円錐曲線
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円錐曲線(えんすいきょくせん、英語: conic curve)とは、円錐面を任意の平面で切断したときの断面、円錐断面(英語: conic section)として得られる曲線群の総称である。
歴史
古代ギリシャのアポロニウスが円錐曲線論の体系を著書にまとめ、[1]中世ヨーロッパではケプラーによって天体の軌道との関連が見出された。またアポロニウスによる総合幾何学的な円錐曲線論はオイラーによって解析幾何学を用いて現代的に書き換えられた。
概要
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楕円
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放物線
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双曲線
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断面
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円を含む円錐曲線の図の例(学問によっては、正円を円錐曲線に含まない。)
円錐曲線は、xy-平面 R2 上で定義され、次の陰関数曲線によって与えることが出来る。
- 円(全ての母線と交わり、底面に平行な平面で切断)
準線を共有する、いくつかの離心率 e に対応する円錐曲線 焦点を共有する、いくつかの離心率 e に対応する円錐曲線 別な定義のしかたとして、直線と、その直線上に含まれないような点 F を取り、点 F から直線への垂線に対して点 F のある方向が正と定めそれを x 軸とする。直線上で点 M' を動かすとき、その直角位置上で FM : MM' = e : 1 (e > 0) を満たすような点 M の集合は円錐曲線を描く。この時、FM と MM' の比の値 e を離心率といい、直線を準線、 点 F を焦点という。
ここで、焦点 F を極とする平面極座標 (r, θ) を新たにとれば、動点 P の軌道は
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