poden utilitzar els següents com a valors de referència: Règim laminar: Règim de transició: Règim turbulent: Re < 2 300 2 300 < Re < 4 000 Re > 4 000 Tot i això, amb canonades molt llises i amb instal·lacions lliures de vibracions s'han aconseguit fluxos laminars a Re tan alts com 40 000. 1.2.DESENVOLUPAMENT DEL FLUX A l'inici del flux en una conducció, als seus primers trams, el fluid estructura la seva velocitat de forma progressiva fins que el perfil, a una certa distància de la boca d'entrada de la canonada, s'estabilitza en el tipus de flux que correspongui. En un primer tram, la part central del flux no es veu afectada per l'efecte de la viscositat, i constitueix el que es coneix com a nucli no viscós. En instal·lacions com els túnels de vent, destinats a provar l'efecte del corrent de l'aire sobre la superfície externa de determinats objectes, és convenient utilitzar aquesta zona per a fer les proves, 24 Els números adimensionals s'empren en física i enginyeria per determinar la semblança d'alguna propietat en sistemes diferents, en relació a determinats fenòmens. 25 Segons alguns autors, els límits de la zona de transició varien fins a 2 000 en R.L., i a partir de 6 300 en R.T. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 65 de 97 ja que la interacció no es veu afectada per l'estructuració del fluid a les proximitats de les parets del túnel. S'anomena capa límit a la capa de fluid, adjacent a la paret sòlida, per sota de la qual el gradient de velocitat es desenvolupa completament degut a la viscositat del fluid, i l'acció de l'esforç tallant degut a aquesta. làmina lliure del líquid comportament no viscós capa límit comportament viscós Figura 106: Comportament viscós i no viscós en un flux A l'inici de les canonades, la capa límit separa la zona on es va desenvolupant el perfil de velocitats prop de la paret. Si el flux completament desenvolupat és laminar, la capa límit desapareix a una certa distància de la boca del conducte per estructuració viscosa a tota la secció del tub, tot i que el perfil de velocitats segueixi desenvolupant-se fins adquirir la forma definitiva. La distància en què existeix la capa límit es coneix com a longitud del nucli no viscós (Li), a continuació de la qual es podrà determinar una longitud de desenvolupament del perfil (LP), després de la qual hi haurà ja un corrent uniforme. Aquestes dues distàncies sumades constitueixen la longitud d'entrada del flux (LE= Li+LP), després de la qual el flux està plenament desenvolupat. En aquest cas, . LE Corrent uniforme LP Li zona viscosa Zona de desenvolupament del flux Nucli no viscós mit capa lí Figura 107: Desenvolupament de flux laminar en un tub cilíndric Si el règim a la zona de corrent uniforme és turbulent, la primera part de la canonada segueix una pauta similar (zona laminar), però quan apareixen les turbulències la capa límit es bifurca en una capa que separa el nucli no viscós inicial de la zona turbulenta, i que decreix fins desaparèixer a l'eix del tub, i una segona, anomenada subcapa límit laminar. Aquesta s'acosta a la paret fins una distància ( ) que s'estabilitzarà al llarg de tota la canonada, i marcarà una zona laminar lateral que circularà paral·lelament al flux turbulent que ocupa el centre de la canonada. El valor de se situa en un punt on la velocitat del fluid és ja de l'ordre del 80-90% de la màxima. En el desenvolupament del flux turbulent es poden reconèixer les dues etapes L i i LP, que s'agrupen en una longitud de desenvolupament del perfil Ld=Li+LP, però van seguides d'una tercera etapa de desenvolupament de la turbulència, LT, de manera que la longitud d'entrada és LE=Ld+LT. Per a valors elevats del número de Reynolds (Re>105), es compleixen aproximadament les relacions Li/D=10, Ld/D=40 i LE/D=120, mentre que per a valors baixos (Re=4000) poden ser fins a 5 vegades més elevats. LE Li LP Corrent uniforme LT zona viscosa z.turbulenta Nucli no viscós mit capa lí Zona de desenvolupament del flux Zona de desenvolupament de la turbulència subcapa límit laminar Ld Figura 108: Desenvolupament de flux turbulent en un tub cilíndric J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 66 de 97 2. Equació general de les pèrdues de càrrega (Darcy-Weisbach) En una instal·lació amb una conducció d'un fluid es produiran pèrdues d'energia hidràulica per fricció del fluid, que es transformen en energia interna, com queda reflectit a l'equació de l'energia o de Bernoulli: Sortida dipòsit hI Eixamplament hII Contracció hIII Tram lineal h1 Colze hIV Tram lineal h2 Colze hV A la instal·lació de la figura, com a exemple, els dos extrems de la conducció estan oberts a l'atmosfera i la secció inicial és prou grossa com per negligir-ne la velocitat. L'equació anterior es pot simplificar: Al llarg del seu recorregut, l'aigua circula per diversos trams de canonada de diverses característiques, i passa per alguns elements singulars com colzes, vàlvules, canvis de secció o altres. Tram lineal h3 Tram lineal h4 Vàlvula hVI 2.1.PÈRDUES LINEALS Al cada tram recte, el fluid experimentarà una pèrdua d'energia hidràulica o pèrdua de càrrega , de manera que es podrà calcular la pèrdua total de càrrega als trams rectes o pèrdues de càrrega lineals com a: Pèrdues trams lineals: hL=h1+h2+h3+h4 Pèrdues singulars: hS=hI+hII+hIII+hIV+hV+hVI Pèrdues totals: h12=hL+hS Figura 109: Elements d'una instal·lació que causen pèrdua de càrrega (a)Eixamplament brusc Les pèrdues de càrrega als trams lineals de les canonades es calculen mitjançant la fórmula de Darcy-Weisbach, segons la qual les pèrdues són proporcionals al terme d'energia cinètica i a la longitud L de la canonada i inversament proporcionals al seu diàmetre D. Per a cada tram lineal individual , es formula: La constant de proporcionalitat s'anomena factor de fricció, , i depèn de Re en règim laminar, i de Re i de la rugositat relativa del tub ( ) en règim turbulent. La rugositat relativa, adimensional, és el quocient entre la rugositat absoluta (m) i el diàmetre intern de la canonada (m). 2.2.PÈRDUES SINGULARS (b)Vàlvula Cada element singular provocarà una caiguda puntual de la càrrega , i la pèrdua total deguda als elements singulars valdrà: Figura 110: Exemples d'elements que causen pèrdues singulars J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 67 de 97 + tancada Les pèrdues de càrrega als elements singulars es calculen a partir del coeficient de pèrdues singulars de cadascun d'ells26 ( ), com a coeficient del terme de l'energia cinètica de l'equació de Bernoulli. Per a cada element individual valdrà: Grau d'obertura de la vàlvula El coeficient depèn del cabal volumètric i en la majoria dels casos és el fabricant de cada element qui el proporciona, a partir d'assaigs. + oberta En alguns elements concrets és possible determinar-lo a partir de consideracions teòriques. Figura 111: Influència de l'obertura d'una aixeta en el coeficient de pèrdues singulars A més a més d'expressar-se a través del coeficient , en alguns casos es proposa el càlcul de les pèrdues singulars a través del concepte de longitud equivalent, expressada en nombre de diàmetres de la canonada on s'ha muntat l'element singular. Aquesta longitud Leq, llavors, se suma a la longitud L de canonada utilitzada a la fórmula de DarcyWeisbach. 2.3.PÈRDUES DE CÀRREGA TOTALS Les pèrdues de càrrega totals entre la secció 1 i la secció 2 seran la suma de les lineals més les singulars: Expressió potencial de les pèrdues de càrrega La dependència de les pèrdues de càrrega del terme d'energia cinètica (i, per tant, del quadrat de la velocitat) permet una aproximació general a aquestes pèrdues expressant-les com a proporcionals al quadrat del cabal. Aquesta expressió es pot ajustar empíricament en el conjunt d'una instal·lació concreta, incloent tant les pèrdues lineals com les singulars. En règim turbulent rugós 27 aquesta expressió és exacta. 26 Sovint s'indica per la lletra grega xi ( ) o per la lletra k si no hi ha lloc a confusió amb altres paràmetres. 27 Vegeu la secció 4.1 J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 68 de 97 3. Pèrdues de càrrega en règim laminar. Llei de Poiseuille. 3.1.PLANTEJAMENT Se suposa una canonada cilíndrica (de secció constant), en posició horitzontal 28, per la qual hi circula un fluid incompressible, newtonià, que emplena la canonada i circula en règim laminar. Es demostrarà aquí que, en aquestes condicions, el factor de fricció f, aplicable a l'equació de Darcy-Weisbach per al càlcul de les pèrdues de càrrega, val f=64/Re. L tr+dr tr R r vmax x dr r v(r) P1 P2 S2 S1 Figura 112: Pèrdues de càrrega en flux laminar en una canonada 3.2.DETERMINACIÓ DEL PERFIL DE VELOCITATS v=v(r) S'analitzaran les pèrdues de càrrega entre dues seccions S1 i S2 separades per una distància L al llarg del flux29. Per a l'anàlisi, s'agafarà un dS en el qual la velocitat sigui constant. En tractar-se d'una canonada de simetria radial, dS serà una corona circular, concèntrica amb el tub, entre els radis r i r+dr. S'estableixen les equacions de balanç entre S1 i S2: (1)Equació de continuïtat o balanç màssic. Tenint en compte que el fluid és incompressible i que, per tant, Com que i , llavors , És a dir, les velocitats mitjanes a les dues seccions són iguals. (2)Equació del balanç de l'energia o de Bernoulli: 28 L'anàlisi és equivalent si la canonada no és horitzontal. Llavors apareix el terme de diferència de cota entre les seccions, però el resultat no difereix de l'obtingut aquí. Queda per al lector la demostració de l'equivalència. 29 Alguns textos fan la demostració al llarg d'una distància dx. En condicions de flux laminar desenvolupat i en règim estacionari, ambdues demostracions són equivalents. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 69 de 97 En ser i , llavors: (3)Equació de balanç de la quantitat de moviment: En ser al fil de corrent, llavors: Forces exteriors que actuen sobre la corona cilíndrica en la direcció de l'eix del tub 30: -Forces de fricció (dissipatives, s'oposaran al sentit del flux): -Interior: -Exterior: -Pressió: Per tant: I d'aquí31: que equival a: Per tractar-se de règim laminar en un fluid newtonià, es complirà la llei de Newton de la viscositat 32: De manera que: i Integrant: i D'aquí: , on i Integrant: Per a determinar les constants C1 i C2 cal verificar les condicions de contorn. En aquest cas són d'aplicació les següents: a)Si llavors D'aquí: i, per tant, , és a dir, Que implica que b)Si , llavors 30 En tractar-se d'un tub horitzontal, el pes del fluid serà perpendicular a la direcció de les velocitats, i no influirà en el perfil. 31 Ja que a la fórmula anterior s'hi expressa el valor del producte tr a les dues posicions (r i r+dr) considerades. I la seva diferència expressa la variació de tr al llarg d'un dr. 32 La formulació general de la llei de Newton de la viscositat no sol incloure el signe negatiu. Tanmateix, es considera que t > 0, i sempre es verifica que m > 0, de manera que quan es planteja amb un terme dv/dr < 0, com és el cas (ja que quan augmenta el valor de r disminueix la velocitat) es fa necessari corregir l'expressió amb el signe negatiu (Vegeu la Nota addicional al final de l'apartat). J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 70 de 97 D'aquí: i L'expressió de la velocitat en funció del radi, per tant, quedarà: I com que a es compleix que , llavors S'obté: D'on es pot determinar l'equació del perfil de velocitats en un tub cilíndric en règim laminar: 3.3.DETERMINACIÓ DE LA VELOCITAT MITJANA Donada una secció S perpendicular al flux, d'un tub pel qual hi circula un cabal Q, s'entén com a velocitat mitjana aquella que compleix: Atès que , determinant es podrà calcular . S'agafa la mateixa dS de corona circular entre r i r+dr, utilitzada anteriorment, ja que en ella v=constant, i es troba el cabal com: , amb: Llavors: 3.4.FACTOR DE FRICCIÓ f EN RÈGIM LAMINAR en una canonada cilíndrica (llei de Poiseuille) La velocitat emprada per al càlcul de les pèrdues de càrrega a l'equació de Darcy-Weisbach i també per calcular el número de Reynolds és la velocitat mitjana , que es denotarà simplement com . Anteriorment s'ha vist que el balanç energètic entre les dues seccions S 1 i S2 quedava: I s'ha demostrat que la velocitat mitjana val: J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 71 de 97 f 1 De tot això: 0.1 D'aquí que el factor de fricció en un tub cilíndric amb règim laminar val: 0.01 10 100 1000 Re Figura 113: Factor de fricció en règim laminar en una canonada, com a funció de Re Nota addicional: sobre el sentit de les forces de fricció Atès que hi ha almenys dues formes de plantejar el sentit de les forces de fricció causades per l'esforç tallant t degut a la viscositat, és procedent afegir un breu comentari sobre ambdues. La Llei de Newton de la Viscositat té la forma general següent: Aquesta formulació descriu correctament un cas base de fluid newtonià viscós que flueix damunt d'una placa plana (que podem suposar horitzontal sense perdre generalitat), i que s'estructura en làmines horitzontals que creen un gradient de velocitats en la direcció vertical y. Com més allunyada està la làmina de la placa base, més gran serà la seva velocitat, de manera que dv/dy>0. Les magnituds t i m són sempre positives. Moltes altres situacions, però, no compleixen aquesta relació. En un flux dintre d'un tub cilíndric (com el cas analitzat en aquest tema), cal considerar que la velocitat disminueix des del centre (r=0) fins la paret del tub (r=R, on v=0), de manera que dv/dr<0. O, també, entre dues plaques infinites paral·leles, no mòbils, es desenvoluparà una velocitat màxima en algun punt entre les plaques i es mantindrà a zero en contacte amb cada placa; en aquest cas, si y és l'eix perpendicular a les plaques, pot ser dv/dy>0, dv/dy<0 o dv/dy=0 segons el dy que analitzem. La forma de determinar el perfil de velocitats s'aborda, segons els autors 33, d'una de les dues maneres següents: A)Es pressuposa, racionalment, una forma del perfil de velocitats, i s'atribueix a les forces de fricció el sentit coherent amb aquest perfil. Així, si el volum de control té una velocitat major que la capa adjacent que analitzem (externa, en un flux cilíndric, o més pròxima a la paret, en flux entre parets planes), la força de fricció sobre el volum de control tendirà a oposar-se al flux d'aquest i tindrà, per tant, sentit contrari a la velocitat. I, al revés, la capa adjacent més allunyada de la paret tindrà una velocitat major que el volum de control, i la força de frec tendirà a augmentar la velocitat d'aquest volum; tindrà, per tant, el mateix sentit que la velocitat. En aquest cas, el plantejament de la Llei de Newton s'ha de fer coherent amb el signe de dv/dr (o de dv/dy; segons el cas), i introduir-hi un signe negatiu quan dv/dr<0 (o dv/dy<0). Aquest plantejament A és el que s'ha utilitzat en aquest capítol, per determinar el perfil de velocitats en un tub cilíndric. B)No es pressuposa cap forma al perfil de velocitats, plantejant-ho com un cas general. En aquest cas, el coherent és suposar que les magnituds creixen amb el creixement de y (o de r, en el seu cas), i donar a Dt un valor positiu quan y (o r) augmenten. Aquesta suposició duria a invertir el sentit de les forces de fricció en la figura inicial, cosa que contradiu l'experiència. En tractar-se del cas general, però, cal formular també la Llei de Newton de forma general, és a dir, pressuposant positius tots els termes (t, m, i dv/dy). D'aquesta manera, la resolució matemàtica de les equacions, amb l'aplicació correcta de les condicions de contorn, durà (tal com ha de ser) a la mateixa solució que en el cas A. 33 Alguns ho fan explícit, mentre que altres ho consideren implícitament en els càlculs, sense esmentar-ho. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 72 de 97 4. Pèrdues de càrrega en règim turbulent. Experiment de Nikuradse. 4.1.L'EXPERIMENT DE NIKURADSE El factor de pèrdues de càrrega en règim turbulent es va establir a partir de mesurar la pèrdua de càrrega en tubs amb diferents rugositats a la superfície interna, en contacte amb el fluid. Creant artificialment rugositats diferents amb sorres de granulometria controlada, aquests experiments van mostrar que el comportament hidràulic dels tubs depenia de la relació entre la rugositat absoluta ( ) i el gruix de la subcapa laminar ( ). La rugositat absoluta és característica dels materials de construcció dels tubs i del seu acabat, i ha de ser proporcionada pel fabricant, si bé es coneixen valors orientatius (Taula 1) Així, quan la subcapa laminar és considerablement més gruixuda que la rugositat, aquesta darrera no té influència en les pèrdues de càrrega, i es parla d'un tub hidrodinàmicament llis. Eix del tub Subcapa laminar → Quan la subcapa i la rugositat tenen valors semblants, el comportament és de transició i el tub s'anomena hidrodinàmicament semi-rugós. En aquesta situació, el factor de fricció depèn alhora de Reynolds i de la rugositat relativa. Paret del tub Subcapa laminar Paret del tub → Subcapa laminar Finalment, quan la rugositat és més gran que el gruix de la subcapa laminar, serà únicament la rugositat la que determinarà el valor del factor de fricció. En aquestes condicions, el tub s'anomena hidrodinàmicament rugós. Paret del tub Figura 114: Influència de la rugositat en la caracterització del flux turbulent → Taula 1: Rugositat absoluta en tubs comercials (valors orientatius, segons Mataix, 1986) Tipus de tub Rugositat absoluta k (mm) Tipus de tub Rugositat absoluta k (mm) Vidre, coure o llautó estirats <0.001 Acer soldat oxidat 0.4 Llautó industrial 0.025 Ferro galvanitzat 0.15 a 0.20 Acer laminat nou 0.05 Fundició nova Acer laminat oxidat 0.25 0.15 a 0.25 Fundició oxidada 1 a 1.5 Acer laminat amb incrustacions 1.5 a 3 Fundició asfaltada 0.1 Acer asfaltat 0.015 Ciment lliscat 0.3 a 0.8 Ciment brut Fins a 3 Acer amb reblons 0.03 a 0.1 4.2.FÓRMULES EMPÍRIQUES PER AL FACTOR DE FRICCIÓ EN RÈGIM TURBULENT La representació gràfica del coeficient de fregament en funció del número de Reynolds i de la rugositat relativa, expressat en escala doble logarítmica, es coneix com a diagrama o àbac de Moody, i el conjunt d'isolínies corresponents als diversos valors de li forneix un aspecte que s'ha anomenat l'arpa de Nikuradse. A la figura següent s'assenyalen les diverses regions caracteritzades pels diversos tipus de flux, i s'hi resumeixen les fórmules teòriques i empíriques utilitzades per a la seva construcció. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 73 de 97 f Règim turbulent de transició Règim turbulent rugós 0,05 Zona crítica Règim laminar 1E+02 1E+03 Règim turbulent llis Bla s 1E+04 ius 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08 Re Figura 115: Diagrama f-Re segons les equacions empíriques bàsiques per a flux en canonades cilíndriques A-B: Règim laminar (Poiseuille) B-C: Zona crítica El règim és inestable. S'utilitzarà una o altra fórmula de càlcul de segons les condicions del flux. C-D: Règim turbulent llis Es caracteritza per una rugositat relativa molt baixa. Per a el factor de fricció es defineix bé amb l'equació de Blasius: Per a valors de es pot utilitzar la primera equació de Kármán-Prandtl: Règim turbulent rugós D'acord amb l'experiment de Nikuradse, en condicions de rugositat uniforme a tot el tub, és d'aplicació la segona equació de Kármán-Prandtl: En no dependre de Re, el perfil de les línies al diagrama de Moody és pla, en aquesta zona. Règim turbulent de transició En veure's el coeficient de fricció afectat tant per Re com per la rugositat, s'apliquen fórmules empíriques que inclouen ambdós factors. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 74 de 97 Fórmules generals de càlcul de en règim turbulent Per trobar el factor de fricció s'han desenvolupat també fórmules que ajusten les dades a tota la regió turbulenta. -Fórmula de Colebrook-White Sintetitza les dues fórmules de Kármán-Prandtl en una fórmula implícita (la seva resolució requereix iteracions), que als extrems ( i ) tendeix a cadascuna d'elles. Aquesta és la fórmula base que se sol utilitzar per a la construcció de l'àbac de Moody. -Fórmula de Swamee-Jain Fórmula explícita. S'ajusta bé a les dades empíriques en les zones i , tot i que per a la majoria d'aplicacions pràctiques es pot utilitzar per al càlcul amb canonades a tota la regió turbulenta. Es desvia entorn de l'1%, en alguns valors, respecte a la de Colebrook-White. 0,1 f Règim turbulent (Swamee-Jain) Règim laminar (Poiseuille) 0,01 1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08 Re Zona crítica Figura 116: Diagrama f-Re basat en Poiseuille (R. Laminar) i Swamee-Jain (R. Turbulent) J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 75 de 97 5. Pèrdues de càrrega singulars Com s'ha vist, els elements singulars inclosos al llarg d'una conducció poden causar pèrdues puntuals de càrrega hidràulica, que s'anomenen pèrdues singulars. El seu càlcul es fa en referència al terme d'energia cinètica: El coeficient depèn del cabal volumètric i en la majoria dels casos és el fabricant de cada element qui el proporciona, a partir d'assaigs. En alguns elements concrets és possible determinar-lo a partir de consideracions teòriques. A la majoria dels casos, la determinació del coeficient s'ha de fer experimentalment, contemplant tant el seu valor en variar el cabal com el grau d'obertura en vàlvules, angles interns en colzes o Tes, etc 34. En alguns elements, però, es pot determinar teòricament el valor de les pèrdues de càrrega singulars. 5.1.EIXAMPLAMENT BRUSC D'UNA SECCIÓ Equació de l'energia Per ser , Equació de la quantitat de moviment ( Figura 117: Pèrdues de càrrega en l'eixamplament brusc de la secció del tub actua a tota la secció eixamplada, com indica la figura) Equació de continuïtat → De tot l'anterior: (ja que ) 34 Vegeu àbacs, taules i altres elements gràfics a la documentació complementària de l'assignatura J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 76 de 97 Si l'eixamplament és suau en lloc de brusc, s'aplica el factor de correcció : i Cal tenir en compte que, en aquesta formulació, la pèrdua de càrrega s'expressa en funció de la velocitat de la secció de menor diàmetre ( ) a (º) m 2.5 0.18 5.0 0.13 7.5 0.14 10 0.16 15 0.27 20 0.43 25 0.62 30 0.81 Figura 118: Pèrdues de càrrega en l'eixamplament gradual de la secció d'un tub 5.2.CONTRACCIÓ BRUSCA D'UNA SECCIÓ La conversió de la càrrega de pressió en velocitat és molt eficient, de manera que la contracció de la vena líquida no produeix pràcticament pèrdues de càrrega. En una contracció brusca, però, després de la contracció de la vena líquida es produeix una expansió que sí que causa pèrdues de càrrega: Negligibles Elevades (eixamplament brusc) La contracció inicial de la vena té un coeficient de contracció que per aigua pren els valors típics següents: Figura 119: Pèrdues de càrrega en la contracció brusca de la secció d'un tub A1/A2 cc 0.1 0.624 0.3 0.643 0.5 0.681 0.7 0.775 0.9 0.892 1.0 1.00 Equació de continuïtat Per ser 0-2 una expansió brusca del flux: D'on: J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 77 de 97 6. Flux estacionari en canals oberts 6.1.CANALS OBERTS Un canal obert és un conducte en què el líquid forma una interfície amb l’aire. En una secció recta, el perímetre del fluid toca en una part a la paret del canal (perímetre mullat) i la resta amb l’aire o un altre gas. En aquestes circumstàncies no és possible pressuritzar a voluntat el flux en cap de les seves seccions, de manera que el líquid circula en flux per gravetat, és a dir, el moviment de l’aigua és degut únicament a l’acció del seu pes, o també en flux en làmina lliure o superfície lliure. Flueixen en làmina lliure les aigües en canals, rius i lleres naturals, així com qualsevol líquid que no ompli completament una canonada circular (com és freqüent en clavegueram, i pot succeir en qualsevol conducció amb flux no forçat). L'anàlisi del flux en canals oberts se sol fer seccionant aquests en trams de característiques uniformes o aproximadament uniformes. En canals artificials, aquesta uniformitat pot ser gran, mentre que en canals naturals com les lleres dels rius la seva variabilitat serà gran fins i tot en longituds curtes de flux. La Figura 120 mostra un esquema de flux estacionari en un tram d'un canal obert. La profunditat de l'aigua, y, es mesura sempre verticalment. Entre dues seccions d'un mateix tram hi haurà un desnivell que marcarà diverses línies de pendent: -El pendent S0, corresponent al fons del canal. -El pendent SA, corresponent a la superfície de l'aigua. -El pendent S, corresponent a la línia de càrrega o energia. Aquest defineix la pèrdua de càrrega al llarg del canal. Pendent línia càrrega hid ràulica S Pendent superfície lliure aigua S A Sentit del flux Pendent fons canal S 0 Pla de referència horitzontal Figura 120: Perfil longitudinal d'un canal obert en flux estacionari (Frazini i Finemore) En canals oberts, el flux uniforme, en el qual el perfil de velocitats en dues seccions qualssevol és el mateix en un determinat tram, implica que la secció transversal hi és constant, i també la profunditat de l'aigua. En un canal obert la línia piezomètrica serà sempre la superfície lliure de l'aigua, i si el flux és uniforme l'energia hidràulica que travessa cada secció serà la mateixa. En aquest cas, els tres pendents tenen el mateix valor (Figura 121) Pendent línia càrrega hid ràulica S Pendent superfície lliu re aigua S A Sentit del flux Pendent fons canal S 0 Pla de referència horitzontal Figura 121: Perfil longitudinal d'un canal obert en flux estacionari i uniforme (Frazini i Finemore) J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 78 de 97 És fàcil concloure que en aquestes condicions la variació d'energia potencial entre dues seccions qualssevol, causada per la variació de la cota entre elles, ha de ser equivalent a l'energia dissipada per la fricció, és a dir, a la pèrdua de càrrega. Si el pendent és molt gran en relació al cabal (com pot passar a l'inici d'un vessador a la sortida d'una presa) es produiran fenòmens d'acceleració de la massa líquida, que per tant no correspondran a flux uniforme. En aquests trams, així com el les parts dels canals amb corbes molt accentuades (radis de curvatura petits), no s'aplica l'anàlisi que es desenvoluparà en aquest apartat. Així com en canonades cilíndriques plenes de líquid el paràmetre característic era el diàmetre, en canals oberts s'utilitza la relació entre la secció i el perímetre mullat, que s'anomena radi hidràulic . Essent la secció d'una canonada cilíndrica i el seu perímetre mullat el radi hidràulic equival a En canals oberts es defineix el número de Reynolds amb aquesta longitud característica, i per tant: En canals oberts, la transició entre flux laminar i turbulent es produeix a , mentre que en canonades a pressió, com s'ha vist, ocorria a . En un canal obert el flux és habitualment completament rugós, i per tant, el valor de Reynolds serà elevat. 6.2.VELOCITAT I CABAL EN CANALS OBERTS EN FLUX UNIFORME Com es pot deduir de les figures anteriors, en un tram amb flux uniforme i la velocitat mitjana serà constant al llarg de la longitud del tram. El fet que els pendents del fons del canal, de la superfície i de la línia d'energia siguin iguals implica que, si prenem dues seccions separades una longitud i amb un diferencial de cota , el valor d'aquest pendent, que serà la tangent de l'angle entre el pla horitzontal i el fons del canal (o la superfície de l'aigua) valdrà . Aquest pendent té valors entre 0.01 i 0.0001, en general; poden ser més grans en petits canals de vessat o desaiguat, i menor en el cas de grans rius. Aquests valors tan petits, que corresponen a angles , permeten calcular el flux assumint que . Com s'ha vist a la Figura 121, la uniformitat del flux permet assegurar que les forces exercides per la pressió i es cancel·len mútuament, de manera que l'impuls del líquid es farà solament per l'acció de la gravetat, la força de la qual, en el seu component paral·lel al flux, val: atès que Alhora, per seu flux estacionari aquesta força és contrarestada exactament per la fricció del líquid amb la paret del canal, en el seu perímetre mullat: on és l'esforç tallant mitjà al llarg del perímetre mullat D'aquestes expressions: ja que J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 79 de 97 Per altra banda35, l'esforç tallant mitjà es relaciona amb la velocitat a través de la relació següent, on coeficient de fricció que val 0.25 vegades l'aplicat a la fórmula de Darcy-Weisbach ( ): és un D'on, si es pot determinar el valor del coeficient de fricció es podrà conèixer la velocitat mitjana al canal, conegut el radi hidràulic i el pendent del tram: Aquestes expressions tenen correspondència amb la fórmula de Chézy, que al s. XVIII ja va establir la proporcionalitat entre la velocitat i l'arrel del producte entre el radi hidràulic i el pendent: Per a canals petits, i de parets relativament llises, la determinació de f és semblant a la vista per a canonades a pressió. En canals grans, el valor de Re creix molt i la rugositat pot ser molt elevada, de manera que el coeficient de fricció passa a dependre només de la rugositat. Per aquest motiu, les fórmules empíriques que permeten calcular la velocitat no inclouen el valor de Re en la majoria de càlculs de flux en canals. Un càlcul derivat del de Chézy, més precís i d'ús generalitzat actualment, va ser desenvolupat al s. XIX i es coneix com a fórmula de Manning en honor del seu autor. Relaciona la velocitat mitjana amb el radi hidràulic i el pendent mitjançant l'ús d'un coeficient n desenvolupat anteriorment per altres investigadors, que en feien una aplicació més complicada i imprecisa. En unitats del sistema internacional l'expressió de la velocitat val: v en [m/s] I el cabal serà el producte de la velocitat mitjana per la secció: Q en [m3/s] El coeficient n es troba tabulat per a diversos materials i superfícies, i es pot calcular també a partir de la rugositat absoluta. Taula 2: valor de n a la fórmula de Manning Superfície n mín n màx Superfície n mín n màx PMME Vidre Superfície llisa de formigó Canonada de taulons de fusta Canaleta de fusta ribotada Canonada de desguàs vitrificada Formigó preemmotllat Canaleta de metall, llisa Superfície de morter de ciment Canaleta de fusta, sense ribotar Rajoles de fang per a desaigües Formigó, monolític Maó amb morter de ciment Ferro fundició, nou 0.008 0.009 0.010 0.010 0.010 0.010 0.011 0.011 0.011 0.011 0.011 0.012 0.012 0.013 0.010 0.013 0.013 0.013 0.014 0.017 0.013 0.015 0.015 0.015 0.017 0.016 0.017 0.017 Acer reblat Superfície d'escòria de ciment Canals i sèquies, terra llisa Canonada de metall corrugat Canaleta de metall corrugat Canals Dragats en terra, llisos Tallats en roca, llisos Fons rugós amb vegetació laterals Tallats en roca, irregulars Corrents naturals Més llis Més rugós Ple d'herbes 0.017 0.017 0.017 0.021 0.022 0.020 0.030 0.025 0.030 0.030 0.025 0.025 0.025 0.035 0.033 0.035 0.040 0.045 0.025 0.045 0.075 0.033 0.060 0.150 Font: Frazini i Finnemore 35 Per la demostració, es pot consultar l'obra de Frazini i Finnemore, apartat 8.4. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 80 de 97 TEMA 4. BOMBES CENTRÍFUGUES 1. Classificació dels diferents tipus de bombes Una bomba és una màquina dissenyada per a la impulsió de fluids. La seva funció és augmentar l'energia hidràulica del fluid, per tal que aquest pugui circular pels conductes a la velocitat i la pressió requerides, i pugui elevar-se fins les cotes on s'hagi de transportar. L'anàlisi de les bombes es pot aplicar també, en molts dels seus aspectes, a les turbines, màquines que extreuen energia hidràulica d'un flux i la transformen en energia mecànica (que, al seu torn, posteriorment pot ser transformada en energia elèctrica o d'altres tipus). 1.1.TIPUS DE BOMBES a)S'anomenen màquines hidràuliques aquelles que en la seva acció sobre el fluid no li produeixen un canvi important en la seva densitat ( =const), de manera que el flux a través d'elles es pot analitzar assumint que el fluid es comporta com a incompressible. Són màquines hidràuliques: -Els ventiladors, aparells dissenyats per a moure l'aire (o altres gasos) amb baixos increments de pressió (entre 0 i 15 kPa, tot i que el seu rang habitual d'operació 36 se situa en 0-1500 Pa). -Els bufadors, que mouen també gasos, i amb en el rang 15-70 kPa -Les bombes (i turbines) per a líquids, que treballen en qualsevol rang de pressions, atesa la seva baixa compressibilitat. b)S'anomenen màquines tèrmiques aquelles que canvien de manera substancial la densitat del gas, amb canvis importants a la seva energia interna en el procés de compressió o descompressió. La variació de pressió que produeixen se situa per damunt dels 70 kPa. Entren dins d'aquesta categoria els compressors i les turbines de gas. W Q DH Figura 122: Representació esquemàtica de la funció d'una bomba 36 Els límits de pressió indicats són orientatius. Per exemple, Agüera Soriano fixa els límits per als bufadors en 7-300 kPa. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 81 de 97 1.2.CLASSIFICACIÓ DE LES MÀQUINES HIDRÀULIQUES Segons el seu mode de funcionament, les màquines hidràuliques poden ser turbomàquines o màquines de desplaçament positiu. a)Turbomàquines Són aquelles que impulsen el fluid augmentant la seva energia, basant-se en una transferència de quantitat de moviment entre la màquina i el fluid. També s'anomenen bombes rotodinàmiques. El seu disseny es basa en l'equació d'Euler de la força centrífuga. Cap dels seus elements impedeix el pas del fluid a través seu en qualsevol sentit, de manera que quan s'atura el gir el líquid pot fluir enrere i la bomba es pot buidar. Per aquest motiu, si es tracta de bombes de líquids que els succionen d'una posició més baixa s'ha de posar una vàlvula de peu (o de retenció) que eviti que la bomba es buidi; altrament en arrencar de nou no es faria el buit parcial suficient per a fer pujar de nou el líquid (bomba desencebada). De forma general, consten d'un rodet que conté un conjunt d'àleps que, situats en disposició de simetria radial, en girar impulsen el fluid augmentant la seva energia. El desplaçament del fluid crea una depressió al punt d'admissió i una zona d'alta pressió a la descàrrega; la seva diferència és l'alçària hidràulica que proporciona la bomba. Segons la direcció del flux en relació a l'eix de gir, les turbomàquines es classifiquen en: a.1)Axials: quan la direcció del flux és paral·lela a l'eix de gir. Dintre de les turbomàquines axials s'hi troben molts dels ventiladors domèstics i industrials, les hèlixs de vaixells i avions, o les bombes helicoïdals que s'utilitzen en drenatges. També utilitzen aquest principi els aerogeneradors, no per impulsar sinó per extreure energia mecànica del corrent de vent. En tots els casos es caracteritzen per moure cabals grans de fluid sense proporcionar una alçària hidràulica H B (és a dir, ) gaire gran. El rodet solidari a l'eix de gir és de petit diàmetre, i d'ell surten les aspes que mouen el fluid (o són mogudes per ell). Figura 123: Dispositius impulsors de flux axial J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 82 de 97 a.2)Radials o centrífugues: quan el fluid és impulsat en direcció radial (perpendicular a l'eix de gir). Dintre d'aquesta categoria s'hi troben la majoria de bufadors d'ús domèstic (en assecadors, aspiradores, etc) i industrial, així com les bombes centrífugues. En aquestes darreres, segons la seva posició respecte als àleps, el rodet pot ser tancat (quan els àleps estan limitats per dos discos paral·lels) o semi-obert (quan estan units a un únic disc, solament per un costat). I segons el fluid entri per un o dos costats del rodet, seran d'aspiració simple o doble. A més a més, quan en una mateixa bomba es col·loquen diversos rodets en sèrie, on un rodet descarrega a l'aspiració del següent, la bomba centrífuga s'anomena d'etapes múltiples. Figura 124: Bomba centrífuga T Figura 125: Tall esquemàtic d'una bomba centrífuga Figura 126: Bomba centrífuga de 5 etapes 1a carcassa, 1b cos de bomba, 2 rodet, 3 tapa d'impulsió, 4 tancament de l'eix, 5 suport de coixinets, 6 eix motriu. b)Màquines de desplaçament positiu Són aquelles que impulsen el fluid capturant un volum de líquid a l'admissió, separant-lo del flux mitjançant vàlvules o altres sistemes que l'aïllen, i desplaçant-lo a la descàrrega. Com en el cas de les anteriors, aquest desplaçament de fluid causa un increment de pressió entre l'admissió i la descàrrega. Aquestes bombes no permeten el retrocés del fluid, o reflux, quan s'atura el seu moviment. Aquestes màquines es classifiquen en tres grups: b.1.)Alternatives o de vaivé. Són aquelles en què el fluid omple i buida successivament un compartiment fix, de volum variable, que creix i decreix per un moviment alternant. A les bombes de pistó o d'èmbol, aquest es desplaça per l'interior d'un cilindre alternant una fase d'admissió i una de descàrrega, amb vàlvules que asseguren el flux en un sol sentit. La necessitat de lubricar l'espai entre el pistó i el cilindre fa que el líquid pugui barrejar-se J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 83 de 97 amb el lubricant. Aquest problema s'evita en les bombes de membrana, on una membrana elàstica moguda per una biela crea els augments i reduccions de volum que permeten la impulsió. Figura 127: Bomba de pistó. Figura 128: Bomba de membrana A vàlvules de bola B cambra de bombatge C membranes D col·lector d'aspiració E col·lector de descàrrega F motor pneumàtic b.2)Volumètriques rotatives o rotoestàtiques: en aquestes bombes, la rotació d'elements dintre d'una carcassa estanca arrossega porcions de fluid des d'una zona de baixa pressió fins una zona d'alta. Segons el mecanisme rotatiu que provoca el moviment del fluid, hi ha les bombes de paletes, les d'engranatges, les de lòbuls o sinusoidals, les de planetaris, les peristàltiques (en les quals una rodeta situada a l'extrem del radi d'un element rotatori pessiga un tub de goma fent avançar el fluid, de manera que aquest queda confinat a l'interior del tub sense barrejar-se amb l'exterior, cosa que les fa especialment adequades per a usos alimentaris, farmacèutics o en equips de laboratori) i les helicoïdals o de caragol. Si es treballa amb elevades diferències de pressió entre l'admissió i la descàrrega, es pot provocar el desgast dels coixinets dels eixos de rotació. Per a evitar-ho, es poden connectar, mitjançant canonades on el líquid quedarà estàtic, punts pròxims a la sortida amb punts propers a l'entrada, equilibrant les pressions i les forces que rep l'eix de rotació des d'ambdós costats. Figura 129: Bomba d'engranatges. Figura 130: Bomba de lòbuls. Figura 132: Bomba de caragol J.Illa-E.Fons Figura 131: Bomba de paletes. Figura 133: Bomba peristàltica Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 84 de 97 b.3)Màquines gravimètriques. Històricament s'han utilitzat màquines que, sovint impulsades pel propi corrent d'un riu o canal, permeten dur l'aigua a un nivell elevat, a fi de facilitar la seva distribució per gravetat fins els punts de consum. S'inclouen dintre d'aquesta categoria la sínia o roda hidràulica, i els elevadors de cadena de catúfols. Figura 134: Sínia J.Illa-E.Fons Figura 135: Extrem superior d'un elevador de catúfols Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 85 de 97 2. Bombes centrífugues: pèrdues, potencies i rendiments Figura 136: Bomba centrífuga J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 86 de 97 En una instal·lació d'impulsió de líquids, l'alçària hidràulica que proporciona la bomba centrífuga es pot mesurar per la diferència de pressions entre la secció d'entrada o admissió i la de sortida o descàrrega. En el disseny de la instal·lació interessa l'alçària útil o efectiva, que és la que es transmet al fluid, i que correspon a la potència hidràulica: Aquesta alçària es pot determinar aplicant l'equació de l'energia entre l'entrada i la sortida de la bomba: que en la majoria de casos correspon a la diferència de les lectures manomètriques entre la sortida i l'entrada: Però si es mesura la potència que cal subministrar a la bomba, sigui a la línia elèctrica si l'accionament de la bomba es fa mitjançant aquesta energia, o sigui a través de la mesura del parell a l'eix motriu, s'observa que la potència real que cal aportar és més gran que la subministrada al líquid que circula per la conducció. Aquesta diferència es deguda a les pèrdues de potència en els diversos elements que componen el grup motor-bomba, i que es poden quantificar a través dels rendiments. 2.1.PÈRDUES DE POTÈNCIA D'UNA BOMBA CENTRÍFUGA a)Pèrdues hidràuliques: pèrdues de càrrega al trajecte del fluid per l'interior de la bomba. -Fregament del fluid amb la superfície del rodet -Formació de turbulències a l'interior del rodet b)Pèrdues volumètriques: degudes a la necessitat de bombar més fluid que el que circula per la instal·lació de bombatge (el que s'utilitza realment). -Recirculació interior de part del líquid per l'exterior del rodet, des de la zona de descàrrega (alta pressió) a la d'admissió (baixa pressió). Cabal volumètric -Líquid perdut per degoteig a l'exterior, per defectes d'estanquitat. Cabal volumètric Figura 137: Pèrdues en una bomba centrífuga J.Illa-E.Fons c)Pèrdues mecàniques: per fregament dels elements mòbils entre ells i amb els suports fixos. -Premsaestopes -Coixinets de l'eix -Lubricants -Fregament del fluid amb la paret de la carcassa Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 87 de 97 2.2.RENDIMENTS EN UNA BOMBA CENTRÍFUGA a)Rendiment hidràulic: és la relació entre l'alçària hidràulica real de la bomba mesurada a partir dels manòmetres i l'alçària teòrica : b)Rendiment volumètric: és el quocient entre el cabal aprofitable que circula per la instal·lació, , i el cabal realment impulsat per la bomba, : c)Rendiment intern: és la relació entre la potència hidràulica transferida per la bomba al fluid i la potència absorbida per la bomba des de l'eix motriu. I com que: i Figura 138: Màquina de rendiments I, per tant: d)Rendiment mecànic: és el quocient entre la potència rebuda pel rodet de la bomba, motor a l'eix motriu, (potència aplicada). , i la subministrada pel e)Rendiment total: és el quocient entre la potència hidràulica rebuda pel líquid i la potència mecànica aplicada (subministrada pel motor a l'eix motriu). En bombes accionades per un motor elèctric, la relació entre la potència hidràulica rebuda pel líquid i la subministrada per la línia elèctrica s'anomena rendiment electrohidràulic . J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 88 de 97 3. Corbes característiques i punt de funcionament. 3.1.PLANTEJAMENT Sigui una instal·lació de bombatge que trasllada un líquid entre un punt 1 i un punt 2. Com s'ha vist (Tema 2), l'equació de l'energia permet calcular els nivells dels diversos tipus de càrrega disponibles en cada punt de la conducció. El fluid circula sempre dels punts de més energia hidràulica als de menys; quan els punts aigües avall requereixen més càrrega hidràulica que els de l'inici de la instal·lació, caldrà augmentar la càrrega mitjançant una bomba, de la qual la instal·lació requerirà una alçària hidràulica . La fricció del líquid amb els elements de la instal·lació (canonades rectes, colzes, contraccions i expansions, vàlvules...) provoca una dissipació d'energia hidràulica en forma d'energia interna (en general es tradueix en un augment, sovint imperceptible, de la seva temperatura), que podem quantificar com a pèrdues de càrrega de la instal·lació, . Aquestes (Tema 3) són aproximadament proporcionals a l'energia cinètica del flux, i, per tant al quadrat del cabal: . En règim turbulent rugós, , i l'expressió és exacta: Figura 139: Alçària hidràulica requerida per la instal·lació vs proporcionada per la bomba L'equació de Bernoulli, contemplant tots aquests elements, queda com segueix: I això implica que, segons el cabal que passi per la instal·lació, l'altura hidràulica requerida de la bomba valdrà: Entre cada velocitat i el cabal hi ha proporcionalitat, i entre el quadrat de la velocitat i les pèrdues h 12, també, de manera que es pot expressar: Figura 140: Alçària hidràulica requerida per la instal·lació vs cabal J.Illa-E.Fons Aquesta expressió s'anomena corba de demanda de la instal·lació. Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 89 de 97 3.2.CORBES CARACTERÍSTIQUES D'UNA BOMBA CENTRÍFUGA Per a un rodet determinat, i per a una velocitat constant de gir d'aquest, l'alçària hidràulica que una bomba centrífuga pot transferir al líquid és funció del cabal que està impulsant. Així mateix, el rendiment de la bomba i la potència aplicada són funció del cabal. Aquestes relacions del cabal amb els tres paràmetres esmentats constitueixen les corbes característiques de la bomba, i s'utilitzen, en forma de nomogrames (gràfics), taules de dades o fórmules empíriques per a seleccionar la bomba per a cada aplicació, i per a determinar-ne les condicions de funcionament. Hi ha una quarta corba característica, la del NPSH, que es comentarà a l'apartat 4 d'aquest tema. Figura 141: Corbes característiques de les bombes centrífugues Figura 142: Corbes característiques de bombes centrífugues segons catàleg comercial Cada corba de HB i de potència correspon a un diàmetre de rodet J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 90 de 97 3.3.PUNT DE FUNCIONAMENT Del que s'ha vist als apartats i temes anteriors, per una instal·lació composta per diversos elements (canonades, vàlvules, colzes...), distribuïts al llarg de diverses cotes, hi circularà un cabal Q tal que el balanç energètic entre dos punts qualssevol, que es quantifica mitjançant l'equació de Bernoulli, es compleixi. Així, si el flux és per gravetat, és a dir, únicament per diferència d'energia potencial entre els extrems de la canonada, la reducció d'aquesta haurà de correspondre's amb la variació de la resta (energia cinètica i de pressió), més les pèrdues de càrrega. En augmentar aquestes pèrdues amb el quadrat de la velocitat, s'establirà l'equilibri en un valor determinat del cabal volumètric, de manera que el líquid fluirà amb aquest cabal. Si no es disposa de diferència d'energia potencial que permeti el flux per gravetat, o es vol treballar a un cabal superior al d'equilibri descrit anteriorment, l'equació de Bernoulli permet calcular l'alçària hidràulica addicional requerida per tal que hi circuli el cabal desitjat. A l'exemple de la Figura 143, seria: Que, com s'ha vist anteriorment, es pot expressar en funció del cabal: A la Figura 140 s'ha mostrat aquesta corba de demanda. Figura 143: Instal·lació amb bombatge Hr Demandada per la instal·lació L'alçària hidràulica que proporciona una bomba centrífuga funcionant amb un rodet i una velocitat de gir determinades és funció del cabal Q (Figura 141). Si i coincideixen per al cabal desitjat, la instal·lació funcionarà en aquestes condicions, que reben el nom de punt de funcionament. Punt de funcionament HB Proporcionada per la bomba Figura 144: Punt de funcionament La representació gràfica simultània (Figura 144) de les dues corbes (la de demanda de la instal·lació i la prestada per la bomba) mostra el punt de funcionament, que també es pot determinar resolent analíticament, numèricament o gràficament (segons la informació disponible) la igualtat entre la funció que defineix la instal·lació i la que defineix la bomba: i En cas que, amb el cabal demandat, , l'equilibri es desplaçarà fins un nou cabal en què aquests dos valors coincideixin, és a dir, fins al punt de funcionament real de la bomba. Aquest desplaçament de l'equilibri obliga a seleccionar adequadament la bomba per a cada cabal, o a instal·lar-hi elements que permetin canviar la corba característica de la bomba fins que s'adeqüi a les necessitats, o variar la demanda de la instal·lació (per exemple, canviant les pèrdues de càrrega provocades per algun dels elements presents, com pot ser una vàlvula). J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 91 de 97 3.4.BANC D'ASSAIGS PER A BOMBES Les corbes característiques de les bombes es determinen empíricament en bancs d'assaigs construïts a l'efecte, on es pugui: -variar el punt de funcionament, generalment canviant la demanda de la instal·lació amb la introducció de variacions a les pèrdues de càrrega. -mesurar el cabal de la bomba, amb un cabalímetre. Segons el cas, podrà ser un dispositiu venturi, de turbina, gravimètric, d'ultrasons, etc. -mesurar la temperatura del fluid, amb un termòmetre. -mesurar l'alçària hidràulica de la bomba, mitjançant dos manòmetres situats a l'entrada i a la descàrrega de la bomba. El de l'entrada, si la bomba aspira líquid situat a una posició inferior, haurà de ser un manòmetre de buit o vacuòmetre, atès que haurà de mesurar pressions relatives negatives. -mesurar la potència aplicada a l'eix motriu, mitjançant un torsiòmetre que mesuri el parell torçor i un tacòmetre que mesuri la velocitat de gir de l'eix. La potència necessària per a vèncer un parell torçor és el producte d'aquest per la velocitat angular a què gira l'eix. Potència: [W] = [J s-1] = [N·m s-1] Parell torçor: F·r Velocitat angular: [N·m] [s-1] Figura 145: Parell torçor La determinació de l'alçària hidràulica de la bomba es fa aplicant Bernoulli entre l'entrada i la sortida: Que, en general, queda reduïda a: J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 92 de 97 1.Canonada d'aspiració i vàlvula de peu 2.Termòmetre 3.Vacuòmetre a la secció d'entrada 4.Bomba 5.Manòmetre a la secció de sortida 6.Vàlvula manual a la impulsió, per regular el cabal 7.Cabalímetre 8.Torsiòmetre i tacòmetre per a mesurar la potència aplicada Figura 146: Banc d'assaigs per a bombes J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 93 de 97 4. Cavitació. Concepte de NPSH. 4.1.CAVITACIÓ La succió del líquid per part de la bomba centrífuga només és possible si la diferència d'alçàries de pressió entre el punt d'origen del líquid i la de l'entrada del rodet és superior a la suma de la diferència de cotes, la variació d'energia cinètica i les pèrdues de càrrega produïdes en tram de canonada. Si la succió es fa des d'un punt inferior i obert a l'atmosfera, és la pressió atmosfèrica la que determina el límit absolut de diferència de cotes, per sota de la posició de la bomba, des de la qual es pot bombar el líquid. En el cas de l'aigua, a nivell del mar aquesta alçària correspon a 10,33 m. D'aquesta cota limitant absoluta caldrà restar-ne el terme d'energia cinètica i les pèrdues de càrrega, per obtenir la pressió a l'entrada de la bomba. Tram de descàrrega Si es pren , i es negligeix la velocitat al punt de captació (dipòsit de gran secció) la pressió absoluta a l'entrada de la bomba serà: Bomba Per altra banda, a l'entrada del rodet de la bomba centrífuga hi haurà una pressió encara inferior, causada per l'acció impulsora de la bomba, que permetrà al líquid circular des de la secció d'entrada de la bomba fins l'entrada del rodet, , vencent un conjunt addicional de pèrdues de càrrega en aquest tram, causades per les friccions i turbulències del líquid en circulació. Tram de succió Vàlvula Figura 147: Elements que intervenen en la formació de cavitació Augment de P Implosió de les bombolles Cavitació Pmàx Punt ER Pmín< Pv Formació de bombolles Figura 148: Cavitació El punt , en sistemes d'una sola bomba, és el de menor pressió de tot el circuit, i per tant, si s'està bombant fluids condensables en la seva fase líquida (com aigua, alcohol, refrigerants als circuits frigorífics...) és possible que la pressió en aquest punt caigui per sota de la pressió de vapor del líquid, a la temperatura a què es trobi37. Quan això succeeix, el líquid entra en ebullició, formant-se bombolles de vapor que seran arrossegades amb el líquid al llarg dels àleps del rodet, on la pressió augmenta de forma progressiva i ràpida fins que, en deixar el rodet, el fluid es trobarà a la pressió més alta de tot el recorregut. Aquest augment de pressions provoca la implosió de les bombolles formades, que comporta un alliberament d'energia mecànica en contacte amb la superfície dels àleps, que els pot provocar danys importants si el fenomen se sosté al llarg del temps. Aquesta seqüència d'evaporacióimplosió rep el nom de cavitació, i pel seu caràcter perjudicial, en augmentar el risc d'avaries i reduir la vida útil de la bomba, s'ha de fer un disseny de la instal·lació que l'eviti. 37 Cal recordar que la pressió de vapor d'un líquid augmenta en augmentar la temperatura, de manera que un sistema calculat per a un líquid a temperatures baixes pot tenir problemes si s'utilitza per bombar el mateix líquid a temperatura més alta. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 94 de 97 La cavitació es pot produir també en sistemes on la bomba està situada per sota del pla del líquid que succiona, sempre i quan les pèrdues de càrrega del tram de succió, més l'energia cinètica del fluid, siguin suficientment grans en relació al desnivell 0-E, i el líquid tingui una pressió de vapor suficientment elevada (cas, per exemple, de refrigerants en sistemes en què el diàmetre de la canonada de succió és massa petit, i/o el cabal volumètric excessivament gran). 4.2.CONCEPTE DE NPSH Per a evitar la cavitació en una bomba centrífuga s'utilitza en els càlculs el concepte de càrrega neta positiva d'aspiració, generalment expressada amb la seva sigla en anglès, NPSH38. Aquesta càrrega indica quina és l'alçària energètica del líquid a l'entrada de la bomba per damunt de la mínima necessària per tal que la bomba no caviti. Així, analitzant la instal·lació es podrà determinar l'NPSHd o disponible, que haurà de ser superior a la NPSHr o requerit per la bomba, un valor que ha d'aportar el fabricant després de fer proves per quantificar les pèrdues de càrrega i increment d'energia cinètica al tram entre l'entrada de la bomba E i la del rodet ER. El NPSH es defineix com a diferència entre la càrrega hidràulica a la secció E d'entrada de la bomba i la pressió de vapor del líquid a la temperatura de treball (és a dir, el marge de què es disposa per damunt de la pressió d'ebullició), expressades en altura de columna del líquid que es bomba. Donat un cabal Q, en ser la pressió PE dependent només de les característiques del tram d'admissió, serà només el disseny d'aquest tram (diferència de cotes, longitud de la canonada, diàmetre, elements que causen pèrdues singulars) el que condicioni l'aparició de la cavitació. Tot i això, el tram de descàrrega de la bomba pot condicionar-la indirectament a partir de les variacions del punt de funcionament (per exemple, si en obrir una vàlvula a la sortida augmenta el cabal, això farà augmentar l'energia cinètica i les pèrdues del tram de succió, cosa que pot acabar produint cavitació). a)NPSHd o disponible Figura 149: NPSH disponible 38 Net Positive Suction Head. Alguns autors l'expressen amb l'acrònim en català o castellà, CNPA. J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 95 de 97 b)NPSHr o requerit En ser el mínim necessari per evitar la cavitació, s'aplica a la situació límit, quan la pressió a ER iguala la de vapor del líquid a la temperatura de bombatge: D'on la pressió mínima requerida a E val: Figura 150: NPSH requerit La corba de l'NPSHr respecte al cabal la proporcionen els fabricants. Figura 151: NPSH requerit segons catàleg d'un fabricant La condició de disseny per a evitar la cavitació és que el NPSH disponible superi el requerit per la bomba, en les condicions de treball (Q,T): A la diferència entre ambdós valors se l'anomena marge de seguretat enfront de la cavitació. Les instal·lacions se solen dissenyar amb un marge de seguretat igual o superior a 0.5 m. Marge de seguretat enfront de la cavitació No cavitació Cavitació Figura 152: Marge de seguretat enfront de la cavitació J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 96 de 97 Bibliografia Bibliografia bàsica -J.Agüera Soriano, “Mecánica de fluidos incompresibles y turbomáquinas hidráulicas”, 5ª ed., Editorial Ciencia3 S.A., 2002 (ISBN: 84-95391-01-05) - Claudio Mataix, “Mecánica de fluidos y máquinas hidraulicas” , 2ª ed.,Ediciones del Castillo S.A., Madrid 1986 (ISBN: 84-219-0175-3). -J.B.Franzini, E.J.Finnemore, "Mecànica de fluidos con aplicaciones en Ingenieria", 9ªed., McGraw-Hill, 1999, (ISBN: 84-481-2474-X) -V.L. Streeter, E.Benjamin, K.W. Bedford, “Mecánica de los fluidos”, Ed. McGraw-Hill, 9ª ed., 2000 (ISBN: 968-600-987-4). Bibliografia complementària -Merle C. Potter; David C. Wiggert, “Mecánica de fluidos, 3ªed”, Ed. Thomson, 2002. -Irving H. Shames, “Mecánica de fluidos”, Ed. McGraw-Hill, 1995. -Frank M.White, “Fluid Mechanics”, Ed. McGraw-Hill, 1986 J.Illa-E.Fons Curs de mecànica de fluids EPS-UdL Pàg. 97 de 97