Métodos Computacionais em Hidráulica

André Luiz Andrade Simões Harry Edmar Schulz Rodrigo de Melo Porto Métodos Computacionais em Hidráulica UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Reitor João Carlos Salles Pires da Silva Vice-reitor Paulo Cesar Miguez de Oliveira Assessor do reitor Paulo Costa Lima EDITORA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Diretora Flávia Goulart Mota Garcia Rosa Conselho Editorial Alberto Brum Novaes Angelo Szaniecki Perret Serpa Caiuby Alves da Costa Charbel Ninõ El-Hani Cleise Furtado Mendes Evelina de Carvalho Sá Hoisel José Teixeira Cavalcante Filho Maria do Carmo Soares de Freitas Maria Vidal de Negreiros Camargo Salvador EDUFBA 2017 2017, autores. Direitos para esta edição cedidos à EDUFBA. Feito o Depósito Legal. Grafia atualizada conforme o Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa de 1990, em vigor no Brasil desde 2009. Projeto Gráfico e Editoração Autores Capa e Editoração Matheus Chastinet Normalização e Revisão Sistema de Bibliotecas - UFBA S593 Simões, André Luiz Andrade. Métodos computacionais em hidráulica / André Luiz Andrade Simões, Harry Edmar Schulz, Rodrigo de Melo Porto. - Salvador: Edufba, 2017 p. 236. Inclui referências. ISBN 978-85-232-1602-3 1. Hidráulica. 2.Engenharia hidráulica. 3. Reservatórios. 4. Hidráulica – métodos. I. Harry Edmar Schulz. II. Rodrigo de Melo Porto. CDU - 556.546 Editora filiada a: EDUFBA Rua Barão de Jeremoabo, s/n, Campus de Ondina, 40170-115, Salvador-Ba, Brasil Tel/fax: (71) 3283-6164 www.edufba.ufba.br [email protected] DEDICATÓRIA Aos nossos alunos. AGRADECIMENTO À Pró-Reitoria de Pesquisa, Criação e Inovação e a Pró-Reitoria de Ensino de PósGraduação da Universidade Federal da Bahia. EPÍGRAFE Nem é o método ou natureza da comunicação importante somente para o uso do conhecimento, como o é igualmente para o progresso deste: pois, como o esforço e a vida de um homem só não bastam para alcançar a perfeição do conhecimento, é a sabedoria da Comunicação que inspira o acerto na continuação e no avanço. (Bacon, 2006 p. 209). Francis Bacon (1561-1626): Bacon, F. (1605) O Progresso do Conhecimento, Livro segundo sobre a proficiência e o progresso do conhecimento divino e humano, 403XVII-2, Tradutor: Raul Fiker, Editora UNESP, 2006, p.209). SUMÁRIO prefácio | 17 capítulo i condutos forçados: escoamento incompressível e em regime permanente | 19 Equações e conceitos básicos | 20 Problema 1 Dois reservatórios interligados por uma tubulação | 26 Problema 1.1 Modelo Matemático | 26 Problema 1.2 Cálculo da vazão | 27 Uso do solver | 28 Problema 1.3 Método iterativo simplificado | 39 Problema 1.4 Discussão | 30 Problema 1.5 Cálculo da vazão para diferentes diâmetros: Solução simultânea | 31 Problema 1.6 Envelhecimento do conduto | 33 Problema 1.7 Cálculo do diâmetro | 33 Considerações finais | 34 Lista de símbolos | 34 capítulo ii condutos forçados: redes malhadas | 36 Introdução | 37 Método de Hardy Cross | 37 Problema 2 Cálculo de redes com diferentes métodos | 39 Problema 2.1 Rede com dois anéis | 39 Primeira solução: Uso do algoritmo de Hardy Cross | 40 Segunda solução: Uso do solver | 42 Terceira solução: Uso do software EPANET 2.0 | 43 Problema 2.2 Dimensionamento econômico de redes | 45 Considerações finais | 49 capítulo iii escoamento variável em condutos forçados | 52 Introdução | 53 Problema 3 Soluções numéricas das equações do modelo rígido e do modelo elástico | 54 Problema 3.1 Chaminé de equilíbrio em aproveitamento hidrelétrico | 54 Problema 3.2 Modelo Elástico: Análise e soluçãonumérica das equações | 59 Um pouco de matemática aplicada | 60 Natureza do sistema de equações | 55 Métodos numéricos | 56 Método das características | 57 Imposição das condições de contorno com auxílio das características | 61 Métodos de volumes finitos | 63 Forma conservativa das equações | 63 Método de Lax-Friedrichs | 65 Método de MacCormack | 66 Código para solução das equações | 67 Considerações finais | 81 capítulo iv escoamento em superfície livre: regime permanente | 82 Introdução: Equações de resistência | 83 Equações de resistência e seções transversais | 84 Equacionamentos para diferentes seções transversais | 85 Problema 4 Escoamento uniforme em canais | 93 Problema 4.1 Planilha para cálculo de h em função de b: Trapézio | 93 Problema 4.2 Escoamento uniforme: Seção circular | 96 Problema 4.3 Escoamento uniforme: Seção parabólica | 98 Problema 4.4 Ressalto hidráulico em tubulações | 99 Problema 4.5 Escoamento gradualmente variado: Canal com contração | 100 Problema 4.6 Cálculo da linha d’água com Runge-Kutta de 4ª ordem. | 104 Considerações finais | 108 capítulo v escoamento em superfície livre: escoamento variável | 110 Introdução | 111 Equações de Saint-Venant | 111 Solução numérica do sistema de equações | 112 Método de MacCormack (1969) | 113 Viscosidade artificial | 114 Condições iniciais e de contorno | 115 Problema 5.1 Escoamento variável em um canal: Propagação de uma onda de cheia. | 116 Problema 5.2 Propagação de ondas decorrentes do fechamento de comportas | 125 Problema 5.3 Propagação de ondas decorrentes da abertura de comportas | 127 Problema 5.4 Identificação de um ressalto hidráulico | 128 Problema 5.5 Ruptura de barragem | 138 Considerações finais | 141 capítulo vi hidráulica de meios porosos | 143 Introdução | 144 Lei de Darcy (1856) | 145 Condutividade hidráulica e permeabilidade intrínseca do meio poroso | 151 Meios estratificados | 152 equação diferencial da continuidade | 154 Primeira dedução | 154 Segunda dedução | 155 Formas simplificadas da equação diferencial | 157 Adaptação para aquíferos: Deformações ao longo de z. | 159 Drenância ou “leakage” | 162 Aquíferos não confinados | 163 Escoamento em regime permanente | 164 Aquífero confinado e escoamento em direção a canais | 164 Aquífero não confinado ou freático | 165 Inclusão da taxa de recarga ou evaporação | 166 Escoamentos com influência de poços | 167 Aquífero confinado (Regime permanente) | 168 Aquífero não confinado (Regime permanente) | 169 Regime variável – Solução de Theis para aquífero confinado | 171 soluções numéricas | 172 Equação diferencial: Forma original e forma discreta. | 172 Códigos | 173 Problema 6.1 Escoamento em direção a um poço | 178 Problema 6.2 Poço inserido em um escoamento | 179 Problema 6.3 Divisor de águas e ponto de estagnação | 184 Problema 6.4 Fonte e sumidouro | 185 capítulo vii problemas especiais | 192 Introdução | 193 Problema 7.1 Esvaziamento de um reservatório | 193 Problema 7.2 Código para análise de bacias de detenção | 200 Solução numérica da EDO | 203 Problema 7.3 Escoamento em um canal de um sistema extravasor | 210 Problema 7.4 Escoamento completamente desenvolvido em conduto forçado: Uma introdução à Mecânica dos Fluidos Computacional | 216 referências | 227 PREFÁCIO Fluidos em escoamento têm sido descritos com a Física Matemática há séculos, ainda que esta definição seja recente. Independentemente das definições, a história faz-se pelas ações, e essas se utilizaram do que se denomina agora como Física Matemática. Assim, quando veio à existência, este livro também se tornou parte de tal história. Em uma apresentação menos ampla, trata-se de uma obra que congrega Mecânica dos Fluidos, Hidráulica e Cálculo Numérico com um elo que produziu o seu título, a saber, o computador. Nesta acepção, o substantivo não inclui réguas de cálculo, calculadoras, ábacos ou gráficos, na sua representação física tradicional, por exemplo. Os métodos computacionais reunidos aqui à Hidráulica são planilhas eletrônicas e códigos interpretados e processados em computadores eletrônicos modernos. Os escoamentos têm sido descritos com o rigor matemático e da física newtoniana desde os trabalhos de Newton, Bernoulli, Euler, Lagrange, Navier, Cauchy, Saint-Venant, Poisson, Stokes e outros nomes vivos na memória do engenheiro moderno que voltou os seus olhos para as páginas de obras de Mecânica do Contínuo, Mecânica dos Fluidos, Fenômenos de Trans-porte e Hidráulica. O emprego dos recursos computacionais “clássicos” ou “tradicionais” já mencionados, como os ábacos, réguas de cálculo, gráficos, tabelas, entre outros, foram indispensáveis devido à natureza das equações que modelam escoamentos. É muito ilustrativa, por exemplo, a existência de um vertedor de parede delgada cuja área de descarga possui uma forma que implica em uma lei de descarga linear, conhecido como vertedor Sutro. Trata-se, portanto, de um vertedor de fácil uso para a realização de previsões naqueles tempos mais remotos, quando as calculadoras não estavam à mão e as medições de vazão eram, como ainda são, urgentes. Parte dos recursos de cálculo citados está em desuso, tendo sido sobrepujados por computadores com capacidade de armazenamento e processamento que se pode adjetivar de “incomparáveis” aos anteriores. Nesse contexto atual, as máquinas realizam os cálculos através de softwares adequados, gratuitos ou não, em diferentes níveis de complexidade e formas apresentados aos usuários. Este livro, entretanto, não tem o objetivo de ensinar sobre o uso de softwares gratuitos ou pagos, embora o leitor tangencie esse universo ao estudar alguns exercícios aqui propostos. Note-se que nesta obra não são colocados códigos ou planilhas em anexos; ao contrário, eles constituem parte do texto como órgãos vitais ao bom entendimento do tema. Esta ideia foi engendrada para que o estudante não os utilize como itens secundários. Trata-se de uma obra que expõe as linhas de comando e planilhas ao longo de sua estrutura, junto à teoria do problema proposto e a conversas descomplicadas que conduzem ao aprendizado. Quem lê é chamado a percorrer uma “estrada” pavimentada com o que se denomina ensino, sendo então conduzido a “paradas” de tempos em tempos (exercícios ou convites à reflexão) para que se experimente o aprendizado. O livro foi escrito para os nossos alunos e para todos os que desejam aprender. Há aqui o convite para a solução computacional de problemas com a leitura de códigos elaborados pelos autores. Entretanto, espera-se também que a visão crítica do leitor seja capaz de modificar e aperfeiçoar os códigos e as planilhas apresentados, crescendo ele próprio com a evolução da leitura e assumindo um aprendizado livre de antolhos, às vezes colocados pela repetição literária. A partir do texto propor-se a ir além dele, engenhar soluções para problemas além da presente abordagem, este seria o ideal do processo ensino/aprendizado 18 aqui seguido. Esse ponto de vista também expõe uma das partes essenciais da atividade à qual o leitor se sujeita, que é o cálculo em si, efetuado com linguagem de alto nível interpretada por compiladores. Espera-se que a leitura do presente texto abra as janelas, desconstrua os botões e formas amigáveis que devem funcionar corretamente nas interfaces homem-máquina, mas que privam o estudante da anatomia dos programas. Essa ideia nos parece boa. Sim; queremos crer que esta seja uma conjectura verossímil: que o estudo deste livro produzirá mudanças substanciais em estudantes de engenharia, matemática, física e áreas relacionadas, eliminando o salto em direção a programas prontos (no sentido desses programas serem usados sem serem entendidos). Pragmatismo e positivismo integram estes prolegômenos. Hidráulica é um ramo científico que estuda o comportamento da água. Atualmente a água tem sido reconhecida como um bem efêmero ou escasso, sendo que o seu uso otimizado passa pelo conhecimento dos cálculos para a sua correta distribuição e armazenamento. A Engenharia está ligada à Hidráulica nas seguintes disciplinas e aplicações: (1) Instalações prediais para o transporte de água fria, água quente, esgoto sanitário e águas pluviais; (2) Sistemas hidráulicos urbanos para abastecer prédios e indústrias com água potável, para coletar as águas servidas (o esgoto doméstico e o esgoto industrial), para escoar as águas da chuva de forma adequada ao meio ambiente e ao funcionamento da cidade; (3) Construção de barragens, onde são necessárias estruturas hidráulicas para o aproveitamento hidroelétrico, e estruturas de condução e dissipação de energia para que os excessos de água sejam devolvidos sem provocar erosões; (4) Sistemas de irrigação para agricultura, com o dimensionamento de aspersores, gotejadores, canais para irrigação por sulcos e faixas, entre outros. Esses são apenas alguns exemplos que ajudam a localizar o assunto do livro, no contexto geral da importância da água nas atividades atuais da civilização humana. Como já mencionado, essa característica “atual” também envolve a ferramenta de cálculo dos escoamentos: o computador. Assim, o assunto do livro é resumido com a apresentação do título. Enfatizando de uma última forma mais resumida, pode-se dizer que o estudo aplicado da Hidráulica relaciona-se com matérias mais conceituais das ciências, como a “Mecânica dos Fluidos”, os “Fenômenos de Transporte” e a “Matemática”. A solução de problemas leva a equações de diferentes tipos (algébricas, diferenciais ordinárias, diferenciais parciais e/ou sistemas de equações com essas características), sendo as soluções ditas numéricas aquelas mais requisitadas. Justamente essas soluções fazem uso do computador, sendo exaustivamente exploradas aqui. André Luiz Andrade Simões Harry Edmar Schulz Rodrigo de Melo Porto Salvador, 12/8/2016 19 CAPÍTULO 1 CONDUTOS FORÇADOS: ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL E EM REGIME PERMANENTE Trecho do livro do professor Julius Weisbach (WEISBACH, 1845, p.529). Observe que a letra grega zeta (ζ) é o fator de cisalhamento de Darcy-Weisbach (fator de “atrito”), hoje representado por “f”; l/d é o adimensional comprimento do conduto sobre diâmetro interno; o termo restante é a carga cinética. Esta é a equação de Darcy e Weisbach. 20 Equações e conceitos básicos Os escoamentos em condutos forçados ou sob pressão são caracterizados por preencherem plenamente a seção transversal do conduto e por ocorrerem submetidos a pressões diferentes da pressão atmosférica. Em geral, tais pressões são maiores que a atmosférica. Em pontos altos de adutoras e outros sistemas, as pressões podem assumir valores iguais ou menores que a pressão atmosférica. Em oposição, o escoamento em superfície livre é aquele que possui uma superfície em contato com um gás, normalmente o ar, estando, desse modo, livre para sofrer deformações. A maior parte dos problemas de hidráulica envolve a superfície livre em contato com a pressão atmosférica, como em escoamentos nos canais abertos, rios, condutos para transporte de esgoto sanitário e águas pluviais. A representação física-matemática dos escoamentos em condutos forçados é realizada com equações originadas das leis físicas básicas e equações e dados de origem experimental. A hipótese de incompressibilidade representa adequadamente a maior parte dos problemas. Nesse contexto, os princípios básicos da física necessários à construção de modelos matemáticos para a solução de escoamentos em condutos forçados, são: Conservação de Massa; 1ª Lei da Termodinâmica; 2ª Lei de Newton. A análise dimensional também participa da história das equações fundamentais da hidráulica de condutos sob pressão, resultando em uma relevante formulação matemática para o cálculo da energia dissipada ou “perda de carga”. Finalmente, equações constitutivas, a experiência e a Mecânica dos Fluidos estatística fornecem conclusões necessárias ao fechamento do sistema de equações. O princípio de conservação de massa em sua forma integral, quando aplicado a um volume de controle com uma entrada e uma saída, para condição de escoamento incompressível, permite concluir que a vazão afluente deve ser igual à vazão efluente. Se o volume de controle possuir “Ne” entradas e “Ns” saídas, a conclusão será semelhante, isto é, a soma das vazões de entrada será igual à soma das vazões de saída. Matematicamente, escreve-se: Ne ∑ i =1 Qi = Ns ∑Q j (1) j =1 A 1a Lei da Termodinâmica, quando aplicada a um volume de controle com uma entrada e uma saída, com ou sem máquina hidráulica (bomba ou turbina), para regime permanente e escoamento incompressível, resulta na conhecida equação da energia. Esse modelo matemático, apresentado a seguir como equação, 2, possui alguns termos semelhantes aos que compõem a equação de Bernoulli (Daniel Bernoulli). Por essa razão, às vezes é chamada de equação de Bernoulli (equação 3). Entretanto, deve-se notar que a equação de Bernoulli é deduzida com a 21 2a Lei de Newton e não possibilita modelar a existência de uma bomba ou turbina, assim como a energia dissipada ou perda de carga. z1 +  p V2 p1 V2 W + α1 1 + s = z 2 + 2 + α 2 2 + ∆H g 2g γ γ 2g m (2) z1 + p1 v12 p v2 + = z2 + 2 + 2 γ 2g γ 2g (3) Se o escoamento for uniforme ao longo do conduto, os coeficientes de Coriolis serão iguais, isto é, α1 = α2 = α (os símbolos empregados têm as suas definições na lista apresentada ao final deste capítulo). Sendo assim, a 2a lei de Newton aplicada a um volume de controle com uma entrada e uma saída permite concluir sobre a existência de uma relação linear entre perda de carga e comprimento do conduto, L. A relação obtida é vista na equação 4a ou 4b. hf = τo L γ Rh (4a) hf = 4τ o L γ D (4b) Prosseguindo com esta breve introdução sobre os modelos matemáticos essenciais para condutos forçados, o leitor deve recordar o conhecido equacionamento de Darcy e Weisbach (equação 5) para a perda de carga distribuída. Essa importante equação é deduzida com o teorema de Vaschy-Buckingham ou teorema dos Πs, teorema básico da análise dimensional. Em certo estágio de sua dedução, a relação linear entre a perda de carga e L/D é necessária, o que revela de modo interessante a útil contribuição da 2a Lei de Newton representada pelo resultado acima, isto é, a equação 4. hf = f L V2 D 2g (5) Figura 1 – Trecho do livro do Professor Julius Weisbach. Fonte: Weisbach (1845, p. 529) Um fenômeno físico descrito com auxílio de grandezas dimensionais pode ser descrito com números adimensionais (números puros). Como consequências da substituição de variá- 22 veis dimensionais por números puros, observa-se que: O número de graus de liberdade é reduzido; os resultados expressos em termos adimensionais independem de sistemas de unidades. Com esses dois aspectos positivos, menciona-se também que a análise dimensional não resolve plenamente o problema do cálculo da perda de carga, restando a função “fator de cisalhamento” ou “fator de atrito” a ser determinada. Como indicado na equação 6, o fator de cisalhamento, para o caso mais geral, pode depender da rugosidade relativa e do número de Reynolds. (6) f = f (Re, ε / D) A relação entre tensão e deformação para um fluido newtoniano, como a água, em conjunto com a 2a lei de Newton escrita em sua forma conhecida como equação de Cauchy, tem como resultado a equação de Navier-Stokes. Uma solução particular dessa equação, válida para escoamento laminar, permanente e plenamente desenvolvido, em tubos, tem como resultado a equação 7. Empregando a Lei de Newton da viscosidade e a 2a Lei de Newton ao mesmo problema, o leitor também deduzirá a equação 7. Esse segundo caminho é equivalente ao primeiro porque a Lei de Newton da viscosidade é parte da relação entre tensão e deformação para um fluido newtoniano. f= 64 Re (7) A equação 7 é válida para escoamento com estrutura interna laminar, condição identifi- cada com auxílio do número de Reynolds, sendo Re ≤ 2300 um valor prático empregado em Mecânica dos Fluidos e Hidráulica. Destaca-se também que o número 64 está vinculado à seção transversal circular do tubo. Para Re entre 2300 e 4000 (valores de referência) ocorre a transição à turbulência e o fator de cisalhamento não é caracterizado. Se Re ≥ 4000, o escoamento passa a ser turbulento. Esta condição exige resultados de estudos experimentais para o cálculo de f e, ao longo da história, destacam-se os trabalhos de Ludwig Prandtl e de seus alunos, Blasius, Kàrmàn e Nikkuradse (Figura 2). Ludwig Prandtl (18751953), em 1937. Engenheiro alemão. Fonte: DLRArchiv Göttingen. Theodore von Kàrmàn (1881-1963). Físico húngaro Fonte: California Institute of Technology, Pasadena. Paul Richard Heinrich Blasius (1883-1970), em 1962. Engenheiro alemão. Fonte: Hager (2003). Figura 2 – Prandtl e seus alunos Nikuradse, em torno de 1925, Göttingen. Engenheiro e físico alemão. Fonte: Hager e Liiv (2008). 23 No interior da camada limite turbulenta, nas proximidades da parede, um “número de Reynolds local” pode não ser muito elevado já que as velocidades ali são baixas (vale recordar o princípio da aderência). Sendo assim, se essa região com baixo número de Reynolds apresentar espessura superior à altura dos elementos que compõem a rugosidade da superfície haverá uma subcamada laminar, isto é, uma região de escoamento laminar no interior da camada limite turbulenta. Sugere-se que o leitor veja uma fotografia da referida região laminar no livro de Van Dyke (1982, p. 93). A existência da subcamada laminar caracteriza escoamentos conhecidos como hidraulicamente lisos, para os quais f = f(Re), apenas. Para uma mesma superfície rugosa, o aumento no número de Reynolds implica redução da espessura da subcamada laminar. Como consequência, para elevados números de Reynolds, o escoamento será plenamente turbulento e f = f(ε/D), apenas. Os estudos dos cientistas da Figura 2 contêm formulações para o fator de resistência, válidas para essas duas condições. O trabalho de Nikuradse também expôs a existência de uma condição intermediária e, como pode ser visto na Figura 3, tal condição é aquela em que f = f(Re, ε/D). Em 1938 Colebrook reuniu os equacionamentos desses autores em uma formulação (equação 8) que ficou conhecida como equação de Colebrook e que pode ser reduzida às fórmulas originais para as condições limite Re→∞ e ε/D→0. Figura 3 - “Harpa de Nikuradse” ( Porto, 2006, p. 37). Nesta figura, λ = f, ε = k e r=D/2. Fonte: Nikuradse (1933)  ε 2,51 = −2 log + 3 , 71 D f Re f  1    (8) 24 A forma da equação de Colebrook, implícita para o cálculo de f, requer o uso de métodos numéricos iterativos. Essa dificuldade motivou o desenvolvimento de ábacos, tabelas e formulações explícitas. O Professor Hunter Rouse (1943) propôs um interessante gráfico para a solução de problemas. A sua forma lembra o de Nikuradse (Figura 3). Em 1944, Lewis F. Moody (1944) publicou também um gráfico comparável ao de Nikuradse. A construção dos diagramas de Rouse e Moody envolve as equações 7 (f = 64/Re) e a equação de Colebrook. Entre as equações propostas após a publicação de Colebrook, pode-se encontrar modelos válidos escoamentos turbulentos limitados a intervalos de Re e ε/D, e modelos que representam o escoamento laminar e o escoamento turbulento sem as mesmas restrições. As equações 9 a 14 ilustram parte dessa história, seguindo a cronologia das publicações. As equações, 10, 12, 13 e 14 representam o diagrama de Moody, incluindo o escoamento laminar. Formulações com essa característica geral são interessantes também para elaboração de códigos computacionais. Neste livro, a equação adotada para a solução dos problemas é a equação 14. Ela possui uma forma mais simples em relação às demais equações gerais e precisão razoável quando comparada à equação de Colebrook, como ilustrado na Figura 4. Swamee e Jain (1976): f = −6 −2  10 ≤ ε / D ≤ 10 , validade  2 3 8    ε 5,74  5.10 ≤ Re ≤ 10 log +    0,9    3,7 D Re  0,25 (9) Churchill (1977):  8 12  1 f = 8   + (A + B) 3 / 2   Re  1 / 12 16       16 1    , B =  37530  A = 2,457 ln    7 0,9  Re   ε       0 , 27 +       Re   D     (10) Haaland (1983):  ε 1,11 6,9   = −1,8 log   + Re   3,7 D  f  1 Chue (1984): (11) 25 { f = − 2 log(1 − ϕ) −( Re / 16 ) [ + ϕ (7 / Re) 0,9 + ε /(3,7 D) Re − 3057,2516   ϕ = 1 + exp(− ) 227,52765   ]} −2 (12) −1 Pereira e Almeida (1986): f = − 2 log(1 − ϕ) −(  Re / 16 ) [ + ϕ 6,9 / Re + [ε /(3,7 D)]1,11  Re − 3060,6974  ϕ = 1 + exp(− ) 250,9080   ] 0,9  −2   (13) −1 Swamee (1993): −16   8 6   ε 5,74   2500     64  + 0,9  −  f =   + 9,5ln      3,7 D Re   Re     Re    0,125 (14) f 0,080 0,008 4,E+03 4,E+04 4,E+05 4,E+06 4,E+07 Re Figura 4 – Equação de Swamee (linha) e de Colebrook (ponto) (ε/D = 0,00001, 0,0001, 0,0004, 0,001, 0,01 e 0,05) O problema de determinação da perda de carga distribuída está resolvido para escoamentos em tubos, como exposto na síntese anterior. Nesse contexto, resta formular a dissipação de energia que ocorre devido à mudança de forma do conduto com uso de acessórios (curvas, válvulas, etc.). Essa dissipação de energia ocorre em trechos relativamente curtos, sendo denominada “perda de carga localizada”. O uso da análise dimensional, neste caso, conduz à equação 15. O fator K é, para o caso mais geral, uma função do número de Reynolds e da forma do conduto ou do acessório (curvas de 90º, 45º, válvulas em diferentes condições de abertura, por exemplo). Os valores constantes de K para cada acessório devem corresponder a elevados números de Reynolds, condição que leva à independência entre K e Re (PORTO, 2006, p. 71; WHITE, 2002). hL = K V2 2g (15) 26 Problema 1. Dois reservatórios interligados por uma tubulação Imagine, com auxílio da Figura 5, dois reservatórios com níveis constantes interligados por uma tubulação de diâmetro interno D e comprimento total L. O material da tubulação é ferro fundido e possui rugosidade ε que pode mudar com o envelhecimento do conduto. Se há um desnível entre as superfícies livres da água nos reservatórios, isto é, z1 - z2 > 0, então acontecerá escoamento no conduto. Considere também os seguintes acessórios: (1) Passagem de reservatório para tubulação, K = 0,8; (2) Duas curvas de 90º, K = 0,9; (3) Duas curvas de 45º, K = 0,2; (4) Duas válvulas abertas, K = 5,0; (5) Saída da tubulação, K = 1,0. Com essas informações, o objetivo deste problema é realizar as análises propostas a seguir. z1 z2 Figura 5 – Desenho esquemático do problema 1 Problema 1.1 – Modelo Matemático. Simplifique a equação da energia para este problema e escreva o sistema de equações que representa este problema. Solução Observe que o problema não contém bombas ou turbinas. Sendo assim, o líquido não recebe ou cede trabalho ou potência através de uma máquina, isto é, Ws = 0. Escolhendo um volume de controle com extremidades nas superfícies livres, escreve-se: p1 = p2 = patm e V1 = V2 = 0. Com essas considerações, conclui-se que a equação 2, reescrita a seguir, z1 +  p V2 p1 V2 W + α1 1 + s = z 2 + 2 + α 2 2 + ∆H , g γ γ 2g 2g m assume a seguinte forma: z1 = z 2 + ∆H . Empregando a equação de Darcy-Weisbach e a equação que modela as perdas localizadas, a energia dissipada ou perda de carga total, ∆H, será calculada com a soma de todas as partes dessa dissipação total. 27 z1 = z 2 + f L V2 +( D 2g ∑ K) V2 2g Finalmente, com a equação 14 e a definição do número de Reynolds, pode-se escrever o sistema de equações fechado. −16   8 6   ε 5,74   2500     64  f =   + 9,5ln + 0,9  −       3,7 D Re   Re     Re     Re = VD ν 0,125 , . Para pensar. A relação linear entre a perda de carga distribuída, hf, e L/D existe para a condição de escoamento completamente desenvolvido. Essa condição de equilíbrio deve ocorrer para todo o comprimento do conduto, L do conduto entre os dois reservatórios? Problema 1.2 – Cálculo da vazão. Com os dados apresentados a seguir, calcule a vazão empregando o software Excel® e o recurso numérico “Solver”. Tabela 1 – Dados do problema 1.2 1 z1 [m] 60 2 z2 [m] 45 3 L [m] 1200 4 ε [m] 0,00025 5 D [m] 0,1 6 g [m/s²] 9,8 7 ν [m²/s] 1,0E-06 8 Ke entrada 0,8 9 Ks saída 1 10 11 12 Kv K90º K45º 2 válvulas 2 curvas 2 curvas 5 0,9 0,2 Solução O problema proposto estabelece o software a ser empregado assim como o método computacional, o solver. Trata-se de uma planilha eletrônica amplamente empregada para realização de cálculos em diversas áreas, dentre as quais estão a Hidráulica e a Mecânica dos Fluidos. Com o intuito de utilizar esse recurso, deve-se identificar uma “função objetivo”. Esta função, apresentada a seguir, é obtida com o equacionamento do problema anterior: F(V) = z1 − z 2 − f L V2 −( D 2g V2 ∑ K ) 2g = 0 . 28 Observe que a equação da energia simplificada para este problema foi reescrita para identificar F(V) = 0, que é a função objetivo. A Tabela 2 é uma possível forma de organizar a solução do problema. Por razões didáticas, as colunas foram numeradas de 1 a 12. A Tabela 3 apresenta comentários sobre esta forma de resolver o problema. Tabela 2 – Solução do problema 1.2 1 V [m/s] 0,938 2 Re 3 ε/D 9,4E+04 0,0025 4 f 5 ΣK 0,02666 14 SOLUÇÃO 6 7 L/D V²/(2g) [m] 12000 0,04492 8 hf [m] 14,37 9 10 11 hL F(V) = 0 Q [m] [m³/s] 0,6288 0,0000 0,00737 12 Q [L/s] 7,37 Tabela 3 – Comentários sobre a solução apresentada na Tabela 2 e planilha deste problema Coluna 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Comentário A velocidade média, V, é inicialmente desconhecida. Observe que Q = VA, portanto, ao calcular V, a vazão poderá ser calculada facilmente. Uma semente para V é necessária. Sugere-se um valor entre 0,5 e 3,0 m/s, valores usuais em hidráulica. Com o valor de V, calcula-se o número de Reynolds. V foi digitado inicialmente como uma semente, isto é, um valor inicial necessário para que os cálculos sejam realizados. Portanto, todos os cálculos realizados com esse número estarão provavelmente incorretos antes do uso do solver. De um ponto de vista prático pensando-se na elaboração da planilha, o cálculo da rugosidade relativa simplifica a digitação da fórmula para o fator de cisalhamento. Com os valores de Re e ε/D, pode-se calcular f (foi empregada a equação 14). Ao calcular o somatório dos valores de K, observe o número de acessórios. L/D simplifica a escrita de hf e é um bom indicador da influência relativa das perdas de carga localizadas. O cálculo da carga cinética também simplifica a digitação das equações para as perdas de carga. Nesta célula é calculada a perda de carga distribuída, com a equação 5. É empregada a equação 15, modelo para as perdas localizadas. Nesta célula é digitada a função objetivo, F(V)=0, descrita anteriormente. Não é necessário escrever nesta célula as funções originais. São empregadas as células anteriores que contêm tais funções (para f, hf e hL). Com V = 1,0 m/s, F(V) = -1,9811, indicando que a solução ainda não foi encontrada. É neste estágio que o solver passa a ser necessário. Cálculo realizado com a definição de vazão, Q = VA, sendo A = πD²/4. Apresentação do resultado em litros por segundo, L/s. Uso do solver Caro leitor: Estou utilizando agora o Excel® 2010. Outras versões também possuem o solver, mas a descrição do procedimento de uso pode ser um pouco diferente. Verifique se o solver está disponível entre as ferramentas de Análise em Dados (Figura 6a). Se não, clique em Arquivo (primeira opção na parte superior, provavelmente), em seguida, em Opções, Suplementos e Ir... (botão localizado na parte inferior da janela). Essas ações deverão ativar uma janela. Marque a opção Solver e OK. Em máquinas atuais, a instalação deve acontecer em poucos segundos. 29 Com o solver instalado, clique novamente em Dados e procure o Solver em Análise. A aparência deve ser semelhante à da Figura 1a. Parte da janela do solver é apresentada na Figura 1b. Definir objetivo é a primeira ação necessária. Escolha a célula que contém F(V) e em seguida clique em “Valor de”. Com isso você estabelece que F(V) deve será igual a 0. Abaixo, escolha a única célula variável deste problema, a que contém a velocidade. Finalmente, sem alterar as configurações padrão, clique em resolver. Uma mensagem como “O solver encontrou uma solução...” indica que o cálculo numérico foi realizado de forma adequada, isto é, que o processo iterativo convergiu para uma raiz de F(V)=0. Algumas verificações simples devem ser realizadas, como somar as perdas de carga e conferir com o valor vinculado ao problema (z1 – z2); observar se F(V) resultou em um valor realmente baixo (às vezes há a exibição de 0,000 ou de números muito pequenos); se o valor de f é consistente com o esperado, isto é, um número da ordem de 10-2. Recomenda-se também resolver o problema com outro método numérico, objetivo do problema 1.2. (a) (b) Figura 6 – Uso do solver para solução do problema 1 Problema 1.3 – Método iterativo simplificado Resolva o problema anterior com o método iterativo simplificado descrito a seguir: (1) Isole no primeiro membro da equação da energia a velocidade média presente no cálculo das perdas de carga; (2) utilize a equação obtida desta forma como equação para as iterações, em que V será Vi+1 e f, que é função de V, será calculado na iteração i. Deste modo, temos um esquema numérico explícito. 30 Solução Com pouca dificuldade algébrica, a equação da energia pode ser reescrita da seguinte maneira: z1 = z 2 + f L V2 +( D 2g ∑ K) V2  L V2 = z2 + f + 2g  D 2g ∑ K  ∴ V = 2g(z1 − z 2 ) L f + K D ∑ . Seguindo o descrito anteriormente, escreve-se: Vi+1 = 2g(z1 − z 2 ) . fi L + D ∑K Parte da solução encontrada na planilha deste problema é apresentada a seguir. Observe que a célula 4 contém os números das iterações. A célula 5, para iteração 1, o “chute”; as células 6 e 7 os valores de Re e f calculados com o “chute”; a célula 8 contém a equação anterior e a célula 9 o erro relativo. Em seguida, escreve-se o valor da célula 8 (para i=1) na célula 5 (para i=2). A partir deste ponto, as células podem ser preenchidas automaticamente. Verifique o funcionamento do método para outras sementes, como 0,5 m/s, 3,0 m/s ou até mesmo estimativas distantes da realidade prática, como 50 m/s (apenas para avaliar a sua capacidade de convergência em função de “chutes” muito diferentes). Felizmente, a função que define o fator de cisalhamento é pouco sensível a esse número, conduzindo os cálculos rapidamente a valores mais próximos da realidade. O leitor também deve escolher um critério de parada, o que pode ser feito com o erro relativo ou com a simples observação dos resultados para V. Observe que a solução é encontrada com três iterações. Tabela 4 – Parte da planilha desenvolvida para solução do Problema 1.3 4 i 1 2 3 4 5 5 Vi [m/s] 1,000 0,93986 0,93832 0,93828 0,93827 6 Rei 7 fi 1,0E+05 9,4E+04 9,4E+04 9,4E+04 9,4E+04 0,026569 0,02666 0,026663 0,026663 0,026663 8 Vi+1 [m/s] 0,93986 0,93832 0,93828 0,93827 0,93827 9 Erro relat. [%] 6,4E+00 1,6E-01 4,4E-03 1,2E-04 3,3E-06 Problema 1.4 – Discussão Empregando um dos métodos computacionais descritos anteriormente, calcule a vazão para um diâmetro duas vezes maior, isto é, D = 200 mm. Discuta a solução obtida. Solução 31 Com a planilha desenvolvida, o cálculo da nova vazão para D = 0,2 m não deve demorar mais que alguns segundos e o valor encontrado é Q = 44,8 L/s, aproximadamente 6,1 vezes o resultado anterior. Observe que as equações para o cálculo das perdas de carga podem ser escritas em termos da vazão, com V = Q/A, como apresentado a seguir: V2 Q2 Q2 8Q 2 8fLQ 2 8KQ 2 = = = 2 4 , portanto, h f = 2 5 e h L = 2 4 . 2 2 4 2g 2gA 2gπ D / 16 gπ D gπ D gπ D Aumentar o diâmetro implica aumentar a vazão, uma vez que a perda de carga total é z1 – z2. A relação entre Q e D envolve potências muito altas, condição que justifica o resultado encontrado. Problema 1.5 – Cálculo da vazão para diferentes diâmetros: Solução simultânea Desenvolva uma planilha capaz de resolver simultaneamente o problema de cálculo da vazão para diferentes diâmetros, empregando o recurso solver. Apresente, em um gráfico, a relação entre Q [L/s] e D [m]. Solução O emprego do solver para a solução deste problema segue o que foi descrito no problema 1.2. As diferenças principais são: (1) O diâmetro agora não é apenas um número, mas uma lista de valores, como pode ser visto na Tabela 5; (2) As grandezas calculadas com o diâmetro devem ser calculadas para cada diâmetro (ver Tabela 5); (3) A função objetivo continua sendo F(V) = 0 e apenas uma célula deve ser inserida em “Definir Objetivo”, na janela do solver. Pode-se utilizar a célula do primeiro diâmetro, por exemplo. A solução simultânea será possível com o uso de restrições disponíveis no solver. Observe, na Figura 7a, o espaço abaixo da expressão “Sujeito às Restrições”. Inicialmente ele deve estar em branco. Clique em Adicionar e será exibida uma janela como a da Figura 7b. Em Referência de Célula, adicione todas as células que contêm F(V) = 0 (coluna 11 da Tabela 5). Ao lado, mude o <= para =. Em seguida, digite 0 (zero) na opção Restrição. A aparência final deverá ser aquela da Figura 7c. Clique em OK e a restrição será exibida como na Figura 7a. Finalmente, clicando em Resolver o solver deverá solucionar o problema em poucos segundos. Possíveis problemas poderão ser resolvidos com “chutes” adequados. Neste caso foram empregados valores de V iguais a 1,0 m/s em todas as células. 32 Tabela 5 – Solução do problema 1.5: Organização da planilha para uso do solver 1 V [m/s] 0,938 1,204 1,426 1,618 1,786 1,936 2,071 2,193 2,305 2,407 2,501 2 D [m] 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 3 Re 4 ε/D 5 f 6 ΣK 9,4E+04 1,8E+05 2,9E+05 4,0E+05 5,4E+05 6,8E+05 8,3E+05 9,9E+05 1,2E+06 1,3E+06 1,5E+06 0,0025 0,00167 0,00125 0,001 0,00083 0,00071 0,00063 0,00056 0,0005 0,00045 0,00042 0,02666 0,0236 0,02176 0,02049 0,01954 0,01879 0,01818 0,01767 0,01723 0,01684 0,01651 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 SOLUÇÃO 7 8 L/D V²/(2g) [m] 12000,0 0,04492 8000,0 0,07396 6000,0 0,10376 4800,0 0,13350 4000,0 0,16276 3428,6 0,19127 3000,0 0,21886 2666,7 0,24547 2400,0 0,27105 2181,8 0,29558 2000,0 0,31908 9 hf [m] 14,37 13,96 13,55 13,13 12,72 12,32 11,94 11,56 11,21 10,86 10,53 10 11 hL F(V) = 0 [m] 0,6288 0,0000 1,0355 0,0000 1,4526 0,0000 1,8691 0,0000 2,2787 0,0000 2,6777 0,0000 3,0641 0,0000 3,4366 0,0000 3,7947 0,0000 4,1381 0,0000 4,4671 0,0000 12 Q [m³/s] 0,00737 0,02128 0,0448 0,0794 0,12625 0,18628 0,26027 0,34885 0,45256 0,57185 0,70708 13 Q [L/s] 7,37 21,28 44,80 79,40 126,25 186,28 260,27 348,85 452,56 571,85 707,08 (b) (c) (a) 800 700 Q [L/s] 600 500 400 300 200 100 0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 D [m] (d) Figura 7 – Solução do problema 1.5: Relação entre Q e D Problema 1.6 – Envelhecimento do conduto 33 Calcule a relação entre a vazão e a rugosidade relativa, para valores de ε entre 0,25 mm (ferro fundido novo) e 5 mm (ferro fundido velho). Realize a análise para D = 100 mm e D = 600 mm e apresente gráficos relacionando Q/Qmax e ε/D, em que Qmax = vazão máxima para um determinado diâmetro. Solução Duas planilhas foram elaboradas para solução deste problema. A primeira corresponde a D = 100 mm e a segunda a D = 600 mm. O leitor encontrará essas planilhas no arquivo principal do problema 1. Mais uma vez, o uso da restrição para F(V) = 0 deve ser empregada com o objetivo de resolver todas as equações ao mesmo tempo. Note que uma coluna foi criada para os diferentes valores de rugosidade absoluta equivalente e outra para o adimensional Q/Qmax. O gráfico a seguir resume os resultados e mostra que a alteração da rugosidade do material reduz a vazão a valores próximos de 62% da vazão original (Qmax), para D = 100 mm, e para 74% quando considerado D = 600 mm. Sobre o tema envelhecimento dos condutos, sugere-se a leitura de Lencastre (1983, p.123-125). 1,00 D = 100 mm D = 600 mm Q/Qmax 0,90 0,80 0,70 0,60 0 0,01 0,02 ε/D 0,03 0,04 0,05 Figura 8 – Solução do problema 1.6 Problema 1.7 – Cálculo do diâmetro A função objetivo apresentada anteriormente foi escrita em termos da velocidade média, isto é, F(V) = 0 indica que a variável a ser determinada para atender à restrição do equacionamento é V. Com o estudo dos problemas anteriores, não haverá dificuldade para a determinação do diâmetro, ou da rugosidade ou de qualquer outra grandeza presente na formulação. Sob um ponto de vista mais geral, a função objetivo pode ser expressa em termos de V, D ou ε. Considerando o cálculo do diâmetro, escreve-se: 34 F(D) = z1 − z 2 − f L V2 −( D 2g V2 ∑ K) 2g = 0 . Calcule D para que o sistema hidráulico seja capaz de transportar uma vazão de 90 L/s, com ε = 0,50 mm e os demais dados do problema 1.2. Solução Seguindo procedimentos semelhantes aos descritos anteriormente, foi construída a planilha correspondente a este problema (ver arquivo do Problema 1). O uso do solver deve considerar o diâmetro como célula variável. Após os cálculos, o resultado obtido foi D = 270 mm. Cabe comentar que os cálculos consideram que D é o diâmetro interno, isto é, o diâmetro externo menos duas vezes a espessura da parede do conduto (e duas vezes a espessura do revestimento, se existir). Considerações finais As bases dos modelos matemáticos resolvidos neste capítulo foram sintetizadas com a exposição feita inicialmente. O objetivo principal desta parte do livro foi resolver problemas importantes de hidráulica com auxílio de recursos computacionais. Sendo assim, detalhes encontrados apenas com as deduções dos modelos expostos não foram evidenciados. Isso não significa que eles são menos importantes. As deduções mostram as possibilidades de usos e limitações das equações. Sugere-se ao leitor referências como Porto (2006) e Schulz (2003), para um exame minucioso das formulações utilizadas. A leitura das páginas seguintes mostrará construções semelhantes, mas com certa brevidade em tópicos já tratados aqui. Lista de símbolos (com indicação de unidades de acordo com o Sistema Internacional). Maiúsculas A = Área da seção transversal do escoamento, A = πD²/4, [m²]. D = diâmetro interno do tubo, [m]. K = fator da perda de carga localizada. Adimensional. L = Comprimento de um conduto com diâmetro uniforme, [m]. 35 Q = vazão, [m³/s]. Re = Número de Reynolds, VD/ν. Adimensional. Rh = Raio hidráulico, [m].  = Potência mecânica associada a um eixo (bomba ou turbina), [J/s]. W s V = Velocidade média (média calculada na seção transversal), [m/s]. Minúsculas hL = perda de carga localizada. hf = perda de carga distribuída. f = fator de cisalhamento, fator de resistência ou fator de “atrito” de Darcy-Weisbach. Adimensional. g = aceleração devido à gravidade, [m/s²].  = Descarga (vazão em massa), [kg/s]. m p = pressão, [Pa]. v = velocidade em um ponto do escoamento, [m/s]. z = energia potencial gravitacional por unidade de peso de fluido, em relação a um plano de referência. Cota. Carga de posição. [m]. Alfabeto grego α = fator de correção da energia cinética ou coeficiente de Coriolis. Adimensional. (Alfa). ε = Rugosidade absoluta equivalente, [m]. (Épsilon). ν = Viscosidade cinemática, [m²/s]. Valor prático em hidráulica: 10-6 m²/s. (ni, nu ou niú). το = tensão média de cisalhamento sobre o perímetro molhado, [Pa]. (tau). γ = peso específico, [N/m³]. (gama). 36 37 CAPÍTULO 2 CONDUTOS FORÇADOS: REDES MALHADAS Instabilidades em um jato que escoa através de uma torneira residencial. Todos os dias, ao usar esse acessório, são formadas estruturas tão interessantes quanto essa. Em geral, elas não são notadas. A água foi conduzida através de uma rede de tubulações, que também não é observada na maior parte do tempo. Fonte: Elaboração de André Luiz Simões . 38 Introdução Redes de distribuição de água constituem sistemas hidráulicos de tubulações mais complexos em relação ao problema abordado no capítulo anterior. Este capítulo possui dois objetivos principais: (1) Explorar o software EPANET 2.0 e (2) empregar o software Excel® com o recurso solver para dimensionamento e verificação de redes. Recomenda-se a leitura prévia do capítulo 6 de Porto (2006), para que o leitor se familiarize com conceitos básicos dos sistemas de abastecimento de água, especialmente das redes de distribuição de água. A formulação física-matemática para a solução de problemas com redes de distribuição de água é semelhante à do capítulo 1, sendo constituída por: (1) Equação da Energia, (2) Equação de Darcy-Weisbach e (3) Equação para o cálculo do fator de resistência. Uma rede malhada é formada por anéis ou malhas. Cada anel possui trechos e nós, como indicado no desenho da Figura 1. Observe que o somatório das vazões em um nó deve ser igual a zero. A mesma imagem indica a linha de energia do escoamento no circuito. Se for atribuído sinal positivo para a perda de carga em um trecho com escoamento no sentido horário e sinal negativo para a perda de carga em um trecho com escoamento no sentido anti-horário, a soma das perdas de carga em um anel deve ser igual a zero. Essas condições básicas ligadas à hidráulica serão empregadas a seguir. + Figura 1 – Anel de uma rede malhada: Definições básicas Método de Hardy Cross Neste item é descrito um dos mais conhecidos métodos iterativos para a solução de redes malhadas, o método de Hardy Cross, que foi professor de engenharia estrutural na universidade de Illinois entre 1921 e 1937, localizada em Urbana-Champaign [3]. 1 1 Ver em :< http://cee.illinois.edu/about/history/cross>. Acesso em: 25 fev. 2016. 39 Objetivo: Determinar a distribuição correta das vazões nos trechos que compõem a rede. Condições relacionadas à Hidráulica: 1) A soma das vazões em cada nó da rede deve ser igual a zero. 2) Em qualquer circuito, a soma das perdas de carga deve ser igual a zero. Neste caso, como convenção, é adotado um valor positivo para a perda de carga no trecho com escoamento em sentido horário. Para o sentido anti-horário é adotado sinal negativo. A distribuição de vazões no início dos cálculos é estabelecida de tal maneira que a primeira condição anterior seja satisfeita. Em seguida, deve-se verificar a condição (2), que provavelmente não será atendida. Deste modo, uma correção ∆Q deverá ser adicionada à vazão da primeira iteração, Qa, isto é: Q = Q a + ∆Q . (1) A perda de carga pode ser expressa por ∆H = KQ n , (2) Identificar os valores de K e n é um exercício que será deixado para o leitor (compare a equação 2 com as equações de Darcy-Weisbach e Hazen-Williams). Lembrando que a soma das perdas de carga deve ser igual a zero, empregando a vazão “corrigida”, escreve-se: ∑ ∆H = ∑ KQ = ∑ K(Q n a + ∆Q) n = ∑ KQ n a (1 + ∆Q n ) =0. Qa (3) Empregando o binômio de Newton (expandido com a série infinita), obtém-se: ∑ KQ an (1 + ∆Q n ) = Qa ∑  KQ an 1 + n   2  ∆Q n (n − 1)  ∆Q    + ... = 0 . + Qa 2!  Q a    Os termos da série empregados são os dois primeiros, i.e., o truncamento é feito a partir do termo quadrático. Com algumas manipulações algébricas, escritas abaixo, resolve-se a equação para o termo de correção da vazão, ∆Q: 40 n a ∆Q   = 0 ⇒ a  ∑ KQ 1 + n Q ∑ KQ an = −n ∑ KQ an  ∑  KQ n a + KQ an n ∆Q ⇒ ∆Q = − Qa ∆Q  =0⇒ Q a  ∑ KQ KQ n∑ Q n a n a a ∆Q = − ∑ ∆H ∆H n∑ Q a a . (4) a Ao programar, observe atentamente o fator “n” existente no denominador. Observe também que o índice “a” representa o valor da primeira iteração, caracterizando o método como explícito. É claro que na iteração seguinte os valores empregados serão aqueles calculados como resultados da iteração anterior, sendo necessário um “chute” apenas no início do processo. Deste modo, a vazão “Qa” da segunda iteração será a vazão Qa + ∆Q. Redes com mais de um anel possuem trechos compartilhados por mais de um anel. O cálculo da correção, para esse caso, será ilustrado com a solução dos problemas a seguir. Problema 2. Cálculo de redes com diferentes métodos Problema 2.1 – Rede com dois anéis Uma rede é formada por dois anéis com tubulações de P.V.C. rígido classe 20 e ε = 0,0015 mm. Com os dados fornecidos no desenho a seguir, calcule a distribuição de vazões ao longo da rede, nos anéis. Observe que o nó número um corresponde ao início da rede, com vazão afluente de 72 L/s, que é distribuída ao longo dos dois anéis. No desenho as setas apresentadas nos nós 2 a 7 indicam superfícies de controle de saída. O nó 8 é um reservatório de nível constante. Figura 2 – Rede do problema 2.1. Solução. 41 Primeira solução: Uso do algoritmo de Hardy Cross O algoritmo desenvolvido pelo professor Hardy Cross, descrito anteriormente, pode ser empregado em uma planilha eletrônica, como o Excel®, por exemplo, com certa facilidade. A planilha da Figura 3 ilustra o processo de solução e pode ser encontrada nos arquivos do Problema 2. Os dados e cálculos foram organizados para cada anel. As colunas de 1 a 4 contêm dados de entrada e não precisam de maiores explicações. A coluna 5 (Figura 3a) contém as sementes, valores escolhidos de tal maneira que o somatório das vazões nos nós seja igual a zero. A coluna seguinte converte as vazões para m³/s e as colunas 7 a 10 permitem o cálculo das perdas de carga distribuídas (únicas consideradas aqui), que é efetuado na coluna 11. Note que o sinal corresponde ao sinal da vazão (ou de V). Para preservar esse sinal, no lugar de V², escreve-se V||V|| ou V*ABS(V). Relembrando a formulação obtida para a correção da vazão, ∆Q, percebe-se a necessidade da coluna 12. Finalmente, na coluna 13, são determinados os valores das correções, que serão diferentes apenas entre anéis e para o trecho compartilhado, que segue a seguinte formulação: ∆Q Anel 1, trecho 6 = ∆Q anel 1 − ∆Q anel 2 (5) ∆Q Anel 2, trecho 6 = ∆Q anel 2 − ∆Q anel 1 As imagens seguintes, de (b) a (e), ilustram o processor iterativo e a evolução dos valores de ∆Q e das somas das perdas de carga nos anéis. Sugere-se, como exercício, que o leitor utilize outra semente e avalie a convergência do método de Cross. É interessante também calcular erros em função da iteração para visualizar a convergência. Sobre esse tema, a NBR 12218/1994 estabelece que os resíduos máximos de vazão e de “carga piezométrica” devem ser 0,1 L/s e 0,5 kPa. Em outros termos, pode-se usar o critério de parada: ∆Q ≤ 0,1 L/s e Σhf ≤ 0,05 mH2O (erro de fechamento da linha piezométrica). Com recursos computacionais, esses limites são alcançados sem muito esforço. 1 ANEL 1 2 2 Trecho 1-2 2-5 5-6 6-1 2-3 3-4 4-7 7-5 5-2 3 L [m] 1300 1400 2000 2100 1250 1600 700 1050 1400 4 5 Qa D [m] [L/s] 0,2 62,47 0,2 11,94 0,15 -3,53 0,2 -9,53 0,2 35,53 0,25 19,53 0,15 1,53 0,25 -3,47 0,2 -11,94 Restrição (trechos) 2-5/5-2 0 6 Qa [m³/s] 0,06247 0,01194 -0,0035 -0,0095 0,03553 0,01953 0,00153 -0,0035 -0,0119 7 V [m/s] 1,99 0,38 -0,20 -0,30 1,13 0,40 0,09 -0,07 -0,38 8 Re [-] 4,0E+05 7,6E+04 3,0E+04 6,1E+04 2,3E+05 9,9E+04 1,3E+04 1,8E+04 7,6E+04 9 10 11 12 13 ε/D f hf hf/Qa ∆Q [-] [-] [m] [s/m²] [m³/s] 7,5E-06 0,0137 18,0223 288,495 -0,0133 7,5E-06 0,0190 0,97835 81,939 -0,0044 0,00001 0,0234 -0,6353 179,959 -0,0133 7,5E-06 0,0199 -0,9816 103,002 -0,0133 7,5E-06 0,0152 6,21388 174,891 -0,0089 6E-06 0,0179 0,92588 47,4083 -0,0089 0,00001 0,0289 0,05152 33,6764 -0,0089 6E-06 0,0266 -0,0285 8,22085 -0,0089 7,5E-06 0,0190 -0,9784 81,939 0,00437 Anel 1 Soma 17,3837 653,395 Anel 2 Soma 6,18441 346,135 (a) 42 2 Trecho 1-2 2-5 5-6 6-1 2-3 3-4 4-7 7-5 5-2 2 Trecho 1-2 2-5 5-6 6-1 2-3 3-4 4-7 7-5 5-2 2 Trecho 1-2 2-5 5-6 6-1 2-3 3-4 4-7 7-5 5-2 2 Trecho 1-2 2-5 5-6 6-1 2-3 3-4 4-7 7-5 5-2 3 L [m] 1300 1400 2000 2100 1250 1600 700 1050 1400 4 5 Qa D [m] [L/s] 0,2 49,17 0,2 7,57 0,15 -16,83 0,2 -22,83 0,2 26,60 0,25 10,60 0,15 -7,40 0,25 -12,40 0,2 -7,57 Restrição (trechos) 2-5/5-2 0 6 Qa [m³/s] 0,04917 0,00757 -0,0168 -0,0228 0,0266 0,0106 -0,0074 -0,0124 -0,0076 7 V [m/s] 1,57 0,24 -0,95 -0,73 0,85 0,22 -0,42 -0,25 -0,24 8 Re [-] 3,1E+05 4,8E+04 1,4E+05 1,5E+05 1,7E+05 5,4E+04 6,3E+04 6,3E+04 4,8E+04 9 ε/D [-] 7,5E-06 7,5E-06 0,00001 7,5E-06 7,5E-06 6E-06 0,00001 6E-06 7,5E-06 Anel 1 Anel 2 10 11 12 13 f hf hf/Qa ∆Q [-] [m] [s/m²] [m³/s] 0,0143 11,6531 237,009 0,0013 0,0210 0,43466 57,412 0,00474 0,0167 -10,29 611,311 0,0013 0,0166 -4,6962 205,678 0,0013 0,0161 3,68079 138,394 -0,0034 0,0204 0,31082 29,3322 -0,0034 0,0198 -0,8263 111,604 -0,0034 0,0197 -0,2699 21,7635 -0,0034 0,0210 -0,4347 57,412 -0,0047 Soma -2,8984 1111,41 Soma 2,46074 358,505 (b) 3 L [m] 1300 1400 2000 2100 1250 1600 700 1050 1400 4 5 Qa D [m] [L/s] 0,2 50,47 0,2 12,31 0,15 -15,53 0,2 -21,53 0,2 23,16 0,25 7,16 0,15 -10,84 0,25 -15,84 0,2 -12,31 Restrição (trechos) 2-5/5-2 0 6 Qa [m³/s] 0,05047 0,01231 -0,0155 -0,0215 0,02316 0,00716 -0,0108 -0,0158 -0,0123 7 V [m/s] 1,61 0,39 -0,88 -0,69 0,74 0,15 -0,61 -0,32 -0,39 8 Re [-] 3,2E+05 7,8E+04 1,3E+05 1,4E+05 1,5E+05 3,6E+04 9,2E+04 8,1E+04 7,8E+04 9 ε/D [-] 7,5E-06 7,5E-06 0,00001 7,5E-06 7,5E-06 6E-06 0,00001 6E-06 7,5E-06 Anel 1 Anel 2 10 11 12 13 f hf hf/Qa ∆Q [-] [m] [s/m²] [m³/s] 0,0143 12,2212 242,143 -6E-05 0,0188 1,0327 83,913 -0,0001 0,0169 -8,899 573,068 -6E-05 0,0168 -4,2243 196,215 -6E-05 0,0165 2,86899 123,853 7,1E-05 0,0223 0,15532 21,6792 7,1E-05 0,0182 -1,632 150,613 7,1E-05 0,0187 -0,4174 26,3614 7,1E-05 0,0188 -1,0327 83,913 0,00013 Soma 0,13066 1095,34 Soma -0,0578 406,419 (c) 3 L [m] 1300 1400 2000 2100 1250 1600 700 1050 1400 4 5 Qa D [m] [L/s] 0,2 50,41 0,2 12,18 0,15 -15,59 0,2 -21,59 0,2 23,24 0,25 7,24 0,15 -10,76 0,25 -15,76 0,2 -12,18 Restrição (trechos) 2-5/5-2 0 6 Qa [m³/s] 0,05041 0,01218 -0,0156 -0,0216 0,02324 0,00724 -0,0108 -0,0158 -0,0122 7 V [m/s] 1,60 0,39 -0,88 -0,69 0,74 0,15 -0,61 -0,32 -0,39 8 Re [-] 3,2E+05 7,8E+04 1,3E+05 1,4E+05 1,5E+05 3,7E+04 9,1E+04 8,0E+04 7,8E+04 9 10 11 12 13 ε/D f hf hf/Qa ∆Q [-] [-] [m] [s/m²] [m³/s] 7,5E-06 0,0143 12,195 241,908 -1E-06 7,5E-06 0,0189 1,01317 83,2105 2,5E-06 0,00001 0,0169 -8,9606 574,829 -1E-06 7,5E-06 0,0168 -4,2454 196,65 -1E-06 7,5E-06 0,0165 2,88488 124,157 -3E-06 6E-06 0,0223 0,15806 21,8441 -3E-06 0,00001 0,0183 -1,6128 149,83 -3E-06 6E-06 0,0187 -0,4141 26,2681 -3E-06 7,5E-06 0,0189 -1,0132 83,2105 -3E-06 Anel 1 Soma 0,00216 1096,6 Anel 2 Soma 0,00284 405,31 (d) 3 L [m] 1300 1400 2000 2100 1250 1600 700 1050 1400 4 5 D Qa [m] [L/s] 0,2 50,41 0,2 12,18 0,15 -15,59 0,2 -21,59 0,2 23,23 0,25 7,23 0,15 -10,77 0,25 -15,77 0,2 -12,18 Restrição (trechos) 2-5/5-2 0 6 Qa [m³/s] 0,05041 0,01218 -0,0156 -0,0216 0,02323 0,00723 -0,0108 -0,0158 -0,0122 7 V [m/s] 1,60 0,39 -0,88 -0,69 0,74 0,15 -0,61 -0,32 -0,39 8 Re [-] 3,2E+05 7,8E+04 1,3E+05 1,4E+05 1,5E+05 3,7E+04 9,1E+04 8,0E+04 7,8E+04 9 ε/D [-] 7,5E-06 7,5E-06 0,00001 7,5E-06 7,5E-06 6E-06 0,00001 6E-06 7,5E-06 Anel 1 Anel 2 (e) 10 11 12 13 f hf hf/Qa ∆Q [-] [m] [s/m²] [m³/s] 0,0143 12,1946 241,904 -3E-07 0,0189 1,01354 83,224 2,1E-07 0,0169 -8,9617 574,858 -3E-07 0,0168 -4,2457 196,658 -3E-07 0,0165 2,88409 124,142 -5E-07 0,0223 0,15792 21,836 -5E-07 0,0183 -1,6138 149,869 -5E-07 0,0187 -0,4143 26,2727 -5E-07 0,0189 -1,0135 83,224 -2E-07 Soma 0,00073 1096,64 Soma 0,00044 405,344 Figura 3 – Solução com o método de Hardy Cross Segunda solução: Uso do solver. A solução anterior ilustra o uso de um método numérico relativamente robusto e com bases física e matemática bem definidas, como demonstrado em sua dedução. O método computacional empregado nesta parte da solução utiliza o solver e também foi elaborado com atenção especial às condições hidráulicas. A sua descrição é exposta nas linhas subsequentes, com auxílio das imagens da Figura 4. 43 A coluna 5, antes do uso do solver, deve conter as sementes para as vazões nos trechos. É evidente que a distribuição apresentada, apenas com valores unitários, não corresponde à solução do problema. Tal distribuição nem mesmo garante que a soma das vazões nos nós seja igual a zero. Apesar dessa estimativa aparentemente inadequada para uso do algoritmo, o leitor poderá verificar que o solver é capaz de calcular a solução correta a partir dessa semente. A coluna 6 faz a conversão da vazão para o S.I.. As colunas 7 a 10 têm como objetivo principal permitir os cálculos das perdas de carga, que é realizado na coluna 11. Observe que as duas últimas células da coluna 11 calculam as somas das perdas de carga de cada anel. Essas somas devem ser anuladas para a solução correta do problema. Durante a construção da planilha, tenha o cuidado de escrever o número de Reynolds com o módulo de V (vale lembrar que as vazões podem assumir valores negativos durante a solução, de acordo com a convenção adotada para o somatório de vazões nos nós). Escreva também uma coluna atrelada aos nós da rede para realizar o somatório das vazões. Para cada nó, o somatório das vazões deverá ser igual a zero, com vazões positivas para entradas e negativas para as saídas. Sugere-se seguir a convenção empregada para os anéis ao criar esta parte da planilha. Tomando como exemplo o nó 2, escreve-se: ΣQ|2 = 0 = -15 + Q1-2 – Q2-3 – Q2-5. O uso de restrições é necessário para solução com o solver. A soma das vazões no trecho comum aos anéis deve ser igual a zero (elas possuem mesmo módulo e sinais opostos de acordo com a convenção adotada para o sentido do escoamento nos anéis). As somas das vazões nos nós devem ser nulas também (essa condição deve ser inserida no solver). Finalmente, as somas das perdas de carga nos anéis devem ser iguais a zero, sendo esta mais uma restrição a ser digitada no solver. Com a solução do problema, apresentada na Figura 5b, as restrições descritas foram atendidas, isto é, as somas das vazões nos “nós” respeitam a incompressibilidade, as somas das perdas de carga nos anéis resultaram próximas de zero e o resultado para o trecho 2-5 está consistente. 44 1 ANEL 1 2 1 ANEL 1 2 2 Trecho 1-2 2-5 5-6 6-1 2-3 3-4 4-7 7-5 5-2 2 Trecho 1-2 2-5 5-6 6-1 2-3 3-4 4-7 7-5 5-2 3 L [m] 1300 1400 2000 2100 1250 1600 700 1050 1400 4 5 Qa D [m] [L/s] 0,2 1,00 0,2 1,00 0,15 1,00 0,2 1,00 0,2 1,00 0,25 1,00 0,15 1,00 0,25 1,00 0,2 1,00 Restrição (trechos) 2-5/5-2 2 6 Qa [m³/s] 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 7 V [m/s] 0,03 0,03 0,06 0,03 0,03 0,02 0,06 0,02 0,03 8 Re [-] 6,4E+03 6,4E+03 8,5E+03 6,4E+03 6,4E+03 5,1E+03 8,5E+03 5,1E+03 6,4E+03 9 10 ε/D f [-] [-] 7,5E-06 0,0352 7,5E-06 0,0352 0,00001 0,0324 7,5E-06 0,0352 7,5E-06 0,0352 6E-06 0,0375 0,00001 0,0324 6E-06 0,0375 7,5E-06 0,0352 Anel 1 Soma Anel 2 Soma 3 L [m] 1300 1400 2000 2100 1250 1600 700 1050 1400 4 5 Qa D [m] [L/s] 0,2 50,41 0,2 12,18 0,15 -15,59 0,2 -21,59 0,2 23,23 0,25 7,23 0,15 -10,77 0,25 -15,77 0,2 -12,18 Restrição (trechos) 2-5/5-2 0 6 Qa [m³/s] 0,05041 0,01218 -0,0156 -0,0216 0,02323 0,00723 -0,0108 -0,0158 -0,0122 7 V [m/s] 1,60 0,39 -0,88 -0,69 0,74 0,15 -0,61 -0,32 -0,39 8 Re [-] 3,2E+05 7,8E+04 1,3E+05 1,4E+05 1,5E+05 3,7E+04 9,1E+04 8,0E+04 7,8E+04 9 ε/D [-] 7,5E-06 7,5E-06 0,00001 7,5E-06 7,5E-06 6E-06 0,00001 6E-06 7,5E-06 Anel 1 Anel 2 11 hf [m] 0,01182 0,01273 0,07061 0,01909 0,01136 0,00508 0,02472 0,00333 0,01273 0,11425 0,05721 (a) 10 11 f hf [-] [m] 0,0143 12,1944 0,0189 1,01359 0,0169 -8,9621 0,0168 -4,2459 0,0165 2,88394 0,0223 0,15789 0,0183 -1,614 0,0187 -0,4143 0,0189 -1,0136 Soma -6E-10 Soma 1,7E-08 (b) Figura 4 – Parte da planilha para solução com o solver: (a) Antes da solução; (b) solução Terceira solução: Uso do software EPANET 2.0 Na vanguarda da solução de problemas de Hidráulica envolvendo redes de distribuição estão os softwares que empregam códigos robustos, capazes de resolver escoamentos em regime permanente, regime quase permanente e regime transitório (com as equações do modelo elástico). Entre eles está o CTran, desenvolvido pela Fundação Centro Tecnológico de Hidráulica, e o EPANET 2.0, software gratuito elaborado pela Environment Protection Agency, dos Estados Unidos. Embora não contenha códigos para solução de transitórios hidráulicos em sua versão citada, o EPANET 2.0 foi escolhido para as discussões expostas aqui por ser gratuito, de código aberto e por resolver problemas de interesse prático em sistemas operacionais de acesso amplamente difundido, como o Windows 7, por exemplo. Inicialmente, faça o download no site indicado como referência [2] 2 ao final deste capítulo. Cabe citar que leitor também encontrará versões traduzidas para o português em outras fontes. Após a instalação, recomenda-se a leitura do manual. De outro modo, ao seguir a descrição da Tabela 1 também será possível solucionar o problema e analisar os resultados. 2 Ver em: <http://www.epa.gov/nrmrl/wswrd/dw/epanet.html>. Acesso em: 25 fev. 2016. 45 Tabela 1 – Resolvendo o problema com o EPANET 2.0 Ação 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Descrição Escolha o botão Add Junction presente na barra superior de ferramentas. É um botão com um círculo. Seguindo a numeração indicada na Figura 3, clique sobre a área branca (Network Map) para desenhar os nós. À direita do botão citado, clique no botão Add Reservoir. Insira o reservatório na posição indicada no enunciado, mas não é preciso reproduzir exatamente a imagem (trata-se de um esboço sem escala). Escolha o botão Add Pipe e desenhe os trechos da rede. Para isso, clique uma vez sobre um nó e em seguida sobre o nó seguinte que é a outra extremidade do trecho. Organização, apenas: Agora a rede deve estar desenhada. Em ViewOptionsNotation, clique nos quadrados brancos para exibir os números dos nós e trechos. Clique duas vezes sobre o reservatório e informe a cota da superfície livre (Total Head). Isso será necessário para realizar os cálculos, embora não faça parte da solução deste problema. Abra a aba Project e clique em Defaults... Em Hydraulics, escolha: LPS para Flow Units e D-W para Headloss Formula. Dessa forma, a unidade de vazão será L/s e a equação de resistência utilizada será a de Darcy-Weisbach. Clique duas vezes sobre o nó número 1. Neste nó, Base Demand deve ser igual a zero. A elevação também pode ser escolhida igual a zero, mas isso não modificará o cálculo das vazões nos trechos. Clique duas vezes sobre o nó número 2 e indique a elevação igual a zero e a demanda, que é igual a 15 L/s (digite apenas o número 15 e a unidade será aquela escolhida, LPS=Litro por segundo). Faça o mesmo para todos os nós, digitando as respectivas vazões. Clique no trecho 1 e digite: 1300 em Length (comprimento do trecho, em metros); 200 em diameter (diâmetro, em mm); 0.0015 em roughness (rugosidade absoluta equivalente, em mm). Faça o mesmo para os demais trechos, com os valores correspondentes. Clique em Run, um botão com um desenho de um raio amarelo. A mensagem deve ser “Run was successful”. Agora é possível ver os resultados com diferentes recursos. Clique duas vezes sobre um elemento da rede e você notará que as células amarelas foram preenchidas com as soluções. Na janela Browser, ao lado de Network Map, clique em Map e escolha o que visualizar nos nós (nodes) e trechos (links). A solução é exposta a seguir. Com os cálculos realizados e os resultados exibidos convenientemente, pode-se exportar a imagem da rede, como na Figura 6a. Compare as soluções com aquelas obtidas através do método computacional elaborado no item anterior (Figura 6b). Na opção View e em Options é possível ajustar a forma e tamanho das setas (que indicam o sentido do escoamento nos trechos), assim como o tamanho da fonte dos números. 1 ANEL 1 2 2 Trecho 1-2 2-5 5-6 6-1 2-3 3-4 4-7 7-5 5-2 (a) 3 L [m] 1300 1400 2000 2100 1250 1600 700 1050 1400 4 5 D Qa [m] [L/s] 0,2 50,41 0,2 12,18 0,15 -15,59 0,2 -21,59 0,2 23,23 0,25 7,23 0,15 -10,77 0,25 -15,77 0,2 -12,18 Restrição (trechos) 2-5/5-2 0 (b) Figura 5 – Solução obtida com o EPANET 2.0 Os tópicos tratados até aqui incluem métodos computacionais para resolver sistemas hidráulicos com níveis de complexidades mais elevados, como redes de distribuição de água de 46 cidades e sistemas de irrigação, por exemplo. Ter mais de um recurso computacional à disposição pode representar algo positivo, sobretudo para verificações dos resultados, que sempre deverão ser efetuadas. Com o próximo problema, produziremos um método computacional capaz de dimensionar redes seguindo critérios hidráulicos e econômicos. Problema 2.2 – Dimensionamento econômico de redes Com os dados fornecidos a seguir, dimensione e analise a rede de distribuição de água esboçada na Figura 7. Adote 15 mH2O como carga de pressão mínima e velocidade máxima dada pela formulação empírica Vmax[m/s] = 0,60 + 1,5D[m] ou Vmax ≤ 2,0 m/s .(PORTO, 2006, p. 172) O diâmetro mínimo deve ser igual a 100 mm e a rugosidade absoluta equivalente do material dos condutos, ε = 0,15 mm. Calcule o nível d’água no reservatório. (a) 47 Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Demanda [L/s] 6,00 2,00 4,10 5,00 3,10 3,50 1,50 2,00 3,50 5,50 8,60 7,80 3,30 9,80 5,40 6,00 2,90 5,00 z [m] 270 265 245 253 266 269 270 271 265 255 260 240 260 262 264 260 258 257 ANEL 1 2 3 4 Trecho 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-1 1-9 9-10 10-11 11-12 12-3 3-2 2-1 3-12 12-13 13-14 14-15 15-16 16-3 3-16 16-17 17-18 18-5 5-4 4-3 L [m] 408 390 410 390 405 395 400 408 450 500 455 435 700 390 408 700 390 505 280 370 800 800 650 525 500 390 410 (b) Figura 6 – Problema 2.2: Esboço da rede (a) e dados (b) Solução A primeira fase da solução consiste em organizar uma planilha com as informações da rede. Com o auxílio da Figura 8 ou do arquivo deste problema, pode-se acompanhar a descrição do método que, por razões didáticas, foi apresentada na Tabela 2. Tabela 2 – Comentários sobre as colunas do trecho da planilha apresentado na Figura 8 Coluna 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Descrição Identifica os anéis da rede. Os trechos foram organizados em grupos que formam os anéis. Comprimentos dos trechos (dado do problema). Diâmetro interno do conduto, calculado como parte da solução. Não é necessariamente um valor comercial. Diâmetros internos comerciais deverão ser escolhidos posteriormente, com valores próximos aos determinados com a planilha. Esta fase do projeto não faz parte do escopo deste problema. [Solver] Vazões nos trechos, calculadas como parte da solução. O cálculo é realizado ao mesmo tempo em que os diâmetros econômicos são calculados. [Solver] Vazão em m³/s. Velocidade média, calculada com a definição de vazão, V = Q/A. Número de Reynolds. Rugosidade relativa. Fator de cisalhamento (fator de “atrito”). Calculado com a equação de Swamee. Perda de carga distribuída. O cálculo deve ser realizado com V² = V||V|| para preservar o sinal, que é empregado no somatório das perdas de carga, por anel. Relação presente no cálculo de ∆Q, empregada apenas como mais um meio para verificação dos cálculos. Correção da vazão presente no método de Hardy Cross. Não é necessária para solução do problema, mas ilustra a convergência obtida por meio de valores baixos. A velocidade máxima, em m/s, é calculada por max(V) = 0,60+1,5D[m]. Observe que esse adimensional deve ser maior que 1. Cabe mencionar também que a NBR 12218 estabelece 0,60 m/s e 3,5 48 m/s como velocidades mínima e máxima, respectivamente. O uso desses critérios durante a solução pode levar à não convergência do método. [Solver] Com o valor absoluto de V, o sinal negativo deixa de existir nesta coluna, que poderá ser empregada 15 como parte do conjunto de restrições. Em geral, o custo de tubulações pode ser modelado com uma formulação do tipo custo[R$]/metro = aDb, sendo a e b parâmetros relacionados ao custo. Nesta planilha, apenas para ilustrar o procedimento de cálculo, foi empregada a mesma formulação do REDEM.EXE, código do livro Hidráulica 16 Básica, de Porto (2006). Na ausência de informações, uma avaliação preliminar poderá ser realizada com o produto L*D ou L*D1,4 (sugestão). A última célula desta coluna contém a soma dos custos dos trechos, que deverá ser minimizada com o auxílio do solver (observe que a repetição dos trechos deve ser eliminada nesta soma). [Solver]. Nota: [Solver] indica a necessidade e uso no solver. 1 ANEL 1 2 3 4 2 Trecho 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-1 1-9 9-10 10-11 11-12 12-3 3-2 2-1 3-12 12-13 13-14 14-15 15-16 16-3 3-16 16-17 17-18 18-5 5-4 4-3 3 L [m] 408 390 410 390 405 395 400 408 450 500 455 435 700 390 408 700 390 505 280 370 800 800 650 525 500 390 410 4 D [m] 0,228 0,223 0,100 0,100 0,143 0,163 0,170 0,162 0,188 0,176 0,154 0,120 0,100 0,223 0,228 0,100 0,100 0,100 0,116 0,145 0,180 0,180 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 Max(D) 0,228 5 Qa [L/s] 38,476 36,476 4,344 -0,656 -9,083 -12,583 -14,083 -16,083 24,440 20,940 15,440 6,840 -5,890 -36,476 -38,476 5,890 4,931 1,631 -8,169 -13,569 -22,142 22,142 2,572 -0,328 -5,328 0,656 -4,344 6 Qa [m³/s] 0,03848 0,03648 0,00434 -0,0007 -0,0091 -0,0126 -0,0141 -0,0161 0,02444 0,02094 0,01544 0,00684 -0,0059 -0,0365 -0,0385 0,00589 0,00493 0,00163 -0,0082 -0,0136 -0,0221 0,02214 0,00257 -0,0003 -0,0053 0,00066 -0,0043 7 V [m/s] 0,942 0,934 0,553 -0,083 -0,566 -0,606 -0,619 -0,777 0,882 0,864 0,831 0,602 -0,750 -0,934 -0,942 0,750 0,627 0,208 -0,774 -0,818 -0,870 0,870 0,328 -0,042 -0,678 0,083 -0,553 8 Re [-] 2,1E+05 2,1E+05 5,5E+04 8,3E+03 8,1E+04 9,9E+04 1,1E+05 1,3E+05 1,7E+05 1,5E+05 1,3E+05 7,2E+04 7,5E+04 2,1E+05 2,1E+05 7,5E+04 6,3E+04 2,1E+04 9,0E+04 1,2E+05 1,6E+05 1,6E+05 3,3E+04 4,2E+03 6,8E+04 8,3E+03 5,5E+04 9 ε/D [-] 0,00066 0,00067 0,0015 0,0015 0,00105 0,00092 0,00088 0,00092 0,0008 0,00085 0,00098 0,00125 0,0015 0,00067 0,00066 0,0015 0,0015 0,0015 0,00129 0,00103 0,00083 0,00083 0,0015 0,0015 0,0015 0,0015 0,0015 Anel 1 Anel 2 Anel 3 Anel 4 10 f [-] 0,0196 0,0197 0,0253 0,0349 0,0230 0,0221 0,0218 0,0216 0,0206 0,0210 0,0218 0,0239 0,0245 0,0197 0,0196 0,0245 0,0249 0,0289 0,0235 0,0221 0,0209 0,0209 0,0269 0,0411 0,0247 0,0349 0,0253 Soma Soma Soma Soma 11 hf [m] 1,588294 1,536918 1,616198 -0,04833 -1,06407 -1,00695 -1,00112 -1,67099 1,960908 2,274296 2,267263 1,595763 -4,92302 -1,53692 -1,58829 4,923017 1,94466 0,321439 -1,73568 -1,92143 -3,58201 3,582008 0,9586 -0,01915 -2,90359 0,048332 -1,6162 5,00E-02 5,00E-02 5,00E-02 5,00E-02 12 hf/Qa [s/m²] 41,2796 42,1345 372,024 73,7141 117,144 80,0214 71,0849 103,895 80,2333 108,61 146,843 233,297 835,757 42,1345 41,2796 835,757 394,411 197,136 212,46 141,6 161,777 161,777 372,675 58,4363 544,99 73,7141 372,024 797,402 1592,05 2477,59 1700,27 13 14 ∆Q max(V)/V [m³/s] >1 -3,1E-05 1,00 -3,1E-05 1,00 -3,1E-05 1,36 -3,1E-05 8,98 -3,1E-05 1,44 -1,6E-05 1,39 -1,6E-05 1,38 1,57E-05 1,09 1,57E-05 1,00 -5,6E-06 1,00 -5,6E-06 1,00 -1,6E-05 1,30 -1,6E-05 1,00 -1,6E-05 1,00 -1,6E-05 1,00 5,61E-06 1,00 5,61E-06 1,20 -1E-05 3,61 -1E-05 1,00 -1E-05 1,00 -1E-05 1,00 -1E-05 1,00 -1E-05 2,29 -1E-05 17,97 -1E-05 1,11 -1E-05 8,98 -1E-05 1,36 15 abs(V) 16 Custo 0,9 0,9 0,6 0,1 0,6 0,6 0,6 0,8 0,9 0,9 0,8 0,6 0,8 0,9 0,9 0,8 0,6 0,2 0,8 0,8 0,9 0,9 0,3 0,0 0,7 0,1 0,6 32572,4 30165,1 10321,8 9818,29 16813 19632,5 21205 20245,9 27386,6 27711,3 20933,7 14180 17622,6 9831,88 12713,4 8670,06 15720,9 45864,5 16363,8 13216,9 12587,6 SOMA 403577 Figura 7 – Parte da planilha desenvolvida para dimensionamento econômico. A planilha também possui uma parte responsável por calcular os somatórios das vazões nos nós, que deverão ser iguais a zero. O leitor também encontrará os cálculos das cargas de pressão, p/γ, nos nós da rede. Dessa forma, pode-se empregar a função mínimo (“células”) do Excel® para busca do valor mínimo, que fará parte das restrições durante o processo iterativo com o solver. A Figura 9 contém a janela com os dados necessários à solução do problema. Em definir objetivo foi inserida a célula com o somatório dos custos, que deve ser minimizado (por isso a opção “Min.” está selecionada). A busca da solução ocorre alterando as células variáveis, que são aquelas com os diâmetros e vazões (as colunas 4 e 5 da Figura 8). Neste problema é necessário adicionar as seguintes restrições (seguindo a ordem apresentada na Figura 9): 1) Carga de pressão mínima maior ou igual que 15 mH2O. 2) Diâmetros maiores que 0,1 m (isto é, 100 mm ou 4”). 3) Soma das vazões nos trechos comuns iguais a zero, considerando a convenção de sinais adotada (positivo para o sentido horário e negativo para o sentido anti-horário). 49 4) Diâmetros dos trechos comuns com valores iguais. 5) Soma das perdas de carga nos anéis, com os sinais convencionados, menor ou igual a 0,05 mH2O (erro no fechamento da linha piezométrica). 6) Velocidade máxima sobre a velocidade média maior ou igual a unidade. 7) Soma das vazões nos nós iguais a zero. 8) Finalmente, clique no botão “Opções” e escolha “Usar Escala Automática” para casos com dificuldades de convergência. Figura 8 – Janela do solver para solução do problema 2.2 Algumas considerações finais sobre o método computacional descrito são necessárias. Os diâmetros calculados não são necessariamente diâmetros internos existentes. Sendo assim, a solução aponta para uma possível alternativa economicamente ótima. A imposição de uma velocidade mínima, 0,60 m/s, por exemplo, como prevê a NBR 12218/1994, em geral faz com que o método não encontre uma solução. A mesma norma estabelece 3,5 m/s como velocidade máxima, valor superior ao limite sugerido anteriormente. Deste modo, podem ser feitas tentativas com os limites da norma também. A carga de pressão mínima adotada na solução, 15 mH2O, é a favor da segurança em relação à exigência da norma, igual a 100 kPa (10,2 mH2O). Os cálculos realizados para as cargas de pressão são explícitos para cada iteração, tendo como ponto de partida o nó mais alto da rede. Com essa alternativa, a determinação do diâmetro do trecho entre o reservatório e o primeiro nó é realizada posteriormente com um dos métodos do capítulo 1. Vale lembrar que a carga de pressão máxima deve ser atendida. Outras soluções 50 podem ser aventadas, como a definição da cota da superfície livre da água no reservatório a partir do desnível máximo e da carga de pressão máxima igual a 50 mH2O. Isso levaria a um problema com duas incógnitas e uma equação. As incógnitas são: Diâmetro do trecho entre o reservatório e o nó número 1 e a cota piezométrica do nó número 1. Deste modo, sugere-se adotar a relação apresentada anteriormente para o cálculo do diâmetro, max(V) = 0,60+1,5D[m], e Q=VA, lembrando que a vazão neste trecho (R-1) é conhecida. A equação disponível é a da energia com a formulação para a perda de carga. Calculado o diâmetro, calcula-se a cota piezométrica no primeiro nó. Os resultados podem ser verificados com o software EPANET 2.0 (ver arquivo do problema). Como pode ser visto na Figura 10, que resume a solução, pequenas diferenças entre os resultados devem ser esperadas devido às aproximações dos métodos numéricos de solução (ver erro adotado para fechamento da linha piezométrica, por exemplo). Tais diferenças, de um ponto de vista prático, não excedem a precisão exigida. Figura 9 – Solução calculada com o EPANET 2.0 Considerações finais Este capítulo aborda a hidráulica de redes malhadas, isto é, sistemas de tubulações formados por circuitos. Trata-se de um problema que, na prática da engenharia, não dispensa o uso dos computadores para obtenção de soluções. Inicialmente foram expostos métodos de solução para o cálculo correto da distribuição de vazões nos trechos. O método de Cross foi deduzido, destacando-se aspectos físicos relevantes que devem estar presentes no processo numé- 51 rico. Em seguida, métodos computacionais com softwares de amplo acesso também foram explorados, de forma objetiva e prática. Finalmente, abordou-se o problema de dimensionamento de uma rede. Neste caso o problema é dos mais avançados em regime permanente porque exige a solução simultânea para a distribuição de vazões e dimensionamento econômico dos condutos. 52 53 CAPÍTULO 3 ESCOAMENTO VARIÁVEL EM CONDUTOS FORÇADOS 15 10 y [m] 5 0 -4 -2 0 2 4 6 8 -5 -10 -15 -20 V [m/s] A curva acima não é apenas matemática. Ela representa o comportamento real de um fenômeno oscilatório estudado neste capítulo. 54 Introdução A solução de problemas para a condição de regime permanente constitui grande parte da Hidráulica e Mecânica dos Fluidos. O dimensionamento de adutoras, redes de distribuição de água, condutos forçados em aproveitamentos hidrelétricos e sistemas elevatórios são exemplos de problemas resolvidos para a condição de regime permanente. Nestas aplicações, entretanto, apenas a análise de escoamentos independentes do tempo pode não ser suficiente. Manobras em válvulas presentes nas adutoras e redes, por exemplo, iniciam a ocorrência de um escoamento variável (dependente do tempo). O mesmo regime acontece quando há parada ou partida de máquinas hidráulicas. Durante o regime transitório as pressões podem alcançar valores muito maiores em relação à pressão máxima do regime permanente. Desse modo, estudar o escoamento variável passa a ser indispensável para a compreensão dos fenômenos presentes em sistemas hidráulicos de tubulações. É com base em tal entendimento que são dimensionados os dispositivos de proteção capazes de evitar a ocorrência de vazamentos resultantes de pressões excessivas ou até mesmo a ruptura ou esmagamento dos condutos. Há em Hidráulica e Mecânica dos Fluidos Computacional quatro conjuntos de equações para abordagem do problema em questão: (1) Modelo algébrico; (2) Modelo rígido; (3) Modelo elástico e (4) Equações de Navier-Stokes com médias de Reynolds (RANS), conservação de massa e modelos de turbulência e multifásicos. A primeira opção corresponde a equacionamentos mais simples, sendo em geral limitados a problemas não muito complexos e ao cálculo de sobrepressões e subpressões sem a inclusão da energia dissipada. O modelo rígido é formado por equações diferenciais ordinárias e o modelo elástico por um sistema de equações diferenciais parciais. No modelo rígido, a elasticidade do conduto e a compressibilidade do fluido não são consideradas, o que justifica o título. Quando a natureza do material dos condutos e a compressibilidade do fluido são levadas em consideração, o modelo resultante passa a ser conhecido como modelo elástico. Seguindo o escopo deste livro, serão abordados problemas práticos relacionados aos modelos citados, com a elaboração de métodos computacionais para a solução desses sistemas de equações. Referências que abordam aspectos teóricos e práticos são os livros de Parmakian (1955), Streeter e Wylie (1967), Jaeger (1977), Chaudhry (1979, 2013), Almeida (1982) e Porto (1992). O uso das equações de Navier-Stokes e modelos de turbulência não é comum nessa área, mas representa uma forma interessante para abordagem do problema sob um ponto de vista científico. Com essa modelagem, não é necessário o uso de equações de resistência, como a de Darcy-Weisbach, desaparecendo a dificuldade de cálculo do fator de resistência em regime variável. Essa vantagem, entretanto, emerge acompanhada por obstáculos à aplicação do modelo aos problemas geralmente tratados com os modelos rígido e elástico, 55 a exemplo do elevado custo computacional, que inclui custo com a programação, tempo de simulação, etc. Problema 3 – Soluções numéricas das equações do modelo rígido e do modelo elástico Problema 3.1 – Chaminé de equilíbrio em aproveitamento hidrelétrico Os efeitos danosos do golpe de aríete podem ser evitados com alguns dispositivos, dentre os quais se destaca a chaminé de equilíbrio, estrutura que está entre as mais seguras, que requer pouca manutenção na maior parte dos casos e que atua na fase positiva e na fase negativa do fenômeno. Em obras hidrelétricas, uma brusca variação no regulador da turbina produz um movimento variável no conduto forçado (conhecido como penstock) e a depressão ou sobrepressão se propaga para montante. Ao chegar à chaminé, a onda é dividida em uma parte que entra na chaminé e é refletida na superfície livre. A outra viaja pela galeria de chegada. A chaminé absorve praticamente toda onda de pressão por possuir seção útil muito maior que a da galeria, em geral. Considere as seguintes definições (ver Figura 1): H = carga total. H0 = carga disponível na chaminé, em regime permanente. Ha = com z = 0 na base da chaminé, carga hidráulica para condição estática. A = área da galeria de chegada. Ac = área da seção reta da chaminé. Ap = área da seção transversal do conduto forçado (penstock). V = velocidade média na galeria, positiva no sentido do reservatório para a chaminé. V0 = velocidade média na galeria, em regime permanente. Q = vazão instantânea requerida pelas turbinas. L = comprimento da galeria de chegada. y = altura d’água na chaminé, acima do nível do reservatório. u = velocidade vertical da água na chaminé, positiva para cima, u = dy/dt. g = aceleração devido à gravidade. T = período da oscilação da massa, desprezando as perdas de carga. K = coeficiente de perda de carga localizada da transição entre conduto e chaminé. y Chaminé de equilíbrio Hidrostática Chaminé de equilíbrio y Perda de carga Hidrostática A Galeria sob pressão Conduto forçado T Turbina Q Ac Ha L Carga hidráulica útil H Perda de carga (a) Figura 1 – Chaminé de equilíbrio em aproveitamento hidrelétrico Fonte: Adaptado de Porto (1986, p.55). (b) 56 O princípio de conservação de massa em sua forma integral e para um volume de controle pode ser escrito com a seguinte forma: d dt ∫∫∫ρdVol + ∫∫ (ρv ⋅ n)dA = 0 . Vol (1) SC Quando aplicado a escoamentos incompressíveis e a um volume de controle rígido, obtém-se: ∫∫ v ⋅ ndA = 0 . (2) SC Por meio de palavras, o somatório das vazões de entrada deve ser igual à soma das vazões de saída, sendo este resultado válido para o regime não permanente e escoamento incompressível. Portanto, VA = uA c + Q ∴ dy VA − Q = dt Ac . (3) A 2a Lei de Newton aplicada ao mesmo volume de controle tem como resultado: 3 2   2    z1 + p1 + V1  −  z 2 + p 2 + V2  = ∆H12 + L dV .  γ 2g   γ 2g  g dt  (4) Considerando o reservatório da extremidade inicial como um reservatório de nível constante, a carga hidráulica total é reduzida ao valor de z1. O ponto dois foi escolhido na base da chaminé, onde a carga de pressão, p/γ, pode assumir os valores Ha + y ou Ha – y. Observe também que z1 – z2 = Ha. A energia cinética é desprezada na seção 2 e a perda de carga total entre 1 e 2 é composta por perdas distribuídas e perdas localizadas, principalmente se a chaminé possuir estrangulamento em sua base. Com tais considerações, escreve-se: H a − ( H a + y) = L dV L V2 u2 +f +K ∴ g dt D 2g 2g V | V | K  dy  dV g = − y−f −   2D 2L  dt  dt L 2 . (5) As equações anteriores formam um sistema de equações diferenciais ordinárias que pode ser resolvido analiticamente, para casos especiais, ou com métodos numéricos. Deste modo, considere os dados descritos a seguir. Uma galeria de concreto com D = 2,5 m, f = 0,012 e L = 3 Veja a dedução em Porto, 2006, p.8-9. 57 2000 m, conduz água em um aproveitamento hidrelétrico protegido com uma chaminé de equilíbrio com diâmetro igual a 10 m e estrangulamento na base com K = 315. Escreva um código ou planilha e calcule y(t), V(t) e u(t) para uma manobra instantânea de fechamento total dos reguladores das turbinas quando a vazão inicial for 30 m³/s. Sugestão: Utilize o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, ∆t = 10 s e T = 600 s. Solução O sistema a ser resolvido é formado pelas equações 3 e 5. As derivadas de V e y presentes nestas equações possibilitam definir as funções F1 e F2, como escrito a seguir: 2 V | V | K  dy  dV g = − y−f −   = F1 2L  dt  2D dt L V | V | K  VA − Q  g   F1 = − y − f − 2D 2L  A c  L 2 dy VA − Q = = F2 . dt Ac (6) (7) Com o método de Runge-Kutta aplicado a um sistema de equações, as variáveis V e y são calculadas no instante k+1 com as seguintes formulações: ∆t  y = y k + (ψ1,1 + 2ψ 2,1 + 2ψ 3,1 + ψ 4,1 )  k +1 6  ∆ V = V + t (ψ + 2ψ + 2ψ + ψ ) k +1 k 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 6  (8a) ψ1, j = Fj (t k , Vk , y k )  ψ 2, j = Fj (t k + 0,5∆t , Vk + 0,5ψ1,1∆t , y k + 0,5ψ1, 2 ∆t )  ψ 3, j = Fj (t k + 0,5∆t , Vk + 0,5ψ 2,1∆t , y k + 0,5ψ 2, 2 ∆t ) ψ = F (t + ∆t , V + ψ ∆t , y + ψ ∆t ) j k k 3,1 k 3, 2  4, j (8b) O primeiro subscrito em ψi,j, i, varia de 1 a 4 para o método de Runge-Kutta de 4ª ordem. O segundo subscrito, j, varia de 1 a 2, sendo 2 o número de incógnitas do sistema de equações. Para organizar um código ou planilha, recomenda-se que sejam calculados os valores de V e y à parte para posteriormente serem calculadas as funções F1 e F2, como descrito a seguir. A coluna 1 (ver Figura 2) contém os valores da variável independente t (tempo), calculados a partir do zero e com incrementos iguais a ∆t. As colunas de 2 a 5 contêm os valores de ψi,1, isto é, para j=1, valores vinculados à função F1, que é dV/dt. As colunas 6 a 9 calculam ψi,2 (j=2, para dy/dt ou F2). Durante os cálculos são necessários valores em k, k+1/2 e k+1 (ver equação 8b). As colunas 10 e 11 realizam os cálculos para k. A coluna 12 calcula u(t) com Vk e a coluna 58 13 contém a vazão, que no instante inicial é 30 m³/s e no instante seguinte igual a zero (ver enunciado). Em seguida, nas colunas 14 e 17 são efetuados os cálculos em k+1/2 com base nas derivadas obtidas com valores em k. Nas colunas 15 e 18 os cálculos para k+1/2 são feitos novamente, mas com base nas derivadas em k+1/2 obtidas anteriormente (ver equação 8b). As colunas 16 e 19 empregam as derivadas (3,1) e (3,2) para calcular V e y em k+1. Observe atentamente que esse valor calculado em k+1 ainda não é o resultado do método para o instante k+1, mas sim uma avaliação parcial que deverá ser empregada para o cálculo de mais uma derivada que finalmente permite o uso da equação 8a. A equação 8a deve ser escrita nas colunas 10 e 11, a partir da segunda linha após os valores iniciais. Com isto realizado, prossegue-se de forma similar, sendo necessário apenas repetir as fórmulas de modo automático com o recurso da planilha denominado “arrastar”. O método de Runge-Kutta de quarta ordem realiza a integração numérica com base em quatro valores das derivadas F1 e F2, diferente do método de Euler, por exemplo, que emprega apenas uma derivada para calcular o próximo valor. Essa característica confere ao método uma ordem de precisão elevada em relação à solução analítica, sendo tal ordem a potência da relação entre o erro e o espaçamento da malha. 1 Tempo 2 t [s] 0 10 1,1 3 4 ψ i,j 2,1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Q [m³/s] 30 0 Vk+1/2 [m] 6,11 6,05 Vk+1/2 [m] 6,11 6,02 Vk+1 [m] 6,11 5,94 yk+1/2 [m] -18,29 -16,38 yk+1/2 [m] -18,29 -16,40 yk+1 [m] -18,29 -14,53 ψ i,j 3,1 4,1 1,2 2,2 3,2 4,2 V y 4,16E-17 4,16E-17 4,2E-17 4,2E-17 0 0 0 0 -0,01149 -0,01896 -0,0176 -0,02416 0,38197 0,37838 0,37605 0,37094 Vk [m] 6,112 6,112 yk u(t) [m/s] [m/s] -18,294 0 -18,294 0,38197 Figura 2 – Planilha elaborada para solução do sistema de EDOs. Observe que i representa a ordem de convergência do método (i = 4) e j representa o número de EDOs (j = 2) Observações sobre os resultados obtidos (Figura 3): 1) Observa-se que y(t) assume valor máximo igual a 10,8 m e mínimo correspondente ao regime permanente. Estas são informações importantes para o projeto da chaminé. Se K for considerado nulo, o valor máximo de y(t) passa a ser 11,7 m. 2) A oscilação em massa na chaminé pode levar vários minutos. Para t = 1000 s (16,7 min), o valor de y ainda alcança 3,3 m. 3) O máximo observado pode ser modificado em função do refinamento da malha, isto é, em função do valor de ∆t escolhido para solução do problema. 4) Como ilustrado na Figura 4, os máximos e mínimos de y(t), que ocorrem para dy/dt=0 (Figura 3c), coincidem com valores nulos de V(t). Isso pode ser compreendido examinando-se a equação de conservação de massa, que para este problema, com Q(t>0) = 0, uAc = VA. Com A e Ac diferentes de zero, se u= dy/dt = 0, então, V=0. 5) A relação entre y(t) e V(t) não é biunívoca em todo o domínio (Figura 3d). 59 15,0 7,0 6,0 10,0 5,0 4,0 0,0 0 100 200 300 400 500 3,0 V [m/s] y [m] 5,0 600 -5,0 2,0 1,0 0,0 -10,0 -1,0 -15,0 -20,0 100 200 300 -3,0 t [s] 400 500 600 t [s] (a) 0,5 15 0,4 10 0,3 5 0,2 (b) 0 y [m] u [m/s] 0 -2,0 -4 -2 0 2 4 6 8 -5 0,1 -10 0,0 0 100 200 300 400 500 600 -15 -0,1 -0,2 t [s] -20 (c) Figura 3 – Solução do Exemplo 3 V [m/s] (d) 15,0 y(t) V(t) y [m]; V [m/s] 10,0 5,0 0,0 0 100 200 300 400 500 600 -5,0 -10,0 -15,0 -20,0 t [s] Figura 4 – Solução do Exemplo 3 Para pensar Considere um decaimento linear para vazão Q a partir do valor inicial Q0 = 30 m³/s, seguindo a lei Q = Q0 – at, em que a = coeficiente angular, a = (Qf – Q0)/tf, sendo tf o instante correspondente a Qf, que é a vazão final após a realização da manobra. Faça a adaptação necessária na planilha proposta para resolver o problema 3.1. Dica: Observe com atenção o método de Runge-Kutta (equação 8) e os cálculos intermediários. Agora, Q é função do tempo e esse fato deve ser considerado na determinação das derivadas. 60 Problema 3.2 – Modelo Elástico: Análise e solução numérica das equações Prosseguindo com os estudos sobre escoamentos transitórios em condutos forçados, o leitor encontrará um próximo nível, que é composto por equações diferenciais parciais não lineares e de primeira ordem, com características hiperbólicas. Esse sistema de equações é conhecido como modelo elástico, tendo origem nos trabalhos de Allievi (1925). A dedução do modelo elástico emprega-se a conservação de massa e a 2a Lei de Newton como leis básicas da física. Adicionalmente, como o comportamento do material do conduto é considerado na formulação, utiliza-se a lei constitutiva denominada lei de Hooke para relacionar tensão e deformação. Não é necessário mencionar que percorrer as deduções dessas equações constitui pré-requisito essencial para avançar nos estudos. Neste livro, entretanto, apenas a solução numérica – computacional das equações será explorada. Sugere-se a leitura de Streeter e Wilye (1978), Parmakian (1955) e Simões, Schulz e Porto (2014) para estudo da dedução. Isto posto, coloca-se como problema inicial estudar o modelo elástico (modelo formado pelas equações citadas), o método das características, a imposição correta das condições de contorno e iniciais e os métodos de Lax-Friedrichs e MacCormack. Conservação de massa A equação diferencial parcial obtida com esse princípio e com as leis complementares possui a forma final exposta a seguir: 2 ∂H  ∂H  a ∂V + V + senα  + =0. ∂t  ∂x  g ∂x Definições: H = Carga piezométrica, H = z+p/γ. H(x,t). t = Tempo (variável independente). V = Velocidade média, V(x,t). x = abscissa paralela ao eixo do tubo. α = ângulo entre x e a horizontal. g = Aceleração devido à gravidade. a = celeridade (velocidade) das ondas de pressão, definida como: a= K /ρ KD 1+ k Ee . Formulação que é descoberta ao longo da dedução da equação 9. K = Módulo de elasticidade do fluido. ρ = Massa específica do fluido. D = Diâmetro interno do conduto. E = Módulo de elasticidade do material do conduto. (9) 61 e = Espessura da parede da tubulação. k = Coeficiente que é função das condições de ancoragem do conduto. Trata-se de uma função do coeficiente de Poisson, denotado aqui por µ, assim como ocorre na maior parte da literatura sobre o tema (não confundir com a viscosidade dinâmica). A Tabela 1 resume os seus valores. Valores do coeficiente de Poisson podem ser encontrados nos arquivos deste capítulo, na planilha, assim como valores de E e K. Tabela 1 – Valores de k para diferentes condições de deformação do conduto Configuração do conduto Extremidade de montante fixa Sem movimentação axial Juntas de expansão nas extremidades do conduto Condutos rígidos k 5/4 - µ 1- µ² 1 0 Equação da quantidade de movimento (2ª Lei de Newton) Com forças de contato (pressão e cisalhamento) e a força peso, a 2a Lei de Newton aplicada a um volume de controle com uma entrada e uma saída conduz ao seguinte resultado: ∂H fV V ∂V ∂V + = 0. +g +V 2D ∂x ∂x ∂t (10) Nesta equação, além de grandezas já definidas para a equação 9, há o fator de cisalhamento (fator de “atrito”) de Darcy-Weisbach. Em regime transitório, o fator de cisalhamento não apresenta o mesmo comportamento observado em regime permanente. Apesar disto, para avaliações preliminares e estudos exploratórios realizados aqui, calcula-se f com as equações do regime permanente. Sobre este tema, sugere-se a leitura de Lima (2006, p. 11-40). Um pouco de matemática aplicada A solução do sistema formados pelas equações 9 e 10 requer a imposição adequada das condições de contorno e condição inicial. Além disso, soluções analíticas são conhecidas apenas para casos particulares e simplificados, sendo necessário o uso de algum esquema numérico. Este é um tema que não será abordado aqui em todos os seus detalhes. Apenas alguns pontos indispensáveis serão mencionados. Natureza do sistema de equações Sabendo que H = z+p/γ, as equações 9 e 10 podem ser escritas com as formas a seguir: ∂p ∂p ∂V + V + ρa 2 =0, ∂t ∂x ∂x (11) 62 fV V ∂V 1 ∂p ∂V + = −gsenα − =F, +V 2D ∂x ρ ∂x ∂t (12) em que, p = pressão e F foi utilizado apenas para simplifica a escrita do termo fonte da equação 12, isto é, − gsenα − fV V 2D = F . Empregando as matrizes  V ρa 2  0 p  e S =   , U =   , A =      F V 1 / ρ V  o sistema de equações pode ser organizado em uma única equação vetorial: ∂U ∂U +A =S ∂t ∂x (13) A matriz A é denominada matriz convectiva e seus autovalores podem ser calculados como apresentado abaixo (δij é o delta de Kronecker, se i=j, δij = 1, se não, δij = 0): ( )  V − λ ρa 2   = 0 ⇒ (V − λ )2 − a 2 = 0 ∴ det A − λδij = 0 ⇒ det   1/ ρ V − λ  λ1 = V + a  2 λ = V − a (14) Com esta análise, conclui-se que o sistema de equações é hiperbólico, pois os autovalores possuem valores reais e diferentes entre si. Os autovalores da matriz convectiva correspondem às velocidades absolutas das ondas. Métodos numéricos O método clássico que talvez seja o mais conhecido para a solução de escoamentos transitórios em condutos forçados é o método das características, desenvolvido por Monge (1789). Com este método, as equações diferenciais parciais são transformadas em um sistema de equações diferenciais ordinárias. A integração dessas equações pode ser realizada analiticamente para casos especiais ou com alguma aproximação para situações mais gerais. Deste modo, ele é classificado como método analítico ou numérico. Esquemas numéricos de volumes finitos também podem ser adotados, como o de Lax-Friedrichs e MacCormack. O estudo do método das características é muito relevante para a solução numérica de problemas envolvendo transitórios em condutos forçados e condutos livres. Isto porque a imposição correta das condições de contorno requer a compreensão do conceito de curvas características. O próprio método também conduz 63 a bons resultados quando utilizado corretamente para integração das equações para condutos forçados, mesmo sendo de primeira ordem. Método das características Caro leitor, neste item há um pouco de matemática (pouco mesmo!). Se a compreensão for prejudicada pela escolha da ordem de apresentação do conteúdo, sugiro uma primeira leitura do “problema prático” desenvolvido após essa exposição inicial dos fundamentos e do código. Vamos escrever aqui as equações 11 e 12 mais uma vez: ∂p ∂p ∂V + V + ρa 2 =0, ∂t ∂x ∂x ∂V ∂V 1 ∂p +V + = F. ∂t ∂x ρ ∂x (11) (12) Seja φ um fator diferente de zero inicialmente desconhecido. Se este fator for multiplicado à equação de conservação de massa e a mesma somada à equação de quantidade de movimento, escreve-se: ∂V 1 ∂p ∂V  ∂V ∂p  ∂p + = F. +V + ρa 2 φ + V + ∂x ρ ∂x ∂x  ∂t ∂x  ∂t (15) Observe que a equação anterior pode ser escrita com a seguinte forma:  ∂p ∂p 1   ∂V ∂V 2   ∂t + ∂x (V + φρa ) + φ ∂t + ∂x (V + ρφ ) = F .     (16) Lembremos agora que V=V(x,t) e p=p(x,t). O cálculo de suas derivadas (materiais) com a regra da cadeia resulta em: dV ∂V ∂V dx + = dt ∂x dt ∂t e dp ∂p ∂p dx = + . dt ∂t ∂x dt Comparando estes resultados aos termos matematicamente semelhantes da equação 16, podese determinar dx/dt e os valores de φ: 1   dx φ=+ =V+a   ρa dx 1   dt 2 = V + φρa = V + ∴ ⇒ 1 dt ρφ   dx = V − a φ=−   ρa  dt  (17) 64 Observe que dx/dt tem a mesma forma dos autovalores da matriz convectiva. Substituindo os valores de φ na equação 16, pode-se transformar o sistema de equações diferenciais parciais em um sistema de equações diferenciais ordinárias, como exposto a seguir:  dV 1 dp + =F   dt ρa dt C+ :   dx = V + a   dt (17a)  dV 1 dp − =F   dt ρa dt C− :   dx = V − a   dt (17b) Retornando às EDPs, vale lembrar que a sua solução é V(x,t) e p(x,t), isto é, a velocidade média e a pressão no plano espaço-tempo. Um problema como este possui condições iniciais, que são aquelas correspondentes ao tempo t = 0, determinadas em geral para o regime permanente. Há também as condições de contorno, que são V e p nas extremidades inicial e final do domínio computacional (em x = 0 e em x = L, sendo L o comprimento total do conduto, por exemplo). Uma condição de contorno que provoque uma perturbação do problema, o que pode ser exemplificado com o fechamento de uma válvula, produzirá alterações no escoamento. Essas alterações evoluem no espaço e no tempo. As EDOs 17a,b estão escritas em termos de derivadas materiais e é possível notar que com esta forma de escrever as equações, V e p são calculadas ao longo do tempo. Por isso se diz que essas equações são válidas ao longo de curvas características (Figura 5), curvas que separam a região que ainda preserva características dadas pelas condições iniciais da região perturbada. O problema original possui solução tem solução no espaço tempo. Então, como identificar a dependência com o espaço? Veja que dx/dt também faz parte do sistema de EDOs. Deste modo, não se pode abandonar a dependência com o espaço. Isto será considerado na integração das equações, subscrevendo adequadamente índices que representam a posição considerada nos cálculos. Veja, mais uma vez com auxílio da Figura 5, que no tempo tn V ou p são calculadas em A ou B e que em tn+1 V e p são calculadas em P, ponto em uma posição x diferente daquela dos pontos A e B. 65 Figura 5 – Curvas características: Note que C+ é a característica positiva, com derivada positiva. C- possui derivada negativa (considerando que V<a). Observe também que em A e B as grandezas V e p são avaliadas no instante tn (n indica o tempo). Em P essas grandezas são calculadas em tn+1, isto é, após um intervalo ∆t que é igual a tn+1 – tn. Se o ponto P for identificado em uma posição i sobre o eixo x, A pode ser identificado como um ponto em i-1 e B em i+1, para o mesmo ∆x entre A e P e P e B (o que ocorre se a>>V, veja as EDOs) Neste ponto da apresentação, vamos integrar as EDOs 17a e 17b, ao longo de AP e BP, respectivamente: C+ : VP ∫ 1 ρa tP ∫ pA tA VP pP tP VB pB tB VA 1 C : dV − ρa − pP dp = Fdt , dV + ∫ ∫ ∫ dp = ∫ Fdt . (18a) (18b) A integral de dV pode ser realizada sem dificuldades, assim como a integral de dp. Observe, com a formulação da celeridade apresentada anteriormente, que a é independente de V e p, diferente do que ocorre em escoamentos com superfície livre, para os quais a celeridade é função de uma das variáveis dependentes. No segundo membro, a integral de Fdt requer alguma aproximação porque F é função de V. Como aproximação, assume-se que F em A e F em B sejam independentes do tempo ao longo das características, sendo possível realizar os cálculos, como exposto a seguir: C + : VP − VA + 1 (p P − p A ) = FA ( t P − t A ) , ρa (19a) C − : VP − VB − 1 (p P − p B ) = FB ( t P − t B ) . ρa (19b) 66 Uma observação prática deve ser dada agora: Nestas equações, os índices A e B representam grandezas conhecidas no instante tn e as incógnitas são identificadas com o índice P. Os intervalos tp - tA e tp – tB devem ser especificados como um intervalo de tempo ∆t. Deste modo, para obtenção de um esquema numérico explícito e simples, vamos resolver o sistema formado pelas equações 19a e 19b de modo conveniente (você pode experimentar “somar” e “subtrair” as equações ou seguir o procedimento a seguir): 1 1 p P = FA ∆t − (VP − VA ) + p A , substituindo em C-, vem: ρa ρa 1 1 C − : VP − VB − FA ∆t + (VP − VA ) − p A + p B = FB ∆t . Resolvendo para VP, ρa ρa C+ : VP = VA + VB ∆t 1 + (FA + FB ) + (p A − p B ) . 2 2 2ρa (20) Resolvendo o sistema (equações 19a e 19b) para pP, escreve-se: C − : VP = FB ∆t + VB + pP = 1 (p P − p B ) , que pode ser substituída em 19a: ρa p +p ρa ρa∆t (FA − FB ) + A B . (VA − VB ) + 2 2 2 (21) Neste texto, como foi considerado que ∆x = a∆t, A, B e P serão substituídos por i-1, i+1 e n, respectivamente (ver Figura 5). Neste caso, i representa a posição em x e n representa o instante no eixo t. Isto resulta nas equações 22 e 23, equações utilizadas no código elaborado no próximo problema: Vin +1 = 1 Vin−1 + Vin+1 ∆t n (p in−1 − p in+1 ) . + (Fi −1 + Fin+1 ) + 2ρa 2 2 (22) p in +1 = ρa n ρa∆t n pn + pn (Fi −1 − Fin+1 ) + i −1 i +1 . (Vi −1 − Vin+1 ) + 2 2 2 (23) Lembrando que devem ser satisfeitas as equações: C+ : dx = V + a ⇒ ∆x AP = dt tP ∫ Vdt + a∆t ≅ a∆t tA tP dx = V − a ⇒ −∆x BP = Vdt − a∆t ≅ −a∆t C : dt − ∫ tB 67 Se a resistência for negligenciada e o conduto for horizontal, F = 0 (veja a definição de F). Com essa simplificação, o equacionamento anterior representa uma solução analítica das EDOs, escrita com a seguinte forma: Vin +1 = pin +1 = Vin−1 + Vin+1 1 + (p in−1 − p in+1 ) . 2 2ρa ρa n pn + pn (Vi −1 − Vin+1 ) + i −1 i +1 . 2 2 (24) (25) Como comentário final deste trecho, destaca-se que para o caso mais geral, tP - tA e tP - tB podem ser diferentes, assim como xP - xA e xP - xB, sendo necessária a solução simultânea de quatro equações. Vale lembrar que as EDOs são válidas apenas ao longo das curvas características, enquanto as EDPs são válidas para todo do domínio x-t. Imposição das condições de contorno com auxílio das características O que ocorre na fronteira de um domínio computacional em problemas de hidráulica pode depender apenas das condições de escoamento ou das condições de escoamento e de interferências externas. Os sinais dos autovalores da matriz convectiva determina a imposição correta das condições de contorno. Em outras palavras, estamos falando da declividade (positiva ou negativa) da curva característica nas fronteiras do domínio. Para o problema tratado aqui, os autovalores possuirão sinais opostos (em escoamentos em superfície livre, os sinais podem ser iguais se o escoamento for supercrítico). Deste modo, na entrada uma curva característica apontará para dentro do domínio computacional e a outra para fora do domínio computacional. Este fato indica que uma variável deve ser fixada no contorno com base em informações externas (o nível d’água em um reservatório, como na Figura 6) e a outra variável deve ser calculada com base no que ocorre dentro do domínio computacional. Esse modo de impor as condições de contorno está de acordo com as curvas características, já que as perturbações se propagam ao longo delas. Para a extremidade de jusante do mesmo sistema (Figura 6), a presença de uma válvula deve ser representada no sistema de equações com um modelo matemático para válvula. A outra variável será calculada com base em informações do domínio, com o uso da curva característica positiva. 68 Figura 6 – Reservatório-conduto-válvula: Condições de contorno Para o sistema hidráulico da Figura 6, que será explorado numericamente neste exemplo, as equações para os contornos são: 1) Montante (Reservatório): Desprezando perda localizada e carga cinética. 1.1) Informação externa ao domínio (Reservatório): (26) p P = γ (z r − z t ) 1.2) Informação do domínio (equação 19b): C − : VP = VB + FB ∆t + 1 (p P − p B ) . ρa (27) 2) Jusante (Válvula): 2.1) Informação externa ao domínio (Válvula): Para o caso de ocorrência do regime permanente, sabe-se que a vazão escoada por uma válvula pode ser modelada por: Q 0 = (C d A v )0 2gh 0 . (28) Nesta equação Cd=coeficiente de descarga da válvula, Av=área da seção aberta da válvula, h0=carga de pressão a montante da válvula. Em todas as variáveis o índice 0 indica regime permanente. Uma forma de modelar o escoamento variável consiste em assumir como válida uma equação semelhante para calcular a vazão: Q P = (C d A v ) 2gh P . (29) 2.2) Informação interna (curva característica positiva): C + : VP − VA + 1 (p P − p A ) = FA ∆t . ρa Substituindo a velocidade pela vazão (Vp=Qp/A, em que A=área do tubo), vem (30) 69 C+ : QP − QA + A (p P − p A ) = AFA ∆t . ρa (31) Combinando as equações 29 e 31 é possível escrever a seguinte equação: p P = γh P = γ   Q 2P A A Q 2P + Q P −  Q A + ⇒ p A + AFA ∆t  = 0 2 2 ρa (C d A v ) 2g 2a (C d A v )   Resolvendo para QP, escreve-se: −1+ 1+ 4 QP =   A  Q A + p A + AFA ∆t  ρa   = ... A 2 2a ( C d A v ) 2 A 2a (C d A v ) 2  a2  aCd A v   pA 2 .  −  + + + F ∆ t ( C A ) 2 a V Q P = Cd A v  d v A A  ρa A   A2     (32) Apenas para simplificar a escrita, define-se C+:  a2 aCd A v  2 , ( ) + − C A 2 aC Q P = Cd A v  d v + A   A2   em que C + = VA + (33) pA + FA ∆t . ρa O produto CdAv é uma informação externa dependente do tempo e que pode ser dada por valores tabelados ou ajustados por meio de uma expressão algébrica. A equação 32 foi obtida com o auxílio da característica positiva (que contém informações sobre o nó adjacente ao contorno) e uma informação externa, correspondente à equação da válvula. Observe que a equação 32 é explícita para o cálculo de QP. Para calcular hP, uma vez calculada a vazão QP, utiliza-se a equação da característica positiva. Outros tipos de condições de contorno podem ser encontrados nas referências citadas. Métodos de volumes finitos O método das características descrito anteriormente não pode ser aplicado a escoamentos em superfície livre com soluções descontínuas (com ressalto hidráulico ou pororoca, por exemplo), sendo necessário o uso de um esquema numérico capaz de capturar ondas de choque, que são as soluções descontínuas, no sentido fraco. O desenvolvimento e análise desses métodos é um tema importante da Matemática Aplicada ( LEVEQUE, 2007, aborda diferentes métodos 70 de volumes finitos para sistemas hiperbólicos). Neste capítulo, introduziremos os métodos de Lax-Friedrichs e de MacCormack, que também serão utilizados para escoamentos em superfície livre. Para o uso desses métodos, as EDPs foram reescritas na “forma conservativa”, apresentada a seguir: Forma conservativa das equações A equação obtida com a 2a Lei de Newton (equação 12) é facilmente reescrita: ∂V + ∂t ∂V V ∂ x  V + 1 ∂p = F ⇒ ,(12) ρ ∂x ∂V 1 ∂V 2 = ∂x 2 ∂x  ∂V ∂  V 2 ∂V ∂  V 2 p  +  + gh  = F , +  = F ou +  ∂t ∂x  2 ∂t ∂x  2 ρ   (34) em que h=p/γ. EXERCÍCIO: Prove que a equação 34 é a forma conservativa da equação 12. Solução O primeiro termo do primeiro membro da equação 12 e o termo fonte (segundo membro) são idênticos aos respectivos termos da equação 34. O restante pode ser avaliado como exposto a seguir: ∂  V 2 p  1 ∂V 2 ∂ (p / ρ) 1 ∂V 1 ∂p ∂V 1 ∂p + = + = 2V + =V + . Sendo assim, ∂x  2 ρ  2 ∂x ∂x ∂x ρ ∂x ∂x ρ ∂x 2 ∂V + ∂t ∂V V ∂ x  V + 1 ∂p =F⇒. ρ ∂x Aqui termina a prova.฀ ∂V 1 ∂V 2 = ∂x 2 ∂x Uma maneira de escrever a equação da continuidade com a forma conservativa consiste em isolar hx na equação da quantidade de movimento e utilizar este resultado na equação da continuidade (hx = derivada de “h” em relação a “x”). O resultado obtido com a equação 12, multiplicando-a por V/g, é: V F V ∂V V 2 ∂V ∂h − =V − . Substituindo na equação 11 escrita em termos de h, g g ∂t g ∂x ∂x ∂h a 2 ∂V ∂h = 0 , vem + +V ∂x g ∂x ∂t ∂h V ∂V V 2 ∂V a 2 ∂V F = −V . + − − g g ∂x g ∂x ∂t g ∂t 71 Pode-se verificar que: V ∂V 1 ∂V 2 = g ∂t 2g ∂t e V 2 ∂V 1 ∂V 3 = g ∂x 3g ∂x . Portanto: F V 3  V 2  ∂  a 2 ∂  V h = −V . − + − 3g  g 2g  ∂x  g ∂t  (35) Empregando a forma vetorial conservativa para as equações 34 e 35, escreve-se: ∂q ∂t + ( )=s ∂f q ∂x em que s , (36) é o vetor com os termos fonte e: 2  h − V q= 2g  V    a 2 V / g − V 3 /(3g )  F − V    , s =  . , = f  2   g  g  V / 2 + gh     Até aqui, observe que foram utilizadas as grandezas H (carga piezométrica), p (pressão) e h = p/γ (carga de pressão). As equações diferenciais parciais escritas com essas diferentes grandezas podem ser encontradas na Tabela 2 a seguir. Tabela 2 – Equações escritas com H, p e h Descrição 2a Lei de Newton Conservação de Massa 2 H = carga piezométrica [m] Equações 9 e 10. ∂H  a ∂V  ∂H =0 + senα  + + V ∂t  g ∂x  ∂x ∂V ∂V ∂H fV V +V +g + =0 ∂t ∂x ∂x 2D p = pressão [N/m²] Equações 11 e 12. ∂p ∂p ∂V + V + ρa 2 =0 ∂t ∂x ∂x ∂V ∂V 1 ∂p +V + =F ∂t ∂x ρ ∂x h = carga de pressão. Equações ∂h a 2 ∂V ∂h =0 + +V ∂x g ∂x ∂t ∂h ∂V ∂V =F +g +V ∂x ∂x ∂t Forma conservativa. ∂  V 2  ∂  a 2 V 3  F − + − h V = −V     ∂t  2g  ∂x  g 3g  g  ∂V ∂  V 2 +  + gh  = F ∂t ∂x  2  Notas: F = −gsenα − fV V /( 2D) . As equações também podem ser escritas em termos da vazão, com V=Q/A. Método de Lax-Friedrichs O método de Lax-Friedrichs, que recebe esse nome em homenagem aos seus autores, pode ser escrito para a equação vetorial conservativa (equação 36) como apresentado a seguir: q in +1 = ( ) [ ] sn + sn 1 n ∆t f (q )in+1 − f (q )in−1 + ∆t i +1 i −1 . q i +1 + q in−1 − 2 2∆x 2 (37) Observe que o método é explícito, isto é, a incógnita (em n+1) pode ser calculada diretamente. Uma média é utilizada para o cálculo do termo fonte. Como critério de estabilidade, o número de Courant deve ser menor ou igual à unidade: 72 C = ∆t V ±a ∆x . (38) Assumindo que V/a tenda a zero, o espaçamento da malha temporal pode ser estimado com base no valor do espaçamento da malha espacial e da celeridade das ondas de pressão sem a necessidade de verificar, a cada instante, o número de Courant no domínio computacional. Sendo assim, adotando C=1, tem-se: ∆t = ∆x . a (39) Método de MacCormack O esquema numérico de MacCormack (1969) é um método do tipo previsor-corretor de dois passos e de segunda ordem tanto no tempo quanto no espaço. O algoritmo deste código é relativamente simples, como exposto a seguir: 1) Passo previsor: Adota-se uma aproximação avançada para a derivada espacial para calcular a derivada temporal no instante n e, em seguida, utiliza-se esta derivada para calcular q em t+∆t. O resultado obtido desta forma é identificado com uma barra superior. () n () f q n −f q n  ∂q  i +1 i   =− + sin ,  ∂t  ∆x   (40) n  ∂q   ∆t q n +1 = q n +   i i  ∂t  . (41) 2) Passo corretor: O valor predito calculado com a equação 41 é utilizado para calcular a derivada temporal de q em n+1. Para tanto, adota-se uma discretização atrasada para a derivada espacial. Esta alternância entre derivadas avançadas e atrasadas produz um método de segunda ordem. Com este resultado, efetua-se uma média entre as derivadas temporais calculadas em n e n+1 para que seja efetuado o cálculo final de q, em n+1.  ∂q     ∂t    n +1 =− q in +1 = q in + f in +1 − f in−+11 + s in +1 , ∆x n n +1    ∂q   1  ∂ q  .   +   ∂t   ∆t 2  ∂t      (42) (43) 73 O mesmo critério de estabilidade pode ser empregado. Sobre as condições de contorno, aquelas desenvolvidas anteriormente são de primeira ordem, o que pode afetar a ordem de precisão do método nos contornos. Entretanto, de acordo com a experiência, Chaudhry (2008) afirma que esta prática não implica propagar a ordem de precisão inferior para os nós internos. Deste modo, as equações características podem se empregadas nos contornos em conjunto com os métodos de volumes finitos descritos. Outra estratégia consiste em usar extrapolações de primeira ordem ou de segunda ordem. Código para solução das equações Solucionar problemas em regime variável com o uso de uma planilha pode não ser viável devido às dificuldades com a construção da planilha, interpretação dos dados e excessivo uso de memória do computador. Um código em linguagem FORTRAN, C, Octave, Matlab® ou outra linguagem, entretanto, permite com certa facilidade visualizar a evolução de V e p (ou H, h), gerar envoltórias com mínimos e máximos, entre outras opções. Adotamos uma linguagem que pode ser adaptada para Octave (software gratuito parecido com o Matlab), Scilab e Matlab®. A seguir é apresentado o código e comentários elucidativos. Note-se que neste código foram inseridos os três métodos apresentados anteriormente. Foram inseridos também dados do Exemplo 3.1 de Wylie e Streeter (1978, p.38-41) para que o leitor possa comparar a solução obtida com a solução desses autores. Figura 7 – Reservatório-conduto-válvula (em escala): zr - z1 = 150 m, L=600 m, D = 0,50 m 1) Contornos: 1.1) Montante. Reservatório com nível constante e zr – z1 = 150 m. 1.2) Jusante. Válvula com fechamento de acordo com τ = (1 − t 1,5 ) , tf (44) 74 em que tf = tempo de fechamento, igual a 2,1 s para esta lei de fechamento. Tau é definido a seguir e possibilita calcular a evolução temporal do produto entre o coeficiente de vazão e a área da válvula. (C d A v ) t  ⇒ (C d A v ) = (C d A v ) 0 (1 − )1,5 , para 0 ≤ t ≤ 2,1 s τ = tf (C d A v ) 0  Se t > 2,1 s então (C A ) = 0. d v  (45) Tabela 3 - Código para solução das EDPs com os três métodos estudados clear %MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM HIDRÁULICA. %AUTORES: André Luiz Andrade Simões, Harry Edmar Schulz e Rodrigo de Melo Porto %Código para o cálculo de H(x,t) e Q(x,t) para um sistema do tipo %reservatório-conduto-válvula. Métodos numéricos: %Lax-Friedrichs,Características,MacCormack. L=600;%Comprimento do tubo Nx=600;%Número de nós no tubo dx=L/(Nx-1);%Espaçamento entre nós do eixo x tt=5;%Tempo total de simulação Nt=6001;%Número de nós no eixo temporal dt=tt/(Nt-1);%Espaçamento entre nós do eixo temporal Io=0.0;%Parte de F, que representa a declividade do conduto. g=9.8;%Aceleração da gravidade E=200e9;%Módulo de elasticidade do material do tubo K=1.75e9;%Módulo de elasticidade do fluido D=0.50;%Diâmetro do tubo A=pi*0.25*D^2;%Área da seção transversal do conduto f=0.018;%0.02%Fator de resistência de Darcy-Weisbach r=1000;%Massa específica do líquido k=1;%Coeficiente que depende da relação de Poisson esp=0.02;%Espessura da parede do tubo %Para escolha de um dos três métodos: opmet=0; opmet = menu('Escolha o método','Lax-Friedrichs', ... 'Características','MacCormack'); %Cálculo de a (celeridade das ondas de pressão): a=sqrt((K/r)/(1+K*D*k/(E*esp))) dxa=dx/a dt Courant=dt*a/dx if dt>dxa fprintf('Critério de estabilidade violado') end %Declarações de vetores e matrizes: x=zeros(1,Nx); 75 %Variáveis primitivas: Q=zeros(Nx,Nt);%Matriz com Nx linhas e Nt colunas e elementos iguais a zero H=zeros(Nx,Nt); if opmet==1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % %%%%%%%%%%%%%%%--MÉTODO DE LAX-FRIEDRICHS--%%%%%%%%%%%%%%% % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %componentes dos vetores: q1=zeros(Nx,Nt); q2=zeros(Nx,Nt); f1=zeros(Nx,1); f2=zeros(Nx,1); s1=zeros(Nx,1); s2=zeros(Nx,1); %Condições Iniciais: %Vazão em regime permanente: zr=150; %Cota do nível d'água no reservatório em relação ao eixo do tubo, isto é, com z1 = 0 (ver desenho). CdA0=0.009; %Produto entre o coeficiente de vazão e a área para t=0; Q0=(zr*2*g/(f*L/(D*A^2)+1/(CdA0^2)))^0.5; %Vazão calculada para t=0; H0=Q0^2/(CdA0^2*2*g);%H(x=L,t=0) n=1;%n=1 corresponde ao tempo t=0 (condição inicial). for i=1:Nx x(i)=(i-1)*dx; Q(i,n)=Q0; H(i,n)=zr-((Q0^2)/(2*g*A^2))*(f*x(i)/D); q1(i,n)=H(i,n)-Q0^2/(2*g*A^2); q2(i,n)=Q0/A; f1(i,1)=(a^2/g)*q2(i,n)-(q2(i,n)^3)/(3*g); f2(i,1)=q2(i,n)^2+g*q1(i,n); s1(i,1)=-q2(i,n)*(Io-f*q2(i,n)^2/(2*g*D)); s2(i,1)=g*(Io-f*q2(i,n)^2/(2*g*D)); end %Visualização da condição inicial H(0,x): plot(x,H(:,1)) pause() T=0;%Tempo, necessária para o laço a seguir**. 76 H(1,:)=zr;%H em x=1 e para todos os instantes (o nível d'áfua no reservatório é constante). for t=dt:dt:tt n=n+1 T=T+dt;%Tempo**. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %CONDIÇÕES DE CONTORNO: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %ESQUERDO (ENTRADA-RESERVATÓRIO): %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Característica negativa: Cmenos=Q(2,n-1)/A+g*(Io-f*Q(2,n-1)*abs(Q(2,n-1))/(2*g*D*A^2))*dt(g/a)*H(2,n-1); Q(1,n)=A*(Cmenos+g*zr/a); %Uma vez calculados Q e H, deve-se calcular as componentes dos vetores: q2(1,n)=Q(1,n-1)/A; q1(1,n)=H(1,n-1)-q2(1,n-1)*(q2(1,n-1))/(2*g); f1(1,1)=(a^2/g)*q2(1,n-1)-(q2(1,n-1)^3)/(3*g); f2(1,1)=q2(1,n-1)*(q2(1,n-1))+g*q1(1,n-1); s1(1,1)=-q2(1,n-1)*(Io-f*q2(1,n-1)*abs(q2(1,n-1))/(2*g*D)); s2(1,1)=g*(Io-f*q2(1,n-1)*abs(q2(1,n-1))/(2*g*D)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %DIREITO (SAÍDA-VÁLVULA): %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if T<=2.1 CdA=CdA0*(1-T/2.1).^1.5; Cmais=Q(Nx-1,n-1)/A+g*(Io-f*Q(Nx-1,n-1)*abs(Q(Nx-1,n1))/(2*g*D*A^2))*dt+(g/a)*H(Nx-1,n-1); Q(Nx,n)=CdA*(sqrt((a^2)*(CdA^2)/(A^2)+2*a*Cmais)-a*CdA/A); H(Nx,n)=(a/g)*(Cmais-Q(Nx,n)/A); else CdA=0; Cmais=Q(Nx-1,n-1)/A+g*(Io-f*Q(Nx-1,n-1)*abs(Q(Nx-1,n1))/(2*g*D*A^2))*dt+(g/a)*H(Nx-1,n-1); Q(Nx,n)=CdA*(sqrt((a^2)*(CdA^2)/(A^2)+2*a*Cmais)-a*CdA/A); H(Nx,n)=(a/g)*(Cmais-Q(Nx,n)/A); end 77 q2(Nx,n)=Q(Nx,n-1)/A; q1(Nx,n)=H(Nx,n-1)-q2(Nx,n-1)*(q2(Nx,n-1))/(2*g); f1(Nx,1)=(a^2/g)*q2(Nx,n-1)-(q2(Nx,n-1)^3)/(3*g); f2(Nx,1)=q2(Nx,n-1)*(q2(Nx,n-1))+g*q1(Nx,n-1); s1(Nx,1)=-q2(Nx,n-1)*(Io-f*q2(Nx,n-1)*abs(q2(Nx,n-1))/(2*g*D)); s2(Nx,1)=g*(Io-f*q2(Nx,n-1)*abs(q2(Nx,n-1))/(2*g*D)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %SOLUÇÃO PARA OS NÓS INTERNOS: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for i=2:Nx-1 q1(i,n)=0.5*(q1(i+1,n-1)+q1(i-1,n-1))-(0.5*dt/dx)*(f1(i+1,1)f1(i-1,1))+0.5*dt*(s1(i+1,1)+s1(i-1,1)); q2(i,n)=0.5*(q2(i+1,n-1)+q2(i-1,n-1))-(0.5*dt/dx)*(f2(i+1,1)f2(i-1,1))+0.5*dt*(s2(i+1,1)+s2(i-1,1)); end for i=2:Nx-1 f1(i,1)=(a^2/g)*q2(i,n)-(q2(i,n)^3)/(3*g); f2(i,1)=q2(i,n)*(q2(i,n))+g*q1(i,n); s1(i,1)=-q2(i,n)*(Io-f*q2(i,n)*abs(q2(i,n))/(2*g*D)); s2(i,1)=g*(Io-f*q2(i,n)*abs(q2(i,n))/(2*g*D)); Q(i,n)=A*q2(i,n); H(i,n)=q1(i,n)+(q2(i,n)*(q2(i,n)))/(2*g); end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % %%%%%%%%%%%%%%--MÉTODO DAS CARACTERÍSTICAS--%%%%%%%%%%%%%% % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% else if opmet==2 %Condições Iniciais: %Vazão em regime permanente: zr=150; %Cota do nível d'água no reservatório em relação ao eixo do tubo CdA0=0.009; %Produto entre o coeficiente de vazão e a área para t=0; Q0=(zr*2*g/(f*L/(D*A^2)+1/(CdA0^2)))^0.5; %Vazão calculada para t=0; H0=Q0^2/(CdA0^2*2*g);%H(x=L,t=0) 78 n=1; for i=1:Nx x(i)=(i-1)*dx; Q(i,n)=Q0; H(i,n)=zr-((Q0^2)/(2*g*A^2))*(f*x(i)/D); end plot(x,H(:,1)) pause() T=0; H(1,:)=zr;%H em x=1 e para todos os instantes for t=dt:dt:tt n=n+1 T=T+dt;%Tempo %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %CONDIÇÕES DE CONTORNO: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %ESQUERDO (ENTRADA-RESERVATÓRIO): %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Característica negativa: %Q(1,n)=Q(2,n-1)+(zr-H(2,n-1)-(f*dx/(2*g*D*A^2))*Q(2,n-1)*abs(Q(2,n1)))/(a/(g*A)); Cmenos=Q(2,n-1)/A+g*(Io-f*Q(2,n-1)*abs(Q(2,n-1))/(2*g*D*A^2))*dt(g/a)*H(2,n-1); Q(1,n)=A*(Cmenos+g*zr/a); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %DIREITO (SAÍDA-VÁLVULA): %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if T<=2.1 CdA=CdA0*(1-T/2.1).^1.5; Cmais=Q(Nx-1,n-1)/A+g*(Io-f*Q(Nx-1,n-1)*abs(Q(Nx-1,n1))/(2*g*D*A^2))*dt+(g/a)*H(Nx-1,n-1); Q(Nx,n)=CdA*(sqrt((a^2)*(CdA^2)/(A^2)+2*a*Cmais)-a*CdA/A); H(Nx,n)=(a/g)*(Cmais-Q(Nx,n)/A); else CdA=0; Cmais=Q(Nx-1,n-1)/A+g*(Io-f*Q(Nx-1,n-1)*abs(Q(Nx-1,n1))/(2*g*D*A^2))*dt+(g/a)*H(Nx-1,n-1); 79 Q(Nx,n)=CdA*(sqrt((a^2)*(CdA^2)/(A^2)+2*a*Cmais)-a*CdA/A); H(Nx,n)=(a/g)*(Cmais-Q(Nx,n)/A); end %SOLUÇÃO PARA OS NÓS INTERNOS: for i=2:Nx-1 Q(i,n)=0.5*(Q(i-1,n-1)+Q(i+1,n-1))+0.5*dt*g*A*(Io-f*Q(i-1,n1)*abs(Q(i-1,n-1))/(2*g*D*A^2)... +Io-f*Q(i+1,n-1)*abs(Q(i+1,n1))/(2*g*D*A^2))+(g*A/(2*a))*(H(i-1,n-1)-H(i+1,n-1)); H(i,n)=0.5*(H(i-1,n-1)+H(i+1,n-1))+0.5*a*dt*(Io-f*Q(i-1,n1)*abs(Q(i-1,n-1))/(2*g*D*A^2)... -Io+f*Q(i+1,n-1)*abs(Q(i+1,n1))/(2*g*D*A^2))+(a/(2*g*A))*(Q(i-1,n-1)-Q(i+1,n-1)); end end else if opmet==3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % %%%%%%%%%%%%%%%%%--MÉTODO DE MACCORMACK--%%%%%%%%%%%%%%%%% % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %componentes dos vetores: q1=zeros(Nx,Nt); q2=zeros(Nx,Nt); f1=zeros(Nx,1); f2=zeros(Nx,1); s1=zeros(Nx,1); s2=zeros(Nx,1); %Derivadas: dq1=zeros(Nx,1); dq2=zeros(Nx,1); dqp1=zeros(Nx,1); dqp2=zeros(Nx,1); %Condições Iniciais: %Vazão em regime permanente: zr=150; %Cota do nível d'água no reservatório em relação ao eixo do tubo CdA0=0.009; %Produto entre o coeficiente de vazão e a área para t=0; Q0=(zr*2*g/(f*L/(D*A^2)+1/(CdA0^2)))^0.5; %Vazão calculada para t=0; H0=Q0^2/(CdA0^2*2*g);%H(x=L,t=0) n=1; 80 for i=1:Nx x(i)=(i-1)*dx; Q(i,n)=Q0; H(i,n)=zr-((Q0^2)/(2*g*A^2))*(f*x(i)/D); q1(i,n)=H(i,n)-Q0^2/(2*g*A^2); q2(i,n)=Q0/A; f1(i)=(a^2/g)*q2(i,n)-(q2(i,n)^3)/(3*g); f2(i)=q2(i,n)^2+g*q1(i,n); s1(i)=-q2(i,n)*(Io-f*q2(i,n)^2/(2*g*D)); s2(i)=g*(Io-f*q2(i,n)^2/(2*g*D)); end plot(x,H(:,1)) pause() T=0; H(1,:)=zr;%H em x=1 e para todos os instantes for t=dt:dt:tt n=n+1 T=T+dt;%Tempo %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %CONDIÇÕES DE CONTORNO: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %ESQUERDO (ENTRADA-RESERVATÓRIO): %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Característica negativa: Cmenos=Q(2,n-1)/A+g*(Io-f*Q(2,n-1)*abs(Q(2,n-1))/(2*g*D*A^2))*dt(g/a)*H(2,n-1); Q(1,n)=A*(Cmenos+g*zr/a); %Uma vez calculados Q e H, deve-se calcular as componentes dos vetores: q2(1,n)=Q(1,n-1)/A; q1(1,n)=H(1,n-1)-q2(1,n-1)*(q2(1,n-1))/(2*g); f1(1)=(a^2/g)*q2(1,n-1)-(q2(1,n-1)^3)/(3*g); f2(1)=q2(1,n-1)*(q2(1,n-1))+g*q1(1,n-1); s1(1)=-q2(1,n-1)*(Io-f*q2(1,n-1)*abs(q2(1,n-1))/(2*g*D)); s2(1)=g*(Io-f*q2(1,n-1)*abs(q2(1,n-1))/(2*g*D)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %DIREITO (SAÍDA-VÁLVULA): %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 81 if T<=2.1 CdA=CdA0*(1-T/2.1).^1.5; Cmais=Q(Nx-1,n-1)/A+g*(Io-f*Q(Nx-1,n-1)*abs(Q(Nx-1,n1))/(2*g*D*A^2))*dt+(g/a)*H(Nx-1,n-1); Q(Nx,n)=CdA*(sqrt((a^2)*(CdA^2)/(A^2)+2*a*Cmais)-a*CdA/A); H(Nx,n)=(a/g)*(Cmais-Q(Nx,n)/A); else CdA=0; Cmais=Q(Nx-1,n-1)/A+g*(Io-f*Q(Nx-1,n-1)*abs(Q(Nx-1,n1))/(2*g*D*A^2))*dt+(g/a)*H(Nx-1,n-1); Q(Nx,n)=CdA*(sqrt((a^2)*(CdA^2)/(A^2)+2*a*Cmais)-a*CdA/A); H(Nx,n)=(a/g)*(Cmais-Q(Nx,n)/A); end q2(Nx,n)=Q(Nx,n)/A; q1(Nx,n)=H(Nx,n)-q2(Nx,n)*(q2(Nx,n))/(2*g); f1(Nx)=(a^2/g)*q2(Nx,n)-(q2(Nx,n)^3)/(3*g); f2(Nx)=q2(Nx,n)*(q2(Nx,n))+g*q1(Nx,n); s1(Nx)=-q2(Nx,n)*(Io-f*q2(Nx,n)*abs(q2(Nx,n))/(2*g*D)); s2(Nx)=g*(Io-f*q2(Nx,n)*abs(q2(Nx,n))/(2*g*D)); %FIM DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO %SOLUÇÃO PARA OS NÓS INTERNOS: %Passo preditor: for i=2:Nx-1 dq1(i,1)=-(f1(i+1)-f1(i))/dx+s1(i); dq2(i,1)=-(f2(i+1)-f2(i))/dx+s2(i); q1(i,n)=q1(i,n-1)+dq1(i,1)*dt; q2(i,n)=q2(i,n-1)+dq2(i,1)*dt; end f1(2:Nx-1)=(a^2/g)*q2(2:Nx-1,n)-(q2(2:Nx-1,n).^3)/(3*g); f2(2:Nx-1)=q2(2:Nx-1,n).*(q2(2:Nx-1,n))+g*q1(2:Nx-1,n); s1(2:Nx-1)=-q2(2:Nx-1,n).*(Io-f*q2(2:Nx-1,n).*abs(q2(2:Nx1,n))/(2*g*D)); s2(2:Nx-1)=g*(Io-f*q2(2:Nx-1,n).*abs(q2(2:Nx-1,n))/(2*g*D)); Q(2:Nx-1,n)=A.*q2(2:Nx-1,n); H(2:Nx-1,n)=q1(2:Nx-1,n)+(q2(2:Nx-1,n).*(q2(2:Nx-1,n)))/(2*g); %Passo corretor: for i=2:Nx-1 82 dqp1(i,1)=-(f1(i)-f1(i-1))/dx+s1(i); dqp2(i,1)=-(f2(i)-f2(i-1))/dx+s2(i); end for i=2:Nx-1 q1(i,n)=q1(i,n-1)+0.5*(dq1(i,1)+dqp1(i,1))*dt; q2(i,n)=q2(i,n-1)+0.5*(dq2(i,1)+dqp2(i,1))*dt; end f1(2:Nx-1)=(a^2/g)*q2(2:Nx-1,n)-(q2(2:Nx-1,n).^3)/(3*g); f2(2:Nx-1)=q2(2:Nx-1,n).*(q2(2:Nx-1,n))+g*q1(2:Nx-1,n); s1(2:Nx-1)=-q2(2:Nx-1,n).*(Io-f*q2(2:Nx-1,n).*abs(q2(2:Nx1,n))/(2*g*D)); s2(2:Nx-1)=g*(Io-f*q2(2:Nx-1,n).*abs(q2(2:Nx-1,n))/(2*g*D)); Q(2:Nx-1,n)=A.*q2(2:Nx-1,n); H(2:Nx-1,n)=q1(2:Nx-1,n)+(q2(2:Nx-1,n).*(q2(2:Nx-1,n)))/(2*g); end end end end result=0; while result~=6 %RESULTADOS: result=menu('Vizualização dos resultados:','Animação de H(x,t)',... 'Animação de H(x,t)/max(H) e Q(x,t)/max(Q)','H(L,t)',... 'Envoltória de valores máximos','Envoltória de valores mínimos',... 'Sair'); if result==1 for n=1:1:Nt plot(0:dx:L,H(:,n)) xlabel('x'); ylabel('H'); xlim([min(min(0)) L]) ylim([min(min(H)) max(max(H))]) grid on Mo=getframe; end else if result==2 for n=1:11:Nt plot(0:dx:L,H(:,n)/max(max(H)),0:dx:L,Q(:,n)/max(max(Q))) xlabel('x'); ylabel('H/Hmáx e Q/Qmáx'); 83 xlim([min(min(0)) L]) ylim([-1 1]) grid on Mo=getframe; end else if result==3 %Gráficos de H(L,t), H(...): plot(0:dt:tt,H(Nx,:)) xlabel('t [s]') ylabel('H(L,t) [m] - em x = L') pause() plot(0:dt:tt,H(Nx/2,:)) xlabel('t [s]') ylabel('H(L/2,t) [m] - em x = L/2') pause() else if result==4 %Envoltória com valores máximos de H: MaxH=zeros(Nx,1); for i=1:Nx MaxH(i,1)=max(H(i,:)); end plot(x,MaxH) xlabel('x') ylabel('max(H(t))') pause() else if result==5 %Envoltória com valores mínimos de H: MinH=zeros(Nx,1); for i=1:Nx MinH(i,1)=min(H(i,:)); end plot(x,MinH) xlabel('x') ylabel('min(H(t))') pause() end end end end end end 84 A Figura 8 contém resultados calculados com o método das características e com o código de Wylie e Streeter (1978) e os resultados obtidos com o código elaborado aqui, calculados com os três métodos estudados. Observe a excelente concordância entre as soluções. Tendo como referência o método de segunda ordem, MacCormack, foram calculados erros relativos máximos, que resultaram em valores menores que 2,5% para H(t,L). As vazões calculadas com os diferentes métodos também apresentaram excelente sobreposição, como pode ser visto na Figura 7b, para a extremidade inicial do conduto. Cabe mencionar também que o número de Courant deve ser próximo da unidade. Para Courant > 1, as instabilidades numéricas podem impedir os cálculos. Para Courant < 1, o método das características apresentado não resultará na solução correta. 0,6 300 Método de Lax-Friedrichs Método das características Método de MacCormack Método das características (Wylie e Streeter) 0,5 0,4 Q(t,0) [m³/s] H(t,L) [m] 200 100 Método de Lax-Friedrichs Método das características Método de MacCormack Método das características (Wylie e Streeter) 0 0 1 2 3 0,3 0,2 0,1 0 0 1 2 3 4 5 -0,1 4 5 t [s] -0,2 t [s] (a) (b) Figura 8 – Comparação entre os resultados obtidos com os três métodos descritos e resultados calculados com o código de Wylie e Streeter (1978): (a) Carga piezométrica em x = L (posição da válvula) e (b) vazão em x = 0 Sugere-se explorar, com o Matlab®, os outros meios de visualização de resultados, como envoltórias com valores mínimos e máximos e a animação dos resultados, Q e H, em função do tempo e do espaço. Essas opções estão programadas no código elaborado. A Figura 9 permite ver as variáveis H e Q no plano espaço-tempo. Observa-se mais uma vez que os métodos apresentaram soluções próximas. Veja também a consistência dos resultados por meio desses gráficos, com H constante em x = 0, sua oscilação ocasionada pelo fechamento da válvula, a vazão, Q, decrescente em x = L e a sua oscilação devido à reflexão no reservatório de nível constante. H(x,t) Q(x,t) 5 280 5 4.5 260 4.5 4 240 4 3.5 2 t [s] t [s] 180 0.35 0.3 0.25 3 200 2.5 0.4 3.5 220 3 0.45 0.2 2.5 0.15 2 160 1.5 0.1 1.5 0.05 140 1 1 0 120 0.5 0.5 -0.05 100 0 0 100 200 300 x [m] 400 500 600 0 0 100 200 300 x [m] 400 500 600 Lax-Friedrichs 85 H(x,t) Q(x,t) 5 280 5 4.5 260 4.5 4 240 4 3.5 t [s] t [s] 180 0.35 0.3 0.25 3 200 2.5 0.4 3.5 220 3 0.45 0.2 2.5 0.15 2 2 160 0.1 1.5 1.5 0.05 140 1 1 0 120 0.5 0 0.5 100 0 100 200 300 x [m] 400 500 0 600 -0.05 0 100 200 H(x,t) 300 x [m] 400 500 600 Q(x,t) 280 5 4.5 260 4.5 4 240 4 5 3.5 2 t [s] 180 0.4 0.35 0.3 0.25 3 200 2.5 0.45 3.5 220 3 t [s] Método das características 0.2 2.5 0.15 2 160 1.5 MacCormack 0.1 1.5 0.05 140 1 1 0 120 0.5 0.5 -0.05 100 0 0 100 200 300 x [m] 400 500 600 0 0 100 200 300 x [m] 400 500 600 Figura 9 – Faixas de nível para H e Q calculadas com os três métodos H alcançou valores quase duas vezes iguais ao valor hidrostático. Pressões tão elevadas podem provocar vazamentos e até mesmo o rompimento do conduto. Para que isto não ocorra, o tempo de fechamento da válvula deve ser maior ou algum dispositivo de proteção deve ser especificado. Pensando sobre esse problema, cabe destacar um princípio básico associado aos meios de proteção, a saber: Deve-se aumentar o tempo de anulação da vazão para reduzir as amplitudes das pressões. Para estudar esse comportamento, escolha um dos métodos numéricos (ou os três) e modifique o tempo de fechamento da válvula de 2,1 s para 1,5 s. A solução com o método de LaxFriedrichs, para H(t, L), pode ser vista na Figura 10a. Observe valores de H maiores que 350 m e valores negativos. Se estes assumirem valores iguais à pressão de vapor do líquido, ocorrerá a mudança de fase para o estado vaporoso. Para visualizar esse fenômeno, acesse a referência [1] 4 e assista ao vídeo “Effects of Fluid Compressibility”, que apresenta a mudança de fase e uma separação entre partes do escoamento denominada como “ruptura da veia líquida”. Você encontrará esse trecho do vídeo após 4 min e 30 s a partir do início do vídeo. Para ilustrar o comportamento de H junto à válvula para um fechamento instantâneo, foi realizada uma simulação com CdA=0 para t > 0. O resultado pode ser visto na Figura 10b. H máximo alcançou três vezes a carga hidrostática de 150 m. As pressões negativas excederam o 4 Ver em: <http://www.iihr.uiowa.edu/research/publications-and-media/films-by-hunter-rouse/>. Acesso em 25 fev. 2016. 86 limite fisicamente correto, com -141 mH2O (lembre que neste exemplo H=h). É interessante observar também H e Q no plano espaço tempo, como nas Figuras 10c e d. 400 500 X: 1.01 Y: 354.8 350 400 300 H(L,t) [m] - em x = L H(L,t) [m] - em x = L 300 250 200 150 100 200 100 0 50 X: 2.284 Y: -4.562 -100 0 -50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [s] 3 3.5 4 4.5 -200 5 0 0.5 1 1.5 H(x,t) 2.5 t [s] 3 3.5 4 4.5 5 (b) Q(x,t) 5 400 5 0.4 4.5 350 4.5 0.3 4 300 4 250 3.5 0.1 3 t [s] 150 2.5 0.2 3.5 200 3 t [s] 2 (a) 0 2.5 100 2 -0.1 2 50 1.5 1.5 -0.2 1 -0.3 0 1 -50 0.5 0 -100 0 100 200 300 x [m] 400 500 600 0.5 0 -0.4 0 100 200 300 x [m] 400 500 600 (c) (d) Figura 10 – Solução para um tempo de fechamento igual a 1,5 s (a) e fechamento instantâneo (b). Faixas de nível para H e Q, simuladas para o fechamento instantâneo (c e d) Para pensar, discutir e fazer Foi mencionado anteriormente que o princípio básico de proteção dos sistemas hidráulicos contra o golpe de aríete está atrelado ao tempo de anulação da vazão. Resolva novamente o problema anterior (reservatório-conduto-válvula-saída livre) especificando uma lei de fechamento escalonada, i.e., uma lei que feche a válvula com sucessivos degraus, como na Figura a seguir. Observe o comportamento das pequenas ondas produzidas com esse fechamento. Se o tempo de fechamento total da válvula for inferior a 2L/a, que é o tempo de ida e retorno da onda, a manobra é classificada como manobra rápida. Neste caso, a onda refletida pelo reservatório chegará à válvula após o seu fechamento completo. Se o tempo de fechamento total da válvula for maior que 2L/a, a onda refletida pelo reservatório regressará à válvula antes do seu fechamento completo, produzindo, desse modo, um alívio na pressão máxima em relação ao fechamento rápido. Essa é classificação para o fechamento lento. Em sistemas hidráulicos de grande porte, deve ser evitado o uso de certas válvulas que tenham mecanismo de operação capaz de permitir o fechamento rápido. O emprego de válvulas de gaveta, por exemplo, pode ser adequado porque essas válvulas não podem ser rapidamente fechadas. 87 -3 9 x 10 8 7 Lei de fechamento 6 5 4 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Tempo 3 3.5 4 4.5 5 Figura 11 – Lei de fechamento da válvula Considerações finais Com a conclusão deste capítulo e considerando o escopo do livro, encerramos os estudos sobre métodos computacionais aplicados aos escoamentos em condutos forçados. Dois problemas introdutórios sobre escoamento variável foram resolvidos com diferentes métodos numéricos e recursos computacionais, explorando, deste modo, o modelo rígido e o modelo elástico. Nas próximas páginas estudaremos aplicações aos escoamentos em superfície livre. 88 89 CAPÍTULO 4 ESCOAMENTO EM SUPERFÍCIE LIVRE: REGIME PERMANENTE A seção transversal parabólica pode ser uma aproximação útil para canais naturais. 90 Introdução: Equações de resistência Em condutos forçados a seção transversal do escoamento mostra que a interface existente é aquela entre fluido e sólido (as paredes do conduto). Escoamentos em superfície livre em canais apresentam seção transversal com interface entre líquido e estrutura (fundo e paredes do canal) e entre líquido e gás (água e ar, por exemplo). Esta interação, entre líquido e gás, é facilmente deformável, condição que sugere o termo superfície livre (“livre para sofrer deformações”). Nesses casos, os escoamentos podem ocorrer em canais artificiais, que possuem as mais variadas formas, e canais naturais, em geral com formas ainda mais complexas. As leis físicas básicas escritas para volumes de controle continuam sendo válidas para estudos de escoamentos em canais e o cálculo da energia dissipada pode ser realizado com a equação de Darcy-Weisbach, desde que o diâmetro seja substituído pelo diâmetro hidráulico e as restrições de sua dedução sejam atendidas. Apesar disso, é provável que a dificuldade em identificar adequadamente valores para a rugosidade absoluta equivalente das superfícies de canais não faça dessa equação a mais empregada. De outro modo, a equação de Manning ou Manning-Strickler possui um coeficiente de resistência que foi vinculado ao longo dos anos a diversos tipos de coberturas encontradas na prática, sendo uma das equações mais utilizadas para escoamentos e canais. Esse modelo, entretanto, deve ser visto com atenção, sobretudo porque o referido coeficiente não é adimensional e, em geral, é apresentado como um coeficiente de resistência dependente apenas da aspereza da superfície, independente da estrutura interna do escoamento (lembre que o fator de atrito de Darcy-Weisbach é adimensional e uma função da rugosidade relativa e do número de Reynolds). Além do escoamento uniforme em canais, são observados mais frequentemente escoamentos com variações graduais da altura de escoamento ao longo do espaço. Outra forma possível é a ocorrência de bruscas mudanças no espaço, como o ressalto hidráulico. Nos dois casos, a modelagem matemática clássica assume a independência com o tempo, empregando valores médios para as grandezas de interesse. Uma condição mais avançada, do ponto de vista físico e matemático, é a de escoamento variado e variável. Esses são assuntos abordados nos capítulos da segunda parte do livro. Os escoamentos estudados neste capítulo ocorrem em regime permanente. São desenvolvidos métodos computacionais para resolver a equação de Manning aplicada a canais com diferentes seções transversais, assim como a equação da quantidade de movimento linear, para o ressalto hidráulico em condutos de seção circular. Incluiremos também soluções da equação de Darcy-Weisbach para o regime uniforme. Mais uma vez, recomendase a leitura de textos com os conceitos fundamentais sobre o tema, como Porto (2006). 91 Equações de resistência e seções transversais Antoine de Chezy (1718-1798), engenheiro e matemático nascido na França, foi provavelmente o primeiro a propor uma equação de resistência para escoamentos em canais. A sua equação é: V = C R h Io ou Q = AC R h I o . (1) Nesta equação, V é a velocidade média, Rh o raio hidráulico, Io a declividade de fundo, Q a vazão e C o coeficiente de Chezy. A equação de Darcy-Weisbach pode ser escrita com a seguinte forma para escoamentos em canais ou condutos com seções não circulares: If = f Q2 V2 =f P, 4R h 2g 8A 3g (2) em que If = perda de carga unitária, igual a Io para condição de escoamento uniforme. Comparando as equações 1 e 2, torna-se possível interpretar o coeficiente C de Chezy: C= 8g f . (3) Deve-se observar com atenção que: (1) O coeficiente C não é adimensional. (2) Assim como f, C é função do número de Reynolds e da rugosidade relativa. A conhecida fórmula de Manning, citada anteriormente, pode ser escrita da seguinte maneira: V= 1 2/3 Rh Io n . (4) Comparando-a com a fórmula de Chezy, conclui-se que: V= R 1/ 6 1 2/3 R h Io = C R h Io ∴ n = h . n C (5) Considerando a equação 4 e os valores práticos do coeficiente n de Manning, conclui-se que a mesma só pode ser aplicada aos escoamentos turbulentos hidraulicamente rugosos, para os quais C não é função do número de Reynolds. Nota-se também que n não é adimensional, 92 exigindo certa atenção quanto ao uso da equação de Manning e o sistema de unidades adotado para expressar os valores de n. A equação de Darcy-Weisbach não possui tais restrições. Equacionamentos para diferentes seções transversais As equações anteriores contêm as seguintes grandezas vinculadas à forma da seção transversal: Área molhada, A, e o raio hidráulico, Rh, que é definido como o resultado da divisão da área molhada pelo perímetro molhado, P. Deste modo, torna-se necessário escrever as formulações para as diferentes formas dos canais, como exposto neste item. Considere a seção transversal trepeziforme da Figura 1. Figura 1 – Seção trapezoidal assimétrica A área molhada, A, é escrita inicialmente com a seguinte forma: A = (B + b ) h h = (b + x1 + x 2 + b ) 2 2 Observe que tgθ1 = A = [2b + h ( Z1 + Z 2 )] h 2 , com B = b + x1 + x2. h 1 h = Z1h . Sendo assim, = , portanto, x1 = tgθ1 x1 Z1 , em que, h é a altura de escoamento e b a largura de fundo. (6) 93 O cálculo do perímetro molhado pode ser desenvolvido como exposto a seguir: P = b + L1 + L 2 = b + h 2 + x12 + h 2 + x 22 = b + h 2 + h 2 Z12 + h 2 + h 2 Z 22 = Lembre que o perímetro molhado corresponde ao contato entre líquido e sólido, não incluindo a superfície livre. L1 e L2 são as hipotenusas definidas nas paredes laterais do canal. Para esta dedução foi necessário o teorema de Pitágoras. Simplificando a escrita, obtém-se: P = b + h 1 + Z12 + 1 + Z 22  .   (7) O raio hidráulico é igual a A/P, portanto: h [2b + h ( Z1 + Z 2 )] A 2 . Rh = = P b + h 1 + Z 2 + 1 + Z 2   1 2    (8) O regime de escoamento (supercrítico ou subcrítico) pode ser determinado com o número de Froude (equação 9), que requer o conhecimento da largura de topo, B (equação 10). Fr = V gH m , (9) em que Hm é a altura média, definida como Hm = A/B. B = b + h ( Z1 + Z 2 ) . (10) Outras formulações podem ser escritas, como a altura de escoamento como solução da equação para a área molhada (equação 11) e a profundidade do centroide (equação 12). Esses equacionamentos são relevantes para elaboração dos códigos do regime não permanente. h= − b + b 2 + 2( Z1 + Z 2 )A Z1 + Z 2 . (11) 94 h= h2 [h ( Z1 + Z 2 ) + 3b] . 6A (12) A seção transversal circular também é relevante e encontra aplicações, entre outros casos, em sistemas de transporte de águas pluviais e esgoto sanitário. Com base na Figura 2, as formulações para as grandezas geométricas são apresentadas a seguir. Figura 2 – Seção circular A área molhada é igual à soma: área do segmento     A = A círculo − (A setor − A triângulo ) = ... 2 θR 2 R 2 senθ R 2  2π − θ  2  R senθ  2 2 ... = πR 2 −  R R = π − π + − = (θ − senθ) R +  − 2  2 2 2  2   Isto é, a área molhada é igual à área do círculo menos a área do setor circular mais a área do triângulo ou, a área do círculo menos a área do segmento circular de uma base. A= D2 (θ − senθ) . 8 (13) Observe que θ é adimensional (rad). Atenção ao utilizar a calculadora. Alguns modelos seguem a seguinte simbologia: gra = grado ou deg = grau. 95 O perímetro molhado é a medida do arco maior, isto é, P= θD 2 . (14) Altura de escoamento pode ser escrita com a seguinte forma: h= D [1 − cos(θ / 2)] . 2 (15a) Desta equação, conclui-se que: θ = 2 arccos(1 − 2h / D) . (15b) A largura de topo é igual à corda, R cos(θ / 2 − π / 2) = B / 2 ⇒ B = D cos(θ / 2 − π / 2) = D[cos(θ / 2) cos(π / 2) + sen (θ / 2)sen (π / 2)] = Dsen (θ / 2) . B = Dsen (θ / 2) . (16) Altura da superfície livre até o centroide é calculada como exposto a seguir. A média ponderada dos valores de y é: y = ∫ Rsen ( θ / 2 ) ∫ R²−x² − Rsen ( θ / 2 ) R cos( θ / 2 ) ydydx = 2 R ³sen ³(θ / 2) . 3 A altura desde o centro do círculo até o centroide do segmento: y= y A h=h− = 4Rsen ³(θ / 2) . 3(θ − senθ) Sendo assim, 1 − cos(θ / 2) 1 2sen ³(θ / 2)   1 2sen ³(θ / 2)  D 2Dsen ³(θ / 2)  = D − + = h − D − +  2 2 3(θ − senθ)  2 3(θ − senθ)   2 3(θ − senθ)  Portanto, h cos(θ / 2) 2sen ³(θ / 2) =− + . D 2 3(θ − senθ) (17) 96 Em alguns casos, as seções transversais de rios e canais não revestidos assumem formas que se aproximam de parábolas. Para uma seção desse tipo, como na Figura 3, são apresentadas as equações para área molhada A, perímetro molhado P, largura de topo B e altura da superfície livre até o centroide. Figura 3 – Seção parabólica A parábola considerada é definida por y = ax2. Deste modo, a metade da área molhada é calculada como a área de um retângulo menos a área entre a curva e o eixo x: ∫ x A / 2 = xy − ydx = ax 3 − a 0 4 A(h ) = 3 a ∫ x 0 x 2 dx = ax 3 − a 2 3/ 2 x 3 2a 3 2 2 = y ⇒ x = ax x = 3 3 3 3 a h 3/ 2 , (18) com y = h. A inclinação da reta tangente à parábola varia linearmente com x. A cotangente “m” indicada no desenho é m −1 = dy 1 1 = 2ax ⇒ m = = ou dx 2ax 2 a y A(h ) = 3 4 1 8 h 3 / 2 = mh 2 . 3 a= 1 2m h . Assim, pode-se escrever: (19) 2m h Sendo x = Bm/2 a metade da largura de topo máxima vinculada ao valor de m (que pode ser relacionado à estabilidade do canal) e hm a altura de escoamento máxima correspondente a esta largura, 97 m= 2 hm 1 1 = ⇒ a= . Com esta formulação, a área molhada passa a ser escrita Bm aB m 2 a h m como A(h ) = 2B m 3 hm h 3/ 2 . (20) Largura de Topo: B= 2 h = a 2 h a . (21) Pode-se escrever B em função de A também. Seja B= 3A 2 h a = 4 3/ 2 h , 3A então, . (22) O cálculo do perímetro molhado é, entre todos aqui apresentados, o mais elaborado matematicamente, embora simples. Com o teorema de Pitágoras, escreve-se dP (elemento infinitesimal de P) da seguinte maneira: 2  dy  dP = dx 2 + dy 2 = 1 +   dx . Integrando (lembre que integrar é o mesmo que somar):  dx  P/2 = ∫ x 1 + 4a 2 x 2 dx = 0 2ax 1 + 4a 2 x 2 + senh −1 (2ax ) . 4a (23) Você pode encontrar a solução desta integral em tabelas de integrações ou códigos como o Mathematica® (no software completo ou até mesmo no “online integrator”, uma versão simplificada e gratuita). Vejamos algumas formas de representar o perímetro molhado: P= ln(2ax + 1 + 4a 2 x 2 ) 2ax 1 + 4a 2 x 2 + senh −1 (2ax ) = x 1 + 4a 2 x 2 + = 2a 2a P(h ) = h a 1 + 4ah + ln(2 a h + 1 + 4ah ) 2a h a 1 + 4ah + ln(2 a h + 1 + 4ah ) 2a 2 2 2 2   , ou, P(h ) = B  1 + 4 h2 + B ln(4 h + 1 + 4 h2 ) . 2  B 4h B B   98 Em termos de m:  P 1 = 2Φ ∴ Φ =  1 + m 2 + m 2 ln  1 + 1 + m 2 h m     .     (24) Com a definição de raio hidráulico, sem dificuldades, escreve-se: Rh 4 m = . h 3Φ (25) A profundidade do centroide é: y=h= 2 h 5 (26) O seu produto com a área molhada pode ser relevante em balanços de quantidade de movimento e forças, portanto, escreve-se: Ah = 4B m 15 h m h5/ 2 . (27) A Tabela 1 contém parte das formulações apresentadas e seções que podem ser obtidas a partir da seção trapezoidal assimétrica. Tabela 1 – Resumo com informações geométricas Forma da seção transversal Área molhada Perímetro molhado A = [2b + h ( Z1 + Z 2 )] h 2 Altura de escoamento, h = h(A): h= Raio hidráulico − b + b 2 + 2( Z1 + Z 2 )A P = b + h  1 + Z12 + 1 + Z 22    Rh = Largura de topo [2b + h ( Z1 + Z 2 )](h / 2) b + h  1 + Z12 + 1 + Z 22    B = b + h ( Z1 + Z 2 ) Altura da superfície livre ao centroide h= h2 [h ( Z1 + Z 2 ) + 3b] 6A Z1 + Z 2 Trapézio assimétrico A = (b + hZ)h Altura de escoamento, h = h(A): h= Trapézio isósceles (Z1 = Z2 = Z) P = b + 2h 1 + Z 2 − b + b 2 + 4ZA 2Z A = ( Z1 + Z 2 ) h2 2 Altura de escoamento, h = h(A): h= 2A Z1 + Z 2 P = h  1 + Z12 + 1 + Z 22    Rh = Rh = (b + hZ)h b + 2h 1 + Z 2 ( Z1 + Z 2 )(h 2 / 2) h  1 + Z12 + 1 + Z 22    B = b + 2hZ h= h2 (2hZ + 3b) 6A B = h ( Z1 + Z 2 ) h= h2 [h ( Z1 + Z 2 )] 6A Seção triangular (b = 0) A= D2 (θ − senθ) 8 P= θD 2 Rh = D senθ (1 − ) 4 θ B = Dsen (θ / 2) h cos(θ / 2) 2sen ³(θ / 2) =− + D 2 3(θ − senθ) Seção circular A= Seção parabólica (y = ax²) 4h 3 / 2 3 a 2 ou A = Bh 3 P= ... + h a 1 + 4ah + ... ln(2 a h + 1 + 4ah ) 2a Rh = A P B= 3A 2 h h= 2 h 5 Problema 4 – Escoamento uniforme em canais Problema 4.1 – Planilha para cálculo de h em função de b: Trapézio O objetivo deste problema é desenvolver uma planilha capaz de calcular a altura de escoamento ou a largura de fundo para condição de escoamento uniforme e em regime permanente. A planilha deve resolver problemas envolvendo canais com seções trapezoidais utilizando a equação de Manning e a equação de Darcy-Weisbach. Deve calcular também valores de h para diferentes larguras de fundo, b, simultaneamente. Para ilustrar o uso da planilha, adote b entre 1,0 m e 6,0 m e os dados a da Tabela 2. Tabela 2 – Dados para os cálculos do problema 4.1 Z1 Z2 n Io Q g ε ν [-] 1,5 [-] 1,5 [sm-1/3 ] 0,014 [m/m] 0,0001 [m³/s] 10 [m/s²] 9,8 [m] 0,001 [m²/s] 0,000001 Nota: O valor de ε adotado representa uma superfície de concreto com acabamento normal. Esse número pode variar de 1 mm a 3 mm de acordo com Porto (2006). O mesmo autor apresenta também valores de n, com n = 0,014 para revestimento de concreto em boas condições. Solução Inicialmente, as equações de Manning e Darcy-Weisbach foram reescritas com o intuito de definir funções-objetivo: nQ FM = Io FDW = P 2 / 3 − A 5 / 3 = 0 (Equação de Manning). f Q 8g I o P − A3 = 0 (Equação de Darcy-Weisbach). O cálculo do fator de resistência de Darcy-Weisbach é realizado com a equação de Swamee, apresentada no capítulo 1. Nesta equação, deve-se empregar: Re = 4Q νP e ε . 4R h 101 O trecho da planilha eu emprega a equação de Manning é apresentado na Figura 4a. A coluna 1 contém o cálculo do termo que não mudará em função de h ou b. A coluna 2 contém os valores de h. As diferentes larguras de fundo foram inseridas nas células da coluna 3. Com os dados anteriores e essas informações é possível calcular a área molhada (coluna 4), o perímetro molhado (coluna 5), a largura de topo (coluna 7), a altura média (coluna 8), a velocidade média (coluna 9) e o número de Froude (coluna 10). Os seus valores, entretanto, estarão incorretos até que o solver resolva o problema de acordo com a função objetivo, que foi digitada na coluna 6. A planilha apresentada na Figura 4b realiza os cálculos com a equação de DarcyWeisbach. Sobre esta planilha, deve-se observar que: O número de Reynolds está na coluna 5 e a rugosidade relativa na coluna 7. Com essas informações é possível calcular o fator de cisalhamento, o que é realizado na coluna 8. A coluna 14 contém o adimensional capaz de avaliar se o escoamento é hidraulicamente liso, de transição ou rugoso. 1 nQ/Io 2 h [m] 2,55 2,41 2,28 2,16 2,05 1,95 1,85 1,77 1,69 1,62 1,56 1/2 14,00 1 h [m] 2,54 2,40 2,27 2,15 2,04 1,93 1,84 1,76 1,68 1,61 1,55 2 b [m] 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 3 A [m²] 12,24 12,24 12,25 12,28 12,32 12,38 12,46 12,54 12,64 12,75 12,86 3 b [m] 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 4 P [m] 10,17 10,15 10,18 10,24 10,34 10,47 10,64 10,84 11,06 11,31 11,57 4 A [m²] 12,34 12,33 12,34 12,37 12,42 12,48 12,56 12,66 12,76 12,87 12,99 5 Re [-] 3,93E+06 3,94E+06 3,93E+06 3,91E+06 3,87E+06 3,82E+06 3,76E+06 3,69E+06 3,62E+06 3,54E+06 3,46E+06 5 P [m] 10,21 10,19 10,21 10,28 10,38 10,51 10,68 10,88 11,10 11,35 11,62 6 Rh [m] 1,20 1,21 1,20 1,20 1,19 1,18 1,17 1,16 1,14 1,13 1,11 7 ε/(4Rh ) [-] 2,08E-04 2,07E-04 2,08E-04 2,09E-04 2,10E-04 2,11E-04 2,14E-04 2,16E-04 2,19E-04 2,22E-04 2,25E-04 6 FM = 0 7 B [m] 8,66 8,73 8,83 8,97 9,14 9,34 9,56 9,81 10,08 10,37 10,68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 f [-] 0,0142 0,0141 0,0142 0,0142 0,0142 0,0142 0,0142 0,0143 0,0143 0,0144 0,0144 9 FDW 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2E-12 -1E-06 10 B [m] 8,63 8,70 8,80 8,94 9,11 9,30 9,53 9,77 10,04 10,33 10,64 8 Hm [m] 1,42 1,41 1,40 1,38 1,36 1,34 1,31 1,29 1,27 1,24 1,22 11 Hm [m] 1,42 1,41 1,39 1,37 1,35 1,33 1,31 1,28 1,26 1,23 1,21 9 V [m/s] 0,81 0,81 0,81 0,81 0,81 0,80 0,80 0,79 0,78 0,78 0,77 12 V [m/s] 0,82 0,82 0,82 0,81 0,81 0,81 0,80 0,80 0,79 0,78 0,78 13 Fr [-] 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,23 0,23 0,23 10 Fr [-] 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 (a) 14 f1/2 Reε/Dh 97,16 97,21 97,14 96,95 96,66 96,27 95,80 95,26 94,66 94,01 93,33 (b) 102 (c) Figura 4 – Solução do problema: (a) Equação de Manning. (b) Equação de Darcy-Weisbach. (c) Solver A configuração do solver é ilustrada na Figura 4c. O uso de restrições permite zerar as células que contêm as funções objetivo. Neste caso, devido à organização da planilha, as células variáveis (colunas com valores de h) podem ser adicionadas como indicado, utilizando-se o ponto e vírgula para separar colunas com células variáveis. Vale lembrar que apenas uma célula pode ser digitada no primeiro campo, denominado “Definir Objetivo”. A análise dos resultados, auxiliada com a Figura 5, mostra que para as condições adotadas as formulações não resultam em diferenças significativas para os valores de h em função de b. Os resultados da coluna 14 da Figura 4b indicam a ocorrência de um escoamento em transição para plena turbulência, mas as variações em f foram pequenas (ver capítulo 2 de PORTO, 2006). 3,0 Manning h [m] Darcy-Weisbach 2,0 1,0 1,0 2,0 3,0 b [m] 4,0 5,0 6,0 Figura 5 – Comparação entre os resultados obtidos com as diferentes formulações 103 Problema 4.2 – Escoamento uniforme: Seção circular Elabore uma tabela semelhante à Tabela 8.1 do livro Hidráulica Básica, de Porto (2006, p.253), com intervalos de 0,005 entre os valores de h/D. Apresente também os resultados sob a forma de um gráfico que relacione h/D em função de K1 (coeficiente de forma). Com os dados apresentados a seguir, calcule a altura de escoamento, h, empregando a tabela proposta e o recurso solver do Excel®. n Io Dados g -1/3 [m/m] 0,005 [m/s²] 9,8 [m s] 0,013 Q D [m³/s] 0,65 [m] 0,900 Solução Observe que para valores de M e D conhecidos, calcula-se K1 com a forma reduzida da equação de Manning, isto é, K1 = M/D. A tabela mencionada e o valor do coeficiente de forma (K1) possibilitam calcular h/D, sendo esta a sua principal aplicação. Para a construção da tabela, é empregado o seguinte procedimento: Com os valores de h/D, que variam de 0,005 a 0,995 para os resultados apresentados aqui, é possível calcular os valores de θ e K1 correspondentes. Os resultados podem ser vistos na Tabela 3 e Figura 6. Definições: 5  nQ   M=  I  o   3/8 ,  θ − senθ  1 − senθ / θ  2 / 3  K1 =     8 4     5 Ver inferência em Porto, 2006. 3/8 (Coeficiente de forma). 104 Tabela 3 – Solução do Problema 4.2 h/D 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085 0,090 0,095 0,100 0,105 0,110 0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 0,145 0,150 K1 0,014 0,024 0,033 0,042 0,050 0,058 0,066 0,073 0,080 0,087 0,094 0,101 0,108 0,114 0,121 0,127 0,133 0,139 0,145 0,151 0,157 0,163 0,169 0,175 0,180 0,186 0,191 0,197 0,202 0,208 h/D 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175 0,180 0,185 0,190 0,195 0,200 0,205 0,210 0,215 0,220 0,225 0,230 0,235 0,240 0,245 0,250 0,255 0,260 0,265 0,270 0,275 0,280 0,285 0,290 0,295 0,300 K1 0,213 0,218 0,224 0,229 0,234 0,239 0,244 0,249 0,254 0,259 0,264 0,269 0,274 0,279 0,283 0,288 0,293 0,297 0,302 0,306 0,311 0,316 0,320 0,324 0,329 0,333 0,338 0,342 0,346 0,350 h/D 0,305 0,310 0,315 0,320 0,325 0,330 0,335 0,340 0,345 0,350 0,355 0,360 0,365 0,370 0,375 0,380 0,385 0,390 0,395 0,400 0,405 0,410 0,415 0,420 0,425 0,430 0,435 0,440 0,445 0,450 K1 0,355 0,359 0,363 0,367 0,371 0,375 0,379 0,383 0,387 0,391 0,395 0,399 0,403 0,407 0,411 0,415 0,418 0,422 0,426 0,430 0,433 0,437 0,440 0,444 0,448 0,451 0,455 0,458 0,462 0,465 h/D 0,455 0,460 0,465 0,470 0,475 0,480 0,485 0,490 0,495 0,500 0,505 0,510 0,515 0,520 0,525 0,530 0,535 0,540 0,545 0,550 0,555 0,560 0,565 0,570 0,575 0,580 0,585 0,590 0,595 0,600 K1 0,468 0,472 0,475 0,479 0,482 0,485 0,488 0,492 0,495 0,498 0,501 0,504 0,507 0,511 0,514 0,517 0,520 0,523 0,526 0,528 0,531 0,534 0,537 0,540 0,543 0,546 0,548 0,551 0,554 0,556 h/D 0,605 0,610 0,615 0,620 0,625 0,630 0,635 0,640 0,645 0,650 0,655 0,660 0,665 0,670 0,675 0,680 0,685 0,690 0,695 0,700 0,705 0,710 0,715 0,720 0,725 0,730 0,735 0,740 0,745 0,750 K1 0,559 0,562 0,564 0,567 0,569 0,572 0,574 0,577 0,579 0,582 0,584 0,586 0,589 0,591 0,593 0,596 0,598 0,600 0,602 0,604 0,606 0,608 0,610 0,612 0,614 0,616 0,618 0,620 0,622 0,624 h/D 0,755 0,760 0,765 0,770 0,775 0,780 0,785 0,790 0,795 0,800 0,805 0,810 0,815 0,820 0,825 0,830 0,835 0,840 0,845 0,850 0,855 0,860 0,865 0,870 0,875 0,880 0,885 0,890 0,895 0,900 K1 0,626 0,627 0,629 0,631 0,633 0,634 0,636 0,637 0,639 0,640 0,642 0,643 0,645 0,646 0,647 0,649 0,650 0,651 0,652 0,653 0,654 0,655 0,656 0,657 0,658 0,659 0,660 0,660 0,661 0,661 h/D 0,905 0,910 0,915 0,920 0,925 0,930 0,935 0,940 0,945 0,950 0,955 0,960 0,965 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 K1 0,662 0,662 0,663 0,663 0,663 0,664 0,664 0,664 0,664 0,664 0,663 0,663 0,662 0,661 0,661 0,659 0,658 0,656 0,653 105 1,0 0,8 h/D 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 K1 Figura 6 – h/D em função de K1 A segunda parte do problema proposto consiste em calcular a altura de escoamento com dois métodos. Inicialmente, calcula-se M. Com M, K1 pode ser calculado e a Tabela 3 fornecerá o valor da relação h/D. O resumo dos resultados é apresentado a seguir: Solução com tabela ou gráfico M K1 ~ h/D h [m] 0,451 [-] 0,501 [-] 0,505 [m] 0,45 A planilha para uso do solver empregará os dados do problema e deve conter uma função objetivo, semelhante à empregada anteriormente, mas com equações para A e P compatíveis com a geometria do conduto. O trecho apresentado a seguir ilustra a planilha desenvolvida e o resultado obtido numericamente. Solução com o solver do Excel F(θ) = 0 θ h A nQ/Io [rad] [m] [m²] 0,1195 2,14E-08 3,1599 0,454 0,32 1/2 P [m] 1,42 Problema 4.3 – Escoamento uniforme: Seção parabólica Seções transversais parabólicas, quando se aproximam de seções naturais, podem simplificar sobremaneira os cálculos para o regime permanente e principalmente para escoamentos transitórios. Além disso, somente no vértice da parábola, que é o fundo da seção, ocorre a tensão de cisalhamento máxima. Apenas dois pontos da seção transversal possuem máxima declividade de talude e canais não muito profundos podem ser construídos para drenagem e irrigação, por exemplo, sendo escavados com lâminas fabricadas com perfis parabólicos (SOUZA, 1985). 106 Empregando os dados a seguir e as formulações desenvolvidas para seção parabólica, calcule a altura de escoamento com o solver. Utilize a equação de Darcy-Weisbach. Calcule também o número de Froude. Dados a 0,15987 Io [m/m] 0,001 Q [m³/s] 1 g [m/s²] 9,8 ε [m] 0,09 ν [m²/s] 0,000001 Fonte: Adaptado de Souza (1985) Solução Seguindo procedimentos semelhantes aos descritos anteriormente para elaboração de planilhas, foi desenvolvida a planilha que o leitor encontrará nos arquivos deste capítulo. A solução do problema é exposta a seguir. Inicialmente, h é desconhecido e todas as grandezas dependentes de h são calculadas com uma semente. Após o uso do solver, que tem h como célula variável, as grandezas calculadas com h são atualizadas assumindo valores corretos. O leitor pode verificar que m resulta próximo de 1,6, o que corresponde de forma aproximada a um pequeno canal escavado em argila firme, com m=1,5, segundo Chow (1959). h [m] 0,613 A [m²] 1,599 P [m] 4,158 Rh [m] 0,385 Solução ε/(4Rh ) Re f [-] [-] [-] 0,0585 9,62E+05 0,077 FDW 4E-07 B [m] 3,92 Hm [m] 0,40842 V [m/s] 0,625 Fr [-] 0,313 Problema 4.4 – Ressalto hidráulico em tubulações A aplicação da 2a lei de Newton em sua forma integral ao ressalto hidráulico em um canal horizontal e de seção retangular resulta na conhecida equação de Bélanger. O mesmo balanço (de forças e quantidade de movimento linear) realizado para uma seção trapezoidal não conduz a um equacionamento tão simples. Tal dificuldade é encontrada para seções circulares também. Neste problema, considere um ressalto hidráulico estabelecido em um canal com seção transversal circular, isto é, em um tubo e desenvolva um gráfico que relacione os adimensionais h2/h1, h1/D e Q2/(gD5), tendo como objetivo o cálculo das alturas conjugadas, h1 e h2. 107 Figura 7 – Ressalto hidráulico: Definições Solução O produto entre área molhada e profundidade do centroide pode ser escrito como: 3 D 3 A h =  senθ cos(θ / 2) + 2sen ³(θ / 2) − 3(θ / 2) cos(θ / 2) = ...  24 2 ... = [3sen (θ / 2) − sen ³(θ / 2) − 3(θ / 2) cos(θ / 2)] D3 24 Substituindo na definição de força específica, F(h), F(h ) =  1  Q2 Q2  192  + hA = D 3 + [3sen (θ / 2) − sen ³(θ / 2) − 3(θ / 2) cos(θ / 2)] .  5 gA 24  ( sen ) θ − θ  gD   Dividindo por D3, F(h ) D3 =  1  Q2  192  + [3sen (θ / 2) − sen ³(θ / 2) − 3(θ / 2) cos(θ / 2)] .  5 24  ( sen ) θ − θ  gD    2  2   Finalmente,  Q + h1A1 D −3 =  Q + h 2 A 2 D −3  gA1   gA 2  8 Q2 + [3sen (θ1 / 2) − sen ³(θ1 / 2) − 3(θ1 / 2) cos(θ1 / 2)]/ 24 = (θ1 − senθ1 ) gD 5 = 8 Q2 + [3sen (θ 2 / 2) − sen ³(θ 2 / 2) − 3(θ 2 / 2) cos(θ 2 / 2)]/ 24 (θ 2 − senθ 2 ) gD 5 θ2 θ2   θ2 θ2 θ1 θ1 θ1 θ1   3sen ( 2 ) − sen ³( 2 ) − 3( 2 ) cos( 2 ) − 3sen ( 2 ) − sen ³( 2 ) − 3( 2 ) cos( 2 )    =   gD 5 1 1 192 −   (θ1 − senθ1 ) (θ 2 − senθ 2 )  Q2 A equação anterior foi empregada para produzir as curvas da Figura 8. . 108 10 h1/D = 0,1 8 6 h2/h1 h1/D = 0,2 4 h1/D = 0,3 h1/D = 0,4 2 h1/D = 0,5 h1/D = 0,6 0 0 0,1 0,2 0,3 Q* 0,4 0,5 0,6 Figura 8 – Alturas conjugadas para um ressalto hidráulico em um tubo. Q* = Q/(gD5)1/2. Curvas semelhantes foram calculadas por Thiruvengadam (1961), citado por Sturm (2001) Problema 4.5 – Escoamento gradualmente variado: Canal com contração Conhecer a distribuição espacial das alturas de escoamento, h=h(x), é relevante para análises de escoamentos em regime permanente, como aqueles que ocorrem em canais de sistemas extravasores e a montante de barragens. É importante também para o estabelecimento correto de condições iniciais empregadas em simulações de escoamentos variáveis. Este problema tem como objetivo apresentar a equação diferencial ordinária do escoamento permanente gradualmente variado, com diferentes formas (para canais prismáticos, canal com largura variada e canal elevação de fundo), e desenvolver métodos computacionais para solução da referida equação. Inicialmente, considere um canal não prismático, isto é, as seções transversais a longo de x possuem formas diferentes (como em um canal retangular, por exemplo, com redução de largura ao longo de x). Mostre que: dh I o − I f + (αFr 2 / B)A x = , em que Hm = A/B, Fr2 = V2/(gHm), Ax = ∂A/∂x. dx cos θ − αFr 2 Solução A carga hidráulica total em uma seção localizada em x é H = z + h cos θ + α 2 V2 ou H = z + h cos θ + α Q 2 , utilizando a definição de vazão, Q = VA. 2g 2gA 109 A derivada de H em relação a x conduz à solução procurada, como exposto a seguir: dh d  Q 2  dH dz = + cos θ +  α . dx dx  2gA 2  dx dx A vazão é independente da posição ao longo do canal (regime permanente), assim como 2g. O coeficiente de Coriolis para um escoamento que não é completamente desenvolvido é normalmente função da posição ao longo do canal, uma vez que a forma do perfil de velocidades é função de x. Essa variação será desprezada neste problema. Deste modo, escreve-se: d  Q 2 α dx  2gA 2 2 2   = α Q d (A −2 ) = α Q d (A −2 ) dA = ...  2g dx 2g dA dx  . Q 2  ∂A ∂A dh  Q 2 ∂A Q 2 dh −α 3 B ... = −2α +  = −α 3  dx 2gA 3  ∂x ∂h dx  gA ∂x gA Substituindo o resultado obtido na equação anterior, escreve-se: dH dz dh Q 2 ∂A Q 2 dh dz dh  Q2  Q 2 ∂A = + cos θ − α 3 −α 3 B = +  cos θ − α 3 B  − α 3 . dx dx dx gA ∂x gA dx dx dx  gA  gA ∂x Resolvendo para dh/dx, dh = dx dH dz Q 2 ∂A − +α dx dx gA 3 ∂x cos θ − α Q2 gA 3 = B V 2 ∂A V 2 ∂A Io − If + α gH m B ∂x gAB / B ∂x = = 2 V V2 cos θ − α cos θ − α gA / B gH m Io − If + α dh I o − I f + (αFr 2 / B)A x = , dx cos θ − αFr 2 em que dH/dx = - If e dz/dx = -Io. Aqui termina a demonstração. Tabela 4 – Resumo das EDOs para o escoamento gradualmente variado. dh I o − I f + (αFr 2 / B)A x = dx cos θ − αFr 2 dh = dx I o − I f + α(Q 2 / gA 3 )h cos θ − αQ 2 b /(gA 3 ) db dx Canal íngreme de declividade constante e seção variada. Canal íngreme com largura variada: A=b(x)h(x). 110 Io − If dh = dx cos θ − αFr 2 dh I o − I f = dx 1 − αFr 2 Canal prismático de grande declividade, com p/γ=hcosθ. Canal prismático de fraca declividade, com p/γ=h. Como primeiro problema numérico, considera-se um canal retangular que possui um trecho com largura variada ao longo de x de acordo com a seguinte equação: b(x) = b(0) - k[sen(xπ/2)+1], com b(0) = 3,0 m e k = 0,3 m. Outros dados são fornecidos a seguir. Desprezando a dissipação de energia na transição e sabendo que o fundo é horizontal, desenvolva um código ou planilha para resolver a equação deduzida, empregando os dados deste problema. Apresente h=h(x) também para a condição limite sem alteração nas condições de escoamento a montante (escoamento crítico na seção de mínima largura sem modificação das condições de montante), o que pode ser avaliado por meio de modificações nos valores de k ou por meio do cálculo do seu valor crítico (como exposto na solução). Dados α [-] 1 Io [m/m] 0 g [m/s²] 9,8 Q [m³/s] 6 h(0) [m] 1,26 b(0) [m] 3 k [m] 0,3 b2 [m] 2,4 Com o intuito de visualizar a variação de b ao longo de x, foi produzida a imagem da Figura 9, que representa uma vista em planta baixa do canal, indicando as suas paredes laterais e a contração existente. 3,0 2,0 c1 b(x) c2 1,0 0,0 0,0 1,0 x [m] 2,0 3,0 Figura 9 – Canal estudado inicialmente. Solução A solução deste problema foi elaborada com o algoritmo de Runge-Kutta de 4ª ordem. O uso da equação diferencial requer o cálculo de db/dx, apresentado a seguir: 111 db d = {b(0) − k[sen ( x − π / 2) + 1]} = −k cos(x − π / 2) dx dx Para auxiliar a análise, escreve-se a equação de Bernoulli entre as seções 1 e 2, o que resulta  Q2  Q2  b 2 2    h = 0 . Essa equação possui duas soluções positivas, uma para + 1 +  2gb 22  2gb 22  b1h1    em h 32 − h 22  o regime subcrítico e outra para o escoamento supercrítico. Equação de Bernoulli: V2 V2 b h V2 V2  b h  h1 + 1 = h 2 + 2 . Com V1h1b1 = V2 h 2 b 2 , V1 = V2 2 2 ⇒ 1 = 2  2 2  2g 2g b1h1 2g 2g  b1h1  2 2 V2 V2  b h  h1 + 2  2 2  = h 2 + 2 . Com V2 = Q/(b 2 h 2 ) 2g  b1h1  2g h1 + 2  Q2  2  b 2  b2h 2  Q2 3 2 Q 2      h F ( h ) h h h =0 + = + ⇒ = − 2 2 2 2 1 +  2gb 22  2gb 22  b1h1  2g (b 2 h 2 ) 2 2g (b 2 h 2 ) 2  b1h1    Q2 A solução da EDO na extremidade de jusante da contração deve coincidir com a solução desta equação algébrica, para o regime de escoamento correspondente. Para os dados deste problema, h2 = 1,146 m. A Figura 10a contém parte da solução calculada com Runge-Kutta (ver planilha dos arquivos deste capítulo). Observe que o escoamento é subcrítico ao longo da extensão do canal, com número de Froude crescente (consequência do aumento da velocidade média ao longo de x). Veja também que para a condição de escoamento subcrítico, a redução da largura resulta em diminuição de h ao longo de x. As curvas da Figura 10b mostram a situação limite sem alterações do escoamento a montante, em x=0. 1,30 1,0 1,0 1,30 h(x) Fr(x) 1,25 0,8 1,20 0,5 1,20 0,8 1,15 0,3 1,10 0,0 0,5 1,00 0,90 h(x) Fr(x) h(x) Fr(x) h(x) 1,10 0,3 Fr(x) 0,0 1,0 x [m] 2,0 3,0 0,80 0,00 0,63 1,26 1,88 x [m] 2,51 0,0 3,14 (a) (b) Figura 10 – Solução da EDO com Runge-Kutta de 4ª ordem em uma planilha: (a) Dados do enunciado. (b) Condição crítica na seção 2 (saída) 112 O comportamento do perfil da superfície livre, h(x), para um escoamento supercrítico também pode ser estudado. Com a Figura 11, observe que h(x) cresce com a redução da largura, para Fr > 1. 0,90 2,0 1,8 0,80 1,8 1,6 0,70 1,4 0,50 1,2 h(x) 1,6 h(x) Fr(x) 0,60 1,4 Fr(x) 0,60 h(x) h(x) 0,70 2,0 Fr(x) 0,80 1,2 0,50 Fr(x) 0,40 0,00 0,63 1,26 x [m] 1,88 1,0 3,14 2,51 0,40 0,00 0,63 1,26 x [m] (a) Figura 11 – Análise do escoamento supercrítico 1,88 1,0 3,14 2,51 (b) Problema 4.6 – Cálculo da linha d’água com Runge-Kutta de 4ª ordem. Considere um canal trapezoidal, com b = 2,5 m, Z1 = 1,5, Z2 = 1,0, Io = 0,02. Esse canal transporta uma vazão de 5,7 m³/s. Uma comporta de fundo plana e vertical instalada em uma determinada seção produz uma altura de escoamento igual a 2,4 m a montante da comporta. O escoamento no canal é uniforme a montante da influência da comporta. Com base nesses dados e sabendo que o canal possui revestimento de concreto em condições más, calcule a rugosidade absoluta equivalente com a equação n = 0,039ε1/6 apresentada em Porto (2006, p.246), com unidade segundo o S.I.. Utilize a equação de Darcy-Weisbach e a equação de Swamee para o cálculo do fator de resistência e, com o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, desenvolva uma planilha para cálculo da linha d’água. Solução Este problema foi proposto com base no Exemplo 13.6 de Porto (2006). Deste modo, a elaboração da planilha segue a solução apresentada pelo referido autor. Inicialmente, os dados foram organizados na parte superior da planilha (veja o arquivo na pasta deste capítulo), como apresentado a seguir. O cálculo da rugosidade absoluta equivalente com a formulação citada resultou em aproximadamente 0,01 m. Z1 [-] 1,5 Z2 n [-] 1 -1/3 [sm ] 0,018 Io [m/m] 0,02 Dados Q [m³/s] 5,7 g θ ε ν [m/s²] 9,8 [rad] 0,02 [m] 0,01 [m²/s] 0,000001 113 Cálculo da altura de escoamento em regime uniforme: Empregando o método computacional descrito anteriormente, que utiliza o solver, foi determinada a altura de escoamento para condição uniforme, que resultou em 0,46 m. Outras grandezas relevantes do escoamento uniforme também são apresentadas a seguir. Observa-se que o número de Froude resultou maior que a unidade, indicando a ocorrência de um escoamento supercrítico neste canal para a condição uniforme. 1 h [m] 0,46 2 b [m] 2,5 3 A [m²] 1,41 4 P [m] 3,97 5 Re [-] 5,74E+06 Escoamento uniforme 6 7 8 Rh ε/(4Rh ) f [m] [-] [-] 0,35 7,06E-03 0,0338 9 FDW = 0 -1,01E-09 10 B [m] 3,64 11 Hm [m] 0,39 12 V [m/s] 4,05 13 Fr [-] 2,08 Cálculo da altura crítica de escoamento em canal trapezoidal assimétrico: O escoamento crítico ocorre para Fr = 1, portanto, pode-se escrever uma função objetivo F(hc) = 0 para o cálculo da altura crítica, como exposto a seguir: Fr = 1 = Q 3 gA / B ∴ F(h c ) = Q − gA 3 / B = 0 . O trecho da planilha responsável por realizar estes cálculos é apresentado com grandezas escritas com o índice c (crítico): Escoamento crítico (Fr = 1) 1 2 3 4 Bc F(hc)=0 hc Ac [m] [m²] [m] 0,714 2,42 4,28 0 Observe que hc > huniforme, portanto, o canal é de forte declividade e apenas curvas do tipo S podem ocorrer (S1, S2 e S3). Como a altura de escoamento a montante da comporta é igual a 2,40 m, dos estudos básicos sobre as curvas de remanso, conclui-se que ocorrerá uma curva do tipo S1 porque 2,40 m > hc > huniforme. Esta curva corresponde ao escoamento subcrítico, portanto, um ressalto hidráulico será estabelecido na transição do escoamento uniforme (Fr > 1) para o escoamento gradualmente variado (Fr < 1). Cálculo da altura conjugada de ressalto em canal trapezoidal assimétrico: 114 Seja huniforme = h1 (conjugado supercrítico do ressalto) e h2 o conjugado subcrítico. Como h1 é conhecido, o cálculo de h2 pode ser realizado. Para tanto, como o canal é trapezoidal assimétrico, utiliza-se a igualdade das forças específicas, F(h), com as formulações da geometria trapezoidal assimétrica apresentadas anteriormente. Empregando o solver com o objetivo de resolver F(h1) – F(h2) = 0, escreve-se: 1 h1 [m] 0,458 2 A1 [m] 1,41 Ressalto hidráulico no canal trapezoidal (F(h1 )-F(h2 )=0) 3 4 5 6 7 8 h1 F(h1 ) h2 A2 h2 F(h2 ) [m] [m] [m] [m] 0,21 2,66 1,0397 3,95 0,46 2,66 9 F(h 1 )-F(h 2 )=0 -5,48E-09 Nota: Nesta parte da planilha, F(hi), com i=1,2, representa força específica Até aqui concluímos os cálculos que antecedem a determinação do perfil da superfície livre do escoamento permanente gradualmente variado. A curva S1 deve ser computada desde h = 2,40 m (seção de controle localizada a jusante porque o escoamento é subcrítico) até h = h2 = 1,04 m, que é o conjugado subcrítico do ressalto hidráulico. Cálculo da linha d’água (perfil da superfície livre): O emprego do algoritmo de Runge-Kutta de 4ª ordem não apresenta dificuldades de implementação em uma planilha eletrônica, como aquela elaborada para este problema, desde que sejam observados alguns detalhes relativos a organização. Os cálculos com este método exigem determinações de valores de h intermediários e, consequentemente, valores de A, P, Rh, etc. correspondentes. Sendo assim, para facilitar a organização e identificação de possíveis erros decorrentes da digitação de equações muito extensas, sugere-se que sejam criadas colunas auxiliares. A organização das informações e inserção das equações foi realizada da seguinte forma: ∆x [m] -0,1 10 A (k) 10,5764 10,5591 1 x [m] 0 -0,1 2 3 4 5 6 7 hk hk+1/2 hk+1/2 hk+1 k1 k2 [m] [1] [2] [2] 2,40 2,39884 2,39884 2,397671 0,02328 0,02329 2,39767 2,39651 2,39651 2,395342 0,02329 0,02329 11 P (k) 9,13 9,12 12 13 14 15 16 17 Rh B Fr ε/Dh Re f (k) (k) (k) (k) (k) (k) 1,158725 7,40682 0,14407 0,00216 2,50E+06 0,0240 1,157786 7,401 0,14437 0,00216 2,50E+06 0,0240 20 21 22 23 24 25 26 Rh B Fr ε/Dh Re f P (k+1/2) (k+1/2) (k+1/2) (k+1/2) (k+1/2) (k+1/2) (k+1/2) 9,12 1,15826 7,40391 0,14422 0,00216 2,50E+06 0,0240 9,12 1,15732 7,39809 0,14451 0,00216 2,50E+06 0,0240 8 k3 9 k4 0,0233 0,0233 0,0232899 0,0232976 18 If (k) 0,0001 0,0001 19 A (k+1/2) 10,5677 10,5505 27 28 29 If A P (k+1/2) (k+1/2) (k+1/2) 0,0001 10,5677 9,12 0,0001 10,5505 9,12 (...) (...) (...) 115 30 31 32 33 34 35 Rh B Fr ε/Dh Re f (k+1/2) (k+1/2) (k+1/2) (k+1/2) (k+1/2) (k+1/2) 1,15826 7,40391 0,14422 0,00216 2,50E+06 0,0240 1,15732 7,39809 0,14451 0,00216 2,50E+06 0,0240 36 37 If A (k+1/2) (k+1) 0,0001 10,5591 0,0001 10,5419 40 41 42 43 44 ε/Dh Re f B Fr (k+1) (k+1) (k+1) (k+1) (k+1) 7,401 0,14437 0,00216 2,50E+06 0,0240 7,39518 0,14466 0,00216 2,50E+06 0,0240 38 P (k+1) 9,12 9,11 39 Rh (k+1) 1,15779 1,15685 (...) 45 If (k+1) 0,0001 0,0001 Figura 12 – Planilha para solução com Runge-Kutta de 4ª ordem O valor negativo de ∆x garante o cálculo correto da linha d’água subcrítica a partir de h = 2,40 m (a jusante). A Figura 13 contém o resultado obtido e uma representação da solução que inclui o escoamento uniforme e o ressalto hidráulico também. Com a planilha e todos os resultados calculados, o leitor pode verificar que o fator de resistência varou de 0,024 a 0,029. Neste caso, deve-se notar que a rugosidade relativa não é uma constante, pois envolve o diâmetro hidráulico, isto é, ε/Dh. 3,00 2,50 h [m] 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 -50 -40 -30 -20 x [m] -10 0 (a) (b) Figura 13 – Linha d’água (a) e a sua sobreposição à imagem que representa o escoamento uniforme supercrítico, seguido do ressalto, curva S1 e comporta (b) Fonte: Adaptado de Porto (2006, p.439). Considerações finais O regime permanente foi explorado com os exercícios deste capítulo. Essa aproximação para o escoamento encontra muitas aplicações em engenharia, como no projeto de canais para irrigação, canais para drenagem urbana, drenagem em condomínios ou casas, como aqueles em 116 tenhados e lajes; aplicações aos escoamentos em sistemas extravasores de barragens; canais empregados para medição de vazão, mistura de componentes químicos em estações de tratamento de água, entre outros casos. Além disso, em um próximo nível, está o escoamento variado e variável, tema estudado no capítulo seguinte. A formulação matemática do problema não permanente requer a imposição de condições iniciais, condições estas que podem ser calculadas com os métodos do presente capítulo. 117 CAPÍTULO 5 ESCOAMENTO EM SUPERFÍCIE LIVRE: ESCOAMENTO VARIÁVEL 3.6 x = L/2 3.5 3.4 h(L/2,t) [m] 3.3 3.2 3.1 3 2.9 2.8 2.7 2.6 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 3 Q(L/2,t) [m /s] Novamente, uma interessante curva de um fenômeno oscilatório. 30 118 Introdução Escoamentos variáveis dependem do tempo e escoamentos variados possuem grandezas que são funções do espaço. Este capítulo é dedicado aos escoamentos com características simultâneas de não uniformidade (escoamentos variados) e não permanência (escoamentos variáveis). Estudar um tema como esse possibilita analisar passagens de ondas de cheia em canais, o efeito da maré sobre o escoamento em um canal, a propagação de ondas originadas com a abertura ou fechamento de comportas em canais, a propagação de ondas resultantes da ruptura de barragens, entre outros casos. Tais estudos podem ser desenvolvidos essencialmente com dois tipos de modelagem: (1) Com a construção de modelos físicos – Modelagem Física; (2) Com o uso das leis básicas da física, relações constitutivas, métodos numéricos e equacionamentos complementares – Modelagem Matemática. Seguindo o escopo deste livro, estudaremos as leis físicas básicas escritas inicialmente para a simplificação unidimensional, o que resulta em equações diferenciais parciais não lineares, quase análogas às do golpe de aríete estudadas anteriormente. Essas equações, muito semelhantes ao sistema deduzido por Saint-Venant, recebem o seu nome em homenagem à importante contribuição de seus estudos. De outro modo, poderiam ser utilizadas as equações de Navier-Stokes com médias de Reynolds, a equação de conservação de massa e modelos de turbulência. A complexidade matemática e computacional, entretanto, ainda nos faz considerar as equações de Saint-Venant como um sistema adequado aos casos práticos que, em geral, devem ser avaliados com certa rapidez e aproximação compatível com as necessidades da engenharia. Equações de Saint-Venant Saint-Venant (1871) deduziu a equação 1, que possui como origem o princípio de conservação de massa, reduzido, neste caso, à conservação de volume: ∂A ∂ (uA) = 0, + ∂x ∂t em que, A = área molhada, u = velocidade média. (1) 119 A aplicação da 2a lei de Newton a um volume de controle selecionado em um canal, com uma entrada e uma saída, com paredes fixas e superfície livre deformável, resulta na equação 2. A sua dedução inclui as seguintes forças (componentes em x): peso, cisalhamento ao longo das paredes e fundo, forças sobre as superfícies planas submersas (entrada e saída), calculadas com distribuições hidrostáticas para canais de grande declividade (PORTO, 2006, capítulo 7). ( ) ∂ ∂ (uA ) β uAu + gA h cos α = gA(I o − I f ) . + ∂x ∂t (2) Nesta equação, β é o coeficiente de Boussinesq, g é a aceleração devido à gravidade, h é a profundidade do centro de gravidade da seção transversal, α é o ângulo entre o fundo do canal e a horizontal, Io = -dz/dx (z=cota do fundo) e If é a declividade da linha de energia. O uso das equações de Saint-Venant com If ≠ 0 normalmente é realizado com equações de resistência desenvolvidas para o regime permanente, como as equações de Darcy-Weisbach e Manning: If = f u|u| (Darcy-Weisbach) 8gR h If = n 2 u|u| R 4h / 3 (Manning) (3) (4) em que f é o fator de resistência de Darcy-Weisbach, Rh é o raio hidráulico e n é o coeficiente de rugosidade de Manning. Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797-1886) deduziu a equação 1 e uma equação semelhante à equação 2, publicando-as em 1871. As deduções destas equações podem ser encontradas em Chaudhry (1979, 2008) e Porto (2006). Por esse motivo, elas são conhecidas como equações de Saint-Venant. Solução numérica do sistema de equações A solução do sistema de equações apresentado é A(x,t) e Q(x,t). Grandezas derivadas a partir destas principais, como a altura de escoamento, h(x,t), a velocidade média, u(x,t), entre outras, podem ser obtidas após a solução. A forma empregada para a escrita das equações 1 e 2, que representam meios contínuos, é denominada forma conservativa, e o uso de métodos numéricos de volumes finitos, como o método de Lax-Friedrichs e o de MacCormack, possibilitam a captura de descontinuidades ou choques, que são soluções matemáticas no sentido fraco. 120 Soluções para geometrias complexas não podem ser calculadas atualmente com métodos analíticos, sendo necessário o uso de esquemas numéricos para transformação das equações originais em formas discretas, assim como estudado anteriormente (ver problema do golpe de aríete, por exemplo). Neste item será exposta uma síntese com o conteúdo necessário à solução de problemas práticos de engenharia, como a simulação de ondas de cheia, simulação de ondas originadas com o fechamento e abertura de comportas em canais, entre outros casos. O método de Lax é semelhante ao descrito no Capítulo 3. O método de MacCormack, entretanto, pode exigir a introdução de uma viscosidade artificial para atenuar oscilações numéricas. Por esse motivo, ele é descrito neste capítulo. Antes da apresentação dos métodos numéricos, observe que as equações de Saint-Venant podem ser escritas com uma única equação vetorial, cuja forma é: ∂q ∂t + ∂f =s, ∂x (5) A em que, q =   , denominado vetor das quantidades conservadas,  uA  q2   uA     2  =  q 2 f =  , g cos ( q ) β + αφ uAu gA h cos β + α 1    q   1   0   , que é o denominado vetor fluxo e s =   gAI o − gAI f  vetor com termos fonte. A função φ(q1) depende da forma da seção transversal. Método de MacCormack (1969) O esquema de MacCormack (1969) é um método do tipo “previsor e corretor” de dois passos que possui acurácia de segunda ordem tanto no tempo quanto no espaço. Este método é capaz de capturar ondas de choque e faz parte do conjunto de métodos de volumes finitos. Entre as aplicações relacionadas à hidráulica computacional, estão problemas com escoamentos compressíveis de aerodinâmica, escoamentos em condutos forçados e escoamentos em superfície livre em canais, com o cálculo de choques que representam o ressalto hidráulico, por exemplo. Além do seu uso para identificar a ocorrência de ressaltos hidráulicos, o trabalho de Anderson (1995) também apresentam aplicações ligadas à simulação de ondas de choque normais em bocais convergente-divergentes, ondas de expansão (leque de rarefação) e ondas de choque bidimensionais em placa plana. O desenvolvimento do código é relativamente simples e segue os seguintes passos: 121 1) Previsor. Adota-se uma aproximação avançada para a derivada espacial para calcular a derivada temporal no instante n e, em seguida, utiliza-se esta derivada para calcular q em t+∆t. O resultado obtido desta forma é identificado com uma barra superior. n  ∂q  fn −fn   = − i +1 i + s in ,  ∂t  ∆x   (6) n  ∂q  q in +1 = q in +   ∆t .  ∂t  (7) 2) Corretor. O valor predito calculado com a equação 7 é utilizado para calcular a derivada temporal de q em n+1. Para tanto, adota-se uma discretização atrasada para a derivada espacial. Esta alternância entre derivadas avançadas e atrasadas produz um método de segunda ordem. Com este resultado, efetua-se uma média entre as derivadas temporais calculadas em n e n+1 para que seja realizado o cálculo final de q em n+1.  ∂q     ∂t    q n +1 i n +1 = =− qn i f in +1 − f in−+11 ∆x + s in +1 , (8) n n +1   1  ∂ q   ∂ q   +   +    ∆t . 2  ∂t   ∂t    (9) Viscosidade artificial A solução obtida por um esquema de diferenças finitas contém erros dissipativos se o termo principal do erro local de truncamento possuir ordem par. Se neste erro existir um termo principal com ordem ímpar, então o esquema passa a ter erros dispersivos. Os erros dispersivos normalmente produzem oscilações nos resultados junto a ondas íngremes, o que pode provocar instabilidade numérica. Com o intuito de corrigir esta falha, utiliza-se normalmente uma viscosidade artificial, que neste texto é calculada pela seguinte equação, encontrada em Anderson (1995, p. 363): Sin = C x h in+1 − 2h in + h in−1 h in+1 + 2h in + h in−1 (q n i +1 − 2q in + q in−1 ). (10) em que Cx é um parâmetro arbitrário adimensional. Valores típicos para Cx estão compreendidos no intervalo 0,01 a 0,3, como explica Anderson (1995, p. 238) para o caso de escoamento 122 supersônico em bocais. Existem diferentes formulações para a viscosidade artificial. Esta escolha foi feita com base na experiência obtida com a solução do problema de localização de uma onda de choque normal no interior de um bocal convergente-divergente. De acordo com LeVeque (2004, p. 72), os primeiros a propor essa técnica foram Neumann e Richtmyer. O uso da viscosidade artificial altera o método de MacCormack para a seguinte forma: 1) Previsor. Deve-se somar a viscosidade calculada no tempo n quando for calculado q no passo previsor. Para o cálculo de cada componente q em n+1, deve-se somar a componente S correspondente (nota-se que há consistência dimensional nesta soma): n n +1 qi  ∂q  n = q i +   ∆t + Sin .  ∂t  (11) 2) Corretor. Deve-se somar a viscosidade calculada com base nos valores obtidos no passo previsor. q in +1 = q in + n n +1    ∂q   1  ∂ q  n   +   ∂t   ∆t + Si 2  ∂t       . (12) Condições iniciais e de contorno Se o trecho do canal a ser estudado estiver promovendo um escoamento uniforme, em t = 0, deve-se estabelecer ao longo de todo o domínio valores das grandezas relevantes calculadas para condição uniforme. Se o escoamento for gradualmente variado, a equação diferencial ordinária que modela o escoamento permanente gradualmente variado deverá ser resolvida para imposição adequada das condições iniciais. É possível também simular um escoamento variável a partir de uma condição de repouso, com Q(x,0) = 0. O sistema de equações descrito possui característica hiperbólica, assim como as equações do modelo elástico que modelam o golpe de aríete. Desta forma, em função dos sinais dos autovalores da matriz convectiva, as condições de contorno devem ser fixadas ou calculadas. Para um escoamento supercrítico junto à entrada, como aquele da Figura 1, as curvas características estarão direcionadas para o domínio e as condições de contorno devem ser fixadas com base em informações externas (dadas pelo usuário, com base em informações do problema que está sendo resolvido). Se o escoamento for supercrítico na saída, as curvas características estarão direcionadas para fora do domínio (como a seção indicada na Figura 1 localizada entre a comporta e o ressalto), condição que não permite a imposição de valores fixos como condições de contorno que contenham informações externas, sendo necessário o cálculo com base no que 123 ocorre nas vizinhanças internas do contorno. Isso pode ser realizado com as equações características ou com extrapolações, como apresentado nas soluções dos problemas deste capítulo. Se o escoamento for subcrítico, na entrada ou na saída, as curvas características apresentarão declividades opostas e apenas uma condição de contorno deverá ser fixada com base em informações externas. A outra será calculada com dados do nó adjacente ao contorno. Finalmente, a ocorrência do escoamento crítico faz com que um autovalor seja nulo (porque V - c = c - c = 0) e o outro positivo, porque V + c = c + c = 2c. Se a seção for de saída, a curva positiva exigirá o cálculo de uma variável com informações do domínio (realizando extrapolação ou o uso de uma equação característica positiva). A segunda, para declividade da característica igual a 0, será fixada com base no escoamento crítico. Se a seção for uma entrada, as duas informações serão externas. Figura 1 – Alguns possíveis domínios e seus contornos A seguir são resolvidos alguns problemas com o intuito de evidenciar características básicas de escoamentos variáveis. Em todos os casos, os dados compõem experimentos numéricos que não estão necessariamente vinculados a estruturas projetadas ou construídas. Os códigos propostos podem ser adaptados com certa facilidade a situações reais com a inclusão dos dados relativos ao canal e condições iniciais e de contorno apropriadas. Problema 5.1 – Escoamento variável em um canal: Propagação de uma onda de cheia. Considere um trecho de um canal trapezoidal assimétrico com L = 3000 m, Io = 0,0012 m/m, n = 0,020, b = 5 m, Z1 = Z2 = 1,5. Para condições normais de operação, o escoamento observado pode ser assumido como permanente e uniforme. Calcule, com as equações de SaintVenant em 1D, as grandezas do escoamento transitório provocado pela variação de vazão, Q(0,t) na entrada do canal (ver Tabela 1). Q(0,t) [m³/s] t [s] 8 0 Tabela 1 – Hidrograma do Problema 5.1. 10 16 28 48 34 23 16 600 900 1800 2700 3600 4800 5400 8 6600 8 12000 124 Solução O código possui três partes fundamentais: (1) pré-processamento; (2) processamento; (3) pós-processamento. O pré-processamento consiste em escrever os dados básicos relacionados ao canal e ao escoamento, como, por exemplo, o comprimento do canal e a largura de fundo. Informações como o hidrograma afluente, o tempo total de simulação, o espaçamento dos eixos temporal e espacial também devem ser inseridas. Nesse estágio, ainda como pré-processamento, alguns cálculos são realizados, como a interpolação do hidrograma, para que o número de pontos corresponda ao refinamento da malha temporal. A imposição das condições iniciais também pode exigir a solução de equações, como a solução da EDO do escoamento permanente gradualmente variado ou a solução de uma equação de resistência para o cálculo da altura do escoamento uniforme, como empregado neste exemplo. Para auxiliar esta etapa, foram criadas funções auxiliares que resolvem as equações (Manning e Darcy-Weisbach) com o método de Newton-Raphson. Tais funções, escritas em arquivos próprios, devem fazer parte da mesma “pasta” do código principal. Na etapa seguinte, um laço (“for”) principal percorre o eixo temporal e, dentro deste laço, um segundo “for” se encarrega de realizar os cálculos ao longo do eixo espacial. O pós-processamento consiste em exibir os resultados para que sejam realizadas as análises. Após esta síntese, são descritos abaixo alguns detalhes encontrados no programa apresentado na Tabela 2. Observe também que o símbolo % antes de uma frase transforma o que está escrito em texto que não será compilado. Para imposição das condições de contorno, avalie o regime de escoamento ou os sinais dos autovalores da matriz convectiva. Você irá verificar que Fr < 1 para a entrada. Deste modo, o hidrograma da Tabela 1 deve ser fixado, sendo esta a “informação externa”. A área molhada não pode ser fixada, isto é, ela deve ser calculada com base no que ocorre nas proximidades do domínio. Uma solução possível para essa parte da condição de contorno consiste em empregar uma extrapolação explícita de ordem zero, que é q1(1,n) = q1(2,n-1), em que 1 representa o primeiro nó do eixo x (entrada), 2 representa o nó vizinho à entrada (dentro do domínio) e n representa o instante atual e n-1 o instante anterior. As demais grandezas podem ser determinadas após o cálculo de q1(0,t), como ilustrado no código elaborado. Para o contorno direito, a área novamente deve ser extrapolada. Com o seu valor calculado, determina-se h(L,t) (altura de escoamento no contorno direito ou saída) e, em seguida, o raio hidráulico. Empregando a equação de Manning ou de Darcy-Weisbach, calcula-se a velocidade média, u, e a vazão q2 = uA. O cálculo de h a partir da área pode ser feito de forma 125 simples para a seção retangular, com h = A/b. Para a seção trapezoidal assimétrica (Z1 ≠ Z2, com Z1 > 0 e Z2 > 0 ou Z1 > 0 e Z2 = 0, por exemplo), deve ser utilizada a equação 11 do capítulo anterior, reescrita a seguir. Esta equação também é válida para seção simétrica, que corresponde a Z1 = Z2 = Z, e para seções triangulares, isto é, com b = 0. Tabela 2 – Código para solução das equações de Saint-Venant clear all %MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM HIDRÁULICA %André Luiz Andrade Simões, Harry Edmar Schulz e Rodrigo de Melo Porto %Solução das equações de Saint-Venant para seções trapezoidais não-simétricas,simétricas, retangulares e triangulares com o método numérico de Lax-Friedrichs. %Dados: Qe1 = [8; 10; 16; 28; 48; 34; 23; 16; 8; 8]; tempo=[0.00; 10*60; 15*60; 30*60; 45*60; 60*60;... 80*60; 90*60; 110*60; 12000]; [a1,a2] = size(tempo); tt = tempo(a1,1); %Tempo total em [s] %Número de nós da malha temporal Nt = 12000; dt = tt/(Nt-1) tint=linspace(0,tt,Nt); %É gerada uma malha com número de nós igual a Nt e de 0 a tt, tint. Qe1int=interp1(tempo,Qe1(:,1),tint,'pchip'); %Não utilizar spline; pchip, que corresponde ao Hermite cúbico, é uma opção preferível. Qe1int=Qe1int'; L=3000; Nx=450; dx=L/(Nx-1); g=9.806; %g = aceleração devido à gravidade [m/s^2] f=0.0; %Fator de cisalhamento de Darcy-Weisbach nm=0.02; %Declarações: x=0:dx:L; x=x'; %Matrizes: h=zeros(Nx,Nt); q1=zeros(Nx,Nt); q2=zeros(Nx,Nt); f1=zeros(Nx,Nt); 126 f2=zeros(Nx,Nt); J2=zeros(Nx,Nt); %Fr=zeros(Nx,Nt); Cn=zeros(Nx,Nt); %Geometria do canal: %Largura de fundo do canal b=5; Z1 = 1.5; %Co-tangente do ângulo do talude em relação à horizontal (lado esquerdo) Z2 = 1.5; %Co-tangente (lado direito) Io = 0.0012; %Declividade de fundo %CÁLCULO DA CONDIÇÃO INICIAL (h): Q0=Qe1(1,1); if f==0 h0=uniformeM(nm, Q0, b, Z1, Z2, Io) %Profundidade do escoamento uniforme (Manning) else h0=uniformeDW(f, Q0, b, Z1, Z2, Io, g) %Profundidade do escoamento uniforme (Darcy-Weisbach) end pause() %Valores iniciais: A0 = b*h0+0.5*(h0.^2)*(Z1+Z2); u0 = Q0/A0; P0 = b+h0*((1+Z1^2)^0.5+(1+Z2^2)^0.5); Rh0=A0/P0; h(:,1)=h0; q1(:,1)=A0; q2(:,1)=Q0; f1(:,1)=q2(:,1); f2(:,1)=q2(:,1).*q2(:,1)./q1(:,1)+(g/6)*(3*b+h(:,1).*(Z1+Z2)).*h(:,1).^2; J2(:,1)=g*q1(:,1).*(Ionm^2*q2(:,1).*abs(q2(:,1))./((q1(:,1).^2).*Rh0^(4/3))-... f*q2(:,1).*abs(q2(:,1))./((q1(:,1).^2)*8*g*Rh0)); %Fr(:,1)=abs(q2(:,1)./q1(:,1))./((g*q1(:,1)./(b+h(:,1).*(Z1+Z2))).^0.5);% Número %de Froude Cn(:,1)=(abs(q2(:,1)./q1(:,1))+(g*q1(:,1)./(b+h(:,1)*(Z1+Z2))).^0.5)./(dx /dt);%Número de Courant %AQUI TERMINA A IMPOSIÇÃO DAS CONDIÇÕES INICIAIS 127 %GRÁFICO COM O HIDROGRAMA DE ENTRADA plot(tint/60,Qe1int, tempo/60, Qe1, 'o') xlabel('t [min]'); ylabel('Q = uA [m^3/s]'); Leg=legend('H_2(0,t) - Interpolado', 'H_2(0,t) - Tabela 1'); ylim([min(min(0)) max(max(1.3*Qe1))]) pause() %GRÁFICO COM O AS PROFUNDIDADES EM t=0 plot(x,h(:,1)) xlabel('x [m]'); ylabel('h(x,0) [m]'); ylim([min(min(0)) max(max(1.1*h))]) pause() n=1; for t=dt:dt:tt n=n+1 %CONDIÇÕES DE CONTORNO: %1) ESQUERDO: q1(1,n)=q1(2,n-1); q2(1,n)=Qe1int(n,1); if Z1>0 || Z2>0 h(1,n)=(-b+(b^2+2*(Z1+Z2)*q1(1,n))^0.5)/(Z1+Z2); %Seção trapezoidal (assimétrica, simétrica e triangular). else h(1,n)=q1(1,n)/b; %Seção retangular end f1(1,n)=q2(1,n); f2(1,n)=q2(1,n).*q2(1,n)./q1(1,n)+(g/6)*(3*b+h(1,n)*(Z1+Z2)).*h(1,n).^2; Rh = q1(1,n)/(b+h(1,n)*((1+Z1^2)^0.5+(1+Z2^2)^0.5)); J2(1,n)=g*q1(1,n).*(Ionm^2*q2(1,n).*abs(q2(1,n))./((q1(1,n)^2).*Rh^(4/3))-... f*q2(1,n).*abs(q2(1,n))./((q1(1,n).^2)*8*g*Rh)); %Fr(1,n)=abs(q2(1,n)/q1(1,n))/((g*q1(1,n)/(b+h(1,n).*(Z1+Z2))).^0.5); Cn(1,n)=(abs(q2(1,n)/q1(1,n))+(g*q1(1,n)/(b+h(1,n)*(Z1+Z2)))^0.5)/(dx/dt) ; %2) DIREITO: q1(Nx,n)=q1(Nx-1,n-1); if Z1>0 || Z2>0 h(Nx,n)=(-b+(b^2+2*(Z1+Z2)*q1(Nx,n))^0.5)/(Z1+Z2); else 128 h(Nx,n)=q1(Nx,n)/b; end Rh = q1(Nx,n)/(b+h(Nx,n)*((1+Z1^2)^0.5+(1+Z2^2)^0.5)); if f==0 u=(1/nm)*(Rh^(2/3))*(Io^0.5); end if nm==0 u=sqrt(8*g*Rh*Io/f); end % q2(Nx,n)=0;%q1(Nx,n)*u; q2(Nx,n)=q1(Nx,n)*u; f1(Nx,n)=q2(Nx,n); f2(Nx,n)=q2(Nx,n).*q2(Nx,n)./q1(Nx,n)+(g/6)*(3*b+h(Nx,n)*(Z1+Z2)).*h(Nx,n ).^2; J2(Nx,n)=g*q1(Nx,n).*(Ionm^2*q2(Nx,n).*abs(q2(Nx,n))./((q1(Nx,n)^2).*Rh^(4/3))-... f*q2(Nx,n).*abs(q2(Nx,n))./((q1(Nx,n).^2)*8*g*Rh)); %Fr(Nx,n)=abs(q2(Nx,n)/q1(Nx,n))/((g*q1(Nx,n)/(b+h(Nx,n).*(Z1+Z2)))^0.5); Cn(Nx,n)=(abs(q2(Nx,n)/q1(Nx,n))+(g*q1(Nx,n)/(b+h(Nx,n)*(Z1+Z2)))^0.5)/(d x/dt); %MÉTODO DE LAX-FRIEDRICHS: for i=2:Nx-1 q1(i,n)=0.5*(q1(i+1,n-1)+q1(i-1,n-1))-(0.5*dt/dx)*(f1(i+1,n-1)f1(i-1,n-1)); q2(i,n)=0.5*(q2(i+1,n-1)+q2(i-1,n-1))-(0.5*dt/dx)*... (f2(i+1,n-1)-f2(i-1,n-1))+dt*0.5*(J2(i-1,n-1)+J2(i+1,n-1)); if Z1>0 || Z2>0 h(i,n)=(-b+(b^2+2*(Z1+Z2)*q1(i,n))^0.5)/(Z1+Z2); else h(i,n)=q1(i,n)/b; end Rh = q1(i,n)/(b+h(i,n)*((1+Z1^2)^0.5+(1+Z2^2)^0.5)); f1(i,n)=q2(i,n); f2(i,n)=q2(i,n).*q2(i,n)./q1(i,n)+(g/6)*(3*b+h(i,n)*(Z1+Z2)).*h(i,n).^2; J2(i,n)=g*q1(i,n).*(Io(nm^2)*q2(i,n).*abs(q2(i,n))./((q1(i,n)^2).*Rh^(4/3))-... f*q2(i,n).*abs(q2(i,n))./((q1(i,n)^2)*8*g*Rh)); %Fr(i,n)=abs(q2(i,n)/q1(i,n))/((g*q1(i,n)/(b+h(i,n)*(Z1+Z2)))^0.5); 129 Cn(i,n)=(abs(q2(i,n)/q1(i,n))+(g*q1(i,n)/(b+h(i,n)*(Z1+Z2)))^0.5)/(dx/dt) ; end end B2=(b+h.*(Z1+Z2))./2; for n=1:50:Nt t=(n-1)*dt; plot(x,B2(:,n),x,-B2(:,n),'k','LineWidth',2); xlabel('x [m]'); ylabel('B [m]'); ylim([min(min(-1.1*B2)) max(max(1.1*B2))]) grid on %legend('y(x,t)',2) title(['t = ',num2str(t),' [s]']) Mo=getframe; %mov=addframe(mov,Mo); %Para gravar o vídeo, não comentar (excluir %) end plot(tint/60, h(1,:), tint/60, h(Nx/2,:), tint/60, h(Nx,:)) xlabel('t [min]'); ylabel('h [m]'); Leg=legend('h(0,t)', 'h(L/2,t)', 'h(L,t)'); pause() plot(tint/60, q2(1,:), tint/60, q2(Nx/2,:), tint/60, q2(Nx,:)) xlabel('t [min]'); ylabel('Q [m^3/s]'); Leg=legend('Q(0,t)', 'Q(L/2,t)', 'Q(L,t)'); pause() plot(tint/60, q2(1,:)./q1(1,:), tint/60, q2(Nx/2,:)./q1(Nx/2,:),... tint/60, q2(Nx,:)./q1(Nx,:)) xlabel('t [min]'); ylabel('u [m/s]'); Leg=legend('u(0,t)', 'u(L/2,t)', 'u(L,t)'); pause() %%Equação de Manning para o regime uniforme e as vazões calculadas%% for nn=1:Nt Q0=q2(Nx/2,nn); h0=uniformeM(nm, Q0, b, Z1, Z2, Io); hh(nn)=h0; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% plot(q2(Nx/2,:), xlabel('Q(L/2,t) ylabel('h(L/2,t) Leg=legend('Laço pause() h(Nx/2,:),q2(Nx/2,:), hh) [m^3/s]'); [m]'); para x = L/2', 'Regime uniforme') 130 l=1; %mov=avifile('teste_f.avi')%Não comentar se quiser gravar o vídeo if l==1 for n=1:50:Nt t=(n-1)*dt; %plot(x,h(:,n),'k','LineWidth',2); %'k' escolhe a cor preta para a linha e 'LineWidth', 2 escolhe a espessura da linha igual a 2 pontos area(x,h(:,n)); xlabel('x [m]'); ylabel('h [m]'); ylim([min(min(0)) max(max(1.1*h))]) grid on %legend('y(x,t)',2) title(['t = ',num2str(t/60),' [min]']) Mo=getframe; %mov=addframe(mov,Mo); %Não comentar se quiser gravar o vídeo end end %mov=close(mov);%Não comentar se quiser gravar o vídeo for n=1:50:Nt t=(n-1)*dt; plot(x,q2(:,n),'k','LineWidth',2); xlabel('x [m]'); ylabel('Q [m^3/s]'); ylim([min(min(q2)) max(max(q2))]) grid on title(['t = ',num2str(t/60),' [min]']) Mo=getframe; end contourf(x,tint,h') xlabel('x'); ylabel('t'); % axis equal tight %Envoltória com valores máximos: for jj=1:Nx Q1LF(jj,1)=max(q1(jj,:)); Q2LF(jj,1)=max(q2(jj,:)); Q3LF(jj,1)=max(h(jj,:)); Q4LF(jj,1)=min(h(jj,:)); end plot(x,Q1LF) xlabel('x [m]') ylabel('max(A)') pause() plot(x,Q2LF) xlabel('x [m]') ylabel('max(uA)') pause() plot(x,Q3LF) xlabel('x [m]') ylabel('max(h)') 131 pause() plot(x,Q4LF) xlabel('x [m]') ylabel('min(h)') pause() Com a solução do problema foram obtidos os gráficos da Figura 2. As variações de “h”, “Q” e “u” com o tempo são ilustradas nas Figuras 2a, 2b e 2c com os resultados calculados para três seções transversais. Observa-se que a atenuação nos valores máximos das alturas de escoamento é maior entre as seções 0 e L/2 quando comparada à atenuação entre as seções L/2 e L. Este resultado indica a predominância do efeito difusivo da cheia no primeiro trecho. O segundo trecho possui característica cinemática preponderante. A Figura 2c mostra um valor mínimo de velocidade seguido de um crescimento que alcança o nível uniforme. Observando os resultados com o auxílio do software, nota-se que em 107,4 min (instante em que ocorre a velocidade mínima) os valores de Q e A são maiores que os valores do escoamento uniforme, condição que justifica a ocorrência desta solução se a área molhada for grande o suficiente em relação à vazão para que u = Q/A < uuniforme. Prosseguindo com a observação, percebe-se que a vazão assume o valor do escoamento uniforme antes da área molhada, que continua a decrescer, estando esse efeito inercial presente nas equações de Saint-Venant. Deste modo, o crescimento de u é esperado, uma vez que u = Q/A. 2.5 50 h(0,t) h(L/2,t) h(L,t) Q(0,t) Q(L/2,t) Q(L,t) 45 40 2 3 Q [m /s] h [m] 35 1.5 30 25 20 1 15 10 0.5 0 50 100 t [min] 150 200 5 (a) 2.5 0 50 100 t [min] 150 200 (b) 2.5 u(0,t) u(L/2,t) u(L,t) 2 u [m/s] h(L/2,t) [m] 2 1.5 1.5 1 Laço para x = L/2 Regime uniforme 1 0 50 100 t [min] 150 200 0.5 (c) 5 10 15 20 25 Q(L/2,t) [m3/s] 30 35 40 45 (d) 132 max(h) 2.4 2.3 2.2 0 500 1000 1500 x [m] 2000 2500 3000 (e) Figura 2 – Solução do problema 5.1 Unidades de acordo com o S.I.. Número de Courant máximo igual a 0,963. Outros resultados também são ilustrados na Figura 2, como a relação em forma de laço entre Q e h para a seção em L/2 e a envoltória de valores máximos de h ao longo de x. Com auxílio da Figura 2d, nota-se que uma vazão Q está associada a ocorrência de duas alturas de escoamento, sendo uma para a fase de subida da onda e a outra para a fase de descida. Nota-se também que a máxima vazão não coincide com a máxima altura de escoamento. Finalmente, sobre a mesma figura, a largura do laço corresponde aos termos de inércia e pressão na equação da quantidade de movimento de Saint-Venant. A envoltória ilustrada na Figura 2d mostra as profundidades máximas, informação que pode ser útil para a determinação das características geométricas de um canal em fase de projeto ou para a análise da capacidade de um canal existente submetido à passagem de uma onda de cheia. Para pensar: Como seria a relação entre Q e h se o hidrograma afluente apresentasse dois ou mais pontos de máximo? Problema 5.2 – Propagação de ondas decorrentes do fechamento de comportas Considere um canal construído para aduzir a água de um grande reservatório (formado pela construção de uma barragem) às turbinas situadas na extremidade de jusante do sistema, como ilustrado na Figura 3. A montante dos condutos forçados que ligam o canal às turbinas, uma comporta possibilita o controle do escoamento. Imagine um cenário no qual a comporta é bruscamente fechada a partir de uma condição de escoamento permanente e uniforme no canal. Qual o comportamento da linha d’água resultante desse fechamento “instantâneo”? Para responde a esta questão, utilize as equações de Saint-Venant e apresente os resultados para os dados fornecidos a seguir. Dados: b = 3,5 m; Z1 = Z2 = 1,5; Q = 32 m³/s; n = 0,020; Io = 0,0005 m/m; L = 1200 m; tempo total do escoamento transitório simulado igual a 12000 s. 133 Solução Assume-se a ocorrência do escoamento uniforme como condição inicial; a área molhada foi fixada na extremidade de montante (lago) com valor correspondente ao regime uniforme e a vazão calculada por extrapolação de ordem zero; na extremidade de jusante, no instante t = ∆t, u = 0, o que representa o fechamento instantâneo da comporta. Na mesma posição, a área molhada foi calculada com a extrapolação de ordem zero. Estas considerações iniciais permitem simular o efeito do fechamento das comportas de forma aproximada com o código desenvolvido. Para Nt = 24.000, a escolha de Nx = 420 implica número de Courant máximo próximo de um, conclusão que pode ser obtida após algumas tentativas. Como exercício, sugere-se a realização de simulações com número de Courant menores que um para que o leitor note a ocorrência do efeito numérico difusivo, que é indesejável. Figura 3 – Reservatório seguido de canal de adução e conduto forçado Ao analisar os resultados apresentados na Figura 4, observa-se que h permanece constante na seção inicial, sendo este o resultado esperado porque deriva da condição de contorno descrita. O comportamento oscilatório de h nas demais seções é ilustrado com h(L/2,t) e h(L/t). Ao final do período transitório, a água permanecerá parada no canal (a comporta foi fechada). Como a cota de fundo decresce de montante para jusante e a superfície livre final será um plano horizontal, h(L) > h(L/2). É claro que o projeto do canal deve prever muros com alturas suficientes para conter a água em condição estática. Adicionalmente, com o evento transitório simulado, observa-se uma flutuação acima do valor estático, que para este problema resultou aproximadamente igual a 65 cm em x = L. Os resultados para uA = Q e u podem ser vistos nas Figuras 4b e 4c. Destaca-se também que a relação entre Q e h, apresentada na Figura 4d, não é semelhante à encontrada para as condições de uma cheia (ver problema anterior), mas apresenta comportamento análogo ao encontrado com o problema da chaminé de equilíbrio. 134 4 40 h(0,t) h(L/2,t) h(L,t) 3.8 20 3.4 10 h [m] Q [m3/s] 3.6 3.2 -10 2.8 -20 0 20 40 60 80 100 t [min] 120 140 160 180 -30 200 0 20 40 60 80 (a) 2 100 t [min] 120 140 160 180 200 (b) 3.6 u(0,t) u(L/2,t) u(L,t) 1.5 x = L/2 3.5 3.4 1 3.3 h(L/2,t) [m] u [m/s] 0 3 2.6 Q(0,t) Q(L/2,t) Q(L,t) 30 0.5 0 3.2 3.1 3 2.9 -0.5 2.8 -1 2.7 -1.5 0 20 40 60 80 100 t [min] 120 140 160 180 200 2.6 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 Q(L/2,t) [m /s] (c) Figura 4 – Solução do problema: Fechamento instantâneo 3 30 (d) A segunda parte do problema consiste em analisar a altura de escoamento nas proximidades das comportas para a condição de abertura instantânea. Esta manobra produz abaixamento da superfície livre e a sua avaliação pode indicar se há possibilidade de formação de vórtices e entrada de ar em função da coluna d’água disponível sobre seção transversal na interface entre canal e conduto forçado. Em outros termos, o início do funcionamento das turbinas produz uma onda negativa de jusante. Para esta onda, a altura de escoamento atrás da onda é menor que o nível não perturbado (por isso o termo onda negativa) e a onda é originada a jusante. Problema 5.3 – Propagação de ondas decorrentes da abertura de comportas Como extensão do caso abordado no problema anterior, os resultados apresentados na Figura 5 foram calculados para a abertura instantânea da comporta, abertura que é representada matematicamente pela passagem da vazão de um valor nulo em t = 0 para Q = 32 m³/s em t = ∆t. Adicionalmente, o uso de uma distribuição para as profundidades em t = 0 igual a 2,77 + Iox reproduz a superfície livre horizontal em t = 0. Como pode ser observado, em x = L a altura de escoamento assume valor mínimo de 1,3 m (Figura 5a) e a vazão passa de zero a 32 m³/s em t = ∆t, na extremidade e a jusante do canal (Figura 5b). As demais soluções da Figura 5a mos- 135 tram que os pontos de mínimo aumentam em direção ao lago. Uma estrutura hidráulica conhecida como câmara de carga pode solucionar possíveis problemas com baixas profundidades. Trata-se de um trecho de canal que pode ser retangular e localizado na extremidade de jusante. A sua maior largura e profundidade adicional em relação ao fundo do canal de adução têm como consequência um rebaixamento da superfície livre menor em relação ao canal sem a câmara de carga. Outros resultados podem ser vistos com o uso do código correspondente a este problema. 40 3.5 h(0,t) h(L/2,t) h(L,t) 3 35 30 25 h [m] Q [m3/s] 2.5 20 15 2 10 5 1.5 X: 2.34 Y: 1.335 1 0 5 Q(0,t) Q(L/2,t) Q(L,t) 0 10 15 20 t [min] 25 30 35 40 -5 0 5 10 15 20 t [min] 25 (a) Figura 5 – Resultados obtidos para condição de abertura da comporta 30 35 40 (b) Problema 5.4 – Identificação de um ressalto hidráulico O ressalto hidráulico como parte da solução das equações de Saint-Venant escritas na forma conservativa é identificado como uma descontinuidade. Isso é possível principalmente quando são obtidas soluções analíticas. Em soluções numéricas calculadas com métodos de ordem ímpar, como o de Lax-Friedrichs, essa descontinuidade nem sempre é calculada devido ao efeito difusivo do esquema numérico. Tal efeito transforma a descontinuidade em uma “curva suave”, isto é, com pontos entre os patamares que definiriam a descontinuidade. Tal observação não inviabiliza o uso de Lax-Friedrichs, mas requer cuidado na interpretação do resultado. A solução carregada de difusividade numérica curiosamente pode coincidir bem com o perfil médio do ressalto hidráulico, como demonstrado em Simões, Schulz e Porto (2010), mas essa boa sobreposição não representa uma solução correta porque a solução correta do sistema de equações diferenciais parciais é a solução analítica descontínua. Por outro lado, o método de MacCormack, por ser de segunda ordem introduz na solução pequenas ondas amortecidas ao longo de trechos próximos à descontinuidade. Essas oscilações são classificadas como dispersão numérica e representam um efeito indesejado por não representarem a solução analítica. Em outros termos, elas aparecem porque as componentes de Fourier viajam com velocidades diferentes quando há o efeito dispersivo. Apesar disto, com o uso 136 da viscosidade artificial, o método de MacCormack também representa uma opção relevante para a solução numérica do sistema de equações por ser explícito, de fácil programação e por apresentar resultados utilizáveis, como exposto neste problema. Considere os dados do Problema 4.6: b = 2,5 m; Io = 0,02 m/m; Z1 = 1,5; Z2 = 1,0; Q = 5,7 m³/s; g = 9,8 m/s2; n = 0,018; h(L,t) = 2,40 m. Considere também L = 70 m e um tempo total de simulação igual a 600 s, a partir de uma condição inicial com escoamento uniforme no canal. Empregando os métodos de Lax-Friedrichs e MacCormack, calcule h(x,t) e identifique o ressalto hidráulico na solução. Observe que para t→∞, h=h(x), que é a linha d’água para o regime permanente. Solução O código desenvolvido anteriormente com Lax-Friedrichs pode ser empregado para resolver este problema com pequenas adaptações, como pode ser visto no arquivo deste capítulo. O uso do método de MacCormack exige a programação de seu algoritmo, com o cálculo dos termos pertencentes aos dois passos. Para ilustrar uma possível forma de programação deste método, foi elaborado o programa apresentado na Tabela 3. As soluções numéricas calculadas com os dois métodos mencionados são apresentadas na Figura 6. Observa-se nas duas imagens iniciais a formação do ressalto hidráulico pela brusca mudança da altura de escoamento (note que a linha inferior representa o fundo do canal e a linha superior o perfil da superfície livre ou linha d’água). Por comparação visual entre as imagens (a) e (b), conclui-se que a solução por MacCormack para o ressalto é mais próxima de uma descontinuidade. Como consequência, o ressalto tem como posição de início em x = 5 m e posição final próxima de x = 5,5 m. Já o ressalto calculado com o método de Lax-Friedrichs e a malha adotada se estende por aproximadamente 4 m devido ao efeito difusivo. Para o restante do domínio não há diferenças expressivas. As Figuras 6c e 6d mostram ampliações da solução capazes de revelar claramente os dois efeitos numéricos supracitados, isto é, o difusivo (em 6c) e o dispersivo (em 6d). 137 t = 10 [min] t = 10 [min] 4 4 Fundo do canal Linha d'água 3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 10 30 20 50 40 60 Fundo do canal Linha d'água 3.5 h [m] h [m] 3.5 0 70 0 10 20 40 30 (a) x [m] 50 70 60 (b) x [m] t = 10 [min] t = 10 [min] 2.3 2.4 2.2 2.1 2.2 2 2 h [m] h [m] 1.9 1.8 1.7 1.8 1.6 1.6 1.5 1.4 1.4 1.3 1 2 3 4 5 x [m] 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x [m] (c) (d) Figura 6 – Soluções calculadas com Lax-Friedrichs, com max(Cn) = 0,9643 (a e c), e MacCormack, com max(Cn) = 0,9317 e Cx = 0,04 (b e d). Efeitos numéricos difusivo (c) e dispersivo (d) Tabela 3 – Código para solução do problema 5.4 com MacCormack clear all %MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM HIDRÁULICA %André Luiz Andrade Simões, Harry Edmar Schulz e Rodrigo de Melo Porto %Solução das equações de Saint-Venant para seções trapezoidais assimétricas, retangulares e triangulares com o método de MacCormack. %Método de MacCormack com ou sem (Cx=0) viscosidade artificial. %Dados: Qe1 = [5.7; 0]; tempo=[0.00; 600]; %Instantes correspondentes às vazões Q [a1,a2] = size(tempo); tt = tempo(a1,1); %Tempo total em [s] Nt = 25000; %Número de nós da malha temporal dt = tt/(Nt-1); tint=linspace(0,tt,Nt); %É gerada uma malha com número de nós igual a Nt e de 0 a tt, tint. Qe1int=interp1(tempo,Qe1(:,1),tint,'pchip'); %spline (não é adequado), pchip (Hermite cúbico é uma opção preferível) Qe1int=Qe1int'; 138 L=70; Nx=280; dx=L/(Nx-1); g=9.8; %Aceleração devido à gravidade [m/s^2] f=0.0; nm=0.018; %Declarações: x=0:dx:L; x=x'; %Matrizes: h=zeros(Nx,Nt); q1=zeros(Nx,Nt); q2=zeros(Nx,Nt); f1=zeros(Nx,Nt); f2=zeros(Nx,Nt); J2=zeros(Nx,Nt); % Fr=zeros(Nx,Nt); Cn=zeros(Nx,Nt); S1=zeros(Nx,Nt); S2=zeros(Nx,Nt); Cx=0.04;%Parâmetro para ponderar viscosidade artificial %Derivadas: dq1=zeros(Nx,Nt); dq2=zeros(Nx,Nt); %Geometria do canal: b = 2.5; %Largura de fundo do canal Z1 = 1.5; %Co-tangente do ângulo do talude em relação à horizontal (lado esquerdo) Z2 = 1.0; %Co-tangente (lado direito) Io = 0.02; %Declividade do fundo %Condição Inicial: Q0=Qe1(1,1); if f==0 h0=uniformeM(nm, Q0, b, Z1, Z2, Io) %Profundidade do escoamento uniforme else 139 h0=uniformeDW(f, Q0, b, Z1, Z2, Io, g) end pause() A0 = b*h0+0.5*(h0.^2)*(Z1+Z2); u0 = Q0/A0; P0 = b+h0*((1+Z1^2)^0.5+(1+Z2^2)^0.5); Rh0=A0/P0; h(:,1)=h0; q1(:,1)=A0; q2(:,1)=Q0; pause() f1(:,1)=q2(:,1); f2(:,1)=q2(:,1).*q2(:,1)./q1(:,1)+(g/6)*(3*b+h(:,1).*(Z1+Z2)).*h(:,1).^2; J2(:,1)=g*q1(:,1).*(Ionm^2*q2(:,1).*abs(q2(:,1))./((q1(:,1).^2).*Rh0^(4/3))-... f*q2(:,1).*abs(q2(:,1))./((q1(:,1).^2)*8*g*Rh0)); %Fr(:,1)=abs(q2(:,1)./q1(:,1))./((g*q1(:,1)./(b+h(:,1).*(Z1+Z2))).^0.5);% Número %de Froude Cn(:,1)=(abs(q2(:,1)./q1(:,1))+(g*q1(:,1)./(b+h(:,1)*(Z1+Z2))).^0.5)./(dx /dt); %FIM DAS CONDIÇÕES INICIAIS %GRÁFICO COM O HIDROGRAMA DE ENTRADA plot(tint/60,Qe1int, tempo/60, Qe1, 'o') xlabel('t [min]'); ylabel('uA [m^3/s]'); Leg=legend('H_2(0,t) - Interpolado', 'H_2(0,t) - Tabela 1'); ylim([min(min(0)) max(max(Qe1))]) pause() %GRÁFICO COM O AS PROFUNDIDADE EM t=0 plot(x,h(:,1)) xlabel('x [m]'); ylabel('h(x,0) [m]'); ylim([min(min(0)) max(max(1.1*h))]) pause() n=1; for t=dt:dt:tt n=n+1 if max(max(Cn))>1 pause() end %Contornos: %Esquerdo: 140 q1(1,n) = A0; %b*3.4+0.5*(3.4.^2)*(Z1+Z2); %q1(2,n-1); = 0, calculada com h(0,t) = 60,50 - 57,10 = 3,40 m q2(1,n) = Qe1(1,1);%q2(2,n-1);%Qe1int(n,1); %Área em x if Z1>0 || Z2>0 h(1,n)=(-b+(b^2+2*(Z1+Z2)*q1(1,n))^0.5)/(Z1+Z2); else h(1,n)=q1(1,n)/b; end f1(1,n)=q2(1,n); f2(1,n)=q2(1,n).*q2(1,n)./q1(1,n)+(g/6)*(3*b+h(1,n)*(Z1+Z2)).*h(1,n).^2; Rh = q1(1,n)/(b+h(1,n)*((1+Z1^2)^0.5+(1+Z2^2)^0.5)); J2(1,n)=g*q1(1,n).*(Ionm^2*q2(1,n).*abs(q2(1,n))./((q1(1,n)^2).*Rh^(4/3))-... f*q2(1,n).*abs(q2(1,n))./((q1(1,n).^2)*8*g*Rh)); %Fr(1,n)=abs(q2(1,n)/q1(1,n))/((g*q1(1,n)/(b+h(1,n).*(Z1+Z2))).^0.5); Cn(1,n)=(abs(q2(1,n)/q1(1,n))+(g*q1(1,n)/(b+h(1,n)*(Z1+Z2)))^0.5)/(dx/dt) ; %Direito: h(Nx,n) = 2.4; q1(Nx,n)=b*h(Nx,n)+0.5*(h(Nx,n).^2)*(Z1+Z2); q2(Nx,n)=q2(Nx-1,n-1); u=q2(Nx,n)./q1(Nx,n); % q1(Nx,n)=q1(Nx-1,n-1); % % % % % if Z1>0 || Z2>0 h(Nx,n)=(-b+(b^2+2*(Z1+Z2)*q1(Nx,n))^0.5)/(Z1+Z2); else h(Nx,n)=q1(Nx,n)/b; end Rh = q1(Nx,n)/(b+h(Nx,n)*((1+Z1^2)^0.5+(1+Z2^2)^0.5)); % % % % % % if f==0 u=(1/nm)*(Rh^(2/3))*(Io^0.5); end if nm==0 u=sqrt(8*g*Rh*Io/f); end % q2(Nx,n)=q1(Nx,n)*u; f1(Nx,n)=q2(Nx,n); f2(Nx,n)=q2(Nx,n).*q2(Nx,n)./q1(Nx,n)+(g/6)*(3*b+h(Nx,n)*(Z1+Z2)).*h(Nx,n ).^2; 141 J2(Nx,n)=g*q1(Nx,n).*(Ionm^2*q2(Nx,n).*abs(q2(Nx,n))./((q1(Nx,n)^2).*Rh^(4/3))-... f*q2(Nx,n).*abs(q2(Nx,n))./((q1(Nx,n).^2)*8*g*Rh)); %Fr(Nx,n)=abs(q2(Nx,n)/q1(Nx,n))/((g*q1(Nx,n)/(b+h(Nx,n).*(Z1+Z2)))^0.5); Cn(Nx,n)=(abs(q2(Nx,n)/q1(Nx,n))+(g*q1(Nx,n)/(b+h(Nx,n)*(Z1+Z2)))^0.5)/(d x/dt); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%% %MÉTODO DE MACCORMACK: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%% %PASSO PREDITOR: for i=2:Nx-1 dq1(i,n-1)=-(f1(i+1,n-1)-f1(i,n-1))/dx; dq2(i,n-1)=-(f2(i+1,n-1)-f2(i,n-1))/dx+J2(i,n-1); %Viscosidade artificial: S1(i,n-1)=Cx*abs((h(i+1,n-1)-2*h(i,n-1)+h(i-1,n-1)))*(q1(i+1,n-1)2*q1(i,n-1)+q1(i-1,n-1))/(h(i+1,n-1)+2*h(i,n-1)+h(i-1,n-1)); S2(i,n-1)=Cx*abs((h(i+1,n-1)-2*h(i,n-1)+h(i-1,n-1)))*(q2(i+1,n-1)2*q2(i,n-1)+q2(i-1,n-1))/(h(i+1,n-1)+2*h(i,n-1)+h(i-1,n-1)); %Valor predito de q1 e q2: q1(i,n)=q1(i,n-1)+dq1(i,n-1)*dt+S1(i,n-1); q2(i,n)=q2(i,n-1)+dq2(i,n-1)*dt+S2(i,n-1); %Cálculo das variáveis primitivas (preditas) em n+1: if Z1>0 || Z2>0 h(i,n)=(-b+(b^2+2*(Z1+Z2)*q1(i,n))^0.5)/(Z1+Z2); else h(i,n)=q1(i,n)/b; end end %Cálculo dos vetores: for i=2:Nx-1 Rh = q1(i,n)/(b+h(i,n)*((1+Z1^2)^0.5+(1+Z2^2)^0.5)); f1(i,n)=q2(i,n); f2(i,n)=q2(i,n).*q2(i,n)./q1(i,n)+(g/6)*(3*b+h(i,n)*(Z1+Z2)).*h(i,n).^2; J2(i,n)=g*q1(i,n).*(Io(nm^2)*q2(i,n).*abs(q2(i,n))./((q1(i,n)^2).*Rh^(4/3))-... 142 f*q2(i,n).*abs(q2(i,n))./((q1(i,n)^2)*8*g*Rh)); %Fr(i,n)=abs(q2(i,n)/q1(i,n))/((g*q1(i,n)/(b+h(i,n)*(Z1+Z2)))^0.5); Cn(i,n)=(abs(q2(i,n)/q1(i,n))+(g*q1(i,n)/(b+h(i,n)*(Z1+Z2)))^0.5)/(dx/dt) ; %Cálculo da viscosidade artificial com base nos valores preditos: S1(i,n)=Cx*abs((h(i+1,n)-2*h(i,n)+h(i-1,n)))*(q1(i+1,n)2*q1(i,n)+q1(i-1,n))/(h(i+1,n)+2*h(i,n)+h(i-1,n)); S2(i,n)=Cx*abs((h(i+1,n)-2*h(i,n)+h(i-1,n)))*(q2(i+1,n)2*q2(i,n)+q2(i-1,n))/(h(i+1,n)+2*h(i,n)+h(i-1,n)); end for i=2:Nx-1 %Com estes resultados é possível calcular dqi em n+1 (predito) para %então atualizar qi: dq1(i,n)=-(f1(i,n)-f1(i-1,n))/dx; dq2(i,n)=-(f2(i,n)-f2(i-1,n))/dx+J2(i,n); q1(i,n)=q1(i,n-1)+0.5*(dq1(i,n-1)+dq1(i,n))*dt+S1(i,n); q2(i,n)=q2(i,n-1)+0.5*(dq2(i,n-1)+dq2(i,n))*dt+S2(i,n); %Atualização das variáveis primitivas (esta etapa substitui os valores %preditos pelos valores corrigidos nas matrizes correspondentes): if Z1>0 || Z2>0 h(i,n)=(-b+(b^2+2*(Z1+Z2)*q1(i,n))^0.5)/(Z1+Z2); else h(i,n)=q1(i,n)/b; end end %Atualização dos vetores: for i=2:Nx-1 Rh = q1(i,n)/(b+h(i,n)*((1+Z1^2)^0.5+(1+Z2^2)^0.5)); f1(i,n)=q2(i,n); f2(i,n)=q2(i,n).*q2(i,n)./q1(i,n)+(g/6)*(3*b+h(i,n)*(Z1+Z2)).*h(i,n).^2; J2(i,n)=g*q1(i,n).*(Io(nm^2)*q2(i,n).*abs(q2(i,n))./((q1(i,n)^2).*Rh^(4/3))-... f*q2(i,n).*abs(q2(i,n))./((q1(i,n)^2)*8*g*Rh)); %Fr(i,n)=abs(q2(i,n)/q1(i,n))/((g*q1(i,n)/(b+h(i,n)*(Z1+Z2)))^0.5); Cn(i,n)=(abs(q2(i,n)/q1(i,n))+(g*q1(i,n)/(b+h(i,n)*(Z1+Z2)))^0.5)/(dx/dt) ; 143 end end %Final do laço para o tempo B2=(b+h.*(Z1+Z2))./2; for n=1:100:Nt t=(n-1)*dt; plot(x,B2(:,n),x,-B2(:,n),'k','LineWidth',2); xlabel('x [m]'); ylabel('B [m]'); ylim([min(min(-1.1*B2)) max(max(1.1*B2))]) grid on %legend('y(x,t)',2) title(['t = ',num2str(t),' [s]']) Mo=getframe; %mov=addframe(mov,Mo); %Não comentar se quiser gravar o vídeo end plot(tint/60, h(1,:), tint/60, h(Nx/2,:), tint/60, h(Nx,:)) xlabel('t [min]'); ylabel('h [m]'); Leg=legend('h(0,t)', 'h(L/2,t)', 'h(L,t)'); pause() plot(tint/60, q2(1,:), tint/60, q2(Nx/2,:), tint/60, q2(Nx,:)) xlabel('t [min]'); ylabel('Q [m^3/s]'); Leg=legend('Q(0,t)', 'Q(L/2,t)', 'Q(L,t)'); pause() plot(tint/60, q2(1,:)./q1(1,:), tint/60, q2(Nx/2,:)./q1(Nx/2,:),... tint/60, q2(Nx,:)./q1(Nx,:)) xlabel('t [min]'); ylabel('u [m/s]'); Leg=legend('u(0,t)', 'u(L/2,t)', 'u(L,t)'); pause() %%Equação de Manning para o regime uniforme e as vazões calculadas%%% % for nn=1:Nt % Q0=q2(Nx/2,nn); % h0=uniformeM(nm, Q0, b, Z1, Z2, Io); % hh(nn)=h0; % end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % plot(q2(Nx/2,:), h(Nx/2,:),q2(Nx/2,:), hh) plot(q2(Nx/2,:), h(Nx/2,:)) xlabel('Q(L/2,t) [m^3/s]'); ylabel('h(L/2,t) [m]'); Leg=legend('x = L/2') pause() 144 l=2; %mov=avifile('teste_f.avi')%Não comentar se quiser gravar o vídeo if l==1 for n=1:50:Nt t=(n-1)*dt; plot(x,h(:,n),'k','LineWidth',2); %'k' escolhe a cor preta para a linha e 'LineWidth', 2 escolhe a espessura da linha igual a 2 pontos %area(x,h(:,n)); xlabel('x [m]'); ylabel('h [m]'); ylim([min(min(0)) max(max(1.1*h))]) grid on %legend('y(x,t)',2) title(['t = ',num2str(t/60),' [min]']) Mo=getframe; %mov=addframe(mov,Mo); %Não comentar se quiser gravar o vídeo end end %mov=close(mov);%Não comentar se quiser gravar o vídeo for n=1:50:Nt t=(n-1)*dt; plot(x,Io*x(Nx)-Io*x,x,h(:,n)+Io*(x(Nx)-x),'k','LineWidth',2) xlabel('x [m]'); ylabel('h [m]'); ylim([min(min(0)) max(max(4))]) grid on title(['t = ',num2str(t/60),' [min]']) Mo=getframe; %mov=addframe(mov,Mo); %Não comentar se quiser gravar o vídeo end for n=1:50:Nt t=(n-1)*dt; plot(x,q2(:,n),'k','LineWidth',2); xlabel('x [m]'); ylabel('Q [m^3/s]'); ylim([min(min(q2)) max(max(q2))]) grid on title(['t = ',num2str(t/60),' [min]']) Mo=getframe; end contourf(x,tint,h') xlabel('x'); ylabel('t'); % axis equal tight %Envoltória com valores máximos: for jj=1:Nx Q1LF(jj,1)=max(q1(jj,:)); Q2LF(jj,1)=max(q2(jj,:)); 145 Q3LF(jj,1)=max(h(jj,:)); Q4LF(jj,1)=min(h(jj,:)); end plot(x,Q1LF) xlabel('x [m]') ylabel('max(A)') pause() plot(x,Q2LF) xlabel('x [m]') ylabel('max(uA)') pause() plot(x,Q3LF) xlabel('x [m]') ylabel('max(h)') pause() plot(x,Q4LF) xlabel('x [m]') ylabel('min(h)') pause() Problema 5.5 – Ruptura de barragem A probabilidade de ocorrência da ruptura de uma barragem não é nula, embora todos os esforços da engenharia concorram para evitar tal desastre nas fases de projeto, construção, enchimento do reservatório e ao longo da existência da barragem. Interessa ao engenheiro simular possíveis escoamentos resultantes da ruptura de barragens, para que, com os resultados obtidos, torne-se possível avaliar, ainda que de forma aproximada, as consequências da ruptura. Tais consequências podem incluir a perda de vidas humanas, perdas materiais, danos ao meio ambiente e prejuízos à infraestrutura da região. Não é possível prever exatamente como a ruptura acontecerá. Esta dúvida conduz à criação de cenários fundamentados principalmente em informações históricas. As diferentes causas de rupturas incluem (ELETROBRÁS, 2003): 1) Rompimento do talude de montante; 2) Rompimento do talude de jusante; 3) Ruptura da fundação com deslizamento de camadas ou fratura de rocha, por exemplo; 4) Galgamento devido a evento hidrológico extremo; 5) Erosão interna ou entubamento (piping) devido a falhas no corpo da barragem; 6) Ações em períodos de guerra e vandalismo. 146 Em grande parte dos casos, sobretudo em barragens de terra, a ruptura é caracterizada pela formação de uma brecha. Essa fenda provocada pela ruptura evolui ao longo do tempo e a previsão de sua forma (não permanente) e da vazão efluente é essencial para elaboração de cenários de ruptura. Sobre este tema, destaca-se o trabalho de Fread (1977) e outros desenvolvimentos do mesmo autor. Como resultado da análise da evolução da brecha, procura-se estabelecer um hidrograma efluente que produzirá a cheia no rio a jusante da barragem. Em um caso mais extremo, pode-se pensar no galgamento simultâneo ou escoamento sobre os vertedores. As barragens de concreto em arco também podem romper com a formação de brechas, mas a sua formação é relativamente mais rápida quando comparada às de terra. Além desse exemplo, cita-se que o uso de explosivos também pode resultar em rupturas rápidas. Tendo essas duas possibilidades em conta, surge a hipótese de ruptura instantânea. Matematicamente, a ruptura instantânea exclui a barragem do domínio computacional no instante t = ∆t. A condição inicial pode ser estabelecida com velocidade nula ao longo do domínio, uma coluna d’água a montante da barragem, hm, e uma coluna d’água a jusante da barragem, hj, como ilustrado na Figura 7. Sugere-se que as condições de contorno a montante a jusante sejam do tipo absorvente, calculadas com extrapolações de ordem zero. Fisicamente, esses contornos devem permitir as passagens das ondas sem reflexões nos contornos. Figura 7 – Condição inicial para simulação da ruptura instantânea. Problema 5.5 Propõe-se neste problema a simulação da ruptura instantânea de uma barragem com os seguintes dados: h(x,0) = hm = 60 m; h(x,0) = hj = 2,0 m; u(x,0) = 0; Lm = 2900 m; Lj = 9500 m. Na ausência de informações sobre a forma do lago e do rio, para uma análise preliminar, considere um canal trapezoidal assimétrico com Z1 = 2,1, Z2 = 2,1, b = 50 m, Io = 0,0 e n = 0 (em problemas reais, uma visita ao local ou fotografias aéreas podem auxiliar a escolha dos valores para o coeficiente de Manning). A extremidade de montante é uma parede, portanto, 147 com vazão nula e altura de escoamento que deve ser calculada com extrapolação de ordem zero. A extremidade de jusante possui características desconhecidas, sendo necessário o emprego de condições absorventes (com extrapolações para q1 e q2). Solução Empregando o método de Lax-Friedrichs e o código desenvolvido, o uso das condições iniciais e de contorno mencionadas conduz aos resultados apresentados na Figura 8. Nestas imagens é ilustrada e evolução de h(x,t) que, com o código, pode ser vista como uma animação dos resultados. A primeira imagem mostra a condição inicial para h. Em seguida, no instante indicado, observa-se a formação de uma onda contínua que viaja para a esquerda e uma onda descontínua que se desloca para a direita. Entre as ondas é estabelecido um patamar horizontal devido ao fato de ter sido desprezada a perda de carga. t = 0.69456 [min] 60 60 50 50 40 40 h [m] h [m] t = 0 [min] 30 30 20 20 10 10 0 0 2000 4000 6000 x [m] 8000 10000 0 12000 0 2000 4000 60 60 50 50 40 40 30 20 10 10 0 2000 4000 6000 x [m] 8000 10000 0 12000 0 2000 4000 60 60 50 50 40 40 30 20 10 10 2000 4000 6000 x [m] 6000 x [m] 8000 10000 12000 8000 10000 12000 30 20 0 12000 t = 8.1958 [min] h [m] h [m] t = 4.8619 [min] 0 10000 30 20 0 8000 t = 2.7782 [min] h [m] h [m] t = 1.3891 [min] 6000 x [m] 8000 10000 12000 0 0 2000 4000 6000 x [m] Figura 8 – Ruptura de barragem: evolução de h(x,t). max(Cn) = 0,9583 148 O método proposto também possibilita o cálculo da largura de topo, B(x,t), que indica a área de inundação em planta baixa para a seção trapezoidal adotada como primeira aproximação para o canal real que conduzirá a onda decorrente da ruptura. Alguns resultados para B(x,t) podem ser vistos na Figura 9. t = 27.5046 [s] 150 100 100 50 50 B [m] B [m] t = 0 [s] 150 0 0 -50 -50 -100 -100 -150 0 -150 2000 4000 6000 x [m] 8000 10000 12000 0 2000 4000 150 100 100 50 50 0 10000 12000 8000 10000 12000 0 -50 -50 -100 -100 -150 -150 0 8000 t = 197.1162 [s] 150 B [m] B [m] t = 82.5138 [s] 6000 x [m] 2000 4000 6000 x [m] 8000 10000 12000 0 2000 4000 6000 x [m] Figura 9 – Ruptura de barragem: evolução de B(x,t). max(Cn) = 0,9583 Considerações finais Ao longo deste capítulo foram estudados problemas em regime variável com as equações de conservação de massa e a 2a Lei de Newton escritas para o caso unidimensional, sistema de equações diferenciais parciais conhecido como equações de Saint-Venant. Ao final dos estudos dos problemas propostos, o estudante deve ser capaz de resolver as equações de Saint-Venant com os métodos de Lax-Friedrichs e MacCormack. Essas soluções podem ser contínuas, como no estudo da propagação da onda de cheia em um canal, ou descontínuas, como nos problemas finais que envolvem o ressalto hidráulico e a ruptura de barragem. Em todos os casos, é indispensável a leitura dos códigos propostos porque os cálculos são viáveis (considerando o espaço e o tempo) apenas com recursos computacionais. Em outros termos, seria necessário muito tempo para obtenção de resultados semelhantes efetuando-se os cálculos manualmente com auxílio de uma calculadora. 149 CAPÍTULO 6 HIDRÁULICA DE MEIOS POROSOS Solução obtida com termo fonte positivo (fonte) e negativo (sumidouro). 150 Introdução Os meios porosos podem ser constituídos por material granuloso ou rochas compactas fissuradas. Naturalmente, a forma e disposição das partículas não propiciam a formação de um meio sem espaços entre elas. Sendo assim, há entre partículas regiões preenchidas com ar. Tais regiões são interconectadas como uma complexa rede e possibilitam a movimentação de fluidos, como a água que escoa no solo. Dessa forma, para o caso mais geral, um meio poroso pode ser visto como uma mistura de três fases, a saber: sólida, líquida e gasosa. O principal modelo matemático apresentado neste capítulo é obtido pela combinação da equação de conservação de massa com uma equação constitutiva denominada Lei de Darcy, análoga às leis de Fick e de Fourier, por exemplo, leis conhecidas dos estudos básicos de Fenômenos de Transporte e Hidráulica. Seguindo o escopo do livro, este capítulo tem como objetivo explorar introdutoriamente algumas soluções com o uso de recursos computacionais. Antes, entretanto, optou-se pela apresentação sintética de temas essenciais ligados ao assunto principal. Para a leitura dos conceitos básicos e de aprofundamentos, recomenda-se Todd (1959), Bear (1988, 2007), Lencastre (1996), Fetter (2001) e Wendland (2003), referências empregadas para elaboração de parte deste texto. A Engenharia mantém estreita relação com os escoamentos em meios porosos, como aqueles que ocorrem nas proximidades de poços freáticos e artesianos, barragens de terra e enrocamento, em filtros de estações de tratamento de água, além da infiltração, escoamento subsuperfcial e recarga de aquíferos, drenagem de terrenos, etc. A complexidade das redes existentes em meios porosos naturais conduz a abordagens que não incluem os detalhes do escoamento de forma pontual, em análises envolvendo a simulação dos campos de velocidades e pressões nos estreitos e sinuosos condutos. De outro modo, o que se faz em geral é representar o problema de forma simplificada, como será estudado neste capítulo. Antes do início dos estudos sobre a modelação matemática dos escoamentos em meios porosos, considera-se relevante expor as definições a seguir. 1) Porosidade (φ). É o resultado da divisão do volume de vazios de uma amostra de solo pelo seu volume total, isto é, φ = Volp/Vol. 2) Velocidade de filtração (V). É calculada com a divisão da vazão, Q, pela área da seção transversal do meio poroso, A. V = Q/A. 151 3) Velocidade média efetiva (Vp). É calculada com a definição de vazão e a parte de A que é permeável à massa, Ap. Em outros termos, sendo φ = Apdx/(Adx) = Ap/A, Vp = Q/Ap = Q/(φA) = V/φ. 4) Tortuosidade (T). Representa a relação entre a distância real, Lr, percorrida pelo fluido no meio poroso e o comprimento retilíneo que conecta a entrada e a saída do conduto real existente, L. T = (Lr/L)². A ilustração apresentada na Figura 1 representa o ciclo hidrológico, a distribuição das águas subterrâneas e os tipos de aquíferos. Com o auxílio dessa imagem, observa-se que a água em escoamento no meio poroso pode ocorrer em uma camada menos profunda, denominada zona de aeração (zona não saturada), e em um meio saturado, que é a zona de saturação. Notase também a relação existente com a chuva, escoamentos superficiais, volumes de água contidos em reservatórios, rios, oceanos, transpiração e evaporação. Nuvens Sublimação Escoamento de ar úmido Nuvens Aqüífero suspenso Gelo Nascente Infiltração ? Zona não saturada Precipitação Poço freático Evapotranspiração Escoamento superficial Lago Nível freático Poço artesiano Rio Escoamento de retorno das fossas sépticas Efeito capilar (franja capilar) Oceano Água do mar Interface entre água doce e salgada Estrato semipermeável Estrato impermeável Figura 1 – Ciclo hidrológico, distribuição das águas subterrâneas e tipos de aquíferos. Lei de Darcy (1856) A Lei de Darcy, assim denominada em homenagem ao engenheiro francês Henry-Philibert-Gaspard Darcy (1803-1858), é válida para escoamentos em meios porosos e foi apresentada por ele em seu livro Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon, na página 594. Trata-se de uma equação importante para estudos de escoamentos em meios porosos, sendo um modelo matemático análogo à Lei de Fick, à Lei de Fourier, Coulomb e Newton. A seguir é apresentada uma reflexão sobre esse equacionamento. 152 Considere o desenho da Figura 2a, que representa um tubo através do qual água é admitida pela abertura superior e extraída pela abertura inferior, em escoamento com vazão Q, em regime permanente e incompressível. Na região central há um material poroso com área transversal A. O plano horizontal de referência passa pela abertura inferior (z=0) e h corresponde à carga piezométrica, isto é, h = p/γ+z, o que implica h2=p2/γ+z2 e h1=p1/γ+z1. Destaca-se também que as cargas cinéticas são muito menores que os demais termos da carga hidráulica total H = z+p/γ+V²/(2g). (a) (b) Figura 2 – Esboço do experimento de Darcy (a) e um filtro inclinado (b) Fonte: adaptado de Bear (1972, p. 120). Utilizando o desenho da Figura 2a ou 2b, o objetivo agora é modelar a perda de carga ao longo do trecho preenchido com material poroso, que pode ser areia, por exemplo. A equação de Darcy-Weisbach, com f = C/Re, sendo Re o número de Reynolds escrito com uma velocidade característica V e um diâmetro característico d, é: If = f V2 C V2 C V2 Cν = V. = = d 2g Re d 2g Vd d 2g 2gd 2 ν (1) A equação da energia escrita para o volume de controle entre as seções 1 e 2 assume a seguinte forma: z1 + p V2 p1 V2 + α1 1 = z 2 + 2 + α 2 2 + ∆H , γ γ 2g 2g (2) em que ∆H é a perda de carga entre as seções 1 e 2, praticamente a perda de carga no trecho poroso porque as tomadas 1 e 2 estão muito próximas das extremidades do meio poroso (Figura 2a) ou junto à entrada e à saída (Figura 2b). Com a equação da energia, assumindo que os coeficientes de Coriolis são iguais, pode-se escrever: 153 ∆H = z1 + p1  p  −  z 2 + 2  = h1 − h 2 . γ  γ  (3) A declividade da linha de energia é obtida dividindo-se a equação 3 pelo comprimento do trecho poroso, ∆x: ∆H h 1 − h 2 = If . = ∆x ∆x (4) A hipótese de escoamento plenamente desenvolvido faz com que a declividade da linha de energia seja independente de x. Sendo assim, ou, assumindo que ∆x → 0, escreve-se If como uma derivada que é parte do gradiente de h, isto é, If = − ∂h . ∂x (5) Observe que o sinal negativo é necessário porque a derivada é negativa. Se o escoamento é unidimensional (por aproximação), a derivada parcial é desnecessária. Entretanto, para o caso mais geral, o escoamento é tridimensional e essa derivada é parte do gradiente de h, grad(h). Combinando as equações 1 e 5 e resolvendo para a velocidade média, escreve-se: V=− 2gd 2 ∂h . Cν ∂x (6) Nesta equação V é chamada de velocidade aparente ou vazão específica e corresponde a Q/A. O diâmetro “d” utilizado é um diâmetro característico resultante da forma dos grãos e da sua disposição, o que não é uma definição muito precisa. Para terrenos fissurados, pode-se utilizar, por exemplo, d = 2e, em que e = largura da fissura e, de um modo geral, d = d50 da curva granulométrica, como apresentado por Lencastre (1996), ou d = d10, como sugerido por Bear (1979, p.65). A partir da equação anterior, define-se a condutividade hidráulica K: K= 2gd 2 Cν . (7) Se o meio poroso é anisotrópico e não homogêneo, a Lei de Darcy é chamada de Lei de Darcy generalizada e possui a seguinte forma: V = −K∇h . (8) 154 A variável K é o tensor de condutividade hidráulica, um tensor simétrico e de segunda ordem. Em um sistema de eixos ortogonais é verdade que Kij=0 para i≠j. Para um meio isotrópico o tensor é reduzido a um escalar, pois K11=K22=K33=K. Sob esta restrição, as componentes da equação 8 são: V1 = −K ∂h ∂x1 , V2 = −K ∂h ∂x 2 e V3 = −K ∂h ∂x 3 . Experimentalmente, Darcy observou que a vazão, Q, é proporcional à área da seção transversal do meio poroso, A. Ele verificou também que Q é proporcional a h1 – h2 e inversamente proporcional à distância entre os piezômetros. Sendo assim: Q∝A h1 − h 2 . z1 − z 2 Seguindo o clássico procedimento para construção de modelos com a introdução da igualdade é necessário escrever uma constante de proporcionalidade: Q = KA ∂h h1 − h 2 ou V = −K . ∂x z1 − z 2 (9) As relações lineares podem ser justificadas com a evidência experimental ou com a teoria exposta anteriormente, relativa ao escoamento laminar. A definição da validade da Lei de Darcy com o número de Reynolds pode ser realizada, mas com alguma incerteza. Segundo Bear (1979, p.126), a Lei de Darcy é válida para um número de Reynolds não exceda algum valor entre 1 e 10. Para Re muito baixo, o mesmo autor destaca a provável ocorrência de efeitos não-newtonianos devido à interação entre argila e água. Para tais condições a Lei de Darcy não é válida .(BEAR, 1988, p. 128) Esse limite não é bem conhecido, mas Fand et al. (1986) mencionam que os dados de Darcy sugerem Re igual a 10-5 como limite. A Figura 3 ilustra a relação entre 4f (fator de resistência de Fanning) e Re. (a) Figura 3 – Regimes de escoamento e validade da Lei de Darcy: Classificação de Bear (1988). 155 Os escoamentos de transição e turbulentos não podem ser representados pela Lei de Darcy. Forchheimer (1901), como comentado por Bear (1988, p. 177), foi provavelmente o primeiro a propor uma relação não linear entre If e V para elevados números de Reynolds. O seu equacionamento para escoamento unidimensional (equação 10) é parecido com a Lei apresentada por Darcy (1857, p. 4) para escoamentos em tubulações. (10) I f = WV + bV 2 , em que W e b são constantes. Neste estágio dos nossos estudos introdutórios sobre meios porosos, antes de iniciarmos a uso de métodos computacionais, serão apresentados alguns exemplos mais simples, porém de grande relevância para o iniciante nesta disciplina da Hidráulica. Os leitores familiarizados com o tema podem avançar sem prejuízos. EXEMPLO 1: O aparato experimental apresentado na Figura 4 ilustra o experimento de Darcy e foi empregado para realização de experimentos que originaram os dados expostos na Tabela 1. Utilizando esses dados, calcule a condutividade hidráulica, K. ∆h Q ∆L ∆L ∆L solo Q (a) Figura 4 – Experimento de Darcy. Fonte: Simões (2007). Laboratório de Hidráulica da EESC-USP. (b) Tabela 1 – Dados obtidos com a realização dos experimentos Experimento Nº 1 Vol [m³] 5,0E-04 5,0E-04 5,0E-04 t [s] 256 258 257 ∆h [m] 0,426 0,495 0,492 Solução Observa-se que o volume estabelecido para medição de vazão é igual a 500 ml. O tempo médio encontrado é t = 257 s. Com esse resultado é possível realizar o cálculo da vazão e velocidade aparente ou velocidade de filtração (vazão por unidade de área): 156 Q = 5.10-4/257 = 1,95.10-6 m³/s. V = Q/A = 7,01.10-5 m/s. Cálculo do gradiente hidráulico ou declividade da linha de energia, If, e K: ∆h = 0,471 m (valor médio). If = ∆h/∆L = 4,71 m/m. K = V/If = 1,49.10-5 m/s. Observações: O experimento realizado utiliza um equipamento conhecido como permeâmetro de carga constante e é praticamente uma repetição do experimento realizado por Darcy. A velocidade V é a velocidade aparente e não uma velocidade localizada no interior do meio poroso. A área permeável do meio poroso através da qual ocorre escoamento, Ap, deve ser menor que A (área da seção transversal interna do tubo). Deste modo, a velocidade definida com Ap será maior que a velocidade aparente, conclusão obtida com a equação da continuidade: Q = VA = VpAp, portanto, Vp = V(A/Ap). EXEMPLO 2: Condutividades hidráulicas muito baixas não podem ser mensuradas com precisão razoável utilizando-se o permeâmetro de carga constante. O permeâmetro de carga constante é recomendado para solos granulares que contenham no máximo 10%, em massa, de material que passa na peneira de 0,075 mm .(NBR 13292, 1995) Para condições diferentes, com K<10-5, utiliza-se o permeâmetro de carga variável (NBR 14545, 2000). Esse permeâmetro é um reservatório de nível variável e que funciona sendo esvaziado, conforme desenho da Figura 5. Identifique as grandezas presentes na equação a seguir e apresente a sua dedução. K= aH  h1 ln A∆t  h 2   .  157 Bureta graduada 1 Área a Área A h = h1 Água h2 3 2 .P.1 .P.2 =0 =0 =0 C    C     2 p1 v1 p 2 v 22 L dv = z2 + + + ∆H12 + z1 + + γ 2g γ 2g g dt C.P.1 − C.P.2 = z1 − z 2 = h = ∆H12 ∆H12 ≈ ∆H 34 If = H Meio poroso h h , Q s = KA H H 4 Figura 5 – Esboço de um permeâmetro de carga variável Solução Seja H o comprimento do trecho poroso; h1 a cota piezométrica no instante inicial, t1; h2 cota piezométrica no instante final t2; a = área da seção transversal da bureta; A = área da seção transversal do meio poroso e ∆t = t2 – t1, conforme desenho apresentado. A equação de conservação de massa para o reservatório formado pela bureta e cilindro de base maior é: − Qs = a dh h , para h > x. A vazão de saída segue a Lei de Darcy, Q s = KA e h/H é o gradiente dt H hidráulico porque as acelerações locais são desprezíveis e porque as perdas de carga nos trechos curtos não preenchidos com solo são muito menores que as perdas no meio poroso. Combinando as equações é obtida uma EDO de variáveis separáveis: t2 − KA h dh AK dt = =a ⇒− H dt a H ∫ t1 h2 dh ∫h h1 ⇒ h AK ∆t = ln h 1 − ln h 2 = ln 1 a H  h2    ∴ K = a H ln h 1 h A t ∆   2   .  Condutividade hidráulica e permeabilidade intrínseca do meio poroso Com a equação 7, repetida abaixo, observa-se que a condutividade hidráulica, K, depende das características do meio poroso. Tal dependência é observada na relação com o diâmetro característico, d, e com o coeficiente C, relacionado às formas das seções dos estreitos canais através dos quais ocorre o escoamento no meio poroso. Nota-se também a relação entre K e o líquido, representado pela viscosidade cinemática. 158 K= 2gd 2 Cν . (7) Identificando apenas a relação com o meio poroso, define-se a permeabilidade intrínseca, k (BEAR, 1979, p. 67): k= d2 . C (11) Cabe mencionar que algumas formulações foram propostas para o cálculo de k. 6 A unidade da condutividade hidráulica de acordo com o S.I. é m/s e a unidade usual é m/dia. k é expresso em m2 uma vez que C é adimensional. Pode-se usar também 1 Darcy = 1012 m2. Voltando ao número de Reynolds, Collins (1961) sugere que o diâmetro d seja modelado como d = (k/φ)1/2, em que φ = porosidade. Ward (1964), citado por Bear (1979), empregou d = k1/2. A Tabela 2 ilustra alguns valores de K. Tabela 2 – Condutividade hidráulica, K, para solos típicos e água a 20ºC K [m/s] [m/dia] Argila ≤ 10-8 ≤ 10-3 Silte 10-7 a 5.10-6 10-2 a 0,5 Areia siltosa 10-6 a 2.10-5 0,1 a 2 Areia fina 10-5 a 5.10-4 1 a 50 Areia (mistura) 5.10-5 a 10-4 5 a 10 Areia grossa 10-4 a 10-2 10 a 103 Burgau* limpo ≥ 10-2 ≥ 103 *cascalho de seixos e pedras miúdas, misturados com areia. Fonte: Lencastre (1996, p. 590). Solo Meios estratificados Para meios heterogêneos, isto é, solos com valores de K diferentes, pode-se estabelecer formulações para um valor de K equivalente. Para camadas em série (Figura 6a), o K equivalente será uma condutividade hidráulica “vertical”, Kv, calculada com Kv = 6 ∑ b bi / K i , Veja, por exemplo, LENCASTRE, 1996, p. 261. (12) 159 em que b é a soma dos valores bi que correspondem às espessuras das diferentes camadas, sendo i = 1,2,...,n e n o número de camadas. A dedução da equação 12 considera o fato de que a perda de carga total ao longo das camadas diferentes é igual à soma das perdas de carga individuais das camadas porque elas estão em série. Deste modo, Kv é um valor equivalente aplicável à camada heterogênea com espessura b. ∆h i = V bi , Ki ∑ ∆h i i =V b b b1 + V 2 + ... + V n = V Kn K2 K1 bi ∑K i . i (a) Figura 6 – Meios heterogêneos: (a) Camadas em série e (b) camadas em paralelo. (b) Para camadas paralelas, ou seja, quando o escoamento é horizontal (Figura 6b), se define a condutividade hidráulica horizontal KH. Através de cada camada escoa uma vazão por unidade de área Vi. A vazão total por unidade de área, V, é a soma das vazões das camadas, portanto, escreve-se: V= ∑ i Vi = ∑ equivalência i b i K i ∆h / L  = bK H ∆h / L ∴ K H = 1 b ∑bK . i i i (13) Veja a Figura 6b para definições das grandezas encontradas nas equações 12 e 13. Essas formulações podem ser encontradas também em Lencastre (1996, p. 262-263). 160 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CONTINUIDADE Primeira dedução Neste item é deduzida a forma diferencial da equação de conservação de massa para um meio poroso. Inicialmente, define-se a porosidade (φ) do meio: φ = dVf/dVol, (14) em que dVf = volume de fluido contido em um elemento poroso com volume dVol. O volume dVol inclui sólidos e vazios (ou líquido). Desse modo, a massa de fluido no interior de dVol é igual a ρdVf = ρφdVol. Utilizando dVol como volume de controle, a integral tripla do produto ρφdVol é igual à massa total de fluido contida em um volume macroscópico. Matematicamente, escreve-se: m Vol = ∫∫∫ρφdVol . (15) Vol O fluido pode escoar através das seções transversais do volume de controle elementar dVol, que deve ser interpretado com cuidado, pois, além da hipótese do contínuo, assume-se que nessa escala há um volume poroso válido para a dedução. Através de cada seção, o fluido pode escoar de tal maneira que o fluxo correspondente venha a ser avaliado com a Lei de Darcy. Sendo assim, a equação de conservação de massa em sua forma integral é escrita com a seguinte forma: 0= d dt ∫∫∫ρφdVol + ∫∫ ρV ⋅ n̂dA . Vol (16) A Utilizando o teorema de Gauss, a integral ao longo da superfície de controle é substituída por: ∫∫ ρV ⋅ n̂dA = ∫∫∫ div(ρV)dVol . A (17) Vol Combinando as equações 16 e 17, tem-se: 0=  ∂ (ρφ)  + div(ρV) dVol . ∂t  ∫∫∫  Vol (18) 161 Supõe-se agora que, através de uma dada superfície permeável do domínio, possa existir uma extração ou injeção de massa do volume a uma taxa conhecida. Esse termo fonte faz parte do balanço de massa e é escrito como massa por unidade de tempo uma vez que o balanço é efetuado por unidade de tempo. Tal definição implica definir a descarga  = dm dm  = = ρQ * dVol ⇒ m dt ∫∫∫ρQ * dVol . (19) vol Na equação anterior, Q* é a vazão injetada ou extraída por unidade de volume. Para levar em conta essa possibilidade, soma-se a equação 19 à equação 18: 0=   ∂ (ρφ) + div(ρV) + ρQ * dVol . ∂t  ∫∫∫  Vol (20) Uma vez que dVol é diferente de zero o integrando deve ser nulo (teorema da localização). Como resultado, obtém-se: ∂ (ρφ) + div(ρV) + ρQ* = 0 . ∂t (21) A equação anterior pode ser combinada com a equação de Darcy (equação 8) produzindo o seguinte resultado: ∂ (ρφ) − ∇ ⋅ (ρK∇h ) + ρQ* = 0 . ∂t (22) O sinal de ρQ* é positivo quando há injeção de massa no volume de controle e negativo quando algum sistema de bombeamento, por exemplo, extrai água do meio subterrâneo. Segunda dedução A dedução apresentada neste item conduz à mesma equação obtida anteriormente. Ela é iniciada com o enunciado do princípio de conservação de massa para um volume de controle: 162 massa gerada ou  variação de massa no interior  Massa que entra por  Massa que sai por      +  consumida por  = do volume de controle por     unidade de tempo unidade de tempo  unidade de tempo unidade de tempo         Considere o desenho apresentado na Figura 7. (a) (b) Figura 7 – Volume de controle infinitesimal (a) e balanço de massa (b) O balanço de massa pode ser realizado com as noções básicas empregadas para a construção de modelos da física-matemática (série de Taylor, equação da reta em distâncias pequenas). O quadro a seguir resume o balanço com a apresentação das descargas em cada seção da Figura 7. Quadro 1 – Descargas junto às superfícies permeáveis do volume de controle Entradas, em x, y e z Em x x m Em y y m Em z z m Saídas, em x+dx, y+dy e z+dz x ∂m    x +dx = − m x+ m dx  ∂x    ∂m y     y +dy = − m  m  y + ∂y dy    z   ∂m  z+dz = − m z+ m dz  ∂y   Soma  x −m  x +dx = − m  y −m  y+dy = − m  z −m  z +dz = − m x ∂m dx ∂x y ∂m ∂y dy z ∂m dz ∂z Somando as contribuições de todas as superfícies, escreve-se: ∑ m i y ∂m  ∂m x z  ∂m dz  . dy + dx + = − ∂z ∂y   ∂x Escrevendo a descarga em termos da velocidade aparente, V,  i = ρVi A i , em que i = x,y,z. m (23) 163 ∂ρVy dxdz  ∂ρVx dydz ∂ρVz dxdy  dx + dy + dz  = ... = − ∂x ∂y ∂z   .  ∂ρVx ∂ρVy ∂ρVz  dVol ... = − + + ∂y ∂z   ∂x ∑ m i (24) A equação 24 representa o somatório de descargas (massas que entram e saem do volume de controle por unidade de tempo). O termo fonte também é representado como massa por unidade de tempo na soma original e é modelado da seguinte forma: dm  =G. dt (25) A variação de massa por unidade de tempo dentro do volume de controle é: ∂m ∂ = (ρφ)dVol . ∂t ∂t (26) Somando todos os termos e dividindo-os por dVol, escreve-se: g = ∂ρVx ∂ρVy ∂ρVz ∂ (ρφ) + + + ∂t ∂x ∂y ∂z , (27) em que g = G / dVol . Identificando o divergente e utilizando a Lei de Darcy generalizada: ∂ (ρφ) − ∇ ⋅ (ρK∇h ) − g = 0 , ∂t (28) que é a equação obtida anteriormente, com a primeira dedução. Formas simplificadas da equação diferencial Com a massa específica constante, obtém-se: ∂φ g − ∇ ⋅ (K∇h ) − = 0 . ∂t ρ A ausência de termos fonte resulta em: (29) 164 ∂φ − ∇ ⋅ (K∇h ) = 0 . ∂t (30) Em meios porosos isotrópicos a condutividade hidráulica passa a ser independente da orientação do escoamento e se o meio for homogêneo ela não dependerá da posição ao longo do volume, sendo um escalar: ∂φ − K∇ 2 h = 0 . ∂t (31) Para condição de regime permanente, a equação é reduzida à forma: 2 2 2 ∇ 2 h = 0 ou ∂ h2 + ∂ h2 + ∂ h2 = 0 , ∂x ∂y ∂z (32) que é a equação de Laplace, uma equação elíptica (recorde as equações do golpe de aríete e de Saint-Venant, que são equações hiperbólicas). Considerando as simplificações que levaram à equação de Laplace, exceto a exclusão do termo fonte, é obtida a equação a seguir, que é uma equação de Poisson, também uma equação elíptica. ∇2h = − g . Kρ (33) A equação elíptica é caracterizada por possuir soluções h(x,y,z) que são válidas para diferentes instantes, mas esses tempos não estão ligados entre si (regime permanente). A equação parabólica contém a taxa de variação temporal, derivada que une os instantes, de tal maneira que h=h(x,y,z,t), sendo este o regime não permanente. Essas são as interpretações físicas. Os termos “elíptica”, “parabólica” e “hiperbólica” foram definidos com a analogia às curvas cônicas tridimensionais. 165 Adaptação para aquíferos: Deformações ao longo de z. A variação de massa dentro do volume de controle foi modelada com a equação 26, que agora é reescrita com a possibilidade de variação em dVol, ∂m ∂ = (ρφdVol) . ∂t ∂t (26) Para aplicações em aquíferos, será necessário o uso da compressibilidade, β, do fluido (água, por exemplo): βdp = dρ . ρ (34) O aquífero pode sofrer uma variação em seu volume quando há uma variação de pressão. Assumindo que há apenas variações ao longo da profundidade, a compressibilidade do aquífero é dada por: αdp = d(dz) . dz (35) Com a definição de porosidade, pode-se escrever: φ= Vol Fluido Vol Fluido + Vol s 1− φ = 1− . A fração de sólidos é Vol Fluido + Vol s − Vol Fluido Vol s Vol s Vol Fluido = = = ∴. Vol Fluido + Vol s Vol Fluido + Vol s Vol Fluido + Vol s Vol Vol s = (1 − φ)dVol ⇒ dVol s = 1 ⇒ dVol s = d[(1 − φ)dVol] . d[(1 − φ)dVol] A porosidade do aquífero é modificada quando há compressão ou expansão, mas o volume de sólidos, Vols, permanece inalterado. Sendo assim, como não há variação no volume de sólidos, 166 dVol s = 0 = d[(1 − φ)dxdydz] . (36) Assumindo que não ocorram deformações no plano horizontal, d[(1 − φ)dz] = 0 . (37) A equação 37 pode ser desenvolvida da seguinte forma d[(1 − φ)dz] = (1 − φ)d (dz) + dz(−dφ) = 0 ∴ dzdφ = (1 − φ)d (dz) dφ = (1 − φ)d(dz) . dz (38) A hipótese de variação de pressões hidrostática em um aquífero é razoável. Sendo assim, pode-se escrever a componente vertical da equação básica da estática: dp = ρg . dh (39) As compressibilidades definidas permitem escrever: dρ = βρdp = βρρgdh , (40) d (dz) = αdpdz = αρgdhdz . (41) Substituindo a equação 41 na equação 38, vem dφ = (1 − φ)αρgdh . (42) A equação 26, apresentada inicialmente, agora é empregada, recordando-se que dxdy=constante. ∂m ∂ ∂ ∂φ ∂ρ   ∂ (dz) = (ρφdVol) = (ρφdz)dxdy = ρφ + ρdz + φdz  dxdy . ∂t ∂t ∂t ∂ ∂ ∂t  t t  (43) 167 Neste estágio da dedução, deve-se substituir as equações 40 a 42 na equação 43: ∂φ ∂ρ   ∂ (dz) ρφ ∂t + ρdz ∂t + φdz ∂t  dxdy = ...   ∂h ∂h ∂h   ... = ρφdzαρg + ρdz(1 − φ)αρg + φdzβρρg  dxdy = ... ∂t ∂t ∂t   ∂h = ... ... = [φαρg + (1 − φ)αρg + φβρg ]ρdzdxdy ∂t ∂h = ... ... = [φαρg − φαρg + αρg + φβρg ]ρdzdxdy ∂t ... = (αρg + φβρg)ρdzdxdy ∂h . ∂t (44) Com a equação 44, pode-se escrever a seguinte igualdade: ∂m ∂ ∂h = (ρφdVol) = (αρg + φβρg)ρdVol . ∂t ∂t ∂t (45) A seguir é apresentado o balanço de massa por unidade de tempo, que utiliza informações das deduções realizadas anteriormente. (αρg + φβρg)ρdVol  ∂ρVx ∂ρVy ∂ρVz ∂h + + = − ∂z ∂t ∂y  ∂x  . dVol + G   (46) O uso da Lei de Darcy e a divisão por dVol conduzem ao seguinte resultado: (αρg + φβρg)ρ ∂h = −∇ ⋅ (ρV) + g = ∇ ⋅ (ρK∇h ) + g . ∂t (47) Para um aquífero homogêneo e isotrópico e com escoamento incompressível (ρ = constante), o resultado obtido é: (αρg + φβρg) ∂h g = K∇ 2 h + . ∂t ρ (48) Nesta equação é possível identificar o armazenamento específico, definido como (JACOB, 1940, 1950; COOPER, 1966): 168 Ss = ρg(α + φβ) . (49) Também conhecido como coeficiente de armazenamento elástico, o armazenamento específico, Ss, representa a quantidade de água por unidade de volume de uma formação saturada que é armazenada ou expelida devido à compressibilidade do meio bifásico (sólido-água), por unidade de carga. (FETTER, 2001, p. 101) O adimensional Ssb é definido como armazenamento, S, de um aquífero confinado com espessura b. Em um aquífero de espessura b e largura L, a vazão pode ser calculada com a Lei de Darcy, resultando em: Q = KbLI f . Define-se como transmissividade, T, a seguinte igualdade: Q = Kb = T . Sendo assim, a transmissividade representa a vazão por unidade de largura e carga LI f hidráulica do escoamento horizontal ao longo de uma espessura saturada de aquífero. Substituindo essas três definições na equação 48 reescrita para o caso bidimensional sem componentes verticais, o resultado obtido é S ∂h ∂ 2 h ∂ 2 h g = + + T ∂t ∂x 2 ∂y 2 ρK . (50) Drenância ou “leakage” Em um aquífero pode ocorrer transferência de massa (de água) através de camadas semipermeáveis que limitam o aquífero. Nesse caso, o aquífero é chamado de semiconfinado, sendo tal fenômeno conhecido como leakage (veja a Figura 1), palavra que pode ser traduzida como drenância como utilizado pelo professor Lencastre (1996, p. 257). Assumindo que o escoamento ocorra na horizontal, sendo “e” a taxa de drenância, a equação diferencial de conservação de massa assume a seguinte forma (FETTER, 2001, p. 128): S ∂h ∂ 2 h ∂ 2 h e + . + = T ∂t ∂x 2 ∂y 2 T (51) 169 Aquíferos não confinados A equação para aquíferos com superfície livre foi deduzida por Boussinesq (1904) e pode ser vista a seguir: 7 ∂  ∂h  ∂  ∂h  S y ∂h . h  + h  = ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  K ∂t (52) Se o rebaixamento da superfície livre do aquífero é pequeno quando comparado à espessura média do aquífero, a carga hidráulica h pode ser substituída por b (espessura média). Essa aproximação lineariza a equação de Boussinesq, resultando em: S y ∂h ∂ 2 h ∂ 2 h = + Kb ∂t ∂x 2 ∂y 2 . (53) Um escoamento com superfície livre, com altura h, cota piezométrica ϕ = z + p/γ, ocorre com vazão ao longo de x calculada por: h h ∂ϕ ∫ V dydz = −Kdy∫ ∂x dz . (54) x 0 0 Definindo qx como a vazão por unidade de largura, h q x = −K ∂ϕ ∫ ∂x dz . (55) 0 Como o volume de controle possui superfície deformável devido à superfície livre, utiliza-se a regra de Leibniz para avaliar a integral anterior, o que resulta em: ∂ h ∂ h ∂ h ∂h  ∂h  1 ∂h 2   = ... ϕdz − ϕdz − h  = −K  ϕdz − ϕ(h )  = −K  q x = −K  ∂x  ∂x  2 ∂x   ∂x 0  ∂x 0  ∂x 0       . h 2   ∂ h  ... = −K  ϕdz − ∂x  2  0  ∫ ∫ ∫ 7 Ver dedução ilação em Bear, 1979, p. 112-113 ∫ (56) 170 h Definindo I( x, y) = ∫ ϕdz − 0 h2 , a equação 56 é reescrita como: 2 ∂I . ∂x q x = −K (57) Procedimento semelhante conduz ao resultado para y q y = −K ∂I . ∂y (58) A equação de conservação de massa deduzida anteriormente, com restrições agora facilmente identificáveis, é  ∂ 2I ∂ 2I ∂q x ∂q y = − K 2 + 2 + ∂y ∂x ∂y  ∂x  =0.   (59) A dedução anterior pode ser encontrada em Lencastre (1996, p. 264-265) e é atribuída a Tcharnyi, segundo o mesmo autor. Escoamento em regime permanente Aquífero confinado e escoamento em direção a canais Considere a Figura 8, que ilustra um aquífero confinado, horizontal, com espessura b (vertical), homogêneo e isotrópico, com escoamento em regime permanente e incompressível. Empregando a Lei de Darcy, a vazão calculada que escoa em direção ao canal será: Q = KbL h ( 0) − h ( X ) , X em que bL = área da seção transversal ao escoamento, L=largura. (60) 171 Figura 8 – Aquífero entre lago e canal. Trecho confinado de um meio poroso. Esboço sem escala A posição da superfície livre em x = X pode ser calculada com: h ( X ) = h ( 0) − Q X. KbL (61) Aquífero não confinado ou freático Em um aquífero freático a posição da superfície livre faz parte da solução de um determinado problema. Neste caso, o gradiente hidráulico é função da posição ao longo do escoamento, como ilustrado na Figura 9. Hipótese de Dupuit h0 h1 h x h2 hr hv L Figura 9 – Aquífero livre A solução apresentada para este problema é conhecida como solução de Dupuit (1863) e possui as seguintes hipóteses: (a) O gradiente hidráulico é igual à declividade da linha d’água; (b) Para superfície livre com pequena inclinação, as linhas de corrente são horizontais e as equipotenciais são verticais. 172 A Lei de Darcy pode ser escrita com a seguinte forma: q = −Kh dh , dx (62) em que h é a altura da camada saturada do aquífero, q é a vazão por unidade de largura. Integrando a equação anterior, escreve-se: h2 L  h2 h2  q dx = −K hdh ⇒ qL = −K 2 − 1  ∴ ,  2 2   0 h1 ∫ ∫  h 2 − h 22 q = K 1  2L   .   (63) Integração semelhante conduz a uma função h=h(x), definida a seguir: h = h12 − 2q x K ou h = h12 − (h12 − h 22 ) x L (64) Quando o escoamento freático ocorre para fora do meio poroso, como na Figura 9, é estabelecida a altura de ressurgência, hr (em barragens de terra, valas, poços). A determinação de hr pode ser feita com a fórmula empírica de Vibert (citado por Lencastre, 1996): 1 1 X 2 + 4( h 0 − h v ) 2 , hr = − X2 + 2 2 (65) X é a distância entre h0 e hv. Inclusão da taxa de recarga ou evaporação Se há possibilidade de infiltração ou evaporação, com a Lei de Darcy, pode-se demonstrar a seguinte equação. 8 h = h12 − (h12 − h 22 ) w x + (L − x ) x K L , (66) em que w é a taxa de recarga, [L]/[T], por exemplo, em m/dia, ft/dia ou m/s (veja a simbologia desta equação na Figura 10). L é a distância entre h1 e h2, x é um eixo coordenado com origem na posição de h1. 8 Veja a indução em Fetter, 2001, p. 141-143. 173 Figura 10 – Escoamento não-confinado com infiltração (w positivo) ou evapotranspiração (w negativo) A vazão por unidade de largura é calculada com a derivação da equação anterior, que resulta em uma função que relaciona qx e a posição x: qx = K (h12 − h 22 ) L  − w − x  , 2L 2  (67) em que qx = vazão por unidade de largura, [L²]/[T]. A distância, d, desde a origem até a posição em que ocorre a divisão, para qx = 0, é: d= L K (h12 − h 22 ) − . 2L 2 w (68) Se x = d, h = max(h): max(h ) = h12 − (h12 − h 22 ) w d + ( L − d )d L K . (69) Escoamentos com influência de poços Quando a água presente em um poço é bombeada para fora do meio poroso, há um abaixamento do nível de água (aquífero livre) ou superfície piezométrica (aquífero confinado). Como consequência, é estabelecido um cone de depressão cujo limite exterior define a área de influência do poço. 174 (a) (b) Figura 11 – Escoamento radial em regime permanente para um poço inserido em um aquífero confinado. (a) Definições das grandezas empregadas. (b) Ilustração do cone de depressão Fonte: Imagem (a), adaptação de Todd (1959, p.78). Aquífero confinado (Regime permanente) São consideradas inicialmente as seguintes restrições: 1. Escoamento radial, permanente e incompressível. 2. O poço penetra completamente no aquífero confinado. 3. Aquífero homogêneo e isotrópico. 4. Escoamento bidimensional e horizontal (aplicam-se as hipóteses de Dupuit). 5. Escoamento laminar, com validade da Lei de Darcy. A Figura 11a é empregada como referência para definição das grandezas utilizadas e dedução da equação apresentada a seguir. A vazão Q do poço a qualquer distância r é calculada com a Lei de Darcy com a seguinte forma: Q = Av = 2πrbK dh . dr (70) A equação anterior é uma EDO de variáveis separáveis: 2πbK dr 2πbK h = dh ⇒ ln r − ln rw = ln(r / rw ) = (h − h w ) . rw r Q hw Q ∫ r Q= ∫ 2πbK (h − h w ) . ln(r / rw ) (71) 175 A equação anterior é conhecida como equação de Thiem ou equação de equilíbrio. Se o poço está no centro de uma ilha, h = h0 em r = r0, que é a borda da ilha: Q= 2πbK (h 0 − h w ) . ln(r0 / rw ) (72) A determinação da condutividade hidráulica de um aquífero pode ser realizada de forma aproximada com a equação de Thiem: K=Q ln(r / rw ) . 2πb(h − h w ) (73) Considere um poço bombeado e dois poços de observação a distâncias r1 e r2 do poço bombeado. Se h(r1) = h1 e h(r2) = h2, então o cálculo de K pode ser feito com: K=Q ln(r2 / r1 ) . 2πb(h 2 − h1 ) (74) A aplicação da equação anterior deve ser feita para condição de regime permanente, o que pode ser alcançado na prática de forma aproximada quando a variação no rebaixamento dos poços com o tempo for desprezível. Aquífero não confinado (Regime permanente) Considere o desenho esquemático da Figura 12 (TODD, 1959) e as seguintes simplificações: 1. Escoamento radial, permanente e incompressível. 2. O poço penetra completamente no aquífero. 3. Aquífero homogêneo e isotrópico. 4. Escoamento bidimensional e horizontal (aplicam-se as hipóteses de Dupuit). 5. Escoamento laminar, com validade da Lei de Darcy. 176 Figura 12 – Escoamento radial para um poço em aquífero não confinado A vazão, calculada com a Lei de Darcy, é: Q = Av = 2πrhK Q dh Q dr ⇒ = hdh ⇒ 2πK dr 2πK r h dr = hdh ∴ . rw r hw ∫ r ∫  h 2 − h 2w  Q = πK  .  ln(r / rw )  (75) Considerações práticas: 1. A equação 75 fornece boas estimativas para Q. 2. A equação 75 não prevê a curva de rebaixamento perto do poço devido às componentes verticais do escoamento. 3. Todd (1959, p. 81) sugere r0 entre 500 e 1000 pés como aproximação para aplicação prática da equação 75. 4. Lencastre (1996, p. 275) recomenda ∂h/∂r = 0,2 como limite para fórmula de Dupuit (eq. 75). 5. Na prática o poço deve ser explorado com valores do rebaixamento entre 0,5h0 e 0,75h0, em que h0 – hw = rebaixamento. 6. Nas proximidades do poço há um rebaixamento brusco que pode ser avaliado com fórmulas empíricas (LENCASTRE, 1996, p. 277). 7. Usa-se mão livre para traçar a superfície entre ∂h/∂r = 0,2 e a ressurgência. 177 Regime variável – Solução de Theis para aquífero confinado A equação diferencial parcial que modela o escoamento sob essas condições é: ∂h T ∂ 2 h T ∂h = + ∂t S ∂r 2 rS ∂r . (76) Empregando um sumidouro matemático de resistência constante para representar um poço de bombeamento, Theis desenvolveu a seguinte solução: h = h0 − Q 4πT e−u du , r 2 S /( 4 Tt ) u ∫ ∞ (77) em que u = r²S/(Tt) e Q é a vazão do poço. A equação anterior é conhecida como a equação de desequilíbrio ou equação de Theis. 178 SOLUÇÕES NUMÉRICAS Esta parte do texto é dedicada ao uso de métodos computacionais e numéricos para a solução de problemas em duas dimensões e em regime variável. Trata-se de uma introdução ao tema, restrita ao emprego de diferenças finitas. Esse assunto pode ser amplamente discutido e desenvolvido com elementos finitos, método dos elementos analíticos, entre outros. Equação diferencial: Forma original e forma discreta. A equação 50 deduzida anteriormente é aplicável aos escoamentos variáveis em aquíferos confinados, para condição de isotropia, homogeneidade, escoamento bidimensional. O termo fonte presente nesta equação é útil para representar a vazão em escoamento através de um poço, sendo negativo para extração de água do aquífero e positivo para simulação de recarga. S ∂h ∂ 2 h ∂ 2 h g = + + T ∂t ∂x 2 ∂y 2 ρK , (50a) ou ∂h T  ∂ 2 h ∂ 2 h  g T + = + ∂t S  ∂x 2 ∂y 2  ρK S . (50b) Lembrando que S é adimensional, T = Kb e dm = ρdVol, g = g T ρQ Kb Q b Q G ρQ = = = = , é possível escrever . ρK S dVol ρKS dVol S SdA dVol dVol Deste modo, em uma malha estruturada com ∆x e ∆y, pode-se escrever o termo fonte como g T Q = . ρK S S∆x∆y O esquema numérico utilizado nos exemplos expostos a seguir utiliza diferença finita progressiva para a derivada temporal e diferenças finitas centradas para os termos difusivos 179 (derivadas de segunda ordem em relação aos eixos x e y). Trata-se de um esquema numérico explícito, em que n denota o tempo, i e j o espaço, como escrito a seguir. n +1 n ∂h h i, j − h i, j = ∆t ∂t . (78) n n n ∂ 2 h h i +1, j − 2h i, j + h i −1, j = . ∂x 2 ∆x 2 (79) n n n ∂ 2 h h i, j+1 − 2h i, j + h i, j−1 = ∂y 2 ∆y 2 (80) . A análise de estabilidade deste esquema numérico para o caso de duas dimensões e sem o termo fonte mostra que ∆t deve satisfazer: 9 ∆t ≤ ( ) S ∆x 2 + ∆y 2 . 8T (81) Substituindo as equações 78 a 80 na equação 50b, vem h in, +j 1 − h in, j ∆t = n n n n n n Q T  h i +1, j − 2h i, j + h i −1, j h i, j+1 − 2h i, j + h i, j−1  + + . 2 2  S∆x∆y S ∆ ∆ y x   (82) Para elaboração do algoritmo é conveniente isolar hi,jn+1: h in, +j 1 = n n n n n n Q T  h i +1, j − 2h i, j + h i −1, j h i, j+1 − 2h i, j + h i, j−1  + ∆t + ∆t + h in, j . 2 2  S∆x∆y S y ∆ ∆ x   (83) Códigos O código desenvolvido pode ser utilizado em Matlab ou, com poucas adaptações, no software gratuito Octave. A sua simplicidade não exige grande esforço para compreensão, mas por 9 Veja, por exemplo, Chapra e Canale (2008, p. 732). 180 razões didáticas, a apresentação a seguir segue a divisão padrão, com pré-processamento, processamento e pós-processamento. Os dados que aparecem nesse exemplo da Tabela 1 serão utilizados posteriormente. Tabela 1 – Código para solução da equação 83. Regime variável, 2D, com termo fonte 1) PRÉ-PROCESSAMENTO: clear all close all %Modelo 2D para difusão de h em um aquífero confinado. %André Luiz Andrade Simões, Harry Edmar Schulz e Rodrigo de Melo Porto. Última atualização: 22/4/2014. %Dados: Lx = 10000; %[m] Comprimento do domínio em x Ly = 10000; %[m] Comprimento do domínio em y Nx=40; %Número de divisões do eixo x. Ny=40; %Número de divisões do eixo y. dx=Lx/(Nx-1);%espaçamento da malha em x (leia delta x e não dx) dy=Ly/(Ny-1);%espaçamento da malha em y (leia delta y e não dy) S=0.000198;%Adimensional Q=0.03155; %SI, m³/s T=0.015; tt=14400;%tt é o tempo total considerado para a simulação. %240; Nt=6900;%é o número de divisões no eixo temporal. dt=tt/(Nt-1) D=T/S; dtest=(1/8)*(dx^2+dy^2)/D Ntest = tt/dtest+1 pause() x=(0:dx:Lx)'; y=(0:dy:Ly)'; h0=100; h = h0*ones(Nx,Ny); ht = h0*ones(Nx,Ny,Nt); %Termo fonte: F = 0; %Condição inicial: % % % % % for i=1:Nx for j=1:Ny 181 % if i>=(Nx+1)/2-2 && i<=(Nx+1)/2+2 && j>=(Ny+1)/2-2 && j<=(Ny+1)/2+2 % % h(i,j) = h0; % % end % end % end hh = h; ht(:,:,1) = h; [X, Y] = meshgrid(linspace(0,Lx,Nx),linspace(0,Ly,Ny)); mesh(X',Y',h,'FaceColor','blue','EdgeColor','none') camlight left; lighting phong xlabel('x') ylabel('y') zlabel('h') pause() 2) PROCESSAMENTO n=1; for t=dt:dt:tt n=n+1 %Condições de Contorno: % % % % % % % % % h(1,:) = h(2,:); h(Nx,:) = h(Nx-1,:); h(:,1) = h(:,2); h(:,Ny) = h(:,Ny-1); hh(1,:) = h(2,:); hh(Nx,:) = h(Nx-1,:); hh(:,1) = h(:,2); hh(:,Ny) = h(:,Ny-1); for i=2:Nx-1 x(i,1)=(i-1)*dx; for j=2:Ny-1 y(j,1)=(j-1)*dy; %Os “ifs” a seguir possibilitam localizar o termo fonte no domínio computacional discreto. %if i>=(Nx+1)/2-4 && i<=(Nx+1)/2+4 && j>=(Ny+1)/2-4 && j<=(Ny+1)/2+4 if i == 9 && j==9 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; % else if i==19 && j==9 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... 182 % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==9 && j==19 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==20 && j==20 F=-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==9 && j==29 F=0;%Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==19 && j==29 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==29 && j==29 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else F=0; % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; end end end end end end end 183 hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; end end h=hh; ht(:,:,n) = h; %ht é um conjunto de n matrizes com i linhas e j. Pode ser interpretada como uma “matriz 3D”, com i linhas, j colunas e n matrizes 2D. end 3) PÓS-PROCESSAMENTO for n=1:11:Nt t=(n-1)*dt; contourf(X',Y',ht(:,:,n)); colorbar xlim([0 Lx]) ylim([0 Ly]) title(['t = ',num2str(t./86400),'dia']) axis equal M=getframe; end 184 Problema 6.1 – Escoamento em direção a um poço A extração de água de um aquífero confinado é realizada por meio de um poço completamente imerso no aquífero. A vazão de 28,9 L/s pode ser considerada constante (após um breve período transitório inicial) e produz um rebaixamento na carga piezométrica que deve ser avaliado. Com esses dados e sabendo que T = 0,01285 m2/s e S = 0,000206 (adimensional), simule o cone de depressão para um tempo total de 240 min, Lx = Ly = 800 m e Nx=Ny=50. Solução O código anterior foi escrito com as informações necessárias para a solução deste problema, restando apenas a modificação dos dados. Após alguns minutos, a conclusão dos cálculos conduz aos resultados apresentados a seguir. As condições de contorno empregadas foram h = h0 em todo o contorno. Esse valor fixo corresponde à condição de contorno de Dirichlet. Com pode ser visto na Figura 13, é estabelecido o cone de depressão esperado. Com o trecho final do código apresentado é possível visualizar a evolução temporal do rebaixamento. t = 0.166 dia 800 100 700 99.8 99.6 600 99.4 y [m] 500 99.2 400 99 300 98.8 200 98.6 100 0 98.4 0 200 400 x [m] 600 800 (a) (b) Figura 13 – Solução numérica para h(x,y) e t = 0,166 dia. As cores indicam valores de h, em metros e ilustram o cone de depressão com as linhas equipotenciais. A Figura (b) é o cone de depressão 185 Problema 6.2 – Poço inserido em um escoamento Simule o escoamento em um aquífero confinado com superfície piezométrica que varia linearmente de 120 m a 100 m nas laterais e com um poço no centro do domínio computacional, que possui Lx = Ly = 4200 m. Apresente as soluções indicando a distorção em relação ao problema anterior, que não possui superfície piezométrica com inclinação nas laterais. Dados: S = 0,0002; T = 0,001 m²/s; Q = 0,02 m³/s, Nx=Ny = 40 e tempo total de 60 dias. Solução Os resultados a seguir ilustram a interação entre poço e superfície piezométrica inclinada. Nota-se que na posição onde foi realizado o bombeamento, o rebaixamento cresce até um máximo e em seguida decresce alcançando assintoticamente o nível permanente. A Figura 14a também ilustra o campo de velocidades aparentes para K unitário. O leitor pode observar outros detalhes com o código deste exemplo. Para pensar Se as condições iniciais fossem impostas assim como foi feito para as laterais do domínio (condição de contorno) com uma superfície piezométrica plana e inclinada, a Figura 16d seria igual? t = 60 dia t = 60 dia 4000 2500 115 3500 115 2400 3000 2300 110 110 y [m] 2200 2000 2100 105 105 1500 2000 1000 1900 100 100 1800 500 0 1000 2000 x [m] 3000 4000 1700 1600 (a) 1800 2000 x [m] 2200 2400 (b) 12 10 8 0 0 h -h y [m] 2500 6 4 2 0 0 5 10 t [dia] (c) Figura 14 – Solução numérica para h(x,y) e t = 60 d (a,b,c) 15 (d) 186 Em (d) é apresentado o rebaixamento na posição do poço. CÓDIGO DO PROBLEMA 6.2 clear all close all %Modelo 2D para difusão de h em um aquífero confinado. %André Luiz Andrade Simões, Harry Edmar Schulz e Rodrigo de Melo Porto. 22/4/2014. %Dados: Lx = 4200; %[m] Comprimento do domínio em x Ly = 4200; %[m] Comprimento do domínio em y Nx=40; %Número de divisões do eixo x. Ny=40; %Número de divisões do eixo y. dx=Lx/(Nx-1);%espaçamento da malha em x (leia delta x e não dx) dy=Ly/(Ny-1);%espaçamento da malha em y (leia delta y e não dy) S=0.0002;%Adimensional Q=0.02; %SI, m³/s T=0.001;%Kb, m²/s tt=60*86400;%tt é o tempo total considerado para a simulação (60 dias); Nt=9000;%é o número de divisões no eixo temporal. dt=tt/(Nt-1) D=T/S; dtest=(1/8)*(dx^2+dy^2)/D Ntest = tt/dtest+1 pause() x=(0:dx:Lx)'; y=(0:dy:Ly)'; h0=100; h = h0*ones(Nx,Ny); ht = h0*ones(Nx,Ny,Nt); %Termo fonte: F = 0; %Condição inicial: % for i=1:Nx % % for j=1:Ny % % % if i>=(Nx+1)/2-2 && i<=(Nx+1)/2+2 && j>=(Ny+1)/2-2 && j<=(Ny+1)/2+2 % % h(i,j) = h0; % % end % end % end hh = h; 187 ht(:,:,1) = h; [X, Y] = meshgrid(linspace(0,Lx,Nx),linspace(0,Ly,Ny)); %U = reshape(x, NJ, NI); mesh(X',Y',h,'FaceColor','blue','EdgeColor','none') camlight left; lighting phong xlabel('x') ylabel('y') zlabel('h') pause() n=1; for t=dt:dt:tt n=n+1 %Condições de Contorno: h(1,:) = 120;%h(2,:); h(Nx,:) = 100;%h(Nx-1,:); h(:,1) = 120+x.*(100-120)/Lx;%h(:,2); h(:,Ny) = 120+x.*(100-120)/Lx;%h(:,Nz-1); hh(1,:) = 120;%hh(2,:); hh(Nx,:) = 100;%hh(Nx-1,:); hh(:,1) = 120+x.*(100-120)/Lx;%hh(:,2); hh(:,Ny) = 120+x.*(100-120)/Lx;%hh(:,Nz-1); for i=2:Nx-1 x(i,1)=(i-1)*dx; for j=2:Ny-1 y(j,1)=(j-1)*dy; %if i>=(Nx+1)/2-4 && i<=(Nx+1)/2+4 && j>=(Ny+1)/2-4 && j<=(Ny+1)/2+4 if i == 9 && j==9 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; % else if i==19 && j==9 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==9 && j==19 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==20 && j==20 F=-Q/(S*dx*dy); 188 % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==9 && j==29 F=0;%Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==19 && j==29 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==29 && j==29 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else F=0; % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; end end end end end end end hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; end end h=hh; ht(:,:,n) = h; end K=1; for n=1:10:Nt 189 t=(n-1)*dt; [DX,DY]=gradient(ht(:,:,n),dx,dy); contourf(X,Y,ht(:,:,n)); colorbar hold on quiver(X,Y,-K*DX,-K*DY) xlim([0 Lx]) ylim([0 Ly]) title(['t = ',num2str(t./86400),'dia']) axis equal %pause() M=getframe; end op1=0; op2=0; if op1==1 mesh(X',Y',h,'FaceColor','blue','EdgeColor','none') camlight left; lighting phong xlabel('x') ylabel('y') zlabel('h') xlim([0 Lx]) ylim([0 Ly]) %zlim([0 100]) title(['t = ',num2str(t),'s']) %pause() %axis equal M=getframe; end if op2==1 %[DX,DY]=gradient(T,dx,dy); contourf(0:dx:Lx,0:dy:Ly,h); colorbar %hold on %quiver(0:dx:Lx,0:dy:Ly,-a*DX,-a*DY,20) xlim([0 Lx]) ylim([0 Ly]) title(['t = ',num2str(t),'s']) %pause() %axis equal M=getframe; end for ii=1:Nt HHn(1,ii)=ht(20,20,ii); end plot(0:dt:tt,h0-HHn) 190 Problema 6.3 – Divisor de águas e ponto de estagnação Utilize o código anterior com cota piezométrica a montante igual a 140 m ao invés de 120 m e posicione o poço centralizado e mais a montante, a 1/4 do comprimento. Identifique o divisor de águas subterrâneas, o ponto de estagnação e o limite das águas que entram no poço (a montante em relação ao poço, no domínio). Solução As linhas equipotenciais são geradas pelo código e as linhas de corrente podem ser desenhadas com o auxílio do campo de velocidades. O divisor de águas delimita a região do campo de velocidades que converge para o poço. Em outras palavras, delimita a região que produz escoamento para dentro do poço. O ponto de estagnação é aquele ponto a jusante do poço que corresponde à mudança de sentido do escoamento (no espaço). O limite das águas que entram no poço está indicado no desenho. PE DA (a) Figura 15 – Solução do item (a). Unidades e acordo com o S.I. DA = divisor de águas subterrâneas. PE = Ponto de estagnação (b) Para pensar Modifique o código para que ele tenha como condição inicial h(x,y,0) uma função linear como aquela empregada para parte dos contornos. Essa seria uma situação mais próxima da realidade? 191 Problema 6.4 – Fonte e sumidouro Faça uma adaptação no código anterior e simule um poço de descarga (sumidouro) e um poço de reabastecimento (fonte). Apresente linhas equipotenciais e linhas de corrente. Figura 16 – Rede de escoamento para domínio com fonte e sumidouro O código desenvolvido para esta aplicação pode ser visto a seguir. Problema 6.4 clear all close all %Modelo 2D para difusão de h em um aquífero confinado. %André Luiz Andrade Simões, Harry Edmar Schulz e Rodrigo de Melo Porto. 26/4/2014. %Dados: Lx = 10000; %[m] Comprimento do domínio em x Ly = 10000; %[m] Comprimento do domínio em y Nx=60; %Número de divisões do eixo x. Ny=60; %Número de divisões do eixo y. dx=Lx/(Nx-1);%espaçamento da malha em x (leia delta x e não dx) dy=Ly/(Ny-1);%espaçamento da malha em y (leia delta y e não dy) S=0.0002;%Adimensional Q=0.015; %SI, m³/s T=0.001;%Kb, m²/s 192 tt=60*86400;%tt é o tempo total considerado para a simulação (60 dias); Nt=3700;%é o número de divisões no eixo temporal. dt=tt/(Nt-1) D=T/S; dtest=(1/8)*(dx^2+dy^2)/D Ntest = tt/dtest+1 pause() x=(0:dx:Lx)'; y=(0:dy:Ly)'; h0=100; h = h0*ones(Nx,Ny); ht = h0*ones(Nx,Ny,Nt); %Termo fonte: F = 0; %Condição inicial: % for i=1:Nx % % for j=1:Ny % % % %if i>=(Nx+1)/2-2 && i<=(Nx+1)/2+2 && j>=(Ny+1)/2-2 && j<=(Ny+1)/2+2 % % h(i,j) = 140+x(i,1).*(100-140)/Lx;%h0; % % %end % end % end hh = h; ht(:,:,1) = h; [X, Y] = meshgrid(linspace(0,Lx,Nx),linspace(0,Ly,Ny)); %U = reshape(x, NJ, NI); mesh(X',Y',h,'FaceColor','blue','EdgeColor','none') camlight left; lighting phong xlabel('x') ylabel('y') zlabel('h') pause() n=1; for t=dt:dt:tt n=n+1 %Condições de Contorno: % % % % % % h(1,:) = 140;%h(2,:); h(Nx,:) = 100;%h(Nx-1,:); h(:,1) = 140+x.*(100-140)/Lx;%h(:,2); h(:,Ny) = 140+x.*(100-140)/Lx;%h(:,Nz-1); hh(1,:) = 140;%hh(2,:); 193 % % % hh(Nx,:) = 100;%hh(Nx-1,:); hh(:,1) = 140+x.*(100-140)/Lx;%hh(:,2); hh(:,Ny) = 140+x.*(100-140)/Lx;%hh(:,Nz-1); for i=2:Nx-1 x(i,1)=(i-1)*dx; for j=2:Ny-1 y(j,1)=(j-1)*dy; %if i>=(Nx+1)/2-4 && i<=(Nx+1)/2+4 && j>=(Ny+1)/2-4 && j<=(Ny+1)/2+4 if i == 9 && j==9 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; % else if i==19 && j==9 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==30 && j==35 F=-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==30 && j==25 F=+Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==9 && j==29 F=0;%Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else if i==19 && j==29 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; 194 else if i==29 && j==29 F=0;%-Q/(S*dx*dy); % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; else F=0; % hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... % h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; end end end end end end end hh(i,j)=h(i,j)+D*dt*((h(i-1,j)-2*h(i,j)+... h(i+1,j))/(dx^2)+(h(i,j-1)2*h(i,j)+h(i,j+1))/(dy^2))+F*dt; end end h=hh; ht(:,:,n) = h; end K=1; for n=1:10:Nt t=(n-1)*dt; [DX,DY]=gradient(ht(:,:,n),dx,dy); contourf(X,Y,ht(:,:,n)); colorbar hold on quiver(X,Y,-K*DX,-K*DY) xlim([0 Lx]) ylim([0 Ly]) title(['t = ',num2str(t./86400),'dia']) axis equal %pause() M=getframe; end op1=0; op2=0; if op1==1 hmax=max(max(max(ht))); hmin=min(min(min(ht))); % mov=avifile('teste_f.avi') for n=1:100:Nt t=(n-1)*dt; 195 mesh(X',Y',ht(:,:,n),'FaceColor','blue','EdgeColor','none') camlight left; lighting phong xlabel('x') ylabel('y') zlabel('h') zlim([hmin hmax]) xlim([0 Lx]) ylim([0 Ly]) % view(-50,25) alpha(.9) %zlim([0 100]) title(['t = ',num2str(t)/86400,'dia']) pause() %axis equal M=getframe; %mov=addframe(mov, M); end mov=close(mov); end 196 197 CAPÍTULO 7 PROBLEMAS ESPECIAIS t = 0.24858 [min] 1 0.8 y 0.6 0.4 0.2 1 0 -2 -1 0.5 0 1 -3 0 x x 10 W(t) Perfil de velocidades em escoamento transitório. 198 Introdução Excercícios em diferentes níveis foram selecionados e discutidos neste capítulo. Eles representam avanços nos estudos, em um primeiro contato, pela introdução a temas de interesse prático imediato, como os projetos de bacias de detenção, bacias de detenção e canais de sistemas extravasores; em seguida, uma introdução à mecânica dos fluidos computacional explora perfis de velocidades completamente desenvolvidos (sem efeitos advectivos) em regime permanente e não permanente. Com esse exercício são analisados detalhes de escoamentos variáveis não vistos com a formulação unidimensional do capítulo 3. Problema 7.1 – Esvaziamento de um reservatório O problema de esvaziamento de um reservatório pode ser modelado com as leis físicas básicas escritas para volumes de controle e com as equações para o cálculo de perdas de carga distribuídas e localizadas. Pode-se incluir também modelos resultantes da aplicação da equação de Bernoulli com correções experimentais para representar escoamentos através de orifícios e vertedores, estruturas empregadas como saídas de alguns reservatórios. Em um ponto de vista didático, este problema permite ao estudante trabalhar com fundamentos simples de métodos numéricos no ambiente hidráulico. Adiciona-se à análise numérica a realização de experimentos de execução relativamente simples, permitindo ao aluno percorrer grande parte do ciclo do método científico, reunindo teoria e experimentação. Modelar matematicamente o esvaziamento de um reservatório também interessa à prática da Engenharia Hidráulica em algumas aplicações, como, por exemplo: (1) Esvaziamento de um reservatório de instalação predial ou industrial para realização de manutenção ou limpeza, por exemplo; (2) esvaziamento de um reservatório formado pela construção de uma barragem. Neste caso, deve-se observar que o enchimento do reservatório deve ocorrer acompanhado de inspeções que podem demorar semanas. A identificação de qualquer falha que exija o esvaziamento parcial colocará em operação a descarga de fundo para realização desta tarefa, ilustrando assim mais uma aplicação do problema básico de esvaziamento de reservatórios; (3) entre possíveis medidas estruturais para combate às enchentes, está a bacia de detenção. Durante a passagem de uma onda de cheia, um grande reservatório construído no curso da onda, a referida bacia, deve ser capaz de reduzir a vazão máxima a um valor compatível com a capacidade do canal localizado a jusante. A bacia de detenção possui estruturas hidráulicas de saída, como 199 orifícios, tubulações e vertedores, sendo, portanto, mais um reservatório que requer a análise de esvaziamento. Uma breve revisão dos fundamentos relacionados à conservação de massa. A forma integral da equação de conservação de massa aplicada a um volume de controle, equação 12, é parte do conjunto de equações necessário para modelar o problema de esvaziamento de um reservatório. d dt ∫∫∫ρdVol + ∫∫ ρV ⋅ ndA = 0 , Vol (1) A em que, t = tempo, ρ = massa específica, Vol = volume de controle, V é a velocidade (absoluta) do fluido em escoamento através da superfície de controle, n é o vetor unitário sobre a superfície de controle e orientado para fora do volume de controle e A é a superfície de controle. Em palavras, esta equação representa: a taxa de variação temporal da massa de fluido dentro do volume de controle somada à taxa resultante da passagem de massa através de toda a superfície de controle é igual a zero. Para um volume de controle fixo e indeformável, a condição de escoamento incompressível simplifica a equação 1 para a seguinte forma: ∫∫ V ⋅ ndA = 0 A Para d dt ∫∫∫ ρdVol = ρ Vol d dt ∫∫∫ (2) dVol = 0 Vol A velocidade absoluta deve ser substituída pela velocidade relativa, como apresentado a seguir, para que a formulação seja válida para um volume de controle móvel. d ρdVol +  dt  Vol  Vr = V − V A ∫∫∫ ∫∫ ρV ⋅ ndA = 0 . r A (3) Nesta equação, “r” indica que a velocidade é relativa e o subscrito “A” denota a velocidade com a qual se move a superfície de controle. Quando o volume de controle sofre deformações, como quando a superfície livre desce em um esvaziamento de reservatório, a massa específica da água 200 permanece constante para a maior parte dos problemas, caracterizando assim a incompressibilidade. Este caso particular é escrito matematicamente como: d dVol +  dt  Vol  Vr = V − V A ∫∫∫ ∫∫ V ⋅ ndA = 0 . r (4) A Observe agora a Figura 1. Para um volume de controle que corresponda ao volume de água no interior do reservatório, a única superfície deformável é a superfície livre. Sendo assim, a equação 4 pode ser simplificada para o seguinte modelo (observando-se que a integral de dVol é igual ao volume, Vol): V r sup erfície = V − V sup erfície = 0  V saída = V − V sup erfície = V dVol + dt ∫∫ V ⋅ ndA = r A dVol +0+ dt ∫∫ V cos 0ºdA = 0 ∴ s Asaída dVol = −Q s , dt em que, Q s = (5) ∫∫ V dA , isto é, a vazão efluente. s A saída A solução numérica proposta neste problema é para um reservatório prismático, ou seja, um reservatório com Vol = ARh, sendo AR a área da superfície livre, considerada uniforme e h = z1 – z2. Com essa restrição, a equação 5 assume a seguinte forma: AR dh = −Q s . dt Resta calcular a vazão Qs. (6) 201 z1 z2 Superfície de controle deformável Ar Água Volume de controle z3 Saída (superfície de controle indeformável) Figura 1 – Reservatório de nível variável Como calcular Qs O reservatório apresentado na Figura 1 possui uma tubulação conectada a ele. Essa tubulação tem a sua extremidade final com saída livre em uma cota z3 diferente da cota z2, como indicado no esboço. Sobre a superfície livre da água no reservatório e no interior do jato imediatamente fora do conduto atua a pressão atmosférica. Desprezando a aceleração local, a formulação “semelhante” à equação da energia pertencente ao modelo rígido apresentado no capítulo 3 pode ser aplicada ao volume de controle entre as seções 1 e 3:  V2  z1 −  z 3 + 3  = ∆H13 .  2g   (7) Empregando a equação de Darcy-Weisbach e o modelo clássico para perda de carga localizada, com n singularidades, a equação 7 pode ser reescrita com a seguinte forma (em termos da vazão): z1 − z 3 = 8Q 2  1+ gπ 2 D 4   8fLQ 2 K + 2 5 .  gπ D i =1  n ∑ (8) Ao tentar resolver a equação 8 para a vazão, considerando o escoamento turbulento, o leitor encontrará o número de Reynolds (que é função da vazão) em um logaritmo, condição matemática que dificulta a obtenção de uma formulação explícita. Em uma situação mais geral em relação aos problemas frequentes da hidráulica, o coeficiente K de perda localizada pode ser função do número de Reynolds também. Deste modo, visando o desenvolvimento de um método que inclua a função fator de “atrito” válida para o escoamento laminar e turbulento, 202 percebe-se a necessidade de uso de um esquema numérico para a solução do problema de esvaziamento. O uso de um f constante ou avaliado com o f inicial e final, ou até mesmo o uso de uma equação de resistência mais simples, como a de Hazen-Williams, pode resultar em valores aceitáveis para alguns propósitos práticos da engenharia. Entretanto, uma observação cuidadosa do problema revela que o escoamento submetido a elevada carga hidráulica certamente será turbulento. Em seguida, quando há diminuição expressiva no valor da velocidade, ele assumirá características internas de um escoamento laminar (tendo passado pelo estado de transição à turbulência). Finalmente, a depender da configuração da tomada d’água feita no reservatório, pode-se observar um escoamento que ocorre com a formação de gotas. Métodos numéricos Para desenvolvimento do algoritmo, escreve-se, a partir da equação 8, Q = Qs = h + z 2 − z3 . n 8  fL  1+ K+ D  gπ 2 D 4  i=1 ∑ (9) Substituindo a equação 9 na equação 6, é obtida uma EDO de primeira ordem e não linear (equação 10). dh 1 =− dt AR h + z 2 − z3 . n 8  fL  1+ K+ D  gπ 2 D 4  i =1 ∑ (10) O método de Euler ou método de Runge-Kutta de primeira ordem transforma a equação 10 na equação 11, uma forma discreta que é resolvida numericamente com a planilha elaborada para este problema. h i+1 = h i − ∆t AR h i + z 2 − z3 . n f i L  8  1+ K+ D  gπ 2 D 4  i =1 ∑ (11) 203 Com base nos dados a seguir, resolva a equação diferencial 11 e a equação algébrica 8, necessária para solução do problema implícito. Calcule o tempo de esvaziamento e discuta a solução com apresentação gráfica das relações entre variáveis relevantes do fenômeno físico. Dados AR [m²] 9 z1 (0) [m] 15 z2 [m] 6 z3 [m] 5,95 D [m] 0,0278 L [m] 600 g [m/s²] 9,8 ν ε [m²/s] [m] 0,000001 0,00015 ΣK [-] 2,5 Solução Como exposto anteriormente, o modelo matemático para o problema é: z1 − z 3 = 8Q 2  1+ gπ 2 D 4  h i+1 = h i − ∆t AR  8fLQ 2 K + 2 5  gπ D i =1  n ∑ h i + z 2 − z3 n f L 8  + 1 K+ i  2 4  D  gπ D  i =1 ∑ (8) (11) Conhecidos os valores iniciais, pode-se calcular a vazão com a solução numérica da equação 8. Foi adotada a equação de Swamee válida para escoamento laminar e turbulento, equação apresentada no capítulo 1. Com o cálculo da vazão, calcula-se o fator de cisalhamento e hi+1 (com a equação 11) para o ∆t escolhido. Esse procedimento, se realizado à mão, será lento e impreciso, sobretudo porque o método de Euler é de primeira ordem e exige ∆t relativamente pequeno para obtenção de resultados razoáveis. Deste modo, foi elaborada uma planilha que resolve o problema com auxílio do solver. A Figura 2 contém um trecho desta planilha elaborada. A primeira coluna contém o contador i, a segunda o tempo t e a terceira a profundidade h. Para i = 1, t = 0, ou seja, temos a condição inicial fornecida. As demais colunas da planilha foram organizadas para o cálculo da vazão vinculado a hi. Este cálculo requer o uso do solver. Quando concluído o processo iterativo, F(Q) deve ser suficientemente pequeno, como indicado. Apenas após a referida conclusão é que hi+1 poderá ser avaliado. 204 Solução numérica Rei fi V²/(2g) hfi hLi F(Q)=0 t hi Qsi Vsi [s] [m] [m³/s] [m/s] [m] [m] [m] 0 9 0,00028 0,46789 13007,2 0,03738 0,011169 9,01091 0,02792 3,8E-15 11074,7 8,65053 0,00028 0,45812 12735,8 0,03749 0,010708 8,66305 0,02677 1,7E-11 22149,3 8,30836 0,00027 0,44838 12464,8 0,03759 0,010257 8,32246 0,02564 3E-11 i [-] 1 2 3 Figura 2 – Trecho da planilha desenvolvida Para tornar os cálculos mais rápidos, pode-se fazer uso de restrições, resolvendo o sistema não linear ao invés de apenas uma equação algébrica por vez. Nesta solução, propõe-se o seguinte método computacional: 1) Em “Definir objetivo”, escolha a primeira célula com F(Q) = 0; 2) As demais células com F(Q)=0 devem fazer parte do conjunto de restrições; 3) A segunda restrição garante que os valores de h serão maiores ou iguais a zero; 4) Deve-se pensar agora em ∆t e no último valor de h. Para tanto, ∆t passou a fazer parte das células variáveis, junto às vazões e o último valor de h passou a fazer parte das restrições, com h(T) = 0, sendo T o tempo de esvaziamento. Deste modo, o cálculo é realizado para o número de células escolhido (número de nós do eixo temporal). Os resultados sob a forma de gráficos podem ser vistos na Figura 3. Nota-se que h assume um valor muito próximo de zero em t = 150 h (aproximadamente 6,3 dias). A Figura 3b ilustra a relação entre f e Re para o domínio desta solução. Percebe-se claramente a ocorrência dos escoamentos laminar e turbulento (note que a escala é log-log nesta figura). Os resultados ilustrados na Figura 3c indicam os valores de Re próximos daqueles relativos às mudanças de regimes (normalmente adotados para o regime permanente). Com auxílio da planilha, observe que a perda de carga localizada para as condições estudadas é muito menor que a perda de carga distribuída. Além disto, deve-se destacar que para baixos números de Reynolds, os valores de K passam a depender desse adimensional. 0,1 9 f h [m] 6 3 Escoamento Turbulento Escoamento Laminar 0,01 0 0 50 100 t [h] 500 150 (a) 25000 Re (b) 205 2,E+04 Re 1,E+04 Re>4003 8,E+03 Re=2356 4,E+03 0,E+00 0 50 100 150 (c) t [h] Figura 3 – Solução do problema 7.1 Para pensar. Como resolver o problema anterior com o método de Runge-Kutta de 4ª ordem? Veja a resposta na pasta deste capítulo, na planilha do problema 7. Observe que o algoritmo de Runge-Kutta de 4ª ordem é: k1 = F( t i , h i ) k ∆t ∆t , hi + 1 ) 2 2 k ∆t ∆t k 3 = F( t i + , h i + 2 ) 2 2 k 4 = F( t i + ∆t , h i + k 3 ∆t ) k 2 = F( t i + , em que F( t , h ) = − h + z 2 − z3 . n fL  8  1+ K+ D  gπ 2 D 4  i =1 1 AR ∑ 1 h i+1 = h i + (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )∆t 6 A Figura 4 ilustra uma comparação entre os métodos. 9 R-K Euler h [m] 6 3 0 0 50 100 150 t [h] Figura 4 – Comparação entre os resultados calculados com Euler e Runge-Kutta de 4ª ordem Problema 7.2 – Código para análise de bacias de detenção O crescimento de áreas impermeáveis em meios urbanos reduz a infiltração e tem o potencial de aumentar as vazões que escoam superficialmente. Uma consequência de tal elevação é a ocorrência de inundações e seus efeitos (como: danos à rede pública de abastecimento de água e coleta de esgoto; danos aos imóveis; prejuízos ao transporte; aumento da disseminação de doenças). Nesse contexto, duas intervenções estruturais podem ser citadas: (1) Canalização; (2) Contenção. A primeira opção tem como resultado o afastamento rápido das vazões máximas devido ao aumento da velocidade de escoamento e causa significativa interferência no meio 206 urbano. A construção de reservatórios para detenção tem interferência relativamente localizada e reduz a vazão máxima. O reservatório pode ser construído no curso principal do sistema de drenagem ou situado ao lado. Considerando ainda possíveis classificações, Walesh (1989) e ASCE (1989) definiram as bacias de detenção, as bacias de retenção e as bacias de sedimentação. As primeiras permanecem vazias na estiagem. As bacias de retenção são reservatórios com volume permanente de água para fins paisagísticos e de recreação. As bacias de sedimentação devem reter detritos e/ou absorver poluentes incorporados aos escoamentos superficiais. Este problema tem como objetivo elaborar um método computacional para o cálculo de características relevantes de uma bacia de detenção, como o seu volume, a sua altura e o hidrograma efluente. Considere um reservatório com entradas e saídas, como aquele da Figura 5. A superfície livre da água é a única superfície de controle deformável. Sendo assim, seguindo a análise realizada no problema anterior, a partir da equação 4, demonstra-se que: dVol = Qe − Qs , dt (12) em que Qe = soma das vazões através das entradas do volume de controle; Qs = soma das vazões através das saídas do volume de controle. Figura 5 – Esboço de um reservatório de detenção com entradas e saídas A Figura 5 ilustra uma bacia de detenção com um orifício localizado junto ao fundo e um vertedor retangular de parede delgada na mesma parede. A variação da vazão ao longo da altura do orifício pode ocorrer, condição que origina a teoria dos grandes orifícios. Desprezando esse efeito, a formulação matemática empregada aqui é aquela correspondente aos orifícios de pequenas dimensões: 207  se h < a , Q o = 0,  se h ≥ a, Q C A 2 g ( h a / 2 ) , = −  do o  o (13) em que, Qo é a vazão através do orifício, h a altura de escoamento na bacia de detenção, a = altura do orifício retangular (ver Figura 6), Cdo é o coeficiente de vazão do orifício, Ao = área da seção do orifício e g a aceleração devido à gravidade. O vertedor retangular de parede delgada é modelado com a seguinte formulação: 2  3/2 Q v = C dv 2g L v h v , se h ≥ P, 3  se h < P. Q v = 0,  (14) Nesta equação, Qv é a vazão escoada pelo vertedor, Cdv é o coeficiente de vazão do vertedor (adimensional), Lv é a largura da soleira, hv = h – P é a carga hidráulica sobre a soleira e P = altura do vertedor (ver Figura 6). Figura 6 – Definições As deduções das equações 13 e 14 podem ser vistas em Porto (2006). Observe que a carga hidráulica sobre o orifício é definida como a profundidade desde a superfície livre ao centroide do orifício. Deste modo, embora o escoamento através do orifício seja iniciado para h < a, a formulação matemática deve ser empregada para a condição indicada na equação13. Destacase também que o orifício junto ao fundo deve ter o seu coeficiente de vazão corrigido. Os coeficientes de vazão do orifício e do vertedor são funções de adimensionais que envolvem as cargas hidráulicas e as dimensões da estrutura. Neste exemplo, essas grandezas serão consideradas como constantes. Neste estágio, resta definir o hidrograma afluente, tarefa que pode ser realizada com o uso de tabelas ou funções aproximadas. A utilização do hidrograma no código pode ser feita 208 com o uso de interpolação linear para compatibilização com o espaçamento adotado para o eixo temporal. Para solução deste problema, foi empregado o seguinte hidrograma: Tabela 1 – Vazão afluente: Problema 7.2 Qe [m3/s] t [s] 0,00 12,69 0,00 4805,74 1,40 11,14 971,09 5043,19 4,00 20,07 22,90 43,00 8,65 6,78 5,62 3,96 1199,25 1786,35 2086,60 2760,00 5406,04 5781,63 6012,24 6604,44 Fonte: Adaptado de Canholi (1995). 32,55 2,48 3420,06 7209,66 27,51 1,71 3758,32 7807,80 20,04 1,16 4209,82 8392,68 Os dados da Tabela 1 correspondem ao reservatório localizado na Praça Charles Miller, em São Paulo. Para solução deste problema, considere também os seguintes dados: a = 0,5 m, b = 1,0 m, Cdo = 0,65; Lv = 2,0 m, Cdv = 0,728, P = 4,65 m; a bacia de detenção é prismática e com área em planta igual a 12.250 m². Solução numérica da EDO Propõe-se aqui resolver a equação 12 com o método de Runge-Kutta de quinta ordem de Butcher (1964, 2003, p. 92), também apresentado em Chapra e Canale (2006, p.709). Trata-se de um esquema numérico com seis estágios com a forma apresentada a seguir (equação 15). Para o problema da bacia de detenção, a função F(t,h) é dada pela equação 16 (deduzida da equação 12 para um reservatório prismático. ∆t  h k +1 = h k + 90 (7 k1 + 32k 3 + 12k 4 + 32k 5 + 7 k 6 )  k1 = F(t k , h k )  k 2 = F t k + 1 ∆t , h k + 1 k1∆t   4 4    k = F t + 1 ∆t , h + 1 k ∆t + 1 k ∆t  k k 1 2  3 4 8 8     1 1   k 4 = F t k + ∆t , h k − k 2 ∆t + k 3 ∆t  2 2     k 5 = F t k + 3 ∆t , h k + 3 k1∆t + 9 k 4 ∆t  4 16 16     3 2 12  k = F t + ∆t , h − k ∆t + k ∆t + k ∆t − 12 k ∆t + 8 k ∆t  k k 1 2 3 4 5  6 7 7 7 7 7   (15) Q − Qs dh = F( t , h ) = e dt AR (16) . Com base na discussão exposta e nos dados fornecidos, escreva um código para calcular h(t) e as grandezas vinculadas a h(t), como as vazões e o volume do reservatório. O código deve resolver a EDO com o método de Runge-Kutta de 5a ordem e com o método de Euler (RungeKutta de 1a ordem). 209 Solução A solução deste problema é apresentada na Tabela 2, que contém o código escrito para resolver a EDO com os métodos numéricos propostos. Os comentários sobre os trechos do programa foram escritos ao longo de sua estrutura, após o símbolo %, como nos capítulos anteriores. Como pode ser observado na Figura 7a, o método de interpolação adotado produz excelente aproximação para o hidrograma afluente, sem a introdução de mínimos ou máximos espúrios entre os pontos originais. Os resultados entre os métodos numéricos apresentam diferenças visíveis, como ilustrado nas demais figuras, com diferença de 14 cm para o valor máximo de h (Figura 7b), diferença igual a 1,13 m³/s entre vazões máximas efluentes com tempos de pico diferentes também (Figura 7c). A Figura 7d mostra a variação do volume em função do tempo, também com resultados ligeiramente diferentes, percentualmente igual à encontrada para os máximos de h uma vez que Volume = h.AR. 7 45 Hidrograma original Hidrograma interpolado 40 X: 77.08 Y: 6.274 6 X: 82.78 Y: 6.137 35 5 4 25 h [m] Q [m3/s] 30 20 3 15 2 10 1 5 0 Runge-Kutta de 5ª ordem Método de Euler 0 20 40 60 80 100 120 0 0 140 20 40 60 (a) t [min] 80 100 120 140 (b) t [min] 4 45 8 Hidrograma afluente Runge-Kutta de 5ª ordem Método de Euler X: 45.67 Y: 42.96 40 x 10 7 35 6 Volume [m3] Q [m3/s] 30 25 20 X: 79.93 Y: 12.42 15 X: 82.78 Y: 11.29 4 3 2 10 1 5 0 5 0 20 40 60 80 100 120 140 0 Runge-Kutta de 5ª ordem Método de Euler 0 20 40 60 80 100 120 140 t [min] (c) (d) Figura 7 – Cálculos realizados para Nt = 50 (∆t = 171,2792 s): (a) Esta imagem ilustra o resultado da interpolação; (b) h em função do tempo; (c) Hidrograma afluente e hidrograma efluentes calculados com os dois métodos indicados; (d) variação do volume com o tempo t [min] 210 Os resultados da Figura 7 foram obtidos com ∆t = 171,2792 s, com Nt = 50. O refinamento da malha para Nt = 1000 (∆t = 8,4011 s) não representa aumento importante no custo computacional e produz uma redução expressiva nas diferenças entre os valores máximos calculados com os dois métodos. Como exemplos, menciona-se que os máximos valores de h passam a se distanciar em apenas 7 mm e as vazões máximas em 0,0593 m³/s. Adicionalmente, cabe ressaltar que esse refinamento não modifica de forma significativa o resultados anterior calculado com o método de Runge-Kutta de 5ª ordem devido à sua elevada ordem de convergência. A vazão máxima efluente, por exemplo, passa de 12,42 m³/s para 12,43 m³/s, uma diferença simplesmente numérica. Algumas observações sobre a interpretação dos resultados devem ser destacadas: 1) A vazão de entrada, Qe, permanece maior que a vazão total de saída, Qs, até o instante (tps = 79,93 min, considerando o método de Runge-Kutta) em que estas duas vazões são igualadas (veja a Figura 7c). Nesse intervalo temporal há o enchimento do reservatório (veja a Figura 7d). 2) Para t > tps, ocorre Qs > Qe, isto é, a vazão total de saída passa a ser maior que a vazão de entrada. O esvaziamento do reservatório acontece para t > tps. 3) Como consequência das observações 1 e 2, conclui-se que o volume máximo ocorrerá para t = tps. Matematicamente, se Qe = Qs, dVol/dt = 0, resultado que indica o ponto de máximo da função Vol = Vol(t). 4) O cálculo do volume máximo pode ser realizado de forma simples com o gráfico da Figura 7d. De outro modo, empregando os hidrogramas, o cálculo do volume máximo pode ser feito com a seguinte integração (ver destaque na Figura 8): t ps max(Vol) = t ps ∫ Q (t)dt − ∫ Q (t)dt . e 0 s 0 5) No código desenvolvido, a integração anterior foi realizada com o método dos trapézios e com o método dos retângulos. O erro entre os resultados obtidos com esses métodos diminui com o refinamento da malha. 6) Uma síntese das conclusões precedentes é obtida com a exibição simultânea das curvas de Qe(t), Qs(t) e Vol(t), como na Figura 8. 211 80.000 45 60.000 30 Qs 40.000 Volume Vol [m³] Q [m³/s] Qe 15 20.000 0 0 0 70 t [min] 140 Figura 8 – Hidrograma de entrada, hidrograma de saída e relação com Vol(t) Tabela 2 – Código para solução do problema 7.2 – Runge-Kutta de 5ª ordem %Código para solução da equação de conservação de massa para uma bacia de %detenção. Métodos numéricos: Runge-Kutta de 1ª (Euler) e 5ª ordens. %MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM HIDRÁULICA %André Luiz Andrade Simões, Harry Edmar Schulz e Rodrigo de Melo Porto. clear all Qe1 = [0.00; 1.40; 4.00; 20.07; 22.90; 43.00; 32.55; 27.51;... 20.04; 12.69; 11.14; 8.65; 6.78; 5.62; 3.96; 2.48; 1.71; 1.16]; %Vazões do hidrograma de entrada 1 (dados de Canholi, A.P. (2005, p.209). %Drenagem Urbana e Controle de Enchentes. Oficina de Textos. Referente %ao projeto do Reservatório da Av. Pacaembu). tempo=[0.00; 971.09; 1199.25; 1786.35; 2086.60; 2760.00;... 3420.06; 3758.32; 4209.82; 4805.74; 5043.19; 5406.04;... 5781.63; 6012.24; 6604.44; 7209.66; 7807.80; 8392.68]; %Instantes correspondentes às vazões Q [a1,a2] = size(tempo); tt = tempo(a1,1); %Tempo total em [s] Nt = 50; %Número de nós da malha temporal dt = tt/(Nt-1); g=9.8; h0 = 0.0; %Para uso com R-K de 5ª ordem: h = zeros(Nt,1); %Vetor com as profundidades (bacia de detenção) h(1,1) = h0; %valor inicial Qo = zeros(Nt,1); Qv = zeros(Nt,1); %Para uso com o método de Euler: hEuler = zeros(Nt,1); hEuler(1,1) = h0; QoEuler = zeros(Nt,1); 212 QvEuler = zeros(Nt,1); plot(tempo/60, Qe1) %Hidrograma original xlabel('t [min]') ylabel('Q [m^3/s]') legend('Hidrograma original'); pause() tint=linspace(0,tt,Nt); %É gerada uma malha com número de nós igual a Nt e de 0 a tt, tint. Qe1int=interp1(tempo,Qe1(:,1),tint,'pchip'); %spline (não é adequado), pchip (Hermite cúbico é uma opção melhor). Qe1int=Qe1int';%Cálculo da transposta. %Novas interpolações para uso do método de Runge-Kutta de 5a ordem %com as vazões de entrada armazenadas em um vetor. Observe que o método %requer a realização de cálculos em t+(1/4)dt; t+(1/2)dt e t+(3/4)dt. dt14=dt/4; Nt14=tt/dt14+1; tint14=linspace(0,tt,Nt14); Qe1int14=interp1(tint,Qe1int(:,1),tint14,'pchip'); Qe1int14=Qe1int14'; dt12=dt/2; Nt12=tt/dt12+1; tint12=linspace(0,tt,Nt12); Qe1int12=interp1(tint,Qe1int(:,1),tint12,'pchip'); Qe1int12=Qe1int12'; ni = 10000; %ni é um fator de redução para dt3 que pode melhorar %a aproximação, para malhas pouco refinadas, para k5 cujo cálculo %requer o cálculo da vazão em t+(3/4)dt dt34=dt*(3/4)/ni; Nt34=tt/dt34+1; tint34=linspace(0,tt,Nt34); Qe1int34=interp1(tint,Qe1int(:,1),tint34,'pchip'); Qe1int34=Qe1int34'; plot(tempo/60, Qe1, 'o', tint/60, Qe1int, '-') xlabel('t [min]') ylabel('Q [m^3/s]') legend('Hidrograma original', 'Hidrograma interpolado'); pause() %%%%%%%%%%%% Estruturas Hidráulicas de saída %%%%%%%%%%%%%% %Orifício retangular junto ao fundo: a = 0.5; b = 1.0; Ao = a*b; Cdo = 0.65; %Vertedor de parede delgada: Lv = 2.0; Cdv = 0.728; P = 4.65; 213 %%%%%%%%%%%% Geometria do reservatório %%%%%%%%%%%%%% Ar = 12250; %Área do reservatório (em planta) [m²] %PROCESSAMENTO: k=1; t14=0; t12=0; t34=0; for t=dt:dt:tt %Decisão sobre os cálculos de Qo e Qv com base nas restrições %correspondentes: if (h(k,1))>a do=1; else do=0; end if h(k,1)>P dv = 1; else dv = 0; end %Cálculo da posição ("coordenadas") do elemento matricial de interesse na matriz de Q: t14=t+(1/4)*dt; teste14=abs(tint14-t14); [aa,n14]=min(teste14); t12=t+(1/2)*dt; teste12=abs(tint12-t12); [aa,n12]=min(teste12); %pause() t34=t+(3/4)*dt; teste34=abs(tint34-t34); [aa,n34]=min(teste34); %pause() k1 = (1/Ar)*(Qe1int(k,1)-Qo(k,1)-Qv(k,1)); %%% ho=do*((h(k,1)+(1/4)*k1*dt)-a/2); hv=dv*((h(k,1)+(1/4)*k1*dt)-P); k2 = (1/Ar)*(Qe1int14(n14,1)(Cdo*Ao*(2*g*ho)^0.5+(2/3)*Cdv*((2*g)^0.5)*Lv*hv^(3/2))); %%% %%% ho=do*((h(k,1)+(1/8)*k1*dt+(1/8)*k2*dt)-a/2); 214 hv=dv*((h(k,1)+(1/8)*k1*dt+(1/8)*k2*dt)-P); k3 = (1/Ar)*(Qe1int14(n14,1)(Cdo*Ao*(2*g*ho)^0.5+(2/3)*Cdv*((2*g)^0.5)*Lv*hv^(3/2))); %%% %%% ho=do*((h(k,1)-(1/2)*k2*dt+k3*dt)-a/2); hv=dv*((h(k,1)-(1/2)*k2*dt+k3*dt)-P); k4 = (1/Ar)*(Qe1int12(n12,1)(Cdo*Ao*(2*g*ho)^0.5+(2/3)*Cdv*((2*g)^0.5)*Lv*hv^(3/2))); %%% ho=do*((h(k,1)+(3/16)*k1*dt+(9/16)*k4*dt)-a/2); hv=dv*((h(k,1)+(3/16)*k1*dt+(9/16)*k4*dt)-P); k5 = (1/Ar)*(Qe1int34(n34,1)(Cdo*Ao*(2*g*ho)^0.5+(2/3)*Cdv*((2*g)^0.5)*Lv*hv^(3/2))); %%% %%% ho=do*((h(k,1)-(3/7)*k1*dt+(2/7)*k2*dt+(12/7)*k3*dt(12/7)*k4*dt+(8/7)*k5*dt)-a/2); hv=dv*((h(k,1)-(3/7)*k1*dt+(2/7)*k2*dt+(12/7)*k3*dt(12/7)*k4*dt+(8/7)*k5*dt)-P); k6 = (1/Ar)*(Qe1int(k+1,1)(Cdo*Ao*(2*g*ho)^0.5+(2/3)*Cdv*((2*g)^0.5)*Lv*hv^(3/2))); %%% %%% %Atualização (R-K 5ª ordem): h(k+1,1)=h(k,1)+(dt/90)*(7*k1+32*k3+12*k4+32*k5+7*k6); ho=do*(h(k+1,1)-a/2); hv=dv*(h(k+1,1)-P); Qo(k+1,1) = do*Cdo*Ao*(2*g*ho)^0.5; Qv(k+1,1) = dv*(2/3)*Cdv*((2*g)^0.5)*Lv*hv^(3/2); %Método de Euler (Início): if (hEuler(k,1))>a doEuler=1; else doEuler=0; end if hEuler(k,1)>P dvEuler = 1; else dvEuler = 0; end k1Euler = (1/Ar)*(Qe1int(k,1)-QoEuler(k,1)-QvEuler(k,1)); hEuler(k+1,1)=hEuler(k,1)+dt*k1; hoEuler=doEuler*(hEuler(k+1,1)-a/2); hvEuler=dvEuler*(hEuler(k+1,1)-P); QoEuler(k+1,1) = Cdo*Ao*(2*g*hoEuler)^0.5; QvEuler(k+1,1) = (2/3)*Cdv*((2*g)^0.5)*Lv*hvEuler^(3/2); 215 %Método de Euler (Fim). k=k+1 end %PÓS-PROCESSAMENTO: plot(tint/60,h,tint/60,hEuler) xlabel('t [min]') ylabel('h [m]') legend('Runge-Kutta de 5ª ordem', 'Método de Euler',4); pause() Qt = Qo+Qv; QtEuler=QoEuler+QvEuler; [aa,bb]=max(Qt); Volume1 = trapz(tint(1,1:bb),Qe1int(1:bb,1))trapz(tint(1,1:bb),Qt(1:bb,1)) Volume2 = dt*(sum(Qe1int(1:bb,1))-sum(Qt(1:bb,1))) %%Gráficos: %1) Hidrogramas: plot(tint/60, Qe1int, tint/60, Qt, tint/60, QtEuler) xlabel('t [min]') ylabel('Q [m^3/s]') legend('Hidrograma afluente', 'Runge-Kutta de 5ª ordem', 'Método de Euler'); pause() %Volume=f(t): plot(tint/60, Ar.*h(:,1), tint/60, Ar.*hEuler(:,1)) xlabel('t [min]') ylabel('Volume [m^3]') legend('Runge-Kutta de 5ª ordem', 'Método de Euler',4); Problema 7.3 – Escoamento em um canal de um sistema extravasor Os sistemas extravasores são empregados em estruturas hidráulicas de grande porte, como em reservatórios construídos para auxiliar o abastecimento de água em cidades e em barragens, sendo normalmente denominados, neste caso, como vertedores ou vertedouros. Reservatórios menores pertencentes a instalações prediais também possuem sistemas que possibilitem o escoamento seguro de eventuais excessos de água. 216 Tratando-se do sistema de uma barragem, que faz parte do escopo deste problema, devem ser destacadas as seguintes definições (ver Figura 9): O vertedor é um orifício de grandes dimensões sem a parte superior; o sistema extravasor pode ter um vertedor controlado por comportas ou um vertedor sem comportas (como ilustrado na Figura 9); a jusante do vertedor há um canal denominado “canal de queda” ou “rápido” ou simplesmente canal do sistema extravasor; o canal deve conduzir a água ao dissipador de energia, que pode ser uma bacia de dissipação por ressalto hidráulico ou uma concha de lançamento, por exemplo, como na Figura 9. Observe também que muros laterais são necessários ao longo da estrutura. Vertedor Muro lateral Canal Concha de lançamento Figura 9 – Exemplo de um possível sistema extravasor Este problema tem como objetivo calcular a altura de escoamento ao longo do vertedor e do canal do sistema extravasor. Admite-se que o escoamento ocorra em regime permanente, com distribuição de pressões hidrostática e como unidimensional. Essas simplificações podem conduzir a resultados aceitáveis para o cálculo da linha d’água, mas não representam o escoamento real, que é turbulento, tridimensional e com flutuações de pressão cujo conhecimento é importante para avaliar o risco de ocorrência de cavitação. Levando em conta as simplificações, o modelo matemático passa a ser a equação diferencial do escoamento permanente gradualmente variado, reescrita a seguir: Io − If dh = . dx cos θ − αFr 2 (17) Nesta equação, h é a altura de escoamento e x o eixo ao longo do canal; Io = senθ, sendo θ uma função de x para o trecho inicial, que é um vertedor de soleira espessa com uma forma definida a partir da linha d’água inferior de uma lâmina vertente através de um vertedor de parede delgada .(PORTO, 2006, cap. 12) Ao longo da história foram propostas algumas funções para o 217 cálculo da forma da estrutura, sendo possível encontrar propostas de Creager, Scimemi (mais conhecidas) e de outros autores. Empregando a equação de Scimemi, pode-se escrever a equação 18, com definições dadas na Figura 10. Y= 1 2h d0,85 X1,85 = aX n . V² 2g (18) N.A. Linha de energia b a hd R2 R1 X R1 = 0,5 h d R2 = 0,2 h d a = 0,175 h d b = 0,282 h d Y P Figura 10 – Definições básicas Fonte: Adaptado de U.S. Army Engineers Waterways Experiment Station. A vazão específica de projeto (vazão por unidade de largura) está relacionada com a carga hidráulica a montante do vertedor por meio da seguinte equação q d = C o H 3o / 2 , (19) em que, Ho = hd + ha, hd = carga de projeto, ha = carga cinética de aproximação. Co é o coeficiente de vazão, que pode ser calculado com a equação 20, resultado de um ajuste proposto por Simões (2012) aos dados publicados no conhecido livro Design of Small Dams .(ESTADOS UNIDOS, 1987, p. 370) 218   P C o = 1,661 + 0,509tgh 1,933   Ho     0, 639   , com unidades de acordo com o S.I..   (20) Combinando as equações 19 e 20:    P  q d = 1,661 + 0,509tgh 1,933   Ho      0,639    H 3o / 2 .   (21) A carga hidráulica total a montante pode ser escrita com a forma abaixo, lembrando que o canal de aproximação é retangular, com área molhada igual a b(P+hd). Ho = h d + h a = h d + Q2 2g[b(P + h d )]2 = hd + h 3c 2(P + h d ) 2 . (22) Com a solução desse sistema de equações algébricas, determina-se hd e, em seguida, o coeficiente “a” da equação 18 que permite o desenho do trecho de interesse do perfil do vertedor. Como “x” é um eixo intrínseco ao fundo do canal (segue o traçado do fundo, com origem no zero indicado na Figura 10), devem ser observadas as relações a seguir, que incluem o eixo horizontal “X” (definido na Figura 10). dY = tgθ = naX n −1 ∴ θ = atg(naX n −1 ) . dX (23) Note-se também que o cálculo de ∆x é relacionado ao valor de ∆X por ∆X ≅ cos θ . ∆x (24) Com base no equacionamento apresentado e nos dados a seguir, desenvolva uma planilha para o cálculo de h(x) com o método de Euler. Apresente os resultados em gráficos que ilustrem h=h(x) e o fundo do canal com a linha d’água. Utilize a equação de Swamee para o cálculo do fator de cisalhamento e considere α = 1. 219 Tabela 3 - Tabela com dados para o problema. Q b P g n V:H θc ν ε [m³/s] [m] [m] [m/s²] [m/m] [rad] [m²/s] [m] 400 40 30 9,8 1,85 1,25 0,89606 0,000001 0,0008 Nota: θc é o ângulo de fundo em relação a horizontal para o trecho com declividade constante. Solução O método de Euler aplicado à EDO deste problema transforma a equação original na seguinte forma discreta: h i+1 = h i + ∆xF(h i )   I o − I f  .(25)  F(h i ) =  cos θ − αFr 2  i   Empregando as equações já estudadas (Darcy-Weisbach, Swamee e definição de Fr), pode-se elaborar a planilha sem dificuldades. Note que uma parte da planilha usará o solver para o cálculo de hd, necessário para a determinação dos pontos do trecho do canal com fundo variado (perfil Scimemi). O leitor encontrará uma possível forma de elaborar a planilha na pasta de arquivos deste capítulo. O trecho abaixo contém os cálculos preliminares: q [m²/s] 10 hc [m] 2,17 hd [m] 2,76 ha [m] 0,00475 Ho [m] 2,77 F(hd) = 0 1,6E-06 Va [m/s] 0,31 a 0,21067 ∆x [m] 0,01 α 1 Com esses resultados iniciais, os pontos que definem o vertedor podem ser calculados, assim como as funções trigonométricas de interesse (veja o trecho a seguir). X [m] 0 0,01 0,02 Y dY/dX= θ cosθ senθ [m] tgθ [rad] 0 0 0 1 0 4,2E-05 0,00778 0,00778 0,99997 0,00778 0,00015 0,01402 0,01402 0,9999 0,01402 Neste estágio, devem ser calculadas (com base em hi, para i=1) as seguintes grandezas: Área molhada, perímetro molhado e raio hidráulico; velocidade média, com V = Q/A; número de Reynolds e rugosidade relativa; fator de cisalhamento e declividade da linha de energia; número de Froude. Essas contas tornam possível o cálculo de F(hi) e, em seguida, de hi, como exposto no seguinte trecho da planilha: 220 i 1 2 3 hi F(hi) Fri² Ifi Ai Pi Rhi Vi Rei ε/Dhi fi zsi(x) [m] [-] [m/m] [m²] [m] [m] [m/s] [-] [-] [-] 2,147302 0,05648 1,03061 0,00173 85,8921 44,2946 1,93911 4,65701 3,6E+07 0,000103 0,01212 -2,1473 2,14787 -0,2028 1,029797 0,00173 85,9147 44,2957 1,93957 4,65578 3,6E+07 0,000103 0,01212 -2,1479 2,14584 -0,3743 1,03272 0,00173 85,8336 44,2917 1,93792 4,66018 3,6E+07 0,000103 0,01212 -2,1459 Como estratégia matemática, considere o valor inicial, hi=1, como 99% da profundidade crítica. Se for considerada a profundidade crítica, com α = 1, haverá divisão por zero em F(hi) e os cálculos seguintes tornam-se impossíveis. Observe que o ponto de máximo da forma de fundo corresponde à posição de ocorrência da altura crítica desprezando-se as perdas de carga. Deste modo, assumir um valor muito próximo da altura crítica na crista do vertedor é razoável e próximo à física do problema. A posição da superfície livre no mesmo sistema de coordenadas da forma de fundo, isto é, (X,Y), é calculada na última coluna com a seguinte equação: z si ( x ) = Yi − hi cos θi (26) A Figura 11 resume os resultados, ilustrando o fundo do canal com a linha da superfície livre (Figura 11a e detalhe na Figura 11b). A Figura 11c mostra h(x) com origem no nível crítico aproximadamente como comentado, e com valores decrescentes, caracterizando a curva S2 esperada para esse tipo de problema. 10 -5 Perfil da superfície livre 5 0 10 Y [m] 0 Y [m] -5 Fundo do canal 15 5 20 25 10 0 10 Ver descrição em Porto, 2006. 5 10 15 x [m] 20 25 (a) 0 x [m] 5 (b) 221 2,5 h(x) [m] 2,0 1,5 1,0 0,5 0 5 10 x [m] 15 20 25 (c) Figura 11 – Solução do problema Para pensar A posição x = LA é aquela onde a espessura da camada limite é igualada à altura de escoamento. Nessa posição a superfície livre se torna mais agitada e as estruturas turbulentas formadas provocam o “rompimento” da superfície com a formação de ondas, volumes de líquido dispersos que foram ejetados em direção ao ar e que, sob a ação da gravidade, são reinseridos na massa líquida. Esses fenômenos promovem a mistura da água com o ar. Pesquise uma formulação para o cálculo de LA e verifique se haverá o início da aeração superficial descrita para as condições deste problema. Sugestão: Formulação de Wood et al. (1983), citado em Simões (2008, 2012). Água Camada-limite Início da aeração Ar Ar e água Figura 12 – Escoamento em um vertedor-extravasor. Problema 7.4 – Escoamento completamente desenvolvido em conduto forçado: Uma introdução à Mecânica dos Fluidos Computacional O ser humano certamente precisou tratar de questões relacionadas à água e a outros fluidos desde o início. Registros históricos sobre esses tempos antigos são raros e não respondem a dúvidas sobre os primeiros mecanicistas dos fluidos. Apesar dessa condição de desconhecimento, há informações relevantes sobre feitos não tão recentes, como o trabalho de Archimedes 222 (285-212 a.C.) sobre forças em corpos submersos; o trabalho de Leonardo da Vinci (14521519), que deduziu a equação de conservação de massa unidimensional e em regime permanente, além de ter sido capaz de visualizar e desenhar muitos escoamentos interessantes, como o escoamento sobre um degrau, escoamentos sobre escadarias, entre outros casos de escoamentos turbulentos .(RICHTER, 1883) Naturalmente, outros nomes surgem em uma observação dos registros (veja, por exemplo, o Mathematics Genealogy Project), 11 como Galileu (15641642) e suas ideias básicas com diversos desdobramentos, tendo sido, por exemplo, orientador do matemático e hidráulico Castelli (1578-1643). Castelli foi professor de Torricelli (16081647), conhecido estudioso de física e mecânica dos fluidos, provável criador do barômetro e aquele que deduziu a relação entre velocidade teórica e carga hidráulica para escoamento através de um orifício de pequenas dimensões (PORTO, 2006). A estrutura científica ligada à física-matemática erguida com a publicação dos trabalhos de Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716) foi o substrato para a construção da Mecânica dos Fluidos nos anos seguintes. Ainda no século XVIII Euler (1707-1783) deduziu, com base nas três leis de Newton, as equações diferenciais parciais hiperbólicas hoje conhecidas como equações de Euler, modelo que não inclui efeitos viscosos. Ele era camarada de Daniel Bernoulli (1700-1782), filho de Johan Bernoulli (1667-1748), e foi o responsável pela dedução da equação conhecida como “equação de Bernoulli”, enunciada por Daniel Bernoulli por meio de palavras em seu livro Hydrodynamics (WHITE, 2002). Entre os desenvolvedores da Mecânica, merece destaque o francês Lagrange (1736-1813), aluno de Euler e orientador de Fourier (17681830) e Poisson (1781-1840). O estudo de ondas naturalmente recupera as contribuições de Fourier, professor de Gustav Dirichlet (1805-1859) e do engenheiro Navier (1785-1836). Neste estágio da gênese acadêmica brevemente esboçada nas linhas anteriores, surge a equação de Navier, em 1822, equação diferencial parcial com termos adicionais em relação à equação de Euler, termos esses que representam os efeitos viscosos. Contribuições analíticas de Cauchy (1789-1857) resultaram no conceito de tensão ou tensor das tensões e na equação de Cauchy, com dedução bem definida. Após vinte e três anos, em 1845, George Gabriel Stokes (18191903) publicou um artigo com a dedução completa da relação constitutiva entre tensão e deformação válida para fluidos newtonianos. 12 11 Disponível em <http://www.genealogy.ams.org/>. Acesso em: 25 fev. 2016. 12 Veja essa dedução em White, 2002; Simões, 2012. 223 A equação e conservação de massa escrita para um fluido em escoamento e a equação de Navier-Stokes (ou equações de Navier-Stokes, sendo o plural válido por se tratar de uma equação vetorial) estavam estabelecidas em 1845, mas a solução analítica desse sistema com quatro equações e quatro incógnitas, considerando aqui a incompressibilidade, ainda não é conhecida. Com o surgimento dos computadores modernos durante a segunda guerra mundial (1939-1945) e evolução dessas máquinas, incluindo aplicação da álgebra de Boole (1815-1864), o cálculo numérico pôde vislumbrar aplicações mais avançadas. Os avanços na mecânica quântica possibilitaram uma segunda geração de computadores baseada em transístores, com processamento mais rápido e menores dimensões em relação aos que empregavam válvulas. Esses avanços interessam muito quando se trata de Mecânica dos Fluidos Computacional uma vez que as equações diferenciais parciais são substituídas por aproximações algébricas que devem ser resolvidas em domínios discretos, i.e., domínios com malhas formadas por posições específicas para solução das equações. Em um sentido amplo, julga-se correto entender que Hidráulica e Mecânica dos Fluidos são termos com significados sinônimos. Avançando além das palavras, os conteúdos dos problemas resolvidos neste livro também revelaram tal similaridade. O presente problema tem como objetivo estudar uma forma simplificada das equações de Navier-Stokes. Tal forma é escrita para o escoamento completamente desenvolvido em condutos forçados e, matematicamente, é uma equação diferencial parcial com característica parabólica. Sendo assim, ela não representa uma formulação matemática nova exposta aqui, uma vez que o capítulo 6 resolveu numericamente esse tipo de equação diferencial parcial. Iremos mais além porque o problema e sua formulação física-matemática (equação de Navier-Stokes) surgem pela primeira vez neste livro. Em um escoamento completamente desenvolvido, a forma da distribuição de velocidades na seção transversal do conduto não é dependente da posição ao longo do conduto. Em regime variável, em seções distantes das extremidades do conduto também podem ocorrer escoamentos completamente desenvolvidos. Nesse caso, a forma do perfil de velocidades muda com o tempo em uma dada seção transversal, mas não sofre alterações devido a efeitos convectivos. Como um subproblema, sugere-se ao leitor demonstrar a equação 27 para o escoamento completamente desenvolvido a partir das equações de Navier-Stokes escritas para escoamentos incompressíveis, que podem ser encontradas em Batchelor (2000) e Schulz (2003). Como solução, restará a aceleração local (primeiro membro da equação 27), termos difusivos (termos presentes 224 no segundo membro, vinculados à viscosidade) e parte do gradiente de pressão (função apenas do tempo). ∂w µ  ∂ 2 w ∂ 2 w  1 ∂p − = + , ∂t ρ  ∂x 2 ∂y 2  ρ ∂z (27) em que w = w(x,y,t) é a função distribuição de velocidades, dependente do tempo e em uma seção transversal xy; µ = viscosidade dinâmica, ρ = massa específica, p = p(z,t), sendo o eixo z perpendicular ao plano xy. O esquema numérico adotado para resolver a equação anterior é semelhante ao empregado no capítulo 6, reescrito a seguir para a velocidade: n +1 n ∂w Wi, j − Wi, j = ∂t ∆t ∂2w ∂x 2 ∂2w ∂y 2 = = , Win+1, j − 2 Win, j + Win−1, j ∆x 2 Win, j+1 − 2 Win, j + Win, j−1 ∆y 2 (28) , (29) , (30) em que W é a velocidade calculada numericamente, sendo uma aproximação para a solução analítica w(x,y,t). É válido recordar que esse esquema numérico é condicionalmente estável. A estabilidade deverá ser garantida com o critério exposto no capítulo 6, escrito a seguir: ∆t ≤ ( ) µ ∆x 2 + ∆y 2 . 8ρ (31) Substituindo as aproximações para as derivadas, escreve-se: Win, j+1 = Win, j + n n n n n n 1 ∂p µ  Wi +1, j − 2 Wi, j + Wi −1, j Wi, j+1 − 2 Wi, j + Wi, j−1  + ∆t − ∆t . 2 2   ρ ρ ∂z ∆y ∆x   (32) 225 Neste estágio, resta desenvolver um algoritmo para solucionar a equação 32. Uma sugestão é apresentada a seguir, na Tabela 4. Seguindo o padrão adotado ao longo deste livro, mais uma vez o programa é apresentado com os comentários. Observe que no pré-processamento são definidos dados geométricos básicos do domínio computacional, como Lx e Ly, que representam base e altura do retângulo que define o domínio mencionado. A forma da seção transversal é definida no laço pertencente à etapa de processamento. Dois exemplos são fornecidos com o código da Tabela 4, a saber: (1) Uma seção com sólidos internos; (2) Uma seção circular. O gradiente de pressão também é inserido no processamento, representado pela letra G. Como condição inicial, considera-se o repouso. Sendo G = constante, o pós-processamento mostrará ao leitor o comportamento transitório do perfil de velocidades, que evolui para o estado estacionário. Empregando G definido com uma senoide, o leitor observará o escoamento variável enquanto durar a simulação numérica. Após a leitura do código, observe alguns gráficos que você deve obter com ele. Tabela 4 – Código para solução do perfil de velocidades não permanente e plenamente desenvolvido clear %O comando anterior apaga os dados da memória toda vez que o código for %ativado. %Métodos Computacionais em Hidráulica %André Luiz Andrade Simões, Harry Edmar Schulz, Rodrigo de Melo Porto %PRÉ-PROCESSAMENTO: %Dimensões do domínio retangular principal. O domínio é definido como %sendo um retângulo. Dentro dele, é possível estabelecer contornos de tal %maneira que a seção transversal assuma a forma desejada. Lx=1; %Em metros. Ly=1; %Em metros. Raio = 0.5;%Para simulação em seção circular. %Número de divisões nos eixos espaciais. Estes valores são empregados para %o cálculo de dx e dy, que representam os espaçamentos entre os nós da malha. Nx=50; Ny=50; dx=Lx/(Nx-1); dy=Ly/(Ny-1); tt=500;%tempo total, em segundos. Nt=5700;%número de divisões no eixo temporal dt=tt/(Nt-1);%espaçamento entre os nós do eixo temporal m=1.5;%Viscosidade dinâmica ro=1264;%Massa específica dtest=(1/8)*(dx^2+dy^2)/(m/ro);%Estimativa do valor de dt vinculado 226 %ao critério de estabilidade %Matrizes para armazenar x e y, posições nos eixos coordenados. x=zeros(Nx,1); y=zeros(Ny,1); %"Matriz 3D" para armazenar os perfis calculados em diferentes instantes. Wn=zeros(Nx,Ny,Nt); %Condição inicial: %Matrizes para armazenar as condições iniciais. Neste caso a condição %inicial é o repouso. W=zeros(Nx,Ny); WW=zeros(Nx,Ny); Wn(:,:,1)=WW; %PROCESSAMENTO: n=1;%n=1 corresponde a t=0, n=2 a t=dt, ... for t=dt:dt:tt %não é t=0:dt:tt porque em t=0 está a condição inicial. n=n+1 %O gradiente de pressão é denotado por G: %G=cos(0.4*t); %G=-cos(0.4*t).*exp(-0.01*t); G=-m; for i=2:Nx-1 x(i,1)=(i-1)*dx; for j=2:Ny-1 y(j,1)=(j-1)*dy; %Aqui você deve definir a forma da seção transversal do conduto. %O if é usado para definir a geometria. % ||... % % % % if x(i,1)>=0.4 && y(j,1)>=0.4 && x(i,1)<=0.6 && y(j,1)<=0.9 x(i,1)>=0.3 x(i,1)>=0.3 y(j,1)>=0.3 y(j,1)>=0.3 && && && && y(j,1)<=0.1 y(j,1)>=0.9 y(j,1)<=0.7 y(j,1)<=0.7 && && && && x(i,1)<=0.7 ||... x(i,1)<=0.7 ||... x(i,1)<=0.1 ||... x(i,1)>=0.9 %Seção retangular: %if i==1 || j==1 || i==Nx || j==Ny %Seção circular: if sqrt((x(i,1)-Lx/2)^2+(y(j,1)-Ly/2)^2)>=Raio %Se a condição em "if" é satisfeita, a velocidade WW é igualada a zero, ou %seja, há um sólido interno e a equação discretizada não é %resolvida alí. Matematicamente, impõe-se a condição de não %deslizamento: 227 WW(i,j)=0; else %Senão, então a equação é resolvida. WW(i,j)=W(i,j)+(m/ro)*dt*((W(i-1,j)-2*W(i,j)+... W(i+1,j))/(dx^2)+(W(i,j-1)-2*W(i,j)+W(i,j+1))/(dy^2))... -dt*G/ro; end end end %Note que foram definidas duas matrizes para a velocidade: W e WW. Para %este programa é necessário usar WW para que durante a solução em um dado instante não seja substituido o %valor de W do instante passado por um valor do instante atual. W=WW; %O valor atual é então armazenado em Wn. Esta forma de programar faz %com que o processamento seja mais rápido do que armazenar direto em %Wn. Wn(:,:,n)=W; end %PÓS-PROCESSAMENTO: [X, Y] = meshgrid(linspace(0,Lx,Nx),linspace(0,Ly,Ny)); op=2;%Escolhe entre ver o perfil colorido ou um perfil %com a forma de uma malha. if op==1 for n=1:1:Nt mesh(Wn(:,:,n),Y,X,'FaceColor','blue','EdgeColor','none') camlight right; lighting phong ylim([min(min(X)) max(max(X))]) zlim([min(min(Y)) max(max(Y))]) xlim([min(min(min(Wn))) max(max(max(Wn)))]) view(30,15); xlabel('W(t)') zlabel('x') ylabel('y') M=getframe; end end if op==2 %mov=avifile('Evol_w_v5.avi','compression','None');%Não comentar para gravar o vídeo for n=1:5:Nt t=(n-1)*dt; mesh(Wn(:,:,n),Y,X,'EdgeColor','black') camlight left; lighting phong ylim([min(min(X)) max(max(X))]) zlim([min(min(Y)) max(max(Y))]) xlim([min(min(min(Wn))) max(max(max(Wn)))]) view(30,15); xlabel('W(t)') 228 zlabel('y') ylabel('x') title(['t = ',num2str(t/60),' [min]']) M=getframe; pause() %mov=addframe(mov,M);%Não comentar p/ gravar o vídeo end end %mov=close(mov);%Não comentar para gravar o vídeo As imagens da Figura 13 foram calculadas para uma seção circular. Essas figuras ilustram a evolução do perfil de velocidades. O uso do código e observação da animação dos resultados mostra a sua tendência assintótica ao perfil permanente. Como sugestão para estudo do escoamento laminar plenamente desenvolvido com auxílio do método numérico e computacional proposto, considera-se interessante avaliar o refinamento da malha e a sua relação com o valor de uma velocidade de referência pertencente ao perfil permanente, como a velocidade máxima ou a velocidade média. Pode-se calcular também o valor de C = fRe, em que f = fator de cisalhamento de Darcy-Weisbach e Re = número de Reynolds, como foi feito neste exercício. t = 0 [min] t = 0.073112 [min] 1 0.8 0.8 0.6 0.6 y y 1 0.4 0.4 0.2 0.2 1 1 0 0 0.01 0.02 0 0 0.5 0.03 0.04 0.05 W(t) 0.06 0.01 0.02 x 0 0.5 0.03 0.04 0.05 0.06 0 x (a) (b) W(t) t = 0.5849 [min] t = 8.2617 [min] 0.8 0.8 0.6 0.6 y 1 y 1 0.4 0.4 0.2 0.2 1 0 0 0.01 0.02 0.5 0.03 0.04 0.05 0.06 0 1 0 0 0.01 0.02 0.5 0.03 0.04 0.05 x W(t) (c) Figura 13 – Soluções para seção circular W(t) 0.06 0 x (d) O valor de C obtido numericamente deve ser próximo ao da solução analítica, que é 64 para seção circular, solução atribuída a Hagen e Poiseuille, e C = 56,91 para seção quadrada (WHITE, 2002). Verifique também a influência do ajuste da malha ao contorno da seção. Você deve concluir que a ordem de convergência do método é influenciada pelo ajuste da malha ao contorno. Em uma seção retangular, o ajuste ao contorno é exato. Para seções circulares, por exemplo, esse ajuste melhora com o refinamento da malha, mas não é convertido em um ajuste 229 perfeito porque a malha continua sendo estruturada e retangular. Os resultados obtidos para diferentes graus de refinamento são apresentados na Tabela 15 e a análise de convergência é auxiliada com a Figura 14. Note que o decaimento do erro ||Cn – C|| com o refinamento da malha é proporcional a aproximadamente 1,1 para a malha ajustada ao círculo. Análise semelhante mostra um decaimento com expoente próximo a 2,5 para seção quadrada. Tabela 15 – Soluções numéricas para seção circular e seção quadrada ∆t [s] 0,0877 0,0605 0,0442 0,0338 0,0266 0,0215 0,0177 0,0149 0,0127 4,0 Nt 5.700 8.263 11.301 14.814 18.801 23.263 28.200 33.611 39.497 Seção quadrada: Cn Nx=Ny Seção circular: Cn ∆x = ∆y [m] 50 0,0204 60,7982 56,9303 60 0,0169 61,2539 56,9236 70 0,0145 61,9047 56,9196 80 0,0127 62,3600 56,9170 90 0,0112 62,7015 56,9153 100 0,0101 62,5854 56,9140 110 0,00917 62,6102 56,9131 120 0,00840 62,7285 56,9124 130 0,00775 62,8339 56,9118 Cn = valor de C calculado com o método numérico. 0,03 Seção circular Potência (Seção circular) Seção quadrada Potência (Seção quadrada) 3,0 ||Cn - C|| ||Cn - C|| 0,02 2,0 0,01 y = 187,08x1,0588 1,0 y = 323,26x2,468 0,0 0,00 0 0,01 0,02 ∆x [m] 0,03 0 (a) 0,01 0,02 ∆x [m] 0,03 (b) Figura 14 – Análise da ordem de convergência para a malha Durante a oscilação da massa líquida entre o reservatório e a chaminé de equilíbrio, como no problema estudado no Capítulo 3, devido às dimensões do conduto e viscosidade da água, é esperada uma estrutura interna turbulenta em grande parte do tempo de ocorrência do fenômeno oscilatório. Com o intuito de estudar mais a fundo os detalhes desse tipo de oscilação, julga-se apropriado resolver um problema que também apresente oscilação amortecida, mas empregando o código desenvolvido neste exercício. Observe que o escoamento não é calculado como turbulento. O desafio de adaptar o programa para o caso turbulento é deixado como exercício para o leitor. Simule o perfil de velocidades transitório submetido ao gradiente de pressão pz = -cos(0,4t)exp(-0,01t). Os resultados devem ser semelhantes aos da Figura 15. As três primeiras imagens da Figura 15 mostram uma evolução do perfil de velocidades com valores positivos de W. A quarta figura indica que a desaceleração e posterior inversão do 230 sentido (vista por meio do sinal de W na figura mencionada) não ao longo de toda a seção transversal no mesmo instante. O núcleo do escoamento demora mais a mudar de sentido uma vez que está animado a velocidades maiores que as velocidades do fluido próximo às paredes (em outras palavras, a sua inércia é maior). O mesmo é observado quando ocorre a segunda inversão no sentido, como ilustrado nas imagens seguintes. t = 0 [min] t = 0.014622 [min] 1 0.8 0.8 0.6 0.6 y y 1 0.4 0.4 0.2 0.2 1 0 -2 1 0 -2 0.5 -1 0 1 0 -3 0 1 0 -3 x x 10 0.5 -1 x x 10 W(t) W(t) t = 0.065801 [min] t = 0.12429 [min] 1 0.8 0.8 0.6 0.6 y y 1 0.4 0.4 0.2 0.2 1 1 0 -2 0 -2 0.5 -1 0 1 -1 0 -3 0 1 0 -3 x x 10 0.5 x x 10 W(t) W(t) t = 0.19009 [min] t = 0.24858 [min] 0.8 0.8 0.6 0.6 y 1 y 1 0.4 0.4 0.2 0.2 1 0 -2 -1 0.5 0 1 -3 0 x x 10 W(t) 1 0 -2 -1 0.5 0 1 -3 0 x x 10 W(t) Figura 15 – Escoamento transitório submetido ao gradiente de pressão amortecido pz = -cos(0,4t)exp(-0,01t) 231 Para pensar O esquema θ, descrito em Dautray e Lions (2000), com θ = 1/2, corresponde ao método numérico de Crank-Nicolson, sendo incondicionalmente estável para todos os valores de ∆t. Trata-se de um esquema implícito, isto é, não é possível isolar no primeiro membro da equação a velocidade em n+1 no nó (i,j). A equação em sua forma discreta é apresentada a seguir (SIMÕES et al., 2010): n +1 n +1 n +1 n n n 1 ∂p µ 1  Wi+1, j − 2 Wi, j + Wi−1, j Wi+1, j − 2 Wi, j + Wi−1, j  + + =− +  ρ ∂x ρ 2  ∆t ∆x 2 ∆x 2   (33) n +1 n +1 n +1 n n n µ 1  Wi, j+1 − 2 Wi, j + Wi, j−1 Wi, j+1 − 2 Wi, j + Wi, j−1  + +  ρ 2 ∆y 2 ∆y 2   Win, j+1 − Win, j Escreva um código em Matlab® ou linguagem de tua preferência para resolver novamente o problema, comparando os resultados obtidos com aqueles propostos neste exercício. 232 233 REFERÊNCIAS ALLIEVI, L. Theory of water-hammer. Rome: Typography Riccardo Garroni, 1925. ALMEIDA, A.B. Manual de proteção contra o golpe de aríete em condutas elevatórias., Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Lisboa, 1982. ANDERSON-JR., J.D. Computational fluid dynamics: the basics with applications. New York: McGraw-Hill, 1995. ASCE. Design and Construction of Urban Storm Water Management Systems. New York, 1989. 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