FENOMENOS DE TRANSPORTE. BIRD

;! * :. : FENÓMENOS DE TRANSPORTE -- -, r --~- -- -- ‘,: : : ;,. j J : ; TFOOT R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LI d +,;- Departamento _ :. ,I. . . ,... -DE de Ingeniería Química,,de ,) . ._ . ; I. . ,i ,’ *’ . la Universidad de W iscon$p,:.$ -1’. .... *, ,: ’‘. <a ’ .’ TRANSPORTE UN ESTUDIO SISTEMÁTKO DE LOS FUNDAMENTOS DEL TRANSPORTE DE MATERIA, ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ediciones REPLA, s. a. 30. cìe Cestf:cacitin So. de Adquisici&No. tie Ejemplar06 Titulo de la obra origine1 TRANSPORT PH EN OM EN A uf#fERSIDAl.l DE GUADALAIARA U~\DAD DE BIBLIOTECAS Editada por John Wiley Et Sons, Inc., Nueva York Versidn espatYola CU CEI por el Prof. Dr. Fidel Mato Vhzquez, Catedrático de Química Técnica de la Universidad de Salamanca Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ. S. A. Encarnación, 86. . Barcelona (24) --Y No. ADQUISICION CLASIFICAClON ?,\CTURA . 21836 . -..-.- -..-- __ . . ..__..... . . . . . . -. . . . . . . . .----.-.--. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..~~.*...“....--..---....--~ . ‘WI-IA .................................... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v. ............-..... . . . . . . . . . . . ...-.....e...... - Reservados todos los derechos. Nipauna parte del material cubierto por este titulo de propiedad literaria puede ser reproducida, almacenada en un sistema de ìnformClt¡ca o transmitida de cualquier forma o por cualquier medio electrónico, mec&nico, fotocopia, grabación u otros métodos sin el previo y expreso permiso por escrito del editor. Derechos reservados: 0 1992 Editorial Reverté, S.A., Barcelona, Espafia. 0 1987 Ediciones Repla, S.A. General Francisco Murguía 7 06170 México, D.F. ISBN 969-616502-9 ISBN 84-291-7060-2 Impreso en México (Editorial Rever-té, S.A.) Printed in Mexico PR6LOGO En este libro se intenta presentar una introducción al tema de los fenómenos de transporte para estudiantes de ingeniería y ciencia aplicada, mediante el estudio del transporte de cantidad de movimiento (flujo viscoso), transporte de energía (conducción del calor, convección y radiación), y transporte de materia (difusión). Se considera siempre que los medios en los que tienen lugar los fenómenos de transporte son continuos, y apenas si se hace referencia a la explicación molecular de los procesos. Tal tratamiento a base de un medio continuo presenta un interés más inmediato para los estudiantes de ingeniería, pero es preciso tener en cuenta, sin embargo, que ambos puntos de vista (continuo y molecular) son necesarios para adquirir un completo dominio del tema. Es evidente que se hacía notar la necesidad de un libro de este tipo, puesto que en la enseñanza ingenieril existe un interés creciente por el c,onocimiento de los principios físicos fundamentales, e.,* vez de la utilización de un ciego empirismo. La ihateha objeto de estudio es sin iuda lo suficientemente básica como para abarcar diversas disciplinas clásicas. Indudablemente nos ha guiado en nuestro propósito el convencimiento de que el tema de los fenómenos de transporte, al igual que la termodinámica, la mecánica y el electromagnetismo, constituyen una de las claves de las «ciencias ingenieriles». Bien sabido es que el conocimiento de las leyes básicas del transporte de cantidad de movimiento, energía y materia, es importante, si no indispensable, en el análisis ingenieril; por otra parte, el contenido de este libro puede resultar también interesante para los que se dedican a química física, física del suelo, meteorología y biología. Reconociendo que el tema de los fenómenos de transporte no ha sido considerado hasta ahora como una materia con personalidad propia, nos ha parecido oportuno informar al lector acerca de la forma en que se ha organizado el material. Optamos, después de estudiar diversos métodos de clasificación en colaboración con nuestros colegas de departamento, por seguir el esquema que se indica en la Tabla 1. En dicha tabla se puede apreciar que a cada tema se le ha asignado una casilla, siguiendo una ordenación bidimensional, con el fin de hacer resaltar la relación con los demás temas pertenecientes a la misma fila o columna. Según esto, la división del material en columnas, tituladas transporte de cantidad de movimiento, energía y materia, da lugar a un método de clasificación basado en el ente que se transporta. También es posible adoptar otra forma de clasificación, siguiendo las distintas filas, basada en el tipo de transporte que tiene lugar. A la vista de este ! r.- < [ esquema reat$a evideate‘que se puede organizar un curso de fenómenos de trans; porte en cuaJquiera de éstas dos formas: siguiendo las columnas (Capítulos 1, 2, 3, : ; 4, 5, etc.), o las filas (CapItulos 1, 8, 16, 2, 9, 17, 3, etc.). De hecho, el material del libro esti ordenado de tal forma que puede utilizarse uno u otro metodo. El metodo de las ~~~olumna;3» es probablemente más conveniente para principiantes, mientras -que para .ëstudiantes adelantados resulta más adecuado el de las «filas». Dentro de icada capítulo se presentan algunos ejemplos que sirven para ilustrar la utilización de diversas técnicas o proceder a una ampliación del texto. Inmediatamente después de cada capítulo se propone una serie de cuestiones para discutir, cuyo objeto es considerar el tema desde distintos puntos de vista; los problemas que aparecen al final de los capítulos se han agrupado en cuatro clases (representadas mediante un subíndice colocado a continuación del numero del problema): Clase 1: Problemas consistentes en una aplicación numérica directa de fórmulas del texto. Clase 2: Problemas que requieren un análisis elemental de las situaciones físicas, basado en la materia expuesta en el capítulo considerado. Clase 3: Problemas que requieren un análisis algo más elaborado, siendo a veces preciso utilizar información procedente de varios capítulos, o materia que no se trata específicamente en el texto. Clase 4: Problemas que requieren un análisis matemático en el que intervienen funciones de Bessel, ecuaciones entre derivadas parciales, transformaciones de Laplace, variable compleja y análisis tensorial. Ciertamente que en ninguno de los problemas de las tres primeras clases ‘es preciso un conocimiento matemático más allá de las ecuaciones diferenciales ordinarias y resultan adecuados para un curso de iniciación. Aun para un curso de este tipo es evidente que se puede utilizar más material del libro. De acuerdo con esto y en un intento de servir de guía a los profesores de fenómenos de transporte, se señalan con un asterisco (*) aquellas secciones que resultan adecuadas para exponer en un curso dedicado a estudiantes no graduados. Otras cuestiones que se abordan en el libro resultarán útiles a los estudiantes adelantados y servirán, además, para indicar a los no graduados que los «límites del curso» no coinciden con los «límites del tema». A lo largo del texto se sigue una notación uniforme y al final se incluye una tabla de la misma. Ocurre, sin embargo, que desgraciadamente no es posible adoptar una notación que esté de acuerdo con la que utilizan todos los lectores, ya que el tema comprende diversos campos que se han desarrollado independientemente. A este respecto conviene aclarar que nuestra notación representa un término medio entre la utilizada por los físicos y los ingenieros. Ha sido en 1957 cuando, después de una meditada deliberación, el Departamento de Ingeniería Química de la Universidad de Wisconsin decidió inaugurar un cucso semestral sobre fenbsnenos de transporte. Ocurrió entonces que, al no dis- TABLA 1. DIAGRAMA ESQUEMhCO DE LA ORGANIZACIdN DE LOS FENÓMENOS DE TRANSPORTE Ente transportado -+ ripo de transporte 1 nUNSPORTB DEBI DO AL. Cantidad de movimiento 1 . vIscoslDAo Energia / p 8 . LezdydNewton de la visco- rMNnPoRnl VariacMn de I< con la temperaruta, pnsibn y canposición. Teorla cinética de fi 2. BALANCES DE CANTIDAD 9 . btOLEC!ULAR EN I L”,0 LAM I N AR 0 BN SbLIDOS. EN UNA DtstlWSl6N TMNSPClltTE EN UN M E D I O CONTINUO ARRt lRAN O TMNSFORTE EN FL”,0 L,MtNAR 0 BN SÓLIDCC, CON DO.9 VAIWLE-S INDBPENDIENIW TRANSPORlT EN FLUJO M RU LEN m PerAles de velocidad Velocidad media Densidad de $j,o de cantipkttovlmtento en suCdN (tSOThU.tICAS) Ecuaci6n ItNTIBDDa FASES de continuidad EzuacMn de continuidad E c u a c i ó n d e ~ovii$ento ;;aadcyveccm hbre y Ecuaci6n d e cnergia (isot6rmica) 4. ïMNSPOttTB DE CANTIDAD DE MOVtMtENTO CON Ecuaci6n d e eneraía (no isottmica) ll. TRANSFORTI D E ENER- Ch CON DOS VARIABLES DOS VARIABLE3 INDWLNDIENTES INDEPENDIENTES Flujo viscoso en estado no estacionario Flujo viscoso bidimensional Variación degA# conla (cm, peratura, presión y composición. Teorla cinCica d o BA, 17. BALAN CES DE M~ZRIA APLtCADOS A U N A ENVOLTOM Perfiles de conccntraci6n Concentración media Densidad de Sujo de materia eo supe&ies. Conducci6n del calor en &tado no estacionario Cqnducción del calor en Bu- Ecuaci6n de continuidad para cada especie EcuacMn de movimiento p a r a convecci6n libre y forzada Ecuación de cnergia (varios componentes) 19. TRANSFORTS DE MATERIA CON DOS VARIABLES INDEPENDIENTES Difusión en estado no estacionario Difusi6n en flujo ~iscos0. C~~d~$%~ bidimensional Dif$do, bidimensional en Flojo bidimensional ideal del calor en sblidos Transporte de cantidaddemo- Transporte de cnergla de caTransporte de materia de capa limite vimiC.nQ d e c a p a limite pa limite 12 T RANSPORTE T U RBU LEN T O 20. T RAN SPORT E TURLWLENT~ s. TRANSPDRTE -I”I.“LENTO DB CANTIDAD D I MOVIM I rw m Ajust e de tiempo de las ecua- DB MATERIA D E ENEROíA Ajuste de tiempo de las ecuaciones de variación Co;z;th;dad calorifica de Ajuste de ticmpo,de,hs ecoaciones d e vanacr6n Difuwidad de remolino Pc$I;I, turbulentos de velo- Perfiles turbulentos de temPerfiles turbulentos de conoentracdn peratura -. DE ENEIb 21. TRANSPORTE DE MA’tE6 . TMNSPORTE DO CANTI- 13. -,kM,SFOttTE DAD DE MWIMIENTO TERFWB Factor de fricci6n DE IN- f adimensiona- TRANSPORTB o h DB mTERF* sE Los m im e ros se refieren 0 los del libro P 7. BM,,+N~ES ,,IA tN3 INTERFASE Co&&ote de transmisidn Coeficiente de transferencia d e mamria k+, de cal?r h Correlaciones .adir?ensionaCO~~WXXWS .adlFosiooales (convcccdn hbre y for, ;~d~yrweccdn libre y forzada) 14. TRANSPORTE DE ENIRO h RADtANTE capitulos T RAN SPORT E E N SWTOMW D E FL”,0 ORANDFS 94 B ley de Fick de la difusión 1 0 . E CU A CIONES D E VARL& ~-18. ECUACIONES D P V ARI AC16N (N O IWThtMtCAS) CdN (VAttIOS COMPONENTES) Ecuación de movimiento C;;~laciones POR M DlACl6 N BALAN - D B ENERO~A ApLt CADc X A UNA ENVOLTtmA Perhles de temperatura Temperatura media Densidad de Rujo de .enerpla cn superf~cieí. V ARI A - ciottes d e variaci6n Viscosidad de remolino TRANSPORTE 16. DWUSWIDA~ k Ley de. Fourier d e l a conducclbn del calor Variación de k con la temperatura, pmi6n y composici6n. Taorla cím?tica d e k De M0”tMIENT0 APLICADOS A “N A EN”OLfcIII* 3. E CU ACI ON ES DE coNDucrtvrDAn CALOR~FEA btcwIMtttNm Materia L.a,y$ Planck do la radia- Ley d; Stefan-Boltzmann Problemas geombtricos Radiaci6n a través de medios absorbentes Este libro se puede rstudiar siguiendo las «cobmna~w 0 las «J?las» Balance de materia Balance de materia 15. BALANCES ruc~o~c6~1cos ( N O tSOThtMICOS~ 22. BALAN C= M * c lr~ pI ~ (VARIOS COMFONENTU) Balancc de cantidad de movimiento Balance de energía mechica (ecuacidn de Bernoulli) Balance de cantidad de movimiento Ba;;zae energia mecánica Ba;;zaF eoM#a me&h M ACRDSC~PEOS (IsoT8RMICos) B a l a n c e tk matcha para cada especie Ba;;;znf; cantidad deme- VIII PRóLOGO poner de texto, se prepararon unas notas a multicopista para los estudiantes, y en el otoño de 1958 se publicaron bajo el título de Notes on Transport Phenomena. Utilizadas también estas notas por otras universidades, nos hemos beneficiado enormemente de los comentarios que nos han enviado estudiantes y profesores. Genéricamente, este libro es el resultado de una revisión exhaustiva de las Notes on Transport Phenomena. El texto se ha redactado de nuevo, se han reorganizado totalmente algunos capítulos y se han añadido muchos problemas y ejemplos. Numerosos han sido los cambios introducidos, la mayor parte de los cuales obedecen a un intento de proporcionar un texto más asequible a los estudiantes no iniciados. Madison, Wisconsin R. BYRON BIRD WARREN E. STEWART EDWIN N. LIGHTIOOT AGRADECIMIENTOS A la realización de este libro han contribuido directa o indirectamente muchas personas, algunas de tas cuales queremos mencionar especialmente: Nuestro agradecimiento al Profesor 0. A. Hougen y al Decano W. R. Marshall, Jr., de la Universidad de Wisconsin, por su perseverante interés en el campo de los fenómenos de transporte y su entusiasmo por incrementar la enseñanza de esta materia. El Profesor R. A. Ragatz, Chairman del Departamento de Ingeniería Química de la Universidad de Wisconsin, nos ha ayudado en la resolución de los problemas administrativos inherentes a la introducción de este curso1 en el nuevo plan de estudios de ingeniería química, y nos ha permitido disponer de algún tiempo adicional para la preparación del manuscrito. Nuestros colegas, los Profesores R. J. Altpeter, C. C. Watson, W. K. Neill y E. J. Crosby, que han colaborado con nosotros en el desarrollo, del curso sobre fenómenos de transporte para estudiantes no graduados, nos han proporcionado sugerencias muy valiosas. El Profesor J. E. Powers y sus alumnos de la Universidad de Oklahoma, así como el Profesor J. Dranoff y sus alumnos de la Northwestern University nos han enviado detalladas revisiones de las Notes on Transport Phenomena. El Profesor Eric Weger (Johns Hopkins University) y el Profesor K. M. Watson (Illinois Institute of Technology) nos han brindado también sus comentarios acerca de su experiencia en la enseñanza con las Notes on Transport Phenomena. Muchos de nuestros estudiantes han leído ciertos capítulos del manuscrito de este libro y han contribuido a la exactitud del texto final: Donald R. Woods, Allyn J. Ziegenhageh, David 0. Edwards, Paul F. Korbach, Donald W. McEachern, Rosendo J. Sánchez Palma, James P. Hutchins, Raffi M. Turian, Davis W. Hubbard, Boudewijn van Nederveen, Willam A. Hunt, John P. Lawler. Por otra parte, los siguientes estudiantes han comprobado los enunciados y soluciones de todos los problemas de las Clases 1 y 2: Vipin D. Shah, Thomas J. Sadowski, Richard H. Weaver, Gary F. Kuether. Los Profesores J. 0. Hirschfelder y C. F. Curtiss de la Universidad de Wisconsin, con quienes hemos mantenido una agradable relación durante muchos años, han orientado nuestro departamento de ingeniería química hacia el tema de los fenómenos de transporte, con la introducción hace unos diez años de un curso de fenómenos de transporte para estudiantes graduados. En cierto modo, el curso actual desciende directamente del suyo. El Profesor H. Kramers (Technische Hogeschool. Delft, Holanda), preparó en 1956 unas notas de clase tituladas Pltysisclle T~nn.~l>o,t,v~sclt~jttselen, que representan el primer intento que conocemos acerca de la enseñanza de fenómenos de transporte a estudiantes de ingeniería. Uno de nosotros (R. B. Bird) ha tenido el placer de pasar un semestre en el laboratorio del Profesor Kramers como Fulbright Lecturer y Guggenheim Fellow, durante el cual se ha beneficiado mucho de las discusiones sobre la enseñanza de los fenómenos de transporte. La señorita Jeanne 0. Lippert merece nuestro mejor agradecimiento por haber mecanografiado la mayor parte del manuscrito y algunas de sus partes varias veces. También estamos en deuda con Mr. Stuart E. Schreiber por su incansable esfuerzo en la copia y disposición del conjunto original de notas. Finalmente, deseamos agradecer a la señorita Ellen Gunderson la asistencia que nos ha prestado en la preparación del manuscrito. K. B. B. W. E. S. E. N. L. fNDICE GENERAL P RIMERA P ARTE. TRAN S P ORTE DE CAN TIDAD DE MOVIMIEN TO capítulo 1. *g1.1. *51.2. *g1.3. 51.4. g1.5. Viscosidad y mecanismo del transporte de cantidad de movimiento.. . . Ley de Newton de la viscosidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 1 .l- 1. Cálculo de la densidad de flujo de cantidad de movimiento, 1-7 Fluidos no-newtonianos . . . . . . . . . . ..*...*...................*...... Influencia de la presih y la temperatura sobre la viscosidad.. . . . . . . . . . . *Ejemplo 1.3-1. Estimación de la vkcosidad a partir de Iás propiedades críticas, 1 - 19 *Ejemplo 1.3-2. Efecto de la presión sobre la viscosidad de los gases, 1-19 Teoría de la viscosidad de los gases a baja densidad. . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 1.4-1. Cálculo de la viscosidad de un gas a baja densidad, 1-25 Ejemplo 1.4-2. Predicción de la viscosidad de una mezclagaseosa a baja densidad, 1-26 Teoría de la viscosidad de los líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 1.5-1. Estimación de la viscosidad de un liquido puro, 1-30 Capítulo 2. “$2.1. * 52.2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Balances envolventes de cantidad de movimiento: condiciones limite.. Flujo de una película descendente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 2.2-1. Cdlculo de la velocidad de pelicula, 2-8 Ejemplo 2.2-2. Pelicula descendente con viscosidad variable, 2-9 * 82.3. Flujo, a travks de un tubo circular.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . *Ejemplo 2.3-1. Determinación de la viscosidad a partir de datos de flujo en un capilar, 2-15 Ejemplo 2.3-2. Flujo de Bingham en un tubo capilar, 2-16 * 42.4. Flujo a travks de una secció’n de corona circular.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$2.5. Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * $2.6. Flujo reptante alrededor de una esfera sólida. . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *EjempI 2.6-1. Determinación de la viscosidad a partir de la velocidad jinal de caida de una esfera, 2-28 Capítulo 3. *93.1. *$3.2. 93.3. * $3.4. Las ewaciones de variacih para sistemas ísotérmicos.. . . . . . . . . . . . . . . . La ecuación de continuidad.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La ecuación de movimiento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La ecuacih de energía mecánica.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las ecuaciones de variación en coordenadas curvilíneas.. . . . . . . . . . . . . 1-3 1-3 1-10 1-16 1-20 1-27 2-1 2-2 2-4 2-10 2-18 2-22 2-25 3-1 ::5 3-12 3-13 I XII iNDICE GENERAL *å3.5. 83.6. *83.7. Capítulo 4. *#4.1. $4.2. $54.3. $4.4. Caphdo Utilización de las ecuaciones de variación para el planteamiento de problemas de flujo estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 3.5-1. Flujo tangericial de un jluido newtoniano en tubos conchtricos, 3-25 *Ejemplo 3.5-2. Forma de la superficie de un líquido que gira, 3-28 Ejemplo 3.5-3. Relaciones del par y distribución de velocidad en el viscosímetro de plato y cono, 3-30 Las ecuaciones de variación para flujo no-newtoniano incompresible . . Ejemplo 3.6-1. Flujo tangencial de un plístico de Bingham en rubos concéntricos, 3-35 Ejemplo 3.6-2. Componentes del tensor de densidad de,j?njo de cantirlod de movimiento, para el flujo radial no-newtoniano entre! dos discos paralelos, 3-38 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación.. . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 3.7-1. Prediccidn de la profundidod del vdrtice en un tanque agitado, 3-40 Distríbucionea de velocidad coa m6s de mu variable indepemlieate . . . . . . . . Flujo viscoso no estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 4.1-1. Flujo en las proximidades de una pared que se pone súbitamente en movimiento, 4-2 Ejemplo 4.1-2. Flujo laminar no estacionario, en un tubo circular, 4-4 Flujo viscoso estacionario con dos componentes de la velocidad que no desaparecen: la función de corriente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 4.2-1. «Flujo reptante» alrededor de una edfera, 4- 10 Flujo potencial bidimensional en estado estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 4.3-1. Flujo alrededor de un cilindro, 4-14 Ejemplo 4.3-2. Flujo en un canal rectangular, 4-16 Teoría de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 4.4-1. Flujo en las proximidades de una pared que se pone bruscamente en movimiento, 4-19 Ejemplo 4.4-2. Flujo en las inmediaciones del borde dc ataque de una ldmina plana, 4-21 5. Distribucih de velocidad ea flujo turbulento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *#Ll. Fluctuaciones y magnitudes de tiempo ajustado.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *05.2. Ajuste de tiempo de las ecuaciones de variación para un fluido incom: presible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *$5.3. Expresiones semfempíricas para los esfuerzos de Reynolds.. . . . . . . . . . . *Ejemplo 5.3-1. Deduccidn de la ley de distribución logaritmica para el flujo en un tubo (lejos de la pared), 5-10 *Ejemplo 5.3-2. Distribucidn de velocidad para el flujo en un tubo (cerca de la pared), S-II *Ejemplo 5.3-3. Valor relativo de la viscosidad molecular y la viscosidad de remolino, 5-13 $5.4. El tensor de correlaci6n de segundo orden y su propagación (la ecuación de von Karmán-Howarth) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 5.4-1. Calda de turbulencia detrás de una rejilla, 5-2i Capitulo 6. Txansporte de interfase en sistemas isothdcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *$6.1. Definición de factores de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . :. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-23 3-33 3-38 4-1 4-1 4-8 4-12 4-19 5-1 5-2 :: 5-14 6-1 6-2 INDFCE *$6.2. 96.3. $6 . 4 . Capítulo 7. *57.1. * $7.2. *57.3. *g7.4. *57.5. 17.6. GENERAL Factores de fricci6n para el flujo en tubos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 6.2-1. Diferencia de presidn necesaria para una determinada velocidad de flujo, 6-9 *Ejemplo 6:2-2. Velocidad de flujo para una determinada diferencia de presión, 6-10 Factores de fricci6n para el flujo alrededor de esferas.. . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 6.3-1. Determinación del didmetro de una esfera descendente, 6-16 Factores de fricción para columnas de relleno.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Balances macrosc6picos en sistemas isot&nlicos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Balance macrosc6pico de miiteria.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Balance macroscbpico de cantidad de movimiento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Balance macrosc6pico de energía mecinica (ecuación de Bernoulli). . . . Ejemplo 7.3-1. Deduccidn del balance de energía mecánica para flujo estacionario incompresible, 7-6 Estimación de las pérdidas por friccih.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 7.4-1. Potencia necesaria para el&o en urw conduccidn. 7-11 Utilización de los balances macroscópicos para el planteamiento de problemas de flujo estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 7.5-1. Aumento de presidn y perdidas por friccidn en un ensanchamiento brusco, 7-12 *Ejemplo 7.5-2. Eficacia de un eyector liquido-liquido, 7-14 *Ejemplo 7.5-3. Fuerza que actua sobre la curvatura de una tuberta, 7-16 ‘Ejemplo 75-4. Flujo isotermico de un liquido a travis de un orificio, 7-18 Ijtiliïacih de los balances macro&picos para plantear problemas de flujo no estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 7.6-1. Tiempo de vertido para el flujo en un embudo, 7-20 Ejemplo 7.6-2. Oscilaciones de un mamimetro amortiguado, 7-23 XIII 6-3 6-11 6-17 7-1 7-2 7-3 7-4 7-7 7-12 7-20 S EGUN DA P ARTE. TRAN S P ORTE DE ENERGfA Capítulo 8. Conductividad calorífica y mecanhno del transporte de eae&. , . . . . . . . . *5811. Ley de Fourier de la conducción del calor.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 8.1-1. Medida de la conductividad calorijka. 8-8 ‘$8.2. Variación de la conductividad calorífica de gases y líquidos con la tempe..*........................................ ratura y la presión . *Ejemplo 8.2-1. @¿cto de la presion sobre la conductividad calorífica, 8-12 $8.3. Teoría de la conductividad cal6rifica de los gases a baja densidad. . . . . . . Ejemplo 8.3-1. Cdlculo de la conductividad ca!ori$ca de un gas monoatomico a baja densidad, 8-19 Ejemplo 8.3-2. Estinwcidn de la conductivi&d calorifica de un gas poliatomico a baja densidad, 8-20 Ejemplo 8.3-3. Prediccidn de la conductividad calorífica a?s una mezcla gaseosa a baja densidad, 8-20 $8.4. Teoría de la conductividad calorífica de líquidos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 8.4-1. Prediccidn de la conductividad calorifica de un líquido, 8-23 88.5. Conductividad calortica de sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-3 8-3 8-10 8-14 8.21 8-23 XIV tNbICE GENERAL Capítulo 9. Distribuci6n de temperatura en sólidos y en el flujo laminar. . . . . . . . . . . . . . *gs.i. Balance de energía aplicado a una envoltura: condiciones límite.. . . . . * 59.2. Conducción del calor con un manantial calorífico de origen eléctrico.. *Ejemplo 9.2-1. Voltuje necesario para producir un determinado aumento de temperatura en un alambre calentado por una corriente electrica, 9-7 Ejemplo 9.2-2. Calentamiento electrice de un alambre en el que varian las conductividades calorifìca y elertrira con la temperatura, 9-8 $9.3. Conducción del calor con un manantial calorífico de origen nuclear.. . * 59.4. Conducción del calor con un manantial calorífico de origen viscoso.. . . . $9.5. Conducción del calor con manantial calorífico de origen químico.. . . . * 59.6. Conducción del calor a travh de paredes compuestas: suma de resistencias *I$emplo 9.6-1. Paredes cilindricas compuestas, 9-24 09.7. Conducción de calor en una aleta de enfriamiento.. . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 9.7-1. Error en la medida de un termopar, 9-29 * $9.8. Convección foBada............................................... +g9.9. Conveccibn libre.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Las ecuaciones de variación para sistemas no ísot&micos~ ............. Las ecuaciones de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La ecuación de energía en coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las ecuaciones de movimiento para convección forzada y convección libte en el flujo no isotkrmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *910.4. Resumen de las kuaciones de variación.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 910.5. Uso de las ecuaciones de variacibn en los problemas de transmisi6n de calor en estado estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 10.5-1. Flujo tangencial en tubos concéntricos con generación de calor de origen viscoso. 10-17 *Ejemplo 10.5-2. Flujo estacionurio de una película no isatérmica, 10-19 *Ejemplo 10.5-3. Enfriamiento por transpiracion, 10-20 Ejemplo 10.5-4. Transmisión de calor -por conveccidn libre desde una ldmina vertical, lo-23 Ejemvlo IO.S-S. Fluio comvresible unidimensional: gradientes de velo- cidad, temperatura-y preshk en una onda de choqueestacionaria, 10-26 *Ejemplo 10.5-6. Procesos adiabdticos sin fricción para un gas ideal, lo-30 *510.6. ArkliSis dimensional de las ecuaciones dé variackn.. . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 10.6-1. Transmisión de calor por convección forzada en un tanque agitado, 10-32 *Ejemplo 10.6-2. Temperatura de la superfcie de una espiral de calentamiento eléctrico, lo-34 capítulo 010.1. *g10.2. ‘010.3. l Capítulo ll. Distribuciones de temperatura con mh de una variable independiente. . . . *g11.1. Conducción no estacionaria del calor en sólidos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 1 I.i-i. Calentamiento de una lámina semiin$nita, ll-2 *Ejemplo II. 1-2. Calentamiento de una lámina finita, ll-3 ~ Ejemplo 11.1-3. Enfriamiento de una esfera qúe está en contacto con un fluido fuertemente agitado, ll-7 $11.2. Conduccibn del calor en estado estacionario para el flujo laminar de un fluido viscoso........................................,......... Ejemplo 11.2-1. Flujo laminar en un tubo con densidad de flujo de calor constante en la pared, 1 l-l 1 Ejemplo 11.2-2. Flujo laminar en un tubo ron densidad de flujo de calor constante en la pared: Solucidn asintótica para distanciaspequehas, ll-12 9-1 9-2 9-3 9-10 9-14 9-16 9-21 9-26 9-31 9-36 10-1 10-2 10-9 10-9 lo-13 10-13 lo-31 ll-l ll-l I ll-10 fNDICE GENERAL Flujo potencial bidimensional estacionario de calor en sblidos.. . . . . . . . Ejemplo 11.3-1. Distribución de temperatura en la pared, 1 l-l 5 811.4. Teoría de la capa límite.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 11.4-1. Transmisión de calor por convección forzaada en el flujo laminar a lo largo a!e una Idmina plana calentada, ll-16 $11.3 capítulo 12. *412.1. ‘$12.2. *$12.3. $12.4. Distribuciones de temperatura en flujo turbulento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fluctuaciones de temperatura y temperatura de tiempo ajustado.. . . . . Ajuste de tiempo de; la ecuación de energía.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expresiones semiempuicas para la.densidad de flujo turbulento de energía, *EjempIo 12.3-1. Perfiles de temperatura para el flujo turbulento estacionario en tubos circulares lisos, 12-6 La doble correlacibn de temperatura y su propagación: ecuación de Corrsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 12.4-1. Ecuación de decaimiento para la doble correlación de temperatura, 12-13 Capítulo 13. Transporte de interfase en sistemas no isothicos , . . . . . . . . , . . . , . . . . . . 1813.1. Definición del coeficiente de transmisión de calor.. . . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 13.1-1. Cdlculo de coeficientes de transmisidn de calor a partir de datos experimentales, 13-6 * $13.2. Coeficientes de transmisión de calor para convección forzada en tubos. . *Ejemplo 13.2-1. Diseño de un calentador tubular, 13-18 1913.3. Coeficiente de transmisión de calor oara convecci6n’forzada alrededor de 6bjetos sumergidos.. . . . . . . . . .: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.4. Coeficientes de transmisión de calor para convección forzada a trav6s de lechos de relteno............................................... *s13.5. Coeficientes de transmisión de calor para conveccibn libre.. . . . . . . . . . . *Ejemplo 13.5-1. Pérdida de calor por convección libre desde una tubería horizontal. 13-28 513.6. Coeficientes de transmisibn de calor para condensación de vapores puros sobre superficies sólidas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . &j;;io li3jd;l. Condensación de vapor de agua sobre una superficie ver, capítulo 14. *s14.1. *§14.2. *§14.3. ; *14.4. ‘14.5. Transporte de eaergia por radiación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El espectro de radiaci6n electromagnetica.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Absorción y emisión en superficies sólidas.. . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . Eey de distribucibn de Planck. ley de desplazamiento de Wien, y la ley de Stefan-Bohzmann.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 14.3-1. Temperatura y emisión de energia radiante delSol, 14-12 Radiación directa entre cuerpos negros en el vacío que estan a diferente ‘temperatura................................................... *Ejemplo 14.4-1. Estimación de la constante solar, 14-19 *Ejemplo. 14.4-2. Transmisión de energía radiante entre discos, 14-19 Radiación entre cuerpos no negros que están a distinta temperatura . . *Ejemplo 14.5-1. Escudos de radiacidn, 14-22 *Ejemplo 14.5-2. Pérdidas de calor por radiación y conveccidn libre en una tuberia horizontal, 14-24 Ejemplo 14.5-3. Convección y rudiación combinudas, 14-24 XV ll-14 ll-16 12-1 12-1 12-3 12-5 12-11 1 3 -1 1 3 - 2 13-8 13-20 13-24. 13-25 13-29 14-1 14-2 ,144 14-8 14-13 1 4 -2 0 XVI INDICE GENERAL $14.6. Transporte de en&ía iadiante en medios absorbentes.. . . . . . . . . _. . . _. Ejemplo 14.6-1. Absorción de un rayo de radkxidn monocromdtica, 14-27 lq-25 capítulo 15. ‘$15.1. *815.2. *&Y5.3. +g15.4. -ma~ piclxeosistemasno. .......... . ... ..... El balance macroscbpico de ene&. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : El balance macrosc6pico de energía mechica (Ecuación de Bernoulli). Resumen de los balances macroscópicos para fluidos puros.. . . . . . . . . . Utilización de los balances macroschpicos para la resolución de problanas de estado estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . *Ejemplo 15.4-1. Enfriamiento de un gas ideal, 15-8 *Ejemplo 15.4-2. Cambhíores de calor de corrientes parakhs y ea w ntracorriente, 15-11 *Ejemplo 15.4-3. Potencia necesaria para bombear un parido wmpresibk a través & una tube& de gramfes dimensiones, 15-13 Ejemplo 15.4-4. Mezclo de ah corrientes a¿ gases ideales, 15-15 *Ejemplo 15.4-5. Flujo tle jIuihs compresibles a través I ori#icios, 15-17 Utilización de los balancea macro.&picos para la resolución de problemas de estado no estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 15.5-1. Cakntamiento de un Ilquido en WI ta-nquc agItaa& 15-19 Ejempb 15.5-2. Operacidn ak un sistema sencillo dc control & temperatura, 15-22 Ejemplo 15.5-3. Expansidn libre de una carga de un pwdo wmpresib&, ls-1 15-2 :5$ 515.5. 15-8 15-19 1 5 -2 6 TERCERA PARTE. TRANSPORTE DE MA- Capítulo 16. Difusividad y m-0s del transporte de matería.. . . . . . . . . . . . . . . . . . *016.1. Definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo de materia...........................,.............................. Ejemplo 16.1-1. Relaciones entre las ah~.~Ia¿za¿s ak flujo mokues, 16-9 *#16.2. Ley de Fick de la difusión.. . . . . . . . . . . . _. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *$16.3. Variacibn de la difusividad con la presih y la temperatura.. . . . . . . . . *Ejemplo 16.3-1. Estimacidn de ka difwividad a baja ahsidad, 16-15 *Eiemolo 16.3-2. .&timaci&n de h difmividad a alta &nsi&d, 16-16 $16.4. Te&íã de la difusión ordinaria en ghes a baja densidad.. . . . . . . . . . . . Ejemplo 16.4-1. C&lculo de ha &fhsivi&d a baja &nsha¿ad, 16-21 016.5. Teoría de la difusión ordinaria en líquidos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q;~wI~~I~~~~ Estimacidn de ( difusividad para YM mezcla liquida > Caphlo 17. DistriWw de eolK!m~cl&l en s6lídos y em lhljo lamílmr.. . . . . . . . . . *017.1. Balances de materia aplicados a una envoltura: condiciones límite.. . . . . l $17.2. Difusibn a través de una película gaseosa estancada. . . . . . . . . . . . . . . . . *Ejemplo 17.2-1. Determinacidn ak In difusivihd, 17-8 Ejemplo 17.2-2. Difmidn a través a¿ una pelkth esférica no isot¿rmica, 1 7 -9 *$17.3. Difusión con reacción química heteroghea.. ........................ l l$jemplo 17.3-1. Difusidn con reacci&n heteroghea hta, 17-13 16-3 164 16-10 1 6 -1 3 1616 16-22 17-1 17-3 71-4 17-11 ‘_ c ,i” L f1DICE GENERAL ‘017.4. *917.5. 017.6. Difusibn con reacción química homogkra.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *E&mplo 17.Cf. Absorcidn dc un gascon reaccih quimica en un tasque agitado, 17-16. Difusi6n en una película líquida descendente: transferencia de materia por convecci&n forzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .: . . *Ejemplo I7.H. Absorcidn ak barbujas ascendentes de un,gas, 17-24 Difusi6n y reacción quhnica en el interior de un catalizador poroso: El «factor de eficacia». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . .:. . . . . . . . . . . XVII 17-14 17-20 Capítulo 18. Las eeuaeíones de varíaebh para dstenkas de varIas eomponamee *#18.1. +018.2. $18.3. 018.4. $18.5. *018.6. ....... Las ecuaciones de continuidad para una .mezcla binaria.. . . . . . >. . . . . . La ecuación de continuidad de A en coordenadas curvilíneas.. . . . . . . . Las ecuaciones de variacibn para sistemas de varios componentes en función de las densidades de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-. Las densidades de flujo para sistemas de varios componentes en funci6n de las propiedades de transporte................................ Utilización de las ecuaciones de variación para el planteamiento de problemas de difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4emplo 18.5-1. Transferencia simultdnea de calor y materia, 18-20 Ejemplo 18.5-2. Difusidn thmica. 18-22 Ejemplo. 18.5-3. Difusión dr presidn, 18-24 EjempIo 18.54. Difudn /orza&, 18-25 Ejemplo 18.5-5. Difruidn ordinaria en un sistema de tres componentes con reaccidn química heterogénea, 18-27 Analisis dimensional de las ecuaciones de variacibn para una mezcla isotérmica de dos fluidos.. . . . . . . . . . . . . . . :. . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . . , . . . *EJempI 18.6-1. Mezcla de j%ddos miscibles, HI-30 capítuIo 19. Distrlbuclonea de eonumlrací6n con mis de una variable btdepmdkate.. Difusión en eatado no estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 19.1-1. Evaporación en estado no estacionario, 19-3 Ejemplo 19.1-2. Difwidn en estado no estacionario con yeacción ak primer oraén, 19-7 Ejemplo 19.1-3. Absorcidn gaseosa con reaccidn química rdpti, 19-8, 019.2. Teoria de la capa limite: m6todo aproximado de von KBrmkn. . . . . . . Ejemplo 19.2-1. Evaporacidn en estado no estacionario en el seno ak una mezcka dt varios componentes, 19-11 &jemph 19.2-2. Difusidn y reaccidn química en el flujo laminar isothmico a lo kwgode una l&mitm phma soluble, 19-15 519-3. Teorla de Ia capa límite: soluciones exactas para transferencia simultanea de calor, materia y cantidad de movimiento.. . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . I$et$ooJ9.3-1. Cdlculo de *k veloci&ad dc transferencia dc materia, 519.1. capítulo 20. *g20.1. + 020.2. 020.3. Dm de ceneea- ea flujo twbuknto.. . . .<. . . . . . . . . . . :. . . Fluctuaciones de concentracir5n y la concetttraci6n de tiempo ajustado. Ajuste de tiempo de Ia ecuación de continuidad de A.. . . . . . . . . . . . . . Expresiones semiemphicas para Ia densidad de flujo turbulento de materia. Ejcnrplo 20.3-1. Per$les de concentracidn para elflujo tnrbulcnto en tubos circwáres lisos, 20-5 E/cmplo 20.3-2. Evaporach ak amoniaco en una columna de pared mo-, /ah 20-5 19-18 m-l 20-1 20-2 20-3 fNDICE GENER$ L La doble correlaci6n de concentración y su propagación: ecuaci6n de Corrsin............................................,:......... Capitulo 21. Transporte de interfase CII sistemas de varios componentes.. . . . . . . . . . . *821.1. Definicibn de coeficientes binarios de transferencia de materia en una sola fase.......................................................... *521.2. Corielaciones de coeficientes binarios de transferencia de Ínateria en una sola fase para bajas velocidades de transferencia de materia.. . : . . . *Ejemplo 21.271. Evaporacion de una gota que cae libremente, 21.14 ‘vEjemplo 21.2-2. El psicrometro de bulbo húmedo y sec<;, 21-15 *$21-3. Definicibn de coeficientes binarios de transferencia de materia en dos fases para bajas velocidades de transferencia de materia.. . . . . . . . . . . . . . . *821.4. Definición de los coeficientes de transferencia para elevadas velocidades de transferencia de materia.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . 021.5. Coeficientes’ de transferencia para elevadas velocidades de transferencia de materia: Teoria de película . . . . . . . ..*........................ Ejemplo 21.5-1. Evaporacidn r&pi& de un liquido puro, 21-33 Ejemplo 21.5-2. Utilizarion de factores de rorrecct&n en la evaporacián de una gotita, 21-34 Ejemplo 21.5-3. Comportamiento del bulbo húmedo a altas velocidades de transferencia de materia, 21-34 021.6. Coeficientes de transferencia para altas velocidades de transferencia ‘de materia: Teoría de penetrach.. . . . . . . . , . . . . . . +. ;. . . . . . . . . . . . . . . 421.7. Coeficientes de transferencia para altas velocidades.de transferencia de materia: Teoría de capa límite. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..!................ Ejemplo 21.7-1. Evaporacion rdpida desde una superfirie plana, 21-45 421.8. Coeficientes de transferencia en sistemas de varios componentes.. . . . . . &emplo 21.8-1. Transfereniia de materia en un reactor catalitico de lecho fijo, 21-47 Balances macroscópicos en sistemas de varios componentes.. . . . . . . . . . . *422.1. Los balances macroscópicos de materia.. . . . . . . . . . . . . .1.. . . . . . . . . . . . . * Q2.2. El balance macrosc6pico de cantidad de movimiento.. . . .‘. . . . . . . . . . . , ‘$22.3. El balance macroschpiw de energía.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . + p2.4. El balance macroscópico de energía mecánica. ..,................... ” *g22.5. Utilizaci6n de los balances macroscópicos para resolver prQblemas de estado estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .:.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *l.$k;;kt 22.5-1. Balance de energía en un convertidor de dióxido de azujre, Cap&uhJ 22. 1 $22.6. Epílogo.. 20-8 21-1 21-2 21-8 21-18 21-22 21-24 21-36 2140 2145 22-1 22-1 224 224 22-5 22-6’ *Ejemplo 22.5-2. Altura de una torre de absorcibn de relleno, 22-8 Ejemplo 22.5-3. Expansión de una mezcla gaseosa reactiva a través de una boquilla adiabdtica *sin friccidn, 22-13 Utilización de los balances macrosc6picos para la resolucián de problemas,de estado no estacionario.. . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22-17 aemplo 22.61. Puesta en marcha de un reactor químico, 22-17 &j;;p$2.6-22is Operaeidn de una columna de relleno en estado no esta. - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-l iNDICE GENERAL XI X Apeadice, A. Resuma de notmci611 vectorial y teawrial ,,..,..*..,.......*......... gA.1. Las operaciones vectoriales desde un punto de vista geom6tric.o.. . . . . sA.2. Las operaciones vectoriales desde un punto de vista analítico.. . . . . . . i$emplo A.2.-1. Comprobacíh de una identidad vectorial, A-10 9A.3. Operaciones diferenciales con vectores.. . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . 8A.4. Tensores de segundo orden....................................... Ejemplo A.4-1. Comprobacidn L una iabttkalzd fensorial, A-20 4A.5. Teoremas integrales para vectores y tensores.. . . . . . . . . . . . . . . . :. .,. . . BA.6. Componentes de vectores y tensores en coordenadas axvilíneas.. . . . . Ejemplo A.6-1. Caraeieristicus & transformaciión dc los productos & vectores y tensores, A-25 4A.7. Operaciones diferenciales en coordenadas curvilíneas.. . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo A.7-1. Deduccidn de diversas operaciones dtferenciales en coordenaahs cilindricas. A-26 A-3 A-4 A-l A-ll A-l5 A-20 A-22 A-26 Tablasparahpredkchde propkdadesdetransporte . . . . . . . . . . . . . . . . . Parametros de fuerza intermolecular y constantes críticas ............. Funciones para la predicción de propiedades de transporte de gases a baja densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-33 A-34 ApkadkeC. Constantesyfactwesde conversi6n.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #CI. Constantes matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c.2. Constantes físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s.3. Factores de conversihn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .._..1................... Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Iodice alfab&ico de autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-37 A-37 A-37 A-38 A-47 ApCndiceB. 8B.1. gB.2. Indice alfabetice de materias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..‘............... A-36 A-57 A-61 PRIMERA P A R T E Transporte de cantidad de movimiento ’ , CAPfTULO 1 VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO La primera parte de este libro trata del flujo de fluidos viscosos. La propiedad física que caracteriza la resistencia al flujo de los fluidos sencillos es la viscosidad. Cualquiera que haya’ adquirido aceite lubrificante de automovil sabe que unos aceites son mas «viscosos» que otros, y que, ademas, la viscosidad varía con la temperatura. En este primer capítulo se estudian las viscosidades de gases y líquidos desde un punto de vista cuantitativo. Esta informacion será necesaria de forma inmediata en el Capítulo 2, para la resolucion de problemas de flujo viscoso. Se comienza en $ 1 .l por establecer la ley de Newton de ,la viscosidad, presentando algunos valores numéricos, para indicar como varia esta con Ias condiciones y naturaleza del fluido. En 0 1.2 se estudian brevemente los fluidos no-newtonianos, a los que no es aplicable la ley de la viscosidad de Newton. La influencia de la temperatura y la presión sobre la viscosidad de gases y líquidos se resume en 4 1.3. Finalmente, en $8 1.4 y 1.5 se estudia la viscosidad desde el punto de vista de los procesos moleculares, y se comparan los mecanismos del transporte de cantidad de movimiento en gases y líquidos. 0 1 .l LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAti Consideremos un fluido (líquido o gas) contenido entre dos grandes laminas planas y paralelas, de área A, separadas entre sí por una distancia muy pequeiia Y (vcase Fig. 1.1 - 1). Supongamos que el sistema está inicialmente en eposo, pero que al cabo del tiempo t = 0, la lamina ipferior se pone en movi mJ ’ nto en la direccibn del eje X, con una velocidad constante V. A medida que transcurre el tiempo *el fluido gana cantidad de movimiento, y, finalmente se establece el per51 de velocidad en régimen estacionario, que se indica en la Fig. 1.1 - 1. Una vez alcanzado dicho estado estacionario de movimiento, es preciso aplicar una fuerza constante F para conservar el movimiento de la l&mina inferior. Esta fuerza viene dada por la siguiente expresion (suponiendo que el flujo es laminar) : F V - = p- A (Ll-l) Y 8 1-4 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVLUIENTO Es decir, que la fuerza por unidad de hrea es proporcional a la disminución de la vélocidad con la distancia Y. La constante de propor&onalidad p se denomina viscosidad del fluido. F l u i d o inlcialmant~ en reparo Lbmlno Inferior puesto . l m movlmlento Formoci6n da la velocidad en RUFO na er?<rclonorio Dirtytbuclón final di velocldod poro Ruio e8tacionario Fig. 1.1-1. Formación del perfil de velocidad en estado estacionario para un fluido contenido entre dos hinas. Para la posterior utilización de la Ec. i .l - 1 es cokniente expresarla en una forma más explicita. El esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x sobre la superficie de un fluido, situada a una distancia constante y, por el fluido existente en la región donde y es menor, se designa por T,.,, y el componente x del vector ‘de velocidad del fluido, por Y,. Téngase en cuenta que vX no es igual a ¿%/?rc; en este libro no se utilizan subíndices para expresar la diferenciación de los componentes de la velocidad. De acuerdo con estos símbolos, la Ec. 1.1 - 1 queda de la siguiente forma’ (Ll-2) 1 La equivalencia entre estas dos ecuaciones resulta mhs evidente si sc tiene en cuenta que la Ec. 1.1-1 puede expresarse así: o - v F -= (1.1-10) --p y-o A VISCOSIDAD Y MECANISMO, DEL TRANSPORTE 1-5 Es decir, que la fuerza de cizalla por unidad de área es proporcional al gradiente negativo de la velocidad local. Ésta es la ley de Newton de la viscosidad, y los fluidos que la cumplen se denominan fluidos newtoniunos. Todos los gases y la mayor parte de los líquidos sencillos, se comportan de aeueido con la Ec. 1.1-2. Los fluidos que no obedecen a esta ley sencilla (esencialmente pastas, suspensiones y polímeros de elevado peso ‘molecular) se estudian en 0 1.2. Resulta también conveniente interpretar la Ec. 1.1-2 en esta otra forma. Rn las inmediaciones de la superficie que se (mueve, donde y = 0, el fluido adquiere una determinada cantidad & movimiento ( n la direcci6n del eje X. Este fluido comunica, a su vez, parte de su cantidad de novimiento a la «capa» adyacente de líquido, dando lugar a que se mantenga eu movimiento en la dirección X. Por lo tanto, tiene lugar una transmisión de cantidad de movimiento x a través del fluido en la dirección y, .y, por consiguiente, tuS puede interpretarse tamb.$n como la densidad de flujo2 viscoso de cantidad de movimiento xen’htd&cci6n y. Esta interpretación esta en íntima relación con la naturaleza de los prokos de transporte de cantidad de movimiento, y se corresponde con el trat@ento que se da más adelante para el transporte de materia y energía. Por otkparte, la densidad de flujo de cantidad de movimiento resulta más conveniente para considerar el signo de r,.%. De acuerdo con la Ec. 1.1-2, se deduce que la densidad de ff ujo viscoso de cantidad de movimiento sigue la dirección ‘del gradiente negativo de velocidads; es decir, que sigue la direccion de velocidad decreciente. En otras palabras, la cantidad de movimiento’ va «cuesta abajo», en el sentido de que desciende de una región de velocidad alta a otra de baja velocidad, de la misma forma que un trineo se deslii desde un lugar elevado hasta otro más bajo, y el calor fluye de una zona caliente hacía otra mas fría. El gradiente de velocidad puede considerarse, por consiguiente, como una «fuerza impulsora» del transporte de cantidad de movinkiento. En los párrafos que siguen nos referiremos a la ley de Newton de la Rc. 1.1-2, unas veces en términos de fuerzas (lo que pone de manifiesto !a naturaleza esencialmente mecánica del tema que estamos considerando), y otras; en términos de transporte de cantidad de movimiento (con el fin de resaltar las analogías con el transporte de materia y energía). Este doble punto de vista no crea una dificultad especial, y en cambio, en algunos casos resulta extraordinariamente útil. En algunas f6rmulas que aparecen en los últimos capítulos del libro, resulta conveniente disponer de un símbolo para* representar la viscosidad del fluido dividida por su densidad (masa por unidad de volumen), ,” con este fin vamos a definir Y * La densidad de flujo representa la «velocidad de flujo por unidad de brea». La densidad de flujo de cantidad de movimiento tiene, por tanto, las unidades de cantidad de movimiento por unidad de kea y unidad de tiempo. El lector podr4 c6mprobar que corresponde a una fuerza por unidad de h-ea., * Una ligera consideración de 8 8.1 pone de manifiesto que el comportamiento es el mismo que en la conducción del calor, donde la densidad de flujo de calor es proporcional al gradiente negativo de temperatura. 1-6 TR A N SP O R TE D E C A N TID A D D E MOYIMIENTO (1.1-3) v A CLIP que es la denominada viscosidad ctnemitica. Dedicaremos unas líneas a considerar las unidades de algunas magnitudes que ya hemos definido. El caso más sencillo corresponde al sistema cgs, para el cual4 tyx [=] dina cmV2 v, [=] cm seg- r Y [=l cm (1.1-4) Puesto que los dos miembros de ,la Ec. 1 .l -2 han de corresponderse, tanto en sus unidades como en el valor numbico, se pueden deducir las unidades de ,u en el sistema cgs, de la siguiente forma: [=l <¿G=’ sege2) (cm seg-’ cm-r)-* [=] g, cm-t seg-* ‘(1.1-5) Análogamente, v = p/e [ =] cm2 seg- ’ (1.1-6) ,.. La unidad g cm-l seg-‘, en el sistema cgs, se. denomina pohe; la mayor parte de los datos de viscosidad están expresados en esta unidad o en centipoises (1 cp = 0,Ol poise). La serie análoga de unidades en el sistem.a Giorgi es zYx [=] newton mm2 v, [=] m seg’r r[=lm (1.1-7) ,u [==] kg, m-r seg-’ v [ =] m2 .seg- l La consistencia de estas unidades viene dada por la Ec. 1.1-2. Pero, como habitualmente no se utiliza el newton como unidad de fuerza, es preferible expresar la Ec. 1.1-2 en esta otra forma: (1.M) 4 El símbolo [ =] debe de leerse «tiene las unidades de», VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE 1.7 en la que z,,., [=J kg, rnF2 v., [=] m seg- ’ r[=lm ,u [ =] kg,, m-r seg-’ (1.1-9) g, [=l Ua,,,/ke,) Cm wc2) 0 newton/b, El valor numérico de g, <(el factor gravitacional de conver%+», expresado en estas unidades, vale 9,8067. Obsérvese que en la Ec. 1.1-8, g, rYX tiene las unidades de newton m+2, y que al dividir por g,, se obtiene rrs expresado en kg,mW2. Aquí se procederá de acuerdo con la Ec. 1 .l-2, y se sobreentenderá que las unidades utilizadas son las que se han indicado en las Ecs. l, l -4 ó 1 . 1 - 7. Sin embargo, sería conveniente que el lector utilizase fórmulas en uno y otro sistema, ya que ambos se emplean con frecuencia en la bibliografía técnica. En todos los cálculos prácticos cs preciso realizar una minuciosa comprobación de la consistencia dimensional. Ejemplo 1.14. Ckuio de la densidad de flujo de cantidad de movimiento Teniendo en cuenta la Fig. 1.1 - 1, calcular la densidad de flujo de cantidad de movimiento en estado estacionario, t,.$, expresada en kg, me*, cuando la velocidad Y de la lámina inferior, en la dirección positiva del eje x, es 0,3 mlseg, !a distancia entre las Iáminas Y O,ObO3 m, y la viscòsidad del fluido 11 0,7 cp. Solución. Puesto que se desea obtener tyX en kg, mmZ, pasaremos primeramente todos los datos a las unidades de kgf-m-seg. <_ /x = (0,7 cp) (l,Ol9?x 10-3 = 7,14x IOb5 kg, seg rnbz Como el perfil de velocidades es lineal, dv,. ilv, - 0,3 m seg: l -= -= dr AY 0,0003m = - 1000 seg-’ Substituyendo en la Ec. 1.1~2, queda . zy, = - p f$ = - (7,14x 10-5) (- 1000) = 7,14x 10-2 kg, m-* Si se utiliza la Ec. 1.1-8, se convierte /L de la siguiente forma: p = (0,7 cp) (10m3) = 7~ lOe4 kg, seg-1 m-l TRANSPORTE DE CANTIDAD DE M OVIM IENTO 1 -8 Substituyendo en la Ec. 1.1-8, p-k, Zr2 tyx = - s (- 1000) > gc dr = 7,14 x lOe2 kg, . que m-* coincide con el resultado obtenido a partir de la Ec. 1.1-2. En las Tablas 1 .l - 1, 1.1-2 y 1.1-3, se presentan algunos datos experimentales de viscosidad de fluidos puros a 1 atm de presións. Obsérvese que, a temperatura ambiente, p vale aproximadamente 1 cp para el agua’ y 0,02 cp para el aire. Véase’ también como para los gases a baja densidad, la viscosidad aumenta “n la temperatura, mientras que en el caso de los Iíquidcw, la viscosidad generalmente disminuy e al aumentar la temperatura. Este difeieiite comportamiehto frente a la temperatura se estudia en $ 1.4 y 0 1.5 desdé mi punto de irista molecular; aquí indicaremos tan sólo, que en el caso de los gasés (tin los que las mol&ulas recorren distancias grandes entre las colisiones), la cantidad de movimiento ,se transporta esencialmente por las moléculas que se despkan librkmente, míentias que en los líquidos (en los’que las moléculas recorren solamente distancias muy cortas entre las colisiones), el mecanismo principal del transporte de cantidad de movimiento :, consiste en el choque efectivo de las molécdlas., :’ : TABLA Ll-,1 VISCOSIDADES DEL AGUA Y EL AI*FE .A fATiä Dk’,PRESIóN Agua (1íq.r . Aireb Temperatura Viscosidad Viscosidad cinemática Viscosidad Viscosidad cineinática v x lO*(cm* seg-‘) “.p ( cp ) v X 102 (cm* seg- ‘) WC) P (cp) 0 20 40 60 80 100 1,787 1,787 0,01716 13,27 1,0019 0,653O 0,4665 0,3548 0,282l 1,0037 0,6581 0,4744 0,3651 0,2944 0,01813 0,01908 0,01999 0,02087 0,02 173 15,05 16,92 18,86 20,88 22,98 .’ a Calculada a partir de los resultados dr R. C. HARDY y R. L. COTTINGTON, J. Research Ndt. Bar. Standards, 42, 573- 578 (1949), y J. F. S WINDELLS, J. R. COE, Jr., y T. B. GODFREY, J. Rescarch Nat. Bar. Standards, 48, 1-3 1 (1952). b Calculada de «Tables of Thermal Properties of Gases,), Naf. Bar. Standards Circ. 464 (1953, capítulo 2. 5 Datos muy completos se encuentran en: LANDWT-BORNSTEIN, Physikochernische Tabellen. VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE x-9 TABLA 1.1-2 VISCOSIDADES DE ALGUNOS GASES Y LíQUIDOS ATMOSFÉRICA” Viscosidad Temperatura Substancia K’C) Gases i-C,H,, CH, H2O (32 N2 02 Hg A LA PRESIÓN Temperatura Y (cp) Substancia 0,0076 0,0109’ 0,0127 0,0146” 0,0175’ 0,0203b 0,0654 K2W20 Viscosidad T (“C) P (cp) Líquidos 23 20 100 20 20 20 380 C,H, Br2 C2H,0H Hg H2=, Glicerina 20 20 26 20 -20 25 20 0,2$5 0,647 0,946 1,194 1,547 19,15 1069 * Valores tomados de N. A. LANCE, Handbook of Chemistry, McGraw-Hill, Nuxa York (1956). novena edición, pp. 1658-1664. b H.’ L. JOHNSON y K. E. McKloskey, J. Phys. Chem., 44, 1038 (1940). En $5 1.3; 1.4, y 1.5, sc estudia el cálculo de viscosidades de gas es y líquidos. Antes de esto, sin embargo, indicaremos brevemente los tipos (de desviaciones conocidas que puede presentar la Ec. 1.1-2. l TABLA 1.1-3 VISCOSIDAD DE ALGUNOS METALES LfQUIDOS” Metal L i ” Temperatura T(“C) Viscosidad P @P) 183,4 216,0 - 285,5 0,5?18 0,5406 0,4548 Na 103,7 250 700 0,686 0,381 0,182 K 69,6 250 700 0,515 0,258 0,136 1-10 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 103,7 250 700 Aleación Na-K 56% de Na y 44% de K en peso q -20 20 100 200 Pb 8 441 ., 551 4 4 0,546 0,316 0,161 1,85 1,55 1,2l 1,Ol 2,116 1,700 1,185 a Datos tomados d.3 The Reactor Htindbook, irot. 2, Atomic Energy Comission AECD3646, U. S. Gov.:rnment Printing Office, Washington D. C. (Mayo 19SS), pp. 258 y SS. ~” 0 1.2. FLUIDOS NO-NEWTONIANOS 1 De acuerdo con la ley de la viscosidad de Newton (.Ec, ,1 ;f -2), al representar gráficamente t,,* frente a -(dv,/+) para.un fluido determinado, debe de obtenerse una línea recta que pasa por el origen de coorden&&s, y cuya pendiente es la viscosidad del fluido a una ciertatemperatura y presión (véase Pig. 1,. 1-2). En efecto, la experiencia demuestra’que para todos los gases y tos, liquidos homogéneos no polimerizados T>,~ es directamente proporcional a -(&/d& Sin, ,embargo, existen aigunos materiales industrialmente importantes que no se,oomportan,de acuerdo con la Ec. 1.. 1-2. Se conoce a estas substancias con el nombre de fluidos no-newtonianos. El tema del flujo no-newtoniano constituye actualmente una parte de otra ciencia .más amplia que es la reología, es decir, «la ciencia del flujo y la deformación», que estudia las propiedades mecánicas de los gases, líquidos, plásticos, substancias asfálticas y materiales cristalinos. Por lo tanto, el campo de la reología se extiende, desde la mecánica de fluidos newtonianos por una parte, hasta la elasticidad de Hooke por otra. La región comprendida entre ellas corresponde a la deformación :, y flujo de todos los tipos de materiales pastosos y suspensiones, El comportamiento reológico, en estado estacionario, de la mayor parte de los fluidos que se indican en la Fig. 1 .l - 1 puede establecerse mediante una forma generalizadaz de la Ec. 1.1-2 duz Tu2 = -dy (1.2-1) en la que q puede expresarse a su vez en función de dv,[dy o de tyx indistintamente. 1 M. Viskositüt REINER, Deformution, Strain, and Flow, Interscience, Nueva York (1960); W. PHILIPPOFF, der Kollolde, Steinkopff, Leipzig (1942). s Para un tratamiento tis completo, dase 8 3.6. VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE l-l,1 En las regiones en que q disminuye al aumentar el gradiente de velocidad (-dv&), el comportamiento se denomina pseudoplrfstico; y dilatante en las que q aumenta con dicho gradiente. Si 7 resulta independiente del gradiente de velocidad, el fluido se comporta como newtoniano, y entonces rj = p (véase Ec. 1 .l -2). / Pe ndie nte / .” al Mo de lo s de da r pa r6m e tro s Mo de lo s de tre s pa rb m e tro s 1 Fig. 1.2-1. Resumen de medebs no-newtonianos en estado estacionario (con fines comparativos se indica también el modelo newtoniano). Se han propuesto ‘numerosas ecuaciones emplricas o «modelos» para expresar la relación que existe, en estado estacionario, entre tv.r y &/d~. A continuación se presenta ‘un resumen de cinco modelos representativos. Todas las ecuaciones contienen par6metros empíricos positivos, cuyo valor numerico puede determinarse correlacionando los datos experimentales de t,,+ frente a &,v/dy a temperatura y presión constantes. Modelo de Bingham 1-12 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO (1.2-2b) Ia Ec. 1.2-2a se utiliza con signo + si rY-V es positivo, y con signo - si es negativo. Toda substancia que se comporta de acuerdo con este modelo de dos parámetros se denomina plástico de Bingham: permanece rígida mientras el esfuerzo cortante es menor de un determinado valor re, por encima deí cual se comporta de forma semejante a un fluido newtoniano. Este modelo resulta suficientemente exacto para muchas pastas y suspensiones finas. En la Tabla 1.2- 1 se indican los parámetros de Bingham para suspensiones de partículas de combustibles nucleares en agua pesada. Modelo de Ostwaid-de Waele (1.2-3) Esta ecuación de dos parámetros se conoce también con, el nombre de ley de la potencia. Para n = 1 se transforma en la ley de la viscosidad de Newton, siendo m = ~1; por consiguiente, la desviación del. valor de n con respecto a la unidad es una medida del grado de desviación del comportamiento newtoniano. Cuando n es menor que uno el comportamiento es pseudoplltico, mientras que para valores superiores a la unidad es dilatante. En la Tabla 1.2-2.se dan algunos valores aproximados de m y n para distintos fluidos. TABLA 1.2-1 PARAMETROS DEL PLÁSTICO DE BINGHAM PARA *SUSPENSIONES DE COMBUSTIBLES NUCLEARES” Distribución de tamaños de Material las partículas suspendido D -ú (micrones) (adimensional) uo* 194 177 W3 133 w UOs.H,O 1,2 1,9 - ThOz 0,030 0,75 196 2.4 2,7 23 1S 1.7 kl =$. k2 = w%lPw Q (dina cm-3 7,2 x lo4 ll,0 x 104 20,6 x 10’ (adimensional) 18 22 22 k, =?t P (dina cm-3 52,7 x lo4 26,3 x lo4 4,8 x lo4 1.6 x lo’ h%lPw = ,,k, 4 (adimensiónal) 24 14 12 12 VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE D= e= d= Po. to = Po= 1- 13 diametro de la partícula de masa media desviación standard del In (diámetro de la partícula) respecto de In (D) fracción del voIu.men de sólidos en suspensión parámetros de Bingham para la suspensión viscosidad del agua a la misma presión y temperatura <i Tomados de Fluid Fuel Reactors, editado por J. A. LANE, H. G. MCF’HERSON, y F. Addison-Wesley, Reading, Mass. (1958). El Dr. D. G. THOMAS ha cooperado en 0 4.4. A su amabilidad se deben los valores corregidos de ka. MASLAN, Modelo de Eyring (1.24) Este modelo de dos parámetros deriva de la teoría cinética de los líquidos, de Eyring3, que se estudia en 5 1.5. El modelo de Eyring predice el comportamiento pseudoplástico para valores finitos de ryx, y tiende asintóticamente a la ley de la viscosidad de Newton cuando zyx tiende hacia cero, siendo en este caso p = A/B. TABLA 1.2-2 PARAMETROS DEL MODELO DE LA POTENCIA PARA VARIOS FLUIDOS A TEMPERATURA AMBIENTE” Composición del fluido (% en peso) 23;3 % de 0,67% de 1,5 % de 3,0 % de 33 % de 10 ‘? de 4 % de 54,3 % de m(dina seg” cm-*) arcilla amarilla de Illinois en agua CMcò en agua CMC en agua CMC en agua cal en agua napalm en keroseno pasta de papel en agua cemento en a g ua a A. B. METZNER, Advances York (1956), p. 103. b Carboximetilcelulosa in Chemicai n (adimensional) 55s 3904 31,3 92,9 71,8 42,8 200 25,l Engineering, vo1; 1, Academic s Vtase Ec. 1.5-7; para modelos m&s complejos vt%e Eng. Chem., 50, 10364040 (1958). 0,229 0,716 0,554 0,566 0,171 0,520 0,575 0,153 Press, Nueva F. H. REE, T. REE, y H. EYRING, Ind. 1-14 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOYIMIENTO TABLA 1.2-3 PARAMETROS DE ELLIS PARA SOLUCIONES DE CARBOXIMETIL CELULOSA EN AGUA” Parámetros de la Ec. 1.2-5 Concentración de la solución (% en peso) 4,0 % 5,O % 15% 2,5 % 0,6 % de de de de de CMC CMC CMC CMC CMC a Tempera- (adimentura T(Y) sional) bajo” bajo medio medio alto 29,4 29,4 29,4 29,4 29,4 1,170 1,337 1,185 1,412 1,707 Intervalo experimental del esfuerzo VO 93 (cm* seg-1 (cm*= seg-1 cortante dina- 1) dina-*) (dina cm-*) 0,1377 0,oooo 0,421O 0,0383 0,289 1 0,321l 0,0521 0,2724 0,0181 0,028O 8a440 8 a 1010 6 a 300 17 a 720 8 a 270 a J. C. SLATTERY, tesis doctoral, Universidad de Wisconsin (1959), p. 79a. Los valores corregidos de q. y <F, se deben a la amabilidad del doctor Slattery. b CMC bajo, medio y alto, son preparados comerciales de carboximetilcelulosa de bajo, medio y elevado peso molecular. Modelo de Ellis do, _ - dy - (Vo + ~lI%l"-lh, Este modelo consta de tres parámetros positivos ajustables: yO, v1 y a. Si se toma para a un valor mayor que la unidad, el modelo tiende hacia la ley de Newton para . valores bajos de tyx, mientras que si se elige para CL un valor menor que la unidad, la ley de Newton se establece para valores elevados de zyx. El modelo presenta una gran flexibilidad, y en él están comprendidas, como casos particulares, tanto la ley de Newton (para ~1 = 0), como la ley de la potencia (para pie = 0). En la Tabla 1.2-3 se presentan los parámetros de Ellis para diversos fluidos. Modelo de Reiner-Philipkff (1.26) Este modelo contiene tambith tres parámetros positivos ajustables: ,ue, pW, y z,. Teniendo en cuenta que frecuentemente se ha observado que el comportamiento newtoniano se.presenta, tanto para valores muy bajos como muy elevados del gradiente de velocidad, la Ec. 1.2 - 6 ha sido planteada con .el fin de que se VISCOSIDAD Y M ECANISM O DEL TRANSPO RTE 1-15 transforme en estos dos casos límite en la ley de Newton de la viscosidad, haciéndosep=,wyp =pm, respectivamente. La curva que resulta al representar gráficamente zuZ frente a dv,/dy muestra dos puntos de inflexión, que corresponden a valores de rvX = ~tt~J3pe/,u-. En la Tabla 1.2-4 se dan valores de ~0, cloo y rs, para diversos fluidos. La Fig. 1.2 - 1 es una descripción gráfica del comportamiento reológico de los modelos que hemos expuesto. Téngase presente que estas ecuaciones no son más que fórmulas empíricas de ajuste de curvas, y por consiguiente, es muy aventurado emplearlas fuera del intervalo de los datos experimentales utilizados en su obtención. Obsérvese, asimismo, que los parámetros de alguno de estos modelos son funciones de la temperatura, presión, composición, y, generalmente también, del intervalo de dv,/dy para el que se ha ajustado la ecuacibn; por tanto, al dar los valores de los parámetros reológicos, es preciso especificar cuidadosamente las condiciones en que han sido determinados. TABLA 1.2-4 PARAMETROS DE REINER-PHILIPPOFF PARA ‘DIVERSOS FLUIDOS= Substancia Parámetros de la Ec. 1,2-6 Intervalo experimental del esTemperaclo fuerzo cortante 7s Po3 tura T(“C) (poise) (poise) (dina cm-*) (dina cm-*) Azufre fundido 120 Butirato de colesterina 100 30,4 % de metano1 en hexanob 34 0,4 % de poliestireno en tetralinac 20 0,215 2,4 0,0105 0,35 0,035 0,0035 4,O l,o 0,073 1,OJ 0,2 a 10 0,8 a 20 0,5 0,l a 4 500 500 a4000 a W. PHILIPPOFP, Kofloid Z ., 71, l-f 6 (1935). Verlag Dr. Dietrich Steinkopff, Darmstadt. b Mezcla de dos fases líquidas. c Poliestireno de peso molecular 600.000. En estado no estacionario pueden existir otras formas de comportamiento nonewtoniano. Por ejemplo, los fluidos que presentan una disminución limitada de 11 (véase Ec. 1.2- 1) con el tiempo, al aplicar repentinamente un esfuerzo cortante t,,, se denominan tixotrópicos, recibiendo el nombre de reopécticos los que dan lugar a uti aumento de q con el’ tiempo en ‘esas condiciones. Los fluidos que recobran parcialmente la forma original al cesar el esfuerzo cortante se denominan viscoelásticos. El estudio cuantitativo de estos y otros tipos, de comportamientos nonewtonianos dependientes del tiempo, es uno de los importantes campos de la mecánica de fluidos que todavía está muy poco desarrollado. 1-16 0 TRANSPORTE 1.3. INFLUENCIA DE LA VISCOSIDAD DÉ CANTIDAD LA PREsGN DE Y MOVIMIENTO LA TEMPERATURA SOBRE Existen numerosos datos de viscosidad de gases y líquidos puros reseñados en la bibliografía, especialmente en las Physikochemische Tabel/m de Lando]t-B&nstein. Cuando se carece de datos experimentales y no se dispone de tiempo para obtenerlos, la viscosidad puede estimarse por métodos empíricos, utilizando otros . datos de la substancia en Cuestión. En este libro se presentan dos correlaciones que permiten efectuar dicha estimación, y que a su vez proporcionan información sobre la variación de la viscosidad de los fluidos ordinarios con la temperatura y la presión. Estas correlaciones se basan en el análisis de un gran número de datos experimentales de diferentes fluidos, mediante la aplicación del principio de los estados correspondientesl. La Fig. 1.3 - 1 es una representación gráfica de la viscosidad reducida p, = ,u/~~, que es la viscosidad a una determinada temperatura y presión, dividida por la viscosidad correspondiente al punto crítico. En la figura se ha representado la viscosidad reducida frente a la temperatura T, = T/T, y la presión pI = p/p, reducidas. Se observa que la viscosidad de un gas tiende hacia un valor límite definido (el Iímite de baja densidad en la Fig. 1.3-I), cuando la presión tiende hacia cero a una determinada temperatura; para la mayor parte de los gases este límite se alcanza ya prácticamente a la presión de 1 atm. La viscosidad de’un gas a baja densidad aumenta con la temperatura, mientras que la de unlí’quido disminuye al aumentar ésta. Generalmente no se dispone de valores experimentales de ,u,, pero pueden estimarse siguiendo uno de estos dos procedimientos: (i) si se conoce el valor de la viscosidad para una cierta temperatura y presión reducidas, a ser posible en las condiciones más próximas a las que se desean, puede calcularse p, mediante la expresión ,u~ = ,u/,u,; (ii) si sólo se conocen los valores críticos de p-V-T, ,uc puede estimarse a partir de las ecuaciones. pc = 61,6(MT,)“Q9” 0 p, = 7,70M!‘p;pt6T;% (1.3-1,2) en las que pc está expresado en micropoises, p, en atmósferas, Tc en “ K y pc en CC por gramo-mol. Hougen y Watsot9 han publicado una tabla de viscosidades críticas, calculadas por el método (i) que se reproduce en el Apéndice B. En la Fig. 1.3-2 se da una- representãción gráfica de ,u# = ,u/~O, que es la viscosidad a una determinada temperatura y presión, dividida por la viscosidad a la misma temperatura y a la presión atmosférica. Esta variable se ha representado también en función de la temperatura y presión reducidas. A partir de las constantes críticas se pueden determinar p, y T,, y utilizar estos valores para obtener en la 1 Para un tratamiento general del principio de los estados correspondientes, v6aSe F. DAN&? y R. A . ALBERTY, Phy~id Che~zistry, W iley, Nueva York (1953, pp. 21-23. %O. A . HOIJGEN y K. M . WATSON, Chemical Procqs Principles, Part 111. WileY. Nueva York (1947), p. 873. VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE 9 8 7 6 1-17 . 5 I 4 I3 l \\ I \ II\. Illlll l I I I I 4 IIIIII do s fa se s 03 48 47 46 015 02 0,4 45 46 0,s 1,O Temperatura 1 2 3 re duc ida Tr= T/T, IIIIIJ .5 6 7 8 10 Fig. 1.3-1. Viscosidad reducida p, = r/r, en función de la temperatura reducida, para distintos valores de la presi6n reducida p, = p/p,. [O. A. Uyehara y K. M. Watson, Nur. Perroleum News, Tcc~. Section 36,764 (Oct. 4, 1944); revisada por K. M. Watson (1960). Una versi6n a gran escala de este gráfico se inserta en 0. A. Hougen, K. M. Watson y R. A. Ragatz, C. P. P. Char% Wiley, Nueva York (1960), Segunda edición.] 1-18 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ie q3 0,4 Ll2 0,6 03 1 2 I, 4 56789 Prssi6n r e d u c i d a p,. = p/p, Fig. 1.3-2. Viscosidad reducida r#=r/d en funci6n de la presión reducida p, = p/p, y la temperatura reducida T, = T/T,. [N. L. Carr, R. Kobayashi y D. B. Burroughs, Am. Insr. Min. & Met. Engrs., Petroleum Tech., 6, 47 (1954).] gráfica ,u/,G. El valor así obtenido se multiplica por ,uO, que puede ser un dato experimental o un valor calculado a partir de la teoría de los gases diluidos que se estudia en Q 1.4. Los gráficos de las Figs. 1.3 - 1 y 1.3 -2 concuerdan satisfactoriamente en el intervalo de p, y T, que es común a ambos. La Fig. 1.3-1 puede utilizarse para calcular de forma aproxima& las viscosidades de las mezclas de los gases densos; sin embargo, en el caso de presiones VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE 1-19 medias es preferible emplear el método de la Ec. I .4- 19. Para calcular la viscosidad de una mezcla de 11 componentes mediante la Fig. I.3- f , se utilizan las propiedades pseudocríticas definidas empíricamente por las ecuaciones: pc' =i$l~ipcg T,' =f z,T,, PU,' =,$ %%i (1.3-3,4,5) Es decir, que, en vez de pc, T, y pLc. se calculan en este caso p',, T', y ,u’,, procediendo luego de igual forma que si se tratase de un fluido puro. Este método no es muy exacto si las substancias que forman la mezcla tienen distinta constitución química o sus propiedades críticas difieren notablemented. Mediante el gráfico de la Fig. 1.3-2 puede seguirse un método análogo, calculando el valor de ,uO de la mezcla a partir de la Ec. 1.4-19. Ejemplo 1.3-1. Estimación de la viscosidad a partir de las propiedades criticas Calcular la viscosidad del Nz a 50°C y 854 atm, siendo M = 28,0 g/g-mol, JJ( = 33,5 atm y T, = 126,2”K. Solución. En este caso hay que utilizar el método de Watson-Uyehara. Calculando jlc mediante la Ec. 1.3-2, tendremos 1% = 7,70 (28,0)- (33,5)2/3 (126,2)-'j6 = 189 micropoises = 189 x 10w6 g cm-t seg-* Los valores de la temperatura y presión reducidas son: T, = 273,2 + 50 = 2 ' 56 126,2 854 = 25,s Pr=33,5 En la Fig. 1.3-1 se lee p/,uc = 2,39. Por tanto, el valor estimado de la viscosidad es p= p, (p/pc) = 189 x 1O-6 x 2,39 = 452 x 10m6 g cm-’ seg-’ -.__ El valor experimenttises 4% ~-10~~ g cm-t seg -1. La concordancia es en este caso excepcionalmente buena. Ejemplo 1.3-2. Efecto de la presión sobre la viscosidad de los gases La viscosidad6 del CO, a 45,3 atm y 40,3” C es 1800 x lo-’ poise. Estimar el valor de la viscosidad a 214,6 atm y 40,3” C. utilizando la Fig. 1.3-2. Solución. La temperatura y presión reducidas, correspondientes a las condiciones en las que se conoce la viscosidad, son: _ 273,2 + 40,3 = 1,03; p, = g = 0,622 304,2 , En la Fig. 1.3 -2 se encuentra que @ = 1.12en estas condiciones; por tanto, 4 = &A# = 1610 x lo-’ g cm-1 seg-1. 9 Ibid. Part. II, p. 604. 4 E. W. CO~INGS, High Pressure Technology, McGraw-Hill, Nueva York (1956), p. 281. 6 A. M. J. F. MICHELS y R. E. GIBSON, Proc. Roy. Soc. (Londres), A134, 288 (1931). 6 E. WAREURG y L. v. BARBO, IVied. Ann., 17, 390 (1882). T, = 1-20 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO La presión reducida 114,6’ - = 1,57 y T, pT = 72,9 el valor de la viscosidad g cm-r seg- r. El valor $ 1.4 TEORfA en las condiciones deseadas es es la misma de antes. En la Fig. 1.3-2 se lee # = 3.7; por tanto, a 114,6 atm y 40,3” C es p = 3,7 x 1610 x 10” = 6000 x 10-7 experimental6 es 5800 x 1c7 g cm-r seg-r. DE LA VISCOSIDAD DE LOS GASES A BAJA DENSIDAD Las viscosidades de los gases a baja densidad se han estudiado ampliamente, tanto en el aspecto experimental como en el teórico. Con el fin de ilustrar el mecanismo del transporte de cantidad de movimiento, vamos a comenzar con una deducción simplificada de la viscosidad desde el punto de vista molecular. Consideremos un gas puro constituido por moléculas esféricas, rígidas y que no se atraen, de diámetro d y masa m, con una concentración de II moléculas por unidad de volumen. Supongamos que n ‘es suficientemente pequeño, de forma que la distancia media entre las moléculas sea mucho mayor que su diámetro. Al alcanzarse el equilibrio en un gas en estas condiciones, la teoría cinética’ establece que las velocidades moleculares relativas a la velocidad2 u, del fluido, siguen direcciones al azar y tienen un valor medio ii, que viene dado por la expresión Fig. 1 A-l. Transporte molecular de cantidad de movimiento x desde el plano (r -0) al Plano Y. 1 Lxs cuatro primeras ecuaciones que se exponen aquí se dan sin demostracibn. Un tratamiento adecuado puede encontrarse en la mayor parte de los libros de teoría cinética, p. e., E. H. K ENNARD, Kineric Theory of Gases, McGraw-Hill, Nueva York (1938), capítulos II y 111. s Aquí u es el vector velocidad del fluido, que representa la media de las velocidades lares en las inmediaciones de un determinado punto. mole- VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE 6s G7 J 7rm _ 1 -2 1 (1.4-1) en la que K es la constante de Boltzmann. La frecuencia del bombardeo molecular por unidad de årea, que actúa sobre una cara de una superficie estacionaria en contacto con el gas, viene dada por: Z = &nú (1.42) El recorrido3 libre medio Á, es la distancia que recorre una molécula ‘entre dos colisiones consecutivas, siendo Á+-& (1.4-3) Las moléculas que llegan a un plano han efectuado, como promedio, sus últimas colisiones a una distancia u de este plano, siendo a = &l (1.4- 4) Para determinar la viscosidad de este gas en función de las propiedades moleculares, veamos lo que ocurre cuando fluye paralelamente al eje x con un gradiente de velocidad dv,/dy . (Véase Fig. 1.4- 1). Se supone que las Ecs. 1.4- 1,2,3,4, siguen siendo válidas en esta situación de no-equilibrio, con tal de que todas las velocidades moleculares estén calculadas con relación a la velocidad media u, en la región donde la molécula considerada ha efectuado su última colisión. La densidad de flujo de cantidad de movimiento-x a través de un plano situado a una distancia constante y, se obtiene sumando las cantidades de movimiento-x de las moléculas que cruzan en la dirección y positiva, y restando las cantidades de movimie&o-x de las que cruzan en el sentido opuesto. Por lo tanto 7 “a = ZmQ-, - Zmu,t,+, (1.4-5) Al expresar esta ecuación se ha supuesto que todas las moléculas tienen velocidades representativas de la región en la que han, efectuado su última colisión, y que el per!il de velocidad v,(y) es esencialmente lineal en una distancia de varias veces el recorrido libre medio. Teniendo en cuenta esta última suposición, se puede escribir, (1.4-6) s El recorrido libre medio es un recurso intuitivo, que solamente es válido para las mol&ulas que no ejercen entre sí fuerzas demasiado grandes. El concepto es fácilmente aplicable a las mo&ulas tipo «bola de billk» que estamos considerando, pero no a la moderna teoría cinética que se estudia después en esta sección. 1-22 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE.MOVIMIENTO Combinando las Ecs. 1.4-2, 5 y 6, tendremos / 1 Tyar = - - nmúA !f% 3 dy (1.47) Esta ecuacion corresponde a la ley de la viscosidad de Newton (Ec. 1.1-2), siendo la viscosidad (1.4-8) p = &m iii = &piiA La Ec. 1.4-8 fue obtenida por Maxwell en 1860. Combinando las Ecs. 1.4- 1, 3 y 8, se obtiene 2 Jrn KT. Pu= - 37r d2 (1.4-9) que corresponde a la viscosidad de un gas a baja densidad, constituido por esferas rígidas. Obsérvese que es preciso conocer un valor experimental de p para determinar el diámetro de colisión d, a partir del cual se puede predecir ,u en otras condiciones. La deducción anterior proporciona una descripción cualitativamente correcta de la transferencia de cantidad de movimiento en un gas a baja densidad. La predicción de ía Ec. 1.4-9 de que ~1 es independiente de la presión esta en buena concordancia con los resultados experimentales para presiones de hasta unas 10 atm (véanse Figs. 1.3- 1, 2). En cambio, la dependencia con respecto a la temperatura es menos satisfactoria; los datos experimentales de varios gases indican que p varía más rápidamente de lo que corresponde a Tees, y que adetis, esta variación no puede representarse exactamente mediante una función potencial de T (véase Fig. 1.3- 1). Para predecir con exactitud la variación de p con la temperatura hay que substituir el modelo de la esfera rígida por un campo de fuerzas moleculares más realista, y además, analizar más cuidadosamente la desviación respecto del comportamiento de equilibrio. A continuación se presentan los resultados de un análisis detallado del problemad. Antes de la primera Guerra Mundial, Chapman en Inglaterra y Enskogs en Suecia desarrollaron, independientemente, una teoría cinética rigurosa de los gases monoatómicos a baja densidad. La teorja de Chapman-Enskog da expresiones para los coeficientes de transporte en función de la energía potencial de interacción entre dos moléculas del gas. La energía potencial Q, está relacionada con la fuerza 4 Lo que queda de esta seccibn se dedica a resumir los resultados de J. 0. HIRSCHFELDER, C. F. CURIISS y R. B. BIRD, Molecular Theory of Gases and Liqaids; W iley, Nueva York (1954), capítulos 8 y 9. En un artículo de revista sobre este tema se hacen resaltar los resultados de interés para los ~81~~10s ingenieriles; Ase R. B. BIRD, J. 0. HIRSCHFELDER, C. F. CURTISS, Trans. ASME, 76, 1011-1038 (1954). s Esta teoría es tratada con detalle por S. CHAPMAN y T. G. COWLING, Mafhernatical Theory of Non-Uniform Gases, Cambridge University Press (1951), segunda edici6n. , VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE 1-23 de interaccibn F mediante la ecuación F = - dqldr, en la que r es la distancia entre las moléculas. Si se conociese exactamente cómo varían las fuerzas entre las moleculas, en función de la distancia entre ellas, se podría substituir en las ecuaciones de Chapman-Enskog y calcular los coeficientes de transporte. La forma exacta de la función v(r) no se conoce, pero afortunadamente, se ha comprobado, mediante una investigación copiosa, que una función empírica muy satisfactoria de la energía potencial es el potencial (6-12) de Lennard-Jones: &) = 4f(;;12 - (;)“] (1.4-10) donde c es un diámetro6 característico de la molécula (el «diámetro de colisión») y E una energía característica de interacción ettre las moléculas (la energía de atracción máxima entre dos moléculas). Esta función se representa en la Fig. 1.4-2, que pone de manifiesto los caracteres típicos de las interacciones moleculares: debil atracción para grandes separaciones (prácticamente proporcional a r- 6), y fuerte repulsión para separaciones pequeñas (aproximadamente proporcional a r-12). La Ec. 1.4- 10 resulta muy satisfactoria para numerosas mol&ulas no polares. Los valores de o y E se conocen para muchas substancias; en la Tabla B-l se presenta una relacibn parcial, pero pueden encontrarse más datos en la bibliografía”. Si no se conocen los valores de u y E, pueden calcularse a partir de las propiedades del fluido en el punto crítico (c), de la temperatura normal de ebullición del líquido (b), o del punto de fusión del sólido (m), mediante las sigúientes ecuaciones empíricas4 f/K = 0,77T, u = 0,841 prj o 2,44 (1.411,12,13) ‘/K = 1,15T, u = l,166Q&*. (1.414,15) Q/K = 1,92T,,, u = 1,222V,$0,. (1.4-16,17) en las que EIK y T están en “K, d en unidades Angström7, ? en cm3 g-mal-1, y p, en atm. El coeficiente de viscosidad de un gas monoatómico puro de peso molecular M; a la temperatura T, viene dado en función de los parámetros c y E por la siguiente ecuación P = 2,6693 x 1O-5 - (1.4-18) s Obdrvese que u es diferente del diámetro molecular d utilizado anteriormente en la teoría cinética simple. Ambos términos son del mismo orden de magnitud, pero no existe una relación sencilla entre ellos. 7 1 unidad Angström = lo-* cm = lo-10 m. La unidad Angström A es la unidad normal de medida para las dimensiones moleculares. 1-24 TRANS,PORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 0 en la que p [=] g cm-’ seg-‘, 2”[=] “K, a[==] A, y Q, es una función ligeramente decreciente del número adimensional KT/c, cuyos valores se dan en la Tabla B-2. Aunque esta fórmula se ha deducido para los gases monoatómicos, se ha encontrado que resulta también muy adecuada para los gases poliatómicos. La variación de p con la temperatura que predice esta ecuación concuerda satisfactoriamente con la línea de baja -densidad en la gráfica de viscosidad reducida de la Fig. 1.3- 1. Obsérvese de nuevo que la viscosidad de los gases a baja densidad aumenta con la temperatura, aproximadamente con la potencia 0,6 a 1,O de dicha variable. Recuérdese también que para el intervalo de baja densidad, la viscosidad es independiente de la presión. F i g . 1 . 4 - 2 . Función de energía potencial que describe la interacción de dos mokculas esfkricas no polares. La ecuacidn 1.4- 10 es una de las muchas ecuaciones empíricas propuestas para el ajuste de esta curva. Si el gas estuviese constituido por esferas rígidas de diámetro u (en vez de moltkulas reales con fuerzas atractivas y repulsivas), Qp valdría la unidad. Por lo tanto, la función Sa, puede interpretarse como la desviación respecto del comportamiento de la esfera’ rígida. VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE 1-25 La teoría & Chapman-Enskog ha sido ampliada por Curtiss y HirschfelderS, para incluir las mezclas gaseosas de varios componentes. En la mayor parte de los casos resulta muy adecuada la ecuación empírica de WilkeS: (1.4-19) en la que q, = $(1+ $-%[1+ ($“pg* (1.4-20) En estas ecuaciones, n es el número de especies químicas existentes en la mezcla; xi y xi son las fracciones molares de las especies i y j; pi y pi son las viscosidades de i y j a la temperatura y presión del sistema; y Mi y Mi son los pesos moleculares correspondientes. Obsérvese que @Jij es un número adimensional, y que ai,. = 1 cuando i = j. Se ha comprobado que la Ec. 1.4- 19 reproduce los valores experimentales de p,,,,,. con una desviación media del orden del 2 % . La variación de p,,. con la composición es extraordinariamente no lineal para algunas mezclas, especialmente las de gases ligeros y pesados. En resumen, las Ecs. 1.4- 18, 19 y 20 son fórmulas útiles para el calculo de viscosidades de gases no polares y mezclas gaseosas a baja densidad, a partir de valores tabulados de los parámetros de fuerza intermolecular u y ã. Sin embargo, no pueden aplicarse con seguridad en el caso de gases constituidos por moléculas polares o muy alargadas, debido a que los campos de fuerza que existen entre estas moléculas dependen extraordinariamente del ángulo. Una modificaciónte de la Ec. 1.4-10, teniendo en cuenta la influencia angular, ha dado buenos resultados para vapores polares tales como HsO, NH3, CHsOH, y NOCl. Por ultimo, una limitación, generalmente sin importancia, consiste en que estas ecuaciones han de modificarse en el intervalo de temperatura inferior a 100°K para tener en cuenta los efectos cuánticosll. Para gases más pesados que el Hz y el He, los efectos cuánticos sobre la viscosidad pueden despreciarse, aun para temperaturas inferiores. Ejemplo 1.41. Cblculo de la viscosidad de M gas a baja deosidad. Calcular la viscosidad del CO, a 1 atm y 200, 300, y 800” K. Solución. Se utiliza la Bc. 1.4- 18. En la Tabla B-l se encuentra que las constantes 8 C. F. CURTES y J. 0. HLRSCHFELDER, J. Chem. Phys.. 17, 550-555 (1949). s C. R. WILKE, J. Chem. Phys., 18, 517-519 (1950). Vhse tambih J. W. BUDDENBERG C. R. WILKE, Ind. hg. Chem., 41, 1345-1347 (1949). lo E. A. MASON y L. MONCHICK, J. Chem. Phys., 35, (1961). l1 J. 0. H~UCHFELDER, C. F. CURTISS y R. B. BIRD, op. cit., capíiulo 10. y 1-26 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO de Lennard-Jones para et CO, valen EIK = 190” K y u = 3,996 A. Et peso molecular del CO, es 44,010. Substituyendo los factores constantes M y u en ta Ec. 1.4-18 se obtiene p = 2,6693 x 1O-5 d44,OlOT (3,996)2fi, = 1,109 x lo-s? r (1.4-21) .en ta que IC[=] g cm“ sege y T[=] “K. Los demás cálculos se indican en ta siguiente tabla T (“K) 200 300 8 0 0 KT T -=P 190 n, de ta Tabla B-2 VT t ,053 t ,58 4.21 t ,548 t ,286 0,959s t4,t4 t7,32 28.28 Viscosidad calculada (Ec. 1.4-21) (g cm-l seg-‘) 1,013 x 10” 1,494 x 10-4 3,269 x tO-4 Viscosidad observada 12 (g cm-l seg-l) 1,015 x lo-4 1,495 x tw4 .... En la última columna se indican los datos experimentales con fkes comparativos. Era de esperar la buena concordancia que se aprecia, ya que las constantes dq Lennard-Jones de la Tabla B- 1 se han deducido a partir de datos de viscosidad. Ejemplo 1. 42. Predicción de la viscosidad de ana mezcla gaseosa a baja densidad Predecir ta viscosidad de las siguientes mezclas gaseosas a 1 ‘atm y 293” K, a partir de datos de tos componentes puros a 1 atm y 293” K: ,” Viscosidad, ,u Substancia Fracción molar, x Peso molecular, M (g cm-* seg-l) 1: co, 0,133 2: 0 , 0,039 3: N, 0,828 Solución. Se utitizan’tas Ecs. 1.4-20 y 1.4-19, se indican las principales etapas del cálculo i py-’ 2 4-7“1 2 ?E3 __- 44,010 1462 x IO-’ 32,000 2031 x tO-7 28,016 1754 x 10-7 por este orden. En ta siguiente tabla (Ec. @fi 1.4-20) j MilMi Pillq ’ 2 3 *‘1000 1 1,375 t,57t ‘,ooo 0,720 0,834, t ,000 0,730 0,727 1 2 3 ‘,ooO 1,142 0,727 l,ooO 1,158 1,389 ‘,ooO 1,006 1,394 2 31 0,876 ‘,ooo 0,637 0,864 t ,000 1,200 - 0,993 t1,000 ,370 l2 H. L. JOHNSTON y K. E. MCCLOSKEY, J. Phys. Chm., 44, 1038 (1940). j$xj8ij 1 0,763 1,057 1 1,049 1. VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE 1-27 La Ec.‘l.4-19 da 3 “64% ‘Pmuc.= c 3 i= l 2 XPi3 j=l = (0,133)(1462)(10-‘) + (0,039)(2031)(10-‘) + (0,828)(1754)(10-‘) 0,763 = 1717 x 10’ g cmS1 seg-l 1,057 1,049 El valor experimental esrs 1793 x 1W7 g cm” seg-*. 0 1.5 TEORfA DE LA VISCOSIDAD DE LOS LfQUIDOS El conocimiento que tenemos de la viscosidad de los líquidos es fundamentalmente empírico, ya que la teoría cinética de los líquidos se ha desarrollado tan sólo de forma parcial. No obstante, tiene interés la teoría aproximada desarrollada por Eyring y colaboradoresl, porque explica el mecanismo que tiene lugar, y permite estimar aproximadamente la viscosidad a partir de otras propiedades físicas. En un líquido puro en reposo, las moléculas están constantemente en movimiento, pero debido al compacto empaquetamiento, el movimiento queda reducido prácticamente a la vibración de cada ‘molécula dentro de una «jaula» formada por las moléculas más próximas. Esta jaula está representada por la barrera de energía potencial de altura Ac,:/Ñ, como se indica en la Fig. 1.5-1. Eyring sugirió que un líquido en reposo sufre reordenaciones continuas, durante las cuales una molécula escapa desde una «jaula» a un «hueco» adyacente, tal como se indica en la Fig. 1.5-1, y que de esta forma, las moléculas se mueven en ca& una de las direcciones de las coordenadas cartesianas, dando saltos de longitud u y frecuencia por molécula k, estando k dada por la ecuación de velocidad KT -A$:IRT k X-e h En esta ecuación, K y h son las constantes de Boltzmann y Planck (véase Apéndice C), R es la constante molar de los gases, AGet es la «energía libre de activación» molar del fluido estacionario. Si el fluido circula en la dirección-x con un gradiente de velocidad &#y, la frecuencia de las reordenaciones moleculares aumenta. Este efecto puede explicarse teniendo en cuenta que la barrera de energía potencial se distorsiona a causa del esfuerzo aplicado r,,= (véase Fig. 1.5-l), de forma que -AG: = -A@ f (;) ( y) 18 F. HERNING y L. ZIPPERER, Cas-und Wasserfach, 79, 49-54, 69-73 (1936). 1 S. GLASSTONE, K. J . LAIDLER y H. EYRING, Theory of Rate Processes, McGraw-Hill, York (1941), capítulo 9. (1.5-2) Nueva 1-28 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO lug a r c e ldilla va c a nte de lo o “hue c o ” 0. -4P\ /’ \\ : \\ A ‘. r- Fluid o ./ / + + Fluid o e n re p o so so m e tido a l e sfue rzo T- - = Fig. 1.5-1. Ilustración de un proceso de escape en el flujo de un liquido. La molbcula que atravesar un estrecho «pasadizo» para alcanzar el lugar vacante. 1 tiene donde P es el volumen de un mol de líquido y f@/b)r,,,V/2 corresponde, aproximadamente, al trabajo comunicado a las moléculas que se mueven hacia la cima de las barreras de energía, según que se muevan a favor del esfuerzo cortante aplicado (signo mas) o en contra de él (signo menos). Llamando k, a la frecuencia de los saltos hacia adelante y kb a la de los saltos hacia atrás, a partir de las Ecs. 1.5-1 y 1.5-2 se encuentra que k, = _he-A&.:,RT&,,P,26RT * La velocidad neta con que las mokulas de la capa A (Fig. 1.5- 1) se ponen delante de las de la capa B, es exactamente el camino recorrido en un salto (CZ) multiplicado por la frecuencia neta de los saltos hacia adelante (k, - k,); por tanto %A - %B = a(k, - k,) (1.5-5) VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE 1-29 Teniendo en cuenta que el perfil de velocidad es lineal en la pequeñísima distancia 8 comprendida entre las capas A y B, se llega a -La dy - 6 (k, - kt.1 (1.5-6) Combinando las Ecs. 1.5-3, 4, 6, se obtiene Cnahnente -Af%:/RT (@@%?dRT -Af?#:/RT 2 )( _ e-ar,v/2dRT) ar P u= .2dRT se, (1.5-7) Es interesante hacer notar que la Ec. 1.5-7 predice el flujo no-newtoniano de los líquidos en general; de hecho, esta ecuación tiene la misma forma general que el modelo de Eyring, correspondiente ala Ec. 1.2-4. Pero si tuX v/2dRT es pequeño comparado con la unidad, la Ec.> 1.5-7 concuerda con la ley de Newton de la viscosidad, siendo d Rh Acoo:l,~~ Er s--e aB (1.5-8) en la que Ñ es el numero de Avogadro. En la mayor parte de las aplicaciones se toma 6/a igual a la, unidad, pero esta simplificación no” supone una disminución de la exactitud, puesto que AG,: se ha determinado empíricamente para conseguir que la ecuación concuerde con los datos experimentales. ” Se ha encontrado que las energías libres de activación ACa:,,, determinadas ajustando la Ec. 1.5-7 para los datos experimentales de la viscosidad frente a la temperatura, son casi constantes para un fluido dado, y pueden correlacionarse fácilmente con la energía interna de vaporización a la temperatura normal de ebullici6na Acg,’ 2 O,408A~&,, (1.5-9) Utílizando esta información empírica, y tomando 6/a = 1 (10 que está de acuerdo con los cálculos que conducen a la Ec. 1.5-9), la Ec. 1.5-8 se transforma en , La energía de vaporización a la temperatura normal de ebullición puede calcularse aproximadamente mediante la regla de Trouton (1.5-11) Aüv,, * A&ap - RT, + 9,4RT, a J. F. KINCAID, H. E YRING y A. E. STEARN, Chrm. Revs., 28, 301 (1941). 1-30 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Con esta última aproximación, la Ec. 1.5-10 queda /.J 5 F e3,ST~/T (1.5-12) Las E&. 1.5-10 y 1.5-12 indican que la viscosidad disminuye exponencialmente con la temperatura, lo que está de acuerdo con el comportamiento observado1 para la mayor parte de los líquidos. Estas dos buaciones no son muy exactas, dand b frecuentemente errores de hasta un 30 %; son útiles especialmente para una estimación aproxima&, y sirven de guía para la interpolación y extrapolación de datos incompletos de viscosidad. No deberán utilizarse, .sobre todo para moléculas lineales muy largas, como, por ejemplo, n-C,,H,,, que se desvían notablemente de la Ec. 1.5-9. Otras fórmulas empíricas pueden encontrarse en la obra de Partington3. Ejemplo 1 S-l. Estimación de la yiscosidad de un. líquido pÚro Estimar la viscosidad del benceno lfquido, CóHó, a 20” C. Solución. Se utiliza la Ec. 1.5-12, juntamente con los siguientes datos: I Ñ = 6,023 x 1O23 (g-mal)-1 h = 6,624 x 10m2’ erg seg o g cm2 seg’l p I- 89,0 cm3 (g-mal)-1 ‘a 20” C Tb = 273,2 + 80,l = 353,3” K T = 273,2 + 20 = 293.2” K Substituyendo en la Ec. 1.5- 12, se obtiene p = (Ñb/ p) e31sTb/T 1 x 102’) (6,624 x W2’) 3.8x3s3.2 -. e 293,2 @W 4,46 x iO-3 g cm-’ seg-’ 0,45 cp. = = = (6,023 El valor experimental de la viscosidad que se da en la Tabla 1.1-2 ‘es 0,647 cp. Esta discrepancia pone de manifiesto el car&cter aproximado de la teoiia, CUESTIONES PARA DISCUTIR 1. Comparar la ley de Newton de la viscosidad con la ley de la elasticidad de Hooke. 2. Probar que la «cantidad de movimiento por unidad de Brea y unidad de tiempor tiene las mismzs dimensiones que la «fuerza por unidad de área». 3. iCu8les son las unidades de viscosidad y viscosidad cinemática? 9 J. R. PARTINGTON, Treutise on Physicd Chemistry, Longmans, Green (1949). Esta obra, en varios volúmenes, contiene un estudio completo de la bibliografia fisicoquímica. VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE 1731 4. iEn, quC obras de referencia se pueden encontrar datos de viscosidad? 5. Comparar los valores de la viscosidad y viscosidad cinemt%tica del aire, agua y mercurio, a 1 atm y 2oOC. 6. iQue quiere decir la palabra no-newtoniano ? iQué tipo de substancias presentan este comportamiento? 7 . i,Qu&es ur eolo~ an? . 8. iCómo varia la viscosidad con la temperatura y la presión? 9. ~Que mttodos existen para calcular la viscosidad de gases densos y de liquidos? 10. ¿Quk es el potencial de Lennard-Jones y que,representa? ll. Determinar la fuerza entre dos mokufas en función de la distancia, según el potencial de Lennard-Jones. Hallar el valor de r,,, en funcián de u y E, utilizando la Fig. 1.4-2. 12. iCUal es el significado de los parámetros u y e? Ilústrese con un esquema. 13. iCómo pueden obtenerse u y e a partir de datos de viscosidad?’ 14. La funci6n de energia potencial de Lennard-Jones describe un campo esf&icarr&nte sim&trice. Nombrar dos características moleculares que provocan un aumento de los campos de ene+ gía potencial y dan lugar a que no tengan simetría esferica. 15. Dsscribir gráficamente La funcion de energía potencial <p(r) para molkulas esftrii r í g i -, / das que no se atraen. 16. i Cuál es el signikado fiiico de ia función o,, de la J$c. 1.4: 18? 17. Las molecutas de los distintos idtopos atómicos tienen ‘los mios valares de u y r; teniendo esto en cuenta, icómo calcularfa usted la viscosidad del CD, a z(pC y 1 mm a partir de-la del CH, a 2oOC? 18. jQu& diferencia de viscosidades de los gases diluidos debe esperarse para el U**sFe y UsasF,? 19. i Como se simplifica la ecuacibn de WiJke ouartdo <by = 1 para’ todos ios I $ j ‘de una mucla gaseosa? LPara qu¿ tipo de mezclas gaseosas ocurre a t o? I . 20. iPuede expraame la densidad& flujo de eantididde st~~itilfntb de UR’ Ilquida+Y&dlhtt l a .;>: Ek . 1.4 -5.1 Un fluido A tiene una viscosidad d o b l e que otro’ 8; ‘¿ &l de Cllos cree usted que Ruinl rn&s r&pidamente en un t u b o horizontal de longitud L; hajo la misma diferencia de presión? 2 1. LA,. Cücuk‘der @?+?y. 4leg8sesilmj8,~ ' Predecir la viscosii de& oxigetto, nitr&geno y metano moleculares, a Ia presión atmosfkica y 200 C. Expresar todos los resultados en cp. Compare sus resultados con los valores experimentales que se indican en este capitulo. ’ Respuest us: 0,0203, 0.0175, O,OtO9 cp, LB,. ukulQdeviiinMkl8&ade~~ 8 lmj8 ieIlEi& Se conocen los siguientes datos’ de la viscosidad de las mexclas de hidrogeno y freon-12 cloroditkorometano) a 25% y 1 atm.,: 1 Vbse el Prólogo en relación ‘con loa tipos de problemas. * J. W. BUODEIWERG y C . R. W~KE, I&. &g. Chcm., 4 1, 13451347 :. (1949). (di- 1-32 ‘TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 5 Fracción molar de H, 0,~ 0.25 C.50 0,ss 1.00 j4 x lo’ (g cm-x seg-l) 1 124.0 128,l 131,9 135.1 sa, Calcular y comparar los resultados obtenidos mediante las Ecs. 1.4-19 y 20 para las tres composiciones intermedias, utilizando los datos de la viscosidad dc los componentes puros. Ejemplo a¿ respuesta: para x1 = 0.50, ,u = 0.01315 cp. 1.q. Esth1ci6n de le viscosidad de PII gas d¿nee Estimar la viscosidad del N, a 2tP C y 67 atm, utilizando (a). la Fig. 1.3 - 1 y pc de la Tabla B-l ; (b), la Fig. 1.3-2 y yo de Ia Tabla 1.1-2. Expresar los resultados en kg,,, m-l seg-1. Respuesta: a. 1,93 x lo-s kg,,, m-r seg-1. LD,. Bstbnnci6ndelaviscosidnddennBq$e Estimar la viscosidad de! agua al estado de líquido saturado a OC y looOC, utilizando (a) la Ec. 1.5-10 y tomando para AÚvap = 567,6 Kcal Irs;;’ a o>C y 498,6 Kcal k&l a looOC; (b) utilizando la Ec. 1.5 -12. Comparar los resultados obtenidos con los va lo re s de La Tabla 1.1 - 1. Rcspkta: b. 4.0 cp, 0,95 cp. LEa. v~ ~ mohud8ryrcoorridohkmed& Calcular la velocidad mdecu!ar media ü, en cm seg-1, y el tecorrido libre medio 1, en cm, para el 0, a 1 atm y 273.20 K. Supongase que d = 3,0 A. ~Cual es la &a&5n entre el recorrido libre medio y el dihmetro molecular en estas condiciones? i Cuál sería el arden de magnitud de la relación correspondiente en el estado líquido? Respuesta:. ü = 4.25 x 101 cm scg-1, 1 = 9,3 x iO- cm. l.F,.. C&mraci6n del gr66ce de Uyelmm-Wateea ceo h temíe ch&km a. Utilizar las Ecs. 1.4-11, 18 y la Tabla B-2 para construir una representaci6n logarítmica de pus M-‘18 Tc-% frente a T,, hasta valores de TI = 10. Representar en este grAfico p, frente a T, para gases a baja densidad, segtín la Fig. 1.3 -1. iQu6 conchkanes se deducen al comparar la forma de las dos curvas? 6. Determinar /.J~ en funcion de M, T, y u, mediante la comparación de los resultados representados en (a). c. Combinar los resultado~de (6) con las Ecs. 1.4-12, 13 para obtener otras dos expresiones de ,u# en función de las propiedades criticas. Compare sus resultados con las correspondientes :. ecuaciones de Uyehara y Watson. “’ LG, Ce~ -ióndeht~ ~ eht(Ha~ coaht~ ~ ~ cacrrr~ e Transformar la Ec. 1.4 -9 en otra equivalente a la Ec. 1.4- 18 y compararlas num¿ricamenfe para el caso de mA6cuhts rígidas esftricas, siendo ct = u. iQu6 tanto por ciento de error se comete utilizando para ditas mo&cdAs k teoria cin&iea simple? VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE l.H,. 1-33 Dktanc iame dhde re amidolibmammdire &&nde t- El recorrido libre medio esta ddinido de ta! forma que c -0 es la probabilidad que tiene una molccula de recorrer una distancia mayor que s entm dos colisiones consecutivas. Utilizando esta deftnicibn, y el hecho de que en un gas en equilibrio las velocidades moleculares tienen direc-‘cionea al azar, determinar !a distancia 6, según la dirección y. recorrida entre dos colisiones consecutivas por las mo!&u!as que tienen una determinada uY positiva. 1.4. c~ lco!a de veJocll medhs 8 g&ir de h di.dauci6n de Maxwell-Boltzmnml En la deducción de !a teoria cinética simp!ificada expuesta en 5 I .4 se han hecho, sin demostracion, algunas aseveraciones acerca de! comportamiento de equilibrio de un gas. En este prob!ema y en el siguiente, se demuestra que algunas de estas afirmaciones son una consecuencia de la distribución de velocidades de blaxwe!!-Boltxmann. La distribución de Maxwell-Boltzmann de las velocidades mqkculares de un gas en reposo, es !a siguiente: (LI-l) en la que o y sus componentes son las velocidades molectdares individuaks. y f(cc,, uy u,) dux du; du. es !a fracci6n de! número tota! de mo!ku!as, que es de esperar que en un determinado instante tengan velocidades comprendidas entre u, y u, + duz, uv y II, + du,, Y, y u;+ du,. Ik la EC. LI-f se deduce que la distribución de! valor de !a velocidad mo!ecu!ar u, es (1 .I-2) a. Construir un esquema bidimensional de la distribución de velocidad en el espacio/(a), manteniendo Y, constante, y colocando trazos sobre el plano II,, u,, con ,una concentración proporcional a f(u.. uY, ~ 4. b. Calcular el valor medio de la velocihd ü, integrando uf(u) con respecto a u: El resultado correcto viene dado por la Ec. I;4- 1. c. Calcular los componentes üS, ü, y ìí,de la vektcidad media ü integrando los componentes uf (u)en todo el espacio de velocidad. La integra! que determina iiL es (1.1-4) y las integrales para üy y ü, son analogas. Los resultados debetin de confirmar que el gas esta en YJ@=. d. Ca!cu!ar !a energia c!n&t!ca media de una moltcu!a, mediante !a integracibn de ) mu’f (u) con respecto a u: 1-34 TRANSPORTE DE CANTI+‘#D DE MOVIMIENTO *rna 9 (1 J-s) /(u)du s 0 El resultado es t/s rns = */s KT. l.J,. CAkulo de la frecuencia de coti¡ de pared a partir de k distrhcit5n Boltzmana de Maxwell- Se desea conocer la frecuencia 2, con la que las molkulas de un gas ideal chocan por unidad de drea sobre una pared de una sola cara. El gas está en reposo, en equilibrio a la temperatura TX y c,ontiene n mokculas idénticas dé masa m por cma. Considerando que la pared es la superficie y = c y que el fluido está en la región y < c, se puede demostrar que 2 es sencillamente el -producto del número de concentración n por el valor medio de u,, de todas las mol&ulas que se mueven hacia la pared. Por tanto, m *oD ZlJ# s-z IS Om ” 4 tu., uv. 3 du, du, 4 f(u,&,u,)du.drr,dua Evaluar 2, utili;Ulndof(u,, - W-l) 8,” / s-0D S 0 S-0D u,,,u,) de la Ecl.&1. LEsta de acuerdo su resultado con Las kcs. 1.4- 1 , 2? I CAPfTULo 2 DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD ’ LAMINAR En este capítulo vamos a estudiar como se pueden calcular los perfiles de velocidad..laminar en algunos sistemas geométricamente sencillos. Pari estos cálculos se hace uso de la definición de viscosidad y del concepto de un balance de cantidad de movimiento. En realidad, para los problemas de ingeniería no se necesita generalmente un conocimiento completo de las distribuciones de velocidad. Por el contrario, es preciso conocer la velocidad máxima, la velocidad media, y el esfuerzo cortante en una superficie. Estas magnitudes pueden deducirse fácilmente una vez que se conocen los perfiles de velocidad. En la primera sección se hacen algunas observaciones generales acerca de los balances diferenciales de cantidad de movimiento. En las secciones que siguen despues se exponen .con detalle algunos ejemplos clásicos de los tipos de flujo viscoso. Estos ejemplos deberán de entenderse perfectamente, puesto que con frecuencia nos, referiremos a ellos en capítulos posteriores, El lector se dará cuenta de que estos sistemas son demasiado sencillos para tener de por sí inteds en ingeniería. Si bien es cierto que representan casos muy idealizados, los resultados que se obtienen encuentran grandes aplicaciones en el estudio de numerosas cuestiones de mecánica de fluidos. Los sistemas que se estudian en este capítulo están ordenados de forma que el lector entra a considerar gradualmente los distintos factores que intervienen en la solución de los tipos de flujo viscoso. El problema de la película descendente, que se estudia en 0 2.2, proporciona información sobre el papel que juegan las fuerzas de gravedad y sobre la utilización de las coordenadas cartesianas; se indica tambien cómo puede llegarse a la solucionen el caso de que la viscosidad sea una función de la posici&n. En #. 2.3 se considera el flujo en un tubo circular, que ilustra sobre el papel de la presión y las fuerzas de gravedad, a la vez que se indica el uso de coordenadas cilíndricas; se expone asimismo cómo se tratan los problemas de flujo no-newtoniano. EI, flujo en un anillo cilíndrico, que se estudia en 0 2.4, pone de manifiesto cómo intervienen las condiciones iímite en la obtención de la solución final. En 0 2.5 nos adentrarnos más en la cuestión de las condiciones límite, al discutir el flujo de dos fluidos adyacentes inmiscibles. Finalmente, en 0 2.6 se considera brevemente el flujo alrededor de una esfera, con el fin de presentar un problema en 2-2 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO coordenadas esféricas e indicar al mismo tiempo como se opera con fuerzas normales y tangenciales. Los métodos y problemas que aparecen en este capítulo se aplican solamente al flujo en estado estacionario. Por «estado estacionario» se entiende que las condiciones en cada uno de los puntos de la corriente no varían con el tiempo. Es’&&, que una fotografía del sistema de flujo en el tiempo t sería exactamente igual a otra to m a da algGn tiempo después, t + LI t. En el Capítulo 3 se presentan las ecuaciones generales del flujo no estacionario. 8 2.1 BALANCES ENVOLVENTES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO: CONDICIONES LfMITE Los problemas que se discuten en 05 2.2 a 2.5 se estudian aplicando balances de cantidad de movimiento a una delgada «envoltura» de fluido. Para el flujo rectilíneo en estado estacionario, el balance de cantidad de movimiento es: velocidad de entrada velocidad de salida suma de las fuerzas de =o + que cantidad de movimientoI I actúan sobre el sistema (2.1-1) Al sistema puede entrar cantidad de movimiento por transporte, de acuerdo con la expresión newtoniana (o no-newtoniana), de densidad de flujo de cantidad de movimiento. También puede entrar cantidad de movimiento debido al movimiento global del fluido. Las fuerzas que nos interesan son las fuerzas de presibn (actuando sobre superficies) y las fuerzas de gravedad (que actúan sobre todo el volumen). El balance de cantidad de movimiento de la Ec. 2.1- 1 puede aplicarse solumente cuando las líneas de corriente del sistema son líneas rectas (es decir, para el flujo rectilíneo). El método de operación para sistemas con líneas de coriiente curvas se considera en forma de ejemplos en $3.4. En realidad, el origen de la Ec. 2.1- 1 no puede comprenderse hasta que no se estudie la deducción en el Capítulo 3, y concretamente la Ec. 3.2- 10. A este respecto pedimos al lector que acepte, sin más, el principio de la Ec. 2.1- 1 y que aprenda a utilizarlo en la resolucion de problemas sencillos de flujo viscoso en estado estacionaiio. ’ En general, el procedimiento a seguir para plantear y resolver problemas de Sujo viscoso es el siguiente: primeramente se escribe un balance de cantidad de movimiento, de la forma de la Ec. 2.1- 1 para una envoltura de espesor finito; después se haco tender hacia cero este espesor, utilizando la definición matemática de la primera derivada con el fin de. obtener la correspondiente ecuación diferencial que describe la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. Se ilb traduce entonces la adecuada expresión newtoniana de la densidad de flujo de cantidad de movimiento, con et fin de obtener una ecuación diferencial para la distribución de velwidad. Mediante la integración de estas dos ecuaciones diferenciales .. \“, DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR t3 se obtienen, respectivamente, las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad en el sistema. Esta información puede utilizarse después para calcular muchas otras magnitudes, tales como velocidad media, velocidad 9 máxima, velocidad volumétrica de flujo, perdida de presión, y fuerzas que actúan sobre las superficies límite. En las integraciones que hemos mencionado aparecen varias constantes de integración que se evalúan utilizando las «condiciones límite», es decir, determinaciones de hechos físicos para valores conc retos de la variable independiente. La mayor parte de las condiciones límite utilii&s son las siguientes: a. En las interfases sólido-fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se mueve la superficie misma; es decir, que se supone que el fluido esta adherido a la superficie sólida con la que se halla en contacto. b. En las interfases líquido-gas, la densidad de flujo de cantidad de movimiento, y por consiguiente, el gradiente de velocidad en la fase ‘líquida, es extraordinariamente pequeño, y en la mayor parte de los cálculos puede suponerse igual a cero. de Fig. 2.2-1. Diagrama esquemático del experimento de una película descendente, con indicación de los efectos finales. En la región de Longitud L la disk bución de velocidad está totalmente desarrollada. c . En las interfases líquido-líquido, tanto la densidad de flujo de cantidad de movimiento como la velocidad son continuas a través de la interfase; es decir, que son iguales a ambos lados de la interfase. En las secciones que siguen encontraremos estos tres tipos de condiciones límite. En esta sección hemos presentado algunas reglas generales para la resolución de problemas elementales de flujo viscoso. A continuación se aclara la aplicación de estas reglas para algunos sistemas sencillos de flujo. * 1 2-4 TRANSPORTE dE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Entrado de cantidad de movimiento debida 01 flujo \. , Entrado de cantidad Dirtribucibn de t Dirección da la gravedad Fig. 2.2-2. Flujo viscoso isotérmico de una película de liquido bajo la influencia de la gravedad, sin formación de ondulaciones. Capa de espesor A x sobre la que se aplica el balance de cantidad de mwimiento. El eje y es perpendicular al plano del papel. 6 2.2 FLUJO DE UNA PELfCULA DESCENDENTE Como primer ejemplo, consideremos una superficie plana inclinada, tal como se indica en la Fig. 2.2- 1. Estas películas se han estudiado en relación con torres de pared mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases y aplicación de capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido son constantes y se considera una región de longitud L, suficientemente alejada de los extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están incluidas en L; es decir, que en esta región el componente 21, de la velocidad es independiente de z. Comenzamos aplicando un balance de cantidad de movimiento z sobre un sistema de espesor dx, limitado por los planos z = 0 y z = L, y que se extiende hasta una distancia W en la direccibn y. (Véase Fig. 2.2-2.) Los distintos componentes del balance de cantidad de movimiento son por tanto: DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR velocidad de entrada de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en x (LWX~,)l, 2-5 (2.2-1) velocidad de salida de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en x + d x (2.2-2) velocidad de entra& de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en z = 0 (2.2-3) velocidad de salida de cantidad de movimiento z a traves de la superficie situada en z = L (2.2-4) fuerza de gravedad que actúa sobre el fluido (2.24) Observese que las diiecciones de «entradaN y «salida» se toman siempre en las’di.recciones positivas de los ejes x, y z (en este problema coinciden con la dirección del transporte de cantidad de movimiento). La notación Ix + dx quiere decir «evaluado para x + dx». Substituyendo estos términos en el balance de cantidad de movimiento de 1,a Ec. 2.1-1 se obtiene LwTzsiz - LwTz,I,+& + WAx Pdz=o - WAs ,w&L + LWAx pg cos /9 = 0 (2.2-6) Como V, valer lo mismo para z = 0 y z I L, para cada valor de x, los términos I tercero y cuarto se anulan entre sí. Dividiendo la Ec. 2.2-6 por LWdx y tomando el límite cuando dx tiende hacia cero: lim AS-0 7&+ A, - AZ 7,Zl, = pgcosp (2.2-7) El primer miembro de esta ecuación es por definición la derivada primera de r,, con respecto a x. Por tanto, la Ec. 2.2-7 puede escribirse así . 2-6 TR A N SP O R TE D E CA’NTIDA D D E M O V IM IE N TO d - 722 = pgcosp dx (2.2-8) que es la ecuación diferencial para la densidad de flujo de cantidad de movimiento trr. Al integrarla se obtiene 722 = ‘pgx cos j3 + c, (2.2-9) La constante de integración puede evaluarse aplicando la condición, límite correspondiente a la interfase líquido-gas- (véase $ 2.1): C.L. 1: para x = 0, t XI = 0 (2.2- 10) cuya substitución en la Ec. 2.2-9 conduce a CI = 0. Por lo tanto, la, distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento es (2.2-11) tal como se indica en la Fig. 2.2-2. Si el fluido es newtoniano, ya sabemos que la densidad de flujo de cantidad de movimiento está relacionada con el gradiente de velocidad mediante la expresión, < . Substituyendo este valor de tzs en la Ec. 2.2-11 se obtiene la siguiente ecuación diferencial para 1~ distribución de velocidad , \ duz (2.2-13) z= que puede integrarse fácilmente para obtener u*=( l%cosB gz + c, 2P 1 (2.2-14) La constante de integrkibn se evalúa a partir de la cchdición límite correspon> diente (2.2-15) ‘C.L. 2: para x = 8 v, = 0 Substituyendo esta condición límite en la Ec. .2.2- 14 se obtiene que C2 = (pg cos /3/2&8*. Por consiguiente, la distribución de velocidad es (2.2-16) DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-7 Resulta, por tanto, que el perfil de velocidad es parabólico. (Véase Fig. 2.2-2.) Una vez que se ha obtenido el perfil de velocidad, pueden calcularse las siguientes magnitudes : (i) La velocidad máxima u,,~~~ es evidentemente la velocidad para x = 0; por tanto vz,mú = Pg~2C-B 2P (2.2-17) (ii) La velocidad media CV,> en una sección transversal de la película, se obtiene mediante el cálculo siguiente: -. = Pga2cos B 3u (2.2-18) (iii) La velocidad volumétrica de flujo Q se obtiene a partir de la velocidad media, o por integración de la distribución de velocidad: . Q’ = r l v a dx dy = w a(v,) = pgw r p . ’ ’ (2.2-19) (iv) El espesor de Ta pelicula B puede expresarse en función de la velocidad media, de la velocidad volumétrica de flujo, o la velocidad de flujo de masa por unidad de anchura de pared (T = e &r,>): 3P(V*> .J a I Jz= Pg cos B J (2.2-20) (v) El componente-z de la fuerza F delfluido sobre la superficie se obtiene integrando ta densidad de flujo de cantidad de movimiento sobre la interfase fluidosolido : 2-8 c *<, : i. ’ ., , ’ .. TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO = pgGLWcos/l ’ (2.2-21) ES evidente que esto corresponde exactamente al coniponente-z del peso de todo el fluido, contenido en la película. LOS anteriores resultados analíticos son ~610 vhlidos cuando la película desciende en flujo laminar coxi líneas de corriente rectas.. Estas con&iones se cumplen para el flujo lento de películas viscosas delgadas. Experimentalmente se ha encontrado que al aumentar la velocidad CV,, de la película; al au,mentar su espesor 6, y al disminuir la viscosidad ‘cinemática Y = p/p, varía gradualmente la naturaleza del flujo. Durante este cambio gradual se pueden observqr tres tipos distintos de flujo, n$s ‘o menos estables: (0) flujo laminar con líneas de corriente rectas, (6), flujo - .laminar con ondulaciones, y, (c) flujo turbulento. La info6lgacih cuantitativa respecto del tipo de flujo que puede esperarse para una serie determinada de condi,..: &mes fíhas es ~610 fragmentaria. Para paredes vkticaks se puede dar la siguiente ‘j información: ll2 1 flujo laminar sin ondulaciones Rp < 4 a 25 flujo laminar con ondulaciones 4a25<Re<lOOOa2000 ‘-; , Re 3 1000 ‘a 2ooO flujo t u r b u l e n t o siendo Re = 4ikv,3a/~ T 4J’/p ei ni5nsero’ de, Reynolds para este sistema. El pÓrqué se utílii este grupo adimensional cog~o criterio del tipo’ de flujo se estudia más adelante en. los caphlos que tiguen. Y . Ejemplo 2.24. CYSdcnlo de h velodad de pdúda, Un aceite tiene una viscosidad chanática de 2 x 1W4 m2 JI-g-1 y una densidad de 0,s x 103 kg m-a. i CuAl tiene que $er la veloúdad de flujo de masa de una película &e , desciende por una pared vertical para que él kspesor de la misma sea de 23 mm ? SoIueih. De acuerdo con la Ek. 2.2-20, la velocidad de flujo de masa por unidad de anchura de paced es, (todos los valores numérieos están en unídades mks): cP& (2,5 x lo-y (0,s x Ioí) (9.80) ; l-EL= ,312 x lo-‘) 3v =.0,204 kg m-l seg-L 1 T. r(. SHERWOOD y ‘R L. husos, Ahorption and Extraction, McChw-Hill Nueva York (1952), p. 265. *S. S: GRIMLBY, Trans. fnst. Chenz. Engrs. (Londres), 23, 228-235 (1948). ..p i 1. ,’ DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 29’ , Éste es el resultado que se desea si, y solamente en este caso, el flujo es realmente laminar. Para averiguar la naturaleza del flujo, vamos a calcular el número de Reynolds basado en la velocidad de flujo .de masa que hemos hallado: _ ‘8. \ Re - 4r -* 4r y-pv-- 4 (0.204) . = 5,1 (adimensional) (0,s x 103) (2 x 10-4) Este número de Reynolds es inferior al límite superior que se ha indicado anteriormente L para el flujo laminar, y el valor calculado para,r es por tanto válido. Ejemplo 2.22. PeJ+mla descendente con viscosidad variable * Resolver de. nuevo el problema de la película descendente para el caso de que la viscosidad depe~a de la posición en la forma siguiente: p ií p&-afz/~ @ (2.2-22) , . en la que jtaes la viscbsidad en ta superficie de la película, y Q es una constante que expresa la rapidez con que disminuye /r al aumentar X. Una variación de este tipo ‘tiene lugar en et flujo descendente def condensado en una pared, con un gradiente lineal de temperatura a través de la pelicula. Demostrar cómo el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que a - 0 (película de viscosidad co&tante). S&&ín. Se procede igual que antes para establecer el balance de cantidad de movimiento y calculas la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento de la Ec. 2.2-11, Substituyendo después la ley de Newton (con Ja. viscosidad variable . de la Ec. 2.2-22) en la Ec. 2.2-11, se obtiene: -&#?-‘ld’~ = pgx COS B (2.2-23) , Esta ecuacion diferencial puede integrarse, y evaluar la constante de integración a partir de las condiciones Iímite,de la Ec. 2.2-15. El perfil de velocidad a que se llega es Con cl fin de hallar la velocidad para una película de viscosidad constante, damos a a el valor 0 en la Ec. 2.2224. Al hacer esto aparece una dificultad matemática que se resuelve desarrollando en serie, por la fórmula de Taylor, las dos funciones exponenciales: - . ’ V<I ‘, 7 2-10 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO =W-Blim PO a+o [( ;+;+... 19 12 - --+ 264 j2a+-** ) ( -[ 01 pg~cos~ 1 5 2 2c(@ á que está de acuerdo con la Ec. 2.2-16. A partir de la Ec. 2.2-24 puede demostrarse que la velocidad media es JI (2.2-25) (2.2-26) El lector puede comprobar que este resultado se transforma en la E$. 2.2-18 cuando a = 0. 0 2.3 FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR El flujo de fluidos en tubos circulares se encuentra con frecuencia en física, química, biología e ingeniería. El flujo laminar de fluidos en tubos circulares puede analizarse mediante el balance de cantidad de movimiento que se ha descrito en Ei 2.1. -La única modalidad nueva que se introduce aquí es el uso de coordenadas cilíndricas, que son las coordenadas naturales para describir las posiciones en una tubería circular. Consideremos el flujo laminar en estado estacionario.de un fluido de densidad constante p en un tubo «muy largo» de longitud L y radio R. Especificamos que el fubo sea «muy largo» porque vamos a suponer que no existen *efectos finales»; es decir, que vamos a ignorar el hecho de que a la entra& y a la salida el Aujo no será necesariamente paralelo a la superficie del tubo. Elegimos como sistema una envoltura cilíndrica de espesor dr y longitud L (véase Fig. 2.3-l), y comenzamos por enumerar las distintas contribuciones al balance de cantidad de movimiento en lê dirección z: .+ velocidad de entra& de cantidad de movimiento (2.34) WL7rJlr a través de la superficie cilíndrica situada en r velocidad de salida de cantidad de movimiento a través de la superficie cilíndrica situada en r + dr . DISTRlBUCIOhkS DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-11 velocidad de entrada de cantidad de movimiento a traves de la superficie anular situada en z = 0 * (2.3-3) velocidad de salida de cantidad de movimiento a través de la superficie anular situada en z = L (2.3-4) fuerza de gravedad que actúa sobre la envoltura cilíndrica (2írrArL)pg (2.3-5) fuerza de presión que actúa sobre la superficie anular situada en z = 0 t2nrArlpo (2.3-6) fuerza de presión que actúa sobre la superficie anular situada en z = L - (2nrAr)pL , (2.3-7) Téngase en cuenta una vez más que la «entrada» y «salida» se toma en la dirección i positiva de los ejes. Sumando las contribuciones al balance de cantidad de movimiento, se obtiene - (2nr~rpf$)l,=L + 2nr ArLpg + 2mr Ar(p, - pL) = 0 (2.3-8) Como se supone que el fluido es incompresible, V, es la misma para z = 0 y z = L, y, por tanto, los términos tercero y cuarto se anulan entre sí. Dividiendo la Ec. 2.3-8 por 2nLAr y pasando al límite, cuan+0 Ar tiende hacia cero, queda (2.3-9) El primer miembro de esta ecuación es por definición la derivada primera, y por, tanto la Ec. 2.3-9 puede escribirse así: (2.3-10) _ - ‘I TRANSi’ORTE Entra do de m o vim ie nto DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO c a ntida d de de b ido 01 tlujo Pa re d de l tubo - ntida d d de de mo Sa lida de c o ntido a de m ie nto de b ido a l tluio moni- Pre riã n ‘pL I Fig. 2.3-1 Envoltura cilíndrica de un fluido sobre la cual se aplica el balance de cantidad de movimiento, para obtener el perfil de velocidad y la fórmula de Hagen-Poiseuille para la velocidad volum&rica de flujo. en la que1 9 =p - pgz. La Ec. 2.3-10 puede integrarse para obtener: (2.3-11) La constante Cl tiene que ser cero si la densidad de flujo de cantidad de movimiento no es infinita para r = 0. La distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento es, por consiguiente - 1 El tkrmino B representa el efecto combinado de la presibn estática y la fuerza de gravitación. Con el fin de permitir otras orientaciones dz flujo, se puede definir Ben esta forma más generalb= p +pgh, siendo h la distaha medida huciu arribu (es decir, en sentido contrario a la gravedad) desde un plano cualquiera, que se tomñ como referencia. DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-13 (2.342) Esta distribucih se indica en la Fig. 2.3-2 ?- Distribucl6n parabólico de velocidad v,(r) /- ’ _. htribuct6n lineal de la drnrldod da fluio de :ontldod de movimiento í,r l :9, fr) Fig. 2.3-2 Distribuciqtes de velocidad y densidad de flujo de cantidad de movimiento para 1’ el flujo en tubos cilín~#. La ley de New& & l’a visc&i&d para este caso es dvz T,# = -p - dr Substituyendo este valor de z,, en la Ec. 2.3~ 12, se obtiene para la velocidad la siguiente ecuaci6n diferencial : (2.3-14) Integrando, se llega a (2.3-15) Teniendo en Cuenta la condición límite de que V, es cero para r = R, se obtiene para la constante C2 el valor ( ,Po-@~)R2/4,uL. La distribución de velocidad es por tanto \ i 2-li TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO . v, = (90 - ~L)R’ w Ll - Ul/ (2.346) Este resultado nos indica que la distribución de velocidad para el flujo laminar de un fluido incompresible en un tubo es parabólica. (Véase Fig. 2.3-2.) Una vez que se conoce el perfil de velocidad, pueden calcularse fácilmente las siguientes magnitudes : (i) La velocidad máxima, vZ, maX., tiene lugar para r =r 0, y su valor es (2.347) (ii) La velocidad media CV,>, se calcula sumando todas las velocidades en una c’ . sección transversal y dividiendo por el área de dicha sección: i i ;: t?lr l-R v,r dr de = (90 - C?h)RZ (2.3-18) (v*> = O z* OR W i ’ r dr de S0 S0 Los detalles de la integración se dejan para el lector. Nótese que CV,J = ‘/* v,, máX. _ (iii) La velocidad volumétrica deflujo Q, es el producto del área por la velocidad I media, por tanto J J (2.3-19) Este último resultado es la conocida ley de Hagen-Poiseuille, en honor de los dos científicos3,4 que se han hecho famosos con esta fórmula. Establece la relación que existe entre la velocidad volumétrica de tlujo y las fuerzas que originan dicho l%.rjo (las fuerzas relacionadas con la caída de presión y la aceleración gravitacional). (iv) El componente z de la fuerza del fluido que actúa sobre la supeqkie mojaa¿z’de la tuberia F,, es exactamente la densidad *de flujo de cantidad de movimiento . integrado sobre el área mojada: F, = (2nRL)(-p k)l.=,= TR”(~“~ - PL) ’ (2.3-20) =mR2bo - PL) +nR2Lpg 2 G. HAGEN, Ann. Phys. Chem., 46, ‘ J. L. P OISEUILLE, Comptes Rendus, I 423-442 (1839). Il, 961 y 1041.(1840); * 1 2 , 114 (1841). i DLWRIBUCIONES DE YELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR \ 2-1s .x Este resultado viene a decir que la fuerza neta que actúa en el sentido de la corriente sobre el‘cilindro de fluido, debido a la diferencia de presión y a la aceleración gravitacional, se equilibra exactamente por la fuerza viscosa F,, que tiende a oponerse al movimiento del fluido. Los resultados de esta sección son válidos solamente para valores del número de Reynolds inferiores a 2100, para los que el flujo es laminar. Para este sistema se acostumbra definir el número de Reynolds por Re = D<v,>p/p,, siendo D = 2R, el diámetro del tubo. A continuación vamos a resumir todas las suposiciones que están implícitas en el desarrollo de la ley de Hagen-Poiseuille: a. El flujo es laminar (Re menor que aproximadamente 2100) b. La densidad p es constante («flujo incompresible») c . El flujo es independiente del tiempo («estado estacionario»); el problema correspondiente al estado no estacionario se trata en $ 4.1. d. El fluido es newtoniano; es decir, trí = - ,u(dv,/dr). e. Los efectos finales son despreciables. En la práctica ,se necesita una «Iongitud de entrada» (despu& de la entrada del tubo) del orden dey L, = 0,035 >D Re para que se formen los perfiles parabólicos. Si en la sección de la tubería de que se trata está incluida la región de entrada hay que aplicar una correccións. El factor de corrección que se introduce bien sea en ABo en Q nunca excede de LJL si L > Le. jI El fluido se comporta como un medio continuo. Esta, suposición es válida, excepto para los gases muy diluidos o tubos capilares muy estrechos, en los que el recorrido libre medio es comparable al diámetro del tubo (régimen de «flujo de deslizamiento»), o mucho mayor que el diámetro del tubo (régimen de «flujo de Knudsen» o de «flujo de molécula libre»)6. g. No hay deslizamiento en la pared. Esta suposición es muy correcta para los fluidos puros en las condiciones que se han supuesto en (f). Ejemplo 2.3-1. Kbeterminnci6n de la viscosidad P partir de datos de flujo eh un capilar Por un tubo horizontal de.30 cm de longitud y 25 mm de díametro interno, fluye glicerina lCH,OH . CHOH. CH,OH)‘a 26,5” C. Para una caída de presión de 2,957 kg cm - 2 la velocidad de flujo es 1,883 cm3 seg-‘ *. La densidad de la glicerina a 26, 5” C es 1,261 g crnmM3. A partir de estos datos calcular la viscosidad de la glicerina en centipoises. (La medida del flujo en tubos capilares es uno de hx,métodos corrientes para la determinación de viscosidad; estos aparatos se denominan «viscosimetros capilares».) . 6 J. H. PERRY, Chemicul Engineers Humf600ck, McGraw-Hill, Nueva York (1950). Tercera edición, pp. 388-389. W. M. KAYS y A. L. LONDON. Contpuct Heut Ekrhungers, McGraw-Hill, Nueva York (1958), p. 49. s M. KNUDSEN, The Kinetic Theory of Gases, Methuen, Londres (1934). E. H. KENNARD, Kincric Tlreory of Gases, McGraw-Hill, Nueva York (1938). G. N. PATTERSON, Molecular F/ow of Cuses, Wiley, Nueva Ycrk (1956). : , 2-16 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Solución. A partir de la ley de Hagen-Poiseuille (Ec. 2.3-19). se obtiene: = x (2,957 x 10s g cm-s) (981 dinas g-t) (1.25)’ x 10-4 cm4 8( 1,883 cma seg-t) (30 cm) = 4,92 g cm-t seg-* = 492cp (2.3-21) Es preciso comprobar que el flujo es laminar. El número de Reynolds es 4%)~ 4 Q P R e LIApl,- P rDC( 4(1,883 cmaseg"l)(1,261 g cm-*) = fc (0,24 cm) (4.92 g cm-l seg-t) = 2,46 (adimensional) (2.3-22) Por 10 tanto, el flujo es evidentemente laminar. Por otra parte, la longitud de entrada, L,, e s L ,+0,0350 Re = (0,035)(0,25) (2.46) = 0,022 cm De esto se deduce que los efectos de entrada carecen de importancia, y que el valor de la viscosidad que hemos obtenido está correctamente calculado. Ejemplo 2.3-2. Flujo de Bingham en un tubo cppik Un fluido cuyo comportamiento se ajusta muy aproximadamente al modelo de Bingham (vtase Ec. I .2 -2) circula por un tubo vsrtical en virtud de ,un gradiente de presión y/o la aceleracion de la gravedad. El radio y la longitud del tubo son, respectivamente, R y L. Se desea obtener una relación entre la velocidad volumétrica de flujo, Q, y la combinación de !as fuerzas de presión y gravedad que actúan sobre el fluido. Solucidu. La distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento para el flujo de cualquier clase de fluido en un tubo circular, viene dada por la Ec. 2.3 - 12. De acuerdo con la Fig. 1.2- 1, el gradiente de velocidad para un fluido de Bingham es cero mientras la densidad-de flujo de cantidad de movimiento seá menor de un cierto valor T i Por lo tanto, es de esperar que exista una región de «flujo de tapón» en la parte central del tubo, tal como se ha representado en la Fig. 2.3-3. Fuera de la región de flujo de tapon, la densidad de flujo de cantidad de movimiento y el gradiente de velocidad estan relacionados por la Ec. 1.2-2~. Substituyendo en la Ec. 2.3 - 12 la Ec. 1.2-2~. expresada en coordenadas cilíndricas, se obtiene (2.3-23) $ DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO 1!1 LAMINAR Distribuci6n velocidnd vJr) 2-17 de ! Regibn de fluio de -4 tom&l c o n Dirtribuchh de densidad de fiuio de cantidad de Íno”lmicnt0 Fig. 2.3-3. Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circular. Al integrar esta ecuación diferencial de primer orden de variables separables, resulta pz ( 90 -sZ = - - 4PoL ) (2.3- 24) r2 + j: r + Cs La constante C, se calcula utilizando la co’ndicibn limite de que u, = 0 para r =& Con esto se ilega finalmente a la siguiente distribución de velocidad: VO VZ , = (90 - “PL)R2 [II _ (!l.)“] -Z$[I - (s)] r > 4P& ro (2.3- 25) . < r < ro .. \ (2.ii26) -.” _ 2-18 TR A N SP O R TE DE C A N TID A D DE M O V IM IE N TO Siendo re el radio de la región de flujo de tapón, que está definido porT,, = (pe - Po) ’ r0/2L. La PC. 2.3 -26 se obtiene haciendo r = re en la Ec. 2.3 -25 y simplificando. La velocidad volumétrica de flujo puede calcularse de la siguiente forma: Q =r&rdrdt9 li 277 ro s0 (2.3-27) v,<rdr +2~ R s‘0 v,’ r dr Las integrales pueden evaluarse substituyendo en estas ecuaciones las correspondientes expresiones de v,< y v,s. Sin embargo, resulta más sencillo integrar por partes la primera expresión de Q: (2.3-28) El término r%, es cero para ambos límites, y además, el límite inferior de la integra1 puede substituirse por ro puesto que dv,/dr = 0 cuando r < ro. Por lo tanto, la velocidad volumétrica de flujo es Q=n s R fo ( -duz >/dr)r2 dr (2.3-29) , Efectuando la integración, y utilizando el símbolo rR para la densidad de flujo de cantidad - TdR , se obtiene de movimiento en la pared, Po 2L Q = “(pos; L)R’ [I -;(z) +pJ] (2.3-30) 0 que es la Ecuación de Buckingham-Reiner. 7*8*9 Cuando ro es cero, el modelo de Bingham se transforma en el modelo newtoniano, y la Ec. 2.3-30 se convierte en la ecuación de Hagen-Poiseuille. 0 2.4. FLUJO A T R A V ÉS DE UNA SECCIÓN DE CORONA CIRCULAR Vamos a considerar ahora otro problema de flujo viscoso en coordenadas ci-lindricas, pero cuyas condiciones límites son diferentes. Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a través de la región comprendida entre dos cilindros 7 E. BUCKINGHAM, froc. ASTM, 21, 1154-1161 (1921). * M. REINER , Defutnxdion and f/ow, Lewis, Londres (1949). s M. REINER, «Phenomenological-Macrorheology», capítulo 2 de Rheologu, Academic Press, Nueva York (1956). vol. 1, p. 45 F. R. Eirich (Pd.). DISTRIBUCI0NlS.Y DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-19 circulares’coaxiales de radios K R y R (véase Fig. 2.4-1). Comenzamos efectuando ’ un balance de cantidad de movimiento sobre una fina envoltura cilíndrica, y se X~rribución de re lo c ido d Xstrìbuc i6n :o rta nte Ruio de d e l e sfue rzo - o de nsida d de cantidad de m o vim ie nto Fig. 2. 4-1. Flujo ascendente a través de dos cilindros conchtricos. llega a la misma ecuación diferencial que se ha obtenido anteriormente para el flujo en un tubo (véase Fk. 2.3-10): (2.4-1) TCngase en cuenta que para este problema 6?= p + pgz, puesto que las fuerzas de presión y gravedad actúan en direcciones opuestas (es decir, que z corresponde a h en la nota 1 al pie de la página 45). Esta ecuación diferencial puede integrarse igual que antes (véase Ec. 2.3-1 l), para obtener (2.4- 2) 2-20 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE M@VlMIENTO La constante Cr no puede determinarse de forma inmediata, puesto que no, disponemos de información acerca de la depsidad de flujo, de cantidad de movimiento en ninguna de las dos superficies r 5 K R o r = R; Lo más que podemos decir es que ha de existir’ un máximo de la curva de velocidad’ en un cierto plano (ha sta ahora desconocido) r = AR, para el cual la densidad de flujo de cantidad de movimiento ha de ser cero. Teniendo esto en cuenta, puede substituirse Cr por -(9$ - qL) (AR)2/2L, con lo que la Ec. 2.4-2 se transforma en (2.4-3) Nótese que A. es todavía una constante de integración desconocida. La única razón de haber substituido Cr por A es que conocemos el significado físico de A. Substituyendo en la Ec. 2.4-3 la ley de la viscosidad de Newton t,* = - p(dv,/dr) se obtiene esta ecuación diferencial: \ ‘&=-(~o-~L)R dr (2.4-4) 2pL 13 Integrando con respecto a r: “, = _ v. -4pLL 9 j*[(i)‘- 2Pln (i) + Cs] (2.G) I Ahora pueden evaluarse las dos constantes de integración/& y Ca, utilizando las dos siguientes condiciones límite : \ V # Z ( ) il C.L. 1 : para r = K R (2.4-6) para r = R C.L.’ 2: v,=o (2.4-7) Substituyendo estas condiciones límites en la Ec. 2.4-5 se obtienen estas dos ecuaciones simultáneas 0 = - (9 o - SL)R2 (K* _ 44 0 = _ (9 0 - a Re 4/4L 2;ia *n K + C,) (1 + C,) i (2.4-8) (2.4-9) de las que se deduce el valor de las constantes Ca y f. ca=-1 /’ 212 - 1 - 2 *n (*/K) (2.4-10,ll) DISTRlBUCIONEb DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-21 Substituyendo estos valores en las Ecs. 2.4-3 y 2.4-5 se obtienen, respectivamente, la distribución1 de densidad de flujo de cantidad do movimiento y la distribución , de velocidad, para el flujo incompresible en estado estacionario a trav$s do dos tubos concéntricos Obdrvese’ que cuando K se hace cero estas ecuaciones se. transforman en las correspondientes al flujo en tubos circularos (véanse Ecs. 2.3-12 y 2.3-16). El lector deber8 de habituarse a comprobar analíticamente los resultados para asegurarse de que describen adecuadamente los «casos límite». Una vez que se conocen ya las d,&stribuciones de velocidad y densidad de flujo de cantidad de movimiento, pueden obtenerse de forma inmediata otras magni. tudes interesantes: * b ( (i) La velocidad máxima i$ (ii) L a velociakd rriedia - - 1-Ks - In (fh) (2.4-15) (iii) La Velocidad volum&rica de flujo Q = wR’(l - K*)(U,) = 71(@‘0 - @+R’ (, ‘@AL /” (id, La fuerza ejercida por elj?uido sobre el sblido se obtiene sumando las fuer- . zas que actúan sobre los cilindros interior y exterior, respectivamente: F‘ = -?SLR 7 ‘~KRL + T,,[,,~ - 217RL = wR*(l - KvTo - gL) (2.4-17) 1 Lz distribu&n de la densidad de flujo de cantidad de movimiento para el flujo no-newtoniano no viene dada por La Ec. 2.4-14. Nase el problema 2.9. , ‘1 2-i; TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MotiIMlENTO El lector deberá de comprobar e interpretar, como ejercicio, estos resultados. Las ecuaciones anteriores se transforman en las fórmulas para el flujo en tubos circulares en el CSO límite de que K + 0. De igual forma, se obtienen también las ecuaciones para el flujo en rendijas planas cuando K + 1 . Los procesos necesarios para obtener estas últimas se tratan en los problemas 2.F (para la velocidad volumétrica de, flujo) y 2.P (para los perfiles de velocidad). La solución que se ha obtenido es sólo válida para el flujo laminar. La transición de laminar a turbulento se produce en las inmediaciones de Re = 2000, estando el número de Reynolds definido por Re = 2R (1 - K) cu,>&. En realidad, antes de la transición, el flujo laminar estable presenta un movimiento sinuos&. 6 2.5 FLUJO ADYACENTE DE DOS FLUIDOS INMISCIBLESr -Hasta aquí hemos considerado casos de flujo con superficks de separación sólidofluido y líquido-gas. Vamos a ver ahora un ejemplo de flujo con superhcie de separación líquido-líquido. (Véase Fig. 2.5- 1.) z ----- cortante o densidad de flujo de cantidad de mavlmlento Fig. 2.5-1. Flujo de dos fluidos inmisciblea entre dos Uminas planas paralelas debido a un gradiente de presión. Dos fluidos inmiscibles e incompresibles circulan, debido a un gradiente de presión, en la dirección z de una estrecha rendija horizontal de longitud L y anchura W. Las velocidades de los fluidos están ajustadas de tal forma que una mitad & la rendija esta llena del fluido I (la fase ,@s densa), y la otra mitad está ocupada por el fluigo II (la fase menos densa). Se de- analizar la distribución de velocidad y de densidad de 5ujo de cantidad de movimiento en este sistema. Un balance diferencial de cantidad de movimiento conduce a la siguiente ecuación : *R. S. PRENGLE y R. R. ROTHEUS, Ind. Eng. Chcm., 47, 379-386 (1955). 1 El flujo adyacente de una capa hminar y otra turbulenta ha sido estudiado por T. J. HAI+ RA’ITY y J. M. ENGEN, A. 1. Ch. E. Journal, 3,399-304 (1957). El flujo anular gas-líquido en tubos ha sido tratado por. A. D. K. LAIRD, Trans. ASME, 76, 1005-1010 (1954). y S. CALVERT y B. WW LIAbIS, A. I. Ch. E. Journal, 1, 78-86 (1955). . DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD dTzi -= PO'- dx EN FLUJO LAMINAR 2.23 ‘(2.5-1) PL L Esta ecuación se obtiene tanto para la fase 1 como para la fase II. Integrando ia Ec. 2.5-1 para las dos regiones, resulta ,’ 72; Tzr 1 = II= Po -pL x + c,* L ) (2.5-2) Po - PL 2 + c,*' L 1 (2.5-3) ( ( Se utiliza la condicih límite de que el transporte ye cantidad de movimiento es continuo a través de la interfase de los dos fluidos: C.L. 1 : t III IS - -r .u para x f 0 (2.5-4) Lo que nos indica que CI’ = Clu, y, por tanto, le llamaremos simplemente constatite de integración CI. Si se substituye la ley de Newton de la viscosidad en las Ecs. 2.5-2 y 2.5~3, se llega a (2.5-5) (2.5-6) La integración de estas ecuaciones da Cl v,’ = - (Po-PLV ---p+c~ 2p’L EL (2.5-7) (Po - PL)zt-+ + ,;1 % 11 = - (2.5-8) 2pL p Para determinar las tres constantes de integrach, límite adicionales se utiliin estas tres condiciones C.L. 2 : para x = 0, yI -;rr x -x C.L. 3 : para x = - 6, C.L. 4 : para x = + b, YI* = o v”=O I (2.5-9) (2.5- 10) (2.5+j . 2-24 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Al establecer matematicamente estas condiciones límite se obtiene B.C. 2: c,‘3 B.C. 3: 0 B.C. 4: 0 = _ (PO - p# cz” (2.G 12) = -(Po - PLW + Clb 2pIL - - J + ca1 2c(“L (2.5-13) (2.5- 14) De estas ecuaciones se deduce que Cl = - (2.5-15) c2I= + (2.5-16) Por lo tanto, los perfiles de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad son: w-19) Estas distribuciones se indican en la Fig. 2.5- 1. Observese que si $ = pn, ambas distribuciones son iguales, y los resultados se transforman en el perfil parabblico de velocidad para el flujo laminar de un fluido puro en una rendija. La velocidad media en cada capa puede calcularse de esta forma: (~3 = i sob,,1 dx = (po12pI- p3ba( IL pI$ + pIWII ) (2.5-20) (2.5-21) A partir de las distribuciones de la densidad de flujo de cantidad de movimiento y de la velocidad, que hemos obtenido anteriormente, se puede además calcular la velocidad maxima, la velocidad en la interfase, el plano de esfuerzo cortante rero y la fricción en las paredes de la rendija. DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJ O LAM INAR 2-25 0 2.6 FLUJO REPTANTE ALREDEDOR DE UNA ESFERA SCjLIDAI? En las secciones anteriores hemos resuelto algunos problemas elementales de flujo viscoso, mediante. la aplicación de balances diferenciales de cantidad de movimiento. En la sección inicial de este capítulo se insistió en que este método de análisis está restringido a los sistemas con líneas de corriente rectas. Puesto que el problema del flujo alrededor de una esfera implica líneas de corriente curvas, no puede resolverse por las técnicas que hemos visto en este capítulo. Sin embargo, lo trataremos aquí brevemente debido a la importancia que tiene en ingenieria el flujo alrededor de objetos sumergidos. No se pretenden deducir las expresiones para las distribuciones de la densidad de flujo de cantidad de movimiento, de la presión y de la velocidad, sino que enunciaremos estos resultados y los utilizaremos despub para deducir algunas relaciones importantes que serán necesarias en posteriores tratamientos. Consideremos el flujo muy lento de un fluido incompresible alrededor de una esfera sólida, tal como se indica en la Fig. 2.6-1. La esfera es de radio R y di& metro D. El fluido tiene una viscosidad ~1 y una densidad p, y asciende verticalmente hacia la esfera con una velocidad uniforme V, a lo largo del eje z negativo. Analfticw mente se ha encontrado que para un flujo [muy lento, la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento, la distribución de presión, y los componentes de la velocidad, expresados en coordenadas esféricas, son: (2.64) (2.6-2) (2.6-3) j Os= -Il-[1 -a(f) - a(F)3]senf3 j w-4) En la Ec. 2.6-2, p. es la presión en el plano z = 0 alejado de la esfera, - pge es la contribución del peso del fluido (efecto hidrostático), y el termino que contiene V, 1 V&~st C. 0. STOKES, Traes. Cambridge Phil. Soc., 9, 8 (1850). Vtase cambien H. LAMB, Hydrodynundcs, Dover, Nueva York (1945), primera edición americana, &! 338, pp. 602 y SS.; V. L. STREETER, Fkrid Dynamics. McGraw-Hill, Nueva York (1948). pp. 235-240. Un tratamiento mas mmucioso puede verse en H. VILLAT , Lecons sur lesfhddes visqueux, Gauthier-Villars, París (1943). capitulo 7, en el que se considera el movimiento no estacionario de una esfera. 2 El flujo no-newtoniano alrededor de una esfera ha sido estudiado por J. C. SLATTERY, tesis dxtoral, Universidad de Wisconsin (1959).. ~ ‘/ 2-26 * TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOt’lMlENTO resulta como consecuencia del flujo del fluido alrededor de la esfera. Estas ecuaciones son solamente válid.as para «flujo reptante», que para este sistema tiene lugar cuando el numero de Reynolds J&p/~ es inferior a aproximadamente 0,l.. Esta región se caracteriza por la virtual ausencia de remolinos aguas abajo de la esfera. Obsérvese que la distribución de velocidad cumple la condición de que V, = ie = 0 en la superficie de la esfera. Además, puede demostrarse que v, tiende hacia v, para puntos alejados de la esfera. Por otra parte, se ve claramente que, lejos de la superficie esférica, la distribución de presión se transforma en la ecuación hidrostática p = p. - pgz. Por lo tanto, las ecuaciones deben de satisfacer las condiciones límite parar=Ryr= co. Calculamos ahora la fuerza neta que el fluido ejerce sobre la esfera. Esta fuerza se calcula integrando la fuerza normal y la fuerza tangencial sobre la superficie de la esfera. Radio de lo esfera = Cn R coda punm existen fuerzas de presión y fricción que actúan sobre la rupaficie d e l o esfera El fluido asciende con “, uno vslocidod u, l Pig. 2.6-1. Sistema coordenado utilizado para describir el flujo de un fluido alrededor de una esfera rígida. htegracidn de la fuerza normal En cada punto de la superficie esférica existe una presión sobre el sólido que w. , DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR . 2-21 acttia perpendicularmente a la superficie. El componente z de esta presión es - .p cos 8. Esta presibn local se multiplica por el área de la superficie sobre la que actúa, R2 sen 8 d0 d#, y se integra sobre la superficie esférica para obtener la fuerza resultante, en la dirección z: fS 2a F, = o I o (- PLR cos B)R2 sen 0 de d# (2.6- 5) La distribución de presión en la superficie de la esfera es plrcR = Po - pgR COS 8 - 3PV 2 R - 2 COS w-4 8 Esta expresión se substituye en la integral de la Ec. 2.6-5. La integral que contiene se anula, la de - pgR cos 8 da la fuerza de flotación del fluido sobre el sólido, y la integral en que interviene la velocidad da la resistencia de forma. Por lo tanto, queda finalmente .\I p. F, = bR3pg + 2~r,uRv, (2.6- 7) Integración de la fuerza tangemid- En cada punto de la superficie existe también un esfuerzo cortante que actúa tangencialmente. Este esfuerzo, - tre es la fuerza que actúa en la dirección t9 sobre la unidad de área de la superficie esférica. El componente z de esta fuerza, por unidad de área, es (- t,& (- sen 0). Multiplicando por R2 sen 8 de d$ e integrando sobre la superficie de la esfera, se obtiene la fuerza resultante en la dirección z: F, = SS tr 0 0 I (+T,.&~ sen t9)R2 sen 8 de d# (2.643) La distribución del esfuerzo cortante en la superficie de la esfera, de acuerdo con la Ec. 2.6-1, es T+I,=~ = -3PV 22 sen 2 R (2.6- 9) 8 Substituyendo esta expresión en la integral de la Ec. 2.6-8, se obtiene la wesistencia de fricción» (2.610) Ft = 4m~“Rv, Por lo tanto, la fuerza total F del fluido sobre la esfera, viene dada por la suma de las Ecs. 2.6-7 y 2.6-10: . .: u:.: 2-28 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO F = 4/3nR$g (fuerza detlotacih) + &pR v, (resistencia de fortyfa) 4np Rv, + (2.6-11) (resistencia de frkcibn) o bien (2.6-12) i El primer término del segundo miembro de la Ec. 2.6-12 representa el empuje y el segundo resulta como consecuencia del movimiento del fluido alrededor de la esfera. Para posteriores consideraciones, es conveniente designar estos dos términos por FS (la fuerza que se ejerce aunque el fluido esté en reposo) y FA (la fuerza que resulta del movimiento del fluido, o sea, la contribución «cinética»); en el caso que estamos considerando, estas fue&& son F, = %R=pg ’ (2.6-13) F = %rR=pg + 6q.4Rv, F, = óquRv, (2.6-14) La Ec. 2.6- 14 es la conocida lev de Stokes. Se aplica en el movimiento de partículas coloidales por efecto de un campo eléctrico, en la teoría de sedimentación, y en el estudio del movimiento de partículas de aerosoles. Téngase en cuenta que la ley de Stokes es válida para números de Reynolds (basados en el diámetro de la esfera) inferiores a aproximadamente 0,l; para Re = 1, la ley de Stokes-predice una fuerza resistente que es un 10 por ciento menor. El comportamiento de este mismo sistema para números de Reynolds más elevados se estudia en el Capítulo 6. Este problema indica que cuando las líneas de corriente son curvas es preciso desarrollar una formulación más general de la mecánica de fluidos, tal como se presenta en el Capítulo 3. Ejemplo 2.6-1. Determinación de la viscosidad a partir de la velocidad lInaI de caída de una esfera Deducir una relación que permita obtener la viscosidad de un fluido mediante la velocidad de caída en estado estacionario de una esfera en el seno de un fluido. Solución. Si una esfera, inicialmente en reposo, se deja caer en un fluido viscoso, adquiere un movimiento acelerado hasta que alcanza una velocidad constante («final»). Cuando se alcanza este estado, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero. La fuerza de gravedad actúa sobre el sólido en la dirección de la caída, y el empuje a y la fuerza debida al movimiento actúan en sentido contrario: En esta expresión, R es el radio de la esfera, ps la densidad de la esfera, p la densidad del fluido, y v1 la «velocidad finah. Despejando ,u de la Ec. 2.6-15, se obtiene P = 2R2b3, - &/% (2.646) Este resultado es válido solamente cuando Dutp/p es menor que aproximadamente 0,l. , DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-29 CUES TION ES P ARA DIS CUTIR 1. iCuál es la detinici6n de derivada primera y c6mo se utiliza esta definición en relación con los balances aplicados a una envoltura? 2. Comparar la variación de T,, con r para el flujo laminar de un fluido en un tubo y en tubos conc6ntrico.s. 3. ~Cual es la ley de Hagen-Poiseuille y a qu¿ se debe su importancia? Comprobar su consistencia dimensional. 4. ~,Que es el número de Reynolds? iCuales son sus dimensiones? 5. Para el flujo en tubos con&tricos, ~cuál de las dos paredes, interior o,exterior, esta mas prbxima a la superficie donde la densidad de flujo de cantidad de movimiznto es cero? 6. ¿Qu6 limitaciones se han hecho en la deducción de la fbrmula que da el espesor de una película descendente? 7. ¿CuBl es el significado físico de las cuatro condiciones limite que son necesarias para determinar las cuatro constantes de integraci6n en 0 2.5? 8. ¿CuBl es el intervalo de validez de la ley de Stokes? 9. iEs de esperar que la ley de Stokes sea valida para el descenso de las gotitas de un líquido A en el seno de un medio liquido inmiscible B? 10. iSe cumplira la ley de Stokes para el descenso de diminutas particulas en aire, si el di& metro de las partículas es del orden del recorrido libre medio de las mokculas del aire? ll. En g 2.6, Fs y Fk deberian en realidad de tratarse como magnitudes vectoriales. iCómo se ,modificaria la Ec. 2.6- 12 si la direcci6n de flujo del fluido no fuese exactamente contraria a la aceleración de la gravedad? 12. iCómo se elige la forma y la orientación del elemento de volumen utilizado para aplicar un balance de envoltura? 13. i En qu6 lugar de la deducción efectuada en 8 2.3 habría que comenzar a introducir modificaciones. si (u) el coeficiente de viscosidad fuese una funci6n de r (debido a condiciones no isotermicas. por ejemplo); (b), el fluido fuese no-newtoniano? 14. Disctitanse las dificultades de medida implícitas en la determinacibn de viscosidades absolutas mediante la f6rmula de Hagen-Poiseuille. Estúdiense los efectos relativos que sobre el resultado ejerce un error de un 1 por ciento en las distintas medidas. 15. Dos liquidos inmiscibles A y B fluyen con movimiento laminar entre dos laminas planas paralela.s~~Seria posibk que los perfiles de velocidad fuesen de la siguiente forma? (Explíquense brevemente las razones de la respuesta.) 16. lCu&l es la velocidad final en un campo eltctrico de intensidad 6, de una partlcula coloidal esftrica que posee una carga r? (Admítase que se cumple Ia ley de Stokes.&.. “\ 2-30 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO PROBLEMAS 2.A1 De t e rm ine c ié n del radio de um capilar mediante m de flujo Uno de los métodos para determinar el radio de un tubo capilar consiste en medir la velocidad de Rujo de un fluido viscoso a través del tubo. Hallar el radio de un capilar a partir de los siguientes datos: Longitud del capilar = 50,02 cm Viscosidad cinemática del fluido = 4,03 x lo-5 mg seg-t Densidad del fluido = 0.9552 x 103 kg m-3 Caída de presión a trav6s del tubo capilar (horizontal) = 4,829 x 10s newtons m-z = 4,766 atm. Velocidad de flujo de masa a trav&s del tubo = 2,997 x 10-3 kg seg-1 * iCual es el principal inconveniente de este metodo? Sugieranse algunos otros metodos de determinación del radio de tubos capilares. Respuesta: 0.7512 mm. 2.B1 Velocidad volumétrica de flujo a través de un anillo cirudar Un anillo circúlar horizontal tiene una longitud de 8.23 m. El radio externo del cilindro interior es de 1,257 cm y el radio interno del cilindro exterior es de 2,794 cm. Mediante una bomba se hace circular a trav6s del conducto anular una solucion acuosa de sacarosa (Ct2H2a0t1) al 60 por ciento a 20” C. La densidad del fluido es de 1,286 g cm-3 y su viscosidad 56,5 cp. iCual es la velocidad volumetrica de flujo cuando se le comunica una diferencia dé presión de 0.379 kg cm-z? Respuesta: 3.06 x 103 cm3 seg- 1. * 2.CI ,Pbrdida de parhdas eatplítkas en un gas de escape a. Determinar el diámetro máximo de las partículas de un catalizador constituido por microesferas. que pueden perderse en el gas que va a la chimenea en una unidad de cracking de un fluido, en las siguientes condiciones: Velocidad del gas en el eje de la chimenea = 395 cm seg-t (verticalmente hacia arriba) Viscosidad del gas = 0,026 cp Densidad del gas = 7,21 x 10-4 g cm-3 Densidad de una partícula del catalizador = 1,2 g cm-3 Expresar el resultado en micrones (1 micrón = 10-6 cm) 6. ¿Se puede utilizar la ley de Stokes en el caso (a)? Respuesfa: Dmix = 110 micrones; Re = 0,93. 2.D2 Flujo de usa película desandente. Otras deduceiones a. Deducir el perfil de velocidad y la’velocidad media, situando el origen de coordenadas de forma que X se mida a partir de la pared (es decir. X = 0 corresponde a la pared y Y = 6 a la superficie libre de la película). Demostrar que la distribuci6n de velocidad viene dada por u. = &w cos / mvls - WWI (2.~ 1) y que la velocidad media es la que se expresa en la Ec. 2.2-18. Demostrar como se puede llegar a la distribuci6n de velocidad de la Ec. 2.D- 1 a partir de la Ec. 2.2-16. b. En los problemas de este capítulo sc ha seguido el procedimiento siguiente: (i) deduch una ecuación diferencial de primer orden para la densidad de flujo de cantidad de movimiento, ( i) DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-31 integrar esta ecuación. (iii) introducir en este resultado la ley de Newton con el fin de obtener una ecuaci6n diferencial de primer orden para la velocidad, (iv) integrarla para obtener la distribucibn de velocidad. Otro procedimiento consiste en, (i) deducir una ecuación -diferencial de primer orden para la densidad de flujo de cantidad de movimiento. (ii) substituir la ley de ,Newton en esta ecuación con el fin de obtener una ecuación diferencial de segundo orden para la velocidad, (iii) integrar esta ecuación con el fin de obtener la distribución de velocidad. Aplicar este procedimiento, substituyendo la Ec. 2.2-12 en la Ec. 2.2-8, y continuar en la forma que se ha indicado. hasta obtener Ir distribuci6n de velocidad. Entra d a de ftuido So lid o de , fluid o Fig. Z.E. Flujo a trav&s de una rendija. Un fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planas separadas una distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de f l u j o de cantidad de movimiento y de velocidad (vtasc Fig. 2.E): (2.51) 1p-a 2-32 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO en las que B= p + pgh = p - pgz ~Cual es la relación de la velocidad media a la mzixima en la rendija? Obtener la ecuación análoga a la de Hagen-Poiseuille para la rendija. Respuesto: (u,) = %v.B,,;r ; Q = i (90 -py w Distrib uc ib n d e n- n- ,. ve lo c ida d c n e l Inte rio r de l tub o Distr~b uc i6n d e ve lo c ida d a n la p sllc ulo e xte rio r l L Entro dk de c a ntida d de m o hie nto e n lo e ttvolt+o da e spe so r E I l o lid a de c o ntidnd Ie m o vim ie nto c n l o ~nvb ltum de e spe so r Ar 2ñrArL Fig. 2.C. Distribuciones de velocidad y balance de cantidad de movimiento, para una pelicula que asciende por el exterior de un tubo circular. I~IS7RIBUCIONE.S DE YELO,CIIM Ll E N F L U J O L A M I N A R 2-33 2.Fz Relación entre las fórmulas de la rendija y del anillo circular Cuando un anillo es muy delgado puede considerarse. muy aproximadamente, como una rendija estrecha. Por consiguiente, se pueden aplicar los resultados del problema 2.E. Por ejemplo, a partir del problema 2.E. es posible cbtener la velocidad volumétrica de flujo en un anillo cuyo radio de la pared externa es R y el de la interna (1 - e) R, biendo Q pequeno. tomando 28 igual a ER y W igual a 2.-rR, con lo que. (2.F-1) Demostrar que se obtiene el mismo resultado a partir de la Ec. 2.4-16, tomando para K el valor I - l y desarrollando la expresión de Q en potencias de c. Esta operación requiere el uso de la serie de Taylor, (2.F-2) In (1 - e) = -e - &’ - fc’ - fc’ - . . . y efectuar después una división. (Nora: Utilizar en la deducción los cuatro primeros términos de la serie de Taylor de la Ec. 2.F-2.) 2.Gz Flujo laminar en un película que desciende por el exterior de un tubo circular En una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeno tubo circular, para descender despues por la parte exterior del mismo. (Vease Fig. 2.G.) Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envoltura de película de espesor -Ir. tal como se indica en la figura. Observese que las flechas de «entrada de cantidad de movimiento» y «salida de cantidad de movimiento» se toman siempre en la direccion r positiva al efectuar el balance, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en la dirección r negativa. a. Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los efectos finales) es (2.G-1) b. Obtener una expresión de la velocidad volumetrica de flujo en la película. c. Demostrar que el resultado de (b) se transforma en la Ec. 2.2 - 19 si el espesor de la película es muy pequeíI0. 2.H2 Flujo no-newtoniano en un tubo u. Deducir la fórmula análoga a la de Hagen-Poiseuille para el modelo de Ostwald-de Waele (ley de la potencia). Al hacer la deducción debe de eliminarse primeramente el signo del valor absoluto. Como para el flujo en un tubo dc,/dr es siempre negativo, la ley de la potencia se transforma en este caso en Explicar cuidadosamente las transform,aciones de la Ec. 2.H-1 b. Deducir una expresión de la velocidad volum¿trica para el flujo en un tubo de un fluido de Ellis (vease Ec. 1.2-5): (2.H-2) 2-34 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circularl 2.1, Un tubo vertical está lleno de un fluido de Bingham y cerrado por el extremo inferior mediante una lámina. Al separar la lámina, el fluido puede salir o no del tubo por gravedad. (Vease Fig. 2.1.) Explíquese este hecho y establézcase un criterio de flujo para este experimento. Fig. 2.L Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circular 2.Jz Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior Considerar el sistema representado en la Fig. 2.J, en el que la varilla cilíndrica se mueve con una velocidad V. La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad en esCilindro de rodio ,F l u i d o o l o presión pe interior R I Fluido o la preíidn pO -‘--4 que re mueve con velocidad v Fig. 2.J. ,-I’ I Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior tado estacionario y la velocidad volumétrica de flujo. Este tipo de problemas se presentan en el recubrimiento de alambres con barnizz. In (r/R) Respuesta: 2.K, ; = --ir; Flujo no-newtoniano de una película Deducir una fórmula para el espesor de una película de un fluido de Bingham descendiendo por una pared plana vertical con una velocidad Z’(g seg--t por unidad de anchura de pared) 2.L3 Análisis de un medidor de flujo capilar Determinar la velocidad de flujo (en kg hr-t) en el tisedidorde flujo capilar de la Fig. 2.L. El fluido que circula por el tubo capilar es agua a 20°C y como fluido manom&rico se utiliza ta 1 Sugerido por el Prof. H. Kramers, Technische Hogeschool (Delft). P. H. SQUIRES, W. H . DARNELL, F. M. C ASH y J. F. C ARLEY, Processing of Ther=noplastic Materials, E. C. Bernhardt (Ed.), Reinhold, Nueva York (1959) capitulo 4. pp. 209-301. 2 J, B. PATON, , DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-35 tracloruro de carbono (Cr&), cuya densidad es de 1,594 g cm-J. El diámetro del capilar es 0,025 cm. (Obsérvese que para calcular la velocidad de flujo basta medir H y L; es decir que no hace falta medir 9. iPor que?) Fíg. 2.L. Medidor de flujo capilar. ” 2.M3 Separador electrostático de polvo Un separador de polvo consiste en dos láminas de cargas opuestas entre las cuales fluyen gases conteniendo el polvo (véase Fig. 2.M). Se desea establecer un criterio de la longitud m x = +B Y. 2 - - - - - Dlstrib uc i6n parsb6lica d e vtla c i d&d t PV3Si&t Po Pr4 6 ll 9 Fig. 2.M. Trayectoria de una partícula en un colector el&trico de polvo. TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 2-36 . ma de separador en función de la carga de la partícula e. la intensidad del campo el&ctrico &,ta diferencia de presión (p,, - pù, la masa de la partícula tu y la viscosidad del gas 1”. Es decir, ipara que’ longitud L habrá alcanzado la partícula más pequena (masa nt) la lámina inferior, exactamente antes de que pueda ser arrastrada fuera del canal? Supóngase que el flujo es laminar en;re las dos placas, de forma que la Ec. 2.E-2 describe la distribución de velocidad. Supóngase también que la velocidad de la partícula en la dirección z es la misma que la del fluido en esa direccion. Admítase finalmente que tanto la resistencia de Stokes sobre la esfera, como la fuerza de gravedad que actúa sobre la partícula, que es acelerada en la dirección -x, pueden despreciarse. Respuesta: L,,,I,, = [64(p0 -- p,,)aB5m/22Sp2eE]1~4 2.N3 Flujo en un tobo con deslizamiento en la pared Obtener una modificación de la ley de Hagen-Poiseuille suponiendo que hay deslizamiento del fluido en la pared del cilindro. Es decir, que en vez de admitir que vz = 0 para r = R, utilizar la condición límite de que pr, = -/, 2 atr=R en la que /3 es el «coeficiente de fricción deslizante». (iCutI1 es el significado fisico En la mayor parte de los problemas de flujo de fluidos el deslizamiento carece de i Sin embargo, se ha utilizado la solucion obtenida para el flujocon deslizamiento* aB&edor de esferas, en las «teorías hidrodinámicas» de difusións. Por otra parte, d deslizamientoes importante en algunos problemas de flujo no-newtonianoe. r. r*. ,g., 2.04 Deducción de la ecuaci6n de Rabinowitsch f Mediante la ecuación de Rabinowitsch 7.8, puede obtenerse una representación gr&a d e l a densidad de flujo de cantidad de movimiento frente al gradiente de velocidad (vease Fig. 1.2-1) para cualquier fluido, a partir de datos experimentales de la perdida de presi6n pára diversas velocidades de flujo, en el flujo laminar isotermico de un fluido a trav&s de tubos circulares. Las únicas suposiciones que es preciso hacer consisten en que- el fluido es totalmente homogeneo y que no existe deslixamiento en la pared. a. Demostrar que la integral correspondiente a la velocidad volumétrica de flujo puede integrarse por partes para obtener R du Q = -R o $ rt dr. , s (2.0-1) 6. Efectuar el siguiente cambio de variable r/R = z,JrR (siendo Q = (Pa - ?F’,)R/2L la densidad de flujo de cantidad de movimiento en la pared, r = R), y escribir de nuevo la integral del apartado (a) en función de la variable de integración rrr. 3 H. LAME, Hydrodynamics, Dover, Nueva York (1945), p. 576. 4 Ibid., pp. 601 y SS. 5 R. B. BIRD, «Theory of Diffusiomp. En Advances in Chemical Engineering. T. B. Drew y J. W. Hoopes, Jr. (Eds.), Academic Press, Nueva York (1956), vol. 1, pp. 1951%. 6 J. G. OLDROYD, «Non-Newtonian Flow of Liquids and Solidsx. En Rheology. F. R. Eirich (Ed.), Academic Press, Nueva York (1956). vol. 1, pp. 663-664. 7 B. RABINOW~TSCH, Z. physik. Chemie, Al45 1-26 (1929). * J. G. OLDROYD, Op. cit. cap. 16, vol. 1, pp. 662-666. ’ DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR c. Diferenciar la integral del apartado (b) con respecto a TK para obtener la nowitsch,9 1 J - CiU,( d r 1 r=iz = w z (Q’Q) ecuaeidn 2-37 de Ztobi(2.0-2) Explíquese cómo puede utilizarse esta ecuación para’obtener la curva de T,* frente a (-dv,/dr) 2.Pd RelacKm mutua entre los perfiles de velocidad en una rendija y en tubos can&ttricoa Demostrar que la distribución de velocidad en tubos conc¿ntricos, Ec. 2.4-13, es la misma que en una rendija (véase Ec. 2.E-2) cuando K se mantiene constante y R se hace muy grande. , 2.Q, Flujo no-newtoniano en tubos conckntricos Deducir la ecuación de la velocidad volum&rica de flujo para un fluido de Bingham que circula en un espacio anular, utilizando la notación que se ha introducido en 0 2.4 y en el ejemplo 2.3-2. Utilizar los siguientes números adimensionales: T = Zr,,L/(b,, - :*‘)R = densidad de flujo de cantidad de movimiento adimensional T,, = Zr,L/(-U, - tiL)R = parametro reológico adimensional 4 = moL/v@ - tiL)R*)u, = velocidad adimensional E = r]R = coordenada radial adimensional Demostrar que la distribucion de densidad de flujo de cantidad de movimiento y la ley reologica, pueden expresarse de esta forma T I E - Á’E-’ w2-11 í T , -d4& Demostrar que los límites d+ y d- de la región de flujo de tapón vienen dados por T = (2.~2) y que 1 es justamente la media geometrica de Á+ y L. Obtener la distribución de velocidad para los tres intervalos: 4- para el intervalo K < $ < L 4s para el intervalo Á-ã t< Á+ 4+ para el intervalo A+ < 5 < 1 x, Integrando después sobre la distribución de velocidad, se obtiene la velocidad volumttrica de flujo*@ 9 Utilizar la «f&mula de Leibnitzx para la diferenciacibn de una integral: 10 A. G. FREDRICKSON y R. B. BIRD, Znd. Eng. Chen?., SO, 347-352 (1958); en este articulo se presenta tambien una solución para el modelo de la potencia :; ,. 5 ‘,: 2-38 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO &Cómo se deterinina Á? La distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento en tubos concéntricos , ies igual para el flujo no-newtoniano que para el newtoniano? 2.h Escurrimiento de líquidos’ 1 Se desea conocer la cantidad de líquido que quedk retenido sobre la superficie intema$e u n vaso grande cuando se vacia. En la Fig. 2.R se indica lo que ocurre en las proximidades de k pared del vaso. El espesor-local de la película es una función de z y f. Fig. 2.R. Adherencia de un liquido viscoso a las paredes de un vaso durante el vaciado. n. Aplicar un balance no estacionario de materia a un elemento de película comprendido entre z y-z + AZ, y demostrar que (2.R-1) b. Utilizar la Ec. 2.2-18 con el fin de obtener la siguiente ecuaci6n diferencial parcial de primer orden para 6(z,f): (2.R-2) 11 Para un tratamiento más amplio de este problema, dase 1. J. V AN RCS.WM, seurch, A7, 121-144 (1958). Appl. Sci. Rq. DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-39 ¿Qub suposiciones son inherentes a la Ec. 2.R-2? c. Demos-e resolviendo la Ec. 2.R-2 se obtiene 6 = J rn;P’E ~Que restricciones (2.R-3) deben ponerse a este resultado? 2.S, Flujo de grasas no-newmmanas a trav&s de tubos Se ha supuesto el siguiente modelo para el estudio del flujo de grasas no-newtonianas en tubos circulare&: * =<ly+by” (2.~ 1) Demostrar que la expresión para la velocidad volum&ica de flujo, Q, puede obtenerse por el siguiente procedimiento: c. Demostrar que la expresión general de Q puede integrarse dos veces por partes para obtener (2.S2) en la que yB = (-&/rlr)l,,,. b. Demostrar que r puede expresarn en función de y, de la siguiente forma‘: r=+Y+bY? (Z.S-3) c. Demostrar que substituyendo la F.c. 2.S-3 en la integral de la Ec. 2.S-2 y aplicando la condición limite conveniente, se obtiene tinalmente Q = ‘mT[l + 4[(s)x+ (s)x*+ (&)P ]) (2.S-4) siendo X = (bju)( y ,s-t), y ya una función implícita de za : Ta = avll+ btm _ . 2.Ts ;m;. (2.S-5) UaaexpresihlntegralparaladipMboaQdevL~ rmtub0 H emos recibido del editor de una revista profesional un trabajo para revisar. Este trabajo trata de1 transporte de calor para el flujo en un tubo. Los autores establecen que como han operado con flujo no isotermico, deben de obtener una ex presión «general» para la distribución de ’ t2‘kwW. SISKO, Znd. ZSg. Chem., SO, 1789-1792 (1958). 2-40 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO velocidad, que puede utilizarse aun cuando la viscosidad del fluido sea una función de la temporatura (y por lo tanto de la posición). Indican que «una expresión general de la distribución de velocidad para el flujo en un tubo», es (2.T-1) en la que (vAes la velocidad media de flujo, y es la coordenada radial reducida (esto es, r/R), y p es la viscosidad (que puede variar con y). No deducen su fórmula ni dicen donde puede encontrarse en la bibliografía. Como censores del trabajo, estamos obligados a (a) deducir la fórmula que indican, y (b) establecer las restricciones que esten implícitas en dicha fórmula. CAPfTULO 3 LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS En el Capítulo 2 se han determinado las distribuciones de velocidad para varios sistemas sencillos de flujo, aplicando balances de cantidad de movimiento a una envoltura. Estas distribuciones de velocidad se utilizaron después para calcular otras magnitudes, tales como la velocidad media y la fuerza resistente. El método del balance aplicado a una envoltura se utilizó con el fin de familiarizar al princc piante con la aplicación del principio de conservación de la cantidad de movimiento en los problemas de flujo viscoso. Sin embargo, no es necesario formular un balance de cantidad de movimiento siempre que se comienza a trabajar con un nuevo problema de flujo. Es más rápido, más fácil, y más seguro, partir de las ecuaciones de conservación de la materia y la cantidad de movimiento, expresadas en la forma general, y simplificarlas con el fin de adaptarlas al problema de que se trate. Estas dos ecuaciones describen todos los problemas de flujo viscoso isotérmico de un fluido puro. Para fluidos no isotérmicas y para mezclas fluidas de varios componentes, se necesitan ecuaciones adicionales para describir la conservación de la energía (Capítulo 10) y la conservació,n de las especies químicas individuales (Capítulo 18). Estas distintas ecuaciones de conservación se denominan a veces «ecuaciones de variación», ya que describen la variación de la velocidad, temperatura y concentración, con respecto al tiempo y la posición en el sistema. En 6 3.1 se desarrolla la «ecuación de continuidad», mediante la aplicación de la ley de la conservación de la materia a un pequeño elemento de volumen situado en el seno de un fluido en movimiento. El principio de la conservación de la materia se ha aplicado ya, tácitamente, en el Capítulo 2; por ejemplo, mediante él se justifica la suposición de que la velocidad es independiente de la distancia axial en el problema de Hagen-Poiseuille. Ya veremos que para sistemas más complejos interesa un planteamiento más general de este principio. En 5 3.2 se introduce la segunda ecuación de variación, la «ecuación de movimiento», que es una generalización del balance de cantidad de movimiento del Capítulo 2. Con esta ecuación y la de continuidad, se pueden resolver todos los problemas del Capítulo 2, y muchos otros bastante más complicados. En Q 3.3 se utiliza lagcuación de movimiento para dedutir una expresión que describe la interconversión de las- distintas formas de la energía mecánica de un 3-2 TR A N SP O R TE DE C A N TID A D DE M O V IM IE N TO fluido en movimiento. Esta ecuación es particularmente útil para describir la degradación de la energía mecánica en energía calorífica, que acompaña a todos los procesos reales de flujo. También es la base del importante balance macroscópico de energía mecánica, o ecuación de Bernoulli, que se estudia en el Capítulo 7. En las tres primeras secciones, las deducciones se obtienen en coordenadas rectangulares. Sin embargo, para muchos problemas resulta más conveniente utilizar coordenadas cilíndricas o esféricas. En 4 3.4 se trata brevemente el tema de las coordenadas curvilíneas, a la vez que se presenta un resumen de numerosas relaciones importantes, expresadas en los tres sistemas de coordenadas. El lector podrá comprobar que esta tabulación reduce el arte de plantear problemas de flujo viscoso a c’asi un simple procedimiento de «recetario de cocina». Los ejemplos que se presentan en § 3.5 ilustran sobre la aplicación del método a la resolución de algunos problemas de flujo laminar. En $ 3.6 se extienden al flujo no-newtoniano las materias expuestas en las cinco secciones precedentes. El punto principal que se aborda aquí es el método adecuado para expresar la densidad de flujo de cantidad de movimiento en diversos modelos no-newtonianos, de forma que pueda transformarse en coordenadas curvilíneas. En la última sección de este capítulo, 9 3.7, se presentan las ecuaciones de variación en función de variables adimensionales. Al escribir en esta forma las ecuaciones, se reúnen los «factores de escala» (es decir, tamaño, del sistema, velocidad media del fluido, y propiedades del mismo) en un corto número de relaciones adimensionales que resultan útiles para caracterizar los sistemas de ílujo. En este capítulo veremos cómo pueden utilizarse estas relaciones adimensionales para efectuar estudios empíricos con un modelo a escala reducida, que permite un análisis de los sistemas demasiado complejos. En el Capítulo 6 se amplían estas ideas para la correlación empírica de la fuerza de resistencia en sistemas complejos. En este capítulo se utiliza, ocasionalmente, la notación vectorial y tensorial, con el fin primordial de abreviar expresiones que resultarían de otra forma demasiado largasl. El principiante verá que no es preciso un conocimiento matemático de vectores y tensores para utilizar el resumen de $ 3.4 en la resolución de problemas. Al estudiante adelantado le resultará útil el apéndice A para conocer algunos detalles sobre el manejo de vectores y tensores. En muchos aspectos, el Capítulo 3 es el más importante del hbro, puesto que facilita el camino para todo lo que sigue. El lector que lo conozca a fondo antes de continuar, se verá recompensado de su esfuerzo. Antes de entrar en el tema principal del capítulo, vamos a detenernos brevemente 1 Una introducción a.las operaciones con vectores puede encontrarse en algunos libros de cálculo para estudiantes no graduados, tales como el de G. B. T HOMAS Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley, Reading, Mass. (1953), Segunda edición. Aquí se usan los símbolos en bastardilla para escalares, busturdilla en negrifus para vectores y negrítas para tensores. Además, las operaciones del producto de punto, encerradas entre paréntesis ( ), son escalares y las opetacio- .nes entre [ ] son vectores. ECUACIONES DE VARIACldN PARA SISTEMAS lSOTz!?~MlCOS ,3-3 para hacer algunos comentarios acerca de los tres tipos de derivadas con respecto al tiempo que se utilizan en el texto. Para ilustrar esto utilizaremos un.ejemplo casero, como es’el problema de referir. la concentración de peces en el río Kickapoo. Puesto que los peces se están moviendo, su concentración c será una función de la posición (x, y, z) y del tiempo (t). Derivada parcial con respecto al tiempo, dc/at .’ Supongamos que estamos sobre un puente y observamos cómo varía la concentración de peces exactamente debajo de nosotros con el tiempo. Estamos, pues, observando cómo varía la concentración con el tiempo, para una posición fQa en el espacio. De acuerdo con esto, ¿kjdt indico la «parcial de c con respecto a t, manteniendo constantes x, y, ZN. Derivada total con respecto al tiempo, dc/dt Supongamos ahora que en vez de estar sobre el puente, vamos en una lancha a motor que se mueve en el río en todas direcciones, unas veces en contra de la corriente, otras a través, y tal vez otras a favor de la corriente. Al referir la variación de la concentración de peces con respecto al tiempo, los números que resultan han de reflejar también el movimiento de la lancha. La derivada total con respecto al tiempo viene dada por dc i3c ¿% -ikdz+ - d- y + -acdz di=ã;+&dt ay dt az dt (3.04) en la que dx/dt, dyjdt y dz/dt son los componentes de la velocidad de la lancha. Derivada substancia¡ con respecto al tiempo, Dc/Dt Supongamos que vamos en una canoa a la que no se comunica energía, sino que simplemente flota. En este caso, la velocidad del observador es exactamente la misma que la velocidad de la corriente v. Al referir la variación de la concentración de peces con respecto al tiempo, los números dependen de la.velocidad local de la corriente. Esta derivada es una clase especial de deriva& total con respecto al tiempo que se denomina «derivada substancial» o, a veces (más lógicamente), «derivada siguiendo el movimiento». Está relacionada con la derivada parcial con respecto al tiempo de la forma siguiente: D C 2+v e+v Xi-at saz (3.0-2) en la que v,, v,, y v,, son los componentes de la velocidad local del fluido v. El lector deberá de entender perfectamente el significado físico de estas tres . 3-4 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO derivadas. Recuérdese que dc/dt es la derivada para un punto fijo eri el espacio y DclDt es la derivada calculada por un observador que flota corriente abajo con el fluido. 5 3.1 LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Esta ecuación sé deduce aplicando un balance de materia a tin elemento estacionario de volumen dx-dydz, a travks del oque está circulando el fluido (vCase Fig. 3.1-1): ‘velocidad de acumuvelocidad de envelocidad de = (3.1-1) lación de materia 1.1 tiada de, materia 1 salida de materia t (x + Ix. y + Ay, z + At) ZA --------4 x. Fig. 3.1-1. un fluido. Regih de volumen Ax Ay Azf# en el espurio, a travh de la cual esth circulando . Comeniamos cbnsiderando el par de caras perpendiculares al eje x. La velocidad de entrada de materia a través de la cara x es (p~,~)l,~ dydz, y la velocidad de salida de materia n través de la cara x + dx es (pv.,) 1x+.dx dydz. Para los otros dos pares de caras pueden escribirse expresiones análogas. La velocidad de acumulación de materia en el elemento de volumen es (dxdydz) (a,/at). El balance de materia queda por tanto AxAyAz; = AY Az[(puJl, - (p~Jl.+arl + A~WP,)I, - Wl,+a,l + Ax AYC(P,)I, - (~z)lz+atl (3.1-2) ECUACIONES DE VARlACldN~ PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 3-5 Dividiendo toda la ecuación por (dxdydz), y tomando límites cuando estas dimensiones tienden a cero, se tiene CL 2po,+ apug + ;Pu. at - -( ax ay ) (3.1-3) ha es la ecuación de continuidad, que describe la variación de la densidad para un punto fijo, como consecuencia de las variaciones del vector de velocidad mhsica pu. La Ec. 3.1-3 puede escribirse en una forma más conveniente utilizando notacih vectorial1 : !?L at -CV l (3.1-4) Pd El thmino pu) se denomina «divergencia:» de pv, y 8’ veces se escribe div. pu, Vease que el vector PD es la densidad de flujo de materia y que su divergencia tiene un significado sencillo: representa la velocidad neta con que disminuye la densidad de flujo de materia por unidad de volumen. Por lo tanto, la Ec. 3.1-4 estibiaa simplemente que la velocidad con que aumenta la densidad en el interior de un pequefio elemento de volumen fijo en el espacio, es igual a la velocidad netia de entrada de densidad de flujo de materia en el elemento dividida por su volumen. Generalmente, es preferible modificar la ecuación 3.1~3, efectuando la diferenciacih Que est6 indicada y reuniendo todas las derivadas de p ,en el primer miembro : (V l av av av, apã;+v,~+v~-+vc&=-p ap ap ap jf+-J!+ã; ( ) aY aY (3.1-5) El primer miembro de la Ec. 3.1-5 es la derivada substancial de la densidad, es decir, la derivada con respecto al tiempo pura WI recorrido que sigue el movimiento delfluido. De acuerdo con esto, la Ec. 3.1-5 puede expresarso abreviadamente en esta forma : Dp I - P(V’O ) Dt I en la que el operador DIDt estb definido por la Ec. 3.0-2. Li kuación de continuidad, expuesta en esta forma, describe la velocidad de variación de la densidad, tal como la ve un observador que «flota» con el fluido. Recuerdese que esta ecuación es sencillamente una formulación de la conservación de la materia. Es preciso seílalar que la deducción puede efectuarse igualmente para un elemento de volumen de una forma arbitraria cualquiera, y no esta por lo tanto restringida para el caso del elemento paralepipédico que se ha presentado aqul. ’ 1 Tengase en cuenta que v ,tiene las dimensiones del inverso de una longitud. 3-6 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Una forma especial muy importante de la ecuación de continuidad, que se utilizará posteriormente, es la correspondiente a un fluido de densidad constante, para el que (fluido incompresible) (V * 0) = 0 (3.1-7) Aunque en realidad ningún Auido es totalmente incompresible, en la práctica se puede admitir con mucha frecuencia que la densidad es constante, con lo que se obtiene una considerable simplificación, sin cometer casi error. Obsérvese que para que la Ec. 3.1-7 sea válida, sólo es necesario que p permanezca constante para un elemento de fluido que se mueva a lo largo de una línea de corriente, es decir, que Dp/Dt s e a c e r o . $ 3.2 LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Para un elemento de volumen dxdydz, como el utilizado en la sección anterior, se puede escribir el siguiente balance de cantidad de movimiento: i~~~o~=~~~~~~-~~~i-~~~~~i W--l) Observese que la Ec. 3.2- 1 corresponde exactamente a untt ampliación de la ecuación 2.1- 1 para sistemas en estado no estacionario. Por consiguiente, podemos proceder, en muchos aspectos, de igual forma que en el Capítulo 2. ., Fig. 3. 2-1. Elemento de volumen AJS Ay AZ, en el que se sefiala con flechas la dirección en que se transporta el componente x de la cantidad de movimiento a travbs de las superficies. ’ ECUACIONES DE VARIAClON PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 3-7 Sin embárgo, además de tener en cuenta el comportamiento no estacionario, permitiremos al fluido que se mueva en una dirección arbitraria a través de las seis caras del elemento de volumen, igual que en 6 3.1. Es preciso resaltar que la Ec. 3.2- 1 es la ecuación de un vector, con componentes para cada una de las tres direcciones coordenadas, x, y y z. Para mayor sencillez, comenzaremos considerando el componente x de cada uno de los términos de la Ec. 3.2- 1; los componentes y y z se pueden obtener por analogía. Vamos a considerar en primer lugar las velocidades de flujo del componente x de la cantidad de movimiento que entra y sale del elemento de volumen que se indica en la Fig. 3.2- 1. La cantidad de movimiento entra y sale del elemento de volumen en virtud de dos mecanismos: por conveccih (es decir, debido al flujo global del fluido) y por transporte molecular (o sea, a causa de los gradientes de velocidad). La velocidad con la que entra por convección el componente x de la cantidad de movimiento por la cara situada en x es pop,(,dydz, y la velocidad’con la que sale por x + dx es fv,lr+dx Ay AZ. La velocidad a la que entra por y es pvp,lY dx AZ Para las demás caras se pueden escribir expresiones similares. Vemos, por tanto, que es preciso considerar el flujo convectivo de la cantidad de movimiento x ,a travb de las seis caras, y que el flujo convectivo neto, de la cantidad de movimiento x, >, en el elemento de volumen, es: + AZ AY(PW,~, - ~wAs+~.3 (3.2-2) De igual forma, la.velocidad con la que el’componente x de la cantidad dé movimiento entra por transporte molecular por la cara situada en x es r,,I,dydz, y la con la que sale por x + dx es t,,lx+dx d y AZ. La velocidad con que entra por y es tXY&lxdz; para las otras tres caras se pueden obtener expresiones similares (véase Fig, 3.2- 1). Téngase en cuenta que tvx es la densidad de flujo de cantidad de movimiento x a través de una cara perpendicular al eje y. Sumando estas seis contribuciones, se obtiene 1 AY A+q& - 7,,l,+As) + AZ Mr,& - T,,~ v+ A~ ~ + AzAti~.sls - d,+ A# ) (3.2-3) Obshvese que, de igual forma que antes, estas densidades de flujo de cantidad de movimiento pueden considerarse como esfuerzos. Por lo tanto, tzz es el esfuerzo normal que actúa sobre la cara x, y tvr es el esfuerzo tangencial (0 cortante) que actúa sobre la cara y en la dirección x, y que resulta como consecuencia de las fuerzas viscosas. En la mayor m de las casos, las únicas fuerzas importantes serán las proce- 3- 8 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE M OVIM IENTO dentes de la presión del fluido p y la fuerza gravitacional por unidad de masag. La resultante de estas fuerzas en la direccibn x será, evidentemente A Y Az(pl, - Pipa+Aa) (3.2-4) + pg,AzAyAz La presión de un fluido en movimiento está definida por la ecuacibn de estado p=p (p, T), y es una magnitud escalar. Finalmente, la velocidad de acumulación de cantidad de movimiento x en el elemento es dx&lz(~pv,~~t). Substituimos ahora las anteriores expresiones en la Ec. 3.2- 1. Dividiendo toda la ecuación que resulta por dxdydz, y tomando el limite cuando dx, dy e dz, tienden acero, se obtiene el componente X de la ecuación de movimiento: (3.24) Los componentes y y z, que pueden obtenerse de una forma analoga, son &pu.- - ( ; PVWVW + z PWV aY + ; PVV ) ap - ãy + Pa (3.2-6) ; PU‘ = - fx PVWV, + 2 PV, + g P%V, ( ) aY a a a - - 7, + - TV‘ + - 7.1 ax ag a2 ap - s + Pg, (3.2-7) Las magnitudes pvw, pvv, pu, son los componentes del vector velocidad másica po; de igual forma, gX, g,,, g,, son los componentes de la aceleración gravitacional g. Por otra parte, dplax, ap/¿Yy, api&, son los componentes de un vector Vp, denominado «gradiente de p)~ (a veces se escribe grad p). Los términos pvgw, pv,gv, pvwv,, pv,v,, etc., son los nueve componentes de la densidad de flujo convectivo de cantidad de movimiento ptw, que es el «producto diádico»* de po y o. Analogamente, = 119 Gy, xx,9 xv,, etc., son los nueve componentes de T, que es el «tensor esfuerzo». Como las Ecs. 3.2-5, 6, 7 ocupan mucho espacio, es conveniente combinarlas con el fin de obtener la sencilla ecuación vectorial: * Se da el nombre de productos di&dkos o simplemente diadas, multiplicar entre si dos vectores. (N. del T.) a los tensores que Íesultan de ECUACIONES DE VARIAC16N ;pu = - velocidad de BUmcnto d e cantidaddc movimienlo por unidad do volumen PARA SISTEMAS ISOTERMICOS [V l puu] velocidad de fianancia de cantidad de movimiento por convee ci6n. por unidad de volumen - Pd 3-9 -VP fuerza do presidn que actJa sobre el clwnento por unidad de volumen (3.24) + Pg velocidad de -ia & cantidad de movd miento por tratuportb vircoro, por unidadde volumen fuona de gravitacibn q u e actda sobre $ olamento por unhnde VO- Es preciso advertir al lector que[V poo] y [v T] no son divergencias simples, debido a la naturaleza tensorial de puu y T. Sin embargoi la interpretacibn física es análoga a la de pu) en Q 3.1; mientras que pu) representa la velocidad de pbrdida de materia (un escalar) por unidad de volumen debida al flujo del fluido, la magnitud [V * puu] representa la velocidad de phdida de cantidad de movimiento (un vector) por unidad de volumen debido al flujo’ del Huido. La Ec. 3,.2-5 puede reordenarse, con ayuda de la ecuación de continuidad, para obtener l (V l l (V l !&?* (3.2-9) ’ Dt Para los componentes y y z pueden obtenerse expresiones anhiogas. Sumando vectorialmente los tres componentes, se llega ti : Du Pz= -VP ‘1 -P*4 masa por unidad do vo1umt.n. multiplicada por aceleract6n fuerza de presi6n sobre al elemento p o r ulda~ de fuka viscosa sobre el elemento por u;;dztnde VO- +pg fuerza gravitacia nal sobre el elemanto por unidad de volumen (3.2- 10) La ecuación de movimiento, expresada en esta forma, establece c#e un pequefio elemento de volumen que se mueve con el fluido es acelerado por las fuerzas que actúan sobre kl. En otras palabras, es una expresión de la segunda ley de Newton, según la cual, masa x aceleración = suma de fuerzas. Vemos, por lo tanto, que el balance de cantidad de movimiento es totalmente equivalente a la segunda ley de Newton del movimiento. Obsérvese que las dos formas de la ecuación de movimiento que se dan en las Ecs. 3.2-8 y 3.2-10, corresponden a las dos formas de la ecuación de continuidad de las Ecs. 3.1-4 y 3.1-6. En cada caso, la primera forma representa un balance aplicado a un elemento de volumen fijo en el espacio, ‘y la sègunda es una descripción de las variaciones que tienen lugar en un elemento que sigue el movimiento del fluido. Es necesario tener en cuenta que las Ecs. 3.2-5.a 10 son válidas para cualquier medio continuo. 3-10 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Con e! fin de utilizar estas ecuaciones para determinar las distribuciones de velocidad, hay que expresar los distintos esfuerzos en función de los gradientes de velocidad y las propiedades del fluido. Para fluidos newtonianos, estas expresiones son1 : + iQ4v .u) 722 = Tlw = -2JJ a$f$ + 721 = 4pav. aZ 7 + :’ &p(V l u) %P(V l 4 (3.2-11) (3.2-12) (3.2-13) Tzr = Tvs = -#u (3.2-14) .Tvs = -TS” = -p (3.2-15) LZ = Tzr = -Cr (3.2-16) Las Ecs. 3.2- 11 a 16 se han expuesto aquí sin demostración, debido a que es demasiado larga*. Estas ecuaciones, que constituyen un planteamiento más general de la ley de Newton de la viscosidad, correspondiente a la Ec. 1.1-2, se aplican a los casos complejos de flujo, en los que el fluido circuia en todas las direcciones. Cuando el fluido circula en la dirección X, entre dos híminas perpendiculares a Ia direc&n y (tal como se ha representado en la Fig. 1.1- l), de forma que V, es una función exclusiva de y, de esta serie de seis ecuaciones se obtiene rxx = zW = T,, = Ti, = 7 ?%* = 0 y TV% = - ,~(rivJd$X’ que es idéntica a la Ec. 1.1-2. Por consiguiente, la definición de viscosidad que se ha dado en el Capítulo 1 está de acuerdo con esta definición más general. Substituyendo las Ecs. 3.2- 11 a 16 en la Ec. 3.2-9 y las ecuaciones correspon1 En realidad. los esfuerzos normales. deberían contener un tkmino adicional; por ejemplo, la Ek. 3.2-11 debiera ser 7rr = - FZ en la que K es + (Ir - KW l 0) (3.2-1 la) la «viscosidad de conjunto». La viscosidad de conjunto es cero para los gases monoatomicos a baja densidad y probablemente no es demasiado importante para los gases densos y los líquidos. Formulas para estimar el valor de K se pueden encontrar en J. 0. HIIWHFELDER, C. F. CURTISS y R. B. BIRD. 2% molecular Tkeory ofguses and Liquidr, Wiley. Nueva York (1954). p. 503 (gases poliatómicos diluidos) p. 647 (gases densos). La s medidas experimentales han sido trat.adas por S. M. KARIM y L. ROSENHEAD. Revs. Mod. fhys.. 24, 108-116 (1952). 2 H. LAMB, Hydrodynamics. Dover, Nueva York (1945). Sexta edición. pp. 571-575; vease tambien E. U. CONDON, Handbook of Physics, E. U. Condon y H. Gdishaw (Edts.), McGraw-Hill, Nueva York (1958), pp. 3-10 a 3-13. ECUACIONES DE VARIACI&N PARA SI STEM A S ISOTÉRMICOS si 3-11 dientes para y y 2, se obtienen las ecuaciones generales de movimiento para un fluido newtoniano que presenta variación de la densidad y la viscosidad: D** - _ z2ap c & 45 M4 ’ Dt + ;[p(? + 2)] + Do,= -ã;+$JA($+$+)] 8P ’ Dt E[p(% + $)] + pg, (3.2-17) +&[2p!pp(v.v)] (3.2-18) (3.2-19) Estas ecuaciones, juntamente con la ecuación de continuidad, la ecuación de estado p = p(p), la variación de la viscosidad con la densidad p = p(p) y las con: diciones iniciales y límite, determinan completamente la ‘presión, densidad y los componentes de la velocidad, para el flujo isotérmico de un fluido. Rara vez se utilizan estas ecuaciones en su forma completa para el planteamiento de problemas de flujo, sino que generalmente resulta más conveniente emplear formas restringidas de las mismas. (i) Para e constante y p constante, las Ecs. 3.2- 17, 18 y 19, Queden simplificarse mediante la ecuación de continuidad [(V * v) = 0] para obtenei-‘: Do PE= - VP + pv av + Pl! (3.2-20) Los componentes cartesianos de esta ecuación vienen dados por las Ecs. (D), (E) y (F) de la Tabla 34-2. La Ec. 3.2-20 es la conocida ecuación de Navier-Stokm. obtenida inicialmente por Navier en Francia, en 1822, mediante cocsideraciones moleculares’. (ii) Pura [V. 71 = 0, la Ec. 3.2-10 se reduce a Dv Piji= -vp + Pii (3.2-21) 3 El operador V* = ayaa9 + Ppy’ + ayaz’ se denomina laplaciana (para más detalles (5 A.3). 4 Para un tratamiento interesante sobre la historia de esta y otras famosas relaciones de mecánica de fluidos, véase H. Rousa y S. INCE, Hisrory oj’Hydruu/icr, Iowa Institute of Hydraulics, Iowa City (1959). véase 3-12 TRANSPORTE. ,DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO w La Ec. 3.2-21 es la famosa ecuación de Euler,5 deducida por primera vez en 1775, y que ha sido muy utilizada para describir sistemas de fiujo en los que los efectos viscosos son relativamente poco importantes. $ 3.3 LA ECUACIGN DE ENERGfA MECÁNICA En esta sección vamos a demostrar cómo se puede utilizar la ecuación de movimiento para obtener una descripción de las interconversiones de energía mecánicaque tienen lugar en un fluido en movimiento. Se comienza por formar el producto escalar de la velocidad o con la ecuación de movimiento correspondiente a la Ec. 3.2~ 10: p & (iv21 = 40 * VP) - (t’ l p ’ fl> + p(tr l g) (3.3-1) Esta ecuación escalar describe la velocidad de variación de la energía cinética por unidad de masa ($24 para un elemento de fluido que se mueve con la corriente. Para el tratamiento que se hace a continuación, resulta más conveniente escribir esta ecuación en función de d/dt, utilizando la ecuación de continuidad; separaremos también en dos términos cada una de las contribuciones viscosa y de presión. Los términos de la ecuación que resulta pueden interpretarse en ,función de un elemento estacionario de volumen a través del que circula el fluido. velocidad de inwemcnto de encrgia cin&ica po* unidad de volumal velocidad neta de entrada de encrgla chS tica debida PI flujo global - P l - p(-Veu) PU) velocidad de trebejo producido por la presi6n de los elrededoros sobre el elemento de volumen - (V * [T l U-J) velocided de trabajo producido por les fuerzas viscosas que actiran sobre e l e l e mento de volumen velocidad de trebejo producido por la fuerza de pravedad que actha sobre el elemonfo de volumen 5 Pronúnciese «Oilenh velocided voni6n do con- rcvrrsibk en energh interne - (4 : Vo) velocidad de convcnih Nrewrriblc en encrgle interne (3.3-2) ECUACIONES DE VARIACldN PARA SISTEMAS LSOT$RMICOS 3-13 En este momento no se ve con claridad la razón de haber atribuido el mencionado significado físico a los términosp(V * o) y(~ : Vu);dicho significado no puede apreciarse de una forma adecuada mientras no se estudie el balance de energia del Capítulo 10, en el que puede observarse que estos dos mismos terminos, cambiados de signo, entran a formar parte de la ecuación correspondiente a la energia interna. Es preciso hacer notar que para fluidos newtonianos(--r : Vo)es siempre positivo, ya que puede expresarse como una sum 4 de términos elevada al cuadrado: en la que i y j afectan a los valores de x, y, z, siendo dii = 1 para i = j, y 8ij = 0 para i# j. (En la Tabla 3.4-8 se expresa Gv para diversos sistemas coordenados). Esto indica que en todos los sistemas de flujo existe una degradación de energía mecanica a energía calorífica, y que, por lo tanto, los procesos reales no son reversibles. En ausencia del término (7 : Vu) todas las formas de energla comprendidas en la ‘Ec. 3.3-2 (cinética, interna y potencial) serían completamente convertibles entre sí. Debido a los términos p(V * u) ~(7 : Vtt),el fluido puede calentarse (o enfriarse) internamente. Por lo tanto, cuando se habla de un «sistema isotérmico», en realidad nos referimos a un sistema en el que el calor generado (ocabsorbido) no da lugar a una variación apreciable de temperatura. La variación de temperatura debido al t&minop(V o)es considerable en el caso de gases que sufren una expansion o compresión brusca, como en compresores, turbinas, etc. La variación de temperatura que se produce a causa del término(le : Vu)sólo puede apreciarse en sistemas con elevada velocidad de flujo, en los que los gradientes de veiocidad son grandes, como ocurre en el vuelo a alta velocidad, extrusión rápida y lubrificación. En $ 9.4 se presenta una ihrstración sobre este tipo de calentamiento. La Ec. 3.3-2 se utiliza en el Capítulo 7 como punto de partida para la deducción del balance de energía mecánica o ecuación de Bernoulli. l 0 3.4 LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN EN COORDENADAS’ CURVILfNEAS Como puede observarse, todas las anteriores deducciones se han efectuado para mayor sencillez, en coordenadas rectangulares. Sin embargo, no siempre las coordenadas rectangulares son las más convenientes para la resolucion de problemas, sino que ya en el Capítulo 2 hemos visto que a veces resultan más adecuadas las coordenadas curvilíneas. Por ejemplo, se ha visto que en el problema de HagenPoiseuille la velocidad axial z’, es una función exclusiva de la única variable r, cuando se utilizan coordenadas cilíndricas. Si se hubiesen utilizado en cambio coordenadas rectangulares, zr, sería una función de las dos variables x e y. AnBlogamentè, eC planteamiento de la condición límite para la pared del tubo sería más difícil. El uso 3-14 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO de coordenadas esfericas en el análisis del flujo alrededor de una esfera, permite describir la velocidad en función de los dos componentes V, y ve en vez de v,, uY y v,, dando lugar también a una simplificación de las condiciones límite. Análogas ventajas pueden obtenerse para las coordenadas curvilíneas en el planteamiento de problemas de flujo, debido a la simplificación de las ecuaciones de. variación. TABLA 3.4- 1 LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD EN DISTINTOS SISTEM AS COORDENADOS Coordenadas rectangulares (x, y, 2): Coordenadas eilindricas (r, 8, Coorahadm z): esfdricas (r, 0, 95): Las ecuaciones de continuidad y movimiento, tal. como se han obtenido cn 5 5 3.1 y 3.2, están, expresadas en funci6n de las coordenadas x, y, z, los componentes de la velocidad v,, v,,, II, y los componentes del esfuerzo cortante, T,, 7%,,, etc. Para expresar estas ecuaciones en coordenadas esféricas es preciso conocer: (u) las relaciones entre x, y, z y r, 6, # (vkase Fig. A..6-1); (6) 1aS relaciones entre v,, v,,, ul y los correspondientes componentes u,, ve, v+; y (c) las relaciones entre T,,, T,,,, etc., T,~ z,+ , etc. (En 6 A.6 se resumen las relaciones entre los componentes vectoriales y tensorialès). El paso de coordenadas rectangulares a esféricas puede obtenerse mediante un procedimiento directo, pero resulta muy engorroso. No es preciso que el lector siga los detalles de este proceso, ya que en las Tablas 3.4-1, 2, 3 y 4 (y en otras partes del libro) se tabulan importantes ecuaciones expresadas en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. A este respecto es conveniente advertir al principiante que, así como la ecuación de continuidad puede obtenerse fácilmente en coordenadas curvilíneas mediante un balance aplicado a una envoltura, no ocurre lo mismo con la ecuación de movimiento. En general, este m&odo es muy difícil de aplicar a sistemas con líneas de corriente curvas, y no es recomendable en tales casos. En vez de esto, se partirá siempre de las ecuaciones generales que se indican en 8 3.5. ECUACIONES DE VARIACldN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 3-15 TABLA 3.4-2 LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS RECTAN,GULARES(xg,z) En función de T: componente x conipottettle y componente z En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoni?no componennte~ x contponenre y de p y p constantes: ! @3+ J$$ +Jg” +p ( azp ) cottfpoftenle z (E) .av aP p ~+v.ã2”+vy$+v.~ =-m .) ( 1 3- 16 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE M OVIM IENTO TABLA 3.4-3 LA ECUAkóN DE MOVLMIENTO EN COORDENADAS ClLfNDRICAS - E n funcih d e 7: vg av, ve a aP co mpo nente r” - - ä7 - 7 + v,,,3 / a= f, / (r, 0, z) , P (;+u,z+Tãg componenle Ub (BI co mpo nent e z En funci6n de los gradientes d.: v:locidad para un fluido newtoniano de p y /L consqntes: co mpo nente ry co mpo nente eb ao, ( at WI9 au 3% ar +T” +y++v,, P - + v ,- 1 1 aP = -;-&g co mpo nent e z J p El tkmino pu# / r es la fuerza cent r if iu. Corresponde a la fuerza efectiva en la dkecci6n r que resulta del movimiento del fluido en la dirección 0. Este tkmino aparece automáticamente en la transformach de coordenadas rectangulares a cilíndricas. En los ejemplos 3.5 - 1 y 3.5 -2 se estudian dos problemas en los que interviene este término. b El término pv,ve/ r es la f uer za de Coriolis. Esluna fuerza efectiva en la dirección B cuando existe flujo en ambas direcciones r y 8. Este término aparece también automhicamente en la transformación coordenada. La fuerza de Coriolis interviene en el problema del flujo en las inmediaciones’de un disco que gira. (Vease, por ejemplo. H. .% iU CH T lN O, Bo unaúry - Lay er Theory, Mc Graw-HiU, Nueva York (1955), Capítulo 5, 8 10.) ECUACIONES DE VARIACldN PARA SISTEMAS ISOTl?RMICOS 3-17 TABLA 3.4-4 LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS ESFÉRICAS (r. 0, 4) .-. - - En función de r: componenle r aP I--w ar f $ VT,,) + k. $ (~~0 =n 0) ( 1 aTrb + rscn0 * 700 + 744 - v4 ave componente 0 r > +-i ,;+,;+g!$+-rsen 0 a+ ( r (4 +pg, v+¶cote r 1 (BI 2cote *r4 + P84 +-Y-+ -704 r ) 3-18 TR A N SP O R TE DE C A N TID A D DE M O V IM IE N TO TABLA 3.44 (continuackh) En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de p y p constant&: componente r componente B p vg cot e “0 avo “4 a”o +y-rsen0 &p r ( ~+v,~+;ãõ+-1 1 aP = -;z+jd componente 4 1 2 a v, vo 2~0~0 a0, v ” uo +-p ã o -----r2sen2 0 ,r2sen20 * > “0 8”s p %+v,>+Tãõ+ ( z - u+ au+ udh + rsenO* r -1 ‘aP rsene * 2~0~ 0 av, + r2sen2 8 &j -> a En estas ecuaciones : +p +e ? e v0v4 +-cote .r > ( VZ”, -2 .‘a v,+ v+ resene 8 r2senOa+ + Pg + 63 ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTI?RMICOS 3-19 TABLA 3.4-5 COM.PONENTES DEL TENSOR ESFUERZO EN COORDENADAS RECTANCULARES (xx, y, z) r+z = av, (v-u)=a53 - 3(v * 4 1 au, al, +- +rn~ at (4 3-20 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO TA BLA 3.4- 6 COM PONENTES DEL TEWSOR ESFUERZO EN COORDENADAS CILíNDRICAS (r, 0, f) ar, Trr = -p Zar - %cv * 4 [ 1 f (4 W 1 ar, au, I a (v*o) = r-ar CrL.r) + ; ae + x (G) ECUACIONES nE .VA RIACIC)N PARA SISTEMAS ISOTERMICOS 3-11 :. TABLA 3.4-7 COMPONENTES DEL TENSOR ESFUERZO EN COORDENADAS ESFÉRICAS (r. 0. <6) - (4 0% - %<v * VI] c Cc) (0 3-22 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIEh’TO TABLA 3.4 -8 LA FUNCIÓN -(s : Vc) = /i@, PARA, FLUIDOS NEW TONIANOS* R e c t a n g u l a r @,, -2[(b!+ (y+ (y] +[~+Jy+[~+q*+[Ls+q (4 1 2 av, ao * av, +$ -rz+ay il Cilíndrica #v -2[(fq+ (;z+y+ (yj + [r~(~)+~~]‘+[~$ +z]* : EsfPrica + --&io2 + r;e)]’ [ 2 la - 5 p.~(r%+) + ----&g~(vesen@) C 1 + Gof$ a a Estas expresiones se obtienen introduciendo los’ componentes de 7 de las Tablas 3.4 -5,6,7en la cxpresibn de (s:V IJ) que se indica en el Ap¿ndice A. (Vkanse Tablas A.7 - 1, 2 Y 3.) ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 3-23 4 3.5 UTILIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA EL PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE FLUJO ESTACIONARIO Para plantear problemas de flujo, siendo la densidad y la viscosidad constantes, se necesita : ecuación de continuidad . . . . . . . . . . ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . . . Tabla 3.4-1 (con p ,constante) Tablas 3.4-/ 3 ó 4 (Ecs. ‘D, E, F) ; , y las condiciones iniciales y límite. A partir de estas dos ecuaciones se obtienen las distribuciones de presión y velocidad. Para plantear problemas de flujo isotermico, cuando la densidad y la viscosidad son variables, se pfecisa: ecuación de continuidad . . . . . . . . . . Tabla 3.4-1 ecuación de movimiento . . . . . . . . . . Tabla 3.4-2, 3 ó 4 (Ecs. A, B, C, con expresiones para los componentes ‘de T en 1.’ las Tablas 3.4-5, ’ 6 ó 7) ecuación de estado..‘. í’. , . . . . . . . . . . p 3: p(p) ‘. ecuación para la viscosidad . . . . . . . . . p = p(p) .8 juntamente con las condiciones iniciales y limite. A partir de estas cuatro relaciones se obtienen las distribuciones de velocidad, presibn, densidad y viscosidad para un determinado sistema de flujo. En esta sección se estudia la forma de plantear problemas de, flujo viscoso mediante& simplificación de las anteriores ecuaciones, descartando aquellos términos de las ecuaciones generales de valor cero (o muy proximos a cero) para el caso que se considera. Para determinar que terminos han de descartarse nos valemos de’ nuestra percepción intuitiva acerca del comportamiento del sistema: tipo de flujo, distribución de presion, etc. Una ventaja de este procedimiento consiste en que, una vez terminado este «proceso de descartamiento», se tiene automáticamente una relación completa de las suposiciones que se han efectuado. Vamos a exponer en primer lugar este método, tomando dos problemas,del Capítulo 2, para ilustrar después su utilidad mediante la resolución de algunos ejemplos algo mas complicados. Para el flujo axial de tut fluido incompresible en un tuba circular se ha obtenido en 6 2.3 la distribucibn de velocidad, mediante la aplicación de un balance de cantidad de movimiento. Vamos a ver ahora cómo se puede llegar al mismo resultado simplificando las ecuaciones de variación. Las coordenadas cilindricas son evidente- 3-24 TRANSPORTE DE CANTIDAD Dd MOVIMIENTO mente las. más apropiadas para este problema. Consideremos de nuevo un tubo largo, siendo vg y v, iguales a cero. D*do a la simetría cillndrica, el componente v, de la velocidad no será función de 0. De acuerdo con esto, el componente z de la ecuación de movimiento para p y ,U constantes (véase Tabla 3.4-3) será (3.5-1) Esta ecuación puede simplificarse haciendo aplicación de la ecuación de continuidad, que en este caso se reduce a ahpo (3.5-2) 82.. Resulta evidente que también ¿%,/&S es cero, con lo que la Ec. 3.5-.l se transforma en: (3.5-3) Integrando dos veces con respecto a r, y utilizando las condiciones límite v, = 0 para r = R y vz = finito para r = 0, ‘, (3.54) que es la misma ecuación que la 3.2-16. Para la película descerrde*e de viswqida~’ kriable, que se ltu ‘estudiado en el ejemplo 2.2-2, se encuentra, a partir de la Ec. C de la Tabla 3.4-2, que para el estado estacionario (despreciando los efectos fínales), dr 0 =-d + pgwsB: (3.5-5) Id”. Al introducir la expresión de T,, (Ec. F de la Tabla 3.4-5) se llega a o=+;pdz ( > + PlCCOSB (3.5-6) Insertando la’ Ec. 2.2-22 se obtiene (3.5-7) Esta ecuación puede integrarse con las condiciones límites de que v, - 0 para x = 6 y dv,/dz = 0 para x = 0, con lo que se obtiene el resultado de la Ec. 2.2-24. \ . ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 3-25 Mediante la aplicación de estos métodos pueden resolverse muchos otros problemas. A continuación se exponen algunos ejemplos adicionales para el estado estacionario, y en el Capitulo 4 se resuelven unos cuantos problemas correspondientes al estado no estacionario. En la bibliografía1 pueden encontrarse muchas más soluciones analíticas. Ejemplo 3.5-1. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concMrkos Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos dlrndros verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angtilar Q,. (Véase Fig. 3.5 - 1.) Los efectos finales pueden despreciarse. Cilindro exterior que a iro . Fig. 3.5-1. Flujo laminar de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindios coaxiales, el exterior de los cuales gira con una velocidad angular f&,. . Solucih En el flujo laminar en estado estacionario, el fluido sigue un movimiento circular, y los componentes u, y V, de la velocidad son cero. No existe gradiente de presión en la dirección 0. Estas afirmaciones Se basan en principios fisicos. Para este sistema, todos los términos de la ecuación de continuidad, expresados en coordenadas cilíndricas (Ec. B de la Tabla 3.4-l), son cero, y las ecuaciones de movimiento (Ecs. D, E, F de la Tabla 3.4-3) se reducen a l Boccndary Luyer T/reory, McGraw-Hill H. LAME, Hydrodynamics, Dover, Nueva York (1945). 1 H. SCHLICHTING, Nueva York (1955), capitulo 4. . 3- 26 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE M OVIM IENTO 8 co mpo nente’ r ap. + mi; . co mpo nente 9 0 = - $$v&) co mpo nente 2 oI- -aP & +rrps (3.5-8) (3.59) (3.5-10) La Ec. 3.5-9 puede integrarse con respecto a r utilizando las siguientes condiciones límite: ve = 0 para r = KR, y ve = S),R para r = R. El resultado que se obtiene es A V8 m - (3.5-11) Con ayuda de la Tabla 3.4-6 podemos obtener ahora la distribución del esfuerzo cortante %e(d : (3.5-12) Tambien puede calcularse facilmente el par 9 necesario para hacer girar el eje exterior, como producto de la fuerza por. el braxo de palanca: (3.5-13) El sistema que estamos considerando es un modelo bastante aceptable para ciertos tipos de cojinetes de fricción. Dichos sistemas se utilizan tambiin con frecuencia para determinar la viscosidad de fluidos midiendo el par y la velocidad angular. Los aparatos de este tipo se denominan viscoslmetros de CouettaHatschek. :, Una vez que se ha obtenido la distribucion de velocidad, puede calcularse la distribución de presibn radial mediante la Ec. 35-8. Para un tratamiento sobre la integración de esta ecuacidn remitimos al lec~ot a la bibliografia2. El flujo laminar en este sistema es muy estable debido a las fuerzas centrífugas. Una partícula procedente de una capa externa encuentra resistencia a moverse hacia el inZR. B. BIRD, C. F. CURTISS:~ W. E. STEWART, Ckm. Eng. Sci., ll, 114417 (1959). ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 3-21 terior, debido a que la fuerza centrífuga que actúa sobre ella es mayor que sobre las partículas que estan mas próximas al eje de rotación. Por otra parte, también el movimiento hacia el exterior está dificultado, debido a la mayor fuerza centrffuga de las partículas que tendrían que ser reemplazadas. De esto resulta que la transición a flujo turbulento tiene lugar para un número de Reynolds mucho mas alto que en el sistema análogo con giro del cilindro interior, en el que la fuerza centrifuga tiende a-introducir inestabilidad, Estos dos sistemas se han estudiado experimenralmente3, y se ha encontrado que los numeros de Reynolds correspondientes a la tra.&kn dependen grandemente de la relación existente entre el espesor del espacio anular y el radio del cilindro externo, (1 - JC). Si el cilindro que gira es el exterior, el número de Reynolds correspondiente a la transición, definido por (Q,R2p/p),,,,, alcanza,.un mlnimo .del ocdep de 50 000 cua@o (1 7,~) vale aproximadamente 0.05, como s, aprecia en ja Fig. 3.5-2. Cuando. el cilindro inrerior gira con una velocidad angular Q,*(y el exterior esta inmovil), el número de Reynolds de transición puede expresarse aproximadamente mediante la expresión (3.5-14) (n,KR$/fi};m, f 41.310 - 4” (1 - K ) X Io* . Fig. 3.5-2. Numero de Reynolds crítico para el flujo tangencial en un espacio. pnula r; s i r a el cilindro exterior y el interior es estacionario. [H. Schlichting, Boutdry Luyer tify, hk ¿hWHill, Nueva York (1955), p. 3571. Las distribuciones + velocidad angular en estos dos sistemas son muy semejantes para el intervalo laminar estable’. 3 Estos dos sistemas son tratados brevemente por H. Scm.rctr~r~~, op. cir. pp. 3%3S7 y 359360. Este mismo autor ha investigado los sistemas en los que gira el cilindro externo, en Nach. Ges. Wiss., Göttingen, Mark Phyzik. Kl., 160 (1932). Los sistemas en los que rota el cilindro interior han sido estudiados a fondo por G. 1. TAYLQR: Phil. Tratts., A223, 289 (1923); Pruc. ROX Soc. (London), AM, 494 (1935); ibid., Al57, 546 y 565 (1936). 4 H. SCHLICHTING, op. cit., p. 64. , 3-28 TR A N SP O R TE DE C A N TID A D DE M O V IM IE N TO Ejemplo 3.5-2. Forma de la superficie de un liquido que gira Un fluido de densidad y viscosidad constantes está contenido en un recipiente cilíndrico de radio R, tal como se indica en la Fig. 3.5 -3. El recipiente rota alrededor de su eje con una velocidad angular R. El eje del cilindro es vertical, de forma que g, = gs = 0 y gX- = - g. Hallar la forma de la superficie libre, una vez alcanzado el estado estacionario. Solución. Este sistema se describe mas fácilmente en coordenadas cilíndricas, y por lo tanto vamos a utilizar las ecuaciones de variación en este sistema coordenado que se dan en la Tabla 3.4-3. Sabemos que en el estado estacionario v, = v, = 0, y que vs es una función exclusiva de r. Sabemos, tambien, que la presión depender8 de r, a causa de la fuerza centrífuga, y de z, debido a la fuerza gravitacional. Al igual que en el ejemplo 3.5 - 1, no hay contribución de la ecuación de continuidad, y la ecuación de movimiento se reduce a : componente r vos ap PT=% componen@ 0 O=5a (l;za (rvo) ) componente z aP osIc--Pi a2 (3.545) , (3.547) En el interior del fluido P = [email protected] Fig. 3.5-3. Superticie libre de un líquido que lución. gira, cuya forma es la de un paraboloide de revo- ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 3-29 La ecuación 0 puede integrarse de forma inmediata para obtener (3.5-18) en la que C, y C, son constantes de integración. Como us no puede ser infinito para’ r = 0, la constante Cs ha de ser cero. Sabemos adem& que para r = R la velocidad ve es R 9. De acuerdo con esto puede evaluarse Cr y llegar a (33-19) U@ = i-b- lo que establece que cada elemento del fluido que gira se mueve de igual forma que los elementos de un cuerpo rigido. Este resultado puede substituirse en el componente r de la ecuación de movimiento. De esta forma se obtienen dos expresiones para los gradientes de presion: Como p es una funcibn aP = pfPr ar (3.5-20) aP z = -Pg (3.5-21) analítica de la posición, puede escribirse (3.5-22) Substituyendo las Ecs. 3.5-20 y 21 en esta expresion e integrando, se llega a de la diferencial total de la presión P E -p.z + @TV + C (3.5-23) siendo C una constante de integración, que puede determinarse teniendo en cuenta que p=poparar=Oyr=z,,deformaque* p#J = -@%o De aqul que + c p@ra p - po = -& - 4 + 2 (3.5-24) (3.5-25) La superficie libre es el lugar geométrico de los puntos en los que p = p,, y por lo tanto su ecuación es 0 = -pg(z pn2r a - 20) + -j- (3.5-26) 0 (3.5-27) 3-30 TRANSPORTE DE CANTIDAD. DE MOVIMIENTO que es la ecuación de una parábola. El lector puede comprobar igualmente que lã superficie libre de un líquido contenido en un recipiente anular que gira, presenta una ecuaci6n análoga. Ejemplo 3.5-3. Relaciones del par y distribución de velocidad en el viscosímetro de plato / __ y eti El viscosfmetro de plato y cono, que se representa esquemáticamente en la Fig. 3.5-4, consta esencialmente de una lámina plana estacionaria, sobre la que se coloca el líquido o pasta a ensayar, y un cono invertido, que se introduce en la substancia problema hasta -que la punta toca a la lámina, El,cono se hace girar a una velocidad angular conocida R, y la viscosidad del fluido se determina midiendo el par que se necesita para hacer girar el cono. En la práctica, el Ángulo’ Oo, comprendido entre las superficies cónica y plana, es muy pequeño, del orden de medio grado. Este tipo de Aparato presenta algunas ventajas importantes, especialmente en el caso de fluidos nòinewtonianos: a. Solamente es importante el componente del esfuerzo TM. b. El valor de 7~ es muy aproximadamente constante en todo el fluido. c. Los efectos finales pueden eliminarse casi totalmente. o re te nid o e ntre el cono y el plato por tenriõn supcrflclal. Fig. 3.5-4. Corte del viscosímetro de plato y cono. Analizar el sistema de la siguiente forma: (i) demostrar que solamente es importante (ii) determinar 7~ en función de r y 8; (iii) utilizar los resultados de (i) e (ii) con el fin 7d; 5 En relaci6n con este problema, los autores desean agradecer las discusiones mantenidas con el Profesor A. G. Fredrickson (Universidad de Minnesota) y el Profesor J. C. Slattery (Universidad de Northwestem). ECUACIONES DE VARIAClbN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 3131 de determinàr vd (r, 0) para el flujo estacionario de un fluido newtoniano con p p .p constantes (esta expresión deberá contener el par .F); (iv) obtener otra expresión para v+ (r, 0) que contenga la velocidad angular en vez del par. Solud6n. a. Si se supone que el flujo es completamente tangencial, resulta que v4 es una funci0n de r y 6, y que v, = vg = 0. En la Tabla 3.4-7 puede verse que los únicos componentes posibles de 1 que no desaparecen son t,+ y TM. Por lo tanto, los tres componentes de la ecuación de movimiento (véanse Ecs. A, B, y C, de la Tabla 3.4-4) sod coniponenfe r .? aP + = --$ componente 0 .? -pcoFf+ = - ’- aP- componente 4 (3.5-28~) r ao (3.5-286) (3.5-28~) CI=- Se supone «flujo reptante», es decir, se admite que el flujo es suficientemente lento, de forma que los términos que contienen v*& pueden tomarse iguales a cero. Con esto nos’queda solamente el componente Q de la ecuaci6n de movimiento. Postulamos6 ahora que la distribución de velocidad ha de ser de la’ forma vb ir, 0) = rf(0). Ensayamos esta forma funcional debido a que satisface las condiciones límite, tanto para 0 = 8, como para 0 = x/2. Como de acuerdo con esta hipótesis k velocidad angular v+ Ir es independiente de r, a partir de la Ec. F de la Tabla 3.4-7 se encuentra que 74 5- 0. b. Al tomar 7,4 igual a cero, se llega a la siguiente ecuación diferencial, p a ra 7s/ : , Integrando e sta f? ? d e = - 2 w c ot 8 (3.5-29) ecuaci& se obtiene (3.540) en-la que C, es una constante de integración, que puede. evaluarse a partir de la condici6n límite de que para 0 = n/2 el par JF@nsmitido por el fluido a la Mmina es conocido. El par se evalúa multiplicando T~I~-,,,~ por el área diferencial r dr d4 y por ei brazo de palanca r, e integrando este producto sobre ta superficie de lámina completamente m o j a d a d e radie R: (3.5-31) 6 Para Otro punFo de vista , vt9se el probkma 3.T. 3-32 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Combinando las Ecs. 3.5-30 y 31 se obtiene 796 = 3.97 / (3.5-32) 2rR3seh2 0 Si Oe es pequeño, sen2B~se hace muy proximo a la unidad, y ti será prácticamente independiente de la posición. >‘c. A partir de la Ec. E de la Tabla 3.4-7 se obtiene la relación entre T& y el gradiente de vJr. Introduciendo esta expresión en la Ec. 3.5-32 se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria para la velocidad angular local uJr: 3s = 2&enso (3.5-33) Separando variables ektegrando, se obtiene la distribución de velocidad angular: T =& [cotO+$ (ln~O)senO]+Ca (3.5-34) La constante de integración, C’, es cero, puesto que vb = 0 para 8 = ~12. d. Podemos escribir ahora la PC. 3.5-34 para el caso especial de que I3 = Ot =n/2 - Oe ,< y q = Rr sen Ot . (3.5-35) (Observese que esta expresión permite determinar /.J a partir de medidas de f y 9.) Dividiendo la Ec. 3.5-34 por la Ec. 3.5-35 se elimina 5, con lo que se obtiene ud en función de R: . V* - 31SlsentJ, r cota+ ,f(ln: +fm3 sene cot8 s!l. inl.+Cose’ ‘_,\’ [ le 2,; ( 1 -cose,1 sen el 1 (3.5-36) Para valores de 0 y 0, prácticamente iguales a n/2, esta expresión puede substituirse muy aproximadamente por cos d f-L*,s+ Q r n - - e 2 n- - 4 i2 La Ec. 3.5-36 puede deducirse también por otro metodo (3.5-37) i descrito en el problema 3.T. E C U A C I O N E S D E V A R I A C I Ó N P A R A S I S T E M A S ISOTÉRMICOS 3-33 $ 3:6 LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA FLUJO NO-NEWTONIANO INCOMPRESIBLE Las ecuaciones de movimiento expresadas en función de r (véanse las Ecs. A, B y C de las Tablas 3.4-2, 3 y 4) pueden utilizarse para describir el flujo no-newtoniano. Con este fin, sin embargo, se necesitan relaciones entre los componentes de 7 y los distintos gradientes de velocidad; en otras palabras, hay que substituir las expresiones que se dan en las Tablas 3.4-5, 6 y 7, por otras adecuadas para el flujo no-newtoniano. Por consiguiente, la mayor parte de esta sección está dedicada a las expresiones de 7 para modelos no-newtonianos. En Q 1.1 se ha definido el coeficiente de viscosidad de acuerdo con la Ley de la viscosidad de Newton. Posteriormente, en 3 1.2, se ha visto que ciertas clases de fluidos no pueden describirse mediante la ley de Newton, y que algunos «modelos no-newtonianos» resultan útiles para expresar el comportamiento reol’ógico de los materiales na-newtonianos más simples. En 0 3.2 se ha expuesto la ley de la viscosidad de Newton en una forma más general. En las Ecs. 3.2-11 a 16 se dan las expresiones en coordenadas cartesianas, así como también las expresiones análogas para coordenadas cilíndricas y esféricas. En esta sección se pretende obtener una generalización análoga de los modelos nonewtonianos. Sin embargo, este tratamiento está restringido para el flujo incom’ pres i b l e. Recordemos que, seg6n 9 3.2, la ley de la viscosidad de Newton para un fluido incompresible es 0 = -p A (3.6-1) en lá que A es el «tensor velocidad de deformación» simétrico, con componentes cartesianos dij = (dv,ldxj) + (&Q/&~). El coeficiente de viscosidad depende de la temperatura y presión locales, pero no de T o A. Para materiales no-newtonianos no existe una relación entre 7 y A, como ‘la que se indica en la Ec. 3.6- 1. Para algunos tipos sencillos de fluidos no-newtonianos, se puede, sin embargo, escribir 7 = -7j A (3.6-2) en la que,la viscosidad no-newtoniana q, un escalar, es una función de A (o una función de:~), así como también’de la temperatura y la presión. La suposición de diferentes funciones empíricas para describir la variación de yo con A (o con T) corresponde a los distintos .«modelos» expuestos en Q 1.2. Para que q sea una función escalar del tensor A, es preciso que dependa solamente de los «invariantes» de A. Los invariantes son las combinaciones especiales de los componentes de P. que se transforman como escalares en una rotación del sistema coordenado : 3-34 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOYIMIENTO 1, = (A:S) =CiAii (3.6-3) I, = (A : A) = BiCj Alj Ari (3.6-4) I, = det A = &C jXtei jk AIi Aa j 8, (3.6-5) Puede demostrarse fácilmente que el primer invariante corresponde a 2(V * v), que es cero para un fluido incompresible. Por lo tanto, (3.6-6) 17 = 17um 12) Para muchos flujos,sencillos (flujo axial en un tubo, flujo tangencial entre cilindros concéntricos, flujo en una película) el tercer invariante 1s se anula. Para otros tipos de flujo, generalmente se admite que 1s no es muy importante. De acuerdo con esto, se acostumbrar suponer que ~7 puede tomarse como una función de(A : A).Se han propuesto algunos modelos de materiales para los que VJ depende de la densidad de flujo de cantidad de movimiento; en este caso ~7 puede tomarse como una funcion de (z : T). Teniendo en cuenta lo expuesto hasta aqui, podemos expresar los modelos nonewtonianos de 0 1.2 en una forma que nos permita describir el flujo en geometrlas complejas : Modelo de Bingham 70 \ A para i(~ : T) > Ti T = - Ip0 \ Qgm)r (3.6-7) A =r 0 (3.6-8) para i(%.:$ <$,2 , Modelo de Ostwald-de Waele T = -{m I,/i(A : A)J”-‘)A (3.6.-9) < <‘, A (3.6- 10) La utilidad de estas ecuaciones consiste en que se pueden expresar los componentes de T para materiales .no-newtonianos en coordenadas cilíndricas y esféricas, mediante el siguiente procedimiento : (a) buscar cuidadosamente hasta encontrar en las Tablas 3.4-$6 y 7 las correspondientes relaciones newtonianas; (b) substituir p en la expresión newtoniana, por la magnitud entre corchetes del modelo deseado; y (c) introducir la relación (A : A) o (7 : T)en las coordenadas adecuadas. De hecho, 1 Esto ha sido sugerido por primera vez por K. HOHENEMSER y W. PRAGER, 2. ungcw. Math. Mech., 12, 216-226 (1932). r ECUACIONES \ DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS .3-3s &(A : b) resulta ser exactamente la función @, de la Tabla 3.4-8, en la que se ha suprimido el término -t(V - v)%; por lo tanto, se dispone de’ ella en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. Después se ilustra este procedimiento mediante un ejemplo. Antes de concluir esta sección es preciso hacer varias advertencias. Las expresiones tales como las de las Ecs. 3.6-7, 8, 9 y 10, son expresiones, empíricas, propuestas para representar de forma aproximada el comportamientu real & distintos materiales; lo único que se ha hecho aquí es escribir estas expresiones en una forma tal que se transformen adecuadamente al pasar de un sistema coordenado a otro. Sin embargo, no se puede asegurar que los parámetros (m y n por ejemplo), serían los mismos si se determinasen en distintos dispo&ivos geom¿tricoS: Es preciso subrayar que hemos despreciado el efecto de 13, debido fundadamente a- la falta de información experimental acerca de su importancia. Por otra parte, todavía se ha restringido más el estudio, debido a que se ha supuesto que, ,la Ec. 3.6-2 puede ut&&se para describir el comportamiento de un fluido no-newtoniano. Se ha visto que la ecuación más general, mdependiente del tiempo, para fluidos no-newtonianos isotrbpicos e incompresibles que no presentan elasticidad2*3, es ., I (3.6-11) T = -TA - &J~(A. A} I. en h+ (Iue ~.:es la .&scosidad transversal» (en ingles neío~s-visco’itj>»)r siendo tanto’ 7 como r]c’funciones de Iz e I3. Todavíai se pueden utilizar expresiones más generales que comprenden los efectos de [email protected]~Z Hasta ahora no se han sacado aplicaciones prácticas de la Eo. 3.6- ll y otras relaciones más generales, ya que se necesita una mayor investigacion con respecto a la naturaleza específica de magnitudes tales como 7 y Q. Sm embargo, es mteresante hacer notar que el «efecto de Weissenberg» (la tendencia de un fluido a trepar a lo largo de un eje que gira, en vez de ser despedido por fuerza centrífuga) % puede expliirse cualitativamente mediante el ttkmino qC de la Ec. 3.6-11 s Se han propuesto ademas otros ‘modelos distintos de la Ec; 3.6-11 que tambien explican cualitativamente este efecto. Ejemplo- 3.6- 1. Flujo tangaeX de un plástico de Biagham eu tubos eoue&nriees Determinar las distribuciones de velocidad y esfuerzo, para el flujo de un plastico de Bingham en el aparato del ejemplo 3.5 - 1, en función del par f comunicado al cilindro exterior. SupóngaSe flujo laminar incompresible y despr&iénse los efectos finales. 2 R. S. RIWLIN, Proc, Roy, Soc. (Londres), A193, 260-281 (1948); Pro?: Cambridge Phil. SOC.. 45, 88-91 (1949). 3 M. RUNER, Am. J.“Math:; 67, 350-362 (1945). 4 J. G. OLDROYD presenta una interesante introducción al flujo no-newtoniano en’ Rheology, R.R. Eirich (Ed.), Academic Press, Nueva York (1956). capítulo 16. Un tratamiento más completo puede encontrarse en C. TRUESDEU; J. Rut. Mech. Anal., 1, 125-300 (1952). 5 P ara un problema sencillo de viscoelasticidad, veast problema 3.V. 336 <TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOWMXENTO Sohwidn. Para este sistema v, = v, = 0 y ve = vg(r). Por lo tanto, el, único componente de 7 que no desaparece es z,~, y la ecuación de movimiento para el estado e&onario es ,’ ib-12) 0 = $j $ trGrd Al integrar se obtiene 1. c; I _’ ‘re”7 <... :,1 1, Si se~,conoce~l par $ comunicado, al cilindro exterior v“i, : <’ $y 9 3wlielrIR e2aR.i . R (3.643) (3.614) El signo menos se debe a que la‘densidad de flujo de cantidad de movimiento 0 tiene lugar en la dikci6n -r. Por lo tanto & = -4/2í;L, y / >_ : .F Tre =-- (3.615) 2d.r’ Este resultado, que es satisfactorio para cualquier tipo de fluido, puede tambien obtenerse admitiendo que toda la impulsión angular ha de transmitirse desde el dindro ex,-, terior al interior. La expresión analítica que debe,de utilizarse para el modelo de Wmgham depende del valor de #wt) = )&&,, p. Como frs es ei linico componente de ‘II qtie’no desaparece, , : !, :, .’ ,I tenemos _ +(?:7)‘-,;9” *, (3.646) 1 . Por lo tanto, se utiliza la Ec. 3.6-7 cuando Ir,& >, ro (es decir, cuando se sobrepasa el esfuerzo cortante crítico), y la Ec. 3.628 cuando Ir,&,< Q. A ‘partir de la Ec. 3.6~15 se puede definir una magnitud ro, que es el valor de f para e! cual IrJ = zo: (3.6-17) Se pueden distinguir tres casos: O. Si ro < KR, no existir& movimiento del fluido en nmguna parte. b: Si R > ro 3 KR, habra flujo viscoso en la región KR < r < ro, y &rjo de tapón» pararo<r<R. c. Si ro> R, habra flujo total. ’ A continuación escribimos la Ek. 3.6-7 para el sistema que estamos considerando. Teniendo en cuenta que . +(A:A) [ 01 P ri 7 ’ ECUACIONES DE VARIACIÓN FARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 347 se llega a d uo ‘5 0 -Y d ve = -70 -Pordrr 0 (3.648) .< Como us/r no disminuye al aumentar r, ~,s es negativo. Es decir, que el componente 6 de la cantidad de movimiento fluye en la dirección r negativa. Substituyendo la Ec. 3.6-18 en la Ec. 3.6-15 e integrando, se obtiene para el tko b -=n +-&-JI - e)J -2In (k) parad r % ve y”% = Q <r <r o (3.6-20) para ro < r < R r (3.619) habiéndose utilizado la condición límite de que ve/r = Q para r = r,. En el caso c se utiliza la condición límite ue/r = R para r = R, y se llega a VId’&[‘3 (y] -:ln(rR) r , KR<r<R (3.6-21) Si utilizamos ahora en el caso c la condición de que para r i KR, vs = 0, se obtiene iT 1 70 n =ws-l +Elnr ( 1 Esta relación entre Q y f(conocida como ecuación de Reiner-Riwlin6) permite peterminar p,, y t. a partir de datos viscosimétricos. Ent ra d. de tluio I Solida .di Ruio Fig. 3.6-1. Flujo radial, hacia fuera, entre dos discos paralelos de radio r2. El pdio del 01% ficio de entrada es rl. La distancia entre las IAminas es 26. 6 M. REI N ER y R. & WLlN , Kolloid-Z., 43, 1 (1927). 3-38 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Ejemplo 3,6-2. Componentes del tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento, para el flujo radial no-newtoniano entre dos discos paralelos Se considera el flujo reptante radial entre dos disc& circulares, para un fluido que sigue el modelo de la potencia, tal como se’indica en la Fig. 3.6-1. a. iDesaparece 1s para este sistema? b. iCuáles son los componentes de r--de acuerdo con la Ec. 3.6-9? Solución. o. Utilizando coordenadas cilíndricas para este sistema, se observa que para’ flujo reptante u, = us = 0, así como también que u, = u,(r, z). Por lo tanto, A es de la forma A= 2(at$r) 0 0 / 2Wr) cav,lw .o. ( au,l ae 0 0 (3.6-23) 1 Como se ve, det A # 0, y el tercer invariante no desaparece. b. Para el caso de coordenadas cilíndricas,,~ teniendo en cuenta lo establecido en (a) con respecto a los componentes de la velocidad, resulta i(A:A) = 2($)*+ 2@s+ (2)’ (3.6-24) Este resultado puede obtenerse formando el producto de doble punto de A consigo mismo, o bien utilizando la Ec. B de la Tabla 3.4-8, juntamente con la relacibn Qp, = +(A : 6). De acuerdo con esto, los componentes de T que no desaparece8 son Tm = -2{ml d$(A : A)i”-“} 2 _ (3.6-25) (3.6-26) (3.6-27) $ 3.7 ANALISIS DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN1 Antes de abandonar el tema de la formulación general de estas ecuaciones entre derivadas parciales y su significado, vamos a estudiarlas desde el eunto de vista del análisis dimensional. Para mayor sencillez, este estudio se limita a los sistemas de densidad y viscosidad constantes; sin embargo, puede ampliarse fácilmente para los casos en que es-s magnitudes varíana. 1 Un reciente libro sobre los’ problemas del paso de escala es el de R. E. JOHNSTONE y M. M. THRING, Piiot Plants, Models and Scale-up Methods in Chemical’Engineering, McGraw-Hill, Nueva York (1957). El análisis dimensional de la ecuación de Navier-Stokes se considera en las páginas SO y ss. Análisis algo más detallados pueden verse en H. SCHLICHTING, Boundary Luyer Theory, McGraw-Hill, Nueva York (1955). 2 H. SCHLICHTING, op. cit., pp. 248 y ss., considera los efectos de compresibilidad. , E C U A C I O N E S D E \ VARIACldN P A R A S I S T E M A S ISOTÉRMICOS 3-391. En muchos sistemas ,de, flujo se puede elegir una longitud característica D y una velocidad característica V. Así, para el flujo en un tubo circular, se toma generalmente D como el diámetro del tubo y V la velocidad media de flujo. Para el flujo alrededor de una esfera, se toma habitualmente para D el diámetro de la esfera y para V la velocidad del fluido en un punto alejado de la esfera, relativa a la velocidad de ésta, lo que se denomina «velocidad de aproximación». La elección es arbitraria, pero debe de especificarse cuidadosamente en cada caso. Una vez que se ha efectuado esta elección, se pueden definir las siguientes var.iables adimensionales y operaciones diferenciales : p* - (p -,po); t* ; ,z (3.7-1,2,3) PVe &$ ; y *= Y; ,’ z*= g (3.7- 4) D ir* = DI? = 6,$;+ 82L+ &$ aY* as ax*2 VZa = D2v” s - + as.+ aS aY*2 az*2 D D-D= 0 Dt’ V Dt (3.7- 5y (3.7- 6) r (3.7-7)’ En la Ec. 3.7~2, po, es una presión adecuada que se toma como referencia. Recuerdese que 19s ecuaciones de continuidad y movimiento para fluidos newtonianos de densidad y viscosidad constantes, son 4 ,, (ecuación de continuidad) (ecuacibn de movimiento) (V * v) = 0 ” Do PC t = - w+ (3.7- 8) (3.7- 9) p v % + pg Estas dos ecuaciones pueden expresarse en función de las siguientes variables adimensionales, tomando v = V*V, (p - po) = p* V2, etc.: (~v*..*v) =o p ; $ (v*y)= -(iv*.,p*pv’) + fA $v*yv*V) + p g 0 3 Las S, son «vectores unitarios» (dati 8 A.2 ). (3.7-10) (3.741) 3-40 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Multiplicando la Ec. 3.7-10 por D/V y la Ec. 3.7-11 por D/pP, (v* * lJ*) = 0 se obtiene (3.7-12) = -v*p* + pIy*““* + p!?]f Dt+ Do* (3.7-13)4 Obsérvese que en estas formas adimensionales de las ecuaciones de variación, los «factores de escala», es decir, las variables que describen el tamaño total y la velocidad del sistema, así como sus propiedades físicas, se reúnen en dos grupos adimensionales. Estos grupos ‘intervienen con tanta frecuencia en estudios ingenieriles que se les ha dado nombre en honor de dos pioneros en mecánica de fluidos: 11 Fr= !?. t1 Re=9 P gD = numero de Reynolds (3.7- 14) . . , = número de Froude .’ (3.7-15) Si en dos sistemas diferentes, los factores de escala son tajes que los números de Froude y Reynolds son iguales para ambos, los dos sistemas están descritos por idénticas ecuaciones diferenciales adimensionales. Si además las condiciones adimensionales inicial y límite son las mismas (lo cual sólo es posible si los dos sistemas son geométricamente semejantes), los. dos sistemas son matemáticamente idénticos; es decir, que la disrribucion de velocidad adimensional u* (X*, y*, z*, t*) y la distribución de presión adimensional p* (x*, y*; z*; t*) son las mismas en cada uno de ellos. Se dice entonces que tales sistemas son «dinámicamente semejantes». En el paso de escala de procesos no bien conocidos, es generalmente conveniente mantener la semejanza dinámica, tal como se indica en el ejemplo que sigue. Ejemplo 3.7-1. Predicción de la profundidad del vórtice en un tanque agitado Se desea predecir la profundidad del vórtice para el flujo estacionario en un tanque de aceite de grandes dimensiones desprovisto de placas deflectoras, como se indica en la Fig. 3.7 - 1, en función de la velocidad del agitador. Nos proponemos obtener el resultado mediante el estudio de un modelo a escala reducida, geométricamente semejante al tanque. Determinar las condiciones en las que debe de efectuarse el estudio del modelo con el fin de que constituya un medio adecuado de prediccion. Solución. Como el tipo de flujo en este sistema es demasiado complicado para permitir un cálculo exacto, se utilizarán los métodos del análisis dimensional. La forma del vórtice será la misma en los dos tanques, siempre que sean idénticas las ecuaciones diferen- 4Obskvese que g/g es un vector unidad en la dirección de la gravedad. ECUACIONES, DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 3-41 ciales y las condiciones. límite adimensionales que describen el flujo. Es evidente que las ecuaciones diferenciales’son las ecuaciones de continuidad y de movimiento; ias condiciones límite son: Tanque grande v = 0 . Tanque pequeño para 2 = 0 para f = 0 siendo 0 < r < Tl/2 siendo 0 -Z r K T2/2 para r = Tz/2 para r = Tl/2 siendo 0 < z < HI (3.7-16) .-. (3.7 - 17) (3.7-18) P =po para W, z) para sz(‘, d ‘< ’ .’ siendo S, y S, las superficies de los vórtices de los tanques grande y pequefbS y p0 la pr@ sion atmosférica. Támbién se puede escribir que la velocidad relativa a todas las super- Mg; 3.721. <( Prohmdidad siendo 0 < v < Hz de vortice en un tanque agitado. ficies &idas moviles es cero en dichas superficies, pero las condiciones anteriores son suficientes para poner de manifiesto la técnica que se utiliza. Se supondrá que la operación tiene lugar en estado estacionario y por consiguiente no se precisa ninguna condición inicial. Elegimos como longitud de referencia del sistema el diámetro D del agitador, y como velocidad de referencia DN, el producto del diametro del agitador por su velocidad de rotación, expresada en revoluciones por unidad de tiempo. Los números de Reynolds y Froude para este sistema son [DaN&] y [DN”&],respectivamente. Las condiciones limite en función de las variables adimensionales son 3-42 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Tanque grande o*=O parar*=0 ‘Tanque pequeño para z* = 0 TI siendo 0 (: r+ < 201 7-l v* = 0 p a r a r * =24 siendo 0 <z* < Hl4 Tz siendo 0 < r* < 2. 2 (3.7-19) parar* = 2 2 H2 siendo0 <z*‘< Do ‘p+ = 0 para SI* 6 (3.7-20) (3.7-21) Por lo tanto, para que el tipo de flujo sea semejante en los dos tanques es preciso que se cumplan las siguientes igualdades: < (3.7-22) (3.7-23) (3.7-24) (3.7-25) DINI” W$= -=8 Cr (3.7-26) Las Ecs. 3.7-22 y 23 corresponden a la exigencia de semejanza geombtrica. Es evidente que cuanto mas detallada esté la descripción de las ~Superfkies de velocidad cero, mayor número de estas relaciones de tamaño seran necesarias. En la practica pueden incluso tener importancia la rugosidad relativa de las paredes deI tanque y el tamaño de las cabezas de los pernos. Si los vortices tienen la misma forma es obvio que ha de cumplirse la Ec. 3.7 -24, puesto que SI* (r/Dl, z/D& yS2*(r/D2, z/D,) son las formas adimensionales de los vórtices. Las Ecs. 3.7-25 y 26 establecen las relaciones que han de existir entre los factores de escala, y que desde nuestro punto de vista son las mas importantes. Como no es practico en modo alguno variar el campo gravitacional, de la Ec. 3.7-26 se deduce que (3.7-27) Substituyendo esta expresión en la Ec. 3.7-25, se obtiene -,‘l-4 3í PS PI 0 4 (3.7-28) .* ECUACIONES‘ DE VARtACI(IN PARA SISTEMAS ISOT&RMICOS 343 De esta forma se llega al interesante resultado de que la semejan, dmamk?a, o sea v&tices semejantes en este ejemplo, no puede conseguirse si se utiliza e] mismo fluido en los dos tanques, sino que debe de emplearse un fluido menos viscoso en e] tanque más pequefio. Si el tanque pequeño tiene unas dimensiones lineales que son la mitad de las de] grande, la viscosidad cinemática del fluido en él contenido tiene que ser l/v(E veces la del aceite del tanque grande. Si se tuviese en ambos el mismo fluido y,‘el mismo número de Reynolds, el número de Froude en el tanque pequeño sería mayor y el vórtice sería proporcionalmente más profundo, que es el caso que se indica mediante la curva de trazos de.la Fig. 3.7-1. X’ ., 1, CUESTIONE!3 PARA DISCUTIR : ,r -, 1. Expkar el significado fllico de las tres derivadas JT{iJ/, dT/dr, y DTjDr, siendo T la tempe. ratura loca] del fluido, 2. iPuede ser DelDi cero para el flujo de un fluido, cuando DC/& no es cero? iPuede no ser cero Dc/Dt cuando ¿c/dt es cero? Expliquese. 3. iCual es el significado físico de la ecuación de continuidad? 4. iCómo se simplifica la ecuación de continuidad para el .fiujo estacionario? 5. .~Que forma tomará la ecuación de continuidad para un fluido incompresible? 6. iQu& se entiende por divergencia de un vector y por gradiente de un escalar? 7. iCuales son las dimensiones de Vp, V’v. [V . T]? 8. iEn qu6 ley fisica se basa la ecuación de movimiento? *. 9. iCuál es el operador laplaciana? 10. Comparar las Ecs. 3.2-8 y 3.2- 10 por lo que respecta a la interpretación Esica. ll. iCuál es el origen del balance diferencial de energia mecánica? 12. ¿ Puede en algún caso ser negativa la velocidad de disipación de energía mecanica? i CuBl es el significado de su respuesta? 13. Expresar el significado Bsico de los terminos pu& y puev,/r de la ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas. 14. Las Ecs. 3.6-7 y 3.6-9, iresultan necesariamente de las definiciones de los flu’idos d e l a ley de la potencia y de. l o s pIMicos de Bingham que se han dado en el Capítulo l? Expliquese. 15. ¿Cómo pueden.’ utili&rse las ecuaciones obtenidas en 03.4 para resolver problemas de flujo viscoso. 16. iCómo puede obtenerse la ecuacibn diferencial basica de hidrostatica a partir de la Ec. 3.2-81 17. Utilizar el resultado de la cuestión 16, para obtener la distribución de densidad en una columna isotknii de un gas ideal. 18. Demostrar que las superficies de dos líquidos inmiscibles, contenidos en un vaso que gira con velócidad angular Constante. adquieren formas parabólicas. 19. &&5mo se simplificarían las expresiones de las Ecs. 3.2-17, 18 y 19 para p y p constantes? 20. ¿Qu¿ información se obtiene al escribir las ecuaciones de continuidad y movimiento en forma adimensional? 21. Expresar las ecuaciones diferenciales y las condiciones límite para el sistema de flujo de 6 2.6. 22. Discutir algunas consecuencias de la fuerza de Coriolis en meteorología. 3-44 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 23. tl5.s milida la Ec. 3.5-27 si ZC ze? 24. Demos&a~ que la Ec. 3.5-37 puede obtenerse muy fMmente modiicando la expresión del perfil de velocidad para el Sujo entre dos laminas paralelas, la superior de las cuales se mueve con velocidad uniforme, mientras que la inferior esti en reposo. 25. Demostrar que la solución correspondiente a la Ec. 3.5-36 satisface la Bc. 3.5 -2&, pero ~1 cambio no satisface la ecuación que se obtiene para vc eliminando p entre las ECL 3.5 -28~ y 6. DiscWse. PBOBLEMAB 3.Ar PaF necede pprn hacer gku UII cejhte de &k&n Calcular el par, expresado en kpn, y la potencia en caballos, que se necesitan para hacer girar el eje en el cojinete de fricción que se indica en la Fig. 3.A. La longitud de la superficie de fricci6n con el eja es de 5.08 .cm, el eje gira a 208 rpm; la viscosidad del lubrificante es de 200 cp, y la densidad 0,80’ g cm’3. ,Respuesta: 0,044 kgtn 0,012 b , Pii. 3.A. Cojinete de fricciõn ‘ , 3.Br VfscoQimetro de plate y ceno Un viscosímetro de plato y cono, análogo al’de la Fig. 3.5-4, cuyo radio R del-cono es 10 cm y el ángulo de apertura 8, O,S”, se utiliza para medir la viscosidad de soluciones newtonianas. i Qut par, en dinas-cm, será necesario para girar el cono con una velocidad angular de 10 rad/min. si la viscosidad del fluido es 100 cp? Sugerenclu. Utilizar la distribuci6n límite de velocidad para 8, peque&% Respuesta: 4.0 x 104 dina-cm. 3.Cr Efecto de la altitud sobre la presi6n del aire En la desembocaura del río Ontonagon en la orilla sur del lago Superior (183,5 m sobre el nivel medio del mar), nuestro bar6metro portatil indica una presión de 750 mm Hg. Utilizar la ecuación de movimiento para estimar la presión barometrica en la cima del Govemment Peak (617 m sobre el nivel medio de mar) en las cercanas montagas Porcupine. Supóngase que la temperatura al nivel del lago es 21’ C y que disminuye, al aumentar la altura, a raz6n constante de 0,55°C/100 m. La aceleracibn de la gravedad en la orilla sur del lago Superior es 981,1 cm seg-* y su variación con la altura puede despreciarse en este problema. Respuesta: 712 mm Hg. ECUACIONES DE VARIACION PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 3.& Detembci6n de la viscosidad con UII viacohetre de Chmtte-Habcbek 3-45 0 de McMidmel Se desea medir la viscosidad de soluciones de sacarosa de conantracibn próxima al 60 por ciento en peso, a la tempera’iura aproximada de 2o”C, mediante un viscbsímetro de CouetteHatschek. Este aparato consta esencialmente de un cilindro interior estacionario de 4,000 cm de digmetro y 4.00 cm de longitud, rodeado por un cilind;o conkntrico móvil de 4,500 cm de diámetro y 4,00 cm,de longitud efectiva: El cilindro exterior se hace girar mediante la aplicaci6n de un par conocido y la viscosidad de la soluci6n se deter+a a partir de la velocidad angular que resulta. La viscosidad de la sacarosa al 60 % es de unos 57.cp y s u densiid aproximadamente 1,29 g cm-J. ‘_ A la vista de la experiencia anterior parece positie que los’«ef&ios finales» pue+len ser importantes, y por consiguiente se ha decidido calibrar e: viscosimetro operando con* algunas’s&iones de viscosidad conocida. que sea aproximadamente igual a la de las SolucioncSde Sacarosa. Hallar el valor conveniente del par que debe de util&arse en el calibrado, si las medidas de par pueden efectuarse con un error de 100 dinas-cm y las de la velocidad angular co’ un error del 0,s > por ciento. iCuál set% la velocidad angular que resulta? ‘, 3.E2 ApJkach de las ecuaciones de Navies-Stokes de -VI prodlanw m . . , Utilizar las ecuaciones de Navier-Stokes para densidad constante, con el fin de obtener las ecusciones diferenciales de la distribución de velocidad: (a) para el flujo de una peiicula isot&mica, igual que en 8 2.2, (b) para el flujo de dos fases en una rendija horizontal, como en $2.5, y (c) para el flujo axial en tub o s conc&ntricos con un elemento móvil, como en el problema 2.J. 3& Distribucidn de vebcidad en un visc+sSmetro para h resohcibn de Stormes Un visco&netro de Stormer consta esencialmente de dos cilindrosconc&ricos, el interior de los cuales gira, mientras que el èxterior permanece estacionario. La viscosidad se determim midiendo la velocidad de rotaci6n del cilindro interior por efecto de la aplicación de un par conocido. Es muy parc@ al viscosímetro de Couette-Hatschelc descrito en $3.5. Deducir una expresión para la distribución de velocidad en este tipo de aparatos, en funci6n del par aplicado, para il flujo laminar de un fluido newtoniano. Despr&iense los efectos ñnales. Fl R e s p u e s t a : C!=- 1- r 4q.L ( r’ R’ ) 3.c~ Esf& cortantes en .funcih del movimiento y las propiedades del tkddo Demostrar cbmo se puede obtener, a partir del componente x de la ecuacibn de movimiento en funci6n de los componentes de 7 (Ec. 3.2-9). la ecuación anhloga en función de p (Ec. D de la Tabla 3.4-2 para un fluido incompresible). Obs&vese que para un fluido incompresible(V * U) =O, de acuerdo con la ecuación de continuidad, que debe de utilizame (a) para simplificar la expresibn * de T,, de la Tabla 3.4-5, av, 2 ,. u) 7, = 44~ + -3 /.m‘ ,.. y (b) para simplificar el conjunto de derivadas segundas que se obtienen al diferenciar los tbrminos de r: 346 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 3.Hz Distrt~ t60 de vetocidad entre dos ciltnhs que gkam -terminar v&j entre dos cilindros coaxiales de radios, R y K R que giran con veiocidades angulares Ge y Qr, respectivamente. Supóngase que et espacio comprendido entre dos cilindros esta ocupado, por un fluido isot&mico incompresible que se mueve con flujo laminar. Rqpnesta: ue E 1 4-w - QK’R’) -q(n.- ni) Ryl - K’j,( 1 3.1z Otra farma de k ecwacibn dimovjmianto. ., Demostrar que las dos formas de la ecuaci6n de movimiento, expresadas para un elemento estacionario de volumen y otro ‘que se mueve con el movimiento del fluido, Ecs. 3.24 y 3.2- 10, respectivamente, son ’ equivalente& ,’ I ‘. 3 . 5 2 Laeetuwihdeeon~ e3tcoordenadas~ ‘. . .a. Deducir la ecuaci6n de continuidad en coordenadas ci&tdricas mediante un balance de materia aplicado a un elemento estacionario de .volumen rArA0Az. 4. Deducir la ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas, a partir de la forma rectangular, mediante cambio de variables. En esta deducci6n ,pueden admitirse sin demostraci6n las siguientea relaciones : x = r co3 0 r4x2+y2 v.= v,cose-:qQcne y= rS & ‘8 = ‘are tan (y/x) V ,-V ,& i8 j,V 6 COS0 Z=Z z =.,s VS - v, I c. Demostrar la validez de las expresiones obtenidasen (0) para vt y v, en funcibn de v, y vg. ;, ‘.: 3.Kz Flujo ra dia l e nt re doa discoe pkaklos Una parte de un sistema de lubricación consta de dos discos circulares entm’los que fluye radialmente un lubricante. El f l u j o se debe a una diferencia de presi6n existente entre los radios interno y externo rr y rs. El sistema esti representado en la Fig. 3.6-1. a. Escribir las ecuaciones de continuidad y movimiento para el sistema de flujo, suponiendo que el flujo es newtoniano, incompresible, laminar y estacionario. Consid&ese solamente la región r, < r < rs, y sup6nga.m que el flujo esta dirigido radialmente, de forma que. vs = u, = 0. b. Demostrar que la ecuación de continuidad permite simplif%car la ecuaciirn de movimiento para obtener (3 .& 1 ) en la que I$ = rv, es una función exchrsiva de z. ¿Por qu¿ 4 ea independiente de r? c. ge puede demostrar que la Ec. 3.K-1 no tiene sohtcibn, a no ser que se desprecie d ttrmino no lineal (es decir, el t6rmino que contiene 952); para la demostración, véase el problema 3.Y. La omisión del t&mino $2 corresponde a la suposición de «Rujo reptante» que se ha hecho al deducir la ley de Stokes en $j 2.6 para el flujo alrededor ‘de una esfera. Demostrar qtie cuando se descarta el término no lineal, la ecuaci6n de movimiento puede integrarse para obtener: (3.K -2) ECUACIONES d. DE VARIACldN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 1 % v&, t) =2%,[I 01 3-47 Demostrar que la E?c. 3.K-2 conducé al siguiente perfil de velocidad 2pr In z c. Demostrar finalmente, que la velocidad volumktrica g3 la rendija, viene dada por (3.G3,) 6 de flujo Q (en m3 seg-1) a trav&s de rhr b’Ap Q E- (3x4) J Construir esquemas adecuados para representar la distribución de presión p(r) y l a d i s t r i bución de velocidad v,(r, z). Considerar un elemento rectangular de volumen en el interior de un fluido tal como se indica en la Fig. 3.L, y observar que los cuatro esfuerzos cortantes perpendiiulares al eje z forman dos parejas opuestas. Escribir una expresi6n para la aceleración angular del elemento de volumen. que resulta de la acci&n de estas dos parejas y demostrar, haciendo tender a cero las dimensiones I ‘T x Fig. 3.L. Elemento de volumen AxAyh sobre el que se aplica un balance de momento. Los momentos se calculan con respecto a un eje que pasa por 0. (Nótese que si un tensor es simCtrico en un sistema coordenado rectangular, lo es tambien en cualquier otro sistema coordenado ortogonal.) ,3.Ms Arrastre de aire durante el vaciado de un tanque Se desea construir un tanque de almacenamiento de melazas de 18 m de diámetro, provisto de una tubería de desagüe de 43 m de diámetro, situada a 1.2 m de la pared lateral del tanque 3-48 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO y cuya longitud por encima del fondo del tanque es de 0.3 m (vkase Fig. 3.M). Se sabe por experiencia qúe al, Oxtraer las melazas del tanque se forma un vórtice y que al disminuir el nivel del liquido, el v&rtice alcanza finalmente la tubería de salida, dando lugar a la succión de aire por las melazas, ,lo que debe evitarse. =0,3Om Fig. 3.M. Vaciado de un tanque de melazas. Se desea predecir el nivel minimo de liquido para el qh se evitweste arrastre de aire, operando con una vehcidad de vaciado de 3 mJ/min, mediante el estudio de un modelo a escala’rcch&a. Por conveniencia se utiliza agua a 20°C para el estudio del modelo. Determinar las dimensiones y las condiciones de operación del modelo, sabiendo que la densidad de las melazas es 1,286 g cm-3 y su viscosidad 56,7 cp. Putdi admitirse que, tanto en el tanque real como en el modelo, la forma del vbrticc depende exclusivamente de la cañtidad de líquido existente en el tanque y de la velocidad de vaciado, es decir, que el v6rtice se establece 61 solo muy rhpidamente. 3.Na Análisis dimensional parn fluidos que siguea la ley de la potendo ’ Las ecuaciones de movimiento son útiles para el análisis dimensional del comportamiento de fluidos no-newtonianos. Demostrar que, para el caso especifico del fluido de Ostwald-de Waele (Ec. 3.6-9). los grupos adimensionales que se obtienen ai expresar las ecuaciones de movimiento en forma adimensional, son (3.N-lf.3) N.B. Aunque el anhlisis anterior es realmente correcto, es preciso tener en cuenta que el modelo de Ostwald-de Waele del comportamiento no-newtoniano es empírico, y que los fluidos reales no lo siguen exactamente. ? 3.0, Flujo radial entre ederas colrcentricas Considerar un fluido isotérmico incompresible que fluye radialmente entre dos envolturas esféricas de un material poroso. (VCase Fig. 3.0). Supóngase flujo laminar estacionario y despticiense los efectos finales. k&vest que aquí no SC supone que la velocidad sea cero en las superficies del dlido. E C U A C I O N E S DE VARIAClON PARA SISTEMAS ISOTI?RMICOS 3-49 Fig. 3.0. Flujo radial entre esferas conchtricas porosas. , (1. Demoitrar, utilizando la ecuacibn de continuidad, que r’ctr = tp (3.0-1) siendo tp una constante. 6. Demostrar, utilizando las ecuaciones de movimiento, que la distribución de presi6n en este sistema está descrita por las ecuaciones 1 aP - rsen6a4 (3.0-2) ==,t??+ 1 aP ;~=l% e ’ (3.0-3) (3.06) c. Teniendo en cuenta la nota al pie de página de la Tabla 3.4-4, demostrar que la distribucibn de presih radial puede expresarse en funcih de la magnitud 9 de la siguiente forma: *, d. Escribir las expresiones de T,,. 7~). T+J,~+J, TUS y red, para este sistema. De los esfuerzos normales ~cuáles son de compresión y cuáles de tensih? iCuál es el significado físico de su respuesta? c. Los esfuerzos de compresibn y de tensión, ejercidos por el fluido sobre las envolturas inta rior y exterior, ison iguaks a plr y pImar respectivamente? ~Por quC? 3-50 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVlMfENTO 3.Ps Flujo radiaI entre cilindros coaxiales Considerar un fluido isotermico, incompresible, que fluye radialmente entre dos envolturas cilíndricas porosas. Supóngase flujo laminar estacionario y desprtcicnse los efectos finales. a. Demostrar, mediante la ecuación de continuidad, que w = + (3.P-1) siendo 4 una constante. b. Simplificar las ecuaciones de movimiento con el fin de obtener las siguientes expresiones para la distribución de presion en función de 8: cw 4% - = -pv,dr dr (3.P-2) d9d9 -r-r50 de& (3.P-3) ‘, apartado (b) con el fin de obtener c. Integrar la expresi&n correspondiente a UV - d& dr (3.P-4) 3.Qs Flujo repta@ @re doa esferas conchntiw * Un fluido muy viscoso fluye en el espacio conprendido entre dos esferas concMricas, tal como se indica en la Fiz. 3.4. Se desea hallar la velocidad de flujo en elsistema en funcion de la diferencia de presibn que se le comunica. Despreciense los efectos finales y sup6ngase que z@ = rs(r, 6) y v, = q = 0. Entrada da fluido Solido de fluido Fig. 3.Q. Flujo reptante entre dos esferas conafntricas estacionarias ECUACIONES DE VARIACf&N a. Demostrar, utilizando la ecuación ci6n de r que ha de dctcrminarsc. 6. Escribir el componente g de la cidades de flujo suficientemente bajas, de la ecuación. Demostrar que esta PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS de continuidad, que va-sen13 3 -5 1 = g(r), siendo g(r) una fun- ecuación de movimiento para este sistema, suponiendo velode forma que pueda despreciarse todo el primer miembro ecuación queda reducida- a (34-1) c. Separar la relación anterior en las dos ecuaciones siguientes 4 seno-=3 de (34-2) (3.4-3) siendo B una constante de separación. d. Demostrar que * -BE(e) ( 3.4-4) . (3.~5) ,. siendo Ap la diif~rencia,.de prcsi6n comunicada. c. Utilizar el resultado anterior para demostrar que la velocidad volum&a de flujo .cs SI.: / Q = $$$ (1 - K)’ (3.46) 3.Ra Compamatas del eafprm cn foncich del movimiento y propiedades del Huido en sistemas no- ‘aewtaahaoa a. Justiticar la k. 2.343, partiendo de la Ec. 3.6-7. b. Partiendo de la Ro. 3.6-9, obtener la exprcsi6n de 7,s correspondiente a la Ec. 3.6-18, para un fluido que sigue la lty de la potencia. u. Utilizar el resultado del apartado (6) con el fin de obtener, para un fluido que sigue la ley de la potencia, una ecuaci&n analoga a la de Reiner-Riwlin. 3.5, tkdaccl611 de h aa@ de movimknto por aplicac&Ja del t ear& de h divergeda Considerar un elemento volum¿trico estacionario G, de voluti VG y superficie Sc; finitos. Escribir Ia segunda lcy’del movimiento de Newton para todo el elemento, expresada en la forma de la Ec. 3.2- 1. Como las condiciones en el elemento no pueden considerarse uniíbrmes, seti prociso integrar sobre el volumen del ekmento la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento y las fuetxas que actuan sobre el volumen del mismo y sobre la superftcie la densidad de flujo convcctivo y las futrzps que adtrian sobre la superficie. Convertir después las integrales ,de supcrficie en integrales de volumen, mediante el teorema de la divergencia y demostrar que la exprcsi6n que resulta puede’ transformame en la Ec. 3.2-8. 3-52 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 3.T+ Distribuci611 de velocidad en el viscosímetro de movimientos de plato y ceno por oimpl&aci6n de la ccIIpd61 Deducir Ia expresi6n de ub (r, 0) correspondiente a la Ec. 3.5-36, siguiendo este otro metodo: II. Demostrar que la Ec. F de la Tabla 3.4-4 conduce a (3.T-1) con estas condiciones límite: , para 0=;, ll+ = 0 (3.T-2) para 0-fIt para r = 0, vd=rQsent?r q=o (3.T-3) (3.T-4) 6. Admítase una solución de la forma II+ = J?(r) . B(e) y demostrar que la ecuación de movimiento puede separarse en dos ecuaciones diferenciales ordinarias: (3.T-5) (3.T-6) En estas ecuaciones /l es una constante de .separaci6n y x = cos 8. c. Resolver las Ecs. 3.T-5 y 3.T-6 para.obtener la diitribución de velocidad que se desea. Obs&vese, (i) que la Ec. 3.T-5 es una forma de la ecuacibn lineal de Cauchy e (ii) que la Ec. 3. T-6 es una forma de la ecuación de Legendre, que da lugar a una hihci6n asociada de Lcgendre de primer orden y grado n, en ‘la que n es la raíx positiva de x(x + l):- B. l 3.U4 Otras formas de la ecuneión de movimiento u. Demostrar que para un fluido compresible de ,p constante, la ecuaci6n puede expresarse así t> Do -vp-p[vxFxvl]+~~v(v~v)+p8 pE- 6. Demostrar que si el fluido es incompresible ~-[vx[vxvl1+vtir’ (3.U-1) 1 --Vp+pv%+pg 3.V, Flujo laminar periódico de un fluido viscoelkstico de movimiento , (3.U-2) en un tubo El modelo mas sencillo de un fluido viscoelslstico incompresible es el de Maxwell,2 que es una superposición del sólido hookeano y el liquido newtoniano: (3.V-1) * Los autores agradecen a los profesores A. G. Fredrickson y J. C. Slattery este problema. 2 L. J. F. BROER, Appl. Sci. Research, A6, 226-236 (1957); véase tambi¿n, J. G. OLDROYD Proc. Roy, Soc. A200, 523-541 (1950) para un tratamiento mhs general de los fluidos viscoelasticos. ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 3-53 En esta expresibn ro = r/G es un tiempo característico del fluido y G eare m6dulo de rigidez cortante. Utilizando la Ec. 3.V- 1 para los componentes de T en las ecuaciones de variación, pueden resolverse 10s’ problemas hidrodinkmicos para el fluido de Maxwell. ‘En este problema se estudia un ejemplo de una solución peri6dica lmealkadã de la ecuaci6n de movimiento. Mediante la palabra «linealizada» queremos indicar Que el t&mino [o . Vo) de la ecuaci6n de movimitinto y el termino (o + VT,,) de la ecuacibn 3.V-1 pueden despreciarse. Por «periódica» se entiende que el movimiento local del fluido es una función sinusoidal del tiempo. Vamos a considerar ahora las oscilaciones de un fluido visc44stico ~1 un tubo de radio R alrededor de una posici6n media, cuando se comunica al sistema .un gradiente oscilante de presibn. Según esto, las dos ecuaciones que describen el sistema son JI /’ ecuación linealizada de au, ap 1 a pat = -z -;ã;w movimiento (3.V-2) modelo de Maxwell linealizado (3.V-3) En estas ecuaciones introducimos los postulados de que la densidad de flujo de cantidad de movimiento, el gradiente de presión, la velocidad local y la .velocidad volum&rica de flujo, son: todas peri6dicas en el tiempo, con una frecue&a o; con este fin utilizamos la representación compleja de los fen6wnos peribdicos: U‘ - v@(rp Q, =, Q,e““’ (3.V-a) ‘, o.v-7) , Al introducir las tres primeras expresiones en las Ecs. 3.V-2 y 3, se obtiene una ecuaci6n gundo ordeti pa.ra u,,(r). Demostrar que su tiución (siendo kB = -iwHCf -+ W;)/p) es: ’ de sa , (3:V-8) Demostrar disputa que la amplitud de la velocidad volum&rica de flyio ea: (3.V-9) Desarrollar las knciones de Bessel de las dos ecuaciqnes itnteriorea y descartar los Finos superiores a kL.lkmostrar que si ore ( 1, sc puede elíminark*entre ias dos eca+oned para obtener “” (1 - iwto + iopR2/4p) bo=a (3.V-10) 0; en forma nal, 8PQo ~coswt=-AP 1rR4 Interpretar fisicamente el resultado. cosWr+WtO(l-~)senw] (3.V-ll) ” , 3-54 3.W, ‘ TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Pelknla descendente sobre un cono En relaci6n con los estudios de aosorci6n de gases, se ha decidido investigar diversos dispositivos para el contacto gas-líquido en sistemas de:geometria sencilla. Un sistema que parece pro. metedor es aqutl en el que un chorro de líquido incide sobre el vcrtice de un cono, para descender “’ Chorro de mdio ‘0 desciendo con un que Fig. 3.W. Chorro de líquido incidiendo sobre un cono. por el formando una pelf+a de líquido, tal como se indica en la Pi. 3.W. Obtener una expresión aproximada de la variacu5n del espesor de película con S, la distancia a lo largo de la superftcie cónica. Relacionar cuidadosamente las suposiciones que se hagan en la deduccibn e indicar las.restricciones que deben de afectar al resultado final. 3 r. Una resputsta: 8 = 3 rr& 0 v Pbs sen 28 3.s Principio variacicmal para el Boje no-nerrrtenias4 Considerar los siguientes casos ‘de flujo de un Fuido no-nc~tonia~~o incompresible, descritos por la Ec. 3.6-2, en la que q se toma como una función excltiva de fs = (A : A) : a. El flujo es estacionario (¿bj,lat = 0). 6. El‘ término de inercia [as Vu] o bien es ekactamente cero, o prkcticamente despreciable, como en el «flujo reptante». e. La fuerza externa g se deriva ‘de un potencial 6, (es decir, g = --Va). d. Se sabe que la velocidad u sobre la superficie S del sistema de flujo de volumen V, es 00 (x. Y. 4. 3 R. B. BIRD, Physics o/ Flui&, 3, 539-541 (l%j@. I ,. ECUACIONES Para estos flujos, la DE VARIACtdN PARA SISTEMAS ZSOTERMICOS 3-5s integral Fdxdydz B= (3.X-1) J J J es un mínimo, siendo volumen del sistama da aujo con Ilmites fisos F= -(p+ ,@‘Jf,+ , !r J0 rlUs) 4 (3.X-2) It t 2, son los invariantes primero y segundo de A. (Wanse Ecs. 3.6-3 y 4.) Es decir, que de todas las funciones D(X. y, z) que se transforman en la funcibn u# (x, y, z) sobre S, la verdadera distribuci6n de velocidad serA ta que d6 lugar a un valor minimo de B. Utilizando al anterior principio variacional, se podría normalmente elegir una función de ensayo v(x, y, z), de forma que la ecusci6n de continuidad se cumpla autom&icamente. Como It calculado a partir de la distribucibn de velocidad ensayada desaparece, no es necesario elegir una función de ensayo p(x. y, z) para la presión. a. Demostrar que tas ecuaciones de EulerLagrange,4 correspondientes al anterior principio variacional, son justamente la ecuación de continuidad y los ttes componentes de la ecuaci6n de movimiento. 6. Comprobar que este principio variacional se transforma en’el principio de Helmboltxs para un fluido newtoniano. ‘~ 3.Y, FlQjc zadld drc díseos paralelos En la resolución de las ecuaciones de movimiento, generalmente se postula la,forma de la SOlución para losper!%~ de velocidad. Estos postulados se utiliin despu& para descartar muchos términos, de forma que finalmente se obtienen sencillas ecuaciones de partida para el problema que se considera. Di& procedimiento es intuitivo por naturalezra y pueden presentarse ocasionalmente dibcttltades. Con el fin de ilustrar este punto, considerar el flujo radial entre dos discos circulares. En la resoluci6n de este problema (Vease problema 3.K) se ha postulado que v, = v,(r, 2). que us y v, son ambas cero, y que p - p(r). Estos postulados conducen a la Ec. 3.K-1. Diferenciar esta ecuación con respecto a z y demostrar que esto da lugar a una incompatibilidad, excepto para el caso límite de flujo reptante. Discutase. 4V&se, por ejemplo, E. MADELUNG, Die mathematischen Hilfsmittel ab Physikers, Dover, Nueva York (1943), p. 216, Fc. 4. s H. LAMI, ~y&o&wu~~cs, Dover, Nueva York (1945), pp. 617-619; para una interesante aplicación a los problemas de lubricación, vease también D. F. HAYS, J OWM ~ of Basic Engineering, 81, 13-23 (1959). CAPfTULO 4 DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD CON MAS DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE En el Capítulo 2 se ha visto que, mediante balances de ‘cantidad de movimiento aplicados a una envoltura, se pueden resolver muy variados problemas de flujo viscoso en estado estacionario con líneas de corriente rectas. En el Capítulo 3 se han desarrollado metodos más generales que permiten describir sistemas de flujo más complicados. En 8 3.5 se han presentado algunas aplicaciones de las ecuaciones generales, pero, con el fin de hacer resaltar el aspecto físico y reducir al mínimo el tratamiento matematico, dichas aplicaciones se han reducido en su mayor parte a los problemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias en vez de ecuaciones entre derivadas parciales. En este capítulo trataremos diversas clases de aplicaciones que requieren la resolucion de ecuaciones entre derivadas parciales: flujo no estacionario, flujo viscoso en mas de una direccibn, flujo bidimensional ideal y flujo viscoso en capas límite. El objeto de este capítulo es presentar una introduccibn a cada uno de estos temas, juntamente con algunas de las técnicas matemáticas’utitizadas. Ninguno de estos temas se trata con detalte, ya-que todos se estudian ampliamente en ‘los tratados de mecánica de fluidos. 0 4.1 FLUJO VISCOSO NO ESTACIONARIO El estudio de 10s fenómenos transitorios de todo tipo está adquiriendo importancia debido a su gran interes en los problemas de puesta en marcha y control. Las ecuaciones que se han dado en el Capítulo 3 constituyen el punto de partida para la descripción del flujo no est&ionario. Aquí se presentan dos ilustraciones sobre la forma de plantear y resolver dichos problemas.1 ‘En el primero de ellos se examina el flujo de una masa infinita de fluido en las inmediaciones de una pared que se pone bruscamente en movimiento. Este problema sirve para ilustrar el uso del método de combinacidn de variables, que permite reducir la ecuación deferencia1 entre derivadas parciales a una simple ecuación diferencial * P ueden verse otros ejemplos en H . LAME, Hydrodynamics, tulo ll. Dover, N ueva York (1945), capi- 4-2 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ordinaria; este procedimiento solamente es posible cuando dos condiciones límites pueden reunirse en una sola. Es preciso tener en cuenta que este sistema jamhs tiende a un estado estacionario límite. t<o Fluido . n roposo tro, La pond se pone l ” movlmianto < Fig. 4.1-1. Flujo viscoso de’ un fluido en slas mente en movimiento, <,. - inmediaci~~. de una pared que ac pone brusca- En la segunda ilustración se considera el comportamiento transitorio de un fluido viscoso en un tubo. Este problema w trata por # @odo de sepracidn de variables, que permite reducir la ecuación diferencial entre derivadas parciales a dos ecuaciones diferenciales ordinarias. E%te sistema alcanza un perfil limite de velocidad cuando el tiempo tiende a infinito, es deoir, que el sistema tiende al estado estacionario. Ejemplo 4.1-1. Flujo ea 1ps proximi~ de mm pnred iue se pone súbitamente en muvimiento Una masa semi infinita de un kíquid9 de p y p constantes est8 limitada por un lado, mediante una superficie plana (el plano xz). Inicialmente, tanto el fluido como la superficie s6lida esthn en. reposo; pero en el’instante t = 0 la superficie solida se pone en movimiento en la dirección x positiva con una velocidad V, tal como se indica en la Fig. 4.1- 1. Se desea conocer la velocidad en función de v y 1. En la dirección x no existe gradiente de presih ni fuerza de gravedad, y se supone que el flujo es laminar. Solución. Para este sistema, v, = v, = 0 y v, = v&, t). Por tanto, a partir de la DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD 4-3 Ec. d de la Tabla 3.4-1 (continuidad) y la Ec. D de la Tabla $4-2 (movimiinto), se encuentra que av, zv, at-ayO (4.1-1) en la que v P p/p. Las condiciones iniciales y límite son C.I. : C.L. 1: C.L.2 : u, = 0 Pw t Q 0, para y = 0, u, = V para j i- 00, u, = 0 pga cualquier valor de, y para cualquier valor de t > 0 para cualquier valor de. 2 > 0 (4.1-2) (4.1-3) (4.1-4) Adelantamos que se puede obtener una solución de la forma VJ V = ,&v), en la que 7 es una variable adimensional v/t/z. En función de las nuevas variables, * en la que las comillas indican diferenciación con respecto a q. Por lo tanto, la Ec. 4.1-1 se transforma en 9”+2?#=0 (4.1-7) con las condiciones lfmit¿ C.L.1: p a r a q=O, 4-1 (4.1-8) C.I. + C.L.2: p a r a 9=00, 4-0 (4.1-9) Si se substituye $’ por tp se llega a una ecuación de primer orden de variables separables, que se puede resolver para dar (4.1-10) Una segunda integraci6n conduce a (4.1-11) donde arbitrariamente se ha elegido q = 0, para el limite inferior de la integral indefinida, que no puede evaluarse en forma limitada; cambiando el limite inferior 7 = 0 por otro distinto variarla simplemente el valor de la constante Cs, todavía no determinada hasta ahora. Aplicando las dos condiciones llmite se obtiene : 1) e-g’& 2 v +-l- s 0, =l (4.1-12) e-q’& -y/;;os e-“‘dq f0 4-4 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO La relacion de estas integrales se denomina «función de error)). abreviadamente erf 7; es una función bien conocida y pueden encontrarse fácilmente tablas de ella.2 De. aqui que la soluci&n pueda expresarse asi 02 y= l Y -edT En la Fig. 4.1-2 se indicanlos perfiles instantáneos de’velocidad; también se han hallado perfiles, análogos para algunos fluidos no newtonianos del modelo de la potencia.3 La función de error es una función monótona creciente cuyo intervalo va de 0 a 1 y alcanza un valor 0,99 cuando tl es 2,O. Se puede utilizar este hecho para definir un ctespesor de capa límite» 6, como la distancia y para la cual v, ha disminuido hasta unvalor 0,Ol Y. Es decir, que d - 44; Esta distancia es una medida de lo que la cantidad de movimiento ha «penetrado» en la masa del fluido. Obs¿rv&c que el espesor es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo. , Ejemplo 4.1-2. Flujo laminar no e&tcionario, en .M tubo drcular Un fluido de p y p constantes está contenido en una tuberia horizontal muy larga de longitud L y radio R. Inicialmente el fluido está en reposo. En el instante t = 0 se le comunica al sistema un gradiente de presión @e -p&/L. Determinar como varian los perfiles de velocidad con e1 ,tiempo. Solución. Para este problema se utilizan coordenadas cillndricas y se supone que v, = us = 0, y que v, = v*(r, 1). Por lo tanto, pueden combinarse la Ec. B, de la Tabla 3.4-1 (continuidad), y la Ec. F, de la Tabla 3.4-3 (movimignto), para dar .l’ au, 1 a av, ‘0 +p--5 rz pdl-,L ( ) Las condiciones inicial y límite son C.I. : para t = 0, v,=O paraO<r<J para r = 0, v, = finito C.L.1: para r = R, v, = 0 C.L.2: Primeramente introducimos las siguientes variables adimensionares: i Cct e ‘z; 7-3 (4.1-14) (4.1-15) (4.1-16) (4.1-17) (4.1-18,19,20) La velocidad se hace adimensional dividiendo por la velocidad maxima para t = 00. Al multiplicar la Ec. 4.1- 14 por 4L/(p,, - ~3, se obtiene, en funcibn de variables adimensionales, la siguiente ecuación : 2 Wase, por ejemplo, H. B. DWIGH~ Tables of Integra& and Othrr Mathematical Data, Macmillan, Nueva York (1957). Tercera edici6n, p. 275; la diferencia 1 - erf u se expresa a veces por erfc u, la «función complementaria de errom. 3 R. B, BIRD, A. 1. Ch. E. Journal, 5, 565 (1959). t ur 096 ” 0,s t. O,l I I l oí! 09 0.4 1 oS5 I I . I I O# 97 O$ O$ r = r(p/mlv”-p+” n+l I-” 1 t I 1p 1,l U 1p 13 1,4 > Fig. 4.1-2. Distribucih de velocidad (en forma adimensional) para el flujo en las proximidades de una pared que se pone súbitamente en movimiento. Se han trazado las curvas para el m&elo de la potencia con parhnetros m y n. Para n = 1 (fiujo newtoniano) la variable r se transforma en y/Y&t. 4-6 TRANSPORTE DE CANTIDAD’ DE MOVIMIENTO Esta ecuaci&n se resuelve con las condiciones de que d = 0 para T = 0, Q = 0 para e = 1, y d = finito para F = 0. Tenemos ahora en cuenta el hecho de que el sistema alcanzara un estado estacionario para t = co. Por lo tanto, debe de buscarse una solución a la forma siguiente: (4.1-22) 4K 4 - 4m - 4te9 4 Es decir, que la solucion se divide en una solución limite de estado estacionario +.JE) , y una función transitoria +& 7). La solución correspondiente al estado estacionario se obtiene a partir de la Ec. 4.1-21, tomando g+/gr = 0 para r - 00: (4.1-23) cuya solución, con 4 = 0 para 6 = 1, conduce a (4.1-24) &-l-P que es exactamente la distribución de velocidad de Poiseuille. Substituyendo 4, en la Ec. 4.1-22 e insertando despues el resultado en la EC . 4.1-21, se obtiéne la siguiente ecuación diferencial entre derivadas parciales para la funcion Qr : wt la g?! -p-aT E at( a-t 1 (4.1-25) Esta ecuación debe de resolverse con las siguientes condiciones inicial y limite: bt x& ‘. (4.1-26) para r=O C.I. : (4.1-27) para t = 0, 4r = finito _,, C.L.1: (4.1-28) para E= 1, di-0 C.L.2 : Ensayamos ahora una solución de la forma 4tGs 4 - W&l ‘5. Substituyendo en la Ec. 4.1-25 y dividiendo por 3T se,obtiene (4.1-29) (4.1-30) El primer miembro es una funcion exclusiva de 7, mientras que el segundo es funcion solo de E. De aquí que ambos puedan igualarse a una constante, que la elegimos como - a*. De esta forma se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias: + cm = 0 Estas ecuaciones tienen las siguientes soluciones: T P Q- =‘+ S = C,J,cat) + CoYo (4.1-32) (4.1-33) (4.1-34) DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD 4-1 siendo Co, Ci, y ‘C, constantes, y Jo e Ye funciones de Bessel de orden cero. Aplicamos ahora las condiciones inicial y límite en la forma siguiente: C.L.1: Puesto que 4, es finito, S tiene que ser tambi6n finito. Como Ye( a I) tiende a menos infinito cuando E tiende a cero, C, ha de ser cero. C.L.2: Puesto que 4r = 0 para & = 1, tambi6n 3 tiene que anularse para d = 1. Esto ocurre solavnte si J,, (a) es cero. Pero Jo (a) es una función oscilante que corta al eje a para al = 2,405, a2=5,520, aS, = 8,654, etc.’ Hay por lo tanto muchas soluciones s,, = C,,,J, (a,) con n = 1,. 2, 3, . . . 00, que cumplen la ecuacióq diferencial y las condiciones límite. CL : Sabemos que $r tiene que ser igual a 4, para T = 0. Pero, teniendo en cuenta las consideraciones de la C.L.2, resulta que una superposición de la forma: . bt(E, 4 =n,l&,e-~‘TJd4~ cumple las condicioneS .limite y la ecuación diferencial entre .derivadas cando después la condición inicial se obtiene (1 - 63 = 2 B,,J&a,& ,, (4.1135) parciales. Apli8( 4 . 1 - 3 6 ) ?JIt - Fig. 4.1-3.’ fiistribuck% de ~elc&dad para el flujo no estacionario durante la «puesta en niarcha» del flujo en un fub6 citilals [P.‘Szymansk , $. Math. pires appi., Series 9, II, 67407 (1932).] Para obtener B,, (que son ‘exactamente CoCc). se multiplican los dos miembros por t d C y se integra de 0 a 1: . / 1 (4.1-37) J&,M1 - 6% dE = 2 B,, lJU(“n~)Jo(ar$)b dt *. f0 n-l s0 Jo&,, 0 E. JAHNKE y F. EMIX, í%bfes of Functions, Dover, Nueva York (1945), p. 166. 4-8 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Debido a las propiedades ortogonales de las funciones de Bessel, el único ttrmino del.+ gundo miembro que contribuye es aquél para el cual m - n. La integral del p&ner m&mbro puede resolverse utilizando algunas relaciones standard para las funciones de Besse;l.s Finalmente se obtiene (4.i38) de donde Bm - 8 am’Jh,,) (4.1-39) Por lo tanto, la etpresidn final para la distribución de velocidad reducida es (4.1-40) En la Fig. 4.1-3 se indican los perfiles calculados a partir de ía Ec. 4.1-40; como puede observarse, la velocidad maxima (línea central) ¿stá en el intervalo del 10 por ciento del valor de estado estacionario, cuando T es del orden de 0,45. Tambi6n han sido calculados los perfiles traw&torios para ‘el,.ffujo ‘anular axial6 y . “& _ : ., ; tangencial.’ Q 4.2 FLUJO VISCOSO ESTACIONARIO CON DOS COMPONENTES DE LA VELOCIDAD QUE NO DESAPARECEN: LA FUNCI6N DE CORRIENTE En los Capítulos 2 y 3, y en §.+.¶, se h&‘sel&cciO;nadocuidadosamente los problemas, de forma que hubiese un s$b.componente & la velocidad que no se anula. La soluci.ón de las ecuaciones completaS d&JavierJtokes para flujos en dos y tres direcciones es muy difícil. Lo m& frecuente.w& que haya que aplicar métodos especiales para resolver estos problemas. Sin en@+&, .para diversas clases de flujos con p y iu constantes, las ecuaciones diferenciales’pueden simplificarse algo mediante su formulación en funcih de unaefmcidn de corriente y. ’ Expresamos los componentes de la velocidad corno derivadas de 1y (tal temo se indica en la Tabla 4.2- l), de forma que la ecuación de con$nuidad se cumpla automáticamente. DespuCs pueden combinarse los dos componentes de la ecuacih de movimiento que no desaparecen, para eliminar los thminos que contienen los componentes de p. Este procedimiento conduce a una ecuacih escalar, de cuarto orden para y. Con el fin de tener a mano una cómoda referencia,1 se han resumido los 5 Ibid. pp. 145-146. 6 W. MULLER, 2. Angew. Math.‘IUech., 16, 227-238 (1936). 7 R. B. BIRD y C. F. CURTES, Chem. Eng. Sci., ll, 108-113 (1959). 1 Para obtener la ecuación diferencial de y en coordenadas rectangulares con u, - 0, se parte de los componentes x e y de la ecuación de movimiento para p y ~1 constantes. Se diferencia la ecuación x con respecto a y y la ecuación y con respecto a x y se restan, con lo que se eliminan los ttrm ino s de presión y gravedad. Introduciendo V, = - aw@y y v, = + ¿$/¿Yx, se obtiene directa- mente la ecuación diferencial de cuarto orden que se indica en la tabla. TABLA 4.2- 1 ECUACIONES PARA LA FUNCIÓN DE CORRIENTE”‘ I - Rectangular con rr, = 0, e independiente de z Cillndrico con v, = 0, e independiente de z Cillndrico ‘con vs -= 0, e independiente de 8 1 *VT = - r&? - mp vf$=+ar .1% 0, P - - rar 2% v,= +;&” vr - Eaftrico conv+=O e independiente de + la (Q,e ) - avt-1 rasen8 ff3 vg = + - 1 av,rsene ar 3+s enea EL = s P H 1 - a - ( sen8aB ) L Pueden encontrarse relaciones arihlogas en coordenadas generales ortogonales en S. GOLD~~~IN, Modern Developmenr in Fluid Dynamics, Oxford University Press (1938), pp. 114-155; & esta derencia tambikn se dan f&m$as para flujos aximk trices con un componente no nulo .de la velocidad alrededor del eje.. b Los Jacobianos se designan aquí por t v, 4-10 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO casos más importantes en la Tabla 4.2-1. El significado físico de la función de corriente es que las líneas de y = constante, son líneas de corriente; para el flujo estacionario corresponden realmente a las curvas trazadas por las partículas del fluido. En esta sección se estudia, como un ejemplo ilustrativo, el flujo estacionario de un fluido viscoso alrededor de una esfera. Esta solución ~610 es vilida para flujo reptante, en el que puede despreciarse el término de inercia [u.Vv] de la ecuación de movimiento. Este tratamiento conduce a la leY & Stokes, que se ha estudiado brevemente en 3 2.6. Se ha elegido la discusibn de este problema, debido a que es de interds general en tecnología de partículas y mecánica de gotas @minutas. El ,flujo ideal alrededor de uha esfera se discute en el problema 4,H. Esta solución y la que se obtiene a contikación, constituyen dos imp$tantes casos límite, en 53s que se basan muchos anhlisis de siste m a s complejos. Ejemplo 4.2-1. «F%jo reptante» alrededor de unm esfera2 Utilizar la Tabla 4.2 - 1 para plantear la ecuación diferencial de la función da corriente para el flujo de un fluido newtoniano alrededor de una esfera inmóvil de radio R. Resolver $I ecu;tcibn y hallar la distribuci6n de velocidad cuando, el fluido se acerca a la esfera en l+ d&rección z positiva,, de igual forma que en g2.6. / ~luci611. Para flujo reptante estacionario,, todp el primer miembro, de la Ec. D de la Tabla 4.2 - 1 demparece; por lo tanto, la ecuaci6n .@ rp para flujo axisim6trico es sim- plamente E%p=o o bien, en coo&nadas esfbricas (4.2-1) a Esta ecuación se resuelve con las siguientes condiciónes v - 0 (4.2-2) Jmite: C.L. 1: 1 aY = 0 v, = - -GsenBdf3 para r = R (4.2 -3) CL. 2: 1 ve=+--= ay 0 r sen Oar para r = R (4.2 -4) para r + 00 (4.2 -5) CL. 3: ~y-+-~v~~~n20 2 La sqlución que se da Aquí corresponde a la de L. M. MILNE-THOMSON, Theoretical HyMacmillan, Nueva York (1955). Tercera edición, pp. 555-557. Para otro mttodo, v¿aac H. LAMB, Hydrodynamics, Dover, Nueva York (1945). 9 337, 338. dvaynamics, DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD 4-11 Las dos primeras condiciones límite describen la adherencia del fluido a la superficie la esfera, y la tercera implica que lejos de la esfera u, = v,. Esta última condición límite sugiere que v(r, 0) es de la forma w =J(r) sen20 al substituir esta función en la Ec. 4.2-2 se llega a (s-s)($-s)fW=O de (4.2 -6) (4.2-7) que es una ecuación lineal homogenea de cuarto orden. Una solución de tanteo de la forma f(r) = Cr” revela que n puede tener los valores - 1, 1, 2 y 4. Por tanto, la forma de la función f(r) es f(r) =; + Br + Cre + Dr4 (4.2-8) Para que se cumpla la tercera condición límite (Ec. 4.2-S), D debe de ser cero y C ha de ser igual a - 3 v,. Según esto, la función de corriente es V(r, 0) = A ; + Br Los componentes de la velocidad (según la Tabla 4.2 - 1) son (4.2-10) (4.2-11) Utihzamos ahora las dos primeras condiciones limite para obtener .A = - : u,R3 y B = f v,R, de forma que (4.2-IR) (4.2.-13) que son las distribuciones de velocidad que se han dado sin demostración en 82.6. En $2.6 se ha visto cómo pueden integrarse las distribuciones de presión y velocidad sobre la superficie de la esfera para obtener. la fuerza resistente; este método es general para obtener la fuerza del fluido que actúa sobre el sólido. Aquí evaluamos Fk integrando la velocidad de disipación de energía:3 L!n ” cu (7 :Qu)r2 dr sen O JO J4 (4.2-14) J-F, = SSI 0 II R 3 El metodo de la Ec. 4.2-14 ha sido utilizado para el estudio del flujo no-newtoniano por 1. C. SLATTERY, tusis do<rorrrl, Universidad de Wisconsin (1959). 4-12 TRANSPORTE Introduciendo la futición obtiene DE CANTCOAO OE ,v~OVIMIE:NT~ -(T : vr) , en coordenadas esféricas, de la Tabla 3.4 -- 8. se (4.2-15) Insertando en esta expresión las Ecs. 4.2-12 y 13, e integrando. se obtiene Fk = 6vjw,R (!.2-16) que es la ley de Stokes. 5 4.3 FLUJO POTENCIAL BIDIMtiNSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO Generalmente puede obtenerse una buena aproximacibn de los tipos de flujo, resolviendo las ecuaciones de variación para «flujo potencial», es decir, suponiendo que el fluido es ideal (p=constante, p=Q), y que el flujo ei irrotacional ([V % c]=O). Estas suposiciones son satisfactorias excepto en las proximidades de ias superficies de una conducción o de objetos sumergidos. En las proximidades de dichas superficies adquieren una gran importancia los efectos viscosos, y en este caso pueden utilizarse una serie de aproximaciones que conducen a las ecuaciones de capa límite. En esta sección se estudia el flujo irrotacional ideal, y en la próxima se tratará el de capa límite. Ambos temas se complementan. En el caso de un fluido ideal, las ecuaciones de continuidad j movimiento para el flujo estacionario son1 (continuidad) (movimiento) (V l 0) = 0 pvgv” - p[v x [ v x V-J] = - VB (4.3-1) (4.3-2) siendo -VB’= -Vp + pg. Para el flujo irrotacional bidimensíonal, el hecho de que rot. v = 0 conduce a (irrotacibnal) ao, -= 0 ah ay a2 y las ecuaciones de continuidad y movimiento se hacen (4.3-4) (continuidad) * Aquí ie ha utilizado la identidad [v l VL( E V)o* - [u x [V x 01. DISTRlBUCIONE.~ (movimiento) DE VELOCIDAD fp(ol + up) + B = constante 4-13 (4.3-5) Estas tres ecuaciones se utilizan para determinar vï, vY, y 9r’como funciones de x e y. En la práctica resulta más sencillo operar con una fuyckh de corriente w(x, y.) y un potencial de velocidad &x, y) en vez de los componentes de la velocidad v, y vY. Resulta evidente que si y yd se definen de esta forma,2 (4.3-67) (4.3-8,9) las Ecs. 4.3-3 y 4.3-4 se cumplirán automáticamente. A partir de la serie de relaciones que se acaban de indicar, se llega inmediatamente a ./ (4.3-10,ll) Éstas .son las ecuaciones de Cauchy-Ri&an~, que son las relaciones que deben de satisfacerse por las partes real e imaginaria de.cualquier.función analíticas w(z) = 4 (x, y) + i p(x, y). La magnitud w(z) se denominapokwcial’cornplejo. Diferenciando la Ec. 4.3-10 con respecto a x y la Ec. 4.3-11 con respecto a y, y sumándolas se demuestra que .?s# = 0, es de&, que 4 satisface la ecuación bidimensional de Laplace. De igual forma puede demostorse tambiin que,yy, = 0. De las consideracio,nes anteriores se deduce.lue cualquier función analítica w (z) da un par de,.fut@ones r#(.u, y) ,y tp(x. y) que son el potencial de velocidad y la función de corriente ,para ,@gcin problema de flujo..Por otra parte, las curvas 4 (x, 9) = constante y w (x, y) = constante son por consiguiente las Jíneas eqüipoth.zciaks y las Jhehs de corriente para el ‘problema. Los componentes de la velocidad pueden obtenerse de las Ecs. 4.3-6 a 9, o de /. ‘1 _‘;, diu “, - = -u, + iu, .dz (4.3-12) en la que dw/dz es la llamada velocidad compleja. Una vez que se conoce la velocidad, puede hallarse la presión a’partír de Ia’ Ec. 4.325. t Para el flujo tridimensional Q se define por -0 = -Vg. Como el rotacional del gradiente de una funcibn escalar-es cero, tomahdo o s-V+ se tiene la seguridad de que rot o = 0 . 3 Aquí se supone que el lector tiene algún conocimiento de las funciones analíticas de una variable compleja. Introducciones a este tema pueden verse en V. L. S T R E E T E R , Fluid Dynantics, McGraw-Hill, Nueva York (1948), capítulo 5, y en C. R. WYLIE. Advunred Engineering Muthentutics, MacGraw-Hill, Nueva York (1951), capítulos 9, 13 y 14. 4-14 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Otro método de generar líneas equipotenciales y líneas de corriente consiste ea utilizar la función inversa Z(W) = ~(4, y) + iy(+, v) siendo z(w) cualquier función analítica de w. Eliminaado p entre las funciones x = x (4, y) e y =y (4, v) se llega a Fe, Y, 4) = 0 (4.3-13) Una eliminación análoga de 4 conduce a (4.3-14) G(z, Y, YI = 0 Haciendo ea la Ec. 4.3- 13,$ = una constante se obtienen las ecuaciones de las líneas equipotenciales, y w = una constante en la EIc. 4.3- 14, se obtienen las ecuaciones de las líneas de corriente para algún problema de flujo. Los componentes de la velocidad pueden obtenerse a partir de dz --= i. (0, + iu,) dw vB ’ (4.3-15) siendo v2 = vZ2 + v,z. Todo lo expuesto hasta aquí, puede resumirse así: dada una función analítica w = w(z), o bien z = z(w), puede construirse una red de flujo con líneas de corriente y(x, y) = constante y líneas equipotenciales ilr (x, y) = constante. Esta red de flujo describirá al@n problema de flujo ideal. El probbma inverso [dado el probbma de flujo encontrar la función analítica w(z)], es considerablemente más dificil y no se estudiará aquí. Solamente indicaremos que existen algunos m$todos especiales,3 -pero que, generalmente, se pueden obtener soluciónes más rápidas recurriendo a tablas de mapas de conformación. 4 Aquí vamos a diseuiir-el flujo ideal alrededor de un’ cilindro, como ejemplo de la utilización del potencial complejo w = w(z), y el flujo en un canal, como ejemplo de utilización de una función inversa z = z(w) Debí+ tenerse en consideración unas cuantas ideas generales. a. En cualquier punto las líneas de corriente son perpendiculares a las líneas equipotenciales. b. Las líneas de corriente y las líneas equipotenciales pueden intercambiarse para obtener la solución de otro problema de flujo. c . Cualquier línea de corriente puede reemplazarse por una superficie sólida. (Obsérvese que esto implica que el fluido no se adhiere a las superficies sólidas.) Ejemplo 4.3-1. Flujo nlrededor de un cilindg~ Q. Demostrar que el potencial complejo (4.3-16) 4 H . KOBER, Dictionary of Conjórmal edtei6n. Representations, Dover, Nueva York (1957), Segunda DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD 4-15 describe el flujo ideal alrededor de un cilindro circular de radio R, cuando la velocidad de aproximación es u, (véase Fig. 4.3 - 1). b. Hallar la distribución de velocidad c. Hallar la distribución de presión sobre la superficie del cilindro cuando la presión en un punto alejado del cilindro es pm. !Solución. a. Para hallar la función de corriente y la velocidad potencial, escindiremos primeramente W(Z) en sus partes real e imaginaria: (4.3-17) , c función de , finción d potencial e corriente la función de corriente viene dada por (4.3-18) VkY) -w(l -&) o, en función de variables adimensionales ( 1 x 8 + Y’ > \k’(X,Y)= Y 1 siendo v = v/vw R, X = x/R, e Y = y[R. En la figura 4.3 - 1 se presentan las curvas de !P = constante, representadas de acuerdo con la Ec. 4.3-19. La línea de corriente Y = 0 da un círculo unidad, que se”toma para representar la superficie del cilindro. La linea de corriente \r = 3/2 pasa por el punto X = 0, Y = 2, etc. En el problema 4.C se sugiere un mttodo sencillo de representación de las líneas de corriente. y-w 1 i * = % - - - - - - ---_ --v-d 1 / ---_ ---_ ---* -XT-- > --- _#-__------- Fig. 4.3-1. Líneas de corriente para el flujo T ideal alrededor de un cilindro, según la Ec. 4.3-19. 4-16 TR A N SP O R TE DE C A N TID A D DE M O V IM IE N TO 6. Los componentes de la velocidad se obtienen a partir de la función~de corriente mediante las ecuaciones 4.3-6 y 7. También pueden obtenerse a partir de la velocidad compleja de acuerdo con la Ec. 4.3 - 12: dw R2 - = u, 1 - dz 31 ( R2 = 0, 1 ( - 7 e-2ie 1 = 0, 1 - $ (cos 28 - i sen20) Por lo tanto -v, =v, ( R2 r2 1 --cos (4.3-20) (4.3-21) ) R2 +v, = u, 7 sen 26 ( ) c. En la superficie del cilindro, r = R, y (4.3-22) 9 = 0,” + uy= = v,2[(1 - cos 2Q2 + (sen20)q = 4vm2sen2 6 ti (4.3-23) Cuando 8 = 0 o 6 = .z la velocidad v se hace. igual a cero; a estos puntos se les llama puntos de estancamiento. Por consiguiente, a partir de la Ec. 4.3-5, (4.3-24) &w2 + 9 = iplJao” + 9, La distribución de presión sobre el cilindro se obtiene a partir de las Ecs. 4.3-23 y 24: (9 - 9.J = &p~,Yi - 4 (4.3-25) sin2 e) Obsérvese que la distribución de Bes simétrica con respecto al eje y; por lo tanto, la teoría del fluido ideal predice que no hay resistencia de forma sobre un cilindro (paradoja de D’Alemberts). Ejemplo 4.3-2. Flujo en un canal rectangular Demostrar que la función inversa (4.3-26) describe el flujo en un canal rectangular de semianchura b. La variable V, es el valor de la velocidad en un punto alejado aguas abajo de la entrada al canal. s Para una discusión de las paradojas hidrodinamicas, Dover, Nueva York (1955). véase G. BIRKHOFF. Hydrodynamics, DISTRIBUCIONES SoIncI6m 4-17 Introduciremos primeramente las variables adimensionales. de distancia wx x=-; b y los numeros DE VELOCIDAD w Ya-; b zz” b =X+iY (4.3-27) adimensionales d 0=-; bu, y=Z!t-. bu, ’ W=nW=Q)+iY buco Estos números adimensionales son análogos a los utilizados en el ejemplo 4.3 - 1. La función de la Fc. 4.3-26, expresada en función de los números adimensionales, puede separarse en las partes real e imaginaria: 2 = W 4- ew - (0 + P cos Y) + i(Y + e* senY) Por lo tanto (4.3-29) X=0 +e@cosY (4.3-30) Y=Y +eesenY (4.231) Podemos hacer ahora Y igual a una constante, y la linea de corriente Y = I’(X) está expresada paramétricamente en 0. Por ejemplo, la línea de corriente Y = 0 viene dada por X=0 +e@ Y==O (4.3-32) ?---._ (4.3;-33) Al variar 0 desde- OO a + OO, X varia tambitn desde- OO a + oo;por consiguiente, el eje X es una linea de corriente. Consideremos a continuacion Y = n, en cuyo caso X=0-ee (4.3-34) Y=* (4.3-35) Al variar 0 desde 00 a - 00, X va desde - ~0 a - 1 y despues vuelve a - 00; es decir, que la línea de corriénte se vuelve hacia atras sobre sí misma. Elegimos esta línea de corriente como una de las paredes sólidas del canal rectangular. De igual forma, la línea de corriente Y = - n corresponde a la otra pared. Las líneas de corriente Y = c, siendo - z < c < + rc, dan lugar al tipo de flujo que se indica en la Fig. 4.3-2 y que corresponde al flujo en un canal rectangular. A partir de la Fc. 4.3 -29 puede hallarse la derivada - dzjdw: dz 1 dZ = -&(l +ew) = -k(l +kcosY +ieesenY) -dW=-<dW (4.3-36) Al comparar esta expresión con la Ec. 4.3 - 1 S se obtienen las expresiones para 10s componentes de la velocidad: .,,,:I: 448 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO vzv OD - = -(l + e@ cos Y) UL (4.3-37) vm (4.338) - = -(e’ senY) up Estas ecuaciones han de utilizarse conjuntamente con las Ecs. 4.3 -30 y 3 1 para obtener IOS componentes de la velocidad como una función de la posición. I Fig. 4.3-2. Flujo en un canal rectangular. Para ilustrar el procedimiento, vamos a hallar la velocidad en el punto x = 0, y = 0. Al hacer X e Y iguales a cero en las Fcs. 4.3 -30 y 3 1, se encuentra que T = 0 y Q = -0,57. Al introducir estos valores en la Ec. 4.3 -38 se obtiene uY = 0. La inserción de estos mismos valores en la Ec. 4.3-37 da %@CO = -(l + e*) 08 .= -(1 + 0,57) (4.3-39) pero como v,, = 0, tenemos que v = v,, de forma que 02 1 -=- 1,57 VO3 ( ) = -0,64 (4.340) DISTRIBUCIONES 4-19 DE VELOCIDAD § 4.4 TEORfA DE LA CAPA LfMITE Los ejemplos de flujo bidimensional ideal que se han presentado en $4.3 indicar como puede representarse la red de flujo mediante una función de corriente y una función de potencial. Las soluciones obtenidas para la distribución de velocidad no cumplen la condición hidrodinámica Iímite.nle que el fluido se adhiere a las superficies sólidas del sistema. (v, = v, = 0 pati . todas, las superficies sólidas fijas). Por lo tanto, las soluciones para el fluido ideal n\a son válidas para describir los fenómenos de transporte en la inmediata proximidad de la pared. Concretamente, no puede calcularse la resistencia viscosa, ni se pueden obtener descripciones exactas de los procesos de transferencia de calor y materia en, la interfase. Para obtener información acerca del comportamiento en la proximidad de la pared recurrimos a los métodos de capa límite. Para la descripción del flujo viscoso, se pueden obtener soluciones aproximadas de los pertiles.de velocidad en una delgada capa límite próxima a la pared, teniendo en cuenta la viscosidad. Después se «en garza» esta solución en la del flujo ideal que describe el flujo exterior a la capa límite. Vamos a comenzar exponiendo dos ejemplos muy sencillos del flujo en la capa límite, en vez de intentar presentar una introducción formal al tema. El primer ejemplo considera el desarrollo de la capa límite como una función del tiempo [con un espesor de capa límite 6 = 8 (t)], y el segundo trata del desarrollo de la capa límite como úna funcibn de la posición para el flujo estacionario [con un espesor de capa límite 6 = d(x)]. Ejem. 4.4- 1. Flujo en Ias proximidades de una pared que se pone bruscamente en movimiento Resolver el ejemplo 4.1- 1 mediante el siguiente procedimiento aproximado. Intuitit Y (è Soluci¿n vardodara admltida (b l Apro xim ac ió n de capa hite Fig. 4.4-1. Comparación de los perfiles «verdadero» y aproximado de velocidad en rhgimen no estacionario, en las proximidades de una pared que se pone stibitamente en movimiento con una velocidad V. 4-20 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO vamente se. prev6 que la verdadera solución de este problema sera algo semejante a las curvas representadas en la Fig. 4.4-la, pero supondremos que la solución puede reptesentarse satisfactoriamente mediante el grAflco de la Fig. 4.4-14. Es decir, suponemos que en cualquier instante t, hay un espesor d(t) de capa limite, más alla del cual no existe flujo, de forma que los efectos de la viscosidad se reducen a la regi6n 0 < y <,d(?).Se admite, finalmente, que los perfiles de velocidad adimensional son semejantes a lo largo del tiempo; esta idea se expresa analíticamente de la siguiente forma: ; = ‘$&d siendo ??=&) . en la que $(r]) es una función «conveniente» que se elige. Soluci6n. El problema de flujo esta descrito por ‘la ecuación diferencial entre derivadas parciales de la Ec. 4.1- 1. &as derivadas parciales que aparecen en eiia se evalúan utilizando los supuestos perfiles «semejantes» de la Ec. ’ 4.4 - 1: (4.4-2) (4.4-3) donde las comillas indican diferenciación con respecto a Q. Substituyendo las expresiones en la Ec. 4.1-1 e integrando despuks sobre q, se obtiene (4.4-4) siendo (4.4-5) (4.49 Integrando la Ec. 4.4-4 con respecto al tiempo (utilizando la condición inicial de que 8 = 0 cuando t = 0) se obtiene Se encuentra, por tanto, que el espesor de la capa límite aumenta con la ralz cuadrada del tiempo transcurrido desde que la pared se pone en movimiento. Hasta aqul se ha deducido la expresión de d(r) en términos de una función cualquiera +((tl). Vamos a elegir ahora una función específica #(*I) que describe razonablemente la forma de los perfiles de velocidad que se indican en la Fig. 4.4 -lb. Es evidente que d = 1 para 51 = 0, y 4 = 0 para 9 = 1. Esto indica que 4 = 1 - ‘12 puede ser una elección adecuada. Otra elecci6n es DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD m=1-&+w 4-21 O<q<l (4.4-8) para la que adem&s q(l) = 0. El lector no debe dudar en sugerír todavía otras funciones que presenten formas adecuadas para describir los perfiles de velocidad. Para el perfil correspondiente ‘a la Fc. 4.4-8, las integrales de las Ecs. 4.4-5 y 4.4-6 adquieren los valores M = 3/8 y N = 3/2. Por lo tanto, el espesor de la capa límite es y la distribución de velocidad -4V 2(&) S(r) = 24% +g+)‘; vz = 0; 7 (4.4-9) O<Y <W) Y > WI (4.~ loa) (4.~1Ob) Este resultado se compara con la solución exacta correspondiente a la Ec. 4.1-13, cuyo desarrollo en serie es * Ll-2&) + y&&. . . v (4.4-11) Por tanto, el uso ‘de la funcion +(q), elegida en la Ec. 4.4 -8, ha conducido a los tres primeros términos de la solución exacta, y modificado las constantes para obtener la «mejor» elección de acuerdo con las restricciones inherentes al procedimiento aproximado. Ejemplo 4.4-2. Flujo en las inmediaciones del bogle de ataque de una hnina plana Obtener una descripción del modelo de flujo incompresible en las inmediaciones del borde de ataque .de una lámina plana sumergida en una corriente de fluido, tal como se indica en la Fig. 4.4-2. Utilizar un procedimiento andlogo al que se ha desarrollado en el ejemplo 4.4 - 1. !Solucih. En primer lugar debemos de plantear las ecuaciones diferenciales que describen el campo de flujo. Estas ecuaciones son las bidimensionales correspondientes a la ecuación de continuidad en estado estacionario y el componente x de la ecuacion de mo(continuidad) (movimiento) (4.4-12) 4-22 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO E l f l u i d o SC acerca con velocidad uniforme v, ---) Fig. 4.4-2. Desarrollo de la capa limite en las proximidades de uha lilmina plana de espesor despreciable. No se considera el componente y de la ecuacih de movimiento puesto que el flujo en esta direccibn es pequeño. El término &JJ dx * de la Fig. 4.4 - 13 puede despreciarse debido a que será pequeño’ en comparación con vx(8vx/¿Jx). Hallando después v,, mediante la resolución de la Ec. 4.4 - 12,(con la condición límite de que uY = 0 para y = 0), y substituyendo el resultado en la Ec. 4.4-13, se llega a (4.4-14) Ésta es nuestra ecuación de partida para determinar v, (x,y), que evidentemente es no lineal. Se resuelve con las condiciones límite de que v, = 0 para y = 0, v, = voo para y = 03, y v, = v= para x = 0 cualquiera que sea el valor de y. De ig lal’forma que en el ejemplo 4.4-1, se supone que los perfiles de velocidad tienen la m;sma forma para distintos valores de x: siendo (4.4-15) en la que 6(x) es el espesor de la capa límite a una distancia x a lo largo de la lamina. 1 Para un razonamiento detallado sobre la forma de determinar los términos que pueden despreciarse, vease por ejemplo, H. SCHLICHTING, Boundary Luyer Theory, MacGraw-Hill, Nueva York (1955), capitulo 7. DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD 4-23 Suponemos,. finalmente, que fuera de la capa límite (para y > 6) u, = zt,. A continuaciõn se calculan las derivadas de la Ec. 4.4- 14: (4.4-16) (4.4-17) (4.618) en las que las comillas indican diferenciación con respecto a 7. Al substituir estas expresiones en la Ec. 4.4-14 e integrar la ecuación con respecto a 7, se llega a (4.4-19) siendo (4.4-20) B = [~,.@‘v+) ,’ 41 = -A + (4.4-21) =9’*l (4.4-22) 0 Integrando la Ec. 4.4-19, se obtiene (4.4-23) para cuya solución se ha utilizado la condición iimite de que 8 = 0 para x = 0. Se encuentra, por tanto, que el espesor de la capa límite es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia a lo largo de lámina. Elegimos ahora como perfil razonable de velocidad W-#S-W (4.4-24) debido a que corresponde aproximadamente a la forma correcta. Para esta elección, se encuentra que A = 9135, B = 331280, y C = - 312. Por consiguiente. el espesor de la capa límite es 4-24 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMlENTO (4.4-25) y la distribución de velocidad Fig. 4.4-3. Sistema coordenado para el flujo bidimensional alrededor de un objeto sumergido. A partir de este resultado se puede obtener la‘fu9rza resistente, integrando sobre las dos superficies mojadas la densidad de flujo de cantidad de movimiento: = 1,292 .\/ppL ti-s (4.4-27) Se ha obtenido ,una soluckk numérica exacta de la Ec. 4.4-14, y a partir de ella se ha calculado* también la fuerza resistente. El resultado es de la misma forma que la Ec. 4.4 -27, pero la constante es 1,328. Esta comparacih da una idea dc?l comportamiento cuantitativo del método aproximado de la capa límite utilizado aquí. Los ejemplos precedentes representan los tipos más sencillos de los problemas de capa límite. Para el flujo bidimensional incompresible en estado estacionario alrededor de un objeto más complicad0 que una lámina plana (v6ase Fig. 4.4-3), se utiliza la siguiente generalización de la Ec. 4.4-14: (4.4-28) z La solución numerica fue obtenida por H. BLASIUS, 2. Mrrrh. Phys., 56, 1-37 (1908). o bien, tambien H. SCHLICHTING, Boundary Z.uyer Theory, Pergamon Press, Londres (1955), 8 7 f. NACA Tech. Memo. No. 1256; vease DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD 4-25 en la que V, (x) describe la variación de la «velocidad de corriente libre» con X, para el borde exterior de la capa límite. Esta velocidad de flujo externo se halla mediante la teoría de flujo potencial expuesta en 4 4.3. La Ec. 4.4-28 es válida para superficies que no tienen demasiada curvatura; x es la coordenada a lo largo de la superficie, e y es la coordenada perpendicular a dicha superficie. La Ec. 4.4-28 puede integrarse con respecto a y, teniendo en cuenta el hecho de que V, tiende a v,(x) para valores grandes de y. El resultado es 1 --T p y 4 v=o = d (b*u,*) + ¿&o, 2 estando el espesor de desplazamiento 81 y el espesor de cantiakd de movimiento 62 definidos por +,,‘(l-z)dy (4.4-30) (4.4-31) Las Ecs. 4.4-28 y 29 constituyen la base de la resolución de numerosos problemas de flujo bidimensional incompresible de capa límite en rbgimen estacionario. Existen ecuaciones análogas para flujo estacionario, fluidos compresibles y capas límite tridimensionales.3 La EC. 4.4-28 es la ecuacidn de Prandtl de la capa límite. Esta ecuación se ha resuelto numéricamente pára unos cuantos problemas;314 dichas soluciones se consideran como las soluciones «exactas» de los problemas de capa límite.5 Las soluciones «aproximadas» son las que se obtienen suponiendo perfiles análogos para v,/v~ en las Ecs. 4.4-29, 30 y 31, en función de un espesor de capa límite mucho mayor, tal como se ha hecho en los ejemplos ilustrativos. La Ec. 4.4-29 se denomina generalmente balance de von Kármán de cantidad de movimiento de la capa límite. A pesar de que se han obtenido numerosas soluciones exactas y aproximadas de capa límite, todavía queda bastante trabajo que realizar por lo que respecta a la aplicacibn de los metodos a sistemas que tienen interts en ingenieria. Por ejbmplo, el flujo en el costado posterior de los objetos sumergidos no esth sujeto al cálculo de capa límite, ya que en esta región ocurre «flujo de retroceso» y las ecuaciones de Prandtl de la capa límite no son válidas. 3 H. SCHLICHTING, op. cit. 4 S. 1. PAI, Viscous Flow Theory, Van Nostrand. Princeton (1957). 5 Para una discusih de las soluciones exactas para la transferencia simulthnea movimiento, materia y energia, vkase 5 19.3. de cantidad de ’ 4-26 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO CUESTIONES PARA DISCUTIR 1. iSe pueden obtener las ecuaciones de flujo «estacionario» a partir de las de flujo «no estacionario» haciendo al& = 0 o D/D! = O? 2. Comprobar que la E.c. 4.1-1 es diensionalmente correcta. 3. iCómo se evalúa la integral del denominador de la Ec. 4:1-121 4. i Qué ocurre si se intenta resolver la Ec. 4.1-21 por el metodo- de separación de variables, sin admitir antes que la solucion puede expresarse como la suma de una solución de estado estacionario y otra de no estacionario? 5. Sobre un gráfico cuidadosamente rotulado, exponer el significado de Jt(a,) que aparece en la Ec. 4.1-40. 6. Comprobar que la C.L.3 de la Ec. 4.2-5 se ha expresado correctamente. 7. ¿Es irrotacional el flujo newtoniano parabólico en un tubo circular? iY el flujo reptante alrededor de una esfera? 8. Demostrar que para el flujo bidimensional ideal, la función de corriente cumple la ecuación de Laplace, V*v = 0. Compárese con la transmisión del calor, donde V*T = 0 . 9. iCuál es el significado de la «paradoja de ,D’Alembert»? 10. Sugerir algunas otras funciones satisfactorias para la función $(q) de la Ec. 4.4-8. ll. Sugerir algunos problemas de flujo viscoso en los que es de esperar que no sean aplicables 10s métodos de capa límite. 12. Comprobar la Ec. 4.4-21. 13. Demostrar cómo se obtiene el balance de cantidad de movimiento de von KPrman (Ec. 4.4-29) a partir de la ecuación de capa límite de Prandtl (Ec. 4.4:28). PROBLEMAS 4.A, Tiempo necesario para alcanzq el estado estacionario en el flujo ea un tubo 0. Un aceite pesado, cuya viscosidad es 3,45 x lo-4 m2 seg-1, está en.reposo en un gran tubo vertical de 0,70 cm de radio. Por efecto de la gravedad, el fluido comienza, súbitamente, a verter desde el fondo del tubo. iQué tiempo se necesita para que la velocidad en el centro del tubo difiera en un 10 por ciento de su valor final? b. iCuál sería el resultado si se utilizase agua a 2O”C? Respuesta: m 6,4 x 10-2 seg. 6. - 22 seg. ’4.B, Velocidades en las proximidades de mm esfera en movimiento Una esfera de radio R desciende con flujo reptante a travts de un fluido’dstacionario de viscosidad i,, con una velocidad límite ~1~. i A qué distancia horizontal de la esfera, en un plano perpendicular a la dirección de caída, será la velocidad del fluido 0,Ol veces la velocidad límite de la esfera ? Respuesfa: A unos 37 diámetros de la esfera aproximadamente. 4.C, Co&rucci& de líneas de corriente en el flujo ideal alrededor de un cilindro Representar las lineas de corriente para el flujo alrededor de un cilindro, utilízando la información del ejemplo 4.3-1 y siguiendo este procedimiento: a. Seleccionar un valor de Y’ = C (es decir, escoger una línea de corriente). b. Representar Y = C + K (líneas paralelas al eje X) e Y = K (X2 + Y2) (círculos tangentes en el origen de coordenadas y cuyo radio es I/2K). DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD 4-27 c. Hallar graficamente las intersecciones de las lineas y los círculos que poseen los mismos valores de K. d. Unir estos puntos para obtener la linea de corriente correspondiente a Y = C. e. Elegir otro valor de C y repetir el procedimiento anterior para generar una nueva linea de corriente. 4.D1 ComparacMa del resultado exacto con el de capa hite para el flujo en las inmediaciones de una pared que se pone stibitamente en movimiento Comparar los valores de u,/V, obtenidos a partir de la Ec. 4.1-13, con los de la Ec. 4.4-10. para los siguientes valores de y/ d4%: (a) 0,2, (6) 0,5, (c) l,O. Expresar el resultado como tanto por ciento de error de la velocidad local. Respuesta: u + 1.5 por ciento b + 2,5 por ciento c - 26 por ciento 4.E2 Flujo pseudoplhstico no estacionario en las inmediiciones de una pared ea movimiento Ampliar el ejemplo 4.4-1 para describir el flujo no estacionario de un fluido pseudoplhtico en las proximidades de una superficie plana que se pone bruscamente en movimiento. Utilizar el modelo de Ostwald-de Waele (ley de la potencia) de la Ec. 1.2-3 para describir el fluido. Demostrar que el espesor de la capa limite es “m(n +l)V”-l. P t1 1, 1+1, (4.E1) cuando se utiliza en este caso el mismo perfil #(t/) que en el ejemplo,4.4-1. 4.F2 IJtilizaci6a del balance de cantidad de movimiento de von Kbnn4n Utilizar la Ec. 4.4-29, con el perfil de velocidad de la Ek. 4.4-24, con el fin de obtener (u) el espesor de la capa límite correspondiente a la Ec. 4.4-25 y (b), la fueiza resistente que actúa sobre la lámina plana, correspondiente a la Ec. 4.4-27. 4.G2 Flujo ideal en las prox imidades de un punto de estancaohnto a. Demostrar queel potencial complejo I V = - u,z*puede describir el flujo en las proximidades de un punto de estancamiento. (Véase Fig. 4.G.) I I I /! I 1 : J II II IJ II /y II / /i I e - C - 4. 1 , , ’ /,/ ee-- - --’ /// c----- --, *-----,/ : / \Punto Fig. 4.G. de estancamiento Flu.io ideal en las proximidades de un punto de estancamiento (flujo bidimensional). 4-28 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO b . ~Cu@es son los componentes de la velocidad vx(x, y) y u,,(x, JJ)‘)? c. ~Cual es el significado flsico de v,? 4.Hs Flujo ideal alrededor de una esfera Para el flujo potencial estacionario alrededor de una esfera, con una velocidad de aproximacion voo (v&se Fig. 2.6-l), la fimcion de corriente y el potencial de velocidad son ValRo 9 = -2r’COse-v&ose (4.H-2) La función de corriente está relacionada con los componentes de la velocidad en la forma que se indica en la Tabla 4.2-1, mientras que el potencial de velocidad se relaciona con dichos componentes mediante tr = -V+, que para el caso de coordenadas esfericas, a4 h--ã; a. Demostrar que, lejos de la esfera, las Eks. 4.H-1,2 dan u, 7 veo. (Observuci6n: v, = v, cose - ve sen e.) b. Demostrar que la velocidad en un punto cualquiera de la superficie esferica es vg = - + ve sen 8. c. Demostrar que la distribución de presión sobre la superficie esf&ica es p - poo = (pvao*/2) (1 - 1 sen* e). 4.Is Flujo en un v6rtice1 u. Demostrar que el potencial compiejo (4.1-1) describe el flujo en un vórtice. Demostrar que la velocidad tangencial viene dada por (4.1-2) y que u, = 0. Este tipo de flujo se denomina a veces vdrtice libre. b. Comparar la variación de ve con r, correspondiente a la Fc. 4.1-2, con la función ve(r) que interviene en el ejemplo 3.5-2. Este tipo de flujo se denomina a veces vdrtice forzudo. Los vórtices reales, tales como los que se forman en tanques agitados, se comportan de una forma intermedia entre estas dos idealizaciones. 1 Vórtices en tanques agitados han sido estudiados experimentalmente por S . NA G A T A , N. Memoirs of the Faculty of Engineering, Kyoto University, vol. XVII, número III, julio 1955. Y~SIIOICA y T. TOKOYAMA, DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD 4.5s Ecuaeion~ básicas 4-29 para e l Bujo a travhs de me di o s porosos*~3~4 Para el flujo de un fluido a través de un medio poroso, las ecuaciones de continuidad y movimiento pueden substituirse por ecuacidn de continuidad modificada ap -@ - PU3 ‘ã;= (4.J-1) V O = -pp- pg) ley de D’Arcy:s en la que E es la porosidad (es decir, la relacion entre el volumen de huecos y el volumen total) y K es la permeabilidad del medio poroso. La velocidad vg que interviene en estas ecuaciones es la velocidad superficial (velocidad volumetrica de flujo a través de la unidad de área de la seccion del solido más el fluido) promediada en una pequefia región de espacio (pequefia con respecto a las dimensiones macroscópicas del sistema de flujo pero grande con respecto al tamafio del poro). Las magnitudes p y p son valores medios en una región de flujo que es grande con respecto al tamafia del poro. Combinando las Ecs. 4.5-1 y 2, e introduciendo el símbolo 9 (definido por V 9 = Vp - pg), se llega a para viscosidad ,U y permeabilidad K constantes. La Ec. 4.J-3 y la ecuación de estado describen el movimiento de un fluido en un medio poroso. En la mayoría de los casos, la ecuación de estado puede expresarse así P = POP” exp Bp (4. J-4) en la que p0 es la densidad del fluido a la presión unidad, y Para líquidos Caso 1: incompresibles Caso 2: compresibles m=O p=o B#O Para gases Caso 3: expansión isot&mica Caso 4: &pansion adiabática /3=0 m = l m = Ily = C& Demostrar que, combinando las Ec. 4.5-3 y 4.J-4 y haciendo simplificaciones para estos cuatro casos, se puede obtener M. M USKAT , Flow of Homogeneous Fluids Through Porous Media, McGraw-Hill (1937). A. HOUPEURT , Éliments de mécanique des fluides dans les milieux poreux, Institut Francais d u Wtrole, París (1957). Desgraciadamente este libro contiene numerosos errores tipográficos. 4 P. C. CARMAN, Flow of Gases Through Porous Media, Butterworths, Londres (1956). 5 H. C. BRINKMAN, Appl. Sci. Research, Al, 27-34, 81-86 (1947), ha sugerido la siguiente modificación empírica de la ley de D’Arcy: * 3 o=-vp - ; Vo + Irv=~o + Pk? El término ,uV*V, se introduce para tener en cuenta la distorsión de los perfiles proximidades de las paredes. de velocidad en las TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 4-30 C a s o 1: VW = 0 o bien Vpp = 0 (4.5-5) caso 3: caso 4: (4.5-7) C Como los tirminos de gravedad para gases, Casos 3 y 4, son de presión, se acostumbra despreciarlos. Obdrvese que el Caso el Caso 2, sin tener en cuenta tal término de gravedad, a la ecuación de difusión, y los Casos 3 y 4 dan ecuaciones no pequehos con respecto a los términos 1 conduce a la ecuación de Laplace, ecuación de conducción del calor o lineales. 4.K3 Flujo radial a travhs de un medio poroso Un fluido circula a trav6s de una envoltura cilíndrica porosa cuyos radios interno y externo son rl y r> Las presiones en dichas superficies valen p1 y p2, respectivamente. La longitud de la envoltura cilíndrica es h. a. Hallar la distribución de presión, la velocidad de flujo radial y la velocidad volumetrica de flujo, para el caso de un fluido incompresible. b. Repítase el calculo para el caso de un líquido compresible y un gas ideal. In *IrI Respuesta: a. ‘P-PI - = PS -Pt In hlrl Me d io p o ro so Fluido l Q= Va kxido d volum6trica d e Ruio Fig. 4.K. Flujo radial a travks de un medio poroso DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD 4-31 4.L, Fluj6 ho estacionario en un anillo o. Tomando el ejemplo 4.1-2 como guía, deducir la ecuación análoga para el flujo axial no estacionario en un anillo coaxial. Comparar los resultados con la solución publicada.6 b. Obtener una solución para el flujo tangencial no estacionario en un anillo coaxial, cuando el fluido esta en reposo para t < 0, y el cilindro exterior gira con velocidad angular L-J dando lugar a flujo laminar para t > 0. Comparar los resultados con los de la bibliografía.7 4.M4 Flujo a travhs de on medio poroso en un tubo a. Un tubo de radio R está lleno de un material poroso de permeabilidad uniforme K. Utilizar la Ec. 4.J-2% para hallar la distribución de velocidad en el medio poroso, teniendo en cuenta que la velocidad en la superficie del tubo es cero. b. Expresar la velocidad volumétrica de flujo, mediante la velocidad de flujo dada por la ley de D’Arcy multiplicada por un factor de correcci6n para tener en cuenta los «efectos de pared». c. Demostrar que el resultado del apartado (b) se transforma en la ley de Hagen-Poiseuille cuando K tiende a 00. d. Buscar valores típicos de p y K y determinar si el factor de corrección del apartado (6) es o no normalmente importante en los calculos industriales. e. El factor de correcci6n del apartado (b), iserá mayor o menor que la corrección que se necesita para tener en cuenta la n o distribuc6n al azar del relleno en las proximidades de la pared del tubo? Respuesta: b. 4& LP ecuación de Besnoulli para Bujo no viscoso Partiendo de la Ec. 3.U-2, demostrar que para el flujo no viscoso, irrotacional, estacionario, cuya fuerza externa deriva de un potencial (g = -Va), la ecuación de movimiento puede integrarse entre dos puntos cualesquiera « l» y «2» de un campo de flujo, para obtener tw - VI9 + JIc “Q + (4, - 4) = 0 (4.N-1) P Ésta es la ecuackin de Bernoulli. Tambi6n se puede demostrars que se llega a la misma expresibn cuando la ecuación de movimiento para flujo estacionario n o viscoS (pero no necesariamente irrotacional) se integra entre d o s p u n t o s el» y «2» situados sobre la misma línea de corriente. La generalización de la ecuacibn de Bernoulli para fluidos viscosos se trata ‘en 5 3.3. 6 W. MULLE& 2. angew. Math. Mech., 16, 227-228 (1936). 7 R. B. BIRD y C. F. CURTISS, Chem. Eng. .Sci., 11, 108-113 (1959). 8 H. LAMB, Hydrodynamics, Dover, Nueva York (1945), pp. 20-21. CAPITULO 5 DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO En los capítulos anteriores se han estudiado solamente problemas de flujo laminar. Como se ha visto, las ecuaciones diferenciales que describen el flujo laminar son conocidas y el único factor que limita la aplicación de las ecuaciones de variación es la complejidad matemática que se encuentra en los sistemas de flujo laminar en los que intervienen varios componentes de la velocidad que no desaparecen. En este capítulo se verá que no se dispone de métodos directos para calcular los perfiles de velocidad en flujo turbulento. En realidad, las ecuaciones de continuidad y movimiento son aplicables al flujo turbulento, lo cual es lógico, si se tiene en cuenta que el tamaño medio de los remolinos es en este caso grande en comparación con el recorrido libre medio de las moleculas del fluido. Si se pudiesen resolver estas ecuaciones se obtendrían los valores instantáneos de la velocidad y la presión, que en el caso del flujo turbulento presentan grandes fluctuaciones alrededor de sus valores medios. (Véase 0 5.1.) Como estas soluciones no pueden hallarse, es preciso desarrollar otros métodos de ataque del problema. En 0 5.2 se indica como pueden promediarse las ecuaciones de variación en un corto intervalo de tiempo, para obtener las ecuaciones de variación de «tiempo ajustado». Estas ecuaciones describen las distribuciones de velocidad y presión de tiempo ajustado; estos perfiles corresponderían a la velocidad medida con un tubo de Pitot y las presiones determinadas con un manómetro. La única dificultad consiste en que la ecuación de movimiento de tiempo ajustado contiene los componentes r$ de la «densidad de flujo turbulento». Asi como en el flujo laminar los componentes tzv podían expresarse según la ley de Newton de la viscosidad, las magnitudes r$ han de tratarse en general empíricamente. En $j 5.3 se resumen las expresiones empíricas de t$, que se han hecho populares de las últimas décadas. Se indican también algunos ejemplos sobre la forma en que éstas se han utilizado para obtener información acerca de las distribuciones de velocidad de tiempo ajustado. Obsérvese que para cada solucion que se obtiene hay que determinar por lo menos una constante, a partir de medidas experimentales. Por lo tanto, las teorías semiempíricas no permiten calcular totalmente a priori los perfiles de velocidad. Sin embargo, estas teorías encuentran grandes aplicaciones en ingeniería. 5-2 TR A N SP O R TE D E C A N TID A D D E M O V IM IEN TO Teniendo en cuenta el movimiento caótico que tiene lugar en la turbulencia, parece evidente que han de obtenerse resultados satisfactorios mediante los métodos que tengan en cuenta los movimientos y consecuencias del azar. Hasta ahora no existe una teoría estadística de la turbulencia que sea completamente satisfactoria. Sin embargo, se ha avanzado mucho en las investigaciones teóricas y experimentales acerca del comportamiento de diversas magnitudes estadísticas que deben explicarse, en última instancia, mediante una teoría estadística afortunada. En Q 5.4 se presenta al lector una visión rápida del método estadístico, estudiando la caída de turbulencia detrás de una rejilla. En esta breve introducción a ta turbulencia trataremos principalmente de la descripción del flujo turbulento totalmente desarrollado en un fluido incompresible. No se considerarán todos los métodos teóricos para la predicción del comienzo d e turbulencia,1 ni los métodos experimentales desarrollados para demostrar la estructura interior de los flujos turbulentos .2.3 El lector comprenderá que la literatura sobre este tema ha crecido hasta alcanzar unas enormes proporciones. Todo lo que podemos hacer en un texto elemental es presentar algunos conceptos que sirvan de base para una posterior información. Q 5.1. FLUCTUACIONES Y MAGNITUDES DE TIEMPO AJUSTADO Antes de proceder a la descripción del flujo turbulento desde el punto de vista analítico, haremos algunas consideraciones acerca de la naturaleza física del flujo turbulento. Para la mayor parte de las discusiones utilizaremos como base el flujo en un tubo circular. En § 2.3 se ha demostrado que para el flujo laminar en un tubo circular, la distribución de velocidad y la velocidad media vienen dadas por (5.1-1,2) Se ha visto también que la caída de presión es directamente proporcional a la velocidad volumétrica de flujo. Para el flujo turbulento, se ha demostrado experimentalmente que las magnitudes de tiempo ajustado 2?, y &,> están dadas aproximadamente por (5.1-3,4) Estas expresiones son bastante satisfactorias para el intervalo del número de Reynolds de IO* a 105; más adelante se dan expresiones más exactas. En este intervalo del 1 H. SCHLICHTING, Boundury Luyer Theory, McGraw-Hill, Nueva York (1955), capítulo 16. 2 A. A. TOWNSEND, The Structure o f Turbulent Shear Flow, Cambridge University Press (1956). 3 S. GOLDSTEIN, M odern Developw ents in Fluid Dynatnics, Oxford University Press (1939). DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO 5-3 número de Reynolds la caída de presión es, aproximadamente, proporciona! a la potencia 7/4 de la velocidad volumétrica de flujo. En la Fig. 5.1- 1 se comparan los perfiles laminar y turbulento de velocidad. 1,O Fig. 5.1-1. turbulento. 0,8 0,6 0,4 0,2 rlR - Comparaci6n cualitativa de las distribuciones de velocidad para flujo laminar y Para tubos circulares, el flujo es laminar cuando Re = Dtv,~p/,~ es menor que aproximadamente 2,l x 103, si bien se establece un movimiento sinuoso estable1 para un número de Reynolds del orden de 1225. Por encima de 2,l x 103 puede mantenerse temporalmente el movimiento laminar si 10s tubos son muy lisos y se evitan las vibraciones, pero si se produce una perturbación en el sistema, o existe una rugosidad apreciable en la superficie, el movimiento laminar se transforma en un movimiento al azar que caracteriza al flujo turbulento. Ei realidad, esta afirmación constituye una simplificación, puesto que el movimiento a través del tubo no es completamente al azar, si bien lo son prácticamente las fluctuaciones de la velocidad en el centro del tubo. Sin embargo, en las proximidades de la pared, las fluctuaciones en la dirección axial son mayores que en la radial y todas ellas tienden a cero en la pared misma. Resulta por lo tanto evidente que existe una marcada variación del comportamiento físico con la distancia radial. A pesar de que este cambio es continuo, se acostumbra considerar tres zonas arbitrarias en el interior del tubo: la subcupa laminar, en la que se utiliza la ley de Newton 1 R. S. PRENGLE y R. R. ROTHFUS, Ind. Eng. Chem., 47, 379-386 (1955). 5-4 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO de la viscosidad para describir el flujo; la zona de transición, en la que los efectos laminares y turbulentos son igualmente importantes; y la regidn de turbulencia totalmente desarrollada, en la que los efectos estrictamente laminares son despreciables. En la Fig. 5.1-2 se indican estas regiones, que no deben de tomarse demasiado al pie de la letra. Zona d e tronrici6n Fig. 5.1-2. Distribución de velocidad para el flujo turbulento en el interior de tubos; región pr6xima a la pared del tubo. Hasta aquí se ha tratado esencialmente de la velocidad de tiempo ajustado y vamos a volver ahora sobre las fluctuaciones de la velocidad. Fijaremos nuestra atención sobre el comportamiento del fluido en un punto del tubo en el que el flujo es turbulento. Supongamos que para dicho punto se observa que la diferencia de presión que da lugar al flujo aumenta lentamente, de forma que la velocidad media aumenta también lentamente, en cuyo caso, el componente axial de la velocidad se comportará en la forma que se indica en la Fig. 5.1-3. La velocidad instantánea V, es una función que oscila irregularmente. Definimos la velocidad de tiempo ajustado V, tomando un promedio de tiempo de vu, en un intervalo de tiempo t0 que es grande con respecto al tiempo de oscilación turbulenta, pero pequeño en relación con el trempo de variación de la diferencia de presión que da lugar al flujo: t+to 0, = -1 11, dt (5.1-5) to st La velocidad instantánea puede por lo tanto expresarse como la suma de la velocidad de tiempo ajustado V, y una velocidad de fluctuación v’, DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD EN FLUJO Tl3RBULENTO 0 Tiempo, f - I 0,os seg. 5-5 * Fig. 5.1-3. Oscilacih del componente de velocidad alrededor de un valor medio. Para la presión se puede escribir una expresión fluctuante análoga. A partir de las definiciones anteriores resulta evidente que z = 0 pero, en cambio, G no será cero, y de hecho pg V, /(ú,) es una medida de la magnitud de la perturbación turbu- OJO 0,a 0,06 Fig. 5.1-4. Fluctuaciones turbulentas para el flujo en la dirección z en un canal rectangular. Fig. 5.1-5.’ Esfuerzo de Reynolds para el flujo en un canal rectangular. La magnitud t+= es la suma de T(l)7.‘ y t”’ *v 5-6 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO lenta. Esta relación, que se conoce con el nombre de «intensidad de turbulencia», puede alcanzar valores de 1 a 10 por ciento para el flujo en un tubo. Es conveniente tener alguna idea acerca del orden de magnitud de las fluctuaciones turbulentas; en las Figs. 5.1-4 y 5.1-5 se presentan ejemplos de curvas para el flujo turbulento entre dos láminas planas. En la Fig. 5.1-4 se observa que las fluctuaciones en la dirección de flujo son mayores que en la dirección perpendicular al mismo, tendiendo las dos a igualarse en el centro de la conducción (es decir, tendencia hacia la isotropía). De acuerdo con la Fig. 5.1-5 se observa que la densidad de flujo de cantidad de movimiento en la mayor parte del canal resulta casi totalmente de la transferencia turbulenta. El transporte molecular de cantidad de movimiento sólo es importante en las proximidades de la pared (este punto se amplía en el ejemplo 5.3-3). En la discusión que sigue es preciso recordar las curvas de las Figs. 5.1-4 y 5. 9 5.2 AJUSTE DE TIEMPO DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA UN FLUIDO INCOMPRESIBLE En esta sección se deducen las ecuaciones que describen la velocidad y presión de tiempo ajustado para un fluido incompresible. Para ello, se expresan las ecuaciones de continuidad y movimiento, substituyendo v, por i, + v’, y p por 3 + p’: (ecuación de continuidad) (ecuación de movimiento) a”; (ü, + vz’) + 2 (ü” + V”‘) + ; v* + %‘) = 0 (5.2-1) &p&+v.‘)= -$CP’) - ($@~+%m+%3 +a ãy p(l& + v,‘)& +%‘) + ; p(ü, + &‘)(ü, + u07) + pvv, + VW? + P¿L (5.2-2) En este caso se ha utilizado la ecuación de movimiento según la forma de la Ec. 3.2-5, con los componentes del esfuerzo de un fluido newtoniano de densidad p. Los componentes y y z pueden expresarse de una forma análoga. Se puede tomar ahora el promedio de tiempo de las Ecs. 5.2-1 y 2, de acuerdo con la Ec. 5.1-5, para obtener: DISTRIBUCIÓN DE VELO CIDA D EN FLUJO TURBULENTO ecuación de’ continuidad de tiempo ajustado ecuación de movimiento de tiempo ajustado aü, %+ av, -0 _ ãz+ ay aZ & püz = - S- l (5.2-3) ap - - $ f-w~ + z pfi,ü, + aE 2. põ,õ,) az ( aY ;pv,'v.'+ a pvy’v, + &pu,‘v.> (---------_--_-_ -----_--._-_ ay____________________-.-.- - - - _ _____. ) (5.2-4) Éstas son las ecuaciones de continuidad de tiempo ajustado y movimiento de tiempo ajustado para el componente x. Comparándolas con las ecuaciones de $5 3.1,2, se observa que la ecuación de continuidad es la misma que antes, salvo que los componentes de la velocidad de tiempo ajustado substituyen a los componentes de la velocidad instantánea. También en la ecuación de movimiento, v,, vY, v, y p se han substituido por V,, Z,,, ü, yp; pero, además, intervienen nuevos términos (subrayados con la línea de puntos), que están relacionados con las fluctuaciones de velocidad turbulenta. Por comodidad vamos a introducir la notación #i) = pvzlv,‘; 22 -ce = pv,‘u,‘; TZV etc. (5.2-5,6) Estos términos con los componentes de la densidad de flujo turbulento de cantidad de movimiento, ?, que generalmente se denominan esfuerzos de Reynolds. Para abreviar, expresamos las ecuaciones de continuidad y movimiento de tiempo ajustado en notación vectorial: ecuación de continuidad de tiempo ajustado ecuacion de movimiento de tiempo ajustado (V * ü) = 0 D6 pj&=- vp - L-v+‘)] - [V*P] .____ _ ___-___-_- + pg (5.2-7) (5.2-8) También en este caso se subraya con una línea de puntos el término adicional que aparece como consecuencia del ajuste de tiempo. La magnitud 9’) viene dada por las expresiones de las Tablas 3.4-5, 6 y 7, sólo que u se substituye siempre por ‘B. La principal conclusión de esta sección es que las ecuaciones que se resumen en las Tablas 3.4-2, 3 y 4 pueden utilizarse para plantear problemas de flujo turbulento con tal de que se cambie zli por Vi, p por I;, y rii por i$ + t$). 5-8 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 0 5.3 EXPRESIONES SEMIEMPfRICAS PARA LOS ESFUERZOS DE REYNOLDS Para hallar los perfiles de velocidad mediante la Ec. 5.2-8 es preciso disponer de alguna expresión para 7-(‘! Con este fin se han utilizado diversas relaciones semiempíricas que aquí mencionaremos solamente. El lector que desee saber cómo se han «deducido» estas expresiones debe consultar los trabajos originales. Viscosidad de remolino de Boussin~ l Una de las expresiones más antiguas propuestas por analogía con la ley de Newton de la viscosidad, es siendo #’ un «coeficiente turbulento. de viscosidad» o «viscosidad de remolino» que, en general, varía considerablemente con la posición. Longitud de mezcla de PrandtW Suponiendo que los remolinos se mueven en un fluido de igual forma que lo hacen las moléculas en un gas (en realidad es una analogía muy incorrecta), Prandtl obtuvo una expresión para la transmisión de cantidad de movimiento en un fluido, en la que la longitud de mezcla juega un papel aproximadamente equivalente al del recorrido libre medio en la teoría cinética de los gases. (Véase 8 1.4.) Con esta suposición Prandtl obtuvo la relación 40 2 dóZI l dy I & dü TYa = 4 (5.3-2) La longitud de mezcla I también es una función de la posición, y Prandlt obtuvo algunos éxitos considerando que 1 es proporcional a la distancia y medida desde la superficie sólida, es decir, 1 = Kg. Taylor llegó también a un resultado análogo al de la Ec. 5.3-2 mediante la teoría del transporte de vorticidad.3 Hipótesis de semejanza de von Khmhn 4~ 6 Basandose en consideraciones adimensionales, von Kármán sugirió que los esfuerzos de Reynolds han de ser de la forma (5.3-3) 1 T. V. BOUSSINESQ, Mém. prés. Atad. Sci., Tercera edici&n, París, XXJ& 46 (1877). 2 L. P RANDT L, Z. angew. Muth. Mech., 5, 136 (1925). 3 G. 1. TAYLOR, Proc. Roy. Soc. (London), A135, 685-701 (1932). 4 T. VON KASIMÁN, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math-physik. Kl. (1930); tambih NACA, TM611. ! R. G. DEISSLER, NACA Report 1210 (1955). 6 H. SCHLEHTMG, Boundary Layer Theory, McGraw-Hill, Nueva York (1955). capítulo XIX. DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO 5-9 siendo os una constante «universal» cuyo valor es 0,40 para algunos autores y 0;36 para otros (estos valores se han determinado a partir de los datos del perfil de velocidades para el flujo en un tubo). Fhrmula empfrica de Deissler para la región próxima a la pared5 Deissler ha propuesto la siguiente expresión empírica para ser utilizada en las proximidades de superficies sólidas, donde la ecuación de von Kármán y la de Prandtl resultan inadecuadas +yz = - pn%,y( 1 - ev b*W4) dü, dy (5.3-4) siendo ~t una constante, cuyo valor, determinado empíricamente por Deissler a partir de las distribuciones de velocidad para el flujo en un tubo, es 0,124. En los ejemplos ilustrativos que se presentan a continuación, se indica la forma en que se utilizan las relaciones anteriores para obtener alguna información acerca de los flujos turbulentos. Al aplicar estas relaciones a sistemas curvilíneos, los investigadores han despreciado generalmente, para simpliíicar, los efectos de curvatura.’ 7 Para escribir las adecuadas relaciones en coordenadas curvilíneas, es preciso expresar +c en forma tensorial. Por ejemplo, la expresión de la hipótesis de semejanza de von Karman, de acuerdo con la deducción original de este autor, es (5.3-34 siendo A,, = (gg,/gz,) + (S,/&,) y Ri, = ( aw,/az,) + (aw,/az,). En esta expresión >3* es el componente idsimo de la verticidad ü? = w x ü], y el producto de doble punto de los tensores A y S2 es la operación definida en 6 A.4. Para flujo de cizalla plano, la Bc. 5.3-30 se transforma en la Bc. 5.3-3. Para flujo axial simetrico en un tubo con pt = i&(r) y Us = ü, = Ola Ec. 5.3-3~ se reduce a (5.3-36) Para el flujo tangencial entre dos cilindros que giran con üs = i&(r) y 0, = 17. = 0, la Bc. 5.3 -3a se transforma en (-__ ) "=,-r' ,;g +;)i, @ -q) - (5.3-3c) que est8 de acuerdo con T. von K&mdn, 6ollccted Works, Butterworths, Londres (1956). p. 459. (Los autores desean expresar su agradecimiento al doctor J. B. Opfell y al profesor W. H. Corcoran en relación con la anterior discusión.) 5-10 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Ejemplo 5.3-1. Deduccih de la ley de distribución logadtmica para el flujo en un tubo (lejos de la pared) Hallar la distribución de velocidad de tiempo ajustado para el flujo turbulento en un tubo largo, utilizando la relación de la longitud de mezcla de Prandtl. El radio y la longitud del tubo son R y L. Solución. Sea s = R - r la distancia medida desde la pared del tubo, y supóngase que 1 = KAS. Para el flujo axial en tubos, la Ec. 5.3-2 resulta (5.3-5) La ecuación de movimiento se obtiene a partir de la Ec. 5.24. Para et-caso = t?Jr) y el fluido sea incompresible, se llega a de que ú, = (5.3-6) siendo T,, = +fz + f(l) . Integrando esta ecuación, con la condición límite de que i,, = 0 para r = 0, se obtiene en la que T,, es el esfuerzo cortante de pared (para s = 0). En el núcleo turbulento (o sea, en otras para la mayor parte de los valores de s) 7:: será despreciable con respecto a z!t); palabras, el transporte de cantidad de movimiento por moléculas es pequeño en comparación del que tiene lugar por el movimiento de remolino. Por consiguiente, las Ecs. 5.3-5 y 5.3 -7 pueden combinarse para obtener (5.3-8) Prandtl hace aquí una simplificación matemática (físicamente injustificable) que consiste en tomar el segundo miembro igual a te. Con esto se simplifica algo el aspecto matemático, y se ha comprobado que el resultado difiere muy poco del que se obtiene por integración de la Ec. 5.34. Por tanto, tomando la raíz cuadrada, se obtiene (5.3-9) debiendo utilizarse el signo más. En esta expresión ti* es I/te/p, que tiene las dimensiones de una velocidad. Integrando la Ec. 5.3-9 desde el borde exterior de la capa de transicibn s = s1 hasta una posición cualquiera de s, se obtiene 1 ü; - õ* 1 = - u* In 5 s > $1 El Sl I~I.Yl‘KIHlJCl~iN I)E Vt~l.OCll>.4I> E N t-Li:/0 l‘L’HHUl.tNT<) 5-1 I o bien en variables adimensionales (u+ = L:,/L,*, si- = su,p/ir): vi- - vl+ = L In< Kl (5.3-11) Sl Deisslers encontró, a partir de datos experimentales de distribución de velocidad, que el mejor valor de Ka es 0.36, y que a su vez el borde exterior de la zona de transición puede tomarse satisfactoriamente como ~t+ = 26 (siendo ut = 12,85). Con estos valores recomendados por Deissler, la Ec. 5.3 - 1 I se hace vf = k6 In sf + 3.8 (5.3-12) Se ha encontrado que esta distribrrción lognrítrr~icn describe bastante bien los perfiles de velocidad para el flujo turbulento con Re > 20 000 (excepto, por supuesto, cerca de las paredes del tubo). Ejemplo 5.3-2. Distribución de velocidad para el flujo en un tubo (cerca de la pared) Utilizar la fórmula empírica de capa laminar y en la región de Solución. Sumando la ley de se obtiene para la región cercana Deissler para calcular el perfil de velocidad en la subtransición. Newton de la viscosidad y la expresión de Deissler, a la pared T,, = $f) + i$:r: dü, Trs = -p z - ~n~ü,(R - r)( 1 - exp (-n2ü,(R - rf/+) 2 (5.3-13) Substituyendo esta expresión en la Ec. 5.3 -7 y tomando 1 - (SIR) igual a 1, que es una buena aproximación junto a la pared, se llega a 7. = +p 2 + pn2üp( 1 - exp { -n’ü,slv}) 2 (5.3-14) Integrando desde s = 0 hasta s, y expresando el resultado en función de variables adimensionales, se obtiene v+ I 8+ a!sf s(j 1 + A+s+(l - exp (-t?v+s+)) 0 < s+ < 26 (5.3-15) habiéndose encontrado empfrícamente que para tubos largos y lisos n vale 0,124. Para haliar v+ en función de s+ hay que utilizar procedimientos iterativos; en la Fig. 5.3 - 1 se indica gráficamente el resultado. Para daalotes pequeños de sf, la Ec. 5.3-15 se reduce a v+ 1 s+ ogs+<5 (5.3-16) I )- Ecuación 5.3-15 -s i - I- )- j- 1 +--l I : io -s l- l -IL- 2 5 10 i / IzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I l II 20 2 6 50 loo 200 500 looo 2ocG 5ooo 10 s+ = .%PlU Fig. 5.3-1. Distribución de velocidad para el flujo turbulento isotérmico en tubos. [R. G. Deissler, NACA Rept 1210 (1955).] L,os datos experimentales son los de R. G. Deissler [NACA Tech. 3016 (1953)J y J. Laufer [NACA Tech. Note 2954 (1953)], que corresponden a los círculos y cuadrados, respectivamente. DISTRIBUCIdN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO 5-13 Este resultado puede obtenerse también integrando sobre la subcapa laminar la ley de Newton de la viscosidad. Los datos experimentales del perfil de velocidad concuerdan satisfactoriamente con la curva de la Fig. 5.3 - 1 para Re > 20 000. Para una comparación del trabajo de diversos experimentadores, véase Corcoran, Opfell, y Sage.8 Se ha estudiado la influencia de la rugosidad sobre las distribuciones de velocidad para el flujo en un tubo, pudiendo encontrarse en la obra de Schlichtings un cuidadoso resumen de este trabajo. En los últimos capítulos de este mismo libro se presentan tambien resúmenes de estudios teóricos sobre otros sistemas de flujo turbulento, tales como flujo en eyectores, flujo entre cilindros que giran, flujo en las cercanías de discos que giran y flujo alrededor de cilindros estacionarios. La discusión de estas materias cae fuera del alcance de este libro. Ejemplo 5.3-3. Valor relativo de Ia viscosidad molecular y la viscosidad de remolino Determinar la relación #)/p para s = R/2, en el caso de flujo estacionario de agua en un largo tubo circular liso en las siguientes condiciones: R = radio del tubo = 8 cm. de = esfuerzo cortante de pared = 1,63 dina cm-2 p = densidad = 0,9996 g cmv3 Y = viscosidad cinemática = 1,02 x 10m2 cm2 seg-1 Sohcibn. La viscosidad de remolino esta definida por ’ dü, ir*=-p--p (0 dü, dr dr (5.347) Despejando de esta relación ,u(*)/p, y expresando el resultado en funcibn adimensionales del ejemplo anterior, se obtiene: de las variables p”’ 1 -qrs - = - 1 ,u düJds P 1 Q(l - sIR) E---1 dü,/ds Cr s Un resumen crítico. de diversos resultados empíricos puede verse en W. H. CORCORAN, J. y B. H. SAOE, Momentum Transport in Fluids, Academics Press, Nueva York (1956), capítulos III y IV. 9 H. SCHLICHTING, op. cit., pp. 416-426. B. OPFELL 5-14 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Para s = 812, el valor de s+ es sw WV dt$ P I 5oo & 3:-= P (5.3-19) C Mediante la Ec. 5.3 - 12 se calcula dv+/ds+ para este valor de s+ : g = (1/0,36) (1/500) (5.3 - 20) Substituyendo en la Ec. 5.3- 18 se obtiene p”‘/p = 1/2(0,36) (500) - 1 = 89 (5.3- 21) Este resultado pone de manifiesto que, lejos de la pared del tubo, el transporte molecular de cantidad de movimiento es despreciable en comparación del transporte de remolino. $5.4 EL TENSOR DE CORRELACIÓN DE SEGUNDO ORDEN Y SU PROPAGACIÓN (LA ECUACIÓN DE VON KÁRMAN-HOWARTH).‘** En 0 5.2 se ha visto que el ajuste de tiempo de la ecuación de movimiento conduce al tensor de esfuerzo de Reynolds, cuyos componentes son pvrlt)f>. Las magnitudEli y vlj son las fluctuaciones de velocidad en las direcciones i y j en un punto, y uI’uj’ es una medida de la «correlación» entre las fluctuaciones. En las dos últimas décadas se ha trabajado intensamente para establecer las correlaciones entre las fluctuaciones en dos puntos. Estas magnitudes, que se pueden medir, dan el tamaño y la orientación de los remolinos. En el estudio que sigue se representan las fluctuaciones en el’ punto B’ mediante una sola comilla y las del punto B” por dos: p’v,” = el componente i de un vector que describe la correlación de la fluctuación de presión en B’ con la fluctuación de velocidad en B” en la dirección i. UF 2 el componente ij de un tensor de segundo orden que describe la correlación de las fluctuaciones de velocidad en B’ y B” . .- I , vi vj Vk ” = el componente ijk de un tensor de tercer orden que describe la correlación de dos fluctuaciones de velocidad en B’ con una en B” . Se ha estudiado ampliamente el comportamiento de estas correlaciones para la turbulencia isotrópica homogénea en un fluido para el cual ó = 0; aquí se considera solamente este caso, que es el más sencillo de todos. Se define la turbulencia 1 T. VON KÁRMÁN y L. HOWARTH, Proc. Roy. Soc. (London), A164, 192-215 *G. 1. TAYLOR, Proc. Roy. Soc. (Lmdon), A 151, 421-478 (1935). (1938). DISTRIBVCIdN DE VELO CIDA D EN FLUJO TURBULENTO S- l.5 como la condición en virtud de la cual el valor de tiempo ajustado de una funcion de los componentes de la velocidad y sus derivadas espaciales en un determinado punto, definido con respecto a un cierto sistema de ejes, permanece invariable si los ejes se rotan o reflejan en un plano que pasa por el- origen; con= Q = y ;;2 ‘2 ‘2 cretamente, ~1 (0 sea, = v ) y vt’v2’= ~2’~s’ 5 zit’vj’ = 0. La turbulencia homogénea se define como el estado para el cual las distintas magnitudes de tiempo ajustado. son independientes de la posición; en particular, V@ = &. Se ha encontrado3 que se puede conseguir aproximadamente una turbulencia isotrópica homogénea local con B - 0, en el flujo detrás de una rejilla uniforme, si se considera que el sistema coordenado se mueve con la velocidad de la corriente. A continuación se definen correlaciones adimensionales para la turbulencia isotrópica : isotrópiea Pr- PE Jp;z”X 7 vi "5 Ri, = p (5.44) (5.4-2) Es preciso deducir una ecuación de variación para el tensor de correlación de segundo orden Rii. Para ello, se utiliza el siguiente procedimiento: Fig. 5.4-1. B’ y B” están ambos sobre el eje q, siendo 6, = r, & = 6, =0 Fig. 5.4-2. Localización arbitraria de B’ y B”, siendo los componentes de r Et, E2, 8,. 3 A. A. T OWNSEND, The Structure of Turbulenr Sheur Flow , Cambridge University Press (1956). p.p. 33 y SS. 5-16 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO a . Para cada una de las tres correlaciones Pi, Rii y TiiR, (i) se hallan, mediante la condición de isotropía, los componentes que no desaparecen, cuando tanto B' como B" están sobre el eje xr (véase Fig. 5.4-1); (ii) se establece la forma general de la correlación que ha de garantizar que la correlación está dotada de las adecuadas propiedades de transformación; (iiij se aplica la ecuación de continuidad para obtener relaciones entre los componentes que no desaparecen. b. Se utilizan después las ecuaciones de Navier-Stokes para obtener la ecuación de von Kármán-Howarth que describe la correlación de segundo orden. En la deducción se representa la localización de B' mediante las coordenadas xti y la de 8” por las coordenadas xi”. La distancia de B' a B” se designa mediante el vector r de componentes ti = xi” - xi’. (Véase Fig. 5.4-2.) La correlación Pi Consideremos primeramente el caso especial en el que tanto B’ como B" están sobre el eje xt. Debido a la isotropía p11)81 ,pT = 0, puesto que estas magnitudes cambian de signo cuando los ejes rotan 180” alrededor del eje XI. Los demas componentes, debido a la isotropía, serán a lo sumo una función de r y t; por lo tanto, para las posiciones de B' y B" que se indican en la Fig. 5.4- 1, se puede escribir Pl _ P T Jze# = eso / (5-4-4) Una expresión vectorial que simplifica la Ec. 5.4-4 para i = 1, es plvi” p,==, s(r, t) J p3v';i r (5.4-5) lo cual da también P.J i P3 = 0. Puesto que esta expresión se transforma de igual forma que un vector, es la expresión general de Pi cuando B' y B" están localizados arbitrariamente. Utilizamos ahora la ecuación de continuidad en el punto B", que es (5.44) Como p’ depende solamente de x’¡ y t, se .puede introducir p’ en la Ec. 5.4-6 para obtener (después del ajuste de tiempo) (5.4-7) o bien 3 ;rLp’v,“=o r=lati (5.4-8) DISTRIBUCIÓN DE V ELO C I D A D EN FLU JO 5-17 TU R B U LEN TO Introduciendo después la Ec. 5.4-5 en la Ec. 5.4-8 se llega a la siguiente ecuación diferencial para s(r, t): $+2s r -0 (5.4-9) cuya solución es s = CIt-2. Como s(r) no se hace infinito cuando r = 0, la constante de integración C tiene que ser cero. Por consiguiente, s(r) = 0, y se llega a la conclusión de que P,=O 0 p’v,” = 0 para i = 1, 2, 3 (5.4- 10) No existe, pues, correlación entre la fluctuación de presión en un punto y la fluctuación de velocidad en un punto contiguo. La correlación Rij Consideremos de nuevo el caso especial de que B’ y B” están ambos sobre el eje xt. Teniendo en cuenta la isotropía: v’~v”~ = v’r~“s = 0 ya que estas magnitudes cambiarían de signo al girar 180” alrededor del eje xt. ~‘~v”s = v’sv”z = 0 puesto que cambiarían de signo al reflejarse en eI plano ~1x3. Los demás componentes no nulos son funciones de r y t. Por consiguiente, se puede escribir RI1 I 9 =f(r, t) (5.4-11) I uj vt = g(r, 2) j = 2, 3 (5.4-12) Rn = 0 r21 Cuando B’ y B” están los dos sobre el eje XI, la matriz de R, ,. es de la forma siguiente : (5.4-13) Esta matriz puede seoararse en dos partes: IIRiill = (5.4-14) 5-18 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE hlOVIMIENT0 La expresión del tensor de segundo orden que se transforma en las Ecs. 5.4- 11, 12 para R11, R22 y R33, y da también Rii = 0 para i # j, es Ri, = g(r, 04, + Cfk, 0 - ge, Olf (5.NS) Puesto que esta expresión se transforma como un tensor de segundo orden, es la expresión general de Rii cuando B’ y B” están localizados arbitrariamente. Utilizando la ecuación de continuidad en B” (Ec. 5.4-6), se puede escribir (después de multiplicar por v’~) &$* v,‘vi” = 0 (5.4-16) Dividiendo por 3 y efectuando el ajuste de tiempo, se obtiene o bien I:3 -&=, fS1iYXifl, (5.447) (5.4-18) Substituyendo la Ec. 5.4-15 en esta última expresión se llega a que permite expresar la Ec. 5.4- 15 totalmente en función de f(r, t): Ri,= (f+;r;)dij+ (-;.r$)y (5.4-20) De esta forma, se han expresado todos los componentes R,, mediante la función escalar f(r, t), La correlacih Tip Consideremos una vez más el caso especial en el que B’ y B” están sobre el eje xt. Por razones de isotropia, análogas a las utilizadas anteriormente, se puede demostrart que existen en este caso siete componentes no nulos que pueden expresarse mediante tres funciones escalares: DISTRIBUCldN DE V ELO C I D A D 12 EN FLU JO TU R B U LEN TO 5-19 I T111 = 1 “cvt2;% = n(r, 1) (5.4-21) T122 (5.4-22) = TIS = Tzla = T,, = m(r, t) T221 = T221 = h(r, t) (5.4-23) De forma que cuando B’ y B” están ambos sobre el eje xl, la matriz de Tiii es de la forma siguiente : (5.4-24) Esta matriz puede dividirse en cuatro partes: (5.4-25) / n- h- 2m Todos los cubos que no están señalados son cero. Por lo tanto, una expresión adecuada del tensor de tercer orden, que reproduce la Ec. 5.4-25, es T = hd,, 5 + mbjk - + mgi, ‘9;+(n-h-2m)!i$h (5.4-26) r r Teniendo en cuenta que esta expresión se transforma como un tensor de tercer orden, representa la expresión geneial de Tijk cuando B’ y B” están localizados arbitrariamente. Aplicando la ecuación de continuidad, de forma análoga que en los dos casos precedentes, se llega a la conclusión de n = - 2h y m = - h - t r(dh/&), lo que permite expresar la Ec. 5.4-26 totalmente en función de h: íj k 5-20 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO (5.4-27) Vamos a deducir ahora una ecuación para R,,, a partir de la ecuacion de NavierStokes, para el caso de que 6 = 0. En el punto B’ el componente i de la ecuación de movimiento es (5.4-28) Al multiplicar esta ecuación por vR” y proceder al ajuste de tiempo (utilizando el hecho de que p,zlkll = 0), se obtiene, a2 =Y~j-t)tlvnn (5.4-29) ahj En este caso se ha utilizado la ecuación de continuidad Z$vj/axj = 0. Una multiplicación análoga por v’~ del componente k de’ la ecuacion de movimiento en B” y el ajuste de tiempo, conduce a TF_, a -*y~j-~ a2 q’ L at at, j K u’ vk Oi (5.4-30) Sumando estos dos resultados se obtiene a ãt v;zRik - (V,“)%Z:, $ (qjk + TkjJ = 2l’V;ãxj 5 R, ’ ’ (5.4-31) Esta ecuación de Rik contiene también la correlación de tercer orden Tiik. De igual forma, una ecuación de Tjik sólo puede expresarse en función de una correlación de cuarto orden, y así sucesivamente. Es decir, que resulta toda una «jerarquía» de ecuaciones para las funciones de correlación, y, por consíguiente, no es posible resolver con exactitud para hallar Iii,. Se efectúa ahora la operación de «contracción» en la Ec. 5.4-31 (tomando i = k y sumando sobre i): & (pxiRii) - z(V;e)%I;j $ZiK;:li = j 2yPI;j $XiRi< 9 (5.4-32) DISTRIBUCtdN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO 5 -2 1 De acuerdo con las Ecs. 5.4-20 y 21, las expresiones ZiRii y ZiT,.ji son, (5.4-33) (5.4-34) Estas expresiones se substituyen en la Ek. 5.4-32, [en la que Ci 8/aZi2 se ha reemplazado por su equivalente en coordenadas esféricas: ¿ P/W + (2/r) ó’/&-] con lo que, después de efectuar algunas simplificaciones, se obtiene: .(3+r~)~Pf+2~P))~ e+ a” ;)h-2t+ $+ ;;)f] =O. (5.4-35) rFig. 5.4-3. Descripción grhfica de la forma de las funciones f. g. h. La microescala de Taylor de turbulencia es la interseccibn sobre el eje r de una parabola que ajusta la curva g(r) para valores pequeños de r. La integración de esta ecuación indica que la expresión que esta entre corchetes es igual a C/r3, siendo C una constante de integración. Como [ 1, no se hace infinito cuando r + 0, C tiene que ser cero, y por lo tanto, se obtiene finalmente (5.436) 5-22 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO que es la ecuación de von Kdrmán-Howarth para la función de correlación de segundo orden f (r, t). Las medidas de f, h y v’2, realizadas con un anemómetro de alambre caliente, indican que esta ecuación se cumple dentro de los errores expelimentales.4 Basándose en esta concordancia entre la teoría y las medidas experimentales, algunos autoress justifican la utilización ,de la ecuación de Navier-Stokes como punto de partida para la descripción del flujo turbulento. En la Fig. 5.4-3 se indican las formas generales de las funciones f, g y h. La integral bajo la curvaf(r), es decir, oh9 dr, es una medida del tamaño de remolino, que se conoce con el I nombre de escala de turbulencia. Se ha dedicado una considerable atención al estudio de la Ec. 5.4-36 o su transformador de Fourie+* habiéndose obtenido varias soluciones límite que han contribuido al mejor conocimiento de la estructura de la turbulencia. Para una más amplia información, el lector debe acudir a los trabajos originales, así como a diversos libros dedicados al estudio de la turbulencia. 3*7*8*9 Ejemplo 5.4-1. Caída de tuMlen& detr%s de uoa rejilla Tómese r = 0 en la ecuación de von Kármán-Howarth y hállese una ecuación para la variación dea con el tiempo (es decir, la «caída» de la intensidad de turbulencia). Utilícese la expresión de Taylor para la microescala de turbulenciaa, con el fin de realizar una integración de la ecuacih de caída. Solución. Cuando r = 0, se tiene que f = 1 y h = 0. Puesto que f(r, t) es una función de prden par de r, Y (5.4-38) Por lo tanto, para r = 0, la Ec. 5.4-36 se hace d p - P = lovfo~;? s -1op dt P en la que se ha introducido la longitud 1, que se denomina «microescala de Taylor y cuyo significado geométrico se indica en la Fig. 5.4-3. (5.4-39) de turbulencia» 4R. W. STEWART, Proc. Camb. Phil. Soc., 47, 146-157 (1951). 5 A. A. T OWNSEND, op. cit., p. 35. 6T. VON KÁRMÁN y C. C. LIN, Advanced Appfied Mechanics, Academic Press, vol. II (1951). 7 G. K. BATCHEU>R, The Theory of Homogeneous Turbulence, Cambridge University Press (1953). *J. 0. WNZE, Turbulence, McGraw-Hill, Nueva York (1959). 9 L. LANDAU y JZ. M. LIFSHITZ, Fluid Mechanics, Addison-Wesley, Reading (1960), capítulo 3. DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO 5-23 Mediante la aplicación del anAlisis dimensional al estudio de los datos de la caída de turbulencia, Taylor* propuso &e A está relacionada con la separación M de las mallas de la red que produce la turbulencia, según la siguiente ecuación: 1 * M=A J a (5.4-40) en la que A es una constante. Substituyendo esta expresión eh la Ec. 5.4-39 y reemplazando d/dt por V(d/dx), donde V es la velocidad (uniforme) de tiempo ajustado del fluido,~ se obtiene (5.641) La integración de esta ecuación conduce a V 5 Cd = MAs z + constante (5.4-42) Este comportamiento se ha observado experimentalmente para la caída de la intensidad de turbulencia con la distancia, detrás de una rejilla, habi6ndose encontrado que A tiene un valor de 1,95 a 2,20. La idoneidad de la Ec. 5.4-42 lleva a la conclusi6n qúe la propuesta de Taylor de la Ec. 5.4-40 proporciona una útil información acerca de la relación existente entre el tamaño del remolino y el espaciado de malla. CUESTIONJXS PARA DISCUTIR 1. ¿Por que no puede utilizarse la Ec. 5.1-3 para hallar la fuerm resistente que actsla sobre la pared el tubo, evaluando el gradiente de velocidad en la pared? 2. Definir la presión instantánea, la presión de tiempÓ ajustado y la fluctuacic)n de presi6n. 3. Discútase el significado íkico de las curvas de la Fig. 5.1-5 en función de los tkrminos [v - W] y [v - W)J de la Ec. 5.2-8. 4. i Qu6 relación existe entre el tensor Rij de 5 5.4 y los esfuerzos de Reynolds de $3 5.2? 5. ¿La transición de movimiento laminar-turbulento tiene siempre lugar para el valor del número de Reynolds Re = 2,l x 103? 6. Comparar el flujo laminar y turbulento en un tubo por lo que respecta a (a) el perftl de velocidad, (b) la reiación de velocidad media a veIocidad máxima. (c) variación de velocidad de flujo con la caida de presión. 7. Resumir todas las suposiciones que conducen a la EL 5.3 - 12 (corrientemente denominada «perfil universal de velocidad»). 8. Deducir la Ec. 5.3-16 por los dos métodos que se sugieren en el libro. 9. ~Por qué es de esperar que la función J de von KdnnAn-Howarth sea cero para valores grandes de r? 10. La turbulencia para el flujo en un tubo, ies homog&a o isotr6pica? (Utilícense las Figs. 5.1-4 y 5, y las definiciones de $ 5.4.) ll. Resumir las suposiciones inherentes a la ecuacan de von Kánnbn-Howarth. 12. Explicar c6mo ha desaparecido el signo del valor absoluto al pasar de la Ec. 5.3-2 a la Ec. 5.3-5. 5-24 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO PROBLEMAS 5.Al Caida de presión necmaria para la transici611 de flujo hunhuu II turbnlento Un fluido de viscosidad 18,3 cp y densidad 1.32 g cm-3 circula por un tubo horizontal de ll mm de diámetro. iPara que gradiente de presión (expresado en atm/m) comenzati el flujo a ser turbulento ? Respuesta: 414 atm/m. 5.BI Distribucb5n de velocidad para el Bnjo tnrbakto en mm tabesfa Por una tubería larga, recta, horizontal y lisa, de 15 cm de dkknetro interno, circula agua. a 20” C. El gradiente de presión a lo largo de la tubería es 0,040 atm/km. a. Hallar el esfuerzo cortante de pared ao, expresado en atm. . b. Suponiendo que el flujo es turbulento, determinar las distancias radiales medidas desde la pared de la tubería, para las cuales ã/Gmax = 0,O. OJ, 0,2, 0,4, 0,7, 0,85 y 1,O. Utilizar la Fig. 5.3-1 para los cAlculos. c. Representar el perfil completo de velocidad, Yfimex frente a s = R - r. d. -iEsta justificada la suposici6n de flujo turbulento? e. iCuAl es la velocidad volum&rica de flujo? 5.C2 Velocidad media de jhjo para el flujo turbuhto en un tubo Para el flujo turbulento en un tubo circular liso resulta a veces conveniente emplear la función ajustada mediante una curva:1 (w-l) siendo los valores de n, para ntkneros de Reynolds del orden que se mdican, los siguientes: Re = 4 x 103, n = 6; Re = 1,l x 105, n = 7; y Re = 3,2 x 106, n = 10. Demostrar que la re= lación de la velocidad media a la nnixima es m 2n’ r = (n + 1K2n + 1) V.,,íX (Sc-2) y comprobar el resultado de la Ec. 5.1-4. 6. Obtener la relación de la velocidad media a la m&xima mediante la integraciõn de la Ec. 5.3 - 12 extendida a toda la sección del tubo (es decir, que se desprecia el error que se comete por no tener en cuenta la subcapa laminar). LEn que se diferencia la forma de este resultado del obtenido en el apartado (a)? 5.4 Distribucih de velocidad ea no canal rW Un fluido circula en la dirección z por un canal rectangular de semiespesor h (en la direcci6n y) con flujo turbulento totalmente desarrollado. Se supone que el canal es muy ancho en la dirección x, de forma que ò, = 8. (r). 1 H. SCHLICHTINO, Grensschichttheorie, Braun, Karlsruhe (1951), pp. 364-366. DISTRIBUCION 5-25 DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO a. Demostrar que la ecuación que describe el núcleo turbulento de acuerdo con la hipótesis de semejanza de von Kárman, es @d&Y TV-Y = pK*‘h mwY3’ (5.D-1) O<y<h siendo ro el esfuerzo cortante de pared, e y la distancia medida desde el plano medio del canal. 6. Integrar la Ec. 5.D-1 para demostrar que la distrrbución de velocidad está dada por b,m,x - v. v* =-i[ln(l-di)+/3 OCy<h (S.D-2) en la que v* = qp. (Nora: Al efectuar la integracibn ha de utilizarse la condición limite ficticia de que dü./dy = - m para y = h. Expliquase.) c. iEs plano el perfil de velocidad V,(y) en el centro del canal (y = O)? SE3 Per6l turbulento de velocidad en un tubo @létodo de Pai)z En 6 5.3 se ha demostrado que puede obtenerse alguna información acerca de la distribución de velocidad de tiempo ajustado, utilizando relaciones empíricas entre la densidad de flujo turbulento de cantidad.de movimiento y el gradiente de velocidad de tiempo ajustado. Otro camino consiste en suponer una relacibn entre la densidad de flujo turbulento de cantidad de movimiento y la distancia. Esta suposición conduce generalmente a integraciones mucho mas sencillas. Considérese, como ejemplo, el flujo en un tubo circular. a. Demostrar que, para el flujo turbulento en un tubo, las ecuaciones de movimiento de tiempo ajustado se reducen a (5.E-1) (5.E2) b. Justificar el postulado de que 2, ii:‘, ü,,y 7):’ son funciones de r (pero no de 0 y z). Demostrar que esto lleva al resultado -@/gz = A, una constante. c. Introducir los siguientes números adimensionales: (5.E-3,4,5,6) siendo v+ = dq,/p, y r,-, el esfuerzo cortante de pared. Demostrar que la Ec. 5.E-2 puede, por consiguiente, expresarse así: (5.E-7) siendo B una constante que está relacionada con A en una forma sencilla. Demostrar que integrando una vez esta ecuación se obtiene 2 S. 1. PAI, Viscous Flow Theory, vol. II, Van Nostrand, Princeton (1957), pp. 41-44. 5-26 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO (XE-8) su d. Determinar las constantes B y C utilizando las siguientes condiciones límites (explíquese significado físico): Para 6 = 0: t = finito, d$/de = finito (S.E-9) Para E = 1: t = 0, d#/d[ = Re, (XE- 10) y demostrar que la Fc. XE-8 se hace finalmente (5.E11) e. La Fc. 5.E- ll puede integrarse si se expresa z en función de [. Teniendo en cuenta la Fig. 5.1-5 se puede sugerir la siguiente función: 7 = (1 - l )(f- P-l) (5.E12) siendo E <<< 1 y n un número entero positivo muy grande. iPor que es istzi una elección satisfactoria? Demostrar que la Ec. S.E-12 conduce a la siguiente distribucibn de velocidad: ( S E-13) que cumple las condiciones límite en la pared. $ Demostrar que la velocidad media es Q.> -= ü*,mh eJ - lk + 21 z(ll + lX(n - l)(E + ll (5.E-14) Las constantes n y l con funciones del número de Reynolds. Pai encontró que E = 0,0161 y n = 33 para un número de Reynolds icé,,,,& Rp/,u = 25 000 e indicó que se obtiene un buen ajuste de los datos experimentales aun cerca de la pared. 5.F3 D istribución turbulenta de velocidad en un anillo3 Las medidas experimentales de perfile&s sugieren que A (vease Fig. 5.F) para el flujo turbulento (por lo menos a elevados números d e Reynolds) vale aproximadamente lo mismo que Á para el flujo laminar. Se admite, por consiguiente, que para flujo turbulento 1= I-K J 2 In (l/u) (5.F-1) 3 D. M. M ETER y R. B. BIRD , A. 1. Ck E. Journal, 7, 41-45 (196 1). 4 J. G. KNUDSEN y D. L. KATZ, Fluid Dynanlics and Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York (1958). 5 R. R. ROTHFUS, tesis doctoral, Cárnegie Institute of Technology (1948); J. E. W ALKER, tesis docroraf, Carnegie Institute of Technology (1957); G. A. W HAN , tesisdoctoral, Carnegie Institute of Technology (1956). DISTRIBUCIóN DE V ELO C I D A D EN FLU JO TU R B U LEN TO 5- 27 (Véase Ec. 2.4-11.) Demostrar, siguiendo la deducción del ejemplo 5.3-1, que la distribución de velocidad en el anillo, para el mismo grado de aproximación, es, v.,mex 1 - -- K, - v. ; P J A’ - J - Ic= K In (’ - K)R - r< A r - KR r>R (S.F-2) (S.F-3) siendo ro = App(R/2~), (Ap = caída de presión, L = longitud del anillo). Superficie de densidad de Rujo de cantidad de movimiento cero Verdadero perfil Perfil que predice la longitud de mezcla roui? Fig. 5.F. 5.G3 Otra deduccih r=XR r=R Perfil turbulento de velocidad en un anillo. de la ecuación de decaimiento de Taylor Originalmente Taylore dedujo la Ec. 5.4-39 por un camino distinto del expuesto en el ejemplo 5.4-1. Aquí se presenta otra version de la deducción de Taylor, debida a von Kárman y Howarth: a. Demostrar primeramente que (S.G-1) 6. Derivar esta expresibn con respecto a xj” para obtener a av,’ - a=RI, av,# av, -L 0; I mV’* ax: az; c. Demostrar, a partir de (b), ax; axi aè, aé, que cuando J3’ y B” coinciden av,' av, T* a'&l --I-v axi' ax, ( ah atf1 E,-~,-E,,-~ 6Ci. 1. TAYLOR, Proc. Roy (5.G-2) Soc. (London), AM, 421-512 (1935). (5.G-3) ‘., 5-28 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO d . Demostrar que, igualando la disminución de energia cinética detrás de una rejilla con la «pérdida» de energía mecánica por disipación viscosa, para turbulencia isotrópica homogénea, se obtiene (5.G-4) e. Utilizar el. resultado del apartado (c) y la expresión de Rkr en función de f para evaluar Ias derivadas del apartado (d) y obtener la Ec. 5.4-39. 5.H3 Distribución de velocidad en un chorro turbulento plano El flujo turbulento sin existencia de una superficie que lo limita se denomina «turbulencia libre». Uno de los problemas más sencillos de flujo de cizalla en turbulencia libre es el del flujo en un chorro plano. (Véase Fig. 5.H.) Fig. 5.H. Chorro turbulento plano. La primera descripción de este sistema se basa en la teoría de longitud de mezcla de Prandtl,7 en la que Z se considera proporcional a x. En este problema se emplea una teoría algo más sencilla, basada en la utilización de la viscosidad de remolino.s.9 a. Demostrar que la siguiente forma de los componentes de la velocidad está de acuerdo con la ecuación de continuidad: üz,/ v = x - ‘I”F’(r)) (S.H-1) ü”/ v = [ - tx - w=(q) + qx - ‘AF’(q)]a-l 7 W . TOLI.MII~X, 8 H. GORTLER, 2. angew. Mnth. Mech., 6,468-478 ( 1 9 2 6 ) . (S.H-2) Z .rrfrgew. Muth. Mech., 2 2 , 2 4 4 - 2 5 4 (1942). 9 H . SCHI.ICIITIS~, B~urd:rr.v Luyer Theory, McGraw-HiH, Nueva York (1955), capitulo 23, 5 5 . DISTRIBUCIóN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO 5-29 en la que q .= a(y/x), siendo u una constante arbitraria y V una velocidad caracterí$ica, t o d a v í a no especificada. b. Demostrar que la Ec. 5.H-1 lleva a la conclusión de que la velocidad de flujo de la cantidad de movimiento x a travks de un plano (tal como «l» o «2») no varía con x. c. Demostrar que la ecuación de movimiento de tiempo ajustado, tomando v(l) = p@)/p proporcional a x’/a (es decir, Y (6 = kx’lr), es (5.H-3) d. Demostrar que, de acuerdo con el apartado (o), la Ec. 5.H-3 resulta +(F’j’ + )FFI + ka’F* = 0 (5.H-4) Puesto que intervienen en un producto dos constantes arbitrarias k y u, se puede tomar arbitrariaka2 mente que 7 sea igual a ), de forma que la Ec. S.H-4 se reduce a ;-$FF’)+;-$F’)-o (S.H-5) e. Demostrar que esta ecuaci6n puede integrarse tres veces para obtener (5.Hd) jl Si J se define como (S.H-7) demostrar que üs -_ 4;- Ja -+ (1 - tanhs q) 2 J - (S.H-8) Si se toma para a el valor 7,67, este resultado conduce a un ajuste de datos bastante bueno para valores de r7 hasta aproximadamente 1,5. Por encima de fl = 1.5 los valores de ¿& que se obtienen son demasiado altos. CAPITULO 6 TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTÉRMICOS En, los capítulos precedentes se ha visto cómo se pueden plantear y, resolver problemas dk flujo laminar, y se ha indicado qbe, la solución de problemas de flujo turbulento depende de la utilización de relaciones empíricas entre la densidad’ de flujo de cahtidad de movimiento y los gradientes de veloci@,,de tiempo a;lustado, Hasta aquí .se hap considerado siempre sikemas de geometría relativamente sencilla, ya que los problemas geomktricamente complejos requieren un tral$jo considerable para su solución, siendo preciso generalmente utilizar máquinas calculadoras de gran rapidez. De todas formas, la detertiinación rigurosa de perfiles de velocidad para una columna de relleno por procedimientos analíticos o numérico: cae completamente fuera del tema. Muchos problemas ingenieriles de flujo pertenecen a uno de estos dos grandes grupos: flujo en conductos y flujo alrededor de objetos sumergidos. Ejemplos de fluj& en conductos soti el bombeo de pe.tr&w por tuberías, flujo de agua en canales abiertos, extrusión de plásticos y flujo de un fluido a través de un filtro. Ejemplos de flujo alrededor de objetos sumergidos son el movimiento de aire alrededor de las alas de un avión, movimiento de fluidos alrededor de partlculas en sedimentación y flujo a través de una bancada de tubos en un cambiador de calor. En los problemas de flujo en conducciones se trata generalmente de obtener la relación existente entre la caída de presión y la velocidad volumétrica de flujo. En los problemas de flujo alrededor de objetos sumergidos, lo que frecu?ntemente se desea conocer es la relación entre la velocidad de aproximación del fluido y la fuerza resistente. En los capítulos precedentes se ha visto que si se conocen las distribuciones de velocidad y presicín en el sistema, se pueden hallar las relaciones que se desean en ambos casos. (Como ejemplo de los dos grupos que se consideran aqul, véanse las discusiones de $6 2.3 y 2.6.) Debido a que para muchos sistemas que presentan gran interés en ingeniería no es posible calcular los perfiles de velocidad y presión, hay que recurrir a otros mCtodos para hallar la caída de presión en función del caudal y la fuerza resistente en función de la velkidad. Para ello, se utilizan algunos datos experimentales de estas variables Con el fin de construir gráficas o «correlaciones» que permiten estimar el comportamiento de flujo de sistemas geomdtricamente semejantes. Para el esta- 6-2 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO blecimiento de estas «correlaciones» resulta h5gico y conveniente emplear variables adimensionales y tener en cuenta la discusión que se ha presentado en 9 3.7. Este capítulo está dedicado a la obtención y uso de las gtificas del «factor de friccidn». La discusión que sigue deberá de considerarse como una introducción al tema, pudiendo encontrar, si se desea, mucha más informacidn en los manuales de ingeniería química, mecWca y civil. Las gráficas del factor de fricción se ,utilizan para resolver muchos problemas de gran importancia pr&tica, y es muy conve; niente que $I,estudiante aprenda bien esta cuestidn. 8 6.1 DEFINICI6N DE FACTORES DE FRICCIt)N r ,+ Vamos a considerar el flujo estacionario de un fluido de p constante en cada uno de estos dos sistemas: (a) el Auido circula por una c&.tdúcci&í recta de secci&n uniforme; (b) el fluido circula alrededor de un objeto sumergido-qué tiene un’ eje o un plano de simetría paralelå a la velocidad de aprkimacidn del fluido. Rl fluido ejercerá sobre las superfiti~?s6lidas una fuerk F, que puede, desdoblarse en’dos: F,, la fuerza que ejercería el ,kido aunque entuviese en reposo, y .Fk,’ 18 fuerza adicional relacionada con el comportamiento cinetico del’ fluido (paira una mas, amplia discusión de esta notación, véase $2:6). ‘En los sistemas de,tipo (a), Fk tiene la misma direcci6n que la velocidad media {o) ‘en la conducción,’ y en los sistemas de tipo (b), Fk es de la misma dirección ‘que la velocidad de aproximacidn “ti,. El valor de la fuerza Fk puede expresarse arbitrariamente para ambos sistemas, como el producto de un área característica A, una energía $n&íca característica por unidad de volumen K y un número adimensional f, denominado factor de fric6’ cidn: F, = AKf (6.1-1) Observese que la Ec. 6.1- 1 no es una ley de mecánica de fluidos sino una definición defi es evidente, que para un determinado sistema de flujo f no está definido mientras no se especifiquen A y K. Esta definición resulta útil porque el número adimensional .f .puede expresarse mediante una función relativamente sencilla del número de Reynolds y la forma del sistema. Antes de presentar estas correlaciones adimensionales de f, vamos a dar algunas relaciones para ver cómo puede obtenerse f, para dos sistemas específicos, a partir de datos experimentales. Para elfluio en conducciones, generalmente se toma para A la superficie mojada y para K la magnitud 4 p Q$. Para tubos circulares de radio R y longitud L, f está definido por Fk = ( 2+4 X i p( &f (6.1-2) Generalmente, la magnitud que se mide no es F& sino la caída de presión po - pí y la ‘diferencia de altura he - h,. Aplicando un balance de fuerza al fluido entre O’y L en la dirección de flujo, cuando este está totalmente desarrollado, se obtiene TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTÉRMICOS 6-3 (6.1-3) Eliminando FA entre las Ecs. 6.1-2 y 6.1-3 (para D = 2 R), se obtiene (6.1-4) Esta ecuación muestra explícitamente cómo se calculafa partir de datos experimentales. El factor f se denomina a veces factor de fricción de I;anning.l Para el pujo alrededor de objetos sumergidos, se toma generalmente, como área característica A, el área que se obtiene al proyectar el sólkló en un plano perpendicular a la’velocidad de aproximación del fluido; y K se toma como 4 pvw2, siendo v, la velocidad con que se aproxima el fluido al objeto, medida a una gran distancia de este. Por ejemplo, para el flujo alrededor de esferas de radio R, f se define por (6.14) Fk = (~R2)(B~~,2U Generalmente, la magnitud que se mide no es FA, sino la velocidad límite del objeto cuando cae en el fluido (esta velocidad límite es por lo tanto v,). Para la caída en estado estacionario de una esfera en el seno de un fluido, la fuerza Fk se equilibra exactamente mediante la fuerza de gravitación que actúa sobre la esfera menos la fuerza de flotación (cf. Ec. 2.6-11): Fk = +mR3p erf g - +rR3pg (6.1-6) Eliminando Fk entre las Ecs. 6.1-5 y 6.1-6, se obtiene (6.1-7) Esta expresión puede utilizarse para calcular f a partir de datos experimentales de velocidad límite. El coeficiente de fricción definido en las Ecs. 6.1-5 y 7 se denomina a veces coeficiente de resistencia y se representa por el símbolo cc. Vemos que los coeficientes de resistencia para objetos sumergidos, y los factores de fricción para el flujo en conducciones, se definen de la misma forma; por lo tanto, es preferible utilizar un solo símbolo y un solo nombre para designar ambos. $- 6.2 FACTORES DE FRICCI6N PARA EL FLUJO EN TUBOS Vamos a combinar ahora la definición de f de la Ec. 6.1-2 con el análisis dimensional de 0 3.7, con el fin de ver de qué variables depende f. Consideramos 1 La definición de f varía de unos libros a otros y por consiguiente hay que tener mucho cuidado al utilizar f6rmulas y tablas en las que intervengan factores de fricc6n. 6-4 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO como sistema una longitud L de tubería lisa horizontal, tal como se indica en la Fig. 6.2- 1. La discusión se limita al flujo estacionario1 de un fluido de p y ,u constantes, que circula con una velocidad media CV>. Se supone que se conoce la presión Fig. 6.2-1. Sección de una tubería para el’ tratatiiento de análisis dimensional. ~1 5 p. para r = 0 y z = 0, así como también la distribución de velocidad en el plano z = 0. Para z < 0, es evidente que la dístribución de velocidad depende de la naturaleza del sistema de flujo. Si esta parte de la tubería es muy larga, v, para z = 0, corresponderá al perfil de velocidad totalmente desarrollado y será independiente de z para z > 0. Si la porción de tubería correspondiente a z < 0 es muy corta, o no existe, v, dependerá de z para z > 0. La fuerza del fluido sobre la pared interna de la tubería, tanto para flujo laminar como turbulento, viene dada por (6.2-1) Igualando las Ecs. 6.2-1 y 6.1-2 se obtiene la siguiente expresión para el factor de fricción : (6.2-2) Se introducen ahora las magnitudes adimensionales de la sección $3.7: v,* = v~/<v>, 1 En el tratamiento que sigue se considera que la presión y la velocidad son de tiempo ajustado. Para abreviar se han suprimido los trazos colocados sobre,las variables (vtkse 45.1). TR A N SP O R TE D E I N TER FA SE EN SI STEM A S r* = ISOTÉRMICOS 6- s y Re = Da>&. Por tanto, la Ec. 6.2-2 puede r/D, p* = (p - pg)/p<v9, escribirse (6.2-3). Esta relación es válida para flujo laminar o turbulento en tubos circulares. Resulta, por tanto, que para sistemas de flujo en los que la resistencia depende exclusivamente de fuerzas viscosas (sin resistencia &e forma) el producto fRe es esencialmente un gradiente adimensional de veloci&ad promediado sobre la superficie. Recordemos ahora que en principio (dz;~/c%*) puede calcularse a partir de las Ecs. 3.7-12 y 13 juntamente con las condiciones límite para r* = 1/2 v* = 0 para z* = 0 v* = una función conocida ’ de r* y 8 & 0 para z* = 0 (6.2- 4) .‘, e , (6.2- 5) (6.216) Si se resolviesen las Ecs. 3.7-12 y i3, con estas condiciones límite, para obtener y v*, las soluciones serían necesariamente de la forma2 p* V* = v*(r*, 8, 9; Re) P * = p*(r*, 8, z*; Re) ‘ (6.2- 7) ,(6.2-8) 0 sea que la dependencia funcional incluirá todas las variables reducidas y el único grupo adimensional que aparece en las ecuaciones diferenciales. No se introduce ningún grupo adimensional debido a las anteriores condiciones límite. En consecuencia, dv*/dr* dependerá solamente de r *, 6, z*, y Re. Cuando se evalúa el gradiente para +* = 1/2 y se integra sobre z* y 8, el resultado depende solamente de Re y L/D (que aparece en el límite superior al integrar sobre z*). Por consiguiente, se llega a la conclusión de que f=f(% LIDI (6.2-9) Es decir, que el factor de fricción depende solamente del número de Reynolds y de la relación longitud a diámetro.3 Si en el plano z = 0 el perfil de velocidad está totalmente desarrollado, dv*/dr* es independiente de z*. Efectuando la integración sobre z* en la Ec. 6.2-3 se obtiene 2 Como en esta discusión ie considera el flujo de un.fluido de p constante en una tubería totalmente llena (es decir, sin superficie libre), la gravedad no influye sobre la distribucih de velocidad adimensional. Por consiguiente, en este caso no es preciso tener en cuenta el número de Froude, Fr. 3 Se puede obtener el mismo resultado sin utilizar ninguna ecuación diferencial, con tal de considerar una serie de variables que sean suficientes para especificar la situacih física. De acuerdo con el «teorema de pi, de Buckingham», la relacidn funcional existente entre q magnitudes, cuy as 6-6 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO LID; este factor se elimina con el factor D/L que aparece delante de la integral. Por consiguiente, en este caso, f es independiente de LID, y f=f (Re) (6.2-10) Si el perfil de velocidad no está totalmente desarrollado en el plano z = 0, pero la longitud de entrada es muy pequeña con relación a L, la integral sobre z* será muy aproximadamente igual a LID; y la Ec. 6.2-10 constituye una buena aproximación. Se llega por lo tanto a la conclusión de que la Ec. 6.2-10 es válida cuando (a) el perfil de velocidad está totalmente desarrollado o cuando (b) LID > 1. Las Ecs. 6.2-9 y 10 son resultados útiles que sirven de guía para la presentación sistemática de datos de velocidad volumétrica de flujo frente a la caída de presión, para el flujo laminar y turbulento en tubos circulares. Es decir, que para tubos largos sólo es preciso representar una. única curva de f frente a la combinación D<wp{~. Pitnsese que esto es mucho más sencillo que representar separadamente la pérdida de presión frente a la velocidad volumétrica de flujo para valores separados de D, p y p, que es lo que haría el no iniciado. Existe una amplia informacion experimental acerca de la pérdida de presión con la velocidad media (o velocidad volumétrica de flujo) y por consiguiente se puede calcular f a partir de datos experimentales mediante la Ec. 6.1-4. Representando f frente a Re para tubos lisos se obtienen las curvas de trazado’ continuo que se indican en la Fig. 6.2-2. Estas curvas reflejan el comportamiento laminar y turbulento para el flujo de fluidos en tubos circulares, largos y lisos., Obsérvese que la curva laminar de la gráfica del factor de fricción no es más que una representación gráfica de la ley de Ifagen-Poiseuille correspondiente a la Ec. 2.3-18. Esto puede verse substituyendo una de las tv) del denominador de la Ec. 6.1-4 por la expresión de CV> de la Rc. 2.3-18. De esta forma, se obtiene para el flujo laminar en tubos largos Re < 2,l x 103 Re > 2,l x lo3 estable generalmente inestable (6.2-11) unidades pueden expresarse en funcidn de u unidades fundamentales, viene dada en función de q - u grupos adimensionales (los grupos n). Si se desea obtener la forma funcional que relaciona p. - pL, p, <v>, CL, D, y L, tendremos p. - pL [=] ml-lt-a (Ll) [=] Ir-1 D[=]l p[=]ml-3 p [=] ml-9-1 L[=]l Por lo tanto, 4 = 6 y u = 3. Como grupos adimensionales independientes se pueden elegir los tres siguientes DWp P llI, = - La elección de estos grupos es arbitraria. Cualquiera de ellos puede substituirse por el producto Turb +a nto I I -Y--S, 0,002 0,001. 102 103 -----__ -%Q I 024 /s\ \ \, 10’ Núm e ro d e Ra yno ldr Re = AID 3: Oeo, ---I-------.--m- - - - - - - 105 D<v>p/~ 106 1 10’ Pi. 6.2-2. Factores de fricci6n para el flujo en tubos (vbase la deílnicibn de f en las Ees. 6.1-2 y 6.1-3). [Curvas de L. F. Moody, Trans. ASME, 66,671 (1944) presentadas por W. L. McCabe. y J. G. Smith, en Unit Opemtions of hmical Engineering, McGraw-Hill, Nueva York (1956)]. 6-8 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO siendo Re = D<v>p/p; esta ecuación corresponde exactamente a la línea laminar de la Fig. 6.2-2. La curva análoga para flujo turbulento de la gráfica del factor de fricción, se ha obtenido a partir de datos experihentales. También se puede calcular la curva de f frente a Re a partir de alguna de las distribuciones de velocidad en flujo turbulento que se han dado en el Capítulo 5; este tema ha sido tratado ampliamente por Schlichting.4 Aquí consideraremos solamente la distribución turbulenta de velocidad más sencilla, es dekir, la ley de la potencia (1/7): (6.2-12) R - r. El lector puede comprobar enlaque~*=~/te/p=r/(p~-pt)R/2Lpys= que la velocidad media es 2 = (0,817)(8,56)~~~ (6.2-13) Forzando la Ec. 6.2-13 a que adquiera la forma de la Ec. 6.1-4, se obtiene para el flujo turbulento en un tubo o bien f = 2($ = ((8 56)‘;,817J(+p)-X > f _ w791 Re” (6.2-14) 2,1 x 103 < Re < lo5 Esta ecuación, conocida como fórmula de Blasius, es satisfactoria para valores del número de Reynolds hasta 10s y resulta útil para estimaciones. Utilizando expresiones más exactas para la distribución de velocidad pueden obtenerse relaciones algo más exactas entre f y Re. (Véase problema 6. J.) Para la mayor parte de los cálculos ingenieriles en los que interviene flujo turbulento deberá de utilizarse simplemente la gráfica de la Fig. 6.2-2, puesto que en ella se resumen los datos experimentales en tubos. Si los tubos circulares son rugosos, se necesita en la región turbulenta una caída de de uno de ellos (elevado a una potencia cualquiera) por cualquiera de los otros elevado a cualquier potencia. dl teorema de n nos indica que la relación general debe ser de la forma mL~*, w = 0 0 K = GW,, Iu El teorema de pi tiene el inconveniente de que no selecciona las variables ni determina su importancia relativa; por esta razón, es preferible utilizar la técnica que se sigue en este libro. Para una mayor información sobre el teorema de pi, vtase W. H. MCADAMS, Heat Transmission, McGrawHill, Nueva York (1954), tercera edición, capítulo ‘5. 4 H. SCHLICHTING, Boundary Layer Theory, McGraw-Hill, Nueva York (1953, capítulo XX. TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOT&RMICOS 6-9 presión más,elevada, para una determinada velocidad de flujo, que la que indica la línea de trazo continuo de la Fig. 6.2-2. Si se representa por k la altura de las protuberancias, es de esperar que en la correlación intervenga la «rugosidad relativa» k/D. Las líneas de puntos corresponden a las curvas de f frente al Re para distintos valores de k/D. Obsérvese que la rugosidad tiende a hacerse aproximadamente constante a elevados números de Reynolds. El parámetro k/D no es suficiente para definir la forma y distribución de la rugosidad. Si los tubos no son circulares se puede utilizar un «radio hidráulico medio» empírico, definido por Rh = SlZ (6.2-16) siendo S la sección de la corriente y Z el perímetro mojado. Para eljI@ turbulento, puede utilizarse como aproximación la Ec. 6.1-4 y la Fig. 6.2-2, substituyendo el diámetro D del tubo circular por 4R,. Es decir, que se calcula la pérdida de presión mediante la fórmula (6.2-17) y se obtiene f a partir de la Fig. 6.2-2, utilizando el número de Reynolds definido por Re,, = ~&,WP P (6.2-18) Este empirismo no es recomendable para el flujo laminar. (Véase problema 6.L.) Ejemplo 6.2-1. Diferencia de presih necesaria para mm deternhada velocidad de flujo ¿ Qué gradiente de presión se requiere para lograr que laN,N-dietilanilina(C,HsN(C2H,)~ circule por un tubo circutar, horizontal, liso, de 3 cm diámetro interno, con una veloci- dad volumétrica Q = 1,l litros/seg a 20” C? A esta temperatura la densidad de la dietilanilina es p =0,935 g cm-s y su viscosidad p = 1,95 cp (o 1,95 x IOT2 g cm-t seg-*). Solución. Se calcula en primer lugar el número de Reynolds para el flujo DW P DQp Re=--- ~QP p ~(3 cm)(1,95 x lO-‘g cm-‘se&) p 2 24 x 1. ’ (6.249) En la Fig. 6.2-2 se encuentra que para este número de Reynolds el valor de f para tubos lisos es 0,0063. Por consiguiente, el gradiente de presión necesario para mantener el flujo, de acuerdo con la Fc. 6.1-4, es 6-10 TR A N SP O R TE D E C A N TID A D D E M O V IM IEN TO Po -PL L 4 1 =-.D 4Qs 2’ ( x9) f _ WQsf GD5 = (32)(0,935)(1100)*(0,0063) 4(3,OP = 95 (dinas cm-*)/cm = 0,071 (mm Hg)]cm ( 6. 2-20) Ejemplo 6.2-2. Velocidad de ‘flujo paca una determinada diferencia de preshh Determinar la velocidad de flujo, en kg por hora, de agua a 20” C, a través de una tubería horizontal de acero, schedule 40, de 8 pulgadas (diámetro interno 20.27 cm) y 305 m de longitud, bajo una diferencia de presión de 0,21 kg cme2. Utilícese la Fig 6.2-2, y supóngase que k/D = 2,3 x 10e4. Solución. Puesto que se conoce p0 - pL, se puede utilizar la Ec. 6.1-4 y la Fig. 6.2-2 para hallar <v>. Sin embargo, la variable <u> interviene de forma explícita en el primer miembro de la ecuación e implícitamente en el segundo en f (que depende de Re = = D<v>p/,u). Es evidente que la solución ha de hallarse por tanteo. No obstante, si liay que calcular varios valores de <II>, es preferible utilizar un método mas sistemático. Aquí se sugieren dos metodos. Como los datos experimentales se presentan con frecuencia en forma gráfica, es conveniente que el estudiante de ingeniería se acostumbre a desarrollar métodos especiales, tales como los que se desdiben aquí. Método A. Puede utilizarse la Fig. 6.2-2 para construir una representación gráficas de Re frente al número Re r/f que no contiene XV>: (6.2-21) El término de Re vyse puede calcular, y el número de Reynolds se puede leer en el gráfico de Re frente a Re v?. La velocidad media y la velocidad de flujo pueden calcularse a partir del valor de Re. Método B. Puede utilizarse directamente la Fig. 6.2-2 sin ninguna otra representación, mediante un procedimiento que es equivalente a la resolución gráfica de dos ecuaciones simultáneas. Las dos ecuaciones son f=f(Re, k/ D) curva representada en la Fig. 6.2-2 /= (Re Vj’>’ una linea recta de pendiente -2 en una representación log-log Re2 (6.2-22) (6.2-23) ‘s Una representación gr&fica anríloga ha sido propuesta por T. V ON KARMÁN, Nachr. Ges. ejemplo, W. L. MCCABE y J. C. SMITH, Nueva York (1956), p. 72. W iss. Göttingen, Fachgruppen, I,5, 58-76 (1930); vease por Utdt Operations of Chemical Engineering, McGraw-Hill, TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTÉRMICOS 6-11 El procedimiento consiste en calcular Re r/r mediante la Ec. 6.2-21 (para lo cual no es preciso conocer w>) y representar la Ec. 6.2-23 en la gráfica de log f frente a log Re de la Fig. 6.2-2. El punto de intersección nos da el número de Reynolds del flujo, a partir del cual se puede calcular <‘II>. Para el problema que estamos considerando, tendremos p. - pL = 0,21 (kg, cmm2) 9,81(kg, m kg-l sege2)1@ = 2,06.104 (kg,, m-l seg-2) D = 0,2027 m L = 305 m p = 998 kg,n m-3 p = 1,03 (cp) = 1,03.10-3 (kg,,, m-* seg- l) cm2 mm2 Según las Ec. 6.2-21 (PO -PL)D = (0,2027)(998) (1,03.10-3) 2 LP = 1,63. 104, adimensional ReJf=% (2,06.104)(0,2027) 2(305)(998) (6.2-24) La línea de la Ec. 6.2 -23 para este valor de Re 47 pasa por f = 1,0 para Re = 1,63 x 104 y por f = 0,Ol para Re = 1,63 x lOs. La intersección de la línea recta que pasa por estos dos puntos con la curva de la Ec. 6.2-22 para k/D = 0,00023 corresponde a la solución de las dos ecuaciones simultáneas: D(v)p Re = - = 2,4 x 106 P La velocidad de flujo de masa para tubos circulares es p CV> z D2/4; por lo tanto, la Ec. 6.2-25 queda así Re = 2 = 2p x 105 mDP (6.2-26) Despejando w se obtiene w= iDAaRe = 0,7854 x 0,2027 x 1,03 x 1O-3 x 3600 x 2,4 x lOs = 1,42 x lo5 kg,, hr-* (6.2-27) $ 6.3 FACTORES DE FRICCIÓN PARA EL FLUJO ALREDEDOR DE ESFERAS En esta sección se utiliza la definición de f de la Ec. 6.1-5, juntamente con el análisis dimensional de $ 3.7, con el fin de determinar la dependencia de f. Nuevamente se limita el estudio a fluidos de p constante; el sistema coordenado que se utiliza es el mismo de 4 2.6. 6-12 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO La contribución de Fk a la fuerza que actúa sobre una esfera en un fluido que circula en la dirección + z, es la fuerza total F = F,, + Ft menos la fuerza F,: = Fresistencia de forma siendo SS F, = o F, = 21 2s . f ((6.fl) Fresistcncia sen 8 de d+ o {- PIFB cos 6}R2 (6.3-2) I o o {-(p, - pgz)IrzR cos B}R’sen 8 df.9 d# S S (6.3-3) Aquí p,, es la presión en el plano z = 0, que pasa por el ecuador de la esfera. Si se desdobla ahora f en dos contribuciones análogas a Frrsistencia de fOr,,,a y Fnsistencia de fricción> Y se utiliza la definición de f de la Ec. 6.1-5, tendremos f =f forma+ f (6.3-5) fricción f f friccibn (6.3-6) = ,4t&Jo’(- [r*~(~)+f~]]l,.- ~en2edBdQ ( 6 . 3 - 7 ) El factor de fricción se ha expresado así en función de variables adimensionales: 8* = p- po+Pgz. P&02 ,*= - . ’ uy t)*s2* c r*z: v* ’ R (6.3-8,9,10,11) y el número de Reynolds se ha definido como DV,P ~ Rv ,P Re=-=P (6.342) P Es evidente que para evaluar f hay que conocer 8*, v,* y vg* como funciones de 8 y #. En $5 2.6 y 4.2 se ha visto como puede deducirse la expresión de la ley de Stokes para la condición de flujo reptante, es decir, flujo muy lento con Reynolds inferior aproximadamente a 0,l. Para Re > 0.1, se sabe muy poco desde el punto de vista cuantitativo acerca de las distribuciones de presión y velocidad reducidas; sabemos, sin embargo, que para el flujo incompresible estas distribuciones pueden en principio obtenerse a r*, TRANSPORTE DE MTERFASE EN SISTEMAS ISOTERMICOS Cl3 partir de lay Ecs. 3.7-12 y 3.7-13.1 Éstas han de resolverse con las siguientes condiciones límite : para r* = 1 v*, =* V6 = 0 (6.3-13) para r* = 00 v*, = 1 (6.3- 14) para r* = 00 8*=0 (6.3-15) Puesto que no intervienen nuevos grupos adimensionales debido a las condiciones límite, tendremos que Y P = 9*(z*, y*, z*; Re) (6.216) 1+ = B*(z*, y*, z*; Re) (6.3-17) que f =fUW (6.3-18) utilizando argumeitos análogos a los de $6.2. Por consiguiente, mediante el análisis dimensional de las ecuaciones diferenciales que describen el flujo, y la definición del factor de fricción, se llega al resultado de que f puede correlacionarse como una función exclusiva del Re. Se han determinado muchos datos experimentales para el flujo alrededor de esferas, de forma que se dispone de una gráfica de f frente a Re para esferas lisas. (Véase Fig. 6.3- 1.) Para este sistema no existe una brusca transición entre una curva de flujo laminar inestable y una curva de flujo turbulento estable, tal como se ha indicado en la Fig. 6.2-2 para el caso de tubos para Re t 2,l x 103. Al aumentar la velocidad de flujo en este sistema, aumenta la formación de remolinos detrás de la esfera. La caída de la curva alrededor de Re = 2 x 105 está relacionada con la traslación de la zona de separación de la capa límite desde enfrente hasta detrás del ecuador de la esfera.2 Hemos elegido intencionadamente la discusión de la esfera inmediatamente después de la del tubo, con el fin de resaltar el hecho de que los distintos sistemas de flujo pueden comportarse de forma muy diferente. Las principales diferencias entre los dos sistemas son: 1 Para el sistema que estamos considerando, la Ec. 3.7-13 puede escribirse así iG= DD+ -v+gm r 1 v*v + c D-P (6.3-12a) Como se ve, el número de Froude no aparece en las ecuaciones diferenciales ni en las condiciones límite. 2 Véase H. SCHLICHTING, Boumhry Luyer Theory, McGraw-Hill, Nueva York (1955), pp. 34-35. 5 2 10s 5 2 10 5 2 1 5 2 41 10-3 2 5 10-2 2 5 10’ 12 5 1 2 5 10 2 Núm e ro d e Re yno lds Re 5 102 = 2 5 10s 2 5 104 2 5 10s 2 5 10s Dv, p/p Fig. 6.3-1. Factor de fricción (o coeficiente de resistencia) para esferas que se mueven con una velocidad relativa a un fluido, veo. Véase la definicibn de f en la Ec. 6.1-5. [Curva tomada de C. E. Apple, «Dust and Mist Collection», en Chemical Engineers Hundbook (ed. por J. H. Perry) McGraw-Hill, Nueva York (1950), tercera edición, p. 1018.1 TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTERMICOS Para tubos .existe una transición laminarturbulenta bastante bien definida para Re * 2 x 103. Para tubos lisos la única contribución a f es la resistencia de fricción. Para tubos no hay separacion límite. de capa 6-15 Para esferas, la curva de f no presenta una transición laminar-turbulenta bien deíinida. Para esferas existen contribuciones a f debidas a la resistencia de fricción y a la resistencia de forma. Para esferas existe un viraje de la curva f que está relacionado con un cambio de la zona de separación. Es conveniente recordar bien la forma general de las curvas de las Figs. 6.2-2 y 6.3-1. Se ha visto ya anteriormente que para la regidn de flujo reptante la fuerza de resistencia viene dada por la leY de Stokes, que resulta de una resolución analítica de las ecuaciones de continuidad y movimiento (omitiendo el termino pDv/Dt de la ecuación de movimiento correspondiente a la Ec. 3.2-20). Poniendo la ley de Stokes (Ec. 2.6-14) en la forma de la Ec. 6.1-5 se obtiene (6.3-19) Por lo tanto, para @jo reptante alrededor de una esfera, 24 f =Re’ Re < 0,l (6.3-20) Esta ecuación corresponde a la porcion de recta de la curva log f frente a log Re. Para valores más altos del numero de Reynolds es muy difícil hacer cálculos puramente teóricos. Algunos investigadores se las han ingeniado para estimar f hasta Re = 10, lo que requiere un gran trabajo. Por lo tanto, la curva de f para Re > 0.1 se ha obtenido a partir de datos experimentales. Algunas veces resulta conveniente disponer de expresiones analíticas sencillas para las regiones de números de Reynolds más elevados. Para la regidn.inrermedia se puede tomar de forma aproximada f2& 2 < Re < 5 x lo2 lo que indica una menor dependencia del Re que en la ley de Stokes. Esta expresión es menos exacta que la ley de Stdkes para Re < 2. Para valores de Re más elevados se observa que el factor de fricción es, aproximadamente, constante. Ésta es la región de la ley de Newton, para la cual f~0,44 5 x lo2 < Re < 2 x 106 (6.3-22) 6-16 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO En esta región la fuerza de resistencia que actúa sobre la esfera es, aproximadamente, proporcional al cuadrado de la velocidad del fluido que circula lejos de la esfera. La Ec. 6.3-22 es una aproximación útil para estimaciones rápidas. (No debe de confundirse la «ley» de Newton para la fuerza de resistencia sobre una esfera, con la ley de Newton de la viscosidad o las leyes de Newton del movimiento.) Se han realizado muchas modificaciones de la Fig. 6.3- 1, pero un estudio sistemático se sale fuera del objeto de este libro. Entre las distintas cuestiones que se han investigado, indicaremos los efectos de pared (véase problema 6.0), caída de gotitas con circulación interna,3 caída de partículas en fluidos no-newtonianos,4 sedimentación impedida (es decir, caída de grupos de partículas que se interfieren entre sí),5 flujo no estacionario,6 y partículas no esféricas.T,s Ejemplo 6.3- 1. Determinación del diámetro de una esfera descendente En un estudio experimental de tiempos de reacción se dejan caer esferas de vidrio de densidad pesr = 2,62 g cmd3, a través de teatracloruro de carbono (p = 1,59 g cms y ,U = 9,58 milipoises) a 20” C, y se mide el tiempo con un cronómetro. iCuál ha de ser el diámetro de las esferas para que la velocidad límite sea aproximadamente 65 cm seg-l? S o lució n. Para hallar el diámetro de la esfera hay que despejar D de la Ec. 6.1-7. Pero como hay que conocer D para hallarf, que viene dado por la curva de tramo continuo de la Fig. 6.3 - 1, puede utilizarse un procedimiento de tanteo, tomando f = 0,44 como primera aproximación. Otro procedimiento consiste en despejar f de la Ec. 6.1-7, teniendo en cuenta que el término f/Re es independiente de D: El segundo miembro de esta ecuación puede calcularse con los datos del enunciado, y llamaremos a su valor C. Por lo tanto, tenemos dos ecuaciones simultáneas para resolver: f=CRe (de la Ec. 6.3-23) (6.3 -24) f =f(W (dada en la Fig. 6.3-1) (6.3 -25) 3 H. LAMB, Hydrodynamics, Dover (1945), sexta edición, pp. 600-601; S. Hu y R. C. KINTNER, A. Z. Ch. E. Journaf, 1, 42-48 (1955). 4 J. C. SLATTERY, tesis docroral, Universidad de Wisconsin (1959). 5 H. H. STEINOUR, Znd. Eng. Chem. 36, 618-624, 840-847, 900-901 (1947); véase también C. E. LAPPLE, Fluid undPurticfe Dynamics, University of Delaware Press, Newark (1951), capítulo 13. 6 R. R. HUGHES y E. R. GILLILAND, Chem. fig. Prog., 48, 497-504 (1952). 7 E. S. PETTYJOHN y E. B. CHRISTIANSEN, Chem. Eng. Prog., 44, 157 (1948). s H. A. BECKER, Can. J. Chem. Eng. 85-91 (1959). TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOT~RMICOS 6-17 40 o,a t 0,456 f 084 a Re de la Fig. 6.3-1 03 v 41 10’ 2 i 3 2,4 x 10’ 4 56 8 lOs Re- Fig. 6.3-2. Procedimiento grAfico utilizado en el ejemplo 6.3-1. La Ec. 6.3-24 es una línea recta de pendiente unidad en la representación gráfica de log f frente a log Re. Para el problema que estamos considerando, C = ~(980~~~(~)~“ ,(2y621~~~s9) = 1,86 x 10-5 (6.3-26) Por consiguiente, de acuerdo con la Ec. 6.3-24, para Re = lOs, f = 1,86. En la Fig.. 6.3-2 se representa la línea de pendiente 1 que pasa por f = 1,86 para Re = 10s. Dicha línea corta a la curva de la Ec. 6.3 -25 (o sea, la curva de la Fig. 6.3 - 1) para Re = Dv,p/p = 2,4 x 104. De esta forma se encuentra que el diámetro de la esfera es Rep PC0 DC-= (2,4 x 104)(9,58 x RY3) = 2 2 cm > (1 ,W(W 5 6.4 FACTORES DE FRICCIÓN PARA COLUMNAS DE RELLENO En las dos secciones precedentes se ha discutido con alguna amplitud la correlación de dos siste m a s de flujo muy sencillos, que son muy importantes en los cálculos ingenieriles. Se dispone de gráficas del factor de fricción para diversos tipos de mo- 6-18 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO vimiento de fluidos, tales como flujo en las proximidades de un disco que gira, flujo exterior a un cilindro, flujo exterior a una serie de tubos cilíndricos y flujo alrededor de placas deflectoras. En el Chemical Engineers’ Handbookl se discuten sistemas que tienen interés en ingeniería química y Schlichtingz trata otros sistemas importantes para los estudios básicos de mecánica de fluidos y aerodinámica. Un sistema muy importante en ingeniería química es la columna de relleno, por su gran aplicación en las operaciones de transferencia de materia. En términos generales, existen dos grandes métodos teoricos para el estudio de la pérdida de presión a travts de lechos porosos. En uno de ellos se considera la columna de relleno como un manojo de tubos enmarañados de sección caprichosa, y la teoría se desarrolla aplicando los resultados anteriores, para tubos rectos, al conjunto de tubos tortuosos. En el segundo método se representa la torre de relleno como un conjunto de objetos sumergidos, y se calcula la perdida de presión sumando las resistencias de las partículas sumergidas. 3~ Las teorías del manojo de tubos han tenido algo más éxito y serán las que se estudiarán aquí. El material de relleno puede estar constituido por esferas, cilindros y diversos tipos de rellenos comerciales para aparatos de contacto.s En la discusión que sigue se supone que el relleno es uniforme en todas partes y que no hay «formación de canalillow (en la realidad se forman generalmente canalillps y no son válidas las fórmulas que se obtienen aquí). Se supone, además, que el diámetro del relleno es pequeño en comparación del diámetro de la columna que lo contiene y que el diámetro de la columna es constante. De forma análoga a la Ec. 6.1-4, se define el factor de fricción para el lecho de relleno, mediante la expresión en la que Dp es el diámetro de la partícula (que se define más adelante), v. es la «velocidad superficial» (la velocidad lineal media que tendría el fluido en la columna si no existiese relleno), y L es la longitud de la columna de relleno. El factor de fricción lo estimaremos separadamente para flujo laminar y turbulento. En $ 2.3 se ha visto que paraflujo laminar en tubos circulares de radio R, 1 T. B. DREW, H. H. DUNKLE, y R. P. GENERAIJX, Sección 5 de Chemicul Engineers’Handbook (J. H. Perry, ed.), McGraw-Hill, Nueva York (1950), tercera edición. 2 H. SCHLICH~G, Boundary Luyer Theory, McGraw-Hill, Nueva York (1955), pp. 75-80,439, 4 4 5 -4 4 7 . 3 H. C. BRINKMAN, Appl. Sci. Research, Al, 27-34, 81-86, 333-346 (1949). 4 W. E. RANZ, Chem. Eng. Prog., 48, 247-253 (1952). 5 Vease, por ejemplo MCCABE y SMITH, p. 630 (fig. 11.1); M. LEVA, Tower Packings and PuckedTower Design, U. S. Stoneware Co., Akron, Ohio (1953), capítulos 1 y 2. TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS LYOTÉRMICOS 6-19 Imaginemos ahora que un lecho de relleno es un tubo de sección muy complicada cuyo radio hidráulico es R,. (Véase Ec. 6.2-16.) La velocidad media de flujo en la sección disponible para el paso del fluido es por lo tanto (6.4-3) El radio hidráulico puede expresarse en función de la «fracción de huecos» E y la superficie mojada a, por unidad de volumen de lecho, en la forma siguiente: R = h sección disponible para el flujo perímetro mojado ( > volumen disponible para el flujo = superficie mojada total ( > volumen de huecos ã = ( volumen del lecho > superficie mojada = ã volumen del lecho (6.4-4) La magnitud a está relacionada con la «superficie específica» a, (la superficie total de las partículas/volumen de las partículas), mediante. la expresión (6.4-5) a = a,(l - c) La magnitud a, se utiliza a su vez para definir del diámetro medio de la partícula Dp (6.4-6) D, = 6/a, Se elige esta definición puesto que para esferas la EC. 6.4-6 da exactamente Dt, = diámetro de la esfera. Finalmente, obsérvese que el valor medio de la velocidad en los intersticios fw, no es de interés general para el ingeniero, pero, en cambio, sí lo es la velocidad superficial ‘uo; estas dos velocidades están relacionadas por 110 = twr. Combinando estas dos definiciones con la fórmula modificada de Hagen-Poiseuille de la Fc. 6.4-3, se obtiene &~o - ~L)GEC(~O - &)E3= (Po- SL)2 2pLa2 W = (90 0, finalmente “, = cpo - L - 2@,2(1 - 6)” &)D,,= 2L(36,u) c3 (1 - E)~ 9~). c3 0s" 2(36p) (1 - c)” (6.4-7) (6.4-8) x Burke : 6 5 4 I i i i I 676910 -2 y Plummer 3 10 : 7 6 5 4 3 1 1 2 3 4 5 3 4 5 6769100 2 3 4 56769lm 2 3 4 WJo 1 -.P l -c Fig. 6.4-1. Representackk grGica del comportamiento general de la ecuacih de Ergun en una representación log-log. [S. Ergun, Chem. hg. Prog., 48, 93 (1952).] TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTÉRMICOS 6-21 Para el .flujo laminar, la suposicion del radio hidráulico medio conduce generalmente a caudales demasiado grandes para un determinado gradiente de presión; por lo tanto, debido a esta suposición, es de esperar que el segundo miembro de la Ec. 6.4-8 debiera de ser algo más pequeño. Una segunda suposición que está implícita en la anterior deducción, es que la longitud del camino que recorre el fluido a través del lecho es L; es decir, la misma longitud de la columna de relleno. En la realidad el líquido atraviesa un camino muy tortuoso cuya longitud puede ser incluso doble de L. Según esto, es de esperar que de nuevo deba disminuir el segundo miembro de la Ec. 6.4-8. Las medidas experimentales indican que la fórmula teórica se mejora si el 2 del denominador del segundo miembro se substituye por un valor comprendido entre 4 y 5. Mediante el análisis de una gran cantidad de datos se ha obtenido el valor 2516, que es el que se acepta aquí. Introduciendo este valor en la Ec. 6.4-8 se obtiene uo = tgll - 9L) 0,” 2 (6.4-9) ISO/, (1- l )” L que es la ecuación de BIake-Koreny. Este resultado es, generalmente, satisfactorio para fracciones de huecos inferiores a 05, y es válida solamente para la región laminar que viene dada por (D,,G&) (1 - é)-r < 10, siendo Ge = pve. Observese que la ecuación de Blake-Kozeny corresponde a un factor de fricción para el lecho de f = (Q&g-$ (6.4-10) Este resultado se representa en la Fig. 6.4- 1. Puede repetirse exactamente el mismo tratamiento para el flujo altamente turbulento en columnas de relleno. Partimos de nuevo de la definición del factor de fricción para el flujo en un tubo circular. Sin embargo, se observa ahora que para el flujo altamente turbulento en tubos con una apreciable rugosidad, el factor de fricción es una función exclusiva de la rugosidad. Admitiendo que todos los lechos de relleno tienen una rugosidad característica semejante, se puede utilizar un factor de fricción único fa para el flujo turbulento. Seguimos ahora el mismo procedimiento de 0 6.2 y se hacen las mismas substituciones: CU> = VO/C; D = 4R,; Rh = = c/a; -a = a, (1 - l ), y, finalmente, Dp = 6/a,. Esto conduce a los siguientes resultados : 1 = fjfo . $ . ; p”,a - -E P 2 (6.4-11) Los datos experimentales indican que 6fo = 3,50, con lo que se obtiene 11 2l-r *jy-,P”op 9”-9L=,,, L (6.4-12) 6-22 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO que es la. ecuación de Burke- Plummer, válida para (D,Go/p) (1 -c)>-l > 1000. Este resultado corresponde a un factor de fricción que viene dado por f = 0,875 9 (6.4-13) Obsérvese que la dependencia de E es diferente que para el flujo laminar. Sumando la ecuación de Blake-Kozeny para el flujo laminar y la de BurkePlummer para el turbulento, se obtiene Po- pi2 _ 15OPUo (1 - eI2 +1,75pu,2(l - l ) L 0,” l D,,3 e3 - - (6.4-14) Esta ecuación puede expresarse en función de grupos adimensionales+ (go ;Fp) (2) (&) = 150 “,;) + 1,75 (6.4-15) Ésta es la ecuación de Ergun, que se ha utilizado con éxito para gases, tomando para la densidad del gas la media artimética de los valores a las presiones extremas. Sin embargo, para grandes caídas de presión es más lógico utilizar la Ec. 6.4-14 con el gradiente de presión en forma diferencial. Obsérvese que Ge es una constante para todo el lecho, mientras que para un fluido compresible va varía a través del lecho. El diámetro que se utiliza en esta ecuación es el que se ha definido en la Ec. 6.4-6. Obsérvese que para elevadas velocidades de flujo el primer término del segundo miembro desaparece y la ecuación se transforma en la de Burke-Plummer. A bajas velocidades de flujo, el que desaparece, en cambio, es el segundo término, y se obtiene la ecuación de Blake-Kozeny. En la Fig. 6.4-1 se representa gráficamente el comportamiento general de estas ecuaciones. Indicaremos, sin embargo, que la ecuación de Ergun es una de las muchas que se han propuesto para describir la caída de presión a través de columnas de relleno. CUES TION ES P ARA DIS CUTIR 1. ¿Cómo se definiría el factor de fricción para el flujo a travbs de un anillo y para el flujo transversal alrededor de un cilindro? 2. Utilizar la Ec. 6.1-7 con el fin de obtener expresiones para la velocidad límite de caída de una esfera, para las tres regiones que se consideran en 5 6.3. 3. ¿ Es preciso modificar la Ec. 6.1-7 para esferas que son más ligeras que el fluido y por consiguiente para ascenso en vez de caída? En caso afirmativo, jcuál será la modificación? 4. ¿C&t6 precaución hay que tomar al utilizar las fórmulas con factores de fricción tomados de libros de consulta o trabajos originales? 5. iCómo está relacionada la ley de Hagen-Poiseuille con la Fig. 6.2-2? 6 S. ERGUN, Chem. Eng. Progr., 48, 89-94 (1952). TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTERMICOS 6-23 6. Comprobar las Ecs. 6.2-13 y 15 efectuando las operaciones que se omiten. 7. Comparar los métodos de calculo a seguir cuando se desea utilizar la Fig. 6.2-2 para hallar (a) la caída de presión, (b) la velocidad media, (c) el diámetro del tubo para una velocidad e Ap determinadas, (d) el diametro del tubo para una velocidad volumetrica de flujo e Ap determinadas. Debe de evitarse el tanteo. 8. ¿Cómo se tienen en cuenta las condiciones límite en las aplicaciones del andlisis dimensional de las secciones 88 6.2 y 6.3? 9. Contrastar las formas de las curvas de f frente a Re para tubos y esferas. ¿ Cual es la variación aproximada de f con el Re en las distintas r;giones de estas gráficas? 10. Describir los argumentos fisicos que condl cen al establecimiento de la forma de la ecuación de Ergun (Ec. 6.4-15). ll. ~Por qu6 la curva de la Fig. 6.2-2, corrapondiente a la zona turbulenta, está situada por encima y no por debajo de la prolongación de la curva f = 16/Re? 12. ~Que relación existe entre la ecuacion de Blake-Kozeny (Ec. 6.4-9) y la ley de Darcy? (Wase problema 4.J). 13. icómo se comportaría el factor de fricción para el flujo no estacionario en un tubo? (Vease ejemplo 4.1-2.) ~Serian aplicables las Ecs. 6.1-3 y 4? 24 24 14. Discutir la utilidad de la relación aproximada f = Re Re + 4.5 para el flujo alre1 v \ dedor de esferas. 15. Demostrar, a partir de la Ec. 6.2-3, que f Re/2 puede interpretarse como el valor medio superficial del gradiente adimensional de velocidad en la pared de! t u b o . 16. Estudiar el flujo de agua en una manguera de caucho de 1,2 cm de diámetro que esta cOnectada a un grifo cuya presión manometrica es de 5 atm. 17. Comprobar que los segundos miembros de las Ecs. 6.1-4 y 6.1-7 son adimensionales. 18. Un anuncio de baseball dice, «Debido a la eleva& humedad del día de hoy, la pelota no puede llegar tan lejos a trav6s del aire húmedo como lo haría con aire seco». Comentar críticamente la lógica de este anuncio. PROBLEMAS 6.A, Diferencia de presión necesaria para obtener una determinada velocidad de flujo con accesorios Hallar la diferencia de presión necesaria para bombear agua a 20°C a trav6s de una tubería de 25 cm de diámetro y 1234 m de longitud con una velocidad de 1,97 m3 seg-1. La tubería es horizontal y contiene cuatro codos normales de 90” y dos codos de 45”. (Un codo normal de 90” es aproximadamente equivalente a la resistencia que ofrece una tubería de 32 di&netros; el de 45” equivale a 15 diámetros.)t Respuesta: 315 atm. 6.B1 Diferencia de presión necesarh para ohtestes mm determinada velocidad de flujo con variación de altura Por una tubería normal de 3 pulgadas (diámetro interno 7,79 cm) y 29 m de longitud se bomba agua a 20” C hasta un deposito elevado, tal como se indica en la Fig. 6.B. (a) i Que presi6n es preciso comunicar al agua a la salida de la bomba para elevarla al deposito con una velocidad de 4,09 m3]h. (A 20” C la viscosidad del agua es de 1,002 cp y su densidad 0,9982 g ml-1.) (b) iQué tanto por ciento de la caida de presión se necesita para vencer la fricción de la tubería? Respuesta: a. 1,03 atm. 1 En 8 7.4 se indica otro metodo para el calculo de perdidas de carga en accesorios. ’ 6-24 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Fig. 6.B. Flujo en una tubería. 6.Cr Velocidad de flujo para una determinada caida de presih i, Cuántos m3/ hr de agua a 20” C circularan a trav6.s de una tubería lisa de 15, 2 cm de diámetro interno y 402 m de longitud, bajo una diferencia de presión de 0,017 atm? (u) Hallar la solución por el método A del ejemplo 6.2-2; (b) Utilizar el método B del ejemplo 6.2-2. (c) Comparar el valor de <v> que se. obtiene aquí con el del apartado e del problema 5.B. Supóngase que la tubería es «hidr&ulicamente lisa». Respuesta: a y b: 15,4 m3 hr-1. 6.D1 Movimiento de una esfera en uo liquido Una esfera hueca de acero de 5,00 mm de diámetro y 0,050O g de masa, se deja caer en una columna de líquido y alcanza una velocidad límite de 0,500 cm seg-1. La densidad del líquido es 0,900 g cm-3 y la aceleración local de la gravedad 980,7 cm seg-2. La esfera está suficientemente alejada de las paredes del recipiente, de forma que su efecto es despreciable. u. Calcular la fuerza de resistencia en dinas. b. Calcular el coeficiente de resistencia (factor de fricción). c. Determinar la viscosidad del líquido en centipoises. Respuesta: a. 8,7 dinas b. f = 396 c. p = 37ocp. C&ulos de resistencia cuando no se conoce el ‘dihmetro de la esfe-ra u. iCómo se efectúan los cálculos de resistencia, utilizando la Fig. 6.3-1, cuando no se conoce el diámetro de la esfera? Indicar como se puede evitar una solución por tanteo. b. Rehacer el problema 2.C utilizando la Fig. 6.3-1. c. Rehacer el apartado (b) para una velocidad del gas de 3 m/seg. 6.E1 6.F1 Estimacióo de la fracch de huecos de un lecho de relleno Una columna de 942 cm* de seccion y 185 cm de altura, esta rellena con partículas esfericas de 2 mm de diámetro. Cuando se mantiene entre los extremos del lecho una diferencia de presion de lo,75 atm, una solución de sacarosa del 60 % fluye a traves del lecho con una velocidad de 6640 Kg hr-* a la temperatura de 20“ C. A esta temperatura la viscosidad de la solución es p = TRANsPORTE DE INTERFASE EN SISTEM A S ISOT,!?RMICOS 6- 25 = 563 cp y su densidad p = 1,2865 g cm- 3. i Cuál es la fracción de huecos del lecho? Discutir la utilidad de este metodo para obtener la fraccion de huecos. Respuesta: P = OJO 6.Gz Factor de fricción para el flujo alrededor de una Umina plana a. En $4.4 se estableció (justamente después de la Ec. 4.4-;-27) que la solución exacta de las ecuaciones de capa límite laminar, conduce a la siguiente expresión para la fuerza de resistencia que actúa sobre una lámina plana de longitud L y anchura W, mojada por ambos lados: Fb = 1,328dppLW &,’ (6.G-1) Se ha encontrado que esta relación concuerda casi exactamente con las medidas experimentales. Definir un factor de fricción y un número de Reynolds para el sistema y obtener una expresión de f en función de Re. b. Un tratamiento aproximado de capa límite, * basado en !a distribución de velocidad de la potencia (1/7), conduce al siguiente resultado para el flujo turbulenro alrededor de una lamina plana mojada por ambas caras: Fk = Cuando se pone 0,074 en vez de 0,072, esta relación describe la fuerza de resistencia dentro de los errores experimentales para 5 x 105 < LvMp/p < 2 x 107. i Cómo varía f con un numero de Reynolds convenientemente definido para el flujo turbulento? ’ 6.H, Factor de fricción para flujo laminar en una rendija Utilizar los resultados del problema 2.E para demostrar que el factor de fricción para el flujo laminar en una de!gada rendija de anchura 28 es f = 12/Re, estando el Re definido por 28 CV> p/p. Comparar este valor de f con el que se obtendría mediante la aproximación del radio hidráulico medio. 6.1, Factor de fricción para un dii que gira Un delgado disco circular de radio R se sumerge en una gran masa de fluido de densidad p y viscosidad p. Si para hacer girar el disco con una velocidad angular 0 se necesita un par Or, s e puede definir un factor de friccibn de forma análoga a la Ec. 6.1- 1: .9- - =AKf .R (6.1-1) en la que unas definiciones razonables para K y A s o n K = 1/,2 pR*n* y A = 2. nR2. Una forma conveniente de definir el número de Reynolds para este sistema es Re = R*Rp/p. a. Para flujo Iaminar, mediante un cálculo exacto de capa limite, se obtieneJs4 9- = 0,6161rpR‘(,uR~/p)~ * H. (6.1-2) SCHLICHTING, Eoundary Lay er Theory , McGraw-Hill, Nueva .York (1955), capítulo 21. 3T. VON KÁRMÁN, 2. angew. Math. Mech., 1, 233-252 (1921). 4 H. SCHLICHTING, Boundary Lay er Theary, McGraw-Hill, Nueva York (1955), capítulo 5. 6-26 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Expresar este resultado como una relación entre f y Re. b. Un tratamientos aproximado de capa límite, basado en la distribuci6n potencia (1/7), conduce al siguiente resultado para el flujo turbulento de velocidad de la Expresar este resultado como una relación entre f y Re. 6.J2 Factor de fricción para el flujo turbulento en tubos lisos Efectuar la deducción correspondiente a las Bes. 6.2-12 a 15, en la que se obtiene la le-v de resistencia de Blasius a partir del perfil de velocidad de la potencia (1/7), para el flujo turbulento en tubos circulares lisos. Repetir despues este análisis para el perfil logaritmico de velocidad turbulenta : v+ = 2,5 In s+ + 5,5 (6.J-1) siendo v+ = ü/v+, s+ = sv,p/p, y v+ = d/7oIp. La Ec. 6.J- 1 es la misma que la Bc. 5.3-12, excepto que aquí se han utilizado los coeficientes numericos recomendados por Schlichting.6 Demostrar que el anterior perfil de velocidad conduce a esta expresión para el factor de fricción: l/dT = 4,07 log,, Rev’f - 0,60 (6.J-2) Si se hace una ligera modificación de las constantes numericas se obtiene un buen ajuste de la curva f frente a Re en el intervalo Re = 2,l x 103 a Re = 5 x 106: 1147 = 4,0 log,, Re47 - 440 Ésta es la famosa ley («universal») de resistencia de’Prandt1 (6.J-3) para tubos circulares lisos. 6.Kz Factor de fricci6n en tubos para fluidos no-newtonianos que siguen la ley de la potencia’n* Deducir una expresión del factor de fricción para el flujo laminar en tubos, correspondiente al modelo no-newtoniano que se define en la Ec. 1.2-3. 16 DYvY-“plm; Respuesta: f = de’ , siendo Re,,’ = I 6.L2 I nconveniencia del radio hidrMico medio para el flujo laminar a. En 5 6.2 se ha hecho resaltar que el radio hidráulico medio no debía utilizarse para el flujo laminar. Utilizar las Ecs. 6.2-17 y 18 para el flujo laminar en un anillo de radios KR y R, con el fin de deducir una expresión para la velocidad media en función de la pérdida de presibn, análoga a la expresión exacta de la Ec. 2.4-15. b. ACuál es el tanto por ciento de error del resultado del apartado (a) para K = 1/2? Respuesta: b. 47 % 5 Ibid. capítulo 21. 6 Ibid., pp. 368-369, 373-375. 7 A. B. M ETZNER y J. C. REED , A. 1. Ch. E. Journal, 1, 434-440 (1955). 8 R. B. BIRD. A. 1. Ch. E. Journal, 2, 428 (1956). T R A N S P O R T E D E I N T E R F A S E E N .~lSTEMAS 6.Mz Caída ‘de una ISOT.l?RMICOS 6-27 esfera eu la región de la ley de Newton Una esfera que está inicialmente en reposo y situada en z = 0, cae (en la dirección z positiva) por efecto de la gravedad. Las condiciones son tales que, al cabo de un corto intervalo de tiempo, la esfera cae con una fuerza de resistencia Fk proporcional al crradrado de la velocidad (es decir, que es aplicable la ley de resistencia de Newton para esferas). 0. Hallar la distancia z recorrida por la esfera en su caída en función del tiempo t. 6. ¿CuáI es la «velocidad límite» de la esfera? Supóngase que la densidad del fluido es mucho menor que la de la esfera. Respesta: a. z = (l/clg) In cosh cgr siendo c* = (3/8) (0,44) @/Pesr) (l/gR) b. I/c 6.N3 Potencia comunicada a un tanque agitado Demostrar, por análisis dimensional, que la potencia comunicada por un agitador a un fluido incompresible en un tanque agitado, para un tanque y agitador determinados. pueden correl;.ciDnarse mediante la expresión (6.N-1) Corte horizontal deflectoro Fig. 6.N. Tanque provisto de cuatro placas deflectoras verticales y un agitador de seis paletas. siendo 4 una función cuya forml ha de determinarse experimentalmente. Las demás variables son: P = potencia comunicada por el agitador al fluido (FLt-1) N = velocidad de giro del agitador, (t-l) 5-28 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO D = dilmetro del agitador (L) g = aceleración de la gravedad (Lt-2) p = densidad del líquido (ML-3) ,r~ = viscosidad del líquido (ML-lt-1) r = tiempo desde el comienro de la operación. Nota: Para la geometría, frecuentemente utilizada, de la Fig. S.N. la potencia viene dada por la suma de dos integrales, que representan la contribución de la resistencia de friccion de las paredes y del fondo del tanque cilíndrico y la resistencia de forma de las placas deflectoras radiales, respectivamente: (S.N-2) siendo y= el par necesario para hacer girar el agitador = el par resistente del tanque y de las supert’icies de las placas S = área de la superficie total del tanque A = área de la superficie de las placas deflectoras, considerada positiva para el lado situado «a favor de la corriente» y negativa para el lado situado «contra la corriente» R = distancia radial desde el eje de rotación del agitador hasta un elemento cualquiera de superficie dS o dA n = distancia medida normalmente en el interior del fluido desde un elemento cualquiera de superficie del tanque, dS o dA La solucion que se desea puede obtenerse ahora por análisis dimensional de las ecuaciones de movimiento y continuidad, expresando las integrales anteriores en forma adimensional. Es conveniente utilizar D, DN, y pN*DZ, como longitudes, velocidades y presiones de referencia, respectivamente. S.03 Efectos de pared para la caída de una esfera en un cilindro a. Los experimentos sobre factores de fricción de esferas se realizan generalmente en tubos cilíndricos. Demostrar, por análisis dimensional, que para este dispositivo el factor de fricción para la esfera es una función de (6.04) f = f(Re, R/W siendo Re = ZRv,p/p. (En esta expresión R es el radio de la esfera, voo la velocidad límite de la esfera, y R’ el radio del cilindro.) Se ha encontrado empíricamente que para la region de flujo reptante la variación de f con RIR’ puede estimarse mediante la correccidn de LadenburgFa&: 9. 10, 11 (6.0-2) 9 R. L ADENBURG, Ann. Physik (4). 23, 447 (1907); H. FAXÉN, disertación, Uppsala (1921). 10 Un trabajo importante (y olvidado) sobre et movimiento de particulas en el seno de fluidos es el de L. SCHILLER, Handbuch der Experimentalphysik, vol. IV, parte 2. pp. 339-387; véase tambien H. FALKENHAGEN, op. cit., vol. IV, parte 1, pp. 206-231. 11 C. E. LAPPLE, Fluid and Particfe Dynamics, University of Delaware Press Newark (1951), capítulo 13. TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTERMICOS 6-29 Se sabe muy’ poco acerca de las correspondientes correcciones para la region de flujo turbulento.11 Tan Sb10 se ha investigado recientemente sobre los efectos de pared para gotitas.12 b. Proyectar una experiencia con el fin de comprobar el gráfico para esferas de la Fig. 6.3 - 1. Seleccionar el tamano de la esfera, las dimensiones del cilindro y los materiales adecuados para las experiencias. 6.P4 Factores de fkkei6n para el flujo no-newtoniane en un tubo En el problema 6.K se ha visto como puede obtenerse una relación entre. el factor de fricción y el número de Reynolds, para el flujo en un tubo circular de un fluido que sigue la ley de la potencia. Esto consiste solamente en expresar de nuevo la solucion analítica para el flujo laminar en un tubo. Utilizar la expresión para un fluido que sigue la ley de la potencia, correspondiente a la Ec. 3.6-9, y el método del analisis dimensional de 5 6.2, con el fin de hallar los grupos adimensionales de los que debe de depender f. 6.Q, Flujo nu-newtoniano a travb de medios porosos Utilizar un razonamiento similar al de la seccion 0 6.4 para deducir una relación andloga a l a ky de Darcy (vkase Ec. 4.J-2) que sea válida para el modelo de Ostwald-de Waele (ley de la potencia), expuesto en $5 1.2 y 3.6. Demostrar que 1)” I WI-l) en la que &r=r viene dada por (6.Q-21 En esta expresión, m y n son los parametros reol6gicos, y l es la porosidad del medio, tal como se determinaría mediante. el flujo de un fluido newtoniano a travks del mismo. Por otra parte, k es la permeabilidad del medio, determinada para el flujo newtoniano. Obskvese que cccrcft no tiene las unidades de viscosidad. 6& Factorea de fkkci6n para llojo turbulente en tubos concbtriaw Ampliar la deducción del problema S.F, con el fin de obtener una expresión del factor de fricción para el flujo turbulento en tubos conckttricos. 12 J. R. Srao~ y R. C. K~NTNWI, A. 1. Ck E. Journul, 4, 153-156 (1958). CAPfTULO 7 BALANCES EN MACROSCÓPICOS SISTEMAS ISOTÉRMICOS En $0 3.1,2 y 3 se han presentado las ecuaciones de variación para sistemas ísotérmicos; estas ecuaciones son enunciados de las leyes de conservación de la materia, conservación de la cantidad de movimiento, y de «falta de conservación» de la energía mecánica, aplicadas a un elemento «microscbpico» de volumen a través del cual circula el fluido. En $0 7.1,2 y 3 se presentan análogos enunciados de conservación para cualquier sistema «macroscópico» de flujo con una entrada y una salida de fluido. (Véase Fig. 7.0- 1.) De hecho, estos balances macroscopicos pueden obtenerse por integración de las ecuaciones de variación1 del Capítulo 3. Aquí se ha adoptado el método más sencillo de deducir los balances macroscópicos de materia y cantidad de movimiento, siguiendo las deducciones de $5 3.1 y 3.2. Por otra parte, el balance macroscópico de energía mecánica se presenta sin deducir, ya que las deducciones simplificadas son incorrectas y la deducción rigurosa es demasiado larga.2 La materia objeto de este capítulo se amplía a sistemas no isotérmicos en el Capítulo 15, y a sistemas de varios componentes en el Capítulo 22. Los balances macroscópicos son muy utilizados en el análisis de sistemas ingenieriles de flujo. Los balances se aplican descartando los términos que resultan despreciables en un determinado problema. Para saber que términos pueden despreciarse se requiere cierta intuición y en algunos casos se necesitan algunas observaciones experimentales acerca del comportamiento de flujo. Los ejemplos de las secciones $0 7.4, 7.5 y 7.6 serán de utilidad al lector para iniciarse en los metodos de resolución del problema. En este capítulo, que es el último de la serie sobre transporte de cantidad de movimiento, se utilizan muchos de los conceptos expuestos en los seis capítulos precedentes: viscosidad, velocidad, perfiles, flujo laminar y turbulento y factores de fricción. Por lo tanto, este capítulo sirve de repaso, a la vez que se desarrollan métodos sistemáticos que son de gran utilidad para resolver numerosos problemas de flujo. IR. B. BIRD, Chem. Eng. Sci., 6, 123-131 (1957). * Sin embargo, en el ejemplo 7.3 - 1 se da la deducción para el caso especial de flujo estacionario no compresible. 7-2 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Entra d a de c a lo r, Q Pla no Sa lida de tra ba jo m c c dnic o , “2” W F’g. 7.0-1. Sistema mwoscópico de flujo con entrada de fluido por el plano «l» y salida el plano «2». Para mantener el sistema a temperatura constante puede set preciso comunicar lor con una velocidad Q. La velocidad de realizacih de trabajo sobre los alrededores es W. strvese que los signos de Q y W son los convencionales que se utilizan en la mayor parte de libros de termodinámica. por caOblos 0 7.1 BALANCE MACROSC6PICO DE MATERIA Consideremos el sistema de la Fig. 7.0- 1, eu el que e&e una sola entrada de fluido (de sección SI, en el plano «l») y una sola salida (de sección 5’2, en el plano 4~2~). Estos planos de referencia sk toman perpendiculares a las paredes del tubo. En esta sección, y en las siguientes, se hacen dos suposiciones que para la mayor parte de los problemas no son muy restrictivas: (a) en los planos «l» y «2» la velocidad de tiempo ajustado es paralela a las paredes de la conducción; (6) la densidad p y las demás propiedades físicas no varían a lo largo de la sección transversal de los planos «ID y «2». Aplicando al sistema de la Fig. 7.0-1 la expresión de la conservación de la materia de la Ec. 3.1- 1, se obtiene En esta expresión rntot es la masa total1 de fluido contenida entre los planos «l» y «2». Utilizando el símbolo w = p(ü)S para la velocidad y la notación Aw para w2 - w1 (el valor a la salida menos el valor a la entrada), el balance macroscdpico de materia en estado no estacionario se transforma en d iii mtot = - Aw (7.1-2) 1 Es decir, w,,,~ = sp dV, estando la integral extendida al volumen de fluido contenido en el Sistema. BALANCES MACROSCdPICOS EN SISTEMAS ISOTtiRMICOS 7-3 Este resultado se puede obtener también por integración directa de la ecuación de continuidad. En estado estacionario, la masa total de fluido en el sistema no varía con el tiempo, y, por consiguiente, el balance macroscópico de materia en estado estacionario es Aw = 0 (7.1-3) es decir, que la cantidad de materia que entra es igual a la que sale. 0 7.2 BALANCE MACROSC6PICO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Consideremos de nuevo el sistema de la Fig. 7.0- 1, haciendo las dos mismas suposiciones de antes. Aplicando la expresión de la conservación de la cantidad de movimiento de la Ec. 3.2- 1 a este sistema, se obtiene la siguiente ecuación vectorial ; Ptot = PlV12>Sl - P*(~22)~2 - {F} + {mtotgl ’ siendo Ptot la cantidad de movimiento totalr del fluido contenido en el sistema. Los dos primeros términos2 del segundo miembro representan la velocidad de entrada y salida de cantidad de movimiento debido al movimiento global del fluido; se ha despreciado la entrada y salida de cantidad de movimiento relacionada con los componentes de densidad de flujo laminar y turbulento de cantidad de movimiento tXX-f cruz etc., debido a que estas contribuciones son comparativamente mucho menores. Los términos entre corchetes representan las distintas fuerzas que actúan sobre el fluido en el sistema: las fuerzas de presión que actúan en los extremos del sistema, la fuerza neta -ãde las superficies sólidas que actúa sobre el fluido y la fuerza de gravedad m,,, g que actúa sobre la masa total del fluido. Téngase en cuenta que F es la fuerza delfluido que actúa sobre el sdlido y que corresponde a la suma de todas las fuerzas viscosas y de presión. En la Ec. 7.2-1 S, y S, se han escrito en negritas para indicar que son vectores. Estos vectores tienen de módulos Sr y S2, respectivamente, y su dirección es la de la velocidad de tiempo ajustado en las secciones «l» y «2». Correspondiendo a estos vectores vamos a introducir w1 = pr(ü,)S, y w2 = p2(ü2)S2, que se definen de igual forma. 1 La cantidad de movimiento total es P,,* = J’pi, dV. 2 Mediante (Un) se indica que para tubos circulares, por ejemplo, 7-4 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Utilizando esta nueva notación para expresar la Ec. 7.2-1 resulta que el balance de cantidad de movimiento en estado no estacionario es -$ Ptot = (7.2-2’1 - F + mtotg Este resultado se puede obtener también integrando la forma de la ecuación de movimiento expresada por la Ec. 3.2-g. Si el sistema de flujo está en estado estacionario, dP,,/dt = 0 y la Ec. 7.2-2 se transforma en el balance de cantidad de movimiento en estado estacionario: F = w + pS + mt0tg Este resultado es útil para calcular las fuerzas que actúan sobre piezas o aparatos, tales como paletas de turbinas y curvas de tuberías; también es útil, juntamente con otros balances macroscópicos, para describir el funcionamiento de eyectores de vapor de agua y otros aparatos en los que hay mezcla de corrientes de fluidos. La relación tV2~/& puede evaluarse si se determinan experimentalmente los perfiles de velocidad o es posible calcularlos -por los métodos que se han expuesto en los Capítulos 2, 3 y 5. En la mayor parte de los problemas ingenieriles deflujo turbulento, donde el perfil de velocidades es, aproximadamente, plano, se puede substituir t$~/ti, por ti,. (Véase problema 7.H.) < 4 7.3 BALANCE MACROSCÓPICO DE ENERGfA MECANICA (ECUACIÓN DE BERNOULLI) En 9 3.3 se ha visto que la ecuación de conservación de cantidad de movimiento de 5 3.2 se puede transformar en una ecuación que describe la forma en que pueden convertirse entre sí las distintas formas de energía mecánica, y a veces «perderse» por conversión irreversible en energía calorífica. En general, no- es posible hacer 10 mismo con la Ec. 7.2-2. Sin embargo, se puede integrar1 la Ec. 3.3-2 sobre el volumen del sistema de la Fig. 7.0- 1 para obtener el siguiente balance macroscdpico de energía mecánica en estado no estacionario para flujo isotérmico: $Wtot+~tot+Atot)= - A [( )1 f”+ &+e w - W - E , (7.3-1)2 1 R. B. BIRD, Chem. Eng. Sci., 6, 123-131 (1957). En esta deducción se admite que en todos los puntos del sistema a&/ar = 0 2 Para el flujo de un fluido de p constante, la Ec. 7.3-1 se transforma en $ (K,,, + @coJ = -A [( 11 w -W-E. (7.3-la) BALANCES h4ACROSCdPICOS EN SISTEMAS ISOTERMICOS 7-5 En esta expresión, Ktor, Gcot y Atot, son, respectivamente, la energía cinética, la energía potencial y la energía libres (Helmholtz) totales del sistema de flujo; W es la velocidad a la que el sistema realiza trabajo mecánico sobre los alrededores, y EV es la «perdida por fricción», es decir, la velocidad con que la energía mecánica se convierte irreversiblemente en energía calorífica. La magnitud 6 es la energía potencial por unidad de masa, y 6 = 2 - Ts* es la entalpia Libre (o energía libre de Gibbs) por unidad de masa. En aquellos sistemas en los que el comportamiento de flujo es independiente del tiempo, d e sa p a re c e la derivada con respecto al tiempo del primer miembro de la Ec. 7. 3-1. Puesto que wr = w2 = W, se puede dividir toda la ecuación por la velocidad de tlujo de masa e introducir la notación & = W/ w y J?,, = EJw. kdemás, “‘( 1 Jp) dp. De esta forma sPI se obtiene, finalmente, el balance macroscópico de energía mecánica en estado estaciom.uio: para sistemas isotérmicas se puede substituir A6 por (7.3- 2) Esta relación se denomina a veces ecuación de Bernoulli, si bien esta denominación se ha reservado historicamente para fluidos sin fricción c& F$’ = 0 y i?, = ‘0. La Ek. 7.3-2 tiene muy numerosas aplicaciones y el principiante debe familiarizarse muy bien con esta importante relación. Veamos ahora cómo pueden modificarse algunos términos de la Ec. 7.3-2. La relación tDs46, que aparece en la Jk 7.3-2, puede calcularse por los metodos de los Capítulos 2,3 y 5, o a partir de los perfiles experimentales de velocidad; pero en la mayor parte de los problemas ingenieriles con flujo turbulento (es decir, con pertiles de velocidad aproximadamente planos) SJ/& puede substituirse con buena aproximación por CV>? (Véase problema 7.H.) En los casos habituales, en los que la aceleración de la gravedad es constante en todo el sistema, A& se puede substituir por gdh, siendo hr y h2 las alturas de los planos «l» y «2», ,respectivamente. La integral que aparece en la Ec. 7.3-2 puede evaluarse si se conoce la ecuación de estado (para sistemas isotérmicas, esto implica el conocimiento de p en función de p, o viceversa). Dos casos especiales son los siguientes: A 3 Es decir, & = j&pP dV, Q>t,t = $p@ dV y At,, = SpAdV, estando todas tas integrales extendidas al volumen del sistema de flujo; aquí A = 0 - TS.En realidad, la J52. 7.3-1 no es totalmente correcta para sistemas de flujo turbulento. La energía cinética total debería expresarse s 4 p@ + v;“> dV y los thninos de energía cinética del segundo miembro deberían modificarse con el fin de tener en cuenta el transporte de energía a causa de las fluctuaciones turbulentas. Debido a que se sabe poco acerca de estos efectos, que por otra parte son generalmente pequeiios, nos contentaremos con la anterior forma aproximada mas sencilla. 7-6 TRANSPORTE ‘DE CANTIDAD DE MOViUlENTO gas ideal isotérmico: (7.3-3) fluido ?dp = p(P2 1 - PI) s=s P incompresible : , - En la práctica ingenieril se admiten con frecuencia estos dos casos limite. (7.3-4) ’ Ejemplo 7.3-1. Deducckh del Mance de energía medica paca flujo estaciomuio incompresIbIe Integrar la Ec. 3.3-2 con el fin de deducir el balance de energla mecanica para el flujo en un sistema como el de la Fig. 7.0-1, excepto que no hay partes solidas móviles (por consiguiente no hay posibilidad de que el fluido intercambie trabajo con ios alrededores). Supongase que el fluido es incompresible y considérese solamente el caso de que el comportamiento de tiempo ajustado es estacionario, Utilizar el teorema de divergencia de Gauss para transformar las integrales de volumen en integrales de superficie: en la que V es el volumen de fluido contenido entre «l» y «2». Es conveniente separar la superficie de Ven la superficie de sólido mojado S, y las areas de las secciones correspondientes a los planos «l» y ~42~. Tengase en cuenta que A, es el componente de la normal de A dirigido hucciu fiera. Sohrción. Para un fluido incompresible, la Ec. 3.3-2 (tomando g = -Vcb y cambiando el signo) se transforma en (8 (4 - ; &Jv”) = (V l (4 $pv%) -(T:Vo) (4 + (V ‘po) (4 + (V * [T l +p(u’vb>) al) ~ (7.349 (f) La ecuación anterior es tanto válida para flujo laminar como turbulento. A continuación se. procede a la integración, extendiendola al volumen de todo el sistema de flujo: a - y,UpuZ)d~= -$ d fpvadV= --$K,, = 0 (7.3-7) s Esta integral sc anula debido a que la energla cinética total en el interior del sistema no varia con el tiempo. (b) sV (v * ~pv3v) dV = - ss,+s,+s, ~ PV%ds -$P( v ,3) s , + +p(v * 3s2 (7.3-8) BALANCES MACROSCóPICOS EN SISTEMAS ISOTÉRMICOS 7-7 La integral extenGda a S, es nula, ya que sobre las superficies mojadas o es cero. El primer tbmino adquiere signo negativo, debido a que la velocidad de flujo esta dirigida hacia el interior (es decir, opuesta a la normal hacia fuera) pu,, dS = -p1(@, + p*(v*>S* ss, +s, +s* (V *pu) dV = (4 sV (4 (V sV l [7 l 01) dv = s,+s,+s* (7.3-9) (7.3-10) [~*ol,dS~O s La integral sobre S, es cero por la misma razón; las integrales extendidas a SI y Sz representan el trabajo producido por las fuerzas viscosas al impulsar el fluido hacia el interior o el exterior del sistema y esta contribución puede despreciarse con toda seguridad (4 ,.‘I’ ,,” -4 Esta integral representa la velocidad total de la conversión%reversible nica en energfa interna. (P ,, (n.vb)dv=p sV “P (7.3-11) de energía mecá- [(v.h)-db(V*o)ldV sV ss*+s,+s, &v,, dS = -p$ (UI >s, + p~&)Sa (7.3-12) puesto que para un fluido de p constante (V * u) = 0. Substituyendo los resultados anteriores en la forma integrada de la Ec. 7.3 -6, se llega a 0 = A&p,<uW + ApWS + E,, + A,6(v>S Dividiendo por w = p <V> (7.3-13) S, que para el flujo estacionario es una constante, se obtiene 1 (vJ> o=A2<o>> +iAp+&+A6 p (7.3-14) Esta ecuación es un caso especial de la Ec. 7.3 -2. El termino l? puede obtenerse medianta la inclusión de superficies solidas máviles, que permitan transmitir energía mecanica a los alrededores.1 (Vease problema 7.R.) $ 7.4 ESTIMACI6N DE LAS PÉRDIDAS POR FRICCI6N Debido a la gran utilidad de la Fc. 7.3-2 para el cálculo cuantitativo, se ha dedicado una gran atención al desarrollo de mktodos que permiten estimar las pérdidas por fricción EV en las distintas partes de un sistema de flujo. Claro esta que para un sistema cualquiera puede obtenerse experimentalmente & midiendo todos los demás t&minos de la Fc. 7.3-2. Lo más frecuente es estimar f$ y utilizar luego la Ec. 7. 3-2 nara hallar cualquier otra magnitud, ta1 como la potencia necesaria 7-8 TR A N SP O R TE DE C A N TID A D DE M O V IM IE N TO para bombear un fluido o la velocidad de flujo para una determinada potencia. Por lo tanto, esta sección se dedica al estudio teórico de los distintos métodos de estimación de &. Al deducir la Ec. 7.3-1 mediante la integración de la Ec. 3.3-2, se ha visto que el término II?, es (véase Ec. 7.3-11) E u= - s (T : WC) dV (7.4- 1) Es decir, que ,??, es exactamente la integral de la velocidad local de disipación de energía mecánica extendida a todo el volumen del sistema de flujo. En los sistemas sencillos de flujo laminar, E, puede calcularse directamente a partir de la integrai. Sin embargo, para los casos complejos de flujo, que generalmente se presentan en los sistemas ingenieriles, no es posible evaluar la integral de las perdidas por fricción. Desde luego, puede utilizarse el análisis dimensional para establecer la forma general de E,. Por ejemplo, para flujo newtoniano incompresible, la Ec. 7.4-1 se transforma en E,=+,u ‘&,dV I (7.4- 2) en la que @” es la función de disipación [de dimensiones (velocidad)2/(longitud)a] definida en la Tabla 3.4-8. Si el segundo miembro de la Ec. 7.4-2 se hace adimensional utilizando una velocidad característica ve y una longitud característica le, E, = <PU: 10 XP/~J~P) s % * dV* (7.4- 3) en la que Gv* = (le/ve) 2 @, y dV* = d(V/lo3). Utilizando los conceptos adimensionales de $4 3.7 y 6.2, se ‘encuentra que la integral de la Ec. 7.4-3 depende solamente de los distintos grupos adimensionales de las ecuaciones de variación y de los diferentes factores geométricos que intervienen en las condiciones límite. Por consiguiente, si el único grupo adimensional significativo es un número de Reynolds, Re = levop/~, la forma general de la Ec. 7.4-3 es E, = poo31,” x (una función adimensional de Re y las distintas relaciones geométricas) (7.4- 4) Para el flujo en estado estacionario se opera con el término &, = Ev/w, siendo w = ptV>S la velocidad de flujo de masa que pasa a través de cualquier sección. Si se elige tii> como velocidad de referencia ZIQ y dS como longitud de referencia lo, resulta - L(& E ll-2.1 0 (7.4- 5) BALANCES MACROSCdPICOS EN SISTEMAS ISOT.‘?RMICOS 1-9 en la que ev es el factor de pérdidas por fricción, que es una función de un número de Reynolds y de las adecuadas relaciones geométricas adimensionales. El factor 3 se ha introducido por semejanza con la forma de otras ecuaciones afines. Consideremos ahora las pérdidas por fricción en una conducción recta, con el fin de establecer la relación entre el factor de pérdidas por fricción e, y el factor de fricción f, y entre la perdida por fricción ,?$ y la fuerza del fluido sobre el sdlido F. Consideraremos solamente el caso especial del flujo estacionario de un fluido de p constante en conducciones rectas, de sección S y longitud L, arbitrafias pero constantes. Si el fluido circula merced a un gradiente de presión y a la gravedad (y en la dirección de la gravedad), las Ecs. 7.2-3 y 7.3-2 se transforman en (cantidad de movimiento) F = CPI - PdS + bwg (7.4-6) (energía E ” = $(Pl - P!J + 8s (7.4-7) mecánica) Multiplicando la segunda ecuación por pS y restando, se obtiene ^ F Ev = - (7.4-8) Si además el flujo del fluid& es turbulento, puede utilizarse la expresión de F en función del radio hidráulico medio R, (véase Ec. 6.2-16), para obtener (7.4-9) en la que f es el factor de fricción que se ha considerado en el Capítulo 6. La Ec. 7.4-9 es de la misma forma que la Ec. 7.4-5, y la comparación de ambas indica que e, = (L/R,)f. La Ec. 7.4-9 expresa la pérdida por fricción l?” en las longitudes rectas de la conducción. Si en el sistema de flujo existen diversos «obstáculos», tales como accesorios, variaciones bruscas de diámetro, válvulas o aparatos de’medida de flujo, es preciso introducir otras contribuciones a J?,. Estas contribuciones adicionales pueden expresarse según la forma de la Ec. 7.4-5, determinando e, mediante uno de estos dos métodos: (a) resolución simultánea de los balances ‘macroscópicos o (6) medidas experimentales. En la Tabla 7.4-1 se indican algunos valores aproximados de e,, considerando que la velocidad media aguas abajo de la perturbación es (0); estos valores corresponden a flujo turbulento, para el cual la variación con el número de Reynolds no es demasiado importante. Teniendo en cuenta la discusión anterior, se expresa a continuación la Ec. 7.3-2 en la forma aproximada que se utiliza frecuentemente para los cálculos de flujo turbulento, en un sistema compuesto de varios tipos de conducciones y resistencias adicionales : 7-10 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO A&(ü)2+gAh+ ‘=Idp+F% fDl P (7.4-10) donde Rh es el radio hidráulico medio definido en la Ec. 6.2-16, f es el factor de friccir5n definido en la Ec. 6.1-4 y e, es el factor de pérdidas por friccion que se indica en la Tabla 7.4-1. Téngase en cuenta que en los primeros términos & representa las velocidades medias en los planos «l» y «2»; en el primer sumatorio, tV> corresponde a la velocidad media en el segmento iésimo de la conducción; y en el segundo sumatorio tS> es la velocidad media de flujo aguas abajo del iésimo accesorio, válvula u otro obstáculo. TABLA 7.4 - Í BREVE RESUMEN DE FACTORES DE PÉRDIDA POR FRICC16N PARA UTILIZAR EN LA EC. 7.4-10 (Valores ,aproximados para flujo turbulento)o Obstáculos % Cambios bruscos del área de la seccidn transversalb Entrada normal de tubería Contraccion brusca Ensanchamiento bruscos Orificio (de borde afilado) Accesorios y válvulas Codos de 90” (curvados) Codos de 90” (en ángulo) Codos de 45’ Válvula de asiento (abierta) Válvula de compuerta (abierta) 0,4-0,9 1,3-1,9 0,3-0,4 6-10 092 u Tomados de H. KRAMERS , Physische Transportverschijnselen, Technische Hogeschool, Delf, Holland (1958), pp. 53-54. b = @rea de la sección menor)/(área de la sección mayor) ’ Vbase la deducción de los balances macroscópicos del ejemplo 7.5 - 1. Cuando B = 0, 8” = 4 tiS, siendo tü> la velocidad aguas arriba del ensanchamiento. BALANCES MACROSCdPICOS EN SISTEMAS ISOTÉRMICOS 7-11 Ejemplo 7.4-1. Potencia necesaria para el flujo en mm conduccih iQue potencia se necesita para bombear agua en el sistema de la Fig. 7.4-l ? El c< = 1,O cp) se eleva al depósito superior a razón de 0,34 m3 min-1. agua(p=1,00gcm-3; Toda la conducckk esú formada por una tubería circular lisa de 10 cm de diametro interno. Solución. La velocidad media en la conducción es (0.34140) Q CV’ = ,T = --=0,72mseg-1 y@$) L)Z y el número de Reynolds es Dtv>p Re=-= CC (O~OxO,72)(103) 10-3 = 7 2 x ,@ .’ por lo tanto, el flujo es turbulento La contribución a í?, de las distintas longitudes de tubería será = 2(0,72)2(0,004g) (1,5+ 90+ 36+ 24+ 12) (O,lO) = (0,OSOS) (163,s) = 8,3 m2 seg-2 Fig. 7.4-1. Flujo en una conducci6n con perdidas por fricción provocadas por accesorios. La contribucion a $ de la contracción brusca, de los tres codos de !JO”, y del ensanchamiento brusco (véase Tabla 7.4-1). serán 7-12 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO .?;( $ <u>%$~= 1/2(0,72)yO,45+ 3. 4 + 1) = 0,76 m* seg-2 Aplicando la Ec. 7.4- 10 resulta 0 + (9,81)(37,5 - 12) + 0 + W+ 8,3 + 0,76 = 0 y despejando g se obtiene ik = -250,16 - 8,3 - 0,76 S - 259 m* seg-2 Este es el trabajo (por unidad de masa) producido por el fluido en la bomba. Por lo tanto, la bomba comunica al fluido que circula en el sistema un trabajo de + 259 m* seg-2 o 259/9,81 = 26,4 m kg,/kg,,,. La velocidad de flujo de masa es Por lo tanto w = Qp = (0,34/60)(103) = 5,67 kg,,, seg-l , 2 - W = - wk? = (5,67) (26,4) = 150 kg,m seg-’ = 2 hp La potencia de la bomba es, pues, 2 hp. $ 7.5 UTILIZACI6N DE LOS BALANCES MACROSCbPICOS PARA EL PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE FLUJO ESTACIONARIO En $ 3.5 se ha visto como se plantean las ecuaciones diferenciales para calcular los perfiles de velocidad y presión en sistemas isotérmicas de flujo, simplificando las ecuaciones de variación. En esta sección se procede de igual manera con los balances macroscópicos, con el fin de plantear las ecuaciones algebraicas que describen las propiedades de entrada y salida del fluido en el sistema representado en la Fig. 7.0- 1. Esta sección se reduce a sistemas isotérmicas estacionarios. Para cada problema se utiliza una forma especial de cada uno de los tres balances macroscópicos de las secciones $0 7.1, 2 y 3. Teniendo en cuenta los términos que se han descartado se tiene automáticamente una lista completa de las suposiciones inherentes al resultado final. Todos los ejemplos ilustrativos que se presentan aquí son de líquidos incompresibles; en el caso de fluidos compresibles se producen con frecuencia considerables efectos caloríficos, y por esta razón no se considerarán hasta el Capítulo 15. Ejemplo 7.5-1. Aumthto de presih y pkdidas por .fricción en un ensanchamiento brusco Un fluido incompresible circula con flujo turbulento por un tubo circular cuya área de la sección transversal es St, y desemboca en un gran tubo de seccion transversal S2, tal como sc indica en la Fig. 7.5-1. Utilizar los balances macroscópicos con el fin de BALANCE.9 MACROSC&‘ICOS EN SISTEMAS lSOT.?tRMlCUS 7-f3 obtener una expresión de la variación de presión entre «l» y «2» y las pérdidas por fricción debidas al ensanchamiento brusco. Para abreviar, tomese vr = <ü,> y vz = tVz>. Los perfiles de velocidad en «l» y «2» pueden considerarse planos. Sohwi6n. a. Balance de materia. Para flujo estacionario, según la Ec. 7.1-3, tendremos Wl = wz 0 PIVIS, = P2d2 (7.54) Para un fluido de p constante, resulta (siendo p = Sr&): b. Balance de cantidad de movimiento. El componente del balance de cantidad de mo- vimiento (Ec. 7.2-3) en la dirección de flujo es F = wlvl - WP2 + PlSl - P2S2 (7.5-3) La fuerza F consta de dos partes: la fuerza viscosa que actúa sobre las superficies cilfndricas paralelas a la dirección de flujo y la fuerza de presión que actúa sobre la superfkk en «forma de arandela» que está inmediatamente después del plano «l» y que es perpendicular el eje de flujo. La primera contribución puede despreciarse y la segunda tomarse igual a pl(Sz - Sr), suponiendo que la presión sobre la superficie en forma de arandela es la misma que en «l». Según esto, se llega a -fG2 - Sl) = PV2S2@1 - 02) +p1s, -p$2 (7.5-4) Despejando la diferencia de presión, se obtiene P2 -P1 (!.5-5) = PAVl - 02) o, en función de’ la velocidad aguas abajo del ensanchamiento p2-p1=pu22 ‘ - 1 (7.54) (B ) Obsérvese que el balance de cantidad de movimiento predice (correctamente) un aumento de la presión c. Balance de%energía mecánica. La Ec. 7.3-2 para este sistema es Idu,” -u1”> +;e2 -p& +E” =o Introduciendo la Ec. 7.5-6 para el aumento de presión, después de algunas simplificaciones, se obtiene 7-14 TR A N SP O R TE D E C A N TI D A D D E M O V I M I EN TO Ldc orondala Sa- - SI- d e á re a \ T u b o cillndrico da rscci6n sp Fig. 7.5-1. Flujo en un ensanchamiento brusco. que es un valor ,de la Tabla 7.4- 1. Este ejemplo ha servido para indicar como se utilizan los balances macroscbpicos con el fin de obtener una expresión de las perdidas por fricción en un obstáculo sencillo del sitema de flujo. Para números de Reynolds bajos, la suposición de que los perfiles de velocidad son planos puede conducir a un error considerable. (Wase problema 7.1.) Ejemplo 7.5-2. Eficacia de UQ eyector lí~ ti~ En la Fig. 7.5 -2 se representa un diagrama esquematico de un eyector liquido-líquido. Se desea analizar la mezcla de las dos corrientes (del mismo líquido) mediante los balances globales. En el plano «l» confluyen dos corrientes Iíquidas, una con velocidad ve y area de la sección transversal $S,, y la otra con velocidad ve/2 y área de la sección transversal #SI. El plano «2» se toma suficientemente lejos aguas abajo, de forma que las dos corrientes se han mezclado y la velocidad u2 es practicamente uniforme. El flujo es turbulento y los perfiles de velocidad se consideran planos. En este analisis se desprecia F Solución. a. .Balance de materia. Para el estado estacionario, 3 = 9 0 PdWl = pn(ü*S* (7.5-9) Para un fluido incompresible p1 = pt = p; y de acuerdo con la geometria del sistema & = S2 = S; por lo tanto, (7.510) (ül> = <ü*> = *Vo + oKBvo> = &Jo b. Balance de cantidad de movimiento. Si se desprecia F, el componente del balance de cantidad de movimiento en la dirección del eje de flujo es <&9 -<q,“> - Q-J (7.54 1) +Plsl - P& =;o w1 <fil> BALANCES MACROSCÓPICOS EN SISTEMAS ISOTÉRMICOS 7-15 Fii. 7.5-2. Eyector líquido-liquido. Las relaciones de velocidades medias (suponiendo perfiles planos) son (7.5-12) (7.5-13) Substituyendo estas expresiones en la Ec. 7.5-11, y utilizando el resultado del apartado (a), según el cual w1 = ws = $pu&, se llega a p2 - - Pl = &P” 02 (7.5-14) Ésta es la expresión del aument o de presión que resulta de la mezcla de las dos corrientes. c. Balance de energía mecrinica. Si se suprimen F% y $, la Ec. 7.3-2, para el caso de un fluido incompresible, se transforma en 1- <ü,“>2 (üa) -3 __;:;; +-)p2 -p& +& =o (7.5-15) 1 Las relaciones de velocidades medias, calculadas como antes, son 1 <ü,“> 2 (ü& 1 z 1 =.2(ü2)2 =; ;oo 2+c ( 1 jv”s 1 + 2 02 uo 3 j 1 =2 1 2 uo yo + j 0 ‘y (7.5-16) (7.5-17) Substituyendo estas expresiones en la Ec. 7.5-15 y utilizando después la Ec. 7.5-14, se llega a E, = &po” (7.5-18) 7-16 TR A N SP O R TE DE C A N TID A D DE M O V IM IE N TO Este análisis conduce a buenos resultados para eyectores líquido-líquido. Sin embargo, en eyectores gas-gas la densidad varía considerablemente, Y es preciso incluir en el análisis la ecuación del balance global de energía y una ecuación de estado. (Véase ejemplo 15.4-4.) Ejemplo 7.5-3. Fuerza que actda sobre la curvatura de tma t ube ría Por un codo de 60”, en el que existe una contracción del diámetro interno de 10 a 7,s cm, circulan 3,4 m3 min- 1 de agua a 95” C. Calcular la fuerza que actúa sobre el codo, sabiendo que la presión a la salida del mismo es de 1.1 atm. (Véase Fig. 7.5-3.) Solución. El número de Reynolds para el flujo en la tubería de 7,5 cm (siendo p = = 0,962 g cmw3 y ~1 = 0,299 cp) es D@)P ~QP Re=-=P nDP = 4(3,4 x 106/WK4962) = 3 1 x ,06 ’ n(7,5) (2,99 x lo-s) Por consiguiente, el flujo es altamente turbulento y por esto se admite que los perfiles de velocidad son casi planos. Para simplificar, se tomará v1 en vez de <Y+,v~* en vez de <ü,z,, etc. Los tres balances se aplican en la forma siguiente: a. Balance de materia. Para el flujo estacionario, w1 = ~2; y, si la densidad del fluido no varía, el balance de materia da Vl s2 -E -E v2 (7.5-19) B 4 siendo fi la relación entre las secciones menor y mayor. b. Balance de energía mecánica. Para flujo estacionario incompresible, la Ec. 7.3-2 resulta en este caso (no teniendo en cuenta k ni Ah): iv,2 -3v,” +;(pI -p1) +B, =o (7.5-20) De acuerdo con la Tabla 7.4-1 y la Ec. 7.4-5, el factor de fricción resutta aproximadamente igual a $v22 .+ o sea 3~~~. Introduciéndolo en la Ec. 7.5 -20 y utilizando el balance de materia, se llega a PI -Pa = PVe2(!f - * p2 + *> (7.5-21) que representa la caida de presión en el codo en función de la velocidad v2 y el factor geomttrico /Y, que son ambos conocidos. c. Balance de dantidad de movimiento. En este caso hay que considerar los componentes x e y del balance de cantidad de movimiento; para el componente x tendremos BALANCES MACROSCdPiCOS EN SISTEMAS ISOTÉRMICOS Fe = SP, - ~23~2 = (po,sl)~l = p~22s2~~ -i-l 7 + PIS,: - PZS, k2S2 COS e)u, + plsl - p2s;, COS e - COS e) + (pl - po)s, + p2(s, - s, COS 6) (7.5-22) diámetro intcr sobra el codo diámetro interno Fig. 7.5-3. Fuerza de reacción en un codo de reducción de una tubería. Introduciendo la Ec. 7.5 -21, se obtiene Fl = pv22so - WS 4 + = PQ2~2-4iw-1 PV~~~--Y& - &m + PBSZ(B-~ - -0 +m +pes2(8-‘-c0se) - WS e) (7.5-23) Para el componente y, siendo WI,, = 0 y SI, = 0, tendremos 4 = -Y?u” 2 -pzS, - mbtg = -pQ2S2-l sen B - p& sen 0 - &Q (7.5-24) siendo L y R la longitud y el radio de un cilindro aproximadamente equivalente. De esta forma, se han obtenido los componentes de la fuerza de reac&h en funcidn de magnitudes conocidas y sólo falta substituir los valores numhcos: p = 961 kg,,, m-3 S2 = 4,4 X 10w3m2 7 ,52 Q = 0,0567 m3 seg- 1 /? = 1. = 0,562 = 112 sen e = xG/2 p2 = 1,14 x 104kg, m-2 cose ,, Re 0,037s m LS 0,25 m 7;18 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO F = (961)(0,0567)2 = (0,0044)(9,81) = 71,6(1,24 - OJO + 0,28) + 50(1,78 - 0,50) =73+64=137kg, (7.5 -25) F -(1,14x 104)(0,0044) Y - (3,142)(0,0375)*(0,25) (961) = - 62 -43 -1 = - 106 kg, (7.5 -26) Por consiguiente, el valor de la fuerza es (7.5 -27) IFI =2/137*+ 1062 = 173 kg, El ángulo que forma esta fuerza con la vertical es _ 1 3 7 a = arctg 106 = arctg 1,29 = 52” (7.5 -28) Al considerar el cálculo se observa que todos los efectos son importantes, con la única excepción de la fuerza de 1 kg, correspondiente al peso de fluido. Ejemplo 7.5-4. Flujo isothko de un liquido a tnds de un orificio Un método frecuentemente utilizado para determinar la velocidad de flujo en una conducción, consiste en medir la caída de presión que se produce al atravesar un «obstáculo» situado en la conducción. En el caso de un orificio, el obstáculo consiste en una lámina delgada provista de una perforación central, tal como se representa en la Fig. 7.5-4. Aquí vamos a deducir una fórmula para la velocidad de flujo en el orificio. Los demás aparatos de medida de flujo se pueden tratar de una forma análoga. Para resolver esta cuestión se aplica un balance de materia y otro de energía mecánica a la región comprendida entre los planos «l» y «2», en los que están situadas las dos tomas de presión. Solucih a. Balance de materia. Para un fluido de densidad constante en un sistema en el que SI = S2 = S, el balance de materia conduce a (7.5-29) Cu,) = (02) = cu> b. Bahce de energía mecánica. Para un fluido de p constante, cuando no hay producción de trabajo ni variación de energía potencial, tendremos: -(u,P 2a 2 - (cQ2- 2% +pF + j$u2>Peu = 0 (7.5-30) B A LA N C E S M A C R O SC Ó P IC O S E N SISTE M A S ISOTBRMICOS 7- 19 3, = sección de la tubería = ss --- _.-.- ~---L-L -.-.--.-.__.-B-.-.-I Manómetro “1” (4 fb’ Pi¡. 7.5-4. (a) Orificio de borde afilado, con ind/cacion de los perfiles aproximados de velo& dad en distintos planos proximos a la placa del orificio. Observese que el chorro de liquido a la salida del orificio tiene un diámetro algo menor que éste. Para el flujo altamente turbulento el chorro adquiere una sección mínima correspondiente a la vena contracta. Obskvese que junto a la pared se produce algo de flujo de retroceso. El valor de este estrechamiento del chorro, estimado a partir de la teoría del flujo ideal, es C, = «coeficiente de contraccibtm = (S,, contrafta /Se) = n/ (n - f- 2) = 0,611. [Véase H. Lamb, Hydrodynami~s, Dover, ,primera edición americana (1945), p. 99.1 (b) Perfil aproximado de velocidad en el plano «2», utilizado para el Calculo de aa. En esta expresión se han introducido los factores a con el fin de tener en cuenta la diferencia entre <v>~ y w3~/w~. Combinando las Ecs. 7.5-29 y 30 se obtiene una expresión para w>, que al multiplicarla por PS, resulta w - p (u)S = PS l 2@1 - 1 1 PZYP (7.5-31) De esta forma se obtiene la velocidad de flujo de masa en función de la diferencia de presión. Debido a que los modelos de flujo son complicados, at, a2 y e,, sólo se pueden obtener de forma aproximada: i. Se ii. Se iii. Se de la Fig. supone que e, es cero supone que el perfil de velocidad en «l» es plano, de forma que at = 1 supone que el pertil de velocidad en «2» viene dado por el perfil aproximado 7.5-4b, de forma que ve = tv~(S/Se), y , TRANSPORTE DE CANTIDAD DE M OVIM IENTO 7-20 1 w soRu>(s/s,)lõ ;=(vz)s= + (S - So)(O) 1 S - <u>B (7.5-32) Con estas suposiciones, la Ec. 7.5-31 se transforma en w = p(u>S = so J %4Pl -PS> 1 - wo/s)2 (7.533) Esta expresión representa la variación fundamental de w con la densidad del fluido, la diferencia de presión (que se puede medir con un manómetro) y las dimensiones del tubo y del orificio. Para tener en cuenta los errores introducidos por las suposiciones (i), (ii) e (iii), se acostumbra, en la práctica, a multiplicar el segundo miembro de la Ec. 7.5-33 por un coeficiente de descarga Cd: w = c,s, &4P1-P&) J1 - (so/s)2 (7.5-34) Los coeficientes de descarga experimentales se han correlacionado en función de un número de Reynoldsl y (S&‘). Para valores elevados del número de Reynolds, C, tiende hacia 0,61. I 0 7 . 6 UTILIZACI6N D E L O S B A L A N C E S MACRóSCóPICOS PARA PLANTEAR PROBLEMAS DE FLUJO NO ESTACIONARIO En $ 7.5 se ha visto la forma en que se pueden abordar los problemas de flujo isotérmico en estado estacionario, mediante los balances macroscopicos. En esta sección se considera, la utilización de los balances en estado no estacionario de las Ecs. 7.1-2, 7.2-2 y 7.3-1 para describir el comportamiento de los sistemas macroscópicos en funci6n del tiempo. Aunque la literatura ingenieril está llena de ejemplos sobre las aplicaciones de los balances en estado no estacionario, no se ha dedicado, sin embargo, suficiente atención al análisis basado en dichos balances. Aquí se presentan dos problemas de estado no estacionario con el fin de explicar su planteamiento y resolución. En los problemas 7.L y 7.P se presentan más ilustraciones de balances macroscópicos no estacionarios. Ejemplo 7.6-1. Tiempo de vertido para el flujo en un embudo Un embudo cónico, cuyas dimensiones se indican en la Fig. 7.6 - 1, está inicialmente lleno de líquido y se vacía por gravedad. Determinar el tiempo de vertido. Sehreión. De acuerdo con la geometría del sistema, es evidente que (7.61) 1 G. L. TUVE y R. E. SPRENKLE, J. H. PERRY, Chcmical Instruments, 6, 201-206, 8, 202-205, 225, 232-234 (1935); Engineers Hund6ook. McGrsw-Hill, Nueva York (1950), p. 405. BALANCES MACROSCdPICOS EN SISTEMAS ISOTtRMICOS 7-21 También se, pueden expresar las correspondientes velocidades del fluido, mediante balances de materia, en función de la altura z de la superficie del liquido: 12 dz v(Z) = velocidad en un plano cualquiera del líquido = - - 3 dt (7.6 -2) z2 dz 02 = velocidad de vertido = - - z22 dt a. Balance de energía mecánica. Se considera ahora como sistema el fluido que un instante cualquiera t está por encima del plano z = zz. Al plantear el balance de energía mecánica se tienen en cuenta las siguientes especificaciones: (i) En este sistema no existe el plano «l» ; es decir, que no hay «corriente de entrada», y por lo tanto wt es cero. (ii) Se toma como plano «2» el de salida situado en z = zz, donde la velocidad de flujo de masa es wz. (iii) La superficie libre del líquido se considera como una superficie móvil que = zp =O Fig. 7.6-1. Recipiente cónico desde el que vierte un liquido. El drmino r es el radio de la superficie del líquido situada a la altura z; i es el radio del cono para una altura arbitraria L. es capaz de intercambiar energía mecánica con los alrededores. Como la superficte libre y el chorro de salida están en contacto con la atmósfera, la presión p es la misma en z = z y z = zz. Vamos a analizar el sistema utilizando la expresión para densidad constante de l a Ec. 7 . 3 - l a : $(K,ot + %t) = -A@p2 +gz)wl - A@(u)s) - W - E,, 7-22 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MÓVIMIENTO La velocidad con la cual los alrededores comunican trabajo al sistema viene dada por la fuerza que ‘actúa sobre la superficie libre multiplicada por la velocidad de descenso de dicha superficie; es decir, - W = p(,zrz)( - dz/dr). El término - d(ptv>S) se transforma en -pv& = +~(7crz~)(zz/.zz2) (- dz/dr). Esta contribución se compensa exactamente con - W, según se puede ver, utilizando las Ecs. 7.6 -1 y 7.6-3. La disipación viscosa Ev es muy pequeña y puede considerarse en este caso igual a cero. También se desprecia el término de energía cinética del primer miembro. t Por consiguiente, la Ec. 7.6-4 se transforma en (7.6-5) 1 z:l.gz>fadi = -$I;w~ -gz,wp s Dividiendo por ws = pvswa2 se llega a y utilizando la Ec. 7.6-1 para substituir Ps por Zs(rs*/zs2), (7 6-6) Efectuando la diferenciación y utilizando luego la Ec. 7.6-3, se obtiene -gz = -&g -gZ2 (7.6-7) de donde v2 = 42g(z - %J , (7.6-8) Ésta es la ley de Torricelli, que hx presa de forma aproximada la velocidad de vertido en función de la altura de la superficie del líquido. b. Balance de materia. Aplicando el balance de materia en estado no estacionario de b la Ec. 7.1-2, se obtiene (7.6-9) # Utilizando la Ec. 7.6- 1 para substituir 72 por iz(rz*/zzz) y la Ec. 7.6-8 para introducir la expresión de vz, se llega a <z3 - z23) = - t/2g(z - %2) (7.6-10) Si el orificio inferior es muy pequeño, para la mayor parte del periodo de vertido z2 <Z y puede tomarse aproximadamente 2gz en vez de 2g(z - za). Según esto, la Ec. 7.6-10 (después de diferenciar con respecto al tiempo) se transforma en dz &i- = -z2” ,/zg. dt (76-11) Integrando con la condición inicial de que z = za para t = 0, se obtiene 1 En el problema 7.P se presenta un ejemplo en el que se incluye el término de energta cinetica. BALANCES MACROSCÓPICOS EN SISTEMAS ISOTÉRMICOS z? - 2% = pz$@ t 7-23 (7.642) El tiempo total de vertido se obtiene tomando z = za x 0: 1 zo 2 220 t wa=J w zz -Y- (7.6-13) A este resultado se ha llegado despues de e’zctuar bastantes suposiciones. La omisión del termino de energía cinética del primer mie nbro es particularmente importante cuando el nivel del líquido es bajo. También se ha supuesto que no se forma vórtice durante el vaciado del embudo. Ejemplo 7.6-2. Oscilaciones de un meAmetro amortiwado El fluido contenido en un tubo manométrico esta inicialmente en reposo y se pone bruscamente en movimiento por aplicación de una diferencia de presión pa - pb. Hallar la ecuación diferencial del movimiento del fluido manometrico para flujo isotérmico incompresible. Obtener una expresión del radio del tubo para el cual tiene lugar el «amortiguamiento crítico». Despreciar la densidad del gas situado por encima del líquido manométrico. La notación se indica en la Fig. 7.6-2. Nive l de l líq uido e n e l Nive l de l Ifquido Liq uido en el m a no m é tric o Fig. 7.6-2. Oscilación amortiguada de un fluido manom&rico. Solución. Se toma como sistema el fluido manométrico. En este sistema no existen los planos «l» y «2» de entrada y salida de fluido. Las superficies libres del líquido pueden intercambiar trabajo con los alrededores. Se aplica un balance de energía mecánica según 7-24 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO la forma de la Ec. 7.3 -la. Puesto que wr y w2 son cero, los únicos términos que quedan en el segundo miembro son - W y -Et,. Para evaluar el término de energía cinética y el término Ev se admite un perfil parabólico de la forma u@, t) = Z(u)[l - (i)‘] (7.6-14) siendo w> una función del tiempo que se toma como positiva para el flujo de izquierda a derecha. Por lo tanto, ipv2 *2nr dr dl Zr = npLR2 = 4npLR2 s0 ‘&: RR fo ‘(1 - t2)2t dE $ <v)~ = $pLstv) $ (0) (7.64 5) siendo 1 una coordenada que va a lo largo del eje del tubo manométrico, y L una longitud medida sobre este eje desde una a otra interfase del fluido manométrico (o sea, la «longitud» total) La variación de energía potencial con el tiempo es d dt =- integral extendida a la parte, que está por debajo de .z = 0 y que es constante ;+?dz+ pgS[+H+bzdz] (7.6-16) El trabajo neto producido por los alrededores sobre el sistema es - w = (/Ia - p,)SW Finalmente, el término de perdidas por fricción es Ev = = 277LfA (T : Vv)Znr dr dl (7.617) BALANCES MACROSCÓPICOS EN SISTEMAS ISOTÉRMICOS ?-25 = 8=LpW j -2E)at dt s = 8LSpw=IR~ Substituyendo estos términos en el balance de energía mecanica (7&18) (siendo <v> = &/&) (7.619) que ha de resolverse con la condición inicial de que para t = 0, h = 0 y dh/dt = 0. La Ec. 7.6 - 19 es no homogénea, pero puede transformarse en homogénea introduciendo la nueva variable k, definida por 0 $0 p= lf&-?b -ET- Pa -Pbk 3: - (7.620) ri” Pg Por tanto, la ecuación del movimiento del fluido manométrico es !$+($!j!!+(;;)k=O (7.6-21) Esta ecuación diferencial de segundo orden es la misma que describe el movimiento de una masa conectada a un muelle y un amortiguador, o el paso de corriente en un circuito RLC. Una posible solución de la Ec. 7.6 -21 es k = t+. Substituyendo esta función en la ecuación, se obtienen los dos valores siguientes (7.6-22) y la solución adquiere una. de estas dos formas: k = C+em+t + C-e(>)-’ k = Clemt + C,temt m+ f m- (7.6-23) m+ =m- =m (7.6-24) determinándose las constantes a partir de las condiciones iniciales. El tipo de movimiento que adquiere el fluido manométrico depende del valor del discriminante de la Ec. 7.6-22: u. Si (6ARzp)2 > (6glL) > el sistema está «superamortiguado» y el fluido se mueve lentamente hacia su posición final. b. Si (6,u/R2p)2 < (6g/L), el sistema esta «infraamortiguado» y oscila alrededor de la posición final con una amplitud cada vez menor. c. Si (6p/Rfp)2 el sistema está «críticamente amortiguado» y se mueve hacia la posición final en la forma monótona mas rápida. = (6g/L) > 7-26 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Por consiguiente, el radio del tubo críticamente amortiguado es R (7.6-25) Si el radio R del tubo es mayor que R,,, se produce un movimiento oscilatorio. CXJESTIO~ PARA DISCUTIR 1. ~Cbmo están relacionados los balances macroscópicos con las ecuaciones de variación del Capítulo 3 ? 2. iC6mo se define Gn> para el flujo axial en un anillo cillndrico? 3. Comprobar la consistencia dimensional de la Ec. 7.2-3 y explicar el significado de W, S, y g, para ald sistema concreto de flujo. 4. Comprobar la consistencia dimensional de la Ec. 7.3-2 y resumir los titodos de estimación de fi,. 5. icómo se evaluarla la integral de la Ec. 7.3-2 para un gas de van der Waals? 6. Evaluar E, y 4 para el flujo laminar en un tubo circular, utilizando la Ec. 7.4- 1; en este caso -(~:vv) = iL(dv;/dr)‘. 7. i Qué relación existe entre el factor de friccidn f y el factor de pérdihs por friccidn e, pata el flujo incompresible en cenales rectos? 8. icómo se utiliza la Ec. 7.4-10 para calcular la potencia necesaria para obtener una velocidad de flujo determinada y para calcular la velocidad de flujo cuando se. conoce la potencia? 9. ~Cuál serla el error del resultado final del ejemplo 7.4-1 si la estimación de 2, estuviese multiplicada por 21 ¿En qué condiciones sería este error más importante? 10. icómo se afectarían los resultados del ejemplo 7.5-3 si pz valiese ll atm en vez de 1,l atm? ll. Explicar cómo funciona uu medidor de orificio. Citar algunas de sus ventajas e inconvenientes. 12. iFuncionaría correctamente el medidor de orificio de la Fig. 7.5-4 en una nave espacial? 13. Comparar la deducción de la ley de Torricelli del ejemplo 7.6- 1 con la que se efectúa en otros libros, la mayor parte de los cuales basan su deduccibn en un metodo de «estado cuasi estacionario». Explicar este tirmino. 14. Completar el an8lisis del ejemplo 7.6-2 calculando la altura del fluido en función del tiempo. Calcular el radio de amortiguamiento crítico para un sistema real. 15. ~Quk ocurriría si en la Fig. 7.4-1 la altura de 1,5 m fuese de 15, m? 16. LPuede aplicarse la Ec. 7.4-8 para el flujo no-newtoniano incompresible? PROBLEMAS 7.Ar Aumento de presíbn en nn ensandmmiento hrose~ Por el ensanchamiento brusco de la Fig. 7.5 - 1 fluye una solución acuosa con una velocidad de 1,70 m;/min. El diámetro interior de la tubería estrecha es de 13 cm y el de la ancha 23 cm. Calcular el aumento de presibn en atm, si la densidad de la solución es 1,009 g cm-J. Respuesta: 0,Ol atm. 7.Br Flujo de un gas compresible en nn tubo eilindriee Por una tubería horizontal de 7.6 cm de diámetro interior circula un caudal de 0,127 kg seg-1 de nitrbgeno gaseoso con flujo turbulento isot~rmico a 25” C. Las presiones a la entrada y salida BALANCES MACROSCÓPICOS EN SISTEMAS ISOT~RMlCOS 7-27 del tubo son 2’y 1 atm, respectivamente. A partir de los balances macroscópicos de materia y energía mecánica, evaluar las «pérdidas por fricción» &,, en kcal kg,-1, suponiendo que el gas se comporta como ideal. Respuesta: 14,6 kcal kg,,,-1 7.C1 Flujo iaeomprcsibk ea uo millo Por una conducción de 6 m de longitud, formada por dos tubos concéntricos, se hace circular un caudal de agua de 55 m3 hr-1 a 15’ C. Los di&netros interno y externo del tubo son 7,s cm y 17.5 cm, respectivamente. La entrada está 1,5 m más baja que la salida. Utilizar el radio hidráulico medio para resolver el problema. Supongase que la entrada y fa salida están a la misma presión. Se deaea calcular la potencia de la bomba. Respuesta: 0,32 hp. 7.D1 Fwraa qae actúa sobre una curvatura en U de una tuberfa Por una curvatura en forma de U de una tubería circulan g5 1 /seg de agua a 20“ C (p = 0,999 g cm-3 y p = 1,0 cp). (Wase. Fig. 7.D.) iCuál es la fuerza neta que actúa sobre la tubería en U? Respuesta: 410 kgf “2” = 1.29 atm de sobrepresión # 1 “1” p1 = 1.43 atm d e sobrepresi6n Fig. 7.D. Flujo en una curvatura en U; las dos ramas están a la misma altura. 7.Er Dcsintegrací& de astíllas de madera En la manufactura de pasta de papel, las fibras de celulosa de las astillas de la madera se separan de la lignina mediante calentamiento a presión con soluciones alcalinas en grandes tanques cilindricos llamados digestores. Al final del período de «cocción» se abre una pequena portezuela situada en el fondo del digestor y las astillas de madera chocan contra una placa para completar la desintegración y separación de las fibras. Estimar la velocidad de la corriente de descarga y la fuerza que ejerce sobre la lámina en las condiciones que se indican en la Fig. 7.E. para el momento en que se inicia la descarga. Puede despreciarse la fricción contra la pared del digestor y la pequefla cantidad de movimiento del fluido en el interior del tanque. Respuesta: 1275 kg, seg-1; 4950 kgf 731 cakdo&lav~L~ calcular la velocidad de flujo, para agua a 20” C, en el sistema que se indica en la Fig. 7.F. El nivel del liquido en el deposito superior se mantiene constante. Respuesta: 7,3 m3 min-1. 7-28 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO d e robrcp;;sión n - Nivel de lo - - - surpcnsi6n--- - Densidad = 1.04 g cm - 2 . 4 m- Fig. 7.E. Digestor de pulpa. Diámetro interno de l o conducci6n 12,7 c Pi. 7.F. Flujo en un tanque de carga constante. BALANCES MACROSCdPICOS EN SISTEhtAS ISOT.!?RMICOS 7-29 7.4 Evaluación de distintas velocidades medias a partir de medidas con IJII h&o de pitot Los siguientes datos experimentales1 se han determinado mediante un tubo de Pitot, para & versas posiciones a lo largo del dirimetro de una tubería de 7,77 cm de radio, por b que circula agua. Distancia desde el Velocidad local Posición centro del tubo (cm) (cm seg-1) 239,3 1 7,ll 2 5.51 316.7 3 3.63 344,7 4 1,83 3554 5 359.4 WQ 356,6 6 1,83 7 3,63 349,6 338,3 8 $51 9 7,ll 282,2 Representar graficamente 4>/v&&, y <53>/E,,. estos datos y utilizar la fbrmula de Simpson para calcular <ü>/ú,& 7.Hz Velocidades medias para flujo turbulento En Jo 7.2 y 7.3 se ha indicado que para el flujo turbulento se acostumbra substituir (a) (ü*)/ <ü> por (ü) y (b) (g3)l(õ) por (U)*. iQu6 ta.nto por ciento de error se comete al utilizar esta aproximación para el flujo en un tubo ? Utilícese la ley de la potencia + (véase $ 5.1) para estiRespuestas: a. 2 por ciento; 6. 6 por ciento. mar el error. 7.12 Descarga mdltiple en una coadwción Común2 Ampliar el ejemplo 7.5-1 de forma que el fluido (incompresible) que circula por varios tubos descargue en otro de mayor diámetro, dando lugar a un considerable aumento de la sección, tal como se indica en la Fig. 7.1. “1” “2” Fig. 7.1. Descarga mtiltiple es una conducción común; el área total disponible para el flujo en «l» es Sr y S, en «2». 1 B. BIRD, tesis doctoral en Ingenieria química, Universidad de Wisconsin (1915). 2 W. M. KAYS, Tram. ASME, 72, 1067 (1950). 7- 30 TR A N SP O R TE D E C A N TID A D D E M O V IM IEN TO Estos sistemas son importantes en relacibn con ciertos tipos de cambiadores de calor, donde las perdidas por ensanchamientos y contracciones representan una fracción considerable de la pérdida total de presión. Tanto en los tubos pequefios como en el grande el flujo puede ser laminar o turbulento. II. Demostrar que los balances macroscópicos conducen a las siguientes expresiones para el aumento de presi6n y las p&didas por fricción: (7.14) (7.1-2) en las que se han introducido las relaciones adimensionales: Ii) KS w (7.1-3,4) =- ; (Vi)’ b. Demostrar que para el flujo laminar en tubos circulares resulta: &c2) = 4, y K,(o) = 2. c. Discutir el comportamiento de las pkrdidas por fricción cuando p = 0 y cuando B z 1. d. Discutir las distintas posibilidades con respecto al flujo laminar y turbulento. 7.J2 Evaluación de velocidades medias para el Rujo laminar de fluidos no neWtonianoS en tubos C irc ula re s CI. Evaluar las relaciones (definidas en el problema 7.1). K”’ = $ ; K’“’ = $ V’ (7.J-1,2) para el flujo laminar en tubos circulares largos de un fluido que sigue la ley de la potencia (Ec. 1.2-3). Obskvese que las relaciones K(i) permiten expresar de tal forma los balances macrosc6picos de materia, que las relaciones de velocidades medias vienen dadas por la cantidad de movimiento o la energía cin&ica de la corriente, multiplicadas por un factor de correcrión: (7.J-3,4) 6. Repetir la deducción para un fluido de Bingham Respuesta:a. K(*’ = (3n + 1)/(2n + 1) K”’ = 3(3n + 1)“/(2n + 1)(5n + 3) 7.Kz Pkdidas por fricción en el flujo no-newtoniano Un fluido que sigue la ley de la potencia (Ostwald-de Waele) dednida en la Ec. 1.2-3, circula con fluju laminar.por una tuberla circular de iadio R y longitud L. Los per.iles de velocidad se. han hallado en el problema 2.H. u. Demostrar que los perfiles de velocidad pueden expresarse en esta otra forma: &- (E?l)(, - ($T) (7.K-1) BALANCES MACROSC~PZCOS EN SISTEM+ ZSOTÉRMICOS 7-31 b. Evaluar las perdidas por fricci6n Ev mediante la J3c. 7.4-1, utilizando la Tabla 3.4-8 para expresar el integrandó en forma conveniente. Demostrar que E = 2mnL(ll)=+’ 1 l# . 3+ -ll p-’ ( 1 (7.K2) c. Demostrar que se puede utilizar la Ec. 7.4-8 para obtener el mismo resultado. El factor de fricción para este sistema se ha calculado en ei problema 6.K. 7& Vuhdona del hvcntario de m depbsito de gas Un depósito de gas natural se abastece a trav6s de una conducción con una velocidad estacionaria w1 kg hr-1. En un período de 24 horas, Ia demanda de combustible desde el depósito, ws, varía aproximadamente en la forma siguiente: w,==A+Bcosot (7.G1) siendo ut un tiempo adimensional medido a partir de la hora de m&xima demanda (6 de la magana aproximadamente). u. Determinar los valores nuiximo, mínimo y medio de w2, para un período de 24 horas, en .1 tuncion de A y B. b. Determinar el valor neceaario de w1 en funcion de A y B. c. Tomar m = nte para t = 0, e integrar el balance no estacionario de materia con esta condición límite a tin de obtener m en funcion del tiempo. d. Determinar la capacidad mínima que ha de tener el deposito para satisfacer la demanda sin interrupción, si A = 2268 kg, hr-1, B = 907 kg, hr-1; y p = 0,705 kg,,,m-3. iA qut hora del día debe estar lleno el depósito para permitir esta operaci&? c. Determinar la capacidad minima del deposito que se necesita para disponer en todo momento de una reserva para tres días como núniino. Respuesta: d. 9,82 x 103 m3. e. 2.41 x 105 m3. 7.n43 ‘Tlanpe wces8rbparavaciaruntanqmemedianteaaataberh~ dcsca+ II. El tanque y la tuberia de la Fig. 7.M estan inicialmente llenos de un líquido de densidad p y viscosidad p. Hallar una expresión del tiempo necesario para vcciar el tanque (pero no la tube ría), utilizando un nAtodo de estado cuasi estacionario. Emplear un balance de materia en estado no estacionario juntamente con un balance de energía mcainica en estado’estacionario. Despr¿ciense las perdidas de la entrada y suphgase que el flujo en el tubo es en todo momento laminar. Despreciesc tambii la energía cin&ica de la corriente que sale. b. Rehacer el problema para el caso de que el flujo en la tubería sea turbulento. H Respuesta.- 0. tvrc 2Eln 1+, Pg&’ ( ) 7.NN, -dem~ a~ elvos&Cllbd En el ardisis de los datos viscceimdtricos de flujo en un tubo para determinar la viscosidad. secomparaladiferencia de presión frente a los datos experimentales de la velocidad de flujo con la correspondiente cxpresi6n teórica de la diferencia de presi6n en funcion de la velocidad de flyio. 3 A. G. Fruu~~crcsow [tesis &ctorul, Universidad de Wisconsin (1959)) desarroll5 y aplico este m&do para estudios viscosim&riws de fluidos, no-newtonianos. 7-32 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Frg. 7.M. Tanque provisto de una larga tuberla de desagüe; la superficie del lfquido y la salida de la tubería están a la presión atmosfkrica. En la expresión teórica se supone que el flujo esti totalmente desarrollado en la región comprendida entre los dos planos en los que se mide la presión. En un aparato como el que se indica en la Fig. 7.N se conoce la presión a la salida del tubo («2») y en la superficie del líquido en el tanque («l»). Sin embargo, los perfiles de velocidad no están totalmente desarrollados en la región de entrada del tubo. Por lo tanto, no se puede aplicar la expresión te6rica que relaciona la diferencia de presión con la velocidad volumétrica de flujo (ley de Hagen-Poiseuille). Sin embargo, la ley de Hagen-Poiseuille puede utilizarse siempre que las medidas de flujo se realicen en dos tubos de diferente longitud, LA y Lg; la longitud del tubo rn&s corto ha de ser suficientemente larga para que los perfiles de velocidad estén totalmente desarrollados a la salida, en cuyo caso, la parte final del tubo largo, de longitud La - LA, ser6 una región de flujo totalmente desarrollado. (Vtke Fig. 7.N.) Si se conoce el valor de 9, - S, para esta región, se ‘puede aplicar la ley de Hagen-Poiseuille de la Ec. 2.3-19. Demostrar que combinando adecuadamente los balances de energía mecAnica expresados para los sistemas «l-2», «3-4» y cO&, se obtiene la siguiente expresión para B, - 9, cuando la velocidad & fl40 es la misma en ambos viscosimetros: (7.N-1) siendo B, ==po + pg+. El t¿rmino B, - B, representa la diferencia efectiva de presi6n que se aplica a la longitud LE - LA. Explicar con detalle como se utilizaría la Ec. 7.N-1 para analizar las medidas experimentales. ~SerzS vklida la Fc. 7.N-1 para tubos de secci6n no circular? BALANCES MACROSCOPICOS bcpsriencio A EN SISTEM AS ISOTERMICOS Ex p e rie nc ia 1-33 8 Fig. 7.N. Experiencias en dos tubos viscosim&ricos con la misma velocidad de fhjo y la misma la salida. Las presiones PA y PB se mantienen constantes mediante un gas inerte. presih a 7.0, Relacih wtre las phrdida.9 por fricción y la fue rza que actúa sobre mper&ciea anulared Comprobar la Ec. 7.4-8 para el flujo laminar de un fluido newtoniano incompresible en un largo conducto de seccih anular, utilizando los perfiles de velocidad que se indican en 0 2.4. La longitud del anillo es L y los radios interior y exterior son KR y R, respectivamente. 7.P4 Efectos de mzelemci611 para el flujo no estacionario en el vaciado de un tanque Un cilindro abierto, de altura H y radio R, esth inicialmente lleno de líquido. En el instante t = 0 comienza a salir el líquido a trav6s de una pequefia boquilla convergente de radio & situada en el fondo del tanque. (Wase Fig. 7.P.) Hg. 7.P. Vaciado de un tanque cilíndrico. 7-34 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO u. Hallar el tiempo de vaciado, suponiendo primeramente que la ley de Torricelli describe la relación entre la velocidad de salida y la altura instantarma del liquido. b. Hallar el tiempo de vaciado utilizando el balance no estacionario de materia y el balance no estacionario de energía mecánica. Expresar el resultado como producto del tiempo de vaciado obtenido en (a) por una función de N, siendo N = (R/R@. c. @s importante el factor de correcci6n hallado en (b)? Respuesta: h tw = 2(R/R,)‘d?/2g *+(N) 1 siendo +(N) = (+)d(N - 2)/N (q - r]n)-‘A& 7 . 4 , Dd de flujo en 111111 derhaci6n m&Miple Un fluido circula por una tubería que esta cerrada en uno de sus extremos, distribuyéndose entre n tubos, tal como se indica en la Fig. 7.4. Todas las tubuladuras son del mismo diámetro, que es distinto del de la tubería principal. Obtener una ecuacion de diferencia para la velocidad en cualquier segmento de la tubería principal. Esta ecuación de diferencia se ha resuelto mediante una maquina calculadora de elevada velocidad.1 Fig. 7.Q. Flujo en una derivación mmiltiple. 7.R., Deducci6ndelbalancedeene+ mechicaparaelth&noes+ a~ incompresible Se desea ampliar el Ejemplo 7.3 - 1 para incluir el flujo no estacionario en un sistema que contiene partes móviles. Si existen superficies mbviles en el sistema, aunque el volumen total del mismo puede permanecer constante, la forma varía y por consiguiente no se puede sacar alar fuera del signo integral en la Fc. 7.3-6. Se puede utilizar la versión tridimensional de la fbrmula de Leibnitx para la diferenciación de una integral*~~, según se indica en # AS. Al aplicar el teorema de la divergencia de Gauss, la superficie deberá de separarse en S,t (la superficie mojada fija), S,,,, (la superficie mojada mbvil), y las superficies matem&icas SI y $. La integración del termino (d) de la Fc. 7.3-6 dad un t&mino sSW, [T‘D].dS-- w. A. ACRIVOS, B. D. BABCQCK y R. L. PIOIORD, C4em. Eng. Sci., 10, 112-124 (1959). *R. B. BIRD. Chem. Eng. Sci., 6, 123-131 (1957). 3 L. M. GRIXSMAN, Am. J. Phys., 25, 257-261 (1957). 1 (7.R-1) BALANCES MACROSCtjPICOS EN SISTEMA; ISOTÉRMICOS que es el trabajo producido por las fuerzas viscosas al actuar sobre las superíicies ttrmino (c) dati también lugar a un termino adicional: 1-35 m6viles. El i (7.R-2) La suma de estos dos tQminos da el trabajo producido por el fluido sobm los alrededores, que es transmitido mediante ingenios mecánicos. El resultado viene dado por la Ec. 7.3-1~. SECUNDA PARTE Transporte de energía CAPfTULO 8 CONDUCTIVIDAD CALORIFICA Y MECANISMO DEL TRANSPORTE DE ENERGfA La conductividad calorífica k es una propiedad que interviene en la mayor parte de los problemas de transmisión de calor. Su importancia en el transporte de energía es análoga a la de la viscosidad en el transporte de cantidad de movimiento. Se comienza en $8.1 por establecer la ley de Fourier de la conducción de calor, que sirve para definir la conductividad calorííka de un gas, líquido o sólido. En $8.2 se hace un resumen de la variación de la conductividad calorífica de los fluidos con la temperatura y la presión, mediante correlaciones basadas en el principio de los estados correspondientes. Las conductividades caloríficas de gases y líquidos se estudian desde un punto de vista molecular en $5 8.3 y 8.4. Finalmente, en Q 8.5 se estudia su relación con la conductividad ektrica mediante la celebre ley de Wiedemamr, Franz y Lorenz para los metales. El numero de datos de conductividad calorífica existentes en la bibliografía est8 aumentando rápidamente. Se utilizarán datos experimentales srempre que se disponga de ellos; en su defecto? pueden resultar útiles los métodos de estimación que se indican aquí. En este capítulo trataremos el transporte de energía solamente por el mecanismo de conducción, dejando para más adelante el que tiene lugar por conveccidn, rudiucibn y dl@sión. 8 8.1 LEY DE FOURIER DE LA CONDUCCI6N DEL CALOR Consideremos una placa de un material s6lido de superficie A, comprendida entre dos grandes I&ninas planas y paralelas separadas por una distancia Y. Supongamos que inciahnente (para r < 0) el material solido esta en su totalidad a la temperatura To. En el instante t = 0 la lámina inferior se pone bruscamente a una temperatura T I, ligeramente superior, que se mantiene constante. A medida que transcurre el tiempo varía el perfil de temperatura en Ta placa y Snalmente, se al- J I ,‘ 8-4 ., &‘,, j:. .; ;;. . *! ,,*: ,9”,’ .s i ‘IV ;::: : >i ,: ,I ” r *. TRANSPORTE DE ENERGfA canza una distribución lineal de temperatura en estado estacionario. (Wase Fig. 8. l- 1.) Una vez alcanzadas las condiciones del estado estacionario, tiene que existir una velocidad constante de flujo de calor Q a traves de la placa para que se man- Fig. 8.1-1. Formación del perfil de temperatura en estado estacionario en una placa &lida rituada entre dos Uminas; v&se un caso análogo para transporte de cantidad de movimiento en la Fig. 1.1-1. tenga la diferencia de temperaturas A T = TI - To. Se ha encontrado que para valores de A T suficientemente pequeños se cumple. la siguiente relación: Q Yj= kAT ‘r (8.1-1) E!s decir, que el flujo de calor por unidad de Brea es directamente proporcional a la disminución de la temperatura con la distancia Y; la constante de proporcionalidad k es la cmductividad calortjfca de la placa. La Ec. 8.1- 1 se cumple también para líquidos y gases situados entre las lkninas, siempre que se tomen las precauciones necesarias para evitar la conveccibn y radiación. Esta ecuacion, por lo tanto, describe los procesos de conducción que tienen lugar en sólidos, líquidos y gases. Los mecanismos de convección y radiación se tratan en capítulos posteriores. CONDUCTIVIDAD CALORfFICA Y M En los. tratamientos analíticos que siguen resulta más conveniente Óperar con la Ec. 8.1-1 expresada en forma diferencial; o sea, que se utiliza la forma límite de esta ecuación correspondiente al caso en que el espesor de la lámina Y tiende hacia cero. El flujo local de calor por unidad de área (densidad de flujo de calor) que tiene lugar en la direccion y positiva se designa por q,.. De acuerdo con esta notaI ción, la Ec. 8.1- 1 toma la forma:1 4” = -/(dT dy (8.1-2; Esta ecuación es la forma unidimensional cie la Zey de Fourier de la conduccidn Ifei calor, que es válida cuando T = T(y). Establece que la densidad de flujo de calor por conducci&n es proporcional al gradiente de temperatura, o dicho de una forma más grafica, «el calor se desliza cuesta abajo en la representacibn gr&a de la temperatura frente a la distancia». En un medio isótropo2 en el que la temperatura varía en las tres díreccmnes del espacio, puede escribirse una ecuacibn análoga a la 8.1-2 para cada una de lastres direcciones coordenadas q3 = (8.1-3,4,5) Estas tres relaciones corresponden a los componentes de la ecuación vectorial (8.1-6) Q = -kVT que es la forma tridimensional de la ley de Fourier. Establece que el vector densidad de flujo de calor q es proporcional al gradientes de temperatura VT, y de sentido contrario. Por lo tanto, en un medio isotropo el calor fluye por conducción en la dirección en que el descenso de temperatura es más pronunciado. Para un fluido en movimiento q representa Ia densidad de flujo de energía calorífica relativa a la velocidad local del fluido. El lector se habrá dado cuenta ya de que existe una sorprendente semejanza entre la Ec. 8.1-2 para la densidad de flujo unidimensional de energía, y la 1 En los capítulos que siguen se utilizarán tres tipos de magnitudes caloríficas: clflujo de calor Q (Kcal-hr-t), la densidud a’e flujo de calor q (Kcal hr-t m- 3, y la intensidad de manantial calorífico S (Kcal hr-* m-j). 2 En un medio isotropo el coeficiente k de las Bes. 8.1-3, 4 y 5 tiene el mismo valor en las tres direcciones. La suposición de isotropia es satisfactoria para los fluidos y la mayor parte’de los solidos homogkreos. Los principales materiales anisotropos son cristales únicos no pertenecientes al sistema regular y solidos fibrosos o laminares. (V¿ase madera en la Tabla 8.1-4.) 3 El vector VTse lee «gradiente de 7’~ o «del 7”» y en algunos libros se escribe grad T. Para un tratamiento del gradiente de un campo escalar, vkase G. B. THOMAS, Analytic Geometry und Cahdus, Addison-Wesley (1953). segunda edición pp. 497-500. Para la expresión de los componentes de la Bc. 8.1-6 en coordenadas curvilíneas, vease Tabla 10.2-1. TRANSPORTE DE ENERGfA 8-6 Ec. 1.1-2 correspondiente a la densidad de flujo unidimensional de cantidad de movimiento. En ambos casos la densidad de flujo es proporcional al gradiente negativo de una variable macroscópica. y los coeficientes de proporcionalidad son propiedades físicas que dependen de la substancia y de los valores locales de la presión y la temperatura. Sin embargo, se advierte, que para los casos más complejos, en los que la temperatura y la velocidad varían en las tres direcciones del espacio, las Bes. 8.1-3, 4 y 5, para la densidad de flujo de energía, son más sencillas que las correspondientes Bes. 3.2- Il a 16 para la densidad de flujo de cantidad de movimiento. Esta diferencia se debe a que la energía es un número escalar mientras que la cantidad de movimiento es un vector. Por esta razón la densidad de flujo de energía es un vector con tres componentes, y en cambio, la densidad de flujo de cantidad de movimiento es un tensor con nueve componentes. Por consiguiente, ya se puede anticipar que los problemas de transporte de cantidad de movimiento y los de transporte de energía no serán análogos desde el punto de vista matemático, a excepción de algunos casos geométricamente sencillos. Además de la conductividad caloríka definida por la Ec. 8.1-2, se utiliza frecuentemente en los tratados de calor la djbsividad térmica, a, que se define mediante la siguiente expresion4 Se utilizan distintos sistemas para expresar las unidades de las magnitudes que hemos definido en este capítulo. Para el caso frecuente del sistema cgs, tenemos q&=] cal cm-* seg-1 T[=] “K (8.1-8) Y[=I cm y por tanto, de la Ec. 8.1-2 se deduce k[=] cal cm-r seg-l (OK)-1 a[=] cm* seg-1 A veces los datos experimentales están dados en otras unidades, relacionadas de forma sencilla con las anteriores, tales como Kcal m-r hr-1 (OK)-1. La serie análoga de unidades en el sistema ingles es q,,[=] Btu ft-2 hr-1 T[=] “R y[=l ft (8.1-9) 4 &, es el calor espeetiw por unidad & masa a presión wktante; 69 ea la misma magnitud por mol. 8-8 TRANSPO RTE Ejemplo 8.1- 1. DE ENERGÍA Medida de la conductividad calorifica Un panel de material plástico de,brea A = 0,l m* y -espesor Y = 0,650 cm conduce el calor en estado estacionario con una velocidad de 3.0 watios, siendo las temperaturas de las superficies externas To = 24.00” C y Tl = 26,OO” C. ¿ Cuál es el valor de la conductividad calorífica, expr.zsada en cal seg-1 cm-1 (“K)-1, a 25” C? Solución. LOS valores que se precisan’ para aplicar la Ec. 8. i - 1, son A = 1000 cm* Y = 0,650 cm Q = 3,0 wat = 3,0 julios seg-1 = 0,717 cal seg-1 A T = 26,00 - 24,00 = 2,OO” K = 3,0 x 0,23901 cal julio-* TABLA 8.1-2 VALORES EXPERIMENTALES DE LA CONDUCTIVIDAD CALORfFICA DE ALGUNOS LfQUIDOS A LA PRESIÓN ATMOSFÉRICAa Conductivibad TemperaturaSubstancia Benceno Tetracloruro de carbono Éter Alcohol etflico Glicerina Agua W’ C) 22,s 60 20 30 20 20 20 60 100 calorífica k (cal seg -. 1 cm- 1 (” K)-1) 0,000378 0,000363 0,000247 0.000328 0,000400 0,000703 0,00143 0,OO 156 0,00160 a Datos tomados de Handbook uf Chemistry and Physics, 39s edición, Chemical Rubbzr Publishing Co., Cleveland, Ohio (1957), pp. 2257-2259. Los datos corregidos para el agua se d-ben a la amabilidad de los editores, CONDUCTIVIDAD de CALORfFICA Y M ECANISM O 8- 7 do nde k[=] Btu ft--1 hr-l(“R)-1 a[=] ftahr-1 Con el fin de tener en cuenta la interconversibn de la energía calorífica y mecánica, la ley de Fourier se expresa a veces de esta forma dT 4v = -J& dy (8.1-10) en la que erg cm-2 seg-1 0 k[=] cal cm-.1 seg-1 (“Kl) o T[=] “K 0 ft-lb, ft-s hr-1 Btu ft-1 hr-1 (OR)-’ “R ft ft-lb, Btu -1 qy[=] r[=l cm 0 J,[=] erg cal-1 0 (8.1-11) Se observará que q,,/J,, en la Ec. 8.1-10, es lo mismo que qy.en la Ec. 8.1-2, de modo que las dos formas de la ley de Fourier son totalmente equivalentes. Aquí se utilizará la más sencilla de la Ec. 8.1-2. Puesto que se utilizan con frecuencia ambos sistemas de unidades térmicas y mecánicas, el ingeniero deberá habituarse a realizar frecuentes comprobaciones de la consistencia dimensional. El Apéndice C resultará de utilidad para la conversión de las unidades que se deseen. En las tablas 8.1- 1, 8.1-2, 8.1-3 y 8.1-4 se indican valores experimentales de la conductividad calorífica de gases, líquidos y sólidos. En las secciones que siguen se hace un estudio de la predicción de conductividades caloríficas. TABLA 8.1-1 VALORES EXPERIMENTALES DE LA CONDUCTIVIDAD CALORfFICA DE ALGUNOS GASES COMUNES A LA PRESIÓN DE 1 ATM.“ k x 107 cal cm-r seg-1 (“K)-1 Gas H2 02 co2 CH4 NO 100” K 200” K 1625 216 3064 438 227 522 425 - 254 - 3 0 0 ” K ‘4227 635 398 819 619 a Tomados de J. 0. HIRSCHFELDER, C. F. CURTES y R. B. BIRD, M olecular Theory Tabla 8.4-10, Wiley Nueva York (1954). of Gases and Liquids, 8-8 TRANSPORTE Ejemplo 8.1-1. DE ENERGÍA Medida de la conductividad caloriflca Un panel de material plastico de,área A = 0.1 m2 y -espesor Y = 0,650 cm conduce el calor en estado estacionario con una velocidad de 3.0 watios, siendo las temperaturas de las superficies externas Te = 24,W C y Tl = 26.00” C. iCuál es el valor de la conductividad calorífica, expr.esada en cal seg-* cm-t (“K)-1, a 25” C? Solucibn. Los valores que se precisan, para aplicar la Ec. 8.i- 1, son A = 1000 cm2 Y = 0,650 cm Q = 3.0 wat = 3,0 julios seg-t = 3,0 x 0,23901 cal julio-t = 0,717 cal seg-t d T = 26,00 - 24,00 = 2,OO” K TABLA 8.1-2 VALORES EXPERIMENTALES DE LA CONDUCTIVIDAD CALORfFICA DE ALGUNOS LfQUrDOS A LA PRESIÓN ATMOSFÉRICA” Temperatura’ Substancia Benceno Tetracloruro de carbono Éter Alcohol etilico Glicerina Agua TC’ CI 22,s 60 20 30 20 20 20 60 100 Conductividad k calorífica (cal seg _ t cm-t (” K)-1) 0,000378 0,000363 0,000247 0,000328 0,000400 0,000703 0,00143 0,00156 0,00160 a Datos tomados de Handbook of Chemistry and Physics, 398 edicion, Chemical Rubber Publishing Co., Clevsland, Ohio (1957), pp. 2257-2259. Los datos corregidos para el agua se dsben a la amabilidad de los editores, CONDUCTIVIDAD CALORIFICA TABLA 8-9 Y MECANISMO 8.1-3 VALORES EXPERIM ENTALES DE LA CONDUCTIVIDAD CALORfFICA ALGUNOS M ETALES LfQUIDOS A LA PRESI6N ATM OSFÉRICA” Conductividad Temperatura T(“C) Metal AI Cd Pb Hg K Na Aleación Na-K 56% en peso de Na 44% en peso de K 700 790 355 435 330 500 700 0 120 222 200 400 600 100 300 500 100 300 500 DE calorífica k * (cal seg-1 cm-1 (” K )-1 ) 0,247 0,290 0,106 0,119 0,039 0,037 0,036 0,0196 0,0261 0,0303 0,1073 0,0956 0,0846 0,205s OJ809 0,1596 0,0617 0,0648 0,067s a Datos tomados del Reactor Handbook, vol. 2, Atomic Energy Comission, AECD3646, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C. (I I X lyO 1955), pp. 258 y SS. Substituyendo en la Ec. 8.1- 1, se obtiene k=gTc = 0,717 x 0,650 (cal seg- 1) (cm) 1000 x 2,OO (cm*xO K) 2,33 x 10w4 ca1 seg-t cm-1 (“K)-t Para valores pequeños de AT, como en este caso, se puede suponer que el valor de k corresponde a la temperatura media (Tl + To)/2, que es 25” C. En relación con los metodos que tienen en cuenta la variacion de k con T, véanse los problemas 9.F. y 9.J. 8-10 TRANSPORTE DE ENERGfA TABLA 8.1-4 VALORES EXPERIMENTALES DE LA CONDUCTIVIDAD CALORfFICA DE ALGUNOS SÓLIDOS- Substancia Aluminio C4 llliO Cobre Acero Estaño Ladrillo (rojo corriente) Hormigón (bloque) Capa de tierra (media) Vidrio Grafito Arena (seca) Madera (pìno) paralela al eje perpendicular al eje Temperatura T(OC) 100 300 600 0 100 18 100 18 100 0 100 200 - Conductividad caiorffica k (cal seg-t cm-t (” K)-1) 0,492 OH 1,Ol 0,220 0,216 0,918 0,908 0,112 0,107 0,152s 0,143 0,001s 0,0022 0,004 ,0,0017 0,012 0,00093 0,00030 0.00009 c Datos tomados de Reactor Hadbook, vol. 2, Atomic Energy Commission, AECD3646, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C. (mayo, 1955), pp. 1766 y SS . 8 8.2 VARIACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD CALORfFICA DE GASES Y LfQUIDOS CON LA TEMPERATURA Y LA PRESI6N Debido a la escasez de datos de garantia de la conductividad calorífica de fluidos, frecuentemente es preciso estimar k a partir de otros datos de la substancia en cuestión. A continuación se presentan dos correlaciones que permiten efectuar dicha estimación, y que al mismo tiempo indican como varía la conductividad calorífica de los fluidos puros con la presión y la temperatura. Estas correlaciones están basadas en el principio de los estados correspondientes y son análogas a las que se han expuesto para el caso de la viscosidad (Figs. 1.3-1 y 1.3-2). La Fig. 8.2-1 es una representación gráfica de la conductividad calorífica reducida k, = kjkc, que es la conductividad calorífica a una determinada temperatura y presión, dividida por la conductividad calorífica correspondiente al punto crítico. Esta magnitud se ha representado en función de la temperatura reducida T, = T/T, y la presión reducida p, = p/pc. La Fig. 8.2- 1 es análoga a la Fig. 1.3- 1 de la 8-11 CONDUCTIVIDAD .CALORiFlCA Y MECANISMO 10 9 8 7 6 I I l I I Illll 2 3 T/T, 4 5 0,; 03 OS7 46 V 034 43 O? o,l 0,3 0,4 0,6 Tempcmtum reducida, ‘i”,= 6 7 8 9 1 0 Fii. 8.2-1. Conductividad calorífica reducida de los gases monoatbmicos, en funcián de la temperatura y presión reducidas. [E. H. Owens y G. Thodos, A. Z. Ch. E. .hrtuzl, 3, 454461 (1957). Una versión a gran escala de esta gr&fiCa se inserta en 0. A. Hougen, K. M. Watson y R. A. Ragatz, Chemical Process Principies Char& Wiley, Nueva York (1960). segunda edicibn.] 8-12 TRANSPORTE DE ENERGfA viscosidad, reducida. Aunque se ha desarrollado para los gases monoatómicos, puede utilizarse también con carácter aproximado para los poliatómicos. En la Fig. 8.2-1 se observa que la conductividad calorífica de un gas a bajas presiones tiende hacia una función límite de la temperatura T; para la mayor parte de los gases, este límite se alcanza ya prácticamente a la presión de 1 atm. La conductividad calorífica de los gases a baja densidad aumenta con la temperatura, mientras que para la mayor parte de los líquidos disminuye al aumentar dicha variable. En la región líquida la correlacion es menos satisfactoria, y los líquidos asociados o polares, como el agua, pueden presentar un máximo de la curva de k frente a T. Generalmente no se dispone de valores experimentales de k,, pero puede estimarse siguiendo uno de estos dos caminos: (a) si se conoce k a una determinada temperatura y presión, a ser posible en unas condiciones próximas a las que se desea k, se puede leer k, en la gráfica y calcular k, = k/k,; o bien (b) se puede estimar k en la región de baja densidad por los métodos que se indican en 6 8.3, y proceder después de igual forma que en (a). En el Apéndice B, Tabla B.l, se dan valores de k, para algunos gases, obtenidos por el método (a). La Fig. 8.2-2 es una representación gráfica de k# = klko, que es la conductividad calorífica a una determinada temperatura y presión, dividida por la conductividad calorífica a la misma temperatura y a la presión atmosférica. Esta gráfica se utiliza de la misma forma que la correspondiente a la viscosidad de la Fig. 1.3-2. ko puede ser un valor experimental o bien estimado de acuerdo con la teoría que se expone en la próxima sección. Para el caso de gases poliatómicos, ninguna de las dos correlaciones es muy exacta. (Véase ejemplo 8.2-1.) La conductividad calorífica de mezclas se puede estimar por métodos pseudocríticos análogos a los que se han descrito en 0 1.3. Para obtener los mejores resultados deberá estimarse kO por el método que se indica en 0 8.3 para mezclas gaseosas a baja presión y aplicar después una corrección de presión basada en la Fig. 8.2-2. Se sabe muy poco acetca de la exactitud de los procedimientos pseudocríticos aplicados a la conductividad calorífica, debido a que existen muy pocos datos experimentales para mezclas a presiones elevadas. Ejemplo 8.2-1. Efecto de la presión sobre la conductividad calorífica Estímese la conductividad calorífica del etano a 67,2” C y 191,9 atm sabiendo que a esta temperatura y a la presión atmosférica,1 ko = 0,0237 Kcal hr--l m-lO CSolución. El procedimiento más sencillo consiåte en utilizar la Fig. 8.2-2. Primeramente calcularemos las coordenadas necesarias, utilizando las propiedades críticas de la Tabla B.l: T = 67,2 + 273,2 = 1,115 r 305,4 _’ 191,9 pr = - = 3,98 40,2 1 J. M. LENOIR, W. A. JUNK y E. W. COMINOS, Chem. Eng. srogr., 49, 539-542 (1949). CONDUCTIVIDAD CALORfFICA Y MECANISMO 48 1 2 Preri6n reducida p,= 3 p/pc 4 5 0-13 67 Fig. 8.2-2. Conductividad calorífica reducida k# = k/k” en funci6n de la temperatura reducida y la presión reducida [J. M. Lenoir, W. A. Junk, y E. W. Comings, Chem. Eng. Prog., 49, 539 (1953).] En la Fig. 8.2-2 se encuentra que k# = 4,7, por lo tanto k = k# k” = 4 ,7 x =O,lll 0 ,0 237 Kcal hr-tm-1°C1 Un valor experimentalt es 0,067s Kcal hr-t m-t ’ C-t. Esta discordancia pone de manifiesto que no debe tenerse mucha confianza en esta correlación en el caso de substancias poliatómicas o para condiciones proximas a las del punto critico. Otra solución. Este problema puede resolverse tambien mediante la Fig. 8.2-1. Para las condiciones en que se conoce k ” (p, = 0, T, f 1,115), se encuentra que k , = = 0,36. Por tanto, k,=&=0 ,0 237 k 0 ,36 = 0,0658 Kcal hr - 1 m’- 1 ’ C 8-14 TRANSPORTE DE ENERGIA Para las cqndiciones de estimación (p, = 34 y T, = 1,l 15), se lee k, = 2,07. que se obtiene para la conductividad calorífica es por tanto El valor k = kAc = 2.07 x 0,0658 = 0,1362 Kcal hr-1 m-l ’ C-l El resultado es algo menos exacto que el que se obtiene mediante la Fig. 8.2-2 0 8. 3 TEORfA DE LA CONDUCTIVIDAD CALORfFICA A BA JA DENSIDAD , DE LOS GASES Las conductividades caloríficas de los gases monoatómicos diluidos se conocen muy bien y pueden predecirse con exactitud mediante la teoría cinética. En cambio, la teoría de los gases poliatómicos se ha desarrollado tan sólo de una forma parcial, si bien existen algunas aproximaciones groseras que tienen interés. De igual forma que en 8 1.4, exponemos aquí una deducción simplificada con el fin de ilustrar el mecanismo del transporte de energía y posteriormente daremos a conocer los resultados exactos de la moderna teoría cinética. Comenzaremos por el calculo de la conductividad calorífica de un gas monoatómico a baja densidad. Al igual que en 0 1.4, supondremos que las moléculas son esferas rígidas, que no se atraen, de masa m y diámetro d. Se supone también que el gas en conjunto está en reposo (v = 0), pero en cambio se tiene en cuenta el movimiento molecular. Como en el caso anterior, utilizaremos los siguientes resultados de la teoría cinética, para el caso de un gas diluido constituido por esferas rígidas, en el que los gradientes de temperatura, presión y velocidad son pequeños: ü& ~KT - = valor medio de la velocidad molecular vnm z=!nij 4 = frecuencia de colisión de pared por unidad de área A=&= recorrido libre medio d2nd*n (8.3-1) (8.3-2) (8.3-3) Las moléculas que llegan a un plano cualquiera del gas han efectuado, como promedio, su última colisión a una distancia a de dicho plano, siendo, a = #îl (8.3-4) En estas ecuaciones, K es la constante de Boltzmann y n el número de moléculas por unidad de volumen. La unica forma de energía que pueden intercambiar las esferas rígidas durante la colisión es la energía de traslación, cuyo valor medio por moléculas, en condiciones de equilibrio, viene dado por (véase el problema 1.1): CONDUCTIVIDAD CALORIFICA $?l”’ Y M E C A N IS M O 8-15 (8.3-5) = #KT El calor específico molar, a volumen constante, del gas que estamos considerando, es (8.3-6) siendo R la constante de los gases. La Ec. 8.3-6 da valores satisfactorios para los gases monoatómicos hasta temperaturas de varios miles de grados. Y A Pe rfil de te m pe ra tura Pig. 8.3-1. T(y) Transporte molecular de energía desde el plano 0) - a) hasta el pla plano no Y. Para determinar la conductividad calorífica, veamos lo que le ocurre al gas cuando se somete a un gradiente de temperatura dT/dy. (Véase Fig. 8.3-1.) Suponemos que las Ecs. 8.3-1 a 6 siguen siendo válidas en esta situación de no equilibrio, sólo que el termino rn& de la Ec. 8.3-5 corresponde a la energía ciriética media de las moléculas que han efectuado su última colisión en la región de temperatura T. La densidad flujo de calor qY, a través de un plano situado a una distancia constante y, se halla sumando las energías cinéticas de las mokulas que cruzan el plano por unidad de tiempo en la dirección y positiva, y restando las energías cinéticas de las que lo cruzan en la dirección y negativa: 4v = z&n&-. = ~KZ(TI,-, - Z&n;121y+n (8.3-7) - T I ,,,) (8.3-8) Las Ecs. 8.3-7 y 8.3-8 están basadas en las suposiciones de que todas las mol&culas tienen velocidades representativas de la región en que han efectuado su última co- 0- 16 TRANSPORTE DE ENERCitA lisión, y que además, el perfil de temperatura T(y) es prácticamente lineal en una distancia correspondiente a varias veces el recorrido libre medio. Teniendo en cuenta estas suposiciones, podemos escribir Tl,-, = TI, - ; A 5 (8.3-9) TI y+<I = TI, + ; ii 2 \ Combinando las Ecs.8.3-2, 8 y 9, se llega a dT (8.3-10) 4v = -~nKüÁ dy Esta expresión corresponde a la ley de Fourier de la conducción del calor (Ec. 8.1-2), en la que la conductividad calorífica viene dada por k = ?pmiA = $&,iii monoatómicos (8.3-11) siendo p = nm la densidad del gas. Substituyendo ü y A de las Ecs. 8.3-1 y 3, se obtiene ‘ 1 k I- $T XI dZ J monoatómicos (8.3- 12) que corresponde a la conductividad calorífica de un gas diluido constituido por esferas rígidas. Esta ecuación predice que k es independiente de la presión. Las Figs. 8.2-1 y 2 indican que esta predicción concuerda satisfactoriamente con los datos experimentales para la mayor parte de los gases hasta presiones de 10 atmósferas. La predicción de la variacibn con la temperatura es peor, igual que en el caso de la viscosidad, si bien está de acuerdo cualitativamente. Para un tratamiento más exacto de los gases monoatómicos volvemos a aplicar la teoría rigurosa de Chapman-Enskog expuesta en $1.4. La fórmula de ChapmanEnskogr para la conductividad calorífica de los gases monoatómicos a baja densidad a la temperatura T (” K) es JTIM asa k = 1,9891 x 1O-4 - monoatómicos (8.3-13) en la que k[=] cal cm-r seg-1 (“K) -1, a[=] A, y Q, es idéntica ala función de coli1 J. 0. .HIRSCHFELDER, C. F. CURTISS y R. B. BIRD; Molecular Theory of Gases and Liquids, Wiley, Nueva York (1954). p. 534. CONDUCTIVIDAD CALORfFICA Y MECANISMO 8-17 sión S;r, que hemos visto en la teoría de la viscosidad. En fa Tabla B.2 del Apéndice B se dan valores de 52, = In, para el modelo del potencial intermolecular de LennardJones, en función del número adimensional de temperatura KT /G La Ec. 8.3-13 y la Tabla B.2 dan valores muy exactos y permiten predecir conductividades caloríficas de gases monoatómicos utilizando los mismos valores numéricos de c y Q que TABLA 8.3 - 1 b PARA GASES A LA PRESIÓN VALORES ESTIMADOS Y OBSERVADOS DE k ATMOSFÉRICA” * &J k Gas T(“K) de la Ec. 8.3-16 Ne* 273,2 273,2 0,667 0,667 Ati H2 N2 02 Aire co NO Cl2 H20 co2 so2 NH3 C2H4 C2& CHCI, ca, cll( k a partir de valores experimentales de &, ;u, y k , 0,66 0,67 273,2 673,2 273,2 273,2 273,2 273.2 273,2 273,2 90945 09 0,73 0,74 0,74 0.74 0,74 0.74 0,74 0,76 0.68 0,70 0,65 0.73 0,74 0.73 0,76 0,77 0,76 373,2 673,2 273,2 273,2 273,2 273,2 273,2 273,2 273.2 0,77 0,78 0,78 0,79 0,77 0,80 0,83 0,86 0,89 0,94 (490 0,78 0,86 0,85 0,80 0,77 0,78 0,81 a Calculados a partir de los valores dados por M. Jakob, Heut Transfer, Wiky, Nue va York (1949), pp. 75 76. * J. 0. Hirschfelder, C. F. Curtiss, y R. B. Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, Wiley, Nueva Yiork. (1954), p. 16. 8-18 TRANSPORTE DE ENERGfA en los cálculos de viscosidad. (Vease Tabla B.l).. La Ec. 8.3- 13 es completamente similar a la fórmula correspondiente de la viscosidad, Ec. 1.4- 18, siendo la relación entre k y p: k =-. ‘SR =-5e 4M’ 2# monoatómicos De la teoría simplificada de la esfera rígida (véanse Ecs. 1.4-8 y 8.3-11) se obtiene que k = e,,~, dando lugar a un valor que es 2,5 veces menor. No es de extrañar esta discrepancia si se tienen en cuenta las numerosas aproximaciones que se han hecho en el tratamiento simplificado. Hasta aquí ~610 hemos tratado de los gases monoatdmicos, pero ahora vamos a considerar una generalización aproximada de los resultados anteriores para el caso de los gases poliatómicos.2 Esta generalización es necesaria puesto que las moléculas poliatómicas además de la energía cinética de traslación poseen tambien energía de rotación y vibración, y todas estas formas de energía pueden intercambiarse en la colisión. Euckenz desarrolló un metodo semiempírico sencillo para el tratamiento de intercambio de energía en los gases poliatómicos. Su ecuación para la conductividad de los gases poliatómicos a baja densidad es k= @,+;;)c, “““ke” (8.3-15) En esta ecuación está incluida, como un caso especial, la fórmula de los gases monoatómicos, Ec. 8.3- 14, puesto que para estos gases e, = fC(R/M) . Sobre una base teórica, HirsclifelderJ ha obtenido una ecuación similar a la 8.3-15. La Ec. 8.3-15 constituye un método sencillo para la estimación del número de Prandtl, Pr = C?,p/ k, que es un número adimensional de gran importancia en la transmisión del calor por convección: c5.P Pr =T-= G poliatómicos (8.3- 16) r?,, + 1.25R Ésta es la fórmula de Eucken para el número de Prandtl de un gas poliatómico a baja densidad. En la Tabla 8.3-1 se comparan los valores de dpp/k obtenidos mediante la Ec. 8.3- 16, con los calculados a partir de datos experimentales de d,,, cc, y k. Como c,, y p se conocen exactamente para los gases que se indican en la Tabla, la comparación es una medida de la concordancia entre los valores experimentales y estimados de k. La concordancia es buena para los gases monoatómicos y diatómicos (a excepción del Hz), pero para los gases más complejos es menos satisfactoria. La mayor desviación es del 20 % y corresponde al agua a 100” C. Como es 2 A. E UCKEN, Physik. Z., 14, HIRXHFELDER, J. Chem. 3 J. 0. 324-332 (1913;. Phys., 26, 274-281, 282-285 (1957). CONDUCTIVIDAD CALORfFICA Y MECANISMO a-19 natural, paia los gases poliat6micos deberán utilizarse datos experimentales, siempre que sea posible, en vez de la regla de Eucken. Brómley4 ha desarrollado un metodo empírico más detallado para la predicción de k de los gases poliatómicos. Actualmente se dispone de un método más satisfactorio para gases poliatómicos y polares basado en la teoría cinética.5 La conductividad calorífica de las mezclas gaseosas a baja densidad puede estimarse por un método6 anilogo al descrito anteriormente para la viscosidad (vhse Ecs. 1.4-19 y 20): (8.3-17) donde xi son las fracciones molares, y ki las conductividades caloríficas de los componentes puros. Los coeficientes cipij son los mismos que intervienen en la ccuacih de la viscosidad. (8.3-18) Todos los valores de p y k de estas ecuaciones están dados a baja densidad y a una temperatura determinada. Si no se dispone de datos de viscosidad, pueden estimarse mediante la Ec. 8.3- 15 a partir de valores de k y ee. La comparación con los datos experimentales indica que la desviación media de las mezclas6 que contienen gases poliatómicos no polares, como CH,, 02, Nz, CzH2 y CO, es del orden del 4 %. Ejemplo 8.3- 1. Cálculo de la conductividad calorifica abajadensidad de un gas monoat6mica Calcular la conductividad calorífica del neon a 373,20 K y 1 atm. Solución. Las constantes de Lennard-Jones para el neon, según la Tabla B.l, son u =2,789 A y E/K = 35,70K; el peso molecular iU es 20,183. Por lo tanto, a 373,20K, KT/E = 373,2/35,7. = 10,45. En la Tabla B.2 se encuentra que 0, = fi,, = 0,821. Substituyendo en la Bc. 8.3 - 13 se obtiene 4 L. A. BROMLEV, University of California Radiation Lab. Report UCRL-1852, Berkeley, Ca- lifornia (1952). R. C. REID y T. K. SHERWOOD, Thc Properties of Cuses und Liqtd&, McGraw-Hill, Nueva York (1958), pp. 228-231. 5 E. A. MASON y L. MONCHICK, J. C%m. Phys., 35 (1961). 6 E. A. MASON y S. C. SAXENA, The Physics of Fluids, 1, 361-369 (1958). Este m¿todo es una aproximación del mas exacto propuesto por J. 0. HIRSCHFELDFR , J. Chem. Phys., 26,274-281, 282285 (1957). Contando con la aprobación del Profesor E. A. MASON, se ha omitido en @pii el factor empírico 1,065 (para i f j). 8-20 TRANSPORTE DE ENERGfA dT/M k = 1,9891 x IO-&k 4373,2/20,183 = 1,9891 x lo-4 (2,789)2(0,821) = 1,338 x lo-4cal cm-1 seg-loK-1 El valor experimental’ en estas condiciones es 1,35 x lOe4 cal cm-1 seg-1 OK-l. Ejemplo 8.3-2. Estimacibn de la conductividad calorífica de un gas poliatómico a baja densidad Estimar la conductividad calorifica del oxigeno molecular a 300°K y baja presión. Solución. El peso molecular del 0, es 32,000; su calor especffico CD a 3000K y baja presión es 7,019 cal g-mol-1 OK-l; los parhmetros de Lennard-Jones, según la Tabla B.l, son u = 3,433 A y l /K = 1130 K. Por lo tanto, a 3ooO K, KT/C = 300/113 = 2,655. En la Tabla B.2 se encuentra que QF = 1,074. La viscosidad, según la Ec. 1.4-18, es 4MT y = 2,6693 x 1O-5 w ~/(3WWW = 2p6693 x lo-5 (3,433)2(1,074) = 2,065 x 10T4 gcm-1 seg-1 La conductividad calorífica según la fórmula de Eucken, Ec. 8.3- 15, es = (7,019 + 2,484) = 6,14 x 2,065 x 1V 32,000 lo- s cal cm-1 seg-10 K-l Este valor estimado concuerda satisfactoriamente con el experimental de 6,35 cal cm-l seg-loK-1 que figura en la Tabla 8.1-1. Ejem210 8.3-3. x 10‘ s Predicción de la conductividad caloríh de m mezcla gaswsa a baja densidad Predecir la conductividad calorffica de la siguiente mezcla gaseosa a 1 atm y 293O K, a partir de los datos que se indican para los componentes puros a 1 atm y 293O K: 7 W. G. KANNULUIK y E. H. CARMAN, Proc. Phys. Soc. (London), 65, B, 701-704 (1952). CO N D U CT I VI D A D CALORfFICA Componentes i Fraccih molar xi Peso molecular Mi 1 2 3 0,133 0,039 0,828 44,010 32,000 28,016 CO2 02 N2 Y M E CA N I S M O pj x 10’ (gcm-lseg-1) 8 -2 1 ki x 10’ (calseg;lcm-‘OK-x 1462 2031 1754 383 612 627 Solución. Se utilizan las Ecs. 8.3-17 y 8. Con el fin de aminorar el trabajo, recordemos que mrj para esta mezcla, en las mism 1s condiciones, se utilizó ya en el cAlcu10 de la viscosidad del ejemplo 1.4-2, en el que se evaluaron los Siguientes sumandos, que intervienen tambih en la Ec. 8.3 -17: i=l i j=l xjali 0,763 i=2 i=3 1,057 1,049 Substituyendo en la Ec. 8.3-17 se obtiene k me+c = I (0,133)(383)(10-‘) 0,763 + (0,039)(612)(10-‘) 1,057 + (0,828)(627)(10-‘, 1,049 = 584 x 10-’ cal seg-* cm-l ’ K-l No se dispone de datos experimentales en estas condiciones para poder comparar el re- sultado. 8 8.4 TEORfA DE LA CONDUCTIVIDAD CALORfFICA DE LfQUIDOS Bridgmanl propuso en 1923 una teorla sencilla del transporte de energla en llquidos puros. Suponía que las moléculas estaban dispuestas en una red ctibica con una separación entre centros (V/:lÑ)“, siendo p/‘lÑ el volumen por molécula. Admite tambitn que la energía se transmite desde un ,?lano de la red a otro contiguo con la velocidad del sonido u, en el fluido considerado. El desarrollo se basa en una nueva interpretación de la Ec. 8.3 - ll, correspondiente a la teoría de los gases de la esfera rígida: (8.4-1) k = $&ün = p&‘&ja 1 P. W. BRIWMAN, Proc. Am. Acud. Arfs. Sci., 59, 141-169 (1923). La ecuacih de Bridgman se. cita a veces errbneamente debido a quz viene dida en funcibn de una constante poco conocida de los gases igual a3~/2. 8-22 TRANSPORTE DE ENERGIA El calor eápecBko a volumen constante de un líquido monoatómico es, aproximadamente, el mismo que el de un sólido a temperatura elevada, de forma que” pc’, 9 3@/&. El valor medio de la velocidad molecular en la dirección y, lG/, se substituye por la velocidad del sonido v,. La distancia u que recorre la energía en cada colisi6n se toma igual a la separación de la red (p/fi)!s. Efectuando estas substiM en la EG 8.4- 1, se obtiene (8.4-2) que es la ecuaci6n de Bridgman. Los datos experimentales están en buena concordancia COR Ea Ec. 8.4-2, aun para líquidos poliatómicos, pero el coeficiente numérico 3,O es excesivamente elevado. La concordancia es muy satisfactoria2 si se toma para el coekieute el valor 2,80 k = 2,80 f K, 0 (8.4-3) Esta een&+ es válida con la condición de que la densidad sea bastante superior a la densidad crítica, ya que se ha supuesto que cada mokula oscila en una «jaula» formada por las moléculas más próximas. El éxito de esta ecuación para el caso de los fluidos poliatómicos parece ‘indicar que la transmisión de energía durante las colisiones de las moléculas poliatómicas no es completa, puesto que el calor específico molecular 3 ~ que utiliza es menor que el que corresponde a los líquidos poliatómicos a temperatura ambiente o más elevada. La velocidad del sonido de baja frecuencia, v, (vtkse problema 10. Q), viene dada por la ecuación ,W-4) El término (ap/ap)& se puede obtener fácilmente de las medidas de compresibilidad isotérmica, de una ecuación de estado, o bien de una correlacións de compresibilidad, y C,,/C,, para los líquidos es prácticamente la unidad excepto en las proximidades del punto crítico. En la bibliografías*5 existen resúmenes de las correlaciones empíricas de la conductividad calorífica de los líquidos. 2 La Ec. 8.4-3 concuerda aproximadamente con la f6rmula dtducida por R. E. POWELL, W. E. ROSEVEARE, y H. EYRING , Ind. Eng. Chem., 33, 430 (1941). 3 0. A. HOUGEN& M. WATSON, y R. A. RAGATZ, Chemical Process Principles, segunda edición, Wiley, Nueva York (1959), Part I I . 4 R. C. REID y T. K. SHERWOOD, The Properties of Gases and Liquids, MC Graw-Hill, Nueva . York (1958), capitulo 7. 5 L. RIEDEL, Chmie-Zng.-Tech., 27, 209-213 (1955). r CONDUCTIVIDAD Ejemplo 8.4- 1. CALORfFICA Y MECANISMO 8 - 2 3 P redicción de la conductividad calorífica de un liquido La densidad del CCI, liquido a 200 C y a 1 atm es 1,595 g cmw3, y su compresibilidad p-l( aP/ap)r es 90,7 x 1O-6 atm- 1 iCuál es su conductividad calorifica? Solución. Calcularemos primeramente 0 1 aP ãp T= p[p-l(ap/ap)T] 1 = (i,595)po,7 x lo-7 = 6,91 x 10s atm cm3 g-t = 7,00 X lo9 Cm2 segm2 Suponiendo que C,/C,. = l,O, y substituyendo en la Ec. 8.4-4, se obtiene v, = d(1,0)(7,00 x 109) = 8,37 x 104cm seg-1 El volumen molar es p = M/p = 153,84/1,595 tos valores en la Ec. 8.4-3, se obtiene k Ñ 35 0 = 2,80 p - 96,5 cm3, g-mal-1. Substituyendo es- Kl,, = ,,,O(;,; “, zjJ(1,3805 x lo-=)(8,37 x le) = 1,lO x 104(cm-z)(ergOK-t)(cm = 2,62 x lo- 4 cal seg-1 cm-loK-1 seg-1) ’ El valor experimental (Tabla 8.1-2) es 2,47 x lOe4 cal seg-1 cm-loK-1 § 8.5 CONDUCTIVIDAD CALORfFICA DE SÓLIDOS Las conductividades caloríficas de los sólidos han de determinarse experimentalmente, ya que dependen de numerosos factores que son difíciles de medir o predecir. En el caso de sólidos porosos, por ejemplo, la conductividad calorífica depende extraordinariamente de la fracción de huecos, del tamaño de los poros y del fluido que está contenido en los poros; en los materiales cristalinos tienen importancia las fases y el tamaño de los cristales; finalmente, en los sólidos amorfos ejerce un efecto considerable el grado de orientación molecular. Un estudio detallado de las conductividades c alo rífic as de sólidos puede verse en la obra de Jakob.1 En general, los metales son mejores conductores que los no metales, y los materiales cristalinos conducen más fácilmente el calor que los amorfos. Los sólidos porosos secos son muy malos conductores del calor y constituyen excelentes aislantes térmicos. La conductividad de la mayor parte de los metales puros disminuye con la temperatura, mientras que la de los no metales aumenta; las aleaciones presentan un comportamiento intermedio. Quizá la más útil de estas reglas aproximadas es que las conductividades calorífica y eléctrica se comportan de igual manera. 1 M. JAKQE; He& Transfcr, val. 1, Wiley, Nueva York (1949), capítulo 6, 8-24 TRANSPORTE DE ENERGfA Para metales puros, la conductividad calorífica k y la ektrica &, cumplen, aproximadamente, la reiaci¿uGJ k -=L= kJ ., constante (8.5-1) que es la conocida ecuación de Wiedemann, Franz y Lorenz. El numero de Lorenz, L, vale, aproximadamente, de 22 a 29 x 10-9 voltios2 (OK)-2 para los metales puros a OO C, y varía ligeramente con la temperatura por encima de OO C, siendo típico un aumento1 del 10 al 20 % por cada loo00 C. A temperaturas muy bajas (-269,4* C para el mercurio), los metales se hacen superconductores de la electricidad, pero no del calor, y por consiguiente L varía rápidamente con T en las proximidades de la región de superconducción. La Ec. 8.5-1 tiene ~610 una utilidad limitada para el caso de las aleaciones, puesto que L varía grandemente con la composición, y en algunos casos también con la temperatura. El txito de la Ec. 8.5-1 se debe al hecho de que los electrones libres son los principales portadores del calor en los metales puros. La ecuación no es válida para los no metales, en los que la concentración de electrones libres es tan baja que predomina 1~ transmisión de energía mediante el movimiento molecular. CUES TION ES P ARA DIS CUTIR , 1. ~Cual es el orden de magnitud de la conductividad calorífica de los gases, lfquidos y sol¡dos a la temperatura ambiente y presion de 1 atm? 2. LES de esperar que la madera presente la misma conductividad calorífica en las tres direc- ciones? 3. icómo se define la difusividad termita? ~Cuales son sus unidades? 4. Comparar la ley de Fourier de la conduccion del calor con la ley de Newton de la viscosidad. 5. icómo varían aproximadamente la conductividad calorífica de los gases a baja densidad y la de los líquidos, con el tamafio de las mol&Aas que los constituyen? 6. iCómo estan relacionadas la conductividad calorífica y la viscosidad de los gases? 7. ¿Cuál es el significado físico de la f6rmula de Eucken? 8. Comparar la variación de k con la temperatura para gases, líquidos y solidos. 9. Comparar cualitativamente las conductividades caloríficas del Nea0 y el Nea2 en estado gaseoso a baja densidad. 10. Demostrar la consistencia dimensional de la Rc. 8.4-3. ll. Comprobar las unidades del numero de Lorena L. 12. ~CuAles son las limitaciones de la relación t?n - CV = R? PROBLEMAS 8.A1 P redicción de conductividades caloríkns de gases a baja densidad a. Calcular la conductividad calorífica del argon a 100” C y 1 atm6sfera de presión, utilizando la teoría de Chapman-Enskog y las constantes de Lennard-Jones deducidas de los datos de visco2 L. LQRENZ, Poggendorff’s Annalen, 147, 429 (1872). 3 G. ~VIWBMANN y R. FRANZ, Ann. Phys. Chemie, 89, 530 (1853). CONDUCTIVIDAD CALORiFICA Y MECANISMO 8-25 sidad. Comparar el resultado con el valor experimentalt de 506 x 10-7 cal cm-t seg-1 o C-l 4. Calcular las conductividades calorticas del oxido nhrico (NO) y del metano (CH3 a 300’ K y presión atmosferica, utilizando los siguientes datos para las mismas condiciones: NO CH4 p X 107, g cm-l seg-1 c,,, csl g-mol-1 Q K-f 1929 1116 7,lS 8.55 Comparar los resultados con los valores experimentales que se indican en la Tabla 8.1-1. 8.B1 Chulo del número de Prandtl parz gases a baja densidad u. Estimar el número de Prandtl, Pr = e,p//c, a 1 atm y 300” K por el metodo de Eucken para cada uno de los casos que se indican en la tabla inferior, utilizando solamente los datos de calor específico. b. Calcular directamente el numero de Prandtl de cada uno de estos gases a partir de los valores tabulados de ¿?,,, pu, y k, y compararlos con los resultados del apartado (0). Todas las propiedades que se indican corresponden a 300” K y baja presión. GaS He Ar H2 Aire. co2 H20 G (cal g-mol-1 ‘K-r)a 4,968 4,968 6,895 6,973 8,894 8,026 p x 107 (g cm-1 seg-l)b 1987 2270 896 1851 1495 959 k x 107 (cal cm-l seg-1 oK)c 3540 421 4250 ’ 602 383 426 (extrapolado) a Selected Values of Thermodynamic Properties, National Bureau of Standards (1947). b J. 0. HIRWEIPELDER, R. B. BIRD y E. L. SPOTZ. Chem. Revs, 44, 205-231 (1949). C Lunge’s Zfundbook of Chemistry, McGraw-Hill, Nueva York (1956), novena edición, p. 1544. (Los valores que se dan en este problema se interpolaron suponiendo que log K = a + blog T). 8.C1 P rediccidn de la conductividad calorífica de un gas denso Predecir la conductividad calorífica del metano (CH4) a 110,4 atm y 52,8” C por los dos metodos siguientes: o. Utilícese la Fig. 8.2-1 y t6mense del Ap&tdice B las propiedades críticas que sean necesarias. b. Predígase la conductividad calorífica a 52,8’C y baja presión por el metodo de Eucken y aplíquese despues una corrección de presión basada en la Fig. 8.2-2. El valor experimental* es Respuestã: u. 0,0437 Kcal hr-1 m-l “C-l 0,042O Kcal hr-1 m-t “C-l. 8.D1 Prediccidn de la conductividad calorífica de una mezcla gaseosa Predecir la conductividad calorífica a 1 atm y 300°K de una mezcla que contiene 20 moles por ciento de CO2 y 80 moles por ciento de H2. Utilícense para los calculos los datos del probleRespuesta: 2850 x 10-7 cal seg-1 cm-1 (“K)-t ma 8.B. W. G. KANNULIJIK y E. H. CARMAN, Proc. Phys. Soc. (London), 65B, 701-704 (1952), *J. M. LENOIR, W. A. JUNK y E. W. COMINGS, Chem. Eng. Progr., 49, 539-542 (1953). 1 ’ 8-26 TRANSPORTE DE ENERGlA 8.J& Prali* & la ezoddM m- &m~~ P redecir la conductividad calorífica del agua a 40” C y 40 megabarias de presión (1 megabaria = 166 dinas cm-z). La compresibilidad isot&mica, p-*(a~/+)~, es 38 x 10-6 megabaria-l. y la densidad es 49938 g cm-3. Suphgase que C+ = C.. Respuesrta: 1.55 x 10-3 cal seg-’ cm-’ c C)-’ 8.F, Chlculo de diietros moleculares a partir de propiedades de we a. Determinar el dihetro molecular d del argon, mediante la Ec. 1.4-9 y el valor de la viscosidad que se da en el problema 8.B. b. Determinar el dihnetro molecular d del argon mediante la Ec. 8.3-12 y el valor de la conductividad calorífica que se dan en el problema 8.B. CompAresc este valor con el que se obtiene a partir de la viscosidad. c. Ca%ular y comparar los valores de u, el diámetro de colisih de Lennard-Jones. utilizando h mismos datos, pero tomando para l /K = 124” K. d. iQu6 ventaja de la teoría de Chapman-Enskog se advierte mediante los resultados antc riores? Respuesto: 0. 2.95 A b. 1.88 A c. 3,415 A de la Ec. 1.4-18 3,425 A de la E.c. 8.3-13 CAPfTULO 9 DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA EN S6LIDOS Y EN EL FLUJO LAMINAR En el Capítulo 2 hemos visto como ciertos problemas sencillos de flujo viscoso pueden resolverse por un procedimiento que consta de dos etapas: (u) se aplica un balance de cantidad de movimiento a una delgada lámina o envoltura perpendicular a la dirección de transporte de cantidad de movimiento, con lo que se obtiene una ecuación diferencial de primer orden, que puede resolverse para hallar las distribuciones de la densidad de flujo de cantidad de movimiento; tb) se introduce después en esta expresión la ley de viscosidad de Newton, obteniéndose una ecuación diferencial de primer orden de la velocidad del fluido en función de la distancia. Las constantes de integración que resultan se evalúan utilizando las condiciones límite, que determinan la velocidad o la densidad de flujo de cantidad de movimiento en las superficies que confinan el sistema. En este capítulo comprobaremos que un gran número de problemas de conduccibn del calor se resuelven por un procedimiento análogo: (a) se aplica un balance de energía a una lámina delgada o envoltura perpendicular a la dirección del flujo de calor, con lo que se obtiene una ecuación diferencial de primer orden que permite hallar la distribución de la densidad de flujo de calor; (b) se introduce después en esta expresión la ley de Fourier de la conducción del calor, obteniéndose una ecuación diferencial de primer orden de la temperatura en función de la posición. Las constantes de integración que aparecen se determinan utilizando las condiciones límite que determinan la temperatura o la dens&d de flujo de calor en las superficies que delimitan el sistema. La semejanza de las frases de los dos párrafos anteriores pone de manifiesto que los métodos matembticos que se utilizan en este capítulo son los mismos que hemos introducido en el Capítulo 2, y solamente la notación y nomenclatura seran distintas. Después de una. breve introducción a los balances de energía aplicados a una envoltura, que se describen en Q 9.1, se analiza la conducción del calor a través de una serie de sistemas sencillos. Si bien es cierto que estos problemas son un tanto idealizados, encuentran, sin embargo, aplicación en numerosos metodos tipicos de diseño en ingeniería. Los sistemas que se estudian se han elegido con el fin de introducir al principiante en una serie de importantes conceptos físicos relacionados con 9-2 TRANSPORTE DE ENERGIA la transmisión del calor. Por otra parte, servirán para familiarizar al lector con un amplio conjunto de condiciones límite, al mismo tiempo que le informan sobre la forma de abordar problemas en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. En $9 9.2-9.5 se estudian cuatro clases de fuentes de energía: eléctrica, nuclear, viscosa y química. En $8 9.6 y 9.7 se tratan dos temas que tienen una aplicación algo más frecuente, a saber, flujo de calor a través de paredes compuestas y transmisión de calor desde aletas. Finalmente, en §Q 9.8 y 9.9 se analizan dos c&os, límite de transmisión de calor en fluidos en movimiento: conveccidn forzada y conveccidn libre (0 natural). El estudio de’ este grupo de temas’ facilita!.. ól,~cårnin~‘$ara. abordar las ecuaciones generales que, se exponen en, el $Zapífulo 10. , ” .,~ :, ~ ~ I: ,:, , j . i. , 4 9.1 BALANCE, DE ENERGfA APLICADO A DNA EI+I~GLTIJRA: < ‘< ..‘..1 ’ CONDICIONES “LfMITE ., ,_: ,: ‘. ::, ,: ‘, .’ .: Los .sistemas que se describen en las próximas. secciones se ~tratan en -función de balances envolventes de energla. Se’ elige una lámina ’Q envohura, cuy& superficies son normales a la direckián de conducción. del. calor,: ydespds yse aplica ,al. sistema una forma .de, la ley de conservación de la ~errergía..Para las oondiciones de estado estacionario ,(independiente del. tiempo), y con miras, a este capítulo; asta+ : L, I,I ./’ ‘,: _,, : ; blecemos la siguiente ecuación. ’ : ‘, ,,<. ‘<,.’ .‘>< “,, ; entrada de energía ducción del ~alor,~~de acuerdo con la ley. de Fourier. También, puede, entrar o ,salir del sistema energía calorífica debido..al movrmiento: .global del @ido; esm tipo ,de transporte se +npmina a veces trsrnsporte.convcctivo, y la energía,qua.entra 0 sale ... por este medio se llama generalmente entrada 0 salida,& calor sensible. I+ errergia calorífica .puede «produqirse» por’ degradacion .de eaergía,elkctrica, por .disminucion de- la velocidad -de neutrones ,o fragmentos nucleares “lii)erados en las, procesos ,de, fisión, por degradación de energía mecánica (disipación,. viscosa), y por conversion de emergía química en calor. Es preciso hacer notar .que la,’ Ec. 9.1- 1 es solamente. una ,forma restringida del balance de energía, pues no se hace mención de la-energía, cinética, de la energla potencial, ni del trabajo. Sin embargo, la forma de la Ec. 9.1- 1 resulta útil para el, planteamiento y resolución de diversos problemas de,.conducción del calor en estado estacionario en ‘sálidos .y fluidos na ,compresibles. En este capítulo utilizaremos la Ec. 9.1~, 1 sin justificarla, dejando las interpretaciones rigurosas para el capítulo siguienteY Al escribir’la I$. 9.1+ 1 para un sistema consistenteen una delgada lámi.na o envoltura, el ,espesor de esta puede. hacerse tender hacia cero. .Este procedimiento ‘, DISTRIRUCE&‘l DE TEMPERATURA 3973 Conduce fhialmente a una ecuación diferencial para la distribución -de temperatura. Ai integrar ,esta eeuasión diferencial, apareCen unas constantes de integración que pueden evaluarse utilizando las condiciones límite. Los tipos de condiciones limite más frecuentes son los siguientes: a. La temperatura de la superficie puede ser conocida;p. e.,‘T 7 Z’.‘o: b. , La densidad de flujo de calor:en la superficie puede, ,,estar determínada, por ejemplo, q = q. (lo que equivale a especificar el gradiente de temperatura). c . En una interfase sólido-fluido la densidad de flujo de calor púede relacionarse con la diferencia entre la temperatura de la interfase y. la temperatura del _ . fluido, así, por ejemplo: ; *. ., , ‘_ I ’ : :,i..: ,..b (9.14) 4 = h(T l- Tfluid) ,‘, /j Esta relación es la «ley de enfriamiento de Newton»; $o es realme,n)e una ley sino una ecuación de definición de h,,qug,,as el llamado ~~ü@$$e de,,tr,ans*misi$ de calor». d . En las interfases sólido-sólido pueden estar determinadas la continuidad de’ temperatura y la densidad de guja de i?alor., : :‘:y. _>- ,* : :j 5~: ) ,En este capítulo intervienen todos estos’ tipos de oondiciones limite. ..Peobñblemente la relación anterior signi&ará~‘mb para el lector, una .vex.que vea, &mose aplican estas oondiaiones límite. En los problemas que se estudian en ‘eate .oapItulo se supone que el coeficiente ‘de transmisilin de. Wor, 4, qúese: ha introdu&&ctEl;Ja Ec. 9.1-2, es conocido. La variación de h con las propiedades físicas del fluido y las variables de flujo se estudia en él Capítu1.o 13. ,: , ./’ Q 9.2 CONDUCCIÓN DEL CALOR, GUN ,UN -MANANTIAL CALQRfFICO DE ORIGEN EL&‘)-RICOm ,_ :;, ” 3 2 ,. ‘:‘:, ;í; El primer sistema que vamos f2 considefar es un alambre de sección circular de radio R y conductividad electrica k,‘ohmS cm-l. Por el alambre circula una corriente eléctrica, cuya densidad de corriente es Zamps cm-a. La transmisión de una Corriente’ e&t&a es un pr&eso-irreversible, “y parte de-la ene& ‘el&trica’se transforma en calor (energía calorífica). La velocidad de producción de calor p~i*unldad de volumen viene dada por la expresión (9.24) ,.’ ,. ‘S, es el’calor que se origina debido a la disipación eléctHca.~Se supone que el aumento de temperatura en,, el alambre no es grande, de forma que no es preciso tener en cuenta la varia&ón de las conductividades eléctrica y calorífica con la temperatura. La superficie del alambre se mantiene ,a la temperatura To. Vamos a demostrar cómo se puede determinar la distribución radial de temperatura en el interior del alambre caliente. / 9- 4 TRANStVRTE D E ENERGf.4 Como sistema para el balance de ene@ elegimos una envoltura cilhrdrica de longitud L y espesor dr. (Véase Fig. 9.2- 1.) Las distintas contribuciones al balance de energía son I velocidad de entrada de energía calorífka a través (9.2-2) (2~rLXqrlJ de la superficie cilhuirica situada en r velocidad de salida de energía calorífica 8 traves de la superficie cihndrica situada en r + dr. velocidad de producción de energía caloríka debido a la disipacion ektrica (9.2-3) (27~ ArL)S, (9.24) La notación q, quiere decir c<densidad de flujo de energía en la dirección r», y de igual forma 1, quiere decir «evaluado para la posici6n r». Obsérvese que la «entrada» y «salida» se toman en la dirección r positiva. Substituyendo estas tres expresiones en la Ec. 9.1- 1, (dividiendo por 2nLdr, y tomando el lfmite cuando dr tiende hacia cero, se obtiene Iírn (rqr)lc+Ar - h)h = S,r 1 Ar AS-0 (9.2-5) La expresión entre corchetes es exactamente la derivada primera de rq, con respecto a r, de modo que la Ec. 9.2-5 se transforma en (9.2-6) Esta ecuacion diferencial de primer orden de la densidad de flujo de energía puede integrarse para dar ~8 constante de integración Cr tiene que ser cero, debido a la condición limite (9.24) C.L. 1: para r=O q, no es infinito Por lo tanto, la expresión final para la distribución de densidad de flujo de energia es (9.2-9) DISTRtBUCldN DE TEMPERATURA 9-5 Esto indica .que la densidad de flujo de calor aumenta linealmente con r. Substituyendo en la Ec. 9.2-9 la ley de Fourier expresada en la forma q, = = - k (dZ’/dr) (dase Ec. 8.1-2), se obtiene -&dT - s.r dr (9.2-10) * 2 J9 1 r‘roducclón unlfonna de calor por diripaciõn d6ctrlco S, ‘r I r+& * \/ Fig.9.2-1. Emd~cilindriaaobrckqt ise~lica el balance de amgla amJfin& obt ener la diatribución de tanpemtura en ua a&mbrc cdmtado e-te. Si se supone que k permanea constante, puede integrane para obtener esta ecuacih diferencial La constante de integrach C2 se determina a partir de la condici6n C.L. 2: para r = R T:= r: límite, (9.2- 12) 9-6 TRANSPORTE .DE MATERIA, Con lo que se encuentra que C2 es igual a Tc -5 (S$2/4k),, y, por consiguiente, la Ec. 9.2-11 se’ transforma en i (9.2-13) La Ec. 9.2- 13 indica que el aumento de temperatura es una función parabólica de la distancia r medida desde el eje del alambre. Una vez que se conocen las distribuciones de temperatura y de la densidad de flujo de energía, puede obtenerse más información acerca del sistema: (i) Incremento máximo de. +!mperaturg (para r = 0) ’ Tmáx -Tos%. . (ii) Incremento medio de temperatura . (9.2-14) (T(r) - TO)r dr de , ’ r dr de : (9.2-15) =SJ. ~ ._ 8k Por lo tanto, el incremento medio de ‘temperatura promediado sobre la sección transversal es exactamente la mitad del incremento máximo; naturalmente que tT> - T0 es igual que tT - Tg. (iii) Flujo de calor en la superficie (para la longitud 4 del’ alambre) -_ Este resultado es lógico, ya que en estado estacionario, todo el calor que se produce por disipacion eléctrica tiene que perderse a traves de la pared. A lo largo de esta .deducción el lector se habrá dado cuenta de que el metodo le resulta conocido, Al fin y al cabo, existe una gran semejanza entre este problema del alambre caliente y el del flujo viscoso a través de un tubo circular; como puede verse en este cuadro, solamente varía la notacion: I DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA 9-7 De la primera integración se obtiene la distribución de =rx 4, De fa segunda integración se obtiene la dkibucion de T-T0 V* La condición límite para r = 0 es rrr = finito 4, =$nito :, : l.a condk$ón límite para r = R es v, = 0 T-ro=0 ~Roniedad de transporte 1: k ~ Término que corresponde al manantial (9% - 9Qlr. SS p = constante k, k, = constantes Suposiciones Es decir, que si se eligen las magnitudes adecuadas, las ecuaciones diferenciales y _ las condiciones límite son idénticas para los dos, problemas; se dice entonces que los das procesos físicos son «análogos». No todos’ ‘los” problemas de transpór.‘:‘)i’, te de cantidad de movimiento presentan analoa~a .“con l& de ‘transnorte de energía y transporte de materia. Ahora bien, cuando ‘Xiìchas analogías existen, pueden resultar ‘muy titiles para predecir el comportamiento! de los sistemas. Por ejemplo, el lector no tendría dificultad en encontrar, inrr+$tamente la solucion para la conducción del calor en tubos concéntricos por ,analogía con el flujo vis,<‘ coso en el mismo sistema. En l,a industria eléctrica existen muchísimos ejemplos de problemas de conducci¿5n dei cálór.1 ‘El conseguir. que los ‘incrementos kle’ temperatura en h@ ’ m-áquinas eléctricas sean mínimos, da lugar a que’ auménte ¡á ‘dur&&“kfei ‘aislamiento. Un ejemplo consiste en refrigerar interiormente, mediante un, liitiido, 10s condrktores del estator delos aheinadores de gran potencia (500000 kw). Con el fin ‘de,-il&trat más “amphamenm la naturaleza del calentamiento ~elktrico; presetitamos .do& ejem; plos relativos al aumento de temperatura en alambres: ‘el ,primëro de; eltos ihdiéa el orden de magnitud del efecto térmico, y el segundo muestra cómo se pueden tener en cuenta las vziaciones de las conductividad& calorífica y eléctrica. Ejemplo 9.2-1. Voltaje necesario p& produh un determinado aumento de temperatura 811 un alambre c&Wado por una co*te el+triqa ‘, ., ‘ 8 .Un alambre de cobre tiene 2 mm de radio y ,5 m de lon&d;, i C$é caida. de tensibn dará lugar a un aumento de temperatura en el eje del alambre de 100 C, si ¡a temperatura de la superficie, mterna del mismo es de 200 C,? s . : :, Solucióh. Combinando las Ec. 9.2~14 y. 9.2-l? se obtiene ‘, I 12Ri (9.247) Lí, - G = .,4+, 1 M. JAKOB, ffear Tramfit‘, vol. 1, Wiley, Nueva York (1949), capítulo 1;. pp. 167*1i99. 9-8 TRANSPORTE DE ENERGfA La densidad de corriente esta relacionada con la caída de tensión E en la longitud L, mediante 1s expresih: I,k$ Por lo tanto (9.24 8) (9.249) de don& ;“ToUn,aíx - Ti) 8 0 (9.2-20) Para el cobre, el número de Lorenz2 k/k,T,-,, es 2,23 x lo-* volt2 OK-? Por lo tanto, la diferencia de voltaje necesaria para producir un aumento de temperatura de 100 C es 5OOOmm ,/ 2,23 x lo-* ‘$ t/(293 )(lO) OK ( 2mm ) ( 1 = (5000) (1,49x 10-4) (54,l) = 40 voltios E=2 Ejemplo 9.2-2. Calentamiento ektrico de 1111 alambre en el que varian conductividades calorha y elhctrica con la temperatura3 (9.2-21) las Hallar la distribución de temperatura en un alambre calentado eltktricamente, si las conductividades calorifica y elCctrica varían con la posición, debido a la variación de temperatura que existe en el interior del metal. Supongase que k y k, pueden expresarse en función de la temperatura de esta forma: k 6 =1 - aI0 - prr 0” - . -4 k. = 1 - g,e - pp - - - k;ö (9.2-23) en la que ko y k 0 son los valores de las conductividades a la temperatura To, y 8 es un incremento adimensional de temperatura definido por la ecuación 8 = (T - TdTo. Para intervalos de temperatura no demasiado grandes pueden utilixarse siempre relaciones de este tipo. Soluciah. Debido al gradiente de temperatura que existe en el alambre, la conductividad ektrica es una función de la posicibn, kxr), y por consiguiente, la densidad de corriente ser8 también función de r: 2 Para la mutua relación entre k y k,, vtase 0 8.5. 3 La solución que se indica aquí ha sido obtenida por el profesor L. J. F. Broer, de la Technische Hogeschool de Delf, Holanda (comunicación privada a RBB fechada el 20 de agosto de 1958). DISTRIBUCIdN . DE TEMPERATURA f(r) = k,(r) ; 9-9 (9.2-24) Por lo tanto, el manantial el&trico de calor S, varia con la coordenada radial de la siguiente forma : E’ (9.2-25) S,(r) = k,(r) p de acuerdo con la Ec. 9.2-1. Si se substituy : este resultado en la Ec. 9.2-6 y se utilixa la ley de Fourier para expresar q, como +(r)dT/di, se llega a: (9.2-26) Introducimos ahora los siguientes números adimensionales: T - T, @x-c G temperatura adiinsional coordenada radial adimensional B k,RtEl =w = manantial calorlfico adimensional Multiplicando la Ec. 9.2-26 por Rl/ koTo (9.2-27) (9.2-28) (9.2 -29) se obtiene (9.2-30) Substituyendo las Pcs. 9.2-22 y 23 en la Ec. 9.2-30, se llega a (9.2-31) - alC+ - a# - Ésta es la ecuación que vamos a resolver para obtener la diitribución de temperatura adimensional. Comenzamos observando que si todas las ai y 6, fuesen cero (es decir, k y k, constantes), la Ec. 9.2-31 quedaría reducida 8: (9.2-32) cuya solucion, siendo 8= finito para 5 = 0 y 8 = 0 para 6 = 1, es 0 +* -49 que corresponde exactamente a la Ec. 9.2- 13 en notación adimensional. (9.2-33) 9-10 TRANSPORTE DE ENEREtA Hemos visto que la Ec. 9.2-33 corresponde a la solución de la Fc. 9.2-31 para valores de B pequeños, es decir, para manantiales calorife.ros débiles. Para fuentes de calor más intensas, suponemos que la distribución de temperatura puede expresarse mediante una ;. serie potencial de la intensidad reducida del manantial calorffico B: (9.2-34) @=4B (1 - &(f. +“l!O1 + Bs@, + . **) en fa que 0, son funciones de 6 pero no deP.,Substifuyendo la E.w9,2-34 en la Eq. 9,.2-31, e igualando las mismas potencias de B, se obtiene una serie.:de ecuaciones diferenciales que permiten hallar @r, Os, . . . utilizandò las condiciones límite de que 0, = finito ‘para t = 0 y Oi = 0 para t = 1. De esta forma se obtiene I 0 +1 -Ea) 1 +& $(l,&c3 [ ( -7 $3 .r PI).. Mpq-, ‘_ (?.2-+3 en la que O(B2) quiere decir i6rmin~ de ,.~r@n 82 y superiores». Para los materiales que la ley de Wiedemanri-Franz-Lqrenz (véase 5 8.5), la - siguen relación k/k,T es constante (independiente de la temperatura), y’ por lo tanto ,,,,* .< ,>, .i<, ; .< i (, ,b, . : ‘i k ko ,3 Combinando esta ecuacion k,T=k,T, !‘- ‘./ .: \I..‘ (9.2-36) ,,., .,‘. con las 9.2-22 y 23, se obtiene”’ (1 - a,O - a8@8 - . . .) =“(f’iL jjb -‘.@*(38’2: .)(1 i,(g) ‘)’ ‘. (9.2-37) Igualando las mismas potencias de:@ se’ obtienen. relaciones entre ai y pi: , ),, ‘, at = ,j$-,a8 = A ,$- A .‘. 1 ), , (?2-38) (9.2-39) ) Estas relaciones pueden substituirse en la Ec. 9.2-35, con’ lo que queda keducida ,’ @=+l-P) [ 17; 6% +.. + 6% &)‘+&] ( _, a (9.2-40) 5.9.3 CONDUCCIÓN DEL CALOR CoN U N M A N A N TIA L CALORfFICO DE ORIGEN NUCLEAR Consideremos un elemento: combustible nuclear ‘de forma esf&rica, tal como se indica en la Fig. 9.3- 1. El sistema consta de una esfera de material fisionable, de radio R F), «revestida» con una vaina esférica de aluminio, cuyo radio externo es R”). En el interior del material fisionable se producen fragmentos de fisión que poseen energías cinéticas elevadas. La principal fuente de energla calorifica en el reac- DISTRIBU~KdN D E lV%PERATURA .9- 14 .‘.!/I,, 2,‘s:‘: ,;,_ !,‘ “‘1 F.‘&. 9;3-1. Distribucibn de (kmperatura’: &I ,’mi’ mtirkt& &hz% de un combustible nuclear. i tor se debe a las colisiones entre estos fragmentos r, lókomos del material fisionable. Este manantial volumétrico de energía calorífica que resulta de la fisión nuclear, Jo. vamos .a llamar S,, &rJz cm;3 seg: ?& .IJ$,ho manantialno será uniforme en el interior de la esfera del material fisionable,’ sino m&mo en: el+entto .,de: ,laa misma. Para los fines de este problema supondremos que el manantial’ puede representarse aproximadamente mediante una función .parabólica sencilla: _, <’ s, ~~S,,[l - b(--g] / : ::“, (9.34 En esta ecuación, S,, es la velocidad volumétrica de produckón’de ‘calor en el centro de !a esfera, y b es una constante adimensional comprendida entre 0 y 1. ’ Comenzamos efectuando un balance de energía ‘calorífica sobre una envoltura esférica de espesor dr situada en el interior de la esfera del material fisionable: entrada de energía calorífica por r T R A N S P O R T E D E ENERGfA 9-12 salida de energla calorlíka por r + dr Plr+Ar -wr + Ar)S r energla calorlfica producida S, - 4dAr (9.3-3) (9.3 -4) Sulktituyendo estos thminos en el balance de ene& calorlfica de la Ec. 9.1- 1, y pasando al limite cuando dr -+ 0, se obtiene: (9.3-5) de donde se deduce que (9.3-6) La ecuacih diferencial que se obtiene para la densidad de flujo de calor q,(‘) en la vaina es de la misma forma que la Ec. 9.3-6, excepto que en este caso no existe el término correspondiente al manantial (9.3-7) Integrando estas dos ecuaciones se obtiene ,+w f en las que Cl(F) y C,(Q son constantes de integrahh, que se evalGan mediite las condiciones hite C.L. 1: parar=O, q r (F) no es inhito (9.3- 10) C.L. 2: para r = HF), q,‘FJ, = qv va9 (9.3-11) Una vez evaluadas las constantes se llega 8: (9.212) (9.3-13) DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA 9c13 Estas ecuaciones expresan las distribuciones de densidad de flujo de calor en la esfera fisionable y en la vaina esférica de revestimiento. Si se substituye en estas distribuciones la ley de Fourier de la conduccid~ del calor : (9.3-14) (9.3-15) Estas ecuaciones pueden integrarse tomando PC’ y ktFJ constantes: (9.346) (9.347) Las constantes de integración CzcF) y CZ’~) se determinan a partir de las siguientes condiciones límite : C.L. 3: para r = P T’m = T’cí (9.3- 18) C.L. 4: para r = Rc) Fc) = T. (9.3- 19) siendo T. la temperatura conocida de la superficie externa del revestimiento. Las expresiones finales para los perfiles de temperatura son: T’F, _ To~~([l - (&)‘] -;+- (&J]) (9.3-20) (9.3-21) La temperatura máxima en la esfera del material fisionable puede hallarse fácilmente haciendo r = 0 en la Ec. 9.3-20. Este valor es conveniente conocerlo con el fin de poder estimar el deterioro estructural. 9-14 ..' XRANSPORTE DE~~ENERG~A < 8’ 9.4 CONDUCCI6N DEL CALOR ,CGN UN. MANANTIAL .CALORfFICO ~<‘< DE ORIGEN VISCOSO ” ‘1 ’ -” Co&deiemosel hjó de un ñ uido newttmian0 iti&mi>resibfe a través de1 ‘espacio comprendido entre dos cilindros coaxiales, tal como se indica en la Fig. 9.4i 1: Al girar el cilindro exterior, las capas cilíndrica,! de fluido rozan con las capas de fluido adyacente, dando lugar a una producciivn ‘de calor. Es decir, que la energía mecánica se degrada invariablemknte a energia calorífica. El manantial de calor por unidad de volumen que resulta de esta ¿<disipación viscosa)), lo designaremós por S,. Esta magnitud depende del gradiente, !ocal de velocidad; cuanto más rápidamente se mueva una capa de fluido respecto de otra adyacente, mayor será el calentamiento @bducidd por disipación ~vischi.’ Las sripeff%cieS interna’ y exteina del fluido se mantienen, respectivamente, a 13~ temperaturas T = To y T = Tb. Evidentemente, T será Qr&a función exclusivà Fe r. i El cilindro exterior se mue&con una velocidad angular f2 1------~ u n a v e l o c i d a d Y = R 51 Fig. 9.4-1. Flujo entre dos cilindros con generacion de calor de origen i-iscoso. El fluido comprendido entre las líneas de trazos se presenta en forma idealizada z en la Fig. 9.4-2. I, Fig. 9.4-2. Idealikibn de una parte del sistema de flujo de la Fig. 9.4-1, en’ el que se ha despreciado la curva.tura de las superficies cilíndricas. , Si el espesor b de la rendija es fiéqueño cotiparado con el radio R del cilindro utilizando el sistema un tdnto-simplificado Qtie se indica en la hg. 9.4-2’; es decir, despreciar los efectos de la curvatura y resolver cl problema en coordenadas .cartesianas.l En este caso, el manantial caloríficp de origen yiscoso vietie’dad0 por exterior, el problema puede resolverse apr@nadamente (9.4-1) , ,i L ,, ii’ -__._ 1 ‘En los problemas 2.F i 2.P hemos visto como~ un anillo circular se comporta de igual forma que una rendija plana en el caso límite de que la separacibn entre 10s cilindros tienda hacia cero. El problema que estamos considerando se resuelve én coordenadas cilin -%as en el ejemplo 10.5 - 1. DISTRIlWCfdN ,DE TEMPERQTURA 9515 Pedimos al iector que acepte ahora esta expresión; la ecuacion ,general para el calor de disipación viscosa se estudia, en el Capítulo 10. El perfil de velocidad para el flujo laminar estacionario de un fluido de viscosidad constante en una rendija; de acuerdo con. la. ,. Ec. 94-2, .es lineal: , , - . .< .; (9.4-2) de forma que la velocidad de producción & calor de origen viswso por unidad de volumen,, es j,; : >_. >!.“_ : , .: +., ; ‘> .,’ :: “’ Ahora estamos’.en condiciones; de I Un. balance de, energía calo&ca aplicado, a una-,envoltura de espesor 4% anchura, W, y.longitud, L, en estada.estacionario2~ conduce al! .‘ I! ‘, .,<, , ,>. ., _:,, “ ’ , ‘II. .: ._ _/ ; ;* , “‘, ‘!I, j Obs&+ae que la «entrada» y «salida» se toman en la dirección x positiva, apesar de,que’en’esteproblema el calor fluye en ladirección~x negativaen~partedel sistema: Divi&en&‘p&~x y toIfian&Ax +O, së &&etw : .:jy i”.’ I ‘:, ,: >, ,-/ ,, ‘., ” -,,, .. .’ ‘/: :, l: ., .: y?e >‘,/Puedei _.‘,Kpeiwse~.considerando : > p .constante,. para obtener <‘<. ,_<I_ :_ .6 I’, Como no conocemos la mos determinar. Cr: ~Introduciendq, SI .,.“, ,. i ., ‘:<< ,., ., ,1 ; ‘d :;, ; <,.. ~ l’, ,.I i (9.4-6) ‘< r para ningún valor de, x, no podela ley. de, Fourier en la Ec.:9:4-6;se @ene ,” : & en la’qúe k esla conductividad calorífica del fluido. Integrando la’ Ec, 9,4-7 con ” ’ ’ , respect¿¿.a’x (para k,constante), se obti ne ;. .’ / ,- . . ..’ -’ ‘~,S<,‘/, /% ,‘,,.. .‘,, . -._, (9.4-8) Las constantes. de integración Cr y Ca se ,determman a partir de las condiciones límité: . . ., _’ .,’ , 9-16 TRANSPORTE DE ENERGfA C.L. 1 : para x = 0 T = T,, (9.4-9) C.L. 2: para x=L T = Tb (9.4 - 10) Substituyendo los valores de las constantes en la Ec. 9.4-8, se obtiene s= (E) +iBr (i)[l - ($1 (9.4-11) En esta expresión Br = [pY*/k(T, - TJ] es el «número de Brinkman» que es una medida de la importancia del calentamiento visco& con relación al flujo de calor que resulta de la diferencia de temperatura comunicada (Tb - To). Si B, > 2, existe , una temperatura máxima en un punto comprendido entre las dos paredes. ER la mayor parte de los casos, el calentamiento viscoso no tiene importancia. Existen, sin embargo, varios problemas en ingeniería para los que el efecto del calentamiento viscoso es importante, cuando tienen lugar grandes cambios de velocidad en distancias muy cortas: (a) flujo de una substancia lubrificante entre partes móviles animadas de gran velocidad, (6) flujo de plásticos a través de boquillas en la extrusión-a alta velocidad, y (c) flujo de aire en la capa limite inmediata a la superficie de un satélite terrestre o cohete (el problema de reentrada). Los dos primeros casos presentan además una complicación adicional debido a que muchos lubrificantes y plásticos fundidos son no-newtonianos. Un ejemplo de flujo no-newtoniano con generación de calor se estudia en el problema 9.K; en el problema 9.0 se presenta otro ejemplo de este mismo tipo, teniendo en cuenta además que la viscosidad y la conductividad calorífica varían con la temperatura. Q 9.5 CONDUCCIÓN DEL CALOR CON MANANTIAL CALORfFICO DE ORIGEN QUf MICO Una reaccion qulmica se realiza en un reactor de flujo de lecho fijo, tal como se indica en la Fig. 9.5-1. El reactor se extiende- desde z = - OQ hasta z = + 00 y esta dividido en tres zonas. La zona de reacción (0 < z < L) esta rellena de pequeñas esferas catallticas, y las zonas de entrada y salida están también rellenas con esferas físicamente iguales a las anteriores pero no catalíticas. Se desprecian los- gradientes. de velocidad radial (es decir, que se supone «flujo de tapón»). Por otra parte, la pared del reactor esta bien aisla&, de forma que la temperatura puede considerarse prácticamente independiente de r. Se desea conocer la distribución axial de temperatura en estado estacionario T (z) cuando el fluido entra por z = - 00 con una temperatura uniforme Tl y velocidad superficial u1 = w/(lrRa& (Véase 0 6.4.) i *El profesor H . C. Brinkman resolvib el problema del flujo en un tubo circular con efectos de origen viscoso. [Appl. Sci. Research, AZ, 120-124 (19Sl)l; v¿ase 0 11.2. ~a l~riíic os DISTRlBUCldN DE TEMPERATURA 9-17 Este tipo de problemas pueden resolverse suponiendo que la conducción axial del calor sigue la ley de Fourier, tomando una «conductividad calorífica efectiva» para el lecho de relleno. Las conductividades efectivas radial y axial de los lechos de relleno, bef Y kd, han sido muy estudiadas debido a su importancia en la teoría de los reactores catalíticos. En general, kr,cr y k,,.f tienen valores muy diferentes. En una reacción química se produce o consume energía calorífica debido a.da reordenación de los átomos de las moléculas reaccionnntes para dar lugar a los productos de reacción. La velocidad de producci+t de energía calorífica por unidad de volumen en las reacciones químicas, SC, es, generalmente, una función compleja de la presión, temperatura, composición y actividad .del catalizador. Para simplificar consideramos aquí a SC como una función excluswa de la temperatura, y suponemos que varía linealmente con esta variable: T-T” (9.54) se = sel ( y 1 1-r En esta expresión, T es la temperatura local del fecho catalítico (supuesta igual para el catalizador y el fluidor), y SC1 y TO son constantes empiricas para unas determinadas condiciones de entrada al reactor. Utilizando métodos de cálculo adecuados se pueden obtener expresiones más realistas para SC. r Para el balance de envoltura elegimos un disco de radio R y espesor, AZ situado en la zona catalítica (véase Fig. 9.5- 1), de forma que AZ sea mucho mayor que las dimensiones de las partículas del catalizador. - z o n a 1 Z- 0 z=:t Zona III - Flg. 95-1. Reactor de lecho fijo con flujo axial. Los reaccionantes entran por t = -03 y los productos salen por 2 E + OO. La zona de reacción se extiende desde z = 0 hasta z = L. De acuerdo con esto, el balance de energía calorífica en estado estacionario contiene los siguientes términos : t La diferencia de temperatura entre el catalizador y el fluido no es siempre despreciable. (Wanse problemas 21. 1. J.) 9-18 TRANSPORTE DE ENERGIA entrada por z de energla calorífica por conducción salida por z + AZ de energía calorífica por conduccibn ~R2%lz (9.5-2) @lzlz+A, (9.5-3) entrada por z de energía calorífica debida al flujo (9.5-4) salida por z + AZ de energía calorífica debida al flujo (9.5-5) Energía calorífica producida (tiR2Az)SC (9.5-6) Se ha supuesto que cP permanece constante para la mezcla reaccionante, y la velocidad másica de flujo nR*plvl se ha expresado en función de las condiciones de entrada. Obsérvese que la energía calorífica del fluido que circula está expresada con relación a una temperatura de referencia Te. Es preciso elegir dicha temperatura de referencia, ya que el contenido energetico no puede expresarse de forma absoluta sino relativa. Substituyendo estos términos en la Ec. 9.1- 1 y dividiendo por zR*Az, se obtiene (9.5-7) Ahora tomamos límites en la Ec. 9.5-7 cuando AZ -P 0. Estrictamente hablando, esta operación no es «lícita» puesto que no se opera con un medio continuo. Sin embargo, efectuamos este proceso de límites sabiendo que las ecuaciones que resultan no describen valores puntuales sino valores medios de qz, T y S,, para todo el flujo a través de las secciones de z constante. La expresion que se obtiene es (9.54) Ahora se substituye la ley de Fourier en la Ec. 9.5-8, operando una vez más con el sistema como si fuese continuo. Suponiendo que la conductividad efectiva axial k*, cf es constante, se tiene d2T dT -k, -jg + PI& z = so ’ w-9 La Ec. 9.5-9 también es válida para las zonas 1 y III si se toma SC igual a cero. Las ecuaciones diferenciales que resultan para la distribución de temperatura en las tres zonas de la Fig. 9.5-1, son d2T= dT’ (9.5- 10) Zona 1 (z < 0): -k,er z + PlVlG --& = 0 DISTRIBUCIÓN D E TEMPERATURA 9-19 Zona II (0. < z < L): . . -k 2,ef @TI” dz2 (9.5-11) Zona III (z > L) Como se ve, hemos utilizado el mismo valor de k,, er para las tres zonas. Estas tres ecuaciones diferenciales de segundo orden pueden resolverse utilizando las seis condiciones límite siguientes : para z = - 00, para z = 0, T’ = Tl (9.5- 13) (9.5- 14) T’ = T” k para z = 0. dT’_ k r.eP d2 - dT” (9.5- 15) .Gef -yg- para z = L, T” = TI== (9.5- 16) para z = L, k dT” k dTII1 z,eP r.ef dz = dz (9.5- 17) para z = 00, TI” = finita ‘\ (9.5-18) Las Ecs. 9.5-14 a 17 expresan la continuidad de la temperatura y de la densidad de flujo de calor entre las zonas, y la Ek. 9.5-18 se basa en principios físicos. La solución se facilita introduciendo las siguientes variables adimensionales : z =-Lz @=Go (9.5-19) (9.5-20) 1 PIVlU B= k r.ef (9.5-21) (9.5-22) De esta forma, las ecuaciones diferenciales 9.5-10, 11 y 12 se transforman en - 1- de@’ - d0’ o B&2+z= 1- d20t1 - d@ NoIl B dZ” + dz = 1 d2@‘1’ do”’ o ---+dz= B dZ2 - (9.5-23) (9.5-24) (9.5-25) 9-20 TRANSPORTE DE ENERG1A Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales lineales homogéneas son 0’ = c, + cgBZ @” - tez + c,e@III en las que = (9.5-26) (para ms # m,) c5 + c,eBZ (9.5-27) (9.5-28) ma = #NI - dl - (4N/B)) (9.>29) m4 = VW + 41 - (4N/B)) (9.5-30) Aplicando la condición limite de la Ec. 9.5-18 se obtiene cs = 0; por lo tanto, la temperatura en la zona III es constante. De la Ec. 9.5-13 se deduce que ct es la unidad. Al aplicar las cuatro condiciones hmite restantes se obtienen los siguientes resultados para el perlil de temperatura en las tres zonas (cuando 1 - (4N/B) > 0): i. (9.5-3 1) (9.5-32) (9.5-33) En la Fig. 9.5-2 se indican algunos perfiles de temperatura basados en estas ecuaciones. Obsérvese que la mezcla reaccionante puede precalentarse o enfriarse apreciablemente por conducción axial antes de entrar en la zona de reacción; este efecto merece una atención cuidadosa en la interpretación de las experiencias catallticas. Obsérvese tambien que la pendiente del perfil de temperatura tiende siempre hacia cero a la salida del lecho catalitico, de acuerdo con las Ec. 9.5-17 y 33. Deberá tenerse en cuenta que la Fc. 9.5-1 es solamente aceptable cuando la variación de composición es pequefia. Este caso se da en reactores cortos, para velocidades de flujo elevadas, o para reacciones lentas; es decir, cuando N es per queño. En el tratamiento anterior se ha supuesto que el sistema reaccionante alcanza un estado estacionario, siempre que se parta de unas adecuadas condiciones iniciales. Esta suposición puede comprobarse solamente por experiencia, o bien analizando las condiciones correspondientes a las Ecs. 9.5-23, 24 y 25 para el estado no estacionario. Para el sistema que estamos considerando, no se alcanza el regimen estacionario para valores muy grandes de N/B, debido a que la velocidad DISTRIBUCION 9-21 DE TEMPERATURA de Ilujo es insuficiente para contrarrestar la velocidad’ de generación de calor en la zona II y el precalentamiento de las substancias reaccionantes en la zona 1. 4 Zona 1 1; tono II en IQ que se produce calor por reocci6n _ IZona XI qulmica Fig. 9.5-2. PcrlIles de temperatura previstos para un reactor de lecho fijo con ibjo axial, para B = 8 y diversos valores de N. 6 9.6 CONDUCCIÓN DEL CALOR A TRAVÉS DE PAREDES COMPUESTAS: SUMA DE RESISTENCIAS En los problemas industriales de transmisión de calor se opera frecuentemente con conducción a través de paredes constituidas por capas de varios materiales, t 0 t0 Xl xz Distancia, x - =s Fig. 9.6-1. Conducción de calor a travbs de una pared compuesta situada entre dos corrientes de fluidos a temperaturas T,, y Tb 9-22 TRANSPORTE DE ENERGfA cada uno. de los cuales tiene su propia y característica conductividad calorífica. En esta sección vamos a estudiar cómo se combinan las distintas resistencias de conducción de calor para dar lugar a una resistencia total. En la Fig. 9.6- 1 se presenta una pared compuesta formada por tres materiales de distinto espesor, xr - xo, x2 - xr y xs - x2, y diferentes conductividades caloríficas kol, k12 y k23. Para x = xe la substancia «Ol» está en contacto con un fluido a la temperatura Ta, y para x = x3 la substancia «23.» está en contacto con un fluido a la temperatura Tb. La transmisión del calor en las superficies extremas, para x = x0 y x = 3, viene dada por la «ley de enfriamiento» de Newton, siendo ho y h3 los correspondientes coeficientes de transmisión de calor. En la Fig. 9.6-1 se ha representado gráficamente el perfil de temperatura; antes de comenzar el problema puede hacerse un esquema de este tipo, que generalmente resulta muy útil para su interpretación. Deduciremos primeramente la ecuación diferencial para la conducción del calor en la región «Ol». Aplicando un balance a la lámina de volumen WHdx, se obtiene (9.61) qe0’12WH - 42°11z+a*WH = 0 Dividiendo por WHAx y tomando el límite cuando Ax tiende hacia cero, dq801 - 0 (9.6-2) dx La integración de esta ecuación conduce a (una constante) (9.6-3) qol = 40 La constante q. es la densidad de,flujo de calor en el plano x = xe. Como en el estado estacionario la densidad de flujo de calor ha de ser la misma en las tres regiones : 4% Ol= 4t 1% = Q8 = 40 (9.6-4) Sabemos también que 01 = 4s -kOlfgl con ecuaciones análogas para qz12 y qi23. Ec. 9.6-4, se obtiene .dx Gmbinando Lk0'dl" = dx q. e.k’ZdTle =qo dz (9.6-5) estas relaciones con la (9.W (9.6-7) DISTRIBUC16N DE TEMPERATURA 9-23 ‘La integración de estas ecuaciones, siendo kol, kla y k23 constantes, conduce a (9.6-9) (9.610) (9.6-11) Por otra parte, sabemos que la transmisión de calor en las superficies viene dada por T, - T, = f- (9.612) 0 T8 - Tb = f 8 (9.613) Sumando estas cinco ecuaciones, se obtiene T,- T, = qo 1 (9.6-14) o bien (9.615) A veces este resultado se escribe en una forma análoga a la ley de enfriamiento de Newton (9.616) qo = W’a - Tb) 0 Qo = Wf’WU’a - TJ siendo U el llamado «coeficiente global de transmisión de calor», que viene dado por (9.617) Evidentemente, este resultado puede generalizarse para incluir más capas en la pared compuesta, reemplazando el límite superior «3» del sumatorio por un número entero «n», que representa el número de capas de que consta la pared, y análogamente, reemplazando hs por h,. La Jk. 9.6- 15 resulta útil para calcular la velocidad de transmisih de calor a travh de una pared compuesta que separa dos corrientes 9-24 TRANSPORTE D E ENERGfA fluidas cuando se conocen las conductividades caloríficas y los coeficientes de transmisión de calor. La forma de calcular estos coeficientes de transmisión se trata en un capítulo posterior. Es preciso hacer una observación con respecto a las deducciones anteriores. Se ha supuesto tácitamente que las distintas capas están íntimamente unidas entre sí, de forma que no hay entre ellas «cámaras de aire». Naturalmente que si las capas se tocan entre sí solo en algunÓs puntos, la resistencia a la transmisión de calor aumentará considerablemente. EjempIo 9.6-1. PucQes eIIhlrIcas compuestas Efectuar un desarrollo análogo al anterior, para el caso de una pared cilíndrica compuesta, tal como se indica en la Fig. 9.6-2. Soiución. Un balance de energía calorífka aplicado a una envoltura de volumen 2nrLdr situada en la región «Oh, da qroll+ *2nrL - q,oll,+Av . Zn+ f Ar)L = 0 (9.6-18) Dividiendo por 2nL dr y tomando el hite cuando dr +O, se obt ie ne La integración de esta ecuación pm- ti*, k** y k*í constantes, conduce a (9.620) (una constante) Th O1 = rflo en la que ro es el radio interior de Ia regih «OI», y q. e-s la densidad de flujo de calor en ella. Por lo tanto, para el estado estacionario podemos escribir las ecuaciones análogas a las Bs. 9.6-6, 7 y 8, -kolr sp’ dr = dTls -klar- ti dr ro40 (9.6-21) ‘040 (9.6-22) (9.6-23) Integrando estas ecuaciones para kol, kl* y kz3 CO&~LI~CS: (9.6-24) (9.6-26) DiSTRiBUCIdN DE T E MP E R AT UR A I Tb Fig. 9.6-2. Conduccih de calor a travks de una pared cilindrica compuesta, siendo Te la temperatura del fluido interior y Tb ia del exterior. Sabemos que en las dos interfases Mido-fluido se cumple (9.6-28) Sumando estas cinco ecuaciones se puede obtener la siguiente expresión para qo en función de Ta - Tb 9-26 TRANSPORTE DE ENERGiA 24Ta Y- TJ Po = 2nLroqo = In hlr0 In ra/rz 1 In rdrl klB + k” + T3 (9.6-29) i+7+r&0 Definimos ahora un «coeficiente global de transmisión de calor basado en la superfkie interna» UO: (9.640) Qo = W3w3U’a - Tb) Combinando las Ecs. 9.6-29 y 9.6-30, se obtiene (9.631) El subíndice GOS que se ha puesto en UO indica que el coeficiente ‘global de transmisión de calor esta referido al radio ro. Este resultado puede generalii para un tubo tilíndrice constituido por n láminas, substituyendo ~3%) por «n» las tres veces que aparece en la Ec. 9.6-31. 0 9.7 CONDUCCIÓN DE CALOR EN UNA ALETA DE ENFRÍAMIENTO Otra aplicación sencilla, pero práctica, de la conducción del calor es el calculo de la eficacia de una aleta de enfriamiento. Estas aletas se utilizan para aumentar la superficie disponible para la transmisión de calor entre paredes metálicas y fluidos que son muy malos conductores, tales como gases. En la Fig. 9.7-1 se indica un esquema de una aleta rectangular sencilla. Puede obtenerse una descripcibn aceptable del sistema substituyendo la verdadera situación física por un modelo aproximado: Modelo Caso real 1 . Tes función de z y x pero la influen1. T es solo función de z. cia de z es más importante. 2. No hay pérdida de calor por el 2 . Por el extremo de la aleta (área 2BW) y los bordes (área 2BL + 2BL) se pierde extremo y los bordes. una pequeña cantidad de calor. 3 . La densidad de flujo de calor en 3. El coeficiente de transmisión de la superficie viene dada por q = Ir calor es función de la posicion (T - TJ, en la que h es constante y T = T (2). Aplicando un balance de energía a un segmento dz de la aleta, 4‘1s * 2BW - qAs+Llr * 2BW - h(2W Az)(T - T,) = 0 (9.7-1) 1 Para un tratamiento m&s amplio de aletas vhse, por ejemplo, M. JAKOB, Heur Trutufer, Wiley, Nueva York (1949). vol. 1, capítulo ll; vhse tambibn E. IL G. ECK ERT y R. M. DMKE junior, Heut d Mm Trunsfer, McGraw-Hill, Nueva York (1959), segunda edición, capítulo 3. DISTRIBUC16N I. Dividiendo por 2BWAz DE TEMPERATURA 9-27 y pasando al límite cuando AZ tiende a cero, 4 -4s $(T - TJ dz (9.7-2) Introduciendo la ley de Fourier (q, = - kdT/dz), siendo k la conductividad calorífica del metal, que se considera constante, se obtiene (9.7-3) Esta ecuación se resuelve con las siguientes condiciones límite: C.L. 1 : para’z = 0. C.L. 2 : para z = L te m pe ra tura Fig. 9.7-1. T, T = T, dT. -= o dz de lo pa re d (9.7-4) (9.7-5) e s c o no c ido Aleta de enfriamiento sencilla con B < L. Introducimos ahora las siguientes variables adimensionales : 8= T-T, = temperatura adimensional L - T, = distancia adimensional (9.7-6) (9.7-7) = coeficiente adimensional de transmisión de calor (9.7- 8) TRANSPORTE 9-28 : 1 D E ENERGtA De acuerdo con esto, el problema puede replantearse de esta forma: d2@ - = N2@ d53 con Ql c-o = 1 d8 Y z C-I = 0 (9.7-9,10, ll) Al integrar la Ec. 9.7-9 y determinar las dos constantes de integracion, la siguiente función hiperbólica se obtiene 6 = cosh Nc - (tangh N) senh Nc (9.7- 12) que puede expresarse así 0 = cosh N(l - 0 cosh N (9.743) Es preciso resaltar que esta expresión es solamente aceptable si las ptkdidas de calor en los bordes son despreciables. La «eficacia de una aleta»2 se define de la siguiente forma r = (calor disipado por la superficie de la aleta) calor que se disiparia si la superficie se mantuviese a T,,, (sin variar h) 1 (9.7- 14) El valor teorico de 7 para el problema que estamos considerando, es, por lo tanto Te) dz dy (9.7-15) TJ dz dy o bien 1 3:-+nhN(lcosh N siendo N el numero adimensional que se ha definido en la Ec. 9.7-8. 2 M. JASOS, op. cit., p. 235. (9.7-16) DISTRIBVCIÓN DE TEMPERATURA 9-29 Ejemplo 9.7-1. Error en Ir medida de m termopar En la Fig. 9.7 -2 se muestra un termopar situado en el interior de una vaina cilindrica que se introduce en una corriente gaseosa. Estimar la temperatura verdadera de la corriente gaseosa a partir de los siguientes datos.: TI = 2600 C = temperatura que señala el termopar T, = 1770 C = temperatura de la pared h = 0,0167 cai cm-2 seg-1 0 C-l k = 0,250 cal cm -1 seg-1 0 C-l B = OJO cm = espesor de pared de la vaina L=6cm Soluci6n. La vaina del termopar tiene un espesor de pared B, que es pequeño en comparación con el diámetro, y esta en contacto con la corriente gaseosa por un solo lado. Por lo tanto la distribucion de temperatura en esta pared sera aproximadamente la misma que en una aleta de espesor 28 que estuviese en contacto con el gas por los dos lados. De acuerdo con la Ec. 9.7- 13, la temperatura en el extremo de la vaina (que es la que registra el termometro) es: cosh 0 1 TI - Ta -su-= cosh N cosh dhLzjkB Tm - T’o 1 = cosh 4(0,0167) (6)2/(0,25) (03) 1 1 -=16.0 cosh 2 43 (9.7-17) Cables del termopar que red de la vaina de espesor E Unibn del termopar Q Z’l Hg. 9.7-2. Termopar en una vaina cilindrica. Por tanto, la temperatura mal del gas se obtiene despejando T, en esta ecuación: 260-Ta 1 177 - Ta = 16,o Ta = 266“C 9-30 :., TRANSPORTE D E ENERGfA Por consiguiente, la lectura del termopar es 64 C mAs baja. (Si se resolviese el problema teniendo en cuenta la variación de temperatura en la dirección x y el correspondiente flujo de calor bidireccional, se obtendría un resultado de 266,60 C.) Este ejemplo señala una clase de error que se puede cometer en termometría. Generalmente puede utilizarse un análisis sencillo como el anterior para estimar la magnitud de los errores que se cometen.’ Transmisión de color por convccci¿n forzado Tranrmiri6n de color por convecci6n l i b r e Sin ventilado El calor os barrido hacia lo derecha por la corriente forrado do aire 1. Las caracterlrticos determinados por una d e l fk~jo,ostán El color-se troiwporto hacia a r r i b o p o r el oh collante q u e oscisnde 1. Las caroctarlstlcor fuerza externo 2. Prlmeromante se hallan los pcrtiles d e 2. velocidad, que se utilizan después poro Los perfiles de velocidad y temperatura cstdn fntimomente relacionodos calcular los pertilts d e tcmperoturo [procedimiento general poro fluidos cuyos propiedades f!sicas d e l ftuio estón doterminados por el efecto de flotoc¡& del ftuido caliente fundamentalmente son constantes) 3. El número de Nusselt depende de los 3. El ntimcro do Nusselt depende números de Reynolds y Prandtl. de los números (VBase top. 13) Prandtl (More tie G r a s h o f y Cap. 13) Fig. 9.8-1. Comparación de la convección libre y forzada en sistemas no isothnicos. 3 Para ‘ka estudio más amplio, véase M. J AKOB, op. cit. vol. II. capítulo 33. pp. 147-201. DISTRlBUCldN $ 9 . 8 CONVECCI6N DE TEMPERATURA 9 -3 1 FORZADA Las secciones anteriores se han dedicado principalmente a la conducción del calor en’ sólidos. En ésta, y en la siguiente, estudiaremos dos tipos de la transmisión de calor en fluidos: conveccih fomu& y conveccidn libre. Las principales diferencias entre estos dos tipos de comportamiento se exhiben en la Fig. 9.8- 1. Hasta ahora, la mayor parte de los problemas industriales de transmisibn de calor se han situado arbitrariamente en una u otra de estas dos categorías limite; en algunos casos, sin embargo, es preciso considerar ambos efectos. En esta secci6n vamos a considerar un problema de convección forzada en estado. estacionario, que presenta un caso límite suficientemtnte sencillo para poder resolverse analíticamente.rJ Un fluido viscoso cuyas propiedades físicas son constantes (p, cc, k, C,,) circula con flujo laminar en un tubo de radio R. Para z < 0 la temperatura del fluido es constante e igual a To, y para r! > 0 hay un flujo constante-----‘de calor q1 a través de la pared. Estas condiciones se dan, por ejemplo, en una tuberia que está uniformemente bobinada con una resistencia de calefacción electrica. Como se ha indicado en la Fig. 9.8-1, la primera etapa en la resolución de un problema de transmisibn de calor por convección forzada consiste en el dlculo de los perfiles de velocidad en el sistema. En 0 2.3 ya hemos visto cómo se realtza esto para el caso de un tubo, mediante la aplicación del método del balance envolvente de cantidad de movimiento. Sabemos que la distribución de velocidad, a una distancia suficientemente alejada aguas abajo del obstáculo, de forma que se sobrepase la longitud de entrada, es v.=v.,mu[l -G)‘] (9.8- 1) en la que v,,,,~ viene dada por (ga0 - 9&P&L. Para obtener la distribución de temperatura aplicamos un balance de energía calorífica a un elemento en forma de anillo circular, tal como se indica en la Fig. 9.8-2, teniendo en cuenta que T es una funcibn de r y z. A este anillo entra y sale energla por conducción en ambas direcciones r y z (señaladas con las flechas de trazo continuo), También entra y sale energía debido a las corrientes de entrada y salida del fluido que llevan una cierta cantidad de «calor sensible». Por lo tanto, las contribwones al balance de energla son: entrada .de energla por r por conducción salida de energfa por r + dr por conducción qrlr * 2nr Az %lr+at - 27r(r + Ar) AZ (9.8-2) (9.8-3) 1 A. E AGLE y R. M. FERGUSON, Proc. Roy. Soc. (London), A1 2 7 , 540-566 (1 9 3 0 ). 2 S. GQLDSTLVN, Moderrn Developments in Fluid Dymmics, Oxford University Pq (1938), vol. II, p. 622. 9-32 TRANSPORTE DE ENERGiA entrada de energía por z por conducción salida de energía por z + AZ por conducción entrada de energía por z debido al flujo del fluido q*l* * 2m Ar %ls+As - 2~ Ar &vAT - Z& - 2nr Ar (9.8-4) (9.8-5) (9.8-6) salida de energía por z + AZ debido al flujo del fluido (9.8-7) &M - W.+A~ - 27wtb Estos dos últimos términos representan el contenido calor& de las corrientes de entrada y salida respecto de una temperatura de referencia T,,; es preciso elegir esta temperatura de referencia ya que las-energías no pueden expresarse en forma absoluta, sino relativa. La elección del plano de referencta es arbitraria; después se verá que no aparece en la ecuachh diferencial. Fig. 9.8-2. .Anillo circular al que se aplica el balance de energía para obtener las ecuaciones diferenciales de la distribución de temperatura para el flujo laminar en un tubo. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA . .. 9- 33 Al igualar las entradas y salidas de energía se establece el balance de energía aplicado al anillo circular de la Fig. 9.8-2. Dividiendo por 21&dz, queda (rq,)l,+Ar - OvA + r qrlr+b - q,l, + rpe v TIZ+ilí PZ AZ ar - TI, = o AZ (9.8-8) , Al tender Ar e AZ hacia cero, se obtiene (9.8-9) Introduciendo en’ esta ecuación la distribución de velocidad de la Ec. 9.8-1, y la ley de Fourier de la conducción del calor para ambas direcciones r y z: 4r = -&$; se llega a la siguiente ecuacibn qs = -&E diferencial entre derivadas parciales: ,&vmíx[l - ($15 = k[$(r$) + $1 ” (9.8-11) Generalmente la conducción del calor en la dirección z (el’ t&mino que contiene @T/az2) es pequeaa compara& con la transmisión convectiva (el término que contiene. ~T/c?‘z), de forma que d2T/t?z2 puede suprimirse en la Ec. 9.8’-11. Un caso en el que no puede hacerse esto es el del flujo lento de substancias que poseen una conductividad calorífica elevada, tales como metales líquidos. Cuando puede suprimirse el termino conductivo en la dirección z, queda finalmente (9.8-12) Al resolver esta ecuación diferencial entre derivadas parciales se obtiene la temperatura en función de r y z en el tubo. Las condiciones límite son: (9.8- 13) CL. 1: para r = 0, T = finito CL. 2: parar=R, - k $ = q1 C.L. 3: para z = 0, T = To (para cualquier valor de r) (9.8-15) (una constante) (9.8- 14) Con el fin de simplificar, se introducen las siguientes variables adimensionales: zk Pc Jhm íx~ (9.8-16,17,18) 9-34 TRANSPORTE DE ENERGfA La ecuación que se obtiene para la distribución de temperatura es (9.8-19) , con las siguientes condiciones límite C.L. 1 : para E = 0, 8 = finito (9.840) C.L. 2 : para ,! = 1, - -= ae 1 al (9.8-21) C.L. 3 : para C = 0, @=O (9.8-22) La ecuación diferencial (EC. 9.8-19) se ha resuelto para estas condiciones límite,s pero no daremos aquí la solución completa. Sin embargo, es instructivo obtener la forma límite de la solución de la Ec. 9.8-19 cuando c es grande. Después que el fluido se ha alejado a g ua s abajo del comienzo de la sección de calefacción, es de esperar, intuitivamente, que la densidad de flujo de calor constante a través de la pared dará lugar a un aumento lineal de la temperatura con c. Además, es de esperar tambiirn que la forma de los perfiles radiales de temperatura no sufrirá al fin cambios ulteriores al aumentar c. Por consiguiente, para valores grandes de c parece razonable una~solución de la siguiente forma 0 = co5 + W) (9.8-23) en la que Ce es una constante que se ha de determinar posteriormente. La función correspondiente a la Ec. 9-8-23 no es evidentemente una solución completa del problema. Aunque esta función debe de cumplir la ecuación entre derivadas parciales así como las condiciones límite «IB y «2», es Fácil ver que puede no cumplir la condición límite «3». Por lo tanto, substituimos esta última por C.L. 3 ’ : 0 -2rRzq, = SS 2s 0 0 R &(T - T,)u,r dr dtl (9.8-24) - 6% dt (9.8-25) Esta condición establece que el calor que entra a través de las paredes es igual a la diferencia entre el calor transportado a través de las secciones transversales correspondientes a C = c y 5 = 0. Substituyendo la Ec. 9.8-23 en la Ec. 9.8-19 se obtiene para !Jz la siguiente ecuación diferencial ordinaria 3 R. SIEGEL, E. M. SPARROW y T . M. HALLMAN. A p p l. Sci. Research. Al, 386-392 (1958). DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA 9-35 (9.8-26) Integrando dos veces esta ecuacih con respecto a 6 y substituyendo el resultado en la Ec. 9.8-23, se obtiene (9.8-27) en la que CI y CT2 son constantes de integración, que se determinan a partir de las condiciones límite que se han indicado anteriormente: C.L. 1 : ct = 0 (9.8-28) C.L. 2 : co=-4 (9.8-29) C.L. 3 ’ : c2= (9.8-3U) +$ Substituyendo estas expresiones en la Ec. 9.8-27 se obtiene finalmente,4 Gj3= -41-P+tP+& ~ (9.8-31) Este resulta& expresa Ia tehperatura en función de la coordenada radial adimensional 5 y, la axial C. l$ exacta en el límite cuando C + OO; para C = 0,l predice el valor lo+ de 8 don un error aproximado del 2 por ciento. Una vez que se’ conoce la distribución de temperatura, pueden deducirse otras magnitudes. En relacih con el flujo deSflUidos para los que p y (?, son prácticamente constantes, se utilizan dos clases de temperaturas medias: ‘<T> = <vJ> _ w (9.8-32) = T, (9.8-33) Ambas medias son funciones de z. tT> es exactamente la media aritmkica de las temperaturas en una determinada sección transversal. La «temperatura global» Tb 4 En el problema 9.R se halla una solución de la distribución de temperatura para valores muy pequeaos de C. 9-36 TRANSPORTE D E ENERG1.4 es la temperatura que se medirla si el tubo se aserrase por z, recogiendo en un recipiente el fluido que sale y mezclándolo totalmente (de aquí que esta temperatura media se llame a veces «temperatura de mezcla en taza» o «temperatura media de flujo»). Antes de acabar esta sección hemos de indicar que la coordenada axial adimensional C que aparece más arriba, puede expresarse de esta forma: (9.8-34) en la que D es el diámetro del tubo, Re es el número de Reynolds utilizado en la Parte 1, y Pr = C,p/k es el número de Prandtl. En el Capítulo 10 se vera que, generalmente, es de esperar que los números de Reynolds y Prandtl intervengan en los problemas de convección forzada. De esto se hace aplicación en el Capítulo 13 al correlacionar los coeficientes de transmisión de calor. $ 9.9 CONVECCIÓN LIBRE En 8 9.8 se ha presentado un ejemplo de convección forzada. En esta sección fijaremos nuestra atención en un problema de conveccion libre, que corresponde al flujo entre dos paredes paralelas que están a distinta temperatura. Un fluido de densidad p y viscosidad p está situado entre dos paredes ,verticales separadas entre sí una distancia 26, tal como se indica en la Fig. 9.1- 1. La pared caliente, situada en y F - b, se mantiene a la temperatura Tz y la pared fría, situada en y = + 6, a la temperatura Tl. Debido al gradiente de temperatura, el ,fluido próximo a la pared caliente asciende, mientras que desciende el que está junto a la pared fría. Se supone que el sistema esta construido de tal forma que la velocidad volumétrica de flujo de la corriente ascendente es igual a la de la, descendente. Si las láminas son muy largas en la dirección z, la temperatura será una función exclusiva de y (aparte los efectos finales, por supuesto). Para obtener la distribución de temperatura se aplica un balance de energla calorífica a una envoltura de espesor Ay, que conduce a la siguiente ecuación diferencial de la temperatura (para k constante) : khT==O dye Esta ecuacion se resuelve con las condiciones límite: T = T2 C.L. 1 : para y=-b T = Tl C.L. 2 : para y = + b Fácilmente se encuentra que la solución es T=T,-;AT hy 0 / (9.9-1) (9.9-2) (9.9-3) DISTRIBVCkNV DE TEMPERATURA 9-37 Distribución dc velocldod - UZfYJ E c B s -b-i / F:g. 9.9-1. Flujo laminar en la convección libre entre dos Uminas verticalea a distinta tcmperatu?; la velocidad es una función cúbica de la distancia. en la que AT= Tz- Tl, es la diferencia entre la temperatura de las paredes y T,,, = NT, + TJ, es su media aritmética. Aplicando un balance de cantidad de movimiento a la misma placa de espesor dy, se llega a la siguiente ecuación diferencial para la distribucion de velocidad: (9.9-5) En esta ecuación se ha supuesto que ~1 es constante. Desarrollando en serie p mediante la formula de Taylor alrededor de una temperatura de referencia T (hasta ahora no especikada): ap T(T - T) + ’ * * P = Plp + z I (9.9-6) 9-38 TRANSPORTE DE ENERGIA En esta expresión se ha introducido p, la densidad a la témperatura i+, y el coeficiente de expansión en volumen1 6, también calculado a la temperatura Ti+. La Ec. 9.9-6 puede considerarse como una función de estado obtenida por la fórmula de Taylor. Substituyendo los dos primeros términos de la serie en la Ec. 9.9-5, se obtiene (9.9-7) Si el gradiente de presión del sistema se debe exclusivamente al peso de la lámina de fluido tendremos que dpldz = - bg, y por tanto, la ecuación de movimiento se transforma en (9.9-8) El sentido físico de esta ecuación es que las fuerzas vkcosas equilibran exactamente a las fuerzas de flotación. Substituyendo la expresión de la distribución de temperatura (véase Ec. 9.9-4) en la Ec. 9.9-8, se obtiene (9.9-9) Esta ecuación puede resolverse utilizando las siguientes condiciones límite : paray=-b v* = 0 (9.9- 10) C.L. 1 : para $ = + b v, = 0 (9.9-11) CL. 2: La solución es v, = Pikb2AT 12p Cr 3 - h2 - 11+ 4 (9.9-12) en la que A = 6(T,,, - T)/AT, y q = y/b. Como el flujo neto de volumen en la dirección z es cero, +1 s- 1 v, dq = 0 (9.9-13) Substituyendo la Ec. 9.9- 12 en esta expresión se obtiene -fA+4A=O (9.9-14) 1 El coeficiente de expansión en volumen se define mediante la ecuación: f-=t(EX-&(%~--:(%~ (9.944 DISTRIBUCldN DE TEMPERATURA 9-39 por lo tanto A = 0 o T = T,,,. De donde se deduce que la expresión final de la velocidad es: (9.9-15) Hemos visto como la distribución de velocidad se debe a las fuerzas de flotación que resultan de las desigualdades de temperatura en el sistema. En la Fig. 9.9-1 se ha representado gráficamente la distribución de velocidad correspondiente a la Ec. 9.9-15. Esta clase de distribución de velocidad es la que tiene lugar durante el funcionamiento de una columna de Clusius-Dickel para la separación de isótopos o mezclas de líquidos orgánicos, combinando los efectos de la difusión térmica y la convección libre.2 Antes de terminar esta sección, obsérvese que la Ec. 9.9- 15 puede expresarse en función de una velocidad adimensional 4 = bv,p/~ y una longitud adimensional 7 = y/b, en la forma siguiente: + = $5 Gr (q3 - q) (9.9-16) en la que Gr es el número de Grashof: (9.9-17) En esta ecuación, Ap d pI - p2, y la segunda forma que se indica para el número de Grashof se obtiene a partir de la primera mediante la Ec. 9.9-6. El número de Grashof interviene en los problemas de convección libre, que se estudian de una forma general en el Capítulo 10. La utilización del número de Grashof para correlacionar los coeficientes experimentales de transmisión de calor se expone en el Capítulo 13. CUES TION ES P ARA DIS CUTIR 1. Comparar y contrastar los cuatro sistemas tratados en $5 9.2-9.5, en los que intervienen manantiales de calor. 2. iCuál es el equivalente de un manantial calorífico en el transporte de cantidad de movimiento ? , 3. iQué problema de un circuito elktrico es análogo a la suma de las resistencias térmicas? 4. i Cuál es el coeficiente de expansibn en volumen ,8 de un gas ideal? i Cuál es la expresión correspondiente al número de Grashof? 5. Indicar ejemplos de diversos tipos de transmisión de calor por convección en meteorología. 6. iCómo debería modificarse la CL.2 de la Ec. 9.2- 12 para expresar que se pierde calor, de acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, a un ambiente gaseoso que está a la temperatura T,? 2Para un breve tratamiento de la difusión térmica, vkase Capítulo 18. 9-40 TRANSPORTE DE ENERGfA 7. Explíquense con detalle las operaciones de promedio correspondientes a las Ecs. 9.2-15, 9.8-32 y 33. 8. Indíquense algunas consecuencias que puede ocasionar la existencia de elevados gradientes de temperatura, prqducidos por efectos calorhicos de origen viscoso, en extrusión de ptasticos y en lubrificacibn. 9. Los perfiles de temperatura en estado estacionario en un sistema laminado son de la siguiente forma: iCuál de los dos materiales tiene mayor conductividad calorlfica? 10. ~,Eatlí de acuerdo la Ec. 9.5-1 con la ecuación de Arrhenius de cinetica química? ll. ¿ Por qu6 es preciso especificar en la Ec. 9.6 -30 que Us esta «basado en la superficie interna» ? 12. Demostrar que los números de Grashof, Brinkman y Prandtl son adimensionales. 13. iCuB1 es la velocidad media de la corriente ascendente en la Fig. 9.9-l ? 14. ¿ Como se modificarthr (cualitativamente) los resultados de 8 9:4 si la viscosidad varía considerablemente al aumentar la temperatura? 15. iQuC ocurre cuando en la Ec. 9.4-11 Tb = To? 16. ¿CuBl es el valor límite de ,q en la Ec. 9.7-16 cuando la aleta se hace muy corta? iEs razonable el resultado? 17. ~Que importancia puede tener el efecto estudiado en !j 9.4 como origen de error en medidas viscosim&icas? PROBLEMAS 9.A, P&Mas de enlor en una tul!erIa aislada Una tubería de acero norma 40, de dos pulgadas de diametro (diametro interno 5,250 cm y espesor de pared 0,391 cm), que conduce vapor de agua, esta aisladacon una capa de magnesia (85 %) de 5 cm de espesor y sobre ella un revestimiento de corcho tambien de 5 cm. Calcular las perdidas de calor, en kcal por hora y metro de tuberla, sabiendo que la temperatura de la superficie interna de la tubería es de 120” C y la de la externa del corcho, 30” C. ‘Las conductividades caloríficas de las substancias que intervienen son: acero magnesia (85 “%) corcho 39 kcal hr-1 m-l “C-l 0060 $045 Respuesta: 20,8 kcal hr-1 m-l 9.B1 Pdrdidas de calor en wm aleta mctan@dar Calcular las perdidas de calor en una aleta rectangular (vease Fig. 9.7 - 1) en las siguientes condiciones : DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA temperatura del aire temperatura de la pared conductividad calorífica de la aleta coeficiente de transmisión de calor longitud de la aleta anchura de la aleta espesor de la aleta 9-41 176,7” C 260” C 89.3 kcal hr-t m-t ‘C-t 586 kcal hr-t m-s “C-t 61 mm 305 mm 4,l mm Respuesta: 525 kcal hr- 1 9.Ct Temperatura nukxinta en un htbrhiautte Un aceite actúa como lubrificante de dos supertsies cilíndricas como las que se indican en la Fig. 9.4- 1. La velocidad angular del cilindro extericr es de 7908 rpm. El radio del cilindro exterior es de 5,06 cm, y la luz entre los dos cilindros 0,027 cm. i Cual es la máxima temperatura en el aceite, si sc sabe que la temperatura de ambas paredes es de 70” C? Las propiedades fisicas del aceite son: viscosidad densidad conductividad 9.D‘ calorífica 92,3 cp 1,22 g c m - 3 0,0055 cal seg-t cm-t o c-t Respuesta: 79” C Capacidad de un alambre para la conducción de corriente eltiica Un alambre de cobre de 1 mm de dihrnetro esta uniformemente aislado con un material plrlstico, de forma que el diametro externo del conductor aislado es de 3 mm. El conductor esta expuesto a un ambiente a 38” C. El coeficiente de transmisión de calor desde la superficie exterior del ptistico a los alrededores es de 2,04 x 10-4 cal seg-t cm-2’ C-t iCuales lamm8ximacorriente, en amperios, que en regimen estacionario puedes conducir este alambre sin que se sobrepase en ninguna parte del plastico el límite de operación de 93”C? Las conductividades calorhicas y el6ctricas se suponen constantes, siendo sus valores: k cal seg-t cm--t o C-t cobre plastico WJ 8.27 x 10-4 ke ohm-t cm-t 5,l x 10-5 0.0 Respaesta: 13 amp. 9.Et Velocidad de convecci6n libre iCuál es la velocidad media de la corriente ascendente del sistema descrito en la Fig.9.9-1, para el flujo de aim en estas condiciones? presión temperatura de la pared caliente temperatura de la pared fría separación entre las paredes 1 atm 100°C 20°C 0,6 cm Respuesta: 2,3 cm scg-1 9.Fs PMidas por evaporación en un tanque de oxigeno a. A veces se almacenan los gases al estado liquido en recipientes esfericos bien aislados, con comunicación a la atm6sfera. Deducir una expresión para la velocidad de transmisión de calor en estado estacionario a traves de las paredes del recipiente, llamando a los radios interior y ex- 9-42 ‘.. TRANSPORTE DE ENERGfA terior de las paredes ro y rt. Supóngase que se conocen las temperaturas Te y Tt (correspondientes a r = rs y r = rt). Admítase que la conductividad calorifica del aislamiento varia lineahnente con la temperatura, de acuerdo con la expresión k = kO + (k, - kJ i Cuál es el signií?cado físico de las constantes /ce y k, ? 6. Estimar Ia velocidad de evaporación del oxigeno líquido rontenido en un recipiente esfb rico de. 1,85 m de diámetro que está recubierto con una capa de amianto de 30 cm de espesor. Se dispone de los siguientes datos: temperatura de la superficie interna del aislamiento temperatura de la superficie externa del aislamiento temperatura de ebullición del Or calor de vaporización del 0, conductividad caknífica del aislamiento a 0°C conductividad calorifica det aislamiento a - 183” C -@3O c 0°C -183°C 1636 cal g-mal-t 0,133 kcal hr-1 m-t “C-l 9107 kcal hr-1 m-1°C1 Respuesta: a. PO = 4nvfl1 (y) (z) b. 20,4 kg hr-1 9.G2 Otros mhtodoe psra resolver el problema del elambre calentado a. Demostrar que la Fc. 92-9 puede deducirse efectuando un balance de energía calorifica a un ci&&o de radio r y kmgitud L situado en eI interior del alambre que se calienta (en vez de una envolrura cifindrica como se ha hecho en $9.2). b. Substituir la ley de Fourier en la Fc. 9.2-6 para obtener una ecuacibn diferencial de la temperatura. iQue condiciones límite tiene esta ecuación ? Integrarla. para estas condiciones límite y obtener la Ec. 9.2-13. 9.Hs Conducción de calor desde uoa esfera a on fluido estancado Una esfera caliente de radio R esta suspendida en una gran masa de fluido en reposo. Se desea estudiar la conducción de calor en el fluido que rodea a la esfera. En este proMema se supone que los‘efectos de la convección libre son despreciables (vease. 5 9.9). a. Pl&#ear la ecuaci&n diferencial que describe la temperatura T dei fluido circundante en función dè’r, la distancia desde el centro de la esfera. La.conductividad calorif%ca k del fluido es constante. b. Integrar la ecuación .difrrencial y utilizar las siguientes condiciones limite: C L . 1: C.L. 2: para r = R, para r = 00, T=Ta T=T, para determinar las constantes de integracibn. c. Obtener una ecuacion para la densidad de flujo de calor en la superficie, a partir del perfil de temperatura. Igualar este resultado a la densidad de flujo de calor, expresada como «ley del enfriamiento de Newtonn, y demostrar que el coeficiente adimensional de transmisión de calor (conocido con eI nombre & crnúmero de Nusselt»)viene dado por hD Nuak=2 DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA 9-45 de un material resistente al calor o ladrillo refractario; segunda, una capa de ladrillo aislante; y finalmente, una chapa de acero para protección mecanica, cuyo espesor ea de 6,3 mm. Calcular el espesor de cada capa de ladrillo para obtener un espesor total mínimo con una p6rdida de calor por la pared de 13.560 kcal m -2 hr-1, suponiendo que las capas hacen buen contacto t&mico. Se conocen los siguientes datos: Material Ladrillo refractario Ladrillo aislante Acero Temperatura maxima de utilizaci6n 1425” C llooOc Conductividad calorifica (kcal hr-1 m-l “C-t a 38°C lloo”c 2.68 5.36 2,68 13 39,0 Respuesta: ladrillo refractario, ll.9 cm. ladrillo aislante, 15.5 cm. 9.Mz Gradiente de temperatura radhl en un reactor químico de tubos conc6ntricos Una reacción catalítica se realiza a presibn constante en un lecho de relleno situado en el espacio anular comprendido entre dos cilindros coaxiales de radio interno R0 y externo RI. Esta configuración se presenta cuando se miden temperaturas con una caga termom&ica centrada y resulta ademas útil para al control de los gradientes de temperatura si se utiliza un anillo delgado. Toda la pared interna estP a temperatura constante T0 y puede suponerse que pr&%icamente no hay transmisión de calor a través de esta superficie. La reacción desprende calor con una velocidad volumetrica S, uniforme en todo el reactor. La conductividad calorífica efectiva krf del contenido del reactor debe de considerarse como una constante global. a. Mediante un balance envolvente de energia calorífica, deducir una ecuaci&n diferencial de segundo orden que describa los perfiles de temperatura, admitiendo que pueden despreciarse los gradientes de temperatura en la direccibn axial. iQu6 condiciones límite deben de utilizarse? b. Plantear de nuevo la ecuaci6n diferencial y las condiciones límite en función de la temperatura y la longitud adimensionales definidas de la siguiente forma: iPor que es lógico elegir estas variables adimensionales? c. Integrar la ecuación diferencia1 adimensional, para obtener el perfil de temperatura radial. iQu¿ problema de flujo viscoso es analogo a 6ste de conducción del calor? d. Deducir las expresiones para la temperatura de la pared externa y la temperatura media. e. Calcular la temperatura de la pared externa cuando Rs = ll,4 mm, RI = 12,7 mm, kdl = 0.45 kcal hr-1 m-* o C-l, T0 = 482”C, y S, = 480 cal hr-t cm-s. J icómo variarfa el resultado del apartado (e) si se duplicasen los radios interno y externo? Respuesta: e. 481, 3°C 9.N2 -&ndecala8sm~ no-newtooh~ Ampliar el problema tratado en 0 9.8, con el fin de describir la transmisi6n que se ajusta al modelo de Ellis de la Fc. 1.2-5. 9.03 de calor a un fluido Calentamiento vkcoso de un thddo cuya viscosidad y coadatividad calorítka varíaa coa h tem9-Consideremos el caso esquematizado en las Figs. 9.4-1 y 2. Tanto la superficie estacionaria 9-46 ‘.. TRANSPORTE DE ENERGfA h mbvü Se mantiene a la temperatura constan&~‘T’ tura viene dada por las upresiones: COUIO L.a varja&n de k y pconl- ..-- 8.0-1) (9.0- 2) en Ia que P es la fluidez y el subhdke 0 quiere decir ~~~~luado a T@» ; la temperatura Wonai @ esti dethida por 8 = (T - To)& a. Danostrar que las ecuaciones diferenc&s que -ben el flujo vkoso YlaCOlldUCCi6ll de calor pueden expresarse en la siguiente forma: en las que 4 = v JV, p = x/b y B = ~V2/kJe b. La diitribucion de velocidad reducida puede integrame para obtener d&df = Cl. (VI& Al substituir esta expresion en la ecuaci6n del balance calor&o, se llega a en la que C, es una constante de integrac@ procedente dc la ecuaci6n de 4: Obtesmr .a meros tkminos de una solución. de la forma los dos pri- Q.~BQt+B’Qr+Bwrf- (9.o - s) 4 = +. + B+, + p#, (9.0- 7) + - - * siendo #i y 0, funciones de b pero independientes de B. Znsimacidn: El ejemplo 9.2-2 sugiere la tknica que debe de utihxarse. ge indicatambitn que Ct puede desarrollarse de esta forma: (9.0- 8) C1=Clo+BC~IB*C12+.... Respuesta: 4 e -+BB~ (c-'i*+ze3)+... 8 $ +B(P - P) - +B+ (P - 2e3 + 54) -ft~*p~(t--26*+,2é3-4)+... Un fluido no-newtoniano que puedh decribirse por tema que se indica en la Fig. 9.P. !3e desea hallar los de calor en la pared, para el caso especial de «cortos el calor no debe «penetran> mucho en el fluido. a. Obtener el perfil de velocidad. b. Establkcasc la ecuación diferencial de T(r, z) tl modelo de la Ec. 1.2-5, fluye en el sisperhlea de temperatura y la densidad de flujo tiempos de contacto». Esto quiere decir que aplicando un balance de energía calorífica DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA 943 siendo D el diametro de ía esfera. Este resultado es muy conocido y corresponde al valor límite del Nu para la tranmkión de calor desde esferas con pequefios valores de los números de Reynoldp o Grashof (veanse Capítulos 13 y 21), por ejemplo, en el caso de esferas pequeitas. 9.1s Transmísí6n de calor en d aeapbmknto de tata barra de contbnstibk nttckar Consideremos una barra larga de un combustibk nuclear que esta rodeada por una plancha anular de un erevestimknto» de aluminio, tal como se indii en la Fig. 9.1. Debido aI proceso de fisión, se produce calor en el interior de la barra de combustible; et desarrollo de calor depende de la posickn, variando la intensidad del manantial caloffi de acuerdo con la apresihn aproximada: Q.I-1) Siendo &s el calor producido por unidad de volumen y unidad de tiempo para r = 0, y r k distancia desde el eje <de la barra de combustibk. Calcular la temperatura maxima que se akanxa en ta barra de combustible, sí la superficie externa de la vaina de aluminio esta en contacto con Fig. 9.1. Distribución de temperatura en el acoplamiento de una barra de combustible. Fig. 9.J. Perfil de temperatura en una pared anular. TRANSPORTE DE ENERGtA 9-44 . un llquido refrigerante cuya temperatura es TL y el caliciente de transmisi6n de calor en la interfase vaina-refrigerante es Ir&. Las conductividades calorhkas de la barra y la vaina son kF y kc. Respuesta: 9.Ja CenducchSndecalerenunanllloclrcubu a. El calor fluye a través de una pared anular cuyo radio interno es rs y el externo rt. La conductividad calorhka varia linealmente con la temperatura desde k. a la temperatura T. hasta k, a la temperatura Tl. Deducir una expmsibn para el flujo de calor a traves de la pared situada en r = r,,. (Wase Fig. 9.J.) b. Demostrar como puede simplificarse la expresión obtenida en (a) cuando (rt - rs) es muy pequefio. Interpretar fisicamente el resultado, Respuesta: o. Q, = 2nL(T, - TJrq) (lnz)-’ b. Q.-27rr.L(5+(53) 9.Ks CenerachSn de calor ea un Buldo no-newteuhme Rehacer el problema estudiado en Q 9.4 para el caso de un fluido no-newtoniano que sigue el modelo de Ostwald-de Waele (Ase 0 1.2). Demostrar que la distribución de temperatura es la misma de la Ec. 9.4-11, ~510 que Br se ha reemplazado por Br,, siendo Br,, = m 1 Va+’ - T,) C kb’-‘(Tb (9.K-1) 9.b CPlculodelcspesordeaishmientodekpreddemhomo La pared de un horno consta de tres capas, como se indica en la Fig. 9.L: primera, una capa Fig. 9.L. Pared compuesta de un horno. DISTRIBVCION DE TEMPERATURA zro uldo ckculando con fluio lamlnor totalmente desarrollado FII. 9.P. Tuberia con variación súbita de la temperatura de la pared. según el m&odo descrito en 09.8, Hágasedespuks s = R - r y despr+knse algunos tkminos que son poco importantes en la proximidad de la pared. Demostrar que se llega a la ecuacih en la que 7B es. la densidad de flujo de cantidad de movimiento para r = R. Escribase de nuevo la Ec. 9.P-1 en funcibn de las siguientes variables adimensionales: c. Demostrar que si se admite una solucih de la forma siguiente @ =f(?d (9.P-6,7) la ecuación diferencial entre derivadas parciales que se obtiene en (b) se transforma en la ecuacibn diferencial ordinaria, f”+3qY’=o (9.P-8) en la que las comillas indican diferenciación con respecto a 7. i Cuáles son las condic:ones límite correspondientes a la FLc. 9.P-S? Resolver la Ec. 9.P-8 y obtener (9.P-9) en la que I’(j) es la «función gamma» evaluada para 3. d. A partir de la distribución de temperatura obtenida en (c) evaluar la densidad de flujo de calor en la pared, en funcióh de la distancia a lo largo del tubo. e. Integrar el resultado de (d) para obtener el flujo total de calor a través dKla superficie de la tuberla comprendida entre z = 0 y z = L. Respuesta: e. Q = 4nRk(Tl N!4i L% 00R Irc3~1-’ - To) 9 9.Q4 Pkrdldas de calor en una aleta circular a. Obtener el perfil de temperatura T(r) para una aleta circular de espesor B, situada sobre una tuberia cuya temperatura de la pared externa es To. Háganse las mismas suposiciones que en el caso de la aleta rectangular que se estudìd en 6 9.7. (Wase Fig. 9.Q.) 9-48 ‘3.. TRANSPORTE DE ENERGfA b. Dedúzcase una expresión para las perdidas totales de calor en la aleta. F g. 9.Q. Aleta circular situada sobre una tubería caliente. 9.R, Transmisión de calor por convceei6n forzada para el RI& no-newtonhno en tubos.-Tiempos de contacto cortos, con densidad tlujo de calor constante a travks de la pared1 En el problema 9.N se han calculado los perfiles de temperatura para un fluido no-newtoniano de tres pardmetros que fluye en un tubo circular con densidad de flujo de pared constante. Los cálculos se ajustaron al modelo desarrollado en fj9.8 y por lo tanto, el resultado es una expresión asintótica del perfil de temperatura, que es ~610 válida para distancias alejadas de la entrada del tubo. En este problema se obtiene una solución asintótica en la región de entrada del tubo calentado. Imaginemos que el fluido est8 circulando con flujo laminar totalmente desarrollado a la temperatura T = T. en la región z < 0. En la regibn z > 0 hay una densidad de flujo de calor constante q1 en la pared. Se desea hallar Ten funci6n de c y z para pequeños valores de z. Utilizar un método similar al del problema 9.P. a. Demostrar que la ecuaci6n diferencial entre derivadas parciales que describe el transporte de calor es (9.R-1) en la que uo = (qor, + q>17a9R. jCuh1 ea el significado fisico de Zas,? b. Utilizar la ley de Fourier con el fin de obtener la siguiente ecuaci6n para la densidad de flujo de calor: (9.R-2) c. Escribir de nuevo la ecuación del apartado (b) en función de las siguientes variables adimensionales (9.R-3,4,5,6) 1 R. B. BIRD. Cheme. Ing. Tecbn., 31, 569-572 (1959). DISTRIBUCIÓN . DE TEMPERATURA 9-49 siendo PC, el número de F&Aet basado en la velocidad ue y el radio del tubo R. ~Cuilles son las wndiiones lhnite? d. Resolver la ecuación diferencial entre derivadas parciales obtenida en (c) utilizando el m&odo de wmbinacióa de variables y sabiendo que Q depende solamente d6 %, siendo% (9.R-7) Demostrar que esto wnduce a la siguiente ecuación diferencial ordinaria para Q(x): flQ dQ x-@ + (3%“- “(TX =o ( 9. R -8) iCuáles son las dos condiciones Limite? e. Resolver la ecuación obtenida en (d) y utilizarla para hallar los perfiles de temperatura. donde I’($, %J) es una función gamma incompleta. CAPfTULO 10 LAS ECUACIONES DE VARIACION PARA SISTEMAS NO 1SOTÉRMIk.B En el Capítulo 9 ‘hemos determinado los pertiles de temperatura en varios sis: temas sencillos de transmisidn de calor, mediante la aplicación de balances de energfa a una envoltura, y hemos visto que estos per$iles podrfan utilizarse para obtener otras magnitudes, tales como temperaturas medias y densidades de flujo de energía. En aquellos casos en que la transmisión del calor acompaña al flujo de un fluido, es necesario utilizar, además de un balance de energía, las ecuaciones de continuidad y movimiento. El’estudio del Capítulo 9 hab& ikoporcionado al lector algún conocimiento acerca. de los balances diferenciales de energía y, su aplicación a los problemas sencillos de transmisión de calor. En este capítulo se generaliza el balance de energía aplicado a una envoltura con el fin de obtener la ecuacidn a% energía, una ecuación entre derivadas.parciales que describe el transporte de energía en un sólido o fluido homogéneos. . Este capítulo esta tambien intimamente relacionado con el Capítulo 3, en el que se ha introducido al lector en la ecuación de continuidad (conservación de la materia), la ecuación de movimiento (conservación de La cantidad de movimiento), y la ecuación de energia mecánica (que se deduce de la ecuación de movimiento). La adición a esta serie de la ecuación de energía (conservación de la energía o primer principio de termodinámka) permite ampliar los análisis precedentes a sistemas no isotérmicas. Se comienza en 0 iO. por deducir la ecuacibn de energía. Se resta despues de ella la ecuación de energía r&¿ánica con el tin de obtener la más frecuentemente utilizada ecuación de energía calori$ca. En $ 10.2 se expresa la ecuacibn de energía calorífica en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. Aunque nuestro principal interes en este capítulo reside en las distintas ecuaciones de energía, hemos creído de utilidad introducir en 0 10.3 una aproximación a la ecuación de movimiento que resulta conveniente para la resolución de problemas de convección libre. Como las ecuaciones de variación para sistemas isotérmicas pueden expresarse en una gran variedad de formas útiles, se presenta un resumen de ellas en .$ 10.4 para tener a mano una cómoda referencia. En 6 10.5 se indica cómo pueden uti- 1 0 -2 rle TR A N SP O R TE DE ENERGIA lizarse estas ecuaciones tabuladas en los problemas de transmisión de calor, descartando los términos que no son necesarios. Finalmente, en 5 10.6 se amplia el análisis dimensional de 6 3.7 con el fin de obtener los grupos adimensionales clave que intervienen en los problemas de transmisión de calor. 0 10.1 LAS ECUACIONES DE ENERGfA De igual forma que en 0 3.2 se han generalizado los balances de cantidad de movimiento aplicados a una envoltura del Capítulo 2 para obtener las ecuaciones de movimiento, se pretende generalizar aquí los balances de energía aplicados a una envoltura del Capítulo 9 con el fin de obtener las ecuaciones de energia. Para ello se parte, como antes, de un elemento estacionario de volumen a través del cual fluye un líquido puro ; se escribe después la ley de la conservación de la energía para el fluido contenido en el interior de este elemento de volumen en un determinado instante : velocidad neta (10.1 -- 1) Éste es el grimer principio de termodmámica.expresado para un sistema «abierto» no estacionario. En realidad esta exposicibn del primer principio no es completa puesto que no se incluyen otras formas de energía y transporte de energía, tales como nuclear, radiactiva y electromagnética. La Ec. 10.1 - 1 representa una generalización con respecto a la Fc. 9.1-1, ya que se incluyen los efectos del trabajo y la energía cinética, y sirve tambien para el estado no estacionario. En la Ec. 10.1 - 1 la energía cinética corresponde a la energía relacionada con el movimiento observable del fluido (por ejemplo, ipus, tomando como base la unidad de volumen). La energtá interna corresponde a la energía relacionada con los movimientos fortuitos de traslación e internos de las mokulas más, la energía de interacción entre las moléculas; es decir, que la energía interna depende de la temperatura local y de la densidad del fluido. La energía potencial del fluido no aparece de forma explícita en la Ec. 10.1 - 1 ya que se ha preferido incluirla en el término de trabajo, como se estudiará despues. ECUACIONES DE VARIAClON lo-3 Escribimos ahora la Ec. 1.0.1 - 1 para el elemento de volumen dxdydz. (Vkase Fig. 3.2- 1.) La velocidad de acumulación de energia cinética e interna en el interior de dxdydz es (10.1-2) siendo 0 la energía interna por unidad de masa de fluido contenido en el elemento y ZJ la velocidad local del fluido. La velocidad neta de entrada de energía interna y cin&ica en el elemento por conveccidn es AYWUXPO + 4~ug)l, - UXP 0 + h?le+aJ + AZ A+,@ + h*)l, - u,(P~ + ~~vp)ly+~v~ + AZ AY{u,(P ~7 + W)l, - u,(P~ + bS)lr+.d (10.1-3) La velocidad neta de entrada de energía por conducción es AeW,l, - qelz+d + AzWq,l, - 4v+d + A~Mq,l, - qsIs+a.) (10.1-4) siendo qz, qy, qz, los componentes x, y, z, del vector densidad de flujo de calor q. El trabajo realizado por el elemento de fluido contra los alrededores consta de dos partes: el trabajo contra las fuerzas de volumen (por ejemplo, gravedad) y el trabajo contra las fuerzas de superficie (por ejemplo, fuerzas viscosas y de presión). &cu&dese que, (trabajo) = (fuerza) x (distancia en la dirección de la fuerza), y que (la velocidad de producción de trabajo) = (fuerza) x (velocidad en la dirección de la fuerza). La velocidad de producción de trabajo contra los tres componentes de la fuerza de gravitación por unidad de ‘masa, g, es -P AZ AY Az(usg, + wv + WL) (10.14) El signo menos se debe a que el trabajo se realiza contra la gravedad, siendo u y g opuestos. La velocidad de producción de trabajo contra la presión estática p en las seis caras de dxdydz, es AY W(~~,)l,+~c\t - (PUJI,} + AMPV,)I,+A, - (PUJI,) + AZ AY{(P,)~,+A, - (m~l,I (10.1-6) Analogamente, la velocidad de producción de trabajo contra las fuerzas viscosas es 10-4 . TRANSPORTE DE ENERGIA Substituimos ahora las expresiones anteriores en la Ec. 10.1 - 1 y dividimos toda la ecuación por dxdydz. Tomando el límite de la expresión que resulta cuando Au, Ay y AZ tienden a cero, se obtiene una forma de la ecuación de energía: (10.1-8) Esta ecuación puede expresarse en una forma más compacta empleando la notación - P*q) velocidad de ganancia de energia por unidad de volumen velocidad do entrada de ene& por unidad de volumen debido a la conveccih velocidad de entrada de cnergia por unidad de volumen debido a l a conducci6n - velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas de grayitación - (V l [T l u]) (V l pu> velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas de presih (10.1-9) velocidad de trabajo comunicado SI fluido por unidad de volumes debido a las fuerzas viscosas ES conveniente ahora reordenar la ecuación de energía con ayuda de las ecuaciones de movimiento y continuidad. Nótese que se ha seguido un proceso análogo 1 El desarrollo que sigue se dedica principalmente a transformaciones maternaticas, en las que se utilizan fórmulas comunes de matemáticas y termodinhmica. Es preferible que el lector, Por 10 menos en la primera lectura, pase directamente a la Ec. 10.1-19, que se deduce de la EC. 10. 1-9 sin más suposiciones adicionales. ECUACIONES . DE VARIACIÓN 10-5 al pasar de una forma de la ecuación de movimiento de la Ec. 3.2-5 a la forma que se expresa en la Ek. 3.2-9 con ayuda de la ecuación de continuidad. Comenzamos por efectuar las diferenciaciones inflicadas en el primer miembro de la Ec. 10.1-9, y de la contribucion convectiva, para obtener = -(v~q)+p(o’g)-(v*po)-@~[T:7’u]) (10.1-10) El primer.término del primer miembro de la Ek. 10.1 - 10 es la densidad local del fluido multiplicada por la derivada substancial de (0 + 4~~). Como puede observarse, con ayuda de la ecuación de continuidad (Ek 3.1-4), el segundo término es cero. Por tanto, se puede escribir p&(o+ Jd)= -CV q> + P(U * g) - (V * pu) l - (V * [T * u]) (10.1-11) Obsérvese que hemos obtenido ahora dos formas de la ecuación de .energía, que corresponden a las dos formas obtenidas anteriormente para las eruaciones de continuidad (Jks. 3.1-4 y 6) y movimiento (Ecs. 3.2-8 y 10). ,La Ec. 10.1-9 describe los intercambios de energía en un fluido desde el punto de vista de un observador estacionario, y la Ec. 10.1-11 describe dichos cambios tal como serían vistos por un observador que se moviese con el fluido. La E-c. 10.1-11 es una ecuación de variación para la suma de Z? y iv*. El lector recordará que en 0 3.3 se ha deducido una ecuación de-variación para $212, que puede volverse. a escribir de esta forma p & OO”) = pw ‘- l 0) (V - l [T (v l * u]) pu) + + (7 p(u : l 8) Vo) (10.1-12) Restando la Ec. 10.1 - 12 de la Ec. 10.1-11 se obtiene una ecuación de variación para 0, DO %velocidad de ganancia de energia titema por unidad de volumen = -(V-q) - p(V*u) -@:Vu) (10.1-13) velocidad de en- velocidad reversi- velocidad irrevertrada de energia ble & a u m e n t o @le de aumento i n t e r n a p o r uni- de enero(a inter- iie energía intcrdad de volumen na por unidad de na por unidad de debido a la con- volumen debido volùmen debido ducción a la compresi6n a la disipacih viscosa Por analogía con la ecuación de energía mecánica, la Ec. 10.1 - 13 puede denomi- lo-6 TRANSPORTE DE ENERGiA narse ecuadch & energía caloríffica. Generalmente, esta ecuación resulta m& conveniente para operar en transmisión de calor que la ecuaci6n completa de energía. Es interesante comparar las ecuaciones de energia mecAnica y energía calor& fica, Ecs. 10.1-12 y 10.1-13. Observese que ~510 los t&minosfl* c)y(~:Va))son comunes 8 ambas ecuaciones, y que además intervienen con signos opuestos. Por consiguiente, estos terminos describen la interconversi6n de ene@ mecAnica y carífica. El términop(v o) puede ser positivo o negativo, segQn que el fluido se expansione o se comprima; por lo tanto, representa una forma reversible de intercambio. En cambio el t&mino( -7 : Vv)!es siempre positivo (vease Ec. 3.3-3) y representa por consiguiente, una forma irreversible de degrada&% de energía mecknica a energía l C%iOlí!kl. Hasta ahora no se ha hecho menci6n de la ene& potencial cb. Si la fuerza externa g se expresa en función del gradiente de una función escalar (por ejemplo, 4! I -V&), resulta P(v’g) = -pfv.v4)~-p$+p~ Si 6’ es independiente del tiempo, el ultimo termino desaparece, y la Ec. 10.1 - ll se transforma en P&(o+o+ft&== -p l q) - (v ’ pi) - ;v l [7 l v]) (10.1-15) Ésta es una ecuación de variación para I? = 0 + 4 + )us, que denominamos energfa total. Para problemas terrestres en los que no intervienen mAs fuerzas que las de gravedad, 4 es independiente del tiempo y la Ec. 10.1 - 15 es vAlida. Para la mayor parte de las aplicaciones ingenieriles es conveniente expresar la ecuación de energía calorílica (Ec. 10.1 - 13) en función de la temperatura y del calor especííko del fluido en vex de la energía interna. Vamos a escribii la ecuación en estos t&minos, teniendo en cuenta que la energía interna 0 puede considerarse como una función de P y T, (10.1-16) En esta expresión (I?, es el calor especffico a volumen constante por unidad de masa. Por tanto, el producto de p por la derivada substancial de 0, set8 (10.1-17) ECUACIONES D E VARlACldN fe7 Teniendo en cucqta la ecuach de continuidad, el tkmino p(DpjDt) puede transfprmarse de la &uiente forma: (10.1-18) SubstituyendolaEc. se obtiene lO.l-18enlaEc. IO.l-17,ylaEc. lO.l-17en laEc. IûI-13, PC+ (v~q)-T(~)~v*8)-fr:v8) (10.1-19) que es la ecuacih de energia en función de la temperatura del fluido T. Esta ecd&n es tan general como la Ec. 10.1-9, pero es una forma mhs útil para calouk la perfiles de temperatura. EI resto de esta sección se dedica a las formas simpWcadas de esta eeuaei6n que tienen mayor aplicac& prhctica. La primera simplifieacih de la Ec. 10.1-9 se obtiene expresando q en funcihn de log gradientes de temperatura (vthse Ecs. 8.1-3 a 5) y t en funch de los gradientes de velocidad (vhanse Ecs. 3.2-11 a 16). SegGn esto, para un Ihido newtoniano de conductividad calorífica constante, la Ec. 10.1-19 resulta (10.140) Esta ecua&n establece que la temperatura de un elemento móvil de fluido varfa debido a: (u) conducción de calor, (b) efectos de expansión, y (c) calentamiento viscoso. La magnitud #* se denomina función de disipacih, y su forma en coordenadas rectangulares es (10.1-21) La Ec. 10.1-20 puede utihuse tambih para fluidos newtonianos generalizados (v6ase Ec. 3.6-2) substituyendo 7 por cc. Haremos menci6n especial de otras cuatro simplificaciones de la ecuacih de energh que son muy utilizadas. En todas ellas se omitirh el thnino de disipahh viscosa, que ~610 es necesario en easos especiales. Supondremos también que la con&ctiv#iad calorifica es comtante. (i) Para un gus ideal (ap/aZ’)~ = p/T, y se obtiene 10-8 ‘.,. TRANSPORTE DE ENERGíA (gas ideal) p¿!“z= kV2T-p(V.a) (ii) Para unj7uido apresión cor,zstunte, (10.1-22) la Ec. 10.1 - 16 puede modificarse para dar do= -pdP+ e,dT (10.1-23) Siguiendo un desarrollo análogo al comprendido entre las E!cs. 10.1-16 y 10.1-20, se obtiene para este caso (despreciando la disipación viscosa): (fluido a presión constante) kV2T (10.1-24) (iii) Para @ idus incompresibles (p = constante), e, = c,, y (0 * u) es cero. Por lo tanto la Ec. 10.1-20 se reduce a (fluido incompresible) kV2T (10.1-25) Obsérvese que las Ecs. 10.1-24 y 25 son la misma, pero describen. situaciones físicas totalmente diferentes. (iv) Para sólidos, la densidad puede considerarse generalmente constante, y por tanto se puede tomar 0 = 0 : (sólido) PC aT- kV2T 9 at - (10.1-26) Las Ecs. 10.1-22 a 26 se toman como punto de partida para la mayor parte de los tratamientos posteriores de transmisión de calor. El lector recordará que en el Capítulo 9 se han incluido en los balances de energía calorífica aplicados a una envoltura varios «términos de manantial». En el desarrollo anterior se ha visto que el manantial de disipa#n viscosa S, es - (T: Va); este término aparecía de forma automática debido a que se habían considerado correctamente todos los términos de trabajo y energía nkcánic+. El desarrollo que se hace en esta kcción no conduce a un manantial quimico SC, debido a que ~610 consideramos fluidos puros; sin embargo, intervendrá un término de este tipo en el estudio de mezcl+.s del Capítulo 18. De igual forma, tampoco aparece un manantial rtuclear S,, o un manantial eléctrico S,, puesto que no se han tenido en cuenta estas formas de energía.2 Para describii los perfiles de temperatura que resultan de la generación de calor de origen químico, nuclear y eléctrico, se puede añadir el correspondiente término de manantial al segundo miembro de las Ecs. 10.1-20 a 26. *B. T . CHU, Physics of Fluidr, 2, 473-484 (1959). ECUACIONES DE VARIACIÓN -.. lo-9 6 10.2 LA ECUACIÓN DE ENERGfA EN COORDENADAS CURVILfNEAS En esta sección se expresan las Ecs. 8.1-6 y lO.l- 19 .y 20 en coordenadas rectangulares,’ cilíndricas y esféricas. No se presentan en la Tabla 10.2-2 las Ecs. 10.1-22, 24, 25 v 26, puesto que pueden obtenerse fácilmente en coordenadas curvilíneas por analogía con la Ec. 10.1-20. En este caso, existe también la misma ventaja de utilizar coordenadas curvilíneas que se ha indicado en 6 3.4. Plantear prc’Jlemas en coordenadas curvilíneas mediante balances aplicados a una envoltura cs realizar un esfuerzo inútil. En vez de esto, se partirá siempre de las ecuaciones nentrales de variación, descartando los términos que no sean necesarios. $ 10.3 LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CONVECCI6N FORZADA Y CONVECCIÓN LIBRE EN EL FLUJO Nb ISOTl%h4ICO Como ya se ha indicado al iniciar’ este capítulo, la ecuación de movimiento que se ha desarrollado en Q 3.2 es válida para el flujo no isotérmico. Teniendo esto en cuenta, vamos a considerar ahora que p y p son funciones de la temperatura y de la presión. En los problemas de convección forzada se acostumbra utilizar la ecuacibn de movimiento en una de las formas que se indican en el Capítulo 3. En convección libre, la variación de p con la temperatura tiene una importancia crítica, y es conveniente modificar la ecuación de movimiento para tener en cuenta automáticamente los efectos de flotación. La conveniencia de esta modifkación se ha visto ya en 0 9.9. Comencemos considerando un sistema de convección libre, en el que la temperatura del fluido varía alrededor de un cierto valor medio T. Si todas has partes del TABLA 10.2- 1 COMPONENTES DE LA DENSIDAD DE FLUJO DE ENERGfA Rectangulares 42 = 4v = -k$ Cihndricas 4 Esféricas aT (Al qr = -k; (BI 1 aT 40 = --k;% W qe = -k;% qz = -kz aT q+ = -k rseno $ (f) q.= -kg ( C ) (DI (F) qr = -kz 1 aT 1 (G) U-O 10-10 IV TRANSPORTE DE ENERGIA TABLA 10.2-2 LA ECUACIÓN DE ENERGfA EN FUNCIÓN DE LAS DENSIDADES DE FLUJO DE ENERGfA Y DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Coorden& rectangulare+- Coordenadas esfdricac v,cote i av, V, +TM -rsen8 *- + ; + , ( !f!+;+: ) 11 - ( Te3 ( ar i av+ ----t> i au0 c0t e 1 au, v4 +Q+ -rH - + rsen0 i3+ + Tr+ !2+---r * 11 menea+ r) ( ( Cc) Nota: Los términos entre corchetes { } corresponden a la disipación viscosa y pueden general nente despreciarse, excepto para sistemas que poseen elevados gradientes de velocidad. ECUACIONES DE VARIACIÓN ,.e LAS ECUACIONES DE ENERGfA lo-1 I TABLA 10.2-3 EN FUNCIÓN DE LAS PROPIEDADES DE TRANSPORTE (para jhidos newtonianos de p, ,u y k constantes; obshvese que la constancia aé p iinplica que ¿!,, = c,,> Coorahadas rectangulares: . Coor&nadas cilí~icas: CoordcMctrrs esf&icas: (4 (BI Nota: Los términos entre corchetes { } corresponden a la disipación viscosa y generalmente pueden despreciarse, excepto para sistemas con gradientes de velocidad elevados. TRANSPORTE DE ENERGfA 1 0 -1 2 fluido estuviesen a la temperatura T, y si el fluido no se moviese, el gradiente de presión en el sistema vendría dado por la ecuación de movimiento, siendo v = 0: (10.3-1) W=P¿z en la que p es la densidad del fluido a la temperatura T y presión tocak Si los gradientes de velocidad resultan exclusivamente de las desiguaklades de temperatura, el movimiento del fluido es, generalmente, muy lento, y la Ec. 10.3- 1 puede tomarse como una aproximación bastante correcta del gradiente de presión, aún para el fluido en movimiento. Teniendo en cuenta esta suposición, la ecuación de mor vimiento puede expresarse en la siguiente forma Esta ecuación puede simplificarse substituyendo p por p en el primer miembro, y p por F - $(T - T) en el término pg (véase 4 9.9), de forma que _ Dv 5 Inasa por lmi- = -[V*T] dad de voluman x acleración fuerzas viscosar po r unida d da volumen - ,$g(~ - T) (10.3-3) fuena de Eotaci6n por unidad de volumen Ésta es la ecuación que se utilii en los problemas de conveccibn libre, cuando puede definirse una temperatura media T. Obsérvese que es una ecuaci6n aproximada, limitada para bajas velocidades de fluido y pequeñas variaciones de temperatura. En todos los tratamientos de convección libre que se realizan en este libro seguiremos la norma habitual de omitir las rayas situadas sobr6 p y p. Nos hemos expresado aquí como si un sistema no isotérmico tuviera que pertenecer a una de las dos formas de convección libre a forzada; realmente, en las aplicaciones ingenieriles, esta distinción es arbitraria y se nace generalmente por conveniencia. Sin embargo, es preciso tener en cuenta que la convección libre y forzada representan dos casos límite, uno en el que las fuerzas de flotación son despreciables, y otro en el que los efectos de la presión y las fuerzas de gravitación pueden expresarse totalmente en función de las fuerzas de flotación. La transición entre la convección libre y forzada es gradual,1 y existe una gran región mal definida en la que el comportamiento del sistema no puede predecirse satisfactoriamente sólo con el análisis de la convección libre o de la convección forzada. Este tipo intermedio de comportamiento se presenta en muchos casos industriales importantes. 1 Wase, por ejemplo, A. ACRIVOS, A. I. Ch. E. Journal, 4, 285-289 (1958). ECUACIONES DE VARIACION lo-i3 “* 4 10.4 RESUMEN DE LAS ECUACIONES DE VARIACI6N En el Capítulo 3, y en las tres primeras secciones de éste, se han deducido las tres ecuaciones de variación para fluidos puros, y se ha presentado cada una de ellas en diversas formas. Es conveniente hacer ahora un resumen de estas ecuaciones, no solo para disponer de un conveniente «diccionario», sino también para ver cómo se puede disponer el estudio del transporte de energía y cantidad de movimiento en fluidos homogéneos para presentarlo en una forma ordenada. Este resumen aparece en las Tablas 10.4-1 y 2, en las que para mayor brevedad se utiliza notación vectorial-tensorial. Siempre que es posible se hace referencia a la primera aparición de cada ecuación en el texto. Sin embargo, algunas expresiones de las tablas no han aparecido con anterioridad, y puede tener interés para el lector el comprobarlas. En la Tabla 10.4- 1 se comienza por las ecuaciones de variación en función uy q, tanto para un observador estacionario como para uno que se mueve con el fluido. Todas las formas de la ecuación de energía son totalmente equivalentes a la Ec. 10.1-9, excepto las Ecs. D y iV. En la Tabla 10.4-2 se resumen las ecuaciones de variación para el caso especial de p, ~1 y k constantes. A pesar de estas restricciones, estas ecuaciones se han utilizado grandemente para el análisis de problemas de transmisión del calor. En algunos problemas se puede obtener una información muy útil a partir de las ecuaciones de la Tabla 10.4- 1 tomando 7 y q iguales á cero, es decir, despreciando totalmente los fenómenos de transporte molecular. Para saber si estas suposiciones son válidas o no, se requiere bastante experiencia y criterio. Ejemplo de casos en los que pueden despreciarse 7 y q son: (a) procesos de flujo adiabático en sistemas que han sido diseñados para obtener efectos de fricción mínimos, como venturímetros y turbinas, y (b) flujo de alta velocidad alrededor de objetos sumergidos. En ninguno de estos dos ejemplos se podría obtener información acerca del ~ estado del fluido en las inmediaciones de la separación sólido-fluido, pero en cambio, la descripción del flujo .a una cierta distancia de la superficie de separacibn sería bastante aceptable. Q 10.5 USO DE LAS ECUACIONES DE VARIAC16N EN LOS PROBLEMAS DE TRANSMISIÓN DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO En el Capítulo 3 se ha visto que es más rápido y seguro plantear problemas de flujo simplificando las ecuaciones de continuidad y movimiento, que establecer un balance diferencial de cantidad de movimiento para cada nuevo caso. De igual forma, veremos aquí que el mejor método para plantear problemas de transmisión de calor consiste en simplificar las ecuaciones de continuidad, movimiento y energía. Con el fin de ilustrar los procedimientos a seguir, resolveremos varios ejemplos, en la mayor parte de los cuales sólo intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias. En el Capítulo ll se estudian algunos casos más complejos que tienen interés en ingeniería y que conducen a ecuaciones entre derivadas parciales. TABLA 10.4-1 ECUACIONES DE VARIACI6N PARA FLUIDOS PUROS EN FUNCIÓN DE LAS DENSIDADES DE FLUJO Forma especial - En función de D/Dt DP Ei = Convecci6n forzada Observaciones 3.1-6 -P(v ’ 0) Dv (4 3.2-10 Para 1 =O se transforma (B) en la ecuación de Euler -[v*d +Pg PE = - vp Convección libre En funci6n de E=û+K+b En función de l?+% 10.3-3 (0 l DE PDI - -07 -Q) - (v *puI - m. IT * P DwiK) Dt - - (V- Q) - (v- po ) - W47QJl) PDt = -co*vp> -(U*k*Tl) +p(o*g> En funci6n 0 de PDt = -(V*Q) -peso) -(7:vlg En funci6n A de En funcih de C? 0 Y En funci6n C? I> Y T de T Di Dfi DP * -(v * q) - (7 : VO) + E Pirt 2 k % 10.1-15 Sóloexactapara 4 inds 2 (D) pendiente del tiempo 2 01) En funci6n de K = 89 Dû Para DplDt = 0 se transforma en (v ’ 0) - 0 +p(o .gj Aproximada 10.1-11 h 69 $ 3.3-1 09 10.1-13 El término que contiene (0 p es cero para DpjDt = 0 (HI 10.1-19 (0 (JI I Para un gas ideal npwnp -p - Paraungasideal (ah v,,ain T). - 1 !i j;: Tabla 10.4- 1 (Continuación) Ec. Forma especial z s - En función a ãrp = -CV .PU) _ YgP” = -[v l p4 -vp -[v-,q +pg Convección libre IPu a = -@ *Pt0 + ib) - (V * q) - (V *pu) - (V -[r * u]) + P(tJ / 1= &? de íl de ti En funci6n de. ev y T de c.YT (Aproximada) - 07 * pEu) - (Cr * q) - (V *pu) - (V * 1% ’ Il]) 04-2 En funci6n de (L) = -[V f puu] - [V ’ T] - ppg(T - T) En funcih de En función 3.2-8 a Es funcit5n de E=û+K+~ En función 3.1-4 (K) ? Convección forzada En función de d/dt l a 5 Po= a ã;p H= - (u- V@ - (U.[V.TJ) 10.1-9 (0) 3.3-2 m a ã;PK = - (V.pKu) .g) +p(u’g ) - (V.&)- (V.q)- p(V~u)- (7:Vu) - ~v.plj.)- (v.q)- (*:vu)+~ _I- W ; = - (v.,d9Tu) -(V.q) - T ; p&T = -(V.ptBTu)- (V-u) - (~:vu) +pT% (V.q) - (~:VU) + +pT% (3 (Tl TABLA 10.4 -2 ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA FLUIDOS PUROS DE p, p y k CONSTANTES Forma especial Ecuación en forma simbólica Sistema coordenado Rect. (V * 0) = 0 - Do Pi% = -vp + Jm o + Pt? I p$ =,uv% -&(T-T) (6 -, En función de 0 En función de t? P Y T -. - - / I DO - =kV’T+pQ ’ Dt ,c,g * (DI’ (E) - - I -- I - I = kV=T + PU’, Esf. Tabla 3.4-1 2 Ec. c s -% 2 Tabla 3.4-2 Tabla 3.4-3 T a b l a 3 . 4 - 4 ;1 Ecs. D, E, F-‘/ Ecs. D, E, F Ea. D, E, F g -- _ ConvecciOn libre - Tabla 3.4-1 Tabla 3.4-1 Ec. A F.c. B (4 . Convección forzada Cil. I 1 Tab&!Oj-3 1 TabgO.j-3 -Tabla 10.2-3 Ec. c - !s !2 Q : 10-17 ECUACIONES DE VARIACIÓN Antes de exponer estos ejemplos, vamos a ver cómo se simplifican las ecuaciones de variación para deducir la Ec. 9.8-11, que es la ecuación diferencial para la convección laminar forzada eu un largo tubo circular. Comenzamos por observar que 0, = v, = qr = 0. Suponemos, después, que todas las propiedades físicas son constantes y que la disipación viscosa es despreciable. Las ecuaciones de variación en coordenadas cilíndricas que resultan para este sistema son (continuidad) (movimiento) (10.5-1) ,I aU,-.,: a9 Pk&-- - aZ +p[;;(+) +z] (10.5-2) (10.5-3) (energía) La ecuación de continuidad nos permite descartar el primer miembro de la ecuación de movimiento y el último término del segundo. Es posible entonces integrar directamente la ecuación de movimiento para obtener el perfil parabólico de velocidad que se ha hallado en 8 2.3 y substituir la distribu+ón de veloci@ad que resulta en la Ec. lb.5-3, con lo que se obtiene la Ec. 9.8-11. De igual forma, pueden plantearse fácilmente otros problemas del Capítulo 9 simpli!icandq las ecuaciones de variación. Ejeaqdo 10.5-1. Flujotmgencialentuimco~~~tricoscon deorigen- generación decalor Determinar fa distribución de temperatura en un fluido newtoniano incompresible contenido entre dos cilindros coaxiales, el exterior de los cuales está girando en estado estaciotpyio con una velocidad angular R,. (Véase 0 9.4 y ejemplo 3.5- 1). Utilícese la nomenclatura del Ejemplo 3.5-1 y supóngase que K es bastante pequeño, de forma que es preciso ‘tener en cuenta la curvatura de las líneas de corriente del fluido. Considérese quC las superfhes mojadas de los cilindros externo e interno esth a las temperaturas TI y T,, respectivamente; supóngase flujo laminar estacionario y despr6ciese la variación de p,~, y k con la temperatura. Este ejemplo es una ilustración de u11 problema de convección forzada; primeramente se resuelve la ecuación de movimiento para obtener los perfiles de velocidad; la distribución de velocidad que resulta se introduce en la ecuación de energía; finalmente se resuelve esta última para obtener los perfiles de temperatura. Este problema tiene interés en. rek-+n con los efectos caloríficps en viscosimetría. Solucibn. Pue$o qge se desprecia el efecto de la temperatura sobre las propiedades físicas, se puede ut&z& la distribución de velocidad del Ejemplo 3.5-1: v, =v, =o (10.54) 1 lo-18 TRANSPORTE DE ENERGfA F La ecuación, de energla se puede obtener de Ia Bc. -l B de Ia Tabla 10.2-3: (10.5-5) Substituyendo ahora la Ec. 10.5-4 en la Ec. 10.5-5 y efectuando la diferenciación indicada, se obtiene una ecuación diferencial sencilla para la distribución de temperatura: (10.5-6) Esta ecuación puede expresarse ,en función de magnitudes adimensionales, haciendo b = i = coordenada radial adimensional T-T (10.5-7) ’ 0 = L = temperatura adimensional G - T, 1 4”. ct%‘R2 -A =Br(l I)s * = k(T, - T,J+ (1 A.e (10.5-8) (10.5-9) siendo Br el número de Brinkman para el siste- (Véase 4 9.4.) Por tanto, la E,c. 10.5 -6 se transforma en -3*, < s “, ñi;- Integrando dos v&‘con Las constantes de integración Ct y Cs ‘están determinadas por Ias condiciones ‘limite: C.L. 1 : CL. 2: para E = K, ,para .! = 1, o=o .(10.5-12) O=l (10.5-13) La expresión final para la distribución de temperatura reducida es por tanto (10.5-14) Cuando N = 0, se obtiene la distribucion de temperatura para una envoltura cihndrica inmóvil de espesor R(1 - IK), cuyas temperaturas de Ias paredes interna y externa son T, y TI, respectivamente. Si N es bastante grande, puede en realidad existir un m&timo en la distribución de temperatura situado en Esiendo la temperatura en este punto superior a cualquiera de Ias dos (10.5-15) T, y TI. ECUACIONES ;. DE lo-19 VARIACIÓN Ejemplo 10.5-2. Flujo estacionario de m pekula no is&rmica Un líquido desciende con flujo laminar estacionario sobre la superficie de un plano inclinado, tal como se indica en las Fig. 2.2-1 y 2. Las condiciones son tales que la superficie libre del Iíquido se mantiene a T = T,, y la superâcie del @do situada en x = d se mantiene a T = Td. Las correspondientes viscosidades .@l fluido son h y ,u~, respectivamente y tanto la densidad como la conductividad calorífica pueden suponerse constantes. Desarrollar expresiones para la distribtucih de velocidad en. función de las propiedades del fluido! Sup&gase que la variacih de la viscosidad con la temperatura puede expresarse mediante una ecuación de la forma p = ArBIT (10.5-16) 2 de acuerdo con lo que sugiere la teoría de Eyring estudiada in i 1.5, siendo A y B constantes empíricas. Lus efectos finales y el calentamiento viscoso, pueden despreciarse. En este ejemplo, se resuelve en primer lugar la ecuación ‘de energfa para obtener el perfil de temperatura, que se utiliza despu& para determinar la variación de la viscosidad con la distancia; por último, resolviendo la ecuacih de movimiehto se obtienk’la distribucibn de velocidad. SOIUC~&I. Comenzamos con la ecuación de energía, que en este caso se reduce a ’ (10.547) Esta ccuaci6n puede integrarse de forma inmediata utilizando los valores conocidos de las temperaturas extremas, para obtener la distribución de temperatura en la película: T - T , x -ILTd - T,, õ (10.5-18) Valihdose de la Ec. 10.5-18 y de los valores conocidos de las viscosidades extremas, se puede determinar la visco&lad en fímcibn de la posici6n en la película. Cuando la diferencia de temperatura a traveS de la pelicula w moderada, se puede escribir:’ 1 De acuerdo con la Ee, 1.5- 12, p/p,, debería ser de la forma (10.5~194 en la que Bes una constante. Combinando la IOS-1Qa con la JZc. 105-18 se obtiene P = exp CI (10.5-196) siendo la segunda expresión una buena aproximación si la variacibn de temperatura es pequefia. Introduciendo Ia Ec. 10.5 - 19u, expresada para T = Ta, en la Ec. 10.5 - 196. se obtiene (10.~194 10-10 TR A N SP O R TE DE ENERGíA c PS -s - la l’o (+J (10.5-19) Esta expresión es equivalente a la Ec. 2.2-24 stendo - a = In @&Q). Vemos por tanto que la elección aparentemente arbitraria de la distribución de viscosidad del ejemplo 2.2-2, es en realidad razonable y está de acuerdo con el comportamiento observado para líquidos típicos. Podemos escribir ahora la expresión que se desea para la distribución de velocidad a partir de los resultados obtenidos anteriormente en el Ejemplo 2.2-2: Ejemplo 10.5-3. @nfiiamiento por transpirachh~ Consideremos dos envolturas esféricas porosas de radios KR y R, ‘tal como se indica en la Fig. 10.5- 1. La superficie’interria de la envoltura exterior está a T = Tl, y la super’ ficie exterior de la interna se mantiene a una temperatura inferior, T,. Solida do o h Fig. 10.5-1. Enfriamiento por transpiracion. La esfera interna st enfría mediante el serpentin de refrigeracion con el fin de mantener su temperatura a T,. Al insuflar aire hacia fuera, como se indica en la figura, se necesita menos refrigeración. ECUACIONES DE VARIAClON 10-21 Radialmente sale aire seco a la temperatura T = T, desde la esfera interna al espacio intermedio y de aquí al exterior a través de la esfera externa. Deducir una expresión para la velocidad necesaria de eliminación de calor de la esfera interna, en función de la velocidad másica de flujo del gas. Supóngase que el flujo es laminar estacionario y que la velocidad del gas es pequeña. En este ejemplo se resuslven las ecuaciones de continuidad y energía para obtener la distribución de temperatura. Solución. Para este sistema vg = v+ = 0, y la ecuación de continaridad se reduce a fz (r2pu,) = 0 (10.5-21) Esta ecuación puede integrarse para obtener rapu, = c o nst. = 4n (10.5-22) siendo IV, la velocidad radial de flujo de masa del gas. La ecuación de movimiento puede integrarse para obtener el incremento de presión entre las esferas interna y externa. Sin embargo, para bajas velocidades de gas esta información tendría poco interks. La ecuación de energía para el sistema es (10.5-23) Hemos utilizado la Ec. 10.1-24 para un fluido puro a presión constante wn conductividad calorffica también constante. Para escribir la ecuación en coordenadas esfericas nos hemos guíado por la Ec. C de la Tabla 10.2-3. Acontinuación se utiliza la Ec. 10.5-22 para eliminar v, de la Ec. 10.5-23; de esta forma se obtiene una ecuación diferencial que describe la distribución de temperatura T(r) en el espacio comprendido entre las .<. esferas dT -= dr (10.5-24) Integrando dos veces y utilizando los valores conocidos de las temperaturas extremas, se llega a e-R& - e-RdR T - Tl m.= e-R&R _ e-RJR en la que Re = w,C?,/hk. Obs&vesc que para Ra pequefio I/r - l/R T i Tl -I l/KR - l/R T, - TI (10.5-25) la Ec. 10.5-25 se reduce a (10.5-26) lo-22 TRANSPORTE DE ENERGIA Si ademas R es inkito y rR es fmito, para las proximidades de la superficie de la ufera interior, resulta ‘,& T-T, T, -T-‘-r I KR (10.5-27) La Ec. 10.5-27 se ha obtenido ya en el problema 9.H. La velocidad de flujo de calor en la direccion r negativa de la esfera interior (es decir, la velocidad de eliminacion de calor por el refrigerante) es Q- -~KWLrR (10.5-28) Súbstituyendo la expresión para q, de la Ec. G, Tabla 10.2-1, en la E.c. 10.5 -28, se llegas ..Q - +4rìka’R’ ; Ir-IR (10.5-29) Evaluamos ahora dT’dr en la superficie r = KR con ayuda de la Ec. 10.5-25, a ti de obtener la relación que se desea para la velocidad de eliminación de calor: _I ‘, , -Q -J+%(TI - T,)/‘(e(R&~l-=) - 1) (10.540) Cuando R,, = 0, se obtiene la velocidad de eliminación de calor para una velocidad del < gasigualacero: 0,’ = 4mkq(Tx - T,)/( 1 - K) (10.5-31) Por tanto, la &kaci~~, (F, de la transpirac& de gas, definida por e - (Qe - Q)/Q,,, es ca1 V&c i+ d adimanslonol - 9 &-1 do tm nsplm c lbn, 6 Fig. 10.5-2. Efecto de dkiamiento por transpiración. (10.5-32) ECUACl0NES D E VARIACIóN ,S. . le-23 siendo + ‘= b(l - K)/KR - w,&(l - K)/hkKR la velocidad adimensional de transpiraci6n. En la fig. 10.5-2 se representa grafkarnente la Ec. 10.5-32. Para valores bajos de 4, la eficacia Q es aproximadamente igual a $12. Como se ve, la transpiraci6n puede ser un método muy efectivo para reducir velocidades de transmisión de calor. Se ha sugerido el enfriamiento por transpiraci¿m para la refrigeración de los conos de cohetes durante la reentrada en la atmósfera. Este efecto puede ser importante en los casos en los que riene lugar una transferencia simultánea de calor y materia. (Wase 0 21.5). Ejemplo 10.5-4. Transmisión de calor por convecchh libre desde una hnina vertical Una lamina plana a la temperatura TO esta suspendida en una gran masa de fluido, que esta a la temperatura Tt. El fluido asciende en la proximidad de la lámina caliente debido a la fuerza de flotaci6n. (Véase Fig. 10.5-3.) A partir de las ecuaciones de variación, deducir la variación de las pkdidas de calor con las variables del sistema. Las pro- piedades ffsicas del fluido pueden considerarse constantes; a menos que se utilice la forma de conveccibn libre de la ecuación de movimiento. Solución. Sea X la altura de la lámina caliente y supóngase que la dimensión en la dirección x es muy grande, de forma que v,, y v, pueden considerarse como funciones exclusivas de y y z. Supondremos que el componente v,, de ia velocidad es muy peque*, es decir, que el fluido asciende casi verticalmente. De acuerdo con esto eliminamos en nuestro analisis el componente y de la ecuación de movimientó y escribimos las ecuaciones de continuidad,, movimiento y energfa, en la siguiente forma: _ (continuidad) (movimiento) (10.5-33) ~ +v+mp(~ +q +p88(T-T,) p u, 2 ( ___-- (10.5-34) (energfa) Las correspondientes condiciones limite son C.L. 1’: para y = 0, Dy = v, - 0, Y T = T. (10.5-36) C.L. 2: para y = co, vr =u, =O, y T = Tl (10.5-37) C.L. 3 : para 2 = 00, uY = u, = 0, y T = T, (10.5-38) Obskveae que el incremento de temperatura interviene en la ecuación de movimiento y que la distribuci6n de velocidad interviene en la ecuación de energfa. Las ecuaciones están por tanto «acopladas». Las soluciones analfticas de tales ecuaciones diferenciales no lineales acopladas son muy diffciles, de forma que nos contentamos con una aproximación por analisis dimensional. TRANSPORTE DE ENERGfA lo-24 Fig. 10.5-3. Perfiles de temperatura y velocidad en las proximidades de una’ lamina vertical caliente. Es conveniente introducir las siguientes variables adimensionales: 0 = (T - FJ/(T, - Tr) = temperatura adimensional 5 = z/H (10.5-39) = distancia vertical adimensional (10.5-40) = distancia horizontal adimensional (10.5-41) = velocidad vertical adimensronal (10.5-42) = velocidad horizontal adimensional (10.5 -43) s i e n d o a = k / pC?,, y B = pg@ (To - Tl). Escribiendo las ecuaciones de variaci6n en función de estas variables adimensionales, se obtiene (continuidad) (10.5,-44) lo-25 ECUACIONES DE VARIACIÓN ;.- (10.5 -45) (movimiento) (10.5 -46) ge han omitido los terminos subrayados con hneas de trazos en las Ecs. 10.5-34 y 35, ba&ndose en que el transporte de energía y de cantidad de movimiento en la direccion z, debido a procesos moleculares, es pequeílo en comparación de los correspondientes tkminos convectivos del primer miembro de las ecuaciones. Las condiciones lhnite que acompañan a las anteriores ecuaciones son C.L. 1: Pa= 9=0, fPy = @PS = 0, Y O=l (10.5-47) CL 2: para 9=-, 9, = 4: = 0, ” Y @=O (10.5 -48) C.L. 3 : para C = - 00, q$ = $* = 0, y o=o (10.5 -49) De estas ecua@ones y las condiciones límite, se deduce inmediatamente que los componentes ‘adin&iona!es de la velocidad, +Y y & y la temperatura adimensional 0, dependen de 7 y <, así como tambidn del parámetro Pr, el número de Prandtl. Puesto que el flujo es generahnente muy lento en la convección libre, los términos en los que interviene Pr seran mas bien pequeflos (tomándolos exactamente iguales a cero se tendría la «suposición de flujo reptante»). De acuerdo con esto, se @ga a la conclusión de que la influencia del número de Prandtl es de poca importancia. La densidad media de flujo de calor procedente de la lamina puede .expresarse asi: L. L k = q&=+- Ho f 3T dz aY IY-O (10.5-50) Esta integral puede ponerse en función de los parámetros adimensionales que hemos introducido anteribrmente : = C.$T, - T,)(Gr Pr)” (10.5-51) como @ es una funcion de 7, 6 y Pr, la derivada a@/aq depende también de 7, 5 y Pr. Por consiguiente, ao/%, evaluada para q = 0 depende solamente de 5‘ y Pr, y la integral definida sobre t resulta una funcion adimensional de Pr. De las anteriores consideraciones se infiere que esta función C será casi constante, es decir, una debil funcion del número de Prandtl. El analisis anterior indica que aun sin resolver las ecuaciones se puede predecir que la densidad media de flujo de calor es proporcionai a la potencia -$ de (T. - 7J e inversamente proporcional a la potencia f de H. Ambas predicciones han sido confirmadas 10-26 TRANSPORTE DE ENERGIA por experimentacibn. Lo único que no permite este anlisis es determinar el valor de C en funcion del número de Prandtl. ’ Para determinar C hay que recurrir a medidas experimentales o bien resolver las ecuaciones 10.5-44 a 46. Hace unos 80 años, Lorenza obtuvo una solución aproximada de estas ecuaciones, hallando un valor de 0,548 para C. Posteriormente, mediante c&lculos más rigurosos,’ se ha obtenido la siguiente variación de C con Pr: Pr 0,73 (aire) C 0,517 $0 102 0,612 0,652 1 0 3 0 , 6 5 3 Estos valores de C coinciden casi exacmmente con las mejores medidas experimentales que se conocen para el intervalo de flujo laminar (ea decir, para GrPr < 109). Ejemplo 10.5-5. FYaje coanpresilie uaidhm$enal: gradIentes Y prsidn eilma eadg,de.choquees,tacionuia : de velocidtbd, ‘temperatura Considerar el flujo adiab&tico de un, gas ide& a trav& de una region de «no equilibrio» en una conducción de seccion constante, tal como se indica en la Fig. 10.5 -4. Supóngase por el momento que el pergl de velocidad en la conducción es plano. En .la regi&n de no equilibrio, la velocidad, temperatura y preaibn, varfan desde los valores B,, 7’) ‘y PI en la corriente de entrada, hasta g, T2 y p2 en hi dida. Fuera de eata región no existe variación de velocidad, temperatura o presión. En condiciones adecuadas, se puede demostrar4 que casi todas las variaciones de las condiciones del gas ocurren en una region sumamente delgada que se llama una «onda dechoquew,, tal como se indica en la Fig. 10.5-5. E!n estas circunstancias, no es necesario suponer una conducci6n de seccih constante ni un perfil plano de velocidad: las soluciones unidimensionales de las ectutciones de variación se aplican siempre localmente para las condiciones de la region inmediata al wzhoquw , con tal de que sea normal ‘a hi hnea de corriente en cuestión. Utilixar las tres ecuaciones de variacion para determinar las condiciones en las que es posible la existencia de una onda de choque y hallar las distribuciones de velocidad, temperatura y presión en dicha onda. Supóngase estado estacionario, flujo unidimensional de un gas ideal y no se tengan en cuenta Ias variaciones de p, k y Cp con la temperatura y la presi&L !Wuci6u. Las ecuaciones de variación para el sistema que estamos considerando son 2 L. LQFIZNZ, Wiedzmamt’s Ann. Physik., 13, 582406 (1881). J E. SCH~ T y W. BECKMANIV Te&. Mech. Therm&‘ynam., 1, 341, 391 (i930). V&se E. M. SPARROW y J. L . GREGG,’ Tranr. ASME, 80, 379-386 (1958). 4 Para tratamientos m& detallados de fenómenos de choque, se remite al lector a H, W. LmMANN y A. R-KO, Elcmcnrs of Gas&namicss. Wiley, Nueva York (1957); tambitn M. MoanuCH OW y P. A. LIB~Y, 1. Aeranaat. Sci., 16, 674-84 (1949); R. VON MISES, ibid., 17, 551-554 (1950); 0. S. S. LXJDFORD, i&id, 18, 830434 (1951). -v ~(continuidad) d d, PVX = 0 (10.5-52) (10.5-53) (10.5-54) I I Fig. 10.5-4. 1~ I * Variaciones de velocidad, temperatura, presión ‘ LD y densidad en una onda de choque. Esta ecuación de energía córresponde a la p. J de la Tabla 10.4- 1, expresada para el estado estacionario y en la que (a ln t/ a ln 13,. = 1 para un gas ideal. La ecuación de continuidad puede integrarse para obtener Pb =Plvl (10.5-55) en la que p1 y ut, son magnitudes evaluadas a una corta distancia medida aguas arriba del punto de choque. Eliminando en la ecuación de energía fi mediante la Ec. 10.5-55 y &/uk mediante la ecuación de movimiento, se obtiene Integrando una vez esta ecuación y ordenando tkminos se llega a esT + ive2 (10.5-57) en la que C, es una constante de integración. N6tese que la Ec. 10.5-57 es exacta para flujo tiidimcnsional de un gas ideal. La ulterior integración debe efectuarse en general por métodos n&&icos. Sm embargo, si se admite que el número de Prandtl &&k CS lo-28 TR A N SP O R TE DE ENERGfA 4 (una suposición bastante correcta para la mayoría de los gases3 se puede completar la integración de la ecuación de energía para obtener (10.5-58) Se evalúan ahora las constantes de integración. Tomamos primeramente Cu igual a cero, puesto que la suma CJ + iv=* no puede crecer ilimitadamente en la direccih x positiva. La constante CI se evalúa a partir de las condiciones de la corriente de entrada, de forma queC, = tvIa + CJ,;por lo tanto, la ecuación iutegrada es iv== + c,,T = +vla + C?,,T, (10.5-59) Substituyendo la ecuación de continuidad integrada en la ecuación de movimiento e integrando una vez, se obtiene (10.5-60) La evaluación de Cm a partir de las wudicioues de la corriente de entrada (cuando dvJdx = 0) conduce a Cu = h + h$ = p&* -t; RTJA4). Utiliido la ley del gas ideal y la ecuación de energía integrada, se puede eliminar p de la Ec. 10.5-60 para obtener una relación que contiene II, y x como úuicas variables: 4P do, Jp,o,vs2F y - l ’ y + 1 hI1 - v,* + - 0, ‘p: - CI - 5 Y PA siendo y la relación de calores específicos c&,,. , Esta ecuación puede expresarse en fún&n de variables adiionales pu& de una considerable reordenación, 9 2 = Amad+ Las variables adimensionales 0% d X- - I 01 están definidas IX+ - 4 para dar, des- (10.5-62) por v e l o c i d a d adimensional + distancia adimensional 5 La Ec. 8.3-14, con ~ &?. = f,, ideal debería ser igual a dos tercios. parte de los gases poliat6micos a baja y O,SS, con un valor medio bastante (10.5-61) (10.5 -63) (10.5-64) indica que el número de Prandtl de un gas monoat6mico Experimentalmente se ha encontrado que para la mayor deusidad el número de Prandtl está comprendido entre 0.65 próximo a 975. Wase, por ejemplo. Tabla 8.3-1. ECUACIONES DE VARIACIÓN M = número de Ma, = VI J YRT, 1629 Mach6 para las (10.5 -65) condiciones de la corriente de entrada 2 1 Y-l aE-+-Y+l Y + 1 Mal2 (10.566) B = 8<Y + WaiJ (10.5457) 2.k “1 - 1,5 - $0 -0 ,5 0 +0,5 +Y (x - x$, cm x IO5 Fig. 10.5-5. Distribución de velocidad en una onda de choque estacionaria. La longitud de referencia A es el recorrido libre medio definido en la Ec. 1.4-3 (habiendo eliminado d* mediante la Ec. 1.4-9): A=3!? P nM JI (10.5-68) gRT, Integrando la F.c. 10.5-62 se obtiene 1-4 - = exp [B(l - a)Ma,O - EJ (+ - 4” (10.569) Esta ecuación es la distribución de veloci-fad adimensional, que contiene una constante de integración & = x&, Las distribuciones de temperatura y presión pueden determinarse a partir de esta ecuación y las Ecs. 10.5’59 y 60. Como 4 tiene que tender hacia la unidad cuando t -+ - 03, la constante a es menor que 1. Esto sólo puede ser cierto si Ma, > 1, es decir, si el flujo de la corriente de entrada es supersónico. También puede verse que para valores positivus muy grandes de t, la velocidad reducida 4 tiende a a. En la Fig. 10.5-5 puede verse que las ondas de choque son realmente muy delgadas. 6 El numero de Mach puede considerarse como la relación -ntre la velocidad c’r y la velocidad del sonido a la temperatura Tr. Veanse los problemas 1O.L y 1O.Q. lo-30 TRANSPORTE DE ENERGlA Von Mises* amplió el resultado anterior para gases con número de Prandtl distinto de +, y Morduchow y Libby4 han tenido en cuenta la variación de la viscosidad con la temperatura. La tendencia del flujo supersónico de un gas a &egradarse» expont&neamente a flujo subsónico es importante en los túneles de viento y en el disefío de sistemas de alta velocidad, por ejemplo, en turbinas y motores de cohetes. Obskvese que los cambios que tienen lugar en las ondas de choque son irreversibles y que como los gradientes de velocidad son muy bruscos se disipa una considerable cantidad de energía mecánica. Ejemplo 10.5-6. Procwoe adiab&ices sin f’ricd6n para un gas ideal Desarrollar ecuaciones para la relaci&n de la pTeqián local a la densidad o temperatura en una corriente de un gas ideal, en la que la densidad de flujo de cantidad de movimiento 7 y la densidad de flujo de calor q son tkspreciables. S o lució n. Para las condiciones supuestas, la ecuación de energía (Ec. J de la Tabla 10.4- 1) puede escribirse así (10.5-70) Pero como para un gas ideal (a In ti/a In í”& = 1, para un elemento móvil del fluido tendremos 4 -= dT PC , < (10.5-71) Utilizando de nuevo la ley del gas ideal se puede escribir $PC.M RT en la que M es el peso molecular del gas. DeGniendo (10.5-72) y = CJC,,, se llega a dlnp r -=dlnT r-l (10.5-73) que integrada para y constante, se obtiene p(y-l)ly T-l = constante (10.5-74) Evaluando T en función de p y p se obtiene la otra solución. PP- y = constante (10.5-75) Teniendo en cuenta esta deducción, se puede advertir que se obtiene la misma solución para los procesos de flujo o no flujo y estado estacionario o no estacionario; además, no es necesaria ninguna suposición con respecto al trabajo realiido por el gas. Por tanto, el resultado es muy útil y es importante recordarlo. Sin embargo, deber8 tenerse en cuenta que el despreciar q y T equivale a suponer un comportamiento adiabático reversible ECUACIONES D E VARIACldN 1 0 -3 1 y que por esta razón, las Ecs. 10.5-74 y 75 representan el caso límite de flujo isentrdpico. En un sistema adiab&tico real el aumento de temperatura por compresión será mayor que el calculado a partir de la Ec. 10.5-74. Sin embargo, las Ecs. 10.5-74 y 75 son útiles, como casos límite, para determinar la eficacia de compresores y soplantes. Por otra parte, estas ecuaciones proporcionan una buena descripción de las relaciones p - T y p -p en ondas sonoras.7 $ 10.6 ANÁLISIS DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN Una vez que hemos presentado las ecuaciones de variación en sistemas no isotérmicos, y que hemos visto la forma en que pueden utilizarse para resolver diversos problemas de transporte de calor, estudiaremos brevemente el análisis dimensional de dichas ecuaciones. Este estudio es análogo al de $ 3.7 y está destinado a servir de introducción al Capítulo 13. Para mayor sencillez, este estudio se restringe a sistemas de propiedades físicas constantes. Teniendo en cuenta esta restricción, se puede escribir (10.6- 1) (V - 0) = 0 (continuidad) (convección forzada) (10.6-2) Ts) (convección libre) (movimiento) kVT + ,u(P, (energla) Obsérvese que en la Ec. 10.6-2 se han incluido los «manantiales de cantidad de movimiento» para la convección libre o la forzada, ya que es conveniente definir variables adimensionales en una forma ligeramente distinta para cada una de ellas. En la Ec. 10.6-2, T. es la temperatura ambiente. Para la convección forzuda, definimos las siguientes variables adimensionales **=2= velocidad adimensional V P , *-P-Po - = presión adimensional tiempo adimensional (10.6-6) Ta - T - T” - temperatura adimensional (10.6-7) D TI - To x*,y*,B*=~,$;=coordenadas Véase., (10.6-5) PV2 tv f*= - = 7 (10.6-4) por ejemplo, el problema 1O.Q. adimensionales (10.6-8) le32 ;- TRANSPORTE DE ENERGtA En estas expresiones V, D y (Tl - TO), representan una velocidad, longitud y diferencia de temperaturas características del sistema. Si escribimos nuestras tres ecuaciones de variación para convección forzada en funcibn de estas variables adimensionales, se obtiene (v* - v*> = 0 (continuidad) (10.6-9) (movimiento) (10.6-10) DT* = -!-.V*sT* + --&-.@,,* Dt* Re Pr siendo @,,* la función de disipación expresada en función de v*, x*, y* y z*. Obst% vese que en rstas tres ecuaciones intervienen cuatro grupos adimensionales: Re = [DVp/,u], Fr = [V/gD], el número de Prandtl, Pr = [&+], y el número 1 de Brink- - W’2/Wí - To)l. Rc oc c ~ononk A Producto Fig. 10.6-1. Mezclador continuo. Ejemplo 10.6-1. -6n de calor por eonveeei6n forzada en ma tanque agitado Dos corrientes fluidas se mezclan de forma continua en proporciones fijas en un reactor agitado, totalmente lleno, tal como se indica en la Fig. 10.6-1. En estas condiciones, debe retirarse calor a través del serpenth de refrigeración a una velocidad Q, proporcional a la velocidad de flujo de la corriente de salida. Estimar el efecto del diámetro del tauque sobre las velocidades de flujo de masa permisibles, si las temperaturas de la solución y de la superficie de refrigeracih, TI y T, respectivamente, y el número de Reyuolds (flIVp/p) se mantienen constantes. Supóngase semejanza geométrica y propiedades del 1 En muchos textos la relación (Br/Pr) = P/C?JT, - To) se presenta como un grupo adimensional tico denominado número de Eckert, Ec. Claro estA, que la elecci6n de grupos adimensionalca es arbitraria. El número de Eckert está intimamente relacionado con el número de Mach. (Wase problema 10.L.) ECUACIONES DE VARIACIÓN 10-33 fluido constantes. Supóngase finalmente, que el efecto de las velocidades de flujo de la corriente sobre las características del flujo es despreciable. Despreciense las perdidas de calor en las paredes del tanque. Solución. La velocidad de eliminacion de calor que se precisa en la superticie del serpentin es Q=+dA s I supe rfic ie (10.6-12) en la que A es el drea total de superficie de refrigeración y n es la distancia medida hacia afuera desde la superficie de refrigeración en dirección normal a ella. Escribiendo la Ec. 10.6- 12 en función de las variables adimensionales A* = A/D2, n* = n/D, y T+ = = CT - To)/<Tl - To), se tiene Q- -&(T, - TdD d. g s dA* I SUpafiCiE (10.6-13) El termino (¿)T*/&I*)~,,~~~~ puede expresarse en función de Re, Pr y las condiciones limite, con lo que Q, y por lo tanto la velocidad de masa permisible, es proporcional al diámetro. Para conveccih libre, no se dispone de una adecuada velocidad de referrnzia, y por esta razón, vamos a utilizar en vez de V la relación p/pD definiendo nuestras variables adimensionales de la forma siguiente: &J** I VDP - i- P velocidad adimensional tru = tiempo adimensional t** = - (10.6- 14) (10.6- 15) PD= La temperatura y las distancias adimensionales se definen de la misma forma que para la convección forzada. Expresando las ecuaciones de variación en función de estas variables, se obtiene (continuidad) (movimiento) (energía) (Q* l ,**) = (10.6-16) 0 T* Gr g g (10.6- 18) Como se ve, para la convección libre sólo intervienen en las ecuaciones de variaci6n los dos grupos adimensiones, Pr y el número de Grashof, Gr = [g @/I(Tt - Tu) DJ/,G]. Obsérvese que hemos omitido en la ecuación de energía el término de disi- pación viscosa, que evidentemente es muy poco importante para convección libre. IU-34 TRANSPORTE DE ENERGfA Ejemplo 10.6-2. Temperatura de la superficie de una espiral de calentamiento el&rico Se proyecta una espiral de calentamiento elkctrico para mantener un gran tanque de líquido a una temperatura superior a su punto de congelación. !3e desea predecir la temperatura que alcanzará la superficie de la espiral, en función de la velocidad de calefacción Q y de la temperatura de la superficie del tanque T,,. Esta predicción ha de realizarse a base de experiencias en un aparato de menor tamaño, geométricamente semejante, lleno del mismo líquido. Describir brevemente un procedimiento experimental adecuado para realizar la predicción deseada. La variación de las propiedades físicas con la temperatura, a excepcibn de p, puede despreciarse, y se puede suponer que toda la superficie de la espiral de calefaccción está a la misma temperatura Tl. S o lució n. La velocidad total de entrada de energía a traves de la superficie de la espiral viene dada por en la que A es el área de la superficie de la espiral, el subfndice s se refiere al fluido que está inmediatamente próximo a la superficie de la espiral y r es la distancia medida hacia fuera desde dicha superficie y en dirección normal a ella. Expresando la Ec. 10.6-19 en función de variables adimensionales, se tiene ( 10. 6- 20) (10.6-21) siendo *-T- (10.6-22) ty = una función de Gr y Pr que ha de determinarse (10.6-25) T - Tl - T, Puesto que los dos sistemas han de ser geométricamente semejantes, el limite superior de integración de la Ec. 10.6-20, A/D2, será el mismo para ambos y no es preciso incluirlo en la función w. De igual forma, si escribimos las condiciones límite para la temperatura, velocidad y presión en las superficies de la espiral y del tanque, se obtienen solamente relaciones de tamaño que son idénticas para los dos sistemas. Por tanto, se omite esta etapa. Observemos ahora que la magnitud deseada (Tl - T,) aparece en los dos miembros de la Ec. 10.6-21. Para evitar este inconveniente, multipliimos ambos miembros por el número de Grashof, con lo que se obtiene ECUACIONES DE VARIACION = Gr - v(Gr, Pr) 10-35 (10.6-26) En principio, puede hallarse Gr de la Jk 10.6-26 y obtener una expresión explícita para (Tt - T,). Como la variacion de las propiedades físicas con la temperatura se ha supuesto despreciable, podemos considerar el número de Prandtl constante para un determinado fluido, y escribir (10.627) siendo 4 una función de (pQg&/kpa) que ha de determinarse experimentalmente. Por tanto, se puede construir una representación gráfica de la Ek. 10.6-27 a partir de medidas experimentales de Tl, T,, D, y las propiedades físicas del fluido y utilizar esta gráfica para predecir el comportamiento del sistema grande. Como en este caso la variación de las propiedades físicas del fluido con la temperatura es despreciable, podemos ir todavia más lejos. Si mantenemos la relación de Q en los dos sistemas inversamente proporcional al cuadrado de las relaciones de los diámetros, la relación correspondiente de (Tl - TJ será inversamente proporcional al cubo de las relaciones de los diámetros. Ya hemos visto en el Capítulo 9 que algunos de los grupos adimensionales utilizados en los ejemplos anteriores aparecen cuando se ponen en forma adimensional las ecuaciones diferenciales que describen sistemas específicos. De todo lo expuesto aquí se deduce que estos mismos grupos adimensionales se originan en función de las ecuaciones generales entre derivadas parciales para los procesos no isotérmicas. Este tratamiento se aplicará en capítulos posteriores, en los que se dan correlaciones para el coeficiente de transmisión de calor. A veces resulta útil considerar los grupos adimensionales como relaciones entre distintas fuerzas o efectos que intervienen en el sistema:2 fuerzas de inercia PV’ID Re=-= fuerzas viscosas PV/D* PV*ID Fr=-= PB _ G r p/?g(T, Re* fuerzas de inercia fuerzas de gravedad - Tl) = fuerzas de flotación PV*ID fuerzas de inercia 2 Los t&minos de inercia de la ecuación de movimiento son p[ u .Vu] y los terminos viscosos son ,u Vao. Para obtener valores «típicos« de estos términos, se substituyen las distintas variables siguiendo las «normaw características utilizadas en la obtención de variables adimensionales. Según ksto,p[v*Vv]-t p(V=/D) y ~V’V- p(V/D2). lo-36 ‘7 TRANSPORTE DE ENERGfA Pr Re 2 p::(- ;j$D = transporte de calor por conveccibn transporte de calor por conducción 0 1 producción de calor por disipación viscosa transporte de calor por conducción k(T, - T,)/D2 = Según esto, un bajo valor del nbmero de Reynolds indica que las fuerzas viscosas son grandes en comparación de las fuerzas de inercia. Si el número de Brinkman es bajo, quiere decir que el calor producido por disipación viscosa puede transmitirse por conducción calorífica. Cuando Gr/Rez es grande, las fuerzas de flotación son importantes en la determinación de las características del flujo. Br = PO’/D)~ CUES TION ES P ARA DIS CUTIR 1. Definir energía, energía potencial, energía cinetica y energía interna. 2. iPor que en la deducción de la Ec. 10.1-9 la velocidad de producción de trabajo viene dada por el producto de la presión (o esfuerzo viscoso), por el area y la velocidad? 3. ~Cómo estan relacionadas la «ecuación de energía» (Ec. lO.l -9), la «ecuación de energía mecánica» (Ec. 10.1-12) y la ,«ecuaci6n de energía calorifica» (Ec. lO.l-13)? iSon generales las Ecs. 10.1-12 y 13? 4. j,Es siempre totalmente convertible la energía calorífica en energla mec&nica? 5. ¿,CuBl es la diferencia entre las Ecs. 10.1-24 y 25? Establecer, las suposiciones que intervienen en la obtención de cada una de ellas a partir de la Ec. 10.1-20. 6. Establezcase la diferencia entre transmisión de calor por convección libre y forzada. iEs siempre posible esta distinci&? 7. iQue suposiciones son necesarias para obtener la Ec. 10.3-3 a partir de la Ec. 10.3-2? Explíquese cómo se utiliza una serie de Taylor para la obtención de la Ec. 10.3-3. 8. LES aplicable la ecuacibn de movimiento del Capítulo 3 a sistemas no isotkrmkos? 9. iCuándo, si es que ocurre alguna vez, puede resolverse la ecuación de movimiento para un sistema no isotermico sin poseer un conocimiento detallado del comportamiento t&mico del sistema? Indíquense ejemplos. 10. i Cuándo, si es que ocurre alguna vez, puede resolverse completa y exactamente la ecuación de energía sin un conocimiento detallado del comportamiento de flujo del sistema? Indíquense ejemplos. ll. iEn que forma la variaci6n de p con la temperatura podría modificar el perfil de velocidad del ejemplo 10.5- 1 respecto del utilizado para calcular los perfiles de temperstura? iCómo s e modificaría el perfll de temperatura? iC6mo se podrían calcular los verdaderos perfiles de velocidad y temperatura? 12. Si el cono de un cohete estuviese construido de un material poroso, y se hiciese circular lentamente un líquido volátil a traves de los poros durante la reentrada en la atmósfera, jcómo se modificaría la temperatura de la superficie del cono y por qué? 13. iCuál es el significado flsico de Rs en el ejemplo 10.5-3? 14. iNo se tiene en cuenta realmente la variación de p con la temperatura en el ejemplo 10.5-4? Expllquese. 15. En el ejemplo 10.5-5 se ha visto que la velocidad debe de disminuir a medida que se avanza a favor de la corriente a traves de una onda de choque. Explíquese esto mediante la ecuación de energía mecAnica. ECUACIONES DE VARIACldN ;‘: 10-31 16. ¿El desarrollo del ejemplo 10.5-5, esti restringido para un fluido wn perfil plano de velocidad, para el flujo en una conducción de sección constante o para flujo laminar? 17. ¿La restricción para fluidos wn un,Pr de 3/4 del ejemplo 10.5-5, constituye una limitación importante? iPodrían aplicarse a líquidos los resultados de dicho ejemplo? 18. icómo pueden utilizarse los resultados del ejemplo 10.5-6 en el diseño de un compresor o una turbina de gas? 19. tC6mo se sabe la forma en que han de elegirse las variables adimensionales utilizadas e-n # 10.61 20. ~Qu6 sucedería si se tomase V como &pD para wnvección forzada? 21. LPodríín necesitarse en algún caso md.s relaciones adimensionales que las obtenidas en 0 10.6 para cxrvección forzada? 22. L cómo se ddinen t?= y (4. ? L Cuáles son sus unidades? iEs siempre c;-c. igual’ a R? iVariar&&/&. para un gas ideal con la temperatura o la presión? 23. Comprobar las unidades de la Ec. 10.1-9. 24. Describir el t&mino p&(F- 0 de la Ec. 10.3-3 en tunción del principio de Arquhnedes. 25. Demostrar cómo en la Tabla 10.4-1 se puede obtener la forma ¿J/¿% de cualquiera de las ecuaciones de energía a partir de la forma DjDt. 26. Demostrar que la Ec. 10.5-14 satisface las condiciones límite y la ecuaci6n diferencial. lO.Al PROBLEMAS lbperatum de m cojinete de frkchh Calcular la temperatura mkxima en el cojinete de fricci6n del problema 3.Ar, suponiendo que la conductividad calorhica del lubrificante es 4 x 10-4 cal seg-1 cm-t(‘C)-1, Ia temperatura del metal 200° C y la velocidad de rotación 4000 rpm. Respuesta: 225’ C 104 Variací6n de viscosidad y gradientes de vebckiad en mm pelhh no imtdrmlca Por una pared .vertkal cae agua formando una pekula de 0,l mm de espesor. La temperatura del agua en la superficie libre del líquido es loo” C y en la superficie de la pared 80” C. a. Demostrar que la mAxima desviación relativa entre las viscosidades predichas por las Ecs. 10.5-19 y 10.5-19a oc& cuando T = m 6. Calcular la mkima desviaci6n relativa para las wndiciones indicadas. Respuesta: 463 por ciento ro.c, Rifdandealto per lmnsp~raci6n a. Calcular la distribución de temperatura entre las dos envolturas del ejemplo 10.5-3 para velocidades radiales de flujo de masa cero y de 10-5 g seg-t, en las condiciones diguientes: R = 500 micrones KS = 100 mimms TB = 300” c T, = loo” c k = 6.13 x 10-5 caI cm-t seg-1°C-1 &, = 0,25 cal g-l ’ C-l 6. Comparar las velocidades de conducción de calor para la superficie en presencia y en ausencia de wnveccibn. 10.D1 Co~1vecd6n libre desde mm swerBde correspondiente a KR Respuesta: E = 0,124 vestkal Un pequeho panel de calefacción wnsta eaenciahnente de una superficie rectangular plana vertical de 30 cm de alto y 50 cm de ancho. Estimar la velocidad total de perdida de calor desde íO-38 “‘Z TRANSPORTE DE ENERGIA una cara de .este panel por conveccidn libre, si la superficie esta a 65,S”C y el aire ambiente estA a 21,l” C y 1 atm. Utilizar las expresiones de Lorenz y de Schmidt y Beckmann, comparando los resultados de los dos cálculos. Respuesta: 8,l cal seg-t por la expresión de Lorenz 7.6 cal seg-1 por la expresi6n de Schmidt y Beckmann lO.E, Variaciones de velocidad, temperatura y presih, en una onda de choque Una corriente de aire a 1 atm y 21.1’ C que llega con un número de Mach 2, fluye a través de una onda de choque estacionaria. u. Calcular la velocidad inicial del aire. b. Calcular la velocidad, temperatura y presión de la corriente después de atravesar la onda de choque. c. Calcular el perfil de vebidad en la onda de choque. d. Calcular las variaciones de energía interna y cinetica a travt% de la onda de choque. Supbngase que y es constante e igual a 1,4 y que 6, = 0,24 Kcal Kg-t “C--t Respuestas: a. 685 m seg- t 6. 257 m seg-1, 22O”C, 4,48 atm. d. Ao = + 34,l kcal kg-t ‘\ AR ‘= - 48,3 kcîl kg-1 lO.F, Compresih adiib&ica sio fhci6n de un gas ideal Calcular la temperatura que se alcanza al comprimir aire inicialmente a 38” C y 1 atm, hasta l/lO de su volumen inicial. Se supone que la compresi6n es adiabática sin friccibn y que c,/C,, puede tomarse como constante e igual a 1.40. La temperatura que resulta es la que corresponde aproximadamente al instante anterior a la ignici6n en un motor de autombvil que opera con una relación de compresión lO/l. Respuesta: 5 10” C 10.G2 Utilizacióa de la ecoación de energin para el plankamhto de probkmás Comprobar las siguientes ecuaciones del Capitulo 9, utilizando las formas apropiadas de la ecuación de energía de $10.2: (a) 9.2-6, (b) 9.3-6, (c) 9.6-2, (d) 9.7-3. 1 0 2 Calentamiento viscoso en el flujo a travQ de una reelija 0 Deducir una expresibn para la distribuci6n de temperatura T(x) en un fluido viscoso que circule con flujo laminar por el espacio comprendido entre dos grandes láminas planas paralelas, tal como se indica en la Fig 2.E. Ambas laminas se mantienen a temperatura constante Te Tengase. en cuenta el calor generado por disipación viscosa. Despreciese la variación de k y p con la temperatura. Respuesta: T - T0 Ei 1 Pilü 1 _ _ 3 k B 4 z I 01 10.1, Distribncih de velocidad en UM pelicoh no isot¿rmica Demostrar que la Ec. 10.5-20 satisface ‘los siguientes requerimientos: 0. para x = 6, u, = 0 b. para x = 0, av,jax = 0. c. Lim {u.} = fpg@iZ&[l - (x/Q2]. “d-- ECUACIONES DE VARIACIÓN l o -3 9 lO.J, Enfriamiento por traupiracih ea ua sistema de superfkic~ planas Dos grandes láminas planas porosas horizontales 8tán separadas por una distancia relativamente pequeha L. La lamina superior situada en y = t esta a T = TA, y la inferior situada en y = 0 se mantiene a una temperatura más baja To. Con el fin de reducir la cantidad de calor que ha de eliminarse de la lámina inferior, se hace ascender entre las laminas un gas ideal con velocidad constante y temperatura T,,. Deducir una expresión para la distribución de temperatura y para la cantidad de calor q,, que debe de retirarse de la lamina fría por unidad de área, en función de las propiedades del fluido y de la velocidad de flujo del gas. &lL - s4 T-T& LP&% Re sp ue sta: - Te - TL qo = ni 9=, kV, - Te ) L 10.K~ Uso de la transpiración para reda& pMidas de calor Se desea reducir la velocidad de evaporación de oxígeno líquido contenido en pequefios re+ pientes, aprovechando la transpiración. Para ello, el liquido se almacena en un recipiente esferico rodeado por una envoltura también esferica de un material aislante poroso, tal como se indica en la Fig. 10.K. Se deja un pequefio espacio entre el recipiente y el aislamiento, tapando la abertura de este último. Durante la operación, el oxigeno que se evapora abandona el recipiente, cir- ‘ Pa re d d e l ta nq ue Fig. 1 0 . K. Aplicación de la transpiración para reducir las perdidas por evaporación. cula a trav6.s del espacio gaseoso y por último fluye uniformemente hacia fuera a trav6s de 10s poros del aislamiento. Calcular la reducción relativa de las perdidas por evaporación en un tanque de 30 cm de diámetro recubierto con un aislamiento de 15 cm de espesor, con y sin transpiración, en las siguientes condiciones : Temperatura del oxígeno líquido -183” C -1°C Temperatura de la superficie exterior del aislamiento 0,03 kcal hr-1 m-t ’ C-r Conductividad calorífica efectiva del aislamiento Calor especifico medio del oxígeno que fluye a trav6s del 0.22 kcal Kg-’ OC-’ aislamiento Calor de vaporizaci6n del oxígeno 50.9 kcal Kg-’ , TRANSPORTE DE ENERGfA 10-40 “‘7 Despr&Ase la resistencia tbmica del oxígeno líquido, de las paredes del recipiente y del espacio gaseoso y no se tengan en cuenta las pérdidas de calor a trav6s del tapón. Supóngase que las particulas del aislamiento esten en equilibrio t&mico con el gas que las rodea. Respuestas: 20,6 kcal hr-1 sin transpiración 15.2 kcal hr-1 con transpiración 10.L~ Proceso sin frkci6n en un gas ideal sin a. Demostrar que la ecuación del balance de energía para el flujo estacionario de un gas ideal disipación viscosa PC T=kV’T-p(V.0) puede escribirse así PC, b. Escribir en forma adimensional la ecuacibn obtenida en (u), utilizando una longitud carao terística D, una velocidad característica V y una temperatura característica To. Tómese Y* = v/V, T* = (T - To)/To y p* = p/pp. Demostrar que la ecuacih de la temperatura reducida, ademas de estas variables adimensionales, contiene los grupos adimensionales: Re - DVp/p, Pr = = &u/k, y Ec - p/c,T, (que es el número de Bkert). c. La velocidad del sonido está relacionada con el comportamie+o p-T-V del medio a trav& del cual se transmite, en la forma siguiente va = %p/aP), (10.~3) en la que y = C,,/C.. Demostrar que para un gas ideal v. = t/yRT,M (lO.L-4) y que (como & - e# = R para un gas ideal) 0, = ye,T(r - 1) (IOL-5) d. Demostrar que el numero de Eckert puede tambi6n escribirse asi Ec=+-l)Z = (y 1 l)Ma* (lO.L-6) en la que sO es la velocidad del sonido en un gas ideal a la temperatura 2’s y Ma es el timero de Mwh, que es la relaci6n de una cierta velocidad característica del sistema con respecto a la velocidad del sonido. Si el numero de Mach es pequeflo comparado con la unidad, el flujo puede considerarse como incompresible. 10.M~ Andlisis dimensional de la tmnsmbióq tado de calor por convecci6n forzada en un tanque psi- Un fluido de p, cc, c?,, y k constantes se dienta mediante una camisa de vapor en un tanque agitado totalmente lleno. Se desea utilizar el tanque para predecir la velocidad de aumento de temperatura en un tanque geom&ricamente semejante de dimensiones lineales dobles, que opera con una determinada velocidad del agitador. Se utiliza en los dos casos el mismo fluido y la temperatura de la superficie de la camisa Tl y la temperatura inicial de la masa del fluido T. son tam- ECUACIONES DE VARIACIÓN & 10-41 bien iguales en ambos casos. iQu6 relación de velocidades del agitador debe& utilixarse y cuál ser8 la relación de las velocidades de incremento de temperatura? Respuesta: La velocidad angular del agitador pequeño deber& de ser cuatro veces la del mayor. Si se utiliza esta relaci6n, el tiempo necesario para que una porción del tanque grande alcance una temperatura determinada sera cuatro veces mayor que en el pequeho. 10.N2 Eqaivalencia de las distintas formas de la emación de enexgia a. Demostrar que la Ec. H de la Tabla 10.4puede obtenerse a partir de la Fc. G. 6. Demostrar que la Ec. T de la Tabla 10.4-, puede obtenerse a partir de la Fc. J. 10.03 FIuja raagencia en tabos conchatricos de un fluido de elevada viscosidad Demostrar que la Fc. 10.5 - 14 se transforma en la Ec. 9.4-11 cuando K se aproxima a la unidad. 10.P3 Amilisis dimeasioaal para la transmisión del calor por coavecci6n libre y coavecdón forzada combinadas Se desea estimar la velocidad de perdida de calor en la instalación meteorol6gica que se indica en la Fig. lO.P, mediante experimentación en un pequen0 modelo geometricamente semejante de 1/5 de dimensiones lineales Se. conocen la temperatura de la superticie de la instalacibn real, asi como la temperatura, velocidad y dirección probables del viento. En estas condiciones, pro- Fig. 10.P. Instalacibn meteorológica. bablemente son importantes tanto la convección libre como la fonada y por tanto parece 16gico que la distribuci6n de velocidad reducida depender& de los números de Reynolds y Grashof. Se desea utilizar aire en la experimentaci6n del modelo y mantener la semejanza entre este y el aparato a toda escala variando la presi6n y la velocidad del aire. La variación de las propiedades del fluido con la temperatura puede despreciarse. a. iQue presi6n y velocidad relativa del aire deberán utilizarse en la experimentación del modelo para conservar la semejanza dinamica? b. iCual sera la densidad relativa de flujo calorífico en el modelo? c. ~Por que no resultaría practico conservar la semejanza dinamica variando AT? Respuestas: a. Para igualdad de temperaturas en los dos sistemas, la presión en el estudio del modelo tendría que ser ll.2 veces la presión existente en la instalación que se propone. La velocidad a utilizar en la experimentación del modelo debería ser por consiguiente, 0,446 veces la velocidad del viento. 6. La densidad de flujo superficial en el modelo sera cinco veces mayor que en el aparato a toda escala. TRANSPORTE DE ENERGfA lo-42 “:? 10.Q3 Vehxidad de propagacih~ de ondas sonoras Las ondas sonoras pueden considerarse como ondas de compresión armónica de muy pequelia amplitud que recorren un fluido compresible. La velocidad de propagación de dichas ondas puede estimarse suponiendo que z y q son cero, y que la velocidad del fluido u, es pequefia.1 a. Demostrar que despreciando T y q la Bc. J de la Tabla 10.4-1 puede escribirse de la si. guiente forma para obtener la relación g-T en una onda sonora. wJ.Q-1) Utilizar esta expresión para demostrar que pC,(a In T/a In Y), ‘Y 0 PC@ In T/a In PI. - <ap/aT> 3 aP - w-w-2) aP T Demostrar que para el caso concreto de un gas ideal, WQ-3) siendo p,, y pO la presi6n y densidad medias del fluido. b. Linealixar la ecuacion de movimiento despreciando los t&t&nos viscoso y gravitacional, así como todos los t&minos en que interviene la segunda potencia de la velocidad, con el fin de obtener (lO.Q-4) Justifiquese esta simnlificación. Demostrar que esta ecuación puede escribirse así: WQ-5) siendo 0 aP 0,’ = y - aP T m.Q-a c. Linealizar la ecuación de continuidad despreciando el termino (D - Vp) y justificar esta sltnplificación. Diferenciar con respecto al tiempo la ecuación linealiida y combinar su resultado con el de (b) para obtener wcm 1 cia. cho cuhzr Estas suposiciones dlo son apropiadas para perturbaciones infinitesimales de baja frecuenLas perturbaciones grandes, tales como ondas de choque, se propagan con velocidades mumas eleva-las; vease por ejemplo, J. 0. HIRSCHFELDER, C. F. Cmmss y R. B. Bmn, MoleTheory of Gases and Liquids, Wiley, Nueva York (1954). p. 728. ECUACIONES DE VARIACIÓN 10-43 d. Demostrar que una solución de esta ecuacibn es p = p0 [ 1 + #,, sen ge- Iv))]. Esta solución representa una onda armónica de longitud de onda A y amplitud p,,+,, que se mueve en la dirección z con una velocidad v,. Por consiguiente, vS es la velocidad del sonido y es independiente de la amplitud y la longitud de onda, con tal de que la amplitud sea suficientemente pequefia para satisfacer las anteriores suposiciones. Po llc ulo de sc e nde nte de Ilq uldo q ue e ntro a t a te m p o ro turo unifo rm e , I T, Pig. 10.R. Transmisión de calor a una pe-lícula líquida descendente. 10.R3 Transmisión de calor desde una pared P una película descendente: tiempos de contacto cortos2 Una película de un líquido frío que desciende por una pared sólida vertical o inclinada, tal como se indica en la Fig. 10.R. ejerce un considerable efecto de refrigeración sobre la superficie del sólido. Estimar la velocidad de transmisión de calor desde la pared al fluido para tiempos de contanto tan cortos que la temperatura del fluido sólo varía apreciablemente en la región inmediata a la pared. a. Demostrar que v. = v,iJ23//6 - (y/&)*], inmediaciones de la pared v s siendo v,;, = 6*&2~1 y que por lo tanto en las &pgsY P 2 Véase R. L. PIGFORD, C. E. P. Symposium Series, núm-.. 17, 51, 79-92 (1955). (lO.R-1) TRANSPORTE DE ENERGtA LO-44 b. Demostrar que la ecuación de energla se reduce a (lO.R-2) (i QuC suposiciones simplificantes se necesitan para obtener este resultado?) Combinar los resultados anteriores para obtener la ecuación diferencial aproximada (lo.&3) c. Demostrar que para cortos tiempos de contacto pueden tomarse las siguientes condiciones límite C.L. 1: C.L. 2: C.L. 3: T = T. T=T,, T = T, ’ para 2 = 0 e p a r a y== y Y>O 2 finito para y = 0 z>o y (lO.R-4) (lO.R-5) (lO.R-6) d. Escribir de nuevo la ecuaci6n diferencial y las condiciones limite anteriores en función de las variables reducidas @ = (T - 7,Id (lO.R-7) (Ta - To) (lO.R-8) rl = YlG Integrar una vez para obtener dO/dq = Ce-‘J’, siendo C una constante de integracibn. de nuevo utilizando las condiciones limite, con el fin de obtener Integrar (lO.R-9) e. Demostrar que la densidad media de flujo de calor transmitido al fluido es lO.S, Deducción de la ecuación de energía por aplicación del teorema de la divergencia Considerar un elemento volum6trico estacionario G de superficie y volumen fmitos Vo y S,. Plantear un balance de energía de la forma de la Ec. 10.1 - 1 para todo el elemento de voiumen. Puesto que las condiciones en el elemento no pueden considerarse uniformes, será necesario efectuar la integral extendida a VG de la velocidad de ganancia de energía y trabajo producido por unidad de volumen contra las fuerzas de volumen y la integral extendida a SG de la velocidad de convección de energía y el trabajo producido contra las fuerzas de superficie. Convertir ahora todas las integrales de superficie en integrales de volumen, utilizando ‘el teorema de la divergencia y demostrar que la expresión que resulta puede transformarse en la Ec. 10.1-9. lO.T, La ecuación de variación para la entropia de un fluido puro a. Considerar un determinado elemento de volumen AZ A y A Z y escribir un «balance de entropia» para este sistema. Sean u,, cy y ur los componentes de un «vector densidad de flujo de entropia» s, que se mide con respecto a la velocidad del fluido u. Finalmente, desígnese por g l a ECUACIONES DE VARIACIÓN i.7 10-45 «velocidad de producción de entropía» por unidad de volumen. Demostrar que cuando el volumen Ax Ay AZ se hace tender a cero, se obtiene finalmente 0.9 PE= -(V*S) +g (lO.T-1) siendo 3 la entropía por unidad de masa. b. Si se admite que las magnitudes termodinamicas pueden definirse localmente en un caso de no equilibrio, 0 puede relacionarse con 3 y pde acuerdo con la ecuación termodinamica d# = TdL? - p d6? Combinar esta expresión con la Ec. 10.1-13 para llegar a 0.9 PD;= + ? .q ) - _ :(m w (lO.T-2) c. La densidad de flujo local de entropía es igual a la densidad de flujo local de energía dividida por la temperatura local, es decir, s = q/T. Una vez admitida esta relación entre s y q se pueden comparar las Ecs. lO.T-1 y 2 con el fin de obtener la siguiente expresión para la velocidad de producción de entropía por unidad de volumen: R= +qVT)-+:Va) El primer termino del segundo miembro representa la velocidad de produccibn de entropía relacionada con el transporte de energía y el segundo termino es la velocidad de producción de entropía correspondiente al transporte de cantidad de movimiento. La Ec. lO.T-3 es el punto de partida para el estudio termodinámico de los procesos irreversibles en un fluido puro.3 d. ~Qué conclusiones pueden obtenerse al introducir en la Ec. l(L.T-3 la ley de Newton de la viscosidad y la ley de Fourier de la conducción del calor? 3 J.G. KIRICW~~D y B. L. CRAWFORD Jr., 1. Phys. Chem., 56, 1048-1051 (1952); R. B. BIRD, C. F. CURTES y J. 0. HIRSCHFELDER, Chem. EtÍgr. Prog. Symp. Series. núm. 16, 51, 69-85 (1955). CAPíTULO 11 DISTRIBUCIONES DE TEMPERATURA CON MAS DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE En el Capítulo 9 se ha visto cómo pueden resolverse diversos problemas de flujo de calor mediante balances envolventes de energía. En el Capítulo 10 se ha desarrollado la ecuación de energía para sistemas de flujo, que, en principio, describe los procesos de transferencia de calor para casos más complejos. En 0 10.5, al ilustrar sobre la utilidad de la ecuación de energía, se han presentado una serie de ejemplos, para la mayor parte de los cuales no es preciso el conocimiento de las ecuaciones entre derivadas parciales. En este capítulo se tratan varias clases de problemas de transmisión de calor en los que interviene más de una variable independiente: conducción del calor en sólidos en estado no estacionario, conducción del calor en estado estacionario con flujo viscoso, conducción bidimensional del calor en estado estacionario en sólidos, y flujo de calor en capas límite laminares. Estas cuestiones son en cierto modo semejantes a las que se han tratado en el Capítulo 4, tanto en los procesos físicos como en las técnicas matemáticas. $ ll .l CONDUCCIÓN NO ESTACIONARIA DEL CALOR EN SÓLIDOS Para el caso de sólidos, la ecuación de energía, Ec. 10.1 - 19, después de introducir la ley de Fourier de conducción del calor, se transforma en aT PC at = (V - kVT) (11.1-1) Si la conductividad calorífica es independiente de la temperatura o la posición, la Ec. 11.1-1 se hace a7-= at aV”T (11.1-2) en la que a = k/pc,, es la difusividad térmica del sólido. La Ec. ll. 1-2 es una de las ecuaciones más estudiadas de física teórica. El tratado de Carslaw y Jaegerl está totalmente dedicado a los métodos de resolución de 1 H. S. CARSLAW segunda edición. y J. C. JAEGER , Coduction of Hear in Solids, Oxford University Press (1%9), ll-2 TRANSPORTE DE ENERGiA esta ecuación; este libro debiera ser familiar a todos los ingenieros y hombres que se dedican a la ciencia aplicada debido a la amplitud de las soluciones tabuladas de la Ec. 11.1-2 para un numero enorme de condiciones iniciales y límite. Muchos problemas que frecuentemente se presentan en conducción del calor pueden resolverse simplemente buscando la solución en este libro de Carslaw y Jaeger. En esta sección se comienza por dar dos de las soluciones más sencillas de la Ec. 11.1-2 para estado no estacionario, con el fin de iniciar el tema. Dichas soluciones ilustran los metodos de combinación de variables y de separación de variables, que se han utilizado también en 5 4.1. Despues se presenta un ejemplo de problema resuelto mediante la transformación de Laplace que es una técnica de gran importancia para la solución de problemas de estado no estacionario. El lector que desee ejemplos más completos, los encontrará sin duda en el libro de Carslaw ‘. y Jaeger. Ejemplo 11.1-1. Cakmuniento de una 1Qmina semiintlnita2 Un cuerpo s6lido que ocupa el espacio comprendidc entre y = 0 e y = 00 está inicialmente a la temperatura T,. En el instante t = 0, la superficie situada en y = 0 eleva bruscamente su temperatura a TI manteniendo dicha temperatura para t > 0. Hallar los perfiles de temperatura en función del tiempo T (y, t). !Wución. Para este problema, la Ec. 11.1-2 resulta (11.1-3) en la que se ha introducido una temperatura adimensional 8 = (T - Ta)I(Tl -.T,,). Para esta temperatura adimensional, las condiciones inicial y límite adquieren esta forma sencllla : C.I. : para r<O Q = 0 para cualquier valor de y C.L. 1: C.L. 2: para y = 0 para y = 00 8 = 8=0 1 » » » » » » » t>O ‘» t >o (11.1-4) (11.1-5) (11.1-6) Este problema es matematicamente análogo al planteado en las Ecs. 4.1- 1 a 4; por tanto, puede tomarse directamente. la solucion de la Ec. 4.1- 13 cambiando convenientemente la notacion 01.1-7) 0 T - T, TI - To Y =l -erfz 2 Vkaac K. T. YANG, J. Appl. ~Udanics, con conductividad calorifica variable. 2!!, 146-147 (1958), (11.1-8) donde se presenta una solución DISTRIBUCIONES DE TEMPERATURA 1 1 -3 La solución gráfica de la Fig. 4.1-2 para n = 1, describe los perfiles de temperatura, siendo la ordenada (T - Ts)/(Ti - Ts) y la abscisa y/G Como la función de error adquiere un valor de 099 cuando el argumento vale alrededor de 2, el «espesor de penetracion tknicax ór es 6, =4G (11.1-9) Es decir, que para distancias de 11 > 6,, la temperatura ha variado menos del 1 por cien. to de la diferencia (Ti - Te). Si se precisa calcular la temperatura en una lamina de espesor finito, la solución de la Ek. 11.1-8 constituit% una buena aproximacion siempre que 6, sea pequeño con respecto al espesor de la I&nhta. Cuando ar es del orden de magnitud del espesor de la lamina hay que utilixar la solucibn del ejemplo 11.1-2. La densidad de flujo de calor en la pared puede calcularse a partir de la Ec. ll. 1 - 8 : q”ly~o = -k $ y ()= &Tl - To) Por tanto, el espesor de penetración pared con t-‘12. Ejemplo 11.1-2. ‘(11.1-10) varia con 2’12 y la densidad de flujo de calor en la ChhbmbbdernsllW5nita Una lamina que ocupa el espacio comprendido entre y = y b e y = f b esta inicialmente a la temperatura T,. En el instante t = 0 las supefficies situadas en y = f b,se ponen bruscamente a Tl y se mantienen a esta temperatura Hallar T(y, t). Seluci6n. Introducimos para este problema los siguientes números adimensionales: temperatura adimensional Tl - T Q--SC (distinta de 8 del ejemplo 11.1-1) TI - To Y yj’-” longitud adimensional b al 7r-r tiempo adimensional be (11.1-11) (11.1-12) (11.1-13) La experiencia indica que es conveniente introducir estos números adimensionaks, pues. to que las ecuaciones dif~nciales y las condiciones lhnite toman una forma más sencilla: ao aeo -=ar]t al C.I. : CL. 1 y 2: para r==O p a r a r)=fl (11.1-14) @=l Q=O (11.1-15) (11.1-16) Aquí se presenta la solucion cl&sica por el método de separación de variables. Adelantamos ya que se puede encontrar una solución de la forma del siguiente producto (11.1-17) Qh 7) -fmg6~ 11-4 TRANSPORTE DE ENERGíA ti Substituyendo esta función de ensayo en la Ec. 11.1-14 y dividiendo por fg, se obtiene < 1 d2f 1 & (11.1-18) gz =Tzy El primer miembro es una función exclusiva de 7, al igual que el segundo lo es sólo de 11. Esto es cierto únicamente si ambos miembros son iguales a una constante, que vamos a llamar rcz. El problema se reduce por tanto a la resolución de las dos ecuaciones diferenciales ordinarias : que se pueden integrar para obtener g = A exp ( - c2t) (11.1-21) f= sen CV + C cos 07 (11.1-22) B siendo A, B y C constantes. Se observa, que, debido a la simetría del problema 0, y por tanto f, tienen que ser funciones simétricas de 7. Por consiguiente, B tiene que ser igual a cero. Utilizando una cualquiera de las dos condiciones límite se obtiene ccosc =o (11.1-23) Resulta evidente que C no puede ser igual a cero ya que esto conduciría’ a una solución físicamente inadmisible. Por consiguiente es forzoso que c = (n + &r n - 0 , *1, *2,*.. fc0 (11.1-24) Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones para C y c llegamos a la conclusión de que (11.1-25) 0, = AnCne-cn +t)‘**r cos (n + *)mj es una solución admisible. Los subíndices n sirven para indicar que 4 y C pueden ser diferentes para cada valor de n. La solución más general de esta forma se obtiene sumando las soluciones de la forma de la Ec. 11.1-25 para todos los valores enteros de n desde n= - oohastan=+ OO: (11.1-26) en la que D, = A,C,, + A-+,+,) C-tn+l~. Los valores de D, se determinan ahora utilizando la condición inicial, que establece que 1 = 5 D, cos (n + 4)n-q (11.1-27) ?¿=O DISTRIBUCIONES DE 1 1 -5 TEMPERATURA por cos (nr + +cq TV e integrando desde q = - 1 hasta r] = f 1 se Multiplic a ndo obtiene (ll .l-28) cos (m + Q)rrrl cos (n + ?&q dq cos (m + +>n-q & Al efectuar las integraciones indicadas, se encuentra que todas las integrales del sumatorio del segundo miembro son iguales a cero, a excepción del único término en el que n = m . De acuerdo con esto, se llega a /Centro de la Ibmino Supcrfictc de la Idmtno~ at/b* = 1,0 ,* t T-T, Tl - To ‘V ,O i 11.1-1. Perfiles de temperatura para la conduccion no estacionaria del calor en una 18mina de espesor finito. [H. S. CARSLAW y J. C. JAEGER , Conducrion of Heat in Solids, Oxford University Press (1959), p. 101.1 Fig. Introduciendo los límites y desrkjando D,,, se obtiene 2(-l),’ D, = el + Q)n (11.1-30) . 11-6 ,iT TRANSPORTE DE ENERGiA Substituyendo esta expresión en la Ec. 11.1-26 y expresándola en función de las varia7bles originales se obtiene Tl - T TI - To -(n + fW4b' cos (n + 4) y (11.1-31) Las soluciones de muchos problemas de conducción del calor en régimen no estacionario tienen la forma de una serie finita como la obtenida aquí. Dicha serie converge rápidamente para valores grandes del tiempo adimensional at/b2. Para tiempos muy cortos la convergencia es muy lenta, y en el límite cuando ar/b2 + 0, puede demostrarse (utilizando la transformación de Laplace) que la solución de la Ec. ll. 1-3 1 tiende a la de la Ec. ll. 1 - 8. Como para algunos cálculos prácticos la Ec. 11.1-31 resulta engorrosa, es más fácil utilizar una representación gráfica como la de la Fig. 1 1.1 - 1. (Véase problema 1 l.C.) Perfiles de temperatura para la conducci6n del calor en regimen no estacionario en un cilindro. T. es la temperatura inicial del cilindro y Tl es la temperatura de la superficie para t > 0. [H. S. CARSLAW y J. C. JAEGER, Conduction of Heat in Solids, Oxford University Press (1959), p. 200.1 Fig. 11.1-2. En las Figs. 11.1-2 y 3 se presentan los resultados anAlogos a los de la Fig. ll. l-l para cilindros y esferas infinitos. Estos gráficos pueden utilizarse para hallar las soluciones de problemas anklogos de conduccibn del calor en paralelepípedos rectangulares y cilindros finitos. (Wase problema ll .L). \ DISTRIBUCIONES DE TEMPERATURA ll-7 Ejemplo 11.1-3. Enfriamiento de una esfera que esth en coatacto con un tluido fuertemente agitado Una esfera homogénea de un material solido, que esta inicialmente a la temperatura í”t, se sumerge bruscamente en un volumen V, de un fluido fuertemente agitado, de temCeatm d e la erfera Sup wtkte d e ta eaforo 0 190 T Tl - T TI - To T-Te =I - To 0 O? f op da 04 l,tr Flg. 11.1-3. Distribución de temperatura en una esfera, resultante de la conducción del calor en estado no estacionario. T. es la temperatura inicial de la esfera y Tl es la temperaturq be la superficie para t > 0. [H. S. Carslaw y J. C. Jaeger, Coduction of Heat in Soli& Oxford University Press (1959), p. 234.1 peratura T,,, que esta contenido en un tanque aislado ttrmicamente. Se desea hallar la difusivídad termita del sólido 01, P k,/&,, ohservaudo la variación de la temperatura T, del fluiri con el tiempo. Se utilizan las siguientes variables adimensionales: temperatura adimensional del solido TI - Ts 8,=-= (una funci6n de E y 7) TI - To (11.1-32) temperatura adimensional del fluido TI - TI O,l-3 (una funcion exclusiva de 7, lo que supone TI - To «agitación perfectan) (11.1-33) 11-8 TRANSPORTE DE ENERGIA 5 = i = coordenada radial adimensional ad TX- RZ (11.1-34) =‘tiempo adimensional (11.1-35) S o lució n. El lector puede comprobar que el planteamiento del problema en función de las variables adimensionales es Sólido _- Fluido z = -fzl, 1 (11.140) Para Para Para 7=0 E = 1 E = 0 0, - 0 0, = 0, (11.1-37) (11.1-38) Para 7 = 0 Qf = 1 (11.1-41) ’ 0, =finito (11.1-39) siendo B el número adimensional VfPfcpf/Vs&,n, y representando por V el volumen del sólido y del fluido. A continuación se indica la transformación”de Laplace3s4 de las anteriores ecuaciones y sus condiciones límite: Sólido Fluido ) ps ==;-$(Pfq p@f-l=-;fgj= (11.142) / Para 5 = 1 õ, = Cjf Para CT = 0 8, =finito (11.1-44) (11.145) ?l (11.143) l La solución de la Ec. ll. 1-42 es (11.1-46) 3 CARSLAW y JAEGER, op. cit., capitulo XII; nosotros utilizamos la definicih 9{f(7)1 =f<p> = o/(4 exp (-PT) h I 4 R. V. CHURCHIL, Modern Operational Mathematics in Engineering, McGraw-Hill, York (1944). Nueva DISTRIBUCIONES DE TEMPERATURA ll-9 Pero de acuerdo con la Ec. 11.1-44, D = 0. Substituyendo este resultado en la Ec. 11.1-45 se obtiene õf =; +32 (senh dii - +osh “j) BP (11.147) Introduciendo estos dos últimos resultados en la condición límite transformada de la Ec. 11.1-43 con el fin de determinar C, se Jbtiene finalmente 1 - ( /di) tanh di õ,=!+3- _ (11.1-48) i (3 - Bp:dp tanh di- 3p 1 P Tomamos el transformador inverso de Laplace 1 - tanh 0, = 1 + 32-1 (3 - Bp)(l/$) dj tanh $4; - 3p1 0 O( (11.1-49) 408 412 036 0,20 a,t/R2 Fig. l l .l - 4. Variación de la temperatura del fluido con el tiempo cuando una esfera de radio R, que está a la temperatura T,, se introduce en un fluido perfectamente agitado y cuya temperatura es T,. [CARSLAW Y JAEGER, Conduction of Hear in Solids, Oxford University Press (1959), pág. 206.1 El denominador del último término tiene una raíz doble para p = 0 y una serie de raíces dpk = ibk, siendo k = 1, 2, 3, . . . 00 e i = 4 - 1; b, son las raíces no nulas de tang TRANSPORTE DE ENERGiA ll-10 ,ke, b = 36/(3 + B#). Para completar la inversión puede utilizarse el teorema de Heaviside.5 ’ El resultado ess e-bk ’r @f ++685 t-l B’bk + 9(1 i B) (11.1-50) El único término que contiene a, en esta expresión es el tiempo adimensional T = a,t/RZ. En la Fig. 11.1-4 se representa graficamente la Ec. ll .l -50. Obdrvese que la Gcnica del transformador de Laplace ha permitido obtener la historia de la temperatura del fluido sin hallar los perfiles de temperatura en el sólido. 0 11.2 CONDUCCIÓN DEL CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO PARA EL FLUJO LAMINAR DE UN FLUIDO VISCOSO En los Capítulos 9 y 10 se ha hecho la distinción entre convección libre y forzada. Para hallar los perfiles de temperatura en la convección forzada con flujo laminar, suponiendo que puede despreciarse la variacion de la viscosidad con la temperatura, se utiliza el siguiente procedimiento: se resuelve primeramente la ecuación de movimiento para hallar la distribucibn de velocidad, que se substituye posteriormente en la ecuación de energía con el fin de hallar una ecuación diferencial parcial de segundo orden para la distribución de temperatura. No se han resuelto analíticamente muchos problemas de flujo de calor por convección forzada. Mencionaremos por lo menos el clásico problema de Graetz-Nusselt, que describe los perfiles de temperatura para Cl flujo en un tubo, cuando la temperatura de la pared en un plano del tubo cambia bruscamente desde un valor determinado a otro tambikn fijo (es decir, que el perfil de temperatura de la pared es una función escalonada). Este problema se trata en numerosos libros de texto y artículos de revista, razón por la que no se estudia aquí. l* 2* 3l 4 El problema se ha’ ampliado tambitn para el flujo no-newtoniano.5*6 Otro problema de interés lo constituye el flujo en un tubo con efectos de calentamiento viscoso, que a veces se denomina problema de Brinkman.7*s89 5 R. V. Churchil, op. cit., pp. 44-50. 6 Carslaw y Jaeger, op. cit., pp. 240-241. 1 M. JAKOB, Heat Truns/er, Wiley, Kueva York (1949), vol. 1, pp. 451464. 2 U. GRIGULL, Wärmeübertragung, Springer, Berlin (1955), tercera edición, pp. 179-185. 3 K. YAMAGATA, Memoirs of the Faculty of Engineering, Kyushu Imperial University, vol. III, núm. 6, Fukuoka, Japón (1940). 4 M. TRIBUS y J . KL E I N, capítulo de Heat Transfer-A Symposium, Eng. Res. Inst., Universidad de Michigan (1953), pp. 211-235. s B. C. LYCHE y R. B. BIRD, Chem. Eng. Sci., 6, 35-41 (1956). 6 J. SCHENK y J. VAN LAAR, Appl. Sci. Research, A7, 449-462 (1958). 7 H. C. BRINKMAN, Appl. Sci. Research, AZ, 120-124 (1951). s R. B. BIRD , SPE Journal, ll, 35-40 (1955), ampliación del problema de Brinkman para flujo no-newtoniano. 9H. L. TOOR, bd Eng. Chem., 48, 922-926 (1956), ampliacibn del problema de Brinkman para incluir los efectos caloríficos relacionados con la compresibilidad. DISTRIBUCIONES k ’ DE TEMPERATURA ll-1 1 En estaseccibn se discute nuevamente el problema tratado en 0 9.8, cual es la determinación de los perfiles de temperatura para el flujo laminar en un tubo circular con densidad de Aujo de calor constante en la pared. Aquí se obtiene la ecuación diferencial parcial correspondiente a la Ec. 9.8-19. Después .se halla una solución asintótica que es válida para grandes distancias medidas a partir del comienzo de la zona calentada. En esta sección se obtiene la solución completa a la ecuación entre derivadas parciales, así como también una solución asintótica para distancias cortas. 0 sea, que aquí se discute el sistema de la Fig. 9.8-2 desde tres puntos de vista : a. Solución de la ecuación entre derivadas parciales por el método de separación de variables (ejemplo ll .2- 1). b. Solución asintótica para distancias cortas a lo largo del tubo por el método de combinación de variables (ejemplo 11.2-2). c . Solución asintótica para grandes distancias a lo largo del tubo (5 9.8). Ejemplo ll.% 1. Flujo laminar en un tubo con densidad de flujo de calor constante en la pared Resolver la Ec. 9.8 -19 con las condiciones limite correspondientes a las Ecs. 9.8-20, 21 y 22. Solución. La solución completa para el perfil de temperatura sera de la forma Q(E, 1;) = Q,G, 0 - Q,(EI C) (11.2-1) en la que 8, (8, C) es la solución asintotica correspondiente a la Ec. 9.8 - 3 1 y eJ es una función que estar8 exponencialmente amortiguada con C. La funcion 0, ha de satisfacer a la EC. 9.8 - 19 y cumplir las condiciones límite : C.L. 1: para l = 0 dad -z=O aQd - = 0 .at C.L. 3: para 5 - 0 Qd = oc&, 0) Adelantamos que la función Qd ( 4, 5) sera de la forma C.L. 2: para l = 0 (11.2-2) (11.2-3) (11.2-4) (Il .2-5) QdE, 0 = ~«)z(g) y por lo tanto separamos la Ec. 9.8-19 en dos ecuaciones diferenciales ordinarias dZ - = -8Z 4 +E(l -P*)a = o (1.1.2-6) (11.2-7) ll-12 TRANSPORTE DE ENERGfA siendo -$ la constante de separación. Como las condiciones límites de .? son E/d[=O para P = 0, 1, tenemos un problema de Sturm-Liouville. Sabemos que habrá un número infinito de valores c, y de funciones 3, y que la solución final debe ser de la forma 0 = O,($, () - g Bi e-ci’c E,(t) (11.2-8) i =l donde 1 O,(t, 0)s #)( 1 - P)S dl (11.2-9) 1 s0 [~i(~)12(1 - ))6 d5 De esta forma, el problema se reduce al de hallar las funciones c”, resolviendo la Ek. ll .2 - 7 y obtener c, por aplicación de la condición límite para & = 1. Este procedimiento, que requiere un considerable trabajo numérico, se ha aplicado a este problemaro hasta i = 7. Ejemplo 11.2-2. Flujo laminar en un tubo con densidad de flujo de calor constante en la pared: Solución asintótica para distancias pequeñas Obsérvese que la suma de la Ec. 11.2-8 converge rápidamente para valores grandes de z pero lentamente para valores pequefios. Deducir una expresión para T(r, z) que sea útil para pequeños valores de z. Solución. Cuando z es pequeño, la penetración de cafor se reduce a una delgada envoltura en las proximidades de la pared, de forma que las tres aproximaciones siguientes conducen a resultados exactos en el límite cuando z -+ 0: a. Los efectos de curvatura pueden despreciarse y tratar el problema como si la pared fuese plana; llamaremos a la distancia desde la pared s = R - r. 6. Puede considerarse que el fluido está comprendido entre la superficie de transmisión de calor (plana), s = 0, y s = c-z C. El perfil de velocidad puede considerarse lineal, cuya pendiente es la pendiente verdadera en la pared: v,(s) = v&R, siendo ve = (Po - pL)R2/2pL. La ecuación de energía para este modelo simplificado es (11.2-10) En la práctica resulta más fácil operar con la correspondiente ecuación de dividir la Ec. 11.2- 10 por s y diferenciar luego con respecto a s: q,-. obtenida al (11.2-11) Es más conveniente operar en función de variables adimensionales: (11.2-12) 10 R. SIEGEL, E. M. SPARROW, y T. M. HALLMAN, Appl. Sci. Research, Al, 386-392 (1958). DISTRIBUCIONES DE TEMPERATURA ll-13 ;e de forma que la Ec. 11.2-11 resulta (11.2-13) con las condiciones límite C.L. 1 : para A = 0 y=o (11.2-14) C.L. 2: para 17 = 0 ‘y = 1 (11.2-15) C.L. 3: para 7 = 00 tp=o (11.2- 16) Este problema puede resolverse por el método de combinación de variables (véase ejemplo 4.1- 1 y 11.1- 1) utilizando la nueva variable independiente: (11.2-17) Por tanto, la ecuación de densidad de flujo de calor es w” + (3x3 - 1)y’ = 0 (11.2-18) en la que los acentos indican diferenciación con respecto a x. Las condiciones límite son las siguientes: para x = 0, w = 1 y para î: = 03, w = 0. La solución es w= CC y xeex3 dx s m r Xe-x’ dx 3 OD Xe-x3 d;c =r(s> sy (11.2-19) Jo El perfil de temperatura puede obtenerse por integración: (ll .2-20) o bien, en números adimensionales T - T, @z-s G’9Á q, Rlk m sx w dx (11.2-21) Introduciendo en este resultado la anterior expresión de w se obtiene (11.2-22) En esta expresión, I’(s) es una «función gamma (completa)» y l?(%, ~3) es una «función yamma incompleta». Se han obtenido resultados semejantes para el problema con tempe- l l -1 4 ‘+ TRANSPORTE DE ENERGlA ratura de pared constante”*‘* y para el problema análogo de transferencia de materia;” tambien se ha discutido la aplicacion a flujo no-newtoniano. (Vease problema 9.R.) Con el fin de comparar los resultados de este ejemplo con los del ejemplo 11.2-1 indicamos que q = 1 - t, A = 512 y las temperaturas adimensionales @ son idénticas. 0 ll .3 FLUJO POTENCIAL BIDIMENSIONAL ESTACIONARIO DE CALOR EN S6LIDOS En 0 4.3 se ha indicado que existe una clase de problemas de flujo estacionario no viscoso que pueden resolverse por los métodos de los mapas de conformación. Hay problemas para los que tanto la funcibn de potencial como la función de corriente están descritas por la ecuación bidimensional de Laplace. Es fácil ver, a partir de la Ec. 11.1-2, que la conducción bidimensional del calor en estado estacionario en solidos de conductividad calorífica constante, también está descrita por la ecuación bidimensional de Laplace, aeT aeT o z+ ay a= (11.3-1) Utilizamos ahora el hecho de que cualquier función analítica W(Z) = S(x, y) + iT(x, y) proporciona dos funciones escalares S y T, que son soluciones de la Ec. 11.3 - 1; las curvas de S = constante pueden interpretarse como lineas de flujo de calor, y las curvas de T = constante son las correspondientes isotermas para algún problema de flujo de calor. Estas dos series de curvas son ortogonales (es decir, que se cortan en ángulo recto). Además, los componentes del vector densidad de flujo de calor en un punto, vienen dados por dW ik ‘;iz = qn - iqv Dada una función analítica, es fácil hallar los problemas de flujo de calor que están descritos por ella, pero, en cambio, el proceso inverso de encontrar una función analítica adecuada para un determinado .problema de flujo de calor es, en general, muy difícil. Existen algunos métodos para ello, pero se salen del objeto de este libro.r.2 Intercambiando lineas de S constante y líneas de T constante se obtienen dos redes de flujo de calor para ca& funcibn w(z). Por otra parte, operando con la función inversa z(w) se obtienen dos redes adicionales, de igual forma que en el caso de flujo ideal de fluidos. 11 M. A. LÉvEque, Ann. mines, 13, 201 (1928). 12 R. L. RQFORD, C. E. P. Symposium Series, núm. 17, vol. 51, 79-92 (1955). 13 H. KRAMERS y P. J. KREYGER, Chem. Eng, Sci., 6, 42-48 (1956). 1 H. S. CARSLAW y J. C. JAEGER, Conduction of Hear inSolids, Oxford University Press (1959). segunda edición, capítulo XVI. * R. V. CHURCHILL, IntroduCtion fo Complex Variables and Aplications, McGraw-Hill, Nueva York (1948), capítulo IX. DISTRIBUCIONES DE TEMPEJiATURA ;F l l -1 5 Observese que el flujo potencial de fluidos y el flujo potencial de calor son matemáticamente semejantes, estando en ambos casos las redes de flujo bidimensional descritas por funciones analíticas. Sin embargo, físicamente presentan algunas diferencias importantes. Las redes de flujo de fluidos descritas en $4.3 corresponden a un fluido no viscoso, y por tanto nopueden utilizarse para calcular el transporte de cantidad de movimiento (resistencia de friccibn) en superficies solidas. Las redes de flujo de calor descritas en esta sección son para sólidos que tienen una conductividad calorífica finita, por lo tanto pueden utilizarse para calcular el transporte de calor en cualquier superficie. Por otra parte, los perfiles de velocidad de 5 4.3 no cumplen la ecuación de Laplace, mientras que los perfiles de temperatura de esta sección sí. El lector deseoso de saber más acerca de procesos físicos análogos descritos por la ecuacion de Laplace, hallará una síntesis interesante en la monografía de Sneddon.3 Ejemplo 11.3- 1. Distribución de temperatura en una pared Consideremos una pared de espesor b que se extiende desde 0 a 00 en la direccion y y desde - OO a + CO en la dirección z. (VeaSe Fig. ll .3 - 1.) Las superficies situadas en x = f b/2 se mantienen a la temperatura TO, mientras que la superticie y = 0 de la base esta a TI. Demostrar que la parte imaginaria de la funci6n,4 (wnnz/b) - 1 **) B t In ((acnwz/b) + 1) (11.33) da la distribución de temperatura en estado estacionario O(x, y) = (T - T,)/(T, - TJ Solución. La parte imaginaria de w(x) en la Ec. ll .3 -3 es (11.3-4) en la que el intervalo del arco tangente va de 0 a n/2. Cuando x = f b/2, la Ec. 11.3 -4 da@=O;ycuandoy= 0 dicha ecuacion ‘conduce a Q = (2/n) arctan 00 = 1. Mediante la Fc. 11.3-4 se obtiene fácilmente la densidad de flujo de calor a través de la base de la pared: (1’1.3-5) 3 1. N. SNWDON, Elements of Partial Diffcrcntial Equations, McGraw-Hill, Nueva York (1957). capitulo 4. 4 R. V. CHURCHILL, op. cit., pp. 149-152; aquí se demuestra como se llega a la Ec. ll .3 -3 con ayuda de una tabla de mapas de conformación. 11-16 TRANSPORTE DE ENERGfA .\ TrT,o @El Fig. 11.3-1. Distribución bidimensional de temperatura en estado estacionario en una pared. 9 ll.4 TEORfA DE LA CAPA LfM ITE lsea . Si los perfiles de temperatura en un sistema son planos, excepto en las proximidades de una superficie, puede considerarse que el transporte de energía tiene lugar en una «capa limite». Así, en el problema del ejemplo 11.1-1, para tiempos cortos, el calor penetra una pequeña distancia en el interior del sólido. Este problema púede abordarse suponiendo un espesor térmico de capa límite 6,, que es función del tiempo, y admitiendo que los perfiles de temperatura en el interior de esta capa límite son semejantes a lo largo del tiempo. Los detalles de este procedimiento se han dado ya en el ejemplo 4.4-1. En esta sección se presenta una solución de capa límite para la transmisión de calor en estado estacionario a un fluido de propiedades constantes, que circula a lo largo de una pared plana calentada. Por tanto, este ejemplo es una ampliación del problema isotérmico que se ha presentado en el ejemplo 4.4-2. Ejemplo 11.4- 1. Transmisión de calor por convección forzada en el flujo laminar largo de una lámina plana calentada a lo Obtener los perfiles de temperatura en las proximidades de una lámina plana sumergida en un fluido viscoso, tal como se indica en la Fig. 11.4-1. La superficie mojada dela lamina calentada se mantiene a la temperatura Te y la temperatura del fluido que llega es Ta. 1 H. SCHLICHTING, Boundary-Luyer Theory, McGraw-Hill, Nueva York (1955), pp. 263-279. 2 S. GOLDSTEIN, Modern Developments in Flufd Dynamics, Oxford University Press (1938), val. II, pp. 610-616, 623-645. 3 E. R. G. ECKERT y R. M. DRAKE, Jr., Heat and Muss Transfer, McGraw-Hill, NuevaYork (1959). segunda edición, pp. 131-153, 167-178. DISTRIBUCIONES DE TEMPERATURA v, = U”, 11-17 T=T,\ uno velocidad v, Fig. 11.4-1. Desarrollo de la capa límite para el flujo a lo largo de una lamina planacalentada, mostrando la capa térmica límite para /J < 1. La superficie de la lámina está a la temperatura Ta. S o lució n. Las ecuaciones de capa limite para el flujo de ún fluido de p, ,u, k, y et, constantes, a lo largo de una lámina plana, son, (11.4-1) (continuidad) au, au, a%, o,z+v -=va2 Y aY Y (movimiento) aT (11.4-2) 2 uxz +uvz=a$ (energía) (11.4-3) Las dos primeras ecuaciones se han discutido en el ejemplo 4.4-2. La tercera se ha escrito sin el término de la disipación viscosa. Una solución de capa límite para estas ecuaciones se obtiene suponiendo perfiles semejantes de velocidad y de temperatura: (11.4-43) s i e n d o 9 = -!6(2) T, - T - E @(t& siendo To - Tccs Y ‘1T = dT(x) (11.4-6,7) siendo a(x) el espesor de velocidad de capa límite y d,(x) el espesor térmico de capa límite. Fuera de sus respectivas capas límite, 4 y 0 valen la unidad, mientras que en la pared tan- TRANSPORTE DE ENERGfA ll-18 ‘ic to 4 como 0 son cero. Se admite tambi6n que 6 y 6, guardan entre sí una relación constante (o sea, que es independiente de x): S, = 6A (11.4-8) en la que d, la constante de proporcionalidad, depende solamente de las propiedades del medio fluido. Es evidente que hay dos posibilidades: A < 1 y A > 1. Consideraremos solo el primer caso, dejando el otro como ejercicio. Combinando la ecuación de continuidad con la de energla se obtiene (11.4-9) Introduciendo los perfiles semejantes definidos más arriba, queda siendo 6’ = dS/dx, 6,’ = dcQ/a!.r, 9’ = d#dq, y 0’ = d@/dqp Se efectúan ahora las siguientes operaciones: se multiplica la Ec. 11.4-10 por &z; se toma 7 = qr A y & =dA; se integra sobre la capa termita límite (que está situada dentro de la capa límite de cantidad de movimiento si A < 1). De esta forma se obtiene da (E- D)õ-& “-&aF (11.4-11) en la que (11.4-12) (11.4-13) (11.4-14) La Ec. 4.4-19 establece (11.4-15) Combinando las Ecs. 11.4-11 y 15 se obtiene implícitamente A como una función de Pr = v/a: (11.4-16) Una vez que se conoce A, se puede hallar a,(x) a partir de las Ecs. 11.4-8 y 4.4-23 y de esta forma conocer el perfil de temperatura mediante la Ec. 11.4-6. Con el fin de ilustrar el metodo supondremos los siguientes perliles:4 4 H. SCHLICHTING, Boundury-Layer Theory, McGraw-Hill, Nueva York (1955), pp. 270-271. DISTRIBUCIONES ‘.* $. DE TEMPERATURA l l -1 9 +-21-2rlB+?l4 (ll.&$7) 0 = 23T - 211g + ‘Ig (11.4-18) Para estos perfiles, se evalúan A, B y C (Ecs. 4.4-20, 21 y 22) y D, E y F (Ecs. 11.4-12, 13 y 14), con lo que, a partir de la Ec. 4.4-23, se obtiene / 6 I y a partir de la Ec. 11.4-16 J 1260 vx 3 7 0, (11.4-19) (11.4-20) De esta ecuación algébrica de sexto grado se despeja A en función de Pr. El resultado que asf se obtiene se ajusta con una desviación del 5 por ciento mediante la relaciónt A 3 pr-!4 (A < 1) El perfil de temperatura viene dado en forma explícita por --T =2(&) -2(3+ (-3 To - Tm (11.4-21) (ll 4-22) en la que los valores de 6 y A están dados por las Ecs. 11.4- 19 y 11.4-21, respectivamente. Esta relación es válida para la región de flujo laminar que se extiende en la dirección de flujo, desde el borde de ataque hasta una posición Xcrit, siendo XcrirVd/p > lOs. La Ec. 11.4-9 puede integrarse para obtener 4, siendo PG (11.4-23) dy (11.4-24) el espesor de energía, definido de forma análoga. al espesor de desplazamiento 61, y al espesor de cantidad de movimiento 62, de las Ecs. 4.4-30 y 31. De igual forma que para el transporte de cantidad de movimiento, existen para el transporte de energía dos tipos de soluciones de capa límite: las «soluciones exactas»,s que se obtienen por resolución analítica o numérica de las Ecs. 11.4- 1, 2 y 3, y las «soluciones aproximadas» obtenidas mediante la Ec. 11.4-23 suponiendo una forma para los perfiles de la Ec. 11.4-24 (que es lo que se ha hecho en el ejemplo 11.4- 1). Los metodos que hemos descrito han sido objeto de una considerable’ investigación. Aunque solamente se ha ilustrado el método aproximado para flujo la5 Véase 5 19.3. ll-20 TRANSPORTE DE ENERGlA . f!& minar, indicaremos que se han desarrollado también mttodos de cálculo análogos ’ para flujo turbulento. CUES TION ES P ARA DIS CUTIR 1. iCómo se modificaría la Ec. 11.1-2 si existiese un manantial de calor en el interior del sólido? Indicar ejemplos de instalaciones electricas, y nucleares en las que tiene lugar la conducción en estado no estacionario con manantiales de calor. 2. Discútase la utilizacion del libro de Carslaw y Jaeger, Heur Conducrion in Salids, com ) medio de resolución de problemas de transmisión de calor. Indicar algunos ejemplos concretos. 3. Comprobar el resultado de la Ec. 11.1-10. 4. i Que sucedería en el ejemplo ll. 1-2 si se hubiese elegido 0 como (T - T,)/(T, - Tl) ? i Podría haberse utilizado a@/ dq = 0 para r) = 0 como una de las condiciones límite? i Podría haberse tomado + c2 como constante de separación? ¿De dónde proviene la expresión de D,? 5. i Qué tipos de problemas de conducción de calor p Jeden resolverse mediante la transformación de Laplace? iY que tipos no pueden resolverse? 6. Comparar el problema de Graetz-Nusselt con los que se han tratado en los ejemplos ll. 2-1 y 2. 7. i Cuándo la densidad de flujo de calor cumple la misma ecuación que la temperatura (v&nse Ecs. 11.2-10 y ll)? 8. Sugerir algunos problemas de conducción de calor que esten descritos por las funciones analíticas utilizadas en los ejemplos 4.3-1 y 2. 9. Justificar la Ec. l l .3 -2 utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann y teniendo en cuenta que dwjd2 = ( as/ax) + i (aT/ ax) = (az-/ay) -- i( as/ ay). 10. Indicar mediante un diagrama cuidadosamente rotulado, el significado de los dos casos d < 1 y A a 1 del ejemplo ll .4- 1. i Qué diferencia existe entre estos dos casos, por lo que respecta al tratamiento matemático? ll. i Cuál es la serie de ecuaciones analogas a las Ecs. ll .4- 1, 2 y 3 para la descripción de la transmisión de calor por convección libre a lo largo de una lámina plana vertical? 12. ~Que clase de condiciones iniciales y limite se necesitan para describir la conducción no estacionaria de calor en sistemas sólidos laminados? 13. Discutir y comparar varios metodos especiales para la resolución de la conducción no estacionaria de calor en sólidos, tales como analogías el&ctricas, ecuaciones de diferencia, metodos de relajación y metodos variacionales. PROBLEWS ll.A1 Conducción del calor en estado no estacionario en una esfera de hierro Una esfera de hierro de 2,5 cm de diámetro tiene las siguientes propiedades fisicas: p = 6,98 g cm-J, k = 44,7 kcal hr-t m-t0 C-t, C- = 0,12 kcal kg-t ” C-t. La temperatura de la esfera es 21” c. a. iCuál es el valor numérico de la difusividad térmica de la esfera? b. Si la esfera se sumerge bruscamente en una gran masa de fluido cuya temperatura es 132” C, iqué tiempo se necesita para que el centro de la esfera alcance una temperatura de 53,3” C? c. Una esfera del mismo tamafio que ésta a la misma temperatura inicial, pero de distinto material, necesita un tiempo doble para que su centro alcance la temperatura de 53,3 ’ C. iCuál es su difusividad térmica? d. El gráfico utilizado en la resolución de los apartados (c) y (d) se ha obtenido resolviendo una ecuación entre derivadas parciales. iCuál es esta ecuación diferencial? Respuesta: a. 0,0534 mz hr-1 b. 1,l seg. c. 0,0267 m2 hr-1 DISTRIBUCIONES DE TEMPERATURA 11- 21 ll.Bl Comparación de las dos soluciones de la Idmina para tiempos cortos ¿Qué error se comete al utilizar la Ec. 11.1-8 (basada en una lámina semiinfinita) en vez de la Ec. 11.1-31 (basada en una lámina de espesor finito), cuando et/62 = O,Ol, para una posición que es el 0,9 de la distancia que va desde el plano medio de la lámina hasta la superficie de la misma? Utilizar para la comparación las soluciones representadas graticamente. Respuesta: 4 por ciento ll.C1 Unibn con un adhesivo termoplWicol Se desea unir entre sí dos laminas de un material sólido, cuyo espesor de cada una de ellas es b = 0,77 cm. Para ello se. utiliza una delgada capa de un material termoplástico que funde y da lugar a una buena unión a 160” C. Las dos laminas se cokrcan en una prensa, tal como se indica Adhe sivo hrm o pl6stic o ~6m 1na supe rio r (c a le nta do ) Lá m tna infe rio r (c a le nta do ) t 26 Fig. ll.C. Dos láminas de un material solido con una delgada capa de adhesivo. en la Fig. ll .C, y las dos platinas de la prensa se mantienen a una temperatura constante de,220” C. i Que tiempo habrán de permanecer las láminas en la prensa si su temperatura inicial es de 20” C? Respuesta: 85 seg. La difusividad t&mica de las laminas es 4,2 x 10-3 cm2 seg-1. 11.D1 Templado de un lingote de acero Un lingote cilíndrico de acero de 30.5 cm de di&metro y 90 cm de longitud, que inicialmente está a la temperatura de 538°C. se templa en aceite. Supbngase que la superficie del lingote esta a 93.5” C durante toda la operación de templado. Las propiedades del acero, que pueden tomarse como independientes de la temperatura, son las siguientes k = 3 7 . 2 kcal hr-1 m-t o C-l p=7,7 g cm-3 CT* = 0,12 cal g-r o c-t Estimar la temperatura del punto mas caliente del lingote despues de cinco minutos de templado. Despreciense los efectos finales, es decir, háganse los c&ulos para un cilindro del diámetro indicado pero de longitud irdinita. Respuesta: 231” C. ll.& Temperatura en una lhina con produccibn de calor La lamina de conductividad calorífica k del ejemplo 11.1-2 está inicialmente a la temperatura T,. Para el tiempo t > 0 hay una producción volum&rica uniforme de calor Ss en el interior de la lamina. 1 Este problema está basado en el ejemplo 10 de J. M. MCKELVEY, Heat Transfer and i%ermodynamics, capítulo 2 de Processing of Thermoplastic Materials (E. C. Bernhardt, Ed.), Reinhold, Nueva York (1959). p. 93. ll-22 TRANSPORTE DE ENERGIA a. Hallar.una expresion de la temperatura adimensional k(T - ?“e)/S,# en funcion de 7 = y/b y r = et/@ buscando la solución en Heat Conduction in Solids de Carslaw y Jaeger [Oxford University Press (1959), segunda edición]. b. cuál es la temperatura máxima que se alcanza en el centro de la lamina? c. i Que tiempo ha de transcurrir para que se alcance el 90 por ciento del incremento de tempeRespuesta: c. t f b2/a ratura? ll.& Calentamiento de una timina semiinfinita: densidad de flujo constante en la pared Un sólido que ocupa el esp.tcio comprendido entre y = 0 e y = 00 está inicialmente a la temperatura Te. En el instante t = 0 se inicia y mantiene una densidad de flujo de calor ge a través de la superficie y = 0. Hallar los perfiles en función del tiempo T(y, t). Observacih: Escribir primeramente la Ec. ll .l -2 para la conducción del calor en la direccion y; diferenciarla despues con respecto a y y obtener una ecuación para qv, que puede resolverse exactamente igual que la Ec. ll .l -3 del ejemplo 1 1.1 - 1. Respuesta: T - T0 = ” ; AZ ierfc Y 44at siendo co erfcxdz ierfc z = sx m (1 - erf z) dz -sz La integral de, la función complementaria de error, ierfc x, está tabulada en el libro de Carslaw y Jaeger (op. cit.) 11.G2 Anhlisis dimensional de la ecuación de conducci6n del calor Un cuerpo sólido homogéneo de forma arbitraria está inicialmente todo kl a la temperatura Te. En el instante t = 0 se sumerge en un medio líquido de temperatura T,. Tómese L como una dimensibn característica del solido. Demostrar que el análisis dimensional predice que 0 = O(è, 7, 4, /, y relacione; geometricas) siendo 0 = (T - T,J/(T, - T,,), 6 = x/L, r] = y/L, [ = z/L, Relacionar este resultado con los grafitos de 511.1. (ll.G-1) y 7 = atll,‘. ll.Hp Tabla de tiempos para el asado de pavos a. Una tabla típica de tiempos para el asado de pavos a 176°C es la siguiente? Masa de pavo (kg) -~3- 5 5- 8 9-12 Tiempo necesario por unidad de masa (min/kg) 40-50 36-40 30-36 Es interesante comparar esta receta de cocina obtenida empíricamente con los resultados del problema ll .G. Si dos pavos geomdtricamente semejantes y cuya temperatura inicial es Te, se asan 2 Woman’s Home Companion Cook Book, Garden City Publishing Co., 1946. DISTRIBUCIONES ll-23 DE TEMPERATURA a una determinada temperatura de superficie Tl para la misma distribución de temperatura adime rsional O(E, I], 5). el tiempo adimensional t = at/L2 sera el mismo para ambos pavos. Demostrar que esto implica que (tiempo de asado) x (masa de pavo)-‘/3 = constante (ll.H-1) y comparar numericamente esta ecuación con la tabla. b. ;Que suposiciones se han hecho en el apartado (u)? ll.& Temperatura media en una Umina Obtener, a partir del resultado correspondiente a la Ek. 11.1-31, la temperatura media en la lámina en función del tiempo. Respuesta: (Tl - Tmed)/(Tl 3bort 6’ - Te) = 11.5s Transtnisi6n de calor por convecci6n forzada desde una umina plana (capa tkmica límite exterior a la>capa límite de cantidad de movimiento) Hallar el resultado análogo al de la Ec. 11.4-20 para A > 1. Respuesta: -&A+&$o+,+$+;o; 11.K3 Solucionea de producto para la conducchh no estacionaria del calor en sólidos3 (1. En el ejemplo 11.1-2 se ha resuelto la ecuacion de conduccion del calor en estado no estacionario en una lamina de espesor 26. Demostrar que la solución de la Ec. ll .l -2, para el problema análogo en el caso de un bloque rectangular de dimensiones finitas, puede expresarse. como el producto de soluciones tales como las de la Ec. 11.1-31: TI - TIY, 2) T3 - T(z, >1 Cm + t)’ + 6 + 41’ + @ + 4)’ rr’a, x exp - 7 b’ CI [( b. Obtener un resultado análogo para cilindros de longitud finita; rehacer luego el problema 1l.D sin admitir que el cilindro es infinito. 11.L3 Cakmtamiento peri6dico de la corteza terreabe La temperatura de la superficie de la Tierra varía periodicamente debido a las fluctuaciones diurnas de la radiacion que recibe. Considerar la superficie de la Tierra como si fuese plana y hallar una expresion para (T - Tme,j)/(Tu,~x - Tm& en funcion de z(la distancia de penetración 3 Véase, por ejemplo, H. S. CARSLAW y J. C. JAEGER, versity .Prew (lo59), segunda edicit5n. Conciuction of Bar in Sol& Oxford Uni- ll-24 k.c TRANSPORTE DE ENERGIA en la corteza terrestre), t (el tiempo medido desde que T = Tmáx para z = 0), y w (la frecuencia de las variaciones diurnas, supuestas sinusoidales). Nora: Comiéncese por postular una solución de la forma (T - Tm,&/(Tm~x - Tm& =f(z). exp iwt, siendo i = 1/ - 1, y tómese despueS la parte real de la solución final. Respuesta: T- Tmcd = exp t-J:=) cos (W -AE=) Tm& - Tmi ll.M3 Calentamiento de una bimina semiinhita de conductividad caloritka variable Repetir el ejemplo 11.1-1 para el caso de que la conductividad calorífica varíe con la tempe ratura según la expresión (ll.M-1) siendo k, la conductividad calorífica a T,, y /l una constante. Utilícese un metodo de capa límite para obtener el perfil de temperatura. 11.N4 Conducción no estacionan del cnlor en cilindros y csfcras Deducir las ecuaciones utilizadas en la construcción de los gráficos de las Fig. ll .l -2 y 3. Comprobar los resultados buscando las soluciones,en el libro de Carslaw y Jaeger. 11.04 Resolución de problemas de conducción del calor en sUdos mediante M método variacional a. Demostrar que la ecuación de conducción del calor en estado estacionario, con un manan’ tial de calor dependiente de la posición S(x, y, z) y conductividad calorífica k constante, es equivalente al problema variacional en el que la integral I= [(VT. VT) - (2/k)ST] dz dy dz (11.0-1) V es un extremo. V es el volumen en el que tiene lugar la conducción del calor y se supone que la temperatura de la superficie de V es conocida. b. Resolver el problema 9.J (con k constante) utilizando el anterior metodo variacional. Elegir como perfil de temperatura a ensayar (11.0-2) siendo a un parámetro no determinado. i Por qué es razonable esta elección? Evaluar Z a partir de la Fc. 11.0-1, igualar después dI/du a cero y hallar a. De esta manera se obtiene el valor de a para el cual una función de la forma de la Ec. 11.0-2 se asemeja del mejor modo posible a la solución exacta. c. Comparar el valor de la densidad de flujo de calor en la superficie externa, que se obtiene por el método del apartado (b), con el que se obtiene mediante la solución exacta, para diversos valores de (rr /ro) d. Rehacer el problema del ejemplo 11.3-1 utilizando un método variacional. h. a = -2r,/(r, + rl) Respuesta: qlrl XrJrd ” k(T, - T,,)= -7 - - 1 0ro CAPfTULO 12 DISTRIBUCIONES DE TEMPERATURA EN FLUJO TURBULENTO En los capítulos precedentes se ha estudiado la obtención de distribuciones de temperatura en sólidos y fluidos con movimiento laminar. En éste se intenta resumir lo poco que se conoce acerca del cálculo de perfiles de temperatura en flujo turbulento. El tratamiento que se da aquí es análogo al del Capítulo 5. Se comienza por la ecuación del balance de energía de tiempo ajustado. Esta operación da lugar a la densidad de flujo turbulento de energía q(l), una magnitud que no puede predecirse a priori. Todo lo más que podemos hacer actualmente es indicar varias expresiones empíricas de la densidad de flujo turbulento de energía que se han utilizado en la literatura técnica. Con el fin de ilustrar la utilización de estas expresiones, vamos a presentar un breve análisis del transporte turbulento de calor en un tubo. Al final del capítulo se dedican unas líneas a las correlaciones dobles de temperatura en la turbulencia isotrópica homogénea. Este tratamiento es análogo al que se ha dado en relación con la deducción de la ecuación de Von Kármán-Howarth. $ 12.1 FLUCTUACIONES DE TEMPERATURA Y TEMPERATURA DE TIEMPO AJUSTADO Antes de presentar la descripción analitica del transporte turbulento de calor, vamos a considerar brevemente el aspecto físico del transporte de calor en un tubo de flujo. De igual forma que en $5.1, es conveniente utilizar un modelo en el que el tubo esta subdividido en tres regiones vagamente definidas: el núcleo turbulento, la zona de transición y la pelicula laminar próxima a la pared. En el núcleo turbulento la energía calorífica se transporta muy rápidamente de un lugar a otro debido a la vigorosa actividad de los remolinos. Este mecanismo del rápido paso de energía calorífica da lugar a que la temperatura de tiempo ajustado varíe poco en todo el núcleo turbulento. Por otra parte, la actividad de remolino junto a la pared es despreciable, y es conveniente considerar una región laminar en la que la energía se transporta exclusivamente por conducción del calor, que es un proceso lento en comparación con el transporte de remolino. Por tanto, es de esperar que se produzca una gran caída de temperatura a través de la delgada película 12-2 $ TRANSPORTE DE ENERGfA laminar. En la zona de transición se prevé una situación intermedia entre la del nticleo turbulento y la de la subcapa laminar, siendo importantes en esta región tanto el transporte de energía por conducción como por remolinos. En la Fig. 12.1- 1 se representa un típico perfil de temperatura. J ì= R e-n tr L -t r=O r=R Fig. 12.1-1. Fluido caliente circulando por una tubería de paredes frías con la Re > 2,l x 103. En el esquema se indica cómo varía la temperatura en (a) la película laminar, (b) la zona de transici6n y (c) el núcleo turbulento. Aunque el modelo descrito es idealizado, resulta, sin embargo, útil para el desarrollo de la teoría de la transferencia turbulenta de calor. Goldsteinr hace una descripción bastante compíeta de la utilización de este modelo en el estudio de las analogías entre transporte de calor y cantidad de movimiento. Hasta aquí se ha considerado la distribución de temperatura de tiempo ajustado, que corresponde al perfil de temperatura que se mediría al recorrer transversalmente la corriente de fluido con un termometro de mercurio. La utilización de un instrumento de medida mas fino indica que en un determinado punto de una corriente 1 S. GOLDWEIN, Madern Developments in Fluid Dynamics, Oxford University Press (1938) vo1. II, pp. 649-660. DISTRIlXJCIONES & DE TEMPERATURA 1 2 -3 turbulenta, la temperatura T es una función que oscila grandemente con el tiempo alrededor del valor de la temperatura de tiempo ajustado T. De acuerdo con esto se puede escribir T= T+ T’ (12.14) siendo T’ la fluctuación de temperatura; ocasionalmente, esta fluctuación puede ascender todo lo más del 5 al 10 por cientc de la diferencia total de temperatura de una parte a otra del sistema. Teniendo e I cuenta la definición de T’, es evidente que Ti = 0. Pero en cambio las magnitudes i7, v,‘T’, vz’T’ no serán cero a causa de la «correlación» existente entre las fluctuaciones de velocidad y temperatura en un punto cualquiera. $ 12,2 AJUSTE DE TIEMPO DE LA ECUACIÓN DE ENERGfA112 En $ 5.2 se ha visto como puede efectuarse el «ajuste de tiempo» de las ecuaciones de continuidad y movimiento para un fluido incompresible. En la operacibn de ajuste de tiempo aparecen términos adicionales en la ecuación de movimiento - los esfuerzos de Reynolds - que describen el transporte de remolino de cantidad de movimiento. En esta sección se añade a los resultados anteriores la ecuación de energía de tiempo ajustado, que contiene términos adicionales para describir el transporte de remolino de energía. El tratamiento se reduce a un fluido de p, C,, 1~ y k constantes. Comenzamos con la ecuación de energía expresada en la forma + tr[2($+ (3’+ 2($3) + . . .] (12.2-1) en la que solamente se han expresado unos cuantos términos de la función @jV de disipación viscosa. Substituyendo, en la Ec. 12.2- 1, T por T + T’, v, por ü, + v,‘, etc., se obtiene la ecuación promediada de tiempo 1 S. GOLDSTEIN, Modern Developmenrs in Fluid Dynamics, Oxford University Press (1938), vol. II, pp. 646-648. 2 H. B. SQUIRE, Heat Transfer, capitulo 14 de Modern Developments in Fluid Dynamics: High Speed Flow (L. Howarth, Ed.), Oxford Universily Press (1953). TRANSPORTE DE ENERGtA 12-4 + k PT a2T ( a2T I az aY2 a2 +.p[2($)2+ ($‘+2(M) +...] - av,l av,t av,fav 1 avZl av,l +p 27-+-1+2--+... 1 [ 2 x aY aY ay ax (12.2-2) Al comparar esta ecuación con la anterior, se observa que la ecuación de tiempo ajustado es igual que la original, excepto que ahora existen nuevos términos (subrayados con líneas de puntos) que están relacionados con los procesos turbulentos de remolino. Se llega así a la definición de la densidad de flujo turbulento de energía Q() cuyos componentes son 42) = p+J-‘; p= pC?,&T’ s #’ = p¿ &‘ T’ ; (12.2-3) y la función de disipación turbulenta de energía @‘, (12.24) Obsérvese la semejanza entre los componentes de qcr)de la Ec. 12.2-3 y los de +(‘)de las E!cs. 5.2-5 y 6. A modo de resumen, se expresan las tres ecuaciones de variación para el flujo turbulento de fluidos con p, c,,, p y k constantes: ecuación de continuidad de tiempo ajustado (V-õ)=0 ecuación de movimiento de tiempo ajustado Dã - PDt- -vp * - [V * +q - f(t)] + pg .___------___. [V l (12.2-5) (12.2-6) ecuación de energía de tiempo ajustado siendo #‘r = -kVT, y 8:” la función de disipación viscosa en la que Vi se ha DISTRIBUCIONES ;c DE TEMPERATURA 12-5 substituido por ‘ui. Finalmente, es preciso tener en cuenta que en estas ecuaciones D/Dt se expresa en función de la velocidad de tiempo ajustado 6. En la discusión de los problemas de flujo turbulento se acostumbra prescindir de los términos de disipación viscosa. #Por tanto, para el planteamiento de problemas de transporte turbulento de calor se procede de igual forma que para el flujo laminar, sólo que se substituye q por Q(‘)+Q(‘) y se utiliza siempre ó y ?’ de tiempo ajustado. $ 12.3 EXPRESIONES SEMIEMPfRICAS TURBULENTO DE ENERGfA PARA LA DENSIDAD DE FLUJO En la sección anterior se ha visto que el ajuste de tiempo de la ecuación de energla da lugar a una densidad de flujo turbulento de energía q-tl). Para resolver la ecuación de energía y obtener los perfiles de temperatura de tiempo ajustado, hay que postular alguna relación entre Q” ) y T. .En esta sección se resumen algunas de las expresiones empíricas que han sido más utilizadas. La conductividad calorífica de remolino Por analogía con la ley de Fourier de conducción del calor, se puede escribir. -co = -kW ti? (12.3-1) 4u dy siendo k(*) el llamado «coeficiente turbulento de conductividad calorífica» o «conductividad de remolino». Es preciso tener en cuenta que k”) no es una propiedad física caracteristica de un determinado fluido, sino que depende de la posición, dirección y naturaleza del flujo turbulento. La viscosidad cinemática de remolino y(l) = pt’)/e y la difusividad térmica de remolino a(‘) = k”)/pe, tienen las mismas dimensiones. Estas magnitudes pueden compararse para el transporte turbulento de energía y cantidad de movimiento. La relación d’)/a(‘) es del orden de la unidad, variando los valores que se encuentran en la literatura desde 0,5 a l,O. Para el flujo de aire en conducciones1 v(‘)/a(‘) varía de 0,7 a 0,9, mientras que para el flujo de chorros* (es decir, para «turbulencia libre»), se acerca más a 0,s. Expresiones de la longitud de mezcla de Prandtl y Taylor De acuerdo con la teoría de Prandtl, la energía y la cantidad de movimiento se transmiten en flujo turbulento por los mismos mecanismos. Según esto, por analogía con la Ec. 5,3-2, 1 J. B. OPFELL y B. H. SKGE, Advances in Chemical Engineering, vol. 1, Academic Press, Nueva York (1956), p. 259. 2 H. SCHLICHTING, Boundary-Layer Theory, Mc Graw-Hill, Nueva York (1955), p. 504. 12-6 TRANSPORTE DE ENERGiA -(1) = (12.3-2) qv en la que 1 es la longitud de mezcla de Prandtl. Obsérvese que esto equivale a decir que v”)/a (0 = 1. La teoría del transporte de verticidad de Taylor3 difiere de la teoría de Prandtl en que la longitud de mezcla en la expresión de V(‘) es diferente de la de la expresión de ¿j(f). La teoría de Taylor predice que v(‘)/a(‘) = OS. Por esta razón, la teoría de Taylor es más adecuada para el flujo en chorros y estelas, mientras que es preferible la de Prandtl para el flujo en conducciones4. En este caso, Prandtl recomienda tomar 1 = kly, siendo y la distancia a la pared. Expresión basada en la hipótesis de semejanza de Von K4rmhn Introduciendo en la Ec. 12.3-2 la expresión de Von Kármán para la longitud de mezcla, se obtiene (12.3-3) en la que ICÉ es la misma constante que aparece en la Ec. 5.3-3. Esto supone también que #/a(l) = 1. Fórmula empírica de Deíssler para la región próxima a la pared Para describir los procesos de transporte en la proximidad de superficies sólidas (donde las expresiones de Prandtl y Von Kármán no son válidas), Deissler sugirió la siguiente expresión empírica: -(t) = - pQ12õ,y( 1 - exp (-n2YZy/~>) 5: 4u (12.34) En esta expresión, n es el mismo que se ha utilizado en la Ec. 5.3-4. Aquí se admite también que los mecanismos del transporte de energía y cantidad de movimiento son los mismos, de forma que YCL) /a (‘) = 1. En el ejemplo que se presenta a continuación se discute el transporte turbulento de calor en función de las anteriores expresiones empíricas. Ejemplo 12.3-1. Perfiles de temperatura para el flujo turbulento estacionario en tubos circulares lisos Un fluido circula con flujo turbulento por una tubería circular lisa de diámetro D =2R, a una temperatura uniforme í”r. (vease Fig. 12.3-1). A partir de z = 0 existe un disposi3 G. 1. T AYLOR, Proc. Roy. Soc. 4 H. SCHLICHTING, ,~p. cit., p. (London), A135,685-702 391. (1932); Phil. Trans. A215, 1 (1915). DISTRIBUCIONES ,;...x DE TEMPERATURA 12-7 tivo de refrigeración que retira calor del tubo con una densidad de flujo de calor constante Q. A una cierta distancia aguas abajo del comienzo de esta densidad de flujo calorifico de pared constante, los perfiles de temperatura radial se hab& estabilizado; es decir, ?(r, z) - r(O, x) es una función exclusiva de r, de forma que la constancia de la densidad dé flujo de pared implica que (12.34) T(r, 4 = AZ + v(r) en la que A es una constante. (Para el desarrollo an&logo correspondiente al flujo laminar, véase 0 9.8). Se desea deducir algunas expresiones aproximadas para los perfiles turbulentos de temperatura, utilizando los resultados del ejemplo 5.3 -1 y las expresiones de la densidad de flujo turbulento de calor de esta secci6n. Aquí se seguirá el desarrollo de Deissler,s que conduce a resultados especialmente útiles para Pr > 1. La discusión consta de dos partes: (u) transporte de calor en el núcleo turbulento, y (¿J) transporte de calor junto a la pared. Fluido o la temperatura Tl con turbulento totalmente AU T O desarrollado Serpentfn de refrig am retlror calor con una uio de pored constante q,, Fig. 12.3-1. Flujo turbulento en un tubo con densidad de flujo de calor constante en la pared. Solución. Se parte de la Ec. 12.2-7, descartando los terminos y el término no estacionario del primer miembro, &,(ü *VT) = -(V . p) - (V . q:“) de disipación viscosa (12.3-6) o bien en coordenadas cilíndricas i a = - ; ar @O + #!) 1 ( (12.3-7) 5 R. G. DEISSLER , NACA Report 1210 (1955). 12-8 TRANSPORTE DE ENERGfA Los dos primeros términos del primer miembro desaparecen puesto que no existe flujo medio en las direcciones radial o tangencial. Debido a la simetria cilíndrica, el término 6’130 d el segund o miembro es cero y también es cero el término alar debido &a v ariació n lineal de i’ con z. Queda por lo tanto &&,A = -! d [Q” ’ + +f’)] I rdr r + (12.3-8) Integrando desde el valor de r en la pared hasta un punto arbitrario cualquiera, se obtiene 1 R&pfizAr r sr dr = -q,, + (@ + #)) (12.3-9) siendo q. la densidad de flujo de calor en la oared. a. Para el núcleo turbulento, se toma #) = 0 en la Ec. 12.3-9. Despreciando ademas la integral del primer miembro, se obtiene q”’ r = q. (12.3~ioj Obsérvese que la suposición de que en el núcleo turbulento $) es constante para cualquier valor de r, es en cierto modo análoga a la de Prandtl con, respecto a la Ec. 5.3-8, según la cual $2 = T,,para cualquier v alo r d e r. Esta sup o sició n só lo p ued e hacerse p o rque los gradientes de temperatura son poco importantes en las cercanías del centro del tubo. Utilizando la expresión de la longitud de mezcla de Prandtl para @), a partir de la Ec. 12.3-10 (con s = R - r), se obtiene 40 (12.3-11) Este resultado se compara con la expresión (12.3-12) obtenida a partir de las Ecs. 5.3 -5 y 5.3 -7 (esta última en la forma modi@ada tratf) =r,,). Dividiendo entre sí estas dos ecuaciones, se obtiene (12.3-13) que puede integrarse desde una superficie de referencia s = si hasta otra cualquiera s = s: c,cr - T,) =L ã, - ü, * % 70 En el d esarro llo d e Deissler,5 (12.3-14) se to ma co mo sup erficie s = sr la d e sep aració n entre la zo na . DIS’IRIBUCIONES DE TEMPERATURA 12-9 de transición y el núcleo turbulent0.e La Ec. 12.3-14 establece que en el interior del ‘nncleo turbulento los perfiles de velocidad y temperatura son semejantes, lo que esti aproxirnadarnentc de acuerdo con la experiencia. Es conveniente introducir variables adimensionales que contengan u* = && y qO: v+ ¶A, V* p - PC O - To) . r+ - m+p P 40 (12.3-15,16,17) Según esto, la Ec. 12.3-14 se transforma en TI+ - Tl+ = v+ - vl+ ts+ > 26) (12.348) La diferencia de velocidad V+ - wt+ se ha expresado ya en el Fk. 5.3 - 1 I como una función logarftmica de s+. Por lo tanto, a partir de la Ec. 12.3-18 se deduce que el perfil de temperatura en el núcleo turbulento sera tambikn una función logarítmica: siendo sr+ = 26 el limite entre la zona de transición y el núcleo turbulento. b. Para la regich prdxima a la pared, no se puede despreciar @ en la Ek. 12.3-9. Sin embargo, se obtiene una aproximación muy buena para esta región tomando la integral del primer miembro igual a cero. Por tanto, tomamos como punto de partida (12.3-20) P c +e ‘40 6 Si se toma como superficie s = s1 la superficie mojada del tubo (es decir, sr = 0), resulta que v.,r = 0 y TI = T,. siendo T0 la temperatura de la pared, que vana con x. Si se multiplican los dos miembros por $. y se utiliza el promedio de flujo en toda la ecuación se obtiene (12.3-140) que es una forma de expresar la analogia de Reynoldî entre el transporte de calor y cantidad de movimiento. La Ec. 12.3 - 14 a establece que la relación entre el transporte de energía con la corriente y el transporte de energía a trav6s de la interfase :ólido-fluido es fgual a una relación analega para el transporte de cantidad de movimiento. Si se sustituye (U,*) por (ü.)a (que para el caso de tubos conduce a uu error no superior al 5 por ciento), y se define un coeficiente de transmisi6n de calor (veaSe capítulo 13) basado en la diferencia de temperatura «de mezcla adiabaticax en la Ec. 12.3 - 14 a, esta ecuaci6n es equivalente a drtü,j -f o Nu f r RePr 2 I- que conduce a muy buenos resultados para Pr = 1. Para Pr Z 1, la relacibn la forma de la E.c. 12.3-14 b es la Chilton-Colbum (Ec. 13.2-18). (12.3444 más sencilla seg6n 12-10 TRANSPORTE DE ENERGfA Introduciendo en la Ec. 12.3 -20 la ley de Fourier para 4,“’ y la expresibn de Deissler (Ec. 12.3 -4) pka ir(‘), se obtiene dT dr 40 = +k z ,+ &A~(l - exp { -n2U&}) z (12.3-21) Esta ecuación puede integrarse cun respecto a s, y el resultado, en función de variables adimensionales, es T+= s .+ av o (l/Pr) + A+s+( 1 - exp { -~IJ+s+}) b+ < 26) (12.3-12) en la que vt viene dada por la Ec. 5.3 - 15. En la Fig. 12.3-2 se representan los perfiles de, temperaturas obtenidos a partir de las lk. 12.3-19 y 12.3-22. Como puede verse, ‘depende del número de Prandtl y de la posición radial en el tubo. Basándose en esta grhíka, Deissler calculó las curvas que representan la variacián del número de Nusselt con los números de Reynolds y Prandtl (lo que constituye una versión mejorada de la Ek. 12.3 - 14b). (Nase Capítulo 13). Deissler Tf /Y + = 26 Fig. 12.3-2. Perfiles de temperatura, calculados tebricamente, para la transmisible de calor a fluidos que circulan por tubos circulares lisos en el intervalo de regimen turbulento; Pr = 0,73 es la curva correspondiente al aire [R. G. Deissler, NACA Report 1210 (1955), p. 41. Observese que la pendiente de estas curvas es siempre positiva y por tanto predicen que el perfil de temperatura en el centro del tubo es ligeramente puntiagudo. Resulta evidente que esta anomalía solamente es importante para números @ajos de Prandtl. DISTRIBUCIONES DE TEMPERATURA 12-11 generalti, tambih el tratamiento anterior para fluidos de propiedades físicas variables.5 La investigación realizada sobre el cálculo de la variación radial y axial de la temperatura para el flujo turbulento en un tubo es muy escasa. Se han obtenido soluciones numkicas completas de la Ec. 12.3-6, tanto para temperatura uniforníede la pared’ como para densidad de flujo uniforme de la pared,8 utilizando expresiones empíricas para &t’) y para la distribución de velocidad. 6 12.4 LA DOBLE CORRELACIGN DE TEMPERATURA Y SU PROPAGACR%: ECUACIGN DE CORRSIN En 8 5.4 se ha dedicado bastante espacio al estudio de la caída de turbulencia homogénea isotrópica, lo que conduce a la ecuación de Von Kármán-Howarth que describe la forma en que se propaga la doble correlación de velocidad vi vj” y a la ley del decaimiento de Taylor de la intensidad de la turbulencia. En esta sección se resumen brevemente los estudios más recientes sobre el decaimiento de las fluctuaciones isotrópicas de temperatura detrás de una rejilla calentada.rJ Las tres funciones adimensionales de correlación que se consideran aquí, son: W - T’T” F v<‘T’T” Qi = - Jv;” T” = el componente iésimo del vector de correlación temperatura-velocidad (12.4-1) = escalar de doble correlación de temperatura (12.4-2) = componente iésimo del vector de triple correlación velocidad-temperatura (12.4-3) Como antes, se representa aquí con una sola comilla las fluctuaciones en el punto B’, y con dos las fluctuaciones en el punto B”. (Véanse Figs. 5.4- 1 y 2.) Estas correlaciones pueden expresarse en una forma más sencilla si se suponen condiciones de homogeneidad e isotropía: a . Mediante los argumentos utilizados en 5 5.4 para probar que Pi = 0, se puede demostrar que (para i = 1, 2, 3) vi = 0 (12.4-4) 7 H. L. BECKERS, Appl. Sci. Reseurch, A6, 147-190 (1956). s E. M. SPARROW, T. M. HALLMAN y R. SmxL, Appl. Sci. Research, A7, 37-52 (1957); este artículo contiene una útil comparación de los resultados de distintos autores. Fuera de la región thmica de entrada, su solución conduce a velocidades de transmisión de calor que sólo difiere.1 en un pequefio tanto por ciento de las obtenidas por Deissler.5 1 S. GDRRSIN, J. Ae ro naur. Si., 18, 417-423 (1951). 2 R. R. MILLS, JR., A. L. KISTLER , V. O’BRIEN y S. CORIUN, NACA Tech. Note 4288, agosto de 1958. 12-12 TRANSPORTE DE ENERGfA b. La correlación W puede expresarse como una función escalar de la distancia r entre B’ y B”: W = w(r, 1) = l+w.(o,&+... Se sabe además que w es una función de orden par de r, tal como se ha indicado. En esta expresión la doble comilla representa la derivada segunda con respecto a r. c. Teniendo en cuenta que Qi debe transformarse como un vector, se puede demostrar que Qi=&(r,t)-a r (12.4-6) siendo q(r, t) una función de orden impar de r que comienza por rs, tal como se indica. La triple comilla representa la tercera derivada con respecto a r. A partir de la ecuación de energía, expresada en función de fluctuaciones, se puede obtener una ecuación que relacione w(r, t) y q(r, t): (12.4-7) Esta ecuación es válida en el punto B’ para õ = 0 y turbulencia homogénea. Para el punto B” tendremos (12.4-8) Multiplicando la Ec. 12.4-7 por TW y la Ec. 12.4-8 por T’, efectuando el ajuste de tiempo y sumando las dos ecuaciones que resultan, se obtiene aT’T” +,il & (V;T’T” - uj’T’T”) = 2a,il $- T’T” (12.4-9) ã; .) j2 Introduciendo los coeficientes de correlación, se llega finalmente a la siguiente relación entre w(r, t) y q(r, t): (12.4-10) Ésta es la ecuación de Corrsin para la propagación de la doble correlación de tem- peratura,r que es la ecuación de transporte de calor analógica de la de Von KármánIIowarth. Dicha ecuación se ha comprobado experimentalmente, mediante medida de las diversas correlaciones que intervienen en ella.2 Corrsinl obtuvo algunas 3 S. Cbt RSlN , J. Appl. Phys, 22, 469-473 (1951). D I S T R I BU CI ON E S D E T E MP E R A T U R A 12-13 solucioneti de la Ec. 12.4-10 para varios casos sencillos, y estudió tambien las fluctuaciones térmicas desde el punto de vista espectral.3 Experimentalmente se ha comprobado que w(r, f) es, aproximadamente, igual 8 la funciónf(r, t) del Capítulo 5. Ejemplo 12.4-1. Ecuachh de deaaimhto pnrr: la doble correla&n de temperatura’ Tomar en la ecuacion de Corrsin r = 0 y obtener una ecuación para la variacibn de T’z con el tiempo. S o lució n. Debido a las propiedades de IV(~,Z) y q(r,t) de las Ecs. 12.4-5 y 6, al tomar r = 0 se obtiene $9 = 6aFwy0, t) Si se define una «microescala t6rmica.x mediante -1 resulta p T . (12.4-11) E- wm 0 (12.4-12) (12.4-13) Esta ecuación, obtenida por Corrsin, es analoga a la ley dec decaimiento de Taylor de la Ec. 5.4-39. CUES TION ES P ARA DIS CUTIR 1. Definir, mediante un &ieo, T , T y T’. 2. Explíquese por qu¿ 7 =. 0 y r = 0 y en cambio v,‘T’ es distinto de cero. 3. Comparar la conductividad calorifica de remolino y la viscosidad de remolino, por lo que respecta a su definición, orden de magnitud y variacibn con las propiedades fisicas y la naturalel za del flujo. 4. Comprobar la consistencia diisional de la Ec. 12.3-2. 5. Resumir las suposiciones que se han efectuado al deducir los perfiles de temperatura de la Fig. 12.3-2. 6. Discutir las posibles formas de justificar la suposicibn que se ha hecho inmediatamente antes de la Ec. 12.3-10, así como la suposición análoga efectuada en relaci6n con la Ec. 5.3-8. 7. ~,Cual es la analogía de Reynolds y quC signifka? 8. Larno puede utilizarse ia Fig. 12.3-2 para representar gt%cemente T (r ) para el íhtjo en un tubo y hallar la densidad de 5ujo calor5icu en la pared? 9. iQu6 describe la ecuaci6n de Corrsin? 10. LHasta qut punto pueden calcularse u priori los perfiles turbulentos de temperatura? PROBLEMAS LAI Pa81 de tempwatura para el thjo twbuknto en un tubo a. Utilizar la definición de v* basandose en la Ec. 6.2-12 para demostrar que: 12-14 T R A N S P O R T E D E ENERGiA j (12.A-2) ~Dependedn estas relaciones de un determinado modelo de flujo turbulento? b. Utilizar la Fig: 12.3-2 para representar gr&ficamente k(T - To)/qoD frente a r/R, para h = 102 y Re = 105. 12.B2 Expresión asint6tica de la temperatura de mezcla adib&iea para 118meror de Prandtll muy elevados Para valores muy elevados del número de Prandtl (por ejemplo, para fluidos de conductividad calorífica baja) la principal resistencia térmica para el flujo en un tubo es la de la subcapa laminar. Por tanto, la variación de temperatura tiene lugar en la inmediata proximidad de la pared, donde se sabe (0 5.3) que u+ =s+. Tomar, de acuerdo con esto, vf = s+ en la Ec. 12.3 - 22, y desarrollar luego la función exponencial, descartando todos los tkminos superiores al segundo. Efectuar la integracibn indicada y tomar s+ = DO. Demostrar que el resultado es T+(a) i ” R% 2% Eata expresión puede interpretarse1 como la temperatura adimensional de mezcla adiabática del fluido. Expliquese. 12.C, Deduccib de los per6ks radiales -de tempera- para flujo turbulento eon densidad de Bajo calorílieo de pared constante2 o. Considerando el problema propuesto en el ejemplo 12.3-1, utilizar la Ec. 5.1-3 para el perfil de velocidad y demostrar que dicho perfil conduce a la siguiente expresi6n: y + y(L) I (S)($(‘-f)” (12.C-1) siendo v* = 47~. 6. Sup6ngase que v + ~(‘1 = a + a(t), y que ademtis (12.G2) siendo q. la densidad de fiujo calorífico de pared (di&ido hacia fuera), 4 = r/R, C = (r/R) (u+/u,,&~ y A una constante. Demostrar que Y satisface la siguiente ecuación diferencial: (lZ.C-3) 1 R. G. DEISSLER, NACA Report 1210 (1955), p. 6. 2 Un problema algo semejante es discutido por M. JAKOB, Hect Trumfer, Wiley, Nueva YorK (1949), vol. 1, pp. 746 y ss. DISTRIBUCIONES DE TEMPERATURA 12-1s c. Demostrar que la solución de la ecuación diferencial del apartado (b) es (IZC-4) Para resolver este problema, asi como también el problema del desarrollo de los perfiles de temperatura en la región de la longitud de entrada, se ha utilizado-1 la distribución más realista de velocidad de Deissler. Con este fin se han empleado máquinas calculadoras de alta velocidad. 3 E. M. S PARROW , T. M. HALLMAN y R. SIEGEL , Appl. Sci. Research, A7, 37-52 (1957). CAPfTULO 1 3 TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS NO ISOTfiRMICOS Hasta aquí se ha visto como se pueden plantear balances de energia para distintos problemas sencillos, y como estos balances conducen a ecuaciones diferenciales ordinarias o entre derivadas parciales, a partir de las cuales pueden hallarse los per&& de temperatura. Se ha visto también que el balance de energía aplicado a un elemento diferencial arbitrario de fluido conduce a una ecuaci6n entre derivadas parciales - la ecuación de energfa - que puede utiliirse para plantear problemas más complejos. En el Capítulo 12 se ha visto que la ecuación de energfa de tiempo ajustado, juntamente con expresiones empíricas para la densidad de flujo turbulento de calor $9, proporcionan una base adecuada para resumir y extrapolar las medidas del perfil de temperatura en sistemas turbulentos. Por consiguiente, el lector debe tener ya una idea bastante clara del significado de las ecuaciones de variación para sistemas de fiujo no isot6rmico, así como de su intervalo de aplicabilidad. Es indudable que todos los problemas que se han estudiado pertenecen a sistemas de geometría más bien sencilla, y que además, en la mayoría de ellos se han hecho suposiciones, tales como que la viscosidad es independiente de la temperatura, o que la densidad del fluido es constante. Esto no quiere decir que las soluciones obtenidas hasta ahora no sean importantes, sino todo lo contrario. Muchas veces las soluciones se hanutilixado luego en la practica, en unas condiciones en que las suposiciones que se han hecho son razonablemente validas. Muchas de estas soluciones son titiles para calcular el orden de magnitud. Por otra parte, el estudio de estos sistemas más sencillos constituye un eslabón píra la discusión de problemas mas complejos. En este capítulo se recurre a alguno de los problemas en los que es necesario o conveniente utilizar un análisis menos detallado. El método habitual que se utiliza en ingeniería para estos problemas consiste en formular balances de energfa sobre regiones mayores, tal como se estudia en el Capítulo 15. Como preparación a la discusión del balance macroscópico de energía, se presenta en este capítulo una serie de correlaciones representativas para predecir las velocidades de flujo de calor a través de las superficies de separación sólido-fluido; la contribución de la radiacion a este flujo de calor se considera en el Capítulo 14. 13-2 ‘;T TRANSPORTE DE ENERGfA El lector recordará que en el Capítulo 6 se han descrito problemas complejos de transferencia de cantidad de movimiento, combinando el conocimiento experimental con los resultados del análisis dimensional. Los resultados obtenidos se han presentado en forma de representaciones gráficas del factor de fricción, frente al numero de Reynolds, para diversas geometrías. En este capítulo se extiende este procedimiento a los problemas de transferencia de calor. Mediante el análisis dimensional de las ecuaciones de variación para flujo no isotérmiw, y los datos experimentales de velocidades de transferencia de calor, se obtienen correlaciones adimensionales para las velocidades de transferencia de calor por convección libre y forzada. Estas correlaciones se expresan en función de una densidad de flujo calor%co adimensional,. que es el llamado numero de Nusselt para la transmisi6n de calor, y se designa por Nu. Para sistemas no isotérmicas las correlaciones son en muchos aspectos rm%s complicadas que las que se han hallado en el Capitulo 6. El número de grupos adimensionales es mayor, las posibles variaciones de las condiciones límite son más numerosas, y además hay que tener en cuenta en este caso la variación de las propiedades físicas con la temperatura. Por otra parte, en los sistemas no isotérmicas nos encontramos, además, con los fenómenos de convección libre, condensación y ebulWón, Siempre que sea posible, haremos referencia a las materias análogas del Capítulo 6, indicando las modificaciones que hay que hacer para aplicar aquellas correlaciones a sistemas no isotérmicas. La discusión que se hace en este capítulo se limita a unas pocas fórmulas de transmision de calor, con el fhi de introducir al lector en el tema, pero sin intentar dar un tratamiento enciclopédico. Selecciones más amplias de fórmulas pueden hallarse en los libros de transmisibn de ca10r1~2~3*4*5 y en la bibliografía reciente. $13.1 DEFINICIÓN DEL COEFICIENTE DE TRANSMISI6N DE CALOR Consideremos un sistema de flujo en el que el fluido circula por una conduccion o alrededor de un abjeto solido. Supongamos que la superficie del sólido está más caliente que el fluido, de forma que el calor se transmite del solido al fluido. Es de esperar que la velocidad de flujo de calor a travts de la interfase sólido-fluido dependerá del área de la interfase y de la diferencia de temperatura entre el sólido y el fluido. Según esto se puede escribir Q=hAAT (13;1-1) 1 I-I. Ga-, S. ERK y U. GRIGULL , Die Gruna&sefze der Wärmeiibertragung, Springer, Berlin (1955), tescera edición. 2 M. JAKOB, Beti Tram$m, WI -, Nueua York, ucal, I (1949), vol. II (1957). 3w. H. McTAkJmq Hete Ti- ‘ssion, McGraw-HilI, Nueva York (1954), tercera ed%i¿h. 4 E. R. G. ECKERT y R. M. DRAKE, Heat and Mass Transfer, McGraw-Hill, Nueva York (1959), segunda edición. 5 M. JAKOB y G. A. HAWKINS, Elements of Heat Transfer, Wiley, Nueva York (1957), tercera edición. TRANSPORTE DE INTERFASE t; 13-3 Q ei flujo de calor hacia el fluido (kcal hr-l), A un área característica, AT una diferencia característica de temperatura, y el factor de proporcionalidad h se denomina coeficiente d¿ transmi&n de calor. Es evidente que puede utilizarse la misma definición cuando el fluido se enfría. La Ec. 13.1- 1 se denomina a veces ciley de enfriamiento de Newton~; sin embargo, esto no es correcto, ya que no es ninguna «ley», sino una ecuación de definición de h. Téngase en cuenta que h no está definido para un caso concreto mientras no se estipulen A e AT. Vamos a considerar ahora las definiciones usuales de h para dos tipos de geometría de flujo. Como ejemplo de j?ujo en comikciones, consideramos el flujo de un fluido en un tubo c&ular de diámetro D (v&se Fíí. 13.1-l)+ en el que existe una porcion de pared de longitud L que se calienta y cuya temperatura de la superficie interior T,, (z) varía. Supongamos que la temperatura global1 del fluido, Tb, aumenta de Tb1 a Tb8 en la región calentada. Existen, por consiguiente, tres definiciones convencionales de coeficientes de transmisión de calor para el fluido en la sección que se calienta: siendo Q = M~~~XTu (13.1-2) - T,) (13.14) - T,,) - 65, - 7”) T&] 1 (13.1-4) Observese que hr se basa en la diferencia de temperatura a la entrada (T, - Ta)*, h, en la media aritmética de la diferencia de temperaturas extremas (To - Tb),, y hl,, en la correspondiente media logarftmica de la diferencia de temperaturas (TO - T&. Para la mayor parte de los cálculos es preferible utilizar el coeficiente h,, debido a que varía menos con LID que los otros dos;2 sin embargo, no se utihza en todos los casos. Al utilizar los resultados de transmisión de calor que se resefian en la bibliografía, hay que tener muy en cuenta las definiciones de los coeficientes de transmisión de calor. Si no se conoce inicialmente la distribución de temperatura en la pared, o si las propiedades del fluido varian considerablemente a lo largo del tubo, es difícil predecir los coeficientes de transmisión de calor definidos anteriormente. En estas condiciones, se acostumbra expresar la Ec. 13.1- 1 en forma diferencial: dQ = hlo&rD dz)(T, - Tb) (13.14) En esta ecuación, dQ es el calor comunicado al fluido en la distancia dz de tuberfa, 1 Para la definición de temperatura global cuando p y c* son constantes, vkasc EC. 9.8-33. 2 Es conveniente tener en cuenta, sin embargo, que si AT,/ATI estA comprendido entre 0,5 y 2,0, se puede tomar AT, en vez de AT& o ha en vez de hL, con un error máximo del 4 por ciento. Este grado de exactitud es suficiente para la mayor parte de los dlculos de transmisión de calor. TRANSPORTE DE ENERGfA 13-4 ‘+f (To - Tb) es la diferencia local de temperaturas, y h,, es el coeficiente local de trans- misidn Je calor.3 Esta ecuacih se utilii ampliamente en ingeniería. Como ejemplo de jlujo alrededor de objetos sumergidos, consideremos el flujo de un fluido alrededor de una esfera de radio R, cuya temperatura de la superficie se mantiene en toda ella a To. Supongamos que el fluido se aproxima a la esfera con “1” “2” Fig. 13.1-1. Transmisión de calor en un tubo circular. una temperatura uniforme T,, distinta de To. Segh esto, se puede definir un coeficiente medio de transmisión de calor para toda la superficie de la esfera mediante la relación Q = bS~ReXT, - Tm) (13.1-6) Obsérvese que el área característica elegida para la esfera en este caso es distinta de la de la Ec. 6.1-5. Tambien puede definirse, por analogía cori la Ec. 13.1-5, un coeficiente local para objetos sumergidos : dQ = h,,(dAXT, - T,) (i3.i-7) Este coeficiente es más informativo que h,,,, ya que indica cómo se distribuye la densidad de flujo de calor sobre la superficie; sin embargo, la mayor parte de los experimentadores sólo dan datos de h,,,, que es más fácil de medir. 3 Tengase en cuenta que hr,e (ATII, no estan definidos mientras no se especifique la forma del elemento de brea. En la Ec. 13.1-5 se ha tomado dA = nD dz, lo que quiere decir que 4~ Y To Mm los valores medios para &ea sombreada dA de la Fig. 13.1- 1. T R A N S P OR T E D E I N T E R F A S E 13-5 Es preciso recalcar que antes de definir h hay que establecer con claridad las definiciones de A e AT. Téngase presente tambien que h no es una constante característica del medio fluido; sino que, por el contrario, el coeficiente de transmisión de calor depende en una forma complicada de muchas variables, que comprenden las propiedades del fluido (k, I(, p, e,), la geometrla del sistema, la velocidad de flujo, la diferencia caracterlstica de temperaturas y la distribución de temperatura en la superficie. En lo que queda de este capitulo se estudia la predicción de la variación de h con estas ‘magnitudes. En general, esto se lleva a cabo correlacionando los datos experimentales mediante analisis dimensional. Sin embargo, existen cálculos directos de h a partir de las ecuaciones de variación, para diversos sistemas sencillos de flujo laminar; para flujo turbulento se han obtenido valores útiles de h por cálculos semiteóricos. En la Tabla 13.1- 1 se presentan algunos valores de h. TABLA 13.1-1” ORDEN DE MAGNITUD DEL COEFICIENTE h DE TRANSMISI6N Conveccidn libre G¿lSCS - Liquidos Ebullici6n de agua Conveccion forz& Gases Fluidos Agua viscosos Cotuíensacidn de vapores h(kca1 mm2 hr-l “Col) DE CALOR h(Btu ftN2 hr-l OF-l) 3-20 100-600 looo-2oooo 1-4 20-120 2004000 10-100 2-20 10-100 loo-2ooo 50-500 500-10000 looo-1ooooO 200-2cmo a Tomados de H. Gröber, S. Erk y U. Grigull, Wtirmeiibertragung, Springer, Berlin (1955), tercera edición, p. 158. Cuando h esta en Btu ftm2 hr-1 OF-l, multiplicar por 4,88 para obtener L en kcal m-a hr-10 CY1 En 0 9.6 se ha visto que para el calculo de velocidades de transmisión de calor entre dos corrientes de fluidos separadas por una o más paredes sólidas, es conveniente utilizar un coeficiente global de transmisión de calor, Uo, que expresa el efecto conjunto de toda la serie de resistencias a traves de las cuales fluye el calor. Aquí se da una definición más precisa de Uc, y se indica cómo se efectúan los cálculos en el caso concreto de intercambio de calor entre dos corrientes coaxiales cuyas temperaturas globales son Th y T,, separadas por un tubo cillndrico de diámetro interno DO y externo DI: dQ = &,(nD,, dzXT, - TA (13.1-8) -= (13.1-9) 13-6 TRANSPORTE DE ENERGIA Observese que Ue se ha definido como un coeficiente local, que es la definición inherente a la mayor parte de los procedimientos de diseño. (Véase ejemplo 15.4-2.) Téngase en cuenta que las Ecs. 13.1-8 y 9 son solamente válidas para el. llujo de calor a través de resistencias calorificas conectadas en serie. En determinadas condiciones, podrá existir una considerable densidad de #lujo caku%co en p arale lo por radiación en una o ambas superficies, y será preciso modificar estas ecuaciones. (Véase ejemplo 14.S 1.) Vamos a concluir esta sección analizando una serie hipotetica de datos de transmisión de calor, con el fin. de ilustrar el significado físico de los coeficientes de transmisión de calor, así como un método de medida de los mismos. Ejem. 13.1- 1 . Chlculo de coeficientes de tramdsh de calor a partir de datos experimentaks En la Fig. 13.1-2 se representa una serie de experiencias en estado estacionario efec- Porciõn do tubcrla calentado de l o n g i t u d &, Porci6n da Merlo calentada de l o n g i t u d LB I t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t *t t t t t t t t t t \ \ 8 : Porc¡ de tuberla calentado de l o n g i t u d LC I I Fig. 13.1-2. Serie de experiencias para obtener coeficientes de transmisión de calor. TRANSPORTE DE INTERFASE KS-7 tuadas sobre el calentamiento de aire en tubos. En la primera experiencia fluye aire a Tb1 = 93,30 C por un tubo de 1,25 cm de diametro interno, en el que el perfii de velocidad laminar está totalmente desarrollado en la porción de tubería isotermica correspondiente a z < 0. En z = 0 se eleva bruscamente la temperatura de la pared hasta el valor Te = = loO0 C y se mantiene constante para la restante longitud de tubo LA. Al llegar a z = L* entra en una cámara de mezcla en la que se mide SU temperatura de mezcla adiabática Ta2 (o «global»). Se efectúan experiencias con tubos de diferentes longitudes, Lg, Lc, etc., y se obtienen los siguientes resultados: -. A B C D E F G Experiencia L (cm) 3,75 750 Tb, (” c) 94,l 94,6 - 150 95,l - 30,o 60,o 120,o 240,o 95,9 97,0 98,3 !2!?,4 h velocidad de flujo del aire w es 1,35 kg hr-1 en todas las experiencias. Calcular h,, h,, /Za,, y el valor de /r!, a la salida, como funciones de la longitud reducida LID. &&%ht. Un balance de energía aplicado a la longitud calentada L en una experiencia cualquiera, para estado estacionario y CD constante, conduce a ‘+‘cv(Tbs - Tia) = Q Combinando esta expresión con la Ec. 13.1-2 se obtiene W&tTb, - Tb& = h@UT, de donde - Tb,) (13.1-10) , (13.1-11) (13.1-12) Analogas substituciones de las Ecs. 13.1-3 y 4 en el balance de energía dan W’$ (Tm - G,) h. = wDL Uo - Tblo (13.1-13) We,, (Tbs - Tu) hn - wDL(T, - T,)1, (13.1-14) Para evaluar h,,, se construye con los datos anteriores una &uva continua TL(z) que representa.la variación de la temperatura global con z en el tubo mas largo (240 cm). De esta forma, la Ec. 13.1-10 se transforma en Diferenciando esta expresibn 1-5, se obtiene (13.1-15) W~,(T,(z) - 51) = f?(z) con respecto a z y combinando el resultado con la Ec. 13. (13.1-16) TRANSPORTE DE ENERGfA 13-8 (13.1-17) que para T,, constante se transforma en (13.1-18) La derivada de la Ec. 13.1-18 se determina a partir de una representación gráfica de In (T, - Tb) frente a z. Debido a la diferenciación, es difícil determinar h,, con precisión. En la Fig. 13.1-3 se presentan los resultados del calculo. Obsérvese que todos los coeficientes disminuyen al aumentar LID, pero que hb, y h,, varían menos que los otros, y tienden hacia una asintota común al aumentar LID. Para el flujo turbulento con temperatura constante de la pared se c bserva un comportamiento análogo, salvo que h!, tiende mucho m&s rápidamente hacia la asintota. (Vease Fig. 13.2-1.) 3 Fig. 6 13.1-3. Coekientes 12 24 1 D 48 96 191 de transmisión de calor calculados para el ejemplo 13.1- 1. 0 13.2 COEFICIENTES DE TRANSMISIÓN DE CALOR PARA CONVECC16N FORZADA EN TUBOS El calentamiento y enfriamiento de fluidos en el interior de tubos tiene una gran importancia practica. De aquí que exista una voluminosa literatura sobre el tema y se disponga de muchas ecuaciones de diseño de distinto grado de generalización. En esta sección nos proponemos simplemente introducir al lector en el tema e indicar aIgunos resultados bien conocidos. En primer lugar, ampliaremos el anákis dimensional que se ha expuesto en 5 10.6 con el Bn de predecir la forma de Ias correlaciones del coeficiente de trans- TRANSPORTE DE INTERFASE 13-9 k,. misibn de calor h para la convección forzada. Consideremos el flujo estacionario de un fluido en un tubo, tal como se indica en la Fig. 13.1-1. Se supone que se conoce la distribucion de velocidad en el plano «l» y que la temperatura T0 de la superficie correspondiente a la parte que se calienta, desde z = 0 hasta z = L, es constante. Se admite también que las propiedades físicas p, p, c?,, y k son constantes. Por último, en esta sección se considera que, bajo ciertas condiciones, la variación de ,u con la temperatura es despreciable. Para un tubo de radio R y longitud L, el flujo total de calor que pasa al fluido por la pared del tubo es (13.2-1) siendo vMida esta expresión tanto para el flujo laminar como para el turbulento.1 El signo + que interviene en esta expresión se debe a que se comunica calor al sistema en la dirección r negativa. Igualando las Ecs. 13.1-2 y 13.2-1 y despejando hl, se obtiene “1 = ’ s” j” ( +k g),)I*, R df3 dz vrDL(TO - Tbl) o o (13.2-2) Se introducen ahora las variables adimensionales r* = r/D, z* 2 z/D, T* = (T - To) /CTa - Tb), y el número de Nwselt Nur = hlD/k (también adimensional). Multiplicando la Ec. 13.2-2 por D/k e introduciendo los anteriores grupos adimen- sionales se obtiene (13.2-3) Por lo tanto, el número de Nusselt Nur es, en realidad, un gradiente adimensional de temperatura promediado sobre la superficie de transmisión de calor. En principio, este gradiente adimensional de temperatura puede evaluarse diferenciando la expresión de T* obtenida al resolver las Ecs. 10.6-9, 10 y Il, con las siguientes condiciones límite : v* = una determinada función de r* y 8 para z* = 0 v+ = 0 para r* = 112 para z* = 0, r* = 0 p* = 0 T* = 1 T” = 0 ‘\ para z* = 0 para r* = 1/2 (13.2-4) (13.2-5) (13.2-6) (1’ !-7) (13.2-8) 1 En la deducción que sigue se sobreentiende que todas las temperaturas, presiones y velocidades, son de tiempo ajustado; para simplificar se omiten las rayas situadas sobre las letras. . 1 3 -1 0 TRANSPORTE DE ENERGfA A partir ‘de los grupos adimensionales que aparecen en las ecuaciones diferenciales2 (Ecs. 10.6-9, 10 y ll) y teniendo en cuenta que en las condiciones límite no intervienen nuevos grupos adimensionales, se puede concluir que la temperatura adimensional de tiempo ajustado (vease Bes. 6.2-7 y 8) dependerá de: T* = T*(r*, 8, z*; Re, Pr, Br) (13.2-9) Substituyendo esta relación en la Ec. 13.2-3, se obtiene: Nu, = Nu,(Re, Pr, Br, LID) (13.2-10) En la mayor parte de los casos prácticos los efectos de disipación viscosa son pequeños, de forma que el grupo de Britikman puede despreciarse, con lo que la Ec. 13.2-10 se reduce a Nu, = Nu,(Re, Pr, L/D) (13:2-11) Por consiguiente, el análisis dimensional nos revela que para la convección forzada en tubos con temperatura de pared constanle, el coeficiente de transmisión de calor hr puede correlacionarse3 en función de un grupo adimensional Nur, que depende del numero de Reynolds, del numero de Prandti, y del factor geometrico LID. De igual forma se puede demostrar (véase problema 13.K) que Nu, = Nu,( Re, Pr, L/ D) (13.2-12) NUI,, = Nuu,(Re, Pr, LID) (13.2-13) Nu~oc = NudRe, Pr, 4D) (13.2-14) en las que Nu, = h,D/k, Nq, = hhD/k, y Nu,,, = hl,,D/k. Hasta aquí se ha supuesto que las propiedades físicas permanecen constantes en el intervalo de temperatura existente en el sistema. Para grandes diferencias de temperatura esta suposición conduce a errores considerables, siendo las variaciones de ,u y p las más importantes. La variación de la viscosidad con la temperatura 2 El número de Froude no interviene en este caso, puesto que no existe superficie libre del líquido; es decir, que la tubería estd totalmente llena. 3 Este resultado viene dado tambien por el teorema de z de Buckingham (veaSe la nota al pie de pagina en relacibn con la Bc. 6.2-9). Se desea obtener una relacion de h en función de las propiedades fisicas p, &,, k, las magnitudes geomttricas D, L y la velocidad de flujo <ua. En este caso intervienen cuatro unidades fundamentales (masa m, longitud 1, tiempo f, y temperatura T). BOr lo tanto, el teorema de n predice correctamente que existir&n cuatro grupos adimensionales relacionados entre sí, pero en cambio no es capaz de predecir las suposiciones que se han hecho en la eleccibn de las variables. “7 TRANSPORTE DE INTERFASE 13-11 puede tenerse en cuenta de forma aproximada4 incluyendo el grupo pu,/pe, siendo p* la viscosidad para un cierto valor medio Tb de la temperatura*global del fluido, y r((e la viscosidad a la temperatura de la superficie del sólido. Por esta razón, algunas correlaciones de los números de Nusselt definidos más arriba son de la forma Nu = WRe, Pr, LID, r&J (13.2-15) que han sido propuestas por Sieder y Tate. s Por otra parte, si la densidad p varía apreciablemente, puede tener lugar algo de convección libre. Este efecto se ha tenido en cuenta en las correlaciones, añadiendo el número de Grashof a la serie anterior de grupos adimensionales. Sin embargo, la discusibn de este efecto cae fuera del objeto de este libro.6 Los resultados del análisis dimensional han sido de gran utilidad en los estudios empíricos de transmisión de calor. Por ejemplo, la Ec. 13.2- 15 indica que, a pesar de que h depende de ocho magnitudes físicas (0, (u), p, IC,, pO, C?,, k, L)esta dependencia puede expresarse poniendo Nu en función de solamente cuatro grupos adimensionales (Re, Pr, LID, ~/pà). Esta reducción del número de variables objeto de estudio reduce grandemente el número de experiencias que es preciso realizar; por ejemplo, para estudiar todas las combinaciones de ocho variables independientes con diez valores para cada una de ellas habría que efectuar 10s experiencias, mientras que para cuatro variables independientes basta con 104 experiencias. Correlaciones obtenidas mediante el anhlisis dimensional Vamos a considerar ahora algunas de las correlaciones mejor conocidas que se han obtenido para la transmisión de calor en tubos. En la Fig. 13.2-1 se representa gráficamente la correlación de Sieder y Tates para flujo desarrollado en tubos lisos 4 Un grupo de este tipo puede obtenerse introduciendo en las ecuaciones de variación un eoeficiente de variación de la viscosidad con la temperatura, que se obtiene al desarrollar ~1 mediante una serie de Taylor en función de T: ( T - T,) + **. ’= ” + Aprox imando el cocienk sidad adimensional: diferencial mediante un cociente de diferencias se obtiene una visco- (T-T,) o i+z (13.2-15b.c) N aturalmente que el grupo ~,/c(a aparece luego en las ecuaciones de variacih. 5 E. N . SIFD~ y G. E.’ TATE, Znd. Eng. Chem., 28, 1429-1435 (1936). 6 Un tratamiento detallado del flujo laminar en tubos cuando p y p varían con la temperatura puede verse en R. L. PIGFORD, C. E. P. Symposium Series mims. 17, 53, 79-92 (1955). 1 3 -1 2 TRANSPORTE DE ENERG&A con temperatura de la pared prácticamente constante. Esta correlación está en concordancia con la Ec. 13.2-15 y constituye una adecuada visión global de la transmisión de calor en un tubo de flujo. Téngase en cuenta que todas las propiedades físicas están evaluadas a (Tbl+Tas)/2, a excepción depe que lo está a (Z’,,,+ Tos)/2 El número de Reynolds que se utiliza aquí, Re, = DGlp, = DwlSp,, resulta muy conveniente puesto que experimentalmente7 se ha encontrado que la transición a flujo turbulento comienza, generalmente, alrededor de Re, = 2100, a pesar de que p varía considerablemente en la dirección radial. La magnitud G = w/S = (pv) se denomina «velocidad másica». Paraflujo altamente turbulento, las curvas’para LID > 10 convergen hacia una linea única. La ecuación de esta línea para Re, > 20 000 es (13.2-16) que reproduce los datos experimentales existentes con un error de f 20 por ciento en el intervalo de Re, = 104 a 105, Pr, = 0,6 a 100 y L/D > 10. Para pujo laminar, la ecuación de las líneas es y 3: 1,86(Re, Pr, D/QN(&,,)s>l’ (13.2-17) b que es una modificación empíricas de la solución teórica de Graetzs para transmisión de calor con flujo laminar totalmente desarrollado y temperatura constante de la pared. (Véase Ec. 13.2-23.) La Ec. 13.2-17 se cumple con un error máximo del orden del 20 por ciento para Re Pr D/L > 10; para velocidades de flujo menores los valores que se obtienen para h,,, son demasiado bajos. La región de transición, que se extiende aproximadamente desde Re = 2100 a 10 000, no se conoce bien y generalmente se evita operar en ella en el diseño siempre que es posible. Las curvas de esta región están basadas en datos experimentales5 pero merecen menos confianza que el resto de la gráfica. Las caractedsticas generales de las curvas de la Fig. 13.2- 1 merecen un cuidadoso estudio. Obsérvese que para una región calentada con unos determinados valores de L y D, y unas ciertas propiedades físicas del fluido, la ordenada es proporcional al aumento de temperatura adimensional (픑*s - T,,)/(Te - T&,, del fluido que circula. En estas condiciones, a medida que aumenta la velocidad de flujo, y, por consiguiente, el número de Reynolds, la temperatura del fluido a la salida disminuye primeramente (hasta que se alcanza un Re, del orden de 2100), después aumenta (hasta que se alcanza un Re, del orden de SOOO), y, finalmente, disminuye de nuevo. 7 A. P. COLBURN , Trans. A.I.Ch.E., 29, 174-210 (1933). 8 L. GRAETZ, Am. d. Physik, 25, 337-357 (1855); J. LÉVEQUE, Am. mines, 13, 201, 305. 381 (1928). .Estas soluciones han sido ampliamente discutidas por M. JAKOB , Heat Trnnsfer, ~01 1, Wiley, Nueva York (1949), pp. 451-464. 0,010 0,m o,m wJ7 WfJ 0,005 0,001, lOS 10’ Re,, -$f Fig. 13.2-1. Coeficientes de transmision decalor para flujo totalmente desarrollado en tubos lisos. Las líneas correspondientes al flujo laminar no debcran de utilizarse para Re Pr D/L < 10, que corresponde a (Ts - T,)z /(Ta - T,), < 0,2. (Wase Fig. 13.2-5.) Las curvas para flujo laminar estan basadas en datos de Re Pr D/L > 10 y temperatura de pared prkticamente constante; en estas condiciones /I. y /II” s o n identicos. Recomendamos la utilización de $a, contrariamente a h., que ha sido recomendado por Sieder y Tate, puesto que esta elecci6n es habitual en los c&lculos de diseho de cambiadores de calor. [Tomada de E. N. Sieder y G. E. Tate, Ind. Eng. Chem., 28, (1936) 1429-1435.1 13-14 TRANSPORTE DE ENERGfA Obsérvese también que para el flujo laminar hay una notable influencia de LID sobre h,,, pero, en cambio, para el intervalo de LID que se considera aquí, dicha influencia es insignificante para Re, > 8000. La Fig. 13.2- 1 recuerda algo a la gráfica del factor de fricción de la Fig. 6.2-2, a pesar de que la situación física es totalmente diferente. Para el. intervalo de flujo altamente turbulento (Re, > 10 000) la ordenada de transmisión de calor concuerda aproximadamente con f / 2 para tubos lisos largos. Este hecho fue señalado por Colburn,7 quien propuso la siguiente analogía empírica para Re, > 10 000 en tubos largos lisos : f (13.2-18) iH = 2 en la que (13.2-19) y f / 2 se obtiene de la Fig. 6.2-2. El número de Reynolds se expresa en este caso por En esta correlación el subíndice f indica que las propiedades están evaluadas a la «temperatura de la película» (Tb+Z’e)/2, siendo T, y To las medias de los valores extremos; el valor de eB que figura en el denominador se evalua a T,,. Si las propiedades físicas son constantes a lo largo de todo el tubo, la Fig. 13.2- 1 se transforma en una representación gráfica de j, frente al número de Reynolds; como es natural, la analogía 13.2- 18 no es válida por debajo de Re = 10 030. La analogía desaparece completamente para flujo turbulento en tubos rugosos, puesto que la rugosidad afecta más a f que a j,. Finalmente, haremos una consideración acerca de la aplicación de la Fig. 13.2- 1 a conductos de sección no circular. Para flujo altamente turbulento se puede utilizara el radio hidráulico medio definido en la Ec. 6.2-16. Para aplicar este empirismo basta con sustituir D por 4R, en los números de Nusselt y Reynolds. La correlación sencilla que se ha representado en la Fig. 13.2-1 es satisfactoria para la mayor parte de los problemas de diseño, si bien la representación de los flujos laminar y turbulento mediante un único conjunto de líneas constituye una supersimpliticación. Las correlaciones que se dan a continuación corresponden solamente a uno u otro tipo de flujo.10 DG/,u,. Correlaciones obtenidas a partir de los perfiles de temperatura Paraflujo altamente turbulento de un.Puido de propiedades constantes (Re > 10 000) 9 W. H. MCADAMS, Heat Transmission, McGraw-Hill, Nueva York (1954), tercera edición, 241-243. 10 En una primera lectura se puede omitir el tratamiento que sigue a continuacibn. El lector que desee conocer correlaciones más detalladas puede continuar; los demás pueden pasar directamente al ejemplo 13.2-1. pp. TRANSPORTE DE INTERFASE 13-15 5X !Re = 1OOW IX 10-3 8 6 ” 4 III Alll I l I I l llfllll 2 3 4 l 1111111 I l I l I l I lllll1l llllll I l 3 2 x 10-6 45 1 6 810 Pr =2i!prr,k 4 0 60 , loo 200 400 600 Fig. 13.2-2. Valores asintóticos del número de Stanton local predichos para flujo turbulento en tubos lisos con densidad de flujo calorífico constante. [R. G. DEISSLER, NACA Report 1 2 1 0 (1955).1 y números de Prandtl superiores a 0,5, es de gran interés la correlación de Deisslerll (Fig. 13.2-2). La ordenada h/e,,G = Nu Re-’ Pr-l, se denominasnúmero de Stanton, St. Esta gráfica está basada en los perfiles semiempíricos de velocidad y temperatura de las Figs. 5.3-1 y 12.3-2, y es válida para densidad de flujo calorífico de pared qo, constante, y perfiles de temperatura y velocidad totalmente desarrollados. En este intervalo de los números de Reynolds y Prandtl, el perfil de temperatura se desarrolla muy rápidamente; así, tal como se observa en la Fig. 13.2-3, los números asintkicos de Nusselt concuerdan con bastante exactitud, excepto para una corta wegi6n térmica de entrada»que en la mayor parte de los problemas puede despreciarse.12 Esta rápida respuesta thnica del fluido permite utilizar también la Figura 12.2-3 con buena exactitud para otras condiciones térmicas límite, tales como tem11 R. G. DEISSLER, NACA Report 1210 (1955); Deissler ha calculado tambien hroc yf, teniendo en cuenta la variación de las propiedades fisicas. 12 Otros ct%lculos semiempíricos de la transmisión turbulenta de calor en la región termita de entrada han sido realizadjs por H. L. BECKERS, Appl. Sci. Reseur&Aá, 147-190 (1956); C. A. SLEICHER y M. TRIBUS, 1956 Heat Transfer and Fluid Mechanics Institute Preprints, Standford University Press, ‘pp. 59-78; y R. G. DEISSLER, NACA Report 1210 (1955). TRANSPORTE DE ENERGIA 13-16 +? peratura de la superficie T,-, constante o que varía suavemente, y justifica la correspondiente aplicación de los coeficientes locales estimados a partir de la Fig. 13.2-1. 1PJ 1,15 1,lO $05 1.00 0 Dista nc ia ,5 re duc ido 10 de sde 15 ZID lo e ntra da 20 de lo sc c c i6n 25 q ue se 30 c a lie nta Fig. 13.2-3. Variación estimada de los coeficientes de transmisih de calor en la región térmica de entrada, para flujo desarrollodo y densidad de flujo calgríficoconstante. [E. M. SPARROW, T. M . HALLMAN y R. SIEGEL, Appl. Sci. Research Al, 37-52 (1957).] La correlación de Deissler puede representarse exactamente para Pr > 200 mediante la fórmula asintótica (13.2-20) Obsérvese que cuando las propiedades del fluido permanecen constantes, las correlaciones de Colburn y de Sieder y Tate para flujo turbulento, predicen que h/¿?,G A u2)Pr-n, en la que h = h,, o h,,,; esta diferencia de forma es probablemente demasiado grande para poderse explicar por la diferencia de condiciones límite (temperatura de pared constante frente a densidad de flujo de pared constante). TRANSPORTE DE INTERFASE 1 3 -1 7 Los datos experimentales indican que la asintota de Deissler de la Ec. 13.2-20 es algo más digna de confianza que las Ecs. 13.2-16 ó 18. El intervalo de Pr > 0,5 incluye prácticamente todas las substancias a excepción de los metales fundidos. Para Pr < Q,5, las predicciones semiteóricas de Martinelli,rs para flujo turbulento con densidad de flujo de calor y propiedades del fluido constantes, pueden adaptarse convenientemente mediante la ecuación,l* bocD -=ì 7 + 0 ,c)25(Re Pr)“*” k Mediante el correspondiente tratamiento semiteóricols para temperatura de pared constante, se obtiene hlocD = 5 + O,025(Re Pr)“>“/ k (13.2-22) En estas dos ecuaciones h,, es el valor asintótico para valores elevados de z/D. Para bajos números de Prandtl la variación de h,,, con .z/D y con la distribución de temperatura de pared puede ser considerable, como se puede apreciar en estas ecuaciones y en la Fig. 13.2-3. Los datos experimentales en esta región son poco concordantes y, generalmente, son más bajos de los que se obtienen mediante estas ecuaciones; esto puede ser debido en parte a que el metal fúndido no moje completamente la pared del tubo. En la Fig. 13.2-4 se resumen las correlaciones de Deisslerrr y Martinelli.13 El hecho de que las líneas de esta gráfica y de la Fig. 13.2-2 sean curvas no paralelas, indica claramente que para el flujo turbulento Nu y St no son simples funciones potenciales de Re o Pr, salvo para intervalos limitados. Para elpujo laminar de unfluido de propiedades constantes existen amplias soluciones para los perfiles de temperatura y velocidad. En la Fig. 13.2-5 se representan los valores teóricos de Nu,, para diversas condiciones límite. Obsérvese que para el flujo laminar la variación de Nu con L/D y con la distribución de la temperatura de superficie es considerable, lo que contrasta con la menor variación que se encuentra para el flujo turbulento. (Véase Fig. 13.2-1.) Todas las curvas se hacen asintóticas para flujo totalmente desarrollado cuando L/D + 00; la asintota para TO constante es Nu,, = 3, 657, y para To - Tb constante es Nu,, = 48111 = 4,364. La curva A, una extensión de los cálculoss de Graetz, es probablemente la solución más antigua que se conoce de un problema de convección forzada mediante las ecuaciones de variación. Para pequeños valores de L, o elevadas velocidades de flujo, la solución de Trans,. ASME, 69, 941-959 (1947). Eng. Prog., 47, 75-79 (1951). y T . T . SHIMAZAKI, Trans. ASME, 73, 803-809 (1951). 13 R . C. MARTINELLI, 14 R . N. L YON, Chem. ls,R. A. S EBAN TRANSPORTE DE ENERGfA 13-18 + Graetz se transforma asintóticamente en una forma más sencilla obtenida por Le. ’ vêque.s La solución de Lévêque es NuI,, = 1,62(Re Pr D/L)” = 1,75(wC!JkL)’ (13.2-23y6 Esta ecuación es la base de la ecuación semiempírica 13.2- 17. Obsérvese que el coeficiente de la Ec. 13.2-17, determinado empíricamente, no concuerda con la solución exacta para propiedades constantes: la discrepancia se ha atribuido a pequeños efectos de convección libre originados por las elevadas diferencias de temperatura utilizadas en las experiencias. loO0 F;g. 13.24. Números de Nusselt para flujo turbulento totalmente desarrollado con densidad de flujo de pared constante. [Los resultados para Pr > 1 esthn tomados de R. G. DEISSLER, NACA Report 1210 (1955); los demás están tomados de R. C. MARTINELLI, Truns. ASME, 69, 947-959 (1947).1 Ejemplo 13.2-1. Diseño de un calentador tubular Por un tubo largo de 5 cm de diámetro interno circula aire a 210 C con una velocidad de 32 kg hr-1. Para elevar la temperatura del aire hasta 1100 C se calienta una parte del tubo, siendo la temperatura de la pared interior 1210 C. i Que longitud L es preciso calentar ? 16 El cociente we,,/kL = (w/rl)Re P r D/L que interviene en esta ecuación se denomina número de Graetz, Gz. El coeficiente 1,75 de esta ecuación se cita a veces erróneamente como 2.0. .W’ 1”. “I Pra ndtl I IAl B c To ta lm e nte ..--- d e ra rrd Ir-*--- (perfil ’ Pla n o Ic ula do a p a rtir M ’ de la CC. de m o vlm ic nto l) I C ua lquie r va lor T,, ii: condante -” I T,,- Tb sc o nrta nte Illll 0,Ol 47 0,7 L ñkL DReR04 z 04 Fig. 13.24. Soluciones teóricas para la transmisión de calor en tubos con flujo laminar para un fluido de propiedades físicas constantes. [(Adaptada de W. M. K AYS y A. L. L ONDON, Compact Heaf Exchungers, McGraw-Hill, Nueva York (1958), p. 50).] TRANSPORTE 13-20 Solución,. DE ENERGfA Las propiedades físicas del aire son A Tb media de 655 OC p! k g , m-l hr-1 &, kcal kg,-lo C-i k , kcal hr-1 m-i oC- 0,0729 0,241 0,025 1 0,082 - - - 4700 - - El número de Reynolds, evaluado a 4 (Tb1 + T& = 4 (21 + 110) = 65,So C, es (4) (32) = (n)(0,005)(0,0729) = “12 ’ lo“ nDlu Re b _ 0” = 4w SP A T, de 121oC (12.2-24) De la Fig. 13.2-1 se obtiene (13.2-25) de donde = 113 (13.2-26) Por consiguiente, la longitud necesaria de tubería es L = 113 D = (113)(0,05) = 5,6m (13.2-27) Si Re, hubiese sido mucho menor, habría que estimar LID antes de efectuar la lectura en la Fig. 13.2- 1, iniciando así un proceso de tanteo. Obsérvese que en este problema no se ha calculado h. Sin embargo, en problemas más complicados, tales como el intercambio de calor entre fluidos separados por una pared, es preferible evaluar numéricamente h. 4 13.3 COEFICIENTE DE TRANSM ISIÓN DE CALOR PARA CONVECCI6N FaRZADA ALREDEDOR DE OBJETOS SUM ERGIDOS Otra cuestión industrialmente importante es la transmisión de calor a o desde un objeto en torno al cual circula un fluido. El objeto en cuestión puede ser relativamente sencillo, como una sola esfera o un solo cilindro, o también más complejo, tal como una «bancada de tubos» constituida por una serie de tubos cilíndricos entre los cuales circula una corriente líquida o gaseosa. Aquí se considerarán solamente algunas correlaciones para sistemas sencillos, seleccionadas con el fin de TRANSPORTE DE INTERFASE 13-21 introducir al lector en el tema, pero en las referencias citadas anteriormente se pueden encontrar muchas otras correlaciones. En las correlaciones que siguen, el coeficiente de transmisión de calor h, está definido para la superficie total del objeto sumergido, de acuerdo con la Ec. 13.1-6. Las correlaciones están dadas para una temperatura uniforme Te de. la superficie. El subíndice OO se refiere a las condiciones de la corriente que se aproxima al objeto, mientras que el subíndice f denota propiedades evaluadas a la denominada «temperatura de película» T, = (T, + T,)/2. -12 t zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I I Illllll I I Illllll I I lIlll-tl Fig. 13.3-1. Transferencia de calor y cantidad de movimiento entre un cilindro largo y una corriente transversal. [jo está tomado de T. K. Sherwood y R. L. Pigford. Absorpfion und ExtracCon, McGraw-Hill, Nueva York (1952), segunda edicib, p. 70; f/2 está tomado de H. Schlichting, Boundary-Layer Theory, Pergamon, Nueva York (1955), p. 16.1 En la Fig. 13.3-1 se representaj,, = Nu Re-l Pr-‘/* frente a Re para un cilindro largo cuyo eje es perpendicular a una corriente ilimitada que se aproxima con una velocidad v,. Las propiedades físicas del fluido se evaltian a T,, siguiendo las indi- TRANSPORTE DE ENERGfA 13-22 caciones de, Douglas y Churchill1 en un estudio experimental sobre el flujo de gases a través de cilindros con grandes diferencias de temperatura. En la Fig. 13.3-1 se representa también una gráfica de f/2 frente a Re, con el fin de poner de manifiesto que para este sistema j,, < f/2, como es el caso frecuente en los sistemas de flujo con líneas de corriente curvas; la discrepancia se debe fundamentalmente a la resistencia de forma (véase 0 6.3), que no tiene equivalente en transmisión de calor. Estos resultados son útiles en relación con la anemometría del alambre caliente (véase problema 13.5) y la transmisión de calor a bancadas de tubos paralelos. 1000 Q E .i? 4 1 o(1 t o t a DO, Fig. 13.3-2. Transmisión de calor por convección forzada desde una esfera aislada. [W. E. RANZ y W. R. MARSHALL, Sr, Chem. Eng. Prog., 48, 141-146, 173-180 (1952).] En la Fig. 13.3-2 se representa Nu en función de Re y Pr para la superficie total de una esfera situada en el interior de un fluido infinito. La relación representada es2 (13.3-1) Esta ecuación predice que para un fluido en reposo Nu = 2; esta asíntota se ha deducido teóricamente (véase problema 9.H) y se ha confirmado por la experiencia 1 W. J. M. DOUGLAS y S. W. CHURCHILL, Chem. Eng. Prog. Symposium Series núm. 18, 52, (1956). 2 W. E. RANZ y W. R. MARSHALL, JR., Chem. Eng. Prog., 48, 141-146, 173-180 (1952). N. FROSSLING, Gerlunds Beitr. Geophys., 52, 170 (1938), obtuvo por primera vez una correlación de esta forma, con un coeficiente para el ultimo termino de 0,552 en vez de 060. Por analogía con ios resultados para cilindros, las propiedades físicas de la Ec. 13.3-1 se evalúan a la temperatura Tt, pero esta elección todavía no se ha comprobado experimentalmente. 23- 28 TRANSPORTE DE INTERFASE 13-23 para bajos números de Reynolds y Grashof (véase 4 13.5). Este resultado encuentra aplicación en numerosos procesos en los que intervienen pulverizadores de gotas ~0 burbujas. En la Fig. 13.3-3 se representan los resultados obtenidos para el flujo tangencial de un medio fluido infinito sobre una lámina plana seminfinita e isotérmica. El sistema de flujo y sus coordenadas se representan en la Fig. 11.4- 1. En este sistema de flujo se cumple muy bien la analogía de Colburn entre transmisión de calor y fricción de fluidos (véase Ec. 13.2- 18), debido a que la magnitud p + pgh es esencialmente constante para todo el sistema y no existe resistencia de forma. Las sencillas analogías que resultan cuando p + pgh es igual a una constante se estudian en 0 19.3. Los coeficientes h,,,, y fiO,, p ara un punto cualquiera situado sobre la superficie de la lámina, se definen de la siguiente forma: bloc 40 = T , - Tm f1oc = f& (13.3-2) (13.3-3) en las que qo y t0 son los valores locales de q,, y ItrZl en la superficie de la lámina. 0,010 I --I 7 Re. 10’ 10s Re,= vm pr XI rcf, ReL= vo. prL/u, Fig. 13.3-3. Coeficientes de transmisión de calor para flujo tangencial en una lámina plana lisa. [Adaptada de H. SCHLICTING, Boundury-Luyer Theory. Pergamon Press, Nueva York (1953, pp. 438-439).] 13-24 q1 TRANSPORTE .DE ENERGfA Para la región laminar, que existe generalmente en las cercanías del borde de ataque de la lamina, se cumple la siguiente expresión deducida teóricamente: .&2e = 0,332 v,pJz )-w ( (13.3-5) Pr Estas ecuaciones se han deducido originalmente para fluidos de propiedades físicas constantes;3 sin embargo, en la práctica se utilizan, generalmente, en funcion de las propiedades del fluido a la temperatura Tt, lo que conduce a muy buenos resultados para gases.4 La analogia de la Ec. 13.3-4 se cumple con un error máximo del 2 por ciento para Pr > 0,6, pero para números de Prandtl más bajos resulta inexacta Para flujo altamente turbulento, la analogía se cumple bastante bien cuando se halla f;, mediante la curva empírica de la Fig. 13.3-3. La transición entre flujo laminar y turbulento es parecida a la que se ha representado para tubos en la Fig. 13.2- 1, pero los limites de la región de transición son mas difíciles de predecir. Para el flujo isotérmico en laminas planas, lisas y afiladas, la transición comienza, generalmente, para un número de Reynolds longitudinal, Re, = v,xp,/p,, que va de 100 000 a 300 000, y es casi completa para un número de Reynolds superior en un 50 por ciento. En general, resulta difícil predecir velocidades de transmisión de calor desde objetos sumergidos para Re > 10s debido a la incierta localis&& de la región de transición. Debe de evitarse la extrapolación de las correlaciones para esferas y cilindros en esta región, debido a la brusca variación del comportamiento de flujo que tiene lugar para Re f 10s. (Wase Fig. 6.3-1.) Q 13.4 COEFICIENTES DE TRANSMISI6N DE CALOR PARA CONVECCIÓN FORZADA A TRAVÉS DE LECHOS DE RELLENO Los coeficientes de transmision de calor entre un sólido y un fluido en un lecho de relleno, se definen generalmente como valores <(locales» representativos de una sección transversal del lecho, utilizando la siguiente modificación de la Ec. 13.1-5: dQ = hoc(aS dz)(T, - Tb) (13.4-1) en la que Sdz es el volumen de lecho (sólido más fluido) comprendido entre dos secciones separadas entre sí una distancia dz en la dirección de flujo, y a es el área de la superficie de las partículas sólidas por unidad de volumen de lecho. 3 El resultado correspondiente a f/2, para el caso de propiedades del fluido constantes, ha sido deducido por H. BLMIUS, 2. Muth. Phys, 56, 1 (1908); la evaluacib de jH para propiedades del fluido constantes proviene de los resultados de E. POHLHAUSEN, 2. mgew. Math. Mech., 1, 115-121 (1921). 4E. R. G. ECKERT, Trons. ASME, 56, 1273-1283 (1956). TRANSPORTE DE INTERFASE 13-25 El análisis de una enorme cantidad de datos experimentales sobre transferencia % de calor y materia en lechos de relleno, ha conducido a la siguiente correlaci6n empírica:1 (Re < 50) (13.4-2) h = 0,91 Re+asl Y jH = 0,61 Re-W1 ‘p (Re > 50) (13.4-3) En estas ecuaciones, el factor jH y el numero de Reynolds están definidos por (13.4-4) G Re = - (13.4-5) WrY El subíndice f indica que las propiedades están evaluadas a la «temperatura de pe- lícula» T, = 4 (To + Tb), y CO = w/S, es la velocidad másica superficial (véase 6 6.4). El término y es un coeficiente empirico que depende de la forma de la partícula. En la Tabla 13.4-1 se dan algunos valores de ty. Esta correlación es títil TABLA 13.4-1 FACTORES DE FORMA DE PARTfCULAS PARA LAS CORRELACIONES DE LECHOS DE RELLENOB Forma de la particula Esferas cílindros LamílliIIas Anillos de Raschíg Anillos tabicados Monturas de Berl tp 1,m 0,91 0,86 0,79 0,67 0,80 a B. GAMSON, Chem. Eng. Progr., 47, 19-28(1951) para el diseño de sistemas de lecho fijo tales como secaderos, reactores catalíticos y acumuladores de calor con un material de relleno. $ 13.5 COEFICIENTES DE TRANSMISIÓN DE CALOR PARA CONVECCIÓN LIBRE Al comenzar la discusión de la convección forzada en 4 13.2, se ha determinado la dependencia funcional del Nu, mediante el análisis de las ecuaciones de variación 1 F. Yosm~a, comunicacidn pin& (diciembre de 1959). VtaSe tambi&n 0. A. HOUGEN, K. M. WATSON y R. A. RAGATZ, CPP Churrs, Wiley, Nueva York (1960). Para obtener h y jH en estas referencias bibliograficas hay que dividir sus valores por fp. TRANSPORTE DE ENERGfA 13-26 y de las condiciones límite para el problema en cuestión. Para la convección libre se puede hacer un análisis semejante, excepto que la ecuación de movimiento ha de expresarse para p variable, con lo que aparece un termino de «fuerza de flotación». (Véanse 00 10.3, 10.6 y ejemplo 10.5-4.) Mediante un análisis análogo al efectuado para obtener la Fc. 13.2-10, se encuentra que, para un objeto sumergido en una cantidad infinita de fluido, el número de Nusselt para la transmision de calor por convección libre depende de (13.5-1) ‘Nu m = Nu(Gr, Pr) en la que Nu, está basado en el coeficiente de transmisión de calor h, tomado para la superficie total del objeto sumergido. Puede haber, desde luego, otras relaciones adimensionales para describir la geometría del sistema. Las correlaciones que se dan a continuación son útiles para estimar las perdidas de calor en aparatos e instalaciones ingenieriles. Se supone en todos los casos que la temperatura de la superficie Ts, asi como la del fluido lejos de dicha superficie T,, son constantes. La diferencia característica de temperatura d T es ITo - T-I. Las propiedades del fluido se evalúan 2,O 18 I,6 114 *? 7 40 IC L 0.8 L 6 7 8 9 Fig. 13.5-1. Convec&n libre a diversos fluidos desde largos tubos horizontales. [w. H. MCADAMS, Heat Tronsmission, McGraw-Hill, Nueva York (1954), tercera edicibn, p. 1761. TRANSPORTE DE INTERFASE ,ie z 13-27 a (T,, + T,)/2. Para los gases ideales, la magnitud /? que interviene en el número de Grashof es justamente l/T,. Para una sola esfera de diámetro D, sumergida en una gran masa de fluido se ha propuesto la relación semiempírical (13.5-2) que concuerda satisfactoriamente con los datos experimentales para Gr”d Pr’/8 < 200. Obsérvese que esta ecuación conduce a Nu, = 2 cuando el fluido está en reposo, lo mismo que la Ec. 13.3-1, en la que se ha ‘despreciado la convección libre. 380 28 46 2,4 2P 290 - lfl :$f 16 s 1,4 8 13 190 W 0,6 0,4 02 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ll 12 13 14 Fig. 13.5-2. Conveccih libre desde láminas verticales, basada en datos para el aire. [W. H. MCADAMS, Hect Trunsmission, McGraw-Hill, Nueva York (1954). tercera edición, p. 173.1 1 W. E. RANZ y W. R. MARSHALL, JR., Chem. Eng. Prog., 46, 141-146, 173-180 (1952). 13-28 TRANSPORTE DE ENERGfA Para cilindros horizontales largos, sumergidos en una cantidad infinita de fluido, se recomienda2 la Fig. 13.5- 1. Para Gr Pr > 104, esta gráfica está representada por la ecuación Nu m = O,525(Gr Pr)” (13.5-3) Esta correlación está basada en una gran cantidad de datos para gases y líquidos con Pr > 0,6. En la Fig. 13.5-2 se correlacionan2 los datos experimentales obtenidos con láminas verticales calientes de pequeño espesor y longitud variable L, suspendidas en aire. Téngase en cuenta que en este caso los números de Nusselt y Grashof están basados en la longitud característica L. La parte recta de la curva puede expresarse muy aproximadamente mediante la ecuación Nu (>1 = 0,59(Gr Pr)” lo4 < Gr Pr < 10’ (13.511) que concuerda satisfactoriamente con los resultados de la teoría de capa límite citados en el ejemplo 10.5-4. Para Gr Pr > 109, el flujo es turbulento. Ejempio 13.5-1. Pérdida de calor por conveccidn libre desde una tubería horizonal Estimar la velocidad de perdida de calor por convección libre en una unidad de longitud de una larga tubería horizontal de 15 cm de diametro externo, si la temperatura de la superficie es de 38O C y el aire que la rodea está a 1 atm y 270 C. S o lució n. (305,60 K) son Las propiedades del aire a 1 atm y una temperatura de película de 32.50 C c1 = 0,019O cp = 0,0684 kg,m-thr-r p = 1,58 kg,,,me3 t,, E 0,241 kcal kg.%-‘0 K -l k = 0,0226 kcal hr-l m-lo K-l /l = l/T, = 1/305,6O K-’ Los demás valores que se necesitan son D - 0,lS m, AT = 110 K y g = 1,27 x lo8 m hrm2. A partir de estos datos se obtiene Gr Pr = 0,241 (0,15)~(1,158)2(1,27 x lOs)(11/305,6) 0,0226 0,0684 ( H > (13.5-5) = 3,2 x 106 A partir de la Fig. 13.5-1 o de la Ec. 13.5-3 se obtiene Nu, - 22,2; por lo tanto h, = Nu, klD = 2 W. H. MCADAMS, pp. 172-176. Mear cm(0,0~6) = 3,3 kcal hr-1 m-a C-* 0,15 í” r ammission, McGraw-Hill, (13.5-6) Nueva York (1954). tercera edicibn, TRANSPORTE “q DE INTERFASE 13-29 Por consiguiente, la velocidad de pérdida de calor por unidad de longitud de tuber$a es AT Q /L=h,,,A L = h,nDAT = (3,3) (n)(O,15) (ll) = 17 kcal hr-i m-i (13.5-7) Esta perdida de calor corresponde exclusivamente a la convecci6n; la radiación se considera en el ejemplo 14.5-2. Q 13.6 COEFICIENTES DE TRANSMISI6N DE CALOR PARA CONDENSACIÓN DE VAPORES PUROS SOBRE SUPERFICIES SÓLIDAS La condensación de un vapor puro sobre una superficie solida es un problema especialmente complejo debido a que interviene el flujo de dos fases fluidas: el vapor y el condensado. La condensación tiene lugar industrialmente en numerosos tipos de aparatos. Para mayor sencillez, consideraremos aquí solamente los casos frecuentes de condensación de un vapor que se mueve lentamente sobre la superficie externa de tubos horizontales o verticales, o bien de paredes verticales planas. En la Fig. 13.6- 1 se representa esquemáticamente el proceso de condensación sobre una pared vertical. El vapor fluye sobre la superficié de condensación y se mueve hacia ella en virtud del pequeño .gradiente de presión existente en las proxi- Distribucl6n de temperatura T(y, Movimiento del v a p o r Condensación en película sobre una superficie vertical (la discontinuidad de temperatura interfacial esta exagerada). Fig. 13.6-1. 13-30 TRANSPORTE DE ENERGfA midades de la superficie del líquido.1 Algunas moléculas de la fase de vapor chocan contra la superficie del líquido y rebotan, mientras que otras penetran a través de dicha superficie y ceden su calor latente de condensación. El calor así liberado tiene que fluir a través del condensado hasta alcanzar la pared, y de allí al fluido de refrigeración situado al otro lado de la pared. Al mismo tiempo, el condensado se elimina de la pared fluyendo por gravedad. El condensado situado sobre la pared es normalmente la única resistencia importante que se opone a la transmisión de calor en el lado de la pared en el que tiene lugar la condensación: Si la superficie sólida está limpia, el condensado forma generalmente una película continua sobre la superficie, pero si existen trazas de ciertas impurezas, como por ejemplo ácidos grasos en un condensador de vapor de agua, la condensación se produce en gotas. La «condensación en gota& da lugar a velocidades de transmisión de calor mucho más áltas que la «condensación en películas», pero es difícil de mantener, de forma que en el diseño de condensadores se considera en la práctica que la condensación se produce en película. Las correlaciones que se dan a continuación son aplicables solamente para condensación en película. La definición habitual de h,, para la condensación de un vapor puro sobre una superficie sólida de área A y temperatura constante re, es Q=h,A(T,- T,) en la que Q es la velocidad de flujo de calor que penetra a través de la superficie del sólido, y Tà es la temperatura de rocío del vapor que llega a la superficie del tubo, es decir, la temperatura a la que condensa el vapor cuando se enfría lentamente a la presión existente. Esta temperatura es esencialmente la del líquido en la interfase líquido-vapor; por consiguiente, h,, puede considerarse como el coeficiente de transmisión de calor para la película del líquido. Se han deducidos expresiones de h, para flujo laminar sin ondulaciones del condensado, resolviendo de forma aproximada las ecuaciones de movimiento y energía para una película descendente de líquido. (Véase problema 13.N.) El resultado de Nusselt para la condensación en película sobre un tubo horizontal de diámetro D, longitud L, y temperatura constante de la superficie TQ, puede expresarse así h (13.62) 1 Tengase en cuenta que en este caso existen en k interfase variaciones de presion y temperatura que son pequetias pero muy bruscas. Estas discontinuidades son esenciales en los procesos de condensación, pero su valor es generalme.lte despreciable en los cálculos ingenieriles para fluidos puros. Para mezclas, pueden en cambio ser más importantes. Vease R. W. SCHRAGE, Interphase Muss Transfer, Columbia University Press (1953). 2 La condensación en gotas se estudia con detalle en MCADAMS, Heat ‘Transmission, McGrawHill, Nueva York (1954), tercera edicion, pp. 347-351 y H. GROBER, S. ERK y U. GRIGULL, IV&meüberrragung, Springer, Berlín (1955). tercera edición, pp. 303-310. 3 W. NUSSELT. Z. Ver. drsch. Ing., 60, 541-546, 569-575 (1916). TRANSPORTE DE INTERFASE 13-3 1 en la que W/L es la velocidad másica de condensación por unidad de longitud de tubo. Aplicando un balance de energía a la película de condensado, la Jk 13.6-2 puede expresarse, para diferencias de temperatura moderadas, mediante la ecuacion k,ap,ag A&, tí (13.63) P,D(T, - Tal Experimentalmente se ha comprobado que las Eos. 13.6-2 y 3 se cumplen con una exactitud de f 10 por ciento para tubos horizontales unicos. Parece también4 que se cumple satisfactoriamente para bancadas de tubos horizontales, a pesar de la complicación que supone el goteo de tubo a tubo. Los resultados teoricos correspondientes a las Ecs. 13.6-2 y 3 para la condensación en película sobre tubos o paredes verticales,3 son: h, = 0,725 (13.64) Y (13.6-5) La magnitud I’ de la Ec. 13.6-4 es la velocidad total de flujo de condensado en el fondo de la superficie de condensación por unidad de anchura de dicha superficie; para un tubo ver&& T = w;lno, siendo w la velocidad másica total de condensación en el tubo. Para tubos verticales cortos (L < 15 cm), los valores experimentales de h, concuerdan satisfactoriamente con la teoria, pero para tubos verticales largos (L > 2,4 m) los valores experimentales superan a los teóricos, para un determinado AT, hasta un 70 por ciento. La discrepancia se atribuye a que las ondulaciones son de mucho mayor amplitud en tubos verticales largos.5 Vamos a considerar ahora las expresiones empíricas para el flujo turbulento de condensado. Para tubos o paredes verticales, el flujo turbulento comienza a un numero de Reynolds Re = I’/,u~ del orden de 350. Para números de Reynolds superiores a este se ha propuesto la siguiente fórmula empírica:6 h, = 0,003 (13.66) Para un dT pequefio, la Ec. 13.6-6 es equivalente a la fórmula (13.67) 4 B. E. SHORT y H. E. BROWN, Pm. General Disc. Heat Transfer, Londres, pp. 27-31 (1951). 5 W. H. MCADAMS, op. cit., p. 333. 6 U. GRIOULL, Forsch. Ing. Wes., 13, 49-57 (1942); 2. Ver. dtsch. Ing., 86, 444445 (1942). 13-32 TRANSPORTE DE ENERGfA Para facilitar el c&lculo y con el fin de indicar el grado de concordancia con 1 0 s datos experimentales, se resumen en la Fig. .13.6-2 las Ecs. 13.6-4, 5, 6 y 7. Podría obtenerse una concordancia algo. mejor utilizando en el intervalo turbulento una familia de líneas con el fin de representar el efecto del número de Prandtl; sin embargo, a la vista de la fluctuación de los datos, una sola línea es suficiente. Es muy difícil obtener flujo turbulento de condensado en tubos horizontales, a menos que se utilicen diámetros muy grandes o diferencias de temperatura elevadas. Las Ecs. 13.6-2 y 3 se consideran satisfactorias hasta un número de Reynolds de transición estimado, Re = wJL,u,, del orden de 1000, siendo wr el flujo total de condensado que abandona un determinado tubo, incluyendo el condensado procedente de los tubos superiores.7 El proceso inverso, vaporización de un líquido puro, es considerablemente más complicado que el de condensación. Aquí no se estudia la transmisión de calor a líquidos en ebullición, limitándonos a indicar algunas citas sobre este campo de investigación que se está desarrollando rápidamente.s*s Ejemplo 13.6- 1. Condensación de vapor de agua sobre una saperflcie vertical A un líquido en ebullición que circula por un tubo vertical se le comunica calor mediante la condensación de vapor de agua en el exterior del tubo. La parte de tubo que se calienta ea de 3 m de altura y 5 cm de diámetro externo. Si se utiliza vapor de agua saturado, jcurll sera la temperatura necesari a del vapor para transmitir 23 000 kcal hr-r al tubo, cuya temperatura de la supe&& es de 930 C? Supóng&se que la condensación se produce en película. Solución. Las propiedades del fluido dependen de la temperatura Td que es desconocida. Suponiendo que Td = 93O C, tendremos AZ&, = 543 kcal kg,-’ S = 0,585 kcal hr-1 m-l 0 C-r pf =963 kg,,, m-3 Pr = 1,lO kg, m-l hr-l Aplicando un balance de energía sobre el tubo, suponiendo que el vapor cede exclusivamente el calor latente (lo que implica que Td = T,, = 93O C), se obtiene, Q = w Al&, = nDr A& (13.68) en la que Q es el flujo de calor que entra a través de la pared del tubo. El número de Reynolds de la película es r 23.ooO Q (13.6-9) = 32 (0,95) (1,lO) (543) = 245 Cr-=nDj~dH, 7 W. H. MCADAMS, op. cit. p. 338-339. 8 W. H. MCADAMS, op. cit., capítulo 14. 9 J. J. WESTWATER , Advances in Chemical capítulo 1 (1956); vol. II, capítulo 1 (1958). Engitteering, Academic Press, Nueva York, val. 1. TRANSPORTE DE INTERFASE Fig. 13.6-2. Correlación de datos de transmisión de calor para la condensacih en película de vapores puros en superficies verticales. [U. GRIGULL, Die Grumfgesetze der W&meiibertrugung, Springer, Berlín (1955), tercera edición, p. 296.1 Para este valor de la ordenada se encuentra en la Fig. 13.6-2 que el flujo es laminar. Si bien se puede aplicar ,la Ec. 13.6-4, resulta rnhs conveniente utilizar la lhea de la Fig. 13.6-2 basada en esta ecuación, que da (13.6-10) 13-34 TRANSPORTE DE ENERGfA - 1600 $$$$, Td- To- (1,10)s/3(543) = 1600 (0,585) (963)‘h (1,27 x 109”3 (3) = 12“ ’ (13.6-11) Por tanto, la primera aproximación para la temperatura del vapor es 105’~ C. Evaluando las propiedades físicas de acuerdo con este resultado, que ya ea bastante próximo, se obtiene como segunda aproximación Td = 1040 C. De acuerdo con la Fig. 13.6-2 resulta evidente que este resultado representa un limite superior; si se producen ondulaciones, la caída de temperatura a travks de la película de condensado puede ser incluso la mitad del valor calculado aquf. CUESTIONES PARA DISCUTIR 1. Discutir las ventajas relativas de los cuatro tipos de coeticientes de transmisi6n de calor, para el flujo en conducciones, que se detlnen en 6 1.3. 2. L Por que es conveniente definir AT en función de T1 para el caso de conducciones cerradas? 3. ¿Quk. es el coeficiente global de transmisión de calor U? Describir un caso real en el que debería de utiliirse dicho coeficiente? 4. ~Cuáles son las dimensiones de los coeficientes de transmisión de calor U y Ir? 5. ~Cual es el significado ftsico de los números de Nusselt Nut, Nula y Nut,? Explíquese esto en función de los perfiles de temperatura. 6. Dibujar períiles de temperatura para flujo turbulento en untubo, que darían lugar a niuneros de Nusselt locales del orden de 1000,100 y 10. ¿ Qu6 perlil corresponde al mayor número de Prandtl y al mayor número de Reynolds? 7. ~Cuál es el significado fisico del número de Stanton, St = Nu/Re Pr, para el calentamiento de un fluido en una porci6n de tubería de longitud L y diametro D? Interpretar el significado del número de Stanton local en estas condiciones. 8. En la Fig. 13.2-3 se observa que el número de Nusselt disminuye al aumentar los valores de LID. Explicar este comportamiento en funcibn de los procesos físicos que tienen lugar cerca de la entrada de la sección de intercambio de calor. 9. Citar algunos libros y referencias bibliognlficas que deben consultarse para obtener una detallada informaci6n sobre correlaciones del coeficiente de transmisión de calor. 10. ¿ Qu& ayuda proporciona el analisis dimensional para el planteamiento y análisis de experimentos de transmisi6n de calor? ll. i Qt 6 grupos adimensionales deben de intervenir en los problemas de transmisi6n de calor por convección forzada, convección libre y convección libre y forzada SimultAneas? 12. tQu6 otro grupo 0 grupos adiionales es de esperar que intervengan en las correlaciones de transmisibn de calor para alta velocidad de flujo de un líquido y alta velocidad de flujo de un gas compresible7 13. La mayor parte de las correlaciones de. los coeficiente de transmisión de calor no tienen en cuenta la variación de la densidad de flujo local de calor con la distribuci6n de temperatura en la superftcie. Tomar un ejemplo de este capítulo con el fin de ilustrar el efecto cuantitativo de distintas condiciones tkmicas límite sobre el coetkiente local de transmisión de calor. TRANSPORTE DE INTERFASE 13-3.5 14. L Que es el factor jH de Colbum ? L En qué condiciones existe una útil relación entre jH y f? t La justificaci6n de esta ecuación es teórica o empírica? 15. iPor qué no es conveniente utilizar /H para la convección forzada alrededor de una esfera? Ilústrese mediante una representación gráfica de jH frente al número de, Reynolds. 16. Describir dos metodos que se han utilizado en las correlaciones de transmisión de calor para considerar la variación de las propiedades físicas con la temperatura. 17. iQué tienen en común la convección libre y la condensación? 18. Demostrar cómo puede obtenerse la 13.6- 5 a partir de la Ec. 13.6-4. 19. LEn qu6 posición (horizontal o vertical) deberá colocarse un condensador tubular de 2,s cm de diámetro y 250 cm de longitud con el fin de que condense la máxima cantidad de vapor de agua para una determinada temperatura de wperficie? ~Cuáles son las cantidades relativas que condensan en ambas posiciones? 20. iPara que fluidos no pueden utilizarse las gráficas de Sieder y Tate y de Deissler? ~Qué correlaciones existen para esos fluidos? 21. Demostrar que los tres términos de la ordenada de la.Fig. 13.2- 1 son equivalentes. PROBLEMAS 13.AI Coelkientes medios de transmisión de calor En el cambiador de calor de la Fig. 13.A se calientan 4500 kg por hora de un aceite, cuyo calor especifico es 0,60, desde 40” C hasta 95” C. El aceite circula ‘por el interior de los tubos, que son de cobre con un diámetro exterior de 2,5 cm y un espesor de pared de 0,16 cm. La lonEntrada de vapor Solido de aceite coliente Entrado da aceite-z Salida de condensado F i g . 13.A. Cambiador de calor de «carcasa y tubos» de simple paso. gitud total de los tubos es de 90 m. El calor necesario se comunica mediante la condensación en el exterior de los tubos de vapor de agua saturado a 1,02 atm. Calcular h,, h. y ht, para el aceite, suponiendo que la superficie interior de los tubos esta a la temperatura de saturación del vapor de agua, 100,6”C. Respuestas: 370, 678, 972 kcal hr-1 m-z”C-1. 13-36 TRANSPORTE DE ENERGfA 13.B1 Trankisi6n de calor paro el flujo laminar ea uo tubo A un tubo de cobre de 2.5 cm de diámetro interno y 6 m de longitud llegan 45 kg por hora de un aceite a 38” C. Debido a la condensación de vapor de agua sobre la superficie exterior del tubo, la superficie interior del mismo se mantiene a la temperatura de 102” C. Puede admitirse que el flujo esta totalmente desarrollado en toda la longitud del tubo y las propiedades físicas del aceite pueden considerarse constantes e iguales a: c, = 0.49 kcal kg-r “ C - t , p = 8 8 1 k g m-a, p = 0,587 cp., k - 0,123 kcal hr-1 m-r “C-r. a. Calcular el número de Reynolds. b. Calcular el niunero de Prandtl. c. Calcular ka temperatura del aceite a la salida Respuestas: a. 1085 b. 8,42 c. 68.5” c 13.C, Efecto de la velocidad de flujo sobre la temperatura de salida de uo cambiador de calor a. Repetir los apartados (a) y (c) del problema 13.B para velocidades de flujo del aceite de 100, 200, 400, 800 y 1600 kg hr-1. b. Calcular el flujo total de calor a trav&s de la pared del tubo para cada una de las anteriores velocidades de flujo del aceite. 13.D, Coeficiente local de 1 ‘ihdecakpnrahconve4xi6nfor7adaenuotubo Por un tubo de 5 cm de d%metro interno circula agua con una velocidad de flujo I V = 6800 k g hr-t. La temperatura de la pared interior en un punto del tubo es71” C y la temperatura global del fluido en dicho punto es 15,5”C. ¿Cuál es la densidad local de flujo de calor qr en la pared del tubo? Supóngase que hr, ha alcanzado un valor asintótico constante. Respuesta: 1,60 x 10s kcal hr-1 m-g 13.E, TransmWn de calor desde uo vapor sxmdemmte a. La superficie exterior de un tubo vertical de 2,5 cm de diámetro externo y 30 cm de longitud se mantiene a 88” C. Si el tubo está rodeado por’vapor de agua saturado a 1 atm, jcual será la velocidad total de transmision de calor a trav&s de la pared del tubo? b. iCuál sería la velocidad de transmisión de calor para el mismo tubo colocado horizontalmente ? Respuestas: a. 2090 kcalhr-t b. 2990 kcal hr-’ 13.F, Trammisi6n de calor por convecci611 forzada desde una esfera solíbuie Una esfera sólida de 2,5 cm de di&rnetro esti situada en una corriente de aire sin perturbacibn, que se aproxima a la esfera con una velocidad de 30 m seg-1, a la presión de 1 atm y con una temperatura de 38” C. La superficie de la esfera se mantiene a 93” C mediante una resistencia el&rica introducida en su interior. iCUal ha de ser la potencia de calefacción el&rica, en cal seg-t, para mantener las condiciones indicadas? Despreciese la radiación. Respuesta: 3,2 cal seg-t 13.G1 Transmisi6n de calor por convecci6n libre desde una esfera solitaria Si la esfera del problema 13.Ft se suspende en aire inmóvil a 1 atm de presión y 38” C de temperatura ambiente y la temperatura de la superficie de la esfera se mantiene de nuevo a 93” C i cual sera la potencia de calefacción elcCtrica necesaria en este caso? Despreciese la radiación. Respuesta: 0.33 cal seg-l TRANSPORTE DE INTERFASE, 13-37 13.Hz “p Número de Nusselt local límite para flujo laminar e-n uo tubo con densidad de &Ijo de cpla conStante La Ec. 9.8 - 31 da la distribución asintótica de temperatura para el calentamiento de un fluido de p, p, e, y k constantes en un tubo largo con densidad de flujo de calor constante en la pared. Utilizar este perfil de temperatura para demostrar que el número de Nusselt límite en estas condiciones es 48/11. 1 3 . 1 , Coe5cientes giobaies de transmisión de calor En el problema 13.A se han despreciado las resistencias de la película de vapor condensado y de la pared del tubo. Justificar esta simpliñcacibn calculando la temperatura real de la superficie interior de los tubos en una seccion transversal del cambiador en la que la temperatura del aceite es 65,5” C. Admítase que hr,, para el aceite es constante en todo el tubo e igual a 972 kcal hr-1 m-2°C1. Los tubos son horizontales, 13.J2 El anem6metio de alambre caiientel Un anemómetro de alambre caliente consiste esencialmente en un alambre fino, generalmente de platino, que se calienta electricamente y se expone a un fluido en movimiento. La temperatura del alambre, que es función de la temperatura y velocidad del fluido y de la velocidad de calefacción, puede determinarse midiendo su resistencia electrica. a. Un alambre cilíndrico recto de 1,25 cm de longitud y 0,025 cm de diámetro se expone a una corriente de aire a 21” C que fluye con una velocidad de 30 m seg-1. ~Que potencia electrica, expresada en watios, hay que comunicar al alambre para mantener su superficie a 315” C? Despreciar la radiacion y la conducción de calor a lo largo del alambre. b. Se ha indicado2 que para un cierto sistema alambre-fluido; en el que las temperaturas del alambre y del fluido están dadas (y por consiguiente una determinada resistencia del alambre), se cumple il=B%&+C (13.J-1) en la que i es la intensidad de corriente necesaria para mantener la temperatura deseada y urn l a velocidad con que se acerca el fluido. ¿ Cómo concuerda esta ecuaci6n con las predicciones de la Fig. 13.3-1 para el alambre y fluido del apartado (u) en un intervalo de velocidad del fluido de 30 a 100 m seg-t ? iCuál es el significado de la constante C en la Ec. 13.J-l ? 13.K2 Apiicacidn dei aadiisis dimen&mai Considerar el sistema de flujo descrito al comenzar la secci6n 5 13.2, para el cual’se ha obtenido ya por analisis dimensional el perfil adimensional de velocidad (Fc. 6.2-7) y el perfil de temperatura (Fc. 13.2-9). a. Utilizar las Ecs. 6.2 -7 y 13.2-9 y la defmición de temperatura de mezcla adiabática, para demostrar que Tm - Tb1 = una función de Re, Pr, LID T,, - TI, (1 3 .K -1 ) b. Utilizar el resultado obtenido y las definiciones de los coeficientes de transmisión de calor para deducir las Fcs. 13.2-12, 13 y 14. 1 Vease por ejemplo M. J A K O B , ffeat Transfer, vol. Il, Wiley, Nueva York (1957). pp. 196-198. 2 L. V. UNU. Phil. Trans. Roy. Soc. (London), A214, 373 (1914). TRANSPORTE DE 13-38 ‘+* ENERGfA 13.L2 Relación entre bloc y hl, En muchos cambiadores de calor industriales tubulares (véase ejemplo 15.4--2), ta temperatura de la superficie del tubo T,, varía linealmente con 1.a temperatura global del fluido Tb. Para *este caso frecuente, htoc y Iza, pueden relacionarse de una forma sencilla: II. Partiendo de la Ec. 13.1-5, demostrar que (13.~1) y por tanto que (13.L-2) 6. Combinar los resultados anteriores con la Ec. 13.1-4 para demostrar que (13.L-3) en la que L es la longitud total de tubo y por consiguiente que (13.L-4) 13.M2 P érdida de calor por convecci6n libre desde on tubo La perdida de calor en el ejemplo 13.5 - 1, i setía mayor o menor si la temperatura de la superficie del tubo fuese de 93°C y la temperatura del aire 82”C? 13.NJ La expresidn de Nusselt para los coeficientes de transmisión de calor por un vapor conden- sante Considerar una película laminar de condensado que desciende por una pared vertical (Aase Fig. 13.6-1) y suponer que esta película líquida constituye la única resistencia. a la transmisión de calor en el lado de la pared correspondiente al vapor. Suponer tambidn (i) que puede despreciarse el esfuerzo cortante entre el líquido y el vapor, (ii) que las propiedades físicas de la película pueden evaluarse para la media aritmetica entre la temperatura del vapor y la de la superficie de refrigeración y que esta última (la temperatura de la superficie de refrigeracion) puede suponerse constante, (iii) que la aceleración del fluido en la película es despreciable en comparacion con las fuerzas de gravitación y viscosas, (iv) que las variaciones de calor sensible en la película de condensado carecen de importancia frente al calor latente que se transmite a traves de ella, y (v) que la densidad de flujo de calor es prácticamente normal a la superficie de la pared. a. Recuérdese de la sección 5 2.2 que la velocidad media de una pelicula de espesor constante 6 es Supbngase que esta ecuación es válida para cualquier valor de z. 6. Expresar la ecuacibn de energía para la pelicula, despreciando la curvatura y la convección. Demostrar que la densidad de flujo de calor que atraviesa la pelíc& hacia la superticie fría es (13.N-2) TRANSPORTE DE INTERFASE 13-39 c. A medida que la película desciende por la pared recibe un aporte adicional de maieria debido al proceso de condensaci6n. La cantidad de calor liberado en este proceso es AH,, por unidad de masa de la substancia que sufre el cambio de estado. Demostrar que igualando el calor que se desprende por condensación con el flujo de calor a través de la película en un segmento dz de la misma, se llega a d. Introducir la expresibn de la velocidad media del apartado (u) en la Ec. 13.N-3 e integrar desde .z = 0 hasta z = z para obtener (13.N-4) e. Utilizar la definición del coeficiente de transmisión de calor y el resultado del apartado (d) con el fin de obtener la Ec. 13.6-5. jI Demostrar que para las condiciones del problema las Ecs. 13.6-4 y 5 son equivalentes. 13.0s Correlaciones de tnuwmisión de calor para tanques agitados Un líquido cuyas propiedades físicas son esencialmente constantes se calienta en marcha continua a su paso por un tanque agitado, tal como se indica en la Fig. 13.0. El calor proviene de la condensación de vapor de agua en la pared exterior del tanque. Puede considerarse que la resistencia termita de la película de condensado y de la pared del tanque es pequefta en comparación de la del fluido en el interior del mismo y que ademas la parte del tanque no en contacto con el vapor esta perfectamente aislada. La velocidad de flujo de líquido a traves del tanque ejerce un efecto despreciable sobre el tipo de flujo existente en el mismo, Deducir la forma general de la correlación adimensional de transmisión de calor en el tanque, correspondiente a la correlación para el fiujo en un tubo que se ha dado en 0 13.2. Tómese como longitud de referencia el diámetro del agitador, D; como velocidad de referencia, ND, s i e n d o N la velocidad de giro del eje en revoluciones por unidad de tiempo; y como presión de referencia, p(ND)‘, siendo p la densidad del fluido. Salido de Irquido Entrado de “oporComlsa Entrodo do wpor Camiso de vapor de Ilquido- Solido de condensado Fig. 13.0. Calentamiento continuo de un líquido en un tanque agitado. 13.Ps Cplculo analítico de mímeros de Nuaselt Ampliar los resultados de los siguientes ejemplos y problemas con el fin de obtener los números de Nusselt por diculo teórico: Problema 9.P, problema 9.R. ejemplo 11.2-1, ejemplo 11.2-2, ejemplo 11.4-1 y problema 12.B. CAPfTULO 14 TRANSPORTE DE ENERGfA POR RADIACION En los capítulos precedentes se ha estudiado el transporte de energía por conducción y convección. Estas dos formas de transporte necesitan la existencia de un medio material. Para que la conducción tenga lugar es preciso que haya una desigualdad de temperatura entre los puntos contiguos del medio. En el caso de la convección, tiene que existir un fluido con libertad de movimiento, que en su desplazamiento transporta energía. En este capítulo se considera un tercer mecanismo de transporte de energía, que es la radiación. Es éste un mecanismo electromagnético, en el que la energía se transporta con la velocidad de la luz sin necesidad de un medio material. La velocidad del transporte de energía por radiación entre dos cuerpos «negros» en el vacío, es proporcional a la diferencia de las, cuartas potencias de sus temperaturas absolutas. Este mecanismo es cuantitativamente muy diferente de los tres procesos de transporte que se,consideran a lo largo de este libro: transporte de cantidad de movimiento (en fluidos newtonianos), que es proporcional a un gradiente de velocidad, transporte de energía (por conducción), que es proporcional a un gradiente de temperatura y transporte de materia (por difusion ordinaria), proporcional a un gradiente de concentración. Debido a la singularidad de la radiación como medio de transporte, y a la importancia de la transmisión de calor por radiación en los cálculos industriales, vamos a dedicar un capítulo de introducción a este tema. Para efectuar un estudio completo del transporte por radiación es preciso utilizar diversas disciplinas:r,2 la teoría electromagnética se necesita para describir la naturaleza esencialmente ondulatoria de la radiación, especialmente por lo que respecta a la energía y presión en relación con las ondas electromagnéticas; la termodinámica es útil para obtener algunas relaciones entre las «propiedades globales» de un recinto de radiacion; la mecánica cuántica es necesaria para describir detalladamente los procesos atómicos y moleculares que tienen lugar cuando la radiación se produce en el interior de la materia, o bien es absorbida por ella; finalmente, se precisa la mecánica estadística para describir la forma en que la energía radiante se distribuye en el espectro de longitudes de onda. En este capítulo se hace un estudio 1 M. PLANCK, í’heory of Heur, Macmillan, Londres (1932), partes III y IV. 2 W. HEITLER, Quontum Theory of Radiation, Oxford University F%ss (1944), segunda edición. 14-2 TRANSPORTE DE ENERGIA elemental, .y su principal objeto es definir ciertas magnitudes clave y ipresentar los resultados más importantes de la teoría y la experimentación. Después de esto, se expone la forma en que se pueden utilizar algunos de estos resultados para calcular la velocidad de transmisión de calor por radiación en sistemas sencillos. En la sección Q 14.1 se introduce al lector en algunos conceptos y definiciones básicas. En 0 14.2 se presentan algunos de los principales resultados físicos de la radiación del cuerpo negro. En la sección siguiente, 0 14.3, se estudia la velocidad de intercambio de calor entre dos cuerpos negros; en ella no se introducen nuevos principios físicos, ya que los problemas básicos son de orden geométrico. La sección 5 14.4 se dedica a ampliar la anterior para el caso de superficies no negras. Finalmente, en la última sección se discuten brevemente los procesos de radiación en medios absorbentes. 5 14.1 EL ESPECTRO DE RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA Cuando un cuerpo sólido se calienta, mediante una resistencia eléctrica, por ejemplo, emite una radiación cuya longitud de onda está comprendida ptincipalmente en el intervalo de 0,l a 10 micrones. Esta radiación se denomina radiación thmica. Para la descripción cuantitativa de los mecanismos atómico y molecular en’ virtud de los cuales se produce la radiación, es prkiso acudir a la mecánica cuántica, y por consiguiente se sale de los límites de este estudio. Sin embargo, una descripción cualitativa es la siguiente: cuando se comunica energía a un cuerpo sólido, algunos de los átomos o moléculas que lo constituyen pasan a «estados excitados», que espontáneamente tienden a retornar a estados de energía más bajos. Como consecuencia de esto, se produce una emisión de energía en forma de radiación electromagnética. Como la radiación emitida puede deberse a variaciones en los estados electrónico, vibracional y rotacional de los átomos o moléculas, estará distribuida en un amplio intervalo de longitudes de onda. En realidad, la radiación térmica representa una pequeña parte de todo el espectro de radiación electromagnética. En la Fig. 14.1- 1 se representa un diagrama en el que, de forma aproximada, se indican los tipos de meranismos que son responsables de la radiación. Los distintos tipos de radiación se distinguen entre sí solamente por el intervalo de longitudes de onda que comprenden. En el vacío, todas las formas de energía radiante se mueven con la velocidad de la luz. La longitud de onda Á, que caracteriza una onda electromagnética, está relacionada con la frecuencia v de acuerdo con la ecuación: A =-c (14.1-1) V siendo el valor de c 2,9979 x 1010 cm seg -l. En la parte visible del espectro las distintas longitudes de onda dependen del c<color» de la luz. TRANSPORTE DE ENERGfA POR RAPIACIÓN '"2 14-3 Para algunas cuestiones es conveniente considerar la radiación electromagnética ’ desde un punto de vista corpuscular. En este caso, a una onda electromagnética de frecuencia v se le asocia un fotdn, que es una «partícula» de carga cero y masa cero y cuya energía Q viene dada por Q = hv 17 (14.1-2) %oA 16 lkilld 13 12 ll C o nduc to r e ktrlc o O a do s de ro d io - - - - - - - - - - - q ue C I~ C UIO po r e l uno c o rrie nte a lte rna 10 9 1 cm+ 6 1 mm4 7 6 5 Infrorro/o Infm &o le+m- - - - - - - - - Rot0c10nas prhim * - - - - - - - - molaculorer Vib m c io ne s m o lsc ulo re s llr- 4 c 1 rnfi+ 1 Ra yo r x - - - - ---- -- e le c tro n e s Interiores d e un á to m o 1 A- -2 De sp la zo m le nto Rayos Y-------------~ ~ ~ ~ de nuc le o ne s nQc,aoat6mlco Ll Fig. 14.1-1. Espectro electromagnético de radiación, con indicación gproximada d@ mecanismo en virtud del cual se producen los distintos tipos de radiacibn: 1 A = 1 unidad Angstrom = lo-8 cm; lp = 1 micrón = 10-4 cm. 14-4 $ TRANSPORTE DE ENERGfA siendo h la constante de Planck, cuyo valor es 6,624 x lo-” erg seg. Teniendo eu cuenta estas dos ecuaciones y la información de la Fig. 14.1- 1, se aprecia que um disminución de la longitud de onda de la radiación electromagnética da lugar a un aumento de la energia de los fotones correspondientes. Por ejemplo, cuando una molt!cula disminuye su velocidad de rotación, la cantidad de energía que se desprende es relativamente pequeña y la radiación correspondiente pertenece, generalmente, al infrarrojo. Por el contrario, se desprenden cantidades relativamente grandes de energía cuando un núcleo atómico pasa de un estado de energía elevado a otro más bajo, y la radiación correspondiente es gamma o x. Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente, parece también lógico que la energía radiante emitida por objetos calientes tenderá hacia longitudes de onda más cortas (fotones de mayor energía) a medida que aumenta la temperatura. Hasta aquí se ha considerado el fenómeno de emisión de energía radiante o fotones, cuando un sistema atómico o molecular pasa desde un estado elevado de energía a otro más bajo. El proceso inverso, que se denominá abxwcidn, ocurre cuando la adición de energía radiante a un sistema atómico o molecular da lugar a que el sistema pase a un estado más elevado.de energía. Este último proceso es el que tiene lugar cuando la energía radiante incide sobre una superficie sólida, provocando su calentamiento. 0 14.2 ABSORCIÓN Y EMISIÓN EN SUPERFICIES’ S6LIDAS Una vez que se ha introducido al lector en los conceptos de absorción y emisión a escala atómica, vamos a estudiar ahora estos mismos procesos desde un punto de vista macroscópico. El estudio se reduce a sólidos opacos. La radiación que incide sobre la superficie de un sólido opaco puede ser absorbida o reflejada. La fracción de la radiación incidente que se absorbe se denomina coeficiente de absorción y se designa por el símbolo a; análogamente, la fracción de la radiación incidente de frecuencia v que se %absorbe se representa mediante el símbolo a,. Es decir, que a y a,, se definen por q’e’ a=q”’ 4 (0) 0, = --$ . (14.2-1.,2) donde qv) dv y qv‘ylr) dv son las radiaciones absorbida e incidente por unidad de área y unidad de tiempo, en el intervalo de frecuencia comprendido entre v y v + h. Para cualquier cuerpo real a, será menor que la unidad y variará considerablemente con la frecuencia. Un cuerpo hipotético para el que a, fuese constante (menor que la unidad), en todo el intervalo de frecuencias y para todas las temperaturas, se denomina cuerpo gris; o sea, que un cuerpo gris absorbe siempre la misma fracción de la radiación incidente, cualquiera que sea la frecuencia. Un caso limite de cuerpo gris es aquél en el que a, = 1 para todas las frecuencias y temperaturas; este comportamiento límite corresponde a lo que se llama un cuerpo negro. T R A N S P OR T E DE ENERGfA P OR R A D I A CI Ó N 14-5 Fis 14.2-1. Experiencia imaginaria para demostrar que la radiación de cavidad es independiente de los materiales de la pared. Todas las superficies solidas emiten energfa radiante. La energía radiante total emitida por unidad de tiempo y unidad de área se designa por q(“‘, y la emitida en el intervalo de frecuencia comprendido entre Y y v + ck, por 4:) dv. Para las correspondientes velocidades de emisión de energía desde un cuerpo negro se utilizan los símbolos 46) y qki dv. En función de estas magnitudes, la emisividad para la emisión total de energía radiante, así como para una determinada frecuencia, se definen de la siguiente forma q(e) e=(c ); qb q’“’ ey=+ , (14.2-3,4) qb” La emisividad también es menor que la unidad para superficies reales no fluorescentes, e igual a uno para cuerpos negros. A una determinada temperatura, la energía radiante emitida por un cuerpo negro representa un límite superior de la energía radiante emitida por superficies reales no fluorescentes. Consideremos ahora la radiación en el interior de un recinto evacuado o «cavidad» de paredes isotérmicas, suponiendo que todo el sistema está en equilibrio. En estas condiciones, no existe una densidad de flujo neto de energía a través de la interfase existente entre el sólido y la cavidad. Se puede demostrar que en dicha cavidad la radiación es independiente de la naturaleza de las paredes y varía solamente con la temperatura de las mismas. Conectemos dos cavidades, cuyas paredes están constituidas por dos materiales diferentes que están a la misma temperatura, tal como se indica en la Fii. 14.2- 1. Si las intensidades de radiación fuesen distintas en las dos cavidades, existiría un transporte neto de energía radiante de una cavidad a otra. Como esto estaría en contradicción con el segundo principio de termodinámica, las intensidades tienen que ser iguales en las dos cavidades, independientemente de cual sea la composición de las superficies de las mismas. Tambi6n se puede demostrar que la radiación es uniforme y no polarizada en toda la cavidad. Esta radiación de cavidad juega un importante papel en la deducción de la ley de Planck. La intensidad de radiación se designa por q(-“), y corresponde a la energía radiante que incidiría sobre una superficie sólida de área unidad situada en cualquier lugar del interior de la cavidad. 1 4 -6 k$, TRANSPORTE DE ENERGfA Vamos a considerar ahora otras dos supuestas experiencias. La primera de ellas consiste en colocar en el interior de la cavidad un pequeño cuerpo negro que está a la misma temperatura que las paredes de la cavidad. En este caso no existirá un intercambio neto de energía entre el cuerpo negro y las paredes de la cavidad, y por lo tanto, la energía que incide sobre la superficie del cuerpo negro sera exactamente igual a la energía emitida por él: qP”) = qb(6 (14.2-5) . De este resultado se deduce la importante conclusión de que la radiación emitida por un cuerpo negro es igual a la intensidad de radiación de equilibrio existente en el interior de la cavidad a la misma temperatura. En la segunda experiencia imaginaria, se coloca en el interior de la cavidad un cuerpo no negro, cuya temperatura es igual a la de las paredes de la cavidad. Tampoco en este caso hay intercambio neto de calor entre el cuerpo no negro y las paredes de la cavidad, y se puede por lo tanto, establecer, que la energía absorbida por el cuerpo será igual a la que radia desde él: aq(ca”) = q’?’ (14.2-6) Comparando las Ecs. 14.2-5 y 6 se obtiene qw a=o qb (14.2-7) De acuerdo con la definición de la emrsividad e, de la Ec. 14.2-3, se llega a la conclusión de que e = a (14.2-8) Ésta es la ley de Kirchhoff, que establece que a una temperatura determinada, la emisividad y el coeficiente de absorción de cualquier superficie sólida son iguales, cuando la radiación está en equilibrio con la superficie sólida. También se puede demostrar que la Ec. 14.2-8 es válida para cada longitud de onda separadamente: e, = a, (14.2-9) En la Tabla 14.2-1 se indican los valores de la emisividad total e de algunos solidos. En realidad, e depende de la frecuencia y del ángulo de emisión, pero los valores que se indican aquí tienen una gran aplicación. Los valores tabulados corresponden (con algunas excepciones) para emisión normal a la superficie, pero pueden utilizarse para emisividad hemisférica, especialmente para superficies rugosas. Das superficies metálicas no oxidadas y limpias poseen emisividades muy bajas, mientras que, a temperatura ambiente o superior, la mayoría de los no metales y los óxidos metálicos tienen emisividades del orden de 0,8. Obsérvese que para casi todos los materiales la emisividad aumenta con la temperatura. T R A N S P OR T E DE ENERGfA P OR RADIACl ON 1 4 -7 TABLA 14.2 - 1 EMISIVIDADES TOTALES DE VARIAS SUPERFICIES PARA EMISI6N PERPENDICULAR” T(OK) e T(oK) e Aluminio Altamente pulimentado, pureza 98,3 % Oxidado a 6tXP C Material para techos recubiertos de Al 500 472 311 0,039 0,ll 0,216 850 872 0,057 0,19 Cobre Electrolitico, altamente pulimentado Oxidado a 6ooo C 353 412 0,018 0,57 872 0,57 Hierro Electrolitico, altamente pulimentado Totalmente oxidado Fundición, pulimentada Fundición, oxidada a 6ooo C 450 293 473 472 0,052 0,685 0,21 0964 500 0,064 872 0,78 Cartón de amianto 311 0,93 644 0,945 294 1273 1373 0,93 0,80 0,85 0,945 644 0,945 0,875 0,80 0,92 -0,96 367 0,95 Ladrillo Ordinario, rugoso de sílice, sin vidriar, rugoso de sílice, vidriado, rugoso Negro de humo, para un espesor de 0,075 cm 0 mayor 311 Pinturas Laca negra brillante, sobre hierro 298 Laca blanca 311 Pinturas al aceite, 16 colorea 373 Pinturas de aluminio, de distinta edad y contenido de laca 313 0,27 -0,67 Refractarios, 40 distintos Malos radiadores Buenos radiadores 872 872 0,65 -0,70 0,80-0,85 Agua liquida, capa gruesab 273 0,95 1272 1272 373 0,75 0,85 -0,90 0,963 ’ Valores seleccionados de los datos tabulados por H. C. Hottel para W. H. Mc Heat Transmission, McGraw-Hill, Nueva York (1942), segunda edición, pp. 393-396. hA M S, b Calculados a partir de datos espectroscópicos 14-8 ‘i@ 3 TRANSPORTE DE ENERGfA Se ha indicado que la energía radiante emitida por un cuerpo negro representa un límite superior de la energía radiante emitida por superficies reales, y que dicha energía es una función de la temperatura. Experimentalmente se ha comprobado que la energía total emitida por una superficie negra viene dada por qp = aT4 (14.2-10) en la que T es la temperatura absoluta. Ésta es la ley de Stefan-Boltzmann. Se ha encontrado que el valor de la constante o de Stefan-Boltzmann es 4,878 x lo-8 kcal hr-r mV2 “K-‘4 o bien 1,355 x lo-l2 cal seg-r cmM “Km4. En la próxima sección se indican dos métodos mediante los cuales se ha confirmado teóricamente esta importante fórmula. La energía radiante emitida por cuerpos no negros a la temperatura T, viene dada por q(*) = eaT4 (14.2-11) en la que e debe de evaluarse a la temperatura T. En las secciones $6 14.4 y 5 se discute la utilización de las Ecs. 14.2-10 y ll para calcular las velocidades de transferencia de energía radiante entre superficies calientes. Anteriormente se ha dicho que la constante de Stefan-Boltzmann se ha determinado experimentalmente, lo que implica que es posible disponer de un verdadero cuerpo negro. En realidad, no existen sólidos con superficies perfectamente negras. Sin embargo, se puede obtener una excelente aproximacion haciendo un orificio muy pequeño en una cavidad isotérmica. Dicho orificio se comporta prácticamente como una superficie negra. Que esto constituye una buena aproximación puede verse a partir de la siguiente relación, que expresa la emisividad efectiva del orificio eorif en un recinto de paredes rugosas, en función de la emisividad real e de las paredes de la cavidad, y la fracción f del área interna total de la cavidad que se elimina merced al orificio: e (14.2- 12) eorif = e +f(l -e) Si e = 0,8 y f = 0,001, el valor de eorir resulta 0,99975. Por lo tanto, se absorberá el 99,975 por ciento de la radiación que incide sobre el orificio. La radiación que sale por el orificio corresponderá muy aproximadamente a la radiación de un cuerpo negro. 9 14.3 LEY DE DISTRIBUCIÓN DE PLANCK, LEY DE DESPLAZAMIENTO DE WIEN, Y LA LEY DE STEFAN-BOLTZMANNt*2#3 La ley de Stefan-Boltzmann puede deducirse a partir de consideraciones termo1 J. DE BOER, Textbook of Physics, capítulo VII (R. Kronig, Ed.), Scheltema and Holkema. Amsterdam (1951), tercera edición. 2 G. Joos, Theoreticul Physics, Hafner, Nueva York (1939). 3 M. PLANCK, Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung, Barth, Leipzig (1923), quinta edición. TRANSPORTE DE ENERGfA POR RADIACIÓN *% 14-9 dinámicas, con tal de que se tengan en cuenta ciertos resultados de la teoría del campo electromagnético. Concretamente, se puede demostrar que para la radiación de cavidad, la densidad de energía (es decir, la energía por unidad de volumen) en el interior de la misma es u(r) = 4 ;4?' (14.3-1) Como la energía radiante emitida por un uerpo negro depende solamente de la temperatura, la densidad de energía ut’) ha de ser también una función exclusiva de la temperatura. También se puede demostrar que la radiación electromagnética ejerce sobre las paredes de la cavidad una presión pt’), que viene dada por p(r) = &p) (14.3-2) Los anteriores resultados para la radiación de cavidad pueden obtenerse también considerando que la cavidad está llena de un gas constituido por fotones, cada uno de los cuales está dotado de una energía hv y una cantidad de movimiento hv/c. A continuación se aplica la siguiente fórmula termodinámica (14.3-3) para el gas de fotones o radiación en la cavidad. Introduciendo en esta relación UC” = yuw y p = (QuW, se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria para #J(T): u(í) _ T -du”’ - u(í)3dT 3 (14.34) Integrando esta ecuación ordinaria se obtiene u(‘) = bT“ (14.3-5) en la que b es una constante de integración. Combinando este resultado con la Ec. 14.3- 1, se obtiene la energía radiante emitida p Ir la superficie de un cuerpo negro por unidad de área y unidad de tiempo: que es justamente la ley de Stefan-Boltzmann. Obsérvese que la deducción termodinámica no predice el valor de u. Otro camino para deducir la ley de Stefan-Boltzmann consiste en integrar la ley de distribución de Planck. 3 Esta famosa ecuación expresa la densidad de flujo TRANSPORTE DE ENERGfA 14-10 ‘$. de energía qz) dA que emite una superficie negra en el intervalo de longitud de onda comprendido entre A y A + dA (14.27) en la que h es la constante de Planck. Este resultado puede deducirse aplicando la estadística cuántica a un gas de fotones en una cavidad, considerando que los fotones siguen la estadística de ese-Einstein .4*5 Este intento de explicar la distribución de frecuencia de la radiación del cuerpo negro fue lo que condujo a Planck al desarrollo de la teoría y la estadística cuánticas en los primeros años del siglo actual. En la Fig. 14.3- 1 se representa la distribución de Planck, que predice correctamente la curva de energía frente a la longitud de onda, y el desplazamiento del valor máximo hacia longitudes de onda menores a medida que aumenta la temperatura. Integrando la Ec. 14.3 -7 para todas las longitudes de onda, se obtiene 2?rK4T4 3rd =-Ceh 0 15 (14.3-8) En esta integración se ha efectuado el siguiente cambio de variable x = ch/kT. La integracibn se realiza desarrollando l/(& - 1) en función de ti, e integrando término a término. Por consiguiente, el método cuántico estadístico da la distribución espectral de la radiación, así como también el valor de la constante a, en función de las constantes universales c, h y K; o sea, que a = 2+~4/15cW) = 4,878 x lo-8 kcal hr-1 m-2 “K-4. Este valor es un 1,5 por ciento inferior al obtenido por medidas directas de radiación, pero ofrece más garantía. 4 J. E. MAYER y M. G. MAYER , Sraristical Mechmics, Witey, Nueva York (1940), pp. 363-374. 5 R. C. TOLMAN, Principles of Statistical Mechanics, Oxford University Press (1938), pp. 380- 383. TRANSPORTE DE ENERGfA POR RADIACIaN 14-11 Además de la ley de Stefan-Boltzmann, se puede obtener también, a partir de la distribución de Planck, una importante relación con respecto al valor máximo en dicha distribución. Para ello, se expresa la Ec. 14.3-7 en función de x y se hace dqB/dx = 0, con lo que se obtiene la siguiente ecuación para xmáu, que ,es el valor de x para el cual la distribución de Planck presenta un máximo: (14.3-9) xd = 5(1 - eVXmBx) La solución numérica de esta ecuación conduce. a xtig, = 4,965l. Por consiguiente, a una determinada temperatura T (14.3-10) il,,,&T = L KXrnhx h max poro la radiación solar & 0.5 micrones 100 90 80 20 10 0 2 Esp%o visible 3 4 5 6 7 8 9 10 Longitud de onda. A micrones 0,3-0,7 Fig. 14.3-1. Espectro de radiación de equilibrio de acuerdo con la ley de Planck. TRANSPORTE DE Eh’ERGfA 14-12 ‘+, Introduciendo los valores de las constantes universales y el de xrnsx, se obtiene Ati T = 0,2884 cm OK (14.3-11) Este resultado constituye la ley de desplazamiento de Wien, y es especialmente útil para estimar la temperatura de objetos lejanos. La ley predice, de acuerdo con la experiencia, que el color aparente de la radiación pasa del rojo (grandes longitudes de onda) al azul (cortas longitudes de onda) a medida que aumenta la temperatura. Finalmente, se pueden interpretar algunas de las observaciones anteriores en función de la ley de distribución de Planck. En la Fig. 14.3-2 se han dibujado tres curvas: la curva de distribución de Planck para un hipotético cuerpo negro, la curva de distribución para un hipotético cuerpo gris, y una curva de distribución para un cuerpo real. Es evidente que cuando se utilizan los valores totales de la emisividad, tales como los de la Tabla 14.2-1, se consideran empíricamente las desviaciones de la ley de Planck en todo el espectro. \ Lev d a Phnek leuaraa Una ruperflcie naara, mal tlplca cuerpo gris con c = 113 h Fig. 14.3-2. Comparación de superEcies negras, grises y reales. Ejemplo 14.3-1. Temperatura y emisih de energía radiante del Sol Para cálculos aproximados, el Sol puede considerarse como un cuerpo negro que emite radiación con una intensidad máxima para A = 0,s micrones (5000 A). Sobre esta base, estimar (a) la temperatura de la superficie del Sol y (b) la densidad de flujo calorifico que emite la superficie del Sol. TR A N SP O R TE DE ENERGfA PO R R A D IA C IÓ N 14-13 S o lució n. a. A partir de la ley de desplazamiento de Wien, T = 0,2884 (0,2884 cm ’ K) = 5760°K = 104OO”R 4náx = (0,5 x lo-‘cm) b. A partir de la ley de Stefan-Boltzmann, qp = UF = (4,878 x 10-*)(5760)4 = $4 x 107 kcal hr-l me2 4 14.4 RADIACIÓN DIRECTA ENTRE CUERPOS NEGROS EN EL VACfO QUE ESTAN A DIFERENTE TEMPERATURA En las secciones anteriores se ha expuesto la ley de Stefan-Boltzmann, que describe la emisión total de energía radiante desde una superficie perfectamente negra. En esta sección se estudia la transferencia de energía radiante entre dos cuerpos negros de geometría y orientación arbitrarias. Para esto, es preciso conocer cómo se distribuye con respecto al ángulo la energía radiante emitida por un cuerpo negro. Teniendo en cuenta que la radiación del cuerpo negro es isotrópica, se puede deducir la siguiente relación, conocida como ley de Lambert: q$’ = d!l’ c( tj = acose 7r VT (14.4-1) en la que qg es la energía emitida por unidad de área, unidad de tiempo y unidad de ángulo sólido, en la dirección t9 (véase Fig. 14.4- 1). La energía emitida por unidad de área de superficie negra en todo el ángulo sólido sombreado es, por consiguiente, q$ sen 0 de d#. Integrando esta expresión sobre todo el hemisferio, se obtiene la emisión total de energía: (14.4-2) Este cálculo explica el por qué se ha introducido el factor 7c-l en la Ec. 14.4- 1. Ahora es posible hallar la velocidad de transferencia neta de calor desde un cuerpo «l » a un cuerpo «2», cuando ambos son negros y de una forma y orientación arbitrarias. (Véase Fig. 14.4-2.) Para ello se considera la velocidad neta de transmisión de calor entre un par de elementos de superficie dAl y dA2 que se «ven» mutuamente, y se integra sobre todos los pares posibles de dichas áreas. Los elementos dAl y dA2 se unen mediante una línea recta r12, que forma un ángulo 8, con la normal a dA, y un ángulo e2 con la normal a dA2. Comenzamos por escribir una expresión para la energía radiada desde dAl en un ángulo sólido sen OldOld&, situado alrededor de r18. Este ángulo sólido se toma = UT” = q’a”’ . TRANSPORTE 1 4 -1 4 DE ENERGfA ‘ic 1 Fig. 14.4-1. Radiacibn en un ángulo sólido sen 6 d0 a la superficie. d+ que forma un ángulo 8 con la normal suficientemente grande, de forma que dAz quede totalmente comprendida dentro del «rayo». (Véase Fig. 14.4-2.) De acuerdo con la ley del coseno, de Lambert, la energía radiada en la unidad de tiempo, será ( uG cos el dAl sen 8, dOI dq5l 1 (14.4-3) De la energía que sale de dAl según un ángulo 81, solamente será interceptada por dAz una fracción de la misma, que viene dada por la expresión: área de dAz proyectada sobre ( un plano perpendicular a r12 ) área formada por la intersección del ángulo sólido sen 0, de, dg5, con una esfera i de radio r12 y centro situado en dAl 1 dA2 . 62 = rl$ sen O1 dOI dq$ COS (14.4-4) Multiplicando estas dos últimas expresiones se obtiene (14.4-5) T R A N S P OR T E DE ENERGfA P O R R A D I A CI Ó N 14-15 @2,/’ /7” * / .’ 3 2 6 122 sen 8, (me, dr$ Fig: 14.4-2. Intercambio radiante entre dos cuerpos negros. que corresponde a la energía radiante emitida por dA1 e interceptada por dA2 en la unidad de tiempo. De igual forma, se puede escribir uTS4 cos 0, cos 8 ’ dA, dA, dQm.=21 lr r1å (14.4-6) que es la energía radiante emitida por dAz e interceptada por dAl en la unidad de tiempo. Por consiguiente, la velocidad neta del transporte de energía de dAl a dAz es dQ,, = dQG - dQ;;; =q(q* - T:) cose~cose2dAldA2 (14.4-7) r1P Según esto, la velocidad neta de transferencia de energía desde un cuerpo negro isotérmico «1» a otro cuerpo negro isotérmico «2», es Q l2 = ; (Ti - T:)/l ‘Os ;;20s e2 dA, dA, (14.4-8) TRANSPORTE DE ENERGíA 1 4 -1 6 ‘* Como se sabe, esta integración está restringida para las parejas de áreas dAl y dAz que se ven mutuamente. Habitualmente el resultado se expresa de esta forma (14.4-9) Q 12 = A1Flso(T~4 - T,4) = A,F,,u(T: - T;) Generalmente se toman para Al y A2 las áreas totales de los cuerpos «l» y «2», y los factores de visidnl vienen dados por 02 0#3 OS4 0.6 033 F12 OP 1 1 111--46.0 O,l O? 03 OP ‘46 40 R e l a c i ó n d e dimensIonar 2 3 4 5 6 8 1 0 f Fii. 14.4-3. Factores de visión para la radiación directa entre rectbgulos adyacentes en planos perpendiculares. [H. C. HWITEL, capítulo 3 de W. H. MCADAMS Heut Trunsmission, McGraw-Hill, Nueva York (1954), p. 68.1 1 Denominados tambibn factores de ángulo. 4 $4 8 $ OtJ _ Forma plW0 F 1 Dlrcor 2 Cuadrodo, 3 Rect6y~to~, f ; 4 RyWngulor,& -*? lo 1 Fk. 14.4-4. Hmb 2 --‘L-L-. l 3 Relocl~n 4 Diámetro~ò , Dtrtoncio I 5 I 6 lodo mds corto entre planos Factores de visibqara la radiación directã en& formas idknticas opuestas en planos paralelos. [H. C de W. H. MCADAMS Heut Trunsmission, McGràw-Hill, Nueva York (1954), tercera edición, p. 69.j a@t uf o 3 7 14-18 T R A N S P O R T E D E ENERGfA F,;= 1 S S c os 4 F 21 81 c os 8, dA 12 dA (14.4-10) 58 = - ’ SS coselcos82 r122 VA, dA dA 1 2 (14.4-11) Evidentemente, AlFl2 = A2F21. El factor de visibn r;iz representa la fracción de radiación que sale de Al que es interceptada directamente por AZ. Excepto para algunos casos muy sencillos, el calculo real de los factores de vision es un problema difícil. En las Figs. 14.4-3 y 4 se presentan algunos factores de visión para radiación directa, calculados por Hottel y colaboradores 213~4. Cuando se dispone de estas gráficas resulta sencillo calcular los intercambios de energía mediante la Ec. 14.4-9. En la deducción que antecede se ha supuesto que pueden utilizarse la ley de Lamber? y la ley de Stefan-Boltzmann para describir los procesos ‘de transporte radiactivo de no equilibrio, a pesar de que ~610 son estrictamente válidas para el equilibrio de radiación. No se han estudiado a fondo. los -errores que se cometen por esta raxon, pero las fórmulas deducidas dan aparentemente una buena descripción cuantitativa. Hasta ahora se han considerado solamente sistemas que constan de dos cuerpos negros «l» y «2». A continuacibn vamos a referimos a úna serie de superficies negras «l», «2», i.., «II», que forman las paredes‘ de un’ recinto. Las superficies se mantienen a las temperaturas Tl, Tz,... T,,, respectivamente. El flujo neto de calor desde una superficie «i» a las n-l superficies restantes es , Qt, = t--G 5 F,,G’ - Tf) i I 1,2; - l .* , n (14.4-12) 1-1 o bien 5 F,,T,‘J Qi. = aA@ - j=l (14.4-13) Para escribir la segunda forma, se ha aplicado la relación $lFif- 1 (14.4-14) En los sumatorios de las Ecs. 14.4- 13 y 14 esti comprendido el termino Fii, que para un objeto que no intercepta ninguno de sus propios rayos es igual a cero. La 2 H. C. H~TTEL, «Radiant Heat Transmission», Chemicuf E¡I&WS Handbook, McGraw-HiU, Nueva York (1950), tercera edición, pp. 483-498. 3 H. C. HOTTEI., «Radiant Heat Transmission», en-W. H. MCADAMS, Hear Trunmnission, ’ McGraw-Hill, Nueva York (1954). tercera edicibn, capitulo 4. 4 M. JAKOB, Xfeut Trutrsfir, Wiley, Nueva York (1957). vol. II, capítulo 31. TRANSPORTE ‘$ DE ENERGiA POR RADIACldN 14-19 serie de las n ecuaciones correspondientes a la Ec 14.4-12 (o Ec. 14.4-13), pueden resolverse ‘para hallar las temperaturas o los flujos de calor, según los datos de que se disponga. Una solución simultánea de las Ecs. 14.4-13, que tiene un interés especial, es la que corresponde a Qss, Q,,, . . . . Q,, = 0; las superficies 3, 4 ,... n se denominan «adiabáticas». En este caso, se pueden eliminar del calculo las temperaturas de todas las superficies excepto las «In y «2», y obten& una solución directa para el flujo neto de calor desde la superficie «l» a la superficie «2»: Q1a = uA,F12(T14 - Ts4) = uA,Fal(T14 - Ta4) (14.4-15) En la Fig. 14.4-4 se han representadó los valores de Fla que se utilizan en esta ecuación. Estos valores se aplican solamente cuando las paredes adiabáticas están formadas a partir de elementos lineales perpendiculares a « 1» y «2». La utilización de estos factores de visión F y F simplifica grandemente los cálculos cuando se conocen las temperaturas de las superficies «l » y ((2% El lector que desee una mayor inf’ormaci&i sobre el intercambio de energía radiante en recintos, debe de acudir a la bibliografía.4 Ejemplo 14.4- 1. Estimad611 de la constante solar La densidad de flujo de calor radiante que llega a la atmósfera terrestre procedente del Sol se denomina «constante solan> y tiene importancia en Ia utilizacion de la energia solar y en meteorología. Tomese el Sol como cuerpo 1 y la Tierra como cuerpo 2 y utilfcense los siguientes datos para calcular la constante solar: D, = 1,38 x 106 km; r12 = = 1,50 x 108 km; qbl(‘J = 5,4 x 10’ kcal hr -1 me2 (según el ejemplo 14.3-1). SoluciC. Utilizando la terminología de la Ec. 14.4-5 y la Fig. 14.4-5, constante solar P dQii = UT,’ - cose,dA, cos e, M, 4 s = 1.140 kcal br-l mm2 (14.4-16) Este resultado concuerda satisfactoriamente con otras estimaciones efectuadas. Se puede separar rta2 de la integral, debido a que la distancia r12 a la superficie visible del Sol varía menos del 45 por ciento. La integral que queda, Jcos 6, dA,, corresponde al brea proyectada del Sol tal como se ve desde la Tierra, o Sea prácticamente nD12/4. Ejemplo 14.4-2. T ‘1l5ndee3lerghradíante4!ntredísabs Dos discos-negros de 60 cm de diámetro, directamente opuestos, estin situados a una distancia de 120 cm. El di «l» se mantiene a 1OCKP K y el «2» a 5W K. calcular el’flujo TRANSPORTE DE 14-10 ENERGiA 150 millones de km Fig. 14.4-5. Estimación de la constante solar. de calor entre los discos: (a) cuando no existen otras superficies y (b) cuando los dos discos se conectan mediante una superficie negra’constituida por un cilindro recto adiabático. Solución. a. A partir de la Ec. 14.4-9 y la,curva 1 de la Fig. 14.4-4. Q1* = A,F**e-;1 -‘T*Y = (n)(O,30)*(0,06)(4,878 x 10-s)[(,1000)4’- (SOO)4] = 7,76 x 102 kcal hr-1 b. A partir de la Ec. 14.4-15 y la curva 5 de la Fig. 14.4-4, QIS =A,&(T14 - T,') x 10-8)[(1000)4 - (SOO)4] 102 kcal hr-1 = (n)(O,30)*(0,34)(4,878 = 43,9 x 14.5 RADIACIÓN ENTRE CUERPOS NO NEGROS QUE ESTAN A DISTINTA TEMPERATURA En principio, la radiación entre superficies no negras puede abordarse mediante el análisis diferencial de los rayos emitidos y sus sucesivos componentes reflejados. En la práctica, esto se puede efectuar para superficies que son, aproximadamente, negras, ya que en este caso so10 es preciso considerar una o dos reflexiones. Sin embargo, para superficies de elevado poder de reflexión el análisis es complicado, y, generalmente, no se conocen con suficiente exactitud la distribución de los rayos emitidos y reflejados con respecto al ángu!o y la longitud de onda, de forma que no está justificado un cálculo detallado. Se puede obtener un tratamiento razonablemente exacto para una pequeña superficie no negra contenida en el interior de un gran recinto prácticamente isotermico (es decir, una «cavidad»), como es el caso de una tubería que conduce vapor TRANSPORTE DE ENERGfA POR RADIACIÓN -3 14-21 de agua, .situada en una habitación, cuyas paredes están a temperatura constante. La velocidad de emisión de energía desde una superficie no negra «l» a un recinto que la rodea «2», viene da& por (145-1) Qii= wwl,G y la velocidad de absorción por la superficie «IN de energía procedente de los alrededores es (14.5-2) Qz; 7 alAlF124” En esta ecuación se ha tenido en cuenta que la radiación que incide sobre la superficie «l» es prácticamente una radiación de.cavidad,- o radiación .de un cuerpo negro, correspondiente a la temperatura T2. Por consiguiente, la velocidad neta de radiación desde ,4r a los alrededores es QI, = aAl(elT14, _ - .l a T z 3 (14.5-3) Si Al no tiene ninguna concavidad no intercepta ninguno de sus propios rayos, y F12 es igual a la unidad. En la Ec. 14.5-3, et es el valor de la emisividad de la superficie «l» a la temperatura Tl. El coeficiente de absorción u1 se estima generalmente como el valor de e de la superficie «l? a la temperatura Tz. H Se considera ahora un recinto que consta de n superficies grises difuso-reflectantes que están a temperaturas diferentes Tl, TL.. T,,. Si todas las superficies menos T= Tl e= a= q ‘T= T2\ e=a=e2 T e= a= eg Fig. 14.5-1. Escudo de radiación. 14-22 ‘q TRANSPORTE DE ENERG!A dos son adIabáticas (es decir, Q,, = Q,, = . . . = 0), el flujo de calor entre las superficies «l» y «2» viene dado por la siguiente ampliación de la ‘Ec. 14.4- 15 9 (14.%I) (14.5-5) Las Ecs. 14.5-4 y 5 corresponden a una solución exacta si Al y Aa son planos paralelos infinitos, cilindros coaxialesinfinitos, o .esferas con&ntricas y no existen a la vista otras superficies; tambikr es exacta para otras geometrías, si se ve el mismo recinto cualquiera que sea el punto ‘situado sobre Al desde ei que se observa, y análogamente para AZ. Las ecuaciones tambitn se transforman en exactas cuando las emisividades de todas las superficies del sistema tienden hacia la unidad. En la Fig. 14.4-4 se indican los valores de &s para algunas geometrias sencillas. Ejemplo 14.5-1, Ewudos de cadiaeib Deducir una expresion para la disminucibn de la transferencia de energfa radiante entre dos planos grises paralelos de dimensiones infinitas que tienen la misma area A, cuando paralelamente entre ellos se coloca una delgada Mmma gris de conductividad calorífica muy elevada. S o lució n. ge puede efectuar un balance de radiacibn entre cada pareja de superficies adyacentes, utilizando la nomenclatura de la Fig. 14.5-1 y sumando las energías absorbidas durante la repetida reflexión de un determinado rayo primario. Por ejemplo, en la Fig. 14.5 -2 se representa esquematicamente la forma en que se absorbe la energía que sale de la superficie «l». Lo mismo puede hacerse para la energta emitida originalmente por la superficie ~211. Combinando estos resultados se llega a QM = AO? - Tl’)[eles + cIesO - eal - eJ + eIes(l - e&l - eJ1 + * * . ] - AaeledT14 - T8 2 10 - eN - dl f-O (14.5-a Se puede demostrar que e1 sumatorio se transforma en (1 4 .5 -7 ) de forma que Qn = (;y,-T ; (1 4 .5 -8 ) 1 H. C. H O TTEL, en W. H. McAdams, Heat Trunsmission, McGraw-Hill; Nueva York (1954), capitulo 4. 2 M. JAKOB, Heut Trumfer, Wiley, Nueva York (1957), vol. II, capitulo 31. TRANSPORTE -DE ENERGfA POit RADIACIÓ N ‘k? Re a b so rb id o por al~ el2 (1 - e*)aT1’ / eis(l - eI) - (1 - e2)2uT14 Ra y o wnitldo el(l - e2)aT14 / L / elO - elN - e2)uT14 / Y ele20 - el) (1 -e&TT,’ ’ el (1 - c1 )(l - ez)*uT1’ eI(l - el)*(l - ez)zuT14 - 14-23 Supertkle SupwRcie *ls 0 tempwotum TI y c o n amlrlvidod Y l 2* a lo r- te m p e ra tura el T2 y c o n emlrivldad eR Fig. 14.5-2. Diagrama esquetitico en el que se indica lo que le sucede a la radiación emitida por la superficie «l». (Obsérvese que este resultado es un caso especial de la Ec. 14.5-4.) Anál&gamente, (14.5-9) Eliminando ahora la temperatura T2 del escudo de -radiación mediante estas dos ecuaciones, se obtiene La relaci6n entre la traxkmisión de energía radiante con escudo y sin 61 es (14.5-11) ‘Z TRANSPORTE DE ENERGIA 14-24 Si la emisividad de las tres superficies es la misma, el valor de esta fracción es un medio. La utilización de escudos múltiples es todavía más efectiva (véase problema 14.H), y se utilizan frecuentemente para el aislamiento a temperatura elevada y para la protección de termopares. Ejemplo 14.5-2. Pérdidas de calor pot radiación y convecci6n horizontal libre en una tuti Predecir la velocidad total de perdida de calor, por radiacion y convección libre, en una unidad de longitud de una tubería horizontal recubierta con cartón de amianto. El diámetro externo del aislamiento es 15 cm. La superficie exterior del aislamiento está a 3W C (311” K), y las paredes que la rodean y el aire ambiente están a 27O C (3ooO K). Solución. Se toma la superficie externa del aislamiento como superficie «l» y las paredes de la habitación como superficie «2». Se aplica la Ec. 14.5-3 (14.5-12) QIS =, p4&W14 - +G41 Puesto que la superficie es convexa y está totalmente cubierta por «2», F,2 es la unidad. En la Tabla 14.2-1 se encuentra que eI = 0,93 y aI = 0,93. Substituyendo los valores numéricos en la Ec. 14.5-12 se obtiene para 1 m de tuberfa Q,, = (4,878 x lo-*)(~)(0,15)(,l,O)[O,93(31 = 27 kcal hr -1 1)4 - 0,93(300)4] Sumando las perdidas de calor por convección que se han obtenido se obtienen las perdidas totales de calor en la tuberia: (14.5-13) en el ejemplo 13.5-1, Q = Qfc) + Qt’) = 17 + 27 = 44 kcal hr-* (14.5-14) Obsérvese que en este caso la radiación es responsable de más de la mitad de las pérdidas de calor. Si ei fluido no es transparente, los procesos de convección y radiación no son independientes entre sí y Qtc) y Qt’) no pueden sumarse directamente. El cálculo efectuado aquí resulta casi siempre adecuado para gases; en la mayor parte de los problemas en los que intervienen líquidos, Q(‘) puede despreciarse. Ejemplo 14.5-3. Convección y radiación combiidas Un cuerpo directamente expuesto al firmamento durante la noche se enfriará por debajo de la temperatura ambiente debido a la radiación al espacio exterior. Este efecto puede utilizarse para congelar agua en bandejas poco profundas bien aisladas del suelo. Estimar la temperatura máxima del aire para la que pueda tener lugar la congelación, despreciando la evaporación. Solucidn. Como primera aproximación se supone lo siguiente: a. Todo el calor que recibe el agua se debe a la convección hbre desde el aire ambiente, que se supone en reposo 6. El efecto calorífico de la evaporación o condensación de agua es despreciable c. Se ha alcanzado el estado estacionario. d. La bandeja que contiene el agua es de sección cuadrada. e. La radiación procedente de la atmósfera es despreciable. TRANSPORTE DE ENERGfA POR RADIACIÓN 14-25 La máxima temperatura que puede tener el aire en la superficie del agua es 2730 K. La velocidad de J&&&z +e calor por radiación es Q”’ = ~A,uT,~ = (0,95)(4,878 x 10-8)(273)4L2 = 257Lz kcal hr-l , :‘, siendo L la longitud de un borde de la bandeja, expresada en m. / Para halIar la ganancia de calor por convecci& se utiliza la relación .. . I Q(=- = hLqT,¡, i Tpsus) . (14.5-15) (14.5-16) siendo h el coeficiente de transmisión de calor por convección libre‘. El coeficiente de transmisión de calor, para”e1 enfriamiento del aire a temperatur’as ordinarias mediante la cara superior de una superficie horizontal cuadrada, viene dada por3 h = 1,13(T,, - Tas&‘/4 (14.5-17) en la que h está expresado en kcal hr-1 m-* “C-l y la temperatura en grados Kelvin. Si las anteriores expresiones para la pérdida de calor por radiación y la ganancia de calor por convección libre resultan adecuadas, se obtiene 1,[email protected], - 273y’a = 257 L* (14.5-18) De esta ecuacibn se encuentra que la máxima temperatura del aire ambiente es 3500 K o 770 C. Excepto en condiciones desérticas, la radiación procedente de la atmósfera y la condensación de humedad del aire hacen que la temperatura necesaria del aire disminuya considerablemente. 9 14.6 TRANSPORTE DE ENERGfA RADIANTE EN MEDIOS ABSORBENTESl Los métodos que se han expuesto en las secciones precedentes, solamente son aplicables a materiales totalmente transparentes o totalmente opacos. Para describir el transporte de energía en medios no transparentes, se expresan las ecuaciones diferenciales de la velocidad local de variación de energía, consideradas desde el punto de vista del material y de la radiación. Es decir, que se considera un medio material atravesado por una radiación electroma&tica, en el que coexisten dos «fases»: una «fase material» forma& por la masa total del sistema, y una «fase de fotón» constituida por la radiación electromagnética. En el Capítulo 10 se ha indicado ya una ecuacibn deí balance de energía para un sistema en el que no existe radiación. Aquí vamos a ampliar la Eo. Q de la Tabla 3 W. H. MCADAMS, en Chemical Engineers’HanaBook (J. H. Perry. Ed.), McGraw-Hill, Nueva York (1950), tercera edición, p. 474. 1 S. C HANDRASEKHAR presenta un amplio tratamiento, Zte .la teoría de la radiaci6n en medios absorbentes, en Radiative Transfer, Oxford University Press (1950). 14-26 ‘* TRANSPORTE DE ENERGtA 10.4-1 para la fase material con el fin de tener en cuenta la energia que se intercambia con la fase de fotón debido a los procesos de emisión o absorción: $L -(v~puu)-(v~q)-p(v*o)-(~:vo)-(Q-~) (14.61) En esta expresión ,,d y dson las velocidades locales di emisión y absorcih de fotones por unidad de volumen. 0 sea, que bB representa la pérdida de energía de la fase material que resulta como consecuencia de la emisión de fotones por las molkulas; análogamente, .%? representa la ganancia local de energía de ,la fase material que resulta como consecue+a de la absorción de fotones pot’ias moléculas. (Base Fig. 14.6-1.) En la Ec. 14.6-1, q representa la densidad de flujo de calor por conducción, que viene dado por la ley de Fouriér. r - -----.------------------q Absorctõn do -l ----------y---------v-- Fig. 14.6-1. Elemento de volumen sobre el que 3c aplican los, balances de energía; los círcu!os representan molhlas. Para la «fase de fotón», se puede plantear una ecuación para la velocidad de variación de la densidad de energía radiante u(‘): 2 u(rl L= -(V-q(‘)) + (ff- d) at (14.6-2) en la que q(r)es la densidad de flujo de energía radiante. Esta ecuación se obtiene aplicando un balance de energía radiante a una pequeiia unidad de volumen fijo “+ TRANSPORTE DE ENERGfA POR RADIACl&! 14-27 en el espacio. Observese que en la Ec. 14;6-2 no existe término convectivo, puesto que los fotones se mueven independientemente de la velocidad local de la materia. ObsCrvese tambih que en las Ecs. 14.6- 1 y 2 el t6rmino (8 - J@ interviene con signos opuestos, lo que indica que la ganancia neta de energía radiante se produce a expensas de la energía molecular. La Ec. 14.6-2 puede expresarse también para la energía radiante en un intervalo de frecr .encia comprendido entre v y v + dv: a -@ = at. -(V l qy,, + * (8 - d * ) Esta expresi&n.se obtiene diferenciando la Ec. 14.6-2 con respecto a v. Con el fin de simplificar la discusión, vamos a considerar un sistema no fluyente en estado estacionario, en el que la radiación se desplaza solamente en la dirección + z. Un sistema de este tipo’ puede conseguirse de forma muy aproximada haciendo pasar un rayo de luz colimado a través de una solución que está a temperatura suficientemente baja, di: forma que la emisión de la solución carece de importancia.2 Estas condiciones son las que generalmente se presentan en espectrofotometría. Para este,sistema, las Ecs. 14.6-1 y 2 resultan 0 I --$.+J f f d 0 =-- g(r ) dz ’ , - Jg Para utilizar estas ecuaciones es preciso disponer de informacibn acerca de la velocidad volum&rica de absorción &. Una expresión convencional para un rayo unidireccional es d = m,q@) (14.6-6) en la que “2. se denomina el «coeficiente de extinción». En esencia, esto establece que la probabilidad de absorción de fotones es proporcional a la concentración ,de los mismos. Ejemplo 14.6-1. Absorción de un rayo de radiación monocromhtica Un rayo de radiaci6n monocrom&tica de frecuencia Y, enfocado paralelamente al eje z, pasa a trav& de un fluido absorbente. La velocidad local de absorción de energia viene dada por m,,q,(‘), siendo m,, el «coeficiente de extinción» para la radiación de frecuencia V. Determinar la distribución de la densidad de flujo radiante qv(‘) en el sistema. sOluci6n. Se desprecia la refraccih y la dispersión del rayo incidente. Tambih se * Tengase en cuenta que si la emisióti fuese importante, sería preciso considerar la radiación en todas las direcciones. 14-28 ‘ap- TRANSPORTE DE ENERGíA supone que el líquido se refrigera, de forma que puede despreciarse ,la radiación que procede de él. Por consiguiente, para estado estacionario la Ec. 14.6-5 resulta Integrando con respecto a z se obtiene Ésta es la ley de Lambert que tiene una gran aplicación en espectrofotometría. Para un determinado material puro, m,, depende de Y según una forma característica. Por consiguiente, la forma del espectro de absorción constituye un medio muy irtil para el anátisis cualitativo. CUESTIONES PARA DISCUTIR 1. iCual es la ley de Stefan-Baltzmann y en que condiciones es aplicable? Indicar un ejemplo de un sistema físico en el que pueden tener realidad estas condiciones. iCómo está relacionada con la ley de Planck? 2 . ¿Qué es un cuerpo negro? iExisten tales cuerpos? i,Por que es útil el concepto de un cuerpo negro? 3. j,Qué es un cuerpo gris? ¿Qué utilidad tieneeste concepto? &tJn cuerpo negro puede considerarse como gris? 4. Para la reflexión en un espejo, el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. iCómo están relacionados estos ángulos para la reflexión difusa? 5. iCuál es el significado físico del factor de visión F,, y del factor F,,? 6 . LEn qué condiciones puede expresarse totalmente en función de FtI el efecto de la geometría sobre eI intercambio de calor radiante entre dos superficies? iY en función de F,,? 7 . iQué ecuaciones de este capítulo demuestran que el resplandor aparente de un cuerpo negro, cuya temperatura en la superficie es uniforme, es independiente de la posición (distancia y dirección) desde la que se observa? 8 . iPuede unacapa muy delgada de un gas luminoso radiar con mayor intensidad que un cuerpo negro a la misma temperatura? 9. iCuál es la relación análoga a la Ec. 14.3-2 para un gas ideal monoatómico? 10. ¿Cuáles son las unidades de yte), qrte) y yAte)? ll. Comprobar el valor numérico y las unidades de u que se indican a continuación de la Ec. 14.3-8, calculando u a partir de las constantes universales. 12. iCual es la ley del desplazamiento de Wien? i,Y la ley de Lambert? PROBLEMAS 14.Al Aproximación de un cuerpo negro medidte im orificio en una esfera Una delgada esfera de cobre, cuya superficie interior está altamente oxidada, tiene un diimetro de 15 cm. iCuál ha de ser el diámetro del orificio practicado en la esfera para que el coehciente de absorción del orificio sea O,99? Radio = 1,75 cm. Respuesta: TRANSPORTE DE “9. 14.B, Eficacia de una mriquina ENERGfA POR RADIACIÓN 14-29 solar Abbott desarrolló una máquina para la utilización de la energía solar, consistente en un espejo parabólico que concentra la radiación solar sobre un tubo de vidrio Pyrex conteniendo un liquido prácticamente negro de elevado punto de ebullición. El líquido se hace circular a través de un cambiador de calor en el que se transmite la energía calorífica a agua a 25 atm, generando vapor de agua que puede utilizarse”en una máquina. El dispositivo más eficaz requiere un espejo de 3 m de diámetro para generar 2 hp, cuando el eje del espejo está directamente dirigido al Sol. iCuál es la eficacia total del aparato? Respuesta: l5,7 por ciento. 14.C, R equerimiento de calefacción por radiación Una barraca de forma paralelepipédica tiene 4.5 m por 9 m de planta, y el techo está a 2.5 m del suelo. El suelo se &lienta mediante la circulación de agua caliente a través de tubos. En los días fríos de invierno la temperatura de las paredes y del techo es del orden de - 23O C. ;A qué velocidad debe de comunicarse calor al suelo con el fin de quela temperatura del mismo sea de 240 C? (Sup6ngase que todas las paredes son negras.) 14.D, Temperatura de una azotea en estado estacionario Estimar la máxima temperatura que alcanza, con tiempo despejado el día 21 de junio, una azotea horizontal situada a 450 de latitud Norte. Se supone que la única radiación existente es la del Sol y que el coeficiente de transmisión de calor por convección es .de 9,75 kcal hr-1 m-z 0 C-t. Se admite que la temperatura del aire ambiente es de 38OC. a: La ázotea es perfectamente negra. b. La azotea está recubierta de aluminio, cuyo coeficiente de absorción para la radiación solar es 0,3, y la emisividad a la temperatura de la azotea es 0,07. Utilizar la constante solar del ejemplo 14.4- 1, y despreciar la absorción y dispersión de los rayos solares por la atmósfera. 14.E, Errores en las medidas de temper$ura a causa de la radiición La temperatura de runa corriente de aire en una conducción se mide mediante un termopar. Los cables del termopar y la unión son cilíndricos, de l,3 mm de diámetro, y se introducen perpendicularmente al flujo, estando la unión situada en el centro de la conducción. Estimar la temperatura de la corriente gaseosa, a partir de los siguientes datos obtenidos en condiciones estacionarias: Temperatura de la unión del termopar Temperatura de la pared de la conducción Emisividad de los cables del termopar Coeficiente de transmisión de calor por convección del cable al aire =260% = 149 oc = 0,s = 245 kcal hr-tm-z%-1 El valor que se indica de la temperatura de la pared permanece constante para 20 diámetros de la conducción aguas arriba y abajo del punto donde se instala el termopar. El termopar está instalado de forma que es despreciable el efecto que las perdidas por conducción ejercen sobre la temperatura de la unión. 1 C. G. ABBOT, en Solar Energy Hesearch (F. Danielr y J. A. Duffie, Eds.), Uhiversity of Wisconsin Press, Madison (1955), pp. 91-95; vease tambien U.S. Patent n.O 2460.482 (1 febrero 1945). 14-w $ / TRANSPORTE DE ENERGIA 14.F, Tenyeratura media para la emisividad efectiva Demostrar que si la emisividad aumenta linealmente con la temperatura, la Ec. 14.5-3 puede expresarse así en la que et0 es la emisividad de la superficie ~1% evaluada a la temperatura de referencia P, que ,viene dada por (14.F-2) 14.G, R adiación en un anillo Deducir una expresi6n para la velocidad de transmisión de calor radiante entre dos largos cilindros grises coaxiales considerando reflexiones múltiples, como en el ejemplo 14.5 - 1. Demostrar que el resultado satisface la Ec. 14.5-5. Respuesta: Ql. = [g-y?$ g] siendo At el brea de la su& ficie del cilindro, interior. 14.Hz Eseados mdltiples d e radhcidn a. Deducir una ecuación para la velocidad de transmisi6n de energfa radiante a trav6s de una serie de n láminas metalicas, muy delgadas, planas y paralelas, cada una de las cuales posee una emisividad e diferente, cuando la primera lámina esta .a la temperatura TI y la lamina R a la temperatura T,,. Expresar el resultado en función de los factores #para las sucesivas parejas de planos. ~0s efectos de los- bordes y de la conducci6n a travks del espacio de aire comprendido entre laa laminas pueden despreciarse. b. Determinar la relaci6n entre la velocidad de tranamisi6n de calor. por radiación para un conjunto de n laminas idknticas, y la que tiene lugar para dos lamimas id6nticas. C. Comparar el resultado para el caso de tres láminas, con el que se ha obtenido en el ejemplo 14.5-1. Teniendo en cuenta la notable disminucibn de las velocidades de transmisipn de calor que se consiguen con los escudos de radiación, se utilizan numerosas laminas delgadas de un metal para el aislamiento a temperatura elevada. 144 Radiaci611 y eoadaedn P travcS de medioa absorbentea Una plancha de vidrio se extiende desde z = 0 hasta z = 6, y es infinita en las direcciones x 07. f,as temperaturas de las superticies situadas en z = 0 y z = 6 se mantienen a TO y Td, respoodvamente. Sobre la cara situada en z = 0 incide un rayo monocromatico dirigido seg6n la direcci6n E, y cuya intensidad es q&). Tanto la emisi6n en el interior de la lamina como la radiación incidente en Ia dirección z pueden considerarse despreciables. a. Determinar la distribución de temperatura en la plancha, suponiendo que m. y k son constantes. b. $bmo varía con m,, la distribución de la densidad de flujo de energía por conducci6n q.? 14.J3 Eafdamhte de rm cuerpo aegro en el vaelo Un pequeho cuerpo negro de conductividad calorifica muy elevada tiene un volumen V, un area At, una densidad p, y un calor especbico c,,. En el instante t = 0 se coloca este cuerpo, c~m TRANSPORTE DE ENERGfA ‘+ POR RADIACIÓN 14-31 temperatura es Tl, en el interior de un recinto negro cuyas paredes se. mantienen permanentemente a la temperatura T2 (T2 < Tl). Deducir una expresión de la temperatura T del cuerpo negro en funci6n del tiempo. l l I I I I I ? I H I I - i, l t--R‘! Flg. 14.K. Dos discos perfectamente negros. 14.K, Resol& de la inkgral del factor de vlsión para un probleína concreto Dos discos idCnticos, perfectamente negros, están situados a una distancia H y su radio es R, tal como se indica en la Fig. 14.K. Resolver las integrales del factor de visión para este caso y demostrar que Fa, = FSI = 1+2B’-d1+4P 28’ (14.K-1) siendo B = R/H. Este resultado ha sido obtenido por Christiansen.2 14.4 P&dldas de calor en un alambre por el que circula una conbte eM ctrh3 Un alambre de longitud L, calentado elktricamente, cede calor a los alrededores debido a la transmisión de calor por radiación. Si los extremos del alambre se mantienen a la temperatura constante To, obtener una exptesión para la variaci6n axial de la temperatura del alambre. Puede considerarse que el alambre radia a un recinto negro de temperatura To. 2 C. CI-IRISTIANSEN, Wie&mun~‘s Ann., 19,267 (1883); véase tambidn M. JAKOB. Heat Trunscfc Wiley, Nueva York (1957), vol. II, p. 14. 3 H. S. CARSLAW y J. C. JAEGER, Conduetion of Heat in Solldï, Oxford University Press (1959), segunda edición, pp. 154-156. CAPfTULO 15 BALANCES MACROSCÓPICOS EN SISTEMAS NO ISOTÉRMICOS En el Capítulo 7 se han estudiado los balances macroscópicos de materia, energía mecánica y cantidad de movimiento, para el caso de sistemas que están a temperatura constante. En realidad, esta restricción es un poco artificial, puesto que en los sistemas reales de flujo siempre se convierte algo de energía mecánica en energía calorífica. Lo que realmente se supone en el Capítulo 7 es que, o bien el calor que se produce es demasiado pequeño para dar lugar a una-variación apreciable de las propiedades del fluido, o que se elimina inmediatamente a traves de las paredes del sistema que limitan el fluido. En este capítulo se generalizan los anteriores resultados con el fin de describir el comportamiento general de los sistemas macroscópicos de flujo no isotérmico. Para el caso de un sistema no isotérmico, existen cuatro balances macroscópicos que describen las relaciones entre las condiciones de la corriente a la entrada y a la salida: a) El balance macroscópico de materia correspondiente a la Ec. 7.1-2, obtenido mediante la integración de la ecuación de continuidad extendida al volumen del sistema de flujo (o bien deducido en la forma que se indica en 6 7.1). 6) El balance macroscópico de cantidad de movimiento, Ec. 7.2-2, obtenido por integración de la ecuación de movimiento sobre el volumen del sistema de flujo (o bien deducido en la forma que se indica en § 7.2). c) El balance macroscópico de energfa, Ec. 15.1-3, obtenido al integrar la ecuación de energía sobre el volumen del sistema de flujo (o deducido según se indica en $ 15.1). d) El «balance» macroscópico de energía mecánica, del que las Ecs. 15.2-1 y 2 representan casos especiales, se obtiene formando el producto de punto de la velocidad local de la corriente con la ecuación de movimiento, e integrando sobre el volumen del sistema de flujo. Estas cuatro relaciones comprenden los postulados de conservación de materia, cantidad de movimiento y energía (constituyendo esta última el primer principio de termodinámica), y una cuarta relación, que corresponde en esencia a las restricciones impuestas por el segundo principio de termodinámica. La denominación de 1 5 -2 TRANSPORTE DE ENERGfA «balance de energía mecánica» no es del todo correcta, si bien es cierto que la ecuación considera las diversas formas de energía mecánica del sistema. Los balances macroscópicos de materia y cantidad de movimiento para sistemas no isotérmicas son los mismos que para sistemas isotérmicas, y por consiguiente, no se insistirá de nuevo en ellos. En 9 15.1 se estudia el balance macroscópico de energía, y en 0 15.2 el «balance» de energía mecánica. Én 0 15.3 se presenta un pequeño resumen de todos los balances de energía, y las dos últimas secciones se dedican a describir las aplicaciones para estado estacionario y no estacionario. Estas ítltimas tienen gran interes en el estudio teórico del control de procesos. 0 15.1 EL BALANCE MACROSC6PICO DE ENERGIA Consideremos el sistema de la Fig. 7.0 - 1, y supongamos, tal como se ha hecho en el Capítulo 7, que las velocidades de tiempo ajustado en «l» y «2» son paralelas a las paredes de la conduccibn y que las propiedades del fluido no varían a través de la sección. Vamos a aplicar primeramente al sistema el principio de conservación de la energía. Para ello se podría utilizar la Ec. 10. 1 - 1, incluyendo en el último término el trabajo que el fluido realiza contra la gravedad. Sin embargo, es más frecuente introducir el concepto de energía potencial (véase Ec. 10.1 - 14), y excluir el referido trabajo del último término de la Ec. 10.1-1. Es decir, que ‘es preferible utilizar el principio de conservación de la energía representado por la Ec. N de la Tabla 10.4- 1, que viene a decir lo siguiente: velocidad de acumuvelocidad de entrada velocidad de salida lación de energía in- ,l _ \ de energía interna, _ de energía interna, cinética y potencial, terna, cinética y ’ - ) cinética y potencial potencial por convección por convección I 11 1 velocidad neta de adición 1 velocidad neta de trabajo de calor al sistema proce- n- producido por el sistema dente de los alrededores ,! sobre los alrededores Este planteamiento incluye la suposición tácita de que la fuerza externa (de gravedad) no varía con el tiempo, y que puede deducirse a partir de una energía potencial; en caso contrario, debería de utilizarse la Ec. lO.l- 1. Se aplica ahora la Ec, 15.1- 1 para un sistema macroscópico de flujo, incluyendo en el último término el trabajo W transmitido mediante partes móviles (una turbina o un compresor, por ejemplo), y el trabajo que se necesita para introducir nuevo material por «l» y retirarlo por «2». En Q se incluye toda la energía calorífica que llega al fluido a través de las superficies sólidas del sistema por conducción o radiación a la entrada y a la salida: BALANCES ; (Utot + Ktot + Qtot) MACROSCÓPICOS 15-3 = p1@1)01S, - p*(üJO& + ~Plw>sl - 4P&% + P1w~,~l - P*WWs ‘Q-W (15.1-2) En esta expresih, . Utot, son las energías interna, cinktica y potencial, - K,, y 4&, . totales del sistemal. Esta ecuación puede expresarse en una forma mas compacta introduciendo las velocidades másicas de flujo w1 = p1 tG,> SI y wg = pr )v,> Ss y la energía total E,Ot, = Ucot + K,, + Cl& con lo que resulta para el balance + Pl@lFl macroscdpico - P&P* de energk en estado no estacionario ft Etot = - A û+~p+~(‘) (15.1-3) ,76i++]+Q-W [( que es justamente el planteamiento del primer principio de termodinámica aplicado a un sistema de flujo. Obsérvese que el signo convencional que se aplica a Q y W corresponde al que utilizan la mayor parte de los termodinámicos. La Ec. 15.1-3 puede obtenerse también integrando la ecuacibn del balance de energía (Ec. N de la Tabla 10.4-1) sobre el volumen del sistema de flujo. (VCase problema 15.0.). Si el sistema de flujo está en estado estacionario, dE,, /dt es igual a cero, y WI’-- w2 = w. Dividiendo la Ec. 15.1-3 por w se obtiene el balance macroscópico de energfa en estado estacionario l(e 6 =g p A ( O+pV+--+ 1 2 (6 siendo 0 el calor suministrado por unidad de masa de fluido que circula a través del sistema, y yp/ es el trabajo producido por la unidad de masa del fluido al pasar de «l» a ((2)). La magnitud û + pV, que interviene en las ecuaciones anteriores, corresponde a la entalpia (por unidad de masa) y se designa mediante el símbolo I?. En los cálculos ingenieriles resulta htil el uso de dos formas límite de Aa: gases ideales: (pv=RTy c,, - c,, = R) AI?= T’c, dT = !i T’-?!- dT fTI M sT 1y -1 (15.15) 1 Estas magnitudes estan definidas en la siguiente forma ir tot = sV podV; K ,,, = tpv’dY; sV ‘& = pb sV dV (15.Lk,b,c) TRANSPORTE 15-1 ‘q líquidos incompresibles: (P = constante y cl3 = C”l DE ENERGiA Afi= Ta& dT + ‘, (PZ - Pr) (15.16) sTl Para completar la evaluación de AA en las Ecs. 15.1-5, 6, es preciso disponer de información acerca de la variación de c,,con la temperatura. Para muchos sistemas de la industria química, los efectos de la energía cinética, la energía potencial y del trabajo, son pequeños, de forma que un gran número de sistemas que tienen interés en ingeniería vienen descritos por la relación Afi= c (15.14 En las obras de ingeniería química sobre balances de materia y energía2 se estudia detalladamente este tipo de problemas. Por lo que respecta a los términos en los que interviene r/2<V3>/&, se pueden aplicar en este caso las mismas consideraciones que se han hecho en $ 7.3 (justamente después de la Ec. 7.3-2). Como los términos de energía cinética son pequeños, constituye una excelente aproximación, especialmente si el flujo es turbulento, tomar r/z&9 en vez de la expresión exacta. El término A& se substituye generalmente por gdh, siendo dh la diferencia de alturas entre los planos «l» y «2». Es preciso distinguir con claridad las magnitudes de los dos miembros de la Ec. 15.1-4. Las del primer miembro solo dependen de las condiciones de los planos de referencia «l» y ((21); o sea, que son «funciones de punto». Por el contrario, las del segundo dependen del camino termodinámico que sigue el fluido. Por lo tanto, la evaluación de 0 y ti presenta una especial dificultad. En aquellos problemas en los que se conoce e o bien ê es la única incógnita, se puede utilizar directamente la Ec. 15.1-4. Sin embargo, cuando 6 ha de calcularse en función del coeficiente local de transmisión de calor y de las diferencias locales de temperatura, resulta más conveniente expresar la Ec. 15.1-4 para un elemento de volumen, para dar lugar a una ecuación diferencial, que se integra entre los planos «l» y «2». Este procedimiento proporciona alguna información acerca de la distribución de temperatura en la dirección de flujo, tal como se indica en el ejemplo 15.4-2. Así como el calor se comunica a través de superficies ampliamente extendidas en el sistema, la producción de trabajo está generalmente localizada. Por eda razón se acostumbra considerar que el trabajo se produce en una determinada sección de flujo. (i 15.2 EL BALANCE MACROSCÓPICO DE ENERGÍA MECÁNICA (Ecuación de Bernoulli) Al integrar la Ec. 3.3-2 sobre el volumen del sistema de flujo de la Fig. 7.0-1, se obtiene una ecuación que describe las variaciones de energía mecánica entre la 2 0. A. York (1954), HO UG EN , K. M . WATSON y R. A . R AGAT Z, Chemical Process Principles, Wiley, Nueva Part 1, pp. 247 y siguientes. BALANCES MACROSCÓPICOS 1 5 -5 entrada y la salida del sístema. Este resultado tiene dos importantes formas límite: flujo isotérmico (que se ha visto ya en la EC. 7.3-l), yflujo isentrópico. A continuación se expresan ambos como formas especiales del balance de energía mecánica en estado no estacionario:1 flujo isotérmico: -$ Wtot + Qtot + &t) = -A[ (; 2 + & + 6) w] - w - E, (15.2-1) flujo isentrópico: ; (Ktot + Qtot + Utot) = -A[ (;% + 6 + + ] - w - 4, (15.24) siendo &‘, la integral de la Ec. 7.4- 1, que representa la velocidad total de conversión irreversible de energía mecánica en energía interna. Estas ecuaciones límite resultan útiles, ya que muchos procesos físicos son, aproximadamente, isotérmícos o ísentrópicos. Es instructivo observar que las Ecs. 15.1-3 y 15.2-2 son casi iguales. En efecto, combinándolas se encuentra que para UII proceso isentrópíco - Q = E,: es decir, que la velocidad de producción de energía calorífica por disípación viscosa es igual a la velocidad de elímínacíón de calor a través de las paredes del sistema. Téngase en cuenta que la restricción de que - Q - E, no implica que el comportamiento haya de ser ísotérmico. Para aquellos sistemas en los que el comportamiento de flujo es independiente del tiempo, tanto las dos relaciones anteriores como la ecuación más general a partir de la cual se han deducido, se reducen a una relación única, que expresa el balance de energía mecánica en estado estacionario: Esta expresión, que a veces se denomina ecuación de Bernoulli, se ha estudiado ya en 9 7.3 para el caso de sistemas isotérmicas. Los únicos términos que es preciso estudiar aquí con mayor amplitud son ,!?,, y la integral. La integral debe de evaluarse siguiendo una «línea de corriente» representativa del sistema. Para ello es preciso conocer la ecuación de estado p = p(p, T), así como también la forma en que varía T con p a lo largo de la línea de corriente. En la Fig. 15.2- 1 se representa la superficie @, T) para un gas ideal. En el plano pT se ha representado una curva que comienza en pl, Tl (las condiciones de la corriente de entrada) y termina en ~2, T2 (las condiciones a la salida). La curva del plano pT 1 R. B. BIRD, Chem. Eng. Sci., 6, 123-131 (1957). 15-6 ‘9 1 TRANSPORTE DE ENERGfA representa los sucesivos estados que sigue el gas al pasar del estado inicial al estado final. La integral Iz(L/p)dp o 1’ P dp corresponde a la proyeccibn sobre el plano s ppdel área sombreada en la Fig! 15.2- 1. Es evidente que el valor de esta integral varía cuando se modifica el «camino termodinámico» del proceso entre «1» y «2». Si se conoce el camino y la ecuacih de estado se puede calcular ‘PdP. s1 P Fig. 15.2-1. Representaci6n grAfica de la integral de la Ec. 15.2-3. El brea rayada es s1 Obskvese que en este caso el valor de la integral es negativo debido a que se integra de derecha a izquierda. La evaluación de la integral resulta sencilla para dos casos especiales: a. Para sistemas isotbrmicos, la integral se resuelve expresando la ecuación isot&mica de estado (es decir, mediante una ecuación de p en funcibn de p). Por ejemplo, para gases ideales p = pM/RT, y s ‘Adp=CT s “‘Id’=RTln& s M 91 P 1P M PI (gases ideales) (15.2-4) Para líquidos incompresibles p es constante, de forma que ‘!dp,’p (pa - pl) 1P (líquidos incompresibles) (15.2-5) BALANCES MACROSCOPICOS 15-7 b . Para el flujo adiabático de gases ideales de calor especifico constante, si no existe fricción, p y p están relacionadas mediante la expresión pp-V = constante, siendo y = C?,/& tal como se ha indicado en el Ejemplo 10.5-6. Según esto, la integral resulta (15.2-6) Por consiguiente, la integral puede resolverse analíticamente para este caso especial de flujo no isotérmico. Por lo que respecta al término É,,, debido a la falta de suficiente información, las dificultades que se presentan para su evaluación son mayores. Recuérdese que en el Capitulo 7 se han dado fórmulas para las contribuciones a &, correspondientes a las perdidas en accesorios (Ec. 7.4-5) y en conducciones (Ec. 7.4-9). A continuación vamos a considerar &, en función de estas fórmulas para dos tipos especiales de flujo no isotérmico: a. Para líquidos, en un tubo de sección constante, la velocidad media de flujo es prácticamente constante. Sin embargo, la viscosidad puede variar considerablemente en la dirección de flujo, de forma que en la Ec. 7.4-9 f varia con la distancia. Por lo tanto, no puede utilizarse la Ec. 7.4-9 aplicada a toda la conducción. b. Para gases, las variaciones de viscosidad son, generalmente, pequeñas, de forma que el número de Reynolds local y el factor de fricción local son prácticamente constantes para conducciones de sección uniforme.,En cambio, la velocidad media puede variar considerablemente a lo largo de la conducción como consecuencia de las variaciones de densidad, y por consiguiente tampoco puede utilizarse la Ec. 7.4-9 aplicada a toda la conducción. Por esta razón, en aquellos sistemas en los que ,u o p varian considerablemente en la direccibn del flujo, se expresa la Ec. 15.2-3 en forma diferencial con el fin de poder tener en cuenta la variación del factor de fricción o de la velocidad media local. Esto permite describir el flujo no isotérmico en conducciones. (Véase ejemplo 15.4-3). Las pérdidas de energía en accesorios pueden obtenerse en el caso de liquidos a partir de la Ec. 7.4-5. Siempre que el flujo sea subsónico, se puede utilizar la misma fórmula para gases. 15-8 $ 15.3 TRANSPORTE DE ENERGfA RESUMEN DE LOS BALANCES MACROSCÓPICOS PARA FLUIDOS PUROS Para la descripción de las relaciones existentes entre las condiciones de la corriente de entrada y salida de un sistema de flujo, se utilizan las cuatro relaciones que se han discutido anteriormente: las leyes de conservación de la materia, cantidad de movimiento y energía y la ecuación de Bernoulli. Se precisa también información acerca de la ecuación térmica de estado [p = &, 01 y la ecuación calórica de estado [generalmente expresada en la forma c,, = @, Yf)]. Los cuatro balances macroscópicos se resumen en la Tabla 15.3- 1. 0 15.4 UTILIZACIÓN DE LOS BALANCES MACROSCOPICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESTADO ESTACIONARIO En 8 10.5 se ha visto como se obtienen diversos perfiles de temperatura en estado estacionario mediante la resolución de formas simplificadas de las ecuaciones generales de variación. En esta sección se indica cómo se utilizan las formas simplificadas de los balances macroscópicos generales para plantear relaciones que describen las condiciones de entrada y salida en un sistema de flujo en estado estacionario. Teniendo en cuenta los términos que se descartan se pueden conocer exactamente las restricciones que afectan a los resultados obtenidos. En los ejemplos que siguen se demuestra la utilidad de los balances macroscópicos al mismo tiempo que se indica el significado de los distintos terminos que intervienen en ellos. En los ejemplos 15.4-2 y 3 se aplican los balances macroscópicos a un sistema comprendido entre superficies de análisis que están separadas por una distancia infinitesimal. Ejemplo 15.4-1. Enfriamiento de un gas ideal Por el tubo interior del cambiador de calor que se indica en la Fig. 15.4- 1 se introducen 100 kg. por hora de aire seco a 158 C, 2 atm de presión absoluta, y con una velocidad de 30 m seg-i. El aire sale del cambiador a - 180 C, 1 atm y 3 m por encima del punto de entrada al cambiador. Calcular la velocidad de eliminación de energía a traves de la pared del tubo. Supongase que el flujo es turbulento, que el gas se comporta como ideal y utilicese la siguiente expresión para el calor específico del aire: cs = 6,39 f (1,76 x lo-s)T - (2,65 x lo-‘)T2 (15.4-1) donde c,, está en kcal kg-mal-10 K-l y T en 0 K. Solucióa. Para este sistema, el balance macroscópico de energía, Ec. 15.1-4, es <fis - û,> + &s” - u,q + (d* - 4,) = fj (15.4-2) Para gases ideales, la entalpia se puede expresar de acuerdo con la Ec. 15.1-5, y la velo cidad se puede poner en función de la temperatura y la presión utilizando el balance ma TABLA 15.3 - 1 RESUMEN DE BALANCES MACROSCÓPICOS PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS DE FLUJO CONTENIENDO UNA SOLA ESPECIE QUfMICA Balance Forma especial -l dmtot - I -Aw dt - Materia Estado no estacionario (4 -Cantidad de movimiento - Energía - ~~-A(!$w+~S) -F+mtotg Energía mecánica dEi.ot -r-A dt - A ($ $ w +pS) +m to tg (G) 2 (4 +Q- w CC) (0 -- Isentrópico F = (F) o+pp+l[( -/ $(Kt,l + Qtot + Am) , t Aw=O (BI -- Isotérmico Estado estacionario $ (Ktot + @tot + ulot) I -A 1 (v3) -2 [( CV) . 63 (J) Nokz: Las ECS . 15.1-5 y 6 representan formas especiales de Ai? = A(í) +pP), mientras que las Ecs. 15.2-4, 5 y 6 son formas especiales de 12(l/p) d p . s TRA NSPO RTE DE ENERGfA 15-10 croscópico de materia PivI = pav, y la ley del gas ideal p = pRT/M. EC. 15.4-2 se puede expresar así: ; s1 PC,dT + ;v? [(f&l] Por consiguiente, la + (% - 6,)= P (15.4-3) La integral se puede resolver introduciendo la expresión de C’,, de la Ec. 15.4-1. Sollda de aire o -1VC y t atm <v>=? 1 T--------__ -_ “2” J--r% Entrado del Ilquldo filo 3m -7 T Entrado de aire Q 15OT y 2 utm <v> = 30 m reg-L Fig. 15.4-1. Enfriamiento de aire en un cambiador de calor. Sustituyendo los valores numhicos en la Ec. 15.4-3 se obtiene la eliiinación de calor por kilogramo de fluido que pasa a través del cambiador: - b = (1/29) [(6,39) (168) + #(1,76x 10-3) (1,79- 0,65) (los) - 1/3 (2,65x lo-‘) (7,57-1,66) (lo’)] +~(9,~~~~7)[1--(1,21)‘]- (4 = 40,3 - 0,04 - 0,007 = 40,2 kcal kg-1 (15.4-4) La velocidad con que se retira calor en el cambiador es por lo tanto, - êw = 4.020 kcal hr-1 Obdrvese en la Ec. 15.4-4 que las contribuciones de la energia cinética y la energía potencial son despreciables en comparación con la variación de entalpia. 15-11 BALANCES MACROSC6PICOS 6% Ejemplo 15.4-2. Cambiadores de calor de corrientes paralelas y en contracorriente Se desea describir el funcionamiento del sencillo cambiador de calor de doble tubo que se representa en la Fig. 15.4-2, en función de los coeficientes de transmisión de calor de las dos corrientes y de la resistencia calorífica de la pared del tubo. El cambiador de calor esta constituido por dos tubos coaxiales, circulando uno de los fluidos por el tubo inte rior y el otro por el espacio anular. El calor se transmite a través de la pared del tubo interior. Las corrientes pueden circular en la w sma direcci¿m, tal como Se indica en la figura, pero normalmente es más conveniente \ tilizar el flujo en contracorriente, es decir, invertir el sentido de flujo de una de las corrkntes, de forma que uno cualquiera de los dos, wh o w,, es negativo. Se supondrá flujo turbulento en estado estacionario y que las perdidas de calor a los alrededores son despreciables. Soluci6n. a. Balance macroscópico de energía para cada una de las corrientes consiahzdas en su totalidad. Las magnitudes correspondientes al fluido caliente se representan con el subíndice h y las correspondientes al frio con el subíndice c. Entrada do la corriente frkl “2” T = Tc1 1 Fig. 15.4-2. Cambiador de calor de tubos conckntricos. El balance de energia en estado estacionario de la Ec. 15.1-4 (para variaciones despre ciables de la energía cin&ica y potencial) conduce a . wh huh = Qh Como no hay p&didas de calor a los alrededores Q, = - Q,. Para líquidos incompresibles que circulan bajo una diferencia de presión no excesivamente elevada, o para gases ideales, tomando ¿1, constante, las Ecs. 15.1-5 y 6 conducen a la relación Aa = e, AT. Por consiguiente, las Ecs. 15.4-6 y 7 pueden expresarse así whegh% - Th,) = Qh (IU-?) (15.4-6) 15-11 TRANSPORTE DE ENERGfA b. Balance macroscópico de energía aplicado en forma diferencial. Aplicando la Ec. 15.1-4 a un segmento dz de la corriente del fluido caliente en el cambiador (véase Fig. 15.4-2), se obtiene (15.4-10) WI,&, dTn = dQh De acuerdo con la Ec. 9.6-30 (o Fc. 13.1-8), de,, se puede substituir por U0(2nr0dz) x x (T, - Th), siendo Us el coeficiente global de transmisión de calor que viene dado por la Ec. 9.6-31 (o la Fc. 13.1-9). Para el fluido caliente resulta por consiguiente dTh -= T, - Th 2wo dz - (15.4-11) uQ ,t&,, La ecuación correspondiente para el fluido filo es (15.4-12) Sumando las Ecs. 15.4-11 y 12 se obtiene una expresión de la diferencia de temperatura entre los dos fluidos para cualquier sección del cambiador: (15.4-13) Suponiendo que Us es independiente’ de z, e integrando los dos miembros de esta ecuación entre los planos 1 y 2, se obtiene (15.4-14) Esta expresión relaciona la variación de temperatura de cada una de las corrientes con Ias velocidades de las mismas y las dimensiones del cambiador y por lo tanto, puede utilizarse para describir el funcionamiento del cambiador. Sin embargo, se acostumbra expresar la Ec. 15.4- 14 teniendo en cuenta los balances de energía en estado estacionario de las Fcs. 15.4-8 y 9. Despejando wC?-de cada una de estas dos relaciones y substituyendo sus valores en la Ec. 15.4-14, se obtiene / 0 QC = uo&(Th - Ch, (15.4-15) (15.4-16) . siendo A, el área total de la superficie externa del tubo interior, y (T, - TC),, la «media logarítmica de la diferencia de temperaturas». Las 3%. 15.4- 15 y 16 describen la veloci1 El caso de coeficientes variables se trata brevemente en el problema 15.E. Es preciso tenei mucho cuidado al aplicar los resultados de este ejemplo al flujo laminar, ya que la variación de Uo con la posición puede ser bastante grande. 15-13 BALANCES MACROSCÓPICOS ‘+, dad de intercambio de calor entre las dos corrientes práctica ingenieril. Obsérvese que en estas ecuaciones velocidades de las corrientes y que son válidas tanto contracorriente. (Véase problema 15.A). Si se desea, se puede obtener también a partir de tura en función de z. Ejemplo 15.4-3. y encuentran gran aplicación en la no aparecen de forma explícita las para corrientes paralelas como para las Ecs. 15.4-11 y 12 la tempera- P otencia necesaria para bombear un fluido compresible a través de una tuberia de grandes dimensiones A través de una larga tubería lisa de 60 cm de diámetro interno se bombea un gas natural que puede considerarse como metano puro. El gas entra en la conducción con una presión absoluta de 69 atm, una velocidad de 12,2 m seg-r y a la temperatura ambiente de 210 C. Cada 16 km a lo largo de la línea se instalan estaciones de bombeo, en cada una de las cuales el gas se comprime y enfría hasta la presión y temperatura iniciales. (Véase Fig. 15.4-3). Estimar la potencia que es preciso comunicar al gas en cada estación de bombeo, suponiendo que se comporta como ideal, que los perfiles de velocidad son planos y que las diferencias de altura son despreciables. S o lució n. Es conveniente considerar separadamente la tubería y el compresor. Primeramente se aplica la Ec. 15.2-3 en forma diferencial a una longitud dz de la tubería I Re frig e ra do r I 1 Re frig e ra d o r Gas na tura l C o m pre so r / C o m p re so r 1 * I “1” r=O Fig. 15.4-3. “2” “3” z = 1 6 Km Bombeo de un fluido compresible a través de un gasoducto. y se integra entre los planos «l» y «2» con el fin de hallar la presión desconocida p2. Una vez que se conoce p2, se aplica la Ec. 15.2-3 al sistema comprendido entre los planos «2» y «3» para hallar el trabajo realizado por la bomba. a. Ffujo a través de fa tubería. Para esta parte del sistema, la Ec. 15.2-3 puede expresarse así: 2vZf v d v +;dp +D &=O (15.4-17) Como la tubería es muy larga se admite que el flujo es isotérmico a la temperatura de 2 10 C. Se pueden eliminar IJ y p de la Ec. 15.4- 17 utilizando la ecuación de estado, p = pRT/M, y el balance macroscópico de materia. que puede expresarse como pu = plq. Expresando p y o en función de la presión, la Ec. 15.4- 17 se transforma en 1 5 -1 4 TRANSPORTE DE ENERGfA 1 RT, P dp Zfdz=O --dp+-(lS.4-18) M (PA.>” -+D P En $1.3 se ha demostrado que la viscosidad de los gases ideales es independiente de la pre= sión, de lo que se deduce que el número de Reynolds del gas, Re = DwlScr y por consiguiente el factor de fricción f, ha de ser constante. Integrando la Fc. 15.5-18 se obtiene (15.4-19) Esta ecuación expresa pz en función de magnitudes conocidas, excepto f que puede calcularse fácilmente. La viscosidad cinemática del metano a 6,8 atm y 210 C es aproximadamente 2,42 x 10-6 rns seg-1, y por consiguiente Re = (060 m) (12,2 m seg-‘)/(2,42 x 10w6 m2 seg’r)=3,02 x 106. El factor de fricción, obtenido a partir de la Fig. 6.2-2, es 0,0025. Sustituyendo los valores numkicos en la Ec. 15.4-19, se obtiene 0 - ll$+ 512[(5 - 1]+ 1 3 3 = o (15.4-21) Resolviendo esta ecuación para p1 = 6,8 atm., se obtiene p2 = 5,85 atm. Ahora se puede aplicar ya fácilmente el balance de energla mecánica al compresor. 6. Flujo a travks del compresor. En este caso la Ec. 15.2-3 puede ponerse en esta forma Para evaluar la integral se supones que la compresión es adiabatica y se desprecia 2, entre los planos ~2» y «3». Utilizando los resultados del Ejemplo 10.5-6, la Fc. 15.4-22 pue de expresarse así Y- l (15.4-23) -2 Estas suposiciones se admiten generalmente en el disefio de compresores-refrigeradores. Obdrvese que la energía necesaria para accionar qcompresor es mayor que al trabajo calculado - c, debido a (i) É. entre «2» y «3», (ii) perdidas me&nicas en el compresor mismo, y (iii) errores debido al camino p-p supuesto. Normalmente, la anergia necesaria para accionar la bomba es, por lo menos, de 10 a 15 por ciento superior a - 6”. BALANCES MACROSCOPICOS a1 15-1s en la que d @’ es la energía calculada que se precisa para accionar el compresor. Substituyendo los valores numéricos en la Ec. 15.4-23, se obtiene - = 148,8 2 x 9,81 = - 2,7 + 235,s = 232,8 kg,m kg,-l (15.4-24) La potencia necesaria para comprimir el fluido es nD= p,M - ~~~-.-----u~w 4 RT, ~@,36) (6,8) (16W) (12,2)(232,8) kg,m seg-1 4(0,082) (294) = 3630 kg,m seg-1 o bien 478’hp (15.4-25) La potencia necesaria para el caso de flujo adiabático, tanto en el compresor como en la conducción, concuerda satisfactoriamente con el resultado anterior. (Vdase el problema 15.B). Ejemplo 15.4-4. Mezcla de dos corrientes de gases ideales Dos corrientes turbulentas de un mismo gas ideal que circukan en regimen estacionario con distinta velocidad, temperatura y presión, se mezclan en la forma que se indica en la Fig. 15.4-4. Calcular la velocidad, temperatura y presión de la corriente que resulta. . I S=S, TZ>P2, v2 I , T3 s = s, p3 Pig. 15.4-4. Mezcla de dos corrientes de gases ideales. Solución. El comportamiento ea en este caso más complejo que en el ejemplo 7.5-2 (fluidos isotermicos no compresibles), debido a que las variaciones de densidad y temperatura pueden ser considerables. Por esta razón, ademas de los balances de materia y can- T R A N S P OR T E D E 15-16 ENERGfA tidad de movimiento, hab& que utilizar el balance macroscópico de energía en estado estacionario, Ec. 15.1-4 y la ecuación de estado de los gases ideales. Teniendo en cuenta estas excepciones, se procede de igual forma que en el ejemplo 7.5-2. Como planos de referencia se toman las secciones en que las corrientes comienzan a mezclarse (plano <NZ») y otra suficientemente alejada aguas abajo, de forma que se haya efectuado la mezcla completa (plano «b»). Se supone, como en el Ejemplo 7.5-2, que los perfiles de velocidad son planos, que no existen variaciones de energfa potencial y que los esfuerzos cortantes sobre la pared del tubo son despreciables. Se desprecian también las variaciones del calor específico del fluido y se supone que la operación es adiabática. Según esto, resulta: (materia) w3 = w, + (15.4-26) w2 (cantidad de movimiento) w3v3 + P3S3 = 'Vl + PIS, + w2v2 + p82 (energía) - T") + tu321 = WlE,(T, - T") + jpl2.l wdGu3 + w2Gu2 - T") + *vg::1 (15.4-27) (15.4-28) paRT3 (ecuación de estado) P3 = M Las incógnitas en estas ecuaciones son ws = p3v3S3, pj, T3 y pj, siendo T o l a temperatura de referencia para la entalpia. Multiplicando el balance de materia por & ,T” y combinando el resultado con la Ec. 15.4-28, se obtiene (energía) w3(‘93 + tu8 = w,(~,,T, + 4~19 + w&',T2 + 4~29 (15.4-29) Los segundos miembros de las Eks. 15.4-27 y 29 son conocidos y se designan por w, P y E , respectivamente. Utilizando la ley de los gases ideales se puede eliminar de la Ec. 15.4-27 la presión p3 y el Area de la seccion S,: (cantidad de movimiento) RT, P u *+=3 =i (15.4-30) Eliminando T î entre las Ecs. 15.4-29 y 30 se obtiene (15.4-31) en la que y = e,/e,,. Resulta así una ecuación de segundo grado de vs en función de w, P, E y y, que son conocidos. Las soluciones son uI = 5(&)[1 *J 1-2(7) $1 (15.4-32) Se puede demostrar (véase problema 15.G) que cuando el término entre paréntesis es la unidad, la velocidad de la corriente final es sónica. P or consiguiente, una de las soluciones BALANCES MACROSCóPICOS 15-17 de v, es generalmente supersónica y la otra subsónica. En el proceso de mezcla que estamos considerando solamente se puede obtener la solución menor (subsónica), puesto que, como se ha demostrado en el ejemplo 10.5-5, el flujo supersónico es inestable en presencia de cualquier perturbación de cierta consideración. Una vez que se conoce la velocidad vg, pueden calcularse la presión y la temperatura a partir de las Ecs. 15.4-27 y 30. Es interesante tener en cuenta que A??,, no se puede calcular con exactitud a partir de la Fc. 15.2-3, puesto que no se. conocen los caminos termodinámicos que siguen las corrientes de los fluidos. Ejemplo 15.4-5. Flujo de fluidos compresibles a través de orificios Extender la deducción del ejemplo 7.5-4 al caso de flujo de fluidos compresibles a traves de medidores de orificio y venturímetros. Solucibn: Se comienza, igual que en el ejemplo 7.5-4, por expresar los balances de materia y energfa mecánica en estado estacionario entre los planos de referencia «l» y «2» de los dos medidores de flujo que se indican en la Fig. 15.4-5. Para el caso de fluidos compresibles, dichos balances vienen dados por (materia) (energfa w = Pl(Wl = P8WSS mecanica) (0 2a+ @3” 1 s 2!<40 +&)‘e, +o 2% (15.4-33) (15.4-34) 1P Eliminando <II,> y <vz> entre estas ecuaciones se obtiene una expresión para la velocidad de flujo de materia: w = PA3 J -Lq%G- 1 - %- P A- += Qoev aI ( PS1 1 (15.4-35) Teniendo en cuenta las suposiciones del ejemplo 7.5 -4: (i) e, = 0, (ii) CQ = 1, (iii) as = =(Sz/so)2, la Ek. 15.4-35 se puede escribir así: ‘J w = c && -2 s1 l- ;l/ Pl dp p o so ( d l1 2 (15.4-36) El coeficiente de descarga Cd & la Fc. 15.4-36 se utiliza para corregir los errores introducidos por las tres anteriores suposiciones, y es preciso determinarlo experimentalmente. Para tubos de Venturi es conveniente situar el plano «2» en el punto de mínima sección, de forma que S, = Se. Por lo tanto, a2 es muy aproximadamente igual a la unidad y experimentalmente se ha comprobado que Cd es casi igual para fluidos compresibles e incompresibles, siendo su valor 0,98 para tubos de Venturi bien construidos. Para medi- TRANSPORTE DE ENERGIA 15-18 dores de orificio, la contracción de la corriente de fluido en el plano «2» es algo mayor en el caso de fluidos no compresibles y es preciso utilizar un coeficiente de descarga distinto.3 Manbmetro (4) Fig. 15.4-5. (u) Medidor de orificio, (b) tubo de Venturi Para utilizar la Ec. 15.4-36 hay que conocer la densidad del fluido en funcion de la presión; es decir, que es preciso conocer el camino termodinamico de la expansion y la ecuación de estado del fluido. En la mayor parte de los casos resulta aceptable suponer un comportamiento adiabático sin fricción. Para el caso de gases idealespp-Y = constante, siendo y = &/c?,, (vease ejemplo 10.5-6); según esto, la Fc. 15.4-36 resulta flujo adiabatico de gases ideales sin fricción 1 w=GP60 J Esta formula expresa la velocidad de flujo de materia en función del coeficiente de descarga y de magnitudes que se Pueden medir directamente; los valores del coeficiente de des\ carga se pueden encontrar en los libros de ingeniería.3 BALANCES MACROSCÓPICOS 15-19 $ 15.5 UTILIZACIÓN DE LOS BALANCES MACROSCóPICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESTADO NO ESTACIONARIO En $ 15.4 se han estudiado problemas de estado estacionario. En esta sección se aborda la descripción del comportamiento no estacionario de los sistemas de flujo no isotérmico. Se presta especial atención a los fenómenos de transmisión de calor que dependen del tiempo, y que pueden describirse mediante el balance macroscópico de energía en estado no estacionario. Estos problemas son importantes para la estimación de diversas operaciones de calentamiento en la industria así como también para los procesos de instrumentación y control. Ejemplo 15.5-1. Calentamiento de un líquido en un tanque agitado1 Un tanque cilfndrico capaz para 28 m3 de líquido, está provisto de un agitador de potencia suficiente para mantener el líquido a temperatura uniforme. (Vease Fig. 15.5-1). Se transmite calor al líquido mediante un serpentín dispuesto de tal forma que el area disponible para la transmisión de calor es proporcional a la cantidad de líquido existente en el tanque. El serpentín de calefacción consta de 10 espiras de. 125 cm de diametro, construidas con un tubo de 2,5 cm de diámetro externo. El tanque se alimenta de forma continua con 10 kg min-’ de agua a 200 C, comenzando con el tanque vacío en el instante t = 0. Por el interior del tubo se introduce vapor de agua a 1050 C y el coeficiente global de transmisión de calor es 500 kcal hr-1 m-z 0 C-r. iCual es la temperatura del agua cuando se llena el tanque? Solución. Este tipo de problemas se resuelve mejor utilizando símbolos e introduciendo los valores numericos al final. Para ello se utiliza la siguiente notación: A, = Area total disponible para la transmision de calor A(t)‘= Area de transmisión de calor en un instante V,, = volumen de líquido a tanque lleno V(r) = volumen de liquido eh el tanque en un instante T = temperatura del líquido en un instante TI = temperatura del líquido a la entrada T, = temperatura del líquido cuando el tanque esta lleno T, = temperatura ael vapor de agua V, = coeficiente global de transmisión de calor t = tiempo transcurrido a partir del momento en que comienza a llegar agua t. = p Vdw = tiempo necesario para llenar el tanque )u = velocidad de flujo del agua que entra en el tanque p = densidad del liquido 3 Vease, por ejemplo, J. H. P ERRY , Chemicaf Engineers’ Hana%ook, MeGraw-Hill, Nueva York (1950), tercera edición, pp. 402-403. 1 Este problema está tomado, en una forma modificada, de W. R. MARSHALL, Jr. y R. L. PIGFORD, Applications of Differential Equations to Chemical Engineering Problems, University of Delaware Press, Newark (1947), pp. 16-18. TRANSPORTE DE ENERGíA Entra da Nive l cn de va por de l Irq uido un So lida Insta nte de l c o nde nsa do Fig. 15.5-1. Calentamiento de un líquido en un tanque con nivel de líquido variable. Para el planteamiento del problema se hacen las siguientes suposiciones: a. La temperatura del vapor en el serpentín es constante 4. La densidad y el calor específico del agua no varían mucho con la temperatura. c. Como el fluido es aproximadamente no compresible, C?, = c,,. d. El agitador mantiene la temperatura uniforme en toda la masa. e. El coeficiente de trasmisión de cal’or es independiente de la posición y del tiempo. J Las paredes del tanque son adiabáticas. Se toma como sistema el fluido contenido en el tanque. La Ec. 15.1-3 describe la forma en que varía con el tiempo la energía del sistema. El término & del primerTmiembro comprende la energía interna, cinética y potencial, pudiendo en este problema despreciarse las dos últimas. En el segundo miembro se pueden omitir el término de trabajo W y los términos de energía cinética y potencial, (que serán pequeños en comparación de los demás). Puesto que no hay corriente de salida, wa = 0. Por lo tanto, para el sistema que estamos considerando, $ 4ot = w& + Q BALANCES MACROSCÓPICOS 15-21 lo que indica que la energía interna del sistema aumenta debido a la adición de fluido de entalpia & y a la adición de calor mediante el serpentín de vapor. Como no se pueden establecer valores absolutos-para U,,, y HI, se elige la temperatura Tt como plano de referencia térmica. Según esto,I& = 0 y Ut,, = pC,V(T- Tt) = PC,, V(T- q). Además, la velocidad de adición de calor Q al sistema viene dada por Q= CJe A(T, - T). Por lo tanto, la Ec. 15.5-1, resulta p&$ V(T - Tl) = Uo&T, - T) (15.5-2) El área y el volumen en un instante están relacionados de una forma sencilla con el &a y el volumen totales, de acuerdo con las ecuaciones v(t) = ; ; A(f) = -g A, (15.5-3,4) Substituyendo estas expresiones en la Ec. 15.5-2, se obtiene CJJ, pvo(Ts “’ - 77 = we,(= - Tl) + w&,t (“‘: ‘“) (15.5-5) que se resuelve con la condición inicial de que para t = 0, T = Tl. La Ec. 15.5-5, juntamente con la condición inicial, constituye el planteamiento analítico del problema de acuerdo con las suposiciones que se han indicado más arriba. Podría resolverse la ecuación diferencial 15.5 -5 tal como se ha planteado, pero es preferible utilizar las variables reducidas: T - Tl 8 I - ir temperatura =. - Tl t wt q - = - x r0 Pv, reducida = tiempo reducido (15.5-6) (15.5-7) La temperatura reducida representa la fracción del acercamiento de la temperatura del fluido a la temperatura del vapor. El tiempo reducido representa el tiempo con relación al que se requiere para llenar totalmente el tanque. Para expresar la Ec. 15.5 -5 en función de las anteriores variables adimensionales, se multiplica toda la ecuación por [l/w&(TI - T,)] para obtener o bien (zgj(iq(l -Ts) = (3) +‘$(s) (15.5-8) d0 Nd1 -@)=O+rdr siendo N = UeAo/w& un grupo adimensional que aparece en la ecuación diferencial. La ecuación puede simplificarse todavía más teniendo en cuenta que si el último término se multiplica por N/N, la variable de tiempo reducido aparece siempre en la combinación Nt, que se designa por q. El planteamiento analítico final del problema es 15-22 ‘% TRANSPORTE DE ENERGfA ecuacidn diferencial condicidn inicial (15.5-10) O-O at q=o (15.5-11) Se ve en seguida que 0 ha de ser una función exclusiva de q. Resulta mas sencillo operar con la Fc. 15.5-10, expresada en función de variables adimensionales, que con la Ec. 15.5-5. La Fc. 15.5-10 es una ecuación diferencial lineal de primer orden, cuya solución es c @=1-‘+(15.5-12) 71 71 exp rl La constante de integración puede determinarse a partir de la condición inicial, multiplicando la Fc. 15.5-12 por 7 y tomando q = 0; de esta forma se encuentra que C = 1, con lo que la solucion final de la ecuación diferencial es @=1- 1 - exp ( -rl) 77 En la Fig. 15.5 -12 se representa gráficamente esta funcion. Finalmente, la temperatura del liquido cuando el tanque está lleno, viene dada por la Fc. 15.5-13 cuando T = 1 (o bien q = N); en funcion de las variables originales el resultado es T,, - Tl -clTa - TI l- exp ( - G%lwCJ ( &4/w~P~ (15.5-14) Cálculo numérico. Es fälcil comprobar que para los datos del problema el grupo adimensional N= U,-,A,,/w C9 tiene el valor de 2,57. Para este valor, la Fc. 15.5 - 14 conduce a CT0 - TJ(T, - Tl) = 0,640, de donde T, = 74,5O C. Ejemplo 15.5-2. Operación de un sistema sencillo de control de temperatura Se desea controlar la temperatura de un liquido que fluye a través del tanque agitado perfectamente aislado, que se indica en la Fig. 15.5-3. El volumen VI de líquido contenido en el tanque y la velocidad másica de flujo del líquido w son constantes, pero en cambio puede variar con el tiempo la temperatura a la que entra el líquido. Para realizar el control que se desea, se introduce en el líquido una resistencia eléctrica de calefacción de área A, y se coloca un elemento sensible a la temperatura en la corriente de salida, que puede suponerse que está a la misma temperatura que el líquido en el interior del tanque. Estos dos dispositivos se conectan a un controlador de temperatura que suministra energía a la resistencia de calefacción a razón de Q, = b(T,,,g, - T), siendo T la temperatura del líquido del tanque, y b y T,,,&, dos constantes previamente determinadas. T,,,b, es la temperatura máxima de operación para la que se ha diseñado el controlador. Se puede suponer que en marcha normal T es siempre menor que T,,,i,. La resistencia de calefacción comunica energía al líquido del tanque a razón de Q, = UA(T, - T), siendo U el coeficiente global de transmisión de calor entre la resistencia y el líquido y T, la temperatura de la resistencia, que puede considerarse uniforme en cualquier instante. BALANCES MACROSC&PICOS 1 5 -2 3 Fi& 15.5-2. Representación de la temperatura adimensional frente a 7 = NT, de acuerdo con la Ec. 15.5-13. [W. R. MARSHALL, Jr. y R. L. PIGFORD, Application of Differential Equations to Chemical Engineering, University of Delaware Press, Newark (1947) p. 18.1 temperãtura Calentador - - ektrico TP Tb (para t CO) T=TI(pam Fig. 15.5-3. Operach t>O) de un sistema sencillo de control de temperatura. TRANSPORTE DE ENERGIA 1 5 -2 4 Hasta .el instante t = 0 el sistema ha estado operando en estado estacionario, siendo la temperatura del líquido Ti = T,. La temperatura del líquido en el interior del tanque y a la salida del mismo era T(O). En el instante t = 0 la temperatura de la corriente de entrada pasa bruscamente a ser Ti = Tl. Como consecuencia de esta perturbación, la temperatura del tanque comienza a aumentar y el indicador de temperatura situado en la corriente de salida envía una señal al controlador que hace disminuir la potencia comunicada a la resistencia de calefacción. De esta forma, la temperatura del líquido del tanque alcanzar B un nuevo valor de estado estacionario, T(W). ge desea describir el comportamiento de la temperatura del líquido del tanque con el tiempo. En este ejemplo se utiliza la siguiente nomenclatura: T(t) = temperatura instantánea del lfquido en el interior del tanque y en la corriente de salida. T, = temperatura instantánea de la resistencia Ti = temperatura instantánea de la corriente de entrada. C?,, e, = calores específicos de la resistencia y del líquido, respectivamente. V,, V, = volúmenes de la resistencia y del líquido respectivamente. pc, pI = densidades de la resistencia y del líquido, respectivamente. A = área de la resistencia. U = coeficiente de transmisión de calor entre la resistencia y el líquido Q, = velocidad de transmisión de calor desde la resistencia al líquido Q, = velocidad de transmisión de calor desde el controlador a la resistencia. . Suluci6n. Se describe en primer lugar el balance macroscopico de energía en estado no estacionario, Ec. 15.1-3, para el líquido contenido en el interior del tanque y para la resistencia de calefacción: (liquido) (resistencia) dT PI vic x = UA(T, - T) + wc&Ti - T) dT, PC~&~ = -CJA(T,-T)+b(T,&-T) (15.5-15) (15.5-16) Obsérvese que al escribir la Ec. 15.5 - 15 se han despreciado las variaciones de energía cinética y energía potencial, así como también la potencia comunicada al agitador. a. Comportamiento de estado estacionario para t < 0. Tomando iguales a cero las derivadas con respecto al tiempo de las Ecs. 15.5-15 y 16 y sumándolas, se obtiene para t < 0 (cuando T, = T,,) wc,T,, + bT,; T(O) = (15.5-17) weg++b La forma de estado estacionario de la Ec. 15.5-16 resulta T,(O) (15.5-18) b. Comportamiento de estado estacionario para t > 0. Cuando semejantes operaciones se efectúan con Ti = Tl obtenemos para t 3 0 BALANCES MACROSCÓPICOS 15-25 c T(a) = Y we,T, + bT,,,& we,+b (15.5-19) (15.540) c. Comportamiento de estado no estacionario para t > 0. Es conveniente definir variables adimensionales utilizando las magnitudes de estado estacionario para t < 0 y t so. T - T(a) @ -T(O)-T(W) T, - T,(m) @’ = Tc(O) - T,( OO) = temperatura adimensional del líquido (15.5-21) = temperatura adimensional de la re%tencia (15.5-22) UAt 7 = - = tiempo adimensional Pr6e a Tambith se definen los siguientes par&metros R = PlV& Po W* 4 F-iz (15.5-23) adimensionales : = relación de capacidades térmicas1 (15.5-24) -I parámetro de velocidad de flujo (15.5-25) b B = uA = parámetro del controlador En función de estos términos, los balances de estado est&cionario y 16 resultan g = (1 - B) 0, -@(l +F) (15.5-26) de las Ecs. 15.5- 15 (15.5-27) Eliminando 0, entre estas dos ecuaciones se obtiene una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden para la temperatura del líquido en función del tiempo: d8 dB0 z+(~+F+R)~ +R(B+F)O==O Es interesante observar que esta ecuación diferencial es la misma que se ha obtenido para el manómetro amortiguado, Ec. 7.6-21. La solución general tiene por 10 tanto la forma de una cualquiera de las Ecs. 7.6-23 6 24: 15-26 TRANSPORTE DE ENERGfA 0 = C+ P+“+’ + C-cm-v Cm+ Z rn_) 0 = Clemr + Cs7em7 siendo (15.5-30) (“+ =m-=m) mh = +[- (1 + F + R) f d(l + F + R)* - 4R(B + F)l (15.5-32) Las variaciones de temperatura del fluido son análogas a las fluctuaciones del manómetro amortiguado del ejemplo 7.6-2. Es decir, que la temperatura del fluido se aproxima a su valor final T(w) con o sin oscilación. Los parametros del sistema intervienen en la va- Tanque de volumen = i’ Prerl61-1 ambiente = pa “1” Fig. 15.5-4. Expansión libre de una carga de un fluido compresible. riable de tiempo 7 y en las constantes B, F y R. Por consiguiente, es preciso realizar cálculos numericos para poder establecer las ventajas relativas del super e infra-amortiguamiento en el sistema. Ejemplo 15.5-3. Expaosión libre de una carga de un fluido compresible Un fluido que inicialmente esta a T = TO, p = p,,, y p = ps, se descarga de un gran tanque inmóvil y termicamente aislado, a travks de una pequeña boquilla convergente, tal como se indica en la Fig. 15.5-4. Demostrar como se puede determinar en función del tiempo la fracción de masa del fluido que queda en. el tanque p/h. Deducir las ecuaciones de operación para el caso específico de un gas ideal. Solución. Consideremos, por conveniencia, que el tanque esta dividido en dos partes separadas por la superticie «l». (Véase Fig.15.5 -4). Se supone que la superficie «l» está lo bastante cerca de la salida del tanque como para que toda la masa de fluido esté a su izquierda, pero suficientemente lejos de la salida de forma que la velocidad en la superficie «l» sea despreciable. Se supone tambien que las propiedades medias del fluido situado a la izquierda de «l» son idénticas que en dicha superficie «l». Vamos a considerar separadamente el comportamiento de estas dos partes del sistema. a. Fluido contenido en el tanque. El balance de energfa en estado no estacionario aplicado a la región situada a la izquierda de «l», Fc. 15.1-3, conduce a $plv(ol +6,11- -w1 01 +ph +% ( 1 BA LANCES MACROSCÓPICOS 15-27 siendo V el volumen total del sistema considerado, y wt la velocidad másica de flujo procedente del sistema. Al expresar esta ecuación se ha despreciado la energía cinética del fluido. El balance de materia para la parte del sistema situada a la izquierda de «l» es $wl= -w, (15.5-34) Combinando los balances de materia y energía se obtiene pl(!!$ +!3) A$ (15.5-35) Para un sistema en reposo sobre el que no actúa ninguna otra fuerza externa distinta de la de gravedad, d&/dt = 0,de forma que (15.5-36) Combinando esta ecuación con las ecuaciones térmica y calórica de estado del fluido, se puede obtener pt(pr) y T,(e). Resulta, por consiguiente, que las condiciones del fluido contenido en el tanque dependen solamente del grado de vaciado del mismo y no de la velocidad de descarga. Para el caso especial de un gas ideal de e, constante, para el que do = e,,dT y p =pRT/M, la integración de la Ec. 15.5-36’conduce a p*-y ,p*-r (15.5-37) siendo y = CJC,. b. Descarga del fluido a través de la boquilla. Para simplificar supondremos que el flujo entre las superficies «1» y «2» es adiabático y sin fricción. Por lo tanto, el comportamiento de esta parte del sistema viene descrito por el balance isentrópico de energía mecánica en estado no estacionario, Ec. 15.2-2. Sin embargo, para el caso de orificios relativamente pequeños, como el que se considera aquí, (d&Jdt) es pequeño y wt es aproximadamente igual a wz. Por esta razón, se supone un comportamiento de «estado cuasiestacionario» y se utiliza la ecuación de Bernoulli para obtener una descripción aproximada del sistema : (15.5-38) Para el caso específico de gases ideales, se pueden utilizar los resultados del ejemplo 15 4-5 para expresar la velodidad instantánea de descarga: 41 w,=-V~ES* ?J2p*(yr;i)[ (lJ”)- (!$9] (15.5-39) siendo Sz el área del orificio de la boquilla. Mediante la Ec. 15.5-37 se puede eliminar 15-28 ‘1’* ‘p TRANSPORTE DE ENERGiA p, de la Ec: 15.5 -39 y obtener una expresión para la fracción de la masa original del fluido, pJp,,, que queda en el tanque en un instante cualquiera t: La presión pz en el orificio de la boquilla debe de evaluarse con todo cuidado. Para bajas velocidades de flujo, pz es igual a la presión ambiente, análogamente al caso de un fluido incompresible. (Véase problema 1S.C.) Sin embargo, el análisis de la Ec. 15.5 -39 indica que al reducir la presión ambiente, la velocidad másica de flujo que se obtiene alcanza un valor máximo para una relacidn crítica de presiones: (15.5-41) Para el aire (y = 1,4) esta relación crítica de presiones es 0,53. Si la presión ambiente se reduce más, la presión del lado de dentro de la boquilla seguirá teniendo el valor ~2, calculado a partir de la Ec. 15.5-41, y la velocidad másica de flujo será independiente de la presión ambiente. Se puede demostrar fácilmente que la velocidad de descarga en estas condiciones es %,I = SJ2 8 Por consiguiente, para p3/p1 sencilla < r, la Ec. 15.5-40 VIS, t = J-gJzp)~2y o (15.542) puede expresarse en esta forma más (15.543) bien Y-l VIS, -_ t=J~-(‘-‘)[’ _ (::)“](Pah -Cr) (15.57 Si inicialmente p,/p, es menor que r, se pueden utilizar las Ecs. 15.5 -44 y 40 para calcular el tiempo total de descarga. CUESTIONES PARA DISCUTIR 1. Indicar el significado físico de cada uno de los thninos de los cuatro balances macroscópicos. 2. iG5mo están relacionadas las tres ecuaciones de variación con los cuatro balances macrostipicos? BALANCES MACROSCóPIcoS 15-29 3 . iCada uno de los cuatro términos de la Ec. 15.1-3 que están entre pa&tesis representa una forma de energia? Explíquese. 4. Comprobar las expresiones de Afi en las Ecs. 15.1-5 y 6. 5. iCuánto vale Afi para un gas monoatómico a baja densidad? 6. Comparar las distintas clases de velocidades medias que intervienen en los cuatro balances macroscópicos. 7. Discutir la evaluación de j(l/p) @de acuerdo con la Fig. 15.2-1. 8. ¿Qué información se puede obtener de la Ec. 15.2-3 para un fluido en reposo? 9. iQué información se obtiene para un fluido incompresible combinando las Ecs. 15.1-4 y 15.2-3? PROBLEMAS KA1 Velocidades de transmisión de calor en un cambiador de tubos concénfricos a. A travts de la superficie «2» del cambiador de calor del ejemplo 15.4-2 se introduce aceite caliente que ha de enfriarse con agua que entra por la superficie el»; es decir, que el cambiador opera en con/racorriente. Calcular el área A del cambiador que se necesita si el coeficiente de transmisión de calor U es loo0 kcal hr-t m-2 oc-t, y las propiedades de las corrientes de los dos fluidos son las siguientes: Aceite Agua Velocidad de flujo kg., hr -- t 5000 2500 Calor especifico Temperatura kcal kg,,-t OC-~ E n t r a d a Salida . - ~ 95 OC 38 OC 0.60 15OC l,oO b. Repetir el cálculo de la parte (n) si Ut = 250 y V, = 1750 kcal hr-t m-2W-1. Supóngase que U varía lineatmente con la temperatura del agua, y utilícese el resultado del problema 15.E. c. iCuál es la cantidad minima de agua que se puede utilizar en los apartados (u) y (6) para obtener la variacibn de la temperatura del aceite que se indica? iCuál es la cantidad mínima de agua que se puede utilizar para.el flujo en corrientes paralelas? d. Calcular el área de cambiador que se requiere para la operación en corrientes paralelas si la velocidad de flujo de agua es 7750 kg,,, hr-t y CJ es constante e igual a 1000 kcal hr-t m-2 o C-t. a. 10.3 ms Respuesta: 6. 12.0 ms c. 2138 kg., hr-t,7435 kg, hr-1 d. 9,6 m2 15.B‘ Flojo adiiMtico de gas natural en una tuberia Recalcular la potencia - w W’ del ejemplo 15.4-3, si el flujo es adiabatico en vez de isotérmico: a. Utilizar el resultado del problema IS.Fd para determinar la densidad del gas en el plano «2» b. Utilizar el resultado del apartado (a) y el resu!tado del problema 15.Fe para obtener pz. e. Calcular, de igual forma que en el ejemplo 15.4-3, la potencia necesaria. Respuesta: u. 3.89 kg, m-J 6. 6.06 te;/ cm-2 c. 478 hp. 15-30 TRANSPORTE DE ENERGfA lS,C1 Mezcla de dos corrientes de gases ideeles a. Calcular la velocidad, temperatura y presión, que resultan cuando se mezclan las dos corrientes de aire siguientes, en un aparato como el descrito en el ejemplo 15.4-4. El calor espe& fico del aire puede considerarse constante e igual a 7,0 kcal kg-mol-1 o C-l. Corriente 1: Corriente 2: Respuesta: w (kg hr-1) 454 4.540 4.994 u (m seg-‘) 305 30,5 33,s WC) 26,7 26,7 31,7 P (atm) 1900 1900 1300 6. iQUe velocidad se obtendría si se considerase el flujo como isot&mico e incompresible? c. Estimar É, para esta operación, tomando como base de cálculo los resultados del apartado (b). Respuesta: a. En la tabla anterior b. 33,2 m seg-* c. 4,3 x 102 kg/m/kg, 15.D1 Flujo en uo tubo de Venturi Un tubo de Venturi, cuyo diámetro del estrechamiento es de 3 in (7.62 cm) esta instalado en una tubería circular de 1 ft (30,48 cm) de diámetro que conduce aire seco. El coeficiente de descarga Cd ewcular la velocidad de flujo de aire sabiendo que entra al tubo de Venturi/a 21 OC y 1 atm, y que la presión en el estrechamiento es de 0.75 atm: a. Suponiendo flujo adiabático sin fricci6n y y = 1,4. b. Suponiendo flujo isot&mico. c. Suponiendo flujo incompresible con una densidad igual a la de entrada. Respuesta: a. 0,94 kg seg-t b. 0,89 kg seg-1 c. 1,lO kg seg-1 lLLE Funcííento de 1111 cambiador de calor de tubos conchtricos cuyo coeficiente global de tnmmisi&u de calor es variable Deducir ufi expresión para la cantidad de calor transmitido en un cambiador del mismo tipo del que se describe en el ejemplo 15.&-2&wl coeficiente de transmisión de calor U varía linealmente con la temperatura de cualquiera de la$%s corrientes: a. Demostrar que (Th - T,) es una funci&&eal tanto de Th como de T,. de forma que (U - VI)/ (U, - UI) = (AT - AT,)/(AT, - AT,) siendo A T = Th -- Tc, y los subíndices 1 y 2 se refieren a las condiciones en la superficies «l» y ~2% b. Substituir el resultado anterior de (Tk - TJ en la Ec. 15.4-13 e integrar sobre la longitud total de cambiador la ecuación que resulta. Demostrar que (U,AT, - U, AT,) * = A In (IJ, AT,/& AT,) (15.E-1) Esta expresión fue sugerida por primera vez por A. P. Colbum, Znd. Eng. Chem., 25, 873 (1933). lS.F, Flujo estacionario de gases ideales en caaduccio~~es de secci6n coustaate a. Demostrar que para el flujo horizontal de cualquier flqido en una conducción de sección constante, la ecuación de Bernoulli, Ec. 15.2-3, puede expresarse así odv+Pup++u’ué.=o en la que de, = (4JD)dL. Se supone que el perfil de velocidad es plano. (lS.F-1) BALANCES MACROSCÓPICOS 15-31 b. Demostrar que la Ec. lS.F-1 puede ponerse de esta forma c. Demostrar que para el flujo isotermico de gases ideales la Ec. lS.F-2 puede expresarse así dv dv &.=2RTG -2V Integrar esta expresi6n entre dos secciones «l» y ~(2% que limitan una longitud L de tubería, para o b t e n e r @l/VJU - wp;Yl ‘/f (flujo isotermico de gases ideales) e. - In @,/pl>* 1 (15.F-4) Demostrar que para cualesquiera valores dados de e, y de las condiciones en «l», G alcanza su valor máximo posible para un valor crítico de (p&t)s = r, definido por e, - In r = (1 - r)/r. (Wase también el problema 15.H.) d. Utilizar el balance macrosc6pico de energía en estado estacionario, Ec. 15.1-4, con el fin de demostrar que para el flujo adiabático de gases ideales de c, constante en conducciones & secci6n constante, se cumple ( -1 1 ) pv+ 5 2 d = constante Utilizar la expresi6n ’ (lS.F-5) anterior y el resultado del apartado (c) para obtener Integrar esta ecuación entre dos secciones de tubería el» y «2» comprendiendo una resistencia adimensional e,. En esta integración supóngase que y es constante. Combinar el resultado con el balance macroscópico de materia con el fin de obtener una expresi6n para la velocidad masita de flujo del gas: G5-P VIVl ‘A e. - (flujo adiabático de gases ideales) (15.F-7) e. Utilizar los balances macroscópicos de materia y energía con el fin de demostrar que para el flujo adiabatico horizontal de gases ideales de y constante se cumple & 30 Pa 2 ( [l - ymyY+ l) ll + l) (15.F-8) Esta ecuación puede combinarse con la Ec. 15.F-7 para demostrar, de igual forma que para el flujo isotennico~ que existe una relación crítica de presión (p2/pt) correspondiente a la maxima velocidad de flujo posible. TR A N SP O R TE 15-32 15.Gz DE ENERGfA El aúmero de Mach en la mezcla de dos corrientes de fluidos a. Demostrar que cuando en la Ec. 15.4-32 (wE/ P*) [(y* - l)/$] es igual a 1/2, el numero de Mach de la corriente final es la unidad. Tengase en cuenta que el número de Mach, Ma, que viene dado por la relación entre la velocidad local del fluido y la velocidad del sonido en las condiciones locales, puede expresarse, para el caso de un gas ideal, de la siguiente forma, v/v, = v/m (Wase problema 10.1.) b. Demostrar cómo pueden utilizarse los resultados del ejemplo 15.4-4 para predecir el comportamiento de un gas al pasar por un ensanchamiento brusco de la sección de una conduccion. 15.H2 Velocidades límite de descarga eo tubos de Venturi u. Demostrar, partiendo de la Ec. 15.4-37, que al disminuir la presi6n en el estrechamiento de un tubo de Venturi, la velocidad de descarga alcanza un máximo cuando la relación entre la presión en el estrechamiento y la presión a la entrada, r = (p2/pl), viene dada por la expresión Y+l ;iiy--&-&+ j (15.H-1) b. Demostrar que para St > & la velocidad de flujo en estas condiciones límite es (1 S.H-2) c. Obtener las expresiones correspondientes a las anteriores para el caso de flujo isotermico. 15.12 Flujo de M fluido compresible a través de una boquilla conver&nteAivergente En muchas aplicaciones, tales como turbinas de vapor o cohetes, los gases comprimidos y oifir P=P1 T=Tl u= 0 ‘2 P’P2 T=T, ” = ffp Fig. 15.1. Corte esquematice de una boquilla convergente-divergeGe. BALANCES MACROSCÓPICOS 15-33 calientes se expansionan a través de boquillas del tipo que se indica en la Fig. 15.1, con el fin de convertir la entalpia del gas en energía cinetica. Esta operación es, en muchos aspectos, semejante al flujo de gases a través de orificios. Sin embargo, en este caso el objeto de la expansión es producir energía para mover la turbina o impulsar el cohete. Con el fin de explicar el comportamiento de estos sistemas y justificar la forma general de la boquilla descrita, se sigue el camino de la expansión de un gas ideal. Se supone que el gas está inicialmente contenido en un gran, recipiente de velocidad cero, y que se expansiona a través de una boquilla adiabática sin friccion hasta la presión cero. Se supone también que los perfiles de velocidad son planos y que las variaciones de altura son despreciables.. a. Demostrar, aplicando la ecuación de Bernoulli entre los planos el» y «2» de la Fig. 15.1, que (15.1-1) b. Demostrar, mediante la ley de los gases ideales, el balance macroscópico de materia en estado estacionario, y la Ec. 15.1- 1, que la sección S de la corriente que se expansiona pasa por un valor mínimo para una presión crítica: 2 ei) (15.1-2) Y+l (-1 c. Demostrar que el número de Mach del fluido para esta sección mínima es la unidad. (Vease problema 10.L.) i,Cómo se comparan los resultados de los apartados (a) y (b) con los del problema lS.H? d. Calcular la velocidad v y la temperatura T del fluido, así como la secci6n transversal S de la corriente en función de la presión local p para la descarga de 4,54 kg-mol de aire por segundo desde 311 OK y 10 atm hasta la presion cero. Pa, cru = p1 Respuesta: 413121110 10 9 8 7 6 5,3 5 -~--- 311 333 377 424 u,m seg-1 0 135 194 242 320 475 546 785 --__--/ 1 312 303 292 281 269 260 256 197 162 0 T, OK 241 222 - ----~ ce 920 692 609 576 569 576 590 644 799 1098 00 S, cm2 l I P. am 15.5, Cambiadores de calor de corrientes paralela!?-contraeofriente En el cambiador de calor que se indica en la Fig. 15.J el «fluido del tubo», que es el fluido A, entra y sale por el mismo extremo del cambiador, mientras que el «fluido de la carcasa», el B, circula siempre en la misma dirección; de esta forma, existe en el mismo aparato flujo en corrientes paralelas y en contracorriente. Esta disposición del flujo es uno de los ejemplos mas sencillos del «flujo mixto», que se utiliza frecuentemente en la practica,, con el fin de reducir la longitud de los cambiadores de calor.1 El comportamiento de un aparato de este tipo puede analizarse fácilmente teniendo en cuenta las siguientes suposiciones: (i) que existen condiciones de estado estacionario; (ii) el coeficiente global de transmisión de calor U y los calores específicos de los dos fluidos son constantes; (iii) la temperatura del fluido de la carcasa T, es constante para cualquier sección per1 Véase D. Q. KERN, Process Heat Trunsfir, McGraw-Hill, Nueva York, pp. 127-189; J. H. PERRY, Chemical Engineers’ Handbaok, McGraw-Hill, Nueva York (1950), tercera edici6n, pp. 464-465. TRANSPORTE DE ENERGfA 15-34 Entra do de la de l fluido c o rc o ra 32 ... .. “” TAl dA =Eta m e nto de l de de -b Sa lida de l Ruido ó ra a 1 d e 10 COVXSO c a m b ia do r TB, c o lo r Fig. 15.J. Cambiador de calor 1-2 de corrientes paralelas-contracorriente. pendicular a la dirección de flujo; y (iv) que el área de calefacción en cada «paso» es la misma, es decir, para las corrientes del fluido que circulan por el interior de los., tubos sefialados con 1 y II en la figura. II. Demostrar, mediante un balance de energia aplicado a la parte del sistema comprendida entre los planos «a» y «b», que (TB - TB,) = R(T,” - T,‘) siendo R = Iw~&/w~C?~~~ b. Demostrar que para una sección diferencial del cambiador, que comprende una superficie total de intercambio de calor dA, se cumple (lS.J-1) dTAn 1 -=,(T,“-TB) da 1 dT, = --P’.‘.- NT: ,+ T,n)J R da (15J-2) (15J-3) en las que do! =( U/WA &)dA, y WA, y &‘**, están definidos de ig ua l forma que en el ejemplo 15.4 -2. c. Demostrar que eliminartdo TA~ y T~l’entre estas tres ecuaciones se puede obtener una ecuaci6n diferencial para la distribucih de temperatura del fluido de la carcasa: (15.J-4) siendo 0 = (TB - TB2)/(TsI - TB*). Resolver esta ecuación con las siguientes condiciones limite 15-35 BALANCES MACROSCdpICOS para*=0 @=l . @=O (lSJ-5) (15.J-6) ‘, siendo AT la superfkie total de tmnsmm- i6n de calor del cambiador. d. Utilizar el resultado del apartado (c) con el fin de obtener una expresión para dTB/da. Eliminar dTB/da de, esta expre&n, vali6ndose de la Ec. 155-3, y evaluar la ecuación que resulta para a = 0 con el 6n de obtener ia siguiente mlacion para el funcionamiento del cambiador: UA, : 1 ~~-=-l l l ‘c/R+l WAGA _ Y= Tl; - TA, en la que 2-Y(R+l-v ’ S+l) -Y(R+l+m’ 7 G Tn-TY (lS.J-i) (15.J-S) e. Utilixar este zgultado conzl fin de obtener la siguiente expxesi6n para la velocidad de transmisión de calor en el cambiador: (lSJ-9) (15J40) ‘_ , .’ Y= (R-1)ln */R’+ Iln[(l -Y’)(l -Rly)l 4. 2-‘F(R+l-m) -Y(R+l+m ll ,(lSJ-11) G Obsérvese que Y representa la relación entre el calor transmitido en un cambiador de,calor 1-2 de corrientes paralelascontracorriente, y el transmitido en un cambiador de la misma superficie e iguales temperaturas extremas de los fluidos, que opera en contracorriente verdadera. Los valores de Y(R, p) se representan g@icamente en la obra de Perry (op. cit.) y en la mayor parte de los libros de operaciones bdsicas de ingeniería química. Como puede verse, Y es siempre menor que la unidad. <, lS& Descsgadeairedesdeuntanquedegmncapmidad Se desea retirar 2,27Kg,,seg-1 de aire contenido en un gran tanque de almacenamiento, mediante una tubería de acero de 525 cm. de diámetro interno y cuya longitud equivalente es de 16.8 m. El aire sufre una contraccion brusca a la entrada de la tubería, pero las perdidas debidas a esta contracción no estAn incluidas en la longitud equivalente de la tubería que se ha indicado anteriormente. iSe puede obtener la velocidad de flujo de aire que se desea si el aire del tanque está a la presión manométrica de 10,2 atm y 21 OC, y la presibn manom&rica al final de la tubería es de 3,4 atm? (El efecto de la contracción brusca puede estimarse con bastante exactitudsconsiderando que la entrada consiste en una boquilla ideal que converge hasta una seccion igual a la de la tubería seguida de un tramo de tubería para el que e, = 0,s. (Wase Tabla 7.4 - 1.) El comportamiento de 2 Vease C. E. L APPLE, Trans. Am. Inst. Chem. Engrs.. 39, 385 (1943). 15-36 i% TRANSPORTE DE ENERGfA la boquilla puede determinarse a partir de la Fc. 15.4-37 suponiendo que el area de la seccl6n transversal es infinita y que C4 es igual a la unidad). Respuestas: Sí. La velocidad de descarga que se obtiene es del orden de 2,7 kg, seg-1 para el flujo isot&mico (vease el problema 15.F) y aproximadamente iguala 2,85 kg,,, seg-1 para el flujo adiabático. La velocidad real estaría comprendida entre estos dos limites para una temperatura ambiente de 21 OC. 15.L3 Temperati d e eshcamhto La «sonda de temperatura total» que se indica en la Fig. 15.L esta introducida en una corriente estacionaria de un gas ideal a la temperatura Tl que se mueve COI una velocidad ~1. Parte del gas llega al terminal de la sonda y es decelerado hasta una velocidad prácticamente cero ante de salir lentamente por los orificios de sangria. Esta deceleración da lugar a un aumento de temperatura que se mide con el termopar. Como la deceleraci6n es rslpida, resulta practicamente adiabática. Esfera de 0.63 mm del termopar Plástico / L3 orificios de songrb de 0.58 iqualmente espaciados Fig. i5.L. Sonda de temperatura total. [H. C. Horrw y A. A25 (1945).] KALI~NSKY, mm J. Appl. Mech., 12, a. Deducir una expresión para la temperatura registrada por el termopar en función de V, y Tl utilizando el balance macroscópico de energía en estado estacionario, Ec. 15.1-4. Utilizar como sistema una corriente representativa del fluido que llega a la sonda. El plano de referencia «l» se toma suficientemente alejado aguas arriba de forma que se puede suponer que las condiciones no son afectadas por la sondá, y el plano «2» se sitúa en la sonda misma. Se supone que la velocidad en el plano «2» es cero, y se desprecia la radiación así como la conducci6n de calor desde el fluido al pasar entre los planos de referencia. 6. $ucil ea la misión de los orificios de sangría? Respuesta: a. (T2 - Tl) = v,‘/2C,. Con sondas bien diseiíadas se pueden obtener aumentos de temperatura que concuerdan con un 2 por ciento con los que se obtienen mediante esta expresión. 15.M3 Calentamiento continuo de ma suspeasibn en un tanque agitado Una suspensión se calienta hacitndola pasar á traves de un tanque de calefacción perfectamente agitado, tal como se indica en la Fig. J5.M. La temperatura de entrada de la suspensión es T,, y la temperatura de la superficie externa del serpentin de vapor es T,. Se utilizan tambien los siguientes simbolos : ‘V = volumen de la suspensibn contenida en el tanque ‘p = densidad de la suspensión w = velocidad másica de flujo de la suspensión a través del tanque C,= calor específico de la suspensi6n U =,coeficiente global de transmisión de calor del serpentín de vapor A =‘supetfrcie total de transmisión de calor del serpentin t = tiempo contado a partir del momento en que se inicia el calentamiento T(t) = temperatura de la suspensión contenida en el tanque. 15-37 BALANCE.9 iuACRoSCóPICoS FL % La agitación es suficientemente intensa, de forma que la temperatura del iluido en el interior del tanque es uniforme e igual a la temperatura de salida. E n t r a d o de lo susp4 nsión Vapor 0 lo a la La t * m p4 m t uro int c rlor de l e n t a nque el 41 T (t )- Lo Sa lido del condensado Q aw oximodomante D --- T, t e m pe rot um de salido es T(t) Fig. EM. Calentamiento de una suspensión en un tanque agitado. II. Demostrar, mediante un balance de energía, - que - la temperatura de la suspensión está descrita por la ecuación diferencial dT pv v.-n- Fv (T-Ti) dr=.( * 1 ( ) b. Expresar esta ecuación diferencial en funcih de las variables adimensionales WI q-cPV (lS.M-1) ‘. (SM-2) (lS.M-3) siendo (lS.M-4) &til es el significado físico de t, 0 y T,? c. Resolver la ecuación adimensional obtenida en el apartado (b) para la condición limite de que para t = 0, T = T. d. Comprobar la solución. i,Se cumplen la ecuación diferencial y la condición inicial? iC6mo se comporta el sistema para un tiempo grande? iEsta de acuerdo este comportamiento límite con lo que cabe esperar intuitivamente? e. iCómo viene afectada la temperatura a tiempo infinito por la velocidad de flujo? iEs razoT - Tm UA nable esto? Respuesta: c. ~7~ = exp E ( PC 15-38 “è TR A N SP O R TE DE ENERGfA lS.N, DesSarga de un gas desde un tanque en movimiento La Ec. 15.5 -36 del ejemplo 15.5 -3 se ha obtenído tomando&/& igual acero, pero este procedimiento ~610 esta justificado porque el tanque en consideración estaba en reposo. Sin embargo, la Ec. 15.5-36 es también correcta cuando el tanque se mueve. Esta afirmación puede demostrarse de la siguiente forma: a. Considerar un tanque como el de la Fig. 15.5-4, pero que se mueve con una velocidad F que es mucho mayor que la velocidad relativa del fluido con respecto al tanque en la región situada a la izquierda de la superficie «l». Demostrar que el balance macroscópico de cantidad de movimiento para esta región del tanque es (lS.N-1) donde se. ha supuesto que la velocidad del fluido es uniforme e igual a o. Efectuar el producto de punto de los dos miembros de la Ec. lS.N-1 con D para obtener (15.N-2) - W = mtot habiéndose despreciado adb/ar . b. Substituir este resultado en el balance macroscópico de energia y seguir como en el ejemplo 15.5-3. 15.0, Deducción del balance nmcroscbplco de energía ‘Integrar la Ec. N de la Tabla 10.4- 1 para el gistema de flujo repre&ntado en la Fig. 7.0- 1 con el fin de obtener la Ec. 15.1-3. Téngase en cuenta que es preciso utilizar la fórmula tridimensional de Leibnitz (vkase Apéndice A, 0 A.5) para efectuar la integración del primer miembro de la ecuación. Utilizar el teorema de divergencia de Gauss en el segutio miembro, con el fin de transformar las integrales de volumen en integrales de s@wlkie. 15.P, Otra forma del balance macroscb~ de energía Repetir el problema 15.0 para la Ec. 0 de ia Tabla 10.4- 1 y demostrar que se puede expresar un balance macroscópico de energía en esta forma $ wt,, + %r + Ktd = -ANO + t + d’bvl + P - Nora: Puede resultar útil la Ec. 10.1-14. Obskvese se transforma en la Ec. 15.1-3. dY w + vp -ar s flS.P-1) también que para a&/ar = Oesta expresión TERCERA PARTE Transporte de materia CAPfTULO 1 6 DIFUSIVIDAD Y MECANISMOS DEL TRANSPORTE DE MATERIA En el Capítulo 1 hemos comenzado por establecer la ley de la, viscosidad, y en el Capítulo 8 la.ley de Fourier de la conducción del calor. En éste vamos a presentar la ley de Fick de la difusión, que describe el movimiento de una substancia, tal como A, a través de una mezcla de A y B, merced al gradiente de concentración de A. El movimiento de’una especie química desde una región de concentración elevada hacia otra de baja concentración puede observarse a simple vista colocando un pequeño cristal de permanganato potásico en un vaso de agua. El KMnO, comienza a disolverse en el agua, y en las inmediaciones del cristal se forma un intenso color violeta correspondiente a la solución concentrada de permanganato. Debido al gradiente de concentración que se establece, el KMnO, difunde alejándose del cristal. La marcha de la difusión puede seguirse observando el crecimiento de la región de color violeta intenso cuando la concentración de permanganato es elevada y débil coloración para bajas concentraciones. La difusión es más compleja que el flujo viscoso o la conducción del calor, debido a la innovación de tener que operar con mezclas. En una mezcla que difunde las velocidades de los componentes individuales son distintas, y existen varios metodos adecuados para promediar las velocidades de los componentes con el fin de obtener la velocidad local de la mezcla. La elección de esta velocidad local es necesaria para poder definir las velocidades de difusión. Por lo tanto, hemos creído conveniente tratar con algún detalle en 0 16.1 las definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo. En dicha sección no se exponen conceptos físicos nuevos, pero es muy importante familiarizarse con estas definiciones para estudiar las materias que se abordarán después. En $ 16.2 se establece la ley de Fick de la difusión, y con ello se define la difu. . BAB. sividad bmarta En 0 16.3 se estudia la variación de gAB con la temperatura y la presión. En $16.4 y 0 16.5 se tratan las difusividades binarias de mezclas gaseosas y líquidas desde un punto de vista molecular. Como actualmente se carece de datos de difusividad para la mayor parte de la mezclas que tienen interés en ingeniería, es preciso utilizar en casi todos los cálculos valores estimados o extrapolados de gAB Deberán de utilizarse, a ser posible, valores experimentales, ya que generalmente (aunque no siempre) son más seguros. 16-4 TRANSPORTE DE MATERIA Ya hemos indicado que la difusión de A en un sistema de A y B tiene lugar debido a la existencia de un gradiente de concentración de A. Este fenómeno se denomina a veces difusión ordinaria para distinguirla de la difusión de presión (el movimiento de A se debe a un gradiente de presión), de la difusión térmica (el movimiento de A se produce merced a un gradiente térmico), y de la difusión forzada (el movimiento de A se debe a una desigualdad de las fuerzas externas que actúan sobre A y B). Estos efectos adicionales, así como la difusión en sistemas de varios componentes se tratan brevemente en el Capítulo 18. Nota: En este capítulo y en los siguientes se ha adoptado una determinada regla de notación. Cuando se consideran sistemas de dos componentes se especifican las especies A y B. En sistemas de varios componentes se especifican las especies 1,2,3, etcétera, o bien, en las discusiones generales, se utiliza un índice supuesto, tal como i, i o k, para referir las distintas especies. Las fórmulas cuya validez se limita a sistemas binarios se distinguen fácilmente porque intervienen los subíndices A y B. $ 16.1 DEFINICIONES DE CONCENTRACIONES, VELOCIDADES Y DENSIDADES DE FLUJO DE MATERIA1 La concentración de las especies en un sistema de varios componentes puede expresarse de diversas formas. Nosotros consideraremos solamente las cuatro siguientes: la concentración de masa, pi, que es la masa’de la especie i por unidad de volumen de solución; la concentración molar, ci = p,fM,, que es el número de moles de ‘la especie i por unidad de volumen de solución; la fracción de masa, oi = pJp, que es la concentración de masa de la especie i dividida por la densidad total de la solución; y la fracción molar, xi = cI/c, que es la concentración molar de la especie i dividida por la densidad molar total de la solución. (Mediante la palabra «solución» se designa aquí una mezcla gaseosa, líquida, o sólida, que forma una sola fase.) En la Tabla 16.1- 1 se da un resumen de estas unidades de concentración y su mutua relación para el caso de sistemas binarios. En una mezcla que difunde las distintas especies químicas se mueven con velocidades diferentes. Llamamos ni a la velocidad de la especie i con respecto a ejes coordenados estacionarios? Por lo tanto, la velocidad media de masa para una mezcla de n componentes se define de la siguiente forma: (16.1-1) 1 R. B. BIRD, «Theory of Diffusiorw, en Advances in Chemical Engineering, vol. 1, Academic Ress, Nueva York (1956), pp. 170 y siguientes. 2 La palabra «velocidad» no expresa aquí la velocidad de una molécula individual de la especie i sino la suma de las velocidades de las mol&culas de esta especie comprendidas en un pequefio elemento de volumen, dividida por ei número de dichas moMculas. DIFUSIVIDAD Y MECANISMOS 16-5 Obsérvese que po es la velocidad local con que la masa atraviesa una sección unidad colocada perpendicularmente a la velocidad tr. Esta velocidad local es la que se mediría con un tubo de Pitot, y corresponde a la ~t que se ha utilizado en los capítulos anteriores para fluidos puros. De igual forma, se puede definir una velocidad media malar local B* ll* - .i Gvi a=l ” (14.1-2) Obsérvese que .cu* es la velocidad local con la que los moles atraviesan una sección unidad colocada perpendicularmente a la velocidad v *. Estas dos velocidades medias las utilizaremos con frecuencia. A veces se utilizan también otras velocidades medias, como la velocidad media de volumen #(Véase problema 16.K.) En sistemas de flujo tiene, generalmente, más interés la velocidad de una determinada especie con respecto a v o v* que con respecto a un eje de coordenadas estacionario, y con este proposito se definen las «velocidades de difusión»: q-o= velocidad de difusión de i con respecto a tr (16.1-3) (16.14 q-ll * = velocidad de difusión de i con respecto a v* 8 I Estas velocidades de difusión representan el movimiento del componente i COIL relación al movimiento local de la corriente del fluido. En la Tabla 16.1-2 se hace un resumen de la notación de las velocidades en sistemas binarios, y se indican algunas relaciones útiles entre las distintas velocidades. Es muy importante que el lector comprenda perfectamente el significado de las distintas clases de velocidades. Con este fin vamos a estudiar un sistema concreto, siguiendo gráficamente su comportamiento. En la Fig. 16.1-1 se analiza lo que ocurre cuando un líquido A se evapora y difunde hacia arriba a través de un tubo largo que inicialmente está lleno del vapor B. Al evaporarse A, empuja al vapor B hacia arriba. Sin embargo, no existe una línea neta de separación entre los vapores A y B puros, tal como se indica en la Fig. 16.1 -la, sino que el desplazamiento ascendente del vapor B va acompañado de una mezcla mutua de los dos vapores (Fig. 16;1--Ib). Por lo tanto, debido a la difusión, en un punto cualquiera del tubo, A se mueve hacia arriba más rápidamente de lo que corresponde al movimiento medio global, y en cambio B se mueve más lentamente. En la Fig. 16.1- 16 se indican los distintos vectores velocidad para el caso de que zXi = Q, v* = 12, pr-u*=3, y IU,, = 5M,. El lector deberá de comprobar los demás vectores velocidad. Una vez que se han visto ya las velocidades y concentraciones, podemos definir las densidades de flujo de masa y molar. La densidad de flujo de masa (o molar) de la especie i esi una magnitud vectorial que representa la masa (o moles) de la especie i TRANSPORTE Gas DE MATERIA B R II á I Va po r f sa tura do con A - 1 lq uid o A correcto ‘6) Inc o rre c to b) Fii. 16.1-1. difusión. Distribucibn de concentración en un determinado instante en un sistema de ,- que cruzan la unidad de área por unidad de tiempo. El movimiento puede estar referido a unas coordenadas estacionarias, à la velocidad media ‘molar local u*, o a la velocidad media de masa u. Por lo tanto, las densidades-de flujo de masa y molar relativas a coordenadas estacionarias son ni = pivi de masa (16.1-5) Ni = ciui molar ‘(16.1-6) Las densidades de flujo de masa y molar relativas a la velocidad media de masa v, son de mesa (16.1-7) ij = PiCo* - 0) Ji = q(q - u) molar < (16.1-8) y las densidades de flujo de masa y molar relativas a la velocidad media molar v*, son (16.1-9) de masa ji* = p,(o, - u*) Ji* = ci(ui - v*) molar (16.1-10) TABLA 16.1-1 NOTACIÓN DE CONCENTRACIONES EN SISTEMAS BINARIOS p = p-., + p13 = densidad de la solución (g/cmJ) PA = CAM.4 P A 1 .y 2 WA4 =p (4 = concentración de tiasa de A (g de Alcm de solución) = fracción de masa de A (0 c = ca, + cn = densidad molar de la solución (g-mol/cm3) $ 8 .e 2 s a” cA* Pd = - MA = m concentración molar de A (g-mol de Alcm de solución) c.1 = fracción molar de A zAE- (0 (0 (0 C M = E = peso molecular medio de la mezcla (G) l x*4 + XB = 1 :: zdMs4 + .r,M, = M UO(JI w WA4 = d<oa4 = ;r ,MA re4 MA + xBMB MA M,, dXA (.r,M, + xBM$ (MI (0) TABLA 16.1-2 NOTAC16N DE VELOCIDADES EN SISTEMAS BINARIOS v.4 = velocidad de la especie A relativa a coordenadas estacionarias VA - v = velocidad de difusión de la especie A relativa a u - v* = velocidad de difusión de la especie A relativa a v* 0-4 = velocidad media de masa = (l/p)(~~v-~ + puo,) = w~D-~ + cuBvB v* = velocidad media molar = (l/c)(c,v, i- cevu) = zAva i- zgvn V v- v* = CUd(V-4 - v*) + lU,J(VB - v*) v* - v = ~-,(VA - v) + “B(v,j - v) (4 (B) (0 (0) (EI (0 TABLA 16.1-3 DENSIDADES DE FLUJO DE MASA Y MOLAR EN SISTEMAS BINARIOS Con respecto a ejes estacionarios Magnitud ! 3 i- T 8 ‘0 % ti ‘29 1 2 Velocidad de la especie A (cm seg-l) Densidad de flujo de ‘* masa de la especie A nA = P,l vA (g cmw2 seg--l) Densidad de flujo molar N = c v A AA de la especie A (g-m01 cmee seg--‘) Suma de las densidades de flujo de masa (g cmm seg.“) nA .f “ B =Pv p Suma de las densidades N + N B = cv* A de flujo molares .ss (g-m01 cme seg-l) m .g z Densidades de flujo en NA = ny función de nA y nB MA z 4 Densidades de flujo en B función de NA y NB ii nA = NAMA Con respecto a Con respecto a v* V (4 v, (D) - v jA = PACOA (G) Ja4 = C A (VA c J) f A +jg (B) VA - V) tE) jA* = - 0) = 0 (MI JA + JB P C(O* - V) - v* (0 PA@* - v*) W ( H ) JA* = cA(vd - v*) (0 (K) jA* + jB* = P(v - o*) (L) (N) JA* + JB* = 0 (0) .07 iA - nA - wA(nA + nB) (S) JA=NA-wA i Densidades de flujo en función de jA y v nA =jA + pAv (v) JA -& B 2 2 Densidades de flujo en MB 2 función de JA* y v* NA = J-4* + C A ”* ( Y ) JA aMJA* -( NA+zNB (PI jA* =nA -ZA 1 JA*.*NA ( nA - MA +FBnE 1 (RI - ZA(NA + NB) (u) (Tl tw) jA* - gBjA ( Z ) jA* = JA*MA (X) (AA) DIFUSIVIDAD 16-9 Y MECANISMOS En la Tabla 16.1-3 se hace un resumen de la notación de la densidades de flujo en sistemas binarios, y se indican algunas relaciones entre las distintas densidades de flujo. Es preciso resaltar que una densidad de flujo de masa no queda completamente definida mientras no se especifiquen las unidades y el sistema coordenado. Desde el punto de vista matemático, cualquiera de las seis notaciones anteriores de la densidad de flujo sirve para tratar todos los problemas de difusión, pero cada una de ellas tiene ciertas ventajas y de hecho se encuentran todas ellas en la bibliografía. La densidad de flujo Ni (y menos frecuentemente n,) se utiliza ampliamente en ingeniería, debido a que en los cálculos de los procesos resulta en general conveniente referirse a un sistema coordenado establecido en los aparatos. Las densidades de flujo ii y Ji* se utilizan habitualmente para medir las velocidades de difusión y resultan adecuadas para formular las ecuaciones de variación en sistemas de varios componentes. Las densidades de flujo Ji y ji* apenas si se utilizan, pero las hemos incluido para dar una visión completa. En la mayor parte de los casos utilizaremos Ni. Ejemplo 16.1- 1. Relaciones entre las densidades de flujo molares &Zmo están relacionadas Ji* y N, en un sistema de n componentes? b. Demostrar que la suma de las densidades de flujo Ji* es cero. Solución. a. Combinando las definiciones de v* y Ji*(Ecs. 16.‘1-2 y IO), se llega a a. Ji* = ci(vi - v*) >L = civi - 2 2 cjvj c j-l (16.1-11) Teniendo en cuenta las definiciones de Ni y xi se obtiene Ji* = Ni - zi 5 Ni j;;l (16.1-12) Esto indica que la densidad de flujo molar de difusión Ji* es sencillamente la diferencia entre la densidad de Rujo molar Ni y la velocidad de transporte (flujo global) de la especie i debido a la densidad de flujo molar local de la mezcla. La Ec. 16.1- 10 puede interpretarse de una forma similar. b. El sumatorio de la Ec. 16.1- 12 desde i = 1 hasta i = n, conduce a (16.1-13) Lo que demuestra que la suma de las densidades de flujo molares de difusión relativas a la velocidad media molar en cualquier mezcla es cero. Por consiguiente, en una mezcla binaria las densidades de flujo de difusión J 4* y J,*son iguales y de sentido contrario: Ja4* = - JB* Este resultado se aplica en el problema 16.1. , (16.1-14) . TRANSPORTE DE MATERIA 16-10 ‘$ $ 16.2 LEY DE FICK DE LA DIFUSIÓN La viscosidad p se ha definido en la Ec. 1.1-2, como el factor de proporcionalidad entre la densidad de flujo de cantidad de movimiento y el gradiente de velocidad (ley de Newton de la viscosidad). En la Ec. 8.1-6 se ha definido la conductividad calorífica k, como el factor de proporcionalidad entre la densidad de flujo de calor TABLA 16.2-1 FORMAS EQUIVALENTES DE LA PRIMERA-LEY DE FICK DE LA DIFUSIÓN Densidad de flujo Gradiente Forma de la primera ley de Fick wA(“A + VWA NA VXA jA v"A jA JA* vxA JA* = -caAB vi=A . JA vxA JA* vwA nA- nB) = “A *A - X‘~(*A + = -@AB NB) = VWA -~3-,,~ -PBABVw, vXA (4 00 (0 (0) 8 jA = - 0 ; MA”#AB vxA 69 c9AB = --vx dvA - OB) A xAxB (G) y el gradiente de temperatura (ley de Fourier de la conducción del calor). De una forma análoga, vamos a definir ahora la difusividad aAB = gBA en un sistema binario : JA* = -c?ABvz;p , (16.2-1) que es la primera ley de Fick de la difusión,1 expresada para la densidad de flujo molar de difusión JA*. Esta ecuación establece que la especie ,A difunde (se mueve con relación a la mezcla) en la dirección decreciente de la fracción molar de A, de la misma forma que el calor fluye por conducción en la dirección de temperatura decreciente. En la bibliografía se utilizan distintas formas, matemáticamente equivalentes, de la primera ley de Fick, algunas de las cuales se resumen, a título de información, en la Tabla 16.2-1. La difusividad gedB es idéntica en todas estas ecuaciones. 1 Los gradientes de temperatura, Los gradientes de presi6.1, y las fuerzas externas, también contribuyen a la densidad de flujo de difusión, si bien sus efect.)s son generajmente más pequefios. En 8 18.4 se dan expresiones mas completas para la densidad de flujo de difusión. DIFVSIVIDAD Y M E CA N I S M O S 16711 En los capítulos que siguen tiene una gran importancia la forma de la primera ley de Fick escrita para NA, la densidad de flujo molar relativa a coordenadas estacionarias : NA = zA(NA + NB) - c9ABVxA (16.2-2) Esta ecuación indica que la densidad de flujo de difusión NA, con relación a un eje de coordenadas estacionarias,’ es la resultante de dos magnitudes vectoriales: el vector zA(NA + NB), quées la densidad de flujo molar de A que rrsulta del movimiento global del fluido, y el vector JA* .= -cBABVxA, que es la densidad de flujo de A que resulta de la difusión superpuesta al flujo globq-1. Por lo tanto, en la Fig. 16.1- 16 los términos de flujo global y de difusión de la Ec. 16.2-2 son del mismo sentido para la especie A (puesto que difunde a favor de la corriente) y de sentido contrario para la especie B (debido a que B difunde contra corriente), Las unidades de la difusividad gAnson cm2 seg-‘0 m2 hr-t. Obsérvese que la viscosidad cinemática v y la difusividad térmica a también tienen las mismas unidades. La analogía de estas tres magnitudes se deduce de las siguientes ecuaciones para las densidades de flujo de masa, cantidad de movimiento y energía, en sistemas unidimensionales: j.4, = -Bz,B -$ (pA) TU% = -v L (Pb) dY 4v = -a d (&,T) dY (ley de .Fickl para p constante) (16.2-3) (ley de Newton para p constante) (16.2-4) (ley de Fourier para p& constante) (16.2-5) Estas ecuaciones establecen, respectivamente, que (u) el transporte de materia tiene lugar a causa de un gradiente de concentración, (b) el transporte de cantidad de movimiento tiene lugar a causa de un gradiente de concentración de cantidad de movimiento, y (c) el transporte de energía tiene lugar a causa de un gradiente de concentración de energía. Estas analogías no pueden aplicarse a los problemas bi y tridimensionales, puesto que ‘t es una magnitud tensorial con nueve componentes, mientras que j-,* y q son vectores con tres componentes. En las Tablas 16.2-2, 3 y 4 se dan valores de gA,,para algunos sistemas gaseosos, líquidos y sólidos. Las difusividades de gases a baja densidad son casi independientes de la composición, aumentan con la temperatura, y disminuyen con la presión. En las tres secciones próximas haremos un resumen de los medios de que se dispone para la estimación de difusividades. 16-12 TRANSPORTE DE MATERIA T A B L A 1 6 . 2 - 2 EXPERIMENTALES DE ALGUNOS SISTEMAS BINARIOS DE GASES DILUIDOS’ Temperatura 9.4, Sistema gaseoso (cm2 seg-l) C’ W .- DIFUSIVJDADES Ce -N20 coz-co COz-N, 273,2 273,2 273,i 332 298,2 293,2 298,2 298,2 Ar-02 I-&-s& H2-CH4 0,096 0,139 0,144 0,158 0,165 0,20 . . 0,420 0,726 I Esta Tabla es un extracto tomado de J. 0. HIRXHFELDER, C. F. CURTISS, y R. B. BIRD, Molecular Theory of Gases and Liquids, Wiley, Nueva York (1954), p.. 579. Los valores corresponden a una atmósfera de presión. TABLA 16.2-3 DIFUSIVIDADES EXPEIhMENTALES EN ESTADO LfQUIDO’ B A 9&3 x 105 WC) x.4 (cm2 seg- ‘1 Clorobenceno Bromobenceno 10,Ol 39,97 Etanol Agua 25 Agua n-Butano1 30 0,0332 0,2642 0,5122 0,7617 0,%52 0,0332 0,2642 0,5122 0,7617 0,9&2 0,os 0,275 0,50 0,70 0,95 0,131 o,=! 0,358 0,454 0,524 1,007 1,069 1,146 1,226 1,291 1,584 1,691 1,806 1,902 1,996 1,13 0,41 0 w w 1,24 0,920 0,560 0,437 0,267 “Esta Tabla es un extracto tomado de P. A. JOHNSON y A. L. BABB, «Liquid Diffusion in Non-Electrolytew, Chem. Revs., 56, 387-453 (1956); en este artículo se da ‘un resumen DIFVSIVIDAD c;^ ’ 16-13 Y MECANISMOS de los coeficientes experimentales de difusión de sistemas líquidos, así como una visih global de los m&odos de medida. Otro excelente artículo de revista es el de L. J. GOSTING, «Measurement and Interpretation of DiffusionCoefficientw , Advances in Protein Chemistry, vol. XI, Academic Press, Nueva York (1956). TABLA 16.2-4 DIFUSIVIDADES EXPERIMENTALES EN ESTADO SóLIDOZ Sistema He en Si02 He en pyrex TC) Difusividad, gdB (cm* seg- l) 20 20 * 500 2,4 - 5,5 x lo-“’ 4,s x lo-” 2 x lo-s HZ en Si02 Hz en Ni mo 85 165 0,6 - 2,l x lo-8 1,16 x lo-s 10,5 x 10-8 Bi en Pb Hg en Pb Sb en Ag Al en Cu Cd en Cu 20 20 20 20 20 1,l 2,5 3,5 1,3 2,7 x x x x x lo-16 lo-l5 10-2’ 10-30 lo-l5 “Valores tomados de R. M. BARRER , Diffusion in and through Solids, Macmillan, Nueva York (1941), pp. 141, 222 y 275. § 16.3 VARIACIÓN DE LA DIFUSIVIDAD CON LA PRESIÓN Y LA TEMPERATURA La difusividad BAu de un sistema binarlo es una función de la temperatura, presih y composición, mientras que la viscosidad y la conductividad calorífica .k de un fluido puro son solo funciones de la temperatura y la presión. Además, los datos existentes de 9,, para la mayor parte de las mezclas binarias son bastante limitados, tanto en exactitud como en el intervalo conocido. Las correlaciones propuestas para gAB tienen un campo de aplicación limitado y se basan más en la teoría que en la experiencia. Para las mezclas gaseosas binarias a baja presión, gdBes inversamente proporcional a la presión, aumenta con la temperatura, y es casi independiente de la composición, para una mezcla de dos gases determinados. Combinando los principios de >&.* TRANSPORTE DE MATERIA 1 6 -1 4 q la teoría cinética y de los estados correspondientes se ha obtenido la siguiente ecuaciónl para estimar gAB a bajas presiones P~AB = a(d)” ( 1 6 . 3 - 1 ) en la que gAB[=] cm* seg-1, p[ =] atm., y T[=] OK. Mediante un análisis de los datos experimentales se han obtenido los siguientes valores para las constantes a y b: Para mezclas binarias de gases no polares a = 2,745 x 10-4 b = 1,823 Para Hz0 con un gas no polar a = 3,640 x 10-4 b = 2,334 La Ec. 16.3- 1 concuerda con los datos experimentales a la presión atmosférica con un error del orden del 8 por ciento. 192 Si los gases A y B son no polares y se conocen sus parámetros de Lennard-Jones, el método de la teoría cinética que se expone en 0 16.4 conduce a resultados más exactos. 40 49 033 0,7 083 0,5 08 0,3 02 , /’ OSI 0 41 q15 q2 0,3 0,4 45 0,6 0,8 $0 1,5 2,0 3,0 4,0 Pr =PlP, Gr&ica generalizada para autodifusividades de gases densos. J. C. SL .ATTERY, IU. S. this, Universidad de Wisconsin (1955); esta gráfica está basada en muy pocos datos. Fii. 16.3-1. C. SLATTERY y R. B. BIRD, A. 1. Ch. E. Journal, 4, 137-142 (1958). 2 Comparaciones detalladas de este y otros métodos de estimación se dan en R. C. REID y T. K. SHERWOOD, The Properties of Gases ond Liquids, McGraw-Hill, Nueva York (1958), pp. 267-276. 1J. DIFUSIVIDAD Y MECANISMOS 16-15 A presiones elevadas, 9 dn ya no disminuye linealmente con la presión. En realidad, se sabe muy poco acerca de la variación con la presión, excepto en el caso límite de la autodifusión (interdifusión de moléculas idénticas) que se puede investigar muy bien experimentalmente utilizando trazadores isotópicos. Mediante la Fig. 16.3- 1 se puede estimar la variación de la autodifusividad, Q(),,,con b presión. Esta gráfica se ha construido basándose en la teoría cinética de Enskog de los gases densos, utilizando algunos datos experimentales incompletosl. La ordenada del gráfico es ~g~~~Jpg~~)O, que corresponde a la relación entre el producto presión-difusividad a la presión p y temperatura T, y el producto presión-difusividad a la misma temperatura pero a baja presión. Esta relación se representa en función de la temperatura reducida T, = T/T, y la presión reducida p, = p/p,. La gráfica es análoga a la de las Fig. 1.3-2 y 8.2-2; más adelante se indica, mediante un ejemplo, la forma de utilizarla. Se ha sugerido que, en ausencia de otra información, puede utilizarse la Fig. 16.3- 1 para estimar gAH reemplazando pc y T, por los valores pseudocríticos p’ y T’, de las Ecs. 1.3-3 y 4. Este procedimiento debe de considerarse como proviiional ya que existen muy pocos datos experimentales para comprobarlo. Ejemplo 16.3-1. Estimación de la difusividad a baja densidad Estimar gAB para el sistema argón-oxigeno a 293,2 “ K y 1 :atm de presión total. Solución. Para utilizar la Ec. 16.3 - 1 se necesitan las siguientes propiedades (véase Tabla B-l): h4 T, PC 151,2 48,0 A (argón) 39,94 49,7 B (oxígeno) 32,00 154,4 Por lo tanto (pcApcB)x = (48,0 x 49,7)% = 13,36 (T,TcB)x* = (151,2 x 154,4)%’ = 54,55 (& + $-)“= (& + &$= 0,2372 Substituyendo estos valores en la Ec. 16.3-1, se. obtiene (l,O)g, = (9,Ol x 10-4)(13,36)(54,55)(0,2372) AB = 0,156 cm2 seg-’ El valor experimental (véase Tabla 16.2-23 es 0,20 cm* seg-l. Obsérvese que el método del ejemplo 16.4 - 1 es más adecuado. 16-16 % TRANSPORTE DE MATERIA Ejemplo 16.3-2. Estimación de la difusividad a alta densidad Estímese gABpara una mezcla constituida por 80 moles por ciento de metano y 20 moles por ciento de etano a 136atm y 313°K. El valor experimental de (~“4~)~ a 293 “ K es 0,163 atm cm* sege-‘. Solución. Primeramente corregiremos para la temperatura deseada el valor de @g-~a)~ que se indica, utilizando la Ec. 16.3-1 con las constantes no polares: (pgAB)O a 313 OK = 0,163 = 0,184 atm cm* seg-t Las propiedades críticas, según la Tabla B- 1 del Apendice, son metano: T,=WO,7 OK pc = 45,8 atm etano: Tc = 305,4 “ K pc = 48,2 atm Las propiedades pseudocríticas, de acuerdo con las Ecs. 1.3 -4 y 5, son Pi =iil"iPcr = (0,80 x 45,8) + (0,20 x 48,2) = 46,3 atm Tc' = i x,T,, = (0,80 x 190,7) + (0,20 x 305,4) i-l = 213,6” K La presión y temperatura pseudorreducidas son 136 P = 46,3 = 2,94 I PC T 313 -= - = 1,47 213,6 TC’ Para estas condiciones reducidas, de la Fig. 16.3 - 1 se obtiene ~9.~ B/@Q, do 2 0,73. Por lo tanto, 0,184 (Paz4 BI0 PgAB 9,, =-=136 (0873) P (PQAB)’ = 9,9x lO-4 cm* seg-l El valor experimentals en estas condiciones es BAB = Q4 x 10d4 cm* seg-l. Si se utiliza para (pgAB)o el valor que predice la teoria de Chapman-Enskog expuesta en $16.4, el valor estimado para 94, resulta 8.8 x 10b4 cm* seg-1, que de forma inesperada concuerda satisfactoriamente. 4 16. 4 TEORfA D E LA D IFU SIÓ N O RD IN A RIA EN G A SES A BA JA D EN S I D A D La teoría cinética predice la difusividad gadB de las mezclas binarias de gases no polares con un error del orden del 5 por ciento. De igual forma que en $$ 1.4 y 8.3, 3 V. J . BERRY, Jr. y Preprint 45, A. 1. Ch. E. R. C. KOELLER, «Diffusion in Compressed Binary Gaseous Systemw, 40th National Meeting, 1959. DIFUSIVIDAD Y MECANISMOS 1 6 -1 7 comenzamos por una deducción simplificada con el fin de ilustrar el mecanismo que tiene lugar, para exponer después los resultados más exactos de la teoría de Chapman-Enskog. Consideremos una gran masa de gas conteniendo las especies moleculares A y A*, que poseen la misma masa WI,,, tamaño y forma. Un sistema que se aproxima mucho a éste es el constituido por una mezcla binaria de moltculas pesadas de dos isótopos distintos, tales como U23sFe y U23*Fs. .Se desea determinar la difusividad BAll. en función de las propiedades molecularés, suponiendo que las moléculas son esferas rígidas de diámetro dA. Igual que antes, utilizaremos los siguientes resultados de la teoría cinética1 para un gas a baja densidad constituido por esferas rígidas, en el que los gradientes de temperatura, presión y velocidad, son pequeños : ü= ~KT vz Z= 114 nü ,.. 1 A =- &z dzn = valor medio de la velocidad molecular con relación a 8 0 v* (16.4- 1) = frecuencia de colisión de pared por unidad de área en el gas estacionario (16.4-2) = recorrido libre medio (16.4-3) de fro c c i¿ n m o la r x,(y ) Fii. 16.4-1. Transporte molecular de la especie A desde el plano (Y - u) al plano y. 1 Se pueden utilizar las expresiones correspondientes a un gas puro, ya que las propiedades mecb nicas de A y A* son idhticas. “hP 16-18 TR A N SP O R TE DE M A TER IA Las -moléculas que llegan a un plano situado en el gas han efectuado, como promedio, su última colisión a una distancia a de dicho plano, siendo a = $A (16.4-4) Para determinar la difusividad gadA.i.,consideremos el movimiento de la especie A en la dirección y debido a un gradiente de concentración dx,/dy (véase Fig. 16.4- 1); cuando la mezcla en conjunto se mueve con una velocidad íirrita v,,*. Se supone que la temperatura T y la concentración molar c permanecen constantes. Se admite también que las Ecs. 16.4-1, 2, 3 y 4 siguen siendo válidas en esta situación de no equilibrio. La densidad de flujo molar NA,, de la especie A a través de un plano situado a una distancia constante y, se halla sumando las moléculas de A que cruzan por unidad de área de plano en la dirección y positiva y restando las que lo cruzan en la dirección y negativa. Por lo tanto, Los dos últimos términos de esta ecuación están calculados suponiendo que el perfil de velocidad es lineal en una distancia correspondiente a varias veces el recorrido libre medio. De acuerdo con esta suposición, se puede escribir Combinando las Ecs. 16.4-5, 6 y 7, y teniendo en cuenta que -cv*=N, + NA* (véase Tabla 16.1-3, Ec. M), se llega a NA" = + NA*,) - 5 cÜA dx-4 & xA(NA~ Esta ecuación corresponde al componente y de la ley del Fick (Ec. 16.2-2) con el siguiente valor aproximado para gAB: 9 AB = &iA (16.4-9) Utilizando U y Á de las Ecs. 16.4- 1 y 3, juntamente con la ley de gas ideal, p = CRT = nKT, se obtiene 9 AA* = (16.4-10) que representa la difusividad de una mezcla de dos componentes cuyas moléculas “% DIFUSIVIDAD Y MECANISMOS 16-19 son esferas rígidas de idéntica masa y diámetro. El cálculo de 9,,para esferas rígidas de distinta masa y diámetro es mucho más difícil; el resultado2 que se obtiene es 9A B = 2KsS1 1 - ” 3 O( 7? 2m+?m,) ppj;,. , A (16.4-11) Las Ecs. 16.4- 10 y ll predicen que la difusividad varía ‘inversamente con la presión; esta predicción concuerda con los datos experimentales de muchas mezclas para presiones de hasta unas diez atmósferas. (Véase Fig. 16.3-1.) La variación que predicen con la temperatura es bastante deficiente, lo mismo que en el caso de _ la viscosidad y la conductividad calorífica, pero desde el punto de vista cualitativo es correcta. El tratamiento que acabamos de exponer resulta útil con fines ilustrativos, pero para obtener resultados exactos hay que utilizar la teoría cinética de ChapmanEnskog. En $0 1.4 y 8.3 se han visto las fórmulas de Chapman-Enskog para la viscosidad y la conductividad calorífica; la expresión correspondiente de cgAB para el estado gaseoso a baja densidad es:314 CgAB = 2,2646 X lo-’ &+ig (16.4-12) aAB ’ b29,AB Si se toma el valor aproximado de c de acuerdo con la ley del gas ideal se tiene 9 AB F 0,0018583 (16.4-13) PaAB2 fiS,AB en la que 9Ag [=] cm2 seg-1, c[=] g-mol cm-s, T[=]o K, p[ =] atm, aA, = unidades Angstrom, y R9,AB es una función adimensional de la temperatura y del campo de potencial intermolecular para una molécula de A y otra de B. Este campo de potencial viene dado, aproximadamente, por la función de Lennard-Jones: YAB = 4cAB [(zf E)t (yy] (16.4-14) 2 Un resultado análogo se da en R. D. PRESENT. Kinefic Theory of G~x+s, McGraw-Hill, Nueva York (1958) p. 55. 3 S. CHAPMAN y T. G. C OWLING, Mathematical Theory of Non-Uniform Gases, segunda edici&n, Cambridge University Press (1951), capítulos 10 y 14. 4 J. 0. H IRSCHFELDER , C. F. CURTISS y R. B. BIRD, Molecular Theory ofGase.samfL.iquiak, Wiley, Nueva York (1954), p. 539. 16-20 q TRANSPORTE DE MATERIA En la Tabla B-2 se dan valores de R9,AB para este modelo de energía potencial en función de KT/E~~. De estos resultados se deduce que a bajas temperaturas gAa a umenta aproximadamente con la potencia 2,0 de T, y con la potencia 1,65 de T a temperaturas muy elevadas. (Compárese con la Ec. 16. 3 - 1.) Para el caso de esferas rígidas R,,,, sería la unidad para cualquier temperatura y se obtendría un resultado análogo al de la Ec. 16.4-11. Los parámetros de Lennard-Jones u,, y ~“9 pueden, en principio, determinarse directamente a partir de medidas exactas de gAB en un amplio intervalo de temperaturas; aunque con alguna mayor dificultad, pueden utilizarse también datos de otras propiedades de las mezclas de A y B. Sin embargo, casi nunca se dispone de datos adecuados, y habitualmente hay que estimar uAB y cAAB. La estimación puede realizarse también satisfactoriamente para moldculas no polares y no reaccionantess, combinando empíricamente los parámetros de Lennard-Jones de las especies A y BS (16.4-15) GAB = I(UA + %) cAB (16.4-16) -= JcAAEB De esta forma se pueden predecir los valores de gbcon una desviación media del 6 por ciento utilizando datos de viscosidad de los componentes A y B puros, o del 10 por ciento si se utilizan para A y B los parámetros de Lennard-Jones estimados mediante las Ecs. 1.4-14 y 15 a partir de datos de la temperatura de ebullición.7 Para una mezcla de dos gases isotópicos uAA* = o, = uA* y cAA* = 4 = tA*; es decir, que los campos de fuerza intermolecular para las distintas parejas A - A, A* - A* y A - A*, son idénticos, y los parámetros u, y cA pueden obtenerse a partir de los da to s de viscosidad de A puro. Si además MA es grande, la Ec. 16.4-12 se simplifica para dar c9Ap = 3,2027 -/T~M x lo-s” (16.4-17) uA2ng,A Anteriormente se ha deducido una ecuación aproximada para gti*. (Compárese con la Ec. 16.4-10.) Al comparar las Ecs. 16.4- 17 y 1.4- 18 se obtiene que la autodifusividad %‘AA; y la viscosidad ,u de una mezcla gaseosa binaria de dos isótopos pesados están relacionadas de la siguiente forma: V 5Q9A P =z-d (16.4-18) P~AA. QAA* 6 4 5 Mediante las palabras «no reaccionantew se indica aqui que A y B no reaccionan e n una colisión binrolecukar. Una colisión de este tipo excluye, por supuesto, la presencia de un agente catalitico, de forma que los pares de mokulas que ~610 reaccionan catalíticamente seran consideradas a este respecto como no reaccionantes. 6 J. 0. HIRSCHFELDER, R. B. BIRD y E. L. SPOT Z, Chem. Revs., 44,205-231 (1949). 7 R. C. REID y T. K. SHERWOOD. T?te Properfies of Gases and Liquids, McGraw-Hill, Nueva York (1958), pp. 274-5. DIFUSIVIDAD Y MECANISMOS 16-21 en la que !A 3,A y In, son dos funciones de KT/~~ prácticamente iguales. (Véase Tabla B-2.) Por consiguiente, para los gases a baja densidad, la viscosidad cinemática v Y la autodifusividad gAn. son del mismo orden de magnitud. La relación entre Y y la dlfusividad binaria 9 An no es tan sencilla debido a que v =p/p puede variar considerablemente con la composición, si bien la relación ,u/pgA,está comprendida entre 0,2 y 5,0 para la mayor parte de los sistema: binarios. El término p/pQA, = v/3Au se conoce con el nombre de número de Sc ;midt; lo encontraremos repetidamente en problemas de difusión en sistemas de fluj >, de la misma forma que aparece el número de Prandtl &/k = v/a en los problemas de conducción del calor en sistemas de flujo. Las Ecs. 16.4- 12, 13, 17 y 18, se han d!:ducido para gases monoatómicos no polares, pero se ha comprobado que son aplicables también a los gases poliatómicos no polares. Por otra parte, estas ecuaciones pueden utilizarse para predecir G@+,,B en la interdifusión estacionaria de un gas polar* y otro no polar usando distintas combinaciones de las Ecs. 16.4- 15 y 16. Ejemplo 16.4-1. cHIcu de la difusividad a baja densidad Predecir el valor de 2,,, para las mezclas de argón (A) y oxígeno (B) a 293,2 OK y 1 atm de presión total. Solución. De la Tabla B- 1 se obtienen las siguientes constantes: MA = 39,944; aA= %= 124” K 3,418& MB = 32,000; an= 3,433 A; ‘2 = 113°K Los parámetros aAB y E*~/K para las cohsiones de argón :on oxígeno pueden estimarse mediante las Ecs. 16.4-15 y 16: aAB = (&3,418 + 3,433) = 3,426 A EAB - = 4(124)(113) = 118,YK K Con lo que KT/~~~ = 293,2/118,5 = 2,47, y de la Tabla B -2 se obtiene R,,AB = 1,003. Substituyendo los anteriores valores en la Ec. 16.4-13, queda = 0,0018583 1 + 32,00 WQWW~~,OW = 0,188 cm* seg-l 8 J. 0. HIRSCHFELDER, C. F. CURTISS y R. B. BIRD, foc. cit., 0 8.6 b. “% 16-22 TRANSPORTE DE MATERIA Lo que está de acuerdo con el valor experimental de 0,20 cm* seg-1 que se indica en la Tabla 16.2-2. 0 16.5 TEORÍA DE LA DIFUSIÓN ORDINARIA EN LfQUIDOS A falta de una teoría rigurosa para la difusión en líquidos, existen dos aproximadas que resultan útiles para conocer el orden de magnitud de los cálculos: la teoría hidrodinámica y la teoría de Eyring. (Anteriormente se han visto ya algunos resultados de las teorías de Eyring y colaboradores en relación con el cálculo de la viscosidad y la conductividad calorifica de líquidos.) La teoría hidrodinámica toma como punto de partida la ecuación* de NernstEinstein, que establece que la difusividad de una partícula aislada o molécula del soluto A a través del medio B es: 53 A B (16.5-1) = UT FA en la que uA/F’ es la «movilidad» de la partícula A (es decir, la velocidad en estado estacionario que alcanza la partícula cuando se somete a la acción de una unidad de fuerza). Mediante la hidrodinámica se puede obtener una relación entre la fuerza y la velocidad para una esfera rígida que se mueve con «flujo reptante», es decir, Re < 1. Si se tiene en cuenta la posibilidad de «deslizamiento» en la interfase esfera-fluidez, FA = ~VBUARA 2pB + RA~AB (16.5-2) 3pB + RA@AB en la que pe es la viscosidad del disolvente puro, R, el radio de la partícula que difunde, y pAB el coeficiente de fricción deslizante. Se ha indicado3 que existen dos casos límite de interés: a. Si el fluido no tiende a deslizarse en la superficie de la partícula que difunde (pA6,, = CCJ), la Ec. 16.5-2 se convierte en la ley de Stokes FA = 6q.+“;,RA (16.5-3) y substituyendo en la Ec. 16.5-1 se obtiene (16.5-4) que se conoce, generalmente, con el nombre de ecuación de Stokes-Einstein. 1 F. DANIELS y R. A. ALBERTY, Physicuf Chemistry, Wiley, Nueva York (1955). Vdase también Ec. 18.4-14a. 2H. LAMB, Hydrodynamics, Dover, Nueva York, 8 337. 3 R. FURTH, en Handbuch der physikahchen und technischen Mechanik, Barth, Leipzig (1931), vol. 1, p. 635. DIFUSIVIDAD "4 % Y MECANISMOS 16-23 Se ha comprobado que la Ec. 16.5-4 describe muy bien la difusión de partículas esféricas grandes o mohkulas esféricas grandes, en cuyo caso el disolvente es como si fuese un medio continuo para la especie que difunde.4 b. Si el fluido no tiene tendencia a adherirse sobre la superficie de la partículaque difunde (/? AB = 0), la Ec. 16.5-2 se transforma en y la Ec. 16.5-1 se hace FA = ~VBUARA 9ABk3-~ - KT LETRA (16.5-5) (16.56) Si las moléculas son todas igua!es (es decir, autodzfüskh) y se admite que están dispuestas en una red cúbica tocándose entre sí, 2RA puede tomarse igual a ( va4/Ñ)‘13, y (16.5-7) Se ha comprobados que la Ec. 16.5-7 predice los datos experimentales de la autodifusión para numerosos Jíquidos con un error del orden de f 12 por ciento. En esta comparación están comprendidos los compuestos polares, substancias asociadas, metales líquidos y azufre fundido. Como se ve, mediante un tratamiento hidrodinámico sencillo se obtienen expresiones para el coeficiente de difusión de moléculas esféricas en disoluciones diluidas, así como también para el coeficiente de autodifusión. La teoría predice quegA, debe de variar con el tamaño de la especie que difunde. La teoría hidrodinámica sugiere también que la forma de la especie que difunde puede ser muy importante, puesto que el factor de fricción se hace aproximadamente el doble cuando la relación de la longitud a la anchura de un cuerpo pasa de 1 a 10. La teoría de la velocidad, de Eyring,ó trata de explicar los fenómenos de transporte a base de un modelo sencillo para el estado líquido. En esta teoría se supone que existe algún proceso de velocidad unimolecular en función del cual puede describirse el proceso de difusión, y que a su vez en dicho proceso existe alguna configuración que puede identificarse como el estado activado. A este proceso elemental se le aplica la teoría de las velocidades de reacción de Eyring. Admitiendo la configuración cúbica de la red, esta teoría conduce a la siguiente relación entre el coeficiente de autodifusión y el coeficiente de viscosidad: (16.5-8) 4 W. SUTHERLAND, Phil. Mag 9, 781-785 @OS). 5 J. C. M. LI y P. CHANG, J. Chem. Pfzys., 23, 518420 (1955). Q S. GLASSTONE, K. J. LAIDLER y H. EYRING, Theory of Rale York (1941). capítulo IX. Processes, McGraw-Hiil, Nueva 16-24 TRANSPORTE DE MATERIA Esta relacion se diferencia en el factor 2n, de la Ec. 16.5-7, que es la expresión del coeficiente de autodifusión de acuerdo con la teoría hidrodinámica. Sm embargo, la Ec. 16.5-7 se adapta mejor a los datos experimentales que la Ec. 16.5-8.. Li y Chang7 han sugerido recientemente una modií%acibn de la teoría de Eyring con el fin de tener en cuenta esta discrepancia. Debido al carácter aproximado de las teorías anteriores, se han propuesto varias relaciones empíricas,8 de las que solamente mencionaremos una de ellas. Wilkeg ha desarrollado una correlación para los coeficientes de difusión basada en la ecuación de Stokes-Einstein. Sus resultados pueden resumirse en la siguiente relación analítica de carácter aproximado,10 que expresa el coeficiente de difusión en cm2 seg-’ para bajas concentraciones de A y B: (16.5- 9) Siendo VA el volumen molar del soluto A en cm3 g-mal-r como líquido a su temperatura normal de ebullición, p la viscosidad de la solución en centipoises, fyB un «parámetro de asociación» para el disolvente B, y T la temperatura absoluta en OK. Los valores de wB que se recomiendan son 2,6 para el agua, 1,9 para el metanol, 1,5 para el etanol, y 1,O para el benceno, éter, heptano y otros disolventes no asociados. Esta ecuación conduce a buenos resultados sólo para disoluciones diluidas de solutos no disociados, en cuyo caso el error está, generalmente, comprendido entre f 10 por ciento. El lector habrá llegado a la conclusión de que hasta ahora se sabe poco acerca de la predicción de difusividades de líquidos y gases densos. Hay una urgente necesidad de medidas experimentales, tanto para el conocimiento de su verdadero valor como para el desarrollo de futuras teorías. Ejemplo 16.5-1. EstimaSn de la difusividad para una mezcla líquida binaria Estímese PdB para una disolución diluida de TNT (2,4,6-trinitrotolueno) enbenceno a 1S’C. Solucióa . Utilícese la ecuación de Wilke y Chang, tomando el TNT como componente A y el benceno como componente B. Los datos necesarios son: P = 0,705 cp (para la disolución considerada como benceno puro) PA= 140 cc g-mal-1, para el TNT” yB = 1,0 para el benceno MB = 78,ll para el benceno 7 b y CHANO, loc. cit. 8 Wase, por ejemplo, R. C. REID y T. K. SHLRWOOD,.?%C Properties of Gases and Liquidr, MC Graw-H ill, N ueva York (1958), pp. 284- 298. 9 C. R. WILKE, Chcm. Eng. Prog., 45, 218424 (1949). 10 C. R. W ILKE y P. CHANG, A. 1. Ch. E. Journal, 1, 264-270, 1955. tt Estimado por el mbtodo del volumen atómico de Schroeder, tal como se cita por R. C. REID y T. K. &IERWooD, The Properties of Gases and Liquids, McGraw-Hill, Nueva York (1958), p. 51. DIFUSIVIDAD Q1 Y MECANISMOS 16-25 Substituyendo en la Ec. 16.5-9, se obtiene aAB = 7,4 x lo-8 = (1,0 x 78,11)%(273 + 15) 0,705(140)0*~ 1,38 x lOss cm2 seg-l El resultado concuerda con el valor experimental de 1,39 x lOs5 cm2 seg-l ‘CXJESTlONES P ARA DIS CUTIR 1. i,Que es difusión? iQue factores pueden dar lugar a difusión? 2. $Zuándo la fracción de masa es igual a la fracción molar? 3. Comparese la velocidad media de masa u de la Ec. 16.1-1 con la velocidad media definida en $ 2.2. 4. Comparese el significado de%s densidades de flujo Ni y Ji*. Hagase lo mismo con rai y ji. 5. iPor que es necesario especificar una velocidad de referencia al dar datos de velocidad de difusion? 6. Comparar ta ley de Fick de la difusión con la ley de Newton de la viscosidad y la ley de Fourier de la conductividad calorífica. iHasta qd p u n t o s o n anatogas estas tres relaciones? 7. Indíquense las formas especiales de la ley de Fick para la densidad de flujo N4 que han de aplicarse en: (a) interdifusión equimolar (NA = - NB). (b) difusión de t a traves deBestancado (NB =O) 8. ¿Cuales son las dimensiones de gAB,r, y a? 9. Comparese el orden de magnitud de 9,, y cgA, para gases y líquidos a 1 atm. 10. iQu6 diferencia de comportamiento presentan las curvas difusividad-concentracion para 2 el etanol-agua y el n-butanol-agua, de acuerdo con la Tabla 16.2-3? ll. Comprobar, mediante un pequefio calculo, la afirmación que respecto de la variación de 9,, con la temperatura se ha hecho inmediatamente despues de la Ec. 16.4- 1 4 . 12. iQue mttodo empírico& adecuado para predecir el campo de fuerza intermolecular entre dos mol6cula.s no polares diferentes? 13. iQu6 propiedades físicas globales estan relacionadas por la ecuación de Stokes-Einstein? Compruebese la consistencia dimensional de esta ecuación. 14. Compárese la relación entre 2,, y p para gases y líquidos. 15. iQue porcentaje de error afectaría al valor estimado de L?,, a partir de la Ec. 16.4-13 un error del 5 por ciento en cAB? iEn T? ¿En eA&? 16. iEn la difusión binaria, el hecho de que no sea cero el gradiente de fracción molar VxA implica que tampoco lo es la densidad de flujo molar NA ? Explíquese. PROBLEMAS 16.A, Predíeeí&a de la difusividad para una mezcla gaseosa binaria P baja densidad Predecir gu para el sistema metano-etano a 400 C y 1 atm utilizando la teoría de ChapmanEnskog. Comparar el resultado con en valor experimental que se da en el ejemplo 16.3 - 1. Respuesta: 0,166 cm* seg-1 16-26 1'%.Q *. 16.B, TRANSPORTE BE MATERIA Predicción de la difusivididad a baja densidad a partir de las propiedades criticas Predecir 3AB para el mismo caso del problema 16.A, utilizando los dos métodos siguientes: (a). La ecuación de Slattery, Ec. 16.3-1. (6). La ecuación teórica de Chapman-Enskog, Ec. 16.4- 13, usando temperaturas y presiones críticas para estimar los parámetros de Lennard-Jones. (Véanse las Ecs. l.4- Il y 13.) Respuestas: a. 0,172 cm* seg-1 b. 0,156 cm* seg- 1 16.C, Corrección de la difusividad a baja densidad por variación de la temperatura Se conoce1 el valor de 2AB = 0,15 I cniz seg- t para el sistema Coz-aire a 293 <‘K y I atm. Extrapólese 9dB para 1500 OK, utilizando los métodos siguientes: a. Ec. 16.3-1 b. Ec. 16.4-11 c. Ec. 16.4-13 Respuestas, en cm2 seg-1: a. 2,96 b . 1,75 c . 2,49 Valor experimental:’ = 2,45 cm2 seg-1 16.D1 Predicción de la difusividad para una mezcla gaseosa de elevada densidad Predecir 9,, para una mezcla equimolar de Coz y Nz a 288,2 OK y 40 atm: a. Utilizando el valor de gris a 1 atm de la Tabla 16.2-2. b. Utilizando la teoria de Chapman-Enskog para predecir (+&“. cm2 seg- t b. 0.0030 cm* seg-1 Respuestas: a. 0,0033 16.E, Estimación de la dividad para uua mezcla líquida binaria Estimar 9,, para una solución acuosa diluida ‘de ácido acético a 12,5 oC utilizando la Ec. 16.5-9. La densidad del kido acético a su temperatura normal de ebullición es 0,937 g cm-j. (Se conoce* un valor experimental de 0.91 f 0,04 x IOs- cm* seg-* .) 16.F, c o rre c c i6n de la diusividad para una mezcla líquida binaria debido a la variación de la temP -tEl valor de 9,, para una disolución diluida de metano1 en agua a 15 OC es 1,28 .x 10-5 cmz seg-1. Estimese 16.C, g,, p ara la misma disolución a 100 Oc, utilizando la ecuación de Wilke-Chang. Respuesta: 6,7 x lo-5 c m * seg-1 Corrección de la difusívidad de una mezcla gaseosa debido a la variación de la temperatura El valor experimental de QeB para una mezcla de 80 moles por ciento de metano y 20 moles por ciento de etano a 40 OC y 136 atni. es 8,4 x 10-4 cm* seg-t. Predecir el valor de sAB para esta mezcla a 136 atm y 77,2 OC: a. Utilizando la Ec. 16.3-1 y la Fig. 16.3-1 b. Utilizando la Fc. 16.4-13 y la Fig. 16.3-1 Respuesto: a. 1,19 x lo-3 c m * seg-1 1 Ts. M. KLIBANOVA , V. V. POMERANTSEV, y D. A. FRANK -KAMENETSKII, J. Tech. Phys (U. s. S. R.), 12, 14-30 (1942), tal c,m, se cita por C. R. WILKE y C. Y. LEE , Ind. Eng. Cbem., 47, 1253 (1955). 2 Internationai Critica1 TabIes, McGr.tw-Hill, Nueva Yc rk (1929), vol. V, p. 70. DIFUSIVIDAD Y M EC A N ISM O S 1 6 -2 7 36.H, Relaciones entre densidades de flujo y concentraciones en un sistema binario Comprobar las Ecs. K, L y 2, de la Tabla 16.1-3, Y la 0 de la Tabla 16.1-1, utilizando únicamente las definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo. 164 Equivalencia de las distintas formas de la ley de Fick a. Demostrar que todas las formas de la ley de Fick que se indican en la Tabla 16.2-1 son equivalentes, es decir, que el valor de gAB es el mismo en las siete ecuaciones. Pueden utilizarse algunas relaciones de !j 16.1. b. Utilizar la Ec. 16.2- 1 y las relaciones tabuladas de § 16.1 para demostrar que 9,, = 9,. 16.5, Determinación de los padmetros de colisión a partir de datos de difusivldad a. Utilizar los siguientes datos del sistema COZ-aire a 1 atm de presi6nJ para determinar directamente uAB y QJK, es decir, sin utilizar los valores de u y Z/K para las especies por separado 22 ABznI:seg- ~~~ijZ+iff~~~~ Se sugiere que se represente log (T’14/9,,) frente a log T para los datos experimentales, en papel transparente, y que en un papel aparte se construya una gráfica de L>g,,, frente a KT/EAB a l a misma escala. Superponiendo lasdos gráficas se puede deducir de las escalas el valor num&ico de las relaciones T/(KT/E~J y (T?‘@ & n,,,. Con estas dos relaciones y la Ec. 16.4- 12 se pueden deducir los parAmetros uA~ y E*JK. b. Estimar UAB y E.,=/K por el procedimiento de 8 16.4. 16.K3 Densidad de flujo de materia con respecto a la velocidad volumétrica media Tómese para la velocidad volumétrica media, por definición VW = q&P,/M<) (16.K-1) en la que pi es el volumen parcial molar del componente i, y M, es su peso molecular.-La densidad de flujo de masa con respecto a la velocidad media de volumen viene dada por ji. = p‘(l) - l’.) (16.K-2) Demostrar que para un sistema binario constituido por las especies A y B (16.K-3) f.r H = JAP( ~BIMB) y que la ley de Fick toma la forma In’ = -3*i?VP* 3 De acuerdo con la nota 1 del problema 16.C. . (16.K-4) CAPfTULO 17 DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACI6N EN S6LIDOS Y EN FLUJO LAMINAR En el Capítulo 2 se ha visto cómo se pueden plantear y resolver numerosos problemas de flujo aplicando un balance de cantidad de movimiento a una envoltura. TambiCn en el Capítulo 9 se ha estudiado la forma de abordar los problemas de conducción del calor mediante la aplicación de un balance de energía a una envoltura. En este capítulo veremos cómo se plantean problemas elementales de difusión mediante un balance de materia aplicado a una envoltura. El procedimiento’ que se utiliza es esencialmente el mismo que en los casos anteriores: a. Se aplica un balance de materia a una envoltura delgada perpendicular a la dirección del transporte de materia, con el fin de obtener una ecuación diferencial de primer orden, cuya integración conduce a Ia distribución de la densidad de flujo de materia. 6. Se substituye en esta expresion la relación entre la densidad de flujo de materia y el gradiente de concentración, obteniéndose una ecuación diferencial de segundo orden para el perfil de concentración. Las constantes de integración se determinan a partir de las condiciones límite que fijan la concentración y la densidad de flujo de materia en las superficies que confinan el sistema. En el Capítulo 16 se ha indicado que con frecuencia se utiliian varias clases de densidad de flujo de materia. Para simplificar, utilizaremos exclusivamente la densidad de- flujo NA, es decir, el número de moles de A que atraviesan la unidad de área en la unidad de tiempo, estando la unidad de área fija en el espacio. Para los sistemas de dos componentes relacionaremos la densidad de flujo molar con el gradiente de concentración mediante la expresion (véase Ec. 16.2-2) densidad de flujo con respecto a ejes tljos 1 densidad de flujo que resulta de la difusih densidad de flujo que dol Aujo global 1 f multa Téngase en cuenta que NA* es el componente z del vector NA. Para poder utilizar la Ec. 17.0-1 hay que eliminar NBz. Esto solo es posible si de antemano se sabe algo acerca de la relacion NB,/NAI. En los problemas que se estudian en este capítulo se comienza por establecer esta relación basándose en hechos físicos. 17-2 ‘1% . TRANSPORTE’ DE MATERIA En el presente capítulo se estudia la difusión en sistemas reaccionantes y no reaccionantes. En el caso de existir reacción química, pueden ser de dos tipos: homogéneos, en los que el cambio químico tiene lugar en todo el volumen del fluido, y heterogéneos, en los que dicho cambio ocurre solamente en una región restringida del sistema, tal como la superficie de un catalizador. Las reacciones homogéneas y heterogéneas no difieren solamente en el aspecto físico, sino también en la forma en que son descritas. En una reacción homogénea la velocidad de producción aparece en un término de manantial en la ecuación diferencial que se obtiene a partir del balance de materia aplicado a una envoltura, que corresponde al término de manantial calorífico que aparece en el balance de. energía aplicado a una envoltura. Por el contrario, en una reacción heterogénea la velocidad de producción no aparece en la ecuación diferencial, sino en la condición límite correspondiente a la superficie sobre la que tiene lugar la reacción. Para el planteamiento de problemas en los que intervienen reacciones químicas es preciso disponer de información acerca de la velocidad con que se forman o desaparecen las diferentes especies químicas durante la reacción. Esto nos lleva al campo de la cinética química, la rama de la química física que estudia los mecanismos de las reacciones químicas y la velocidad con la que éstas se producen.1 En este capítulo se supone que son conocidos los mecanismos de las reacciones químicas, y que las velocidades de reaccián pueden representarse mediante funciones sencillas de las concentraciones de las substancias reaccionantes. A este respecto, es preciso indicar la notación que se ha de utilizar para las constantes de velocidad de reacción. Para reacciones heterogéneas, la velocidad de reacción en la superficie catalítica puede expresarse mediante una relación de la forma en la que RA[=] moles cmm seg-‘, y c,[=] moles cmq3. El exponente n representa el «orden» de la reacción;2 para una reacción de primer orden, kt”’ [=] seg-r. Para reacciones heterogéneas, la velocidad de reacción en la superficie catalítica puede expresarse mediante una relación de la forma (17.0-3) en la que NAr[=] moles cm-2 seg-1, y c,[=].moles cm-J. En este caso k”r[=] cm seg -1. Obsérvese que “’ representa una constante de velocidad de origen volumétrico, mientras que ” corresponde a una constante de velocidad de origen superficial. 1 Para una introducción a la cinetica química, vtase F. DANIELS y R. A. ALBERTY , Physical Chemistry, Wiley, Nueva York (1955). cap. 13. Un tratamiento más matematico puede verse en E. A. MOELWYN-HUGHES, Physicaf Chemisrry. Pergamon Press, Nueva York (1957). 2 No todas las expresiones de velocidad presentan la forma sencilla de la Fc. 17.0-2. La velocidad de reacción puede ser una función mas complicada de las concentraciones de todas las especies químicas presentes. Lo mismo podría decirse de la Ec. 17.0-3. DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN 17-3 En 0 17.1 se comienza por establecer el balance de materia aplicado a una envoltura, así como tambitn las distintas clases de condiciones límite que pueden presentarse en la solucibn de problemas de difusión. En 9 17.2 se discute la difusión en una película estancada, concepto éste que es necesario para comprender las teorías de película de las operaciones difusionales de ingeniería química. En 5 6 17.3 y 17.4 se presentan algunos ejemplos elementales de difusión con reacción química, tanto para reaccíones homogeneas como heterogeneas. Confiamos en que estos ejemplos aclararán el papel que juega la difusión en cinetica química, así como el importante hecho de que, en general, la velocidad de la reacción química difiere de la velocidad de los procesos de difusión-reaccibn combinados. En § 17.5 fijamos nuestra atención sobre el tema de la’ transferencia de materia por convección forzada (es decir, difusión superpuesta ä un campo de flujo). Tambien se podría haber incluido una sección sobre. transferencia de materia por convección libre, que sería análoga a la dedicada a transmisión de calor por convección libre en el Capítulo 9. Finalmente, en la última sección, 0 17.6, se estudia la difusión en catalizadores porosos. $ 17.1 BALANCES DE MATERIA APLICADOS A UNA ENVOLTURA: CONDICIONES Lf MITE En este capítulo se resuelven los problemas de difusión aplicando un balance de materia, para una determinada especie química, a una delgada envoltura de sólido o fluido. Eligiendo un sistema adecuado, la ley de la conservación de la materia puede expresarse de la siguiente forma: La ley de la conservacibn de la materia puede, por supuesto, expresarse tambitn en moles. La especie química A puede entrar o salir del sistema en virtud de la difusión o del movimiento global del fluido. Por otra parte, la especie A también sepuede formar o destruir a causa de reacciones químicas homogtneas. Aplicando un balance de materia a una envoltura de espesor finito, de acuerdo con la Ec. 17.1- 1, y haciendo tender luego las dimensiones del sistema hacia un valor infinitamente pequeño, se obtiene una ecuación diferencial, cuya solución conduce a la distribucion de la especie A en el sistema. Al integrar la ecuación diferencial aparecen constantes de integración, que han de evaluarse utilizando condiciones límite, y que son muy semejantes a las que se han empleado en el transporte de energía. (Véase 0 9.1.) a. La concentración en una superficie puede estar especificada, por ejemplo, CrA .= X&. <p Qi; 17-4 TRANSPORTE DE MATERIA b. La densidad de flujo de materia en una superficie puede también estar determinada (si se conoce la relación NA/NB, el gradiente de concentración está fijado); por ejemplo, N, = NA,,. c . Si la difusión tiene lugar en un sblido, puede ocurrir que la substancia A pase desde la superficie del sólido hasta la corriente de fluido que la rodea, de acuerdo con la ecuación NAO = WA0 - cn,) (17.1-2) en la que NA0 es la densidad de flujo de materia en la superficie, cAo es la concentración en la superficie, cA, es la concentración en la corriente de fluido, y la constante de proporcionalidad k, es un «coeficiente de transferencia de materia». En el Capítulo 21 se estudian los métodos de correlación de coeficientes de transferencia de materia. La Ec. 17.1-2 es análoga a la «ley del eufriamiento de Newton» definida mediante la Ec. 9.1-2. d. La velocidad de la reacción química en la superficie puede estar especificada. Por ejemplo, si la substancia A desaparece en una superficie de acuerdo con una reacción química de primer orden, N,,o = kl”c A ; es decir, que la velocidad de desaparición en una superficie es proporcional a la concentración superficial, siendo la constante de proporcionalidad kl” una constante de velocidad de reacción química de primer orden. En las secciones que siguen veremos cómo se utilizan estas diferentes condiciones límite. $ 17.2 DIFUSIÓN A TRAVÉS DE UNA PELíCULA GASEOSA ESTANCADA Consideremos el sistema de difusión que se representa en la Fig. 17.2-1. El líquido A se está evaporando en el seno del gas B, e imaginemos que mediante un artificio es posible mantener el nivel del líquido en z = ~1. La concentración de la fase gaseosa, expresada en fracción molar, exactamente en la interfase líquido-gas, es xAl, Se admite que la concentracibn de A en la fase gaseosa es la correspondiente al equilibrio1 con el líquido de la interfase; es decir, que x,t es la relación entre la presión de vapor de A y la presión total, pA W)/p, suponiendo que A y B forman una’ mezcla gaseosa ideal. Finalmente, se supone que la solubilidad de B en el líquido A es despreciable. Por la parte superior del tubo (para z = z2) circula lentamente una corriente de mezcla gaseosa A - B cuya concentración es x,,, de forma que la frac;& molar 1 La suposición de que existe cqulibrio en la interfase ha sido sometida a comprobación experimental por L. N. TIJNG y H. G. DRICKAMER , J. Chem. Phys., 20,612 (1952), y por R. E. EMMERT y R. L. PIGFORD, Chem. Eng. Progr., 50, 87-93 (1954). Un metodo basado en la teoría cin&ica ha sido desarrollado por R. W. SCHRAGE, A Theoreticol Study of Interphose Moss Tronsfer, Columbia University Press, Nueva York (1953). Estos estudios parecen indicar que ~510 a muy altas velocidades de transferencia de materia existe un apreciable alejamiento del equilibrio en la interfase. DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACldN fq. 17-5 de A en la parte superior de la columna permanece constante e igual a xA2. Se supone que todo el sistema se mantiene a temperatura y presión constantes, y que los gases A y B se comportan como ideales. Cuando el sistema alcanza el estado estacionario, existe un movimiento neto de j4 alejándose de la superficie de evaporación, mientras que el vapor B permanece estacionario. Por lo tanto, puede utilizarse la expresión para NAS correspondiente a la Ec. 17.0-1, siendo NBZ = 0. Fig. 17.2-1. Difusión de A en estado estacionario a travds de B inmóvil. El gráfico indica la forma en que se distorsiona el perfil de concentracih debido a la difusih de A. Despejando NAr, se obtiene C~AB dXA N AZ=--- 1 - x, dz Aplicando un balance de materia en estado estacionario a un incremento de altura de columna AZ (véase Fig. 17.2-1), se llega a (17.2-2) SNAZI, - SNA~I++AZ = 0 en la que S es el área de la sección transversal de la columna. Dividiendo por Sdz, y pasando al límite cuando dz tiende a cero, se obtiene 17-6 TRANSPORTE DE MATERIA -dN,,d-j (17.2-3) dz Substituyendo la Ec. 17.2-1 en la Ec. 17.2-3, queda $(eA2) = 0 (17.2-4) Para mezclas gaseosas ideales a temperatura y presión constantes, c es una constante, y gAr, es prhcticamente independiente de la concentración. Por consiguiente, cgAB puede salir fuera de la derivada, quedando -$(&fy=!J (17.2-5) ’ Ésta es,una ecuación diferencial de segundo orden para el perfil de concentración, expresada en fracción molar de A. La integración con respecto a z conduce a 1 dXA c (17.2-6) ZA-z= l Volviendo a integrar, se obtiene (17.2-7) -In (1 - xA) = cl2 + cs Las dos constantes de integración pueden evaluarse utilizando las condiciones límite : (17.2-8) para z = z1 C.L. 1 : XA = x,41 (17.2-9) para z = z2 %, = x,, C.L. 2 : Una vez obtenidas las constantes,2 se substituyen en la Ec. 17.2-7, y se obtiene (17.2-10) 0 (17.2-11) 2 Las constantes son Cl = In ccB1 - In xB, _ In hd4 2s - Zl *: - *1 2, In Xi - 2, In xBI c s 2: - z, Para obtener? la Ec. 17.2-10, expresar primeramente C2 en esta forma: zl In xin - (2, - ~1) In zBl - z1 In zaI = - - =1 I n XBlcs = 2s -6 2, *s - *1 -lnz,, DISTRIBUCIONES ‘+ DE CONCENTRACION / 17-7 Estas distribuciones de concentración se representan en la Fig. 17. 2-1. El examen de estas curvas nos indica que la pendiente dxJdz no es constante, a pesar de serlo la densidad de flujo molar NAs. Si bien los perfiles concentración son útiles para describir los procesos de difusión, lo que generalmente interesa en los cálculos ingenieriles es la concentración media o la densidad de flujo de materia en uua superficie. Por ejemplo, la concentración media de B en la región comprendic’a entre z = z1 y z = ~2, es xB.med = xB2 - xBl In (17.2-13) (x~/xBl) Es decir, que el valor medio de xB es la media logarítmica de los valores extremos (xB),,, En la ecuacibn anterior, 5 es una longitud reducida (z - zI)/(z2 - zI). La velocidad de transferencia de materia en la interfase líquido-gas, es decir, la velocidad de evaporacibn, se obtiene utilizando la Ec. 1’7.2- 1: ,=sl C~AB d% =+-XBl dz I=SI= (17.2-14) Las Ecs. 17.2-13 y 17.2- 14 pueden combinarse para obtener otra expresión de la velocidad de transferencia de materia (17.2-15) Esta ecuacibn indica la forma en que está relacionada la velocidad de transferencia de materia con una fuerza motriz característica de concentración, xAl - xA2. Las Ecs. 17.2-14 y 15 pueden expresarse tambi6n en función de la presión total y las presiones parciales : ) b,I*=z, = (P~ABIRT (zg - 21) ln ~BB = P m (@dRT) (pAl - pd2) (3 - z&Pdln en la que (p& es la media logarítmica dep,, y pB2 definida de igual forma que (xB) I,, en la Ec. 17.2- 15. 17-8 ‘.L % TRANSPORTE DE MATERIA Los resultados obtenidos en esta sección se han utilizado para la determinación experimental de difusividades gaseosas. 3 Por otra parte, estos resultados se aplican también en las «teorías de película» para la transferencia de materia. (Véase $21 S.) En la Fig. 17.2-2 se presenta un gas fluyendo a lo largo de la superficie de un sólido o un líquido. En las proximidades de la pared existe una película que se mueve ellcula gareor + c o n 4 movimiento lento >rriente principal del - - - fluido con thio turbulento /ZA* en cl extremo de la pellculo ____--------- i Dirección del fluio Fig. 17.2-2. Modelo de película para la transferencia de materia;el componente A difunde desde la superficie hacía la corriente gaseosa. lentamente, a través de la cual difunde A; z1 se toma en la interfase sólido-gas o líquido-gas, y 22 en el límite exterior de la película a través de la cual tiene lugar la difusión. En este «modelo» se supone que existe una transición brusca entre una película estancada y un fluido totalmente mezclado en el que los gradientes de concentración son despreciables. Aunque este modelo no es real desde el punto de vista físico, ha resultado, sin embargo, muy útil como base de correlación de los coeficientes de transferencia de materia a partir de una representación físicamente sencilla. Ejemplo 17.2- 1. Determinación de la difusividad La difusividad del sistema gaseoso binario oxígeno-tetracloruro de carbono se determina observando la evaporación en estado estacionario de CCl, en un tubo que contiene 3 Véase, por ejemplo, C. Y. L EE y C. R. WILKE, Ind. Eng. Chern., S HERWOOD y R. L. RGFORD, Absorption and Extrur/ion, McGraw-Hill 46, 238 1-2387 (1954); 7. K. (1952). DISTRIHUCIONES DE CONCENTRACIóN 1 7 -9 02; tal como se indica en la Fig. 17.2- 1. La distancia entre el nivel del CCI, líquido y la parte superior del tubo es 12 - zr = 17.1 cm. La presión total del sistema es 755 mm Hg, y la temperatura 0 “C. La-presión de vapor del CCl, a esta temperatura es 33,0 mm Hg. La sección transversal del tubo de difusión es O,g2 cm2. Se ha encontrado que en estas condiciones se evaporan 0,0208 cm3 de CCI, durante un período de 10 horas después de alcanzarse el estado estacionario. ;CuáI es la difusividad del sistema gaseoso binario CC¡,-Oz? Solución. En primer lugar, se halla la densidad de flujo molar a partir de la velocidad de evaporación : = 7 ,26 x íO-9 g-m?!cm2 seg Por lo tanto, a partir de la Ec. 17.2-151, %Cl,-0, = %Cl* se obtiene: (3 - zJRT PI~ (PO~~/PO,I) (7,26 x 10-9)(17,1)(82,06)(273) = (+#)(2,303 log,, ##) = 0,0636 cm2 seg-t Este método de determinación de difusividades en fase gaseosa adolece de varios defectos. El mas importante de todos es, probablemente, el enfriamiento que tiene lugar durante la evaporacion. Ademas, pueden existir efectos de convección libre si el vapor procedente del líquido que se evapora es más ligero que el gas que está sobre el líquido. También, debido al menisco, la longitud del camino de difusión no será uniforme en la sección del tubo. Ejemplo 17.2-2. Difusión a travhs de una película esfbica no isot&mica a. Deducir expresiones análogas a la Ec. 17.2-10 (perftl de concentración) y la Ec. 17.2 - 14 (densidad de flujo molar) para la difusion a través de una envoltura esfërica; para la descripcion detallada del sistema, véase la Fig. 17.2-3. b. Ampliar estos resultados con el fin de describir la difusión en una película no isotérmica en la que la temperatura varía con la distancia de acuerdo con la expresión (17.2-16) en la que Tl es la temperatura para r = rt. Como aproximación grosera, supóngase que gAB varía con la potencia 213 de la temperatura: (17.2-17) 17-10 TRANSPORTE DE MATERIA en la que .OdBsl es la difusividad para T = T,. Problemas de este tipo se presentan en el secado de pequeñas gotas, y en la difusión a través de películas gaseosas que rodean a partículas catalíticas esféricas. [La distribución de temperaturacorrespondiente a la Ec. 17.2-16 se ha elegido solamente por su sencillez matemática. Este ejemplo se ha propuesto con el fin de resaltar que para los sistemas no isotérmicas el punto de partida correcto es la lk 17.0-1 en vez de Na4, = - 9,s(&,,/~?z) + xA(NAZ + IV&, como se indica en muchos textos de ingeniería.] Soluci6n. n. Un balance de materia aplicado a una envoltura esférica conduce a Substituyendo en esta expresión la densidad de flujo molar NA,, según la Ec. 16.2-2 para Ne, = 0, se obtiene: d c9.dB dx, -rz-- = 0 (17.2-19) 1 - xd dr ) A temperatura constante, el producto c.QAB es tambibn constante, y la Ec. 17.2 - 19 puede integrarse para obtener la distribucion de concentración dr ( (17.2-20) Fig. 17.2-3. Difusi6n a través de una película esfkrica. DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN 1 7 -1 1 I siendo xA = 1 - xB. A partir de la Ec. 17.2-20 se puede llegar a (17.2-21) que es el flujo molar de A a traves de una superficie esfërica. b. Para el caso no isotermico, combinando las Ecs. 17.2-16 y 17, se obtiene la variación de la difusividad con la posicion: (17.2-22) Si se introduce esta expresibn en la Ec. 17.2-19 y se toma c igual ap/RT, se llega a (17.2-23) Integrando esta ecuación entre r = rl y r = r2, se obtiene (para ~t # - 2): ~~(P~AB,I/RTI)[~ + (n/Zllln~~ (rp-(n/2) -,-1-(n/2))r;/2 a Para n = 0 este resultado se transforma en la Ec. 17.2-21. cle?., = 4nrlaN&=,l = 0 17.3 DIFUSIÓN CON REACCI ÓN QufMrcf4 (17.2-24) HETEROGÉNEA Consideremos un reactor catalítico, tal como el que se indica en la Fig. 17.3- 1 a, en el que se realiza la reacción de dimerización 2A + AZ. Un sistema de este grado de complejidad no puede describirse exactamente mediante un desarrollo tebrico. Sin embargo, se puede obtener cierta información analizando un modelo altamente simplificado. Por ejemplo, imaginemos que cada partícula catalítica está rodeada por una película gaseosa estancada a través de la cual difunde A para alcanzar la superficie del catalizador. (Véase Fig. 17.3- lb.) Supongamos que la reacción 2A + Az se produce instantaneamente en la superficie catalítica, y que el producto A2 difunde después en sentido contrario a través de la pelicula gaseosa hasta alcanzar la corriente’turbulenta del gas que consta de A y Al. Se trata de encontrar una expresión para la velocidad local de conversión de A en AZ, cuando se conocen el espesor efectivo de la película gaseosa 6, y las composiciones globales XA,-, y x~s,, de la corriente. Se supone que la película gaseosa es isotérmica, aunque para muchas reacciones catalíticas’no se puede despreciar el calor que se genera en la reacción. Para el caso que se representa en la Fig. 17.3-Ib, se mueve un mol de AZ en la direccibn z negativa por cada dos moles de A que se mueven en la direcci6n z positiva, según se deduce de la estequiometría de la reacción. Por consiguiente, en estado estacionario, NA,s = -WA, (17.3-1) 17-12 TRANSPORTE DE MATERIA \ (4 Esferas recubiertas con un material catolltlco Extremo de la hipoMica pellculo garwro .7= 0 svparficie catolltica donde ?A+A, irreversible 0 Fig. 17.3-1. (u) Diagrama esquemático de un reactor catalítico en el que A se convierte en B. (h) Representación idealizada (o «modelo») del problema de difusión en las proximidades de una particula catalítica [o sea, ampliación de la región acotada con ía línea de trazos en (u).] para cualquier valor de z. Substituyendo esta relación en la Ec. 17.0- 1 y despejando NA*, <e obtiene: (17.3-2) Por lo tanto, mediante la ley de difusión y la estequiometría de la reacción, se ha obtenido una expresión para NAI en función del gradiente de concentración. Se aplica ahora un balance de materia para la especie A a una delgada lámina de la película gaseosa de espesor, AZ. Este procedimiento es exactamente el mismo que se ha utilizado para las Ecs. 17.2-2 y 3, y conduce de forma inmediata a la ecuación dNA* - 0 (17.3-3) dz Introduciendo en esta expresión el valor de NAz de la ecuación anterior, se obtiene (para cB~, constante) (17.3-4) DISTRIBUCIONES ‘$ D E CONCENTRACldN 1 7 -1 3 Integrando dos veces con respecto a z, se llega a -2 In (1 - &xJ = C,z + CZ (17.3-5) Las constantes de integración se calculan utilizando las condiciones límite: C.L. 1 : para z = 0 X * = XAO (17.3-6) C.L. 2 : para z = 6 XA - 0 - (17.3-7) El resultado final para el perfil de concentración en la película gaseosa, es: r-- (1 - ax,,> = (1 - &x/&l- CZld) (17.3-8) La Ec. 17.3-2 puede utilizarse ahora para obtener la densidad de flujo molar a través de la película: (17.3-9) La magnitud N,*, puede interpretarse también como la velocidad de dimerización por unidad de área de la superficie catalítica. Este conocimiento puede combinarse con algún otro acerca del reactor catalítico esquematizado en la Fig. 17.3-1~ con el fin de obtener información sobre la velocidad global de convérsión en todo el reactor. Hay una cuestión que merece resaltarse. Aunque la reacción química tiene lugar de forma instantánea en la superficie catalítica, la conversión de A a AZ procede a velocidad finita debido a que los procesos de difusión están «en serie)) con los de reacción. Por lo tanto, se dice que la conversión de A a AZ está controlada por la difusión. En este tratamiento se ha supuesto que la dimerización se produce instantáneamente en la superficie del catalizador. En el ejemplo que sigue, veremos cómo pueden tenerse en cuenta velocidades de reacción finitas en la superficie catalítica. Ejemplo 17.3- 1. Difusi6n con reacción heterogénea lenta Resolver de nuevo el problema considerado en $ 17.3 cuando la reacción 2A -+ AZ no es instantánea en la superficie catalítica (para z 3 6). En vez de esto, supone? que la velocidad ‘con la que desaparece A en la superficie catalítica es proporcional a la concentración de A en dicha superficie: Na4, = kl”cd = ck,“xA (17.3-10) en la que k,” es una constante de velocidad. Solución. Se procede exactamente igual que antes, excepto que la C. L. 2 de la Jk 17.3-7 se substituye por: c. L. 2’: para I = d xA = Nd* 7 Ckl (17.3-11) 17-14 ‘% / TRANSPORTE DE MATERIA siendo a su vez NA* una constante para el estado estacionario. Determinando las constantes de integración para las condiciones límite C. L. 1 y C. L. 2’, se llega a (17.3-12) A partir de la Ec. 17.3-2 se puede calcular NA, para z = 0: 1 6 N AZ I 2c9.4.4 2 ln 1 3W - ,,/ck,“) 4P.4ll > (17.3-13) Ésta es una trascendental ecuacih de NAZ en función de xd,,, k,“, cBAA,, y d. Cuando k,” es grande, el logaritmo de 1 - 4 (NA,/ckIH) puede desarroilarse en serie mediante la fhmula de TaJor, despreciando todos los ttrminos a excepción del primero. De esta forma, se llega a (17.3- 14) Obsérvese una vez más que mediante los cálculos anteriores se obtiene la velocidad de los procesos de reacción y difusión combinados. Obsérvese también que el grupo adimensional -QAA,/kI”B describe el efecto de la velocidad de reaccih superficial sobre los procesos globales de difusión-reacción. 0 17.4 DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUfMICA HOMOGÉNEA Como otra ilustración del planteamiento de un balance de materia, consideremos el sistema que se indica en la Fig. 17.4- 1. En este caso el gas A se disuelve en el líquido B y difunde en la fase liquida. Al mismo tiempo que difunde, la substancia A sufre una reacción química irreversible de primer orden: A + B + AB. Por lo tanto, el balance de materia (entrada - salida + producción = 0) toma la forma N,,I,S - NA,I,+A,S - k;cASAz = 0 (17.4-1) en la que kl”’ es una constante de velocidad de primer orden para la descomposición química de A, y S es el área de la sección transversal de líquido. El producto kl”‘cA representa el número de moles de A que desaparecen por unidad de volumen y unidad de tiempo. Dividiendo la Ec. 17.4- 1 por Sdz, y tomando el límite cuando dz tiende a cero, se obtiene dNA, - + klcA = 0 dz (17.4-2) Si A y AB están presentes a bajas concentraciones, la J%. 17.0-1 se puede escribir con buena aproximación de la siguiente forma N As = -,gABdCg dz (17.4-3) DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN 17-15 Gor A Liq uido B Fig. 17.4-1. Absorcibn con reacción química homogknea. Substituyendo la Ec. 17.4-3 en la 17.4-2, se obtiene (17.4-4) que se resuelve con las siguientes condiciones límite: C.L. 1 : para z = 0 CA = CAO C.L. 2 : para z = L NA*=0 (17.4-5) dCA ó --=o dz (17.4-6) La primera condición límite establece que la concentración en la superficie se mantiene a un valor fijo cA@ La segunda establece que A no difunde a través del fondo del recipiente. La resolución de la Ec. 17.4-4 con estas condiciones límite, da (17.4-7) en la que bl = dkTLa/9,. El perfil de concentración así obtenido se indica en la Fig. 17.4- 1. A partir de la Ec. 17.4-7 se puede obtener la concentración media de A,en la fase líquida: 17-16 TRANSPORXE DE MATERIA ‘% I cAO L dz 0 = b&/(cosh bd df; senh b, t r Lnhb, = brcoshbr I o = b, (17.4-8) En estas expresiones 5 corresponde a [l - (z/L)]. La densidad de flujo molar de A en el plano z = 0 puede calcularse a partir de la Ec. 17.4-7: = -%U& AO senh bI[l - (z/L)] cosh b, 1 (17.4-9) En este tratamiento se ha supuesto que A está presente a baja concentración (véase Ec. 17.4-3) y que el producto AB de la reacción química no interfiere la difusión de A a través de B. Ejemplo 17.4-1. Absorcidn de un gas con reaccih química en un tanque agitado’ Estimar el efecto de la velocidad de reacción química sobre la velocidad de absorción de un gas en un tanque agitado. (Vkase Fig. 17.4-2.) Considerar el caso en el que el gas disuelto A sufre una reacción química de primer orden con el líquido B; e-s decir, que A desaparece en la fase líquida con una velocidad que es proporcional a la concentración local de A. Solucih. Todavía no es posible analizar exactamente este caso debido a la complejidad de los procesos de absorción de gases. Sin embargo, se puede obtener un conocimiento semicuantitativo interesante mediante el anhlisis de un modelo relativamente sencillo. El modelo que utilizaremos comprende las siguientes suposiciones: u. Cada burbuja de gas está rodeada de una película líquida estancada de espesor 8, que es pequeño en comparación con el diámetro de la burbuja. 1 E. N. LIGHTFOOT, A. 1. Ch. E. Journal, 4, 499-500 (1958). DISTRIBUCIONES '.\ fv DE CONCENTRACIÓN 17-17 b. En la película líquida se establece rápidamente una concentración de estado estacionario una vez que se ha formado la burbuja. c. El gas A es muy poco soluble en el liquido, de forma que se puede despreciar el termino de flujo global en la Ec. 17.0-1. Fig. 17.4-2. Aparato para la absorción de un gas. d. La masa de líquido exterior a la película estacionaria tiene una concentracibn cAd, que varía tan lentamente con respecto al tiempo que puede considerarse constante. La ecuación diferencial que describe la difusibn con reacción química es la misma de la Ec. 17.4-4, pero las condiciones limite son, en este caso: c. L. 1: para z = 0 cA = cAO (17.4-10) c. L. 2: para 2 = 8 cA = CAd (17.4-11) La concentración cAa es la concentración interfacial -de A en la fase líquida, que se supone está en equilibrio con la fase gaseosa en la interfase, y cAd es la concentración de A en la masa global del líquido. La solución de la Ec. 17.4-4, utilizando estas condiciones límite, es I’senh b,[ +senh b,(l - 4) (17.4-12) senh 6, e ll h l CjUe 5 = Z/6, r = c ,,& ,& -,, y b, = 4kfd2/sAB. de no existir reacción química (es decir, br = O), es La solución equivalente para el caso =rc+u re a Cc i6 n 5) (17.4-13) TRANSPORTE DE MATERIA 17-18 En la Fig. 17.4-3 se representan los pertlles de concentracion obtenidos a partir de las Ecs. 17.4- 12 y 17.4-13. A partir de estos peri% de concentración se pueden obtener POIICUIO d e ; Ma sa princ ipa l zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT Ilq uido d e l Ilq uldo , I 'AO t Inte rfa se Fig. 17.4-3. liquido - g a s Predicción del perfil de concentraci6n en la película líquida próxima a una burbuja. las densidades de flujo de materia para la absorción con y sin reacción química, que para z = 0, son En la practica es frecuente estimar el espesor aparente de película en presencia de reacción quhicu utilizando la Fc. 17.4-15 y tomar en ella F = 0. Esto es equivalente a suponer el valor unidad para la relación: N* / velocidad de absorción con \ \ reaccion de primer orden ) E velocidad de absorcibn sin reacción y con c,, = 0 (17.4-16) Para determinar las condiciones en las que esta suposición es válida es necesario disponer de una expresión para P. Para ello se iguala la masa de A que cruza la superficie exterior de la película del liquido a la cantidad de A que se elimina por reacción química en la masa global del líquido [se utiliza en este caso la anterior suposición (d)] &A -AIP,,x = Vkf cA,, z - d (17.4-17) DISTRIBUCIONES c DE 17-19 CONCENTRACIÓN en la que A es el área total de la superficie de las burbujas, y Ves el volumen de toda la masa de líquido. Utilizando la Ec. 17.4-12 se evalúan dcA/dzIz,A y cAa con el fin de obtener 1 ’ = cosh b, + &( V/AG)scnh 6, (17.4-18) 1 í N* 1 10’O lo -* iomö Fig. 17.4-4. Absorción gaseosa acompafiada 10’ z bl de reaccion lo -I 1 10 química irreversible de primer orden. Por lo tanto, la Ec. 17.4-16 puede escribirse en esta forma: 4 N+ = - senh b, cosh 6, - 1 cosh b, + b,( V/A& senh b, > (17.4-19) Pate resultado se ha representado en la Pig. 17.4 -4, en la que se observa que para un intervalo bastante amplio de b, la relacion N* es muy aproximadamente igual a la unidad y puede utilizarse la Ec. 17.4- 15 para describir la velocidad de absorción tomando r = 0. Tambien es posible realizar una simplificación analoga para modelos de transferencia de materia m&s realistas.1 17-20 “‘idi\ TRANSPORTE DE MATERIA 0 17. 5 DIFUSI6N EN U N A PELfCULA LfQUIDA D ESC EN D EN TE: TRANSFERENCIA DE M ATERIA POR CONVECCIÓN FORZADA En esta sección se presenta una ilustración de transferencia de materia en la que el flujo viscoso y la difusión tienen lugar bajo unas condiciones tales que prácticamente puede considerarse que el campo de velocidad no es afectado por la difusión. Consideremos concretamente la absorción de un gas A por una película laminar descendente del !íquido B. La substancia A es solo ligeramente soluble en B, de forma que la viscosidad del líquido no varía apreciablemente. Finalmente, haremos la restricción de que la difusión en la película líquida tiene lugar tan lentamente que A «penetra» muy poco en B (la distancia de penetración es pequeña en comparación con el espesor de la película). El sistema se representa en la Fig. 17.5-1. Fii. 17.5-1. Absorción en una pelicula descendente. Vamos a plantear las ecuaciones diferenciales que describen el proceso. Primeramente, hay que resolver el problema de transporte de cantidad de movimiento con el fin de obtener el perfil de velocidad v,(x) en la película; esto se ha efectuado ya en Q 2.2 en ausencia de transferencia de materia en la superficie del fluido y el resultado obtenido es DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN 1 7 -2 1 (.17.5-1) suponiendo que no se consideran los «efectos finales».. A continuación aplicamos un balance de materia al componente A. Se observa que cA variará con x y con z. Por lo tanto, como elemento de volumen al que se aplica el balance de materia se elige el volumen formado por la intersección de una lámina de espesor dzcon otra lámina de espesor dx.De acuerdo con esto, el balance de A es simplemente NASP As - N,,l,+,,W AZ + N,,I,W AZ - Ndzlz+dzWAz = 0 (17.5-2) siendo W la anchura de la película. Dividiendo por WXCLIZ y efectuando el habitual proceso de limites cuando el elemento de volumen se hace infinitamente pequefio, se llega a aN,z : aN,=- o aZ az (17.5-3) Se introducen ahora en esta ecuación las expresiones para NA8 y NAx de la Ec. 17.0- 1, efectuando las simplificaciones convenientes. Para la densidad de flujo molar en la dirección z, suponiendo c constante, resulta: N AZ = rr Es decir, que A se mueve en la dirección z debido fundamentalmente al flujo de la película, siendo despreciable la contribución difusiva. La densidad de flujo molar en la dirección x será Es decir, que en la dirección X, A se transporta esencialmente por difusión, no existiendo prácticamente transporte convectivo debido a la muy baja solubilidad de A en B. Substituyendo estas expresiones de N,,.y NA* en la Ec. 17.5-3, se obtiene (17.54 que es la ecuación diferencial que describe cA(x, z). Por lo tanto, las Ecs. 17.5-1 y 17.5-6 describen la transferencia de materia por convección forzada. Combinando estas dos ecuaciones, se obtiene, finalmente (17.5-7) 17-22 TRANSPORTE DE MATERIA Esta ecuación diferencial entre derivadas parciales se resuelve con las siguientes condikones límite : C.L. 1 : para z = 0 CA = 0 (17.543) C.L. 2 : para x = 0 ( 1 7 .5-9) cA = cAo acA -= C.L. 3 : para x = 6 0 (17.5-10) ax cuando inicialmente la película está constituida por B puro y la concentración del liquido en la interfase se toma como la solubilidad de A en B, que se designa aquí por cA0. El problema ha sido resuelto por Pigford,’ pero aquí no se dará dicha solución, sino que se obtendrá solamente una expresión limite válida para «cortos tiempos de contacto», es decir, para valores pequeños de L/v,,,~,. Si, tal como se indica en la Pig. 17.5- 1, la substancia A penetra tan solo una pequeña distancia en la película, la especie A «tiene la impresión» de que la película se mueve toda ella con una velocidad igual a v,,,~,. Por otra parte, si la penetración de A no es muy grande, no «se entera» de la existencia de la pared sólida situada en x = 8. Por lo tanto, si la pelicula tuviese un espesor infinito y se moviese con la velocidad vmgX, el material que difunde no notaría la diferencia. Esta consideración física sugiere que la Ec. 17.5-7 y sus condiciones limite pueden reemplazarse por: (17.5-11) C.L. CL. C.L. Para para z = 0 CA = 0 1 : 2 : para x = 0 cA = cAO 3 : para x = 00 CA = 0 estas condiciones límite, la solución de la Ec. 17.5- 11 es* CA -= cAO l - (17.5-12) (17.5-13) (17.5-14) ""%x,-p dE s -J;;o 0 (17.5-15) En estas expresiones erf y es la «función de error» definida en 94.1, y erfc y = 1 - erf y es la «función complementaria de error»; las dos son funciones standard tabuladas. 1 R. L. PIGFORD, disertacidn doctoral, Universidad de Illino is (1941). 2 La solucibn por el «m&odo de combinación de variables» se expone detalladamente en el ejemplo 4.1- 1. DISTRIBUCIONES k+ DE CONCENTRACIÓN 1 7 -2 3 Una vez que se conocen los perfiles de concentración, puede hallarse la velocidad total de transferencia de materia siguiendo uno de estos dos métodos: Integración de la densidad de flujo de materia sobre la longitud de la película La densidad de flujo local de materia en la superficie x = 0, para una posición z medida hacia abajo en la lámina, es (17.5-16) Los moles’totales de A transmitidos por unidad de tiempo desde el gas a la película de líquido vienen dados por Integración del perfil de concentración sobre un espesor (infinito) de película situado enz=L Un balance global de materia aplicado a la película indica que los moles de A transmitidos por unidad de tiempo a través de la interfase gas-líquido son equivalentes a la velocidad de flujo molar total de A a través del plano z = L, y pueden calcularse multiplicando la velocidad volumétrica de flujo a través del plano z = L’ por la concentración media en este plano: h’ d = ~~~(W Sumáx)(~JôbC,,==L dx) m = Wvm& s0 = w vmaxc-40 * c,Iz=L J) s0 erfc dx x dx &~,,LIUmáx 2. s,” ([;e- “df) du (17.5-18) 17-24 TRANSPORTE DE MATERIA En la última línea se ha introducido la nueva variable u = x/~4~,,,~L/vmá,,Cambiando el orden de integración3 de la integral doble se puede evaluar ésta *alítica.mente y obtener la Ec. 17.5-17: = WLC,, J 4‘9&hláx ?TL (17.5-19) De esta demostración se deduce que la velocidad de transferencia de materia es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la difusividad e inversamente proporcional a la raíz cuadrada del «tiempo de exposición», fexp = L/u,,,~,. Este método para el estudio de la absorción de gases fue propuesto por primera vez por Higbie.4 Ejemplo 17.5-1. Absorcih de burbujas ascendentes de ua gas Estímese la velocidad a la que son absorbidas por el líquido B las burbujas del gas A que ascienden a su vel&dad límjte a través de un líquido «claro» en reposo. Solución. En el caso de burbujas que ascienden en líquidos que no contienen agentes tensoactivos, el gas contenido en el interior de la burbuja está sometido a una circulacion toroidal, tal como se indica en la Fig. 17.5 -2. El gas al ascender encuentra liquido fresco en la parte superior de la burbuja. El líquido próximo a la interfase permanece, generalmente, en movimitito laminar. Por lo tanto, se comporta en este caso de forma muy semejante al liquido de la interfase de una película descendente que ya hemos estudiado. El tiempo de contacto es realmente pequeño, de forma que la penetración es baja y son válidas las suposiciones que se han hecho én 5 17.5. De acuerdo con esto se puede utilizar en primera aproximación el ‘resultado de la Fc. 17.5- 17 (o 19) para estimar la velocidad de absorción del gas y la variación del tamaño de la burbuja. La-velocidad media de transferencia de A es (17.5-20) en la que cA,, es la solubilidad del gas A en el liquido B. El tiempo de exposición, texp, ea el tiempo que requiere el líquido para deslizar a lo largo de la burbuja desde la cima hasta el fondo de la misma. Su valor puede tomarse aproximadamente iguals a rcXp * D/v~, 3 Vkase, por ejemplo, G. B. THOMAS , Jr., Calcvlus and Analytic Reading, Masa. (1953). capítulo 15. 4 R. HIGBIE, Traes. A. f. Ch. E., 31, 365-389 (1935). 5 R. HIGBIE, op. cit. Geometry, Addison-Wesley DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN 17-25 siendo D el diámetro de la burbuja y Vg la velocidad final o límite de la burbuja ascendente. Por lo tanto, la velocidad de absorción a través de la interfase burbuja-líquido es: (NA)mcd = J (17.5-21) T CAO Este resultado se ha comprobado6 para burbujas gaseosas del orden de 0,3-0,s cm de diámetro, ascendiendo a traves de agua cuidadosamente purificada. Pequeñas cantidades de agentes tensoactivos dan lugar a una marcz la disminución de (NA)med debido a la formación de una «piel» que recubre la burbuja ; que impide una eficaz circulación. Se ha utilizado con éxito un método similar para predecir las velocidades de transferencia de materia durante la formación de una gota en una punta capilar.’ Llauido B Fig. 17.5-2. Absorción desde una burbuja gaseosa. Ij 17.6 DIFUSIÓN Y REACCIÓN QUfM ICA EN EL INTERIOR DE UN CATALIZADOR POROSO: EL «FACTOR DE EFICACIA»lJJ Hasta ahora se ha considerado la difusión para gases y líquidos en sistemas de geometría sencilla. A continuación vamos a utilizar el balance de materia aplicado a una envoltura y la primera ley de Fick con el fin de describir la difusión en el interior de una partícula esférica de un catalizador poroso. No se intenta describir la difusión en el interior del tortuoso camino de los huecos, sino la difusión «media» de la especie química en función de un coeficiente efectivo de difusión. 6 D. HAMMERTON y F. H. GARNER , Truns. Insr. Chem. Engrs. (London), 32, SI8 (1954). 7 H. GROOTHUISy H. KRAMERS, Chem. Eng. Sc¡., 4, 17-25 (1955). 1E. W. THIELE, Ind. Eng. Chem. 31, 916-920 (1939). a R. ARIS, Chem. Eng. Sci., 6, 265-268 (1957). 3 A. WHEELER , Advances in Cafulysis, Academic Press, Nueva York (1950), vol. 3, pp. 250-326. TRANSPORTE DE MATERIA 1 7 -2 6 ‘ti Consideremos concretamente una partícula esférica de un catalizador poroso de radio R. (Véase Fig. 17.6-1.) Esta partícula está en un reactor catalítico que es atravesado por una corriente gaseosa que contiene la substancia reaccionante A y el producto de reacción B. En las inmediaciones de la partícula catalítica que estamos considerando se supone que la concentración de A es cAS moles por unidad de volumen. La especie A difunde a través del camino tortuoso existente en el catalizador y se convierte en B en la superficie del mismo. (Véase Fig. 17.6-2.) n e l inte rio r de l &/ - C o nc e ntra c i6n CA, c o nc c ntro c io ne r c. Y cB# Fig. 17.6-1. Partícula esfhca de un catalizador poroso. Wase en la Figura 17.6-2 una ampliacibn del recuadro. Fig. 17.6-2. Poros del catalizador en el que tiene lugar la difusión y reaccibn química. Comenzamos aplicando un balance de materia para la especie A a una envoltura esférica de espesor dr situada en el interior de una partícula catalítica: NAAZ *4z7r2 - NArlr+LG *4n(r+Ar)2+Rd-4mr2Ar=0 (17.6-1) En esta expresión, N,& es el número de moles de A que pasan en la dirección r a través de una superficie esférica imaginaria situada a una distancia r del centro de la esfera. El término de manantial R,.4nr*Ar expresa el número de moles de A que se producen por reacción química en la envoltura de espesor Ar. Dividiendo por 43~. Ar y tomando Ar -+ 0, se obtiene 0 ;(rPN,,) = r2RA DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN 17-27 q Teniendo en cuenta que el medio es granular y no homogeneo, el proceso de limites ’ que hemos efectuado está en contradicción con la representación física. Por lo tanto, los símbolos NA, y R, de la Ec. 17.6-3 no pueden interpretarse como magnitudes que poseen un valor representativo de un punto, sino valores medios de un pequeño entorno del punto considerado (este entorno es pequeño con respecto a la dimensión R pero grande con relación a los pasadizos existentes en el interior de la partícula porosa). Vamos a definir ahora una «difusividad efectiva» para la especie A en el medio poroso, mediante la expresión dc NAT =-9A-A dr (17.6-4) en la que cA es la concentracibn del gas A contenido entre los poros. La difusividad efectiva de !&puede medirse experimentalmente, y, en general, depende de la presión y la temperatura así como también de la estructura de los poros del catalizador. El mecanismo real de la difusión en los poros es complejo, ya que las dimensiones de éstos pueden ser menores que el recorrido libre medio de las moléculas que difunden. No abordaremos aquí la cuestión del mecanismo, sino que supondremos simplemente que el proceso de difusión puede representarse satisfactoriamente mediante la PC. 17.6-4. Introduciendo la expresion anterior en la Ec. 17.6-3, para difusividad constante, se llega a (17.6-5) Consideremos ahora un caso en el que la especie A desaparece de acuerdo con una reacción química de primer orden en las superficies catalíticas que forman las «Paredes» de los pasadizos tortuosos. Sea a el área de la superficie catalítica disponible por unidad ~de volumen (sólidos + huecos). Por lo tanto, RA = - k,“ac,, y la Ec. 17.6-5 se transforma en 9 -Id,.& A+=dr (d r) = S"flCA Esta ecuación se resuelve con las condiciones límite de que cA = cAs para r = R y c, es finito para r = 0. Las ecuaciones diferenciales en las que aparece el operador W2) Wr) k2WW P ue den simplificarse frecuentemente mediante un cambio de variable del tipo cA/cAE =f(r)/r. La ecuación correspondiente a f(r) es: (17.6-7) TRANSPORTE DE MATERIA 1 7 -2 8 “$ La solución general, conteniendo dos constantes de integración, es -cA _ - Clcosh cA.s r J k,“ar+&,h k,“ar JaA ?’ 9A (17.6-8) Aplicando las condiciones límite se obtiene, finalmente (17.6-9) En los estudios de cinética y catálisis química interesa generalmente conocer la densidad de flujo molar NAs o el flujo molar WA, en la superficie r = R: (les,, = hRaNAr = -~TTR’~~ 2 =R í Utilizando la Ec. 17.6-9 se encuentra que (‘?-@As F R coth = (17.6-10) (17.64 1) A Esta ecuación expresa la velocidad de conversión (moles/seg) de A a B en una partícula catalítica de radio R, en función de los procesos difusionales que tienen lugar. Si la superficie catalíticamente activa estuviese toda ella expuesta a la corriente ., de concentracton c,~~, la especie A no tendría que difundir a través de los poros hasta un lugar de reacción, y la velocidad molar de conversión vendría dada por el producto de la superficie disponible por la velocidad de reacción superficial: (lLA = &R3)(a)( - kl”cAs) (17.6-12) Dividiendo la Ec. 17.6- 11 por la Ec. I7.6- 12, se obtiene 7A = -$ (K coth K - 1) en la que K = MR,es un numero adimensional, y q.4 es el denominado factor de eficacialJ*“, que es valor por el que hay que multiplicar kp~o para tener en cuenta la resistencia a la difusión del proceso global de conversión. Los resultados anteriores pueden aplicarse a partículas catalíticas no esféricas dando a R una interpretación adecuada. Obsérvese que para una esfera de radio R 4 0. A. HOUGEN y K. M. WATSON, Chemical Process Principles, Wiley, Nueva York (1947). parte III, capítulo XIX. Vease también CPP Charrs de 0. A. HOUGEN, K. M. WATSON y R. A. RAGATZ, Wiley, Nueva York (19643, Fig. E. BISTRIBUCIONES DE CONCENTRACI(íN ‘+ 17-29 la relación entre el volumen y la superficie externa es R/3. Para partículas no esféricas vamos a definir R. correspondiente a la Ec. 17.6- 13, de la siguiente forma Rno esr (17.6-14) en la que V, y S, son el volumen y la superficie externa de una partícula catalítica. De acuerdo con esto, la velocidad de conversión viene dada, aproximadamente por I%?A,l = V’ak;cAsqA (17.6-15) 7l4 = $2 (312 coth 3A - 1) (17.6-16) siendo en la que A = Gv%&=&~. La utilidad concret8 de A puede observarse en la Fig;- lUw3. Es evidente que cuando se representan expresiones teóricas exactas de r]” en función de A, las curvas tienen asíntotas ebmunes para valores grandes y pequeños de II, y no difieren mucho v W3 W 41 10 6 8 2 3 4 h Flg. 17.6-3. Factores de eficacia para catalizadores sólidos porosos; lacurva superior corresponde a partículas planas, la intermedia a largas partículas cilíndricas, y la inferior a particulas esfericas. [R. ARB, Chem. hg. Sri.. 6. 265 (1957).] Una gtifica para esferas a mayor escala puede verse en 0. A. HOUGEN , K. M. WAT%P:.~ R. A. RAGATZ. CPP Ch& Wiley. Nueva York (1960), Fig. E. 0>4 0,6 0,8 1,O 17-20 TRANSPORTE DE MATERIA entre sí para valores intermedios de A. Por lo tanto, la Fig. 17.6-3 justifica el empleo de la Ec. I7.6- 16 para estimar ?j., correspondiente a partículas no esféricas. CUESTIONES PARA DISCUTIR 1. ¿Qué información física se utiliza para eliminar NB~ de la Ec. 17.0-11 2. Comparar .y contrastar reacciones químicas honwgéneus y heterogéneas. 3. ¿Cómo se modificaría el resultado de $ 17.2 si se despreciase el movimiento neto de la mezcla (es decir, si en la Ec. 17.2-4 se tomase I - xA igual a la unidad)? 4. iCómo varían en 4 17.2 NA. y NB~ con la distancia? 5. ;Cbmo se determina XA~ en la Ec. 17.2-9? 6. iBajo qué condiciones físicas es de esperar que el modelo esquematizado en la Fig. 17.2- 1 sea real? ¿E irreal? 7. Discútase la expresión «reacci& química controlada por difusión». 8. Discútase el efecto de reacción química sobre la absorción de gases. 9. Demostrar cómo se obtiene la Ec. 17.3-14 a partir de la 17.3-13. 10. Discútase el significado físico de las aproximaciones que se han hecho en las Ecs. 17.5-4 y 5. Il. Dibujar los perfiles de concentración correspondientes a la Ec. 17.5-15, utilizando una tabla de la función de error. 12. iCómo se modifica el resultado de 8 17.5, si para z = 0 la película contiene cierta cantidad de A disuelta tal como cAz moles por unidad de volumen? 13. Construir un gráfico de NAO en función de z para el probkma que se presenta en la Fig. 17.4-1. 14. iCómo variará el tamafio de una burbuja soluble al ascender a través de un líquido? 15. En 5 17.2 existe un gradiente de concentración de B y, sin embargo, la densidad de flujo NB~ es cero. Explíquese esto. 16. Utilizar la Ec. 17.6-3 para demostrar que cuando ~1 es muy grande, la velocidad de reacción para una determinada masa de catalizador es proporcional al área de la superficie extetna de las partículas catalíticas. 17. &ómo se puede obtener la Ec. 17.3-9 a partir de la Ec. 17.3-2 sin hallar el perfil de concentración? PROBLEMAS 17.A, Velocidad de evaporación Considérese el sistema descrito en la Fig. 17.2-1. iCuál es la velocidad de evaporación (en g hr-1) de CICI,NO, (cloropicrina) en aire (considerado en este caso como una substancia pum) a 25 OC? Presión total 770 mm Hg Difusividad 0,088 cm* seg-1 23,81 mm Hg Presión de vapor Distancia desde el nivel del líquido Il.14 cm hasta la parte superior del tubo Densidad de la cloropicrina 1.65 g cm-3 Area de la superficie de líquido ex2.29 cm* puesta a la evaporación Respuesta: 0,0139 g hr-1 DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN 17-31 17B, Error en el c&u~o de la velocidad de absorción ¿Cuál es el error máximo posible en el cálculo de la velocidad de absorción mediante la Ec. 17.5 - 17. si la solubilidad de A en B se conoce con un error de f 5 por ciento y la difusividad de A en B con f 10 por ciento? (Supóngase que los errores de las dimensiones de la película y de la velocidad son de menor orden de magnitud.) *IO por ciento Respuesta: 17.C, Velocidad de absorci6n en una película descendente Se absorbe cloro de una mezcla gaseosa en una pequena torre experimental de pared mojada, tal como se indica en la Fig. 17.C. El fluido absorbente es agua, que se mueve con una velocidad media de 17.7 cm seg-t . Calcular la velocidad de absorción en g-mol hr-t , si ~cl*-H*o = 1,26 x lo-5 cm2 seg-1 en la fase líquida, y la concentración de saturación de cloro en el agua es 0,823 g de Cl, por 100 g de agua (éstos son valores experimentales a 16 OC). Las dimensiones de la columna se indican en la Fig. 17.C. Aclarach. No se tenga en cuenta la reacción entre el cloro y el agua. Respuesta: 0,273 g-mol hr-t 17.D, Método de difusión para la separación de helio a partir del gas naturnl En una corta nota publicada en Scienrific Ameritan, vol. 199, n.0 1 (julio 1958), p. 52, se describe la forma en que puede separarse ei helio a partir del gas natural mediante un método desarrollado por K. B. McAfee de los Laboratorios Be.11 Telephone. El metodo se basa en que el vidrio pyrex es casi impermeable para todos los gases a excepción del helio; por ejemplo, el coeficiente de difusión del helio a trav6s del pyrex es alrededor de 25 veces el del hidrógeno en las mismas condiciones (siendo el hidrógeno el más próximo «competidor» en el proceso de difusión). Este metodo seguramente hace posible efectuar separaciones mas eficaces y a menor coste que los métodos anteriores de destilación a baja temperatura. Supóngase una mezcla de gas natural contenida en un tubo pyrex, cuyas dimensiones se indican en la Fig. 17.D. Se desea obtener una expresión de la velocidad a la que el helio pasará a traves del tubo en función de la difusividad del helio en vidrio pyrex. la concentración del helio en la mezcla de gas natural, y las dimensiones del tubo. 17.E2 Diióa a travbs de ma pelicula estancada. Otra deducción En 8 17.2 se ba obtenido la Ec. 17.2- 14, que es una expresión de la velocidad de evaporación, mediante la diferenciación del per-81 de concentración que se había hallado poco antes: Demostrar que se puede obtener el mismo resultado mucho más fácilmente (sin necesidad de hallar el perfil de concentración) de la siguiente forma. Observese en primer lugar que para el estado estacionario NA* ha de ser constante y NB. cero. Integrese después directamente la Ec. 17.0- I entre los límites de z, y z2 para obtener la Ec. l7.2- 14. 17.F2 ~ ifusióa 8 travka de una pebula líquida estancada En el estudio de la velocidad de lixiviación de una substancia A a partir de partículas sólidas mediante un disolvente B, se puede postular que la etapa de velocidad controlante es la difusión de A desde la superficie de la partícula hasta la corriente global del líquido. (Véase Fig. 17.F.) La solubilidad de A en B es cAs g-mol/cms, y la concentración en la corriente global (más allá de la película líquida de espesor S) es cAd. a. Obtener una ecuación diferencial de CA en función de z, aplicando un balance de materia para A a una delgada lamina de espesor AZ. Supóngase que 9,, es constante y que A es solo ligeramente soluble en B. Despréciese la curvatura de la partícula. r ‘I 17-32 l+ -1 TRANSPORTE DE MATERIA L = 13cm R = 1,4 cm Pe llc ulo d e de rc ic nde og vo q ue po r lo pa re d Espe so r d e pe lic ulo 6 C o nc c o tro c ió n de la supe rfic ie supue sto ig ua l 0 la c o nc e ntra c ió n 1 IId e sa tura c ió n ! ’ l Me zc lo g a se o so c o nte nie ndo c lo ro Fig. 17.C. Representkión esquemática de una torre de pared mojada. / ‘A O G a s na tura l c o nte nie ndo he l Po rtlc ula q ue só lida c o ntic nc A Pc llc ula Ilq uido de .-L?Corriente princ ipa l d e l Fig. 17.D. Difusión a travks de un tubo de vidrio pyrex; la longitud del tubo es L. Fig. 17.F. Difusión a trav6s de Iícula de líquido estancado. liq u id o Ut’Id pe - \ DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN 17-33 b. Demostrar que en ausencia de reacción quimica en la fase líquida el perfil de concentraci6n es lineal. c. Demostrar que la velocidad de lixiviación viene dada por (17.F-1) 17.G2 Difusión desde una gotita a un gas estancado Una gotita de la substancia A esta suspendida en una corriente del gas B. El radio de la gota es rt. Se admite que existe una película esferica de gas estacionario de radio ra. (Vease Fig. 17.2-3.) La concentracibn de A en la fase gaseosa es XA, para r = rt y x~s para r = r2. a. Demostrar, mediante un balance aplicado a una envoltura, que para la difusibn en estado estacionario, r*NA, es una constante cuyo valor en la superticie de la gotita es r ,~NA ,, . b. Demostrar que la Ec. 17.0-1 y el resultado del apartado (a) conducen a la siguiente ecuación para xA: ch,, h” r,‘NAr, - --ya1 -ZA dr - (17.G-1) c. Integrar esta ecuacibn entre los limites rt y r2 con el fin de obtener NArl k, - (17.G-2) - d. Si se define un coeficiente de transferencia de materia k, mediante la ecuación NA,, = (pA1 - pAZ), demostrar que, cuando r2 + 03, se cumple 2e9AdD k, = @d1n (17.G-3) en la que D es el diámetro de la gotita. Discútase el significado de este resultado aplicado a la evaporación de una gotita en una gran masa de gas que no esta en, movimiento. 17.H, Difusí6n con polimerización catalítica Obtener un resultado análogo al de la Ec. 17.3 -9 para el caso que se indica en la Fig. 17.3 - 16, cuando la reaccibn nA -+ A,, se produce instantáneamente en la superficie catalitica. a. Demostrar en primer lugar que la Ec. 17.0-1 para este caso es NIS caAA - - &A 1 -(l -n-l,,dl b. Integrar esta expresión de NA* entre los límites z = 0 y z = 6 (teniendo en cuenta el hecho de que para el estado estacionario NA* es constante) para obtener NA. = abs In 1 l-U-n (17.H-2) (Obsérvese que al integrar de esta forma entre límites fijos no se obtiene el perfil de concentraci6n. pero se llega más rapidamente a la densidad de flujo.) 17-34 TRANSPORTE ‘$ 17.12 Factoi DE MATERIA > de eficacia para discos delgados Consideremos las partículas de un catalizador poroso que tienen forma de discos delgados, de modo que el área de la superíicie del borde del disco es pequeña en comparación con las dos caras circulares. Aplicar el método de 8 17.6 para demostrar que el perfil de concentracih es (17.1-1) -Z= 0 - no diametral Fig. 17.1. Corte diametral de una particula catalítica en forma de disco. estando z y b descritos en la Fig. 17.1. Demostrar que la velocidad total de transferencia de materia en las superficies z = &b. e s 1cle/?tl = 2. nR* *9,c,A tanh Ab (17.1-2) en la que A = dk,“a/Sl . Demostrar que si el disco se corta paralelamente al plano xy en n rebanadas, la velocidad total de transferencia de materia se hace Obtener la expresión para el factor de eficacia tomando el límite IW‘I *Ir = lim -u-J E Ia,m tanh Ab - 3.6 (17.1-4) Expresar de nuevo este resultado en función del parametro n definido en 5 17.6. 17.J3 Disolución de un sólido en una pelicula descendente’ U n l í q u i d o B desciende por una pared vertical con movimiento laminar. Para z < 0 la pared no se disuelve en el fluido, pero para 0 < z < L la pared contiene una especie A que es ligeramente soluble en B. La película se inicia.suficientemente lejos de la parte alta de la pared, de forma que v, depende solamente de y para z > 0. (Véase Fig. 17.5.) a. Es evidente que hay que aplicar en este caso la Ec. 17.5-6. Demostrar que si el «tiempo de contacto» L/vm& es pequeno, una buena aproximacion para la Ec. 17.5~-6 es (17.J-1) en la que a = &/,u. Justificar el uso de las siguientes condiciones límite: t H. KRAMERS y P. J. KREYGER, Chem. Ecg. Bi., 6.42-48 (1956); véase también R. L. PIGFORD, hg. Prog. Symposium Series No. 17, vol. 51, pp. 79-92 (1955) para el problema análogo de conduccion de calor. Chem. DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN 17-35 Perfil parob6lico de velocidad del fluido B -Y CA O - t . Co n c e n t r a - c16n de soturoci6 Fig. 17.5. Disolución de un sólido en una película descendente, con el perfil paratilico cidad totalmente desarrollado. C.L. 1 : C.L. 2 : C.L. 3 : CA = 0 CA = 0 CA = CAO de velo- para 2 = 0 (17.J-2) para y = 00 para y = 0 (17.J-3) (17.J-4) siendo c,& la solubilidad de A en B. b. Resolver la Ec. 17.J - 1 sabiendo que la solucih es de la forma - =f(tl) CAO en la que q es una variable adimensional: (17.J-5) ?4 (17.J-6) Demostrar que con esta elección de las variables dependiente e independiente la Ec. 17.5-1 s e transforma en (17.J-7) con las siguientes condiciones límite 17-36 C.L. 1 C.L. 2 : TRANSPORTE DE MATERIA : f=O f=l para q = 01 para tj = 0 (17.J-8) (17.J-9) c. Resolver esta ecuacih para los perfiles de concentración (17.E10) en la que r( 6) es la función gamma, definida por <D w4 = s0 8”-‘d dg (n > 0) (17.J-11) que tiene la fórmula de recursibn r(n + 1) = nr(n) d. Demostrar que la velocidad media de transferencia de materia para toda la superficie de disolución es (17.J-12) 17x3 Difusión desde un manantial puntual en una corriente Una corriente de fluido (de la especie química B), que circula con movimiento laminar, tiene una velocidad uniforme VO. En un punto de la corriente se inyecta la especie A en una cantidad pequefia wA moles seg-1. Esta cantidad es lo bastante pequefia para que la velocidad másica media no varíe apreciablemente respecto de ~0. El sistema se representa gráficamente en la Fig. 17.K. La especie A es arrastrada por la corriente (en la dirección z) al mismo tiempo que difunde radial y axialmente. o. Demostrar que un balance de materia para la especie A aplicado al anillo cilíndrico de la Fig. 17.K conduce a la siguiente ecuación entre derivadas parciales si 9- se considera constante (17.K-1) b. Comprobar (bastante laborioso) que la solución (17.K-2) satisface a la anterior ecuación diferencial. Obstrvese que s2 = r2 + ~2. c. Demostrar que esta solucibn cumple tambih las siguientes condiciones limite: c, = 0 para s = 00 (1 7 .K -3 ) C.L. 1 : C.L. 2 : CL. 3 : -4ns’9*, 2 = ‘)&C‘ para s+O (17.K-4) para r = 0 (17.K-5) 17-37 DISTRIBUCIONES DE CONCENTRA(YIóN Corricnk con velocidad uniforme Fig. 17.K. Difusión desde un manantial puntual en una corriente de velocidad constante. d . Demostrar cómo se pueden representar los datos de CA en función de r y z para valores determinados de vg y Ii ‘4 (cuando se aplica la solución anterior) para obtkner una línea recta de pendiente ~,/2~~, y ordenada en el origen In I/,,. Nora. Una de las aplicaciones de este mdtodo es la determinación de «difusividades de remolino».2 17.L4 Absorción de un gas en una pelicula descendente con reacción quimica Resolver de nuevo el problema expuesto en 8 17.5 cuando el gas A reacciona con el líquido B de acuerdo con una reacción química irreversible de primer orden en la fase liquida, cuya constante de velocidad es k,“‘. Hallar la expresión para la absorción total análoga a la de la Ec. 17.5 - 17. Demostrar que el resultado de la absorción con reacción se simplifica adecuadamente para representar la absorcih sin reaccih. Respuesta: siendo IA = kI”‘L/vmáx. 17.M4 Factores de eficacia para cilindros largos Deducir la expresión de r]~ para el caso de cilindros, análoga a la de la Ec. 17.6- 16. Desprbciese. la difusih a través de los extremos de los cilindros. 1,(2iQ Respuesta: ‘l* = -s 2 T. K. SHERWOOD y R. L. PIGFORC, Absorption (1952), segunda edición, p. 42. and Exrraction, .McGraw-Hill, Nueva York CAPfTULO 18 LAS ECUACIONES DE VARIACIóN PARA SISTEMAS DE VARIOS COMPONENTES En el Capítulo 17 se han planteado una serie de problemas de difusión ordinaria mediante la aplicación de balances de materia a una de las especies que difunden. En este capítulo comenzamos por aplicar un balance de materia a un elemento diferencial de fluido con el fin de establecer las ecuaciones de continuidad para las dos especies químicas de una mezcla binaria de líquidos. Introduciendo después las expresiones de la densidad de flujo de materia se obtienen las ecuaciones de difusión en una gran variedad de formas. Estas ecuaciones de difusión pueden utilizarse para resolver los problemas del Capítulo 17, así como también otros más complejos. Despues de esta introducción a las ecuaciones de difusión ordinaria para una mezcla binaria, se presentan las ecuaciones de variación para mezclas de varios componentes con reacciones químicas y efectos caloríficos, que comprenden una ecuación de continuidad para cada una de las especies químicas presentes, la ecuación de movimiento y la ecuación del balance de energía. Estas relaciones proporcionan una descripción completa de los sistemas de flujo de varios componentes, y comprenden, como casos particulares, las ecuaciones expuestas en los Capítulos 3 y 10. Normalmente no se utilizan en su forma completa, tal como se expresan aquí, sino que, en general, se descartan aquellos términos que son cero o físicamente despreciables, y de esta forma se obtienen ecuaciones más sencillas para el caso especial de que se trate. Después de presentar estas ecuaciones generales estamos ya en condiciones de considerar algunas aplicaciones especiales. de las mismas, tales como descripción de la transmisión combinada de calor y materia, difusión térmica, de presión y forzada, y difusión ordinaria de tres componentes. Las ecuaciones de variación proporcionan también la base para el análisis dimensional, que se utiliza más adelante en relación con la determinación de la forma funcional de las correlaciones del coeficiente de transferencia de materia. $ 18.1 LAS ECUACIONES DE CONTINUIDAD PARA UNA MEZCLA BINARIA En esta sección se aplica la ley de conservación de la materia de la especie A a un elemento de volumen Ax Ay AZ, fijo en el espacio, a través del cual fluye una 18-2 TRANSPORTE DE MATERIA “% mezcla binaria de A y B. (Véase Fig. 3.1- 1.) Dentro de este elemento se puede producir A por reacción química con una velocidad rA (g cmm seg-l). Las distintas contribuciones al balance de materia son velocidad de variación de la masa de A con el tiempo en el elemento de volumen hAzAyAz at (18.1-1) entrada de A a través de la cara situada en x nA salida de A a través de la cara situada en x + dx nAsis+AEA~ h (18.1-3) velocidad .de producción de A por reacción química r, Ax Ay AZ (18.14) AY AZ (18.1-2) También existen términos de entrada y salida en las direcciones y y z. Escribiendo el balance completo de materia y dividiendo por dxdy dz y haciendo tender a cero el elemento de volumen, se obtiene (18.1-5) Ésta es la ecuacidn de continuidad para el componente A de una mezcla binaria, que describe la variación de la concentración de A con respecto al tiempo para un punto fijo en el espacio. Esta variación resulta del movimiento de A y de Ias reacciones químicas que dan lugar a A. Las magnitudes nAx, nAy, nA*, son los componentes rectangulares del vector densidad de flujo de materia n, = PA aA definido en la Ec. 16.1- 5. La Ec. 18.1-5 puede expresarse en notación vectorial La equivalente ecuación de continuidad para el componente B es (18.1-7) La suma de estas dos ecuaciones conduce a que es la ecuación de continuidadpara la mezcla y que es idéntica a la@. 3.1-4 para un fluido puro. Para obtener la Ec. 18.1-8 se ha aplicado la relacrón n,+ nB =po LAS ECUACIONES DE VARIACIóN 18-3 (Ec. J de la Tabla 16.1-3) así como la ley de conservacibn de la materia expresada en la forma rA + rB = 0. Obsérvese finalmente que la Ec. 18.1-8 se transforma en (V ’ v) = 0 (18.1-9) para un fluido de densidad constante p. El desarrollo anterior podría hacerse igualmente en función de unidades molares. Si R, es la velocidad molar de producción C= A por unidad de volumen, la ecuación molar análoga a la Ec. 18.1-6 es De igual forma, para el componente B, tendremos f!$.+(V*N&= (18.1-11) R, Sumando estas dos ecuaciones se obtiene $ + (V l CV”) = (R, + RB) (18.142) para la ecuación de continuidad de la mezcla. Para obtener esta expresión se ha uttlizado la relación NA + Nn = CV*. Sin embargo, como en general el numero de moles no se conserva, no podemos tomar R, + R, igual a cero, salvo que se produzca un mol de B por cada mol de A que desaparece (o viceversa). Obsérvese, finalmente, que la Ec. 18.1-12 se transforma en (Ve o*> = t (RA + RB) (18.1-13) para un fluido de densidad molar constante c. Las Ecs. 18.1-6 y 10 no son formas útiies para obtener perfiles de concentración. Con el fin de hallar las ecuaciones generales utilizadas para describir la difusión binaria, se reemplazan las densidades de flujo n, y IV*., por las expresiones adecuadas que contienen los gradientes de concentración. Substituyendo la Ec. A de la Tabla 16.2-1 en la Ec. 18.1-6, y la Ec. B de la Tabla 16.2 - 1 en la Ec. 18.1- 10, se llega a las siguientes ecuaciones de la difusión binaria, que son totalmente equivalentes: ac, at + (v l cAu*) = (V * c~~~VZ~,) + R, Cualquiera de estas dos ecuaciones describe los perfiles de concentración en un sistema binario de difusión. La única restricción es que sea en ausencia de difusión TRANSPORTE DE MATERIA 18-4 q térmica, de presión y forzada. Las Ecs. 18.1- 14 y 15 son válidas para sistemas de densidad total variable (p o c), y difusividad variable gddg. Como las Ecs. 18.1- 14 y 15 son completamente generales, resultan también muy poco manejables. En el análisis de los sistemas de difusión puede frecuentemente admitirse la constancia de la densidad o la densidad molar, y, por consiguiente, es posible efectuar algunas simplificaciones : Suposición de p y gAdB constantes Con esta suposición la Ek. 18.1- 14 se transforma en ap-i at + PAP * 4 + (0 ’ VPA) = 9ABV”PA + rA (18.1-16) Pero como, de acuerdo con la Ec. 18.1-9 (V 9 u) es igual a cero, al dividir la Ec. 18.1- 16 por MA se obtiene acA -cg + (u - VCA) = 921BV2cA + RA4 Esta ecuación se utiliza, generalmente, para la difusión en soluciones fíqui+s diluidas a temperatura y presión constantes. El primer miembro puede expresarse como Dc,/Dt. La Ec. 18.1-17 tiene la misma forma que la Ec. 10.1-25 si R, = 0; esta semejanza es la base de las analogías que frecuentemente se deducen entre el transporte de calor y materia para el flujo de fluidos de p constante. Suposición de c y 9,, constantes Para esta suposición la Ec. 18.1- 15 se transforma en ac, at + ce,(V * u*) + (u* * Vc,) = .5&V2cA + RA (18.1-18) Pero como, de acuerdo con la Ec. 18.1-13 (V * c*) puede substituirse por (l/c) (R, + Re), la Ec. 18.1-18 se transforma en1 = 9ABV2cA + RA - f4 C (RA -i- RB) (18.1-19) Está ecuación se utiliza, generalmente, para los gases de baja densidad a temperatura y presión constantes. El primer miembro de esta ecuación no puede expresarse como Dc,lDt debido a que interviene v* en vez de o. 1 En ausencia de reacciones químicas, la Ec. 18.1-19 puede expresarse enfunción de u en vez de u* utilizando otro tipo de concentracibn, correspondiente al peso molecular medio: ~lnM+(~.VlnM)=P,,V*lnM (18.1-19~) siendo M = xAMA + xeMB. Parece ser que esta relación ha sido sugerida por primera vez por C. H. BEDINGFIELD, Jr. y T. B. DREW, Znd. Eng. Chem., 42, 1164 (1950). LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN 18-5 TABLA 18.2-1 LA ECUACIÓN DE CONTINUJDAD DE A EN DIVERSOS SISTEMAS COORDENADOS (Ec., 18.1-10) Coor&nah rectangulares: =R Coordenadas (4 A cilínakicas: (BI = RA Coordenadas esféicas: = RA (c) TABLA 18.2-2 LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD DE A PARA p Y sti CONSTANTES (Ec. 18.1-17) Coor&nadas rectangulares: aacA (4 3’ Coordenadas cilíndtks: Coordenadas esfdricas: + &$) +R, (c) 18-6 TRANSPORTE DE MATERIA Suposicióiz de velocidad cero Vamos a mencionar una forma más simplificada de las Ecs. 18.1-14 y 15. Si no ocurren cambios químicos, rA, rB, RA y R,, son cero. Si además también es cero ven la Ec. 18.1-17 o u* en la Ec. 18.1-18, se obtiene ac A = ~ * Bv=c* at que es la llamada segunda ley de difusión de Fick o a veces simplemente ecuacidn de difusión. Esta ecuación se utiliza, generalmente, para la difusión en sdlidos o en líquidos estacionarios (v = 0 en la Ec. 18.1- 17) y para la interdz~xsidn equimolar en gases2 (u* = 0 en la Ec. 18.1- 19). Observese que la Ec. 18.1-20 es semejante a la ecuación de conduccidn del calor, Ec. 10.1-26; esta semejanza es la base del tratamiento analógico de muchos problemas de conducción del calor y de difusión en sólidos. Se han resuelto cientos de problemas descritos por la segunda ley de Fick; las soluciones pueden encontrarse en las monografías de Cranks y de Carslaw y Jaeger.4 $ 18.2 LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD DE A EN COORDENADAS CURVILfNEAS En esta sección se resumen en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esfericas, las ecuaciones más importantes de 5 18.1. Dichas ecuaciones se han tabulado con el fin de disponer de una cómoda referencia para la resolución de problemas. En la Tabla 18.2-1 se presenta la ecuación de continuidad en función de NA, y en la Tabla 18.2-2 la ecuación de difusión correspondiente a la Ec. 18.1- 17. Por analogía pueden expresarse también otras ecuaciones de la sección $ 18.1. La notación para los sistemas de coordenadas curvilíneas se indica en la Fig. A. 6- 1. Obsérvese que las ecuaciones de difusión para sólidos se pueden obtener haciendo iguales a cero los componentes de la velocidad de la Tabla 18.2-2. 0 18.3 LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS DE VARIOS COMPONENTES EN FUNCIÓN DE LAS DENSIDADES DE FLUJO En los Capítulos 3 y 10 se han presentado las ecuaciones de variacibn para un líquido puro. Ampliamos ahora este tema y damos las ecuaciones de variación para un fluido no isotérmico que consta de n especies químicas. 2 Mediante la expresión interdifusión equimolar se quiere indicar que la densidad de flujo molar total con respecto a coordenadas -estacionarias es cero. 3 J. CRANK, The Mathematics of Diffusion, Oxford University Press (1956). 4 H. S. CARSLAW y J. 0. JAEGER , neat Conduction in Solids, Oxford University Press (1959), segunda edición. LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN 18-1 (i) Una ecuacidn de continuidad para cada una de las especies químicas presentes en el fluido, es: + Pi’ - pi (V * V) -(V *ji) + r, i = 1,2;*.,n (18.3-1) Sumando las n ecuaciones de este tipo se obtiene la ecuación de continuidad para la mezcla, que corresponde a la Ec. 18.1-8. En un problema determinado puede reemplazarse cualquiera de las n ecuaciones anteriores por la ecuación de continuidad para la mezcla. (ii) La ecuacidn de movimiento para la mezcla es: Dv Px= (18.3-2) Con el fin de abreviar se ha introducido el tensor de presión IF = 7 + pb, siendo 7 la parte viscosa de la densidad de flujo de cantidad de movimiento (o tensor de esfuerzo cortante), y 6, el tensor unidad. Obsérvese que la Ec. 18,3-2 difiere solamente en el último término de la ecuación de movimiento para un fluido puro (Ec. 3.2-lo), en la que pg se ha reemplazado por Lpigi. En este término se tiene en cuenta el hecho de que sobre cada especie química presente puede actuar una diferente fuerza externa por unidad de masa, gi. (iii) La echacih de energfa para la mezcla es: (18.3-3) Obsérvese que esta ecuacibn es semejante a la ecuación de energía para un fluido puro (Ec. 10.1-1 l), y difiere solamente en el último termino, donde (pv.g) se ha reemplazado por&(n, gJ.En esta expresión q es la densidad de flujo de energía en un sistema de varios componentes relativa a la velocidad media v, definida en 0 18.4. La emisión y absorción de energía radiante no se han tenido en cuenta. (Véase 0 14.6.) En estas ecuaciones está contenida la descripción completa del transporte de materia, cantidad de movimiento y energía, en sistemas de varios componentes. Se necesita también la ecuación térmica de estadop=p(p, í”,x,), la ecuación calorica de esmdo 0 - o(p, T, xi), e información acerca de la energía cinbtica. Además, generalmente, se necesitan expresiones para las densidades de flujo ir, IC, y q, en función de los gradientes y de los coeficientes de transporte. (Véase $ 18.4.) También es preciso conocer los coeficientes de transporte en función de p, T y la composición. Ya se ha indicado anteriormente que las ecuaciones de variación pueden presentar un gran número de formas diferentes, dependiendo (a} de que se utilice D/Dt o alc%, (b) de cual sea el sistema coordenado elegido para las densidades de flujo, (c) de que se utilicen unidades de masa o molares, y (d) de cómo se separen las distintas formas de energía. l 18-8 q TR A N S P O R TE DE M A TE R IA Por ejemplo, las Ecs. 18,3- 1,2 y 3, pueden escribirse en función de alar: (continuidad) a”lPi = -CV * {fV + ji}) + r, (movimiento) a zP”= -CV * {Pu0 + nl] +izlPi& ;P{ o+ Jv” > = -CV * {p(u i = 1,2, . . . , n + &u2)v + q + [n l v]}) (18.3-6) De acuerdo con la Tabla 16.1-3 se deduce que {piu + ii) es exactamente ni, la densidad de flujo de materia con respecto a un sistema de coordenadas fijo. Para el transporte de energía y cantidad de movimiento pueden introducirse densidades de flujo análogas. Según esto, definimos las siguientes densidades dejhjo de materia, cantidad de movimiento y energía, con respecto a un sistema coordenado fijo en el espacio: i = 1,2;..,n = pO@ + ji + = pvv + ?F ni e=p{ U+3v 2} v +q+[3r ~ v ] (18.3-7) (18.3-8) (18.3-9) Las Ecs. 18.3-4, 5 y 6, pueden expresarse así: a (continuidad) z Pi = -(V * ni) + ri (movimiento) & pv = -CV’+1 &p{ O+ $v ” } = i = 1,2;**,n (18.3-11) +*zPigi -CV l 4 (18.3-10) + $jni ’ gi> Para sistemas en estado estacionario sin reacciones químicas o fuerzas externas, las densidades de flujon,, +y e tienen una divergencia igual a cero. Las densidades de flujo ni y e resultan especialmente convenientes para el planteamiento de problemas en los que existe transmisión combinada de calor y materia. (Véase ejemplo 18.5 - 1.) Para terminar esta sección vamos a ha& algunas observaciones con respecto a las formas especiales de las ecuaciones de movimiento y energía. En 5 10.3 se ha indicado que la ecuación de movimiento, tal como se escribe corrientemente, es una forma adecuada para el planteamiento de problemas de convección forzada, pero que es preferible utilizar otra forma (Ec. 10.3-3) para describir el caso límite de la convección libre pura, que resulta de las desigualdades de temperatura existentes LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN TABLA “k 1 8 -9 18.3-1 LA ECUACION DE ENERGfA PARA SISTEMAS DE VARIOS COMt’ONENTES” (sólo exacta para ¿&/at = 0) En función de É = 0 + & + 6: DE PD1 = -(V-q) -(V*[n*vl) +$Icii*gi) (4 i=l En función de û + 2 = 0 + 4~‘: p&(O+&= -(V’q)-(V’[~.V])+~(“i’gi) i -l (4 En función de i? = &v’: DK (C) PE= En función de 0: Dû Px= -(V 6 Q) - (X : V U) +i$$ii “gi) (0 En función de k: DI? PDt = -(V-q) +g -(T:VU) +i(ji.&) (EI i==l En función de e,,: DT PG O ; =E -(V.q)-(~:VD)+~(ji.gi)+ i al + i If,[(V . Ji) En función de 6,: - Ril CFI* i==l “Para la definición de las densidades de flujo de calor que intervienen en estas ecuaciones, dase 5 18.4. *L. B. Rothfeld, comunicación personal. TRANSPORTE DE MATERIA IB-10 En función de IIj: CH) CAquí se ha despreciado la densidad de flujo de energía Dufour q@), que, generalmente, es muy poco importante. en el sistema. Para los sistemas que además de desigualdades de temperatura presentan también desigualdades de concentración, se expresa la ecuación de movimiento según la forma de la Ec. 10.3-2 y se utiliza una ecuación de estado obtenida mediante una serie de Taylor, desarrollando p en función de T y x,, (para un sistema de dos componentes): = ,i5 - j$(T - T) - ,i&, - ii!/,) + . +* (18.3-13) en la que 5 = -(l/p)(ap/&Jr es una magnitud (definidá de forma análoga a b) que representa la variación de la densidad con la composición. La ecuación de movimiento, para el caso de que la fuerza externa se deba exclusivamente a la gravedad, resulta p Fl = -[VS T] - &‘(T - 77) - ,ii[g(q, - ZA) (18.3-14) Cuando no existen diferencias de concentración en el sistema, esta ecuación se transforma en la Ec. 10. 3-3. El último término de la Ec. 18. 3- 14 corresponde a la «fuerza de flotación» que resulta de las desviaciones respecto de la concentración media 2,. Consideremos ahora la ecuuciún de energía. Recordemos que en el tratamiento para fluidos puros de la sección 0 10.1 se ha visto que la ecuación de energía puede escribirse en muchas formas diferentes (en función de 0, l?, o T). Lo mismo ocurre para las mezclas. En la Ec. 18.3-3 se ha expresado la ecuación de energía en función de û + fv2, y en la Tabla 18.3-1 se presentan otras formas de dicha ecuación. Obsérvese que no es preciso añadir un término S, para representar la energía calorífica liberada por reacción química homogénea, ya que esta información está implfcitamente incluida en fi y û, y aparece explícitamente en las Ecs. (F) y (G) como -&fTiRI o -CiüiRi. Recuérdese que en el cálculo de fi o û, deben de incluirse las energías de formación y de mezcla de las distintas especies. (Véase ejemplo 22.5- 1.) LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN 18-11 9 18.4 LAS DENSIDADES DE FLUJO PARA SISTEMAS DE VARIOS COMPONENTES EN FUNCI6N DE LAS PROPIEDADES DE TRANSPORTE En 0 18.3 se han presentado las ecuaciones de variación para una mezcla de varios componentes en función de las densidades de flujo de materia, cantidad de movimiento y energía. Con el fin de obtener las ecuaciones de los perfiles, se pueden reemplazar las densidades de flujo por expresiones que contienen las propiedades de transporte y los gradientes de concentración, velocidad y temperatura. Este procedimiento se ha utilizado ya: en el Capítulo 3 se ha vuelto a escribir la ecuación de movimiento introduciendo la expresión de la densidad de flujo de cantidad de movimiento en función de los gradientes de velocidad; de forma analoga se ha procedido en el Capítulo 10 con la ecuación de energía, mediante la introducción de la expresión de la densidad de flujo de energía en función del gradiente de temperatura; y en Q 18.1, con la ecuación de continuidad, al introducir una expresión de la densidad de flujo de materia en función del gradiente de concentración. En realidad, el examen que hemos hecho hasta ahora de las densidades de flujo de materia y de los gradientes de concentración ha sido bastante simplificado. Sin duda que la contribución más importante a la densidad de flujo de materia es la que resulta como consecuencia del gradiente de concentración. Sin embargo, sabemos que aún en un sistema isotérmico existen en realidad tres ,«fuerzas mecánicas impulsoras» que tienden a producir el movimiento de una especie con respecto al movimiento medio del fluido: (u) el gradiente de concentracibn, (b) el gradiente de presión, y (c) las fuerzas externas que actúan desigualmente sobre las distintas especies químicas. En #$ 16.2 y 18.1 se han despreciado la segunda y tercera de estas «fuerzas ,mecanicas impulsoras» con el fin de simplificar el tratamiento. En un sistema de varios componentes existen densidades de flujo de cantidad de movimiento, energía y materia, cada una de las cuales resulta de una fuerza impulsora con la que está relacionada, tal como se indica en la diagonal principal de la Fig. 18.4-1. Sin embargo, la cuestión no es tan sencilla. De acuerdo con la termodinámica de los procesos irreversibles, existirá una contribución a cada densidad de flujo debido a cada una de las fuerzas impulsoras que intervienen en el sistema. Sin embargo, este acoplamiento puede tener lugar solamente entre parejas densidad de flujo-fuerza que son tensores de igual orden o cuyo orden difiere en dos. De acuerdo con esto, en un sistema de varios componentes, (a) la densidad de flujo de cantidad de movimiento depende solamente de los gradientes de velocidad, (b) la densidad de flujo de energía depende del gradiente de temperatura (conducción del calor) y de las fuerzas mecánicas impulsoras («efecto difusión-termo» o «efecto Dufour» y (c) la densidad de flujo de materia depende de las fuerzas mecánicas impulsoras (difusión ordinaria, de presión y forzada) y del gradiente de temperatura («efecto de «difusión térmica» o «efecto Soret»). Por otra parte, las relaciones recíprocas de Onsager de la termodinámica de los procesos irreversibles, proporcionan información acerca de las mutuas relaciones de los dos efectos acoplados, el Dufour y el Soret. TRANSPORTE DE MATERIA 1 8 -1 2 Para describir el efecto Soret hay que introducir una propiedad adicional de transporte (es decir, además de la viscosidad, conductividad calorífica y difusividad), la «relación de difusión térmica» o el «coeficiente de Soret», dependiendo de la exacta definición. Debido a la interconexión de los efectos Soret y Dufour, de acuerdo con las relaciones de Onsager, esta propiedad adicional de transporte tendrá en cuenta la descripción cuantitativa de ambos fenómenos. (Veanse las anotaciones no diagonales de la Fig. 18.4-1.). Seguramente que el principiante habrá vislumbrado a través de estas notas introductorias el discernimiento que los razonamientos termodinámicos, pueden ofrecer en relación con los fenómenos acoplados. Por otra parte, el lector posiblemente esté más interesado en el conocimiento de la serie de relaciones generales de densidad de flujo para sistemas, de varios componentes que vamos a dar más adelante. Los que deseen profundizar en la conexión existente entre la termodinámica y los procesos de transporte encontraran diversas referencias adecuadas en la bibliografíar. Fuenar GrodIente j Gradbntes de velocidad Cantidad de movimiento (tensor do segundo orden) Gradiente tcmperotum de de concent Gradiente do pmrl6n DiferencIos de fuerzo externa i ’ Ley de Newton IU* K1 - - - - - - - - - - - Energla (vector) Motorio Ivector) Ley de Fourier Ikl i i Efecto Soret IDDA Efecto Dufour ID,,‘1 Ley de Flck I1DAkt 1 -----------r Flg. 18.4-1. Diagrama esquematice de las relaciones entre. las densidades de flujo y las fuetzas impulsoras en un sistema binario. Los correspondientes coeficientes de transporte se expresan entre corchetes. 1 Dos artículos que tratan específicamente acerca de las expresiones de las densidades de Ilujo de materia, energla y cantidad de movimiento son: J. G. K I RK WOOD y B. L. C RAWFORD, Jr.. J. Phys. Chem., 56, 1048-1051 (1952) y R. B. BIRD, C. F. Cu~rtss y J. 0. HIRSCHFELDER, Chem. Eng. Prog. Sytnposium Series, No. 16,51,69-85 (1955). Mas referencias generales pueden verse en S. R. de GROOI, Thermodynumits of Irreversible Processes, North Holland Publishing, Co., Amsterdam (1951), pp. 94-123 acerca de fen6menos de transporte; 1. PRICXXXNE, Thermodynomic&of Irreversible Processes, Thomas, Springfield, Illinois (1955); K. G. DENBIGH, The Thermodynamics of fk Sfeady State, Methuen, Londres (1951), pp. 78-86. Todas estas referencias se basan en el estudio original de la termodinamica de los procesos irreversibles de L. ONSAGER, Physical Review, 37, I, 405-426 (1931); ibid., 38,. II, 2265-2279 (1931). LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN 18-13 Las expresiones del Capítulo 3 para la densidad de flujo de cantidad de movimiento 7 son igualmente válidas para substancias puras y mezclas. Para fluidos newtonianos 7 es un tensor de segundo orden que viene dado por 7 = -,U (vO + (V I ?)‘) + (& 4 - K )(V - 0)s (18.4-1) siendo Vv un producto diádico, (Vu)+ el tensor transpuesto de la diada Vv, y 8 el tensor unidad. En las Tablas 3.4-5, 6 y 7 se dan los componentes de 7 para K = 0. La Ec. 18.4-1 indica cómo está relacionada la densidad de flujo de cantidad de movimiento con los gradientes de velocidad en cualquier punto del sistema. En la Tabla 18.4-1 p y K son las viscosidades instantáneas, local y global, de la mezcla fluida. Las expresiones de T para fluidos no-newtonianos se han tratado en 0 3.6. La expresión correspondiente a la Ec. 8.1-6 para la densidad de flujo de energía q es solamente valida para la conduccion del calor en substancias puras. Para mezclas, ademas de la densidad de flujo convectivo, existen contribuciones que resultan de la interdifusion de las distintas especies químicas presentes y del efecto Dufour o difusión-termo. Para la densidad de flujo total de energía relativa a la velocidad másica media, se puede escribir q = q(c) + qW) + q’S (18.4-2) siendo q(c) = -kVT la densidad de flujo de energía debida a la conducción, tal como se ha definido en 0 8.1, y k la conductividad calorífica local instantánea de la mezcla. La densidad de flujo de energía q td) debida a la interdifusión, para un fluido que contiene n especies, se define mediante la expresión (18.4-3) siendo I& la entalpia parcial molar de la especie i. La densidad de flujo de energía Dufour q(=)es de naturaleza muy compleja, y, generalmente, de menor importancia, ‘por lo que no se estudia más ampliamente aquí.2 La densidad de flujo de energía radiante q”)puede tratarse separadamente en la forma que se ha descrito en 6 14.6. Muchas veces resulta más conveniente utilizar la densidad de flujo de energía con respecto a coordenadas estacionarias, e, en vez de q. Utilizando la definición de e, Ec. 18.3-9 y la anterior expresión de q, se puede poner e i q@) + qcd) + q@) + [m * v] + p{ 0 + tfl}v (18.rl-4) 2 La forma explícita del término del efecto Dufour para una mezcla gaseosa de varios componentes ha sido estudiada por J. 0. HIRSCHFELDER, C. F. CURTISS y R. B. BIR~, Molecular Theory of Gases and Liquids, Wiley, Nueva York (1954), pp. 522, 705. La separación de q en las parte-s componentes que se ha efectuado más arriba no es totalmente correcta debido a una convenci6n adoptada en la definición de k (vhc R. B. BIRD, C. F. CURTISS, y J. 0. HIRSCHFELDER, Chem. Eng. Prog. Symposium Series, No. 16, 51, 69-85 (1955). p. 77, Ecs. 2.15 y 2.16). 18- 14 “k TRANSPORTE DE MATERIA Cuando q(r), [T * u] y (tpus)r), son muy poco importantes, e puede expresarse aproximadamente por e = ,- kVT +iRjJ, + pu + pûv i=l = - k V T +i&J< + pl?v i=l = -kVT + i R,J, +i$lciR,v 1=1 * (18.4-5) Teniendo en cuenta la Tabla 16.1-3, la Ec. 18.4-5 puede ponerse en esta forma e = -kVT + i N,R, (18.4-6) f=l Esta expresión aproximada es el punto de partida habitual para los estudios ingenieriles de transmisión de calor con transferencia simultánea de materias De acuerdo con la breve discusibn preliminar que hemos hecho, la expresión de la densidad deflulo de materia ji en un sistema de varios componentes, constará de tres contribuciones relacionadas con las fuerzas mecanicas impulsoras y una contribución adicional debida a la fuerza térmica impulsora jf = j(Z) L + j!P) 1 + jjU) + jin (18.4-7) En esta ecuación se ha expresado la densidad de flujo de materia como la suma de los tbminos que describen la difusión ordinaria (de concentración) ji(z), la difusión de presión j?, la difusión forrada jp), y la difusión térmica jjr). Las formulas para estas contribuciones a la densidad de flujo de materia son (18.4-8) (18.4-9) jy’) =: - Dfw In T (18.4-11) 3 V&se, por ejemplo, T. K. SHER WOOD y R. L. ROFORD, Absorpfion und Extraction, Mc G ra wHill, Nueva York (1952), segunda edición, p. 96, Ec. 128-1/2. Wase tambih el Ejemplo 18.5 - 1 Y 0 21.5. LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN 1845 En estas ecuaciones G, y Vj son la entalpia libre (energía libre de Gibbs) y el volumen parciales molares, respectivamente. Di; son los coeficientes de difusión, y DiT son los coeficientes de difusión térmica, ambos para sistemas de varios componentes. Los coeficientes Dij tienen las siguientes propiedades: puesto que 2 xi = 1, Dii = 0 i=l puesto que z’,j; = 0, 2 (M,MhD, - MiMkDi& = 0 i=l i=l (18.4-12) (18.4-13) y tiene que cumplirse i Df = 0 i=l Para n > 2, Dij y Dii no son, en general, iguales. La contribución de la difusidn ordinaria a la densidad de flujo de materia depende en una forma complicada de los gradientes de concentración de todas las substancias presentes. El término de dijisión de presidn indica que si hay un gradiente de presión impuesto sobre el sistema puede existir un movimiento neto de la especie i en una mezcla; la tendencia de una mezcla a separarse por efecto de un gradiente de presión es muy pequeña, pero encuentra aplicación en las Separaciones por centrifugación, donde pueden conseguirse unos gradientes de presión enormes. El término de difusión forzada tiene una importancia fundamental en los sistemas iónicos,’ en los que la fuerza externa que actúa sobre un ión es igual al producto de la carga iónica por la in¿ensidad del campo eléctrico local ; según esto, cada una de las especies iónicas puede estar bajo la influencia de una fuerza diferente. Si la fuerza externa se debe exclusivamente a la gravedad, todas las gj son idénticas y i(f) desaparece. El término de difusión térmica describe la tendencia de las especies químicas a difundir bajo la influencia de un gradiente de temperatura; este efecto es muy pequeño, pero se pueden construir artificios que permiten conseguir gradientes de temperatura muy pronunciados y efectuar separaciones de mezclas.4 Con el fin de que el lector perciba mejor los aspectos físicos de estas ecuaciones generales, vamos a estudiar dos importantes casos límite. 4 Las separaciones por difusión termita se pueden mejorar considerablemente combinando dicho efecto con la conveccion libre en un sistema análogo al de la Fig. 9.9 - 1. Una columna que utiliza estos dos efectos es la denominada columna de Clusius-Dickel. Estas columnas se han utilizado para separaciones isotopicas y separación de mezclas complejas de compuestos orgknicos muy semejantes. Una introduccion muy interesante a la difusión termita puede verse en el pequeno libro de K. E. GREW y T. L. IBIS, Thermal Diffusion in Gases, Cambridge University Press (1952). Para las aplicaciones a liquidos, véase A. L. JONES y R. W. FOREMAN, Ind. Eng. Chem, 44,2249-2253 (1952), y A. L. JONES y E. C. MILBERGER, Ind. Eng. Chem., 45,2689-2696 (1953). La teoría matematica de las columnas de difusión termita se describe en un artículo clásico de R. C. JONES y W. H. FURRY, Rev. Mod. Phys., 18, 151-224 (1946). 18-16 ‘-ll % TRANSPORTE DE MATERIA Sistemas binarios Para un sistema de dos componentes A y B, las magnitudes DAB y DBA son iguales, y las Ecs. 18.4-7 a ll se convierten ens - 7 (g, - gB) + (2 - k)vp] - DATv In T (18.4-14) Esta ecuación puede expresarse en otra forma utilizando (dC?A)T,, = RT dln aA y definiendo6 «una relación de difusión térmica» k T = (p/czMA MB) X (D,=/D,,): jA = -jB = - f 0 - 9 (gA - gB) + % (2 - $vp + kTV ln T A 1 (18.4-15) Esta ecuación es el punto de partida para el estudio de la difusión ordinaria, de presión, forzada y térmica, en mezclas binarias no ideales. (Véanse los ejemplos 18.5-2, 3 y 4). En la Tabla 18.4-1 se presentan, a título de ejemplo, algunos valores de kT para gases y líquidos. Considerando solamente la difusión ordinaria, la Ec. 18.4-15 se simplifica para dar jA = (18.4-16) ’ MAMBDAB 0 P que es equivalente a la Ec. E de la Tabla 16.2- 1, jA=-: 0 MAM#AB~~A (18.4-17) 5 Observese que el termino entre corchetes tiene las dimensiones de fuerza por unidad de masa; por consiguiente, lo designamos por -EA. Utilizando las relaciones de la Tabla 16.1-3 se puede demostrar que la Ec. 18.4-14 (omitiendo el termino de difusión térmica) se transforma en UA - 1)* = DABMAFA RT = m AB F A donde m,fB = D&RT es la «movilidad». Esta relación se ha utilizado en la Ec. 16.5-1 en conexion con la teoría hidrodinámica de la difusión. 6 Otras magnitudes que se definen para sistemas binarios son el jàctor a de difusión térmica y el coeficiente de Soret 6: (18.4-15~1) k, = ax,x, = az,x,T El factor a es casi independiente de la concentración para el caso de gases; para líquidos se utiliza generalmente, u. Observese que DA r = - DB=. Debido a que kT se define en funcibn de DA=, cuando kr es positivo, el componente A se mueve hacia la región mas fría, y cuando kT es negativo A se mueve hacia la región mas caliente. LAS ECUACIONES DE VARIACIóN 18-17 TABLA 18.4- 1 RELACIONES EXPERIMENTALES DE DIFUSIÓN TÉRMICA PARA LfQUIDOS Y GASES DE BAJA DENSIDAD Líquidos” Gasesb Componentes A - B C2H2Clh-n-CsH,, QH.,Brz -C2H,Cl2 C2H,C12- CCl, CBr, -CCl, CCl, -CH,OH H20 -CH,OH C,H,-ciclo-C,H,, Componentes TCK) XA kT A - B T(‘K) 298 298 298 298 0,s 0,s 0,5 0,09 1,08 He-Ne 330 0,225 313 0,5 313 313 0,5 0,5 0,060 0,129 -1,23 -0,137 0,100 1 Et--W 264 Hz-R 327 XA kT 0,20 0,053l 0,60 0,1004 0,294 0,0548 0,775 0,0663 0,lO 0,014s 0,50 0,0432 0,90 0,0166 “Tomados de R. L. SAXTON, E. L. DOUGHERTY y H. G. DRICKAMER , J. Chem. Phys., 22, 1166-1168 (1954); R. L. SAXTON y H. G. DRICKAMER, ibid, 1287-1288; L. J. TICHACEK , W. S. KMAK y H. G. DRICKAMER , J. Phys. Chem., 60, 660-665 (1956). bTomadosde las Tablas de J. 0. HIRSCHFELDER, C. F. CURTISS y R. B. BIRD , Molecular Theory of Gases and Liquids, Wiley, Nueva York (1954), 8 8.4. La comparación de estas dos ecuaciones indica que DA, y aAB son idénticas para soluciones ideales (es decir, actividad proporcional a la fracción molar). Para sistemas no ideales puede utilizarse cualquiera de las dos D,, o aAB y la correspondiente ecuación anterior. En general, los investigadores dan los coeficientes de difusión como gAB, ya que esto no requiere datos de actividad-concentración. Los datos existentes indican, no obstante, que en fase líquida DA, varía menos con la concentración que 9 AB. (Véase Fig. 18.4-2.) Difusión ordinaria en mezclas gaseosas de varios componentes a baja densidad Para una mezcla de gases ideales, la Ec. 18.4-8 se convierte en ji = f iM,M,D,,Vx, p i=l i= 1,2;**,n (18.4-18) Para una mezcla gaseosa ideal de n componentes se conoce la relacih existente entre D, (la difusividad de la pareja i-j en una mezcla de varios componentes) y Qii 7 C. F. CURTISS y J. 0. HIRSCHFELDER, J. Chem. PIzys., 17, 550-555 (1949). Para un sistema de tres componentes las relaciones son de la forma (18.~18u) y análogas relaciones para D,,, D23, 0,~ y 4,. TRANSPORTE DE MATERIA 1 8 -1 8 q (la difusividad de la pareja i-j en una mezcla binaria)‘. Puesto que las difusividades Dij dependen de la concentración, no es conveniente utilizar la Ec. 18.4-18. Curtiss y Hirschfelder demostraron que la Ec. 18.4-18 puede «volverse del revés» para dar (18.4-19) VXi Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de Befan-Maxwell.8 Obsérvese que aquí interviene ZBij en vez de D,, y que las difusividades SB,j son virtualmente indepen- “oO l Fracción molar de 6ter 40 Fig. 18.4-2. Efecto de la actividad sobre el producto de la difusividad y la viscosidad de las mezclas líquidas de cloroformo y Qter. [Tomada de R. E. POWELL, W. L. RCSEVEARE y IIENRY EYRING, bd. Eng. Chem., 33, 430-435 (1941)]. dientes de la composición. (Véase Ec. 16.4-13.) Esta ecuación es el punto de partida habitual para los cálculos de difusión ordinaria en mezclas gaseosas de varios componentes. (Véase el ejemplo 18.5-5.) Para algunos cálculos, así como para ciertas correlaciones, es conveniente des La serie anhloga de ecuaciones, incluyendo difusión de presión, t&mica y forzada, han sido obtenidas tambi6n por CURTISS y HIRSCHFELDER (loc. cit.); vease tambi6n J. 0. HIRSCHFJILDER, C. F. CURTISS, y R. B. BIRD, Molecular Theory of Gases and Liquids, Wiley, Nueva York (1954), Ec. 11.2-54, p, 718. LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN +zq 18-19 linirg una difusividad binaria efectiva gim para la difusión de i en una mezcla. Recuérdese que QdB se ha definido mediante la expresión NA = -CQABVX, + xA(NA + NB) (18.420) y gi,,, se define mediante esta relación análoga: Ni = -&imVxi + xi $ Ni 5=1 (18.4-21) DespejandoVz, de la Ec. 18.4-21 e igualando el resultado a Vx, de las ecuaciones de Stefan-Maxwel!, se llega a (18.4-22) En general, las difusividades gi,,, varían con la posición. En los casos en los que esta variación es de poca importancia, se pueden generalizar las fórmulas de la difusión binaria y las correlaciones del coeficiente de transferencia de materia reemplazando simplemente .ZPAB por ai,. Para algunos tipos especiales de sistemas de difusión, esta formula de Brm (Ec. 18. 4-22) resulta especialmente ‘sencilla: a. Para trazas de los componentes 2,3, . . ..n. en la especie 1 prácticamente pura, q, = .9fl b. (18.4-23) Para sistemas en los que todas las difusividades CBi, son identicas (18.4-24) % = %3 c . Para sistemas en los que los componentes 2,3, . . . n, se mueven con la misma velocidad (o están inmoviles), , 1- ‘“2, - -&iXl 9 lm (18.4-25) 11 Se ha visto que en los sistemas que presentan una considerable variación de gi,,,, resulta útil admitir una variación lineal con la composición o la distancian’. Parece ser que la aplicación de gi,,, a la resolución de problemas de varios componentes conduce a resultados bastante buenos para el cálculo de velocidades de transferencia - - 9 El uso sistemtitico de una difusividad binaria efectiva ha sido sugerido por primera vez por 0. A. HOUGEN y K. M. WATSON, Chcmicul Process PrincipIes, val. III, Wiley, Nueva York (1947), pp. 977-979. Metodos para la evaluación de gil. en casos especiales han sido desarrollados por C. R. WILKE, Chcm. Eng. Prog., 46,95-104 (1950) y W. E. ST EWART, NACA Tech. Note 3208 (1954). 10 H. W. Hsu y R. B. BIRD, A. 1. Ch. E. gkurnal (en prensa). 18-20 TRANSPORTE DE MATERIA de materia< pero la.descripción cuantitativa de los perfiles de concentración es menos satisfactoria. Al substituir las expresiones que se dan en esta sección para las densidades de flujo en las ecuaciones de variación de Q 18.3, se obtienen las ecuaciones generales entre derivadas parciales que describen el flujo de una mezcla fluida de varios componentes cuando tiene lugar transmisión de calor, transferencia de materia, y reacciones químicas. Por supuesto que la palabra «general» ha de utilizarse siempre con ciertas reservas, ya que con frecuencia es posible considerar casos «más generales». A este respecto, se nos viene a la memoria el tema de la magnetohidrodindmica; las ecuaciones que describen las mezclas fluidas de varios componentes con intervención de efectos electromagnéticos, ‘son las ecuaciones de variación y las ecuaciones de la teoría electromagnética de Maxwell. Este tema tiene interés en relación con fenómenos astrofísicos, comportamiento de gases ionizados y chorros de plasma*tsr*. Otro campo que no abarcan nuestras ecuaciones es el de la mecdnica relativista de fluidos, en la que se consideran los efectos relativistas, que so n importantes cuando la velocidad del fluido se aproxima a la de la luz.13 0 18.5 UTILIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA EL PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS. DE DIFUSIÓN Todos los problemas del Capítulo -17, y también otros más complejos, pueden plantearse directamente mediante las ecuaciones diferenciales de este capítulo. Vamos a considerar, en forma de ejemplo& la transmisión combinada de calor y materia, la difusión térmica, de presion, y forzada, y la difusión ordinaria en un sistema de tres componentes. Ejemplo 18.5-1. Translerencia simulthnea de calor y materia Desarrollar expresiones para el pertil de concentración x&) y el perfil de temperatura T(z) para el sistema representado en la Fig. 18.5 - 1, cuando se conocen las concentraciones y temperaturas en ambos extremos de la película (z = 0, z = 6). En este problema, un vapor condensable caliente, A, difunde en estado estacionario a través de una película estancada de un gas no condensable, B, hacia una superficie fila situada en z = 0, en la que condensa A. Supóngase que el gas se comporta como ideal y que la presión y las propiedades físicas de la mezcla son constantes*. Despreciese la transmisión de calor por radiación y la difu- sión térmica. Solucih. Para hallar los resultados que se desean es preciso resolver las ecuaciones de continuidad y energla para este sistema. Dichas ecuaciones, de acuerdo con las Ecs. 18.3 -10 y 12, pueden escribirse de la siguiente forma: 11 Wasc T . G. COWLING, Magnetohydrodynamics, Interseienee, 12 L. SPITZER, Jr., Physics of Fully lonized Gases, Interscienee. 13 L. D. L ANDAU y E. M. LIFSHITZ, Myekhanika Sploshnikh Sred, pp. 606-616. 1 El sencillo modelo descrito aquí se utiliza con frecuencia en $0 21.5, 6, 7 se discuten modelos m&s generales. Nueva York (1957). Nueva York (1956). Moscú (1954). capítul los cálculos psicrombricos. J XV, En LAS ECUACIONES (continuidad de A) DE dN.4, -= dz 18-21 VARIACIÓN (18.5-1) 0 de, -E dz ’ (energía) (18.5-2) , Por consiguiente, tanto NAz como e, son constantes a trav& de la pelicula. . ..- J Tr T. ‘A = xAO J I _ Direcci6n j T= Td ‘A = *A6 de movimiento A Fig. 18.5-1. Condensación de un vapor caliente A sobre una superficie fría en presencia de u11 gas condensable B. Para determinar el perfil de concentración se necesita la densidad de flujo de materia para la difusión de A a trav6s de B estancado: (1.8.5-3) Introduciendo la Ec. 18.5-3 en la Ec. 18.5-1 e integrando, se obtienen los perfiles concentración de (18.54 18-22 “+ TRANSPORTE DE MATERIA Este resultado se ha obtenido en # 17.2 para el problema isotermico. densidad de flujo constante NAZ es Igual que antes, la Obdrvese que en la Fig. 18.5-1, NAs es negativo debido a que A está condensando. Las dos últimas expresiones pueden combinarse para poner en otra forma los perfiles de concentración : 2.4 - 210 l- exp KNA./c~ABM (18.56) xA d - xAO = 1 - exp [WJC~ABM Para determinar el perfil de temperatura se utiliza la densidad de flujo de energía de la Fc. 18.4-6 para un gas ideal: siendo T. la temperatura de referencia elegida para la entalpia. Introduciendo esta expresión de e, en la Ec. 18.5-2 e integrando entre los limites T = Te para z = 0 y T = Td para z = S, se obtiene T - T , , l-exp W&&)~l -I Td - T, 1 - exp I(NA&&)fil (18.5-8) Como puede verse, el perfil de temperatura para este sistema no.ds, lineal, excepto para el caso límite en el que N,&,Jk +O. Observese la semejanza entre las Ecs. 18.5 -6 y 8. La densidad de flujo de energía por conducción en la pared es mayor que en ausencia de transferencia de materia. Según esto, poniendo un cero elevado para indicar las condiciones correspondientes a la ausencia de transferencia de materia, se puede escribir -kW/&,,, -k(drl&Lo - W&t,,/k)8 = 1 - exp [(NAz&/k)6] (18.5-9) Resulta, por consiguiente, que la velocidad de transmisi&r de calor está directamente afectada por la transferencia simultanea de materia, mientras que (si se desprecia la difusión térmica) la densidad de flujo de materia no se afecta directamente por la transferencia simultánea de calor. En muchas aplicaciones, por ejemplo, en la mayoría de los problemas psicromttricos, NAr&fk es pequeño, y el segundo miembro de la Ec. 18.5-9 es muy aproximadamente igual a la unidad. (Vease el problema 18.A). En el Capitulo 21 se estudian las relaciones entre transmisión de calor y materia. Ejemplo 18.5-2. Difusión tbnica Consideremos dos recipientes unidos por un tubo termicamente aislado de pequeño diametro, y llenos de una mezcla de gases ideales A y B, tal como se indica en la Fig. 18.5 -2. LAS ECUACIONES DE VARIACldN 18-23 Los recipientes se mantienen a las temperaturas constantes Tl y T2, respectivamente, y el diámetro del tubo es suficientemente pequeño para eliminar substancialmente las corrientes de convección. Desarrollar una expresión para la diferencia de composición de los dos recipientes en estado estacionario. Solución. De acuerdo con la Ec. 18.4-15, el gradiente de temperatura existente en el sistema dará lugar a una densidad de flujo de materia que vendrá dada por Esta densidad de flujo de materia tiende a establecer un gradiente de concentración, que a su vez da lugar a una densidad de flujo opuesta: (18.5-11) Una vez alcanzado el estado estacionario no existirá densidad de flujo neto de materia, y por 10 tanto Esta re c ipie nte sc m a ntie ne Este re c ipie nte q sc m o ntic ne a Fig. 18.5-2. Difusion térmica binaria en estado estacionario en un aparato de dos recipientes. La mezcla de los gases A y B tiende a separarse debido al gradiente tbmico. Cuando kT es positivo, el componente A se mueve hacia la región fría, y hacia la caliente si es negativo. La EC. 18.5-12 puede escribirse así &A -= dz k, dT - T dz (18.5-13) El grado de separación en un aparato del tipo que estamos considerando es, en general, pequeño. Por 10 tanto, puede despreciarse el efecto de la composición sobre kT, e integrar la Ec. 18.5 - 13 para obtener xA2 -zAI =- T* k, TdT sTl (18.5-14) la-24 “% TRANSPORTE DE MATERIA Como la variación de kT con la temperatura es más complicada, se acostumbra a tomar kT canstante para un valor medio de la temperatura T,,,. Integrando la Ec. 18.5 - 14 se obtiene xA2 - x A l = -k,ln- Tl (18.5-15) La temperatura media T,,, que se recomienda es* T,,, = (18.5-16) La Ec. 18.5- 15 es útil para estimar el orden de magnitud de los efectos de la difusión térmica. Ejemplo 18.5-3. Difusión de presitb Una solución líquida binaria está colocada en un tubo cilíndrico de unacentrífuga de muy elevada velocidad, tal como se indica en la Fig. 18.5-3. Puede considerarse que la longitud L del tubo es pequeña con respecto al radio de rotación Ro, y que la densidad de la Solución es una función exclusiva de la composición. Determinar la distribución de los dos componentes de la mezcla, una vez alcanzado el estado estacionario, en función de sus volúmenes parciales molares, la posición en el tubo, y el gradiente de presión dpjdz = - pg, -2 _ - p@R,, siendo 9 la velocidad angular de la centrífuga. Despréciense las variaciones de los volúmenes parciales molares con la composición, y supóngase que los coeficientes de actividad son constantes para el intervalo de composicionep existentes en el tubo. Fig. 1 8 . 5 - 3 . Difusión de presibn en estado estacionario en una centrífuga. La mezcla de A y B tiende a separarse en virtud del gradiente de presión que se establece en la centrífuga. 2 H. BR O WN, Phys. Rev., SS, 661-662 (1940). LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN 18-25 Solución. En el estado estacionario la densidad de flujo neto de materia jAi es cero, y la Ec. 18.4 - 15 puede escribirse así &Inz, I - g (MA - p9J ( > Esta expresións, que puede obtenerse también por consideraciones termodinámicas, se integra para obtener (18.5-18) La Ec. 18.5-18 describe la distribución de concentración en estado estacionario para un sistema binario en un campo centrífugo constante. Ejemplo 18.5-4. Difusión forzada Una solución acuosa inmóvil de una sal MX está situada entre dos láminas planas paralelas del metal M, tal como se indica en la Fig. 18.5 -4. Se hace circular una corriente continua entre las laminas en condiciones tales que las únicas reacciones de electrodo son la disolución del ánodo y la deposición de M sobre el catodo. Estimar el perfil de concentración de MX en la solución y la densidad de corriente máxima posible. Supóngase que la solución es muy diluida y despreciense las variaciones de la temperatura y ‘de las propiedades físicas. Solución. Puede considerarse que la solucibn existente en este aparato es una mezcla ternaria de agua y las dos especies iónicas M+ y X-. De acuerdo con las reacciones del electrodo se observa que N,+,el valor de la densidad de flujo molar de M+ , es proporcional a la densidad de corriente en la c&la, y que las densidades de Rujo de X- y del agua son cero. Por otra parte, las concentraciones molares locales de M+ y X- han de ser siempre iguales debido a la necesidad de neutralidad ektrica. Finalmente, puesto que la solucion es diluida, podemos considerar que las densidades de flujo Ni y Ji* son iguales. De acuerdo con esto se puede escribii *k=) I = NAi+ f JJl+ 0 = Nx - & + J-y-“’ + J$, J$?’ (18.5-19) (18.5-20) Siendo Z la densidad de corriente en la solución, expresada en equivalentes por unidad de área y tiempo. Para expresar las Ecs. 18.5-19 y 20 en funcion de los coeficientes de transporte, hay que hacer algunas otras suposiciones. Supongamos en primer lugar que los iones M+ y X- están en tan pequeña concentración que no se produce un efecto apreciable entre ellos. Consideremos tambien que cada ión difunde como si se tratase de un sistema binario en el que el agua es el otro componente. Supongamos, finalmente, que los coefi3 Para los detalles de esta integración véase el problema 18.1. Una deducción de la F.c. 18.5 - 17 mediante consideraciones termodin8micas puede verse en E. A. GUGGENHEIM, Thermodynamics, North Holland Publishing Co., Amsterdam (1950), pp. 356360. Observese, sin embargo, que el resultado de GUGGENHEIM es incorrecto debido a un error algebraico en la tercera línea de la Ec. 1 1 .1 0 -3 . 18-26 ies % TRANSPORTE DE MATERIA tientes de actividad de los iones son iguales a la unidad. Por consiguiente, dci = RTdlm;, y par+ los iones g;, =(ci/mi)(-dq5/dz). Siendo 4 el potencial electrostático local, Ei la Movimiento de e----------------_- -------_-_ - -- -- -- -- -- _- -- - ----------_- -- -- ---------_ t k! i TM+ - - * - - - I - - - I - XL Xmed XO 0 L L Fig. 18. 5-4. Polarizacih de concentración. carga iónica, y Illi la masa iónica. Por consiguiente, podemos escribir la Fx. 18.4-15 para la difusión de la especie i a través del agua (w), de la siguiente forma dxi xi<i d4 Jií* = -CQiw z + KT ;7~ (18.5-21) Substituyendo la Ec. 18.5-21 en las Ecs. 18.5-19 y 20, se obtiene (18.5-22) (18.5-23) Teniendo en cuenta que las fracciones molares de los dos iones son iguales, se. puede eliminar el gradiente de potencial entre las dos ecuaciones: d3cdl+ z, = -2coBf+‘ -&- (18.5-24) LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN Como para disoluciones isotkmicas diluidas c3+M+W se puede integrar la Ec. 18.5-24 para obtener x&p - x(J 2 = - 4 18-27 es, aproximadamente, constante, - 2co&f+, (18.5-25) siendo xe la fracción molar de M+ en el catodo. Se encuentra por lo tanto que el gradiente de concentración en la dlula es lineal. La densidad máxima de corriente se alcanza cuando la concentración de sal en el cátodo es cero; 0 sea Las Ecs. 18.5-25 y 26 proporcionan una buena descripción cualitativa de la «polarización de concentración», si bien su aplicación cuantitativa se limita a sistemas muy diluidos. Por ejemplo, la Ec. 18.5-26 indica que en un baño de galvanoplastia existe un límite de la velocidad a la que puede depositarse el metal. De igual forma, la difusión del electrolito en una pila limita la velocidad a la que se puede sacar corriente. Ejemplo 18.5-5. Difusión ordinaria en un sistema de tres componentes con reaccidn quimica heterog&a4 Un gas A, difunde en estado estacionario en la dirección z a travks de una película estancada de B hacia una superficie catalítica (vkase Fig. 18.5 -5), en la que tiene lugar la siguiente reacción irreversible : (18.5-27) nA +A, En la superficie catalftica, la ecuacion A se elimina con una velocidad que puede expresarse mediante NA = kh”xAh para z = d (18.5-28) siendo k,,” y h constantes que se suponen conocidas. Desarrollar una expresibn para la velocidad de reacción en función de la composición del gas en z = 0. Supóngase que la presión y la temperatura son constantes y que el gas se comporta como ideal. Solución. De acuerdo con la estequiometría delproblema,esnecesarioque Las ecuaciones de Stefan-Maxwell para A y B son - 1 &A- = vAmB d[ xA + @A, - rBbB - ‘An 1 &B --x ‘A,B 4 H. .W. dr Hsu y R. B. BIRD, A. 1. Ch. E. Joumal (1960). NAz = - nNA,,z. (18.5-29) TRANSPORTE DE MATERIA lfM8 *= 0 ‘1 Fig. 18.54. *= 6 Difusión de A a travks de B estancado para formar A, en una superficie catalítica. siendo v~,~ = NAZ%~A,B, r B = aA,B/9AB, *A, = 9AnB/9AA,y 5 = z/S. Estas ecuaciones pueden integrarse con las wndtcrones limite de que xA =xAo y xB = xBO para c =O. Integrando primeramente la Ec. 18.5-30, se obtiene (18.5-31) XB = “~0 exp (RvA,&) siendo R = rB - (l/n). Substituyendo esta expresión en la Ec. 18.5 -29 e integrando la ecuación diferencial lineal de primer orden que resulta, se llega a xA = (xAO - N-’ + M-‘xBo) exp (N~A~vA,J&) + N-l - M-~XBO exp (Rv.&) (18.5-32) En esta expresión, N = (1 - n-l) y M = 1 - n-i[(l - rd,)/(re - r”,)]. Finalmente, utilizando las Ecs. 18.5 -28 y 32 se obtiene la relación deseadas para la velocidad adimensional de reacción vAIU, que corresponde a la siguiente ecuación: h “A,B K J- = (XAO - N-’ + Melz& exp (NrA,vA,J +N-‘- M-~Bo exp (RvA~B) (18.5-33) en la que K = kk” b/~g~,~. Es decir, que la Ec. 18.5-33 expresa vAIIB como una función implícita de K, n, r& rAn, xAo y xBw 0 18.6 ANALISIS DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA UNA MEZCLA ISOTÉRMICA DE DOS FLUIDOS En lo que va de este capítulo hemos considerado las ecuaciones de variación para una mezcla de fluidos, y en $18.5 hemos visto algunos ejemplos sobre la forma 5 Para los casos especiales, n = 1, fAn = r, y (nr8 - 1) = mm (n - l), vkase Hsu y BIRD, op. cit. LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN 18-29 de plantear y resolver problemas de difusión. A continuación vamos a considerar el análisis dimensional de las ecuaciones de variación para una mezcla isotérmica de dos fluidos cuya viscosidad p y difusividad .QjAB son constantes. Supondremos, además, que el intervalo de composición es suficientemente pequeño, de forma que tanto la densidad p como la densidad molar c son esencialmente constantes. Teniendo en cuenta estas restricciones, escribimos las ecuaciones de variación en esta forma (continuidad) (18.6-2) (continuidad de A) Dtr (movimiento) PDt = #UV% + -VP + Pl? -P&(xA - Za,,) libre forzada (18.6-3) siendo xAO una cierta concentr¿+ción de refeiencia. La Ec. 18.6-2 se obtiene a partir de la Ec.18.1-17cuando R, = 0, y p, c, y gAB son constantes. La Ec. 18.6-3 corresponde a la ecuación de movimiento expresada para considerar los términos de convección libre o de convección forzada. Vamos a considerar en primer lugar la conveccidn forz@&z, para lo cual es conveniente dehir las variables reducidas de igual forma que en 6 10.6: v* = 0 = velocidad adimensional V P *-P-Po - - = presión adimensional (18.6-4) (18.6-5) PP Vt t*=-= D tiempo adimensional (18.6-6) - xAO = concentración adimensional (18.6-7) XAl - xAO en las que V, D y x,, - xA,,, son, respectivamente, una velocidad, una dimensión liueal, y una diferencia de concentración, características del sistema. Las ecuaciones de variación pueden ponerse ya en forma adimensional multiplicando la Ec. 18.6- 1 por D/V, la EC. 18.6-2 por D/V(x,, - x,,,,), y la Ec. 18.6-3 por D/pV*: XA *= xA (continuidad) (continuidad de A) (movimiento) (v* - v*) = 0 (18.6-8) Dx~* 1 voz att -=Dt* Re Sc xA (18.6-9) Dv* = -v*p* + Dt* (18.6-10) 18-30 TRANSPORTE DE MATERIA Los grupos adimensionales que intervienen son el número de Froude, Fr = V2/gD, el número de Reynolds, Re = DVp/,u, y el número de Schmidt, Sc =~/pC2A.rll=v/í/AIB. Para la transferencia isotérmica de materia el número de Schmidt juega un papel análogo al del número de Prandtl en la transmisión de calor. Para la convección libre se procede de forma análoga que en 9 10.6. Se define una velocidad y un tiempo reducidos como en las Ecs. 10.6-14 y 15, y multiplicando la Ec. 18.6-1 por Dzp/,u, la Ec. 18.6-2 por pD2/,u(x,, - xA,,), y la Ec. 18.6-3 por D 3pl$, se obtienen las ecuaciones de variación expresadas en la siguiente forma : (continuidad) (v* - v **) = 0 (continuidad de A) (movimiento) (18.6-11) (18.6-12) Dv** -= v*5p* - 5 A* G-m l-? Dt** g (18.6-13) siendo Gr,, = p2CgDJ(x,, - xAO)/$ el numero de Grashof para la transferencia de materia. Como se ve, Gr,, difiere de Gr solamente en que en el Gr,, interviene tcx.41 - xAo) en vez de p(Tr - Te) en el Gr. En el Capítulo 21 se utilizan los grupos Sc y Gr,, en la correlación de los coeficientes de transferencia de materia. Obsérvese que el tratamiento anterior es completamente análogo al que se ha seguido para la transmisión de calor, y que, a excepción de la función de disipación, las correspondientes ecuaciones de las dos secciones son las mismas. Por consiguiente, es de esperar que existan numerosas analogías íntimas entre transferencia de calor y materia. Sin embargo, la amplitud y limitaciones de estas analogías no pueden conocerse totalmente sin examinar las condiciones límite de v, T y xA. Será muy provechoso para el estudiante que trate de encontrar estas analogías (así como otras existentes entre estos dos procesos de transferencia) en los restantes capítulos del libro. Ejemplo 18.6- 1. Mezcla de fluidos miscibles Desarrollar, por los metodos del análisis dimensional, la forma general de una correlación del tiempo que se requiere para mezclar dos fluidos miscibles en un tanque agitado. Supongase que los dos fluidos y sus mezclas poseen esencialmente las mismas propiedades físicas. Solución. Supondremos que el logro de </iguales grados de mezcla» en dos operaciones cualesquiera indica que se alcanza el mismo modelo de concentración reducida en cada una de ellas; es decir, que el perfil de concentración de un componente cualquiera A XA = xA(r*, 8, z*) LAS ECUACIONES DE VA RlACIbN 18-31 es el mismo. En esta expresión, r* y z* son las variables reducidas de posición, r/D y z/D, respectivamente, siendo D el diámetro del agitador. Es conveniente definir también el tiempo, velocidad y presión reducidos, como tN, r/ND y P/pN2D2,respectivamente, s i e n d o N la velocidad de rotación del agitador, en revoluciones por unidad de tiempo, yp la densidad del fluido. De acuerdo con las Ecs. 18.6-9 y 10 se observa que xA(r*, 0, z*) depende de t*, Re, Sc, Fr, de la geometría, y de las condiciones iniciales y límite. Siendo Re = D2Np/p, Sc = lulp9,B, y Fr = DN2/g. De entre las condiciones iniciales son importantes las cantidades relativas de los dos fluidos, la forma en que se han introducido en el tanque, y los modelos de flujo al iniciarse la mezcla. Frecuentemente puede reducirse con posterioridad el número de grupos adimensionales independientes. Tal es el caso, por ejemplo, si experimentalmente se ha observado que no se forman vórtices de importancia cuando el tanque está provisto de placas deflectorasr ; es decir, que la superficie del fluido es realmente plana. En estas condiciones, o en ausencia de una superficie libre del fluido, las fuerzas gravitacionales, y por lo tanto el número de Froude, carecen de importancia. Para valores elevados del número de Reynolds, tanto Re como Sc pueden despreciarse también2, de forma que .x,(r*, 0, z*) depende solamente de t *; es decir, que el tiempo reducido de mezcla es constante para un cierto grado de mezcla. En otras palabras, que el número de revoluciones del agitador que son necesarias para producir un determinado grado de mezcla es fijo. Para la mayor parte de los agitadores de uso más frecuente, este caso se presenta para Re mayor que 104 a 2 x 104. Para menores valores de Re, el número de Reynolds ejerce un marcado efecto. Este comportamiento ha sido comprobado por numerosos investigadores.3 CUESTIONES PARA DISCUTIR 1. Discútase la posible aplicación de las ecuaciones de variación desarrolladas en los capítulos 3 y 10 para describir sistemas de más de una especie química. 1 Un eficaz sistema de placas deflectoras frecuentemente utilizado en tanques cilíndricos verticales con agitadores dispuestos radialmente, consiste en montar cuatro placas igualmente espaciadas situadas sobre la superficie interior y dirigidas hacia el eje del tanque, ocupando por lo menos una quinta parte del radio. z Esta independencia del tiempo de mezcla con respecto al número de Reynolds puede preverse intuitivamente teniendo en cuenta que para elevados valores de Re el termino (V**c*)/Re d e l a Ec. 18.6- 10 es pequen0 en comparación con los términos de aceleracibn. Sin embargo, estos argumentos de tipo intuitivo pueden conducir a error, y el efecto del Re es siempre importante en la inmediata proximidad de superficies sólidas. En este caso el efecto de mezcla que tiene lugar en las inmediaciones de las superficies sólidas es pequen0 y se puede despreciar. Para una discusión mas completa del efecto del número de Reynolds, véase H. S C H L I C H T I N G , Boundury Layer Theory, Mc Graw-Hill, Nueva York (1955), capitulo 4. La independencia del tiempo de mezcla respecto del número de Schmidt puede apreciarse mejor a partir de la ecuacion de continuidad de tiempo ajustado del capítulo 20. A elevados números de Reynolds la densidad de flujo turbulento de materia es mucho mayor que la debida a la difusibn molecular, excepto en las inmediaciones de las superficies sólidas. 3 E. A. Fox y V. E. GEX, A. 1. Ch. E. Journal, 2, 539-544 (1956); H. KRAMERS, G. M. BAARS y W. H. KNOLL, C’hem. Eng. Sri., 2, 35-42 (1955); J. G. VAN DE VUELE, Ches. Eng. S-i., 4, 178-200, 209-220 (1955). 18-32 TRANSPORTE DE MATERIA 2. Cuando la concentraci6n del componente A de una mezcla binaria se hace muy pequefia, p y c son, prácticamente, constantes; por consiguiente, ambas Ecs. 18.1-17 y 19 son válidas. La comparación de estas dos ecuaciones sugiere que t > = u*. iEs cierto esto? 3. iCuándo (V. u*) es igual a cero? 4. i,Es adecuada la definición de q del Capítulo 8 para describir la transferencia de calor y materia en sistemas de interdifusión de pares de isótopos? LDe isómeros geométricos ? De is6meros ópticos? 5. i,Que significa el t6rmino X,RJ‘? 6. iCuales son la primera y segunda leyes de Fìck? iEn qué circunstancias son aplicables? 7. Demostrar que la difusi6n forzada no puede tener lugar cuando actúa sobre todas las especies la misma fuerza externa por unidad de masa. 8. Definir el coeficiente de Soret. iCuáles s o n s u s u n i d a d e s ? 9. iPor que el tubo de conexión de la Fig. 18.5-2 tiene que ser de pequen0 diametro? iEs necesario que est6 aislado? 10. La relación de volúmenes específicos parciales del PbNOs y el agua es mayor que la relación correspondiente para la albúmina de huevo y el agua. Sin embargo, es mas dificil de separar por ultracentrifugación el primer sistema que el segundo. ¿Por que? ll. iQu6 le sucede al agua en el ejemplo 18.5 -4? 12. En los sistemas de difusión gaseosa el aire se considera generalmente como un solo componente. iEs esto racional? 13. Un gas i difunde a través de una mezcla de isótopos pesados. iCuando puede considerarse este sistema como binario? 14. Comparar los efectos de la transferencia de materia sobre la transmisión simultánea de calor, con los de la transmisión de calor sobre la transferencia simultánea de materia. 15. Comprobar las gAB y Dll utilizadas en este capítulo. 16. iCuáles son los números analogos al Grashof y Prandtl para la transferencia de materia? 17. ¿En que aspectos son análogas las transmisiones de calor y materia y en qué otros difieren? 18. iPor qu6 el segundo miembro de la Ec. 18.5-9 es mayor que la unidad? 19. iHasta qu6 punto difieren la difusión forrada y la de presión? PROBLEMAS 18.A, Deshumkii6caci6n de aire Consideremos un sistema como el representado en la Fig. 18.5-1, en el que el vapor es Ha0 y el gas estancado es aire. Supónganse las siguientes condiciones (que son representativas en acondicionamiento de aire): (i) para z = 6, T = 26,7 OC, y z x2,-, = 0,018; (ii) para z = 0, T = 10.0 OC. a. Calcular la relación (18.A-1) de la Ec. 18.5-9, para p = 1 atm. 6. Comparar qcc)y qld’para z = 0. iCuál es el significado de su respuesta? Respuesta: a. 1,004 lS.B, Diusi6n t6rmiea u. Estimar la separación de Ha y D2 que en estado estacionario se consigue en el sencillo aparato de difusión t&mica que se indica en la Fig. 18.5 -2 bajo las siguientes condiciones: Tl es 2OOOK, T, es 600 OK, la fracción molar de deuterio en la carga es O,lO, y la k= media efectiva es 0,0166. 6. i,A qu6 temperatura ha debido de evaluarse esta kr media? Respuestas: a. zHr es 0,0183 superior en el recipiente más frío. 6. 330 OK. LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN 18.C, Ultracentrifugaci6n 18-33 d e proteinas Estimar el perfil de concentracibn en estado estacionario cuando una solución típica de aibúmina se somete a un campo centrífugo de 50.000 veces la aceleración de la gravedad, en las siguientes condiciones: Longitud del tubo = 1,O cm. Peso molecular de la albúmina = 45.000 Densidad aparente de la albúmina en soluci6n = MA/ P, = 1,34 g/cm3 Fracción molar de la albúmina en z = 0, x.,, = 5 x 10-6 Densidad aparente del agua en la solución = 1,OO g/cm3 Temperatura = 23.9O C Respuesta: zA = 5 x 10-6 exp (- 22,7z); z esth en cm. 18.D1 Polarlzachh de electrodo La difusividad efectiva de Ag+ en soluciones acuosas diluidas a 20 OC es, aproximadamente, lo-5 cmzseg-1. Estimar la densidad límite de corriente en amperios/cmzpara el aparato que se indica en la Fig. 18.5 -4, si la solución es decinormal, cuando no se aplica ningún voltaje y el espesor de la solución es 0,lO cm. Respuesta: 3,86 x 10-3 amperios/cm* 18.E, Difusivldedes binarias efectivas en mm mezcla gaseosa de varios componentes Calcular c%,, para cada una de las especies en la hidrogenación catalítica superficial en fase gaseosa de benceno, suponiendo que ~510 tiene lugar la siguiente rea&&: CsH, + 3H2 + ciclo - C6H12 (18.E-1) El cálculo se realiza para un punto del reactor, próximo a la superfkie catalitica, donde las condiciones son: T = 5W K, p = 10 atm, x,(CsH,) = O,lO, x,(H,) =0,80, xa(CbH,z) =O,OS, xq(CH4) = 0,OS. E l CH4 no reacciona en este sistema, Las cStl binarias, expresadas en g-mol cm-1 seg-*, son eB12 = cg2, = 24,2 x lo-6 ca,, = cra31 = 1,95 x 10-6 cg14 = cg4, = 6,21 x 10-6 cg2s = ~.t2~, = 20,7 x lo-6 ca2, = cg42 = 41,3 x lo-6 cg34 = ca,, = 5.45 x 10-6 Respuesta: Componentes: CSL g-mal c m - t seg-t x 106: C6H6 H2 6,63 20,8 C6H12 8,71 -4 60 18.F, P lanteamiento de problemas de difusión Demostrar cómo se pueden utilizar las ecuaciones generales del Capítulo 18 para plantear los siguientes problemas del Capítulo 17: (i) 17.D; (ii) 17.E; (iii) 17.F; (iv) 17.G; (v) 17.H; (vi) 17.J; (vii) 17.K; (viii) 17.L. 18-34 ‘.w % TRANSPORTE DE MATERIA 18.G, Otras formas de la ecuación de continuidad Demostrar que la Ec. 18.1-6 puede expresarse de estas dos formas: u. 2 + (V . pAr) + (V .j,> = rA b. % + (V . cAu*) + (V *J”*) = R, Discútase el significado físico de cada uno de los términos de estas ecuaciones. 18.H, Simplificación de las expresiones de la densidad de flujo de materia en sistemas de varios componentes para su utilizacih en un sistema binario Demostrar que las Ecs. 18.4-7 a ll pueden combinarse con el fin de obtener la Ec. 18.4-14 para el caso especial de una mezcla binalia. (Probablemente será conveniente tener en cuenta la relación jA + jB = 0.) 18. 1, D ifusión de presión a. Combinar la Ec. 18.5 - 17 con la ecuación análoga para la especie B, con el fin de obtener (18.1-1) Integrar esta expresión para obtener la Ec. 18.5-18. b. Ampliar el ejemplo 18.5 -3 para el caso de que L no pueda cónsiderarse pequeño con respecto a &. Observese que en este caso dp/dr = PR+, siendo r la distancia medida desde el eje de rotación de la centrífuga. c. Simplificar la Ec. 18.5 -18 para el caso de que la fracción molar de un componente sea despreciable. (Véase el Problema 18.C.) 18.J2 Movilidad a. Estimar la fuerza total necesaria para mover un equivalente de iones plata a traves de una solución con una velocidad de 1 cm seg-* a 25 ‘XT, si la difusividad de la plata en la solucion es de lo-5 cm* seg-1. b. Es evidente que para mover especies no cargadas se requieren fuerzas del mismo orden. LDe dónde proviene la fuerza motriz para estos materiales en la difusión ordinaria? Respuesta: n. 2,53 x 109 kilogramos fuerza. 18.Ks Difusión binaria y ternaria en aire En la evaluación de las propiedades de transporte A aire se considera convencionalmente como un solo componente. .Así, los datos de viscosidad del aire a baja temperatura se han ajustado perfectamente utilizando la fórmula de la viscosidad de gases monoatomicos (Ec. 1.4:18), con 10s siguientes parámetros de Lennard-Jones: u = 3,617 A, c = 97,0 OK K mientras que para el 02 u = 3,433 A, 5 = 113,O OK y para el Nz CT =;,681 A , 5 = 91,5 OK K K LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN 18-35 a. Calcular cgns para la difusión de metano en aire a 300 OK, considerado como un único componente cuyos parámetros de Lennard-Jones son los que se han indicado anteriormente. b. Calcular cSAn para la difusión de metano en aire a 300 OK, considerando el aire como una mezcla de 21 moles por ciento de oxígeno y 79 moles por ciento de nitr6geno. Admítase que el nitrógeno y el oxígeno se mueven con la misma velocidad. Obdrvese que los dos metodos concuerdan satisfactoriamente, como generalmente es de esperar. En los casos en que las concentraciones relativas o las densidades de flujo de nitrógeno y oxígeno varían notablemente deben tratarse como comp nentes separados. 18.L, Diiusividad en una solución acuosa de ullb. sola sal Cuando una sal única (M’+).(X”-), difunde a través de agua en ausencia de corriente electrica, las densidades de flujo molares Ji* de las dos especies iónicas están relacionadas entre si debido al requerimiento de neutralidad electrica. Demostrar, m:diante un procedimiento análogo al utilizado en el ejemplo 18.5-4, que, para la disoluci6n diluida, puede utilizarse este requerimiento para hallar la siguiente relación entre la difusividad de la sal en agua, S,,,,, y las difusividades del anión y del cati6n, 9, y kdul, respectivamente: Este resultado fue obtenido por primera vez en 1888 por Nerst.1 18.MS L.a ecuaeih de continuidad de Bedingfield-Drew Demostrar cómo se puede llegar a la Ec. 18.1-191s a partir de la Ec. 18.1-19. Nora: La solución es bastante larga. lE.N, Condensación de una mezcla de vapores2 Una mezcla equimoiar de vapores de cloroformo (C) y benceno (B), a 1 atm, condensa sobm una superficie fria. (Vease Fig. 18.N.) La temperatura í”, de la superficie fría puede variar. La especie más volátil (C) se acumula en las proximidades de la superficie fría, de forma que el proceso de condensación se retarda debido a la presencia de una «pelicula» de gas, cuya temperatura y composición dependen de la distancia z medida desde la superficie del líquido. El espesor 8 de la película es 0,l mm, y el coeficiente de transmisión de calor h de la película de condensado es 975 kcal hr-t m-z OC-t. La relación de benceno a cloroformo en el condensado puede considerarse igual a la relación de velocidades de condensaci6n. Pueden utilizarse los siguientes datos: 9 BC = 0,050 cmz seg-1 ; ev,, = 16,5 kcal/kg-mol OC. ¿?,, = 22,8 kcal/kg-mol OC. Los datos de equilibrio líquido-vapor para este sistema a 1 atm son: 0,70 0,80 0.90 1,00 0 0,lO 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 ----__------(líquido) 0 0,08 0 . 1 5 0,22 0,29 0,36 0,44 0,54 0,66 0,79 1,oo - - - __- - - - Xc (vapor) X, Temperatura de saturación 80,6 79.8 OC. 79,0 78,2 ‘77,3 76,4 75,3 74,0 71.9 68,9 61,4 El calor molar de vaporización 1-meZE y la conductividad calorífica ka,, de las mezclas cloroformobenceno pueden considerarse constantes e iguales a 7.110 kcal/kg-mol y 0,010 kcal/hr m OC, respectivamente. La influencia de la temperatura sobre las propiedades físicas puede despreciarse. 1 W. NERNST, Z. physik. Chem., 2, 613-637 (1888). z Para una discusión acerca de la condensacibn de mezclas de vapores, vease A . P . COLBURN y T. B. DREW, Trans. Am. Inst. Chem. Engrs., 33, 197-212 (1937). 18-36 TRANSPORTE DE MATERIA o. Demostrar que la velocidad total molar de condensaci6n es (.l&N-1) en la que los subíndices 0 y 6 se refieren a las condiciones para z = 0 y z = d, y x,m es la fracción molar del-componente A en el condensado. 6. Demostrar que la densidad de flujo de energía a traves de la peZic& dc condensado situada enz=o,es -4. js-o = (Td / Pellcula (l&N-2) de condensodo Llmite de la pallculo ~omoro estancado T=T, Pared del condensador *= 6 Ffg. lt3.N. Condensación de una mexcla de vapores. c. Estimar las velocidades de condensación y la composición del condensado, para diversas temperaturas de la pared del condensador. T6nga.w en cuenta que el calculo puede simplificarse eligiendo previamente una composición del condensado. (i) Esta elección permite calcular directamente NB. + N,, a partir del resultado del apartado (0). (ii) La densidad de flujo de energía a trav6s de la película de condensado puede calcularse entonces a partir del resultado del apartado (6). (iii). La temperatura necesaria de la pared puede estimarse luego mediante un balance de energía a la pelicula de condensado. Al aplicar este balance de energía, supóngase que todo el transporte de energía a través de la película de condensado tiene lugar de acuerdo con la expresión q1 = = h(T, - T,,). Ejemplo de respuesta: Si T, es 30 OC, la velocidad de condensaci6n sera 6,15 kg-mol hr-1 m-g, y el condensado contendd 44 moles por ciento de cloroformo. d. icuando, si es que ocurre alguna vez, estara el condensado en equilibrio con el vapor saturado 1 e. @IU es la temperatura minima (aproximada) que puede mantenerse en la interfase condensado-vapor, y cual ser& la composición (exacta) del condensado en estas condiciones limite? Explíquese el significado de las respuestas. LAS ECUACIONES DE VARlACIóN 18-37 18.0a Mezcles de evaporad6n tamstmte Una mezcla de tolueno y etanol se esta evaporando a travks de una película estancada unidhnensional de nitrógeno, de espesor 6, hacia una corriente de nitrbgeno puro. Todo el sistema se mantiene a 15,6 OC y presión constante. La relación de las difusividades binarias del tolueno y el etanol en nitrógeno (~r&pIRI) es, aproximadamente, igual a 0,695, y los datos de equilibrio líquidovapor del sistema tolueno-etanol a 15,6 “c, s o n : Fracci6n molar de tolueno en el líquido 1 0,096 1 0,155 1 OJ33 Fracción molar de tolueno en el vapor 0,147 0,198 0,242 0256 0,277 388 397 397 395 390 Presi6n t o t a l , mm H g 1 0974 1’ 0,375 J Se desea determinar la composición de la mezcla de evaporaci6n constante de tohreno y etanol (es decir, la composición del líquido para la cual la relación de las velocidades de evaporación es igual a la relación de concentraciones en el liquido) para diversas condiciones. Admítase el comportamiento ,del gas ideal. u. Demostrar, a partir de la estequiometría de este problema, que la relaci6n de tolueno a etanol en una mezcla de evaporación constante viene dada por (18.0-1) siendo gBm y Sr,,, las difusividades binarias efectivas del etanol y del tolueno en la mezcla, e yI* e y,* las fracciones molares de etanol y tolueno en el vapor de la interfase. (T6ngase en cuanta que yp+ e yz* son funciones de la presión total, de la temperatura y de la composición del líquido.) 6. Demostrar que es razonable substituir las difusividades binarias SB,, y grar por Bh y 9*. c. Utilizando los resultados de los apartados (a) y (b), estimar la composición de las alas de evaporación constante para la presión total de 396 mm Hg. 760 mm Hg, y para presión externa muy elevada. Respuestas: a. 25 por ciento de tolueno a 3% mm Hg 6. 17 por ciento de tolueno a una atm6sferas c. 13 por ciento de tolueno a presi6n elevada 18.P3 Polarizad6n de concentrad6n ea presada de un dectrbtito indiferente Sup6ngase que el aparato descrito en el ejemplo 18.5 -4 contiene Ar+NOs- con una concentracibn media 10-6 Ny K+NOs- con una concentración mediaO,l N. Se comunica ala c&la un voltaje que es exactamente el necesario para dar lugar a que la concentraci6n de i6n plata en el catodo s Robinson, A. W. Bcnnet, y W. A. Wright, J. Phys. Chem. 36, 658 (1932); W. A. Wright, J. Phys. Chem., 37, 233 (1933), obtuvieron un valor experimental correspondiente al 20 por 100 de tolueno. Sin embargo, debido a defectos de la tkcnica experimental, sus resultados deben de estar comprendidos entre la composici6n del s&tropo, 25 por ciento de tolueno, y la verdadera composición de evaporación constante. El valor calculado de 17 por ciento resulta, por consiguiente, bastante razonable. 18-38 TRANSPORTE DE MATERIA se haga prácticamente cero. Se puede suponer tambien que las únicas reacciones de electrodo que tienen lugar son la disolución y deposición de plata metálica; es decir, que el número de transporte del i6n plata es la unidad. u. Calcular los gradientes de concentraci6n de las tres especies iónicas presentes, suponiendo, de igual forma que en el ejemplo 18.5-4, que difunden independientemente unas de otras y que el flujo global es despreciable. Respuesta: Vease Fig. 18.P. Todos los gradientes de concentración son lineales b. Demostrar que el efecto del gradiente de potencial sobre el movimiento del ibn plata a travks de la soluci6n es despreciable. El objeto del KNOs, que es indiferente, es decir, que no se descarga, es reducir el gradiente de potencial de forma que los iones plata se muevan casi exclusivamente por difusión ordinaria. Sistemas de este tipo, aunque de geometrla más complicada, se utilizan con gran frecuencia en análisis polarogrslfico y en la medida de coeficientes de transferencia de materia. Fig. 18.P. Perfiles de concentración en una célula polarizada conteniendo exceso de un electrólito indiferente. c. Frecuentemente se postula que en sistemas de este tipo la mayor parte de la corriente «es transportada por la especie que no descarga». iEs razonable esto? 18.Q:, Difusi6n de A a travks de mm película estancada de B y C de composición media conocida El gas A difunde en estado estacionario en la dirección z positiva a través de una pelicula plana estancada de espesor 6, que contiene los gases B y C inmóviles. La fracción molar media del gas en la película, calculada sin tener en cuenta A, es x,o. El sistema es isotermico. a. Demostrar que la ecuación de Stefan-Maxwell, Fc. 18.4-19, puede expresarse para los gases B y C como (dxJd[) = vAgB y (a!x,/dl;) = vAcxxc. Siendo 5‘ = r/ô la fracción de distancia a través de la película, y vnc = 6NA,/cSA,. b. Integrar estas dos ecuaciones diferenciales utilizando las condiciones limite de que para z = 0, x, = x,,,,, y para z = 8, x, = ~~6, con el fin de obtener CV*- (l - 2~o) exp ( e v vAo x. = (’ - xAO) vAC - exp vM exp vm (1 - %d - exp vAJ - (1 - Z a ) - e v vAo exp 22 WQ-1) AJ exp 2 2 AO 0 8.Q-2) LAS ECUACIONES DE VARIACION “L "F c. Se puede escribir que så = 1 1 lB 4 s0 is 0 en esta expresión e integrar para obtener (zB + xc) d{.Substituir 18-39 el resultado del apartado (b) (18.e3) siendo r = a,J9,, y Q = (1 - x&)/(l - xAO). Obsérvese que la densidad de flujo que se desea NAz está conteruda en vAB 18.R4 Las ecuaciones de energia mechica y calorífica para sistemas de varios componentes a. Obtener una expresibn para la velocidad de variación de energía cinetíca por unidad de masa en sistemas de varios componentes, Ec. C de la Tabla 18.3-1, efectuando el producto de u y la ecuación de movimiento, Ec. 18.3-2. b. Restar el resultado del apartado (u) de la Ec.B de la Tabla 18.3 - 1 para obtener la ecuación de energía interna, Ec.D de la Tabla 18.3-1. 18.S4 Cracking catalítico para la reacción A - pP + qQ controlada por difasión Un gas ideal A difunde en estado estacionario en la dirección z positiva a trav6s de una pelicula plana gaseosa de espesor 6, tal como se indica en la Fig. 18.S. En z = 8 hay una superficie sólida catalítica en la que A experimenta una reacción irreversible de orden n: A +pP + qQ. La velocidad de reacción puede expresarse como N., 1re6 = k,,“xA? Para z = 0, xP = xPo y xq = xeo; se supone que ambas fracciones molares son conocidas. Pallculo goreora superficie cotatlti Fig . 1 8 . S . Cracking catalítico controlado por difusión. o. Demostrar que las ecuaciones de Stefan-Maxwell para los componentes P y Q son -1 &P- VPQ 4 (18.S-1) =Ap~p+B#~+cp l-d~Q=A~Q-tB~p+C VPQ 4 Q (18.S-2) 18-40 TRANSPORTE DE MATERIA siendo vPo = NAO/c9pg, A, = (1 -p)r, - q, BP = (1 - r,,)p, C,, = prF. Las magnitudes A,, B, y C,, pueden obtenerse reemplazando P por Q y p por q. En estas expresiones r, = S&PdP y rq I 9, Pm b. Tomar el transformador de Laplace de las Ecs. 18.S - 1 y 2 con respecto a vpQt para obtener las siguientes expresiones algebraicas para las fracciones molares transformadas X,.(S) y Xe(s): (18S3) ze = zqo + Cg-’ + B&= (18.S-4) s-A e c. Resolver simultáneamente estas ecuaciones para obtener 1, = xpas’ + (BI% - Ag~m + CI& + @Ke - Chap) 1 ; 9 - (Ap + A& + (ApAe - BpBe) (18s5) d. Tomar el transformador inverso de XV para obtener 1 xp = - x,(a+P+*po~ a+ - a- [ + @Ae - Cde) - a-e(l-vWO >l e%‘d - 1 _ E-vef - 1 aa+ (18.s-6) siendo af = )[(Ap + A,) f d(Ap - Ae)* + 4BpBe]. e. iEs vhlida esta solución para los siguientes casos especiales? (i) a+ = a-, (ii)a+ # 0 y a - = O? CAPíTULO 1 9 DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN CON MÁS DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE Los problemas de difusión que se han considérado en los dos capítulos anteriores presentaban gradientes de concentración, que en la mayor parte de los casos eran funciones de una sola variable independiente. Aquí se utilizan las ecuaciones generales del Capítulo 18 para plantear y resolver algunos problemas de difusión en los que intervienen dos variables independientes (bien sea la posición y el tiempo, o dos variables de posición). Numerosos problemas de difusión pueden resolverse buscando simplemente las soluciones de los problemas análogos en conducción del calor. Cuando las ecuaciones diferenciales y las condiciones iniciales y límite de los,procesos de difusión tienen exactamente la misma forma que las de los procesos de conducción del calor, puede tomarse la solución de éstos cambiando convenientemente la notación. En la Tabla 19.0-1 se presentan las tres ecuaciones principales del transporte de calor juntamente con sus análogas del transporte de materia. En las monografías de Carlaw y Jaeger’ y de Crank2 se pueden encontrar numerosas soluciones de las ecuaciones sin flujo. Sneddons hace un resumen de nuevas analogías que aparecen en otros campos de la física. Por otra parte, ciertos problemas de difusión de neutrones pueden resolverse teniendo en cuenta la analogía con la conducción del calor.4 Como los problemas de difusión descritos por las ecuaciones de la Tabla 19.0- 1 son los mismos que se han tratado en el Capítulo ll, no se estudiarán de nuevo aquí. Por el contrario, se han elegido problemas en los que se presenta difusión con reacciones químicas, difusión con velocidad molar media no nula, difusión en sistemas de más de dos componentes y convección forzada con altas velocidades de transferencia de materia; estos problemas sirven para ilustrar efectos peculiares de los sistemas de transferencia de materia. Por esta razón, no se sigue el mismo esquema 1 H. S. C ARSLAW y J. C. J AEGER , Hent Conh-fian in Solids, Oxford University Press (1959). 2 J. CRANK, Th M othefnatics of Dijhion, Oxford University Press (1956). 3 1. N. S NEDDON , Eleurenfs of’ Partinl Differentiul Eqmtions, McGraw-Hill, Nueva York (1957), capitulo 4 (ecuación de Laplace) y capítulo 6 (ecuación de difusión). 4 Para una introducción a la difusión de neutrones véase, por ejemplo, R. L. M URRAY, Nuclear Reactor Ph.vsics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J. (1957), capitulo 3. 19-2 TRANSPORTE DE MATERIA TABLA 19.0-1 ‘sf; ANALOGÍAS ENTRE FORMAS ESPECIALES DE LA ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DEL CALOR Y LAS ECUACIONES DE DIFUSI6N f a Estado no estacionario sin flujo Estado estacionario con flujo Estado estacionario sin flujo 0 Il. 1 -Soluciones exactas $ ll .2-Soluciones exactas 8 11.4 -Soluciones de capa lImite Q ll .4 -Soluciones de capa limite Q ll .3 -Soluciones exactas para dos dimensiones mediante funciones analíticas aT - = aV2T (v*VT) at Conducción del calor en sólidos 1: k = constante = aV2T Conducción del calor en el flujo laminar incompresible Conduccibn del calor en sólidos en estado estacionario 1. kp = constantes 1. k = constante 2.v=o 2. Sin disipación vis- 2.0=0 cosa 3. Estado estacionario acA -= 9AB v2cA at Di1ùsión de trazas de A a través de B V2T = 0 (0 - VCA) = ~AB V2C~ Difusión en flujo laminar (disoluciones diluidas de A en B) 3. Estado estacionario v2cA = 0 Difusión en sólidos en estado estacionario 1. aAB, p = constantes l- kdAB>P = constantes l* 9AB,P = constantes 2. Estado estacionario 2. Estado estacionario 2. v = o 3 . Sin reacciones químicas , Interdifusión equimolar en gases de baja densidad 1. 9,~~ C = constantes 2 . v* = 0 3 . Sin reacciones químicas 3. Sin reacciones químicas 3. Sin reacciones químicas 4.v=O DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACldN 19-3 que en los Capítulos 4 y ll. En 6 19.1 se discuten varios problemas de difusión en estado no estacionario, y en 3 19.2 se examinan dos problemas de difusión mediante los métodos aproximados de capa límite del tipo de von Kármán. En $ 19.3 se presentan las soluciones exactas de las ecuaciones de Prandtl de capa límite para la transferencia simultánea de calor, materia y cantidad de movimiento, para el flujo laminar a lo largo de una lámina plana; esta sección tiene una importancia especial ya que ilustra acerca de las condiciones necesarias para la exacta analogía entre transferencia de calor, materia y cantidad de movimiento y muestra también el comportamiento de capa límite a altas velocidades de transferencia de materia. Q 19.1 DIFUS16N EN ESTADO NO ESTACIONARIO En esta sección se presentan tres ejemplos ilustrativos. El primero de ellos indica cómo se utiliza el método de combinación de variables para describir los procesos de evaporación controlados por difusión. El segundo ejemplo trata del método de Danckwerts para la resolución de problemas de difusión con reacciones irreversibles de primer orden. En el tercero se estudia la difusión con una zona móvil de reacción. Ejemplo 19.1-1. Evaporach en estado no estacionario Se desea deducir una ecuación para la velocidad a la que un líquido A se evapora en el seno de un vapor B en un tubo de longitud infinita. (Véase el prÓblema esquematizado en la Fig. 16.1- 16.) El nivel del líquido se mantiene en todo momento en la posición z = 0. Todo el sistema está a temperatura y presión constantes, y se supone que los vapores A y B forman una mezcla gaseosa ideal; por consiguiente, la densidad molar c es constante en toda la fase gaseosa. Se supone, finalmente, que B es insoluble en A. Solución. Las ecuaciones de continuidad para los componentes A y B, son acA - aN~z -= ã at -% x at -aNEZ - az (19.1-1,2) Sumando estas dos ecuaciones se obtiene ac Ft' --; WA, + NBJ Puesto que c es constante, resulta que ¿Wlat = 0, y NAO + Nsr es una función exclusiva del tiempo. Pero como se sabe que para z = 0 no existe movimiento de B, resulta que NB0 = 0. Para la misma posición, la densidad de flujo de A se obtiene a partir de la Ec. 16.2-2 NAO x - -AB &A i - xAo az r-O (19.1-4) en la que el subíndice 0 indica que las magnitudes están evaluadas para el plano z = 0. Por lo tanto, para cualquier valor de z -dS az, Nd, i- NB* = - - (19.14) 1 - xAo az z-o TRANSPORTE DE MATERIA 19-4 y la densidad de flujo de A para cualquier valor de z, de acuerdo dada por NA, = -Ca ABx axA -“ “ (i -“ ) con la Ec. 16.2-2, viene (19.1-6) :I,_, Substituyendo la Ec. 19.1-6 en la Ec. 19.1-1, siendo gAB constante, se obtiene aXA at = @XA aAB axA &A 9ABx +i ----- zAo az r =o x (19.1-7) Esta ecuación se resuelve con las siguientes condiciones inicial y límite C.I. C.L. 1 : para t = 0 para z = 0 para z = 00 C.L. 2 : x, = 0 XA = XAO x, = 0 (19.1-8) (19.1-9) (19.1-10) siendo XA~ la concentración de equilibrio en 1~ fase gaseosa’ ; para una mezcla gaseosa ideal esto corresponde exactamente al cociente entre la presión de vapor de A puro y la presión total. Teniendo en cuenta que no existe una longitud característica del sistema, y que además xA = 0 tanto para t = 0 como para z = OO, está indicada la aplicación del método de combinación de variables. A continuación se introduce una concentración adimensional X y una distancia adimensional Z; definidas de la siguiente forma: x=z Z=Z 2/4gABt (19.1-11) Adelantamos que para cualquier valor de XA~, X es una función exclusiva de Z, lo que nos permite expresar la Ec. 19.1- 17 de la siguiente forma: X” + 2(Z - &r = 0 (19.1-12) en la que las comillas indican2 derivadas con respecto a Z, y pfXAO) = - 1 - xAO - dx 2(1 - XAO) dz r=o La Ec. 19.1- 12 se resuelve con las siguientes condiciones límite: C.L. 1 : C.L. 2 : para Z = 0 X=l (19.1-14) para Z = 00 x = o (19.1-15) 1 Vtase la nota 1 al pie de página de 8 17.2, en relación con esta suposicih de equilibrio en la \ interfase. 2 Físicamente, ge es una velocidad molar media adimensional (19.1-134 DISTRIBUCIONES ‘q DE CONCENTRACIÓN 19-5 Teniendo en cuenta que ‘p no depende de Z, la Ee. 19.1-12 puede integrarse facilmente para obtener los siguientes perfiles de concentración reducidas: x - 1 - erf(Z -p) 1 +erfg, (19.1-16) Mediante las Ecs. 19.1- 13 y 16 se obtiene <p en función de x,,,,, aunque en la practica es mucho más fácil expresar la relación tomando xA,, como una función de <p: ZAO = 1 (19.1-17) 1 + [G(l + erf&expfll En la Tabla 19.1- 1 se presenta una pequeña Tabla de &4,,), y en la Fig. 19.1- 1 se representan gráficamente los perfiles de concentración. Una vez determinados los perfiles de concentración se puede calcular la velocidad volumétrica de producción de vapor de A en una superficie de área S. Llamando V4 al volumen de A producido al cabo del tiempo t después de iniciada la evaporación, tendremos (19.1-18) Integrando con respecto a t se obtiene VA = sg’~@ABt siendo Q> una función de xAO que se da en la Tabla 19.1-1 TABLA 19.1-1” Tabla de q y $2) en función de xAc 0 ll4 112 314 1 ‘J. H. ARNOLD, $21 = q+/x,o 9, XAO 0,~ 0,1562 0,3578 0,6618 OO 1,~ 1,108 1,268 1,564 OO Truns. A. 1. Ch. E., 40, 361-378 (1944) Claramente se observa la importancia de incluir el transporte convectivo de la especie A a 10 largo del tubo. Si se hubiese utilizado la segunda ley de Fick (Ec. 18.1-20), se hubiese obtenido para V, vg-’ = szA J @ABt n 3 Esta solución fue obtenida por J. H. ARNOLD, Trans. A. f. Ch. E., 40, 361-378 (1944). (19.1-20) 19-6 TRANSPORTE DE MATERIA f d E 19-7 DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN La EC. .19.1- 19 puede expresarse en una forma más conveniente: ( 19. 1- 21) en la que y(*) = cp l/ñ/xAo es un factor de corrección que tiene en cuenta la desviación con respecto a la ley de Fick en un sistema de dos componentes debido a la contribución convectiva (el último término de la Ec. 19.1-7). En la Tabla 19.1-1 se da también el factor y’*). Resolviendo la Ec. 19.1-21 se obtiene gAB ( 19. 1- 22) Esta ecuación puede utilizarse para hallar difusividades de líquidos volátiles La principal razón de haber presentado aquí este problema es la de ilustrar acerca de las importantes desviaciones de la ley de Fick que tienen lugar en los sistemas de evaporación. Ejemplo 19.1-2. Difusión en estado no estacionario con reacción de primer orden4J Cuando una especie A difunde en un medio líquido B y reacciona con él de acuerdo con una reacción irreversible de primer orden (A + B -+ C), el (proceso de difusión y reacción homogénea6 está descrito por aCA 9 ,~ ar = Q’CA (19.1-23) -k k:CA suponiendo que la disolución de A es diluida y que la cantidad de C producida no es de: masiado grande. En esta ecuación, - k,“‘es la constante de velocidad para la reacción homogénea. La Ec. 19.1-23 se resuelve en algunos casos con las siguientes condiciones inicial y límite: Cl.: para t =0 CA = o (19.1-24) C.L. : para las superficies cA (19.1-25) = cAs donde c‘tJ puede variar con la posición pero es independiente de que para tales problemas la solución es: cA = -k; + fi’l t. Se puede demostrar (19.1-26) siendo f la solución de la Ec. 19.1-23 para k,“’ = 0, que cumple también las condiciones inicial y límite de las Ecs. 19.1-24 y 25. 4 P. V. DANCKWERTS, Trans. 5 J. CRANK , The Mufhemufics FuruduySoc.,47, 1014-1023 (1951); véase tambibn el problema 19.J. of Diffusion, Oxford University Press (1956). pp. 124-125. 6 En ciertos casos la difusión de neutrones es de esta forma, 19-8 vq % TRANSPORTE DE MATERIA Solución. Primeramente vamos a ver si la Ec. 19.1-26 satisface la ecuación diferencial (EC. 19.1-23); a partir de la Ec. 19.2-26 se obtienen las derivadas acA at-- af - kífekít + a; ekTr + kFf&F (19.1-27) t (V2f)ek?’ dt’ + (V2f)eW (19.1-28) I0 Substituyendo las Ecs. 19.1-26,27 y 28 en la Ec. 19.1-23 y teniendo en cuenta que 9,, V2 f = af/at se demuestra que en efecto se cumple la Ec. 19.1-23. Li Ec. 19.1-26 satisface la condición inicial, puesto que V2cA4 = -k; cA(t= 0) = - kí ofekYt’ s0‘ dr’ + f (t = O)eC”o = 0 (19.1-29) toda vez que f(t = 0) por definición es cero. También se cumple la condición límite, ya que en la superficie f = cAs: t cA (superficie) = -kí cq,ek?l’dt’ + cAseE? s0 - ek;t’ t = -k”c + 1 A sk” CAS&9 1 ll = CAS (19.1-30) Ejemplo 19.1-3. Absorción gaseosa con reacción química rápida’ Una substancia gaseosa A es absorbida por el disolvente S, que contiene el soluto B. Se toma el plano z = 0 como interftse gas-líquido. La especie A reacciona con B de acuerdo con la reacción A + B 4 AB que es instantánea e irreversible. Se puede admitir que la segunda ley de Fick describe satisfactoriamente el proceso de difusión, puesto que las concentraciones de A, B y AB en S son bajas. Obtener expresiones para los perfiles de concentración. Solución. Como la reacción de A con B es instantánea, existirá un plano paralelo a la interfase líquido-vapor, situado a una distancia z’ de ésta, que separa la región que no contiene A de la que no contiene B. La distancia z’ es una función de t, puesto que el límite entre A y B retrocede a medida que se consume B en la reacción química. Las ecuaciones diferenciales a resolver son acA ar= acB at= a2cA 9AS 3 0 < 2 < z’(t) (19.1-31) z ’ ( t ) Q z < aJ (19.1-32) 7 T. K. SHERWOOD y R. L. PIGFORD, Absorption and Extraction, McGraw-Hill, Nueva York (1952), pp. 332-337. En el capítulo IX del libro citado se tratan otros problemas de difusión con reacción química. Para problemas de conducción de calor con límites móviles debido a cambios de fase, vease H . S . CAWSLAW y J . C. J A E G E R , Heat Conduction in Sohds, Oxford University Press, segunda edición (1959). D ISTR IB U C IO N E S DE CONCENTRACIciN 1 9 -9 Se ensayan ahora soluciones de la forma CA -= a, + CAO u2 (19.1-33) erf -pi?& AS CB -=b, +b,erf-Z cB~ (19.1-34) ddQB,t siendo cA,, la concentración interfacial de A en l,, fase líquida y cn,, la concentración inicial de B en S. Puede demostrarse a posteriori q e las soluciones postuladas anteriormente son adecuadas. Vamos a determinar ahora el movimiento del límite de separación en función del tiempo. Obsérvese que para superficie de reacción la Ec. 19.1-33 se transforma en C‘&‘, t) = 0 (19.1-35) dcA = 0 = (f$)p’ + (%)/!t (19.1-36) A partir de la diferencial exacta se obtiene dz’ (acA/at)z' (19.1-37) Substituyendo la Ec. 19.1-33 (expresada en función de z’) en la Ec. 19.1-37 se obtiene una ecuación diferencial de z’ en función de t: dz’ z’ -=dt (19.1-38) 2t que puede integrarse para obtener d=dGt (19.1-39) en la que 0: es una constante de integración. Esta variación sencilla de z’ con t podría deducirse también haciendo cA = 0 y z = z’ en la Ec. 19.1-33. Tenemos que determinar en total cinco constantes, ai, a2, b,, b,, y a. Para ello se utilizan las siguientes condiciones inicial y límite: c.1: para t = 0 CB = CEo (19.1-40) C.L. 1: para z = 0 CA = CAO (19.1-41) C.L. 2: para z = z’(t) CA = 0 (19.1-42) C.L. 3 : para z = z’(t) cg = 0 (19.1-43) C.L. 4 : para z = z’(t) -?i&,% = +aBs% (19.1-44) 19-10 TRANSPORTE DE MATERIA La última condición límite corresponde a la necesidad estequiométrica de que un mol de A consume un mal de B. Las cinco condiciones permiten obtener las cinco constantes de integración. La constante C viene dada implícitamente por Las otras constantes son (19.1-46) 01 = 1 - ( e r f J,)-’ (19.1-47) b, = 1 - (1 -erfJz)-l (19.1-48) b, = +(l -erfiz)-’ (19.1-49) a2 = De acuerdo con esto, se despeja primeramente C de la Ec. 19.1-45 (para valores determinados de cB,,/cAr, y v’~~&~-,&y este valor dease introduce después en las subsiguientes relaciones para obtener a2, b,, b,. En la Fig. 19.1-2 se presentan los perfiles de concentración hallados por Sherwood y Pigford’, que permiten obtener ,información cuantitativa acerca del movimiento de la zona de reacción. 0,02 0,04 0,06 0,oa Distancia 0,lO 412 414 416 0,la 0,20 a la i n t e r f a s e Imm) Fig. 19.1-2. Absorción gaseosa con reacción química rápida. Perftles de concentración según las Ecs. 19.1-33 y 19.1-34 con constantes determinadas mediante las Ecs. 19.1-45, 46, 47, 48 y 49. El cálculo se ha hecho para pAs =3,6.10-6m* hr-1 y pBS = 1,8.10-6 m* hr-1. [T. K. SHERWOOD y R. L. PIGFORD, Absorpfion and Extruction, McGraw-Hill, Nueva York (1952), p. 336.1 A partir de los perfiles de concentración se puede calcular la velocidad de transferencia de materia en la interfase: Nii lr=O = -9 -.,. q% r=O = C-t0 erf d\/r/g-.i,s (19.1-50) DISTRIBUCIONES 1 st DE 19-11 CONCENTRACIÓN CAO J-G La velocidad media de absorción durante el tiempo t es N dmed = ; 0 Ne1 cit = 2 e r f X’U/~/~,~ (19.1-51) Tl Por consiguiente, la velocidad media durante el tiempo t es exactamente el doble de la velocidad instantánea. Q 19.2 TEORfA DE LA CAPA LfM ITE: M ÉTODO APROXIM ADO DE VON KARMÁN En esta sección se amplía el tratamiento de la teoría de la capa límite de $8 4.4 y 11.4. De igual forma que antes, se consideran dos tipos de problemas: transporte no estacionario, en el que el espesor de capa límite es una función del tiempo, y transporte estacionario, en el que el espesor de la capa límite aumenta a lo largo de una superficie. Como ejemplos ilustrativos hemos seleocionado intencionadamente dos problemas que no existen análogos en transmisión de calor. En el ejemplo 19.2-1 se discute la evaporación en estado no estacionario de un líquido en una mezcla de varios componentes, 10 que conduce al estudio del «efecto de difusión de barrido». En el ejemplo 19.2-2 se estudia la variación del espesor de concentración de capa límite con la posición y las propiedades del fluido en un sistema de transferencia de materia en el que tiene lugar una reacción homogénea. En la próxima sección se considera el problema de cálculo de la velocidad, temperatura y perfiles de concentración, en el flujo laminar a lo largo de una lámina plana, para elevadas velocidades de transferencia de materia en la superficie de la lámina. La aplicación dc las técnicas de capa límite a la transferencia de materia ha constituido una ayuda muy valiosa para el desarrollo de la teoría de los procesos de separación y de cinética química. Entre los problemas interesantes que se han estudiado están la transferencia de materia desde gotas,* la convección libre en electrolisis,* y reacciones químicas homogéneas en capas límite no isotérmicas.3 Ejemplo 19.2- 1. Evaporación en estado no estacionario en el seno de una mezcla . de varios componentes4 Utilícese un método de capa límite para ampliar los resultados del ejemplo 19.1-1 con el fin de describir la velocidad de evaporación de un líquido «l» en el seno de un vapor constituido por «2», «3», . . . . WI». Solución. (u) En primer lugar, volveremos a resolver el problema para el caso de dos componentes aplicando un método de capa límite. Tomaremos como punto de partida 1 S. K . FRIEDLANDER , A. I. Ch. E. Journal, 3, 43-49 (1957). 2 C. R. WILKE, C. W. TOBIAS y M. EISENBERG, Chetn. Eng. Prog., 49,663-674 3 F. E. MARBLE y T. C. ADAMSON, Jet Propulsion, 24, 85-94 (1954). 4 U-W WPII. Ph. D. Thessis, Universidad de Wisconsin (1959). (1953). 1 9 -1 2 TRANSPORTE DE MATERIA una forma integrada de la Ec. 19.1-1 (la ecuación de continuidad) y la Ec. 19.1-4 (la expresión de la densidad de flujo para z = 0): NAO d C -=z w s 0 (19.24) xA:Adt NAO .% AB axA -z vC %O 1 az rzo Igualando estas dos expresiones de NA,+, se llega a d * dis , xA 9AB axA dz = - i - xAo a% z=. (19.2-2) (19.2-3) Esta expresión se obtendría también integrando la Ec. 19.1-7 desde z = 0 hasta z = 03. Se puede proponer un perfil de concentración de la forma siguiente: -=f(zd)=f(» xAO Para 5<1 XA = 0 para 5 > 1 (19.2-4) (19.2-5) xAO siendo 6 = s(t) el espesor de concentración de capa limite. La función f( 5) ha de tener las siguientes propiedades: f(O) = 1, f(l) = 0 y f’(l) = 0. Substituyendo el anterior perfil aproximado en la Ec. 19.2-3, se obtiene: (19.2-6) En esta expresión fo’ corresponde a dfjd 5 evaluada para 5 = 0. Esta ecuación es una ecuación diferencial ordinaria de 6 en función de t. Al integrarla con respecto al tiempo, utilizando la condición inicial de que 6 = 0 para t = 0, se llega a 6= J =AB r( -ji ’> (1 - xAO) (19.2-7) ;& s0 Una vez que se conoce S se halla la velocidad de evaporación (19.2-8) D I STR I BU C I O N ES D E C O N C EN TR A C I Ó N CT 19-13 siendo el volumen de A producido (19.2-9) VA = SXA, Comparando la Ec. 19.2-9 con la Ec. 19.1-21 se deduce que vt’?‘. I . = l.ap (19.2-10) m Una función muy sencilla f( 5) que cumple las restricciones que se han indicado anteriormente es f( 5) = (1 - C)2. El lector puede comprobar que para esta función (y(&,. ti,,,. = d~/3(1 - xAo); los valores de @‘así obtenidos son 1,02, 1,18, 144, 2,04, 00, que corresponden a la última columna de la Tabla 19.1- 1. Como se ve, esta particular elección def( c) = (1 - 5)2 da resultados que son cada vez peores a medida que nos vamos aproximando a la temperatura de ebullición del líquido. Esto es debido a que se ha despreciado la variación de la forma del perfil con xAo. (Véase Fig. 19.1- 1.) b. Para un sistema de varios componentes se toma como punto de partida una forma integrada de la ecuación de continuidad para el componente «1» y las ecuaciones de StefanMaxwell (véase Ec. 18.4-19) para los componentes «ID, «2», . . . . «n», expresadas para z=O (19.2-11) (19.2-12) glj axj NIO C = + 0xi, az I z=. ' . = 2,3, . . . , Tl (19.2-13) siendo xio las fracciones molares de la fase gaseosa en la interfase gas-líquido. Utilizamos ahora los siguientes perfiles aproximados de concentración: z =/L($ = f&) para tII < 1 xt” <o XiO Th(i) =fi(tj) Para Jj < 1 j = 2, 3,..., n (19.2-14) (19.2-15) siendo xio la concentración de la especie j en la mezcla gaseosa en el instante t = 0. Es decir, que se deja que cada especie tenga su propio espesor de concentracion de capa límite di(t), y se especifica que fi(0) = 1, h( 1) = 0, y fi’( 1) = 0 para cualquier valor de j. Al introducir la función ft en las Ecs. 19.2-11 y 12, e igualar las dos expresiones de NI&, se obtiene una ecuación diferencial de dl(t), que una vez resuelta da 19-14 TR A N SP O R TE DE M A TER IA (19.2-16) Pueden deducirse expresiones para 62, S,, . . . 8, igualando los segundos miembros de las Ecs. 19.2-11 y 13. El volumen producido de la especie cl» puede hallarse por el mismo procedimiento utilizado en el apartado (u): (19.2-17) que define un factor de corrección análogo a yl(2)cap. ri,,.,. de la Ec. 19.2-10. Si se supone que fi es en este caso la misma función que f en el apartado (u), la combinación de las Ecs. 19.2-10 y 19.2-17 indica que 1 - XIe 1% cap. (19.2-18) PE Wcap. (2) hm. hm. x $ ‘ T $ +... i 1 12 13 12 y(n) 2 Si se postula finalmente que la relación ry(“)/yA2) calculada por el método de capa límite no diferirá mucho de $“)/w(~) calculada rigurosamente, se puede escribir: v, .J = SXlO 4Qt e f t ( 2 ) Arp ?7 (19.2-19) siendo yA2) una función de xto, tal como se indica en la Tabla 19.1- 1, y 9,. er. una difusividad efectiva definida por D 1.ef - 1 - %o n (19.2-20) 22 j-2 Se observará que esta difusividad es la misma que 2,,, definida por la Ek. 18.4-21, con tal de que se. especifique que PI,,, ha de evaluarse para el plano z = 0. Por consiguiente se llega a la conclusi6n de que se obtiene la misma expresión para la velocidad de evaporación por los dos procedimientos: (i) método de capa límite tomando ft igual a f del problema binario, o (ii) ampliación del resultado binario del ejemplo 19.1-1 substituyendo gAB por GI,,,, estando esta Ultima evaluada para la interfase liquido-vapor. La Ec. 19.2-19 se ha comprobado experimentalmente para diversos sistemas de evaporación y se ha encontrado que describe la velocidad de evaporacion dentro del error de las medidas experimentales.5 5 D. F. FAIRBANKS y C. R. WILKE, Id. Eng. Chn., 42, 471475 (1950). DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN 19-15 Las relaciones locales de las concentraciones de las especies que no se evaporan tienden a variar con el tiempo durante la evaporación en estado no estacionario. Es decir, que tiene lugar un efecto de separación, que se conoce con el nombre de efecto de d(fhih de barrido. Para describir cuantitativamente este efecto es necesario conocer los perfiles. Como los procedimientos de capa límite conducen, en general, a peores resultados para los perfiles que para las velocidades de transferencia, no se intenta dar aquí un tratamiento cuantitativo del efecto de difusión de barrido. Varios grupos de investigadores6 han estudiado la difusión de barrido como proceso de separación. Ejemplo 19.2-2. Difusión y reacción química en el flujo laminar isotérmico de una lámina plana soluble a lo largo Una adecuada analogía de transferencia de materia, correspondiente al problema que se ha discutido en el ejemplo 11.4 - 1, consistiría en el flujo a lo largo de una lámina plana que contiene una especie A ligeramente soluble en el fluido B. La concentración en la superficie de la lámina es cAa, correspondiente a la solubilidad de’A en R, y la concentración de A lejos de la lámina es c,~~. En este ejemplo se toma cAoo = 0, y se rompe la analogía con el ejemplo ll .4 - 1 al reaccionar A con B según una reacción química homogénea de orden n, cuya constante de velocidad es k,“‘. Se desea analizar el sistema por un método de capa límite. Solución. Se supone que la concentración de la substancia A disuelta es lo suficientemente baja para que las propiedades físicas p. ,I< y %;rB, sean prácticamente constantes en todo el fluido. Las ecuaciones de capa límite para este sistema (véanse Ecs. 11.4- 1, 2, y 3) son (continuidad) (19.2-21) (movimiento) (19.2-22) (continuidad de A) (19.2-23) Las dos primeras ecuaciones pueden utilizarse para hallar la distribución de velocidad r~,(x, y), tal como se ha hecho ya en el ejemplo 4.4-2. Se substituye después la última de ellas en la ecuación de cA, y se combina con la Ec. 19.2-21 para obtener (19.2-24) Obsérvese que al expresar las últimas ecuaciones se ha supuesto que v, = 0 para y = 0; sin embargo, esta suposición no sería correcta para altas velocidades de transferencia de materia. La Ec. 19.2-24 puede integrarse sobre y (véase. Ec. 11.4-23 para transmisión de calor y Ec. 4.4-29 para transmisión de cantidad de movimiento) con el fin de obtener NA&=o 6 M. BENEDICT y A. BOAS , Clrenl. Ekg. WEATHERFORD, Jr. y J. R. BOWMAN, C’hw. - CAoo)] +kÁ m CAn 4t Prog., 47, 51-62, 111-122 (1951); M. T. CICHELLI, W. E. 1Fng. Prog., 47,63-74, 123-133 (1951). TRANSPORTE DE M ATERIA 1 9 -1 6 en la que el espesor de concentración S4 es (19.2-26) La integral correspondiente a 6, es exactamente de la misma forma que la 6, be la Ec. 11.4-24. Para este problema se toma cAw = 0 y se introduce la velocidad adimensional 4 = v,/v, y la concentración adimensional P = (CAO-cAj,kAo. Por consiguiente, la Ek. 19.2-25 se transforma en -9~~ a r d w - _ Va ay y ,o=z o 40 I - s kp&’ m JJdY + v, so (1 - r)“dY (19.2-27) Se introducen ahora los siguientes perfiles «semejantes»: siendo + = 44rl) r = J?(v,) s i e n d o 0, B = d&q (19.2-28) Y VO = 6,o (19.2-29) Es decir, que los espesores de capa límite 6 y 6, para la transferencia de cantidad de movimiento y la transferencia de materia son diferentes. Con el fin de relacionar este problema con el que se ha estudiado en el ejemplo 11.4-1, vamos a introducir la relación d = 6,/S, que en este caso es función de x debido a la reacción química que tiene lugar. Limitaremos la discusión al caso de que A < 1, para el que la capa límite de materia está situada totalmente dentro de la capa límite de cantidad de movimiento. Expresando la Ec. 19.2-27 en función de las variables v y Q se obtiene 9AB ar - ua 1 #(ve 4 11 - UdI dvc .44 44 1 8%- TC=0 .w) = AL\(z) da: - me)in 4% .wj 44 (19.2-30) Para hallar d(x) hemos de suponer formas funcionales para +(q) y P(qc). Con el fin de reducir al mínimo el tratamiento matemático e ilustrar, sin embargo, el método, vamos a elegir funciones muy sencillas (es evidente que pueden suponerse funciones más realistas): Nd = j rl 11 para rl ã 1 para rl > 1 (19.2-31) (19.2--32) El modelo se representa gráficamente en la Fig. 19.2- 1. DISTRIBUCIONES -S, D E CONCENTRACIdN 19-17 Para esta sencilla elección el lector puede comprobar que las Ecs. 4.4-29 y 31 dan’ (19.2-33) Introduciendo en la Ec. 19.2-30 las formas supuestas para $(q) y P( qc), y multiplicando por SA se obtiene 9AB - VCO = c3A$(p*2) + k;cp v,(n + 1) Fig. 19.2-1. Petliles supuestos de velocidad y concentraci6n reacción química homogkea. B A2 para la capa laminar límite con Introduciendo B(x) de la Ec. 19.2-33 y multiplicando por v,Jv se obtiene xA2 (19.2-35) Ésta es la ecuación diferencial de A, que es una función del número de Schmldt, Sc, y la distancia x a lo largo de la lamina. Si no existe reacción química k,“’ es cero y la Ec. 19.2-35 se transforma en una ecuación lineal de primer orden de d3. Al integrar esta ecuación se obtiene en la que C es una constante de integración. Puesto A no se hace infinito cuando x tiende a cero, en ausencia de reacción química (véase Ec. 11.4-21), se obtiene Ac&-% \ (19.2-37) 7 Véase H. SCHLICHTING, Boundury-Layer Theory, McGraw-Hill,Nueva York (1955), pp. 204 205. Parece que d(x) puede evaluarse a partir de la Ec. 4.4-29 o de la Ec. 4.4-23 indistintamente. Sin embargo, para los perfiles de velocidad supuestos correspondientes, a la Ec. 19.2-31, los dos metodos anteriores para el cálculo de d(z) no son equivalentes debido a que la derivada primera de los perfiles de velocidad supuestos presenta una discontinuidad en el borde exterior de la capa límite (7 = 1). Analogas consideraciones pueden aplicarse para los perfiles de temperatura o concentración cuyas primeras derivadas son discontinuas. 1 1 9 -1 8 ‘e+ TRANSPORTE DE M ATERIA Es decir, que cuando no hay reacción los espesores de capa límite de concentración y de cantidad de movimiento guardan entre sí una relación constante que depende solamente del valor del número de Schmidt. Cuando la reacción es lenta, k,,“’ es pequeño, y se puede obtener una serie como solución de la Ec. 19.2-35: A = Sc-x(1 + a$ + a,E2 + . . *) (19.2-38) en la que 5 = [ 12/(n+ l)] (kn”’ CAN “-tx/v,). Substituyendo esta expresión en la Ec. 19.2-35 se obtiene al = - ( $ )SC’/~, a2 = ( &$ )Sc “3, etc. Puesto que aI es negativo, el espesor de capa límite disminuye a causa de la reacción química. Cuando la reacción es muy rápida (o bien cuando x es muy grande), resulta más conveniente una solución en forma de una serie de 115. Para valores grandes de 6 puede suponerse que el término predominante es de la forma d = const. 5”, siendo n < 0. Substituyendo después esta función de ensayo en la Ec. 19.2-35 se puede demostrar que A = (Sc C)-s (19.2-39) Combinando las Fzcs. 19.2-33 y 19.2-39 se demuestra que para grandes distancias del borde de ataque el espesor de concentración de capa límite 6, = SA se transforma en una constante independiente de v. Una vez que se conoce A (x, Sc), se puelen hallar los perfiles de concentración y la velocidad de transferencia de materia en la superficie. En la bibliografía puede verse un tratamiento más riguroso de este problema.* 9 19.3 TEORÍA DE LA CAPA LÍMITE: SOLUCIONES EXACTAS PARA TRANSFERENCIA SIMULTÁNEA DE CALOR, MATERIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Los tratamientos de capa límite que se han desarrollado hasta aquí están basados en las formas integrales de von Kármán de las ecuaciones de capa límite (Ecs. 4 4-29, 11.4-23 y 19.2-25), obtenidas a partir de las ecuaciones de capa límite de Prandtl mediante integración en la dirección y. Para resolver las ecuaciones de von Kármán para los espesores de capa límite S, Sr y ¿i,, hay que suponer las formas de los perfiles de velocidad, temperatura y concentración. En esta sección se ilustra el proceso más riguroso para la exacta1 resolución de las ecuaciones de capa límite de Prandtl; este método es más exacto e ilustra mejor los detalles de los mecanismos de transporte. 8 Véase P. L. CHAMBRÉ y J. D . YO UN G , Physics of Fluids, 1, 48-54 (1958). P. L. CHAMBRÉ y A . AC R I V O S , J. A ppl. Phy s., 27, 1 3 2 2 - 1 3 2 8 (1956), han estudiado reacciones catalíticas de superficie en capas límite. 1 Q la bibliografía de la capa límite, el termino «solución exacta» se refiere a una solución de las ecuaciones de capa límite de Pkndtl, para diferenciarla de otras soluciones más aproximadas. Es preciso tener en cuenta que las ecuaciones de capa limite de Prandrl son, en realidad, aproximaciones asintóticas de las ecuacio.les de varíacion y son exactas para el flujo laminar bidimensional en la región v,x/v > 1. [Véase H. SCHLICHTING, Boundury-Luyer Theory , Pergamon Press, Nueva York (1955), capítulo VII.] D I S T R I BU CI ON E S D E CONCENTRACIÓN 19-19 Se intenta determinar aquí lo que sucede cuando se transmiten simultáneamente calor, materia y cantidad de movimiento, a través de la capa límite de un fluido en movimiento. Este comportamiento está relacionado con numerosos procesos, tales como combustión de sólidos, catálisis heterogénea y procesos de separación. Aunque el sistema que se considera en este caso es sencillo, el estudio de los resultados obtenidos puede proporcionar un conocimiento valioso acerca del comportamiento de sistemas más complejos. Consideremos el sistema de flujo que se indica en la Fig 19.3-1. Una lámina delgada, semi-infinita, de un sólido A sublima en condiciones estacionarias en el seno de una corriente gaseosa ilimitada de A y B, que se aproxima tangencialmente a la lámina en la dirección x con una velocidad v,. En la fase gaseosa sólo está presente la especie B. Se desea determinar los perfiles de velocidad, temperatura y concentración en la capa límite, para el caso de que se conozcan la temperatura uniforme y la composición del gas a lo largo de la superficie de la lámina. Para mayor sencillez se supondrá que no existen reacciones químicas ni otras fuerzas externas distintas de las de gravedad, y se despreciarán la disipación viscosa, los calores de mezcla y la emisión o absorción de energía radiante en la capa límite gaseosa. Para la mayor parte de los sistemas gaseosos estas suposiciones resultan aceptables. Se considera también que las propiedades físicas p, ,u, c,, k, c y gAg son constantes.2 Teniendo en cuenta estas simplificaciones, las ecuaciones de capa límite para este sistema son au, av, = o ãz+ aY av, as, -Yva! Tjg + ull k,aY aY2 (continuidad) (movimiento) (19.3-1) (19.3-2) vg+vg =x--a2T * ax Y ay aY2 (energía) (continuidad de A) (19.3-3) (19.3-4) V, Las condiciones. límite son: para 5 < 0 0 para y=O: y = 00 : v, = 0, v, = v, T = T. T=T,, xA =xAoo XA = xAo, NB = 0 (19.3-5, 6, 7) (19.3-8, 9, 10, ll) La última ecuación se deduce de las suposiciones de que B sólo existe en la fase gaseosa y de que no hay reacciones químicas. 2 Obsérvese que estas suposiciones implican que M,, = M,, y cP,, = &,así como también que xA es una funcibn de la posición. En 5 21.7 se consideran métodos aproximados para la aplicación de estas soluciones a sistemas con propiedades variables. La variación de las propiedades físicas puede tratarse con exactitud mediante el método de integración numérica de H. SCHUH, 2. angew. Muth. Mech. 25-27, 54-60 (1947); NAC’J T ech Mem o 1275 (1950). TR A N SP O R TE 19 - 2 0 ,. % DE M A TER IA La ecuación de continuidad se puede integrar para obtener vY uu = V@ y av - 2 dy (19.3-12) o az av - y zdy vu = MANAO s s 0 0 P (19.3-13) a x en las que el subíndice 0 representa condiciones para y = 0. La segunda relación se deriva de las Ecs. J y S de la Tabla 16.1-3. Evaluando Nado mediante la ley de Fick (Ec. 16.2-2), se obtiene NAO = -daA, a2 aY I u=o Fluio e x te rio r: - + x~o(N~o + (19.3-14) NEO) II,= 1 II,=1 l-l’ AB- 1 de l- l c o nsta nte 1 / C a pa / ’ turbule nto IIm ite * Ca po lo m ino r Ilm ite * No se ha re pre se nta do * la c opa Ilm itc situa do po r dc bo io de la Ió m ino Fig. 19.3-1. Flujo tangencial a lo largo de una llmina plana afilada semi-infinita, con transferencia de materia hacia la corriente. La transición de flujo laminar a turbulento tiene lugar, generalmente, para valores del número de Reynolds (v&/v) del orden de 105. Tomando N,, = 0, de acuerdo con la Ec. 19.3- 11, y combinando el resultado con la Ec. 19.3-13, se llega a uu = (19.3-15) D ISTR IB U C IO N E S rk DE 1 9 -2 1 C O N C E N TR A C IÓ N Esta expresión es la que se utiliza para v,, en las Ecs. 19.3-2, 3 y 4. Como se ha supuesto que MA = M,, se puede tomar M,c/p igual a la unidad. Se definen ahora las variables adimensionales de perfil n v= u, - u =o=v-. V 200 -uzil -T-T, n Cr- Tm-T0 vc.2 l-l xA - AB==& xA~ (19.3-16,17,18) - xAO y las relaciones adimensionales de propiedades físicas A v- -Y=l Y AA/----=sc AB f A,=Y=pr a (i9.3-i9,20,2i) Con estas definiciones, las ecuaciones de movimr<nto, energía y continuidad de A, toman la forma común an V, -ax - (19.3-22) y las condiciones límite para vz, T y xA, se transforman en y= OO 17=1 para x < 0 0 (19.3-23) n=o para y = 0 (19.3-24) La forma de las condiciones límite para las variables dé perfil II, y la falta de una longitud característica en el sistema be flujo, indican que debe de utilizarse el método de combinación de variables. La Ec. 4.4-26 sugiere una combinación de la forma (19.3-25) Expresando las derivadas de la Ec. 19.3-22 en función de q, se obtiene3 +--(z~~~)Il~B(0) -g2l-I,, d+ = l-I’/ (19.3-26) en la que las comillas indican diferenciación con respecto a ~7. De acuerdo con esta expresión, se observa que la velocidad de transferencia de materia en la pared, ex3 Resulta conveniente comparar la presente deducción con la que se ha desarrollado en cl ejemplo 19.1- 1. Las magnitudes anAlogas en ambos casos para pequefios valores de y son: Ejemplo Esta 19.1-1 sección 1 - UAB X 2 rl dX - zf zso &do> 29, XAO 1 - ZAO - =Aw 1 - =AO xAO KAAS 19-22 ” TRANSPORTE DE MATERIA presada aquí en función del gradiente de concentración JISAB a los tres perfiles 17,, Ilr y II,,. Finalmente, definimos la magnitud f= -K+ (0), afecta directamente (19.3-27) ‘2H,dq s0 siendo K una densidad de flujo adimensional de materia en la pared, que viene dada en este caso por (19.3-28) K = $-(“y;;)“hm y que para la capa laminar límite es constante.4 Por consiguiente, las ecuaciones de capa límite de movimiento, energía y continuidad, resultan -Afl-l’ = nm (19.3-29) Las condiciones límite para 27 son para para q=o q= c.3 (19.3-30) (19.3- 31) n=o l7=1 Las ecuaciones diferenciales y sus condiciones límite se han expresado ahora en función de ‘la .ímica variable independiente 7, confirmando la supuesta combinación de variables. Mediante las Ecs. 19.3-27 a 31 se pueden calculk los perfiles de velocidad, temperatura y concentración, en la capa laminar límite. Primeramente se calculan los perfiles de velocidad 17, y la funciónf, con ellos relacionada, para el deseado valor de K, mediante la resolución de la Ec. 19. 3-29 para (i = 1. La misma ecuación puede integrarse después directamente para cualquier valor de A con el fin de obtener el correspondiente perfil de temperatura o concentración: [exp (-A[fdv) nh’n,K)=~exp 4 (19.3-32) (- Atfdq) dq 4 La densidad de flujo adimensional de materia K se detine mediante la expresión K =2% VG VCO J v (19.3-28~) en la que vMo es la velocidad del fluido en la pared en la dirección y. Esta definición es aplicable aun cuando NAO y NB0 sean ambos distintos de cero. Obsérvese que z’Vo es proporcional a l/&; esta predicción es válida, desde luego, solamente en la región vmz/v > 1 para la que es aplicable la teoría de capa límite. DISTRIBUCIONES fc DE CONCENTRACIÓN 1 9 -2 3 En la Fig. 19.3-2 se representan algunos perfiles calculados a partir de la Ec. 19.3-32. Los perfiles de velocidad vienen dados por las curvas correspondientes a A = 1, y los perfiles de temperatura y concentración, para diferentes números de Prandtl y Schmidt, vienen dados por los correspondientes valores de A en las curvas. Obsérvese que las capas límite de velocidad, temperatura y concentración, tienen un espesor mayor cuando la velocidad adimensional de transferencia de materia K es positiva (como en evaporación), y un espesor menor cuando K es negativo (como ocurre en condensación). Los gradientes adimensionales de velocidad, temperatura y concentración, en la pared, I7’(0, A, K),se obtienen a partir de la derivada de la Ec. 19.3-32: rl’(0, n, K) = En la Tabla 19.3numérica de esta Las densidades de están dadas por rexP (-iff4) dv (19.3-33) 1 se presenta un resumen de los valores calculados por integración fórmula. flujo de cantidad de movimiento, energía y materia, en la pared, las expresiones adimensionales (19.3-34) (19.3-35) J~,*l,=o = nYo, 44B. K) y JUCOX c%J(~Ao - ~AGAOO) w4B (19.3-36) y los valores tabulados de 17’(0, II, K). De esta forma se pueden calcular las anteriores densidades de flujo en función de la velocidad adimensional de transferencia de materia K. En el ejemplo 19.3- 1 se presenta la solución para la velocidad de transferencia de materia en función de xAo y x,,~. En unos pocos casos límite, los perfiles I7r y ZIAB pueden obtenerse analíticamente. Por ejemplo, para pequeñas velocidades de transferencia de materia, K, y grandes valores de II, (el número de Prandtl) o A,, (el número de Schmidt), la capa límite térmica o difusional es mucho más delgada que la capa límite de velocidad, y basta con conocer el gradiente de velocidad en la pared para hallar los perfiles completos de temperatura y concentración Z7(7, A, K). Como se ve, una pequeña variación de K ejerce un maR!&Wefecto sobre el perfil de temperatura o concentración cuando A es grande. K= - 5 Transferencia de materia hacia fue de la corriente rencia de ch el interior de materia /’ ., 0 08 la cotrienta / - O# ’ 1,2 46 280 I - I 2,4 l I 2,8 I 3? I I I 396 Fig. 19.3-2. Perfiles tebricos de velocidad, temperatura y composición, en la capa laminar límite existente sobre una lámina plana con transferencia de materia en la pared. [H. S. MICKLEY R. C. Ross, A. L. SQUYERS y W. E . STEWART, NACA Technicd Note 3208 (1954).] TABLA 19.3 - 1 GRADIENTES ADIMENSIONALES DE VELOCIDAD, TEMPERATURA Y COMPOSICIÓN, CALCULADOS A PARTIR DE LA TEORfA DE CAPA LAMINAR LíMITEa Gradiente adimensional 2 m(O, n, K) para el límite de flujo K A = 0,6 A = 0,7 A = 0,8 n = 0,9 n = l,o n = 1,l n = 1,4 n = 2,0 n=s,o 1,oc 0,756 0,Y 0,256 0,~ - O,sd - 1,od - 1,5d - 3,od - 5,od 0,2321 04448 0,660O 0,2067 0,429O 0,6644 0,1831 0,4116 0,6649 0,161s 0,3933 0,6626 0,1242 0,356O 0,6516 0,08219 0,3019 0,6527 0,03423 0,2098 0,5587 0,0002818 0,0253 1 0,2533 1,108 1,579 2,069 2,576 4,174 6,417 1,170 1,716 2,288 2,885 4,765 7,402 1,228 1,845 2,501 3,189 5,354 8,388 1,280 1,970 2,709 3,487 5,943 9,374 0,1419 0,3747 0,658O 0,9787 1,328’> 2,092 2,916 3,784 6,529 lo,36 1,374 2,213 3,121 4,080 7,115 ll,35 1,689 3,193 4,892 6.699 12,41 20,26 ’ Basados principalmente en los perfiles de velocidad obtenidos por H. SCHLICHTING y K. BUSSMANN, Schrift. d. deutsch. Akad. d. Luftfahrtforschung, 7l3, Heft 2 (1943); esta tabla está tomada de H. S. MICKLEY, R. C. Ross, A. L. SQUYERS y W. Ea STEWART, NACA Tech, Note 3208 (1954). * c d e H. BLASIUS , 2. mgew. Muth. Phys., 56, 1, 1-37 (1908) E. POHLHAUSEN, Z. angew. Muth. Mech., 1, 115-121 (1921) J. A. FEYK, S. M. Thesis, Massachusetts Institute of Technology (1949) R. C. Ross, Comunicación privada (1950). b 2 2 $ s 9 hti is z s 9 2 k 2 19-26 r_ % TRANSPORTE DE ikíATERbi Para pequeñas velocidades de transferencia de materia (IKf< l), velocidad cerca de la pared es el perfil de rl .= (1,328 2 )q (19.3-37) Aquí se ha introducido el gradiente de velocidad para q = 0 y K = 0 que se indica en la tabla 19.3- 1. Aplicando las Ecs. 19.3-27 y 32 para pequeños valores de K y LI > 1, se obtienes1 s0 m exp (AK7 - 1 ,328A?j3/3 !) dq (19.3-38) exp(AKr] - 1 ,328Av3/3 !) dq O,J 0,6 nT O 0,5 Il A B 04 O,3 0 0 0,O 0,2 0,4 46 0,8 1,o 1,2 $4 & 1,6 1,8 2,O 2,2 2,4 2,6 Fig. 19.3-3. Perfiles de temperatura o concentración para valores elevados del número de PRANDTL o SCHMIDT y diversas velocidades de transferencia de materia. El perfil de velocidad utilizado en estas soluciones corresponde a la línea LI = 1 y K = 0 de la Fig. 19.3 -2. 5 Se utiliza el símbolo r para representar una igualdad asintótica para grandes valores de LI. 19-27 DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIdN q y, de acuerdo con la Ec. 19.3-33, el correspondiente gradiente de temperatura o concentración en la pared, es6 rr’(0, ll, K) N 1 m s0 (19.3-39) exp (Alyrj - 1,32SAq=/3!) dq En los párrafos que siguen se discute la t valuación de los perfiles y los gradientes para pequeñas velocidades de transferencia .te materia, K. En el límite cuando K + 0, los perfiles adquieren la forma 0 lim II(q, h, K) Y K-d exp (- 1,328Av3/3 !) dq “, exp (- 1 ,328Aq3/3 !) dq s0 s (19.340) (19.341) siendo u = 1 >328 ti 3! y Qx, U) es la función gamma incompleta.7 Este perfil se representa en la .Fig. 19.3 - 3 ; obsérvese que tiene, aproximadamente, la misma forma que los perfiles de la Fig. 19.3-2 para n finito y K = 0. De acuerdo con la Ec. 19.3-39, la pendiente del perfil en la pared es lim rI K-O 1 yo, 11, K) E s mexp (- 1 ,328Aq3/3 !) dq = i(s% (;)] -1 - 0,6774AX (19.343) Esta ecuación, para A = 2, se desvía sólo en 1 por ciento con respecto al resultado obtenido utilizando el perfil completo de velocidad y la concordancia es exacta 6 W. E. STEWART, Sc. D. Thesis, Massachusetts Institute of Tcchnology (1951). Vbase también H. S. MICKLEY , R. C. Ross, A. L. SQUYERS y W. E. STEWART, NACA TN 3208 (1954). 7 E. JAHNKE y F. EMDE, Tables of Funhtions, Dover, Nueva York (1943, cuarta edición, pp. 22. La función I?(x, 03) = I?(x) es la función gamma completa. TRANSPORTE DE MATERIA 19-28 re* % TABLA 19.3-2 COMPARACI6N PERFIL PARA DE LOS RESULTADOS DE LOS GRADIENTES DE VELOCIDADES DESPRECIABLES DE TRANSFERENCIA DE MATERIA Valores previstos de 17’ (0, II, 0) n Exactos0 Os6 098 LO w 750 10,o 15,o 0,552 0,614 0,664 0,845 1,29 1346 1,67 Solución asintótica h-(0, A, 0) = 0,6774A’/3 Aproximación de Pohlhausen 0,571 0,629 0,677 0,853 1,296 1,459 1,671 0,560 0,616 0,664 ,0,837 1,27 1,43 La *A partir de las mismas citas bibliogrkfkas n,(O, -4, 0) = 0,664A”3 que se indican en la Tabla 19.3 - 1. cuando d + OO. En la Tabla 19.3-2 se presenta una comparación detallada. También se indican los resultados correspondientes a la ecuación l-l’(O, A, 0) f 0,664A” que fue obtenida por Pohlhausens mediante una curva de ajuste de exactos, y que para valores inferiores a li = 0,6 el error es de f2 por troduciendo la aproximación de Pohlhausen en las Ecs. 19.2-34, 35 y tienen las siguientes analogias para bajas velocidades de transferencia (19.3-44) los valores ciento. In36, se obde materia: (IVLO ~vzlv=o = J*A=o (Pr>‘A = (scp %(~A, - 2=9,) P%(O - %J &P,G - í‘-d = O,332Re-s (19.3-45) siendo Re = v&/Y. Este resultado justifica las analogías de Chilton y Colburn ($0 13.2 y 21.2) para este sistema de flujo cuando Pr o Sc son mayores que aproximadamente 1/2. Para extender la solución analítica a velocidades de transferencia de materia algo más elevadas, se obtienen los perfiles a partir de la Ec. 19.3-38 desarrollando 8E. POHLHAUSEN, 2. angew. Muth. Mech., 1, 115-121 (1921). DISTRIBUCIONES DE 19-29 CONCENTRACIÓN en serie exp (AI@) e integrando término a término. La solucih para cualquier valor de K< 1 es Como antes, u = 1,328 4+/3 !, y el parámetro rj es una velocidad adimensional de transferencia : KA 4 = rl'(0, n, 0) ‘(19.3-47) que, teniendo en cuenta la Ec. 19.3-43 para A grande; se transforma en (19.3-48) Los coeficientes c, vienen dados por 11 c, = - - r y [r(~)]-"-' 3nl! ( 1 TABLA 19.3 - 3 EFECTO DE LA TRANSFERENCIA DE MATERIA SOBRE LOS GRADIENTES DE PERFIL PARA ELEVADOS NUMEROS DE PRANDTL 0 SCHMIDTa 141 mo, 4 K) wo, 4 0) para 4 positivo (transferencia de materia hacia la corriente) 0,Ol 0,02 0,os 091 032 095 LO 290 390 530 m 0,994 0,989 0,972 0,944 0,890 0,739 0,524 0,230O 0,083O 0,00613 0 Parámetro de densidad de flujo de materia w4 4 K) mo, 4 0) para 4 negativo (transferencia de materia desde la corriente) 1,006 1,011 1,029 1,057 1,117 1,304 1,646 2,421 3,282 5,140 OO nL~~ valores para 141 < 5 están tomados de W. E. STEWART , Sc. D. Thais, Massachusetts Institute of Technology (1951). 1 9 -3 0 TRANSPORTE DE MATERIA En la Fig. 19.3-3 se presentan algunos perfiles calculados a partir de la Ec. 19.3-46. Los perfiles son bastante semejantes a los de la Fig. 19.3-2 y presentan una variación análoga con la velocidad de transferencia de materia. Obsérvese que el parámetro $, que determina la forma del perfil, puede tener un valor grande a.pesar de la restricción de que K< 1, debido a que se supone que (1 es grande. (Véase Ec. 19.3-48.) Los gradientes de estos perfiles en la pared vienen dados por6 (19.3-50) La relación de gradientes que interviene en esta ecuación es una medida adecuada del efecto de la transferencia de materia sobre las velocidades de transferencia en la interfase. En la Tabla 19.3-3 se dan algunos valores calculados a partir de esta ecuación; los resultados se interpretan y aplican en $ 21.7 para varios problemas de transferencia de materia. Ejemplo 19.3- 1. Cálculo de la velocidad de transferencia de materia Obtener una expresión para la velocidad local de sublimación desde la lámina que se indica en la Fig. 19.3-1 hacia la capa laminar límite. La fracción molar de A junto a la pared es xA,, = 0,9, la fracción molar de A en la corriente que llega es xAoo = O,Ol, y el número de Schmidt es constante e igual a 2,0. Las propiedades,físicas son constantes, y MA y MB son iguales. Solución. Introduciendo en la Ec. 19.3 -28 los términos conocidos, se obtiene 2K 0,9 - 0,Ol = 8,9 nAB’(0,2, K) = 1 - 0,9 (19.3-51) Para hallar K en esta ecuación se evalúa el primer miembro en función de K a partir de la Tabla 19.3 - 1: 2IT(O, 2, K ) 2K/n'(O, 2, K ) K l,oO 0,03423 0,2098 0,5587 1,689 0,75 116,9 14,30 3,580 0,50 o,oooo OW Representando estos valores se encuentra que cuando 2K/n'(O, 2, K) = 8,9, K = 0,65. Por 10 tanto, la densidad de flujo local de materia viene dada por 2nA0 K= - .PV, 0 nA,, = J- VCOXP p 0,33 ‘e J - = 0,65 (19.3-52) (19.3-53) en la región v, x/v > 1. En $ 21.7 se simplifica y amplía este método para diversos problemas de transferencia de calor y materia. DISTRIBUCIONES CUESTIONES DE CONCENTRACIÓN PARA 19-31 DISCUTIR 1. ;Hasta dónde puede ampliarse la Tabla 19.0-1 para incluir analogías con transporte de cantidad de movimiento? 2. ;Q :é fenómenos fisicos son descritos por la ecuación de conducción de calor y la ecuación de Laplace? 3. Demostrar que la Ec. l9.l- 16 satisface la ecuación diferencial y las condiciones límite de las Ecs. 19.1-7 a 10. 4. iQué dificultades experimentales se pueden esperar al tratar de medir difusividades mediante el sistema descrito en el ejemplo 19.1-l? 5. ;Cuál es la utilidad del resultado del ejemplo 19.1-2? Sugerir algunos problemas que puedan resolverse por este método. 6. Explicar cómo se halla la velocidad de movimiento de la zona de reacción en el ejemplo 19.1-3. 7. ;Cómo se simplifica el resultado del ejemplo 19.1-3 si ..s,, = geS? 8. Discútase, a partir de las Ecs. 19.1-50 y 51, el efecto de la reacción sobre las velocidades de absorción. 9. Obtener la Ec. 19.2-3 por el otro método que se sugiere en el texto. 10. Demostrar cuantitativamente que el método de capa limite utilizado en el ejemplo 19.2-1 predice realmente un efecto de difusión de barrido. ll. Demostrar cómo se deduce la Ec. 19.2-25. 12. iEs de esperar que la difusión térmica sea siempre importantesen un caso de transferencia de materia de capa limite? 13. ;Por qué los perfiles de las Figs. 19.3-2 y 3 dependen de la velocidad de transferencia de materia? Explíquelo a su modo. 14. Sugerir distintas situaciones fisicas en las que podrían utilizarse los resultados de 5 19.3. PROBLEMAS 19.A, Estimación de la concentración puntual en Ia evaporación binaria difusional Calcular x., para 2 = 0,5 en el sistema del ejemplo 19.I- 1, para un líquido A cuya x, e es igual a 0.75. Comparar el resultado con el de la. Fig. 19.1- 1. Respuesta: xd = 0,54. 19.B, Velocidad de evaporación de n-octano Hallar el número de gramos de n-octano líquido que a 200 C y 1 atm se evaporarán en el seno de Nz durante 24,5 hr en un sistema como el que se ha considerado en el ejemplo 19.1- 1, si el área de ,la superficie del liquido es 1,29 c m2. La presión de vapor del n-octano a 20 OC es lo,45 mm Hg. Respuesta: 6,71 mg 19.C2 Resultados de capa Imite para evaporación binaria difusiona] Evaluar $2’e,p. ttm. del ejemplo 19.2-1 utilizando el perfil de concentración f(Z) = 1 - 2; + 2;3 - ;4. 37c Respuesta: IW - x.20) 19-32 19.D3 TRANSPORTE Absorción con reacción quimica en DE MATERIA un medio semi-infinito Consideremos un medio semi-infinito que se extiende desde el plano límite x = 0 hasta x = co. En el instante t = 0 la substancia A se pone en contacto COR este medio en el plano x = 0, siendo la concentración superficial C,,~ (para la absorción del gas A por el liquido B, c,, seria la concentración de saturación). A y B reaccionan para producir C según una reacci6n irreversible de primer orden A + B + C. Se supone que la concentraci6n de A es pequefia, de forma que la ecuación que describe el proceso difusional es (19.~ 1) siendo kl”’ la constante de velocidad de reaccibn de primer orden. Esta ecuación se resuelve con las siguientes condiciones inicial y limite: C.I. : parar=0 CA = 0 (19.D-2) C.L.1: para x = 0 cA = (19.D-3) C.L.2: para x = 00 CA = 0 cAO (19.D-4) y la solución es1 : -=iexp(-z&)erfc(*t-+Y) cAO +iexp (+z&) erfc (kt+ %+) (19.~ 5) a. Comprobar que la anterior solución satisface la ecuación diferencial y las condiciones límite. b. Demostrar que la densidad de flujo molar de A en la interfase x = 0 es NAI Z-O -( = cAod9&í (19.~6) c. Demostrar que los moles totales de A absorbidos desde el tiempo t = 0 hasta t = to vienen dados por la expresión &A = c A0 4 9 ABt 0 -N 1 (19.D-7) d. Demostrar que para grandes valores de kl “‘ro la solución del apartado (c) se reduce asintóticamente a El error de esta ecuaci¿& para valores de kt “ ’ 10 > 4 es del orden del 2 por ciento. 1 P. V. DANCK WERT S, Truns. Faraday Soc., 46, 300-304(1950). 2 R. A. T. 0. NLJSING, Abswptie van gassen in vloeistoffen, zonder en me* chemische reactie Academisch Proefschrift, Delft (1957). DISTRIBUCIONES D E CONCENTRACldN 19-33 19.E, Difusión no estacionaria en un sólido con reaccih química y concentración cero ell ki per6cie Demostrar que la solución de la Ec. 19.1-23 con C.I. : C.L.: es para f = 0 en la superticie C,(%, y, 2, 1) = g(z, y, 2, 1) * e*P CA = co(x. Y, 4 c, = 0 S U- (19.E-1) (19.E-2) (19.E-3) siendo g(x, y, z, t) la solucibn de la Ec. 19.1-23 para kr”’ = 0, que cumple las condiciones de las Ecs. 19.E-1 y 2. 19.F, Transferencia simulthea de calor, materia y cantidad de movimiento: otras condiciones límite Demostrar que los perfiles adimensionales lT(q, A, K) satisfacen tambien las Ecs. 19.3-29, 30 y 31 (estando f y K definidos por las Ecs. 19.3-27 y 28) para las siguientes modificaciones del sistema de la sección $ 19.3 - 1. Obtener una expresion de la constante K para reemplazar a la Ec. 19.3-28 en cada caso. Velocidad de inyacci6n uo (x) Fig . 1 9 . F. Lámina porosa refrigerada por transpiración. a. El mismo problema de $ 19.3, excepto que la lamina es una plancha porosa saturada con las especies A y B, y la relación N,/N, es la misma para todos los puntos de la superficie. b. La lámina de A se substituye por un sólido no volatil C que rezoiona instantaneamente con el gas A para dar dos moles del gas B: C + A + 28. Sup6ngase que MA = MB. 19-34 TRANSPORTE DE MATERIA c. La lámjna es hueca y se enfría por transpiracibn merced a la inyección del gas A frío todo “op a1 o 1 argo de la lámina, con una distribución de densidad de flujo de materia tal que toda la superficie de la lámina está a una temperatura uniforme Ta. La temperatura del gas en el compartimento interior es constante e igual a T,,. La corriente que se acerca a la lámina está constituida por el gas A puro. Las demás suposiciones quedan como en 3 19.3. (Vease Fig. 19.F.) Respuestas: 19.G3 nA ,’ (0) Resolución de las ecuaciones de capa límite por el método de Picard La Ec. 19.3-32 es la base de un proceso de iteración, rápidamente convergente, para el calculo de los perfiles de velocidad.lT4. El procedimiento, para un cierto valor de K, consiste simplemente en ensayar un perfil de velocidad, introducirlo en el segundo miembro de la Ec. 19.3 -32, y evaluar las integrales para n = 1; la función n(q , 1, K) que re sulta e s una aproximación considerablemente mejorada del verdadero perfil de velocidad. Esto constituye un ejemplo del método de Picards de integración sucesiva, que se ha utilizado mucho en los problemas de capa limite. a. Tomar II,. = Ar] como primera aproximación y determinar analiticamente la segunda aproximación del pertil de velocidad para K = 0 (sin transferencia de materia). Determinar numéricamente A haciendo que las aproximaciones primera y segunda den el mismo gradiente de velocidad en la pared. Comparar gráficamente la segunda aproximación con la solución exacta. 6. Calcular la forma límite de los perfiles de velocidad para K + - OO. Obsérvese que en este caso el resultado de la primera iteración es exacto, cualquiera que sea el perfil finito de ensayo 17,. c. Calcular los perfiles de temperatura y concentración para K -* - 03. Esto no es una aplicación del método de Picard, puesto que la Ec. 19.3 -32 da una solución directa cuando se conocef. Respuestas b y c: n(q, A, K) = 1 - exp ( bKq). 19.H4 Tamaño crítico de un sistema autocatalitico Se desea utilizar el resultado del problema 19.E para discutir el tamafio crítico de un sistema en el que tiene lugar una «reacción autocatalitica)). En un sistema de este tipo los productos de reacción incrementan la velocidad de reacción. Si la relación entre la superficie del sistema y el ‘%- volumen del mismo es grande, los productos de la reacción tienden a escapar hacia los limites del sistema. Sin embargo, si la relación de superficie a volumen es pequeña, la velocidad de escape puede ser menor que la velocidad de formación, y la velocidad de reacción crecerá rápidamente. Para un sistema de forma determinada existirá un tamaño critico, para el cual, la velocidad de producción es exactamente igual a la velocidad de eliminación. Un ejemplo lo constituye la fisión nuclear; en una pila nuclear la velocidad de fisión depende de la concentración local de neutrones. Si los neutrones se producen a una velocidad superior a la de escape por difusión, la reacción se automantiene y se produce una explosión nuclear. 3 N.A. V. PIERCY y J. H. PRESTON, Phil. Mag., 21, 995-1015 (1936). 4 H. SCHUH, Z. arrgew. Mach. Mach. 23-21, 54-50 (1947); NACA Tech. Memo. 1275 (1950). 5 Véase, por ejemplo, F. B. HILDEBRAND, Advanced Calcrdus for Engineers, Prentice-Hall, Nueva York (1943). pp. 107-109. 19-35 DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN Un comportamiento análogo se encuentra también en muchos sistemas químicos, aunque en este caso el comportamiento es, en general, más complejo. Un ejemplo es la descomposición t&mica del acetileno gaseoso, que es termodinámicamente inestable, de acuerdo con la reacción H-M-H --c HI + 2C (19.H-1) Parece ser que esta reacción transcurre a trav6s de una cadena ramificada mediante un mecanismo de radicales libres en el que &os se comportan cualitativamente de igual forma que los neutrones en el ejemplo anterior, de forma que la descomposición es autocatalítica. De acuerdo con esto, el acetileno gaseoso puede almacenarse en condiciones de seguridad- en cilindros de hierro cuyo dihmetro sea inferior al «crítico», que es tanto menor cuanto más elevada es la temperatura o la presión del gas. Si el tubo es demasiado grande, la formaci6n de radicAes libres podría dar lugar a un rápido aumento de la velocidad de descomposición y producirse una explosidn. u. Consideremos un sistema confinado en un largo cilindro en el que el proceso de difusión y reacci6n está representado por + k:c, (19.H-2) con cA = 0 para r= R y cd =f(r) para t = 0, siendo f (r) una adecuada funci6n de r. Utilii el resultado del problema 19.E para obtener una solución de c,, en función de r y 1. b. Demostrar que el radio critico del sistema es (19.H-3) siendo al el primer cero de la función JO de Bessel de orden .cero. c. Para el núcleo de un reactor nuclear cilíndrico sin recubrimiento6 (0,2 por ciento de uranio, 39,8 por ciento de aluminio, y 60 por ciento de agua, en volumen) el valor efectivo de kl”‘/aAa es 9 x lo-3 cm-z. ¿Cuál es el radio crítico? Respuesta: c. &,it = 25.3 cm Difudn no estaciaaarii en m sólido c oa reaccith química y transfemmcia de materia en Ia stqter6cie7~~ Demostrar que la Ec. 19.1-23 puede resolverse utilizando la Ec. 19.1-26, cuando la condición limite de la Ec. 19.1-25 se substituye por 194 -(tI * 9, Ved = k.(c.& - C&) (19.1-1) para las superficies del sólido. En esta exprcsi6n n es la normal dirigida hacia fuera, cAf es la concentración en el fluido que rodea al sólido. y k, es un coeficiente de transferencia de materia. 194 Difusih no estacionaria am reacci60 de primes orden Deducir la Ec. 19.1-26. Comenzar por tomar el transformador de Laplace de la Ec. 19.1-23 y la correspondiente ecuación para f. Expresar el transformador de c, en función del transformador de f; efectuar despds la inversión para llegar a la Ec. 19.1-26. 6 R. L. MURRAY, Nuclear Reactor Physics, Prentice-Hall(1957). pp. 7 P. V. DANCK WERT S, Trans. Famday Soc., 47, 1014-1023 (1951). 23, 30, 53. 8 J. CRANK , The Mathematics of Diffusion, Oxford University Press (1956), pp. 124-125. TRANSPORTE DE MATERIA 19-36 19.K, Dith@nde-en~nocsbdaruio~ Considerese la transferencia de materia de la substancia A entre el disolvente 1 y el disolvente II, ,que se consideraran totalmente i nmiscibles. Se admite ademas que la concentracibn de A es su& cientemente peque@ de forma que se puede utilizar la segunda ley de Fick para describir la difusión en ambas regiones. Se desea resolver las ecuaciones de difusión: acx = a *cI -ii ‘ iiz -OO <t<O ati aqjg 6 -= at O<a<+w siendo cr la concentraci6n de A en la fase 1, y cu la concentraci6n de A en la fase II. 9r y 9u son los coeficientes de difusi6n de A en las fases 1 y II. Las condiciones inicial y límite son parar=0 parar=0 c, = cf para-oo<z<o (19.K-3) paraz=o cn = c# cu = mq palaO<s<+m paracualquiert<O (19.K-4) (19.K-5) para z-O - (19.K-6) parar=-= c, = cp cn = c,o (19.K-7) (19.K-8) para z = + 00 La primera condición lhnite para z = 0 pone de manitieato la existencia de equilibrio en la interfase, siendo m un «coeficiente de distribución» o «constante de la ley de Henry». La segunda condici6n limite establece que la densidad de flujo molar calculada para z = 0 - es igual que para z = 0 + ; es decir, que no hay perdida de A en la interfase. Resolver estas ecuaciones simultaneaa por medio del transformador-de Laplacee, u otro m&odo adecuado, con el 6n de obtener estos perliles de concentracibn: CI - CI” cIIo - mcI” cu - CII0 CI” - Ulmh” I 1 + erf */dz m + */adaIr l- erf */44% = (l/m) + dS= 19.L, Medida d e lllfblvídadea gaseoms Un tubo de difusibn de longitud 2L y sección uniforme S contiene un tabique en el tubo (z= 0) que se puede retirar en el instante t = 0 para permitir la difusión. En cada extremos (z = f L) el tubo esti conectado a un recipiente de volumen Y provisto de que mantienen una concentración uniforme ene1 recipiente. Iniciahnente, la región z tiene el gas A puro, y la región z < 0 el B puro. (19.K-9) (19.K-10) centro del uno de sus agitadores > 0 con- 9 Vease, por ejem?l?. W. R. MARSHALL, Jr., y R. L. PIGFORD, Thr Application of Differential Equations to Chemical Engineering Problems, University of Delaware Press, Newark, Delaware (1947). pp. 134-136. Los métodos de la transformación de Laplace han sido utilizados por E. J. SCOTT. L. H. T UNG y H. Cl. DRICKAMER, J. Chem. Phys., 19, 10751078 (1951) para la resoluci6n del mismo problema sin suponer que existe equilibrio en la interfase. DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN q 19-37 a. Demostrar que la concentración de A en los recipientes al cabo del tiempo t viene dada porto (19.L-1) siendo y,, la raíz n-ésima de y tan y = N, y N = SL/ V. E l s i g n o i corresponde a los recipientes conectados a f L. b. Comparar numéricamente los resultados de la JZc. 19.L-1 con las medidas experimentales de Andrew.11 10 R. B. BIRD, Advances in Chemical Engineering, vol. 1, Academic Press, Nueva York (1956). p. 207. 11 S. P. S. ANDREW, Chem. Eng. Sci.. 4, 269-272 (1955). CAPfTULO 20 DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACION EN FLUJO TURBULENTO En los capítulos anteriores se han deducido las ecuaciones de difusión en un sólido o en un líquido, y se ha visto cómo pueden obtenerse expresiones para la distribución de concentración cuando el flujo no es turbulento. En este capítulo se considera el transporte turbulento de materia, del que actualmente se conoce bastante poco. La discusión que se presenta aquí es semejante a la del Capítulo 12. En realidad se da un tratamiento bastante corto debido a que muchas cuestiones se deducen por analogía. En este capítulo se consideran solamente sistemas binarios isotérmicas cuya densidad p y difusividad QAB son, aproximadamente, constantes. Por con& guiente, la ecuación entre derivadas parciales que describe la difusión en un fluido en movimiento (Ec. 18.1- 17) tiene exactamente la misma forma que la del transporte de calor en un fluido incompresible (Ec. 10.1-23, excepto que aquélla incluye un término de reacción química. $20.1 FLUCTUACIONES DE CONCENTRACI6N Y LA CONCENTRACIÓN DE TIEMPO AJUSTADO Por analogía, pueden aplicarse aquí los comentarios que con respecto al aspecto físico se han hecho en 0 12.1. En este caso se operará en función de la concentración molar c,,. En una corriente turbulenta, cA será una función del tiempo, que oscila rápidament,e. Por lo tanto, es conveniente substituir c,, por la suma de un valor de tiempo ajustado cA y una fluctuación de concentración turbulenta c,’ : cA = f, + CA’ (20. l-l) de forma análoga a la Ec. 12.1- 1 para la temperatura. Teniendo en cuenta la definición de c’~, -resulta que CT = 0. Sin embargo, los términos tales como v%‘c’~, dyC’& y V’*C’A son distintos de cero, debido a que las fluctuaciones locales de velocidad y concentración no son independientes entre sí. Los perfiles de concentración de tiempo ajustado CJx, y, z, t) son los que st hallarían, por ejemplo, tomando muestras de la corriente. Para el caso del flujo en un tubo con transferencia de materia en la pared del mismo, es de esperar que en el núcleo turbulento, en el que predomina el transporte de remolino, la concentración de tiempo ajustado C,, sólo variará TRANSPORTE DE MATERIA 2&2 ‘$ ligeramente. Sin embargo, para la corriente que se mueve lentamente junto a la pared, la concentración CA debe de variar rápidamente a lo largo de una pequeña distancia, desde el valor en el nucleo turbulento hasta el valor en la pared. Por lo tanto, el pronunciado gradiente de concentración esta relacionado con el lento proceso de difusión molecular en la subcapa laminar, en oposición al rápido transporte de remolino que tiene lugar en el núcleo turbulento totalmente desarrollado. $ 20.2 AJUSTE DE TIEMPO DE LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD DE A Comenzamos con la ecuación de continuidad de la substancia A, la cual se supone que es eliminada de acuerdo con una reacción química1 de orden n. (Vease Ec. 18.1-17.) + (20.2-1) gA B En esta expresión k,“’ es la constante de velocidad de reacción para la reacción homogénea de orden n, y se supone que k,“’ es independiente de la posición. En las ecuaciones ‘que siguen se considerará n = 1 y n = 2 con el fin de poner de manifiesto la diferencia entre una reacción de primer orden y otra de orden superior. Substituyendo cA y vi por CA + c.,’ y ü, + vii, y promediando el tiempo, se ob~ tiene _. _. .___. ____ _ _ __. .__ ___. ________. _ ._ . .-. . -_. . . . __ _ __ _ _ _ _ _ pcA + gAI3 a2cA =+-+ aY2 ascA kíCA ’ k;(cA2 + __.cA’2) ____ (20.2-2) Comparando esta ecuación con la Ec. 20.2-1 se observa que la ecuación de tiempo ajustado difiere solamente en la aparición de algunos términos adicionales (subrayados con una línea de puntos). Los términos que contienen v’~c’” describen el transporte turbulento de materia, y el componente i de esta densidad de flujo se designa por $). Se obtiene así la tercera de las densidades de flujo turbulento, que podemos resumir en esta forma: 1 S. CORRSIN, Physics of ISi& 1, 42-47 (1958). DISTRIBUCIONKS DE CONCENTRACION ‘q densidad de flujo turbulento de cantidad de movimiento (tensor) densidad de flujo turbulento de energla (vector) densidad de flujo turbulento de materia (vector) 20 -3 -te = pl+‘ll*’ (20.2-3) qj” = (20.2-4) 7ij pé&T' J ;(t ) = vi ‘CA ’ (20.2-5) Todas estas expresiones están definidas con;0 densidades de flujo con respecto a la velocidad másica media. Es interesante observar que existe una diferencia esencial entre el comportamiento de las reacciones químicas de diferente; órdenes. La reacción de primer orden está descrita por tina ecuación diferencial lineal, y el. termino de reacción química tiene la misma forma en la ecuaciónde tiempo ajustado que en la ecuación original. La reacción de segundo orden está descrita por una ecuación no lineal, y el ajuste de tiempo da lugar al término ,adicional +s” q. Es decir, para una reacción de primer orden la velocidad media de conversión es independiente de las fluctuaciones de concentración, mientras que para reacciones de orden superior es de prever una variación considerable con dichas fluctuaciones. A continuación se resumen las tres ecuaciones de variación de tiempo ajustado para el flujo turbulento de una mezcla isotermica de dos fluidos de p, gAg, y pu, constantes : ecuacion de continuidad de tiempo ajustado ecuación de movimiento de tiempo ajustado ecuación de continuidad de A de tiempo ajustado (V-õ)= Dü P ot = 0 -vp - [V *F-J - [V * +y + pg DFA = -(V . j$‘) - (V *ji)) _ _____. _._ _ .._ Dt. (20.2-6) (20.2-7) (20.2-8) siendo #‘) = -BABVCA, y la velocidad que interviene en el operador DIDt es la velocidad de tiempo ajustado ü. $ 20.3 EXPRESIONES SEMIEMPfRICAS PARA LA DENSIDAD DE FLUJO TURBULENTO DE MATERIA Para resolver la Ec. 20.2-8 es preciso relacionar la densidad de flujo turbulento de materia j(t\ que aparece en la Ec. 20.2-8, con C, o su gradiente. También en 2J-4 TRANSPORTE DE MATERIA este caso, lo mismo que para las densidades de flujo turbulento de energía y cantidad de movimiento, se dispone de varias expresiones semiempíricas. Como quiera que son totalmente análogas a las que se han expuesto en 9 12.3, aquí nos limitaremos casi exclusivamente a presentarlas: La difusividad de remolino* Por analogÍa con la ley de difusión de Fick, en l a q u e LQB es la «difusividad turbulenta» o «difusividad de remolino». Debido a la analogía entre transferencia de calor y materia, se acostumbra admitir que @~‘B/x(~) = 1, siendo ~y.‘~) la difusividad térmica de remolino. Se admite también que v(< ,(tJ está comprendido entre 05 y 1. (Véase $ 12.3.) tipresiones de la longitud de mezcla de Prandtl y Taylor Por analogía con la Ec. 12.3-2, (20.3-2) Én esta expresión 1 es la longitud de mezcla, que para el flujo en conducciones se toma, generalmente, igual a KIy, siendo y la distancia medida desde la pared. Expresión basada en la hipótesis de semejanza de von Kkmán Por analogía con la Ec. 12.3-3, j-y; = - K22 W ,l&)3 dfAt I (d2ü,/d y”)” l dy (20.3-3) en la que ~~ es la misma constante que aparece en las Ecs. 5.3-3 y 12.3-3. Pórmula empirica de Deissler para la región próxima a la pared Por analogía con la Ec. 12.3-4, Deissler propuso la expresión jAy = - n2ü 2 y [1 - exp ($d!)]!$ (20.3-4) siendo aquí n la misma constante que se utiliza en las Ecs. 5.3-4 y 12.3-4. 1 Para un resumen de las medidas experimentales de la difusividad de remolino, vease T. K. SHEaWooD Y R. L. PIGFORD, Absorption and Extraction, McGraw-Hill, Nueva York (1952), capítulo 11 Y J. B. O PFELL y B. H. SAGE, Turbulence in Thermal and Material Transport, capítulo de Advances ifl Chemical Engineering, vol. 1, pp. 242-290 (1956). DISTRIBUCIONES Ejemplo 20.3- 1 . P erfiles de concentra&511 DE CONCENTRACIÓN -20-5 para el flujo turbuhto ea tubos circulares lisos Utilizar la analogía entre transferencia de calor y materia para expresar los resultados clave del ejemplo 12.3 -1, para la transferencia turbulenta de materia en tubos con densidad de flujo de materia constante en la pared. !Wuci6n. En primer lugar, obsérvese que, sin los términos de reacción química, la Ec. 20.2-1 tiene exactamente la misma forma que la Ec. 12.2-1 sin los términos de disipación viscosa. En el ejemplo 12.3-1 se ha detenido la solución para transación de calor sin disipación viscosa; por 10 tanto, efectuando los adecuados cambios de notación, será válida para transferencia de materia sin reacciones químicas. La concentración adimensional cA* se define mediante la expresión: ( 20. 3-5) y por analogía con las Ecs. 12.3-19 y 12.3 -22, se expresan los perfiles de concentración*: 1 S+ cA+ - cAl+ = - In + Kl &+ s+ > 26 ( 20. 3-6) Sl s+ < 26 ( 20. 3-7) - exp (-n%+s+)] donde v ‘- viene dada por la Ec. 5.3 - 15, y Sc, el número de Schmidt, substituye al número de Prandtl. Al expresar la solucibn analógica se ha supuesto que la velocidad de transferencia de materia en la pared, NAO, es suficientemente pequeña, de forma que no se perturban los modelos de flujo; los efectos de elevadas velocidades de transferencia de materia se estudian en el Capítulo 21. La conclusion de la discusión que antecede es que se puede utilizar la Fig. 12.3-2 para los ciilculos de transferencia de materia, con tal de que se substituya T+ por cA+ y Pr por Sc. Ejemplo 20.3-2. Evaporacih de amoniaco en una colbmna de pared mojada Por la superficie exterior de un tubo cilíndrico de 5 cm de diámetro desciende amoniaco acuoso a 20” C. Por el interior del tubo asciende aire saturado con agua, con un número de Reynolds de 25.000. Para mezclas diluidas de amoniaco en aire, el número de Schmidt Sc = pu,t,.Jpatre P atrr-~n, vale 0,61. El factor de friccion para la corriente ascendente de aire puede tomarse como 0,007. Representar gráficamente el petlil de concentración en la columna. Solución. Para los cálculos se necesitan los siguientes vaiores: P aire V*i, = Paire <ü> = (25.000)(0,146) - y* = = 0,146 cm* seg-1 (5) = 730 cm seg-l 3 = d\/ fw,a* P * Estos resultados corresponden a R. G. DEISSLER, = 43,2 cm seg-l NACA Reporr 1210 (1955). TRANSPORTE DE MATERIA 20-6 ‘“sl3, Por lo tanto, Q1 el centro del tubo crtl , = 1 #+ *s + Éste es el valor más alto de s+ que se encuentra. Los per%les de concentración de NH3 vienen, por consiguiente, dados por Q 1,64 + 0,0154A+[l ds+ - exp (-0,0154.&+)] s+ &, - 92 + 2,78 In z6 = -0,3 + 2,78 In s+ * a X& (ocs+<26) (26 < s+ < 740) (20.3-8) (20.3-9) En la tabla 20.4- 1 se dan los resultados del cAlculo. TABLA 20.3-1 CkCULO DE PERFILES DB CONCENTRACL6N V+ S+ 0 0 :s 290 3.0 KO 795 10,o 13,0 1 2: 391 52 w 15,o 26.0 50 aoo 400 740 X” x= dc+ m, ‘dr+ 1,64+ 0 ’ 0,61 1,64 1,64 + + o,oooz 0,001 461 164 + 0,004 1,64 + 0,02 164 + 0,13 164 + 0,66 1,64 + 2,lO 1,64 + $19 0,61 0,61 os60 457 oC14 0,27 0,15 c+NHs 0 0,92 0,61 . 1,2 139 331 439 790 933 196 12,5 14,s 16,4 18,l En las Figs. 20.3 -- 1 y 20.3- 2 se representan, respectivamente, los valores de X y C+NH, c+ ~ ,(ctr) frente a s+. Se observa que la contribución del nficleo turbulento ala resistencia global es considerable, y que el pertil de concentraci6n presenta un cambio brusco de la pendiente en el centro de la conducción. Este cambio brusco no ocurre en la realidad sino que representa un defecto inherente a la distribuci6n simplificada de la densidad de flujo. En el presente caso el error que se comete utihxando esta expresión no es muy grande, pero a bajos números de Schmidt puede ser considerable. Para números de Schmidt mas elevados, donde casi toda la variación de concentración tiene lugar en la zona de transición, este error es despreciable. DISTRZBUCIONES 1 2 za-7 DE CONCENTRACIÓN 3 4 5 Y+ Ois 800 47 700 de+ ‘46 Z’ 03 600 dc+ ’ z+ wo 084 100 300 O? 2Qo 41 100 0 0 5 10 15 20 25 S+ 0 Fig. 203-1. Gradientes de conce&acih para la evaporación de amoniaco en un tubo ‘con flujo turbulento; tambih se mpmscntan los gradientes de concentracih para la ekctv de plata en un @%odo. (Vhe el problema 20.8.) .+t.; Fio. 20.3-2. Perfiles de concentrac& para el flujo turbu&nto en u n tubo. TRANSPORTE DE MATERIA ; 8,:’ 20;4 LA DOBLE CORRELAC16N D E C O N C E N T R A C I Ó N Y SU . PROPAGACIÓN! ECUACI6N DE CORRSIN I. i ~El método estadístico utilizado para la transferencia turbulenta de calor se ha ‘extendido a la transferencia de materia con reacciones químicas.* El tratamiento .es idtktico al de 0 12.4, de forma que aquí se dará solamente el resultado. En primer lugar, vamos a definir las funciones adimensionales VAi, WA y QAi, de igual forma que las correlaciones correspondientes a las Ecs. 12.4- 1, 2 y 3, reemplazando ’ siempre T’ y T” por c’ ,, y c”“. Definimos también w,, y qA como funciones análogas a w y q de las Ecs. 12.4-5 y 6. Por lo tanto, la ecuación análoga a la Ec. 12.4-10 para turbulencia isotrópica homogénea con reacción química de primer orden, es - 2k;&v, (20.4-1) que fue deducida por Corrsin.1 Este resultado difiere de la Ec. 12.4-10 solamente en que aparece un término adicional para la reacción química. CUES TION ES P ARA DIS CUTIR f 1. Discútanse las semejanzas y diferencias entre el transporte turbulento de calor y materia. 2. Discútase el comportamiento de las reacciones químicas de primer orden y orden superior, ,por lo que respecta al ajuste de tiempo de la ecuaci6n de continuidad para una determinada especie. ¿QuC consecuencias se deducen de esto? 3. iCómo estAn relacionadas entre sí la difusividad, conductividad y viscosidad de remolino? 4. $uál es la analogía de transferencia de materia equivalente a la analogía de Reynolds que se ha estudiado en 5 12.3 ? 5. Interpretar las curvas de las Figs. 20.3-1 y 2 en función de las tres regiones hipotkticas: núcleo turbulento, zona de transición y subcapa laminar. 6. iCómo pueden medirse difusividades de remolino? iDe quC dependeran? PROBLEMAS . li, 2O.A‘ Determinación de la dlfusividad de remolino _. 0’ En el problema 17.K se ha dado la f6rmula correspondiente a los perfiles de concentración ‘. . : .&w la difusibn desde un manantial puntual hacia una corriente en movimiento. Para flujo iso,,&;~trópico altamente turbulento, la Ec. 17.K-2 puede modificarse substituyendo BAs por 92;. Por :.: ‘Io tinto, la ecuacibn puede utilizarse para determinar la difusividad turbulenta o de remolino. .s,.,i :, ,’ ’ :r<: :‘.. .“i,‘. 1 s. CUlUtSlN, Physics of Fluids, 1, 42-47 (1958). ;;; ” , T’, ;?L i;;:“, .+.!W<< f $$$p.; ~~~~~,~~ * DISTRIBUCIONES I - 46 ;+ O+ / I b+ / l+ 1 0.4 42 DE CONCENTRACIÓN ! ; I +; 1 .++j 0 r/R - 20-9 ‘0 42 O,4 , OK Fig. 20.A. Datos de concentracih transversal para CO2 inyectado en el interior de una corriente turbulenta de aire en un tubo de 15,24 cm de diámetro. El número de Reynolds para el flujoes 119.000. Los círculos representan concentraciones para z = 112,5 cm, y las cruces para 152,7 cm. Los puntos experimentales están tomados de W. L. TOWLE y T. K SHERWOOD, Znd. Eng. Chem., 31, 457-462 (1939). _ Movimiento de tos electrones+ Fig. 20.B. Electrodeposicih de Ag+ desde una corriente turbulenta que circula en la direccih +z entre dos láminas paralelas. 20-10 % TR A N SP O R TE DE M A TER IA Demostrar que si se representa In SC, frente a (s - z), la pendiente es -v0/29:i. b. Utilizar los datos de la difusión de CO2 desde un manantial puntual hacia una corriente turbulenta de aire (vtase Fig. 20.A) con el fin de obtener 92; p ara estas condiciones: diámetro ‘del tubo 15,24 cm, y VO = 15.12 m seg-1 Respuesta: 9% = i9 cm2 seg-* a. 20.B3 D eposición de plata desde una corriente turbulenta Una solución de KNO,, aproximadamente O,lN, que contiene 1 ,00 x 10-6 eq-g dt. Ag NO, por litro, fluye entre dos láminas paralelas de Ag, tal como se indica en la Fig. 20.B. Con el fin de depositar Ag sobre el cátodo (lámina inferior) y polarizar completamente el circuito (es decir, mantener la concentración de Ag+ muy próxima a cero en el cátodo) se aplica un pequeiio voltaje entre las láminas. En estas condiciones (véase ejemplo 18.P), se, puede despreciar la difusión forzada y considerar que el i6n Ag+ se mueve hacia el cátodo por difusión ordinaria y de remolino exclusivamente. Por otra parte, la disolución es suficientemente diluida (véase ejemplo 18.5-4), de forma que los efectos de las demás especies iónicas sobre la difusión de Ag-t son despreciables. a. Calcular el perfil de concentración de Ag+, suponiendo: (i) que la difusividad binaria efectiva de Ag+ a través de agua es 1,06x lo-5 cm2 seg-1, y que la viscosidad cinemática del agua es ,i,Ol x 10-2 cm2 seg-t ; (ii) que la distribución de velocidad de Deissler-Prandtl para conductos circulares es vilida también pard el <&ja en rendijas», si se substituye el diámetro del tubo por el cuádruplo del radio hidráulico; (iii) que las láminas estAn a una distancia de 1.27 cm. y L’Gp vale 11.4 cm seg-1. b. Estimar la velocidad ‘de deposición. de plata sobre el cátodo, despreciando todas las demás reacciones de electrodo. c. iPredice el mdtodo de cálculo del apartado (a) una pendiente tiiscontinua para el perfil de concentración en el plano central del sistema? Explíquese. Respuestas: a. V+mse las Figs. 20.3-1 y 2 b. 6.7 x lo-12 eqvts seg-1 cm-2 CAPfTULO 21 TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS DE VARIOS COMPONENTES Las correlaciones de las velocidades de transferencia de materia en una interfase son muy utilizadas para el análisis ingenieril de procesos tales como destilación, absorción, extracción, secado y reacciones químicas heterogéneas. Estas correlaciones son en gran parte empíricas, debido a que, en general, los procesos son demasiado complejos paca analizarlos detalladamente. Sin embargo, las ecuaciones de variación del Capítulo 18 proporcionan una base-adecuada para la elección de los grupos adimensionales de correlación, y cada vez enouentran mayor utilidad para el análisis y extrapolación de los datos experimentales. Este capítulo es una ampliación de los Capítulos 6 y 13 en los que se han considerado las correlaciones de transmisión de calor y .cantidad de movimiento entre un fluido y un sólido que lo limita. Aquí se utiliza la correlación de velocidades de transferencia de materia en la interfase, extendiendo a mezclas los resultados de los Capítulos 6 y 13. En $ 21.1 se resumen las definiciones de los coeficientes de transferencia de materia para mezclas binarias. En $ 21.2 se dan algunas reglas sencillas para predecir coeficientes de transferencia de materia para uno de los lados de la fase límite, a bajas velocidades de transferencia de materia, utilizando las analogías entre transferencia de calor y materia. En 0 21.3 se discute brevemente el cálculo de la transferencia de materia fluido-fluido para ambos lados de la interfase, basándose en la teoría de doble pehcula de Whitman. Es preciso tener en cuenta que los resultados de $0 21.2 y 21.3 están restringidos para sistemas binarios y bajas velocidades de transferencia de materia. En $ 21.4 se definen coeficientes de transferencia de materia, calor y cantidad de movimiento, para sistemas binarios con elevadas velocidades de transferencia de materia y en las tres secciones siguientes se aborda la predicción de estos coeficientes mediante la teoría de película, la teoría de penetración y la teoría de capa límite. Finalmente, en 0 21.8 se indican los métodos de estimación de coeficientes de transferencia en sistemas de varios componentes. En este capítulo nos limitamos a considerar unas cuantas cuestiones clave sobre la transferencia de materia, y correlaciones con ella relacionadas, con el fin de intro- TRANSPORTE DE MATERIA 21-2 ‘5% ducir al lector a este tema que se está desarrollando con mucha rapidez. Una mayor información puede encontrarse en otros libros de transferencia de materia112*314J. $ 21 .l DEFINICIÓN DE COEFICIENTES BINARIOS DE TRANSFERENCIA DE MATERIA EN UNA SOLA FASE En este capítulo se estudia el movimiento de materia a través de una interfase. La interfase puede ser una verdadera fase límite, como en la Fig. 21.1- 1, o una pared porosa, como en la Fig. 21.1-2. La transferencia de materia puede tener lugar en presencia de dos especies, como en la Fig. 21.1- 1, o bien en un fluido puro como en la Fig. 21.1-2. En la mayor parte de los sistemas de transferencia de materia intervienen mezclas cuya composición varía, y en estos casos los coeficientes de transferencia de materia constituyen un medio conveniente de presentar los datos experimentales para diseño. vapor A qve SC mueve da la ‘corriente Fig. 21.1-1. Ejemplo de transferencia de materia a través de una fase límite: secado de una Umina saturada. Consideremos el flujo de una corriente’ A y B a lo largo de una superficie de transferencia de materia y = 0, a través de la cual las especies A y B penetran en la corriente con velocidades locales NA0 y Nb0 moles/(unidad de área) (unidad de tiempo). En la Fig. 21.1-3 se representa un sistema típico que mu,estra la forma en que se aplican a un caso concreto los términos que se útilizanaquí. Obsérvese que N,,,,, y NB,, son los componentes de las densidades de flujo Ni y N,en la interfase, medidas hacia el interior de la fase considerada; esta fase en la Fig. 21.1-3 es la gaseosa. El movimiento de cada especie a través de la interfase puede expresarse como la suma de una contribución difusional y una contribución de flujo global 1 T. K. SHERWOOD (1952). y R. L. PIGFORD, Absorption und Extraction, McGraw-Hill, Nueva York Operations, McGraw-Hill, Nueva York (1952). «General Theory of Diffusional Operations», Secci6n 8 de Chemical Engineers’ Hundbook, J. H. Perry (Ed.), McGraw-Hill, Nueva York (1950). 4 W. M. RAMM, A&orptionsprozesse in der chemischen Industrie, Vedag Technik Berlin (1952). 5 W. MATZ, Die Thermodynamik des W¿irme- und Stuffuustausches in der Verfahrenstechnik, Steinkopff, Frankfurt-am-Main (1949). 2 R. E. T REYBAL , Mass Transfer 3 A. P. COLBIJRN y R. L. PIGFORD, TRANSPORTE DE INTERFASE 21-3 Gas A /hectodo que s* alcio da lo pared Gas A frio Fig. 21.1-2. Ejemplo de transferencia de materia a través de una pared porosa: enfriamiento por transpiracibn. i Pared del tubo En la infdare Fig. 21.1-3. Esquema de la transferencia de materia de A y B desde una corriente descendente de líquido a una corriente gaseosa ascendente de A y B en un tubo vertical. 21-4 ,L$ TRANSPORTE DE MATERIA (véase EC. ,16.2-2). En este caso la contribución difusional es proporcional al gradiente de concentración en la pared, y, por consiguiente, deberá de ser, aproximadamente proporcional a una diferencia característica de concentración, AxA, entre ‘la del fluido en la superficie y en la corriente global. Por otra parte, la contribución debida al flujo global puede tener lugar sin ninguna diferencia de composición. (Véase, por ejemplo, la Fig. 21.1-2.) Según esto, parece conveniente definir el coeficiente de transferencia de materia, k&, en función de la velocidad de difiidn de ambas especies en dirección normal a la interfase: J~v*lv=o = -J~r*iu=o = k,‘loe Az4 (21.1-1) Expresando esto en función de las densidades de flujo molares NA0 y NBe, se obtiene - x,&,(N,, + NB) = &c AXA NBO- XB~#AO + NB,,) = k$w AxB NAO (21.1-2) (21.1-3) siendo xAO = 1 - xsg la fracción molar de la especie A del lado de la interfase correspondiente a la corriente. Obsérvese el paralelismo .entre estas ecuaciones y la ley de Fick (Ec. 16.2-2). Substituyendo xn por 1 - x,, la Ec. 21.1-3 se transforma en la Ec. 21.1-2, de forma que sólo es necesaria una de ellas y el valor de @, es el mismo cualquiera que sea la ecuación que se utiiice. En el tratamiento que sigue omitiremos ras ecuaciones correspondientes a la Ec. 21.1-3. El punto negro (0) situado sobre k& sirve para recordar que el coeficiente de transferencia de materia depende intrínsecamente de la velocidad de transferencia de materia. Este efecto se debe a la distorsión de los perfiles de velocidad y concentración que se produce a causa del flujo de A y B a través de la interfase. Como este efecto es pequeño en muchas aplicaciones, no se discutirá con detalle hasta las secciones $9 21.4 y siguientes. En el límite de pequeñas velocidades de transferencia de materia NA,, y NBe, puede despreciarse la distorsión de los perfiles de velocidad y concentración debido a la transferencia de materia. Para’ esta condición límite, es conveniente definir un coeficiente de transferencia de materia mediante la ecuación* 1 Los coeficientes de transferencia de materia definidos aquí no corresponden a los utilizados en la mayor parte de las publicaciones. Sin embargo, el coeficiente k, es análogo al coeficiente F utilizado por A. P. COLBURN y T. B. DREW, Tnms. A. 1. Ch. E., 33, 197-212 (1937). Con el fin de aplicar otras correlaciones publicadas a la teoría que se describe aquí, es preciso saber en que forma están relacionadas las distintas definiciones. Es frecuente definir coeficientes de transferencia de materia mediante expresiones tales como 0 NA, = S Apa, (21.1-44 Nm = k, Ac, (21.1-4 TRANSPORTE DE INTERFASE N Ao - GOWAO + NBO) 21-5 = k (21.1-4) z.loc 1 x&+o ( Según se demuestra en & secciones siguientes, para velocidades de transferencia de materia relativamente bajas se puede introducir en la Ec. 21.1-2 kx,loc en vez de k& es decir, despreciar la corrección de ,k,,l lti debida a la velocidad de transferencia de materia. La diferencia entre k,, loc y k? loe puede apreciarse también, comparando la forma de las correlaciones adimensionales que se obtendrán después para estas magnitudes : lim lV&+O AZ.4 k x9 loc D = una función de Re, Sc y la geometría (21.14) %iD = una función de Re, Sc, NAO + NB, y la geometría ~ k x, loc ’ C~.AB (21.1-6) C~Alzl La mayor parte de las correlaciones existentes para transferencia de materia por convección forzada pueden expresarse según la forma de la Ec. 21.1-5. En $ 21.5 y siguientes se consideran los métodos de estimación del efecto de otros grupos adimensionales. Por analogía con la Ec. 21.1-2 se puede definir un coeficiente medio de transferencia de materia para superficies de área finita A : que se utilizan para gases y líquidos, respectivamente, para cualquier velocidad de transferencia de materia. Obskvese que en la PC. 21.1-2 se ha reatado el termino de flujo global, de forma que k* AzA es la velocidad de transferencia de materia en la interfase debida exclusivamente a la difusi&; sin embargo, las E&. 21.1~4a, 6, representan la combinación de las contribuciones de !a difusión y del flujo global. *Por esta razón, k, y kL varían de una forma más complicada con la concentraci6n y las velocidades de transferencia de materia que k? . Para el caso frecuentemente estudiado de que NB = 0, las relaciones entre estos coeficientes son k’ = k<,pfl - x.,o) = kd)Bo (para p constante) (21.1~4c) k? = K&I - XA,,) = k,cm (para c constante) (21.144 Para pequeiias velocidades de transferencia de materia, k$ puede substituirse por k, y pB y cB se hacen, aproximadamente, constantes en la sección transversal correspondiente. Por consiguiente, las Ecs. 21.1 +c, d, pueden expresarse en función de la media logarítmica de pB y c, entre las condiciones en la interfase y en la corriente principal k. = kopmn k. = k,c,,,, (21.144 (21.1-4.f) Hemos introducido pB>trr y cs,ta con el fin de indicar la forma en que se puede determinar k,a partir de correlaciones en las que aparezcan estas magnitudes. ‘~ 21- 6 TR A N SP O R TE DE M A TER IA (21.1-7) ‘y como para pequeñas velocidades de transferencia de materia se pu& suponer k, = kt, resulta i)pJQ - xAo(%@ ‘) + 3&‘$“)) =f k,+4 Ax~ (21.143) en las que $“d’) y %‘g’ son las velocidades molares de adición de A y B a la coniente en toda la superficie.2 La magnitud xAO es una diferencia característica de composición. Comparando la Ec. 21 .l -8 con la Ec. 13.1- 1 para transmisión de calor, se observa que ambas ecuaciones son fundamentalmente semejantes. De forma que la velocidad de difusión %“y,“’ - ~~,J(~P’~’ + :)f ‘g’) corresponde a la velocidad de conducción de calor Q, Ax, corresponde a AT y k, corresponde a h. Cualquiera de las ecuaciones utilizadas en las distintas definiciones de h en 6 13.1 puede servir para transferencia de materia efectuando substituciones análogas. Por ejemplo, la ecuación de transferencia de materia análoga a la Ec. 13.1-2 es @/92?) - xAo(@-Jp) (21.1-9) + wp)> i= k&DL)(xAo - xA,J Esta ecuación se aplica para lenta transferencia de materia entre la pared de un tubo y un fluido que circula por su interior. Aquí se considera que la composici6n interfacial xAO es constante en la región de transferencia de materia de longitud L.. La transferencia de materia puede provenir, por mencionar sólo algunas posibilidades, de vaporización, condensación, cristalización, disolución o ,reacción catalítica en ., la pared. En esta ecuaclon, xAbl es la composición global (de «mezcla homogénea») de la corriente que llega a la región de transferencia de materia. En los párrafos que siguen se dan algunas definiciones, muy utilizadas, que son aplicables a sistemas de geometría complicada. Para lenta transferencia de materia en una conducción, cuya área interfacial y y composición son conocidas, es conveniente emplear un coeficiente local de transferencia de materia para una sola fase: o bien da9,“’ = k,,~,(z~,, - xAb) dA + zAo(d (le$“’ + d byp)) NAO = kz. lo&~o - x.d + XAOWAO + NBO) (21.1-10) (21.1-11) En estas expresiones, xAO y x& son las fracciones molares locales, interfacil y de mezcla homogénea, en la fase considerada, y N,,,, = dW $“/dA y N, = dW g)/dA son las densidades de flujo molares locales hacia el interior de dicha fase, en el elemento de área dA. 2 El indice superior (m) representa un flujo a travks de una «superficie de transferencia de materia». Si bien en este caso la notación es innecesaria, resulta, en cambio, muy útil en $ 21.4 y en el Capítulo 22. TRANSPORTE DE INTERFASE 21-7 La Ec. 21;1- 10 corresponde a la Ec. 13.1--5 para transmisión de calor a un fluido en un tubo circular, si se tomadA = ~0 dz y se opera con los valores medios de NAO y xAO para este clemente de área de forma anular. (Véase Fig. 13.1-1.) Para la transferencia de materia entre un objeto sumergido y un fluido que lo rodea, los coeficientes de transferencia de materia se expresan, generalmente, para el área de toda la superficie A. Si la concentración xAO del fluido junto a la superficie es uniforme, la Ec. 21.1-7 se expresa así para bajas velocidades de transferencia de materia: (21.1-12) en la que .xAco es la composición uniforme del fluido que se acerca al objeto. Esta definición corresponde a la Ec. 13.1-6 para la transmisión de calor desde una ,’ esfera a un Ruido que la rodea. Para sistemas de área interfacial desconocida, tales como pulverizadores de gotas o burbujas, es preciso modificar las Ecs. 21.1- 10 y ll. Un procedimiento frecuente consiste en basar los coeficientes de transferencia en la unidad de volumen del sistema, lo que conduce a la siguiente modificación de la Ec. 21.1-10 para bajas velocidades de transferencia de materia: dW:*’ = &&&,io - zAb) d V + z&fW J,m) + dQ@Q) (21.1-13) en la que alOC es el área interfacial por unidad de volumen correspondiente al elemento de volumen dV. La magnitud conjunta (kxa)r,, puede medirse, mientras que kx,loc Y aloc no. Si al otro lado de la interfase hay un sólido o un fluido puros, la composición interfacial local xA,, se calcula directamente. En este caso se puede obtener xAO con muy buena aproximación suponiendo que hay equilibrio en la interfase, tal como se ha hecho en 0 17.2 y en el Ejemplo 19.1-1. En $ 21.3 y en el Ejemplo 22.5-2 se trata el problema más general en el que existen gradientes de concentración a ambos lados de la interfase. Como se ve, las Ecs. 21.1-2 y 3 relacionan una diferencia de concentración (dxA= = -dxa) con dos velocidades de transferencia de materia. Por consiguiente, para resolver problemas de transferencia de materia se requiere más información que para los problemas de los Capítulos 6 y 13. Por ejemplo, el especificar kx@ ,loo XA~, e dxA en la Ec.21.1-2 no determina, en general, NAO o Nao, sino tan sólo la velocidad de difusih de A o B relativa al flujo global a través de la interfase; para completar la solución se necesita una relación distinta entre NAO y NBO. Ejemplos de estas relaciones pueden verse en 0 17.2, donde la relación Na = 0 se ha obtenido a partir de la solubilidad, en 5 17.3, en la que la relación NAlz = - *NA8 se obtuvo a partir del balance de materia (estequiometría) de una reacción química, y, finalmente en 0 17.4, donde la relación cA(NAz + NBz) 2 0 se ha obtenido teniendo en cuenta la solubilidad. A veces, como ocurre en el Problema 18.N, la relación que se necesita puede obtenerse mediante un balance de energía o de cantidad de movimiento. TRANSPORTE 2 1 -8 DE MATERIA ti 4 21.2 CORRELACIONES DE COEFICIENTES BINARIOS DE TRANSFERENCIA DE MATERIA EN UNA SOLA FASE PARA BAJAS VELOCIDADES DE TRANSFERENCIA DE MATERIA Las soluciones de muchos problemas de transferencia de materia para bajas velocidades de transferencia de materia pueden obtenerse por analogía con los correspondientes problemas de transmisión de cálor y viceversa. Por lo tanto, en esta sección no se presentan nuevas correlaciones, sino que se indica simplemente cómo se pueden convertir los resultados del Capítulo 13 en las correlaciones análogas para transferencia de materia. Algunos de los resultados del Capítulo 13 se han obtenido a su vez por analogía con los datos de transferencia de materia. Para ilustrar el fundamento de estas analogías y las condiciones en que son aplicables, vamos a estudiar la transferencia de materia desde el punto de vista del análisis dimensional análogo al expuesto en 0 13.2. Consideremos el flujo isotérmico estacionario de una solución líquida de A y B en el tubo que se indica en la Fig. 21.2- 1. Supongamos que se conoce la distri‘bución de velocidad en el plano «1» y que la concentración del fluido en la región z < 0 es constante e igual a xA,. Desde z = 0 hasta z = L, la pared del tubo está recubierta con una solución sólida de A y B que se disuelve lentamente y mantiene la composición del líquido, xAo, constante a lo largo de la superficie de disolución. Supóngase además que las propiedades físicas p, ,u, c y QAb son constantes. “1” “2” composición d e l Ifquido x,, c o n s t a n t e junto a la superficie de la pared Se de de *s supone que lo velocidad ale/omiento d e l o pared A y B disueltos paquea Fig. 21.2-1. Transferencia de materia en un tubo con una pared soluble. El problema de transferencia de materia que acabamos de describir es matemáticamente análogo al de convección de calor descrito al comenzar la sección 0 13.2. Para poner de manifiesto esta analogía, vamos a presentar conjuntamente las ecuaciones para los dos sistemas. Así, la velocidad de adición de calor entre «l» y «2» TRANSPORTE DE INTERFASE 21-9 en la Fig. 13.1- 1 y la velocidad molar de adición de la especie A por difusión entre «l» y «2» en la Fig. 21.2-1, vienen dadas por las siguientes expresiones, válidas tanto para flujo laminar como turbulento1 : ’ transmisidn de calor: (21.2-1 Q =rs,“(+k $jR)RdBdz transferencia de materia: Qp - 2Ao(QQ~) + R de dz i qp) = (21.2-2) Evaluando los primeros miembros de estas ecuaciones en función de hr y k,l, tal como se han definido en las Ecs. 13.1-2 y 21.1-9, se obtiene transmisión de calor: h 1= ’ I”s’“( +kFl,=à nDL(To - TI) o o Rdo dz transferencia de materia: k 21 (21.2-3) (21.2-4) 1 = 7rDL(ZA0 - ZAI) Se introducen ahora las variables adimensionales r* = r/D, z* = z/D, T* = (T - TO) IU-1 - T o ) Y x‘ 4* = (xA - xAO)/(xAt - xAe) y se efecttían algunas operaciones con el fin de obtener transmisión de calor: Nu, E !ff = &js,“‘“6’(- zlr..,) dedz* G=-5) transferencia de materia: NUABl k,lD =-=&rr(-Fl..;,)dOdz* (21.2-6) cBAB En estas expresiones Nu es el número de Nusselt para la transmisión de calor sin transferencia de materia, y NuAB es el número de Nusselt de transferencia de materia para lenta transferencia de materia. Evidentemente existe una intima semejanza entre estos dos números.2 Los gradientes que aparecen en las Ecs. 21.2-5 y 6 pueden, en principio, evaluarse a partir de las ecuaciones diferenciales 10.6-9, 10 y ll, para transmisión 1 Si el flujo es turbulento, es necesario considerar en la deducción que sigue todos los perfiles como de tiempo ajustado. Para simplificar se han omitido las líneas situadas sobre las variables de tiempo ajustado. 2 Este sencillo resultado pone de manifiesto la conveniencia de definir k,, en funci6n de la velocidad de difusión $y,!irn’ - ~,,,(.]a:~~ + :)e~;~‘) en vez de Q,“‘. 21-18 “*í+ TRANSPORTE DE ~~ATERIA de calor, y las 18.6-8, 9 y 10 para transferencia de materia, con las siguientes condiciones límite para bajas velocidades de transferencia de materia:3 transferencia de cantidad de movimiento: u* = una determinada función de r* y 8 para z* = 0 v* = 0 para r* = * p* = 0 para z* = r* = 0 (21.2-7) (21.2-8) (21.2-9) transferencia de calor: T* = 1 T* = 0 para z* = 0 para r* = *, z* > 0 (21.2-10) (21.2-11) transferencia de materia: XA *=1 xA* = 0 para z* = 0 para r* = 4, z* > 0 (21.2-12) (21.2-13) Si el término de disipación de la Ec. 10.6-11 es despreciable y pueden despreciarse también las reacciones químicas del fluido, como en la Ec. 18.6-10, las ecuaciones diferenciales para el sistema de transmisión de calor y el sistema de transferencia de materia son análogas; y despreciando la velocidad de transferencia de materia en la pared resultan también análogas las condiciones límite. Por consiguiente, los perfiles de T* y xA* son semejantes T* = una función de (r*, 8, z*, Re, Pr) í xA* = la misma función de (r*, 8, z*, Re, Sc) (21.2#--14) (21.2-15) Es decir, que para obtener perfiles de concentración en vez de perfiles de temperatura basta simplemente con substituir en la Ec. 21.2-14 el número de Prandtl Pr = e,p/k por el número de Schmidt Sc = p/eAB y poner xA* en vez de F. Introduciendo estas expresiones de los perfiles en las Ecs. 21.2-5 y 6, se obtiene / Nur = una función de (Re, Pr, LID) í NuAB1 = la misma función de (Re, Sc, L/D) (21.2-16) (21.2-17) La misma semejanza funcional existe entre Nu,, Nui,, Nu,,, y las correspondientes formas de NuAB. Esta importante analogía permite deducir correlaciones de transferencia de materia a partir de correlaciones de transmisión de calor, para condiciones límite equivalentes, con tan sólo substituir Nu por NuAB y Pr por Sc. Esto 3 La suposición de que la velocidad del fluido en la pared es cero (Ec. 21.2-8) limita las analogías estudiadas aquí al caso de que la velocidad de transferencia de materia sea pequefia. En $5 21.4, 5, 6 y 7, se considera la velocidad del fluido a travh de la interfase. TRANSPORTE DE INTERFASE 21-11 puede hacerse para cualquier geometría y lo mismo para flujo laminar que turbulento. Obsérvese que para obtener esta analogía hay que suponer: (i) que las propiedades físicas son constantes, (ii) que la velocidad de transferencia de materia es pequeña, (iii) que no hay reacciones químicas en el fluido, (iv) que no hay disipación viscosa, (v) que no hay absorción ni emisión de energía radiante, (vi) que no existe difusión de presión, térmica, ni forzada. La discusión que sigue se refiere fundamentalmente a las restricciones (i) y (ii), ya que las demás carecen de importancia en muchos casos. Análogamente, se puede demostrar que para convección libre alrededor de objetos sumergidos de una forma determinada cualquiera, Nu, = una función de (Gr, Pr) (21.2-18) (21.2-19) i Nu ABm = la misma funcion de (GrAB, Pr) siendo GrAB el número de Grashof para la difusión binaria. (Véase $18.6.) Esta analogía y la de las Ecs. 21.2- 16 y 17 se han confirmado experimentalmente para numerosos sistemas de flujo. En la Tabla 21.2- 1 se presenta un resumen de magnitudes análogas para transferencia de calor y materia. Para convertir una correlación de transmisión de calor en la correspondiente de transferencia de materia, basta con substituir los nuevos grupos adimensionales de acuerdo con la tabla. Este procedimiento puede utilizarse para determinar perfiles de concentración a partir de perfiles de temperatura, o coeficientes de transferencia de materia a partir de coeficientes de transmisión de calor. Téngase en cuenta que es preciso transformar también las condiciones límite para saber en qué condiciones es aplicable la correlación obtenida. Poco se puede decir acerca de ko establecido en sistemas de transferencia de materia para propiedades físicas variables. Los efectos de las propiedades físicas variables en los problemas isotérmicas de transferencia de materia serán algo diferentes de los qúe se encuentran en transmisión de calor en fluidos puros, debido a que interviene una serie diferente de propiedades físicas, y que lo que interviene en este caso es su variación con la concentración en vez de con la temperatura. Como ilustración de la utilización de analogías, vamos a considerar la correlación de transferencia de calor y cantidad de movimiento de la Fig. 13.3-3, para flujo tangencial en torno a una lámina plana isotérmica sin transferencia de materia. Esta correlación es de la forma (21.2-20) jqh = U~OC = una función de Re en la que Re es el número de Reynolds distancia1 o,p,x/p,. Introduciendo la magnitud correspondiente para transferencia de materia, j,,, se obtiene la analogía (21.2-21) jD,loe = jH,h = 4ji0c = una función de Re. o bien = *.floc = una función de Re (21.2-22) TABLA 21.2-1 ANALOGfAS ENTRE TRANSMISIÓN DE CALOR Y MATERIA A BAJAS VELOCIDADES DE TRANSFERENCIA DE MATERIA Maguitudes d e transferenMagnitudes de transmisi6n de calor cia binaria de materia Perfiles Difusividad T XA k a=PG Efecto de los perfiles sobre la densidad Densidad de flujo Velocidad de transferencia Coeficiente de transferencia Grupos adimensionales que son iguales en ambas correlaciones L D Nu = y Grupos adimensionales básicos que son diferentes en ambas correlaciones pr-GP~ --I-y k a Gr = @ p =g S AT luz Nu h st=-=RePr pC,,V Combinaciones especiales de grupos adimensionales DVP~ $ Pé = RePr = 7 iH = NuRe-lPr% StAB = N"AB -= k ReSc CV , peAB =R& DV =OAB jD .= NuA&e-lk-~ TRANSPORTE DE INTERFASE 21-13 en la que el subíndice f indica que las propiedades están evaluadas a la «temperatura de película» T1 = 1/2(To + T ,) y a la «composición de película» xA1 = 4 (xAO + x,&. Como la correlación de transmisión de calor se ha obtenido para temperatura uniforme de la pared y sin transferencia de materia, la correlación de transferencia de materia esta restringida para composición uniforme de la interfase xAo y bajas velocidades de transferencia de materia. Esta correlación de jH, io y f, puede aplicarse también a la transferencia simultánea de calor, materia y cantidad de movimiento, con bajas velocidades de transferencia de materia. La EC. 21.2-21 es una de las analogías de Chilton-Colbum4, que concuerda muy bien con las predicciones de la teoría de capa límite para la lámina plana cuando Pr y Sc son superiores a 0,5 (véanse Ecs. 19.3-43, 44 y 45), y resulta bastante satisfactoria para flujo turbulento. Como en el flujo alrededor de superficies curvas hay resistencia de forma (véanse $5 2.6 y 6.3), f/2 puede ser considerablemente mayor que jH y iD (véanse Fig. 13.3-1). Aún para conducciones rectas, la concordancia entre f/2 y los factores-j es solamente aproximada. (Véase Fig. 13.2-1.) Sin embargo, la analogía empírica de carácter más limitado una función de Re (21.2-23) jH=jD= geometría, y t condiciones límite I< resulta tití1 para numerosos casos de flujo, tales como flujo transversal por el exterior de cilindros (Fig. 13.3-l), flujo a través de lechos de relleno (0 13.4), y flujo en tubos a elevados números de Reynolds (Fig. 13.2-1). La Ec. 21.2-23 es la forma habitual de la analogía de Chilton-Colbum. Como segunda ilustración, consideremos la correlación de transmisión de calor correspondiente a la Ec. 13.3- 1 para convección forzada alrededor de una esfera de diámetro D: lyD 1=2,0+0,6o(y~(~)~ (21.2-24) kf Substituyendo las correspondientes ‘magnitudes de transferencia de materia, de acuerdo con la Tabla 21.2-1, se obtiene: (21.2-25) Las Ec. 21.2-24 y 25 son válidas para temperatura de la superficie constante y composición constante, y para pequeñas velocidades de transferencia de materia. También puede aplicarse, con las mismas restricciones, para la transferencia simultánea de calor y materia. Observese que la analogía de Chilton-Colbum no es válida para este sistema de flujo, salvo con carácter aproximado, cuando Nu y NuAB > 2. 4 T. H. CHILTON y P. A. COLBURN, h-f. ,Sg. Chcm., 26, 1183 (1934). 21-14 TRANSPORTE DE MATERIA Ejemplo 21.2- 1. Evaporach de mm gota que cae libremente Una gota esférica de agua, de 0,OS cm de diámetro, cae con una velocidad de 215 cm seg-1 en el seno de aire seco en reposo a 1 atm. Estimar la velocidad instantánea de evaporacion en la gota si la superficie de la misma está a 21” C y el aire a 60” C. La presión de vapor del agua a 21” C es 0,024s atm. Supónganse condiciones de pseudo-estado estacionario. Solución. Sea el agua la especie A y el aire la especie Bi La solubilidad de aire en agua puede considerarse despreciable, de forma que &?g) = 0 , Suponiendo que la velocidad de evaporación es pequeñas, se puede aplicar la Fc. 21.1-12 a la fase gaseosa que rodea a la esfera, para obtener O(>n) 9.fl.4 z k,,,,D= “i” - xA Oo - xAO y el coeficiente de transferencia de materia k,, se puede predecir a partir de la Ec. 21.2-25 o de la Fig. 13.3-2. Las temperaturas y composiciones que se necesitan para este problema son T, = 21 “C T, = 60 “C xAo = 0,0245 XAO;, -- 0 T -T”+=oo = 40.9 c f - 2 XAf = XAO + x‘400 = 0,0123 2 t Para calcular xAo se ha supuesto: comportamiento de gas ideal, equilibrio en la interfase e insolubilidad total del aire en el agua. La fraccion molar media, XA,, en la fase gaseosa es muy pequeña y puede despreciarse en la evaluación de las propiedades físicas: c, = 3,89 x lOe5 g-m01 cme p, = 1,12 x lOo3 g cme p, = 1,91 x 1O-4 g cm-r seg-1 (de la -Tabla 1.1-1) 23AB,‘= 0,292 cm2 seg-r (de la Ec. 16.3-1) Dv,p, (0,05)(215)(1,12 x 10-3 = 63 -= 1,91 x 10-4 Pr Introduciendo estos valores en la Ec. 21.2-25 se obtiene k rn, = (3,89 x ~0- % 0.292) 12+ 3 MI > 0,os = 1,35 X lOs3 g-m01 seg-r cme .s En el ejemplo 21.5 -2 se demuestra que para estas condiiiones es valida la suposición de que la velocidad de transferencia de materia es pequeka. / TRANSPORTE DE INTERFASE 21-15 La velocidad de evaporación puede hallarse a partir de la Ec. 21.2-26 0.0245 - 0 )f”’ = (1,35 2: lo-‘“)(Z) (0,05)2 , _ o,0245 = 2.66 x IO-’ g-mol seg-l Este resultado corresponde a una disminución de l,25 x lo-3 cm xg- 1 del diámetro de la gota e indica que una gota del tamaño indicado caerá una distancia considerable antes de que se evapore totalmente. En este ejemplo se han dado, para simplificar, la velocidad y la temperatura de la superficie de la gota. En general, estas condiciones hay que calcularlas mediante balances de energía y cantidad de movimiento, tal como se indica en el Problema 21.E. Ejemplo 21.2-2. El psicrómetro de bulbo húmedo Y seco El efecto de enfriamiento por evaporación desde una superficie mojada puede utilizarse para analizar ciertas mezclas gaseosas sencillas. Considérese, por ejemplo, el dispositivo de ia Fig. 21.2 -2, en el que una mezcla de un vapor condensable A y un gas no condensable B fluyen sobre dos termómetros. El bulbo de uno de los termómetros (el bulbo seco) está desnudo, mientras que el otro (el bulbo húmedo) se recubre con una muselina saturada con el líquido A. De forma continua asciende, por acción capilar a través de la muselina desde el depósito inferior, el líquido A que está a la temperatura del bulbo húmedo. Deducir una expresión para la composición de la corriente gaseosa en funcibn de las lecturas de los termómetros de bulbo seco y húmedo. Solución. Para simplificar, se supone que la velocidad del fluido es suficientemente elevada, de forma que las lecturas de los termómetros no vienen afectadas por la radiación ni la conducción de calor a lo largo de las varillas de los termómetros, pero no demasiado elevada para que el calentamiento por fricción sea insignificante.6 Estas suposiciones son, generalmente, satisfactorias para termómetros de vidrio y velocidades del gas de 10 a 30 m seg-l. Por consiguiente, la temperatura del bulbo seco es igual a la temperatura roO del gas que se acerca, y la temperatura del bulbo húmedo es idéntica a la temperatura T, de la parte exterior de la muselina. Aplicando un balance de energía a un sistema que contiene una longitud L de la mecha de muselina (véase Fig. 21.2-2), se obtiene h’d)(&n, - ff~,, = Q (21.2-28) en la que Q es el flujo de calor desde la fase gaseosa hacia la muselina en ta interfase, y es la velocidad de evaporación. La magnitud Redr,, es la entalpia parcial molar de :)f ,(m) A A correspondiente a la fase gaseosa en la interfase. Despreciando la radiación, así como el efecto que la transferencia de materia ejerce sobre h, se puede escribir Q=~,Jz DL(T,-ro). Despreciando también los calores de mezcla en la fase gaseosa, sepuede substituir fl&,-H.,, por el calor de vaporización de A puro a la temperatura T,. Con estas variaciones, el balance de energia puede expresarse de forma aproximada por .$L”” A-, raD. = h,,,nDL(T OD - T,) 6 En el Problema 21.F se presenta una solución más detallada. (2 1.2-29) 21-16 “B TRANSPORTE DE MATERIA A pa rtir de la Ek 21. I -12 se obtiene una segunda expresión para !&A), en función de las composiciones de la corriente y de la interfase: wyw - XA4G,10) = kam$w”AO - Xdoo) (21.2-30) Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene hm (xAO - EA CJ (Tm - To)(i - XAO) = km A%.vsp. Termómetro bulbo seco (21.2-31) Tcrmdmetro d e bulbo húmedo de corriente *oseoso w e n “na conducci6n uselina saturado do lo temperatura Solido de vapor 0 lo tsmpcroturo - T, con una velocidad i molar de Il T, transferencia d e moterio d e y longitud L Ampliación de la re~i6n enmarcado Superticie d e l /plonO d e Entrado de Ilquido o Tl = T, con “no velocidad de tluio WA, P wul;“’ Fig. 21.2-2. Esquema de una instalaci6n de los termómetros de bulbo seco y de bulbo húmedo. Se admite que no existe flujo de calor ni de materia a través del plano «2». Los datos de transmisión de calor en cilindros con temperatura de superficie constante y sin transferencia de materia se han representado empíricamente en la Fig. 13.3-1 en forma de iH frente a Re; la correlación correspondiente de transferencia de materia para 2151-17 TRANSPORTE D E IAU%RF~SE ‘“q I composición constante de la supcrticie y. lenta vdoddad de ‘transferuncia de materia. ae obtiene tomando (21.2-32) jIJ==hJ. :.~” 0 Teniendo en cuenta que PC.?, P ‘, mula’ empfrica y substituyendo,cste CC,, al simpa la ecuack5n anterior se obtiene la f6r-’ / ” ! valor qn’la.Ec. materia de la interfase en Scf = 438 (vkse el ‘Ejekpfo 21.2-1) Pr, -,0,?4, de acuerdo con’la Ec. 8.3-16”’ 7 C. H. BEI!NN~FI@LD y T. B. Daxw, Ind. E$r. Cheh. 42,1164-1173 (195u), recomiendan para el aire la potenciå 0$6 del Sc. ’ uti¡ipr ,’ *- 21- 18 ‘Ibs, TRANSPORTE .DE M ATERIA Substituyendo en la F.c. 21.2-35, se obtiene , (0.0245 - x&& (60 - 21)(1 - 0,0245) iF de donde se obtiene que la frac&& molar de aguavapor ea, la corriente de aire que llega ’ : es ‘x”,=o,oo300 ,’ :’ _/ Estos cálculos se han efectuado suponiendo, como primera aproximaci&t, que ~4, = 0. Debiera de efectuarse una segunda aproximación tourando el valor mejorado de xAf = 4 (0,0245 + 0,003O) = 0,0138; sih embargo, las propiedades ffsicas no sc conocen con suficiente exactitud y no esta justificado el calculo en este caso. El resultado obtenido en el cálculo anterior concuerda,,~isfactor~á.~~~~~ con los valores de la grafica de hume+d*, que da xAoo * 0 en las:~cioncs indicadas. 8 21.3 DEFINICIbN tiE COEFICIENTES lhA &O S DE TRA NSFERENCIA DE.Ms4TERIA EN DOS FASES PARA,@AJAS VELOCIDADES D E TRANSFE$RI?NCIA D E M A TERIA 1 ‘, ’ “% En la mayor parte de los sistemas de transferencia de materia existe una- inter- fase con gradientes de concentración a ambos lados de Ia misma. Como Iejemplo sencillo consideremos el contacto de una mezcla de los gases A.y B con un líquido no volátil C que absorbe solamente a la especie A ; los gradien&s de concentración en las dos fases se representan en la Fig. 21. 3-1. El símbolo yA se uCiIiza para la fracción molar de A en la fase gaseosa, y xA para la fraccián molar de dicho componente en la fase líquida. En general, existen tres resistencias que se oponen al movimiento de la especie A entre las fases: la fase gaseosa, la fase líquida y la interfase en sí. En la mayor parte de las aplicaciones ta,iesístencia de la interfase es despreciable; excepciones a’este hecho se presentan,’ por ejemplo, cuando se concentra.en’la:interfase una especie tensoactiva o cuando la velocidad de transferencia de m$éria es excesivamente elevada. Aquí se supane que la resistencia de la interfase es despreciable y que las fluctuaciones de x,,~ e yA son pequefias, de forma que las composiciones de tiempo ajustado del líquido y del gas están2 prácticamente situadas sobre la curva (de equilibrio : Ya40 = fk# ol (21.3-1) 8 0. A. HOUGEN, K. M. WATSON y R. A. RAO & Chemical Process Principles, Wiley, Nueva York, Parte 1 (1954), segunda edición, p. 120. ’ * En esta sección se sigue el tratamiento original de W. 0. W~ MAN, Chem. Met. Eng., 29, 146-148 (1923). pero la notacion es diferente. 2 Todas las magnitudes que intervienen en la deduccih que sigue son de tiempo ajustado; sin embargo, para mayor sencillez se omite là raya su&ior. TRANSPORTE DE INTERFASE Fig . 21.3-1. .Perfdes de concentracih de A en las proximidades de unir ibte&+ ga&lquidoi 3, - Frac c Iãn Fig. 21-19 moldr da A en eI Ilqvldo 21.3-2. Fuerzas impulsoras existentes en la interfaase de transferencia de ma!eria. ’ 21-20 ‘lsp. TRANSPORTE DE MATERIA En la Fig. 21.3-2 se representa un ejemplo de curva de equilibrio y composiciones de interfase. La diferencia de concentracibn a trav& ,de cada;fase puede expresarse en funci6n ’de la velocidad local de transferencia &,.materia y el coeficiente de transferencia de ’ ,> materia en dicha fase. Aplicando la Ec. 21.1~ 10 a cada ka dQ: la$&ws, pka le& karkferencia de materia “’ ,’ :’ b de la especie A ‘exclusivamente, se óbtie&: ‘?I ’ (21.3-2) (21.3-3) en el líquido es y como la densidad densidad de de flujo loeal (-dQ@ y/dA 31~. lNA,a) que sule del gas, estas igual a la densidad de flujo’“loca1 ‘ : ‘ i ecuacioiles pueden combinarse para dar ‘db - =dO’ k& L (21.34) Y dO) Esta ecuacih y la Ec. 21.3-1 detehinaa las dos composiciones desconocidas yA,, y x,,,, cuando se conocen las composiciones globales y los coeficientes de transferencia de materia. De esta forma, se puede calcula,r la velocidad local de fransferencia de materia a partir de una cualquiera de las ecuaci+ies 21.3-2 6 21.3-3. Los coeficientes de transferencia en una-soia fase ‘s¿& difhiks de medir, excepto en aquellas experiencias proyectadaS de forma que se pue$a d&preekr la diferencia de concentración a través de una de las fases. Para expresar los datos experimentales resulta conveniente definir un coizficiente global de transferencia de inateria K, o KY mediante una modificación de las Ecs. 21.3-2 y 3. Para transfwencia de A a través de B estancado, se puede escribir (21.3-5) 0 1 - Ydr K, d@% ’ _ yd dA * - Ydb (21.36) La fracción molar y,, es la composición que tendría la fase gaseosa si estuviese en equilibrio con la composicián global de la fase líquida XAb; es decir, que yA =f(x&, ’ siendo f la función de equilibrio de la Ec. 2 1.3 - 1. De igual forma, xAa se define por yAb = f(x&. (Vbase Fig. 21.3-2.) Tr. 3 TRANSPORTE DE INTERFASE 21-21 La relacih entre K, o KY y los coeficientes de transferencia de materia en una sola fase es fácil de déducir, Se comienza por dividir em dos partes la ,c<fuerza im_ *pulsora global de la fase gaseosa», yA, - y>), (Yd, - YAJ y= <Yal‘ - Y&d -f- (YAi.-- YAb) = m,@.4, - %il*+ (Ybl - Y A (21.34) ‘* En esta kxpresión, iY es la pendiente de & &ea que une el verdadero punto de la interfase. (yAo, x,a),wir el hticio (y1,, ~A&#iliz@o’en el cá.lculo de la f&rk impulsora global de lti ,fas$. ,@seosa. Introdu@g$o +s.Eks. 21.3r2, 3 y 6 y d@liendo por @ .# ]dii - , +%&‘~a/d4 , se obtiene;3 , . < _, (21.3-9) en la que m, es la pcndiente de la re& que~~&.los puntos (yAO, x,J y (yA), x,J. se cumple que m y = m i = m. Si la lirmi de CiquiliiriohA ka recta de ‘; l.,s.; .; t, De esto se ded&;‘que ,’‘ ,~.”‘, / ,: 1 !:, ” lo que pone. de &zi%e& que,.& y K,. ‘&e& k&isma información b$sica. 1.. ,:, ‘, ., ‘, .,..‘J 3 Se puede prc e dc r ife igual forma en func#a Bbkc y kk (vtanse Ecs. 21 .l -43 y 4L9 definiendo un coeficiente global mediante la exprejibn r’ , , , NA,S F ~$PA,&J (21.3-8~) con lo que el resultado que se obtii para & caC (21.3-86) Esta ecuacibn se aplica cuando la función de equilibrio correspondiente a la Ec. 21.3-1 es, aproximadamente, igual a la función lineal p&c G .b;rc,, (ley ,da Henry). Nonosotros preferimos utilizar la Ek 21.3-8 debido a que los coeficientes de transferencia de materia que intervienen en G&t tienden a variar menos con la concentmci6n; por otra .parte, la utilización de k, y k, simplifica los c&ulos cuando hay transferencia de ambos componantes A y B, como ocurre en dastilacibn o en condensación parcial. (Wase el Problema 21.G.) 21-22 TRANSPORTE DE MATERIA Es conveniente conocer la resistencia relativa de las dos fases a la transferencia de materia en un determinado sistema. Los t&ninos de la &c. 21.3-8 6 9, repre’sentan, respectivamente, las resistencias .de la fase líquida y de la. fase gaseosa, La 1’ /, resistencia que ofrece cualquiera de las fases disminuye al aumentar el coeficiente _’ de trans’erencia ~de materia k, o k,, o al aumentar la concentración de R en dicha %ii’”h i fase; de forma que las experiencias en las que una de las fases es,,prkticamente A puro son títiles para determinar los coeficientes de transferencia en una fase. Si m ) /; ‘“. es muy grande, es decir, si A es practicamente insoluble en ,C, la resistencia de la s fase líquida tiende a predominar y viceversa. *J Este metodo puede aplicarse a la transferencia de dos o más componentes. ‘, > ’ ii, (VCase el Problema 21.G.) La mayor parte de los datos de disetio existentes sobre trztnsferencia de materia 2 en sistemas de dos fluidos estan expresados en coeficientes-globales de transferencia de materia o magnitudes con ellos relacionadas. En diferentes referencias bibliográficas pueden hallarse extensos resámenes de datos.4*s*6 Los sistemas de transferencia de materia entre dos tluidos presentan numerosos problemas: el comportamiento de flujo es complicado; la interfase móvil es prácticamente inaccesible a la toma de muestra, el área inteifacial-es, generalmente, desconocida, y en muchos de los sistemas de interés pr&ctico intervienen reacciones químicas en la fase líquida. ,Wacë falta un mejor conocimiento basico de estos sistemas. ’ pr: !j 21.4 DEFINICIGN DE LOS COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA PARA ELEVADAS VELOCIDADES DE TRANSFERENCIA DE MATERIA La transferencia de materia en la, interfase implica, generahnente, un flujo global de materia a través de la misma. Para bajas velocidades de transferenciade materia, este flujo global solo es importante en el cálculo de las densidades de flujo de las distintas especies a través de la .superficie de separación; por lo tanto, se pueden calcular las velocidades de transferencia de cantidad de movimiento, calor y materia, en una interfase de area A, mediante las sencillas expresiones correspondientes a las Ecs. 6.1-1, 13.1-1 y 21.1-8: F,, = f AW’ Q=hAL\T , (21.4-1) (21.4-2) 4 T. K. SHERWOOD y R. L. PIGFORD, Ahwption amf Extraction, McGraw-Hill, Nueva YO& segunda edicitm (1952). 5 R. E. TREYBAL, iUuss Trunsfer Operutions, McGraw-Hill, Nueva York (1955). 6 Chemicul Engineers’ Handbook, J. H. Perry (Ed.), McGraw-Hid, Nueva York (1950), tanxra edicih. ’ TRANSPORTE ‘&+f DE INTERFASE 21-23 siendo Fki la fuerza que ejerce el fluido sobre la interfase en la direccion del flujo principal, Q la velocidad de conduccidn de calor hacia el interior del fluido en la in, fase, y <]f$) - zAO( )f;r) + $?@‘)) la velocidad de difusión de la especie A hacia e interior del fluido en la interfase. Para altas velocidades :de transferencia de materia es conveniente utilizar de& niciones análogas pero añadiendo un punto negro (0) superior para indicar que en este caso íos coeficientesde transferencìa dependen de la velocidad de transferencia de materia: ,, : i? ,. <I F& *pA+pV8 (2L.M) ‘)f n-1, f y~d’.&f”) +. $fg,“,); aa k?A AZ, (214-6) > Los puntos negros se utih$a&n solamen< cuando ks’ coeficientes de transferkcia hayan sido corregidos $ry la velocidad de transferencia de materia. Estas corrt~ ciones, que provienen de~lir variacibn de los perfiles de, velocidad, temperatura,~ concentración, con la velocidad de flujo a travks de la interfase, constituyen eI tema de las se-es $0 21.5-%y 7. ‘Para baja$ velocidades de transferencia de materia se pueden tomar los coefkientes de transferencia no corregidos f, h y k, con lo que estas ecuacidnès se transforman~en Ias~Ecs, ,‘21.4-1, 2 y 3i ‘. : ’ , : Observese quela fuepz8-.kk, y la velocidad de conducc&r de ‘caSor Q representan solamente parte del flujo’de cantidad de movimiento y de energia a través de la supefiéie. Pata altas velo$dades de transferencia dPe\materia, la transferencia adicional de c a @ ia d de mc&miento y de energía debi& al .paso ,de Auido a. través de la interfase puede ser‘ cwr?$kablo. Estos flujos adicionales de cantidad de movimiento y energía hacia él interior del, fluido los designamos por* ‘/ , ’ .,*A * (~jJy4~4~ij @)$+.&+& ? (21.4-7) ‘/ ,,l, Q@” ,ep (&T)R,, -t;, ,$$.j+&,) (21.44) : *; .’ “i’ : en las que el índice superior-(m) indica que &.os &ninos se deben solamente a la existencia de transferencia: de materia, y’ el aubind’ico 0 se refiere a condiciones del fluido junto a la interfase. * t La expresión de Q(m) se ha simplificado omitiyldo 10s~ tkminos de energía cin&ica y potenciai, que, en general, son de poCa hportafba. La exprés¡&¡ co$f@a dè Q(m) es si la energla potencial y la velocidad media de masa del’ fluido son constantes para los valores de 4 O y uO a lo largo de la interfase. I / 2 1 -2 4 TJL4NSPOATE DE MATERIA Sumando los términos de flujo global F;(m), Q(m) .y xAO <, ;(wTJ + wg)) Ecs. 21.4-4, 5 y 6, se obtiene ‘y \ - Fks + F:‘“’ = -j%&V* + (W Y’M , + ti$?M ,)u, Q + Q(‘“) = h”A AT + (@$W”, + ti&&,J %-‘$-) = kf,í AZ, + (.@T,- + %$k&, j a las (21.4-9) (21.4-10) .’ (21.4&) siendo - F,, + F,!“‘) la velocidad total de ádición de cantidad de movimiento al . fluido, Q + Q@“)la velocidad, de adición de cualquier forma de ‘&rergia que no sea trabajo*, y w$“) la velocida#,,molar de adición de la especie A, siempre a través de la “ interfase de área A. i. .b< La evaluación de f*, Cc*;y k%e,‘se considera en 05 21.5, 6 y 7. Como la mayor parte de la información existente sobre coeficientes de transferencia se limita a pequei% velocidades de’ transf*cia de materia, tiene g& inter& evaluar los fucWrb de correccidn por los que h&‘que multiplicar f; h p ‘Fc, para obtener los~coefi. , “j Gentes de, t r a n s f e r e n c i a corregidosi > : J‘.’ ’ p ” h. e,,r f, j,, eT = h bB “,$ $y-~~~1,w El empleo de los subíndices v, T y .A#, se debe a que.estos .factores. di’ corrección dependen de los perfiles de wlwidad, temperatura y qw¿&&acih ale A o W Estos factores de corrección se pueden predecir para algunos ca#.w sencillos resolviendo las ecuaciones de variación pa’;a velooidad finita a trav& ,de la ,interfaser Los sistemas tipo que se consideran -son necesariamente idealiz&os, pero muchos de ellos representan aproximaciones titiles del comportamiento de numerosos sistemas / reales. <:x,, $21.5 COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA PARAELEVADAS VELOCIDADES DE TRANSFERENCIA DE MATERIA: TEORfA DE PELfCULA ’ Fn esta sección se utiliza tm -modelo simplificado de transporte unidireccional para predecir la variacion de los coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento, calor y materia, con lavelocidad de transferencia de ,materia. Las soluciones que se presentan aquí han sido. obtenidas por diitinto$ inv$stigadores.1~2J~4 1 W. K. LEWIS y K. C. CHANO, Trans. A. 1. Ch. E., 21, 127-136 (@28) aplicaron la teorfa de película al transporte de ambas especies en la interfase de una mezcla binaria para altas velocidades &.: transferencia de materia. 2 CL ‘AC~ERMANN, For~chw~&& p, 1-26 (1937) aplic6 la‘ teqría de película a la transmisión de calor en presencia de una dpida transfhencia de materia. 3 A. P, COLBURN y T. B. DREW , Trans. A. 1. Ch. E., 33,197-212 (1937) confirmaron independienthnente el anAlisis de Ackermann y aplicaron los resultados de las citas bibliogtificas 1 y 2 a la condensación rhpida ‘de mezclas de vapores. 4 H. S. M ICK LEY , R. C. Ross, A. L. SQUYERS y W. E. STIZWART, NACA Tech. Noto 3208 (1954) han resumido los resultados de hs citas 1, 2 y 3, en una forma.anaMgica extendiendo la analogia a la transferencia de cantidad de movimiento en sistemas de presi6n constante. TRAN SPORTE ‘% 17 213s DE I N T ERFASE Consideremos el caso de flujo estacionario que se indica en la Fig. 21.5-1, en el que una mezcla de dos fluidos circula horizontabnente a 10 largo de una super, ficie plana, teniendo lugar una transferencia simultanea de caIor, materia y cantidad de movimiento. Se supone qu,e la presión p, la velo¿idad ux, la temperatura T y ,ja composición xA, dependen solamente de la distan;eia y medida desde la pared,. y se Psrtl de PI volocldod temperotuw F i g . 21.5-1. los perfileS se conc*ntwctõn Flujo &eionario unidímensional a lo largo de una mpxficie plana. Para y r d, consid&$n constantes. haoen constantes cuando y es superior al correspondiente «espesor de peIIcula» 6,, 8r, y S,,C’Se su$one que 61 espesor de película ES constante a lo largo de la pared e independiente de’la velockad de transferencia de materia. Se admite tambidn que el flujo en la pelicula es laminar, y que las propiedades de transporte ,u, k y cZ@son constantes. Se des~precianh& reacciones qufmicas, la disipación viscosa y; la emisión o absorción de energía radiante en el fluido. Se supone que se conocen las siguientes condiciones del sistema: para y = 0 (21.9-4) para y = 8, para y = 8, para y = BAd u.x = % T=T, XA==XAoo (21.5-5) (21.5-6) (21.5-7) 21-16 “$ TRANSPORTE DE MATERIA E s d ecir. que se conocen los valores terminales de los tres perfiles, y además, la relación de las densidades de ‘flujo molares en la pared. ge desea calcular los perfiles 1 de velocidad, temperatura y composición, ad corno tambik Zas densidades de flujo de cantidad ‘de movimiento, calor y materia, ‘en las paredes. DesLGés, veremos cómo se evalúa el espesor de película, de forma que los resultados pueden aplicarse a sistemas de interés práctico. Las ecuaciones de variación para este sistema pueden ex$kesarse adecuadamente en función delas densidades de flujo de cantidad de movimiento, energía y materia, con relación a coordenadas estacionarias. A partir de las Ecs. 18.3-11 y 12 y 18.1- 10, y de las sup.osiciones de que p, v,, T y xA, dependen solamente de y, se obtienen las siguientes ecuaciones: I ,’ dA2 i 0 (movimiento) .il dy de, = 0 (energía) dy (Y < (21.5-8) 4,) (21.5-9) (Y<W dNA” - 0 (21.5-10) (Y 4 6Ad < dy ” : ,~ ,“dN,, I _ o (21.5-11) (?/ < bA3) ’ a dy ‘>. Integrando estas ecuaciones y evaluando e& eY y .NAp a partir de las Ecs. 18.3 -8, 18.4-6 y 16.2-2; se-obtiene para.los mismos inte?aloS de y: d (continuidad) ,.,i (movimiento) (energía) dT e, = NA,RA t N&?3 T k - = & ,, .(21.5-12) const.’ (21.5- 13) (21.5- 14) (continuidad) NBv = const. (21.5-15) bn lo sucesivo, las densidades de flujo constantes NAY y Ne,, se representarán por NA0 y NB,,. En el caso de que 6,. o Br sean superiores a dAB, a falta de otra información, las densidades de flujo NAy y N, se siguen considerando como constantes en todc el intervalo de las Ecs. 21.5-8 y 21.5-9. Expresando las constantes en función de las densidades de flujo en la pared (hasta ahora desconocidas), se obtienes 5 Obskvese que t,,, qO, Na,,, y NRo se emplean aquí como constantes de integración adecuadas. Por lo tanto, despu& de una segunda integración, existirán siete constantes de integración que se evaluarán mediante las Ecs. 21.5 - 1 a 7. TR A N SP O R TE DE 21-27 I N TER FA SE ‘h$ (movimiento) (u, (21.5-16) (energla) (21.5-17) (T - ToXN,,eî, + N,c,,,) - k dT dy = %lv=o = 40 (continuidad) (SA - Z&XNAO + N&J -. c(a,, 3% dy = J,yl,*o = Ni - XAOWAO + NBol p (21.5-18) En estas expresiones, puV se ha evaluado a partir de la Tabla 16.1-3, y R&y RB estan calculadas suponiendo que los calores específicos molares son constantes y que no hay calor de mezcla. Para hacer ro positivo se adopta la convenci6n habitual tY&,=o = - re. Observese que para un determinado sistema las Ecs. 21.S 16, 17 y 18 no contienen más magnitudes variables que u;, T, Xi, y la variable independiente y. Integrando las Ecs. 21.5-16, 17 y 18 y aplicando l~,condiciones lfmite de las Ecs. 21.5-1, ‘2 y 3, se obtienen las siguientes soluciones .para los perfiles: 1 - (% - oxNd'f.ai + NBOMB) merp<NA+,&'N,pM,);_Y; (21.5-19) 1 _ (T - 7&lV~o~~~ + NmC,B) ’ 1 ” ~ . = ev W,AO~,+~,,+ NB&‘,B) : ; ., 40, 1 - ‘“” - XAOXNAO + NBO) I exp iNAi 1; $, j y‘ NdO - ZAOWAO + NBO) -, . f@ “* c9& # (21.5-20) (21.5-21) Aplicando las condiciones límite de las &s. 21.5-5,6 y 7, se obtienenlas siguientes ecuaciones para las densidades ,de flujo re, qo y NAO + Nti: 1+ hm - OXN,&, + NmM,) = ev W,dM, + NB@& s 70 1 + (% - kxrv,octi 40 P + Ndh#) =c exp (NAoc + Nm-& 94 1+ @dO - xA~ XNAO + NBO) = exp (Ndo + NBO) % NAO - x~otN,o + NBO) AB k (21 s-22) (21 S-23) (21.5-24) Estas seis ecuaciones dan los perfiles y las densidades de flujo. En estos resultados , ~, están comprendidos los obtenidos anteriormente para casos más restringidos en $ 17.2 (difusión a travbs de unapelículadegasestancado) y en el Ejemplo 18.5-1 , . (condensacibn de A en presencia de un gas B estancado). Para densidades de flujo, propiedades físicas, y espesores -de pared determinados, se obtendría una solución numbrica procediento de la siguiente forma: ‘“sp; TRANSPORTE’ 2 1 -2 8 Conociendo Se puede DE MATERIA utilizar la Ec. Para calcular NAO XAO. xBm> NBO NAO NAO, NBO, T,, TL, 21.5-23 : Y NBO % 21.5-22. TO Una vez calculadas las densidades de flujo NAO, Nea, qo. y roO, se pueden obtener directamente los perfiles a partir de las Ecs. 21.5-19, 20, y 21. Para aplicar estos resultados a sistemas de interés práctico es preciso evaluar el espesor de pelicula en función de ma&tudes susceptibles de medida, y se eligen como tales los coeficientes de transferencia no corregidos Ji,, At=, y kx,b. Estos coeficientes son los valores límite de MS coeficientes locales de transferencia co‘. .,, rregidos, cuando NAO y Nes tienden hacia cero: N A,,, N BO, va , % (To 7 Tte) ‘. kz’loc 3: NAO - ZAOWAO h’i . Las Ecs. 21.5-22,23 locales corregidos: (21.4-26) - ') tzAO - -I- NBO) y 24 pueden ahora expresarse en funck’de J 1+ NAoMA + NaoM* = cxp (N,,M, + NmM+ 4Pbf& estos coeficientes (21.5-28) _ l+N~o+bo &9 c (21.5-27) %A.n ) %B = ew (NAO + ~BO) x p ‘<. (21.5-30) ,AB En el limite, cuando NAO y NBe tienden a cero, se obtienen las siguientes expresiones para los espesores de película: 1 ,-!F (21.5-31) BPb& CC 1 8T -=3- (21.5-32) 1 dAB -X- (21.5-33) hlm k *loc k c9AB I_.’ 1:~s ;Q:’ Estos valores límite se pueden hallar fácilmente desarrollando en serie los segundos ” *.,::i miembros de las Ecs. 21.5-28, 29 y 30. Substituyendo estas expresiones del espesor’ I de película en las Ecs. 21.5-22, 23 y 24; se obtiene TRANSPORTE DE INTERFASE ‘&%J l+: (VW - ‘WNAO~A + NBOMB) 1 +(T 0 = exp NAOMA +-NB~~B jioe - T,XNA:&A + BO&> ,.,pNA&A -+- NBOeúi3 bloc NBO 40 xAO - x.4m 21-29 (21*.5-34) 1' ' (21.5-35) NAO.+ = exp (21.5-365) !k*& NAO -10 : NAO + NBO ” Estas ecuaciones representan los princ@ales ‘iesultados de ia” tek$a de pelkuh&u indican cómo varían con NA0 y NBe los esfuer& ckirk.es, Ia<$en&dades de @&ó conductivo de energía, y la densidad de fkjo de difusi¿$n en $, $&ed. EnJ este k& cc10 sistema., de, rencia.& ,. .flujo existe una evidente anahrgh$&@re ios efectos ,+e ‘la ,tr$$% materia sobre las tres relaciones de’. +nsid@l, de fh?$o~~ Aunque las“ Ecs. 21.5-34, 35 y 36, se han deducido pami&g lámina~~ $~$opiedades físicas constantes, sus resultados resultan tambien $t#s, ‘para. ílujo turkdento y propiedades físicas variables. (Vease el Pt;ableñga 2LhK) ’ ,‘. La mayor parte del resto de esta secci@r se &@-aa de%& las variables adimensionales& R, t9 y Z’I, que son de gran utihdad &k’resumir 10s resultados de las distintas teorias de transferencia de materia. Tam@n se &resentan los resultados anteriores de la teoría de película en funck;de est& ~~riebleS‘adimcnsionales. Los’terminos adimensionales deJ %eguii& $&&bro :de Ias Ecs. 21.5-34, 35 y 36, varfan,,directamente con las velocidades de tr$&feréncia de materia, y por eso se denominan faerorcs de velocidad, d: ,’-‘> I’i?i~; ‘” ~ ,1,<.,‘>. 9i~” ‘: “‘1 ” 4e T NA~~~~~~~ (21.5-37) 1+ +p I *. N&,+., $ I?rgoc,,, :& _,* loo ‘1 del’@ner Mkíbro de tias Ecs. 21.5-34, 35 y 36, se (21.5110) ‘IL’A&ii + &,&j, WAot‘pA .+. N&&(T, 2 T,) ,< . . ‘. hf, 93 ‘%’ RAB &.$%‘x Ndo- xAw ,RT== %lC¡C : NAO + NBO - xAO ’ (21.5-38) (21.5-39) Los t&niinos’~$idimensionales ‘. (21.5-41) (21.5-42) 21-30 TRANSPORTE DE MATERIA Obstrvese que R,, Rr y RAB son relaciones entre densidades de flujode cantidad de movimiento, energía y materia, debidas al flujo global y la$ den$dades de flujo )debidas al transporte molecular en la interfase. Las Ecs. ‘2l.G3$ 35 y 36 pue da expresarse ahora en una fotmá más compacta -’ *. .- 1 (21.5-43) ,.. ‘, 0 (21.w4) [::,‘ + Rj j Al final de esta sección se exponen algunos ejemplos de, ~lculo~~de velocidades de transmisión de calor y transferencia de materia mediante’ éstas ecuacione%, LOS resuhados correspondientes a h* y kf son válidos también para lMas~‘de‘k~riente .,, ,: curvas. (Véanse los. Problemas 21.K y L). ‘: Losfactores de corrección 8, para corregir el efecto de la transfe+íc@ da materia ,i sobre los coeficientes de transferencia, vienen dados por :. :.: (21.5-45) h8 4T O TZE- Ih RT ~~ k’ edp12ZU- 4r.RAB k, (21.5-46) .<. (21.547) Los valores de ‘estos factores de &&ión que predicen las Ecs, Zj 5143 y 44, de acuerdo con la teoría de película, son (21.5-48) 0 jt (21.5-49) Estas ecuaciones resultan convenientes para examinar el valor de las correcciones de transferencia de materia, mientras que las Eks. 21.5-43 y 44 conducen a resultados más directos para las densidades de flujo. En la Fig. 21.5-2 se representa la Ec. 21.5-48. Una información mas detallada se presenta en las Figs. 2i.7-1, 2 y 3, en las que se representan en forma adecuada para el cálculo los resultados de la teoría de película y ,otras diversas teorías. Los resultados indican que la transferencia de materia de A y B haiia el interior de la corriente hace que #,, #Ty # AB sean positivos y que los coeficientes de transferencia disminuyan, mientras que si la transferencia de materia de A y B ,tiene lugar hacia Juera de la corriente, $,, 4.r y 4 AB son negativos y los coeficientes de transferencia aumentan. Si A y B se transmiten en direcciones opuestas, los factores # pueden ser TRANSPORTE DE 21-3 1 INTERFASE de distinto .signo, y en este caso, se corregirAn en direcciones..9puestas los corresOh%.- pondientes coeficientes de. transferencia. (Obsérvese una:vez más que NAB es posifivo cuando A se adiciona a la fase en consideración y negativo cuando A se ,mbstrae, y análogamente para la espie B. La necesidad de este convenio acerca 1.del’signo resulta ahora evidente.) Los perfiles que se obtienen a partir de las Ecs. 21.5-{.9 a 24 pueden ponerse en las formas adimensickles: eh - 1 = :ll I 6-1 1 0 .I , rr=(l+R)‘-l R <’ . 41.6 Tron8farahcia de materia hada OJ inkrior de la Fig. 21.5-2. Variacibn de los coeficientes de kansferencia ’ de materia, según la Ec. 21.5-48. ,, con la velocidad de transferencia siendo 17 una velocidad, temperatura o fraccióri molar; adimensionales -0 l-l v -- VO v, - 0 n T - T , T, - T, T -- n ZA AB = xdop - xAO (21.5-52,53,54) xAO y r) una coordenada adimensional (21.5-55,56,57) ‘$ I- 21-32 TRANSPQRTE DE MATERIA En el limite de peque& Yhcidades de transferencia de mate& las Jh. 21.5-50 .< -: y 51 se reducen a la forma, lineal En h lj.2 (difusión de 2 a travbs de B están&d$ y en el Eicmpro S8.5-- 1 (c?nd+ sacibn de A en presencia de B estancado) se han,obten.idi dIverSas fornias’especíales de estos perfiles 17. En la’ Fig. 21.5-3 se repkkntan @kamente algunos ejcr#os. de perfiles. El efecto de la transferencia de, materia sobre la forma de los per@les tsti de acuerdo con los efectos que ejeq,.sobre los coe&iegt~,de transfkencia que @<han indicado anteriohhte. Los perfile& completos sób:tienen aquf un inte*.+k%Mal, pero sirven para poner de manifiesto que este tratamiento s610,, pue, aplícurse cun carácter aprorimado a la mayor parte de, los sistemas de flujo.. í, ‘I: ‘. ,. Rg. 21.5-3. Perfiles de velocidad, temperatura y concentrach, en una película laminar, calcolados a partir de la Ec. 21.5-50. TRANSPORTE hE INTERFASE 21-33 Las anteriores deducciones están expresadas en función de las condiciones de la corriente v,, T, y xtik, a una gran distancia de la superficie. Para conducciones cerradas, los resultados se aplican ordinariamente sin más que substituir las condiciones «globales» de la corriente, vq, Tb y xAti Esta substitución eqUiVale a cortar cada perfil en el punto en que se alcanza el valor global, y de esta forma las correcciones de transferencia de materia pueden resultar demasiado bajas; sin enArgo, no se dispone hasta ahora de una mejor interpretación de la teoría de película. . La principal limitación de la teoría de película reside en la supuesta dependencia unidimensional de p, vx, T y x,,. En general, resulta difícil valorar la utilidad de esta suposición, pero parece probable que los resultados serán al menos cualitativamente correctos para el flujo en conducciones cerradas con perfiles totalmente desarrollados. Puesto que se ha despreciado el gradiente de presión a lo largo de la pared, los resultados de f,E no serán aplicables a flujos con resistencia de forma ni a flujos en los que el gradiente de presión en la película paralela a la pared sea responsable de una fracción considerable del esfuerzo cortante de pared. La suposición de que los espesores de película no se afectan por la transferencia de materia está en discusión, y solo se puede comprobar por experimentación o mediante métodos de cálculo más realistas. Las suposiciones de flujo laminar y propiedades de transporte constantes pueden suprimirse sin dar lugar a una gran complicación de los resultados. (Vtase el Problema.21.M.) Se ha expuesto con detalle la teoría de película debidÓ a su importancia histórica en la bibliografía de la transferencia de materia. En $5 21.6 y 7 se predicen por métodos más específicos los factores de corrección para otros dos sistemas de flujo. En $0 17.3 y 4 se ilustra sobre la aplicación de la teoría de película a sistemas que reaccionan químicamente. Otras aplicaciones pueden verse en el resumen de Sherwood y Pigford.6 Ejemplo 21.5- 1. Evaporach tipida de un líquido puro Un líquido A se evapora sobre una lamina porosa mojada que esta sumergida en una corriente tangencial de un gas no condensable B. En un punto de la superficie, el coeficiente de transferencia de materia en la fase gaseosa kx,toc, evaluado para las propiedades medias del fluido, vale 0,5 kg-mol hr-r me2 y la composición interfacial del gas es xA,-, = 0,80. Estimar la velocidad local de evaporación. Solución. Puesto que B no condensa, NB0 = 0. Aplicando la Ec. 21.5-36 a la fase gaseosa, se obtiene (21.5-59) de donde NAO = 0,5 In { 1 + 4,O) = 0,805 kg-mol hr-1 m-s 6 T. K. SHERWOOD y R. L. PIGFORD , (1952), Capitulo IX. Absorption nnd Extraction, McGraw-Hill, Nueva York 21-34 TR A N SP O R TE DE M A TER IA Mediante’la teoría de capa límite se obtiene una velocidad de evaporación considerablemente menor. (Véase el Ejemplo 21.7- 1). Es interesante comparar el resultado anterior con el que se obtiene utilizando la Ec. 21.1-2, tomando kzflm en vez de kx,loc. De esta forma se obtiene NAo - 0,80 (NAO + 0) = 0,5(0,80 - 0,OO) (21.5-60) N = 2,0 kg-mol hr-r mm2 Este resultado es mucho más alto e indica que las correcciones de transferencia de materia son importantes en este sistema. En este sencillo problema han aparecido los términos RAB y 4A B aunque no se les haya aplicado esta notación (compárense las Ecs. 21.5-44 y 59). Sin embargo, la utilización de los símbolos R y 4 son muy útiles para proceder a la resolución de problemas más complejos. (Véanse los Ejemplos 21.5-3 y 21.8-1.) Ejemplo 21.5-2. Utilización de factores de corrección en la evaporación de una gotita Ajustar los resultados del Ejemplo 21.2- 1 para la velocidad de transferencia de materia existente, aplicando un adecuado factor de corrección. Solución. La relación de densidad de flujo molar R AB en un punto cualquiera de la superficie de la gota del Ejemplo 21.2-1 es RA B = XAO XAm NAO -xAO NAO+ NBO = 0,0245 4 0,025 1 1 - 0,0245 (21.5-61) El factor de corrección que se predice a partir de la Ec. 21.5 -49 o la Eig. 21.7 -3 es eAB = = 0,987 para todos los puntos de la superficie de la gota. Por lo tanto, la velocidad de transferencia de materia corregida es @,9$“) = ~ABk,,,,,,D2 xAo - xA1 - xAO (21.5-62) = (0,987) (266 x lo-‘) = 2,63 x lOe7 g-mol seg-r Este resultado concuerda casi exactamente con el que se ha obtenido en el Ejemplo 21.2- 1, lo que indica que, en las condiciones citadas, se cumple satisfactoriamente la suposición de baja velocidad de transferencia de materia. Ejemplo 21.5-3. Comportamiento del bulbo húmedo a altas velocidades de transferencia de materia Ampliar el análisis del Ejemplo 21.2-2 para altas velocidades de transferencia de materia. Solución. Planteando de nuevo el balance de energía, Ec. 21.2-29, para una velocidad finita de transferencia de materia y para un punto situado sobre la muselina, se obtiene (21.5-63) NAO AHA,“,. = h~(co - To) 21-35 TRANSPORTE DE INTERFASE Multiplicando resulta los dos miembros por ~z4/A~,,,, h@,w y teniendo en cuenta que NB~ = 0, ~p~(Tm - Td NAOGA RT’-’ AÑ A,WP. hi?c (21.5-64) El segundo miembro de esta ecuación se puede calcular fácilmente si se conocen 7’0, T&,. y p. Aplicando la Ec. 21.5-44 para la transmisión de calor, siendo Na0 = O,.se obtiene la siguiente expresión para la velocidad local de evaporación: hioo In (1 + RT) NAo =1pd (21.5-65) Aplicando la Ec. 21.5 -44 a la difusión de A o B, y tomando de nuevo NB, = 0, se obtiene una segunda expresión para NAO: NAO = ~Z,IOO hlu + RdB) Igualando las dos expresiones de NAO resulta ln(l +n,d=i$&h(l +&d , (21.5-67) Al introducir las expresiones de R A,s y RT para este problema, se obtiene hw In 1 + “f: - “) I(21.568) kewcp..í A,v~P Esta ecuacibn indica que xAo y T, ,solamente pueden ser constantes en la superficie de la muselina si hloc/k+&,A es constante, y por consiguiente, igual a h,/ka,,,CvA. Para mayor sencillez se supone en este caso que dicha constancia se cumple; tal suposición es especialmente satisfactoria para el sistema HzO-aire, para el que Pr y Sc son prácticamente iguales. Con esta suposición, la Ec. 21.5-68 se transforma en (21.5-69) h que se convierte exactamente en la Ec. 21.2-31 para bajas velocidades de transferencia de materia. Para el problema numerico del Ejemplo 21.2-2, se aplican los siguientes valores: XA,, = 0,0245 ca4 = 8,03 kcal (kg-mal)-t “C-l para el vapor de agua a 40,5 “C L = 5,93 kcal (kg-mal)-r ‘C-t, de la Ec. 21.2-34 k c,,(T, - ;; = @,03) All,,va, (60 - 21) = 0,0298 10.500 21-36 TRANSPORTE DE MATERIA Introduciendo estos valores en la Fc. 21.5-69, se obtiene = g In (1,0298) = 0,0217 , Resolviendo esta ecuación se encuentra Este resultado difiere muy poco del valor xAoo--0 ., 0030 obtenido en el Ejemplo 21.2-2 y justifica el que se hayan despreciado las correcciones de transferencia de materia en las citadas condiciones. Mediante cálculos numéricos se encuentra que la sencilla Ec. 21.2-31 constituye una buena aproximación de la Ec. 21.5-69 para todas las condiciones previsibles del termómetro de bulbo húmedo. Esto se debe a que las Ecs. 21.2-29 y 30 estiman por exceso la velocidad de transferencia de materia en una forma muy parecida, y al igualar estas ecuaciones, los errores se compensan en gran parte. 0 21.6 COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA PARA ALTAS VELOCIDADES DE TRANSFERENCIA DE MATERIA: TEORfA DE PENETRACIÓN En esta sección se u;iliza la teorla de penetración para predecir la influencia de los coeficientes de transferencia de calor y materia sobre la velocidad de transferencia de materia. Esta teoría supone que el perfil de velocidad es plano junto a la interfase, y por lo tanto, es especialmente aplicable a la fase llquida en los sistemas gas-líquido. (Véase, por ejemplo, Figs. 17.5- 1 y 2.) Higbiel aplicó por primera vez esta teorla a las operaciones de transferencia de materia, y posteriormente han aparecido en la literatura numerosas variantes. En primer lugar discutiremos un caso en el que la teoría es prácticamente exacta, para ver después las modificaciones para otros sistemas de flujo. Consideremos el contacto de una corriente gaseosa de A y B con una película descendent.e de una mezcla líquida de A y B, tal como se indica en la Fig. 21. 6-1. En $ 17.5 se ha visto que, para flujo laminar sin ondulaciones, y cortos tiempos de exposición de la superficie del líquido, el proceso de difusión en la fase líquida penetra solo parcialmente dentro de la película descendente, y es análogo a la difusión no estacionaria en un fluido infinito en reposo. El análisis de $ 17.5 es sólo valido para pequeñas velocidades de transferencia de materia y en ausencia de reacción química; aquí se amplía el análisis* para altas velocidades de transferencia de materia, utilizando la solución de Amold expuesta en el Ejemplo 19.1-1. 1 R. HIGBIE, Trans. A. Z. Ch. 2 W. E. STEWART, próxima E., 31, 365-389 (1935). publicación. TRANSPORTE DE INTERFASE % 21-37 El análisis de 8 19.1 describe la difusih en estado no estacionario que tiene lugar cuandp una gran masa estacionaria del gas B puro se expone stibitamente a lo largo de la superficie plana z = 0, a un líquido A puro que no disuelve a B. Aquí se establece la solución en una forma más general’ para sistemas en los que Entra da ‘Sa lida L = Dlrto nc lo lnte rlo r de m e dida de de Ilquido Ilq uido ha c ia o I d e lo pe llc ula Ilquido Mg. 21.6-1. Difusih hacia el interior de una pelicula líquida descendente; tcxp es el tiempo total de exposición de un elemento típico de volumen próximo a la superficie. umh especies atraviesan la interfase con una determinada relación N&Ve~. Las dos fases pueden contener inicialmente A y B. La solución se. expresa para la región líquida o gaseosa z > 0, en la que la composición inicial es xAco, y la composicih de la interfase para t > 0 es constante e igual a x,,o. Las propiedades c y La,, se consideran constantes para z 5 0. La velocidad instantánea de transferencia de materia viene dada implícitamente por la siguiente generalizacih de la Ec. 19.1- 17: xAO - xA, NAO NAO + NEO - = J;;<l + erf f&,)cp exp (p’ zAO (21.61) 2 1 -3 8 TRANSPORTE DE MATERIA “% en la que C# es la velocidad adimensional de transferencia de materia de la Ec. 19.1-13a: pl = NAO +NBO C (21.6-2) La Ec. 21.6-1 indica que IJJ es constante durante el proceso de difusión, y, por consiguiente, NAO y NBe varían con t- “2. El perfil de concentración para z > 0 viene dado por la Ec. 19.1-16 y la Fig. 19.1 -1, substituyendo la composicion adimensional X por x ,= x A - xAco = 1 - nAB (21.6-3) xAO - xAca La coordenada adimensional 2 = z/d4gDt utilizada en el Ejemplo 19.1-1 permanece invariable. Para aplicar la solución anterior a la película descéndente de líquido de la Fig. 21.6-1, basta simplemente con substituir t por trof, el tiempo durante el cual se ha expuesto al gas un determinado elemento de la superficie móvil del líquido. Si la velocidad superficial v,,,& es constante y no se forman ondulaciones, troe = x/v,á,, siendo x la distancia que desciende en la pared. Obsérvese que la solución de flujo estacionario que se obtiene de esta forma incluye el transporte convectivo hacia abajo en la pared, pero no tiene en cuenta la difusión en esta dirección; esta suposición es satisfactoria excepto para la pequeñísima región inmediata a x = 0. La solución transformada está supeditada a las condiciones límite de que han de ser constantes tanto xAe y NAe/NBa a lo largo de la interfase, como la composición xAoo en el interior de la película descendente. El coeficiente local de transferencia de materia k&, a una determinada distancia medida hacia abajo en la pared mojada, se define, de acuerdo con la Ec. 21.1-2, por &, = NAo - XAO(NAO xAO - + NBO) (21.6-4) xA, Aquí se ha tomado dxA = xAo - xAoo, siendo xAoo la composición del líquido a la entrada. Introduciendo la Ec. 21.6-4 en la Ec. 21.6-1 se obtiene ““Lz Nz30 = J;;&l + erf q) exp 9’ ZJOC (21.65) que en el límite de bajas velocidades de transferencia de materia se transforma en (21.6-6) TRANSPORTE DE INTERFASE 21-39 Calculando el valor de v que interviene en esta ecuación a partir de la Ec. 21.6-2, _ se obtiene \ kZJOC (21.6- 7) = c que corresponde al resultado obtenido por Higbier para bajas velocidades de transferencia de materia. La variación de k& con la velocidad de transferencia de materia puede expresarse convenientemente en función de las magnitudes adimensionales que intervienen en la teoría de película: RA B = NAO + Nm xAO - xAc+a = k %c NAO NAO + NBO (21.6-8) - %AO (21.6-9) (21.610) La relación de densidades de flujo RAB es la misma del primer miembro de la Ec. 21.6-1. El factor de velocidad puede relacionarse con la densidad de flujo adimensional gr combinando las Ecs. 21.6-6 y 9: 4AB = & (21.~ll) La Ec. 21.6- 1 puede expresarse ahora en función de RAi y QIAB con el fin de facilitar los cálculos de transferencia de materia: R=r# (l+erf$)C>LP$ (21.612) y el factor de corrección eAB = q6ABIRAB viene dado por e= (l+erf$r’exp(-$). (21.613) Estas relaciones predicen una mayor variación de k,?,,, con la velocidad de transferencia de materia que los resultados correspondientes de las Ecs. 21.5-43 Y 48 de la teoría de película. En las Figs. 21.7-2 y 3 se representan gráficamente 10s resultados de ambas teorías. Las Ycs. 21.6-12 y 13 pueden servir para transmisión de calor si k, p,y c, son constanks en todo el fluido e iguales para ambas especies. Puede obtenerse una solución aproximada para el caso de propiedades del fluido variables, definiendo RT y #T . ,, , . 21-40 TRANSPORTE DE MATERIA % de igual forma que en las Ecs. 21.5-38 y 41. También resulta títil la ecuación para ’ transmisión de calor análoga a la Ec. 21.6-7 : (21.6-14) Combinando esta expresión con la Ec. 21.6-7, se obtiene (21.645) La Ec. 21.6- 15 proporciona un método sencillo para predecir coeficientes de transmisión de calor para bajas velocidades de transferencia de materia a partir de correlaciones de transferencia de materia. El coeficiente corregido h0 puede calcularse mediante la Ec. 21.6- 12 6 13, o a partir de las gráficas de 8 21.7. Si hay ondulaciones o turbulencia en la película descendente, se puede utilizar también la teoría de penetración con carácter aproximado, suponiendo que las distintas partes de la superficie del líquido se renuevan de cuando en cuando con material fresco en virtud de algún proceso de mezcla. Se supone después que flW representa un tipo de «edad media» de los distintos elementos de superficie que llegan a un determinado lugar del aparato en un dilatado periodo de tiempo. Si se acepta esta interpretación, se puede definir 21, mediante la Ec. 21.6-7 6 14, y aplicar sin variación las Ecs. 21.6-4 y siguientes. Esta interpretación sugiere que cl, dependerá de las condiciones de flujo y de la simetría del sistema, pero no de a o gAB. AB ,quepara 1ascitadascondicionesprevéelaEc. 21.6-7, La variación de k,con B ti se ha confirmado experimentalmente para la fase líquida en diversos sistemas de transferencia de materia gas-líquido, tales como columnas cortas de pared mojada, columnas de relleno, y en ciertos casos de flujo de líquidos en torno a burbujas gaseosas. (Véase el Ejemplo 17.5- 1.) Tengase en cuenta que esta variación con gAB se aplica solamente a sistemas en los que la velocidad de la fase líquida es, aproximadamente, constante en toda la región de difusión; otros perfiles de velocidad dan resultados bastante diferentes. (Véase el Problema 17.5 acerca de la disolución en una pelicula descendente.) La teoría de penetración se ha aplicado también a la absorcibn con reacción química. En la obra de Sherwood y Pigford3 se exponen numerosos ejemplos de este método. (Véase también el Ejemplo 19.1-3 y el Problema 19.D.) 6 21.7 COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA PARA ALTAS VELOCIDADES DE TRANSFERENCIA DE MATERIA: TEORfA DE CAPA LfMITE En esta sección se estudia el efecto de la transferencia de materia sobre los coeficientes de transferencia para el flujo laminar bidimensional a lo largo de una lámina 3 T. K. SHERWOOD (1952), Capitulo IX. y R. L. PIGFORD, Absorption and Extracrion, McGraw-Hill, Nueva York TRANSPORTE DE INTERFASE 2 1- 4 1 plana. (Véase Fig. 19.3-1). Este análisis difiere de las teorías de pelkula y penetración en que se consideran con detalle los perfiles bidimensionales de velocidad. En 0 19.3 se han obtenido los perfies de velocidad, temperatura y composición para la transferencia simultánea de cantidad de movimiento, calor y energía, en la capa laminar límite situada sobre una lámina plana. El análisis corresponde a una mezcla binaria con propiedades constantes del fluido y en ausencia de disipación viscosa o reacción química homogenea. Las soluciones son aplicables cuando la temperatura y la composición del fluido sor constantes a lo largo de la superficie de la lámina y cuando N,,c/Nea es tambi !n constante. Los perfiles de velocidad, temperatura y composición, que resultan vienen dados por la función sencilla l-I = rI(?#l, 4, K) (21.7-1) que representa la variación de los perfilesDJIzyI7 A e, con la coordenada de posición w, el grupo A de propiedades físicas (es decir, 1, Pr, o Sc), y la den9 = 6JmG-Jsidad de flujo de materia adimensional en la pared, K = (~v,,,J/v,>~xJ/~. En la Fig. 19.3-2 se representan gdficamente algunos ejemplos de estos perfiles. La deducción de 0 19.3 se ha hecho para NB = 0; sin embargo, los resultados son válidos para la transferencia de materia de A y B si K se evalúa en la forma que se indica aquí. (Véase el Problema 19.,F). ‘ Los coeficientes locales para la transferencia simultánea de cantidad de movimiento, calor y materia, se pueden obtener directamente a partir de las expresiones que se dan en las Ecs. 19.3-34,35 y 36, para la densidad de flujo de pared; las ecua~ ciones análogas que se obtienen son las siguientes: (21.7-2) (21.7-3) (21.711) En la Tabla 19.3-1 se indican los valores numtric>s de 2Z7’(0, A, K). Para mayor facilidad de utilización y también para compararlos con otras teorías de las correcciones de transferencia de materia, vamos a presentar estos resultados en función de los términos R, 4 y 8, que intervienen en las teorías de película y penetración. Cuando las propiedades físicas de la mezcla son constantes e iguales para las especies A y B, las Ecs. 21.5-40, 41 y 42, se transforman en R P% O e =pv,f@ /2 RT Pc _ hl h’ RA* = cha k”z (21.7-5,6,7) 21-42 k&Introduciendo TRANSPORTE DE M A TERIA las soluciones de capa límite para R,= K RI.= nYO, 1, K) RA B = f’., hoy kf , se obtiene K Pr ll’(0, Pr, K) K Sc (21.7-8,9,10) l-í’(O, Sc, K) que pueden compendiarse en esta única solución R KA (21.7-11) = II’(0, A, K) Para evaluar 4 basta simplemente con substitukf., h” y k@, de las Ecs. 21.7-5, 6 y 7, por los valores correspondientes para K = 0; el resultado es + KA = rí’(0, n, 0) y las correcciones de transferencia de materia para f, h y k, vienen dadas por las siguientes relaciones de las pendientes de períil en la pared: e = nYO, A, K) lI’(0, h, 0) r (21.7-13) En las Figs. 21.7-1, 2 y 3, se representan gráficamente las relaciones teóricas entre R, 4 y 6, y en la Tabla 21.7- 1 se da un resumen de la notación utilizada. Los valores para fl = 03 se han obtenido analíticamente a partir de la Ec. 19.3-50. Las soluciones de capa limite solo son estrictamente válidas si las propiedades físicas p, pu, C?,, k, c y gAB son Constantes; Sin embargo, las gráfiCaS están representadas en función de las definiciones de 8 y Q para propiedades variables, con el fin de que se puedan aplicar con carácter aproximado a un mayor número de problemas. , En las Figs. 21.7-1, 2 y 3, se han representado también los resultados de las teorías de película y penetración. Obsérvese que las soluciones de capa límite presentan una variación con II que no existe en las demás soluciones; esto se debe a que en las teorías de penetración y película se ha suprimido el efecto del perfil-v, sobre los perfiles de temperatura y concentración. La teoría de pelicula es la que predice el menor efecto de la transferencia de materia sobre los coeficientes de transferencia. La principal conclusión que se deduce de la comparación de las tres series de resultados de las Figs. 21.7- 1, 2 y 3, es que las correcciones de transferencia de materia dependen de la geometría del flujo y de las condiciones límite, de forma que cada teoría tiene un intervalo preferente de aplicación. Los resultados de capa límite obtenidos aquí son, evidentemente, preferibles para el flujo laminar a lo largo de superficies planas estacionarias y para la entrada de tubos, mientras que la teoría de penetración es, generalmente, la mejor para líquidos en las interfases gas-líquido. 21-43 TRANSPORTE DE INTERFASE TABLA 21.7-1 RESUMEN DE COORDENADAS UTILIZADAS EN LAS GtiFICAS PARA LA CORRECCIÓN DE TRANSFERENCIA MATERIA Factor dc corrccci6n, c9-x4 Factor de velocidad, Relación do difusi;dad, Pr- DE + Trmrfermcia do cantidad de movimic.nlo Tramfcrencia de calor Ir PS,, RM= =.40 - =1cc Nd0 - -=m NAO + Nao -Pera Ji. negatlv~, leer s’ negativo iobro las curvos ruperlorer 401 0,OI -- I 1 I 1’1111 I I I I 111111 I I I I I I llll I I 1 I I ll 0,02 0,05 ,O,l 0&2 45 $0 2 5 10 20 50 100 IRI FIg. 21.7-1. Densidades de flujo de cantidad de movimiento, calor y materia, entre una lAm$a plana y una capa laminar límite. [W. E: S TEWART, Sc. D. Thesis, Massachusetts Institute of Technology (1950).1 21.7-2. Variación de los coeficientes de transferencia con la velocidad de transferencia de materia, según la predicción de diversas teorías. Fíg. - -Teorto d e pelfc todos los valor Teorfo d e pmetroci6n los volorcs de A) * 0 rronsferencio 5 l+R 10 Fig. 21.7-3. Variación de los coeficientes de transferencia con la relacih flujo R, según la predicción de diversas teorías. de densidades de TRANSPORTE “$ DE INTERFASE 2 1 -4 5 (Véanse yjg 17.5 y 19.1). En los demás-casos, la elección debe de hacerse segun criterio o, si es posible, mediante comprobación experimental. Las Figs. 27.1-1, 2 y 3. contienen todas la misma información básica. A continuación se presenta un ejemplo con el fin de informar acerca de las condiciones en las que son importantes las correcciones de transferencia de materia. Ejemplo 21.7-1. Epaporac%n tipida desde una superficie plana Rehacer el Ejemplo 21 .S - 1, utilizando los resultados de la teoría de capa límite y la información adicional de que Sc = 0,6 para la temperatura T, y composición xA, medias. Comparar los resultados con los obtenidos anteriormente. Solución. Igual que antes, RAÍ = 4,00. El resultado de la teoría de capa laminar limite para RAB =4,00 y A 4 a =0,6, de acuerdo con la Fig. 21.7 - 1, esdA e = 1,03. Tomando NB0 = 0 y utilizando la definición de +4c, se obtiene NAO = kx.loc+,u = WX1,03) = 0,515 Kg-mol hr-1 m-* (21.7-14) De acuerdo con la teoria de pelfcula, el resultado es NA0 = 0,805, y si se desprecian las correcciones de transferencia de materia, el resultado es NAO = 2,0. Si el flujo es laminar y la variacion de las propiedades físicas no es demasiado grande, la solución de capa límite debera de ser correcta en este caso; los demás resultados son excesivamente altos. La teoría de penetracion no es aplicable a este sistema, debido a que ,no pueden despreciarse los gradientes de velocidad en las proximidades de la superficie del sólido. (i 21.8 COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA EN SISTEMAS DE VARIOS I COMPONENTES La predicción de velocidades de transferencia en sistemas de varios componentes es un problema difícil que es objeto de una intensa investigación. Se han utilizado dos métodos de ataque: (i) soluciones exactas para sistemas sencillos mediante las ecuaciones de variacion para varios componentes, y (ii) generalizaciones aproximadas de las correlaciones para sistemas de uno y dos componentes. Ambos mttodos son complementarios; las soluciones exactas (Ejemplo 18.5-5) han resultado útiles para desarrollar y comprobar los .métodos aproximados. Aquí se discuten algunos mttodos generalizados que son exactos cuando las propiedades físicas y las difusividades gr,,, son constantes. Vamos a considerar primeramente una corriente fluida de n componentes que forman una sola fase con propiedades físicas constantes, y cuyas velocidades de transferencia de materia de todas las especies a traves de la superficie límite son pequeñas. Para este sistema, los perfiles de velocidad y temperatura son los mismos que para un fluido puro de iguales propiedades físicas, y los coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento y calor pueden obtenerse directamente a partir de correlaciones como las de los Capítulos 6 y 13. Si, además, la difusividad efec- TRANSPORTE DE MATERIA 21-46 ‘% tiva gi,,,; definida en la Ec. 18.4-21, es constante para unadeterminadaespecie i, dicha especie se comporta como si estuviese en una mezcla binaria de difusividad gedB igual a gi,,,. Por consiguiente, pueden tomarse los resultados de $4 21.1-3, con los siguientes cambios de notación: ZA-t 2.I (21.8-1) 9 AB -f Bim (21.8-2) NAO - XAOWAO + NBO) -+ Ni, - xioV, (21.8-3) Por analogía con las Ecs. 21.1-2 y 3, se define el coeficiente local de transferencia de materia para la especie- i en un sistema de varios componentes, de la siguiente forma : , (21.8-4) Nio - xiJjN,, = k$, Axi Expresando la Ec. 21.8-4 para todos los valores de i se obtiene una serie de n ecuaciones que relacionan las densidades de flujo Nie con las composiciones de la interfase y de la corriente global. En el ejemplo 21.8- 1 se ilustra la utilización de esta serie de ecuaciones. Para bajas velocidades de transferencia de materia, se puede poner kti,loc en vez de k3,,oe con una exactitud satisfactoria. Para altas velocidades de transferencia de materia y propiedades físicas constantes, se aplican los resultados de $0 21.4-7 efectuando análogos cambios de notación. Las relaciones de densidad de flujo R, para objetos sumergidos en una corriente infinita, se generalizan de la siguiente forma: (21.8-5)’ R,= W,o¿(nt = W,ofs,Ui - Ta,) hf, Rh _ xjNjO k$o 40 xiO - xír, (21.8-6) (21.8-7) N' g - xio y los factores 4 se generalizan de esta forma: (21.8-8)’ (21.8-9) k7n = ‘ 2 t Estas dos ecuaciones no resultan útiles para objetos romos. (21.8-10) TRANSPORTE DE INTERFASE $ 21-47 Con estas definiciones, las relaciones entre R, 4 y 8, representadas gráficamente en las Figs. 21.7-1, 2 y 3, se pueden aplicar a sistemas de cualquier número de componentes. Estas generalizaciones de los resultados de sistemas binarios son exactas si las propiedades físicas, incluidas las difusividades .Qi,,,; son constantes. En los sistemas de varios componentes las propiedades físicas varían, generalmente, de un punto a otro. Los efectos de esta variación de las propiedades físicas son bastante complejos, pero en primera aproximación pueden estimarse introduciendo el valor medio de las propiedades físicas en las correlaciones para propiedades constantes. Se ha sugerido que las propiedades del fluido deben de evaluarse para la temperatura y composición medias entre la interfase y la corriente principal. Vamos a dedicar un pequeño comentario a la aproximación consistente en utilizar un valor medio de gi,,, para cada especie. Para muchos sistemas gaseosos ZBim es casi constante (véase la discusión que sigue a la Ec. !8.4-22) y esta aproximación conduce a buenos resultados. Sin embargo, en el caso de líquidos o sistemas que contienen especies de pesos moleculares muy diferentes, gim puede variar considerablemente, e incluso ser negativo en algún intervalo de composición. La utilización de un valor medio de grm puede conducir a grandes errores en estos sistemas, y es preciso desarrollar procedimientos mejores. Se está progresando considerablemente en este campo merced al trabajo de diversos centros de investigación. c Ejemplo 21.8- 1. Transferencia de materia en un reactor catalítico de lecho 40 En un reactor de lecho fijo se hidro8ena benceno a la presión total de 30 atm. Estimar la composicián del gas en contacto con las partículas catalíticas en una sección transversal donde las condiciones medias de flujo del gas son las siguientes (véase el Problema 18.E): (Cgim)b i 1 2 3 4 g-m01 xtb Mi cm-r Benceno Hidrógeno Ciclohexano Metano 0,100 0,800 0,050 0,050 78,ll 2,016 84,16 16,04 6,63 20,8 8,71 60. Total LooO Especie seg-r x x x x lO+ lO-6 1O-6 lO-6 (Sci,,Jb = =6dt@inz)b 1,46 0,466 1,ll 0,162 RiIR3 Moles de i producidos por mol de ciclohexano producido - 1 - 3 1 0 - 3 Otras condiciones de la corriente gaseosa son: Tb - 500 OK, pu, = 0,014 centipoises, Mb = = Z;XibMi = 14,43 Kg/Kg-mol, y Co = (PU) = 2930 Kg,hr-r m-*, estando (pu) basada en la sección total del lecho. La velocidad local de producción de ciclohexano es 1,s Kg-mol por hora y por Kg de catalizador. Las particulas catalíticas son cilindros de 0,32 x 0,32 cm, con una densidad pp = 0,9 g cmM3; la densidad global del lecho es &&, = 060 g cm-‘. Solución. A partir de estos datos se pueden hallar las velocidades de transferencia de materia y calcular despues las composiciones desconocidas, que se supondrán constantes 21-48 ‘&q TRANSPORTE DE MATERIA en la superficie externa de una determinada partícula catalítica.2 Con el fin de simplificar el calculo, se supondrá que las propiedades físicas son constantes. La superficie externa de las partículas por unidad de peso de catalizador, para partículas cilindricas de L = D = 0,32 cm., es 2nG2+nDL a, = nD2L -PP 4 2 4 2 x 103 4 x 103 ,+5 32+32 > z-z = 2,08 m2/Rg, 0,9 x 103 ’ PV y la superficie externa de las partlculas (21.8-11) por unidad de volumen de lecho es a = a,,,plwho = (2,08) (0,6)(1@) = 1250 m-l (21.8-12) Por lo tanto, las densidades de flujo hacia el interior de la corriente gaseosa, promediadas sobre la superficie externa de las partículas, vienen dadas por Nill = Rh = KS) U4/RsM2,08) (21.8-13) En la Tabla 21.8-1 se presentan los resultados calculados a partir de esta ecuacion. Para composiciones constantes z,,,de la superficie, se pueden predecir los coeficientes de transferencia de materia utilizando las Ecs. 13.4-2 y 3, y tomando j;f = jn. Para este sistema de varios componentes, jU se puede definir de la siguiente forma: - k,i (s&)y jD - (CV) kz&fb = c, <%n)y (21.8-14) en la que kzi está definido tomando dxj = xia - xib en la Ec. 21.8 -4. El número de Reynolds del que depende jo es Go Re=apcr 2930 (1250) (0,91) (0,014 x 3,6) = ‘* - (21.8-15) en la que tp = 0,91 es el factor empírico de forma que se ha indicado en !j 13.4 para lechos de relleno constituidos por cilindros. A partir de la Ek 13.4-3 y la analogia mencionada anteriormente, se obtiene io = jH = 0,61 Re - o*41 tp =-0,111 (21.8-16) Tengase en cuenta que se aplica el mismo valor de jo para todas las especies. Introduciendo los valores numericos en la Ec. 21.8 - 14 se obtienen los coeficientes locales de transferencia de materia ke (Wase la Tabla 21.8 -1). En dicha tabla se resumen los cálculos efectuados para hallar la composición en la superficie del catalizador. Como &,, Q 1, las correcciones de transferencia de materia son pequeñas y la teoría de película resulta adecuada. 2 H. E. HOELSCHER. A. Z. Ch. E. Journul, 4, 300-304 (1958) ha desarrollado un metodo que permite tener en cuenta la variación de composición sobre la superficie externa de la partícula. 21-49 TRANSPORTE DE INTERFASE Las fracciones molares en la superficie del catalizador difieren considerablemente de las de la corriente gaseosa. También existe una notable diferencia de temperatura, según se demuestra en el Problema 21.5. Al operar a velocidades másicas más elevadas probable mente aumentaría de forma considerable la velocidad de reaccibn; sin embargo, no se puede contestar de una forma definitiva a esta cuestión mientras no se sepa como varia la velocidad de reacción en la superlicie del catalizador con la temperatura y la composición. TABLA 21.8-1 TABULACIÓN DE LOS CALCULOS DEL REACTOR CATALfTICO DE LECHO FIJOB wo Xi0 De la Ec. 21.8-7b i Dela Ec. 21.8-13 1 - ‘0,721 0,069 2 - 2,163 0,788 3 0,721 0,092 4 0 0,os 1 i=l - 2,163 Ec. 21.8-10 ‘- Ec. 21.5-43 l,ooo a Nio y k,i están dados en Kg-mol hr-r m-2; los demás términos son adimensionales. b Substituyendo x,por x,. Obsérvese que xia se han calculado de forma independiente para las cuatro especies. Esto no es necesario ya que tres fracciones molares determinan la cuarta, pero es preferible calcular independientemente las cuatro con el fin de comprobar la solución. Aquí, la condición de que Z~.Q = 1 se cumple con tres cifras decimales, pero en otros casos puede ser necesario ajustar algo los valores calculados. Análogos procedimientos de comprobación pueden ap?karse a otros problemas de varios componentes, como en el caso del Problema 21.H. En general, para cualquier problema de n componentes, sólo existen n - 1 ecuaciones independientes correspondientes a la Ec. 21.8 -4. (Véase el Problema 21.H). Según esto, mediante consideraciones difusionales sólo se pueden hallar n - 1 composiciones y velocidades de transferencia de materia, exactamente igual que en sistemas binarios. 21-50 TRANSPORTE DE MATERIA “a CUESTIONES PARA DISCUTIR 1. ¿Qu& dos clases de interfascs se consideran en este capítulo 7 Citar algunos ejemplos de cada clase. 2. iPuede tener lugar transferencia de materia,en un sistema de composición constante? 3. Demostrar que el valor dc k& es el mismo en las Ecs. 21.1-2 y 21.1-3? 4. ¿En que condiciones pueden aplicarse las analogías de la Tabla 21.2- 1 ? 5. iQue predicen, en general, las Ecs. 21.2-16 y 17 por lo que se refiere a la dependencia funcional de jsr y jo ? 6. ¿Qué suposiciones se han hecho al deducir la Ec. 21.3-4? 7. i,En qué sentido la Ec. 21.4-6 es analoga a las Ecs. 21.4-4 y 5? 8. Explicar el sentido físico de FJm) y de Qe”)i iCuál es la magnitud análoga para transferencia de materia de la especie A en un sistema binario? 9. Comparar los sistemas tipo utilizados en $5 21.5, 6 y 7. 10. ¿Cómo deben de modificarse las condiciones límite de $21.5 con el fin de restringir la solu; ción para bajas velocidades de transferencia de materia? ll. Demostrar que $,, #r y #AB pueden considerarse como velocidades adimensionales a trav& de la interfase. Identificar el tipo de velocidad media utilizada en cada una de estas magnitudes. 12. iCual es el significado físico de las relaciones de densidades de flujo R,, R, y RA,? 13. LEn qué intervalos aproximados de R y $ se pueden tomar f@ -f; Ir@ = L,o ka = k., si los coeficientes de transferencia así obtenidos han de tener una exactitud de &5 por ckrto? 14. Comparar los efectos de la transferencia de materia sobre. los coeficientes de transferencia con los efectos de la transmisión de calor sobre dichos coeficientes. 15. iCómo están relacionados R y 4 para bajas velocidades de transferencia de materia? Demostrar que las Ecs. 21.5-43, 21.5-44 y 21.6-12 son correctas para este caso límite. 16. iPodría utilizarse la teoría de penetración para predecir velocidades de transferencia de cantidad de movimiento entre fases? Explíquese. 17. ¿Hasta qué punto son analogos n,, AT y A,,? 18. iPor qué aparece LI en los resultados de la teoría de capa límite pero no en las teorias de penetración y de película? 19. iEn que condiciones son exactos los procedimientos generalizados de 0 21.8? PROBLEMAS 21.AI P redicción de coeficientes de transferencia de materia en conducciones cerradas Estimar los coeficientes de transferencia en la fase gaseosa para la evaporación de agua en aire puro a 2 atm, 25 oC, y.una velocidad de flujo de 710 Kg,,, hr-1, en los sistemas que se indican más abajo. Tómese gAB = 0,130 cms?eg.-1 a. Una película de agua que desciende por la pared de un tubo vertical’de 15 cm de diametro interno. Utilícese la correlación de Gilliland para gases en columnas de pared mojada: k d = ~,+)“.“(~)““’ CB*, (F > 2,) (2l.A-1) b. Un lecho de relleno de 15 cm de diametro construido por esferas saturadas de agua, siendo a = 328m-1. TRANSPORTE DE INTERFASE 21-51 21.B1 Chdo de lo composkhh de uo gas a partir dé datos p&rom&icos Las temperaturas de los termómetros seco y húmedo de una corriente de ain húmedo, medidas a una elevada velocidad de aire y a la presi6n total de 800 mm Hg, tin 54,5 oC y 26,7 oC,.respecti’vamente. Calcular la fracción molar del vapor de agua en la corriente de aire. Para mayor sencillez, al estimar las propiedades de la película considtrese que el aire s610 contiene trazas de agua (A). Respuesta: .vAoo = 0,0176 21 .C1 Chhdo de la temperatura del aire para el sezado ea an lecho íijo Un lecho de poco espesor constituido por sólidos granulares saturadòs de agua, se somete a secado haciendo pasar a través de Cl aire seco a la presión de 1,l atm con una velocidad superficial de 457 cm seg-1. i,Cuál ha de ser la temperatura del aire para que la temperatura de la superficie del material sólido se mantenga a 15,s OC? De.sprMese la radiación. Respuesta: 44,4 OC 21.DD1 Velocidad de secado de tilidos graaularw ea un kcho fijo Calcular la velocidad inicial, expresada en Kg-mol hr-1 m-J, con la que se elimina agua en la operaci6n de secado descrita en el Problema 21.C, si el material sólido est8 constituido por escamas, siendo u = 590 m-t. Respuesta: 363,6 Zl.E, Evaporación de una gota que cae libreme&e Una gota de agua de 1,OO mm de dihmetro cae libremente a trav&s de aire seco en reposo a 1 atm y Tm = 37,8 “C. Suponiendo un comportamiento de pseudo-estado estacionario y una pequeha velocidad de transferencia de materia, calcular: (a) la velocidad de descenso de la ’ gota ; (b) la temperatura de la superficie de la gota; (c) la velocidad de,variación del diámetro de la gota en cm seg-1. Supóngase que las «propiedades de película» son las del aire seco a 26,7 Oc. Respuesta: a. 390 cm seg-1 6. 12,2 oc c. $55 x 10-4 21.F, Efecto de la radiach sobre las medidas psi&tricas Supóngase que un term6metro de bulbo seco y otro de bulbo húmedo esan instalados en una larga conducción en la que la temperatura T, de la superficie interior es constante y la velocidad del gas es pequefia. Por consiguiente, hay que corregir las temperaturas del termómetro seco T,, y del term6metro húmedo T,, debido a los efectos de radiación. Para simplificar, supóngase tambien que los termómetros estan instalados de tal forma, que se puede despreciar la conducción de calor a lo largo de las varillas de vidrio. a. Aplicar un balance de energía sobre la unidad de &rea del bulbo seco con el fin de obtener una ecuación de la temperatura del gas Tm en función de Tdb, T,, h,,b, e,, y ada (siendo estos dos últimos terminos la emisividad y el coeficiente de absorción del bulbo seco). b. Aplicar un balance de energía sobre la unidad de área del bulbo húmedo con el fin de obtener una expresi6n de la velocidad de evaporación. c. Calcular xAM para la presión y la3 lecturas termométricas del Ejemplo 21.2-2, y los siguientes datos adicionales: atoo = 457 cm seg-1, T, = 54,5 OC, edb = = ewb= a,, = 0,93, diámetro de bulbo seco = 0,25 cm, y diámetro del bulbo húmedo incluyendo la muselina = 0,38 cm. Respuesta: c. x.400-- ooG21 , 21.Gz Transferencia de A y B a travks de ana interfase fluido-fluido En este problema se amplían los resultados de 5 21.3 para incluir la transferencia de A yB entre dos fases constituidas por A y 8. Se supone que la relación N,,,/N,,o est& determinada, y que se conocen para ambos lados de la interfase las composiciones globales y los coeficientes de transfe rencia de materia. a¿b 21-52 TRANSPORTE DE MATERIA a. Expresar las Ecs. 21.3-2, 3 y 4, utilizando de nuevo la Ec. 21.1-10 para detinll el ooefi‘3 ciente local de transferencia de materia en cada fa& b. Deducir la relacion entre los coeficientes individuales k, y’ k, y el coeficiente global K,, de& nido por dl.U!G’ - USi!&%’ + &,J:t’) = K~Y.,. - YA& dA (21 .G-2) c. Obtener la forma especial del resultado dei apartado (b) que es aplicable cuando N,e, = N,,o. Este caso se denomina interdifusión equimolar; el nombre se presta algo a error, puesto que en un sistema binario las densidades de flujo de difusión Jl* y J,* son siempre iguales y opuestas. (Véase Ec. 16.1-14). 21.Hs Interdependencia de Ios coefIcientes de transferencia de materia en nr¡ sistema de varios componentes Tal como se ha indicado en 0 21.8, en una mezcla de n componentes sólo se pueden plantear n-l ecuaciones distintas de los coeficientes de transferencia de materia. Vamos a considerar ahora algunos procedimientos de comprobacion, que pueden utilizarse cuando se calcula toda la serie de los n coeficientes de transferencia. a. A partir de las definiciones de 8 21.8, demostrar primeramente que (21 .H-1) &&,c b = 0 g-Lo 1m Q,,.k,c = wnst. para cualquier valor de i I, (21.H-2) (21 .H-3) b. Utilixar estas identidades para comprobar la solución del Ejemplo 21.8 - 1. c. Demostrar cómo se simplifican las anteriores identidades para sistemas binarios. 21.Ia Combustión controlada por dlfusi&n en un lecho catalítico lijo Un catalizador de lecho fijo se regenera pasando a su trav6s una corriente de aire diluida con nitrógeno, con el fin de quemar el depósito de materia carbonosa. Se supone que la reacción de combustión tiene lugar en una sola etapa sobre la superficie del catalizador, y esta representada por la formula empirica 12 Oa + C,,H, + 10 CO, + 4 Ha0 (sólido) (gas) (k?W c34 El calor de reacción a 538 OC es A#k, = - 100 Kcal por mol de Oa (especie 1) consumido. Se desea conocer la temperatura máxima que alcanzan las partículas cuando la corriente gaseosa está a Tb = 538 oC y su composición es xbl = 1,0 moles por ciento de 02 y xb2 = 99,0 moles por ciento de Ns. a. Plantear una ecuacion para la densidad de flujo máxima posible, Nis, de oxígeno en la superficie del catalizador. Puede omitirse la corrección de transferencia de materia, puesto que RI, es muy pequeno. ‘b. Obtener una expresión para la diferencia de temperatura T. - Toa en función de Nro, mediante un balance de energía aplicado a una partícula catalítica. Tambien debe de omitirse aquí la cormccion de transferencia de materia, de acuerdo con lo que se ha supuesto en el apartado (a). c. Combinar los resultados de los aprtados (a) y (b) con la analogía j,, = ja con el fin de obtener una relación entre (To - Tb) y la composición de la corriente gaseosa. d . Calcula1 el valor máximo posible de TO en las condiciones indicadas. Supóngase que Sc = 0,8, Pr = 0,7 y cS:, = 7,54 cal g-mol-1 OK-r. Respuesta: d. 660 OC. TRANSPORTE DE INTERFASE 21-53 Zl.J, Temper&ura\del catalizador en mm reacción de varios componentes Estimar la temperatura del catalizador en el sistema del Ejemplo 21.8 - 1, si Pr, = 0,6, ¿!,, = i 1,7 cal g-mol-1 X-l, y el calor de reacción por mol de ciclohexano producido es AR, = - ‘51 Kcal g-mol-1 para las condiciones existentes en la superficie del catalizador. Supóngase. que los valores indicados anteriormente para las demas propiedades constantes siguen siendo los mismos. Respuesta: 600 OK 21.K2 Teorfadepelíadaparaesferas Deducir los resultados correspondientes a las Ecs. 21.5 -20, 21, 23 y 24, para transferencia simultánea ,de calor y materia en un sistema de simetría esfkrica. Es decir, considerar una superficie esf6rica de transferencia de materia y suponer que T y x, dependen solamente de la coordenada radial r. De-mostrar que las Ecs. 21.5 -35 y 36 son aplicables sin ninguna modificacibn. ¿Quk dificultades se encontrarían si se intentase utilizar la teoría de película para calcular la resistencia de fricci6n sobre una esfera? 21.Lz Teoria d e pezlíada psrn cilindrw Deducir los resultados correspondientes a las Ecs. 21.5 -20, 21, 23 y 24, para un sistema de simetría cilíndrica. Es decir, considerar una superficie cilíndrica de transferencia de materia y suponer que T y x, dependen solamente de r. Demostrar que se aplican las Ecs. 21.5-35 y 36 sin ninguna modificación. 21.M~ Teorfa de película para propiedades de transporte variables a. Demostrar que en sistemas en los quep, k y 123~ son funciolyes de y, la integraci6n de las Ecs. 21.5-16,17 y 18 (para y < 6., S,,o ôB, respectivamente) conduce a (21.M-3) Tambi&n aquí, si y a superior a 8,en las Ecs. 21.M - 16 2, hay que extrapolar las relaciones NA = =NAO y NB = NBe al efectuar la integracid& Considerando p, k y cSAB como propiedades efectivas de transporte, se pueden utilizar estas ecuaciones para desciibe los perfiles de tiempo ajustado para el flujo turbulento. b. Efectuar los correspondientes cambios en las Ecs. 21.5-22 a 27 y 31 a 33, y demostrar que las Ecs. 21.5-34 a 39 siguen siendo correctas. Por lo tanto, si se pueden predecirf~OC, hl, y kz,loc, go es preciso operar con las integrales en el c8lculo de velocidades de transferencia. c. Demostrar que IL. hk Y k,,k, + de evaluarse en función de las propiedades fisicas y del tipo de flujo (laminar o turbulento) correspondientes a las condiciones en las que se desea obt e n e r h% ~ig,. Y k%, Difush unidimensional en estado D O estacionario: generaihdb de ia sohcí6n de Arnold Un medio fluido estacionario, que no reacciona químicamente, y cuya composici6n xkoo y temperatura Tm son uniformes, ocupa toda la región correspondiente a z positivo. En el instante t = 0 el fluido situado en la superficie z = 0 pasa bruscamente a la composición xAO y To, para permanecer ZlJ$- 21-54 TRANSPORTE DE MATERIA luego constantes. Las propiedades físicas de la mezcla son constantes e iguales para ambas especies. La relacion N..,,-,/NsO también es constante para I > O.Las propiedades físicas de la mezcla son constantes e iguales para las dos especies. a. Rehacer el Ejemplo 19.1-1, con los cambios necesarios de condiciones límite, con el fin de obtener el perfil adimensional X,,(Z, q) descrito después de la Ec. 21.6-2. 6. Comprobar la expresión de la densidad de flujo adimensional de materia v correspondiente a la Ec. 21.6-1. c. Expresar la ecuacibn de energía y las condiciones limite de 7: para este sistema. Obtener, por analogía, las soluciones para transmision de calor correspondientes a los resultados de los apartados (4 Y W. CAPfTULO 22 BALANCES MACROSCÓPICOS EN SIS’iEMAS DE VARIOS COMPONENTES En el Capítulo 7 (sistemas isotérmicas) y en el 15 (sistemas no isotérmicas) se han estudiado las aplicaciones de las leyes de conservación de la materia, cantidad de movimiento y energía, a sistemas ingenieriles de flujo. En este capítulo se continua dicho estudio, introduciendo tres factores adicionales que no se han considerado hasta ahora: (u) el fluido del sistema está constituido por más de una especie química; (b) posibilidad de que existan reacciones químicas que den lugar a variación de la composición y a la producción o consumo de calor; y (c) entrada de materia en el sistema a través de las superficies que lo limitan (es decir, superficies distintas de los planos «l» y ~2))). En la Fig. 22.0-1 se representan distintos mecanismos en virtud de los cuales puede entrar o salir materia en el sistema. Se comienza por resumir los balances macroscópicos bara el caso más general descrito anteriormente. Cada uno de los tres balances contendrá ahora un término extra que tiene en cuenta el paso de materia, cantidad de movimiento o energía, L través de la superficie limitante. Los balances así obtenidos permiten describir procesos industriales de transferencia de materia, tales como absorción, extracción, cambio de ion y adsorción. A cada uno de estos temas se le han dedicado tratados enteros; aquí solamente se indicará la forma en que los conce&os expuestos en los capítulos precedentes facilitan el camino prtrp el estudio de las-operaciones de transferencia de materia. El lector que desee profundizar en el tema dispone para ello de diversos libros de texto.lB2J 0 22.1 LOS BALANCES MACROSCÓPICOS DE MATERIA La ley de conservación de la materia de la especie química i en un sistema macroscópico de flujo como el descrito, establece d z miPt = -Aw, + w@’ * + ri tot i = 1,2;**,n (22.1-1) t T. K. %IERWODD y R. L. PIGPORD, Absorption und Exfruc~ion, McGraw-Hill, Nueva York (1952). ZR. E. TREYBAL, Mass-Trunsfer Operutions, McGraw-Hill, Nueva York (1955). 3 W. MATZ, Die Thermodynamik des Würme-und Steinkopff, Frankfurt-am-Main (1949). Stoffaustauches in der Verfahrenstechnik, 22-2 TRANSPORTE DE MATERIA que es una generalización de la Ec. 7.1-2. En esta de «i» existente en el sistema en un instante, e Awi <zll>S, es la diferencia entre la velocidad de flujo de mat ‘planos «ID y «2». El término I .~~‘~J representa la veloc la especie i a través de las superficies limitantes del siste de materia. Obsérvese que IY$»“) es positivo cuando se u de la misma forma que Q se considera positivo cuand Finalmente, el símbolo ri,tot representa la velocidad debido a la existencia de reacciones honiogéneas o h Si se suman las n ecuaciones correspondientes a ./’ calor al sistema. d z mtot = en la que wcrn) = w (“‘1, a la vez que se ha aplicado lri; j, i ‘la conservación de la materia expresada en la forma i ri, tot, = 0. i=l La Ec. 22.1-1 puede expresarse también en unida&&$k.&es: <’ 1 Recuérdese que en la Tabla 15.3 - 1 se ha despreciado el transp¿k& molecular y turbulento de cantidad de movimiento a través de las superficies «l» y «2» en la: -dirc&ón de flujo, en comparaci6n con el transporte global. Aquí se hace lo mismo para el transme de la especie i. En realidad se podría escribir Awi = A[(pivi)S]. Se recomienda la utilizacibn de expresiones más exactas cuando los perfiles de velocidad son muy irregulares, como ocurre, por ejemplo, en columnas de relleno. Análogas consideraciones se pueden aplicar a transferencia de mz%eria. Generalmente estos efectos se desprecian debido a que se carece de datos para evatuarlos. 2 Las magnitudes mi,tot, r,,t,,t, y wifm) pueden expresarse como integrales:, m.t,t = s/i dV (22.1-14 ktot = J (22.1-16) ri dV V (22.1-14 siendo n el vector unitario normal dirigido hacia fuera, y S (mJ la porción de superficie límite sobre la que tiene lugar la transferencia de materia. En la definición de wJm) se ha supuesto que la superficie de transferencia 9”‘) es estacionaria. Si esta superficie se mueve, se substituye a, por la velocidad local del fluido relativa a la superficie. BALANCES MACROSCdPICOS 22-3 luc i6n o c uo *a ‘de (rc ido b e nzo ic o A ire CH,, 02, calientes, y + NHs + HsO /Entrada woduc tor de >b ustib n - “1”- A ire + N’ & .Sa lida de lo so luc ió n a g uo so d a o m o nla c o - _ ---t CH, -- filo 64 fb) Fig. 22.0-1. Formas según las cuales puede entrar o salir materia a trav6s de las superfhies limitantes: (u) el ácido benzoico entra en el sistema por disolución de la pared; (b) el vapor de agua entra en el sistema, definido como la fase gaseosa, por evaporación, y el vapor de ?moniaco sale por absorción; (c) el oxígeno entra en el sistema por transpiración a travks de una pared porosa. En esta expresión, las letras mayúsculas representan los símbolos molares equivalentes a las minúsculas de la Ec. 22.1- 1. Sumando la Ec. 22.1-3 para todas las especies i se obtiene $ on,,, = -A !h? + %‘(“‘) + 2 Ri,tot i=1 (22.1-4) Obsérvese que, en general, el último término no es cero debido a que el número total de moles no es conservativo. Las Ecs. 22.1- 1 a 4 constituyen el punto de partida para la descripción cuantitativa de numerosos sistemas. Su forma para estado estacionario es la base de los «balances de materia» o ((estequiometría industrial». Como en el libro de Hougen, 22-4 TRANSPORTE DE MATERIA Watson y Ragatz) se exponen numerosos ejemplos ilustrativos dedicados a este tema, prescindiremos aquí de dichas aplicaciones. La Ec. 22.1- 1 ó 3, cn su forma ce ‘rrespondiente a estado no estacionario, constituyen la base para el estudio del comportamiento no estacionario de los aparatos de mezcla y de los reactores químicos agitados, en los que la concentración puede considerarse satisfactoriamente uniforme en todo el recipiente. La Ec. 22.1-1 6 3 se aplican también a los aparatos de transferencia de materia en marcha continua; para ello, se acostumbra a expresar la Ec. 22.1- 1 6 3 aplicada a un elemento diferencial del sistema. La diferencial dw$‘@ o d12e:lm) pueden expresarse en función de una diferencia local de fracción molar y un coeficiente local de transferencia de materia k2, definido mediante una ecuación análoga a la 21.4-6 para el caso de varios componentes. Esto pone de manifiesto la relación existente entre las Bes. 22.1- 1 y 3 y el Capítulo 21. Estas dos últimas aplicaciones (tanques agitados y procesos continuos de transferencia de materia) se discuten en los Ejemplos 22.5-2, 22.6-1 y 22.6-2. 5 22.2 EL BALANCE MACROSC6PICO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO El planteamiento de la ley de conservación de la cantidad de movimiento para una mezcla de fluidos, cuya única fuerza externa que actúa sobre las especies es debida a la gravedad, es ,,, + ps + F(“‘) - F + mtotg (22.2-1) Esta ecuación sólo difiere de la Bc. 7.2-2 en la adición del término Fc”‘) que corresponde a la entrada neta de cantidad de movimiento en el sistema1 debido a la transferencia de materia a través de la superficie limitante: En la practica, para la mayor parte de los procesos de transferencia de materia, este t&mino es +an pequeño que puede despreciarse. La fuerza F de la Ec. 22.2-1 se calcula utilizando el factor de fricción fa en la forma que se. ha definido en la Ec. 21.4-4. 5 22.3 EL BALANCE MACROSCÓPICO DE ENERGfA La ley de conservación de la energía para una mezcla de fluidos se expresa de la siguiente forma: + Q(“‘) + Q - W $ Etot = -A (22.3-1) 3 0. A. HOIJGEN , K. M. WATSON y R. A. RAGATZ, Material and Ene*gy Balances, Vol. 1, Chemica1 Process Principles, Wiley,Nueva York (1954), Capítulo 7. 1 Este t&mino puede expresarse como una integral: piI 3 - ,&n l ~4 ds (22.2~la) s siendo 15 el vector unitario normal dirigido hacia fuera. De igual forma que en 8 22.1, se supone tambien que la superficie de transferencia es estacionaria. BALANCES MACROSCOPICOS 22-5 Esta ecuación1 es igual a la Ec. 15.1-3, salvo que se le ha adicionado el término Q(m). Este termino tiene en c enta la adición de energía al sistema como consecuencia de la transferencia de materia a través de la superficie que lo limita. Obsérvese que Q es la velocidad de transmisión de calor por conduccion a través de las superficies limitantes. Si existe transferencia de materia hay que utilizar el coeficiente de transmision de calor Iro definido en la EL 21.4-5. El término Q(“) puede tener una importancia considerable, especialmen..e en el caso de que la materia que entre en el sistema a travts de la superficie que lo limita este a temperatura mucho más alta o mucho más baja que la del fluido en el interior del sistema de flujo, o si reaccionan químicamente en él. Cuando se producen reacciones químicas se puede desprender o absorber una cantidad considerable de calor. Este calor de reacción se tiene automáticamente en cuenta al calcular las entalpias de las corrientes de entrada y salida. (Véase el ejemplo 22.5-1). En numerosas aplicaciones, en las que las velocidades de transferencia de energía a través de la superficie son funciones de la posición, es más conveniente expresar la Ec. 22.3-1 aplicada a un elemento diferencial del sistema de flujo. De esta forma, el incremento de calor adicionado, dQ, se puede expresar en función de un coeficiente local de transmisión de calor he, corregido para tener en cuenta los procesos de transferencia de materia que tienen lugar. Este procedimiento es análogo al que se ha utilizado en el Ejemplo 15.4-2. 6 22.4 EL BALANCE MACROSCbPICO DE ENERGfA MECANICA El balance de energía mecánica o ecuación de Bemuolli, para una mezcla reaccionante de fluidos con transferencia de materia a través de las superficies limitantes, no puede expresarse en forma sencilla para un caso general. Por esta razón, el estudio que se hace aquí se restringe al caso de fluidos de densidad constante p. Para estos fluidos, el balance de energía mecánica es W-E,, %(Kat+0.3=-A[(fr~+B+P)wl+B<“‘P (22.4-1) Esta ecuación es igual a la Ec. 7.3-la, con la adition del término W), que representa la energía que se comunica al sistema de flujo debido a los procesos de transferencia de materia; en este término se incluyen la energía cinética y potencial comu1 Este termino puede expresarse como una integral: \ = - s,,,(n - i~lwd?i) dS (22.3-10) s siendo n el vector unitario normal dirigido hacia fuera. El origen de esta expresión aproximada puede verse fkilmente considerando la Ek 18.4-6. Lo mismo que en 0 22.1, se supone que la su perficie de transferencia es estacionaria. QI W 22-6 ‘% TRANSPORTE DE MATERIA nicadas al sistema, así como también el trabajo realizado contra la presión del sistema para forzar la introducción del fluido a través de las paredes del mismo.’ La .forma de estado estacionario de la ecuación de Bernoulli para fluidos puros (Ec. 7.3-2) es válida para sistemas reactivos de varios componentes si Bt”) es igual a cero. En el Ejemplo 22.5-3 se ilustra su utilización en estas condiciones. 0 22.5 UTILIZACIÓN DE LOS BALANCES MACROSCbPICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE ESTADO ESTACIONARIO En $ 18.5 se ha visto como pueden obtenerse los perfiles de temperatura y concentración en sistemas concretos, mediante la resolución de formas simplificadas de las ecuaciones de variación para sistemas de varios componentes. En esta sección se indica cómo se utilizan formas simplificadas de los balances macroscopicos en sistemas de varios componentes, con el fin de plantear relaciones entre las condiciones de entrada y salida para sistemas de flujo en estado estacionaaio. Teniendo en cuenta los terminos que se descartan, se sabe con exactitud las restricciones a que están sometidos los resultados obtenidos. Ejemplo 22.5- 1. Balance de energía en un convertidor de dihido de azufre Los gases procedentes de un quemador de azufre pasan a un convertidor, en el que el dióxido de azufre presente se oxida catalíticamente a trióxido de aztrfre, de acuerdo con la reacción SO, + $Q, # SOs. iQue cantidad de calor debe de eliminarse del convertidor, por hora, con el fin de obtener una conversión del 95 % del SO2 en las condiciones que se indican en la Fig. 22.5 - 17 Supóngase que el convertidor es suficientemente grande, de forma que los gases que salen de él estén en equilibrio termodinámico entre sí, es decir, que las presiones parciales de los gases a la salida cumplen la condición de equilibrio &+!EL (22.54) Pso, Pf* Los valores aproximados de Kp para esta reacción son los siguientes: T, “K %, atm-‘12 600 700 so0 900 9500 880 69,s 9,8 Solución. Es conveniente dividir el problema en dos partea: aplicar primeramente el balance de materia y la expresión de equilibrio para hallar la temperatura de salida, y utilizar después el balance de energía para determinar la cantidad de calor que es preciso eliminar. 1 Este término puede expresarse en función de una integral de superficie Igual que en 5 22.1, se supone que la superficie de transferencia eS estacionaria. BALANCES MACROSCOPICOS 22-7 a. Determinación1 de T2: Se comienza por escribir el balance macroscópico de materia, “2” -Gas rico en Entrada del Ilquido SO, de refrigeracf6n 02, lO,Kl kg.mol ht-’ N2,81,40 k+mbl hr-’ “1” Tl = 44O.C Pl = 1,05 hg. 22.5-1. Oxidacibn atm catalítica del dibxido de azufre. Ec. 22.1-3, para los distintos constituyentes de las dos corrientes, expresado en la forma (22.5-2) w** = Q-f& + Ri,tot Por otra parte, teniendo en cuenta las dos relaciones estequiom&ricas, Rso,tot ’ _: (ti.%3) = -Rsoptit (22.5-4) Ro,tot = Wso ,to t De esta forma se obtienen las velocidades molares de’ flujo a través de ia superficie &»: w2,so, (0,95)(7,80) 372.50, = 0 + (0,95)(7,80) ?f:2,01 = 10,8 - 1’/2(0,95)(7,80) 3P&, = Wl.N*. = 7,80 - ati, Substituyendo los valores num&icos = = = F = 0,39 Kg-mol 7,41 Kg-mol 7,09 Kg-mol 81,40 Kg-mol 96,29 Kg-mol hr-l hr-l hr-l hr-’ hr-r -’ (22.5 -5) (225-6) (22.5 -7) (22.5 -8) (22.5 -9) en la expresión de equilibrio, ES. 22.5-1, se obtiene: (7,41/96,29) = 70,O atm-“2 Kp = (0,39/96,29)(7,09/96,29)“~ (22.5-10) De acuerdo con los datos que se han indicado para el equilibrio, este valor de K,, componde a una temperatura de salida T2 de, aproximadamente, 525 OC. b. Cálculo de la cantidad de calor que es preciso eliminar. Tal como se ha indicado en el Ejemplo 15.4 -1, las variaciones de energía cinética y potencial son en este caso des1 Wase 0. A. HOUGEN, K. M. WAT SON y R. A. RAGATZ, Principick de los Procesos Químicos, pp. 487-488. II, Termodinámica, Reverte, Barcelona (1964), \ 22-8 ‘% TRANSPORTE DE MATERIA preciables en comparacion con las variaciones .de entalpia. Para las condiciones de este ejemplo puede suponerse que los gases se comportan como ideales. Según esto, para cada constituyente, Rt = &(7’). Por lo tanto, el balance macroscópico de energía, Ec. 22.3 - 1, ‘se. puede expresar así (22.5-11) Para los constituyentes individuales, tendremos siendo &“ la entalpia standard de formación2 de la especie i a partir de sus elementos a la temperatura de referencia de entalpia TO, y (¿! ti)med el calor específico medio2 de las especies entre T y T”. Para las condiciones de este problema se pueden utilizar los siguientes valores numericos2 de estas propiedades físicas (las dos Urnas columnas se han obtenido a partir de la Ec. 22.5-12): (ePiAne* Bi" Componente (cal g-mal- r) a 25 OC so2 so3 02 N2 - 70.960 - 94.450 0 0 [cal(mol-g)- l*C-l] desde 25 OC hasta 44ow 525 oc ll,05 ll,25 15,88 - 7,45 7,12 If-lnQ Bt\ \VUinih (Kcal hr-‘) m9imr (Kcal hr- l) 7,54 7,17 - jl7.720 - 0 25.480 - 641.040 26.730 33.390 240,520 291.820 - 243.810 - 347.970 Substituyendo estos valores en la Fc. 22.5 -11 se obtiene la velocidad con la que es preciso eliminar el calor: - Q = - 243.810 - (- 347.970) = 104.160 Kcal hr-l (22.5-13) Ejemplo 22.5-2. Altura de una torre de absorcih de relleno3 Se desea separar un gas soluble A que esta formando una mezcla con el gas insoluble G, poniendo en contacto la mezcla con un disolvente L no volátil en el aparato que se indica en la Fig. 22.5-2. El aparato consiste esencialmente en un tubo vertical que está ocupado por un material de relleno colocado al azar, formado por pequeños anillos de una substancia química2 Vease, por ejempio, 0. A. HOUGEN, K. M. WATSON y R. A. RAGATZ, Part 1, Chemical Process , Principles, Wiley, Nueva York (1954), segunda edición, pp. 257, 296. 3 R. L. PIGFORD y A. P. COLBURN, Sección 10 de Chemical Engineers’ Handbook McGraw-Hill, Nueva York (1950), tercera edición. (ed. J. H. PERRY), ‘% mente inerte. El líquido L se repar escurre sobre la superficie de los gaseosa que asciende por la torre. duce el transporte de A des Entra da de lo c o rrie nte de superior del relleno y &imo con la mezcla .&s corrientes se pro- Ilq uido : Ve lo c ida d de l liq uido lib re de so luto = ‘ % ” Re la c i6n m o la r de so luto = XA, ._. o i iiza r de l re lle no , Uq uido “2” L r >” a lido Ve lo c ida d de l Ilq uido Re la c ió n (a ) C o rta de lo c o rrie nte de lib re de so luto = %” m o la r de lo ng itudina l de lo liq uido ; I-h r. .~ ~‘- 3 l a s Da rttc ulo r e s d e l re tle no c o lum na Fig. 22.5-2. Columna de relleno para transferencia de materia, en la que se dispersa la fase descendente. Obdrvese que en este esquemagf $ es negativo; es decir, que el gas fluye de «2» a NI». Las corrientes de gas y líquido entran en el aparato con velocidades molares - Qp’o y respectivamente, calculadas suponiendo que se ha eliminado A. Obsérvese que la velocidad del gas es negativa en este problema debido a que la corriente gaseosa fluye desde la superficie «2» hacia la ~1% La relación molar de A a G en la corriente gaseosa de entrada es Y,Q = yA2/(l - JJ&, y la relación molar de A a L en la corriente del líquido de entrada es XAI = x,t/(l - x,&. Deducir una expresión de la altura z de torre necesaria para reducir la relacion molar de A en la corriente gaseosa desde Y,Q hasta YAr, en funcion de los coeficientes de transferencia de materia en las dos corrientes y las anteriores velocidades y composiciones. WL, 22-10 TRANSPORTE DE MATERIA Supóngase que la concentración de A es siempre pequeña en ambas corrientes, de forma que la operación puede considerarse isotérmica y no es preciso corregir los coeficientes de transferencia de materia debido a la transferencia de materia. Es decir, que pueden utilizarse los coeficientes de transferencia de materia k, y k,, definidos en las Ecs. 21.3 -2 y 3. Entrada de lo corriente de Ifquido: Velocidad del Ilquido libre de soluto Solida = su, Relación molar de soluto = X,, locidad loci6n de la corriente del gas libre gaseosa: de soluto = wG molar de soluto = YAI 1 t L : z F 1 - - Solida de la corriente de líquido: Velocidad del Ilquido libre de soluto)=,W’ Relación molar de soluto = XA2 da de lo corriente gaseoso: ocidod del gas hbre de soluto o W a Relocih m o l a r d e soluto = Y , esquemática de una torre de absorción de relleno mostrando el elemento diferencial al que se aplica el balance de materia. Fii. 22.5-3. Representacih Soluc ih. Como el comportamiento de una torre de relleno es bastante complejo, comenzaremos estudiando un modelo simplificado. Se considera que el sistema es equivalente a dos corrientes que fluyen colateralmente sin que exista mezcla longitudinal, tal como se indica en la Fig. 22.5 -3, y que se ponen en contacto entre sí a través de un área interfacial w» por unidad de volumen de relleno (véase Fc. 21.1- 13). Se supone también que la velocidad y la composición de cada una de las corrientes es uniforme en la seccion de la torre, y se desprecia el transporte molecular y de remolino del soluto en la dirección de flujo. Finalmente, se considera que .los perfiles de concentración en la dirección de flujo son curvas continuas que no se modifican sensiblemente con la distribución de las partículas de relleno. El modelo que resulta al tener en cuenta estas modificaciones simplificantes seguramente no conduce a una descripción muy satisfactoria de una columna de relieno; la mezcla longitudinal y la no uniformidad de la velocidad de los fluidos conducen, probablemente, a errores considerables. Sin embargo, las correlaciones de que se dispone actualmente para los coeficientes de transferencia de materia se han obtenido a base de este modelo, que deberá de emplearse cuando se utilicen estas correlaciones. Ahora podemos deducir ya una expresión de la altura de la c o lum na , y lo vamos a hacer en dos etapas. Primeramente se utiliza el balance macroscópico global de materia para determinar la composición de la fase líquida a la salida, y la relación existente entre las composiciones globales de las dos fases en un punto cualquiera de la torre. A continuación, ’ BALANCES MACROSCÓPICOS 22-11 se utilizanestos resultados, juntamente con la forma diferencial del balance macroscópico de materia, para determinar las composiciones interfaciales y la altura necesaria de torre. a. Balances macroscdpicos globales dc materia. Los balances macroscápicos de materia, Ec. 22.1-3, para el soluto A en cada una de las corrientes del sistema comprendido entre «l» y «2», pueden expresarse así (22.5-14) cl@.@ - Qf.J.4,~ = wgt’ (corriente lfquida) (22.5-15) (corriente gaseosa) wAoS - WA*1 - QlQ’ donde los subíndices AI y Ag se refieren al soluto A en las corrientes líquida y gaseosa, respectivamente. Es evidente que @LT) - -@,Jt$), y, por lo tanto, combinando las Ecs. 22.5-14 y 15 se obtiene cla,AII - WA,, = -(@Ag* - (&Agz) (22.5-16) Expresando esta ecuación en función de las composiciones de las corrientes de entrada y salida, tomando aTArs = &?JsX,, etc., se llega a (22.5-17) XA, = &l - ((h%&?LxyAP - YA,) De esta forma se halla la concentración de A en la corriente del líquido de salida. Reemplazando la súperíkie «2» por una superficie situada a una distancia z medida hacia abajo en la columna, se puede utilizar la Ec. 22.5-17 para obtener una expresión que relaciona las composiciones globales de Ia corriente4 en un punto cualquiera de la torre: (22.5-18) XA - X A, - (w & d(yA - yA,i En la Fig. 22.5 -4 se representa la Ec. 22.5 - 18 (la «línea de operación») juntamente con el equilibrio de distribución para las condiciones del Problema 22.B. 6. Aplicacidn de los balances macroscópicos de materia en forma diferencial. Se aplica ahora la Ec. 22.1-3 a una pequeña longitud dz de la torre, con el fin de estimar primeramente las condiciones interfaciales y determinar despds la altura de torre necesaria’ para obtener una determinada separación. (i). Determinacidn de las condiciones interfaciales. Puesto que sólo se transmite A a través de la interfase, se pueden utilizar las Ecs. 21.3-2 y 3 para expresar la velocidad de transferencia de soluto en la altura dz para disoluciones diluidas: (22.5-19) (22.5-20) siendo a = área interfacial por unidad de volumen de relleno de la torre S = área de la sección transversal de la torre x,,, ~4 = fracción molar global de A en las fases líquida y gaseosa, respectivamente, xA* yA ==x,, yA + 1 4 Para abreviar se omite en esta secci6n el subíndice b para la composición global. Los símbolos X,, Y,, x,, e yA representan composiciones globales. 22-12 TRANSPORTE DE MATERIA xAo, yA = fracciones molares interfaciales de A en las fases líquida y gaseosa, respectivamente. Para el caso de disoluciones diluidas que se considera aquí, X.4, x.~, Y., e y..r, son des‘preciables en comparación de la unidad. Teniendo en cuenta que d )f’“) + d.)ft$yJ = 0, y combinando las Ecs. 22.5-19 y 20, se obtiene YA - YA, (22.5-21) xA - XAO La Ec. 22.5-21 permite determinar YAo en función de Y,. Para cualquier valor de Y., se puede localizar X, sobre la línea de operación (balance de materia). La recta de pendiente Fig. 22.5-4. Cálculo de las condiciones interfaciales en la absorción de ciclohexano a partir de aire en una torre de relleno (Vease el Problema 22B). -(kd/k& que pasa por el punto (X,, Y,), tal como se indica en la Fig. 22.5-4, corta a la curva de equilibrio en el punto correspondiente a las composiciones locales interfaciales YA,-, y X,+ Para el caso de soluciones concentradas, es preferible partir de un par de composiciones interfaciales (x,,, yAo) y utilizar la Ec. 21.3 -4. (ii) Determinación de la altura de columna necesaria. Aplicando la Ec. 22.1-1 a la corriente gaseosa para un volumen Sdz de la columna, se obtiene 99’~ dYA = d?jY$’ (22.5-22) BALANCES MACROSCÓPICOS 22-13 Combinando esta expresión con la Ec. 22.5-20 para el caso de disoluciones diluidas, resulta -3p~~ d Y, = (kp)( Y, - Y,oW dz (22.5-23) Integrando esta ecuación desde z = 0 hasta z = Z, se obtiene z= - \)f”a yAS dYA S(&4 fy,, y.4 - YdO (22.5-24) La Ec. 22.5 -24 es la expresión que se deseaba obtener para hallar la altura de torre que se requiere para efectuar una determinada separacion. Obsérvese que al expresar la Ec. 22.5 -24 se ha despreciado la variación del coeficiente de transferencia de materia k, con la composición; en general, esto sólo se puede hacer para el caso de disoluciones diluidas. La Ec. 22.5-24 ha de integrarse generalmente por métodos numéricos o grafitos. Sin embargo, para disoluciones diluidas, puede admitirse frecuentemente que la línea de OI X racion y la de equilibrio son rectas. Por otra parte,si la relación (k,/k,.) es constante,(YA - Y4e) varía linealmente con Y.J. En estas condiciones, la Ec. 22.5-24 se puede integrar para obtener (vtase el Problema 22.F) z r 3fD (YA2 siendo - YA,) % 4 ( YAO - YA, (YA0 - YJ,n = (60 - -YA>2 - ( YA0 - YA), ln ty.40 - YAh c (YA, - YAI1 1 (22.5-25) (22.5-26) Ordenando la Fc. 22.5-25, resulta W$) = :h$(YAz - Y,,) - WWS(Y.,, - YA, (22.5-27) La comparación de las Ecs. 22.5-27 y 15.4-16 pone de manifiesto la estrecha analogfa que existe entre torres de relleno y cambiadores de calor. También pueden obtenerse expresiones análogas a la Ec. 22.5-27, pero conteniendo el coeficiente global de transferencia de materia K,,. (Vease el Problema 22.F.). También aquí se pueden utilizar las Fcs. 22.5-26 ó 27, tanto para flujo en corrientes paralelas como en contracorriente. Es preciso tener en cuenta, sin embargo, que el modelo simplificado que se. ha utilizado para describir la torre de relleno merece menos contianza que el modelo correspondiente para cambiadores de calor. Ejemplo 22.5-3. Expansión de una mezcla gaseosa reactiva a travks & una boquilla adiabática sin fricción Una mezcla equimolar de CO2 y Hz, a 1000 OK y 1,5G atm, está contenida en un gran tanque de presión térmicamente aislado, tal como se indica en la Fig. 15.5-4. En estas condiciones, tiene lugar la reacción CO0 + H, eC0 + HsO (22.5-28) 22-14 TRANSPORTE D E M,QTERIA Después de un tiempo de permanencia suficientemente grande en el tanque para que se alcance el equilibrio, se deja expansionar el gas hasta la presión ambiente de 1 atm a trav6s de una boquilla convergente. Estimar la temperatura y la velocidad del gas que sale a traves del estrechamiento de la boquilla (a) suponiendo que la reacción durante el paso del gas a traves de la boquilla es despreciable, y (b) suponiendo que se alcanza instantáneamente el equilibrio termodinamico en todos los puntos de la boquilla. Supóngase en ambos casos que la expansión es adiabática y que no existe fricción. Solucith. Vamos a comenzar suponiendo una op&ación de estado cuasi-estacionario, que los perfiles de velocidad son planos y que las variaciones de energfa potencial son despreciables. Se supone tambien que los calores especticos son constantes, que los gases se comportan como ideales, y que la difusión en la dirección de flujo es despreciable. El balance macroscópico de energía, Ec. 22.3 -1, se puede expresar en esta forma ?Jv*” = HI - - H, - (22.5-29) donde los subfndices «l» y «2» representan las condiciones en el tanque y en el estrechamiento de la boquilla. De igual forma que en el Ejemplo 15.5 -3, se considera que la velocidad del fluido en el tanque es cero. Todavía no se puede determinar la variación de entalpia. Para ello, combinando la Ec. 22.3 - 1 con el ‘balance de energía mecAnica en estado estacionario, Ec. 7.3 -2; se obtienes It+=dfj P (22.5-30) Se puede utilii esta expresion, juntamente con la ley del gas ideal y una expresión k(T), con el fin de evaluar As, y, por consiguienk, T2 y 212: PRT de (22.5-31) p==-gL _ H- i;lxd& + &V - pll) (22.5-32) izxiMi En esta ecuación.xi son las fracciones molares de los distintos componentes de la mezcla a la temperatura T, y Rioson las entalpias molares de los componentes a la temperatura To de referencia de entalpias. A continuación se discute separadamente la evaluación de I? para las dos partes de este problema. Aproximación A. Suposición de reacción química muy lenta. s Obskvese que la Ec. 22.5 - 30 tambien se podría obtener directamente a partir de la ecuacion de energía, Ec. E de la Tabla 18.3- 1, despreciandor, q y Ji. Es evidente que ni la Ec. 22.3-1 ni la Ec. 7.3-2 pueden utilizarse directamente en la forma integrada, ya que no se conoce el camino termoditimico de la exnansión. BALANCES MACROSCOPICOS ‘% 22-15 En este caso las x, son constantes, correspondientes a los valores de equilibrio a looOsK, y por lo tanto (22.5-33) dk- con lo que la Ec. 22.5-30 se puede poner en esta forma dlnT (22.544~ Puesto que xi y & se consideran constantes, esta ecuación puede integrarse desde pt, ?t hasta p2, T2 para obtener Ts = Tl A (R’=*z&’ 0 (22.+) ‘., Combinando esta expresión con las Ecs. 22.5-29 y 32 se obtiene la,exp&sión qut se trata de hallar para la velocidad del gas en la superficie 2: Substituyendo los valores numkicos en las Ecs. 22.5 -35 y 36, sepbtiene 22.A) T2 = 920 OK (vease el .Proble+a i v2 = 526 m seg-1 Cómo se puede observar, este tratamiento es muy semejante al irte b ‘ha ‘&db + el Ejemplo 15.5-3, y está tambien sometido a la restriccibn de que lalnelo@iad en el estrechamiento ha de ser subsónica. Es decir, que la presi&n en el estrechamiento de la boquilla no puede ser inferior a la fracción de p1 que se requiere para:producir velocidad s6n:ka en el estrechamiento. (Vkase Ec. 15.1-2). Si la presi6n ambiente es menor que este valor crítico de ~2, la presión en el estrechamiento se mantendr& en el .valor .crítico .y existti una onda de choque a la salida de la boquilla. ., Aproximacidn B. ~Suposición de reacci6n qufmica muy rip& Se puede proceder en este caso como,en el apartado A, tepiendo.en cuenta que las xi son ahora funciones de la temperatura, definida por la relaci6n de equilibrio: y las relaciones estequiom&icas xH*o - Xco x% = zco, &-’ (22.538,39,40) El término K,(T) de la JZc. 22.5-37 es la constante de equilibrio de la reacción, que es conocida, y que puede considerarse como una función exclusiva de .la temperatura debido a que se ha supuesto que el gas se comporta como ideal y a que el número de moles no 22-16 TRANSPORTE DE MATERIA varía durante la reacción química. Las Ecs. 22.5-38 y 39 se deducen de la estequiometría de la reacción y de la composición inicial del gas. La expresión de la temperatura final es, en este caso, considerablemente mas compleja. ‘Cuando ~ix,ix,M, es constante, la combinación de las Ecs. 22.S-30 y 31 conduce a (22.5-41) siendo (22.5-42) En general, la integral de la Ec. 22.5-41 ha de evaluarse numéricamente, puesto que xi y dxJdT son funciones complejas de la temperatura, que vienen dadas por las Ecs. 22.5-37 a 40. Sin embargo, una vez que se ha determinado T2 a partir de la Ec. 22.5-41, vz se puede obtener fácilmente mediante las Ecs. 22.5-29 y 32. Substituyendo los valores numericos en estas expresiones se obtiene (véase el Problema 22.C) T2 = 937 OK r v2 = 534 m seg-’ Se encuentra, por consiguiente, que cuando se mantiene el equilibrio químico durante la expansión, la temperatura y la velocidad a la salida de la boquilla son mayores. Esto se debe a que al decrecer la temperatura el equilibrio varía en elsentido en el que se desprende calor de reaccion. Este desprendimiento de energía tendrá lugar al disminuir la temperatura en cualquier sistema en equilibrio químico, como consecuencia de la famosa regla de Le Chatelier. En este caso, la reacción, tal como se ha escrito, es endotermica, y la constante de equilibrio disminuye al decrecer la temperatura. Como consecuencia, el CO y el Hz0 se convertirán parcialmente en Hz y CO;! durante la expansión, dando lugar al correspondiente desprendimiento de energía. Es interesante observar que también se puede aumentar la velocidad de escape, y, por consiguiente, la potencia del motor en la propulsión de cohetes, si se puede conseguir un equilibrio rápido, aun cuando las reacciones sean fuertemente exottrmicas. Esto se debe a que las constantes de equilibrio para estas reacciones aumentan al disminuir la temperatura, de forma que se desprende más calor de reacción durante la expansión. Se ha sugerido este principio como medio de incrementar la potencia de los motores de cohetes. El aumento de propulsión que se puede obtener por este procedimiento es bastante grande. Se- ha elegido este ejemplo debido a su sencillez. Téngase en cuenta que si la reacción química transcurre con variación del número de moles, la constante de equilibrio, y, por consiguiente, la entalpia, son funciones de la presión. En‘este caso, que es bastante frecuente, las variables p y T implícitas en la Ec. 22.5-30 no se pueden separar, y hay que integrar punto a punto esta ecuación. Estas integraciones se han efectuado, por ejemplo, para la predicción del comportamiento supersónico de túneles de viento6 y de motores de cohetes’, pero los cálculos son demasiado engorrosos y no se describirán aquí. 6 J. G. HALL , «Dissociation Nonequilibrium in Hypersonic Noule Flow», Preprint 7, A. i. Ch. E. Meeting, Kansas City (1959). 7 T. W. REYNOLDS y L. V. BALDWIN, One-Dimensional Fiow w i t h Chemical Reaction in Nozzle Expansions, Preprint 6, A. Z. Ch. E. Meeting, Kansas City (1959). BALANCES MACROSCÓPICOS 22-17 Q 2 2 . 6 U T I L I Z A C I Ó N D E L O S B A L A N C E S MACROSC6PICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESTADO NO ESTACIONARIO En $22.5 se han considerado problemas de estado estacionario. Vamos a abordar ahora el comportamiento no estacionario de sistemas de varios componentes. Este comportamiento es importante en numerosas operaciones prácticas, tales como lixiviación, secado de sólidos, separaciones cromatográficas y operación de reactores químicos. En muchos de estos procesos es preciso tener en cuenta tanto calores de reacción como transferencia de materia. Ya que el tratamiento completo de estos temas cae fuera del objeto de este libro, consideraremos solamente dos ejemplos muy sencillos. Una discusión más amplia puede encontrarse en las obras de Marshall y Pigford.1 Ejemplo 22.6- 1. Puesta en marcha de un reactor químico Se desea producir una substancia B a partir de una materia prima A en un reactor químico de volumen Oque está equipado con un sistema que mantiene una perfecta agitación. La formación de A es reversible, y las reacciones directa e inversa pueden considerarse de primer orden. Además, B sufre una descomposición irreversible de primer orden para formar un compuesto C. Las reacciones químicas que tienen lugar pueden representarse de esta forma ( 2 2 . 6 4 En el instante cero se introduce en el reactor, inicialmente vacío, una solución de A de concentración cA,, con una velocidad volumétrica de flujo constante Q. Deducir una expresión de la cantidad de B existente en el interior del reactor en el momento en que se llena hasta su capacidad tota1 V, suponiendo que la solución de alimentacion no contiene B y que no hay variación de las propiedades del fluido. Solucidn. Se comienza por expresar los balances macroscópicos de materia en estado no estacionario para las especies A y B, que en unidades molares son (22.6-3) Diferenciando la Ec. 22.6-3 con respecto al tiempo, se obtiene (22.6-4) 1 W. R. MARSHALL, Jr. y R. 1. PIGFORD, The Application of Differential Equations to Chemical Engineering Problems, University of Delaware Press, Newark, Delawcre (1947). ‘h$ 22-18 TRANSPORTE DE MATERIA Poniendo en. vez de d,]llAldt el segundo miembro de la Ec. 22.6 -2, y combinando la expresión que resulta con la Fc. 22.6-3 se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de o&r en función del tiempo: Esta ecuación se resuelve con las siguientes condiciones C.I. 1 : parar=0 C.I. 2 : para t= O Efectuando la integraci6n iniciales: ()3lB - 0 (22.6- 6) W6-7) se obtiene: (22.643) Sf = H- (k”‘u + k” ‘ lB + k”‘& f d(k”‘lA + k”‘lB + k”‘&- 4k”‘lB k”‘lc] (22.6- 9) Las Ecs. 22.6 -8 y 9 expresan la masa total de B existente en el reactor en función del tiempo hasta el momento en que esta totalmente lleno. Estas expresiones son muy semejantes a las ecuaciones que se han obtenido para el man6metro amortiguado del Ejemplo 7.6-2 y el controlador de temperatura del Ejemplo 15.5 -2. Sin embargo, se ‘puede demostrar (vease el Problema 22.1) que s+ y s- son ambos reales y positivos, y, por consiguiente,mn no puede oscilar. Ejemplo 22.6-2. Qperaci6n de una columna de relleno en estado no estacionarlo Existen numerosos procesos’industrialmente importantes en los que tiene lugar transferencia de materia entre un fluido y un dlido granular, como por ejemplo: recuperaci6n de vapores orgánicos por adsorción sobre carbón, extracción de cafelna de los granos de cafe, y separaci6n de los hidrocarburos aromáticos y alifsiticos por adsorción selectiva sobre gel de sílice. En general, el sólido se mantiene fijo, tal como se indica en la Fig. 22.6 - 1, y el fluido se percola a través de el. La operación es de por SI no estacionaria, y es preciso reemplazar o «regeneran> peribdicamente el sólido, es decir, volver a las condiciones originales mediante calentamiento u otro tratamiento adecuado. Para ilustrar estas operaciones de transferencia de materia en lecho fijo, vamos a considerar un caso físicamente sencillo, como es la separación de un soluto contenido en una solución mediante el paso a travks de un lecho adsorbente. En esta operaci6n se hace circular con una velocidad volumétrica de flujo constanteQ, a trav6.s de una torre de relleno,una solución que contiene el único soluto A en el disolvente B y cuya fracción molar es xAt. El relleno de la torre consiste en un sólido granular que adsorbe a A. Al iniciar la percolación los intersticios del lecho están totalmente llenos BALANCES MACROSCÓPICOS 22-19 del líquido B puro, y el sólido no contiene A. El liquido de percolación desplaza uniformemente al disolvente, de forma que la concentración de la solución de A es siempre ‘uniforme en cualquier sección transversal. Para mayor sencillez se supondrá que la concenEntrado de la fase fluida: ad de ftuio molar total = wS ncentmci6n del soluto = C, Fase sblid Salido de la fase fluido : Velocidad de flujo molar total L Sr, concentración del soluto = ~(2, t) Fig. 22.6-1. Torre de absorción de lecho fijo: (n) npresentacih esquemMca (b) una curva efluente tipica. del aparato; tracion de equilibrio de A adsorbido sobre el solido es proporcional a la concentración local de A en la solución. Se supondrá tambien que la concentración de A en la solución de percolacion es siempre pequeña y que la resistencia del solido, a la transferencia de materia es despreciable. Deducir una expresion para la concentración de A en la columna en función del tiempo y de la distancia de descenso en la misma. Solución. De igual forma que para el absorbedor de gases que se ha estudiado en el Ejemplo 22.5 -2, es conveniente considerar las dos fases como continuas y dispuestas colaterahnente, tal como se indica en la Fig. 22.6-2. Se representa también por u el btea de contacto por unidad de volumen de relleno de la columna. Sin embargo, en este caso, una de Ias fases esta inmóvil y se establecen condiciones de estado no estacionario. Debido B este comportamiento de estado no estacionario, resultan de poca utilidad los balances macroscópicos de materia en su forma integrada. Se puede utilizar la Ec. 22.1-3 y la suposición de que las disoluciones son diluidas con el fin de establecer que la velocidad de 22-20 ‘% TRANSPORTE DE MATERIA flujo molar.del disolvente, @c,, es esencialmente constante en todala longitud dela columna durante el tiempo de operación. Entrada de tluido con una velocidad molar total w~ Fase fluida In Fose sólida Salido de tluido con<una velocidad molar total “w, Fig. 22.6-2. Modelo esquematice de un absorhedor de lecho fijo, en el que se representa el elemento diferencial sobre el que se aplica un balance de materia. A continuación se utiliza la Ec. 22.1-3 en forma diferencial con el fin de expresar las relaciones de continuidad para el componente A en cada una de las fases en una sección de la columna de longitud dz. Para el sólido contenido en esta sección de columna, se puede escribir d.!@ at o bien siendo = daP)~-“’ = fraccidn del volumen de la columna ocupado por el liquido. S = área de la sección transversal de la columna (vacia) cAr = moles de A absorbidos por unidad de volumen de fase sólida x, = fracción molar global de A en la fase’ fluida XAe = fracción molar interfacial de A en la fase fluida, suponiendo que está en equiiibrio con cAS k, = coeficiente de transferencia de materia en la fase fluida, tal como se ha definido en la Ec. 21.1-13. l BALANCES MACROSCÓPICOS 2221 Obstkvese que al expresar las Ecs. 22.6- 10 y ll se ha despreciado el transporte convectivo de materia a traves de la interfase solucic%solido, lo que resulta aceptable cuando x,,,, es mucho menor que la unidad. Se ha supuesto también que las partículas son pequeñas, de forma que la concentración de la solución que rodea a cualquier partícula determinada es esencialmente constante en la superficie de la misma. La Ec. 21.1-3, para el /fuido contenido en el elemento diferencial de columna que estamos considerando, se transforma en (22.612) o bien siendo c la concentración molar total del liquido. La Ek. 22.6-13 se simplifica introduciendo un variable de tiempo modificada (22.6-14) Como puede verse, para cualquier punto de la columna, t’ es ‘el tiempo medido a partir del momento en que el «frente» del disolvente de percolación alcanza el punto en cuestión. Introduciendo el valor de r’ en la Ec. 22.6 - 13 se llega a - %Ao) (22.6-15) De igual forma, la Ec. 22.6-11 se puede expresar así Las Ecs. 22.6’-15 y 16 son una combmacion de las ecuaciones de continuidad para cada una de las fases con la expresión supuesta de la velocidad de transferencia de materia. Estas dos ecuaciones han de resolverse simultáneamente utilizando la distribución de equilibrio en la interfase, xAe = mcAs, srendo m una constante. Las condiciones límite son C.L. 1 : para t’ = 0 cAr = 0 para cualquier z > 0 C.L. 2 : para z=O xi = xAt para cualquier r’ > 0 (22.6-17) (22.6-18) Antes de resolver estas ecuaciones es conveniente expresarlas en función de las siguientes variables adimensionales : 22-22 TRANSPORTE DE MATERIA xA x=X-41 mcA# Y==xAl mt ‘(W Tl1 -Q (22.6-22) En función de estas variables, las ecuaciones diferenciales y las condiciones límite son ax - = -(X - Y) ai ay - = +(x - Y) a7 (22.6-24) C.L. 1 : para t=O Y = 0 para cualquier valor de 5 (22.6-25) C.L. 2: para r=O X = 1 para cualquier valor de t (22.6 -26) X-l - s t La solucibnl de las Ecs. 22.6-23 a 26 es 0 e-(*+t) J&*/G) df (22.6-27) en la que Jo(ix) es una funci6n de Bessel de orden cero del primer tipo. Esta función se ha representado gráficamente en diversas obras2 CUESTIONES PARA DISCUTIR 1. iEs verdad que en todos los sistemas Z,:,R,.t,t = O? 2. Contrastar F y F(m). 3 . iJ5.s correcto el balance macroscópico de materia ezpresado en la Ec. 22.3 - 1 cuando &/ar no es igual a cero? 4. Comparar Q’“’ con Q. 5. &uBl es el significado fisico II<=) en el balance macroscópico de eneigla mechica? 6. En el Ejemplo 22.5-2 se ha utilizado la relacibn op)$’ + @i”;’ = 0. arla también Q,‘” + Qj(“” = O? 7. $omo se podrla ampliar el Ejemplo 15.4-3 para el bombeo de una mezcla gaseosa qulmicamente n activa? 1 Este resultado fue obtenido por primera vez por A. ANZELIUS, Z, ungcw. Murku. Mech., 6, 291-294 (1926) para un problema análogo de transmisi6n de calor. En el probkma 22.L se indica un método para obtener este resultado. Vease tambien H. BATEMAN, Partid¡ Differential Equations of Muthemafical Physics, Dover, Nueva York (1944). pp. 123-125. 2 Vease, por ejemplo, 0. A. HOUGEN y K. M. WATSON, Chemical ProcessPrinciples, Wiley, Nueva York (1947). Primera Edición, Part III, p. 1086. En este caso y/ys corresponde a X, br corresponde a z, y uZ corresponde a 5. BALANCES MACROSCOPICOS 22-23 8. iEs conveniente, desde el punto de vista de la m&xima producción de B, utilizar la mex& perfecta que se ha supuesto en el Ejemplo 22.6- 1 ? LO, sería preferible operar con flujo de tapón, es decir, sin que se produzca mezcla entre los distintos elementos del fluido al pasar a trav6s del reactor? &.ría su respuesta la misma para la reaccibn k*“’ A I + A2- B, siendo RS = Jcz”’ c, 1 c,,, ? 9. iPodría substituirse en el Ejemplo 22.6-2 k, por KV con el fin de tener en cuenta la resistencia de la fase sólida. En caso afirmativo, ique dificultades se encontrarían para predecir K,? 10. Justificar la Ec. 22.6-7. PROBLEMAS U.A, Expmtsi& de mm mezcla gaseosa: velocidad de reaccibo muy le nta Estimarla temperatura y velocidad de la mezcla del gas de agua en el extremo de descarga de la boquilla del Ejemplo 22.5-3. si la velocidad de reacción es muy lenta. Utilizar los siguientesdatos: IogtsK, = -915, ¿&,=7,217 KcalKg-mal-1 OK-t, &,o =9,861, cm, = 12,995, i?,ee= 7,932. &a presión a la salida de la boquilla es igual a la presibn ambiente? Respuesta: 920 OK; 526 m seg-1; sí, el flujo en la boquilla es sub sónico. U.B, Altura de mm torre de absorci6a !e rellenal Una torre de relleno del tipo que se. describe en el Ejemplo 22:5-2 se utiliza para separar el 9 0 ya del ci+Gtexano conte.rido en una mezcla de c:cl Ihexano y arre, mediante absorcion con un aceite ligero no vol8til. La corriente gaseosa entra por la parte inferior de la torre con una velocidad volumétrica de 10.28 ms min-1, a 30 Oc y l,O5 atm. Su contenido en ciclohexano es del 1 “/ en volumen. El aceite entra por la parte superior de la torre a razón de 9.07 Kg-mol hr-t, también a 30 Oc, y contiene 0.3 moles por ciento de ciclohexano. La presión de vapor del cíclohexano a 30 oC es de 121 mm Hg, y puede admitirse que sus soluciones con el aceite siguen la ley de RAOULT. a. Construir la lhiea de operacion para esta columna. b. Construir una curva de equilibrio que comprenda el intervalo que se considera en este problema. Supt5ngase que la operacion es isotérmica e isobkica. c. Determinar las condiciones interfaciales en cada,uno de los extremos de la columna. d. Determinarla altura de torre necesaria utilizando la Ec. 22.5 -24, si k,a = I l,3 mol hr-t m-j, k,u = 501.4 mol hr-t m-s, y el brea de la sección transversal de la torre es S = 0,186 ms c. Repetir el apartado (d), utilizando la Ec. 22.5-25. Respuesta: d. 18,9 m. e. 18,3 m . U.C2 Expaasídn de ana mezcla gaseosa: velocidad de reacctin muy rhpida Estimar la temperatura y vetocidad de la mezcla del gas de agua en el extremo de descarga de la boquilla del Ejemplo 225-3, si la velocidad de la reaccion puede considerarse infinita. Utilizar ademas de los datos del Problema 22.A los siguientes: a 900 OK, l~g K, = - 0,34; Rn, = + 6340 cal g-mal-t#n&)= - 49.378; & = - 16.636; &,, - - 83242. Despreciar, para mayor sencillez, la variación del calor específico con la temperatura, y admitir que entre 900 y loo0 OK l o g K, varía linealmente con la temperatura. ge recomienda el siguiente procedimiento simplificado: t En este problema se sigue un ejemplo análogo presentado por R. E. TREYBAL, Mass-Trunsfer Operations, McGraw-Hill, Nueva York (1955), Capítulo 8. 22-24 “% TRANSPORTE DE MATERIA a. Se prevé que Tz ha de ser mayor que para velocidades de reacción lentas, y, por.consiguiente, será superior a 920 OK. (Vease- el Problema 22.A). Demostrar que para el posible intervalo de temperatura en este caso avaría practicamente de forma lineal con la temperatura de acuerdo con la expresión (d&fT)med & 12,40 cal g-mol-t OK-t. b. Substituir el resultado anterior en la Ec. 22.5 -41 para comprobar que T2 h 9 3 7 OK. c. Calcular RI y rl, y demostrar, mediante la Ec. 22.5-29, que vs = 533 m seg-1. 22.D, Elimioación de on material residual inestable Una corriente fluida de velocidad volumetrica de flujo constante Q se vierte en un río. La corriente contiene un material residual A de concentración cdO, que es inestable y se descompone con una velocidad proporcional a la concentracibn, de acuerdo con la expresibn -RA = kl”‘cd. Con el fin de reducir la contaminación se ha decidido hacer pasar el fluido a travb de un tanque de retención V antes de verterlo en el río. En el instante cero el fluido entra en el tanque vacío, que puede considerarse que está perfectamente agitado, y no sale de el hasta que el tanque esta totalmente lleno. Deducir una expresión para la concentración de A en el tanque, y en la corriente que sale de Cl, en función del tiempo, por analogía con el Problema 15.M. 22.E2 Reacción irreversible de primer orden en 00 reactor continuo Un reactor de volumen V, perfectamente agitado, está en el. momento inicial totalmente lleno de una solución del soluto A en el disolvente S con una concentraci6n c,,. En el instante t = 0 se introduce una solucidn de A en S idéntica a la anterior con una ve!ocidad volumétrica de flujo constante Q. Al mismo tiempo se introduce una pequeha corriente constante de una solución de catalizador, que da lugar a que A desaparezca de acuerdo con una reacci6n irreversible de primer orden cuya constante de velocidad es kl”’ seg- t. La constante de velocidad puede considerarse independiente de la composición y del tiempo. Demostrar que la concentraci6n de A en el reactor en un instante cualquiera viene dada por -&)exp [-(qq] + (&p) (22.E-1) 22.F2 P otenciales de concentración medios efectivos en un absorbedor de gases Considerar una torre de absorci6n de gases del tipo que se ha indicado en el Ejemplo 22.5 -2. Suponer que la concentración del soluto es siempre baja y que tanto la línea de operaci6n como la de equiilibrio son prácticamente rectas. En estas condiciones k,a y k,a pueden considerarse constantes. a. Demostrar que (YA - YAe) varía linealmente con Y.,. Téngase en cuenta que YA es la relación molar global de A en la fase gaseosa e Y.,d es la relación molar de la fase gaseosa que está en equilibrio con el líquido de composición global X,. (Véase Fig. 21.3-2). b. Repetir el apartado (a) para (Y, - Y,,s). c. Utilizar los resultados de los apartados (u) y (b) para demostrar que El coeficiente global de transferencia de materia KW viene definido por la Fc. 21.3-6. Obskvese que esta parte del problema puede resolverse fácilmente por analogía con el Ejemplo 15.4-2. BALANCES MACROSCdPICOS 22-25 22.Gz Efecto de la concentración inicial de soluto sobre la operación en estado no estacionario de una columna de adsorción Considerar una columna de adsorción del tipo descrito en el Ejemplo 22.6-2. Sup6nganse las mismas condiciones de operación excepto que en el instante t = 0 el sólido contiene una cantidad de soluto uniformemente distribuida y que su concentración inicial es c,,+ Se puedèadmitir también que el líquido de la columna está en equilibrio con la fase sólida y que por lo tanto el contenido de soluto corresponde a la fracción molar de equilibrio x.,; = xdl (cA,,;). Expresar las Ecs. 22.6-15 a 18 y la distribución de equilibrio en la interfase en función de las nuevas variablessi x,,“y=c:, x’ Demostrar que las Ecs. 22.6 -23 a 26 siguen siendo válidas - X.l! y “*J*a x., = yc.bc.,,-enc.,,;. .,, substnuyen las definiciones de Xe Y. 22.H, Reacci6n química irreversible de segunílo orden en tp tanque agitado Considerar un sistema análogo aI descrito en el Problema 22.E, excepto que el soluto ,A de&aparece de acuerdo con una reacción quimica de segundo orden; es decir, - R.,.t,,t = k2”’ yC.,*. Deducir una expresión de cd en función del tiempo según el procedimiento siguiente: a. Expresar el balance macroscópico de materia para el tanque con el fin de obtener una ecuación diferencial que describa cA en función del tiempo. b. Expresar esta ecuacion diferencial, asi como la condición inicial que se requiere para su solución, en función de La’ecuación diferencial no lineal que se obtiene de esta forma es una wcuacion diferencial de Bernoulli». c. Tomar 21 = u-t e integrar las expresiones que resultan. Pasar la ecuacion integrada a la va-< riable original c‘, con el fin de obtener la solución que se busca. 22.1, P uesta en marcha de un reactor químico a. Integrar la Ec. 22.6-5 para unas determinadas condiciones iniciales con el fin de demostrar que la Ec. 22.6-8 describe correctamente q&en funcibn del tiempo. b. Demostrar que en la Ec. 22.6-9 s,. y s_ son siempre reales y negativos. Solución que se sugiere: demostrar que I @IA + m k,, + k:,)’ - 4k;&, = (k;* - k; + k;,)’ + 4k’x.4 k’In c. Obtener expresiones de ()]l, y 0’))een (22.1-1) función del tiempo. 22.5, Analogia entre la operací6n en estado no estacionario de mm columna de adsorción y un cambiador de calor de corrientes cruzadas* En la Fig. 22.5 se representa un cambiador de calor de corrientes cruzadas. En dicho cambiador las dos corrientes fluidas circulan formando entre si un ángulo recto, y la densidad de flujo de-calor paralelo a la pared es despreciable. El intercambio de calor es, en este caso, evidentemente menor que para un cambiador de calor en contracorriente de la misma superficie e igual coeficiente de transmisión de calor en idénticas condiciones. Para Ut Dc constante, el flujo de calor en estos cambiadores puede expresarse así: Q = G,,A AT,,r 2 Véase W. (1934). NUSSELT, Tech; Muth. Therm., 1, 417 (1930); D. M. SMITH, Engineering, 138, 479 TRANSPORTE DE MATERIA 22-26 ‘% En esta expresión, Q es la velocidad total de transmisión de calor, A e+ el área de la superficie de transmisión de calor, e (dT)l, es la media logaritmica de (Th, - T,,) y (Tb2 - Ta), definidas en la forma que se indica en la figura adjunta. (Observase que Tb2 y Tc2 son las temperaturas medias de flujo ,de las dos corrientes de salida). Por lo tanto, I’ se puede considerar como la relación del calor transmitido para el caso de corrientes cruzadas y el que se transmitiría en contracorriente. Utilizar la Ec. 22.6-27 con el fin de obtener una expresión de Ten función de las velocidades de las corrientes, las propiedades físicas, A, y I&. Expresar el resultado en función de integrales definidas, y suponer que &. &. y Utoc, son constantes. Pi. 22.J. 22.K,, Representaci6n esquetitica de un cambiador de corrientes cruzadas tipo «sandwich». Meaela imperfecta ea un tanque agitado La capacidad de un tanque agitado es de Yms. Para un tiempo anterior a t = 0 la concentracion de sal en el interior del tanque es ci kg/ms. A partir del instante t = 0 se introduce agua con una “å, BALAhkES MACROSCdPICOS 22-27 velocidad Q .m3/min. y se retira por el fondo del tanque salmuera con la misma velocidad. Se supone que la variación de la densidad del fluido con el proceso de diluci(m es despreciable. ~Qu6 tiempo se. precisa para que la concentraci6n se redurca hasta un cierto valor final cf? Coasid&ese que la mezcla es inc Jm,dem, de forma que la concentraciõ,1 media de la sal contenida en el tanque c, no es igual a la c~nce,ltraci6.1 de salida c, Stip6nga.m que c y c, pueden relaci~name mediante la siguiente función sencilla que contiene un único parametro 6, que depende de la velocidad del agitador y de la ge>metrla del aparato: c. - c --exp-bt c< - c 22.L, (22.K-1) Operaei6uenestadonoestachnarhdeuuacohmnadereBma Demostrar que la JZc. 22.6-27 es una solucion de las JIca 22.6-23 a 26. Se recomienda el siguiente método: u. Tomar el transformador de Laplace de las Eks. 22.6-23 y 24 con mspecto a T. Eliminar el transformador de Y de las expresiones que resuJtan; demostrar que el transformador de X, para las condiciones limite indicadas, puede expresarse asl: 1 +h+up X=-G!? P siendo X el transformador de Laplace de X sin multiplkar por p. , b. Escribir esta expresión en la forma Invertir esta expresi6n con eI.& de obtener la JIc. 22.6-27 vabkdose de la identidad ~(&T(T)) siendo ~{F(T)} = Fe). = FQJ - u) (22.G3) , 22.M, Kfeetosdehdk&rh&& hiChIOOdfOtlWdellOMOY&IE~ varhlbkdeh alímmtaei6n,sobreeleo!ll~tokeatadeaocstrdoauio delmaeohlmnadeadserchn:apkaci6ndelgrhcIph&srpapaeidb~ Considerar una columna de adsorción an&loga a la ?iescrim un el Ejemplo 22.6-2, excepto que las condiciones inicial y limite son las siguientes: C.I. : paraT=O Y=Yg)’ I>O (22.M-1) CL.: para<=0 x = Xe(T) T>O (22.M-2) Supóngase que en el instante cero las fases solida y líquida estAn localmente en equilibrio y que la difusividad en la direcci6n del eje de la columna es cero. Se considera que la distribucibn de concentraci6n del Ejemplo 22.6-2, JIc. 22.6-27, esta representada por Xe (f, x). 3 Vease, por ejemplo, H. S. CARsLAw y J. C. JNG~R, Condrcfion of Hea? in Solidp Oxford Unisegunda edici6n, pp. 30-32. versity Prcm (1959), 22-28 TZUNSPORTE DE MATERIA a. Demostrar que la~distribución ‘% de concentración en este problema puede representarse por Y (22.M-3) mt 7) = WL 3 + V(L 4 siendo V y V variables de concentración que satisfacen las siguientes ecuaciones diferenciales, condiciones iniciales, y limite: a=u -=Z+f aya7 ( 1 WM-4) C.I. parar=0 u - Yo(C) (22.M -5) C.L. para 5=0 u=o (22.M-6) (22.M-7) C.I. para t = 0 v C.L. para 5‘ = 0 v= = -qL 4 = s 7XoW & XYL ‘T -PI dp -s t o (22.M-8) Xo(7) (22.M-9) b. Demostrar cómo se pueden expresar Uy Ven funci6n de Xo con el fin de obtener la expresión general 0 0 Y,,([ - 1) $ X”(Á, T) dA (22.M-10) Ttngase en cuenta que este resultado no está limitado para las simples suposiciones que se han hecho en el Ejemplo 22.6-2, y solamente es correcto, cuando las ecuaciones diferenciales que describen X(C, 7) e Y(5,7) son lineales con respecto a Xe Y, y el coeficiente de distribución deoquilibrio en la interfase m es constante. c. Utilizar el resultado del apartado (b) para describir la composicion de salida en una columna de longitud L para las siguientes condiciones que se presentan con frecuencia en la práctica: C.I. C.L. para t = 0 para 2 i 0 CA8 = C~,~ una constante (0 < z < L) x, = x4t una constante (0 < t < fa) (22.M -11) (22.M-12) (r > to) (22.M-13) - 0> x,- Expresar el resultado en una forma análoga a la Ec. 22.6-27. i,Cual es el significado fisico de este resultado? 22.N, Comportamiento no estacionario de N reactores qaímicos en serie4 Considerar N reactores químicos idénticos de volumen V conectados en serie, todos ellos perfectamente agitados. Cada uno de los tanques está inicialmente lleno con el disolvente S p u r o . En el instante cero se introduce en el primer tanque una solucibn de A en S de concentración constante c,(O) y con una velocidad volumétrica de flujo constante Q. Esta solución contiene tambien 4 Este problema esta tomado de A. ACRWOS (1955). y N. R. AMINIXON, Znd. Eng. Chem., 47, 1533-1541 i, B A L A N C E S MACROSCbPICOS 22-29 una pequeña cantidad de catalizador disuelto, introducido inmediatamente antes de entrar en el tanque, que da lugar a que se produzcan las siguientes reacciones de primer orden: tA2ec I t-um G3A (22.N:1) Se supone que estas constantes de velocidad son constantes en todo el sistema. Sea h = Q/V el inverso del «tiempo efectivo de retención» en cada tanque. S e desea obtener una expresidn para C,(N), la concentiación del componente i en el tanque n al cabo de un tiempo cualquiera z. 22.04 Puesta en marcha de WI reactor quimico Repetir el Ejemplo 22.6-1 tomando los transformadores de Laplace de las Ecs. 22.6-2 ,y 3. $ EPIÍLOGO AI llegar al final del texto, el lector se habrá dado cuenta del papel fundamental que juegan las ecuaciones de variación desarrolladas en los Capítulos 3, 10 y 18. Estas ecuaciones constituyen el punto de partida para el cálculo de perfiles, análisis dimermsional, correlación de velocidades de transferencia y deducción de balances macroscópicos. En un determinado problema ingenieril pueden ser necesarios uno o varios de estos resultados. Dada la naturaleza introductoria del texto, huelga decir que no se ha intentado entrar en detalle de técnicas o aplicaciones especiales. A modo de conclusión, estimamos conveniente citar algunos temas que caen fuera del objeto de este libro. Indudablemente nos hemos limitado en gran parte a las soluciones de las ecuaciones de variación que se pueden obtener por procedimientos analíticos sencillos. Es de esperar, sin embargo, que los métodos numéricos para la resolución de problema,s de fendmenos de transporte serán cada vez más utilizados. Ordinariamente se consideran en este libro los aspectos continuos del tema, debido a que este punto de vista es de aplicación más inmediata para los estudiantes de ingeniería. Sin embargo, es preciso tener en cuenta que la teoría molecular de los fenbmenos de transporte complementa de diversas formas a la teoría continua: (a) la teoría molecular puede utilizarse para deducir las ecuaciones de variación; (6) la teoría molecular permite obtener expresiones de las propiedades de transporte en función de fuerzas intermolecúlares, y (c) la consideración molecular es esencial para el conocimiento de los fenómenos en gases a ultra-baja densidad. Se ha incluido alguna materia sobre fenómenos de transporte turbulento, debido a la importancia práctica de este tema, a pesar de que su estado actual de conocimiento es poco satisfactorio. Confiamos en que esta introducción estimule el interés por este tema cuya bibliografía está creciendo rápidamente. A SU vez, la teoría de capa límite de losfenómenos de transporte se ha desarrollado mucho más allá del alcance de este libro introductorio. El rápido crecimiento de este tema se inició mediante estudios aerodinámicos, pero recientemente ha encontrado numerosas aplicaciones en otros campos, tales como procesos de separación y cinética química aplicada. Mucha importancia está adquiriendo el estudio de los fenómenos de transporte en flujo no newtoniano. Numerosas industrias químicas se enfrentan con problemas no newtonianos y hasta ahora los trabajos de diseño se han basado en procedi- A-Z? FENtiMENOS D E l-RAN.IP0RT.E mientos empíricos. Confiamos en que alguno de los problemas no newtonianos que se presentan en este libro contribuirá a aumentar el interés en los estudios ’ fundamentales de reología. Interesantes progresos se han realizado sobre el tema de los fenómenos de transporte enflujo compresible, al que hemos dedicado menos atención de la que se merece. Este tema comprende ondas de choque, propagación del sonido; supersónica y aerotermoquímica. Los lectores interesados en estas materias encontrarán que, ! generalmente, se toman formas especiales de las ecuaciones de variación como punto de psrtida para su estudio. Generalmente en los problemas discutidos en los que intervienen fenómenos de transpqrte en sistenías quimicos reaccionantes se ha considerado, para mayor sencillez, la cinética química en forma más bien idealizada. Es evidente que para muchos problemas de combustión, detonación y propagación de la llama, es preciso disponer de expresiones más realistas para las velocidades de reacción. Por otra parte, se necesita conocer también mucho mejor diversas propiedades físicas de fluidos conteniendo iones y radicales libres, especialmente a temperaturas elevadas. Ocurre también que en este libro nos hemos restringido casi exclusivamente a sistemas en los que los campos eléctricos y magnéticos carecen de importancia. Un tema de gran interés actual es el de los fenómenos de transporte en medios conductores de la electricidad. Para estos problemas es preciso modificar las ecuaciones de variación con el fin de incluir los procesos electromagnéticos en la ecuación de movimiento, los términos de energía electromagnética en la ecuación de energla y una ecuacion adicional de variación para la carga. Por otra parte, es preciso utilizar también las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo. El campo formado por la unión de estas dos materias se denomina magnetohidrodinámica. Se incluyen en el texto numerosos ejemplos y problemas que sirven para ilustrar sobre la aplicación de los fendmenos de transporte a la ingeniería. La mayor parte de ellos son ejemplos sencillos en los que intervienen situaciones idealizadas. Es de esperar que en los próximos años se extenderá la aplicación de los principios de los fenómenos de transporte a problemas más inquietantes. R. B. B. W. E. S. E. N. L. \;; APÉNDICE A RESUMEN DE NOTACI6N VECTORIAL Y TENSORIAL Las magnitudes que intervienen en la teoría de los feno5aos de tr~spoq+$, pertenecen a las siguientes categorías: escalares, como temperatura, voIurt&n y tiempo; rectores, como velocidad, cantidad de movimiento, aceleración y fuem.;, y tensores de segundo orden, como el tensor de esfuerzo cortante o de d&sida¿ de flujo de cantidad de movimiento. Estas magnitudes se representan mediante ,I& siguiente notación : .* i s = escalar (en cursiva) 1, /1. 1 ., <’ r, i,?., v = vector (en negritas) , , ~:k : ? T = tensor .(en negritas griegas) !t I La multiplicación de vectores y tensores puede ser de diversos tipos, uf~liz@$~se :1<, distintos signos de multíplicacióti para representar estas 6tieracihnes: el <<puntq simple» ., el «d6bEe punto» :, y el «aspa» X. Los paréntesis que encierra& ékas multiplicaciones especi&es indican el tipo de magnitud que & produce &e&nte i : $; <. *:,* la multiplicación: , . ~ I’ *,r,’ _,, ) = escalar ( ,/ [ ] = vector ,’ } = tensor 1 El tipo de paréntesis no tiene un significado especial sitla operación que Comprende es una adición o substracción. Según esto (ff=ur)y (ú: T) son escalares,[v x w] y [T + v] son vectores, y {G T}es un tensor. Por otra parte (v - w) puede escribirse [v - w] o(v - w} según convenga. En realidad, los escalares pueden conkderarse como tensores de orden cero, y los vectores como tensores de primer orden. Los signos de multiplicación pueden interpretarse de esta formal: l 1 Esta interpretación está de acuerdo con las definiciones de P. M. M ORSE y H. FFSHBACH, Merhods af Theorerirul Physirs, McGraw-Hill,.Nueva York (1953). capítulo 1. En este libro se definen diversas opeticiones adicionales, en algunas de las cuales intervienen tensores de cuarto orden. El lector quedar6 maravillado de las representaciones estereoscópicas que Se utilizan. FENdMENOS A -4 ‘% Signo de multiplicaci6n DE TRANSPORTE Orden del resultado Ninguno , ’ c x C - l . Z-2 c - 4 : donde Z representa la suma de los órdenes de las magnitudes que se multiplican. Por ejemplo, s7 es de orden 0 + 2 = 2, el orden de VW es 1 + 1 = 2, el de [IJ x w] es 1 + 1- 1 = 1, el de (a : 7) es 2 + 2 - 4 = 0, y el de {u T} es 2 + 2 - 2 = 2. Pueden utilizarse las leyes del álgebra de escalares pxa aclarar tres propiedades , que intervendrán posteriormente en las operaciones vectoriales: a. En la multiplicación de dos escalares, r y s, carece de importancia el arde; de multiplicación, cumpliéndose la ley conmutativa: rs = sr. b. En la multiplicación sucesiva de tres escalares, q, r, s, no importa el orden en que se efectúen las multiplicaciones, de forma que se cumple la ley asociativa: l (qr)s = drs). c . En la multiplicación de un escalar s por una suma de escalares, p, q y r, es indistinto que se efeqttbe primero la suma o la multiplicación, de forma que se cumple la ley distributiva: s(p + q + r) = sp + sq + sr. En general, estas leyes no son válidas para las operaciones análogas con vectores y tensores que se describen más adelante. a A.l. LAS OPERACIONES VECTORIALES DESDE UN PUNTO DE VISTA GEOMÉTRICO En los cursos elementales de física se inicia el estudio de vectores desde un punto de vista geométrico. En esta sección se amplía este método con el fin de incluir las operaciones de multiplicación de vectores. En 0 A.2 se sigue un tratamiento analítico paralelo. Definición de m vector y su valor Un vector u se define como una magnitud de un cierto valor y dirección. El valor numérico (módulo) del vector se designa por 101 o simplemente por la consiguiente letra en cursiva v. Dos vectores v y w son iguales cuando lo son sus módulos y están dirigidos en la misma direccih; no necesitan ser colineales o tener el mismo punto de origen. Si u y w tienen el mismo módulo pero son de direcciones opuestas, o= - w . Adícíón y substracción de vectores La adición de dh vectores puede efectuarse mediante la conocida construcción del paralelogramo, tal como se indica en la Fig. A. 1 - 1. La adición de vectores cumple las siguientes leyes: r 1 RESUMEN DE NOTACI6N VECTORIAL Y TENSORIAL Fig. A.l - 1. Construcción del paralelogramo para la suma de dos vectores. (conmutativa) (asociativa) A-S Fig. A.l -2. Construcción para la resta de dos vectores. (0 + w) 2 (w + 0) (A.l-1) (0 + w) + u = u + (w + 4 ( A. l - 2 ) La substracción de vectores se realiza cambiando el signo de uno de $10~ y sumando: así, 0 - w = u + (-w). La construcción geométrica para este caso se indica en la Fig. A. 1-2. Multiplicación de un vector por un escalar Al multiplicar un vector por un escalar se modifica su módulo pero no su dirección. Se cumplen las siguientes leyes: (conmutativa) su = 0s (A.l-3) r(su) = (rs)u (A. 1-4) (q + r + s)u = qo + ru + su ( A. l - 5 ) (asociativa) (distributiva) Producto escalar (o producto de punto) de dos vectores El producto escalar de dos vectores u y w es una magnitud escalar definida por (0 l w) = VW cos (A. 1-6) &,, siendo #,,., el ángulo (menor de 180”) que forman entre si los vectores u y w. Por consiguiente, el producto escalar es igual al módulo de w multiplicado por la proyección de u sobre w, o viceversa. (Véase Fig. A.l-3.) Obsérvese que el producto escalar de un vector por sí mismo es exactamente el cuadrado del módulo del vector: (u’u)=IuI*=t? (A.l-7) Las reglas por las que se rigen los productos escalares son las siguientes: (conmutativa) (u (no asociativa) (distributiva) (u (u l {u l 0) l u)w + w}) = (0 # = * u(u (u l (A.l-8) u) * 0) (A.l-9) w) + (u l w) ( A. l - 1 0 ) A-6 FENÓMENOS DE TRANSPORTE La lo ng itud de e ste ve c to r e s ig ua l a l á re a de l Fig. A.l-3. Producto escalar de dos vectores. Fig. A.l-4. Producto vectoiial de dos vectores. Producto vectorial (o producto de aspa) de dos vectores El producto vectorial de dos vectores v y w es un vector definido por (A.l-ll) [u X w] - {uw sen$,,}n,, siendo n,, un vector de longitud unidad (un «vector unitario») normal al plano en que están contenidos u y w y cuyo sentido es el de avance de un tornillo de rosca a la derecha cuando se hace girar desde v hacia w por el camino más corto. En la Fig. A.l-4 se representa el producto vectorial. El módulo del producto es el área del paralelogramo definido por los vectores u y w. De la definición de producto vectorial se deduce que (A.l-12) [vxu]=O Las leyes que rigen la operación del producto vectorial pueden resumirse así: (no conmutativa) [u x w] = -[w x v] [u x [u % WI1 # [[u % UI x WI (A.l-14) [{u + v} x W-J = [u x w] ‘+ [u x w] (A.l-15) (no asociativa) (distributiva) (A-l-13) Productos múltiples de vectores Algo más complicados son los productos múltiples formados por combinaciones de los procesos de multiplicación descritos anteriormente: (a) rsu (N s(u * w (4 (u * [u % WI> w [LU x UI x [w x 211 (4 Lu X Cu X WI1 (4 s[u % WI U> C[u X 01 * [w X 21) Las interpretaciones geométricas de los tres primeros son inmediatas. Se puede demostrar fácilmente que (U [u x w])representa el volumen de un paralelepípedo definido por los vectores u, V, y w. l RESUM EN DE NOTACIÓN VECT0RIA.L $ Y TENSORIAL A-l 9 A.2 LAS OPERACIONES VECTORIALES DESDE UN PUNTO DE VISTA ANALITICO En esta sección se tratan analíticamente cada una de las materias que se- han considerado desde el punto de vista geométrico en $ A.1. La discusión está restringida para coordenadas rectangulares, ;designando por 1, 2, 3, los ejes correspondientes a la notación usual x, y, z. Muchas fórmulas pueden expresarse et una forma más compacta en función de la. delta de Kronecker 6, y el tensor, alternante unidad cisk, que se definen de esta f o r m a : (A.2- I) (A.2-2) si ijk = 123, 231 6 312 si ijk = 321,~ 132 ó 213 si dos índices cualesquiera son iguales cij*G + 1 - 1 Eijk== l ijk = 0 (A.2-3) (A.2-4) (A.2-5) / 1 Diversas relaciones que contienen estas magnitudes resultan útiles para demostrar algunas identidades vectoriales: CjCtcijXc~jk 21ccijkErnnk = 24, ( A. 2 - 6 ) ’ = cliimdjn - dindjm (A.2-7) Obsérvese que un determinante de tres por tres puede expresarse en función de ciik: all PlZ al3 a21 a22 az3 a31 '32 = XiE j~:kci jkalia2 jaw (~.2-8) a33 De esta forma, la magnitud cijl; selecciona los términos necesarios que intervienen en el determinante y proporciona el signo adecuado a cada término. Definición de un vector y su valor: los vectores unitarios Un vector ZJ puede describirse perfectamente mediante los valores. de SUS proyecciones vt, &> ~3, sobre los ejes coordenados 1, 2, 3. (Véase la Fig. A.2-1.) Por consiguiente, un vector puede representarse analíticamente de la siguiente forma: u = s,u, + 6202 + 6303 =j:ivi (A.2-9) : A -8 ‘- FENOMENOS DE TRANSPORTE siendo b,, S,, Ss, los «vectores unitarios» (es decir, vectores de longitud unidad) en la direcckW* de los ejes 1, 2, 3. Toda la discusión está restringida para el caso de ejes coordenados ortogonales. El módulo de un vector viene dado por Iu1 = “4 v: + v; + vi = JI;ivi2 (A.2-10) Los vectores u y w son iguales si zll = ~1, ~2 = ~2, ~3 = w3. También IJ = - w si Vl = - WI, etc. Fig. A.2-1. Proyecciones de un vector sobre los ejes coordenados 1, 2 y 3. Los vectores unitarios que acabamos de introducir poseen las siguientes propiedades que utilizaremos más adelante : (S, * S,) = (S, * SS) = (6, * Ss) = 1 (S, * S,) = (S, * Ss) = (Ss * Sl) = 0 [ti, % ti,] = [S, x SS] = p, % 631 = 0 [SS % fkl = 61 [SI % s21 = 63 PS % SII = 62 1% x SI1 = -ss [S,%S,] = -8, c~,%s,1= -6, (A.2-11) (A.2-12) (A.2-13) (A.2-14) (A.2-15) 1 En la mayor parte de los libros elementales de texto los vectores unitarios se representan por i, j, k. Obsérvese que en este caso hemos violado nuestra regla de notación al utilizar un símbolo en negritas griegas para representar un vector. Hemos hecho esto debido a que los componentes de estos vectores estan dados por la delta de Kronecker. Es decir, que el componente de 6, en la direccibn-1 es & o la unidad; el componente de b, en la dirección-2 es 6r, o cero. 2 No se discuten aquí los vectores covariantes y contravariantes; una excelente introduccion a este tema puede verse en MORSE y FESHBACH, op. cit., pp. 30-31. Para una teoría más general véase A. J. MCCONNELL, Applications of Tensor Analysis, Dover, Nueva York (1957). l RESUMEN DE NOTACIÓN VECTORIAL Y TENSORIAL A Estas relaciones se deducen de las definiciones geometricas de los productos de punto y aspa que se han expuesto en $ A.l, y pueden resumirse así: 1 (Si-S,) =-dij (A.2-16) 1 (A.2-17) siendo 6, la delta de Kronecker y Q*,~ el tensor alternante unidad que se han definido en la introducción de esta sección. Estas dos relaciones permiten desarrollar expresiones analíticas para todas las operaciones ordinarias de «punto» y «aspa». En lo que queda de esta sección,, y en la próxima, se separan todos los vectores en sus componentes de acuerdo con la Ec. A.2-9 y se aplican después las Ecs. A.2-16 y 17. Adición y substracción’ de vectores La adición o substracción de los vectores v y w puede expresarse en funci6n de 1 os componentes : V + W = Zc,S~Ui + Lib,Wi = Z ib,(V i + Wj) (A.2-18) Geométricamente, esto corresponde a sumar las proyecciones de v y w sobre cada, uno de los ejes y construir después un vector con estos nuevos componentes. De la misma forma pueden sumarse tres o más vectores. Multiplicación de un vector por un escalar La multiplicación de un vector por un escalar se efectúa multiplicando cada uno de los componentes del vector por el escalar: sv = s{I;p,) = I;,S,(sv,) (A.2-19) Producto escalar (o producto de punto) de dos vectores El producto escalar de dos vectores v y w se obtiene expresando los vectores en función de los componentes, de acuerdo con la Ec. A.2-9, y efectuando las operaciones del producto escalar con los vectores unitarios mediante la J%. A.2-16 (0 l WI = ww * = z*q(s, = = l WA) S,)qw, ~:,C*di*viw, z,u,w* 1 (A.2-20) - 9 A-l0 “B FEN O M EN O S DE TR A N SP O R TE Por lo tanto, el producto escalar de dos vectores se obtiene sumando los productos de los componentes correspondientes de los dos vectores. Producto vectorial (o producto de aspa) de dos vectores 17: El producto vectorial de dos vectores v y w se efectúa utilizando ¡as Ecs. A.2-9 y [V X w] = [(cjsjvj} X {~ACwkIl = C jXJJ6j X &]Vjwk = Vl v, v3 Wl % w3 (A.2-21) Para expresar el producto vectorial como un determinante se ha utilizado la Ec. A.2-8. Obsérvese que el componente i de [v x W] es EJjIZ~C ijkVjW~ Productos vectodalés múltiples Las expresiones para productos múltiples que se han mencionado en la pág. A-6 se pueden obtener mediante las anteriores expresiones analíticas de los productos escalar y vectorial. Por ejemplo, el producto triple(u [v x w])puede expresarse así: l (u ’ [V X wJ) ,= ZiUi[V X w]i = xix jCCnq jkuiv jWk y obtener después, a partir de la Ec. A.2-8 % (U'[V x W-J) = v, Wl u2 v2 wz (A.2-22) 113 v3 (A.2-23) w3 que representa otra expresión del volumen de un paralelepípedo. Además, la anulación del determinante es condicion necesaria y suficiente para que los vectores u, v, y w sean coplanares. Ejemplo A.2-1. Comprobación de una identidad vectorial Las expresiones analíticas correspondientes a los productos de punto y de aspa pueden utilizarse para comprobar identidades vectoriales; por ejemplo, se desea comprobar la relaci6n (A.2-24) [ux[vxw]]=1)(u.w)-sv(u~v) RESLIMEN "r DE NOTACIÓN VECTORlA& Y TENSORltlL Solución. Escribiendo en forma desarrollada el componente la expresión anterior : [u x [u x W]li 7 ,= CjLX%jkUj[u i A-ll del primer miembro ,de x wlY -jLkEijlsllj{~I~tn"kln;DyW,} = ~j~k~r~,~ijkrklmUjvlW, Para completar la demostración se puede [U X [U X ut iliza r A .2-7. la Ec. W& =‘CjZ;J:m(Si*Sj+n *,‘V&j;CmSjnUjW, T VíCjUjWj =: & : w - SinJj&jVlWm - Wixjx*Sj$4jV, - WiZjUjVt ) (A.2-26) - WJU * u) que corresponde exactamente al componente i del segundo miembro de ,la Ec. A.2-24. De una forma semejante se pueden comprobar idehtidaks taies eomo: (u.[u xiuj) =(u+ty,x’&) (A.2-27) ([u x u].[w xa,) =(u.w)(u*a;‘-(U.%)(D.W) [[u, x u] x [w x an = ([u x u] l § A.3 OPERACIONES DIFER;NCIAhZS %)8y CON El operador diferencial V; denominado ccnabla» nadas rectangulares de la siguiente forma: - ([u x VI .(A.2-28) l w)e (A.2-29) VECTORES o «del», se define en roorde- V=6,$ + 6, $ + &l,$ 1 x2 “3 (A.3-1) siendo Si 10s vectores unitarios, y Xi las variables correspondientes a los ejes 1, 2, 3 (es decir, que x; son las coordenadas de posición designadas generalmente por x, y, z)., El símbolo V es un operador vectorial, que tiene componentes de igual forma que un vector, y que no puede estar solo sino que ha de operar sobre una función escalar, vectorial o tensorial. En esta sección se resumen los diferentes usos de V en sus operaciones con escalares y vectores. De igual forma que en 0 A .2, los vectores se separan en sus componentes y se utilizan las Ecs. A.2-16 y 17. G radiente de un campo kalar Si s es una función escalar de las variables xl, x2, x3, la operación de V sobre s es A-I2 FENúMENOS D E T R A N S P OR T E as + 8,as VS = b,---as + szax, ax2 ax3 = cisi E (A.3-2) x, El vector construido de esta forma a partir de las derivadas de s se representa por VS (o grad S) y se denomina gradiente del campo escalar. Para la operación del gradiente es preciso tener en cuenta las siguientes propiedades: (no conmutativa) VS # sv (A.3-3) (Ws # Ws) (A.3-4) V(r + s) = Vr + Vs (A.3-5) (no asociativa) (distributiva) Divergencia de un campo vectorial Si el vector u es una función de las variables espaciales XI, ~2, ~3, puede formarse un producto escalar con el operador V. Para obtener la forma final se utiliza la Ec. A.2-16: Este conjunto de derivadas del vector v se denomina divergencia de v (a veces abreviadamente div v). Algunas propiedades del operador divergencia son las siguientes : (no conmutativa) (v*v)#(v’v) (A.3-7) (no asociativa) (V*su)#(Vs*v) (A.3-8) (distributiva) (V * (0 + w}) = (V l v) + (V l w) (A.3-9) Rotacional de un campo vectorial También se puede formar un producto de aspa entre el operador V y el vector v, que es una función de hs tres variables espaciales. Este producto de aspa puede formarse mediante la Ec. A.2-17 y expresarse de diversas formas: RESUMEN DE NOTACIOiV VECT0R&4L Y TENSORIAL A-l3 ', El vector construido ralmente utilizada a la divergencia, asociativa. La Laplaciana de un campo escalar Si .)/se toma la.divergencia del El conjunto de la tittima línea ti representa mediante el símbolo VI; por lo tanta en wordenidas rectangulares , L (A.3-12) que es autores utilizan el símbolo d para representq et o&adQr .&ap!aciWa,, aspecklrtynte en la literatura alemana antigua.), 81, opeiador La@&na, AI hl. q.Úe <eI ‘gradiente, la’ diverg,ench y el rotacional, solamente posee ‘Iá piopíe&d &str&uth. ,. : , , A-14 FENdMEA’OS DE TRANSPORTE ‘$ Laplaciana de un campo vectorial .I En coordenadas rectangulares, el operador Vi ptSede ,,aplicarse a un campo vect torial v tomando las derivadas con &~p$&&h :. los co?pp&%?@tes escalares y sumando vectorialmente : (A.3-13) Si bien esto es correcto en coordenadas r@a$lare&o i$aPlicable en coordenadas curvilíneas.1 Es preferible &jhk la Lapltkiisinr de uri’c&$o \iectgrih~ de esta forma: ,vv 7. yv l 0) -,p $i ~<$i#i$f (A.3-14) ,’ De esta forma, la operación ~~;‘k&ce.a~ xmq serié,,+ Operaciones eh las que inter-:’ vienen el gradiente, la diver&@a y el .ròtacionafC La. defhicí,&n correspondiente a la Ec. A.3- 14 expiesa I~,$~;&,~-i~.~p&ra Co~d~n~as,Fectan~~ares, y ademhs puede utilizarse para gbtenw,~ fhilmefttk 420. en ~coo&$adr+s curvilíneas. (Para 4 expresiones detrflladas, ,vtaq fS,‘$7.) ‘,++. . ,i . , : 4, ” ‘,7 > DeriVada” Mstaneial d e u , 4, ca&& e~ iI& r n 3 ’ :- ’ ” Al comenzar el Capítulo’3 se’ hh’ hkoducido’ el o~erad’r derivada subst&cial: -D. isDt, a (A.3-15) 1 , ‘: :,/ *., ” siendo v la v+cidad local ,‘de& flui+ (0. «velocidad media de. masa». $p una mezcla de fluidos). Cuando este o$$&r kttia’sobre una funcióh escalåi’s, $2 obti$nk $+ (v ’v ) , :+ +--ã;i(V’VS) QS aS. I “. _ (A.3-16) Jhrivada substancial de un campo vectorial La aplicación de una derivada substancial, a un vector puede efectuarse para coordenadas rectangulares aplicando el operador a cada uno de los componentes escalares y sumando vektorialmente : Dv~&‘~(v.v)v E y at (A.3-17) 1 VCase una amplia di&si(>n en‘*. &o~y P.‘&. $PENCER~ J. Frunkliri Inst., 256,551~558 (1953). Otra formulación corisiste en expresar WV co& (77 - Vo], es decir, como el producto de punto ! deV por la diada WV. ., ’ ’ Mediante las definic las siguientes relaciones: ,. _’ En 9 A.2 *se ha i@ii&..&~e ~+ve&$ al cst& determinado -mediante UIM .s&& J’uam de segtindo wden viene, dado de comp0nentks %ii”rt2, + AB& por los nuevt? componenás,ztl, rla qs, eúa.2 &wa ,faotiitar la expresión, cstw wmponektes p u e d e n esctíbirsc a s í : ’ * -’ ., i/ (A.4-1) :“ . . I ‘, ‘. “; 2 Otra formulación consiste en expresar(lrp)mwmo d e vp o rla d iv&Q v.., / _ 5.3‘ [c - Qol,es decir, cemo el producto de punto ,, ,1 Una discusi6n m$s a&ia puede verse en ti. M. Mt+ wy H. FESMMCH, tical P&ydcs, Mffiraw-Hill, Nueva Meth++of ?bmc- York (1953). vol. 1, capítulo 1. 2 hIo todas las mahces dcnu&e compokes forman un iensor de segundo orden. G definición matemática de un tensor de segundo orden incluye una colrdicián acerca de la foima en que se transforman los componentes del tensor por efecto de una transformacih coordenada. El tema de las transformaciones coordenadas se trata brevemente en 0 A. 6. i !, &16 “‘1 I FENdMENOS DE TRANSPORTE j Esta matriz no debe confundirse con un dtterminante, que puede formarse a partir de ella; la matriz es un conjunto ordenado de nlimeros, miezitras que el determinante , es una cierta suma de productos de es{os @neros. LQS elementos que poseen los mismos subíndices se ‘denominan elemeittos’ de la diagonal y los que poseen. subíndices diferentes se,#enominan elementoi no diagonales. Si ti2 = 721, 71~3: ~$1. y 223 = ~32, se dice que T es un tensor simbtrico. El tensor transpuesto de un tensor 7 (que ,se representa por ~t) es el que se forma al invertir el orden de los suhSnd&es de cada uno de 10s elementos .I4 ; ; ', Es evidente que cuando s es sim&ico, % = %?. El producto diddico de dòs vect&es $ 9 w es una forma especial dc,un tensor de segundo orden, en el que 1% elementos de la matriz son productos de los .$wnponentes de los vectores. El producto diádico VW es, por consiguiente, ,1. .< î _’ La diada VW es, en general, diferente de la diada WV. Thgase ,y cuqn* que un pr?? dueto diádico se expresa colocando los dos vectores uno jtint& a ötro sin ningán ‘i.,f,.< *’ “ digno de multiplicación. :. I Un tensor u&dad 6 es &qu61 cuyos componentes de 1a:diagonal son la unidad ‘i’, * y los elementos no diagohales son cero: ‘: ” Los componentes del tensor unidad son d;j, es decir, la delta de Kronecker. ObsCrvese también que las filas (o columnas) del tensor unidad son los componentes de los tres’vectores ‘uniMios g,, b,,’ &. . Es conveniente introducir una serie de diadas unidads que son los productos diádicos de los &ctore& unidad g$,, hendo m, n ‘= l? 2, 3. Et coinponcnte g de g,S, es d,“;S,, o sea, el producto de dos deltas de Kronvker. Existen nueve diadas unidad : ; .h .! 3 Vtase MORSE y FESH$ACH, op. c h., Q. 55 RESUMEN DE NOTACtdN w = ( 000 1 0 0 VECTORIAL Y TENSORIAL “. 1 etc. “? A- ll <‘;> ’ (A.4-5) . 0 0 0 ,” :i!” ,_,En función de estas diadas unidad,se puede descomponer un tensor o’un producto diádico en sus componentes de-una forma, an@@, a &~e+pres@ A&-!kpara el 1i< caso de vectores: :‘, : ! < -,r : ,{ .‘d;., ,_,<’ .’ ; P &I;11$$+(, (fG-6) .% ;.$p m q~,ã,&,w;” ,: ,. Y1 ‘, (k4-I) Veamos ahora cómo se multiplican las~~d~$as~ unidad ent!x sí, asf como tambib por los vectores unitarios... Hay cuatro &ack&s fundamentales que juegan el mismo papel que las Ecs:A. 2-34 y 17 p# veWres: * xi. / ‘ .I (A.4-Q (A:&) (AA-10) Todaslas fórmulas diádicas y tensorial& que’ãekttilizan en este libro se deducer$5‘ fácilmente a partir de estas cuatro relaciones b&cas. La siguiente regla mnemo”; técnica ayuda a recôrdárlas: en las tres tYitiitiS’ relacíotW. se t@ma S4mplemente el producto de punto, de las 6.a uno y <fo lado ,dsl punto; .en :$ grhera relación ,’ se efectúan sucesivamente dos de estas operaciones: ., Adicibn de tensores y productos dihdicos La adición de dos tensores se realiza de,psta forma: u + 7 = ~c,Z,~,~,q, + G%fv,7*, (AL12) - w,ww5, + Tt,) Es decir, que la suma de dos tensores es un tensor cuyos componentes son las sumas de los correspondientes componentes de los dos tensores. Esta misma regla es Nida para Productos diádicos. 5 ., ‘\’ A-M 1+ FENãMENW .DE TRANSPORTE, _ .,‘ ,I 6 ‘I Multiplicación de uu tensor por PII ,qcal+r I La multiplicación ,de un tensor por un escalar se ef”‘ú” multiplicando cada uno de los componentes del ten& por ei escalar: : -<’‘ LS (A.413) < -2;, &Qwh,~ Lo mismo ocurre en el caso de productos diadicos ,... r>. Prodneto - escalar ‘(0 pmdudo .W dtbe lppnfo) de dos tensores Dos tensores pueden multiplicarse según la operación de doble punto: :‘. para lo cual se ha utilizado la JZe. AA-8. De igual forma, se puede demostrar que (7 :$w) = I;‘Z,7@,Wj (8~ : i8yj = (AJI-16) x jzjui~ ,~ ,& (6 : T) = Zpji ‘,> ,i.. (AL15) (A.4-17) Producto temorial (o produeto de punto simple) de dos tensores :’ Dos tensores pueden multi@arse tambi6n de acuerdo con la operación de punto simple : tu l Tl = 3 {@icjsisju~j) w&!&PA ~(WlVZ~*d l wGi*%t 5 ~i~jW16*~sAuij~** = z ic*s~bl(z ~uijT ~l) (A.418) rc( 0 sea, que el componente il de {u - T} es Cja,irjb Con productos diádicos pueden ” efectuarse operaciones similares. ’ * RESUMEN DE NOTACldN Producto vectorial (0. producta VECTORIAL Y TENSORIAL A-l9 de pti). de un ,tensor por un vector, ” En el producto de phtp de yn yctor por un tensor se obtiene un vector: $4 l ta] ‘” + [.&&S#s,Tj,) * &q&[&s, l l = z&2i&s&+**q ” G?i&wGl (IzkS&}] - qjQv* . . _ (J-Q+?) Es decir, que el compoffeote i de [T 01 es IS,,&: Análogamw\e, el:compor@e i de [V T] es @,T,,. Es evi&tk’¿pe[~ u] # [u T] salvo que 7 sea simkrico. Ikcuérdese qilra cuanqo, $n vector 1) se multiplica por un escalar s ei’vector resultante SD tiene Ja’ misMa, dirixcichi que o pero distinta longitud. Sin embargo;: cuando 7 se mtfltipliokt py o, el vectortque resulta[T uldifiere de o tanto en direk+i¿m como en longitud. Es dew, que el tensor T «desvía» o «tuery» al V$ctOr o para dar lugar a un nue% vkc&&‘&i$ apunta en tina dirección distinta:*‘ Teniendo en ‘cu@a ‘163 anteriores resultados es sencillo demostrar las Siguientes ” identidades: :;‘;&]‘x Ev-~] s g ’ ! : (AA-20) l l l l l [UV j f w]’ = #(O l (A.4-21); w) ‘:[w*“~ ]9:(W*u)t) ~’ ,I (uu:1c)p: (u*~ o*7]) Por consiguiente, el componente k de[V T]es Zi &&r;. l ‘6 (AL22) (A.4-23) (Ab24) (Ab25) ,:, ‘: 4 Citemos como tjempb el M&ortam*knto de fluidos en medios porosos. De acuerdo con la ley de Darcy, el flujo en un‘medio itit&loo ,adhuiere en todas las partes del sistema la dirección ,.iz: del gradiente negativo de pre$ón -Vp = @o, siendo fi cl cuciente entre la viscosidad del fluido Y ‘:, la permeabilidad del mcBio&$I medio cs no ishtr6piq -Vp y ti no son de la misma direcePbn, & y la ley de Darcy debe de sub@tuirse~0s ,-Vp s ff3 i 01, siendo p un tensor de segundo ord+- ;& ,/-v ~< ‘rpp A-20 FENdMEhfOS . :oE TR&NSPORTE Por otra parte, V puede aparecur en da&tin oDa,- vector v en el prwhcto diádico Vv. Asl, tendremos ., ;) .! tl , ,’ ,. ., ,01 (i:Vv) -(V-[T-V]) -(v*[o.rD Soh&n. Exprefapdo el segundo miembrh eu funci4n Qs; l+ compomkes: (A.4-32) . (A.4-33) ‘. 7 1 .‘,~jEtclv,.“ca “,j “, > ,%i I_, Pi i .’” . (A.4-34) Restando la Ec. A.4 -34 de la Ec. A.4 - 33 se obtiene la cxpregión c&cspondiente a(r : V v) , ,- ;‘I, ‘:,“,; de la Ec. A.4-28. 0 AS TEOREMAS INTEGRALES PARA VECTORES Y TENSORES Hay diferentes teoremas integrales que resultan,extremadamente titiles en nume.< rosas demostraciones; Teorema de la dlvergetwla Q Gauss-Q&@& / Si Y es una región cerrada en el espacio que esti tiada por una superficie1 S _, ( A S - l ) ,;;$:; 8 P i 1 El segundo miembro puede v de di- formas: e .’ /<” RESUMEN DE NOTAC&WI 5. ‘&+ A-2f VECTORIAL Y TENSO RIAL ,r siendo n’el vector normal dirigido ha8a fuera.. Esta expresión se conoce con el nombre de teorema de la divergencia de Gauss y Ostrogradskh. Dos teoremas ínti, mamente relacionados para escalares y tensores son los siiuientes: ’ ’ “’ fS/%d”= [ji,, ; (A.S-2) v j[Jp ’ 7-j di = [jp i T] di V (AS-3r S Esta ultima relacion es también valida para productos. di&$icos -aw. II. Teorema &l h&iomtJ de Stokes Si S es una superficie limitada por la curva krrada C, (A.54) -, ‘/JW x ~1 n) dS - f$ t>iC l l 8 siendo c un vector unitario tangencial en la direwibn de integración a lo largo de C y n un vector:unitario normal a S y cuyo sentido es el de avance de un tornillo de rosca a la derecha cuando su cabeza se hace girar en la,~dirección de integración a lo largo de C. Para tensores existe una relación análoga.2 Fhrmuh, OC ,%&dtz -para la diferenciac& de mm integral triple Sea Y una region del espacio cerrada que se mueve y está, rodeada. por una superficie S y sea u~‘ia velocidad de un elemento cualquiera de superficie. Si s(s, J’? z. r) es una funcir%n escalar de la posición y del tiempo, se tiene Esta expresión es una aplicación de la fórtitula de Ceihnitr para la diferenciación ” de una integral. ~Tengase en cuenta que Y = V(t) y S = S(t). Si la integral est&;.extenUida a un4 volumen cuya superficie’,se mueve con la velocidad loca) del fhAdv (ac! Wma’que rt, P u), la utrlizacion de la ecuación de continuidad conduce a esteorlo res$ltadoz .,, ’ $j-[jk&‘= :.s p j-j-f/++’ v siendo p la densidad del fluido, 2 Vkrse P. M. MORSE y H. FESHBACH, York (1953), p. 66. Me/b/s o/ Theore/icul Physics, McGruw-Hill. Nueva I A- 22 FENdMENOS DE T R A N S P O R T E _I., ‘rrrr, $ A.6 COMPONENTES DE VECTORES v TENSORES EN COORDENAIhQ t ../ CURVILíNEAS * ;: ‘. * ’ Hasta ahora sólo se han cotisideradd, coordenadas’ rectangulares x. y, z.. ?$íri embargo, en muchos casos es más lógico ‘utiliiat ,,mordenadas curvilíneas. ‘Por consiguiente, es preciso estudiar la relación existeptc knire los componentes de vectores y tensores en distintos sistemas.,ctiordenados.-,&olamente consideraremos: sistemas coordenados orfogonales, es decir, $quélkw en las que las tres familias de superficies coordenadas son perpendic~láre~ e;nti síi .” ,:if’“] xJr”)( Gii<lj* ig2z~,z)} “, fa)’ Fig. A.6- 1. : 1 ” W (a) Coorden@das cilindricas. Los intervalos de las vatiables son 0 < r 5 oc, 0 < 13 < 2.1, - CO < z < OO. @) ‘Cookdenadas o g ~ n,~ o < (b < 2 1 r. qsf&ica+ Los ititervaìo~,Ue-las variables son 0 5 r 5 00, I b ;. j Coordenadas cyviãneas. .I Los dos sistemas de coordenadas curvilineas m&s.:fr&uentemente utilizados son el. cilíndrico y el esférico. (Véase Fjg. ..A.6- 1.) yera coordenadas cjlhdricus las variables están relacionadas con x, y,’ z, en la siguiente forma: 4 x = r cos 8 \ y = r sen 0 (A.6- 1) r= +i;/x?+vi (A.6-4) (A.6-2) 8 L arctln 5 (A.6-5) (A.6-3) \ z=z tz=z y un elemento de línea ds viene dado por ” (A.6-6) (ds)* = (dz)* + (dy)* + (d# = (dr)* + r2(dO)% + (dz)2 . (A.6-7) RESUMEN DE NOTACIdN VECTORTAL Y TENSORIAL %@. A-23 En el caso de coordenadas esfëricas, las variables están relacionadas con x, 1, z, en esta formai 1 x=rsenecqsfj ,’ (A.6-8) (A.6-9) z=rcos9. .r=.+dz$ +y2 , + (A.6- 10) z2 I, (A.6- ll) (A.6- 12) 4 = arctan l (A.6-13) X y un elemento *de línea ,ds viene dado por (ds)* ;3; (di# +‘(dy)* + (d~)~ = (dr)* +, P(de)* + r2sen2 e(d4y (A&,l4) Designemos ahora per 41, 42, ~3 y 41’, 42’. 93’, las coordenadas de dos sistemas ortogonales arbitrarios. Los dos sistemas coordenados están relacionados entre sí por i= 1,2,3 (A.615) 48 = 4*(413 423 48’) qi, - 4**(41, qp493 y el elemento de línea ds viene dado pgr j’ = 1,2,3 (Axi-16) ; w* - vwq,)’ + qg%Y + h2Wq2)0 (A.&17) Los factores de escalq ht y’+ son ,fjmcioneg ,de la pokáa, como hemos visto ya para coordenadas cilíndricas y esf¿ricas. - hll(dq,,)’ + &+id&>s + hs% &a? Transformaci~ de.& c&po&e8 ,kle ‘úa’ vector “ , ’ ’ En la Fig. A.6A2 se representa un vector g,descompuesto en sus componentes rectangulares y én &s, qpmponenjes @ lí#ricaq &jedi@e la $ic@$n de conceptos elementales de trigonometría SC dqguestp 9~s los, $o$pqnen$ +!n re$cionados entre ” .” ,_ sí de esta forma: i, = (WF ej+: k (Ai ejuv + (o)u, I’ 0, = (-20i1 ej& + (COS e)u, + (0)~~ Y 1, += -(op* ~.co>v, + cxh <, (A.6-18) (A.619) (A.6-20) U, = (COS ej;, +. (-SNI e)u; + (o)v, (AS-21) U, = (sei e)u, + (COS e)u, + (0)~~ (AS22) u, = (Oh + (Oh + w, (A.6-23) - FENOMENOS A-24 DE TRA NSFO RTE ‘“si De igual forma, se pude demostrar que para coordenadas e#ricus , I. Y i u, - (sen 19 Cos 4))~~ + (sen 8 sen $)o~ i- (cos O)o, (Ah24) 0, = (cos 8 cos $)u, + (COS 8 sen 9%)~: + (-sen e)o, (AS25) u6 = (ysen Q))% + es #UV + um, (A.626) U, = (sen .e COS dj)~ , + (COS 8 COS # )u, i (-m +)u, i A.27) (Ah28) U, - (SC? 8 sen # u, + (COS 8 SC’! 4)~~ +&OS +)u, i U, f (COS 8)~, + (-sen e)u, + (0)~ (Ah29) c .’ <.. \ * : ., ‘* /’ Fig. A.6-2. Deswmposicibn del vcct~r v en sus ~poocj~,rectan~larcs, y cilindriws. :, En general, la mutuà rela&n entre ios compon~te~‘de un vector en el sistema qr, q2, 43, y el sistema qln, qr, qu’, viene dada por P Uf = Zl&.J u, = LZ,,.u,* ,_ (A.6-30) (AS31) siendo iS,* los cosenos.de direccidn; es decir, que ?,., es el coseno del Ángulo formado entre el vector unitario en la dirección-i y el vector titiitario en la dirección i’. Estos cosenos de dirección cumplen las relaciones (A.6-32) T&l,~, = &l‘& = 9‘.,. (Ah33) V&,,.b = ~&vw~i‘~ :, RESUMEN DE NOTACldN “‘% VECTORIAL Y TENSORIAL Por otra parte, l,,* están relacionados’con’hi A-2s y h,. en esta f6rma Ji., = $(2) = “(“> ‘) ‘: (A.634) El lector puede comprobar, &k estas relaciones generales describen adecuadamente las relaciones entre los componentes de un vector. en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. ‘,;* En realidad, los vectores sedctinen como aquellas magnitudes cuyos’componentes se transforman de acuerdo,con, las Ecs. A.6- 30 y 31 en un cambio de coordenadas. # I... r’ /b II Transformación de los eom$M@es de un tensar En general, la relación entre’la;s componentes y el sistema qy, qr, q& ~v<ene dada ‘por .; 1 de un tensor. en el sistema yr, 42, <73, T,.,.’ - Lc,&Z,.&T‘, (Ah-39 Ttt 3- L,.X,.l,,.l,p ,‘,, ’ ,, ‘(Ali-36) Estas relaciones constituyen realmente la definición de un tensor ‘dwegundo orden. De una. Forma análoga se definen ~tcnsores de orden superior. ‘/ ‘, i! Ejemplo A..6- 1. C~~WW~@M de transtormn& de IOS p~~d~tae & .~W@S y tensores Demostrar, ‘mediante la transformacion conveniente, que. [o x uj eJ::un vector y que (0 : 7) es un escalar. S&&&, : ’ 1. ‘.‘! 0. [u x- WI; @C,&S&#,W* : =, ~,~~,,~~~~,,o,.Xc,.r,wr.) “‘* L c*,&..u,w&(&&q,&f&J j : :-1 = c,,I;,iu~~,i~,E;,~~~~,) ~, s &oyw~;~‘,* I * = c,,f& <,,,x wh. ,’ .i Esta expresión es de la forma de la Ec. A.6-31. Por lo tanto,’ &s se transforman como ’un ; v&tb~. En cstt? c~s6 se ha titilivdo Sa’&. b. (0 : 3 yy w+%w A ~e,~xc(l*~cA,I:,,fr~,~~,~,~~~,~~~~*f~*,7~,,r,, b,C nv z N cf.X’o” c ,mw?w G,~*i,nv~,w~,,w - L,.~~,~,,L,o,,~,7~,~~,í*611’d, Cn&.u,.,7,.,. * ; , )’ .,’ ‘, 1 * ” (AG37) componentes de [a x w] A.6-33. ‘. (AS38) La penúltima expresión se ha obtenido utilizando la Ec., A.6-32. Puesto que la ex- presión final tiene la misma forma que la inicial, el término (u : r) es un escalar; es decir, que es invarinnre en una transformacion coordenada. . 4 6 A.7 L~~ECIONES ’ DIFERRNCIALES EN COORDENADAS’, CuR@; . En 0 A.6 se ha visto la f&‘tia .en qub están relacionados los componentes’de vectores y teqsores en coordenada; curvilíneas con los componentes en coordenadas rectangulares. En esta Sección se;,res~men las distintas operaciones en que interviene V en coordenadas curvilíneas.‘ Es preciso tener en cuenta que V.tiene la misma forma de la Ec. A.34 ‘sola- ‘mente en coordenadas rectangulares,dEn coordenadas curvilíneas V toma formas diferentes según queCae utilice ch escalares, vectores 0 Sensores, y según la naturaleza de las operaciones ei las que interviene (por ejemplo., . ’ x). El operador V no sigue reglas de tra4arforma&h~morno ias de las Eis. A.6jk y 31. En las Tablas. A.7- 1. 2 y’ 3, se presenta,& resumen de las operaciones diferenciales más frecuentes en’ coordenadas rectangular&& cihndricas y esféricas. Estas expresiones pueden obtenerse coménzand0’:por ias operaciones expresadas en componentes rectangulares con, derivadas conrespecto a x, y, z (o xt, ~2, ~3). Los componentes rectangulàres de vectores y tensores je expresan después en función de los componentes curvilíneos de acuerdo con las Ecs. A.6-31 y A.6-36. A con- tinuación se pasa de las derivadas con respecto WX, y, & a $las derivadaocon respecto a las coordenadas curviheas utilizando la regla -d6’h,c&ena de la diferenciación parcial. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo &7-S1. El procedimiento es muy laborioso pero seguro? Las operaciones diferenc$&s para coo,rdenadas ortogonales arbitrqrjas lli pueden veise en, 9s obras matemáticas.2+3 : ) en función de ,, ‘! de , Ejemplo A.7- 1. Deducción de diversas operaciones difkrencia~ Deducir las expresiones correspondientes para (V-u) p en coordenadas cilindricas, cuando T es simbtrico. .’ ? Solución. a. En coordenadas rectangulares ? : eu coortknadas cilíndricas pam el Componente r de[v - ~1 2 41 ’ *: Introduciendo en esta expresióu las Ecs. A.6-21, 22 i 23, se ‘obtiene (0 * 0) = ; (u, cos 6 (A.7-2) . 1 La transformación de tensores covariantes y contravariantes puede Us~ematizaise utilizando los simbolos de Chrisroffel; v¿ase, por ejemplo, A. J. MCCONN~ZLL, Applirar& of Tensor Anafysis. Dover, Nueva York (1957). pp. 140-143, o P. M. M~RSF. y H; FESHBACH, Methods of Theorerical Physics. McGraw-Hiil, Nueva York (1953), pp. 47-30. 2 P. k4. MORSE y H. FLSHBACH, op. cit., pp. 50-52, 114-117; L. PIPLS,, ApprVed Mathematics for Enginqers and Physicisrs, McGraw-Hill, Nueva York (1958). pp. 395-398 3 Un excelente formulario de las operaciones vectoriales y tensorialcs. y eSpecialmente de Ias op$&ioncs en coordenadas curvilíneas, puede encontrarse en el libro de E. MADELUNG, Die ma~ema#schen Hilfsrnittel des Physikers, Dover, Nueva York (1943), pp: 109-151. - ;; ‘, TABLA A.7-1 RESUMEN DE OPERACI6NE.S DIFERENCIALFS EN LAS QUE INTERVIENE EL OPERADOR V EN COORDENADA& RECTANGUL@ES” (x, y, z) ‘“$ , ao, au, au, (V.o)=-+-+ax ay a2 (V%) = ‘$ (4 8s * + -+x ** 1 ” 0) uw (N) (0) au, 1 80, [um,=u2~ +“y‘ãy +v,z i au, _ (PI ‘(“.V.]yL02;+“w~+UI~ tQ1 l [U’VU], = ozz + 0~2 + tIi2 (RI 1 @Las operaciones en las que intefviene el tensor +,están dadas solamente para -r simbico “01 TABLA A.7-2 RESUMEN. DE OPERACIONm DIFERENCIAE=EN LAS QUE INTERVIENE EL OPERADOR V EN CXIORDENADAS CILfhDRICASP (x, 0, z) (C) 03 UO (0 CJI (K) 03 W) (N) (0). ;, (jq ,:J *(Q)‘, ve h* b*Vd, = 0, 3+ ar ;ãs+n.z “Las operaciones en las que inter&ne el tensor T eskjn dadas solmente (@ / para t sim&rko ; ‘^% RESUMEN DE NOTACION VECTORIAL Y TENSORIAL TABLA A-29 A.l-3 RESUMEN DE OPERACIONES DIFERENCIALES EN LAS QUE INTERVIENE EL OPERADOR V EN COORDENADAS ESFÉRICAS’ (r, 0, 4) cc) (0 (H) (Z) Se aplica ahora la regla de la cadena de derivación parcial, seghn mas dos expresiones (A.7-3) (A.74) siendo u, = u, cos 0 - va sen B y vy = v,sen 8 + ve cos 0. Las derivadas de las Ecs. A.7-3 y 4, que relacionan entre si los dos sistemas coordenados, se evalúan a partir de las <Ea. A.6-4 y 5: ar x ar Y =yeose “; =sene (A.7-$6) r 0 0Sr ae 2 cose (A.7-7,8) ,q -p=y0 ” FENdMENOJ A-30 [V i l T] 4 = ; -2 ; (&+) + ; 2&?! DE TRANSPORTE % ke !.$ + y + 7 Te* a4+ zv, c0t 8 2 av, 24 - L-2 [VQ], as vev, - ,- - - - Aen ~9 a + ra r2.H,, rB w (MI W) (0 ) (P) tQ> UV Por lo tanto, w l 0) v,c0se ar a( = - ve sen@) (COS e j ( + ( & c 0 se + $ ( (v, -t+nej)(-~) sene + ve COS e j ) (e ne ) + $ (v,sen 8 + ve COS e j) r$) ( au, (A.7-9) +.x Efectuando la operación y combinando los términos, se obtiene, finalmente _ (V*v) I a =-r ar h) + i 2 + 2 que es una de las entradas de la Tabla A.‘7-2. (AÍl-10) “% ip” RESUMEN .iE NOTACIdN b. A VECTORIAL Y TENSORIAL A’, aa _. . partir de la Ec. A.6-18 se deduce que [v . T], = (cos 6)fV - ~1~ + (sen O)[O . rly . i : (A.7-ll) ’ ” : . A partir de la Ec. A.4-26 se obtienen los componentes rectangulares de [v . TIque :. pueden introducirse en la Ec. A.7-ll para llegar a a a a [v*71, -(CM@ ax 721 + 5 Tu2 + x 722 4 (A.7-12) .’ Se utiliza ahora la Ik;A.6-36, en la que i,,/vienen dados por la expresi6n *’ (2 ; k) 5 (::i -qi i) (A.,-,3) : obtenida a partif de las Ecs. A.6-21, 22 y 23. *Resulta, por consiguiente Tm * e*r cos’ e - 2r,osen 8 cos 0 + s,sen2 8 .T~ = 7w sen8 qps 8 + T,0(~~~2 8 - sen2 e) -, Tea sene COS e fis = Trs COS e - Tze sen0 rw~ 0 7,sen2 e + 2r,8 sene COS e + 708 ~09 e 7lir I 7,rwtìe -t TzecOse 71s - Tas (A.7-14) (A.7-15) (A.7-16) (A.7-17) (A.7-18) (A.7-19) IntroduHenda estas kxpresiones en la Ec. A.7-12 y simplificando se llega a i a [v * r], = -~ ar trrW) + i $ T++ 1 h -irbe +az (A.7-20) ~ APÉNDICE B TABLAS PARA LA PREDICCIÓN DE PROPIEDADES DE TRANSPORTE , TABLA B-I PARÁMETROS DE FUERZA INTERMQLECULAR i CONSTANTES CRfTICAS Substancia Peso Molecular M Parámetro+ d e Lennard-Jones EIK C’K) (A, Constantes críticasb.C.d - &) PC ‘- (atm) (cm3 R g-mal-l] Elementos ligeros: H2 He Gases nobles: Ne Ar Kr Xe Substanciaspolia tdmicas sencillas Aire N2 02 03 c o co2 NO N20 so2 F2 CI2 Br2 12 2,016 4,003 2,915 2,576 38,0 10,2 20,183 39,944 83,80 131,3 2,789 -3,418 3,498 4,055 35,7 124, 225, 229, 445 151; 209,4 289,8 _9790 91,5 113, - .’ 110, 190, 119, 22G, 252, 112, 357, 520, 550, 132,= 126,21 154,4 -268,’ 133, 304~2 180, 309,7 430.7 33,3 5,26 ,( - k PC gcm-lsec-*)(calsec-lcm-loK-l) x 106 x 106 12,80 2,26 65,O 57,8 26,9 48,0 54,3 58,O 41,7 75,2 92,2 118,8 156, 264, 396, 490, 86,6C ’ 90.1 74,4 89,%. 93,$ 94.0 57, 96,3 193, 180, - 34,7 25,4 79,2 71,0 49,4 - 4092 . 28,97= 28,02 32,OO 48,00 28,Ol .44,01 30,Ol 44,02 64,07 38,OO 70.91 I59,83 253.82 3,617 3,68 1 3,433 3,590 3,996 3,470 3,879 4,290 3,653 4,115 4,268 4,982 417, 584, ’ 8W 36,4= 33,s 49,7 ’ 67,. 34,s 7z9 64 71,7 77,8 76,l 102, 12% 1% 144, -: j. . 1 25% . 190, 343, 258, 332, -411, 42Q - ‘- 90,8 86,8 105,3 86,s 122, 118,2 131, 98,6 97,0 - Hidrocarburos: CH4 C$2 czH4 C2H6 C3H6 C3H8 =C4H,, PC,H*, n-C,%2 “-C6H14 n-(%H16 n-C8Hl8 n-w20 Ciclohexaqo C6H6 Otros compuestos orgánicos: CH@ CH2Cli CHCI, CCl, C2N2 cos cs !%7 16.04 26,04 WoS 30,07 42,08 4W9 58,12 58,12 72,lS 86,17 100,m ’ 114,22 128,25 84J6’ 78,il 3,822 137, 4,221 185, 4,232 205, 4,418 230, ) 5,061 ‘254, 5,341 , 313, 5,769 345, 5,909 1 413, 7,451 320, 6,093 5,270 324, 440, so,49 84,94 119.39 153,84 52,04 6f-W 76.14 3,375 4,759 5,430 5,881 4,38 4,13 4,438 855, 406; 327, 327, 339, 335, 488, 309,s 282,4 305.4 365,0 370.0 ,425,2 ~. 408,l 469.8 507,9 MO,2 569,4 595,0 553, 562,6 4ry 510. 536.6 556,4 Jw 378; 552, 45,8 61,6 SO,0 48.2 45,s 42,0 .37,5 S$,O 33,3 29,9 27,0 24,6 22,5 40,o 48,6 .65,9 60, 54, 45,0 59, 61, 78, 99,3 113, 124, 148, 181, 2w 255, 263, 311, 368, 426, 485,. 543, 308, 260, 143, 240, 276, 170, 159, 237, 215, 210, 233, 228, 239, 239, 238, 248, 254, 259, 265, 284, 312, lS8,O 203,O - - 338, 410, 413, - a Los valores de o ye/Kestán tomados de J. 0. Hirschfekkr, C. F. Curttiss y R. 8. Bird, Mdecdar 77eory of Gares & Liqddr. Wiley. Nueva York (1954). pp. l Il0 -Il 12: tambiCn de Addenda y Corrigenda. p. II. Los anteriores valores estgn cilladados (L panir de datos de viscooidad y SQ~ aplicables para temperaturas muperiores P 100 OK. Los valores del Kr alán tomados de E. A. Mason, J. C/wn. Phys., 32, 1832-1836 (1960). b Los valores de Tc, PC. y pe están tomados de K. A. Kobe y R. E. Lynn. Jr., Cium. Rer., 52, In-236 (1952). y Ama. Petroleum por F. D. Rossini. Carnegk Inst. of Technology (1952). salvo las excepciones que se indican. c Los valores de I<C están fomados d Los valores & de& <omrdos de 0. A. Houpen y K . M. Watson. de E. 1. 0wen.s y G. Thodos, c Para el aire, cl peso molecular M y tas propkdudcs las International Critica1 TabIes, val. 1, p. 393 (1926). Ghemicd Process~~ipcij#&~. .4.1. ¿%. E. J.wowl pscudõcricicai Tc. PC. y pe sp .: Inst. Researcb Proi. 44. editado voiujn 111, Wiiy, Nueva York (1947). p. 873. 193-0, åp*rtir de la +n&sici6n media del aire seco, <al como fw:uran cn’ 4 TABLA B-2 FUNClONtiS PARA LA PREDICCIÓN DE PROPIEDADES DE TRANSPORTE DE GASES A BAJA DENSIDAD ‘% KT/C 0 ’ W~AB 0,30 0,35 0940 0,4S 0,so 0,SS 0 0,6S 0,70 0,7s 0,80 i 0,8S 0990 0,9s 1,oo 1 ,os 1,lO 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 14 1,45 1 ,so l,SS 1,60 1.65 1,70 1.75 w 1,85 1,m 1.95 203 2,lO w 2,30 2940 4 = Qk %.dB (Para viscosidad (para difuy conductividad sividad) calorífica) 2,785 2,628 2,492 2,368 2,257 2,156 .2,065 1,982 1,908 1,841 1,780 1,725 1,675 1,629 1,587 1,549 1,514 1,482 1,452 1,424 1,399 1,375 1,353 1,333 1,314 1,296 1,279 1,264 1,248 1,234 1,221 1,209 1,197 1,186 1,175 1,156 1,138 1,122 1,107 2,662 2,476 2,318 2,184 2,066 1,%6 1,877 1,798 1,729 1,667 1,612 1,562 1,517 1,476 1,439 1,406 1,3!5 1,346 1,320 1,296 1,273 1,253 1,233 1,215 1,198 1,182 1,167 1,153 1,140 1.128 1,116 1,105 1,094 1,084 1,075 1,057 1,041 1,026 1,012 KT/C 0 W~AB 2.50 2,@ 2.70 2,80 2990 3,öo 3.10 3,20 3.30 3940 3,so 3960 3,70 3;80 3990 4.00 4,lO 4,20 4,30 4940 4,50 4,60 4,70 4,80 4990 s,o 690 790 84 930 10,o 20,o RO @sO so,0 WJ 70,o 80,O %O 100,o Op = Ok %AB (Para viscbsidad (Para difuy conductividad sividad) calorífka) 1,093 1,081 1,069 iE?i 0:9770 1,058 0,9672 1,048 0,9S76 0,949O 1,039 1,030 o,?0,9328 1,022 0,9256 1,014 1,007 0,9186 0,9999 0,912O 0,9932 0,9058 0,987O < 48998 0,981.f 48942 0.8888 0,9755 0,970q 0,8836 48788 ww j_/ :0,96OQ 08740 49533 0,8694 0,9jo? 0,8652 0,861O 099464 o,y22. ., 0,8568 0,853O 0,9382 z 0.9343 0,8492 0,930s 0,8456 Os9269 0.8422 0,8963 0,8124 0,8727 0,7896 0,8538 0,7712 0,8379 0,7556 0,8242 ” 0,7424 0,7432 04640 0,700s 0,6232 46718 0,596o 0,5756 0,6504 0,633s O,SS96 0,6194 0.5464 0,6076 0,5352 0,5973 0.5256 0,5882 0,517o *Tomados de J. 0. HIRSCHFELDER, R. B. BIRD y E. L. SPOTZ, Chn. Revs., 44,205 (1949). APÉNDICE C CONSTANTES Y FACTORES iXCONVERSI6N . 0 C. 1 CONSTANTES MATEMATICAS e = 2,71828 . . . In 10 = 2,30259 . . . n = 3,14159 . . . 6 C. 2 CONSTANTES FfSICAS Constante de la ley de losgases R = 1,987~ cal g-moi-1 “K-l = 82,05, cm3 atm g-mal-1 “K-i = 8,314, x 107 g cm2 seg-2 g-mal-1 “K-l = 8,314, x IOJ kg m2 seg-2, kg-mol-1 “K-l = 4,968, x 101 Ib, fts seg-2 lb;mol-1 “R-l = 1,544; x 103 ft ib, ib-mal-1 “R-r Aceleración normal : de la gravedad g. = 980,665 cm seg-” = 3&1740 ft seg-2 Constante de Joule ’ (equivalente mec&nico del calor) Ji -‘4,1840 x 107 erg cal-t = 77816 ft ib, Btu-1 Fumero de Avogadro Ñ i 6;O23 x 1023 mol&xlas g-mol-1 Constante de Boltzmann K = R/fl= 1,380, x lo-16 erg mol&utla-1 Constante de Faraday Constante de Planck “K-t .%rr = 9,652 x 104 culombios-abs equivalente-g-t h = 6,62, x lo-27 erg seg Constante de Stefan-Boitzmann cr = 1,355 x lo-12 cal seg-1 cm-2 OK-4 - 0,1712 x 10-8 Btu hr-1 ft-2 OR-4 Carga del electrón e = 1,602 x lo-19 culombios-abs Velocidad de la luz c = 2,99793 x 1010 cm seg-1 A-38 FENdMENOS DE TRANSPORTE ‘ “ % 6 C. 3 FACTORES DE CONVERSION Para pasar cualquier magnitud física de unas unidades a otras, multiplicarla por el correspondiente valor que se indica en las tablas. Por ejemplo, supongamos que p vale 10 Ib, in- y se quiere obtener su valor en dinas cm--z. A partir de la Tabla C.3-2, se obtiene p = 10 x 6,8947 x 104 = 6,8947 x 10s dinas cm-2 o g cm-1 seg-2. Además de las tablas que siguen, vamos a indicar ahora algunos factores de conversión frecuentemente utilizados: I 3 ‘. ,_ Dada una magnitud en estas unidades Libras Kilogramos Pulgadas Metros Galones (U.S.) Galones (U.S.) Galones (U.S.) Pies cubicos Multiplicar por 453,59 2,u)46 2,540O 39,370 3,7853 231,OO 0,13368 28,316 Para expresarla en estas unidades Gramos Libras Centímetros Pulgadas :i Litros Pulgadas cúbicas Pies fúbicos Litros .’ ‘TABLA C.3 - 1 FACWRJZS DE ~NVfZRSIóN PARA MAGNiTUDESQUE TIE.l%N LAS DIMENSIONES DE F o MLt-2 m-i Dada una Multiplicar por el valor magnitud en delatablaparacon+r- g c m sege estas unidades ) t’rla en estas unidades+ (dinas) g cm sege (dinas) kg m segm2 (newtones) Ib, ft sege (poundals) Ib/ 1 10s 1,3826 x 10” 4,4482 x ld kg m segP2 (newtones) 10-5 1 1,3826 x lo-’ 4,4482 Ib, ft seg-2 (PoUndals) 7,233o x 10-5 ?,2330 1 32,174O Ib/. 2,2481 x 10-6 2,2481 x lo-’ 3,1081 x 1O-2 1 TABLA C.3-2 FACXORES DE CONVERSIÓN PARA MAGNITUDES QUE TIENEN LAS DIMENSIONES DE F/L2 o ML-’ t-2 (Presión, Densidad de lhjo de cantidnd ae movimiento) Ib , n-z mm Hg in. Hg TABLA C.3 -3 FACTORES DE CONVERSIÓN PARA MAGNITUDES QUE TIENEN LAS DIMENSIONES DE FL o ML2t-2 (ENS&& Dada una magnkud en utas lmidad8s Multiplicar por el valor de la tabla para convertirla * an2 teg-2 1 en astas unidades-, (ergios) * cma seg-f ks dseg-2 Iba, ftz ser2 ft Ib, calmhs tarmoqldmiur~ Btu Caballos da vapor-hora Kilo vatio s- ho ra Pbselutos 1 10’ 4.2140 x 1Ot 1.3558 x IC 4,l840 x 107 I.mo x 1010 2&34s x 10:s 3.6cm x 1013 %la UlIid& 8bIWtimSn(c Tabta (abIwiada?nsnta l.T.cal) kg d sao-2 (juliosabsohitos) 1tiAft~ ser2 10-7 237m x 10-6 1 2J736 X-l01 4.2140 x 16-2 1 1.3S58 ~ .1740 4,1640 ,*-k h . . g;g f6s45 x lar 3.6Oa3 x 10 6,3705 8.5429 x i0’ X’lOl Col, S8 Utilb -‘ti.8 tabfir & tcrnrodin*nka en ata wdd& twtipliar p o r 1,000654.~, z_ - L Trpb&j%~h) cal R i b , 7.37six la-* 7.37% x fa--r 3,lyH x’lo-’ 1 3.8860 778.16 19800 x 1w 2.6552 x 4Or fi901 23901 1,0072 3.2493 : Btu w x x x lo-1 .%4783 x iQ-*’ 3.7231 x 10-14 m-t -9,4763 x10-4 3,7251 x 10-7 M-’ Qv42 x 10-5 1.5696 x 10-8 lo-’ l,2aJl x lo-’ s.OsOs x 10-7 3.9657 x 10-3 l.SS86 x 10-6 &x tis l 39301 x 10-4 6.4162 x 10 2.3445XlW, 1 8.6042 x 11% 3.4122 x 101 1,341o qldlniia Pan convenir iU6 nmpli<udcs kw-hr b-hr upraudor M calorlas .. 57778 x 10-14 2m8 x 10-1 1.17%x 3.7662 x 1.1672 x x 29307 7.4570 x 1 de la In~ tio~ l 10-8 10-7 10-6 10-4 10-1 S&.am . TABLA C.3 -4 FACTORES DE CONVERSIÓN PARA MAGNITUDES QUE TIENEN LAS DIMENSIONES* DE ML-‘t-l o FtL-2 o MOLES L-‘t-’ (Viscosidad, D ensidad por difusividad, Concentración por diíi&vida~) Dada una magnitud en estas unidades I Multiplicar por el valor de la tabla gcm-*aeg-l,kgm-lseg-l para convertirla en estas unidades + (poisesl g cm-’ seg-1 kg m-l sege Ib, ft-: seg’-’ Ib, seg ft-2 Centipoises Ib,,, ft- 1 hr-* - 1 10 1,4882 x 10’ 10-1 1 1,4882. Ib, ft-‘aeg-t lb,segftm2 - Centipoises lbnft- 1 hr- 1 6,7197 x 1O-2 2,0886 ‘x’ IO-; lOa 2,4191 x 1@ 6,7197 x lo-’ 2,O886 x 1O-2 lOs 2,4191 x lo3 1 3,1@1 x 10-2 1,4882 x lo3 3600 4,788O ‘x 102 4,788O x 10’ 32,174O 1 4,788O x 104 1,1583x lo5 10-2 10-3 6,7197 x 1O-4 2,O886 x 1O-5 1 2,4191 4.1338 x 10-3 4,1338 x 10:’ 2,777@ % iO-4 8.6336 x 1O-6 ‘:4,1338 x lo- 1 1 _BCuando aparece moles en las unidades dadas y en las que se desea transformar, el factor de conversión para las correspondientes unidades de masa es el mismo. TABLA C.3-5 FACTORES DE CONVERSIÓN BARA MAGNITUDES QUE TIENEN LAS DIMENSlQI&S DE MLt-3T-1 o Ft-’ T-r (Cenductividad Dada una magnitud en estas . unidades ) Multiplicar por el g cm sege kg m seg-3 “ K -l OK -1 valor de la tabla para convertirla (ergios seg-1 (vatios m-l en estas unidades+cm-l “K-l) “K-l) g cm sege ‘KW1 kg m segm3 ‘K-l Ib,,, ft seg.-3 ‘F-l Ib, seg-’ ‘F-’ cal seg-1 cm-l ‘K-l Btu hr-l ft-* “F-l 1 10s 2,4886 x 104 8,0068 x 10s 4,184OxlO’ 1,7307 x los 10-5 1 2,4886 x lo-’ 8,0068 4,184Ox lOa 1,7307 &orXica) Ib, ft seg-’ “F-l 4,0183x lo-* 4.0183 1 3,2174x 10’ 1,6813x lo3 6,9546 Ib, seg-’ +’ --’ cal seg-1 cm-’ “K-l 12489 x lo+ 2,3901 x 1O-8 1,2489x lo-’ 2,3901 x 1O-3 3,1081 x 10-2 59479 x 1O-4 1,9137x 10-2 1 5,2256j<lO’ 1 2,1616x lo-’ 4,1365 x 1O-3 Btu hr-l ft-’ OF-1 5.7780 x 1O-6 57780 x 10-1 1.4379 x lo-’ 4,6263 2,4175 x 1Os 1 TABLA C.3-6 FACTORES DE CONVERSIÓN PARA MAGNITUDES QUE TIENEN LAS DIMENSIONES DE L2t-’ (Difusividml de amtidad de movimiento, Difusividad tkmka, Dithsivhlad molealar) Multiplicar por el valor de la tabla Dada una magnitud para convertirla ;\ en estas unidades 1 en estas unidades -, cm2 seg-l cm2 seg-L m2 seg-t ft2 hr-l Centistokes m2 seg-l 10-4 1 2,5807 14-6 1 10’ 2,5807 x IO-’ 10-2 I j_ x 10-5 ft2 hr-’ 3,875O 3,875O 1 3,875O x lo’ x 1O-2 Centistokes 102 106 2,5807 1 x 10’ TABLA C.3-7 FACTORES DE: CONVERSIÓN PARA MAGNITUDES QUE TIENEN LAS DIMENSIONES DE Mt-3T-* o FL.-‘t-‘T-l (Coeficientes de transmisión de calor) Multiplicar Dada una por el valor de magnitud la tabla para gseg-3 OK-1 kgseg-J”K-t lb,seg-3°F-1 lb,ft-lseg-t “ F-l en estas convertirla en (vatios m-z unidades estas unidades + ‘K-l) .) g ~-3 “K-l kg wg-3 “K-l Ib, 31-3 ‘F-l Ib, fc’1 wg-t “F-l cal cm2 seg-1 “K-i Vatios cm-2 OK-1 Btu ft-2 ht-1 “F-i 1 103 8.1617 2,6269 ~4,184O 107 5,6782 x 102 x 10’ x 107 x lt&P 10-3 1.2248 x 10-3 3,8068 x lo-5 1 1.2248 3.8068 x 10-2 8.1647 x 10-1 1 3.1081 x 10-2 2.6269 x 101 32.1740 1 4,184O x lo, 5,1245 x 101 1,5928 x 1 0 3 lo’ 1.2148 x 101 3,8&8 x 102 5.6782 6,9546 . 2.1616 x 10-1 calcm-iseg-1 “ K -l 2,390l 2.3901 1,9514 6.2784 1 2,3901 1.3571 x x x x Vatios cm-2 “ K -l Btu ft-2 hr- 1 “ F -l lo’-s 10-7 1,761l x 10-4 lo-5 10-4 1,761l x lo-’ lo-5 8.1647~ lo-* 1.4379~ lo-’ 10-4 2.6269 x 10-3 4.6263 4,184O 7.3686 x 1 0 3 K 10-1 1 1,761l x 103 x 10-4 5,6782x 10-4 1 TABLA C.3 -8 FACTORES DE CONVERSIÓN PARA MAGNITUDES QUE TIENEN LAS DIMENSIONES’ DE ML-2t-1 o MOLES L-2t-’ o FL-% *. (Coeficientes de transferencia de materia kzj) Multiplicar por el valor de la Dada una tabla para conmagnitud en vertirla en estas estas unidades unidades+ g cme seg- l I g cmm seg-l kg mS2 seg” I b , ft-2 seg-’ Ib, ft-3 seg Ib, fte2 hr-l 1 10-1 4,8824 x IO-’ 15709 x 10’ 1,3562 x 1O-4 .# kg mT2 seg-1 10’ 1 4,8824 15709 x 102 1,3562 5 10-3 Ib, ft-2 seg-’ 2,0482 2,0482 x IO-’ 1 32,174O 2,7778 x 1O-4 Ib, ftM3 seg 6,3659 6,3659 3,1081 1 8,6336 x 1O-2 x lo-’ x lo-2 x 10-6 Ib, fte2 hr-1 7,3734 x 103 7,3734 x 102 3600 Ll583 x lo5 1 *Cuando aparecen moles en las unidades dadas y en las que ,se desea transformar, el factor de conversión para las correspondientes unidades de masa es el mismo. ’ _* ', .< NOTACI6N . Salvo que se indique otra cosa, los -n&meros entre parentesis se refieren a las ecuaciones en las que aparecen.los símbolos ‘por primera vez o se da su deficictin. ’ Las dimensiones se expresan en fun&n .de masa (M), longitud (L), tiempo (f) y temperatura (2’). Los símbolos en negritas ,correspOndcir a vectores y tensores, cuyas notaciones se tratan en el Ap&ndice A; &o sb~.incluyen en esta lista los símbolos que intervienen con .muy poca frecuencia,. otque se uGli2a.n en una sola seccion. ,. i. I ‘. __ Ir . A = áirea, L2. ? A = U - TS = Energía hbre de Helmhohz o «función de t r a b a j o » (7.3-l), iIW/ta.. % ’ a 2 coeficiente de’absorci%n (14.2,1), adimensional. a = área interfacial ti unidad de volumen de lecho (6.4-4), ,j ,L-l& ;J:I j c, = coeficiente de descarga (7.5-34), adimensional. c?,, = calor específico .a presión constante por unidad de masa (8.1 Y7),, :L2}PT, e,, = calor especifico a volumen constante por unidad de masa (8.34), Lz/tzT. c = concemraci6n molar total (5 16.1), moles/L.í c * velocidad de la lux (14.1-l), L/t. C~ = concentración molar de la especie i (16.1-2), moles/L? D = longitud característica utilizada en análisis dimensional o bien diámetro de la esfera o del cilindro, L. DP = diámetro de la partícula (6.4-6), L. Sm= difusividad binaria para el sistema A-B (16.2-l), LZ/t. 1 . DAB = difusividad binaria para el sistema A-B, basada en ,la energía libre como fuerza impulsora (18.4-14), Lfq. DnT = coeficiente de difusion térmica binaria para A en el sistema A-B (18.4-14), M/Lt. Brr= difusividad binaria para el sistema i-i (18.4-19) Lq t. A -4 8 FENÓMENOS DE TRANSPORTE D;i = difusividad de la pareja i-j en un sistema de varios componentes, basada sobre la energía libre como fuerza impulsora (18.4~8), L2/t. DiT = coeficiente de difusión térmica en un sistema de varios componentes para la especie i (18.4-ll), M/Lr. gim= difusividad binaria efectiva de i en una mezcla de varios componentes (18.4-21), L2/r. d = diámetro molecular (1, 4-3), L. E = U + K + @ = energía total del fluido (10.1 - 1 S), ML2/& E, = velocidad total de disipación viscosa de energía mecánica (7.3-l), ML2jt3. e = 2,71828 . . . e = emisividad (14.2-3), adimensional. e = densidad de flujo total de energía con relación a coordenadas estacionarias (18.3-9), M/f3. eC = factor de pérdidas por fricción en relación con la disipación viscosa (7.4 - 5), adimensional. F= F,, + F, = Fk + F, = fuerza de un fluido que actúa sobre un sólido adyacente (§Q 2.6, 6.3), MLlt2. Ftm) = velocidad de adición de cantida’d de movimiento a un sistema macroscópico debido a la transferencia de materia a través de las superficies que lo limitan (21.4-7), MLlr2. F12 = factor de visión directa (14.4-9), adimensional. FIS = factor de visión indirecta (14.4- 15), adimensional. .FIe = combinación del factor de visión y la emisividad (14.5-4), adimensional. /,’ / f = factor de fricción o coeficiente de resistencia (6.1 -l), adimensional. i G = velocidad másica (6.4-10, M/ rL2. G = H - TS = energía libre de Gibb‘s o «entalpia libre» (7.3-l), MLz/ fz. g = aceleración de la gravedad (3.2-8), L/t2. g, = fuerza to t a1 por unidad de masa que actúa sobre el componente i (18.3-2), Llt2. g, = factor de conversih gravitacional (l .l -6), adimensional. H = U + pY = entalpia (15.1-5), MLz/ tz. h, h,, II,,, h,, h, =5 coeficientes de transmisihn de calor (9.1-2,$ 13.1), MItJT. h = constante de Planck (14.1-2), ML*/ t. NOTACldN A-4 9 h = altura (2.3-lo), L. i = q - 1 (4.3-12). J, = equivalente mecánico del calor (8.1- 1 l), adimensional. Ji = densidad de flujo molar de i con relación a la velocidad media de masa (16.1-8), moles/rL*. Ji* = densidad de flujo molar de la especie i con relación a la velocidad media molar (16.1 -lo), moles/rL2. jo), j{T) = densidades de flujo de materia de la especie i con relación a la velocidad media de masa (16.1-7, 18.4-7), M/tL*. ji* = densidad de flujo de materia de la especie i con relación a la velocidad media molar (16.1-9), M/rL*. jo = factor-j de Chilton-Colburn para transferencia de materia (Tabla 21.2-l), adimensional. jf, = factor-j de Chilton-Colbum para transmisión de calor (Ec. 13.2-19), adimensional. K = constante de Boltzmann (1.4-l), ML*/z*T. K = energía cinetica (7.3-l), ML*/t*. K = densidad de flujo adimensional de materia en la pared (19.3728~). k = conductividad calorífica (8.1-l), ML/tsT. kT = relación de difusión térmica (18.4- 15), adimensional. k, = conductividad ektrica (8%l), ohm-1 cm-r. k;’ = constante de velocidad de reacción química heterogénea (17.0-3), m01es1-n/L2-3V. k,,“’ = constante de velocidad de reacción química homogénea (17.0-2), moles 1-n/L3-3nt. k, = coeficiente de transferencia de materia en un sistema binario (21 .l -8), moles/tL*. k, = coeficiente de transferencia de materia de la especie i en una mezcla de varios componentes (21.8-3), moles/ tL*. L = longitud de un tubo u otra longitud característica, L. 2 = longitud de mezcla de Brandt1 (5.3-2), L. M = peso molecular medio molar (Tabla 16.1 -l), M/mol. MA = peso molecular de A, M/mol. Q’h = moles de substancia (22.1-4). (fil, = moles del componente i (22.1-3). m = parámetro del modelo de Ostwald-de Waele (1.2-3), las dimensiones dependen del valor numerico de n. m = masa de una molécula (1.4-l), M. A-SO ‘% FEN Ó M EN O S DE TR A N SP O R TE m = masa de un sistema de flujo (7.1-l), M. mi = masa del componente i de un sistema de flujo (22.1 -l), M. N = velocidad de rotación de un eje (3.7-25), t-l. Ni = densidad de flujo molar con respecto a coordenadas estacionarias (16.1-6), moles/L2t. ta, = densidad de flujo de materia con respecto a coordenadas estacionarias (16.1-5), M/LQ. n = concentración molecular o densidad de número (1.4 -2), L-3. n = parámetro del modelo de Ostwald-de Waele (1.2-3), adimensional. n = constante de Deissler (5.3-4), adimensional. Ñ = número de Avogadro (g-mal)-l. P = cantidad de movimiento (7.2-11, ML/t. B = p -+-egh (para e y g constantes) (2.3-lo), M/LT2. p = presión del fluido, MILt2. p(‘) = presión radiante (14.3-2), MIL@. Q = velocidad volumétrica de flujo (2.3 - 19), LJ/t. Q = velocidad de flujo de energía a través de una superficie (8.1-1 y 15.1-2), ML2/t3. Q3 = flujo de energía radiante desde una superficie 1 a una superficie 2 (14.4-5), ML2It3. Qtz = intercambio neto de energía radiante entre la superficie 1 y la superficie 2 (14.4-8), M L2/t3. Q, Q(C), q(d), q(z) = densidades de flujo de energía relativas a la velocidad media de masa (8.1-6 para fluidos puros, 18.4-2 para mezclas), M/t3. R = constante de los gases, ML2It2T mol. R = radio de la esfera o del cilindro, L. R,, = radio hidráulico (6.4-3), L. RA = velocidad molar de producción de la especie A (18.1 -lo), moles/tLs. &,RT,%B = relaciones de densidad de flujo (21.5~40), adimensional. r = distancia radial en coordenadas cilíndricas y esféricas, L. rA = velocidad de producción de la especie A (18.1-5), MItL3. S = área de la sección transversal, L2. S = vector que representa el área de la sección transversal y su orientación (7.2-l), L*. NOTACIÓN A -S I S,, S,, S,, SC = manantiales de energía (9.2-l), M/Lt3. s=R- r = distancia medida hacia el interior del fluido a partir de la superficie limitante en coordenadas cilíndricas (5.3-9, L. s+ = distancia adimensional medida hacia el interior del fluido en coordenadas cilíndricas (5.3- 11). T = temperatura absoluta, T. t = tiempo, t . U = energía interna (lO.l-2), M D/@. U = coeficiente global de transmisión de calor (9.6-16); M/GT. íj = velocidad molecular media aritmética (1.4-l), L/t. V = velocidad característica en análisis dimensional (3.7-l), L/t. i V = volumen, L3. o = velocidad media de masa (16.1-l), L/t. at = velocidad de la especie i (16.1- l), L/t. u, = velocidad del sonido (8.4-2), L/t. V, = velocidad de aproximación (2.6-l), L/t. l l + = velocidad adimensional (S.3- íO) V + = %‘re/~ = velocidad de referencia (5.3-P), L/t. ZJ* = velocidad media molar (16.1-2), L/t. W = velocidad de producción de trabajo sobre los alrededores (7.3-l), ML2/t3. ao, = velocidad de flujo molar (22.1-4), moles/t. @?A = velocidad de flujo molar de la especie A a través de : una superficie (17.2-21, 21.1-7), moles/t. w = vector que representa la velocidad de flujo de m a sa y su dirección (7.2-2), M/t. w = velocidad de flujo de masa (7.1-2), M/t. ’ _ wA = flujo de masa de la especie A a través de una superficie (22.1 -l), M/t. x = coordenada rectangular, L. xi = fracción molar de la especie i (Tabla 16.1- l), adimensional. y = coordenada rectangular, L. yi = fracción molar de la especie i (21.3-l), adimensional. 2 = frecuencia de colisión de pared (1.4-2), L-%.-l z = coordenada rectangular, L. a = k/& = difusividad tbrmica (8.1-17), L2/t. F E N Ó M E N O S LE TR A N SP O R TE A -52 ‘&$- B = coeficiente térmico de expansión volumétrica (9.9-6u), T-‘. r(x) = la función gamma de x I’ = velocidad de flujo de masa de una película descendente -por unidad de anchura de la pared mojada (2.2-20), lu/Lt. y = e,/e, (10.5-75), adimensional. A = velocidad del tensor de deformación (3.6-l), t-l. da = ~22 - al, donde 1 y 2 se refieren a las dos superficies de control. B = espesor de la película descendente (2.2- 15), espesor ficticio de película (17.4-11 y 21.5-5), espesor de penetración (4.4-l), y espesor de capa límite (4.4-15), L. 8 = tensor unidad (Apkrdice A), adImensional. g, = vector unitario (Apéndice A), adimensional. l , ea = energía máxima de atracción entre dos moléculas (1.4-10, 16.4-16), ML2/t2. E = fracción de huecos (6.4-4), adimensional. 5 = coeficiente de concentrac#n de-expansión volumétrica (18.3-13), adimensional. 5 = variable de posición adimensional, definida de diversas formas. 7 = variable de posición adimensional, definida de diversas formas. T,I = viscosidad no-newtoniana (3.6-2), M/Lt. 0 = temperatura adimensional, definida de diversas formas. = ángulo en coordenadas cilíndricas o esféricas (Fig. A. 6- 1), radianes. 8,, tIT, eAB = factores adimensionales de corrección (21.4-12, 13 Y 14). ir = constante de Prandtl (5.3-5), adimensional. Ka = constante de von Kármán (5.3-3); adimensional. LI = relaciones de difusividad (19.3-19, 20 y 21), adimensionales. 1 = longitud de onda de la radiacion electromagnética (14.1-l), L. ii = recorrido libre medio molecular (1.4-3), L. p = viscosidad (1.1-1, 3.2-11 a 16), M/Lt. p. = parámetro del modelo de Bingham (1.2-2u), M/Lt. Y = frecuencia de la radiación electromagnética (14.1- 1), t-l. NOTAClóN A-m-53 v = ,u/p = viscosidad cinemática (i.l-3), L2/t. 6 = variable de posición adimensional, definida de diversas formas. 11 = perfiles adimensionales (19.3-16, 17 y 18). II = 3,14159... A= tensor de presión (18.3-2), M/t*L. p = nm = densidad del fluido (1 .l -3). M/L3. pI = concentración de masa de la especie i (16.1 -l), M/L3. u, uAR = diámetro de colisión (1.4-10, 16.4-15), L. u = constante de Stefan-Boltzmann (14.2- IO), M/t3T4. t = tensor de esfuerzo cortante [l.l-2, 3.2-8, 3.2-3 (componentes)], Mf*/L. t0 = parámetro del modelo d,” Bingham (1.2-2a), M/t*L. t0 = valor del esfuerzo cortante’ en una interfase fluidosólido (5.3-7), M/tzL. @ = energía potencial (7.3-1). &L*/t2. ^-CD’, = función de disipación viscosa (lO.l-21), r2. + = pvv + 7~ = densidad de flujo total de cantidad de movimiento con relación a coordenadas estacionarias (18.3-8), M/t2L. 4 = ángulo en coordenadas esféricas (Fig. A. 6-1). radianes. +,, &, #AB = factores de velocidad (21.5-37, 38 y 39). adimensional. y = función de corriente (4.2-1 y Tabla 4.2-1); las dimensiones dependen del sistema coordenado. 8 = velocidad angular (3.5-11). radianeslt. Q, = integral de colisión (1.4~,18), adimensional. Qk = integral de colisión (8.3- 13), adimensional. Sz. = integral de colisión (16.4- 13), adimensional. oi = fracción de masa de i (Tabla 16.1- l), adimensional. Líneas superiores1 N h - por mol por unidad de masa parcial molar (18.4-8) tiempo ajustado 1 Obskvese que las sefiales 4 , - y - (cuando se utilizan para magnitudes parciales molares) sirven para indicar las unidades de las magnitudes sobre las que esth situadas. Por.ejemplo, W[=]ML*/@, mientras que &[=]LZ/t*,R[=]ML*/t* mol, RJ=]ML*/t* mol. “9 FENÓMENOS DE TRANSPORTE A-S4 Corchetes ca> [=l t 13 Ll. 0 Índices valor medio de a en una sección transversal de flujo (7.2- 1, 9.8-32j. tiene las dimensiones de utilizados en operaciones con vectores; véase Apéndice A. superiores 0 * (t) (4 (m) reducida con relación a 1 atm (0 1.3) valor a 1 atm u otro estado de referencia ‘<§ 1.3). coeficiente de transferencia corregido para velocidad finita d,e transferkkia de materia (21.4-4, 5 y 6). reducida c¿m respecto a una dimensión característica (3.7- 1). desviación respecto del valor de tiempo ajustado (5.1-6). 1 turbulento (5.2-5). laminar (5.2-8). magnitud que atraviesa una superficie de transferencia de materia. Subíndices A, B a b C i, j , k ln loc m r tot 0 192 1 especies de un sistema binario (0 16.1) fuerza impulsora media aritmética o coeficiente de transferencia con ella relacionado (13.1-3). valor global o de «mezcla en taza» de la corriente (9.8-33). en el punto crítico (0 1.3). especies en un sistema de varios componentes (0 16.1). fuerza impulsora media logarítmica o coeficiente de transferencia con ella relacionado (13.1-4). coeficiente local de transferencia (13.1-5). coeficiente medio de transferencia para un objeto sumergido (13.1-6). reducida con relación al valor crítico (5 1.3). magnitud total en un sistema macroscópico (7.1-1). magnitud evaluada en una superficie magnitud evaluada en las secciones transversales «l» y «2» (7.1-1). fuerza impulsora en la sección transversal « 1 » 0 coeficiente de transferencia con ella relacionado (13.1-2). A-S S NOTACIÓN ‘@$ Grupos adimensionales frecuentemente utilizados (véase también la Tabla 21.2-1) Br = número de Brinkman (9.4-11). Fr = número de Froude (3.7-15). Gr = número de Grashof para transmisión de calor (9.9- 17). GrAB = número de Grashof para transferencia de materia (18.6-13). Nu = número de Nus :elt para transmisión de calor (6 13.2). NuAB = número de Ntsselt para transferencia de materia (6 21.2) Pr = número de Prandtl (8.3-16). Re = número de Reynolds (3.7-14). Sc = número de Schmidt (18.6- 12). St = número de Stanton (Fig. .13.2-2). Operaciones matem8ticas D/Dt = derivada substancial (3.0-2, A.3-15). -(’ dt = la función de error de ‘x. erf x = %i Ife \ exp x = ti = la función exponencial de x. In x = logaritmo de x en base e. logre x = logaritmo de x en base 10. ‘T(r., u) = Jo t” - * eBr dt = la funcibn I’(z) = s ODt*le-l gamma incompleta. dt = la función gamma (completa). V = oirador íqabla» o «del» (véase el Apéndice A). íNDICE ALFABÉTICO DE AUTORES Abbot, C. G.. 14-29 Ackermann. G., 21-24 Acrivos, A., 7-34. 10-12, 19-18, 22-28 Adamson, T. C., 19-11 Alberty, R. A., 1-16, 16-22, 17-2 Amundson. N. R., 22-28 Andrew, S. P. S.. 19-37 Anzelius, A., 22-22 Aris, R., 17-25, 17-29 Arnold, J. H., 19-5 Baars, G. M.. 18-31 Babcock, B. D., 7-34 Babo, L., von. 1-19 Baldwin, L. V.. 22-16 Batchelor, G. K., 5.22 Bateman. H., 22-22 Becker, H. A., 6-16 Beckers, H. L., 12.II. 13-15 Beckmann. W.. 10-26 Bedingfteld, C..H.. Jr., 18-4, 21-17 Benedict. M., 19-15 Bermett, G. W., 18-37 Bernhardt, E. C., 2-34, Il-21 Berry, V. J.. Jr., 16.16. Bird, B.. 1-29 Bird. R. B., 1-22, 2-36, 2-37, 3-10, 3-26, 3-5~1, 4.4, 4-8. 4.31, 5-26, 6.26, 7.1, 7-4. 8-7. 8.16, 8-17. 8-25.9.48, 10-42.10-45.11-10, 15-5, 16.4, 16.12, 16.14, 16.19, 16.20, 16.21, 18.12, 18.13, 18.17, 18-18. 18.19, 18-27, 19.37. B-3, B-4 Birkhoff, G., 4-16 Blasius. H., 4-24, 13.24. 19-25 Boas, A.. 19.15, Boer. J. de, 14.8 Boussinesq. T. V., 5-8 Bowman, J. R., 19-15 Bridgman, P. W.. 8.21 Brinkman, H. C., 4.29, 6-1.8, 9.16, 11.10. Broer. L. J. F.. 23-52, 9-8 Bromley, L. A., 8-19 Brown, H.. 18-24 Brown, H. E., 1331 Buckingham, E.. 2-18 Buddenberg. J. W;. 1-25. 1.31 Burroughs, D. B.. 1.18 Bussmann, K.. 19-25 Calvert, S., 2-22 Carley, J. F., 2-34 Carman, E. H., 8-20, 8-25 Carman, P. C, 4-29 Carr. N. D.. 1-18 Carsiaw. H. S., ll-l, 11-5. 11-6, 11-7, 11-8. 11-10. II-14. 11.23. J4-31, 18.6. 19.1, 19.8 22.27 Cash, F. M., 2-34 Cichelli, M. T., 19-15 Coe. J. R.. Jr.. 1-8 Colburn. ‘Á. P.; 3-12, 15.30, 18-35, 21.2. 214, 21.13. 21-24, 22.8 Comings, E. W., 1-19. 8-12, 8-13, 8-25 Condon, E. U., 3-10 Corcoran. W. H.. 5-9, 51’13 Corrsin. S., 12.11, 12-12, 20-2, 20-8 Cottington; R. L., 1-8 Cowling, T. G.. 1-22. 16i9, 18-20 Crank. J.. 18-6. 19.1. 19-7. 19-35 CrawfÓrd.. B. L:, Jr.. ‘10-45,’ I 8- 12 Curtiss, C. F., 1-22, 1-25, 3-10. 3-26. 4-8 4-31, 8-7, 8-16, 8.17: 10.42, 10.45, 16-12. 16-19, 16-21, 18.12, 18.13, 18-17, 18-18, 8.3 Chambre. P. L.. 19-18 Chandrasekhar, .S., 14-25 Chan& K. C., 21-24 Chang, P., 16-23, 16-24 Chapman, S., 1-22, 16-19 Chilton. T. H.. 21-13 Christiansen, C., 14-31 Christiansen. E. B.. 6-16 Chu, B.-T., lo-8 Churchill, R. V.. II-E, 11-10, Churchill, S. W.. 13-22 11-14, Il-15 79 ‘-32, 19-35 1 1-35 Danckwerts. P. V., 19-7, 19-7, 19 19-32, Daniels, F., F . , 1-16, 1-16, 14.29, 14.29, 16.16-22. -22. 117-2 -2 Darnell, W. H., 2-34 Deissler, R. G., 5-8, 5-8, 5-12, 5-12, 12.7 12-7, 12.10, 12.10, 12.14, 13.18, 20.5 Denbigh. K. G., 18-12 Dougherty, E. L., 18-17 Douglas, W. J. M., 13-22 Drake, R. M.. Jr., 9-26, 9-26, 111.16, 1.16, 113-2 3-2 Dr2~~2~‘. 8:. 8:. 2.36, 2-36, 66.18, . 1 8 , 18.4, 1 8 . 4 , ‘18.35. 18.35. 21.17. Drickamer, H. G.. 17-4, 18-17. DufSe, J. A.. 14-29 Dwight, H. B., 4-4 Eaglc, A., Eckert, E. Eirich, F. Eisenberg, Emde, F.. 19-36 9.31 R. G.. 9-26, 11-16. 13-2, 13-24 R., 2-18. 2-36, 3-35 M., 19. Il 4-7. 19-27 A-58 iNDICE ALFABÉTICO DE AUTORES Emmert, R. E., 17-4 Engen, J. M.. 2-22 Ergun, S., 6-20, 6-22 Erk, S., 13-2, 13-5, 13-30 ‘Eucken, A., 8-18 Eyring, H., 1-13, 1-27, 1-29, 8-22, 16-23 Fairbanks, D. F.. 19-14 Falkenhagen, H., 6-28 Ferguson, R. M., 9-31 Feshbach, H., A-3, A-8, A-15, A-16, A-21, A-26 Feyk, J. A., 19-25 Foreman. R. W., 18-15 Fox, E. A., 18-31 Frank-Kamenetskii, 16-26 Franz, R.. 28-24 Fredrickson, A. G., 2-37, 3-30, 3-52, 7-31 Friedlander, S. K., 19-11 Frössling, N.. 13-22 Furry, W. H., 18-15 Fürth, R., 16-22 Gamson, B., 13-25 Garner, F. H., 17-25 Genereaux, R. P., 6-18 Gex, V. E., 18-31 Gibson, R. E., 1-19 Gilliland, E. R., 6-16 Glasstone. S., 1-27, 16-23 Godfrey, T. B., 1-8 Goldstein, S., 4-9’ 5-2, 9-31, 11-16, 12-2, 12-3 Görtler, H., 5-28 Graetz, L., 13-12 Gregg, J. L., 10-26 Grew, K. E.. 18-15 Grigull. U., 8-19, 8-22, 16-14, 16-20, 16-24 Grimley, S. S., 2-8 Gröber, H., 13-2, 13-5, 13-30 Groot, S. R. de, 18-12 Groothuis, H., ti-25 Grossman? L. M., 7-34 Guggenhetm, E. A., 18-25 Hagen, G.. 2-14 Hall, J. G., 22-16 Hallman, T. M., 9 - 3 4 , 1 1 - 1 2 , 12-11, 1 2 - 1 5 , 1 3 - 1 6 Hammerton, D., 1 7 - 2 5 Hanrattv. T. J.. 2-22 Hardy, -R. C., 1-8 Hawkins, G. A., 13-2 Heitler. W., 14-1 Herning, F.. 1-27 Higbie, R.. 17-24. 21-36 Hildebrand. F. B., 19-34 Hinze. J. O., 5-22 Hirschfelder. J. O., 1-22. 1-25, 3-10. 8-7, 8-16, 8 - 1 7 , 8 - 1 8 , 8 - 2 5 . 10-42. 10-45, 16-12. 16-19. 16-20. 16-21. 18-12. 18-13, f8-17. 18-18, B-3, HE&rer H E 2 1 - 4 8 Hohenem&. ‘K.:’ 3-34 Hoopes. J. W.. ir.. 2-36 Hottel. H. C, 14-?, 14-17. 14-18. 14-22. 15-36 Hougen. 0. A.. 1-16, 1-19, 8-11. 8-22. 13-25, 15-4-4. 11-28, 17-29, 18.19, 21-18, 22-4, 22-7, 22-8. 22-22. A-35 Houpeurt. A., 4-29 Howarth, L., 5-14, 12-3 Hsu, H.-W., 18-19, 18-27, Hu, S., 6-16 Hughes. R. R., 6-16 19-11 Ibbs, T. L., 18-15 Ince, S., 3-11 Jaeger, J. C., 11-1. 11-5, 11-6, 11-7, 11-8. 11-10, 11-14, 11-23, 14-31. 18-6, 19-1, 1 9 - 8 . 2 2 - 2 7 Jahnke, E., 4.7, 19-27 Jakob, M., 8-17, 8-22. 9-7, 9-26, 9-28, 9-30, 11-10, 12-14, 13-2, 1 3 - 1 2 , 13-37, 14-18, 14-22, 14-31 Johnston, H. L., 1-9, 1-26 Johnstone, R. E., 3-38 Jones, A. L., 18-15 Jones. R. C.. 18-15 Joos, ‘G., 1418 Junk, W. A., 8-12, 8-13, 8-25 Kalitinsky, A., 15-36 Kannuluik. W. G.. 8-20. 8-24 Karim, S. .M., 3-IÓ Karman, T. von, 5-8. 5 - 9 , 3-14, 5-22, 6-10, 6-25 Katz, D. L., 5-26 Kays, W. M., 2-15, 7 - 2 9 , 13-19 Kennard, E. H., 1-20 Kern, D. Q., 15-33 Kincaid, J. F., 1-29 King, L. V., 13-37 Kintner, R. C., 6-1’6, 6-29 Kirkwood. J. G.. 10-45. 18-12 K i s t l e r . A: L . . 12-11 ’ Klein, J., 1 I-i0 Klibanova, Ts. M.. 16-26 Kmak, W. S., 18-17 Knoll. W. H.. 18-31 KnÜdsen, J. G., 5-26 Knudsen, M., 2-15 Kobayashi, R., 1-18 Kobe. K. A., 8-3 Kober, H., 4-14 Koeller. R. C., 16-16 Kramers, H., 32-34, 11-14, 17-25, 17-34, 18-31 Kreyger, P. J., 11-14, 17-34 Laar, J. van. Il-10 Ladenberg, R., 6-28 Laidler, K. J., 1-27. 16-23 Laird, A. D. K. 2-22 Lamb, H., 2-25, 2-36, 3-10, 3-25, 3-55, 4-1, 4-10, 4-31, 6-16, 1 6 - 2 2 Landau, L., 5-22. 18-20 Lange. N. A., 1-9 Lapple, C. E., 6-14, 6-16, 6-28, 15-35 Laufer, J., 5-12 Lee, C. Y., 16-26. 17-8 Lenoìr. J. M., 8- 12, 8-13. 8-25 Leva, M., 6-18 Leveque, M. A., 11-14, 13-12 Lewis, W. K., 21-24 Li, J. C. M., 16-23, 16-24 Libby. P. A., 10-26 Liepmann, H. W., 10-26 Lifshitz, E. M., 5-22. 18-20 Lightfoot, E. N.. 17-16 [NDICE ALFABÉTICO DE AUTORES London, A. L., 13-19 Lorenz, L., 8-24, lo-26 Ludford. G. S. S., 10-26 Lyche, B. C., ll-10 Lynn, R. E., Jr., 5-3 Lyon, R. N.. 13-17 Madelung, E., 3-55 Marble, F. E., 19-11 Marshall, W. R., Jr., 13-22, 13-27, 15-19, 15-23, 19-36, 22-17 Martinelli, R. C., 13-17, 13-18 Mason, E. A., 1-25, 8-19, B-3 Matz, W., 21-2, 22-1 Mayer, J. E., 14-10 Mayer. M. G. (Mm.), 14-10 McAdams, W. H., 6-8. 13-2, 13-14, 13-26, 13-28, 13-30, 13-31, 13-32, 14-7, 14-17, 14-25 McAfee. K. B., 17-31 McCabe, W. L.. 6-7. 6-10, 6-18 McConnell, A. J., A-8, A-26 McKelvey, J. M., II-21 McKloskey, K. E., 1-9, 1-26 Meter, D. M., 5-26 Metzner, A. B., 1-13, 6-26 Michels, A. M. J. F., 1-19 Mickley, H. S., 19-24, 19-25, 19-27, 21-24 Milberger, E. C., 18-15 Mills, R. R.. Jr.. 12-11 Mime-Thomson. L. M., 4-10 Mises, R. von, lo-26 Moelwyn-Hughes. E. A.. 17-2 Moodv. L. F.. 6-7 Moon:‘P.. A-i4 Morduchow, M.. 10-26 Morse, P. M.. A-3. A-8, A-15, A-16, A-21, A-26 Müller, W., 4-8, 4-31 Murray, R. L., 19-1, 19-35 Muskat, M., 4-29 Nagata, Nernst, Nijsing, Nusselt, S., 4-28 W., 18-35 R. A. T. 0.. 19-32 W., 13-30, 22-25 O’Brien. V., 12-11 Odishaw, H.. 3-10 Oldroyd, J. G.. 2-36, 3-35, 3-52 Onsager, L., 18-12 Opfell. J. B., 5-9, 5-13. 12-5, 20-4 Owens, E. J., 8-11, 8-3 Pa¡, S. 1.. 4-25, 5-25 Partington. J. R., 1-30 Paton. J: B.. 2-34 Patterson, G. N., 2-15 Perry, J. H., 2-15. 6-14. 7-20, 15-18. 15-33, 21-2, 21-28, 22-8 Pettyjohn. E. S.. 6-16 Philippoff, W., 1-14 Piercy, N. A. V.. 19-34 Pigford, R. L., 2-8. 7-34, 10-43, 11-14, ‘13-11, 13-2r, 15-19, 15-23. 17-4. 17-8, 17-22. 17-34, 1 7 - 3 7 , 18-14, 1 9 - 8 , 1 9 . 1 0 , 20-4, 21-2, 21-22, 21-33, 21-40, 2 2 - 1 , 2 2 - 8 , 22-17 Pipes. L., A-26 Pianck. M., 14-1, 14-8, 14-11 A-59 Pohlhausen, E., 13-24, 19-25, 19-28 Poiseuille, J. L., 2-14 Pomerantsev. V. V., 16-26 Powell, R. E., 8-22 Prager, W., 3-34 Prandtl, L., 5-8 Prengle, R. S.. 2-22, 5-3 Present, R. D., 16-19 Preston, J. H., 19-34 Prigogine, l., 18-12 Rabinowitsch, B., 2-36 Ragatz. R. A., 1-17, 8-11. 8-22. 13-25, 15-4, 17-28, 17-29. 21-18, 22-4, 22-7, 22-8 Ramm, W. M.. 21-2 Ranz, W. E.. 6-18, 13-22, 13-27 Ree, R. H.. 1-13 Ree, T., 1-13 Reid, R. C.. 8-19, 8-22, 16-14, 16-20, 16-24 Reiner. M.. 1-10, 2-18, 3-35, 3-37 Reynolds, T. W., 22-16 Riedel. L., 8-22 Rivlin, R. S., 3-35 Riwlin, R. (Miss),.3-37 Rosenhead, L., 3-10 Roseveare, W. E., 8-22 Roshko, A., lo-26 Ross, R. C., 19-24. 19-25, 19-27, 21-24 Rossini, R. D., 8-3 Rossum. J. J. van, 2-38 Rothfeld, L. B., 18-9 Rothfus, R. R., 2-22, 5-3, 5-26 Rouse, H., 3-11 Sage, B. H., 5-13, 12-5, 20-4 Saxena. S. C.. 8-19 Saxton; R. L.: 18-17 Schenk, J., Il-10 Schiller. L., 6-28 Schlichting, H. 3-16, 3-25, 3-27;3-38, 4-22, 4-24, 4-25, 5-2, 5-8, 5-13, 5-24, 5-28, 6-8, 6-13, 6-18, 6-25. 11-16. 11-18. 12-5. 12-6. 13-21. 13-23. 18-3;. 19-1;. 19-18, 19-f5 Schmidt, E.. lo-26 Schrage, R. W.. 13-30 Schuh. H.. 19-19. 19-34 Scott, E. J., 19-36 Seban, R. A., 13-17 Sherwood, T. K.. 2-8, 8-19, 8-22, 13-21, 16-14, 16-20, 16-24. 17-8. 1 7 - 3 7 , 18-14, 19-8. 19-10. 20-4. 20-9. 21-2, 21-22, 21-33, 21-40. 2 2 - 1 , 22-22 Shimazaki. T. T., 13-17 Short, B. E.. 13-31 Sieder, E. N.. 13-11. 13-13 Siegel, R.. 9-34, 11-12, 12-11. 12-15, 13-16 Sisko, A. W., 2-39 Slattery, J. C., 1-14, 2-25, 3-30, 3-52, 4-11, 6-16, 16-14 Sleicher. C. A., 13-15 Smith. D. M.. 22-25 Smith; J. L., 6-7, 6-10, 6-18 Sneddon, 1. N.: 11-15, 19-1 Sparrow, E. M., 9-34, 10-26, 11-12, 13-16 Spencer, D. E.. A-l4 Spitzer, L., Ir., 18-20 12-11, 12-15, n-6G Í N DI CE A1 c 3 4 3 ÉT I c o Spou, E. L:(Mrs.i, 8-25, B-3 Sprenkle, R. E., 7-20 Squire, H. B., 12-3 Squires, P. H.. 2-34 Squyen. A. L., 19-24, 19-27, 21-24 Stearn, A. E., 1-29 Steinour, H. H., 6-16 Stewart, R. W., 5-22 Stewart, W. E., 3-26. 18-19, 19-24. 19-25, 19-29, 21-24, 21-36, 2143 D E AUTORES Tun& L. H.. 17-4, Tuve, G. L., 7-20 Uyehara, . 19-36 0. A.. 1-17 Villat. H., 2-25 Vusse, J. C. van de, 18-31 19-27, Stokes, C. G., 2-25 Streeter, V. L., 2-25, 4-13 Strom, J. R.. 6-29 Sutherland, W., 16-23 Swindells, J. F.., 1-8 Tate, G. E., 13-11. 13-13 Taylor, G. 1.. 3-27, 5-8, 5-14, 5-27, 12-6 Thiele, E. W., 17-25 Thodos, G.. 8-11, B-3 Thomas. G. B.. 3-2. 8-5, 1 7 - 2 4 Thring, .M. M.; 3-38 Tichacek, L. J., 18-17 Tobias, C. W., 19-11 Tollmien, W., 5-28 Tolman, R. C., 14-10 Toor, H. L., ll-10 Towle, W. L., 20-9 Townsend, A. A.. 5-2, 5-15, 5-22 Treybal, R. E., 21-2, 21-22, 22-1, 22-23 Tribus, M., ll-lo, 13-15 Truesdell, C., 3-35 Warburg, E.. 1-19 Watson, K. M., 1-16, 1-17. S-ll. 8 -2 2 . 13-25, 15-4, 17-28, 17-29. 18-19. 21-18,, 224. 2 2 -7 . 22-8, B-3 Weatherford,’ W. E., Jr., 19-15 Wesfwater, J. J., 13-32 Wheeler, A., 17-25 Whitman, W. G., 21-18 Wiedemann, G., 8-24 Wilke, C. R., 1-25, 1-31, 16-24. 18-19, 19-11, 19-14 Williams, B., 2-22 Wright, W. A., 18-37 Wylie, C. R., Cl3 Yamagata, K., ll-10 Yang, K. T., ll-2 Yokoyama. T.. 4-28 Yoshida, F., 13-25 Yoshioka, N., 4-28 Young, J. D., 19-18 Zipperer, L.. 1-27’ 1 6 -2 6 . 1 7 -8 , I .’ ALFAB6TiCO D E M A T E R I A S cn;; ,~ducci6n entre difusivldades. 16-11 entre ecuaciones de vatiacion,. 18-8 entro una columna de adsotcrón y un cambiador de calor de corrientes cruzadas, 22-25 entre una columna de relleno y un cambiador de calor de contracorriente, 15-11, 22-8 entre Wt manbnptro amortiguado, un controlador de temperatura. y la puesta en marcha de UQ reactor qufmko, 7 - 2 3 , 15-22. 22-17 entre transporte de calor y cantidad de movinüauo, 13-14 8rupo.s adimensionales, 21-12 relaciones de ‘Chilton-Colburn. 13-14. 21-13 teoria de ja capa limito. 19-18, 21-40 tqoría de pelkuta. 21-24 Antmbmctro de alambre caliente, 1337 AutorJifusiin. en gases. 16-14. 16.21 en Bquidos. 16-23 ka. 17-14. 17.37. 19-8, 19-32 descendentas. 17-2 4 urbwjir Ianque agnado con B@6n, 17-16 peikuta gescendw, 1 7 - 2 0 , 1 7 - 3 0 , normal de la ,gravedad, A-37 --_.-. _._ ._. J de ttana&&cia de materia, rbrt ,sl .Wmdmetro de bulbo húmedo, t&,.da .& manometro, 7-23 f da jsrapcmtura, 15-25 #; :: k*& noción. 3-38, 10-31. i pMI. trpsfercncia de calor -: ~o~tranaferencia de materia ,I Lf para co para el Pr::: itt tratkruisión de calor. 13-8, juttto a una lámina caIII tubo. 6-3. 6-29 tanque tgitado, 3-40 bn, 6-3, 6-11. 6-29 ! “0, ycs. 6 - 2 9 mra mega& teorema du. Analogía de Rey A&logias, coeficiente8 de transferencia de calor y tit e r i a , 21-9 coeficientes de transferencia pata elevadas velocidades de transferencia de materia, 21-22 densidades de Ilujo. turbulento, 20-3 ec;ttones de vartactón de tiempo ajustado. entre balances macroscopkos, 15-9 de calor y difuskn, 19-2, . Balance de cantidad de movimiento (vdase mmbh Bcwacion de movimiento), balance aplicado a una envoltura, 2-3 balance macroscópico. 7-3, 22-4 &Iancc de energia (dose tambih Balance de energía mecanica; E c u a c i ó n d e enetgia). balan- aplicados a una envoltura, 9-2 ocuact<ln diferencial general, 10-2, 18-6. 18-9 y2+stemas de varios componentes. 18-6. para un sistema macrosc&pico, 15-2. 22-4 ““,i Balance de materia (viase tambiin Ecuación de a :/ continwidad), aplicado a una envoltura., 17-3 ..“$ para sistemas macrosc6psos, 7-2. 15-9. 22-1 Balance d e e n e r g í a mecónica. deduccion pata casos especiales. 7-6, 7-34 -;“‘.-$ $ :. ‘.: 0.Jl: isot6rmico8, 7-4 ! ji B ? tW isottrmicos, 1 5 - 4 para sistemas de varios componentes. 22-4 ,& : :;, : Ba$s3es aphcados a una envoltura. 83., 9-aïy,.. ; “,;4 , Balances globaks (v¿ase Balances macrosg&$ %a%$s macroscópicos, en sistemas de varios componentes,’ 22-6 ” pata flujo isotérmico, 7-1 para flujo no isotermico. 15-1 resumen tabulado, 15-9 5, A-62 ,? fNDICE ALFABÉTICO DE MATERIAS 15-26, 15-32 flujo compresike, flujo con reacción químtca, 22-13 urbujas, absorción desde, 17-24 , *az de corrientes paralelas-contracorriente, da t u b o s concentricos, l S-l 1, 1 5 - 2 9 , ]5%O . ‘:,[ .Ca$a ~Ifmite~(m&odos integrales), 4-19 ,~, ” reaccton qutmtca, 19-!S UJO a lo largo de una lamina plana, 4-22, s de transferencia para elevadas ve. j focidades de transferencia de materia, 21-40 2. conveccion l i b r e , ]&23 , [ &duccidn de las analogias de Chilton-Colburn, 19-28 f ‘, por el metodo de &ard 19-34 .i r e s u l t a d o s tabtdados, 19-23.’ 19-25, 19-27, :I:. 19-28, 1 9 - 2 9 transferèricia simultdnea’ de cator, materia y cantidad de movimiento, 19-18 capa termita limite, Il-17 &Catalizadores, difusión en, 15-26 $:Centrtfuga, 18-24. 18-33 $ilindros,’ C, conducción no estacionaria del calor, I 1.6, Il-ti. 11.23. C l - 2 4 factor de eficacia, 17-29 . fac,t;o$tde fricci6n para el flujo a través de, -/ ’ flujozi&sil alrededor de, 4-1-4, 4.27 get$tración de calor, 9-3, 9-8, 9.44 perdidas de calor por oonveccibn libre desde. 13.26, 13-28, 14-24 p6rdídas de’calor por ~convecci6n forzada. desd e . J3-2t, lo-36 , perdidas de energía radiante desde, 14.24 ; reaccidn autocatalítiea e n , 19.34 oeficiente d e absorcion. 14-4 ‘oeficiente de extinción,’ 14-27 oeficiente de fricción deslizante, 16-22 oeticiente de resistencia (viase Factor de fricción) oeficiente d e Boret, 18-16 oeficiente global de transferencia de materia, T ;’ 21-20 “ J o&ciente global de’transmisión de calor, 9-23, .- ‘6 13-5 i;E oeficientes de transferencia (viase twnbi&a I’ Coeficientes de transmisión de calor; Coeftcientes de transferencia de materia; Factores de fricción), factores de corrección para altas velocidades de transferencia de materia, 21-22 resuman de factores de corrección, 21.43 sistemas de varios componentes, 21-45 tabla de magnitudes anglogas, 21.12 teoria de c#ra Iimite. 21-40 teoria de p&cula, 21-24 teoría de penetracibn, ‘21-36 Coeficientes de transftrencia de materia, ” analogía con transmlsi&t da cator, 21’.13 coeficientes globales, 21-20 correlaciones para bajas vtlocidades de transf er ut de w ppir ~ J+ t L II, j .: . .’ definición, 21-2 factores de conversión .A-46 T para altas velocidades de transférenc+a de materia, 21-22 3, ,i . . . p a r a d o s fas~~:2$-Sg. f..;, para sistemas dei vttrios -oom ‘Ib-45 .! . según la teoría de cap&imite según la teoria de pe&u~a,‘24&4. C:T , según la te¿Madt ‘p&ie~i&t~ Ll& / I , utilización en el snilisia de ttnr&&&ra de ‘,: ;,~ ,:$ ‘ absorciin, ~22-8, s.‘“+ d e f i n i c i ó n , 13-2 definición parwattas velocidãidos ds transkrencia de materia. 21-22$24;ias(i21-36, 21-40 efecto de altas veloeidadas: ds~&mstbrencia. da materia, 21-22, 21-24; 240&$8~-48 factores de convarsì6n; AM i, < globales, 9-23. 13-5 ’ ‘. :‘, orden de magnitud,!%&§-. ‘* ‘a para convección ü&..13-25 ‘q j para lechos de re&n&~~lf24~~ ‘;: para objetos sumergidos.~&3-20 . , ’ para tubos, 13-5. 13-7 ” para vapores condensante+‘l3& relación con el faotw~db~Frepol&r, 13-14.13-16, 1 . .,. . 13-23 ‘, Columna de pared t&$jad&,, , coeficientes de tran&renCNL de materia, 21-50 transferencia de mgteria, ,20~5 Columnas de relleno (r¿ose rsinibi& Medios porosos; Absorci&r&le gasa&),absorci6n de gases, 22-8, 49-32 conductividad calor$Rca tfectiva. 9-17 ecuación de BlakeiKozeny,, 6-2t. ecuación de Burle-Plummer, 6-22 ecuación de Ergun. 6-22 estado no estacionario, 2%t8. 22-25, 22-27 factor de fricción, 617 factores j, 13-24, 2148 Composición de mezcla .komog¿nea. 21-7 Concentracion, definiciones, M-4, 16-7 Concentracidn global (media), dl-6 Concentración media: en una pelicula estancada, 17-5 para el flujo en una conducción. 21-16 Condensación, coeficientes de transmisión de calor, 13-29: 13-38 de una mezcla de vapores,‘t8-35 efecto de un gas estancado, 18-20 Condiciones limite, limitación de las analogias entre transferencia de calor y materia, 19-18, 21-25 para conducción de calor, 9-2 para difusion, 17-4 para flujo viscoso,, 2-3, 2-36. 16-22 Conduccion axial de caloren un reactor quhnico. 9.16 ’ Conducción de calor, a trav6s de paredes compuestaa, 9-21 bidimensioaal., .l J-d4 calentamiento periMico de la ,super&ii te., ; rrestre, ll-23 en el flujo laminar?. ll-ll, IIli2 .’ en estado no estactonario. lJ-1, JJ-Q -en una aleta de enfrJamiento; 9-26, 9-47 mttodo variacional, )f-24 soluciones de producto, 1 J-23 ’ Co nduc ti vi dad calorifica, i:‘. .y, :,b ,> conductividad c,oJort&a cr&Jea,: ,A-34 torrdbn de:&ttcJ@n.“g-J%.~~ >:.‘..,a ,.. ::,,s~,~’ de cantidad de movimiento, 1-5, de energías 8-5. J2-4, M-l2 :’ .’ de entropía, JO-44 . ..“. .II 5-7. k42 * I .‘. + ’ - tablr; : “. .:; : Conrtantt dt Fsqwd&m3Ik. ., Constanre%Je Is Joy! deJos @res, 17-37 Co nstante de Planck. 14-&~ A-O8 Const&ntede JJtefan-JJoJt+nann, 411, A-37 Chauntts .Wcth &3% - / 1 constantt tokrj 1449 Convtccti natural gdaae Convección libref Coordenadas curviJJneas, complPwntes:dt un tensor, A-25 / c6mpontntes de un vcetor. k 2 3 ccbaci& de ogntinuidad, EJ 3 ecuacibn de enorgia, N-W, JO-II. tamoi& .de movtmiento, 3-15, 3-J6,3-17.4-9 expresiones con intervención de la funcidn cde corritntb. 4-9 modelos no-newtonianos, 3-33 resumen de opemoiones vectoriales y ttnroriales, A-28, A-29 t tensor esfueno, 3-20, 3-21 vector densidad de ílujo de energta, 10-9 CorreoSn de Eucktn. 8-18 . Ctlerpo grih 14-4 Cuerpo negro, definicibn. 14-4 intercambio de energía radJante. 14-13 ley de Planck. 14-9 Delta’ de Kronecker. A-l Densidad de Aujo con respecto a coordenadas 18-8. LE-13 estacionarias, l3amminantes.~ Ac Dloa;atrB.molteuitr, ,;&&ostJc de las propiedades de transporte, 8-26 gom esferas rtgidas, 1-21. 18-16. 16-J8 ., J3ilk~ i6a. i&yA2$7, A-20 x ,3; dt veqonb; .L2J .tn coordenadas curvilineas, A-28. A-29 ,:* 15’ D ífmón de integrales, A-21 .;i Diferencia media de temperatura s.y WMciones. 13-3 ca cambiadores de calor, 15-12, 18-36 ? ,f ”‘; DifWi&ti ;; con polimerJracu5n catalítica, 18-34 c o n maccionts he te ro g é ne as, 1 7 - 1 J, 17-34; 1’ 18-27, 18-39 con reaccioneahomog&teas, 1%517.14.17-37. 18-1. JJW, 19-8, 19-15. 19-32. 19-34, 19-35 con una zona de reaccibn móvil, 19-8 , de barrido, .J9-JS de presión, JE-11. 18-24, 18-33. 18-34 desde tma fore gaseosa hacia una psücula. dO+‘. cendtntt. Jf-20 d e s d e u n manantial p u n t u a l , 17-36 ‘: ecuaciones de Refan-Maxwell. 18-18 : en estado no estacionario, J9-3 ‘. en flujo turbuJento., 20-1 tn sistemas de vartos componentes, -18 entre dos fases, 19-36 tn una partlcula de un catabxador. 1535 en un reactor catrlitioo. 2147 , en un sistema autocatalítico. 19-34 t e n un si ste ma bi nari o , 16-10. lg16 jfT foma$ 18-11. 18-25, 1%.33. 18-34. .,J8-3% r”’ . .’ ‘na. ----. --18-1s -etp uwcr6ntrltup. 1844. 18-33 \ Dífusith oa $istcmas de varios componentes, : ~&iegttes ds transferencia. 21-45 con rogiasn beietQgAna, 18.27 ‘, de mezclaa gaseosas tenMas, 18-34, 18-39 densidad d;a dujo de materia, 18-14 di&sividad binaria eftctive. 18-19.18-33.21-45 ecu&iones de Stefan-Waxweli, 18-18 ~faa&iWnos de estadrr ,uo estacionario, 19-1 t , DifW6n Msada, : ‘i coatribución a Ia, Msidad de tlujo de materi’, 18-15 ext;t~ ibnicos, 18-25, 18-33. 18-34, 18-35, s Difusi6n tArmica, contribución a la densidad daflujo de materia, 18-15 f a c t o r , 18-16 refacibn. 18-16.. 18-17 separacS6n. 18-22 Difusividad, binaria efectiva para mezclas. 1&19, 21=46’ de electrolitos. -18-35 defin+& e n fistemas binati?s, 16-10 ti degrc$ en rrstemas de vanos componentes, ecuacibn de Nerst-Einstein, 16-22 :, ecuación do Stokes-EinstAin, 16-22 efectiva en medios poroao~, 17-25 factores de conversión para, A-44 medida de, 17-8. 17-36, 19-7. 19-38 nlacibn con la movilidad, 16-22. 18-15 teoría para gases, 1613. 16-16 tcoria para líquidos, 16-22 valores experimentales, 16-12. 1&13 variaci6n con temp. y presión, 16-13 Difusjvjdad de re*molino, 204,. 20-8 D$s;ydid efectwa e n matena+ granul&s, Difuùvidad binaria efectiva, 18-19 utilizaci6n en el cilculo de coeScientes de transferencia. 21-45 utilizactin en la evaporación ‘de mezclas de varios componentes. 19-13 Difusividad tAnnic.a, 8-6, 16-11 I -‘g .DisWIl, factor de eficacia, 17-34 factor dt fricción para, 6-25 Ilujo radial entre, 3a37. 3-40, ES5 .i+evbio de energía radumte entre, !+30 DISJ&~~~II& energfa. (dase rambf¿n Dnupae&.trica, .9*3: 9 4 1 . nuckat, 9-10, química, 9-M. 9-45 10-8, 18-20 9-43 ~ e&tria, 9-3, 9-41, 10-8. 18-20 en el flujo $Gewtonian0+44 ,’ “‘. enlt4Mn dt -ltfa; h timm díy+ ~, , en Ia ecuación de energla meca@ 13-1’; : . ‘,. en IaS écuaciones de energía. IW, 1&8 en sistemas macroscópicos de BUS, 7-5, 7-7 entre citindros coaxiales, W-17; 10-31 entre super8cies mdviler, 9-14, 9-44. 9.45 en turbulencia. 5-28 . Divergencia, 3-5, A-12 en coordenadas curvilíneas, A-28. A-29 integral de volumen, A-20 ,. Ecuacibn de Bernoulli, factor de pArdidas por fricci6n y, 7-9 fluidos viscosos no isotArmicos; 1S-4 par& fluidos no viscosos, 4-31 para fluidos viseOsos ¡sotArmicos, 7-4 para mezclas viscesas. 22-4 reticíón con la ccwcidin de movimiento, 7-4, 76, 7.34 Ecuacibn de Blake-Kozeny. 6-21 EcuacH de Buckingham-Reiner, 2-17 EcuaCi6n de Burks-Plummer, 6-22 Ecuación be ~ntinQ@~~ (lluid~s puros), 3-4 en coordenadas ct@viMeas, .3-14 para fluidds incFpr+ies,r 3-5 para flujo turbulento, 5-7 para:medios porosos, 4-29 relacibn con el.baFce macroscópico de materia, 7-2 Ecuación do continuidad (mezclas), densidnd cunstante,r t8-3 densidad molar CoWtadte. 18-3 en cooidenadrs c&vi¡M& 18-5, 18-6 mezclas binarias, 18-1 mezclas de varios componentes. 18-7 Ecuación de Corrsin,~ para turbui&ncia en mezclas, 20-8 para turbulencia no isotArmica, 12-12 Ecuaci6n de difusión (v¿ose tambi¿n Ecuaciõn de continuidad para mezclas), analogía con conducci6n de calor, 19-2 par8 mezctas binarias, 18-1, t8-5, 18-6 Ecuación de energla. 10-2 en coordenadas curvilíneas, 10-10, 10-11 en sistemas de radiaci6n. 14-25 formas mis utilizadas, 10-7, 10-14. 10-15 para mezclas, 18-6 relación con el balance macroscdpico de energía, 15-4 tabl? de formas equivalqntes. 18-9 Ec;a&n de energfa mecAnIca. 3-12, 10-5, lO-t4. Ecuación de entropía. 10-44 Ecuaci6n de Ergun, 6-22 Ecuaci6n de Euler, 3-11 Ecuaci6n de Kozeny. 6-21 Ecuación de Laptace, 4-13, 11-14, 19-2 Ecuación de movimiento, de Euler. 3-12 de Navier-Stokes, 3-1 t en coordenadas curvilíneas. 3-16, 3-17 otras formas,. 3-52 para c~~~cccdn Libre, 10-12. 18-9 para fluidos putos, 3-6 INDICE ALFAB~C~ DE para flujo turbulento, 5-7 para mezclas dc varios componentee, 18-6 relación con la eeasción de energía mec&nica, 1 3-12 relación con el brlence macrosc6pico de cantidad de movimiento, 74 Rcuacidn de Navier-Stokes,. El 1 Ecuaci6n de Nerst-Einstein, 16-22 Ecuación de Rciner-Riwliq. 3-37 Ecuacjbn de Stokes-Einstem, 16-22 EcE;” de von KbrmBa-Howarth. S-22,13-i2, Ecuaciones de Cauchy-Riemann, 4-12. 4-13 Ecuaciones de conservación (v&rsc Ecuaciones de variación; Balances macro@gicos) Ecuaciones de Prandtl de eapa lhnite. 4-2s. 10-24. 11-16, 19:19 coekientes de transferencja a partir de, 21-40 Ecuaciones de Stefan-Maxw& 18.16, 18-27. 18-38, 18-39 Ecuaciones de variación {vkN ’ &rrnbí&s E& cibn de continuidad; Rcuactin de movimiento; Rcuaci6n de ener$a)analisis dimensional. 3-38, 10-31, lg& ’ de tiempo ajustado,.S-6, 12-3, 20+1 en coordenadas ou~rviikteas. 3-13, 10-9. 1bS paf8 &on~r6n hbre, 10-12, .lO-23, 10-33. para gujo isotdrmico.. 3-1 para flujo no isotérmrco. 101’ para mezclas. 18-1, 18-6 5 resumen, 10-13, 10-14, 10-15 Efecto de difusión-termo, t8-13 Efecto Dufour, 18-11 Efecto Soret, 18-11 Efectos reiativistss,~ 18-20 EfaEto Weissenbcrg. 3-35 Eficacia de una aleta de enfriamiento, 9-28 Eficacia de uaa maquina solar, 14-29 Emisi6n de energía radiante, en 01 interior do un fluido, 14-27 en superficies dlidas, 14-1 Emisividad, definición, M-S tabla de valores. 14-7 Energia c¡nCtica, ecuación de variaci6n para, 10.14, 10-1s. 18-9 Energia de activación para viscosidad, 1-27 Ey;? interna. ecuacrin do vartaci6n, 10-6, * i6n intermolecular, 1-22, 16-19 Enfriamiento por transpiración, 10-20. 10-37, 10.39, 19-33, 21-3 Ensanchamiento, ptrdidas por fricciin, 7-12 Entropia, ecuación de variactin. 10-44 Rquivaknto mecanice del calor, 8-7, A-37 ELdo un termopar, 9-29 cond&ción de calor 942 difusividadcs de líqAdo% 16-22 efectos de pared, 6-28 onfrjamiento de, Il-7 fnnfy;miento por transpiròci6n. 10-20. lq-37, . MATERIAS ev;rsyi6n de una gota. 1762, 21-14, i$?W, :!, fa& de fricci6n. 63, 6-11 6’ flujo ideal alrededor de. 42g ,/‘. flujo laminar, 2-25, &14,-‘-flujo reptante alrededor ds, 2-211 : flujo reptante con &sRzamiento. 16-22 flujo reptante’entn, UI #lujo viscoso alredednr de, 4-11 ley de Stokes, 2-zd nOmero do Rc lds, 2.2i ’ ruirtencía & Po arma y friccii, 2-27 transferencia de materia; 21-t3 transmisi6n de calor uor convecei6n forrada. 13.22 transmisi6n ‘de. calor gor~‘.co&cidn libre, . E - rrl<*dd6sd flnal 2-28. 6 ‘; 3 *’ : s f e r a s ,<“conc6nt&ae, conducci6n d e arbr, 9-1~~9-41 $440 radiai entre; <3-S0 : ” < : flug taqen~ t e,*tre;~ 3+ .. r e qeracl6n pop ttempweei6n,~ IO&,W39 Eolbcrzos de Reynolds, $7 Eapeaor de cantidad de ,movimiarto, 425. ” Espemr de cmc&* 19-16 Eappeor de.deagleza&ntp, 42S E$pqm &.M~I j&ke,v :. 8, * espesor de castidad de mov&niento, 425 espesor d e coneeutraci6o; 19-16;~ ‘\ e@esor de desplazamiento, 4-25 * espesor do ener# ‘~ 13-19 EvllpotaCi&D, con elevada vclacidrd de transferencia de ma- ferie. 21~ 33 ,dom. 1&3&‘$l*lr. 2;-34, 21-51 en estado no cald~ ionrtio. 19-Lj* 1%H, 21-53 en’ pdcronwtrle,: 21-15, 21.34 mezclas de ovaporaci6n constante. 18-37 Ev~~aci6n d e gotas, 17.33,~ 21-14; 2.1-34, Eyectores, 7.i4 17-iS, 17-34, 17-37 ‘Factorea d e Ingulo, 14.56 Factores de e~~~vr~&ión. ,A-38 equiv&eme mecerrico del calor. 8-6 factor :gravita&md. 1-6 Factores 40, fricc&t. detinici6n, 6-2, 21-22 efecto de elevadas velocidades de rransferencia de materia sobre, 2 1-22,21-24, .21-36, 2140 para el Rujo a trav4s de un cilindro, 33-21 para el tlujono-newtoniano, 6-26. 6-29 para esferas, 6-11 par; ~oujb compresible, 15.7. 15-13. lS-29, Factor 4s c5e8& para cubos concbltricos, 6-29 para una limiaa plana, 6-25 para una rendija, 6-2s para un disco que gira, 6-25 para un tubo, 6-3. 6-26 relací6n con el factor de p6rdidas por fFJoci6n. re17&a d e Chilton-Colbum. : , ‘( 13-15. *?34-17. : Factores dg p&didas por ~fricción. definicici’ñ. 7-9 . . Fw!ms de visí&, 14.16 Factores j. 13.ta. 13.24, .21+13, 21-48 i’ F a c t o r gravitacional Uc conversi6n::l-6 ! F e n ó m e n o s no estacionorfi. .~ columnas de rellemv#, #2-k8. 22-2S.i22:2; “, conduccidn d e calpr,l Ii-‘: controlador de %eniprk&sra,,. ,fS&’ ‘, difusión con reacción qriimica, 19.7 difusibn d e int&&&. :@ti :s:’ en capeí ¶ímitt:.&2. I1-24~‘1&3~ ,19-)1 en tanquer@sdoi, 15-1s. M-34. MI-3t; 22.25. I,,’ : . ,i, 2z.27 ;: ., ,, +‘ evaporaci6n. 19-3. l%t 1. 21.53~. ux~ansi6A $u un: #tildo ~~mprcribte,, :t J*Jb flur2To-newtoniano ju;p, a un+ pa,wd. 4-4. .* ._,~ $&&~d~ curtiJ&tar; w+ . 4’+! :(‘. 4 ‘i,. .~” ,” ,c Fluido dilatante, I--t 1 I’ *Mu&#. m*imo, lir4; 3 . 9 : v > z jr ‘; expresiones pata Cl tcmsor asMano, &!O;r.lir 12 Fluido pseudo*Mstico Iv/as* imrr;bicn M@&k$ be Ostwald-de Waelg; Modd~UefOitli~~~ ,- ;s -d&.&i~; ,f.jl, .., : .; ‘. ‘,’ _:*:>q i Fluidos d e Reine+RioliR; ~-MF ’ I ‘1 + Fluidos reopécticos, .i-lf ” :< :$ / ,p.it Fluidos tixotrópicos, 1 clS -’ i ’ : . Fluidos viscockísticoa, I- IS ^< c ‘‘t,.:. flujo an Wos, 3-52 ’ k ‘.: Flujo adyacente de fluidos inmís&bles. 2-22 Flujo compresible (vrSarr ramh/ln Gaae+Ma&s) I, atrae di aparatosde medida, l:5- I1: 1: a travCs de tubos, IS-t3; tS-29,. lS+; ll%% balances macroscbpicos. $54 ”i ‘,y,.~ccuaci6n d e corrtinuidad, 3-4. 3 - 1 4 ” .L ” * ecurción de eneqia, 10-7. 10-10 ecuaci6n de mowmiento. ‘3-11, en un tubo de Venturi, ‘15-32 expansibn en estado no estticionario, IS-2$ grupos adimensionales, IOmezcla de gases ideales, 1%lJ, 15b30 onda de choqut, 10-26 L I .*. , potencia necesaria para el, ftuio’ 15-13 temperatura de estancamiento, \5-36 , tensor esfuerzo, 3-21 veltida&del sonido en, JO-42 ‘v&cidad límite da descarga, 15-3, 15-3; Flujo de Knudsen, 2-15 Flujo de Poiaseuitt¿, 4-4 Ftujo de&ante alrededor de una esfera, 16-22 Flujo deslizante en un tubo, 2-36 Fiújiio en’un C>ridcío. 7-IS, 15-17 Flujo incompresible, e c u a c i ó n d e Bemoulli,‘7-4. 7 - 6 ecuación de continuidad, 3-4 ecuación de ener ía. 10-11 ., variacibn de entaspia, t5-4 ecuación de movimiento, 3-11; 3-15. 3-17 ecUtionus dé Miación, 10-16 Flujo. isantr6pico. 15-5 ’ Flujo !tatiinar (viase tarnbicn Flujo reptante; Conveccidn forzada; Convección libre: Pfujo no-sewtoniano : . Ecuación dc movimiento) bala- & Cfhttdad de moCimNnto aplicado 8. u n a &voltura. 2 3 c a p a iimite. 4-19, 11-16. 19-15. 19-18’ con~conducci6n de calor. 9-30. ll-10,. 11.12 .,’ con difusibn. 17-20, 17-34 con reacción qqimica. 17-37. 19.15 en estado nq estacionario, 4-1, 4-4, 4-27 función de ,corriente. 4-8 Flujo no-newtoniano anlliris dimensional, 3-48 calentamiento por disipación viscosa, 9-44 ecuaci6n de Rabinowitsch, 2-36 MUailíón d$ Reiner-Ríwlin. 3-37 efecto’ Weissenberg, 3-35 en’ medios porosos. 6-29 en tubos. 2-16, 2-34, 2-39 en tubos concéntricos. 2-37 en una pelicuta descendente, 2-34 factor de fricción para tubos, 6-26 fluidos de Reiner-Riwlin. 3-34 flujo tangencial en tubos concéntricos, 3-35 junto a una pared que se pone bruscamcrrte e n movimiefito. 4-5. 4 - 2 7 modelos en coordenadas curvilíneas, 30-33 ~’ ’ @¿rdidas p o r fricci6n; 7-30 i +p principio variacional, 3-55 teoria de Eytíng. 1-29 transmisión de calor en tubos. 9-46, 9-48 velocidades medias, 7-30 Flujo p@encial, , de calor ll-14 de Ruidos. 4-12. 4-14. 4-16 Flujo reptante, alrededor de una esfera, 2-25, 6-15 deducción de la ley de Stokea. 4-1 I en el viscosimetro de plato y cono, 3-32 entre dos esferas. 3-51 principio variacional para, 3.55 Flujo turbulento en un chorro! 5-28 FBrmula de Blasius, para el R U J O turbulento en tubos. _6-8_ _---_, Fórmula de Leibnitz. para la diferenciaci6n de una integral, en tres dimensiones, A-21 en una dímensidn, 2-37 Fbrmulas de Eyring, pal9 conductividad &alorifica, 8-21 para difueividad, I6-23 para Bujo no-newtoniano. t - 13 para viscosidad, 1-27 Fotbn. 14-3 Fraccibn de huecos, 6-19 Frecuencia de radiación, 14-3 Fucrxa centrífuga, en el flujo tangenciaben tabos concéntricos, 3-26 en la difusibn de presí6n. 18-24. 18-33 en la ecuaci6n de movimiento. 3-16 en un vórtice forzado, 3-28 Fuerza de Coriolis, 3-16 Fuerza de reacción. 3’7 sobre un codo, 7-16 Fuerzas de flotación. antUisi.s dimensional. tO-33. 18-30 en el flujo entre paredes paralelas. 9-36 en el flujo junto a una Ibmina calentada, lo-23 ,.i.:; ;: z ‘” ._’ :i,‘; * ,’ -. ; “.. ., :: __ \ fNDKYEALFABÉTIC0 D E M A TER I A S zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA i’ ,. ‘.-‘ ~: p: ,;, ,,, c movim&rto. +I 10-15. 18-9 de turbulencia, 5-14, : Lcnnard-Jones. A-36 lineas, A-28, A-29 idad. ,16-14 dad. 1-17, 1-18 J, ,’ n&mero de Eckert. 10-32. 10-40 .+’ &nero de Fraude, 3-40, 1.0-32 ” n0mcro de Grashof,, 9-39, 10-33. 1 3 - 2 6 )‘. :i:i ‘, Inl)me,ro :ntIme,ro $ie,Mach. de,Mach, 10-29. 10-29, 10-40 lo-40 I,~~‘ndihero ‘nbinero de de Nusselt. 13-9, 21-10 ; ;;Jy -I, ‘i, n&&rro de:’ Prandtt, 8-18. 8-25, 10-32. 13-9, () .,, ,l’j.f.E 1+26 /._ >, ;”&&&ra de Reynolds, 2-8, 2-22, 2-25; 3-40, I ., ‘,‘*:,. 1: .1 &26.~10+32~ IJ-9 ‘j, ?’ ~‘:ir-j&kjj~o,~ da Schmidt, 16-21. 18-30. 21-12 ,:~~&&Rtiero de Stanton. 13-14. 21-12 :’ 9.: @.-qeWdn L!D, LS-!9 semejanza de von Karman, 5-8, ’ ‘de te ls&s, &21 de Ywfpres. A.2a. i lntanoidad ‘Ite tbrbulencia. 5-6 Ittturdifuxt&t ~equimolar, 18-6, 19-2 &tterfase; resistencik a l a transferencia, .: 1?+,19-36 1. Imíariantes. is&~pos, S-33, A-2S ftterxas intermoleculares 13-29, para. 16-20 Umini plana, coeficientes de transferencia a elevadas velocidades de transferencia de materia. 21-40 convr&$n,Iibrg, 10-23, 13-28 dedttceidn d e l a s a n a l o g i a s d e ChiltonColburn, 1 9 - 2 8 disolucibn- y :‘&+cci&t química, 19-15 factor de fricción, 6-25 teoría de capa limite para, 4-21. 11-16. 19-20. 21-40 - ” transm@ión de cator.‘de‘sde; t 1-16, 13.22 iaplaciana, A-13, A-ll en coordenadas curGl+as, A-28, A-zp ,, . r Leg 2; Darcy, aplicación al flujo no-newtowno, Ley de Fourier. 8-5 en coordenadas curvití~, 10-9 extensión a mezclas, 18-13 Ley do Hagen-Poisseuille, deduccion. 2-14 factor de fricción y, 6-8 Ley de Kircbhoff. 14-6 Ley de Lambert. 14-13 Ley de la resistencia de Prandtl, 6-26 Ley del desplazamiento de Wicn, 14-12 Ley del enfriamiento de Newton, 9.3, 13-3 Ley de Newton, de la viscosidad, ¡-4. 3-10 de enfriamiento, 9-3, 13-3 para el flujo alrededor de usa esfera, 6-15 Ley de Planck de la radiacibn, 14-9 Ley de Stefan-Bolt ann, 14-8, 14-9, 14-11 Ley de Stokes, 2-2$ corrección para deslizamiento, 16-22 deducción, 4-1 I efectos de pared. 6-28 factor de friccion. 6-15 ’ Ley de Wiedemann-Fanz-Lorena, 8-24 Líneas de corriente, 4-13 Lineas equipotenciales. 4- 13 : Longitud de entrada, de cantidad de movimiento, 2-16 ’ ’ “, ._ térmicq, 13-15 -’ Longitud de mezcla, ./ y densidad ,de flujo de calor, -12-6 y densidad de flujo de cantidad ,de movimiento, 5-8 y. densidad de flujo de materia, 20-4 Longitud de mezcla de Ptendtl. S-g. 12-6. 26-4 j j ..< Magnetohidrodinãmica, 18-20 Manantiales caloríficos, ,’ 8 :, de origen ehtctrico, 9-3,9-41, 9-42, EO-8, 18-20 de origen nuclear, 9-10, 9-43 ‘< de origen quimico, 9-16, 9-45. 18-18 de origen viscoso, 9-14, 9-44. lo-17 ” en la ecuación de energia, 18-8 Materiales‘ granulares (vt+rse Medios porosos; ; Columnas de relleno) Medidores de flujo, capilar, 2-34 de orificio, 7-18. 15-17 tubo de Venturi, 15-18, 15-30, 15132 Medios porosos (dase :ambiPn Columnas dq relleno) ecuaciones básicas, 4-29 flujo compresible, 4-29. 4-30 flujo no-newtoniano, 6-29 ley de Darcy. 4-29. 6-29, A-l9 Metales líquidos. coeficientes de transmisión de calor. 13+li conductividad .calorifica, 8-9 viscosidad, 1-9 Mezcla (v&ase rambih Tanques agRados), de dos corrientes de gases ideales, 15-19 en un eyector liquido-líquido, 7-14 Mezclas (dase rambih Reacciones químicas; Difusión; Procesos de separacibn; Coeficientes de transferencia de materia). A-a I N DI CE ALFAEÉT K ~ Maclas btdances macroscbpicos, 22-1 coeficientes de transferencia. 2 I-I . concentraciones, 164 conductividad caJ&+rlgca. 8-19 densidades da flujo, 16-8. 18-7 difusión en sistemas de varioa componentes, 18-27, 18-38 18-39 difusión t&mJca, 18-15, 18-17 difusividrd binaria efectiva, 18-19, 19-14 ecuaciones de variaciin. I8- I interawimíea moleculares, l6- 19 pmo molecular medio, 16-7 propiedades pseudocriticas, l-l 9 velocidades medias, 16-6, 16-5 viscosidad, 1-19. 1-23 Model<, de Ellis, 1-14 $j&i%~ Z? 234 transmisí6n de calor en un tubo, 9-45, 948 Modelo de la ley d la potencia (v¿use Modelo .de Ostwald-de daele) Modelo de Ostwalddc ‘Waele, 1-12 coordenadas cur&llneas. 3-34 lhtt3en4t; proximidades de una pared móvil, flujo ‘en medios porosos, 6-29 flujo en tubos.,2-49). 6-29 pai&metror, 1-13 ” Movilidad, 16-22, 18-16 Movimiento irrotacianal, 612 Nomenclatura, 947 i Nota&n, p a r a conceotraclones, 16-7 ,, para densidades de flujo de matarla, ‘16-8’ para las correcciones de altas velocidades de transferencia de materla. 21-13 ::’ para problemas amilo OC d9 transf&encia ,ae calor y materia. 2l- 15 2 % %nc:o :: i%tfi%%~~ 9 4 4 , ,018 Numero de Eckert. 10-32, 1Ó-40 Número de FrouQe. 340, 6-5. 6-13, 18-31 Númer de Grashof (transferencia de materia), 18-3 8> 21.11. 21.12 Número de Grashof (transmisión de calor), 9-39. 10-33, 13-26. 21-12 Numero de Mach, 10-29, 1 0 4 0 Nlmero de Nussclt (transferencia de materia)._. 21-10, 21-12 . “2~7 de Nusselt {transmisidn de calor), 13-9, -. .Numero de valgo?38 se Numero de Reynolds, en 8nUsis dimensional, 340 para kttjo no-newtoniano. 6-26 para lhja tanp. e-ti tubos concCntricos, 3-26 para tubos conc&ttricoZ, 2-22 ì‘4 para una esftra. 2-25 2: para una pellcula Qípcendente. 2-8 “’ Numero da.,&bmidt 16-21 18-30 21-12 N&rtcro dc’Bberwoo> (v& N&to de Nus8$t parn transferencia de materia) DE A.~T ERI As Objetos sumergidos, &ficjentes de trãnsferencia de materia, 21-8 f$$n’Lu d e trrnsmiaón d e calor, 134, fti dt flotaci6n, 217 6-3 fuerza resistente. 2-27, 6ill Onda de choque, 10-26 Operador nabla. A-IJ. A-27. A-2%. A-29 Otci!aCiones de un manbmetro, 7.23 Paredes compuestas, conduccibn de calor en, 9-21 Paradoja de d’AlemñCrt, 14-16 Pelkula descendente; cen viscosidad %ariable. ,41-93 difusión con reac&% qulmica, 17-37 difusibn desde unrfad aseosa, 17.20, 21-36 disolucibn de la pared, P 7+4 en el vaciado de un vaso. 2-38 en sistemas condensantes, 13-30, .l3-3 espesor de, 2-7, ” flujo laminar, 24 flujo ltQ-newtdii~~i ,&34 n o isot&mlca. ltJ-W I sobre un cono, 3-M transmisión de ‘~orS~lM3 Película estanca&& cond&nsaci&t. ,f8-20, ,lg-33 ¿lifus@, 174. :l%Sl ” en~~3tento ,por Jranspiraaion. 10-20. 10-37, evapomct6n; i7%3* ‘, pelk& csf6ricancr &sot&mica, 17.9 teorla de peIlcula.. f%8, 21-24, 21-53 Perfiles de concentraqion, a partir de balehar de:cnvoltura, 17-3 a partir de la teoria de capa límite, 19-11 _a 19q5, 19-18 a par& de la teorla de pelkuta, 21-25 8 partir de’ Ia. teotia do penetracido. 21-36 a partir de las ecuaciones de vatiacion. 18-20 por analoghi con perlllek de temperatura, 19-2, 21-12 Perãles de temperatun, a partir de balances de envoltuta, 9-2 a partir de las ecuaciones de variacidn, 10-13 en el flujo potencial bidimensional. J 1-14 teorla de capa limite. 11-16, 19-18 teorla de pelkula; 21-24 teoría de penetra&n, 21-36 PerIlles de velocidad, 8 partir de balances de envolturas. 2-3 a partir de las ecuaciones de variación, 3-23 en convecci6n libre, 9-36. LO-23 teoría de capa limite, 4-19, 19-18. 2140 teoría de pellcula. 21-24 P&didas por fricci6n. analisis dimensional, 7-7 en el flujo no-newtoniano, 7-30 e n u n ensanchamiento’brttsco, 7-12 Pllstico de Bingham. 1-12 en coordenadas curvillneas. ,3-34 Rujo axial en tubos condntricos. 2-37 flujo en una película descendente, 2-34 flUjO en un tubo, 2-16, fi”p .tantial en tubos conc&icos, 3-36 w7jgde es medias pam el \gujo en un tubo, . INDICE ALFABETICO parámetros, 1-12 Polarización de concentración, 18-26, 18-33 Polarización de electrodo, 18-26, 18-33 Potencia necesaria, en un tanque agitado, 6-27 nara fluio compresible en una tubería, 15-13. 1%29para flujo incompresible en una tubería, 7-1 I Potencial complejo, 4-13 Potencial de Lennard-Jones, funciones oara el cálculo de . orooiedades de . transporte, A-36 parámetros a partir de las propiedades criticas, 1-23 para moltculas diferentes, 16-19 para’ moleculas semejantes, 1-23 tabla de oarámetros. A-34 Potencial de velocidad; 4-12 Primera ley de Fick. generalización, 18-14 resumen tabulado, 16-10 velocidad~volumetrica media, 16-27 Pri&pips.variaciõnales, 3-54, ll-18 Principio variacional de Helmholtz, 3-55 Problema de Graetz-Nusselt, 14-10, 13-17 Procesos de separación, absorción de gases, 17-24, 19-32, 22-8 absorción en películas descendentes, 17-20, 17-30, 17-37 difusión forzada, 18-25 difusión de barrido, 19-15 difusión de presión, 18-24, 18-33 difusión térmica, 18-22 helio a partir de gas natural, 17-31 Procesos irreversibles, 3-13, 10-6 ecuación de entropia, lo-44 termodinámica de, 18-11 Productos di&dicos, A-l6 Propiedades críticas, de mezclas, 1-19 fuerzas intermoleculares y. 1-23 tabla, A-34 Propiedades de transporte (véase fambih Viscosidad; Conductividad calorífica; Difusividad; Relación de difusión termita), teoria cinetica de gases, 1-20, 8-14, 16-16 teoria cinetica de lfquidos, 1-27, 8-21, 16-32 Psicrómetro, 21-15, 21-34 Punto de estancamiento, 4-16, 4-27 Radiación, distribucibn de Planck, 14-9 efecto en psicrometria, 21-51 en la ecuación de energía, 14-26 entre cuerpos negros, 14-13 entre cuerpos no negros, 14-20 escudos de, 14-22, 14-30 espectro de, 14-2 ley de Beer, 14-27 ley de Lambert, 14-13 ley del desplazamiento de Wien, 14-12 ley de Stefan-Boltzmann, 14-8 transporte de energla en medios absorbentes, 14-25 Radiación de cavidad, 14-5 Radio hidraulico medio, en lechos de relleno, 6-17 DE MATERIAS A-69 para flujo laminar, 6-26 para flujo turbulento? 6-9. 6-26 para perdidas por fracción, 7-9 para transmisión de calor, 13-14 Reacciones químicas, autocatalíticas, 19-34 constantes de velocidad para, 17-2 controladas por difusión, 17-13 desprendimiento de calor, 9-16, 18-10, 22-6 en capas limite, 19-15 en el flujo a traves de una boquilla, 21-13 en flujo turbulento, 20-3 en los balances macroscópicos, 22-6 en sistemas de difusión, 17-11, 17-33, 18-39 en una película descendente, 17-37 factor de eficacia para, 17-25 heterogeneas, 17-2, 17-11. 17-34, 18-27, 18-39 homogtneas, 17-2, 17-14, 17-37, 19-7, 19-8, 19-15, 19-32, 19-34. 1 9 - 3 5 orden de, 17-2 termino de la ecuación de continuidad, 18-2 Reacciones químicas heterogéneas, definición, 17-2 en sistemas binarios de difusión, 17-11 en sistemas ternarios de difusión, 18-27 Reacciones químicas homogéneas, definición, 17-2 . en la capa límite, 19-15 en sistemas autocatalíticos. 19-34 en sistemas binarios de dif&& 17-14, 19-7, 19-8. 19-32 en una pelicula descendente, 18-1 Reactores químicos, balance de energía, 22-6 conductividad axial de calor, 9-17 efectos de la transferencia de materia, 21-47 operación en estado no estacionario, 22-28 Recorrido libre medio, y fenómenos de transporte, 1-21, 8-14. 16-17 v ondas de choaue. lo-29 Relaciones de Chihon-Colburn, deducidas por el m6todo de capa limite, 19-28 para columnas de relleno, 13-24, 21-48 para transferencia de calor y cantidad de movimiento: 13-14. 13-16 para transíerencia de calor y materia, 21-13, 21-17. 21-47 Rendija, factor de fricción, 6-25 flujo laminar, 2-30 relacidn con una sección anular, 2-37 Reología (vPase Flujo no-newtoniano), 1-10 Resistencia, coeficientes de transferencia de materia, 21-20 coeficientes de transmisión de calor, 9-23, 13-5 tIuf2fe calor a travCs de paredes compuestas, inte-rfacial, 13-29 17-4 19-36 resistencia de fo;ma, 5-27, 6-11 resistencia de fricción, 2-27. 6-11 Rotación de un liquido, forma de la superficie, 3-27 vórtice. 3-40, 4-28 Rotacional, A-l2 en coordenadas curvilíneas, A-28, A-29 integral de superficie, A-21 A-l0 ‘lhg ì ÍNDICE ALFABETKO DE .M'AT-.EIUAS Segunda ley de Fick, analogía con conducción de calor, 19-2 deducción. 18-6 desviacionés e n evaporacii>n, 19-6 Símbolos, A-47 Sistema autocatalitico, tamaño crítico de, 19-34 Sistemas de varios componentes (vPnse Mezclas) Superficie específica, 6-19 Tanque agitado, absorción de un gas con reacción química, 17-16 análisis dimensional, 3-40, 6-27 calentamiento de un fluido, 10-32, 15-19, 15-36 control de temperatura, 15-19, 15-36 mezcla de fluidos miscibles, 18-31 mezcla imperfecta, 22-27 potencia comunicada,, 6-27 profundidad de vórtice, 3-40 reacción irreversible de segundo orden, 22-25 transmisión de calor por convección forzada, 10-32 Temperatura, de estancamiento. 15-36 de mezcla adiatiiica, 9-36 errores de medida, 9 - 2 9 , 14-29, 21-51 fluctuaciones, 12-1 Temperatura global (media), 9-36 Temperatura media, aara el fluio en un tubo. 9-36 iara l a ekisividad efectiia, 14-30 Tensores, coordenadas curvilineas, A-Z2 diadas unitarias, A-l 7 diferenciación, A-l 9 invariantes, 3-33, A-25 multiplicación, A-l8 tensores unitarios, A- 16 Tensor esfuerzo, 3-8 en coordenadas curvilineas, 3-21, 3-22 en flujo turbulento, 5-7 para fluidos newtonianos, 3-9 para fluidos no-newtonianos, 3-33 simetría, 3-47 Teorema de Buckingham, 6-5, 13-10 Teorema de Gauss-Ostrogradskii, A-20 Teorema del análisis dimensional, 6-5, 13-10 Teorema de Stokes. A-21 Teoría cinética, de gases a baja densidad, 1-20, 8-14, 16-16 de líquidos, 1-27, 8-21, 16-22 Teoria cintitica ee Chapman-Enskog, para la conductividad calorífica, 8-16 ‘para la difusividad, )6-19 ’ para la viscosidad, 1-22 TeoriA de película del tranlporte de interfase, .-. 2]-24...,.. < ” comparacióh,,con.‘otras‘ teorías, 21-43, 21-44 con pfogiedades de transporte variables, 21-53 Teori,a de penetración, cálculo de coeficientes de transferencia, 21-36 comparacióri, con otras teorias, 21-43, 21-44, -.21-45 . ’ difusión en Lia pelíctih descendente, 17-20, ,’ 17-37 : :, Termodinámica de los procesos irreversibles, 10-44, 18-12 Tiempo de vertido, 7-20, 7-31, 7-33 Transferencia de materia por conveccióo forzada, análisis dimensional, 18-28, 21-8 analogías con transmisión de calor, 19-2, 21-8 coeficientes de transferencia de materia, 21-2 coeficientes globales de transferencia de materia, 21-20 efecto de altas velocidades de transferencia de materia, 21-22, 21-24, 21-36, 21-40 en lechos granulares, 21-47 Rujo a lo largo de una lámina plana, 19-15, 19-18, 21-43, 21-44 película descendente, 17-20, 17-34, 17-37 Transferencia de materia por convección libre, análisis dimensional, 18-30 analogia con transmisión de calor, 21-11, 21-12 Transferencia simultánea de calor y materia, analogias, 21-12 densidad de fluio de energía. 18-13 en el enfriamiento por t&piración, 10-20, 10-37, 10-39, 19-33, 21-3 en la condensación en uelícula, 18-20 18-35 flujo a lo largo de una lámina plana, 19-18 Transferencia simultánea de calor. materia v cantidad de movimiento, propiedades fisicas medias, 21-46, 21-53 relaciones de Chilton-Colburn, 13-14, 13-17 sistemas de varios componentes, 21-45 teoría de capa limite, 21-40 teoria de pelicula. 21-24 teoria de penetración, 21-36 Transmisión de calor por convección forzada, análisis dimensional, 10-31, 10-40, 13-8 coeficientes de transmisión de calor, 13-8, 13-20, 13-24 coeficientes globales de transmisión de calor, 9-23,, ,I3-5 con dlslpación viscosa, 9-14, 9-44, lo-17 definición, 9-30 efecto de altas velocidades de transferencia de materia, 21-22, 21-24, 21-36, 21-40 en el enfriamiento por transpiración, 10-20, 10-37, 10-39, 19-33, 21-3 en lechos granulares, 9-18, 13-24 en películas descendentes, lo-43 en tanques agitados, lo-32 en tubos, 9-30, 9-46, II-I 1, 11-12, 12-14, 13-36 flujo a lo largo de una lámina plana, 10-16, 11-23, 19-18 problema de Graetz-Nusselt, Il-10 Transmisión de calor por convección libre, análisis dimensional, 10-33, lo-41 coeficientes de transmisión de calor, 13-25 definición, 9-30 Rujo entre paredes paralelas, 9-36 junto a una lámina vertical, 10-23 pérdida de calor desde esferas, 13-36 pé;cl;di de calor desde tubos, 13-28, 13-38, Tubos circulares, coeficientes de transferencia de materia, 21-8, 21-50 coeficientes de transmisión de calor, 13-6. 13-8 Í N DI CE ALFABET I CO coeficientes globales de transmisión de calor, 9-24 difusión turbulenta, 20-5 ecuación de Rabinowitsch, 2-36 factores de fricción, 6-2, 6-3, 6-26 flujo compresible, 15-13, 15-29, 15-30, 15-36 flujo con deslizamiento, 2-36 flujo con paredes rugosas, 6-8 flujo laminar, 2-10, 3-23 flujo laminar no estacionario, 4-4 Rujo no-newtoniano, 2-16, 2-34 flujo turbulento, 5-2, 5-10, 5-25, 6-8 flujo viscoekstico, 3-52 longitud de entrada, 2-15 transferencia turbulenta de materia, 20-5 tra,n;tn;slon laminar de calor, 9-30, ll-ll, trag?;;isión no-newtoniana de calor, 9-46, transmisión turbulenta de calor, 12-6 Tubos concentricos, conducción de calor en, 9-43 factores de fricción para flujo turbulento, 6-29 flujo con movimiento axial del cilindro interior, 2-34 flujo laminar en, 2-18 flujo laminar no estacionario, 4-31 flujo no-newtoniano, 2-37 flujo radial, 3-50 fluio tangencial con calentamiento viscoso. ío-17 flujo tangencial de Bingham, 3-36 flujo tangencial newtoniano, 3-25, 3-46 número de Revnolds oara. 2-21. 3-26 perfiles de velócidad,’ ‘5-26’ ’ relación con una rendija plana, 2-37 transporte de energía radiante, 14-30 Tubo de Venturi, 15-17, 15-30, 15-32 Turbulencia (véase fnmbién Coeficientes de transferencia) distribuciones logaritmicas, J-l 1, 12-10, 20-5 ecuaciones de Corrsin, 12-12, 20-8 en torres de relleno, 6-22 en tubos, 5-2, 5-10, 6-8 factor de fricción para tubos, 6-26 factores de fricción oara tubos conckntricos, 6-29 funciones de correlación, 5-14, 12-11, 20-8 homogbnea, 5-15, 12-11, 20-8 intensidad de, 5-6 isotrópica, 5-6, 5- 15 magnitudes fluctuantes, 5-3, 12-3, 20-3 microescala de Taylor, 5-22 radio hidráulico medio, 6-9 teorías semiemplricas, 5-8, 12-5, 20-3 D E M A T E R I A S A-7 1 Unidades y factores de conversión, A-37 Vectores, comprobación de identidades, A-l 1 coordenadas curvilineas, A-22 notación A-3 operaciones diferenciales, A-l I operaciones elementales, A-4, A-9 producto diádico, A-l6 vectores unitarios, A-8 Velocidad, en sistemas de difusión, 16-5 media en una conducción, 2-14, 7-3 media en mezclas, 16-5 molecular, 1-20 superficial, 6-18, 13-24 Velocidad del sonido, lo-42 conductividad calorífica y, 8-23 Velocidad final, 2-28, 6-3 Velocidad másica, 6-2 1, 13-25 Velocidad media, de moléculas de un gas a baja densidad, 1-20 en mezclas, 16-4 en tubos concéntricos, 2-21 en una pelicula descendente, 2-7 para el flujo en un tubo, 2-14 para el flujo no-newtoniano, 7-30 Velocidad media de masa, 16-4 Velocidad media molar, 16-5 Velocidad molecular, 1-32 Velocidad superfiCial, 6-18 Velocidad volumétrica media, 16-5 Vertido de liquidos, 2-38, 7-20, 7-31, 7-33 Viscosidad, 1-4, 3-10, lo-12 cinemática, 1-6 de gases a baja densidad, 1-20 de mezclas, 1-19, 1-26 de remolino, 5-8 determinación, 2-15 factores de conversión, A-42 global, 3-10, lo-12 gráfica generalizada, 1-17, 1-18 tabla de viscosidades críticas. A-34 teoría de Eyring, 1-27 valores experimentales, 1-8 variación con la temperatura y la presión, 1-16 Viscosímetros, correcciones, 7-31 de cilindros coaxiales, 3-45 de plato y cono, 3-30, 3-52 Vórtice, en el vaciado de un tanque, 3-48 en un tanque agitad forzado, 3-29, 4-28 libre, 4-28