Analyzing individual-based models of microbial systems

Analyzing individual-based models of microbial systems Nabil Mabrouk To cite this version: Nabil Mabrouk. Analyzing individual-based models of microbial systems. Bio-Informatique, Biologie Systémique [q-bio.QM]. Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2010. Français. ฀NNT : 2010CLF22008฀. ฀tel-00712153฀ HAL Id: tel-00712153 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00712153 Submitted on 26 Jun 2012 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. 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❡①♣❧✐❝✐t❧② s♣❡❝✐✜❡❞ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ■❇▼ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ r❡♣♦rt❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✷✳✸ ✷✳✹ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❲❡ ❡①♣❧♦r❡ t❤❡ ❝♦❧♦♥② s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❢♦r t✇♦ ❝♦❧♦♥② ❣r♦✇t❤ r❡❣✐♠❡s✱ ♥❛♠❡❧② t❤❡ ✬r❡❛❝t✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ ❛♥❞ t❤❡ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡s✳ ❚❤❡ ✬r❡❛❝t✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ❣r♦✇t❤ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ✐s ❧✐♠✐t❡❞ ❜② t❤❡✐r ❣r♦✇t❤ ✶✽ ❈❤❛♣t❡r ✷✳ ▼✐❝r♦❜✐❛❧ ❝♦❧♦♥② ❣r♦✇t❤✿ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ P❛r❛♠❡t❡rs ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❯♥✐t ❱❛❧✉❡ ❙♣❛t✐❛❧ ❞♦♠❛✐♥ ✲ µm ① µm 201 ① 201 ∆x ❙♣❛t✐❛❧ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ µm 5 ∆t ❚✐♠❡ st❡♣ s variable µmax ▼❛①✐♠✉♠ ❣r♦✇t❤ r❛t❡ s−1 10−4 ks ❆✣♥✐t② ❢❛❝t♦r kg/m2 0.01 Ds ❙✉❜str❛t❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t m2 /s variable Sbound ■♠♣♦s❡❞ ❜♦✉♥❞❛r② s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ kg/m2 1.0 md ▼❛ss ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ❛t ❞✐✈✐s♦♥ kg 2.0 10−9 2 ρ ❛r❡❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ kg/m 290.0 ❚❛❜❧❡ ✷✳✸✿ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs✳ ❚❤❡ s✉❜str❛t❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❢❛❝t♦r ✐s ✈❛r✐❡❞ t♦ s✇✐t❝❤ ❢r♦♠ t❤❡ ✬r❡❛❝t✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ ❛♥❞ t❤❡ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ ❝❛s❡s✳ ❚❤❡ t✐♠❡✲st❡♣ ✐s ❛❞❛♣t❡❞ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② t♦ ❡♥s✉r❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❊✉❧❡r t✐♠❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ s❝❤❡♠❡ ♦❢ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ♠❛ss ❜❛❧❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs r❛t❤❡r t❤❛♥ ❜② t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❛✈❛✐❧❛❜✐❧✐t②✳ ■♥ t❤✐s r❡❣✐♠❡✱ t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ✐s tr❛♥s♣♦rt❡❞ ❛t ❛ s✉✣❝✐❡♥t r❛t❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ t♦ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✳ ❚♦ ♦❜t❛✐♥ t❤✐s r❡❣✐♠❡ ✇❡ s❡t t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❞✐✛✉s✐♦♥ r❛t❡ t♦ ❛ r❡❧❛t✐✈❡❧② ❤✐❣❤ ✈❛❧✉❡ Ds = 10−10 m2 /s✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ✐♥ t❤❡ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡✱ t❤❡ ❣r♦✇t❤ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐s ❧✐♠✐t❡❞ ❜② t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❛✈❛✐❧❛❜✐❧✐t②✳ ■♥ t❤✐s r❡❣✐♠❡✱ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ ❧♦✇ ♥✉tr✐❡♥t ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥s ❛♥❞ t❤❡✐r ❣r♦✇t❤ r❛t❡ ✐s ♠✉❝❤ ❧♦✇❡r t❤❛♥ t❤❡✐r ♠❛①✐♠✉♠ ❣r♦✇t❤ r❛t❡ ✭❣✐✈❡♥ ❜② µmax ✮✳ ❚❤❡ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② s❡tt✐♥❣ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ r❛t❡ t♦ ❛ ❧♦✇ ✈❛❧✉❡ ✭Ds = 10−12 m2 /s ✐♥ ♦✉r ❝❛s❡✮✳ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✷ ❛♥❞ ✜❣✉r❡ ✷✳✸ s❤♦✇ t❤❡ t✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② s✐♠✉❧❛t❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❢♦r ✬r❡❛❝t✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ ❛♥ 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s(x, y) ❛♥❞ cb (x, y)✳ ❈♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ■❇▼ t❤❛t ✇❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ❛❜♦✈❡✱ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ t❤❛t ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ ✐♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✐s ❛♥ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ♥♦✲ t✐♦♥ ♦❢ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♠♦❞❡❧ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇❤✐❝❤ ♣r♦✈✐❞❡ ❛ ♠❛❝r♦s❝❛❧❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳ ■♥ ❛ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ❜✐♦♠❛ss ❞❡♥s✐t② ✜❡❧❞ ✇❤✐❝❤ ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♠❛ss ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥ ❛♥② ❧♦❝❛t✐♦♥ x, y ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ❚❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ❢♦r t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❤❛s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❣❡♥❡r❛❧ ❢♦r♠✿ ∂cb = ∇2 (Db cb ) + rb cb ∂t ✭✷✳✼✮ ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜✐♦♠❛ss ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❢♦r t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❜✐♦♠❛ss✳ ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ❡①♣r❡ss❡s ❤♦✇ t❤❡ ♠❛ss ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐s r❡❞✐str✐❜✉t❡❞ ♦✈❡r ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ♣❛t❝❤❡s✳ ❚❤✐s t❡r♠ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ r♦✉❣❤ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❛t t❤❡ ♠❛❝r♦✲❧❡✈❡❧ ♦❢ t❤❡ s❤♦✈✐♥❣ ♣r♦❝❡ss ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ t❤❡ ■❇▼✳ ❚❤❡ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ 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✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s t❛❦❡ ♣❧❛❝❡✱ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ r❡s♦❧✉t✐♦♥ dξ s❤♦✉❧❞ ❜❡ s♠❛❧❧ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡s❡ ❦❡r♥❡❧s✳ ❆ t②♣✐❝❛❧ r❡s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ❞✐s❝r❡t✐③❡ ●❛✉ss✐❛♥ ❦❡r♥❡❧s ✐s dξ = ((min(wb , wd )/5, min(wb , wd )/5) ✇❤❡r❡ min(wb , wd ) ✐s s♠❛❧❧❡st ✈❛❧✉❡ ❜❡t✇❡❡♥ wb ❛♥❞ wd ✳ ■♥ t❤✐s ✇♦r❦ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ ✉♥✐❢♦r♠ ❦❡r♥❡❧s ✭s❡❡ ✜❣✉r❡ ✸✳✼✮✳ • ❲❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡ t✐♠❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✸✳✸ ❛♥❞ ✸✳✼ ✉s✐♥❣ ❛♥ ❡①♣❧✐❝✐t ❊✉❧❡r s❝❤❡♠❡ ✇✐t❤ ❛ t✐♠❡ st❡♣ ∆t = 1 ❚✐♠❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ✸✳✷✳ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ✹✺ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✼✿ ❉✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ❦❡r♥❡❧s K(||ξ||/wb ) ❛♥❞ K(||ξ||/wd )✳ ❇♦t❤ ❦❡r♥❡❧s ❛r❡ ✉♥✐❢♦r♠ ✇✐t❤ ❛ ✇✐♥❞♦✇ ✇✐❞t❤ wb = wd = h = 5dξ ❚❤❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ s②st❡♠ ✐s ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ n2 + 1 ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇❤❡r❡ t❤❡ ✉♥✲ ❦♥♦✇♥s ❛r❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s N ❛♥❞ t❤❡ n2 ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① C(ξ)✳ ✸✳✷ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ t❤❡ s✐♠♣❧✐✲ ✜❡❞ ■❇▼ ❲❡ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❣r♦✇t❤ ✭b′1 = 0✮ ❛♥❞ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❛♥t ❣r♦✇t❤ ✭b′1 > 0✮✳ ✸✳✷✳✶ ❉❡♥s✐t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❣r♦✇t❤ ♠♦❞❡❧ ✭b′1 = 0✮ ❚❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❣r♦✇t❤ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❤❛s ♥♦ ✐♠♣❛❝t ♦♥ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❢r♦♠ ❡q✉❛t✐♦♥ ✸✳✸✳ ❇② s❡tt✐♥❣ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❣r♦✇t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r t♦ ③❡r♦ b′1 = 0 t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ s✐♠♣❧✐✜❡s t♦ ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♥♦♥ s♣❛t✐❛❧ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞ ❡q✉❛t✐♦♥✿ dN = b1 N − d 1 N dt ✭✸✳✾✮ ❆s ✇❡ ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t b1 = d1 ✱ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐s ❝♦♥st❛♥t ✭✐❢ N0 ✐s t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✱ t❤❛♥ N (t) = N0 ✮✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✵ ❝♦♠♣❛r❡s t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② ❜♦t❤ ♠♦❞❡❧s ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ b′1 = 0 ❛♥❞ s❤♦✇s ❈❤❛♣t❡r ✸✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ■❇▼ ❢♦r ❝♦❧♦♥② ✹✻ ❣r♦✇t❤ ✭❛✮ ❚✐♠❡❂✵ ✭❜✮ ❚✐♠❡❂✺✵ ✭❝✮ ❚✐♠❡❂✶✵✵ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✽✿ b′1 = 0.0 ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛tt❡r♥ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢♦r b1 = d1 = 0.1✱ ✸✳✷✳ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ✹✼ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✾✿ ❘❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❢♦r b1 = d1 = 0.1✱ b′1 = 0.0 t❤❛t t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s r❡♠❛✐♥s ❝♦♥st❛♥t ✐♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ t❤❛t ✐t ✢✉❝t✉❛t❡s ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✈❛❧✉❡ ✐♥ t❤❡ ■❇▼✳ ❚❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ■❇▼ ❡♥❝♦♠♣❛ss ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛❜♦✉t t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥✳ ❆s ✇❡ ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❜❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❛r❡ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡ ♠♦t❤❡r ❝❡❧❧s ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ ♣r♦❞✉❝❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥s✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✽ s❤♦✇s ❛♥ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ s✉❝❤ ♣❛tt❡r♥s✳ ❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✽✭❛✮ ❡✈♦❧✈❡s t♦✇❛r❞s ❛♥❞ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♣❛tt❡r♥s ✭✜❣✉r❡ ✸✳✽✭❜✮✮✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ✜❣✉r❡ ✸✳✽✭❜✮ ❛♥❞ ✸✳✽✭❝✮ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ♣❛tt❡r♥ ✐s ❞②♥❛♠✐❝ ❛♥❞ t❤❛t ❛❣❣r❡❣❛t❡s ❝❤❛♥❣❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ✐♥ s✐③❡ ❛♥❞ ♣♦s✐t✐♦♥ ❞✉❡ t♦ t❤❡ st♦❝❤❛st✐❝ ❞✐✲ ✈✐s✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❡✈❡♥ts✳ ❚❤✐s s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✐❧❧✉str❛t❡s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❧✐♠✐t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ■❇▼ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❚❤❡ ❡❝♦❧♦❣✐❝❛❧ s✐❣♥❛❧ ✐s ♦❢t❡♥ ❜❧✉rr❡❞ ❜② st♦❝❤❛st✐❝ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s✳ ❚❤✉s ❝❤❡❝❦✐♥❣ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ♦r ✐ts ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐s ❛ ♥♦♥ tr✐✈✐❛❧ t❛s❦✳ 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✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ♠❡❛♥✲✜❡❧❞ ❧✐♠✐t ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ dN = (b1 − d1 )N − b′1 N 2 dt ✭✸✳✶✵✮ ✸✳✸✳ ❉✐s❝✉ss✐♦♥ ✹✾ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✶✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ t♦ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲ ❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ r❡s✉❧ts ❛r❡ ❛✈❡r❛❣❡❞ ♦✈❡r ✺ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ❚❤❡ st❛t✐♦♥❛r② s♦❧✉t✐♦♥s ❛r❡ N ∗ = 0 ♦r N ∗ = (b1 − d1 )/b′1 ✳ ◆♦t❡ t❤❛t ✐❢ b1 = d1 t❤❛♥ N ∗ = 0✳ ❋♦r t❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ✇✐t❤ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦❞❡❧ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ b1 > d1 ❛♥❞ b′1 > 0✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✶ ❝♦♠♣❛r❡s t❤❡ t✐♠❡ ❝♦✉rs❡ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❢♦r b1 = 0.1✱ d1 = 0.05 ❛♥❞ b′1 = 0.2✳ ❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ st❛t✐♦♥❛r② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♥♦♥ s♣❛t✐❛❧ ♠♦❞❡❧ ✐s N ∗ = 0.25✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✷ s❤♦✇s t❤❛t ❜♦t❤ t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧s ②✐❡❧❞s ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❧♦✇❡r t❤❛♥ t❤❛t ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ♥♦♥ s♣❛t✐❛❧ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s r❡❞✉❝❡s t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✉♥✐❢♦r♠ 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❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❈♦♥t❡♥ts ✹✳✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸ ✹✳✷ ❆ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ❜✐♦✜❧♠ ■❇▼ ✇✐t❤ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹ ✹✳✷✳✶ ✹✳✸ ✹✳✹ ✹✳✺ ✹✳✻ ✹✳✶ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ■❇▼ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❉❡r✐✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✳ ✳ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ t❤❡ ■❇▼ ❉✐s❝✉ss✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻ ✺✻ ✺✼ ✻✶ ✻✷ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ❞❡r✐✈❡ ❛ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♥❣ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ✭■❇▼✮ ♦❢ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ❜✐♦✜❧♠s ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t✳ ❚❤❡ ■❇▼ ✐s ❜❛s✐✲ ❝❛❧❧② ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ❣r♦✇t❤ ■❇▼ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❝❤❛♣t❡r ✸ ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ❛ ♠✉❧t✐✲❝♦❧♦♥✐❡s s②st❡♠ ❛♥❞ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ❛ ❜✐♦✜❧♠ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❝❡ss✳ ❖✉r ❛✐♠ ✐s ✜rst t♦ ❡①♣❧♦r❡ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ✉♥❞❡r ❞✐✛❡r❡♥t ❞✐✈✐✲ s✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ❲❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡s❡ ♣❛tt❡r♥s 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❡①❝❧✉s✐✈❡❧② ❜② t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❝❡ss r❛t❤❡r t❤❛♥ ❜② t❤❡ ❝♦♠♣❡t✐t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t✳ ❚❤✉s ✐♥ t❤✐s ♠♦❞❡❧ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ x = (x1 , x2 ) ❞✐✈✐❞❡s ❛t ❛ ❝♦♥st❛♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② r❛t❡ b1 ✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ x ♣r♦❞✉❝❡s ❛ ♥❡✇ ❜♦r♥ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ x′ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ ′ B(x, x ) = b1 K  ||x − x′ || wb  ✭✹✳✶✮ ✇❤❡r❡ K(||x − x′ ||/wb ) ✐s ❛ ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧✳ ❆s ✐♥ ❝❤❛♣t❡r ✸ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t② ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ❦❡r♥❡❧ ❞❡✜♥❡❞ ❜②✿ K  ||x − x′ || wb  =  1/wb ✐❢ ||x − x′ || < wb 0 ❡❧s❡ ✭✹✳✷✮ • ✇❡ ♠♦❞❡❧ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❝❡ss ❛s ❛ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss ✇❤❡r❡ t❤❡ r❡♠♦✈❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② D(x) ♦❢ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ x ✐♥❝r❡❛s❡s ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳ ❚❤❡ r❡♠♦✈❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② D(x) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ ✭✹✳✸✮ D(x) = d1 + d′1 ploc (x, wd ) d1 ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ❞❡❛t❤ r❛t❡ ❛♥❞ d′1 ✐s t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡✳ ploc (x, wd ) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥ x ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||x−x′ ||/wd ) ✇✐t❤ s✐③❡ wd ✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ♠❡❛s✉r❡s ❤♦✇ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ x ♣❡r❝❡✐✈❡s t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ x′ ✳ ❲❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❞❡♥s✐t② ✐❢ x ❜② s✉♠♠✐♥❣ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦rs✿ ploc (x, wd ) = N X i=1 K  ||x − xi || wd  ✭✹✳✹✮ ❚❤❡ ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧ ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧ ❛t ❛ ❝❡rt❛✐♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t❤❡r ❝❡❧❧✳ ❚❛❦✐♥❣ ❧❛r❣❡ ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧s ✇♦✉❧❞ ②✐❡❧❞ ❛ r❛♣✐❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♥❡✇❧② ❞✐✈✐❞❡❞ ❝❡❧❧s ❞✐s♣❡rs❡ ♦✈❡r ❧❛r❣❡ ❞✐st❛♥❝❡s✳ ❋♦r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✱ ❛ s♠❛❧❧ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s ❛ ♣r♦①② t♦ ♠♦❞❡❧ s♠❛❧❧ ❜✐♦✜❧♠ ❢r❛❣♠❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❛s ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s s❡♣❛r❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ s❤♦rt ❞✐st❛♥❝❡ ✭✇✐t❤ t❤❡ ♦r❞❡r ♦❢ t❤❡ r❛❞✐✐ ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧✮ ❛r❡ ❧✐❦❡❧② t♦ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ t❤❡ s❛♠❡ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ploc ❛♥❞ ✇♦✉❧❞ ❞❡t❛❝❤ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✳ ❈❤❛♣t❡r ✹✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ❜✐♦✜❧♠ ■❇▼ ✇✐t❤ ✺✻ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t P❛r❛♠❡t❡rs ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❱❛❧✉❡ L ❉♦♠❛✐♥ s✐③❡ 201 × 201 ∆L ❙♣❛t✐❛❧ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ 1 b1 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✻✸ ✭❛✮ ✭❜✮ wb = 19, wd = 19 wb = 3, wd = 19 ❋✐❣✉r❡ ✹✳✺✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✭✜rst s♣❛t✐❛❧ ♠♦♠❡♥t✮ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ s✐♠✉❧❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ■❇▼ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧ s✐③❡s✿ wb = 19 ❛♥❞ 3 ✭❉♦♠❛✐♥ s✐③❡ 201 × 201 ❛♥❞ wd = 19✮ ❈❤❛♣t❡r ✹✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ❜✐♦✜❧♠ ■❇▼ ✇✐t❤ ✻✹ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ✭❛✮ ✭❜✮ wb = 19 wb = 3 ❋✐❣✉r❡ ✹✳✻✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ r❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❢♦r wd = 19 ❛♥❞ ❞✐✛❡r❡♥t s✐③❡s ♦❢ t❤❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ✹✳✻✳ ❉✐s❝✉ss✐♦♥ ✻✺ ♣❡❛❦s✳ ❚❤✐s ✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❧✐♠t❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧s ✇❤✐❝❤ ♣r♦✈✐❞❡ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❛♣✲ ♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ q✉❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❛♣✲ ♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❛ss❡ss❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ t♦ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ❛♥❞ ✐♠♣r♦✈❡❞ ❜② s❡❧❡❝t✐♥❣ t❤❡ ❜❡st ❝❧♦s✉r❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥✳ ❈❤❛♣t❡r ✺ ❆ ❞❡t❛✐❧❡❞ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ P✉❜❧✐s❤❡❞ ✐♥ ❚❤❡♦r② ✐♥ ❇✐♦s❝✐❡♥❝❡s✿ ▼❛❜r♦✉❦✱ ◆✳✱ 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∆tYb r(t) rp (t) = Yp r(t) ✭✺✳✹✮ ✺✳✷✳ ▼♦❞❡❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✺✳✷✳✻✳✷ ✼✸ ❙✉❜str❛t❡ ❯♣t❛❦❡ r❛t❡s ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛t❝❤ ✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❛ s✉❜str❛t❡ ✉♣t❛❦❡ r❛t❡ rs(t, i, j) ❜② s✉♠♠✐♥❣ t❤❡ ✐♥❞✐✲ ✈✐❞✉❛❧ s✉❜str❛t❡ ✉♣t❛❦❡ r❛t❡s ♦❢ t❤❡ ❝❡❧❧s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ♣❛t❝❤✿ rs (t, i, j) = 1 X rk (t) ∆l2 ✭✺✳✺✮ k ✇❤❡r❡ k ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❡❧❧s ✐♥ ♣❛t❝❤ i, j ✳ ✺✳✷✳✻✳✸ ❇❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ ■❢ t❤❡ ♠❛ss ♦❢ ❛ ❢♦❝❛❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✭❛ ♠♦t❤❡r ❝❡❧❧✮ ❜❡❝♦♠❡s ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ t✇✐❝❡ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ♠❛ss ♦❢ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ (2m0 ≤ m) ✐t ❞✐✈✐❞❡s ✐♥t♦ t✇♦ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❡❛❝❤ ✇✐t❤ ❛ ♠❛ss m/2✳ ❚❤❡ ✜rst ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧ t❛❦❡s t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t❤❡r ❝❡❧❧ ✇❤✐❧❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧ ✐s ♣❧❛❝❡❞ r❛♥❞♦♠❧② ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ❞ ✭❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝❡♥t❡rs ♦❢ ❜♦t❤ ❝❡❧❧s✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❞✐❛♠❡t❡r ♦❢ t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ✭❜♦t❤ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ❞✐❛♠❡t❡r✮✳ ✺✳✷✳✻✳✹ ❇❛❝t❡r✐❛ ♠♦t✐❧✐t② ❚❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❝❡❧❧s ✐s ♠♦❞❡❧❡❞ ❛s ❛ ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ✇✐t❤ ❛♥ ❛♣♣❛r❡♥t ❞✐✛✉s✐♦♥ ❢❛❝t♦r (Df ) ✇❤✐❝❤ ✐s s♣❡❝✐✜❝ t♦ ❡❛❝❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝❡❧❧✳ ❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ❧♦❝❛t❡❞ ❛t x, y ❛t t✐♠❡ t✱ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ❛t t❤❡ ✐♥st❛♥t t + ∆t ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ x(t + ∆t) = x(t) + y(t + ∆t) = y(t) + q q 2Df (x, y)∆tN (0, 1) ✭✺✳✻✮ 2Df (x, y)∆tN (0, 1) ✇❤❡r❡ N (0, 1) ❞r❛✇s ❛ ♥✉♠❜❡r ❢r♦♠ ❛ ❝❡♥t❡r❡❞ ♥♦r♠❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ st❛♥❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥ 1 ✭❣❡♥❡r❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ▼❡rs❡♥♥❡ ❚✇✐st❡r ♣s❡✉❞♦✲r❛♥❞♦♠ ♥✉♠❜❡r ❣❡♥❡r✲ ❛t♦r✮✳ ❆s ✇❡ ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t ❜❛❝t❡r✐❛ ♠♦t✐❧✐t② ✇❛s r❡❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t✱ ✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❢❛❝t♦r (Df ) ❛s ❛ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣❛t❝❤ (i, j)✳ ❲❡ ✉s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥✿ Df = Df max 1 1 + βp(i, j, t) ✭✺✳✼✮ ❲❤❡r❡ Df max ✐s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❢❛❝t♦r ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠✱ β ✐s ❛ ❜✐♥❞✐♥❣ ❛✣♥✐t② ❢❛❝t♦r ❛♥❞ p(i, j, t) ✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ❛t ♣❛t❝❤ (i, j)✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠✲ ❡t❡r β r✉❧❡s t❤❡ s❡♥s✐t✐✈✐t② ♦❢ Df t♦ t❤❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ p(i, j, t) ❛s s❤♦✇♥ ❜② ✜❣✉r❡ ✺✳✸✳ ❈❤❛♣t❡r ✺✳ ❆ ❞❡t❛✐❧❡❞ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ✼✹ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❋✐❣✉r❡ ✺✳✸✿ ▼♦t✐❧✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢ β ✺✳✷✳ ▼♦❞❡❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✺✳✷✳✻✳✺ ✼✺ ❇❛❝t❡r✐❛ s❤♦✈✐♥❣ ❇❛❝t❡r✐❛ s❤♦✈❡ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r ✇❤❡♥ t❤❡② ♦✈❡r❧❛♣✳ ■❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✇✐t❤ r❛❞✐✉s a ✐s ♦✈❡r✲ ❧❛♣♣❡❞ ✇✐t❤ n ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ❝❡❧❧s✱ ✐t ✐s ❞✐s♣❧❛❝❡❞ ✇✐t❤ ❛ s❤♦✈✐♥❣ ✈❡❝t♦r d ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛❞❛♣t❡❞ ❢r♦♠ ❬❑r❡❢t ✷✵✵✶❪✿ d= X a + ak − dk uk 2 ✭✺✳✽✮ k=1:n ak ✐s t❤❡ r❛❞✐✉s ♦❢ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r ❝❡❧❧ k ✱ dk ✐s t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ t♦ t❤❡ ❝❡♥t❡r t❤❡ kth ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ❝❡❧❧ ❛♥❞ uk ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ❞✐r❡❝t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦r ❜❛❝t❡r✐✉♠ k t♦✇❛r❞s t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ❛♥❞ ❤❛✈✐♥❣ ❛ ✉♥✐t❛r② ♥♦r♠✳ ✺✳✷✳✻✳✻ ❙✉❜str❛t❡ ❛♥❞ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t ♠❛ss ❜❛❧❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ✐s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞✐✛✉s✐♦♥✲ r❡❛❝t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥✿ ∂s = D s ∇ 2 s − rs ∂t ✭✺✳✾✮ s(t, x = 0, y) = s(t, x = l, y) ✭✺✳✶✵✮ s(t, x, y = 0) = s(t, x, y = l) ✭✺✳✶✶✮ ✇✐t❤ ♣❡r✐♦❞✐❝ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿ ❛♥❞ ❤❛✈✐♥❣ ❛s ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿ s(t = 0, x, y) = s0 ✭✺✳✶✷✮ ❚❤❡ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t ❞②♥❛♠✐❝ ✐s ❛❧s♦ ❣✐✈❡♥ ❜② ❛ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥✿ ∂p = D p ∇ 2 p + Y p rs ∂t ✭✺✳✶✸✮ p(t, x = 0, y) = p(t, x = l, y) ✭✺✳✶✹✮ p(t, x, y = 0) = p(t, x, y = l) ✭✺✳✶✺✮ ✇✐t❤ ♣❡r✐♦❞✐❝ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿ ❛♥❞ ❤❛✈✐♥❣ ❛s ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s p(t = 0, x, y) = 0 ✭✺✳✶✻✮ Yp ✐♥ ✭❡q✉❛t✐♦♥ ✺✳✶✸✮ ✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ②✐❡❧❞ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ ♠❛ss ♦❢ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t ♣❡r ♠❛ss ♦❢ ❝♦♥s✉♠❡❞ s✉❜str❛t❡✳ ❲❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡ s✉❜str❛t❡ ❛♥❞ ♣r♦❞✉❝t ♠❛ss ❜❛❧❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ s♣❛❝❡ ♦♥ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣❛t❝❤❡s ✉s✐♥❣ ❛ ❢♦✉r✲♣♦✐♥t s❝❤❡♠❡✳ ❚❤❡ r❡❛❝t✐♦♥ t❡r♠ ❤❛s ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛t❝❤ ✭❡q✉❛t✐♦♥ ✺✮✳ ❲❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡ t✐♠❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ t❡r♠ ✐♥ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♠❛ss ❜❛❧❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✉s✐♥❣ ❛♥ ✐♠♣❧✐❝✐t s❝❤❡♠❡ ❢♦r t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ t❡r♠✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ r❡❛❝t✐♦♥ t❡r♠ ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ ❛♥ ❡①♣❧✐❝✐t s❝❤❡♠❡✳ ❚❤❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ s②st❡♠ ✐s ❛ s♣❛rs❡ ❧✐♥❡❛r s②st❡♠ t❤❛t ✇❡ s♦❧✈❡ ✉s✐♥❣ ❛♥ ❡①♣❧✐❝✐t ❊✉❧❡r ♠❡t❤♦❞✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ ♥❡✇ s✉❜str❛t❡ ❛♥❞ ♣r♦❞✉❝t 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✇❡ ✉s❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✈❛❧✉❡s ✐♥ t❛❜❧❡ ✺✳✷ ❢♦r t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧✳ ✺✳✷✳✻✳✽ ■♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ ❲❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❡ ❛❧❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ✇✐t❤✿ • ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥✐t✐❛❧ s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ s0 • ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ♥✉❧❧ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ♦❢ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t • N0 ❜❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧s ❞r❛✇♥ ❛t r❛♥❞♦♠ ✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ❡❛❝❤ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ✐♥✐t✐❛❧ ♠❛ss m0 ✳ ■♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✺✳✸✳ ✺✳✷✳✻✳✾ ▼♦❞❡❧ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ❲❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❏❛✈❛ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❛♥❞ t❤❡ ▼❛s♦♥ ❢r❛♠❡✇♦r❦✳ ▼❛s♦♥ ✐s ❛ ❞✐s❝r❡t❡ ❡✈❡♥t ♠✉❧t✐❛❣❡♥t s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❧✐❜r❛r② ❝♦❞❡ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ❛t t❤❡ ●❡♦r❣❡ ▼❛s♦♥ ❯♥✐✈❡rs✐t② ❢♦r ✐♠♣❧❡♠❡♥t✐♥❣ ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t ♠♦❞❡❧s ❬▲✉❦❡ ✷✵✵✹❪✳ ✺✳✸✳ ✺✳✸ ❘❡s✉❧ts ✼✼ ❘❡s✉❧ts ❲❡ s✐♠✉❧❛t❡ t❤❡ ♣❛tt❡r♥s ❢♦r♠❡❞ ❜② t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ t❤❡ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t ❞✐s♣❧❛②❡❞ ❛❢t❡r 9 ❛♥❞ 18 ❤♦✉rs ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢ β ✭t❤❡ ♣❛✲ r❛♠❡t❡r ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦❢ t❤❡ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t ♦♥ ❜❛❝t❡r✐❛ ♠♦t✐❧✐t②✮ ❛♥❞ ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✐♠♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳ ❚✇♦ ❡①tr❡♠❡ ❝❛s❡s ❝❛♥ ❜❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞✳ ■♥ t❤❡ ✜rst ❝❛s❡✱ 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[d2 + d′2 (ploc (xj ))] ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs d2 ❛♥❞ d′2 ❛r❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲ ❞❡♣❡♥❞❛♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡ t❡r♠ ploc (xi ) ✐s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ✭❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s ❜❡❧♦✇✮ ❛s ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ xj ✳ • ❈❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t②✿ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ j ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ xj t♦ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✭❜❛❝t❡r✐❛ ♦r ♣♦❧②♠❡r✮ i ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ xi ✐s ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② ❛♥ ✐♥t❡r❛❝✲ t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||xi − xj ||/wd )✳ ❚❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ xi ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❜② s✉♠♠✐♥❣ t❤❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ t❤❡ s②st❡♠✿ j=np ploc (xi ) = X j=0 K  ||xi − xj || wd  ✭✻✳✻✮ ■❢ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ ✐♥ xi ✐s ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ✐ts ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ✐s ♥♦t ❝♦✉♥t❡❞✳ • ❇❛❝t❡r✐❛ ♠♦t✐❧✐t②✿ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡ t❤❛t ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ✐♥ xi ♠♦✈❡s t♦ ❛ ♣♦s✐t✐♦♥ x′ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ ′ M (xi , x ) = [m1 − m2 ploc (xi )]K  ||xi − x′ || wm  ✭✻✳✼✮ ✾✷ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼ ❲❤❡r❡ m1 ❛♥❞ m2 ❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡s ❛♥❞ K(||xi − x′ ||/wm ) ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ♠♦t✐❧✐t② ❦❡r♥❡❧✳ ✻✳✶✳✷✳✷ ■♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✇✐t❤ nb (t = 0) = 1000 ❜❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✉♥✐❢♦r♠❧② ♦✈❡r t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ■♥✐t✐❛❧❧② t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✭np (t = 0) = 0✮ ✻✳✶✳✷✳✸ ▼♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❚❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✻✳✸✳ ❯♥❧❡ss ❡①♣❧✐❝✲ ✐t❧② s♣❡❝✐✜❡❞✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ❞❡❢❛✉❧t ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s ✐♥ t❛❜❧❡ ✻✳✸✳ ✻✳✷ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❲❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ❞❡✈❡❧♦♣ ❛ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ t❤❛t ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥ ✉s✐♥❣ ♠♦✲ ♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡s✳ ✻✳✷✳✶ ❋✐rst ♠♦♠❡♥t ❞②♥❛♠✐❝s ❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ✜rst ♠♦♠❡♥t ✭❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r✮ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s✿  ||ξ|| dξ Cbp (ξ)K wd   Z dNp ||ξ|| ′ dξ = b2 Nb − d2 Np − d2 Cpp (ξ)K dt wd dNb = (b1 − d1 )Nb − d′1 dt Z  ✭✻✳✽✮ ✭✻✳✾✮ ❊q✉❛t✐♦♥s ✻✳✽ ❛♥❞ ✻✳✾ ❞❡s❝r✐❜❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ Nb ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r Np ✳ ❚❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ t❡r♠s ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛r❡ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✳ ❚❤❡② ✐♥✈♦❧✈❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ♣❛✐r ❞❡♥s✐t✐❡s Cbp (ξ) ❛♥❞ Cpp (ξ) ❛♥❞ ❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||ξ||/wd )✳ ❚❤❡s❡ t❡r♠s ❡♥❝♦♠♣❛ss t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛✱ ❛s ❣✐✈❡♥ ❜② Cbp (ξ)✱ ❛♥❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡✱ ❛s ❣✐✈❡♥ ❜② Cpp (ξ)✱ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② t❤❡ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||ξ||/wd )✳ ◆♦t❡ t❤❛t ✐❢ t❤❡ s✐③❡ wd ♦❢ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ t❤❛♥ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✭r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡✮ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡s ❡q✉❛❧❧② t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ❚❤✐s r❡❞✉❝❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ✻✳✽ ❛♥❞ ✻✳✾ t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠❡❛♥✲✜❡❧❞ s②st❡♠✿ dNb = (b1 − d1 )Nb − d′1 Nb Np dt ✭✻✳✶✵✮ dNp = b2 Nb − d2 Np − d′2 Np Np dt ✭✻✳✶✶✮ ✻✳✷✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✾✸ ❚❤❡ ♠❡❛♥✲✜❡❧❞ ❡q✉❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐❢ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧s ✭r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ❝❡❧❧s✮ ❛r❡ ♥♦t ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❢♦❝❛❧ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✭r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❛ ❢♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s✮ ✇✐t❤ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ❢r♦♠ t❤❡ ❢♦❝❛❧ ♣❛rt✐❝❧❡ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t✐❡s Nb Np ✭r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② Np Np ✮✳ ❙♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥s ❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ s♠❛❧❧ ✐♥t❡r❛❝✲ t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ♠❛② ❝❛✉s❡ ❛ ❞❡♣❛rt✉r❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♠❡❛♥✲✜❡❧❞ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ s②st❡♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛t✐♦♥s ✻✳✽ ❛♥❞ ✻✳✾ ✐s ♥♦t ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❝♦✉♣❧❡❞ t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ Cbp (ξ) ❛♥❞ Cpp (ξ)✳ ✻✳✷✳✷ ❙❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t ❞②♥❛♠✐❝s ❚❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s Cbb (ξ)✱ Cbp (ξ) ❛♥❞ Cpp (ξ) ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❢♦r♠❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✳ ❚❤❡② ♠❡❛s✉r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ♣❛✐rs ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ t✇♦ ❜❛❝t❡r✐❛✱ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ❛♥❞ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ♦r t✇♦ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ❛t ❞✐✛❡r❡♥t ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✳ ❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡s❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r t❤❡ ✜✈❡ ♣r♦❝❡ss❡s✿ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥✱ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s✱ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✱ ♣♦❧②♠❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❛♥❞ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳ ✻✳✷✳✷✳✶ ❉②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✲❜❛❝t❡r✐❛ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✲❜❛❝t❡r✐❛ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ Cbb (ξ) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ dCbb (ξ) = dt  dCbb (ξ) dt  + division  dCbb (ξ) dt  + detachment  dCbb (ξ) dt  ✭✻✳✶✷✮ motility ❚❤❡ t❡r♠s ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ❞❡♥♦t❡s ❢♦r t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤r❡❡ ♣r♦❝❡ss❡s t❤❛t ♠❛② ♠♦❞✐❢② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ♣❛tt❡r♥ ❛♥❞ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥✱ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❛♥❞ ♠♦t✐❧✐t② ❡✈❡♥ts✳ ❚❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❡✈❡♥ts ♦♥ Cbb (ξ) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥✿  dCbb (ξ) dt  division  ||ξ|| wb  = +2b1 Nb K  ′  Z ||ξ || ′ dξ ′ +2b1 Cbb (ξ + ξ )K wb ✭✻✳✶✸✮ • ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❛ ♥❡✇ ❝❡❧❧ j ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✳ ❚❤✐s ❡✈❡♥t ②✐❡❧❞s ❛ ♥❡✇ ♣❛✐r ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ s❡♣❛r❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✳ ❚❤❡ r❛t❡ ❛t ✇❤✐❝❤ s✉❝❤ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❡✈❡♥ts ♦❝❝✉r ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❛✈❡r❛❣❡ ❜❛❝t❡r✐❛ Nb ❜② t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ b1 ✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ♠✉❧t✐♣❧② ❜② t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② K(||ξ||/wb ) t❤❛t t❤❡ ♥❡✇❧② ❢♦r♠❡❞ ❝❡❧❧s ❛r❡ ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ❢r♦♠ t❤❡ ♣❛r❡♥t ❝❡❧❧✳ ❚❤❡ ❢❛❝t♦r 2 ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ♥❡✇❧② ❢♦r♠❡❞ ❝❡❧❧s ❛t ❛ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ −ξ ✇❤✐❝❤ ❛❧s♦ ❢♦r♠ ❛ ♥❡✇ ♣❛r (j, i) ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✳ ✾✹ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼ • ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❢♦❝✉s❡s ♦♥ t❤❡ ♥❡✇ ♣❛✐r t❤❛t t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧ ♦❢ ❛ ♣❛r❡♥t ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ❢♦r♠ ✇✐t❤ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ j ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ + ξ ′ ❢r♦♠ i✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ (i, j) ♣❛✐rs ✐s Cbb (ξ + ξ) ❛♥❞ t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ ✐s b1 ✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡s❡ t✇♦ ❢❛❝t♦rs ✇✐t❤ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② K(||ξ ′ ||/wb ) t❤❛t t❤❡ ♥❡✇❧② ❢♦r♠❡❞ ❝❡❧❧s ✐s ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ′ ❢r♦♠ i ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ❞✐st❛♥❝❡s ξ ′ ❣✐✈❡s t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠✳ ❲❡ ❛❧s♦ t❛❦❡ ✐♥t♦ ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ t❤❛t ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❡✈❡♥t ❝❛♥ ♦❝❝✉r t♦ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ j ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❜② ❛ ❢❛❝t♦r 2✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❡✈❡♥ts ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ Cbb (ξ) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿  dCbb (ξ) dt  = −2d1 Cbb (ξ)  ′′  Z ||ξ || ′ Tbbp (ξ, ξ ′′ )dξ ′′ −2d1 K wd detachment ✭✻✳✶✹✮ • ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝❡❧❧ i ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r (i, j)✳ ❙✉❝❤ ❡✈❡♥ts ♦❝❝✉r ❛t ❛ r❛t❡ d1 ✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ d1 ❜② t❤❡ ❞❡♥s✐t② Cbb (ξ) ♦❢ (i, j) ♣❛✐rs ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ ❣✐✈❡s t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❞❡❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❛t ❞❡♥s✐t②✳ ❚❤❡ ❢❛❝t♦r 2 ❛❝❝♦✉♥ts t❤❛t ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❡✈❡♥t ❝❛♥ ♦❝❝✉r ❢♦r t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ j ✳ • ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ✐s t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t t❡r♠ t❤❛t ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳ ❚❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ♦❢ t❤❡ (i, j) ♣❛✐r ❝❛♥ r❡s✉❧t ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡ k ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ′′ ❢r♦♠ i✳ ❙✉❝❤ tr✐♣❧❡t ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ♦❝❝✉rs ❛t ❛ ❞❡♥s✐t② Tbbp (ξ, ξ ′′ )✳ ❚❤❡ ❝✉♠✉❧❛t✐✈❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s k s✐t✉❛t❡❞ ❛t ❞✐✛❡r❡♥t ❞✐st❛♥❝❡s ξ ′′ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡❧❧ i ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✇❡✐❣❤t✐♥❣ t❤❡ tr✐♣❧❡t ❞❡♥s✐t② ✇✐t❤ K(||ξ ′′ ||/wd ) ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❞✐st❛♥❝❡s ξ ′′ ✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ✇✐t❤ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ d′1 ❣✐✈❡s t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠✳ ❚❤❡ ❢❛❝t♦r 2 ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❡✈❡♥t t❤❛t ❝❛♥ ♦❝❝✉r ❢♦r t❤❡ ❝❡❧❧ j ✐♥ t❤❡ t❤❡ ♣❛✐r (i, j)✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ Cbb (ξ) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥✿  dCbb (ξ) dt  = −2m1 Cbb (ξ) ✭✻✳✶✺✮ motility  ||ξ ′ || +2m1 K Cbb (ξ + ξ ′ )dξ ′ wm  ′′  Z ||ξ || +2m2 K Tbbp (ξ, ξ ′′ )dξ ′′ wd  ′   ′′  Z Z ||ξ || ||ξ || K Tbbp (ξ + ξ ′ , ξ ′′ )dξ ′ dξ ′′ K −2m2 wm wd Z  ✻✳✷✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✾✺ • ❲❤❡♥ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i ♠♦✈❡s✱ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛✐r (i, j) ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✐s ❞❡str♦②❡❞✳ ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤✐s ♣r♦❝❡ss ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ ♦❢ m1 ❜② t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs Cbb (ξ) ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛✐r ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥✳ • ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r 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s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❡✈❡♥ts ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❢♦r ♣♦❧②♠❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❡✈❡♥ts ✳ P♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❡✈❡♥ts ❝♦♥tr✐❜✉t❡ t♦ t❤❡ ❝r❡❛t✐♦♥ ♣♦s✐t✐✈❡❧② t♦ Cpp (ξ) ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥✿  dCpp (ξ) dt  = +2b2 production Z K  ||ξ ′ || wb  Cbp (ξ + ξ ′ )dξ ′ ✭✻✳✶✼✮ ✾✻ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼ • t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞✲s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ♥❡✇ ♣❛✐rs ♦❢ ♣♦❧②♠❡rs t❤❛t ❛r❡ ❢♦r♠❡❞ ✇❤❡♥ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧ i s✐t✉❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ + ξ ′ ❢r♦♠ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ j ♣r♦❞✉❝❡s ❛ ♥❡✇ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ k ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ′ ✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs (i, j) ✐s Cbp (ξ + ξ ′ ) ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ♥❡✇❧② ❢♦r♠❡❞ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡s ✐s ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ′ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡❧❧ i ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② K(||ξ ′ ||/wb )✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡s❡ t✇♦ ❢❛❝t♦rs ✇✐t❤ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r❛t❡ b2 ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ❞✐st❛♥❝❡s ξ ′ ❣✐✈❡s t❤❡ t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡✳ ❜②✿ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ♣♦❧②♠❡r t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ Cpp (ξ) ✐s ❣✐✈❡♥  dCpp (ξ) dt  = −2d2 Cpp (ξ) detachment   ||ξ|| wd  ′′  Z ||ξ || Tppp (ξ, ξ ′′ )dξ ′′ −2d′2 K wd −2d′2 Cpp (ξ)K ✭✻✳✶✽✮ • ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ tr❛♥s❧❛t❡s t❤❡ ❞❡str✉❝t✐♦♥ ♦❢ ♣❛✐r ♦❢ ♣♦❧②♠❡r (i, j) ✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s i ♦r j ❞❡t❛❝❤✳ • ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ j ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r (i, j) ♦♥ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ i✳ ❚❤✐s ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs Cpp (ξ) ❜② t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||ξ||/wd )✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ ❜② d′2 ❣✐✈❡s t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ♣r♦❝❡ss✳ • ❚❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s k t❤❛t ❛r❡ ♥❡✐❣❤❜♦rs ♦❢ ❛ ♣❛rt✐❝❧❡ i ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r (i, j)✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ t❤✐s ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② Tppp (ξ, ξ ′′ )✳ ❲❤❡r❡ ξ ′′ ✐s t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s k ❛♥❞ i✳ ❚❤✐s ❞❡♥s✐t② ✐s ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||ξ ′′ ||/wd ) ❛♥❞ ♠✉❧t✐♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡✳ ■♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ ′′ ❣✐✈❡s t❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠✳ ❚❤❡ ❢❛❝t♦r 2 ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥ ✻✳✶✽ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❞❡t❛❝❤✲ ♠❡♥t ❡✈❡♥ts t❤❛t ♠❛② ❜❡ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ j ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r i, j ✳ ✻✳✷✳✷✳✸ ❉②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✲♣♦❧②♠❡r ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✲♣♦❧②♠❡r ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ Cbp (ξ) ✐s ♠♦r❡ ❝♦♠✲ ♣❧❡①✳ ❆❧❧ ♣r♦❝❡ss❡s ❛✛❡❝t✐♥❣ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r ❝♦♥tr✐❜✉t❡s t♦ t❤✐s ❞②✲ ♥❛♠✐❝ ❛s ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❢r♦♠ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥✿ ✻✳✷✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ dCbp (ξ) dt ✾✼   dCbp (ξ) = + dt  division dCbp (ξ) + dt production   dCbp (ξ) + dt  detachment dCbp (ξ) + dt detachment   dCbp (ξ) + dt motility bact poly ✭✻✳✶✾✮ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ Cbp (ξ) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿  dCbp (ξ) dt  = +b1 division Z K  ||ξ ′ || wb  Cbp (ξ + ξ ′ )dξ ′ ✭✻✳✷✵✮ • t❤❡ t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ ❛ ♥❡✇ ♣❛✐r t❤❛t ❛ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧ k r❡s✉❧t❛♥t ❢r♦♠ t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣❛r❡♥t ❝❡❧❧ i ❢♦r♠s ✇✐t❤ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ j ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ +ξ ′ ❢r♦♠ i✳ ❚❤❡ ♣❡r ❝❛♣✐t❛ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ ✐s b1 ✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ (i, j) ♣❛✐rs ✐s Cbp (ξ+ξ ′ ) ❛♥❞ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ ′ ✐s K(||ξ ′ ||/wb )✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡s❡ ❢❛❝t♦rs ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ ′ ❣✐✈❡s t❤❡ t❡r♠ ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ Cbp (ξ) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥✿  dCbp (ξ) dt  production  ||ξ|| = +b2 Nb K wb  ′  Z ||ξ || +b2 K Cbb (ξ + ξ ′ )dξ ′ wb  ✭✻✳✷✶✮ • ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ♥❡✇ ♣❛✐rs (k, j) ❢♦r♠❡❞ ❜② ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ k ❛♥❞ ❛ ♣r♦❞✉❝❡❞ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡ j ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✳ ❚❤❡ ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r❛t❡ ✐s b2 Nb ❛♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ s❡❧❢✲♣r♦❞✉❝❡❞ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡s ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ❢r♦♠ ❛ ❢♦❝❛❧ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ✐s K(||ξ||/wb )✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡s❡ ❢❛❝t♦rs ❣✐✈❡s t❤❡ ✜rst t❡r♠✳ • ■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ✇❡ ❢♦❝✉s ♦♥ ♣❛✐rs (i, j) ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ t✇♦ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ + ξ ′ ✳ ■❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ i ♣r♦❞✉❝❡s ❛ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡ k ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ ′ t❤❛♥ ❛ ♥❡✇ ♣❛✐r ❜❛❝t❡r✐❛ ♣♦❧②♠❡r (j, k) ✐s ❢♦r♠❡❞ ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs (i, j) ✐s Cbb (ξ +ξ ′ ) ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡ ♣r♦❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ❝❡❧❧ i ✐s ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ′ ✐s K(||ξ ′ ||/wb )✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡s❡ t✇♦ ❢❛❝t♦rs ❜② t❤❡ ♣❡r ❝❛♣✐t❛ ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r❛t❡ ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ ′ ❣✐✈❡s t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠✳ ✾✽ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s ✐s ❣✐✈❡♥ r❡s♣❡❝✲ t✐✈❡❧② ❜② t❤❡ t✇♦ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ❤❛✈❡ ❛ ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ str✉❝t✉r❡✿   dCbp (ξ) dt dCbp (ξ) dt   detachment bact = −d1 Cbp (ξ)  ′′  Z ||ξ || ′ −d1 K Tbpp (ξ, ξ ′′ )dξ ′′ wd   ||ξ|| Cbp (ξ) −d′1 K wd ✭✻✳✷✷✮ = −d2 Cbp (ξ) detachment poly −d′2 Z K  ||ξ ′′ || wd  Tbpp (ξ, ξ + ξ ′′ )dξ ′′ ✭✻✳✷✸✮ ❚❤❡ ✜rst t✇♦ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ❜♦t❤ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡✿ • t❤❡ ✜rst t❡r♠ t❛❦❡s ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡✲ t❛❝❤♠❡♥t ❡✈❡♥ts ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✭❡q✉❛t✐♦♥ ✻✳✷✷✮ ♦r ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ✭❡q✉❛✲ t✐♦♥ ✻✳✷✸✮✳ • t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ t❛❦❡s ✐♥t♦ 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motility  ||ξ ′ || +m1 K Cbp (ξ + ξ ′ )dξ ′ wm  ′′  Z ||ξ || Tbpp (ξ, ξ ′′ )dξ ′′ +m2 K wd  ′′   ′  Z Z ||ξ || ||ξ || K −m2 Tbpp (ξ + ξ ′ , ξ ′′ )dξ ′ dξ ′′ K wd wm   ||ξ|| +m2 Cbp (ξ)K wd   ′   Z ||ξ || ||ξ + ξ ′ || K Cbp (ξ + ξ ′ )dξ ′ ✭✻✳✷✹✮ −m2 K wm wd Z  • ❲❤❡♥ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i✱ ✐♥ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠✲♣♦❧②♠❡r ♣❛✐r (i, j) ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✱ ♠♦✈❡s✱ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛✐r (i, j) ✐s ❞❡str♦②❡❞✳ ❚❤✐s ✐s ❛❝❝♦✉♥t❡❞ ❢♦r ✇✐t❤ t❤❡ ✜rst t❡r♠✳ • ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ✇❤❡♥ ❛ ♥❡✇ ♣❛✐r (i, j) ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✐s ❢♦r♠❡❞ ✐s t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ + ξ ′ ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ j ♠♦✈❡s ✇✐t❤ ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ′ ✳ ❚❤✐s ♣r♦❝❡ss ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❜② t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠✳ • ❚❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠ ❝♦rr❡❝ts t❤❡ ✜rst t❡r♠ ❜② ❛❝❝♦✉♥t✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✐♥ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠✲ ♣♦❧②♠❡r ♣❛✐r (i, j) ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✳ ❚❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ i ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r (i, j) ✐s r❡❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ k ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ′′ ❢r♦♠ i✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② tr✐♣❧❡t 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♠♦♠❡♥t ✐♥✈♦❧✈❡s s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t t❡r♠s ❛♥❞ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t ✐♥✈♦❧✈❡s t❤❡ t❤✐r❞ ♠♦♠❡♥t t❡r♠s✳ ❚♦ tr✉♥❝❛t❡ t❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤② ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ✇❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ tr✐♣❧❡t ♣❛rt✐❝❧❡s ❛r❡ ♥♦t ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t t❡r♠s✳ ❚❤✐s ②✐❡❧❞s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❧♦s✉r❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s✿ ✻✳✷✳✹ Tppp (ξ, ξ ′′ ) = Cpp (ξ)Cpp (ξ ′′ ) Np ✭✻✳✷✺✮ Tbpp (ξ, ξ ′′ ) = Cbp (ξ)Cbp (ξ ′′ ) Nb ✭✻✳✷✻✮ Tbbp (ξ, ξ ′′ ) = Cbb (ξ)Cbp (ξ ′′ ) Nb ✭✻✳✷✼✮ ❙♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❚❤❡ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛r❡ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ (Nb ) ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r (Np ) ❛♥❞ t❤❡ t❤r❡❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s Cbb (ξ)✱ Cpp (ξ) ❛♥❞ Cbp (ξ)✳ ❚❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛r❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ ✇✐t❤ r❡❣❛r❞s t♦ s♣❛❝❡ ✇✐t❤ s♣❛t✐❛❧ r❡s✲ ♦❧✉t✐♦♥ dξ = (dξ1 , dξ2 ) ❛♥❞ t❤❡② ❛r❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ✐♥t♦ t❤r❡❡ ♠❛tr✐❝❡s✳ ❲❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡ t✐♠❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❛♥ ❊✉❧❡r ❡①♣❧✐❝✐t s❝❤❡♠❡ ❛♥❞ ✇❡ ✉s❡ ❛ ✜①❡❞ t✐♠❡ st❡♣ ∆t = 0.1✳ ✻✳✸ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❆❧❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs t❛❦❡ t❤❡ ✈❛❧✉❡s ❧✐st❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✻✳✶ ✉♥❧❡ss ♦t❤❡r✇✐s❡ st❛t❡❞✳ ■♥ t❤❡ ✜rst ♣❛rt ✇❡ t✉r♥ ♦✛ ❛❧❧ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s ❛♥❞ ❛ss❡ss ❤♦✇ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② ❛✛❡❝ts t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥✳ ❲❡ s❤♦✇ t❤❛t ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦♠♦t❡s t❤❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣r❡✈❡♥ts ❝♦❧♦♥② ❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣❛rt ✇❡ t✉r♥ ♦♥ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r ❞❡♥s✐t② ❛♥❞ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ ♣❛tt❡r♥ t♦ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ♦❜t❛✐♥❡❞ ♦♥❡s✳ ❲❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ♠♦t✐❧✐t② ❞✉❡ t♦ t❤❡ ♣r♦❞✉❝❡❞ ♣♦❧②♠❡r ♣r♦♠♦t❡s ❝♦❧♦♥② ❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ t✉r♥ ♦♥ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s✳ ❚❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ ✐♥❝r❡❛s❡s ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ✻✳✸✳ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ✶✵✶ P❛r❛♠❡t❡rs ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❱❛❧✉❡ L ❉♦♠❛✐♥ s✐③❡ 101 × 101 ∆L ❙♣❛t✐❛❧ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ 1 b1 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ 0.1 b2 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r❛t❡ 0.1 d1 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❜❛❝t❡r✐❛ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.1 d2 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣♦❧②♠❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.1 d′1 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❜❛❝t❡r✐❛ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.0 ′ d2 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣♦❧②♠❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.0 m1 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ 1.0 m2 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ 2.0 wb ❯♥✐❢♦r♠ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ s✐❞❡ 5 wd ❯♥✐❢♦r♠ ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ s✐❞❡ 5 wm ❯♥✐❢♦r♠ ♠♦t✐❧✐t② ❦❡r♥❡❧ s✐❞❡ 5 ❚❛❜❧❡ ✻✳✶✿ ▼♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ ♣♦❧②♠❡r✳ ❲❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ ❤♦✇ t❤✐s ♣r♦❝❡ss ❛✛❡❝t t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♣❛tt❡r♥ ❢♦r♠❡❞ ❜② ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t②✳ ❆❧❧ ❛❧♦♥❣ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ■❇▼ ✇✐t❤ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❛ss❡ss t❤❡ ✈❛❧✐❞✐t② ♦❢ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠❛❞❡ ✐♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦❞❡❧ ■♥ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s (m2 = 0✱ d′1 = 0✱ d′2 = 0) t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❤❛s ♥♦ ❡✛❡❝t ♦♥ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r✳ ❋♦r ❛ s②st❡♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ✐♠♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ (m1 = 0) s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❢♦r♠s ❛s ❛ r❡s✉❧t ♦❢ t❤❡ s❤♦rt✲r❛♥❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s✳ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✶ s❤♦✇s t✇♦ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡s ♦❢ s❤♦rt✲r❛♥❣❡ (wb /L ∼ 0.05) ❛♥❞ ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ (wb /L ∼ 0.1) ♦❢ t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ✭L ✐s t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ s✐③❡✮✳ ❚❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s ✐s ❧❡ss ♠❛r❦❡❞ ❢♦r ❧❛r❣❡r ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❞✐s♣❡rs✐♦♥✳ ❚❤✐s r❡s✉❧t ✐s ✇❡❧❧ ❝❛♣t✉r❡❞ ❜② t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✻✳✷✳ ❋♦r ❧♦✇ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥❝r❡❛s❡s ❛t s❤♦rt ❞✐st❛♥❝❡s s✉❣❣❡st✐♥❣ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐❛✲❜❛❝t❡r✐❛ ❛❣❣r❡❣❛t✐♦♥ ❛t t❤❡s❡ ❞✐st❛♥❝❡s✳ ▲❛r❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ r❛♥❣❡ ②✐❡❧❞s ♣❛✐rs ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t t❛❦❡s ✈❛❧✉❡s ❝❧♦s❡ t♦ ✶✱ ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ♣❛tt❡r♥✳ ❚❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❝❛♣t✉r❡s ✇❡❧❧ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ◆♦✇ ❤♦✇ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❜❛❝t❡r✐❛ ♠♦t✐❧✐t② ❛✛❡❝ts t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♣❛tt❡r♥ ②✐❡❧❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ s❤♦rt r❛♥❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥❄ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✸ s❤♦✇s s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ s②st❡♠ ✇❤❡♥ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐s ❛❞❞❡❞✳ ❚❤❡ ♠♦t✐❧✐t② r❛♥❣❡ ✐s ✈❛r✐❡❞ ❜② ✈❛r②✐♥❣ t❤❡ s✐③❡ wm ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ❦❡r♥❡❧✳ ■♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② r❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐s♣❡rs❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❛♥❞ t❤❡✐r ♣❛r❡♥ts ♣r❡✈❡♥t✐♥❣ ✶✵✷ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼ ✭❛✮ ✭❜✮ wb = 5 wb = 11 t = 100 ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✐♠♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ m1 = 0.0✳ (a) s❤♦rt✲r❛♥❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥✱ (b) ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = d1 = 0.1✱ b2 = d2 = 0.1✱ d′1 = d′2 = m2 = 0.0 ✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s✮ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✶✿ ■❇▼ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛t t✐♠❡ ✻✳✸✳ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ✶✵✸ ✭❛✮ ✭❜✮ wb = 5 wb = 11 ❋✐❣✉r❡ ✻✳✷✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ r❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ t = 100 ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✐♠♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ m1 = 0.0✳ (a) s❤♦rt✲r❛♥❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥✱ (b) ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = d1 = 0.1✱ b2 = d2 = 0.1 ✭♥♦ ♣♦❧②♠❡r✮✱ d′1 = d′2 = m2 = 0.0 ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛t t✐♠❡ ✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s✮ ✶✵✹ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼ ✭❛✮ ✭❜✮ sm = 3 sm = 15 ❋✐❣✉r❡ ✻✳✸✿ ■❇▼ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛t t✐♠❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ m1 = 0.0✳ (a) t = 150 ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ (b) ❧♦♥❣✲ = d2 = 0.1✱ s❤♦rt✲r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t②✱ r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t②✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = d1 = 0.1✱ b2 d′1 = d′2 = m2 = 0.0 ✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s✮ ❛♥❞ wb = 5 ✻✳✸✳ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ✶✵✺ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s✳ ■♥ ❡ss❡♥❝❡✱ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ❛❝ts ❛s t❤❡ ❞✐s♣❡rs❛❧ ❦❡r♥❡❧ ❛♥❞ t❡♥❞ t♦ ♠✐① t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ②✐❡❧❞✐♥❣ ✉♥✐❢♦r♠ ♣❛tt❡r♥s✳ ❚❤✐s ✐s ❛❧s♦ ❞❡♠♦♥str❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✻✳✹✳ ❚❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧s t❛❦❡ ✈❛❧✉❡s ❝❧♦s❡ t♦ ✶ ❢♦r ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t② ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥✳ ❲❡ s❤♦✇ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥ t❤❛t ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t② ♣❧❛②s t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ r♦❧❡ ❛♥❞ ♣r♦♠♦t❡s ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♣❛tt❡r♥s ❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② ■♥ t❤❡ ■❇▼✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❝❡ss ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❡q✉❛t✐♦♥ ✻✳✼✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡ t❤❛t ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ♠♦✈❡s t♦ ❛♥② ♦t❤❡r ♣♦s✐t✐♦♥ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② m1 − m2 ploc (x) ✇❤❡r❡ ploc (x) ✐s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✐♥ ❧♦❝❛t✐♦♥ x✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ✐s ♥♦t ❜♦✉♥❞❡❞ ❛s ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ❝❛♥ ❤②♣♦t❤❡t✐❝❛❧❧② ❤❛✈❡ ❛♥② ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❛✈♦✐❞ ♥❡❣❛t✐✈❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ✇❡ ✜① ❛ t❤r❡s❤♦❧❞ ❢♦r t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ❛❜♦✈❡ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✐s s❡t t♦ ③❡r♦✳ ❚❤❡ t❤r❡s❤♦❧❞ ✈❛❧✉❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ m1 /m2 ✳ ❲❤✐❧❡ ✐♥ t❤❡ ■❇▼ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✢✉❝t✉❛t❡s ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t st♦❝❤❛st✐❝ ♣r♦❝❡ss❡s✱ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ r❡❧✐❡s ♦♥ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ✇❤✐❝❤ ✐s✱ ❢♦r t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✉s❡❞ ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ❛❧✇❛②s ❜❡❧♦✇ t❤❡ t❤r❡s❤♦❧❞ ✈❛❧✉❡ m1 /m2 ✳ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✺ s❤♦✇s s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢ m2 ✳ ■♥ t❤❡ ■❇▼✱ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ m2 ♣r♦♠♦t❡s t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❞❡❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ ✜❣✉r❡ ✻✳✻ s❤♦✇✐♥❣ t❤❡ r❛❞✐❛❧ ♣❛✐rs ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❛t t✐♠❡ t = 400✮ s✐♠✉❧❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ ✇✐t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♣❡❛❦❡❞ ❛t s❤♦rt ❞✐st❛♥❝❡ ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ m2 ✳ ❙✉r♣r✐s✐♥❣❧②✱ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❧❛t❡r ❢❛✐❧ ✐♥ ❝❛♣t✉r✐♥❣ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s ✭✜❣✉r❡ ✻✳✻✭❜✮✮✳ ❚❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ r❡♠❛✐♥s ❝❧♦s❡ t♦ ✶ ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ♣❛tt❡r♥✳ ❚♦ ❡①♣❧❛✐♥ t❤✐s ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✇❡ ❡①tr❛❝t❡❞ t❤❡ t✐♠❡ ❝♦✉rs❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r ❞❡♥s✐t✐❡s ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥ t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥ t❤❡ ■❇▼ ❞✐✛❡r ❢r♦♠ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ t♦ ❛♥♦t❤❡r ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❛♥❞ ✐ts ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞✳ ❆t ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣ ✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ❛♥❞ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✈❛❧✉❡ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳ ■♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✱ ♦♥❧② t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❧♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ❞❡♥s✐t② ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ ploc = Z K  ||ξ|| wd  Cbp (ξ)dξ ✭✻✳✷✽✮ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✼ ❝♦♠♣❛r❡s t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❛♥❞ ♠❛①✐♠✉♠ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r ❞❡♥✲ s✐t② ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥ t❤❡ ■❇▼ ✇✐t❤ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✶✵✻ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼ ✭❛✮ ✭❜✮ sm = 3 sm = 151 ❋✐❣✉r❡ ✻✳✹✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ r❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛t t✐♠❡ t = 150 ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ m1 = 1.0 (a) s❤♦rt✲r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t②✱ (b) ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t②✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = d1 = 0.1✱ b2 = d2 = 0.1✱ d′1 = d′2 = m2 = 0.0 ✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s✮ ❛♥❞ wb = 5 ✻✳✸✳ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ✶✵✼ ✭❛✮ m2 = 1.0 ✭❜✮ m2 = 2.0 ❋✐❣✉r❡ ✻✳✺✿ ■❇▼ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛t t✐♠❡ t = 400 ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = d1 = 0.1✱ b2 = d2 = 0.1✱ d′1 = d′2 = 0.0 ✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✮ ❛♥❞ wb = 5✱ wm = 15✱ wd = 5 ✶✵✽ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼ ✭❛✮ m2 = 1.0 ✭❜✮ m2 = 2.0 ❋✐❣✉r❡ ✻✳✻✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ r❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛t t✐♠❡ t = 400 ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ d′1 = d′2 = 0.0 ✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✮ b1 = d1 = 0.1✱ b2 = d2 = 0.1✱ ❛♥❞ wb = 5✱ wm = 15✱ wd = 5 ✻✳✸✳ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ✶✵✾ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✼✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ❛s ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥ t❤❡ ■❇▼ ✭❛✈❡r❛❣❡ ❛♥❞ ♠❛①✮ ❛♥❞ ✐♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = d1 = 0.1✱ b2 = d2 = 0.1✱ d′1 = d′2 = 0.0 ✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✮ ❛♥❞ wb = 5✱ wm = 15✱ wd = 5 ♣♦❧②♠❡r ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✼ s❤♦✇s t❤❛t ❛s ❧♦♥❣ ❛s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r ❞❡♥s✐t② ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ ■❇▼ ✐s s♠❛❧❧❡r t❤❛♥ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞✱ ❜♦t❤ ♠♦❞❡❧s ②✐❡❧❞ s✐♠✐❧❛r r❡s✉❧ts ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ✭❛♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✲ ❞❛t❛ ♥♦t s❤♦✇♥✮✳ ❆t t✐♠❡ t ∼ 100 ❛♥❞ ❞✉❡ t♦ st♦❝❤❛st✐❝ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ✐♥ t❤❡ ■❇▼ ✐♥❝r❡❛s❡s ❜❡②♦♥❞ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞ ✭❣✐✈❡♥ ❜② m1 /m2 = 0.5✮✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ✐♥ s♦♠❡ r❡❣✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❛ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ❤✐❣❤❡r t❤❛♥ t❤❡ ✐♠♠♦✲ ❜✐❧✐③❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞ ✈❛❧✉❡✳ ❚❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ t❤❛♥ ❜❡❝♦♠❡s ✐♠♠♦t✐❧❡ ❛♥❞ ♠❛② ✐♥✐t✐❛t❡ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝♦❧♦♥②✳ ■t ♠❛② ❤❛♣♣❡♥ t❤❛t t❤❡ st♦❝❤❛st✐❝ ♣♦❧②♠❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❡♠♦✈❡s ♦♥❡ ♦r ♠♦r❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ❢r♦♠ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❡❞ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✇❤✐❝❤ r❡❞✉❝❡s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ❜❡❧♦✇ t❤❡ t❤r❡s❤✲ ♦❧❞ ✈❛❧✉❡ ❛♥❞ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❡❞ ❜❛❝t❡r✐✉♠ r❡❝♦✈❡r ✐ts ♠♦t✐❧✐t② ✭s❡❡ t❤❡ s♠❛❧❧ ♣❡❛❦ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✻✳✼ ❛t ✐♥st❛♥t 0✮✳ ❇✉t ✐t ♠❛② ❛❧s♦ ❤❛♣♣❡♥ t❤❛t ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ❛r❡ ♣r♦❞✉❝❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❡❞ ❜❛❝t❡r✐❛ ✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞ t❤❡ ❢♦r✲ ♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝♦❧♦♥②✳ ❚❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❞♦ ♥♦t ❝❛♣t✉r❡ t❤❡s❡ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛ ❜❡❝❛✉s❡ ✐t r❡❧✐❡s ♦♥ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ✇❤✐❝❤ ✐s st✐❧❧ ❜❡❧♦✇ t❤❡ t❤r❡s❤♦❧❞ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ✭s❡❡ ✜❣✉r❡ ✻✳✼✮✳ ✶✶✵ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✽✿ ❊✛❡❝t ♦❢ ♠♦t✐❧✐t② r❛♥❣❡ wm ♦♥ ❝♦❧♦♥② ❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❙❤♦rt✲r❛♥❣❡ ❝♦rr❡✲ s♣♦♥❞s t♦ wm = 5 ❛♥❞ ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ t♦ wm = 15✳ ❖t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = d1 = 0.1✱ b2 = d2 = 0.1✱ d′1 = d′2 = 0.0 ✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✮✱ m2 = 2.0✱ wb = 5 ❛♥❞ wd = 5 ❚❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s ✐♥ t❤❡ ■❇▼ ✐♥❞✉❝❡s s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❝❤❛♥❣❡s ♦❢ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❛♥❞ t❤❡ ❢✉rt❤❡r ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳ ❖t❤❡r ♣r♦❝❡ss❡s ♠❛② r❡✐♥❢♦r❝❡ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ❧✐❦❡ t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❡❞ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ♦r t❤❡ ❡♥tr❛♣♠❡♥t ♦❢ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥ t❤❡ r❡❣✐♦♥ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r ❞❡♥s✐t② ✐♥❝r❡❛s❡❞ ❜❡②♦♥❞ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞ ✈❛❧✉❡✳ ❲❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② r❛♥❣❡ ✭wm ✮ ♦♥ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢♦r m2 = 2.0✳ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✽ r❡♣♦rts t❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦❢ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② r❛♥❣❡ ♦♥ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛t t❤❡ s❤♦rt❡st ❞✐st❛♥❝❡ ξ = dξ ✭✇❤❡r❡ dξ ✐s t❤❡ s♣❛t✐❛❧ r❡s♦❧✉t✐♦♥✮ s✐♠✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ■❇▼✳ ❚❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s ✐s tr❛♥s❧❛t❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛t ❞✐st❛♥❝❡ dξ ✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❢r♦♠ ✜❣✉r❡ ✻✳✽ t❤❛t ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t②✱ t❤❡ ♣❡❛❦ ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❝❝✉rs ❛t t = 200 ✇❤✐❧❡ t❤❡ s❛♠❡ ♣❡❛❦ ♦❝❝✉rs ❛t t✐♠❡ t = 350 ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ s❤♦rt✲r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t②✳ ❚❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s s❡❡♠s t♦ ❜❡ ❢❛st❡r ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t②✳ ❲❤✐❧❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② r❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ♣r❡✈❡♥t❡❞ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦❞❡❧✱ ✐t ✐s ❧✐❦❡❧② t♦ ❤❛✈❡ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ❡✛❡❝t ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t②✳ ❚❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② r❛♥❣❡ ❛❝❝❡❧❡r❛t❡ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s✳ ❆ ♣♦ss✐❜❧❡ ❡①♣❧❛♥❛t✐♦♥ ✐s t❤❛t ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ tr❛✈❡❧✐♥❣ ♦✈❡r ❧♦♥❣ ❞✐st❛♥❝❡ ❤❛✈❡ ♠♦r❡ ❝❤❛♥❝❡ t♦ ❜❡ tr❛♣♣❡❞ ✐♥ ❛ ❧♦❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❤✐❣❤ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r t❤❛♥ ❜❛❝t❡r✐❛ tr❛✈❡❧✐♥❣ ♦✈❡r s❤♦rt ❞✐st❛♥❝❡s✳ ✻✳✹✳ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ✶✶✶ ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❙♦ ❢❛r✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ t❤❛t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r ♦❝❝✉rs ❛t ❛ ✜①❡❞ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t r❛t❡ ✭d1 = d2 = 0.1 ❛♥❞ d′1 = d′2 = 0✮✳ ◆♦✇ ✇❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ❛♥❞ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥❝r❡❛s❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r ❡♥❝❧♦s❡❞ ✇✐t❤✐♥ ❝♦❧♦♥✐❡s ✇✐❧❧ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ ❤✐❣❤❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s t❤❛t t❤❡✐r ❞✐s♣❡rs❡❞ ❝♦✉♥t❡r♣❛rts✳ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✾ s❤♦✇s ■❇▼ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ ♣❛tt❡r♥ ❢♦r t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s d′1 = d′2 = 0.05 ❛♥❞ d′1 = d′2 = 0.1✳ ■♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r❡✈❡♥ts t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥✐❡s✳ ❚❤✐s ✐s ❝♦♥✲ ✜r♠❡❞ ❜② t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ ✜❣✉r❡ ✻✳✶✵ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♣❡❛❦ r❡❛❝❤❡❞ ❜② t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❧♦✇❡r ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❤✐❣❤❡r ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s✱ ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ ❛ ❧♦✇❡r ❧❡✈❡❧ ♦❢ ❛❣❣r❡❣❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳ ❚❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❢❛✐❧s ✐♥ ❝❛♣t✉r✐♥❣ t❤❡ ❝♦❧♦♥✐❡s ❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ✐s ✉♥❞❡r✲❡st✐♠❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❤❛s ❛♥ ✐♠♣❛❝t ♦♥ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡✲❞❡♥s✐t② ♦❢ t❤❡ ❜❛❝✲ t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r✳ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✶✶ s❤♦✇s t❤❡ t✐♠❡ ❝♦✉rs❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❋♦r ❤✐❣❤ ❞❡♥s✐t②✲ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s✱ t❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❞❡♥s✐t✐❡s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❛r❡ ❧♦✇❡r t❤❛♥ t❤❡ ❞❡♥s✐t✐❡s t❤❛t r❡s✉❧ts ❢r♦♠ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s ✐♥❝r❡❛s❡s t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞s ❧♦✇❡r ❡q✉✐✲ ❧✐❜r✐✉♠ ❞❡♥s✐t✐❡s✳ ❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❜♦t❤ ♠♦❞❡❧s ✈❛♥✐s❤❡s ❢♦r ❤✐❣❤❡r ❞❡♥s✐t②✲ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s ❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ✻✳✹ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❲❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❛ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ t❤❛t ❞❡s❝r✐❜❡s ❝♦❧♦♥✐❡s ❢♦r♠❛t✐♦♥ ❞✉❡ t♦ t♦ ❜❛❝t❡r✐❛ ♠♦t✐❧✐t② r❡❞✉❝t✐♦♥ ❜② ❛ s❡❧❢✲♣r♦❞✉❝❡❞ ♣♦❧②♠❡r✳ ❇♦t❤ ♠♦❞❡❧s ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r ✜✈❡ ♣r♦❝❡ss❡s t❛❦✐♥❣ ♣❧❛❝❡ ❛t t❤❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳ ❚♦ ❛♥❛❧②③❡ t❤❡s❡ ♠♦❞❡❧s ✇❡ ♣r♦❝❡❡❞ ♣r♦❣r❡ss✐✈❡❧② st❛rt✐♥❣ ✇✐t❤ ❛ ❞❡♥s✐t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦❞❡❧ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② s❡tt✐♥❣ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❢❛❝t♦rs t♦ ③❡r♦✳ ❲❡ s❤♦✇ t❤❛t ✐♥ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ♠♦t✐❧✐t②✱ ❝♦❧♦♥✐❡s ❢♦r♠ ❛s ❛ r❡s✉❧t ♦❢ t❤❡ ❧♦✇ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❛♥❞ t❤❛t ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② t❡♥❞ t♦ ✐♥❝r❡❛s❡ t❤✐s ❞✐s♣❡rs✐♦♥ r❛♥❣❡ ♣r❡✈❡♥t✐♥❣ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s✳ ▼♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ t❤❡ ■❇▼ ❝♦♠♣❛r❡ ✈❡r② ✇❡❧❧ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ♣♦s✐t✐♦♥s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❝❛♣t✉r❡❞ t❤❡ ♠❛✐♥ ❢❡❛t✉r❡s ♦❢ t❤❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ♣❛tt❡r♥s ❛♥❞ ❛r❡ ✐♥ ❛ ❣♦♦❞ ❛❣r❡❡♠❡♥t ✇✐t❤ t❤♦s❡ ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❙t❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ✇✐t❤ ❛ ❧♦♥❣✲♠♦t✐❧✐t② r❛♥❣❡ ✭♥♦ ❝♦❧♦♥✐❡s ❢♦r✲ ♠❛t✐♦♥✮ ✇❡ t❤❡♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t②✳ ❖✉r r❡s✉❧ts s❤♦✇❡❞ t❤❛t ❝♦❧♦♥✐❡s ❢♦r♠ ❞✉❡ t♦ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ✐♥❝r❡❛s❡s ❛❜♦✈❡ ❛ t❤r❡s❤♦❧❞ ✈❛❧✉❡✳ ❲❤✐❧❡ ✐♥ ❛✈❡r❛❣❡✱ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ✶✶✷ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼ ✭❛✮ ✭❜✮ d1 = d′2 = 0.05 d′1 = d′2 = 0.1 t = 400 ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ b1 = b2 = 0.12✱ d1 = d2 = 0.1✱ m1 = 1.0✱ wd = 5 ❋✐❣✉r❡ ✻✳✾✿ ■❇▼ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛t t✐♠❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✳ m2 = 2.0✱wb = 5✱ wm = 15 ❛♥❞ ✻✳✹✳ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ✶✶✸ ✭❛✮ ✭❜✮ d1 = d′2 = 0.05 d1 = d′2 = 0.1 ❋✐❣✉r❡ ✻✳✶✵✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ r❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛t t✐♠❡ t = 400✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧s ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡✿b1 = b2 = 0.12✱ d1 = d2 = 0.1✱ m1 = 1.0✱ m2 = 2.0✱wb = 5✱ wm = 15 ❛♥❞ wd = 5 ✶✶✹ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼ ✭❛✮ ✭❜✮ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✶✶✿ d1 = d′2 = 0.05 d1 = d′2 = 0.1 ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ t✐♠❡ ❝♦✉rs❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ Nb ❛♥❞ Np ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧s ♣❛r❛♠❡t❡rs b1 = b2 = 0.12✱ d1 = d2 = 0.1✱ m1 = 1.0✱ m2 = 2.0✱wb = 5✱ wm = 15 ❛♥❞ wd = 5 ♣♦❧②♠❡r ❛r❡✿ ✻✳✹✳ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ✶✶✺ ❞❡♥s✐t② ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s r❡♠❛✐♥ ❜❡❧♦✇ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞✱ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐♥ ❧♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r ❞❡♥s✐t✐❡s ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ♣✉s❤❡❞ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥✲ s✐t② ❛❜♦✈❡ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞ ✇❤✐❝❤ ✐♥✐t✐❛t❡❞ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s✳ ❚❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❞♦ ♥♦t ❝❛♣t✉r❡ t❤✐s ♣r♦❝❡ss✱ ❛s t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥ts ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t②✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✇❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞ ❤♦✇ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞❡♥✲ s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② ✐s ❛✛❡❝t❡❞ ❜② t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ❦❡r♥❡❧ sm ✳ ❙✉r♣r✐s✲ ✐♥❣❧② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② r❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ t❡♥❞ t♦ ♣r♦♠♦t❡ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s✳ ▲♦♥❣ r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t②✱ ❛❧❧♦✇✐♥❣ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ t♦ tr❛✈❡❧ ♦✈❡r ❧♦♥❣❡r ❞✐s✲ t❛♥❝❡s✱ ✐♥❝r❡❛s❡s t❤❡✐r ❝❤❛♥❝❡ t♦ ❝r♦ss ❧♦❝❛t✐♦♥s ✇❤❡r❡ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r ❞❡♥s✐t② ❡①❝❡❡❞s t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞ ✈❛❧✉❡✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ ✐♥✢✉❡♥❝❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ❛♥❞ ❜❛❝t❡r✐❛ ❣♦❡s t❤❡ ♦t❤❡r ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t②✳ ❉❡t❛❝❤♠❡♥t ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ✐♥❝r❡❛s❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r 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❛ ♥❡✇❜♦r♥ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ x′ ❣✐✈❡♥ ❜②✿ ❉✐✈✐s✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✿ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ ❧♦❝❛t✐♦♥ B(x, x′ ) = b1 ✭✼✳✶✮ ✇❤❡r❡ b1 ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡✳ • ❉❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❝❡ss✿ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ ❧♦❝❛t✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② D(x) x ❞❡t❛❝❤❡s ✇✐t❤ ❛ ❞❡♥s✐t②✲ ❣✐✈❡♥ ❜②✿ D(x) = d1 + d′1 ploc d (x) ✇❤❡r❡ d1 ❛♥❞ d′1 ✭✼✳✷✮ ❛r❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡✲ t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s ❛♥❞ ploc d (x) ✐s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ x✳ ploc (x) ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦❢ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ♦♥ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t d ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧ K(||x − K(||x − x′ || = wd • x✳ x′ ||/w  ❲❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ t❤✐s ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ✉s✐♥❣ t❤❡ d ) ❣✐✈❡♥ ❜②✿ 1/wd 0 ✐❢ ||x − x′ || < wd ✭✼✳✸✮ ❡❧s❡ ▼♦t✐❧✐t②✿ ✇❡ ♠♦❞❡❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ♠♦t✐❧✐t② ❛s ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡ ❢♦r ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ x t♦ ♠♦✈❡ t♦ ❛ ❧♦❝❛t✐♦♥ x′ ❞❡❝r❡❛s❡s ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥ x✳ ❚❤✉s✱ ✐♥ t❤✐s ♠♦❞❡❧ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r ♦❢ ❛ ❢♦❝❛❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ t❡♥❞ t♦ r❡❞✉❝❡s ✐ts ♠♦t✐❧✐t② ❛♥❞ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐ts ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ t♦ ♠♦✈❡ ❢r♦♠ x t♦ x′ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ M (x, x′ ) = [m1 − m2 ploc (x, wv )]K((x − x′ )/wm ) ✇❤❡r❡ m1 ❛♥❞ m2 ✭✼✳✹✮ ❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ❞❡♥s✐t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ ploc (x, wv ) ✐s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ♣❡r✲ x ❛♥❞ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ m(x − x′ )✳ ❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ [m1 − m2 ploc (x, wv )] ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ♠♦t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✭♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡✮ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ x✳ ❚❤✐s ❡①✲ ♣r❡ss✐♦♥ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ♣♦s✐t✐✈❡✳ ■❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❞❡♥s✐t② ploc (x, wv ) ✐s ❤✐❣❤❡r t❤❛t t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ m1 /m2 t❤❛♥ t❤❡ ♠♦t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ x ✐s ❝❡✐✈❡❞ ❜② ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ ✇✐t❤ ❛ s✐③❡ wv ❛♥❞ s❡t t♦ ③❡r♦✳ ❆ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✐s ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✇✐t❤ ❛ ♥✉♠❜❡r N0 ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝❡❧❧s ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✼✳✶✳ ✼✳✷✳ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❧♦r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ■❇▼ ✶✶✾ P❛r❛♠❡t❡rs ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❱❛❧✉❡ L ❉♦♠❛✐♥ s✐③❡ 201 × 201 ∆L ❙♣❛t✐❛❧ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ 1 b1 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ 0.1 d1 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.0 d2 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.4 m1 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ 0.0 ♦r 1.0 m2 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ 0.0 ♦r 3.0 wb ❯♥✐❢♦r♠ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ s✐❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ wd ❯♥✐❢♦r♠ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ s✐❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ wv ❯♥✐❢♦r♠ ♠♦t✐❧✐t② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ s✐❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ wm ❯♥✐❢♦r♠ ♠♦t✐❧✐t② ❦❡r♥❡❧ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❚❛❜❧❡ ✼✳✶✿ ▼♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❆ ♠❛❥♦r ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤✐s s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ✇✐t❤ t❤❡ ■❇▼ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❝❤❛♣t❡r ✭❈❤❛♣t❡r ✻✮ ✐s t❤❛t t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s t❤❡♠s❡❧✈❡s r❛t❤❡r t❤❛♥ ♦♥ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ t❤❡ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t✳ ❚❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ❜❡❤✐♥❞ t❤✐s s✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ✐s t❤❛t t❤❡ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝ts ❛♥❞ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s s♣❛t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦rr❡❧❛t❡❞ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜rst ✐♥❞✉❝❡s ✭❛♥❞✴♦r r❡s✉❧ts ❢r♦♠✮ 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❊①♣❧♦r✐♥❣ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥s ✐♥ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ♦❢ ✶✷✹ ❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✭❛✮ t=0 ✭❜✮ t = 20 ✭❝✮ t = 40 ✭❞✮ t = 60 ✭❡✮ t = 80 ✭❢✮ t = 740 ❋✐❣✉r❡ ✼✳✺✿ ❙♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❛t ❞✐✛❡r❡♥t t✐♠❡s✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = 0.15✱ wb = 3✱ wd = 19✱ wm = 31✱ wv = 19✱ m1 = 1.0 ❛♥❞ m2 = 3.0 ✼✳✸✳ ❉❡r✐✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✭❛✮ t = 40 ✭❜✮ t = 80 ✭❝✮ ✶✷✺ t = 740 ❋✐❣✉r❡ ✼✳✻✿ ❚✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❛rt❡s✐❛♥ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡✲ t❡rs ❛r❡ b1 = 0.15✱ wb = 3✱ wd = 19✱ wm = 31✱ wv = 19✱ m1 = 1.0 ❛♥❞ m2 = 3.0 ❈❤❛♣t❡r ✼✳ ❊①♣❧♦r✐♥❣ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥s ✐♥ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ♦❢ ✶✷✻ ❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✭❛✮ t = 40 ✭❜✮ t = 80 ✭❝✮ t = 740 ❋✐❣✉r❡ ✼✳✼✿ ❚✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✬r❛❞✐❛❧✬ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = 0.15✱ wb = 3✱ wd = 19✱ wm = 31✱ wv = 19✱ m1 = 1.0 ❛♥❞ m2 = 3.0 ✼✳✸✳ ❉❡r✐✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✶✷✼ ❋✐❣✉r❡ ✼✳✽✿ ❚✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ N dN = b1 N − d1 N − d′1 dt Z C(ξ)K  ||ξ|| wd  ✭✼✳✺✮ dξ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ✐s ♥♦t ✐♥✈♦❧✈❡❞ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✼✳✺ ❛s t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ ❛♥ ✐♥❞✐✲ ✈✐❞✉❛❧ ❢r♦♠ ♦♥❡ ♣♦s✐t✐♦♥ t♦ ❛♥♦t❤❡r ❞♦❡s ♥♦t ❛✛❡❝t t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ♠♦t✐❧✐t② ♠❛② ❛✛❡❝ts t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥❞✐r❡❝t❧② ❜② ♠♦❞✲ ✐❢②✐♥❣ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❛♥❞ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② t❤❡✐r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s s❡♣❛r❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✳ ❚❤✐s ❞❡♥s✐t② ✐s ❛✛❡❝t❡❞ ❜② ❞✐✈✐s✐♦♥✱ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❛♥❞ ♠♦t✐❧✐t② ❡✈❡♥ts✿ dC(ξ) = dt  dC(ξ) dt  + division  dC(ξ) dt  + detachment  dC(ξ) dt  ✭✼✳✻✮ motility ❚❤❡ ✜rst t✇♦ t❡r♠s ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ ❞❡t❛✐❧❡❞ ✐♥ ❝❤❛♣t❡r ✹✳ ❚❤❡ ✜rst t❡r♠❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ♥❡t ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ C(ξ) ❞✉❡ t♦ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❡✈❡♥ts ✇❤✐❧❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ♥❡t ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ C(ξ) ❞✉❡ t♦ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❡✈❡♥ts✳ ❚❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥ ✼✳✻ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ♥❡t ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✳ ❚❤✐s t❡r♠ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ ❈❤❛♣t❡r ✼✳ ❊①♣❧♦r✐♥❣ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥s ✐♥ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ♦❢ ✶✷✽ ❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛  dC(ξ) dt  = ✭✼✳✼✮ motility   ||ξ|| − m1 C(ξ) + m2 K C(ξ) ✭✼✳✽✮ wv  ′′  Z ||ξ || + m2 K T (ξ, ξ ′′ )dξ ′′ wv  ′  Z ||ξ || + m1 K Cbb (ξ + ξ ′ )dξ ′ wm  ′   ′′  Z Z ||ξ || ||ξ || K T (ξ + ξ ′ , ξ ′′ )dξ ′ dξ ′′ K − m2 wm wv    ′  Z ||ξ || ||ξ + ξ ′ || K C(ξ + ξ ′ )dξ ′ − m2 K wv wm ❚❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ✐s ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ✺ t❡r♠s✿ • t❤❡ ✜rst t❡r♠ ❞❡♥♦t❡s ❢♦r t❤❡ ♣❛✐rs ij ❧♦st ❞✉❡ t♦ t❤❡ ♠✐❣r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i • t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❝♦rr❡❝ts t❤❡ ✜rst t❡r♠ ❜② ❛❞❞✐♥❣ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ j ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ♣❛✐r ij ♦♥ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i • t❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦rs ♦❢ ❛ ❢♦❝❛❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i ♦♥ t❤❡ ✐ts ♠♦t✐❧✐t② ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ tr✐♣❧❡t ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣❛✐r ij ❛♥❞ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r k ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ′′ • t❤❡ ❢♦✉rt❤ t❡r♠ 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