VECTORES

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO CENTRO UNIVERSITARIO UAEM ZUMPANGO INGENIERO EN COMPUTACION TEMA: “ALGEBRA VECTORIAL” M. EN C. LUIS ENRIQUE KU MOO FECHA: AGOSTO DE 2016 UNIDAD DE APRENDIZAJE: GEOMETRIA ANALITICA UNIDAD DE COMPETENCIA I: ALGEBRA VECTORIAL “Operaciones con vectores” OBJETIVOS 1. Obtener la suma y resta de vectores y su multiplicación por un escalar, aplicar los conceptos de paralelismo y Ortogonalidad de vectores, obtener vectores unitarios y ortogonales y obtener el producto escalar de vectores. CONTENIDO 1.- Multiplicación de un vector por un escalar. 2. Multiplicación de un vector por un vector. 3.- Vectores unitarios. 4.- Paralelismo y ortogonalidad de vectores 5. Bibliografía. Multiplicación de vectores: Tipos 1.- Escalar . vector = vector 2.- Vector . vector = escalar (producto escalar) 3.- Vector x vector = vector (producto vectorial). 1. Multiplicación un vector v por un escalar k. El resultado es un vector que mantiene la dirección y sentido pero cuya magnitud es la anterior multiplicada por la constante escalar k. �= k� = + + + + Ejemplo: sea . = , . y = , = , 2. Producto escalar o punto de vectores. 2. El producto escalar de los vectores. Es el número que resulta de la suma del producto de sus componentes respectivos. = Dado Si × × × = = = = , , = y × + y × + = × × , + 3) = 13 , Hallar × 2. Producto escalar o punto de vectores. Ejercicios Ejemplos: 1. Si = 2. Si = , y , y = , ; = , EJERCICIOS u = (5, 3) v =(-2, 3) u = (4, -3) v =(2, 2) u = (-3, 2) v =(4, 1) u = (5, -3) v =(-2, 3) ; ∗ ∗ = = u.v == -1 u.v == 2 u.v == -10 u.v == -19 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vsca.html#vsc1 + 0) = 15 2. Producto escalar en la forma polar Es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos (magnitudes) por el coseno del ángulo que forman. ∗ = � Ejemplo: = = ∗ , = , y ° y ∗ cos = = °= , , ° Donde � �� = � � http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Vectors/DotProduct/DotProduct.html 3. Vector Unitarios Un vector cuya magnitud vale 1 se denomina vector unitario. = = EJEMPLO: Dado a = (β, −1), el vector unitario u en la misma dirección es − ,− = = = , 5 5 = − 5 5 Donde , = 5 5 5 + − 5 = 3. Vector Unitarios i, j Si a = (a1, a2), entonces =(a1, 0) + (0, a2)= a1(1, 0) + a2(0, 1) Donde i = (1, 0), j = (0, 1), entonces a se transforma en a = a1i + a2j EJERCICIOS u = (5, 3) u =(5i + 3j) v = (4, -3) v =(4i - 3j ) Vectores 4. Angulo entre vectores Dados dos vectores escalar nos dice que: a y b la definición de producto � ∗ = A partir de la definición de producto escalar podíamos despejar el coseno y obtener el ángulo entre vectores: �= ∗ Ejemplo: u = (3, 0) �= �= v =(5, 5) ∗5 + ∗5 + . cos ∗ 5 +5 = ° = 4. Angulo entre vectores. El ángulo que forma los vectores a y b se encuentra entre 00 y 1800, (00 ≤ θ ≤ 1800). El coseno nos indica si los vectores son paralelos o perpendiculares de la siguiente forma: •Si cos de a y b = 0, vectores perpendiculares. •Si cos de a y b = 1 vectores paralelos. 3. Angulo entre vectores: Paralelismo Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo: Dado ∕∕ Donde = , = = y = = , 6. Vectores ortogonales TEOREMA. Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y solo si a*b = 0 Ejemplo: u = (1, 2) y v = (2, -1). u.v = (1 . 2) + (2 . -1) = 2 - 2 = 0 u y v son ortogonales forman un ángulo de 900. EJERCICIOS Determine cuales de los siguientes pares de vectores son ortogonales. 1) u =(3, -2); v = (4, 6) 1) u.v = 0 2) u =(-2, 4); v = (-2, 1) 2) u.v = 8 Determine un vector ortogonal para los vectores dados. • u =(5, 2); v = ? • u =(3, 4); v = ? Solución 1) v = (1, -5/2), (2,-5), …, 2) v = V =?, U.V = 0 v = (x1, y1) 5x1 +2y1 = 0 y1 = (-5x1/2) 3. Suma de vectores por medio de sus componentes Un vector v en el plano XY es un par ordenado de números reales (a, b), donde a y b se llaman componentes del vector. Que son las proyecciones de vector a lo largo de los ejes. R b a animación =� � =� � � �= �= + componentes 4. Suma de vectores por medio de sus componentes Dado = , y = , Entonces + = + , + 4. Suma de vectores por medio de sus componentes Si = + + = , y = , y = , = + , + = 7, 4) , Hallar + 4. Suma de varios vectores Para sumar varios vectores se utiliza la ley del polígono. Esto la aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo o del triángulo. 4. Suma por componentes. Ejemplo 4. Ejercicio de los componentes Gráficamente. Vector P=5m θ 75 S=3m 155 Q=2m 210 componente x Rx = Ax + Bx + Cx componente y Ry = Ay + By + Cy 3. VECTORES UNITARIOS i, j, k Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente. z k j i x y VECTOR EN R3 El vector como un segmento de recta dirigido. Es el segmento de recta que va del punto inicial P al punto final Q. VECTOR EN R3 VECTORES. Aquellos que para expresarse necesitan de una magnitud, una dirección y un sentido. Ejemplos: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc. vector Ԧ = (a1, a2, a3) de R3 módulo de Ԧ :  a = a1 + a2 + a3 2 2 2 VECTOR EN R3 Ejemplo. Dados los vectores Ԧ = Hallar sus módulos. Ԧ = = Ejercicio + + + + − = = 9 , , y = , ,− . VECTOR EN R3 Se llaman Cosenos directores del vector Ԧ = , , )a los cosenos de los ángulos que forman cada uno de los ejes coordenados. Cosenos directores: • Cos હ = • Cos ઺ = • Cos ઻ = VECTOR EN R3 Mediante los cosenos directores determinar los ángulos de α, , del vector (4, 5, 3) VECTOR EN R3 Vector: Operaciones básicas Multiplicación por un escalar Sea � = k� = + + + + Producto escalar. Dado = , , ∗ = × y + × = + , , × VECTOR EN R3 Vector: Operaciones básicas • Suma de dos vectores Ԧ+ = + , + , + • Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido Ԧ= ↔ = , = , = VECTORES UNITARIOS i, j, k Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente. z k j i x y Definición Paralelismo de vectores Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo: Dado: = ∕∕ Donde , , = y = = = = , , PRODUCTO VECTORIAL Sean Ԧ y dos vectores cualesquiera que forman un ángulo. El producto vectorial Ԧ x se define como un vector que tiene: • Magnitud: Ԧ • Dirección: � � Perpendicular al plano que forman Ԧ Animación y PRODUCTO VECTORIAL. Notación de determinante Es decir se puede desarrollar como un determinante i a1 a2   b1 uv= b2 c1 c2 i− j b1 b2 k c1 c2 a1 c1 a2 c2 j+ a1 b1 a2 b2 k ojo La primera fila contiene vectores y no números reales PRODUCTO VECTORIAL Dados los vectores Ԧ = , , y = , , − . Hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores Ԧ y animación PRODUCTO VECTORIAL Ejemplo: Dados u = (3, 2, 5), v = (-3, 1, 0), Encuentre u × v y v × u ∗ (5i − +15j -9k) BIBLIOGRAFÍA 1. Arcos Ismael, Geometría analítica para estudiantes de ingeniería GECEI-FIUAEM México 2005 2.- Filloy, Hitt, Geometría Analítica, Grupo Editorial Iberoamérica, México. 3.- Lehmann. Geometría Analítica. Limusa. México. 4.- Solis y Nolasco, Geometría Analítica, Editorial Limusa, México. 5. Menna Z. Geometría analítica del espacio, un enfoque vectorial LIMUSA México. 6. Wexler C. Geometría analítica, un enfoque vectorial Montaner y Simon, Espana FIN DE LA PRESENTACION