Exercices en Vibrations

Exercices en Vibrations Prof. Abdeslam Aannaque <[email protected]> 22 juin 2017 1 Table des matières 1 Chapitre 1 : Système à un degré de liberté 1.1 Examen 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Examen 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Examen 2010(2) . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Examen 2013-Exercice 1 . . . . . . . . . . . 1.5 Examen 2013-Exercice 2 . . . . . . . . . . . 1.6 Examen 2013-Exercice 3 . . . . . . . . . . . 1.7 Examen 2013-Exercice 4 . . . . . . . . . . . 1.8 Examen 2014-Exercice 1 . . . . . . . . . . . 1.9 Examen 2014-Exercice 2 . . . . . . . . . . . 1.10 Examen 2014-Exercice 3 . . . . . . . . . . . 1.11 Examen 2014-Exercice 4 . . . . . . . . . . . 1.12 Examen 2014-Exercice 5 . . . . . . . . . . . 1.13 Examen 2015-Exercice 1 . . . . . . . . . . . 1.14 Examen 2015-Exercice 2 . . . . . . . . . . . 1.15 Examen 2016 - Exercice 1 . . . . . . . . . . 1.16 Examen 2016 - Exercice 2 . . . . . . . . . . 1.17 Examen 2017 - Exercice 1 . . . . . . . . . . 1.18 Examen 2017 - Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 5 . 5 . 5 . 6 . 6 . 6 . 7 . 7 . 7 . 7 . 8 . 9 . 10 . 11 2 Chapitre 2 : Système à deux degrés de liberté 2.1 Examen 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Examen 2013 - Exercice2 . . . . . . . . . . . . 2.3 Examen 2015 - Exercice . . . . . . . . . . . . . 2.4 Examen final 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Examen 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 13 14 14 16 3 Chapitre 3 : Système 3.1 Examen 2003 . . . 3.2 Examen 2006 . . . 3.3 Examen 2010 . . . 3.4 Examen 2017 . . . à . . . . N degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chapitre 4 : Systèmes continus 4.1 Examen 2011 . . . . . . . . . . 4.2 Examen de Rattrapage 2012 . . 4.3 Examen 2017 . . . . . . . . . . 4.4 Examen 2017 . . . . . . . . . . 5 Chapitre 5 : Méthodes 5.1 Examen 2007 . . . . 5.2 Examen 2010 - 1 . . 5.3 Examen 2010 - 2 . . 5.4 Examen 2010 - 3 . . 5.5 Examen 2010 - 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 17 17 17 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 21 22 approximatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 26 26 27 27 2 . . . . . . . . . . . . 5.6 5.7 5.8 5.9 Examen Examen Examen Examen 2011 2012 2013 2015 . . . . . . . . . . . . . . - exercice1 . - Problème . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 28 30 31 1 1.1 Chapitre 1 : Système à un degré de liberté Examen 2005 Une masse m1 est suspendue à un ressort k et se trouve en équilibre statique. Une deuxième masse m2 chute d’une hauteur h et reste accolée à m1 sans rebondir. Déterminer le mouvement u(t) autour de la position d’équilibre statique de m1 et k. 1.2 Examen 2010 Pour isoler efficacement les vibrations d’un moteur de voiture, la raideur et le coefficient d’amortissement des supports qui le lient au corps de la voiture doivent être aussi faible que possible. On voudrait concevoir un support d’un moteur ayant une masse de 200 kg qui vibre avec une force, supposée indépendante de la vitesse sélectionnée sur la boite à vitesse, de 10N. Réponds à ces deux questions : 1. Quelle est la plus petite raideur à utiliser si l’amplitude de vibration doit rester inférieure à 5mm quand ω tend vers 0 ? 2. Quel est le plus petit coefficient d’amortissement qui satisfait la condition : l’amplitude inférieure à 20mm à la résonance ? 1.3 Examen 2010(2) Un moteur de masse 30 kg, placé sur une poutre en porte-à-faux tourne à 1500 tr/mn. Une analyse spectrale montre que l’on peut approximer ce système par un système à un degré de liberté et que la fréquence propre est de 0.25 Hz. Le niveau de vibration est inadmissible. Comment réduire le niveau de vibration ? 1.4 Examen 2013-Exercice 1 Deux objets de masse m1 et m2 sont connectés par un ressort de raideur k comme montré sur la figure ci-dessus. La masse m1 est connue. Nous avons aussi la possibilité de mesurer les pulsations de vibration avec précision. Comment peut-on trouver la valeur de la raideur k et de la masse m2 . 4 1.5 Examen 2013-Exercice 2 Un moteur de masse totale M=50kg a un balourd de masse m=1kg et d’excentricité e=1mm et tourne à une vitesse angulaire ω = 100rad/s. Le moteur est monté sur des blocs d’isolation de raideur équivalente k=500 000 N/m et de coefficient d’amortissement c=250 Ns/m. Le système montre un problème de vibration excessive. Comment peut-on réduire l’amplitude de vibration ? 1.6 Examen 2013-Exercice 3 Le système ci-dessus représente un pylône de masse m et de longueur L maintenu en position par deux ressorts identiques de raideur k et de longueur au repos L0 . On démontre que l’équation de mouvement de ce système est : θ mgL mL2 d2 θ √ + 2kLL0 sin − sin θ = 0 2 3 dt 2 2 Quelle est la pulsation propre lorsque l’angle d’oscillation θ est faible. 1.7 Examen 2013-Exercice 4 5 Une barre de masse m est supportée par deux rouleaux (espacés de d) qui tournent à grande vitesse et dans deux sens opposés comme indiqué sur la figure. Le centre de gravité de la barre est à une distance x du rouleau B. La barre est accrochée (à sa gauche) à un ressort de raideur k, au repos lorsque x=0. Le coefficient de frottement entre la barre et les rouleaux est f 1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la barre 2. Trouver l’équation de mouvement de la barre faisant intervenir x, f, k, d, mg et t le temps (Attention au sens de la force exercée par les rouleaux sur la barre) 3. En déduire la pulsation propre de ce système 4. Si à t=0 on a x=0 et la barre est au repos, trouver x(t) 5. Sans faire de calcul, que se passe-t-il si k<2fmg/d 1.8 Examen 2014-Exercice 1 La réponse impulsionnelle d’un système masse ressort amortisseur est donnée par : x(t) = 10e−0.01t sin(0.9t) Trouver l’équation de mouvement homogène (l’équation de mouvement sans second membre) 1.9 Examen 2014-Exercice 2 Soit un système à un degré de liberté dont l’équation de mouvement est : mẍ + cẋ + 2kx = ky x indique la position du centre de gravité de la masse et y est un mouvement imposé. Donner le Schéma de ce système 1.10 Examen 2014-Exercice 3 Une masse inconnue est liée à un ressort de raideur inconnue. Le système a une pulsation propre de 5 rad/s. Quand on ajoute une masse de 1 kg, la pulsation propre devient 4 rad/s. Trouver la masse et la raideur de ce système. 6 1.11 Examen 2014-Exercice 4 Un système à un degré de liberté a une masse de 2 kg, un ressort de raideur 10 N/m et un amortisseur de coefficient 1 N s/m. Le système est excité avec les conditions initiales x0 = 0 et v0 = 0.01 m/s. Trouver : 1. la pulsation propre ωn , 2. le coefficient d’amortissement ζ 3. la pulsation propre amortie ωd Tracer à l’échelle la réponse du système (la courbe doit être soignée je ne demande pas que l’allure) 1.12 Examen 2014-Exercice 5 Trouver la réponse d’un système à un degré de liberté excité par deux impulsions, une appliquée à t=0 et de pulsion F̂ = 1 et la deuxième ayant lieu à t= 2π ωd et de pulsion F̂ = −e √−2πζ 1−ζ 2 Indications examen 2014 : 1. Pour trouver la relation entre c et ζ, considérer l’équation caractéristique. Le coefficient c critique correspond à ζ = 1 2. Pour trouver la réponse d’un système soumis à des conditions initiales, considérer la solution sous forme de x(t) = e−ζωn t [A sin(ωd t)+B cos(ωd t)] 1.13 Examen 2015-Exercice 1 Un cylindre de masse M et de section A est entrain de flotter dans un liquide de densité ρ. Le corps est en équilibre sous l’action de deux forces : son propre poids et la poussée d’Archimède. On déplace le cylindre de x à partir de la position d’équilibre. Le corps commence à vibrer. 1. Trouver l’équation de mouvement du cylindre (on néglige l’amortissement). 2. En déduire la pulsation propre de vibration en fonction de ρ, A, M et g. Rappel : la poussée d’Archimède est égale au poids équivalent du liquide déplacé. 1.14 Examen 2015-Exercice 2 7 Le système montré sur la figure ci-dessus à une fréquence propre de 5 Hz. Les données sont : m=10 kg, J0 =5 kg m2 , r1 =10 cm et r2 =25 cm. 1. Appliquer le PFD à la masse m 2. Appliquer le PFD à la poulie de moment d’inertie J0 3. Trouver la relation entre le déplacement x de la masse m et la rotation de la poulie (les câbles sont rigides et ne glissent pas sur la poulie) 4. En déduire l’équation de mouvement du système 5. En déduire la pulsation propre du système 6. Lorsque le système est excité avec des conditions initiales, l’amplitude est réduite de 80% au bout de 10 cycles. Trouver c et k 7. Trouver le rayon minimal r2 pour qu’il n y ai pas d’oscillation lorsqu’on excite le système avec des conditions initiales 8. Quelle est la force transmise au batit en fonction de x et ẋ. Indications : 1 Le décrément logarithmique est donné par δ = 1j ln( xxj+1 ) = ζωn T p 2 ωd = ωn 1 − ζ Pour un système dont l’équation de mouvement est mẍ + cẋ + kx = f . Le coefficient d’amortissement est lié au taux d’amortissement par : c = 2ζmωn 1.15 Examen 2016 - Exercice 1 Nous avons conduit un test de choc. Un système à un degré de liberté a été frappé par un marteau et on a mesuré le déplacement de la masse. La réponse impulsionnelle obtenue est présentée sur le graphe suivant : 8 Les maximums de la réponse sont résumés sur le tableau suivant : Temps [s] 0.242 1.242 2.242 3.242 Déplacement [m] 0.1473 0.1075 0.0785 0.0573 La pente de la courbe à t=0 est 0.9891 Trouver 1. La pulsation ωd 2. Le taux d’amortissement ζ 3. La pulsation propre ωn 4. La masse m 5. La raideur k 1 j 1 ln( xxj+1 )= δ . ζωn T . Il est lié au coefficient d’amortissement par l’équation ζ = √ 2 2 Indication : Le décrément logarithmique est donné par δ = δ +(2π) Si vous avez oublié l’expression de la réponse impulsionnelle h(t), recalculez la sachant que c’est la réponse du système correspondant à x(0)=0 et v(0)=1 m/s. 1.16 Examen 2016 - Exercice 2 9 La figure ci-dessus montre un pendule simple de longueur 2a supporté par un ressort de raideur k et de longueur initiale a, accroché au milieu du pendule et à une distance a de son pivot. 1. Calculer l’énergie cinétique de la masse m 2. Calculer l’énergie potentielle du système 3. Trouver l’équation de mouvement du pendule. 4. Trouver la condition pour avoir des oscillations pour les faibles amplitudes 5. Trouver la pulsation propre pour les faibles amplitudes 1.17 Examen 2017 - Exercice 1 La figure ci-dessus montre un système pour mesurer la raideur d’une vertèbre modélisée comme un ressort de raideur k et de longueur initiale L0 . 1. Calculer l’énergie cinétique de la masse m 2. Calculer l’énergie potentielle du système 3. Démontrer que l’équation de mouvement du pendule est mh2 d2 θ + kd2 sin(θ) cos(θ) + mgh sin(θ) = 0 dt2 4. Trouver la pulsation propre pour les faibles angles d’oscillation. 5. Trouver la raideur k en fonction de la pulsation propre 10 Remarque : vérifier vos calculs en notant qu’en l’absence du ressort (k=0) la pulsation propre est celle d’un pendule de longueur h. 1.18 Examen 2017 - Exercice 2 Soit le système masse ressort de la figure ci-dessus. On conduit un test de vibration libre où on fait déplacer la masse de sa position d’équilibre et on la relâche sans vitesse initiale. Le mouvement de la masse en fonction du temps est alors donné sur la figure suivante. 1. Utiliser la courbe de déplacement pour estimer (a) La pseudo-période propre T (b) Le décrément logarithmique δ (c) En déduire le coefficient d’amortissement ζ (d) Calculer la pulsation propre ωn 2. La base est maintenant soumise à un déplacement harmonique d’amplitude 5mm et de fréquence 25 π Hz. (a) Calculer dans ce cas l’amplitude de la masse m (b) Est-ce que ce résultat était prévisible ? et pourquoi ? (Le déplacement de la masse en relation avec le déplacement de la base) 3. Le déplacement est jugé inacceptable, nous avons besoin de réduire d’avantage cette amplitude de moitié. En utilisant les courbes de la transmissibilité suivantes, faites les recommandations nécessaires sur la raideur k, la masse m et/ou le coefficient d’amortissement c (par exemple 11 proposer l’augmentation de la raideur d’un certain facteur, la réduction de la masse d’un certain facteur etc. ). Rappel : 1. Le décrément logarithmique est donné pour un système   excité par des x1 1 conditions initiales (vibrations libres) par δ = j ln xj+1 = ζωn T . Il est lié au coefficient d’amortissement par l’équation ζ = √ δ δ 2 +(Eπ)2 2. La relation entre le déplacement de la masse et celui de la base peut être trouvée à partir du diagramme de vecteurs suivant : 12 2 2.1 Chapitre 2 : Système à deux degrés de liberté Examen 2010 Un système mécanique vibratoire est composé de deux masses ponctuelles (m1=m2=m). Les positions de ces deux masses par rapport à leurs positions d’équilibre O1 et O2 sont désignées par x1(t) et x2(t) respectivement. Les masses sont liées entre elles et avec le bâti par l’intermédiaire de 4 ressorts (k1=2k2=k) et un amortisseur (c), comme indiqué sur la figure ci-dessous. 1. Calculer les énergies cinétique, potentielle et d’amortissement du système. 2. En déduire les équations différentielles du mouvement du système. 3. Mettre le système d’équations différentielles sous forme matricielle. 4. Calculer les modes propres du système conservatif associé (vérifier l’orthogonalité des modes). 5. En utilisant la méthode modale, étudier la réponse du système conservatif si la deuxième masse est excitée par la force F (t) = F 0cos(Ωt) . 2.2 Examen 2013 - Exercice2 1. (2 points) Utiliser les coefficients d’influence pour trouver les matrices [K] et [C]. 2. (4 points) Trouver les pulsations propres et les modes propres 3. (2 points) Vérifier les modes trouvés en utilisant le quotient de Rayleigh 13 2.3 Examen 2015 - Exercice 1. (1.5 points) Trouver les matrices [M], [K] et [C] 2. (1 point) Trouver les pulsations propres de ce système 3. (1 point) Trouver les modes propres 4. (0.5 point) Normaliser les modes par rapport à la masse 5. (0.5 point) Vérifie l’orthogonalité des modes propres. 6. (1 point) En utilisant le quotient de Rayleigh, vérifier les résultats trouvés 7. (1.5 points) Trouver l’équation de mouvement dans la base des contributions des modes propres. Conclure. (Attention : On ne vous demande pas de la résoudre) 2.4 Examen final 2016 Soit la perceuse suivante composée d’une colonne de section carrée et deux masses une à l’extrémité libre et l’autre au milieu. Les caractéristiques du système sont : m1 =2.78 kg, m2 =6.82 kg, longueur totale 550 mm, Module de Young 200 GPa, section carrée de côté 36 mm. On donne =8076300 N/m. aussi k = 48EI L3 14 1. On modélise le système avec deux degrés de liberté. En utilisant la méthode des coefficients d’influence trouver la matrice de flexibilité 2. Inverser la matrice de flexibilité pour trouver la matrice de raideur. Vérifier que le produit des deux matrices est la matrice unité. 3. Trouver la première pulsation propre du système à deux degrés de liberté. A titre d’indication la deuxième pulsation propre est 2628.19 rd/s 4. Trouver la première pulsation propre en utilisant la méthode de Dunkerley 5. Trouver le vecteur déplacement des deux masses correspondant au premier mode puis trouver la première pulsation propre en utilisant le quotient de Rayleigh 6. Nous allons considérer la colonne à l’horizontale. Les masses en se déplaçant sous l’action du poids stockent l’énergie potentielle. (a) Pour cela, calculer d’abord les flèches dues aux masses m1 et m2 . (Utiliser les éléments de la matrice de flexibilité). (b) Trouver la pulsation propre fondamentale en considérant cette énergie potentielle et l’énergie cinétique spécifique de deux masses. 7. Nous allons considérer le système comme continue, il subit la déformée   x x2 suivante donnée par la RDM y = 2L2 3 − L . (a) Démontrer au passage la formule vue en cours : la colonne contribue avec 23.57% de sa masse. (b) Trouver la pulsation propre du système Indication : 15 2.5 Examen 2017 Soit un bâtiment à un étage. Comme première approximation, on suppose que les planchers sont rigides de masse mi et les poteaux flexibles de façon à modéliser le bâtiment par un système à 2 DDL. Les poteaux ont la même longueur h et un moment d’inertie I. 1. Trouver les raideurs équivalentes (RDM). Attention la flèche n’est pas donnée par f = F L3 /3EI (les extrémités liés aux planchers restent perpendiculaire au plancher tout en se déplaçant) 2. Trouver la matrice des raideurs en utilisant la méthode des coefficients d’influence 3. On donne m1 = m2 = 24000kg, h1 = h2 = 3m, E = 21000daN/mm2 et I1 = I2 = 4.22E − 5m4 . 4. Calculer les deux pulsations propres et dessiner les modes propres du bâtiment montrés sur la figure. 5. Trouver la matrice de flexibilité A en utilisant la méthode des coefficients d’influence (vérifier que AK = I) 6. Trouver la pulsation propre en utilisant la méthode de Dunkerley 16 3 Chapitre 3 : Système à N degrés de liberté 3.1 Examen 2003 Trouver les fréquences propres et les modes propres du système suivant : 3.2 Examen 2006 1. Trouver l’équation de mouvement du système 2. Calculer le déterminant de la matrice de raideur K. Que peut-on en déduire ? 3. Calculer les fréquences et modes propres du système 4. Trouver la réponse du système aux conditions initiales où la vitesse de la première masse est de 1m/s. 3.3 Examen 2010 Trouver la matrice des raideurs K du système suivant en utilisant la méthode des coefficients d’influence. 17 3.4 Examen 2017 Un avion à double réacteur est modélisée par un fuselage rigide de masse m2 et deux moteurs de masses m1 et m3 , la relation entre les masses est donnée sur la figure ci-dessus. Les ailes sont modélisées par deux poutres en porte à faux de raideur k, de longueur l et de module de rigidité en flexion EI. 1. Trouver la raideur équivalente k (les ailes sont ancrés dans le fuselage) 2. Trouver la matrice de raideur [K] en utilisant la méthode des coefficients d’influence 3. Peut-on calculer la matrice de flexibilité [A]. ? 4. Trouver les trois pulsations propres. 5. Trouver et dessiner les trois modes propres. 6. Normaliser les modes par rapport à la masse 7. En utilisant le quotient de Rayleigh, vérifier les résultats trouvés. 8. Les instruments de bord ont enregistrés les déplacements par rapport à l’altitude de croisière suivants x1 = −6.5,x2 = 1.2 et x3 = 0.5 Quelles sont les modes responsables de ce déplacement ? 18 4 Chapitre 4 : Systèmes continus 4.1 Examen 2011 Soit la barre suivante sollicitée en traction. L’équation de mouvement est : E ∂2u ∂2u ∂2u = = c2 2 2 2 ∂t ρ ∂x ∂x u étant le déplacement d’une section droite de la barre. 1. Utiliser la méthode de séparation des variables pour trouver l’expression du déplacement en fonction de t et de x. 2. Pour le cas particulier montré sur la figure (ressort concentré à l’extrémité droite), montrer que les pulsations propres sont liées aux solutions de l’équation tan(x) = −x dans le cas où k=ES/L 3. Si on voudrait approximer la barre seule (sans ressort) par un système à 1 ddl. Trouver la raideur équivalente et la masse équivalente 4. Notre système complet peut donc être approximé par une masse suspendu par deux ressorts en parallèle. Trouver alors la 1ère fréquence propre du système complet et en déduire l’erreur relative sachant que la q E 1ére solution de l’équation tg(x)=-x est ω = 2.029 ρL2 4.2 Examen de Rattrapage 2012 Vibrations de torsion d’un arbre muni d’un volant d’inertie. On s’intéresse aux mouvements de vibration de torsion d’un arbre supportant un volant d’inertie. L’arbre a une longueur L et sa section a un moment quadratique en torsion constant I0 . Le module de cisaillement du matériau de l’arbre est G et ρ est sa masse volumique. La section située en x = 0 est encastrée. On considère que l’inertie massique J du volant est telle que J = ρI0 L. Dans ce mouvement de vibration, on note θ(x, t) l’angle de rotation autour de l’axe x d’une section de l’arbre située à l’abscisse x. Mt(x, t) est le moment de torsion dans l’arbre. 1. Solution exacte du problème de vibration (a) Exprimer l’équation du mouvement vérifiée par la rotation θ(x, t) à tout instant et en tout point. 19 (b) Préciser les conditions sur θ(x, t) et ses dérivées induites par les conditions aux limites, sachant qu’en x = L la poutre subit un moment 2 nécessaire à l’entrainement du volant : Mt (L, t) = −J ∂ θ(L,t) ∂t2 (c) Montrer que les solutions particulières en variables séparées pour cette équation d’équilibre sont de la forme : h  ωx   ωx i + B cos [C sin(ωt) + D cos(ωt)] θ(x, t) = A sin c c avec c2 = G ρ (d) Montrer que pour les conditions aux limites du problème, les pulsations propres ω du système sont solution de l’équation : ωL tan c  ωL c  =1 (e) En déduire la première fréquence propre f0 du système ainsi que la forme du mode associé. 2. Solution approchée pour la première fréquence propre. On approxime le système continu par un autre à 1ddl formé d’un ressort de torsion et d’une inertie. Le paramètre du mouvement est θ(L, t) (a) Exprimer la raideur équivalente de ce système à 1ddl (Considérer un couple C appliqué en x=L). (b) Dans un premier temps, on néglige l’inertie de l’arbre devant celle du volant. i. Donner la masse équivalente du système à 1ddl. ii. En déduire une approximation de la première fréquence propre du système. iii. Comparer avec la solution exacte trouvée plus haut. III On suppose maintenant que l’inertie de l’arbre n’est pas négligeable et que la forme qu’il prend pendant le mouvement de vibration de torsion est celle qu’il prend en statique sous l’action d’un couple C appliqué en x = L. 1. Trouver alors la variation de θ le long de l’arbre. 2. En déduire la masse équivalente du système à 1ddl (l’énergie cinétique d’un élément dx de l’arbre est : 21 ρI0 θ̇2 (x, t)) 20 3. En déduire une seconde approximation de la première fréquence propre du système. d Comparer avec la solution exacte. Rappels : Équation de comportement en torsion donnée par la RDM : Mt (x, t) = GI0 ∂θ(x,t) ∂x 2 θ(x,t) t (x,t) Équation d’équilibre local en torsion : ∂M∂x = ρI0 ∂ ∂t 2 Première racine positive de l’équation α tan α − 1 = 0 =⇒ α0 = 0.86033. 4.3 Examen 2017 La barre en acier ci-dessus est utilisée pour montrer les vibrations longitudinales. La barre est suspendue de façon à considérer que les conditions aux extrémités sont libre-libre. La barre est excitée en tapant une des deux extrémités. Un son audible dû aux vibrations longitudinales est alors émis par la barre. Le son est enregistré par le micro d’un PC pendant 5s et acquis sur Matlab. L’amplitude est montrée sur la figure suivante : En zoomant sur une partie du signal, on obtient 21 La masse de barre est de 1.1075 kg (pesée avec une balance électronique de précision). Le module de Young est inconnu mais doit être dans la fourchette 170 à 210 GPa pour l’acier Trouver le module de Young si on suppose que le son émis correspond au premier mode 4.4 Examen 2017 Soit une poutre simplement appuyée. La déformée est donnée par : Y (x) = C1 cos βx + C2 sin βx + C3 cosh βx + C4 sinh βx ρA 2 ω Avec β 4 = EI ω étant la pulsation propre, EI le module de rigidité en flexion, ρ la densité et A la section. La poutre supporte en son milieu une masse concentrée M . Les modes propres se divisent en deux groupes : les symétriques (1er, 3ème,. . . ) et les antisymétriques (2ème, 4ème,. . . ) 1. Méthode exacte : On ne considère que les modes symétriques. Le système étudié peut être limité la moitié gauche de la poutre avec une masse concentrée de M/2. (a) Démontrer que les pulsations propres sont trouvées à partir de l’équation : µθ(tan θ − tanh θ) = 2 L Avec µ = M m , m = ρAL la masse de la poutre et θ = β 2 Remarque pour alléger le système, trouver d’abord les coefficients C1 et C3 (b) Trouver la plus petite valeur de βL quand µ = 2 (la masse concentrée est le double de la masse de la poutre). La solution de l’équation x(tan x − tanh x) = 1 est x = 1.08756 2. Système à un degré de liberté équivalent : En remplaçant la poutre par un système masse ressort équivalent, le système avec masse concentré est équivalent à un ressort supportant la masse équivalente de la poutre 2 et la masse concentrée. Trouver ω1app et β1app L 22 3. Quotient de Rayleigh : Les modes propres de la poutre sans masse concentrée sont Yn (x) = C2 sin nπ Lx Utiliser ces fonctions pour trouver le carré de la pulsation fondamentale de la poutre + masse concentrée ω12 et en déduire β1 L en utilisant le quotient de Rayleigh 4. Formule de Dunkerley : Une autre façon d’annoncer la formule de Dunkerley est que pour un système comportant des masses concentrées, la pulsation fondamentale est tel que X 1 1 = 2+ Mi aii 2 ω1 ω0 ω02 est la pulsation fondamentale du système sans masse concentrée, Mi une masse concentré et aii la flexibilité au point i (déformation au point i qui résulte de l’application d’une force unitaire au même point). Utiliser la formule de Dunkerley pour trouver ω12 et β1 L Indications : 2 Y (x) — Le moment fléchissant est donnée par M (x) = EI d dx 2 — L’effort tranchant est donné par V (x) = dMdx(x) — Les pulsations propres d’une poutre simplement appuyée sont données EI par ωn2 = (nπ)4 ρAL 4 RL RL x 2 — 0 (sin nπ L ) dx = 0 (cos nπ Lx )2 dx = L2 23 Cas Quelques raideurs équivalentes Raideur 2quivalente >?@ = 3 34 $ >?@ = 48 >?@ = 3 34 $ 34$ 2 D >?@ = 192 >?@ = 3 34 2 + D 2 D >?@ = >?@ = 34 $ 768 34 7 $ 2434 2 3$ + 82 >?@ = 334 2 $+2 Cas Raideur 2quivalente >?@ = 12 >?@ = 3 34 ∗2 $ 34 ∗2 $ 5 5.1 Chapitre 5 : Méthodes approximatives Examen 2007 Un pont est composé d’une simple dalle de béton de largeur b = 2m, de longueur L = 20m de long et d’épaisseur h = 50cm. Elle est encastrée à gauche dans une zone rocheuse et appuyée à droite sur un sol mou. Ce sol est considéré comme élastique de raideur globale k = 106 N/m. Les caractéristiques du béton sont E = 35GP a, ρ = 2500kg/m3 . 1. On considère d’abord que le pont ne repose pas sur le sol mou à droite. On s’intéresse alors aux vibrations libres du pont considéré comme une EI poutre encastrée-libre. La solution exacte est donnée par : ω02 = 1.8754 ρAL 4 Trouver la fréquence propre du pont en considérant un système masse ressort équivalent. 2. Appliquer la méthode du quotient de Rayleigh pour trouver la fréquence fondamentale et l’erreur commise quand la déformée est donnée par : 2 a y(x) = x  2  3 b y(x) = Lx2 − x3 3. On considérant le sol mou, un modèle EF donne une fréquence fondamentale de 1.554 Hz. En utilisant le quotient de Rayleigh et en considérant la déformée donnée en 2.b. Calculer la fréquence propre fondamentale du pont. Rappel : Le quotient de Rayleigh pour une poutre sollicitée en flexion et comportant des masses concentrées mf et des ressorts concentrés ks est donné par :  2 2 RL P d Φ dx + Ss=1 ks Φ2 (xs ) EI 0 dx2 2 R(ω ) = R L PF 2 2 f =1 mf Φ (xf ) 0 ρAΦ (x)dx + 5.2 Examen 2010 - 1 Une poutre en flexion de section constante S, d’inertie de flexion I, de module d’Young E, de masse volumique ρ et de longueur L est encastrée en x=0 et libre en x=L.

πx Soit la fonction de déplacement : v(x, t) = 1 − cos 2L p(t) 1. Calculer les énergies cinétique et potentielle de la poutre. En déduire la pulsation fondamentale de la poutre en appliquant une méthode de calcul approchée . 5.3 Examen 2010 - 2 Une poutre en flexion de section constante S, d’inertie de flexion I, de module d’Young E, de masse volumique ρ et de longueur L est articulée en x=0 et x=L. La poutre est chargée en son centre par une masse concentrée M égale à 20 fois la masse de la poutre. Cette dernière étant négligée la déformée statique 26 de la poutre sous l’action de la masse M est de la forme : v(x) = 4x3 − 3xL2 (attention, cette flèche est valable pour la moitié de la poutre). 1. Pourquoi a-t-on choisi cette déformée ? 2. Trouver la pulsation fondamentale de la poutre avec la méthode approchée de Rayleigh. 3. Si on assimile cette poutre à un système masse ressort de raideur équivalente 48EI/L3 , trouver la pulsation propre de ce système. Rappel : Le quotient de Rayleigh pour une poutre sollicitée en flexion et comportant des masses concentrées mf et des ressorts concentrés ks est donné par :  2 2 RL P d Φ dx + Ss=1 ks Φ2 (xs ) EI 2 0 dx R(ω 2 ) = R L PF 2 2 f =1 mf Φ (xf ) 0 ρAΦ (x)dx + 5.4 Examen 2010 - 3 On voudrait calculer les pulsations propres d’une poutre encastrée à ses deux extrémités. Parmi les méthodes qui existent, on trouve la méthode de Rayleigh-Ritz. Proposez des fonctions admissibles pour résoudre ce problème. 5.5 Examen 2010 - 4 Une poutre uniforme encastrée à ses deux extrémités. Calculer sa pulsation fondamentale en utilisant une seule fonction de Ritz w(x, t) = q(t)F (x)   2πx F (x) = 1 − cos L Quelle est q l’erreur commise sachant que la pulsation analytique est : ω1 = EI 22.3733 ρAL 4 5.6 Examen 2011 Soit une poutre simplement appuyée aux deux extrémités et sollicitée en flexion. 1. Trouver une fonction admissible qui décrit la déformée de la poutre. 2. Calculer l’énergie cinétique et potentielle de la poutre 3. En déduire la raideur équivalente et la masse équivalente de la poutre N.B A titre indicatif, nous avons vu en classe que la masse équivalente est la moitié de la masse de la poutre et que la raideur équivalente était 48EI/L3 . 4. On accroche un système masse ressort au milieu de la poutre précédente. Trouver les fréquences propres et les modes propres du nouveau système. La masse ajoutée est m et le ressort ajouté est de raideur k. 27 5.7 Examen 2012 Vibrations en flexion d’une tige On s’intéresse aux mouvements de vibration de flexion d’une tige flexible AB encastrée en A, libre en B et supportant une masse en son centre C. On souhaite obtenir une approximation de la fréquence fondamentale de la structure par différentes approches. On ne s’intéresse qu’aux mouvements dans le plan (x, y). La tige a une longueur 2L et elle est modélisée par une poutre sollicitée en flexion. Les sections de la tige ont une surface S et une inertie quadratique autour de z notée I. Le module de Young du matériau de la tige est E et ρ est sa masse volumique. La masse placée en C est noté M. Dans ce mouvement de vibration, on note v(x, t) le déplacement transversal (direction y) d’une section de la tige située à l’abscisse x (l’origine des abscisses étant prise en A). Les effets de pesanteur sont négligés. Première approche : dans un premier temps, on cherche une approximation par analogie avec un système à un degré de liberté équivalent. On considère que le système est majoritairement entrainé en mouvement par la masse M. On considère la position de la masse M comme coordonnée généralisée 1. Donner l’expression de la raideur équivalente du système à 1ddl. (voir formulaire en bas) 2. On considère que la masse de la tige est faible devant M. Définir la masse équivalente. 3. En déduire une approximation de la fréquence fondamentale du système. 4. Donner une nouvelle approximation de cette fréquence en tenant compte de la masse distribuée de la poutre. On utilisera pour cela la déformé de la tige la plus simple qui soit. 28 Deuxième approche : On cherche maintenant une approximation de cette fréquence en utilisant la méthode du quotient de Rayleigh. 1. Donner l’expression de l’énergie cinétique du système pendant le mouvement. 2. Donner l’expression de l’énergie potentielle du système pendant le mouvement (la poutre est sollicitée en flexion). 3. Donner l’expression du quotient de Rayleigh pour une déformée V(x) donnée. Rappeler l’origine des termes de ce quotient. Préciser les hypothèses sur la déformé V(x). Expliquer comment ce quotient peut donner une approximation de la fréquence fondamentale. 4. On prend comme déformé la fonction x2 . Donner l’approximation de la fréquence fondamentale. Formulaire : déformée d’une poutre AB de longueur 2L, encastrée en A, libre en B et soumise à un effort F en son centre C     F Lx2 − x3 , 0 ≤ x ≤ L, sur AC EI 2 6 v(x) = 2 3 F L L  , L ≤ x ≤ 2L, sur BC EI 2 x− 6 Troisième approche : On utilise dans cette approche la méthode de RayleighRitz. 1. Choisir une famille de fonctions trigonométriques qui vérifient les conditions aux limites géométriques. 2. Pour deux fonctions de cette famille, calculer la matrice raideur et masse du système 3. Calculer les deux premières pulsations propres ainsi que les modes propres Rappel : les kij et mij sont données par : kij = Z S L EI 0 mij = X d2 Φi (x) d2 Φj (x) dx + ks Φi (xs )Φj (xs ) 2 2 dx dx s=1 Z L ρAΦi (x)Φj (x)dx + 0 F X mf Φi (xf )Φj (xf ) f =1 Troisième approche : On utilise dans cette approche la méthode de RayleighRitz. 1. Choisir une famille de fonctions trigonométriques qui vérifient les conditions aux limites géométriques. 29 2. Pour deux fonctions de cette famille, calculer la matrice raideur et masse du système 3. Calculer les deux premières pulsations propres ainsi que les modes propres Rappel : les kij et mij sont données par : kij = Z EI 0 mij = 5.8 S L X d2 Φi (x) d2 Φj (x) dx + ks Φi (xs )Φj (xs ) dx2 dx2 s=1 Z L ρAΦi (x)Φj (x)dx + 0 F X mf Φi (xf )Φj (xf ) f =1 Examen 2013 - exercice1 Soit une pompe montée au milieu d’une poutre uniforme simplement appuyée à ses deux extrémités. Pendant sa rotation la pompe génère une force harmonique exprimée par :f0 cos ωt. On suppose que la poutre était au repos au démarrage de la pompe (on ne considère que le régime permanent). Les caractéristiques de la poutre : E module de Young, ρ densité, A section transversale et I moment d’inertie 1. (1 points) Donner l’équation de mouvement de la poutre sachant que la force est : f0 cos ωtδ(x − l/2). Avec δ fonction de Dirac 2. (1 points) Les modes propres de la poutre sont donnés par Yn (x) = sin(nπx/L). Montrer, en utilisant le quotientq de Rayleigh, que les pul
nπ 2 EI sations propres sont données par : ω = L ρA 3. (8 points) On voudrait calculer la réponse en tout point de la poutre w(x,t)=Y(x)q(t). Cette réponse est la somme des contributions de tous les modes. (a) (1 points) Sans faire de calcul quels sont les modes qui seront présents dans la réponse et pourquoi, (b) (1 points) Utiliser la condition d’orthogonalité pour trouver l’équation différentielle vérifiée par les fonctions qn (t), (c) Trouver la solution générale en faisant ressortir : 30 i. (1 points) la partie de la solution qui correspond aux conditions initiales dues à qn (0) et q̇n (0) ii. (1 points) la partie de la solution qn (t) qui correspond aux conditions initiales dues à la force, iii. (1 points) la partie de la solution qn (t) qui correspond à la solution particulière, (d) (1 points) Dans notre cas particulier ou la poutre était au repos à t=0. Trouver l’expression de la réponse w(x,t), (e) (1 points) Quelles sont les vitesses de rotation de la pompe à éviter ? (f) (1 points) Sans faire trop de calculs et en présence de l’amortissement, trouver le déplacement de la pompe en régime permanent. 4. (3 points) Dans cette partie nous allons essayer de trouver la réponse précédente en approximant la poutre par un système à 1 ddl. La pompe tourne à une vitesse proche de la première pulsation propre. Donc la réponse va être dominée par le premier mode. (a) (1 points) Trouver la raideur équivalente en utilisant le premier mode (A titre d’indication la raideur équivalente donnée par la RDM est 48EI/L3 (b) (1 points) Trouver la masse équivalente en utilisant le même mode (c) (1 points) Trouver la réponse forcée pour ce système et commenter le résultat. Rappels : RL — Les conditions d’orthogonalité sont donnés par 0 Yn (x)Ym (x)dx = 0 pour n 6= m R — f (x)δ(x − a) = f (a) RL L — 0 sin2 nπx L dx = 2 5.9 Examen 2015 - Problème Un acrobate parcourt un pont à une vitesse p constante. Le pont est modélisé par une poutre simplement appuyée aux deux extrémités. La poutre de longueur 31 l, a un module de rigidité en flexion de EI et une masse par unité de longueur ρA. L’acrobate exerce une force F supposée constante en module, son point d’application est à une distance pt de l’extrémité gauche. t étant le temps. L’équation de mouvement transversal libre du pont est : EI ∂ 4 v(x, t) ∂ 2 v(x, t) + ρA =0 ∂x4 ∂t2 v(x, t) est le déplacement latéral d’une section du pont à une distance x de l’extrémité gauche et à un instant t. Les modes propres sont donnés par :  x Yn (x) = sin nπ ) l On ne vous demande pas de démontrer cette formule. 1. (1 points) A partir du quotient de Rayleigh, trouver les pulsations propres ωn 2. (1 point) Trouver l’équation du mouvement forcé du pont 3. (5 points) Nous allons utiliser la technique de séparation des variables et considérer la réponse d’un mode à la fois. La réponse totale est la somme des réponses dues à tous les modes (a) (1 point) Le déplacement v(x,t) est le produit de la fonction de forme Y(x) et une fonction q(t). Trouver l’équation vérifiée par la fonction q(t) (b) (1 point) Trouver la solution de l’équation homogène (c) (1 point) Trouver la solution particulière (d) (1 point) A l’instant t=0, le pont était au repos (zéro déplacement et zéro vitesse en tout point). Trouver la solution générale q(t) (e) (1 point) Trouver le déplacement du milieu du pont v( 2l , t) en fonction de EI, ρA, l, F , ω = π pl et ωn Rappel R L : La condition d’orthogonalité des modes propres est donnée par 0 Yn (x)Ym (x)dx = 0 pour m 6= n 4. (1 point) Quelles sont les modes qui contribuent au déplacement du milieu du pont 5. (1 point) Quelles sont les vitesses que l’acrobate doit éviter Rappel : Z δ(x − x0)f (x)dx = f (x0 ) Z l Yi (x)Yi (x)dx = 0 32 l 2