4.1 Introducción

4. Diferencias Finitas 4 Diferencias Finitas 4.1 Introducción La técnica de las diferencias finitas fue la primera técnica que surgió para resolver problemas prácticos en ingeniería. Hoy en día ésta técnica ya está obsoleta con lo respecta a solución de ecuaciones en derivadas parciales, por ejemplo, solución de problemas vigas, placas, etc. Pero la técnica de diferencias finitas es hasta hoy bastante utilizada a la hora de la integración numérica en el tiempo. 4.2 Método de las Diferencias Finitas Consideremos una función y = y (x) , definimos la derivada de y con respecto a x como: y′ = dy y ( x + ∆x ) − y ( x ) ∆y = lim = lim dx ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x (4.1) donde y ′ indica la pendiente de la función en el punto x . yi y ( x) yi′ y xi Figura 4.1: Derivada de una función. x DIFERENCIAS FINITAS 354 Cuando ∆x no tiendo más a cero y sí a un valor finito, ver Figura 4.2, la derivada en un punto xi se puede definir de varias formas. Si utilizamos el punto que está a la izquierda ( y i −1 ), diferencia finita por la izquierda, tenemos que: y − y i −1  ∆y  y i′ I =   = i ∆x  ∆x  i (4.2) o utilizando el punto que está a la derecha ( y i +1 ),diferencia finita por la derecha, obteniendo así que: y − yi  ∆y  y i′ D =   = i +1 ∆x  ∆x  i (4.3) donde denominamos que y ( x i −1 ) = y i −1 , y ( xi ) = y i , y ( x i +1 ) = y i +1 . Como podemos ver en la Figura 4.2, al utilizar esta técnica estamos obteniendo un valor aproximado de la derivada de la función, cuando ∆x → 0 obtenemos así el valor exacto de dicha derivada. y i′ I -valor aproximado. y (por la izquierda) yi y i′ C -valor aproximado. y i −1 (centrada) yi′ -valor real y i +1 y ( x) y i′ D -valor aproximado. (por la derecha ∆x xi −1 ∆x xi xi +1 x Figura 4.2: Derivada de una función por diferencia finitas. Podíamos aún plantear otra posibilidad para obtener la derivada de la función en el punto xi , a través de los puntos que están a derecha y a la izquierda del punto, diferencia finita centrada: y − y i −1  ∆y  y i′ C =   = i +1 2∆x  ∆x  i (4.4) Como podemos verificar a través de la Figura 4.2, la diferencia finita centrada se aproxima más al valor exacto. Verificamos también que la diferencia finita centrada, para la primera derivada, es el valor promediado de la diferencia finita por la izquierda y por la derecha: Diferencias Finitas Universidad de Castilla-La Mancha Por: Eduardo W. V. Chaves (2010) DIFERENCIAS FINITAS 355 y ′ D + y i′ I y i +1 − y i −1  ∆y  =   = i 2 2∆x  ∆x  i (4.5) Análogamente podemos definir derivadas de orden superior, por ejemplo la derivada segunda: ∆  ∆y  d2y = lim   = lim 2 ∆x →0 ∆x  ∆x  ∆x → 0 dx y ( x + ∆x ) − y ( x ) y ( x ) − y ( x + ∆x ) − ∆x ∆x ∆x (4.6) Diferencia finita por la izquierda: I  ∆2 y  ∆  ∆y  ∆  y i − y i −1  1  ∆y i ∆y i −1    =  ∆x 2  ∆x  ∆x  = ∆x  ∆x  = ∆x  ∆x − ∆x       i = = 1  y i − y i −1 y i −1 − y i − 2  −   ∆x  ∆x ∆x  y i − 2 y i −1 + y i − 2 (4.7) ∆x 2 Diferencia finita por la derecha: D  ∆2 y  ∆  ∆y  ∆  y i +1 − y i  1  ∆y i +1 ∆y i    =    ∆x 2  ∆x  ∆x  = ∆x  ∆x  = ∆x  ∆x − ∆x       i = = 1  y i + 2 − y i +1 y i +1 − y i  −   ∆x  ∆x ∆x  y i + 2 − 2 y i +1 + y i (4.8) ∆x 2 Utilizando la técnica de diferencia finita centrada la derivada segunda la podemos aproximar por:  ∆2 y     ∆x 2  =  i 4.2.1 y i +1 − y i y i − y i −1 − y − 2 y i + y i −1 ∆x ∆x = i +1 ∆x ∆x 2 (4.9) Diferencia Finita por la Izquierda A continuación definiremos una forma automática de obtener los operadores ∆y, ∆2 y, L cuando utilizamos la técnica de diferencia finita por la izquierda. Como hemos visto anteriormente para la primera derivada tenemos que ∆y = y i − y i −1 , ver expresión (4.2). Si queremos obtener el operador de la segunda derivada utilizando los puntos que están a la izquierda de xi :  ∆2 y  ∆  ∆y  ∆  y i − y i −1  ∆y i − ∆y i −1    ∆x 2  = ∆x  ∆x  = ∆x  ∆x  = ∆x 2   i  (4.10) Aplicando una vez más la definición de derivada por la izquierda tenemos que ∆y i = y i − y i −1 y ∆y i −1 = y i −1 − y i − 2 y reemplazando en la expresión anterior obtenemos que: Diferencias Finitas Universidad de Castilla-La Mancha Por: Eduardo W. V. Chaves (2010) DIFERENCIAS FINITAS 356  ∆2 y  ∆y i − ∆y i −1 ( y i − y i −1 ) − ( y i −1 − y i − 2 ) ( y i − 2 y i −1 + y i − 2 )   = =  ∆x 2  = ∆x 2 ∆x 2 ∆x 2 i  (4.11) Luego definimos el operador ∆2 y = y i − 2 y i −1 + y i − 2 para el caso de diferencia finita por la izquierda. Una forma automática de obtener el operador es a través de la Figura 4.3. ∆2 y ∆y ∆3 y ∆4 y yi ∆y i ∆2 y i y i −1 ∆3 y i ∆y i −1 (−) y i −2 ∆2 y i −1 ∆4 y i ∆3 y i −1 ∆y i − 2 ∆2 y i − 2 y i −3 ∆y i −3 yi −4 Figura 4.3: Diferencia finita por la izquierda. Por ejemplo, para obtener el operador ∆4 y a través de la Figura 4.3 localizamos el valor ∆4 y i y vamos restando los valores tal y como se indica a continuación: ( ) ( ) ∆4 y = ∆3 y i − ∆3 y i −1 = ∆2 y i − ∆2 y i −1 − ∆2 y i −1 − ∆2 y i − 2 = ∆2 y i − 2∆2 y i −1 + ∆2 y i − 2 = (∆y i − ∆y i −1 ) − 2(∆y i −1 − ∆y i − 2 ) + (∆y i − 2 − ∆y i −3 ) = ∆y i − 3∆y i −1 + 3∆y i − 2 − ∆y i −3 (4.12) = ( y i − y i −1 ) − 3( y i −1 − y i − 2 ) + 3( y i − 2 − y i −3 ) − ( y i −3 − y i − 4 ) = y i − 4 y i −1 + 6 y i − 2 − 4 y i −3 + y i − 4 Con eso podemos definir la cuarta derivada a través de la diferencia finita por la izquierda como:  ∆4 y  y i − 4 y i −1 + 6 y i − 2 − 4 y i −3 + y i − 4    ∆x 4  = ∆x 4  i Diferencias Finitas Universidad de Castilla-La Mancha (4.13) Por: Eduardo W. V. Chaves (2010) DIFERENCIAS FINITAS 4.2.2 357 Diferencia Finita por la Derecha A continuación definiremos una forma automática de obtener los operadores ∆y, ∆2 y, L cuando utilizamos la técnica de diferencia finita por la derecha. Como hemos visto anteriormente para la primera derivada tenemos que ∆y = y i +1 − y i , ver expresión (4.3). Si queremos obtener el operador de la derivada segunda utilizando los puntos que están a la izquierda de xi :  ∆2 y  ∆  ∆y  ∆  y i +1 − y i  ∆y i +1 − ∆y i    ∆x 2  = ∆x  ∆x  = ∆x  ∆x  = ∆x 2   i  (4.14) Aplicando una vez más la definición de derivada por la derecha tenemos que ∆y i +1 = y i + 2 − y i +1 y ∆y i = y i +1 − y i y reemplazando en la expresión anterior obtenemos que:  ∆2 y  ∆y i +1 − ∆y i ( y i + 2 − y i +1 ) − ( y i +1 − y i ) ( y i + 2 − 2 y i +1 + y i )   = =  ∆x 2  = ∆x 2 ∆x 2 ∆x 2 i  (4.15) Luego definimos el operador ∆2 y = y i + 2 − 2 y i +1 + y i para el caso de diferencia finita por la derecha. Observemos que solo utilizamos puntos que están a la derecha del punto xi . Una forma automática de obtener el operador es a través de la Figura 4.4. ∆y ∆2 y ∆3 y ∆4 y yi ∆y i ∆2 y i y i +1 ∆3 y i ∆y i +1 (−) yi +2 ∆2 y i +1 ∆4 y i ∆3 y i +1 ∆y i + 2 ∆2 y i + 2 y i +3 ∆y i +3 yi +4 Figura 4.4: Diferencia finita por la derecha. Diferencias Finitas Universidad de Castilla-La Mancha Por: Eduardo W. V. Chaves (2010) DIFERENCIAS FINITAS 358 Por ejemplo, para obtener el operador ∆3 y a través de la Figura 4.4 es suficiente hacer: ∆3 y = ∆2 y i +1 − ∆2 y i = (∆y i + 2 − ∆y i +1 ) − (∆y i +1 − ∆y i ) = ∆y i + 2 − 2∆y i +1 + ∆y i (4.16) = ( y i + 3 − y i + 2 ) − 2( y i + 2 − y i +1 ) + ( y i +1 − y i ) = y i + 3 − 3 y i + 2 + 3 y i +1 − y i Con eso podemos definir la tercera derivada a través de la diferencia finita por la derecha como:  ∆3 y  y i +3 − 3 y i + 2 + 3 y i +1 − y i    ∆x 3  = ∆x 3 i  4.2.3 (4.17) Diferencia Finita Centrada La diferencia finita centra utiliza los puntos que están localizados simétricamente con referencia al punto considerado. A continuación definiremos una forma automática de obtener los operadores ∆y, ∆2 y, L cuando utilizamos la técnica de diferencia finita centrada. Una forma automática de obtener el operador es a través de la Figura 4.4. ∆y ∆2 y ∆3 y ∆4 y yi+2 ∆y i + 3 / 2 yi +1 ∆yi +1 ∆2 y i +1 ∆3 y i +1 / 2 ∆y i +1 / 2 yi ∆yi ∆2 y i ∆yi −1 ∆4 y i ∆3 y i −1 / 2 ∆y i −1 / 2 y i −1 ∆3 yi +1 ∆2 y i −1 ∆y i −3 / 2 y i −2 Figura 4.5: Diferencia finita centrada. Diferencias Finitas Universidad de Castilla-La Mancha Por: Eduardo W. V. Chaves (2010) DIFERENCIAS FINITAS 359 En la Figura 4.5 la expresión ∆y i +3 / 2 caracteriza la diferencia finita tomada en el punto entre xi +1 y xi + 2 . Por ejemplo, para obtener la primera derivada, en la Figura 4.5 localizamos ∆y i que está comprendido entre ∆y i +1 / 2 y ∆y i −1 / 2 y sacamos el promedio: ∆y i +1 / 2 + ∆y i − 2 ( y i +1 − y i ) + ( y i − y i −1 ) y i +1 − y i −1 = = 2 2 2 y − y y ∆   i −1 ⇒   = i +1 x ∆ x 2 ∆  i ∆y i = (4.18) Según la Figura 4.5, para la segunda derivada ∆2 y i = ∆y i +1 / 2 − ∆y i −2 , luego: ∆2 y i = ∆y i +1 / 2 − ∆y i − 2 = ( y i +1 − y i ) − ( y i − y i −1 ) = y i +1 − 2 y i + y i −1  ∆2 y  y − 2 y i + y i −1 ⇒  2  = i +1 ∆x 2  ∆x  i (4.19) Análogamente para la tercera derivada: ∆3 y i +1 / 2 + ∆3 y i − 2 (∆2 y i +1 − ∆2 y i ) + (∆2 y i − ∆2 y i −1 ) = 2 2 2 2 ∆ y i +1 − ∆ y i −1 [∆y i +3 / 2 − ∆y i +1 / 2 ] − [∆y i −1 / 2 − ∆y i −3 / 2 ] = = 2 2 [( y − y i +1 ) − ( y i +1 − y i )] − [( y i − y i−1 ) − ( yi −1 − y i −2 )] = i+2 2 y i + 2 − 2 y i +1 + 2 y i −1 − y i − 2 = 2 ∆3 y i = (4.20) Luego:  ∆3 y  y i + 2 − 2 y i +1 + 2 y i −1 − y i − 2    ∆x 3  = 2∆x 3 i  (4.21) Observemos que cuando utilizamos diferencia finita centrada para las derivadas de orden impar aparece en el denominador 2 . NOTA: Para la diferencia finitas de orden pares, ∆2 y, ∆4 y, ∆6 y, L , los coeficientes son los mismos coeficientes de la expresión binomial (a − b) n , por ejemplo (a − b) 2 = 1a 2 − 2ab + 1b 2 (4.22) con lo cual, los coeficientes son (1,−2,1) . Análogamente (a − b) 4 = 1a 4 − 4a 3 b + 6a 2 b 2 − 4ab 3 + 1b 4 (4.23) y los coeficientes son (1,−4,6,−4,1) Diferencias Finitas Universidad de Castilla-La Mancha Por: Eduardo W. V. Chaves (2010) DIFERENCIAS FINITAS 360 4.3 Diferencia Finita para Derivada Parcial Consideremos ahora la función z = z ( x, y ) . Las derivadas parciales la podemos aproximar utilizando la técnica de diferencia finita centrada como: z i +1, j − z i −1, j  ∂z  ;   ≈ 2∆x  ∂x  i , j ∂ 2 z z i +1, j − 2 z i , j + z i −1, j ≈ ∂x 2 ∆x 2 z i , j +1 − z i , j −1  ∂z    ≈ ; 2∆y  ∂y  i , j ∂ 2 z z i , j +1 − 2 z i , j + z i , j −1 ≈ ∂y 2 ∆y 2 (4.24) Las derivadas parciales:  ∂2z   ∂  z i +1, j − z i −1, j  ∂ ∂ ∂z 1 ∂  =   ≈  z i +1, j − z i −1, j  =    ∂y∂x  ∂y 2∆x   i , j ∂y  ∂x  ∂y    2∆x  ∂y (  ∂2z  1    ∂y∂x  ≈ 4∆x∆y z i +1, j +1 − z i +1, j −1 − z i −1, j +1 + z i −1, j −1   i, j ( ) ( ) (4.25) ) y i−2 i −1 i +1 i i+2 j+2 ∆y j +1 i, j + 1 ∆y i − 1, j ∆y i, j i + 1, j j j −1 i, j − 1 ∆y j−2 ∆y ∆x ∆x ∆x ∆x x ∆x Figura 4.6: Diferencia finita.  ∂2z   Podemos también expresar en forma de operador la derivada    ∂y∂x  i , j Diferencias Finitas Universidad de Castilla-La Mancha como: Por: Eduardo W. V. Chaves (2010) DIFERENCIAS FINITAS  ∂2 z   = 4hk   ∂ ∂ y x  i, j 361 −1 0 1 0 0 0 i, j 1 −1 0 donde hemos adoptado ∆x = h , ∆y = k . Análogamente  ∂4z   ∂y 2 ∂x 2   ∂2 =  ∂y 2   ∂2z  ∂2    ∂x 2  = ∂y 2    z i +1, j − 2 z i , j + z i −1, j    h2   (4.26)  ∂ z   ∂y 2 ∂x 2  4  1 =  h2k 2    z i +1, j +1 − 2 z i +1, j + z i +1, j −1 − 2 z i , j +1    + 4 z i , j − 2 z i , j −1 + z i −1, j +1 − 2 z i −1, j + z i −1, j −1    La expresión anterior en forma de operador queda:  ∂4z  4h 2 k 2  2 2  =  ∂y ∂x  i , j 1 −2 1 −2 4 −2 i, j 1 −2  ∆2 y  Como visto en el apartado de diferencia finita  2  =  ∆x  i derivada parcial se puede representar por: z i +1, j − 2 z i , j + z i −1, j  ∂2z     ∂x 2  = ∆x 2   i, j Diferencias Finitas Universidad de Castilla-La Mancha 1 y i +1 − 2 y i + y i −1 ∆x 2 , con lo cual, la (4.27) Por: Eduardo W. V. Chaves (2010) DIFERENCIAS FINITAS 362 Análogamente z − 2 z i , j + z i , j −1  ∂2z    = i , j +1  ∂y 2  ∆y 2   i, j (4.28) Con eso, el Laplaciano ∇ 2 z queda: z i , j +1 − 2 z i , j + z i , j −1 z i +1, j − 2 z i , j + z i −1, j  ∂2z   ∂2z  + ∇ 2 z =  2  +  2  ≈ ∆x 2 ∆y 2  ∂x  i , j  ∂y  i , j (4.29) Ejemplo de aplicación Consideremos la siguiente ecuación en derivadas parciales ∇2 z = − q S (4.30) donde z representa la deformación de la membrana, cuyo valor en el borde de una sección es igual a cero. Consideremos una sección cuadrada de lado b = 6h como indica la Figura 4.7. Obtener el desplazamiento de la membrana z en la sección dada. z=0 z=0 z=0 1 2 3 2 z=0 2 4 5 5 z=0 3 5 6 5 z=0 z=0 h h h h 5 h h h h h h h h Figura 4.7: Malla de diferencia finita. Solución: Podemos aprovechar la simetría de la sección y analizar solamente un cuarto de la sección. Además en este cuarto de sección habrá puntos que tendrán los mismos desplazamientos, con lo cual solo será necesario analizar la mitad del cuarto de sección, ver Figura 4.7. Como visto anteriormente podemos aproximar el Laplaciano a través de diferencia finita como: Diferencias Finitas Universidad de Castilla-La Mancha Por: Eduardo W. V. Chaves (2010) DIFERENCIAS FINITAS ∇ 2 z ≈ z i , j +1 + z i , j −1 + z i +1, j + z i −1, j − 4 z i , j = 363 − h2q S (4.31) donde hemos considerado que ∆x 2 = ∆y 2 = h 2 . El operador puede ser representado por: 1  ∂4z   2 2 =  ∂y ∂x   i , j −4 1 = −h 2 1 i, j q S 1 Aplicando este operador en los puntos de la malla ( 1,2, L ,6 ), señalados en la Figura 4.7, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:  − 4 z1  z  1       + 2z 2 − 4z 2 + 2z 2 + z3 − 4z3 + 2z 2 z3 + z4 + z5 − 4z 4 + 2z 4 + 2 z5 − 4z5 4 z5  1  1    − h 2 q 1 =  S 1  1 + z6    1 − 4 z 6  (4.32) Reestructurando el sistema anterior obtenemos que: 0 0 0 0   z1  − 4 2 1    1 −4 1  1 1 0 0 z 2     0 2 −4 0 1 0   z 3  − h 2 q 1    =  2 0 −4 2 0 z 4  S 1  0  0 1 0 1 2 − 4 1 z5      1 0 0 0 4 − 4  z 6   0 (4.33) Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtenemos que: h2q h2q h2q ; z 2 = 1,4035 ; z 3 = 1,53846 S S S 2 2 h2q h q h q z 4 = 2,1250 ; z 5 = 2,34615 ; z 6 = 2,59615 S S S z1 = 0,95192 Diferencias Finitas Universidad de Castilla-La Mancha (4.34) Por: Eduardo W. V. Chaves (2010)