Differential Equation over Banach Algebra

arXiv:1801.01628v1 [math.GM] 5 Jan 2018 Differential Equation over Banach Algebra Aleks Kleyn Aleks [email protected] http://AleksKleyn.dyndns-home.com:4080/ http://sites.google.com/site/AleksKleyn/ http://arxiv.org/a/kleyn_a_1 http://AleksKleyn.blogspot.com/ Abstract. In the book, I considered differential equations of order 1 over Banach D-algebra: differential equation solved with respect to the derivative; exact differential equation; linear homogeneous equation. In noncommutative Banach algebra, initial value problem for linear homogeneous equation has infinitely many solutions. Contents Chapter 1. Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapter 2. Preliminary Statements . . . . . . . 2.1. Module of Linear Maps into D-Algebra . 2.2. Direct Sum of D-modules . . . . . . . . 2.3. Direct Sum of Banach D-Modules . . . . . . . . 5 5 6 12 Chapter 3. Differential Equation Solved with Respect to the dy 3.1. Differential Equation =1⊗x+x⊗1. . . . . . . dx dy 3.2. Differential Equation = 3x ⊗ x . . . . . . . . . . dx 3.3. Before Going Any Further . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Forms of representation of differential equations . . . 3.5. Condition of Integrability . . . . . . . . . . . . . . . Derivative . . . 16 . . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 30 30 31 Chapter 4. Differential Equation of First Order . . . . 4.1. Differential Equation with Separated Variables 4.2. Exact Differential Equation . . . . . . . . . . . 4.3. Linear Homogeneous Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 35 37 41 Appendix A. Summary of Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1. Table of Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Table of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 45 48 Appendix. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Appendix. Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Appendix. Special Symbols and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 CHAPTER 1 Preface When I began to study noncommutative algebra, I could write a linear map only together with its argument. Tensor representation of linear map allowed me to simplify notation and expanded the field of my research. Now I am ready to study differential equations over Banach algebra. Since the product is noncommutative, the set of equations which I can consider is more limited than in the commutative case. However the set of differential equations considered in this book is source of extremely interesting theory. Derivative of map in Banach spaces has different representations: if we consider a map f of D-algebra A represented using coordinates with respect to basis of Dmodule A, then derivative is represented by Jacoby matrix of the map f ; if we consider coordinateless representation of the map f , then derivative is represented by A ⊗ A- number. So I decided to write this paper such way that somebody can use it regardless of the presentation, and, in examples, I want to consider solving of differential equation in different representations. I dedicated the chapter 3 to differential equation solved with respect to the derivative. To make the picture complete, I consider different forms of representation of differential equation and compare the results. Examples in the text give ability to see how calculations work in noncommutative algebra. At the same time, these examples are source of new ideas and they are an integral part of the book. The statement that problem with initial condition for linear homogeneous equation has infinitely many solutions was the most interesting and unexpected statement. 4 CHAPTER 2 Preliminary Statements 2.1. Module of Linear Maps into D-Algebra Let A be D-module. Let B be free finite dimensional associative D-algebra. According to the theorem [9]-6.4.8, left B ⊗ B-module L(D; A → B) has finite basis F AB . However, it is obvious that in the general case the choice of this basis is arbitrary. At the same time, the choice of basis F of left B ⊗ B-module L(D; B → B) is usually associated with a structure of D-algebra B. So the question arises whether there exists relation between bases F AB and F . Theorem 2.1.1. Let n = dim A, m = dim B. Let F be basis of left B ⊗ Bmodule L(D; B → B). Let n ≤ m. Let G:A→B be linear map of maximal rank. The set (2.1.1) F ◦ G = {Fk ◦ G : Fk ∈ F } generates left B ⊗ B-module 2.1 L(D; A → B). Proof. Let g:A→B be a linear map. Let eA be the basis of D-module A. Let eB be the basis of Dmodule B. According to the theorem [9]-4.2.3, the linear map G has coordinates   G11 ... G1n     G =  ... ... ...    ... Gm Gm 1 n with respect to bases eA , eB and the linear map g has coordinates   1 g11 ... gn     g =  ... ... ...    m g1m ... gn with respect to bases eA , eB . A row Gi of the matrix G, as well a row gi of the matrix g, is coordinates of linear form A → D. Since the matrix G has maximal rank, then rows of the matrix G generate D-module L(D; A → D) and rows of the matrix g are linear combination of rows of the matrix G (2.1.2) gki = Cji Gjk 2.1 I do not claim that this set is a basis, because maps F ◦ G, i ∈ I, can be linearly dependent. i 5 6 2. Preliminary Statements Since we can consider the matrix C as coordinates of linear map C:B→B then the equality gki = (c1.k.l Fk· ij c2.k.l )Gjk (2.1.3) follows from the equality (2.1.2) and from the equality C = c1.k.l Fk c2.k.l Since Gjk ∈ D, then the equality gki = c1.k.l (Fk· ij Gjk )c2.k.l (2.1.4) follows from the equality (2.1.3). Therefore, the map g belongs to linear span of the set of maps (2.1.1).  Theorem 2.1.2. Let n = dim A, m = dim B. Let F be basis of left B ⊗ Bmodule L(D; B → B). Let n > m. Let G:A→B be linear map of maximal rank. The set F ◦ G = {Fk ◦ G : Fk ∈ F } generates the set of maps (2.1.5) {g ∈ L(D; A → B) : ker G ⊆ ker g} Proof. The proof of the theorem is similar to the proof of the theorem 2.1.1. However, since number of rows of the matrix G less then dimention of D-module A, then rows of the matrix G do not generate D-module L(D; A → D) and the map G has non trivial kernel. In particular, rows of the matrix g linearly depend on rows of the matrix G iff ker G ⊆ ker g.  From the theorem 2.1.2, it follows that choice of the map G depends on the map g. It is easy to see that theorem 2.1.1 is particular case of the theorem 2.1.2, because, in the theorem 2.1.2, ker G = ∅. 2.2. Direct Sum of D-modules Definition 2.2.1. Let A be a category. Let {Bi , i ∈ I} be the set of objects of A. Object a P = Bi i∈I and set of morphisms {fi : Bi → P, i ∈ I} is called a coproduct of set of objects {Bi , i ∈ I} in category A 2.2 if for any object R and set of morphisms {gi : Bi → R, i ∈ I} there exists a unique morphism h:P →R 2.2 I made definition according to [1], page 59. 2.2. Direct Sum of D-modules 7 such that diagram P o fi h ◦ fi = gi Bi ⑦ ⑦ ⑦⑦ h ⑦⑦ g  ~⑦⑦ i R is commutative for all i ∈ I. If |I| = n, then we also will use notation n a a a P = Bi = B1 ... Bn i=1 for coproduct of set of objects {Bi , i ∈ I} in A.  Definition 2.2.2. Coproduct in category of Abelian groups Ab is called direct sum. 2.3 We will use notation A ⊕ B for direct sum of Abelian groups A and B.  Theorem 2.2.3. Let {Ai , i ∈ I} be set of Abelian groups. Let Y A⊆ Ai i∈I be such set that (xi , i ∈ I) ∈ A, if xi 6= 0 for finite number of indices i. Then 2.4 M (2.2.1) A= Ai i∈I Proof. According to construction, A is subgroup of Abelian group map λj : Aj → A defined by the equality Q Ai . The λj (x) = (δji x, i ∈ I) (2.2.2) is an injective homomorphism. Let {fi : Ai → B, i ∈ I} be set of homomorphisms into Abelian group B. We define the map f :A→B by the equality (2.2.3) f M xi i∈I ! = X fi (xi ) i∈I The sum in the right side of the equality (2.2.3) is finite, since all summands, except for a finite number, equal 0. From the equality fi (xi + yi ) = fi (xi ) + fi (yi ) 2.3 See also definition in [1], pages 36, 37. 2.4 See also proposition [1]-7.1, page 37. 8 2. Preliminary Statements and the equality (2.2.3), it follows that M X X f( (xi + yi )) = fi (xi + yi ) = (fi (xi ) + fi (yi )) i∈I i∈I = X i∈I fi (xi ) + i∈I X fi (yi ) i∈I M M = f( xi ) + f ( yi ) i∈I i∈I Therefore, the map f is homomorphism of Abelian group. The equality X f ◦ λj (x) = fi (δji x) = fj (x) i∈I follows from equalities (2.2.2), (2.2.3). Since the map λi is injective, then the map  f is unique. Therefore, the theorem folows from definitions 2.2.1, 2.2.2. Theorem 2.2.4. Direct sum of Abelian groups A1 , ..., An coincides with their Cartesian product A1 ⊕ ... ⊕ An = A1 × ... × An  Proof. The theorem follows from the theorem 2.2.3. Let A = A1 ⊕ ... ⊕ An be direct sum of Abelian groups A1 , ..., An . According to the proof of the theorem 2.2.3, any A-number a has form (a1 , ..., an ) where ai ∈ Ai . We also will use notation a = a1 ⊕ ... ⊕ an Definition 2.2.5. Coproduct in category of D-modules is called direct sum. 2.5 We will use notation A ⊕ B for direct sum of D-modules A and B.  Theorem 2.2.6. Let {Ai , i ∈ I} be set of D-modules. Then the representation ! M M M D ∗ / Ai d dai ai = i∈I i∈I i∈I of the ring D in direct sum of Abelian groups M A= Ai i∈I is direct sum of D-modules A= M Ai i∈I Proof. Let {fi : Ai → B, i ∈ I} be set of linear maps into D-module B. We define the map f :A→B 2.5 See also definition in [1], pages 36, 37. 2.2. Direct Sum of D-modules 9 by the equality (2.2.4) M f xi i∈I ! = X fi (xi ) i∈I The sum in the right side of the equality (2.2.4) is finite, since all summands, except for a finite number, equal 0. From the equality fi (xi + yi ) = fi (xi ) + fi (yi ) and the equality (2.2.4), it follows that M X X f( (xi + yi )) = fi (xi + yi ) = (fi (xi ) + fi (yi )) i∈I i∈I = X i∈I fi (xi ) + i∈I X fi (yi ) i∈I M M = f( xi ) + f ( yi ) i∈I From the equality i∈I fi (dxi ) = dfi (xi ) and the equality (2.2.4), it follows that X X X f ((dxi , i ∈ I)) = fi (dxi ) = dfi (xi ) = d fi (xi ) i∈I i∈I i∈I = df ((xi , i ∈ I)) Therefore, the map f is linear map. The equality X f ◦ λj (x) = fi (δji x) = fj (x) i∈I follows from equalities (2.2.2), (2.2.4). Since the map λi is injective, then the map f is unique. Therefore, the theorem folows from definitions 2.2.1, 2.2.2.  Theorem 2.2.7. Direct sum of D-modules A1 , ..., An coincides with their Cartesian product A1 ⊕ ... ⊕ An = A1 × ... × An Proof. The theorem follows from the theorem 2.2.6. 1 n Theorem 2.2.8. Let A , ..., A be D-modules and 1 A = A ⊕ ... ⊕ An Let us represent A-number a = a1 ⊕ ... ⊕ an as column vector Let us represent a linear map  a1      a =  ...    an f :A→B  10 2. Preliminary Statements as row vector  f = f1 ... fn  fi : Ai → B Then we can represent value of the map f in A-number a as product of matrices   a1       (2.2.5) f ◦ a = f1 ... fn ◦ ◦  ...  = fi ◦ ai   an Proof. The theorem follows from the definition (2.2.4). 1 Theorem 2.2.9. Let B , ..., B m  be D-modules and 1 B = B ⊕ ... ⊕ B m Let us represent B-number b = b1 ⊕ ... ⊕ bm as column vector  b1      b =  ...    bm Then the linear map f :A→B has representation as column vector of maps   f1     f =  ...    fm such way that, if b = f ◦ a, then       b1 f1 f1 ◦ a              ...  =  ...  ◦ a =  ...        bm fm fm ◦ a Proof. The theorem follows from the theorem [9]-2.1.5. 1 n Theorem 2.2.10. Let A , ..., A , 1 B , ..., B 1 n A = A ⊕ ... ⊕ A B = B 1 ⊕ ... ⊕ B m Let us represent A-number a = a1 ⊕ ... ⊕ an as column vector  a1      a =  ...    an m be D-modules and  2.2. Direct Sum of D-modules 11 Let us represent B-number b = b1 ⊕ ... ⊕ bm as column vector  b1      b =  ...    bm Then the linear map f has representation  f1  1  f =  ...  f1m as a matrix of maps  ... fn1   ... ...   ... fnm such way that, if b = f ◦ a, then         f11 ... fn1 b1 a1 fi1 ◦ ai                 (2.2.6)  ...  =  ... ... ...  ◦ ◦  ...  =  ...          bm f1m ... fnm an fim ◦ ai The map fji : Aj → B i is a linear map and is called partial linear map. Proof. According to the theorem 2.2.9, there exists the set of linear maps f i : A → Bi such that (2.2.7)  b1   f1   f1 ◦ a               ...  =  ...  ◦ a =  ...        bm fm fm ◦ a According to the theorem 2.2.8, for every i, there exists the set of linear maps fji : Aj → B i such that (2.2.8)  f i ◦ a = f1i If we identify matrices  f1  1    f1m ... fni ... fn1   ◦ ◦  a1       ...  = fji ◦ aj   an  f11      =  ... ...   f1m ... fnm ... fn1    ... ...   ... fnm then the equality (2.2.6) follows from equalities (2.2.7), (2.2.8).  12 2. Preliminary Statements Let B 1 , ..., B m be D-algebras. Then we can represent linear map fji using B ⊗ B i -number. i 2.3. Direct Sum of Banach D-Modules Theorem 2.3.1. Let A1 , ..., An be Banach D-modules and A = A1 ⊕ ... ⊕ An Then, in D-module A, we can introduce norm such that D-module A is Banach Dmodule. Proof. Let kai ki be norm in D-module Ai . 2.3.1.1: We introduce norm in D-module A by the equality kbk = max(kbi ki , i = 1, ..., n) where b = b1 ⊕ ... ⊕ bn 2.3.1.2: Let {ap }, p = 1, ..., be fundamental sequence where ap = a1p ⊕ ... ⊕ anp 2.3.1.3: Therefore, for any ǫ ∈ R, ǫ > 0, there exists N such that for any p, q>N kap − aq k < ǫ 2.3.1.4: According to statements 2.3.1.1, 2.3.1.2, 2.3.1.3, kaip − aiq ki < ǫ for any p, q > N and i = 1, ..., n. 2.3.1.5: Therefore, the sequence {aip }, i = 1, ..., n, p = 1, ..., is fundamental sequence in D-module Ai and there exists limit ai = lim aip p→∞ 2.3.1.6: Let a = a1 ⊕ ... ⊕ an 2.3.1.7: According to the statement 2.3.1.5, for any ǫ ∈ R, ǫ > 0, there exists Ni such that for any p > Ni kai − aip ki < ǫ 2.3.1.8: Let N = max(N1 , ..., Nn ) 2.3.1.9: According to statements 2.3.1.6, 2.3.1.7, 2.3.1.8, for any ǫ ∈ R, ǫ > 0, there exists N such that for any p > N ka − ap ki < ǫ 2.3.1.10: Therefore, a = lim ap p→∞ The theorem follows from statements 2.3.1.1, 2.3.1.2, 2.3.1.10. Using the theorem 2.3.1, we can consider the derivative of a map f : A1 ⊕ ... ⊕ An → B 1 ⊕ ... ⊕ B m  2.3. Direct Sum of Banach D-Modules Theorem 2.3.2. Let A1 , ..., An , 13 B 1 , ..., B m be Banach D-modules and A = A1 ⊕ ... ⊕ An B = B 1 ⊕ ... ⊕ B m Let us represent differential dx = dx1 ⊕ ... ⊕ dxn as column vector  dx1      dx =  ...    dxn Let us represent differential dy = dy 1 ⊕ ... ⊕ dy m as column vector  dy 1      dy =  ...    dy m Then the derivative of the map f :A→B f = f 1 ⊕ ... ⊕ f m has representation ∂f 1  ∂x1  df = ... dx   ∂f m ∂x1  such way that (2.3.1) ∂f 1 dy    ∂x1     ...  =  ...     ∂f m m dy ∂x1  1   ... ... ... ... ... ...  ∂f 1 ∂xn   ...   ∂f m  ∂xn      ∂f 1 ∂f 1 i 1 ◦ dx  dx i   ∂xn    ◦  ∂x    ...  =  ... ...   ◦      m  m ∂f ∂f n i dx ◦ dx n i ∂x ∂x ∂f i is called partial derivative and ∂xj i this map is the derivative of map f with respect to variable xj assuming that other coordinates of A-number x are fixed. ⊙ Statement 2.3.3. The linear map Proof. The equality (2.3.1) follows from the equality (2.2.6). We can represent the map f i : A → Bi as f i (x) = f i (x1 , ..., xn ) 14 2. Preliminary Statements The equality ∂f i (x1 , ..., xn ) df i (x) ◦ dxj ◦ dx = dx ∂xj follows from the equality (2.3.1). According to the theorem [10]-3.3.4, (2.3.2) df i (x) ◦ dx = lim (t−1 (f ( x + tdx) − f (x))) t→0, t∈R dx = lim (t−1 (f i (x1 + tdx1 , x2 + tdx2 , ..., xn + tdxn ) t→0, t∈R − f i (x1 , x2 + tdx2 , ..., xn + tdxn ) + f i (x1 , x2 + tdx2 , ..., xn + tdxn ) − ... (2.3.3) − f i (x1 , x2 , ..., xn ))) = lim t→0, t∈R (t−1 (f i (x1 + tdx1 , x2 + tdx2 , ..., xn + tdxn ) − f i (x1 , x2 + tdx2 , ..., xn + tdxn ))) + ... + lim t→0, t∈R (t−1 (f i (x1 , ..., xn + tdxn ) − f i (x1 , ..., xn ))) = f1i ◦ dx1 + ... + fni ◦ dxn where fji is the derivative of map f i with respect to variable xj assuming that other coordinates of A-number x are fixed. The equality ∂f i (x1 , ..., xn ) ∂xj follows from equalities (2.3.2), (2.3.3). The statement 2.3.3 follows from the equality (2.3.4).  (2.3.4) fji = Example 2.3.4. Consider map (2.3.5) y 1 = f 1 (x1 , x2 , x3 ) = (x1 )2 + x2 x3 y 2 = f 2 (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + (x3 )2 Therefore ∂y 1 ∂y 1 ∂y 1 = x1 ⊗ 1 + 1 ⊗ x1 = 1 ⊗ x3 = x2 ⊗ 1 1 2 ∂x ∂x ∂x3 ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2 2 1 = 1 ⊗ x = x ⊗ 1 = x3 ⊗ 1 + 1 ⊗ x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 and the derivative of the map (2.3.5) is   x1 ⊗ 1 + 1 ⊗ x1 1 ⊗ x3 x2 ⊗ 1 df  (2.3.6) = dx 1 ⊗ x2 x1 ⊗ 1 x3 ⊗ 1 + 1 ⊗ x3 The equality dy 1 = (x1 ⊗ 1 + 1 ⊗ x1 ) ◦ dx1 + (1 ⊗ x3 ) ◦ dx2 + (x2 ⊗ 1) ◦ dx3 (2.3.7) = x1 dx1 + dx1 x1 + dx2 x3 + x2 dx3 dy 2 = (1 ⊗ x2 ) ◦ dx1 + (x1 ⊗ 1) ◦ dx2 + (x3 ⊗ 1 + 1 ⊗ x3 ) ◦ dx3 = dx1 x2 + x1 dx2 + x3 dx3 + dx3 x3 2.3. Direct Sum of Banach D-Modules 15 follows from the equality (2.3.6). We also can get the expression (2.3.7) by direct calculation dy 1 = f 1 (x + dx) − f 1 (x) = (x1 + dx1 )2 + (x2 + dx2 )(x3 + dx3 ) − (x1 )2 − x2 x3 = (x1 )2 + x1 dx1 + dx1 x1 + x2 x3 + dx2 x3 + x2 dx3 − (x1 )2 − x2 x3 (2.3.8) = x1 dx1 + dx1 x1 + dx2 x3 + x2 dx3 dy 2 = f 2 (x + dx) − f 2 (x) = (x1 + dx1 )(x2 + dx2 ) + (x3 + dx3 )2 − x1 x2 − (x3 )2 = x1 x2 + dx1 x2 + x1 dx2 + (x3 )2 + x3 dx3 + dx3 x3 − x1 x2 − (x3 )2 = dx1 x2 + x1 dx2 + x3 dx3 + dx3 x3  CHAPTER 3 Differential Equation Solved with Respect to the Derivative dy = 1⊗x+x⊗1 dx Definition 3.1.1. Let A, B be Banach D-modules. The map 3.1. Differential Equation g : A → L(D; A → B) is called integrable, if there exists a map f :A→B such that Then we use notation df (x) = g(x) dx Z f (x) = g(x) ◦ dx and the map f is called indefinite integral of the map g.  It is convenient to use table of derivatives 3.1 and table of integrals 3.2 to solve differential equation dy = g(x) dx if the map g is simple. Definition 3.1.2. If there exist indefinite integral Z g(x) ◦ dx then differential equation dy = g(x) dx is called integrable.  Example 3.1.3. Let A be Banach algebra. According to the theorem A.2.7, the map y = x2 + C is solution of the differential equation dy =x⊗1+1⊗x (3.1.1) dx 3.1 In case of maps of real field, see for instance sections [12]-95, [2]-2.3. In case of maps of Banach algebra, see also section A.1. 3.2 In case of maps of real field, see for instance sections [13]-265, [2]-4.4. In case of maps of Banach algebra, see also section A.2. 16 3.1. Differential Equation dy =1⊗x+x⊗1 dx 17 with initial condition x0 = 0 y0 = C  If D-algebra B has finite basis, then we can write the differential equation dy = g(x) dx as system of differential equations ∂y i = gji y = y i eB·i x = xi eA·i ∂xj In order that the calculations do not hide idea how to make transformation, we consider relatively simple example 3.1.3. We start with the differential equation (3.1.1) in complex field. The theorems 3.1.4, 3.1.6 are simple. But they are necessary to prepare the reader for the proof of the theorem 3.1.10. Theorem 3.1.4. The differential equation (3.1.1) in complex field has form of system of differential equations  ∂y 0 ∂y 0  0  = −2x1  ∂x0 = 2x ∂x1 (3.1.2) 1 1    ∂y = 2x1 ∂y = 2x0 0 ∂x ∂x1 with respect to the basis e0 = 1 e1 = i Proof. Since product in complex field is commutative, we can write differential equation (3.1.1) as follows (3.1.3) dy = 2x dx If we represent differentials dx, dy as vector-column, then, according to the theorem [7]-2.5.1, the equation (3.1.3) gets following form      dx0 2x0 −2x1 dy 0 =    (3.1.4) dy 1 2x1 2x0 dx1 Since the matrix of derivative has following  0 ∂y 0  ∂x dy =  dx ∂y 1 ∂x0 then the equality form  ∂y 0 ∂x1    ∂y 1 ∂x1  ∂y 0 ∂y 0    ∂x0 ∂x1  2x0 −2x1 =   (3.1.5)   1 ∂y ∂y 1 2x1 2x0 ∂x0 ∂x1 follows from (3.1.4). The system of differential equations (3.1.15) follows from the  equality (3.1.5).  18 3. Differential Equation Solved with Respect to the Derivative Lemma 3.1.5. Let x = x0 + x1 i be complex number. Then (3.1.6) x2 = (x0 )2 − (x1 )2 + 2x0 x1 i Proof. The equality (3.1.6) follows from the definition of product in complex field.  Theorem 3.1.6. The map y = x2 + C is solution of the system of differential equations (3.1.2) in complex field with initial condition x = 0 y0 = C 0 y1 = C 1 C = C 0 + C 1 i Proof. The map (3.1.7) y 0 = (x0 )2 + C10 (x1 ) is solution of the differential equation ∂y 0 = 2x0 ∂x0 From (3.1.2), (3.1.7), it follows that (3.1.8) ∂y 0 dC10 = = −2x1 1 ∂x dx1 The map (3.1.9) C10 (x1 ) = −(x1 )2 + C 0 is solution of the differential equation (3.1.8). The equality (3.1.10) y 0 = (x0 )2 − (x1 )2 + C 0 follows from equalities (3.1.7), (3.1.9). The map (3.1.11) y 1 = 2x0 x1 + C11 (x1 ) is solution of the differential equation ∂y 1 = 2x1 ∂x0 From (3.1.2), (3.1.11), it follows that (3.1.12) dC11 ∂y 1 = 2x0 + = 2x0 1 ∂x dx1 The map (3.1.13) C11 (x1 ) = C 1 is solution of the differential equation (3.1.12). The equality (3.1.14) y 1 = 2x0 x1 + C 1 follows from equalities (3.1.11), (3.1.13). The theorem follows from the comparison of equality (3.1.6) and equalities  (3.1.10), (3.1.14). We consider the differential equation (3.1.1) in quaternion algebra in the same way as we considered this differential equation in complex field. 3.1. Differential Equation dy =1⊗x+x⊗1 dx 19 Theorem 3.1.7. The differential equation (3.1.1) in quaternion algebra has form of system of differential equations  ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0   = 2x0 = −2x1 = −2x2 = −2x3  0 1 2  ∂x ∂x ∂x ∂x3       ∂y 1 ∂y 1 ∂y 1 ∂y 1  1 0  = 2x = 2x = 0 =0  ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 (3.1.15) 2 2   ∂y 2 ∂y 2  ∂y = 2x2 ∂y = 0 0  = 2x =0   ∂x1 ∂x2 ∂x3  ∂x0     3 3  ∂y 3 ∂y 3  ∂y = 2x3 ∂y = 0 =0 = 2x0 0 1 2 ∂x ∂x ∂x ∂x3 with respect to the basis e0 = 1 e1 = i e2 = j e3 = k Proof. We can write differential equation (3.1.1) as follows (3.1.16) dy = x dx + dx x If we represent differentials dx, dy as vector-column, then, according to theorems [8]-5.1, [8]-5.2, the equation (3.1.16) gets following form       dx0 dx0 dy 0        1  1  1 dy  dx  dx         2  = Jl (x)  2  + Jr (x)  2  dy  dx  dx        dy 3 dx3 dx3    x0 −x1 −x2 −x3 dx0     1    x x0 −x3 x2  dx1    =  2    x x3 x0 −x1  dx2     x3 −x2 x1 x0 dx3    (3.1.17) x0 −x1 −x2 −x3 dx0     1    x x0 x3 −x2  dx1    +  2    x −x3 x0 x1  dx2     x3 x2 −x1 x0 dx3    dx0 2x0 −2x1 −2x2 −2x3       1  2x1  dx  2x0 0 0   =    2 0   2x2  0 2x 0 dx     2x3 0 0 2x0 dx3 20 3. Differential Equation Solved with Respect to the Derivative Since the matrix of derivative has following form  0  ∂y ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0  ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3     1   ∂y ∂y 1 ∂y 1 ∂y 1   0   ∂x dy ∂x1 ∂x2 ∂x3   =  dx   ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2     ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3     3  ∂y ∂y 3 ∂y 3 ∂y 3 ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 then the equality  0  ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0 ∂y  ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3       1  2x0 −2x1 −2x2 −2x3 1 1 1   ∂y ∂y ∂y ∂y     0   1 0 1 2 3   ∂x   2x 2x 0 0 ∂x ∂x ∂x     (3.1.18) =   2     ∂y ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2   2x2 0 2x0 0      ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3  3 0   2x 0 0 2x  3  ∂y ∂y 3 ∂y 3 ∂y 3 ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 follows from (3.1.17). The system of differential equations (3.1.15) follows from the equality (3.1.18).  Lemma 3.1.8. Let x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k (3.1.19) y = y0 + y1i + y2 j + y3k be quaternions. Then (3.1.20) xy = x0 y 0 − x1 y 1 − x2 y 2 − x3 y 3 + (x0 y 1 + x1 y 0 + x2 y 3 − x3 y 2 )i + (x0 y 2 + x2 y 0 + x3 y 1 − x1 y 3 )j + (x0 y 3 + x3 y 0 + x1 y 2 − x2 y 1 )k Proof. The lemma follows from the definition [5]-11.2.1.  Lemma 3.1.9. Let x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k be quaternion. Then (3.1.21) x2 = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 + 2x0 x1 i + 2x0 x2 j + 2x0 x3 k Proof. The equality (3.1.22) x2 = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 + (x0 x1 + x1 x0 + x2 x3 − x3 x2 )i + (x0 x2 + x2 x0 + x3 x1 − x1 x3 )j + (x0 x3 + x3 x0 + x1 x2 − x2 x1 )k follows from the equality (3.1.20). The equality (3.1.21) follows from the equality  (3.1.22). 3.1. Differential Equation dy =1⊗x+x⊗1 dx 21 Theorem 3.1.10. The map y = x2 + C is solution of the system of differential equations (3.1.15) with initial condition x=0 y0 = C 0 y1 = C 1 y2 = C 2 y3 = C 3 C = C0 + C 1i + C 2j + C 3k Proof. The map (3.1.23) y 0 = (x0 )2 + C10 (x1 , x2 , x3 ) is solution of the differential equation ∂y 0 = 2x0 ∂x0 From (3.1.15), (3.1.23), it follows that (3.1.24) ∂y 0 ∂C10 = = −2x1 ∂x1 ∂x1 The map (3.1.25) C10 (x1 , x2 , x3 ) = −(x1 )2 + C20 (x2 , x3 ) is solution of the differential equation (3.1.24). The equality (3.1.26) y 0 = (x0 )2 − (x1 )2 + C20 (x2 , x3 ) follows from equalities (3.1.23), (3.1.25). From (3.1.15), (3.1.26), it follows that (3.1.27) ∂C20 ∂y 0 = = −2x2 2 ∂x ∂x2 The map (3.1.28) C20 (x2 , x3 ) = −(x2 )2 + C30 (x3 ) is solution of the differential equation (3.1.27). The equality (3.1.29) y 0 = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 + C30 (x3 ) follows from equalities (3.1.26), (3.1.28). From (3.1.15), (3.1.29), it follows that (3.1.30) ∂y 0 dC30 = = −2x3 ∂x3 dx3 The map (3.1.31) C30 (x3 ) = −(x3 )2 + C 0 is solution of the differential equation (3.1.30). The equality (3.1.32) y 0 = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 + C 0 follows from equalities (3.1.29), (3.1.31). The map (3.1.33) y 1 = 2x0 x1 + C11 (x1 , x2 , x3 ) is solution of the differential equation ∂y 1 = 2x1 ∂x0 From (3.1.15), (3.1.33), it follows that (3.1.34) ∂C11 ∂y 1 0 = 2x + = 2x0 ∂x1 ∂x1 22 3. Differential Equation Solved with Respect to the Derivative The map (3.1.35) C11 (x1 , x2 , x3 ) = C21 (x2 , x3 ) is solution of the differential equation (3.1.34). The equality (3.1.36) y 1 = 2x0 x1 + C21 (x2 , x3 ) follows from equalities (3.1.33), (3.1.35). From (3.1.15), (3.1.36), it follows that (3.1.37) ∂y 1 ∂C21 = =0 ∂x2 ∂x2 ∂y 1 ∂C21 = =0 ∂x3 ∂x3 The map (3.1.38) C21 (x2 , x3 ) = C 1 is solution of the system of differential equations (3.1.37). The equality (3.1.39) y 1 = 2x0 x1 + C 1 follows from equalities (3.1.36), (3.1.38). The similar way we see that (3.1.40) y 2 = 2x0 x2 + C 2 (3.1.41) y 3 = 2x0 x3 + C 3 The theorem follows from the comparison of equality (3.1.21) and equalities (3.1.32), (3.1.39), (3.1.40), (3.1.41).  dy = 3x ⊗ x dx In this section I consider the differential equation in which existence of a solution depends on choice of algebra. 3.2. Differential Equation Theorem 3.2.1. The differential equation dy = 3x ⊗ x (3.2.1) dx in complex field has form of system of differential equations  ∂y 0 ∂y 0  0 2 1 2  = −6x0 x1  ∂x0 = 3(x ) − 3(x ) ∂x1 (3.2.2) 1   ∂y 1  ∂y = 6x0 x1 = 3(x0 )2 − 3(x1 )2 ∂x0 ∂x1 with respect to the basis e0 = 1 e1 = i Proof. Since product in complex field is commutative, we can write differential equation (3.2.1) as follows (3.2.3) dy = 3x2 dx If we represent differentials dx, dy as vector-column, then, according to the theorem [7]-2.5.1 and lemma 3.1.5, the equation (3.2.3) gets following form      dy 0 dx0 (x0 )2 − (x1 )2 −2x0 x1   = 3   (3.2.4) dy 1 2x0 x1 (x0 )2 − (x1 )2 dx1 3.2. Differential Equation Since the matrix of derivative has following  0 ∂y  ∂x0 dy = dx  ∂y 1 ∂x0 then the equality  dy = 3x ⊗ x dx 23 form  ∂y 0 ∂x1    ∂y 1 ∂x1  ∂y 0 ∂y 0    ∂x0 ∂x1  −6x0 x1 3(x0 )2 − 3(x1 )2  =  (3.2.5)  1  ∂y ∂y 1 6x0 x1 3(x0 )2 − 3(x1 )2 ∂x0 ∂x1 follows from (3.2.4). The system of differential equations (3.2.2) follows from the  equality (3.2.5). Lemma 3.2.2. Let x = x0 + x1 i be complex number. Then (3.2.6) x3 = (x0 )3 − 3x0 (x1 )2 + (3(x0 )2 x1 − (x1 )3 )i Proof. According to the lemma 3.1.5, x3 = x2 x = ((x0 )2 − (x1 )2 + 2x0 x1 i)(x0 + x1 i) (3.2.7) = ((x0 )2 − (x1 )2 )x0 + 2(x0 )2 x1 i + ((x0 )2 − (x1 )2 )x1 i − 2x0 (x1 )2 = (x0 )3 − x0 (x1 )2 + 2(x0 )2 x1 i + ((x0 )2 x1 − (x1 )3 )i − 2x0 (x1 )2 The equality (3.2.6) follows from the equality (3.2.7)  Theorem 3.2.3. The map y = x3 + C is solution of the system of differential equations (3.2.2) in complex field with initial condition x = 0 y0 = C 0 y1 = C 1 C = C 0 + C 1 i Proof. The map (3.2.8) y 0 = (x0 )3 − 3x0 (x1 )2 + C10 (x1 ) is solution of the differential equation ∂y 0 = 3(x0 )2 − 3(x1 )2 ∂x0 From (3.2.2), (3.2.8), it follows that (3.2.9) dC10 ∂y 0 = −6x0 x1 + = −6x0 x1 1 ∂x dx1 The map (3.2.10) C10 (x1 ) = C 0 is solution of the differential equation (3.2.9). The equality (3.2.11) y 0 = (x0 )3 − 3x0 (x1 )2 + C 0 follows from equalities (3.2.8), (3.2.10). 24 3. Differential Equation Solved with Respect to the Derivative The map (3.2.12) y 1 = 3(x0 )2 x1 + C11 (x1 ) is solution of the differential equation ∂y 1 = 6x0 x1 ∂x0 From (3.2.2), (3.2.12), it follows that (3.2.13) ∂y 1 dC11 0 2 = 3(x ) + = 3(x0 )2 − 3(x1 )2 ∂x1 dx1 The map (3.2.14) C11 (x1 ) = −(x1 )3 + C 1 is solution of the differential equation (3.2.13). The equality (3.2.15) y 1 = 3(x0 )2 x1 − (x1 )3 + C 1 follows from equalities (3.2.12), (3.2.14). The theorem follows from the comparison of equality (3.2.6) and equalities (3.2.11), (3.2.15).  Theorem 3.2.4. The differential equation dy = 3x ⊗ x (3.2.16) dx in non commutative algebra does not possess a solution. Proof. We consider method of successive differentiation to solve differential equation (3.2.16). Differentiating one after another equation (3.2.16), we get the chain of equations (3.2.17) d2 y = 3 ⊗ 1 ⊗ x + 3x ⊗ 1 ⊗ 1 dx2 d3 y =6⊗1⊗1⊗1 dx3 The expansion into Taylor series (3.2.18) y = x3 + C follows from equations (3.2.16), (3.2.17), (3.2.18) and from initial condition. According to the theorem A.1.9 dx3 6= 3x ⊗ x dx The theorem follows from the statement (3.2.19). (3.2.19)  3.2. Differential Equation Lemma 3.2.5. In quaternion algebra Jl (a)Jr (b) = Jr (b)Jl (a)  a0 b0 − a1 b1 −a0 b1 − a1 b0    −a2 b2 − a3 b3 +a2 b3 − a3 b2    a1 b0 + a0 b1 −a1 b1 + a0 b0    −a3 b2 + a2 b3 +a3 b3 + a2 b2 (3.2.20) =   a2 b0 + a3 b1 −a2 b1 + a3 b0    +a0 b2 − a1 b3 −a0 b3 − a1 b2    a3 b0 − a2 b1 −a3 b1 − a2 b0  +a1 b2 + a0 b3 −a1 b3 + a0 b2 dy = 3x ⊗ x dx 25  −a0 b2 − a1 b3 −a0 b3 + a1 b2 −a2 b0 + a3 b1   −a2 b1 − a3 b0    −a1 b3 − a0 b2    −a3 b1 + a2 b0    −a2 b3 − a3 b2    +a0 b1 − a1 b0    −a3 b3 + a2 b2   1 1 0 0 +a b + a b −a1 b2 + a0 b3 −a3 b0 − a2 b1 −a2 b2 + a3 b3 +a0 b0 + a1 b1 −a3 b2 − a2 b3 +a1 b0 − a0 b1 Proof. The product of matrices Jl (a), Jr (b) has form    b0 −b1 −b2 −b3 a0 −a1 −a2 −a3     1    a a0 −a3 a2   b 1 b0 b3 −b2      2    a a3 a0 −a1   b2 −b3 b0 b1     a3 −a2 a1 a0 b3 b2 −b1 b0  a0 b0 − a1 b1 −a0 b1 − a1 b0 −a0 b2 − a1 b3 −a0 b3 + a1 b2    −a2 b2 − a3 b3 +a2 b3 − a3 b2 −a2 b0 + a3 b1 −a2 b1 − a3 b0  (3.2.21)   a1 b0 + a0 b1 −a1 b1 + a0 b0 −a1 b2 + a0 b3 −a1 b3 − a0 b2    −a3 b2 + a2 b3 +a3 b3 + a2 b2 −a3 b0 − a2 b1 −a3 b1 + a2 b0 =   a2 b0 + a3 b1 −a2 b1 + a3 b0 −a2 b2 + a3 b3 −a2 b3 − a3 b2    +a0 b2 − a1 b3 −a0 b3 − a1 b2 +a0 b0 + a1 b1 +a0 b1 − a1 b0    a3 b0 − a2 b1 −a3 b1 − a2 b0 −a3 b2 − a2 b3 −a3 b3 + a2 b2  +a1 b2 + a0 b3 −a1 b3 + a0 b2 +a1 b0 − a0 b1 +a1 b1 + a0 b0                     26 3. Differential Equation Solved with Respect to the Derivative The product of matrices Jr (b), Jl (a) has form    b0 −b1 −b2 −b3 a0 −a1 −a2 −a3     1  1 0 3 2  0 3 2   b   b b −b a a −a a      2     b −b3 b0 b 1   a2 a3 a0 −a1     3 2 1 0 3 2 1 0 b b −b b a −a a a  a0 b0 − a1 b1 −a0 b1 − a1 b0 −a0 b2 − a1 b3 −a0 b3 + a1 b2    −a2 b2 − a3 b3 +a2 b3 − a3 b2 −a2 b0 + a3 b1 −a2 b1 − a3 b0  (3.2.22)   a1 b0 + a0 b1 −a1 b1 + a0 b0 −a1 b2 + a0 b3 −a1 b3 − a0 b2    −a3 b2 + a2 b3 +a3 b3 + a2 b2 −a3 b0 − a2 b1 −a3 b1 + a2 b0 =   a2 b0 + a3 b1 −a2 b1 + a3 b0 −a2 b2 + a3 b3 −a2 b3 − a3 b2    +a0 b2 − a1 b3 −a0 b3 − a1 b2 +a0 b0 + a1 b1 +a0 b1 − a1 b0    a3 b0 − a2 b1 −a3 b1 − a2 b0 −a3 b2 − a2 b3 −a3 b3 + a2 b2  +a1 b2 + a0 b3 −a1 b3 + a0 b2 +a1 b0 − a0 b1 +a1 b1 + a0 b0 The equality (3.2.20) follows from equalities (3.2.21), (3.2.22). Lemma 3.2.6. The product of matrices Jr (a), Jl (a) has form  −2a0a1 −2a0a2 −2a0a3 a0 a0 − a1 a1    −a2 a2 − a3 a3    2a0 a1 −a1 a1 + a0 a0 −2a1a2 −2a1a3    +a3 a3 + a2 a2 (3.2.23)    2a2 a0 −2a2a1 −a2 a2 + a3 a3 −2a2a3    +a0 a0 + a1 a1    2a3 a0 −2a3a1 −2a2a3 −a3 a3 + a2 a2  +a1 a1 + a0 a0                                          3.2. Differential Equation Proof. According to the lemma 3.2.5, has form  a0 a0 − a1 a1 −a0 a1 − a1 a0    −a2 a2 − a3 a3 +a2 a3 − a3 a2    a1 a0 + a0 a1 −a1 a1 + a0 a0    −a3 a2 + a2 a3 +a3 a3 + a2 a2 (3.2.24)    a2 a0 + a3 a1 −a2 a1 + a3 a0    +a0 a2 − a1 a3 −a0 a3 − a1 a2    a3 a0 − a2 a1 −a3 a1 − a2 a0  +a1 a2 + a0 a3 −a1 a3 + a0 a2 dy = 3x ⊗ x dx 27 the product of matrices Jr (a), Jl (a)  −a0 a2 − a1 a3 −a0 a3 + a1 a2 −a2 a0 + a3 a1   −a2 a1 − a3 a0   1 3 0 2  −a a − a a    −a3 a1 + a2 a0   2 3 3 2  −a a − a a    +a0 a1 − a1 a0    3 3 2 2  −a a + a a  +a1 a1 + a0 a0 −a1 a2 + a0 a3 −a3 a0 − a2 a1 −a2 a2 + a3 a3 +a0 a0 + a1 a1 −a3 a2 − a2 a3 +a1 a0 − a0 a1 The equality (3.2.23) follows from the equality (3.2.24).  Theorem 3.2.7. The differential equation (3.2.16) in quaternion algebra has form of system of differential equations  0 ∂y  0 2 1 2 2 2 3 2    ∂x0 = 3(x ) − 3(x ) − 3(x ) − 3(x )     ∂y 0    1 = −6x0 x1 ∂x (3.2.25)  ∂y 0   = −6x0 x2  2  ∂x    0    ∂y = −6x0 x3 ∂x3  1 ∂y   = 6x0 x1  0  ∂x     ∂y 1    1 = 3(x0 )2 − 3(x1 )2 + 3(x2 )2 + 3(x3 )2 ∂x (3.2.26)  ∂y 1   = −6x1 x2  2  ∂x    1    ∂y = −6x1 x3 ∂x3  2 ∂y  0 2    ∂x0 = 6x x     ∂y 2    1 = −6x1 x2 ∂x (3.2.27)  ∂y 2   = −3(x2 )2 + 3(x3 )2 + 3(x0 )2 + 3(x1 )2  2  ∂x    2    ∂y = −6x2 x3 ∂x3 28 3. Differential Equation Solved with Respect to the Derivative  3 ∂y    0  ∂x    3  ∂y    1 ∂x (3.2.28)  ∂y 3    2    ∂x  3    ∂y ∂x3 with respect to the basis = 6x0 x3 = −6x1 x3 = −6x2 x3 = −3(x3 )2 + 3(x2 )2 + 3(x1 )2 + 3(x0 )2 e0 = 1 e1 = i e2 = j e3 = k Proof. We can write differential equation (3.2.16) as follows (3.2.29) dy = 3x dx x If we represent differentials dx, dy as vector-column, then, according to the lemma 3.2.5, the equation (3.2.29) gets following form     dx0 dy 0      1  1 dx  dy      (3.2.30)  2  = 3Jl (x)Jr (x)  2  dx  dy      dy 3 dx3 Since the matrix of derivative has following  0 ∂y ∂y 0  ∂x0 ∂x1   1  ∂y ∂y 1  0  ∂x dy ∂x1 =  dx  ∂y 2 ∂y 2   ∂x0 ∂x1   3 ∂y ∂y 3 0 ∂x ∂x1 form ∂y 0 ∂x2 ∂y 1 ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 3 ∂x2  ∂y 0 ∂x3    ∂y 1   ∂x3    ∂y 2   ∂x3    ∂y 3 ∂x3 3.2. Differential Equation then the equality  0 ∂y  ∂x0   1  ∂y  0 1  ∂x 3  ∂y 2   ∂x0   3 ∂y 0  ∂x ∂y 0 ∂x1 ∂y 0 ∂x2 ∂y 1 ∂x1 ∂y 1 ∂x2 ∂y 2 ∂x1 ∂y 2 ∂x2 ∂y 3 ∂x1 ∂y 3 ∂x2 x0 x0 − x1 x1 (3.2.31)    −x2 x2 − x3 x3    2x0 x1       2x2 x0       2x3 x0  dy = 3x ⊗ x dx  ∂y 0 ∂x3    ∂y 1   ∂x3  =  ∂y 2   ∂x3    ∂y 3 ∂x3 −2x0 x1 −2x0 x2 −x1 x1 + x0 x0 29 −2x0 x3 −2x1 x2 −2x1 x3 −x2 x2 + x3 x3 −2x2 x3 +x3 x3 + x2 x2 −2x2 x1 +x0 x0 + x1 x1 −2x3 x1 −2x2 x3 −x3 x3 + x2 x2 +x1 x1 + x0 x0                     follows from (3.2.30). The system of differential equations (3.2.25), (3.2.26), (3.2.27), (3.2.28) follows from the equality (3.2.31).  Theorem 3.2.8. The system of differential equations (3.2.25), (3.2.26), (3.2.27), (3.2.28) does not possess a solution. Proof. The map (3.2.32) y 1 = 3(x0 )2 x1 + C11 (x1 , x2 , x3 ) is solution of the differential equation ∂y 1 = 6x0 x1 ∂x0 From (3.2.26), (3.2.32), it follows that (3.2.33) ∂C11 ∂y 1 = 3(x0 )2 + = 3(x0 )2 − 3(x1 )2 + 3(x2 )2 + 3(x3 )2 1 ∂x ∂x1 The map (3.2.34) C11 (x1 , x2 , x3 ) = −(x1 )3 + 3(x2 )2 x1 + 3(x3 )2 x1 + C21 (x2 , x3 ) is solution of the differential equation (3.2.33). The equality (3.2.35) y 1 = 3(x0 )2 x1 − (x1 )3 + 3(x2 )2 x1 + 3(x3 )2 x1 + C21 (x2 , x3 ) follows from equalities (3.2.32), (3.2.34). From (3.2.26), (3.2.35), it follows that (3.2.36) ∂C21 ∂y 1 2 1 = 6x x + = −6x1 x2 ∂x2 ∂x2 30 3. Differential Equation Solved with Respect to the Derivative From the equation (3.2.36), it follows that the map C21 depends on x1 ; this contradicts to the statement that the map C21 does not depend on x1 . Therefore, the system of differential equations (3.2.25), (3.2.26), (3.2.27), (3.2.28) does not possess a solution.  3.3. Before Going Any Further Before going any further, we ask questions that need to be answered. Question 3.3.1. If D-algebra B has finite basis e, then we can write the differential equation df (x) = g(x) (3.3.1) dx as system of differential equations ∂y i = gji y = y i eB·i x = xi eA·i ∂xj What is the relationship between the differential equation (3.3.1) and system of  differential equations (3.3.2)? (3.3.2) Question 3.3.2. What is the condition for the integrability of the differential  equation (3.3.1)? Question 3.3.3. Can we write down a differential equation (3.3.1) given the  system of differential equations (3.3.2)? Question 3.3.4. Systems of differential equations (3.1.2), (3.1.15), (3.2.2) are completely integrable. 3.3 The system of differential equations (3.2.25), (3.2.26), (3.2.27), (3.2.28) is not completely integrable. Is the requirement complete integrability of systems of differential equations (3.3.2) equivalent to the requirement of  integrability of corresponding differential equation (3.3.1)? 3.4. Forms of representation of differential equations The theorem 3.4.1 answers the question 3.3.1. Theorem 3.4.1. Let B be free finite dimensional associative D-algebra. Let eA be basis of D module A. Let eB be basis of D module B. Let F be the basis of left B ⊗ B-module L(D; B → B) and G:A→B be linear map of maximal rank such that ker G ⊆ ker g. Let g k·ij be standard p be structural constants of algebra B. Then we components of the map g. Let Ckl can write the differential equation (3.3.1) as system of differential equations ∂y k r p k = g k·ij Fk· m r Gl Cim Cpj ∂xl Proof. The theorem follows from the theorem [9]-6.4.5.  Based on the theorem 3.4.1, we consider the question 3.3.3. However, the answer to this question is not straightforward. We begin with the theorem 3.4.2. (3.4.1) 3.3 See the definition of completely integrable system of differential equations on page 2 in [11]. 3.5. Condition of Integrability 31 Theorem 3.4.2. Let B be free finite dimensional associative D-algebra. Let e be basis of D module B. Let F be the basis of left B ⊗ B-module L(D; B → B) and G:A→B p be linear map of maximal rank such that ker G ⊆ ker g. Let Ckl be structural constants of algebra B. Consider matrix

C = C ·km ·ij = C pim C kpj whose rows and columns are indexed by ·km and ·ij , respectively. If matrix C is nonsingular, then we can write the system of differential equations ∂y i = gji ∂xj y = y i eB·i x = xi eA·i as differential equation dy = g k·ij (eB·i ⊗ eB·j ) ◦ Fk ◦ G dx where standard components g k·ij of map g are solution of system of linear equations p r k glk = g k·ij Fk· m r Gl CB· im CB· pj If matrix C is singular, then we can write the differential equation (3.4.2), if condition   k = rank C rank C ·km ·ij gm (3.4.2) is satisfied. Proof. The theorem follows from the theorem [9]-6.4.5.  Analysis of the theorem 3.4.2 shows that it is not sufficient to write the equation (3.4.2) to answer the question 3.3.3. The reason for this is that, according to the construction, maps g k·ij depend on coordinates of A-number x. However, it should be noted that the map x = xi ei → xj is the linear map. So, if D-module A is D-algebra, then there exists effective procedure to answer the question 3.3.3. Remark 3.4.3. The statement of this remark is prelimenary, because I did not finished research in this direction. Standard components of the map g is universal form of representation of the map, but not the only and not the most expressive. Let E be basis of B-module L(D; B → B). Then the map g has representation g(x) = g k (x) ◦ Ek gk : A → B  3.5. Condition of Integrability To answer the question 3.3.2, I recall that the map g is differential form (the definition [10]-7.3.2). 32 3. Differential Equation Solved with Respect to the Derivative Theorem 3.5.1. The differential equation df (x) = g(x) dx is integrable iff dg = 0  Proof. The theorem follows from the theorem [10]-8.3.1. Consider first how the theorem 3.5.1 works in case of differential equations (3.1.1), (3.2.16). Example 3.5.2. Consider the differential form g(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x According to theorems A.1.1, A.1.2, A.1.4, A.1.15, dg = 1 ⊗2 1 ⊗1 1 + 1 ⊗1 1 ⊗2 1 dx Index accompanying symbol ⊗, shows which argument of polylinear map should be written instead of corresponding symbol ⊗. For instance dg (3.5.1) ◦ (h1 , h2 ) = (1 ⊗2 1 ⊗1 1 + 1 ⊗1 1 ⊗2 1) ◦ (h1 , h2 ) = h2 h1 + h1 h2 dx dg From the equality (3.5.1), it follows that bilinear map is symmetrical. Accorddx ing to the definition [10]-7.4.1 dg = 0 According to the theorem 3.5.1, the differential equation (3.1.1) is integrable (the theorem 3.1.7).  Example 3.5.3. Consider the differential form g(x) = x ⊗ x According to theorems A.1.2, A.1.15, dg = 1 ⊗2 1 ⊗1 x + x ⊗1 1 ⊗2 1 dx Index accompanying symbol ⊗, shows which argument of polylinear map should be written instead of corresponding symbol ⊗. For instance dg ◦ (h1 , h2 ) = (1 ⊗2 1 ⊗1 x + x ⊗1 1 ⊗2 1) ◦ (h1 , h2 ) = h2 h1 x + xh1 h2 (3.5.2) dx From the equality (3.5.2) and from the definition [10]-7.4.1, it follows that (3.5.3) dg = (h2 h1 − h1 h2 )x + x(h1 h2 − h2 h1 ) From the equality (3.5.3), it follows that dg 6= 0 According to the theorem 3.5.1, the differential equation (3.2.16). is not integrable (the theorem 3.2.4).  The theorem 3.5.4 answers the question 3.3.2. 3.5. Condition of Integrability 33 Theorem 3.5.4. Let B be free finite dimensional associative D-algebra. Let e be basis of D module B. Let F be the basis of left B ⊗ B-module L(D; B → B) and G be the linear map G:A→B of maximal rank such that ker G ⊆ ker g. Let g k·ij be standard components of the map g : A → L(D; A → B) The differential equation dy = g k·ij (eB·i ⊗ eB·j ) ◦ Fk ◦ G dx is integrable iff  k·ij  dg (x) ◦ h2 (eB·i (Fk ◦ G ◦ h1 )eB·j ) dx (3.5.4)   k·ij dg (x) = ◦ h1 (eB·i (Fk ◦ G ◦ h2 )eB·j ) dx Proof. Since (3.5.5) g ◦ h1 = g k·ij (ei ⊗ ej ) ◦ Fk ◦ G ◦ h1 = g k·ij (ei (Fk ◦ G ◦ h1 )ej ) then, according to the theorem [10]-8.2.3,   k·ij dg dg ◦ (h1 , h2 ) = ◦ h2 (ei (Fk ◦ G ◦ h1 )ej ) (3.5.6) dx dx The equality (3.5.4) follows from the equality (3.5.6), from the theorem 3.5.1 and the definition [10]-7.4.1.  The theorem 3.5.5 answers the question 3.3.4. Theorem 3.5.5. Let B be free finite dimensional associative D-algebra. Let eA be basis of D module A. Let eB be basis of D module B. The differential equation dy = g(x) (3.5.7) dx is integrable iff corresponding system of differential equations (3.5.8) ∂y i = gji ∂xj y = y i eB·i x = xi eA·i is completely integrable. Proof. Let F be the basis of left B ⊗ B-module L(D; B → B) and G be the linear map G:A→B of maximal rank such that ker G ⊆ ker g. Let g k·ij be standard components of the map g : A → L(D; A → B) Then the differential equation (3.5.7) has form dy = g k·ij (eB·i ⊗ eB·j ) ◦ Fk ◦ G (3.5.9) dx 34 3. Differential Equation Solved with Respect to the Derivative According to the theorem 3.5.4, the differential equation (3.5.7) is integrable iff   k·ij dg (x) ◦ h2 (eB·i (Fk ◦ G ◦ h1 )eB·j ) dx (3.5.10)   k·ij (x) dg ◦ h1 (eB·i (Fk ◦ G ◦ h2 )eB·j ) = dx Let h1 = hk1 ek h2 = hl2 el Then we can write the equality (3.5.10) as  k·ij  dg (x) ◦ (hl2 e1·l ) (e2·i (Fk ◦ G ◦ (hk1 e1·k ))e2·j ) dx (3.5.11)   k·ij dg (x) k = ◦ (h1 e1·k ) (e2·i (Fk ◦ G ◦ (hl2 e1·l ))e2·j ) dx Since h1 , h2 are arbitrary A-numbers, then the equality  k·ij  dg (x) ◦ e1·l (e2·i (Fk ◦ G ◦ e1·k )e2·j ) dx (3.5.12)  k·ij  dg (x) = ◦ e1·k (e2·i (Fk ◦ G ◦ e1·l )e2·j ) dx follows from the equality (3.5.11). Since r Fk ◦ G ◦ e1·k = Fk m r Gk e2·m then the equality (3.5.13)  dg k·ij (x) r ◦ e1·l Fk m r Gk e2·i e2·m e2·j dx   k·ij (x) dg r ◦ e1·k Fk m = r Gl e2·i e2·m e2·j dx  follows from the equality (3.5.12). The equality   ij dg (x) p r r ◦ e1·l Fk m r Gk C2· im C2· pj e2·r dx (3.5.14)  k·ij  dg (x) p r r = ◦ e1·k Fk m r Gl C2· im C2· pj e2·r dx follows from the equality (3.5.13). The equality  r  r   dgl (x) dgk (x) (3.5.15) ◦ e1·l e2·r = ◦ e1·k e2·r dx dx follows from the equality (3.5.14). The equality dgkr (x) dg r (x) ◦ e1·l = l ◦ e1·k dx dx follows from the equality (3.5.15). (3.5.16)  CHAPTER 4 Differential Equation of First Order 4.1. Differential Equation with Separated Variables In the theory of differential equations over field, the first differential equation which we study is separable equation M (x) dy = (4.1.1) dx N (y) As soon as we separate variables, we can write differential equation (4.1.1) as (4.1.2) N (y)dy = M (x)dx It is easy to integrate differential equation (4.1.2). In noncommutative D-algebra, dx and dy belong in general to different Dmodules. At the same time, a solution of the differential equation (4.1.2) is implicit function of variables x and y. So I formulate the problem as follows. Let X, Y be Banach D-modules. Let A be Banach D-algebra. Consider maps f : X → L(D; X → A) g : Y → L(D; Y → A) Differential equation dy = g(y) ◦ f (x) dx is called differential separable equation. In noncommutative D-algebra, even this is division algebra, operation of separation of variables may be impossible. However, if there exists the map (4.1.3) h : Y → L(D; Y → A) such that h◦g = 1⊗1 then we can write the differential equation (4.1.3) in the following form h(y) ◦ dy = f (x) ◦ dx Let X, Y be Banach D-modules. Let A be Banach D-algebra. Consider maps M : X → L(D; X → A) N : Y → L(D; Y → A) Differential equation M (x) ◦ dx + N (y) ◦ dy = 0 is called differential equation with separated variables. 35 36 4. Differential Equation of First Order Theorem 4.1.1. Let maps M : X → L(D; X → A) N : Y → L(D; Y → A) be integrable. The solution of differential equation M (x) ◦ dx + N (y) ◦ dy = 0 (4.1.4) is implicit function 4.1 Z (4.1.5) M (x) ◦ dx + Proof. The equality Z N (y) ◦ dy = C dy ◦ dx dx follows from the definition [10]-3.3.2. Integrability of the differential form in right side of the equality (4.1.6) follows from integrability of the differential form in left side of the equality (4.1.6). According to the theorem A.2.4 the differential form   dy (4.1.7) M (x) ◦ dx + N (y) ◦ dx = M (x) + N (y) ◦ ◦ dx dx is integrable. The equality dy =0⊗0 (4.1.8) M (x) + N (y) ◦ dx follows from equalities (4.1.4), (4.1.7). The equality (4.1.5) follows from the equality (4.1.8) and from the theorem A.2.3.  N (y) ◦ dx = N (y) ◦ (4.1.6) Example 4.1.2. Consider the differential equation (1 ⊗ x + x ⊗ 1) ◦ dx + (1 ⊗ y + y ⊗ 1) ◦ dy = 0 (4.1.9) According to theorems 4.1.1, A.2.6, implicit function x2 + y 2 = C is solution of differential equation (4.1.9).  Theorem 4.1.3. The solution of the differential equation M (x) ◦ dx + N (y) ◦ dy = 0 (4.1.10) with initial condition x0 = 0 has form (4.1.11) y0 = C 4.2 Z x x0 M (x) ◦ dx + Z y N (y) ◦ dy = 0 y0 4.1 The proof of the theorem is based on the proofs on the page [3]-44 and on the page [4]-24; however the proof is different since D-algebra A in general is noncommutative. 4.2 See also remarks on the page [3]-44 and on the page [4]-24. 4.2. Exact Differential Equation 37 Proof. According to the theorem 4.1.1, implicit function Z Z (4.1.12) M (x) ◦ dx + N (y) ◦ dy = C is solution of the differential equation (4.1.10). According to the definition 3.1.1, there exist maps P :X→A R:Y →A such that Z (4.1.13) P (x) = M (x) ◦ dx (4.1.14) R(y) = Z N (y) ◦ dy According to the theorem [10]-6.2.1 and to the definition [10]-8.3.7, equalities Z Z x M (x) ◦ dx + P (x0 ) (4.1.15) M (x) ◦ dx = x0 Z (4.1.16) N (y) ◦ dy = Z y N (y) ◦ dy + R(y0 ) y0 follow from equalities (4.1.13), (4.1.14). The equality Z y Z x N (y) ◦ dy + R(x0 ) = C M (x) ◦ dx + P (x0 ) + (4.1.17) x0 y0 follows from equalities (4.1.12), (4.1.15), (4.1.16). If x = x0 , y = y0 , then the equality (4.1.18) P (x0 ) + R(x0 ) = C follows from the equality (4.1.17). The equality (4.1.11) follows from equalities (4.1.17), (4.1.18).  4.2. Exact Differential Equation Definition 4.2.1. The differential equation M (x, y) ◦ dx + N (x, y) ◦ dy = 0 where M : (x, y) ∈ X × Y → M (x, y) ∈ L(D; X → A) N : (x, y) ∈ X × Y → N (x, y) ∈ L(D; Y → A) is called exact differential equation, if there exists map u:X ×Y →A such that (4.2.1) ∂u(x, y) = M (x, y) ∂x (4.2.2) ∂u(x, y) = N (x, y) ∂y  38 4. Differential Equation of First Order Theorem 4.2.2. The differential equation (4.2.3) M (x, y) ◦ dx + N (x, y) ◦ dy = 0 is integrable iff (4.2.4) ∂M (x, y) ∂M (x, y) ◦ (dx1 , dx2 ) = ◦ (dx2 , dx1 ) ∂x ∂x (4.2.5) ∂N (x, y) ∂N (x, y) ◦ (dy1 , dy2 ) = ◦ (dy2 , dy1 ) ∂y ∂y (4.2.6) ∂M (x, y) ∂N (x, y) ◦ (dx, dy) = ◦ (dy, dx) ∂y ∂x Proof. Let Z = X ⊕ Y , z = x ⊕ y. According to definitions [10]-7.3.2, 2.2.5, 4.2.1 and the theorem 2.2.6, the expression (4.2.7) ω = M (x, y) ◦ dx + N (x, y) ◦ dy is differential form of degree 1. According to the theorem [10]-8.3.1, differential form ω is integrable iff dω = 0. Equalities ∂M (x, y) ∂M (x, y) dω ◦ (z1 , z2 ) = ◦ (dx1 , dx2 ) + ◦ (dx1 , dy2 ) dz ∂x ∂y (4.2.8) ∂N (x, y) ∂N (x, y) + ◦ (dy1 , dx2 ) + ◦ (dy1 , dy2 ) ∂x ∂y ∂M (x, y) ∂M (x, y) dω ◦ (z2 , z1 ) = ◦ (dx2 , dx1 ) + ◦ (dx2 , dy1 ) dz ∂x ∂y (4.2.9) ∂N (x, y) ∂N (x, y) ◦ (dy2 , dx1 ) + ◦ (dy2 , dy1 ) + ∂x ∂y follow from the equality (4.2.7). The equality ∂M (x, y) ∂M (x, y) ◦ (dx1 , dx2 ) + ◦ (dx1 , dy2 ) ∂x ∂y ∂N (x, y) ∂N (x, y) + ◦ (dy1 , dx2 ) + ◦ (dy1 , dy2 ) ∂x ∂y (4.2.10) ∂M (x, y) ∂M (x, y) = ◦ (dx2 , dx1 ) + ◦ (dx2 , dy1 ) ∂x ∂y ∂N (x, y) ∂N (x, y) + ◦ (dy2 , dx1 ) + ◦ (dy2 , dy1 ) ∂x ∂y follows from equalities (4.2.8), (4.2.9). Equalities (4.2.4), (4.2.5), (4.2.6) follow from  the equality (4.2.10). Let equalities (4.2.4), (4.2.5), (4.2.6) be true. Our goal is to find the implicit function 4.3 u(x, y) = C which satisfies to equalities (4.2.1), (4.2.2). According to theorems [10]-8.3.1, A.2.1, the equality Z (4.2.11) u(x, y) = M (x, y) ◦ dx + C1 (y) 4.3 Solving of the equation (4.2.3) is similar to solving of exact differential equation in commutative algebra. See, for instance, the proof of the theorem [3]-2.6.1 as well solving of exact differential equation on pages 33, 34 in the book [4]. 4.2. Exact Differential Equation 39 follows from equalities (4.2.1), (4.2.4). The equality Z ∂ dC1 (y) = N (x, y) (4.2.12) M (x, y) ◦ dx + ∂y dy follows from equalities (4.2.2), (4.2.11). The equality Z ∂ dC1 (y) = N (x, y) − (4.2.13) M (x, y) ◦ dx dy ∂y follows from the equality (4.2.12). There is variable x in the expression Z ∂ M (x, y) ◦ dx (4.2.14) N (x, y) − ∂y of right side of the equation (4.2.13). In order for the equation (4.2.13) to have a solution, it is necessary that expression (4.2.14) does not depend on x. Consider derivative of the expression (4.2.14) with respect to x. The equality     Z ∂ ∂ N (x, y) ◦ dy − M (x, y) ◦ dx ◦ dy ◦ dx ∂x ∂y  2 Z  ∂ ∂N (x, y) ◦ (dy, dx) − M (x, y) ◦ dx ◦ (dy, dx) = ∂x ∂x∂y  2 Z  ∂N (x, y) ∂ (4.2.15) = ◦ (dy, dx) − M (x, y) ◦ dx ◦ (dx, dy) ∂x ∂y∂x   Z ∂ ∂ ∂N (x, y) ◦ (dy, dx) − M (x, y) ◦ dx ◦ dy = ∂x ∂y ∂x ∂M (x, y) ∂N (x, y) ◦ (dy, dx) − ◦ (dx, dy) = 0 = ∂x ∂y follows from equalities [6]-(9.1.5), (4.2.6), (A.2.2). From theorems [10]-8.3.1, A.2.1 and from the equality (4.2.5), it follows that there exist the integral  Z  Z ∂ N (x, y) − M (x, y) ◦ dx ◦ dy ∂y  Z Z  Z ∂ = N (x, y) ◦ dy − M (x, y) ◦ dx ◦ dy ∂y Therefore, we can find the map C1 as solution of the differetial equation (4.2.13). Example 4.2.3. Consider differential equation (4.2.16) (1 ⊗ 1 + 1 ⊗ y) ◦ dx + (x ⊗ 1 + 1 ⊗ 1) ◦ dy = 0 Our goal is to find implicit function u(x, y), which is solution of the differential equation (4.2.16). Differential equations ∂u (4.2.17) =1⊗1+1⊗y ∂x ∂u =x⊗1+1⊗1 ∂y follow from the differential equation (4.2.16). Then Z (4.2.19) u(x, y) = (1 ⊗ 1 + 1 ⊗ y) ◦ dx = x + xy + C1 (y) (4.2.18) 40 4. Differential Equation of First Order is the solution of the differential equation (4.2.17). The equality dC1 (y) ∂u(x, y) =x⊗1+ =x⊗1+1⊗1 ∂y dy follows from the equality (4.2.19) and from the equation (4.2.18). The differential equation dC1 (y) =1⊗1 (4.2.21) dy follows from the equality (4.2.20). (4.2.20) (4.2.22) C1 (y) = y is the solution of the differential equation (4.2.21). From equalities (4.2.19), (4.2.22), it follows that implicit function x + xy + y = C is the solution of the differential equation (4.2.16).  The example 4.2.4 shows that equalities (4.2.4), (4.2.5) are essential for integralibility of differential equation (4.2.3). Example 4.2.4. Consider the differential equation (4.2.23) (3x2 ⊗ 1 + 1 ⊗ y) ◦ dx + (x ⊗ 1) ◦ dy = 0 Here M (x, y) = 3x2 ⊗ 1 + 1 ⊗ y N (x, y) = x ⊗ 1 Therefore ∂M (x, y) = 1 ⊗x 1 ⊗y 1 ∂y ∂N (x, y) = 1 ⊗x 1 ⊗y 1 ∂x However, the differential equation (4.2.23) is not integrable, because integral Z (3x2 ⊗ 1 + 1 ⊗ y) ◦ dx does not exist.  The example 4.2.5 shows that order of variables is essential in the equality (4.2.6). Example 4.2.5. Consider the differential equation (4.2.24) (1 ⊗ y) ◦ dx + (1 ⊗ x) ◦ dy = 0 Here M (x, y) = 1 ⊗ y N (x, y) = 1 ⊗ x Therefore ∂M (x, y) = 1 ⊗x 1 ⊗y 1 ∂y ∂N (x, y) = 1 ⊗y 1 ⊗x 1 ∂x 4.3. Linear Homogeneous Equation 41 ∂M (x, y) ∂N (x, y) , are represented by the same tensor, ∂y ∂x their action on variables x, y is different ∂M (x, y) ◦ (dx, dy) = (1 ⊗x 1 ⊗y 1) ◦ (dx, dy) = dx dy ∂y ∂N (x, y) 6= ◦ (dy, dx) = (1 ⊗y 1 ⊗x 1) ◦ (dy, dx) = dy dx ∂x It is easy to see that the differential equation (4.2.24) is not integrable.  Although the derivatives 4.3. Linear Homogeneous Equation Theorem 4.3.1. Let A be D-algebra. Let a ∈ A ⊗ A. The map y = F ◦ ea◦x where F ∈ A ⊗ A satisfies to the equality (4.3.1) F ◦1=C is solution of the differential equation dy 1 1 (4.3.2) − ay − ya = 0 dx 2 2 with initial condition x=0 y=C Proof. The equality aa◦x 1 dF ◦ ea◦x =F ◦ = F ◦ (ea◦x a + aea◦x ) (4.3.3) dx dx 2 follows from theorems A.1.3, A.1.11. Therefore, the map y = F ◦ ea◦x is solution of the differential equation (4.3.2). To find the tensor F , we set x = 0. The equality (4.3.1) follows from the equality e0 = 1.  Question 4.3.2. Maps y = (C ⊗ 1) ◦ ea◦x = Cea◦x y = (1 ⊗ C) ◦ ea◦x = ea◦x C are solutions of the differential equation (4.3.2) with initial condition x=0 y=C In fact, this initial value problem has infinitely many solutions. It is important to understand the cause of this phenomenon.  42 4. Differential Equation of First Order Theorem 4.3.3. The differential equation (4.3.2) form of system of differential equations  ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0   = y0 = −y 1 = −y 2  0 1  ∂x ∂x ∂x2       ∂y 1 ∂y 1 ∂y 1  1 0  = y = y =0  ∂x0 ∂x1 ∂x2 (4.3.4) 2 2   ∂y 2  ∂y = y 2 ∂y = 0  = y0   ∂x1 ∂x2  ∂x0     3 3  ∂y 3  ∂y = y 3 ∂y = 0 =0 0 1 ∂x ∂x ∂x2 with respect to the basis e0 = 1 e1 = i e2 = j in quaternion algebra has ∂y 0 = −y 3 ∂x3 ∂y 1 =0 ∂x3 ∂y 2 =0 ∂x3 ∂y 3 = y0 ∂x3 e3 = k Proof. We can write differential equation (4.3.2) as follows 1 1 (4.3.5) dy = y dx + dx y 2 2 If we represent differentials dx, dy as vector-column, then, according to theorems [8]-5.1, [8]-5.2, the equation (4.3.5) gets following form       dy 0 dx0 dx0        1  1  1 dy  1 dx  1 dx         2  = 2 Jl (y)  2  + 2 Jr (y)  2  dy  dx  dx        dy 3 dx3 dx3    dx0 y 0 −y 1 −y 2 −y 3       1 y y 0 −y 3 y 2  dx1  1     =   2 3 0 1  2  y2   y y −y dx     y 3 −y 2 y1 y0 dx3    (4.3.6) y 0 −y 1 −y 2 −y 3 dx0     1   y y0 y 3 −y 2  dx1  1     +   2 0 1  2  y 2 −y 3   y y dx     y3 y 2 −y 1 y0 dx3    0 1 2 3 0 dx y −y −y −y     1   1 0  y y 0 0  dx    =  2    y 0 y0 0  dx2     0 0 y0 dx3 y3 4.3. Linear Homogeneous Equation 43 Since the matrix of derivative has following form  0  ∂y ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0  ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3     1   ∂y ∂y 1 ∂y 1 ∂y 1   0   ∂x dy ∂x1 ∂x2 ∂x3   =  dx   ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2     ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3     3  ∂y ∂y 3 ∂y 3 ∂y 3 ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 then the equality  0  ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0 ∂y  ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3       1  y 0 −y 1 −y 2 −y 3 1 1 1   ∂y ∂y ∂y ∂y     0   1 0 1 2 3   ∂x   y y 0 0 ∂x ∂x ∂x     (4.3.7) =   2    ∂y ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2   y 2 0 y0 0       ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3    y3 0 0 y0  3  ∂y ∂y 3 ∂y 3 ∂y 3 ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 follows from (4.3.6). The system of differential equations (4.3.4) follows from the equality (4.3.7).  Theorem 4.3.4. The system of differential equations (4.3.4) is not completely integrable. Proof. Equalities (4.3.8) ∂ 2y1 ∂ ∂y 1 ∂y 0 = = = −y 2 2 1 2 1 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x2 ∂ 2y1 ∂ ∂y 1 ∂0 = = =0 1 2 1 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x2 follow from the system of differential equations (4.3.4). The statement (4.3.9) ∂ 2y1 ∂ 2y1 6 = ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 follows from equalities (4.3.8), (4.3.9). The theorem follows from the statement (4.3.10).  The theorem 4.3.4 answers the question 4.3.2. However the new question arises. What is difference between the differential equation (4.3.2) and a differential equation considered in the theorem 3.5.5. Right side of the differential equation (3.5.7) depends only on x; this imposes a strong constrain on the existence of a solution. The differential equation (4.3.2) is an example of linear homogeneous equation of order 1. We can write linear homogeneous equation of order 1 as dy + (a1 ya2 ) ⊗ a3 + b1 ⊗ (b2 yb3 ) = 0 (4.3.11) dx where a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 ∈ A. (4.3.10) 44 4. Differential Equation of First Order Question 4.3.5. Does there exist a constrain on A-numbers a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 under the condition that the equation (4.3.11) has a solution? What is a  solution of the equation (4.3.11)? APPENDIX A Summary of Statements Let D be the complete commutative ring of characteristic 0. A.1. Table of Derivatives Theorem A.1.1. For any b ∈ A db =0⊗0 dx Proof. The theorem follows from the theorem [10]-B.1.1.  Theorem A.1.2. dx dx ◦ dx = dx =1⊗1 dx dx Proof. The theorem follows from the theorem [10]-B.1.2. (A.1.1) Theorem A.1.3. For any F ∈ A ⊗ A,  df (x) dF ◦ f (x)   =F◦  dx dx  (A.1.2) dF ◦ f (x) df (x)   ◦ dx = F ◦ ◦ dx  dx dx Proof. The theorem follows from the theorem [10]-B.1.3.   Theorem A.1.4. Let f :A→B g:A→B be maps of Banach D-module A into associative Banach D-algebra A. Since there d(f (x) + g(x)) df (x) dg(x) , , then there exists the derivative exist the derivatives dx dx dx df (x) dg(x) d(f (x) + g(x)) ◦ dx = ◦ dx + ◦ dx (A.1.3) dx dx dx (A.1.4) d(f (x) + g(x)) dx = df (x) dx + dg(x) dx Since (A.1.5) ds·0 f (x) ds·1 f (x) df (x) = ⊗ dx dx dx (A.1.6) dt·0 g(x) dt·1 g(x) dg(x) = ⊗ dx dx dx then (A.1.7) d(f (x) + g(x)) ds·0 f (x) ds·1 f (x) dt·0 g(x) dt·1 g(x) = ⊗ + ⊗ dx dx dx dx dx 45 46 A. Summary of Statements Proof. The theorem follows from the theorem [10]-B.1.4. Theorem A.1.5. For any b, c ∈ A  dbxc dbxc   =b⊗c ◦ dx = b dx c  dx dx (A.1.8)  d1·1 bxc   d1·0 bxc = b =c dx dx Proof. Corollary of theorems A.1.2, A.1.3, when f (x) = x.   Theorem A.1.6. Let f be linear map f ◦ x = (as·0 ⊗ as·1 ) ◦ x = as·0 x as·1 Then ∂f ◦ x =f ∂x ∂f ◦ x ◦ dx = f ◦ dx ∂x Proof. Corollary of theorems A.1.4, A.1.5, [10]-3.3.13.  Corollary A.1.7. For any b ∈ A  d(xb − bx)   =1⊗b−b⊗1   dx   d(xb − bx)    ◦ dx = dx b − b dx   dx d1·0 (xb − bx)   =1    dx       d2·0 (xb − bx) = −b dx d1·1 (xb − bx) =b dx d2·1 (xb − bx) =1 dx  Theorem A.1.8. Let D be the complete commutative ring of characteristic 0. Let A be associative Banach D-algebra. Then A.1 (A.1.9) dx2 =x⊗1+1⊗x dx (A.1.10) dx2 = x dx + dx x (A.1.11)   2    d1·0 x = x dx  2    d2·0 x = 1 dx d1·1 x2 =1 dx d2·1 x2 =x dx A.1 The statement of the theorem is similar to example VIII, [14], p. 451. If product is commutative, then the equality (A.1.9) gets form dx2 ◦ dx = 2x dx dx2 = 2x dx A.1. Table of Derivatives Proof. The theorem follows from the theorem [10]-B.1.15. 47  Theorem A.1.9. Let D be the complete commutative ring of characteristic 0. Let A be associative Banach D-algebra. Then (A.1.12) dx3 = x2 ⊗ 1 + x ⊗ x + 1 ⊗ x2 dx (A.1.13) dx3 = x2 dx + x dx x + dx x2 Proof. The theorem follows from the theorem [10]-B.1.17.  Theorem A.1.10. dex 1 = (ex ⊗ 1 + 1 ⊗ ex ) dx 2 Proof. The theorem follows from the theorem [10]-5.2.7. (A.1.14) Theorem A.1.11. Let a ∈ A ⊗ A. 1 dea◦x = (ea◦x a + aea◦x ) (A.1.15) dx 2 Proof. The equality dea◦x dea◦x da ◦ x 1 1 = ◦ = (ea◦x ⊗ 1 + 1 ⊗ ea◦x ) ◦ a = (ea◦x a + aea◦x ) dx da ◦ x dx 2 2 follows from theorems A.1.10, [10]-3.3.23.   Theorem A.1.12. (A.1.16) d sinh x 1 = (cosh x ⊗ 1 + 1 ⊗ cosh x) dx 2 d cosh x = dx Proof. The theorem follows (A.1.17) 1 (sinh x ⊗ 1 + 1 ⊗ sinh x) 2 from the theorem [10]-5.3.2.  Theorem A.1.13. (A.1.18) 1 d sin x = (cos x ⊗ 1 + 1 ⊗ cos x) dx 2 d cos x 1 = − (sin x ⊗ 1 + 1 ⊗ sin x) dx 2 Proof. The theorem follows from the theorem [10]-5.4.2. (A.1.19)  Theorem A.1.14. Let A be Banach D-module. Let B be Banach D-algebra. Let f , g be differentiable maps f :A→B g:A→B The derivative satisfies to relationship     df (x) dg(x) df (x)g(x) ◦ dx = ◦ dx g(x) + f (x) ◦ dx dx dx dx df (x)g(x) df (x) dg(x) = g(x) + f (x) dx dx dx Proof. The theorem follows from the theorem [10]-3.3.17. (A.1.20)  48 A. Summary of Statements Theorem A.1.15. Let A be Banach D-module. Let B, C be Banach D-algebras. Let f , g be differentiable maps f :A→B g:A→C The derivative satisfies to relationship     df (x) dg(x) df (x) ⊗ g(x) ◦a= ◦ a ⊗ g(x) + f (x) ⊗ ◦a dx dx dx df (x) dg(x) df (x) ⊗ g(x) = ⊗ g(x) + f (x) ⊗ dx dx dx Proof. The theorem follows from the theorem [10]-3.3.20.  A.2. Table of Integrals Theorem A.2.1. Let the map f :A→B be differentiable map. Then Z (A.2.1) df (x) ◦ dx = f (x) + C dx Proof. The theorem follows from the definition 3.1.1.  Theorem A.2.2. Let the map f : A → L(D; A; B) be integrable map. Then d dx (A.2.2) Z f (x) ◦ dx = f (x) Proof. The theorem follows from the definition 3.1.1.  Theorem A.2.3. Z (A.2.3) (0 ⊗ 0) ◦ dx = C Proof. The theorem follows from the theorem A.1.1.  Theorem A.2.4. Z Z Z (A.2.4) (f (x) + g(x)) ◦ dx = f (x) ◦ dx + g(x) ◦ dx Proof. The equlity (A.2.4) follows from theorems A.1.4, A.2.1.  Theorem A.2.5. Z (A.2.5) (f s·0 ⊗ f s·1 ) ◦ dx = (f s·0 ⊗ f s·1 ) ◦ x + C (A.2.6) Z f s·0 dx f s·1 = f s·0 x f s·1 + C f s·0 ∈ A f s·1 ∈ A Proof. The theorem follows from the theorem [10]-B.2.2.  A.2. Table of Integrals 49 Theorem A.2.6. Z (A.2.7) (1 ⊗ x + x ⊗ 1) ◦ dx = x2 + C Z (A.2.8) dx x + x dx = x2 + C Theorem A.2.7. Z (A.2.9) (1 ⊗ x2 + x ⊗ x + x2 ⊗ 1) ◦ dx = x3 + C Z (A.2.10) dx x2 + x dx x + x2 dx = x3 + C Proof. The theorem follows from the theorem [10]-5.1.3.  Theorem A.2.8. Z (A.2.11) (ex ⊗ 1 + 1 ⊗ ex ) ◦ dx = 2ex + C Z (A.2.12) ex dx + dx ex = 2ex + C Proof. The theorem follows from the theorem [10]-B.2.3.  Theorem A.2.9. Z (A.2.13) (sinh x ⊗ 1 + 1 ⊗ sinh x) ◦ dx = 2 cosh x + C Z (A.2.14) (A.2.15) Z sinh x dx + dx sinh x = 2 cosh x + C (cosh x ⊗ 1 + 1 ⊗ cosh x) ◦ dx = 2 sinh x + C Z (A.2.16) cosh x dx + dx cosh x = 2 sinh x + C Proof. The theorem follows from the theorem [10]-B.2.4.  Theorem A.2.10. Z (A.2.17) (sin x ⊗ 1 + 1 ⊗ sin x) ◦ dx = −2 cos x + C Z (A.2.18) (A.2.19) (A.2.20) Z sin x dx + dx sin x = −2 cos x + C (cos x ⊗ 1 + 1 ⊗ cos x) ◦ dx = 2 sin x + C Z cos x dx + dx cos x = 2 sin x + C Proof. The theorem follows from the theorem [10]-B.2.5.  References [1] Serge Lang, Algebra, Springer, 2002 [2] James Stewart, Calculus, Cengage Learning, 2012, ISBN: 978-0-538-49781-7 [3] William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons, Inc., 2009, ISBN 978-0-470-38334-6 [4] Lev Elsgolts, Differential Equations and the Calculus of Variations, Translated from the Russian by George Yankovsky, MIR Publishers, Moscow, 1977 [5] Aleks Kleyn, Lectures on Linear Algebra over Division Ring, eprint arXiv:math.GM/0701238 (2010) [6] Aleks Kleyn, Introduction into Calculus over Division Ring, eprint arXiv:0812.4763 (2010) [7] Aleks Kleyn, Linear Maps of Free Algebra, eprint arXiv:1003.1544 (2010) [8] Aleks Kleyn, Linear Maps of Quaternion Algebra, eprint arXiv:1107.1139 (2011) [9] Aleks Kleyn, Linear Map of D-Algebra, eprint arXiv:1502.04063 (2015) [10] Aleks Kleyn, Introduction into Calculus over Banach Algebra, eprint arXiv:1601.03259 (2016) [11] Eisenhart, Continuous Groups of Transformations, Dover Publications, New York, 1961 [12] Fikhtengolts G. M., Differential and Integral Calculus Course, volume 1, Moscow, Nauka, 1969 [13] Fikhtengolts G. M., Differential and Integral Calculus Course, volume 2, Moscow, Nauka, 1969 [14] Sir William Rowan Hamilton, Elements of Quaternions, Volume I, Longmans, Green, and Co., London, New York, and Bombay, 1899 50 Index coproduct of objects in category 6 differential equation with separated variables 35 differential separable equation 35 direct sum 7, 8 exact differential equation 37 indefinite integral 16 integrable differential equation 16 integrable map 16 linear homogeneous equation 43 method of successive differentiation 24 partial derivative 13 partial linear map 11 51 Special Symbols and Notations A ⊕ B direct sum 7, 8 a a B1 ... Bn coproduct in category 7 Z g(x) ◦ dx a i∈I n a indefinite integral 16 Bi coproduct in category 6 Bi coproduct in category 7 i=1 52 arXiv:1801.01628v1 [math.GM] 5 Jan 2018 Дифференциальное уравнение над банаховой алгеброй Александр Клейн [email protected] http://AleksKleyn.dyndns-home.com:4080/ http://sites.google.com/site/AleksKleyn/ http://arxiv.org/a/kleyn_a_1 http://AleksKleyn.blogspot.com/ Аннотация. В книге рассмотрены дифференциальные уравнения первого порядка над банаховой D-алгеброй: дифференциальное уравнение, разрешённое относительно производной; уравнение в полных дифференциалах; линейное однородное уравнение. В некоммутативной банаховой алгебре задача с начальными значениями для линейного однородного уравнения имеет бесконечно много решений. Оглавление Глава 1. Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 2. Предварительные утверждения . . . . . . . 2.1. Модуль линейных отображений в D-алгебру 2.2. Прямая сумма D-модулей . . . . . . . . . . . 2.3. Прямая сумма банаховых D-модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 3. Дифференциальное уравнение, разрешённое относительно изводной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dy = 1⊗x+x⊗1 . . . . . . 3.1. Дифференциальное уравнение dx dy = 3x ⊗ x . . . . . . . . . . 3.2. Дифференциальное уравнение dx 3.3. Прежде чем двигаться дальше . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Формы представления дифференциального уравнения . . . 3.5. Условие интегрируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 5 6 12 про. . . 16 . . . 16 . . . . . . . . . . . . 23 30 31 32 Глава 4. Дифференциальное уравнение первого порядка . . . . . . . 4.1. Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными 4.2. Уравнение в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Линейное однородное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 36 38 42 Приложение A. Сводка теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1. Таблица производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Таблица интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 46 49 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Специальные символы и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Глава 1 Предисловие Когда я начал изучать некоммутативную алгебру, я мог записывать линейное отображение только вместе с его аргументом. Тензорное представление линейного отображения позволило мне упростить запись и расширило поле моего исследования. Сейчас я готов к изучению дифференциальных уравнений над банаховой алгеброй. Поскольку произведение некоммутативно, то множество уравнений, которое я могу рассматривать более ограничено, чем в коммутативном случае. Тем не менее множество дифференциальных уравнений, рассмотренных в этой книги, является началом крайне интересной теории. Производная отображения в банаховых пространствах может иметь различное представление: если мы рассматриваем отображение f D-алгебры A, записанное в координатах относительно базиса D-модуля A, то производная представлена матрицей Якоби отображения f ; если мы рассматриваем бескоординатную запись отображения f , то производная представлена A ⊗ A- числом. Поэтому я решил написать эту статью таким образом, чтобы ею можно было пользоваться независимо от представления, и рассмотреть в примерах решение дифференциальных уравнений в различных представлениях. Глава 3 посвящена дифференциальному уравнению, разрешённое относительно производной. Для того, чтобы картина была полной, я рассматриваю разные формы представления дифференциального уравнения и сопоставляю полученные результаты. Примеры, приведенные в тексте, дают возможность читателю увидеть как работают вычисления в некоммутативной алгебре. В тоже время эти примеры являются источником новых результатов и являются неотъемлемой частью книги. Наиболее интересным и несколько неожиданным утверждением оказалось, что задача с начальным значением для линейного однородного уравнения имеет бесконечно много решений. 4 Глава 2 Предварительные утверждения 2.1. Модуль линейных отображений в D-алгебру Пусть A - D-модуль. Пусть B - свободная конечно мерная ассоциативная D-алгебра. Согласно теореме [9]-6.4.8, левый B ⊗B-модуль L(D; A → B) имеет конечный базис F AB . Однако очевидно, что в общем случае выбор этого базиса произволен. В тоже время, выбор базиса F левого B ⊗ B-модуля L(D; B → B) обычно связан со структурой D-алгебры B. Поэтому возникает вопрос, есть ли связь между базисами F AB и F . Теорема 2.1.1. Пусть n = dim A, m = dim B. Пусть F - базис левого B ⊗ B-модуля L(D; B → B). Пусть n ≤ m. Пусть G:A→B линейное отображение максимального ранга. Множество (2.1.1) F ◦ G = {Fk ◦ G : Fk ∈ F } порождает левый B ⊗ B-модуль 2.1 L(D; A → B). Доказательство. Пусть g:A→B линейное отображение. Пусть eA - базис D-модуля A. Пусть eB - базис D-модуля B. Согласно теореме [9]-4.2.3, линейное отображение G имеет координаты   G11 ... G1n     G =  ... ... ...    m ... G Gm 1 n относительно базисов eA , eB и линейное отображение g имеет координаты   1 g11 ... gn     g =  ... ... ...    m g1m ... gn относительно базисов eA , eB . Строка Gi матрицы G, также как строка gi матрицы g, является координатами линейной формы A → D. Поскольку матрица G имеет максимальный ранг, то строки матрицы G порождают D-модуль 2.1 Я не утверждаю, что это множество является базисом, так как отображения F ◦ G, i i ∈ I, могут быть линейно зависимыми. 5 6 2. Предварительные утверждения L(D; A → D) и строки матрицы g являются линейной комбинацией строк матрицы G gki = Cji Gjk (2.1.2) Поскольку мы можем рассматривать матрицу C как координаты линейного отображения C:B→B то равенство gki = (c1.k.l Fk· ij c2.k.l )Gjk (2.1.3) является следствием равенства (2.1.2) и равенства C = c1.k.l Fk c2.k.l Поскольку Gjk ∈ D, то равенство gki = c1.k.l (Fk· ij Gjk )c2.k.l (2.1.4) является следствием равенства (2.1.3). Следовательно, отображение g принадллежит линейной оболочке множества отображений (2.1.1).  Теорема 2.1.2. Пусть n = dim A, m = dim B. Пусть F - базис левого B ⊗ B-модуля L(D; B → B). Пусть n > m. Пусть G:A→B линейное отображение максимального ранга. Множество F ◦ G = {Fk ◦ G : Fk ∈ F } порождает множество отображений (2.1.5) {g ∈ L(D; A → B) : ker G ⊆ ker g} Доказательство. Доказательство теоремы похоже на доказательство теоремы 2.1.1. Однако, так как число строк матрицы G меньше размерности Dмодуля A, то строки матрицы G не порождают D-модуль L(D; A → D) и отображение G имеет нетривиальное ядро. В частности, строки матрицы g линейно зависят от строк матрицы G тогда и только тогда, когда ker G ⊆ ker g.  Из теоремы 2.1.2, следует, что выбор отображения G зависит от отображения g. Нетрудно убедиться, что теорема 2.1.1 является частным случаем теоремы 2.1.2, так как в теореме 2.1.2 ker G = ∅. 2.2. Прямая сумма D-модулей Определение 2.2.1. Пусть A - категория. Пусть {Bi , i ∈ I} - множество объектов из A. Объект a Bi P = i∈I и множество морфизмов {fi : Bi → P, i ∈ I} 2.2. Прямая сумма D-модулей 7 называется копроизведением множества объектов {Bi , i ∈ I} в категории A 2.2, если для любого объекта R и множество морфизмов {gi : Bi → R, i ∈ I} существует единственный морфизм h:P →R такой, что диаграмма P o fi h ◦ fi = gi Bi ⑦ ⑦⑦ h ⑦⑦gi ⑦  ⑦ ~⑦ R коммутативна для всех i ∈ I. Если |I| = n, то для копроизведения множества объектов {Bi , i ∈ I} в A мы так же будем пользоваться записью n a a a Bi = B1 ... Bn P = i=1  Определение 2.2.2. Копроизведение в категории абелевых групп Ab называется прямой суммой. 2.3 Мы будем пользоваться записью A ⊕ B для прямой суммы абелевых групп A и B.  Теорема 2.2.3. Пусть {Ai , i ∈ I} - семейство абелевых групп. Пусть Y A⊆ Ai i∈I такое множество, что (xi , i ∈ I) ∈ A, если xi 6= 0 для конечного числа индексов i. Тогда 2.4 M (2.2.1) A= Ai i∈I Доказательство. Согласно построению A является подгруппой абелевой Q группы Ai . Отображение λj : Aj → A определённое равенством (2.2.2) λj (x) = (δji x, i ∈ I) является инъективным гомоморфизмом. Пусть {fi : Ai → B, i ∈ I} семейство гомоморфизмов в абелевую группу B. Мы определим отображение f :A→B 2.2 Определение дано согласно [1], страница 46. 2.3 Определение дано согласно [1], страница 55. 2.4 Смотри также предложение [1]-10, страница 55. 8 2. Предварительные утверждения пользуясь равенством (2.2.3) M f xi i∈I ! = X fi (xi ) i∈I Сумма в правой части равенства (2.2.3) конечна, так как все слагаемые, кроме конечного числа, равна 0. Из равенства fi (xi + yi ) = fi (xi ) + fi (yi ) и равенства (2.2.3) следует, что M X X f( (xi + yi )) = fi (xi + yi ) = (fi (xi ) + fi (yi )) i∈I i∈I = X i∈I fi (xi ) + i∈I X fi (yi ) i∈I M M = f( xi ) + f ( yi ) i∈I i∈I Следовательно, отображение f является гомоморфизмом абелевой группы. Равенство X f ◦ λj (x) = fi (δji x) = fj (x) i∈I является следствием равенств (2.2.2), (2.2.3). Так как отображение λi инъективно, то отображение f определено однозначно. Следовательно, теорема яв ляется следствием определений 2.2.1, 2.2.2. Теорема 2.2.4. Прямая сумма абелевых групп A1 , ..., An совпадает с их прямым произведением A1 ⊕ ... ⊕ An = A1 × ... × An  Доказательство. Теорема является следствием теоремы 2.2.3. Пусть A = A1 ⊕ ... ⊕ An прямая сумма абелевых групп A1 , ..., An . Согласно доказательству теоремы 2.2.3, произвольное A-число a имеет вид (a1 , ..., an ) где ai ∈ Ai . Мы также будем пользоваться записью a = a1 ⊕ ... ⊕ an Определение 2.2.5. Копроизведение в категории D-модулей называется прямой суммой. 2.5 Мы будем пользоваться записью A ⊕ B для прямой Dмодулей A и B.  Теорема 2.2.6. Пусть {Ai , i ∈ I} - семейство D-модулей. Тогда представление ! M M M / Ai d dai ai = D ∗ i∈I i∈I кольца D в прямой сумме абелевых групп M A= Ai i∈I 2.5 Определение дано согласно [1], страница 55. i∈I 2.2. Прямая сумма D-модулей 9 является прямой суммой D-модулей A= M Ai i∈I Доказательство. Пусть {fi : Ai → B, i ∈ I} семейство линейных отображений в D-модуль B. Мы определим отображение f :A→B пользуясь равенством (2.2.4) M f xi i∈I ! = X fi (xi ) i∈I Сумма в правой части равенства (2.2.4) конечна, так как все слагаемые, кроме конечного числа, равна 0. Из равенства fi (xi + yi ) = fi (xi ) + fi (yi ) и равенства (2.2.4) следует, что M X X f( (xi + yi )) = fi (xi + yi ) = (fi (xi ) + fi (yi )) i∈I i∈I = X i∈I fi (xi ) + i∈I fi (yi ) i∈I M M = f( xi ) + f ( yi ) i∈I Из равенства X i∈I fi (dxi ) = dfi (xi ) и равенства (2.2.4) следует, что X X X f ((dxi , i ∈ I)) = fi (dxi ) = dfi (xi ) = d fi (xi ) i∈I i∈I i∈I = df ((xi , i ∈ I)) Следовательно, отображение f является линейным отображением. Равенство X f ◦ λj (x) = fi (δji x) = fj (x) i∈I является следствием равенств (2.2.2), (2.2.4). Так как отображение λi инъективно, то отображение f определено однозначно. Следовательно, теорема яв ляется следствием определений 2.2.1, 2.2.2. Теорема 2.2.7. Прямая сумма D-модулей A1 , ..., An совпадает с их прямым произведением A1 ⊕ ... ⊕ An = A1 × ... × An Доказательство. Теорема является следствием теоремы 2.2.6.  10 2. Предварительные утверждения Теорема 2.2.8. Пусть A1 , ..., An - D-модули и A = A1 ⊕ ... ⊕ An Представим A-число a = a1 ⊕ ... ⊕ an как вектор столбец  a1      a =  ...    an Представим линейное отображение f :A→B как вектор строку  f = f1 ... fn  fi : Ai → B Тогда значение отображения f в A-числе a можно представить как произведение матриц   a1       (2.2.5) f ◦ a = f1 ... fn ◦ ◦  ...  = fi ◦ ai   an Доказательство. Теорема является следствием определения (2.2.4). 1 Теорема 2.2.9. Пусть B , ..., B m - D-модули и 1 B = B ⊕ ... ⊕ B m Представим B-число b = b1 ⊕ ... ⊕ bm как вектор столбец  Тогда линейное отображение b1      b =  ...    bm f :A→B имеет представление как вектор столбец отображений   f1     f =  ...    fm  2.2. Прямая сумма D-модулей 11 таким образом, что если b = f ◦ a, то       f1 ◦ a f1 b1              ...  =  ...  ◦ a =  ...        fm ◦ a fm bm Доказательство. Теорема является следствием теоремы [9]-2.1.5. 1 n Теорема 2.2.10. Пусть A , ..., A , 1 B , ..., B 1 m  - D-модули и n A = A ⊕ ... ⊕ A B = B 1 ⊕ ... ⊕ B m Представим A-число a = a1 ⊕ ... ⊕ an как вектор столбец  Представим B-число a1      a =  ...    an b = b1 ⊕ ... ⊕ bm как вектор столбец  b1      b =  ...    bm Тогда линейное отображение f имеет жений  f1  1  f =  ...  f1m представление как матрица отобра ... fn1   ... ...   ... fnm таким образом, что если b = f ◦ a, то         b1 f11 ... fn1 a1 fi1 ◦ ai                 (2.2.6)  ...  =  ... ... ...  ◦ ◦  ...  =  ...          bm f1m ... fnm an fim ◦ ai Отображение fji : Aj → B i является линейным отображением и называется частным линейным отображением 12 2. Предварительные утверждения Доказательство. Согласно теореме 2.2.9, существует множество линейных отображений f i : A → Bi таких, что       f1 ◦ a f1 b1             (2.2.7)  ...  =  ...  ◦ a =  ...        fm ◦ a fm bm Согласно теореме 2.2.8, для каждого i, существует множество линейных отображений fji : Aj → B i таких, что   a1       (2.2.8) f i ◦ a = f1i ... fni ◦ ◦  ...  = fji ◦ aj   an Если мы отождествим матрицы    f1 f11 ... fn1   1      =  ...  ...    f1m f1m ... fnm ... fn1    ...   ... fnm ... то равенство (2.2.6) является следствием равенств (2.2.7), (2.2.8).  Пусть B 1 , ..., B m - D-алгебры. Тогда мы можем записать линейное отображение fji с помощью B i ⊗ B i -чисел. 2.3. Прямая сумма банаховых D-модулей Теорема 2.3.1. Пусть A1 , ..., An - банаховые D-модули и A = A1 ⊕ ... ⊕ An Тогда мы можем определить норму в D-модуле A такую, что D-модуль A становится банаховым D-модулем. Доказательство. Пусть kai ki - норма в D-модуле Ai . 2.3.1.1: Мы определим норму в D-модуле A равенством kbk = max(kbi ki , i = 1, ..., n) где b = b1 ⊕ ... ⊕ bn 2.3.1.2: Пусть {ap }, p = 1, ..., - фундаментальная последовательность, где ap = a1p ⊕ ... ⊕ anp 2.3.1.3: Следовательно, для любого ǫ ∈ R, ǫ > 0, существует N такое, что для любых p, q > N kap − aq k < ǫ 2.3. Прямая сумма банаховых D-модулей 13 2.3.1.4: Согласно утверждениям 2.3.1.1, 2.3.1.2, 2.3.1.3, kaip − aiq ki < ǫ для любых p, q > N и i = 1, ..., n. 2.3.1.5: Следовательно, последовательность {aip }, i = 1, ..., n, p = 1, ..., фундаментальна в D-модуле Ai и существует предел ai = lim aip p→∞ 2.3.1.6: Пусть a = a1 ⊕ ... ⊕ an 2.3.1.7: Согласно утверждению 2.3.1.5, для любого ǫ ∈ R, ǫ > 0, существует N такое, что для любого p > Ni kai − aip ki < ǫ 2.3.1.8: Пусть N = max(N1 , ..., Nn ) 2.3.1.9: Согласно утверждениям 2.3.1.6, 2.3.1.7, 2.3.1.8, для любого ǫ ∈ R, ǫ > 0, существует N такое, что для любого p > N ka − ap ki < ǫ 2.3.1.10: Следовательно, a = lim ap p→∞  Теорема является следствием утверждений 2.3.1.1, 2.3.1.2, 2.3.1.10. Опираясь на теорему 2.3.1, мы можем рассмотреть производную отображения f : A1 ⊕ ... ⊕ An → B 1 ⊕ ... ⊕ B m Теорема 2.3.2. Пусть A1 , ..., An , B 1 , ..., B m - банаховые D-модули и A = A1 ⊕ ... ⊕ An B = B 1 ⊕ ... ⊕ B m Представим дифференциал dx = dx1 ⊕ ... ⊕ dxn как вектор столбец  Представим дифференциал dx1      dx =  ...    dxn dy = dy 1 ⊕ ... ⊕ dy m как вектор столбец  dy 1      dy =  ...    dy m 14 2. Предварительные утверждения Тогда производная отображения f :A→B f = f 1 ⊕ ... ⊕ f m имеет представление ∂f 1  ∂x1  df = ... dx   ∂f m ∂x1  таким образом, что   ∂f 1  1 dy    ∂x1     (2.3.1)  ...  =  ...   m  ∂f m dy ∂x1 ... ... ... ... ... ...  ∂f 1 ∂xn   ...   ∂f m  ∂xn      ∂f 1 ∂f 1 i 1 ◦ dx dx    ∂xn  ∂xi   ◦       ... ...  ◦  ...  =       m m ∂f ∂f n i dx ◦ dx ∂xn ∂xi ∂f i называется частной ∂xj i производной и является производной отображения f по переменной xj при условии, что остальные координаты A-числа x постоянны. ⊙ Утверждение 2.3.3. Линейное отображение Доказательство. Равенство (2.3.1) является следствием равенства (2.2.6). Мы можем записать отображение f i : A → Bi в виде f i (x) = f i (x1 , ..., xn ) Равенство ∂f i (x1 , ..., xn ) df i (x) ◦ dxj ◦ dx = dx ∂xj является следствием равенства (2.3.1). Согласно теореме [10]-3.3.4, (2.3.2) df i (x) ◦ dx = lim (t−1 (f ( x + tdx) − f (x))) t→0, t∈R dx = lim (t−1 (f i (x1 + tdx1 , x2 + tdx2 , ..., xn + tdxn ) t→0, t∈R − f i (x1 , x2 + tdx2 , ..., xn + tdxn ) + f i (x1 , x2 + tdx2 , ..., xn + tdxn ) − ... (2.3.3) − f i (x1 , x2 , ..., xn ))) = lim t→0, t∈R (t−1 (f i (x1 + tdx1 , x2 + tdx2 , ..., xn + tdxn ) − f i (x1 , x2 + tdx2 , ..., xn + tdxn ))) + ... + lim t→0, t∈R (t−1 (f i (x1 , ..., xn + tdxn ) − f i (x1 , ..., xn ))) = f1i ◦ dx1 + ... + fni ◦ dxn 2.3. Прямая сумма банаховых D-модулей 15 где fji - производная отображения f i по переменной xj при условии, что остальные координаты A-числа x постоянны. Равенство ∂f i (x1 , ..., xn ) ∂xj является следствием равенств (2.3.2), (2.3.3). Утверждение 2.3.3 является следствием равенства (2.3.4).  fji = (2.3.4) Пример 2.3.4. Рассмотрим отображение y 1 = f 1 (x1 , x2 , x3 ) = (x1 )2 + x2 x3 (2.3.5) y 2 = f 2 (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + (x3 )2 Следовательно ∂y 1 ∂y 1 ∂y 1 1 1 3 = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x = 1 ⊗ x = x2 ⊗ 1 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2 = 1 ⊗ x2 = x1 ⊗ 1 = x3 ⊗ 1 + 1 ⊗ x3 1 2 ∂x ∂x ∂x3 и производная отображения (2.3.5) имеет вид   1 1 3 2 x ⊗ 1 + 1 ⊗ x 1 ⊗ x x ⊗ 1 df  = (2.3.6) dx 1 ⊗ x2 x1 ⊗ 1 x3 ⊗ 1 + 1 ⊗ x3 Равенство dy 1 = (x1 ⊗ 1 + 1 ⊗ x1 ) ◦ dx1 + (1 ⊗ x3 ) ◦ dx2 + (x2 ⊗ 1) ◦ dx3 (2.3.7) = x1 dx1 + dx1 x1 + dx2 x3 + x2 dx3 dy 2 = (1 ⊗ x2 ) ◦ dx1 + (x1 ⊗ 1) ◦ dx2 + (x3 ⊗ 1 + 1 ⊗ x3 ) ◦ dx3 = dx1 x2 + x1 dx2 + x3 dx3 + dx3 x3 является следствием равенств (2.3.6). Мы можем также получить выражение (2.3.7) непосредственным вычислением dy 1 = f 1 (x + dx) − f 1 (x) = (x1 + dx1 )2 + (x2 + dx2 )(x3 + dx3 ) − (x1 )2 − x2 x3 = (x1 )2 + x1 dx1 + dx1 x1 + x2 x3 + dx2 x3 + x2 dx3 − (x1 )2 − x2 x3 (2.3.8) = x1 dx1 + dx1 x1 + dx2 x3 + x2 dx3 dy 2 = f 2 (x + dx) − f 2 (x) = (x1 + dx1 )(x2 + dx2 ) + (x3 + dx3 )2 − x1 x2 − (x3 )2 = x1 x2 + dx1 x2 + x1 dx2 + (x3 )2 + x3 dx3 + dx3 x3 − x1 x2 − (x3 )2 = dx1 x2 + x1 dx2 + x3 dx3 + dx3 x3  Глава 3 Дифференциальное уравнение, разрешённое относительно производной dy =1⊗x+x⊗1 dx Определение 3.1.1. Пусть A, B - банаховые D-модули. Отображение 3.1. Дифференциальное уравнение g : A → L(D; A → B) называется интегрируемым, если существует отображение f :A→B такое, что df (x) = g(x) dx Тогда мы пользуемся записью f (x) = Z g(x) ◦ dx и отображение f называется неопределённым интегралом отображения g.  Таблица производных 3.1 и таблица интегралов 3.2 удобный способ интегрирования дифференциального уравнения dy = g(x) dx если отображение g имеет простой вид. Определение 3.1.2. Если существует неопределённый интеграл Z g(x) ◦ dx то дифференциальное уравнение dy = g(x) dx называется интегрируемым.  3.1 Для отображений поля действительных чисел смотри например раздел [12]-95, [2]-2.3. Для отображений банаховой алгебры смотри талже раздел A.1. 3.2 Для отображений поля действительных чисел смотри например раздел [13]-265, [2]-4.4. Для отображений банаховой алгебры смотри талже раздел A.2. 16 3.1. Дифференциальное уравнение dy = 1⊗x+x⊗1 dx 17 Пример 3.1.3. Пусть A - банахова алгебра. Согласно теореме A.2.7, отображение y = x2 + C является решением дифференциального уравнения dy (3.1.1) =x⊗1+1⊗x dx при начальном условии x0 = 0 y0 = C  Если D-алгебра B имеет конечный базис, то мы можем записать дифференциальное уравнение dy = g(x) dx в виде системы дифференциальных уравнений ∂y i = gji y = y i eB·i x = xi eA·i ∂xj Чтобы вычисления не заслоняли детали преобразования, мы рассмотрим относительно простой пример 3.1.3. Мы начнём с дифференциального уравнения (3.1.1) в поле комплексных чисел. Теоремы 3.1.4, 3.1.6 просты. Но они необходимы для подготовки читателя к доказательству теоремы 3.1.10. Теорема 3.1.4. Дифференциальное уравнение (3.1.1) в поле комплексных чисел имеет вид системы дифференциальных уравнений  ∂y 0 ∂y 0  0  = −2x1  ∂x0 = 2x ∂x1 (3.1.2) 1 1    ∂y = 2x1 ∂y = 2x0 ∂x0 ∂x1 относительно базиса e0 = 1 e1 = i Доказательство. Поскольку произведение в поле комплексных чисел коммутативно, мы можем записать дифференциальное уравнение (3.1.1) в виде (3.1.3) dy = 2x dx Если дифференциалы dx, dy записать как вектор-столбец, то, согласно теореме [7]-2.5.1, уравнение (3.1.3) принимает вид      dy 0 dx0 2x0 −2x1  =   (3.1.4) dy 1 2x1 2x0 dx1 Так как матрица производной имеет вид  0 ∂y  ∂x0 dy = dx  ∂y 1 ∂x0  ∂y 0 ∂x1    ∂y 1 ∂x1 18 3. Дифференциальное уравнение, разрешённое относительно производной то равенство  ∂y 0 ∂y 0    ∂x0 ∂x1  2x0 −2x1 =   (3.1.5)   1 ∂y ∂y 1 2x1 2x0 ∂x0 ∂x1 является следствием (3.1.4). Система дифференциальных уравнений (3.1.2) является следствием равенства (3.1.5).   Лемма 3.1.5. Пусть x = x0 + x1 i комплексное число. Тогда x2 = (x0 )2 − (x1 )2 + 2x0 x1 i (3.1.6) Доказательство. Равенство (3.1.6) является следствием определения произведения в поле комплексных чисел.  Теорема 3.1.6. Отображение y = x2 + C является решением системы дифференциальных уравнений (3.1.2) в поле комплексных чисел при начальном условии x=0 y0 = C 0 y1 = C 1 C = C0 + C 1i Доказательство. Отображение (3.1.7) y 0 = (x0 )2 + C10 (x1 ) является решением дифференциального уравнения ∂y 0 = 2x0 ∂x0 Из (3.1.2), (3.1.7) следует, что (3.1.8) ∂y 0 dC10 = = −2x1 1 ∂x dx1 Отображение (3.1.9) C10 (x1 ) = −(x1 )2 + C 0 является решением дифференциального уравнения (3.1.8). Равенство (3.1.10) y 0 = (x0 )2 − (x1 )2 + C 0 является следствием равенств (3.1.7), (3.1.9). Отображение (3.1.11) y 1 = 2x0 x1 + C11 (x1 ) является решением дифференциального уравнения ∂y 1 = 2x1 ∂x0 Из (3.1.2), (3.1.11) следует, что (3.1.12) dC11 ∂y 1 = 2x0 + = 2x0 1 ∂x dx1 3.1. Дифференциальное уравнение dy = 1⊗x+x⊗1 dx 19 Отображение (3.1.13) C11 (x1 ) = C 1 является решением дифференциального уравнения (3.1.12). Равенство (3.1.14) y 1 = 2x0 x1 + C 1 является следствием равенств (3.1.11), (3.1.13). Теорема является следствие сравнения равенства (3.1.6) и равенств (3.1.10),  (3.1.14). Мы рассмотрим дифференциальное уравнение (3.1.1) в алгебре кватернионов аналогично тому как мы рассмотрели это уравнение в поле комплексных чисел. Теорема 3.1.7. Дифференциальное уравнение (3.1.1) онов имеет вид системы дифференциальных уравнений  ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0 0 1   = 2x = −2x = −2x2  ∂x0 1 2  ∂x ∂x     1 1   ∂y 1  ∂y = 2x1 ∂y = 2x0  =0  ∂x0 ∂x1 ∂x2 (3.1.15)   ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2   = 2x2 =0 = 2x0  0 1 2  ∂x ∂x ∂x      3 3  ∂y 3  ∂y = 2x3 ∂y = 0 =0 ∂x0 ∂x1 ∂x2 относительно базиса e0 = 1 e1 = i e2 = j в алгебре кватерни∂y 0 = −2x3 ∂x3 ∂y 1 =0 ∂x3 ∂y 2 =0 ∂x3 ∂y 3 = 2x0 ∂x3 e3 = k Доказательство. Мы можем записать дифференциальное уравнение (3.1.1) в виде (3.1.16) dy = x dx + dx x 20 3. Дифференциальное уравнение, разрешённое относительно производной Если дифференциалы dx, dy записать как вектор-столбец, то, согласно теоремам [8]-5.1, [8]-5.2, уравнение (3.1.16) принимает вид       dy 0 dx0 dx0        1  1  1 dy  dx  dx         2  = Jl (x)  2  + Jr (x)  2  dy  dx  dx        3 3 3 dy dx dx    dx0 x0 −x1 −x2 −x3       1  x x0 −x3 x2  dx1    =    2  x x3 x0 −x1  dx2     x3 −x2 x1 x0 dx3    (3.1.17) dx0 x0 −x1 −x2 −x3       1  x x0 x3 −x2  dx1    +    2  x −x3 x0 x1  dx2     x3 x2 −x1 x0 dx3    dx0 2x0 −2x1 −2x2 −2x3       1  2x1  dx  2x0 0 0   =    2  2x2  dx  0 2x0 0    0 0 2x0 dx3 2x3 Так как матрица производной имеет вид  0 ∂y ∂y 0  ∂x0 ∂x1   1  ∂y ∂y 1  0  ∂x dy ∂x1 =  dx  ∂y 2 ∂y 2   ∂x0 ∂x1   3 ∂y ∂y 3 ∂x0 ∂x1 ∂y 0 ∂x2 ∂y 1 ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 3 ∂x2  ∂y 0 ∂x3    ∂y 1   ∂x3   2 ∂y   ∂x3    ∂y 3 ∂x3 3.1. Дифференциальное уравнение dy = 1⊗x+x⊗1 dx 21 то равенство   ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0  ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3       1 2x0 −2x1 −2x2 −2x3 1 1 1   ∂y ∂y ∂y ∂y       0 1 0 1 2 3    ∂x  2x 2x 0 0 ∂x ∂x ∂x     (3.1.18) =    2    ∂y ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2   2x2 0 2x0 0      ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3    0 0 2x0 2x3   3 ∂y ∂y 3 ∂y 3 ∂y 3 ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 является следствием (3.1.17). Система дифференциальных уравнений (3.1.15) является следствием равенства (3.1.18).  Лемма 3.1.8. Пусть x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k (3.1.19) y = y0 + y1i + y2 j + y3k кватернионы. Тогда (3.1.20) xy = x0 y 0 − x1 y 1 − x2 y 2 − x3 y 3 + (x0 y 1 + x1 y 0 + x2 y 3 − x3 y 2 )i + (x0 y 2 + x2 y 0 + x3 y 1 − x1 y 3 )j + (x0 y 3 + x3 y 0 + x1 y 2 − x2 y 1 )k Доказательство. Лемма является следствием определения [5]-11.2.1.  Лемма 3.1.9. Пусть x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k кватернион. Тогда (3.1.21) x2 = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 + 2x0 x1 i + 2x0 x2 j + 2x0 x3 k Доказательство. Равенство (3.1.22) x2 = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 + (x0 x1 + x1 x0 + x2 x3 − x3 x2 )i + (x0 x2 + x2 x0 + x3 x1 − x1 x3 )j + (x0 x3 + x3 x0 + x1 x2 − x2 x1 )k является следствием равенства (3.1.20). Равенство (3.1.21) является следствием  равенства (3.1.22). Теорема 3.1.10. Отображение y = x2 + C является решением системы дифференциальных уравнений (3.1.15) при начальном условии x=0 y0 = C 0 y1 = C 1 y2 = C 2 y3 = C 3 C = C0 + C 1i + C 2j + C 3k Доказательство. Отображение (3.1.23) y 0 = (x0 )2 + C10 (x1 , x2 , x3 ) является решением дифференциального уравнения ∂y 0 = 2x0 ∂x0 22 3. Дифференциальное уравнение, разрешённое относительно производной Из (3.1.15), (3.1.23) следует, что (3.1.24) ∂C10 ∂y 0 = = −2x1 ∂x1 ∂x1 Отображение (3.1.25) C10 (x1 , x2 , x3 ) = −(x1 )2 + C20 (x2 , x3 ) является решением дифференциального уравнения (3.1.24). Равенство (3.1.26) y 0 = (x0 )2 − (x1 )2 + C20 (x2 , x3 ) является следствием равенств (3.1.23), (3.1.25). Из (3.1.15), (3.1.26) следует, что (3.1.27) ∂y 0 ∂C20 = = −2x2 2 ∂x ∂x2 Отображение (3.1.28) C20 (x2 , x3 ) = −(x2 )2 + C30 (x3 ) является решением дифференциального уравнения (3.1.27). Равенство (3.1.29) y 0 = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 + C30 (x3 ) является следствием равенств (3.1.26), (3.1.28). Из (3.1.15), (3.1.29) следует, что (3.1.30) ∂y 0 dC30 = = −2x3 ∂x3 dx3 Отображение (3.1.31) C30 (x3 ) = −(x3 )2 + C 0 является решением дифференциального уравнения (3.1.30). Равенство (3.1.32) y 0 = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 + C 0 является следствием равенств (3.1.29), (3.1.31). Отображение (3.1.33) y 1 = 2x0 x1 + C11 (x1 , x2 , x3 ) является решением дифференциального уравнения ∂y 1 = 2x1 ∂x0 Из (3.1.15), (3.1.33) следует, что (3.1.34) ∂C11 ∂y 1 0 = 2x + = 2x0 ∂x1 ∂x1 Отображение (3.1.35) C11 (x1 , x2 , x3 ) = C21 (x2 , x3 ) является решением дифференциального уравнения (3.1.34). Равенство (3.1.36) y 1 = 2x0 x1 + C21 (x2 , x3 ) является следствием равенств (3.1.33), (3.1.35). Из (3.1.15), (3.1.36) следует, что (3.1.37) ∂C21 ∂y 1 = =0 2 ∂x ∂x2 ∂y 1 ∂C21 = =0 3 ∂x ∂x3 Отображение (3.1.38) C21 (x2 , x3 ) = C 1 3.2. Дифференциальное уравнение dy = 3x ⊗ x dx 23 является решением системы дифференциальных уравнений (3.1.37). Равенство y 1 = 2x0 x1 + C 1 (3.1.39) является следствием равенств (3.1.36), (3.1.38). Аналогично мы находим, что (3.1.40) y 2 = 2x0 x2 + C 2 (3.1.41) y 3 = 2x0 x3 + C 3 Теорема является следствие сравнения равенства (3.1.21) и равенств (3.1.32), (3.1.39), (3.1.40), (3.1.41).  dy = 3x ⊗ x dx В этом разделе я рассмотрю дифференциальное уравнение, у которого существование решения зависит от выбора алгебры. 3.2. Дифференциальное уравнение Теорема 3.2.1. Дифференциальное уравнение dy (3.2.1) = 3x ⊗ x dx в поле комплексных чисел имеет вид системы дифференциальных уравнений  ∂y 0 ∂y 0  0 2 1 2  = −6x0 x1  ∂x0 = 3(x ) − 3(x ) ∂x1 (3.2.2) 1   ∂y 1  ∂y = 6x0 x1 = 3(x0 )2 − 3(x1 )2 0 ∂x ∂x1 относительно базиса e0 = 1 e1 = i Доказательство. Поскольку произведение в поле комплексных чисел коммутативно, мы можем записать дифференциальное уравнение (3.2.1) в виде dy = 3x2 dx (3.2.3) Если дифференциалы dx, dy записать как вектор-столбец, то, согласно теореме [7]-2.5.1 и лемме 3.1.5, уравнение (3.2.3) принимает вид      dy 0 (x0 )2 − (x1 )2 dx0 −2x0 x1   = 3   (3.2.4) dy 1 2x0 x1 (x0 )2 − (x1 )2 dx1 Так как матрица производной имеет вид  0 ∂y  ∂x0 dy = dx  ∂y 1 ∂x0 то равенство (3.2.5) ∂y 0  ∂x0   1 ∂y ∂x0   ∂y 0 ∂x1   1 ∂y ∂x1  ∂y 0  3(x0 )2 − 3(x1 )2 ∂x1  =  ∂y 1 6x0 x1 1 ∂x −6x0 x1 3(x0 )2 − 3(x1 )2   24 3. Дифференциальное уравнение, разрешённое относительно производной является следствием (3.2.4). Система дифференциальных уравнений (3.2.2) является следствием равенства (3.2.5).  Лемма 3.2.2. Пусть x = x0 + x1 i комплексное число. Тогда x3 = (x0 )3 − 3x0 (x1 )2 + (3(x0 )2 x1 − (x1 )3 )i (3.2.6) Доказательство. Согласно лемме 3.1.5, x3 = x2 x = ((x0 )2 − (x1 )2 + 2x0 x1 i)(x0 + x1 i) (3.2.7) = ((x0 )2 − (x1 )2 )x0 + 2(x0 )2 x1 i + ((x0 )2 − (x1 )2 )x1 i − 2x0 (x1 )2 = (x0 )3 − x0 (x1 )2 + 2(x0 )2 x1 i + ((x0 )2 x1 − (x1 )3 )i − 2x0 (x1 )2 Равенство (3.2.6) является следствием равенства (3.2.7).  Теорема 3.2.3. Отображение y = x3 + C является решением системы дифференциальных уравнений (3.2.2) в поле комплексных чисел при начальном условии x=0 y0 = C 0 y1 = C 1 C = C0 + C 1i Доказательство. Отображение (3.2.8) y 0 = (x0 )3 − 3x0 (x1 )2 + C10 (x1 ) является решением дифференциального уравнения ∂y 0 = 3(x0 )2 − 3(x1 )2 ∂x0 Из (3.2.2), (3.2.8) следует, что (3.2.9) ∂y 0 dC10 0 1 = −6x x + = −6x0 x1 ∂x1 dx1 Отображение C10 (x1 ) = C 0 (3.2.10) является решением дифференциального уравнения (3.2.9). Равенство (3.2.11) y 0 = (x0 )3 − 3x0 (x1 )2 + C 0 является следствием равенств (3.2.8), (3.2.10). Отображение (3.2.12) y 1 = 3(x0 )2 x1 + C11 (x1 ) является решением дифференциального уравнения ∂y 1 = 6x0 x1 ∂x0 Из (3.2.2), (3.2.12) следует, что (3.2.13) dC11 ∂y 1 0 2 = 3(x ) + = 3(x0 )2 − 3(x1 )2 ∂x1 dx1 3.2. Дифференциальное уравнение dy = 3x ⊗ x dx 25 Отображение C11 (x1 ) = −(x1 )3 + C 1 (3.2.14) является решением дифференциального уравнения (3.2.13). Равенство (3.2.15) y 1 = 3(x0 )2 x1 − (x1 )3 + C 1 является следствием равенств (3.2.12), (3.2.14). Теорема является следствие сравнения равенства (3.2.6) и равенств (3.2.11),  (3.2.15). Теорема 3.2.4. Дифференциальное уравнение dy = 3x ⊗ x (3.2.16) dx в некоммутативной алгебре не имеет решений. Доказательство. Рассмотрим метод последовательного дифференцирования для решения дифференциального уравнения (3.2.16). Последовательно дифференцируя уравнение (3.2.16), мы получаем цепочку уравнений (3.2.17) d2 y = 3 ⊗ 1 ⊗ x + 3x ⊗ 1 ⊗ 1 dx2 (3.2.18) d3 y =6⊗1⊗1⊗1 dx3 Разложение в ряд Тейлора y = x3 + C следует из уравнений (3.2.16), (3.2.17), (3.2.18) и начального условия. Согласно теореме A.1.9 dx3 6= 3x ⊗ x dx Теорема является следствием утверждения (3.2.19). (3.2.19) Лемма 3.2.5. В алгебре кватернионов Jl (a)Jr (b) = Jr (b)Jl (a)  a0 b0 − a1 b1 −a0 b1 − a1 b0    −a2 b2 − a3 b3 +a2 b3 − a3 b2    a1 b0 + a0 b1 −a1 b1 + a0 b0    −a3 b2 + a2 b3 +a3 b3 + a2 b2 (3.2.20) =   a2 b0 + a3 b1 −a2 b1 + a3 b0    +a0 b2 − a1 b3 −a0 b3 − a1 b2    a3 b0 − a2 b1 −a3 b1 − a2 b0  +a1 b2 + a0 b3 −a1 b3 + a0 b2   −a0 b2 − a1 b3 −a0 b3 + a1 b2 −a2 b0 + a3 b1   −a2 b1 − a3 b0    −a1 b3 − a0 b2    −a3 b1 + a2 b0    −a2 b3 − a3 b2    +a0 b1 − a1 b0    −a3 b3 + a2 b2   +a1 b1 + a0 b0 −a1 b2 + a0 b3 −a3 b0 − a2 b1 −a2 b2 + a3 b3 +a0 b0 + a1 b1 −a3 b2 − a2 b3 +a1 b0 − a0 b1 26 3. Дифференциальное уравнение, разрешённое относительно производной Доказательство. Произведение матриц Jl (a), Jr (b) имеет вид    a0 −a1 −a2 −a3 b0 −b1 −b2 −b3     1  1 0 3 2  0 3 2   a   a −a a b b b −b      2     a a3 a0 −a1   b2 −b3 b0 b1     3 2 1 0 3 2 1 0 a −a a a b b −b b  a0 b0 − a1 b1 −a0 b1 − a1 b0 −a0 b2 − a1 b3 −a0 b3 + a1 b2    −a2 b2 − a3 b3 +a2 b3 − a3 b2 −a2 b0 + a3 b1 −a2 b1 − a3 b0  (3.2.21)   a1 b0 + a0 b1 −a1 b1 + a0 b0 −a1 b2 + a0 b3 −a1 b3 − a0 b2    −a3 b2 + a2 b3 +a3 b3 + a2 b2 −a3 b0 − a2 b1 −a3 b1 + a2 b0 =   a2 b0 + a3 b1 −a2 b1 + a3 b0 −a2 b2 + a3 b3 −a2 b3 − a3 b2    +a0 b2 − a1 b3 −a0 b3 − a1 b2 +a0 b0 + a1 b1 +a0 b1 − a1 b0    a3 b0 − a2 b1 −a3 b1 − a2 b0 −a3 b2 − a2 b3 −a3 b3 + a2 b2  +a1 b2 + a0 b3 −a1 b3 + a0 b2 +a1 b0 − a0 b1 +a1 b1 + a0 b0 Произведение матриц Jr (b),  b0 −b1 −b2   1  b b0 b3   2  b −b3 b0  b3 b2 −b1  a0 b 0 − a1 b 1    −a2 b2 − a3 b3  (3.2.22)   a1 b 0 + a0 b 1    −a3 b2 + a2 b3 =   a2 b 0 + a3 b 1    +a0 b2 − a1 b3    a3 b 0 − a2 b 1  +a1 b2 + a0 b3 Jl (a) имеет вид  −b3 a0 −a1   −b2   a1 a0   b 1   a2 a3  b0 a3 −a2 −a3 −a3   a2    −a1   a0 a1                     −a2 a0   −a0 b1 − a1 b0 −a0 b2 − a1 b3 −a0 b3 + a1 b2 +a2 b3 − a3 b2 −a2 b0 + a3 b1 −a1 b1 + a0 b0 −a1 b2 + a0 b3 +a3 b3 + a2 b2 −a3 b0 − a2 b1 −a2 b1 + a3 b0 −a2 b2 + a3 b3 −a0 b3 − a1 b2 +a0 b0 + a1 b1 −a3 b1 − a2 b0 −a3 b2 − a2 b3 −a1 b3 + a0 b2 +a1 b0 − a0 b1   −a2 b1 − a3 b0    −a1 b3 − a0 b2    −a3 b1 + a2 b0    −a2 b3 − a3 b2    +a0 b1 − a1 b0    −a3 b3 + a2 b2   +a1 b1 + a0 b0 Равенство (3.2.20) является следствием равенств (3.2.21), (3.2.22).  3.2. Дифференциальное уравнение dy = 3x ⊗ x dx Лемма 3.2.6. Произведение матриц Jr (a), Jl (a) имеет вид  a0 a0 − a1 a1 −2a0a1 −2a0a2 −2a0a3    −a2 a2 − a3 a3    2a0 a1 −a1 a1 + a0 a0 −2a1a2 −2a1a3    +a3 a3 + a2 a2 (3.2.23)    2a2 a0 −2a2a1 −a2 a2 + a3 a3 −2a2a3    +a0 a0 + a1 a1    2a3 a0 −2a3a1 −2a2a3 −a3 a3 + a2 a2  +a1 a1 + a0 a0 27                     Доказательство. Согласно лемме 3.2.5, произведение матриц Jr (a), Jl (a) имеет вид   a0 a0 − a1 a1 −a0 a1 − a1 a0 −a0 a2 − a1 a3 −a0 a3 + a1 a2      −a2 a2 − a3 a3 +a2 a3 − a3 a2 −a2 a0 + a3 a1 −a2 a1 − a3 a0       a1 a0 + a0 a1 −a1 a1 + a0 a0 −a1 a2 + a0 a3 −a1 a3 − a0 a2       −a3 a2 + a2 a3 +a3 a3 + a2 a2 −a3 a0 − a2 a1 −a3 a1 + a2 a0    (3.2.24)    a2 a0 + a3 a1 −a2 a1 + a3 a0 −a2 a2 + a3 a3 −a2 a3 − a3 a2       +a0 a2 − a1 a3 −a0 a3 − a1 a2 +a0 a0 + a1 a1 +a0 a1 − a1 a0       a3 a0 − a2 a1 −a3 a1 − a2 a0 −a3 a2 − a2 a3 −a3 a3 + a2 a2    +a1 a2 + a0 a3 −a1 a3 + a0 a2 +a1 a0 − a0 a1 +a1 a1 + a0 a0 Равенство (3.2.23) является следствием равенства (3.2.24).  Теорема 3.2.7. Дифференциальное уравнение (3.2.16) в алгебре кватернионов имеет вид системы дифференциальных уравнений  0 ∂y   = 3(x0 )2 − 3(x1 )2 − 3(x2 )2 − 3(x3 )2  0  ∂x     ∂y 0    1 = −6x0 x1 ∂x (3.2.25)  ∂y 0  0 2    ∂x2 = −6x x    0    ∂y = −6x0 x3 ∂x3 28 3. Дифференциальное уравнение, разрешённое относительно производной  1 ∂y   = 6x0 x1  0  ∂x    1  ∂y    1 = 3(x0 )2 − 3(x1 )2 + 3(x2 )2 + 3(x3 )2 ∂x (3.2.26)  ∂y 1   = −6x1 x2  2  ∂x    1    ∂y = −6x1 x3 ∂x3  2 ∂y   = 6x0 x2  0  ∂x    2  ∂y    1 = −6x1 x2 ∂x (3.2.27) 2    ∂y = −3(x2 )2 + 3(x3 )2 + 3(x0 )2 + 3(x1 )2   ∂x2    2    ∂y = −6x2 x3 ∂x3  3 ∂y  0 3   0 = 6x x  ∂x     ∂y 3    1 = −6x1 x3 ∂x (3.2.28) 3    ∂y = −6x2 x3  2    ∂x  3    ∂y = −3(x3 )2 + 3(x2 )2 + 3(x1 )2 + 3(x0 )2 ∂x3 относительно базиса e0 = 1 e1 = i e2 = j e3 = k Доказательство. Мы можем записать дифференциальное уравнение (3.2.16) в виде (3.2.29) dy = 3x dx x Если дифференциалы dx, dy записать как вектор-столбец, то, согласно лемме 3.2.5, уравнение (3.2.29) принимает вид     dx0 dy 0      1  1 dx  dy      (3.2.30)  2  = 3Jl (x)Jr (x)  2  dx  dy      dy 3 dx3 3.2. Дифференциальное уравнение Так как матрица производной имеет вид  0 ∂y ∂y 0 0  ∂x ∂x1   1  ∂y ∂y 1  0  ∂x dy ∂x1 =  dx  ∂y 2 ∂y 2   ∂x0 ∂x1   3 ∂y ∂y 3 0 ∂x ∂x1 то равенство  0  ∂y ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0  ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3     1   ∂y ∂y 1 ∂y 1 ∂y 1   0  ∂x1 ∂x2 ∂x3  1  ∂x =  3  ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2     ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3     3  ∂y ∂y 3 ∂y 3 ∂y 3 0 ∂x1 ∂x2 ∂x3  ∂x x0 x0 − x1 x1 (3.2.31)    −x2 x2 − x3 x3    2x0 x1       2x2 x0       2x3 x0  ∂y 0 ∂x2 ∂y 1 ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 3 ∂x2 −2x0 x1 dy = 3x ⊗ x dx  ∂y 0 ∂x3    ∂y 1   ∂x3    ∂y 2   ∂x3    ∂y 3 ∂x3 −2x0 x2 −x1 x1 + x0 x0 29 −2x0 x3 −2x1 x2 −2x1 x3 −x2 x2 + x3 x3 −2x2 x3 +x3 x3 + x2 x2 −2x2 x1 +x0 x0 + x1 x1 −2x3 x1 −2x2 x3 −x3 x3 + x2 x2 +x1 x1 + x0 x0                     является следствием (3.2.30). Система дифференциальных уравнений (3.2.25),  (3.2.26), (3.2.27), (3.2.28) является следствием равенства (3.2.31). Теорема 3.2.8. Система дифференциальных уравнений (3.2.25), (3.2.26), (3.2.27), (3.2.28) не имеет решений. Доказательство. Отображение (3.2.32) y 1 = 3(x0 )2 x1 + C11 (x1 , x2 , x3 ) является решением дифференциального уравнения ∂y 1 = 6x0 x1 ∂x0 Из (3.2.26), (3.2.32) следует, что (3.2.33) ∂y 1 ∂C11 = 3(x0 )2 + = 3(x0 )2 − 3(x1 )2 + 3(x2 )2 + 3(x3 )2 1 ∂x ∂x1 30 3. Дифференциальное уравнение, разрешённое относительно производной Отображение (3.2.34) C11 (x1 , x2 , x3 ) = −(x1 )3 + 3(x2 )2 x1 + 3(x3 )2 x1 + C21 (x2 , x3 ) является решением дифференциального уравнения (3.2.33). Равенство (3.2.35) y 1 = 3(x0 )2 x1 − (x1 )3 + 3(x2 )2 x1 + 3(x3 )2 x1 + C21 (x2 , x3 ) является следствием равенств (3.2.32), (3.2.34). Из (3.2.26), (3.2.35) следует, что ∂y 1 ∂C21 2 1 = 6x x + = −6x1 x2 ∂x2 ∂x2 Из уравнения (3.2.36), следует, что отображение C21 зависит от x1 , что противоречит утверждению, что отображение C21 не зависит от x1 . Следовательно, система дифференциальных уравнений (3.2.25), (3.2.26), (3.2.27), (3.2.28) не имеет решений.  (3.2.36) 3.3. Прежде чем двигаться дальше Прежде чем двигаться дальше, мы сформулируем вопросы, на которые необходимо ответить. Вопрос 3.3.1. Если D-алгебра B имеет конечный базис e, то мы можем записать дифференциальное уравнение df (x) = g(x) (3.3.1) dx в виде системы дифференциальных уравнений ∂y i = gji y = y i eB·i x = xi eA·i ∂xj Какова связь между дифференциальным уравнением (3.3.1) и системой диф ференциальных уравнений (3.3.2)? (3.3.2) Вопрос 3.3.2. Каково условие интегрируемости дифференциального уравнения (3.3.1)?  Вопрос 3.3.3. Если дана система дифференциальных уравнений (3.3.2), можем ли мы записать дифференциальное уравнение (3.3.1)?  Вопрос 3.3.4. Системы дифференциальных уравнений (3.1.2), (3.1.15), (3.2.2) являются вполне интегрируемыми. 3.3 Система дифференциальных уравнений (3.2.25), (3.2.26), (3.2.27), (3.2.28) не является вполне интегрируемой системой. Равносильно ли требование полной интегрируемости системы дифференциальных уравнений (3.3.2) требованию интегрируемости соот ветствующего дифференциального уравнения (3.3.1)? 3.3 Смотри определение вполне интегрируемой системы дифференциальных уравнений на страницах 7, 8 в [11]. 3.4. Формы представления дифференциального уравнения 31 3.4. Формы представления дифференциального уравнения Теорема 3.4.1 отвечает на вопрос 3.3.1. Теорема 3.4.1. Пусть B - свободная конечно мерная ассоциативная Dалгебра. Пусть eA - базис D-модуля A. Пусть eB - базис D-модуля B. Пусть F - базис левого B ⊗ B-модуля L(D; B → B) и G:A→B линейное отображение максимального ранга такое, что ker G ⊆ ker g. Пусть p g k·ij - стандартные компоненты отображения g. Пусть Ckl - структурные константы алгебры B. Тогда мы можем записать дифференциальное уравнение (3.3.1) в виде системы дифференциальных уравнений ∂y k r p k = g k·ij Fk· m r Gl Cim Cpj ∂xl Доказательство. Теорема является следствием теоремы [9]-6.4.5.  Опираясь на теорему 3.4.1, мы можем рассмотреть вопрос 3.3.3. Однако ответ на этот вопрос не однозначен. Мы начнём с теоремы 3.4.2. (3.4.1) Теорема 3.4.2. Пусть B - свободная конечно мерная ассоциативная Dалгебра. Пусть e - базис D-модуля B. Пусть F - базис левого B ⊗ B-модуля L(D; B → B) и G:A→B линейное отображение максимального ранга такое, что ker G ⊆ ker g. Пусть p - структурные константы алгебры B. Рассмотрим матрицу Ckl

C = C ·km ·ij = C pim C kpj строки и столбцы которой пронумерованы индексами ·km и ·ij соответственно. Если матрица C невырождена, то мы можем записать систему дифференциальных уравнений ∂y i = gji y = y i eB·i x = xi eA·i ∂xj в виде дифференциального уравнения dy = g k·ij (eB·i ⊗ eB·j ) ◦ Fk ◦ G (3.4.2) dx где стандартные компоненты g k·ij отображения g являются решением системы линейных уравнений p r k glk = g k·ij Fk· m r Gl CB· im CB· pj Если матрица C вырождена, то мы можем записать дифференциальное уравнение (3.4.2), если выполнено условие   k rank C ·km ·ij gm = rank C Доказательство. Теорема является следствием теоремы [9]-6.4.5.  32 3. Дифференциальное уравнение, разрешённое относительно производной Анализ теоремы 3.4.2 показывает, что не достаточно записать уравнение (3.4.2), чтобы ответить на вопрос 3.3.3. Причина этого в том, что, согласно построению, отображения g k·ij зависят от координат A-числа x. Однако необходимо отметить, что отображение x = xi ei → xj является линейным отображением. Поэтому, если D-модуль A является D-алгеброй, то существует эффективная процедура ответа на вопрос 3.3.3. Замечание 3.4.3. Утверждение этого замечания предварительно, так как исследование в этом направлении не завершено. Стандартные компоненты отображения g - это универсальная форма записи отображения, но не единственная и не самая выразительная. Пусть E - базис B-модуля L(D; B → B). Тогда отображение g можно представить в виде g(x) = g k (x) ◦ Ek gk : A → B  3.5. Условие интегрируемости Чтобы ответить на вопрос 3.3.2, напомню, что отображение g является дифференциальной формой (определение [10]-7.3.2). Теорема 3.5.1. Дифференциальное уравнение df (x) = g(x) dx интегрируемо тогда и только тогда, когда dg = 0  Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-8.3.1. Рассмотрим сперва как работает теорема 3.5.1 в случае дифференциальных уравнений (3.1.1), (3.2.16). Пример 3.5.2. Рассмотрим дифференциальную форму g(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x Согласно теоремам A.1.1, A.1.2, A.1.4, A.1.15, dg = 1 ⊗2 1 ⊗1 1 + 1 ⊗1 1 ⊗2 1 dx Индекс, сопровождающий символ ⊗, показывает, какой аргумент полилинейного отображения должен быть записан вместо соответствующего символа ⊗. Например dg ◦ (h1 , h2 ) = (1 ⊗2 1 ⊗1 1 + 1 ⊗1 1 ⊗2 1) ◦ (h1 , h2 ) = h2 h1 + h1 h2 (3.5.1) dx dg Из равенства (3.5.1) следует, что билинейное отображение симметdx рично. Согласно определению [10]-7.4.1 dg = 0 Согласно теореме 3.5.1, дифференциальное уравнение (3.1.1) интегрируемо  (теорема 3.1.7). 3.5. Условие интегрируемости 33 Пример 3.5.3. Рассмотрим дифференциальную форму g(x) = x ⊗ x Согласно теоремам A.1.2, A.1.15, dg = 1 ⊗2 1 ⊗1 x + x ⊗1 1 ⊗2 1 dx Индекс, сопровождающий символ ⊗, показывает, какой аргумент полилинейного отображения должен быть записан вместо соответствующего символа ⊗. Например dg ◦ (h1 , h2 ) = (1 ⊗2 1 ⊗1 x + x ⊗1 1 ⊗2 1) ◦ (h1 , h2 ) = h2 h1 x + xh1 h2 (3.5.2) dx Из равенства (3.5.2) и определения [10]-7.4.1 следует, что (3.5.3) dg = (h2 h1 − h1 h2 )x + x(h1 h2 − h2 h1 ) Из равенства (3.5.3) следует, что dg 6= 0 Согласно теореме 3.5.1, дифференциальное уравнение (3.2.16) не интегрируе мо (теорема 3.2.4). Теорема 3.5.4 отвечает на вопрос 3.3.2. Теорема 3.5.4. Пусть B - свободная конечно мерная ассоциативная Dалгебра. Пусть e - базис D-модуля B. Пусть F - базис левого B ⊗ B-модуля L(D; B → B) и G - линейное отображение G:A→B максимального ранга такое, что ker G ⊆ ker g. Пусть g k·ij - стандартные компоненты отображения g : A → L(D; A → B) Дифференциальное уравнение dy = g k·ij (eB·i ⊗ eB·j ) ◦ Fk ◦ G dx интегрируемо тогда и только тогда, когда  k·ij  (x) dg ◦ h2 (eB·i (Fk ◦ G ◦ h1 )eB·j ) dx (3.5.4)   k·ij dg (x) ◦ h1 (eB·i (Fk ◦ G ◦ h2 )eB·j ) = dx Доказательство. Поскольку (3.5.5) g ◦ h1 = g k·ij (ei ⊗ ej ) ◦ Fk ◦ G ◦ h1 = g k·ij (ei (Fk ◦ G ◦ h1 )ej ) то, согласно теореме [10]-8.2.3, (3.5.6) dg ◦ (h1 , h2 ) = dx   dg k·ij ◦ h2 (ei (Fk ◦ G ◦ h1 )ej ) dx Равенство (3.5.4) является следствием равенства (3.5.6), теоремы 3.5.1 и определения [10]-7.4.1.  Теорема 3.5.5 отвечает на вопрос 3.3.4. 34 3. Дифференциальное уравнение, разрешённое относительно производной Теорема 3.5.5. Пусть B - свободная конечно мерная ассоциативная Dалгебра. Пусть eA - базис D-модуля A. Пусть eB - базис D-модуля B. Дифференциальное уравнение dy = g(x) (3.5.7) dx интегрируемо тогда и только тогда, когда вполне интегрируема соответствующая система дифференциальных уравнений (3.5.8) ∂y i = gji ∂xj y = y i eB·i x = xi eA·i Доказательство. Пусть F - базис левого B ⊗ B-модуля L(D; B → B) и G - линейное отображение G:A→B максимального ранга такое, что ker G ⊆ ker g. Пусть g k·ij - стандартные компоненты отображения g : A → L(D; A → B) Тогда дифференциальное уравнение (3.5.7) имеет вид dy = g k·ij (eB·i ⊗ eB·j ) ◦ Fk ◦ G (3.5.9) dx Согласно теореме 3.5.4, дифференциальное уравнение (3.5.7) интегрируемо тогда и только тогда, когда   k·ij (x) dg ◦ h2 (eB·i (Fk ◦ G ◦ h1 )eB·j ) dx (3.5.10)   k·ij (x) dg = ◦ h1 (eB·i (Fk ◦ G ◦ h2 )eB·j ) dx Пусть h1 = hk1 ek h2 = hl2 el Тогда мы можем записать равенство (3.5.10) в виде  k·ij  dg (x) l ◦ (h2 e1·l ) (e2·i (Fk ◦ G ◦ (hk1 e1·k ))e2·j ) dx (3.5.11)   k·ij dg (x) k = ◦ (h1 e1·k ) (e2·i (Fk ◦ G ◦ (hl2 e1·l ))e2·j ) dx Так как h1 , h2 - произвольные A-числа, то равенство   k·ij dg (x) ◦ e1·l (e2·i (Fk ◦ G ◦ e1·k )e2·j ) dx (3.5.12)  k·ij  dg (x) ◦ e1·k (e2·i (Fk ◦ G ◦ e1·l )e2·j ) = dx является следствием равенства (3.5.11). Так как r Fk ◦ G ◦ e1·k = Fk m r Gk e2·m 3.5. Условие интегрируемости 35 то равенство (3.5.13)  dg k·ij (x) r ◦ e1·l Fk m r Gk e2·i e2·m e2·j dx   k·ij (x) dg r = ◦ e1·k Fk m r Gl e2·i e2·m e2·j dx  является следствием равенства (3.5.12). Равенство   ij dg (x) p r r ◦ e1·l Fk m r Gk C2· im C2· pj e2·r dx (3.5.14)   k·ij dg (x) p r r ◦ e1·k Fk m = r Gl C2· im C2· pj e2·r dx является следствием равенства (3.5.13). Равенство    r  r dgl (x) dgk (x) ◦ e1·l e2·r = ◦ e1·k e2·r (3.5.15) dx dx является следствием равенства (3.5.14). Равенство dg r (x) dgkr (x) ◦ e1·l = l ◦ e1·k dx dx является следствием равенства (3.5.15). (3.5.16)  Глава 4 Дифференциальное уравнение первого порядка 4.1. Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными В теории дифференциальных уравнений над полем первое уравнение, которое мы изучаем, - это уравнение с разделяющимися переменными M (x) dy = (4.1.1) dx N (y) Разделив переменные, мы можем записать дифференциальное уравнение (4.1.1) в виде (4.1.2) N (y)dy = M (x)dx Дифференциальное уравнение (4.1.2) легко интегрировать. В некоммутативной D-алгебре, dx и dy принадлежат, вообще говоря, различным D-модулям. В тоже время, решение дифференциального уравнения (4.1.2) является неявной функцией переменных x и y. Поэтому я сформулирую задачу следующим образом. Пусть X, Y - банаховы D-модули. Пусть A - банахова D-алгебра. Рассмотрим отображения f : X → L(D; X → A) g : Y → L(D; Y → A) Дифференциальное уравнение dy (4.1.3) = g(y) ◦ f (x) dx называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. В некоммутативной D-алгебре, даже если это алгебра с делением, операция разделения переменных может оказаться невыполнимой. Однако, если существует отображение h : Y → L(D; Y → A) такое, что h◦g = 1⊗1 то мы можем записать дифференциальное уравнение (4.1.3) в следующем виде h(y) ◦ dy = f (x) ◦ dx Пусть X, Y - банаховы D-модули. Пусть A - банахова D-алгебра. Рассмотрим отображения M : X → L(D; X → A) N : Y → L(D; Y → A) 36 4.1. Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными 37 Дифференциальное уравнение M (x) ◦ dx + N (y) ◦ dy = 0 называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными. Теорема 4.1.1. Пусть отображения M : X → L(D; X → A) N : Y → L(D; Y → A) интегрируемы. Решением дифференциального уравнения M (x) ◦ dx + N (y) ◦ dy = 0 (4.1.4) является неявное отображение 4.1 Z Z (4.1.5) M (x) ◦ dx + N (y) ◦ dy = C Доказательство. Равенство dy ◦ dx dx является следствием определения [10]-3.3.2. Из интегрируемости дифференциальной формы в левой части равенства (4.1.6) следует интегрируемость дифференциальной формы в правой части равенства (4.1.6). Согласно теореме A.2.4 дифференциальная форма   dy ◦ dx (4.1.7) M (x) ◦ dx + N (y) ◦ dx = M (x) + N (y) ◦ dx интегрируема. Равенство dy (4.1.8) M (x) + N (y) ◦ =0⊗0 dx является следствием равенств (4.1.4), (4.1.7). Равенство (4.1.5) является след ствием равенства (4.1.8) и теоремы A.2.3. N (y) ◦ dx = N (y) ◦ (4.1.6) Пример 4.1.2. Рассмотрим дифференциальное уравнение (4.1.9) (1 ⊗ x + x ⊗ 1) ◦ dx + (1 ⊗ y + y ⊗ 1) ◦ dy = 0 Согласно теоремам 4.1.1, A.2.6, неявное отображение x2 + y 2 = C является решением дифференциального уравнения (4.1.9).  Теорема 4.1.3. Решение дифференциального уравнения (4.1.10) M (x) ◦ dx + N (y) ◦ dy = 0 при начальном условии x0 = 0 y0 = C 4.1 Доказательство теоремы опирается на доказательства на странице [3]-44 и на странице [4]-19, однако несколько отличается, так как D-алгебра A вообще говоря некоммутативна. 38 4. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид 4.2 Z (4.1.11) x M (x) ◦ dx + Z y N (y) ◦ dy = 0 y0 x0 Доказательство. Согласно теореме 4.1.1, неявная функция Z Z (4.1.12) M (x) ◦ dx + N (y) ◦ dy = C является решением дифференциального уравнения (4.1.10). Согласно определению 3.1.1, существуют отображения P :X→A R:Y →A такие, что (4.1.13) P (x) = Z M (x) ◦ dx (4.1.14) R(y) = Z N (y) ◦ dy Согласно теореме [10]-6.2.1 и определению [10]-8.3.7, равенства Z Z x M (x) ◦ dx + P (x0 ) (4.1.15) M (x) ◦ dx = x0 Z (4.1.16) N (y) ◦ dy = Z y N (y) ◦ dy + R(y0 ) y0 являются следствием равенств (4.1.13), (4.1.14). Равенство Z y Z x N (y) ◦ dy + R(x0 ) = C M (x) ◦ dx + P (x0 ) + (4.1.17) x0 y0 являются следствием равенств (4.1.12), (4.1.15), (4.1.16). Если x = x0 , y = y0 , то равенство (4.1.18) P (x0 ) + R(x0 ) = C являются следствием равенства (4.1.17). Равенство (4.1.11) являются следстви ем равенств (4.1.17), (4.1.18). 4.2. Уравнение в полных дифференциалах Определение 4.2.1. Дифференциальное уравнение M (x, y) ◦ dx + N (x, y) ◦ dy = 0 где M : (x, y) ∈ X × Y → M (x, y) ∈ L(D; X → A) N : (x, y) ∈ X × Y → N (x, y) ∈ L(D; Y → A) называется уравнением в полных дифференциалах, если существует отображение u:X ×Y →A 4.2 Смотри также замечания на странице [3]-44 и на странице [4]-20. 4.2. Уравнение в полных дифференциалах 39 такое, что (4.2.1) ∂u(x, y) = M (x, y) ∂x (4.2.2) ∂u(x, y) = N (x, y) ∂y  Теорема 4.2.2. Дифференциальное уравнение (4.2.3) M (x, y) ◦ dx + N (x, y) ◦ dy = 0 интегрируемо тогда и только тогда, когда ∂M (x, y) ∂M (x, y) (4.2.4) ◦ (dx1 , dx2 ) = ◦ (dx2 , dx1 ) ∂x ∂x (4.2.5) ∂N (x, y) ∂N (x, y) ◦ (dy1 , dy2 ) = ◦ (dy2 , dy1 ) ∂y ∂y (4.2.6) ∂M (x, y) ∂N (x, y) ◦ (dx, dy) = ◦ (dy, dx) ∂y ∂x Доказательство. Пусть Z = X ⊕ Y , z = x ⊕ y. Согласно определениям [10]-7.3.2, 2.2.5, 4.2.1 и теореме 2.2.6, выражение (4.2.7) ω = M (x, y) ◦ dx + N (x, y) ◦ dy является дифференциальной формой степени 1. Согласно теореме [10]-8.3.1, дифференциальная форма ω интегрируема тогда и только тогда, когда dω = 0. Равенства ∂M (x, y) ∂M (x, y) dω ◦ (z1 , z2 ) = ◦ (dx1 , dx2 ) + ◦ (dx1 , dy2 ) dz ∂x ∂y (4.2.8) ∂N (x, y) ∂N (x, y) + ◦ (dy1 , dx2 ) + ◦ (dy1 , dy2 ) ∂x ∂y ∂M (x, y) ∂M (x, y) dω ◦ (z2 , z1 ) = ◦ (dx2 , dx1 ) + ◦ (dx2 , dy1 ) dz ∂x ∂y (4.2.9) ∂N (x, y) ∂N (x, y) + ◦ (dy2 , dx1 ) + ◦ (dy2 , dy1 ) ∂x ∂y являются следствием равенства (4.2.7). Равенство ∂M (x, y) ∂M (x, y) ◦ (dx1 , dx2 ) + ◦ (dx1 , dy2 ) ∂x ∂y ∂N (x, y) ∂N (x, y) + ◦ (dy1 , dx2 ) + ◦ (dy1 , dy2 ) ∂x ∂y (4.2.10) ∂M (x, y) ∂M (x, y) = ◦ (dx2 , dx1 ) + ◦ (dx2 , dy1 ) ∂x ∂y ∂N (x, y) ∂N (x, y) ◦ (dy2 , dx1 ) + ◦ (dy2 , dy1 ) + ∂x ∂y является следствием равенств (4.2.8), (4.2.9). Равенства (4.2.4), (4.2.5), (4.2.6) являются следствием равенства (4.2.10).  40 4. Дифференциальное уравнение первого порядка Пусть верны равенства (4.2.4), (4.2.5), (4.2.6). Наша задача построить неявную функцию 4.3 u(x, y) = C, которая удовлетворяет равенствам (4.2.1), (4.2.2). Согласно теоремам [10]-8.3.1, A.2.1, равенство Z (4.2.11) u(x, y) = M (x, y) ◦ dx + C1 (y) является следствием равенств (4.2.1), (4.2.4). Равенство Z dC1 (y) ∂ = N (x, y) M (x, y) ◦ dx + (4.2.12) ∂y dy является следствием равенств (4.2.2), (4.2.11). Равенство Z dC1 (y) ∂ (4.2.13) = N (x, y) − M (x, y) ◦ dx dy ∂y является следствием равенства (4.2.12). В выражении Z ∂ (4.2.14) N (x, y) − M (x, y) ◦ dx ∂y правой части уравнения (4.2.13) присутствует переменная x. Для того, чтобы уравнение (4.2.13) имело решение, необходимо чтобы выражение (4.2.14) не зависело от x. Рассмотрим производную выражения (4.2.14) по x. Равенство     Z ∂ ∂ N (x, y) ◦ dy − M (x, y) ◦ dx ◦ dy ◦ dx ∂x ∂y  2 Z  ∂ ∂N (x, y) ◦ (dy, dx) − M (x, y) ◦ dx ◦ (dy, dx) = ∂x ∂x∂y  2 Z  ∂N (x, y) ∂ (4.2.15) ◦ (dy, dx) − = M (x, y) ◦ dx ◦ (dx, dy) ∂x ∂y∂x   Z ∂N (x, y) ∂ ∂ = ◦ (dy, dx) − M (x, y) ◦ dx ◦ dy ∂x ∂y ∂x ∂M (x, y) ∂N (x, y) ◦ (dy, dx) − ◦ (dx, dy) = 0 = ∂x ∂y является следствием равенств [6]-(9.1.5), (4.2.6), (A.2.2). Из теорем [10]-8.3.1, A.2.1 и равенства (4.2.5) следует существование интеграла  Z Z  ∂ N (x, y) − M (x, y) ◦ dx ◦ dy ∂y  Z Z  Z ∂ = N (x, y) ◦ dy − M (x, y) ◦ dx ◦ dy ∂y Следовательно, мы можем определить отображение C1 как решение дифференциального уравнения (4.2.13). 4.3 Процедура решения уравнения (4.2.3) похожа на процедуру решения уравнения в полных дифференциалах в коммутативной алгебре. Смотри, например, доказательство теоремы [3]-2.6.1, а также процедуру решения уравнения в полных дифференциалах на страницах 33, 34 в книге [4]-19. 4.2. Уравнение в полных дифференциалах 41 Пример 4.2.3. Рассмотрим дифференциальное уравнение (4.2.16) (1 ⊗ 1 + 1 ⊗ y) ◦ dx + (x ⊗ 1 + 1 ⊗ 1) ◦ dy = 0 Наша задача - найти неявную функцию u(x, y), которая является решением дифференциального уравнения (4.2.16). Дифференциальные уравнения ∂u (4.2.17) =1⊗1+1⊗y ∂x ∂u =x⊗1+1⊗1 ∂y являются следствием дифференциального уравнения (4.2.16). Тогда Z (4.2.19) u(x, y) = (1 ⊗ 1 + 1 ⊗ y) ◦ dx = x + xy + C1 (y) (4.2.18) является решением дифференциального уравнения (4.2.17). Равенство dC1 (y) ∂u(x, y) =x⊗1+ =x⊗1+1⊗1 ∂y dy является следствием равенства (4.2.19) и уравнения (4.2.18). Дифференциальное уравнение dC1 (y) =1⊗1 (4.2.21) dy является следствием равенства (4.2.20). (4.2.20) (4.2.22) C1 (y) = y является решением дифференциального уравнения (4.2.21). Из равенств (4.2.19), (4.2.22) следует, что неявная функция x + xy + y = C является решением дифференциального уравнения (4.2.16).  Пример 4.2.4 иллюстрирует, что равенства (4.2.4), (4.2.5) существенны для интегрируемости дифференциального уравнения (4.2.3). Пример 4.2.4. Рассмотрим дифференциальное уравнение (4.2.23) (3x2 ⊗ 1 + 1 ⊗ y) ◦ dx + (x ⊗ 1) ◦ dy = 0 Здесь M (x, y) = 3x2 ⊗ 1 + 1 ⊗ y N (x, y) = x ⊗ 1 Следовательно, ∂M (x, y) = 1 ⊗x 1 ⊗y 1 ∂y ∂N (x, y) = 1 ⊗x 1 ⊗y 1 ∂x Однако дифференциальная уравнение (4.2.23) не является интегрируемым, так как интеграл Z (3x2 ⊗ 1 + 1 ⊗ y) ◦ dx не существует.  42 4. Дифференциальное уравнение первого порядка Пример 4.2.5 иллюстрирует, что порядок переменных существеннен в равенстве (4.2.6). Пример 4.2.5. Рассмотрим дифференциальное уравнение (4.2.24) (1 ⊗ y) ◦ dx + (1 ⊗ x) ◦ dy = 0 Здесь M (x, y) = 1 ⊗ y N (x, y) = 1 ⊗ x Следовательно, ∂M (x, y) = 1 ⊗x 1 ⊗y 1 ∂y ∂N (x, y) = 1 ⊗y 1 ⊗x 1 ∂x ∂M (x, y) ∂N (x, y) Хотя производные , представлены одним и тем же тен∂y ∂x зором, их действие на переменные x, y различно ∂M (x, y) ◦ (dx, dy) = (1 ⊗x 1 ⊗y 1) ◦ (dx, dy) = dx dy ∂y ∂N (x, y) 6= ◦ (dy, dx) = (1 ⊗y 1 ⊗x 1) ◦ (dy, dx) = dy dx ∂x Легко видеть, что дифференциальное уравнение (4.2.24) не является интегрируемым.  4.3. Линейное однородное уравнение Теорема 4.3.1. Пусть A - D-алгебра. Пусть a ∈ A ⊗ A. Отображение y = F ◦ ea◦x где F ∈ A ⊗ A удовлетворяет равенству (4.3.1) F ◦1=C является решением дифференциального уравнения 1 1 dy − ay − ya = 0 (4.3.2) dx 2 2 при начальном условии x=0 y=C Доказательство. Равенство aa◦x 1 dF ◦ ea◦x =F ◦ = F ◦ (ea◦x a + aea◦x ) (4.3.3) dx dx 2 является следствием теорем A.1.3, A.1.11. Следовательно, отображение y = F ◦ ea◦x является решением дифференциального уравнения (4.3.2). Что бы найти тензор F , положим x = 0. Равенство (4.3.1) является следствием равенства e0 = 1.  4.3. Линейное однородное уравнение 43 Вопрос 4.3.2. Отображения y = (C ⊗ 1) ◦ ea◦x = Cea◦x y = (1 ⊗ C) ◦ ea◦x = ea◦x C являются решениями дифференциального уравнения (4.3.2) при начальном условии x=0 y=C На самом деле, эта задача с начальными значениями имеет бесконечно много решений. Важно понять причину этого явления.  Теорема 4.3.3. Дифференциальное уравнение (4.3.2) в алгебре кватернионов имеет вид системы дифференциальных уравнений  ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0  0 1 2  = y = −y = −y = −y 3   ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3       ∂y 1 ∂y 1 ∂y 1 ∂y 1  1  = y0 =0 =0  ∂x0 = y 1 2 ∂x ∂x ∂x3 (4.3.4)   ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2  2 0  = y = 0 = y =0   ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3      3 3  ∂y 3 ∂y 3  ∂y = y 3 ∂y = 0 =0 = y0 0 1 2 ∂x ∂x ∂x ∂x3 относительно базиса e0 = 1 e1 = i e2 = j e3 = k Доказательство. Мы можем записать дифференциальное уравнение (4.3.2) в виде 1 1 (4.3.5) dy = y dx + dx y 2 2 44 4. Дифференциальное уравнение первого порядка Если дифференциалы dx, dy записать как вектор-столбец, то, согласно теоремам [8]-5.1, [8]-5.2, уравнение (4.3.5) принимает вид       dy 0 dx0 dx0        1  1  1 dy  1 dx  1 dx         2  = 2 Jl (y)  2  + 2 Jr (y)  2  dy  dx  dx        3 3 3 dy dx dx    y 0 −y 1 −y 2 −y 3 dx0     1  1 0 3 2      y y −y y dx 1   =      2  y2 y3 y 0 −y 1  dx2     y 3 −y 2 y1 y0 dx3    (4.3.6) dx0 y 0 −y 1 −y 2 −y 3     1  1 0 3 2      y y y −y dx 1   +      2  y 2 −y 3 y0 y 1  dx2     y3 y 2 −y 1 y0 dx3    dx0 y 0 −y 1 −y 2 −y 3     1    y y0 0 0  dx1    =  2    y 0 y0 0  dx2     0 0 y0 dx3 y3 Так как матрица производной имеет вид  0 ∂y ∂y 0  ∂x0 ∂x1   1  ∂y ∂y 1  0  ∂x dy ∂x1 =  dx  ∂y 2 ∂y 2   ∂x0 ∂x1   3 ∂y ∂y 3 ∂x0 ∂x1 ∂y 0 ∂x2 ∂y 1 ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 3 ∂x2  ∂y 0 ∂x3    ∂y 1   ∂x3   2 ∂y   ∂x3    ∂y 3 ∂x3 4.3. Линейное однородное уравнение 45 то равенство  ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0  ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3       1 y 0 −y 1 −y 2 −y 3 1 1 1  ∂y  ∂y ∂y ∂y    0   1  0 1 2 3  ∂x    y y 0 0 ∂x ∂x ∂x     (4.3.7) =  2     ∂y ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2   y 2 0 y0 0       ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3    0 0 y0 y3  3  ∂y ∂y 3 ∂y 3 ∂y 3 ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 является следствием (4.3.6). Система дифференциальных уравнений (4.3.4) является следствием равенства (4.3.7).   Теорема 4.3.4. Система дифференциальных уравнений (4.3.4) не является вполне интегрируемой системой. Доказательство. Равенства (4.3.8) ∂ 2y1 ∂ ∂y 1 ∂y 0 = = = −y 2 2 1 2 1 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x2 ∂ 2y1 ∂ ∂y 1 ∂0 = = =0 1 2 ∂x ∂x ∂x1 ∂x2 ∂x2 являются следствием системы дифференциальных уравнений (4.3.4). Утверждение ∂ 2y1 ∂ 2y1 (4.3.10) 6= 2 1 ∂x ∂x ∂x1 ∂x2 является следствием равенств (4.3.8), (4.3.9). Теорема является следствием утверждения (4.3.10).  Теорема 4.3.4 даёт ответ на вопрос 4.3.2. Однако появляется новый вопрос. Чем отличается дифференциальное уравнение (4.3.2) от дифференциального уравнения, рассмотренного в теореме 3.5.5. Правая часть дифференциального уравнения (3.5.7) зависит только от x и это накладывает жёсткие ограничение на существование решения. Дифференциальное уравнение (4.3.2) является примером линейного однородного уравнения первого порядка. Мы можем записать линейное однородное уравнение первого порядка в виде dy + (a1 ya2 ) ⊗ a3 + b1 ⊗ (b2 yb3 ) = 0 (4.3.11) dx где a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 ∈ A. (4.3.9) Вопрос 4.3.5. Существует ли ограничение на A-числа a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 при условии, что уравнение (4.3.11) имеет решение? Что является  решением уравнения (4.3.11)? Приложение A Сводка теорем Пусть D - полное коммутативное кольцо характеристики 0. A.1. Таблица производных Теорема A.1.1. Для любого b ∈ A db =0⊗0 dx Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-B.1.1.  Теорема A.1.2. dx dx ◦ dx = dx =1⊗1 dx dx Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-B.1.2. (A.1.1) Теорема A.1.3. Для любого F ∈ A ⊗ A,  df (x) dF ◦ f (x)   =F◦  dx dx  (A.1.2) dF ◦ f (x) df (x)   ◦ dx = F ◦ ◦ dx  dx dx Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-B.1.3.   Теорема A.1.4. Пусть f :A→B g:A→B отображения банахова D-модуля A в ассоциативную банахову D-алгебра B. df (x) dg(x) , существуют, то существует производная Если производные dx dx d(f (x) + g(x)) dx d(f (x) + g(x)) df (x) dg(x) (A.1.3) ◦ dx = ◦ dx + ◦ dx dx dx dx (A.1.4) d(f (x) + g(x)) dx = df (x) dx + dg(x) dx Если (A.1.5) ds·0 f (x) ds·1 f (x) df (x) = ⊗ dx dx dx (A.1.6) dg(x) dt·0 g(x) dt·1 g(x) = ⊗ dx dx dx 46 A.1. Таблица производных 47 то ds·0 f (x) ds·1 f (x) dt·0 g(x) dt·1 g(x) d(f (x) + g(x)) = ⊗ + ⊗ dx dx dx dx dx Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-B.1.4. (A.1.7) Теорема A.1.5. Для любых b, c ∈ A  dbxc dbxc   =b⊗c ◦ dx = b dx c  dx dx (A.1.8)  d1·1 bxc   d1·0 bxc = b =c dx dx Доказательство. Следствие теорем A.1.2, A.1.3, когда f (x) = x.   Теорема A.1.6. Пусть f - линейное отображение f ◦ x = (as·0 ⊗ as·1 ) ◦ x = as·0 x as·1 Тогда ∂f ◦ x =f ∂x ∂f ◦ x ◦ dx = f ◦ dx ∂x Доказательство. Следствие теорем A.1.4, A.1.5, [10]-3.3.13.  Следствие A.1.7. Для любого b ∈ A  d(xb − bx)  =1⊗b−b⊗1    dx   d(xb − bx)    ◦ dx = dx b − b dx   dx d1·0 (xb − bx)   =1    dx       d2·0 (xb − bx) = −b dx d1·1 (xb − bx) =b dx d2·1 (xb − bx) =1 dx  Теорема A.1.8. Пусть D - полное коммутативное кольцо характеристики 0. Пусть A - ассоциативная банаховая D-алгебра. Тогда A.1 (A.1.9) dx2 =x⊗1+1⊗x dx (A.1.10) dx2 = x dx + dx x A.1 Утверждение теоремы аналогично примеру VIII, [14], с. 451. Если произведение коммутативно, то равенство (A.1.9) принимает вид dx2 ◦ dx = 2x dx dx2 = 2x dx 48 A. Сводка теорем   2 2    d1·0 x = x d1·1 x = 1 dx dx (A.1.11)  2   d2·0 x d2·1 x2  =1 =x dx dx Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-B.1.15.  Теорема A.1.9. Пусть D - полное коммутативное кольцо характеристики 0. Пусть A - ассоциативная банаховая D-алгебра. Тогда (A.1.12) dx3 = x2 ⊗ 1 + x ⊗ x + 1 ⊗ x2 dx (A.1.13) dx3 = x2 dx + x dx x + dx x2 Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-B.1.17.  Теорема A.1.10. 1 dex = (ex ⊗ 1 + 1 ⊗ ex ) dx 2 Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-5.2.7. (A.1.14) Теорема A.1.11. Пусть a ∈ A ⊗ A. 1 dea◦x = (ea◦x a + aea◦x ) (A.1.15) dx 2 Доказательство. Равенство dea◦x dea◦x da ◦ x 1 1 = ◦ = (ea◦x ⊗ 1 + 1 ⊗ ea◦x ) ◦ a = (ea◦x a + aea◦x ) dx da ◦ x dx 2 2 является следствием теорем A.1.10, [10]-3.3.23.   Теорема A.1.12. (A.1.16) d sinh x 1 = (cosh x ⊗ 1 + 1 ⊗ cosh x) dx 2 1 d cosh x = (sinh x ⊗ 1 + 1 ⊗ sinh x) dx 2 Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-5.3.2. (A.1.17)  Теорема A.1.13. (A.1.18) 1 d sin x = (cos x ⊗ 1 + 1 ⊗ cos x) dx 2 1 d cos x = − (sin x ⊗ 1 + 1 ⊗ sin x) dx 2 Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-5.4.2. (A.1.19)  Теорема A.1.14. Пусть A - банаховый D-модуль. Пусть B - банаховая D-алгебра. Пусть f , g - дифференцируемые отображения f :A→B g:A→B A.2. Таблица интегралов 49 Производная удовлетворяет соотношению     df (x)g(x) df (x) dg(x) ◦ dx = ◦ dx g(x) + f (x) ◦ dx dx dx dx df (x)g(x) df (x) dg(x) = g(x) + f (x) dx dx dx Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-3.3.17. (A.1.20)  Теорема A.1.15. Пусть A - банаховый D-модуль. Пусть B, C - банаховые D-алгебры. Пусть f , g - дифференцируемые отображения f :A→B g:A→C Производная удовлетворяет соотношению     df (x) ⊗ g(x) df (x) dg(x) ◦a= ◦ a ⊗ g(x) + f (x) ⊗ ◦a dx dx dx df (x) dg(x) df (x) ⊗ g(x) = ⊗ g(x) + f (x) ⊗ dx dx dx Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-3.3.20.  A.2. Таблица интегралов Теорема A.2.1. Пусть отображение f :A→B дифференцируемо. Тогда Z (A.2.1) df (x) ◦ dx = f (x) + C dx Доказательство. Теорема является следствием определения 3.1.1.  Теорема A.2.2. Пусть отображение f : A → L(D; A; B) интегрируемо. Тогда d dx (A.2.2) Z f (x) ◦ dx = f (x) Доказательство. Теорема является следствием определения 3.1.1.  Теорема A.2.3. Z (A.2.3) (0 ⊗ 0) ◦ dx = C Доказательство. Теорема является следствием теоремы A.1.1.  Теорема A.2.4. (A.2.4) Z (f (x) + g(x)) ◦ dx = Z f (x) ◦ dx + Z g(x) ◦ dx Доказательство. Равенство (A.2.4) является следствием теорем A.1.4, A.2.1.  50 A. Сводка теорем Теорема A.2.5. Z (A.2.5) (f s·0 ⊗ f s·1 ) ◦ dx = (f s·0 ⊗ f s·1 ) ◦ x + C Z (A.2.6) f s·0 dx f s·1 = f s·0 x f s·1 + C f s·0 ∈ A f s·1 ∈ A Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-B.2.2.  Теорема A.2.6. Z (A.2.7) (1 ⊗ x + x ⊗ 1) ◦ dx = x2 + C Z (A.2.8) dx x + x dx = x2 + C Теорема A.2.7. Z (A.2.9) (1 ⊗ x2 + x ⊗ x + x2 ⊗ 1) ◦ dx = x3 + C Z (A.2.10) dx x2 + x dx x + x2 dx = x3 + C Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-5.1.3.  Теорема A.2.8. Z (A.2.11) (ex ⊗ 1 + 1 ⊗ ex ) ◦ dx = 2ex + C Z (A.2.12) ex dx + dx ex = 2ex + C Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-B.2.3.  Теорема A.2.9. Z (A.2.13) (sinh x ⊗ 1 + 1 ⊗ sinh x) ◦ dx = 2 cosh x + C Z (A.2.14) (A.2.15) (A.2.16) Z sinh x dx + dx sinh x = 2 cosh x + C (cosh x ⊗ 1 + 1 ⊗ cosh x) ◦ dx = 2 sinh x + C Z cosh x dx + dx cosh x = 2 sinh x + C Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-B.2.4.  A.2. Таблица интегралов 51 Теорема A.2.10. Z (A.2.17) (sin x ⊗ 1 + 1 ⊗ sin x) ◦ dx = −2 cos x + C Z (A.2.18) (A.2.19) (A.2.20) Z sin x dx + dx sin x = −2 cos x + C (cos x ⊗ 1 + 1 ⊗ cos x) ◦ dx = 2 sin x + C Z cos x dx + dx cos x = 2 sin x + C Доказательство. Теорема является следствием теоремы [10]-B.2.5.  Список литературы [1] Серж Ленг, Алгебра, М. Мир, 1968 [2] James Stewart, Calculus, Cengage Learning, 2012, ISBN: 978-0-538-49781-7 [3] William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons, Inc., 2009, ISBN 978-0-470-38334-6 [4] Л. Э. Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М., Наука, 1971 [5] Александр Клейн, Лекции по линейной алгебре над телом, eprint arXiv:math.GM/0701238 (2010) [6] Александр Клейн, Введение в математический анализ над телом, eprint arXiv:0812.4763 (2010) [7] Александр Клейн, Линейные отображения свободной алгебры, eprint arXiv:1003.1544 (2010) [8] Александр Клейн, Линейные отображения алгебры кватернионов, eprint arXiv:1107.1139 (2011) [9] Александр Клейн, Линейное отображение D-алгебры, eprint arXiv:1502.04063 (2015) [10] Александр Клейн, Введение в математический анализ над банаховой алгеброй, eprint arXiv:1601.03259 (2016) [11] Л. П. Эйзенхарт, Непрерывные группы преобразований, перевод с английского М. М. Постникова, М., Иностранная литература, 1947 [12] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, М. Наука, 1969 [13] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2, М. Наука, 1969 [14] Sir William Rowan Hamilton, Elements of Quaternions, Volume I, Longmans, Green, and Co., London, New York, and Bombay, 1899 52 Предметный указатель дифференциальное уравнение с разделёнными переменными 37 дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 36 интегрируемое дифференциальное уравнение 16 интегрируемое отображение 16 копроизведение в категории 7 линейное однородное уравнение 45 метод последовательного дифференцирования 25 неопределённый интеграл 16 прямая сумма 7, 8 уравнение в полных дифференциалах 38 частная производная 14 частное линейное отображение 11 53 Специальные символы и обозначения A ⊕ B прямая сумма 7, 8 a a B1 ... Bn копроизведение в категории 7 Z g(x) ◦ dx неопределённый интеграл a i∈I n a 16 Bi копроизведение в категории 6 Bi копроизведение в категории 7 i=1 54