Derivative of Map of Banach algebra

arXiv:1505.03625v1 [math.GM] 14 May 2015 Derivative of Map of Banach algebra Aleks Kleyn Aleks [email protected] http://AleksKleyn.dyndns-home.com:4080/ http://sites.google.com/site/AleksKleyn/ http://arxiv.org/a/kleyn_a_1 http://AleksKleyn.blogspot.com/ Abstract. Let A be Banach algebra over commutative ring D. The map f : A → A is called differentiable in the Gâteaux sense, if f (x + a) − f (x) = ∂f (x) ◦ a + o(a) where the Gâteaux derivative ∂f (x) of map f is linear map of increment a and o is such continuous map that lim a→0 |o(a)| =0 |a| Assuming that we defined the Gâteaux derivative ∂ n−1 f (x) of order n−1, we define ∂ n f (x) ◦ (a1 ⊗ ... ⊗ an ) = ∂(∂ n−1 f (x) ◦ (a1 ⊗ ... ⊗ an−1 )) ◦ an the Gâteaux derivative of order n of map f . Since the map f (x) has all derivatives, then the map f (x) has Taylor series expansion f (x) = ∞ X n=0 (n!)−1 ∂ n f (x0 ) ◦ (x − x0 )n Contents Chapter 1. Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapter 2. Differentiable Maps . . . . . . 2.1. Topological Ring . . . . . . . . . . 2.2. Topological D-Algebra . . . . . . . 2.3. The Derivative of Map in Algebra . . . . . 7 7 9 11 Chapter 3. Derivative of Second Order of Map of D-Algebra . . . . . . . . . 3.1. Derivative of Second Order of Map of D-Algebra . . . . . . . . . . . 3.2. Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 20 Chapter 4. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chapter 5. Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chapter 6. Special Symbols and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 CHAPTER 1 Preface 1.1. Preface The possibility of linear approximation of a map is at the heart of calculus and main constructions of calculus have their roots in linear algebra. Since the product in the field is commutative, then linear algebra over a field is relatively simple. When we explore algebra over commutative ring, we still see some familiar statements of linear algebra; however, we meet new statements, which change the landscape of linear algebra. Here I want to draw attention to the evolution of the concept of the derivative from the time of Newton. When we study functions of single variable, the derivative in selected point is a number dx2 = 2x dx When we study function of multiple variables, we realize that it is not enough to use number. The derivative becomes vector or gradient z = x2 + y 3 dz = 2x dx + 3y 2 dy When we study maps of vector spaces, this is a first time that we tell about derivative as operator x = u sin v y = u cos v z=u dx = sin v du + u cos v dv dy = cos v du − u sin v dv dz = 1 du + 0 dv However since this operator is linear, then we can represent derivative as matrix. Again we express a vector of increment of a map as product of a matrix of derivative (Jacobian matrix) over vector of increment of argument     sin v u cos v   dx  du        dy  = cos v −u sin v     dv    1 0 dz Since the algebra is a module over some commutative ring, there exist two ways to explore structures generated over the algebra. If the algebra is a free module, then we can choose a basis and consider all operations in coordinates relative a given basis. Although the basis can be arbitrary, we can choose the simplest basis in terms of algebraic operations. Beyond doubt, this approach has the advantage that we are working in commutative ring where all operations are well studied. 5 6 1. Preface Exploration of operations in algebra regardless of the chosen basis gives an opportunity to consider elements of algebra as independent objects. I considered the structure of linear map of algebra in the book [1]. In this book, I used this tool to study calculus over noncommutative algebra. 1.2. Conventions Convention 1.2.1. I assume sum over index i in expression like ai·0 xai·1  ⊗(n+1) Convention 1.2.2. Since the tensor a ∈ A a = ai·0 ⊗ ai·1 ⊗ ... ⊗ ai·n has the expansion i∈I then set of permutations σ = {σi ∈ S(n) : i ∈ I} and tensor a generate the map (a, σ) : A×n → A defined by rule (a, σ) ◦ (b1 , ..., bn ) = (ai·0 ⊗ ai·1 ⊗ ... ⊗ ai·n , σi ) ◦ (b1 , ..., bn ) = ai·0 σi (b1 )ai·1 ...σi (bn )ai·n  Convention 1.2.3. Let the tensor a ∈ A⊗(n+1) . When x1 = ... = xn = x, we assume a ◦ xn = a ◦ (x1 ⊗ ... ⊗ xn )  Convention 1.2.4. Element of Ω-algebra A is called A-number. For instance, complex number is also called C-number, and quaternion is called H-number.  Convention 1.2.5. Let A be associative D-algebra. The representation A⊗A f ∗ /A f (p) : a → p ◦ a of D-module A ⊗ A is defined by the equation (1.2.1) (a ⊗ b) ◦ c = acb and generates the set of linear maps. This representation generates product ◦ in D-module A ⊗ A according to rule (p ◦ q) ◦ a = p ◦ (q ◦ a)  CHAPTER 2 Differentiable Maps In this chapter, we explore derivative and differential of the map into D-algebra. Complex field is the algebra over real field. In the calculus of functions of complex variable, we consider linear maps generated by the map I0 ◦ z = z In this section, we also consider linear maps generated by the map I0 ◦ a = a 2.1. Topological Ring Definition 2.1.1. Ring D is called topological ring2.1 if D is topological space and the algebraic operations defined in D are continuous in the topological space D.  According to definition, for arbitrary elements a, b ∈ D and for arbitrary neighborhoods Wa−b of the element a − b, Wab of the element ab there exists neighborhoods Wa of the element a and Wb of the element b such that Wa − Wb ⊂ Wa−b , Wa Wb ⊂ Wab . Definition 2.1.2. Norm on ring D is a map2.2 d ∈ D → |d| ∈ R which satisfies the following axioms • |a| ≥ 0 • |a| = 0 if, and only if, a = 0 • |ab| = |a| |b| • |a + b| ≤ |a| + |b| Ring D, endowed with the structure defined by a given norm on D, is called normed ring.  Invariant distance on additive group of ring D d(a, b) = |a − b| defines topology of metric space, compatible with ring structure of D. Definition 2.1.3. Let D be normed ring. Element a ∈ D is called limit of a sequence {an } a= 2.1I made definition according to definition from [4], chapter 4 2.2I made definition according to definition from [2], IX, §3.2 and definition [6]-1.1.12, p. 23. 7 8 2. Differentiable Maps if for every ǫ ∈ R, ǫ > 0, there exists positive integer n0 depending on ǫ and such, that |an − a| < ǫ for every n > n0 .  Theorem 2.1.4. Let D be normed ring of characteristic 0 and let d ∈ D. Let a ∈ D be limit of a sequence {an }. Then lim (an d) = ad n→∞ lim (dan ) = da n→∞ Proof. Statement of the theorem is trivial, however I give this proof for completeness sake. Since a ∈ D is limit of the sequence {an }, then according to definition 2.1.3 for given ǫ ∈ R, ǫ > 0, there exists positive integer n0 such, that ǫ |an − a| < |d| for every n > n0 . According to definition 2.1.2 the statement of theorem follows from inequalities ǫ |d| = ǫ |an d − ad| = |(an − a)d| = |an − a||d| < |d| ǫ |dan − da| = |d(an − a)| = |d||an − a| < |d| =ǫ |d| for any n > n0 .  Definition 2.1.5. Let D be normed ring. The sequence {an }, an ∈ D is called fundamental or Cauchy sequence, if for every ǫ ∈ R, ǫ > 0 there exists positive integer n0 depending on ǫ and such, that |ap − aq | < ǫ for every p, q > n0 .  Definition 2.1.6. Normed ring D is called complete if any fundamental sequence of elements of ring D converges, i.e. has limit in ring D.  Later on, speaking about normed ring of characteristic 0, we will assume that homeomorphism of field of rational numbers Q into ring D is defined. Theorem 2.1.7. Complete ring D of characteristic 0 contains as subfield an isomorphic image of the field R of real numbers. It is customary to identify it with R. Proof. Consider fundamental sequence of rational numbers {pn }. Let p′ be limit of this sequence in ring D. Let p be limit of this sequence in field R. Since immersion of field Q into division ring D is homeomorphism, then we may identify p′ ∈ D and p ∈ R.  Theorem 2.1.8. Let D be complete ring of characteristic 0 and let d ∈ D. Then any real number p ∈ R commute with d. Proof. Let us represent real number p ∈ R as fundamental sequence of rational numbers {pn }. Statement of theorem follows from chain of equations pd = lim (pn d) = lim (dpn ) = dp n→∞ based on statement of theorem 2.1.4. n→∞  2.2. Topological D-Algebra 9 2.2. Topological D-Algebra Definition 2.2.1. Given a topological commutative ring D and D-algebra A such that A has a topology compatible with the structure of the additive group of A and maps (a, v) ∈ D × A → av ∈ A (v, w) ∈ A × A → vw ∈ A are continuous, then V is called a topological D-algebra2.3.  Definition 2.2.2. Norm on D-algebra A over normed commutative ring D2.4 is a map a ∈ A → |a| ∈ R which satisfies the following axioms • |a| ≥ 0 • |a| = 0 if, and only if, a = 0 • |a + b| ≤ |a| + |b| • |ab| = |a| |b| • |da| = |d| |a|, d ∈ D, a ∈ A If D is a normed commutative ring, D-algebra A, endowed with the structure defined by a given norm on A, is called normed D-algebra.  Definition 2.2.3. Let A be normed D-algebra. Element a ∈ A is called limit of a sequence {an } a = lim an n→∞ if for every ǫ ∈ R, ǫ > 0 there exists positive integer n0 depending on ǫ and such, that |an − a| < ǫ for every n > n0 .  Definition 2.2.4. Let A be normed D-algebra. The sequence {an }, an ∈ A, is called fundamental or Cauchy sequence, if for every ǫ ∈ R, ǫ > 0, there exists positive integer n0 depending on ǫ and such, that |ap − aq | < ǫ for every p, q > n0 .  Definition 2.2.5. Normed D-algebra A is called Banach D-algebra if any fundamental sequence of elements of algebra A converges, i.e. has limit in algebra A.  Definition 2.2.6. Let A be Banach D-algebra. Set of elements a ∈ A, |a| = 1, is called unit sphere in algebra A.  Definition 2.2.7. A map f : A1 → A2 of Banach D1 -algebra A1 with norm |x|1 into Banach D2 -algebra A2 with norm |y|2 is called continuous, if for every as small as we please ǫ > 0 there exist such δ > 0, that |x′ − x|1 < δ implies |f (x′ ) − f (x)|2 < ǫ 2.3I made definition according to definition from [3], p. TVS I.1 2.4I made definition according to definition from [2], IX, §3.3 10 2. Differentiable Maps  Definition 2.2.8. Let f : A1 → A2 be map of Banach D1 -algebra A1 with norm |x|1 into Banach D2 -algebra A2 with norm |y|2 . Value kf k = sup (2.2.1) |f (x)|2 |x|1 is called norm of map f .  Theorem 2.2.9. Let f : A1 → A2 be linear map of Banach D1 -algebra A1 with norm |x|1 into Banach D2 -algebra A2 with norm |y|2 . Then (2.2.2) kf k = sup{|f (x)|2 : |x|1 = 1} Proof. From definitions follows that (2.2.3) [1]-4.2.1, [1]-6.1.1 and theorems 2.1.7, 2.1.8, it f (rx) = rf (x) r∈R From the equation (2.2.3) and the definition 2.2.2 it follows that |r| |f (x)|2 |f (x)|2 |f (rx)|2 = = |rx|1 |r| |x|1 |x|1 Assuming r = 1 , we get |x|1 (2.2.4) |f (x)|2 = f |x|1  x |x|1  2 Equation (2.2.2) follows from equations (2.2.4) and (2.2.1).  Theorem 2.2.10. Let f : A1 → A2 be linear map of Banach D1 -algebra A1 with norm |x|1 into Banach D2 -algebra A2 with norm |y|2 . Since kf k < ∞, then map f is continuous. Proof. Since map f is linear, then according to definition 2.2.8 |f (x) − f (y)|2 = |f (x − y)|2 ≤ kf k |x − y|1 ǫ . Then Let us assume arbitrary ǫ > 0. Assume δ = kf k |f (x) − f (y)|2 ≤ kf k δ = ǫ follows from inequality |x − y|1 < δ According to definition 2.2.7 map f is continuous.  2.3. The Derivative of Map in Algebra 11 2.3. The Derivative of Map in Algebra Definition 2.3.1. Let A be Banach D-algebra. The map f :A→A is called differentiable in the Gâteaux sense on the set U ⊂ A, if at every point x ∈ U the increment of the map f can be represented as ∂f (x) ◦ a + o(a) (2.3.1) f (x + a) − f (x) = ∂f (x) ◦ a + o(a) = ∂x where the Gâteaux derivative ∂f (x) of map f is linear map of increment a and o : A → A is such continuous map that |o(a)| =0 lim a→0 |a|  Remark 2.3.2. According to definition 2.3.1 for given x, the Gâteaux derivative ∂f (x) ∈ L(A; A). Therefore, the Gâteaux derivative of map f is map ∂f : A → L(A; A) Expressions ∂f (x) and use notation variable x. ∂f (x) are different notations for the same map. We will ∂x ∂f (x) to underline that this is the Gâteaux derivative with respect to ∂x  Theorem 2.3.3. It is possible to represent the Gâteaux derivative of map f as2.5   ∂s·0 f (x) ∂s·1 f (x) ∂f (x) ◦a ◦a= ⊗ ∂x ∂x ∂x (2.3.3) ∂s·0 f (x) ∂s·1 f (x) = a ∂x ∂x ∂s·p f (x) Expression , p = 0, 1, is called component of the Gâteaux derivative ∂x of map f (x). Proof. The theorem follows from the definitions 2.3.1 and from the theorem [1]-6.4.5.  From definitions (2.3.4) [1]-4.2.1, [1]-6.1.1 , 2.3.1 and the theorem 2.1.7 it follows ∂f (x) ◦ (ra) = r∂f (x) ◦ a r∈R r 6= 0 a ∈ A a 6= 0 2.5Formally, we have to write the differential of the map in the form   ∂k·s·0 f (x) ∂k·s·1 f (x) ∂k·s·0 f (x) ∂k·s·1 f (x) ∂f (x) ◦a= ⊗ ◦ Ik ◦ a = (Ik ◦ a) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x However, for instance, in the theory of functions of complex variable we consider only linear maps generated by map I0 ◦ z = z. Therefore, exploring derivatives, we also restrict ourselves to linear maps generated by the map I0 . To write expressions in the general case is not difficult. (2.3.2) 12 2. Differentiable Maps Combining equation (2.3.4) and definition 2.3.1, we get known definition of the Gâteaux derivative (2.3.5) ∂f (x) ◦ a = lim t→0, t∈R (t−1 (f (x + ta) − f (x))) Definitions of the Gâteaux derivative (2.3.1) and (2.3.5) are equivalent. Using this equivalence we tell that map f is called differentiable in the Gâteaux sense on the set U ⊂ D, if at every point x ∈ U the increment of the map f can be represented as (2.3.6) f (x + ta) − f (x) = t∂f (x) ◦ a + o(t) where o : R → A is such continuous map that |o(t)| lim =0 t→0 |t| Since infinitesimal a in the equation (2.3.1) is differential dx, then equation (2.3.1) becomes definition of the Gâteaux differential   ∂f (x) ∂s·0 f (x) ∂s·1 f (x) ◦ dx = ⊗ ◦ dx ∂x ∂x ∂x (2.3.7) ∂s·0 f (x) ∂s·1 f (x) = dx ∂x ∂x Theorem 2.3.4. Let A be Banach D-algebra. Let e be basis of algebra A over ring D. Standard representation of the Gâteaux derivative of mapping f :A→A has form (2.3.8) ∂ ij f (x) ∂f (x) ei ⊗ ej = ∂x ∂x ∂ ij f (x) Expression in equation (2.3.8) is called standard component of the ∂x Gâteaux derivative of mapping f . Proof. Statement of theorem folows from the statement [1]-6.4.5.2.  Theorem 2.3.5. Let A be Banach D-algebra. Let e be basis of algebra A over ring D. Then it is possible to represent the Gâteaux derivative of map f :D→D as (2.3.9) ∂f j ∂f (x) ◦ dx = dxi i ej ∂x ∂x where dx ∈ A has expansion dx = dxi ei dxi ∈ D relative to basis e and Jacobian matrix of map f has form ∂f j ∂ kr f (x) p j = Cki Cpr i ∂x ∂x Proof. Statement of theorem follows from the theorem [1]-6.4.5. (2.3.10)  2.3. The Derivative of Map in Algebra 13 Theorem 2.3.6. Let A be Banach D-algebra. Let f , g be differentiable maps f :A→A g:A→A The map f +g :A→A is differentiable and the Gâteaux derivative satisfies to relationship (2.3.11) ∂(f + g)(x) = ∂f (x) + ∂g(x) Proof. According to the definition (2.3.5), ∂(f + g)(x) ◦ a = = (2.3.12) = + lim (t−1 ((f + g)(x + ta) − (f + g)(x))) lim (t−1 (f (x + ta) + g(x + ta) − f (x) − g(x))) lim (t−1 (f (x + ta) − f (x))) lim (t−1 (g(x + ta) − g(x))) t→0, t∈R t→0, t∈R t→0, t∈R t→0, t∈R = ∂f (x) ◦ a + ∂g(x) ◦ a The equation (2.3.11) follows from the equation (2.3.12).  Theorem 2.3.7. Let A be Banach D-algebra. Let h:A×A→A be continuous bilinear map. Let f , g be differentiable maps f :A→A g:A→A The map h(f, g) : A → A is differentiable and the Gâteaux differential satisfies to relationship (2.3.13) ∂h(f (x), g(x)) ◦ dx = h(∂f (x) ◦ dx, g(x)) + h(f (x), ∂g(x) ◦ dx) Proof. Equation (2.3.13) follows from chain of equations ∂h(f (x), g(x)) ◦ a = lim (t−1 (h(f (x + ta), g(x + ta)) − h(f (x), g(x)))) t→0 = lim (t−1 (h(f (x + ta), g(x + ta)) − h(f (x), g(x + ta)))) t→0 + lim (t−1 (h(f (x), g(x + ta)) − h(f (x), g(x)))) t→0 = h(lim t−1 (f (x + ta) − f (x)), g(x)) t→0 + h(f (x), lim t−1 (g(x + ta) − g(x))) t→0 based on definition (2.3.5).  Convention 2.3.8. Given bilinear map h:A×A→A we consider following maps h1 : L(D; A; A) × A → L(D; A; A) h2 : A × L(D; A; A) → L(D; A; A) 14 2. Differentiable Maps defined by equation h1 (f, v) ◦ u = h(f ◦ u, v) h2 (u, f ) ◦ v = h(u, f ◦ v) We will use letter h to denote maps h1 , h2 .  Theorem 2.3.9. Let A be Banach D-algebra. Let h:A×A→A be continuous bilinear map. Let f , g be differentiable maps f :A→A g:A→A The map h(f, g) : A → A is differentiable and the Gâteaux derivative satisfies to relationship (2.3.14) ∂h(f (x), g(x)) = h(∂f (x), g(x)) + h(f (x), ∂g(x)) Proof. Equation (2.3.14) follows from the equation (2.3.13) and from the convention 2.3.8.  Theorem 2.3.10. Let A be Banach D-algebra. Let f , g be differentiable maps f :A→A g:A→A The Gâteaux derivative satisfies to relationship     ∂f (x) ∂g(x) ∂f (x)g(x) ◦ dx = ◦ dx g(x) + f (x) ◦ dx (2.3.15) ∂x ∂x ∂x ∂f (x)g(x) ∂f (x) ∂g(x) = g(x) + f (x) ∂x ∂x ∂x Proof. The theorem follows from theorems 2.3.7, 2.3.9 and the definition [1]5.1.1.  (2.3.16) Theorem 2.3.11. Let A be Banach D-algebra. Let the Gâteaux derivative of map f :A→A have expansion ∂ s·0 f (x) ∂ s·1 f (x) ∂f (x) = ⊗ (2.3.17) ∂x ∂x ∂x Let the Gâteaux derivative of map g:A→A have expansion ∂g(x) ∂ t·0 g(x) ∂ t·1 g(x) = ⊗ ∂x ∂x ∂x The Gâteaux derivative of map f (x)g(x) have form     ∂ t·1 g(x) ∂ s·0 f (x) ∂ t·0 g(x) ∂ s·1 f (x) ∂f (x)g(x) ⊗ = ⊗ g(x) + f (x) (2.3.19) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x (2.3.18) 2.3. The Derivative of Map in Algebra (2.3.20) ∂ s·0 f (x)g(x) ∂ s·0 f (x) = ∂x ∂x 15 ∂ t·0 f (x)g(x) ∂ t·0 g(x) = f (x) ∂x ∂x ∂ t·1 f (x)g(x) ∂ t·1 g(x) ∂ s·1 f (x)g(x) ∂ s·1 f (x) = g(x) = ∂x ∂x ∂x ∂x Proof. Let us substitute (2.3.17) and (2.3.18) into equation (2.3.16)     ∂f (x)g(x) ∂f (x) ∂g(x) ◦a= ◦ a g(x) + f (x) ◦a ∂x ∂x ∂x (2.3.21) ∂ t·0 g(x) ∂ t·1 g(x) ∂ s·0 f (x) ∂ s·1 f (x) a g(x) + f (x) a = ∂x ∂x ∂x ∂x Based (2.3.21), we define equations (2.3.20).  Theorem 2.3.12. Let A be Banach D-algebra. Let f , g be differentiable maps f :A→A g:A→A The Gâteaux derivative satisfies to relationship     ∂f (x) ⊗ g(x) ∂f (x) ∂g(x) (2.3.22) ◦ dx = ◦ dx ⊗ g(x) + f (x) ⊗ ◦ dx ∂x ∂x ∂x ∂f (x) ⊗ g(x) ∂f (x) ∂g(x) = ⊗ g(x) + f (x) ⊗ ∂x ∂x ∂x Proof. The theorem follows from the theorems 2.3.7, 2.3.9, [1]-4.4.5 and the definition [1]-5.1.1.  (2.3.23) Remark 2.3.13. Let (2.3.24) ∂f (x) ∂ s·0 f (x) ∂ s·1 f (x) = ⊗ ∂x ∂x ∂x (2.3.25) ∂ t·0 g(x) ∂ t·1 g(x) ∂g(x) = ⊗ ∂x ∂x ∂x Then ∂ s·0 f (x) ∂ s·1 f (x) ∂ t·0 g(x) ∂ t·1 g(x) ∂f (x) ⊗ g(x) = ⊗ ⊗ g(x) + f (x) ⊗ ⊗ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x We do not write brackets, because tensor product is associative and distributive over addition (theorems [1]-3.3.11, [1]-3.4.5 ).  (2.3.26) Theorem 2.3.14. Let A be Banach D-algebra. If the Gâteaux derivative ∂f (x) exists in point x and has finite norm, then map f is continuous at point x. Proof. From definition 2.2.8 it follows (2.3.27) |∂f (x) ◦ a| ≤ k∂f (x)k |a| From (2.3.1), (2.3.27) it follows (2.3.28) |f (x + a) − f (x)| < |a| k∂f (x)k Let us assume arbitrary ǫ > 0. Assume δ= ǫ k∂f (x)k Then from inequality |a| < δ 16 2. Differentiable Maps it follows |f (x + a) − f (x)| ≤ k∂f (x)k δ = ǫ According to definition 2.2.7 map f is continuous at point x.  Theorem 2.3.15. Let A be Banach D-algebra. Let map f :A→A be differentiable in the Gâteaux sense at point x. Then ∂f (x) ◦ 0 = 0 Proof. The theorem follows from the definitions 2.3.1 and from the theorem [1]-4.2.5.  Theorem 2.3.16. Let A be Banach D-algebra. Let map f :A→A be differentiable in the Gâteaux sense at point x and norm of the Gâteaux derivative of map f be finite (2.3.29) k∂f (x)k = F ≤ ∞ Let map g:A→A be differentiable in the Gâteaux sense at point (2.3.30) y = f (x) and norm of the Gâteaux derivative of map g be finite (2.3.31) k∂g(y)k = G ≤ ∞ Map (g ◦ f )(x) = g(f (x)) is differentiable in the Gâteaux sense at point x   ∂(g ◦ f )(x) = ∂g(y) ◦ ∂f (x) (2.3.32)  ∂(g ◦ f )(x) ◦ a = ∂g(y) ◦ ∂f (x) ◦ a (2.3.33)  ∂ st·0 (g ◦ f )(x) ∂ s·0 g(f (x)) ∂ t·0 f (x)   =  ∂x ∂f (x) ∂x ∂ st·1 (g ◦ f )(x) ∂ t·1 f (x) ∂ s·1 g(f (x))   =  ∂x ∂x ∂f (x) Proof. According to definition 2.3.1 (2.3.34) g(y + b) − g(y) = ∂g(y) ◦ b + o1 (b) where o1 : A → A is such continuous map that |o1 (b)| =0 lim b→0 |b| According to definition 2.3.1 (2.3.35) f (x + a) − f (x) = ∂f (x) ◦ a + o2 (a) 2.3. The Derivative of Map in Algebra 17 where o2 : A → A is such continuous map that |o2 (a)| =0 lim a→0 |a| According to (2.3.35) increment a of value x ∈ A leads to increment (2.3.36) b = ∂f (x) ◦ a + o2 (a) of value y. Using (2.3.30), (2.3.36) in equation (2.3.34), we get g(f (x + a)) − g(f (x)) (2.3.37) = g(f (x) + ∂f (x) ◦ a + o2 (a)) − g(f (x)) = ∂g(f (x)) ◦ (∂f (x) ◦ a + o2 (a)) − o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a)) According to definitions 2.3.1, [1]-4.2.1, [1]-6.1.1 , from equation (2.3.37) it follows (2.3.38) g(f (x + a)) − g(f (x)) = ∂g(f (x)) ◦ ∂f (x) ◦ a + ∂g(f (x)) ◦ o2 (a) − o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a)) According to definition 2.2.2 |∂g(f (x)) ◦ o2 (a) − o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| lim a→0 |a| (2.3.39) |∂g(f (x)) ◦ o2 (a)| |o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| ≤ lim + lim a→0 a→0 |a| |a| From (2.3.31) it follows that (2.3.40) lim a→0 |o2 (a)| |∂g(f (x)) ◦ o2 (a)| ≤ G lim =0 a→0 |a| |a| From (2.3.29) it follows that |o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| |a| |o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| |∂f (x) ◦ a + o2 (a)| = lim lim a→0 |∂f (x) ◦ a + o2 (a)| a→0 |a| k∂f (x)k|a| + |o2 (a)| |o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| lim ≤ lim a→0 |∂f (x) ◦ a + o2 (a)|2 a→0 |a| |o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| k∂f (x)k = lim a→0 |∂f (x) ◦ a + o2 (a)| According to the theorem 2.3.15 lim a→0 lim (∂f (x) ◦ a) + o2 (a)) = 0 a→0 Therefore, (2.3.41) lim a→0 |o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| =0 |a| From equations (2.3.39), (2.3.40), (2.3.41) it follows (2.3.42) lim a→0 |∂g(f (x)) ◦ o2 (a) − o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| =0 |a| 18 2. Differentiable Maps According to definition 2.3.1 (2.3.43) (g ◦ f )(x + a) − (g ◦ f )(x) = ∂(g ◦ f )(x) ◦ a + o(a) where o : A → A is such continuous map that |o(a)| =0 lim a→0 |a| Equation (2.3.32) follows from (2.3.38), (2.3.42), (2.3.43). From equation (2.3.32) and theorem 2.3.3 it follows that ∂ st·0 (g ◦ f )(x) ∂ st·1 (g ◦ f )(x) a ∂x ∂x (2.3.44) = ∂ s·0 g(f (x)) ∂ s·1 g(f (x)) (∂f (x) ◦ a) ∂f (x) ∂f (x) = ∂ s·0 g(f (x)) ∂ t·0 f (x) ∂ t·1 f (x) ∂ s·1 g(f (x)) a ∂f (x) ∂x ∂x ∂f (x) (2.3.33) follow from equation (2.3.44).  CHAPTER 3 Derivative of Second Order of Map of D-Algebra 3.1. Derivative of Second Order of Map of D-Algebra Let D be the complete commutative ring of characteristic 0. Let A be associative D-algebra. Let f :A→A function differentiable in the Gâteaux sense. According to remark 2.3.2 the Gâteaux derivative is map ∂f : A → L(A; A) According to the theorem [1]-6.2.5 and the definition 2.2.8, set L(A; A) is Banach D-algebra. Therefore, we may consider the question, if map ∂f is differentiable in the Gâteaux sense. According to definition 2.3.1 (3.1.1) (∂f ◦ (x + a2 )) ◦ a1 − (∂f ◦ x) ◦ a1 = ∂(∂f (x) ◦ a1 ) ◦ a2 + o2 (a2 ) where o2 : A → L(A; A) is such continuous map, that lim a2 →0 ko2 (a2 )k =0 |a2 | According to definition 2.3.1 the mapping ∂(∂f (x) ◦ a1 ) ◦ a2 is linear map of variable a2 . From equation (3.1.1) it follows that mapping ∂(∂f (x) ◦ a1 ) ◦ a2 is linear mapping of variable a1 . Therefore, the mapping ∂(∂f (x)◦ a1 )◦ a2 is bilinear mapping. Definition 3.1.1. Polylinear mapping ∂ 2 f (x) ◦ (a1 ; a2 ) = ∂(∂f (x) ◦ a1 ) ◦ a2 ∂x2 is called the Gâteaux derivative of second order of map f . (3.1.2) ∂ 2 f (x) ◦ (a1 ; a2 ) =  Remark 3.1.2. According to definition 3.1.1 for given x the Gâteaux derivative of second order ∂ 2 f (x) ∈ L(A, A; A). Therefore, the Gâteaux derivative of second order of map f is mapping ∂ 2 f : A → L(A, A; A) According to the theorem [1]-4.4.4, we may consider also expression 2 ∂ f (x) ◦ (a1 ⊗ a2 ) = ∂ 2 f (x) ◦ (a1 ; a2 ) Then ∂ 2 f (x) ∈ L(A ⊗ A; A) ∂ 2 f : A → L(A ⊗ A; A) 19 20 3. Derivative of Second Order of Map of D-Algebra We use the same notation for mapping because of the nature of the argument it is clear what kind of mapping we consider.  Theorem 3.1.3. It is possible to represent the Gâteaux derivative of second order of map f as   2 ∂ s·0 f (x) ∂ 2s·1 f (x) ∂ 2s·2 f (x) 2 ⊗ ⊗ , σs ◦ (a1 ; a2 ) ∂ f (x) ◦ (a1 ; a2 )= ∂x2 ∂x2 ∂x2 = Expression ∂ 2s·0 f (x) ∂ 2s·1 f (x) ∂ 2s·2 f (x) σ (a ) σ (a ) s 1 s 2 ∂x2 ∂x2 ∂x2 3.1 ∂ 2s·p f (x) p = 0, 1, 2 ∂x2 is called component of the Gâteaux derivative of second order of map f (x). Proof. Corollary of definition 3.1.1 and theorem [1]-6.6.6. By induction, assuming that we defined the Gâteaux derivative ∂ order n − 1, we define  n−1 f (x) of ∂ n f (x) ◦ (a1 ; ...; an ) ∂xn = ∂(∂ n−1 f (x) ◦ (a1 ; ...; an−1 )) ◦ an ∂ n f (x) ◦ (a1 ; ...; an ) = (3.1.3) the Gâteaux derivative of order n of map f . We also assume ∂ 0 f (x) = f (x). 3.2. Taylor Series Let D be the complete commutative ring of characteristic 0. Let A be associative D-algebra. Let pk (x) be the monomial of power k, k > 0, in one variable over D-algebra A. It is evident that monomial of power 0 has form a0 , a0 ∈ A. For k > 0, pk (x) = pk−1 (x)xak where ak ∈ A. Actually, last factor of monomial pk (x) is either ak ∈ A, or has form xl , l ≥ 1. In the later case we assume ak = 1. Factor preceding ak has form xl , l ≥ 1. We can represent this factor as xl−1 x. Therefore, we proved the statement. In particular, monomial of power 1 has form p1 (x) = a0 xa1 . Without loss of generality, we assume k = n. Theorem 3.2.1. For any m > 0 the following equation is true ∂ m (f (x)x) ◦ (h1 ; ...; hm ) = ∂ m f (x) ◦ (h1 ; ...; hm )x (3.2.1) c1 ; ...; hm−1 ; hm )h1 + ... + ∂ m−1 f (x) ◦ (h + ∂ m−1 f (x) ◦ (h1 ; ...; hm−1 ; hc m )hm where symbol hbi means absense of variable hi in the list. 3.1We suppose ∂ 2s·p f (x) ∂x2 = ∂ 2s·p f (x) ∂x∂x 3.2. Taylor Series 21 Proof. For m = 1, this is corollary of equation (2.3.16) ∂(f (x)x) ◦ h1 = (∂f (x) ◦ h1 )x + f (x)h1 Assume, (3.2.1) is true for m − 1. Then ∂ m−1 (f (x)x) ◦ (h1 ; ...; hm−1 ) = ∂ m−1 f (x) ◦ (h1 ; ...; hm−1 )x c1 ; ...; hm−2 ; hm−1 )h1 + ... + ∂ m−2 f (x) ◦ (h \ + ∂ m−2 f (x) ◦ (h1 ; ...; hm−2 ; h m−1 )hm−1 Since ∂hi = 0, then, using the equation (2.3.16), we get (3.2.2) ∂ m (f (x)x) ◦ (h1 ; ...; hm−1 ; hm ) = ∂ m f (x) ◦ (h1 ; ...; hm−1 ; hm )x + ∂ m−1 f (x) ◦ (h1 ; ...; hm−2 ; hm−1 )hm c1 ; ...; hm−2 ; hm−1 ; hm )h1 + ... + ∂ m−1 f (x) ◦ (h \ + ∂ m−1 f (x) ◦ (h1 ; ...; hm−2 ; h m−1 ; hm )hm−1 The difference between equations (3.2.1) and (3.2.2) is only in form of presentation. We proved the theorem.  Theorem 3.2.2. For any n ≥ 0 following equation is true ∂ n+1 pn (x) = 0 Proof. Since p0 (x) = a0 , a0 ∈ D, then for n = 0 theorem is corollary of definition 2.3.1. Let statement of theorem is true for n − 1. According to theorem 3.2.1, when f (x) = pn−1 (x), we get ∂ n+1 pn (x)(h1 ; ...; hn+1 ) =∂ n+1 (pn−1 (x)xan )(h1 ; ...; hn+1 ) =∂ n+1 pn−1 (x)(h1 ; ...; hn+1 )xan c1 ; ...; hn ; hn+1 )h1 an + ... +∂ n pn−1 (x)(h +∂ n pn−1 (x)(h1 ; ...; hn ; h[ n+1 )hn+1 an According to suggestion of induction all monomials are equal 0.  Theorem 3.2.3. If m < n, then following equation is true ∂ m pn (0) = 0 Proof. For n = 1 following equation is true ∂ 0 p1 (0) = a0 xa1 = 0 Assume that statement is true for n − 1. Then according to theorem 3.2.1 ∂ m (pn−1 (x)xan )(h1 ; ...; hm ) = ∂ m pn−1 (x)(h1 ; ...; hm )xan c1 ; ...; hm−1 ; hm )h1 an + ... + ∂ m−1 pn−1 (x)(h + ∂ m−1 pn−1 (x)(h1 ; ...; hm−1 ; hc m )hm an First term equal 0 because x = 0. Because m − 1 < n − 1, then rest terms equal 0 according to suggestion of induction. We proved the statement of theorem.  22 3. Derivative of Second Order of Map of D-Algebra When h1 = ... = hn = h, we assume ∂ n f (x) ◦ hn = ∂ n f (x) ◦ (h1 ; ...; hn ) This notation does not create ambiguity, because we can determine function according to number of arguments. Theorem 3.2.4. For any n > 0 following equation is true ∂ n pn (x) ◦ hn = n!pn (h) Proof. For n = 1 following equation is true ∂p1 (x) ◦ h = ∂(a0 xa1 ) ◦ h = a0 ha1 = 1!p1 (h) Assume the statement is true for n − 1. Then according to theorem 3.2.1 (3.2.3) ∂ n pn (x) ◦ hn = (∂ n pn−1 (x) ◦ hn )xan + (∂ n−1 pn−1 (x) ◦ hn−1 )han + ... + (∂ n−1 pn−1 (x) ◦ hn−1 )han First term equal 0 according to theorem 3.2.2. The rest n terms equal, and according to suggestion of induction from equation (3.2.3) it follows ∂ n pn (x) ◦ h = n(∂ n−1 pn−1 (x) ◦ h)han = n(n − 1)!pn−1 (h)han = n!pn (h) Therefore, statement of theorem is true for any n.  Let p(x) be polynomial of power n.3.2 p(x) = p0 + p1i1 (x) + ... + pnin (x) We assume sum by index ik which enumerates terms of power k. According to theorem 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4 ∂ k p(0) ◦ x = k!pkik (x) Therefore, we can write p(x) = p0 + (1!)−1 ∂p(0) ◦ x + (2!)−1 ∂ 2 p(0) ◦ x2 + ... + (n!)−1 ∂ n p(0) ◦ xn This representation of polynomial is called Taylor polynomial. If we consider substitution of variable x = y − y0 , then considered above construction remain true for polynomial p(y) = p0 + p1i1 (y − y0 ) + ... + pnin (y − y0 ) Therefore p(y) = p0 +(1!)−1 ∂p(y0 )◦(y−y0 )+(2!)−1 ∂ 2 p(y0 )◦(y−y0 )2 +...+(n!)−1 ∂ n p(y0 )◦(y−y0 )n Assume that function f (x) is differentiable in the Gâteaux sense at point x0 up to any order.3.3 Theorem 3.2.5. If function f (x) holds f (x0 ) = ∂f (x0 ) ◦ h = ... = ∂ n f (x0 ) ◦ hn = 0 then for t → 0 expression f (x + th) is infinitesimal of order higher than n with respect to t f (x0 + th) = o(tn ) 3.2I consider Taylor polynomial for polynomials by analogy with construction of Taylor polynomial in [5], p. 246. 3.3I explore construction of Taylor series by analogy with construction of Taylor series in [5], p. 248, 249. 3.2. Taylor Series 23 Proof. When n = 1 this statement follows from equation (2.3.6). Let statement be true for n − 1. Map f1 (x) = ∂f (x) ◦ h satisfies to condition f1 (x0 ) = ∂f1 (x0 ) ◦ h = ... = ∂ n−1 f1 (x0 ) ◦ hn−1 = 0 According to suggestion of induction f1 (x0 + th) = o(tn−1 ) Then equation (2.3.5) gets form o(tn−1 ) = lim t→0, t∈R (t−1 f (x + th)) Therefore, f (x + th) = o(tn )  Let us form polynomial p(x) = f (x0 ) + (1!)−1 ∂f (x0 ) ◦ (x − x0 ) + ... + (n!)−1 ∂ n f (x0 ) ◦ (x − x0 )n According to theorem 3.2.5 f (x0 + t(x − x0 )) − p(x0 + t(x − x0 )) = o(tn ) Therefore, polynomial p(x) is good approximation of map f (x). If the mapping f (x) has the Gâteaux derivative of any order, then passing to the limit n → ∞, we get expansion into series ∞ X f (x) = (n!)−1 ∂ n f (x0 ) ◦ (x − x0 )n n=0 which is called Taylor series. CHAPTER 4 References [1] Aleks Kleyn, Linear Map of D-Algebra, eprint arXiv:1502.04063 (2015) [2] N. Bourbaki, General Topology, Chapters 5 - 10, Springer, 1989 [3] N. Bourbaki, Topological Vector Spaces, Chapters 1 - 5, Transl. by H. G. Eggleston & S. Madan, Springer, 2003 [4] L. S. Pontryagin, Selected Works, Volume Two, Topological Groups, Gordon and Breach Science Publishers, 1986 [5] Fikhtengolts G. M., Differential and Integral Calculus Course, volume 1, Moscow, Nauka, 1969 [6] V. I. Arnautov, S. T. Glavatsky, A. V. Mikhalev, Introduction to the theory of topological rings and modules, Volume 1995, Marcel Dekker, Inc, 1996 25 CHAPTER 5 Index A-number 6 Banach D-algebra 9 Cauchy sequence 8, 9 complete ring 8 component of the Gâteaux derivative 11 component of the Gâteaux derivative of second order 20 continuous map 9 fundamental sequence 8, 9 the the the the Gâteaux Gâteaux Gâteaux Gâteaux derivative of map 11 derivative of order n 20 derivative of second order 19 differential of map 12 limit of sequence 7, 9 map differentiable in the Gâteaux sense 11 norm of map 10 norm on D-algebra 9 norm on ring 7 normed D-algebra 9 normed ring 7 standard component of the Gâteaux derivative 12 standard representation of the Gâteaux derivative 12 topological D-algebra 9 topological ring 7 unit sphere in D-algebra 9 26 CHAPTER 6 Special Symbols and Notations ∂s·p f (x) component of the Gâteaux ∂x derivative of map f (x) 11 ∂ 2s·p f (x) component of the Gâteaux ∂x2 derivative of second order of map f (x) 20 ∂f (x) the Gâteaux derivative of map f 11 ∂f (x) the Gâteaux derivative of map f ∂x 11 ∂ n f (x) the Gâteaux derivative of order n 20 ∂ n f (x) the Gâteaux derivative of order n ∂xn of map f of algebra 20 ∂ 2 f (x) the Gâteaux derivative of second order 19 ∂ 2 f (x) the Gâteaux derivative of second ∂x2 order of mapping f of algebra 19 ∂f (x) ◦ dx the Gâteaux differential of ∂x map f 11, 12 ∂ ij f (x) standard component of the ∂x Gâteaux derivative 12 kf k norm of map 10 lim an n→∞ limit of sequence 7 27 arXiv:1505.03625v1 [math.GM] 14 May 2015 Производная отображения банаховой алгебры Александр Клейн [email protected] http://AleksKleyn.dyndns-home.com:4080/ http://sites.google.com/site/AleksKleyn/ http://arxiv.org/a/kleyn_a_1 http://AleksKleyn.blogspot.com/ Аннотация. Пусть A - банаховая алгебра над коммутативным кольцом D. Отображение f : A → A дифференцируема по Гато, если f (x + a) − f (x) = ∂f (x) ◦ a + o(a) где производная Гато ∂f (x) отображения f - линейное отображение приращения a и o - такое непрерывное отображение, что lim a→0 |o(a)| =0 |a| Предполагая, что определена производная Гато ∂ n−1 f (x) порядка n− 1, мы определим ∂ n f (x) ◦ (a1 ⊗ ... ⊗ an ) = ∂(∂ n−1 f (x) ◦ (a1 ⊗ ... ⊗ an−1 )) ◦ an производную Гато порядка n отображения f . Если отображение f (x) имеет все производные, то отображение f (x) имеет разложение в ряд Тейлора f (x) = ∞ X n=0 (n!)−1 ∂ n f (x0 ) ◦ (x − x0 )n Оглавление Глава 1. Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Соглашения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 2. Дифференцируемые отображения 2.1. Топологическое кольцо . . . . . . . . 2.2. Топологическая D-алгебра . . . . . . 2.3. Производная отображений алгебры . . . . . 7 7 9 11 Глава 3. Производная второго порядка отображения D-алгебры . . . . . 3.1. Производная второго порядка отображения D-алгебры . . . . . . 3.2. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 20 Глава 4. Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Глава 5. Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Глава 6. Специальные символы и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 Глава 1 Предисловие 1.1. Предисловие В основе математического анализа лежит возможность линейного приближения к отображению, и основные построения математического анализа уходят корнями в линейную алгебру. Так как произведение в поле коммутативно, то линейная алгебра над полем относительно проста. При переходе к алгебре над коммутативным кольцом, некоторые утверждения линейной алгебры сохраняются, но появляются и новые утверждения, которые меняют ландшафт линейной алгебры. Здесь я хочу обратить внимание на эволюцию, которую претерпело понятие производной со времён Ньютона. Когда мы изучаем функции одной переменной, то производная в заданной точке является числом dx2 = 2x dx Когда мы изучаем функцию нескольких переменных, выясняется, что числа недостаточно. Производная становится вектором или градиентом z = x2 + y 3 dz = 2x dx + 3y 2 dy При изучении отображений векторных пространств мы впервые говорим о производной как об операторе x = u sin v y = u cos v z=u dx = sin v du + u cos v dv dy = cos v du − u sin v dv dz = 1 du + 0 dv Но так как этот оператор линеен, то мы можем представить производную как матрицу. И в этом случае мы можем представить вектор приращения отображения как произведение матрицы производной (матрицы Якоби) на вектор приращения аргумента     sin v u cos v   dx  du        dy  = cos v −u sin v     dv    1 0 dz Поскольку алгебра является модулем над некоторым коммутативным кольцом, существует два пути изучения структур, порождённых над алгеброй. Если алгебра является свободным модулем, то мы можем выбрать базис и рассматривать все операции в координатах относительно заданного базиса. Хотя базис может быть произвольным, мы можем выбрать наиболее простой базис с точки зрения алгебраических операций. Этот подход имеет без сомнения 5 6 1. Предисловие то преимущество, что мы работаем в коммутативном кольце, где все операции хорошо изучены. Рассмотрение операции в алгебре независимо от выбранного базиса даёт возможность рассматривать элементы алгебры как самостоятельные объекты. Структура линейного отображения алгебры рассмотрена в книге [1]. В этой книге я использовал этот инструмент для изучения математического анализа над некоммутативной алгеброй. 1.2. Соглашения Соглашение 1.2.1. В выражении вида ai·0 xai·1 предполагается сумма по индексу i.  ⊗(n+1) Соглашение 1.2.2. Если тензор a ∈ A a = ai·0 ⊗ ai·1 ⊗ ... ⊗ ai·n имеет разложение i∈I то множество перестановок σ = {σi ∈ S(n) : i ∈ I} и тензор a порождают отображение (a, σ) : A×n → A определённое равенством (a, σ) ◦ (b1 , ..., bn ) = (ai·0 ⊗ ai·1 ⊗ ... ⊗ ai·n , σi ) ◦ (b1 , ..., bn ) = ai·0 σi (b1 )ai·1 ...σi (bn )ai·n  ⊗(n+1) Соглашение 1.2.3. Пусть тензор a ∈ A . Если x1 = ... = xn = x, то мы положим a ◦ xn = a ◦ (x1 ⊗ ... ⊗ xn )  Соглашение 1.2.4. Элемент Ω-алгебры A называется A-числом. Например, комплексное число также называется C-числом, а кватернион называется H-числом.  Соглашение 1.2.5. Пусть A ассоциативная D-алгебра. Представление A⊗A f ∗ /A f (p) : a → p ◦ a D-модуля A ⊗ A определено равенством (1.2.1) (a ⊗ b) ◦ c = acb и порождает множество линейных отображений. Это представление порождает произведение ◦ в D-модуле A ⊗ A согласно правилу (p ◦ q) ◦ a = p ◦ (q ◦ a)  Глава 2 Дифференцируемые отображения В этой главе мы изучим производную и дифференциал отображения в D -алгебру. Поле комплексных чисел - это алгебра над полем действительных чисел. В математическом анализе функций комплексного переменного мы рассматриваем линейные отображения, порождённые отображением I0 ◦ z = z. Поэтому и в этом разделе мы ограничимся линейными отображениями, порождёнными отображением I0 ◦ a = a. 2.1. Топологическое кольцо Определение 2.1.1. Кольцо D называется топологическим кольцом2.1, если D является топологическим пространством, и алгебраические операции, определённые в D, непрерывны в топологическом пространстве D.  Согласно определению, для произвольных элементов a, b ∈ D и для произвольных окрестностей Wa−b элемента a − b, Wab элемента ab существуют такие окрестности Wa элемента a и Wb элемента b, что Wa −Wb ⊂ Wa−b , Wa Wb ⊂ Wab . Определение 2.1.2. Норма на кольце D - это отображение2.2 d ∈ D → |d| ∈ R такое, что • |a| ≥ 0 • |a| = 0 равносильно a = 0 • |ab| = |a| |b| • |a + b| ≤ |a| + |b| Кольцо D, наделённое структурой, определяемой заданием на D нормы, называется нормированным кольцом.  Инвариантное расстояние на аддитивной группе кольца D d(a, b) = |a − b| определяет топологию метрического пространства, согласующуюся со структурой кольца в D. Определение 2.1.3. Пусть D - нормированное кольцо. Элемент a ∈ D называется пределом последовательности {an } a= 2.1Определение дано согласно определению из [4], глава 4 2.2Определение дано согласно определению из [2], гл. IX, §3, п◦ 2, а также согласно опре- делению [6]-1.1.12, с. 23. 7 8 2. Дифференцируемые отображения если для любого ǫ ∈ R, ǫ > 0, существует, зависящее от ǫ, натуральное число n0 такое, что |an − a| < ǫ для любого n > n0 .  Теорема 2.1.4. Пусть D - нормированное кольцо характеристики 0 и пусть d ∈ D. Пусть a ∈ D - предел последовательности {an }. Тогда lim (an d) = ad n→∞ lim (dan ) = da n→∞ Доказательство. Утверждение теоремы тривиально, однако я привожу доказательство для полноты текста. Поскольку a ∈ D - предел последовательности {an }, то согласно определению 2.1.3 для заданного ǫ ∈ R, ǫ > 0, существует натуральное число n0 такое, что ǫ |an − a| < |d| для любого n > n0 . Согласно определению 2.1.2 утверждение теоремы следует из неравенств ǫ |an d − ad| = |(an − a)d| = |an − a||d| < |d| = ǫ |d| ǫ =ǫ |dan − da| = |d(an − a)| = |d||an − a| < |d| |d| для любого n > n0 .  Определение 2.1.5. Пусть D - нормированное кольцо. Последовательность {an }, an ∈ D называется фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого ǫ ∈ R, ǫ > 0 существует, зависящее от ǫ, натуральное число n0 такое, что |ap − aq | < ǫ для любых p, q > n0 .  Определение 2.1.6. Нормированное кольцо D называется полным если любая фундаментальная последовательность элементов данного кольца сходится, т. е. имеет предел в этом кольце.  В дальнейшем, говоря о нормированном кольце характеристики 0, мы будем предполагать, что определён гомеоморфизм поля рациональных чисел Q в кольцо D. Теорема 2.1.7. Полное кольцо D характеристики 0 содержит в качестве подполя изоморфный образ поля R действительных чисел. Это поле обычно отождествляют с R. Доказательство. Рассмотрим фундаментальную последовательность рациональных чисел {pn }. Пусть p′ - предел этой последовательности в кольце D. Пусть p - предел этой последовательности в поле R. Так как вложение поля Q в тело D гомеоморфно, то мы можем отождествить p′ ∈ D и p ∈ R.  Теорема 2.1.8. Пусть D - полное кольцо характеристики 0 и пусть d ∈ D. Тогда любое действительное число p ∈ R коммутирует с d. 2.2. Топологическая D-алгебра 9 Доказательство. Мы можем представить действительное число p ∈ R в виде фундаментальной последовательности рациональных чисел {pn }. Утверждение теоремы следует из цепочки равенств pd = lim (pn d) = lim (dpn ) = dp n→∞ n→∞ основанной на утверждении теоремы 2.1.4.  2.2. Топологическая D-алгебра Определение 2.2.1. Пусть D - топологическое коммутативное кольцо. D-алгебра A называется топологической D-алгеброй2.3, если A наделено топологией, согласующейся со структурой аддитивной группы в A, и отображения (a, v) ∈ D × A → av ∈ A (v, w) ∈ A × A → vw ∈ A непрерывны.  Определение 2.2.2. Норма на D-алгебре A над нормированым коммутативным кольцом D2.4 - это отображение a ∈ A → |a| ∈ R такое, что • |a| ≥ 0 • |a| = 0 равносильно a = 0 • |a + b| ≤ |a| + |b| • |ab| = |a| |b| • |da| = |d| |a|, d ∈ D, a ∈ A D-алгебра A над нормированным коммутативным кольцом D, наделённая структурой, определяемой заданием на A нормы, называется нормированной D-алгеброй.  Определение 2.2.3. Пусть A - нормированная D-алгебра. Элемент a ∈ A называется пределом последовательности {an } a = lim an n→∞ если для любого ǫ ∈ R, ǫ > 0 существует, зависящее от ǫ, натуральное число n0 такое, что |an − a| < ǫ для любого n > n0 .  Определение 2.2.4. Пусть A - нормированная D-алгебра. Последовательность {an }, an ∈ A, называется фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого ǫ ∈ R, ǫ > 0, существует, зависящее от ǫ, натуральное число n0 такое, что |ap − aq | < ǫ для любых p, q > n0 .  Определение 2.2.5. Нормированная D-алгебра A называется банаховой D-алгеброй если любая фундаментальная последовательность элементов алгебры A сходится, т. е. имеет предел в алгебре A.  Определение 2.2.6. Пусть A - банаховая D-алгебра. Множество элементов a ∈ A, |a| = 1, называется единичной сферой в алгебре A.  2.3Определение дано согласно определению из [3], с. 21 2.4Определение дано согласно определению из [2], гл. IX, §3, п◦ 3 10 2. Дифференцируемые отображения Определение 2.2.7. Отображение f : A1 → A2 банаховой D1 -алгебры A1 с нормой |x|1 в банаховую D2 -алгебру A2 с нормой |y|2 называется непрерывным, если для любого сколь угодно малого ǫ > 0 существует такое δ > 0, что |x′ − x|1 < δ влечёт |f (x′ ) − f (x)|2 < ǫ  Определение 2.2.8. Пусть f : A1 → A2 отображение банаховой D1 -алгебры A1 с нормой |x|1 в банаховую D2 -алгебру A2 с нормой |y|2 . Величина kf k = sup (2.2.1) |f (x)|2 |x|1 называется нормой отображения f .  Теорема 2.2.9. Пусть f : A1 → A2 линейное отображение банаховой D1 -алгебры A1 с нормой |x|1 в банаховую D2 -алгебру A2 с нормой |y|2 . Тогда (2.2.2) kf k = sup{|f (x)|2 : |x|1 = 1} Доказательство. Из определений [1]-4.2.1, [1]-6.1.1 и теорем 2.1.7, 2.1.8 следует (2.2.3) f (rx) = rf (x) r∈R Из равенства (2.2.3) и определения 2.2.2 следует |f (rx)|2 |r| |f (x)|2 |f (x)|2 = = |rx|1 |r| |x|1 |x|1 Полагая r = 1 , мы получим |x|1 (2.2.4) |f (x)|2 = f |x|1  x |x|1  2 Равенство (2.2.2) следует из равенств (2.2.4) и (2.2.1).  Теорема 2.2.10. Пусть f : A1 → A2 линейное отображение банаховой D1 -алгебры A1 с нормой |x|1 в банаховую D2 -алгебру A2 с нормой |y|2 . Отображение f непрерывно, если kf k < ∞. 2.3. Производная отображений алгебры 11 Доказательство. Поскольку отображение f линейно, то согласно определению 2.2.8 |f (x) − f (y)|2 = |f (x − y)|2 ≤ kf k |x − y|1 ǫ Возьмём произвольное ǫ > 0. Положим δ = . Тогда из неравенства kf k |x − y|1 < δ следует |f (x) − f (y)|2 ≤ kf k δ = ǫ Согласно определению 2.2.7 отображение f непрерывно.  2.3. Производная отображений алгебры Определение 2.3.1. Пусть A - банаховая D-алгебра. Отображение f :A→A дифференцируемо по Гато на множестве U ⊂ A, если в каждой точке x ∈ U изменение отображения f может быть представлено в виде ∂f (x) ◦ a + o(a) (2.3.1) f (x + a) − f (x) = ∂f (x) ◦ a + o(a) = ∂x где производная Гато ∂f (x) отображения f - линейное отображение приращения a и o : A → A - такое непрерывное отображение, что |o(a)| =0 lim a→0 |a|  Замечание 2.3.2. Согласно определению 2.3.1 при заданном x производная Гато ∂f (x) ∈ L(A; A). Следовательно, производная Гато отображения f является отображением ∂f : A → L(A; A) ∂f (x) являются разными обозначениями одного и того ∂x ∂f (x) , если хотим же отображения. Мы будем пользоваться обозначением ∂x подчеркнуть, что мы берём производную Гато по переменной x.  Выражения ∂f (x) и Теорема 2.3.3. Мы можем представить производную Гато отображения f в виде2.5   ∂f (x) ∂s·0 f (x) ∂s·1 f (x) ◦a ◦a= ⊗ ∂x ∂x ∂x (2.3.3) ∂s·0 f (x) ∂s·1 f (x) = a ∂x ∂x 2.5Формально, мы должны записать производную отображения в виде   ∂f (x) ∂k·s·0 f (x) ∂k·s·1 f (x) ∂k·s·0 f (x) ∂k·s·1 f (x) ◦a= ⊗ ◦ Ik ◦ a = (Ik ◦ a) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x Однако, например, в теории функций комплексного переменного рассматриваются только линейные отображения, порождённые отображением I0 ◦ z = z. Поэтому при изучении производных мы также ограничимся линейные отображениями, порождёнными отображением I0 . Переход к общему случаю не составляет особого труда. (2.3.2) 12 2. Дифференцируемые отображения ∂s·p f (x) , p = 0, 1, называется компонентой производной ∂x Гато отображения f (x). Выражение Доказательство. Следствие определения 2.3.1 и теоремы [1]-6.4.5.  Из определений [1]-4.2.1, [1]-6.1.1 , 2.3.1 и теоремы 2.1.7 следует (2.3.4) ∂f (x) ◦ (ra) = r∂f (x) ◦ a r∈R r 6= 0 a ∈ A a 6= 0 Комбинируя равенство (2.3.4) и определение 2.3.1, мы получим знакомое определение производной Гато (2.3.5) ∂f (x) ◦ a = lim t→0, t∈R (t−1 (f (x + ta) − f (x))) Определения производной Гато (2.3.1) и (2.3.5) эквивалентны. На основе этой эквивалентности мы будем говорить, что отображение f дифференцируемо по Гато на множестве U ⊂ D, если в каждой точке x ∈ U изменение отображения f может быть представлено в виде (2.3.6) f (x + ta) − f (x) = t∂f (x) ◦ a + o(t) где o : R → A - такое непрерывное отображение, что |o(t)| lim =0 t→0 |t| Если бесконечно малая a в равенстве (2.3.1) является дифференциалом dx, то равенство (2.3.1) становится определением дифференциала Гато   ∂s·0 f (x) ∂s·1 f (x) ∂f (x) ◦ dx ◦ dx = ⊗ ∂x ∂x ∂x (2.3.7) ∂s·0 f (x) ∂s·1 f (x) = dx ∂x ∂x Теорема 2.3.4. Пусть A - банаховая D-алгебра. Пусть e - базис алгебры A над кольцом D. Стандартное представление производной Гато отображения f :A→A имеет вид ∂f (x) ∂ ij f (x) (2.3.8) = ei ⊗ ej ∂x ∂x ∂ ij f (x) Выражение в равенстве (2.3.8) называется стандартной компо∂x нентой производной Гато отображения f . ния Доказательство. Утверждение теоремы является следствием утвержде[1]-6.4.5.2.  Теорема 2.3.5. Пусть A - банаховая D-алгебра. Пусть e - алгебры A над кольцом D. Тогда производная Гато отображения f :D→D 2.3. Производная отображений алгебры 13 можно записать в виде ∂f j ∂f (x) ◦ dx = dxi i ej ∂x ∂x где dx ∈ A имеет разложение (2.3.9) dx = dxi ei dxi ∈ D относительно базиса e и матрица Якоби отображения f имеет вид ∂f j ∂ kr f (x) p j = Cki Cpr ∂xi ∂x Доказательство. Утверждение теоремы является следствием теоремы  [1]-6.4.5. (2.3.10) Теорема 2.3.6. Пусть A - банаховая D-алгебра. Пусть f , g - дифференцируемые отображения f :A→A g:A→A Отображение f +g :A→A дифференцируемо и производная Гато удовлетворяет соотношению (2.3.11) ∂(f + g)(x) = ∂f (x) + ∂g(x) Доказательство. Согласно определению (2.3.5), ∂(f + g)(x) ◦ a = = (2.3.12) = + lim (t−1 ((f + g)(x + ta) − (f + g)(x))) lim (t−1 (f (x + ta) + g(x + ta) − f (x) − g(x))) lim (t−1 (f (x + ta) − f (x))) lim (t−1 (g(x + ta) − g(x))) t→0, t∈R t→0, t∈R t→0, t∈R t→0, t∈R = ∂f (x) ◦ a + ∂g(x) ◦ a Равенство (2.3.11) следует из равенства (2.3.12).  Теорема 2.3.7. Пусть A - банаховая D-алгебра. Пусть h:A×A→A непрерывное билинейное отображение. Пусть f , g - дифференцируемые отображения f :A→A g:A→A Отображение h(f, g) : A → A дифференцируемо и дифференциал Гато удовлетворяет соотношению (2.3.13) ∂h(f (x), g(x)) ◦ dx = h(∂f (x) ◦ dx, g(x)) + h(f (x), ∂g(x) ◦ dx) 14 2. Дифференцируемые отображения Доказательство. Равенство (2.3.13) следует из цепочки равенств ∂h(f (x), g(x)) ◦ a = lim (t−1 (h(f (x + ta), g(x + ta)) − h(f (x), g(x)))) t→0 = lim (t−1 (h(f (x + ta), g(x + ta)) − h(f (x), g(x + ta)))) t→0 + lim (t−1 (h(f (x), g(x + ta)) − h(f (x), g(x)))) t→0 = h(lim t−1 (f (x + ta) − f (x)), g(x)) t→0 + h(f (x), lim t−1 (g(x + ta) − g(x))) t→0 основанной на определении (2.3.5).  Соглашение 2.3.8. Для заданного билинейного отображения h:A×A→A мы рассмотрим отображения h1 : L(D; A; A) × A → L(D; A; A) h2 : A × L(D; A; A) → L(D; A; A) определённые равенствами h1 (f, v) ◦ u = h(f ◦ u, v) h2 (u, f ) ◦ v = h(u, f ◦ v) Мы будем пользоваться буквой h для обозначения отображений h1 , h2 .  Теорема 2.3.9. Пусть A - банаховая D-алгебра. Пусть h:A×A→A непрерывное билинейное отображение. Пусть f , g - дифференцируемые отображения f :A→A g:A→A Отображение h(f, g) : A → A дифференцируемо и производная Гато удовлетворяет соотношению (2.3.14) ∂h(f (x), g(x)) = h(∂f (x), g(x)) + h(f (x), ∂g(x)) Доказательство. Равенство (2.3.14) следует из равенства (2.3.13) и соглашения 2.3.8.  Теорема 2.3.10. Пусть A - банаховая D-алгебра. Пусть f , g - дифференцируемые отображения f :A→A g:A→A Производная Гато удовлетворяет соотношению     ∂f (x)g(x) ∂f (x) ∂g(x) ◦ dx = ◦ dx g(x) + f (x) ◦ dx (2.3.15) ∂x ∂x ∂x (2.3.16) ∂f (x) ∂g(x) ∂f (x)g(x) = g(x) + f (x) ∂x ∂x ∂x 2.3. Производная отображений алгебры 15 Доказательство. Теорема является следствием теорем 2.3.7, 2.3.9 и определения [1]-5.1.1.  Теорема 2.3.11. Пусть A - банаховая D-алгебра. Допустим производная Гато отображения f :A→A имеет разложение ∂ s·0 f (x) ∂ s·1 f (x) ∂f (x) = ⊗ (2.3.17) ∂x ∂x ∂x Допустим производная Гато отображения g : D → D имеет разложение ∂g(x) ∂ t·0 g(x) ∂ t·1 g(x) (2.3.18) = ⊗ ∂x ∂x ∂x Производная Гато отображения f (x)g(x) имеет вид     ∂f (x)g(x) ∂ t·1 g(x) ∂ s·0 f (x) ∂ t·0 g(x) ∂ s·1 f (x) (2.3.19) ⊗ = ⊗ g(x) + f (x) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x (2.3.20) ∂ s·0 f (x)g(x) ∂ s·0 f (x) = ∂x ∂x ∂ t·0 f (x)g(x) ∂ t·0 g(x) = f (x) ∂x ∂x ∂ t·1 f (x)g(x) ∂ t·1 g(x) ∂ s·1 f (x)g(x) ∂ s·1 f (x) = g(x) = ∂x ∂x ∂x ∂x Доказательство. Подставим (2.3.17) и (2.3.18) в равенство (2.3.16)     ∂f (x)g(x) ∂f (x) ∂g(x) ◦a= ◦ a g(x) + f (x) ◦a ∂x ∂x ∂x (2.3.21) ∂ t·0 g(x) ∂ t·1 g(x) ∂ s·0 f (x) ∂ s·1 f (x) a g(x) + f (x) a = ∂x ∂x ∂x ∂x Опираясь на (2.3.21), мы определяем равенства (2.3.20).  Теорема 2.3.12. Пусть A - банаховая D-алгебра. Пусть f , g - дифференцируемые отображения f :A→A g:A→A Производная Гато удовлетворяет соотношению     ∂f (x) ⊗ g(x) ∂f (x) ∂g(x) (2.3.22) ◦ dx = ◦ dx ⊗ g(x) + f (x) ⊗ ◦ dx ∂x ∂x ∂x ∂f (x) ∂g(x) ∂f (x) ⊗ g(x) = ⊗ g(x) + f (x) ⊗ ∂x ∂x ∂x Доказательство. Теорема является следствием теорем 2.3.7, 2.3.9, [1]4.4.5 и определения [1]-5.1.1.  (2.3.23) Замечание 2.3.13. Пусть ∂f (x) ∂ s·0 f (x) ∂ s·1 f (x) (2.3.24) = ⊗ ∂x ∂x ∂x (2.3.25) ∂ t·0 g(x) ∂ t·1 g(x) ∂g(x) = ⊗ ∂x ∂x ∂x 16 2. Дифференцируемые отображения Тогда ∂ s·0 f (x) ∂ s·1 f (x) ∂ t·0 g(x) ∂ t·1 g(x) ∂f (x) ⊗ g(x) = ⊗ ⊗ g(x) + f (x) ⊗ ⊗ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x Мы не пишем скобки, так как тензорное произведение ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения (теоремы [1]-3.3.11, [1]-3.4.5 ).  (2.3.26) Теорема 2.3.14. Пусть A - банаховая D-алгебра. Если производная Гато ∂f (x) существует в точке x и имеет конечную норму, то отображение f непрерывно в точке x. Доказательство. Из определения 2.2.8 следует (2.3.27) |∂f (x) ◦ a| ≤ k∂f (x)k |a| Из (2.3.1), (2.3.27) следует (2.3.28) |f (x + a) − f (x)| < |a| k∂f (x)k Возьмём произвольное ǫ > 0. Положим δ= ǫ k∂f (x)k Тогда из неравенства |a| < δ следует |f (x + a) − f (x)| ≤ k∂f (x)k δ = ǫ Согласно определению 2.2.7 отображение f непрерывно в точке x.  Теорема 2.3.15. Пусть A - банаховая D-алгебра. Пусть отображение f :A→A дифференцируемо по Гато в точке x. Тогда ∂f (x) ◦ 0 = 0 Доказательство. Следствие определения 2.3.1 и теоремы [1]-4.2.5.  Теорема 2.3.16. Пусть A - банаховая D-алгебра. Пусть отображение f :A→A дифференцируемо по Гато в точке x и норма производной Гато отображения f конечна (2.3.29) k∂f (x)k = F ≤ ∞ Пусть отображение g:A→A дифференцируемо по Гато в точке (2.3.30) y = f (x) и норма производной Гато отображения g конечна (2.3.31) k∂g(y)k = G ≤ ∞ Отображение (g ◦ f )(x) = g(f (x)) 2.3. Производная отображений алгебры 17 дифференцируемо по Гато в точке x   ∂(g ◦ f )(x) = ∂g(y) ◦ ∂f (x) (2.3.32)  ∂(g ◦ f )(x) ◦ a = ∂g(y) ◦ ∂f (x) ◦ a  ∂ st·0 (g ◦ f )(x) ∂ s·0 g(f (x)) ∂ t·0 f (x)   =  ∂x ∂f (x) ∂x (2.3.33) ∂ (g ◦ f )(x) ∂ g(f (x)) ∂ f (x) st·1 s·1 t·1   =  ∂x ∂x ∂f (x) Доказательство. Согласно определению 2.3.1 (2.3.34) g(y + b) − g(y) = ∂g(y) ◦ b + o1 (b) где o1 : A → A - такое непрерывное отображение, что |o1 (b)| =0 lim b→0 |b| Согласно определению 2.3.1 (2.3.35) f (x + a) − f (x) = ∂f (x) ◦ a + o2 (a) где o2 : A → A - такое непрерывное отображение, что |o2 (a)| lim =0 a→0 |a| Согласно (2.3.35) смещение a значения x ∈ A приводит к смещению (2.3.36) b = ∂f (x) ◦ a + o2 (a) значения y. Используя (2.3.30), (2.3.36) в равенстве (2.3.34), мы получим g(f (x + a)) − g(f (x)) (2.3.37) = g(f (x) + ∂f (x) ◦ a + o2 (a)) − g(f (x)) = ∂g(f (x)) ◦ (∂f (x) ◦ a + o2 (a)) − o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a)) Согласно определениям 2.3.1, [1]-4.2.1, [1]-6.1.1 , из равенства (2.3.37) следует (2.3.38) g(f (x + a)) − g(f (x)) = ∂g(f (x)) ◦ ∂f (x) ◦ a + ∂g(f (x)) ◦ o2 (a) − o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a)) Согласно определению 2.2.2 |∂g(f (x)) ◦ o2 (a) − o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| lim a→0 |a| (2.3.39) |o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| |∂g(f (x)) ◦ o2 (a)| + lim ≤ lim a→0 a→0 |a| |a| Из (2.3.31) следует (2.3.40) lim a→0 |o2 (a)| |∂g(f (x)) ◦ o2 (a)| ≤ G lim =0 a→0 |a| |a| 18 2. Дифференцируемые отображения Из (2.3.29) следует |o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| |a| |∂f (x) ◦ a + o2 (a)| |o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| lim = lim a→0 |∂f (x) ◦ a + o2 (a)| a→0 |a| k∂f (x)k|a| + |o2 (a)| |o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| lim ≤ lim a→0 |∂f (x) ◦ a + o2 (a)|2 a→0 |a| |o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| = lim k∂f (x)k a→0 |∂f (x) ◦ a + o2 (a)| Согласно теореме 2.3.15 lim a→0 lim (∂f (x) ◦ a) + o2 (a)) = 0 a→0 Следовательно, (2.3.41) lim a→0 |o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| =0 |a| Из равенств (2.3.39), (2.3.40), (2.3.41) следует |∂g(f (x)) ◦ o2 (a) − o1 (∂f (x) ◦ a + o2 (a))| =0 |a| Согласно определению 2.3.1 (2.3.42) (2.3.43) lim a→0 (g ◦ f )(x + a) − (g ◦ f )(x) = ∂(g ◦ f )(x) ◦ a + o(a) где o : A → A - такое непрерывное отображение, что |o(a)| =0 lim a→0 |a| Равенство (2.3.32) следует из (2.3.38), (2.3.42), (2.3.43). Из равенства (2.3.32) и теоремы 2.3.3 следует ∂ st·0 (g ◦ f )(x) ∂ st·1 (g ◦ f )(x) a ∂x ∂x (2.3.44) = ∂ s·0 g(f (x)) ∂ s·1 g(f (x)) (∂f (x) ◦ a) ∂f (x) ∂f (x) = ∂ s·0 g(f (x)) ∂ t·0 f (x) ∂ t·1 f (x) ∂ s·1 g(f (x)) a ∂f (x) ∂x ∂x ∂f (x) (2.3.33) следуют из равенства (2.3.44).  Глава 3 Производная второго порядка отображения D-алгебры 3.1. Производная второго порядка отображения D-алгебры Пусть D - полное коммутативное кольцо характеристики 0. Пусть A - ассоциативная D-алгебра. Пусть f :A→A функция, дифференцируемая по Гато. Согласно замечанию 2.3.2 производная Гато является отображением ∂f : A → L(A; A) Согласно теореме [1]-6.2.5 и определению 2.2.8, множество L(A; A) является банаховой D-алгеброй. Следовательно, мы можем рассмотреть вопрос, является ли отображение ∂f дифференцируемым по Гато. Согласно определению 2.3.1 (3.1.1) (∂f ◦ (x + a2 )) ◦ a1 − (∂f ◦ x) ◦ a1 = ∂(∂f (x) ◦ a1 ) ◦ a2 + o2 (a2 ) где o2 : A → L(A; A) - такое непрерывное отображение, что lim a2 →0 ko2 (a2 )k =0 |a2 | Согласно определению 2.3.1 отображение ∂(∂f (x)◦a1 )◦a2 линейно по переменной a2 . Из равенства (3.1.1) следует, что отображение ∂(∂f (x)◦a1 )◦a2 линейно по переменной a1 . Следовательно, отображение ∂(∂f (x) ◦ a1 ) ◦ a2 билинейно. Определение 3.1.1. Полилинейное отображение ∂ 2 f (x) ◦ (a1 ; a2 ) = ∂(∂f (x) ◦ a1 ) ◦ a2 ∂x2 называется производной Гато второго порядка отображения f . (3.1.2) ∂ 2 f (x) ◦ (a1 ; a2 ) =  Замечание 3.1.2. Согласно определению 3.1.1 при заданном x производная Гато второго порядка ∂ 2 f (x) ∈ L(A, A; A). Следовательно, производная Гато второго порядка отображения f является отображением ∂ 2 f : A → L(A, A; A) Согласно теореме ние [1]-4.4.4, мы можем также рассматривать отображе∂ 2 f (x) ◦ (a1 ⊗ a2 ) = ∂ 2 f (x) ◦ (a1 ; a2 ) 19 3. Производная второго порядка отображения D-алгебры 20 Тогда ∂ 2 f (x) ∈ L(A ⊗ A; A) ∂ 2 f : A → L(A ⊗ A; A) Мы будем пользоваться тем же символом для обозначения отображения, так как по характеру аргумента ясно о каком отображении идёт речь.  Теорема 3.1.3. Мы можем представить производную Гато второго порядка отображения f в виде   2 ∂ s·0 f (x) ∂ 2s·1 f (x) ∂ 2s·2 f (x) ⊗ ⊗ , σ ∂ 2 f (x) ◦ (a1 ; a2 )= s ◦ (a1 ; a2 ) ∂x2 ∂x2 ∂x2 ∂ 2 f (x) ∂ 2 f (x) ∂ 2s·0 f (x) σs (a1 ) s·1 2 σs (a2 ) s·2 2 2 ∂x ∂x ∂x Мы будем называть выражение 3.1 = ∂ 2s·p f (x) p = 0, 1, 2 ∂x2 компонентой производной Гато второго порядка отображения f (x). Доказательство. Следствие определения 3.1.1 и теоремы [1]-6.6.6.  По индукции, предполагая, что определена производная Гато ∂ n−1 f (x) порядка n − 1, мы определим (3.1.3) ∂ n f (x) ◦ (a1 ; ...; an ) ∂xn = ∂(∂ n−1 f (x) ◦ (a1 ; ...; an−1 )) ◦ an ∂ n f (x) ◦ (a1 ; ...; an ) = производную Гато порядка n отображения f . Мы будем также полагать ∂ 0 f (x) = f (x). 3.2. Ряд Тейлора Пусть D - полное коммутативное кольцо характеристики 0. Пусть A - ассоциативная D-алгебра. Пусть pk (x) - одночлен степени k, k > 0, одной переменной над D-алгеброй A. Очевидно, что одночлен степени 0 имеет вид a0 , a0 ∈ A. Для k > 0, pk (x) = pk−1 (x)xak где ak ∈ A. Действительно, последний множитель одночлена pk (x) является либо ak ∈ A, либо имеет вид xl , l ≥ 1. В последнем случае мы положим ak = 1. Множитель, предшествующий ak , имеет вид xl , l ≥ 1. Мы можем представить этот множитель в виде xl−1 x. Следовательно, утверждение доказано. В частности, одночлен степени 1 имеет вид p1 (x) = a0 xa1 . Не нарушая общности, мы можем положить k = n. 3.1Мы полагаем ∂ 2s·p f (x) ∂x2 = ∂ 2s·p f (x) ∂x∂x 3.2. Ряд Тейлора 21 Теорема 3.2.1. Для произвольного m > 0 справедливо равенство ∂ m (f (x)x) ◦ (h1 ; ...; hm ) = ∂ m f (x) ◦ (h1 ; ...; hm )x (3.2.1) c1 ; ...; hm−1 ; hm )h1 + ... + ∂ m−1 f (x) ◦ (h + ∂ m−1 f (x) ◦ (h1 ; ...; hm−1 ; hc m )hm где символ hbi означает отсутствие переменной hi в списке. Доказательство. Для m = 1 - это следствие равенства (2.3.16) ∂(f (x)x) ◦ h1 = (∂f (x) ◦ h1 )x + f (x)h1 Допустим, (3.2.1) справедливо для m − 1. Тогда ∂ m−1 (f (x)x) ◦ (h1 ; ...; hm−1 ) = ∂ m−1 f (x) ◦ (h1 ; ...; hm−1 )x c1 ; ...; hm−2 ; hm−1 )h1 + ... + ∂ m−2 f (x) ◦ (h \ + ∂ m−2 f (x) ◦ (h1 ; ...; hm−2 ; h m−1 )hm−1 Так как ∂hi = 0, то, пользуясь равенством (2.3.16), получим (3.2.2) ∂ m (f (x)x) ◦ (h1 ; ...; hm−1 ; hm ) = ∂ m f (x) ◦ (h1 ; ...; hm−1 ; hm )x + ∂ m−1 f (x) ◦ (h1 ; ...; hm−2 ; hm−1 )hm c1 ; ...; hm−2 ; hm−1 ; hm )h1 + ... + ∂ m−1 f (x) ◦ (h \ + ∂ m−1 f (x) ◦ (h1 ; ...; hm−2 ; h m−1 ; hm )hm−1 Равенства (3.2.1) и (3.2.2) отличаются только формой записи. Теорема доказана.  Теорема 3.2.2. Для произвольного n ≥ 0 справедливо равенство ∂ n+1 pn (x) = 0 Доказательство. Так как p0 (x) = a0 , a0 ∈ D, то при n = 0 теорема является следствием определения 2.3.1. Пусть утверждение теоремы верно для n − 1. Согласно теореме 3.2.1, при условии f (x) = pn−1 (x) мы имеем ∂ n+1 pn (x)(h1 ; ...; hn+1 ) =∂ n+1 (pn−1 (x)xan )(h1 ; ...; hn+1 ) =∂ n+1 pn−1 (x)(h1 ; ...; hn+1 )xan c1 ; ...; hn ; hn+1 )h1 an + ... +∂ n pn−1 (x)(h +∂ n pn−1 (x)(h1 ; ...; hn ; h[ n+1 )hn+1 an Согласно предположению индукции все одночлены равны 0. Теорема 3.2.3. Если m < n, то справедливо равенство ∂ m pn (0) = 0 Доказательство. Для n = 1 справедливо равенство ∂ 0 p1 (0) = a0 xa1 = 0  3. Производная второго порядка отображения D-алгебры 22 Допустим, утверждение справедливо для n − 1. Тогда согласно теореме 3.2.1 ∂ m (pn−1 (x)xan )(h1 ; ...; hm ) = ∂ m pn−1 (x)(h1 ; ...; hm )xan c1 ; ...; hm−1 ; hm )h1 an + ... + ∂ m−1 pn−1 (x)(h + ∂ m−1 pn−1 (x)(h1 ; ...; hm−1 ; hc m )hm an Первое слагаемое равно 0 так как x = 0. Так как m − 1 < n − 1, то остальные слагаемые равны 0 согласно предположению индукции. Утверждение теоремы доказано.  Если h1 = ... = hn = h, то мы положим ∂ n f (x) ◦ hn = ∂ n f (x) ◦ (h1 ; ...; hn ) Эта запись не будет приводить к неоднозначности, так как по числу аргументов ясно, о какой функции идёт речь. Теорема 3.2.4. Для произвольного n > 0 справедливо равенство ∂ n pn (x) ◦ hn = n!pn (h) Доказательство. Для n = 1 справедливо равенство ∂p1 (x) ◦ h = ∂(a0 xa1 ) ◦ h = a0 ha1 = 1!p1 (h) Допустим, утверждение справедливо для n − 1. Тогда согласно теореме 3.2.1 (3.2.3) ∂ n pn (x) ◦ hn = (∂ n pn−1 (x) ◦ hn )xan + (∂ n−1 pn−1 (x) ◦ hn−1 )han + ... + (∂ n−1 pn−1 (x) ◦ hn−1 )han Первое слагаемое равно 0 согласно теореме 3.2.2. Остальные n слагаемых равны, и согласно предположению индукции из равенства (3.2.3) следует ∂ n pn (x) ◦ h = n(∂ n−1 pn−1 (x) ◦ h)han = n(n − 1)!pn−1 (h)han = n!pn (h) Следовательно, утверждение теоремы верно для любого n.  3.2 Пусть p(x) - многочлен степени n. p(x) = p0 + p1i1 (x) + ... + pnin (x) Мы предполагаем сумму по индексу ik , который нумерует слагаемые степени k. Согласно теоремам 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4 ∂ k p(0) ◦ x = k!pkik (x) Следовательно, мы можем записать p(x) = p0 + (1!)−1 ∂p(0) ◦ x + (2!)−1 ∂ 2 p(0) ◦ x2 + ... + (n!)−1 ∂ n p(0) ◦ xn Это представление многочлена называется формулой Тейлора для многочлена. Если рассмотреть замену переменных x = y − y0 , то рассмотренное построение остаётся верным для многочлена p(y) = p0 + p1i1 (y − y0 ) + ... + pnin (y − y0 ) откуда следует p(y) = p0 +(1!)−1 ∂p(y0 )◦(y−y0 )+(2!)−1 ∂ 2 p(y0 )◦(y−y0 )2 +...+(n!)−1 ∂ n p(y0 )◦(y−y0 )n 3.2Я рассматриваю формулу Тейлора для многочлена по аналогии с построением формулы Тейлора в [5], с. 246. 3.2. Ряд Тейлора 23 Предположим, что функция f (x) в точке x0 дифференцируема в смысле Гато до любого порядка.3.3 Теорема 3.2.5. Если для функции f (x) выполняется условие f (x0 ) = ∂f (x0 ) ◦ h = ... = ∂ n f (x0 ) ◦ hn = 0 то при t → 0 выражение f (x + th) является бесконечно малой порядка выше n по сравнению с t f (x0 + th) = o(tn ) Доказательство. При n = 1 это утверждение следует из равенства (2.3.6). Пусть утверждение справедливо для n − 1. Для отображения f1 (x) = ∂f (x) ◦ h выполняется условие f1 (x0 ) = ∂f1 (x0 ) ◦ h = ... = ∂ n−1 f1 (x0 ) ◦ hn−1 = 0 Согласно предположению индукции f1 (x0 + th) = o(tn−1 ) Тогда равенство (2.3.5) примет вид o(tn−1 ) = lim t→0, t∈R (t−1 f (x + th)) Следовательно, f (x + th) = o(tn )  Составим многочлен p(x) = f (x0 ) + (1!)−1 ∂f (x0 ) ◦ (x − x0 ) + ... + (n!)−1 ∂ n f (x0 ) ◦ (x − x0 )n Согласно теореме 3.2.5 f (x0 + t(x − x0 )) − p(x0 + t(x − x0 )) = o(tn ) Следовательно, полином p(x) является хорошей апроксимацией отображения f (x). Если отображение f (x) имеет производную Гато любого порядка, то переходя к пределу n → ∞, мы получим разложение в ряд ∞ X f (x) = (n!)−1 ∂ n f (x0 ) ◦ (x − x0 )n n=0 который называется рядом Тейлора. 3.3Я рассматриваю построение ряда Тейлора по аналогии с построением ряда Тейлора в [5], с. 248, 249. Глава 4 Список литературы [1] Александр Клейн, Линейное отображение D-алгебры, eprint arXiv:1502.04063 (2015) [2] Н. Бурбаки, Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. перевод с французского С. Н. Крачковского под редакцией Д. А. Райкова, М. Наука, 1975 [3] Н. Бурбаки, Топологические векторные пространства, перевод с французского Д. А. Райкова, М. Иностранная литература, 1959 [4] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, М. Едиториал УРСС, 2004 [5] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, М. Наука, 1969 [6] V. I. Arnautov, S. T. Glavatsky, A. V. Mikhalev, Introduction to the theory of topological rings and modules, Volume 1995, Marcel Dekker, Inc, 1996 25 Глава 5 Предметный указатель A-число 6 банахова D-алгебра 9 дифференциал Гато отображения 12 единичная сфера в D-алгебре 9 компонента производной Гато 12 компонента производной Гато второго порядка 20 непрерывное отображение 10 норма в D-алгебре 9 норма на кольце 7 норма отображения 10 нормированная D-алгебра 9 нормированное кольцо 7 отображение, дифференцируемое по Гато 11 полное кольцо 8 последовательность Коши 8, 9 предел последовательности 7, 9 производная Гато второго порядка 19 производная Гато отображения 11 производная Гато порядка n 20 стандартная компонента производной Гато 12 стандартное представление производной Гато 12 топологическая D-алгебра 9 топологическое кольцо 7 фундаментальная последовательность 8, 9 26 Глава 6 Специальные символы и обозначения ∂s·p f (x) компонента производной Гато ∂x отображения f (x) 12 ∂ 2s·p f (x) компонента производной Гато ∂x2 второго порядка отображения f (x) 20 ∂f (x) производная Гато отображения f 11 ∂f (x) производная Гато отображения f ∂x 11 ∂ n f (x) производная Гато порядка n 20 ∂ n f (x) производная Гато порядка n ∂xn отображения f алгебры 20 ∂ 2 f (x) производная Гато второго порядка 19 ∂ 2 f (x) производная Гато второго ∂x2 порядка отображения f алгебры 19 ∂f (x) ◦ dx дифференциал Гато ∂x отображения f 11, 12 ∂ ij f (x) стандартная компонента ∂x производной Гато 12 kf k норма отображения 10 lim an n→∞ предел последовательности 7 27