Elementær funksjon

Ein elementær funksjon er av dei funksjonane ein får oftast bruk for i matematikken. Det er ei gruppe som skil seg ut ved særleg enkle eigenskapar. Det er dei funksjonane ein kan bygge opp på grunn av nokre få enkle funksjonar, dei elementære grunnfunksjonane som potensfunksjon, logaritme, eksponentialfunksjon, trigonometriske funksjonar og dei omvende funksjonane deira, ved nokre få operasjonar. Klassen av funksjonar ein då får vert kalla dei elementære funksjonane. Dei viktigaste eigenskapane til desse funksjonane er at den deriverte av ein kvar elementær funksjon sjølv er ein elementær funksjon.

Døme

Døme på elementære funksjonar er:

${\frac {e^{\tan(x)}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+\ln ^{2}x}}\,\right)$

og

$-i\ln(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})$.

Den siste funksjonen er lik den inverse cosinus-funksjonen $\arccos(x)$ i heile det komplekse domenet. Derfor er $\arccos(x)$ ein elementær funksjon. Eit døme på ein funksjon som ikkje er elementær er feilfunksjonen

$\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$

noko ein ikkje kan sjå direkte frå definisjonen av ein elementær funksjon, men som kan bevisast ved å nytte Risch-algoritme.

Kjelder

• «elementære funksjoner». Store norske leksikon. 9. november 2011. 
• Delar av denne artikkelen bygger på «Elementary function» frå Wikipedia på engelsk, den 9. november 2011.

Bakgrunnsstoff

• Weisstein, Eric W., «Elementary function» frå MathWorld.