Exercices chapitre

Université de Paris I Licence d’Economie 3ème année Cours de Microéconomie Le risque Exercice 1 1 Un individu a une fonction d’espérance de l’utilité de la forme u(w) = w 2 . Sa richesse initiale s’élève à 4e. Il possède un billet de loterie qui peut valoir 12e avec la probabilité 21 et 0e avec la probabilité 21 . Quelle est l’espérance de son utilité ? Quel est le plus petit prix p auquel il serait disposé à vendre le billet de loterie ? Exercice 2 - L’assurance Un armateur s’engage à transporter de la marchandise dont la valeur est de 100 000. Il doit prendre une décision concernant l’assurance de cette marchandise pendant le transport. Par souci de simpli…cation on suppose qu’en cas d’accident, la marchandise est totalement perdue. Les préférences dans le risque de l’armateur sont représentables par le modèle d’Espérance d’Utilité avec une fonction d’utilité de Von Neumann u(x) = lnx. La capacité …nancière de l’armateur pendant cette période est de 120 000. La probabilité de perte de la marchandise, compte tenu de l’état du navire et de la destination est estimée à 0.05. Remarque: à cause de la lente croissance de la fonction ln x vous devez, pour comparer les di¤érentes propositions, conserver dans vos résultats au moins 4 chi¤res après la virgule. 1. Une compagnie d’assurance propose à l’armateur 2 contrats : - un contrat A qui couvre totalement sa perte en cas d’accident et dont la prime est de 5500. - un contrat B qui rembourse 50 000 en cas de perte de la marchandise et qui coûte 2750. L’armateur s’assurera-t-il dans ce cas ? Si oui, quel contrat sera choisi? Pourquoi ? 2. Si, suite à de bonnes a¤aires, la capacité …nancière de l’armateur devenait de 500 000 , que pouvez vous dire sur son choix de contrat d’assurance ? 3. On suppose que la capacité …nancière de l’armateur est toujours de 120 000. Il sait qu’en e¤ectuant une révision technique complète du navire et en installant des équipements supplémentaires, il peut réduire la probabilité d’accident : supposons que cette dernière puisse passer de 0.05 à 0.01. La révision coûte 1000. L’armateur va-t-il l’entreprendre ? On suppose ici qu’il ne s’assure pas. Commenter. Exercice 3 – La demande d’assurance (1) Un individu dispose d’un patrimoine de 35.000 euros et risque d’encourir une perte de 10.000 euros. La probabilité d’une telle perte est de , supposée connue de tous. L’achat de K euros d’assurance coûte K (que le risque se produise ou non), où est un paramètre. L’individu est doté d’une fonction VNM concave u(x): 1. On note Cd la consommation dans le cas (défavorable) où la perte se produit et Cf la consommation dans le cas (favorable) où elle ne se produit pas. Donner les 1 valeurs de Cd et Cf en fonction de et de K. En déduire que la contrainte de budget du consommateur a pour pente =(1 ). 2. Exprimer la condition d’équilibre du consommateur dans le cas général. 3. Quelle est l’espérance mathématique de pro…t de la compagnie d’assurance ? Supposons qu’elle o¤re une assurance à une taux « équitable », c’est à dire où la valeur attendue du contrat est égale à son coût. Quelle sera alors la valeur de ? 4. En déduire que si le consommateur a de l’aversion pour le risque, il prendra une assurance « complète », c’est à dire qui égalise sa consommation quelles que soient les circonstances. Quel sera le montant de l’indemnisation dans ce cas ? Exercice 4 - La demande d’assurance (2) Un individu, de richesse initiale W , fait face à un risque de maladie pouvant entraîner une perte monétaire de montant S. Le risque est caractérisé par la variable aléatoire X avec P (X = S) = p. La fonction d’utilité de Von Neumann de l’agent est notée u(x) = e x avec > 0. Une compagnie d’assurance propose par ailleurs un contrat d’assurance caractérisé par une indemnité I versée en cas de maladie et une prime P égale à bI avec b p: A. 1. Calculer l’indice absolu d’aversion pour le risque. Commenter. 2. Ecrire le programme qui permet de déterminer le montant de couverture I choisi par l’individu. Calculer le montant de couverture optimal choisi par l’agent. Commenter. 3. Comment varie I si b augmente. Expliquer. 4. Calculer l’espérance d’utilité de l’agent lorsque l’agent peut s’assurer et lorsque lorsque b = p: B On suppose à présent qu’un système de dépistage est possible et permet de déterminer avant que l’agent ne s’assure si l’agent sera malade ou non. La compagnie d’assurance connaît le résultat du dépistage. Le déroulement temporel des décisions est le suivant: (1) Le dépistage est e¤ectué et le résultat est observé par l’agent et la compagnie d’assurance (2) La compagnie d’assurance peut proposer ou ne pas proposer un contrat d’assurance à l’agent. 5. Une fois l’agent dépisté, la compagnie d’assurance est-elle prête à assurer l’agent? 6. En déduire l’espérance d’utilité de l’agent avant qu’il ne se fasse dépister. Comparer ce dernier résultat au résultat obtenu à la question 4. Exercice 5 – Le rendement des actifs Un consommateur dispose d’un patrimoine W et il envisage d’investir un montant x dans un actif à risque. L’actif procure un rendement rd < 0 en cas de résultat « défavorable », et un rendement rf > 0 en cas de résultat « favorable ». 1. Ecrire la valeur du patrimoine du consommateur dans chacune des deux situations. 2. Supposons que la situation favorable se produise avec une probabilité et la situation défavorable avec une probabilité 1 . Quel est le rendement attendu de 2 l’actif ? Quelle est l’utilité attendue du consommateur (en fonction de x) s’il a une fonction d’utilité de type VNM ? Montrer qu’en cas d’aversion pour le risque, l’utilité espérée EU(x) est une fonction concave de x. 3. Ecrire l’équation donnant le montant optimal de l’investissement pour le consommateur. A quelle condition investira-t-il un montant strictement positif ? (Application numérique : W = 10:000 euros; rf = 20%; rd = 5%; = 12 ; a) u(W ) = lnW ; b) u(W ) = e rW ) 4. Supposons maintenant que l’individu paie des impôts à un taux t sur les rendements d’investissement : le rendement après impôts devient r(1 t), quelle que soit la valeur de r. Soit x , la valeur de l’investissement optimal avant impôt, x t, la valeur optimale de l’investissement après impôt, quelle est la relation entre x et x t ? En déduire qu’une taxe augmente le montant d’investissement optimal. Comment expliquez-vous ce phénomène ? Questions Vous répondrez aux questions suivantes à parir du texte ci-dessous ("Insurance as a Normal Good: Empirical Evidence for a Puzzle", de Jérôme Foncel et Nicolas Treich). 1. L’assurance est-elle un bien normal? 2. Qu’est-ce que cela implique sur la fonction d’utilité d’un individu VNM? 3. Quel paradoxe mettent en évidence les auteurs lorsqu’ils étudient les stratégies de placement des individus? 3