數學 嘅數
基本
N
⊂
Z
⊂
Q
⊂
R
⊂
C
{\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }
延伸
其他
圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 e = 2.718281828…
虛數單位 i =
+
−
1
{\displaystyle +{\sqrt {-1}}}
無窮大量 ∞
p 進數 (英文 :p -adic number )係由 Kurt Hensel 喺 1897年 首先引入。對於每個質數 p , p 進數系統將有理數 嘅普通算術用一種同實數 同複數 系統唔同嘅方法進行擴展。喺呢個過程入面 p 進絕對值 扮演咗一個好重要嘅角色。p 進數主要係被一次將冪級數 嘅思想同技術引入到數論 當中嘅嘗試所推動,但係佢哋而家嘅影響唔止咁簡單。例如:p進數分析 呢一個領域實際上提供咗另一種形式嘅微積分 。
更精確啲嚟講,假定一個質數 p ,咁p 進數嘅域 Q p 就係有理數 嘅擴展;將所有 Q p 域放埋喺一齊嚟做考量,就會得出 Helmut Hasse 嘅局部-全體原則 。呢個原則嘅大意係特定方程組在有理數上有解若且唯若 佢哋係實數上同埋所有質數 p 嘅 p 進數上有解。域 Q p 亦都係一個度量 拓撲空間 ,呢個度量唔同平時多人用開嘅實數度量。呢個度量亦都係完備 嘅(每個柯西列 收斂)。咁樣使到 Q p 上可以引入微積分 ,呢個分析同代數結構嘅交互影嚮之下畀 p 進數系統實際嘅價值同用途。
喺橢圓曲線 嘅研究入面,因為讓—皮埃爾塞雷 嘅作品關係, 所以 p 進數通常俾人叫做
ℓ
{\displaystyle \ell }
進數。
以下呢幾個基本概念有助理解同埋探討 p 進數嘅理念,同埋佢喺數學分析、代數同埋數論入面嘅意義:
一個數字系統 ,例如整數 、有理數 ,原本只有代數結構,淨係可以考慮上面嘅四則運算 。絕對值 、度量 [ 1] 嘅概念爲數字系統賦予一個「形狀」,定義何謂「遠近」、「大細」、「長短」,係研究幾何學 同埋分析 嘅基礎。度量就係指兩個數之間嘅距離 ,而絕對值可以理解做一個數同 0 之間嘅距離。假如用
|
⋅
|
{\displaystyle |\cdot |}
嚟表示一個絕對值,
d
(
⋅
,
⋅
)
{\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}
嚟表示一個度量,咁可以用以下兩條式去聯繫起佢哋:
|
x
|
=
d
(
x
,
0
)
{\displaystyle |x|=d(x,0)}
d
(
a
,
b
)
=
|
a
−
b
|
{\displaystyle d(a,b)=|a-b|}
有理數上面一個常見嘅度量就係直觀上數字嘅大細,例如
|
5
|
=
5
{\displaystyle |5|=5}
,
|
−
3
|
=
3
{\displaystyle |-3|=3}
,
d
(
2
,
8
)
=
8
−
2
=
6
{\displaystyle d(2,8)=8-2=6}
等等,呢個可以叫做歐幾里得度量 、歐幾里得絕對值 ,賦予畀有理數嘅形狀係一條直線[ nb 1] ,係歐幾里得幾何 嘅基礎。
P進數對應嘅度量係比較同數論 有關嘅,佢取決於兩個數嘅差被 p 除嘅次方 ,次方越大,距離越近。例如喺 5-進數入面,想計 3 同 178 呢兩個數嘅距離。
178
−
3
=
175
=
5
2
×
7
{\displaystyle 178-3=175=5^{2}\times 7}
,所以
d
5
(
3
,
178
)
=
|
178
−
3
|
p
=
|
5
2
×
7
|
=
5
−
2
=
1
25
{\displaystyle d_{5}(3,178)=|178-3|_{p}=|5^{2}\times 7|=5^{-2}={\frac {1}{25}}}
,係比較近嘅。
根據 Ostrowski 定理 ,有理數
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
上面嘅非平凡絕對值 ,一係等價 於歐幾里得絕對值,一係等價於某個質數 p 嘅 p 進絕對值。
完備性 係度量之上嘅一個概念,係講緊一個數字系統入面嘅數列 能唔能夠收斂 ,有咗佢先至可以做微積分 。考慮有理數
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
入面嘅一條條尾越來越近嘅數列[ nb 2] :
1
,
1.4
,
1.41
,
1.414
,
1.4142
,
…
{\displaystyle 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,\ldots }
,呢個數列收斂到
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
,而佢並唔係一個有理數。咁即係話一條每一個項都係有理數嘅數列,個結果可以係收斂到一個無理數 ,亦即係有理數係唔完備嘅。呢個現象對於做數學分析 嚟講係好差嘅,如果要做數學分析,就一定要先將有理數「完備化 」。
所謂完備化即係將啲「窿」補返,強行令到所有柯西列都收斂,實數
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
就係有理數
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
嘅其中一個完備化,可以睇做建基於上面所講嘅歐幾里得絕對值嘅完備化。但係呢個只係其中一個方向,如果對 p 進絕對值做完備化嘅話,得到嘅數字系統就係 p 進數。
如果將
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
嘅所有完備化,即係
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
同所有嘅 p -進數
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
擺嗮埋一齊嘅話,就得到有理數嘅adele 環
A
Q
{\displaystyle A_{\mathbb {Q} }}
。
一個數列 如果愈來愈接近一個數,咁呢個數就係個數列嘅極限。投影極限就係集合 ,或者更一般嚟講,數學結構 層面上面嘅一個相似嘅概念[ nb 3] 。數字同數字之間有距離呢個概念,令到可以定義極限。數學結構之間就要用態射 嚟取代距離呢個概念。喺投影極限裏面,呢啲態射可以理解做投影映射 。舉個例:假設
X
1
=
R
{\displaystyle X_{1}=\mathbb {R} }
,
X
2
=
R
×
R
=
R
2
{\displaystyle X_{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}}
,如此類推,
X
n
=
R
×
…
×
R
=
R
n
{\displaystyle X_{n}=\mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}}
,並且設
p
k
:
X
k
+
1
↦
X
k
{\displaystyle p_{k}:X_{k+1}\mapsto X_{k}}
,
p
k
(
x
1
,
…
,
x
k
,
x
k
+
1
)
=
(
x
1
,
…
,
x
k
)
{\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{k},x_{k+1})=(x_{1},\ldots ,x_{k})}
,即係話投影映射係切走咗最後一個座標。咁嘅話
p
1
{\displaystyle p_{1}}
就好易理解:佢係將 xy-平面上面嘅點垂直投影落去 x-軸上面,其他嘅
p
{\displaystyle p}
只係佢嘅高維度版本。係呢個情況,我哋叫
X
1
←
X
2
←
⋯
←
X
n
←
⋯
{\displaystyle X_{1}\leftarrow X_{2}\leftarrow \cdots \leftarrow X_{n}\leftarrow \cdots }
做一個投影系統,直觀上呢個投影系統有一個「極限」
X
∞
=
R
∞
{\displaystyle X_{\infty }=\mathbb {R} ^{\infty }}
,由呢個極限可以投影返落去系統入面任何一個集,做法係「切走條尾」:
p
~
k
:
X
∞
→
X
k
{\displaystyle {\tilde {p}}_{k}:X_{\infty }\to X_{k}}
,
p
~
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
,
…
)
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
k
)
{\displaystyle {\tilde {p}}_{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k})}
。極限除咗可以投影返落去個系統之外,仲有一個性質:佢係可以投影嘅集之中最細嗰個,呢個最細係要用萬有性質 嚟定義嘅。
p 進數主要可以用兩個方向去定義、理解。一個係分析 角度,針對「有理數喺p 範數之下唔完備 」呢一點,將有理數完備化 就係p進數。另一個係數論角度,整數攞p 嘅唔同次方 嘅商餘 嗰陣形成一個投影系統 ,攞呢個投影系統嘅極限 就係p 進整數。
實數 可以睇做有理數對於平時用嘅絕對值做嘅完備化,而所謂完備化係透過柯西列 嘅等價類 來實現嘅。p 進數都類似,只不過用嘅絕對值變咗做p 進絕對值。
揀定一個質數 p ,
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
上面嘅p 進絕對值係噉定義嘅:任何一個非零有理數
x
∈
Q
{\displaystyle x\in \mathbb {Q} }
,有唯一一個方法寫做
x
=
p
n
a
b
{\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}
,當中要求a, b唔被p整除。噉樣寫咗之後,就定義
|
x
|
=
p
−
n
{\displaystyle |x|=p^{-n}}
,另外定義
|
0
|
p
=
0
{\displaystyle |0|_{p}=0}
。
例如 x = 63/550 = 2−1 ·32 ·5−2 ·7·11−1
|
x
|
2
=
2
|
x
|
3
=
1
/
9
|
x
|
5
=
25
|
x
|
7
=
1
/
7
|
x
|
11
=
11
|
x
|
any other primes
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&|x|_{2}=2\\[6pt]&|x|_{3}=1/9\\[6pt]&|x|_{5}=25\\[6pt]&|x|_{7}=1/7\\[6pt]&|x|_{11}=11\\[6pt]&|x|_{\text{any other primes}}=1\end{aligned}}}
呢個p 進絕對值定義嘅效果係,一個數佢有越大嘅p嘅次方,個數就越「細」。
p進絕對值可以喺
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
上面誘導一個度量
d
p
{\displaystyle d_{p}}
:
d
p
(
x
,
y
)
=
|
x
−
y
|
p
{\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}
p進數
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
就可以定義做度量空間
(
Q
,
d
p
)
{\displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{p})}
嘅完備化。入面嘅元素就係柯西列嘅等價類,當中兩條柯西列等價若且唯若佢哋嘅差收斂 到0。可以檢查
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
依然係一個場 ,而且裝住
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
。呢個
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
係一個局部場 。
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
入面每一個元素
x
{\displaystyle x}
都可以而唯一一個方法寫做
x
=
∑
i
=
k
∞
a
i
p
i
{\displaystyle x=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}
,當中:
k
{\displaystyle k}
係一個整數(可以係負)
a
k
≠
0
{\displaystyle a_{k}\neq 0}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
係喺一個固定嘅集
X
{\displaystyle X}
入面,
X
{\displaystyle X}
係商餘p嘅一個完全剩餘系 ,最常用嘅係
X
=
{
0
,
1
,
⋯
,
p
}
{\displaystyle X=\{0,1,\cdots ,p\}}
或者
{
−
p
−
1
2
,
−
p
−
1
2
+
1
,
⋯
,
p
−
1
2
}
{\displaystyle \left\{-{\frac {p-1}{2}},-{\frac {p-1}{2}}+1,\cdots ,{\frac {p-1}{2}}\right\}}
p 進整數就係嗰啲k 係非負數嘅元素,所以
Q
p
=
Z
[
1
/
p
]
+
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\mathbb {Z} [1/p]+\mathbb {Z} _{p}}
[ nb 4] ,當中
Z
[
1
/
p
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}
即係分母係p嘅次方嘅有理數。
喺代數嘅角度,會整咗p 進整數環先,呢個環嘅域中分數場(field of fractions)就係p 進數。
揀定一個質數 p ,考慮一系列嘅環
Z
/
p
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }
嘅投影極限 :一個p 進整數m就係一個數列
(
a
n
)
n
≥
1
{\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}
,每一個
a
n
{\displaystyle a_{n}}
都係
Z
/
p
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }
入面嘅元素,而且對任何
n
≤
l
{\displaystyle n\leq l}
,
a
n
≡
a
l
(
m
o
d
p
n
)
{\displaystyle a_{n}\equiv a_{l}(\mathrm {mod} \;p^{n})}
呢件「相容條件」都係啱嘅。
任何自然數 m 都可以用
a
n
≡
m
(
m
o
d
p
)
{\displaystyle a_{n}\equiv m(\mathrm {mod} \;p)}
呢條式對應一個p 進整數,例如,對p =2,35可以對應數列
(
1
,
3
,
3
,
3
,
3
,
35
,
35
,
…
)
{\displaystyle (1,3,3,3,3,35,35,\ldots )}
。要留意嘅係,對任何自然數m嚟講,只要個n足夠大,之後嘅
p
n
{\displaystyle p^{n}}
都會大過m,亦即係話,呢條數列遲早都會「唔郁」,例如頭先噉,第6個項開始,打後全部都係35,因爲
2
6
=
64
>
35
{\displaystyle 2^{6}=64>35}
。
喺呢個環入面,加法就係逐個座標做「加法然後攞商餘」,乘法都係類似,呢個定義係良好 嘅,因爲加法同乘法都同商餘運算交換,詳情可以睇商餘計算 。
除法嚟講,任何第一個項
a
1
≢
0
(
m
o
d
p
)
{\displaystyle a_{1}\not \equiv 0(\mathrm {mod} \;p)}
嘅數列都有乘法逆 ,原因係:每一個
a
n
{\displaystyle a_{n}}
同p 都互質,所以
a
n
{\displaystyle a_{n}}
同p n 都互質,所以可以逐項搵餘p n 嘅乘法逆,而且搵出來嘅逆會自動符合相容條件,所以都係一個p進整數。例如,考慮2進整數7,佢可以寫做
(
1
,
3
,
7
,
7
,
7
,
7
,
7
,
…
)
{\displaystyle (1,3,7,7,7,7,7,\ldots )}
,佢嘅乘法逆就係越來越大嘅數列
(
1
,
3
,
7
,
7
,
23
,
55
,
55
,
183
,
439
,
439
,
1463
,
…
)
{\displaystyle (1,3,7,7,23,55,55,183,439,439,1463,\ldots )}
,因爲呢個數列並唔符合頭先講嘅「遲早唔郁條件」,所言呢個數並唔係一個自然數。返返去有理數
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
嘅角度去睇其實都好合理,因爲
1
7
{\displaystyle {\frac {1}{7}}}
唔係一個自然數。
p 進整數環無零因數 ,即係話佢係一個域,所以可以定義佢嘅域中分數場
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
,呢個就係p 進數,特別嘅係,喺呢個域中分數場入面,每一個非整數p 進數都可以用唯一嘅寫法寫做
p
−
n
u
{\displaystyle p^{-n}u}
,當中n係自然數,u係可逆p 進整數。即係話:
Q
p
=
Frac
(
Z
p
)
=
(
p
N
)
−
1
Z
p
Q
p
×
=
⨆
(
p
Z
)
Z
p
×
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} _{p}&=&\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} _{p})&=&(p^{\mathbb {N} })^{-1}\mathbb {Z} _{p}\\\mathbb {Q} _{p}^{\times }&=&\bigsqcup (p^{\mathbb {Z} })\mathbb {Z} _{p}^{\times }&&\end{aligned}}}
注意
p
N
=
{
p
n
:
n
∈
N
}
{\displaystyle p^{\mathbb {N} }=\{p^{n}:n\in \mathbb {N} \}}
係一個乘法子集 ,所以
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
可以睇做
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
對
p
N
{\displaystyle p^{\mathbb {N} }}
嘅局部化 。
p 進分析係同實分析 平行嘅一門學科,主要研究p 進數函數嘅連續性 、微積分 等等。p 進數符合比三角不等式 更強嘅強三角不等式 ,係p 進分析同實分析唔同嘅主要原因。強三角不等式令p 進數嘅集形成一個超度量空間 (ultrametric space),超度量空間入面有啲普通度量空間 無嘅性質,例如一個波入面任何一點都係個波嘅圓心;相對嚟講,實分析入面嘅波只有一個圓心。函數方面,p 進數上面嘅連續函數一定係局部常函數 (locally constant function),而係實數上面,局部常函數就即係常函數 (constant function),而且大部分連續函數都唔係常函數。
Hensel引理即係p 進數版本嘅牛頓法 ,喺理論同埋計算嘅層面都好有用。理論方面,Hensel引理可以用嚟證明某啲多項式喺
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
入面有解;計算方面,Hensel引理自己就係個演算法 ,可以將一條多項式喺
Z
/
p
k
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} }
入面嘅解(稱爲近似解)提升去
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
上面嘅解。
Hensel引理最簡單嘅版本係噉嘅:設
f
∈
Z
p
[
x
]
{\displaystyle f\in \mathbb {Z} _{p}[x]}
係一條多項式,而且存在一個數
a
0
∈
Z
/
p
Z
{\displaystyle a_{0}\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
符合
f
(
a
0
)
≡
0
(
mod
p
)
{\displaystyle f(a_{0})\equiv 0{\pmod {p}}}
同埋
f
′
(
a
0
)
≢
0
(
mod
p
)
{\displaystyle f'(a_{0})\not \equiv 0{\pmod {p}}}
(即係
a
0
{\displaystyle a_{0}}
係一個簡單解),噉
a
0
{\displaystyle a_{0}}
就可以以唯一方法提升去一個數
α
∈
Z
p
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{p}}
,佢符合
f
(
α
)
=
0
{\displaystyle f(\alpha )=0}
同埋
α
≡
a
0
(
mod
p
)
{\displaystyle \alpha \equiv a_{0}{\pmod {p}}}
.
由整數構作出好似螺線管噉嘅實數線。
揀定一個質數 p ,可以考慮以下嘅投影系統 :
R
/
Z
←
R
/
p
Z
←
R
/
p
2
Z
←
⋯
{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \leftarrow \mathbb {R} /p\mathbb {Z} \leftarrow \mathbb {R} /p^{2}\mathbb {Z} \leftarrow \cdots }
,當中每一步嘅投影映射係攞自然嘅商餘,入面其實每一步嘅
R
/
p
k
Z
{\displaystyle \mathbb {R} /p^{k}\mathbb {Z} }
都係一個圓形,而對下一級嘅投影映射就係一個p :1嘅覆蓋映射 。可以驗證呢個真係一個投影系統,而攞佢嘅投影極限得出嚟嘅空間就叫做p 進螺線管 (p -adic solenoid)。呢個p 進螺線管仲有另一個角度睇佢,就係
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
嘅映射環面 (mapping torus):考慮積空間
Z
p
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times [0,1]}
,並考慮等價關係
(
x
,
1
)
∼
(
x
+
1
,
0
)
{\displaystyle (x,1)\sim (x+1,0)}
,攞呢個等價關係嘅商空間
(
Z
p
×
[
0
,
1
]
)
/
∼
{\displaystyle (\mathbb {Z} _{p}\times [0,1])/\sim }
,可以證呢個商空間同上面個投影系統係同構嘅。有趣嘅係,對
Z
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle \mathbb {Z} \times [0,1]}
攞類似嘅商餘嘅話,得到嘅空間就係
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
,而且畫出嚟真係好似一條螺線管 噉。
p 進螺線管有個有趣嘅性質,就係佢同時裝住
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
同
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
兩個完備場,準確啲嚟講,
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
同
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
都可以好自然咁嵌入去p進螺線管入面。