Neliöluku

Neliöluku on positiivinen kokonaisluku, jonka osoittamasta määrästä pisteitä voidaan muodostaa neliön muotoinen kuvio.

Neliöluvut voidaan määrittää lausekkeella $n^{2}$, jossa n on positiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi 9 on neliöluku, koska $3^{2}=9.$ Kaksi­kymmentä ensimmäistä neliölukua ovat 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 ja 400.

Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa neliöluvussa $N_{n}$ pariton luku $2n-1.$

Neliöluvut ovat kolmiolukujen jälkeen yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioiden lukuja. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.

Määritelmä

Neliöluvut $N_{n}$ saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan $n$ peräkkäistä paritonta lukua yhteen:

$N_{n}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=1+3+5+7+\dotsb +(2n-1)=n^{2}.$

Tämä voidaan tulkita summaksi, jossa ensimmäisenä lukuna on pienin neliöluku $N_{1}=1$ ja sitten siihen lisätään gnomoneita $g_{n}=2n+1$

$N_{n}=N_{1}+g_{1}+g_{2}+\dots +g_{n-1}.$

Neliölukujoukon komplementti eli ei-neliölukujen joukko voidaan muodostaa lausekeen $a_{n}=n+\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\sqrt {n}}\right\rfloor$ avulla, missä käytetään lattiafunktioita. Lausekkeesta saadaan luvut 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ... , joista puuttuvat neliöluvut.

Yhteyksiä matematiikkaan

Neliölukujen ominaisuuksia

Seuraavan neliöluvun voi muodostaa rekursiivisesti edellisen neliöluvun avulla seuraavasti.

$0+\color {blue}1\color {black}=1$	$1+\color {blue}3\color {black}=4$	$4+\color {blue}5\color {black}=9$	$9+\color {blue}7\color {black}=16$

Rekursiivisesti ilmaistuna seuraava neliöluku on $N_{n+1}=N_{n}+(2n-1)=n^{2}+(2n-1)=n^{2}+n+1=(n+1)^{2}.$

Kytkentä muihin kuviolukuihin

Neliöluvut voidaan aina esittää kahden kolmioluvun avulla

$N_{n}=T_{n}+T_{n-1}={\frac {1}{2}}n(n+1)+{\frac {1}{2}}(n-1)n=n^{2}$

Yhteyksiä muuhun matematiikkaan

Jos luku $n$ parillinen luku, niin luvut $n-1$ ja $n+1$ ovat peräkkäiset parittomat luvut. Vastaavasti, jos $n$ on pariton luku, niin luvut ovat peräkkäiset parilliset luvut. Peräkkäisten parillisten (parittomien) lukujen tulo yhdellä lisättynä on neliöluku eli

$N_{n}=(n-1)(n+1)+1=(n^{2}-1)+1=n^{2}.$

Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintan neljän neliöluvun summana. Tällaisia tapauksia ovat esimerkiksi $3=1^{2}+1^{2}+1^{2},$ $4=2^{2},$ $5=2^{2}+1^{2}$ ja $7=2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}.$ Samoin jokainen luku voidaan esittää korkeintaan kolmen etumerkillisen neliöluvun summana eli esimerkiksi $3=2^{2}-1^{2},$ $5=2^{2}+1^{2}$ ja $7=3^{2}-1^{2}-1^{2}.$

Neljän parittoman luvun neliöiden summa voidaan lausua myös neljän parillisen luvun neliöitten summana.

Alkuluku $p$, joka voidaan lausua muodossa $p=4n+1$, voidaan esittää kahden luvunneliön summana. Esimerkiksi luku 29 on tällainen luku, koska $29=4\cdot 7+1=2^{2}+5^{2}.$

Historiaa

Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut, neliöluvut ja muut monikulmioluvut olivat keskeinen osa lukujen oppirakennelmaa. Euroopassa Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa. Hänen todistusmenetelmänsä selittivät monia kuviolukujen ominaisuuksia ja kasvanut kiinnostus lukuihin kiteytyi lukuteoriassa, joka voidaan katsoa syntyneen tästä harrastuksesta.

Fermat esitti kirjeenvaihdossaan teoreeman, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana. Teoreeman todisti yleisellä tasolla ensimmäisenä Augustin-Louis Cauchy.

Katso myös

• OEIS - kokonaislukujen jonoja: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Solmu-lehti: Tehtäviä kolmio ja neliöluvuista
• Pythagoraan kolmikko

Lähteet

• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0, ISBN 951-884-158-6

Viitteet

Kuvioluvut

Monikulmioluvut	kolmioluvut neliöluvut viisikulmioluvut kuusikulmioluvut seitsenkulmioluvut kahdeksankulmioluvut yhdeksänkulmioluvut kymmenkulmioluvut yksitoistakulmioluvut kaksitoistakulmioluvut
Muita tasokuviolukuja:	keskitetyt neliöluvut keskitetyt kuusikulmioluvut tähtiluvut
Pyramidiluvut	tetraedriluvut neliöpyramidiluvut viisikulmiopyramidiluvut kuusikulmiopyramidiluvut seitsenkulmiopyramidiluvut
Muut monitahokasluvut	kuutioluvut oktaedriluvut Haűyn oktaedriluvut
Monikulmiolukuja koskevia tuloksia	Fermat’n monikulmiolause Pollockin tetraedrilukuotaksuma Pollockin oktaedrilukuotaksuma Lagrangen neljän neliön lause