B-Komposisi Transformasi

TRANSFORMASI B. Komposisi Transformasi Komposisi transformasi merupakan susunan bererapa transformasi yang operasinya disusun menurut aturan komposisi Sehingga (Tran1 o Tran2)(x, y) = [Tran1 (tran2 (x,y))] = [Tran1 (x’, y’)] = (x’’, y’’) Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini 3 01. Diketahui translasi T =   dan M1 yaitu pencerminan terhadap garis y = 2. 5  Tentukanlah bayangan titik P(-4, 1) oleh (T o M1 )(–4, 1). Jawab (T o M1 )(-4, 1) = T [ M1 (–4, 1)] = = = = T [ (–4, 2(2) – 1)] T (–4, 3) (–4 + 3, 3 + 5) (–1, 8) 02. Jika M1 adalah pencerminan terhadap garis x = 2 dan M 2 adalah pencerminan terhadap garis x = 4, maka tentukanlah bayangan titik A(5, -2) oleh tranformasi M 2 dilanjutkan dengan M1 Jawab ( M1 o M 2 )(5, –2) = M1 [ M 2 (5, –2) ] = M1 [(2(4) – 5, –2) ] = M1 [(3, –2) ] = [(2(2) – 3, –2) ] = (1, –2) Cara lain, dengan menggunakan aturan komposisi dua refleksi , yakni refleksi terhadap garis x = a dan refleksi terhadap garis x = b ( M x b o M x a )(x, y) = (2(b – a) + x , y) Bukti ( M x b o M x a )(x, y) = M x b [ M x a (x, y) ] = M x b [(2a – x , y)] = (2b – (2a – x) , y) = (2(b – a) + x , y) Transformasi 1 Dengan cara yang sama diperoleh rumus aturan komposisi refleksi terhadap garis y = a dan garis y = b, yakni ( M y a o M y  b )(x, y) = (x , 2(a – b) + y) Sehingga untuk titik A(5, -2) dicerminkan terhadap garis x = 4 dilanjutkan pada garis x = 2, diperoleh bayangan : ( M x 2 o M x 4 )(5, –2) = (2(2 – 4) + 5 , –2) = (2(–2) + 5 , –2) = (1, –2) 03. Tentukanlah bayangan titik (4, 3) oleh pencerminan terhadap garis y = –x dilanjutkan oleh dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan skala –2 Jawab ( D (O,2) o M y x )(4, 3) = D (O,2) [ M y x (4, 3) ] = D (O,2) [(–3, –4) ] = (–2(–3), –2(–4)) = (6, 8) Atau dengan matriks  x '  2 0   0  1  4  y ' =  0  2    1 0   3         x ' 0  0 2  0  y ' = 0  2 0  0       x ' 0 2  4  y ' =  2 0   3        x ' 6  y ' =  8      4 3   Jadi bayangannya (6, 8) 04. Tentukanlah bayangan titik (-8, 4) oleh rotasi dengan pusat O(0, 0) dan sudut 450 dilanjutkan rotasi dengan pusat yang sama dengan sudut 1350. Jawab  x ' cos 135 0  y ' =     sin 135 0  1  2 x '    2 =  y '  1    2  2  1 1  x '  y ' = 2 2  1     1 1  x '  y' = 4 (2)  1    Transformasi  sin 135 0   cos 135 0   2 2  1  2 2   1 cos 45 0  0  sin 45 1 2 2 1  2 2  1 1 1 2   1 2 1  1 1  1  1 1 1   sin 45 0   8   cos 45 0   4   2 2  1 2  2   1   8 4    1  8 1   4    8 4   2 1   1  1 1  1    8  x '  y' = 2  1  1  1  1  4       1   2 0    8  x ' =    y ' 2  0  2  4      1 0    8  x '  y' =  0  1  4        x '  8   y ' =   4      Jadi bayangannya (8, –4) Cara lain, dengan menggunakan aturan komposisi dua rotasi, yakni ( R (O,α) o R (O, ) )(x, y) = R (O,α   ) cos   sin   cos   sin    x  ( R (O,α) o R (O, ) )(x, y) =      sin  cos    sin  cos    y  cos  . cos   sin  . sin  (cos  )( sin  )  ( sin  )(cos  ) =  (sin  )( sin  )  (cos  )(cos  )   sin  . cos  cos  sin  cos  . cos   sin  . sin   cos  sin   sin  cos    x  =   sin  sin   cos  . cos    y   sin  . cos  cos  sin  cos(   )  sin(   )  x  =     sin(   ) cos(   )   y  Bukti :  x  y   = R (O,α   ) Sehingga : ( R (O,135)o R (O,45) )(x, y) = R (O,180) Jadi ( R (O,135)o R (O,45) )(–8, 4) = (–8.cos 1800 – 4.sin 1800 , –8.sin1800 + 4.cos1800) = (–8(–1) – 4.(0), –8(0) + 4(–1)) = (8 – 0, 0 – 4) = (8, –4) 05. Tentukanlah bayangan titik (6, –2) oleh refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan rotasi dengan pusat O(0, 0)dan sudut 900. Jawab ( R (O,90) o M x )(6, –2) = ( R (O,90) [ M x (6, –2) ] = R (O,90) [(6, 2)] = (6.cos 900 – 2.sin 900 , 6.sin900 + 2.cos900) = (6(0) – 2(1) , 6(1) + 2(0)) = (–2 , 6) Transformasi 3 Atau dengan matriks  x ' cos 90 0  y ' =     sin 90 0  x ' 0  1  y' = 1 0       sin 90 0  1 0   6     cos 90 0  0  1  2 1 0   6  0  1  2     x ' 0 1  6   y '  = 1 0    2        x '  2 Jadi bayangannya (–2, 6)  y ' =  6      06. Tentukanlah hasil dari [ D (A, 2) o D (A, -3) ](-3, 5) jika pusat A(2, -1) Jawab [ D (A, 2) o D (A, -3) ](-3, 5) = D (A, 2) [ D (A, -3) (-3, 5) ] = D (A, 2) [(–3(–3 – 2) + 2 , –3(5 – (–1) + (–1)) ] = D (A, 2) [(–3(–5) + 2 , –3(6) – 1) ] = D (A, 2) [(17 , –19) ] = (2(17 – 2) + 2 , 2(–19 – (–1) + (–1)) = (2(15) + 2 , 2(–18) – 1) = (32 , –37) Beberapa rumus khusus dalam komposisi transformasi adalah : a  p  a  p  1. Jika T1 =   dan T2 =   maka (T1 oT2) = (T2 oT1) =  b q  b  q  2. ( D(0, c) o D(0, k) ) = D(0, ck) Transformasi 4