A végtelen idóluma • The Idol of Infinity

Magyar Tudomány 181(2020)11, 1509–1522 DOI: 10.1556/2065.181.2020.11.8 a VÉGTElEN IDÓluma THE IDol oF INFINITY E. Szabó lászló az mTa doktora, egyetemi tanár, ElTE BTK Filozófia Intézet logika Tanszék, Budapest [email protected] ÖSSZEFoGlalÁS Amellett fogok érvelni, hogy egy koherens fizikalista ontológiára épülő, általam fiziko-formalista matematikafilozófiának nevezett megközelítés tükrében, a „végtelen” semmivel nem nagyobb probléma, mint a „kettő”. aBSTraCT It will be argued that ‘infinity’ is not more problematic than, say, ‘two’, if the fundamental ontological doctrine of physicalism is accepted. The argument will be based on what I call the physico-formalist philosophy of mathematics. Kulcsszavak: fizikalizmus, matematikafilozófiai formalizmus, formális rendszer, jelentés, igazság, elmélet, holizmus, empirikus–teoretikus Keywords: physicalism, formalism in the philosophy of mathematics, formal systems, meaning, truth, theory, holism, empirical–theoretical „Az egyetlen, nagyon egyszerű módszer, hogy tanainkat meggyőző erővel fejtsük ki, hogy az embereket maguk­ kal a partikuláris létezőkkel szembesítjük, azok szekven­ ciáival és rendjével, nekik pedig le kell mondaniuk egy időre a fogalmakról, és össze kell barátkozniuk a valósá­ gos dolgokkal.” Francis Bacon1 1 The New Organon, Aphorisms – On the Interpretation of Nature and the Kingdom of Man. Book I, XXXVI. (Bacon, 2000, 40.) © 2020 Akadémiai Kiadó 1510 TEmaTIKuS ÖSSZEÁllíTÁS • a VÉGTElEN FoGalmaI 1. Tézisem egyetlen mondatban foglalható össze: A „végtelen” semmivel nem nagyobb probléma, mint mondjuk a „kettő”. Ennek belátásához azonban nagyon messziről leszek kénytelen elkezdeni fejtegetéseimet. Hogy a megfelelő kiindu­ lópontra állhassunk, máris pontosítom magát a tézist: Ha elfogadjuk azt a tézist, hogy a világban semmi más nem létezik, mint a partikuláris fizikai entitások – nevezzük ezt a feltételezést fizikalista ontológiának –, és ha ezt a tézist kitartó következetességgel visszük végig filozófiai elméleteinken, akkor arra a konklú­ zióra fogunk jutni például, hogy a „végtelen” semmivel nem nagyobb probléma, mint a „kettő”. Nem az a célom ebben a cikkben, hogy a fizikalizmus mellett érveljek, hanem hogy megmutassam, hogyan lehet koherens módon számot adni néhány, a filozófiai megfontolásainkban fontos szerepet játszó dologról a fizika­ lista feltevés mellett. Annyit viszont közölnöm kell, hogy mit értek fizikai entitá­ sokon. Egyszerűen azokat az entitásokat, amelyeket a szokásos filozófiai diskur­ zusban fizikai entitásoknak szokás nevezni: elemi részecskék, mezők és ezekből összeálló objektumok, bolygók, biliárdgolyók, gázok stb. Szemben olyasmikkel, amiket ugyanezen hagyomány szerint nem fizikai entitásoknak szokás gondolni, vagyis a mentális és absztrakt entitásokkal: gondolatok, ideák, számok stb. 2. Elsőként azt a kérdést fogom vizsgálni, hogyan értelmezhetők a logikai, illet­ ve matematikai tények a fizikalista ontológia keretén belül. Kiindulópontom a formalista matematikafilozófia lesz. Számos ok közül mindenekelőtt azért, mert a négy standard matematikafilozófiai felfogásból kettőt, a matematikai platoniz­ must és az intuicionizmust vagy más néven mentalizmust, azonnal kizárhatunk, hiszen e tanok szerint a matematika valami olyasmikről szóló diszciplína lenne, melyek létezését a fizikalizmus tagadja. A John Stuart Mill-féle immanens rea­ lizmus szerint pedig a matematika lényegében egy, a fizikai világról szóló elmélet lenne. A későbbiekben lesz szó arról, hogy mi egy ilyen elmélet struktúrája, és mik a rekvizitumai, és nyilvánvaló lesz, hogy a matematika önmagában nem ren­ delkezik ezekkel a rekvizitumokkal. A formalista felfogás lényegét David Hilbert tömören úgy fejezte ki, hogy „[a] matematika egy jelentés nélküli szimbólumokkal történő játék, bizonyos jól meghatározott játékszabályokkal” (Bell, 1951, 38.). Ennek megfelelően, a mate­ matikai tények – melyekről majd számot kell adnunk a fizikalista ontológiában – nem mások, mint ennek a „játéknak”, vagyis a szóban forgó formális rendszer­ nek a tényei. Ezek tipikusan olyan alakban fejezhetők ki, hogy „Σ ⊢ A”, ahol Σ a formális rendszer formuláinak egy „axiómáknak” vagy „premisszáknak” nevezett halmaza, A egy „tételnek” mondott formula, ⊢ pedig az úgynevezett „(single) turnstile”, vagy más néven szintaktikai következmény reláció. Vagyis, arról a tényről van szó, hogy az adott formális rendszer deduktív szabályai sze­ rint az A formula levezethető a Σ axiómákból. Fontos hangsúlyoznunk, hogy a formalista matematikafilozófia szerint sem A, sem pedig Σ elemei nem állítások, Magyar Tudomány 181(2020)11 a VÉGTElEN IDÓluma 1511 melyek igazak vagy hamisak lehetnek. Ezek csupán a formális rendszer formulái, jelentés nélküli jelek/jelsorozatok. A ⊢ következményrelációnak semmi köze az „igazságmegőrző ha–akkor típusú következtetéshez”. Egyszerűen azt jelöli, hogy létezik jelentés nélküli formuláknak egy olyan véges sorozata, melynek elemei beleillenek a „következtetési szabályoknak” nevezett sablonokba. Illusztrációként idézzünk fel egy példát: az 1. ábrán a „Csoportelmélet” nevű formális rend­ 1. ábra. Csoportelmélet Magyar Tudomány 181(2020)11 1512 TEmaTIKuS ÖSSZEÁllíTÁS • a VÉGTElEN FoGalmaI szert láthatjuk, a p(e,p(e,e)) = e tételének bizonyítását alkotó formulasorozattal. A formális rendszer tartozékai: egy (esetünkben első rendű) nyelv, a derivációs szabályok, a logikai axiómák (első rendű predikátum kalkulus az egyenlőséggel), valamint a matematikai axiómák (a csoportelmélet axiómái). Bizonyítás egy olyan véges formulasorozat, melyre igaz, hogy minden formulája vagy egy axióma, vagy valamely korábbi formulával/formulákkal együtt a következtetési szabályok valamelyikének megfelelő mintázatba illik bele. 3. Egyesek szerint pontosan az a formalista matematikafilozófia erénye, hogy nem implikál semmiféle ontológiai elköteleződést. Ez szó szerint véve igaz, bár a formalista matematikafilozófia különböző iskolái alapvetően tagadják a plato­ nista, illetve mentalista értelemben vett matematikai entitások létezését (Weir, 2015). Ugyanakkor nem világos, hogy mit kínálnak helyette, és jellemzően ambi­ valens válaszokat adnak az ontológiai kérdésekre: „Bár egy formális rendszer különböző formákban reprezentálható, a tételek, melyeket egy adott szimbolikus megfogalmazásban (primitive frame) leve­ zetünk, igazak maradnak a konkrét reprezentáció megváltoztatásától függet­ lenül. Valamilyen értelemben tehát létezik a szimbolikus megfogalmazástól független formális rendszer mint a gondolkodás egyértelműen meghatározott tárgya. Ez nem jelenti azt, hogy létezne egy hiposztazált, formális rendszer­ nek nevezett entitás, amely mindenféle reprezentációtól függetlenül létezik. Ellenkezőleg, nem is vagyunk képesek elképzelni egy formális rendszert másként, csak valamilyen reprezentációban. Ám amikor úgy gondolunk rá mint formális rendszerre, akkor elvonatkoztatunk a reprezentáció partiku­ láris tulajdonságaitól. Az ember képes arra, hogy teljesen konkrét dolgokról absztrakt módon gondolkodjon, és ahhoz, hogy erről a jelenségről számot adjunk, semmi szükségünk misztikus absztraktumok kitalálására. Szükségtelen tovább elmélyednünk a formális rendszerek mibenlétének kérdésében. A matematika egyik sajátossága, hogy a vizsgálódásának tár­ gyát képező objektumnak csak bizonyos esszenciális tulajdonságaival fog­ lalkozik, míg más tulajdonságok irrelevánsak számára. Az egyik ilyen irre­ leváns kérdés a formális rendszerek ontológiája.” (Curry, 1951, 30.) A mi célunk ezzel szemben éppen az, hogy elhelyezzük a formalista matemati­ kát, vagyis a formális rendszereket, a fizikalista ontológiai képben. Hol vannak a fizikai világban azok a tényállások, melyek a „Σ ⊢ A” típusú állításokat igazzá vagy hamissá teszik? Például, mik azok a fizikai tények, melyek az 1. ábrán az (1)–(9) formulasorozatot bizonyítássá teszik? Miben áll például az a tény, hogy az (1) formula nem más, mint a (G2) axióma? Ez azt jelenti, hogy az (1) sorban álló p(e,x) = x formula ugyanaz, mint a p(e,x) = x formula a (G2) sorban. De mit Magyar Tudomány 181(2020)11 a VÉGTElEN IDÓluma 1513 is jelent ez? Azt a fizikai tényt, hogy a folyóirat lapján a fekete és fehér pixelek elhelyezkedése a két formulában azonos, vagyis kongruens egymással. Mit jelent az, hogy a Ɐxp(e,x) = x formula a (2) sorban a p(e,x) = x formulából nyerhető a (G) generalizáció alkalmazásával? Ez azt a fizikai tényt jelenti, hogy a ϕ pixel-konfi­ gurációt ϕ ⊢ Ɐxϕ-ben a p(e,x) = x pixel-konfigurációval helyettesítve – például copy/paste segítségével a komputeremen – azt kapjuk, hogy p(e,x) = x ⊢ Ɐxp(e,x), melyben a ⊢ jel előtti rész kongruens a p(e,x) = x pixel-konfigurációval az (1) sorban, a ⊢ jel utáni rész pedig kongruens a Ɐxp(e,x) = x pixel-konfigurációval a (2) sorban. És így tovább. Ami fontos számunkra, az az, hogy ezek mind a fizikai világ tényei, és hogy ezekhez a tényekhez történő episztemikus hozzáférésünk semmiben nem különbözik a fizikai világ más tényeihez történő hozzáférésünki­ től, vagyis a posteriori. A fenti példán tett megfigyelésünket általánosítva a következő tézist fogalmaz­ zuk meg: Fiziko-formalista tézis: A logikai, illetve matematikai tények, lévén formális tények, nem mások, mint valamilyen konkrét fizikai jelekben, konkrét fizikai konfigurációkban, illetve folyamatokban megtestesülő formális rendszernek a fizikai tényei. (Szabó, 2003, 2012) E fizikailag megtestesült formális rendszerek változatos fajtájúak lehetnek: tintakonfigurációk a papíron, egy agy neurális konfigurációi, egy komputer elektro­ nikus folyamatai vagy ezek különböző kombinációi stb. A lényeg az – és ez a fiziko-formalista elmélet lényege –, hogy teljes egészében a fizikalista ontológia keretén belül maradunk anélkül, hogy absztrakt, konceptuális vagy mentális en­ titásokat hiposztazálnánk. 4. „Absztrakt” vagy „matematikai” értelemben vett formális rendszerek gyakran úgy vannak elgondolva, hogy azokat absztrakció útján nyerjük, elvonatkoztatva a konkrét fizikailag létező formális rendszerek lényegtelen, partikuláris tulajdon­ ságaitól, kiemelve azokat a tulajdonságokat, melyek több különböző, fizikailag létező formális rendszerben közösek (lásd a 3. pontban idézett részletet Curryő ­ től). Nézzük meg közelebbről, mit is jelent egy ilyen absztrakció? Tekintsünk kü­ lönböző fizikailag létező formális rendszereket, L1, L2, L3, … Ln. Ahhoz, hogy elvonatkoztassunk ezek bizonyos partikuláris tulajdonságaitól, és izoláljuk azt, ami bennük közös, mindenekelőtt rendelkeznünk kell annak tudásával, hogy az L1, L2, L3, … Ln fizikai objektumoknak milyen tulajdonságaik vannak. Hogy csak az ideális esettel foglalkozzunk, rendelkeznünk kell egy (M,S) fizikai elmélettel (hogy mi egy fizikai elmélet, azt később, a 7. pontban fogjuk értelmezni), mely­ nek szemantikája kiterjed a világ L1, L2, L3, … Ln objektumait tartalmazó részére, és persze olyan, hogy ezeknek az objektumoknak a helyes leírását nyújtja. Csak Magyar Tudomány 181(2020)11 TEmaTIKuS ÖSSZEÁllíTÁS • a VÉGTElEN FoGalmaI 1514 egy ilyen „metamatematikai” elméletben – amely tehát a fizikailag létező for­ mális rendszereknek mint fizikai objektumoknak a fizikai elmélete – lehet egy­ általán megfogalmazni az absztrahálás lépéseit, értelmezni az L1, L2, L3, … Ln objektumok közötti hasonlóságokat, ekvivalencia osztályokat bevezetni stb. De az (M,S) elméletnek – mint parciálisan interpretált formális rendszernek – az M része, maga is egy fizikailag létező formális rendszer – ahogy Curry mondaná, másképp el sem tudjuk gondolni. Az absztrakció minden egyes lépése ennek a fizikailag létező formális rendszernek az elemei által van reprezentálva (2. ábra). Azaz az absztrakció nem vezet ki bennünket a fizikailag létező dolgok világából, és nem nyerünk egy a fizikailag megtestesült formális rendszereken túli „abszt­ rakt/matematikai formális rendszert”, amelynek L1, L2, L3, … Ln a konkrét fizikai „reprezentációi” lennének. Egyszerűen annyi történik, hogy egy fizikailag létező formális rendszer mint fizikai objektum reprezentálva van egy másik fizikailag létező formális rendszerben, egy fizikai elmélet keretében. 2. ábra. Az absztrakció minden egyes lépése egy másik fizikailag létező formális rendszerben történő reprezentációban megy végbe 5. Összefoglalva tehát, azt látjuk, hogy a logikai és matematikai állítások – mindenekelőtt a Σ ⊢ A típusú állítások – fizikai tényeket állító állítások, és ugyanolyan episztemológiai státuszúak, mint a fizikai világ más tényeinek ál­ lításai. Ennek természetesen messzemenő filozófiai következményei vannak: a logikai és matematikai igazságok a fizikai világ egy partikuláris darabjának, nevezetesen a szóban forgó formális rendszernek az objektív tényeit fejezik ki. Magyar Tudomány 181(2020)11 a VÉGTElEN IDÓluma 1515 Mint ilyenek, szintetikusak, a posteriori természetűek, nem szükségszerűek, fallibilisek, tehát nem szolgáltatnak abszolút bizonyosságot. Ezáltal viszont a logikai és matematikai állításoknak van kontingens faktuális tartalmuk, mint minden más tudományos állításnak, és ennek megfelelően „igazak, hasznosak, és meglepőek” (Ayer, 1952, 72.) tudnak lenni. A logikai és matematikai tények „felfedezhetőek” (vö. Hardy, 1929), mint a természet bármely más ténye, hason­ lóan ahhoz, ahogyan egy műanyag molekulára vagy más artefaktumra vonatko­ zó tény felfedezhető. 6. Mindez természetesen vonatkozik az olyan matematikai tényekre is, amelyek a végtelen valamilyen matematikai fogalmával kapcsolatosak. Pontosabban, a „fo­ galom” szó használata indokolatlan, hiszen egy jelentés nélküli szimbólum vagy formula nem nevezhető fogalomnak. És ebből a szempontból teljesen mindegy, hogy a szóban forgó formula egy „végtelen számosságot” vagy éppen a „kettőt” jelölő kifejezés, egyik sem fejez ki semmiféle fogalmat, és nem ír le semmit a fizikai világban. Éppen ezt kifogásolja Rudolf Carnap a matematika tisztán for­ malista értelmezésében: „A formalista megközelítés helyes abban az értelemben, hogy az egész rendszer felépíthető tisztán formális eszközökkel, vagyis anélkül, hogy a szimbólumok jelentésére hivatkoznánk. Elég lefektetnünk azokat a transz­ formációs szabályokat, melyekből aztán automatikusan következik bizo­ nyos mondatok és a köztük fennálló következmény-relációk érvényessé­ ge. És mindehhez nem szükséges sem feltennünk, sem megválaszolnunk a formális struktúrán túlra mutató tartalmi kérdéseket. De ez a program nyilvánvalóan nem vihető végig pusztán a logikai-matematikai kalkulus megkonstruálásával. Mert ez a kalkulus nem tartalmazza mindazokat a mondatokat, melyek egyfelől tartalmazzák a matematikai szimbólumokat, másfelől relevánsak a tudomány számára. Történetesen azokat a mondato­ kat, amelyek a matematika alkalmazása szempontjából érdekesek, azaz a matematikai szimbólumokkal kifejezett szintetikus deskriptív mondatokat. Például, az a mondat, hogy »Ebben a szobában most két ember van« nem vezethető le pusztán a logikai-matematikai kalkulus segítségével abból a mondatból, hogy »Karcsi és Péter itt vannak most a szobában, és senki más nincs a szobában«.” (Carnap, 1937, 326.) Mondanivalóm megvilágítása érdekében érdemes kielemeznünk azt a három dol­ got, amelyben Carnap megítélésem szerint téved. Először, a formalista értelmezés szerint a formális rendszer formulái valóban nem alkalmasak arra, önmagukban, hogy bármit is kifejezzenek a világból. És ez nem is lehet másképpen, hacsak nem feltételeznénk, hogy egy formális rendszerbe mint kristálygömbbe nézve, szinte­ Magyar Tudomány 181(2020)11 1516 TEmaTIKuS ÖSSZEÁllíTÁS • a VÉGTElEN FoGalmaI tikus a priori állításokat mondhatunk a fizikai világról. (Ezen az sem segítene, ha a tiszta formalista matematikát a Carnap által a fent idézett passzust követően javasolt Frege-féle logicizmussal egészítenénk ki.) Másodszor, ha az argumentum kedvéért elgondolunk egy, a fizikai világot leíró elméletet – melynek fogalmát éppen Carnap nyomdokain haladva fogunk az alábbiakban megalkotni –, mely­ nek nyelve nyilván bővebb, mint a tiszta matematika nyelve, például van benne „szoba”, „Karcsi”, „Péter”, és a logikai és matematikai axiómákon kívül vannak további (fizikai) axiómák is, akkor éppenséggel lehetséges, hogy ebben a formális rendszerben, az axiómákkal együtt a két mondat a kívánt következmény-reláció­ ban álljon egymással. Viszont, és ez a harmadik észrevétel, még ha ez is a helyzet a formális rendszeren belül, a formális rendszer formulái, beleértve a két szóban forgó mondatot, akkor is jelentés nélküli objektumok maradnak, és önmagukban nem referálnak semmire. Első konklúzióként tehát megállapíthatjuk, hogy a tiszta logikai és matema­ tikai értelemben vett „végtelen” (bármi is legyen az a formális konstrukciót te­ kintve) ugyanolyan státuszú alkatrésze lehet egy – egyébként fizikai értelemben létező – formális rendszernek, mint a „kettő”. 7. A fizikai világ valamely jelenségkörét leíró fizikai elméletet úgy foghatjuk fel, mint egy parciálisan interpretált formális rendszert. Jelöljük, szimboliku­ san, a szóban forgó jelenségkört U-val, az elméletet pedig (L,S)-sel, ahol L a szóban forgó formális rendszert jelöli, S pedig az alábbiakban értelmezett par­ ciális szemantikát. Az L formális rendszert továbbra is úgy értjük, hogy ma­ gában foglalja a formális nyelvet, a derivációs szabályokat, és valamilyen ΣL axiómarendszert. Az elmélet axiómáit tradicionálisan logikai, matematikai és fizikai axiómákra szokás osztani, bár ennek a megkülönböztetésnek semmi elvi jelentősége nincsen. Az elméletnek ez a felfogása természetesen Carnap 1939-ben írt Theories as Partially Interpreted Formal Systemsjéhez nyúlik vissza: „A fizikai elméletek bármelyike, hasonlóképpen az egész fizika, megad­ ható egy interpretált formális rendszer alakjában, amely két dologból áll, egy meghatározott kalkulusból (axiómarendszerből), és az interpretációhoz szükséges szemantikai szabályok rendszeréből. Az axiómarendszer, hallga­ tólagosan vagy expliciten, a logikai-matematikai kalkulusra és annak meg­ szokott interpretációjára épül.” (Carnap, 1939, 23. bekezdés) Az elméleteknek az az értelmezése, melyet az alábbiakban bemutatok, sok vo­ natkozásban párhuzamba állítható Carnap elgondolásával, leszámítva két jelentős különbséget. Először, a fiziko-formalista megközelítésben a „logikai-matemati­ kai kalkulus”, önmagában, csupán egy jelentés nélküli formális rendszer, bármi­ Magyar Tudomány 181(2020)11 a VÉGTElEN IDÓluma 1517 fajta „megszokott interpretáció” nélkül. Másodszor, a szemantikának a következő pontban kifejtett értelmezése szerint, a formális rendszer elemei és a fizikai világ közötti szemantikai kapcsolat nem valami olyan dolog, amelyet az elmélet nyelve belsőleg, valamiféle „korrespondencia-szabályok” formájában tartalmazna. El­ lenkezőleg, mint látni fogjuk, a szemantika az elmélet nyelvére nézve külső do­ log, legalábbis, részben külső dolog; a fizikai világnak egy jelensége, melyet az L formális rendszer és a fizikai világnak az elmélet által leírandó U része közösen produkál. 8. A szemantika értelmezésében (Szabó, 2017) egy olyan intuícióra támasz­ kodunk, melyet Kurt Gödeltől tanulhatunk meg az első nemteljességi tétel bizonyításában. A bizonyítás előkészítésében Gödel világos formában meg­ fogalmazza, mit jelent az, hogy egy formális rendszer bizonyos formulái je­ lentéssel vannak felruházva, vagyis, hogy a formális rendszeren kívüli világ bizonyos tényállásaira referálnak, azokat reprezentálják. Konkrétan, a metaaritmetikai tényállásokat kifejező állítások reprezentációját adja meg magában a Peano-aritmetikában. Jelen céljainkból ennek a konstrukciónak csak a vég­ eredményét érdemes felidézni (Crossley et al., 1990, 52–54.; Hamilton, 1988, 145–146.). Jelölje Pr(x,y) azt a metaaritmetikai tényállást, hogy „az x Gödel-szá­ mú formulasorozat az y Gödel-számú formula bizonyítása”. Jelölje továbbá {Pr(x,y)}x,y az ilyen típusú metaaritmetikai tényállások családját, ahol x és y tetszőleges Gödel-számok. Adott x és y Gödel-számokra, Pr(x,y) vagy való­ ban fennáll, vagyis az x Gödel-számú formulasorozat valóban bizonyítása az y Gödel-számú formulának, vagy nem. Gödel konstrukciójában a {Pr(x,y)}x,y családba tartozó tényállásokat a Peano-aritmetika egy alkalmasan konstruált {Pr(x,y)}x,y formulacsaládjával reprezentáljuk. A reprezentálás ténye a kö­ vetkező feltétel teljesülésében áll: tetszőleges x és y Gödel-számokra, vagyis mindegyik összetartozó Pr(x,y) és R(x,y) párra igaz, hogy ha Pr(x,y) egy valóban fennálló metaaritmetikai tény, akkor ΣPA ⊢ R(x,y) ha Pr(x,y) nem egy fennálló metaaritmetikai tény, akkor ΣPA ⊢ ¬ R(x,y) (1) (2) ahol ΣPA a Peano aritmetika axiómarendszerét jelöli. A fenti feltételekben megfo­ galmazott regularitás, vagyis, hogy (1) és (2) a {Pr(x,y)}x,y család minden elemére teljesül, a Gödel-féle reprezentációfogalom lényege, és esszenciális szerepe van a tétel bizonyításában (Crossley et al., 1990, 55–56.). Mert, például, semmi sem kö­ vetkezne abból, ha csak egyetlen igaz metaaritmetikai tényálláshoz hozzárendelg ­ nénk egyetlen tételét az aritmetikának. Valójában az (1)-ben és (2)-ben szereplő „ha… akkor” kifejezés értelmetlen lenne, ha csak egyetlen tényállásról és a hozzá tartozó tételről lenne szó. Magyar Tudomány 181(2020)11 TEmaTIKuS ÖSSZEÁllíTÁS • a VÉGTElEN FoGalmaI 1518 Adoptálva tehát a Gödel-féle reprezentációfogalom lényegét, egy elmélet szemantikájának fogalmát a következőképpen adjuk meg: Egy L formális rendszerhez, a világ valamely U részére mutató (parciális) szemantikát megadni annyit tesz, mint megadni (A) L formuláinak egy {Aλ}λ és az U tényállásainak egy {aλ}λ családját, úgy, hogy (B) minden λ-ra, azaz minden összetartozó Aλ és aλ párra vonatkozóan teljesüljön, hogy ha aλ U-nak egy valóban fennálló ténye, akkor ΣL ⊢ Aλ ha aλ tényállás nem áll fenn U-ban, akkor ΣL ⊢ ¬ Aλ (3) (4) Az így értelmezett szemantika keretében az {Aλ}λ családba tartozó formulák je­ lentéssel lesznek felruházva: konkrétan az Aλ formula az aλ tényállást jelenti, arra referál. 9. Ezen a ponton máris néhány fontos észrevételt kell tennünk. (a) A formulák jelentése relatív a szemantikai konstrukció egészére nézve, je­ lesül arra nézve, hogy az (A) pontban milyen két {Aλ}λ és {aλ}λ családot adunk meg. Más szóval, ha elgondolunk két különböző szemantikát, az egyiket valamilyen {Aλ}λ és {aλ}λ, a másikat valamilyen másik {Āλˉ}λˉ és {āλˉ}λˉ családdal, egy olyan formula, amely esetleg mindkét formulacsalád­ ban benne van, hordozhat teljesen különböző jelentéseket. (b) A jelentés ugyanakkor nem csupán konvenció kérdése. Nem egy tetszőle­ ges hozzárendelés tényállások és a formális rendszer formulái között, hi­ szen ennek a „hozzárendelésnek” ki kell elégítenie a (B) feltételt is. (B) teljesülése azonban L­nek és U­nak közös produkciója: L­nek olyannak kell lennie és U-nak olyannak kell lennie, hogy (B) teljesüljön. (c) Vegyük észre, hogy a (B) kondíció teljesülése nem mást jelent, mint hogy az (L,S) elmélet, vagyis a formális rendszer és a szemantika együtt, U­nak egy helyes/igaz elmélete. Hiszen a (B) feltétel pontosan annyit mond, hogy az elmélet predikciói, vagyis jelentéssel bíró tételei, pontosan megfelel­ nek az elmélet tárgyát képező U tényeinek. Mivel (B) kondíció része a szemantika fogalmának, azt látjuk, hogy a jelentés és az igazság fogalma szétválaszthatatlanul összefonódik. De nem abban a Willard Van Orman Quine által jogosan kritizált (Quine, 1951, 1969) naiv értelemben, ahogyan ezt a jelentés verifikációs elmélete feltételezte. (d) Ugyanis, mint látjuk, a jelentés, és a fentiek értelmében, az igazság, lé­ nyegüknél fogva holisztikus fogalmak. Egyszerűen értelmetlen egyetlen izolált formula jelentéséről és igazságáról beszélni. Nemcsak azért, mert Magyar Tudomány 181(2020)11 a VÉGTElEN IDÓluma 1519 a formuláknak egyszerre egy egész családja „testületileg” van jelentéssel – és ezzel együtt igazsággal vagy hamissággal – felruházva, hanem azért is, mert a (B) kondícióban az a tény, hogy ΣL ⊢ Aλ vagy ΣL ⊢ ¬ Aλ, az el­ mélet egy tetszőlegesen nagy részét involválhatja. (e) A szemantika, a fenti holisztikus jellegével együtt, szerves részét alkot­ ja az elméletnek. (Nincs „elmélet” interpretáció nélkül!) Egy (L,S) fizikai elmélet empirikus falszifikációja esetén az elmélet bármelyik alkotórésze revízió alá vonható: L-ben, a nyelvtől és a derivációs szabályoktól kezdve, a logikai és matematikai, valamint a fizikai axiómákon át, egészen az el­ mélet S szemantikájáig. Tehát a szemantika éppannyira hipotetikus, mint az elmélet bármely más része. 10. Fontos tisztáznunk, hogy aλ nem része az elmélet nyelvének, hanem egy me­ tanyelvi szimbólum, amellyel a fizikai világ egy tényállását, konfigurációját je­ löltük. A fiziko-formalista felfogásnak megfelelően, ΣL ⊢ Aλ, illetve ΣL ⊢ ¬ Aλ szintén fizikai tényeket fejeznek ki, történetesen az L formális rendszernek mint fizikailag létező objektumnak a tényeit. Vagyis, amit a (B) kondícióban látunk, az nem más, mint egy regularitás, más néven, korreláció a fizikai világ két ré­ szének, L­nek és U-nak a tényállásai között. Kombinálva ezt a megfigyelésünket a Reichenbach-féle közös ok elvével, vagyis azzal a tézissel, hogy nincs a fizikai világban korreláció valamilyen, direkt vagy közösok-típusú kauzális magyarázat nélkül (Reichenbach, 1956; Hofer-Szabó et al., 2013), arra a következtetésre kell jutnunk, hogy úgy a szemantikai kapcsolat, mint a fizikai elmélet igazsága, vagy­ is a fizikai világra vonatkozó tudás csak a fizikai világban végbemenő kauzális folyamat eredményeként jöhet létre. Kis reflexióval belátható, hogy ez a fizikai világban végbemenő kauzális folyamat nem más, mint a tapasztalat útján történő tanulás folyamata. Tehát, nem lehetséges a fizikai világról tudás, vagyis tudás, tapasztalat nélkül. Sőt, a 9. (c) pontnak megfelelően, nem lehetséges a fizikai világról szóló értelmes, jelentéssel bíró beszéd tapasztalat nélkül. Nincs a priori jelentés, és nincs a priori igazság. 11. Tekintsük a következő szituációt. Tegyük fel, hogy L konzisztens. Könnyen belátható, hogy az alábbi állítások nem lehetnek egyszerre igazak: (i) (ii) (iii) A formula az a tényállást jelenti ΣL ⊢ A a nem áll fenn U-ban Ugyanis (i) és (iii), a 8. pont (B) kondíciónak megfelelően azt implikálná, hogy ΣL ⊢ ¬ A. Ez viszont ellentmondásban lenne (ii)-vel. Vagyis, az elmélet meg­ cáfolásának pillanatában, amikor azt tapasztaljuk, hogy a nem áll fenn, nincs Magyar Tudomány 181(2020)11 1520 TEmaTIKuS ÖSSZEÁllíTÁS • a VÉGTElEN FoGalmaI semmi jogunk azt mondani, hogy azt tapasztaljuk, hogy „¬ A”. Egyszerűen azért, mert ha a nem áll fenn, akkor a (B) kondíció nem teljesül, és ezzel az egész szemantika elveszett. Ezért ¬ A nem hordoz semmiféle jelentést, így nem referálhat arra, amit éppen tapasztalunk. Más szóval, semmilyen sajátosságot/ tulajdonságot nem tulajdoníthatunk a fizikai valóságnak abban a szituációban, amikor a nem áll fenn. Jelöljük ezt a kifejezetlen, artikulálatlan állását a dolgoknak a*-gal. Amint a tapasztalati tanulás folyamatában egy módosított (vagy teljesen új) (L′,S′) elméle­ tet alkotunk, tényállások egy új {a′λ′}λ′ és formulák egy új {A′λ′}λ′ családjával, úgy, hogy a* = a′λ′ és a (B) kondíció teljesül, a megfelelő A′λ′ formula mint egy, az * * új elméletben megfogalmazható attribútum lesz a* tényállásnak tulajdonítva, és ezáltal, legalábbis az (L′,S′) elmélet szerint, a fizikai világ valós attribútuma lesz az a* állapotban. Ez a példa rávilágít arra, hogy a szemantika, és ezáltal az elmélet egésze, az elméletben használt formális rendszerrel együtt, konstitutív szerepet játszik a vi­ lág entitásokkal és azok attribútumaival történő berendezésében (Reichenbach, 1965; Szabó, 2019). 12. Jelen megfontolásaink szempontjából azonban fontos megjegyeznünk, hogy a formális rendszerek konstitutív szerepe semmi esetre sem jelenti azt, hogy lé­ tezne egy a priori konceptuális struktúra, melynek terminusaiban a tapasztalt világot megragadjuk, és hogy ez a konceptuális struktúra valamiféle „analitikus igazságokat” generálna. Mert, ami itt létezik, az minden, csak nem konceptuális: léteznek a fizikailag megtestesült formális rendszerek, mindenféle jelentés nél­ kül. És amint a formális rendszer formulái jelentést kapnak – a 8. pontban leír­ tak értelmében –, azonnal igazak vagy hamisak lesznek, nem analitikus, hanem empirikus értelemben. És, tegyük hozzá, az empíria nem jelent sem többet sem kevesebbet, mint azt a fizikai világban végbemenő kauzális folyamatot, amely az L fizikai létező és az U fizikai létező tényállásai között a (B) kondícióban leírt korrelációt létrehozza. Semmi szükség tehát valamiféle intuitív vagy transzcen­ dens szubjektum tételezésére. Az episztemikus ágens egyszerűen része ennek az akár evolúciós időkig visszanyúló fizikai folyamatnak. 13. Hajlamosak lehetnénk úgy gondolni, hogy mindez csak az elmélet nyelvé­ nek interpretált, vagyis a fizikai világhoz közvetlenül kötött, arra referáló részére igaz, vagyis az L formális rendszer azon objektumaira, melyek a szemantika alap­ ját képező {Aλ}λ családba tartozó formulákban involválódnak, s hogy a formális rendszer maradék, tisztán „teoretikus” részébe tartozó objektumok rendelkezné­ nek valamiféle, a fizikai világra történő referenciától független „tiszta fogalmi­ sággal”, és hogy a „végtelen”, az ő összes problémájával együtt, valahol ebben a „tisztán fogalmi” szférában foglal helyet. Magyar Tudomány 181(2020)11 a VÉGTElEN IDÓluma 1521 Túl azon az ontológiai problémán, hogy egy ilyenfajta „tiszta fogalmiság” – szükségtelenül – visszacsempészne valamilyen, a fizikalizmussal összeférhe­ tetlen mentális vagy absztrakt entitásokat, vegyük észre, hogy ez az elképzelés az elmélet empirikus és teoretikus részének distinkciójára épül, ami teljesen tarthatatlan. Az empirikus–teoretikus distinkció alapja ugyanis az a feltéte­ lezés, hogy az elmélet interpretált, vagyis az {Aλ}λ családba tartozó formulái önmagukban, az elmélet többi részétől függetlenül képesek a fizikai világra referálni. Ez azonban nem igaz. Ahogyan azt a 9. (d) pontban már említettük, a szemantika abban az értelemben is holisztikus, hogy a (B) kondícióban az a tény, hogy ΣL ⊢ Aλ vagy ΣL ⊢ ¬ Aλ, az elmélet tetszőlegesen nagy részét invol­ válhatja, vagyis lényegében az elmélet egészének tulajdonsága. Ez egyben azt is jelenti, hogy az elmélet nem interpretált része ugyanúgy részt vesz a jelentés­ hordozásban. Ugyanakkor, fontos ismételten kiemelnünk, hogy a formális rendszer ele­ mei e nélkül, az elmélet egésze, valamint a fizikai világnak az elmélet által le­ írt U része által együtt létrehozott jelentéshordozás nélkül, üres, jelentés nélküli szimbólumok, akár „végtelennek”, akár „kettőnek” hívjuk őket. Készült az NKFI Hivatal támogatásával, No. K115593. IroDalom Arntzenius, F. (2010): Reichenbach’s Common Cause Principle. In: Zalta, E. N. (ed. ): The Stanford Encyclopedia of Philosophy. https://plato. stanford. edu/archives/fall2010/entries/physics-Rpcc/ Ayer, A. J. (1952): Language, Truth and Logic. New York: Dover Publications Bacon, F. (2000): The New Organon. Aphorisms – On the Interpretation of Nature and the Kingdom of Man. Cambridge: Cambridge University Press Bell, E. T. (1951): Mathematics: Queen and Servant of Science. New York: McGraw-Hill Book Company Carnap, R. (1937): The Logical Syntax of Language. London: Kegan, Paul, Trench, Trubner & Co. Carnap, R. (1939): Theories as Partially Interpreted Formal Systems. In: Carnap, R.: Foundations of Logic and Mathematics. Chicago: University of Chicago Press Crossley, J. N. – Ash, C. J. – Stillwell, J. C. et al. (1990): What Is Mathematical Logic? New York: Dover Publications Curry, H. B. (1951): Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics. Amsterdam: North-Hol­ land Hamilton, A. G. (1988): Logic for Mathematicians. Cambridge: Cambridge University Press Hardy, G. H. (1929): Mathematical Proof. Mind, 38, 149, 1–25. DOI: 10.2307/2249221, http:// wwwprof.uniandes.edu.co/~amartin/cursos/filomat/bibliografia/Hardy.pdf Hofer-Szabó G. – Rédei M. – Szabó L. E. (2013): The Principle of the Common Cause. Cambridge: Cambridge University Press Quine, W. V. (1951): Two Dogmas of Empiricism. Philosophical Review, 60, 20–43. DOI: 10.2307/2181906, http://www.f.waseda.jp/sidoli/Quine_Two_Dogmas.pdf Magyar Tudomány 181(2020)11 1522 TEmaTIKuS ÖSSZEÁllíTÁS • a VÉGTElEN FoGalmaI Quine, W. V. (1969): Epistemology Naturalized. In: Quine, W. V.: Ontological Relativity and Other Essays. New York: Columbia University Press, 69–90. https://iweb.langara.ca/rjohns/ files/2015/03/Quine_selection.pdf Reichenbach, H. (1956): The Direction of Time. Berkeley: University of California Press Reichenbach, H. (1965): The Theory of Relativity and A Priori Knowledge. Berkeley–Los Angeles: University of California Press Szabó, L. E. (2003): Formal Systems as Physical Objects: A Physicalist Account of Mathematical Truth. International Studies in the Philosophy of Science, 17, 117–125. DOI: 10.1080/0269859031000160568, http://philsci-archive.pitt.edu/1164/1/formfiz_preprint.pdf Szabó, L. E. (2012): Mathematical Facts in a Physicalist Ontology. Parallel Processing Letters, 22, 1240009. DOI: 10.1142/S0129626412400099, http://phil.elte.hu/leszabo/Preprints/LESza­ bo-math_in_physical-preprint.pdf Szabó, L. E. (2017): Meaning, Truth, and Physics. In: Hofer-Szabó, G. – Wroski, L. (eds.): Making it Formally Explicit. (European Studies in Philosophy of Science 6.) Berlin: Springer Inter­ national Publishing, http://philsci-archive.pitt.edu/12891/13/LE_Szabo-Meaning-Truth-Phy­ sics-v5.pdf Szabó, L. E. (2019): Intrinsic, Extrinsic, and the Constitutive A Priori. Foundations of Physics (2019). DOI: 10.1007/s10701-019-00281-z, http://philsci-archive.pitt.edu/15567/1/LESzabo-int­ rinsic6.pdf Weir, A. (2015): Formalism in the Philosophy of Mathematics. In: Zalta, E. N. (ed.): The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2015 Edition), https://plato.stanford.edu/archives/spr2015/ entries/formalism-mathematics/ Magyar Tudomány 181(2020)11