APOSTILA DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS I

ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS I Eng. Ms. Rafael Alex Vieira do Vale Mossoró – 2020 Sumário Apresentação ............................................................................................................................. 3 Introdução .................................................................................................................................. 3 Capítulo 1: Conceitos e Grandezas Elétricas ..................................................................... 3 Capítulo 2: Leis da Eletricidade: Leis de Ohm e Kirchoff ........................................... 14 Capítulo 3: Teoremas de Circuitos Elétricos ................................................................... 31 Capítulo 4: Elementos Acumuladores de Carga – Capacitores e Indutores ............ 37 Capítulo 5: Circuitos de Primeira Ordem ........................................................................ 57 Bibliografia .............................................................................................................................. 82 2 Apresentação Possuo graduação em Engenharia Elétrica (2019), graduação em Engenharia de Energia pela Universidade Federal Rural do Semi-Árido (2016) e graduação em Ciência e Tecnologia pela Universidade Federal Rural do Semi-Árido (2014), Técnico em eletrotécnica pelo IFRN -Campus Mossoró (2010), Mestre em Engenharia Elétrica pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da UFERSA - Campus Mossoró (2018). Servidor público da Universidade Federal do Ceará - Campus de Russas no cargo de técnico em eletrotécnica do setor de infraestrutura do campus (Prefeitura do Campus de Russas). Durante os anos de 2016 e 2019 foi projetista de sistemas fotovoltaicos conectados à rede elétrica, como engenheiro eletricista da empresa RNSOLAR - Soluções em Energia. Introdução Este curso tem o objetivo de apresentar o estudo sobre análise de circuitos em corrente contínua para estudantes e profissionais da área de engenharia elétrica e áreas afins. Tem o propósito de mostrar os conceitos que permeiam os circuitos elétricos como as grandezas elétricas, técnicas de análises de circuitos e respostas dos circuitos elétricas de acordo com suas características. Capítulo 1: Conceitos e Grandezas Elétricas Todo e qualquer circuito elétrico é estudado por meio da análise de grandezas físicas que estão ligadas a eletricidade. Estas grandezas são 3 e que são as principais que definem o comportamento do circuito, elas são: Tensão Elétrica, Corrente Elétrica e Potência Elétrica. A resistência elétrica pode ser encarada como uma quarta grandeza que pode ser analisada, pois equipamentos e componentes elétricos são dotados de materiais condutores, isolantes ou semicondutores que apresentam resistência elétrica. Os comportamentos destas grandezas podem ser apresentados, matematicamente, por meio de gráficos e valores numéricos, pois tais grandezas podem ser analisadas por algumas funções que definem o tipo de sinal analisado (constante, senoidal, retangular entre outros). O estudo da eletricidade se baseia no comportamento das cargas elétricas em repouso ou em movimento. A física que estuda a eletricidade pode ser dividida em 3 partes: Eletrostática, Eletrodinâmica e o Eletromagnetismo. A eletrostática define o 3 comportamento elétrico das cargas quando estas estão em repouso. A análise é realizada pela da quantificação de forças elétricas criadas por campos elétricos, originados destas cargas, e também como o meio onde estão inseridas influencia nestes parâmetros. A eletrodinâmica mostra o comportamento dinâmico das cargas ou partículas, principalmente, o elétron, quando estas estão em movimento o que dando origem ao conceito de corrente elétrica. O eletromagnetismo analisa o comportamento dos campos elétrico e magnético, por meio da dinâmica das partículas carregadas, e como estes campos interagem entre si e com o meio. As grandezas elétricas, que definem os circuitos elétricos, são analisadas na Eletrodinâmica das partículas e que envolvem as grandezas citadas no primeiro parágrafo deste capítulo. Este capítulo tem por objetivo apresentar as principais grandezas mais comumente analisadas nos circuitos elétricos. 1.1. Tensão Elétrica Tensão elétrica ou diferença de potencial pode ser definido com uma pressão externa que promove o movimento de cargas elétricas, que está ligada a energia armazenada desta partícula em relação a sua posição. Da mecânica clássica, a energia potencial é a energia armazenada em um sistema físico e que pode ser transformada em energia cinética, em eletricidade a energia potencial elétrica armazenada está presente nas partículas carregadas ou em pontos do espaço com acúmulo de cargas carregadas, positivamente ou negativamente, e existe a atuação de um campo elétrico como meio de interação. O posicionamento das cargas ou de potenciais distintos permite a ocorrência de uma diferença de potencial elétrica. Conectando os potenciais elétricos através um meio condutor os elétrons, portadores de carga negativa, presentes no potencial negativo adquirem energia suficiente para alcançar o potencial com carga positiva, onde são atraídos. A diferença de potencial é quantificada por sua unidade o Volt, em homenagem a Alessandro Volta, o valor de 1 Volt significa que entre dois pontos uma carga de 1 Coulomb se desloca em uma troca de energia de 1 Joule. Então, a diferença de potencial pode ser descrita, matematicamente, como (1.1): 4 ∆𝑉 = − 𝑊 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 𝑞 (1.1) Onde ΔV é a diferença de potencial em Volt, W é a taxa de temporal de energia usada no processo de deslocamento das cargas ou trabalho realizado pelas cargas, em Joule, e Q é quantidade de carga elétrica deslocada entre os dois potencias, em Coulomb e Vf e Vi são os potenciais elétricos em dois pontos elétricos distintos, final e inicial, em Volt. A tensão é um indicador de quantidade de energia envolvida para a movimentação de uma carga elétrica entre dois potenciais elétricos. O trabalho realizado pela carga elétrica pode ser determinado, em termos infinitesimais, com relação a força que a carga está submetida e o deslocamento resultante da aplicação desta força (1.2): 𝑑𝑊 = 𝐹. 𝑑𝑙 (1.2) 𝑑𝑊 = 𝑞𝐸. 𝑑𝑙 (1.3) A força que atua nas cargas elétricas é a força elétrica e, desse modo, a equação para o trabalho pode ser escrita (1.3): 𝑙𝑓 𝑊 = 𝑞 ∫ 𝐸. 𝑑𝑙 𝑙𝑖 (1.3) Substituindo (1.2) em (1.3), pode-se determinar a equação da diferença de potencial com relação ao campo elétrico (1.4): 𝑙𝑓 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − ∫ 𝐸. 𝑑𝑙 1.2. Corrente Elétrica 𝑙𝑖 (1.4) A corrente elétrica é resultado do movimento de portadores de cargas elétricas quando estes estão submetidos a uma diferença de potencial. Os portadores de cargas são os elétrons livres fracamente ligados a estrutura atômica do material, a tensão ou diferença de potencial provoca a pressão necessária para que estes elétrons livres possam se mover de um potencial elétrico para outro. Com o raciocínio que a corrente elétrica é o deslocamento dos elétrons ou de portadores de carga elétrica em um determinado meio condutor, este fluxo de cargas 5 ocorre em um determinado tempo enquanto existir a diferença de potencial necessária. Desse modo, a corrente elétrica pode ser encarada como a taxa da quantidade de carga Q em um determinado tempo t podendo ser representada pela equação (1.5): 𝑖= 𝑑𝑄 𝑑𝑡 (1.5) Onde dQ, é a taxa de carga elétrica, em Coulomb que é transportada em um meio material no surgimento de uma tensão elétrica e dt representa a taxa temporal que estas cargas permaneceram em movimento, em Segundos e i é a intensidade da corrente elétrica em Ampére (A). Os portadores de carga elétrica, acelerados pela presença da tensão, adquirem energia suficiente para serem transportados de um potencial para outro. Esta energia contida nas partículas maior será, quanto maior for a quantidade de carga em movimento, pois quanto maior o número de cargas elétricas aceleradas, significa que a mais energia foi armazenada no sistema que passou a ser transformada em energia cinética, aumentando assim a intensidade da corrente elétrica. 1.3. Potência Elétrica Na mecânica clássica, a potência é a taxa de trabalho realizado ou quantidade de energia transferida ou transformada em um sistema em relação a um intervalo de tempo. Em eletricidade, a potência elétrica é a quantidade de trabalho elétrico realizado por uma carga elétrica, na presença de uma diferença de potencial enquanto esta existir. Pode-se encarar a potência elétrica como o trabalho cinético das partículas provedoras de cargas elétricas em uma determinada taxa de tempo. A potência elétrica é descrita de acordo com a relação (1.6): 𝑃= 𝑑𝑈 𝑑𝑡 (1.6) Onde U é a energia potencial elétrica entre dois pontos. Em um circuito elétrico uma fonte de energia, como uma fonte de tensão, que produz uma diferença de potencial no circuito. Essa diferença de potencial produz uma corrente elétrica que circula pelo circuito do maior potencial ao menor potencial elétrico da fonte como visto na figura 1. 6 Figura 1: Representação de um circuito elétrico com fonte de tensão e corrente elétrica Fonte: Halliday e Hesnick (2009) A corrente elétrica é resultado do deslocamento das cargas da fonte de tensão do seu potencial maior ao seu menor potencial. Esta grandeza pode ser expressa pela equação (1.5) e a potência elétrica pode ser definida como o produto da carga elétrica e a queda de potencial ou diferença de potencial, V, imposta as cargas elétricas então (1.7) 𝑑𝑈 = 𝑑𝑄. 𝑉 = 𝑖𝑑𝑡. 𝑉 𝑑𝑈 = 𝑃 = 𝑖. 𝑉 𝑑𝑡 (1.7) (1.7) Da equação (1.7), a potência elétrica é o produto da tensão elétrica e a corrente elétrica correspondente. De fato, a corrente elétrica é a grandeza que quantifica a cinética das partículas que são submetidas a forças de origem elétrica, a energia potencial elétrica armazenada em um ponto ou potencial elétrico é transformada em energia cinética no aparecimento de um segundo potencial elétrico de diferente valor permitindo a presença de uma tensão. A força elétrica resultante é responsável por essa transformação fazendo as partículas portadoras de carga entrarem em movimento e serem aceleradas, realizando trabalho e dando origem a corrente elétrica, essa energia cinética adquirida em um determinado tempo é encarada como potência elétrica. A potência elétrica é expressa em Watt (W). 1.4. Resistência Elétrica O fluxo de cargas elétricas em um meio material encontra uma força oposta com característica semelhante a força de atrito, essa força de oposição foi denominada de Resistência Elétrica. Esta oposição se configura das colisões entre os elétrons em 7 movimento e dos elétrons e os átomos do meio material, desta forma ocorre a transformação em outra modalidade de energia devido as colisões que seria a energia térmica. A resistência elétrica em qualquer material dependerá de alguns fatores sendo eles: característica do material (Condutor, isolante ou semicondutor), comprimento, seção transversal e temperatura. Sua unidade é expressa em Ohm (Ω). O material utilizado para o fluxo da corrente elétrica reage a tensões de modo peculiar devido a sua estrutura molecular particular para estabelecer uma corrente elétrica no seu interior. Os materiais condutores permitem uma alta capacidade de fluxo de cargas com pequenas intensidades de tensão, pois apresentam mais portadores de cargas livres em sua estrutura apresentando baixa resistência elétrica. Os materiais isolantes apresentam características contrárias ao condutor, estes não permitem ou promovem grande oposição a corrente elétrica e não contam com grande número de elétrons livres. Essa característica de maior ou menor oposição do material com relação a corrente elétrica é conhecida como Resistividade (ρ), geralmente expresso em Ω.m ou Ω.mm importante para a quantificação da resistência em fios e cabos. O comprimento do material influencia na resistência de modo que os elétrons livres percorrem maiores distâncias, permitindo um maior número de colisões o que tende a reduzir a energia cinéticas destes elétrons. Com isso, corpos mais alongados ou mais compridos tendem a apresentar maior resistência. A área da seção transversal do corpo condutor permite que maiores quantidades de cargas em movimento fluam pela estrutura do material bem como a redução de colisões entre os elétrons e a estrutura cristalina do material, esse fato provoca a redução da resistência. A temperatura é a medida da energia térmica das partículas. O aumento da energia térmica, ou seja, da temperatura provoca maior grau de agitação dos átomos presentes na estrutura molecular do material escolhido. Este aumento da agitação é responsável por permitir maiores quantidades de colisões entre os elétrons e a estrutura molecular do meio material, muitas vezes aumentando a resistência elétrica do meio. Considerando a temperatura do corpo em 20° C e analisando a resistência deste corpo com relação as suas características físicas esta grandeza pode ser calculada pela equação (1.8): 𝑅= 𝜌 𝑙 𝑆 (1.8) 8 Onde l em metros (m) ou milímetros (mm) é o comprimento do corpo analisado e S a área da seção transversal deste corpo em metros quadrados (m²) ou em milímetros quadrados (mm²). A representação de um fio é vista na figura 2. Figura 2: Representação de um circuito elétrico com fonte de tensão e corrente elétrica Fonte: Halliday e Hesnick (2009) O efeito da temperatura pode ser considerando nesta equação de modo a modificar a resistência. Os materiais podem apresentar características distintas com relação à temperatura, os materiais condutores, por exemplo, tendem aumentar a sua resistência com o aumento da temperatura, ou seja, fisicamente, apresentam coeficiente de temperatura positivo. Já os semicondutores, assim como isolantes, são materiais que muitas vezes apresentam coeficiente de temperatura negativo, desta forma a resistência tenderá a diminuir com o aumento da temperatura. Esta influência da temperatura em condutores, por exemplo, permite uma propriedade interessante que é a supercondutividade. A supercondutividade é a propriedade dos materiais condutores a não apresentarem resistência ou resistência quase nula em temperaturas muito baixas denominada de temperatura crítica. Esta propriedade permite aos condutores boa condução elétrica com a drástica redução das perdas por efeito térmico bem como propriedades magnéticas mais intensas permitindo, por exemplo, o uso de levitação magnética por meio de repulsões magnéticas. Considerando a temperatura como parâmetro da resistividade podemos definir este parâmetro de acordo com a equação (1.9). 𝜌 = 𝜌0 [1 + 𝛼(𝑇 − 𝑇0 )] (1.9) Esta equação é uma equação empírica. Grande parte dos materiais apresentam resistividade como característica próxima a linear para uma determinada faixa de temperatura como é observado para o cobre na figura 3: 9 Figura 3: Curva da resistividade em função da temperatura para o cobre Fonte: Halliday e Hesnick (2009) Com isso, sabendo-se o coeficiente de temperatura α e a resistividade ρ0 de um material qualquer, em condições de temperatura padrão T0, e a temperatura de regime T que o material é submetido, pode-se quantificar a resistência nesta nova temperatura. Os coeficientes de temperaturas são determinados em empiricamente e, muitas vezes, presentes em tabelas de livros de materiais ou da área elétrica. Exemplo 1: Um resistor em forma espiral com função f(θ) = aθ foi colocado um ohmímetro para medir a resistência. A medição foi realizada em um intervalo angular varia de 0 a 3π/4. O resistor é fino com área de 0,5 x 10-2 mm². A resistividade do material a 20°C foi determinada em 1,7 x 10-8 Ω.m e a medida do comprimento da espiral é em centímetros. A temperatura padrão é de 20 °C, mas foi aquecido a uma temperatura de 35°C, o coeficiente de temperatura de resistividade do material é de 3,9 x 10-3 K-1 desconsiderando o efeito térmico provocado pela corrente, determinar a resistência elétrica do fio no ohmímetro. Resolução: A forma da resistência é uma espiral de acordo com a função polar, a equação da resistência depende diretamente do comprimento do fio. Em coordenadas polares o comprimento do arco pode ser determinado por (1): 𝜃2 2 2 𝑙 = ∫ √(𝑓 ′ (𝜃)) + (𝑓(𝜃)) 𝑑𝜃 𝜃1 (1) Aplicando a função polar na equação com comprimento de arco (2): 10 𝑙= ∫ 3𝜋 4 0 √𝑎2 + (𝑎𝜃)2 𝑑𝜃 = ∫ 3𝜋 4 0 𝑎√1 + 𝜃 2 𝑑𝜃 (2) Para resolver esta integral pode-se utilizar a técnica da substituição trigonométrica para esta raiz no integrando, de acordo com (3) e (4): 𝑡𝑔(𝛼) = 𝜃 =𝜃 1 (3) 𝑑𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝛼) 𝑑𝛼 (4) Substituindo (3) e (4) em (2) obtém-se (5): 𝑙=∫ 3𝜋 4 0 𝑎√1 + 𝑡𝑔(𝛼)2 𝑠𝑒𝑐 𝑙=∫ 3𝜋 4 0 2 (𝛼) 𝑑𝛼 = ∫ 3𝜋 4 0 𝑎√𝑠𝑒𝑐 2 (𝛼) 𝑠𝑒𝑐 2 (𝛼) 𝑑𝛼 𝑎 𝑠𝑒𝑐(𝛼)𝑠𝑒𝑐 2 (𝛼) 𝑑𝛼 = ∫ 3𝜋 4 0 𝑎 𝑠𝑒𝑐 3 (𝛼) 𝑑𝛼 (5) (5) Aplicando a técnica de integração por partes em (5) definindo as variáveis u e v em (6), (7), (8) e (9): 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐(𝛼) 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐(𝛼)𝑡𝑔(𝛼) 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝛼) 𝑣 = 𝑡𝑔(𝛼) Organizando a técnica de integração por partes (10): ∫ 3𝜋 4 0 𝑎 𝑠𝑒𝑐 3 (𝛼) (6) (7) (8) (8) 3𝜋 4 𝑑𝛼 = 𝑎 𝑡𝑔(𝛼)𝑠𝑒𝑐(𝛼) − ∫ 𝑎 𝑡𝑔(𝛼)𝑠𝑒𝑐(𝛼) 𝑡𝑔(𝛼) 𝑑𝛼 = (10) = 𝑎 𝑡𝑔(𝛼)𝑠𝑒𝑐(𝛼) − ∫ 3𝜋 4 0 = 𝑎 𝑡𝑔(𝛼)𝑠𝑒𝑐(𝛼) − ∫ 3𝜋 4 0 0 𝑎 𝑡𝑔2 (𝛼)𝑠𝑒𝑐(𝛼) 𝑑𝛼 = 𝑎 (𝑠𝑒𝑐 2 (𝛼) − 1)𝑠𝑒𝑐(𝛼) 𝑑𝛼 = (10) (10) 11 = 𝑎 𝑡𝑔(𝛼)𝑠𝑒𝑐(𝛼) − ∫ 2∫ 3𝜋 4 0 3𝜋 4 0 𝑎 𝑠𝑒𝑐 3 (𝛼) 𝑎 (𝑠𝑒𝑐 3 (𝛼) − 𝑠𝑒𝑐(𝛼)) 𝑑𝛼 = 3𝜋 4 𝑑𝛼 = 𝑎 𝑡𝑔(𝛼)𝑠𝑒𝑐(𝛼) − ∫ 𝑎 𝑠𝑒𝑐(𝛼) 𝑑𝛼 = 0 Resolvendo a integral da segunda parcela da equação (10) em (11): ∫ 3𝜋 4 0 𝑎 𝑠𝑒𝑐(𝛼) 𝑑𝛼 = ∫ 3𝜋 4 0 𝑎 𝑠𝑒𝑐(𝛼) 𝑠𝑒𝑐(𝛼) + 𝑡𝑔(𝛼) 𝑑𝛼 = 𝑠𝑒𝑐(𝛼) + 𝑡𝑔(𝛼) Fazendo uma mudança de variáveis na equação (11) como em (12) e (13): 𝑤 = 𝑠𝑒𝑐(𝛼) + 𝑡𝑔(𝛼) ∫ 0 ∫ 3𝜋 4 0 𝑎 ∫ 0 (11) (12) (13) 𝑑𝑤 = a ln(𝑤) = 𝑎 ln(𝑠𝑒𝑐(𝛼) + 𝑡𝑔(𝛼)) 𝑤 (14) 𝑎 𝑠𝑒𝑐(𝛼) 𝑑𝛼 = 𝑎 ln(𝑠𝑒𝑐(𝛼) + 𝑡𝑔(𝛼)) Substituindo (14) em (10) obtém-se (15): 3𝜋 4 (10) 𝑑𝑤 = 𝑠𝑒𝑐(𝛼)𝑡𝑔(𝛼) + 𝑠𝑒𝑐 2 (𝛼) 𝑑𝛼 Substituindo (12) e (13) em (11) tem-se (14): 3𝜋 4 (10) 𝑎 𝑠𝑒𝑐 3 (𝛼) 𝑑𝛼 = 𝑎 𝑡𝑔(𝛼)𝑠𝑒𝑐(𝛼) 𝑎 ln(𝑠𝑒𝑐(𝛼) + 𝑡𝑔(𝛼)) − 2 2 Pelas equações da técnica de substituição trigonométrica tem-se (16) e (17): cos(𝛼) = sen(𝛼) = 1 √𝜃 2 + 1 𝜃 √𝜃 2 + 1 (14) (15) (16) (17) Substituindo (16) e (17) em (15) obtém-se a solução da equação do comprimento de arco (18): 12 𝑙= ∫ 3𝜋 4 0 √𝑎2 + (𝑎𝜃)2 𝑑𝜃 𝑎 𝜃 √𝜃 2 + 1 𝑎 ln(√𝜃 2 + 1 + 𝜃) = − = 2 2 Resolvendo a integral definida e considerando a igual a 10 tem-se (19): 2 √(3𝜋) + 1 + 3𝜋) 3𝜋 √ 3𝜋 2 10 ln ( 10 4 4 4 ( 4 ) +1 − − 𝑙= 2 2 …− 10.0 √0 + 1 10 ln(√0 + 1 + 0) + = 22,2 𝑐𝑚 2 2 (18) … (19) (19) Com a determinação do comprimento do fio pode-se agora determinar a resistividade do para a temperatura de 35° C de acordo com a equação (1.9) então (20): 𝜌 = 1,7 𝑥 10−8 [1 + 3,9 𝑥 10−3 (15)] = 1,8 𝑥 10−8 Ω. 𝑚 (20) Diante dos valores de resistividade e de comprimento é possível determinar a resistência elétrica medida do ohmímetro (21) pela equação (1.8): 𝑅 = 1,8 𝑥 10−8 22,2 𝑥10−2 = 0,8 Ω = 800𝑚Ω 0,5 𝑥10−2 𝑥10−6 (21) Exemplo 2: Uma quantidade de 8 x 1021 de elétrons livres, com carga elementar 1,6 x 1019 , circulam por um condutor cilíndrico com seção transversal 2,5 mm². Esta carga elétrica alimenta uma máquina com potência elétrica de 20 W por um tempo de 2 horas. Determinar a tensão nos terminais da máquina desconsiderando as perdas no condutor. Resolução: A carga elétrica que circula pelo fio cilíndrico será (22): 𝑄 = 𝑛𝑞 = 8 𝑥1021 𝑥 1,6 𝑥 10−19 = 12,8 𝑥 102 𝐶 Calculando a corrente elétrica que circula pelo condutor (23): 𝑖= 𝑄 12,8 𝑥 102 𝐶 = = 177,78 𝑚𝐴 Δ𝑡 7200 𝑠 (22) (23) Com a corrente determinada é possível calcular a tensão de alimentação da máquina então (24): 13 𝑉= 𝑃 20 = = 112,5 𝑉 𝑖 177,78 𝑥 10−3 (24) Exemplo 3: Um material condutor com resistividade 2,3 x 10-8 Ω.m a temperatura ambiente de 273,15 K. Este condutor é resfriado ao ponto de se tornar um supercondutor e que o seu coeficiente de temperatura de resistividade é 4,8 x 10-3 K-1. Nesta situação de resfriamento, qual a temperatura crítica do supercondutor em Kelvin e em Celsius, considerando que o comportamento da resistividade com a temperatura é praticamente linear? Resolução: Em um supercondutor a resistividade tende a zero, ou seja, a resistência elétrica é, praticamente, nula. Então, ρ = 0 na temperatura crítica. Desta forma, calculando a temperatura crítica de acordo com (1.9) em (25): 0 = 2,3 𝑥 10−8 [1 + 4,8 𝑥10−3 (𝑇 − 273,15)] −1 = [4,8 𝑥10−3 (𝑇 − 273,15)] −208,33 = 𝑇 − 273,15 𝑇𝐾 = 64,82 𝐾 Para determinar a temperatura em Celsius pode-se utilizar a equação (26): 𝑇𝐶 = 𝑇𝐾 − 273,15 𝑇𝐶 = 64,82 − 273,15 = −208,33°𝐶 Capítulo 2: Leis da Eletricidade: Leis de Ohm e Kirchoff (25) (25) (25) (25) (26) (26) Os circuitos elétricos são muitas vezes estudados com base em leis físicas bem definidas como as Leis de Ohm e de Kirchoff. Estas leis baseadas na lei da conservação das cargas e na lei de conservação da energia, bem como nos conceitos de tensão, corrente e resistência que são a base para resolução de circuitos elétrico em geral. Este capitulo tem por objetivo mostrar e explicar os conceitos e o uso destas leis na resolução de circuitos elétricos. 14 2.1. Carga Elétrica Carga elétrica é um uma característica física das partículas atômicas e subatômicas que determinam as interações entre estas cargas. Pela lei de Dufay, cargas elétricas com cargas opostas se atraem e cargas elétricas com cargas iguais se repelem. Por convenção, as cargas elétricas foram definidas em carga positiva e carga negativa. Na física, umas das propriedades que se conservam é a carga elétrica, a lei de conservação das cargas expressa que a carga líquida em um sistema é sempre nula, ou seja, a quantidade de carga elétrica antes da interação é igual a quantidade de carga elétrica presente após a interação ou fenômeno físico (2.1) ∑ 𝑄= ∑ 𝑄 2.2. Circuito Elétrico 𝐴𝑁𝑇𝐸𝑆 (2.1) 𝐷𝐸𝑃𝑂𝐼𝑆 O Circuito Elétrico pode ser definido como o caminho fechado por onde a corrente elétrica circula em um sistema elétrico. Sabemos que para que haja corrente elétrica é necessária uma fonte de energia (fonte de tensão ou de corrente) que promove a aceleração das cargas. A energia armazenada nestas fontes é transferida as cargas que, por sua vez, adquirem energia cinética, dando origem a corrente elétrica que proporcionará o trabalho útil de máquinas e equipamentos. Os circuitos elétricos são dotados de arranjos elétricos denominados de malhas. As malhas permitem a circulação da corrente elétrica com intensidade relativa a característica e a forma com que as malhas são construídas. Pela Lei de Conservação da Energia, em uma malha ou circuito elétrico a energia líquida dos fornecedores de energia (fontes) e os receptores de energia (cargas) é sempre nula, ou seja, a energia fornecida pelas fontes é, integralmente, consumida pelos receptores desta energia (2.2): ∑ 𝐸= 2.3. Lei de Ohm 𝐹𝑂𝑁𝑇𝐸𝑆 ∑ 𝑅𝐸𝐶𝐸𝑃𝑇𝑂𝑅𝐸𝑆 𝐸 (2.2) Já foi visto que em circuitos elétricos devemos ter um ou mais provedores de energia elétrica, responsáveis pela força motriz na aceleração das cargas elétricas, principalmente, os elétrons livres, componentes consumidores ou dissipadores de energia e o 15 “componente” responsável pelo transporte desta energia aos consumidores. Claramente, estamos falando de tensão, corrente e resistência. Estas três componentes apresentam uma relação linear conhecida como Lei de Ohm, descoberta por Georg Simon Ohm, quando publicada sua descoberta. A lei de Ohm expressa que a corrente elétrica que circula por um circuito elétrico é diretamente proporcional a tensão aplicada e a resistência elétrica que se opõe a circulação da corrente. Em termos matemáticos, a Lei de Ohm pode ser expressa como (2.3): 𝐼= 𝑉 𝑅 (2.3) Onde I é a corrente elétrica resultante no circuito, V a tensão aplicada no circuito ou parcela deste circuito e R a resistência elétrica associada ao condutor. A lei de Ohm, de acordo com (2.3), apresenta uma relação linear que pode ser representada no plano cartesiano por uma reta como pode ser visto na figura 4, a curva V x I. Figura 4: Representação no plano cartesiano da curva V x I Fonte: Sadiku (2013) A curva da figura 4 denota que a inclinação da reta é o valor da resistência R. Esta curva mostra resistência que seguem a Lei de Ohm e são conhecidos como Resistores Ôhmicos. Desta Forma, a resistência pode ser encarada, matematicamente, como o coeficiente angular da curva de V x I. Em alguns casos quando as resistências não seguem a curva da lei de Ohm estes são classificados como Resistores Não – Ôhmicos, muitas vezes devido a influencias de outros parâmetros que podem modificar o valor desta resistência, como a temperatura, ou por características próprias do material analisado. A curva de um resistor não-ôhmico e mostrado na figura 5: 16 Figura 5: Representação no plano cartesiano da curva V x I do resistor não-ôhmico Fonte: Sadiku (2013) A resistência é definida por variações de tensão e corrente, um valor para a resistência pode ser definido, como um valor constante, em uma região linear ou linearizada da curva V x I. Além da tensão, corrente e resistência a lei de Ohm é utilizada para a descrição da potência elétrica em resistores. Os resistores têm por característica a oposição da corrente elétrica e a potência para estes componentes é dissipada na forma de calor. As equações (2.4) e (2.5) expressam, matematicamente, o cálculo da potência dissipada por um resistor: 𝑉2 𝑃= 𝑅 𝑃 = 𝑅 𝑥 𝑖2 (2.4) (2.5) Quando se analisa a potência dissipada, pode-se obter o rendimento do circuito elétrico. Rendimento é a relação de a potência útil, ou potência que realiza trabalho efetivamente, e a potência total disponibilizada. Esta relação é uma relação tratada com um valor percentual da energia útil utilizada um circuito elétrico. O rendimento pode ser determinado por (2.6): 𝜂(%) = 𝑃ú𝑡𝑖𝑙 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (2.6) Exemplo 4: Tendo como base o exemplo 1 determinar a corrente elétrica e a potência dissipada nesse resistor se este for alimentado por uma fonte de tensão de 5V. 17 Resolução: De acordo com o resultado do exemplo 1 a resistência medida é de 800 mΩ, assim aplicando as equações (2.3) e (1.7) tem – se (27) e (28): 𝑖= 𝑉 5 = = 6,25 𝐴 𝑅 0,8 𝑃 = 6,25 𝑥 5 = 31,25 𝑊 (27) (28) Exemplo 5: A resistividade de um material X respeita a função ρ(T) = -aT2 + bT , onde a e b são constantes reais positivas. Descrever o comportamento da resistividade do material em questão e calcular a corrente elétrica que circula neste material no ponto crítico de temperatura, considerando que tem boa ductilidade e foi transformado em fio reto cilíndrico com comprimento de 2 metros e área de 0,5 mm² quando aplicada uma tensão de 12V. Resolução Para descrever o comportamento da resistividade deve-se ter em mente as aplicações de derivada. A princípio pode-se determinar os pontos críticos da função igualando a derivada da função a zero (29) 𝑑𝜌 = −2𝑎𝑇 + 𝑏 = 0 𝑑𝑇 𝑇= 𝑏 2𝑎 (29) (29) Com a obtenção do ponto crítico é necessário analisar o comportamento da resistividade a medida que a temperatura aumenta ou diminui analisando o crescimento e o decrescimento da resistividade com a temperatura. Se a primeira derivada for positiva a curva é crescente então a resistividade cresce com a temperatura e vice-versa então (30) e (31): 𝑏 𝑑𝜌 > 0 , 𝑠𝑒 𝑇 < 2𝑎 𝑑𝑇 𝑏 𝑑𝜌 < 0 , 𝑠𝑒 𝑇 > 2𝑎 𝑑𝑇 (30) (31) 18 Com a análise de (30) e (31) a resistividade cresce para valores de T < b/2a e decresce para T > b/2a. Então, o comportamento da resistividade é crescente e decrescente a medida que a temperatura aumenta. A velocidade dessa mudança de resistividade depende dos valores de a e b. Após análise do comportamento do crescimento e decrescimento da curva da resistividade é necessário analisar se a curva tem ponto de máximo ou mínimo, ou seja, se existe uma temperatura que a resistividade é máxima ou mínima. Se a segunda derivada no ponto crítico for negativa a concavidade é para baixo e a resistividade é máxima no ponto crítico, caso contrário a concavidade da função será para cima o a resistividade será mínima no ponto crítico da função. Desta forma, calculando a segunda derivada aplicada no ponto crítico (32). 𝑑2 𝜌 = −2𝑎 𝑑𝑇 2 𝑑2𝜌 𝑏 < 0 , 𝑠𝑒 𝑇 = 𝑑𝑇 2 2𝑎 (32) (32) Assim, T = b/2a é a temperatura, de modo que, a resistividade é máxima então calculando a resistividade no ponto crítico (33): 𝑏 𝑏 2 𝑏 𝜌 ( ) = −𝑎 ( ) + 𝑏 ( ) = 2𝑎 2𝑎 2𝑎 𝑏2 𝑏 𝑏 𝜌 ( ) = −𝑎 2 + 𝑏 ( ) = 4𝑎 2𝑎 2𝑎 𝑏 2 𝑏 2 −𝑏 2 + 2𝑏 2 𝑏 2 𝑏 + = = Ω. 𝑚 𝜌( ) = − 4𝑎 2𝑎 4𝑎 4𝑎 2𝑎 (33) (33) (33) Para calcular a corrente elétrica deve-se determinar primeiro a resistência do fio de material X, assim utilizando (1.9) em (34): 2 𝑏2 𝑏2 𝑅= = 𝑥106 Ω 4𝑎 0,5 𝑥 10−6 4𝑎 (34) 𝑉 12 48𝑎 = 2 = 2 𝑥 10−6 𝐴 𝑅 𝑏 𝑏 𝑥106 4𝑎 (35) Assim a corrente elétrica no ponto máximo de resistência será (35): 𝑖= 19 2.4. Leis de Kirchoff e Associação de Resistores Assim como a Lei de Ohm, as Leis de Kirchoff também são importantes na análise de circuitos elétricos. Estas são fundamentais para a determinação das grandezas que definem os circuitos elétricos para qualquer que seja o circuito analisado. Uma das Leis de Kirchoff está relacionada com as tensões elétricas em um circuito elétrico. Esta análise é baseada na lei de conservação da energia, a energia elétrica como é sabido depende diretamente da tensão ou das tensões encontradas nos circuitos seja estes consumidores de energia (resistores, diodo, transistores entre outros), sejam estes provedores de energia ou fontes (fontes de tensões). Esta lei designa que a somatória das tensões em um circuito elétrico ou malha devem deve ser igual a zero, esta lei está em consonância com a Lei da Conservação da Energia. Então, pode-se expressar as leis de Kirchoff através de (2.7). ∑𝑉 = 0 (2.7) A partir desta relação, permite o estudo dos circuitos elétricos por uma técnica denominada análise de malha. A análise de malha determina todas as tensões envolvidas em um circuito elétrico. Esta análise, geralmente, tem como incógnitas as correntes elétricas das malhas ou do circuito elétrico estudado como mostrado na figura 6: Figura 6: Representação das correntes das malhas para estudo da análise de malha Fonte: Irwin (2007) Com a determinação da corrente elétrica se faz possível a determinação das tensões envolvidas no circuito elétrico. Em circuitos resistivos, as tensões são obtidas em 20 conjunto com a Lei de Ohm. A figura 7 mostra um circuito elétrico resistivo com três resistências em série: Figura 7: Circuito Série com três resistores Fonte: Dorf e Svoboda (2014) Umas das implicações da lei de Kirchoff das Tensões é a associação de resistores em série. A lei de Kirchoff das Tensões determina que a somatória das tensões é igual a zero, considerando o circuito série da figura K, aplicando a lei de Kirchoff das Tensões para o circuito resistivo (2.8): 𝑣𝑠 − 𝑣1 − 𝑣2 − 𝑣3 = 0 (2.8) Os sinais negativos nas tensões V1, V2 e V3 se dá pela representação das quedas de tensões nos resistores em série e E é positivo por ser uma fonte de tensão que alimenta o circuito elétrico. Aplicando a lei de Ohm na equação (2.8) obtém-se a equação (2.9): 𝑣𝑠 − 𝑅1 𝑖1 − 𝑅2 𝑖2 − 𝑅3 𝑖3 = 0 (2.9) Uma característica do circuito série é que a corrente circulante no circuito ou malha é sempre a mesma para todos os componentes do circuito, esse raciocínio é aplicável em circuitos série por “não” apresentar nó, ponto do circuito onde a carga elétrica é dividida em ramos distintos do circuito, desta forma como não existe divisão da corrente elétrica as correntes I1, I2, I3 podem ser tratadas por uma corrente única do circuito determinado por I, assim aplicando I em (2.9) e a lei de Ohm para a fonte de alimentação (2.10): 𝑅𝑒𝑞 𝑖 − 𝑅1 𝑖 − 𝑅2 𝑖 − 𝑅3 𝑖 = 0 (2.10) Em (2.10), Req representa a resistência equivalente do circuito elétrico em série, este equivalente é a junção de todos os resistores em um resistor de valor fixo visto pela fonte 21 de tensão de alimentação. Passando a soma negativa dos resistores para o lado direito da equação e dividindo toda equação por I (2.11): 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 (2.11) Em (2.11) observa-se que a resistência equivalente em um circuito série é a soma dos valores das resistências elétricas presentes no circuito série. Este raciocínio pode ser aplicado a n resistores associados em série, deste modo a resistência equivalente é a soma de todas as resistências dos n resistores associados, então (2.12): 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + ⋯ 𝑅𝑛 (2.12) Outro fato a ser observado é que para circuitos em série as tensões se dividem, proporcionalmente, aos resistores e cada resistor apresenta uma tensão própria dependente do valor da corrente elétrica do circuito, esta lógica é aplicável a qualquer tipo de circuito série sejam eles capacitivos ou indutivos desde que sejam atendidas as equações que regem estes componentes. No estudo da análise de malha muitas vezes é necessário percorrer o circuito por meio do conceito de Supermalha. A supermalha é indicada quando não se permite conhecer diretamente a tensão como fontes de correntes situadas em várias malhas, por exemplo, esta técnica é uma forma de simplificação para análise dos circuitos. A outra Lei de Kirchoff tem por base a análise das correntes elétricas presente em todos os ramos do circuito. A lei das correntes de Kirchoff é baseada na lei de conservação das cargas, as cargas elétricas em movimento configuram a corrente elétrica e estas correntes elétricas são “atraídas” por potenciais elétricos presentes no circuito denominados nó. Esta lei designa que as correntes elétricas que a somatória das correntes que entram ou sai do nó deve ser igual a zero (2.13). ∑𝐼 = 0 (2.13) Este tipo de análise permite o aparecimento de incógnitas que são os valores dos potenciais elétricos presentes nos nós. A diferente de valores destes nós configuram as tensões em um determinado ramo do circuito o que permite a determinação das correntes elétricas em cada ramo do circuito este tipo de análise é conhecido como Análise Nodal. 22 A figura X1 apresenta a análise de circuito de acordo por análise nodal com dois nós, os nós são potenciais, onde, geralmente, as correntes elétricas se dividem. Figura 8: Representação das correntes dos nós para estudo da análise nodal Fonte: Irwin (2007) Da análise nodal é possível constatar a presença de resistores ou componentes em paralelo. Estes são ditos em paralelo, pois, estão conectados entre si pela mesma diferença de potencial ao longo do circuito. Considerando o circuito elétrico de resistores em paralelo mostrado na figura 9. Figura 9: Circuito paralelo com três resistores Fonte: Dorf e Svoboda (2014) Por meio da lei de Kirchoff das Correntes considerando o nó a, na parte superior do circuito, pode-se mostrar que (2.14): 𝑖 − 𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 (2.14) Convencionou-se que as correntes elétricas que entram em um nó podem ser tratadas como valores positivos e as correntes que saem do nó como negativas. Para o circuito analisado a corrente que entra no nó é a corrente elétrica promovida pela fonte de tensão e as correntes que saem desse nó são as correntes que alimentam os resistores. Aplicando a lei de Ohm a equação (2.14), obtém-se (2.15): 23 𝑖− 𝑣1 𝑣2 𝑣3 − − =0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 (2.15) Como o circuito é um circuito paralelo é sabido que os elementos do circuito são conectados na mesma diferença de potencial ao longo do circuito, desta forma a tensão em cada componente do circuito apresenta o mesmo valor e observando o circuito deve apresentar o mesmo valor da fonte de energia que alimenta do circuito, com isso v1, v2 e v3 podem ser representados por uma tensão fixa igual a tensão da fonte vs, aplicando esta consequência e a lei de Ohm para a fonte de tensão e passando a soma negativa para o lado direito da equação (2.16): 𝑣𝑠 𝑣𝑠 𝑣𝑠 𝑣𝑠 = + + 𝑅𝑒𝑞 𝑅1 𝑅2 𝑅3 Dividindo a equação (2.16) por vs (2.17): 1 1 1 1 = + + 𝑅𝑒𝑞 𝑅1 𝑅2 𝑅3 (2.16) (2.17) De acordo com (2.17) para circuitos paralelos o inverso da resistência equivalente é igual a soma dos inversos das resistências envolvidas no circuito. Este raciocínio pode ser aplicável a n resistores (2.18). 1 1 1 1 1 = + + + ⋯+ 𝑅𝑛 𝑅𝑒𝑞 𝑅1 𝑅2 𝑅3 (2.18) Considerando um conjunto de 2 resistores em paralelo a resistência equivalente se torna (2.19): 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 . 𝑅2 𝑅1 + 𝑅2 (2.19) O exemplo 5 denota a aplicação da resistência equivalente para circuito em paralelo. Uma observação importante é que em circuitos paralelos as correntes se dividem no nó proporcionais ao valor da resistência elétrica no ramo. Assim como para circuitos série outros componentes conectados em paralelo como capacitores e indutores também apresentam o mesmo comportamento desde que sejam seguidas as definições de cada um dos componentes. 24 Assim como a supermalha existe na análise de malha, o conceito de Supernó é aplicável a análise nodal. O supernó é uma região do circuito onde a corrente elétrica é desconhecida, muitas vezes apresentados por fontes de tensões presentes em várias malhas. Esta técnica de análise pode ser vista no exemplo 6. 2.5. Transformações Estrela-Triângulo de Resistores Em algumas situações, elementos de um circuito elétrico não estão associados nem em série e nem em paralelo. Estas associações muitas vezes são conhecidas como associações Estrela ou Triângulo, ou em Ípsilon ou Delta. Como vistos nas figuras 10 e 11 para associações de resistores. Figura 10: Circuito resistivo com configuração em estrela Fonte: Sadiku (2013) Figura 11: Circuito resistivo com configuração em delta Fonte: Sadiku (2013) A associação em estrela ou ípsilon, é caracterizada por associar os elementos, neste caso para resistores, interligados a um ponto central, formando o desenho como visto na figura 10. Já para a associação em triângulo ou delta, os resistores são interligados entre si, formando uma forma triangular e como mostrados na figura 11. Estas associações também possuem equivalências, de modo que ocorre uma transformação de um tipo de circuito para outro, ou seja, de estrela para triângulo e viceversa. Esta conversão pode ser importante para resolução de circuitos onde existam 25 parcelas em estrela ou triângulo, e que após a conversão o circuito equivalente pode apresentar uma associação mista mais simples de serem resolvidas. Observando as figuras 10 e 11 e analisando a resistências equivalentes entre os terminais 1-2 pode-se determinar que (2.20) e (2.21): 𝑅12 (𝑌) = 𝑅1 + 𝑅3 𝑅12 (∆) = 𝑅𝑏 ||(𝑅𝑎 + 𝑅𝑐 ) = 𝑅𝑏 (𝑅𝑎 + 𝑅𝑐 ) 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 (2.20) (2.21) Estudando a equivalência das associações entre R12 de ambas as associações é interessante igualar as duas equações (2.20) e (2.21), então (2.22): 𝑅12 = 𝑅1 + 𝑅3 = 𝑅𝑏 (𝑅𝑎 + 𝑅𝑐 ) 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 (2.22) De modo similar, para os demais terminais restantes as resistências equivalentes R13 e R34 podem ser determinados, por equivalência, por (2.23) e (2.24): 𝑅13 = 𝑅1 + 𝑅2 = 𝑅34 = 𝑅2 + 𝑅3 = 𝑅𝑐 (𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 ) 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 𝑅𝑎 (𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 ) 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 A diferença de R34 e R12 vai resultar em (2.25): 𝑅1 + 𝑅3 − 𝑅2 − 𝑅3 = 𝑅𝑏 (𝑅𝑎 + 𝑅𝑐 ) 𝑅𝑎 (𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 ) − 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 𝑅1 − 𝑅2 = 𝑅𝑐 (𝑅𝑏 − 𝑅𝑎 ) 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 (2.23) (2.24) (2.25) (2.25) Com este resultado (2.25), sendo somado com R13 (2.23), obtém-se a relação para R1 de Y, equivalente a associação delta (2.26): 𝑅1 − 𝑅2 + 𝑅1 + 𝑅2 = 𝑅𝑐 (𝑅𝑏 − 𝑅𝑎 ) 𝑅𝑐 (𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 ) + = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 2𝑅1 = 2𝑅𝑐 𝑅𝑏 = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 (2.26) (2.26) 26 𝑅1 = 𝑅𝑐 𝑅𝑏 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 Agora, a diferença (2.25) e (2.23), obtém-se R2 (2.27): 𝑅1 + 𝑅2 − 𝑅1 + 𝑅2 = 2𝑅2 = 𝑅2 = 𝑅𝑐 (𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 ) 𝑅𝑐 (𝑅𝑏 − 𝑅𝑎 ) − = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 2𝑅𝑐 𝑅𝑎 = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 𝑅𝑐 𝑅𝑎 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 E subtraindo (2.26) de (2.22), obtém-se R3 (2.28): 𝑅1 + 𝑅3 − 𝑅1 = 𝑅3 = 𝑅𝑐 𝑅𝑏 𝑅𝑏 (𝑅𝑎 + 𝑅𝑐 ) − = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 𝑅𝑏 𝑅𝑎 = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 (2.26) (2.27) (2.27) (2.27) (2.28) (2.28) As equações (2.26), (2.27) e (2.28), representam as equações para a conversão de uma associação delta para o seu equivalente em estrela, ou seja, o circuito delta apresenta o seu equivalente em estrela e as resistências equivalentes em estrela R1, R2 e R3. Por estas equações, cada resistor em estrela é o produto dos resistores adjacentes em delta dividido pela soma dos três resistores em delta. Tomando agora como base as equações (2.26), (2.27) e (2.28) aplicando a soma de produtos dos resistores R1, R2 e R3 (2.29): 𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 𝑅3 + 𝑅3 𝑅1 = 𝑅𝑎 2 𝑅𝑏 𝑅𝑐 𝑅𝑏 2 𝑅𝑐 𝑅𝑎 𝑅𝑐 2 𝑅𝑏 𝑅𝑎 + + = = (𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 )2 (𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 )2 (𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 )2 = 𝑅𝑎 𝑅𝑏 𝑅𝑐 (𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 ) 𝑅𝑎 𝑅𝑏 𝑅𝑐 = = (𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 )2 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 𝑅3 + 𝑅3 𝑅1 = 𝑅𝑎 𝑅𝑏 𝑅𝑐 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 Dividindo o resultado (2.29) por (2.26), é obtido a equação para Ra (2.30): (2.29) (2.29) (2.29) 27 𝑅𝑎 𝑅𝑏 𝑅𝑐 𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 𝑅3 + 𝑅3 𝑅1 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 = 𝑅𝑐 𝑅𝑏 𝑅1 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 (2.30) 𝑅𝑎 = 𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 𝑅3 + 𝑅3 𝑅1 𝑅1 (2.30) 𝑅𝑏 = 𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 𝑅3 + 𝑅3 𝑅1 𝑅2 (2.31) De forma similar, dividindo (2.29) por (2.27) e (2.28), encontram-se Rb (2.31) e Rc (2.32): 𝑅𝑐 = 𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 𝑅3 + 𝑅3 𝑅1 𝑅3 (2.32) As equações (2.30), (2.31) e (2.32) são as equações que representam a conversão da associação estrela para triângulo, ou seja, o circuito em ípsilon apresenta um equivalente em delta representado pelos valores de Ra, Rb e Rc. Pelas equações (2.30), (2.31) e (2.32) cada resistor em delta é igual a soma de produtos, dois a dois, dos resistores em ípsilon dividido pelo resistor oposto em ípsilon. Um caso especial é quando R1 = R2 = R3 ou Ra = Rb = Rc, dessa forma as conversões de estrela para delta, e vice-versa, podem ser escritos pelas equações (2.33) e (2.34): 𝑅𝑌 = 𝑅∆ 3 𝑅∆ = 3𝑅𝑌 2.6. Fontes e Receptores de Energia Independentes e Dependentes (2.33) (2.34) Todo circuito elétrico deve ter uma fonte de energia ou fontes de energia que alimenta(m) o(s) circuito, bem como dispositivos receptores de energia, seja na modalidade de tensão ou corrente. Em análise de circuitos pode-se estudar as fontes ou receptores de energia independentes ou dependentes como mostrados nas figuras 12 e 13 28 Figura 12: Fontes de tensão e corrente independentes Fonte: Sadiku (2013) Figura 13: Fontes de tensão e corrente dependentes Fonte: Sadiku (2013) As fontes ou receptores de energia independentes são aqueles que apresentam valores de tensão e correntes, não apresentando dependência por outra grandeza do circuito elétrico. Estas fontes, na prática, podem ser representadas por fontes como pilhas e baterias em termos de corrente contínua. Já as fontes ou receptores de energia (corrente ou tensão) dependentes são elementos do circuito que necessitam de uma grandeza do próprio circuito elétrico para que possa definir a sua unidade de medida, geralmente tensão ou corrente elétrica. Desta forma, os elementos dependentes do circuito variam de acordo com o comportamento do circuito elétrico no que diz respeito os elementos utilizados no seu funcionamento. Estes elementos, na prática, podem ser encontrados, por exemplo, em reguladores de tensão que necessitam de uma tensão adequada para apresentar o seu funcionamento e são encontrados em alguns modelos elétricos de componentes como amplificadores de pequenos sinais com base de transistores. 29 Capítulo 3: Teoremas de Circuitos Elétricos Em análise de circuitos além das leis que regem a análise de circuitos como as leis de Ohm e de Kirchoff, métodos foram criados para simplificação e melhor resolução dos circuitos elétricos. Para resolução de circuitos elétricos complexos em análise de circuitos podem ser utilizados os teoremas: de Thevenin, Norton, da Superposição, da Máxima Transferência de Potência e Transformação de Fontes, todos estes têm por base a aplicação das leis de Kirchoff e de Ohm como ferramenta para a descoberta de parâmetros elétricos. 3.1. Propriedades de Linearidade A linearidade é a propriedade que descreve a relação linear de causa e efeito. Esta linearidade está presente em muitos elementos do circuito, principalmente, os resistores que é o foco do capítulo. A propriedade de linearidade é uma junção da propriedade da homogeneidade e da propriedade aditiva. A homogeneidade denota que se uma entrada ou excitação multiplicada por uma constante, a saída ou resposta a excitação também deve ser multiplicada pela mesma constante. Considerando o resistor utilizando a lei de Ohm que apresenta a entrada i e a saída V de acordo com a equação (2.3). Se a corrente elétrica aumentar, proporcionalmente, a uma constante k então a tensão irá aumentar o valor na mesma proporção k (3.1): 𝑘𝑉 = 𝑘𝑖 𝑥 𝑅 (3.1) A propriedade aditiva denota que a resposta a uma soma de entradas seja a soma das respostas a cada entrada individualmente. Tendo como base a lei de Ohm, analisando um resistor com relação a suas entradas i1 e i2 (3.2) e (3.3): 𝑉1 = 𝑖1 𝑥 𝑅 𝑉2 = 𝑖2 𝑥 𝑅 Aplicando a propriedade aditiva das excitações (i1 + i2) obtém-se (3.4): 𝑉 = (𝑖1 + 𝑖2 ) 𝑥 𝑅 = 𝑖1 𝑥 𝑅 + 𝑖2 𝑥 𝑅 = 𝑉1 + 𝑉2 (3.2) (3.3) (3.4) Observando os resultados adquiridos das equações (3.1) e (3.4) o resistor é um elemento linear, pois satisfaz as condições de homogeneidade e a propriedade aditiva. Os 30 circuitos lineares, em geral, devem satisfazer as condições de existência e constituído de elementos lineares bem como fontes lineares dependentes e independentes. 3.2. Teorema da superposição O teorema da superposição consiste em determinar as contribuições das fontes de tensão e corrente à variável de estudo e, no final da análise somar todas as contribuições individuais. Uma característica relevante para a análise do teorema da superposição é que as fontes de tensão e de corrente devem ser independentes. A técnica da superposição é advinda da propriedade da Superposição, este princípio estabelece que a tensão ou corrente do elemento, em circuitos lineares, é a soma algébrica da tensão ou corrente elétrica das influências das fontes de tensão ou de corrente analisadas individualmente. Para aplicar o princípio da superposição devem ser observadas algumas duas considerações básicas:  É considerada uma fonte independente por vez, para que esta análise seja realizada as demais fontes de tensão ou corrente devem ser desligadas. Zerar uma fonte de tensão significa substituí-lo por um curto-circuito e para fontes de corrente desligá-la remete a substituí-la por um circuito aberto. Com essa consideração é possível obter um circuito mais simples e mais fácil de ser manipulado;  As fontes dependentes são deixadas no circuito, pois estas são dependentes de alguma variável do circuito. Seguindo estas recomendações o circuito elétrico em análise apresentará melhor simplificação para obtenção dos resultados. 3.3. Transformação de Fontes Uma outra forma na simplificação dos circuitos elétricos é a técnica de transformação de fontes. A simplificação por transformação de fontes é baseada no conceito de equivalência. Esta técnica se baseia na equivalência de uma fonte de tensão ligado em série com um resistor possa ser substituído por uma fonte de corrente em paralelo com o mesmo resistor e vice-versa como mostrado na figura 14. 31 Figura 14: Equivalências para transformações de fontes Fonte: Sadiku (2013) Os circuitos da figura 14 são equivalentes, pois possuem a mesma relação tensãocorrente entre os terminais do ramo ou circuito estudado. A transformação de fontes pode ser realizada em equivalência por meio da equação da lei de Ohm (3.5) para transformação da fonte de tensão para a fonte de corrente e a (3.6) para o modo inverso. 𝐼𝑠 = 𝑉𝑠 𝑅 𝑉𝑠 = 𝐼𝑠 𝑥 𝑅 (3.5) (3.6) As fontes dependentes também podem apresentar transformação de fontes utilizando-se do mesmo raciocínio visto para fontes independentes com as mesmas relações citadas acima. A equivalência da transformação de fontes não modifica o resultado da grandeza analisada no circuito, ou seja, a técnica de transformação de fontes não os resultados encontrados. 3.4. Teorema de Thevenin Na prática algum elemento do circuito apresenta-se como variável, geralmente a carga, enquanto os demais elementos são fixos. Um exemplo desta variável pode ser o aumento de potência em sistemas de distribuição, cidades que crescem com o tempo necessitam de mais demanda elétrica e o consumo varia no tempo tendendo ao aumento, desta forma os estudos de readequação do sistema elétrico para as mudanças de carga são sempre reavaliados. Para evitar a constante reanálise de circuitos complexos o teorema de Thevenin substitui a parcela fixa do circuito por um circuito equivalente como mostrado na figura 15. 32 Figura 15: Circuito equivalente de Thevenin Fonte: Sadiku (2013) De acordo com a figura um circuito complexo com padrões fixos pode ser substituído por um circuito equivalente denominado Equivalente de Thevenin desenvolvido, em 1883, por M. Leon Thevenin. Este equivalente é composto por uma fonte de tensão independente e um resistor em série. O equivalente é conectado à parcela do circuito original que estava sendo estudada ou simplesmente a carga. O teorema de Thevenin determina que um circuito linear de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente dividido em uma fonte de tensão ou fonte de tensão de Thevenin, Vth, em série com uma resistência equivalente denominada resistência de Thevenin, Rth. A tensão de Thevenin é a tensão de circuito aberto determinado nos terminais considerados e a resistência de Thevenin é a resistência equivalente visto dos terminais de circuito aberto com todas as fontes independentes zeradas. Para determinar os parâmetros que fazem parte do equivalente de Thevenin, supõese que os circuitos da figura V são equivalentes. Os circuitos em análise são ditos equivalentes se apresentarem a mesma relação tensão-corrente em seus terminais. Analisando os terminais a – b são mantidos em circuito aberto, retirando a carga a corrente não irá fluir e a tensão nestes terminais deverá ser igual a tensão Vth considerando a equivalência entre os circuitos. Portanto, a tensão de Thevenin é igual a tensão de circuito aberto Voc. Ainda com a carga desconectada e os terminais mantidos em aberto, desligando todas as fontes independentes a resistência de entradas, vista dos pontos a – b deve ser Rth devido aos circuitos serem equivalentes. Então, Rth é a resistência de entrada dos terminais quando as fontes de tensão são desligadas Rin = Rth. Para determinar Rth se faz necessário a análise de dois casos: 33  Se o circuito apresentar somente fontes independentes e não possuir fontes dependentes, desligam-se todas as fontes independentes, Rth é a resistência de entrada do circuito entre os terminais a – b.  Caso o circuito possua fontes dependentes, ainda desligam-se todas as fontes independentes. Assim como o método da superposição as fontes dependentes não devem ser desligadas porque estas fontes são dependentes de outras variáveis do circuito elétrico. A solução para a resolução de circuitos com fontes dependentes baseia-se em aplicar uma fonte de tensão Vo aos terminais a e b e determina-se a corrente Io resultante. Então, Rth = Vo/Io. Alternativamente, pode-se aplicar uma fonte de corrente Io nos terminais a e b e determinar a tensão Vo dos terminais. O cálculo da resistência de Thevenin segue sendo Rth = Vo/Io. As duas formas apresentarão o mesmo valor. Em alguns casos a resistência de Thevenin pode apresentar um valor negativo. Isto significa que o circuito está fornecendo potência sendo possível em casos onde existam fontes dependentes. 3.5. Teorema de Norton Em 1926, E. L. Norton, engenheiro da Bell Telephone Laboratories, propôs um método similar ao teorema de Thevenin. O teorema de Norton estabelece que um circuito linear de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente constituído por uma fonte de corrente In em paralelo com um resistor Rn, onde In é a corrente de curtocircuito através dos terminais e Rn é a resistência de entrada equivalente vista dos terminais quando as forntes independe forem zeradas. A representação do circuito equivalente de Norton é mostrada na figura 16. Figura 16: Circuito equivalente de Norton Fonte: Sadiku (2013) 34 A determinação da resistência de Norton, Rn, é realizada da mesma forma que a resistência de Thevenin, Rth, então por esta razão Rn = Rth. A determinação da corrente de Norton determina-se a corrente de curto-circuito que flui pelos terminais a – b que são interligados. Pensando na equivalência dos circuitos elétricos a corrente de Norton é igual a corrente de curto-circuito, In = Isc. As fontes independentes e dependentes são vistas de maneira igual ao método usado pelo Teorema de Thevenin. Utilizando a ideia da de transformação de fontes existe uma relação entre o teorema de Norton e o teorema de Thevenin, logo (3.7): 𝐼𝑁 = 𝑉𝑇ℎ 𝑅𝑇ℎ 3.6. Teorema da máxima transferência de potência (3.7) Circuitos elétricos são projetados para fornecer energia para alimentação de uma carga elétrica. Em relação aos equipamentos elétricos, as perdas na transferência de energia devem ser minimizadas por questões econômicas e de eficiência. Em telecomunicações, a maximização de potência deve ser aplicada a carga, por meio do casamento de impedâncias de modo que não ocorra distorções de funcionamento. O teorema da máxima transferência de potência utiliza-se do equivalente de Thevenin para se determinar a potência máxima em um circuito linear como visto na figura 17: Figura 17: Circuito equivalente de Thevenin para máxima transferência de potência Fonte: Sadiku (2013) Assumindo que RL é a resistência da carga ajustável e calculando a potência transferida à RL de acordo com a equação (3.8): 35 2 𝑉𝑇𝐻 𝑃𝐿 = 𝑖 𝑅𝐿 = ( ) 𝑅𝐿 𝑅𝑇𝐻 + 𝑅𝐿 2 (3.8) Analisando a equação a potência entregue é função da carga RL e a medida que RL é muito grande o valor de PL será muito pequeno, porém este valor tem um valor máximo ou mínimo quando 0 ≤ RL ≤ ∞. Derivando-se a equação (3.8) em relação à PL e igualando a zero será determinado o ponto crítico da função em (3.9): 2 𝑑𝑃𝐿 2 (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 ) − 2𝑅𝐿 (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 ) = 𝑉𝑇ℎ [ ] (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )4 𝑑𝑅𝐿 (3.9) 𝑑𝑃𝐿 1 2𝑅𝐿 = [ − ]=0 2 (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 ) (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )3 𝑑𝑅𝐿 (3.9) 𝑅𝐿 = 𝑅𝑇ℎ (3.9) 2𝑅𝐿 1 = = (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 ) = 2𝑅𝐿 (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )2 (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )3 (3.9) Tomando a segunda derivada da função de potência em relação à resistência de carga (3.10): 𝑑 2 𝑃𝐿 𝑑𝑅𝐿 2 = 𝑉𝑇ℎ 2 { 𝑑2 𝑃𝐿 𝑑𝑅𝐿 −2 2(𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )3 − 6𝑅𝐿 (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )2 − [ ]} (3.10) (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )6 (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )3 2 −4 6𝑅𝐿 + } (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )3 (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )4 (3.10) 𝑉𝑇ℎ 2 =− < 0, 𝑠𝑒 𝑉𝑇ℎ , 𝑅𝐿 > 0 (2𝑅𝐿 )3 (3.11) = 𝑉𝑇ℎ 2 { Aplicando o ponto crítico na segunda derivada 𝑅𝐿 = 𝑅𝑇ℎ tem-se que (3.11): 𝑑2 𝑃𝐿 𝑑𝑅𝐿 2 Analisando o resultado de 3.11, os valores de VTh e RL como positivos e diferentes de zero a segunda derivada é negativa ou menor que 0, desta forma a concavidade é dita para baixo e o ponto crítico é uma condição de máxima potência. Aplicando a condição da máxima potência na equação (3.8) obtém-se a relação para o cálculo da potência máxima a ser transferida para a carga quando existe casamento de impedâncias (3.12): 𝑃𝐿𝑚á𝑥 2 𝑉𝑇ℎ = 4𝑅𝑇ℎ (3.12) 36 A curva da que denota a máxima transferência de potência é vista na figura 18. A potência é transferida à carga elétrica, mas o rendimento dependerá diretamente do valor associado à RL. Figura 18: Curva da potência em função da resistência de carga Fonte: Sadiku (2013) O rendimento em corrente contínua é expresso pela razão entre a potência consumida na carga elétrica RL e a potência fornecida pela fonte de Thevenin (3.13): 𝜂(%) = 𝑃𝐿 𝑃𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 𝑅𝐿 𝐼 2 𝑅𝐿 𝑥 100% = 𝑥 100 = 𝑥 100 (𝑅𝐿 + 𝑅𝑇ℎ )𝐼 2 𝑅𝐿 + 𝑅𝑇ℎ (3.13) Em condições de casamento de impedâncias 𝑅𝐿 = 𝑅𝑇ℎ a potência transferida é máxima mas o rendimento é dividido pela metade, ou seja, metade da potência elétrica CC vindo da fonte de tensão é transferida à carga. Em caso de R L ser maior que RTh o rendimento poderá ser maior que 50%, mas deve-se tem em mente que a relação é entre a potência de entrada pela potência consumida no resistor de carga, de modo que a potência fornecida no circuito não será máxima tendendo a se reduzir com o aumento de RL podendo não ser interessante para algumas aplicações. Raciocínio simular pode ser analisado para valores de RL menor que RTh o rendimento será menor com nível de potência também reduzido. Capítulo 4: Elementos Acumuladores de Carga – Capacitores e Indutores Até o momento foi estudado o resistor como elemento passivo dos circuitos elétricos. Outros elementos passivos são podem ser encontrados em circuito elétricos são os capacitores e os indutores. Estes elementos passivos, diferente do resistor, têm característica de armazenamento de energia por variação de corrente ou tensão nos seus terminais quando ligadas a uma fonte de energia ou circuito. Isso permite uma diversificação dos circuitos elétricos, visto que os resistores apresentam grande limitação. 37 4.1. Capacitores O capacitor é um elemento passivo que armazena energia em seu campo elétrico. O campo elétrico, em eletrostática, é um campo vetorial formado a partir de uma carga elétrica ou por uma densidade de cargas elétricas dispostas em um determinado meio. Este campo é representado, matematicamente, por vetores ou linhas de campo elétrico que são determinadas as orientações do campo bem como sua magnitude. No estudo dos campos elétricos cargas positivas apresentam linhas de campo que saem dar carga elétrica ou da densidade de cargas. Já as cargas negativas apresentam a característica oposta, as linhas de campo são apontadas em direção à carga negativa ou em direção à densidade de cargas negativas. A direção das linhas de campo é mostrada na figura 18. Figura 18: Representação das linhas de campo elétrico Fonte: Halliday e Hesnick (2009) A magnitude deste campo depende do meio o que a(s) carga(s) está(ão) inserida(s), do valor da carga elétrica em Coulomb e da distância entre elas de acordo coma equação (4.1): 𝐸= 1 𝑄 4𝜋𝜖 𝑟 2 (4.1) Onde E é a magnitude do campo elétrico; 𝝐 é a permissividade elétrica do meio; Q é a carga elétrica da carga ou a carga elétrica envolvida em uma superfície ou volume qualquer e r é o módulo do vetor deslocamento, da carga ou da densidade de cargas com relação ao ponto do espaço a ser analisado. A permissividade elétrica representa o meio no qual as cargas estão inseridas ou que o campo elétrico é confinado. Esta permissividade 38 pode ser representada, por sua permissividade relativa e um meio padrão escolhido. Para análises de permissividade relativa o meio de referência é o vácuo (4.2): 𝜖 = 𝜖0 𝜖𝑟 (4.2) Em relação a (4.2) o valor de 𝝐𝟎 é a permissividade elétrica do vácuo e este valor é de 8,85 x 10-12 F/m e 𝝐𝒓 é a permissividade elétrica relativa do meio que é um valor adimensional que mostra quantas vezes o meio em questão é relativo ao meio padrão, o vácuo. Estas grandezas são importantes para o entendimento do capacitor, pois a sua aplicação consiste no armazenamento de energia elétrica em um campo elétrico confinado no componente muitas vezes com a presença de isolante. O capacitor pode ser interpretado de forma simples por um aparato construído por placas metálicas paralelas e um meio dielétrico de permissividade 𝝐 entre estas placas como visto na figura 19. Figura 19: Capacitor de placas paralelas Fonte: Halliday e Hesnick (2009) Este elemento pode ser definido em relação a sua grandeza a Capacitância. A capacitância é a capacidade de um corpo em acumular ou armazenar cargas elétricas, no caso do capacitor este armazena cargas em suas placas e a energia confinada no campo elétrico criado, entre estas placas, e no dielétrico entre elas. O acumulo de cargas ocorre quando é imposta uma tensão nos terminais das placas. Matematicamente, a capacitância pode ser determinada pela relação (4.3): 𝐶= 𝑄 𝑉 (4.3) 39 A unidade de medida é o Farad, em homenagem ao cientista Michael Faraday. Em um capacitor de placas paralelas a capacitância pode ser determinada iniciando-se com a lei de Gauss (4.4): 𝑄 = 𝜖 ∯ 𝐸. 𝑑𝑆 𝑆 (4.4) No capacitor da figura R, adotando uma superfície Gaussiana em uma das placas o vetor campo elétrico se apresenta na mesma direção e sentido do vetor normal a superfície Gaussiana, de modo que o produto escalar entre estes vetores é unitário e o campo elétrico, para este caso, é constante considerando que a tensão é contínua, de modo que a carga elétrica para esta situação pode ser determinada por (4.5): 𝑄 = 𝜖 ∯ 𝐸. cos(0). 𝑑𝑆 = 𝜖𝐸𝑆 𝑆 (4.5) Na lei de Gauss, S representa a área de superfície gaussiana analisada que para este problema, quando resolvida a integral de superfície é igual a área da placa metálica. O campo elétrico relaciona-se com potenciais elétricos, matematicamente, por uma integral de linha como visto na equação (4.6), definido também em (1.4): 𝑉 = − ∫ 𝐸. 𝑑𝑙 𝑙 (4.6) Considerando que na figura R a direção do campo elétrico se encontra no sentido de −𝑗 sentido negativo do eixo y. O sentido preferencial do diferencial de comprimento é oposto ao sentido do campo elétrico entre as placas metálicas e o resultado desta integral deve ser (4.7): 𝑑 𝑉 = − ∫ 𝐸. cos(π) 𝑑𝑙 = 𝐸𝑑 0 (4.7) Substituindo as os resultados das equações (4.5) e (4.7) na equação (4.3) obtém-se a equação da capacitância para um capacitor elementar de placas paralelas (4.8): 𝐶= 𝜖𝑆 𝜖𝐸𝑆 = 𝑑 𝐸𝑑 (4.8) 40 De acordo com (4.8) a equação da capacitância do capacitor de placas paralelas depende diretamente do meio entre as placas ou o dielétrico 𝝐, que pode ser substituído na equação pelo produto da permissividade relativa e a permissividade elétrica do vácuo 𝝐 = 𝝐𝟎 𝝐𝒓 ; depende da área das placas S e da distância entre estas placas d. A capacitância dos capacitores utilizados nos circuitos elétricos tem ordens de grandezas muito pequenas na faixa de microFarad (µF) ou picoFarad (pF), pois as constantes dielétricas do isolante utilizado apresentam permissividades muito baixas. Capacitâncias muito grandes como, por exemplo, 1 Farad, requerem dimensões muito grandes e inviáveis. Porém, capacitores nestas ordens de grandeza podem armazenar boas quantidades de energia. Os capacitores podem apresentar valores fixos ou variáveis assim como os resistores. Os capacitores fixos, em sua construção, mantêm seus parâmetros fixos durante sua aplicação. Já os capacitores variáveis podem apresentar mudança na capacitância com mudança dos parâmetros, principalmente, a área das placas e a separação entre elas, muito utilizados na sintonia na recepção de frequências de rádio. Os símbolos para os capacitores fixos e variáveis é mostrado nas figuras 20(a) e 20(b). Figura 20: Simbologias elétricas de capacitor fixo (a) e variável (b) Fonte: Sadiku (2013) A equação (4.3) mostra a relação direta entre carga e tensão, a capacitância é uma constante de proporcionalidade entre estas grandezas. Isolando a carga elétrica na equação e derivando os dois lados da equação tem-se (4.9): 𝑑𝑞 = 𝐶 𝑑𝑉 (4.9) A carga elétrica se relaciona diretamente com a corrente elétrica como exemplifica a equação (1.2). O elemento infinitesimal de carga elétrica, dq = i dt pode ser determinado como o elemento de carga que é acumulada em uma das placas do capacitor, por meio da corrente elétrica promovida pelo circuito elétrico onde o capacitor está inserido. Com 41 isso, substituindo a equação (1.5) em (4.9) obtém-se a equação da corrente elétrica no capacitor (4.10): 𝑖𝑑𝑡 = 𝐶𝑑𝑉 = 𝑖𝑐 = 𝐶 𝑑𝑉 𝑑𝑡 (4.10) A equação (4.10) para a corrente do capacitor pode-se observar que dependerá da derivada da função de tensão aplicada nos terminais do capacitor. Para se determinar a tensão no capacitor deve-se rearranjar a equação (4.10) isolando o diferencial de tensão e aplicando a integração nos dois lados da equação (4.11): 𝑖𝑐 𝑑𝑡 1 𝑡 𝑑𝑉 = = 𝑉𝐶 = ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡 𝐶 𝐶 −∞ (4.11) O índice inferior de integração é definido como -∞ denota o comportamento do capacitor em “repouso”, antes do processo de carregamento ou descarregamento do capacitor. Esta equação pode ser estendida com a definição de integração imprópria (4.12): 𝑉𝑐 = 𝑡 𝑡0 1 ( lim ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡 + ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡) 𝐶 𝑡𝑎→−∞ 𝑡𝑎 𝑡0 (4.12) Na primeira parcela da equação (4.12), ta é o limite de integração antes do processo de carregamento ou descarregamento do capacitor, ou seja, é o instante antes de seu funcionamento no circuito; t0 é o instante inicial de funcionamento do capacitor e t é o instante final do funcionamento do capacitor. De acordo com a definição de integração imprópria, a integral é convergente se o limite aplicado na integral existe e for finito. Considerando que o capacitor é limitado por sua capacitância a quantidade de carga elétrica armazenada também é limitada, dessa forma o limite da integral imprópria existe tornando-a convergente e o resultado para a tensão no capacitor será (4.13): 𝑉𝑐 = 𝑡 1 1 𝑡 [𝑄(𝑡0 ) + ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡] = 𝑉(𝑡0 ) + ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡 𝐶 𝐶 𝑡0 𝑡0 (4.13) Analisando (4.13), a tensão no capacitor é a soma da tensão no instante inicial, quando o capacitor é alimentado e a parcela de tensão durante o funcionamento do capacitor. 42 Em termos de potência elétrica no capacitor esta pode ser determinada pelo produto da tensão pela corrente no capacitor (4.14): 𝑃𝑐 = 𝑉𝑐 𝑖𝑐 = 𝐶𝑉𝑐 𝑑𝑉𝑐 𝑑𝑡 (4.14) A energia acumulada é calculada a partir da potência elétrica presente no capacitor. A equação (1.3) expressa que a potência é a taxa temporal de trabalho realizado pelas cargas elétricas ou de energia que estas cargas transportam. Esta energia acumulada é determinada de acordo com o resultado (4.15): 𝑡 𝑡 𝑡 𝑑𝑉𝑐 𝑈𝑐 = ∫ 𝑃𝑐 𝑑𝑡 = 𝐶 ∫ 𝑉𝑐 𝑑𝑡 = 𝐶 ∫ 𝑉𝑐 𝑑𝑉𝑐 = 𝑑𝑡 −∞ −∞ −∞ 𝑡0 𝑡 𝑈𝑐 = 𝐶 ( lim ∫ 𝑉𝑐 𝑑𝑉𝑐 + ∫ 𝑉𝑐 𝑑𝑉𝑐 ) 𝑡𝑎 →−∞ 𝑡 𝑎 𝑡0 (4.15) (4.15) Novamente, tem-se uma integral imprópria para ser resolvida. Seguindo o mesmo raciocínio para a equação da tensão, o capacitor é limitado por sua capacitância e a quantidade de energia acumulada também e limitada e apresenta um valor quando o limite é aplicado apresentando uma integral convergente tornando esta parcela como uma energia acumulada antes do processo de armazenamento, porém no instante inicial o capacitor pode se apresentar descarregado, ou seja, a tensão é nula e, logicamente, a energia acumulada também é zero, assim a integral converge para zero sendo necessário resolver somente a integral definida referente a segunda parcela da equação com o intervalo de 0, no instante inicial de carregamento até V a tensão final de carregamento no instante t, então (4.16): 𝑉 𝐶𝑉 2 (𝐽) 𝑈𝑐 = 𝐶 ∫ 𝑉𝑐 𝑑𝑉𝑐 = 2 0 (4.16) Tomando a equação (4.3) e substituindo na equação (4.16) a expressão da energia acumulada, em Joule, é expressa por (4.17): 𝑄2 (𝐽) 𝑈𝑐 = 2𝐶 (4.17) 43 4.1.1. Associação de Capacitores Assim como os resistores, os capacitores também podem ser associados, de modo a alcançar uma capacitância equivalente para a representação de circuitos mais complexos. Os capacitores podem ser associados em série, em paralelo ou por associação mista (junção das associações série e paralelo). Os capacitores associados em série as tensões, assim como os resistores, são divididas, proporcionalmente, porém desta forma proporcional à capacitância. Considerando um circuito com três capacitores em série, como visto na figura 21. Figura 21: Circuito série com três capacitores Fonte: Autoria Própria De acordo com a Lei de Kirchoff das Tensões (LKT), a soma das tensões de uma malha ou circuito deve ser zero, fazendo com que a equação de malha se comporte da seguinte forma (4.18): 𝑣𝑠 − 𝑣1 − 𝑣2 − 𝑣3 = 0 𝑣𝑠 = 𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3 (4.18) (4.18) A corrente na malha é a mesma em cada capacitor, então is = ic = i1= i2 = i3. Aplicando o resultado para a tensão da equação (4.13) na equação (4.18) e a condição de corrente elétrica (4.19): 𝑣𝑠 = 𝑣1 (𝑡0 ) + 1 𝑡 1 𝑡 1 𝑡 ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡 +𝑣2 (𝑡0 ) + ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡 + 𝑣3 (𝑡0 ) + ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡 𝐶1 𝑡0 𝐶2 𝑡0 𝐶3 𝑡0 𝑡 1 1 1 𝑣𝑠 = 𝑣1 (𝑡0 ) + 𝑣2 (𝑡0 ) + 𝑣3 (𝑡0 ) + ( + + ) ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝑡0 (4.19) (4.19) 44 𝑡 1 𝑡 1 1 1 ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡 + 𝑣(𝑡0 ) = 𝑣1 (𝑡0 ) + 𝑣2 (𝑡0 ) + 𝑣3 (𝑡0 ) + ( + + ) ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡 (4.19) 𝐶𝑒𝑞 𝑡0 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝑡0 Observando a igualdade (4.19), as parcelas referentes as tensões iniciais e as tensões em cada capacitor, representadas pelas integrais temporais, se anula como isso resulta-se em (4.20) e (4.21): 1 1 1 1 = + + 𝐶𝑒𝑞 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝑣(𝑡0 ) = 𝑣1 (𝑡0 ) + 𝑣2 (𝑡0 ) + 𝑣3 (𝑡0 ) (4.20) (4.21) Para fins de capacitância equivalente série a equação (4.20) é utilizada. Este resultado da (4.20) pode ser estendido para n capacitores em série, ou seja, o inverso da capacitância equivalente para N capacitores em série será a soma dos inversos dos n capacitores (4.22). 1 1 1 1 1 = + + +⋯ + 𝐶𝑛 𝐶𝑒𝑞 𝐶1 𝐶2 𝐶3 (4.22) O resultado (4.21) remete as tensões no instante inicial de carregamento ou descarregamento do capacitor equivalente. Um caso particular é a associação série de dois capacitores, a equação (4.20) pode ser reduzida para (4.23): 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 . 𝐶2 𝐶1 + 𝐶2 (4.23) Em associação em paralelo, como é visto na figura 22, as tensões são iguais, vs = vc = v1= v2 = v3 e as correntes ou as cargas elétricas são divididas, proporcionalmente, a capacitância do capacitor do circuito. Figura 22: Circuito paralelo com três capacitores Fonte: Autoria Própria 45 Utilizando a Lei de Kirchoff das Correntes (LKC), a soma das correntes em um nó é igual a zero. Desta forma, a equação para o nó, em um circuito em paralelo com 3 capacitores a equação nodal será (4.24): 𝑖𝑠 − 𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 𝑖𝑠 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 (4.24) (4.24) Considerando o resultado (4.10), e aplicando na equação (4.24) obtém-se (4.25): 𝑖𝑠 = 𝐶1 𝐶𝑒𝑞 𝑑𝑣𝑐 𝑑𝑣𝑐 𝑑𝑣𝑐 + 𝐶2 + 𝐶3 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝑐 𝑑𝑣𝑐 𝑑𝑣𝑐 𝑑𝑣𝑐 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶𝑒𝑞 𝑑𝑣𝑐 𝑑𝑉 = (𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 ) ( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (4.25) (4.25) (4.25) Dividindo ambos os lados da equação (4.24) pela derivada da tensão no tempo (4.26): 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 (4.26) De acordo com a equação (4.25), a capacitância equivalente para capacitâncias em paralelo devemos somar, algebricamente, as capacitâncias do circuito. Este resultado pode ser estendido para n capacitores, da forma que a capacitância equivalente para n capacitores seria a soma das n capacitâncias em paralelo (4.27). 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + ⋯ + 𝐶𝑛 (4.27) A associação mista de capacitores é a junção das associações série e paralelo em um mesmo circuito. Assim, a análise é realizada região a região do circuito aplicando as definições dos circuitos série e paralelo, individualmente, em cada região analisada. 4.2. Indutores Os indutores são elementos passivos que armazenam energia em seu campo magnético. Este componente, geralmente, é constituído de um fio condutor enrolado em espiral e na parte interna desta espiral está presente um material ferromagnético. O campo magnético é um campo vetorial formado por movimento de cargas elétricas. Em um 46 indutor, de acordo com o eletromagnetismo, a corrente elétrica (cargas em movimento) cria um campo magnético perpendicular a seção transversal do condutor. Uma característica interessante dos campos magnéticos, é que se apresentam sempre em dipolos denominados: Norte e Sul. Estes diferem dos campos elétricos, porque o campo magnético é um campo fechado, ou seja, para o movimento de uma corrente elétrica, convencionou-se que as linhas de força, que são as linhas de campo magnético, fluem do polo Norte para o polo Sul como pode ser observado na figura 23. Figura 23: Representação das linhas de campo magnético em um imã Fonte: Halliday e Hesnick (2009) Matematicamente, a força magnética pode ser determinada como as leis de Coulomb e da gravitação de Newton. Considerando dois magnetos cilíndricos cada um com norte ou sul, o polo de um magneto cria um campo que irá exercer uma força no polo do outro magneto: Assim como analogia, às leis de Coulomb e da Gravitação de Newton, a força magnética pode ser determinada (4.28): 𝐹= 1 𝑚1 𝑚2 𝜇𝑐 2 𝑟 2 (4.28) De acordo com (4.26), os magnetos m1 e m2 ou corpos magnéticos com unidade de medida N.m/A, µ é a permeabilidade magnética do meio onde o campo magnético fica confinado, c é a velocidade da luz no vácuo e r é a distância entre os magnetos. Assim, como a permissividade elétrica, a permeabilidade magnética do meio pode ser representada pela relação a permeabilidade relativa e a permeabilidade do meio de referência do vácuo (4.29): 47 𝜇 = 𝜇0 𝜇𝑟 (4.29) O campo magnético criado por corrente elétrica pode ser expresso pelas Leis de BiotSavart e a Circuital de Ampere. A lei de Biot-Savart é determinada como uma lei experimental representada por uma equação diferencial com relação vetorial entre um diferencial de comprimento do fio e a direção do fio até o ponto P de análise como visto na figura 24. Figura 24: Campo magnético criado por um fio condutor percorrido por corrente elétrica Fonte: Halliday e Hesnick (2009) O campo magnético é perpendicular ao sentido da densidade de corrente elétrica presente no fio como visto na figura 24. Na disposição da figura acima, a densidade de campo magnético no ponto P pode ser calculado por (4.30): 𝑑𝐵 = 𝜇 𝑖 𝑑𝑙 𝑥 𝑟̂ 4𝜋 𝑟 2 (4.30) Como visto em (4.28), o diferencial de campo magnético é criado por corrente elétrica que transita em um diferencial de comprimento. A intensidade deste campo é dependente da distância do fio até o ponto P e do meio magnético onde o fio está presente. O produto vetorial representa a perpendicularidade do campo magnético com relação fio condutor. A lei circuital de Ampére é muito utilizada em distribuições com simetria para determinar o campo magnético ou a densidade de campo magnético do sistema. Esta lei leva em consideração uma linha fechada chamada Amperiana. A amperiana deverá envolver os condutores percorridos por corrente, o diferencial de comprimento é tangente 48 a linha fechada e defasada com um ângulo com relação ao vetor densidade de campo magnético como é mostrado na figura 25. Figura 25: Analise do campo magnético pela lei de Ampere Fonte: Halliday e Hesnick (2009) De acordo com a designação da implantação da amperiana, o total de corrente elétrica envolvida por esta linha é igual a integral de linha da densidade de campo magnético com relação ao diferencial de comprimento tangente à amperiana (4.31): 𝑖𝑒𝑛𝑣 = ∮ 𝐵. 𝑑𝑙 𝑙 (4.31) Estas equações são importantes para definir os campos magnéticos e as forças magnéticas presentes em qualquer sistema magnético, em especial deste tópico dos indutores. Em geral, os indutores são representados de modo mais básico por um Solenoide a sua simbologia é vista na figura 26. O solenoide é um dispositivo eletromagnético que apresentam, geralmente, um sólido cilíndrico ou retangular de um material ferromagnético, que é envolvido por um fio condutor em sua superfície de acordo com a figura 26 Figura 26: Corte longitudinal em um solenoide Fonte: Halliday e Hesnick (2009) O conceito de indutância é a capacidade de armazenamento de energia do indutor em seu campo magnético. Esta grandeza pode ser determinada levando em consideração o 49 fluxo magnético do campo, a intensidade da corrente elétrica que circula pelo fio condutor e o número de voltas deste fio sobre a superfície magnética. O fluxo magnético é a quantidade de linhas de força magnética que fluem pelo solido magnético. A indutância é representada, matematicamente, por (4.32): 𝐿=𝑁 Φ 𝑖 (4.32) Onde L é a indutância e sua unidade de medida é o Henry (H) em homenagem ao cientista americano Joseph Henry; Φ é o fluxo magnético que flui pelo corpo magnético em Weber (Wb); N o número de voltas do condutor sobre a superfície do corpo magnético e i é a corrente elétrica que circula pelo fio condutor. Considerando um indutor em forma de solenoide a indutância pode ser calculada. De início de acordo com a equação do fluxo magnético (4.33): Φ = ∯ 𝐵. 𝑑𝑆 𝑆 (4.33) A maior parte do fluxo magnético do solenoide é confinado no volume do núcleo magnético e atravessa a sua seção transversal de área A. Considerando que o fluxo magnético tenha mesma direção e sentido do vetor normal a seção transversal, saindo do polo norte até o polo sul tem-se o seguinte resultado para a integral de superfície (4.33) em (4.34): Φ = ∯ 𝐵 cos(0) 𝑑𝑆 = 𝐵𝐴 𝑆 (4.34) O fluxo magnético, de acordo com (4.32) é limitado pela área do núcleo de material magnético e pela área deste núcleo. Uma das variáveis que deve ser determinada é a intensidade da densidade de fluxo de campo magnético que transita pelo solenoide. Para isso escolhe-se uma região do solenoide fazendo um corte longitudinal nesta região. Neste corte, mostrado na figura 26, é possível observar a disposição dos condutores que estão em volta do núcleo e o sentido das linhas de força magnética presente no núcleo e também a direção e sentido da densidade de corrente circulante no condutor. Neste corte é implantada uma linha fechada, a amperiana, de sentido anti-horário abcda, como denotado na figura 26. Para determinar a densidade de campo magnético em 50 um solenoide é interessante utilizar a Lei Circuital de Ampere para esta região da amperiana. A corrente envolvida por esta amperiana será (4.35): 𝑖𝑒𝑛𝑣 1 1 𝑏 1 𝑐 1 𝑑 1 𝑎 = ∮ 𝐵. 𝑑𝑙 = ∮ 𝐵. 𝑑𝑙 + ∮ 𝐵. 𝑑𝑙 + ∮ 𝐵. 𝑑𝑙 + ∮ 𝐵. 𝑑𝑙 𝜇 𝑙 𝜇 𝑎 𝜇 𝑏 𝜇 𝑐 𝜇 𝑑 (4.35) De acordo com a amperiana apresentado na região do solenoide, o caminho a – b é a única parcela da amperiana que contribui para o valor da integral de linha. As integrais de linha para os caminhos, b – c e d – a são iguais a zero, pois o produto escalar do campo com o diferencial de comprimento é nulo devido a um ângulo de 90° entre os dois. Para o caminho c – d a densidade de campo magnético é nula, de modo que, a integral de linha também é nula. Desta forma, a corrente envolvida pela amperiana é (4.36) e fazendo h = l: 𝑖𝑒𝑛𝑣 1 𝑏 1 1 𝐵𝑙 = ∮ 𝐵. 𝑑𝑙 = ∮ 𝐵 cos(0) 𝑑𝑙 = 𝜇 𝑎 𝜇0 𝜇 𝑙 (4.36) Nesta região do solenoide a corrente envolvida é proporcional ao número de espiras e da corrente elétrica imposta ao solenoide (4.37): 𝑖𝑒𝑛𝑣 = 𝑖𝑛𝑙, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 𝑁 𝑙 (4.37) Onde n é o quantidade de espiras por unidade de comprimento, N é o número de espiras do solenoide e l o comprimento do solenoide. Igualando as correntes elétricas envolvidas (4.36) e (4.37), obtém-se (4.38): 𝑁 1 𝐵𝑙 = 𝑖𝑛𝑙 = 𝐵 = 𝜇0 𝑖𝑛 = 𝜇𝑖 𝑙 𝜇 (4.38) Substituindo a equação (4.38) em (4.34) e (4.32), é obtida a equação da indutância do solenoide em função do número de espiras, do comprimento, da área da seção transversal do núcleo magnético do solenoide e do meio magnético que o campo está confinado (4.39): 𝐿= 𝑁 2 𝜇𝐴 𝑙 (4.39) Assim como os capacitores, os indutores apresentam unidades de grandezas pequenas, geralmente, para circuitos eletrônicos ou em dezenas de henrys para sistemas 51 de potência. Os indutores podem ser fixos ou variáveis, ou seja, o valor da indutância pode ser fixa ou pode mudar de valor com a mudança do número de espiras ou das dimensões do núcleo magnético. A lei de Faraday é enunciada que a taxa de variação de fluxo magnético no tempo cria-se uma força eletromotriz ou tensão induzida, em um condutor, por exemplo. Esta lei é expressa, matematicamente, pela equação (4.40), aplicando a um indutor: 𝑑Φ 𝑑𝑡 (4.40) 𝑑Φ 𝐿 𝑑𝑖 = 𝑁 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (4.41) 𝑣𝐿 = −𝑁 Isolando o fluxo magnético em (4.30) e derivando o resultado no tempo (4.41) Substituindo (4.41) em (4.40), e considerando, para simplificação, o módulo da tensão induzida tem-se (4.42): 𝑣𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 (4.42) A equação (4.42 é a relação tensão corrente do indutor. Rearranjando (4.42) pode-se determinar a corrente elétrica do indutor (4.43): 𝑡 1 1 𝑣𝐿 𝑑𝑡 𝑖𝐿 = 𝑣𝐿 𝑑𝑡 = ∫ 𝐿 −∞ 𝐿 (4.43) Assim como para o capacitor, o índice inferior de integração é definido como -∞ denota o comportamento do indutor em “repouso”, antes do processo de carregamento ou descarregamento do indutor. Esta equação pode ser estendida com a definição de integração imprópria (4.44): 𝑡 𝑡0 1 𝑖𝐿 = ( lim ∫ 𝑣𝐿 𝑑𝑡 + ∫ 𝑣𝐿 𝑑𝑡) 𝐿 𝑡𝑎→−∞ 𝑡𝑎 𝑡0 (4.44) Na primeira parcela da equação (4.41), ta é o limite de integração antes do processo de carregamento ou descarregamento do indutor; t0 é o instante inicial de funcionamento do indutor e t é o instante final do funcionamento do indutor. 52 De acordo com a definição de integração imprópria, a integral é convergente se o limite aplicado na integral existe e for finito. Considerando que o indutor é limitado por sua indutância a quantidade de energia magnética armazenada também é limitada, dessa forma o limite da integral impropria existe tornando-a convergente e o resultado para a corrente no indutor será (4.45): 𝑡 1 1 𝑡 𝑖𝐿 = [𝑁Φ(𝑡0 ) + ∫ 𝑣𝐿 𝑑𝑡] = 𝑖𝐿 (𝑡0 ) + ∫ 𝑣𝐿 𝑑𝑡 𝐿 𝐿 𝑡0 𝑡0 (4.45) Analisando (4.42), a corrente no indutor é a soma da corrente no instante inicial quando o indutor é alimentado e a parcela de corrente durante o processo de carregamento ou descarregamento do mesmo. Em termos de potência elétrica no indutor esta pode ser determinada pelo produto da tensão pela corrente no indutor (4.46): 𝑃𝐿 = 𝑣𝐿 𝑖𝐿 = 𝐿𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡 (4.46) A energia acumulada é calculada a partir da potência elétrica presente no capacitor. A equação (1.3) expressa que a potência é a taxa temporal de trabalho realizado pelas cargas elétricas ou de energia que estas cargas transportam. Esta energia acumulada é determinada de acordo com o resultado (4.47): 𝑡 𝑡 𝑡 𝑑𝑖𝐿 𝑈𝐿 = ∫ 𝑃𝐿 𝑑𝑡 = 𝐿 ∫ 𝑖𝐿 𝑑𝑡 = 𝐿 ∫ 𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡 −∞ −∞ −∞ 𝑡0 𝑡 𝑈𝐿 = 𝐿 ( lim ∫ 𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 + ∫ 𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 ) 𝑡𝑎 →−∞ 𝑡 𝑎 𝑡0 (4.47) (4.47) Novamente, existe uma integral imprópria para ser resolvida. Utilizando o mesmo raciocínio para a equação da corrente, o indutor é limitado por sua indutância e a quantidade de energia acumulada também é limitada e apresenta um valor quando o limite é aplicado. Desta forma, a integral impropria em (4.47) é convergente tornando esta parcela como uma energia acumulada antes do início do funcionamento do indutor. Considerando o processo de carregamento, no instante inicial o indutor se apresenta descarregado, ou seja, a corrente é nula e, logicamente, a energia acumulada também é zero, assim a integral imprópria converge para zero sendo necessário resolver somente a 53 integral definida referente a segunda parcela da equação com o intervalo de 0, no instante inicial de carregamento até i a corrente final de carregamento no instante t, então (4.48): 𝑖 𝑈𝐿 = 𝐿 ∫ 𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 = 0 𝐿𝑖 2 (𝐽) 2 (4.48) No início do processo de carregamento, em circuitos em corrente contínua, o indutor se comporta como um circuito aberto, pois no início do processo de carregamento a corrente elétrica é nula, e quando está carregado a corrente elétrica chega-se um valor máximo podendo ser visto como um curto-circuito onde a corrente e igual a corrente máxima no indutor. 4.2.1. Associação de Indutores Assim como os resistores e os capacitores, os indutores também podem ser associados, de modo a alcançar um valor de indutância equivalente para a representação de circuitos indutivos mais complexos. Os indutores também podem ser associados em série, em paralelo ou por associação mista. Os indutores associados em série as tensões, assim como os resistores, são divididas, proporcionalmente, porém desta forma proporcional à indutância. Considerando um circuito com três indutores em série, como visto na figura 27. Figura 27: Circuito série com três indutores Fonte: Autoria Própria De acordo com a Lei de Kirchoff das Tensões (LKT), a soma das tensões de uma malha ou circuito deve ser zero, fazendo com que a equação de malha se comporte da seguinte forma (4.49): 𝑣𝑠 − 𝑣1 − 𝑣2 − 𝑣3 = 0 (4.49) 54 𝑣𝑠 = 𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3 (4.49) A corrente na malha é a mesma em cada capacitor, então is = iL = i1= i2 = i3. Aplicando o resultado para a tensão da equação (4.42) na equação (4.49) e a condição de corrente elétrica (4.50): 𝑣𝑠 = 𝐿1 𝐿𝑒𝑞 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 + 𝐿2 + 𝐿3 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐿𝑒𝑞 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 = (𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 ) ( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (4.50) (4.50) (4.50) Dividindo ambos os lados da equação (4.50) pela derivada da corrente no tempo (4.51): 𝐿𝑒𝑞 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 (4.51) De acordo com a equação (4.48), a indutância equivalente para circuito em série devemos somar, algebricamente, as indutâncias do circuito. Este resultado pode ser estendido para n indutores, da forma que a indutância equivalente para n capacitores seria a soma das n capacitâncias em série (4.52). 𝐿𝑒𝑞 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + ⋯ + 𝐿𝑛 (4.52) Para a análise de indutância equivalente de indutores associados em paralelo podese considerar o circuito em paralelo com 3 indutores, na figura 28. Figura 28: Circuito paralelo com três indutores Fonte: Autoria Própria 55 Utilizando a Lei de Kirchoff das Correntes (LKC), a soma das correntes em um nó é igual a zero. Desta forma, a equação para o nó, em um circuito em paralelo com 3 capacitores a equação nodal será (4.53): 𝑖𝑠 − 𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 𝑖𝑠 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 (4.53) (4.53) A tensão nos ramos em paralelo é a mesma em cada indutor, então vs =vL = v1= v2 = v3. Aplicando o resultado para a tensão da equação (4.45) na equação (4.53) e a condição de corrente elétrica (4.54): 𝑖𝑠 = 𝑖1 (𝑡0 ) + 1 𝑡 1 𝑡 1 𝑡 ∫ 𝑣𝐿 𝑑𝑡 +𝑖2 (𝑡0 ) + ∫ 𝑣𝐿 𝑑𝑡 + 𝑖3 (𝑡0 ) + ∫ 𝑣𝐿 𝑑𝑡 𝐿2 𝑡0 𝐿3 𝑡0 𝐿1 𝑡0 𝑡 1 1 1 𝑖𝑠 = 𝑖1 (𝑡0 ) + 𝑖2 (𝑡0 ) + 𝑖3 (𝑡0 ) + ( + + ) ∫ 𝑣𝐿 𝑑𝑡 𝐿1 𝐿2 𝐿3 𝑡0 (4.54) (4.54) 𝑡 1 𝑡 1 1 1 ∫ 𝑣𝐿 𝑑𝑡 + 𝑖(𝑡0 ) = 𝑖1 (𝑡0 ) + 𝑖2 (𝑡0 ) + 𝑖3 (𝑡0 ) + ( + + ) ∫ 𝑣𝐿 𝑑𝑡 (4.54) 𝐿𝑒𝑞 𝑡0 𝐿1 𝐿2 𝐿3 𝑡0 Observando a igualdade (4.54), as parcelas referentes as correntes iniciais e as correntes em cada indutor, representadas pelas integrais temporais, se anulam, e são determinados os resultados (4.55) e (4.56): 1 1 1 1 = + + 𝐿𝑒𝑞 𝐿1 𝐿2 𝐿3 𝑖(𝑡0 ) = 𝑖1 (𝑡0 ) + 𝑖2 (𝑡0 ) + 𝑖3 (𝑡0 ) (4.55) (4.56) Para indutância equivalente em paralelo a equação (4.55) é utilizada. Este resultado da (4.55) pode ser estendido para n capacitores em paralelo, ou seja, o inverso da indutância equivalente para n indutores em paralelo será a soma dos inversos dos n indutores (4.57). O resultado (4.56) remete as correntes no instante inicial de carregamento ou descarregamento do indutor equivalente. 1 1 1 1 1 = + + +⋯+ 𝐿𝑒𝑞 𝐿1 𝐿2 𝐿3 𝐿𝑛 (4.57) 56 Um caso particular é a associação paralela de dois indutores, a equação (4.57) pode ser reduzida para (4.58): 𝐿𝑒𝑞 = 𝐿1 . 𝐿2 𝐿1 + 𝐿2 (4.58) A associação mista de indutores é a junção das associações série e paralelo em um mesmo circuito. Assim, a análise é realizada região a região do circuito aplicando as definições dos circuitos série e paralelo, individualmente, em cada região analisada. Capítulo 5: Circuitos de Primeira Ordem Após a análise dos circuitos passivos (resistores, capacitores e indutores) é possível analisar os circuitos que existam combinações entre esses componentes, os circuitos Resistor-Capacitor (RC) e Resistor-Indutor (RL). São circuitos simples, mas são muito encontrados em sistemas eletrônicos, de comunicações e de controle. Estes circuitos são representados por equações diferenciais de primeira ordem, com isso são conhecidos como circuitos de primeira ordem. As análises destes circuitos serão realizadas com a utilização das leis de Kirchoff que dará a possibilidade do conhecimento das equações diferenciais de primeira ordem. As soluções destes circuitos serão obtidas por técnicas de resoluções de EDO de primeira ordem. Além dos circuitos RC e RL existem formas de excitação destes circuitos. Uma primeira forma é a excitação pelas condições iniciais dos elementos armazenadores de energia. Estes circuitos são denominados Circuitos Sem Fonte, levando em conta energia inicial acumulada no indutor ou capacitor. Esta energia armazenada é transferida por uma corrente elétrica e dissipada no resistor ou conjunto de resistores presentes no circuito, de forma gradual. Estes circuitos sem fonte são livres de fontes independentes, mas podem possuir fontes dependentes. Uma segunda forma é utilizando fontes de energia independente. Neste capítulo serão analisados os circuitos alimentados por fontes CC. 5.1. Circuitos de Primeira Ordem RC sem Fonte Os circuitos RC sem fonte são circuitos constituídos por resistor(es) e capacitor(es), desconectada de fontes independentes, e que a energia acumulada pelo(s) capacitor(es) é liberada ao(s) resistor(es) como visto na figura 29. 57 Figura 29: Circuito RC sem fonte Fonte: Sadiku (2013) Considerando o circuito da figura 29, o capacitor está, previamente, carregado. O resistor e o capacitor podem ser encarados também como elementos de circuitos equivalentes. Com este circuito, o objetivo é determinar a resposta temporal do circuito RC. A grandeza a ser analisada será a tensão V(t). O capacitor, inicialmente, carregado pode ser visto como uma fonte de tensão, então no instante t = 0 (5.1): 𝑣(0) = 𝑉0 A energia armazenada em t = 0 (5.2): 𝑊(0) = 1 2 𝐶𝑉 2 0 (5.1) (5.2) Durante o processo de descarregamento, a taxa quantidade de energia no capacitor vai diminuído com o tempo sendo dissipada no resistor na forma de calor, desse modo a taxa de tensão no tempo tem variação negativa, ou seja, ic = -Cdv/dt apresentando uma corrente negativa e que, em módulo se reduz tendendo a zero o que justifica o sentido oposto da corrente elétrica ic da figura 29. Aplicando LKT no circuito da figura 29: 𝑣𝑐 − 𝑣𝑅 = 0 (5.3) 𝑣𝑐 − 𝑅𝑖𝑐 = 0 (5.3) 𝑑𝑣 + 𝑣𝑐 = 0 𝑑𝑡 (5.3) Utilizando o resultado (4.10) para a corrente elétrica do capacitor pode-se ter (5.4) e fazendo vc = v: 𝐶𝑅 𝑑𝑣 𝑣 + =0 𝑑𝑡 𝑅𝐶 (5.4) 58 A equação (5.5) é uma equação diferencial de primeira ordem. A solução desta equação diferencial é simples utilizando a técnica de resolução de equações diferenciais ordinárias por variáveis separáveis (5.5) 1 𝑑𝑣 =− 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑣 Integrando ambos os lados da equação diferencial (5.6): ∫ 𝑣(𝑡) 0 𝑡 𝑑𝑣 1 1 𝑑𝑡 = ln[𝑣(𝑡)] − ln[𝑣(0)] = − 𝑡 =∫ − 𝑣 𝑅𝐶 𝑅𝐶 0 ln[𝑣(𝑡)] − ln[𝑉0 ] = ln [ 𝑣(𝑡) 1 ]=− 𝑡 𝑉0 𝑅𝐶 (5.5) (5.6) (5.6) Elevando ambos os lados da equação (5.6) ao expoente da base do logaritmo natural (5.7): 𝑒 ln[ 𝑣(𝑡) ] 𝑉0 1 1 = 𝑒 −𝑅𝐶𝑡 = 𝑣(𝑡) = 𝑉0 𝑒 −𝑅𝐶𝑡 (5.7) A equação (5.7) representa a resposta temporal da tensão em um circuito RC a partir de uma tensão inicial de carregamento. Esta resposta se deve a uma característica de carregamento sem a presença de uma fonte externa independente. Esta resposta é denominada Resposta Natural do circuito. Ainda de acordo com (5.7) a curva característica é uma curva exponencial decrescente, ou seja, a tensão do circuito diminui a medida que t aumenta chegando a zero quando t tem um valor muito grande. A curva da resposta natural pode ser observada na figura 30. Figura 30: Resposta natural do capacitor com relação a tensão Fonte: Sadiku (2013) 59 A velocidade com que ocorre o decaimento da tensão é designada por uma constante de tempo. A constante de tempo, para um circuito de primeira ordem, é o tempo necessário para que a resposta do circuito caia em uma proporção de 1/e ou 0,368 (36,8%) do valor inicial. Esta taxa de decaimento pode ser determinada derivando-se a equação (5.7) em relação a t, em t = 0 da seguinte maneira (5.8): 𝑑 𝑣(𝑡) 1 −1𝑡 ( )=− 𝑒 𝑅𝐶 𝑑𝑡 𝑉0 𝑅𝐶 (5.8) 𝑑 𝑣(0) 1 ( )=− 𝑑𝑡 𝑉0 𝑅𝐶 (5.8) Fazendo-se uma análise dimensional do resultado (5.8), o produto RC tem unidade de medida de tempo, ou seja, em segundos (s), então pode-se afirmar que RC é uma constante de tempo, visto que, R e C do circuito são valores fixos. A derivada calculada em (5.8) representa reta tangente que toca a curva v(t). Prolongando a reta até interceptar o eixo do tempo, o ponto de intersecção é igual a τ como visto na figura 31. Figura 31: Resposta natural do capacitor com relação a tensão com derivada tocando em t = τ Fonte: Sadiku (2013) Aplicando esta intersecção t = τ na equação da tensão do capacitor, a tensão v(t) é 36,8% da tensão inicial quando τ = RC. Assim pode-se reescrever a equação (5.7) como (5.9) 1 𝑡 𝑣(𝑡) = 𝑉0 𝑒 −𝑅𝐶𝑡 = 𝑉0 𝑒 −𝜏 , 𝜏 = 𝑅𝐶 (5.9) 60 Analisando a constante de tempo, a curva será mais lenta para valores de τ maiores, ou seja, a estabilidade do circuito é mais lenta a depender dos valores de R e C, como visto na figura 32. Estudando-se o gráfico de v(t)¸ observa-se que o decaimento se torna é muito próximo a zero ou em torno de cinco constante de tempo (5τ) sendo um valor de referência para determinar o tempo que o circuito, neste caso, RC apresenta um regime permanente. Figura 32: Respostas naturais com relação a diferentes valores de τ Fonte: Sadiku (2013) Determinada a tensão do circuito RC, pode ser determinada a equação da corrente elétrica. A corrente elétrica do circuito RC sem fonte será a corrente que circula sobre o resistor iR (5.10): 𝑖𝑅 (𝑡) = 𝐶 𝑉0 1 𝑑𝑣 = − 𝑒 −𝜏𝑡 𝑅 𝑑𝑡 A potência dissipada no resistor p(t) pode ser determinada por (5.11): 𝑝(𝑡) = 𝑖𝑅 (𝑡)𝑣(𝑡) = 1 𝑉0 − 1 𝑡 𝑉0 2 − 2 𝑡 𝑉0 2 −2𝑡 𝑒 𝑅𝐶 𝑉0 𝑒 −𝑅𝐶𝑡 = 𝑒 𝑅𝐶 = 𝑒 𝜏 𝑅 𝑅 𝑅 (5.10) (5.11) Para determinar a energia absorvida pelo resistor, aplicando a equação (1.3), obtémse (5.12), fazendo t = u: 𝑉0 2 −2𝑢 𝑒 𝜏 𝑑𝑢 = 𝑊𝑅 (𝑡) − 𝑊𝑅 (0) 𝑑𝑈𝑅 = 𝑝(𝑡) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑈𝑅 = ∫ 0 𝑅 0 𝑡 𝑈𝑅 (𝑡) − 𝑈𝑅 (0) = 𝑡 2 𝜏 𝑉0 2 𝑉0 2 𝜏 −2𝑡 (− ) (𝑒 −𝜏 𝑡 − 1) = − (𝑒 𝜏 − 1) 2 𝑅 2𝑅 𝑈𝑅 (𝑡) − 𝑈𝑅 (0) = 2 1 2 𝐶𝑉0 (1 − 𝑒 −𝜏 𝑡 ) 2 (5.12) (5.12) (5.12) 61 Como em t = 0, o resistor não está consumindo energia então a equação (5.12) será (5.13): 𝑈𝑅 (𝑡) = 2 1 2 𝐶𝑉0 (1 − 𝑒 −𝜏 𝑡 ) 2 (5.13) Quando t tende a um valor muito grande, a potência dissipada no resistor se aproximará do valor da energia armazenada no capacitor em t = 0 em (5.2). 5.2. Circuitos de Primeira Ordem RL sem Fonte Considerando agora um circuito com resistor(es) e indutor(es), como mostrado na figura 33. Neste circuito a variável de análise é a corrente elétrica i(t). Em t = 0, supõese que o indutor está, previamente, carregado e que a corrente inicial pode ser representada por (5.14): Figura 33: Circuito RL sem fonte Fonte: Sadiku (2013) 𝑖(0) = 𝑖0 (5.14) 1 𝑊(0) = 𝐿𝑖02 2 (5.15) A energia armazenada no indutor, em t = 0 (5.15): O circuito representativo da figura 33 mostra que a tensão do indutor é invertida, e pode ser entendida devido a indução que ocorre no indutor e que pela lei de Lenz, adquire polaridade invertida, mas um ponto a se destacar é que no processo de descarregamento a corrente no indutor tende a diminuir bem como a energia armazenada é dissipada no resistor na forma de calor, desta forma a taxa de corrente no tempo é negativa, ou seja, vL 62 = -Ldi/dt, ou seja, a tensão tende a ser negativa, mas em módulo tende a zero também sendo reduzida. Aplicando LKT, para o circuito da figura 33 (5.16): (5.16) −𝑣𝐿 − 𝑣𝑅 = 0 𝑣𝐿 + 𝑣𝑅 = 0 (5.16) Utilizando o resultado (4.39) para a corrente elétrica do indutor e a lei de Ohm (2.3) pode-se ter (5.17): 𝐿 𝑑𝑖 𝑅 𝑑𝑖 + 𝑖𝑅 = + 𝑖=0 𝑑𝑡 𝐿 𝑑𝑡 (5.17) Rearranjando a equação e aplicando o método de resolução de equações diferenciais por variáveis separáveis e resolvendo a equação diferencial (5.18): 𝑡 𝑅 𝑑𝑖 𝑅 ∫ = ∫ − 𝑑𝑡 = ln[𝑖(𝑡)] − ln[𝑖(0)] = − 𝑡 𝐿 𝐿 0 0 𝑖 𝑡 𝑖(𝑡) 𝑅 ln[𝑖(𝑡)] − ln[𝑖0 ] = ln [ ]=− 𝑡 𝑖0 𝐿 (5.18) (5.18) Elevando ambos os lados da equação (5.18) ao expoente da base do logaritmo natural (5.19): 𝑒 ln[ 𝑖(𝑡) ] 𝑖0 𝑅 𝑅 = 𝑒 − 𝐿 𝑡 = 𝑖(𝑡) = 𝑖0 𝑒 − 𝐿 𝑡 (5.19) A resposta natural do circuito RL tem uma característica exponencial decrescente do valor da corrente inicial. A velocidade do decréscimo dependerá da constante de tempo que para o circuito RL é a razão entre a resistência e a indutância do circuito. Utilizando o mesmo raciocínio para o circuito RC em relação a derivada da função da corrente (5.20): 𝑑 𝑖(𝑡) 𝑅 𝑅 ( ) = − 𝑒−𝐿 𝑡 𝑑𝑡 𝑖0 𝐿 𝑅 𝑑 𝑖(0) ( )=− 𝐿 𝑑𝑡 𝑖0 (5.20) (5.20) Fazendo-se uma análise dimensional do resultado (5.18), o inversor do quociente R/L, ou seja, L/R também tem unidade de medida de tempo, em segundos (s), então pode- 63 se afirmar que L/R é uma constante de tempo, visto que, R e L do circuito são valores fixos. A derivada calculada em (5.18) representa reta tangente que toca a curva i(t). Prolongando a reta até interceptar o eixo do tempo, o ponto de intersecção é igual a τ como visto na figura 34. Figura 34: Resposta natural do indutor com relação a tensão com derivada tocando em t = τ Fonte: Sadiku (2013) Aplicando esta intersecção t = τ na equação da corrente do indutor, a corrente i(t) é 36,8% da corrente inicial quando τ = L/R. Assim pode-se reescrever a equação (5.7) como (5.9) 𝑅 𝑡 𝑖(𝑡) = 𝑖0 𝑒 − 𝐿 𝑡 = 𝑖0 𝑒 −𝜏 , 𝜏= 𝐿 𝑅 (5.9) Determinada a corrente do circuito RL, pode ser determinada a equação da tensão. A tensão do circuito RL sem fonte será a tensão sobre os terminais do resistor vR (5.19): 𝑣𝑅 (𝑡) = 𝐿 𝑡 𝑑𝑖 = −𝑖0 𝑅𝑒 −𝜏 𝑑𝑡 A potência dissipada no resistor p(t) pode ser determinada por (5.20): 𝑅 𝑅 2𝑅 2 𝑝(𝑡) = 𝑣𝑅 (𝑡)𝑖(𝑡) = 𝑖0 𝑅𝑒 − 𝐿 𝑡 𝑖0 𝑒 − 𝐿 𝑡 = 𝑖02 𝑅𝑒 − 𝐿 𝑡 = 𝑖02 𝑅𝑒 −𝜏 𝑡 (5.19) (5.20) Para determinar a energia absorvida pelo resistor, aplicando a equação (1.3), obtémse (5.21), fazendo t = u: 64 𝑡 𝑡 2 𝑑𝑈𝑅 = 𝑝(𝑡) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑈𝑅 = ∫ 𝑖02 𝑅𝑒 −𝜏 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑈𝑅 (𝑡) − 𝑈𝑅 (0) 0 𝑈𝑅 (𝑡) − 𝑈𝑅 (0) = 𝑖02 𝑅 (− 0 2 𝑖0 2 𝑅𝜏 −2𝑡 𝜏 − 𝑡 𝜏 − 1) = − ) (𝑒 (𝑒 𝜏 − 1) 2 2 𝑈𝑅 (𝑡) − 𝑈𝑅 (0) = 2 1 2 𝐿𝑖0 (1 − 𝑒 −𝜏 𝑡 ) 2 (5.21) (5.21) (5.21) Como em t = 0, o resistor não está consumindo energia então a equação (5.11) será: 𝑈𝑅 (𝑡) = 2 1 2 𝐿𝑖0 (1 − 𝑒 −𝜏 𝑡 ) 2 (5.21) Quando t tende a um valor muito grande, a potência dissipada no resistor se aproximará do valor da energia armazenada no capacitor em t = 0 em (5.13). 5.3. Funções de Singularidade As funções de singularidade são funções descontínuas, mas muito úteis para definir as respostas dos circuitos elétricos de primeira ordem, pois são boas aproximações para circuito que ocorre comutação. Por serem funções descontínuas apresentam derivadas descontínuas. As principais funções de singularidade utilizadas em circuitos elétricos são: degrau unitário, impulso unitário e a rampa unitária. O degrau unitário é uma função descontínua que apresenta valor zero para valores menores que zero e valor unitário para qualquer valor maior que zero em termos matemáticos (5.22) e mostrado na figura 35: 0, 𝑢(𝑡) = { 1, 𝑡<0 𝑡>0 (5.22) 65 Figura 35: Gráfico relativo à função degrau unitário Fonte: Sadiku (2013) Analisando a função (5.22), a função não é definida em t = 0 e muda de valor, abruptamente, de 0 para 1. Esta função é uma função adimensional. Se a mudança de valor da função ocorrer em t = t0, de modo que, t0 > 0, a função degrau pode ser reescrita como (5.23): 𝑢(𝑡 − 𝑡0 ) = { 0, 𝑡 < 𝑡0 1, 𝑡 > 𝑡0 (5.23) Avaliando (5.23), ocorre que a função u(t) está atrasada em t0. Isso pode ser exemplificado substituindo t por t – t0 como mostrado na figura 36. Figura 36: Gráfico relativo à função degrau unitário atrasado em t = t0 Fonte: Sadiku (2013) Se a mudança ocorrer, em t = -t0 a função degrau pode ser escrita como (5.24): 𝑢(𝑡 + 𝑡0 ) = { 0, 𝑡 < −𝑡0 1, 𝑡 > −𝑡0 (5.24) Observando a característica de (5.24), ocorre que a função u(t) está adiantada em t 0. Isso pode ser exemplificado substituindo t por t + t0 como mostrado na figura 37. 66 Figura 37: Gráfico relativo à função degrau unitário adiantado em t = -t0 Fonte: Sadiku (2013) A função degrau pode representar uma variação muito rápida de tensão ou de corrente no circuito. As mudanças de intensidade destas grandezas são muito aplicáveis a sistemas de controle e sistemas digitais. Considerando que uma tensão seja aplicada em um determinado tempo t0 (5.25): 𝑣(𝑡) = { 0, 𝑉0 , 𝑡 < 𝑡0 = 𝑉0 𝑢(𝑡 − 𝑡0 ) 𝑡 > 𝑡0 (5.25) Fazendo t0 = 0, a função para a tensão em (5.25) torna-se, simplesmente, um degrau V0u(t). Uma fonte de tensão com ação em degrau pode ser modelada com uma chave que interliga a fonte de tensão a um par de terminais a – b. A princípio a chave provoca um curto-circuito entre os terminais a – b numa posição inicial t < 0 e v(0-) = 0 V. Em t > 0 a chave muda de posição, interligando os terminais a – b são interligados a fonte de tensão v(0+) = V0. Uma fonte de corrente em degrau i0u(t), os terminais a – b estão em aberto e a fonte de corrente é curto-circuitada em t < 0, de modo que, i(0-) = 0 A. Em um determinado momento, a chave interliga a fonte de corrente aos terminais e em t > 0 a corrente passa a ser i0, i(0+) = i0 e a corrente flui pelos terminais a – b. Os modelos são mostrados nas figura 38 e 39. Figura 38: Equivalência de um circuito alimentado por um degrau de tensão Vo Fonte: Sadiku (2013) 67 Figura 39: Equivalência de um circuito alimentado por um degrau de corrente io Fonte: Sadiku (2013) Aplicando a derivada temporal na função degrau u(t) tem-se a função impulso ou função delta, δ(t) e segue a seguinte característica (5.26): 𝛿(𝑡) = 0 , 𝑑 𝑢(𝑡) = {𝐼𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜, 𝑑𝑡 0 , 𝑡<0 𝑡=0 𝑡>0 (5.26) Esta função é utilizada para descrever ações externas de grande amplitude, mas de duração muito pequena, como colisões em sistemas mecânicos que, o contato entre os corpos é de curta duração. Em sistemas elétricos, impulsos de correntes e tensões podem ocorrer de forma muito rápida, apesar de a função delta não ter a condição de ser realizada, fisicamente, esta função é de importância para a modelagem de certos sistemas. A figura 40 mostra o comportamento da função impulso. Figura 40: Gráfico relativo à função impulso Fonte: Sadiku (2013) A função impulso, aplicada a eletricidade, pode ser entendida como um choque elétrico imposto ou resultante, momentaneamente, e estudado como um pulso de área unitária, então em um espaço de tempo muito pequeno (5.27): 0+ ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1 0− (5.27) 68 Os índices 0- e 0+ representam instantes anterior e posterior t = 0 em um espaço de tempo muito pequeno. A área definida pela função impulso é conhecida como, intensidade da função impulso, como mostrado na figura 41. Figura 41: Representações de áreas unitárias para a função impulso. Fonte: Zill (2001) A função delta pode afetar outras funções. Considerando a integral definida (5.28): 𝑏 ∫ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑡0 )𝑑𝑡 𝑎 (5.28) No intervalo da integral definida a < t0 < b. Em qualquer valor diferente de t0 a integrando é igual a zero. Em t0 o integrando não é nulo, desse modo (5.29): 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑡0 )𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡0 )𝛿(𝑡 − 𝑡0 )𝑑𝑡 𝑎 𝑎 (5.29) Pela característica da função delta, de acordo com a equação (5.27), a integral da função é sempre um valor unitário. Substituindo em (5.29), obtém-se a equação (5.30): 𝑏 𝑓(𝑡0 ) ∫ 𝛿(𝑡 − 𝑡0 )𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡0 ) 𝑎 (5.30) Analisando a equação (5.30), a variação temporal do intervalo [a,b] é muito pequena se aproximando de t0. Para um intervalo muito pequeno o valor da integral da função f(t) se aproxima de um valor a função, ou seja, a área se aproxima de um ponto sobre a função em t0, ao ser aplicado, a esta função f(t), um impulso com atraso t0. Portanto, a solução para (5.28) será (5.31): 69 𝑏 ∫ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑡0 )𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡0 ) (5.31) 𝑎 O resultado (5.31) é uma propriedade importante da função impulso conhecida como propriedade de amostragem ou peneiramento. Para t0 = 0, é um caso especial da solução encontrada em (5.31), assim tem-se o seguinte resultado (5.32): 0+ ∫ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(0) (5.32) 0− Tendo ainda como base a função degrau, aplicando a integração em u(t), obtém-se uma nova função de singularidade conhecida como função rampa ou r(t). Com isso aplicando a integração em u(t) (5.33), fazendo t = v: 𝑡 ∫ 𝑢(𝑣)𝑑𝑣 = 𝑟(𝑡) (5.33) −∞ A integral é uma integral dita impropria em -∞ e em 0 e esta pode ser reescrita como (5.34): 𝑟(𝑡) = 𝜀3 𝜀2 𝑡 lim ∫ 𝑢(𝑣)𝑑𝑣 + lim ∫ 𝑢(𝑣)𝑑𝑣 + lim ∫ 𝑢(𝑣)𝑑𝑣 𝜀3 →0 𝜀 2 𝜀1 →−∞ 𝜀 1 𝜀3 →0 𝜀 3 (5.34) = lim [𝜀2 𝑢(𝜀2 ) − 𝜀1 𝑢(𝜀1 )] + lim [𝜀3 𝑢(𝜀3 ) − 𝜀2 𝑢(𝜀2 )] + lim [𝑡𝑢(𝑡) − 𝜀3 𝑢(𝜀3 )] = 𝜀1 →−∞ 𝜀3 →0 𝜀3 →0 𝑟(𝑡) = lim [𝜀2 𝑢(𝜀2 ) − 𝜀1 𝑢(𝜀1 )] − 𝜀2 𝑢(𝜀2 ) + 𝑡𝑢(𝑡) 𝜀1 →−∞ (5.34) De acordo com a função degrau, para t < 0, u(t) = 0, desta forma o limite representando pela primeira parcela existe para valores menores do que zero, assim o limite converge para 0. O índice de integração ε2 está dentro do intervalo aberto (-∞, 0), desta forma esta parcela também será zero. O resultado da integral (5.34) será (5.35): 𝑟(𝑡) = 𝑡𝑢(𝑡) A função rampa pode ser definida como (5.36): 𝑟(𝑡) = { 0, 𝑡 < 0 𝑡, 𝑡 ≥ 0 (5.35) (5.36) 70 Em um limite onde t tende a zero o valor de r(t) também tenderá a zero, esta pode ser uma explicação no que diz respeito a equação (5.36), visto que a função degrau não é definida em zero, pois a mudança de 0 até 1 de u(t) é abrupta. A função rampa é mostrada na figura 42. Figura 42: Gráfico relativo à função rampa Fonte: Sadiku (2013) Em sistemas elétricos reais, essa mudança do degrau não ocorre desta forma, existe uma mudança gradativa nos valores de tensão ou de corrente em um degrau unitário, apresentando valores pequenos mesmo com um intervalo de tempo muito pequena, então o valor de 0 também pode ser definido dentro deste intervalo entre 0 e 1 ou entre zero e um valor máximo, no momento da transição da chave do circuito que representa o degrau. Levando em conta que o tempo t0 seja diferente de zero, a função rampa pode apresentar um atraso ou um adiantamento assim como a função degrau. Assim, substituindo, t por t – t0, para rampa unitária (5.37): 𝑟(𝑡 − 𝑡0 ) = { 0 , 𝑡 − 𝑡0 , 𝑡 < 𝑡0 𝑡 ≥ 𝑡0 (5.37) De acordo com a equação (5.37), a rampa está atrasada em t0 como é representado na figura 43. Figura 43: Gráfico relativo à função rampa atrasada em t = t0 71 Fonte: Sadiku (2013) Agora, substituindo, t por t + t0, para rampa unitária (5.38): 0 , 𝑟(𝑡 − 𝑡0 ) = { 𝑡 + 𝑡0 , 𝑡 < −𝑡0 𝑡 ≥ −𝑡0 Em (5.38), a rampa está adiantada em t0 como é representado na figura 44. (5.38) Figura 44: Gráfico relativo à função rampa atrasada em t = -t0 Fonte: Sadiku (2013) 5.4. Resposta do Circuito RC a uma Entrada em Degrau As funções de singularidade podem ser aplicadas em circuitos elétricos para avaliação do comportamento do circuito a uma aplicação repentina de uma fonte de energia. Será estudada a ação de uma fonte de tensão CC aplicada, abruptamente, em um circuito RC. A mudança pode ser modelada como um degrau aplicado ao circuito RC e qual a resposta deste circuito ao surgimento desta fonte de energia. O circuito RC, como mostrado na figura 45, apresenta uma chave que interliga a fonte de tensão e o resistor ao capacitor. Em um instante t < 0, a chave se apresenta aberta, de modo que a tensão no capacitor é nula, considerando o capacitor com uma tensão inicial V0. 72 Figura 45: Circuito RC com chave aberta em t < 0 Fonte: Sadiku (2013) Em t = 0, a chave é fechada, repentinamente, sendo aplicado o sinal CC ao circuito RC. Nesse instante, a tensão no capacitor, grandeza que está sendo analisada, é a sua tensão inicial V0, pois a tensão não muda, instantaneamente devido a presença do resistor no circuito então (5.39): 𝑣(0− ) = 𝑣(0+ ) = 𝑉0 (5.39) A equação (5.39), denota que devido a mudança rápida da energização do circuito RC, a tensão em um tempo t, maior e muito próximo de zero a tensão do capacitor é, praticamente, o a mesma, relativo a tensão antes do fechamento da chave. Com o fechamento da chave, o circuito se comporta com a aplicação de um degrau, com valor máximo igual a tensão da fonte de tensão aplicada Vsu(t), a figura 46 mostra a modelagem do circuito RC com resposta a um degrau. Figura 46: Circuito RC com aplicação de um degrau em t ≥ 0 Fonte: Sadiku (2013) Fazendo uma inspeção no circuito da figura 46, utilizando LKT, obtém-se (5.40): 𝑉𝑠 𝑢(𝑡) − 𝑣𝑅 − 𝑣𝐶 = 𝑅𝑖 + 𝑣𝐶 = 𝑅𝐶 𝑑𝑣𝑐 + 𝑣𝑐 = 𝑉𝑠 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 (5.40) 73 = 𝑑𝑣𝑐 𝑣𝑐 𝑉𝑠 𝑢(𝑡) + = 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑅𝐶 (5.40) Para t > 0, como o degrau é unitário, u(t) = 1, assim a equação diferencia ordinária (5.40), pode ser escrita como (5.41), fazendo vc = v: 𝑣 𝑉𝑠 𝑑𝑣 + = 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑅𝐶 (5.41) Rearranjando a equação (5.41), implantando o método da separação de variáveis temse (5.42): 𝑑𝑣 𝑣 − 𝑉𝑠 =− 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑣(𝑡) 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑣 =− =∫ =∫ − = = 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝑣 − 𝑉𝑠 𝑣 − 𝑉𝑠 𝑉0 0 = ln(𝑣(𝑡) − 𝑉𝑠 ) − ln(𝑉0 − 𝑉𝑠 ) = ln ( 𝑣(𝑡) − 𝑉𝑠 𝑡 )=− 𝑉0 − 𝑉𝑠 𝑅𝐶 Elevando cada lado da equação (5.42), a base do logaritmo natural (5.43): 𝑒 𝑣(𝑡)−𝑉𝑠 ) ln( 𝑉0 −𝑉𝑠 𝑡 = 𝑒 −𝑅𝐶 = 𝑣(𝑡) − 𝑉𝑠 = 𝑉0 − 𝑉(𝑠) 𝑡 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑠 + (𝑉0 − 𝑉𝑠 )𝑒 −𝑅𝐶 𝑡 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑠 + (𝑉0 − 𝑉𝑠 )𝑒 −𝜏 , , (5.42) (5.42) (5.42) (5.43) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 = 𝑅𝐶 (5.43) (5.43) Este resultado de (5.43) é aplicável para instantes, após o fechamento da chave como visto na figura K12. Com a descoberta da solução da equação diferencial (5.41), a tensão no capacitor pode ser descrita como (5.44): 𝑉0 , 𝑡 𝑣(𝑡) = { 𝑉𝑠 + (𝑉0 − 𝑉𝑠 )𝑒 −𝜏 , 𝑡<0 𝑡>0 (5.44) A equação (5.44) é conhecida como resposta completa de um circuito RC, obtida por aplicação de um degrau de uma fonte CC considerando que o capacitor apresenta uma carga prévia antes da aplicação da fonte de tensão. Avaliando que Vs > V0, a curva da figura 47, que mostra a resposta v(t) para o circuito RC. 74 Figura 47: Curva da resposta da tensão no capacitor a uma entrada em degrau Fonte: Sadiku (2013) Uma observação, a ser realizada, é considerar que o capacitor esta, completamente descarregado. Com isso, V0 = 0, substituindo em (5.44), a solução completa pode ser escrita como (5.45): 𝑉0 𝑣(𝑡) = { 𝑉𝑠 (1 − , 𝑡 𝑒 −𝜏 ) , 𝑡<0 𝑡>0 (5.45) A figura 49, mostra o comportamento do carregamento do capacitor, quando o capacitor, inicialmente, está descarregado. Figura 48: Curva da resposta da tensão no capacitor a uma entrada em degrau quando V0 = 0 Fonte: Sadiku (2013) Com a solução ou resposta completa, é possível determinar a corrente elétrica que circula pelo circuito RC e, consequentemente, pelo capacitor (5.46), derivando (5.44): 75 𝑖(𝑡) = 𝐶 0 , 𝑑𝑣 𝑡 ={ 𝐶 (𝑉 − 𝑉𝑠 )𝑒 −𝜏 , − 𝑑𝑡 𝑅𝐶 0 0 , 𝑑𝑣 𝑡 = { (𝑉0 − 𝑉𝑠 ) − 𝑖(𝑡) = 𝐶 𝑑𝑡 − 𝑒 𝜏, 𝑅 𝑡<0 𝑡>0 𝑡<0 Se o capacitor está descarregado, inicialmente (5.47): 0 , 𝑑𝑣 𝑖(𝑡) = 𝐶 = {𝑉𝑠 −𝑡 𝑒 𝜏, 𝑑𝑡 𝑅 𝑡>0 𝑡<0 𝑡>0 (5.46) (5.46) (5.47) O comportamento da curva da corrente elétrica é decrescente, como pode ser observado na figura 49, diferente da curva da tensão durante o carregamento. Esta característica da corrente, pode ser explicada, pois o capacitor armazena energia devido ao acúmulo de cargas elétricas em suas placas. A medida que a carga elétrica vai sendo acumulada nas placas, o campo elétrico entre estas placas e a diferença de potencial também aumentam até alcançarem o valor máximo limitada pela capacitância. Quando a energia e a tensão alcançam os seus valores máximos, cessa assim o fluxo de carga no circuito elétrico interrompendo a corrente elétrica no circuito. O gráfico da figura 49 mostra que esta queda na corrente ocorre também de forma exponencial chegando muito próximo de zero quando t tende ao infinito ou em 5τ quando os valores de tensão se aproxima do valor máximo e a corrente se aproxima de zero. Figura 49: Curva da resposta da corrente no capacitor a uma entrada em degrau quando V0 = 0 Fonte: Sadiku (2013) 76 Observando a solução da equação diferencial que representa o circuito RC, representado por (5.43), esta solução é dividida em duas componentes (5.48): 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒂 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 𝑵𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍 + 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 𝑭𝒐𝒓ç𝒂𝒅𝒂 𝑣 = 𝑣𝑛 + 𝑣𝑓 Onde (5.49) e (5.50): 𝑡 𝑣𝑛 = 𝑉0 𝑒 −𝜏 (5.48) (5.49) 𝑡 𝑣𝑓 = 𝑉𝑠 (1 − 𝑒 −𝜏 ) (5.50) A resposta natural vn já foi exposta como a resposta do circuito RC sem fonte considerando, que o capacitor estava previamente carregado. Já vf é a resposta do circuito a uma fonte externa aplicada ao circuito. Com o passar do tempo, a resposta natural e a parcela transiente da resposta forçada vão diminuindo, até serem extinguidas, restando somente o valor da fonte de tensão, conhecida como resposta em regime estacionário. A resposta completa é dividir esta resposta em resposta transiente e resposta em regime permanente (5.51): 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒂 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 + 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 𝒆𝒎 𝑹𝒆𝒈𝒊𝒎𝒆 𝑷𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 Onde (5.52) e (5.53): (5.51) 𝑣 = 𝑣𝑡 + 𝑣𝑟𝑚 𝑡 𝑣𝑡 = (𝑉0 − 𝑉𝑠 )𝑒 −𝜏 (5.52) (5.53) 𝑣𝑟𝑚 = 𝑉𝑠 A resposta transiente ou transitória, vt, é uma resposta temporária do circuito que é extinguido com o tempo. A parcela do regime permanente, vrm, permanece após com a extinção da resposta transitória, com a aplicação da fonte externa após t > 5τ ou quanto t tende ao infinito. A resposta completa pode ser escrita como (5.54): 𝑡 𝑣(𝑡) = 𝑣(∞) + (𝑣(0) − 𝑣(∞))𝑒 −𝜏 (5.54) 77 Onde v(∞) é referida a resposta em regime permanente e v(0) é a resposta do circuito no instante, muito próximo, que a chave do circuito RC é fechada em t = 0+ considerando como valor inicial. Se a chave é fechada em t = t0, ocorre um atraso temporal na resposta do circuito RC, como mostrado na equação (5.55) 𝑣(𝑡) = 𝑣(∞) + (𝑣(𝑡0 ) − 𝑣(∞))𝑒 − (𝑡−𝑡0 ) 𝜏 (5.55) Onde v(t0) é a resposta de valor inicial do circuito no instante que a chave é fechada em t = t0+. 5.5. Resposta do Circuito RL a uma Entrada em Degrau As considerações para o circuito RL, é bastante simular ao do circuito RC. O circuito elétrico RL, com uma entrada em degrau é mostrado na figura 50 considerando que a chave foi fechada em t = 0. Figura 50: Circuito RL com aplicação de um degrau em t ≥ 0 Fonte: Sadiku (2013) Para o circuito RL, por comodidade, a grandeza a ser analisada será a corrente do circuito que, por consequência, é a corrente que flui pelo indutor devido a associação série entre o resistor e o indutor. A corrente elétrica no indutor antes da chave ser fechada é considerada igual a corrente elétrica presente no indutor em um instante, muito próximo, de t = 0 (5.56): 𝑖(0− ) = 𝑖(0+ ) = 𝑖0 (5.56) Para o circuito da figura 50, após o uso da técnica de transformação de fontes, podese aplicar LKC para que a equação diferencial que representa a dinâmica do circuito em termos de corrente elétrica no tempo. Com isso aplicando LKT na malha do circuito RL (5.57): 78 𝑉𝑠 𝑢(𝑡) − 𝑣𝑅 − 𝑣𝐿 = 0 = 𝑉𝑠 𝑢(𝑡) − 𝑅𝑖𝐿 − 𝐿 = 𝑑𝑖 𝑉𝑠 𝐿 𝑑𝑖𝐿 = 𝑢(𝑡) = + 𝑖𝐿 𝑑𝑡 𝑅 𝑅 𝑑𝑡 𝑅 𝑑𝑖𝐿 𝑅 + 𝑖𝐿 = 𝐼𝑠 𝑢(𝑡) 𝐿 𝑑𝑡 𝐿 , 𝐼𝑠 = (5.57) 𝑉𝑠 𝑅 (5.57) (5.57) Para t > 0, como o degrau é unitário, u(t) = 1, assim a equação diferencial ordinária (5.57), pode ser escrita como (5.58), fazendo iL = i: 𝑑𝑖 𝑅 𝑅 + 𝑖 = 𝐼𝑠 𝑑𝑡 𝐿 𝐿 (5.58) 𝑖 − 𝐼𝑠 𝑑𝑖 = −𝑅 𝐿 𝑑𝑡 (5.59) Rearranjando a equação (5.58), implantando o método da separação de variáveis temse (5.59): = 𝑖(𝑡) 𝑡 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = −𝑅 = ∫ = ∫ −𝑅 = 𝑖 − 𝐼𝑠 𝐿 𝑖 − 𝐼𝑠 𝐿 𝑖0 0 (5.59) 𝑡 𝑖(𝑡) − 𝐼𝑠 ) = −𝑅 = ln(𝑖(𝑡) − 𝐼𝑠 ) − ln(𝑖0 − 𝐼𝑠 ) = ln ( 𝐿 𝑖0 − 𝐼𝑠 Elevando cada lado da equação (5.59), a base do logaritmo natural (5.60): 𝑒 𝑖(𝑡)−𝐼𝑠 ) ln( 𝑖0 −𝐼𝑠 𝑡 = 𝑒 −𝑅𝐿 = 𝑖(𝑡) − 𝐼𝑠 = 𝑖0 − 𝐼𝑠 𝑡 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑠 + (𝑖0 − 𝐼𝑠 )𝑒 −𝑅𝐿 , 𝑡 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑠 + (𝑖0 − 𝐼𝑠 )𝑒 −𝜏 , (5.59) (5.60) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 = 𝐿 𝑅 (5.60) (5.60) Como foi realizada a transformação de fontes o valor de Is = Vs/R. Então, para uma entrada em degrau, a corrente do indutor será (5.61): 𝑖(𝑡) = { 𝑖0 𝐼𝑠 + (𝑖0 − , 𝑡 𝐼𝑠 )𝑒 −𝜏 , 𝑡<0 𝑡>0 (5.61) 79 A equação (5.61) apresenta a solução ou resposta completa para um circuito RL, com aplicação de uma fonte de corrente CC. Em caso particular, é o caso que o indutor está descarregado e a corrente inicial i0 = 0, então a resposta completa para o circuito RL (5.62): 0 , 𝑡 𝑖(𝑡) = { 𝐼𝑠 (1 − 𝑒 −𝜏 ) , 𝑡<0 𝑡>0 (5.62) A equação (5.62) pode ser representada, graficamente, pela figura 51 e mostra que a corrente aumenta à medida que o tempo passa até alcançar um valor máximo Is. Isso ocorre, pois, as respostas natural e transitória de regime permanente vai se reduzindo até ser alcançado o regime permanente quando t tende ao infinito, mas para praticidade dos estudos, pode-se considerar que o regime permanente é, praticamente, alcançado em 5τ. Figura 51: Curva da resposta da corrente no indutor a uma entrada em degrau quando i0 = 0 Fonte: Sadiku (2013) Desse modo, com a solução de i(t), pode-se determinar a equação para v(t) aplicado nos terminais do indutor. Aplicando a equação (4.39) em (5.61), pode ser obtida a equação da tensão do indutor (5.63): 0 , 𝑑𝑖 𝑡 𝑣(𝑡) = 𝐿 = { 𝐿𝑅 (𝑖 − 𝐼𝑠 )𝑒 −𝜏 , − 𝑑𝑡 𝐿 0 𝑣(𝑡) = 𝐿 0 , 𝑑𝑖 𝑡 ={ 𝑑𝑡 −𝑅(𝑖0 − 𝐼𝑠 )𝑒 −𝜏 , 0 , 𝑑𝑖 𝑡 𝑉𝑠 𝑣(𝑡) = 𝐿 = { −𝑅 (𝑖0 − ) 𝑒 −𝜏 , 𝑑𝑡 𝑅 𝑡<0 𝑡>0 𝑡<0 𝑡>0 𝑡<0 𝑡>0 (5.63) (5.63) (5.63) 80 Considerando que o indutor está descarregado a equação (5.63), pode ser reescrito como (5.64): 𝑣(𝑡) = 𝐿 0 𝑑𝑖 = { −𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝑠 𝑒 𝜏 , , 𝑡<0 𝑡>0 (5.64) A curva da tensão no indutor é representada na figura 52 para o indutor, previamente, descarregado. A tensão no indutor tem comportamento contrário ao comportamento da corrente elétrica no indutor. Essa redução da tensão pode ser explicada que a energia magnética armazenada por meio dos campos magnéticos no núcleo magnético tende a uma estabilidade, ou seja, o fluxo de energia ou o fluxo magnético a medida que a corrente transitória é extinguida e a corrente elétrica se torna constante e não existe variação de fluxo estabilizando em zero. Com isso, pela lei de Faraday se não existe uma variação de fluxo, mesmo que momentânea não existirá tensão induzida levando a tensão no indutor a zero. Figura 52: Curva da resposta da tensão no indutor a uma entrada em degrau quando i0 = 0 Fonte: Sadiku (2013) A equação da corrente elétrica no indutor para t > 0 pode ser representada por (5.64): 𝑡 𝑖(𝑡) = 𝑖(∞) + (𝑖(0) − 𝑖(∞))𝑒 −𝜏 (5.60) Onde i(∞) é referida a resposta em regime permanente e i(0) é a resposta do circuito no instante, muito próximo, que a chave do circuito RL é fechada em t = 0+, considerando como valor inicial. Se a chave é fechada em t = t0, ocorre um atraso temporal na resposta do circuito RC, como mostrado na equação (5.55) 81 𝑖(𝑡) = 𝑖(∞) + (𝑖(𝑡0 ) − 𝑖(∞))𝑒 − (𝑡−𝑡0 ) 𝜏 (5.55) Onde i(t0) é a resposta de valor inicial do circuito no instante que a chave é fechada em t = t0+. Bibliografia ALEXANDER, Charles K; SADIKU, Mattew N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos: 5. Ed. Nova York: The McGraw-Hill Companies, 2013. DORF, Richard C; SVODOBA, James A. Introduction to Electric Circuits. 9th Ed. Jonh Wiley & Sons. USA, 2014. IRWIN, J. David; NELMS, Mark. Basic Engeneering Circuit Analysis: 9th Ed. Jonh Wiley & Sons. USA, 2008. RESNICK, Robert; DAVID, Halliday; WALKER, Jearl. Fundamentos de Fìsica, Volume 3: Eletromagnetismo: 8. Ed. LTC. Rio de Janeiro, 2009; ZILL, Dennis G; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais – Volume 1: 3. Ed. Pearson Makron Books, 2001. 82