INTEGRALES

Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Ejercicios para aprender a integrar ∫ af ( x)dx = a ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = − ∫ ∫ f ( x) ± g ( x)dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx Propiedades de las integrales: b a a b f ( x)dx = [F ( x)]a = F (b) − F (a) b Polinomios y series de potencias Reglas de integración: ∫ adx = ax + k n ∫ x dx = x n+1 +k n +1 ∫(x Ejemplos: 4 x11 ∫ 4 x dx = 4∫ x dx = 11 + k 2 dx x −2 −3 = = = +k 2 2 2 dx x dx ∫ x3 ∫ x3 ∫ −2 10 ∫(x 10 10 2 +x +x 3 ∫ xdx = 4∫ 4 ) + 2 x 2 + x −5 dx = ∫ x10 dx + 2∫ x 2 dx + ∫ x −5 dx = Ejercicios: ∫ x dx d) ∫ ( x 7 + 8 x3 + x −2 ) dx b) ∫ ( x 3 + 2 x)dx ∫ ( 7 x + 4 x ) dx m) ∫ ( x + 3 x ) dx ∫ ( x + x + 2 )dx n) ∫ ( π x + −2 x ) dx x5 +k a) 5 x4 b) + x2 + k 4 1 g) 2 ln x − + k x h) 1º Calcule las siguientes integrales: a) 4 ⎛2 1 ⎞ g) ∫ ⎜ + 2 ⎟dx ⎝x x ⎠ j) −1 −2 Sol: x8 x 4 x −1 d) +8 + +k 8 4 −1 4 j) 7 ln x − + k x x3 / 2 x 4 / 3 + +k m) 3/ 2 4/ 3 e) ∫(x −6 − x −4 + x 2 10 ) dx −3 x −5 x −3 x 2 +1 − + +k e) −5 −3 2 +1 k) x101 x1− 2 + +k 101 1 − 2 x11 x −2 + + 2x + k 11 −2 xπ 1 −2 ) x3 x 4 x −1 dx = + + +k 3 4 −1 dx = 4 ln x + k x ∫ ( x + 2 x ) dx f) ∫ ( xπ + x e + xi ) dx c) –1– 2 3 1⎞ ⎛ i) ∫ ⎜ 3 x 2 + ⎟dx x⎠ ⎝ ∫ ( x + 3x + 1) dx ñ) ∫ (1/ 3 x + 1/ 2 x ) dx l) 2 x3 x 4 c) + +k 3 2 xπ +1 x e+1 xi +1 + + +k f) π +1 e +1 i +1 i) x3 + ln x + k l) x3 3x 2 + + x+k 3 2 ñ) x 4 x3 + +k 4 3 +1 x1/ 2 n) π + +k 1 + π 1/ 2 dx = ln x + k x x11 x3 x −4 +2 + +k 11 3 −4 ⎛ 1 1 ⎞ h) ∫ ⎜ −100 + ⎟dx x 2⎠ ⎝x k) ∫ n ≠′ −1 Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Teorema del cambio de variables (Método de sustitución) El método del cambio de variables es utilizado básicamente con dos fines muy distintos: 1) Conseguir que una expresión complicada parezca más sencilla, de tal forma que sea inmediata su integración. 2) Cambios de un sistema de coordenadas a otro, pasando de coordenadas cartesianas a polares, cilíndricas o esféricas, según convenga. Vamos a enunciar el teorema del cambio de variables en integración. Teorema: Sea g (x) una función con derivada g ' ( x) continua en [a, b] , y sea f : g ( [ a, b ] ) → continua. Entonces, haciendo el cambio de variable t = g ( x) , resulta: ∫a f ( g ( x))·g ' ( x)dx = ∫ g (a) f (t )dt g (b ) b ∫a f ( x)dx = ∫ A veces se emplea el teorema del cambio de variables al revés: b g −1 (b ) g −1 ( a ) f ( g (t ))·g ' (t )dt Este es el teorema general cuando tenemos integrales definidas, por ahora solo estudiamos el caso de integrales indefinidas. Por tanto utilizaremos: ∫ f ( g ( x))·g '( x)dx = ∫ f (t )dt ∫ f ( x)dx = ∫ f ( g (t ))·g '(t )dt x = g (t ) → dx = g '(t )dt t = g ( x) → dt = g '( x)dx Iremos viendo progresivamente su aplicación en diversos casos y ejemplos a medida que avancemos en algunas reglas de integración. Advertencia: El método del cambio de variables no resuelve integrales, de hecho no vuelve resoluble una integral, lo que este método hace es que una integral que parece a simple vista difícil parezca más fácil. Potencias de polinomios (funciones elevadas a potencias) Reglas de integración: u n+1 ∫ u ' u dx = n + 1 + k n ∫ u dx = ln u + k n ≠ −1 u' 9 x + 5) ( dx = +k Ejemplos: ∫ ( x + 5) 8 9 9 x + 5) ⎡t = x + 5⎤ ( t9 8 8 ∫ ( x + 5) dx → ⎢⎣ dt = dx ⎥⎦ → ∫ t dt = 9 + k = 9 + k ∫ x − 3 = ln x − 3 + k dx ⎡ t = x − 3⎤ ∫ x − 3 → ⎢⎣ dt = dx ⎥⎦ → ∫ dx dt = ln t + k = ln x − 3 + k t –2– Julián Moreno Mestre www.juliweb.es ∫ x − 5dx = ∫ ( x − 5 ) 1/ 2 Academia las Rozas www.academialasrozas.com 3/ 2 x − 5) ( dx = +k ⎡t = x − 5 ⎤ ( x − 5) t3/ 2 1/ 2 → = = +k = x − 5dx → ⎢ tdt t dt ⎥ ∫ ∫ 3/ 2 3/ 2 ⎣ dt = dx ⎦ ∫ 3/ 2 3/ 2 +k ( x + 1) −1 1 − dx −2 ( 1) x dx = − + = − +k = +k ∫ ( x + 1)2 ∫ x +1 −1 ⎡t = x + 1⎤ 1 dt t −1 − dx −2 t dt → → − = − = − +k = +k ∫ ( x + 1)2 ⎢⎣ dt = dx ⎥⎦ ∫ t 2 ∫ x +1 −1 ∫ 4 ( 4 x + 5) dx = 8 ( 4 x + 5 )9 + k 9 ⎡t = 4 x + 5 ⎤ ( 4 x + 5 )9 + k t9 8 8 + → → = + = x dx t dt k 4 4 5 ) ⎢ dt = 4dx ⎥ ∫ ∫ ( 9 9 ⎣ ⎦ ∫ 3x − 1 = ln 3x − 1 + k 3dx ⎡t = 3x − 1⎤ ∫ 3x − 1 → ⎣⎢ dt = 3dx ⎦⎥ →∫ dt = ln t + k = ln 3x − 1 + k t ∫7 1/ 2 3dx 7 x − 5dx = ∫ 7 ( 7 x − 5 ) 3/ 2 7 x − 5) ( dx = +k ⎡t = 7 x − 5 ⎤ ( 7 x − 5) t3/ 2 1/ 2 ∫ 7 7 x − 5dx → ⎢⎣ dt = 7dx ⎥⎦ → ∫ tdt = ∫ t dt = 3 / 2 + k = 3 / 2 3/ 2 3/ 2 +k 10 1 1 (10 x + 6 ) 5 5 ∫ (10 x + 6 ) dx = ∫ 10 (10 x + 6 ) dx = 10 ∫ 10 (10 x + 6 ) dx = 10 6 + k t = 10 x + 6 6 ⎡ ⎤ 10 x + 6 ) ( 1 5 1 t6 5 5 dt ⎢ ⎥ ∫ (10 x + 6 ) dx → ⎢ dt = 10dx → dt = dx ⎥ → ∫ t 10 = 10 ∫ t dt = 10 6 + k = 60 + k 10 ⎣ ⎦ 7 dx 1 7 dx 1 dx ∫ 7 x − 1 =∫ 7 · 7 x − 1 = 7 ∫ 7 x − 1 = 7 ln 7 x − 1 + k t = 7x −1 ⎡ ⎤ dx dt 1 dt 1 1 ⎢ → ∫ 7 x − 1 ⎢dt = 7dx → dt = dx ⎥⎥ → ∫ 7t = 7 ∫ t = 7 ln t + k = 7 ln 7 x − 1 + k 7 ⎣ ⎦ 6 5 ∫ ∫ 3 1 1 ( 3x − 1) 1/ 2 1/ 2 3x − 1dx = ∫ ( 3x − 1) dx = ∫ 3 ( 3x − 1) dx = +k 3 3 3 3/ 2 t = 3x − 1 3/ 2 ⎡ ⎤ dt 1 1/ 2 1 t3/ 2 1 ( 3 x − 1) ⎢ ⎥ 3x − 1dx → → t = ∫ t dt = · +k = +k ⎢ dt = 3dx → dt = dx ⎥ ∫ 3 3 3 3/ 2 3 3/ 2 3 ⎣ ⎦ 3/ 2 –3– Julián Moreno Mestre www.juliweb.es 2 3 2 10 ∫ (3x + 4 x)( x + 2 x + 7) dx = Academia las Rozas www.academialasrozas.com ( x3 + 2 x 2 + 7)11 +k 11 ⎡ t = x3 + 2 x 2 + 7 ⎤ ( x 3 + 2 x 2 + 7)11 t11 2 3 2 10 10 +k ∫ (3x + 4 x)( x + 2 x + 7) dx → ⎢⎣dt = (3x 2 +4 x)dx ⎥⎦ → ∫ t dt = 11 + k = 11 2 100 ∫ (2 x + 1)( x + x) dx = ( x 2 + x)101 +k 101 ⎡ t = x2 + x ⎤ t101 ( x 2 + x)101 2 100 100 ∫ (2 x + 1)( x + x) dx → ⎢⎣dt = (2 x + 1)dx ⎥⎦ → ∫ t dx = 101 + k = 101 + k 7⎛ x 1⎛ x 7⎛x ⎛x ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ ∫ ⎜⎝ 7 + 5 ⎟⎠ dx = ∫ 7 ⎜⎝ 7 + 5 ⎟⎠ dx = 7 ∫ 7 ⎜⎝ 7 + 5 ⎟⎠ dx = 11 ⎜⎝ 7 + 5 ⎟⎠ + k x ⎡ ⎤ t = +5 10 11 ⎢ ⎥ 7 ⎛x t11 ⎛x ⎞ ⎞ 7 10 ⎥ → ∫ 7t dt = 7 + k = ⎜ + 5 ⎟ + k ∫ ⎜⎝ 7 + 5 ⎟⎠ dx → ⎢⎢ 1 11 11 ⎝ 7 ⎠ ⎥ dt = dx → 7dt = dx 7 ⎣⎢ ⎦⎥ 10 10 10 11 3x2 + 2 3 ∫ x3 + 2 x dx = ln x + 2 x + k ⎡ t = x3 + 2 x ⎤ 3x 2 + 2 dt 3 ∫ x3 + 2 x dx → ⎢⎢dt = (3x2 + 2)dx ⎥⎥ → ∫ t = ln t + k = ln x + 2 x + k ⎣ ⎦ 4 x3 + 1 1/ 4 ∫ ( x 4 + x)5 dx = − ( x 4 + x)4 + k ⎡ t = x4 + x ⎤ dt t −4 4 x3 + 1 1 1 −5 → → = = +k =− +k dx t dt ⎢ ⎥ ∫ ( x 4 + x )5 ∫ ∫ 5 4 3 −4 4 ( x + x)4 t ⎢⎣ dt = (4 x + 1)dx ⎥⎦ 6 1 6 x5 1 x5 x5 ∫ ( x6 + 1)7 dx = ∫ 6 ( x6 + 1)7 dx = 6 ∫ ( x6 + 1)7 dx = − 36( x6 + 1)6 + k ⎡ ⎤ t = x6 + 1 −6 x5 ⎢ ⎥ → dt = 1 t −7 dt = 1 · t + k = … → dx ∫ ( x6 + 1)7 ⎢ dt = 6 x5 dx → dt = x5 dx ⎥ ∫ 6t 7 6 ∫ 6 −6 ⎢⎣ ⎥⎦ 6 −1 …= +k 36( x 6 + 1)6 Tal y como se ha visto en los ejemplos, para integrar se hace muy necesario identificar aquello que es denominado como u de aquello que es u ' . De esta forma podemos aplicar las reglas de integración dadas o bien usar el cambio de variable. –4– Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Ejercicios: 2º Calcule las siguientes integrales: a) ∫ ( x + 1)3 dx b) ∫ ( x + 5) 3 dx c) d) ∫ ( x − 6) 3 dx e) ∫ 5· 3 ( x − 4) 2 dx j) ∫ 50(50 x − 6) 3 dx k) ∫ 5· 3 (5 x − 4) 2 dx g) ∫ 3(3 x + 1)3 dx ∫ o) n) 5 x + 1dx r) ∫ (3x + 2)( x + 2 x) dx 2 3 3 4 x3 + 5 ∫ x 4 + 5 x dx u) Sol: a) ( x + 1)4 + k ( x − 6) 3 +1 +k 3 +1 g) j) 3 4 d) ( 3x + 1)4 + k 4 (50 x − 6) 3 +1 +k 3 +1 10 ( x3 + 2 x)4 +k r) 4 u) ln x 4 + 5 x + k ( 33 3 x −2 4 ) 4 ñ) ) q) ∫ 3 5 + 7dx x ( 2 2 dx 6 x2 + 4 x + 2 ∫ x3 + x 2 + x + 1 dx x +1 y) ∫ dx x2 + 2 x ( x + 5) 4 b) +k 4 e) 5· +k k) ( x − 4)5 / 3 +k 5/3 (6 x + 5) 4 +k 4 9 15 ⎛ x ⎞ p) ⎜ + 7⎟ + k 4 ⎝5 ⎠ 2 +1 1 s) x2 + 2 +k 2 +1 4/3 ) v) 2 ln x3 + x 2 + x + 1 + k x2 + 2 x + k –5– ∫ ( 4 − 2x ) 7 dx ∫ 2x − 5 dx w) ∫ (3x 2 + 4) x3 + 4 xdx x3 z) ∫ 4 dx ( x + 1)5 2 ( x + 1)3 + k 3 f) ln x − 5 + k i) ( x − 4)5 / 3 +k 5/3 ( dx 6 x5 − 2 x −3 t) ∫ 6 dx ( x + x −2 ) 2 c) 1 ( 3x − 2 ) n) +k 3 9 y) ∫ x−5 i) ∫ 7 7 x + 1dx 6dx l) ∫ 6x − 5 dx s) ∫ 2 x x + 2 h) 1 ( 7 x + 5) +k m) 7 10 2 o) ( 5 x + 1)3 / 2 + k 15 x) 8 v) x) ∫ 3 x · x − 2dx 2 3 p) ∫ ( 3x − 2 ) x + 1dx f) h) ∫ 6(6 x + 5)3 dx m) ∫ (7 x + 5)9 dx ∫ 2 (7 x + 1)3 + k 3 l) ln 6 x − 5 + k 1 ( 4 − 2x) ñ) − +k 2 8 1 q) ln 2 x − 5 + k 2 8 ( t) − x 6 + x −2 ( ) −1 ) +k 3 2 x3 + 4 x + k 3 1 1 +k z) − 4 16 ( x + 1) 4 w) Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Funciones exponenciales Regla de integración: u u ∫ u ' e dx = e + k x x ∫ e dx = e + k u ∫ u ' a dx = au +k ln a Ejemplos: 1 e4 x+ 2 4 x+2 ∫ e dx = 4 ∫ 4e dx = 4 + k t = 4x + 2 ⎡ ⎤ 1 t 1 t e4 x+2 4 x+2 t dt ⎢ ⎥ ∫ e dx → ⎢dt = 4dx → dt = dx ⎥ → ∫ e 4 = 4 ∫ e dt = 4 e + k = 4 + k 4 ⎣ ⎦ 4 x+2 ∫ xe 2 1 1 2 2 xe− x dx = − e− x + k ∫ 2 2 2 ⎡ ⎤ t = −x −1 t 1 t 1 − x2 t dt − x2 ⎢ ⎥ ∫ xe dx → ⎢dt = −2 xdx → dt = xdx ⎥ → ∫ e −2 = 2 ∫ e dt = − 2 e + k = − 2 e + k ⎣⎢ −2 ⎦⎥ − x2 dx = x ∫ 10 dx = 10 x +k ln(10) 1 1 7 x +1 x 2 +1 ·7 2 ·7 · = = +k x dx x dx ∫ 2∫ 2 ln(7) 2 ⎡ ⎤ t = x2 +1 2 1 t 72 7 x +1 x +1 t dt ⎢ ⎥ ∫ x·7 dx → ⎢dt = 2 xdx → dt = xdx ⎥ → ∫ 7 2 = 2 ∫ 7 dt = 2 ln(7) + k = 2 ln(7) + k 2 ⎣⎢ ⎦⎥ x 2 +1 2 Ejercicios: a) ∫ e x +1dx b) ∫ 3 xe3 x 3º Calcule las siguientes integrales: a) e +k e) ee + k x (1 + e x )7 i) +k 7 c) ∫ (2 x + 3x 2 )e x dx f) ∫ e x +e dx x h) ∫e 2 xe x 2 x e3 x + 2 b) +k 2 x j) 4 + k x dx i) ∫ e x (1 + e x ) dx 6 dx l) 2 f) ee + k 2 + x3 x 2 +4 k) ∫ 6 x dx j) ∫ 4 x ln 4 dx x +1 +2 e) ∫ e x ee dx e ix + e −ix ∫ 2 dx ex dx g) ∫ x e +1 d) Sol: 2 x 2 + x3 +k g) ln ( e x + 1) + k c) e 6x k) +k ln(6) –6– 5x ∫ 1 + 5x dx d) eix − e −ix +k 2i ( ) h) ln e x + 4 + k 2 ln(5 x + 1) l) +k ln 5 Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Funciones trigonométricas seno y coseno ∫ u 'cos(u)dx = sin(u) + k ∫ u 'sin (u ) dx = − cos(u ) + k Reglas de integración: ∫ ( cos( x) + sin(2 x) ) dx = ∫ cos( x)dx + 2 ∫ 2sin(2 x)dx = sin x − Ejemplos: 1 ∫ cos(4 x + 1)dx = 4 ∫ 4 cos(4 x + 1)dx = cos(2 x) +k 2 sin(4 x + 1) +k 4 t = 4x +1 ⎡ ⎤ cos(t ) sin(t ) sin(4 x + 1) ⎢ ∫ cos(4 x + 1)dx → ⎢ dt = 4dx → dt = dx ⎥⎥ → ∫ 4 dt = 4 + k = 4 + k ⎣ ⎦ 4 1 2 ∫ x sin( x + 5)dx = − cos( x 2 + 5) 1 2 2 sin( 5) x x + dx = +k 2∫ 2 ⎡ ⎤ t = x2 + 5 2 2 ⎢ ⎥ → sin t dt = − cos t + k = − cos( x + 5) + k sin( 5) + → x x dx ∫ ⎢ dt = 2 xdx → dt = xdx ⎥ ∫ 2 2 2 2 ⎣⎢ ⎦⎥ ∫ cos ⎜⎝ x ⎟⎠ x = −∫ −1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ cos ⎜ ⎟ dx = − sin ⎜ ⎟ + k 2 x ⎝x⎠ ⎝x⎠ 1 ⎡ ⎤ t= ⎢ ⎥ ⎛ 1 ⎞ dx ⎛1⎞ x cos → → ∫ cos t (− dt ) = − sin t + k = − sin ⎜ ⎟ + k ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ∫ ⎝ x ⎠ x 2 ⎢ −1 dx ⎝ x⎠ dt = 2 dx → −dt = 2 ⎥ x x ⎦⎥ ⎣⎢ ⎛ 1 ⎞ dx 2 5 5 ∫ sin( x) cos ( x)dx = ∫ − sin( x) cos ( x)dx = − cos 6 ( x) +k 6 ⎡ t = cos( x) ⎤ t6 − cos 6 ( x) 5 5 → → − = − + = +k sin( ) cos ( ) x x dx t dx k ⎢ dt = − sin( x)dx ⎥ ∫ ∫ 6 6 ⎣ ⎦ ∫ tan( x)dx = ∫ cos( x) dx = −∫ − sin( x) dx = − ln cos( x) + k cos( x) ⎡ t = cos( x) ⎤ sin( x) −dt ∫ tan( x)dx = ∫ cos( x) dx → ⎢⎣dt = − sin( x)dx ⎥⎦ → ∫ t = − ln t + k = − ln cos( x) + k sin( x) ln cos( x 2 ) −1 −2 x sin( x 2 ) ∫ x tan( x )dx = 2 ∫ cos( x 2 ) dx = − 2 + k 2 2 ∫ x tan( x )dx = ⎡ ⎤ t = cos( x 2 ) −1 −2sin( x 2 ) 1 dt → dx ⎢ ⎥ → − ∫ =… 2 ∫ 2 2 cos( x ) 7 t ⎣ dt = −2 x sin( x )dx ⎦ ln cos( x 2 ) 1 … = − ln t + k = − +k 7 7 –7– Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Ejercicios: 4º Calcule las siguientes integrales: a) ∫ sin(5 x)dx b) ∫ cos(3 x)dx d) ∫ cos( x) tan( x)dx e) ∫ sin( x) cos 2 ( x)dx ∫ x sin x dx m) ∫ sin( x) 4 − cos( x)dx h) g) ∫ sin(2 x) cos( x)dx 2 j) Sol: a) − cos(5 x) +k 5 g) −2 m) 5º ( 4 − cos( x) ) 3/ 2 3/ 2 ∫ cos ( x) dx sin( x) ∫ tan ( x )dx x g) ∫ cotan(3x + 2)dx Sol: ln cos(2 x) a) − +k 2 d) ln cos g) ( ) x +k ln sin(3x + 2) 3 ∫ sin ( x) dx cos( x) l) ∫ ( x 2 + 1) cos( x 3 + 3x)dx sin(3 x) +k 3 −(cos( x))3 e) +k 3 1 +k h) cos( x) cos(8 x + 1) +k 8 cos 7 ( x) f) − +k 7 −4 i) +k sin 4 ( x) n) ∫ cos( x) 3 sin( x)dx k) − +k i) k) ∫ ( x + 1) sin( x 2 + 2 x)dx 2 n) − e) cos( x 2 + 2 x) +k 2 h) x2 + 1 ( tan e x x sin( x 3 + 3 x) +k 3 ñ) −ecos ( e ) + k x 2 +1 ∫ x cotan(3x )dx 5 ñ) ∫ e x sin(e x )e cos(e ) dx l) 3· 3 sin 4 x +k 4 ∫ xe 5 c) − Calcule las siguientes integrales: b) ∫ tan(7 x + 1)dx a) ∫ tan(2 x)dx d) f) ∫ sin( x) cos 6 ( x)dx b) d) − cos( x) + k cos3 ( x) +k 3 cos( x 2 ) j) +k 2 c) ∫ sin(8 x + 1)dx )dx 6 c) f) i) ∫x tan(3x) ∫ tan( x)·cotan( x)dx c) − e) − f) h) ( ) +k ln cos e x 2 ln sin(3 x 6 ) 18 +1 +k tan( x10 + 1)dx ∫ cos(3x)dx ln cos(7 x + 1) +k b) − 7 2 9 ln cos( x10 + 1) 10 1 +k 3cos(3 x) i) x + k Reglas de integración de la tangente y cotangente: Es posible utilizar las siguientes reglas de integración para los casos estudiados anteriormente en el ejercicio 5º. Aunque como se ha visto, basta el ingenio y conocer las reglas seno y coseno para integrar la tangente y la cotangente. ∫ u ' tan(u )dx = − ln cos(u) + k ∫ u 'cotan(u)dx = ln sin(u ) + k –8– Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Más reglas de integración seno y coseno: ∫ cos (u) dx = tan(u ) + k ∫ sin(u) dx = ln tan ⎜⎝ 2 ⎟⎠ + k ⎛u⎞ u' Ejemplos: ∫ sin u' dx = − cotan(u ) + k 2 (u ) u' 2 ∫ sin(3x) = ln tan ⎜⎝ ⎛ 3x ⎞ ⎟ +k 2 ⎠ 3dx ⎛ 90º + x 2 ⎞ xdx 1 2 xdx 1 = = ln tan ⎜ ⎟ +k ∫ cos( x 2 ) 2 ∫ sin(90º + x 2 ) 2 ⎝ 2 ⎠ ⎡t = 90º+x 2 ⎤ xdx dt 1 2 xdx 1 1 ⎛t⎞ ∫ cos(x 2) = 2 ∫ sin(90º+x 2) → ⎢⎣ dt = 2 xdx ⎥⎦ → 2 ∫ sin(t ) = 2 ln tan ⎜⎝ 2 ⎟⎠ + k = … ⎛ 90º+x 2 ⎞ 1 … = ln tan ⎜ ⎟ +k 2 2 ⎝ ⎠ ∫ cos2 (3x) = 3 ∫ cos2 (3x) = 3 tan(3x) + k dx 1 3dx 1 ⎡ t = 3x ⎤ ∫ cos2 (3x) = 3 ∫ cos2 (3x) → ⎢⎣ dt = 3dx ⎥⎦ → 3 ∫ cos2 (t ) = 3 tan(t ) + k = 3 tan(3x) + k dx 1 3dx 1 dt 1 1 e2 x tan(e 2 x + 1) dx = +k ∫ sin 2 (e2 x + 1) 2 ⎡ t = e2 x + 1 ⎤ 1 e2 x dx dt 1 2e2 x dx tan(t ) tan(e2 x + 1) k = → → = + = +k ∫ cos2(e2 x + 1) 2∫ cos2(e2 x+ 1) ⎢⎢dt = 2e2 x dx⎥⎥ 2∫ cos2(t ) 2 2 ⎣ ⎦ Ejercicios: 6º Calcule las siguientes integrales: dx b) a) ∫ sin(4 x + 1) d) g) Sol: a) sin( x)dx ∫ sin(cos( x)) e) ∫ cos( x) dx ∫ ( x) dx x cos c) f) ∫ x cos(ln( x)) dx ∫ cos2 ( x 2 + 1) dx x dx ∫ ( x + 1)·cos2 (ln( x + 1)) h) 1 ⎛ ⎛ 4x +1 ⎞ ⎞ ln ⎜ tan ⎜ ⎟⎟ + k 4 ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎛ 90º + x ⎞ b) ln tan ⎜ ⎟ +k ⎝ 2 ⎠ ⎛ ⎛ ln( x) ⎞⎞ + 45º ⎟ ⎟ + k c) ln ⎜ tan ⎜ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ h) cot(cos( x)) + k i) − ⎛ ⎛ cos( x) ⎞ ⎞ d) − ln ⎜ tan ⎜ ⎟⎟ + k ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ g) tan(ln( x) + 1) + k sin( x) ∫ sin 2 (cos( x)) dx i) 4x ∫ sin 2 (4 x ) dx 2 ⎛ ⎛ x ⎞⎞ e) 2 ln ⎜ tan ⎜⎜ + 45º ⎟⎟ ⎟ + k f) tan( x + 1) + k ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ –9– cotan(4 x ) +k ln4 Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Integrales con primitiva arcotangente Método de agrupar cuadrados de Lagrange: Para poder hacer varias de las integrales de este tipo, es preciso saber como agrupar en cuadrados cualquier polinomio de segundo grado que carece de raíces reales. La forma de hacerlo para un polinomio general de segundo grado sería: b ⎞ ⎛ b ⎞ b ⎞ b2 ⎛ ⎛ ax + bx + c = ( ax + bx ) + c = ⎜ ax + c ax − + = + +c ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 2 a ⎠ ⎝2 a ⎠ 2 a ⎠ 4a ⎝ ⎝ Por ello estudiaremos dicho método con unos ejemplos que usaremos posteriormente en algunos de los ejemplos de integrales: 2 2 2 2 2 x 2 + 8 x + 17 = ( x + 4 ) − 42 + 17 = ( x + 4 ) + 1 2 2 2 2 x 2 + 6 x + 10 = ( x + 3) − 32 + 10 = ( x + 3) + 1 x 2 − 4 x + 6 = ( x − 2 ) − 22 + 6 = ( x − 2 ) + 2 2 2 x 2 + 2 x + 7 = ( x + 1) − 12 + 7 = ( x + 1) + 6 2 2 1⎞ ⎛1⎞ 1⎞ 7 ⎛ ⎛ x2 + x + 2 = ⎜ x + ⎟ − ⎜ ⎟ + 2 = ⎜ x + ⎟ + 2⎠ ⎝2⎠ 2⎠ 4 ⎝ ⎝ 2 2 2 6 ⎞ ⎛ 6 ⎞ 3⎞ ⎛ ⎛ 4x + 6x + 5 = ( 4x + 6x) + 5 = ⎜ 2x + ⎟ −⎜ ⎟ + 5 = ⎜ 2x + ⎟ + 3 2·2 ⎠ ⎝ 2·2 ⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ 2 2 2 2 2 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞ 2 ⎛ 9 x − 12 x + 1 = ( 9 x − 12 x ) + 1 = ⎜ 3 x − ⎟ −⎜ ⎟ + 1 = ( 3x − 2 ) − 3 2·3 ⎠ ⎝ 2·9 ⎠ ⎝ 2 2 2 2 Regla de integración: ∫u 2 u' 1 ⎛u⎞ dx = arctan ⎜ ⎟ + k 2 a +a ⎝a⎠ ∫ x 2 + 1 = arctan( x) + k Ejemplos: dx ∫ 9 + x2 dx 1 ⎛ x⎞ = arctan⎜ ⎟ + k 3 ⎝3⎠ ∫ x 2 + 2 x + 7 = ∫ ( x + 1)2 − 12 + 7 =∫ ( x + 1)2 + 6 = dx dx dx ∫ x 2 − 4 x + 6 = ∫ ( x − 2 ) 2 − 22 + 6 = ∫ ( x − 2 )2 + 2 = dx dx dx 1 ⎛ x +1 ⎞ arctan ⎜ ⎟+k 6 ⎝ 6 ⎠ 1 ⎛ x−2⎞ arctan ⎜ ⎟+k 2 ⎝ 2 ⎠ 3⎞ ⎛ ⎜ 2x + 2 ⎟ 3dx 3dx 3 2dx 1 ∫ 4 x 2 + 6 x + 5 = ∫ ⎛ 3 ⎞2 = 2 ∫ ⎛ 3 ⎞2 = 3 arctan ⎜ 3 ⎟ + k ⎜ ⎟ ⎜ 2x + ⎟ + 3 ⎜ 2x + ⎟ + 3 ⎝ ⎠ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ – 10 – Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Ejercicios: 7º Calcule las siguientes integrales: dx dx a) ∫ b) ∫ 2 4+ x 8 + 3x 2 dx dx d) ∫ e) ∫ 2 4 + (3x − 1) 9 + 4( x − 2) 2 dx dx g) ∫ 2 h) ∫ 2 x + 2x + 8 x − 6 x + 14 x e ex k) ∫ 2 x j) ∫ 2 x dx dx e +1 e + 2e x + 8 2sin(2 x + 1) e arctan x dx n) ∫ dx m) ∫ 2 1 + cos 2 (2 x + 1) x +1 Sol: ⎛ 6x ⎞ 1 1 ⎛ x⎞ b) arctan ⎜⎜ a) arctan ⎜ ⎟ + k ⎟⎟ + k 2 24 ⎝2⎠ ⎝ 4 ⎠ 1 1 ⎛ 3x − 1 ⎞ ⎛ 2x − 4 ⎞ d) arctan ⎜ e) arctan ⎜ ⎟+k ⎟+k 6 6 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 1 1 ⎛ x +1 ⎞ ⎛ x −3⎞ arctan ⎜ arctan ⎜ g) h) ⎟+k ⎟+k 7 5 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 7 ⎠ j) arctan(e ) + k x m) earctan x + k ⎛ ex +1 ⎞ 1 arctan ⎜⎜ k) ⎟⎟ + k 7 ⎝ 7 ⎠ c) f) i) l) ∫ 81 + 4 x 2 dx ∫ 1 + 4(6 x + 2)2 dx ∫ 16 x 2 + 2 x + 6 dx ∫ x(ln 2 ( x) + 9) dx ñ) ∫ 1 + tan 2 x dx c) 1 ⎛ 2x ⎞ arctan ⎜ ⎟ + k 18 ⎝ 9 ⎠ sec 2 x 1 arctan (12 x + 4 ) + k 12 1 ⎛ 16 x + 1 ⎞ arctan ⎜ i) ⎟+k 95 ⎝ 95 ⎠ f) l) 1 ⎛ ln( x) ⎞ arctan ⎜ ⎟+k 3 ⎝ 3 ⎠ n) − arctan ( cos(2 x + 1) ) + k ñ) x + k Integrales racionales Se trata de integrales del tipo polinomio dividido entre polinomio. Los casos que se estudian en bachillerato son de polinomios factorizables a términos lineales o cuadráticos, siendo los lineales los más frecuentes en exámenes y los cuadráticos los menos frecuentes. Método de descomposición en fracciones simples. Ejemplos: En cada caso deduciremos el valor de las constantes en la descomposición en fracciones simples utilizando dos métodos. Primer ejemplo: Con factorizaciones lineales elevadas a potencia uno. 1 1 A B A( x − 2) + B( x + 2) = = + = 2 x − 4 ( x + 2)( x − 2) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 2)( x − 2) Método de los sistemas de ecuaciones: ⎧ A+ B = 0 ⎧ A = −1/ 4 A( x − 2) + B( x + 2) = 1 ⇒ ⎨ ⇒⎨ ⎩−2 A + 2 B = 1 ⎩ B = 1/ 4 Método de sustitución de la variable: 4 B = 1 → B = 1/ 4 ⎧ x=2 A( x − 2) + B( x + 2) = 1 ⇒ ⎨ ⎩ x = −2 −4 A = 1 → A = −1/ 4 1 −1 1 = + 2 x − 4 4( x + 2) 4( x − 2) – 11 – Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Segundo ejemplo: Con factorizaciones lineales elevadas a potencia diferente a uno. x x A B C A( x + 2) + B ( x + 2)( x − 1) + C ( x − 1) 2 = = + + = x 3 − 3 x + 2 ( x − 1) 2 ( x + 2) ( x − 1) 2 x − 1 x + 2 ( x − 1) 2 ( x + 2) Método de los sistemas de ecuaciones: ⎧ C + B + A =1 ⎧ A = 1/ 3 ⎪ ⎪ 2 A( x + 2) + B ( x + 2)( x − 1) + C ( x − 1) = x ⇒ ⎨ B + C = 0 ⇒ ⎨ B = 2 / 9 ⎪ 2 A − 2 B + C = 0 ⎪C = −2 / 9 ⎩ ⎩ Método de sustitución de la variable: ⎧ 3 A = 1 → A = 1/ 3 ⎪ x =1 ⎪⎪ A( x + 2) + B( x + 2)( x − 1) + C ( x − 1) 2 = x ⇒ ⎨ x = −2 9C = −2 → C = −2 / 9 ⎪ 2 2 ⎪ x=0 − 2B − = 0 → B = 2 / 9 3 9 ⎪⎩ x 1 2 2 = + − 3 2 x − 3 x + 2 3( x − 1) 9( x − 1) 9( x + 2) Tercer ejemplo: Con factorizaciones con términos cuadráticos. 3 x 2 + 2 x + 1 3 x 2 + 2 x + 1 A Bx + C = = + x 3 + x 2 + x x( x 2 + x + 1) x x 2 + x + 1 Método de los sistemas de ecuaciones: ⎧A+ B = 3 ⎧ A =1 ⎪ ⎪ A( x 2 + x + 1) + Bx 2 + Cx = 3 x 2 + 2 x + 1 ⇒ ⎨ A + C = 2 ⇒ ⎨ B = 2 ⎪ A =1 ⎪C = 1 ⎩ ⎩ A =1 ⎧ x=0 ⎪ A( x + x + 1) + Bx + Cx = 3 x + 2 x + 1 ⇒ ⎨ x = 1 3 + B + C = 6 ⎧ B = 2 ⇒⎨ ⎪ ⎩ x = −1 1 + B − C = 2 ⎩ C = 1 1 1 2x +1 = + 2 3 2 x + x + x x x + x +1 Método de sustitución de la variable: 2 2 2 Ejemplos aplicados a la integración: Valiéndonos de los ejemplos anteriores, procederemos directamente en las integrales. −1 1 1 1 dx dx dx dx ∫ x 2 − 4 = ∫ ( x + 2)( x − 2) = 4 ∫ ( x + 2) + 4 ∫ ( x − 2) = − 4 ln x + 2 + 4 ln x − 2 + k ∫x x x dx 1 2 dx 2 dx dx = ∫ dx = ∫ + ∫ − =… 2 2 ( x − 1) ( x + 2) 3 ( x − 1) 9 x − 1 9 ∫ x + 2 − 3x + 2 2 2 −1 …= + ln x − 1 − ln x + 2 + k 3( x − 1) 9 9 3 3x 2 + 2 x + 1 3x2 + 2 x + 1 (2 x + 1)dx dx 2 dx = ∫ x3 + x 2 + x ∫ x( x 2 + x + 1)dx = ∫ x + ∫ x 2 + x + 1 = ln x − ln x + x + 1 + k – 12 – Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Ejercicios: 8º Integre por descomposición en fracciones simples (factores lineales): 1 1 3 a) ∫ dx dx dx b) ∫ 2 c) ∫ 2 2 1− x 4x − 9 x + x−2 2x − 3 6 5− x d) ∫ dx dx e) ∫ f) ∫ 2 dx 2 ( x − 1) x( x − 1)( x + 2) 2x + x −1 x +1 x+2 3x 2 − 7 x − 2 h) ∫ 2 i) ∫ 2 dx dx dx g) ∫ 3 x + 4x + 3 x − 4x x −x 4 x2 + 2 x − 1 x 2 + 12 x + 12 x3 − x + 3 dx dx k) l) j) ∫ ∫ x3 − 4 x ∫ x 2 + x − 2 dx x3 − x Sol: 1 x +1 1 2x − 3 +k a) ln +k b) ln 2 x −1 12 2 x + 3 x −1 +k c) ln x+2 e) 2 ln x − 1 + 1 +k x −1 2 7 x + 1 ln x − 1 g) ln + + 2 ln x + k 2 x −1 2 i) 1 ( x − 4)3 ln +k 2 x k) ln ( x − 2)5 +k x 3 ( x + 2) ( x − 1) 2 ·( x + 2) d) ln +k x3 f) 3 ln 2 x − 1 − 2 ln x + 1 + k 2 h) ln x + 3 + k j) 1 ln x 2 ( x + 1)( x − 1)5 + k 2 l) ln ( x − 1)( x + 2) + x2 −x+k 2 9º Integre por descomposición en fracciones simples (factores lineales y cuadráticos): x x2 − 1 x2 b) ∫ 3 dx a) ∫ 3 dx dx c) ∫ 4 x −1 x − 2 x2 − 8 x +x 2 x2 + x + 8 x x2 − 4 x + 7 d) ∫ dx e) dx 2 f) ∫ 16 x 4 − 1 ∫ x3 − x 2 + x + 3 dx ( x2 + 4) Sol: a) ln c) e) x2 + 1 +k x ⎛ 2x ⎞ 1 x − 2 2 +k arctan ⎜⎜ ⎟⎟ + ln x 6 2 6 2 + ⎝ ⎠ 1 4 x2 − 1 ln 2 +k 16 4 x + 1 b) 1 ( x − 1) 2 ⎛ (2 x + 1) ⎞ 1 + +k arctan ⎜ ln ⎟ 2 3 3 ⎠ 6 x + x +1 ⎝ 1 ⎛ x⎞ +k d) arctan ⎜ ⎟ − 2 ⎝ 2 ⎠ 2( x + 4) f) 2 ln x + 1 − – 13 – ln x 2 − 2 x + 3 2 +k Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Integrales con primitiva arcoseno Regla de integración: ∫ ⎛u⎞ dx = arcsen ⎜ ⎟ + k ⎝a⎠ a2 − u2 u' Ejemplos: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎛ x ⎞ = arcsin ⎜ ⎟+k 7 ⎝ ⎠ 7−x dx 2 dx = dx = 1 − 4x2 1 − 4x2 1 2dx 1 = arcsin ( 2 x ) + k ∫ 2 1 − 4 x2 2 1 2dx 1 = arcsin ( 2 x ) + k ∫ 2 1 − 4 x2 2 ⎛ x −3⎞ = arcsin ⎜ ⎟+k ⎝ 2 ⎠ 4 − ( x − 3) 2 dx ⎡ t = x − 3⎤ dt ⎛t⎞ ⎛ x −3⎞ →⎢ →∫ = arcsin ⎜ ⎟ + k = arcsin ⎜ ⎟+k ⎥ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎣ dt = dx ⎦ 4 − ( x − 3) 2 4 − t2 dx dx − x2 − 8x dx − x2 − 8x =∫ =∫ dx − x 2 − 8 x − 16 + 16 dx − x 2 − 8 x − 16 + 16 =∫ =∫ ⎛t⎞ ⎛ x+4⎞ … = arcsin ⎜ ⎟ + k = arcsin ⎜ ⎟+k ⎝4⎠ ⎝ 4 ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ex 9 − e2 x ex 9 − e2 x ⎛ x+4⎞ = arcsin ⎜ ⎟+k ⎝ 4 ⎠ 16 − ( x + 4)2 dx ⎡t = x + 4 ⎤ dt →⎢ →∫ =… ⎥ ⎣ dt = dx ⎦ 16 − ( x + 4) 2 16 − t 2 dx ⎛ ex ⎞ dx = arcsin ⎜⎜ ⎟⎟ + k ⎝ 3⎠ ⎡ t = ex ⎤ ⎛ ex ⎞ dt ⎛t⎞ dx → ⎢ →∫ = arcsin ⎜ ⎟ + k = arcsin ⎜⎜ ⎟⎟ + k ⎥ x ⎝3⎠ ⎢⎣ dt = e dx ⎥⎦ 9 − t2 ⎝ 3⎠ ⎛ cos( x) ⎞ dx = arcsin ⎜ ⎟+k 3 ⎠ ⎝ 3 − cos 2 ( x) sin( x) ⎡ t = cos( x) ⎤ − dt ⎛ t ⎞ dx → ⎢ →∫ = − arcsin ⎜ ⎥ ⎟+ k =… ⎝ 3⎠ ⎣ dt = − sin( x)dx ⎦ 3 − cos 2 ( x) 3 − t2 sin( x) ⎛ cos( x) ⎞ … = − arcsin ⎜ ⎟+k 3 ⎠ ⎝ – 14 – Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Ejercicios: 10º Calcule las siguientes integrales: dx a) ∫ b) 2 1− x dx d) ∫ e) 2 1 − ( x − 1) dx h) g) ∫ − x2 − 2 x dx j) ∫ k) − x2 + 6 x − 5 cos( x) m) ∫ n) dx 2 1 − sin ( x) o) ∫x dx 1 − ln 2 ( x) Sol: a) arcsin( x) + k d) arcsin( x − 1) + k g) arcsin ( x + 1) + k ⎛ x−3⎞ j) arcsin ⎜ ⎟+k ⎝ 2 ⎠ m) x + k o) arcsin ( ln( x) ) + k p) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx 16 − 9 x dx c) 2 4 − (2 x + 3) dx f) 2 − x2 − 6 x dx − x2 + 4 x − 3 cos( x) 6sin( x) − sin 2 ( x) ∫ (2 x + 1) dx i) l) dx 9 − ln 2 (2 x + 1) 1 ⎛ 3x ⎞ arcsin ⎜ ⎟ + k 3 ⎝ 4 ⎠ 1 ⎛ 2x + 3 ⎞ e) arcsin ⎜ ⎟+k 2 ⎝ 2 ⎠ ⎛ x+3⎞ h) arcsin ⎜ ⎟+k ⎝ 3 ⎠ b) k) arcsin ( x − 2 ) + k ñ) q) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5dx 625 − 25 x 2 dx 9 − (5 x + 7) 2 dx −4 x 2 − 8 x dx −4 x 2 + 20 x − 9 1 + tan 2 ( x) dx 1 − tan 2 ( x) xdx ∫ ( x 2 + 1) 1 − ln 2 ( x 2 + 1) ⎛ x⎞ c) arcsin ⎜ ⎟ + k ⎝5⎠ 1 ⎛ 5x + 7 ⎞ f) arcsin ⎜ ⎟+k 5 ⎝ 3 ⎠ 1 i) arcsin( x + 1) + k 2 1 ⎛ 2x − 5 ⎞ l) arcsin ⎜ ⎟+k 2 ⎝ 4 ⎠ ⎛ sin( x) − 3 ⎞ n) arcsin ⎜ ñ) arcsin(tan( x)) + k ⎟+k 3 ⎝ ⎠ 1 1 ⎛ ln(2 x + 1) ⎞ 2 p) arcsin ⎜ ⎟ + k q) arcsin ln x + 1 + k 2 3 2 ⎝ ⎠ ( ( – 15 – )) Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Otras reglas de integración Regla de integración: ∫ Ejemplos: ∫ ∫ ∫ ∫ dx 9x −1 2 dx x2 + 2 x dx x + 2x 2 u' u ±a 2 1 3dx 1 = ln ∫ 2 3 9x −1 3 =∫ =∫ dx ( x + 1) 2 − 1 ( = ln ( 2 dx = ln ln ( x) + 1 2 1 3∫ ( 1 ⎛ dx = ln ⎜ 2 3 ⎝ e3 x + 2 − 2 ) 3e3 x ) = ln ( (e 3x +2 ) ) (e 2 3x ⎡ t = ln( x) ⎤ dt →⎢ →∫ = ln ⎥ ln 2 ( x) + 1 ⎣ dt = dx / x ⎦ t2 +1 ∫ cos x ∫ sin ( x) + 1 dx = ln ( ) +2 3x ) 2 +2 −4 ) 2 ( ⎡ t = sin( x) ⎤ dt dx → ⎢ →∫ = ln ⎥ ⎣ dt = cos( x)dx ⎦ sin 2 ( x) + 9 t2 + 9 – 16 – ( ⎞ − 4 + e3 x + 2 ⎟ + k ⎠ dx = 1 dt =… ∫ 3 t2 − 4 ) ( ) ( ( ) ln 2 ( x) + 1 + ln( x) + k t2 + 9 + t + k = … … = ln ) ( x + 1) 2 − 1 + x + 1 + k t 2 + 1 + t + k = ln sin 2 ( x) + 1 + sin( x) + k cos x ) t 2 −1 + t + k = … ⎞ − 4 + e3 x + 2 ⎟ + k ⎠ ln 2 ( x) + 1 + ln( x) + k dx (e 3e3 x ∫x 2 ( … = ln 1 ⎛ t 2 − 4 + t + k = ln ⎜ 3 ⎝ dx ) ⎡t = x + 1⎤ dt →⎢ →∫ = ln ⎥ ( x + 1) 2 − 1 ⎣ dt = dx ⎦ t 2 −1 ⎡ t = e3 x +1 + 2 ⎤ 1 dx → ⎢ ⎥→ ∫ 3 x +1 ⎣⎢ dt = 3e dx ⎦⎥ 3 ( ) dx e3 x e6 x + 4e3 x ) u2 ± a2 + u + k ( x + 1) 2 − 1 + x + 1 + k dx = e6 x + 4e3 x ( 9 x 2 − 1 + 3x + k e3 x 1 … = ln 3 ∫x = ∫ ) sin 2 ( x) + 9 + sin( x) + k Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Ejercicios: 11º Calcule las siguientes integrales: dx a) ∫ b) 2 x −1 dx d) ∫ e) 2 ( x − 1) − 4 dx h) g) ∫ x2 − 2 x dx j) ∫ k) x2 + 6 x − 5 cos( x) n) m) ∫ dx 2 sin ( x) − 1 ∫x o) ( c) ln ( dx ln 2 ( x) − 1 Sol: e) ( ) x2 − 1 + x + k a) ln p) ) ( ∫ ∫ ∫ ∫ dx 16 + 9 x dx (2 x + 3) − 9 dx f) x2 + 4 x − 3 cos( x) l) 2 x2 + 6 x dx ) ∫ (2 x + 1) ) i) 1 ln 2 ( ( x − 1) 2 − 1 + x − 1 + k 2 2 2 2 dx ln 2 (2 x + 1) + 9 ( 1 ln 3 5dx 25 x 2 − 625 dx ∫ (5 x + 7) 2 + 4 dx ∫ ∫ 4 x2 − 8x dx ∫ 4 x 2 + 20 x − 9 1 + tan 2 ( x) dx tan 2 ( x) − 1 xdx ∫ ( x 2 + 1) q) ( 16 + 9x 1 ⎛ ln ⎜ 5 ⎝ ∫ ñ) dx d) ln (2 x + 3)2 − 9 + 2 x + 3 + k ( x − 1) 2 + 1 + x − 1 + k i) sin 2 ( x) − 6sin( x) 2 ) ln 2 ( x 2 + 1) − 1 + 3x + k ) ( x − 1) 2 − 4 + x − 1 + k ( 5 x + 7 )2 + 4 + 5 x + 7 ⎞⎟ + k ( ( x + 3) − 9 + x + 3) + k j) ln ( ( x + 3) − 14 + x + 3) + k 1 l) ln ( (2 x + 5) − 34 + 2 x + 5 ) + k 2 f) ) k) ln ( ( x + 2) − 7 + x + 2 ) + k m) ln ( sin ( x) − 1 + sin( x) ) + k ñ) ln ( tan ( x) − 1 + tan( x) ) + k 1 p) ln ( ln (2 x + 1) + 9 + ln(2 x + 1) ) + k 2 g) ln c) 2 b) 25 x 2 − 625 + 5 x + k 1 ln 2 ∫ ⎠ 2 h) ln 2 2 n) ln ⎜⎛ ⎝ o) ln q) – 17 – ( ( sin( x) − 3)2 − 9 + sin( x) − 3 ⎟⎞ + k ) ln( x) − 1 + ln( x) + k ( ) ⎠ ( ) 1 ⎛ ln ⎜ ln 2 x 2 + 1 + 9 + ln x 2 + 1 ⎟⎞ + k 2 ⎝ ⎠ Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Método de integración por partes ∫ udv = uv − ∫ vdu Formula de integración por partes: Regla nemotécnica: Sentado un día vi un valiente soldado vestido de uniforme. Este método contiene un proceso de integración y otro de derivación. La derivada tiene propiedades destructivas frente a la integral que tiene propiedades constructivas. Nuestro objetivo al usar este método es emplear su proceso de derivación para destruir funciones sencillas como un polinomio, un arcoseno, un logaritmo, una arcotangente, etc, y en cuanto a su parte de integración evitaremos en la medida de lo posible que construya funciones más complicadas. ⎡ u = x → du = dx ⎤ → xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + cte x x⎥ ⎦ ∫ xe dx → ⎢⎣dv = e dx → v = e Ejemplos: x u = x → du = dx ∫ x cos( x)dx → ⎢⎣dv = cos( x)dx → v = sin( x) ⎥⎦ → x sin( x) − ∫ sin( x)dx = x sin( x) + cos( x) + k ⎡ ⎤ ⎡ u = x → du = dx ⎤ −2− x −2 − x 2− x 2− x ⎢ −x ⎥ → xdx x dx x → − = − +k 2 ∫ ∫ ln 2 ⎢ dv = 2− x dx → v = −2 ⎥ ln 2 ln 2 (ln 2) 2 ⎢⎣ ln 2 ⎥⎦ −x dx ⎤ ⎡ u = ln( x) → du = ⎥ dx ⎢ x → x ln( x) − ∫ x = x ln( x) − x + k ∫ ln( x)dx → ⎢ ⎥ x ⎣ dv = dx → v = x ⎦ dx ⎡ u = arcsin( x) → du = ⎢ 1 − x2 ∫ arcsin( x)dx → ⎢ ⎢⎣ dv = dx → v = x ⎤ xdx ⎥ → x arcsin( x) − =… ∫ ⎥ 2 1− x ⎥⎦ … = x arcsin( x) + 1 − x 2 + k dx ⎤ ⎡ u = arctan( x) → du = xdx ⎢ =… 1 + x 2 ⎥ → x arctan( x) − ∫ ∫ arctan( x)dx → ⎢ ⎥ 1 + x2 dv = dx → v = x ⎣ ⎦ 1 … = x arctan( x) − ln(1 + x 2 ) + k 2 – 18 – Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Ejercicios: 12º Calcule las siguientes integrales: 2 a) ∫ x 2 e x dx b) ∫ x 3e x dx x ∫ e x dx g) ∫ x sin(3x)dx d) j) ∫ x sin 2 (x)dx m) o) r) ∫ cos ( x)dx x ∫ x( x − 2) 2 4 dx x ∫ ( x − 1)3 dx u) ∫ x x − 1dx e) c) ∫ ( x 2 − 1)e x dx x4 ∫ e x dx h) ∫ x 2 sin(2 x)dx k) ∫ x 2 cos( x)dx n) p) s) ∫ sin ( x)dx x ∫x ( x − 3) 4 dx 8x ∫ (2 x − 3)2 dx v) ∫ x 2 x − 2dx Sol: b) e) −e − x ( x 4 + 4 x 3 + 12 x 2 + 24 x + 24) + k − cos(3x) sin(3x) g) x+ +k 3 9 h) − c) e x ( x 2 − 2 x + 1) + k q) ∫ cos (x + 1)dx ∫x x +1 2 2 (2 x + 5)4 dx x2 ∫ ( x + 1)3 dx x w) ∫ dx 1− x t) x 2cos(2 x) x sin(2 x) cos(2 x) + + +k 2 2 4 x 2 x sin(2 x) cos(2 x) j) − − +k 4 4 8 cos(5 x) x sin(5 x) + +k l) 25 5 n) − x cot( x) + ln sin( x) + k i) − x 2 cos( x) + 2 x sin( x) + 2 cos( x) + k k) x 2 sin( x) + 2 x cos( x) − 2sin( x) + k m) x tan x + ln cos x + k ñ) ( x + 1) tan( x + 1) + ln cos( x + 1) + k 1 1 x( x − 2)5 − ( x − 2)6 + k 5 30 2 5 x (2 x + 5) x(2 x + 5)6 (2 x + 5)7 q) − + +k 10 60 840 6 s) − + 2 ln 2 x − 3 + k 2x − 3 o) p) t) − l) ∫ x cos(5 x)dx 1 2 x2 1 x2 x e − e +k 2 2 −x d) −e ( x + 1) + k f) −e − x ( x 2 − x) − e − x (2 x − 1) − 2e− x + k a) e x ( x 2 − 2 x + 2) + k x 2 ( x − 3)5 x( x − 3)6 ( x − 3)7 − + +k 5 15 105 1 x r) − − +k 2 2( x − 1) 2( x − 1) i) ∫ x 2 sin( x)dx ñ) 2 2 f) ∫ ( x 2 − x)e − x dx x2 x − + ln x + 1 + k 2 x +1 2( x + 1) 2 x − 2·(15 x 3 − 6 x 2 − 16 x − 64) + k v) 105 2 x − 1·(3 x 2 − x − 2) + k 15 4 (1 − x)3 + k w) −2 x 1 − x − 3 u) – 19 – Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com 13º Calcule las siguientes integrales: a) ∫ ln(3x)dx b) ∫ (ln x) 2 dx d) ∫ ln x dx x2 ⎛ x⎞ j) ∫ arcsin ⎜ ⎟ dx ⎝2⎠ k) m) n) ( ) 2 ∫ x arctan x dx ∫ x arccos( x) 1− x 2 ∫ ln x dx x3 ln(ln x) h) ∫ dx x e) g) ∫ sin(ln x)dx o) dx p) ∫x 2 x 4 ln x x 4 − +k 4 16 ln x 1 e) − 2 +k 2 2x 4x x sin(ln x) − x cos(ln x) g) +k 2 i) 2 x ln x − 4 x + k m) ( ) arctan ( x ) ln ( x + 1) − +k 1 2 1 1 − x4 + k x arcsin x 2 + 2 2 2 2 ñ) − 1 − x 2 arcsin( x) + x + k ( ) 2 x3 arctan( x) ln x + 1 x 2 p) + − +k 3 6 6 ∫ ∫ x (ln x) 2 dx ln x dx x l) ∫ arccos( x)dx ñ) ∫ x arcsin( x) 1 − x2 dx q) ∫ ln(1 + x 2 )dx arctan( x)dx b) x(ln x) 2 − 2 x ln x + 2 x + k ln x 1 − +k d) − x x ⎛ 2(ln x) 2 8(ln x) 16 ⎞ f) x 3 ⎜ − + ⎟+k 9 27 ⎠ ⎝ 3 h) ln x·ln ln x − ln x + k ⎛ x⎞ j) x arcsin ⎜ ⎟ + 4 − x 2 + k ⎝2⎠ l) x arccos( x) − 1 − x 2 + k 4 4 i) ∫ x arctan( x)dx c) x2 f) 2 ∫ x arcsin ( x ) dx Sol: a) x ln(3x) − x + k k) c) ∫ x 3 ln xdx n) x 2 arctan( x) arctan( x) x + − +k 2 2 2 o) − 1 − x 2 arccos( x) − x + k ( ) q) x ln x 2 + 1 + 2 arctan( x) − 2 x + k – 20 – Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Casos especiales con integración por partes: El que vamos a ver es un caso especial que se da en la integración por partes, se trata de integrales que tras realizar una o varias veces el método de integración por partes obtenemos otra vez la integral que tenemos justo al principio: ⎡ u = e x → du = e x dx ⎤ x x x → e xdx cos ⎢ ⎥ → e sin x − ∫ e sin xdx ∫ ⎣ dv = cos xdx → v = sin x ⎦ Tenemos que resolver a parte esta integral: ⎡ u = e x → du = e x dx ⎤ x x x → e xdx sin ⎢ ⎥ → −e cos x + ∫ e cos xdx ∫ ⎣ dv = sin xdx → v = − cos x ⎦ Sustituimos ahora en nuestra integral del principio el resultado que nos salió de la primera integración por partes: x x x x x x x ∫ e cos xdx = e sin x − −e cos x + ∫ e cos xdx = e sin x + e cos x − ∫ e cos xdx ∫e ( x ) cos xdx = e x sin x + e x cos x − ∫ e x cos xdx Consideremos la siguiente sustitución: I = ∫ e x cos xdx ( I = e x sin x + e x cos x − I ) ( 1 x 1 e sin x + e x cos x → ∫ e x cos xdx = e x sin x + e x cos x 2 2 Finalmente incorporamos la constante k: 1 x x x ∫ e cos xdx = 2 e sin x + e cos x + k 2 I = e x sin x + e x cos x → I = ( Ejercicios: 12º Calcule las siguientes integrales: a) ∫ e x sin(2 x)dx b) ∫ e x cos 2 xdx d) ∫ e3 x cos(3x)dx ( ) e) ∫ xe x cos x 2 dx 2 Sol: ex ( sin(2 x) − 2 cos(2 x) ) + k 5 ex b) e x cos 2 ( x) + ( sin(2 x) − 2 cos(2 x) ) + k 5 x e c) ( x cos x + x sin x − sin x ) + k 2 e3 x d) ( cos(3x) + sin(3x) ) + k 6 a) ( ( ) ( )) ex cos x 2 + sin x 2 + k e) 4 2x f) ( ln(2) sin( x) − cos( x) ) + k 1 + ln 2 ( x) 2 – 21 – ) c) ∫ xe x cos xdx f) ∫ 2 x sin( x)dx ) Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Método de las circulaciones Se trata de una forma de determinar las integrales que usamos para calcular áreas en bachillerato. Para usar este método requerimos tener en cuenta lo siguiente: 1º Debemos dibujar las gráficas de las funciones que vamos a utilizar así como pintar o rayar el área que vamos a calcular. 2º Una vez pintada el área que calculamos, debemos pintar flechas que recorran ese área en el sentido de las agujas del reloj (sentido horario). La razón es que las áreas que recorramos en sentido horario siempre serán positivas. Si las recorremos en sentido antihorario (contrario a las agujas del reloj) serán negativas. Solo usaremos el sentido antihorario para recortar áreas como veremos en el octavo ejemplo. Y en cada trayectoria usaremos el siguiente esquema: ∫ f ( x)dx b f ( x) ≡ a Función que define el camino o trayectoria que rodea al área o a una parte de ella. a ≡ Punto de partida o de inicio de dicho camino o trayectoria que bordea el área. b ≡ Punto final de dicho camino o trayectoria que bordea el área. Procederemos a estudiar dos ejemplos del método paso a paso. Ejemplos: Primer ejemplo: Calcular el área comprendida entre las curvas: f ( x) = 6 x g ( x) = 6 x 2 Igualamos las dos funciones para calcular la coordenada x en el que las dos funciones se cruzan: ⎧x = 0 f ( x) = g ( x) → 6 x = 6 x 2 → ⎨ ⎩x =1 Procedemos a representarlas y a colocar las flechas en el sentido horario (de las agujas del reloj): El camino (1) se inicia desde x = 0 hasta x = 1 siguiendo la curva f (x), a este camino le corresponderá la integral: ∫ 6 xdx 1 0 El camino (2) se inicia desde x = 1 hasta x = 0 siguiendo la curva g(x), a este camino le corresponderá la integral: ∫ 6 x dx 0 2 1 Para determinar el área A sumando las dos integrales, lo que implica el haber echo una circulación completa subiendo por el camino (1) desde x = 0 hasta x = 1 y bajando por el camino (2) desde x = 1 hasta x = 0: A = ∫ 6 xdx + ∫ 6 x 2 dx = ⎣⎡3 x 2 ⎦⎤ + ⎣⎡ 2 x3 ⎦⎤ = 3 − 2 = 1 0 1 1 0 0 1 1 – 22 – 0 Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Segundo ejemplo: Calcular el área comprendida entre las curvas: f ( x) = 4 g ( x) = x 2 Igualamos las dos funciones para calcular la coordenada x en el que las dos funciones se cruzan: f ( x) = g ( x) → 4 = x 2 → x = ±2 Representamos la función y estudiamos los caminos: El camino (1) se inicia desde x = –2 hasta x = 2 siguiendo la curva f (x), a este camino le corresponderá la integral: ∫ 4dx 2 −2 El camino (2) se inicia desde x = 2 hasta x = –2 siguiendo la curva g(x), a este camino le corresponderá la integral: ∫ x dx −2 2 2 Sumando las dos integrales (que suponen la circulación completa alrededor del área) determinamos el área: A= ∫ 4dx + ∫ x dx = [ 4 x ] −2 2 −2 2 −2 2 2 −2 ⎡ x3 ⎤ 16 32 + ⎢ ⎥ = 16 − = 3 3 ⎣ 3 ⎦2 Tercer ejemplo: Calcula el área entre el eje de abscisa y la curva: f ( x) = − x 4 + 8 x 2 + 9 Determinamos los puntos de corte con el eje de abscisas: − x 4 + 8 x 2 + 9 = 0 → x = ±3 Realizamos la representación gráfica: El camino (1) se inicia desde x = –3 hasta x = 3 siguiendo la curva f (x), a este camino le corresponderá la integral: ∫ (−x 3 −3 4 ) + 8 x 2 + 9 dx El camino (2) se inicia desde x = 3 hasta x = –3 siguiendo la curva f (x), a este camino le corresponderá la integral: ∫ 0dx −3 ∫( ) 3 Y haciendo la circulación completa (suma de las integrales) calculamos el área: A= 3 −3 −3 ⎡ x5 8 ⎤ 504 − x + 8 x + 9 dx + ∫ 0dx = ⎢ − + x3 + 9 x ⎥ + 0 = 5 ⎣ 5 3 ⎦3 3 4 2 −3 – 23 – Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Cuarto ejemplo: Calcular el área comprendida entre las curvas: f ( x) = x3 − x g ( x) = 1 − x 2 Igualamos las dos funciones para calcular las coordenadas de x en el que las dos funciones se cruzan: f ( x) = g ( x) → x3 − x = 1 − x 2 → x( x 2 − 1) = 1 − x 2 → x = ±1 Representamos la función y estudiamos los caminos: El camino (1) se inicia desde x = –1 hasta x = 1 siguiendo la curva g(x), a este camino le corresponderá la integral: 2 ∫ (1 − x ) dx 1 −1 El camino (2) se inicia desde x = 1 hasta x = –1 siguiendo la curva f (x), a este camino le corresponderá la integral: ∫ (x −1 3 ) − x dx 1 ∫ (1 − x ) dx + ∫ ( ) Y haciendo la circulación completa (suma de las integrales) calculamos el área: A= −1 1 2 −1 1 −1 ⎡ ⎡ x4 x2 ⎤ 4 4 x3 ⎤ x − x dx = ⎢ x − ⎥ + ⎢ − ⎥ = + 0 = 3 ⎦ −1 ⎣ 4 2 ⎦1 3 3 ⎣ 3 1 Quinto ejemplo: Calcula el área comprendida entre las curvas: f ( x) = x 2 − 4 x g ( x) = 6 x − x 2 Calculamos los puntos de corte: f ( x) = g ( x) → x 2 − 4 x = 6 x − x 2 → x = 0 x = 5 Representamos estas curvas: El camino (1) va desde x = 0 hasta x = 5 siguiendo el eje de abscisas: ∫ (6 x − x 5 2 )dx 0 El camino (2) va desde x = 5 hasta x = 0 con f (x) = x2: ∫ (x 0 2 − 4 x)dx 5 Y haciendo la circulación completa (suma de las integrales) calculamos el área: ⎡ ⎤ 125 x3⎤ ⎡ x3 A = ∫ (6 x − x )dx + ∫ ( x − 4 x)dx = ⎢3 x 2 − ⎥ + ⎢ − 2 x 2 ⎥ = 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 3 ⎢⎣ ⎥⎦ 5 0 5 0 5 5 0 2 2 – 24 – 0 Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Sexto ejemplo: Calcular el área comprendida entre las curvas: f ( x) = x3 − x g ( x) = x Igualamos las dos funciones para calcular las coordenadas de x en el que las dos funciones se cruzan: f ( x) = g ( x) → x3 − x = x → x = 0, x = ± 2 Representando las dos funciones podemos fijarnos que el área que vamos a calcular está dividida en dos regiones, cada región será circulada en sentido de las agujas del reloj. El área A1 es recorrida por el camino (1) desde x = − 2 hasta x = 0 y por el camino (2) desde x = 0 hasta x = − 2 . Por tanto el área A1 valdrá: A1 = ∫ 0 − 2 ( x3 − x)dx + ⎡ x4 x …= ⎢ − ⎥ 2 ⎦− ⎣4 ∫ − 2 0 2 ⎤0 xdx = … − 2 ⎡ x2 ⎤ +⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦0 = 0 +1 = 1 El área A2 es recorrida por el camino (3) desde x = 0 hasta x = 2 y por el camino (4) desde x = 0 hasta x = 2 . Por tanto el área A2 valdrá: A2 = ∫ (x 0 3 − x)dx + 2 El área total será por tanto: ∫ 2 0 ⎡ x4 x2 ⎤ xdx = ⎢ − ⎥ 2⎦ ⎣4 0 2 ⎡ x2 ⎤ + ⎢ ⎥ = 0 +1 = 1 ⎣ 2 ⎦0 2 2 A=A1 +A 2 = 1 + 1 = 2 Séptimo ejemplo: Desde x = –π hasta x = π calcula el área comprendida entre el eje de abscisa (f (x) = 0) y la curva: g ( x) = sin( x) Igualando las dos funciones calcular los puntos de corte de g(x) con el eje de abscisa: f ( x) = g ( x) → 0 = sin( x) → x = 0, x = ±π Representamos ahora la curva y analizamos sus caminos. Analizamos cada área por separado y siguiendo circulaciones en el sentido de las agujas del reloj: El área A1 es recorrida por el camino (1) desde x = 0 hasta x = –π y por el camino (2) desde x = –π hasta x = 0. Por tanto el área A1 valdrá: A1 = ∫ −π sin( x)dx + 0 ∫ 0dx = [cos( x)]0 0 −π −π = 1+1 = 2 El área A2 es recorrida por el camino (4) desde x = 0 hasta x = π y por el camino (3) desde x = π hasta x = 0. Por tanto el área A2 valdrá: – 25 – Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com A 2 = ∫ sin( x)dx + ∫ 0dx = [ cos( x) ]0 = 1 + 1 = 2 π 0 0 π π A=A1 +A 2 = 2 + 2 = 4 El área total será por tanto: Octavo ejemplo: Calculamos el área comprendida entre una circunferencia de radio 2 y otra de radio 1 definida por las siguientes curvas: f ( x) = 1 − x 2 g ( x) = − 1 − x 2 h( x ) = 4 − x 2 u ( x) = − 4 − x 2 Representamos él área que vamos a calcular encerrada por estas funciones: Esta área se compone de una circunferencia grande de radio 2 y una pequeña de radio 1. La circunferencia grande es el camino (1) y la pequeña el camino (2). El área se logra recorriendo en sentido horario el camino (1) y en sentido antihorario el camino (2). El camino (2) recorrido en este sentido funciona recortando un trozo de área a la circunferencia grande delimitada por el camino (1). Las integrales definidas que tenemos que plantear son: Las integrales definidas del camino (1) son: ∫− −2 4 − x dx + 2 2 Las integrales del camino (2) son: 2 ∫ − 1 − x dx + ∫ 4 − x dx = 2 ∫ 4 − x 2 dx ∫ 1 − x 2 dx = 2 ∫ 1 − x 2 dx 2 2 2 −2 1 −1 −1 1 −2 −1 1 Estas integrales se calculan fácilmente con la regla de integración: ∫ El área será por tanto: a 2 − x 2 dx = x a2 − x2 a2 ⎛ x⎞ + arcsin ⎜ ⎟ 2 2 ⎝a⎠ A = 2 ∫ 4 − x dx − 2 ∫ 1 − x 2 dx = … 2 2 −2 −1 1 −1 ⎡ x 4 − x2 ⎡ x 1 − x2 1 ⎤ ⎛ x ⎞⎤ …= 2⎢ + 2 arcsin ⎜ ⎟ ⎥ + 2 ⎢ + arcsin ( x ) ⎥ = 22 π − 12 π = 3π 2 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ −2 1 2 – 26 – Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Noveno ejemplo: Calcula el área comprendida entre las rectas x = 1 y x = 4 y bajo la curva: f ( x) = x Representamos esta curva: Cuatro caminos, los caminos verticales (1) y (3) son de integral nula, ya que. ∫ ydx = y ∫ dx = 0 4 4 4 4 ∫ ydx = y ∫ dx = 0 1 1 1 1 El camino (4) parte desde x = 4 hasta x = 1 por el eje de abscisas: ∫ 0dx = 0 1 4 El camino (2) se inicia desde x = 1 hasta x = 4 siguiendo la curva f (x), por tanto: ∫ 4 xdx 1 Y haciendo la circulación completa (suma de las integrales) calculamos el área: A = ∫ ydx + ∫ 1 4 1 1 14 ⎡2 ⎤ xdx + ∫ ydx + ∫ 0dx = ⎢ x3 / 2 ⎥ + 0 + 0 + 0 = 3 ⎣3 ⎦1 4 4 4 4 1 Décimo ejemplo: Calcula el área desde x = 0 hasta x = 3 bajo la curva: ⎧⎪ x 2 x≤2 f ( x) = ⎨ ⎪⎩6 − x x > 2 Representamos esta curva: El camino (1) va desde x = 3 hasta x = 1 siguiendo el eje de abscisas: ∫ 0dx 0 3 El camino (2) va desde x = 0 hasta x = 2 con f (x) = x2: ∫ x dx 2 2 0 El camino (3) va desde x = 2 hasta x = 3 con f (x) = 6 – x: ∫ (6 − x)dx 3 2 Cuatro caminos, el camino (4) es vertical y de integral nula: ∫ ydx = y ∫ dx = 0 3 3 3 3 Y haciendo la circulación completa (suma de las integrales) calculamos el área: ⎡ x3⎤ ⎡ 37 x2 ⎤ A = ∫ 0dx + ∫ x dx + ∫ (6 − x)dx + ∫ ydx = 0 + ⎢ ⎥ + ⎢6 x − ⎥ + 0 = 2 ⎦2 6 ⎣⎢ 3 ⎦⎥ 0 ⎣ 3 0 2 3 0 2 3 3 2 – 27 – 2 3 Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com Ejercicios: 1º Calcular el área del recinto determinado por la función f (x) = x2 – 3x + 2, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 3. Sol: 11/6. 2º Halla el área determinada por las curvas y = x2, y = 1/x y la recta y = 2. Sol: 1.83. 3º Hallar el área limitada por la parábola y = –x2 + 9 y el eje de abscisas. Sol: 36. 4º Calcular el área de la superficie limitada por la curva y = 6/x el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = 6. Sol: 6·ln6. 5º Calcule él área comprendida entre un circulo de radio raíz de dos centrado en el origen y la parábola y = x2. Sol: 1.90. 6º Determine cuanto vale el área comprendida entre la semicircunferencia de radio dos y la recta y = 1. Sol: 2.46. 7º Halla el área encerrada entre las curvas y = x4 – 4x2, y = x2 – 4. Sol: 8. 8º Halla el área comprendida entre las curvas y = x3 – x, y = 3x. Sol: 8. 9º Halla el área comprendida entre la gráfica de la función y = tan x, el eje de abscisas y la recta x = π /4. Sol: ln(2)/2. 10º Halla el área determinada por y = x2 + 1 y su recta normal en x = 1. Sol: 125/48. 11º Halla el área determinada por y = x2 + 1, su recta normal en x = 1 y los ejes. Sol: 16/3. 12º Halla el área comprendida entre la gráfica de las funciones: y = x2 – 2x e y = x3(x – 2). Sol: 4/15. 13º Halla el área comprendida entre la gráfica de las funciones: y = –x4 + 2x2, y = x + 2 e y = –x + 2. Sol: 31/15. 14º Calcular el área comprendida entre la curva y = |x – 1| e y = 2. Sol: 4. 15º Calcular el área encerrada entre las gráficas de g(x) = x3−3x2 + 3x y f (x) = x en [0,2] Sol: 1/2. 16º Halla el área de la menor de las regiones acotadas por las curvas x2 + y2 = 2 y x = y2. Sol: 1.90. 17º Calcular el área de la región acotada entre las curvas: y= x y = 2− x y=0 Sol: 4/3. 18º ¿Cuál de todas las rectas que pasan por (1, 2) determina con y = x2 la región de mínima área? Sol: y = 2x. 19º Calcula el área de la figura limitada por las curvas y = ex, y = e–x y la recta x = 1. Sol: 1.09. – 28 – Julián Moreno Mestre www.juliweb.es Academia las Rozas www.academialasrozas.com 20º Calcular el área de la superficie comprendida entre la circunferencia x2 + y2 = 16 y la parábola x2 = 12(y – 1). Sol: 14.4. 21º Calcula el área del recinto encerrado por las gráficas: y = − x2 + 7 y= 6 x Sol: 0.509. 22º Halla el área comprendida entre las curvas y = 2 − x 2 , y = x . Sol: 7/3. 23º Calcular el área comprendida entre la función y = ln(x), el eje OX y la tangente a la curva en el punto x = e. Sol: 0.359. 24º Calcular el área de las regiones del plano limitadas por el eje de abscisa y las curvas: a) y = x2 – 3x. b) y = |x2 – 5x + 4|. c) y = x(x – 1)(x – 3). d) y = x3 – 6x2 + 8x. Sol: a) 9/2; b) 9/2; c) 37/12; d) 8. 25º Área comprendida entre la curva y = ln(x2 + 1) y la curva y = ln5. Sol: 3.57. 26º Calcular el área encerrada entre las gráficas de g(x) = x3 – 3x2 + 3x y f (x) = x en [0, 2]. Sol: 1/2. 27º Calcular el área de la región acotada entre el eje de abscisa y las curvas: y= x y = 2− x Sol: 4/3. 28º Hallar el área de una de las regiones iguales encerradas por las gráficas: y = sin( x) y = cos( x) Sol: 1.83. 29º Hallar el área de la región acotada entre el eje de abscisa y la curva: y = x3 − 1 − 2 Sol: 2.50. 30º Calcular el valor de m para que el área del recinto limitado por la curva y = x2 y la recta y = mx sea de 9/2. Sol: m = –3. 31º Hallar el valor de "a" para que el área de la región limitada por la curva y = –x2 + a y el eje OX sea igual a 36. Sol: a = 9. 32º Hallar el valor de a para que el área de la región limitada por la curva y = –x2 + a y el eje OX sea igual a 36. Sol: a = 9. – 29 –