MOVIMIENTO COMPUESTO

MOVIMIENTO COMPUESTO Considerando el caso de una partícula que se mueve sobre una superficie horizontal y que abandona dicha superficie en el punto P, tal como se muestra en la figura, se cumple: A" B" C" V0 P A Fórmulas del movimiento compuesto semiparabólico: Del movimiento horizontal: V0 P Vx  V0 h Vy A' C B x B' x  V0 t   El tiempo en caída libre de P hasta C es el mismo que ha transcurrido al recorrer con velocidad constante de P a C” y es el mismo que ha transcurrido en recorrer la trayectoria curva real PC’. h  La velocidad total en cualquier punto de la trayectoria es: Vx  Vy 2 2 ó también: V 1 2 t gt  2 x V0 2h g … (2) Sustituyendo con (1): h  A partir del momento en que la partícula abandona la superficie horizontal, el movimiento es compuesto, horizontal con MRU y vertical con MRUV.  La velocidad horizontal es constante e igual a la velocidad inicial durante todo el movimiento, mientras que la velocidad vertical aumenta. t … (1) Del movimiento vertical: C' C V V 1 x g 2 V0 2 2 … (3) Igualando (1) y (2): x  V0 2h g Movimiento Parabólico Este movimiento resulta de la composición de un movimiento horizontal rectilíneo uniforme (MRU) y un movimiento de caída libre vertical (MCLV). Y V0 2  g 2t 2 M Vx P Vx V0y V0 H Vy V Mov. Parabólico V0x D X M.R.U.V. M.R.U. 103 Restricciones para el análisis del movimiento parabólico:  Se desprecia la fricción del aire.  Aplicable sólo para alturas pequeñas, ya que se considera constante la aceleración de la gravedad  Los alcances serán pequeños de tal manera que nos permitan no tomar en cuenta la forma de la Tierra.  Las velocidades de disparo no deben ser muy grandes porque el móvil podría adquirir trayectorias elípticas y rotar alrededor de la Tierra. Características:  Su trayectoria es una parábola.  Por ser movimiento compuesto, se descompone en dos movimiento simples a) En el eje horizontal se tiene un MRU b) En el eje Y se tiene un movimiento vertical ascendente y luego descendente. c) La velocidad de disparo se descompone en dos ejes "X" e "Y". Vy  V0 sen Vx  V0 cos  ; Observe que en el punto “M” (la mitad del recorrido) la velocidad vertical es nula, luego de la relación (3) se deduce que: V V0 Vy H V0x V 0  V 2sen 2  2gH H x  V0 cos t … (1) Vx  V0x  V0 cos  Velocidad horizontal: (Constante durante todo el movimiento) Desplazamiento: Velocidad vertical: y  V0 sent  D  V0 cos   104 de D 2V0 sen cos  g  ángulo doble D máx  V0 g 2 se sabe que: V0 sen2 g 2 2 De lo expuesto se deduce que el ángulo de tiro para lograr máximo alcance horizontal es 45º. Importante: Observe que al dividir miembro a miembro las ecuaciones de la altura máxima y alcance máximo obtenemos: H sen 2   D V0 2sen2 2sen2 g … (3) Vy  (V0sen)  2gh 2 identidad 2V0 sen g V0 2sen 2 2g 1 2 gt 2 … (2) Vy  V0 sen  gt 2 sen2  1 , por lo cual 2  90º ; luego: Dado que se trata de un movimiento compuesto, es posible definir los dos tipos de movimiento involucrados: Vertical con MRUV 2 Alcance máximo: Analizando el numerador de la relación anterior podemos apreciar que el valor máximo para “D” se da cuando  V0x  V0 cos   V  V sen 0  0y Desplazamiento: V0 sen 2g Se sabe que: x  V0 cos t ; entonces para determinar el máximo alcance horizontal utilizaremos la relación (1) reemplazando el tiempo con el tiempo total de vuelo: D Descomponiendo la velocidad inicial: Horizontal con MRU 2 0 tiene: A partir de esto podemos definir la altura máxima alcanzada en un movimiento parabólico: X D 2 sen2  2sen cos  , entonces: P Vx V0y Vx  Vy Analizando otra vez el punto “M”, en la relación (4) se Por M Vx V0 sen g De donde el tiempo total de vuelo será: La velocidad total en un punto “P” cualquiera de la trayectoria estará dada por: d) Para un mismo nivel de referencia los módulos de las velocidades son iguales, lo mismo sucede con los ángulos. Y t 0  V0sen  gt  2 … (4) Finalmente: H  tan  4D H sen    D 4sen cos  2 Posición de la partícula: La posición o coordenadas de la partícula estarán dadas por las ecuaciones paramétricas: La posició tra scurrido u tie po t ... (1)  x  V0 cos t  1 2  y  V0 sent  gt ... (2)  2  x t V0 cos  gx 2V0 sen g V0 sen2 g 2  Altura máxima H gTV 8 2  80 m/s Sabemos que: V 2 V g Vx  Vfy 2 Luego: 2 …(1) Vfy  V0y  gt  60  10(4) Vfy  20 m/s …(2) Reemplazando (2) y Vx en (1) V CASO ESPECIAL En el siguiente gráfico podemos observar que, se lanzan dos proyectiles, ambos con la misma velocidad inicial pero bajo diferentes ángulos de elevación: 80  20 2 2  V  82, 46 m/s Vo  2 figura. (g  10 m/s ) . a) 20 m/s b) 30 m/s c) 40 m/s d) 50 m/s e) 60 m/s V0 15º D D2 D1 Se cumple que: Sen2  Sen2(15º )  Sen30º H2 D1  D2 de lanzamiento sean complementarios: pero H 1  H 2 .   ; siempre y cuando los ángulos   90 ; Rpta. 2. Calcular la mínima velocidad que puede tener un motociclista para lograr pasar el obstáculo mostrado en la Solución: H1 V Vx  80 m/s 37º Relación de H y TV D  Vfy V0y  60 m/s 100 m/s ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO El alcance horizontal máximo se logra cuando el ángulo de Vo d) 42, 86 m/s 2 4H D disparo es de 45°. Entonces: c) 80, 42 m/s 2V0 sen  Ángulo de tiro tan   b) 82, 46 m/s Solución: 2 2 V sen   H 0 1 2  2g  y  V0 sen.t  2 gt Alcance horizontal D 2 2 2 RESUMEN DE FÓRMULAS Tiempo de Posición – partícula vuelo  x  V0 cos .t TV  (g  10 m/s ) . a) 46, 82 m/s e) 86, 42 m/s x 1  x  y  V0 sen   g V0 cos  2  V0sen  y  x tan   1. Una pelota se lanza con una velocidad inicial de 100 m/s con un ángulo de inclinación con la horizontal de 37º. Calcular que velocidad lleva la pelota transcurridos 4 s. 2 Ecuación de la trayectoria del movimiento parabólico: De (1) se tiene que: Sustituyendo en (2): PROBLEMAS RESUELTOS El alcance horizontal: Luego: V V gD  Sen 30º 20 m/s 20 m V Sen2 g 2 10(20) 1/2 Rpta. 105 3. ¿Con qué inclinación se debe lanzar un cuerpo para que su alcance horizontal sea igual al triple de su altura máxima? a) 50º V b) 51º H c) 53º  d) 55º e) 60º D sen  cos 2 g tg   4 3  3V 2 2g Rpta. 4. Desde la parte superior de un edificio de 45 m de altura, se dispara una pelota con una velocidad de 50 m/s y formando un ángulo de 53º de elevación con respecto a la horizontal. Calcular el desplazamiento horizontal de la 2 pelota hasta impactar con la tierra, usar g  10 m/s . a) 250 m b) 260 m c) 270 m d) 280 m e) 290 m Nos piden calcular el tiempo: calculamos el tiempo ABC. t ABC t ABC t ABC T  TABCD 2V sen53º  g 2 0  t  8t  9 2 t1s 0  (t  1)(t  8)  , primero Rpta. 5. Dos proyectiles “A” y “B” lanzados con inclinaciones de 53º y 37º respectivamente alcanzan iguales alturas máximas. El proyectil “A” experimenta un alcance horizontal de 9 m. ¿Qué alcance horizontal experimenta B? a) 12 m b) 15 m c) 16 m d) 18 m e) 20 m Solución: 53º 37º Aplicando: x tg   4H D 4 4H  3 9  H  3m 3 4(3)   x 4 x Para B: 16 m 30 m/s a) 100 2 b) 110 2 40 m/s 53º C 30 m/s 40 m/s Rpta. 6. Un bombardero vuela horizontalmente a una altura de 500 m con una velocidad de 100 m/s. desde él se suelta su proyectil, ¿en qué tiempo el proyectil dará en el blanco y con qué velocidad llegará (en m/s)? 50 m/s B H A H 9m Para A: 4 2(50)   5  10  8s B A 10t 2  9  8t  t 2 d  270 m 2 Solución: 45  40t  1 2 gt 2 d  30(9) m sen     53º h  V0 t  El desplazamiento de la pelota es: Solución: Por condición del problema: D  3H 2V Seguidamente calculamos " t CD " usando la ecuación: 30 m/s 53º 2 . y x 100 m/s c) 120 2 d) 105 2 h  45 m (g  10 m/s ) 500 m e) 125 2 100 m/s D Vf d 106 V Solución: Datos: V0  0 Vx  100 m/s Solución: Vx  20 m/s (constante) (Velocidad inicial en el eje Y) 1 2 gt 2 1 2 500  0   10  t 2 En el eje X: x  20t … (2)  t  10 s Cálculo de la velocidad de llegada (V) 2 Vf  100 m/s Vf  0  10(10)  V  Vx  Vf  100  100 2 2 2 2 V  100 2 m/s y  5t … (1) x  Vx t tan 37º  Del diagrama: 3 5t  4 20t De (1) y (2): d Y d y y x x 37º  x  20(3)  60  2  y  5(3)  45 Por Pitágoras: 7. Con una inclinación de 45º una piedra es lanzada con 20 m/s t3  2 Rpta. X 2 En el eje Y: h  V0 t  Vf  V0  gt ; V0  0 d 60  45 2 x y 2 2  d  75 m 2 Rpta. 60 2 m/s de velocidad. Para qué tiempo la velocidad de la piedra tendrá una inclinación de 37º al subir. (g  10 m/s ) . 2 a) 1,2 s b) 1,4 s c) 1,5 s d) 1,6 s e) 1,7 s Vf y 37º (g  10 m/s ) . Vx 2 V0 45º x Vx Solución: Vx  60 2 cos45º  60 m/s V0  60 2 sen45º  60 m/s En el eje Y: Vf  V0  gt Vf  60  10t V tan 37º  f Vx  180  240  40t t  1,5 s d V0 60º 30º Vx y X x Vx  90 cos 60º  45 m/s (sube: –g) V0  90sen60º  45 3 m/s En el eje Y: 3 60  10t  4 60 y  V0 t  1 2 gt 2  y  45 3t  5t 2 En el eje X: x  Vx t  x  45t Rpta. 8. Una esquiadora abandona el llano con una velocidad de 20 m/s en el punto “A”. ¿A qué distancia de “A” aterrizará 2 sobre la pendiente? (g  10 m/s ) . a) 55 m b) 45 m c) 35 m d) 65 m e) 75 m Y a) 420 m b) 400 m c) 520 m d) 540 m e) 600 m Solución: …(1) En el punto final: 9. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 90 m/s y ángulo de elevación de 60º contra un plano inclinado que hace un ángulo de 30º con el horizonte. Hallar el alcance a lo largo del plano inclinado. tan 30º  y x …(1) …(2) (del diagrama) 3 45 3t  5t  3 45t 2 45 3 t  3  45 3 t  15t 2 2 15t  2(45 3)t  t  6 3 s y  270 m A En (1): d sen30º  y 37º B d  540 m (del diagrama) Rpta. 107 10. Dos cuerpos lanzados simultáneamente desde los puntos “A” y “B” chocan en el punto “P” tal como se muestra. Hallar “”. (g  10 m/s ) . 2 20 m/s a) 45º b) 40º c) 35º d) 30º e) 25º 320  P 80  V  37º 16m B 400 8 V 12m Primer proyectil: Vx  20 cos 37º  16 m/s 16  16t En (1) …(1)  t1s h  7m 2  V  50 m/s Rpta. 2 caer la piedra? (g  10 m/s ) . a) 18 m b) 32 m d) 50 m e) 80 m 2do. proyectil: Vx  V cos  V0  Vsen c) 40 m 2. Con una inclinación de 30º se lanza un proyectil con una velocidad de 20 m/s sobre el horizonte. Hallar el tiempo que debe transcurrir para impacte en el piso. 1 2 7  Vsen(1)  (10)(1) 2 Vsen  12 2 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Desde lo alto de un edificio se lanza horizontalmente una partícula con una rapidez de 8 m/s. Si la azotea está a 80 m del piso. ¿A qué distancia del pie del edificio logra V0  20sen37º  12 m/s 1 2 gt  h  12t  5t 2 2 … (2) 3  400   400  V   5   5  V   V   400  80  240  5    V  Solución: h  V0 t  4 400 Vt t  5 V Sustituyendo (2) en (1): h A x  Vx t (g  10 m/s ) . …(3) Dist. horizontal: x  Vx t 2 12  V cos   1  V cos   12 …(4) a) 6 s d) 3 s Dividiendo (3) por (4): tan   1   45º Rpta. b) 5 s e) 2 s c) 4 s 3. El alcance horizontal de un proyectil disparado por un cañón, con una velocidad de 75 m/s y un ángulo de 11. ¿Con qué velocidad mínima debe salir un motociclista de la rampa, para que pueda cruzar el obstáculo? (g  10 m/s ) . 2 inclinación de 37º sobre la horizontal es de: (g  10 m/s ) a) 520 m b) 530 m c) 540 m d) 560 m e) 580 m 2 a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 40 m/s e) 50 m/s 4. Desde un gran edificio se lanza horizontalmente a 30 m/s un objeto y se pide determinar el ángulo que formara su velocidad instantánea con la vertical al cabo de 4 s 53º 80 m (g  10 m/s ) 2 a) 53º d) 60º 320 m Solución: Y Altura vectorial: 1 2 h  V 0 t  gt 2 3 2 80  Vt  5t 5 …(1) Desplazamiento horizontal: 108 V0 37º Vx X 80 m h 320 m b) 37º e) 45º c) 30º 5. Determinar la altura de un edificio, si al lanzar desde su azotea horizontalmente un proyectil, con una velocidad de 10 m/s, éste cae a 20 m del pie del edificio. a) 18 m b) 18,6 m c) 19,6 m d) 20,2 m e) 22,5 m 6. Un helicóptero vuela horizontalmente con una velocidad de 72 km/h a una altura de 200 m , si desde el helicóptero se dejara caer una bomba, ¿con qué velocidad (en m/s) la bomba tocará el piso? a) 20 7 b) 20 11 d) 20 15 e) 15 11 el proyectil impacte en el punto “B” (g  10 m/s ) 2 a) 20 / 3 P b) 10 / 3 15m V0 d) 25 3 A e) 15 / 3 B 20m 8. En un partido de fútbol, Paulito le comunica a una pelota la velocidad de 90 km/h con un ángulo de 16º con la horizontal, si se encuentra en ese instante a 24 m de distancia del arco contrario. ¿Hay posibilidad de gol? la 2 altura del arco 2,5 m (g  10 m/s ) a) la pelota sale fuera del arco b) faltan datos c) si hay gol d) choca con el madero superior e) la pelota no llega al arco (g  10 m/s 2 ) . b) 38 m/s e) 30 m/s c) 36 m/s 11. Calcular la velocidad del móvil en el punto “P” el cuerpo es lanzado horizontalmente desde el punto “A” y llega al punto “B” como indica la figura ( g  10 m/s ). 2 a) 15 m/s b) 20 m/s c) 25 m/s d) 30 m/s e) 35 m/s 20 m P 80 m 60 m 12. Hallar la velocidad de lanzamiento (en m/s) considerando que la altura máxima alcanzada fue de 20 m y que la partícula entró sin dificultad en el hoyo practicado a) 28 b) 26 c) 25 d) 24 e) 20 60 m 53º 14. Un motociclista asciende por una rampa, con una rapidez constante de 20 m/s, desprendiéndose de ella al final. ¿Cuánto tiempo el motociclista estará en el aire? V  70 m/s a) 160 m b) 220 m c) 180 m d) 240 m e) 200 m a) 40 m/s d) 32 m/s 2 en el piso. (g  10 m/s ) . 8. A partir del siguiente esquema. ¿Qué medida tiene “L” en metros? deseado? ( g  10 m/s ). 2 c) 20 13 7. Desde A se lanza un proyectil con dirección al punto “P” V cual debe ser la velocidad inicial “ 0 ” (en m/s) para que c) 25 / 3 |0. Una avioneta vuela horizontalmente a una altura de 720 m. Divisa un objetivo a 480 m de distancia, medidos horizontalmente. ¿A qué velocidad debe desplazarse para que al soltar una caja de víveres, ésta logre llegar al punto (g  10 m/s ) 2 Además tg   0,5 . L 37º L 9. Con un ángulo de elevación de 53º, cierto misil es lanzado con una velocidad de 200 m/s ¿Qué velocidad tendrá el misil al cabo de 10 s? (g  10 m/s ) 2 a) 60 5 m/s b) 30 5 m/s c) 40 5 m/s d) 25 5 m/s a) 3 s b) 4 s c) 5 s d) 6 s e) 7 s V0  20 m/s 37º  e) 50 5 m/s 109 15. Si t AB  3 s y t BC  2 s . Hallar la velocidad (en m/s) 2 de llegada al punto “C” (g  10 m/s ) . V0 A a) 5 55 B 37º b) 4 65 c) 5 65 C d) 3 29 20. Desde una altura de 280 m se lanza un cuerpo con e) 4 15 velocidad de 5 2 m/s, según la figura. ¿Qué tiempo 16. En el punto más alto de una trayectoria parabólica, la velocidad del móvil es: a) nada b) máxima c) igual a la velocidad inicial V0 d) igual a la componente vertical de V0 e) igual a la componente horizontal de V0 Y B A  a 2 después llega al suelo? (g  10 m/s ) . a) 5 s 45º b) 6 s V0 c) 7 s 280 m d) 9 s e) 12 s 21. El proyectil es disparado con velocidad de 20 m/s y un 17. En la figura el proyectil es lanzado con velocidad V. El tiempo que tarda el proyectil en ir del punto A al punto C, es: O 19. ¿Con qué ángulo debe ser lanzado un cuerpo de peso P para que su altura máxima sea igual a su alcance horizontal, si sobre el cuerpo actúa a favor del movimiento una fuerza horizontal constante igual a P/8 debido al viento? a) arc tan 1/8 b) arc tan 8 c) arc tan 4 d) arc cot 6 e) arc cot 1/4 C 2 ángulo de 37º. ¿Cuál es el valor de “x”? (g  10 m/s ) . V0 a) 4 m b) 12 m c) 24 m d) 32 m e) 40 m 37º x X a a a 2x D 22. Un cañón dispara un proyectil según la figura. ¿En qué 2 tiempo el proyectil llega al suelo? (g  10 m/s ) . a) igual al tiempo entre O y A b) la mitad del tiempo entre O y B c) la mitad del tiempo entre B y D d) igual al tiempo entre B y D e) t AC a) 20 s b) 15 s c) 12 s d) 10 s e) 8 s 2V0 sen  g 18. Una pelota es lanzada desde “A” con velocidad de 50 m/s. ¿A qué altura “h” impacta en la pared? (g  10 m/s ) . a) 35 m b) 40 m V0 h c) 45 m 53º d) 50 m d  30 m e) 60 m V0  100 m/s 75º 375 m 45º 2 110 23. Una pelota es impulsada desde A con velocidad V. Si choca en la pared en B justo cuando alcanza su altura 2 máxima, ¿con qué ángulo fue lanzado? (g  10 m/s ) . a) 15º B b) 30º c) 37º V 2, 5 m d) 53º  A e) 74º 5 3 24. Un cuerpo es lanzado desde A con velocidad de 100 m/s. ¿A qué distancia del punto de partida, sobre el plano inclinado, impacta el cuerpo? a) 245 m B V0 b) 355 m c) 475 m 16º 37º d) 525 m A e) 652 m 25. Determinar la distancia “d” si los cuerpos son lanzados con la misma velocidad V y chocan en el mismo punto P. 2 la resistencia del aire (g  10 m/s ) . 25 m/s a) 6,5 s b) 6 s c) 6,25 s d) 7 s e) 5,6 s 37º V a) 10 m b) 15 m c) 20 m d) 25 m e) 30 m 20 m 30. Mediante un bote se consiguió cruzar el río de 500 m de ancho; cuya corriente tiene una velocidad constante de 5 m/s. Si el motor le imprime una velocidad (respecto del río) de 10 m/s en la dirección que se muestra. ¿Cuántos metros fue desplazado en la dirección de la orilla? V 20 m d 26. Hallar la velocidad del lanzamiento de la bolita para que pueda ingresar justamente por el estrecho canal. a) 45 m/s b) 50 m/s V c) 55 m/s 55 m 60º d) 60 m/s 37º e) 72 m/s 27. En la figura mostrada, determinar con qué velocidad V se debe lanzar la esfera, si debe ingresar horizontalmente por el canal B. Desprecie la resistencia del aire  g  10m / s  . 2 a) 10 3 m/s B b) 20 3 m/s c) 10 m/s d) 20 m/s e) 30 m/s 29. Una partícula es lanzada perpendicular-mente a un plano inclinado tal como se muestra. Determine el tiempo que debe pasar para que impacte en el plano no considere V A 15 m 60º a) 50 m b) 100 m c) 200 m d) 250 m e) 1400 m Vrío 10 m/s 500 m 31. Un avión que vuela horizontalmente a razón de 90 m/s deja caer una piedra desde una altura de 100 m. ¿Con qué velocidad (aproximada) llega la piedra a tierra si se desprecia el efecto del rozamiento del aire? a) 140 m/s b) 166,4 m/s c) 230 m/s d) 256,4 m/s e) 345,6 m/s 32. Una bomba lanzada desde un avión que viaja a 300 m/s impacta, sobre un barco en reposo con una rapidez de 500 m/s. Calcular el tiempo que tarda la bomba en hacer impacto. ( g  10 m/s ). a) 10 s b) 20 s c) 30 2 d) 40 s e) 50 s 28. Una piedra se lanza de un edificio a otro con la velocidad de 10 m/s, logrando impactar, formando un ángulo de 45º con la horizontal. halle la separación entre 33. Se lanza una piedra desde “O” con una rapidez de 10 m/s y ángulo de tiro de 53° contra una pared que se encuentra a 6 m de “O”. Halle la distancia entre “A” y “B”, a) 8,4 m b) 11,2 m c) 14,6 m d) 16,1 m e) 6,4 m a) 4 m b) 5 m c) 8 m d) 2 m e) 3 m 2 los edificios (g  10m / s ) . 37º 2 si “B” es el punto donde cae la piedra. ( g  10 m/s ). A Vo O 53° 6m 111 34. Desde la parte superior de una torre de 5 m de altura, se lanza horizontalmente una pelotita y cae al suelo en un punto situado a una distancia de 1,5 m, del borde de la torre. Calcule Tang  , donde “  ” es el ángulo que forma la velocidad de la pelotita con la horizontal en el instante en que ésta llega al suelo. ( g  10 m/s ). a) 2,67 b) 3,67 c) 4,67 d) 5,67 e) 6,67 2 35. Se lanza un proyectil con una velocidad de 100 m/s formando un ángulo de 53° con la horizontal, tal como se indica. Si el tiempo que demora en ir de “A” hacia “B” es el mismo tiempo que demora en ir de “C” hacia “D”, hallar el tiempo que demora en ir de “C” hacia “B”. a) 2 s b) 4 s c) 6 s d) 8 s e) 10 s Vo 53° 45° EVALUACIÓN 1. Desde una altura determinada se suelta un cuerpo. Si en el último segundo de su movimiento recorre 15 m ¿Desde qué altura se soltó? a) 15 m d) 30 m b) 20 m e) 10 m c) 25 m B C A D 53° 36. El alcance máximo de un proyectil es 8 m. Calcule la altura máxima para dicho lanzamiento. a) 5 m b) 4 m c) 3 m d) 1 m e) 2 m 37. Desde lo alto de un edificio se lanza horizontalmente una piedra con rapidez Vo y luego de 3 s la rapidez es el 2 doble de la inicial. Determine Vo. ( g  10 m/s ). a) 30 3 m/s b) 15 3 m/s c) 20 3 m/s d) 10 3 m/s e) 5 a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 0,5 s e) 2,5 s 3 m/s 38. Se dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 30° hacia una pared que se encuentra a 20 3 m . Si en 4 s choca con dicha pared. ¿Con qué rapidez ha sido 2 disparado el proyectil? ( g  10 m/s ). a) 5 m/s b) 10 m/s c) 15 m/s d) 20 m/s e) 25 m/s 39. Un proyectil es lanzado desde A y se incrusta perpendicularmente en la pared inclinada. Calcular el intervalo de tiempo empleado en realizar dicho 2 movimiento. Vo  50 m/s ; g  10 m/s . 112 2. Un cuerpo es soltado desde una altura “H” sobre la superficie terrestre, se observa que en el último segundo de su caída recorre 3H/4. Halle “H” (en m) (g = 10 m/s2). a) 15 d) 45 b) 20 e) 80 c) 25 3. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba y cuando le falta 2s para alcanzar su altura máxima, se encuentra a 60 m del piso. ¿Cuál fue la velocidad de disparo? (g = 10 m/s2) a) 30 m/s d) 75 m/s b) 60 m/s e) 50 m/s c) 40 m/s 4. Una piedra soltada desde el borde de un pozo emplea 4s en llegar al fondo. ¿Qué altura desciende durante el último segundo de su movimiento? (g = 10 m/s2) a) 5 m d) 80m b) 45 m e) 35 m c) 25 m 5. Desde cierta altura se lanza hacia arriba una piedra a 40 m/s y simultáneamente otra se lanza a 30 m/s ¿Qué distancia los separa al cabo de 2 s? a) 100 m d) 160 m b) 120 m e) 120 m c) 140 m 6. Desde cierta altura se suelta una pelota y después del choque contra el piso rebota con la mitad de velocidad de impacto, si luego alcanza una altura máxima de 20 m ¿Desde qué altura se soltó? a) 40 m b) 60 m d) 100 m e) 120 m c) 80 m 13. En el instante mostrado, las partículas A y B son lanzadas verticalmente con igual rapidez de 10m/s. Determine la separación entre ambas luego de 2s de ser lanzadas. (g=10m/s2) 7. Desde un globo aerostático que sube a 20 m/s se suelta una piedra la cual llega al piso al cabo de 6 s. ¿Qué distancia los al globo y la piedra en dicho instante? a) 60 m b) 90 m c) 120 m d) 150 m e) 180 m 8. Una esfera se deja en libertad desde una altura de 80 m y al rebotar en el piso se eleva solo hasta la cuarta parte de la altura anterior. ¿Qué tiempo ha transcurrido hasta que se ha producido él tercer impacto? a) 4 s b) 6 s c) 8 s d) 9 s e) 10 s 9. Un cohete es disparado verticalmente hacia arriba. Inicialmente sus motores le imprimen una aceleración de 2 5 m / s durante 8 s, y luego se desplaza por acción de la gravedad. ¿Hasta qué altura se elevó el cohete? a) 240 m b) 120 m c) 80 m d) 160 m e) 300 m 10. Desde un punto que se halla a 20 m de altura se deja caer un cuerpo ¿Cuál será la mínima velocidad que deberá poseer otro cuerpo que es lanzado verticalmente hacia abajo desde una altura de 30 m, para que alcance al primero justo antes de llegar al suelo? a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s d) 6 m/s e) 8 m/s 11. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba. A los 5 s de ser lanzado alcanza la altura h qué modo que al ascender 25 m más, sólo le faltara 2 s para alcanzar su altura máxima. Hallar “h” a) 250 m b) 265 m c) 275 m d) 285 m e) 295 m 12. Una partícula emplea 4 s en alcanzar su altura máxima. ¿En cuánto tiempo logra subir la segunda mitad de dicha altura? a) 2 2s b) 2s d) 2 3s e) 3 5s c) 3 2s vA A B 30m vB c) 40 2m a) 25m b) 30m d) 50m e) 50 2m 14. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba, desde la superficie de la tierra, con una cierta velocidad inicial "v 0 " que permite alcanzar una altura máxima “H”. Si dicha velocidad inicial se duplicara, su altura máxima aumentaría en 60 m. Hallar dicha altura máxima “H” a) 5 m d) 20 m b) 10 m e) 25 m c) 15 m 15. Dos cuerpos “P” y “Q” que se colocan en la misma vertical. El cuerpo “P” se lanza hacia arriba con una velocidad de 60 m/s y en mismo instante “Q” se deja caer. Desde que altura “H”, se tendrá que dejar caer “Q”. para que ambos se encuentren en la altura máxima recorrida por “P”. a) 300 m d) 390 m b) 330 m e) 410 m c) 360 m 16. Desde una altura de 100 m se deja caer una partícula y al mismo tiempo desde la tierra es lanzada otra partícula, y tienen la misma velocidad cuando se encuentran. ¿Qué altura ha recorrido la partícula lanzada desde la tierra? a) 25 m d) 45 m b) 50 m e) 60 m c) 75 m 17. Un cuerpo se deja en libertad en lo alto de un plano inclinado sin fricción, el cual forma 37º con la horizontal. Halle cuánto desciende durante 3 s. a) 18 m d) 20 m b) 27 m e) 25 m c) 15 m 113 18. Si en el instante en que A se deja en libertad, B es impulsado a 10 m/s. Determine a que altura se produce el choque. A a) 21/5 m b) 28/5 m c) 24/5 m d) 31/4 m e) 32/5 m 8m 53º B 19. En el preciso instante en que un tubo de 1m de longitud es soltado desde una de sus aberturas una pequeña esfera es lanzada hacia abajo con 10m/s. Determine durante cuantos segundos la esfera estuvo al interior del tubo.(g=10m/s2) a) 0,1s b) 0,15 s c) 0,20 s d) 0,25 s e) 0,30 s 20. En el instante mostrado, desde el globo aerostático que asciende con rapidez v, se lanza un objeto hacia abajo con una rapidez de 8m/s, respecto del globo. Si el objeto demora 2s en pasar desde A hasta B, determine v. a) 24 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 26 m/s e) 28 m/s v g A 22. Desde una altura de 20 m respecto de la superficie de un lago se suelta un objeto y emplea 5 s en llegar hasta el fondo, si cuando ingresa al agua mantiene su rapidez constante. Calcular la profundidad del lago. a) 30 m b) 60 m c) 40 m d) 65 m e) 50 m 23. De las posiciones indicadas A y B se lanzan simultáneamente con velocidades “2v” y “v” respectivamente. Si el cuerpo que fue lanzado en B, llega sólo hasta el nivel A. Halle la altura de separación entre los móviles cuando la que se lanzó de A comienza a descender. 2v a) 6 m b) 8 m c) 10 m d) 12 m e) 14 m A v 2m B 24. Las esferas son lanzadas simultáneamente tal como se muestra en el gráfico. Determine luego de cuantos segundos estarán separados 20m y en cuantos segundos se cruzan al mismo nivel a partir del instante mostrado. 10m/s a) 3,2 s; 6s b) 4,8 s; 8s c) 3,6 s; 8s d) 2,8 s; 6s e) 4,8 s; 6s g 40m 25m 15m/s 12m 80m B 21. Desde un puente de 45 m de altura una persona suelta una esfera, instante en el cual un carro que describe un MRU se encuentra a 30 m y dirigiendo hacia el puente. Si la esfera cae justo en el carro. Calcular la rapidez V del carro. a) 10 m/s b) 4 m/s c) 8 m/s d) 2 m/s e) 6 m/s 26. Una piedra es lanzada con una cierta inclinación respecto a la horizontal. Hallar dicha inclinación, si el alcance “R” es el doble de la altura máxima. V 45m 30 m 114 25. El alcance horizontal de una piedra lanzada desde cierto punto es R= 240 m y la altura máxima que se ha elevado es de H=45 m. ¿Hallar la velocidad con que se lanzado? a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 40 m/s e) 50 m/s 1 a) tan (2) 1 d) tan (1.2) 1 1 b) tan (0.5) c) tan (3) 1 e) tan (2.5) 27. ¿Con qué velocidad (en m/s) hay que lanzar una partícula del punto A para que en 1 s. llegue al punto B? a) 10i  3j v 0 =100 m / s A b) 10i  3j 8m c) 3i  10j a) 300 m b) 320 m c) 360 m d) 350 m e) 310 m B 10 m d) 3i  10j e) 10i  8j 28. Calcular la velocidad del móvil en el punto “P” (en m/s). El cuerpo es lanzado horizontalmente desde el punto “A” y llega al punto “B” como indica en la figura. v0 a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 80 m 60 m a) 10 3 m/s B V b) 20 3 m/s 15 m c) 10 m/s d) 20 m/s 60º A e) 30 m/s 30. Calcule el tiempo necesario para que la partícula lanzada con una velocidad de 50 m/s colisione en la superficie inferior. a) 7 s v0 b) 8 s 53° c) 9 s d) 10 s 100 m e) 11 s 31. Una partícula se lanza horizontalmente con una velocidad inicial de 40 m/s, desde lo alto de una torre. ¿Qué ángulo formara el vector velocidad de la partícula con respecto a la horizontal, luego de 3 s? b) 37º e) 60º c) 45º H v0 53º 45º 160 m 33. Una esquiadora abandona el llano con una velocidad de 20 m/s en el punto “A”. ¿A qué distancia de “A” aterrizará sobre la pendiente? a) 55 m b) 45 m c) 35 m d) 65 m e) 75 m 20 m 29. En la figura mostrada, determinar con qué velocidad V se debe lanzar la esfera, si debe ingresar horizontalmente por el canal B. Desprecie la resistencia del aire. a) 30º d) 53º 32. En la figura, determine la altura “H” medida desde la línea horizontal, en la cual la esfera impactó. A 37º B 34. Se lanza un cuerpo con un ángulo de elevación de 53º alcanzando una velocidad de 36 m/s en el punto más alto de su trayectoria. Hallar su altura máxima. a) 115.2 m d) 120.5 m b) 130 m e) 130.5 m c) 120 m 35. Un proyectil es lanzado con 37º de inclinación. Si cuando ha ascendido los 75% de su altura máxima “H” le falta 3 s para conseguir dicha altura. Calcular la velocidad de lanzamiento. a) 50 m/s d) 125 m/s b) 75 m/s e) 150 m/s c) 100 m/s 36. Desde A se lanza un proyectil con dirección al punto V “P” cuál debe ser la velocidad inicial “ 0 ” (en m/s) para que el proyectil impacte en el punto “B” P a) 20 / 3 15m b) 10 / 3 V0 c) 25 / 3 d) 25 3 A B 20m e) 15 / 3 115 37. Se lanza un cuerpo con una velocidad 40 2 m / s y una inclinación de 45º. ¿Qué tiempo debe pasar para que su velocidad forme 37º con la horizontal? a) 2 s b) 3 s c) 5 s d) 6 s e) 7 s 38. En la trayectoria parabólica que describe el proyectil, hallar el tiempo que empleo en ir de A hacia B, si su  g  10m / s  2 rapidez en A fue de 15m/s. a) 1,0s b) 1,5s c) 2,0s d) 2,5s e) 3,0s y vA g x 37º A B 53º vB 43. En la figura el campo gravitatorio se representa mediante las líneas de fuerza. Se lanza una pelota perpendicular a la superficie con una velocidad de 20 m/s. Hallar la altura máxima que alcanza la pelota respecto a la superficie. La intensidad del campo gravitatorio es (10 m / s 2 ) . g a) 24 m b) 25 m c) 27 m d) 29 m e) 32 m v0 53º 44. Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba de la azotea de un edificio con una rapidez de 30 m/s. Si el objeto demora 8 s en llegar al suelo, hallar la altura del edificio. ( g  10 m / s ). a) 80 m b) 90 m d) 70 m e) 60 m 2 39. Se lanza una bolita desde “A” con rapidez de 10 m/s y ángulo de inclinación de 53º, llegando al punto “B” perpendicularmente al plano inclinado. Hallar el tiempo de movimiento de la bolita. v a) 0,1s 45º b) 0,2s c) 0,3s g v0 d) 0,4s e) 0,5s 45º A 53º 40. Un objeto A es soltado desde una altura H=125 m, 3 s después es lanzado hacia abajo otro cuerpo B desde la misma altura, si ambos llegan simultáneamente a la tierra, determinar la rapidez inicial de B (en m/s). a) 28.4 b) 31.6 c) 52.5 d) 63.4 e) 72.8 41. Desde el borde de una azotea de un edificio de 33.6 m de altura se lanza un objeto (hacia abajo) con una rapidez de 2 m/s. Halle la rapidez (en m/s) del objeto, un instante antes de que impacte con el piso. a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30 42. Desde un globo que asciende con una velocidad de 6 m/s, se lanza una piedra horizontalmente respecto del globo con una velocidad de 5 m/s. La piedra experimenta un alcance horizontal de 15 m hasta llegar al suelo. ¿Desde qué altura “H” se soltó la piedra? a) 24 m b) 25 m c) 27 m d) 29 m e) 32 m 116 c) l00 m 45. Desde se lanza un proyectil “P” verticalmente hacia arriba con una velocidad de 100 m/s. Determinar cuántos segundos después de que partió “P” se debe lanzar un proyectil “Q” desde el punto “A” con un ángulo de elevación de 37º para que ambos colisiones cuando “P” se halle en su altura máxima. a) 4 s b) 5 s c) 6 s d) 7 s e) 8 s v0 A 37º 385 m B v0 320 m 46. Desde el punto “O” se apunta el aro “A” y se lanza una pelota. Hallar con qué rapidez se debe lanzar la pelota para A que pase por el centro del aro. a) 10 m/s d) 20 m/s b) 12 m/s e) 15 m/s c) 18 m/s 4m 53º 0 18m 47. Un objeto fue lanzado con una velocidad de 15 m/s y formando 37º con la horizontal. Hallar la rapidez del objeto 1,4 s. Después del lanzamiento. a) 12 m/s b) 15 m/s c) 13m/s d) 18 m/s e) 14 m/s 48. Con que inclinación respecto a la horizontal se debe disparar un proyectil para que alcance una altura de 5 m si su velocidad inicial es de 20 m/s. Considerar nula la resistencia del aire. a) 45º b) 53º c) 30º d) 37º e) 60º 49. Un jugador de basquetbol impulsa una balón con una velocidad de 10 m/s formando 37º con la horizontal y desde una altura de 2,25 m. ¿A qué distancia de jugador dará el primer rebote? a) 16 m d) 10 m c) 8 m d) 18 m e) 12 m 53. Se lanza un proyectil con velocidad, bajo un ángulo con el horizonte. Si la altura máxima alcanzada es la tercera parte del alcance horizontal. Determínese la tangente del ángulo de lanzamiento. a) 1/2 b) 3/4 c) 4/3 d) 5 e) 3/5 54. El niño mostrado en la figura lanza una piedra con una velocidad, de tal forma que se introduce en el tubo que se orienta 45° respecto a la vertical; de modo que el movimiento de la piedra coincide con el eje del tubo. Determine el módulo de (en m/s) , si h = 1,2m. a) 12 b) 18 c) 10 d) 32 e) 14 50. La trayectoria mostrada pertenece a un movimiento parabólico. Determinar “h”, si la velocidad en “A” tienen un módulo de 10 m/s. (g  10 m / s a) 1 m 37º A d) 1,6 m b) 1,2 m h e) 1,8 m c) 1,4 m 2) 55. La esferita es lanzada con cierta rapidez “V” la cual luego de 7 segundos, logra impactar perpendicularmente contra el plano inclinado. Determinar “V”. (g=10m/s2) B 45º 51. Un cuerpo “A” es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s. ¿A qué altura se encontraba un cuerpo “B” que fue lanzado horizontalmente con una rapidez igual a 4 m/s y al mismo tiempo que el cuerpo “A” y que luego choca con este último durante el vuelo? La distancia horizontal entre las posiciones iniciales de los cuerpos es 4 m. a) 5 m b) 20 m c) 10 m d) 25 m c) 15 m 52. En la figura se muestra un proyectil que es lanzado tal como se muestra en la figura. Si el tiempo para ír de O hacia A es de 12 s. determine el tiempo (en s) de C a D. a)4 b)1 c) 3 d)5 e) 2 a) 10 m/s b) 40 m/s c) 20 m/s d) 50 m/s e) 30 m/s 56. Un grifo (caño) malogrado está a 40 cm del fondo de un lavadero y gotea a razón de 7 gotas por segundo. ¿A distancia (en cm) de una gota que toca el fondo está la gota siguiente? a) 0.80 d) 34 b) 9.8 e) 35 c) 33 57. Una partícula es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 40 m/s. Hallar el desplazamiento (en m) entre los instantes a) 0j b) d) 40 j e) t 1  2 s y t 2 = 6 s. 6 j c)  40 j 60 j 117 58. Una partícula se encuentra en t = 0 en la posición 2 parte del reposo con aceleración (6i+ 8 j)m / s . Determinar (en m) su desplazamiento en el tercer segundo de su movimiento. (3i+4j)m a) 5i+ 20j b) 8i+ 20j d) 15i+ 20j e) 1.2i+18j g c) 7i+8 j 59. Un proyectil se dispara con una velocidad inicial v 0  (30i+ 40j)m / s , desde la superficie de un planeta donde la aceleración gravitacional es g  (6i  10j)m / s . Determine el rango (en m) del proyectil. 2 a) 13 d) 65 60. Una b) 22 e) 80 persona se r 0  (2i  3j)m v 0  2i m / s. c) 48 encuentra en la posición y parte con una velocidad inicial de ¿Cuál deber ser su aceleración para que llegue a la posición r  8i m en 2 s (en m / s )? 2 a) i  1.5j d) 2i  1.5j b) 8i  20j e) 2i  1.5j c) i  1.5j 61. Desde un mismo punto en una meseta plana horizontal se lanzan dos proyectiles A y B ambos haciendo un ángulo de 45º respecto del piso y rapideces iniciales v A y v B respectivamente. Si el proyectil B logra doble alcance 2 b) d) 2 e) 5 a) 0.20 s b) 0.25 s c) 0.30 s d) 0.35 s e) 0.40 s c) 3 B v0 16º A 37º 64. Se lanza del suelo una bola con rapidez de 40 2 m/s y una inclinación de 45º ¿Después de que tiempo su velocidad formara 37º con la horizontal en su movimiento de ascenso? a) 1 s d) 6 s b) 2 s e) 8 s c) 4 s 65. Hallar la rapidez con que se lanza un cuerpo horizontalmente desde cierta altura “h”, si luego de su rapidez fue el doble de la inicial. a) 10 m/s d) 16 m/s b) 12 m/s e) 18 m/s 3s c) 14 m/s 66. Desde el suelo se lanza un cuerpo con un ángulo de elevación de 530 alcanzado una rapidez de 30 m/s en el punto más alto de su trayectoria. Hallar su altura máxima H. a) 50 m d) 80 m que A, halle: v A / v B a) 1 V 5 63. La rapidez de lanzamiento del proyectil es de 0 m/s. Hallar el tiempo que demora el proyectil en ir de A hacia B. b) 60 m e) 90 m c) 70m 62. Una partícula es lanzada perpendicularmente a un 67. Durante una prueba, un comando se deja caer de un helicóptero que se mantiene en el aire a 2800 m del nivel de la pista prueba, si lleva consigo un retro propulsor que plano inclinado tal como se muestra .Determine 3d / 16 que debe pasar para que impacte en el plano no considere la resistencia del aire. 25 m / s le permite variar su rapidez a razón de 4 m / s . Determine la altura, en la cual debe activarse el retro propulsor de tal manera que el comando se pose suavemente en el suelo a) 650 m b) 625 m c) 615 m d) 700 m e) 560 m a) 900 m d) 2000 m 118 d 37º 2 b) 800 m c) 2500 m e) 2400 m 68. Desde lo alto de una torre de 180 m de altura, se lanza un objeto hacia arriba con velocidad de 45 m/s. Después de cuánto tiempo (en s) dicha objeto llega al piso a) 4.5 s d) 12 s b) 7 s e) 15 s c) 3 s 73. Desde un globo que asciende con rapidez de u=6m/s, se lanza una piedra horizontalmente (respecto del globo) V  5m / s alcanzando una distancia con rapidez de X horizontal de 15 m hasta llegar al suelo, ¿Desde qué altura “H” se lanzó la piedra? u 69. Un cuerpo se deja caer en libertad en lo alto de un plano inclinado sin fricción, el cual forma 37º con la horizontal. Hallar cuánto desciende durante 2 s (g  10 m / s 2 ) . a) 18 m d) 9 m b) 15 m e) 3 m 2 que provocó el agua sobre dicho objeto (en m / s ). b) 150 e) 220 c) 180 71. Las esferas A y B lanzadas simultáneamente con la misma rapidez, A horizontalmente y B verticalmente, chocan estando a una altura de “H/2”. Halle “X” a) 0,5m b) 1.0m c) 1,5m d) 2,0m e) 2,5m v A H /2 H  1m H /2   g v B 72. Los proyectiles A y B son lanzados simultáneamente, colisionando en el aire. Hallar la razón Tg / Tg entre los ángulos de disparo “  ” y “  ”. a) 1/2 b) 1/3 c) 2 d) 3 e) 1/4 U 0 g H c) 12 m 70. Desde un globo con aire caliente estacionado a 60 m sobre el nivel de cierto lago, deja caer un objeto; un buzo va en su búsqueda y lo encuentra a 4 m de profundidad respecto a la superficie libre. Determine la desaceleración a) 120 d) 200 a) 21m b) 23m c) 25m d) 27m e) 29m H v1 A  d v2  B 74. Un punto A se encuentra en la misma vertical que otro punto B y a 60m de altura sobre este. En el punto A se suelta una pelota y 2s después se lanza desde B otra con una rapidez de 20 m/s vertical hacia arriba. ¿A cuántos metros chocan de B? a) 10 m d) 35 m b) 30 m e) 25 m c) 15 m 75. Respecto al movimiento de caída libre, indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Se deja caer una bola de acero y una pelota simultáneamente y desde una misma altura, impacta en el piso primero la bola de acero y luego la pelota. II. Cuando se deja caer una partícula desde cierta altura, la distancia que recorre es directamente proporcional al tiempo al cuadrado. III. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con rapidez v desde el borde un barranco y simultáneamente una segunda piedra es lanzada verticalmente hacia abajo con la misma rapidez v, la segunda piedra llega al fondo del barranco con mayor velocidad que la primera. a) VVV d) FFV b) FVF e) FFF c) VFV 76. Desde el piso se lanza 2 pelotitas hacia arriba, la primera a 30 m/s y la segunda 2 segundos después pero a 40 m/s, ¿qué distancia las separa cuando la primera llega a su altura máxima? Use. (g=10m/s2) a) 10 d) 40 b) 20 e) 50 c) 30 2d 119 77. El piloto de un avión que vuela horizontalmente a una altura "H" con una rapidez "V" observa el blanco bajo un ángulo de depresión "", halle Tgθ, conociéndose que en dicho instante el piloto dejo caer una bomba que acertó en el blanco. 2 gH v 2 gH v gH 2 a) b) c) 2v d) gH v e) 2 gH v 78. En el instante mostrado, las esferas son lanzadas simultáneamente. Si ambas logran impactar, determine la rapidez v.(g=10m/s2) a) 10m/s b) 20m/s c) 35m/s d) 40m/s e) 75m/s 25m/s 53° g 45m v Lectura 5: 45m BREVE HISTORIA DE LAS CATAPULTAS Los textos clásicos revelan una nueva comprensión sobre la historia de las catapultas y balanzas. Apártate Arquímedes. Un investigador de la Universidad de Harvard ha encontrado que los antiguos artesanos griegos eran capaces de diseñar máquinas sofisticadas sin necesidad de comprender la teoría matemática que subyace a su construcción. Los análisis recientes de tratados técnicos y fuentes literarias del siglo V a.c revelan que la tecnología floreció entre los profesionales con limitados conocimientos teóricos. “Los artesanos tenían su propio tipo de conocimiento que no tenía que estar basado en la teoría”, explica Mark Schiefsky, profesor de cultura clásica en la Faculta de Arte y Ciencias de Harvard. “No iban a la Academia de Platón a aprender geometría, y aun así eran capaces de construir dispositivos calibrados con precisión”. La balanza, usada para medir el peso en todo el mundo antiguo, es la mejor ilustración de los hallazgos de Schiefsky sobre la distinción entre el conocimiento teórico y el de los artesanos. Trabajando con un grupo liderado por Jürgen Renn, Director del Instituto Max Planck para la Historia de la Ciencia en Berlín, Schiefsky ha encontrado que la balanza romana — una balanza con brazos desiguales — se usó a principio de los siglos V y IV a.c., antes de que Arquímedes y otros pensadores de la era helenística dieran una demostración matemática de sus bases teóricas. “La gente supone que Arquímedes fue el primero en usar la balanza romana dado que suponen que no se podía crear una sin conocer la ley 120 de las palancas. De hecho, puedes — y la gente lo hacía. Los artesanos tenían su propio conjunto de reglas para hacer la escala y calibrar el dispositivo”, dice Schiefsky. Las necesidades prácticas, así como la prueba y error, llevó al desarrollo de tecnologías como la balanza romana. “Si alguien lleva un trozo de carne de 50 kilos al ágora, ¿cómo lo pesas?”, pregunta Schiefsky. “Sería genial tener un contrapeso de 5 kilos en lugar de uno de 50, pero para hacer eso necesitas cambiar el punto de equilibrio y comprender ostensiblemente el principio de proporcionalidad entre el peso y la distancia desde el fulcro. Aun así, estos artesanos fueron capaces de calibrar sus dispositivos sin comprender la ley de la palanca”. Los artesanos aprendieron a mejorar estas máquinas a través del uso productivo en el curso de sus carreras, dice Schiefsky. Con el surgimiento del conocimiento matemático en él era helenística, la teoría comenzó a ejercer una mayor influencia en el desarrollo de las tecnologías antiguas. La catapulta, desarrollada en el siglo III a.c., proporciona la forma en que se sistematizó la ingeniería. Con la ayuda de las fuentes literarias y datos de las excavaciones arqueológicas, “Podemos rastrear con certeza cuando comenzaron los antiguos a usar métodos matemáticos para construir la catapulta”, apunta Schiefsky. “Las máquinas se construyeron y calibraron con precisión”. Los reyes alejandrinos desarrollaron y patrocinaron un programa de investigación activa para un mayor refinamiento de la catapulta. A través de la experimentación y la aplicación de métodos matemáticos, tales como el desarrollado por Arquímedes, los artesanos fueron capaces de construir unas máquinas de gran potencia. Tendones de animales trenzados ayudaron a incrementar el poder del brazo de lanzamiento, el cual podría arrojar piedra de 25 kilos o más. La catapulta tuvo un gran impacto en la política del mundo antiguo. “Podías atacar repentinamente una ciudad que anteriormente había sido impenetrable”, explica Schiefsky. “Estas máquinas cambiaron el curso de la historia”. De acuerdo con Schiefsky, la interacción entre el conocimiento teórico y el saber práctico es crucial para la historia de la ciencia occidental. “Es importante explorar lo que hicieron los artesanos y lo que no hicieron”, dice Schiefsky, “de forma que podamos comprender mejor cómo encaja su trabajo en el arco del desarrollo científico”. La investigación de Schiefsky está patrocinada por la Fundación Nacional de Ciencia y el Instituto Max Planck para Historia de la Ciencia en Berlín. DEFINICIONES: MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL Es aquel movimiento que se caracteriza por que su 1. DESPLAZAMIENTO ANGULAR (): Es el ángulo trayectoria es una circunferencia y de acuerdo a su que se describe en el centro de la trayectoria velocidad angular se pueden clasificar en: correspondiente a un arco de circunferencia, se le expresa generalmente en radianes. 2. DESPLAZAMIENTO LINEAL (L): Es la longitud de arco de la circunferencial recorrido por un cuerpo con movimiento circunferencial. 3. PERIODO (T): Es el tiempo que demora un cuerpo con movimiento circunferencial en dar una vuelta completa. T  Movimiento Circunferencial Uniforme (MCU) La velocidad angular es constante.  Movimiento Circunferencial Uniformemente Variado (MCUV) La velocidad angular es variable y además posee aceleración angular.  B  R L A V tiempo Unidades: segundos (s) N ode vueltas 4. FRECUENCIA (f): Es el número de vueltas que efectúa el móvil con movimiento circunferencial en cada unidad de tiempo. También se define como la inversa del periodo. f o N de vueltas tiempo UNIDADES: rev/s = (R.P.S.) = rev/min = (R.P.M.) rev/hora = (R.P.H.) 1/s = Hertz (Hz) 5. VELOCIDAD TANGENCIAL ( V ): Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el arco recorrido por el móvil en la unidad de tiempo. Se caracteriza por ser tangente a la trayectoria. UNIDADES: m/s, cm/s, etc. 6. VELOCIDAD ANGULAR (): Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el ángulo barrido por el móvil en la unidad de tiempo. Se caracteriza por ser perpendicular al plano de rotación. Unidades: rad/s, rev/min (R.P.M.) 121 8. Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuanto aumenta o disminuye la velocidad angular en cada unidad de tiempo. Unidades: 2 2  Velocidad tangencial ( V ) V  R 2 rad/s , rad/min , rad/h , etc. 9. ACELERACIÓN TANGENCIAL ( a T ) Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuanto cambia la velocidad tangencial en cada unidad de tiempo. Unidades: m/s 2, cm/s 2 10. ACELERACIÓN CENTRÍPETA ( ac ) Es la magnitud vectorial cuyo punto de aplicación es el móvil su dirección radial y sentido siempre señalan hacia la parte central de la circunferencia. Unidades: m/s 2 , cm/s 2 Es aquel movimiento que se caracteriza por que su trayectoria es una circunferencia y su velocidad varía uniformemente conforme transcurre el tiempo esto significa que su aceleración angular permanece constante. Las ecuaciones del movimiento son las mismas del movimiento rectilíneo uniformemente variado. Además algunas ecuaciones esenciales: La aceleración en el Movimiento Circular Uniformemente Variado Aceleración centrípeta Es la magnitud vectorial cuyo punto de aplicación es el móvil su dirección radial y sentido siempre señalan hacia la parte central de la circunferencia. a ac  at a c : aceleración centrípeta MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME En un movimiento circunferencial que se caracteriza porque su velocidad angular permanece constante durante todo el movimiento, esto significa que en tiempos iguales barre ángulos iguales. Velocidad angular (): En general se define como velocidad angular a la razón que existe entre el ángulo descrito por unidad de tiempo: En función del período y la frecuencia: 122 a c   2R Unidades: m/s 2 a  R a : aceleración total Unidades: rad/s; R.P.M. V2 R Aceleración Tangencial: Se define como el producto de la velocidad angular por el radio de curvatura de la trayectoria: a t : aceleración tangencial  ángulo  tiempo t 2 R  2Rf T a ac  V MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORMEMENTE VARIADO at ac 2  2f T   t Si representamos un movimiento curvilíneo en general: De acuerdo al diagrama se puede definir la aceleración total en cualquier punto mediante el Teorema de Pitágoras: a Fórmulas del MCUV a t  ac 2 2 S  R V  R a  R f  0  t   f  0 t  f 2  0 2  2   0 t  1 2 t 2 TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTOS Conociéndose las características de los movimientos circulares en general, estas se aprovechan para transmitir movimientos ya sea para aumentar o disminuir las velocidades angulares o tangenciales. Ver Fig. 3.  A  B  A B B Solución: Dadas las condiciones, el periodo de un punto de la superficie terrestre es 24 horas. T  24  3600 s Se sabe que: V  2 R T Sustituyendo: V 2(6400 km) 24 h A V A 1600  km/h 3 Rpta. B V A VB 3. Halle la velocidad tangencial alrededor del eje terrestre de un punto en la superficie terrestre a una latitud de 60º N en km/h. V A  VB 800  rad/h 3 750  rad/h d) 3 500  rad/h 3 505  rad/h d) 3 a) A B B A b) e) 500 rad/h PROBLEMAS RESUELTOS 1. La luna hace una revolución completa en 28 días, si la distancia promedio entre la Luna y la Tierra es de 7 38, 4  10 m, aproximadamente, halle la velocidad tangencial de la Luna con respecto a la Tierra. b) 987 m/s a) 990 m/s c) 992 m/s d) 997 m/s e) 1000 m/s Solución: La velocidad angular en cualquier punto de la Tierra es la misma, pero la velocidad tangencial varía de acuerdo al radio de la trayectoria de dicho punto de la Tierra. 2 T 2 rad  24 h   rad/h 12   r V R 60º Solución: El período de la Luna es 28 días T  28  24  3600 s La velocidad tangencial se define como: V  R  V  2 R T 2(38, 4  10 ) 28  24  3600 7 V c) e) 1600  km/h 3 1600 km/h 3 1600  km/h 5 V  R Velocidad tangencial: 997 m/s Rpta. 2. Considerando un radio ecuatorial de 6400 km, determine la velocidad tangencial, con respecto al eje terrestre, en un punto ecuatorial en km/h. a) r  R cos 60º 1 r  6400    r  3200 km  2 Sustituyendo variables: V Cálculo del radio de curvatura a latitud 60º N: 1400  km/h 3 1700  km/h d) 3 b) V  rad/h  3200 km 12 V 800  rad/h 3 Rpta. 4. ¿Cuánto dura el día de un planeta “saturno” cuyo radio promedio es 10000 km; si un punto superficial a latitud 37º N (medido desde su línea ecuatorial) tiene una velocidad lineal de 400 km/h ? a) 36 h d) 42 h b) 32 h e) 50 h c) 40 h 123 Solución: Ubicamos un punto de latitud 37º N y hallamos su radio N de giro (r) r  1000cos 37º 4 r  10000   5  r  3   2  2 2 A A 37º La velocidad lineal: V A   B  A B t A  tB  P R r  8000 km Solución: Para que “A” y “B” colisionen en “O” es necesario que ambos lleguen a “O” y en el mismo tiempo, es decir: 2r T   2  2(8000) 400   T 2(8000) T  T  40 horas 400 3  2 2  4  3  2  6  El día en el planeta “saturno” dura: 40 h Rpta. 5. En una pista circular se cruzan dos partículas con velocidades angulares de   rad/s y rad/s . Si estas 10 20    30º Rpta. 7. En el instante se muestra la posición de las partículas que viajan circularmente por pistas tangentes exteriormente, si la velocidad angular de “A” es  rad/min , hallar la velocidad angular de “B” (en rad/min) para que las partículas se encuentren en “O” sin dar más vueltas. B velocidades angulares son mantenidas constantes, hallar el tiempo adicional suficiente para que los vectores velocidad de estas partículas formen 90º. a) A 30º O Solución:  2 1 Se sabe que:   t Del diagrama:  1   2  2 1t  t 2   2 V1 O  t(1   2 )      Reemplazando: t     10  3   t  t   20  2 V2 20   2 2 3, 33 s  A O 124  2 B A  c) 37º c) Rpta. B b) 30º b) Solución: 6. Sobre dos vías circulares tangentes se desplazan dos móviles, tal como se muestra en la figura, con velocidades angulares constantes (B  2A ) . Determinar el valor del ángulo "  " si se sabe que los móviles colisionan en “O” antes de completar la primera vuelta. a) 25º  3 2 e) 5  4  d) 5 a) d) 45º e) 53º 60º 30º A B O    300º Del diagrama:  A  B  60º Los móviles se encuentren en “O”, llegan a dicho punto al mismo tiempo, luego: t A  tB  A   B  A B 300º 60º   B  B   rad/min 5 Rpta. 8. Al desconectarse un ventilador se genera una desaceleración de 20 rad/s 2 , si inicialmente el ventilador gira a razón de 100 rad/s . Hallar el número de vueltas que darán las aspas del ventilador hasta detenerse. a) 32 b) 36 c) 40 d) 45 e) 48   f  0 2 2 2 (100) 2(20)    250 rad 250 2 Nº vueltas  40 Rpta. 9. Hallar la velocidad angular (en rad/s) del tambor de 60 m de radio en el momento en que la carga desciende a razón de 6 m/s. Los tambores de radios “R” y “2R” son solidarios. a) 18 2R b) 20 c) 24 60 cm R d) 25 e) 28 Solución: Seleccionemos un par adecuado de tambores: 1  2  6 V2  R 2R V1 V2  R1 R 2 A 1 12  0, 6 4. Señale verdadero (V)o falso (F) respecto al movimiento circunferencial I. Si el período en un MCU aumenta entonces el radio disminuye. II. En un MCUA, la aceleración instantánea es tangente a la trayectoria. III. En un movimiento circunferencial, si la aceleración no varía en magnitud entonces el módulo de la velocidad es constante b) VFV e) FFF c) FFV C 60 cm 3 En los tambores B y C: 3  c) FVV I. La aceleración tangencial es nula cuando la rapidez es constante. II. En el M.C.U. la aceleración normal es constante. III. En el M.C.U.V. la magnitud de la aceleración tangencial es constante. a) VVV b) VFV c) VFF d) FFF e) VFV a) VVV d) FVF B  V2  6 m/s 2 V3  V2  3R 3  12 b) VFF e) FFF 3. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: Cálculo del número de vueltas: Nº vueltas  I. Posee aceleración. II. Su velocidad es constante, en módulo y dirección. III. Es un movimiento periódico. a) VFV d) VVV Solución: 2 2. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea de acuerdo al Movimiento Circular Uniforme. V1 20 rad/s Rpta. 5. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea respecto a la aceleración centrípeta. I. Es constante su módulo en el MCU. II. Modifica la dirección de la velocidad tangencial. III. Siempre es perpendicular a la velocidad tangencial. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Señale verdadero (V)o falso (F) respecto al movimiento circunferencial (MC) I. En un MC si el módulo de la velocidad es constante, entonces la aceleración es necesariamente cero. II. Si la aceleración tangencial es cero, entonces la velocidad la velocidad es constante. III. Es imposible desplazarse a lo largo de una curva sin aceleración a) VVV d) FFV b) VFV e) FFF c) VFF a) FFV d) VFV b) FVV e) VVV c) VVF 6. Indique la proposición incorrecta respecto al MCUV. a) Su aceleración angular es constante sólo en módulo. b) Posee aceleración tangencial constante. c) Su velocidad angular varía uniformemente en módulo. d) No es un movimiento periódico. e) Posee aceleración centrípeta variable. 125 7. Señale con V (verdadero) o F (falso), respecto de la aceleración tangencial. I. Puede ser opuesta a la velocidad tangencial. II. Es constante en dirección. III. Modifica el módulo de la velocidad tangencial únicamente. a) VVF d) VVV b) VFV e) FFF c) FVV 8. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea respecto a la aceleración angular. I. Es perpendicular a la aceleración centrípeta. II. Es constante en módulo únicamente. III. Modifica únicamente el módulo de la velocidad angular. a) VVF d) FFV b) FVV e) VVV a) Cuando tiene el mismo sentido que el desplazamiento angular. b) Cuando la velocidad angular es opuesta al desplazamiento angular. c) Cuando es opuesta al desplazamiento angular. d) Cuando es opuesta a la velocidad angular. 10. Una partícula gira con una frecuencia correspondiente a 720 R.P.M .Calcular su velocidad angular en ( rad s ) b) 36 e) 18 c) 36 11. Un cuerpo posee una velocidad de 10π rad/s (constante). Hallar el numeró de vueltas que da en medio minuto a) 5 d) 50 b) 150 e) 20 c) 300 126 b) 9 600 e) 9 900 a) 6 s b) 12 s c) 18 s d) 21 s e) 25 s 15. Considerando que la tierra rota uniformemente, determinar la rapidez tangencial  m / s  de una ciudad ubicada en el hemisferio norte a 53º de latitud. (Radio terrestre 6400km). 4000 9 400 d) 9 a) 800 9 1600 e) 9 b) c) 9 700 c) 300 5 16. Si la rueda de 10 cm de radio rota con una rapidez angular constante de 20 rad/s, con qué rapidez desciende el bloque. (r=5cm) 10cm a) 10 cm/s b) 20 cm/s c) 20 cm/s d) 40 cm/s e) 50 cm/s r 4r 17. En el siguiente sistema, determinar la velocidad angular de la rueda “B” Ra  6m R b 2m , a  60 rad s 12. Marquito observa el paso de un meteoro fugaz el 14 de febrero durante 3,14 segundos en el cielo y describe en ese tiempo un arco de 8°. ¿Cuál fue la velocidad media expresada en (km/h) si la distancia media al observador fue de 60 km? a) 9 500 d) 9 800 14. Las partículas parten simultáneamente con periodos de 20 y 30 segundos. ¿Al cabo de que tiempo logran cruzarse por segunda vez? c) VFV 9. ¿Cuándo se dice que la aceleración angular es negativa? a) 24 d) 24 13. Un disco gira con una velocidad angular constante. Si los puntos periféricos tienen el triple de velocidad de aquellos puntos que se encuentran a 5 cm más cerca al centro del disco, Hallar el radio del disco a) 7,5 cm b) 15 cm c) 25 cm d) 10 cm e) 20 cm a) b) c) d) e) 120 rad s 180 rad s 150 rad s 200 rad s 145 rad s 18. Un motor lleva una polea de 20 cm de radio que gira a una velocidad de 600 R.P.M. y pone se en movimiento mediante una transmisión por faja otra polea de 40 cm de radio. La velocidad angular que gira esta última polea en rad/s. Es (   3 ) a) 40 b) 30 c) 20 d) 60 e) 80 R1 2 1 R2 19. Un móvil con M.C.U emplea "t" segundos en efectuar una vuelta sobre una pista circular y cada 3/8 t segundos se cruza con un segundo móvil que va en dirección contraria. ¿Cuál es el período del segundo móvil? a) t/8 d) 6t/5 b) 3 t/5 e) 2t/7 c) 2t/5 20. Los puntos periféricos de un disco giran uniformemente a 4 m/s, si los puntos, que se encuentran a 0,2 m de la periferia giran a 3 m/s. Halle el radio del disco. a) 0,2 m d) 0,8 m b) 0,4 m e) 1,0 m cm, RA=10cm y RC = 40 cm. Si la frecuencia angular de A es 4 rev/s, calcular el periodo de C. RB RC RA c) 1 m/s 23. Un disco experimenta un MCUV en un determinado segundo el disco gira 12 rad y en el segundo siguiente un ángulo de 16 rad. Hallar la magnitud de la aceleración angular que experimenta el disco. a) 4 rad/s2 b) 6 rad/s2 c) 3 rad/s2 d) 1 rad/s2 e) 2 rad/s2 24. Una partícula gira alrededor de una circunferencia con MCUV. En un determinado instante su rapidez es de 6πrad/s y tres segundos después su rapidez es de 9πrad/s. Calcular el número de vueltas que ha dado luego de 6 s de iniciado su movimiento a) 7 b) 12 c) 9 d) 13 e) 8 25. Dos discos concéntricos y pegados giran con una velocidad angular constante de 30 rad/s. Si r  0.3m , determine la rapidez con la cual se mueve la polea A. a) 7,5 m/s b) 20 m/s c) 22,5 m/s d) 15 m/s e) 10 m/s 4r r g A 26. Dos partículas que ejecutan MCU se encuentra 10 segundos después del instante que se muestra en la figura. Si rad / s , hallar en rad / s . Faja b) 2 s e) 02 s b) 8 m/s e) 2 m/s c) 0,6m 21. A, B y C tiene MCU, A y B son solidarias; RB = 50 a) 1 s d) 0,1 s a) 3 m/s d) 6 m/s 1 c) 3 s 2 17 18 18 b) 19 a) 22. Si el bloque "A" se mueve con rapidez de 3 m/s. ¿Con qué rapidez se mueve "B"?. 4r r A r r 2r 6r B c) 19 20 d) 20 21 21 e) 22 127 27. El movimiento de A se transmite a B por una correa, tal como se muestra. Calcule la rapidez del punto P(en cm/s), se sabe que la frecuencia de A es 5 Hz, los radios de A y B de 5 cm y 10 cm respectivamente. El punto P dista 8 cm del centro. a) 60 b) 50 c) 40 d) 20 e) 15 P A B 28. Una partícula que realiza MCUV parte del reposo. Si 1 s ha recorrido una longitud igual a dos en t veces el radio de la trayectoria. Calcular la rapidez angular en rad/s a los 5 segundos después de iniciado el movimiento. 8 rad / s 2 . Determinar el valor de "h" si dicha esfera ingresa al agujero, luego que el disco dio 2 vueltas. g = 10 m/s2. a) 2,5 m b) 3,0 m c) 3,5 m d) 5,0 m e) 5,5 m 32. Una partícula parte del reposo en "A" y describe una circunferencia como trayectoria. Si después de 4/3 s se encuentra en "B" con una velocidad   , determine su recorrido angular y la magnitud de la aceleración angular. 2 3 rad ; rad / s 2 3 4  b) rad ;7,5rad / s 2 3 a) 29. Determine la magnitud de la aceleración centrípeta (en m/s2) de un móvil en el instante t = 5 s, si el radio de giro del móvil es 0,4 m. La ecuación del movimiento es θ = 5 + 25 t, donde θ: radianes, t: segundos. a) 250 b) 200 c) 120 d) 140 e) 239  rad ;  rad / s 2 d) 2 rad ;3,5rad / s 2 c) trayectoria. Calcule el valor de " a ". 37º a R = 5m B V R = 10 m   e) rad ; rad / s 2 3 30. En el instante mostrado en la figura, una partícula que se mueve con MCUV tiene una rapidez de 30 m/s y aceleración "" que hace 37º con la tangente a la A 2 33. A 1,25m del piso, en un plano horizontal, un depósito de arena gira con una velocidad angular de 4 rad/s y con 2 m de radio mientras va dejando caer gránulos de arena por un orificio practicando en el fondo del depósito halle el radio de la circunferencia de arena que se forma en el piso. a) 2m d) 2 5m b) 3m e) 4 2m c) 4m 34. Un pastor hace girar su honda en una circunferencia de 2 m de radio a razón de 2 rad/s 2 . ¿Con que velocidad sale la piedra si la cuerda se rompe después de 8 vueltas? a) 12 m/s d) 18 m/s 128 h v  5 3 i  5 j m / s a) 10 b) 5 c) 15 d) 20 e) 4 a) 200 m/s2 b) 220 m/s2 c) 240 m/s2 d) 300 m/s2 e) 320 m/s2 31. En el preciso instante que la esfera es soltada el disco inicia su movimiento con una aceleración angular de b) 14 m/s e) 20 m/s c) 16 m/s 35. Determine la aceleración angular de un volante que inicia su movimiento desde el reposo y adquiere en 6 s una velocidad de 240 R.P.M (   3 ) a) 4 d) 7 b) 5 e) 3 c) 6 36. La velocidad angular del volante de un auto aumenta a la razón constante de 3000 R.P.M a 4200 R.P.M en 60 s La aceleración angular del auto en rad s 2 (   3 ) a) 1 d) 2 b) 4 e) 1 c) 5 37. Una partícula inicia su M.C.U.V con una velocidad tangencial de 6 m/s .Si su aceleración tangencial es de 4 m s 2 , y su radio de giro es de 9m .Su velocidad tangencial en m/s y en rad/s luego de 12 s es. a) 48 y 6 d) 54 y 8 b) 54 y 6 e) 48 y 9 c) 48 y 8 38. Una esferita se desplaza con M.C.U .V de tal modo que luego de recorrer 8 m incrementa su velocidad de 4 m/s a 12 m/s .Si su radio es de 4 m. La aceleración tangencial ( m s 2 ) y la aceleración angular en ( rad s 2 ) es. a) 4 y 3 b) 6 y 12 c) 5 y 10 d) 8 y 2 e) 6 y 10 39. Un cuerpo está girando alrededor de una circunferencia con aceleración angular constante de 20 rad s 2 ; si necesita 3 s para girar un ángulo de 234 rad. ¿Qué velocidad angular poseía al cabo de ese tiempo? a) 102 rad/s d) 112 rad/s b) 108 rad/s c) 105 rad/s e) 115 rad/s 40. Determinar la aceleración angular con que gira una rueda para que en el tercer segundo efectúe 16 vueltas menos que en el séptimo segundo. a) 4  m/s 2 d) 10 m/s 2 b) 6  m/s 2 e) 12 m/s 2 c) 8  m/s 2 2 41. Calcular la aceleración angular en (rad / s ) que tiene un disco, sabiendo que es capaz de triplicar su velocidad luego de realizar 600 vueltas en 20 s. a)  d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 EVALUACIÓN 1. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea de acuerdo al Movimiento Circunferencial Uniforme. I. Posee aceleración. II. Su velocidad es constante, en módulo y dirección. III. Es un movimiento periódico. a) VFV b) VFF c) FVV d) VVV e) FFF 2. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea respecto a la aceleración centrípeta. I. Es constante su módulo en el MCU. II. Modifica la dirección de la velocidad tangencial. III. Siempre es perpendicular a la velocidad tangencial. a) FFV b) FVV c) VVF d) VFV e) VVV 3. a) b) c) Indique la proposición incorrecta respecto al MCUV. Su aceleración angular es constante sólo en módulo. Posee aceleración tangencial constante. Su velocidad angular varía uniformemente en módulo. d) No es un movimiento periódico. e) Posee aceleración centrípeta variable. 4. Señale con V (verdadero) o F (falso), respecto de la aceleración tangencial. I. Puede ser opuesta a la velocidad tangencial. II. Es constante en dirección. III. Modifica el módulo de la velocidad tangencial únicamente. a) VVF b) VFV c) FVV d) VVV e) FFF 5. Señale en la figura la expresión correcta que relaciona a los vectores mostrados.  a)   V  r b)   V  r c) V    r d) V    r   r 90º V e) V    r 6. Cinco ruedas se encuentran muestra en la figura. Halle la “Q” si se sabe que: R A  5m , y R E  12m. a) 2 m/s BA b) 3 m/s c) 4 m/s d) 5 m/s e) 10 m/s Vp  10 m/s conectadas como se velocidad del bloque R B  10m , R D  6m C E D Q 129 7. Marquito observa el paso de un meteoro fugaz el 14 de febrero durante 3,14 s en el cielo y describe en ese tiempo un arco de 9°. ¿Cuál fue la velocidad media expresada en (km/s) si la distancia media al observador fue de 80 km? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Si las partículas A y B parten simultáneamente con A  3 rad/s y B  2 rad/s . ¿Qué tiempo tardan en encontrarse? E  a) 0,2 s b) 0,3 s c) 0,4 s d) 0,5 s e) 0,1 s  A   B 9. Determine el tiempo mínimo que tardan en encontrarse los móviles 1 y 2, si 1   rad / s y 2  2 rad / s . a) 0,6 s b) 0,5 s c) 0,4 s d) 0,2 s e) 0,1 s 1  E   2 10. En el sistema mostrado se sabe que A  12 rad/s , hallar la velocidad tangencial en el borde de la rueda C. a) 8 m/s b) 6 m/s c) 4 m/s d) 2 m/s e) 1 m/s C 2m 3m  B 1m A A 11. Dos cuerpos en una trayectoria circunferencial parten desde un mismo punto con velocidades de 8  y 2 m/s en sentidos contrarios. ¿Al cabo de cuánto tiempo se encontraran? (R  10m) . a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 4 s e) 5 s 130 12. Dos pelotas atadas a una cuerda giran en un plano con M.C.U. Si la velocidad tangencial de “A” es de 20 cm/s. ¿Cuál es la velocidad angular del conjunto y la velocidad tangencial correspondiente de “B” en rad/s y cm/s respectivamente? A a) 0 y 8 b) 1 y 62 c) 33 y 5 d) 7 y 1 e) 2 y 50 15 cm B O 10cm  13. Una rueda de 2,5 m de radio gira a razón de 120/ R.P.M. respecto a un eje fijo que pasa por su centro, una partícula se suelta del punto “A” halle el desplazamiento horizontal “x” (g  10 m/s 2) . a) 8 m b) 10 m c) 4 m d) 5 m e) 15m x 14. A 1,25m del piso, en un plano horizontal, un depósito de arena gira con una velocidad angular de 4 rad/s y con 2 m de radio mientras va dejando caer gránulos de arena por un orificio practicando en el fondo del depósito halle el radio de la circunferencia de arena que se forma en el piso (g  10 m/s 2) . a) 2m b) 3m c) 4m d) 2 5m e) 4 2m 15. Las partículas parten simultáneamente con periodos de 20 y 30 segundos. ¿Al cabo de que tiempo logran cruzarse por segunda vez? a) 6 s b) 12 s c) 18 s d) 21 s e) 25 s 16. En MCUV se puede afirmar: I.  y  son colineales. II.  y a son ortogonales. III.  y v son colineales. a) I b) II c) III d) IV e) todas 17. Una partícula de MCUV partió desde el reposo con aceleración de 6 rad/s2, al cabo de los 10s su aceleración centrípeta es m/s2 es: el radio de giro es de 1m. a) 3000 b) 3200 c) 3400 d) 3600 e) 3800 18. Una partícula describe una trayectoria circular de radio 0,5 m con aceleración angular constante 2   5 rad/ s Si parte del reposo, hallar el módulo de la aceleración normal dos segundos después de su partida en m/s2. a) 100 b) 50 c) 25 d) 10 e) 5 19. Halle “” en un MCUV, sie en 3 segundos el disco gira 180 rad siendo 108 rad/s su velocidad angular al cabo de este tiempo. a) 32 rad/s2 b) 34 rad/s2 c) 36 rad/s2 2 2 d) 38 rad/s e) 40 rad/s 20. En un MCUV se obeserva que en 2s triplica su velocidad con desplazamiento angular de 4 rad. Halle el desplazamiento angular para el siguiente segundo. a) 3 rad b) 3,5 rad c) 4 rad d) 4,5 rad e) 5 rad 21. Con MCUV en 1s una particular gira 42 rad, en el siguiente segundo gira 54 rad, halle la aceleración angular en rad/s2. a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 22. Una partícula describe una trayectoria circular de 6m de radio, halle la velocidad para cierto instante en que su aceleración mide 15 m/s2 y forma 37° con la velocidad. a) 6 m/s b) 3 6 c) 12 d) 12 2 e) 15 23. Una hélice parte con velocidad inicial de 4 rad/s. ¿Cuántas vueltas dará en el tercer segundo?. Su aceleración es de 6 rad/s2. a) 6,5 b) 7,5 c) 8,5 d) 9,5 e) 10,5 24. Un tocadisco gira a 33 rpm al cortar la corriente la fricción hace que el tocadisco se frene con desaceleración constante, observándose que luego de 3s gira a 32,5 rpm. ¿Qué tiempo, en segundos, tarda el tocadisco para detenerse? a) 250 b) 89 c) 180 d) 198 e) 195 25. Un cilindro de 1m de diámetro que se encuentra rotando a razón de 30 rpm es desacelerado uniformemente hasta 15 rpm. Si durante este tiempo se han enrollado 90m de cuerda sobre el cilindro la aceleración angular (en rad/s2) es: a) 0,011 b) 0,021 c) 0,041 d) 0,051 e) 0,031 26. La velocidad de un automóvil aumenta uniformemente en 10s de 19 km/h a 55 km/h. El diámetro de sus ruedas es 50 cm, la aceleración angular de las mismas en rad/s2. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 27. Hallar la velocidad angular inicial MCUV si su aceleración angular es /9 rad/s2 y en el quinto segundo recorre un cuarto de vuelta. (Dar la respuesta en rad/s). a) /2 b)  c) 2 d) /4 e) 0 28. Una partícula recorre una circunferencia de 20 cm de radio con una aceleración tangencial cuyo módulo 2 siempre es de 5 cm/s . ¿Cuánto tiempo después de haber partido desde el reposo la aceleración lineal de la partícula forma 45º con su respectiva velocidad? a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 4 s e) 5 s 29. Desde el reposo una partícula parte con aceleración angular constante de /2 rad/s2, luego de uns instante “t” la partícula pasa por un punto “A” y en un segundo más gira un cuarto de vuelta. Hallar “t” (en s). a) 0,3 b) 0,4 c) 0,5 d) 0,6 e) 0,7 30. Cuando un ventilador es apagado, debido a la fricción, desacelera uniformemente recorriendo 80 rad en los 4 primeros segundos, si la desaceleración angular es de 4 rad/s2 encuentre el tiempo que demora la fricción en detener al ventilador. a) 7s b) 8s c) 9s d) 10s e) 11s 31. Un disco que parte desde el reposo con aceleración angular constante empleó “n” segundos en su segunda vuelta, ¿Cuántos segundos emplearía en la primera vuelta? d) n  2  2  a) n b) 2 c) n  2  1  e) n 3 32. Un móvil parte desde el reposo con MCUV, halle el ángulo que formará su aceleración con su velocidad cuando el móvil se haya desplazado en “”. a)  b) 2 c) tg 1 d) tan 1(2) e) cot 1  33. La velocidad angular de un disco aumenta a razón constante de 2400 RPM a 4800 RPM en 30 s. Hallar la aceleración angular. 131 a) 2, 45  rad/s 2 b) 3, 4  rad/s 2 c) 2, 67 rad/s 2 d) 2, 4 rad/s 2 e) 2, 8 rad/s 2 34. Transcurrido un tiempo “t” de haber partido un auto con aceleración constante, las ruedas disponen de una velocidad angular de 10 rad/s, si en 2s más las ruedas giran a razón de 15 rad/s; encuentre “t”. a) 1s d) 10s b) 4s e) 13s c) 7s 35. En la correspondencia  – vs – t. Halle el desplazamiento angular hasta t  6 s , desde que se inició el movimiento. (rad/ s) a) 60 rad b) 22 rad c) 33 rad d) 66 rad e) 132 rad 8 45º t(s) 0 36. Anulada la corriente que alimenta a una hélice, este gira “n” vueltas en el último segundo, halle la velocidad angular de la hélice a 3s antes de detenerse suponiendo una desaceleración uniforme. a) 10 n rad/s c) 12 n rad/s e) 14 n rad/s b) 11 n rad/s d) 13 n rad/s 37. Un disco delgado de radio “R” soldado perpendicularmente a un eje de longitud “H” gira sobre un plano rugoso, sin deslizar, debido a que el alambre gira con una velocidad angular constante “  ”. ¿Cada cuánto tiempo el disco describe una circunferencia sobre el piso? 2 R  H R 2 a) b) 2 R  H R 2 R  H R 2 c) 2 H  R R 2 d)  R H R 2 e) 2 132 2 2 2