MAKALAH STATISTIKA LANJUT TENTANG " DISTRIBUSI NORMAL "

MAKALAH STATISTIKA LANJUT TENTANG “DISTRIBUSI NORMAL” Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Statistika Lanjut Dosen Pengampu: Titis Sunanti, M.Si Disusun oleh: Kelompok 5/4A3 Odilo Fautngilyanan (12144100061) Umi Arifah (14144100093) Hari Wantoro (14144100095) Tika Nur Cahyani (14144100096) PRGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2016   KATA PENGANTAR Puji syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah tentang “Distribusi Normal” dengan lancar. Penulisan makalah ini merupakan kewajiban dan sebagai tugas mata kuliah Statistika Lanjut mahasiswa Universitas PGRI Yogyakarta. Kami menyadari bahwa dalam penyelesaian makalah ini, kami banyak mendapatkan bimbingan dan nasehat, serta bantuan dari berbagai pihak. Berkaitan dengan hal tersebut kami mengaturkan banyak terima kasih kepada Bu Titis Sunanti, M.Si yang sudah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada kami. Teman-teman 4A3 terima kasih atas bantuannya. Semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan satu per satu yang telah memberikan bantuan dalam penyusunan makalah ini. Kami menyadari sepenuhnya dalam penyusunan makalah ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, kami terus menunggu saran dan kritik yang sifatnya membangun dan positif. Semoga hasil makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak yang berkepentingan. Yogyakarta, 9 Mei 2016 Penyusun  DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL i KATA PENGANTAR ii DAFTAR ISI iii BAB I PENDAHULUAN 1 1.1 LATAR BELAKANG 1 1.2 RUMUSAN MASALAH 2 1.3 TUJUAN MAKALAH 2 BAB II PEMBAHASAN 3 2.1 Distribusi Normal 3 2.2 Mean , Variansi dan Fungsi Pembangkit Momen 6 2.3 MGF Distribusi Normal 8 2.4 Cara Membaca Tabel Distribusi Normal 11 2.5 Kelebihan dan Kelemahan Distribusi Normal 13 BAB III PENUTUP 18 3.1 KESIMPULAN 18 3.2 SARAN 18 DAFTAR PUSTAKA 19  BAB I PENDAHULUAN LATAR BELAKANG Dikenalnya distribusi normal diawali oleh kemajuan yang pesat dalam pengukuran pada abad ke 19. Pada waktu itu, para ahli matematika dihadapkan pada suatu tantangan mengenai fenomena variabilitas pengamat atau interna yang artinya bila seorang mengadakan pengukuran berulang-ulang maka hasilnya akan berbeda-beda.Yang menjadi permasalahan adalah nilai manakah yang dianggap paling tepat dari semua hasil pengukuran tersebut. Maka kemudian berdasarkan kesepakatan maka nilai rata-rata dianggap paling tepat dan semua penyimpangan dari rata-rata dianggap suatu kesalahan atau error. Abraham de Moivre adalah yang pertama kali memperkenalkan distribusi normal ini dan kemudian dipopulerkan oleh Carl Fredreich Gauss. Sehingga nama lain distribusi ini adalah distribusi Gauss. Gauss mengamati hasil dari percobaan yang dilakukan berulang-ulang, dan dia menemukan hasil yang paling sering adalah nilai rata-rata. Penyimpangan baik ke kanan atau ke kiri yang jauh dari rata-rata, terjadinya semakin sedikit. Sehingga bila disusun maka akan terbentuk distribusi yang simetris. Satu-satunya distribusi probabilitas dengan variabel random kontinu adalah distribusi normal. Ada dua peran yang penting dari distribusi normal .Pertama, distribusi normal memiliki beberapa sifat yang mungkin untuk digunakan sebagai patokan dalam mengambil suatu kesimpulan berdasarkan hasil sampel yang diperoleh. Pengukuran sampel digunakan untuk menafsirkan parameter populasi. Kedua, distribusi normal sangat sesuai dengan distribusi empiris, sehingga dapat dikatakan bahwa semua kejadian alami akan membentuk distribusi ini. Karena alasan inilah sehingga distribusi ini dikenal sebagai distribusi normal dan grafiknya dikenal sebagai kurva normal atau kurva gauss. Karena begitu pentingnya ketepatan dalam pengambilan kesimpulan suatu pengukuran atau percobaan. Oleh sebab itu, kami perlu menyusun makalah yang berjudul “Distribusi Normal”. RUMUSAN MASALAH Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipapakan diatas, adapun rumusan masalah adalah sebagai berikut : Apa yang dimaksud distribusi normal ? Bagimana rumus mean, variansi dan fungsi pembangkit momen dalam distribusi normal? Bagaimana rumus MGF distribusi normal? Bagaimana cara membaca tabel distribusi normal? Apa saja kelebihan dan kelemahan distribusi normal? TUJUAN MAKALAH Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipaparkan diatas, adapun tujuan makalah ini antara lain : Mengetahui dan memahami pengertian distribusi normal. Mengetahui dan memahami rumus mean, variansi dan fungsi pembangkit momen dalam distribusi normal. Mengetahui dan memahami rumus MGF distribusi normal. Mengetahui dan memahami cara membaca tabel distribusi normal. Mengetahui dan memahami kelebihan dan kelemahan distribusi normal.  BAB II PEMBAHASAN Distribusi Normal Distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal merupakan suatu alat statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas. Grafiknya disebut kurva normal, terbentuk lonceng seperti pada gambar 2.1. yang menggambarkan dengan cukup baik banyak gejala yang muncul di alam, industri, dan penelitian. Pengukuran fisik di bidang seperti percobaan meteorologi, penelitian curah hujan, dan pengukuran suku cadang yang diproduksi sering dengan baik dapat diterangkan menggunakan distribusi normal. Di samping itu, galat dalam pengukuran ilmiah dapat dihampiri dengan sangat baik oleh distribusi normal. Pada tahun 1733, Abraham de Moivre menemukan persamaan matematika kurva normal. Ini merupakan dasar bagi banyak teori statistika induktif. Distribusi normal sering pula disebut distribusi Gauss untuk menghormati Karl Friedrich Gauss (1777-1855) yang juga menemukan persamaannya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang berulang- ulang mengenai bahan yang sama. Gambar 2.1 Suatu peubah acak kontinu X yang distribusinya berbentuk lonceng seperti pada gambar 2.1 disebut peubah acak normal. Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter dan yaitu rataan dan simpangan bakunya. Jadi fungsi padat X akan dinyatakan dengan n (x, , ) . Distribusi Normal Fungsi padat peubak acak normal X, dengan rataan dan variansi , ialah Dengan = 3,14159 ... dan e = 2,71828 Fungsi densitas distribusi normal diperoleh dengan persamaan sebagai berikut Keterangan: π = 3,1416 e = 2,7183 µ = rata-rata σ = simpangan baku Begitu dan diketahui maka seluruh kurva normal diketahui. Sebagai contoh, bila = 50 dan = 5 , maka ordinat n(x; 50, 5) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai nilai x dan kurvanya dapat digambarkan. Pada ambar 2.2 telah dilukiskan dua kurva normal yang mempunyai simpangan baku yang sama tapi rataanya berbeda. Kedua kurva bentuknya persis sama tapi titik tengahnya terletak di tempat yang berbeda di sepanjang sumbu datar. Gambar 2.2 Pada gambar 2.3 terlukis dua kurva normal denga rataan yang sama tapi simpangan bakunya berlainan. Terlihat kedua kurva mempunyai titik tengah yang sama pada sumbu datar, tapi kurva dengan simpangan baku yang lebih besar tampak lebih rendah dan lebih melebar. Perhatikan bahwa luas di bawah kurva peluang harus sama dengan 1 sehingga baik kumpulan data makin berbeda maka makin rendah dan melebar pula kurvanya. Gambar 2.3 Gambar 2.4 memperlihatkan lukisan dua kurva normal yang baik rataan maupun simpangan bakunya berlainan. Jelas keduanya mempunyai letak titik tengah yang berlainan pada sumbu datar dan bentuknya mencerminkan dua nilai yang berlainan. Gambar 2.4 Beberapa sifat dari kurva fungsi kepadatan peluang (densitas) distribusi normal umum: Kurvanya berbentuk lonceng dan simetrik di x = µ. Rataan, median, modus dari distribusi berimpitan. Fungsi kepadatan peluang mencapai nilai maksimum di x = µ sebesar . Kurvanya berasimtot sumbu datar x. Kurvanya mempunyai titik infleksi (x, f(x), dengan x = µ ± σ, Mean , Variansi dan Fungsi Pembangkit Momen Mean, variansi dari fungsi pembangkit momen dari distribusi normal umum adalah: Mean Variansi Pembangkit momen Sehingga MGF Distribusi Normal Penjelasan singkat mengenai distribusi normal dapat dilihat di artikel “Distribusi Normal”. Artikel ini akan membahas tentang fungsi pembangkit momen atau moment generating function (MGF) dari distribusi normal. Pembahasan awal dari bagian ini adalah menurunkan persamaan MGF-nya. Selanjutnya menurunkan momen pertama dan momen kedua berdasarkan persamaan MGF yang telah diperoleh sebelumnya. Dari momen pertama dan kedua dapat diketahui rata-rata (mean) dan varian. Misalkan , maka Selanjutnya , sehingga Nilai Harapan X Nilai Harapan X2 Nilai Harapan (X – E(X))2 Sebagai catatan, nilai harapan X merupakan rata-rata (mean) dan nilai harapan (X – E(X))2 merupakan varian. Cara Membaca Tabel Distribusi Normal Berikut adalah tabel distribusi normal standar, untuk P (X < x), atau dapat diilustrasikan dengan luas kurva normal standar dari X = minus takhingga sampai dengan X = x. Contoh penggunaan tabel: Hitung P (X<1,25) Penyelesaian:  Pada tabel, carilah angka 1,2 pada kolom paling kiri. Selanjutnya, carilah angka 0,05 pada baris paling atas. Sel para pertemuan kolom dan baris tersebut adalah 0,8944. Dengan demikian, P (X<1,25) adalah 0,8944. Kelebihan dan Kelemahan Distribusi Normal Metode yang juga dikenal dengan sebutan forceddistribution ini mendapatkan namanya dari kenyataan bahwa para penilai yang terlibat memang “dipaksa” untuk mendistribusikan nilai karyawan ke dalam sejumlah kategori kinerja yang sudah ditetapkan persentase proporsinya. Biasanya, bentuk distribusi yang diterapkan adalah distribusi normal, dimana persentase yang setara kecilnya ditempatkan di kutub kanan (terbaik) dan kutub kiri (terburuk) sedangkan persentase yang lebih besar ditempatkan di bagian tengah — di antara kedua kutub tersebut. Sebagai contoh, proporsi yang mungkin digunakan adalah: Istimewa 10%, Memuaskan 20%, Berkinerja Bagus 40%, Perlu Peningkatan 20%, dan Tidak Memuaskan 10%. Adapun asumsi yang mendasari metode ini adalah bahwa, secara statistik, tingkat kinerja karyawan terdistribusi mengikuti pola kurva normal.Jika berhasil diimplementasikan secara efektif, metode distribusi normal bisa mendatangkan kelebihan berikut ini: Mengurangi kemungkinan terjadinya bias penilaian. Dengan memaksa penilai untuk mendistribusikan hasil penilaiannya, bias yang terjadi akibat penilai terlalu murah hati (dimana semua karyawan dinilai bagus) atau terlalu pelit (dimana semua karyawan dinilai buruk) bisa diminimalkan. Melalui penerapan metode ini, Ford —misalnya— berhasil menurunkan bias kemurahan hati yang terjadi di metode penilaian kinerja sebelumnya dimana 98% stafnya dinilai “memenuhi harapan” (Olson & Davis, 2003). Meningkatkan objektivitas penilaian. Karena harus memastikan penempatan setiap karyawan dalam suatu kategori, pada metode distribusi normal, para penilai perlu mengevaluasi semua karyawan berdasarkan kriteria yang sama. Dengan demikian, hasil penilaian mereka akan cenderung lebih objektif dibandingkan jika setiap manajer menilai anak buah mereka berdasarkan kriteria mereka masing-masing. Memfasilitasi terjadinya komunikasi yang spontan dan terbuka antara atasan dan bawahan. Metode ini menuntut para atasan untuk secara berkala memberikan umpan balik kepada anak buah mereka. Tanpa kesediaan untuk sering menyampaikan umpan balik secara spontan dan terbuka, sang atasan akan menghadapi kesulitan pada saat harus menjelaskan kepada anak buahnya mengapa dia menempatkan si karyawan di kategori “tidak memuaskan”. Membantu menetapkan konsekuensi kinerja yang tepat. Dengan memaksa para atasan untuk mendistribusikan karyawan ke dalam kategori tertentu, perusahaan bisa mengenali siapa saja yang berkinerja unggul, menengah, dan yang berkinerja terendah. Jadi, secara terarah, perusahaan bisa memutuskan karyawan mana yang harus diganjar dengan kompensasi dan promosi, karyawan mana yang patut dipertahankan dan dikembangkan, serta karyawan mana yang perlu diputuskan hubungan kerjanya. Di sisi lain, metode distribusi normal juga tidak lepas dari sejumlah kelemahan pokok yang mengundang kritik: Metode ini menggunakan sistem distribusi normal yang salah penerapannya. Menurut Abelson (2001), model kurva lonceng mengasumsikan bahwa distribusi normal akan terjadi pada sekelompokbesar subjek yang terbentuk secara acak, dan tidak mengasumsikan hal yang sama untuk kelompok-kelompok kecil. Adapun yang dimaksud dengan kelompok besar adalah kelompok yang setidaknya terdiri dari 1.000 – 1.500 anggota. Pada kenyataannya, sejumlah perusahaan menerapkan model kurva lonceng ini pada sekelompok kecil karyawan, yang jumlah anggotanya bahkan tidak lebih dari 50 orang. Akibatnya, sebagian karyawan yang berkinerja bagus tetapi berada di kelompok unggul mau tidak mau akan menderita karena terpaksa mendapatkan nilai buruk. Sebaliknya, beberapa karyawan yang sebenarnya berkinerja biasa-biasa saja tetapi berada di kelompok yang berkinerja lemah, akan menikmati inflasi nilai dan dianugerahi posisi sebagai 10%-20% karyawan yang berkinerja terbaik — hanya karena memang harus ada yang dinilai paling tinggi. Sementara itu, asumsi acak yang digunakan juga dianggap tidak tepat. Kalau secara statistik dinyatakan bahwa acak adalah situasi dimana setiap anggota populasi memiliki peluang yang sama untuk terpilih menjadi anggota sampel, maka dengan jelas dapat disimpulkan bahwa kelompok karyawan Anda bukanlah kelompok yang acak. Anda tidak merekrut mereka secara acak, Anda tidak menempatkan mereka secara acak, Anda juga tidak melatih dan memperlakukan mereka secara acak. Ketika diterapkan secara konsisten, metode distribusi normal justru membangkitkan tantangan baru yang menyulitkan. Karena mengharuskan perusahaan untuk memecat karyawan yang dinilai berkinerja paling rendah, setelah diimplementasikan selama beberapa tahun, metode ini justru semakin mempersulit upaya membedakan karyawan yang berkinerja memuaskan dengan karyawan yang berkinerja istimewa. Perbedaan di antara keduanya semakin menipis dan semakin tidak kasat mata. Di sisi lain, karena standar kinerja karyawan yang semakin lama semakin meningkat, perusahaan juga semakin sulit mendapatkan calon karyawan yang memenuhi standar tersebut, yaitu karyawan yang kualifikasinya harus melebihi karyawan yang sebelumnya dipecat. Kategori yang digunakan tidak menunjukkan kinerja yang sebenarnya. Pemaksaan nilai dan pengkategorian yang dipersyaratkan dalam metode distribusi normal membuat karyawan diberi nilai dan ditempatkan di kategori yang belum tentu sesuai dengan tingkat kinerja aktual mereka. Perusahaan yang berhasil mencapai target bisnisnya, misalnya, dimana semua karyawannya memang berprestasi bagus dan berhasil mencapai target perorangan mereka, dengan terpaksa harus tetap menempatkan 10% karyawannya di kategori “tidak memuaskan”. Situasi semacam ini tentu tidak bisa dianggap objektif. Akibatnya, seperti yang dikemukakan oleh Olson dan Davis, karyawan lebih sering merasa bahwa nilai yang mereka terima sesungguhnya hanyalah nilai yang dibuat untuk memuaskan distribusi yang telah ditetapkan perusahaan. Bukan merupakan refleksi dari kinerja aktual mereka. Dipersepsi lebih sulit dan kurang fair dibandingkan metode penilaian konvensional. Persepsi yang timbul di kalangan mereka yang terlibat dalam implementasi metode distribusi normal ini ditemukan dalam penelitian Schleicher, Bull dan Green (2008). Dengan adanya persepsi semacam itu, tidak mengherankan jika kemudian teridentifikasi bahwa para manajer umumnya kurang bereaksi positif terhadap metode tersebut (Lawler, 2002). Mereka sering mengungkapkan komentar miring tentang metode itu, sehingga akhirnya para karyawan pun berpandangan bahwa metode tersebut kurang fair dan dengan demikian tidak mereka terima. Terlalu memaksakan perbandingan kinerja antar-jabatan dalam upaya mendapatkan peringkat kinerja seluruh karyawan. Pertanyaannya adalah: Bagaimana Anda akan secara fair dan objektif membandingkan kinerja seorang kepala departemen dengan kinerja seorang petugas administrasi? Atau kinerja Kepala Departemen Pemasaran dengan Kepala Departemen SDM? Kriteria apa yang akan Anda gunakan? Selain tidak mudah untuk dijawab dan diimplementasikan, pertanyaan itu jelas mengusik rasa keadilan para pengemban jabatan yang diperbandingkan. Merangsang tumbuhnya lingkungan kerja yang kompetitif sekaligus destruktif. Upaya membandingkan tingkat kinerja, dan memasukkan karyawan ke dalam kategori yang proporsinya sudah dibatasi dengan persentase tertentu, jelas membuat karyawan terperangkap dalam situasi persaingan. Selalu mencoba menampilkan kinerja yang tidak hanya sebaik mungkin, tetapi juga harus lebih baik dibandingkan kinerja rekan-rekan yang lain, agar bisa masuk dalam kategori penilaian yang lebih tinggi dan terhindar dari kemungkinan menjadi penghuni kategori terbawah. Situasi semacam ini jelas menghambat terjadinya kerja sama di kalangan anggota kelompok kerja. Apalagi jika karyawan mengetahui bahwa perusahaan memberikan perlakuan dan kompensasi yang berbeda untuk setiap kategori penilaian.  BAB III PENUTUP KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah penyusun uraikan diatas, maka dapat disimpulkan bahwa distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal merupakan suatu alat statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas. Grafiknya disebut kurva normal terbentuk lonceng yang menggambarkan dengan cukup baik banyak gejala yang muncul di alam, industri, dan penelitian. Abraham de Moivre adalah yang pertama kali memperkenalkan distribusi normal ini dan kemudian dipopulerkan oleh Carl Fredreich Gauss. Sehingga nama lain distribusi ini adalah distribusi Gauss. SARAN Dalam penulisan makalah ini kami meyadari bahwa masih banyak kekeliruan dan kesalahan dalam hal penulisan dan penyusunannya. Oleh karena itu, kami menantikan saran dan kritikan yang sifatnya membangun untuk perbaikan selanjutnya. Semoga makalah ini bermanfaat bagi pembaca dan dapat menambah pustaka keilmuan mahasiswa.  DAFTAR PUSTAKA Ronald E. Walpole. Pegantar Statistik edisi ke-3. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama. Dari Internet: Harum, Anita Sugiarti. 2013. Distribusi Normal (Kurva Normal). Diunduh dari: https://anitaharum.wordpress.com/2013/11/12/distribusi-normal-kurva-normal/. Pada hari Minggu pukul 20:00 WIB. Labels, Rory.2016. MGF Distribusi Normal. Diunduh dari: http://www.rumusstatistik.com/2016/04/mgf-distribusi-normal.html, diakses pada tanggal 9 Mei 2016 pukul 10.50 WIB. Subari, Hendrianto. 2014. Distribusi Normal Baku. Diunduh dari: http://hendritakengon.blogspot.co.id/2014/03/distribusi-normal-baku.html. Pada Hari Rabu pukul 19:50 WIB. https://hatta2stat.wordpress.com/category/distribusi-normal-2/. 23 November 2011. Archive for the ‘Distribusi normal’ Category. Pada hari Rabu pukul 19:40 WIB  1