Índice general

Índice general 1. El paso de los racionales a los reales 1.1. Incompletitud de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Incompletitud geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Otras evidencias de la incompletitud de los racionales 1.1.3. Versión analítica de la incompletitud de Q . . . . . . . 1.2. Axiomatización de los números reales . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Axiomas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Cálculo de cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Una copia de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Completitud de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Consecuencias de la completitud de R . . . . . . . . . 1.3.2. Existencia de raíz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Los números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Sumatorias, conteo y existencia de raíces . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Repaso de sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Propiedades de las sumatorias . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Combinatoria y fórmula del binomio . . . . . . . . . . 1.4.4. Un poco de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5. Existencia de raíces. El caso general . . . . . . . . . . 1.4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 5 5 6 6 10 11 13 14 16 17 18 21 23 24 24 25 25 27 28 30 32 33 2. Sucesiones Numéricas 2.1. Introducción . . . . . . . . . . 2.2. Conceptos básicos . . . . . . 2.2.1. Sucesiones monótonas 2.2.2. Rango de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 35 35 36 37 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2.3. Sucesiones acotadas . . 2.2.4. Colas de una sucesión . 2.2.5. Ejercicios . . . . . . . . 2.3. Convergencia y divergencia . . 2.3.1. De…nición y propiedades 2.3.2. Divergencia a in…nito . 2.3.3. Cálculo de límites . . . 2.3.4. Otras propiedades . . . 2.3.5. Ejercicios . . . . . . . . 2.4. Tópicos adicionales . . . . . . . 2.4.1. Sucesiones recurrentes . 2.4.2. El número de Euler . . 2.4.3. Subsucesiones . . . . . . 2.4.4. Puntos límite . . . . . . 2.4.5. El l m sup y el l m nf . 2.4.6. Sucesiones de Cauchy . 2.4.7. Ejercicios . . . . . . . . 2.5. Un barniz de series . . . . . . . 2.5.1. La serie geométrica . . . 2.5.2. Otras series . . . . . . . 2.5.3. La serie armónica . . . . 2.5.4. Series telescópicas . . . 2.5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Expansiones 3.1. Expansiones decimales . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. De…nición y ejemplos . . . . . . . . . . 3.1.2. Aritmética con expansiones decimales 3.1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Expansiones en otras bases . . . . . . . . . . 3.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 38 40 41 41 44 45 49 51 53 53 56 58 60 62 64 65 69 69 72 77 78 79 . . . . . . 81 81 81 84 88 91 94 4. Equipotencia, In…nitud y Numerabilidad 96 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2. Conjuntos Numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5. Las Funciones Exponencial y 5.1. Introducción . . . . . . . . . 5.1.1. Un poco de historia 5.1.2. Ejercicios de repaso 5.2. Exponentes racionales . . . Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 106 106 108 108 3 5.2.1. Exponentes enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Exponentes fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Exponentes reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Construcción vía sucesiones . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Propiedades de la función exponencial . . . . . . 5.4. La función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. De…nición y propiedades básicas . . . . . . . . . 5.4.2. Continuidad secuencial de la función logarítmica 5.4.3. El logaritmo natural o neperiano . . . . . . . . . 5.4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Construcción de R con cortaduras A.1. Un poco de intuición geométrica A.2. De…nición de R . . . . . . . . . . A.2.1. De…nición del orden . . . A.2.2. Operaciones en R . . . . . A.3. Completitud de R . . . . . . . . A.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 109 111 112 113 114 116 116 118 118 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 126 127 128 129 132 133 Capítulo 1 El paso de los racionales a los reales El lector probablemente esté familiarizado con el conjunto de números reales como campo totalmente ordenado y posiblemente su estudio de este sistema numérico haya sido hasta el momento axiomático. Es importante tener claro que mientras no se hable de completitud, no podemos realmente diferenciar los campos ordenados Q y R. Es decir, las propiedades algebraicas y de orden, o axiomas de campo y de orden, que se enuncian comúnmente, son satisfechas tanto por el conjunto de los racionales como por el de los reales. Nuestro primer objetivo en el presente capítulo es entender qué signi…ca la completitud y cómo hacer para expresarla de una manera analítica. 1.1. 1.1.1. Incompletitud de Q Incompletitud geométrica Tal vez el hecho más conocido de la incompletitud de los números racionales, es su incapacidad para “llenar” la recta numérica, como lo demuestra el teorema de pitágoras. Tomemos por ejemplo un cuadrado de lado 1. Si los números racionales han de servir para representar la medida de cualquier segmento de recta, la medida de la diagonal debería ser cierto racional r y por el teorema de pitágoras se tendría r2 = 12 + 12 = 2: Sin embargo, el lema ?? demuestra que no existe tal r: Entonces, efectivamente hay puntos sobre la recta numérica que no corresponden a números racionales. @ 1 p @ 2 1 @ @ @ @ Más aún, se puede ir un poco más allá en el argumento del lema en mención. Lema 1.1.1 Si n 2 N no es cuadrado perfecto, entonces no existe r 2 Q tal que r2 = n: 4 El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 5 Demostración Supongamos que sí existe tal r y tomemos su representación canónica r = ab : Como a y b son primos relativos, se sigue que a2 y b2 son también primos relativos (en efecto, cualquier primo que sea divisor común de a2 y b2 debe ser divisor común de a y b): Pero entonces b2 = nb2 ; b2 = a2 ; b2 = 1 y esto implica que r 2 N. Esto evidentemente contradice la hipótesis. 1.1.2. Otras evidencias de la incompletitud de los racionales Con el estudio de las expansiones de números racionales, se demuestra que todo número racional tiene una expansión decimal de la forma a0 ; a1 a2 : : : an : : : donde a0 es un número entero y an 2 f0; 1; : : : ; 9g para cada n (1.1) 1: Surge aquí la pregunta: ¿Será cierto que toda expresión de este tipo tiene asociado un número racional? La respuesta es negativa, dado que la expansión decimal de un racional es siempre periódica. Como consecuencia, existen muchas “expansiones” que no corresponden a números racionales. Por ejemplo: 0; 10100100010000100000 : : : En esta expansión aparece un “uno” seguido de cierta cantidad de ceros que se va incrementando sucesivamente y consecuentemente no es periódica. Otro ejemplo lo podemos obtener si de…nimos a0 = 0; an = 3 para n primo y an = 5 en los demás casos. Obtenemos una expansión que comienza así: 0; 5335353555353555353 : : : De hecho, esto sugiere una manera de de…nir los números reales, como expresiones formales del tipo (1.1). 1.1.3. Versión analítica de la incompletitud de Q Pensemos en un punto P sobre la recta "numérica". Es intuitivamente claro que este punto determina dos conjuntos de racionales: El conjunto A de racionales que se ubican a la izquierda de P y el conjunto B de los que se ubican a la derecha. Tales conjuntos satisfacen: Para cada x 2 A y cada y 2 B se tiene x y: Ejemplo 1.1.1 Si P es el punto que corresponde al número 3; se obtiene: A = fx 2 Q : x < 3g y B = fx 2 Q : x > 3g (1.2) El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 6 Ejemplo 1.1.2 Si P es el punto que corresponde a la diagonal de un cuadrado de lado 1; entonces A = Q [ fx 2 Q+ : x2 < 2g; B = fx 2 Q+ : x2 > 2g: En el primer ejemplo, existe un racional r = 3 tal que x 3 y para cada x 2 A y cada y 2 B: En el segundo caso, no existe tal r; pues de existir no sería difícil demostrar que r2 = 2 y esto es imposible como se ha demostrado. La diferencia entre Q y R radica, especí…camente, en que en R siempre es posible hallar un tal que x y para cada x 2 A y cada y 2 B: 1.2. Axiomatización de los números reales Las ideas de la sección anterior nos convencen de que es posible efectuar la construcción de R a partir de Q, además de mostrarnos cómo la intuición geométrica ayuda a elaborar conceptos de una manera rigurosa. Una construcción detallada de R apartir de Q se hace en el apéndice. En lo que sigue, se hará una presentación axiomática del conjunto de los números reales. Es decir, asumimos la existencia de un campo totalmente ordenado y completo. Más precisamente, presentamos R como un conjunto dotado de dos dos operaciones internas y de una relación de orden \ "; que cumplen con tres grupos de axiomas que describiremos a continuación. 1. Axiomas de campo 2. Axiomas de orden 3. Axioma de completitud o axioma del extremo superior. 1.2.1. Axiomas de campo Las operaciones suma y multiplicación cumplen los siguientes axiomas: Axioma 1.2.1 La operación suma es cerrada. Es decir, para a; b 2 R se tiene a + b 2 R. Esta propiedad nos garantiza que + :R R ! R (a; b) ! a+b Axioma 1.2.2 Para todos a; b 2 R, se cumple: a + b = b + a: Esta propiedad se llama conmutatividad de la suma. Axioma 1.2.3 Para todos a; b; c en R, se cumple: a + (b + c) = (a + b) + c: Esta propiedad se conoce como la asociatividad de la suma. El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 7 Axioma 1.2.4 Existe 0 2 R tal que para cada a 2 R se tiene: a + 0 = 0 + a = a: Esta propiedad se le conoce como la existencia del neutro aditivo. Axioma 1.2.5 Para todo a 2 R, existe a 2 R tal que a + ( a) = ( a) + a = 0: El elemento a se llama el inverso aditivo de a: Axioma 1.2.6 La multiplicación es cerrada. Es decir, para a; b 2 R se tiene a b 2 R. Esta propiedad nos garantiza que :R R ! R (a; b) ! a b Axioma 1.2.7 Para todos a; b 2 R, se tiene que a b = b a: Esta propiedad se llama la conmutatividad de la multiplicación. Axioma 1.2.8 Para todos a; b y c en R, se tiene que a (b c) = (a b) c: Propiedad que se conoce con el nombre de asociatividad de la multiplicación. Axioma 1.2.9 Existe 1 2 R, 1 6= 0; tal que 1 a = a 1 = a; 8a 2 R: Esta se conoce como la existencia del neutro multiplicativo. El hecho de que 1 6= 0 nos garantiza que R 6= f0g : Axioma 1.2.10 Para todo a 2 R tal que a 6= 0; existe un elemento denotado a que a a 1 = a 1 a = 1: 1 2 R tal Esta propiedad se conoce como la existencia del inverso multiplicativo para los números reales no nulos. Axioma 1.2.11 Para todos a; b; c en R, se cumple: (a + b) c = a c + b c: Esta es la propiedad de distributividad de la multiplicación con respecto a la suma. El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 8 De los axiomas de campo que acabamos de enunciar, se pueden deducir todas las “leyes usuales” del algebra elemental de números reales. A continuación, se enuncian estas leyes y se demuestran algunas de ellas. Teorema 1 Los elementos 0 y 1 son únicos. Es decir, 0 es el único neutro de la suma y 1 es el único neutro de la multiplicación. Demostración Demostraremos la unicidad del cero y dejamos la del uno como ejercicio. Supongamos que 00 2 R es otro neutro de la suma, lo cual quiere decir que a+00 = a para todo a 2 R. Entonces tenemos 00 = 0 + 00 (por ser 0 un neutro) = 0 (por ser 00 un neutro). Teorema 2 (Ley de cancelación de la suma) Sean a; b y c números reales cualesquiera. Si a + c = b + c; entonces a = b: Demostración Si a + c = b + c; sumando el inverso aditivo de a en ambos lados de la igualdad, se tiene (a + c) + ( c) = (b + c) + ( c) ; de donde por la asociatividad de la suma resulta a + (c + ( c)) = b + (c + ( c)) : Es decir a + 0 = b + 0 y el resultado se sigue por el axioma 1.2.4. El argumento anterior se puede resumir como sigue: a = a + 0 = (a + c) + ( c) = (b + c) + ( c) = b + 0 = b: El lector puede demostrar en forma similar la ley de cancelación de la multiplicación. Teorema 3 (Ley de cancelación de la multiplicación) Sean a; b y c números reales cualesquiera, con c 6= 0: Si a c = b c; entonces a = b: Teorema 4 Sean a; b 2 R. Entonces existe un único x 2 R tal que x + a = b: En particular, el inverso de a es único. Demostración Tomando x = b + ( a) se tiene x + a = b + ( a) + a = b + 0 = b: Para la unicidad, supongamos que existe otro número real x0 que también cumple: x0 + a = b: Entonces x0 +a = x+a y por la ley de cancelación de la suma se sigue que x0 = x: Finalmente, aplicando esto con b = 0 se tiene que existe un único x tal que x + a = 0; demostrando la unicidad del inverso de a: El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 9 Teorema 5 Sean a; b 2 R, con a 6= 0: Entonces existe un único número real y tal que ay = b: En particular, el recíproco de a es único. Demostración En efecto, basta tomar y = b a dejan de ejercicio. 1: Los detalles son análogos a los del teorema anterior y se Teorema 6 Para todo a 2 R se tiene ( a) = a: Además, si a; b 2 R tenemos (a + b) = ( a) + ( b) : Demostración Note que ( a) signi…ca el inverso aditivo de a: Como a + a = 0; la unicidad del inverso aditivo de a demuestra que a = ( a) : Para la segunda parte, observe que por la asociatividad y conmutatividad se tiene (( a) + ( b)) + (a + b) = a + ( b + b) + a = y por la unicidad del inverso seconcluye que ( a) + ( b) = a + a = 0; (a + b): Similarmente se demuestra el siguiente teorema. Teorema 7 Para todo a 6= 0 se tiene a (ab) 1 1 1 = a: Además, si a 6= 0 6= b entonces =a 1 b 1 : Teorema 8 (Propiedad absorvente del cero) Para todo a 2 R, a 0 = 0 a = 0: Demostración Sabemos que 0 + 1 = 1 y entonces a = a 1 = a (0 + 1) = a 0 + a 1 = a 0 + a: Por la ley de cancelación de la suma resulta a 0 = 0: Teorema 9 Sean a y b dos números reales. Entoces a b = 0 si y solo si, al menos uno de ellos es nulo. Demostración Por la absorvencia del cero se obtiene el “si”. Para el “solo si” supongamos que a b = 0. Hay que demostrar que si a 6= 0 entonces b = 0, pero esto se sigue inmediatamente de la ley de cancelación de la multiplicación. La propiedad anterior indica que en R no existen divisores de cero. Por otro lado, note que como una consecuencia inmediata de la propiedad anterior, se obtiene el siguiente resultado: Si a; b 2 R, entonces a 6= 0 6= b , ab 6= 0: El siguiente resultado es una manera de escribir la ley de signos. El paso de los racionales a los reales. 10 A. Duarte & S. Cambronero Teorema 10 Sean a; b 2 R. Entonces: ( i ) a( b) = (ab) ( ii ) ( a)b = (ab) ( iii ) ( a)( b) = ab Demostración Vamos a demostrar la parte (i). Las partes (ii) y (iii) se dejan como ejercicio para el lector. Tenemos a( b) + ab = a[( b) + b] = a 0 = 0: Es decir, el número a( b) también es el inverso aditivo de ab y, por la unicidad, a( b) = Esto es lo que se quería demostrar. Como consecuencia de la ley de los signos, es inmediato que ( 1) a = ( 1) a = 1.2.2. (1 a) = (ab): a: En efecto, a: Cálculo de cocientes Si a y b son números reales con b 6= 0; entonces el número ab llamamos el cociente de a por b: Note que: a a = a; = 1 (si a 6= 0): 1 a 1 lo escribimos como Teorema 11 Sean a; b; c y d números reales, b 6= 0 y d 6= 0; entonces a c ac = ; b d bd a c ad + cb + = : b d bd Demostración a c b d 1 = (ab ) (cd 1 = ac (bd) 1 ) = ac (b ac = : bd 1 1 d ) Por otro lado a c + b d = ab 1 = a dd + cd 1 1 b +c bb 1 d + cb (bd) 1 ad + cb : = (ad + cb) (bd) 1 = bd = ad (bd) 1 1 1 a b y le El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero Teorema 12 Para todos a; b 2 R, con b 6= 0 se tiene: 11 a = 0 , a = 0. b Este resultado es una consecuencia inmediata del hecho que R no posee divisores de cero: Note que si a 6= 0; entonces b a 1 = ; b a dado que a 1 b 1 1 = ab 1 =a 1 b 1 = a 1b = : b a 1.2.3. Axiomas de orden Se acepta la existencia de un subconjunto P que cumple las siguientes propiedades R (el conjunto de los números reales positivos) Axioma 1.2.12 Si a 2 P y b 2 P; entonces a + b 2 P: Axioma 1.2.13 Si a 2 P y b 2 P; entonces ab 2 P: Axioma 1.2.14 Para todo a 2 R, si a 6= 0 entonces a 2 P o bien a 2 P . Además 0 2 = P: Los elementos del conjunto P los llamaremos números reales positivos. Al conjunto P [ f0g lo denotaremos por R+ : Si un número no es positivo ni cero, decimos que es negativo. Esto es, a es negativo si a es positivo. De…nición 1.2.1 Dados a; b 2 R, ponemos a b (se lee “a mayor o igual que b ”) si a b 2 R+ : Ponemos b a si a b: Ponemos a > b si a b 2 P (o sea, si a b y a = 6 b) y + b < a si a > b: Note que a 0 sii a 2 R y que a > 0 sii a es positivo. A partir de aquí, se demuestran todas las leyes que rigen el comportamiento de las desigualdades. Veamos algunas de ellas. Teorema 13 Si a 2 R, entonces a y a no pueden ser ambos positivos. Demostración En efecto, si ambos fueran positivos, entonces por el axioma 1.2.12 se tendría 0 = lo cual contradice el axioma 1.2.14. a + a 2 P; Teorema 14 El “uno” es positivo. Esto es: 1 > 0: Demostración Por el axioma 1.2.14, sabemos que 1 2 P ó 1 2 P: Si 1 no fuera positivo, entonces 1 sería positivo y, por el axioma 1.2.13, se tendría que ( 1)( 1) es positivo. Pero sabemos que ( 1)( 1) = 1 y entonces se contradice el teorema anterior. Observación: Note que del axioma 1.2.12 se concluye que: a 0; b 0)a+b 0: El paso de los racionales a los reales. Teorema 15 La relación A. Duarte & S. Cambronero 12 es de orden total en R. Demostración Por de…nición se tiene que a a para cada a 2 R y esto es la re‡exividad. Para la antisimetría, supongamos que a b y b a: Entonces b a 0 y a b 0: Si a y b fueran distintos, se tendría x = b a 6= 0; pero entonces x y x serían ambos positivos. Esta contradicción nos permite concluir que a = b: Finalmente, si a b y b c; se tiene b a 0 y c b 0 y por la observación anterior: c de donde resulta que a a = (c b) + (b a) 0; c: Esto demuestra la transitividad. Teorema 16 (Compatibilidad del orden con la suma) Sean a; b; c en R. Entonces a b,a+c b + c: Demostración En efecto, por los axiomas y los resultados ya demostrados tenemos: (a + c) de donde a b 2 R+ si y solo si (a + c) (b + c) = a b; (b + c) 2 R+ : Teorema 17 (Compatibilidad del orden con la multiplicación) Sean a; b; c en R. Si a c > 0; entonces ac bc: También, si a < b y c > 0; entonces ac < bc: Demostración En efecto, de las hipótesis se tiene que b cb ca 0: Consecuentemente ac bc: a 0 y c > 0; de donde c (b a) by 0; esto es El siguiente teorema establece la ley de signos y se deja como ejercicio: Teorema 18 Sean a; b; c 2 R. Entonces 1. Si a > 0 y b < 0; se tiene ab < 0: 2. Si a < 0 y b < 0, se tiene ab > 0 De acuerdo con el siguiente teorema, si multiplicamos ambos lados de una desigualdad por un número negativo, entonces la desigualdad se invierte. Su demostración se deja como ejercicio. Teorema 19 Si a b y c < 0; entonces bc ac: Finalmente, el lector puede veri…car las propiedades siguientes. El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 13 Teorema 20 Sean a; b; c 2 R. Entonces 1. a > 0 ) a 1 2. a > b > 0 ) 3. a2 + b2 >0 1 1 > b a 2ab 4. a > 1 ) a2 > a 5. 0 < a < 1 ) a > a2 : 1.2.4. Intervalos Los axiomas de orden, nos permiten introducir la noción de intervalos en R. Sean a y b números reales tales que a < b: Denotamos por ]a; b[ al conjunto de todos los números reales comprendidos entre a y b: Es decir, ]a; b[ = fx 2 R : a < x < bg : Dicho conjunto se llama intervalo abierto con extremos a y b: Análogamente, [a; b] = fx 2 R : a x bg se llama intervalo cerrado de extremos a y b; [a; b[ = fx 2 R : a x < bg ]a; b] = fx 2 R : a < x bg se llaman intervalos semiabiertos y …nalmente, se tienen los intervalos no acotados de la forma: ]a; +1[ = fx 2 R : x > ag [a; +1[ = fx 2 R : x ] 1; a] = fx 2 R : x ag ag ] 1; a[ = fx 2 R : x < ag : De manera más general decimos que un conjunto I para cada x; y 2 I; con x R es un intervalo de R si: y; se tiene que [x; y] I: Ejemplo 1.2.1 El conjunto A = [2; 3[[f5g no es un intervalo, ya que 2 2 A; 5 2 A y [2; 5] no es subconjunto de A: Ejemplo 1.2.2 R no es un intervalo, pues R : 1 2 R ; 1 2 R y [ 1; 1] no es subconjunto de El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 14 Ejemplo 1.2.3 El conjunto A = x 2 R+ : x2 > 2 sí es intervalo. En efecto, si a; b 2 A; se sigue que a > 0 y a2 > 2: Luego, para cada x 2 [a; b] se tiene x2 de donde x2 1.2.5. a2 = (x a) (x + a) 0; a2 > 2; así que x 2 A: Esto demuestra que [a; b] A: Valor Absoluto El valor absoluto de un número real x se denota jxj y se de…ne como el mayor de los números x y x: Es decir jxj = max (x; x) : Equivalentemente: x x jxj = si x 0 si x < 0: Geométricamente, jxj es la distancia del origen al punto representado por x en la recta numérica. Similarmente, jx yj es la distancia entre los puntos representados por x e y; en la recta numérica. Observe que una consecuencia inmediata de la de…nición es el hecho que jxj = jyj , (x = y _ x = y) A continuación exponemos algunos resultados importantes acerca del valor absoluto. Para comenzar observe que j xj = jxj : Además, es evidente que x jxj y x jxj : De esto se concluye el siguiente teorema. Teorema 21 Para todo número real x; se tiene que jxj x jxj : El lector puede también intentar una demostración considerando los caso x separado. Como una consecuencia del resultado anterior, se obtiene que: Teorema 22 Si a 0 y x < 0 por 0; entonces jxj a, a x a Demostración Debemos demostrar que el lado izquierdo implica el lado derecho y viceversa. Supongamos primero que jxj a y demostremos que a x a: Primero, por el teorema anterior x jxj a: (1.3) y por el mismo teorema a jxj x: (1.4) El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 15 Combinando los resultados (1.3) y (1.4), resulta a Recíprocamente, supongamos que a x o x; obtenemos jxj a: a x x a: a: Entonces x ay x a. Como jxj es igual Teorema 23 Para a; b 2 R tenemos que a2 < b2 si y solo si jaj < jbj: Demostración El resultado se obtiene de manera directa del hecho que b2 a2 = jbj2 jaj2 = (jbj + jaj) (jbj jaj) : Dado que jbj + jaj es siempre positivo (a menos que a = b = 0), el lado izquierdo es positivo si y solo si jbj jaj lo es. Nota: Observe que de igual manera se demuestra que a2 b2 si y solo si jaj jbj: Teorema 24 Para cualesquiera números reales x e y; se cumple: (a) jxj = 0 , x = 0 (b) jxyj = jxj jyj (c) jx + yj jxj + jyj El resultado (c) se conoce con el nombre de desigualdad triangular. Demostración Las partes (a) y (b) se dejan como ejercicio. Demostremos la parte (c): Sabemos que jxj jyj x; y: Sumando estas desigualdades, se obtiene: (jxj + jyj) x + y: (1.5) Análogamente, de las desigualdades x jxj ; y jyj resulta que x+y jxj + jyj : (1.6) El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 16 Luego, combinando (1.5) y (1.6) obtenemos (jxj + jyj) x+y jxj + jyj ; lo cual, por el teorema 22, es equivalente a jx + yj jxj + jyj : Otra manera de demostrar la desigualdad triangular es la siguiente: Observe que (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 x2 + 2jxj jyj + y 2 = jxj2 + 2jxj jyj + jyj2 = (jxj + jyj)2 ; y por el teorema 23 se sigue que jx + yj 1.2.6. jxj + jyj: Una copia de Q Hasta el momento R es simplemente un campo ordenado, es decir que en principio no hay diferencia con el campo de los racionales que conocemos. De hecho, se puede demostrar que R contiene una copia de Q, como procedemos a explicar. Primero se puede de…nir una copia del conjunto N de los números naturales como el menor subconjunto inductivo de R. Para concretar esto, diremos primero que un subconjunto A de R se llama inductivo si satisface las propiedades (a) 0 2 A: (b) x 2 A ) x + 1 2 A: Así por ejemplo R mismo es inductivo, lo mismo que R+ . El intervalo ]0; 1[ no es inductivo, pues no satisface la propiedad (a). Por otro lado, el conjunto R f5g no es inductivo pues no satisface la propiedad (b), ya que 4 2 R f5g ; pero 4 + 1 = 5 2 = R f5g : Podemos ahora considerar la familia I de todos los subconjuntos inductivos de R. Entonces tenemos, por ejemplo que R 2 I, [0; 1[2 I. De…nimos N como la intersección de todos los subconjuntos inductivos de R, esto es \ N= A: A2I Como 0 2 A para todo A 2 I, tenemos por de…nición que 0 2 N y entonces N satisface la propiedad (a). Además, si x 2 N tenemos que x 2 A para cualquier conjunto inductivo A y por lo tanto x + 1 2 A: Luego, como esto es cierto para todo A 2 I, tenemos que x + 1 2 N, con lo que N satisface la propiedad (b). Concluimos entonces que N es también inductivo. El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 17 Ahora, como N está contenido en cualquier conjunto inductivo, concluimos que N es el conjunto inductivo más pequeño. Esto es en realidad el principio de inducción, los otros axiomas de Peano se satisfacen trivialmente, usando la función sucesor n = n + 1: Hemos construido así una copia de N dentro del campo R. Luego se de…ne una copia de Z: Z = fx 2 R : jxj 2 Ng = fn m : n; m 2 Ng y …nalmente una copia de Q: Q= na : a 2 Z; b 2 Z o : b Es evidente del teorema 11 que las operaciones de R son cerradas en Q y que coinciden con las operaciones de…nidas en la construcción clásica de este campo a partir del anillo de los números enteros. En consecuencia, en lo que sigue usaremos esta copia de Q, obteniendo como resultado Q R. 1.2.7. Ejercicios 1. En las demostraciones anteriores hicimos uso del hecho que a2 = jaj2 : Demuestre este hecho con todo detalle. 2. Si a < b y c > d; demuestre que a c<b d: 3. Demuestre usando solo los axiomas de campo que para a; b 2 R se tiene: a( b) = (ab); ( a)b = (ab); ( a)( b) = ab: 4. Demuestre los teoremas 18, 19 y 20. 5. Si n 2 N y x; y 2 R, demuestre que xn y n = (x y) xn 1 + xn 2 y+ + xy n 2 + yn 1 : 6. Demuestre que para cada n 2 N , la función f : R ! R de…nida por f (x) = xn ; es estrictamente creciente en R+ : 7. Concluya que la función g : R+ ! R, de…nida por f (x) = xn ; es inyectiva (para cualquier n 2 N ). 8. Halle todos los números reales x que satisfacen cada una de las siguientes inecuaciones: a.) 3 + x2 < 7 b.) x2 + 4x + 3 1 1 + >0 x 1 x x 1 d.) >0 x+1 c.) e.) 3 0 f.) x2 x2 < 3 4 x2 g.) (x + 1) x2 h.) (x 9 >0 4 <0 1) (x + 3) (2x + 3) > 0: El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 18 9. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones e inecuaciones: e.) x2 1 > 3 f.) jx2 + 3x + 2j > 0 g.) jx2 + 3x + 2j > 1 h.) jx2 + 3x + 2j 41 : a.) jx 2j = 5 b.) jx + 1j < 3 c.) jx + 1j + jx 2j > 1 d.) jx 1j jx + 1j < 1 10. Demuestre que para x; y; z 2 R se tiene: a) 1 x = 1 jxj ; si x 6= 0 b) x y = jxj jyj ; si y 6= 0 c) jxj d ) j jxj jyj jyj j e) jx + y + zj jx yj jx yj jxj + jyj + jzj: 11. Se de…ne max (a; b) como el mayor de los números a y b: En otras palabras, a si a b; b si a < b: max (a; b) = Similarmente se de…ne m n (a; b) : Demuestre que max (a; b) = a + b + ja 2 bj ; m n (a; b) = a+b 2 ja bj : 12. Demuestre que las siguientes de…niciones de intervalo son equivalentes: a) A R se llama intervalo si tiene una de las formas dadas en la sección 1.2.4. b) A R se llama intervalo si siempre a; b 2 A se tiene [a; b] A: 13. Sean r1 ; r2 ; : : : ; rn números reales tales que r1 < r2 < : : : < rn . Demuestre que n[1 [ri ; ri+1 ] = [r1 ; rn ] : i=1 1.3. Completitud de R Hasta el momento no hemos dicho nada que diferencie los campos ordenados Q y R. El axioma que hace la diferencia es el axioma de completitud, que explicaremos a continuación. Desde el punto de vista geométrico y de acuerdo con lo explicado en la sección 1.1.1, la idea de introducir R es precisamente rellenar los vacíos que deja el conjunto de los números racionales sobre la recta numérica. El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 19 Para tratar de trasladar esta intuición al lenguaje matemático, tomemos un punto P sobre la recta numérica y consideremos el conjunto A formado por todos los números reales “ubicados” a la izquierda de ese punto. Consideremos también el conjunto B formado por todos los números reales “ubicados” a la derecha del mismo punto. Tenemos entonces que para x 2 A y y 2 B se cumple x y: Una forma de expresar la completitud es diciendo que en este caso existe un número real que corresponde al punto P y por lo tanto x y; para todo x 2 A y todo y 2 B: B b A Interpretación geométrica de la completitud. Veamos esto desde un punto de vista más analítico. Consideremos un conjunto A vacío y de…namos B = fy 2 R : y x para cada x 2 Ag: R no Este conjunto B podría ser vacío; tome por ejemplo A = [1; 1[: Cuando B 6= ; decimos que A es acotado superiormente y a cada elemento de B se le llama cota superior de A: Más precisamente: De…nición 1.3.1 Decimos que un subconjunto A de los números reales es acotado superiormente si existe b 2 R tal que x b para cada x 2 A: En tal caso decimos que b es una cota superior de A: Considerando entonces el conjunto B de cotas superiores de A; debería existir un tal que x y; para todo x 2 A y todo y 2 B: Pero entonces, por de…nición tendríamos 2 B; así que sería la menor cota superior de A: A este número se le llama el extremo superior de A; o supremo de A y se denota = sup A: De…namos este concepto con más precisión: De…nición 1.3.2 Sea A R acotado superiormente, A 6= ;: Un elemento 2 R se llama un extremo superior (o supremo) de A; si es la menor de las cotas superiores de A. Dicho de otra forma, es un extremo superior de A si satisface: 1. es cota superior de A. 2. Para todo b 2 R cota superior de A; se tiene b. La pregunta que surge ahora es, ¿existirá siempre un extremo superior? y, si existe, ¿será único? La segunda pregunta es fácil de contestar y la respuesta es sí. Para ver esto, suponga que 1 y 2 son extremos superiores de A: Entonces, como 2 es cota superior, la propiedad 2 aplicada a 1 implica que 1 2 : Cambiando los roles de 1 y 2 se obtiene 2 1 y consecuentemente 1 = 2 : La primera pregunta la contesta el axioma del extremo superior. El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 20 Axioma 1.3.1 (Axioma del extremo superior) Sea A un subconjunto no vacío de R, acotado superiormente. Entonces existe el extremo superior de A. Ejemplo 1.3.1 Para A = [1; 3] [ f7g tenemos que = 7 es cota superior. Además, dada b otra cota superior de A; como 7 2 A debemos tener 7 b: Esto demuestra que sup A = 7: Ejemplo 1.3.2 Para A = [0; 1[; tenemos que = 1 es cota superior de A: Además, si b es cota superior de A; debemos tener b 1: En efecto, primero observe que b 0; pues 0 2 A: Luego, si b < 1 entonces x = (b+1)=2 sería un elemento de A y además x > b; contradiciendo el hecho que b es cota superior. Esto demuestra que sup A = 1: Nota: El ejemplo anterior demuestra que sup A no necesariamente es un elemento de A: Además, el argumento del ejemplo 1.3.1 demuestra que si una cota superior de A pertenece a dicho conjunto, entonces esa cota es el supremo. En tal caso suele usarse también la palabra máximo y escribir max A en vez de sup A: Ejemplo 1.3.3 (Intervalos) Para cada 2 R, el conjunto A = fx 2 R : x < g es acotado superiormente y además = sup A: Dejamos la veri…cación como ejercicio. La siguiente caracterización del supremo suele ser útil: Teorema 25 Sea A si y solo si satisface: (a) x R; acotado superiormente y no vacío y sea 2 R: Entonces = sup A para cada x 2 A (b) Para todo " > 0; existe x 2 A tal que " < x: Demostración Supongamos primero que = sup A y sea " > 0: Como " < ; se tiene que " no es cota superior de A y consecuentemente debe existir x 2 A tal que x > ": Esto demuestra la propiedad (b). Supongamos ahora que (a) y (b) se cumplen y demostremos que = sup A: Primero es cota superior por la propiedad (a). Ahora sea b una cota superior de A: Si b < ; entonces tomando " = b > 0 tenemos, por hipótesis (b), que existe x 2 A tal que x > " = b; lo cual contradice el hecho que b es cota superior. Consecuentemente, b : Los conceptos arriba introducidos sobre acotación superior, tienen su versión en el caso de acotación inferior. Veamos: De…nición 1.3.3 Decimos que A es acotado inferiormente si existe a 2 R tal que a para cada x 2 A: En tal caso decimos que a es una cota inferior de A: x El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero De…nición 1.3.4 Se llama extremo inferior, o ín…mo de un conjunto A sus cotas inferiores. Se denota por nf A: Teorema 26 Si A inferior. 21 R, a la mayor de R es acotado inferiormente y no vacío, entonces tiene un extremo Demostración Consideremos el conjunto B = fb 2 R : b es cota inferior de Ag : Note que B 6= ; por el hecho que A es acotado inferiormente. Además, como A 6= ; existe al menos un elemento a 2 A: Si b 2 B; por de…nición se tiene b a y esto signi…ca que a es cota superior de B: Por el axioma del extremo superior, existe el extremo superior de B: Sea = sup B: Ahora, como cada a 2 A es cota superior de B; se sigue que a y esto demuestra que es cota inferior de A: Esto signi…ca que 2 B; así que es la mayor cota inferior de A: Teorema 27 Sea A un subconjunto no vacío de R, acotado inferiormente y sea Entonces = nf A si y solo si satisface: (a) x para cada x 2 A (b) Para todo " > 0; existe x 2 A tal que x < + ": Note que la hipótesis (b) asegura que, para cualquier " > 0; Demostración Totalmente análoga al Teorema 25 y se deja como ejercicio. 1.3.1. 2 R. + " no es cota inferior de A. Consecuencias de la completitud de R El axioma del extremo superior puede usarse para demostrar muchas de las propiedades básicas de los números reales, entre ellas: Teorema 28 (Principio de Arquímedes) Para todo x 2 R; existe n 2 N tal que n > x: Demostración Suponga que el resultado es falso. Entonces existe x 2 R tal que x n para cada n 2 N: Esto dice que N es acotado superiormente, implicando la existencia de = sup N: Por el teorema 25 (con " = 1), existe n 2 N tal que n > 1; de donde se sigue que n + 1 > : Como n + 1 2 N; esto es una contradicción. Nota: el principio de Arquímedes o propiedad arquimediana garantiza que el conjunto de los números naturales no está acotado superiormente. Se deja al lector la tarea de demostrar las siguientes consecuencias del teorema anterior. En realidad la primera de estas propiedades es la forma comúnmente utilizada para el principio de Arquímedes. El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 22 Teorema 29 Sea y 2 R tal que y > 0: Entonces 1. Para cada x 2 R, existe n 2 N tal que x < ny: 2. Existe n 2 N tal que 1 n < y: A continuación demostramos la densidad de Q como subconjunto de R. Teorema 30 Dados x; y 2 R; con x < y; existe un racional r 2 Q tal que x < r < y: Demostración Primero tomemos el caso 0 x < y: Por el teorema anterior, existe n 2 N tal que 1 <y n x: Ahora considere el conjunto A = fj 2 N : j > nxg : Por arquimedianidad, A no es vacío y por el principio del buen orden existe el primer elemento k de A: En particular k 2 A y k 1 2 = A; esto es k 1 n De la primera desigualdad se sigue que k n x< x< x+ 1 n k : n < x + (y x) = y: Consecuentemente k < y: n El número racional buscado es entonces r = nk : En el caso x < 0 < y no hay nada que demostrar (¿por qué?) En el caso x < y 0; tenemos 0 y < x y entonces existe r 2 Q tal que Luego x < r < y: y<r< x: El teorema enterior es de vital importancia en análisis. Por ejemplo, para de…nir funciones como la exponencial, resulta sencillo hacerlo primero para los racionales y luego extender la de…nición a todos los reales utilizando la densidad de Q. Ejemplo 1.3.4 Considere el conjunto A = fx 2 Q : x < 1g : La densidad de Q nos permite dar una demostración que sup A = 1. Veamos: Es obvio que 1 es una cota superior. Por otro lado, para " > 0 la densidad de Q permite concluir que existe x 2 Q tal que 1 " < x < 1; de donde x 2 A y x > 1 ": Esto demuestra que sup A = 1; por la caracterización que se dio en el teorema 25. El paso de los racionales a los reales. 1.3.2. 23 A. Duarte & S. Cambronero Existencia de raíz cuadrada p El lector probablememente sabe muy bien que dado a > 0; a es un número real positivo p 2 tal que ( a) = a: En esta sección demostramos, usando el axioma del extremos superior, p que realmente a existe, siempre que a > 0: Primero, para enfatizar la diferencia entre Q y R, recordemos que esto no es posible hacerlo en Q. Especí…camente, no existe r 2 Q tal que r2 = 2: Teorema 31 Dado a > 0; existe un único real > 0 tal que 2 = a: Se denota = p a: Demostración De…na el conjunto 0 : x2 A= x a : Note que A 6= ;; dado que 0 2 A: Note además que: x > a + 1 ) x2 > (a + 1)2 > a + 1 > a ) x 2 = A: Equivalentemente: x2A)x a + 1: Esto demuestra que a + 1 es una cota superior de A: Por el axioma del extremo superior, existe = sup A: Para demostrar que 2 = a; debemos descartar las posibilidades 2 > a y 2 < a: Veamos: 1. Si 2 < a; tome 0 < " < 1 y note que ( + ")2 = 2 + 2 " + "2 < 2 + (2 + 1)": 2 = (2 + 1) ; se sigue que ( + ")2 < a: Entonces + " 2 A 2 a . Esto contradice el hecho que es cota para todo " tal que 0 < " < m n 1; 2 +1 superior de A: Si además " < a 2. Si 2 > a; note que para " > 0 se tiene: ( Si 0 < " < tal que x > 2 ")2 = 2 2 " + "2 > 2 2 ": a =2 ; obtenemos ( ")2 > a: Pero por ser = sup A; existe x 2 A 2 2 "; de donde x > ( ") > a; lo cual es contradictorio. Hemos demostrado que efectivamente se tiene 2 = a: La unicidad se deja como ejercicio. Un argumento similar al anterior se usa para demostrar que dados a > 0; n 2 N ; existe un único > 0 tal que n = a: Esto se hará más adelante. El paso de los racionales a los reales. 1.3.3. 24 A. Duarte & S. Cambronero Los números irracionales Tomando a 2 N que no sea cuadrado perfecto, lo anterior demuestra que existe un número real p positivo tal que 2 = a y este se denota por a: Además, demostramos en la introducción p que no existe racional alguno r tal que r2 = a: Se concluye entonces que a 2 I, donde I=R Q se llama el conjunto de los números irracionales. En particular hemos demostrado que R es algo más que Q. Las propiedades de campo del conjunto de los racionales, permiten demostrar una serie de resultados interesantes sobre estos y los irracionales. Por ejemplo, si a 2 Q y b 2 I, se sigue que a + b 2 I. En efecto, si no fuera así se tendría a + b 2 Q, de donde b = (a + b) a 2 Q, imposible! Este hecho permite concluir por ejemplo que I también es denso en R, usando la densidad de Q (ver los ejercicios). Note sin embargo que I no es un campo, como que la suma y la multiplip lo muestra p el hecho p p p 2=02 =Iy 2 2=22 = I. cación no son cerradas en I. Por ejemplo 2 2 I, pero 2 1.3.4. Ejercicios 1. Para los siguientes conjuntos, demuestre que son acotados superiormente y halle el supremo: A = fx 2 Q : 1 A= 1 A =] 1 n x < 3g :n2N 1; 17] A= x:x= y2 Z: + 3y A = x : x2 + 3x 1; jyj < 1 1<0 2. Demuestre el teorema 29. 3. Si x < y; n 2 N ; demuestre que existen al menos n racionales entre x y y (use inducción). Concluya que existe un número in…nito de racionales entre x e y: 4. Complete los detalles en la demostración del teorema 26. 5. Demuestre la arquimedianidad de R, usando la densidad y arquimedianidad de Q. 6. Demuestre usando el principio de inducción que para r 6= 1 y n 2 N se tiene: 1+r+ 7. Para + rn = 1 rn+1 : 1 r 1 < x 2 R y n 2 N , demuestre la desigualdad de Bernoulli: (1 + x)n 1 + nx: El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 25 8. Sea x 2 R: Use el principio de Arquímides y el del buen orden para demostrar que existe un único k 2 Z tal que k x < k + 1. El número k se llama la parte entera de x y se denota k = [[x]]: 9. Si a es racional y b irracional, demuestre que a + b es irracional. En particular, b es irracional. [Sug. La suma de racionales es racional]. ¿Qué pasa con la suma si a y b son irracionales? 10. Use el ejercicio anterior y la densidad de Q, para demostrar que el conjunto de los números irracionales es denso en R. 11. Si a 6= 0 es racional y b irracional, demuestre que ab; ab 1 son irracionales. En particular, b 1 es irracional. ¿Qué pasa con la multiplicación si a y b son irracionales? p 12. Demuestre que si 0 < a < b; entonces a < ab < a+b 2 < b: 13. Dé un ejemplo de dos números irracionales, tales que su suma y su producto sean ambos racionales. p 14. Si n 2 N demuestre que n 2 N [ I. p p p p p p 15. Demuestre que 2+ 3 y 2 3 son irracionales. En general, demuestre que p+ q p p y p q son irracionales si p y q son primos distintos. p p p p m son irracionales si m y n son 16. Más generalmente, demuestre que n + m y n primos relativos y no son cuadrados perfectos. Dé varios ejemplos no triviales. 1.4. Sumatorias, conteo y existencia de raíces Regresamos en esta sección, a un tema mencionado en el capítulo ??, el cual sin embargo es importante retomar a la luz de los conceptos nuevos estudiados en el presente capítulo. Ejempli…camos su utilidad en algunos campos como la existencia de raíces y el análisis combinatorio. 1.4.1. Repaso de sumatorias Dada una función f : N ! R, con la notación an = f (n) se de…ne recursivamente: 0 X ak = a0 ; k=0 n+1 X k=0 ak = n X ak + an+1 : k=0 En forma simpli…cada escribimos: n X k=0 ak = a0 + : : : + an : El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 26 Ejemplo 1.4.1 En el capítulo ?? demostramos que n X k=0 k= n (n + 1) : 2 Ejemplo 1.4.2 Si ak = ( 1)k se tiene 99 X ak = 1 1 + ::: + 1 1 = 0: k=0 Ejemplo 1.4.3 Si ak = 1 k+1 4 X k=0 se tiene 1 1 1 137 1 = + + ::: + = : k+1 0+1 1+1 4+1 60 Ejemplo 1.4.4 Como ejemplo demostremos por inducción que para cada n 2 N se tiene: n X k2 = k=0 n (n + 1) (2n + 1) : 6 Para n = 0 ambos lados de la igualdad son nulos. Para el paso inductivo, asuma que la igualdad es válida para n: Obtenemos: n+1 X k2 = k=0 n+1 X k 2 + (n + 1)2 k=0 n (n + 1) (2n + 1) + (n + 1)2 6 i hn (2n + 1) + (n + 1) = (n + 1) 6 n+1 = (n + 2) (2n + 3) : 6 = Como 2n + 3 = 2 (n + 1) + 1; la igualdad es válida para n + 1: Para 0 < m n se de…ne la sumatoria desde m hasta n así: n X k=m ak = n X k=0 ak m X1 ak = am + : : : + an : k=0 Ejemplo 1.4.5 Para ak = k1 , m = 4 y n = 6 tenemos: 6 X 1 1 1 37 1 = + + = : k 4 5 6 60 k=4 El paso de los racionales a los reales. Ejemplo 1.4.6 Para ak = 1 k 1 se tiene: 3 X 1 k k=2 1.4.2. A. Duarte & S. Cambronero 1 = 1 2 1 1 + 3 = : 2 3 1 n X ak : Propiedades de las sumatorias 1. Si c 2 R y ak = f (k) se tiene: n X cak = c k=0 k=0 En efecto, para n = 0 el resultado es claro. Paa el paso inductivo observamos que: n+1 X k=0 cak = n X cak + can+1 = c k=0 n X ak + can+1 = c k=0 n+1 X ak : k=0 2. (Ejercicio) Para ak = f (k) y bk = g (k) se tiene: n X (ak + bk ) = k=0 3. (Ejercicio) Si ak n X ak + k=0 n X bk : k=0 bk para cada k = 0; : : : ; n se tiene: n X n X ak k=0 bk : k=0 Si además ak > bk para al menos un k; se sigue que n X ak > k=0 n X bk : k=0 En particular, si cada ak es positivo se sigue que la sumatoria es positiva. 4. Tomando bk = ak+1 se tiene n X ak+1 = k=0 n X bk = k=0 n+1 X k=1 Equivalentemente: n X k=0 ak = n+1 X k=1 ak 1: ak : 27 El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero Ejemplo 1.4.7 (Suma telescópica) Suponga que ak = bk propiedades anteriores tenemos: n X ak = k=0 n X bk k=0 n+1 X bk = b0 + n X n X bk k=1 k=1 28 bk+1 para cada k: Aplicando las bk + bn+1 k=1 ! = b0 bn+1 : Ejemplo 1.4.8 (Suma geométrica) Aplicando el ejemplo anterior tenemos, para r 6= 1 : (1 r) n X k r = k=0 y al dividir por 1 r se obtiene n X rk rk+1 = 1 rn+1 k=0 n X rk = 1 k=0 rn+1 : 1 r Este resultado se había obtenido previamente, usando inducción. 1.4.3. Combinatoria y fórmula del binomio Para k; n 2 N; k n se de…ne el coe…ciente binomial por n k = n! : (n k)!k! Por ejemplo tenemos n 0 = n n = n! = 1; (n 0)!0! n 1 n = n 1 = n! = n: (n 1)!1! En general tenemos: n k = n n k : El siguiente lema se puede veri…car en forma directa. Su demostración se deja como ejercicio. Lema 1.4.1 Para 1 k n se tiene n k En particular, n k 1 + n k = n+1 : k es siempre un número natural. Por su importancia en análisis y, en particular, por el uso inmediato que le daremos, incluimos la fórmula del binomio. El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 29 Teorema 32 (Fórmula del binomio) Para a; b 2 R y n 2 N se tiene1 (a + b)n = n X n n a k k k b : k=0 Demostración Procedemos por inducción. Para n = 0 la igualdad es clara. Para el paso inductivo, escribimos: (a + b)n+1 = (a + b) (a + b)n = a (a + b)n + b (a + b)n : Aplicando la hipótesis de inducción tenemos: (a + b)n+1 = n X n n a k k+1 k b + k=0 n X n n a k k k+1 b : k=0 La primera sumatoria se escribe como n+1 a n X n n + a k k+1 k b ; k=1 mientras que la segunda coincide con n+1 X k=1 n k 1 an (k 1) k b = n X n k k=1 1 an+1 k k b + bn+1 : Aplicando el lema anterior obtenemos: n+1 (a + b) n+1 = a + n X k=1 n n + k k 1 n X n+1 n = an+1 + a k an k+1 k b + bn+1 k+1 k b + bn+1 k=1 = n+1 X k=0 n+1 n a k k+1 k b ; así que la igualdad es válida para n + 1 también. Nota: En el caso parrticular a = b = 1 se obtiene n X n k = 2n : k=0 De acuerdo con lo que demostraremos en la sección siguiente, esto signi…ca que si A tiene n elementos, entonce P (A) tiene 2n elementos. 1 Nótese que en la sumatoria debe interpretarse a0 = 1; aunque a = 0: El paso de los racionales a los reales. 1.4.4. A. Duarte & S. Cambronero 30 Un poco de conteo No pretendemos hacer un estudio minucioso de la teoría de combinatoria, simplemente estableceremos un par de resultados que nos ayudarán a sacarle provecho al teorema del binomio. Lema 1.4.2 Si un conjunto A tiene cardinalidad n y k n k subconjuntos de cardinalidad k: n; entonces A tiene exactamente Demostración En efecto, para n = 0 el resultado es evidente. Procedemos por inducción, asumiendo que el resultado es válido para n: Es decir, un conjunto cualquiera de n elementos tiene, para k n; n k subconjuntos de cardinalidad k: Nos damos un conjunto de cardinalidad n + 1 y tomamos k n + 1: Si k = 1 ó k = n + 1; el resultado es evidente. En los demás casos, …jamos a 2 A y observamos que los subconjuntos de A con cardinalidad k se dividen en dos clases: Los subconjuntos de A fag ; que son elementos y la hipótesis de inducción. n k en total, debido a que A fag tiene n Los que contienen al elemento a: Si B es uno de estos, se tiene B fag A fag y, como B fag tiene k 1 elementos, por hipótesis de inducción hay k n 1 de estos subconjuntos. Luego, en total hay n n + k k 1 subconjuntos de A con cardinalidad k: Por el lema 1.4.1 se obtiene el resultado para n + 1: Como consecuencia de lo anterior, si A tiene n elementos entonce P (A) tiene 2n elementos. Invitamos al lector a escribir la demostración en detalle. Ejemplo 1.4.9 ¿Cuántos números naturales menores que 106 se pueden formar usando solo los dígitos 0 y 1? Hay seis espacios a ser llenados con ceros y unos. Los números de menos de seis cifras se pueden completar con ceros a la izquierda. Para determinar uno de estos números, es su…ciente determinar los espacios en que deben colocarse los ceros. El problema es entonces equivalente a determinar el número de subconjuntos que tiene un conjunto de seis elementos y ese número es 26 = 64: Alternativamente, en este ejemplo se puede argumentar que cada espacio tiene dos posibilidades y, como son seis espacios, se obtiene en total 2 2 2 2 2 2 = 26 posibilidades. Ejemplo 1.4.10 ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras A y B; de manera que la A aparezca tres veces y la B aparezca cuatro veces? El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero 31 Note que las palabras son de siete letras. Para formar una de ellas, es su…ciente determinar los espacios en que se debe colocar la letra A; así que el problema es el de hallar cuantos subconjuntos de tres elementos tiene un conjunto de siete elementos. Obtenemos: 7 3 = 35 palabras distintas. Ejemplo 1.4.11 ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras A, B y C; de manera que la A aparezca tres veces, la B aparezca cuatro veces y la C cinco veces? Ahora las palabra tienen 12 letras. Primero escogemos los espacios para la A, luego para la B y los espacios de la C quedan automáticamente determinados. Los espacios para la A se 9 pueden escoger en 12 3 = 220 maneras. Para cada una de esas escogencias, hay 4 = 126 maneras de escoger los espacios para la B: En total hay 12 3 9 4 = 220 126 = 27 720 palabras distintas. Observe que 12 3 9 4 = 12! : 3!4!5! Lema 1.4.3 Si A tiene k elementos y B tiene n elementos, existen n! (n k)! = n (n 1) : : : (n k + 1) funciones inyectivas de A en B: Si A = fa1 ; : : : ; ak g ; la idea es que una función inyectiva de A en B se determina de la siguiente manera: Primero se escoge un elemento cualquiera de B como imagen de a1 ; para lo cual hay n posibilidades. Luego se escoge un elemento como imagen de a2 , de los n 1 restantes. Estas dos imágenes se pueden escoger en n (n 1) maneras y así sucesivamente. El lector interesado puede realizar una demostración por inducción. En el caso particular k = n; obtenemos que el número de permutaciones de n objetos es n!: Ejemplo 1.4.12 Si tenemos siete letras distintas, digamos A; B; C; D; E; F; G y queremos formar palabras de siete letras usando cada una de estas, obtenemos un total de 7! = 5040 palabras. Ejemplo 1.4.13 Si queremos formar palabras de siete letras distintas, usando cualesquiera letras de un alfabeto de 28 letras, se obtiene un total de 28! = 5967 561 600 (28 7)! palabras. El paso de los racionales a los reales. 1.4.5. A. Duarte & S. Cambronero 32 Existencia de raíces. El caso general El arumento utilizado para demostrar la existencia de la raíz cuadrada, se puede generalizar con pequeñas modi…caciones. Comenzamos con un par de lemas que nos serán de utilidad. Lema 1.4.4 Para 0 < " < yn 2 se tiene ")n > ( Demostración En efecto, como ( " > n n n 1 ": 1 la desigualdad de Bernoulli implica ")n = n 1+ " n n > 1+ " n Lema 1.4.5 Para a > 0 y 0 < " < 1 se tiene ( + ")n < Demostración Como 0 < " < 1 se tiene "k < " para cada k propiedades de las sumatorias: ( + ")n = n n = n n n 1 ": + ( + 1)n ": 1: Luego, por la fórmula del binomio y las + n X n k n k k " k=1 < n X n n + k k=1 n X n k n k < n +" = n + " ( + 1)n : k=0 " n k Finalizamos este capítulo con el importante: Teorema 33 Dados 2 n 2 N y 0 < a 2 R, existe > 0 único tal que n = a: Demostración Consideramos el conjunto A = fx 2 R : x 0 y xn ag : Como 0 2 A se tiene A 6= ;: Por otro lado x > a + 1 ) xn > (a + 1)n > a + 1 > a ) x 2 = A: Esto demuestra que a + 1 es cota superior de A: Por el axioma del extremo superior, existe = sup A: Vamos a demostrar que n = a y, para esto, debemos descartar las posibilidades n > a y n < a: Veamos: El paso de los racionales a los reales. 1. Si n A. Duarte & S. Cambronero > a; tomemos " > 0 tal que n "<mn ; a : n 1 n Por el lema 1.4.4 se tiene ")n > ( Esto signi…ca que n n 1 n n "> n ( a) = a: " es cota superior de A; lo cual contradice la de…nición de : 2. Si an < a; tomemos " > 0 tal que " < m n 1; n a ( + 1)n : Por el lema 1.4.5 se tiene ( + ")n < y esto signi…ca que + ( + 1)n " < n n + (a ) = a; + " 2 A; lo cual contradice la de…nición de : Esto demuestra que efectivamente 1.4.6. n n = a: La unicidad se deja como ejercicio. Ejercicios 1. Demuestre con todo detalle que n X ak = k=1 n X1 ak+1 = k=0 n+1 X ak 1; k=2 n X ak = k=0 n X an k: k=0 2. Demuestre las propiedades de las sumatorias que se enunciaron en el texto. 3. Calcule las sumas: n X k2 ; k=3 n X 2k ; k=1 n X k+1 k+2 k k+1 k=m 4. Demuestre el lema 1.4.1. 5. Use la fórmula del binomio para demostrar que n X n k k=0 = 2n ; n X ( 1)k k=0 Concluya que si A tiene n elementos entonces: n k = 0: : 33 El paso de los racionales a los reales. A. Duarte & S. Cambronero a) P (A) tiene 2n elementos. b) A tiene 2n 1 subconjuntos de cardinalidad par y 2n impar. 1 34 subconjuntos de cardinalidad 6. Para ; " reales positivos, demuestre que ( + ")n > n + n n 1 ": p p p p 7. Demuestre que si k; n 2 N entonces k n 2 N [ I. Concluya que 3 2; 4 15 y 5 20 son irracionales. 8. Compruebe que cada uno de los siguientes números es un racional: p p p p 3 3 a) r = 20 + 14 2 + 20 14 2 p p p p p 4 4 b) r = 2 7+4 3 7 4 3 9. Sean a y b dos números reales positivos y sea n 2 N. Demuestre que (a + b)n < 2n (an + bn ) : Recuerde que (an bn ) (a b) > 0: 10. Demuestre que para n 2 N se tiene: n X p 1 p > n: k k=1 11. Demuestre usando inducción la fórmula de las sumas telescópicas: n X (ak ak+1 ) = a0 an+1 : k=0 12. Use el ejercicio anterior para calcular: n X p p k k+1 ; k=0 n X k=0 1 : k (k + 1) 13. Cinco personas se quieren sentar en una sala en la que hay ocho asientos. ¡De cuántas maneras se pueden distribuir en dichos asientos? 14. Tres hombres y cuatro mujeres se quieren sentar en …la de manera que los tres hombres queden separados. ¿De cuántas maneras lo pueden hacer? 15. Resuelva el ejercicio anterior, pero de manera que los tres hombres queden juntos. 16. Resuelva el ejercicio anterior, pero de manera que exactamente dos hombres queden juntos. 17. Dé un argumento para demostrar el teorema del binomio usando la combinatoria. Capítulo 2 Sucesiones Numéricas 2.1. Introducción Las sucesiones numéricas están presentes en la enseñanza secundaria, de una manera implícita, principalmente en temas como expansiones decimales. Dado que algunos conceptos del análisis real, como el de número irracional, el de completitud y el de densidad, por mencionar algunos, son presentados con base en un manejo intuitivo de las expansiones, es de suma importancia que el educador de enseñanza media domine los principales conceptos y resultados de esta teoría. La importancia de este tema dentro de la matemática no se cuestiona, sirviendo de base para la construcción de conjuntos numéricos, la simpli…cación de conceptos (relacionados con continuidad de funciones, compacidad, etc.), el abordaje de problemas de existencia (de raíces, teoremas de punto …jo, existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales), y de extensiones (extensiones de funciones de Q a R por ejemplo), en aproximación (de funciones, y en espacios abstractos, de ciertos tipos de transformaciones), y en muchos otros aspectos de la matemática. Uno de los objetivos de este capítulo es lograr comprender la gran utilidad de las sucesiones, no solo desde un punto de vista teórico, sino también como herramienta que permite simpli…car conceptos y presentarlos de una manera más intuitiva, sobre todo aquellos con los que se enfrentará como profesor de secundaria. 2.2. Conceptos básicos Intuitivamente, una sucesión es un “conjunto ordenado” de la forma: a = (a0 ; a1 ; a2 ; : : :) ; donde los elementos pueden repetirse, esto es, puede suceder que ai = aj , para i 6= j. Más rigurosamente: 35 Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 36 De…nición 2.2.1 Una sucesión numérica es una función a : N ! R. Para n 2 N se denota an = a(n), y se le llama el n ésimo término de la sucesión. La sucesión a se denota por (an ) o también (an )n2N . Ejemplo 2.2.1 La sucesión a : N ! R de…nida por an = a= 1 n+1 n2N 1 n+1 ; se puede denotar por = 1; 12 ; 31 ; : : : ; n1 ; : : : : Ejemplo 2.2.2 Una sucesión se llama constante si satisface an = c para cada n 2 N, donde c 2 R. Ejemplo 2.2.3 Si an = 1 + 1 2 1 + ( 1)n+1 ; entonces an = 1 si n es par 2 si n es impar. El concepto de sucesión se puede ampliar a funciones de…nidas a partir de cierto n0 2 N. Cuando escribimos (an )n n0 nos referimos a una función a : fn0 ; n0 + 1; : : :g ! R. En particular, (an )n2N se puede denotar también como (an )n 0 : Ejemplo 2.2.4 La sucesión a = Intuitivamente se escribe Ejemplo 2.2.5 Para a = sentido escribir 2.2.1. 1 n n 1 es la función a : N ! R, de…nida por an = 1 n n 1 = 1; 21 ; 13 ; : : : : n n2 8n+7 n 8 n ; n2 8n+7 n2N se tiene a8 = 87 ; a9 = 9 16 ; : : : : 1 n: Nótese que no tiene pues el cociente se inde…ne en n = 1 y n = 7: Sucesiones monótonas Dado que las sucesiones son funciones reales de variable real (N R), la de…nición de sucesión monótona no es nueva para el lector. Sin embargo, las características propias de N nos permiten dar una de…nición más simple. En efecto, por ejemplo una sucesión será creciente cuando cumple la implicación n < m ) an am ; y para esto basta que se cumpla an an+1 para cada n 2 N. De…nición 2.2.2 La sucesión (an ) se llama creciente si an an+1 para cada n 2 N; y estrictamente creciente si an < an+1 para cada n 2 N. Similarmente, (an ) se llama decreciente (estrictamente) si an an+1 (an > an+1 ) para cada n 2 N: Se dice que una sucesión es monótona si es creciente o decreciente, y estrictamente monótona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Sucesiones Numéricas. Ejemplo 2.2.6 La sucesión cada n 2 N. A. Duarte & S. Cambronero 1 n+1 es estrictamente decreciente, dado que 1 n+1 > 1 n+2 37 para Ejemplo 2.2.7 La sucesión constante (c)n2N es creciente y decreciente, pero no estrictamente. Ejemplo 2.2.8 La sucesión n 2 = (0; 0; 1; 1; 2; 2; : : :) es creciente, pero no estrictamente. Ejemplo 2.2.9 La sucesión (( 1)n )n2N no es creciente ni decreciente. 2.2.2. Rango de una sucesión El rango de una sucesión se de…ne como su ámbito, al ser considerada como función. De…nición 2.2.3 Se de…ne el rango de la sucesión (an )n R = rango (an ) = fan : n n0 como el conjunto n0 g : Ejemplo 2.2.10 El rango de la sucesión (( 1)n ) es el conjunto R = f 1; 1g : Ejemplo 2.2.11 El rango de la sucesión (an ) de…nida por an = n + ( 1)n n 4 es N. En efecto, note que an = 0 si n es impar, y an = k si n = 2k: Esto demuestra que R N (cada an es natural) y N R (para cada k 2 N se tiene k = a2k 2 R). Luego R = N. Ejemplo 2.2.12 Se de…ne la sucesión (an ) por 8 n+1 > < si n es impar 2 an = n > : si n es par. 2 Entonces (an )n2N = (0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; : : :) ; y parece evidente que el rango de (an ) es Z. De hecho, el lector puede veri…car que la función a : N ! Z es biyectiva. k Ejemplo 2.2.13 Se de…ne xn = n 2k2 para 2k n < 2k+1 : El rango de esta sucesión es el conjunto formado por todos los diádicos en [0; 1] ; el cual es un conjunto denso en dicho intervalo. Nota: Como veremos más adelante, existen sucesiones cuyo rango es todo Q (esto es, Q es numerable), pero no existen sucesiones cuyo rango sea todo R (R no es numerable). Sucesiones Numéricas. 2.2.3. A. Duarte & S. Cambronero 38 Sucesiones acotadas Hablaremos de acotación de una sucesión de acuerdo con la acotación de su rango, como precisamos a continuación. De…nición 2.2.4 La sucesión (an ) se llama acotada superiormente si su rango es un conjunto acotado superiormente, es decir, si existe b 2 R tal que an b para cada n 2 N. La sucesión se llama acotada inferiormente si su rango lo es, y se llama acotada si su rango es acotado. Nótese que la acotación de (an ) es equivalente a la existencia de una constante T > 0 tal que jan j T para cada n 2 N: Se invita al lector a veri…car esto con todo detalle. Ejemplo 2.2.14 Las sucesiones se tiene jan j 1 para cada n 2 N. 1 n+1 y (( 1)n ) son acotadas. En efecto, en ambos casos Ejemplo 2.2.15 La sucesión (( 1)n n) no es acotada ni superior ni inferiormente. En efecto, dado b 2 R existe un natural par n > b (por arquimedianidad), y entonces an = n > b: Igualmente, dado c 2 R existe un natural impar m > c; de donde am = m < c: p Ejemplo 2.2.16 La sucesión ( n) es acotada inferiormente, pero no superiormente. En p efecto, como n 0 tenemos acotación inferior. Por otro lado, dado b > 0; por arquimedip anidad existe n 2 N tal que n > b2 ; y esto implica an = n > b. Nota: En los ejemplos anteriores hicimos uso de un hecho que, aunque deducible en forma directa de la de…nición, conviene escribir explícitamente como un lema. Lema 2.2.1 La sucesión (an ) es no acotada superiormente si, y solo si, para cada b > 0 existe n 2 N tal que an > b: La sucesión es no acotada inferiormente si, y solo si, para cada c < 0 existe n 2 N tal que an < c: Se invita al lector a escribir una demostración con todo detalle. 2.2.4. Colas de una sucesión En lo que sigue nos dedicaremos a estudiar el comportamiento de las sucesiones para valores grandes de n: En dicho estudio, el comportamiento de la sucesión en los primeros m términos (para cualquier m) es irrelevante. Nos interesa únicamente lo que pasa en las “colas”, que de…nimos a continuación. Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 39 De…nición 2.2.5 Dada (an ) y m 2 N, la sucesión (bn ) de…nida por bn = am+n ; se llama una cola de (an ) : Nótese que, si (an ) comienza en n = 0; (bn ) = (am+n ) = (am ; am+1 ; : : :) : Ejemplo 2.2.17 La sucesión Ejemplo 2.2.18 La sucesión 1 n+4 n2N p n + 10 = 1 1 5; 6; : : : n2N = p es una cola de la sucesión 1 n+1 n2N : p p 10; 11; : : : es una cola de ( n)n2N . El siguiente lema pone de mani…esto la importancia del concepto de cola, en cuanto a la acotación de sucesiones. Lema 2.2.2 Dada una sucesión (an ) ; las siguientes proposiciones son equivalentes: (i) La sucesión (an ) es acotada (ii) Todas las colas de (an ) son acotadas (iii) Una cola de (an ) es acotada. Demostración Basta con demostrar que (i) ) (ii) ) (iii) ) (i): Para demostrar que (i) implica (ii); suponemos que (an ) es acotada. Entonces existe b > 0 tal que jan j b para cada n 2 N. Luego, dado m 2 N se tiene jam+n j b; y esto signi…ca que la cola (am+n ) es acotada. La implicación (ii) ) (iii) es evidente. Para demostrar que (iii) implica (i); supongamos que (am+n ) es una cola acotada. Entonces existe b > 0 tal que jam+n j b para cada n 2 N, y esto quiere decir que jak j b para k m: Luego, si c = max (ja0 j ; : : : ; jam 1 j ; b) se tiene jan j c para todo n 2 N. El resultado anterior sigue siendo válido si se cambia “acotación” por “acotación superior”, o por “acotación inferior”. Se invita al lector a escribir estos resultados. Nota: Las sucesiones (am+n )n2N y (an )n m tienen diferente dominio, y por lo tanto son diferentes. Sin embargo, es común confundirlas en la práctica, y de hecho nos referiremos a cualquiera de ellas como una cola de la sucesión (an ) : Esta identi…cación nos permite considerar, para efectos teóricos, solo sucesiones que comienzan en n = 0: En adelante haremos uso de esto, sin más comentario al respecto. Sucesiones Numéricas. 2.2.5. A. Duarte & S. Cambronero 40 Ejercicios 1. Demuestre que (an ) es creciente si y solo si satisface n < m ) an am : Demuestre equivalencias similares para crecimiento estricto, decrecimiento y decrecimiento estricto. 2. La observación hecha al …nal de la sección 2.2.4 se puede formalizar así: En el conjunto S de todas las sucesiones numéricas, decimos que (xn )n n0 es equivalente a (yn )n n1 si xn = yn+n1 n0 para cada n n0 : Demuestre que, efectivamente, esta relación es de equivalencia. 3. Estudie la monotonía y acotación de las siguientes sucesiones: an = n+1 ; n+2 bn = p n2 + 1; cn = 1 5 n2 : 4. Considere la sucesión a de…nida por an = m n fp > n : p es primog : Demuestre que a está bien de…nida. Escriba explícitamente los primeros 20 términos de esta sucesión. ¿Cuál es el rango de a ? 5. Si an es el último dígito de 2n ; halle el rango de la sucesión (an ) : Haga lo mismo con (bn ) ; donde bn es el último dígito de n + 2n : 6. Demuestre el lema 2.2.1. 7. Demuestre que toda sucesión de rango …nito es acotada. 8. ¿Será cierto que una sucesión es monótona si y solo si cada una de sus colas es monótona? Demuestre o dé un contraejemplo, según corresponda. 9. ¿Será cierto que una sucesión es monótona si y solo si tiene una cola monótona? Demuestre o dé un contraejemplo, según corresponda. 10. Demuestre las a…rmaciones hechas en el ejemplo 2.2.13. 11. Si 0 a < " para cada " > 0; demuestre que a = 0: Sucesiones Numéricas. 2.3. 2.3.1. A. Duarte & S. Cambronero 41 Convergencia y divergencia De…nición y propiedades El estudio del comportamiento de las sucesiones para valores grandes de n; es de vital importancia en matemática. Intuitivamente, diremos que la sucesión (xn ) converge a x 2 R si, para valores grandes de n; el término xn está cerca de x: Para precisar esto mejor, tomamos un intervalo ]x "; x + "[; con " > 0: Si los xn se acercan a x; debe tenerse xn 2 ]x "; x + "[ para n su…cientemente grande. Esto sugiere la siguiente de…nición. De…nición 2.3.1 Decimos que la sucesión (xn ) converge a x 2 R si para todo " > 0; existe algún N 2 N tal que jxn xj < " para cada n N: En tal caso decimos también que la sucesión (xn ) es convergente, y que su límite es x. Escribimos l m xn = x: n!1 También se usa la notación xn ! x: Si no existe tal x, decimos que la sucesión (xn ) es divergente. Ejemplo 2.3.1 La sucesión constante (c)n2N converge a c. En efecto, dado " > 0 se puede tomar N = 0; dado que se tiene jan cj = 0 < " para todo n 0: Ejemplo 2.3.2 La sucesión n1 n 1 converge a x = 0. Para ver esto, tomemos " > 0. Debemos hallar N de manera que n1 < " para todo n N: Esto es equivalente a tener n > 1" para n N: Entonces basta tomar N = 1" + 1, en efecto: n N )n> 1 ) jan " 0j = 1 n < ": n2 1 converge a x = 1: En efecto, dado n2 + 1 1j < " : Ejemplo 2.3.3 La sucesión (an ) de…nida por an = " > 0; veamos qué necesitamos para que jan n2 1 n2 + 1 2 2 < " , < n2 + 1: +1 " q hhq ii 1 Para que esto ocurra basta que n2 > 2" ; esto es n > 2" : Entonces tomando N = " +1 se obtiene: n N ) jan 1j < ": jan 1j < " , 1 <", n2 Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 42 Ejemplo 2.3.4 La sucesión (( 1)n ) es divergente. Para ver esto procedemos por contradicción. Supongamos que existe l 2 R tal que ( 1)n ! l. Tomando " = 1, por de…nición existe N tal que j( 1)n lj < 1 para todo n N: Pero entonces, tomando un número par n N se obtiene j1 lj < 1; lo que implica l > 0: Similarmente, tomando un impar n N se obtiene l < 0. Esto es evidentemente contradictorio, y por lo tanto la sucesión diverge. Es importante convencerse de que una sucesión no puede converger a dos límites diferentes. Veamos: Lema 2.3.1 Si (an ) converge, su límite es único. Demostración Supongamos que a y b son límites de (an ), y sea " > 0. Por de…nición existen N1 y N2 tales que jan aj < 2" para n N1 ; jan bj < 2" para n N2 : Tomando n = maxfN1 ; N2 g se tiene entonces: ja bj = ja Se concluye entonces que ja la sección anterior). an + an bj ja an j + jan bj < ": bj < " para cada " > 0; con lo cual a = b (ver ejercicio 11 de El siguiente resultado permite, entre otras cosas, demostrar con facilidad que ciertas sucesiones son divergentes. Lema 2.3.2 Toda sucesión convergente es acotada. Demostración Supongamos que an ! a. Entonces tomando " = 1; existe N 2 N tal que para todo n se tiene jan aj < 1: Por la desigualdad triangular se sigue que para n N : jan j = j(an Esto demuestra que la cola (an )n a) + aj N jan aj + jaj N 1 + jaj : es acotada, y consecuentemente (an ) lo es. Nótese que el recíproco es falso, puesto que por ejemplo la sucesión (( 1)n ) es acotada pero divergente. p Ejemplo 2.3.5 La sucesión ( n) es divergente. En efecto, si fuera convergente sería acotada, pero ya sabemos que no es acotada. Ejemplo 2.3.6 La sucesión (n ormente (demuéstrelo). n2 ) es también divergente, dado que no es acotada inferi- Sucesiones Numéricas. 43 A. Duarte & S. Cambronero El teorema siguiente demuestra que la convergencia de una sucesión se puede determinar considerando una cola cualquiera. Teorema 34 Para una sucesión (an ) cualquiera, las siguientes propiedades son equivalentes: (i) (an ) converge a x (ii) Toda cola de (an ) converge a x (iii) Una cola de (an ) converge a x: Demostración Demostraremos que (i))(ii))(iii))(i). (i ) (ii) : Supongamos que (an ) converge a x; y tomemos cualquier m 2 N. Dado " > 0; existe N tal que jan xj < " para n N: Para n N se tiene m + n (am+n ) converge a x: N y por lo tanto jam+n xj < ": Esto demuestra que la cola (ii))(iii): Esto es inmediato. (iii))(i): Sea (am+n ) una cola que converge a x: Dado " > 0 existe N1 2 N tal que jam+n xj < " para n N1 : Tomamos N = N1 + m: Si n N se tiene n m N1 y por lo tanto jan am+(n m) x < ": Esto demuestra que (an ) converge a x también. Ejemplo 2.3.7 La sucesión sión 1 n+11 xj = converge a cero, puesto que esta es una cola de la suce- 1 n n 1: Ejemplo 2.3.8 Considere la sucesión de…nida por an = n2 1 n si n < 1000 si n 1000: Entonces la cola (a1000+n ) converge a cero, pues también es cola de anterior, an ! 0: 1 n n 1: Por el teorema Nota: De la de…nición se observa que las cuatro propiedades siguientes son equivalentes: 1. La sucesión (an ) converge a x (an ! x). 2. La sucesión (an 3. La sucesión (x x) converge a cero (an an ) converge a cero (x x ! 0). an ! 0). Sucesiones Numéricas. 4. La sucesión (jan 44 A. Duarte & S. Cambronero xj) converge a cero (jan xj ! 0). En efecto, al escribir la de…nición de cada una de ellas, observamos que son idénticas. Por ejemplo, la de…nición de que jan xj ! 0 es la siguiente: Para todo " > 0 existe N tal que jjan Pero eso es lo mismo que jan an ! x: xj 0j < " para n N: xj < "; por lo que coincide con la de…nición de convergencia 1 Ejemplo 2.3.9 La sucesión n n 1 converge a cero, pues sabemos que nota anterior, esto es equivalente a 0 n1 ! 0: Ejemplo 2.3.10 Considere la sucesión a = 1 an = 1 n+1 Nótese que an = 1 ! 0 y, por la 1 n+1 ; así que ! 0. Por lo tanto an ! 1: Ejemplo 2.3.11 La sucesión demostramos que n2 n2 2 n2 +1 converge a cero. En efecto, en un ejemplo anterior 1 ! 1; y entonces +1 2 =1 n2 + 1 2.3.2. n n+1 n2N . 1 n n2 1 ! 0: n2 + 1 Divergencia a in…nito Ya demostramos que las sucesiones no acotadas son divergentes. Dentro de este tipo de sucesiones, podemos identi…car aquellas que deciden alejarse inde…nidamente a la derecha o a la izquierda, en la recta numérica. De…nición 2.3.2 Decimos que (an ) diverge a 1; si para todo b > 0 existe N 2 N tal que an b para todo n N: En tal caso se escribe an ! 1; o también l m an = 1: n!1 Diremos que (an ) diverge a 1 si ( an ) diverge a 1: En otras palabras an ! 1, an ! 1: p Ejemplo 2.3.12 La sucesión ( n) diverge 1, pues dado b > 0, basta tomar N > b2 (por ejemplo N = [[b2 ]] + 1) para obtener: p n b para todo n N: Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero Ejemplo 2.3.13 La sucesión (n así que an > b cuando n Esto demuestra que n2 ) diverge a 45 1, pues an = n (n 1) > (n 1)2 ; p p 1 > b: Tomando N > 1 + b se tiene: p n N ) n 1 > b ) an > b: an ! 1; y por lo tanto an ! 1: Ejemplo 2.3.14 La sucesión (( 1)n n) no es acotada ni superiormente ni inferiormente. Además, esta sucesión no diverge a 1: En efecto, como an cambia de signo inde…nidamente, no podemos tener an > 0 para n N: Tampoco se tiene an ! 1: 2.3.3. Cálculo de límites Las técnicas más usadas en el cálculo de límites de sucesiones, se basan en la comparación de estas con otras sucesiones previamente analizadas. Para esto, se requieren algunos resultados que nos permitan este tipo de comparaciones. Lema 2.3.3 Si an ! x; y si c 2 R, entonces can ! cx: Demostración. En efecto, dado " > 0 existe N tal que jan xj < tiene: jcan cxj = jcj jan " ; para n jcj + 1 jcj xj Ejemplo 2.3.15 Por el lema anterior, la sucesión 1 n2 +1 Ejemplo 2.3.16 La sucesión y entonces n2 N: Luego para n N se " < ": jcj + 1 8 n converge a cero, dado que converge a cero, pues ya demostramos que 1 8 =8 . n n 2 n2 +1 ! 0; 1 1 2 1 = ! 0 = 0: 2 +1 2 n +1 2 Lema 2.3.4 Suponga que (an ) y (bn ) son sucesiones convergentes, y que existe n0 tal que an bn para todo n n0 : Entonces l m an n!1 l m bn : n!1 Demostración Sea a = l m an y b = l m bn . Debemos demostrar que a n!1 n!1 b: Procedemos por contradicción. Si a > b entonces a b > 0: Tomando " = 12 (a b) ; la de…nición de convergencia nos dice que existe n1 2 N tal que a " < an < a + " para n n1 Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 46 y de la misma forma existe n2 2 N tal que b " < bn < b + " para n n2 : Tomando n = max (n0 ; n1 ; n2 ) se obtiene: a+b =a 2 bn < b + " = " < an lo cual es evidentemente contradictorio. Por lo tanto a bn ; b: En particular, si an 0 a partir de cierto n0 , entonces l m an 0: n!1 El siguiente teorema es la principal herramienta que utilizaremos para comparar sucesiones con otras previamente estudiadas. Teorema 35 (Ley del emparedado) Suponga que las sucesiones (bn ) y (cn ) son convergentes a x, y que existe n0 tal que bn an cn a partir de n0 . Entonces (an ) también converge a x. Demostración Dado " > 0, existe n1 2 N tal que jbn lj < " para n n1 jcn lj < " para n n2 : y existe n2 tal que Tomando N = max (n0 ; n1 ; n2 ) se tiene l " < bn an cn < l + " para n N: Por lo tanto (an ) converge a x. El siguiente lema se demuestra en forma similar, y queda como ejercicio para el lector. Lema 2.3.5 Si bn ! 1 y existe n0 tal que bn Ejemplo 2.3.17 La sucesión que 1 n !0y 1 n ( 1)n n an para n n0 , entonces an ! 1: converge a 0 debido a que 1 n ( 1)n n 1 n ! 0: Ejemplo 2.3.18 Consideremos la sucesión de…nida por an = Note que n2 + 4n + 6 > n2 ; mientras 8n an < n2 + 8n 45 : n2 + 4n + 6 45 < 8n: Entonces para n 8 n2 + 8n =1+ : 2 n n 1 tenemos y sabemos Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 47 Por otro lado, se observa que an En efecto: 1 , n2 + 8n , n 51 4 : an Tenemos entonces que 1 concluye que an ! 1: 1 para n an 1+ 13: n2 + 4n + 6 45 8 para n n 13; y por el teorema del emparedado se p Ejemplo 2.3.19 Considere la sucesión an = n a; donde a > 1 es …jo. Tomando "n = p n a 1 > 0; tenemos por la desigualdad de Bernoulli que p n a = n a = (1 + "n )n 1 + n"n > n"n : Esto demuestra que a n por el teorema del emparedado se sigue que "n ! 0. Consecuentemente an = 1 + "n ! 1: 0 < "n Si an ! x 6= 0, entonces eventualmente debe tenerse an 6= 0: Mejor aún, el lema siguiente demuestra que an se mantiene lejos del origen eventualmente. Lema 2.3.6 Supongamos que an ! x 6= 0: Entonces existe n0 tal que jan j > n n0 : 1 2 jxj para Demostración Para " = 12 jxj, por la de…nición de convergencia existe n0 tal que jan xj < 1 2 jxj para n Por la desigualdad triangular se sigue que jxj a lo enunciado. jan j < 1 2 n0 : jxj para n n0 ; lo que es equivalente El cálculo de límites de sucesiones, se simpli…ca enormemente con el uso del siguiente teorema: Teorema 36 Sean (an ) y (bn ) sucesiones convergentes, con an ! a y bn ! b: Entonces: 1. (Ley de la suma) an + bn ! a + b: 2. (Ley del producto) an bn ! ab: 3. (Ley del cociente) Demostración an a ! siempre que b 6= 0: bn b Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 48 1. Dado " > 0 existen n0 y n1 tales que jan aj < " 2 para n jbn n0 ; bj < " 2 para n n1 : Tomando N = max (n0 ; n1 ) se obtiene j(an + bn ) para n (a + b)j = j(an a) + (bn jan b)j bj < " N: Esto demuestra que an + bn ! a + b: T para cada n 2 N. Luego: 2. Como (bn ) es convergente, existe T > 0 tal que jbn j jan bn abj = j(an jan T jan Como jan que aj + jbn aj ! 0 y jbn a) bn + a (bn b)j ajjbn j + jajjbn bj aj + jaj jbn bj : bj ! 0; la ley de la suma y el lema 2.3.3 permiten concluir T jan aj + jaj jbn bj ! 0: Por el teorema del emparedado concluimos que l m jan bn n!1 abj = 0: 3. Por el lema anterior, existe n0 tal que jbn j > de…nida a partir de n0 y se tiene: 1 bn 1 2 jbj a partir de n0 : Luego 1 2 jbn bj < 2 jbn = b jbn jjbj b bj : Por el lema 2.3.3 y el teorema del emparedado concluimos que 1 bn 1 ! 0: b Combinando con la ley del producto obtenemos an 1 1 a = an !a = : bn bn b b Nota: Combinando la ley de la suma con el lema 2.3.3 obtenemos: can + dbn ! ca + db: an bn está Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero Ejemplo 2.3.20 Sea an = 1 : n2 Como 1 ! 0 la ley del producto nos permite concluir que n an = Ejemplo 2.3.21 Si an = 1 + 3 n 5 n2 1 1 ! 0: n n tenemos que an ! 1; por la ley de la suma. n 1 1 tenemos an = !0 +1 n 1 + n12 ley del producto, la ley del cociente y el ejemplo 2.3.20. Ejemplo 2.3.22 Si an = n2 Ejemplo 2.3.23 Considere an = an = 1 1+0 = 0: Aquí usamos la n2 + 3n 5 : Factorizando n2 obtenemos 2n2 + 40n + 6 n2 1 + n2 49 2+ 3 n 40 n 5 n2 + n62 = 1+ 2+ 3 n 40 n 5 n2 + n62 1 ! : 2 Utilizamos la ley de la suma, el lema 2.3.3, los ejemplos anteriores y la ley del cociente. Ejemplo 2.3.24 Si an = n + cos n tenemos 3n + 1 n 1 3n + 1 Además an 1 n 1 = 3n + 1 3+ n+1 : 3n + 1 1 n 1 n 1 ! ; 3 así que por el teorema del emparedado se obtiene an ! 13 : 2.3.4. Otras propiedades Las propiedades anteriores nos permiten deducir una serie de otras propiedades que nos facilitan aún más el cálculo de límites de sucesiones. Veamos algunas de ellas: Lema 2.3.7 Si an ! a y si p 2 N , entonces apn ! ap : Demostración Para p = 1 el resultado es evidente. Asumiendo que apn ! ap ; por la regla del producto concluimos que ap+1 = apn an ! ap a = ap+1 ; y entonces el resultado se obtiene por n inducción. Ejemplo 2.3.25 Dado que 1 n ! 0; entonces para cada p 2 N se tiene 1 ! 0: np Sucesiones Numéricas. 50 A. Duarte & S. Cambronero Ejemplo 2.3.26 La sucesión de…nida por bn = 1+ 100 n+3 2n + 5 converge a 3 100 : 2 En efecto, tenemos bn = a100 n ; donde 1+ n+3 =1+ 2n + 5 2+ p p Lema 2.3.8 Si an ! a > 0; entonces an ! a: an = 1 + 3 n 5 n !1+ Demostración Por el lema 2.3.6 existe n0 tal que an > 0 para n p l m an : Para n n0 se tiene p an p 3 1 = : 2 2 n0 : Entonces tiene sentido hablar de jan aj p a =p an + a 1 p jan a aj : El teorema del emparedado se encarga del resto. De la misma forma podemos proceder con raíces de índice arbitrario. Recordemos la identidad: xp y p = (x y) xp 1 + xp para x; y 2 R y p 2 N: Si x; y son positivos se tiene xp 1 + xp 2 2 y + : : : + yp y + : : : + yp yp 1 1 ; y al tomar valor absoluto en la identidad (2.1) se obtiene jxp y p j y p p p Aplicando esto a x = p an ; y = p a se sigue que jan aj a(p 1)=p 1 p p jx yj : an p p a Por el teorema del emparedado obtenemos: Lema 2.3.9 Si an ! a > 0 y p 2 N , entonces p p an ! p p a: Ejemplo 2.3.27 Para la sucesión (an ) de…nida por p n + 3 8n6 + 7n + 3 an = 4n2 + 5 se tiene, al factorizar n2 : an = Por el lema anterior se tiene r 3 y por lo tanto an ! 12 : 8+ 1 n + q 3 8+ 4+ 7 n5 4 n + 3 n6 : p 3 7 3 + 6 ! 8 = 2; 5 n n 0: 1 ; (2.1) Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 51 Ejemplo 2.3.28 Considere an = rn , donde r > 1: Por la desigualdad de Bernoulli se tiene an = (1 + (r y dado que n (r los ejercicios). 1))n 1 + n (r 1) 1) ! 1 se obtiene rn ! 1: En el caso 0 < r < 1 se obtiene rn ! 0 (ver p p Ejemplo 2.3.29 La sucesión an = n n converge a 1: En efecto, dado que n n > 1 escribimos p n n = 1 + "n y, por la fórmula del binomio: n = (1 + "n )n > Consecuentemente se tiene 0 < "2n < n (n 1) 2 "n : 2 2 n 1 ! 0; así "n ! 0: Finalmente an = 1 + "n ! 1: 2.3.5. Ejercicios 1. Estudie la convergencia. En caso de ser convergente, halle el límite: an = n n+1 n+1 n an = n( an = cos n an = 1 + ( 1)n p n sen n an = n+1 n2 + 3n + 1 an = 5n2 4 an = an = an = 1+( 1)n n an = 3n + ( 2)n 3n+1 + ( 2)n+1 hh 2 ii 1 n n 3 1)n ; ( 1)n n + ( 1)n an = 1 + n n+1 an = sen n 4 cos n2 2. Demuestre, utilizando la de…nición, la convergencia de las sucesiones: an = an = n n+1 an = ( 1)n n 2 1 n an = 1 n 3. Demuestre que una sucesión (an ) diverge a 9 n 10 cos n2 a) Si an ! a entonces jan j ! jaj 1 an ! 0 an 1+an ! 1 b) Si jan j ! 1 entonces c) Si an ! 1 entonces an = n sen n 2n2 1 n2 n+1 n2 +n+1 1 si y solo si satisface: Para todo b < 0 existe N 2 N tal que an 4. Demuestre que: an = b para n N: Sucesiones Numéricas. d ) Si an 1+an A. Duarte & S. Cambronero ! 1 entonces jan j ! 1: e) Si an ! 0 y an > 0 para cada n; entonces 1 an 52 ! 1: 5. Demuestre que: a) Toda sucesión que diverge a 1 es acotada inferiormente b) Toda sucesión que diverge a 1 es acotada superiormente. 6. Demuestre que son equivalentes: a) La sucesión (an ) diverge a 1: b) Toda cola de (an ) diverge a 1: c) Una cola de (an ) diverge a 1: 7. Demuestre el lema ??. Enuncie y demuestre la versión equivalente para divergencia a 1: 8. Considere la progresión geométrica an = cn ; con c …jo. a) Demuestre que esta sucesión diverge para jcj > 1: b) Demuestre que para jcj < 1; esta sucesión converge a cero. c) Analice los casos c = 1 y c = 1: 9. Demuestre que: p jan j ! 0: En general p jan j ! 0 p p b) Si an ! a entonces p jan j ! p jaj para cada p 2 N p p c) Si p es impar, también se tiene p an ! p a: a) Si an ! 0 entonces p 10. Suponga que an ! a y bn ! b. a) Si para todo N 2 N existe n N tal an = bn ;demuestre que a = b. b) En particular, si a2n = bn+7 para todo n; demuestre que a = b: c) Haga lo mismo si se tiene a2n = bn2 para todo n: 11. Demuestre que la sucesión dada por xn = Demuestre que xn+1 xn ! 0: an converge a 0, para todo a 2 R. Sug. n! Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 53 12. Demuestre usando la fórmula del binomio que si r > 1 entonces para n > k se tiene: rn > n k (r 1)k : Concluya que np rn ! 0 para p 2 Z y r > 1: ¿Qué se concluye en el caso 0 < r < 1? 13. Demuestre que: a) Si an ! 1 y (bn ) es acotada inferiormente, entonces an + bn ! 1: b) Si an ! 1 y (bn ) es acotada superiormente, entonces an + bn ! c) Si an ! 1 y bn b > 0 entonces an bn ! 1: 1: 14. Demuestre que si ' : N ! N es estrictamente creciente, entonces '(k) k para todo k 2 N. Si además ' no es la función identidad, demuestre que existe N 2 N tal que '(k) > k para k N . 2.4. Tópicos adicionales 2.4.1. Sucesiones recurrentes Cierto tipo de sucesiones suelen aparecer de…nidas no en forma explícita, sino a través de una relación recurrente que de…ne el término n ésimo en términos de los anteriores. En tales casos se dice que la sucesión está dada en forma recurrente. En algunos casos, es posible deducir una forma explícita con ayuda del principio de inducción, por ejemplo. Ejemplo 2.4.1 (Progresión aritmética) Sean a; c 2 R …jos, y de…namos a0 = a; an+1 = an + c: Obtenemos entonces (an ) = (a; a + c; a + 2c; : : :) : En general, por inducción se sigue que an = a + nc para todo n 2 N. Es claro que esta sucesión diverge a 1 si c > 0; y diverge a 1 si c < 0: En particular, la progresión aritmética converge si y solamente si c = 0: Ejemplo 2.4.2 (Progresión geométrica) Para c 2 R …jo, se de…ne la sucesión (xn ) por x0 = 1; y xn+1 = cxn . Por inducción se sigue que xn = cn para cada n 2 N. Para c > 1 esta sucesión diverge a 1: Por otro lado, si jcj < 1 la progresión geométrica converge a cero (ver los ejercicios de la sección anterior). p p Ejemplo 2.4.3 Se de…ne a1 = 2 y an = 2 + an 1 para n 2. Los términos de esta sucesión son r q q p p p 2; 2 + 2; 2 + 2 + 2; : : : : Ejemplo 2.4.4 La sucesión de Fibonacci se de…ne por F0 = F1 = 1; y Fn = Fn 1 Note que (Fn ) = (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; : : :) : + Fn 2 para n 2: Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 54 Ejemplo 2.4.5 Dada una sucesión (xn )n2N ; podemos de…nir una nueva sucesión (Sn )n2N por recurrencia de la siguiente manera: S0 = a0 ; S n = Sn 1 + an para n 1: Entonces Sn es una de…nición rigurosa de lo que entendemos como a0 + + an : A (Sn ) se le n P llama la sucesión de sumas parciales de (an ) : Se denota Sn = ak : Por ejemplo, si an = c k=0 para todo n; tenemos Sn = (n + 1)c: Ejemplo 2.4.6 Similarmente podemos de…nir una nueva sucesión (Pn )n2N por recurrencia así: P0 = a0 ; Pn = an Pn 1 para n 1: Se denota Pn = n Q ak : Por ejemplo, si an = c para n 1 tenemos Pn = a0 cn : k=0 El siguiente teorema nos ayudará a determinar la convergencia de ciertas sucesiones de…nidas por recurrencia. Teorema 37 (Weierstrass) Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Demostración Demostraremos el caso en que (an ) es acotada y creciente. Como la sucesión es acotada, el rango R de (an ) es conjunto acotado. Sea = sup R = supfan : n 2 Ng: Vamos a demostrar que la sucesión converge a : Por de…nición de supremo, dado " > 0 existe N 2 N tal que aN > ". Luego, como (an ) es creciente se tiene " < aN an para n N: Esto demuestra que an ! . El caso decreciente se trata de manera similar. Nota: Dado que toda sucesión creciente es acotada inferiormente, a la hora de utilizar este teorema es su…ciente veri…car que la sucesión es creciente y acotada superiormente (o decreciente y acotada inferiormente). Ejemplo 2.4.7 Considere la sucesión dada de manera recurrente por: p p a0 = 2; an = 2 + an 1 ; para n 1: Veremos que (an ) es creciente y acotada superiormente. Para esto probaremos usando inducción que, para todo n 2 N, se tiene an an+1 2. Sucesiones Numéricas. Para n = 0 : a0 = A. Duarte & S. Cambronero p 2 a1 = Paso inductivo: Si an an+1 p 2+ p esto es an+1 p an+2 2+2=2 2, se sigue al sumar 2 que: 2 + an y tomando raíces: p 2 55 p 2 + an 2: 2 + an+1 2 + an+1 p 4 2 + 2 = 2; Por el teorema de Weierstrass tenemos que existe 2 R tal que an ! las propiedades de los límites se tiene p p = l m an+1 = l m 2 + an = 2 + ; n!1 . Luego, por n!1 y entonces 2 2 = 0. Esto demuestra que (¿por qué?), se sigue que = 2: = 1ó = 2: Pero como a es positivo Note que el teorema anterior es imprescindible en este ejemplo, ya que la manipulación para hallar solo está justi…cada después de conocer su existencia. Ejemplo 2.4.8 (Intervalos encajados) Considere una sucesión (In )n2N de intervalos encajados. Es decir, para cada n 2 N se tiene In+1 In . Si In = [an ; bn ] se obtiene que (an ) es creciente y (bn ) es decreciente. Además, como a0 an bn b0 ; se concluye del teorema de Weierstrass que (an ) y (bn ) son convergentes. Nótese que = l m an n!1 así que T = l m bn ; n!1 In = [ ; ] : n2N Si además bn an ! 0; se concluye que = : Dos sucesiones (an ) y (bn ) se llaman adyacentes si satisfacen: 1. Para cada n : an bn 2. La sucesión (an ) es crecientes, y (bn ) es dececiente 3. La sucesión (bn an ) converge a 0: Notese que en el ejemplo anterior las sucesiones dadas son adyacentes. Más precisamente, las sucesiones (an ) y (bn ) son adyacentes si, y solo si, la sucesión ([an ; bn ]) es una sucesión de intervalos encajados con longitud convergente a 0: Es claro entonces que dos sucesiones adyacentes siempre convergen y ambas tienen el mismo límite. Ejemplos importantes de sucesiones adyacentes son tratados en el siguiente capítulo, en el tema de expansiones decimales. Sucesiones Numéricas. 2.4.2. A. Duarte & S. Cambronero 56 El número de Euler Considere la sucesión de…nida por Sn = n X 1 :: k! k=0 1 (n+1)! Es claro que (Sn ) es estrictamente creciente, dado que Sn+1 = Sn + para n 2 se tiene Sn > Sn : Además, n n X X 1 1 = 2+ <2+ k! k (k 1) k=2 k=2 n X = 2+ 1 k k=2 1 1 k 1 : n =3 La idea detrás de la última identidad es que n X k=2 1 k 1 k 1 = 1 2 1 + 1 3 1 2 + ::: + 1 n 1 1 n ; donde observamos que todos los términos intermedios se cancelan. El lector puede también veri…car esto por inducción. Se concluye que Sn < 3 1 < 3 para cada n 2 N ; n así que la sucesión (Sn ) es acotada. Por el teorema de Weierstrass se concluye que esta sucesión es convergente. Su límite se denota por e; y es conocido como el número de Euler. Se tiene entonces: n X 1 e= lm : n!1 k! k=0 La constante e se puede obtener también como el límite de la sucesión an = 1+ 1 n n ; como demostraremos a continuación. En primer lugar, nótese que an+1 = an 1+ 1 n+1 1 n+1 n + n1 = Aplicando la desigualdad de Bernoulli con x = an+1 an 1 n (n + 1)2 1 1 (n + 1)2 1 (n+1)2 n n+2 : n+1 se obtiene n2 + n + 1 (n + 2) n+2 = > 1; n+1 (n + 1)3 Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 57 para todo n 2 N . Esto demuestra que la sucesión (an ) es estrictamente creciente. Además, por el teorema del binomio se tiene an = n X n X n (n 1 = 2 + nk n k k=0 1) (n nk k=2 n X 1 < e: k! k + 1) 1 k! k=0 Por el teorema de Weierstrass se sigue que (an ) es convergente, y denotamos n!1 Se tiene entonces a n!1 e: Por otro lado, para m …jo y n an 2+ m X n (n 1) : m tenemos (n k + 1) 1 : k! nk k=2 n 1 n 1+ a = l m xn = l m (2.2) Para cada k 2 f2; : : : ; mg se tiene n (n 1) (n k + 1) ! 1; nk y como m está …jo se sigue que 2+ m X n (n 1) m X 1 k + 1) 1 !2+ = Sm : k! k! (n nk k=2 k=2 De (2.2) se concluye que a = l m an Sm para cada m 2 N. Tomando el límite en m se n!1 concluye que a e: Como ya sabíamos que a e; …nalmente obtenemos e=a= lm n!1 1+ Ejemplo 2.4.9 Estudiar la convergencia de an = 1 + an = 1+ Ejemplo 2.4.10 Calcular l m 1 + n!1 1 1 1+ 2 n 1 n 1 n : n2 n = " n 3 1+ Por ser n 1 n : 1 3n+1 : n 1 n ! e3 : 1+ 1 n n n2N # n2 1=n 1 1+ 2 n Por el teorema del emparedado se obtiene lm 1+ 1 n2 Tenemos: n = 1: creciente tenemos e1=n ! 1: Sucesiones Numéricas. 58 A. Duarte & S. Cambronero n2 n : Por ser 1 + n1 creciente, para n Ejemplo 2.4.11 Calcular l m 1 + n1 n2N emos 2 n 1 n 1 n 1+ 2n ! 1: = 1+ n n 1 ten- Por el teorema del emparedado para límites in…nitos se tiene 1 lm 1+ n 2.4.3. n2 = 1: Subsucesiones Una subsucesión de (an ) resulta de escoger ciertos términos en una forma ordenada, como por ejemplo: a2 ; a5 ; a8 ; a9 ; a12 ; a15 : : : : Para determinar la subsucesión basta con determinar los subíndices de los elementos que se escogerán. De…nición 2.4.1 Dada una sucesión a = (an ) ; y una función ' : N ! N estrictamente creciente, decimos que b = a ' es subsucesión de a: En otras palabras, la sucesión (bn ) es subsucesión de (an ) si existe tal ' de manera que bk = a'(k) para cada k 2 N. En tal caso se denota b = a'(k) ; ó b = (ank ), donde nk = '(k): Ejemplo 2.4.12 La sucesión b = (1)n2N es subsucesión de a = (( 1)n ). En efecto, tomando '(k) = 2k obtenemos bn = 1 = ( 1)2k = a2k : Igualmente, si tomamos '(k) = 2k + 1 obtenemos la subsucesión c = ( 1)n2N = (a2k+1 ) : Ejemplo 2.4.13 La sucesión (n)n2N es subsucesión de ([[ n3 ]]), considerando '(k) = 3k. Nota: Si ' : N ! N es estrictamente creciente, entonces '(k) k para todo k. Esto se demuestra por inducción, de acuerdo con el ejercicio 14 de la sección anterior. Lema 2.4.1 Si (an ) converge a l, entonces toda subsucesión (a'(k) ) converge a l. Demostración Dado " > 0, existe N 2 N tal que jan lj < " para cada n N . Por la observación anterior, para k N se tiene '(k) k N , y consecuentemente ja'(k) lj < " para k N . Como ejercicio se puede demostrar, de una manera similar, el siguiente lema: Lema 2.4.2 Si (an ) diverge a 1, cualquier subsucesión de (an ) diverge a 1. Ejemplo 2.4.14 La sucesión 1 3n 1 n 1 converge a 0, debido a que es subsucesión de 1 n n 1. Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero Ejemplo 2.4.15 La sucesión cual diverge a 1. p 59 p n2 + 1 diverge a 1, dado que es subsucesión de ( n); la Ejemplo 2.4.16 La sucesión a = cos n4 diverge. diverge, pues la subsucesión (a4k ) = (( 1)k ) Ejemplo 2.4.17 La sucesión (an ) = (1 + ( 1)n ) diverge, debido a que a2k ! 2 y a2k+1 ! 0: En efecto, si convergiera, toda subsucesión suya tendría el mismo límite. En general, como consecuencia de lema 2.4.1, la divergencia de una subsucesión implica la divergencia de la sucesión. Por el mismo lema, si tenemos dos subsucesiones que convergen a límites distintos, la sucesión diverge. El siguiente de lema es de suma importancia, principalmente debido a que su demostración presenta un argumento de mucho uso en matemática. Lema 2.4.3 Si (an ) es no acotada superiormente (inferiormente), entonces tiene una subsucesión que diverge a 1 ( 1). Demostración Considere una sucesión (an ) que no es acotada superiormente. Entonces ninguna cola es acotada superiormente, y podemos de…nir ' : N ! N recurrentemente así: '(1) es el primer natural tal que a'(1) > 1. Si '(k) está de…nida, se de…ne '(k + 1) como el primer natural mayor que '(k), tal que a'(k+1) > k + 1. Más precisamente, ' (k + 1) es el primer elemento del conjunto Ak = fn 2 N : n > '(k) y an > k + 1g : Nótese que Ak 6= ;; debido a que la cola (an )n '(k) es no acotada. La función ' resulta estrictamente creciente, y como a'(k) > k se tiene que a'(k) ! 1. Ejemplo 2.4.18 La sucesión (n + n1 + ( 1)n n)n2N es no acotada superiormente. La subsucesión (a2k ) diverge a 1, aunque la subsucesión (a2k+1 ) converge a 0. Finalmente incluimos el teorema de Bolzano-Weierstrass, devital importancia en análisis. Teorema 38 Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Sucesiones Numéricas. 60 A. Duarte & S. Cambronero Demostración Consideramos una sucesión acotada (an ) ; y denotamos su rango por A. Como A es acotado, existen 1 y 1 tales que A [ 1 ; 1 ]. Separamos N en dos conjuntos: N= j 2 N : aj 1 + 2 1 1 [ j 2 N : aj > + 2 1 : Como N es in…nito, al menos uno de estos conjuntos es in…nito. Si lo es el primero, se de…ne 1+ 1 1+ 1 y 2 = 1. 2 = 1 y 2 = 2 ; en caso contrario se de…ne 2 = 2 Siguiendo este proceso por inducción se de…ne una sucesión ([ 1 jados tal que n 1 ) ! 0; y cada conjunto n = 2n ( 1 fj 2 N : aj 2 [ n; n; n ])n2N de intervalos enca- n ]g es in…nito. Por lo demostrado en el ejemplo 2.4.8 se sigue que T In = f g ; n2N donde = lm n!1 n = lm n!1 n. Ahora de…nimos n1 = 1 y nk+1 = m n n > nk : an 2 [ De la desigualdad k ank k k+1 ; k+1 ] fan1 ; : : : ; ank g : y el teorema del emparedado, se concluye que ank ! . Ejemplo 2.4.19 La sucesión a = cos n2 n2N tiene las siguientes subsucesiones convergentes (constantes): a2n+1 ! 0, a4n ! 1 y a4n+2 ! ;1. Se puede demostrar que en este caso, cualquier subsucesión convergente de (an ) tiene una cola que es constante e igual a 0; 1 ó 1: 2.4.4. Puntos límite Un punto c 2 R se llama punto límite de una sucesión (xn ), si existe una subsucesión (xnk ) que converge a c: Nótese que si ese es el caso, entonces por la de…nición de converegencia, se tiene la siguiente propiedad: Dado " > 0; existe una cantidad in…nita de índices tales jxn cj < ": (2.3) O dicho de otra forma, en todo intervalo abierto que contiene a c; existe una cantidad in…nita de elementos de la sucesión. Después de dar algunos ejemplos, vamos a demostrar que esta condición es también su…ciente para garantizar que c sea un punto límite de (xn ) : Sucesiones Numéricas. 61 A. Duarte & S. Cambronero Ejemplo 2.4.20 Para xn = ( 1)n tenemos que x2k = 1 ! 1; x2k+1 = 1 ! 1: Además, cualquier subsucesión convergente debe converger a uno de estos números. Entonces (xn ) posee únicamente los puntos límite 1 y 1: n + ( 1)n n+1 Ejemplo 2.4.21 Considere xn = n+1 n : En este caso tenemos los puntos límite 0 y 2; dado que x2k ! 2; y x2k+1 ! 0: Ejemplo 2.4.22 Para xn = cos n4 tenemos x4k = cos k = ( 1)k ; x4k+1 = cos 1)k p 2 2 ; 3 4 ( x4k+2 = cos 2 + k = 0; x4k+3 = cos +k conjunto de puntos límite (reales) de esta sucesión es n p p o 2 2 = ; 1; 0; 1; : 2 2 = ( 1)k+1 p 2 2 : 4 +k = Entonces el Lema 2.4.4 El número real c es un punto límite de (xn ) sii satisface la propiedad (2.3). Demostración Si c es punto límite, se tiene c = l m xnk ; para alguna subsucesión (xnk ) : Dado " > 0 existe K 2 N tal que jxnk aj < "; para k K: Entonces efectivamente existe una cantidad in…nita de índices (todos los nk con k cumplen jxn cj < ": K) que Recíprocamente, si (2.3) se satisface, se de…ne nk en forma recursiva como sigue. Primero n1 = 1; y dado nk escogemos nk+1 como el primer elemento del conjunto o n 1 : n > nk : jxn cj < k+1 Este conjunto es no vacío dado que es in…nito. Como jxnk cj < 1 k tenemos: xnk ! c: Para lo que sigue conviene incluir los casos a = 1 como posibles puntos límite. Decimos que 1 es un punto límite de (xn ) si esta sucesión posee una subsucesión que diverge a 1 (similarmente con 1). Entonces 1 es punto límite si y sólo si (xn ) es no acotada superiormente. El conjunto de puntos límite de x = (xn ) lo vamos a denotar por: (x) R [ f1; 1g: Ejemplo 2.4.23 El conjunto de puntos límites de la sucesión a = (n + ( 1)n n)n2N es (a) = f0; 1g: Ejemplo 2.4.24 Para la sucesión dada por xn = ( 1)n n se tiene Ejemplo 2.4.25 Para la sucesión x = n cos n2 n2N tenemos (x) = f 1; 1g: (x) = f 1; 0; 1g: Sucesiones Numéricas. Ejemplo 2.4.26 A. Duarte & S. Cambronero n + ( 1)n n + cos n3 62 = f 1; 21 ; 1g Lema 2.4.5 Para toda sucesión (xn ) tenemos ((xn )) 6= ;: Prueba Si (xn ) es acotada, el resultado se sigue del teorema de Bolzano–Weierstrass. Si (xn ) no es acotada, entonces es no acotada superiormente o no acotada inferiormente. En el primer caso, 1 es punto límite, en el segundo lo es 1: Lema 2.4.6 La sucesión (xn ) converge a l si y sólo si l es su único punto límite. Similarmente, (xn ) diverge a 1 si y sólo si 1 es su único punto límite. Prueba Hay una dirección fácil. Si (xn ) converge a l; entonces toda subsucesión converge a l; y por lo tanto éste es el único punto límite de (xn ) : Recíprocamente, suponga que l 2 R es el único punto límite. Vamos a proceder por contradicción. Suponga que no es cierto que (xn ) converge a l: Entonces existe " > 0 tal que 8N 2 N; 9n > N; con jxn lj ": Pero entonces existe toda una subsucesión (xnk ) tal que jxnk lj " para cada k 2 N: Sea a un punto límite de (xnk ) ; el cual existe por el lema anterior. Como jxnk lj " se tiene a 6= l; pero además a es punto límite de (xn ) ; lo cual es contradictorio. Por lo tanto, xn ! l: El caso l = 1 se deja como ejercicio. 2.4.5. El l m sup y el l m nf El conjunto R = R [ f 1; 1g se puede ordenar extendiendo el orden usual de R en forma natural. Para esto basta con imponer que 1 x 1 para cada x 2 R. Este es un orden total en R, en el cual todo conjunto es acotado (1 es cota superior de R y 1 es cota inferior). Con esto en mente, podemos hablar del supremo de cualquier conjunto A R, como la menor cota superior. En el caso que A tenga una cota superior b 2 R, la noción de supremo es la misma de antes. En caso contrario, obtenemos las siguientes posibilidades: 1. Si A = ; ó A = f 1g todo elemento de R es cota superior de A, así que sup A = 2. Si A no tiene cota superior en R (en particular si 1 2 A) entonces sup A = 1: 1: Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 63 El extremo inferior o ín…mo se de…ne de manera similar. Por ejemplo: nf ; = nf f1g = 1; mientras que nf A = 1 cuando A no tiene cota inferior en R. Nótese que A = ; es el único conjunto que cumple sup A < nf A: Ejemplo 2.4.27 Si A = f 1; 1g ; B = Z, C = ( 1; 0) [ f1g se tiene sup A = sup B = sup C = 1; mientras que nf A = nf B = nf C = 1: De…nición 2.4.2 Sea x = (xn ) una sucesión, y el conjunto formado por sus puntos límite. Se de…ne: l m sup xn = sup ; l m nf xn = nf : Lema 2.4.7 Ambos l m sup xn y l m nf xn son puntos límite de x (es decir, perteneccen a ). Demostración " Considere = l m sup xn y suponga que 2 R. Dado " > 0 existe a 2 tal que a> 2: Por ser a punto límite, existe un número in…nito de elementos de la sucesión en el intervalo ]a " 2; a + 2" [; el cual está contenido en ] "; + "[: Entonces es un punto límite. El caso se deja como ejercicio. Para el liminf se procede similarmente. 2 f 1; 1g Este lema nos permite decir que l m sup xn es el mayor de los puntos límite, y que l m nf xn es el menor de los puntos límite. En otras palabras, no puede ser que ((xn )) sea por ejemplo el conjunto n1 : n 2 N : Ejemplo 2.4.28 Para xn = cos n4 tenemos l m sup xn = 1; l m nf xn = 1: Ejemplo 2.4.29 l m sup (n + ( 1)n n) = 1; l m nf (n + ( 1)n n) = 0: Ejemplo 2.4.30 l m sup (( 1)n n) = 1; l m nf (( 1)n n) = Ejemplo 2.4.31 l m sup (n 2n ) = l m nf (n Ejemplo 2.4.32 l m sup n + ( 1)n n + cos n3 Finalmente tenemos: 2n ) = 1: 1; dado que n 2n ! 1: = 1; l m nf n + ( 1)n n + cos n3 = 1: Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero Teorema 39 Sea (xn ) una sucesión de números reales, tal que 1. Para todo " > 0 existe N 2 N tal que xn < 2. Para todo " > 0 y todo N 2 N; existe n ! 3. = lm n!1 sup xk k n 64 = l m sup xn 2 R. Entonces: + " para n N: N tal que xn > ": : En otras palabras, la sucesión bn = sup xk converge a : k n Demostración 1. Si esto fuera falso, se podría construir una subsucesión (xnk ) tal que xnk + ": En tal caso (xnk ) sería acotada, por lo que habría un punto límite a + ": Esto contradice el hecho que es el mayor punto límite. 2. Como existe un número in…nito de elementos de la sucesión en el intevalo ] en particular se tiene que estos son mayores que ": 3. Sea " > 0: Por la propiedad 1 existe N tal que bn = sup xk "; + "[; + " para cada n N: k n Pero por (2) también tenemos bn > jbn "; para todo n 2 N: Entonces j < " para n N; esto es bn ! : 2.4.6. Sucesiones de Cauchy Empezaremos justi…cando la de…nición de sucesión de Cauchy con el siguiente lema: Lema 2.4.8 Si (an ) es convergente, para todo " > 0 existe N 2 N tal que jan siempre que n; m N . Equivalentemente, la sucesión n = sup jan m n am j < "; am j converge a 0: Demostración Si l es el límite de (an ), existe N 2 N tal que jan lj < 2" ; para cada n n; m N se tiene jan am j jan lj + jl am j < ": N . Luego, para De…nición 2.4.3 Una sucesión (an ) se llama de Cauchy si para cada " > 0, existe N 2 N tal que jan am j < ", siempre que n; m N . Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 65 Por el lema anterior tenemos que toda sucesión convergente es de Cauchy. Demostraremos que, para sucesiones reales, toda sucesión de Cauchy es convergente. Para esto se requiern algunos resultados previos. Lema 2.4.9 Si (an ) es de Cauchy, y tiene un punto límite , entonces (an ) converge a . Demostración Sea (ank ) una subsucesión que converge a , y sea " > 0. Existen N1 y N2 tales que jank j< " " para k N y ja a j < para n; m N . Sea N = maxfN ; N g y sea k = N . Para 1 n m 2 1 2 2 2 todo n N se tiene jan j jan ank j + jank j < ": Por lo tanto (an ) converge a . La demostración del siguiente lema queda como ejercicio. Lema 2.4.10 Toda sucesión de Cauchy es acotada. Ahora resulta fácil demostrar: Teorema 40 Una sucesión de números reales (an ) es convergente si y solo si es de Cauchy. Demostración El lema 2.4.8 nos da una dirección. Recíprocamente, supongamos que (an ) es de Cauchy. Por el lema anteior, (an ) es acotada, y por el teorema de Bolzano–Weierstrass, tiene un punto límite. Luego, por el lema 2.4.9 se obtiene la convergencia de (an ). Nota: Desde el punto de vista topológico, esta es la completitud de R. Se puede demostrar, que tanto el teorema de Weierstrass, como el teorema de Bolzano-Weierstrass, o el teorema anterior, son equivalentes al axioma del extremo superior. Es decir, cuaquiera de ellos podría tomarse como axioma, y demostrar los otros (incluyendo el axioma del extremo superior) como teoremas. 2.4.7. Ejercicios 1. Sea (xn ) de…nida por x1 = 2; xn+1 = p 2xn + 4 para n 1: Demuestre por inducción que esta sucesión es creciente y acotada superiormente (Sug. xn 4): Concluya que (xn ) es convergente y halle el límite. p p p 2. Considere (an ) dada recurrentemente por: a1 = 2, an+1 = 1 + an para n 1. Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 66 a) Demuestre que esta sucesión es creciente. (Sug. Demuestre primero que an+1 an = p p an an 1 an+1 +an ). p b) Demuestre que 2 an 32 para cada n 2 N. p p c) Concluya que (an ) converge a un número l que satisface l = 1 + l. Calcule a1 ; a2 ; : : : ; a9 . 3. Considere la sucesión dada por a1 = 1, an+1 = Demuestre que an ! c. (Sug. a2n a2n 1 = c(an 1 es monótona y se mantiene entre c y 1). 4. Considere la sucesión dada por x0 = 1, xn+1 = 1 + a) Demuestre que xn = ci. p can para n 1, donde c > 0. an 2 ). Demuestre que la sucesión 1 xn para n 1. Fn+1 para cada n 2 N, donde (Fn ) es la sucesión de FibonacFn b) Demuestre que an = Fn+1 p 1+ 5 2 Fn satisface an+1 = an , con c) Concluya que an ! 0, y por lo tanto que xn ! = p 1+ 5 2 . 2p . 1+ 5 5. Estudie la convergencia de las siguientes sucesiones: an = hh n ii1=n 2 ; 3n2 + ( 1)n n bn = 2 ; 2n + cos (2n + n) cn = p n n 1 : n 6. Considere la sucesión dada por 3(1 + xn ) 6 =3 para n 3 + xn 3 + an p 3: a) Demuestre que (an ) es decreciente y an p b) Concluya que an ! 3. x1 = 3; 7. Si x1 = 1 y xn+1 = a+x2n 2xn ; xn+1 = demuestre que xn ! p 1: a: 8. (Existencia de raíces vía sucesiones) Considere p 2 N. Dado x1 > 0 tal que xp1 > a > 1; considere la sucesión de…nida recurrentemente por xn+1 = xn xpn a pxpn 1 para n 1: a) Demuestre por inducción que xn > 0 para cada n 2 N. Sucesiones Numéricas. 67 A. Duarte & S. Cambronero b) Demuestre por inducción que xpn > a para todo n 2 N. Sug. Escriba xpn a pxpn xpn+1 = xpn 1 p ; y luego use la desigualdad de Bernoulli. c) Use la parte anterior para demostrar que (xn ) es decreciente, y concluya que es convergente. d ) Si p = l m xn demuestre que = a: n!1 9. (Potencias de exponente racional) Demuestre que el número del ejercicio anterior p es único. Es decir, existe un único real positivo tal que p = a: Se denota = p a: Para r = m p 2 Q y a > 0 se de…ne ar = 10. Considere la sucesión de…nida por an = an 1 k2 2: Sug. < 1 k(k 1) p p n P k=1 para k am : 1 : k2 Demuestre que esta es creciente y que 2: Concluya que (an ) es convergente. Es conocido 2 que an ! 6 : 11. Demuestre que lm n!1 n+1 1+ 1 n 1 1 n = lm n!1 1+ n 1 n+1 = e: 12. Calcule lm n!1 1 1+ 2n n ; lm n!1 4n ; lm n!1 1 1+ p n p n ; lm n!1 1+ n n 2 n +1 : 13. Si xn ! x > 0 y a 2 Q demuestre que xan ! xa : Concluya que lm 1+ n!1 1 an n = ea : r 14. Demuestre que para r 2 Q+ se tiene l m 1 + n!1 n las siguientes desigualdades: 1+ 1 k+1 kr 1+ 1 k+1 n 1+ r n n n n r = er : Sug. Para k = 1+ 1 k n 1+ 1 k justi…que r(k+1) 15. Use el ejercicio anterior, y la desigualdad de Bernoulli, para demostrar que er para cada r 2 Q+ . : 1+r Sucesiones Numéricas. 16. Muestre que si el l m sup xn : A. Duarte & S. Cambronero 2 R satisface las condiciones (1) y (2) del teorema 39, entonces 17. Sea (xn ) una sucesión tal que para todo n se tiene jxn+1 a) Use inducción para coccluir que jxn+1 xn j 1 1 + n+1 + n 2 2 + b) Demuestre que jxn+p xn j c) Demuestre que (xn ) es de Cauchy (Sug. convergente. 18. Sea (xn ) de…nida por xn = 2k n 2k 1 2 + ; para 2k 1 2n jx1 xn es 1 j: x0 j: 1 x0 j; n; p 2 N: jx1 2n+p 1 1 22 1 2 jxn xn j 68 + + 1 2p 1), y concluya que es n < 2k+1 : a) Muestre que el rango de (xn ) es el conjunto de puntos de la forma p ; con k 2 N, p = 0; 1; : : : ; 2k 2k 1: b) Muestre que todo x 2 [0; 1] es punto límite de (xn ) : Es decir ((xn )) = [0; 1]: 19. Si a xn b para cada n 2 N, demuestre que a l m nf xn l m sup xn b: 20. Demuestre que l m sup ( xn ) = l m nf xn : 21. Demuestre que (xn ) es convergente si y solo si l m sup xn = l m nf xn = 2 R; y en tal caso xn ! : Demuestre que (xn ) diverge a 1 si y solo si l m nf xn = 1: Enuncie y demuestre el resultado equivalente para xn ! 1: 22. Considere una sucesión (xn ) y un número real x: Demuestre que xn ! x si y solo si, cada subsucesión de (xn ) tiene una subsucesión que converge a x: 23. Demuestre que las sucesiones an = 1 + 1 n n y bn = 1 + 1 n+1 n son adyacentes. Sucesiones Numéricas. 2.5. A. Duarte & S. Cambronero 69 Un barniz de series El objetivo de esta sección no es hacer una presentación exhaustiva del tema de series; se trata más bien de presentar algunos resultados básicos que permitan el abordaje cómodo de las expansiones decimales. Para comenzar, reccordemos la históricamente famosa paradoja de Zenón. Al tratar de recorrer un intervalo de longitud 1, primero se debe pasar por la mitad, luego por la mitad de la mitad, y así sucesivamente. Se obtiene así la identidad 1 1 1 + + + 2 4 8 = 1 1 1 + 2+ 3+ 2 2 2 = 1; que desde el punto de vista geométrico es evidente. 2.5.1. La serie geométrica Consideremos la progresión geométrica (an )n2N ; de…nida por an = crn ; donde c; r 2 R son constantes …jas. De…nimos la sucesión de sumas parciales + crn = c + Sn = c + cr + n X crk : k=1 Vamos a escribir c + el caso r = 0: n P crk en vez de n P crk ; para evitar el desagradable 00 que aparece en k=0 k=1 A la sucesión (Sn )n2N le llamaremos la serie geométrica de razón r: Cuando la sucesión (Sn ) converge a S; escribimos 1 X c+ crn = S: n=1 Note que la sucesión (Sn )n2N se de…ne recursivamente por S0 = c; Sn+1 = Sn + crn+1 : Algunos casos particulares Los siguientes casos merecen especial atención: Si c = 0 tenemos Sn = 0 para cada n y la serie converge a S = 0: Si r = 0 tenemos que Sn = c para cada n y la serie converge a S = c. Si c 6= 0 y r = 1 se tiene Sn = (n + 1)c; y por lo tanto (Sn ) diverge a +1 ó dependiendo del signo de c. Tenemos entonces 1 X n=0 c = +1 si c > 0; 1 X n=0 c= 1 si c < 0: 1; Sucesiones Numéricas. Si c 6= 0 y r = A. Duarte & S. Cambronero 70 1 tenemos S2k = c y S2k+1 = 0: Luego (Sn ) es divergente. Para c = 1 y r = 1 2 tenemos que Sn = 1 + 1 1 + ::: + n = 2 2 2 1 2n (este hecho es geométricamente evidente, y se puede demostrar por inducción). Luego la serie geométrica de razón 21 converge, y además 1 X 1 = 2: 2n n=0 Si c = 1 y r = 3; tenemos Sn = 1 + 3 + 32 + : : : + 3n > 3n ; así que la serie geométrica diverge a +1 en este caso. Escribimos 1 X 3n = +1: n=0 El caso general + crn : Multiplicando por 1 En el caso general tenemos Sn = c + cr + cr2 + (1 r)Sn = (c cr) + cr cr2 + cr2 + crn cr3 + r se obtiene crn+1 ; donde observamos que todos los términos se cancelan, excepto el primero y el último. Se obtiene entonces c crn+1 Sn = para cada n 2 N 1 r siempre que r 6= 1: Los casos c = 0 y jrj = 1 fueron analizados en los ejemplos anteriores, así que supondremos en adelante que c 6= 0 y jrj = 6 1: Para jrj > 1 la sucesión (rn ) diverge, y por c lo tanto también (Sn ) : Para jrj < 1 tenemos que rn ! 0; y entonces (Sn ) converge a : 1 r Por lo tanto la serie geométrica converge si y solo si jrj < 1; y además 1 X crn = n=0 c 1 r ; jrj < 1: Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 2.5.1 Entendiendo que x = 0; 333 : : : signi…ca x = 0;333 : : : = 3 3 + 2+ 10 10 = 1 X 3 10 n=0 1 10 3 10 + n = 3 102 3 10 1 1 10 + 1 = : 3 tenemos Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 71 Ejemplo 2.5.2 En el caso de la paradoja de Zenón se tiene 1 X1 1 1 1 1 + + + ::: = = 2 4 8 2 2n 1 n=0 1 2 = 1: 1 2 Ejemplo 2.5.3 Otro ejemplo que debe sonar familiar es 0;999 : : : = 1 X 9 10 n 1 10 n=0 = 9 10 1 10 1 = 1: Ejemplo 2.5.4 Similarmente 0; 4999 : : : = 1 X 9 4 + 10 102 1 10 n=0 n = 9 4 1 2 + 10 1 = : 10 1 10 2 Nótese que en general podemos de…nir la serie comenzando en n = 1 así: 1 X n cr = n=1 1 X c rn c= n=0 c 1 c= r cr 1 r ; jrj < 1: Esto también puede verse como 1 X crn = cr + cr2 + : : : = cr 1 + r + r2 + : : : = cr n=1 1 X n=0 Ejemplo 2.5.5 La serie 1 P n=0 y 1 X n=0 Ejemplo 2.5.6 La serie Ejemplo 2.5.7 La serie n ( 1)n 43n es geométrica, con r = ( 1)n 1 3n X = 4n n=0 3 4 n = 1 1+ 3 4 rn = cr 1 4 = : 7 1 ( 1)n 2n P converge, y se tiene 3n n=1 n=1 n=1 2 3 n = 2 3 1+ 2 3 : 3 : Por lo tanto es convergente 4 1 22n 3n P diverge, dado que es geométrica con r = n n=0 11 1 1 X ( 1)n 2n X = 3n r = 2 : 5 12 11 > 1: Sucesiones Numéricas. 2.5.2. A. Duarte & S. Cambronero 72 Otras series En general, dada una sucesión (an ) podemos formar la sucesión de sumas parciales (Sn ) de…nida por S0 = a0 ; Sn+1 = Sn + an+1 : 1 P Si (Sn ) converge, decimos que la serie an converge, y escribimos n=0 1 X an = S = l m Sn : n!1 n=0 Ejemplo 2.5.8 Para analizar la serie 1 ; y que por lo tanto n+1 Sn = 1 1 2 + 1 P 1 1 1 podemos observar que = n(n + 1) n(n + 1) n n=1 1 3 1 2 + 1 n+1 1 n + =1 1 n+1 (demuestre esto por inducción). Luego la serie converge, y 1 X n=1 1 = 1: n(n + 1) Note que en el último ejemplo la serie comienza en n = 1: En general, para hablar de 1 X bn = bN + bN +1 + : : : n=N escribimos bN + bN +1 + : : : = a0 + a1 + : : : ; De…nimos entonces 1 X bn = n=N Nótese que esto es lo mismo que escribir 1 X n=N 1 X donde an = bn+N : bn+N : n=0 bn = 1 X cn ; n=0 donde cn = bn para n N; y cn = 0 para n < N: Esto nos permite asumir, a la hora de establecer los resultados, que todas las series comienzan en N = 0: Observe que cualquier combinación lineal de series convergentes es convergente. Más precisamente: Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero Lema 2.5.1 Si las series serie 1 P 1 P an y 1 P bn convergen, y si y 73 son constantes, entonces la n=0 n=0 ( an + bn ) también converge. Además n=0 1 X 1 X ( an + b n ) = n=0 Esto es, si 1 P an = S y n=0 1 P an + n=0 1 X bn : n=0 bn = T; entonces n=0 1 X ( an + bn ) = S + T: n=0 Demostración Basta con observar que n X n X ( ak + b k ) = k=0 ak + k=0 n X bk k=0 (lo cual se puede demostrar con todo detalle usando inducción) y luego tomar el límite cuando n ! 1; usando la linealidad del límite de sucesiones. 1 P Ejemplo 2.5.9 La serie n=1 convergen. Además 1 X n=1 4 3 + n 2 n(n + 1) converge, dado que 1 1 1 P P 1 y n n=1 n(n + 1) n=1 2 1 1 X X 1 1 +4 = 3 n 2 n(n + 1) 3 4 + n 2 n(n + 1) n=1 n=1 = 3 1 + 4 1 = 7: Ejemplo 2.5.10 La serie 1 X 1 + ( 1)n 3n n=1 converge, por ser suma de series convergentes, y se tiene 1 1 X 1 + ( 1)n X = 3n n=1 Ejemplo 2.5.11 La serie n=1 1 3 n + 1 X n=1 1 X 2 + 4n n=1 3n 1 3 n = 1 3 1 1 3 + 1 3 1+ 1 3 1 = : 4 (2.4) Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero diverge. Para probar esto, suponga que la serie converge. Entonces al restarle 1 P n=1 una serie convergente. Pero 2 + 4n 3n 2 = 3n 4 3 n 2 3n 74 nos daría ; y este último es el término general de una serie geométrica divergente. Consecuentemente, la serie en (2.4) no puede converger. En general, si que 1 P an y n=0 En otras palabras, si 1 P (an + bn ) convergen, entonces n=0 1 P 1 P bn también converge, debido a n=0 bn = an converge y n=0 an + (an + bn ) : 1 P bn diverge, la serie n=0 1 P (an + bn ) debe diverger. n=0 Sin embargo, la suma de dos series divergentes puede resultar ser convergente. Por ejemplo, las series 1 1 X X 2 4n 2 + 4n y 3n 3n n=1 n=1 son divergentes, mientras que su suma 1 X n=1 2 + 4n 2 4n + 3n 3n = 1 X 4 3n n=1 es convergente. El siguiente resultado es conocido como el criterio de divergencia, dado que es apto para demostrar divergencia de ciertas series. Lema 2.5.2 Si la serie 1 P an converge, entonces la sucesión (an ) converge a 0: n=0 Demostración Como la serie converge, existe el límite S = l m Sn ; n!1 y por lo tanto an = Sn Sn 1 !S S = 0: Nótese que entonces, si an 9 0; la serie debe diverger. Así que este lema es útil para demostrar divergencia. En ningún momento se asegura que si an ! 0 entonces la serie converge. Es decir, an ! 0 es una condición necesaria pero no su…ciente para la convergencia de la serie. Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 75 Ejemplo 2.5.12 Las siguientes series son divergentes: 1 X n=0 1 X n ; n+1 n=1 1 X n 1 n 1+ ; 1 X p n ( 1)n ; n=1 n: n=1 En los cuatro casos el término general no converge a cero. Ejemplo 2.5.13 Para la serie 1 X p p n+1 n n=1 tenemos que an = p p n+1 n= p 1 p ! 0; n+1+ n y sin embargo la serie diverge, pues como el lector puede veri…car: n X p Sn = p k+1 k = p n+1 k=1 1 ! 1: El siguiente teorema será de gran utilidad a la hora de manipular expansiones decimales. Teorema 41 (de comparación)PSuponga que 0 an bn para todo n 2 N, y que la serie P bn converge. Entonces la serie an converge, y además 1 X 1 X an Más precisamente, si S = 1 P igualdad puede darse únicamente si an = 1 P bk ; entonces k=0 bn para cada n: ak y T = k=0 bn : n=0 n=0 S T: Con estas hipótesis, la Demostración n n P P Sean Sn = bk ; las sumas parciales correspondientes. Como (Tn ) es creciente ak y Tn = k=0 k=0 y Tn ! T tenemos Tn T para todo n 2 N. Además, es fácil establecer por inducción que Sn Tn : Por lo tanto Sn T; así que (Sn ) es acotada, y como es creciente, se sigue del teorema de Weierstrass que es convergente. Luego, como Sn Tn para cada n; por las propiedades de los límites de sucesiones se sigue que S = l m Sn l m Tn = T: n!1 n!1 Si además ak < bk para algún k; entonces Sk < Tk y para n > k tendremos: Sn = Sk + n X j=k+1 aj Sk + T n Tk Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 76 de donde S = l m Sn l m (Sk n!1 T k + T n ) = Sk n!1 Tk + T < T: Esto demuestra la última a…rmación. Ejemplo 2.5.14 Consideremos la serie 1 P n=1 1 . n2 Para n 2 se tiene: 1 1 < : 2 n n (n 1) Note que la serie 1 P n=2 1 n(n 1) n X k=2 es convergente, dado que 1 k (k 1) = n X k=2 1 k Por el teorema de comparación tenemos que serie original converge, y 1 P n=1 1 1 P n=2 1 n2 < 2: Nota: Se puede demostrar que 1 k 1 n2 1 ! 1: n =1 converge, y que 1 P n=2 1 n2 < 1: Luego, la 1 2 X 1 = : 2 n 6 n=1 Ejemplo 2.5.15 Para p 1 X 1 np converge y además 2 y n 1 se tiene que n p n 2: Consecuentemente, la serie n=1 1 X 1 np n=1 1 X 1 para todo p n2 2: n=1 Ejemplo 2.5.16 Dado que n! n (n 1) ; se sigue al igual que en el ejemplo 2.5.14 que la 1 P 1 serie n! converge y, de acuerdo con la sección ?? se tiene n=0 e= 1 1 1 X X X 1 1 1 =2+ <2+ = 3: n! n! n (n 1) n=0 n=2 n=2 Nótese además que S10 1 X 1 1 = S10 + < e = S10 + n! 11! n=11 1+ 1 1 + + ::: ; 12 13 12 Sucesiones Numéricas. A. Duarte & S. Cambronero 77 y la última suma se puede acotar así 1+ 1 1 1 1 + + ::: < 1 + + ::: = e 12 13 12 2! 3! Obtenemos entonces S10 < e < S10 + 2 11! ; 1 < 2: es decir 9864 101 36 168 371 <e< : 3628 800 13 305 600 En particular se tiene 2; 718 281 801 < e < 2; 718 281 851; lo que nos da 7 dígitos decimales exactos en la expansión decimal de e: 2.5.3. La serie armónica La serie armónica está dada por 1 X 1 : n n=1 Las sumas parciales Sn = n X 1 1 =1+ + k 2 k=1 crecen muy despacio, por ejemplo: + 1 n S32 = 4: 0584 : : : ; S1024 = 7: 5092 : : : ; S10 000 = 9: 787 6 : : : ; S106 = 14: 392 7 : : : ; S2100 = 69;8919 : : : S2500 = 347: 150 8 : : : Para demostrar que (Sn ) diverge, bastaría con demostrar que la subsucesión (S2n ) diverge. Observe que S2n+1 1 1 1 1 + n + : : : + n+1 + n+1 +1 2 +2 2 1 2 1 1 1 1 + n+1 + n+1 + : : : + n+1 + n+1 2 2 2 2 1 2n + n+1 = S2n + : 2 2 = S2 n + > S 2n = S2n 2n 1 1 n 1 Dado que S21 = 1 + > y S2n+1 > S2n + ; se concluye por inducción que S2n > : Esto 2 2 2 2 demuestra que S2n ! 1; y por lo tanto la serie armónica es divergente. 1 P Nota: Este es otro ejemplo en el que an ! 0; pero la serie an diverge. n=1 Sucesiones Numéricas. 2.5.4. A. Duarte & S. Cambronero 78 Series telescópicas Una serie escrita en la forma 1 X (bn bn+1 ) n=n0 se llama serie telescópica. En tal caso se tiene que Sn = bn0 bn+1 para n n0 (demuéstrelo por inducción). Por lo tanto la serie converge si y sólo si la sucesión (bn ) converge, y se tiene 1 X (bn bn+1 ) = bn0 l m bn : n!1 n=n0 Observe que si se tiene el signo cambiado: 1 X (bn+1 bn ) = n=n0 1 P n=1 1 (n+1)(n+2) an = 1 n+1 (bn ! 0: Además = l m bn 1 P n=1 1 (n+1)(n+2) 1 n+2 1 n = = b1 1 2 bn0 : n!1 converge, pues en este caso: 1 P n=1 1 2 1) 1 1 = (n + 1) (n + 2) n+1 Ejemplo 2.5.18 Consideremos la serie an = bn n=n0 +1 Ejemplo 2.5.17 La serie y bn = 1 X 1 n 1 ; n+2 l m bn = 12 : n!1 1 n(n+2) : En este caso se tiene 1 n+1 + 1 n+1 1 n+2 : La serie es entonces la suma de dos telescópicas, y por las propiedades ya enunciadas obtenemos: "1 # 1 1 X X 1 1 X 1 1 1 3 1 = + = : n (n + 2) 2 n n+1 n+1 n+2 4 n=1 n=1 n=1 Ejemplo 2.5.19 La serie geométrica se puede analizar como una telescópica. En efecto, dado que (1 r) rn = rn rn+1 tenemos: 1 X (1 1 X n=0 n=0 y luego dividimos por 1 r) rn = r: rn rn+1 = 1 l m rn = 1; n!1 Sucesiones Numéricas. 79 A. Duarte & S. Cambronero Nota: En general, toda serie se puede escribir como telescópica. En efecto, dado que S0 = a0 y Sn = Sn 1 + an tenemos an = Sn Sn 1 para cada n 1: Luego 1 X an = a0 + n=0 1 X (Sn Sn 1) 1 X = a0 n=1 (Sn Sn+1 ) : n=0 En particular, si la serie converge se tiene 1 X an = a0 n=0 1 X (Sn S0 Sn+1 ) = a0 l m Sn = l m S n ; n!1 n=0 n!1 en concordancia con la de…nición. 2.5.5. Ejercicios 1. Estudie la convergencia de cada una de las siguientes series. En caso de ser convergente, halle la suma: 1 P n=1 1 P n=1 1 X 1 X ( 2n +3n 4n 1 n(n+3) n=0 n=0 1 P n=1 1 X 3n 22n+1 1 P 1)n 3n 2n n=2 1 X 1 n(n+17) cos n + 1 n(n+2) 1 n n=1 n=1 1 P n=2 1 p P n+1 p n n=3 1 P ] [n 2 n n=0 3n=2 2(n+5)=2 1 X n=0 cos (n+1) 2 cos n2 n2 (n + 1)2 (n + 1)2 (n + 2)2 rn 2. Considere la sucesión (an ) de…nida por an = ; con r > 0. Demuestre que existe n0 n! tal que para n n0 se tiene an+1 1 < : an 2 1 n P n n0 r para n n0 : Concluya que la serie Use esto para concluir que an < an0 12 n! n=0 es convergente. 3. Halle los valores de x para los cuales la serie converge, y calcule la suma correspondiente. 1 X 2n xn n=1 32n ; 1 X n=1 xn n xn+1 n+1 ; 1 X n=0 2 n (1 + x ) ; 1 X n=0 1 : (1 + x2 )n Sucesiones Numéricas. 80 A. Duarte & S. Cambronero 4. Use fracciones parciales para expresar las siguientes series como combinación de series telescópicas. Luego estudie su convergencia y calcule su suma: 1 X n=1 1 X 1 ; n(n + 1)(n + 2) n=1 1 : n(n + 3) 5. Analice la convergencia de las siguientes series 1 X n+1 n=1 6. Demuestre que si la serie 1 P n=1 jan j n2 ; 1 X 2n + 1 n=1 n3 ; 1 X 2n n=0 n! : jan j converge, entonces también converge la serie 1 P an : n=1 Sug. Note que 0 an + 2 jan j ; use el criterio de comparación y el lema 2.5.1. 1 1 P P Cuando jan j converge decimos que la serie an converge absolutamente. n=1 n=1 7. Demuestre que las siguientes series convergen absolutamente: 1 X ( 1)n ; n2 n=1 1 X cos n p ; n n n=1 1 X an n=0 n! : 8. Demuestre que la siguiente serie converge, pero no absolutamente: 1 X ( 1)n : n n=1 Sug. Demuestre que la sucesión (Sn ) de sumas parciales es de Cauchy. Cuando esto pasa, decimos que la serie converge condicionalmente. 9. Estudie la convergencia absoluta y condicional de las siguientes series: 1 X n ; an n=1 1 X ( 1)n a2n+1 : n! n=1 Capítulo 3 Expansiones Cuando hablamos de una expansión decimal, estamos en realidad hablando de la suma de una cantidad in…nita de números reales. Por ejemplo, tenemos que 5 5 5 5 ; = 0;555 : : : = + 2+ 3+ 9 10 10 10 donde entendemos que la suma se extiende inde…nidamente. Recuerde también la igualdad 9 9 + + : : : = 1; 10 102 lo cual puede veri…carse fácilmente. En efecto, la serie que aparece es geométrica, y se obtiene: 0; 9 = 1 X 9 9 9 9 + 2 + ::: = = 10 10 10n 1 n=1 1 10 1 10 = 1: El lector tal vez recordará una demostración un tanto intuitiva de esta igualdad, en la cual si se escribe x = 0; 999 : : : se tiene 9x = (10 1) x = 10x 1 = 9; 999 : : : 0; 999 : : : = 9; de donde x = 1: En este capítulo se utiliza la teoría de series numéricas para la de…nición y el análisis de expansiones de números reales en diferentes bases. Como resultado se obtiene, en particular, la fundamentación necesaria para darle rigor a argumentos como el anterior. 3.1. 3.1.1. Expansiones decimales De…nición y ejemplos Para comenzar consideramos únicamente números reales positivos. Vamos a demostrar que todo real x 0 se puede escribir en la forma 1 X cn c2 c1 + + ::: = ; x = c0 + 10 100 10n n=0 81 Expansiones. A. Duarte & S. Cambronero 82 donde los dígitos c1 ; c2 ; : : : son números naturales entre 0 y 9; mientras que c0 es un número natural. En tal caso se escribe x = c0 ; c1 c2 : : : : Por ejemplo: 4 = 1; 333 : : : ; 3 7 = 3; 500 : : : ; 2 e = 2; 718281828 : : : Para estudiar las expansiones decimales desde un punto de vista riguroso, es su…ciente considerar los reales x 2 [0; 1[: Vamos a demostrar que efectivamente existe una sucesión de naturales (cn ) ; con cn 2 f0; 1; : : : ; 9g y tal que x= 1 X cn : 10n n=1 Más precisamente, demostraremos que para cada n 2 N se tiene: n X ck 10k x< n X 1 ck + n: k 10 10 (3.1) k=1 k=1 Para empezar, debemos tener c1 c1 + 1 x< ; 10 10 o lo que es lo mismo, c1 10x < c1 + 1: Debemos de…nir entonces c1 = [[10x]] (la parte entera de 10x). Nótese que esta es la única opción. A continuación veri…camos que efectivamente se tiene c1 2 f0; 1; : : : ; 9g : En efecto, como x 2 [0; 1[ se tiene 0 10x < 10 y consecuentemente 0 c1 10x < 10: Como c1 es un entero, se obtiene el resultado deseado. Procedamos con el paso inductivo. Habiendo de…nido c1 ; c2 ; : : : ; cn 2 f0; 1; : : : ; 9g de modo que se cumpla (3.1), debemos de…nir cn+1 tal que n+1 X k=1 ck 10k x< n+1 X k=1 1 ck + n+1 : 10 10k Esto es equivalente a tener cn+1 10n+1 n X ck cn+1 + 1 ; < 10n+1 10k x k=1 lo que signi…ca cn+1 10 n+1 x n X ck 10k k=1 Entonces la única posibilidad es de…nir "" cn+1 = 10 n+1 x ! < cn+1 + 1: n X ck 10k k=1 !## : Expansiones. A. Duarte & S. Cambronero 83 Nótese que por (3.1) tenemos que 0 x n X 1 ck < n; k 10 10 k=1 y luego 10n+1 0 n X ck 10k x k=1 ! < 10: Esto demuestra que cn+1 2 f0; 1; : : : ; 9g : Hemos de…nido así la sucesión (cn ) por recurrencia, de tal forma que se satisface (3.1). De…niendo rn = n X ck ; 10k (3.2) k=1 se concluye que para cada n 2 N se tiene rn Consecuentemente jrn xj < x < rn + 1 : 10n 1 ! 0; así que rn ! x: Esto es 10n 1 n X X ck ck = : k n!1 10 10k x = l m rn = l m n!1 k=1 Claramente, para cada n 2 N se tiene rn+1 = rn + an+1 10n+1 (3.3) k=1 rn y por lo tanto (rn ) es creciente. Además rn+1 + 1 10n+1 an+1 1 + n+1 n+1 10 10 1 9 rn + n+1 + n+1 10 10 1 = rn + n : 10 = rn + 1 1 Esto demuestra que la sucesión (sn ) de…nida por sn = rn + n es decreciente. Como n ! 0 10 10 obtenemos también que sn ! x: A continuación resumimos lo que acabamos de demostrar. Teorema 42 Dado un número real x 2 [0; 1[, existe una única sucesión de naturales cn 2 f0; 1; : : : ; 9g tal que n n X X ck 1 ck x < + n 10 10k 10k k=1 k=1 Expansiones. 84 A. Duarte & S. Cambronero 1 para cada n 2 N. Además las sucesiones (rn ) y (sn ) de…nidas por (3.2) y sn = rn + n , son 10 adyacentes y ambas convergen a x: Si (cn ) es la sucesión del teorema anterior, se dice que x tiene expansión decimal 0; c1 c2 : : : y se escribe x = 0; c1 c2 : : : : c0 2 [0; 1[: Si la expansión decimal En general, si x > 0 de…nimos c0 = [[x]]; obteniendo x de x c0 es 0; c1 c2 : : : ; escribimos x = c0 ; c1 c2 : : : : Ejemplo 3.1.1 Dado x = 2; 333 : : :. 7 3 se tiene [[x]] = 2; y x 2 = 1 3 = 0; 333 : : : : Entonces Nota: En el teorema enterior, rn se obtiene truncando la expansión de x en el dígito n mientras que sn se obtiene de la misma forma, pero redondeando hacia arriba. Ejemplo 3.1.2 Si x = 1 3 7 3 = ésimo, = 0; 3 se tiene r4 = 0; 3333 y s4 = 0; 3334; en general se tendrá: n X 3 rn = 0; |3 :{z : : 3} = ; 10k k=1 n veces sn = 0; |3 :{z : : 3} 4 = n 1 veces n X1 k=1 4 3 + n: k 10 10 Finalmente, para hallar la expansión de un número negativo x, se halla primero la expansión de jxj ; y luego simplemente se le agrega el signo “ ”. Ejemplo 3.1.3 Para x = 3.1.2. 8 5 tenemos jxj = 8 5 =1+ 3 5 3 5 y = 0; 6: Luego x = 1; 6: Aritmética con expansiones decimales Comencemos con algunas propiedades de las expansiones: 1. Si x = a0 ; a1 : : : entonces x a0 = 0; a1 : : :. En efecto, esto se obtiene del hecho que x = a0 + 1 X an : 10n n=1 2. Si x = a0 ; a1 : : : entonces 10x = a0 a1 ; a2 : : : y demostrar esto en detalle. Más generalmente: 10n x = a0 : : : an ; an+1 an+2 : : : ; donde aparecen n 3. 1 ceros antes de a0 : x 10 = 0; a0 a1 : : :. Se invita al lector a x = 0; 0 : : : 0a0 a1 : : : 10n Expansiones. A. Duarte & S. Cambronero 85 Si x = a0 ; a1 a2 : : : e y = b0 ; b1 b2 : : : ; la expansión de z = x + y se puede hallar en la forma usual, justo como aprendimos en primaria. En efecto, es fácil ver que los primeros n dígitos en la expansión de z se pueden hallar al suma en forma ordinaria los números decimales xn = a0 ; a1 a2 : : : an+1 e yn = b0 ; b1 b2 : : : bn+1 ; y descartar loego el último dígito. Por ejemplo, si x = 3; 4572 : : : e y = 5; 1869 : : : entonces los primeros tres dígitos de z = x + y son 8; 634: La sucesión (cn ) es la única que cumple (3.1), pero no necesariamente la única que cumple (3.3). Por ejemplo, si x = 12 tenemos dos sucesiones que cumplen (3.3), a saber: 1 5 0 0 4 9 9 = + + + ::: = + + + ::: 2 10 102 103 10 102 103 Entonces tenemos que 1 = 0; 500 : : : = 0; 499 : : : : 2 Podríamos quedarnos con la sucesión única que cumple (3.1), que en este caso es 0; 500 : : : ; lo cual tendría el inconveniente de que algunas sucesiones de dígitos no servirían para representar expansiones de números reales. En un sentido más amplio, la de…nición de expansión es la siguiente. De…nición 3.1.1 Dado un número real x 0; decimos que la sucesión (an )n2N es una expansión decimal de x si se cumple: a0 2 N, an 2 f0; 1; : : : ; 9g para n 1 y 1 n X X ak ak = a0 + : x = a0 + l m n!1 10k 10k k=1 k=1 En tal caso se escribe x = a0 ; a1 a2 : : : Bajo esta de…nición tenemos entonces que: 1 = 1; 000 : : : = 0; 999 : : : ; 1 = 0; 500 : : : = 0; 499 : : : : 2 Cabe preguntarse en qué casos hay dos expansiones, o si podrá existir más de dos expansiones para ciertos números reales. Para responder a estas preguntas, el siguiente lema es de gran utilidad. Este permite reemplazar una expansión que termina en nueves por una expansión …nita (termina en ceros). Lema 3.1.1 Para n 2 N se tiene 1 X k=n+1 Demostración 9 1 = n: 10 10k Expansiones. A. Duarte & S. Cambronero Por de…nición se tiene 1 X 9 k=n+1 10k = 1 X k=0 9 10k+n+1 = 9 10n+1 86 1 X 1 1 1 9 = n: = n+1 1 k 10 10 10 1 10 k=0 an 9 y, por el teorema 41 y el lema anterior: 10n 10n 1 1 X X 1 9 ak = n: k k 10 10 10 Si an 2 f0; 1; : : : ; 9g se tiene 0 k=n+1 k=n+1 Esto demuestra lo siguiente. Corolario 3.1.1 Para cualquier sucesión (an ) ; con an 2 f0; 1; : : : ; 9g se tiene 0 1 X k=n+1 En particular 0 0; a1 a2 : : : ak 10k 1 : 10n 1: Supongamos ahora que cierto número real x tiene dos expansiones, digamos x = a0 ; a1 a2 : : : = b0 ; b1 b2 : : : Si las expansiones son distintas, debe existir un n tal que an 6= bn ; y por el principio del buen orden, existe el más pequeño para el cual esto pasa. Más precisamente, existe n = m n fk 2 N : ak 6= bk g : Podemos suponer, sin perder generalidad, que an < bn : Como son enteros se sigue an +1 Luego el número real = 10n (x a0 ; a1 a2 : : : an 1 ) tiene dos expansiones: bn : = an ; an+1 an+2 : : : = bn ; bn+1 bn+2 : : : Pero por el corolario anterior se tiene: = an + 1 X an+k k=1 10k an + 1 bn bn + 1 X bn+k k=1 10k = : De acuerdo con el teorema 41, para que se dé esta igualdad debe cumplirse an + 1 = bn ; an+k = 9 y bn+k = 0 para cada k: Hemos demostrado entonces que para que haya dos expansiones, una de ellas debe tener la forma a0 ; a1 : : : an 9; y la otra a0 ; a1 : : : an 1 bn , con bn = an + 1: En particular se tiene bn m b1 + ::: + n = n; x = b0 + 10 10 10 donde m = b0 10n + b1 10n 1 + : : : + bn 2 Z. Esto demuestra una implicación en el siguiente lema. La otra implicación queda como ejercicio. Expansiones. A. Duarte & S. Cambronero 87 Lema 3.1.2 Un número real x tiene dos expansiones decimales si y solo si tiene la forma m x = n ; donde m 2 Z y n 2 N. 10 Nótese que en particular todo irracional tiene expansión decimal única. Otra propiedad importante de las expansiones decimales, es que todo racional tiene expansión periódica, y viceversa: Todo número real con expansión periódica, es un racional (ver [7] para una demostración desde los fundamentos de Q). Por ejemplo, si tenemos x = 0; 234567; entonces multiplicamos por 106 para obtener 106 x = 234567; 234567 = 234567 + x; de donde se obtiene 234567 234567 = : 106 1 999999 Esto puede generalizarce fácilmente. En efecto, si x tiene expansión 0; a1 : : : ap esto signi…ca que an+p = an para cada n 2 N. Entonces, multiplicando por 10p obtenemos x= 10p = a1 : : : ap ; a1 : : : ap = a1 : : : ap + x; y resolviendo se llega a x= a1 : : : ap a1 : : : ap = 2Q p 10 1 99 : : : 9 (en la útima fracción aparecen p nueves). Más generalmente, si x = a0 ; a1 : : : an an+1 : : : ap podemos escribir 1 x = a0 ; a1 : : : an + n 0; an+1 : : : ap ; 10 de donde, por lo que acabamos de demostrar, x es racional. Esto demuestra que si x tiene expansión periódica, entonces es racional. Para demostrar el recíproco, basta considerar un a racional positivo x = ; donde b 2 N y a 2 N. Recordemos que una expansión decimal de x b se calcula recursivamente así: c0 = [[x]]; cn = [[10n x c0 10n 1 + c1 10n 2 + : : : + cn 1 10 ]]: a Tenemos entonces que c0 es el único entero que satisface c0 x < c0 + 1; y como x = b se concluye que c0 b a < c0 b + b: Luego a = c0 b + r0 ; donde 0 r0 = a c0 b < b: Esto demuestra que c0 es el cociente de la división euclideana de a por b; y el resto es r0 = a c0 b: Luego c1 es el único entero que satisface c1 10 a b c0 < c1 + 1; Expansiones. A. Duarte & S. Cambronero 88 esto es c1 b 10 (a bc0 ) < c1 b + b; o equivalentemente c1 b 10r0 < c1 b + b: Entonces 10r0 = c1 b + r1 ; con 0 r1 = 10r0 c1 b < b: Se sigue que c1 es el cociente de la división euclideana de 10r0 por b: Procediendo por inducción, cn se obtiene como el cociente de la división euclideana de 10rn 1 por b; y rn = 10rn 1 cn b: Esto justi…ca el por qué agregar un cero al residuo (multiplicar por 10) cuando se busca la expansión decimal de x: b c0 ; c1 c2 : : : a r0 10 r1 10 .. . Ahora, como todos los restos satisfacen 0 rn < b; debe tenerse rn = rm para ciertos 11 : Dividiendo m; n distintos: Aclaremos esto con un ejemplo: Cosideremos el racional x = 7 tenemos 7 11 40 1; 571428 50 10 30 20 60 40 En este caso tenemos r6 = r0 = 4; y entonces c7 = c1 = 5: A partir de este punto todos los dígitos empiezan a repetirse. En general, consideremos el primer natural n tal que rn = rn+p para algún p > 0: Dicho n existe por el principio del buen orden. Como cn+1 y rn+1 dependen solo de rn y b; tenemos que cn+1 = cn+p+1 y rn+1 = rn+p+1 : Se sigue por inducción que ck+p = ck para todo k > n, y por lo tanto la expansión de x es periódica. 3.1.3. Ejercicios 3 9 129 1234 37 1 1 37569821 ; ; ; ; ; ; ; : 5 11 7 9999 90 31 37 999990 2. En cada caso, halle el número racional correspondiente a la expansión decimal dada: 1. Halle las expansiones decimales de 0; 00001111; 4; 323232; 4; 32; 1; 9; 0; 6667; 0; 6; 0; 123456789; 0; 1232345: 3. Demuestre que si x 2 R tiene una expansión decimal a0 ; a1 a2 : : : ; entonces para cada n 2 N se tiene an a1 an 1 a1 + : : : + n x a0 + + ::: + n + n: a0 + 10 10 10 10 10 Expansiones. A. Duarte & S. Cambronero 89 4. Halle la expansión decimal de los siguientes números: 10n+1 1 ; 9 10n 1099 + 1098 1 + : : : + 10 + 1 5. Demuestre que un número real no puede tener tres expansiones decimales. 6. Considere la sucesión Sn = n X k=0 2 3 1 + 3k+1 + 3k+2 103k 10 10 : Demuestre que (Sn ) converge a cierto x 2 R. Escriba la expansión decimal de x y úsela para calcular x: Luego calcule la serie para obtener x directamente. 7. Sea x = n P 1 : ¿Cuál es la expansión decimal de x? Halle x explícitamente. 2k+1 10 k=0 8. Demuestre que a1 : : : ap ap+1 : : : aq + ; p 10 9 : : : 90 : : : 0 p nueves seguidos de p ceros. 0; a1 : : : ap ap+1 : : : aq = donde aparecen q 9. Use el ejercicio anterior para demostrar con todo detalle que toda expansión periódica corresponde a un número racional. 10. Demuestre que los siguientes números son irracionales: 1 X 1 ; x= 102k n=0 1 X 3 y= ; 10n2 n=0 1 X 1 : z= 10n! n=0 11. Dé cinco expansiones decimales que correspondan a números irracionales. Demuestre en cada caso que efectivamente, la expansión dada corresponde a un número iracional. 12. Sea x = 0; a1 a2 : : : ; donde an2 6= an para cada n: Demuestre que x es irracional. 13. Explique con sus propias palabras por qué todo racional tiene expansión decimal periódica. 14. Se de…ne an = 0 si n no es primo, y an = 1 si n es primo. Demuestre que x = 0; a1 a2 : : : es irracional. 15. Si an = 0 para n primo o par, y an = 1 en los demás casos, demuestre que x = 0; a1 a2 : : : es irracional. Sug. Si x fuera racional, separe los casos en que el período tenga longitud par o impar. Expansiones. A. Duarte & S. Cambronero 90 16. Sea an = 3 si n = k! para algún k 2 N, y an = 4 en caso contrario. Demuestre que x = 0; a1 a1 : : : es irracional. 17. Sea an el resto de la división euclideana de n2 entre 10; y sea 1 X an a= = 0; a1 a2 : : : : 10n n=1 ¿Es a racional? En caso a…rmativo, halle a explícitamente. 18. Sea an el resto de la división euclideana de 2n entre 10 (i.e. el último dígito de 2n ), y sea 1 X an x= : 10n n=1 ¿Es x racional? En caso a…rmativo, halle x explícitamente. 19. Sea an el último dígito de n + 2n ; y sea x= 1 X an : 10n n=1 ¿Es x racional? En caso a…rmativo, halle x explícitamente. 20. Sea an el último dígito de 3n ; y sea x= 1 X an : 10n n=1 ¿Es x racional? En caso a…rmativo, halle x explícitamente. 21. Sea an el último dígito del n ésimo primo; y sea 1 X an x= : 10n n=1 Escriba los primeros 30 dígitos de la expansión decimal de x: ¿Será x racional? Razone su respuesta (no demuestre). 22. Demuestre la densidad de Q en R, usando expansiones decimales. 23. Demuestre la densidad de I en R, usando expansiones decimales. 24. Sea x= 1 X 2 + ( 1)n : 10n n=0 ¿Cuál es la expansión decimal de x? Usando dicha expansión, halle x explícitamente. Luego calcule x sumando la serie directamente. Expansiones. A. Duarte & S. Cambronero 25. Sea x= 91 1 X 2 + ( 1)n : n2 10 n=0 ¿Cuál es la expansión decimal de x? Demuestre que x es irracional. 3.2. Expansiones en otras bases Todo lo hecho en la sección anterior para base b = 10; se puede realizar en general con cualquier base b 2 N, b 2: Dado un número real x, existe una expansión (c0 ; c1 c2 : : :)b en base b; lo que signi…ca (en el caso x 0): x = c0 + c1 c2 + 2 + :::: b b Los dígitos c1 ; c2 ; : : : son ahora números naturales entre 0 y b número entero. Por ejemplo, en base b = 8 tenemos: (3; 234)8 = 3 + 2 3 4 423 + + = = 8 64 512 128 1; mientras que c0 es un 647 200 : 8 Si trabajamos todo en base 8 podemos escribir (3; 234)8 = 3+ 3 4 2 + + 10 100 1000 = 8 3234 1000 = 8 647 200 8 (en el último paso dividimos por 4 tanto el numerador como el denominador). Similarmente 547 tenemos 0; 547 8 = : Para veri…car esto, tomamos x = 0; 547 8 y lo multiplicamos 777 8 por 83 = (1000)8 ; obteniendo (1000)8 x = (547 + x)8 ; y luego x= 547 1000 1 = 8 547 777 : 8 Al igual que en la sección anterior, consideramos primero el caso x 2 [0; 1[: Vamos a demostrar que efectivamente existe una sucesión de naturales (cn ) ; con cn 2 f0; 1; : : : ; b 1g ; tal que c1 c2 cn + 2 + ::: + n b b b x< c1 c2 cn + 1 + 2 + ::: + : b b bn x< c1 + 1 : b Se de…ne primero c1 := [[bx]]; de forma que c1 b Note que efectivamente se tiene c1 2 f0; 1; : : : ; b 1g ; dado que 0 bx < b: Expansiones. A. Duarte & S. Cambronero En el paso inductivo, habiendo de…nido c1 ; c2 ; : : : ; cn 2 f0; 1; : : : ; b c1 cn + ::: + n b b x< c1 cn + 1 + ::: + : b bn x< c1 cn+1 + 1 + ::: + : b bn+1 92 1g tales que (3.4) debemos de…nir cn+1 tal que cn+1 c1 + : : : + n+1 b b En forma similar a como se hizo en el caso de expansiones decimales, la única de…nición posible es hh c1 cn ii ::: cn := bn+1 x ; b bn el lector puede demostrar que cn+1 2 f0; 1; : : : ; b 1g : Hemos de…nido así la sucesión (cn ) de tal forma que n cn X ck c1 c2 + 2 + ::: + n = rn = b b b bk k=1 satisface rn para cada n demuestra que 1. Consecuentemente jrn x= lm n!1 1 bn 1 xj < n ! 0; y por lo tanto rn ! x: Esto b x < rn + n X ck k=1 bk = 1 X ck k=1 bk : (3.5) Al igual que en la sección anterior, se tiene que la sucesión (rn ) es creciente y la sucesión 1 rn + n es decreciente. Ambas convergen a x: Hemos demostrado: b Teorema 43 Dado un número real x 2 [0; 1[, y un natural b de naturales cn 2 f0; 1; : : : ; b 1g tal que cn c1 c2 + 2 + ::: + n b b b x< 2; existe una única sucesión c1 c2 cn + 1 + 2 + ::: + b b bn para cada n 1: Además la sucesión (rn ) de…nida arriba es creciente y converge a x; mientras 1 que la sucesión (sn ) de…nida por sn = rn + n es decreciente y converge a x: b La expansión del teorema anterior es, en cierta forma, la expansión canónica de x en base b: Al igual que en el caso b = 10; pueden existir otras expansiones, en el sentido de la siguiente de…nición. Expansiones. A. Duarte & S. Cambronero 93 De…nición 3.2.1 Dado un número real x 0; decimos que la sucesión (an )n2N es una expansión en base b de x si se cumple: a0 2 N, an 2 f0; 1; : : : ; b 1g para n 1 y x = a0 + l m n!1 n X ak k=1 bk = a0 + 1 X ak k=1 bk : Bajo esta de…nición tenemos entonces que en base b = 2 se iene (0; 0111 : : :)2 = (0; 1)2 = 1 10 2 1 = : 2 Ahora, ¿cuáles x tienen dos expansiones en base b? Para responder a esta pregunta, escribiremos la versión general del lema de la sección anterior. Lema 3.2.1 Para n 2 N se tiene 1 X b k=n+1 1 bk = 1 : bn Demostración Por de…nición se tiene 1 X b k=n+1 1 bk = 1 X 1 b 1 b 1 = n+1 b bk+n+1 1 k=0 1 b = 1 : bn El corolario siguiente se obtiene inmediatamente: Corolario 3.2.1 Para cualquier sucesión (an ) ; con an 2 f0; 1; : : : ; b 0 1 X ak bk k=n+1 1g se tiene 1 : bn Supongamos ahora que cierto número real x tiene dos expansiones en base b, digamos x = a0 ; a1 a2 : : : = c0 ; c1 c2 : : : : Si las expansiones son distintas, debe existir un n tal que an 6= cn ; y por el principio del buen orden, existe el más pequeño en que esto pasa. Podemos suponer que an < cn ; y entonces an + 1 cn : Luego n 1 X1 ak X an ak x= + + bn bk bk k=0 k=n+1 Expansiones. A. Duarte & S. Cambronero 94 Como ak = ck para k < n tenemos x = n X1 k=0 n X1 k=0 1 X an ak ck + n + k b b bk k=n+1 1 X ck cn + n b bk k=0 n X1 k=0 an ck 1 + n + n k b b b ck = x: 10k Finalmente, las desigualdades intermedias son en realidad igualdades. En particular debemos tener cn = an + 1 y ck = 0 para k > n: Además, de la igualdad 1 X 1 ak = n k b b k=n+1 se obtiene ak = b 1 para todo k > n: Hemos demostrado entonces que para que haya dos expansiones, una de ellas debe tener la forma a0 ; a1 : : : an (donde representa a b 1) y la otra a0 ; a1 : : : an 1 cn , con cn = an + 1: En particular se tiene x = c0 + cn k c1 + ::: + n = n; b b b donde k = c0 bn + c1 bn 1 + : : : + cn 2 Z. Esto demuestra una implicación en el siguiente lema. La otra implicación queda como ejercicio. Lema 3.2.2 Un número real x tiene dos expansiones decimales en base b; si y solo si tiene k la forma x = n ; donde k 2 Z y n 2 N. b 3.2.1. Ejercicios 1. Halle las expansiones en base 6 de 3 43 123 ; ; (están dados en base 6). 5 24 55 2. En cada caso, halle el número racional correspondiente a la expansión dada: (0;00001111)2 ; (4;323232)5 ; 4:32 5 ; 0:1232345 8 : 3. Demuestre que un número real no puede tener tres expansiones en base b: 4. Considere la sucesión Sn = n X k=0 2 3 1 + 3k+1 + 3k+2 3k 5 5 5 : Demuestre que (Sn ) converge a cierto x 2 R. Escriba la expansión en base b = 5 de x; y luego calcule x: 5. Sea x = 1 P k=0 1 22k+1 : ¿Cuál es la expansión binaria de x? Halle x explícitamente. Expansiones. A. Duarte & S. Cambronero 95 6. Demuestre que x tiene dos expansiones en base b si y solo si se puede expresar como una fracción, en la que los divisores primos del denominador, son todos divisores de b: 7. Demuestre la versión del ejercicio 8, de la sección anterior, para base b: 8. Use el ejercicio anterior para demostrar con todo detalle que toda expansión periódica en base b corresponde a un número racional. 9. Demuestre que las expansiones en base b; de números racionales, son periódicas: 10. Dé cinco expansiones binarias, que correspondan a números irracionales. Demuestre en cada caso que efectivamente, la expansión dada corresponde a un número iracional. 11. Demuestre que el número x= es irracional. 12. Demuestre que es irracional. 1 X 1 32 k n=0 1 X 2 x= 3n2 n=0 13. Sea an el último dígito en la representación de 3n en base 3; y sea x= 1 X an n=1 3n : ¿Es x racional? En caso a…rmativo, halle x explícitamente. 14. Sea x= 1 X 1 + ( 1)n : 3n n=0 ¿Cuál es la expansión en base 3 de x? Usando dicha expansión, halle x explícitamente. Luego calcule x calculando la suma de la serie directamente. 15. Sea x= 1 X 1 + ( 1)n : n2 3 n=0 ¿Cuál es la expansión decimal de x? Demuestre que x es irracional. Capítulo 4 Equipotencia, In…nitud y Numerabilidad 4.1. Introducción Asumimos que el lector tiene cierta familiaridad con los conjuntos …nitos, por lo que solamente indicaremos algunas de…niciones y resultados necesarios para darle rigor a toda esa intuición que por lo general se asume casi en forma axiomática. De…nición 4.1.1 Se dice que el conjunto A es equipotente al conjunto B; si existe una biyección f : A ! B: En tal caso se escribe A B: Es un buen ejercicio demostrar que la relación “ ” es de equivalencia. Ejemplo 4.1.1 Z es equipotente a N. En efecto, considere la función ':Z!N de…nida por '(n) = 2n 1 2n si n > 0 si n 0 Le dejamos al lector la tarea de comprobar que ' es una biyección. Ejemplo 4.1.2 El intervalo ( 1; 1) es equipotente a R. En efecto, la función f : ( 1; 1) ! R, x de…nida por f (x) = es biyectiva. Veri…que esto en detalle. 1 jxj Los siguientes lemas se pueden demostrar como ejercicio. Lema 4.1.1 Si f : A ! B es inyectiva, entonces A 96 f (A) : Equipotencia, in…nitud y numerabilidad. A. Duarte & S. Cambronero Lema 4.1.2 Si a y b son elementos de un conjunto A; entonces A Lema 4.1.3 Si A B; a 2 A y b 2 B; entonces A fag B fag A 97 fbg : fbg De los lemas anteriores, se deduce fácilmente que el n de la siguiente de…nición, es único. De…nición 4.1.2 Un conjunto A se llama …nito si es vacío, o si existe n 2 N tal que A f1; 2; : : : ; ng : En tal caso decimos además que A tiene n elementos, y escribimos jAj = n: También se dice que A tiene cardinalidad n: El siguiente teorema se demuestra usando el principio de inducción. Teorema 44 Dado A R …nito y no vacío, existe un elemento en A que es mayor que todos los demás. A tal elemento lo llamaremos el máximo de A; y lo denotaremos por max A: De…nición 4.1.3 Decimos que un conjunto A es in…nito si no es …nito. Es decir, si no existe n 2 N tal que A Sn . Del teorema anterior, y el principio de Arquímedes, se deduce que: Teorema 45 N es in…nito. 4.2. Conjuntos Numerables Posiblemente el conjunto in…nito más “natural” es el conjunto de los números naturales. En esta sección veri…caremos, entre otras cosas, que N es el conjunto in…nito más pequeño. De…nición 4.2.1 Diremos que un conjunto es numerable si es equipotente al conjunto de los números naturales. Ejemplo 4.2.1 El conjunto P de los naturales pares es numerable. En efecto, bastará considerar la función f : N!P n 7! 2n Ejemplo 4.2.2 Considere D = f2n : n 2 Ng el conjunto formado por las potencias de 2. La función ' : N ! D; '(n) = 2n ; es una biyección (demuéstrelo como ejercicio). Resulta entonces que D es numerable. Ejemplo 4.2.3 El conjunto de los números enteros es numerable, como veri…camos en la sección anterior. Equipotencia, in…nitud y numerabilidad. A. Duarte & S. Cambronero 98 Note que un conjunto numerable es un conjunto cuyos elementos se pueden colocar en una sucesión in…nita: a0 ; a1 ; : : : ; an ; : : : Se dice que un conjunto es contable si es …nito o numerable. El siguiente teorema se puede demostrar usando el principio de inducción. Teorema 46 Todo subconjunto de N es contable. Demostración Considere A N. Si A es …nito entonces A es contable por de…nición. Si A es in…nito se de…ne ' : N !A de manera recursiva: '(0) = m n A y '(n + 1) = m n (A Es importante notar que A que: f'(0); : : : ; '(n)g) : f'(0); : : : ; '(n)g es no vacío, puesto que A es in…nito. Nótese ' es estrictamente creciente En efecto, como ' (0) es el menor elemento de A; y ' (1) 2 A f' (0)g ; se sigue que ' (0) < ' (1) : El mismo argumento demuestra que ' (n) < ' (n + 1) : Como corolario de esto, se obtiene que ' es inyectiva. Como ' se puede ver como una función de N en N, y como es estrictamente creciente, se sigue que ' (n) n para todo n 2 N (si esto no es evidente para usted, demuéstrelo). ' es sobreyectiva Para n 2 A; debemos demostrar que existe j 2 N tal que ' (j) = n: Se tiene ' (n) = m n (A f'(0); : : : ; '(n 1)g) : Hay dos posibilidades: Si n 2 A f'(0); : : : ; '(n 1)g entonces ' (n) n (por ser ' (n) el mínimo), y como ya teníamos n ' (n) ; se concluye que n = '(n) (la pre-imagen de n es él mismo). Si n 2 =A f'(0); : : : ; '(n 1)g ; entonces n = ' (i) para algún i = 0; : : : ; n 1: Se concluye que, en cualquier caso, existe j 2 N tal que ' (j) = n: Un corolario de este teorema es el siguiente: Teorema 47 Si A es contable y B es subconjunto de A; entonces B es contable. Demostración En efecto, sea A un conjunto contable y sea B A: Como A es contable, existe una biyección f entre A y un subconjunto de N. Entonces B es equipotente a f (B) (¿por qué?), y como Equipotencia, in…nitud y numerabilidad. A. Duarte & S. Cambronero 99 f (B) es subconjunto de N, se sigue que f (B) es contable. Por el ejercicio 6 se concluye que B es contable. Como corolario se obtiene: Corolario 4.2.1 Todo subconjunto in…nito de un conjunto numerable es numerable. En otras palabras los conjuntos numerables son los conjuntos in…nitos más pequeños. Demostración En efecto, si A es numerable y B A; entonces por el teorema anterior tenemos que B es contable, y si además B es in…nito, se sigue entonces que es numerable. Corolario 4.2.2 Un conjunto A 6= ; es contable si y solo si existe una inyección de A en N. Demostración Si A es contable, entonces A es equipotente con N o con algún Sn . En el primer caso existe una biyección entre A y N, la cual es en particular inyectiva. En el segundo caso existe f = (A; Sn ; G) una biyección entre A y Sn ; y consecuentemente g = (A; N; G) es una inyección de A a N. Recíprocamente, si existe f : A ! N inyectiva, enfonces A f (A) se tiene que f (A) es contable. Consecuentemente A también lo es. N, y por el teorema 46 Corolario 4.2.3 Un conjunto A 6= ; es contable si y solo si existe una función sobreyectiva de N en A: Se deja al lector la tarea de demostrar con todo detalle este corolario. Teorema 48 El conjunto N N es numerable. Demostración Sea ' : N N ! N; de…nida por '(n; m) = 2n 3m : Claramente ' es inyectiva y por el corolario 4.2.2, se tiene que N N es contable. Además f : f1g N ! N (1; n) ! n resulta ser una biyección de un subconjunto de N y por lo tanto es numerable. N en N. Luego N Teorema 49 Si A y B son conjuntos contables, entonces A N es contable in…nito, B es un conjunto contable. Equipotencia, in…nitud y numerabilidad. A. Duarte & S. Cambronero 100 Demostración Como A y B son contables, existe una inyección f : A ! N; y una inyección g : B ! N. La aplicación ':A B ! N N (a; b) 7! (f (a) ; g (b)) es una inyección de A B en N N, puesto que ' (a; b) = ' (a0 ; b0 ) ) (f (a) ; g (b)) = (f (a0 ) ; g (b0 )) ) f (a) = f (a0 ) ^ g (b) = g (b0 ) ) (a; b) = (a0 ; b0 ): Ahora como N N es numerable, existe una biyección ':A es inyectiva y por lo tanto A :N N ! N, resultando que B!N B es contable. Teorema 50 Si (An )n2N es una familia contable de conjuntos contables, entonces A = S An es un conjunto contable. n2N Demostración Por hipótesis y el corolario 4.2.2, para cada n 2 N existe 'n : An ! N inyectiva. De…nimos la aplicación f :A!N N por f (x) = mx ; 'mx (x) ; donde mx = m n fn 2 N : x 2 An g : Dostremos que f es una inyección: f (x) = f (y) ) mx ; 'mx (x) = my ; 'my (y) ) mx = my ^ 'mx (x) = 'my (y) ) 'n (x) = 'n (y); donde n = mx : Como 'n es inyectiva concluimos x = y: Por el corolario 4.2.2 concluimos que A es contable. Teorema 51 Todo conjunto in…nito contiene un subconjunto numerable. Equipotencia, in…nitud y numerabilidad. A. Duarte & S. Cambronero 101 Demostración Sea M un conjunto in…nito. Sea a0 un elemento cualquiera de M . Como M es in…nito, podemos encontrar un elemento a1 distinto de a0 : Luego podemos escoger un elemento a2 2 A fa0 ; a1 g : Continuando este proceso (el cual nunca podrá truncarse por falta de elementos pues M es in…nito) obtenemos un subconjunto numerable A = fa0 ; a1 ; : : :g M: Nota: Una demostración un poco más formal se puede hacer usando el “axioma de escogencia”. El resultado anterior señala que los conjuntos numerables son, entre los conjuntos in…nitos, los “más pequeños”. De…nición 4.2.2 Si A es un conjunto numerable, decimos que tiene cardinalidad @0 (la letra @; que se lee “alef”, es la primera letra del alfabeto hebreo). Se debe señalar que no todos los conjuntos in…nitos son numerables, el siguiente resultado nos proporciona un importante ejemplo de un tal conjunto. Teorema 52 El intervalo [0; 1] no es numerable. Demostración Para la demostración se utilizará el proceso “diagonal” de Cantor (1845-1918). Se sabe que todo número real x 2 [0; 1] tiene una representación decimal de la forma: x = 0; a1 a2 a3 : : : en donde los ak 2 f0; 1; 2; : : : ; 9g : Debemos tener presente que algunos números reales pueden tener dos expresiones decimales. Supongamos que los elementos de [0; 1] se pueden disponer en una sucesión in…nita x1 ; : : : ; xn ; : : : x1 x2 = = .. . 0; a11 a12 a13 : : : 0; a21 a22 a23 : : : xn = 0; an1 an2 an3 : : : .. . De…nimos (bn )n 1 de la siguiente manera: bn = 7 si ann = 6 7 5 si ann = 7 Consideremos el número real con representación decimal Equipotencia, in…nitud y numerabilidad. A. Duarte & S. Cambronero 102 y = 0; b1 b2 : : : Claramente 0 y 1: ¿Será y un número con doble representación decimal? La respuesta es no, ya que bn 62 f0; 9g : Por otro lado, observe que: y 6= x1 y 6= x2 .. . pues pues b 6= a11 b2 6= a22 En general, para cualquier n; y 6= xn debido a que bn 6= ann . Hemos demostrado que cualquier colección numerable de elementos del intervalo [0; 1] ; omite al menos un número real perteneciente a ese intervalo. Consecuentemente [0; 1] no es numerable. Ejemplo 4.2.4 El conjunto P (N) no es contable. En efecto, en primer lugar es claro que P (N) es in…nito. Además, en el ejercicio 5 se pide demostrar que, para cualquier conjunto E, P (E) no es equipotente con E: En particular P (N) no es numerable. Ejemplo 4.2.5 La familia F de subconjuntos …nitos de N, es numerable. En efecto, en primer lugar F es in…nito. Además, si A N es …nito, entonces existe n 2 N tal que A f1; : : : ; ng : Esto demuestra que S F= P (f1; : : : ; ng) : n2N Como esta es una unión numerable de conjuntos …nitos, se concluye que F es contable. Combinando esto con el ejemplo anterior, se concluye que la familia G de subconjuntos in…nitos de N, es no cotable. De…nición 4.2.3 Se dice que un conjunto E tiene la potencia del continuo, o que tiene cardinalidad c; si existe una biyección entre E y [0; 1] (es decir, E y [0; 1] son equipotentes). Por ejemplo: Teorema 53 Todo intervalo (no trivial) en R tiene la cardinalidad del continuo. En particular, ningún intervalo no trivial es contable. Demostración La función ' : [0; 1] ! [0; 1) de…nida por '(x) = 1 n+1 x es biyectiva, y por lo tanto [0; 1] si x = n1 ; para algún n 2 N en caso contrario [0; 1): Equipotencia, in…nitud y numerabilidad. La función : [0; 1) ! (0; 1] ; de…nida por [0; 1] [0; 1) (0; 1] : A. Duarte & S. Cambronero (x) = 1 103 x; es una biyección, así que La misma función ' de arriba, restringida a (0; 1] ; demuestra que (0; 1] (0; 1) : La fórmula f (x) = a + (b a) x de…ne una biyección de [0; 1] en [a; b]; con a < b: Esto demuestra que todo intervalo de la forma [a; b] tiene cardinalidad c: La misma función restringida a [0; 1); etc. permite demostrar que los intervalos [a; b) ; (a; b) ; (a; b] tienen cardinalidad c: Finalmente, de acuerdo con el ejemplo 4.1.2 se tiene que ( 1; 1) R, así que R también tiene cardinalidad c: 4.3. Ejercicios 1. Demuestre los resultados enunciados en la introducción. 2. En E = R se de…ne la relación S por: xSy , x y 2 Z. Demuestre que esta relación es de equivalencia. Demuestre que R=S tiene la cardinalidad del continuo. 3. En E = R se de…ne la relación T por: xT y , [[x]] = [[y]]. Demuestre que esta relación es de equivalencia. Demuestre que R=T es numerable. 4. Sea E un conjunto, y sea F E …jo. En P(E) de…na la relación R por: ARB , A \ F = B \ F: Demuestre que esta relación es de equivalencia en P(E): Demuestre que P(E)=R es equipotente a P(F ): 5. Sea E un conjunto cualquiera. Demuestre que P(E) no puede ser equipotente con E. Concluya que P (E) no puede ser numerable. 6. Si A es contable y B A; demuestre que B es contable. Haga lo mismo con numerable. 7. Demuestre que Q es numerable, y que I no lo es. 8. Complete los detalles en la prueba del teorema 53. 9. Un conjunto A 6= ; es contable si y solo si existe una función sobreyectiva de N en A (Sug. Si f : N ! A es sobre, de…na ' : A ! N por '(x) = m n fn 2 N : f (n) = xg ; y demuestre que ' es inyectiva). 10. Demuestre que son equivalentes: a) A es in…nito b) Existe una inyección f : N ! A: Equipotencia, in…nitud y numerabilidad. A. Duarte & S. Cambronero 104 c) Existe una sobreyección f : A ! N: 11. Sea A un conjunto in…nito, y sea D A un conjunto numerable tal que A D es in…nito. Demuestre que A D A: Concluya que el conjunto de los irracionales I, tiene cardinalidad c: Lo mismo con el conjunto de los trascendentes. 12. Demuestre que son equivalentes: a) A es in…nito b) Existe a 2 A tal que A c) Existe D A fag A; D numerable, tal que A A D d ) Existe un subconjunto propio de A, el cual es equipotente con A 13. Decimos que la cardinalidad de A es menor o igual que la de B si existe una función inyectiva de A en B: En tal caso se escribe jAj jBj : Si además A y B no son equipotentes, se escriba jAj < jBj : a) Demuestre que jAj jBj si y solo si A es equipotente con un subconjunto de B: b) Si A es …nito y B es in…nito, demuestre que jAj < jBj : c) Si A es contable y B no es contable, demuestre que jAj < jBj : d ) Demuestre que jAj la elección. jBj sii existe g : B ! A sobreyectiva. Necesita el axioma de e) Consiga la demostración del teorema de Schröder-Bernstein: Si jAj jAj entonces jAj = jBj. jBj y jBj 14. Demuestre que P (N) es equipotente con el conjunto 2N = ff : f es función de N en f0; 1gg : Para esto demuestre que la función F : 2N ! P (N) de…nida por F (f ) = fn 2 N : f (n) = 1g ; es biyectiva. Concluya que 2N no es numerable. 15. Demuestre que Nn = n Q N es numerable. Concluya que i=1 S n2N Nn es numerable, y que también lo es el conjunto n o F = f 2 2N : f (n) = 0 a partir de cierto n : Concluya que 2N F no es numerable. Equipotencia, in…nitud y numerabilidad. A. Duarte & S. Cambronero 105 16. Considere la función G : 2N de…nida por G(f ) = F !]0; 1] 1 X f (n) : 2n+1 n=0 Demuestre que G es biyectiva. Esta es otra demostración de que R no es numerable. 17. Demuestre que la familia C cuyos elementos son los subconjuntos de N que tienen complemento …nito, es numerable. 18. Demuestre que el conjunto de polinomios sobre R, con coe…cientes enteros, es numerable. 19. Un número real se llama algebraico si existe un polinomio p (x) con coe…cientes enteros tal que p ( ) = 0: Demuestre que el conjunto de números algebraicos es numerable, y que los números trascendentes (los que no son algebraicos) forman un conjunto no contable. 20. Demuestre que [0; 1] es no contable, usando segmentos encajados (ejemplo 2.4.8). Para esto considere f : N ! [0; 1] y escoja [a1 ; b1 ] [0; 1] tal que f (1) 2 = [a1 ; b1 ], luego escoja recursivamente [an ; bn ] [an 1 ; bn 1 ] tal que f (n) 2 = [an ; bn ] : Capítulo 5 Las Funciones Exponencial y Logarítmica 5.1. Introducción Comúnmente, en la literatura la función exponencial es presentada de una manera prácticamente axiomática, aceptando su existencia y sus propiedades, y muchas veces, sin dar una idea intuitiva de lo que pasa en el caso de exponentes irracionales. Una construcción “rigurosa” de dicha función se presenta después de haber estudiado el cálculo integral, construyendo primero la función logarítmica como una integral de…nida. Dicha construcción, además de usar una herramienta relativamente so…sticada, esconde en alguna medida la naturaleza de la función exponencial. Para hacer una construcción elemental de la función exponencial, hay varias posibilidades. Si se utiliza directamente el axioma del extremo superior, la labor se hace bastante tediosa, perdiendo el gusto en los detalles técnicos. En este capítulo se presenta una construcción más intuitiva, explotando las expansiones decimales, estudiadas en el capítulo 3. 5.1.1. Un poco de historia La noción de progresión geométrica no es nueva en Matemática. Existe evidencia que muestra que los egipcios y babilonios manejaban este concepto, y desde luego también los griegos. En Los elementos de Euclides aparece un enunciado que establece la igualdad am+n = am an ; para n y m enteros positivos. Ya en la Edad Media, N. Oresme (francés, S. XIV) vuelve a hallar esta regla, hablando de exponentes racionales, y estableciendo otras identidades como (ab)1=n = a1=n b1=n ; (am )p=q = (amp )1=q : 106 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. A. Duarte & S. Cambronero 107 Sus ideas, muy avanzadas para la época, no fueron entendidas, y un siglo después N. Choquet las retoma, introduciendo además exponentes enteros no positivos. En esta época se consolida la función exponencial como isomor…smo entre los números reales. En el siglo XVI, el matemático alemán Stifel completó el trabajo, introduciendo exponentes racionales arbitrarios, y el paso a exponentes reales fue realizado por J. Neper1 (o Napier) y J. Bürgi entre 1614 y 1620, de manera intuitiva. Desde entonces, y hasta mediados del siglo XIX, se admitió esta manera intuitiva de pasar a exponentes reales, al no disponerse de una teoría sólida de números reales que permitiera hacerlo más rigurosamente. Aunque hoy en día se enseñan a veces como un tema aislado, lo cierto es que los logaritmos y las potencias aparecieron como una herramienta de cálculo. En efecto, al parecer ya Arquímedes utilizaba la idea de reducir la multiplicación de dos números, por medio de la suma de sus logaritmos. Pero el verdadero auge de los logaritmos, como herramienta de cálculo, sobre todo en navegación, …nanzas y cálculos astronómicos, comienza en el siglo XVI con Stifel, y se consolida a inicios del XVII con Neper y Bürgi, y posteriormente con la construcción de las primeras tablas de logaritmos en base 10; realizadas por H. Briggs (1631). Las tablas de logaritmos se fueron perfeccionando a través de los años, y fueron utilizadas en los cálculos y en la enseñanza hasta hace relativamente poco tiempo. La era de la computación fue haciendo que las tablas fueran más fáciles de elaborar, pero también las hizo innecesarias, pues ahora es más simple presionar un par de teclas en la calculadora, que buscar mantizas y características. Con el nacimiento del Cálculo In…nitesimal, las funciones exponencial y logarítmica comienzan a tener importancia desde un punto de vista teórico, al comenzar a ser estudiadas sus propiedades diferenciales. La importancia teórica de estas funciones ha invadido casi la totalidad de las áreas de la Matemática, sobre todo aquellas en que las nociones del cálcu1 Neper, John. Matemático escocés, nacido en 1550. Mientras estaba en la universidad, se unió al Movimiento de Reformación en escocia, y en los años posteriores tomó un papel activo en cuestiones políticas de protesta. En 1593, escribe una obra considerada la primera interpretación escocesa de la Biblia. Se le conoce principalmente como el inventor del primer sistema de logaritmos, lo cual describe en su obra Canomis Descriptio (1614). El logaritmo natural (de base e) que utilizamos hoy, es llamado a veces logaritmo neperiano, aunque Neper nunca usó el número e como base. Desde este punto de vista, el logaritmo natural sería más atribuible a Bürgi, quien utilizó la base 104 1 a+ 4 : 10 Neper fue uno de los primeros en usar el punto decimal para expresar fracciones, de una manera sistemática, y de acuerdo con el sistema moderno de notación decimal. Su descripción de la función logarítmica consistía en considerar dos puntos M y N miviéndose simultáneamente sobre dos rectas, el primero a velocidad constante, y el segundo a una velocidad proporcional a su desplazamiento. Neper de…nió la abscisa de M como el logaritmo de la de N: Con las herramientas actuales, lo que Neper propuso fue un par de variables dependientes del dn dm dn tiempo, tales que = n; = ; de donde podemos concluir que = kn; con k = : La solución de esta dt dt dm ecuación diferencial tiene la forma n = cekm ; donde c es una constante, o equivalentemente, m = k1 ln n ln c: Tomando adecuadamente el punto de partida (esto es, si n = 1 cuando m = 0) se obtiene c = 1: Según la literatura, Neper utilizó un valor k 10 7 ; de donde se obtiene que la base resultante es ek ' 0;9999999: A. Duarte & S. Cambronero 108 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. lo diferencial e integral están presentes. Por otro lado, su importancia desde un punto de vista aplicado va mucho más allá de su uso en los cálculos numéricos. Estas funciones ya no se enseñan más como simple herramienta de cálculo numérico, sino como base de modelos so…sticados y poderosa herramienta teórica en diferentes áreas del quehacer cientí…co. 5.1.2. Ejercicios de repaso 1. Si n 2 N y x; y 2 R, demuestre que xn y n = (x y) xn 1 + xn 2 y+ + xy n 2 + yn 1 : 2. Para n 2 N ; demuestre que la función f : [0; 1[! R; f (x) = xn es estrictamente creciente. Concluya que para x positivo y n 2 N se tiene x > 1 , xn > 1: 3. Si n 2 N es impar, demuestre que f (x) = xn de…ne una función estrictamente creciente en R. Además f es biyectiva. 4. Para todo n 2 N se de…ne f : R+ ! R+ por f (x) = xn . Demuestre que f es estrictamente creciente y biyectiva. ¿Cual es su inversa? 5. Si n es par, entonces f = R ! R+ ; de…nida por f (x) = xn ; es biyectiva y estrictamente decreciente. ¿Cual es su inversa? 6. Demuestre usando el principio de inducción que si " > 0 y n 2 N se tiene (1 + ")n > 1 + n" + 12 n (n 1) "2 : p Concluya que la sucesión ( n n)n2N converge a 1: 5.2. Exponentes racionales En esta sección de…niremos ar ; donde a es un número real positivo y r es un número racional cualquiera. 5.2.1. Exponentes enteros Para n 2 N se de…ne recursivamente a0 = 1; an+1 = an a. A. Duarte & S. Cambronero 109 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. Para z entero negativo se de…ne 1 ; an donde n = jzj : Para a; b 2 R y n; m 2 Z se tiene: az = 1. am an = am+n 2. (an )m = an m 3. an am = an m, si a 6= 0 4. (ab)n = an bn 5. a n b = an bn , si b 6= 0: La demostración se deja como ejercicio. El lector puede consultar [7] para una discusión más completa y algunas demostraciones. 5.2.2. Exponentes fraccionarios Para pasar a exponentes fraccionarios, tratemos de adivinar la de…nición usando la propiedad 2. Si queremos que esta propiedad siga siendo válida en Q, debe tenerse 1 an n 1 = an n = a1 = a: 1 En otras palabras, b = a n debe satisfacer bn = a: Esto nos lleva a lo que “por de…nición” se llama “raíz n-ésima” de a: De…nimos entonces p 1 a n = n a: Ahora, usando la propiedad 2 como modelo vemos que para m n 2 Q debe de…nirse p m a n = (am )1=n = n am : p Nota: Tomando b = n a tenemos bn = a; y por la propiedad 2 para exponente natural, se sigue que (bm )n = bmn = (bn )m = am ; lo que signi…ca que bm es la raíz n ésima de am : Esto demuestra que p p m n a = bm = n am ; o equivalentemente: 1 an m m = an: El próximo paso es veri…car las propiedades para exponentes racionales. Esto es, para a; b > 0 y r; s 2 Q se tiene: A. Duarte & S. Cambronero 110 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. 1. ar as = ar+s 2. (ar )s = ars 3. ar as = ar s 4. (ab)r = ar br 5. a r b = ar br . y s = pq ; con n > 0 y q > 0; tenemos: r p p = q n am Demostremos como ejemplo la propiedad 2: Si r = p n (ar )s = q q = = a am p n mp qn p q amp = m n p qn amp = ars : p p p q n mp El único paso que no está aún justi…cado es la igualdad a = qn amp : Para demostrar p p p q n b: Entonces cq = n b; y por lo tanto (cq )n = b: esto sean b = amp y c = p Por lappropiedad 2 para exponentes enteros tenemos que cqn = b; y esto signi…ca que c = qn b = qn amp : Concluimos esta sección demostrando: Lema 5.2.1 Suponga a 2 R es tal que a > 1: Entonces la función exponencial f (r) = ar f : Q ! R; es estrictamente creciente. Esto es, si r; s 2 Q entonces: r < s ) ar < as : Demostración En efecto, para n 2 N y b > 0 tenemos, por el ejercicio 2 de introducción (ejercicios de repaso): bn > 1 si y solo si b > 1: m s Si s r = m n > 0; podemos asumir que m; n 2 N , así que a > 1: Ahora, como b = a n m satisface b = a > 1; concluimos que b > 1: Finalmente as = ar as 2 r r m = an = ar b > ar : 1 1 Ejemplo 5.2.1 Resolver la ecuación x 3 3x 3 +2 = 0: Tomando t = x 3 tenemos t2 3t+2 = 0; y resolviendo se obtiene t 2 f1; 2g. Luego, la solución es x 2 f1; 8g : Ejemplo 5.2.2 Resolver 4x 2x+1 + 1 = 0: Tomando t = 2x tenemos 4x = 22x = t2 ; 2x+1 = 2 2x = 2t; así que la ecuación es t2 2t + 1 = 0; y entonces t = 1: Luego la solución es x = 0. A. Duarte & S. Cambronero 111 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. 5.2.3. Ejercicios 1. Si no lo ha hecho antes, demuestre usando inducción las propiedades de potenciación con exponentes naturales. 2. Usando las propiedades de potenciación con exponentes naturales, demuéstrelas para exponentes enteros. 3. Demuestre las propiedades de potenciación con exponentes racionales, usando las correspondientes a exponentes enteros. 4. Para a > 0 y r 2 Q, demuestre que ar > 0. 5. De las siguientes expresiones, comente sobre cuáles tienen sentido y cuáles no: p 1 0 2 ( 1)3 ( 4) 2 ( 5)0 ( 2)4 6. De las siguientes igualdades, determine las que son verdaderas p 1 1 ( 1)2 = 1 50 = 0 4 2 = 16 92 = 81 7. Simpli…que las siguientes expresiones n a2 an ; a3 a2 b ; ab 2 p p 3 a5 b a2 b4 c 6 8. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales para x 2 Q: 2x+1 = 4 x3 = xx+1 1 3x + x 1 = 4 3 3 3 x+1 x+1 83x 1 2x+1 = 9x = 32x+3 2x+3 = 12 2 7x 1 = 1 = 162x+1 4x = 3 2x+1 9. Resuelva las siguientes ecuaciones p p 3 x 36x+2=0 2x6 + 11x3 = 6 p p 3 x + 9 6 x + 14 = 0 2x4 + 11x2 = 6 3x 9x 8 2 1 = 27 2 3x 3 = 0 p xx = x: x3 3x3=2 1=0 x4=3 x2=3 1 = 0: 10. Si r > 0 es racional, demuestre que la función f : [0; 1[! R, de…nida por f (x) = xr , es estrictamente creciente. 11. Si 0 < a < 1; demuestre que la función f : Q ! R, de…nida por f (r) = ar ; es estrictamente decreciente. En particular an < a para cada n 2 N. p p 12. En el capítulo 2 se demostró que si p 2 N y an ! a > 0, entonces p an ! p a: Use esto para concluir que si r 2 Q y an ! a > 0; entonces arn ! ar : A. Duarte & S. Cambronero 112 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. 5.3. Exponentes reales Consideremos ahora el problema de de…nir 2x , p para números irracionales como La idea es tomar racionales que “aproximen” a 2; digamos r0 = 1; r1 = 1;4; p 2, ; etc. r2 = 1;41; : : : Sabemos de…nir 2r0 ; 2pr1 ; 2r2 ; : : : y se espera que estos números “se acerquen” a un número real que llamaremos 2 2 : Más adelante explotaremos esta idea de usar sucesiones para de…nir ax : Por ahora haremos una construcción usando el axioma del extremo superior. Vamos a tomar el caso a = 2 para simpli…car notación. Tomemos x 2 R Q y consideremos los conjuntos A = f2r : r 2 Q; r < xg ; B = fy 2 R : y es cota superior de Ag : Por el axioma de completitud existe = sup A 2 R tal que z y; para todo z 2 A y todo y 2 B: Note que en particular 2 B ( es la menor cota superior de A). Además, 2s 2 B si s 2 Q y s > x, dado que s > x ) s > r para x > r 2 Q ) 2s > 2r para x > r 2 Q ) 2s > z para cada z 2 A: De…nimos 2x := = sup A: Note entonces que 2r 2x 2s ; para r; s 2 Q tales que r < x < s: Mejor aún, la función f (x) = 2x así de…nida, es estrictamente creciente en R. En efecto, tomemos x; y 2 R tales que x < y. Entonces existe un racional r tal que x < r < y; y luego existe otro racional s tal que r < s < y: Por ser f estrictamente creciente en Q obtenemos 2x 2r < 2s 2y ; y en particular 2x < 2y : La misma construcción se puede hacer para f (x) = ax ; con a > 0 cualquiera (para 0 < a < 1; la función resulta decreciente, y para a = 1 es constante). Aunque es un poco tedioso, se pueden demostrar las propiedades 1,...,5 para exponentes reales. Esto es más sencillo con el enfoque vía sucesiones que estudiaremos en la siguiente sección. Ejemplo 5.3.1 p Ejemplo 5.3.2 (4) 2 p1 2 p 2 p 2 = 22 = p1 2 p 2 =2 p p 2 2 p2 2 = p =2 p p 2 2 = 2: 2: p p t=x Ejemplo 5.3.3 Resolver la ecuación x 8 3x 2 + 2 = 0: n Tomando p o 1= 2 3t + 2 = 0: Resolviendo obtenemos t 2 f1; 2g, así que x 2 1; 2 : 2 tenemos t2 A. Duarte & S. Cambronero 113 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. 5.3.1. Construcción vía sucesiones En esta sección de…nimos ax para 0 < a 6= 1 y x 2 R, partiendo de la de…nición para x 2 Q. Primero consideremos el caso a > 1: En tal caso la función f (r) = ar f : Q ! R; es estrictamente creciente en Q. Además, dado x 2 R existen sucesiones de racionales (rn ) y (sn ) ; la primera creciente y la segunda decreciente, tales que2 rn x < sn = rn + r1 rn 1 para cada n: 10n Dado que rn+1 x sn+1 sn s1 para cada n 2 N, se sigue que ar1 arn+1 arn asn+1 as1 : asn Esto demuestra que la sucesión (arn ) es creciente y acotada superiormente por as1 ; mientras que la sucesión (asn ) es decreciente y acotada inferiormente por ar1 : Por el teorema de Weierstrass, ambas sucesiones son convergentes. De…namos = l m asn : = l m arn ; n!1 n!1 1 Recordemos que por el ejemplo 2.3.19 se tiene a n ! 1: Más precisamente, para cada n 2 N se tiene 1 (5.1) 1 < a n < 1 + na : Como a1=10 n 1 n es una subsucesión de a n ; tenemos a1=10 ! 1: Luego n n = l m asn = l m arn +1=10 = l m arn a1=10 = : n!1 n!1 n!1 Note que entonces es el único número real que es a la vez mayor que cada arn y menor que cada asn : Si queremos que f siga siendo creciente, la única de…nición posible para ax es ax := = l m arn = l m asn : Para 0 < a < 1 se de…ne ax = 2 Recuerde lo demostrado en el capítulo 3. n!1 n!1 1 : 1 x a A. Duarte & S. Cambronero 114 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. 5.3.2. Propiedades de la función exponencial Es estrictamente monótona El lema siguiente demuestra que efectivamente, la función resultante es estictamente monótona. Lema 5.3.1 Para a > 1; la función exponencial de base a f : R ! R+ ; f (x) = ax (5.2) es estrictamente creciente. Para 0 < a < 1 es estrictamente decreciente. Demostración En efecto, sean x; y 2 R tales que x < y: Sea (rn ) la sucesión creciente de racionales utilizada en la de…nición de ax ; y sea (sn ) la sucesión decreciente utilizada en la de…nición de ay : Sean p; q 2 Q tales que x < p < q < y: Como la función exponencial de base a es estrictamente creciente en Q, para cada n 2 N se tiene arn < ap < aq < asn : Tomando el límite se obtiene ax = l m arn n!1 ap < aq l m asn = ay : n!1 El caso 0 < a < 1 se deduce de este en forma evidente. Como consecuencia de este lema, se obtiene que la función exponencial (con 0 < a 6= 1) es inyectiva. Este es un hecho general, y su veri…cación se deja como ejercicio. Es secuencialmente continua Esta nueva de…nición, con el uso de sucesiones, simpli…ca enormemente el trabajo al demostrar las propiedades de la exponencial para exponentes reales. Para hacerlo, el siguiente lema es de gran ayuda. Lema 5.3.2 Si ( n ) es una sucesión de números reales que converge a x; entonces la sucesión (a n ) converge a ax : Demostración Comencemos con a > 1: Sea (rn ) la sucesión de racionales usada para de…nir ax : Dado " > 0; 1 1 a escogemos m 2 N tal que m < ": Luego, como n rn ! 0 existe N tal que m < n rn < m para n N: El crecimiento estricto de f , combinado con la desigualdad (5.1) nos lleva a 1 a <a 1+ m 1 m <a n rn 1 < am < 1 + a ; para n m N: A. Duarte & S. Cambronero 115 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. Luego, como a m <"y 1 1+" >1 "; se sigue que 1 Esto demuestra que a n rn "<a rn n < 1 + "; para n ! 1; y luego a n = arn a n rn N: ! ax 1 = ax : Para 0 < a < 1; escribimos como de costumbre, 1 1 a n = 1 n ! 1 x = ax : a a Como veremos en el próximo capítulo, esta propiedad se expresa diciendo que la función exponencial es secuencialmente continua. Otras propiedades El lema anterior será la herramienta principal en la demostración de las propiedades de la exponencial con exponente real. Las propiedades siguientes son válidas para a; b > 0: 1. Para x; y 2 R se tiene ax+y = ax ay : Tome (sn ) y (tn ) sucesiones de racionales tales que sn ! x y tn ! y: Entonces sn +tn ! x + y: Por el lema anterior y las propiedades en Q se obtiene ax+y = l m asn +tn = l m asn atn = ax ay : n!1 n!1 2. Para cada x 2 R se tiene En efecto, note que a x ax 3. Para cada x 2 R se tiene 1 : ax = a0 = 1: a =a x+x x (ab)x = ax bx ; = a b x = ax : bx Demuestre esto como ejercicio. 4. Para x; y 2 R se tiene (ax )y = axy : Primero tomemos s 2 Q. Si (rn ) es una sucesión de racionales que converge a x; se tiene (ax )s = l m (arn )s = l m arn s = axs ; n!1 n!1 donde usamos las propiedades para exponente racional, el lema 5.3.2 y el ejercicio 12 de la sección anterior. Seguidamente, si (sn ) es una sucesión de racionales que converge a y; tenemos que xsn ! xy. Aplicando lo que acabamos de demostrar y el lema 5.3.2, con ax como base se tiene: (ax )y = l m (ax )sn = l m axsn = axy : n!1 n!1 A. Duarte & S. Cambronero 116 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. Sobreyectividad de la exponencial Vamos a demostrar que la función exponencial (5.2) es sobreyectiva. Como de costumbre, comenzamos con el caso a > 1: Por la desigualdad de Bernoulli se tiene que an = (1 + a 1)n > n (a 1) ; para cada n 2 N: Dado y > 0, por arquimedianidad existe n1 2 N tal que n1 (a an1 > n1 (a 1) > y; y entonces 1) > y: De la misma forma existe n0 2 N tal que n0 (a 1) > y1 ; y entonces an0 > y1 : Esto demuestra que el conjunto A = fx 2 R : ax < yg es no vacío (pues n0 2 A) y acotado superiormente (n1 es cota superior). Tomando t = sup A; vamos a demostrar que at = y. En efecto, como t es el supremo de A; para cada n 2 N existe xn 2 A tal que t n1 < xn t: Entonces se tiene xn ! t; y por lo tanto at = l m axn y: n!1 Por otro lado, como tn = t + 1 n 2 = A se tiene atn at = l m atn n!1 y; y luego y: Combinando las dos desigualdades anteriores se obtiene at = y: En el caso 0 < a < 1 se escribe ax = 1 1 ; con b = > 1 x b a y no es difícil convencerse de que sigue siendo sobreyectiva. La inyectividad se obtiene de manera directa del hecho que es estrictamente monótona como observamos previamente. Resumamos lo que acabamos de demostrar. Teorema 54 Para 0 < a 6= 1, la función exponencial de base a : expa : R ! ]0; 1[ x 7! ax es biyectiva. 5.4. 5.4.1. La función logarítmica De…nición y propiedades básicas Consideremos a > 0 tal que a 6= 1: Dado que la función exponencial de base a es biyectiva, existe su inversa, que denotamos loga : ]0; 1[ ! R. A. Duarte & S. Cambronero 117 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. Tenemos entonces, por de…nición, que ax = y , x = loga y: Escrito de otra forma: 8x 2 R : loga ax = x; 8y > 0 : aloga y = y: Con base en las propiedades de la exponencial, podemos deducir las propiedades de la función logarítmica. Veamos: loga 1 = 0; puesto que a0 = 1: loga a = 1; debido a que a1 = a: Considere x > 0; y > 0 y sean t = loga x; s = loga y: Entonces at = x; as = y: Luego xy = at as = at+s ; de donde t + s = loga (xy) : Esto demuestra que loga (xy) = loga x + loga y: Considere x > 0 y t = loga x: Para todo s 2 R se tiene ats = at ts = loga xs : Esto demuestra que s = xs ; de donde loga xs = s loga x: En particular con s = 1 se obtiene loga 1 x = loga x: Combinando las dos propiedades anteriores obtenemos, para x; y > 0: loga x = loga x y loga y: Si a > 1; la función loga x es estrictamente creciente en ]0; 1[ ; por ser la inversa de una función estrictamente creciente. En efecto, sean t = loga x; s = loga y: Si t s; por ser la exponencial creciente se tendría x = at as = y: Consecuentemente, de x < y se sigue t < s; es decir ln x < ln y: Cambio de base: Sean a; b positivos y distintos de 1: Sea x > 0; t = loga x; s = logb x: De la igualdad at = x = bs se sigue que t = loga bs = s loga b; y al despejar s se obtiene la fórmula del cambio de base: loga x logb x = : loga b A. Duarte & S. Cambronero 118 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. 5.4.2. Continuidad secuencial de la función logarítmica Considere una sucesión (yn ) de números reales positivos que converge a y > 0; y sea xn = loga yn : Sean ; positivos tales que yn para cada n 2 N (demuestre que y existen). Por ser loga creciente se tiene loga xn = loga yn loga para cada n 2 N. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, toda subsucesión de (xn ) tiene una subsucesión (xnk ) convergente, digamos xnk ! x: Por la continuidad secuencial de la exponencial de base a; se sigue que ynk = axnk ! ax ; de donde ax = y; es decir x = loga y: Hemos demostrado entonces que toda subsucesión de (yn ) tiene una subsucesión que converge a loga y; y por el ejercicio 22 de la sección 2.4.7 se sigue que loga yn ! loga y: Entonces la función logarítmica de base a es secuencialmente continua. 5.4.3. El logaritmo natural o neperiano Recordemos que el número de Euler e se puede de…nir como e= lm n!1 1+ n 1 n : La función loge es llamada logaritmo natural o neperiano, en honor a John Napier, a quien se atribuye la primera descripción de esta función para el continuo de los números reales. Se denota ln = loge . Como la función logarítmica es secuencialmente continua, tenemos: l m n ln 1 + n!1 5.4.4. 1 n = l m ln 1 + n!1 1 n n = ln e = 1: Ejercicios 1. Calcule log2 8; log9 3; 1 log2 ; 2 log10 (0;0001): 2. Exprese de manera que no aparezca el símbolo log log2 2n ; 1 log2 9 + 4 log2 p ; 3 log3 (ab) log3 (3a) 3. Halle los valores de x que satisfacen cada ecuación: log3 x = 5; log2 (x + 1) = 1; logx 25 = 2: log3 (9b) : A. Duarte & S. Cambronero 119 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. 4. Calcule p p 5. Recordando que números p 2 p 2 2 : 2 = 1: 414 213 562 3 : : : ; ordene en orden creciente los siguientes 21;42 ; 21;41 ; 2 p 2 21;412 ; ; 21;4139 : 6. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales: p p 2 2 x2 p x 2 x2 p = 9x 2 = 2 xln 2 = 2ln x 3x 2x 31 =2 2 x 3x + 2x =1 2x + 1 =4 2x = 1 x2 = 2ln x 1 7. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) ln(x2 + 1) = x2 b) e x2 ; =1 c) ex + e x2 ; x = 2: 8. Demuestre la inyectividad de la función exponencial. 9. Demuestre usando el lema 5.3.2, que (ab)x = ax bx ; para a; b > 0 y x 2 R. 10. Demuestre que l m 1 + n!1 1 p n = 1; para cada p 2 R: Sug. Primero demuestre el caso p 2 Z, luego use el crecimiento de la exponencial de base 1 + n1 y la ley del emparedado. 11. Demuestre que para x 2 R …jo se tiene lm n!1 1+ n+x 1 n = lm n!1 1+ 1 n+x n = e: Sug. Para el segundo límite, sea p = [[x]] y deduzca que 1+ 12. Demuestre que 1 1 n+p+1 1 n n !e lm 1 para p 2 R …jo. 1: n < 1+ 1 n+x n 1+ 1 n+p Luego calcule 1 n n+p ; lm 1 1 n+p n ; n : A. Duarte & S. Cambronero 120 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. 13. Si 0 < a = 6 1 y x 2 R, demuestre que dado " > 0 existen racionales r; s tales que r<x<sy ax " < ar < ax < as < ax + ": 14. Usando el ejercicio anterior, demuestre que para cada x 2 R se tiene 1+ 1 n nx ! ex ; 1 n 1 x 15. Demuestre que para x 2 R se tiene l m 1 + n!1 n y justi…que las siguientes desigualdades: 1+ 1 k+1 kx 1+ 1 k+1 n 1+ x n n nx !e x : n x = ex : Sug. Para x > 0 sea k = n 1+ 1 k n 1+ 1 k x(k+1) Use el ejercicio anterior. Para x < 0 se procede similarmente. Concluya que ex para cada x 2 R. : 1+x 16. Demuestre que si xn ! 1 se tiene xn a xn 1+ ! ea : Sug.Vea la sugerencia del ejercicio anterior. 17. Si xn ! a demuestre que 1+ Sug. Escriba xn n n n + na 1+ 1 xn n = n ! ea : 1+ xn a n+a n : 18. Resuelva las siguientes ecuaciones. Use una grá…ca cuando lo amerite, para dar una idea inicial 1 a) ln x = ln x+1 ; b) ln x = x ex c) x 1 (Muestre que solamente x = 1 sirve). = 1; d) x (ex )e e) e2x 3ex + 2 = 0 (más de estas) f) e2x 5ex 1 = 1: 1 = 1; Las Funciones Exponencial y Logarítmica. A. Duarte & S. Cambronero 121 19. Sea f : R ! R monótona y tal que f (x) = ax ; para cada x 2 Q: Demuestre que f (x) = ax ; para cada x 2 R: 20. Sea f : R ! R; tal que f (x + y) = f (x)f (y); para x; y 2 R: Suponga además que f (1) = a 6= 0: a) Demuestre que f (x) 6= 0 para cada x 2 R y que f (0) = 1: b) Demuestre por inducción que f (nx) = f (x)n ; para n 2 N y x 2 R. c) Concluya que f (n) = an ; para n 2 N. 1 d ) Demuestre que f ( x) = ; para cada x 2 R . f (x) e) Concluya de lo anterior que f (r) = ar ; 8r 2 Q. f ) Si f es monótona, concluya que f (x) = ax ;para cada x 2 R. Haga lo mismo si, en vez de monótona, se asume que f es secuencialmente continua. 21. Para todo x 2 R, demuestre que existen dos sucesiones ( n ) y ( n ) de irracionales, tales que ( n ) es creciente, ( n ) es decreciente, y n x n ; para cada n: Sug. Considere x la expansión decimal (o binaria, como en el ejercicio ??) de p : 2 22. Calcule a) l m n!1 1 a2 n2 n (sug. ea e b) l m 1 + 2 a n n c) l m 1 + a n : n2 n!1 n!1 a = 1). ; 23. En cada caso, halle el dominio máximo en el que se puede de…nir una función mediante la fórmula dada: a) f (x) = ln(x2 2x + 3) b) g(x) = ln(x 1) + ln(x + 3) ln(x 1) c) h(x) = ln(x + 3) d ) ln(x 1)2 e) 2 ln(x 1) p f ) ln(x 1)2 p p g) F (x) = 1 ex + x p p h) G(x) = ln x2 1 + ln(x2 1) A. Duarte & S. Cambronero 122 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. i ) J(x) = 1 ex 2 p 1 ex p 1 ex 1 ex 2 p k ) H(x) = ln( 1 x2 1) p p ln x 1 l ) L(x) = 1 j ) k(x) = m) M (x) = ln (ln (ln (ln x))) : 24. En este ejercicio se demuestra que e es irracional a) Sea Sn = n X 1 : Demuestre que para n > m se tiene k! k=0 1 1 1 1+ + + (m + 1)! m + 2 (m + 2)(m + 3) 1 1 1 < Sm + + + : 1+ (m + 1)! m + 1 (m + 1)2 S m < S n = Sm + b) Concluya que Sm < Sn < Sm + 1 m m! ; Sm e si n > m: Haga n ! 1 para obtener Sm + 1 . m m! c) Tome m = 10; y use una calculadora de bolsillo para deducir que e = 2;7182818 : : :. Con n = 20; y una calculadora más e…ciente, se obtiene e = 2;7182818284590452353 : : : p ; con p; m 2 N. Use este m en la estimación de arriba, y d ) Suponga que e = m multiplique por m! para obtener m! Sm p(m 1)! m! Sm + 1 : m Como m! Sm es un entero, esto es una contradicción. Por lo tanto e es irracional. 25. Considere la sucesión xn = 1 + a n ; n con a > 0: Sabemos que xn ! ea : (a) Usando la fórmula del binomio, demuestre que para n xn = 1 + a + n X k=2 1 1 n 1 3 se tiene: k 1 n ak : k! A. Duarte & S. Cambronero 123 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. (b) Use la parte (a) para concluir que si n xn 1+a+ m X m se tiene: 1 n 1 k=2 k 1 1 n ak : k! Luego tome el límite cuando n ! 1 para obtener: m X ak ea k! k=0 : (c) Concluya del teorema de Weierstrass que la sucesión (Sm ) de…nida por Sm = m X ak es convergente, y que k! k=0 l m Sm ea : n!1 (d) Use la parte (a) para demostrar que n X ak xn k! k=0 ; y combine con la parte (c) para concluir que ea = l m n!1 26. Considere las sucesiones n y n = n X ak k=0 k! n X a2k ; (2k)! n = b) Desarrollando 1 + n) : n X n a2k+1 ; (2k + 1)! + n ! ea : es creciente y acotada, y por lo tanto convergente. a 2n + 2n 1 a 2n 2n n Concluya que ( k! k=0 k=0 donde a > 0: Note que, por el ejercicio anterior, n) 1 X ak de…nidas por: n k=0 a) Demuestre que ( = ! 1 2 como en el ejercicio anterior, demuestre que ea + e a : a : es también convergente, y n ! 1 2 ea e A. Duarte & S. Cambronero 124 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. c) Deduzca que a e = 1 X ( a)k : k! k=0 Esto, junto con el ejercicio anterior, demuestra que para todo x 2 R se tiene: x e = 1 X xk k=0 27. Demuestre que si 2 [0; 1] y t k! : 0 se tiene e t Sug. Use el ejercicio 25 y el hecho que ex+ et 1 k (y x) 1 : para k ex + (ey 1: Concluya que ex ) para x; y 2 R y 2 [0; 1] : Esto demeustra que la función exponencial es convexa. Interprete geométricamente. 28. Si 0 t 1 demuestre que et 1 + t + t2 (e Sug. Use el ejercicio 25 y el hecho que k 2) 1 + t (e 2 para k 1) : 2: 29. Use el ejercicio anterior para demostrar que si (tn ) converge a 0 entonces etn 1 ! 1: tn Concluya que si xn ! x entonces 30. Demuestre que para 0 t exn xn ex ! ex : x 1 se tiene et 1 + t + ::: + tn tn+1 + : n! n n! 31. En este ejercicio se demuestra de otra forma que la función logarítmica es secuencialmente continua. a) Si yn ! 1 demuestre que xn = ln yn ! 0: Sug. Observe que basta hacerlo para yn > 1 y use las desigualdades exn 1 e 1 xn exn 1: A. Duarte & S. Cambronero 125 Las Funciones Exponencial y Logarítmica. b) Concluya que si yn ! y > 0 entonces ln yn ! ln y: 32. Use el ejercicio anterior para demostrar que p ln n n ! 0 y concluya que ln n np ! 0 siempre que p > 0: ln tn tn 1 33. Si tn ! 1 y tn 6= 1 para cada n; demuestre que ln tn 1 = ln 1 + tn 1 xn ! 1: Sug. Escriba xn ; donde xn ! 1: Concluya que si yn ! y > 0 entonces: ln yn yn ln y 1 ! : y y 34. La constante de Euler: a) Demuestre por inducción que para cada n 2 N se tiene: 1 1 1 1 + : : : + < ln n < 1 + + : : : + : 2 n 2 n 1 Sug. Para el paso inductivo recuerde que 1+ b) Concluya que la sucesión ( n) 1 n n <e< 1+ 1 n n+1 : de…nida por n = n X 1 k ln n k=1 satisface ln 1 + 1 n < n < 1 para cada n 1: c) Demuestre que ( n ) es decreciente y concluya que es convergente. El límite = l m n se llama la constante de Euler (no confunda con el número de Euler e). n!1 Apéndice A Construcción de R con cortaduras A.1. Un poco de intuición geométrica Pensemos en un punto P sobre una recta numérica en la que se han ubicado los racionales en la forma usual. Es intuitivamente claro que este punto determina dos conjuntos de racionales, uno de los cuales está formado por los que se ubican a la izquierda de P: Denotemos dicho conjunto con la letra A y observemos lo siguiente: 1. A 6= y A 6= Q; pues existen racionales tanto a la izquierda como a la derecha del punto P: 2. Si r 2 A entonces todos los racionales menores que r también pertenecen a A: 3. El conjunto A no tiene máximo. Esto es consecuencia del hecho que en cualquier segmento de la recta numérica siempre existen “puntos racionales”. Si bien estas observaciones son bastante heurísticas, pues nos hemos basado únicamente en nuestra intuición geométrica, ellas nos indican una forma de proceder para hacer una construcción rigurosa de R. A un conjunto con estas propiedades lo llamaremos cortadura de Dedekind, o simplemente cortadura. Más precisamente: De…nición A.1.1 Sea (i) 6= y un subconjunto de Q. Decimos que 6= Q: (ii) Dados r 2 y q 2 Q con q < r; entonces q 2 : (iii) Dado r 2 ; existe q 2 tal que q > r: Ejemplo A.1.1 El conjunto es una cortadura. b 0 = fx 2 Q : x < 0g 126 es una cortadura si cumple: Construcción de R con cortaduras. A. Duarte & S. Cambronero 127 Ejemplo A.1.2 En general, dado cualquier racional p; el conjunto pb = fq 2 Q : q < pg es una cortadura (demuéstrelo como ejercicio). Usaremos también Ejemplo A.1.3 Los conjuntos A = fx 2 Q : x 3g y B = fx 2 Q : x > 3g p para denotar a pb: no son cortaduras. El primero no satisface la propiedad (iii), mientras que el segundo no satisface la propiedad (ii). Las siguientes propiedades son consecuencia de la de…nición de cortadura. Lema A.1.1 Sea una cortadura. Entonces: (a) Si p 2 yq2 = ; se tiene p < q: Es decir, todo q 2 = (b) Si r 2 = y r < s; entonces s 2 = : es cota superior de : Demostración (a) En efecto, si se diera q p se tendría q 2 ; lo cual contradice la hipótesis. (b) Si tuviésemos s 2 ; entonces como r < s se tendría r 2 ; lo cual es falso. Ya vimos en forma intuitiva que cada punto sobre la recta determina una cortadura. También es intuitivamente claro que cada cortadura corresponde a un punto de la recta. Con esa misma intuición, podemos convencernos de que dos puntos distintos corresponden a cortaduras distintas. Es decir, hay exactamente una cortadura para cada punto sobre la recta. A.2. De…nición de R Ahora, queremos de…nir el conjunto de los números reales de manera que haya un real para cada punto sobre la recta. Dado que ya nos convencimos de que hay una cortadura para cada punto sobre la recta, es natural de…nir: R = f 2 P (Q) : es una cortadurag : Los elementos de R son entonces cortaduras y los llamaremos también números reales. El ejemplo A.1.2 demuestra que cada racional p determina una cortadura (i.e. número real) pb 2 R. Más adelante utilizaremos esto para identi…car a Q con el conjunto b = fb Q p : p 2 Qg R: (A.1) En el conjunto R se pueden de…nir las operaciones “suma” y “multiplicación”, así como la relación de orden y demostrar todas las propiedades que en teoría axiomática se conocen como “axiomas de campo y orden”. Hacer ese trabajo con detalle no es nuestra intención. Nos conformaremos con indicar las de…niciones y realizar algunas de las demostraciones, invitando al lector interesado a completar los detalles o consultar la literatura de referencia. Construcción de R con cortaduras. A.2.1. A. Duarte & S. Cambronero 128 De…nición del orden Cuando pensamos en un número real (cortadura), pensamos realmente en el punto geométrico que lo de…ne. Ahora, si un punto está a la derecha de otro, es geométricamente claro que la cortadura que de…ne el primero contiene a la que de…ne el segundo. Es natural entonces de…nir la relación de orden en R, como la relación de inclusión entre cortaduras. De…nimos entonces la relación de orden “ ” así: , : Se le recomienda al lector demostrar que efectivamente esta relación es de orden. Es decir, es re‡exiva, antisimétrica y transitiva. Cuando y 6= ; escribimos < y decimos que es menor que : Ejemplo A.2.1 Sea la cortadura dada por (A.2) y sea Ejemplo A.2.2 Sea p1 ; p2 2 Q se tiene: =b 3: Entonces < (verifíquelo). pb1 < pb2 , p1 < p2 : La demostración se deja como ejercicio. Nótese que la relación de inclusión de…nida en una familia arbitraria de conjuntos, no necesariamnte es de orden total, pero por las propiedades de cortaduras, en el conjunto R sí lo es. Teorema 55 (Ley de tricotomía) Dados ientes alternativas: < ; y en R, se cumple una y solo una de las sigu- = ; < : Demostración En efecto, suponga que no se cumplen las dos primeras. En otras palabras, no es subconjunto de : Entonces existe q 2 tal que q 2 = : Dado p 2 ; el lema A.1.1 (aplicado a ) demuestra que p < q y por la de…nición de cortadura se sigue que p 2 : Consecuentemente y como 6= se sigue que < : Por otro lado, es evidente que no pueden darse dos de estas posibilidades a la vez. b de…nido por (A.1), se comporta igual Nota: El ejemplo anterior demuestra que el conjunto Q que Q al menos en cuanto a orden. Más adelante veremos que las operaciones que de…niremos b como las operaciones usuales de Q. Es natural en R, también se comportan, al verlas en Q; entonces identi…car cada racional p con su respectivo pb, obteniendo así una identi…cación de b Sin embargo, para efectos de claridad, seguiremos usando pb por el resto de esta Q con Q: sección. Construcción de R con cortaduras. Ejemplo A.2.3 Dado A. Duarte & S. Cambronero 129 2 R, es un buen ejercicio demostrar que = fp 2 Q : pb < g : En efecto, si p 2 se sigue por de…nición de cortaduras que pb Recíprocamente, si pb < tenemos pb y pb 6= : Tomando q 2 que q p y por lo tanto p 2 : y pb 6= ; de donde pb < a: tal que q 2 = pb; se concluye Con la identi…cación de p con pb; este ejemplo demuestra que efectivamente, un número real es el conjunto formado por los racionales menores que este. A.2.2. Operaciones en R Para completar la construcción de los números reales, debemos decir algo sobre la forma en que se de…nen las operaciones. Nos restringiremos a indicar las de…niciones y esbozar algunas demostraciones, dejando el resto como ejercicio para el lector interesado en completarlos. La suma Queremos de…nir la operación suma de manera que sea compatible con la relación de orden. Esto es, debe cumplirse: a< y b< )a+b< + : Tomando a = pb y b = qb; esto es lo mismo que p2 yq2 )p+q 2 + : Esto sugiere que de…namos: + = fp + q : p 2 y q 2 g: Antes que todo debemos veri…car que + es efectivamente una cortadura. Esto es, demostraremos que: S1. (La suma es una operación cerrada) Para ; Demostración 2 R se tiene + 2 R: Veri…quemos las propiedades de cortaduras: (i) Lógicamente tenemos + Q: Además, como existe p 2 y existe q 2 ; se sigue que existe p + q 2 + ; demostrando que a + 6= ;: Para demostrar que + 6= Q; escojamos r; s 2 Q tales que r 2 = ys2 = : Luego, dados p 2 y q 2 se tiene p < r y q < s: Por la compatibilidad de la suma con la relación de orden en Q obten os p + q < r + s: Esto demuestra que r + s 2 = + y por lo tanto + 6= Q: Construcción de R con cortaduras. (ii) Sea t 2 + A. Duarte & S. Cambronero y sea r < t: Tenemos t = p + q, con p 2 r = p + (r 130 y q 2 : Luego p) ; donde p 2 y r p 2 (debido a que t p = q 2 ): Por lo tanto r 2 + : (iii) Sea t = p + q 2 + : Como y son cortaduras, existen p0 2 y q 0 2 tales que p < p0 y q < q 0 : Luego p0 + q 0 2 + y t = p + q < p0 + q 0 : Las demostraciones de las siguiente propiedades se dejan de ejercicio al lector. S2. (Conmutatividad de la suma) Para ; 2 R se tiene + S3. (Asociatividad de la suma) Para ; ; 2 R se tiene +( + )=( + )+ S4. (Existencia del neutro) Existe b 0 en R tal que Para la existencia del inverso aditivo de…nimos excepto cuando b Para 2 Q. = fp 2 Q : = p b se de…ne 2Q +b 0= = + : para cada 2 R. p2 = g; p = p: S5. (Existencia de inversos aditivos) Para cada 2 R, existe 2 R tal que + =b 0: El elemento se llama el inverso aditivo de : b es bastante directo y se deja como ejercicio. Cuando 2 b En efecto, el caso 2 Q = Q, primero veamos que 2 R. (i) Note que 6= ; pues existe q 2 = ; lo que implica q 2 : Además 6= Q pues existe q 2 ; lo que implica q 2 = : (ii) Si p 2 y q < p; tenemos p 2 = y p < q: Por el lema A.1.1 se sigue que q2 = ; así que q 2 : (iii) Dado p 2 ; por de…nición se tiene p 2 = : Luego, por el ejercicio 3 existe q 2 = tal que q < p, con lo cual se tiene r 2 y r > p: Ahora demostremos que + =b 0: Dado t = p + q 2 + ; con p 2 y q 2 ; tenemos p 2 = y q 2 ; lo que implica b q < p: Luego p + q < 0; así que t 2 b 0: Esto demuestra que + 0: Por otro lado, dado r 2 b 0 tenemos r < 0: Escojamos p 2 y q 2 = cualesquiera. Por la arquimedianidad de Q existe n 2 N tal que p nr > q, lo que implica p nr 2 = : Por el principio del buen orden, existe el menor natural n tal que p nr 2 = (note que n > 0 debido a que p 2 ). Se sigue que p1 = (p nr) 2 ; y además p1 + p2 = r: Se concluye que r 2 p2 = p + (n 1) r 2 y esto demuestra la otra inclusión. Construcción de R con cortaduras. A. Duarte & S. Cambronero 131 La multiplicación La multiplicación se debe de…nir con más cuidado, pues el conjunto fpq : p 2 yq2 g no es una cortadura (¿por qué?). Debe considerarse primero el caso > b 0y >b 0: En tal caso se de…ne = Q [ fpq : 0 p 2 ; 0 q 2 g : Nótese que >b 0. En efecto, como > b 0 existe p 2 tal que p > 0: De la misma manea, b como > 0 existe q 2 tal que q > 0: Luego pq > 0 y pq 2 : Al igual que en la suma, lo primero a demostrar es que es una cortadura, lo que signi…ca que la multiplicación es cerrada en R. Después se demuestran las demás propiedades (para el caso que y sean positivos), de manera similar a como se hizo con la suma. Finalmente se extiende la de…nición al caso en que alguno de los factores sea negativo, utilizando para ello la ley de signos. Por ejemplo, si > 0 y < 0 se de…ne = ( ); y similarmente con los demás casos. La ley de signos se utiliza entonces como de…nición, lo mismo que la absorvencia del cero. Esto es, se de…ne b 0=b 0: Los detalles de este proceso los dejamos de lado, para no hacer la presentación muy tediosa. Invitamos al lector interesado, a intentar una demostración de estas propiedades, o consultar la bibliografía. M1. Para ; 2 R se tiene 2 R: M2. Para ; 2 R se tiene = M3. Para ; ; 2 R se tiene M4. Existe b 1 en R tal que M5. Para cada 6= b 0; existe 1 = ( b 1= 1 : )=( ) 2 R. para cada 1 2 R tal que Q [ p 2 Q+ : p p 1 1 =b 1: En efecto, para 2 = si si Finalmente se demuestra la distributividad: D. Para ; ; 2 R se tiene ( + )= + > 0 se de…ne: b 2 =Q = p: : Las propiedades S1, ..., S5, M1, ..., M5, D de…nen los “axiomas” de campo. Los axiomas de orden se obtienen también de manera inmediata en este caso, aunque esto no es necesario pues ya habíamos de…nido la relación de orden en R. Construcción de R con cortaduras. A.3. A. Duarte & S. Cambronero 132 Completitud de R Recordemos las de…niciones relacionadas con este concepto. De…nición A.3.1 Decimos que un conjunto A R es acotado superiormente si existe b 2 R tal que x b para cada x 2 A: En tal caso decimos que b es una cota superior de A: Considerando entonces el conjunto B de cotas superiores de A; nos preguntamos si B tiene mínimo. Si tal mínimo existe, se llama el extremo superior de A; o supremo de A y se denota = sup A: De…namos este concepto con más precisión: De…nición A.3.2 Considere A R acotado superiormente y no vacío. Un elemento se llama un extremo superior (o supremo) si es la menor de las cotas superiores. 2R En nuestra construcción, el llamado axioma del extremo superior es un teorema. Teorema 56 (Axioma del extremo superior) Suponga que A riormente. Entonces existe el extremo superior de A. Demostración Sea b 2 R una cota superior de A: Entonces b para cada [ = = fp 2 Q : p 2 para algún 2A R es no vacío y acotado supe- 2 A: De…nimos: 2 Ag : Entonces claramente se tiene b y, como b 6= Q, se sigue que 6= Q. Además 6= ; debido a que para cada 2 A. Por lo tanto satisface (i) en la de…nición de cortadura. Por otro lado, si p 2 tenemos p 2 para algún 2 A. Si q es un racional tal que q < p; se sigue que q 2 y por lo tanto q 2 : Esto demuestra que también satisface (ii), en la de…nición de cortadura. Similarmente se demuestra que satisface (iii) y por lo tanto 2 R. Ahora, es obvio que para todo 2 A: Note además que de A: Esto demuestra que es el extremo superior de A. b; para toda cota superior Ejemplo A.3.1 (Intervalos) Para cada 2 R, el conjunto A = fx 2 R : x < g es acotado superiormente y además = sup A: En efecto, es evidente que es cota superior. Además, si < entonces existe p 2 tal que p 2 = : Pero entonces, por las propiedades de cortaduras, < pb < ; demostrando que no es cota superior de A. Esto demuestra que es la menor cota superior y por lo tanto el supremo de A: El conjunto A se denota por ] 1; [: Ejemplo A.3.2 Para 2 R considere el conjunto A = fb p : p 2 g: De la demostración del teorema 56 se tiene [ sup A = 2A = [ p2 pb = : Si identi…camos a p con pb; esto pone de mani…esto el hecho que los números reales son precisamente los supremos de los conjuntos de racionales que las de…nen. Construcción de R con cortaduras. A.3.1. 133 A. Duarte & S. Cambronero Ejercicios 1. Para el conjunto P =f 2R: > 0g demuestre que: 2 P entonces O1 Si ; 2P y O2 Si + 2 P; entonces 2 R, se tiene que O3 Dado 2 P: 2 P: 2P ó 2 P (pero no ambos). 2. Demuestre que el conjunto A = Q [ fx 2 Q : x2 < 2g: (A.2) es una cortadura. es cortadura entonces Q 3. Demuestre que si A tiene mínimo si y solo si 4. Demuestre que para p; q 2 Q se tiene 5. Para p 2 Q y 2 R, demuestre que 6. Demuestre que para p < q , pb < qb: pb < ,p2 : 2 R se tiene: = fp 2 Q : existe r < p tal que r 2 = g: 7. Demuestre que para p 2 Q se tiene: a) b) p p 1 + p = p = 1 0 para p 6= 0: 8. Demuestre que = fp 2 Q : para algún r < 9. Si p se tiene r 2 = g: > 0 demuestre que 1 = Q [ p 2 Q+ : existe q < p 10. Demuestre las propiedades S2, S3, S4. 1 tal que q 2 = : b 2 Q: Construcción de R con cortaduras. A. Duarte & S. Cambronero 134 11. Demuestre las propiedades M1...M2 y D para números reales positivos. 12. De…na explícitamente para y reales, considerando todos los casos. b es una copia 13. Para p; q 2 Q demuestre que p[ + q = pb + qb y pq b = pb qb. Concluya que Q de Q en el sentido que la función es un isomor…smo de campos. f : Q ! R; f (p) = pb Bibliografía [1] Bartle, R.G. & D.R. Sherbert. Introducción al Análisis Matemático de una Variable. Limusa, 1996. [2] Cambronero, S & G. Sanabria. El método de exhausión de Arquínedes y las funciones trigonométricas. Revista virtual TEC. [3] Courant, R. & F. John. Introduction to Calculus and Analysis. Vol. I. Springer-Verlag, N.Y. 1989. 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