Hacia una respuesta al dilema de Benacerraf

EPISTEMOLOGÍA E HISTORIA DE LA CIENCIA SELECCIÓN DE TRABAJOS DE LAS XX JORNADAS VOLUMEN 16 (2010) Pío García Alba Massolo Editores ÁREA LOGICO-EPISTEMOLÓGICA DE LA ESCUELA DE FILOSOFÍA CENTRO DE INVESTIGACIONES DE LA FACULTAD DE FILOSOFÍA Y HUMANIDADES UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA Esta obra está bajo una Licencia Creative Co mmons atribución NoComercial SinDerivadas 2.5 Argentina Eptstemologia e Histona de la C!encta • Volumen 16, 201 O Hacia una respuesta al Dzlema de Benacerraf T'á/ena Sol Vaizño' Como es sab1do, se cons1dera que la filosofía de la matemánca surge en el s1glo XIX, con la pubilcaCJón de los Gnmdlagen der Arzthmetzk1 de Frege, obra que mdlca el na=ento del programa loglCtsta y que fundamenta la postclón de Frege en el debate surg¡do en el s1glo XIX acerca de los fundamentos de la _matemánca2 • Allí, emergen c1ertas problemáticas que .serán claves en el desarrollo postenor, ya en el s1glo X...,'X, de la anterwrmente menc10nada illsciphna filosófica, y que se encuentran estrechamente Vlnculadas, a saber: cuál es la naturaleza de las ent;ldade_::; matemáncas_ de_ la_s_ qu.e_ h_ablan los enunciados matemáncos (ontología matemática), cómo es pos1ble el conocuruento de estas enndades (epistemología matemánca), y el problema de la verdad matemática en relaciÓn a la eluctdac1ón del sigruficado de chchos enunciados (semánuca de la matemánca) Como es tambtén sabido, .cuando reflexmnamos a~erc de la verdad matemánca, se torna crucial hacer referencia al artículo ya clásico "lviad1emancal Truths" 3 de Benacerraf Allí, el autor, retomando aquellas problemáticas fundamentales, establece que un anáhsts adecuado de la naturalezi,l de la verdad matemánca debe dar cuenta de dos aspectos: por un lado, encontrar una_noctón de verdad matemánca que sea consistente con una noqón semánnca de verd~ para lo_s enunciados matemát:lcos, y análoga a una semánt:lca para el lenguaJe ordmru.1.o, que nos dé el stgmficado de los enunciados matemáticos que expresan esas verdades y, por otro ladq, dar una respuesta a cómo es postble el conoclffilento matemánco que nos perrmta elucidar 9ó1no se conocen las verdades matemát:lcas. La dificultad de dar con una teoría que contempl~ a la vez? aiJ?;bas_ chmenswnes, ha llevado a denommar el dtctmn benacerrafiano ael dt!enta de Benacr:qf'~ Ahora bien, ¿hay alguna manera de dar una respuesta a dicho desafío y, de esta manera, evitar d!cho d!lema? El objeuvo de este trabaJO es analJzar las consideracwnes de Benacerraf, a los fines de evaluar gn.qué- IT;l_echda -GQtlst:ltuyen- un- desafío.• más que. un dUerna. proplatilente. En este senndo,-mtentftté mosuar que, si bten se suele ~onsidera que aquello que Benacerraf propone hay que entenderlo como una crínca al reahsrno matemáuco, efecnvamente habria espacio para establecer la rela_Clón entre la verdad y el conocliDlento s1 se cons1dera una concepc1ón de ~oncliet alternativa a la planteada ongmanamente por el autor, a la luz de c1ertas 1deas fregeanas q.cerca de la naturaleza de los números naturales y la fundamentactón de la antrnéuca. 'UBA /CONICET 639 A tales efectos, expondré, en primer lugar, las con51derac10nes de Benacerraf, en segundo lugar, anahzaré los límites y alcances en que lo que respecta a estas cons1deracmnes en general, y a la idea de conocuruento matemático mvolucrado en la propuest:a de d.!cho autor en _particular, pa~ luego establecer, baoa el final del presente traba¡ o, en qué medida el reahsmo matemático eVItaría d1cho chlema, a los fines de sustentar la teSls de que es pos1ble dar con una teoría que exphque la relactón entre el stgmficado de los enunc1.ados matemáocos y el conoC!!Illento que tenemos de ellos, apelando a aertas constderacmnes de Frege, en espeoal aquellas presentes en sus Grnndlagen, de las que se desprende su compronuso con un obJetlvismo o reahsmo acerca de los números _a la luz de oertas conSlderaoones ep1Stemológ¡cas prop1as de su programa log¡c1sta I Benacerraf plantea que, en general, las eluctdac10nes acerca de la naturaleza de la ve1rdaá~ matemática se centraron en dos intereses dtversos: por un lado, dar con una semántica para: los enunciados matemáncos análoga a la setnántica para el resto de lenguaJe, y,_ por otro lado, que t~l elucidaCIÓn se realice a la luz de una "epistemología razonable" 4 A tales efectos, propone d6s reqms1tos que una teoría -de la verdad matemátlca debería sansfacer: un ·reqmsito semánnco -y reqmstto eplstemológtco. Según el pnmero, toda teoría de la verdad matemáttca debe estar en conformtdad con una teoría general de la verdad, lo cual se- puede hacer- sobre la base de at¡~l' teoría general para el lenguaje tomado como un todo, aceptando, por e¡emplo, la setnátintá referencial tarsktana. El segundo reqlilslto, en cambiO, establece que tenetnos que poder cond•cer que las conchcwnes de verdad de los enunctados matemáttcos son sansfechas. En otras palab•ra!;, "el concepto de verdad matemática debe enmatcarse en una explicaCión general de.l c<on,oc:tmlerttb que haga intehgible cómo· es que tenemos el conocmnento matemático que tenemos' 6 . embargo, el autor sefíala que, las exphcacwnes de la verdad matemánca que tratan el dl:;ctrrso matemático y el extra matemánco de modo s11llllar, satisfaCiendo, de este modo, el re<1USlti~. semántlco, lo hacen con el costo de 9~Jar mmtehgible cómo es que podemos terter conoCltU!<ent'g;, matemánco alguno, tmentras' .que· aquellas que atnbuyen a los enunciados matemátlcos e1 · de conchcwnes de verdad que podemos conocer, lo hacen a expensas de fracasar en conect'tr esas conillciones con algún anáhsts de las bractones que -muestre de qué ·manera las con<:1es~ astgnadas son condldones -de verdad. Así, Henacerraf considera que un anáhsts adecuado.. la nociÓn de verdad matemánca debe dar cuenta de ambos reqmsítos y en esto consiste lo postenormente ha s1do denorrunado "el dilema de Benacerraf" Como señalan Hale y tanto el reqlllslto semántico como el reqmstto eplstérmco, tomados por separado, son pasibles ser satisfechos, "el problema radica en dar con una explicaCión que stmultáneamente los- satrsf:aga a ambos" 6 640 II Cuando Benacerraf desarrolla cótno deben concebirse los reqUisitos anteriormente menc10nados que toda teoría acerca de la verdad matemánca debería saosfacer, constdera que ambos estarían saosfechos s1 se aceptara, por un lado, la semánnca referencial tarsklana y s1, por otro lado, dtcha semántica ''se engrana con una eptstemologia razonable" 7 Y dado que quien acepta la teoría tarskiana de la verdad, al concebir que las cond!aones de verdad están dadas por las referencias de los enunaados, se compromete con la extstenoa de enndades matemáticas que por ser abstractas u obJetivas no-reales no poseen eficacia causal, se torna dtfíctl ver en qué medida es posible para éste exphcar el conocnmento matemático. Y aquí surge el problema, cuando constderamos qué ennende Benacerraf por eptstemología razonable, Ésta es concebtda en térrrunos de una teoría causal del conoClrruento, que "dé cuenta del v'inculo entre nuestras facultades cogmtJ.vas y los ob¡etos ·conocidos" 8, en virtud de la cual, s1 un sujeto X cree que p, debe haber conel<!ones causales entre las condiCiones de verdad de p y los fundamentos de X para creer que p9• Así, el planteo de Benacerraf descansa en una pecuhar concepaón de la tdea de conocirruento, en vtrtud de la cual el conoc1m1ento queda circunscnpto al ambtto del conocliTllento causal, ba¡o el modeló su¡eto cognoscente-objeto conoctdo, cuyo conocllillento es causado por aquello que es conoado, análogo al conoCllTI1ento percepnva: que tenemos de los objetos senstbles. Así, larnatemánca es asurulada a una c1encta empinca, en ·v1rtud de lo cual, debería poder dar cuenta del conoclmlento en térnunos causales. C01no señala Linnebo, "demandando una conextón causal entre el agente epistétruco y el ob¡eto de conoc1m1enro, Benacerraf' trata la matemáuca platorusta más bien como la fístca y las otras vanedades de qenaas empincas" 10. Por ello, constdero que el reqmstto eptstemológtco de Benacerraf mvolucÚt' una respuesta que conlleva una reducctón en lo que al conoClllliento matemático respecta, apelando a una :re};puesta natt1ralista, esto es, companble con la concepaón general según la cual todos los hechos, mdustve los hechos mtencionales o semánncos, pueden ser reductdos, en úluma mstancta a hechos fístcos o naturales. En otros térrrunos, supone una respuesta empírica y acorde con los resultados de la ctencta -c01no la pstcología empiiica, por e¡emplo-, y es difíctl ver hasta qué punto una respuesta naturahsta en el terreno de la filosofía de la matetnátlca es pastble de ser dada, sm caer en una reducctón del conoamentb matemánco a las habilidades cogmovas o procedumentos presentes a la hora de ¡usiificar el conoctrruento maremáoco que tenemos. De este modo, s1 aceptamos el requtslto semánnco, nos comprometemos con una ontología platomsta en vtttud de la cual los enunctados matemáocos refieren a enndades ob¡ettvas, pero que carecen de poder causal por estar fuera del espacio y del ttempo, por lo que no podremos dar cuenta de cómo entramos en relaciones causales con dtchas enodades. De ello se sigue que no podremos sansfacer el reqmstto eptstemológtco, al ser concebtdo en térrrunos causales, por 641 lo que los enuncmdos matemáncos resultarán mcognoscibles. En otros térmmos, Sl concebimos, tal como hace el reahsta matemáuco, que los enunoados matemáucos son o bten verdaderos, o bten falsos, y que las cond!ctones de verdad están dadas por las referenctas de los enunctados, nos comprometemos con la exlstenoa de enndades thátemáti'cas que por s·e-t Ob]etrvas hbreales, no poseen eficac1a causal, y ello parecería mexorablemente mvolucrar el problema del acceso eptstérruco a dtchas enodades. c.Cómo es entonces que tenemos conoCliTilento de ellas? Diversos autores que se hacen eco de algún opo de reahsmo platonista han tratado de ofrecer una respuesta al problema del acceso eptstérmco. desde Frege con su programa logtCtsta, Godel con la postulactón de la mtutCtÓn como aquella capactdad que nos perrmte acceder a los ob¡etos por Parsons, hasta el estructuralismo matemáocos, línea de pensarruento que ha stdo :r~tomad neoplatorusta de- Shapiro. En un escrito contemporáneo al de Benacerraf, Stemer .illstmgue dQs ttpos de platorusmo. por un lado, el platomsmo ontológtco, según el cual "las verdades matemáncas descnben mfirutamente muchos obJetos matemáncos reales" y, por otro lado, el plarorusmo epistemológ¡co, según el cual "tenetnos conocmuento de las enndades matetnáncas por medio de una facultad sunilar a la percepctón senstble" 11 Como es sabtdo, Godel adhería a ambos npos de platorusmo. No obstante, si queremos mantener-la tdea de que los enunctados matemáncos son verdaderos (o falsos), pero no queremos aceptar una concepCión emptnsta del conoCliDlento) m queremos apelar a la postulactón de alguna facultad como la mtutCJón que, de modo análogo a la percepctón senstble, nos asegure el conoc11ruento matemático por meillo de alguna suerte de visrón subrenva que- nus- pone en contacto -duecto -con aquellas enndades obJetl.vas a las ·que refieren los enunciados matemáncos, ¿podemos dar cuenta del conocmuento que tenemos de los enunctados matemáncos? En otros térnunos, s1 adhenmos sólo al platorusmo ontológ¡co) ¿se torna tmpostble dar cuenta de conocnruento matemánco alguno? Creo que una \TÍa de respuesta postble al desafío planteado por Benacerraf enc1,1entra su ongen en ciertas constderacmnes que se enmarcan en el programa logttista de I-~'reg. III Las tdeas fregeanas acerca de la naturaleza de los números naturales y la fundamentaciÓn de la an_unénca, en su vínculo con la naturaleza de los obje_tos- y leye_s de la lóg¡ca, están. exp:qe.sta_s en dtversas obras que Frege escnbtó a lo largo de toda su v1da: Begrif.fssc!mji, Gnmdlage11, los pnmeros escntos semánticos, y en Grundgesetze, núcleo del programa logictsta y obra en la que culnun_a su proyecto. Así, su cmpus se constituye como una respuesta a dos preguntas fundamentales que gwaron su mvestlgactón filosófica en torno de la fundamentaciÓn de la aritméc~ c_cuál es la fuente fundante de nuestro conocmuento de la verdad de los enunciados matemáncos 642 (antméncos)? y 0cuál es el estatus ontológ¡co de aquello que hace que los enunciados antméncos seah verdaderos? Como es sabido, el mterés del programa log¡asta de Frege, esto es, su mtento de reducir la antméoca a la lógtca, fue JUSttficar, en tanto fundamentar, la matemánca puta a partlr de la lógtca pura y aertas defimc10nes, eluadando cómo podíamos denvar las verdades analíncas y a-prion de la antménca, a parnr de defirur las nooones antméncas por mecho de nociones lógtcas y de deducrr los ax10mas de la antménca por medto de pnncipios lóg¡cos. Su obJenvo fue exammar las verdades maremáncas para así "encontrar la prueba y retrotraerla hasta sus. verdades ongmarias" 12 y, de este modo, fundamentar la antménca a la luz de un mterés eplstemológ¡co: comprender la naturaleza de nuestro conoclffilento antménco, baJO la tdea de dar con la razón úlnma que nos ¡usnfica a tener un enunciado por verdadero. Corno es también sabtdo, Frege adhmó a una tesis ob)eov1sta -acerca -de los números. estos son ob¡etos lógicos que existen mdependtentemente en un tercer remo -que se chsttngue tanto del remo ob¡etivo y real de los obJetos físicos como del remo sub¡envo e inchv1dual de las Ideas o las liTiágenes mentales-: "Pues el número es un objeto de la psicología o el resultado de procesos psíquicos tanto como lo pueda ser, digamos, el mar del Norte el número es algo objenvo . Disnngo lo ob1envo de lo que es palpable, espacial o real'' 13 "¿pero dónde está el número 4? No está ru fuera ru dentro de nosotros. Entenchda en senndo espaaal, esta afirr'naaón es correcta. No nene rungún senndo una detenmnaaón local del número 4; pero de ello solamente se s¡gue que no es un ob¡eto espacml, no que no sea mnguno ob¡eto en absoluto" 14 D1chos ob¡etos, son atemporales, no espaaales, causahnente mertes y ob¡envos en tanto no necesitan de portador alguno dado que son mdependtentes de que alguíeh los piense o los capte. Por ello, son descubiertos y no creados por los mdtviduos, y son intersub¡ettvos 1¡5 .. Este comprotruso con el ob¡env1smo acerca de los números (como así también acerca de los corlceptos y los_ pensam1entos) ha llevado a que se lo constdere un platomsta o reahsta acerca de las enttdades matemáncas y lógicas. En G171ndlage.n, Frege corruenza anahzando los enuncmdos de la antménca, y en contra de pos1e10nes emp1nstas, formalistas y pslcologistas, señala que su mterés rad1cará en mvesngar el concepto de número, en tanto los enunciados que mvolucran números conttenen aserciones no sobre las cosas smo de los conceptos. Los conceptos, se chferenaan de los ob¡etos, en que estos últllnos caen ba¡o aquellos y constttuyen su extensiÓn. 1:vlechante un enunCiado numénco, adscnb1mos un número a un concepto. 16 Ahora bten, .:cómo es que conocemos los enunciados ¿cómo que mvolucran números? En vtrtud del logictsmo fregeano, debemos preguntaos~ es que conocemos las verdades lógicas pnminvas, que son analíticas y a-pnon, y las reglas de mferencta de las que se deriva nuestro conocliTilento matemáttco? La respuesta de Frege es que 643 conocemos dlchas verdades bástcas que fundamentan la anunénca, ya no mediante una facultad como la mnuoón, smo por mello de la razón o el pensar. En un escnto tardío 17 , Frege d!stmgu~ tres fuentes de conoonuenro. la percepciÓn sensible, la fuente de conocumento geométnco y temporal y la fuente de conoCliTilento lóg1co. Y dado que el conocuruento matemáoco, en senado estricto de la antméttca, es conocmuento lógtco, este tendrá lugar también en vtrtud de la razón o el pensa"' "[En] la anonénca . el obJeto prop1o de la razón es la razón. En la anonénca nos ocupa1nos de ob¡etos que no nos vienen dados desde afuera, como algo extraño, graaas a la medJac1ón de los senttdos, smo que son dados cllrectamente a la razón, la cual los puede contemplar como lo más prop10 de sí 011sma" 18 Es por medio de nuestra comprensiÓn de las verdades lóg:tcas básicas, a las que se remontan las verdades antmettcas, que estamos JUsttficados a creer .en ellas_._ Los obJetos matemáucos, que en úlum_a mstancia .son objetos lógtcos, a lo$ que refieren los enunciados matemáucos, son conocidos por me~10 de la lóg:tca corno fuente de conoCliillento, y no medlante la percepción senstble ni medlante la tnt:Ulción geométnca y temporal. Sm embargo, las refleXIones fregeanas acerca de aquello mvolucrado en nuestro conoc1m1ento antméttco van más allá del mero detenerse en el analists acerca de la cogniCIÓn, ya que este debe ser realizado a la luz de ctertas constderacmnes de índole lmguísncas, anahzando las expt·esiones en el contexto oracwnal en el que aparecen, y evuando, de este modo, dar una expltcaciÓn de la obJetlvtdad de la verdad de los enunciados de la antméttca en ténrunos de conespondenc1a con un -mundo sepamdo de-entldade-s abstr-actas, basada en la nooón de referencia, e mdepend1ente de nuestro JUzgar o mfenr, ya que la fuente de conocuruento lógico está "ínnmamente vinculada al lengua1e" 19 . Frege se pregunta. "e Pero cómo puede sernas dado un número, SI no pode-mos tene-r de él nmguna Imagen o m tuición? Solamente en el contexto de un enunciado se refieren las palabras a algo. De lo que se tratará, pues, es de detruna~ el senudo de un enunctado en el que entre un numeral ya hemos establectdo que por numerales hay que entender objetos mdepend!entes" 1 Y en otros pasaJes afirma. ", será bueno constderar el número en el contexto de un JU1Cto"~ y "la autonorrúa que pretendo que eXISta el número no stgmfica que un numeral designe 22 algo fuera del contexto de un enunciado" De este modo, Frege vmcula conceptualmente su 10 Para mvesngac1ón acerca de los números con el JUzgar, esto e~ con el reconocl!TI1ento de la verdad de los pensarmentos. dado que los enunciados expresan pensanuentos, .debemos .captar 1os pensamientos, o en ténmnos más generales, el sentido de una oración, esto es, aquello gue es relevante para su verdad o falsed~ pero la mera captactón no constttuye conocliillento, ya que el conoc1m1ento supone el reconocuruento de dicho pensanuento como verdadero -un JUicio. 23 Así, la fuente de conocmucnto lóg1eo, que nos JUSU:fica a reconocer un pensarruento como verdadero, descansa en el análisis dellengua¡e, el cual revela la forma lógtca que subyace a las expresiones 644 hnguísncas. Por mec:ho dellengua¡e accedemos a las estructuras del pensarmento: por mec:ho del anáhsts semánnco -y mediante las mferenaas deducnvas- tenemos conoClrrllento a-pnon de las verdades matemáncas. IV En vtrtud de lo antenormente desarrollado, constdero que la concepaón fregeana evtta "el dilema de Benacerraf", en tanto su concepctón acerca de la verdad matemáttca sattsface el reqmstto semánnco y, además, ofrece una respuesta al problema de conocer la verdad de los enunctados de la antméoca. La propuesta fregeana, s1 bien mvolucra un comprormso con un ob¡envtsmo acerca de los números, da cuenta de nuestro acceso a illchas enttdades, por lo que el dilema planteado por Benacerraf parece eVItarse. En otros ténmnos, s1 bten se hace eco de un reahsmo- acerca de los ob¡eros lóg1eos y matemáncos, no obstante da cuenta del conocumento que tenemos de la verdad de los enunciados matemátlcos. conocemos las verdades analítlcas y ?--pnon de la antménca por m~c:ho de la fuente de conocltulento lógtco la cual, por mec:ho del anáhs1s del lenguaje, revela la obJetlvldad 1nmanente a las expreswnes lingüísticas. De este modo, la soluctón fregeana se desplaza, de alguna manera, desde lo epistemológico haoa lo hngúísnco, en vrrtud de lo cual el problema del acceso eptstémlco encuentra su solución en el anáhsts lóg¡co-lmgüíst:Ico de los enunaados antméucos como método de descubnnuento. Por ello, creo que el cammo haaa una respuesta al dilema de Benacerraf, s1 no queremos rechazar el reqlllstro semántlco, estriba en constderar una concepctón de conoctrmento alternanva a la planteada ot1gmanamenre por Benacerraf, esto es, ya no en térrmnos causales y análogos a la percepaón sensible, m apelando a la mtulctón, y una posibilidad es concebttla en rérrmnos de conocmuento ló~Co, de razón, cuyo herratmenta es el anáhsts del lenguaJe, tal cotno lo desarrolla Frege en el marco de su prrog.rama logtosta. Notas Frege (1884) 2 Por parte no sOlo del_progntroR. loglP$1:-ª Üe:g!!ano,_ smo tamb1én de otros dos grandes programas fundactomstas. el formalismo, cuyo origen se remonta a Hilberr, y el intwcionismo inaugurado por Brouwer. 3 Benacerraf (1973) 4 Y éase Benacerraf (1973), pág. 403-404 5 Benacerraf (1973), pág. 409 6 Hale & Wnght (2002); pág. 103 7 VCase Benace,rmf (1973), pág. 403. 8 \'éase Benacermf (1973), pág. 414. 9 Véase Benacerraf (1973), pág. 413 10 \ éase Linnebo (2006), pág. 546. 7 645 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Stemer (1973), pág. 57 Frege (1884), § 3, pág. 27 Frege (1884), § 26, pág. 52-53 Frege (1884), § 61, pag. 85 Véase Frege- (1918) \' éase Frege (1884) § 46, pag. 72-73 \'éaseFrege(1924/1925) Frege (1884) § 105, pág, 123 Frege (1924/1925), pág 269 Frege (1884) § 62, pág. 86 Frege (1884) § 46, pág. 72--73. Frege (1884) § 60, pag, 85. Véase Frege (1918) y Frege (1924/1925) Bibliografía Benacerraf, P (1973), "Mathemaucal truth", en P. 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