Pensamento geometrico

Mestrado Profissional em Educação Matemática da UFOP DESENVOLVENDO O PENSAMENTO GEOMÉTRICO NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL: UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA PROFESSORES E FORMADORES DE PROFESSORES CIRLÉIA PEREIRA BARBOSA Ouro Preto, 2011 Departamento de Matemática Caro(a) Colega, Leciono Matemática há seis anos para o Ensino Fundamental e também atuo, há algum tempo, na formação continuada de professores que ensinam Matemática. Minha preocupação com a Geometria surgiu na graduação, quando ingressei no Núcleo Interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP). Na época, atuava como monitora em cursos e oficinas oferecidos para professores e pude observar a dificuldade dos participantes nos conteúdos geométricos. Após concluir a licenciatura, vivenciei minhas primeiras experiências como docente. No dia a dia da sala de aula, comecei a observar as dificuldades de meus alunos em Geometria, principalmente nas turmas de 6º ano do Ensino Fundamental. Constatei que muitas dessas dificuldades vinham dos anos iniciais. A partir daí, comecei a pensar na formação do professor que leciona Matemática para os anos iniciais e em formas de contribuir para o seu desenvolvimento profissional e, consequentemente, a aprendizagem de seus alunos. Compartilho com você uma proposta de ensino de Geometria que desenvolvi no Mestrado Profissional em Educação Matemática da UFOP. Esta proposta foi desenvolvida com um grupo de três professoras que lecionam Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental de uma escola pública de Ouro Preto (MG). O propósito do grupo era estudar Geometria pensando tanto na aprendizagem necessária ao professor, quanto na criação de atividades interessantes para a sala de aula. Embora o trabalho tenha sido realizado com professores, acredito que as atividades desenvolvidas possam ser utilizadas tanto em salas de aula, quanto em disciplinas voltadas para a formação de professores. Espero que gostem! Um abraço da Cirléia. 2 Introdução Esta proposta é fruto de uma dissertação de Mestrado1. Para desenvolvê-la, foi feita uma pesquisa envolvendo um grupo de três professoras que lecionam Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental de uma escola pública de Ouro Preto (MG) e uma pesquisadora. O livreto está organizado da seguinte forma: primeiro, apresentamos2 rapidamente as ideias que fundamentaram a proposta de ensino, ou seja, leituras e reflexões que nortearam a construção de cada atividade. Em seguida, comentamos em que contexto o trabalho foi desenvolvido e, então, apresentamos as atividades realizadas. Procuramos apresentá-las com detalhe, ilustrando as respostas dadas pelas participantes e comentando aspectos importantes da mesma. Finalmente, compartilhamos algumas sugestões de leitura para os interessados no ensino de Geometria nos anos iniciais e no desenvolvimento do pensamento geométrico. 1. O ensino de Geometria nos anos iniciais A Geometria está presente em diversas formas do mundo físico. Basta olhar ao nosso redor e observar as mais diferentes formas geométricas. Muitas delas fazem parte da natureza, outras são produtos das ações humanas, como, por exemplo, obras de arte, esculturas, pinturas, desenhos, artesanatos, construções, dentre outras. Seu estudo, relacionado a essas formas, permite vincular a Matemática a outras áreas do conhecimento. De forma mais abstrata, a Geometria também se constitui em um saber lógico, intuitivo e sistematizado. Isso a coloca como necessidade primordial na construção do conhecimento e do raciocínio. Em ambos os aspectos, a Geometria torna-se intrínseca à preparação profissional do aluno e ao desenvolvimento de habilidades que o conduzem a determinada carreira. Esses são alguns dos principais motivos que a colocam como conteúdo importante em toda a Educação Básica. Entretanto, nossa prática docente tem nos mostrado que os professores trabalham de forma tímida esses conteúdos ou, até mesmo, optam por não incluí-los nas aulas do Ensino Fundamental, principalmente nos anos iniciais. 1 BARBOSA, Cirléia Pereira. O pensamento geométrico em movimento: um estudo com professores que lecionam Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental de uma escola pública de Ouro Preto (MG). Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - UFOP, Ouro Preto, 2011. 2 O livreto está escrito na 1ª pessoa do plural, pois a orientadora da pesquisa, Ana Cristina, participou ativamente de todo o desenvolvimento do trabalho. 3 O abandono do ensino da Geometria nas escolas brasileiras tem sido discutido, há mais de uma década, por vários autores (PAVANELLO, 1989, 1993; GAZIRE, 2000, entre outros). Dentre as principais causas desse abandono, o Movimento da Matemática Moderna e o despreparo do professor com relação ao desenvolvimento dos conteúdos geométricos têm sido as mais destacadas. Isso fez com que o professor não tivesse acesso a esses conteúdos durante sua escolarização, o que lhe trouxe dificuldades em trabalhar a Geometria na sala de aula, principalmente nos anos iniciais. A implantação dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), no final da década de 1990, trouxe um novo tratamento à Geometria, desde a escolarização inicial. Entretanto, os professores que não tiveram e nem vivenciaram a Geometria no currículo, durante sua escolarização, precisaram inserir tal conteúdo em suas salas de aula. Dessa forma, houve um empobrecimento na abordagem dos conteúdos, que passaram a ser desenvolvidos de maneira intuitiva e experimental, muitas vezes, utilizando apenas a identificação das quatro figuras: quadrado, retângulo, triângulo e círculo; para depois trabalhar a parte métrica com perímetro e área. Os conhecimentos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no Ensino Fundamental. Os Parâmetros Curriculares Nacionais destacam, dentre outras coisas, a importância desses conhecimentos na formação dos alunos nesse nível de ensino. Segundo esse documento: Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa. (BRASIL, 1997, p. 56) Para os Parâmetros Curriculares do Ensino Fundamental (1997), o ensino de Geometria nos anos iniciais deve possibilitar que o aluno estabeleça pontos de referência que lhe permitam situar-se e posicionar-se no espaço. Além disso, perceber semelhanças e diferenças entre objetos no espaço, identificar e representar as formas dimensionais são habilidades essenciais. As propostas curriculares atuais defendem, principalmente nos anos iniciais da Educação Básica, um ensino Geometria de caráter mais experimental (NACARATO e PASSOS, 2003). Mas como as atividades experimentais podem contribuir para a formação dos conceitos geométricos? 4 Assim como as autoras citadas, entendemos que a prática pedagógica de Geometria tem sido apoiada pelo uso do desenho e, muitas das vezes, outros elementos importantes para a formulação dos conceitos geométricos são deixados de lado. Isso pode ser visto, por exemplo, quando um aluno sabe reconhecer um quadrado, mas não sabe defini-lo. Essas são algumas ideias associadas ao pensamento geométrico, que será discutido a seguir. 2. O desenvolvimento do pensamento geométrico Buscamos na literatura - brasileira e de outros países - aportes teóricos que nos ajudassem a compreender o desenvolvimento do pensamento geométrico. Pais (1996) oferece-nos uma visão acerca do desenvolvimento do pensamento geométrico. Baseando-se na análise epistemológica da Geometria Espacial desenvolvida por Gonseth (1945), o autor destaca três questões fundamentais do conhecimento geométrico: o intuitivo, o experimental e o teórico. De acordo com ele, para construir o conhecimento teórico geométrico dos alunos, é preciso que o professor considere tanto as questões intuitivas, quanto as atividades experimentais. Esse mesmo autor ressalta quatro elementos fundamentais no processo de representação plana de um objeto tridimensional: objeto, desenho, imagem mental e conceito. Para esse autor, o objeto e o desenho são recursos manipulativos que auxiliam um conhecimento de natureza empírica e, por si próprios, não caracterizam as noções geométricas. Mas, para construir o conhecimento teórico da Geometria, constituído fundamentalmente pelos conceitos, é preciso considerar tanto as questões intuitivas, quanto as atividades experimentais. Assim, objeto, desenho, imagem mental e conceito são elementos que se completam. Na pesquisa que realizamos, o termo objeto foi utilizado “apenas em sua acepção concreta” (PAIS, 1996, p. 66), como sinônimo de ‘material concreto’, ‘material manuseável’ ou ‘material manipulativo’ - no sentido atribuído por Nacarato (2005). Entendemos que conceitos expressam ideias e representações gerais (FISCHBEIN, 1993 apud PASSOS, 2000), constituindo o conhecimento teórico da Geometria (PAIS, 1996), e imagens mentais são representações internas de um conceito ou propriedade, reveladas por meio de elementos verbais ou visuais - gráficos, desenhos, linhas, etc. (YAKIMANSKAYA, 1991 apud GUTIERREZ, 1996). 5 A visualização e a representação são outros dois elementos (indissociáveis) importantes para a formação do pensamento geométrico. Em nosso estudo, entendemos visualização, no sentido atribuído por Gutiérrez (1996), como um tipo de raciocínio/pensamento baseado no uso de elementos visuais ou espaciais, tanto mentais, quanto físicos. Como o autor, consideramos dois processos realizados na visualização: a “interpretação visual de informações”, para criar as imagens mentais (por exemplo, através do uso de materiais manipulativos/objetos), e a “interpretação de imagens mentais”, para gerar informações (verbais ou gráficas). No entanto, o raciocinar/pensar em objetos ou desenhos, em termos de imagens mentais, deve acontecer de maneira sistematizada, ou seja, levando em consideração as características e propriedades dos objetos. A representação, também entendida como em Gutiérrez (1996), é um importante instrumento para expressar conhecimentos e ideias geométricas. A representação ajuda a criar ou transformar imagens mentais e produzir o raciocínio visual. Essa representação pode ser gráfica, através de um desenho em uma folha de papel ou de modelos concretos, ou mesmo através do uso da linguagem e gestos. No desenvolvimento de nossa proposta, procuramos apresentar e discutir atividades em que essas ideias se apliquem. 3. A proposta de ensino Construímos esta proposta de ensino a partir de nossas leituras, de experiências pessoais e concepções sobre ensino de Geometria, centrado na aprendizagem dos participantes por meio de atividades que estimulem o desenvolvimento do pensamento geométrico, e de nossa preocupação com a formação docente. Assim, cada atividade foi planejada com a intenção de promover um espaço de aprendizagem coletiva, favorável ao desenvolvimento profissional de professores e à mobilização de seus saberes, em particular, dos saberes relacionados ao pensamento geométrico. Inicialmente, a proposta foi elaborada direcionando sua aplicação para a formação continuada de professores. No entanto, acreditamos que cada atividade apresentada possa ser adaptada tanto para cursos de formação inicial, quanto para professores dos anos iniciais que se interessem em desenvolvê-la em suas classes. 6 3.1. A natureza das atividades e a dinâmica Nossa proposta se organiza em torno de atividades e dinâmicas que buscam favorecer o desenvolvimento do pensamento geométrico. Nesse sentido, procuramos realizar atividades por meio de materiais manipulativos, pois, assim como a literatura (PAIS, 1996, 2000; NACARATO, 2005), entendemos que esses recursos didáticos contribuem para a formação das imagens mentais. Contudo, é necessário buscar o equilíbrio entre a manipulação e a formalização dos conceitos envolvidos nas atividades. Compartilhamos das ideias de Pais (2000), quando este afirma: Nas atividades de ensino da geometria, envolvendo o uso de materiais, é preciso estar duplamente vigilante para que toda informação proveniente de uma manipulação esteja em sintonia com algum pressuposto racional e, ao mesmo tempo, que todo argumento dedutivo esteja associado a alguma dimensão experimental. Acreditamos que este é o primeiro passo para valorizar uma interpretação dialética para o uso dos materiais didáticos. Evitar uma racionalidade vazia desprovida de significado, assim como evitar toda espécie de atividade empírica desconexa de um objetivo educacional previamente analisado (PAIS, 2000, p. 13-14). Assim, os recursos didáticos utilizados nesta proposta (materiais manipulativos, Dicionário de Geometria, instrumentos de desenho geométrico) contribuem para a compreensão dos conceitos geométricos, porém, não podem ser considerados como determinantes, pois “sua finalidade é servir de interface mediadora para facilitar a relação entre o professor, o aluno e o conhecimento em um momento preciso da elaboração do saber” (PAIS, 2000, p. 2-3). A experimentação ajuda a criar as imagens mentais, mas é importante a formalização/abstração dos conceitos. Por isso, a escrita também é fundamental na aprendizagem, pois contribui para a formação conceitual. Na pesquisa que realizamos, ao escreverem, as professoras tomam consciência do próprio processo de aprendizagem. A dinâmica da proposta também envolve a criação do Dicionário de Geometria. Em nossa pesquisa, esse recurso, construído pelas próprias professoras, tornou-se um dos principais elementos de aprendizagem do grupo. Era algo simples, confeccionado a partir de folhas no formato A4. Nossa intenção com esse trabalho era oferecer um material de apoio e/ou consulta para as professoras, que pudesse ser utilizado por elas, tanto na sala de aula, quanto na formação docente. É importante ressaltar que não levamos nada pronto para o grupo. A cada semana, trazíamos a ‘figura do dia’, um assunto/conceito novo a ser discutido e construído pelo próprio grupo. 7 A seguir, apresentamos e discutimos algumas atividades desenvolvidas em nossa pesquisa. Os roteiros das demais atividades e as folhas do Dicionário de Geometria estão disponíveis nos apêndices deste trabalho. 3.2. Apresentando e discutindo as atividades Atividade 1: ‘O problema dos ladrilhos’ Objetivos:  Confeccionar capas personalidades usando figuras geométricas combinadas;  Resgatar conceitos e formas de algumas figuras geométricas planas. Materiais: Cadernos ou pastas, papel sulfite colorido ou papel de presente, tesoura, cola, régua, transferidor, compasso, lápis e borracha. Desenvolvimento: Essa atividade pode ser desenvolvida em um primeiro encontro. Proponha à turma a tarefa de confeccionar capas para o próprio caderno, ou portfólio, ou pasta. No final, é importante que cada um comente as formas que utilizou e destaque suas propriedades. Não se esqueça do registro! Inicie a atividade comentando com a turma que ladrilhos3 ou azulejos, de formas variadas e combinadas, podem ser usados para revestir uma parede ou um piso. Em seguida, peça à turma que imagine a capa de seu caderno como um forro. Solicite que combinem formas geométricas de cores e tamanhos variados, de maneira que não haja espaço entre elas, e criem uma capa para o caderno. Questione os participantes quanto ao uso das formas, trazendo questões do tipo:  Quais são essas formas?  O que você conhece sobre elas? Comentários: Em nossa pesquisa, observamos que a maioria das participantes utilizou triângulos. Uma professora fez uma moldura com um desenho no centro, utilizando formas diversas, como triângulos, pentágonos, hexágonos, trapézios, quadrados, retângulos e quadriláteros não 3 Se necessário, explique à turma o que são ladrilhos, trazendo exemplos do dia a dia (vitrais, calçamentos, etc.). No nosso estudo, as professoras não sabiam o que significava esse termo. 8 notáveis. Não soube destacar as propriedades das figuras e, em relação ao triângulo, apenas citou: “figura de três lados”. Quanto às demais sabia apenas a nomenclatura. Outra professora optou por fazer figuras maiores para agilizar o trabalho. Valeu-se de triângulos, retângulos e hexágonos. Relatou que o triângulo apresentava três lados e três pontas, o retângulo, quatro lados e quatro pontas e, a outra figura (não soube dizer o nome), seis lados e seis pontas. Na ocasião, questionamos com o grupo o que seriam essas ‘pontas’. Uma das participantes respondeu: “São vértices!”. Outra participante usou triângulos, trapézios, quadrados e um círculo construído com compasso. Comentou todas as formas, destacando nomes e algumas propriedades: “O quadrado tem quatro lados iguais e é losango.” “Achei dois triângulos: isósceles e escaleno. O isósceles tem dois lados iguais e o escaleno tem todos os lados diferentes.” “O trapézio é isósceles. Os lados transversais são iguais.” A figura seguinte ilustra o trabalho produzido por elas. Figura 1. Confecção de capas 9 Essa atividade foi realizada com professores. Contudo, pode ser facilmente adaptada para a sala de aula dos anos iniciais. Nas turmas de 1º e 2º ano, as formas geométricas podem ser construídas sem o uso obrigatório das propriedades. Atividade 2: Separando Embalagens Objetivos:  Possibilitar a observação e o manuseio de objetos do cotidiano que se assemelham aos sólidos geométricos;  Classificar os objetos apresentados em poliedros e corpos redondos. Materiais: Embalagens de vários modelos como: caixa de leite, caixa de creme dental, caixa cúbica, caixas em formato de prisma triangular e prisma hexagonal, lata de óleo, lata de refrigerante, copo de água mineral, rolo de papel, chapéu de festa infantil (forma cônica), etc., papel sulfite, lápis e borracha. Desenvolvimento: Essa atividade pode ser desenvolvida em classes dos anos iniciais para introduzir o trabalho com sólidos geométricos, principalmente, o reconhecimento de semelhanças e diferenças entre corpos redondos e entre poliedros e, a identificação de elementos, como faces, vértices e arestas. Nas turmas de 1º e 2º ano, priorizam-se a observação e o manuseio de objetos, sem o uso obrigatório da nomenclatura. Inicie a atividade organizando a turma em pequenos grupos (no máximo quatro pessoas). Em seguida, distribua os modelos de embalagem para cada grupo, considerando características como: forma, tipo de material, tipo de produto (higiene, alimento, etc.) e outros. É fundamental esclarecer que uma embalagem não é um sólido geométrico, e sim, uma representação da superfície. Esse cuidado deve ser tomado para que os alunos não compreendam erroneamente o conceito de sólido. No final, explique à turma que os objetos (embalagens) podem ser classificados em poliedros e corpos redondos. Os poliedros apresentam apenas partes planas, ou seja, têm faces; e os corpos redondos apresentam partes não planas e ‘rolam’ quando colocados em algumas posições. Algumas questões podem nortear o desenvolvimento da atividade, como: 10  Quais são os tipos de poliedros e de corpos redondos?  A base de um objeto redondo é uma face? Veja como a atividade pode ser apresentada: 1) Observe com atenção as embalagens que você recebeu. Em seguida, escolha uma maneira de separá-las e as organize em grupos.  Que critério você escolheu? Explique sua resposta. 2) Agora, organize novamente as embalagens usando o critério ‘formas’.  Quantos grupos você encontrou?  Quais são as semelhanças e as diferenças entre as embalagens? 3) Caso a turma não tenha classificado os objetos em apenas dois grupos, peça para o fazerem, usando o critério anterior.  Você sabe como se chama os objetos de cada grupo?  O que eles têm em comum? Comentários: O critério ‘formas’ foi adotado por todas as participantes de nosso estudo. Segundo elas, já haviam trabalhado com embalagens na sala de aula, abordando outras questões, como higiene, cor, tipo de material, produtos alimentícios, rótulos, etc. Em seguida, solicitamos que reorganizassem as embalagens de acordo com suas formas, colocando-as em apenas dois grupos. Duas professoras separaram as ‘formas retas’ (com faces quadradas e retangulares) das circulares, e outras duas, classificaram as embalagens em formas redondas e formas retangulares. Em seguida, questionamos o grupo quanto ao fato de algumas embalagens rolarem e outras não. As professoras separaram da seguinte maneira: formas redondas (objetos que rolam) e formas retangulares, quadradas, hexagonais, triangulares (objetos que não rolam). Uma professora respondeu: “As embalagens que não rolam tem faces”. Então, perguntamos se as embalagens que rolam não têm faces. Uma das participantes ficou confusa. Então, convidamos essa professora para ir ao quadro e desenhar o contorno de uma das laterais de uma caixa em formato de prisma quadrangular. A figura seguinte mostra o recurso utilizado por ela. A professora apoiou uma das faces no quadro e, com um giz, desenhou o contorno de uma das laterais. 11 Figura 2. Contorno de uma embalagem de frasco de perfume Depois, pedimos a essa professora que utilizasse o mesmo recurso e desenhasse o contorno da lateral da lata de refrigerante. Ela tentou por várias vezes ‘desenhar uma face’ e percebeu que o contorno obtido era diferente do retângulo encontrado no caso anterior. Outra professora também percebeu e concluiu que não seria possível, uma vez que o objeto não apresentava faces. Em seguida, lançamos outra questão para o grupo: “A base de um objeto redondo é uma face?” Entregamos um copo de água mineral à professora que, mais uma vez, foi ao quadro para desenhar o contorno da base. Figura 3. Contorno da base do copo de água mineral Com o objetivo de verificar se a base de um objeto circular é ou não uma face, lançamos novamente ao grupo a seguinte questão: “Esse contorno desenhado é uma face?” Nesse momento, percebemos que a dificuldade apresentada pelas professoras em distinguir base de face estava associada à ideia de face como contorno, mesmo que esse contorno não fosse um polígono. 12 Atividade 3: Planificação de cilindros4 Objetivos:  Relacionar o objeto (latinha de refrigerante) ao seu conceito (cilindro) e desenho (planificação);  Analisar como professores lidam com uma situação de sala de aula. Materiais: Uma lata de refrigerante, papel sulfite, régua, compasso, lápis e borracha. Desenvolvimento: Essa atividade trata-se de um episódio de sala de aula. Ela representa uma situação real vivida por uma professora do 5º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do interior de São Paulo. Proponha à turma que leia o episódio a seguir com atenção. Procure refletir sobre a situação colocada e o que cada participante responderia ao aluno se estivesse no lugar da professora Ruth. A professora Ruth (do 5º ano), da escola José Inácio, iniciou uma atividade com os alunos, solicitando-lhes que desenhassem a planificação de um cilindro, explicando-lhes que o cilindro tem a forma de uma lata de refrigerante. Ela mostrou-lhes alguns objetos que têm essa característica, como as próprias latas de refrigerantes, sólidos de madeira, canudos de papel alumínio, entre outros. Explicou-lhes que, depois do desenho pronto, eles iriam recortá-lo, tentando montar um cilindro, cujo resultado deveria ser semelhante à forma sugerida. O aluno Júlio, tentando ser fiel ao que observou, mostrou seu desenho para a professora, perguntando-lhe se estaria correto. A professora perguntou para o aluno se esse desenho, depois de recortado e montado, daria a ideia de uma lata de refrigerante. O aluno, antes de responder, recortou-o, verificando não ser possível obter a representação da lata de refrigerante com ele, e comentou: _ “Vai faltar a parte de trás, mas não sei como colocar...” 4 Adaptado de Passos (2000). 13 Comentários: Veja como as participantes de nossa pesquisa responderam: Figura 4. Respostas das professoras Propusemos às professoras a realização dessa atividade, solicitando que reproduzissem a tarefa feita pelo aluno da professora Ruth, imaginando a planificação do objeto. As três participantes tiveram dificuldade para iniciar o trabalho. Uma professora desenhou, inicialmente, a vista frontal da lata de refrigerante. Depois de observar várias vezes o que havia feito, percebeu que a figura também não fechava. Então, decidiu prolongar o desenho (pela direita e pela esquerda), como destacado na figura 5 (a). Após um tempo observando a planificação feita, ela notou algo ‘estranho’. Então, decidiu criar um novo desenho formado a partir de um retângulo e dois círculos. A figura a seguir ilustra o trabalho feito por essa professora. 14 (a) (b) Figura 5. Planificação do cilindro Outra professora também desenhou um retângulo e dois círculos (vinculados ao comprimento do retângulo, um para cada lado), como mostra a figura 6 (a). Ao recortar a figura, percebeu que a mesma não fechava. Então, decidiu confeccionar os encaixes (pequenas abas) para colar o desenho - figura 6 (b). (a) (b) Figura 6. Planificação do cilindro Outra participante desenhou a vista frontal da lata de refrigerante, mas não conseguiu reproduzir o desenho do objeto planificado. Veja como a professora resolveu. Figura 7. Planificação do cilindro 15 Ao final, discutimos a tarefa proposta. Todas as professoras consideraram a atividade difícil e desafiadora, pois não haviam pensado em como seria a planificação de uma lata de refrigerante. Nesse momento, ressaltamos a importância de vivenciar situações de conflito, pois, através delas, (re)construímos saberes. Como no caso da professora Ruth, também nos deparamos com situações de sala de aula em que, muitas vezes, não temos respostas imediatas, mas é preciso refletir sobre elas e buscar caminhos que nos ajudem a encontrar soluções. Atividade 4: Estudando as planificações Objetivos:  Identificar regiões planas e seus contornos;  Reconhecer a planificação de um sólido geométrico;  Desenvolver a habilidade de visualização e representação. Materiais: Folha com planificações (anexo C, p. 59), tesoura, cola e lápis de cor. Desenvolvimento: Essa atividade pode ser desenvolvida com alunos do 4º e 5º ano do Ensino Fundamental. Para facilitar a montagem das superfícies, pode-se utilizar cartolina ou outro tipo de papel com maior gramatura. Para a realização da atividade, organize diferentes planificações de sólidos geométricos como: cilindro, cone, prismas e pirâmides. Em seguida, distribua para a turma o material e apresente as tarefas: Analise as planificações que você recebeu. Agora, faça o que se pede: 1) Identifique quantas e quais figuras geométricas estão representadas em cada desenho; 2) Descubra qual é o sólido geométrico representado em cada planificação e escreva o seu nome. 3) Em seguida, recorte e monte a superfície analisada e compare com os objetos que já estudamos. Comentários: Em nossa pesquisa, optamos por não mencionar o termo ‘planificação’, pois queríamos saber como as participantes reagiriam à situação proposta. Durante as atividades, 16 percebemos a preocupação do grupo em expressar corretamente o nome das figuras (planas e espaciais). Ao classificar prismas e pirâmides, muitas vezes, as professoras não se lembravam da nomenclatura e levantavam questionamentos do tipo “Esse sólido geométrico, como ele chama?” ou “Como é que chama essa figura aqui?” Nessas ocasiões, ficávamos atentas para não dar a resposta desejada, mas conduzir o trabalho para que as próprias professoras encontrassem a solução. Um dos momentos mais produtivos da pesquisa de campo que realizamos era a discussão ao final de cada atividade. No caso dessa atividade, antes de recortar e montar as superfícies, cada professora comentou seu trabalho. Várias questões foram surgindo durante essa discussão, principalmente sobre a nomenclatura de prismas e pirâmides. O trecho a seguir ilustra isso. Professora 1: A minha primeira é prisma... oblíquo. São: dois quadrados, dois paralelogramos e dois retângulos. (conversas) Professora 1: Esse aqui é um prisma de base triangular. Três retângulos e dois triângulos. A base triangular. Essa aqui é uma pirâmide de base hexagonal, um... dois... três triângulos e um hexágono [...]. Esse aqui é o cubo, mais fácil, seis quadrados. Essa aqui é uma pirâmide de base triangular, são quatro triângulos. Professora 2: Aquela ali já aparece né, o triângulo ali debaixo. (Referindo-se a uma pirâmide triangular, diferente do tetraedro regular.) Cirléia: É... É verdade. Professora 1: Diferente dessa, né? E aqui é um cilindro. Não é poliedro. Dois círculos e um retângulo. As professoras demonstraram habilidade e paciência no desenvolvimento dessa atividade. Percebemos, no grupo, um ambiente descontraído e agradável. Sentiam-se à vontade e pareciam tranquilas. Professora 2: “Tá gostoso essa aula, menina. A Gente relaxa...” (Começa a rir.) Professora 1: “Eu também tô gostando...” Professora 2: “A gente fica em casa, a gente faz tanta coisa. [...]” (Começa a rir.) Professora 1: “Por isso que eu gosto de fazer essas coisas...” A figura seguinte ilustra o trabalho produzido por elas. 17 Figura 8. Superfícies de sólidos geométricos Atividade 5: Construindo sólidos geométricos Objetivo:  Desenvolver a habilidade de visualização e representação. Materiais: Argila ou massa de modelar5, papel sulfite, régua, compasso, lápis e borracha. Desenvolvimento: Essa atividade consiste em modelar objetos. Pode ser realizada tanto para retomar a classificação de sólidos geométricos, quanto para trabalhar com perspectiva, como por exemplo, vista frontal, vista lateral e vista superior. Pode ser desenvolvida individualmente ou em dupla, por professores ou alunos dos anos iniciais. Solicite a cada participante que construa diferentes sólidos geométricos usando argila ou massa de modelar. Em seguida, peça que escolha dois (ou mais) desses objetos e represente as seguintes perspectivas: vista frontal, vista lateral direita, vista lateral esquerda e vista superior. Comentários: Em nosso estudo, as professoras modelaram os sólidos geométricos com naturalidade, demonstrando habilidade, criatividade e paciência. Para representar diferentes vistas dos objetos, uma participante escolheu o prisma oblíquo quadrangular, e outra, a pirâmide triangular e o cilindro. Apresentaram dificuldades em classificar o prisma retangular e o prisma triangular. Contudo, ao inverter a posição dos objetos, a classificação tornou-se mais fácil. As figuras seguintes ilustram algumas perspectivas feitas por elas. 5 No anexo A, p. 56, você encontrará uma receita caseira de massa de modelar. 18 Figura 9. Perspectivas Podemos observar na figura anterior que as professoras utilizaram um recurso visual (desenhos) para representar diferentes vistas (frontal, lateral e superior) de cada objeto. O desenho feito elas é um tipo de representação, neste caso, gráfica. Através dele, podemos dizer que as participantes interpretaram visualmente as informações, criando as imagens mentais e, em seguida, representaram por meio de desenhos o raciocínio visual (GUTIÉRREZ, 1996). 19 Atividade 6: Criação de modelos de embalagens Objetivo:  Desenvolver a habilidade de visualização e representação. Materiais: Frasco de produto de higiene, papel colorset ou cartolina de cores diferentes, régua, tesoura, barbante, fita métrica, cola, papel sulfite, lápis e borracha. Desenvolvimento: Inicie essa atividade fazendo um convite à turma. Comente que uma empresa de embelezamento e cuidados para o corpo, pretende lançar um novo produto no mercado. Por isso, está recolhendo pessoas para atuarem na área de criação de novos modelos de embalagens para o frasco desse produto. Os interessados deverão comparecer no setor de recursos humanos, munidos de uma embalagem modelo que atenda aos seguintes critérios: economia, qualidade, estética e praticidade. Os interessados deverão fazer uma demonstração do seu modelo de embalagem, destacando as qualidades que o tornam a melhor opção. Proponha à turma as seguintes tarefas: 1) Elaborar um projeto da embalagem destacando as diferentes vistas do modelo (vista frontal, vista lateral - direita e esquerda - e vista superior; 2) Confeccionar o modelo de embalagem; 3) Eleger o melhor modelo. A figura seguinte mostra o frasco utilizado em nossa pesquisa. Figura 10. Frasco de produto de higiene 20 Comentários: Outra ideia interessante seria apresentar aos alunos vários modelos de caixinhas de presente e pedir que escolham qual deles quer dar de presente para uma pessoa (mãe, amigo, professor). Em seguida, propor que façam o modelo escolhido (o molde e a caixa). Em nosso estudo, as participantes não receberam nada pronto. Ou seja, tiveram que extrair as medidas do frasco, imaginar o modelo, planejar seu projeto e executá-lo. Até mesmo a representação de algumas perspectivas foi feita antes da embalagem pronta. As professoras receberam apenas os materiais necessários e nosso apoio para o que fosse preciso. Uma professora fez o esboço do modelo em seu caderno. Ela confeccionou um tipo de sacola que viu em uma revista de cosméticos. Outra participante pensou em fazer uma caixa com dobraduras. Trouxe de casa um livro para ajudá-la no trabalho. Folheando-o várias vezes, percebeu que não seria viável, uma vez que gastaria muito papel. Então, decidiu buscar por modelos de embalagens que auxiliassem na criação do seu. Já outra professora conferiu as medidas do frasco e começou a planejar o seu esboço, desenhando-o logo em seguida. Os modelos prontos foram julgados pelo grupo. Cada professora defendeu a sua criação, destacando os critérios economia, praticidade e estética. Combinamos de não avaliar a ‘qualidade’, pois todas as embalagens foram feitas com um mesmo tipo de material. Embora todos os modelos fossem criativos e bem feitos, a embalagem da figura (a) foi a que melhor atendeu às ‘exigências’ da empresa, pois se apresentou como a mais econômica (segundo as professoras foi a que gastou menos papel). Na figura seguinte apresentamos os modelos de embalagens. (a) (b) 21 (c) Figura 11. Modelos de embalagens Essa atividade foi considerada pelas professoras como algo bem diferente do que costumavam desenvolver: “Foi uma proposta diferente... Nós tivemos que pensar, pôr a cabeça pra pensar mesmo. Porque... Até então, você imaginar uma coisa é... Imaginação! Agora, você pôr no papel...” Segundo as participantes, esse tipo de trabalho é realizado nas salas de aula dos anos iniciais por meio de modelos prontos de planificação. Nesse caso, cabe aos alunos a tarefa de efetuar as dobragens e montar os objetos. Atividade 7: Interpretando e construindo gráficos Objetivos:  Interpretar e construir mapas e itinerários;  Utilizar um vocabulário adequado. Materiais: Mapas, papel sulfite, roteiro da atividade, lápis e borracha. Desenvolvimento: Inicie a atividade apresentando o texto ‘Mostre aos alunos os conceitos de direção e dimensão’6 pedindo a cada participante que o leia individualmente e pense sobre algumas questões propostas. Elas referem-se à interpretação e construção de representações espaciais, localização de objetos e ao uso de vocabulário correto. Depois, discuta os elementos que chamaram a atenção da turma. Em seguida, proponha a análise de um mapa (por exemplo, do bairro onde está situada a instituição), de uma planta baixa da escola, de um mapa da sala, etc. As etapas seguintes ajudam a nortear o desenvolvimento da atividade: 6 O texto está disponível no anexo B, p. 57. 22  Localize no mapa: a escola, as ruas conhecidas e o caminho que faz para chegar até ela.  Construa um trajeto da escola até determinado ponto de referência (padaria do bairro, alguma praça ou local conhecido).  Use um vocabulário adequado para escrever o trajeto. Por último, organize a turma em dupla e desenvolva a seguinte tarefa7: Uma pessoa da dupla recebe a seguinte proposta: O outro aluno recebe esta outra proposta: 1) Escreva uma mensagem para que seu colega possa desenhar o caminho traçado para encontrar o carrinho, sem olhar o desenho. A mensagem deve conter as informações necessárias. 7 Adaptado de: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/orientacao-espacial-01301.shtml. Acesso em 17 de junho de 2010. 23 Depois de terminar de escrever, troque a mensagem com seu colega. 2) Agora, desenhe no quadriculado vazio o percurso descrito pelo colega para chegar até o carrinho. 3) Confira a resposta com o colega. Comentários: Essa atividade pode ser desenvolvida do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental, de acordo com a faixa etária. Para as crianças do primeiro ciclo (entre 6 e 8 anos), é importante explorar o conceito de sentido e de direção e a localização de pessoas e de objetos no espaço, a partir de diferentes pontos de referência e da análise de mapas, croquis e outros tipos de representação gráfica. Em nosso estudo, foi possível perceber o envolvimento de cada professora na realização dessa atividade. Comentavam sobre o nome das ruas, das praças, o local onde moravam alguns alunos, etc. Tiveram dificuldade em utilizar um vocabulário apropriado na descrição do trajeto, como, por exemplo, direita e esquerda. As participantes citaram a importância do tema ‘localização espacial’ nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Segundo elas, o assunto deveria ser trabalhado na sala de aula. Outro aspecto mencionado foi a utilização de um vocabulário correto. “É legal de fazer com os meninos. [...] Essa questão do trajeto... até nós erramos muita coisa. Tem palavras que a gente poderia ter usado como, direita... esquerda. A gente não usa. [...] Não estamos acostumadas com esse vocabulário”. “[...] A gente não tem muita afinidade com isso porque a gente não trabalhada com isso. [...] é muito importante a gente trabalhar dentro da sala, principalmente nas séries iniciais. [...] é interessante trabalhar na escola pra depois passar pro mapa”. 3.3. O Dicionário de Geometria Como mencionamos anteriormente, o Dicionário de Geometria foi um material didático produzido pelas próprias professoras, participantes de nossa pesquisa. Os temas trabalhados com o uso do Dicionário foram: retas perpendiculares, retas paralelas e retas oblíquas, círculo e circunferência, paralelogramo, retângulo, quadrado, losango, trapézio, triângulo, pentágono regular e hexágono regular. Todos estes temas foram desenvolvidos considerando o conhecimento prévio de cada professora. Todas as figuras geométricas foram 24 construídas com materiais de desenho, como: régua, compasso, transferidor e esquadro. Dessa forma, as professoras tiveram a oportunidade de conhecer esses instrumentos e aprender a utilizá-los. Durante o desenvolvimento das atividades, procuramos orientar cada professora na utilização dos instrumentos. O passo a passo de cada construção foi feito e refeito quando necessário, respeitando o tempo de cada participante. O uso adequado de termos geométricos foi destacado inúmeras vezes, como, por exemplo, letras minúsculas para representar retas e letras maiúsculas para indicar pontos. A seguir, apresentamos e discutimos duas das atividades desenvolvidas em nossa pesquisa, por meio do Dicionário de Geometria. Atividade 1: Construindo paralelogramos Objetivo:  Construir paralelogramos usando instrumentos de desenho geométrico;  Retomar as propriedades dessas figuras. Materiais: Folha do Dicionário de Geometria (apêndice B, p. 48), régua, compasso, transferidor, lápis e borracha. Desenvolvimento: Distribua a folha do Dicionário para cada participante. Em seguida, solicite que observe as figuras representadas e identifique semelhanças e diferenças entre elas. A ideia é que a turma comente algumas propriedades dessas figuras, como: paralelismo dos lados, ângulos opostos com medidas iguais, etc. Em seguida, apresente as seguintes tarefas: 1) Construir um paralelogramo de lados 3 cm e 5 cm e ângulo de 60º. 2) Construir um paralelogramo de lados 8 cm e 4 cm e ângulo de 90°. Oriente a turma para que construa os ângulos com o trasferidor. O passo a passo de cada construção deve ser feito coletivamente. Comentários: Nos encontros iniciais com as participantes de nossa pesquisa, o paralelogramo aparecia inúmeras vezes nas atividades com embalagens. Por isso, caracterizar essa figura 25 tornou-se uma tarefa simples para as professoras; exemplo: “Possui dois pares de lados paralelos”. A seguir, apresentamos imagens de alguns momentos do trabalho que realizamos. Figura 12. Construção do ângulo de 60º Figura 13. Construção do paralelogramo Em nossa pesquisa, todas as professoras mencionaram não ter estudado desenho geométrico durante sua formação (magistério e superior). Participar do grupo foi uma oportunidade de rever figuras geométricas por meio de outra abordagem. Percebemos que, assim que terminaram as tarefas prospostas, demonstraram entusiasmo ao verem formas conhecidas construídas por elas próprias. Uma participante, mostrando-se supresa e satisfeita, disse: “Nossa! Eu nunca tinha feito uma construção”. Atividade 2: Construindo retângulos Objetivos:  Resgatar conceitos e propriedades de retângulos e quadrados;  Perceber que o quadrado é um caso especial de retângulo. 26 Materiais: Folha do Dicionário de Geometria (Apêndice B, p. 49), régua, compasso, transferidor (opcional), lápis e borracha. Desenvolvimento: Como na atividade anterior, distribua a folha do Dicionário de Geometria para cada participante. Em seguida, peça à turma que analise cuidadosamente cada figura, procurando destacar suas propriedades. Levante questões do tipo:  O que é um retângulo?  O que é um quadrado? Em seguida, apresente as tarefas: 1) Construir um retângulo de lados 5 cm e 2 cm; 2) Construir um retângulo de lados 6 cm. Comentários: Em nosso estudo, a discussão dessa atividade trouxe a oportunidade de as professoras mobilizarem seus saberes em relação ao conceito de retângulo e quadrado. O trecho a seguir ilustra parte desse momento, quando uma das professoras chegou ao conceito de quadrado. (Conversas) Professora 2: Então não é retângulo? Uai! (Fala um pouco mais alto e faz expressão de dúvida.) Professora 1: Mas é um retângulo! (reforça) [...] O quadrilátero que possui quatro ângulos retos. O quadrado possui 4 ângulos retos! (pausa) As medidas aí são iguais... Professora 2: Oh! (Expressão de quem ficou surpresa.) Professora 2: Ah! Então vai inclinar, então! (Aponta para o desenho do paralelogramo.) Professora 1: Não... Vai ficar igual a um cubo: quadradinho, compridinho... (Aponta para a figura de um quadrado, desenhado na folha do Dicionário, e tenta explicar que a figura se trata de um quadrado.) Professora 2: Então não é retângulo! (Afirmou em tom forte.) [...] Cirléia: Vamos ler o que você escreveu aí na definição de retângulo. (Direcionando para Professora 2.) Professora 2: Quadrilátero que possui quatro ângulos (pausa) retos. Aqui, possui dois pares de lados paralelos... (pausa) um paralelogramo. (Leu o que havia registrado no Dicionário.) (Durante a construção, o diálogo continua.) Professora 1: Quadrado e retângulo são paralelogramos. Quadrado: quatro lados iguais. Professora 2: Mas, tá a mesma medida! (Continuando a construção...) 27 Professora 2: Aí, vai dá quadrado! [...] Então não é retângulo! Ai, vocês estão confundindo a minha cabeça... (Coça a cabeça e reforça sua expressão de dúvida.) Professora 2: Possui ângulos retos... Possui! Possui dois pares de lados paralelos... (Olhando para a construção e para o que escreveu no dicionário.) Possui! (pausa) Professora 2: Oh! É quadrado! (Afirma surpresa.) Professora 2: Não posso nem falar isso com os meninos... Ué, Tia, você fala que é quadrado, depois fala que é retângulo! E aí? (risadas) (conversas) Cirléia: Alguma dúvida, meninas, no Dicionário sobre o retângulo? Alguma pergunta? Professora 2: Agora não, né? Agora que eu entendi, né? O que que quadrado é. Logo no inicio do diálogo, fizemos uma interrupção, pedindo a uma das professoras que voltasse à definição de retângulo que havia acabado de discutir e escrever no Dicionário de Geometria. A intenção nesse momento era que comparasse a figura do quadrado com o que havia registrado. Na fala seguinte, outra professora reforçou o fato de o quadrado ser um retângulo “O quadrilátero que possui quatro ângulos retos. O quadrado possui 4 ângulos retos!” A Professora 2, não convencida do que afirmou a colega, disse: “Ah! Então vai inclinar, então!” Nessa fala, a professora ainda percebia a figura como um quadrado (os quatro lados com mesma medida) e não como um caso particular do retângulo. Para ela, o retângulo era uma figura com medida dos lados diferentes. No momento em que a Professora 1 disse que essa figura tinha quatro ângulos retos, a Professora 2 imaginou o paralelogramo e não o quadrado. Nas falas seguintes, o diálogo continua. Após a construção do retângulo, a Professora 2 percebeu que tinha construído um quadrado. Mais adiante, sentindo-se ainda em conflito, retornou ao que havia registrado. Ao comparar a definição do Dicionário com a figura construída por ela, descobriu que o quadrado era então um retângulo. Assim, ao vivenciar o processo de construção dessas figuras, a professora parece compreender um novo conceito. Nesse episódio, percebemos o quanto os conceitos de quadrado e retângulo ainda são utilizados de maneira equivocada nos anos iniciais. Tal situação reforça um ensino tradicional, influenciado tanto pelo senso comum, quanto pelos saberes escolares, que preserva apenas uma forma particular de representação de uma figura (PAIS, 2000). Um exemplo disso é o desenho usual do retângulo, comumente apresentado por meio de uma figura não quadrada. Para uma das professoras, quadrados e retângulos eram figuras distintas, pois não conseguia assimilar suas características comuns. Assim, a construção da figura e a 28 discussão coletiva reforçaram as propriedades do quadrado e proporcionaram a aprendizagem de um conceito geométrico para a professora, mobilizando seus saberes. 4. Algumas considerações Neste trabalho, procuramos compartilhar experiências com professores e formadores de professores, apresentando e discutindo algumas atividades desenvolvidas em nossa pesquisa. Sugerimos ao leitor que, para maiores informações sobre a pesquisa realizada, consulte nossa dissertação. Esperamos que esta proposta de ensino possa contribuir, como na pesquisa que a gerou, para o desenvolvimento do pensamento geométrico de professor e/ou alunos, dependendo do contexto em que ela se aplique. 5. Leituras sugeridas Para o professor e/ou formador interessado em leituras sobre ensino de Geometria e pensamento geométrico, sugerimos três bibliografias. As duas primeiras abordam questões acerca do desenvolvimento do pensamento geométrico e, a última, compartilha experiências de cursos de formação de professores. 1) Livro: A Geometria nas Séries Iniciais: Uma análise sobre a perspectiva da prática pedagógica e da formação de professores. Organizadores: Adair Mendes Nacarato e Cármem Lúcia Brancaglion Passos. Editora da UFSCar, São Carlos, 2003. Comentário: Elaborado por pesquisadoras e professoras-formadoras em Educação Matemática, esse livro traz em uma leitura agradável, reflexões teóricas e resultados de estudos acerca da Geometria nos anos iniciais. Duas vertentes são consideradas: a Geometria no currículo escolar e a Geometria e a formação de professores. O desenvolvimento do pensamento geométrico é abordado no primeiro capítulo, junto à análise de situações de sala de aula, vivenciadas por alunos em ambientes interativos de aprendizagem. Toda essa discussão é analisada com base em experiências das próprias autoras, enquanto professoras, pesquisadoras e formadoras. 29 2) Artigo: Intuição, experiência e teoria geométrica. Autor: Luiz Carlos Pais. Revista Zetetiké, Campinas, 1996. Comentário: Esse artigo busca analisar a relação da Geometria com o mundo vivenciado pelos alunos, discutindo a importância do uso de recursos didáticos no processo de aprendizagem de conceitos da Geometria Plana e Espacial. Seu principal objetivo é analisar quatro elementos fundamentais no processo de ensino e aprendizagem da Geometria: objeto, desenho, imagem mental e conceito. Fundamental para quem pretende iniciar uma pesquisa sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico. 3) Livro: O ensino de Geometria na Escola Fundamental: Três questões para a formação do professor dos ciclos iniciais. Organizadores: Maria da Conceição F. R. Fonseca e outros autores. Editora: Autêntica, Belo Horizonte, 2001. Comentário: Elaborado por cinco professoras-pesquisadoras, esse livro é resultado de reflexões feitas pelas autoras a partir de algumas experiências em cursos de formação de professores por elas ministrados. Em uma leitura leve, a obra discute três questões essenciais sobre a prática do ensino de Geometria: o que se ensina de Geometria, sobre os conhecimentos de Geometria dos professores e porque se ensina Geometria. 6. Referências BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997, 142 p. GAZIRE, Eliane Scheid. O não resgate das geometrias. Tese (Doutorado em Educação) UNICAMP, Campinas, 2000. Disponível em: <http://www.bibliotecadigital.unicamp.br/document/?down=vtls000218945>. Acesso em: 17 jun. 2009. GUTIERREZ, Angel. Visualization in 3-Dimensional Geometry: In Search of a Framework. University of Valence, Spain, 1996. Disponível em: <http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/archivos1/textospdf/Gut96c.pdf>. Acesso em: 25 fev. 2011. JÚNIOR, Isaías Marchesi. Curso de Desenho Geométrico: volume 1. São Paulo: Ática, 1994. ______. Curso de Desenho Geométrico: volume 2. São Paulo: Ática, 1994. 30 MATOS, José Manuel; SERRAZINA, Maria de Lurdes. Didáctica da Matemática. Lisboa: Universidade Aberta, 1996. p. 268. MURARI, Claudemir; PEREZ, Geraldo. O uso de espelhos e caleidoscópios em atividades educacionais de geometria para 7ª e 8ª séries. Bolema, ano 15, n. 18, set. 2002. Disponível em: <http://www.rc.unesp.br/igce/matematica/bolema/Bolema%2018.pdf>. Acesso em: 4 nov. 2009. NACARATO, Adair Mendes. Eu Trabalho Primeiro no Concreto. Revista de Educação Matemática, São Paulo, v. 9, n. 9-10, p. 1-6, 2005. SBEM-SP. Disponível em: <http://www.sbempaulista.org.br/revedmatvol9.pdf>. Acesso em: 25 fev. 2011. NACARATO, Adair Mendes; PASSOS, Cármem Lúcia Brancaglion. A Geometria nas Séries Iniciais: Uma análise sob a perspectiva da prática pedagógica e da formação de professores. São Carlos: EdUFSCar, 2003. PAIS, Luiz Carlos. Intuição, Experiência e Teoria Geométrica. Zetetiké, Campinas, SP, v. 4, n. 6, p. 65-74, jul./dez. 1996. _________. Uma análise do significado da utilização de recursos didáticos no ensino da Geometria. Anped. 23ª Reunião, Caxambu, 2000. Disponível em: <http://anped.org.br/23/textos/1919t.pdf>. Acesso em: 11 mar. 2010. PASSOS, Cármem Lúcia Brancaglion. Representações, interpretações e prática pedagógica: a Geometria na sala de aula. Tese (Doutorado em Educação) - UNICAMP, Campinas, 2000. Disponível em: <http://www.bibliotecadigital.unicamp.br/document/?down=vtls000196909>. Acesso em: 5 abr. 2010. PAVANELLO, Regina Maria. O Abandono do Ensino de Geometria: uma Visão Histórica. 1989. 201 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - UNICAMP, Campinas, 1989. Disponível em: < http://www.bibliotecadigital.unicamp.br/document/?down=vtls000045423>. Acesso em: 21 set. 2009. ____________. O abandono do ensino da Geometria no Brasil: causas e conseqüências. Zetetiké. Ano 1, n. 1, p. 07-17, 1993. SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Atividades Matemáticas: 3ª série do 1º grau. 4. ed. São Paulo: SE/CENP, 1996. 31 Apêndice A - Roteiro das atividades Atividade 1: Construindo retas perpendiculares, paralelas e oblíquas Objetivo:  Trabalhar algumas construções iniciais do desenho geométrico (pré-requisito para outras construções). Materiais: Folha do Dicionário de Geometria (apêndice B, p. 44-46), régua, compasso, esquadro, lápis e borracha. 1) Dados uma reta r e um ponto P qualquer, traçar uma reta s perpendicular a r passando por P. 2) Dados uma reta m e um ponto A (fora de m), traçar uma reta n paralela a m passando por A. 3) Traçar duas retas oblíquas com ângulos agudos iguais a 30º. Atividade 2: Construindo o círculo e a circunferência Objetivos:  Construir o círculo e a circunferência por meio de materiais alternativos e de desenho geométrico;  Identificar os elementos dessas figuras. Materiais: Papel sulfite, barbante, régua, compasso, lápis e borracha. 1) Inicie a atividade contando a seguinte história: “Muito antes da formalização da Matemática, os homens primitivos já usavam a ideia intuitiva de círculo e de circunferência. Antes de se prepararem para longas viagens, eles fincavam estacas com peixes ao redor de uma fogueira. Como essas estacas ficavam a uma mesma distância da fogueira, todos os peixes eram cozidos de maneira uniforme, evitando assim que o alimento se perdesse ao longo do caminho”. 2) Depois de contar essa história, leve as crianças até o pátio da escola e peça a elas que representem o contorno formado pelas estacas.  O que você acha que elas fariam? 3) Represente a situação colocada anteriormente usando barbantes. 4) Faça o mesmo usando o compasso.  O que define o contorno? 32 5) Formalizando...  Qual é a diferença entre círculo e circunferência?  Quais são os elementos dessas figuras?  É possível calcular a área? E o perímetro? Explique sua resposta. Atividade 3: Construindo losangos Objetivo:  Construir losangos por meio de instrumentos de desenho geométrico. Materiais: Folha Dicionário de Geometria (apêndice B, p. 51), régua, compasso, transferidor, lápis e borracha. 1) Construir o losango com lado de 3,5 cm e ângulo de 45°. 2) Construir o losango com diagonais 3 cm e 6 cm. Atividade 4: Construindo trapézios Objetivo:  Construir trapézios usando instrumentos de desenho geométrico. Materiais: Folha Dicionário de Geometria (apêndice B, p. 52), régua, compasso, transferidor, lápis e borracha. 1) Construir um trapézio com as seguintes medidas: base maior de 6,0 cm, base menor de 3,5 cm, uma transversal de 2,5 cm e altura de 2,0 cm. 2) Construir um trapézio isósceles de base maior 6 cm, uma transversal 2 cm ângulo de 60°. Atividade 5: Construindo triângulos Objetivos:  Construir alguns tipos de triângulos;  Identificar características e propriedades. Materiais: Folha do Dicionário de Geometria (apêndice B, p. 53), régua, compasso, transferidor, lápis e borracha. 1) Construir um triângulo com as medidas dos lados iguais a 7 cm, 6 cm e 5 cm. 2) Construir um triângulo, dados dois lados com medidas iguais a 4 cm e um ângulo de 90° por eles formado. 33 3) Construir um triângulo, dados um lado com medida igual a 5 cm e os dois ângulos adjacentes com medidas iguais a 40° e 30°. Atividade 6: Construindo pentágonos Objetivo: Construir pentágonos usando instrumentos de desenho geométrico. Materiais: Folha do Dicionário de Geometria (apêndice B, p. 54), régua, compasso, transferidor, papel sulfite, lápis e borracha. 1) Construir um pentágono a partir de uma circunferência de 4 cm de raio. 2) Construir o pentágono inscrito numa circunferência de raio 3 cm. Atividade 7: Regiões planas e contornos Objetivo:  Representar e identificar faces de poliedros. Materiais: Embalagens e sólidos geométricos de madeira que representam poliedros, papel sulfite, régua, lápis e borracha. 1) Escolha uma embalagem e desenhe o contorno de todas as suas faces. Faça o mesmo para os sólidos de madeira. 2) Identifique quantas e quais são as figuras planas que formam as faces. 3) Escolha dois sólidos de madeira e tente imaginar como seria cada um deles aberto. Agora, faça a representação. Se precisar, abra uma embalagem para ajudá-lo(a). Atividade 8: Quadriláteros no geoplano8 Objetivos:  Verificar as relações entre os diversos tipos de quadriláteros;  Identificar suas propriedades. Materiais: Geoplano, gominhas, papel quadriculado, régua, lápis e borracha. Usando o geoplano, construa quadriláteros que tenham dois pares de lados de mesma medida.  Que figuras geométricas você obteve?  É possível obter trapézios? Por quê? Represente as figuras no papel quadriculado. 8 Adaptado de: Matos e Serrazina (1996). 34 Atividade 9: Separando quadriláteros9 Objetivo:  Identificar, entre os quadriláteros, aqueles que são retângulos e/ou losangos. Materiais: Folha com alguns quadriláteros (anexo D, p. 64), transferidor (comum ou de dobradura), régua ou barbante, lápis de cor, tesoura, cola, papel sulfite, lápis e borracha. Observe as figuras representadas na folha que você recebeu.  Quais são essas figuras? 1) Pinte de vermelho todos os quadriláteros que têm quatro ângulos retos e anote, para os demais, o número de ângulos retos que possuem. 2) Pinte de azul o contorno dos quadriláteros que têm os quatro lados de mesma medida. Se achar necessário, utilize a régua ou barbante para medir os lados. 3) Recorte os quadriláteros e os organize num quadro como o que mostra a figura abaixo. Para isso, use a folha de papel sulfite. Retângulos Não retângulos 4) Agora, faça uma nova divisão no quadro que você construiu e reorganize os quadriláteros de acordo com a figura a seguir. Retângulos Não retângulos 5) Observe o último quadro que você construiu e escreva algumas conclusões. 9 Adaptado de: SÃO PAULO (1996, p. 142-144). 35 Atividade 10: Quantos pares de lados paralelos?10 Objetivos:  Classificar os quadriláteros utilizando, como critério, o paralelismo dos lados;  Identificar, dentre os quadriláteros, os paralelogramos e os trapézios. Materiais: Diversos quadriláteros confeccionados, previamente, em folhas de papel cartão (ou colorset), papel pardo ou cartolina, tesoura, cola, lápis e borracha. 1) Observe as figuras confeccionadas de papel.  Como são chamadas essas figuras? 2) Agora, disponha as figuras numa folha de papel pardo ou cartolina (veja quadro a seguir), dividida em três partes: na primeira parte, ficarão as que têm dois pares de lados paralelos; na segunda, as que têm apenas um par de lados paralelos e na terceira aquelas cujos lados não são paralelos. 3) Analisando o quadro que você construiu, responda e explique: a) Como são chamadas as figuras coladas na primeira parte da folha? b) Como são chamadas as figuras coladas na segunda parte da folha? 4) Que conclusões você chegou? Atividade 11: Quando três segmentos formam um triângulo? Objetivo:  Verificar a condição de existência de um triângulo quanto às medidas dos lados. Materiais: Canudinhos, régua, tesoura, transferidor de papel, papel sulfite, lápis e borracha. Escolha medidas, recorte e monte triângulos usando canudinhos. As medidas devem obedecer às seguintes instruções: 1) A medida maior deve ser maior que a soma das outras duas; 10 Adaptado de: SÃO PAULO (1996, p. 150-152). 36 2) A medida maior deve ser igual à soma das outras duas; 3) A medida maior dever ser menor que a soma das outras duas.  O que você pode concluir? Atividade 12: Soma dos ângulos internos de um triângulo Objetivo:  Verificar a condição de existência de um triângulo quanto às medidas dos ângulos internos. Materiais: Papel sulfite, régua, transferidor, lápis e borracha. Construa um triângulo dados um lado de 8 cm e os dois ângulos adjacentes medindo 120º e 90º. a) É possível fazer a construção? b) Faça novas construções com outras medidas para os ângulos.  O que você observou? Atividade 13: Triângulo duro de mover11 Objetivo:  Verificar a rigidez do triângulo. Materiais: Canudinhos, régua, tesoura, papel sulfite, lápis e borracha. 1) Usando canudinho de refrigerante, construa as seguintes figuras encaixando as pontas dos canudinhos umas nas outras: a) Um triângulo com três lados de mesma medida; b) Um triângulo com todos os lados de medidas diferentes; c) Um triângulo com apenas dois lados de mesma medida; d) Um triângulo que tenha um ângulo reto;  Como é chamado cada triângulo construído anteriormente? e) Um retângulo em que um dos lados é o dobro do outro; f) Um quadrado qualquer. 2) Agora, responda: 11 Adaptado de: SÃO PAULO (1996, p. 155-156). 37  É possível alterar os ângulos do retângulo sem mudar as medidas de seus lados? Caso seja possível, que figura é obtida?  Em relação ao quadrado, o que podemos afirmar? É possível obter outra figura?  Em relação a cada um dos triângulos construídos, é possível alterar as medidas dos ângulos sem mudar as medidas de seus lados? Por quê?  Ao construir um portão de ripas, os marceneiros além de pregar as ripas verticais, nas duas horizontais, colocam uma ripa inclinada. Por quê? Atividade 14: Caça ao tesouro Objetivos:  Interpretar itinerários;  Desenvolver a coordenação e orientação espacial. Material: Trajeto.  Para o desenvolvimento dessa atividade é necessário construir, com antecedência, um trajeto que indique a localização do tesouro. Há um tesouro escondido na escola. Para encontrá-lo, você deve seguir as instruções descritas no trajeto. Boa sorte! Inicie o trajeto a partir da marca X. Atividade 15: Percepção tátil Objetivo: Reconhecer objetos através do sentido do tato e representá-los. Materiais: Urna (de papelão ou outro material), embalagens, sólidos de madeira, papel sulfite, régua, lápis e borracha.  A atividade deve ser feita em dupla. 1) Com antecedência, deposite alguns objetos (embalagens e/ou sólidos geométricos) em uma urna. 2) Toque, sem ver, um dos objetos que está na urna. Em seguida, faça o desenho representativo. 3) Peça ao seu colega que descubra qual objeto você tocou. 4) Agora, inverta a situação. É a sua vez de descobrir qual o objeto seu colega tocou. 38 Atividade 16: Simetria na natureza Objetivo:  Identificar a simetria na natureza e no cotidiano. Materiais: Roteiro da atividade, régua, espelho, lápis e borracha. Observe as imagens a seguir e descubra a simetria presente em cada uma delas.  Faça uma lista de algumas imagens simétricas presentes na natureza e no dia a dia. 39 Atividade 17: Determinando eixos de simetria12 Objetivo:  Identificar eixos de simetria. Materiais: Roteiro da atividade, régua, espelho, lápis e borracha. Parte 1) Observando cada um dos desenhos a seguir, encontre uma reta de tal forma que, em cada um deles, seja possível obter uma simetria. Use o espelho se tiver dúvida. a) O que representa essa reta? b) Como são chamadas essas figuras? c) Quantos eixos de simetria admitem as figuras geométricas desenhadas? d) Você usou o espelho? Por que se podem usar espelhos para determinar eixos de simetria? Parte 2) Os desenhos de algumas bandeiras são figuras com eixos de simetria. Colocando o espelho sobre o eixo de simetria, conseguimos, a partir de uma parte da figura, obter a figura completa. Observe a figura a seguir. Ela representa a bandeira dos estados brasileiros. Tente descobrir seu eixo de simetria.  Pesquise outras bandeiras que apresentam simetria. 12 Adaptado de: http://www.uff.br/cdme/simetria/aluno04.html. Acesso em 10 de novembro de 2009. 40 Parte 3) Identifique os eixos de simetria de cada figura (caso possua) e, em seguida, escreva o nome de cada figura. 41 42 Atividade 18: Investigações com espelhos13 Objetivo:  Analisar a relação entre o ângulo formado pelo um par de espelhos e o número de pontas da estrela. Materiais: Roteiro da atividade, um par de espelhos articulados, lápis e borracha. Com dois espelhos articulados (livro) podemos obter uma sequência de várias imagens que formam uma nova figura. 1) Coloque o livro de espelhos nas linhas tracejadas. Observe as estrelas que se obtêm.  Quantas pontas de estrela podem ser obtidas para cada ângulo? 2) Experimente outros ângulos.  Que relação existe entre o ângulo formado pelos espelhos e o número de pontas da estrela? Atividade 19: Dois espelhos articulados para formação de ângulos14 Objetivos:  Identificar figuras formadas a partir de espelhos articulados;  Analisar a relação entre o ângulo constituído pelos espelhos e o polígono por eles formado. Materiais: Roteiro da atividade, um par de espelhos articulados, régua, lápis e borracha. 1) Construa um segmento de reta qualquer. 13 BRUNHEIRA, L.; FONSECA, H. Investigar na aula de Matemática. In: ABRANTES, P. et al. (ORG). Investigar para aprender Matemática. Lisboa, 1996. Disponível em: http://www.prof2000.pt/users/j. pinto/textos/texto3.PDF). 14 Adaptado de Murari e Perez (2002). 43 2) Abra os espelhos num ângulo qualquer sobre o segmento construído.  O que você encontrou?  Se for um polígono, qual é seu nome? 3) Agora, diminua a abertura dos espelhos.  Obteve outro tipo de polígono? O que esse novo polígono tem de diferente em relação ao obtido em (2)? 4) Que conclusões você pode tirar, considerando a maior ou menor abertura dos ângulos dos espelhos e o número de lados dos polígonos obtidos? 44 Apêndice B - Dicionário de Geometria Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Mestrado Profissional em Educação Matemática Núcleo interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática - NIEPEM Projeto: Aprendendo e ensinando Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental DICIONÁRIO DE GEOMETRIA 1) Retas perpendiculares 45 Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Mestrado Profissional em Educação Matemática Núcleo interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática - NIEPEM Projeto: Aprendendo e ensinando Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental DICIONÁRIO DE GEOMETRIA 2) Retas paralelas 46 Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Mestrado Profissional em Educação Matemática Núcleo interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática - NIEPEM Projeto: Aprendendo e ensinando Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental DICIONÁRIO DE GEOMETRIA 3) Retas oblíquas 47 Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Mestrado Profissional em Educação Matemática Núcleo interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática - NIEPEM Projeto: Aprendendo e ensinando Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental DICIONÁRIO DE GEOMETRIA 4) Círculo e circunferência 48 Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Mestrado Profissional em Educação Matemática Núcleo interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática - NIEPEM Projeto: Aprendendo e ensinando Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental DICIONÁRIO DE GEOMETRIA 5) Paralelogramo 49 Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Mestrado Profissional em Educação Matemática Núcleo interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática - NIEPEM Projeto: Aprendendo e ensinando Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental DICIONÁRIO DE GEOMETRIA 6) Retângulo 50 Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Mestrado Profissional em Educação Matemática Núcleo interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática - NIEPEM Projeto: Aprendendo e ensinando Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental DICIONÁRIO DE GEOMETRIA 7) Quadrado 51 Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Mestrado Profissional em Educação Matemática Núcleo interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática - NIEPEM Projeto: Aprendendo e ensinando Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental DICIONÁRIO DE GEOMETRIA 8) Losango 52 Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Mestrado Profissional em Educação Matemática Núcleo interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática - NIEPEM Projeto: Aprendendo e ensinando Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental DICIONÁRIO DE GEOMETRIA 9) Trapézio 53 Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Mestrado Profissional em Educação Matemática Núcleo interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática - NIEPEM Projeto: Aprendendo e ensinando Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental DICIONÁRIO DE GEOMETRIA 10) Triângulo 54 Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Mestrado Profissional em Educação Matemática Núcleo interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática - NIEPEM Projeto: Aprendendo e ensinando Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental DICIONÁRIO DE GEOMETRIA 11) Pentágono regular 55 Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Mestrado Profissional em Educação Matemática Núcleo interdisciplinar de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática - NIEPEM Projeto: Aprendendo e ensinando Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental DICIONÁRIO DE GEOMETRIA 12) Hexágono regular 56 Anexo A - Receita de massa de modelar caseira15 Material: 4 xícaras de farinha de trigo, 1 xícara de sal, 1 e meia xícara de água, 1 colher de (chá) de óleo Confecção: Numa tigela, misturar todos os ingredientes, amassar bem até ficar boa para modelar. Guardar em saco plástico ou vidro bem tampado. 15 Disponível em: http://www.katiachedid.com.br/files/atividades/0af1975a05143e463d846497f394b8b9.pdf. Acesso em 19 de junho de 2011. 57 Anexo B - Texto: ‘Mostre aos alunos os conceitos de direção e dimensão’ Edição 212 | Maio de 2008 | Título original: Direção e dimensão Mostre aos alunos os conceitos de direção e dimensão16 A turma vai aprender a se orientar no espaço e ainda conhecer o nome correto de figuras planas e tridimensionais Thais Gurgel ([email protected]) NO RUMO CERTO - O trabalho com mapas na escola desenvolve e aprimora conhecimentos espaciais e geométricos. Foto: Rogério Albuquerque Ilustração: Carlo Giovani Conteúdo relacionado ESPECIAIS  Tudo sobre Geometria  Tudo sobre Matemática Quando ensinados a turmas do 1º ao 5º ano, os conteúdos de geometria recebem o nome de espaço e forma. A definição já esclarece os objetivos perseguidos nas séries iniciais nessa área da Matemática: trabalhar com a localização no espaço e reconhecer propriedades de figuras planas e não-planas. No primeiro item, é esperado que a garotada interprete e construa representações espaciais, localize objetos e comunique posições e deslocamentos. No 16 Extraído de: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/direcao-dimensao-428166.shtml. Acesso em 17 de junho de 2010. 58 segundo, o objetivo é reconhecer as diferentes figuras geométricas e usá-las como ferramentas para resolver problemas. Ambas as abordagens, porém, correm o risco de ser tratadas com certo desdém na sala de aula. Isso porque há a percepção de que esses conhecimentos parecem intuitivos e passíveis de ser incorporados na simples vivência de situações do cotidiano. Embora errônea, a idéia tem razão de ser. Sim, é possível (e faz parte do desenvolvimento cognitivo) aprender a se localizar em uma cidade ou descobrir facilmente as formas corretas para encaixar em determinada superfície. "Mas a escola deve garantir que todas as crianças, e não apenas as que desenvolvem essas habilidades nas interações em outros contextos, saibam indicar um itinerário e seguir orientações de direção e consigam antecipar se um sólido cabe dentro do outro sem ter de experimentá-lo a cada nova situação”, diz Elisabete Búrigo, professora do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. A criança e o entorno Trabalhar com mapas e outras propostas cartográficas é bem mais comum na área de Geografia, embora ofereça ótima oportunidade de desenvolver conhecimentos geométricos. “Para se localizar é preciso operar com formas, dimensões e representações bidimensionais do espaço tridimensional”, afirma Héctor Ponce, pesquisador argentino especialista em didática da Matemática (leia mais na entrevista na página 2). Se na Geografia essa ferramenta é usada para chegar a outro conhecimento, na geometria as próprias representações são o foco do ensino. Desde a Educação Infantil as crianças são capazes de enfrentar situações envolvendo direções e sentidos. Elas reconhecem a vizinhança, sabem indicar trajetos em locais que lhes são familiares e percebem a continuidade ou a fragmentação de espaços abertos ou fechados. Com propostas de atividades que trabalhem dimensões menores e mais próximas da garotada (como a sala de aula), até chegar às mais amplas (a cidade), pode-se desenvolver a coordenação de diferentes pontos de vista para que todos representem graficamente um espaço determinado e descubram a melhor orientação a seguir para se movimentar dentro dele. “Faz parte do currículo ensinar a montar um itinerário ou se localizar nele, usando para isso o vocabulário correto”, explica Elisabete. Assim, a criança não precisará virar um mapa ao contrário para encontrar o caminho certo a percorrer. A seleção de referências para se localizar ou para indicar uma trajetória e a interpretação de indicações são estratégias a ensinar na escola. 59 Anexo C - Planificações 60 61 62 63 64 Anexo D - Quadriláteros