BIIN NGGU NHIÊN Tháng 2 năm 2016

Outline BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa Định nghĩa Phân loại Phân loại Phân phối xác suất Phân phối xác suất Nguyễn Văn Thìn Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất BỘ MÔN THỐNG KÊ TOÁN HỌC KHOA TOÁN - TIN HỌC Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Outline Nguyễn Văn Thìn 1 Định nghĩa Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Biến ngẫu nhiên: Định nghĩa Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa 2 Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất 3 Phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa Phân loại 2 Phân loại 4 Các tham số đặc trưng Tháng 2 năm 2016 BIẾN NGẪU NHIÊN 1 Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất 3 Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất 4 Các tham số đặc trưng Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 1 Biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gian các biến cố sơ cấp Ω vào R, X : Ω −→ R ω 7−→ X = X (ω) Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Người ta thường dùng các chữ cái in hoa X , Y , Z , . . . để ký hiệu các biến ngẫu nhiên và các chữ in thường x, y , z, . . . để chỉ các giá trị của biến ngẫu nhiên. Outline Biến ngẫu nhiên: Ví dụ BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Ví dụ 2 Xét phép thử tung hai đồng xu. Không gian mẫu của phép thử này là Ω = {SS, SN, NS, NN} Gọi X là số mặt ngửa xuất hiện. Khi đó, X là một ánh xạ từ không gian mẫu Ω vào R như sau: ω X (ω) SS 0 NS 1 SN 1 NN 2 1 Định nghĩa Định nghĩa Phân loại 2 Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng 3 Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất 4 Các tham số đặc trưng Biến ngẫu nhiên: Phân loại Biến ngẫu nhiên: Phân loại BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Dựa vào miền giá trị của biến ngẫu nhiên mà người ta phân thành 2 loại chính như sau Nguyễn Văn Thìn Biến ngẫu nhiên rời rạc Phân loại Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Định nghĩa Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Biến ngẫu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu tập hợp các giá trị mà nó nhận được là một khoảng dạng (a, b) hoặc toàn bộ R Các tham số đặc trưng Ví dụ 3 Tung 1 con xúc sắc cân đối. Gọi X là số chấm xuất hiện thì X là một biến ngẫu nhiên rời rạc vì tập các giá trị mà nó có thể nhận là {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ví dụ 4 Các biến ngẫu nhiên X sau là biến ngẫu nhiên liên tục: (a) Chọn ngẫu nhiên một thời điểm trong ngày và đo nhiệt độ không khí (X ). (b) Chọn ngẫu nhiên một bóng đèn điện tử và đo thời gian hoạt động bình thường của nó (X ). (c) Chọn ngẫu nhiên một hợp chất hóa học và đo độ pH của nó (X ). Outline Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn 1 Định nghĩa Định nghĩa Phân loại Định nghĩa 2 Phân loại Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Kí hiệu Cho A ⊂ R. Ta kí hiệu Phân phối xác suất 3 Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng (X ∈ A) = {ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A} Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Chẳng hạn, ta viết Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng (X = a) = {ω ∈ Ω : X (ω) = a} (X ≤ a) = {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ a} 4 Các tham số đặc trưng Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất: Định nghĩa và tính chất Bảng phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN Để mô tả biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị nào đó với xác suất tương ứng là bao nhiêu thì người ta dùng bảng phân phối xác suất. Bảng này có hai dòng như sau - Dòng thứ nhất là các giá trị mà biến ngẫu nhiên X nhận được. Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa 5 Cho biến ngẫu nhiên X , hàm thực FX : R x Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất −→ 7−→ [0, 1] P (X ≤ x) được gọi là hàm phân phối xác suất của X . Bảng phân phối xác suất - Dòng thứ hai là xác suất biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị tương ứng. X P x1 P(X = x1 ) x2 P(X = x2 ) ··· ··· xn P(X = xn ) ··· ··· Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Mệnh đề 6 Hàm phân phối xác suất F (x) ≡ FX (x) có các tính chất sau: (i) không giảm: x ≤ y ⇒ F (x) ≤ F (y ), (ii) liên tục phải: lim+ F (x) = F (x0 ) với mọi số thực x0 , x→x0 (iii) F (−∞) = lim F (x) = 0, x→−∞ F (+∞) = lim F (x) = 1, x→+∞ (iv) P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) với a ≤ b bất kì. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Giả sử biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất X P x1 p1 x2 p2 x3 p3 xk pk ··· ··· xk+1 pk+1 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc BIẾN NGẪU NHIÊN ··· ··· Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Định nghĩa Phân loại Phân loại Phân phối xác suất Nếu x < x1 thì (X ≤ x) = Ø và ta có F (x) = P(X ≤ x) = P(Ø) = 0 Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Nếu xk ≤ x < xk+1 thì, Hàm mật độ xác suất (X ≤ x) = (X ∈ {x1 , x2 , . . . , xk }) = (X = x1 )∪(X = x2 )∪. . .∪(X = xk ) Các tham số đặc trưng Mặt khác, do các biến cố (X = xi ) xung khắc nhau từng đôi một nên F (x) = P(X ≤ x) = P(X = x1 )+P(X = x2 )+. . .+P(X = xk ) BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Ví dụ 7 BIẾN NGẪU NHIÊN Tung một đồng xu cân đối đồng chất. Gọi X là số mặt sấp xuất hiện. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X và xác định hàm phân phối của nó. Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Gợi ý 8 Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất của X là X P 0 0.5 Bảng phân phối xác suất 1 0.5 Hàm phân phối xác suất của X là   0 nếu x < 0 F (x) = 0.5 nếu 0 ≤ x < 1  1 nếu x ≥ 1 = p1 + p2 + . . . + pk Vậy hàm phân phối xác suất của X là   0 nếu      p1 nếu    p + p nếu 1 2 FX (x) =  ... ...      p1 + p2 + . . . + pk nếu    . . . ... x < x1 x1 ≤ x < x2 x2 ≤ x < x3 xk ≤ x < xk+1 Ví dụ 9 Gọi X là số nút xuất hiện khi tung một con xúc sắc. Hãy lập bảng phân phối và xác định hàm phân phối xác suất của X . Định nghĩa Phân loại Phân loại Phân phối xác suất Nguyễn Văn Thìn F (x) = P(X ≤ x) = P(X = x1 ) + P(X = x2 ) + . . . + P(X = xk ) Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Ví dụ 10 Tung đồng thời hai đồng xu cân đối đồng chất. Gọi Y là số mặt sấp xuất hiện khi thực hiện phép thử, hãy lập bảng phân phối xác suất và xác định hàm phân phối xác suất của Y . Ví dụ 11 Một người đi thi bằng lái xe, xác suất đậu của anh ta ở mỗi lần thi là 0.3. Anh ta sẽ thi đến khi đạt được bằng lái xe thì thôi. Gọi Z là số lần người đó dự thi. Lập bảng phân phối xác suất của Z . Hàm mật độ xác suất: Định nghĩa Hàm mật độ xác suất: Tính chất BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa 12 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X . Hàm số f (x) không âm, xác định trên R và thỏa các tính chất i) P (X ∈ I ) = Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Z f (x)dx, ∀I ⊂ R Nguyễn Văn Thìn Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất ii) Z∞ Các tham số đặc trưng f (x)dx = 1 BIẾN NGẪU NHIÊN Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng f (x)dx = 1 đều là hàm mật độ xác suất của 1 biến ngẫu nhiên X nào đó. 2) Từ định nghĩa về hàm mật độ ta có hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) là Zx f (u)du F (x) = P (X ≤ x) = −∞ dF (x) = f (x) dx Ra 4) Trong trường hợp liên tục, P(X = a) = a f (x)dx = 0. F ′ (x) = được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X . Định nghĩa R∞ −∞ 3) −∞ Nguyễn Văn Thìn 1) Mọi hàm f (x) không âm và thỏa điều kiện Định nghĩa Hàm phân phối xác suất I Nhận xét 13 BIẾN NGẪU NHIÊN Ví dụ 14 Cho hàm f (x) = ( 2x 0 nếu x ∈ [0, 1] nếu x ∈ / [0, 1] a) Chứng tỏ rằng f (x) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X nào đó. b) Tìm hàm phân phối xác suất F (x) của X . c) Tính xác suất P(0 < X ≤ 12 ). Nguyễn Văn Thìn Ví dụ 15 Định nghĩa Tuổi thọ Y của một thiết bị (đơn vị: giờ) có hàm mật độ xác suất có dạng ( a nếu x ≥ 100 2 f (x) = x 0 nếu x < 100 Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng với a ∈ R. a) Hãy xác định hàm phân phối của Y . b) Thiết bị được gọi là loại A nếu tuổi thọ của nó kéo dài ít nhất 400 giờ. Tính tỉ lệ loại A. Outline BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn BIẾN NGẪU NHIÊN 1 Định nghĩa Định nghĩa Phân loại Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa 2 Phân loại Phân loại Phân phối xác suất Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Đặc trưng của biến ngẫu nhiên: Kỳ vọng 3 Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Ví dụ 17 Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 3 viên bi nặng 10g, 5 viên nặng 50g, 2 viên nặng 20g. Chọn ngẫu nhiên ra 1 viên bi và gọi X là khối lượng của viên bi đó. Tính E(X ). Ví dụ 18 Một chùm chìa khóa có 6 chìa, trong đó có 2 chìa mở được cửa. Thử từng chìa (thử xong bỏ ra ngoài) cho đến khi mở được cửa. Tìm số lần thử trung bình để mở được cửa. Kỳ vọng của X , ký hiệu E (X ), là một số được định nghĩa  +∞ X    xP (X = x) nếu X là BNN rời rạc  x E(X ) = Z +∞    xf (x)dx nếu X là BNN liên tục  −∞ Ý nghĩa của kỳ vọng • Là giá trị trung bình theo xác suất của tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên. • Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất. 4 Các tham số đặc trưng BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa 16 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Ví dụ 19 Cho X là một biến ngẫu ( nhiên có hàm mật độ 2x nếu x ∈ [0, 1] f (x) = 0 nếu x ∈ / [0, 1] Tìm kỳ vọng của X . Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Ví dụ 20 Cho biến ngẫu nhiên Y có hàm mật độ xác suất ( 2 nếu y ∈ [1, 2] 2 g (y ) = y 0 nếu y ∈ / [1, 2] Tìm E(Y ). Đặc trưng của biến ngẫu nhiên: Phương sai BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Tính chất của kỳ vọng Cho X , Y là hai biến ngẫu nhiên bất kỳ và C ∈ R thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có các tính chất sau i) ii) iii) iv) E(C ) = C . E(CX ) = C E(X ). E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ). Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì E(XY ) = E(X )E(Y ). Định nghĩa 22 (Độ lệch chuẩn) Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu σ(X ), là căn bậc hai của Var (X ). p σ(X ) = Var (X ) Tính chất phương sai Cho hai biến ngẫu nhiên X , Y và hằng số thực C ∈ R, phương sai có các tính chất sau i) Var (C ) = 0. ii) Var (CX ) = C 2 Var (X ). iii) Nếu X và Y độc lập thì Var (X + Y ) = Var (X ) + Var (Y ). Định nghĩa Định nghĩa 21 Nếu biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E (X ) thì phương sai, ký hiệu Var (X ), được định nghĩa Phân loại Var (X ) = E (X − E (X ))2 Phân phối xác suất (1) Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Lưu ý Trong tính toán, để tính phương sai của biến ngẫu nhiên X ta thường sử dụng công thức Var (X ) = E(X 2 ) − (E(X ))2 . Đôi khi người ta còn kí hiệu D(X ) để chỉ phương sai của X trong một số giáo trình. Ví dụ 23 Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 3 viên bi nặng 10g, 5 viên nặng 50g, 2 viên nặng 20g. Chọn ngẫu nhiên ra 1 viên bi và gọi X là khối lượng của viên bi đó. Tính E(X ), Var (X ). Ví dụ 24 Cho biến ngẫu nhiên Y có hàm mật độ xác suất ( 2 nếu y ∈ [1, 2] 2 g (y ) = y 0 nếu y ∈ / [1, 2] Tìm E(Y ), Var (Y ). Đặc trưng của biến ngẫu nhiên: Mod Ý nghĩa của Phương sai BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất • Phương sai là kỳ vọng của bình phương các sai lệch giữa X và E(X ), nói cách khác phương sai là trung bình bình phương sai lệch, nó phản ánh mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình. Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Định nghĩa 25 (Mod) Mod của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu Mod (X ), là giá trị mà biến ngẫu nhiên X nhận được với xác suất lớn nhất. Từ định nghĩa, nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X P Hàm mật độ xác suất • Trong công nghiệp phương sai biểu thị độ chính xác trong sản xuất. Trong canh tác, phương sai biểu thị mức độ ổn định của năng suất... Các tham số đặc trưng x1 p1 x2 p2 ··· ··· xn pn ··· ··· thì Mod(X ) = xi ⇔ pi = P (X = xi ) = max {p1 , p2 . . .} còn nếu X có phân phối liên tục với hàm mật độ xác suất f (x) thì Mod (X ) = x0 ⇔ f (x0 ) = max f (x) x∈R Mod BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Đặc trưng của biến ngẫu nhiên: Trung vị BIẾN NGẪU NHIÊN Ví dụ 26 (Trường hợp rời rạc) Tìm Mod của biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc với bảng phân phối xác suất X P 1 0, 3 2 0, 25 3 0, 18 4 0, 14 5 0, 13 Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Ví dụ 27 (Trường hợp liên tục) Tìm Mod của biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất sau ( 3 x(2 − x) khi 0 ≤ x ≤ 2 f (x) = 4 0 nơi khác Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Định nghĩa 28 (Trung vị) Cho biến ngẫu nhiên X bất kỳ, trung vị của X , ký hiệu Med (X ), là giá trị m của biến ngẫu nhiên X sao cho    P (X ≤ m) ≥ 1 2 1   P (X ≥ m) ≥ 2 ta viết Med (X ) = m. Đặc trưng của biến ngẫu nhiên: Trung vị BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN Nhận xét 29 Khi X là biến ngẫu nhiên liên tục thì trung vị của X chính là điểm chia phân phối xác suất thành hai phần bằng nhau. Nghĩa là P (X ≥ m) = P (X ≤ m) = 1/2 tương đương với P(X ≥ m) = 1/2 hoặc P(X ≤ m) = 1/2. Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Đặc trưng của biến ngẫu nhiên: Trung vị Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Thật vậy, từ điều kiện P(X ≥ m) ≥ 1/2 suy ra P(X ≤ m) = P(X < m) ≤ 1/2. Kết hợp với điều kiện P(X ≤ m) ≥ 1/2 ta phải có P(X ≤ m) = 1/2. Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau X 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 Tìm Med (X ). Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Chứng minh Ví dụ 30 (Trung vị phân phối rời rạc) Các tham số đặc trưng Ví dụ 31 (Trung vị phân phối rời rạc cho trường hợp không duy nhất) Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau 1 2 3 4 X P 0.1 0.4 0.3 0.2 Tìm Med (X ). Đặc trưng của biến ngẫu nhiên: Trung vị BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Ví dụ 32 (Trung vị phân phối liên tục) Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất cho bởi  4x 3 khi 0 < x < 1 f (x) = 0 nơi khác Tìm Med (X ). Ví dụ 33 (Trung vị phân phối liên tục cho trường hợp không duy nhất) Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất cho  1 bởi  khi 0 ≤ x ≤ 1  2 f (x) = 1 khi 2.5 ≤ x ≤ 3   0 nơi khác Tìm Med (X ).