-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої -адичної норми. -адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.
Нехай — деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:
де числа належать до множини .
Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:
де — деяке ціле число.
-адичні числа натомість можуть бути записані у вигляді:
де — деяке ціле число.
Наприклад, взявши , ми матимемо:
- ,
- .
Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою .
Числа для яких для називаються -адичними цілими числами.
Нехай маємо деяке — ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого :
Далі для визначимо:
Еквівалентно, якщо , де , не діляться на то .
Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності.
Визначимо -адичну норму для таким чином:
Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:
- тоді й лише тоді, коли
- Справді, — єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине, для якого виконується дана рівність.
- Справді, нехай , а , де жодне з чисел , , , не ділиться на p. Тоді і , не діляться на .
- За означеннями маємо: , ,
- , що й доводить наше твердження.
- Нехай знову , а , де жодне з чисел , , , не ділиться на . Нехай також . Тоді .
- Тож очевидно ординал не може бути меншим . Окрім того у випадку коли строго менше ординал є рівним адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не діляться на .
Таким чином , є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел.
Наприклад для числа
- , для інших простих чисел.
Фундаментальні послідовності і нуль-послідовності
[ред. | ред. код]
Послідовність називається збіжною до за нормою , якщо
- .
Якщо то така послідовність називається нуль-послідовністю.
Послідовність називається фундаментальною, якщо:
- таке що .
Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.
Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності: фундаментальні послідовності і є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю.
Позначатимемо клас еквівалентності послідовності через .
На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:
- ,
- .
Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю.
Визначимо також загальну -адичну норму:
Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем -адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких називаються p-адичними цілими числами.
- Кожне p-адичне число можна єдиним способом подати у вигляді:
- .
Цим дані числа відрізняються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:
- Сума -адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли є нуль-послідовністю.
- Топологічний простір -адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір -адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.
- Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
- Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
- Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.