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對數

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一條基本嘅

對數係一種函數,佢係指數函數反函數。對數係嚟自指數,指數函數嘅基本樣係係一個正實數。咁呢個圖就會穿過,同埋x軸就係呢個圖嘅趨近線(asymptote)。因為指數函數係單對單函數,又係全射函數,所以佢就會有逆函數或者叫相反。而指數函數嘅相反就係對數,求出黎嘅方法可以參考下面。

對數有好多唔同嘅作用,其中最常見嘅就有搵出次方,同埋做數學建模去解決現實世界嘅問題。

定義

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基本定義

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如果利用簡介所提及嘅方法嚟搵對數,就要根據以下步驟:

  1. 交換:

定義對數

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同埋 對數函數(logarithmic function)符合:

」。

呢個函數嘅基數(或叫基底,英文:base)就係 。「」 中文一般會讀成「log 」;英文一般會讀成「log base of 」。有啲計數機 寫做 ,有啲寫做

等價定義

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根據以上呢個定義,呢兩個表達係完全一樣。

一般會將叫做指數表示(exponential form);

另一個樣,叫做對數表示(logarithmic form)。

例子

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求絕對值

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求一個對數嘅絕對值需要用到代數技巧。

例如求:

  1. 將求嘅數等於
  2. 利用等價定義轉返佢做指數表示:
  3. 解方程:
  4. 還原答案:

例子:

簡寫

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内文:自然對數

自然指數就自然有自然對數,佢哋基本大同小異,只不過自然對數個基數係歐拉數。而一般情況普通對數個基數就係,叫做常用對數

通常用基數係嘅情況,本嚟係要寫成,但係因為成日用嘅關係,多數人都會寫成咁,而唔寫基數就默認係。為咗避免誤會(例如高等數學入面嘅 好多時係以 做底),有時又會寫做

如果用歐拉數做基數,本嚟係要寫成,因為喺數學上好多時會用到,所以數學家就發明咗個符號寫做,所有基數係對數,就會寫成。呢個叫做自然對數

喺某啲領域,成日會用到 做基數,本嚟係要寫成 ,簡化寫成

畫對數

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因為對數係指數逆函數,所以可以利用反射得出

如果

如果就會得出上面呢張圖嘅樣,藍色線就係,將佢根據,黑線,做一個反射就得出綠色線

如果

如果就會得出上面呢張圖嘅樣,藍色線就係,將佢根據,黑線,做一個反射就得出綠色線

以下呢個表可以比較指數同對數函數嘅相似同唔同之處:

指數函數

對數函數

軸相交點係 軸相交點係
函數域(Domain)係 函數域(Domain)係
Range係 Range係
趨近線係 趨近線係

對數應用

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對數可以做好多現實中嘅應用,以下舉出幾個出名嘅應用:

分貝

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分貝(decibel)係量度噪音程度嘅單位。佢係利用對數呢個概念。

分貝值喺數學上定義為:

式入面嘅 就係分貝值,單位係 dB。 就每平方米嘅聲音強度,單位係瓦特(watt)。 就係人最低可以聽到嘅噪音強度。平均嚟講,一般人最低可以聽到最低噪音係

黎克特制

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黎克特制(Richter scale)係用嚟量度地震強度。

計算呢個強度嘅公式係:

當中 係強度, 係地震震波強度, 係地震所釋出嘅能量。

pH值

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喺化學入邊,pH值亦即係酸鹼度係用對數嚟定義嘅。

ph值公式:

當中 氫離子嘅濃度。[1]

睇埋

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參考資料

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  1. IUPAC (1997), A. D. McNaught, A. Wilkinson (編), Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book") (第2版), Oxford: Blackwell Scientific Publications, doi:10.1351/goldbook, ISBN 978-0-9678550-9-7