Kokonaisluku

Kokonaisluvut ovat arkipäiväiset luvut, joilla yleensä ilmoitetaan kohteiden lukumäärää. Määritelmä on sama kuin luonnollisilla luvuilla sillä erolla, että kokonaislukuihin luetaan positiivisten lukujen lisäksi myös luku nolla ja negatiiviset luvut. Kokonaislukujen negatiivisuudella on käyttöä lähinnä matematiikassa, vaikka negatiivisia reaalilukuja käytetään arjessa melko sujuvasti. Puhekielessä käytetään kokonaislukuja samassa merkityksessä kuin luonnollisia lukuja.

Kokonaislukuihin luetaan luvut $\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}.$

Yleisimmin käytetyt osajoukot

Matematiikassa kokonaislukujen joukkoa merkitään kapiteelikirjaimella $\mathbb {Z}$. Luonnollisten lukujen joukko on kokonaislukujen osajoukko. Näitä kutsutaan

positiivisiksi kokonaisluvuiksi $\mathbb {N} =\mathbb {Z} _{+}=\{1,2,3,\dots \}.$

Näiden vastaluvut ovat

negatiiviset kokonaisluvut $\mathbb {Z} _{-}=\{-1,-2,-3,\dots \}.$

Kun mukaan otetaan myös nolla, voidaan kokonaislukujen joukko esittää yhdisteenä

$\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{+}\cup \{0\}\cup \mathbb {Z} _{-}.$

Koska lukuteoriassa käytetään kokonaislukujen osajoukkoja, on paikallaan esitellä niiden nimityksiä. Ne kiertävät pääsääntöisesti sen tosiasian, että nolla ei ole positiivinen tai negatiivinen luku. Positiivisuus ja negatiivisuus yhdessä luvun nolla kanssa voidaan joskus ilmaista esimerkiksi seuraavilla tavoilla:

positiiviset kokonaisluvut: $\mathbb {Z} _{+}=\{1,2,3,4,...\}$

epänegatiiviset kokonaisluvut: $\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,3,4,...\}$

negatiiviset kokonaisluvut: $\mathbb {Z} _{-}=\{...-4,,-3,-2,-1\}$

epäpositiiviset kokonaisluvut: $\{...-4,,-3,-2,-1,0\}$

Johdanto

Koska kokonaisluvut ovat joukko-opillinen laajennus luonnollisista luvuista, perivät kokonaisluvut suuren osan luonnollisten lukujen ominaisuuksista. Kokonaislukujen ominaisuudet onkin helppo ymmärtää, kun ensin tuntee luonnollisten lukujen ominaisuudet ja rajoitteet.

Pääartikkeli: Luonnollinen luku

Menneisyydessä vähennyslaskussa syntyi helposti tilanne, jossa vastausta ei saatu normaalilla tavalla. Vaikka erotuksella selvitetään lukujen suuruuseroa, halutaan joskus laskea erotus "nurinpäin". Jos verrataan lausekkeiden $3-7$ ja $7-3$ tuloksia, tulee vain jälkimmäisestä tulokseksi neljä. Edellinen lauseke yrittää vähentää kolmosesta liikaa ja vähennyslasku "epäonnistuu". Näitä lausekkeita kutsuivat muinaiset laskijat "absurdeiksi".

Ne laskijat, jotka näkivät lausekkeen 3 − 7 hyödyllisyyden, sopivat vain, että erotuksen arvo on "neljä tappiota" tai "neljä velkaa". Tällaista tulosta kutsutaan "negatiiviseksi". Jos laskun tulos oli "neljä voittoa" tai "neljä tuottoa", kutsuttiin tulosta "positiiviseksi". Positiivisuus ja negatiivisuus olivat toisilleen "vastakkaisia" tuloksia. Postitiivisuutta merkittiin plus-merkillä (+) ja negatiivisuutta miinus-merkillä (−). Positiivisuus ilmaistaan usein luvulla ilman plus-merkkiä. Esimerkiksi laskutoimituksien "merkkisäännöillä" tarkoitetaan niitä päättelytapoja, joilla tuloksen positiivisuus tai negatiivisuus eli "tuloksen merkki" voidaan päätellä oikein. Negatiivisuus toimii edellä määritetyllä tavalla myös muilla luvuilla kuten esimerkiksi rationaaliluvuilla, reaaliluvuilla ja kompleksiluvuilla.

Lukujoukon ominaisuuksia

Kun seuraavassa tekstissä puhutaan luvuista tarkoitetaan sillä lukujoukkoa tai kaikkia lukujoukon alkioita.

Lukujoukko laajennuksena

Koska kokonaisluvut ovat laajennus luonnollisista luvuista, ovat luonnolliset luvut kokonaislukujen osajoukko. Silloin voidaan merkitä $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$ tai $\mathbb {N} _{0}\subset \mathbb {Z}$, jos nolla sisällytetään luonnollisiin lukuihin.

Kun kokonaisluvut asetetaan lukusuoralle, nähdään helposti vastaavuus luonnollisiin lukuihin.

Luonnolliset luvut on merkitty sinisillä numeroilla ja negatiiviset luvut punaisilla numeroilla. Nolla, joka ei ole positiivinen- tai negatiivinen luku, on merkitty mustalla värillä

Luonnolliset luvut on täydennetty nollalla ja jokaisen luonnollisen luvun vastaluvulla, jolloin saadaan kokonaisluvut.

Itseisarvo

Kokonaisluvun itseisarvon tulkinta voidaan johtaa reaaliluvuista. Reaaliluvun itseisarvon voidaan tulkita vastaavan lukusuoralla olevan luvun "etäisyyttä" nollasta. Tätä tulkintaa voidaan soveltaa kokonaisluvuille, vaikka ne eivät olekaan reaalilukuja. Kokonaisluvut ilmaisevat määrää, joten negatiivisen luvun itseisarvolla on sama määrä kuin positiivisen vastaluvun itseisarvollakin. Itseisarvon tulos ilmaistaan positiivisella luvulla eli luonnollisella luvulla.

Luvun itseisarvo merkitään pystyviivoilla |a|. Silloin itseisarvojen tulokset voidaan kirjoittaa esimerkiksi |-4| = |+4| = 4. Kaksi erisuuruista kokonaislukua ovat toistensa vastalukuja, jos niillä on sama itseisarvo. Huomaa, että nollalla ei ole muotoja −0 ja +0, vaan on olemassa vain yksi nolla. Nollan itseisarvo on nolla itse.

Yhteen- ja vähennyslaskun merkkisäännöt

Ikiaikainen luonnollisten lukujen vähennyslasku voidaan esittää positiivisen ja negatiivisen kokonaisluvun summana. Vähentäjä muutetaan vastaluvukseen ja vähennyslaskun miinus-merkki vaihdetaan yhteenlaskun plus-merkiksi:

$a-b=a+(-b)$.

Muunos voidaan suorittaa myös toiseen suuntaan, jolloin hankalasti hahmottuvat vähennyslaskujen tulokset voidaan luontevasti laskea päässä luonnollisten lukujen yhteen- ja vähennyslaskusääntöjen avulla. Erimerkkisten lukujen vähennyslaskun muunnos yhteenlaskuksi

$a-(-b)=a+b$

voidaan selittää samalla tavoin eli, että vähennyslaskun $-b$:n muutetaan vastaluvun $b$ yhteenlaskuksi. Edellisistä kahdesta tapauksesta saadaan koulussa opetetut merkkisäännöt:

$+(-b)\rightarrow -b$ ja

$-(-b)\rightarrow +b$.

Kerto- ja jakolaskun merkkisäännöt

Lukujen positiivisuus- ja negatiivisuus vaikuttavat tulon ja osamäärän laatuun. Jos laskutoimituksen molemmat luvut ovat saman merkkiset, saadaan positiivinen tulos. Jos luvut ovat eri merkkiset, saadaan negatiivinen tulos. Tämä voidaan merkitä luonnollisten lukujen $a$ ja $b$ avulla, missä negatiivisuus ilmaistaan miinus-merkillä:

$a\cdot b>0$

$(-a)\cdot (-b)>0$

$(-a)\cdot b<0$

$a\cdot (-b)<0.$

Kahden luvun jakolaskun tulos saadaan vastaavalla tavalla.

Kokonaislukujen algebra

Algebralla tarkoitetaan lukujen laskutoimitusten ominaisuuksia. Edellä todettiin, että vähennyslasku voidaan kokonaisluvuilla käsitellä aina vastalukujen yhteenlaskulla. Tämän vuoksi kokonaislukujen algebrassa käsitellään vain yhteenlaskusääntöjä. Kokonaislukujen kertolaskun tulos on aina kokonaisluku, mutta lukujen jakolaskun tulos ei aina ole kokonaisluku. Jakolaskun tulosten aukottomaan käsittelyyn tulee käyttää rationaalilukujen algebraa. Seuraavat laskutoimituksien ominaisuudet ovat voimassa kaikille kokonaisluvuille a, b ja c. Niissä käytetään vain yhteenlaskua ja kertolaskua:

1. $a+(b+c)=(a+b)+c\,$ (yhteenlaskun liitäntälaki)
2. $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\,$ (kertolaskun liitäntälaki)
3. $a+b=b+a\,$ (yhteenlaskun vaihdantalaki)
4. $a\cdot b=b\cdot a\,$ (kertolaskun vaihdantalaki)
5. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\,$ (Osittelulaki)
6. $a+0=a\,$ (luku $0$ on yhteenlaskun neutraalialkio eli nolla-alkio)
7. $1\cdot a=a\,$ (luku $1$ on kertolaskun neutraalialkio eli ykkösalkio)

Kokonaisluvuille on olemassa käänteisalkiot yhteislaskun suhteen, mutta ei kertolaskun suhteen. Yhteenlaskussa käänteisalkioita kutsutaan vastaluvuiksi ja sellainen voidaan osoittaa jokaiselle kokonaisluvulle. Positiivisen kokonaisluvun vasta-alkio on negatiivinen kokonaisluku, ja päinvastoin. Nollan vastaluku on nolla itse. Kertolaskussa käänteisalkioita eli käänteislukuja voidaan määrittää vasta rationaaliluvuille, tosin ykkösen käänteisluku on luku yksi itse.

Kokonaislukujen joukko on laskutoimituksen suhteen suljettu, jos kahden luvun laskun tulos kuuluu kokonaislukuihin. Yhteenlaskun suhteen näin onkin, sillä kahden luvun $a$ ja $b$ summa $a+b$ on aina joko positiivinen- tai negatiivinen kokonaisluku tai nolla ja summa kuuluu siten kokonaislukuihin. Sama ominaisuus on myös kertolaskulla. Tämän vuoksi lukujoukko on suljettu yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen.

Edelleen, koska molemmat laskutoimitukset ovat assosiatiivisia eli toteuttavat liitännäislain, sanotaan, että kokonaisluvut ovat yhteenlaskun suhteen $(\mathbb {Z} ,+)$ ja kertolaskun suhteen $(\mathbb {Z} ,\cdot )$ monoideja. Koska jokaisen luvun käänteisalkio, eli yhteenlaskussa vastaluku, kuuluu kokonaislukuihin, kutsutaan monoidia $(\mathbb {Z} ,+)$ myös ryhmäksi. Erityisesti se on vieläpä Abelin ryhmä, koska yhteenlasku on kommutatiivinen eli vaihdannainen. Kertolaskun suhteen kokonaisluvuilla ei ole yleisesti käänteisalkioita eli käänteislukuja, joten $(\mathbb {Z} ,\cdot )$ ei muodosta ryhmää.

Mahtavuus

Kokonaislukuja on ääretön määrä. Matematiikassa voidaan verrata kahta lukujoukkoa ja päätellä, kummassa on enemmän alkioita, vai onko niitä yhtä paljon. Georg Cantor osoitti vertailemalla kokonaislukuja luonnollisiin lukuihin niiden olevan yhtä mahtavia joukkoja. Hän aloitti vertailun järjestämällä ensin kokonaisluvut itseisarvoltaan kasvavaksi jonoksi: $\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}=\{0,1,-1,2,-2,3,-3,\dots \}$. Tämän jälkeen hän "numeroi" jokaisen kokonaisluvun luonnollisella luvulla eli kirjasi vastaavuudet: $0\leftrightarrow 0,1\leftrightarrow 1,2\leftrightarrow -1,3\leftrightarrow 2,4\leftrightarrow -2,\dots .$ Lopulta hän totesi, että jokaiselle kokonaisluvulle (etumerkistä huolimatta) voidaan osoittaa luonnollinen luku pariksi, joten molemmat lukujoukot ovat yhtä mahtavat. Tämä voidaan merkitä $card(\mathbb {N} )=\aleph _{0}=\infty =card(\mathbb {Z} )$ ja sanoa, että kokonaisluvut ovat numeroituvasti ääretön joukko.

Järjestetty joukko

Koska kokonaisluvut edustavat lukumäärää, on se samalla tavalla järjestetty joukko kuin luonnolliset luvut, jossa järjestysrelaatiolla voidaan ilmaista luonnollisten lukujen kaksi tärkeintä ominaisuutta. Kun kahta lukua verrataan keskenään, saadaan aina joko $a<b\,$ tai $a=b\,$ tai $a>b\,$. Tätä ominaisuutta kutsutaan trikotomiaksi. Jos tarkastellaan kolmea luonnollista lukua, joille pätee ensin $a<b\,$ ja $b<c\,$, niin silloin voidaan päätellä myös, että $a<c\,$. Tätä ominaisuutta kutsutaan transitiivisuudeksi. Järjestysrelaation toiminnasta johtuu se, että kokonaisluvut, ja kaikki sen osajoukot, ovat hyvinjärjestetty lukujoukko.

Kokonaisluvuilla ei kuitenkaan ole pienintä lukua tai suurinta lukua, vaikka lukujen keskinäinen järjestys on hyvin järjestynyt. Tämä johtuu positiivisten lukujen äärettömästä lukumäärästä ja siitä, että negatiivisia lukuja on vastalukuina yhtä paljon. Koska suurinta positiivista kokonaislukua ei voi osoittaa, ei voi myös pienintä eli negatiivisinta lukuakaan osoittaa.

Historiaa

Luonnollisia lukuja kutsuttiin ennen kokonaisluvuiksi, mutta negatiivisten lukujen lisääminen kokonaislukuihin motivoi nimeämään positiiviset kokonaisluvut luonnollisiksi luvuiksi. Negatiivisia lukuja alettiin käyttämään matematiikassa varsin myöhään. Nollan lisääminen luonnollisiin lukuihin aiheutti matemaatikoissa aluksi kiistoja, mutta kokonaisluvuissa nolla on ollut alusta lähtien.

Pääartikkeli: Negatiivinen luku

Pääartikkeli: Nolla

Katso myös

• Lattia- ja kattofunktio
• OEIS – kokonaislukujen jonoja: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Lähteet

• Barrow John D.: Lukujen taivas. Suomentanut Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0
• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I ja II. (A history of mathematics, 1985.) Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994.
• Fuchs, Walter R.: Matematiikka. Suomentanut Mattila, Pekka. Länsi-Saksa: Kirjayhtymä, 1968.

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Lukujoukkoja

Numeroituvia joukkoja:	luonnolliset luvut ($\scriptstyle \mathbb {N}$) kokonaisluvut ($\scriptstyle \mathbb {Z}$) rationaaliluvut ($\scriptstyle \mathbb {Q}$) algebralliset luvut ($\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$)
Reaaliluvut ja niiden laajennokset:	reaaliluvut ($\scriptstyle \mathbb {R}$) kompleksiluvut ($\scriptstyle \mathbb {C}$) kvaterniot ($\scriptstyle \mathbb {H}$) irrationaaliluvut transsendenttiluvut surreaaliluvut
Muita:	kardinaaliluvut p-adiset luvut