Trabajo de estadistica

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA, UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “RAFAEL MARÍA BARALT” PROGRAMA ADMINISTRACION PROYECTO TRIBUTACION DISTRIBUCIÓN DE PIOISSON AUTORES: Estefany Prieto Génesis Briceño Luis Azuaje Anubi Azuaje TUTOR: Jesus Pineda TRUJILLO,MAYO DE 2017 INDICE  INTRODUCCION  DISTRIBUCION DE POISSON La distribución de Poisson describe la probabilidad como un acontecimiento fortuito ocurrido en un tiempo o intervalo de espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de intentos es muy grande, entonces el evento actual ocurre algunas veces. Se define la variable aleatoria X como el número de sucesos que ocurren en un intervalo continuo de tiempo, longitud o espacio, de un tamaño determinado. Nº de leucocitos en una gota de sangre Nº de veces que una planta de energía nuclear emite gases radiactivos en un periodo de tres meses X → P(λ ) Según Siméon Denis Poisson, (1781-1840), astronauta francés, alumno de Laplace y Lagrange, en Recherchés sur la probabilité des jugements, un trabajo importante en probabilidad publicado en el año 1837, la distribución de Poisson recién aparecía. Ejemplos Distribución de Poisson Sea el número medio de sucesos que ocurren en estos intervalos. La variable aleatoria así definida sigue una distribución de Poisson de parámetro “La probabilidad de obtener “X” éxitos en un intervalo continuo” Se emplea para describir varios procesos: Distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador La demanda de servicios en un hospital por parte de los pacientes Los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro El número de accidentes en un cruce El número de defectos en una tela por m2 El número de bacterias por cm2 La distribución de Poisson fue desarrollada por Siméon‐Denis Poisson (1781‐1840). Esta distribución de probabilidades es muy utilizada para situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En general, utilizaremos la distribución de Poisson como aproximación de experimentos binomiales donde el número de pruebas es muy alto (n→∞), pero la probabilidad de éxito muy baja (p→0). Características El número medio (promedio) de eventos en el espacio temporal o región específica de interés, por lo general esta media se representa por la lambda griega (l) El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o región La probabilidad de que un resultado muy pequeño ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña es inapreciable, que se puede asignar el valor de 0 Formula de poisson P(x I l) = lx * e-l x! P (x I l) = la probabilidad de que ocurran X éxitos cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es l l media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto e es la constante 2.7183, base de los logaritmos naturales, en tanto que los valores de e-l pueden obtenerse de tablas. X señala un valor específico que la variable pueda tomar (el número de éxitos que deseamos ocurran) Por definición, el valor esperado (media en el intervalo o región de interés) de una distribución de probabilidad de Poisson es igual a la media de la distribución. E(X) = l La varianza del número de eventos de una distribución de probabilidad de Poisson también es igual a la media de la distribución l. De este modo, la desviación estándar es la raíz cuadrada de l. V(X) = l s = √l Ejemplo P(x I l) = lx * e-l x! Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado. Aplicando la fórmula anterior: P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674 P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370 P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425 P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042 P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552 Para saber cuál es la probabilidad en 3 o menos (X ≤ 3), sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 lo que será igual a : P(X ≤ 3) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3) = 0.26511 Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la probabilidad de que ocurran más de tres (X > 3) debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489. En una tienda de telas, un promedio de 12 personas por hora le hacen preguntas a un decorador. La probabilidad de que 3 ó más personas se acerquen al decorador para hacerle preguntas en un periodo de 10 minutos. Promedio por hora =12 l = promedio por 10 minutos = 12/6 = 2.0 P (X ≥ 3 I l = 2) = P (X=3 I l = 2) + P (X=4 I l = 2) + P (X=5 I l = 2) + … Ó P (X ≤ 2 I l = 2) = 1 – [ P (X=0 I l = 2) + P (X=1 I l = 2) + P (X=2 I l = 2) ] Solución 2 P (X= 0 I l = 2) = 0.1353 P (X= 1 I l = 2) = 0.2707 P (X= 2 I l = 2) = 0.2707 P (X ≥ 3 I l = 2) = 0.3232 Solución 1 P (X=3 I l = 2) = 0.1804 P (X=4 I l = 2) = 0.0902 P (X=5 I l = 2) = 0.0361 P (X=6 I l = 2) = 0.0120 P (X=7 I l = 2) = 0.0034 P (X=8 I l = 2) = 0.0009 P (X=9 I l = 2) = 0.0002 P (X ≥ 3 I l = 2) = 0.3232 La distribución de Poisson se puede expresar de forma gráfica, ya que en realidad consiste en un diagrama de barras, similar a los obtenidos en la función de probabilidad, pero con forma asimétrica positiva como sucede con la distribución binomial. Sin embargo al ir aumentando los valores de λ, va adquiriendo la típica forma de campana de Gauss, pudiendo a deducirse, que conforme aumenta λ, las variables de Poisson van a poder aproximarse a la distribución normal, por el Teorema Central del Límite. La aproximación se considera buena para valores de λ iguales o superiores a 9. DISTRIBUCION BINOMIAL En Estadística, la Distribución Binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli. Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe: La distribución Binomial es la base del test binomial de significación estadística. Ejemplos La siguiente situación es un ejemplo de experimento que puede modelizarse por esta distribución: • Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número de tres obtenidos: X ~ B(10, 1/6) CARACTERÍSTICAS ANALÍTICAS Su función de probabilidad está dada por: Donde, Siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en) Propiedades características RELACIONES CON OTRAS VARIABLES ALEATORIAS Se verifica que si son tales que cada una sigue una distribución Bernouilli de parámetro , y todas ellas son independientes entre sí, entonces resulta ser una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros . Además, si n es grande y es pequeño, de modo que el producto entre ambos parámetros tiende a , entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una Distribución de Poisson de parámetro Por último, se cumple que cuando n es muy grande (n ≥ 30) la distribución binomial se aproxima a la distribución normal. PROPIEDADES REPRODUCTIVAS Dadas n variables aleatorias , tales que: • Todas tienen una distribución binomial; • Todas tienen el mismo parámetro; • Cada una tiene su propio parámetro (es decir, los n no necesariamente tienen que ser iguales); • NO son TOTALMENTE independientes entre sí; • Se toma la variable aleatoria ; • Se toma ; Entonces: La variable aleatoria Y tiene una distribución Binomial, con parámetros y . Por lo tanto, dadas n variables binomiales independientes, de parámetros ni , i = 1, ..., n y , su suma es también una variable binomial, de parámetros n1 + ... + nn y .