Lankide:Nasedam/Proba orria

Biderketa eskalar

Biderketa eskalarra espazio euklidear.

Matematikan, biderketa eskalarra eragiketa aljebraiko bat da, dimentsio bereko bi bektore hartzen dituena eta zenbaki bat ematen duena. Geometria euklidearrean, biderketa eskalarra oso erabilgarria da koordenatuekin lantzeko.

Aljebraikoki, biderketa eskalarra batuketa bat da, biderkatzen diren bi bektoreetan indize bera duten elementuen arteko biderkaduraren batuketa, hain zuzen ere. $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$$

Geometrikoki bektoreen arteko angeluarekin ($\theta$) erlazionatzen da:

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta )$$

non $|\mathbf {a} |$ eta $|\mathbf {b} |$ bektoreen luzerak diren.

Historia

Lagrangen estatua Turinen

Biderketa eskalarra biderketa bektorialarekin batera garatu zen. XVIII.mendean, Joseph-Louis Lagrange matematikari italiarrak definitu zituen bi biderketa hauek tetraedroa ikertzeko.

Ondoren, 1843an, William Rowan-ek koartenioiak sortu zituenean, biderketa eskalarra ere azaldu zuen. 40 urte geroago, Josiah Williard Gibbs-ek konturatu zen koaternioien teoria gogaikarria zela; izan ere, biderketa eskalarrak beste era batera egin behar ziren.

Momentu honetan, Gibbsen lanari esker biderketa eskalarra baliabide estandar gisa onartu zen ikerketa geometrikoetan.

Interpretazio geometrikoa

Bektoreak geometrikoki deskribatzen badira, moduluaren, norabidearen eta noranzkoaren arabera, posible da biderketa eskalarra geometrikoki definitzea. $\mathbb {R} ^{2}$ edo $\mathbb {R} ^{3}$ espazioetan, bektoreak gezi gisa adieraz daitezke. Gezien luzera bektorearen modulua da, eta bektorearen norabidean eta noranzkoan apuntatzen dute. Bektoreak puntu beretik abiatuta irudikatzen badira, haien geziek angelu bat osatuko dute. Biderketa eskalarra bektoreen artean puntu bat jarriz adierazten dugu.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta )$

$\mathbf {a}$ bektorearen proiekzioa $\theta \approx 90^{\circ }$ bada

$\mathbf {a}$ bektorearen proiekzioa $\theta \approx 0^{\circ }$ bada

Formula honen elementuak aztertzen baditugu, lehenengo biak $|\mathbf {a} |$ eta $|\mathbf {b} |$ dira. Hauek $\mathbf {a}$ eta $\mathbf {b}$-ren moduluak dira; beraz, biderketa eskalarrak bektoreak zein luzeak diren hartzen du kontuan. Azkeneko faktorea $\cos(\theta )$ da, non $\theta$ $\mathbf {a}$ eta $\mathbf {b}$ bektoreek osatzen duten angelua den. Horrek adierazten digu biderketa eskalarrak norabidearekin zerikusia duela.

Zehazki, $\theta =0$ denean bi bektoreek norabide bera dute. Orduan hartzen du biderketa eskalarrak baliorik handiena, $\cos(0)=1$ baita. Oro har, bi bektoreen norabidea zenbat eta antzekoagoa izan, orduan eta handiagoa izango da haien arteko biderketa eskalarra.

$\theta ={\dfrac {\pi }{2}}$ denean, bi bektoreak elkarzutak dira. Kasu honetan biderketa eskalarra 0 izango da, $\cos \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)=0$ delako.

Biderketa eskalarra negatiboa izan daiteke bi bektoreek kontrako noranzkoan seinalatzen badute, hau da, ${\dfrac {\pi }{2}}<\theta <{\dfrac {3\pi }{2}}$ denean.

Biderketa eskalarra ikusteko beste modu bat da bektore batek bestearen gainean proiektatzen duen itzalean pentsatzea. Angelua txikia denean, itzala jatorritik urrun dago eta biderketa eskalarra handia da. Angelua $90^{\circ }$tik gertu dagoenean, berriz, proiektatzen den itzala jatorriaren ondoan dago eta biderketa txikia da.

Bektoreen luzera

Aurreko formula erabiliz bektore baten luzera kalkula daiteke.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =|\mathbf {a} ||\mathbf {a} |\cos(0)=|\mathbf {a} |^{2}$

Bi bektoreren arteko angelua

Bektoreen arteko angelua ere kalkula daiteke.

$\theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\right)$

Propietateak

Bira a,b eta c bektoreak espazio jakin batean eta izan bedi k eskalar bat, hau da, zenbaki bat. Orduan, hurrengo propietateak betetzen dira :

1. Trukakortasuna:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a}$

2. Banakortasuna gehieketarekiko:

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c}$

3. Elkarkortasuna k eskalar baten biderketarekiko:

$k(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(k\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot (k\mathbf {b} )$

Definizio orokorra

Biderketa eskalarra espazio bektorialetan defini daiteke. Izan bedi $E$ $\mathbb {R}$ gaineko bektore-espazioa. Orduan, $E$ gaineko biderketa eskalarra $f:E\times E\rightarrow \mathbb {R}$ aplikazio bat da non $f$ forma bilineala, simetrikoa, ez-endakatua eta positiboki definitua den . Hau da, $f$-k hurrengo propietateak ditu:

• $f$ 'bilineala da:

$f(\alpha v_{1}+\beta v_{2},w)=\alpha f(v_{1},w)+\beta f(v_{2},w),\quad \alpha ,\beta \in K,\quad v_{1},v_{2},w\in E$.

$f(v,\alpha w_{1}+\beta w_{2})=\alpha f(v,w_{1})+\beta f(v,w_{2}),\quad \alpha ,\beta \in K,\quad v_{1},v_{2},w\in E$.

• $f$ simetrikoa da:

$f(v,w)=f(w,v)\quad v,w\in E$.

• $f$ ez-endakatua da:

$f(v,w)=0,\quad w\in E\Longrightarrow v=0$.

• $f$ positiboki definitua da:

$f(v,v)\geq 0,\quad v\in E$.

Definizioa koordenatuekin

Izan bitez $\mathbf {a}$ = $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ eta $\mathbf {b}$ = $(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$-ko bi bektore. Orduan, haien arteko biderkadura eskalarra honela definitzen da: $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots a_{n}b_{n}.$$

Adibidez, espazio tridimentsionalean, $[1,3,-5]$ eta $[4,-2,-1]$ bektoreen biderketa eskalarra horrela kalkulatzen da:

$${\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}$$

Halaber, $[1,3,-5]$ bektorearen luzeraren karratua honela lortzen da:

$${\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [1,3,-5]&=(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\&=1+9+25\\&=35\end{aligned}}$$ Beraz, $[1,3,-5]$-ren luzera ${\sqrt {35}}$ da.

Matrizeekin

$\mathbf {a}$ eta $\mathbf {b}$ bektoreak beren koordenatuen zutabe-matrizeekin identifikatzen badira, biderketa eskalarra matrizial gisa ikus daiteke: $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$$

non $\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }$ $\mathbf {a}$-ren iraulia den.

Biderketa eskalarra espazio euklidearrean

Adierazpen analitikoa

Izan bitez $\mathbf {U} =(U_{1},U_{2},U_{3})^{t}$ y $\mathbf {V} =(V_{1},V_{2},V_{3})^{t}$ bektoreak $\mathbb {R} ^{3}$ espazio euklidear tridimentsionalean.

$\mathbf {U}$ eta $\mathbf {V}$-ren arteko biderketa eskalarra forma matrizialean definitzen da:

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U^{t}V={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}&U_{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\V_{3}\\\end{bmatrix}}=U_{1}V_{1}+U_{2}V_{2}+U_{3}V_{3}\,$

Bi bektoreak ${\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ oinarri batean adierazten badira, orduan, bidekerta eskalarraren propietateak kontuan hartuta:

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {V}$	$=$	$(u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3})\cdot (v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3})$
	$=$	${\begin{matrix}u_{1}v_{1}\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}+u_{2}v_{1}\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}+u_{3}v_{1}\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\\+u_{1}v_{2}\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}+u_{2}v_{2}\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}+u_{3}v_{2}\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}\\+u_{1}v_{3}\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}+u_{2}v_{3}\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}+u_{3}v_{3}\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{matrix}}$

Adierazpen luze hau era matrizialean laburbil daiteke:

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {V} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{bmatrix}}=U_{\mathcal {B}}^{t}AV_{\mathcal {B}},$

non A-ri biderketaren Gram-en matrizea deritzon. Matrize honen sarrerak oinarriaren biderketa eskalarrak dira, hau da, $a_{ij}=e_{i}\cdot e_{j}$. Oinarria ortonormala izanez gero, Gramen matrizea identitatea da.

Adierazpen hauek n dimentsioko espazioetara orokortu ahal dira. U eta V $\mathbb {R} ^{n}$-en bi bektore baldin badira, orduan:

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{1}V_{1}+U_{2}V_{2}+...+U_{n}V_{n}\ .$

Era berean, ${\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},...,e_{n}\}$ oinarri batean bi bektoreen koordenatuekin lan daiteke, ondorioz, biderketa eskalarra honela idazten da:

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{\mathcal {B}}^{t}\ A\ V_{\mathcal {B}},$

non Gramem A matrizea n x n ordena duen.

Biderketa eskalarra beste espaziotan

Hurrengo zerrendan espazio normatuetan erabiltzen diren biderketa eskalar ohikoenak zerrendatzen dira. Espazioaren arabera, biderketa eskalar desberdinak definitzen dira, espazioetako elementuak desberdinak baitira. Biderketa eskalar hauek kanonikotzat hartzen dira. Hala ere, espazio bakoitzean biderketa eskalar bat baino gehiago defini daiteke.

• $\mathbb {R} ^{n}$-en arrunta da biderketa eskalar honekin lantzea:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...a_{n}b_{n}=\sum a_{i}\cdot b_{i}$

• $\mathbb {C} ^{n}$-en biderketa eskalar ohikoena hau da:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+...a_{n}\cdot {\overline {b_{n}}}=\sum a_{i}\cdot {\overline {b_{i}}}$

non ${\overline {b_{i}}}$elementua $b_{i}$-ren konjugatua den.

• Matrize-espazioetan ere defini daitezke, adibidez, m x n dimentsiodun matrize errealetan biderketa eskalar hau definitzen da:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A^{T}\cdot B)$

non $tr(A)$ $A$ matrizearen aztarna den eta $A^{T}A$ matrizearen iraulia.

• [a, b] tarteko funtzio jarraituen espazio bektorialean:

$\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\mathrm {d} x$

non ${\overline {g(x)}}$ funtzioa $g(x)$-ren konjugatua den.

• n edo gradu gutxiagoko polinomioen espazio bektorialean:

Izan bedi $\textstyle [x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},x_{n+1}]\subseteq \mathbb {R}$, non elementuak ordenatuta dauden, hau da, $\textstyle x_{1}<x_{2}<x_{3}<...<x_{n}<x_{n+1}\,$:

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =p(x_{1})q(x_{1})+p(x_{2})q(x_{2})+...+p(x_{n})q(x_{n})+p(x_{n+1})q(x_{n+1})=\sum p(x_{i})\cdot q(x_{i})$

Biderketa hirukoitza

Biderketa hirukoitza espazioan

Biderketa eskalarrak bektoreen arteko biderketa hirukoitza definitzeko balio du, biderketa bektorialarekin batera.

Eragiketa honi biderketa hirukoitza esaten zaio:

$$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$$ Honen balioa determinante bat da , hiru bektoreen koordenatuek osatzen duten matrizearen determinantea, alegia. Horrez gain, hiru bektoreek definitzen duten paralelepipedoaren bolumena da. Oso lagungarria da, batez ere Fisikan, kalkuluak errazteko.

Kosinuaren Teorema

a eta b bektoreez eta $\theta$ angeluaz definitutako triangelua.

Izan bitez bi bektore ${\color {red}\mathbf {a} }$ eta ${\color {blue}\mathbf {b} }$, haien artean $\theta$ angelua osatzen dutenak. Horrela ${\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }$ bektorearekin triangelu bat osatzen dute. Halaber, ${\color {red}A}$, ${\color {blue}B}$ eta ${\color {orange}C}$ balioak ${\color {red}\mathbf {a} }$, ${\color {blue}\mathbf {b} }$, eta ${\color {orange}\mathbf {c} }$ bektoreen luzerak baldin badira, hurrenez hurren. Orduan, azken bektore honen luzera kalkulatu

$${\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}A}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}B}^{2}\\&={\color {red}A}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}B}^{2}\\{\color {orange}C}^{2}&={\color {red}A}^{2}+{\color {blue}B}^{2}-2{\color {red}A}{\color {blue}B}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}$$

eta kosinuaren teorema lortzen da.

Ikus, gainera

• Biderketa bektorial
• Espazio euklidear

Bibliografia

• (Ingelesez) Physics. John Wiley & Sons ISBN 0-471-32057-9..

• (Ingelesez) Serway, Raymond A.. (2004). Physics for Scientists and Engineers. Brooks/Cole ISBN 0-534-40842-7..

• (Gaztelaniaz) Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté ISBN 84-291-4382-3..