Funzione elementare

In matematica, una funzione è detta elementare se è una funzione algebrica, esponenziale, logaritmica o se si ottiene da queste classi di funzioni mediante un numero finito di applicazioni delle operazioni aritmetiche elementari e della composizione di funzioni^[1]. Sono incluse in questo elenco anche le funzioni trigonometriche (legate all'esponenziale complesso tramite la formula di Eulero) e la funzione valore assoluto (in quanto $|x|:={\sqrt {x^{2}}}$ ).

È una funzione elementare dunque qualsiasi combinazione, per quanto complicata, di questi operatori sopra menzionati, come ad esempio

{\frac {\mathrm {e} ^{\tan(x)}}{1-x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+\ln ^{2}x}}\,\right)

.

Tra le funzioni non elementari troviamo, tra le altre, la funzione segno, la funzione degli errori e la funzione che enumera gli elementi della successione di Fibonacci.

Algebra differenziale

In algebra differenziale si trova una definizione astratta di funzione elementare. Ricordiamo che un campo differenziale è un campo equipaggiato di un'operazione unaria di "derivazione", cioè una mappa $\partial :{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {K}}$ tale che:

$\partial (u+v)=\partial u+\partial v$ (l'operazione è lineare)
$\partial (u\cdot v)=u\cdot \partial v+\partial u\cdot v$ (vale la regola di Leibniz)

Si definisce dunque come funzione elementare su ${\mathcal {K}}$ un elemento u appartenente all'estensione algebrica ${\mathcal {K}}[u]$ tale che

u è algebrico su ${\mathcal {K}}$ , o
u è un esponenziale, cioè $\partial u=u\cdot \partial a$ , per qualche a in ${\mathcal {K}}$ , o
u è un logaritmo, cioè $\partial u={\partial a \over a}$ , per qualche a in ${\mathcal {K}}$ .