INTEGRALES TRIPLES

Guía de Teoría y Práctica Matemática III Semana Nº 07 INTEGRALES TRIPLES INTEGRALES 1. Objetivo del modulo   Calcular integrales triples Aplicar cambio de coordenadas al calcular integrales 2. Desarrollo de Contenidos INTEGRAL TRIPLE Las siguientes figuras ilustran algunos ejemplos de como se pueden efectuar tales subdivisiones en virtud de la propiedad aditiva de conjuntos: La definición de integral triple es análoga a la de integral doble. En el caso más simple consideremos una caja rectangular R acotada por 6 planos x= a0, x= a1, y = b0, y = b1, z = c0, z = c1; y sea u = f(x,y,z) una función de tres variables definida en todo (x,y,z) de R. Subdividimos el espacio en cajas rectángulares mediante planos paralelos a los planos coordenados. Sean B1, B2,......, Bn aquellas cajas de la subdivisión que contienen puntos de R. z z = c1 c1 Bi R co b0 b1 y 0 a0 a1 x Designaremos con V(Bi) el volumen de la i-ésima caja Bi. Elegimos un punto Pi(i, i, i) en Bi, esta elección se puede hacer en forma arbitraria. n La suma  f (i, i, i).V(Bi) es una aproximación de la integral triple. i 1 La norma de subdivisión es la longitud de la mayor diagonal de las cajas B1, B2,....., Bn. Si las sumas anteriores tienden a un límite cuando la norma de la subdivisión tiende a cero y para elecciones arbitrarias de los puntos Pi, a este límite lo llamaremos la INTEGRAL TRIPLE DE f SOBRE R La expresión:  f ( x , y , z). dV se utiliza para representar el límite. R Así como la integral doble es igual a dos integrales iteradas, también la integral triple es igual a tres integrales iteradas. Para el caso de la caja rectángular R obtenemos: a1 b1 c1  f ( x , y , z ). dV  a 0 b0 c0 f (x, y, z).dz.dy.dx R Suponemos ahora que una región S está limitada por los planos x = a0; x = a1; y = b0; y = b1 y por las superficies z = r(x,y), z = s(x,y). La integral triple se puede definir de igual forma TEOREMA Sea S una región definida por las desigualdades: S:{P(x,y,z)/a  x  b; p(x)  y  q(x); r(x,y)  z  s(x,y) donde las p ; q ; r y s son continuas. Si f es una función continua en S, tenemos:  f ( x, y, z).dV  S a p r a1 q ( x ) s( x , y ) 0 (x) f ( x, y, z).dz.dy.dx ( x , y) Las integrales iteradas se efectúan considerando todas las variables constantes, excepto aquella respecto a la cual se integra. Este concepto se puede extender a n variables. CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES MULTIPLES Sea  f (x, y).dx.dy R inversa J única  x  (u, v) de donde  (1) y que esta transformación posee una  y   ( u , v) dada por:  ( ,  )  ( x , y )  0  ( u, v )  ( u , v ) u  u ( x , y )   v  v( x , y) por lo que el Jacobiano de (1) Al recinto R del plano x, y le corresponde un recinto R en el plano u, v. Haciendo entonces una partición en R con rectas paralelas a los ejes u, v; le corresponde en el plano x, y una partición de R por curvas continuas dadas por (1). v y R Ri Ri R u x A un subrecinto Ri de R le corresponde un subrecinto Ri de R. Queremos encontrar como se transforma cada elemento rectangular Ri en el elemento curvilíneo Ri correspondiente. Para mejor ilustración ampliaremos el dibujo de ambos recintos: y x=(ui+h; vj+k) y=(ui+h,vj+k) vj+k Ri Ri x=(ui+h; vj) k v v y=(ui+h, h u vj ui x=(ui; vj+k) y=(ui, vj+k) x=(ui; vj) y=(ui, vj) ui + h x Buscamos la relación que existe entre las áreas de Ri y Ri ; para lo cual podemos considerar a Ri compuesto por dos triángulos iguales; lo mismo que a Ri. Para una partición con   suficientemente pequeña, podemos considerar a los triángulos curvilíneos de Ri como planos, siendo el área de cada uno de ellos:  (u i , v, ) h.u (u i , v, ) k.v (u i , v, )   (u i , v, ) (u i  h, v, ) (u i , v,  k )  A(R ) 1  1  (u i , v, ) (u i  h, v, ) (u i , v,  k )  (u i , v, ) h. u (u i , v, ) k. v (u i , v, ) 2 2 2    1  1 1 1 0 0 Esta última expresión resulta de restar a los elementos de la segunda y tercera columna, los de la primera y aplicando Taylor (despreciando los términos de orden superior al primero) es: Desarrollando por los elementos de la tercera fila, es: A(R ) 1  h.u (u i , v j ) k.u (u i , v j )  h.k    2 2 h. u (u i , v j ) k. u (u i , v j ) 2 A(ri) = h . k . J = u . v . J = A(Ri) J  u (u i , v j ) u (u i , v j )  h.k (, ) h.k (, )  J  (u , v )  (u , v )   2 ( u , v ) 2 ( u , v) u i j u i j   (,  ) Recordando la definición de integral ( u , v) doble n f ( x , y ) dx . dy lim   f (xi , yi).A(ri) y como f(x,y) = f[(u,v); (u,v)] = F(u,v)  0   i 1 R será  f ( x, y)dx.dy   F(u, v).J.du.dv   F(u, v). (u, v) .du.dv  (, ) R R R con lo que hemos obtenido la relación que liga las variables (x,y) con (u,v). en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa. Transformación de Coordenadas Cartesianas (x,y) a Coordenadas Polares 3 r ( r,  ) 2 y 1 r r2 r1  1 1 2 3  4  4 x r=r1 r=r2 r=r3 y 0<r<+  P(x,y ) y r 0    2  O x  r. cos    y  r. sen  x x  r. cos 2   r. sen 2   r  0 en x, y   J r ,  x r y r x   cos  y sen    r. sen  r. cos  todo punto distinto del O (0,0) r   x 2  y 2  Geométricamente vemos que es :  y   arctg   x Coordenadas cilíndricas:   2 2 r  x  y  x  r cos y  y  r sen  o    tan 1 x z z   z  z  z  { P z O x y  r y x Coordenadas esféricas (x,y ,z) (r,z)  Relación con coordenadas cartesianas:   r  x2  y2  z2  y    tan 1 x   1 z   cos  x 2  y 2  z 2   EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Plantear la triple integral  (x 2  y 2  z 2 )3/ 2 Q 1 dV en coordenadas esféricas, siendo Q: la región de la esfera x 2  y 2  z 2  4 que se encuentra sobre y debajo del primer octante    A) p/ 2 p/ 2 2 B) 0 0 0 p/ 2 p 2 1 sen dr d d r    r sen dr d d 1 0 0    r sen dr d d C) 2p p D) 0 0 0 2p p / 2 2    r sen dr d d 0 0 2 0 0 2. Plantear una integral en coordenadas esféricas para obtener el volumen del interior de la esfera x 2  y 2  z 2  8z J)    2p p / 4 4 cos     0 K) y el interior del cono z 2  x 2  y 2 0 2p p / 4 0 0 0 6 cos  0    r sen dr d d L) 2p p / 4 r 2 sen dr d d M) 2p p / 4 2 8 cos     0 0 0 0 0 2 cos  0 r 2 sen dr d d r 2 sen dr d d 3. Plantear en coordenadas esféricas la integral  y x x2  y2  z2 1 A) B) 2p p / 4 1 dV , donde Q es el sólido que está debajo de la esfera Q y encima del cono z 2  x 2  y 2 2    r tg sen dr d d C) 2p p / 4 1 2 2    r sec  sen  dr d d D) 0 0 0 2p p / 4 1 0 p/ 2 0 2p p / 4 1 0 p/ 2 0 2 2    r sec  sen  dr d d 2    r tg sen dr d d 0 0 4. Utilice coordenadas esféricas para plantear de la esfera 0 , donde E es el sólido limitado dentro y sobre el plano J) M) K) N) L) 5. Utilice coordenadas esféricas para plantear de la esfera , donde E es el sólido limitado dentro y sobre el plano A) D) B) E) C) 6. Encuentre el volumen del sólido acotado por el cilindro arriba por z  x 2  y 2 J) 7. 128 p K) p 2 x 2  y 2  4 , limitado por abajo por el plano xy, L) 81p 2 M) 38 3 D) 8p Calcular el volumen del sólido acotado por las ecuaciones x 2  y 2  9; x 2  y 2  16; z  x  y y el primer octante A) 74 3 B) 52 3 8. Utilizar coordenadas cilíndricas para evaluar C)  ( x 2 14 3 y ) dV. 2 Q Q es la región limitada por el cilindro x 2 + y 2 = 9 y los planos z = 0 y z = 2 J) 81 p K) 4 p L) 16 p M) 32 p  zdV 9. Evalúe donde R está limitado por los planos; z = 0 y z = x, y el cilíndro x 2  y 2  4 , en el R primer octante A) (sugerencia: use coordenadas cilíndricas) p 1 p 2 B) C) 1 p 32 D) 10. Calcular la integral doble  ( x 2  y 2 ) dA . Siendo R la región limitada por 1 p 16 x 2  y 2  8, y  0, y  x. R (Sugerencia, usar coordenadas polares). J) p 4 K) 9p 16 L) 4p M) 9p 4 11. Usar una integral triple para calcular el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones: x + y + z = 4, z = 0 en el primer octante. A) B) 4 3 C) 1 6 D) 32 3 9 2 12. Usar una integral triple para calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones z  25  x 2 ; J) y  x  4 ; y  0; z  0; K) 536 3 x³0 L) 50 3 M) 20 3 261 4 13. Calcular el volumen del sólido limitado por las gráficas de las siguientes ecuaciones: z = 0, z = x y, y = 0, y = 1, x = 0, x = 1 A) 1 / 4 C) 1 / 2 B) 1 D) 1 / 8 14. Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas J) 32 K) , primer octante L) M) N) 15. Calcule el volumen del sólido limitado por las gráficas: el cilindro parabólico ; A) 16. ; los planos y B) Hallar la integral de línea C)  (x 3 D) E)  2 x) ds , si C es la recta y  3x  2, desde el punto (0, 2) al punto (2, 8) C J) 17. 10 17 K) Calcula la integral de línea de 26 17 3 L) 24 10 M) 8 10  yds desde el punto (0, 0) al (0, 2) y del (0, 2) al (3,4) C A) B) 18. Calcular la integral de línea  (x  5 C 4 2 C) 2+ 3 13 D) 2+ 5 2 17 y )ds donde C es el segmento de recta que va de (0, 0) a (5, 5) J) 25 50 2 10 2 3 K) L) 16 20 3 M) 14 2 3 19. Evaluar  (1  x 2 y )dS en donde C es la mitad superior de la circunferencia 22 32 3 x y 4 2 2 en sentido contrario C al de las manecillas del reloj. A) 2p – 2/3 20. Resolver J) 5 3 21. Evaluar  x z dS C 3 B) 2p + 32/3 D) 2p – 32/3 C) 2p + 2/3 siendo c: r(t )  sent i  2t j  cos t k; 0  t  3p 2 K) L) 4 5  F × dr , donde F(x, y, z)  (2xy z) i  (3x 3 M) 8 5 3 5 4 y z ) j  ( x 2 y 3 ) k y C es el camino de (0, 0, 0) a (1, 1, 1) 2 2 C A) 2 22. B) 4 C) 5 Dado F( x, y)  xi  2 yj , evaluar la integral de línea D) 1  F × dr para la curva C: y  x 3 de (0, 0) a (2, 8) C J) 62 K) 66 L) – 62 M) – 66 23. Evaluar la integral de línea  (( yz 2 )i  ( x 2 z) j  ( xy 2 )k ) × dr , donde C: segmento recto de (0, 0, 0) a (2, 4, 3) C A) 120 B) 30 C) 54 24. Calcular la integral de línea D) 40 donde C es el segmento de recta que va desde (1, 2, 3) hasta (0, 1, 0) J) L) –25 K) 25 25. Evalúe A) donde F(x,y)= B) xi yj y C : es el arco más corto del círculo C) 26. Calcule la integral de línea M) E) –1 D)  y dx  2xy dy , donde C es la recta 2 y 4 x de (0, 0) a (3, 4) 3 C J) 48 K) 33 27. Calcule la integral de línea  C L) 16 2 xy dx  y 2 dy , donde C es la elipse M) 31 x2 y2  1 2 1 de (2, 0) a (0, 1) de A) 1 B) 69 K) 4 29. Dado el círculo A) D) 5 3 5 3 donde C es la parte de la gráfica de y=x2 que va de ( -2, 4 ) a ( 3, 9 ) 28. Evaluar J)  C) 1 865 236 L) 12 M) 3 r(t )  2senti  2 cos tj, 0  t  2p calcular la integral de línea 16 p B) 30. Calcular J) 4p 16 p C) 2 C D) donde C está dada por K) 2  ydx  (x  21 4  y 2 )dy 4p ; L) M) N) 31. Obtenga el rotacional del siguiente campo vectorial F( x, y, z)  ( x 2 )i  ( y  z) j  ( xe y )k y evalúe en A) j  k B) 2 i  j C) i  j D)  j  k 32. Obtenga el rotacional del campo vectorial ( π/2, 0, 0 ) J) K) F( x, y, z )  (e y senz)i  (e z cos x) j  (e x seny)k , y evalúe en el punto  (e p / 2 )i  (e p / 2  1)k L) M) (e p / 2 )i  j  k 33. Calcular el rotacional para el campo vectorial A) – 6i + 6j B) 2i–2j  (1  e p / 2 )i  k C) 6j – 6k D) – 6j + 6k F ( x , y , z )  xy i  yz j  x z k 2 K) – 2 i – 2 j – 2 k 35. Calcular el rotacional para el campo vectorial 0, π) B) – i + 2k A) k i  (e p / 2  1) j F( x, y, z )  e xyz (i  j  k ) en el punto P(0, 3, 2) 6i – 6j 34. Hallar el rotacional para el campo vectorial J) L) 2 2 en el punto (1, 1, 1) M) – 2 i – k 0 F( x, y, z )  (e y cos z )i  (e x sen z ) j  (e y cos x)k en el punto P(0, C) i–j+k D) 2i + k 36. Cambie el orden de integración de: J) K) L) M) N) C) D) E) 37. Cambie el orden de integración de: A) B) (1, 0, 2) 38. Cambie el orden de integración de: J) K) 39. Cambie al orden dy dx dz la integral A) B) 3 12 4 z 1 4 4 x  z 3 3 0 0 0    f(x, y, z) dy dx dz   0 M) 6 2 4 x 3 1 3 3 x  y 2 4 0 0 0    0 f(x, y, z ) dy dx dz 0 K)   62 x 124 x 6 z 3 3 0 0 0 126 x 3 z 2 4 2 x 4 0 0 0 3  C) D) 40. Cambiar al orden de integración dydzdx la integral J)  1 2 2 x  z 6 3    f(x, y, z) dy dx dz 3 12 4 z 0 0 3 6 2 z 0 2 4 4 x  z 3 3 0 0 0     L)   f(x, y, z) dy dx dz 63 x 126 x 4 y 2 3 0 0 0 2 f ( x, y)dydzdx M) f ( x, y)dydzdx N)  f(x, y, z) dz dy dx 1 2 2 x  z 3 3 6 2 z 3 L) 124 x 3 0 0 63 x 2 2 0 0 3   f ( x, y )dzdydx 124 x 3 z 6 f ( x, y)dydzdx 0 126 x 4 z 3 f ( x, y)dydzdx 0 