APLIKASI MATLAB untuk MATEMATIKA TEKNIK

APLIKASI MATLAB untuk MATEMATIKA TEKNIK HERU DIBYO LAKSONO, MT Aplikasi Matlab.indd 1 03/05/2017 10.59.04 APLIKASI MATLAB UNTUK MATEMATIKA TEKNIK Heru Dibyo Laksono, MT Edisi Asli Hak Cipta © 2017, Indomedia Pustaka Griya Kebonagung 2, Blok I2, No.14 Kebonagung, Sukodono, Sidoarjo Telp. : 0812-3250-3457 Website : www.indomediapustaka.com E-mail : [email protected] Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, baik secara elektronik maupun mekanik, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan menggunakan sistem penyimpanan lainnya, tanpa izin tertulis dari Penerbit. UNDANG-UNDANG NOMOR 19 TAHUN 2002 TENTANG HAK CIPTA 1. 2. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau memperbanyak suatu ciptaan atau memberi izin untuk itu, dipidana dengan pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/ atau denda paling banyak Rp 5.000.000.000,00 (lima miliar rupiah). Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta atau Hak Terkait sebagaimana dimaksud pada ayat (1), dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah). Laksono, Heru Dibyo Aplikasi Matlab untuk Matematika Teknik/Heru Dibyo Laksono Edisi Pertama —Sidoarjo: Indomedia Pustaka, 2017 1 jil., 17 × 24 cm, 232 hal. ISBN 978-602-6417-17-6 1. Teknik I. Judul Aplikasi Matlab.indd 2 2. Aplikasi Matlab untuk Matematika Teknik II. Penulis 03/05/2017 10.59.04 Kata Pengantar Buku ini digunakan sebagai penunjang mata kuliah matematika teknik. Materi yang dibahas meliputi geometri pada bidang, geometri pada ruang, turunan, integral, polinomial, matrik dan persamaan linear diferensial. Penyajian materi setiap bab dalam buku ini diberikan secara teratur dan sistematis dimana setiap pokok pembahasan akan disertai dengan contoh-contoh penyelesaian soal dengan menggunakan Matlab sedangkan pembahasan teoritis secara detail tidak dilakukan pada setiap bab dalam buku ini. Ucapan terima kasih kami sampaikan juga kepada orang tua dan banyak pihak yang telah memberikan perhatian penuh dalam penyelesaian naskah buku ini. Anak - anakku Thanisa Nazhwa Azura (Thata) dan Fathan Athallah Kaysan (Fathan) serta keluarga besarku, buku ini kupersembahkan untuk kalian semua. Akhirnya, segala tanggungjawab akademis dari naskah buku ini sepenuhnya berada di tangan penulis. Padang, Maret 2017 Penulis Aplikasi Matlab.indd 3 03/05/2017 10.59.04 iv Aplikasi Matlab.indd 4 Aplikasi Matlab untuk Matematika Teknik 03/05/2017 10.59.04 Daftar Isi Kata Pengantar ........................................................................................ Daftar Isi .................................................................................................... Daftar Gambar......................................................................................... Daftar Tabel .............................................................................................. iii v xi xii Bab 1 Tinjauan Umum .......................................................................... 1.1 Penjelasan Umum.......................................................................................... 1.2 Tujuan ............................................................................................................ 1.3 Buku Penunjang............................................................................................. 1.4 Gambaran Umum ........................................................................................ 1 1 2 2 2 Bab 2 Geometri pada Bidang ............................................................. 2.1 Pendahuluan ................................................................................................. 2.2 Vektor pada Bidang dengan Pendekatan Secara Geometri .................... 2.3 Kurva Bidang : Penyajian Secara Parameter ............................................. 2.4 Vektor Pada Bidang dengan Pendekatan secara Aljabar ......................... 2.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva ............................... 2.6 Kelengkungan dan Percepatan ................................................................... 2.7 Rotasi Kurva .................................................................................................. 2.8 Rangkuman ................................................................................................... 2.9 Soal-Soal ........................................................................................................ 5 5 5 9 20 26 31 37 38 39 Aplikasi Matlab.indd 5 03/05/2017 10.59.04 vi Aplikasi Matlab untuk Matematika Teknik Bab 3 Geometri pada Ruang .............................................................. 3.1 Pendahuluan ................................................................................................. 3.2 Koordinat Cartesius dalam Ruang Dimensi Tiga .................................... 3.3 Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga ............................................................ 3.4 Hasil Kali Silang ............................................................................................ 3.5 Garis dan Kurva dalam Ruang Dimensi Tiga ........................................... 3.6 Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan ............................................... 3.7 Permukaan dalam Ruang Dimensi Tiga ................................................... 3.8 Koordinat Cartesius, Tabung dan Koordinat Bola ................................... 3.9 Gerak Revolusi Permukaan ......................................................................... 3.10 Rangkuman ................................................................................................... 3.11 Soal-Soal ........................................................................................................ 43 43 43 46 55 56 65 80 88 93 99 99 Bab 4 Turunan ....................................................................................... 4.1 Pendahuluan ................................................................................................. 4.2 Fungsi Dua Peubah atau Lebih ................................................................... 4.3 Turunan ......................................................................................................... 4.4 Aturan Pencarian Turunan ......................................................................... 4.5 Turunan Parsial ............................................................................................. 4.6 Gradien .......................................................................................................... 4.7 Aturan Rantai ................................................................................................ 4.8 Maksimum dan Minimum .......................................................................... 4.9 Rangkuman ................................................................................................... 4.10 Soal-Soal ........................................................................................................ 107 107 107 109 110 113 117 119 121 126 126 Bab 5 Integral ....................................................................................... 5.1 Pendahuluan ................................................................................................. 5.2 Integral ........................................................................................................... 5.3 Integral Lipat Dua ........................................................................................ 5.4 Integral Lipat Tiga ......................................................................................... 5.5 Rangkuman .................................................................................................... 5.6 Soal-Soal ........................................................................................................ 129 129 129 136 139 141 141 Bab 6 Polinomial ................................................................................... 6.1 Pendahuluan ................................................................................................. 6.2 Representasi Polinomial dengan Matlab ................................................... 6.3 Akar-Akar Polinomial ................................................................................. 6.4 Karakteristik Polinomial ............................................................................. 6.5 Evaluasi Polinomial ...................................................................................... 6.6 Perkalian Polinomial .................................................................................... 6.7 Turunan Polinomial ..................................................................................... 145 145 146 146 148 149 155 156 Aplikasi Matlab.indd 6 03/05/2017 10.59.04 vii Daftar Isi 6.7 Pencocokan Kurva Polinomial ................................................................... 6.8 Polinomial Rasional ..................................................................................... 6.9 Pencarian Akar-akar Polinomial ................................................................ 6.10 Rangkuman .................................................................................................... 6.11 Soal-Soal ........................................................................................................ 160 162 164 165 166 Bab 7 Matrik .......................................................................................... 7.1 Pendahuluan ................................................................................................. 7.2 Matrik ............................................................................................................ 7.3 Penjumlahan Matrik .................................................................................... 7.4 Perkalian Matrik ........................................................................................... 7.5 Transpose Matrik .......................................................................................... 7.6 Rank Matrik .................................................................................................. 7.7 Invers Matrik ................................................................................................. 7.8 Determinan Matrik ...................................................................................... 7.9 Sistem Persamaan Linier ............................................................................. 7.10 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ...................................................................... 7.11 Fungsi-Fungsi Penghasil Matrik ................................................................. 7.12 Rangkuman .................................................................................................... 7.13 Soal-Soal ........................................................................................................ 171 171 171 174 176 179 182 184 186 187 189 191 199 199 Bab 8 Persamaan Linear Diferensial .................................................. 8.1 Pendahuluan ................................................................................................. 8.2 Persamaan Linear Diferensial ..................................................................... 8.3 Persamaan Linear Diferensial Orde Satu .................................................. 8.4 Persamaan Linear Diferensial Orde Dua ................................................... 8.5 Persamaan Linear Diferensial OrdeTinggi ................................................ 8.6 Rangkuman .................................................................................................... 8.7 Soal-Soal ........................................................................................................ 203 203 203 204 206 212 214 214 Glosarium ................................................................................................. 217 Daftar Pustaka.......................................................................................... 219 Indeks .... .................................................................................................. 221 Aplikasi Matlab.indd 7 03/05/2017 10.59.04 viii Aplikasi Matlab untuk Matematika Teknik Daftar Gambar Gambar 2.1 Gambar 2.2. Gambar 2.3. Gambar 2.4. Gambar 2.5. Gambar 2.6. Gambar 2.7. Gambar 2.8. Gambar 2.9. Gambar 2.10. Gambar 2.11. Gambar 3.1. Gambar 3.2. Gambar 3.3. Gambar 3.4. Gambar 3.5. Gambar 3.6. Gambar 3.7. Gambar 3.8. Gambar 3.9. Gambar 3.10. Aplikasi Matlab.indd 8 Representasi Vektor ................................................................................... Representasi Vektor Persamaan (2.1) dan (2.2) ..................................... Representasi Vektor Persamaan (2.3) dan (2.4) ..................................... Kurva Perubahan X dan Y terhadap t ..................................................... Kurva Elips Persamaan (2.9) dan (2.10) ................................................. Kurva Elips Persamaan (2.11) dan (2.12) ............................................... Kurva Elips Persamaan (2.11) dan (2.12) ............................................... Kurva Elips Persamaan (2.11) dan (2.12) ............................................... Kurva Sikloid Dengan Persamaan (2.13) dan (8214)............................ Representasi Segitiga ABC ....................................................................... Grafik Elips Dengan Rotasi 45 Derjat .................................................... Grafik 3 Dimensi 2 Titik ........................................................................... Grafik 3 Dimensi 5 Titik ........................................................................... Vektor u ....................................................................................................... Vektor v ....................................................................................................... Vektor w ...................................................................................................... Vektor r........................................................................................................ Vektor u ....................................................................................................... Vektor v ....................................................................................................... Vektor w ...................................................................................................... Vektor r........................................................................................................ 6 7 9 10 11 13 14 15 16 25 38 44 45 48 48 49 49 51 51 52 52 03/05/2017 10.59.04 ix Daftar Gambar Gambar 3.11. Gambar 3.12. Gambar 3.13. Gambar 3.14. Gambar 3.15. Gambar 3.16. Gambar 3.17. Gambar 3.18. Gambar 3.19. Gambar 3.20. Gambar 3.21. Gambar 3.22. Gambar 3.23. Gambar 3.24. Gambar 3.25. Gambar 3.26. Gambar 3.27. Gambar 3.28. Gambar 3.29. Gambar 3.30. Gambar 3.31. Gambar 4.1. Gambar 4.2. Gambar 4.3. Gambar 5.1. Gambar 6.1. Gambar 6.2. Aplikasi Matlab.indd 9 Representasi Segitiga ABC ....................................................................... Grafik 3 Dimensi Persamaan (3.39) s/d (3.41)....................................... Grafik 3 Dimensi Untuk Persamaan (3.45) s/d (3.47) .......................... Grafik 3 Dimensi Untuk Persamaan (3.58) s/d (3.60) .......................... Grafik 3 Dimensi Untuk Persamaan (3.61) dan (3.62) ......................... Grafik 3 Dimensi Untuk Persamaan (3.63) s/d (3.66) .......................... Grafik 3 Dimensi Untuk Persamaan (3.79) ............................................ Grafik 3 Dimensi Untuk Persamaan (3.113) .......................................... Grafik Permukaan Elipsoid ...................................................................... Grafik Permukaan Hiperboloid Lembar Satu ....................................... Grafik Permukaan Hiperboloid Lembar Dua ....................................... Grafik Permukaan Paraboloid Elips ....................................................... Grafik Permukaan Paraboloid Hiperbola .............................................. Grafik Permukaan Kerucut Elips ............................................................ Representasi Sistem Koordinat Cartesius .............................................. Representasi Sistem Koordinat Tabung ................................................. Representasi Sistem Koordinat Bola ...................................................... Grafik Persamaan (3.151) s/d (3.153) .................................................... Grafik Persamaan (3.154) ........................................................................ Grafik 3 Dimensi Persamaan (3.156) s/d (3.161) .................................. Grafik 3 Dimensi Persamaan (3.162) s/d (3.167) .................................. Grafik Persamaan (4.4) ............................................................................. Grafik Gradien Persamaan (4.50) ............................................................ Grafik Persamaan (4.69) ........................................................................... Hasil Perhitungan Integral Persamaan (5.6) Dengan Pendekatan Hampiran Integral ..................................................................................... Hasil Perbandingan Dengan Fungsi Polyval .......................................... Grafik Persamaan (6.44) .......................................................................... 53 57 58 60 61 63 66 79 81 83 84 85 86 88 88 88 89 95 96 97 99 108 119 126 132 162 165 03/05/2017 10.59.04 x Aplikasi Matlab untuk Matematika Teknik Daftar Tabel Tabel 6.1. Aplikasi Matlab.indd 10 Fungsi-Fungsi Matlab Untuk Polinomial ............................................... 145 03/05/2017 10.59.04 BAB 1 Tinjauan Umum 1.1 Penjelasan Umum Buku ini membahas tentang penggunaan perangkat lunak Matlab untuk membantu penyelesaian-penyelesaian matematika teknik. Pada saat ini komputer digital dan matematika telah mengubah cara menghitung dan menyelesaikan masalah dengan lebih cepat dan lebih efisen. Namun demikian peran manusia sebagai perumus kreatif harus dilakukan untuk membuat masalah menjadi sederhana dan bermanfaat. Matlab merupakan bahasa pemrograman yang hadir dengan fungsi dan karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang sudah ada lebih dahulu seperti Delphi, Basic, maupun C++. Matlab merupakan bahasa pemrograman level tinggi yang dikhususkan untuk kebutuhan komputasi teknis, visualisasi dan pemrograman seperti komputasi matematik, analisis data, pengembangan algoritma, simulasi dan pemodelan dan grafik-grafik perhitungan. Matlab hadir dengan membawa warna yang berbeda. Hal ini karena matlab membawa keistimewaan dalam fungsi-fungsi matematika, fisika, statistik, dan visualisasi. Matlab dikembangkan oleh MathWorks, yang pada awalnya dibuat untuk memberikan kemudahan mengakses data matrik pada proyek Linpack dan Eispack. Saat ini matlab memiliki ratusan fungsi yang dapat digunakan sebagai problem solver mulai dari simple sampai masalah-masalah yang kompleks dari berbagai disiplin ilmu. Secara garis besar pembahasan pada buku ini terdiri dari geometri pada bidang, geometri pada ruang, turunan, integral, persamaan polinomial, matrik dan persamaan linear diferensial. Aplikasi Matlab.indd 1 03/05/2017 10.59.04 2 1.2 Aplikasi Matlab untuk Matematika Teknik Tujuan Setelah membaca dan mempelajari buku ini diharapkan pembaca dapat menyelesaikan perhitungan-perhitungan matematika teknik dengan bantuan perangkat lunak Matlab. 1.3 Buku Penunjang Adapun buku penunjang yang bisa digunakan adalah a. Purcel, E, 2003, Kalkulus, Jakarta : Erlangga . b. R.H Sianipar, 2015, Pemograman Matlab Dalam Contoh dan Penerapan, edisi 1, Bandung: Informatika. 1.4 Gambaran Umum Buku ini terdiri dari 8 Bab. Antara satu bab dengan bab lain merupakan satu kesatuan rangkaian pembahasan yang utuh. Bab I membahas tentang buku ini secara umum. Beberapa informasi dalam bab I ini akan membuat pembaca mengerti tujuan dari penulisan buku ini. Bab II membicarakan geometri pada bidang. Materi yang dibahas meliputi vektor pada bidang dengan pendekatan secara geometri, vektor pada bidang dengan pendekatan secara aljabar, fungsi bernilai vektor dan gerak sepanjang kurva serta kelengkungan dan percepatan. Bagian ini akan diakhiri dengan soal-soal latihan. Bab III diawali dengan membahas geometri pada ruang. Materi yang dibahas tentang koordinat cartesius dalam ruang dimensi tiga, vektor dalam ruang dimensi tiga, hasil kali silang, grafik dan kurva dalam dimensi tiga, kecepatan, percepatan dan kelengkungan, permukaan dalam ruang dimensi tiga, koordinat tabung dan koordinat bola. Bab IV membahas turunan. Materi yang dibahas fungsi dua peubah atau lebih, turunan, aturan pencarian turunan, turunan kosinus, aturan rantai, turunan parsial, gradien, maksimum dan minimum. Bab V mendiskusikan tentang integral. Materi yang dibahas meliputi integral, integral lipat dua dan integral lipat tiga. Bab VI diawali dengan persamaan polinomial. Materi yang dibahas meliputi representasi polinomial dengan matlab, akar-akar polinomial, karakteristik polinomial, evaluasi polinomial, perkalian polinomial, turunan polinomial, polinomial rasional dan pencarian akar-akar polinomial. Bab VII menjelaskan matrik. Materi yang dibahas meliputi matrik, penjumlahan matrik, perkalian matrik, transpose matrik, rank matrik, invers matrik, determinan matrik, sistem persamaan linier, nilai eigen dan vektor eigen dan fungsi-fungsi penghasil Matrik. Aplikasi Matlab.indd 2 03/05/2017 10.59.04 Bab 1: Tinjauan Umum 3 Bab VIII mendiskusikan persamaan linear diferensial. Persamaan linear diferensial yang dibahas meliputi persamaan diferensial orde satu, orde dua dan orde tinggi dan contoh penyelesaian persamaan linear diferensial dengan menggunakan Matlab. Aplikasi Matlab.indd 3 03/05/2017 10.59.04 4 Aplikasi Matlab.indd 4 Aplikasi Matlab untuk Matematika Teknik 03/05/2017 10.59.04